matematicas y su enseÑanza i (parte 1)

,NA

LA VIDA DIEZ, EN LA .ESCUELA, CERO: CONTEXTOS CULTURALES DEL APRENDIZAJE

LAS MATEMTICAS*

es; TEREZINHA N. CARRAHER DAVID W. CARRAHER:, rn~ ANALCIA D, SCHLlEMANN )9. ,0

le

e" .npl:p,rcin y el fracaso escolar aparecen hoy entre los pro~

~, de nuestro sistema educacional que se estudian en for~

;r,elativamente inten~a. La concepcin de fracaso escolar

alternativamente como fracaso de los, individuos(Po~

, Esposito y Campos, 1975}, fracaso de una clase social

1967; Hoggart, 1957) o fracaso de un sistema social,

y poltico (Freitag, 1979; Porto, 1981)que practica

selectividad socioeconmica indebida. En este captulo se

, explorar otra alternativa: el fracaso escolar y elfra~

,de la escuel(l.

estudios de la llamada "privacin culturan o de los margiqadoS" sealan la existencia de las ms va~

deficiendas entre nios de ambientes desfavorecidos, ~~'''l'vnciasque son tanto de naturaleza del conocimiento co~

de orden afectivo y social. ,El nio producto de la priva~ cultural muestra deficieI!cias en las funciones psiconeu~

Nuestro agradecimiento a Blisabete Maranhio de Miranda y Maria Bneida do Maciel por la ayuda impresindible eilla recoleccin de los datos y a Shirley

Ice-Heath quien, al visitar nuestro programa, con financiamiento del CNPq, abri perspectivas de anlisis para el estudio del fracaso escolar. ,

,.:,i' ,Los datos analizados en este estudio forman parte del artculo de los mismos autores .' Mathematics in the streets and in schools", Brilish Jaurnal 01Developmenlol Psycha

, lagj, nm. 3, 1985, pp. 21-29. Esta versin fue publicada por Cuadernos de Pesqui. so, nm. 42, 1982, pp. 79-86,

[25] Digitalizado por: I.S.C. Hctor Alberto Turrubiartes Cerino [email protected]

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T, CARRAHER ! D, CARRAHER ! A, SCHLI

rolgicas, bsicas para la lectura y las matemticas, Con bsicos, Operaciones cognoscitivas y lenguaje (PoPPovic, posito y Campos, 1975), un pObre, concepto de si mismo, timientos de culpa y de vergenza, problemas familiares, conocimiento de su propia cultura (Brooks, 1966), etc., mencionar apenas algunas de las deficiencias encontradas. posicin resulta de la conviccin de que los procesos gicos se, desarrollan en funcin de la experiencia, eSpeCl

28 29

T. CARRAHER I D. CARRAHER I A.

elpodery enconsecuencia, dominan. Es un proceso qUele su origen en la cima y alcanza la base de la sociedad" 1981; 101; comillas de la autora): La posibilidad de que el fracaso escolar no represente eUra

casodelindividuo, de la clase o.del sistema social, econmico y poltIco.pero s el fracaso de la propia. escuela ya ha sido considerada por. algunos, aunque no ,podamos decir que esta conclusin haya sido. Presentada con claridad en ,la forma en que la concebimos. Friedman (1967) considera que el entusias,fiO por la nocin de privacin cultural en los medios educacionales result en realidad de que tal conceptualizacin del problema constitua una explicacin razonablep~rauna situa:. cinembar.azosa y,'al mismo tiempo,:liberaba>a,loseducado_ res de la;responsabilidad de estar involucrados ,en una escuela incapaz de producir resultados. Poppovicpresent reciente:mente un anlisis bastante detalladodela cuestin delfraca_ so escolar. Refirindose a la explicacin de este fracaso en trminos de. privacin cultural, seala: "Tenemos entonces, para determinar el fracaso escolar, una explicacin de fondo sO.cial mucho ms amplia y verdica de lo que SOn las deficien.cias individuales. Sin embargo, sise la examina bien esa teora contina sealando a un solo culpable: el alumno que viene d.e. una familia pobre y, por 10 tanto, impreparado para los patrones exigidos: por la escuela; sa sera la razn del fracaso; La institl.lcin escolar,' sus valores, sus mtodos,suscrite_ rios, SU didctica, .su organizacin continan fuera del debaf.e"(poPPQvic, 1981: 20). .' Con relacinala educacin compensatoria, Poppovic po~ oe de relieve que sta sufre del gran defecto de slo pretender cambiar al nio, aadiendo que una u otra lnea de pensamien

'. to se hace necesaria: la de un enfoque institucional, el cual debe disCutir la. propia escuela: "Esta lnea de pensamiento establece que el fracaso es el resultado de una mala interrelacin entre el alumno que proviene de determinados medios sociales y la institucin escolar. Es preciso que la escuela entienda su papel social y su funcin en una sociedad de grupos muy diversificados" .(ibid. , p. 20).

LA VIDA DIEZ, EN LA ESCUELA CERO

. peSar de las semejanzas entre el anlisis propuesto por 'y el que pretendemos explorar, debe destacarse una a que no consideramos en forma algtmade arcter .Poppovi, despus delanlsis antes mencionado,

atrs para considerar los estudios de la marginacin culy sus efectos sobre los nios (Poppovic et al;, 1975),con de conocer "las necesidades de los niosclt'uralmente

" (PoppovC, 1981:20) como un intento dedesa~ uI1currculum que les atienda: "El camino que escog

fue el del desarrollo de materiales curriculares para los iniciales del primer grado,' destinados l losnifios origi~ de los estratos de bajos ingresos y a sus profesores"

, pp, 20~21 y,' Este camino parece constituir la educacin atora en la escuela y no slo en el nivel preescolarj ye'una solucin psicolgCapara un problema psico~ social y cultural. ,i

contraste con este punto de vista,pero siguenddtam..: un enfoque institucional, se puede proponer para la euesde lasdiferenc!:ls ihterclases un enfoque semejante al pro

por'Gay y Cole (1967) Y Cole (1977) para las diferencias . Aunque ciertos nios de algunas culturas ;.....;o~

este caso, de los estratos de bajos ingresos~ pueden no pap 'de experiencias especficas encontradasrutinariamenlos'nios de ntiestraClase media, no son criattaspri.:. de todaexperielcia. En el contextddel estudio 'de las '~llcUltades de aprendizaje de las matemticas,Gay y Co'lepar

supuesto de que era necesario conocer mejor las ma..: .uaw....a;) inherentes a las actividades' de la vida diaria en la -_ ~_ ~ de esos nios a fin de construir, l partir de ellas, puentes ligamentos efectivos para unas matemticas ms abstractas . las que la escuela pretende ensear. Dicho' esto,Cole (l977)

ugiete que el hecho comn de que las personas desempefien mayor habilidad aquellas tareas en que tienen ms prcti"

llev a presuponer tambin que los procesos cognoscitivos PUeden ser de naturaleza situacional, lo cual implica que es Posible encontrarnos sujetos que demuestran una habilidad en Cierto contexto y no en otro(s). Por ejemplo, los exmenes de

Digitalizado por: I.S.C. Hctor Alberto Turrubiartes Cerino [email protected]

31 30 T. CARRAHER / D. CARRAHER / A. SCHLlEMANN

habilidades de distincin visual realizados al ingresar a la escuela para verificar la rapidez para la alfabetizacin, se hacen por lo general con figuras diseadas, relativamente abs~ tractas, figura~ geomtricas, letras y nmeros. Si supusisemOs .que tal material no es apto para la prctica de la distinci.n. entre. los nios llamados culturalmente desfavorecidos, vere~ mos que de ellos se esperara 4n desarrollo ms bajo del que muestran los nios con prctica en estas distinciones. De ah .podemos concluir: 1] que los nios producto de la privacin cultUraL tienen deficiencias en la distincin visual o 2] podemo~ iniciar .un,anlisis etnogrfico y experimental de las situacio-. nes, en que estos nio~ hacen una distincin visual de detalles, ericasode.que tales situaciones existan, con el fin de cons" tI'uir en la escuela una unidad efectiva entre las habilidades

. , '

de que esos nios ya disponen y su aplicacin al dominio particular que deseamos desarrollar. La segunda forma de tratar con el problema aprovecha una "leccin central obtenida de aos, de investigacin sobre la generl:lizacin ele! aprendizaje (Iearning sets) , esto es, que los animales (incluso el hombre) aprenden habilidades generalizadas para la soludn de,pro~ blemas a partir de experiencias repetidas ,con problemas dif~rentes.del mismo tipo" (Cole, 1977: 481) ..

Ad()ptarel enfoque institucional no significa, por lo tanto,. ne&arq,ue.existen diferendas entre las clases o rechazar explicaciones de naturaleza social, econmica y poltica para eLfra~

c~so escolar. Con todo, las diferencias. entre las clases no son cbncebidas sencillamente como carencias, sino como dijeren., das de hecho, y las explicaciones en trminos del sistema socio~ econmico-poltico son consideradas insuficientes, dado que ~~I aun un cambio del sistema no podra tener resultados efecti~i'J,1'

1:;1 ,

vos sobre la educacin, puesto que los educadores no disponen del necesario "saber hacer", como bien lo seal Poppo~ v~c (1981). Siendo as, el enfoque institucional del fracaso escolar se aproxima al anlisis de Foracchi (1974) y de Campos (1975) de la marginalidad, anlisis en el que las caractersticas culturales son vistas como expresin simblica de lo

y de lo poltico, constituyendo, pues, parte esenla explicacin del fenmeno .. observaciones ms diversas han sealado incongruen

el desempeo de los sujetos "culturalmentedesfa\fecdOS" en situaciones formales y experimentales y el de

eo de esos mismos sujetos en situaciones informales ,() . Labov (1969) registr la existencia de grandes direll~Ja~ en e! desempeo verbal de los nios pobres de Har

situaciones de examen y en situaciones informales. Cole puso de relieve la incongruencia entre resultados expe

llI;males Y la evidencia antropolgica relativa a la habilidad adultos de ciertas culturas africanas de adoptar la persdel oyente. Leacock (1972) seal la incoherencia enusiones experimentales relatiyas alos bajos nivele,s de

entre negros norteamericanos de la clase .obrera .uso frecuente de metforas, ampliamente reconocidas e .indicaciones de altos niveles de abstraccin. Al mismo

, Heath (1982 a) demostr en Estados Unidos una co.~,wvlldencia extrema entre actividades de comprensin .e

de historias practicadas .en casa por las madres enses de clase media y por las profesoras de la es-,

,de tal forma que la escue!a estadunidense.aprovecha.al las habilidades de interpretacin ya desarrolladas en de clase media, creando situaciones escol~res seme

a las situaciones de la vida de esas criaturas. Por. otra las habilidades verbales desaHoIladas en otros "ambien-,

" dentro del mismo pas o no son aprovechadas escuela, o slo sern incluidas entre los objetivos de la en pocas posterioreS (Heath, 1982 b). a no se han realizado en Brasil demostraciones sis-.

natcas de esta discrepancia entre el desarrollo de los nios os de bajos ingresos en situadones naturaleS Yen si

33 32 T. CARRAHER / D. CARRAHER / A.

tal de la cuestin que describe inicialmente uno de los on t " .....l culturales, en que la solucin de problemas matemticos curre naturalmente en la clase pobre para, a continuacin, tudiar ms sistemticamente el desempefio en matemticas nios pobres en situaciones naturales y en situaciones f, les, de tipo escolar.

