matematicki list 1980 xiv 6

7/15/2019 Matematicki list 1980 XIV 6

http://slidepdf.com/reader/full/matematicki-list-1980-xiv-6 1/15

MATEMATIKA

PRIRUENIK ZA DODATNU NASTAVU U V I VI RAZREDU OS

u redakciji M. Ili6 - Dajovid

(Brojevni sistemi- Brojevni rebusi- Vektori

-Grafovi

- Simetrija-rug i prava

-Dijagrami, I

- Logidki zad.aci- Deljivost brojeva

- Ra-dunanje.s pribliZnim brojevima

-Racionalni postupci pri radunanju

- Kon-gruencija po modulu - Problemi presipanja - Odabrani konstruktivnizadaci

-Jednako sastavljeni mnogougli

- Geometrijske konstrukcije-ogidki i kombinatorni zadaci

- Dijagrami, II)Knjiga sadrZi preko 320 odabranih zadataka i preko 300 ilustracija

Zavod za udZbenike i nastavna sredstva - Beograd

MATEMATIKA

PRIRUENIK ZA DODATNU NASTAVU U VII I VIII RAZREDU OS

u redakciji M. Ilid - Dajovid

(Iracionalni brojevi - Funkcije y:x2 i y:/;-

Elementi statistike-lementi kombinatorike

- SloZena tela - Problemi parketiranja-

Pri-mena Pitagorine teoreme

-

Nizovi brojeva

-

Sistemi linearnih nejednadina

- Ortogonalno projektovanje - Relacija ekvivalencije - Funkcije i nomo-grami- Rastavljanje polinoma na dinioce

-Jednadine sa modulima

-Dio-

fantove jednadine- Primena homotetije

- Re3avanje sistema linearnihjednadina

- Ekstremne vrednosti- Dokaz u matematici - Gre5ke u zak-

ljudivanju- Kako su stari narodi pisali brojeve - Pravilni poliedri

- Orazvitku geometrije)

Knjiga sadrZi preko 350 odabranih zad,ataka i preko 300 ilustracija

Zavod za udibenike i nastavna sredstva - Beograd

SADRZAJ

l. S. Arslanagii: Jedan zadatak o trouglu i detvorouglu.2. S. Radojkovi6: Ne5to o Sifrovanim radunima

3. Zadaci za proveravanje stedenog znanja iz matematike4. Naloge sa republidkog takmidenja SR Slovenije5. Re5enja konkursnih zadataka6. Spisak reSavalaca konkursnih zadataka7. Obave5tenja o letrijoj Skoli mladih matematidara8, Matematidka razonoda9. Re5enja nagradnih zadataka br. 66 i br, 67 .

162166

169174177l8l188189t92

MATEMATIEKI LISTZA UCENIKE OSNOVNE SrOrN

ll

XIV

6

BEOCRAD

1980.



sAvEz DRUSTAVA MATEMATICARA, FIZICARA I ASTRONOMAJUGOSLAVIJE

MATEMATIEKI LIST

za uEenike osnovnih Skola

God. XIV, broj 6 (1980)

Izlazi Sest puta godi3nje

TZ,DAJE DRUSTVO MATEMATIEARA, FIZIEARA I ASTRONOMASR SRBIJE

Beograd, Knez Mihailova 35/IV, p, p.728.

Urednici:Platon Dimii i Miroslav Zivkovit

' Redakcioni odbor:

Bogumila Kolenko (Ljubljana), dr Zeljko Pauie (Zagreb),

Kosta Mijatovl (Sarajevo), Danilo Stepanovri (Titograd),

Duiko Kovaiey (Skoplje), Velimir Sotirovrc (Novi Sad),

Vladimir Stojanovit (Beograd)

Glavni i odgovorni urednik: Miroslav Zivkovit

Sva prava umnoZavanja, pre5tampavanja i prevodenja zadriavaDru5tvo matematidara, fiziEara i astronoma SR Srbije

Oslobotleno plaianja poreza na promet na osnovu re5enja Republidkog sekretarijatza kulturu SR Srbije br.4l3-18G03 od 11. 1. 1973. godine

Stampa: Beogradski izdavadko-grafidki zavod, Beograd, Bul. vojvode Mi5iia br. 17

JOSIP BROZ 1ITO25.V 1892. _ 4. V 19t0.

.lJ-mroje najdrati nal drug Tito, velikan svetske istorije, nat-

morni borac za mir u svetu, siararac nove, socijatirtit*i iiiih*iji.Sa &bokim bolom

i !o!os!.y u srcu, mladi i svi radi tjudi igradati nale slobodne, socijalistiike, samoupravne, nesvrstane domovi-ne, zajednice bratskih naroda i narodnosti,' nepoioteiliiii-iit*urnTitovim Wtem.

Tito nas je osvetlio svetu, a svet je priblilio nama.

. .!u Titg pred narna, a sa Titom ,t nama, svi mi _ pioniri,omladina, radni lMi i gradani ritove Jugoslavije oauino i't rstosledimo Titovo delo.



Sefrct Arslanagid (Irebinje)

JEDAN ZANIMIJW ZADATAKO TROUGLU I PRAVOUGAONIKU

Radi se o slededem ndatku koji se 6esto moZe pojaviti u praksiraznih zanatlija: iz datog trougla izrezati pravougaonik najvete povriine.

Pri njegovom rje5avanju radikovademo nekoliko sludajeva.

l. Neka svi vrhovi pravougabnika IeEe na stranicarna trougla.

Dokazademo da u ,tom sludaju povr5ina P pravougaonika neprema5uje polovinu povr5ine ,S trougla, pri Cemu jednakost p:Sl2vaZi jedino u sludaju kada se whovi jedne od stranica pravougaonikanalaze na sredinama dviju stranica trougla.

Neka Eetiri vrha pravougaonika MNPQIeLe na trima stranicamatrougla ABC, tako da vrhovi M i N pravougaonika leZe na straniciAB trougla, vrh P na stranici BC, a vrh Q na stranici AC; sem toganeka je IIC visina trougla, spu5tena iz urha C na stranicu AB. Mogunastupiti ovi sludajevi.

a) AQ:pc G!. l).

Kako je PQIIAB i MgllHC, to je PQ:MN:! i MO:g!.22

Neka su A' i B' tadke simetriEne tadki C u odznosu na e i p.TaEke A' i B' leile na duZima AQ i BP i duil A'B' presijeca stianiceMQ i ryQ pravougaonika u-tadkama M'i P'.Tada, na osnovu onog3to je dokazano pod a), imamo:

IPM'N'P'7':7. Pls'g .

Sem toga, posto je M'N':Qp:A?' i A'B'<AB,to je M,N,<2

.{;,pa ie 2 r'*'.**l'"', usled dega je

MN. MM' < I .(AB+4'B')', tj. puNN,r,t,a!pn"r,n,.2 2 2 ----

Na taj naEin u ovom sludaju imamo:

Punpo- Puxu,x, * P4ayp,e .! rnr",-i ,r"".

c) AQ<QC (sl. 3).

Neka l' i B' oma(avaju, kao i ranije, taEke simetridne taEki Cu odnosu na tadke Q i P, a M' i rV' tadke u kojima duZ, A'B'presijecaproduZene stranice QMi PN. Tada, na osnovu onog Sto je dokazano poda), imamo:

IPtt n'no:

,.Ptyzc.

Sem toga, kako je MN:M'N'=Py-A'B'2

i A'B'<AB, to je

MN<AB, pa ie ZMN>! <eA*e?), usled

Cega je MN . M'M>L.

IPttnu,x,)- P*a,art.

2

Usled toga iez PTanre:MN.MQ:AB .cH-l .4!SHr-2222

-T'Pu"'

AMHNst. r

b) AQ>QC (st. 2).

t62

(AB+A'B')M M' , tj.

N't4 H'

sr. 3

B,

t63



Na taj nadin u'ovom sludaju imamo:

PuNpo: Pu,x,po : Puxu,u, 1| e*oo - ! rn"o: ! e*".

Tako je na5a tvrdnja u potpunosti dokazana.

2. Pretpostavimo sada da svi vrhovi pravougaonika ne lete nastranicama trougla.

Dokazademo da je tada talS. Razmotriiemo ova dva sludaja.'2a,) Neka su dvije naspramne stranice pravougaonika paralelne

jednoj od stranica trougla. Neka su, na primjer, stranice MN i pepravougaonika paralelne s{ranici AB trougla, pri demu se stranica My'y'nalazi sa iste strane stranice PQkao i stranica ABtrougJa (s1.4). Nekasu D i E tadke presjeka prave MN sa stranicama AC i.BC trougla.Po5to prava kroz D i Q sijede dui, EC, a prava kroz E i P sijede duZDC, to se prave DG i EP sijeku u nekoj tadki F trougla DEC. VrhoviM,N,P i p pravougaonika leZe na stranicama trougla DEF, te povr5inaP pravougaonika ne prema5uje polovinu povr5ine toga trougla (slu-Caj l). Osim toga, povrSina trougla DEF manjaje od povrline S tro-gla ABC dak i onda kada stranica MN pravougaonika leii na straniciAB trougla ABC i kad se jedno od dva temena P i Q nalazi na jednoj

od druge dve stranice datog trougla. U svim tim sludajevima je, na-ime, povr5ina trougla DEF manja od povriine trougla ABC bar zazbir povr5ina trougla EFC i DFC. Na taj nadin smo dobili da je p<512.

st. 4 st. 5

b) Neka ni jedna od stranica pravougaonika nije paralelna strani-cana trougla

t64

Povucimo kroz vrhove A,B i C trougla prave, paralelne straniciMN pravougaonika (sl. 5). Prava kroz A prolazi izmedu pravih krozB i C i presijeca suprotnu stranicu trougla u nekoj tadki D, te takodijeli trougao ABC na trougle ADB i ADC.

Ako pravougaonik MNPQ leii u jednoj od njih, npr. u trougtuABD, tada je

r<f;r*".j-"Ako pak prava AD dijeli pravougaonik MNPQ na dva pravou-

gaonikapovr5ina Pt i P2, koji leZe u trouglovima ADB i ADC, onda je,prema onom Sto je ve6 dokazano:

P, .1 Ptno i Pr<! p"oc,2-2

te dobijamo

P:P,*P"<LPn"": I s.22

I tako, rjeEenje zadatka se svodi na slijedeCe:

Povriina pravougoonika i2rezanog iz trougla ne premaiuje polo-vinu povrSine trougla. Maksimum dostiZe u jednom jedinom sluiaju,ako se dva vrha pravougaonika nalaze na sredinama dviju stranica tro-ugla, a dva ostala vrha lete na tredoj stranici trougla.

Iz o5trouglog trougla pravougaonik maksimalne povr5ine moZese'izrezati na tri naEina, iz pravouglog na dva nadina, a iz tupouglogsamo na jedan nadin.

