INSTITUTO SUPERIOR RUMIAHUI

MATEMATICAS

MARCO TUNALA

QUINTO SISTEMAS

TEMA: DERIVADAS APLICANDO LA REGLA DE LA CADENA

2003-2004DERIVADAS APLICANDO LA REGLA DE LA CADENA

En trminos intuitivos, si unavariabley, depende de una segunda variableu, que a la vez depende de una tercera variablex; entonces, la razn de cambio deycon respecto axpuede ser calculada con elproductode la razn de cambio deycon respecto aumultiplicado por la razn de cambio deucon respecto ax.Sean las funciones f(x) = x2, g(x) = sen(x)La funcin f lo que hace es calcular el cuadrado f(1)=12=1, f(2)=22=4, etc. por tantof(sen(x)) = sen2(x) = f(g(x)) = (fog)(x)Es una funcin compuesta de g y de f que expresamos porfogLa interpretacin defogaplicada a la variable x significa que primero tenemos que aplicar g a x, con lo que obtendramos un valor de pasoz=g(x)=sen(x)y despus aplicamos f a z para obtenery=f(z)=z2=sen2(x)REGLA DE LA FUNCION CADENA

Si pretendemos calcular la derivada de esta funcin a partir del conocimiento que tenemos de las funciones elementales vistas anteriormente procedamos de la siguiente forma:

lo que significa, que si variamos x una cantidad h, obtenemos una variacin g(x+h)-g(x) de la funcin g, a su vez como la funcin f depende de g, esta variacin de g produce una variacin en f: f(g(x+h)-f(g(x))La tasa de variacin media de g(x) respecto de la variacin de x es

a la vez que la tasa de variacin media de f(g(x)) respecto de la variacin de g(x) es

si pasamos al limite cuando x tiende a 0, tambin g(x+h)-g(x) tender a 0 por ser derivable (y por tanto continua) de lo que se deduce la siguiente regla de derivacin de la funcin compuesta: Dx[f(g(x))] = Dg[f(g(x)]Dx[g(x)]Este resultado se conoce como regla de la cadena donde la funcin g(x) hace de variable intermedia o de paso para derivar la funcin compuesta fog respecto de la variable independiente x, que podemos expresar as:"La derivada de (fog)(x) respecto de x es igual al producto de la derivada de (fog) respecto de g, por la derivada de g respecto de x".

FUNCIONES COMPUESTAS Y DE SUS DERIVADASHay tres entradas de parmetros,funcin(1 a 10),derivada(0,1) ya(ab cisa del punto). El parmetro derivada puesto a 1 visualiza la expresin de la derivada y su grfica correspondiente. La ab cisa del punto permite evaluar la funcin y su derivada en dicha ab cisa.Para averiguar conocimiento que se tiene de las derivadas de las funciones compuestas, poner el parmetroderivadaa valor0y seleccionar una funcin de 1 a 10, despus reemplazar la entrada editable g(x)por la supuesta funcin derivada y poner el parmetroderivadaa1para comprobar si la entrada de la funcin derivada ha sido correcta.1:2sen(x)2:(sen (x)+1)23:raiz2(cos(x))4:4e-x^25:ln(x2)

6:ln(sen(x))7:sen(2x+1)8:raiz2(x2+1)9:sen2(x)10:(x2-1)raiz2(x)

Propsitos generales

Promover el uso de los equipos porttiles en el proceso de enseanza y aprendizaje.Promover el trabajo en red y colaborativo, la discusin y el intercambio entre pares, la realizacin en conjunto de la propuesta, la autonoma de los alumnos y el rol del docente como orientador y facilitador del trabajo.Estimular la bsqueda y seleccin crtica de informacin proveniente de diferentes soportes, la evaluacin y validacin, el procesamiento, la jerarquizacin, la crtica y la interpretacin.

Primer caso:

Si z= f(x,y) es una funcin diferenciable de los argumentos x e y, que son a su vez funciones diferenciables de una variable independiente tx = (t), y = (t)La derivada de la funcin compuesta z = f[(t),(t)] se puede calcular por la frmula:

Segundo caso:

Si z es una funcin compuesta de varias variables independientes, por ejemplo, z = f(x,y) donde x = (s,t) e y = (s,t) s y t son variables independientes, f, y son funciones diferenciables, las derivadas parciales de z con respecto a s y t se expresan as:

Caso general:Si z es una funcin diferencial de n variables, x1, x2, ..., xn, donde estas a su vez son funciones diferenciables de m variables, t1, t2, ..., tm, entonces z es una funcin diferencial de t1, t2, ..., tmdonde:Sean las funciones:

Lafuncin compuestadegy defque expresamos:

La interpretacin de (fg) aplicada a la variablexsignifica que primero tenemos que aplicargax, con lo que obtendramos un valor de paso

y despus aplicamosfazpara obtener