EL CONTEXTO CULTURAL: UNO DE LOS USOS

DE LAS MATEMTICAS

No es infrecuente entre los miembros de la cIase pobre. tengan un "negocio propio". Cuando el padre tiene un to enila feria, por ejemplo, algunos de los hijos pueden paarlo, ,especialmente a partir de cierta edad. Mientras menores parecen apenas "pasar el tiempo" en esta forma, mayores, aproximadamente a partir de los diez aos en las transacciones, llegando hasta a asumir la res dad' de la venta de parte de las frutas y verduras. Entre preadolescentesy adolescentes,' en general a partir de .11aos, la ocupacin puede Volverse independiente, y stos' san a vender cocos, palomitas de maz,elotes y cacahuates puntos fijos o como ambulantes.

En estos casos, los nifios ylos adolescentes resuelven'

merables problemas de matem'ticas, por lo general sin

/ zar papel y'lpiz. Los problemas implican multiplicaciones coco cuesta x; cuatro cocos cuestan 4x), suma (el precio de cuatro cocos ms el precio de 12 limones) y resta (500 cruzei-' ros menos y, para encontrar el cambio). La divisin parece presentarse con menos frecuencia, pero aparece en algunos con., textos como el caso en que si el kilo deejotes cuesta x, el medi kilo cuesta xl2, o si el kilo de cebolla cuesta x, 200 gramos 'cuestan x/5. La divisin tambin aparece en situaciones ms complejas, como en el clculo del precio de un kilo y medio; donde normalmente se suma el precio de medio kilo al de un kilo, o en el clculo de un kilo y novecientos gramos, donde

VIDA DIEZ, EN LA ESCUELA CERO

el valor de cien gramos del yalor de dos kilos. Es intenotar el uso de valores cuando la divisin no es exac

r . .el precio vara de acuerdo con la cantidad vendida:, el de 3 aguac~tes es 25 cruzeiros, pero un aguacate cuesta

~nocasiones aparecen errores de clculo,predolos aciertos entre los nios responsables de estas tran'

comc:rrciales. Entre los modos utilizados para obtesolucin, ni losnifios observados en la feria ni.sus padres

:u,,-"van lpiz y papel para los clculos, aunque en los merde hortalizas y productos de ,granja el clculo escrito ser usado con frecuencia; En ocasiones notamosqe

feria utilizaban una lista donde constaban las multipli,.;, (1 huevo, 11 cruzeiros;2. huevos, 22; etc.), aunque

{procedimiento no parece ser frecuente y no se present en de los nios observados.

.~lpresente estudio respondieron 63 preguntas de matemen un ExamenInformal y 99 en un Examen.Formalcinco y adolescentes de entre 9 y 15 aos, cuyo nivel deesco

,variaba enla 3a. y la 8a. series. Debido a la relacin el Examen Informal yelFormal, el Examen Informal

realizado en primer lugar, en tanto que el ExaFormal se realizaba en otra fecfia. Ambos exmenes .eran QJ,~zados por el mismo examinador para cada .nifio, aunque

examinadores haban trabajado con diferentes ni", En ambas ocasiones, el examinador deba procurar manuna buena relacin con el sujeto. En el Examen Formal,

examinador les ofreca lpiz y papel y le peda al sujeto que iese las cuentitas en el papel.


34 35 T. CARRAHER / D. CARRAHER / A. SCHLIEMANN

1. El examen informal

En.e! Examen Info.rmal, lo.s participantes eran evaluado.s en el co.ntexto. en que naturalmente resuelven pro.blemas de matemticas, o. sea en la feria, en el puesto. de co.co.s, junto. al ca. rrito.. de las palo.mitas, etc. Ekentrevistado.r haca preguntas sucesivas so.bretransaccio.nes realizadas de hecho. o. enapariencia" o.bteniendo. respuestas verbales a lo.s pro.blemas. Algunasde estas entrevistas fuero.n grabadas,entnto. que en o.tras un o.bservado.r anotaba lo.s detalles de las transaccio.nes; Despus de esto., algunas transaccio.nes fueron realizadas 'sin ningn interro.gato.rio..so.bre e! pro.ceso. de o.btencin de lo.s re.; sultado.s, en tanto. que en o.tras el examinado.r trataba de obt.ener respuestas verbales que describieran el pro.ceso. utilizado. po.r el sujeto.; teniendo. co.mo. referencia indicacio.nes meto.do.lgicas descritas en Carraher y Schliemann (1982) ..El mto.do. de estudio. en este Examen Info.rmal se aproxima al mto.do. clnico.-piagetiano., dado. que el entrevistado.r interviene directamente en el transcurso. de lo.s aco.ntecimiento.s, haciendo. preguntas sucesivas a fin de esclarecer lo.s pro.ceso.s poi lo.s cuales lo.s sujeto.s .o.btienen sus respuestas. Po.r o.tra parte, el mtodo. tambin se, apro.xima al de la o.bservacin partidpante;puesto. que las preguntas se fo.rmulan en el transcurso. de una interaccin entre el vendedo.r y el cliente, en el que ste

~fiiene el derecho.' , de hacer ciertas preguntas como." cunto cuestan n co.co.s?~'o. "cunto. debo ento.tal?" o. "cunto. me dar de cambio.?". Caracterizamo.s, pues, el pro.cedimien~ to. usado. en el Examen Info.rmal co.mo. una inno.vacin l1eto.~ dolgica resultante de la "fertilizacin cruzada" entre elm., to.do. piagetiano. y el de lao.bservcin participante~El participante no. desempea slo. el papel de "cliente" que le cabra como. o.bservado.r participante, sino que se co.nvierte en

. un cliente-examinado.r, que no. slo. recibe el cambio. sino. que pregunta" cunto. Vo.y a recibir de cambio.?" y verifica e! proceso. de o.btencin del resultado..

N LA VIDA DIEZ, EN LA ESCUELA CERO

,El examen formal e! fin de preparar el Examen Fo.rmal, lo.sproblemas re

po.r lo.s sujeto.s durante el Examen Info.rmal eran re'esc:mado.s matemticamente, utilizndo.se en 'algunas o.casio.

ms de una representacin para un nico. pro.blema. v,eamo.S un ejemplo.. M, un vendedo.r de Co.Co.S de 12 ao.s, de

~,grado., reso.lvi el siguiente pro.blema en e! Examen In-

BUente: Cunto. cuesta un co.co.? ! ,Treinta y cinco..

te: Quiero. diez co.CQS. Cunto. es po.rlo.s diez co.co.s?: (Pausa)Tres so.n 105, ms tres'so.n 210. (Pausa.) Faltan

Es, .. (pausa) 315. .. parece que es 350. pro.blema puede ser representado. matemticamente en

de unafo.rma. 35 x 10 co.nstituye una representacin acepde la pregunta pro.puesta po.r el cliente-examinado.r, en que 105 + 105 + 105 + 35 co.nstituye probablemen

representacin adecuada de la respuesta, puesto. que 10 fue separado. po.r el sujeto. en (3 x 35) + (3 x 35)

(3 x 35) + 35. Entre lo.s subpro.blemas resuelto.s co.n'ecta~ po.r M en la situacin descrita ms arriba, tenemo.s po.r

, lo.s siguientes: 35 x 10;

35 x 3 (que puede ser co.no.cido. de memo.ria); 105 + 105;

d] 210 + 105;

e] 315 + 35;

:1] 3 + 3 + 4;

3+3+3+1. representarno.s matemticamente lo.s problemas resuel

po.r e! sujeto. en e! Examen Info.rmal estamo.s, de hecho., una representacin fo.rmal de la co.mpetencia del su-

De hecho., M demo.str ser co.mpetente al enco.ntrar el re~,""l

36 37 T. CARRAHER / D. CARRAHER / A. SCH~u.""'f\!'I/~

Alresolver 35 x 10 de acuerdo con su mtodo, M resolvi varios subproblemas presentados ms arriba, desde a hasta Despus de representar matemticamente los problemas

sueltos por los sujetos en el Examen Informal, se seI~cciona~ ba una muestra de estos problemas para incluirla en el ..,men Formal. En l, la muestra de problemas seleccionada apareca: al>'

enforma.de operaciones aritmticas a ser resueltasien. quier contexto y a partir de su representacin en el papel, bJ en forma de problemas de tipo escolar como "Mara C()m~pr ... pltanos, cada pltano costaba ... cuntodinero.gas_ (1:;,; En ambos casos se utiliz para cada niflo los.mismos nrireroscon 10$ cuales haba operado en la situacin 'infor~ malo sea utilizando nmeros diferentes para uno u otro nio. Siguiendo: las sugerencias metodolgicas de Reed. y Lave

(1979),. se introdujeron dos ,variaciones en estas preguntas del Examen Formal:

J] en.algunos casos se le peda al sujeto en elExamen For~ mal que resolviese la inversa de la operacin realizada en el Examen Informal (500 ~ 385, por ejemplo, poda aparecer comO.385 + 115); .,..;n en ciertos problemas la situacin decimal poda v~riar del

Examen Informal al del Formal (40 crzeiros poda aparecer como 40 centavos o 35 convertirse en 3.500 en el Examen For~mal).

RESULTADOS

El anlisis del resultado del Examen Informal implic inicialmente una decisin sobre la definicin de "problema" eneste caso. Mientras que en el Examen Formal los problemas son definidos de antemano por el examinador, en el Examen InfQrmaLsehacen en el momento, y su delimitacin se hace a POsleriori. Con el propsito de no aumentar indebidamente el nmero de "problemas" resueltos en el Examen Informal, fueron delimitados sobre la base de las preguntas formuladas

V!DADIEZ, EN LA ESCUELA CERO

cliente-examinador, aunque el sujeto pudiese, al bussolucin, haber resuelto varios subproblemas nter(como en el ejemplo discutido en la descripcin de la

ouvloga). De esta forma, la estimacin del hmero de proresueltos en la situacin natural es conservadora y si

mismo Criterio utilizado en el Examen Forrrial, erielque nblemas estn delimitados anticipadamente de acuerdo las preguntas que forrnular' el examinador. .

resultados indicaron una influencia decisiva del con-:en la soluci6n de los problemas de matemticas,' como en el cuadro 1, que presenta los datos referentes al,de

peo de aada nio en cada contexto.. trminos globales, de los 63 problema:spresentados eh

Informal, 98.2OJo fueron resueltos correctamente, que en elExamen Formal apenas 36.8OJode las opey 73.7OJo de los problemas lo fueron. La frecuencia

pu...:stas correctas para cada sujeto fue convertida eh vade 1 a 10. El anlisis d,e variacin de Friedman sob~e esos

revel una diferencia significativa entre los exmenes formal, Operaciones aritmticas y Problem~s), obteninx2r 6.4 y p = 0.039.'

p~dda suponer q~e los errores en el Examen Formal ocucon mayor frecuencia en aquellas sitqaciones en que

datos numricos del problema resuelto informalmente fuemodificados, sea por el cambio de la situacin decimal sea la: inversi6n de la operacin utilizada. En cuanto al anli~ los aciertos y errores en los problemas formales en que introducidas tales modificaciones, muestra que la pron de aciertos en los mismos es mayor en cuatro nios en uno de ellos. Tales modificaciones no puederfp'r

tanto explicar la discrepancia de desempeo entre el Exa~ Formal y el Informal.