OBAVFSTENJE

U toku protekle Skolske godine, kao i ranije, Uredni5tvo MatematiCkog listaiSlo je za tim da list dobije Sto ViSe saradnika. Odgovaralo se na skoro sve dopise,nekim saradnicima pruleni su izvesni saveti, ponelto se preuzimalo iz drugih sliCnihdasopisa. Tako je postignuto da u izdatih 6 brojeva bude objavljeno ukupno 19

dlanaka od 16 saradnika.Od stalnih rubrika lista rubriku >>Zadaci za proveravanje stodenog ztnnja izmatematike( vodili su Dlenana Kulukalid, Velimir Sotirovid i Du5ar Lipovac, zarubrike >Odabrani zadaci<< i >Konkursni zadack< bili su zaduieni Ilija Mitrovid,Milorad ZimonJid i Vladimir Stofanovid, rubriku >Nagradni zadatak<< vodio je JanidiieDavidovid, o rubrici >>Matematidka razonoda<< starao se Platon Dimi6.

r65



Crarpa Paaojrorxh (Huu)

HEIIITO O IIINOPOBAH}IM PAqYHI{MA

flogxaru cy 3aAaI$ y Be3rr ca r3E. ,,urraSpotaHnu pa{yunMa".V ruru 3aAarlr.rMa ce o6nqxo rpaxu Aa ce Ha ociory je4ne nprra:anepaqyHcxe onepaquje oApeAe qrQpe roje cy y roj patyncroj onepaqnjn3aMerbeHe cJroBHMa r,rJII{ HerI{M ApyrHM 3HarIr{Ma, Ho, tuoxe ce Ao-ToAHTE ga ro rpe6a nocruhn Ha ocxoDy ABe xn[ EUrrJe raxlnx one-paquja. Mn her"ro y oBoM rlpuory nplrxa3aru oBaKBa rplr 3aAarKa.

Prigll jegnocranuujer r.r3paxaBarba gororopuheMo ce Aa roAuojrvrou o6puymu 6poj nogpa3yMeBaMo 6poj xoju xacraje xaAa ce

uuQpe Hexor Aaror 6poja lrcrrury o6pxyruvr peAocneAoM.

3agatuarc I. 36up uerueopo4ufipeuoi u Etpo4ufipenol 6poja je4 190, a s6up nuxoeux o6pnytuux ipojeea je 6 980. Hahu ilie 6pojeee.

Pewerce. Hera cy abcd n xyz rpaxlenu 6pojenx. Ta4a, npeuaTpaxeHr{M ycJroBuMa [MaMo:

rpe6alo 6n ga je c:14, ruro je Her"roryhe; 3aro .q,oJra3u y o6rrp cauoApyra oA oBe ABe HaBeAeHe uoryhuocru, Ha ocHoBy xoje, us(01.3.)u (1.4.), rpou3na3n ,qa je c:5. Taxo rconaqno go6rjarvro ga cy rpixeHu6pojern 3 456 a 734, wm rblrxoBr{ o6puyrn 6pojenn 6 543 n 437.

3agautarc 2. Pasrurca ueheopo4ufipeuoi.u tupo4uSpenoi 6pojaje I 509, a pasruKa tbuxoeux ofipuytuux fpojeea je 5 757. Hahu fre 6po-jeee.

Peuerce. Aro cy rpaxeHn 6pojenn abcd u xyz, Ha ocHoBy .qarr.rxloAaTar(a Ba)r(e ycnoBl{:

Vz (2.1.) r.r3Jra3r,r la je a:l ustu a:2, a npeMa (2.2.) oarorapa-jyhe npeanocrr 3a x ilzrrre 6u 4 uan 5.

flpernocranuMo Aa je a:l Lt x:4. 3auenor,r oBr.rx Bpe.Erocrlry (2.1.) u (2.2.\ 4o6njarvro:

(2.2.\57 57

+ zxY

a6;

5757

+ zy4TcbT

(1.1.)abcd

+ xyz-4lco (1.2.)

dcba

+ zyx

69-80

(2.r.)I 509

+ xYz

Abcd

I 509

(2.3.) + 4 vztTA

I 509

+ 5yz

I bcd

I s (1.1.) rporrJra3rr Aa a vropa 6*rru unu 3 unm 4, a us (1.2.)npornna3r{ Aa je a*x:10, ogaxle cnery Aa x Moxe 6urn 7 ustu 6.Ho, n3 (1.1.) npouara3n yL aa je blx snu b*x*l je4raxo ll, ua jejacxo 4a AoJIa3E y o6sup cauo r"roryhuocr a:3 n x:7.

klz (1.2.) aHaJrorHo rlpornna3rr ga d uopa 6trru nnn 5 unu 6, a naocl{ony (1.1.) r'aopa 6tlnn z}d:10, ogaxle cneAr{ ,qa je rpe4uocr sa zmt 5 unla 4. Anu, c o6anpou na (1.2.), crnqHo nperxoAHoM, cne4yjeAa Aona3u y o6:up car"ro uoryhuoct d:6 u z:4.

Iopnn s6nporu cy rl4ai

(2.4.)

36or (2.3.) ie b:9. Caga (ue 2.4.) nuguv,o sa d uopa 6urn 5 wm6- Ilpernocranxa d:5 rqoBoAlr ,qo nporr{Bpertntrx 3ar(Jbyvaxa, na jed:6, uno noBnaqu z:'1, a rroroM il !:3, c:4. Aaxrc, [ocraBJbeHeycnoBe sagoro*arajy 6pojeru I 946 u 437, ognocno rbrrMa o6pnyrn6pojenn 6491 u734.

Ipyra uoryhnocr ns6opa BpeAHocrH sa a n x je a:2 u x:5.3auenovr oBr.rx BpeAHocru y (2.1.\ u (2.2.) ao6nheirao:

6cb3

+4y7

6980

,{anuu pa3Marparbeu sar.rryvyjeMo H3 (1.3.) aa b r"roxe 6nrnuau 3 unu4, a us (1.4.) 4o6ujarvro ga je bly:7, o4axae cnegn ga jey ilnfi 4 wtu 3. Ho, y npnoru oA oBa 4na clyVaja, c o6supor"r na (1.3.),

t66

H: gpyror z6wpa BnAr{Mo ga je d:5 unn d:6. Axo 6n 6u.nod:5, ra4a 6tcvro r{3 rrpBor s6npa Ao6nru z:6. TaAa 6n s6or npe-Horuelba ur.rQpe y :6rapy (2.2.) 6uno d:6, na ao6ujalro nporr{Bpequocr.Ocraje, Aa(Jre, 3axJbyqar d:6, ta je z:7.

3bc6

(r.3.).+

Jyl

4t90

t57 5

+ zys

a;t

t6'l



Ca,4a us (2.1.) cne.ry ,qa je b:l wtn b:0. Mefyrnr"r, D:l no-pnaq]{ !:6, & oAaBAe 6n uopalo 6nru c:7. To ce ne cJraxe ca (2.2.),j-.p gr [peMa oBoMe c Mopano wMarn BpeAuocr 4 unu 5.,{arle,'6nheb:0, a oryla y:4 n c:5.

Tpaxenn 6pojern cy: 2 056 u 547 arrm I 946 n437, owocno rrlrMao6pxyrn 6pojenu 6 502 u 745 wtu 6 491 n 7 354.

3,agataarc 3. Ilpouzeog geo4ufipeuol u tupo4ufipenoi 6poja uz-uocu 3 705, a ftuxoe s6up je 262.

Ogpegumu ni 6pojiee.Peuerue. Hera cy ro 6pojenn abc n xy. Taga je af| n xt'O, ysycJroBe:

ZADACIZA PROVERAVANJE STECTNOG ZNANJA TZ MAT'!.IV|A*TTXE

IV RAZREI)

262ns (3.1.) lroJrt3rr.4a je c:5 wnu !:5, a Ha ocnoBy (3.2.) za-

xrryuyjeuo Aa je c:5 n !-7, mru c:7 u y:5..{oxaxuuo najnbe AaHe Moxe 6urn c:5 n y:7. Aro 6ucuo y (3.1.) n (3.2.) yrpcrlurlr oreBpeArrocrlr, Ao6ruu 6ucuo

ab5+x7

onAe ne 6n r"rorno 6nru a:3,jep y ror"r cnyrajy rrr;2J?"o.r0",3 b5 . x 7:3 705. 3ancra, uajrraarra BpeAHocr oBaKBor npousnoga-6n-ta 6m:300 . 17:5100, a u ro je nehe oA 3705. Crora, na ocnony (3.2.,),Mopano 6u 6tl:u a:2,. O1o raxofe nnje vroryhe, jep ra4a rraopa 6urux:1, ruro rloBnaqn b:5, ta ocHoBy (3.2.'), a osla ue uoxb 6rmu:255'17:3 705, jep je 255.17:4235.

-^ 99ujt 3aKJbyqar 4a je c:7 x y:5. Clnqnuu pa3Mr.rruJrarbeM,nz Q.2.) sarry.ryjeuo ga je a:2, L oryAa us (3.1.) r-4a je x:1. Harpajy to6njauo u b:4.

Tpaxenu 6pojenu cy: 247 u 15.

3a.qaqnl. Onpe,qrrrn rpognSpen r reraopo$rqpen 6poj, aro cy ro3rrarrr:6xporr

ra .qBa 6poja

rs6uporr rsuxoBux

o6pryrnx 6pojesa: 6 Zg3 ; S OSg.2, Vzpauyuarn jeaan nroqn$peu n jegau rporyrQpen 6poj, axo ce 3rra Aaje rrnxon npon3BoA 7 371, a pasaura 33i.

l. 36lp jeAxor rpoqrgpeuor n jeAnor aaoqui[penor 6poja je 320. Axo rajrpoqn0peu 6poj uoAeaurrlo rrcTnM gaoqu$penuna, go6nhelao xonrlqHux .l u ocra-rax 26. OApeaxrn osa asa 6poja.

{.36ry geroqngpex-or-!.qgTBgpoqr$pexor 6poja je 20515, a s6up nuxo-rax o6pnyrax Epojeaa ie 37 354 Hahn re 6pojeae.

168

(3,I .) abc . yx :3705

(3.1.') ab 5. x7 :3 7Os

ab5(3-2.) + xy

(3.2;\

VarijaDta IFORMIRANJE FOJMOVAPOVRSINA I ZAPREMINA

l. hetvori: a) 65 cmz 8 mm2: . . .

mm2; 24a83 m2:... m2; c)60fiDmz:... ha; d) 6ZDcmz

-:....dm2.2. 7*mliille ima oblik pravougponika

Cije su duline stranica 564 m i 3,l() m.Jedao dio zemljilta je kvadrat dijaje stranica jednaka duZini manjestranice pravougaonika. Na qiemuje zasa&na loza, dok su na preo-stalom dijelu zasadene breskve.a) Koliko je zasadeno Cokota vi-nove loze ako se na svakom m2nalazi po jedan dokot? b) Kolikoje zasatleno bresaka ako se na svakih8 m2 nalazi po jedno stablo?

3. Dva kvadra imaju jednakc bazedije su du2ine stranica 22cm i 32cm. Visina jcdnog kvadra je 28 cm,

a drugog 42cm. Kolika ie ztpremina figurc koja jc sastavljesa odta dva kvadra?

