matemÁtica questões de 01 a 12 - vestibular.ufop.br · mat. – 3 1º vestibular ufop 2007 grupo...
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MAT. – 1
1º VESTIBULAR UFOP 2007
GRUPO 5 – TIPO A
MATEMÁTICA
Questões de 01 a 12
01. Considere a seqüência de funções 1f x sen x , 22f x sen x , 3
3f x sen x ,..., n
nf x sen x , ... e as áreas 1A , 2A , 3A , ... , nA , ... , definidas pelos respectivos
gráficos no intervalo 0, .
Um aluno de Cálculo, motivado pelas inúmeras aplicações dessa disciplina, demonstrou que:
para par
para ímpar
2
n
n2
n
4 n -1 !n
n - 2n 2 !
2A
n -12 !
2n
n!
Calcule 1A
e 4A .
8
3
1164
1234
!1164
!34
!2
2424
!144
21
12
1
!02
!1
!2
112
22
4
4
22
2
1
1
A
A
MAT. – 2
1º VESTIBULAR UFOP 2007
GRUPO 5 – TIPO A
02. Considere que as funções logarítmicas envolvidas na equação a seguir são reais e
de variável real.
100 0,1 62 log 3 - x - log 2 - x = log6 +log6 log 7
Se a é raiz dessa equação, então calcule 6log a - 2 .
Condição de existência: 202
03
xx
x
Para resolver a equação, devemos passar os logaritmos para a base 1°(mudança de base):
16log24log2log
)(42
9
4
2
135
2
16950365
422364223
42log23log
7log6log2log3log
110log10loglog
210log210loglog,
6log
7log6log6log
log
2log
log
3log2
666
2
1
2
2
11,0
2100
1,0100
a
NãoaxSe
x
x
xxx
xxxxx
xx
xx
Mas
xx
MAT. – 3
1º VESTIBULAR UFOP 2007
GRUPO 5 – TIPO A
03. Uma cunha esférica é determinada pela revolução de o60
do semicírculo a seguir,
de raio 2cm , em torno do eixo e .
Calcule a área total e o volume desta cunha.
Volume de esfera: 333
3
322
3
4
3
4cmRVl
Área da superfície esférica: 222 16244 cmRAl
3606
160
Volume da cunha: 3
9
16
3
32
6
1cmVc
Área do fuso: 2
3
816
6
1cmAf
Mas, a área da cunha: 222
3
204
3
82
3
8
22 cmA
RAA cfc
2 cm
60º
ee
MAT. – 4
1º VESTIBULAR UFOP 2007
GRUPO 5 – TIPO A
04. Uma rua em linha reta, com 1200
metros de comprimento, foi arborizada com ipês
do lado direito e flamboyants do lado esquerdo. Os ipês foram plantados de 25
em
25
metros e os flamboyants de 30
em 30
metros. No início da rua, foi plantada
uma árvore de cada espécie. Uma pessoa caminhou por essa rua partindo do seu início e parou para descansar sempre que ocorreu coincidência de espécies plantadas, uma em cada lado da rua.
Pergunta-se:
A) A que distância do início da rua ocorreu a primeira parada?
A1 é múltiplo de 25; a1 é múltiplo de 30 e, por ser a 2ª coincidência (1ª parada), é o menor possível mmmcaa 15030,25101
B) Quantas vezes a pessoa parou para descansar?
ma 1501 (1ª parada)
ma 3002 (2ª parada)
ma 4503 (3ª parada)
--------------------------------
man 1200 (n° parada)
Conclusão: parou para descansar 8 vezes.
MAT. – 5
1º VESTIBULAR UFOP 2007
GRUPO 5 – TIPO A
05. Um trapézio isósceles de base média medindo 20 cm
está circunscrito a uma
circunferência.
Determine o perímetro deste trapézio.
cmyxPerímetro
yxyxBbBb
bm
8044
80444022402
MAT. – 6
1º VESTIBULAR UFOP 2007
GRUPO 5 – TIPO A
06. No lançamento de uma moeda três vezes consecutivas, Pedro aposta com seu
colega Antônio que ou sairá cara exatamente duas vezes ou os resultados serão todos iguais. Antônio aposta que sairá coroa pelo menos uma vez. Determine as probabilidades de Pedro e Antônio acertarem os resultados e diga quem tem mais chances de ganhar a aposta.
C= Cara e K= Coroa
Conjunto total de possibilidades:
{ccc; cck; ckc; ckk; kcc; kck; kkc; kkk} = 8 possibilidades.
Conjunto das possibilidades de Pedro:
{ccc; cck; ckc; kcc; kkk} = 5 possibilidades.