\ Observemos que el desempeo de los nios, adems de habh sido claramente superior en el Examen Inforrnal, donde las Operaciones estn inscritas en situaciones reales, en el Examen Formal fue tambin mejor en los problemas con situaciones imaginarias (parte b) que en las operaciones simples (parte a).


38 39 T. CARRAHER I D. CARRAHER I A. SCHLlEMANN

. Estos datos parecen, pues, confrontar la. nocin implcita pero tcitamente aceptada en la escuela,de que, en primer lugar debemos ensear a los nios las operaciones aritmticas aisladas de cualquier contexto, para presentar despus esas mis,. mas operaciones en el contexto de problemas.

Las. habilidades necesarias para resolver problemas, segn este modelo implcito, seran secuenciales e independientes, abarcando por lo menos los siguientes pasos:

1] interpretacin del problema; 2] det.erminacin de la operacin a.realizar;

; 3]. realizacin de la operacin .. Segn este modelo tradicional, efectuar la operacin sera

por lo tanto, ms simple que resolver un problema con una . misma operacin ya que la operacin implica slo uno de los pasos necesarios para la solucin del problema.

CUADRO 1

FRECUENCIA DE ERRORES (E) Y DE ACIERTOS (C) PARA CADA NIO

CADA UNO DE LOS EXMNES

Nio Examen Informal Examen tormal al Operaciones bl Problemas

aritmticas e E Total e E e E

M 18 o 18 2 6 8 11 o 11, p. 17 2 19 3 5 8 11 5 16 Pi MD

12 7

o o

12 7

3 1

3 9

6 10

11 4

o 8

11 12

S' 7 o 7 5 I 6 8 3 rotales. 61 2 63 14 24 38 45 16

Podemos suponer, en vista de estos resultados, que el anlisis lgico implcito en la solucin de un problema facilita la realizacin de la operacin, por inscribrsela en un sistema de significados bien comprendidos, en lugar de constituir una actividad aislada que se ejecuta en una secuencia de pasos, los cuales llevaran a la solucin.

LA VIDA DIEZ, EN LA ESCUELA CERO

resultados encuentran p.aralelo en los experimentos

Wason y Shapiro (1971), Lunzer, Harrison y Davey (1972)

-Laird, Legrenzi y Sonino Legrenzi (1972). Tales es

muestran que la solucin de un problema que implica

lgico, el cual fue estudiado por Wason (1968),

a accesible para los sujetos examinados cuando los datos

a UI1 contexto real de tareas de trabajo. Sorpren

'ntemente,. cuando el problema era presentado en forma sim

sin relacionarse con actividades reales;' a sujetos con

nivel de inteligencia (en la mayora de los casos estudian

versitarios o profesionales de nivel universitario ),rara daban aciertos en la tarea.

tratar de esclarecer la discrepancia entre el desempe.el Examen Formal y en el Examen Informal, se hizo un

minucioso de los procesos de resolucin que' haban explorados a travs del mtodo clnico. Ese anlisiscua

de los resultados sugiere que los algoritmos que se en.en la escuela para realizar operaciones aritmticas IJUe

constituir un obstculo para el razonamiento del nio, tal interferir con el significado de los propios nmeros

los cuales el nio debe operar. Por ejemplo, MD, una ni9 aos de la 4a. serie'de primaria mostr el siguiente

en el Examen 'Informal: . Cunto es de dos cocos?

Ochenta. Toma un billete de doscientos. Cunto.va.a ser

:. Ciento veinte. el Examen Formal, MD mostr el siguiente desempeo: !inador: Haga esa cuenta ahora, 200 menos 80.

MD escribe 200 -'- 80

800 Cmo lo hace?

iMD:Baja el cero aqu y aqu (muestra los ceros del resulta). Aqu da 8.


40

I~~II

T. CARRAHER I D. CARRAHER I A. SCHUEMA

La regla de "bajar ceros", propia de la mUltiplicacin, di~ fcilmente puede ser insertada en un sistema de operaciones. significativas con nmeros. Se puede observar otro ejemplo con M, 12 aos, 3a. serie de primaria. En el Examen Infor~ mal, M no tuvo ninguna dificultad en calcular el cambio de 200 cruzeiros, siendo el precio de un coco 35. En el Exameir Formal, realiz la opercin 200 - 35, obteniendo como sultado 90, y ofreciendo la siguiente explicacin:

M: 5 para llegar a cero, nada, llevo 1; 3 para llegar a 12; faltan 9. Aparentemente M, al decir llevo 1, transforma el 2 del 200

en 12.

Hay todava un tercer ejemplo para ilustrar la confusin con eI."llevouno" en otra situacin. Al resolver 35 x 3,que

lM pareca saber de memoria al vender cocos, obtuvo 125y ofreci la siguiente explicacin: "3 veces 5, 15; llevo 1. 3 ms 1, 4; 3 veces 4, 12".

Otro aspecto que se debe poner de relieve en los resultados que, como el aspecto discutido ms arriba, probablemente tie.:. ne una cierta participacin en la incongruep.cia/ en el desem" peo de los nios en. las tres condiciones, fue la discrepancia' entre el desempeo oral y el escrito. Esta discrepancia fueob';;, servada en todos los sUjetos, siendo todava ms acentuad. en dos de ellos. Por ejemplo, S, un nio de 11 aos, en la 4a. serie, resolvi correctamente 5 de las 6 operaciones aritmti-. cas del Examen Formal, si consideramos slo su desempeo ,oral (como lo hicimos en el cuadro 1). Sin embargo, felizmente .( haba dado respuestas verbales correctas para las operaciones 200 - 80 y 40 x 3, pero su desempeo escrito no podra ser considerado correcto en esos casos. ste est reproducido en la figura l.

Tambin se observ en el ejemplo de S el modo de resolver los problemas formales. En todos los problemas miraba para arriba o para un lado, y despus de algn tiempo presentaba la respuesta. Cuando se le pregunt sobre el mtodo de resoluCin utilizado, responda que 10 haCa "en la cabeza". Slo para reconstituir el problema usaba S lpiz y papel, aunque

VIDA DIEZ, EN LA ESCUELA CERO 41

orales y escritas presentadas por S a dos de las operaciones e~amen Formal

Operacin: 200 - 80 Oral.: 120

: 200 -800

200

y CONCLUSIONES

Operacin: 40 x 3 Oral : 120 Escrito : 40

x 3

12.00

1.;0~ resultados de este estudio exploratorio son de veras sorprenden tes. No era de esperarse una discrepancia tan grande entre el desempeo en el contexto informal y en el contexto "escolar". Qu podemos concluir de esta enorme discre

.,


/


Block, D. YM: Dvifa{1993), "La . matemtica expulsada de la ... . escuela'\ en Educcinl11atemtica, Mxico, vol. 5, nm. 3,1993, pp.3958


11 EDUCACIN MATEMTICA. Vol. 5 No.3. Diciembre 1993 11 GEl. !'g,39

La Matemtica expulsada

de la escuela *

Este artculo, dirigido a maestros de educacin primaria, contiene algunas reflexiones acerca de una caracterstica de las matemticas escolares en el nivel bsico: la exclusin de los conocimientos informales que tienen los alumnos.

Se argumenta que, sin embargo, la puesta en juego de conocimientos informales representa, para los alumnos, una va importante para aprender a crear procedimientos originales de solucin a probleras y, sobre todo, forma parte del proceso que les permite acceder a los conocimientos formales de las matemticas, de manera que stos tengan mayor sentido para ellos.

Las matemticas de Margarita

Margarita es una mujer alta, fornida, morena, de pelo corto, negro y ondulado, ojos oscuros, y su semblante se ve demacrado. Tiene 37 aos, es casada y ha tenido 10 hijos cuyas edades oscilan entre los 8 y los 22 aos. Ha trabajado desde muy joven en los quehaceres domsticos, lavando y planchando ajeno. Nunca fue a la escuela, no sabe leer ni escribir, y slo conoce la representacin de los nmeros del 1 al 10.'

Ella es uno de los adultos que fueron entrevistados en el Proyecto de Investigaci n "Conceptualizaciones matemticas de Adultos no Alfabetizados" l que se llev a cabo en el Departamento de Investigaciones Educativas, enel ao de 1987.

Durante la entrevista, Margarita proporcion algunos datos que se utilizaron para plantearle problemas matemticos que resolvi acertadamente, aunque en varias ocasiones coment no saber nada: "Es que yo no s nada, no puedo".

David Block y Martha Dvila

DlECINVESTAVIPN

Ponencia presentada en la "Semana de la Escuela Pblica", organiZdda por la Fundacin SNTE para la Cultura de! Maestro MelClcano. Del 1 al 7 de julio de 199\. Mxico. D. f.

! Proyecto de lnvestIq"c\n: '\Cooceptualzac\ones matemticas en adultos no alIabetiZddos", Ferreiro, E.. Fueo-Nemirovsky, M. (coordinaCin). Nemirovsky, M., Block, D., Dvila, M. (equipo de

i ~)8 DIECINVEST A VIP~l. IdbrdCil, l.

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D pj'1.40 EDUCACiN MATEMTICA. Vol. 5 No.3 Diciembre 1993 B GEl i1i

Veamos cmo se desempea Margarita frente a algunos de los problemas que se le plantean:

Entrevistador: "Cunto vale ahorita el camin?" (refirindose a lo que cobran por el trayecto en el autobs)

Margarita: "Pues ahorita estn cobrando veinte pesos/l

Entrevistador: "Si yo le dijera queme gast quinientos cuarenta pesos en camiones a lo largo de todo el mes, usted podra saber cuntas veces us el camin?/I

M.: "SI"

E.: "Cmo?"

M.: "Bueno, pues haciendo la cuenta/l

E.: "Cmo?"

M.: "Quinientos qu, me dijo?"

.: "Me gast quinientos cuarenta pesos durante el mes, en viajes de veinte pesos. Usted, a partir de esto, (podra adivinar cuntas veces me sub a un camin?

M.: (Se queda pensativa, tiene las manos sobre las piernas, suelta la risa y dice): "se subi veintisiete veces al camin".

E.: "Ahora, me puede platicar cmo le hizo"?