4. Ztrt dutina svih ivica kocke jet56cm. Kolika je zapremina tekocke?

5. Alco je mjerni broj duZine ivicekocke a>l7cm, od kojeg je pri-rodnog broja ve6i mjerni broj za-premine izralnne u kubnim mili-metrima?

6. fttu dulioa ivica jedne kutijc obliki kockc je s(72 cm. Koliki je'najncCi broj cmr prostovra koii za-uzima ta kutija?

7. U tvornici sc Scdcr pakujc u kutiicdulinc l?cm, Iirine llcm i vi-sine 5 cm. Stotinu takvih kutija iesloieao u jedaq sanduk. Kolika jczaprcmina l0 takvih sanduka?

Varijanta IIDEIJIVOST U SKUPU N

l. Dati su brojevi 25, 48, 32, lm,126, 150. Izdvojiti sv€ one koji sudeljivi: a) sa 2; b) sa 3; c) sa 4;d) sa 5; e) sa 6.

2. bz izrabnzvanja kolidnika utvr-diti kojim od brojeva 2,3,5 sudeljivi brojevi: a') 3 475; b) 7 560;c) 3.10r*5.10r+4.102+6.10.

3. Utvrditi koji od datih proizvodaa) 7.15.20.33 i b) 22.75.12 ie de-ljiv sa 25, odnosno sa l1?

4. Ne vr3eCi deljenje utwditi ostatakdeljenja: a) 5763 sa 2; b) 3467sa 5; c) 6475 sa 4.

5. Umesto rvezdice u zapise brojeva5*2 i l3'0 treba upisati odgovara-judu cifru tako da sc dobiju bro-jevi a) deljivi sa 4; b) deljivi sa 6.

6. Unresto wezdice u zapisima bro-jeva 573* i ll45r treba upisati

odgovarajudu cifru tako da scpri deljenju sa 5 dobije: a) osta-tak 2; b) ostatak 3.

7. Vladimir je po5ao za Milanom,koji se nalazi 2fr'm ispred njega.Koliko koraka trcba danapravi VIa-dimir da bi stigao Milana, akoVladimir pravi korake od 90cm,a Milan od 70cm?

t. Udenici IV razreda jedne Skolenajpre sc ftrzvrstaju po 6, a zatimpo 4 u svakom redu. Koliko jebilo udenika ako se zna da ih jebilo maqie od 100 a vi5c od 90?

9. Napisati najveCi dctvorocifrenibroj deljiv: a) sa 3 i 5; b) sa 3,4

i6.10. Koliko najmanje treba dodati bro-ju 2 183, pa da novi broj: a) budedcljiv sa 6; b) pri deljenju sa 5 dajcostaidc 2?

t 7a&ci su pripremliq:ni u dw varijante MgradilStosti u oastavnim pla'novime i profranima rcbublikt i polrrqiina.

169



Z AD ACIZA PROVERAVANJE STECENOG ZNANJA IZ MATEMATTKE

V RAZRED

ZADACIZA PROVERAVANJE STECENOG ZNANJA IZ MATEMATIKE

VI RAZREDVarijanta IMNOZENJE I DIJELJENJECIJELIH BROJEVA

1. eamac plovi po rijeci. Nakon 6sati (f) biie udaljen od mjesta nakome se sad nalazi a) 6 000 m niz-vodno (*); b) 60000m uzvodno

(-). Prije 6 sati (-) bio je od tosmjesta udaljen c) 6000m uzvodnoi d) 6000m nizvodno. Kolika jebila prosjedna brzina na sat togCamca?

2. Avionse nalazina visini od 5000mi svake minute mijenja visinu za 150m. Na kojoj 6e se visini nalazitiavioq poslije 12 minuta a) ako sediZe i b) ako se spu5ta? Na kojojse visini nalazio avion prije 12

minuta c) ako se d,izao i d) ako sespuStao?

3. RijeSi dati skup jednadina: x:(-3):-2, y:xl5:3, y :z*y:x:2.

4. Izradunaj vrijednost izraza:

{l(-63) +( + 8l) +(-36)l :(-eF- (7)) : (-eF-(-5).5. Neka je a:-2, 6:*3, c:-5.

Izradunaj vrijednost izraza-5,a

-3. ,+10. c-a*5.6. Rije5i date nejednadine: a)

-2<x:2<l; b) -l<z:(-3) <2;

-l<(2x-l):(-3)<5.

7.Dat je skup l:{xl-{qr<*4}i veza y:16, y:x-2, y:x+z,!:x. 2, y: x:2 po kojoj se skup Ipreslikava na skup B iste brojnostisa skupom A i yQB.Odredi dlano-ve skupa.B i skup uredenih parova(x, y), kao i sliku tog preslika-vanja a) kad je to preslikavanje bi-jekcija

ib) kad dato preslikavanje

nije bijektivno.8. Za kakve su vrijednosti x (pozitivne

negativne,.nula) tadne nejednakosti:2x{x; 2x<-x; -2x1x; --2x:

':-xl -2x>-x; -2x >xa2x>x;2x:-x.

Varijanta IISIMETRALA DUZI I UGLA.JEDNAEINE I NEJEDNAEINE

1. Konstrui5ite kvadrat dije je jednoteme data taEka a, a njegova stra-nica pripada datoj pravoj,4 (ae 4.

2. Na pravoj I odredite tadku kojajejednak oudaljena od datih tadakaaib.

3, Dat je lugao AOB i tadke aeIOA); b, ceIOB). Tadke a, b, csu temena trougla, Odredite svetadke trougla koje su jednakoudaljene od krakova ugla.

4. DokaZite da su simetrale dvauporedna ugla dve uzajamno nor-malne prave.

5. Date su prave A, B i C tako da jeje AllB. Na pravoj C odredjti tadkukoja je na jednakom odstojanjuodpravihli,B.

6. Odrediti reSerf a jednadina:

a) 14 - 2x:36; b) -15-x:3:-7; c) (6x*18). 15:-90; d)90:(l-2x):30.

7. Knjigu i svesku udenik je platio72 dinan. Knjiga je 7 puta sku-lja od sveske. Kolikaje cena knjige,a koliko staje sveska?

8. Odrediti vrednost promenljive xako su date ove komponente: 334je deljenik,5

-(17-5.r).4*229):

: 19 je delilac, a - 13 je kolidnik.9. Odredite skup re5enja nejednadine

tako da je xQ,4 :{-7,-6,-5 . . .

0,1,2,3\: a) 5.r>-10; b) "-.-3x<<12; c) c:(-5)<-25; d)

-12:x<3.10. Neka je oblast promenljive M::{-10,-20, -30, ...,

-100}.ate skupove A:{xlxaM A5x

-200),B:{xl € M, x:5 > -12\apisati nabrajanjem elemenata

(analitidki), a zatim odrediti l(l

^8,AIB i BlA.

Varijanta ITROUGAO I EETVOROUGAO

1. Mogu li uzastopne stranice detvo-rougla biti 2,3,4 i 9 centimetara?ObrazloZi odgovor.

2. Pravougaonik i paralelogram ima-ju jednake obime i jednake osno-vice. Koja od tih figura ima veiupovrSinu?

3. Kolika je visina romba dije su di-jagonale 8cm i 15cm?

4. KonstruiSi romb djje su d jagonaleduZine 5,4 cm i 6,8 cm.

5. Zemlji5te u obliku trougla, dijaje jedna stranica 94,5 m avisina koja odgovara toj stranici24,8 m, treba 2n6ijeniti zemljiStemoblika pravougaonika Sirine 54 m.Koliko treba da je dugo to zer&ljiSte?

6. Gradili5te se nalazi izmeelu tri pu-

ta,pa

ima oblik trougla. DuZinajedne stranice tog trougla je 45,6m, a duZina visine koja joj odgo-vara je 27 m. Koliko ari zemlji5taostaje za vrt ako ku6a mora bitiduga 14,5 m a Siroka 12 m?

7. Konstrui5i jednakokraki trapez akomu je osnovica 5 cm, ugao nanjoj 60", kad se zna da mu dija-gonale stoje okomitio na kracima.

6. Konstrui5i paralelogram ABCDako je AB:Scm, AD:3cm iA:75", a zatim konstruiSi tro-ugao: a) njemu jednake osnovicei povrSine; b) jednake osnovice idva puta manje povriine.

9. Kolika je povrSina trapeza diia

iejedna djagonala 15cm, a odsto-janja dva vrha od te dijagonale su6cmi 14cm?

10. DokaZi da je srednja linija trapezajednaka poluzbiru njegovih os-novlca.

Varijanta IIPOVRSINA I OBIM EETVORO-UGLA, TROUGLA I PRAVIL-NOG POLIGONA

l. Povr5ina pravougaonika iznosi pe-

tinu detvorostruke povriine kva-drata obima 1,24 m. DuZina jednestranice pravougaonika iznosi 0,2duiine stranice kvadrata. Izradu-nati obim pravougaonika.

2. DuZina stranice pravougaonika jeI68 cm. Odrediti visinu pravou-gaonika izraZenu celim brojem takoda mu povr5ina budejednaka povr-vr3jni Sto je moguie manjeg kva-drata dija se stranica izraLava pri-rodnim brojem.

3. DuZina jedne stranice paralelogra-ma iznosi 15 cm, a qioj odgovaraju-ia visina l6cm. Kolika visina od-govara njegovoj drugoj stranici

duiine 30 m?4. Kvadrat i romb imaju isti obim.

Koja od tih figura ima veiu povr-vrSinu?

5. Tadke m i n sa sredine dveju sused-nih stranica kvadrata povrSine 16m2. Odredite povriinu najveieg tro-ugla u kvadratu dija su dva temenamtn.

6. Povr5ina trapeza je 4,95 cmz, jednaosnovica je 42mmi visina je 1,5 cm.Kolika je druga osnovica togtrapeza?

7. Zbir dijagonala deltoida iznosi 30cm. Jedna dijagonala iznosi 0,5druge. Izradunajte stranicu kvadra-

ta koji sa njim ima jednaku povr-5inu.

8. Izradunajte povr5inu i obim onogpravilnog mnogougla diji je unut-raSnji ugao 135", stranica 8 cm ivisina 9,6 cm.

r70 t7L



ZADACIZA PROVERAVANJE STEftNOG ZNANJA IZ MATEMATIKE

VII RAZREI)

ZADACIZA PROVERAVANJE STECENOG ZNANJA IZ MATEMATIKE

VIII RAZREDVarijanta IPOLIGONI. KRUG

1. Konstruisi pravilan lestougao ko-jem je polupreCnik upisane kruZ-nice r:2 cm.

2. U kruZnici poluprednika r:5cmupisanje kvadrat i pravilan Sestou-gao, Koliko procenata iznosi pow-Sina kvadrata u odnosu Da povr-Sinu Sestougla?