Conjunto das possibilidades de Antônio:
{cck; ckc; ckk; kcc; kck; kkc; kkk}= 7 possibilidades
Probabilidade de Pedro=5/8
Probabilidade de Antônio=7/8. É Antônio quem tem mais chance de ganhar a aposta.
MAT. – 7
1º VESTIBULAR UFOP 2007
GRUPO 5 – TIPO A
07. Num sistema de coordenadas cartesianas, localizam-se o ponto P 3,4
e a reta r
de equação 2 0x y . Seja Q
o ponto da reta r de abscissa a .
Determine:
A) A medida do segmento PQ em função de a .
No ponto Q,
1322
4469
23
243
202
2
22
22
22
aaPQ
aaaaPQ
aaPQ
aaPQ
ayyaax
B) O valor de a
para que a medida do segmento PQ
seja a mínima possível, em seguida, o valor desta medida mínima. (Sugestão: Sendo 0m , m será mínima quando m for mínimo)
PQ será mínima quando: 1322 22 aaPQ for mínimo
2PQ é mínima para 2
1
4
2
2A
Ba
2PQ mínima
2
25
2
5
2
25
2
2512
2
1131
2
1131
2
113
2
12
4
12
PQ
MAT. – 8
1º VESTIBULAR UFOP 2007
GRUPO 5 – TIPO A
08. Considere a expressão ...E x y x y x y , na qual o número de radicais
cresce indefinidamente.
A) Escreva E na forma m nE x y , em que m,n .
3
1
3
2
1
1
64
1
16
1
4
1
32
1
8
1
2
1
64
1
16
1
4
1
32
1
8
1
2
1
64
1
32
1
16
1
8
1
4
1
2
1
3
1
4
34
1
4
11
4
1
164
1
16
1
4
1
3
2
4
32
1
4
11
2
1
132
1
8
1
2
1
yxE
q
a
q
a
yxE
yyyxxxE
yxyxyxE
B) Calcule o valor de E para x 8 e 1
y8
.
22
4
2
12
8
18 23
1
3
2
3
1
3
2
yxE
MAT. – 9
1º VESTIBULAR UFOP 2007
GRUPO 5 – TIPO A
09. Maria e sua irmã Vera foram com seu irmão mais novo à casa do seu tio. Lá,
encontraram uma balança com defeito, que só indicava corretamente pesos superiores a 70 kg . Dessa forma, eles se pesaram dois a dois e seus pesos combinados foram:
Maria e Vera: 99 kg
Maria e o irmão: 81kg
Vera e o irmão: 74 kg
Determine o peso de cada um dos irmãos.
Mariakgx
Verakgy
Irmãokgz
zyxzyx
zy
zx
x
5374127
4681127
2899127
127254222
74
81
999
10. Considere o polinômio 4 3 2P x x a x b x c x d , em que:
P x P x x
P 1 = 2
P 0 = 6
Determine:
A) Os valores de a , b , c e d .
65
5660060
2121
0
24
24
234234
xxxP
bddP
dbP
dbxxxP
cacc
aa
dcxbxaxxdcxbxaxxxPxP
MAT. – 10
1º VESTIBULAR UFOP 2007
GRUPO 5 – TIPO A
B) A soma dos quadrados das raízes de P x .
103322
333
222
322
15
2
24255065
0650
24
23
22
21
432
212
212
224
xxxx
xxx
xxx
yyyyy
yxxxxP
11. Viajando 8
horas por dia, durante 6
dias, com uma velocidade média de /km hv , um ciclista faz certo percurso. Sabe-se que ele poderia fazer o mesmo percurso se viajasse 5
horas por dia, durante 8
dias, com uma velocidade média /4 km h
superior à velocidade v . Assim sendo, calcule a velocidade v .
1° modo:
hkmvvvv
v
v
v/202056
46
5
46
8
8
5
2° modo: distância= velocidade média x tempo
tVd m
hkmv
v
vv
vdvd
/20
1608
1604048
44048
MAT. – 11
1º VESTIBULAR UFOP 2007
GRUPO 5 – TIPO A
12. Nos triângulos a seguir, o ângulo Â
é reto. A medida do segmento CB
é 20 cm , a
do segmento BD é 11cm e a do segmento DA é 5cm .
Determine o valor de tg . (Sugestão: Utilize a identidade tg tg
tg1 tg tg
)
56
333356
20481536512
125
3
412
51
12
5
3
4
1
3
4
12
16
12
5
12144256400
5112022
222222
tgtg
tgtgtg
tg
tg
tg
tgtg
tgtgtg
tgCA
ADtg
cmCACACA
CAABCBCA
MAT. – 12
1º VESTIBULAR UFOP 2007
GRUPO 5 – TIPO A
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