M.: "Bueno pues, es que si cobran veinte pesos, cien pesos tiene cinco veintes, con cien pesos se sube cinco veces, no?

\\A' .11E.. : Ja

M.: "Entonces, si se sube diez veces son doscientos, si se sube quince veces son trescientos (se re). Si se sube veinte veces son cuatrocientos pesos y si se sube veinticinco veces son quinientos pesos (se re). Y sobran otros dos veintes; son veintisiete veces" (se re divertida).

En la resolucin de este problema cabe destacar, por un lado, la claridad muy particular en Margarita para explicitar los procedimientos que sigui para llegar a los resultados de los problemas (en generaC esta claridad no se dio con todos los sujetos que se entrevistaron), y por ofr;o lado, la habilidad que demostr en el manejo de algunos elementos matemticos, de manera implcita, en los procedimientos que utiliz para resolver los problemas.

En este caso, el problema que se le plante poda resolverse con la divsin (540 20), Margarita, para resolverlo, hace lo siguiente:

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11 EDUCACiN MATEMTICA. Vol. 5 - NO.3 Diciembre 1993 11 GEl III'.;.n41 11

Reduce el problema a 100 + 20. Subyace una descomposicin del dividendo:

540 = 100 + 100 + 100 + 100 + 100 + 20 + 20

Resuelve la divisin 100 + 20, buscando cuntas veces cabe el 20 en 100:

100 = 20 + 20 + 20 + 20 + 20

Encuentra que el 20 cabe 5 veces en el 100.

Posteriormente, se puede apreciar en su explicacin el manejo de la relacin proporcional entre las veces qe se usa el autobs y el costo:

Veces Pesos

5 100 10 200 15 300 20 400 25 500

1 20 1 20

Total: 27 540

Fue necesario que Margarita llevara mentalmente una doble cuenta: por un lado, el nmero de veces que se suba al camin, y por otro, la suma de los cientos de pesos gastados.

Si se desea describir el procedimiento de Margarita con una propiedad formal de la divisin, puede destacarse que, implcitamente I aplica la propiedad distributiva de la divisin con respecto a la suma:

540 + 20 = (lOO + 100 + 100 + 100 + 100 + 20 + 20) -:- 20 = (lOO +20) + (lOO + 20) + (lOO -:- 20) + (lOO + 20) + (lOO + 20) + (20 + 20) + (20 -:- 20)

Esta misma propiedad sustenta, junto con otras propiedades, nuestro algoritmo de la divisin.

Dos concepciones de lo' que -es-nacer matemticas

Veamos cmo resuelve el siguiente problema una nia de 4o grado de primaria:

fij"Ld 2'/,,,-k.M . k~. d2.. J .w..mu. ~~ .P~. G.-.

kF~_d~/~' a~ ~ J;.d.: i> u..r.kM ~r~ ""'" d t?'

11 l'ag.42 EDUCACIN MATEMTICA. Vol. 5 No. 3 Diciembre [993 11 GEl 11

Tala no relaciona los datos de manera adecuada, sino que aplica la suma sin entender de qu se trata el problema, usa todos los datos que aparecen en el texto, sin discriminar aqullos que no le sirven para resolverlo. Utiliza las operaciones que la escuela le ha enseado pero sin echar a andar su capacidad de razonamiento. Tampoco hace usode los recursos propios que le sirven fuera de la escuela para resolver situaciones an ms difciles.

Estos ejemplos, aunque extremos, expresan de manera muy viva un hecho inquietante: nuestros alumnos no logran resolver satisfactoriamente los problemas, aunque conozcan las mecanizaciones, mientras que las personas que no fueron nunca a la escuela, que no saben escribir ni conocen los nmeros escritos, mayores que 10, han desarrollado una capaCidad sorprendente para resolver problemas aritmticos y geomtricos que tienen que ver con su vida diaria.

Frente a estosurge una primera pregunta: lo que hace Margarita para resolver problemas, son matemticas? Si por saber matemticas entendemos slo conocer el lenguaje convencional y los algoritmos cannicos (es decir, los procedimientos usuales.yara resolver las operaciones), es cierto que Margarita no sabe. Pero si, atendiendo a los objetivos sealados como prioritarios en la enseanza escolar, definimos "saber matemticas" como tener la capacidad de usar flexiblemente herramientas matemticas para resolver los problemas que se nos presentan en nuestra vida, vaya que Margarita s sabe matemticas! Segn esta misma definicin, nuestros alumnos egresados de primaria quiz no quedaran tan bien parados. .

Est en juego aqu, entonces, nuestra concepcin de qu son las matemticas: un conjunto de contenidos definidos formalmente o una capacidad, una manera de actuar, de proceder frente a diversos problemas.

Creemos que, sin desatender la necesidad de conocer las herramientas matemticas que la humanidad ha creado a lo largo de la historia para resolver problemas, es fundamental que analicemos nuestra concepcin de lo que es saber matemticas, centrando la atencin ya no slo en .los contenidos matemticos formales, sino tambin en la capaCidad de pensar matemticamente, de generar y crear procesos no cannicos para resolver problemas, justo como lo hicieron aqullos que fueron inventando las matemticas que hoy nos presentan los libros.

Lo que no se aprende sin la escuela

.Aceptando que lo queMargarita hace s es hacer matemtieas,fls sean matemlicas con \\m minscula" como seala Bishop (1988), cabe hacernos dos preguntas ms: cmo aprendi? y, si aprendi sin la escuela, entonces, para qu sirve la escuela?

Margarita aprendi a partir de enfrentarse a numerosos problemas que tuvo que resolver a lo largo de su vida. Afortunadamente, nadie la reprob cuando ella, al hacer una compra, exiga un cambio justo usando un procedimiento no cannico. Al contrario, tuvo la satisfaccin poder saber cunto le tenan que devolver. Con respecto a la segunda pregunta: para qu sirve la escuela?, basta con

destacar la evidencia de que una persona no puede, n a lo largo de toda su


lJiI EDUCACiN MATEMTICA Ii Vol. 5 No. 3 Diciembre 1993 11 GEl 11 I',,!) 43 iI

vida, reconstruir los conocimientos que muchas personas han construido a lo largo de miles de aos. Los algoritmos que se nos ensean en la escuela, por ejemplo, son herramientas matemticas poderosas porque permiten resolver una gran variedad de problemas de una manera ms econmica, ms rpida, y permiten tambin, gracias al lenguaje con el que se expresan, comunicar a los dems con precisin los procedimientos que empleamos.

A pesar de que Margarita demostr una gran capacidad para resolver problemas, sus procedimientos tienen un lmite de eficacia. Necesita guardar demasiadas cosas en su memoria, y sta, aunque est muy desarrollada, no es ilimitada.

Por otro lado, Margarita muestra dificultades para leer y escribir cantidades. Esto implica una limitacin muy grande en nuestro medio, en el que la informacin escrita es un vehculo bsico de comunicacin.

Otro aspecto importante a tener en cuenta es que lo que Margarita sabe hacer lo ha aprendido a lo largo de mr. de 30 aos de experiencias. Los requerimientos de nuestra sociedad nos hacen esperar ,que nuestros nios lo puedan hacer en slo seis aos.

Es claro que la escuela es necesaria, pero tambin es claro que no hemos logrado que cumpla satisfactoriamente su funcin: desarrollar la capacidad de nuestros alumnos para resolver problemas utilizando los conocimientos matemticos con los que cuentan.

Algunas consecuencias de invalidar los procedimientos informales en la escuela

Por qu muchos de nuestros alumnos fracasan en la resolucin de problemas si, despus de todo, les enseamos esas poderosas herramientas desde que son muy pequeas?

Numerosas personas, hoy en da, estudian las causas de este mal social y buscan formas de resolverlo. En este artculo intentamos mostrar que una de las causas que originan este compleja problema es la concepcin misma de matemticas que hemos heredado y que cOlJ1partimos socialmente.

Antes de continuar, queremos hacer explcito que el hechode que los estudios epistemolgicos, psicolgicos y didcticos en matemticas nos permitan, hoy en da, cuestionar una concepcin matE:~mtias en la escuela primaria, no significa que consideremos que tener ese concepto es un "error" de algunos. Es, en todo caso, una construccin colectiva que, como toda concepcin social, ha ido cambiando y seguir cambiando. Sin duda, el estudio de la formacin histrica de las concepciones de matemtico' es una importante tarea pendiente. 2

2 En el artculo "Constructivi;mo y educacin malemtica", de Luis Moreno y Gullermina Woldeqg, publicado en el Vol. 4., No. 2, de Educacin Matemticd, el lector podrd encontrar interesantes reflexiones acerca de algunas concepciones predominantes en la historia de cmo producen y cmo se los conocirmentos matemticos asi como la influencia de stas sobre las prcticas educativas.

_ 11


lIil EDUCACiN MATU1TlCA Vol. 5 No. 3 Diciembre 1993 El GEl ll!I Pg. 45 11

Las opiniones acerca del procedimiento empleado por Ramn fueron las SI- . guientes:

"El nino s entendi el problema pero no pudo aplicar las operaciones; yo le pongo uno porque s 10 razon". .

"Yo se 10 pongo mal porque no supo hacer las operaciones aunque si 10 pudo resolver, pero pudo haber copiado".

"Procedi como un nio de primero yes de cuarto; no hizo operaciones. "

Algunas veces, los alumnos resuelven los problemas de matemticas recurriendo a estas matemticas informales, pero muy pronto aprenden que esto es incorrecto, que debieron haber puesto "la operacin". En el mejor de los casos, los alumnos siguen utilizando estos recursos a escondidas y en el peor, los dejan de hacer y, si an no dominan otro recurso, se quedan bloqueados o eligen una operacin casi al azar.

Los mismos problemas que se escogen para plantearse en la clase suelen estar "mandados a hacer" para que se aplique una operacin especfica. Frecuentemente, la pregunta del alumno frente al problema es: con qu operacin o frmula se resolver este problema? La bsqueda de una sollJcin deja de ser una bsqueda creativa que adapta. los elementos con que ya se cuenta.

b) Por qu nuestros alumnos, en la resolucin de problemas, aplican mal los algoritmos y frmulas que ya les fueron enseados?

Esta pregunta es todava ms difcil de contestar. Esbozamos a continuacin, algunas de las razones que en nuestra opinin la explican.

El sentido de un algoritmo est dado tanto por los problemas que permite resolver, como por los procedimientos largos y no sistemticos que el algoritmo sustituye. Sin embargo, en la enseanza escolar ambas fuentes del sentido de los algoritmos tienden a estar ausentes.

Los algoritmos se suelen ensear separadamente de los problemas, e incluso antes que los problemas. Esas largas y numerosas horas que los alumnos dedican a dominar la tcnica de un algoritmo fuera de contexto producen, enel mejor de los casos,-destre-za e-n una tcnica algortmica vaca de significado: aprenden a dividir con un sofisticado procedimiento, pero no saben cundo dividir. Por otro lado, nunca se da un espacio en el que los alumnos desarrollen por s mismos procedimientos de resolucin informales, previamente a la enseanza del algoritmo, de forma que el algoritmo no es para ellos una herramienta que evita esfuerzos, ahorra tiempo, etctera.