3. Nacrtaj dut AB, a zatim odredisve tadke ravni iz kojih se dui ABvidi pod uglom a) od 90" i b) od60".

sl. r

4. Prema podacima na sl. I izradunajduZinu Dbeskonadnog< kanapa kojiomotava ova dva kotura.

5. U kojem omjeru stoje polupred-nici dva kruga dije su povrSinepr:12,56 cm2 i p2:29,/g s11P!

6. Oko okruglog ribqiaka diji jeobim 50m treba napraviti stazuSiroku 2 m. Kolika je powSinat€ staze?

7. Dat je jednakokraki pravouglitrougao ABC, sa pravim uglomkod temena C i sa katetom a.Oko tadke C opisana je detvrtina

kruinice poluprednika a, kojaprolazi kroz temena A i B, a okotel[ke O (poloviSta hipotenuze),izvan trougla,opisan je polukrug.PokaZi daje povrSina tako nastalog>polurqjeseca< jednaka povr5initoug)z ABC.

Varijanta IIKRUG. ELEMENTI OPISNBSTATISTIKE

1. Ako je ugao pri vrhu jednakokra-kog trougla 56", a oko trouslaopisan krug, koliko ludnih steoEni

ima kruZni luk dija je tetiva kraktog trougla?2. U ravni je data dul labl sa sre-

di5tem s. Dokazati: a) skup svihtadaka u ravni R iz kojih viUimodu? ab pod. tupim uglomje u unu-tr?-Snjqlti kruga K (s, [sa]); b) skupsvih tadaka ravni R iz kojih viCimbduL ab pod. oStrim uglom je izvankruga K (s, [sa]).

3. Za okruglim stolom sedi fudbalskitim >Vojvodina< (ll iexada). Svakiigrad zauzima 0,80 m obima stola.Koliki je prednik stola?

4. Oto jednakostranidnog trougla sha-4ic_e.

5 qm opi5ite krug i izraCunajteduZinu-kruinog luka koji odgovirastranici trougla.

5. U rombu obima 50cm upisan jekrug obima 3l,4cm. za kbliko jemera powSine romba veCa od me-re povr5ine kruga?

6. Ako je duZina obima kruga 62,3cm, a povr5ina jednog iseCka 31,4cm, koliki centralni ugao odgovarsovom iseCku?

7. Nacrtajte dvd koncentridna krugas poluprelnicima rr:4cm i r2:3cm, i centralni ugao od 4O". lua-dunajte povr5inu odgovarajudeg kru-inog isedka prstena.

t. U dnevniku rada jednog odeljeqiaod 25 udenika ocene iz fizike upi-

sane su ovako : 1,1,3,2,5,4,3,4,2,5,9,. 3,4,4,5,2,4,5,1,1,3,3,5,4,2.a) Podatke srediti i popuniti tabeluraspodele frekvencije. b) Odreditiaritmetidku sredinu ocena iz fizike.c) Prikazaii ove poda&e poligonom

frckrcncije.

Varijanta IVALIAK, KUPA, LOPTA

l. Duiina obima osnove jedne kupepijeska iznosi 6,28 m. DuZina njeneizvodnice ie /7.m. Koliko m3pijeska sadrZi ta kupa?

2. Od drvenog valjka prednika l0cmi visine 27cm istesana je najvedamoguda kupa. Kolika je zapreminaotpadaka?

3. U okrugli basen s vodom, dija jeduZina pre0nika I m, spu$tena jekapljica ulja prodnika 0,5 cm. UIjese podjednako razlilo po povr5inivode. Izradunaj debljinu sloja ulja.

4. Koliki je polupnaenik sfere Cija jezapremina jednaka zapremini kupe,ako je visina kupe l5cm, a izvod-nica 17 cm?

5. Elektridni dalekovod dug je 35 km.7a lk;rn dalekovoda treba oko6000kp bakra.'Izradunaj koliki bipolupretnik imala kugla koja bi semogfa izliti iz bakra potrebnog zaditav taj dalekovod.

6. Valjkasta cijev ima prednik 60 cm iduZinu l200cm. Koliko m2 limatreba za izradu te cijevi ako priizradi otpada 5Y"?

7. Visioa prave kupe je 5 cm. Na uda-ljenosti 2cm od vrha kupaje pres-sjedena ravninom paralelnom os-novi, Izradunaj zapr€minu kupe akoje zapremina rnaqieg dijela Z cmr.

t. Od pravilne cetvorostrane piramidebodne visine 20cm i visine l6cmistesana je najveda moguda kupa.Koliko prooenata otpada pri izradi?

9. JednakostraniCnom trougli u visine18 cm upisana je i opisana je kruZ-nica, a zatim cijela ova figura, ro-tira oko visine trougla. Kolike supovrlin€ i zapremiop tako Dastalihtijela?

Varijanta IIPROSiORNE GEOMETRIJSKEFIGURE I MERE NJIHOVIHPOVRSINA I ZAPREMINA

l. Osnova detvorostrane piramide jekvadrat upisan u krug poluprednika

r:2,25 cm. Izradunati povrSinu izap.reminu te piramide ako su jojbodne strane jednakostranidni tro-uglovi.

2. Povrlina pravilne Sestostrane pira-mide je 648 /Tcmz. IzraCunati os-novnu ivicu a i zapreminu, ako jevisina piramide h:3a.

3. Kocka i pravilna C€tvorsotrana pi-ramida imaju jednake osnove i vii.i-qe. a) Odrediti osnovnu ivicu ako jedijagonala kocke 4 /3 cm. b) Ukojoj razmeri su povr5ine drjagolaeihpreseka tih figura? c) Koliko je pu-ta povr5ina kocke veda od povr5inedate piramide?

4. Pravougaonik koji se dobije razvi-janjem bodne povr5i valjka imadijagonalu 3 dm, a visina toga valj-ka je i:l;3dm. lzrailunati za-preminu tog valjka.

5. U pravilnu trostranu jednakoividnu. prizmu upisan je i oko nje je opisan

valjak. Kako se odnose zapreminetih valjaka?

6. Kako se odnose povr5ine krivihbodnih povr5i jednakostranog valj-ka i jednakostrane kupe, ako im sepovr5ine osnih preseka odnose kaol:3?

7. Kolika je povr3ina i zapremina fi-I gure koja nastaje kada kvadratstra-nice x:6cm rotira oko svoje di-

jagonale?

t. U kocku ivice x upiSe se lopta. Ko-lika je zapremina prostora ianedu telopto i one koja je opisana okokocke?

172173



d100.. +ae8-aee+- _ inizradunajl+a

iz katere vidimo stra-

m

MATEMATICTI UXUIEENJA

NALOGE SA REPUBLISTOC TIXVIEENJAUCENCEV osNovNE Sor,r sn sLovENIJE

ZA ZLATO VEGOVO PRIZNANJE

VIII RAZRED

1. Poenostavi izraz: A:l-6!a2-a3! . .

njegovo vrednost, Ce je a:5.

2. ee Sestejemo dvomestno naravno Stevilo in Stevilo ki ima isti cifri v obrat-nem vrstnem redu, dobimo kvadrat naravnega Stevila. poisci vsa taka naravna ste-vila.

3. Za pravokotnlk ABCD vemo: AB:!,-BC, AC:BCIZ (vcentrimetrih).4

a) Izradunaj stranici pravokotnika.

b) Nari5i pravokotnik v merilu l:5 in poi5Ci todko Znici AB in .BC pod kotoma 30".

_ , 4. Izradunaj dolZino najkraj5e poti, ki gre po povrijukvadra od todke T1 do 72. (Podatki sa na sl. l). -

5. Osnovna ploskev piramide je romb s stranicoa in kotom 120". Presek skozi vrh piramide in dalj5o d jago-nalo romba je pravokoten na osnovno ploskev piramidein je enakostranidni trikotnik. Izradunati prostoinino inpovr5ino piramide.

ReSitve nalog Sl. I

l. ee dani izraz damo na skupni imenovalec, bomo dobili:

e:!j::o (t +o) + o'(t + o):l <t: tl::__::tt (t +Q-aee (1 + a1+ aroo

l+a

I + A - A - a2 q g2 a g3-

q3- A4 + . . . :, 4198 t q99 _ s99_ 4100 1 at00

?.- Naj bo iskano Stevilo l0a*6. V obrnjenimi ciframi imamo Stevilo lOD*

-*a...Njihovayggta je 1l (a*b). Da bi ta vsota bila kvadrat nekaterega naravnega

Stevila, mora biti a*6:11. Za radi tega, iskani Stevili so: 29, 39, 47,5A, eS, U,t=1,92.

3. a) Ako je BC:b, potem s pomodjo pitagorovega izreka, iz trikotnika. t3 \z 25., 5l,BC dobimo: I . bl + b2 : (b+7)2, oziroma - -tz:1t4112, porem jel t:\4 I " - ro 4":b+7. Od tukaj je b:28. Za radi tega AB:2lcm in ,BC:28 cm.

b) Konstruirajmo totke M in N, tako da v pravokotnemtrikotniku ABMbo AM:2AB in u pravokotnem trikotniku BCN da bo CN:28C. Kakor vemo,je takrat +AMB:3O" in {ANC:30'. Iskana todka I je presedi5de kroga

k1 s premerom AM inkroga k, s premerom CN (sl. 2). Zato, +efn:+nvty-::30"- koti nad istom t:tivom AB, in 4BTC:+ANC:30.,'iz enakih razlogov.

sl. 2 st. 3 st. 4

4. Kadar se nari5e mrela d,anega kvadra. bo takrat najkraj5o pot sigurnodaljica, a ne izlomljena drta. Lahko dobimo razlidne razdalje m6O n in'I2. N-a pri-mer, na sl. 3 je T1T2:17, dokler je 7122'hipotenuza pravokotnegi trikotnika^f1O.T2', ter je.T[2':/lZz+V - y'ter. Naii<ra.|Sa razdatja je T(72':/li4 Sz:tl.Na sf. 4 vidimo to nljkrajio razdaljo, narisano na samem telisu.

.5. S". je presek S,4C enakostranidni trikotnik in pravokoten je na ravninoosnovice, je to viSina tega trikotnika istodasno in viSina piramide, a:Sa 1st. eyosnovica piramide je romb ki je narejen iz dveh enakostrinidnih tiikotnikov stra-nice a (videti sl. 5), pa so mu d;jagonale: daljia AC:al/3 in manjSa BD:a. Za

radi tega, in stranski robovi S,4 in SCso ednaki al/3, a vi5ina, kot visina ednako-

stranidnega trikotnika,^"ri

h:AC,/3- -a/3: /3

, ozirpma h:11 . prostor-2 2 2'

I AC.BD I aVT.a3a at|3nina piramide je V:-., - .h: - .-,'- -.:, ti. y:l--i1

. 3 2 3 2 2"- 4

v

7+a

_V Stevcu se unidujejo sve vsote razem Stevila l. Za radi tega:ll

A: - - inza a:5 je A::.l+a -6

r74175



,--___ P19i izradunali.povrsino, je potrebno izradunati viiino stranske proskve,lc€r se plasc sestojiiz 4 skladnih raznostranidnih trikotnikov. Visino stranske plosteiSO bom.o izradunali iz pravokotnega trikotnika

^9lO(sl. 6). Zniio O" j" fripit"nu-

sA:a/T. Kateto Ao g91o izyqunari iz pravokotnega trikotnika AHo (sr. 5)

Kakor so notraqii koti trikotnika AHO:3O',6O. in 90o, in AH:+ , to je

AHy'3 taAo :ry: :tj. 7a, mrdi teea, so2 : sA2 : Ao" : zor}ff :t#, jer je So :

Povrsina piramide ie P:B*M:t

r-+4.!tL:nF.a2 V3s L- ..t:; azv t(r+/n\'

SAONTENJE

t.