Un algoritmo es una forma de resolver una operacin, pero la variedad de problemas que se resuelven con una operacin puede ser muy grande. Aun cuando ya se identifican algunos problemas que se resuelven con cierta operacin, reconocer que otros se resuelven tambin con ella no es inmediato. un proceso en el que, durante un se ponen en jueqo informales ha.sta que me)S a.delante se descubre

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11 EDUCACiN MATEMTICA liI Vol. 5 - No. 3 Diciembre 1993 m GEl 11 Ffl 49 fa

Una maestra de ler. grado coment ante esta peticin, que a los nios de lOna se les poda poner todava problemas porque an no tenan el concepto de nmero, y que todava no podan identificar los nmeros dell al lO, puesto que apenas se iniciaba el ao escolar.

Finalmente, por insistencia. de los coordinadores, la maestra accedi a poner a sus alumnos un problema de compras. Veamos algunos fragmentos del desarrollo de la clase:

Maestra: \\Vamos a guardar todo 10 que tenemos en la mesa (repite varias veces), los brazos cruzados". (Ayuda a varios nios a acomodar sus..sillas). "Vamos a platicar de cmo debemos hacer al comprar, fjense para que sepan comprar y no los hagan tontos". (Pregunta algo acerca de lo que necesitan saber para poder comprar)

Alumnos: "Debemos saber multiplicar y comprar" (los nios platican y hacen mucho ruido)

(. .....)

1\1.: "Quin trae dinero para comprar en el recreo?"

A.: (Algunos nios sacan su dinero, otros levantan la man_ Todos hablan)

M.: "El que quiera que yo 10 escuche necesita levantar el dedo, debemos aprender a escuchar y respetar a los nios que estn hablando"

A.: (Levantan las manos)

M.: "Ricardo, cunto dinero tienes?"

Ricardo: "Una moneda de cien y . .. " (tiene otra moneda en las manos, pero parece que desconoce su denominacin)

M.: (Se acerca, toma la moneda que Ricardo no identifica y la muestra al grupo) "Esta moneda de cunto es?, esta moneda cunto vale?"

A.: (A coro responden) "De doscientos!" \\ D . t . 't ?"M . : OSClen os y CIen cuan p es. _.__

A.: ... (A coro) "Trescientos!"

Alumna: (Una nia se acerca a la maestra y le ensena su dinero)

M.: (Veel dinero que le muestra la nia) "Vamosa ver cunto trae su compaera;

ella tiene dos monedas de a cien cunto es?

Alumnos: (A coro) "Doscientos!"

M.: "Dos monedas de a cincuenta, cunto es?

17 Digitalizado por: I.S.C. Hctor Alberto Turrubiartes Cerino [email protected]

EDUCACiN MATEMTICA. Vol. 5 - No ..3 Diciembre 1993 11 GEl 11 I"~! 51 El

Observemos que la maestra ha complejizado las preguntas. Las operaciones implicadas ahora son:

300 + 15 y 500 - (100 x 3) -:- 2

Aunque Elena no llega a contestar cuntas monedas de a cien le van a devolver, el resultado que da es correcto.

(. ...........)

Erika plantea que quiere comprar un "boing".

M.: "Cunto cuesta el boing?"

A.: (Algunos contestan) "Dan dos por quinientos pesos"

M.: "Si le dan dos boings por quinientos pesos cunto cuesta cada uno?"

Ricardo: "Doscientos cincuenta pesos"

Alumna: (Se acerca a la maestra y le muestra su dinero)

M.: (Ve el dinero de la nia y dice al grupo) "Aqu son doscientos cincuenta pesos;'si Claudia compra un boing, cunto le queda?"

A.: (A coro) "Nada!"

Alumno: (Se acerca a la maestra y le ensea su dinero)

Maestra: (Cuenta el dinero que le muestra el nio en voz alta y dice): "Tiene quinientos pesos. Qu va a comprar?" (pregunta al nio hablndole de u'sted)

Alumno: "Un boing"

M.: (Pregunta al grupo) "Le va a quedar dinero o no? Va a pagar doscientos cincuenta pesos del boing y le quedan . .." (Espera que alumnos respondan)

A.: (La mayora a coro) "Doscientos cincuenta pesos"

En esta ocasin la maestra plante otros tres problemas que implicaban hacer divisin (500 entre 2), resta (250 250 y 500 - 250). Como podemos ver, los alumnos de primer ao pudieron resolver los problemas echando mano de los conocimientos adquiridos en la vida cotidiana; demuestran conocer valor de varias monedas, leen cantidades formadas con monedas de $50, $100 y $200, conocen los costos de los productos que se venden en la escuela y a travs de clculos mentales suman, restan y divden aun cuando en la escuela no se les ha enseado a hacerlo. No es impresionante?

Sin embargo, despus de esta , la mae3Ia continu a sus alumnos los nmeros y 1, + l. :a! corno lo haciendo.


m 1';lg. 52 [DLCACIN ~1ATEMTICA 11 Vol. 5 - No. 3 Diciem bre 1993 Iill @ GEl 121

Plantear situaciones como la anterior en la escuela implica cambios profundos. Necesitamos primero reconocer que los alumnos han aprendido "cosas tl fuera de la escuela que nosotros no les hemos enseado y 1 sobre todo 1 reconocer en esas "cosas

lf saberes matemticos. Despus, necesitamos encontrar formas

de propiciar que esos saberes de los alumnos evolucionen hacia conocimientos ms formales. Esto tampoco es fciL implica una tarea ardua para los maestros y los investigadores.

Veamos ahora cmo enfrenta un grupo de alumnos de 6 grado un tpico problema de geometra: calcular el rea de un trapecio.4

El maestro entreg a los alumnos una hoja en la que vena dibujado el trapecio que se muestra a continuacin y les pidi que calcularan el rea.

Maestro: "Voy a entregarles esta ficha para que trabajemos en el tema de medi ; 11

Clono

(Trabajo individual de los alumnos)

M.: En la confrontacin pide a sus alumnos expliquen los procedimientos que utilizaron para resolver el problema planteado.

Paul: "Primero divid la figura en un cuadrado y un tringulo, as que busqu un ngulo rector as: (muestra el siguiente dibujO).

"Un programa experimental de materoticas en la escuela primaria". Salz, l. (resinvestigacin Ml. e, Bllbuena. H., R. (equipo di? invesligacln). rinanciildo parcialmente

NVEST t\ V-PN, Mxico, 1984.

= . _~-~---------------~--------~---- 20


--

Gil EDUCACiN MATE~lTICA m"Vol. 5~- No. 3 Diciembre 1993 1m GEl ljjj ,".1;:53 [';l -

Como era un cuadrado, hice cuatro por cuatro igual a diecisis: luego, para sacar el rea del tringulo vi que meda dos de base y cuatro de altura, y tena que ser base por altura sobre dos, o sea dos por cuatro entre dos igual a cuatro, luego sum las dos reas: diecisis ms cuatro, igual a veinte centmetros cuadrados".

M.: "Ah, en ese procedimiento, hubo una frmula para calcular el de toda la figura? Quiero decir que primero us base por altura para calcular la del cuadrado, y base por altura sobre dos para la del tringulo. Pero, y para toda la figura?"

Pablo: "No, mira yo tengo otro procedimiento"

Oswaldo: "Y yo tambin"

M.: HA ver Oswaldo"

Oswaldo: "Yo hice otro tringulo, as (muestra lo siguiente):

r- ~ 1Wb ~Jf X1--1 O ~ f lY ~ -

"~ 6 ~ d.Dc~l..~ 10

y luego hice seis por cuatro igual a veinticuatro, pero le quit el pedazo imaginario que eran dos por cuatro Igual a ocho, entre dos, igual a cuatro. Luego hice veinticuatro menos cuatro, igual a veinte centmetros cuadrados"

M.:. "Bueno, es otro procedimie~to" _,_~

Pablo: "Yo tengo otro, ve (muestra lo siguiente)":

5

>(t-{

21


1m l""!l54 EDUCACiN MATENTICA Vol. 5 - rio. 3 Diciembre [993 GEl.

"As ya nos queda un rectngulo y hacemos base por altura, o sea cinco por cuatro igual a veinte centmetros cuadrados"

M.: "Bueno, es otro. Alguien tiene otro ms?"

Valentina: "Yo me fij que haba un cuadrado de cuatro centmetros; lo divid a la mitad en dos rectngulos de cuatro por dos, y luego hice (muestra cuatro tringulos que obtuvo de los dos rectngulos d~ la siguiente forma):

l'.....

1...\- 2Y0 b \l LIxy O y

-- 12'-1 i,,- '1

c,,,.......,.R:20 "Entonces hice base por altura menos un sexto de base por altura"

Qu hay detrs de esta creatividad. de esta capacidad de buscar soluciones a un problema?

Que los alumnos an no disponen de una frmula para sacar el rea del trapecio.

Que saben que su maestro no espera de ellos que apliquen una frmula especfica. Saben que apreciar las distintas maneras en que logran resolver el problema.

Estos alumnos pertenecen a un grupo experimental que, durante los cinco afio s que llevan en la escuela, se han habituado a enfrentar problemas sin enseanza previa y a perfeccionar poco a'poco sus propios procesos de solucin. Se han tardado ms que otros nios en conocer el lenguaje formal de las matemticas, as como los algoritmos y las frmulas, pero han desarrollado una B:ctitud, una disposicin creativa y debsqueda frente a problemas.

Como ltimo ejemplo, mostraremos un fragmento de una clase de fraccioness, en un grupo de alumnos de primer ao. Lo que quisiramos destacar esta vez, es otro aspecto de las matemticas tradicionalmente desterradas de la escuela. Se dice que esta disciplina plantea verdades que no admiten discusin. O alguien pensara que puede discutirse si 1/2 es igual a 2/4?

D\!i!a. M. (1991). "Situaciones de reparto: una introduccin" las fracciones". Tesis de Liccncc1turtl Uni versidad Pedagqica NacionaL Mxico.


EDUCACIN MATEMTICA. Vol. 5 - No . .3 Diciembre 199.3 GEl. Pg. 55

La maestra pidi a los nios que realizaran como ellos quisieran el siguiente reparto: 1 pastel entre 2 nios. El pastel estaba representado por una hOja de papel tamao carta. En el grupo s~ generaron los siguientes tipos de reparto:

Reparto bpo i r-----_

B

Una vez que los nif'os demostraroCmo haban hecho su reparto I se pegaron en el pizarrn los pedazos que les tocaron a cada uno de ios nios con los dos tipos de reparto que se haban generado: .

Maestra: "Les toc igual a los dos equipos? A Ral ya Virginia les toc6.igualito . de paste]?"

Observador: La mayora de los nios gritan que le toc ms a Ral.

Antonio: "No, no, no tienen lo mismo"

M.: "A ver Antonio. Por qu no les toc igual?"

Antonio: "Porque Ral tiene dos (pedazos) y Virginia uno (un pedazo)1f

Erika: "Les toc lo mismo, s610 que lo cortaron a la mitad y salieron dos pedazos"

Nios: (Algunos gritan) "Les toc lo mismo" (otros gritan) liNo, tiene ms el que tiene dos pedazos" "Tiene menos Virginia"

M.: (Pregunta a Erika): "Cmo podemos saber si les toc :0 mismo?"


EDUCACiN MATEMTICA. Vol. 5 No. 3 Diciembre 1993. GEl. pag.S' .

Erika: "Porque tenan la hOja y luego la partieron, y tienen ms chiquitos, pero es lo mismo"

Observador: El grupo se queda un momento en silencio.

M.: "Si Ral se come estos dos pedazos (2/4) y Virginia ste (1/2), se comen . ?" .1o m1smo.

N.: (Algunos) "S, se comen lo mismo" (otros gritan): "No, Ral va a comer ms pastel" "S porque tiene dos pedazos"

M.: (Pregunta a los nios que dicen que s se comen lo mismo): "Seguros que se comen lo mismo?"

Antonio: "S" (anteriormente haba dicho que tena ms el que tena dos pedazos)

M.: "Cmo podremos estar seguros de que es lo mismo?"

Erika: "Porque estos dos (seala 2/4) es igual a ste (seala 1/2) M.: "Fjense en lo que dice Erika: dice que stos (seala 2/4), es lo mismo que

ste (seala 1/2). Estar bien?"

N.: (Algunos dicen): "El que tiene dos (pedazos) tiene ms", (otros dicen): "Es 10mismo". (Algunos de estos nios lo dicen muy convencidos y otros como dudando)

Erika: (Corre al pizarrn, toma los dos cuartos y los sobrepone sobre el medio diciendo): "Es 10 mismo nada ms que estn ms chiquitos"

Posteriormente I se le entreg a cada equipo lo que le haba tocado a cada uno de los nios, para que buscaran la forma de demostrar a sus compaeros sus hiptesis. Erika fue la nica en esta sesin que a travs del material, demostr la equivalencia de los repartos, recortando y superponiendo los pedazos. Los dems no se convencieron con esta demostracin; estaban convencidos que dos pedazos eran ms que uno, sin tomar en cuenta el tamao y la forma de los mismos. .

La discusin, el debate, la formulacin de hiptesis y la necesidad de probar o refutar, estn fuera de las prcticas matemticas escolares .

. - ~---.

Si la matemtca es una coleccin de relaciones formales y establ~cidas, no hay lugar a discutir; cuando mucho, slo a preguntar o a equivocarse. Pero , si matemticas son tambin las ideas y producciones de los alumnos, generadas a raz de un problema, entonces puede haber lugar al debate y a la demostracin. En ese debate, yen los intentos de probar y refutar, los alumnos aprenden a explicitar sus ideas, socializan sus hallazgos y se forman, poco a poco, en el arte de demostrar.

En ejemplo anterior, cli'.ive estuvo en plantear un problema a los nios adecuado a su nivel, .10 que implic, por supuesto, no plantearlo en trminos simblicos y, como en los otros casos, en hacer sentir a los nios que lo que importa es que hagan y digan lo que ellos creen que deben hacer y decir.


Pg. 58 EDUCACiN MATEMATICA Vol. 5 No. 3 Diciembre 1993 GEl.

Consideramos que una de las causas importantes de las dificultades que numerosos alumnos padecen en nuestras clases de matemticas, est en nuestra concepcin misma de lo que son las matemticas y de cmo se aprenden. Nuestra visin de las matemticas, como lenguaje formal y reglas sintcticas, ha expulsado de la escuela y de lo que aceptamos como saber legtimo, a la matemtica .informal. Junto conella, han salido de la escuela los procesos que en ella cristalizan: la capacidad de pensar matemticamente, de buscar soluciones a los problemas, y de inventar procedimientos de solucin.

Tal expulsin se ha revertido contra nosotros. Ahora empezamos a comprender que esa matemtica de las personas, de los alumnos, tambin es una base a partir de la cual puede accederse a la matemtica ms formal, y constituye una parte importante del sentido que tendrn, para los alumnos, los algoritmos que les enseamos.

Bibliogrqfa

Algunos trabajos de investigacin que, desde distintas perspectivas, estudian up. acercamiento a la enseanza de las matemticas a partir de la problematizacin son:

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Luis A. Santal, Grecia Glvez,"Roland Chamay,

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.. Didctica

de -matemticas

Aportes y reflexiones

/

~II~ ..... Paids Educador

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50 DIDACTICA DE MATI;MATICAS

so natural de los procesos intelectuales subyacentes a estos comportamientos. Este fenmeno ha sido descrito con el trmino "obsolescencia". Ultimamente se ha probado el recurrir a una microcompu tadora para presentar una situacin didctica a los alumnos, con el propsito de facilitar la reproductibilidad de la situacin.

Un comentario que nos parece conveniente hacer se refiere a la difusin de los resultados de la Didctica de las Matemticas entre los maestros. Puesto que el estudio de las situaciones didc;. ticas tiene por finalidad conocer y controlar los fenmenos relativos a la enseanza de las matemticas es la comunicacin de sus resultados lo que permitir al maestro de base una mayor comprensin de su prctica laboral y un incremento de su control. Sin embargo, es un hecho que la difusin pasa tambin por el intento de repetir las situaciones didcticas que han sido construidas con fines experimentales. Cabe aqu aludir a la distincin entre la experimen tacin de laboratorio, en fisica, y la innovacin de los

:"procesos productivos, en la industria.'Nadie osara criticar, en la ~actualidad, un disello experimental realizado en un laboratorio, argumentando que eso no se puede lleYar a la prctica en la industria. ~ En cambio, es frecuente pensar que todo lo que se hace en un saln de clases con carcter experimental debe poder repetirse en un "aula cualquiera".

Nuestro punto de vista al respecto es impulsar la rplica de las situaciones "broussonianas" en condiciones lo ms controladas posibles y utilizarlas como modelo para fomentar la reflexin de los maestros sobre las condiciones que influyen en el aprendizaje de los alumnos. Evidentemente, estas situaciones coexistirn, durante un largo tiempo con otras, organizadas de una manera tradicional, que posibilitarn el cumplimiento de programas y normas instituidas oficialmente en el sistema educativo, independientemente de los juicios sobre su eficacia que podamos emitir, desde una perspectiva tcnica.

2, Hace un par de siglos, no obstante. los trabajos de Newton sobre la descomposicin de la luz fueron criticados por su elevado costo, ya que requeran de espacios P1Uy amplios. Se afirm que Newton hada "fisica para ricosM

CAPruLO 111 APRENDER (POR MEDIO DE)

LA RESOLUCION DE PROBLEMAS*

Roland Charnay

PaTa un esPritu cientfico teda conocimiento es una respuesta a una pregunto.. Si no ha habido pregunto. no puetk haber conocimiento dent(ftco. Nada viene solo, nada es dado. Todo es construido.

BACHElARD, Lo.!tmnacin tkl espritu dent(ftco

LECCIONES DE LA HISTORIA?

La historia de la matemtica, en la complejidad de su evolucin y de sus revoluciones, ilustra bien esta cita de Bachelard. Las matemticas se han o uido como res uesta a re unt ,ue

an SI o tradud ase!!., ?!!:~;}~,mJo..s".e~?,1lI~m..:s. Estas preguntas fian' vartaCfO'eSus "ongenes y en sus contextos: problemas de orden domstico (divisin de tierras, clculo de crditos... ); problemas planteados en estrecha vinculacin con otras ciencias (astronoma, fisica ... ); especulaciones en apariencia "gratuitas" sobre "objetos" pertenecientes a las matemticas mismas, necesidad de organizar elementos ya existentes, de estructurarlos, por ejemplo, por las exigencias de la exposicin (enseanza... ), etctera.

De ms est decir que la actividad de resolucin de problemas ha estado en el corazn mismo de la elaboracin de la ciencia

l. En Grand N, revista de matemtica, ciencias y tecnologa para los maestros de la escuela primaria y pre-primaria, nR 42, enero 1988, Documento CRDP, Grenoble, Francia. Traduccin del francs de Santiago Ruiz en colaboracin con Gema Fioriti y Mara Elena Ruiz, y publicado con autorizacin del CRDP (Centre Regional de Documentation Pdagogique). Digitalizado por: I.S.C. Hctor Alberto Turrubiartes Cerino

[email protected]

52 53 DlDACTlCA DE MATEMATlCAS

matematlca. "Hacer matemtica es resolver problemasl", no temen afirmar algunos.

Pero esta elaboracin no se realiza sin dificultad. Los problemas a menudo ofrecen resistencia; las soluciones son oosi siempre parciales, aun si destellos geniales provocan avances espectaculares... que a veces no son reconocidos desde el principio. "En el uso frecuen te de textos originales y tambin en el de obras generales -suma de saberes histricamente acumulados en este dominio-hemos descubierto un tejido complejo y difuso hecho de conjeturas, de dudas, de gaffe, de,modelos concurrentes, de intuiciones fulgurantes y tambin de momentos de axiomatizacin y sntesis", escriben A. Dahan-Da1medico y J. Peiffer en el prefacio de su libro.

Pueden estas consideraciones (muy esquemticas) sobre el origen del conocimiento matemtico y sobre las condiciones de su elaboracin encontrar eco en una reflexin sobre la cuestin del aprendizaje matemtico en el contexto escolar? La respuesta debe

, ser prudente y cuidadosa: las herram,ientas o nociones elaboradas ::;; en una poca determinada 10 han sido, en efecto, en un contexto , cultural, socioeconmico..., que no es aquel en el que viven nues

tros alumnos. Resta decir que sQ!!l()~problemas que les han dado orig~n (y los que ha planteado a continuacin) los que han dado sentido ,a las matemticas producida~. Esta es, tal vez, la principal leccin que tener en cuenta en la enseanza.

CONSTRUIR EL SENTIDO ...

Uno de los objetivos esenciales (y al mismo tiempo una de las dificultades principales) de la enseanza de la matemtica es precisamente que 10 que se ha enseado est cargado de significado, tenga sen tido para el alumno.

Para G. Brousseau (1983),

el sentido de un conocimiento matemtico se define: - no slo por la coleccin de situaciones donde este conocimiento

es realizado como teora matemtica; no slo por la coleccin de situaciones donde el sujeto lo ha encontrado como medio de solucin,

APRENDER (POR MEDIO DE) LA RESOLUClON DE PROBLEMAS

- sino tambin por el conjunto de concepciones que rechaza, de errores que evita, de economas'que procura, de formulaciones que retoma, etc.

Agreguemos que la construccin de la significacin de un conocimiento debe ser considerada en dos niveles:

un nivel "externo": cul es el campo de utilizacin de este conocimiento y cules son los lmites de este campo?

un nivel "interno": cmo y por qu funciona tal herramienta? (por ejemplo, cmo funciona un algoritmo y por qu conduce al resultado buscado?).