.-ovogodi5nje savezno takmidenje uEenika osnovnih ikola naie zemlje izma-tematike odriace se u nedelju l. 6. 1980. g. u Zren;anlnu.

^ - smestaj udesnika i njihovih pratiraci obezberrin je od 3r. 5. u podne do2.,5. ujutru u hotelu ,,vojvodina". Troskove smestaja ric".ttit"

"nc,ia'ttiotr^o-itki list za udenike osnovne ikole.

2.

6.-ll. oktobra 1980. godine u BediCima.' Rad kong'esa odviiade se u sekcijama, od kojih de sejedna baviti pitanjemnastave

matematike.- _smestaj.ucesnike bice q hotelima I kategorije (po eni dnevnos Dansionau dvokrevetnoj sobi od 2j0..dinara po o9o!i) i i tr6teiima ,r t"Goiii.'rpo c"oidnevnog pansiona od ,l0O dinara oo osobi).'

.,,,,-_ ll1jry". i9nl,1ta korizacije (,100 dinaia) do kraja juna na adresu: Repa-

o_ttarca zaiechl@ kulture-^ DryFlu-o matermtitara, fizidara i astronorru sRCG, toilro ralun brol I0IM78-119|

- Titottd.

t76

RESEMA XONK-UnSNIH ZADATA"KA 6tX' _ 6r?IZ MATEMATICKOG LISTA XrV, jA)kyucnarelYuVpaqego

. _ 605. ffyxuna (gynuila) aydra rct4ehy Mecfra A u B Je 59s km. v 7 uacoeayJyfrpo, ucfroi gar,a, Eohy uc osa gso u"9yi kOan gpyio* y cycgpT ,(aMu(,H u ayfro-uo6ua. Ceaxoi cama KaMuoH tpiaazu 4s kn,-; ;ifrr*"A;6f k;:-'ffii aor*o3 ,gca coxte tu@acuau cy ogMop og Eona cafra,'a 3aEuM ucnoM fipewoa Hocaaa_outu gatu.-Kotuxo cy duau ysareuu xa*uo,r u ayaoioiiia-iiiii

Tiiiiut y tltaco€a u 30 uanyda?

flomro Eo3arrx " To-ry trona qaca oAMopa Hrrcy Eo3EJrf,, cBarf, o.u rlf,x6ro je xrrvrely 7 cacoi z t3 rago_na-il 30^frff;

y troxpery y rory 6 carn. 3aroBpeMe orrf, cy trpeurr yrymo 105.6=630 NM, rnro 3rraqf,.qa cy ce 3a ro BpeMecpelrr n MlMoxrrlur, tra c€ oEAa yAaJbznf, jelno o,q Ap}rror OfO_SiS:ejtm.3opan lloilocah, yq. V p. OIII ,,p. Mtrpornh,., garar

. -^ ffi.36y1 elcruaa (olnuya) gujaiouarra apaeoyiaonuKa (fipaaoxyfruuxa)19 20 cyt, a tnup sycrcuxa o6uua .(otceta) ,"arjo 6i_;;;- i;;;r.)fff,"r[' *i" *' frpasovioo*u* ilogerbeu ccojuu sujaioaaaaua, je ti8 cn. nipi"yi[ii a"iiiiry r n"*wEiuay)-frpacoyiaouur<a aKo ce r&ioae capiuu4e paznuiyJy'za 2cm.'

'----,

V r6rp o6nua rerxpr_tro.MeEyra

rpbyrni yna3e d6 a"i".o""" tro ABatryr

i#iffi,ffiffiT # iffiffi ;#":fl;y;xi, gr'."x, ;gf"*:yj::: g:Ig__.To j: ierxa cuaruqa t"- Arl''A ;A'hyfr;;"B;j;;i;ry ns-Merr:lr;e trpaBoyraof,xxa 6 cm n 8 cm, a rleroBa noapmrina 4g cm..-Ilpegpat Vtupeauh, ys. V p. Om ,,8. flelarah.., ilesnla

,"wff ::.y;:;i:x:";::ff"#f:ifrFi#;f ,lx:,#:lrH:::,(:ifru 200 n.-Illuputa Epaeoyiaoxuxai; gca iyfra i-ori og capoilu4e xcagpafra. rropoqyuafrJ! rospuuty ( ilaouhuuy) fipaeoyiamwa.AIs nalw, troAarara nporcrnasa la je o6rtl xBaApara 1600m, Crpaxnn rua-

4oaraje ,m0m..mlo^rs?^up-aaoyrao*ri je 200m, a .qyxarra 6&-l[o"pr".r"qpaloyraoraEa je 120 000m,

EoJaua pucduh, y,r. V p. OIU ,,H. flouotuh.., Kpymesaq

B) k yuenuxe V u yI pazpega

ffi. Pazauxo (gufiepenqda) gaa xoaLteuenhua yina (xyfra) Je t cfreilen.Koauxu cy fru yitoeu? 'r''@' 'v ' v'

IGro je19rp 1lgo3yg:g yrnoBa 90o, a rrrxora pa3Jrna lo, ro je DeJrrnrEaMar*r

'Tna(900-lo):2:44030,, a renrrrna reher yrna 4So3O,:

flpaiotyF Koaauecuh, ys. V p. OIII ,,n. Tacf,h.., Jlemrrra

-e0l' Ioaahary je ga S kg Klrlwaxa ,aafruru ucfro xao ea g kg Jo6yxa. Ko-tuxa je \ena Kpyuaxa, a xotraxa

i,a6yxa,oKo ce

zuaga je

*o*W;'iiiii* * tsgwapo_cKyrihu og KarroilraMa ja6yxa ?

-^--^_I9-T1o_je.lyornav xpyonxa ra 15 ,qrnapa cryrrrla oA xxrrorpaMa ia61xa,

AoManf,rra Jc aa 5_ kg xpyrara (o*rog9 ga 8 kg ja6yri) rrrrarrura lS. i:75 ioapaEnrre EGro mro 6r.nnarsna sa 5 kg ja6yra. To-rira.ir ia;" j GluOvxa craiho zsIFEa_ps,-ErIf, Aa je r&na I kg ja6yxa 6uitS:l:ZS nwii". qo."-itg'*pyrt" g-ajc 25*15:4O AtEaps.

Mqm hM, yr. V p. OIII ,,C. Maprontrl.., E. fpq.Wrc

OBsl. 5

lJst. 6

_ahe4

lJ

t77



C) 3a yvenuxe VI u VII paspega

6lO. ,\oxazafru ga y upouseohHo^t c<yiy rbygu Eocfroje 6ap gea voeexaxoju uefiy qrauoauMa moi cKyua uuajy ucruu 6poj iloznanuxa.' flperuocraBtrMo Aa y cKy[y vua n rby4tt. Moxe ce Aecf,Tr{ Aa cBaKtr xnaa 6apjeAnor nogsantr(a. Ta.qa cBa(n oA n Jby6u uvra l, finu 2, unn 3, ma., unn @_I)rlo3rraur{xa. flawrc, n Jb,yAn, flpeMa 6pojy nosnatura, rpe6a pac[opeArrrr{ y (n-l)-y rpy[y. 36or rora ce lropajy nahu najrvrane gda roaexa y jeanoj rpynr, rj. Haj-Marbe ABa voaera urvrajy jeAHax 6poj rro3rraunxa. Moryhe je Aa nexo oA oBr{x JbyAane nosuaje Huxora. TaAa ocralu rby1rr tr3 oBor cKy[a Mory r{Marl najanure no(z-2) nosuaxzra. Osor tryTa n rbyatt rpe6a pacnope4urny rpyne xoje urvrajy 0, l,2, ,..., (n-2) rro3uaHfixa, a ro 3uaqr Aa nouoBo rpe6a pacnopeAvrv n JbyAr. y(o-t) -V_ rpyny. .{axne, r oBor rryra 6ap ,qsoje npuna,qajy ncroj rpynr, rj. tuajyjeaHax 6poj no3HarrrrKa.

Ctodogau lfefrpoeuh, yq. VI p. OII ,,8. PaArqebuh.., Cegnape

6ll. y IipaeoylrtoM wpoyi,ty ( fipaeorcywaou tappxy*y) ABC uoeyueua jexuiiofrevy3una aucuaa CD. Hexa cy cpeguwwa ( aotdtuua) Kafrewa AC u BCpegoM fraqKe E u F. floxatautu ga je ytao (xyw) EDF up:ae.

Tpoyrnonn ACD n BCD cy npanoyuu. IIo-rnara nau je oco6una 4a je xnnorery3a ABa rryra Ayxao.q oarogapajyhe rexrrrue ayxr. 360r rora je DE::CE (cn. l), na je rpoyrao CDE jegnarorpaxn tt4EDC:4 DCE. Cnr.runo, rpoyrao CDF je jea-Haxoxpa(r, na je r 4 CDF:4 DCF. [axrc, 4 EDF:4 EDC*4 CD{:4 DCE+4DCF:4 ECF:90"Iuro ce R rrpgalo'.

.. CHe)tcaHa foeuh, yt, VI p. OItr ,,8. f{yroureruh.., florrana

. D) 3a yuenuxe VI u VII pa3pega

612. Ha fraita je Hafrucavo HenortuKo ttrycena u HeKoltuKo uunyca, ,\ozeo-meno je Fpucawu 6uao xoja g6a 3reKa, sailucyjyhu yMecfro jegnaxux snar utyc,a yMecfuo pa3rtu4ufrux suax uuriyc. ,qoKa3autu ga 3HaR xoju he uocnegftu ocuaililtm fraftu He 3a6ucu og iuoia xojuu pegou ce 3Hat4t 6puwy.

Oqume,qno je aa o.q 6poja nanucanfix myceBa He 3aB[cu xoju he 3rraK rraKpajy ocrarn. Hauue, cBaKa ABa rrJryca aajy jeaau unyc, a jeAax rrryc u MuHyc 3a-uesyjervro MnHycoM. ,[arne, [pr{ cBar(oM xou6unorary nnyceBa je4an nnyc ceusry6r.r ,AoK ce MnEycu uory ntry6zru je4uno xaA ce yguprajy y [apoBr{Ma E TaAace cBaKr{ nyr 6poj Mnrryca cMarsu 3a 4ra. Ilpeua .aoMe, aKo je yrynau 6poj nanu-canr{x Mnrryca uaparr, orrn he ce na xpajy cnu niryburu tl ocrahe 3Har rrJryc. AKoje 6poj Mrrnyca Henapau, TaAa he fia r{pajy rpeocrarfi jegax uuryc, jep he uo-cneiqrbr rrap 3rraKoBa 6uru je4an nnyc a jegan Mxrryc.