La cuestin esencial de la enseanza de la matemtica es entonces: i cmo hacer para que los conocimientos enseados tengan sentido para el alumno? - -"tii.'llIl1no debe ser capaz no slo de repetir o rehacer, sino, tambin 4eresignificaren situaciones nuevas, de adaptar, de transferir sus conocimientos para resolver nuevos problemas.

Yes, en principio, haciendo aparecer las nru;;ionesmatemticas jetivos 'generales de la enseanza y sobre aquellos especficos de la matemti- .


54 55 DIDACTlCA DE MATEMATlCAS

ca, su Pttnto de vista sobre los alumnos (sus posibilidades, sus expectativas), la imagen que el docente se hace de las demandas

56 57 DIDACTlCA DE MA"I;EMATlCAS

rentes fases (investigacin, formulacin. validacin, institucionalizacin) .

-Organiza la comunicacin de la clase, propone en el momento adecuado los elementos convencionales del saber (notaciones, terminologa).

-El alumno ensaya, busca, propone soluciones, las confronta con las de sus compaeros, las defiende o las discute.

-El saber es considerado con su lgica propia.

Notemos que ningn docente utiliza exclusivamente uno de los modelos; que IJ.Lacto pedaggico en toda su complejidad utiliz.a elementos de cada u~o.!!:.~.!2.s_17/.pdelos... , pero que, a P..esa.r.."~tl!4o, cada uno hace una eleccin, consciente o no y de manera privilegiada, de uno de ellos.:

.Agreguemos que el estudio de estos modelos provee una buena herramienta de anlisis de las situaciones didcticas y de reflexin para los docentes en formacin.

. Tres

58 59 DlDACTICA DE r.lA~EMATICAS

3) El problema como recurso de aprendizaje (modelo llamado "apropiativo")

situacin-problema (el alumno busca accin { un procedimiento de resolucin)

formulacin for!'Uulacin-confrontacin de los proLa resolucin {validacin cedimientos, puesta a pruebade problemas

como jumte, lu

nueva situacin con diferentes obstcu

gar y criterio de los: nuevos procedimientos, etctera. la elaboracin

del saber

nueva herramienta-institucionalizacin e~erci:acin. .{

'slfitesIS, lenguaje convencional problemas: evaluacin para el maestro, resgnificacin para el alumno

-es principalmente a travs de la resolucin de una serie de , problemas elegidos por el docente Como el alumno construye su i:j saber, en interaccin con los otros alumnos. , -la resolucin de problemas (y l1o de simples ejercicios) inter

viene as desde el comienzo del aprendizaje. I

OPCIONES A FAVOR DE lJNA ELECCIN

Estas opciones se apoyan en resultados de investigacin y dependen, por una parte, de elecciones ideolgicas. Ellas se basan en la pregunta "Cmo aprenden los alumnos?".

1) Los conocimientos no se aPilan, no se acumulan, sino que pasan de estados de equilibrio a estados de desequilibrio, en el transcurso de los cuales los conocimientos anteriores son cuestionados. Una nueva fase de equilibrio corresponde entonces a una fase de reorganizacin de los conocimientos, donde los nuevos saberes son integrados al saber antiguo, a veces modificado (cf. Piaget).

As, un nuevo saber puede cuestionar las concepciones del alumno originadas por un saber anterior: por ejemplo, el estudio de los decimales debera conducir al alumno a cuestionar la idea

APRENDER (POR MEDlO DE) LA RESOLucioN DE PROBLEMAS

de que la multiplicacin "agranda" siempre (idea que l ha podido elaborar estudiando los naturales).

Del mismo modo, un saber adquirido p~ede hacerse fracasar fcilmente aun ante mn'imas modificaciones de las variables de la situacin: as, G. Vergnaud (1981) ha mostrado que la "nocin de adicin" o las estructuras aditivas no son totalmente dominadas hasta muy tarde...

2) El rol de la accin en el aprendizaje Piaget tambin ha subraya.do el rol de "la accin" en la cons

truccin de conceptOs. Por supuesto. se trata de la actividad propia del alumno que no se ejerce forzosamente en la manipulacin de objetos materiales, sino de una accin con una finalidad, problematizada, que supone una dialctica pensamiento-accin muy diferente de una simple mnipulacin guiada, tendiente a menudo a una tarea de c")nstatacin por parte del alumno... Hay que subrayar aqu el rol de la anticipacin: laactividad-matemtica consiste a menudo en la elaboracin de una estrategia. de un procedimiento que permite anticipar el resultado de un accin no realizada todava o no actual sobre la cual se dispone de ciertas informaciones.

3) Slo hay aprendizaje cuando el alumno percibe un problema para resolver...

.. es decir cuando reconoce el nuevo conocimiento como medio de respuesta a una pregunta. Aqu tambin podemos recurrir a Piaget. para quien el conocimiento no es ni simplemente emprico (constataciones sobre el medio) ni preelaborado (estructuras innatas), sino el resultado de una interaccin sujeto-medio (cf. arnoa punto 2). lo qu~ da sentido a los conceptos o teoras son los problemas que ellos o ellas permiten resolver.

As, es la resistencia de la situacin la que obliga al sujeto a acomodarse, a modificar o percibir Jos lmites de sus conocimientos anteriores y a elaborar nuevas herramientas (idea de conflicto cognitivo). Habr que tener esto en cuenta para la eleccin de las situaciones.

En la misma perspectiva, se tiende a preferir la motivacin. propia de la actividad propuesta (dificultad que se desea salvar, franquear) a la motivacin externa (necesidades de la vida corriente,


60 61 DIDACTlCA DE MATEMATlCAS

observaciones) cuyo inters, sin embargo, no se debe descartar: el problema es entonces percibido como un desafio intelectual.

4) Las producciones del alumno son una informacin sobre su "estado de saber"

En particular, ciertas producciones errneas (sobre todo si ellas persisten) no corresponden a una ausencia de saber sino, ms bien, a una manera de conocer (que a veces ha servido en otros contextos) contra la cual el alumno deber construir el nuevo conocimiento. El alumno no tiene jams la cabeza vaca: no puede ser considerado como una pgina en blanco sobre' la cual ser suficiente imprimir conocimientos correctos y bien enunciados.

5) Los conceptos matemticos no estn aislados Hay que hablar ms bien de campos de conceptos entrelazados

entre ellos y que se consolidan mutuamente: de ah la idea de pro, poner a los alumnos campos de problemas que permitan la cons~ truccin de estas redes de conceptos que conviene elucidar previa, mente (tarea que pasa a ser fundamentaL.).

6) La interaccin social es un elemqto importante en el aprendizaje Se trata tanto de las relaciones rr\.aestro-alumnos como de las

relaciones alumn os-alumnos, puestas ~en marcha en las actividades de formulacin (decir, describir, expresar), de prueba (convencer, cuestionar) ode cooperacin (ayuda, trabajo cooperativo): idea de conflicto sociocognitivo, sobre todo entre pares.

EN EL TRINGULO DOCENTE-ALUMNOS-PROBLEMA

Trataremos de precisar las caractersticas de estas relaciones en el cuadro de un aprendizaje que se apoya en la resolucin de problemas.

Relacin entre la situacin-problema y los alumnos:

-La aCLividad debe proponer un verdadero problema por resolver para d alumno: debe ser comprendido por todos los alumnos

APRENDER (POR MEDIO DE) lA RESOLUCION DE PROBLEMAS

(es decir que stos puedan prever lo que puede ser una respuesta al problema).

-Debe permitir al alumno utilizar los conocimientos anteriores ... , no quedar desarmado frente a ella. .

-Pero, sin embargo, debe ofrecer una resistencia suficiente para llevar al alumno a hacer evolucionar los conocimientos anteriores, a cuestionarlos, a daborar nuevos (problema abierto a la investigacin del alumno, sentimiento de desafio intelectual). -'Finalmente, es deseable que la sancin (la validacin) no ven

ga del maestro, sino de la situacin misma. "

Relacin docente-alumno

Qu percepcin tiene el alumno de las expectativas del maestro? Las relaciones pedaggicas deben conducir a los alumnos a percibir que les es ms conveniente establecer ellos mismos la validez de lo que afirman que solicitar pruebas a los otros.

-Una distincin neta debe ser establecida entre los aportes del docente y las pruebas que los alumnos aPortan.

Relacin maestro-situacin

-Le corresponde al maestro ubicar la situacin propuesta en el cuadro del aprendizaje apuntado, distinguir el objetivo inmtdiato de los objetivos ms lejanos, elegir ciertos parmetros de la situacin (idea de '\rariables didcticas" de la situacin). -El conocimiento considerado debe ser el ms adaptado para resol

ver el problema propuesto (desde el' plInto de vista de los alumnos).

-Le corresponde tambin observar las incomprensiones, los errores significativos, analizarlos y tenerlos en cuenta para la elaboracin de nuevas situaciones.

-Le corresponde, en fin, provocar o hacer la sntesis.


62 63 DlDACfICA DE MAri:MATICAS

QU PROBLEMAS ELEGIR? QU PUE5TA E:-': MARCHA PEDAGGICA?

Una precisin ante todo: el trmino "problema"utilizado aqu no se reduce a la situacin propuesta (enunciado-pregunta), Se define, ms bien, como una terna: situacin-alumno-entorno, Slo hay problema si el alumno percibe una dificultad: una determinada situacin que "hace problema" para un determinado alumno puede ser inmediatamente resuelta.por otro (y entonces no ser percibida por este ltimo como un problema). Hay, entonces, una idea de obstculo a superar. Por fin, el entorno ~s un elemento del problema, en particular las condiciones didcticas de la resolucin (organizacin de la clase, intercambios, expectativas explcitas o implcitas del docente).

Sin duda conviene diferenciar los objetivos de la actividad de resf>lucin de problemas:

-Objetivos de orden "metodolgico"; en una palabra. "apren~ der a resolver problemas, a investigarlo. El objetivo est, de alguna

manera, en la actividad misma (cf. prctica del "problema abierto" descrito por el lREM de Lyon);

-Objetivos de orden "cognitivo": se apunta a un conocimiento (nocin, algoritmo) a travs de l actividad de resolucin de problemas. Se puede, entonces, desde este punto de vista. distinguir entre los problemas que se sitan en la fuente de un nuevo aprendizaje y aquellos que se utilizan como problemas de resignificacin.

Desde esta ltima ptica, se pueden considerar algunas cuestiones que se le plantean al maestro respecto de un conocimiento dado:

-Eleccin de ensear una determinada concepcin del conocimiento considerado (problema de transposicin didctica): cules son las concepciones tomadas en cuenta (estado actual de este conocimiento, de su enseanza, estados anteriores, evolucin histrica, diferen tes aspectos): cuestiones de epistemologa; cules son las concepciones posibles con los alumnos de un determinado

enseanza en relacin con los niveles precedentes y

APRENDER (POR MEDIO DE) LA RESOLUCION DE PROBLEMAS

siguientes?, de qu tipo de saber se trata (formal, descriptivo u operativo, funcional)?