Iwian Angpuh, yq. VII p. OIU ,,H. Jenuszd.., IIIabaq

Ao ncror 3aKJbyqKa MoxeMo Aohu je.qsocrarrr.rje. Haurvre, H3a cBaKor 3rrarca,rIJryc rrJrrr MuHyc, Aonncahervro 6poj l. Caaa 6prcane ABa 3na(a oAroBapa MHo-xersy ABe je4rnrrle, ora6AeseHe o4roaapajyhuM 3uar(oM. floruro Muoxerse He3aBIIcx oA peAocneaa H Eaqrua rpyflIlcalsa Mrroxr{TeJLa, To he pe3ynrar Ha r(pajy6rru *l artu -l,3aBncgoo,q rora Aa Jrtr !{MaMo rraparwm renapan 6poj lrtryca.

Epua. Vpeg.

178

Cn. I

613. V frpoyitty (frpoxyfry) ABC je BC:10, AC:14u 4 ABC:6O".Ilspavyaafru gyxu+y gyxu (gy'tuny gy-*uqe) AB.

Hera je D uonrroxje Blctrrre r{3 TeMerra C ya ctpa-,{vt$t AB (cn. 2). Tpoyrao BCD r,vLa yr{yrpaurrlye yrnoBeoA 6@, 900 n 300, ua oE rrpeAcraBrba tronoBuriy jellsaxocTpa-r{Elrllor Tpoyrna.

36or rora je BD:S n CD:51/T. Cag nprnaenrrvro Cn' 2

flrraroprry reopeMy Ha upaBoyrmi rpopao ACD n Ao6njeMo AD:

/Gcy4cDty: VM,ls l/{),: V-m:lt. flpeua roue: AB:AD+ DB:ll++ 5:16.Maja Centuun, yv. VII p. O[ ,,J. flouosrh.., HoBf, CaA

E) 3a yvenuxe VIII patpega

614. Axo ie 6poj 4x*2y*z gerbul ca 8, ouga je a Apo4uQpenu (frposnaueu-xacfru) 6poj xyz gelbua ca 8. fioxazatuu.

Ca 4 xt2yIz:8 /c orra.ruvo aa je 6poj 4 x*2y*z Aerbrrr ca 8. Bpoj$za3pa3uheMo r{a crreAehn rraqr{H: xyz:1nx+t}ytz:96x*8 y*4x*2y*z::8 (12x*r)*8k:8(l2xiy*k), uno 3naqr .qa je 6poj xyz ner';us ca 8.

Pemfra fujn, yu. VIII p. OIII ,,Cbouerurr HOE.., I{epxno

615. Hag KpyioM ttolyupeuauxa (pagujyca) 5 cm ,ocfuanrbenu cy ca ucfrecmpaue ycupaaan aarbaK u ycupaaua xyua. Oea gaa.werra uaajy jegnaxe iloalrrauHe(o{ttrowja) u jegHaKe ilIteMuHe (eoayuene). Espauym&u iloapauHy u iaupe-MuHy oHoi geta Klue xoju tectcu y 6artKy. -

LIg je,eraxocra 3atrpeMf,rra ,'nh:!r2rH, Ao6s-3

jarvro oery E:3 h, a a3 je,quaKocru rroBprtrr{Ha rsnasn2r2 t*2 r r h: rz n + r t.r, oAaKJre, cMerf,yjyhu r:5, no6u-jar'ro s:5{2&. flpurvrenurmr.r fluraropnHy reopeMy HanpaBoyrnu rpoyrao SOA (cn. 3), go6ajaMo s2:r2IH2,oAHocHo: (5-12 h)2 :25 +9 h2. Cpelnaagena 4o6njeuojeAnaxocr 5h2-2Oh:O, xojy lroxeuo npeAcraBr{Tr yo6au(y 5h(h-4):0. Peurene ore jegnarune je h::4cm, na je H:72cm n s:13cm. Tpeba jour rrpayy-

uaru gzr,vrenuje xyne vuja je rucnua SOr::.Il:8 cm.5

Tpoyrnoau SOA n SO.A, cnuttat cy, ra je OrAr:

22:- r \ SA,:- s. Tpaxega 3anpeMlHa je paenuxa 3anpeMHrre ABe Kyrre:3'3'

I I r2t2 2 l900trV :

- r2 rH -- l-l zr - IJ:- cm3-3 3\3/ 3 27

Cr.3

t79



/Ilorpurma jc jetrara a64py uoapuuua pajy rpyrona, yaeharou 3a pa3reryoMoraqa .qBejy xyna:

' p:r,"*(+r)',r+, " r-|', * lr-$,,,"-r

Baaqo Po6ap,.ys. VIU p. Om Ba.qer,a upn llryjy

F) lla yqenuKe asux pnpega

6f6. Ha tuaxoecxon nylHuyy 3opau u 4y:ogy cy -oguiparu cse ilapfuuleus ilpeux S xota, a onoa cy_nafrycmutu aypnup.Tdii-irtii"i;-;;;r;;; fiurporoxyano 38 fiapfruja uaxa. ,\a rra cy oaa ;*irrrp iiuipan aoparn'i'iiiT c-fipyua?Ha rypnnpy je 6nn9

lxme og 9 yreqrrra, jep aro 6r rx 6nno 9, raga 6r cef,rp'lrro 9 xona r y cBaxoM xory uo.4 iapraie, ilio"."oc"

36 uaprxja, 2naprnjeMar*€ Eero rra EarneM ryprrrpJ. Aro je rypxup noreo cil t_o y"""r**i ,iaL1io" o"a ce o.qf,rpa 9 xona n y cBar(oM_rro 5 uafrnji. v uorrx 5 _xona JêcrBo&ura cy cBf,ramellapr f, oAmparu{ 5 L rj, 25. uap14ja. .{o rpija rpe6a olirp"i"-ilil? *""u.Axo cy, 3opbx r nyuran. n'p:rEf, jegas c tpyrrr"r,,oqqa

y cBaxoM EapeArroM xorrympajy ce uo 3 uaprnje. lo "puj*

-yxygoiiir"pii:", Jep cBaltr uyr xsojlrra ylec_

ff*=1fu s,,sgf i,#i:l',i:Trffi T#;ffioaa. VroMr(o-rrympahe-ce upeocrar; 4 rrrt#: f, y rgM cnyrajy y trocneArsa4 xora oAmpahe ce 13 uaprr-ja, wm"a "ypri"pi

v*vd. ie, *6-#o j"?"i*""o

y 3aAarry. Aarle, 3opau r ,flyruan"rcy

-zipa.iri j",qu"

"

ApyrxM.

Josee Rpafruup, yr. VIII p. OII ,J. BecerrsoBnb.., Eeorlra,q

617. Ceaxu wsek. og ,agaq*K? ofiuuaja pyxocatta go garac, pyKoeao ce og-efien 6poj avâ. floraza,ii gap owiiiiiiiiii'i'ce Heilap@t 6poj Evfra pvxocaau,Itapan.

DOSTAVILI SU PNAVILNA RESENJA KONKT'RSI\MIZADATAKA IZ M.L. I - 5

' rv rrt d.-Dor{.r16 Arek'njer, os Ds. vcrikoyie<, Eojnik 562,580. s8t. i90. s92--.BlS $tl45Sl;ir-ii&;'*.,_seui" jzr,3d,iiii;-iiifaiiqde co.4 os,rta. *ioo,,",?,tff3i566,s67,s7z, SZ8; lt[rrtuLov Ic.or_,-os D2t. mijn, Nis sso, Ssili{itosrdj&t-6i-,'oS*ia.A"aieucu

ffi F,#flffi ;ifl #;"trr#,$.fiffi:ffi Hn{iEif;:flqrjilf,#l#***,yff

Effi,ft &eitPJ;i1",r$[:iJl"trJf"'€';J]tii$fll,Ht#y,Tr

9.r,.5e6,603; Bditri Mllr., os-lg. v.'Eq"lfl,_ n_. Gndlltc s4, sso, iiz j s.;"f iw;l6s'"r. cun-dutid(,-8cocrld 592e59t, j9j, 603, 6O,f ; Bietid Jeten+ OS D I. c;;durta(-d..piO-S'iil3il],yrt *-rt;:;;blis-.'i.-.;i&'iil,4pgAg, sii-,Er]sCilss3-5e6,603-i Doioyic Vr,"ri;"13's$!Sgedtic(, Priboj.580-583, 59_3, S94, sgd,6oi; ro;ogC Saelinr, O! "b;:b. t;ii-r;;;;Eft'* sSr_

fi b#^'"*i!:"$3rtr*,H,1pif ,$ffi,r",f ,**".r,lt'f,l;,ft ffi -1.fl_;-fUtr;ar_.i:ii*d"ff ,s#*illrf

,ijb:f ii,"f; s:rriffi,iffiiffiffi'.ry_i.ffi

595,603,6(X; Clr-id Bruh, OS r_P. Tasid<, V.'Idnica 593,59Piror 592=595; C-lttrd Milu, OS ED. Iaklid(, pcrtcz 579-58(PoDoviC( Tatkovo 59L596; Diniaijevid Deniieb OS DD. J

ffirjl#rd,:!*:f ,",?:"J*'il;f"?'o'J.ii,il1'd8';il"l*:#$j#;9311i;$.'ffir;rac.;p,;d.'rd M;;: iiS i-r. {r&!iuci, n ig'.liTsrl lss, ssa;re'diiil_ri#"Hc]{fi'&;:'6:ll',tfi:Bcqr.d t92-595, 603,6Of; Drni6 Alc&rudlr. OS rB. Rrdiariie(.-Bcoma Seo-ini-{ii:iffi :i,ib$',nugi.r;'"s#*'r,f.ttrfflii#Hi:Tr,#96; Gli:orid Vcol OS ,fV. f.osovlcl, Sabsc 566, -56?, Stt, StA; Crtrft Srl+ 'OS}i.'ilaOiciviC*,

ffi fi"3h#'"91'1il"Sffi

lintit#:,$.'l?b,i?f filff i#ffi ia53gr'1fr;c-:

ffi ffifi.$"f ii,ffi,ffi'p,lH#;titr##nTffig'#f##li6 Srnin,-OS rV. _Vlahovi6<, cradsBc-593-j9S,_ CO3; Irritorid 3A{, O-S;i..q;iur-iiu-,'naog"O59.?-s99, &-3, ffi;-I{qpri6-Irur, _OS r2t. maj<, Nis 592-596; IvrnliE Nivs. OS "-V. ii.ior<, pot-pi$n 555.5!e,s77,57_t,572,58o-$r.; J+ic sfrili" vokridi 5s3,536, scs,su\sio,itzlizrilSiz:sgd;

iSSfr ,'iffi:?t':id:$?5:i#?3,,iff 'd3';'lkilluli'aii3"il';liP*ry's";f,irjtli*t6-ih.;-i'ig-$,-r, -<i--^g.ri$;d;;s-,i 5e;;rli'edg; r*lc Sri*"f,b3;fr. fiil"t'til,g:9+.52}--583, try, !22Fs96. @3,_q4i Jch.. Alstrzri+ OS_rr_.^^nog91i{L,-x_S"o Sc2_sis,'60irlolid Jdiiell, os rM. Ko$vrc{,-ssb8c 566, 567, 57O,577,579, 580, 582.5t3: .lmua n .;lri.ijslD_..T. - Kgphr<, KDjatgvrc 5y2-59\ 601; Jcvti6 Brulre, OS rC. UitoeavUcviC<. pcc-tl-i6t59;;!O3; JonggJi6-![r}o,-OS rM. Koco'ac<, Sibc i7}-5S3, ir90; Jovuovi6 -Miii"", OS ,S. rilroUCo

ffi:i&_*:git";F;i!,:s,?.3,s"&'szlt;Jit*,"i:ffi ,1.,:,st,ilJ"H*

f;_lf.,r3sdlf ;.lpryiffi lffi tj;;"ffi.f*.:ily;l;T;*f IX*H:H-o-q

Dv_.-Ihrdrdc(, Y1raF_589, 5E2, 583,593-595, @3; Krmnovid tvqr, oS U. bt<i"rii-,ild*sac.592-.595.6{13,604; f,raid nrdc,.9-S r-I. Gundulid<,'Eogsd 592-596, eOf, OOI; Xrcie Snclrl-Oil-;rd;tg"tgr1, lrcgjq4a 593-!96,603; Krr.i6 Suzrne, OS tPartizlnski 6racr, Driugovic lSl-S3S, iCa:596,603;-{${f-El$_1 oS rY._Vlrtovit<, GndeIac 5f-5El; xltc_roo oefu, q$ ,r. nioiccric<,Acosrd 579,

'_ry,5_82, 591, 592-_5_96;_Kerde! Veor, OS DI. c-înddiC(,-BcotAri-SgZ-SCj,-60i-6iX:

Xocl6 Drrrrq OS rR. Vu&idcviCc,Nit-580, 582. 5E3, 593-516, 603; Irueiur Etiabcr* OS r'SrorircniliNOBr,-ccr-lqo 5to_-tE2_,_592,.593, 595; Ulrr M.rt!., OS sDodcnik I,ioa<, ccrtno jzc-s8f

, S90,592-596, @3i,IrrEryli Trrir,-o-S rv. Kradtiic(, ttitoj siq-sgl; M&dh;d6 Uin-OS ,i.. r-yengyicn-PryLio._166r.5_69,-5?0, lP,5_E2,58.3,59.2-i94.603; M.loitoddMitu, oS rC. Miloserrycvit<,Fgckr_5E0,5t2; Mrrid Arlctr,-oS_lP.

-4Fic.ti9tBgosrad g9?:+94, rco, dor; Ml.h[;dc d'dili

QS- rp.-Icr-!9vig, T. U-{fc 579-J83; Mrrlovi! P$dnr, OS d. Pop6vid<, N,-&a siio-jsr. ss2-f95,-601-{p9;lt@ovic l4c! O_S DR. Mirrovid(, Crrr[ seo, st2ts66, S('., sio Stt,-ste; lai.rroriesv3tl.!.! os rq Milor.yliwic(, Flck 58o, 5E2. t83, s93, 596, 603; Mrrtovid v;rr. os ld. trtitosav-licvi6(, Icct t80, 5E2, 5E3, 593-t96, 603; Mrrid Cotur, Bldclri 593-596,603; Mituovid Tlt-E!., OS )M. Xoaovsc(, Sabrc^t79-rfEg!.5E_2! !E3r 590; Milivoicrld Al.k'|!di OS 12. pepqtd(,Ylr_dinirci 5t0, t82, 5E3, 592-595. @3. 604; Mitivoicvi6 vhduir;os (Krrrdord€i, r.orrait sCir-sgr.59iD-95, (p3; Milolcrid Ia* OS rE. RadiCcvidr, Scdlrrc 5?F-58r, S9O, S9t: Miri6 Xirrli OS

"n.i3rroyi6(. c-!-r.f'5)-5t3.90,ty2-5p5,&t,g; Mitrrri!.Dric p*u.o$ rA. srvcid(,vrti:vo 592-

yrehaaayft ytra'e'rDsa2:g^T_t*Ar.&-;)*it,-j;il;"tr8:J):"re;ffi:ffi6poja xeuaprurx Epojeaa je iaxoDe

";""i,il'fi;j:'fi;i.tri;;?fi1",.1iil *""l":!16poj rvra pv*orarrrr Ee-Moxe 6utn ieil"fa". H*d;il;6i.6i,i op*1":!1 6poj rvra pvxo!a.,'r Ee'Moxe &;t ;d6;;: iffi;3#' A;

,eBa Eer(oBtr ( pyroBaria 6no nenapax, llro 6r, caEpauo ca napnsm 6ooir

36rp 6poje_ra py(oBarbaTo oyg, uopa 6rrr uapar, jep cBaro pyroBace

JeBa Eer(oBtr ( pyroBaria 6no nenapax, llro 6r,r^vDqlD4 uru rEuapaHr rrrTo oE. qroDarro ca traprrEM 6pojerrt OcT:UrD(qry9"a*a, A:uto Hetrapau yxytr:ul r6rp. Oro, rao'mro

cvo Bnlrelnr- mie vnruha -cMo Bf,AerrE, r.qje voryhe,na sar*yryjeruo Aa ce uapar 6poj^yA"

py{;;;;;;;6-pA;;1":3opan fatun, yr. VI p. OItr ,,Ilprr rompec VCAOJ-a., Erxah

NAPOMENA

. . . Prilikom..objavrjivanja re$enja konkursnog zailataka br. 5g6 u ML XIV, 4zostata je zavrsna redenica teksta,-koja j;;ffi";;,s;-,"d" iiir"i*Jip?o,n*ioloiaia.ou*F3i krug g_g9-u_rne

;a.isiJ irl{o;.ii ovos @ntra, pa ce do povratkau podetni pol-iaj nadiniti ukupno 4 obriijal..----Izvinjavamo se zbog udinjenog propusta.

180lEl



- V r.zrcd. Andi6 Zoren, OS DD. Jcrkovid(, T. Utic. @1=ffi,616, 517 Anoovi6 Errnt<o,OS D20. oltobar(, Bcograd 605--609, 517; Auuetinovid Zorice, OS >J. J. Zmais, Sot 592-596; B.lintMertr, OS DS, Markovid(, B. Gradistc 593, 595,603,6OE,-609; Beliid Miloie. OS >C. Milosavijcvid(,Pccka 553,556, 5_65,592,593,508,609; Bikicki Drrgen, OS >J. Popovid<, N. Sad.605, fi1-69,617JBogi6 SIevim, OS DV. KaradZid(, Potodac 592-595,605-609; Boiti6 Rriko, OS C. Milosavljcvid(;Pccka 592-596, 603,604; Bgiovid Dregua, OS EB. Ragiacvid(, Bcograd, q05-607,609,617; BoiovidSnelua, OS >D_. Mi5ovid<,CaCak 608; Bolevid Sela, OS )V. KaradZid<<, Cuprija 592-594,595; Bo-rozan Srdrn, OS )B. Radidcvidt, Bcograd 553,555-557,605--{09, 617i Bnrtit. iledoika. OS >A. Sav.Cid<, Valjcvo 592-595,j05--507,609; Brrdid Snelma, OS DKaradordc(, Beograd 553,565,593,595,60J; Bruii6 Drrsene, OS >J. Popovid<, N. Sad;54, 555, 557,5_65,605,5O5,608,609; CyiFrid Sirisr,QS DV. Karadtid<, Priboj 605, 608; 609,617i Celori6 Dino. OS >v. Karadzid(, Pribcj 6Oj. 5OZ, 6O9iCukrlovid Sloboden, OS >S, JanjiC<, Vlsotinci 579, 580, 582, 605,607,608, 609; Curtin Milin. OS >D.Jatsid(, Pcrlcz 592-596,60d.,.6qir-q08, €09i D-e.i6.Duijels, OS >V. Kalrdzid<<, Cuprija jSf, SSO,564, 5_651 592-59a, 596; Dqlrid Zeliko, OS )A. SavCidt, Valjcvo 592-596, qos, 606; Dozet Snetena, OSOS >J. Popovid<, N. Sad 592-596,603, 605, 608, 609; Drelevid Uro!, OS DB. Radidcvid<, Bconiaa.592-595,605,608,6O9; Dordevid Alekrander, OS >S. VcljkoriC(,-Bojnik 605-607, 616,6t7t DoraevidMrine, OS >8. Radidcvid(,.Eco8rad 617; Dorilevi6 Miodreg, OS DKaradordc(, Eeograd,605,607609,6l6i Dui[i6 Dregu, OS DA. Savcid(, Yaljevo 594, 995, 609, 605, 607; Duorid Meriia, OS >Ka-dorde(, Bcograd 592-594,596; Ergeleter AIekrudra, OS >J. Popovidr, N-. Sad 606,608,6O9; Gavri-lovi6 Daniiele, OS >P. Tasid<,_LcSnica 605, 508, 609; Hasanovi6 lego, OS >Sutjeska<, Bektiai 60j-609,616:617-i-llif .s-m-Ig_mr_QQ >P. Tasii(, L_e$lica 605, 607-609; Je_kid, Sl11ica, OS >R. Mitrcvid<,CaCak -605-609, 616, 617 i Xelderon Deien, OS DB. Rldiac\ id<, Eeograd 605, 606, 608, 609; Xoci6 Drajqm, q$-DR:_yu!i&rid<, Ni$ 505; {eiui4 Sredko, OS >M. Ivanovid<, USdc 605,607-609; Kovetevi6Dregoljub, OS >P. Tasii<, Lc5nica 593-596,60_3,605, 607-609, 6l?; Lrzovid Retko, OS >V. Kar;:dtid(, Pri9oj_593, .594,.@4 Likrr M&titra, OS >Spomenik NOB<, Ccrk_no 605, 608, aogi MerjuovieRrlice, OS )D. Jcrkovid(, T. Uticc 605, _609, 609; Muiuovid Verne, OS )A. SavCiC(, Vatjevo 592-595,605--{07 609; Mrnoilovid !,t-r-l-en,.OS c. Milosavljcvid(, Pccka 592-594; Mrreiid Ve-ae, OSlf.Pandid<,_Bribir_592-;96,603; Milivojwid Alekmnder, OS >2, popovid< Vladimirci 60j-609, 6tZaMiraSevii Nearfu, OS DR. KovadcviC-Maksim(, Lcbanc 580, 582, 583, 592, 591-596i MihesinovidL$t:9$ >S.