-Eleccin de la situacin o ms bien de la serie de situaciones a proponer a' los alumnos. La idea de obstculo es aqu importante: sin los conocimientos. anteriores adecuados para resolver el problema no hay inters por movilizar una nueva herramienta. La eleccin es dificil: es necesario no desmovilizar al alumno con una dificultad demasiado grande ni dar la impresin de Mderribar puertas abiertas con una excavadora",

-Eleccin de una puesta en marcha pedaggica, No hay soluciones tipo, pero se puede anticipar con la mayor parte de los didactas actuales una estrategia de referencia que comprenda varias etapas: investigar individualmente y/o en grupos, formular oralmente o por escrito, validar, institucic;malizar (identificacin del saber, convenciones para el lenguaje, las notaciones), evaluar, proceso que puede extenderse en varias sesiones e incluso utilizar varias situaciones problemas.

BIBuOCRAFfA

Audigier, M. N. Y Colomb J., "Enquete sur l'enseignement des mathmatiques a l'cole elementaire", Pars, INRP, 1979.

Brousseau, O.: "Les obstades epistmologiques et les problemes d'enseignement", Recherches en didactique des mathmatiques (La Pense Sauvage), 1983, n2 4.2., pg. 170.

Dahan-Dalmedico, A., y Peiffer, J,: Une histoire des mathmatiques, Pars, Le Seuil, p. 9.

Equipe math. INRP: "Comment font-ils? L'colier et le probleme de mathmatiques", Rencontres Pdagogiques, Pars, 1984, n 2 4.

ERMEL: "Apprentissages mathmatiques a l'cole elementaire", cycle moyen (SERMAP-HATIER), 3 tomos, 1982.

Irem de Lyon, "La pratique du probleme ouvert". Universidad Claude Bernard, Villeurbanne, s/f.

Vergnaud, O., "Quelques orientations theoriques et methodologiques des recherches fran~aises en didactique des mathmatiques", Recherches en didactique des mathmatiques (La Pense Sauvage), 1981, n. 2.2., pg. 220.


ISSN 0187-1412 ~" .~~vrI'cero r-tP .!I~en

conducta

~ Hacia dnde va la educacin bsica? 1m Innovaciones de la matemtica en''';: ,--",,;'.':':'

primaria I /rma Fuen/abrada 1I!l Las

bsicas en los nuevos libros de texto

Ba/buena, David Block y AliCia de'rri~temticas para quintpy sexto

....

w Prezy Gonzalo Lpez 1.1 Opiniones

sobre'los textos gratuitos: Espaol y

, 111 Calidad de los libros de texto de editorial;;;;:,\ " ' '?"'",*~'..,. ::;"privadas l1li Constructivismo y prcti';;.'PO';.h'i

escolar I Rosario Ortega, Alfonso

" .:~.,;..~:~ "'1;."'~~,,~.:.::.',Cubero (ig ,111 Congreso Nacional de In,vestig'Qih

Educativa I Informe I!I Visitar

asombroso I Denise Hellin y Gloria ,-alcan

enseanza por medio del libro de texto I Rafael

Ramrez Castaeda t!l Hacia una mejor calidad de

nuestras escuelas I Cuauhtmoc Guerrero "

Balbuena, H., D. Block y A. Carvajal (1995), "Las operaciones bsicas en los nuevos libros de texto", en Cero en conducta, Mxico, ao 1 0, nm. 40-41, mayo-agosto, pp. 15-29.


REVISTA DE LA ESCUELA Y DEL

MAESTRO AKlO III MAYO-JUNIO llE 1996

NMERO 11

LAS MATEMTICAS EN LA ESCUELA

_ Rojano,T. (1996), "Un objetivo escolar delos niveles medios: la I ecto-escritura algebraica", en Bsica. Revista dlJ.la. Escuela y del Maestro, Mxico, ao 111, mayo-junio, nm. 11, pp. 45-52

o ROJANO WALDEGG FUENLABRADA


La versin reduccionista de

las matemticas escolares, propugnada por la corriente estructuralista de los aos sesenta, conceba al lgebra simblica como la explicitacin de las propiedades estructurales de los nmeros y de las operaciones aritmti

co-algebraica". En los textos y materiales de aquella poca abundan presentaciones diversas de las leyes conmutativa y asociativa referidas, primero, a nmeros (o a un sistema numrico especfico) y, despus, a letras. Esto es una muestra de cmo se redujo el trnsito de la aritmtica al lgebra a un simple parafraseo de las reglas vlidas para nmeros, pero aplicadas a los objetos algebraicos.

Subsecretaria de Educacin Bsica y Normal y de la SEP, investigadora del Centro de Investigacin y Estudios Avanzados IPN!PNrAPM.

UN OBJETIVO ESCOLAR

DE LOS NIVELES MEDIOS

LA

LECTOESCRITURA

ALGEBRAICA

Teresa Rojano*

INTRODUCCIN

Tal concepcin del lgebra como una mera extensin

del conocimiento aritmtico niega los cambios concep

tuales en cuanto a la manera de operar y de resolver

problemas que la apropiacin del lenguaje algebraico

presupone, yda lugar en la enseanza de las matem

ticas en la escuela secundaria a lo que Chevallard llama Una

frontera olvidada (1983): la frontera entre la aritmtica y un modo algebrai

co de pensar, la cual tiende a ser ignorada desde la perspectiva de las pro

piedades estr~ct~rales c~unes a ambos (por ejemplo, la conmutatividad

y la asociatividad de la suma y la multiplicacin son propiedades igual

mente vlidas para nmeros y para letras), pues oculta sus caractersticas

diferenciales.

La relevancia del lgebra como lenguaje de las generalizaciones y como

mtodo de resolucin de problemas y ecuaciones es lo que la distingue de

la aritmtica y lo que por siglos la ha colocado en un sitio privilegiado en la

educacin. Sin embargo, a partir de la reforma de los sesenta y durante

mucho tiempo (al menos en nuestro pas), el lgebra dej de jugar este pa

pel, pues se daba mayor importancia a las destrezas manipulativas y a las

--_.~-~----~~~- ..----_....._---- ... _-------_..

B I e AMayo-Junio de /996


LAS GRAFAS UTILIZADAS

EN EL LGEBRA

SON BSICAMENTE

LAS MISMAS

QUE LAS DE

LA ARITMTICA,

ASABER, LOS NMEROS,

LOS SIGNOS

DE OPERACION,

EL SIGNO DE IGUALDAD

YLAS LETRAS.

SIN EMBARGO,

SUS SIGNIFICADOS

YEL MODO DE OPERAR

SON DISTINTOS AL PASAR

DE UN MBITO AOTRO

-

I El estudio forma parte de uno ms amplio. Adquisicin del lenguaje algebraico. cuyos resultados han sido reportados en las publicaciones que aparecen en las referen cias bibliogrficas de este artculo bajo Filloy/Rojano. 1984-1986 y Gallardo/Rojano. 1990.

En el estudio se entrevlstaron 38 alumnos de secundara. agrupados en tres"categoras": estrato bajo. medio y alto. El carcter de clnico se refiere al tipo de entrevista desarrollado. que consiste en la aplicacin del mtodo clnico revisado de la escuda piagetiana. Se pide al alumno que lea la pregunta y trate de contestarla "sin ayuda" del entrevistado; ste reformular la pregunta o pedir al alumno que explique :,u, respuestas como mtodo de indagacn de los procesos intelectuales que lo llevan a ellas.

46I \

propiedades estructurales de los objetos algebraicos. Desde entonces, pese a las retracciones que de dicha reforma se han llevado a cabo en todo el mundo, an no se aprecia una recuperacin cabal del significado del lgebra escolar como lenguaje simblico, cuya potencialidad estriba en su uso como medio de expresin de situaciones y de resolucin de problemas planteados en diferentes reas del conocimiento.

Quiz la dific~lt~d mayor consiste en que no resulta trivial para la enseanza conciliar las habilidades de modelacin con lgebra y los aspectos manipuladores que permiten resolver las ecuaciones que modelan los problemas. Una explicacin plausible de esta dificultad son los procesos de traduccin, de ida y vuelta, que median entre la expresin en lenguaje natural de una situacin de problema y la puesta en ecuacin de dicha situacin. En estos procesos est presente la confluencia de al menos tres lenguajes: el natural. el aritmtico yel algebraico.

En el presente artculo se hace referencia a un estudio clnico llevado a cabo con nios de 12 a 14 aos de edad, en el cual se ponen de manifiesto las dificultades a las que se enfrentan los estudiantes de secundaria al tener que leer o escribir el lenguaje algebraico. l En el momento de la observacin, los nios ya haban recibido instruccin en prelgebra y haban sido introducidos al lgebra elemental con el tema de resolucin de ecuaciones lineales y los correspondientes problemas verbales, pero an no haban recibido enseanza sistemtica sobre el uso de expresiones abiertas, equivalencia de expresiones ni resolucin de sistemas de ecuaciones. En este nivel, todava se advierte en los sujetos una tensin entre la manera de leer yde expresarse mediante el lenguaje aritmtico y la necesidad de dotar de nuevos significados a los smbolos matemticos en el contexto algebraico. Esto ltimo es un indicador ms de que la frontera aritmtico-algebraica no puede ser obviada, pues ello conducira a falsas concepciones sobre los procesos de adquisicin del lenguaje algebraico y, consecuentemente. sobre el papel de la enseanza en tales procesos.

LA tECTUR -E N"Et SISTEMA DE SIMBOLOS MATEMTICOS

Las grafas utilizadas en el lgebra son bsicamente las mismas que las de la aritmtica, a saber, los nmeros, los signos de operacin. el signo de igualdad y las letras. Sin embargo, sus SIgnificados y el modo de operar son distintos al pasar de un mbito a otro (Matz, 1982, Wagner. 1981). Considrese el siguiente ejemplo:

A=bxh y- ax

BAsICA

I


Las dos expresiones son sintcticamente equivalentes, sin embargo, la manera de leerlas (su interpretacin) determina las aciones que se realizan con ellas. Una manera (convencional) de leer A = b x h es "el rea (de un rectngulo) es igual a base por altura': lo cual remite al mbito de la geometra y de la aritmtica. Mientras que y =ax, leda en el contexto algebraico significar: "y es una funcin lineal de x, cOlf parmetro a': Aun ms, la geometra anaHtica se leer como: "el lugar geomtrico que corresponde a la recta y que pasa por el origen y con pendiente a': En este ejemplo se advierte un hecho irrefutable: el sistema de smbolos

matemticos no est libre de ambigedades. Un ejemplo ms puede apoyar tambin esta afirmacin:

(3 + 5 - 2) (7 3 2) = 4 O P e r a e ion e s Resultado (acciones por realizar)

En esta e

matematicas y su enseÑanza i (parte 1)

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