.S_avCid<,Valjevo 605--{O7,_609; MiIid N-.r.Is, OS DR,_Mitrovid<, Catak 601--609, 616,

617; Motnik Alenkr, OS >Spomcnik NOB(, Ccrkno 60J,607-609; Mosurovid Eiljene, OS >v. i,erid--V-altcr(, P_rije_poljc 605--609; Nikedinovid Suane, OS >Karadorde(, Bcograd 605-609; psnielidLiiljrnr, OS >C, Milosavljcvid<, Pecka 605-608; P€trovid Dnrenkr, OS >N. Ma6kid<. Ktiud 394-596.99t'e9?; PopoviG Milke, OS >C. Milosavljevid<, Pccka 608; Popovi6 Zoru, OS >n. irlirioviC<, Cala-i605-609, jt6,6!7; Putsa Aleksrndn, oS >A. Santid<, vajski 529, 580, iB2, 5s3, 592-596; Risri6ao-iene,_OS DN. Popovid(, Kruscvac 695, 507-609; Rradelovi6 Sleilu, OS >M. Vukovid-scljak<<, Ba-rajcvo

{92-596i.stukovidYerice, OS >R, Mitrovid<, Cacak 605-6Ol,612;

St.Doilorid fiiiror, OS1M. Milo3cvid-Copo<, Mrtajevci 580, 5q3, 593,594,605; Stoiifikovid Jelene. OS >V. K;rsdiid(.Cupriia 592-594, 596i Tturie z'oricr, OS >A.-SavCid<, Vatjevo 592, 594, 6OH0?; Todorid Zrko.gS >C. Milosavljevid(, Pgcka 556, 580, 592-59o; Uljrrevid Predrrc. OS >V. pctapii<. Zenica 605-6@,,517i Yaeid Jelem, OS DB. Radidcvid(, Bcograd 605,602,609; Vl6etrtid Aleksr;ds; OS DR. pavi-

f:iC,tP. _BaSta.605-{09;_!oiinorid Tetiur, OS D B. Radi8cvid(, Bcogiad 529,580,582,583,605,q7: ffi9i, Vukovi6 DuIm, OS >Karatlordce, Bcograd 605-009, 6lt; Aikovi6 nd'irortiv. OS )D. Da:DiCiC(, Bcograd 605, 607, 609.

_ Zbg nedostatka prostora u ovbm broju ML spisak nagrudcnih rciavalacazadgtafa i spisaJc i(ola iz kojih le najvedi broj udeiika u1eitvovao u refovanjuzadaraka bite objovljen u prvom broju ML iduie lkolske godine.

- _ Medutim, dodeljene nagradc rciavocirna i diplome lkolama bite upuiencvat do kraja ove ikolske godine.

OBAVFSTENJE

1.

.Kao_i svake godine, Drultvo matematidara, fiziEara i astronoma SR Srbijcorganizovace u toku ovogodi54ieg letqieg odmora svoju r,€tqiu skolu mladib mate-qltitara koja ce raditi u letovali5tu >Suplja stena( kod Beolrada izmedu l. julal0 avgusta.

.Zbog- povedanog interesovaqia uCtnika za ovu Skolu, za ow godinu pred-

vitleni su sledeci tedqievi:

188

l. Od 1. jula do 10. jula desetodnevni tetaj za ud. vII2, ,, 1I. 20. ,, ,,

3. ,,21. ,, ,, 30. ,, ,, ,, V ,,,

4. ,, l. avg. ,, 10. avg. ,, ,, ,, I i II r. usm. obraz.

Oena boravka u Irtnjoj Skoli iznosi za ulenike osnovne Skole .t 700 din. po

osobi,azauCenike usmerenogobrazovar$a I 900 din. po osobi. Troskove nastave

snosi Matematidki list za udenike osnovne 5kole,Svaki od ovih tedajeva vodice po 2 nastavnika, odnosno profesora koji de

u toku 8 dana raditi sa udenicima svako pre podne po 3 dasa, obradujuCi sa njima,

prema predvidenom Drogiramu, odreden, broj tema izvan okvira redovnog Skolskognastavnog programa iz matematrlke. Jedan dan je predvitlen za obilazak Beogradasa okolinom i jedan za spremanje za povratak.

Kako letovaliSte raspolaZe sportskim terenima i bazenima za kupaqie, svakopopodne je udenicima obezbedena raznovrsna sportska zabava.

Na tedajeve se primaju samo ud€nici koji u Skoli imaju odlitan uspeh iz ma-tematike. Prijave se primaju za svaki teEaj najkasniie na mes€c dana pre podetka

dotidnog teCaja.Prijave treba slati na adresu: DruStuo matematidara, fizibra i astronoma SR

Srbije, Beograd, Knez Mihailova 35/lV' p.p. 728.

2.

Zanagratlivaqje u&nika na kraju Skolske godine za odlidan usp€h iz mat€matike preporuduj€mo slededa nasa izdanja:

1. V. Stojanovid: Odabrani zadaci sa matematilhih tahmilenia (drugo do-

puqierc izdanje)-

20din

2. J. Pereliman:Zaninrliiva geomehija

-60 dtn.

MATEMATIEKA RAZONODA

NEKOLIKO IGARA ZA JEDNO I DVA LICA

Niz postupaka koje izvode jedno ili vi5e lica po odredenim pravilima, t€Zeci

nekom cilju, a samo radi svoje razonode, nazivamo igrama' Igara ima razliditih.Sa gledi5ta matematike od interesa su samo one diji ishod zavisi, bar delimidno, od

kombinatorne moii udesnika, od niihove sposobnosti da od nekoliko moguinostiizaberu onu koja je svrsishodna, jer je to potrebno i pri reSavanju matematidkihTadataka.

Zbog toga se desto razne ovakve igre iznose i u matematidkim listovima'pa se u vezi sa njima postavljaju i izvesni zadaci. Mi demo ovde takotle inzeti opis

nekoliko takvih igara.

i VIII razr. osn. Skolc

tt t, ta tt

VI

IGRE ZA JEDNO LICE

RASPOREDIVANJE BROJEVA

a) lJ nacrtane krugove na sl. I rasporedite brojevejeva sa svake stranice trougla bude 20.-

b) U nacrtane krugove na sl.2 rasporedite brojevejeva na svakom predniku velike kruinice iznosi 15.

1-9 tako da zbir bro-

1-9 tako da zbir bro-

189



sl. Ill sl.2 st.3

--c,l Brojeve l-16 treba rasporediti u nacrtane krugove po osmokrakojwezdita sl. 3 tako da zbir brojeva ni stranicama svakog kvadiata uirde :+ i oa"uiirojeva na temenima svakog kvadrata bude 34.

KRETANJE U SKOKOVIMA

. a/ Nacrtajte na hartiji pravougaonu mreZu kvadratnih polja i razmcstitepo njoj 16 numerisanih Zetona, onako kao je to predstavljeno na'sl.-4. svaki ietonmoze se qre$citi preko zetona-pored. kojeg se nalazi na ilobodno polje, poste6egase preskodeni ieton.uklanja. Skokovi po dijagonali nisu dozvoljeni.

- --Igra se sastoji u tgme da se postepeno uklone svi Zetofu, sem poslednjeg

Tadatak treba izvr$iti u Sto maqie potea.

ex9L? t2 t3 t1 t5 t6

tXz 3 1 5 6N7 I

sl. 4 sl. 5

b) Iedm varijanta ove igre sastoji se u slededem,

_ Po kvadratu, izderjenom na 25 jednakih polja, rasporede se 17 numerisanihiletona, onako.kao 5to je po predstavljeno na sl. 5. postupik i cilj igre je kao u pret-hodnom sludaju, s tim Sto su sad dozvoljeni i skokovi po dijagonali.

IGRE ZA DVA LICA

IGRA NA POTKOVICI

Na hartiji se nacrta staza liakva jc predstavljena

na sl. 6. Jedan irrad imadva bela ?tory, a drugi dva crna. Igradi n4jpre stavljaju, naizmenidno, svoie letonena po jedan slobodan krutid. Kada su svi btoni postavljeni, svaki ilrad hoie dapornera svo_ je retone sa jednog polja na susedno polje samo pb powcEnim linijamaa gubi onaj komg se prvom dogodi da nijedan svoj leton nc hoie nikud da pomeri.

Moie se dokazati da se ova igra uvek zavr3ava bcz pobednika ako nilo odifrata nc utini nitatav polrcIs! potez

r90

st. 3

r-\,

st- 5

e

st. 7

Priredila E, Manuzid

l9l

KAKO DO SIGURNE POBEDE

Nacrtan je pravougaonik koji se sastoji iz 8 podudarnih pravougaonih polja(sl. D. Na qiemu leic 3 Zetona. %toni se mogu pomeriti samo u smeru nacrtanestrelice, svaki od qjih za proizvoljan broj polja, s tim da se mogu postaviti ijedan pre-

ko drugog.Igraju dvoje. Pobednik je onaj koji posledrrii postavi Zeton na polje a. MoZe

se dokazati da prvi i8rad moie igrati uvek tako da siguroo pobedi, pa ma 5ta diniodrugi igraE.

KRADL'IVCI I EUVARI

Nacrtajte na hartiji ono $to vidite na sl. 8, unekolko uvedano, pa na mesto

crnih kruZida stavite crne Zetone, a na mesto belih bele. Zamislite da crni letoni pred-

stavljaju kradljivce, a beli duvare banke i da oni od strane dva igrada mogu biti po-

kretCni nasledeCi

nadin:prvi

odigrada pomeri svakog od igrada na njemu susedno

potje; zatim drugi igrad pomeri svakog od kradljivaca na isti nadin, itd., sve-dok svak-

bd duvara ne uhvati krailjivca kojeg goni. Ibdajedan od duvara ushvatijednog odlradljivaca, onda qiih dvojica izlazeizigre,agonjenje drugog kradljivcg se nastavlja.-

Motc izgledati u prvi mah da se gonjerfe moZe produiavati u beskotradnost.

Medutin, ako se gonjenje pravilno usmeri, kradljivci nece modi umadi.

+++++++

+++++++st. r



REZULTATI KONKURSA ZA NAGRADNI ZADATAT BR. 66

- - \"S enje zadatka. -- Cbtiri kocke mogu se na 7 nadina postaviti je-daa do druge tako da svaka

-odqiih ima bar po j;dnu-;jedoictu- rti"ou.i-?tour

drugom od qiib. Ti poloiaji su sledeci:

ffiffi#r. 2 st. 3 st. 4

sl- 5

ffi-rysl. I

D_-opredvi<lenog roka-stigro je_ukupao 9g4 odgovora, od kojihje550 bilotadno. U vezi sa tim nagradeno je ll0 r*avataca.

st. 6 st. 7

NAGRADENI SU SLEDECI UCEIYICI

IY lga. Bhgoievid Borko, O$ )D.. Iak5id(,-qrpri_ja; Kncfevid Mitra, OS $. 6tkovid(. Bceit{c_o^na,oS >D. Jakiid<i, Crrpdja; SrrDiS c6idifr{-dS-i,L. rvrdsic*, rl*ii-iiilorffrad_; Risrid Gor&, OS ;D. Jaksici, (Gonhnr, OR DA. Mrazovid<, Sombor.

Bioske; Tnikov:ki

VII razred. Biberovid Mirsad,OS DS. Markovid(, Sjenica; Boiovid Vera, OS >r8. setpcmbar<,Pirot; Boskoyid Miroslav OS )D. Tucovii(, V. JeZevica; Deiid Slari6a;OS >M. iropovii<. Graianica,Dgiak Nada, OS >V. Pelagii<, Zenica; Gogid_ Ramiz, OS >V. Nazor<, Kladanj; lvanovi6 Nino,OS DM. Pijade(, N. Travnik; Jane$ Mirjana, OS >H. J. Hribarja<, LoZ; Jovidevid Jovanka. OS >M.Koljensii<, Slap na Zeti; Koiovid Goran, OS DV. V. Savii<<, Lazarevac; Mirirovi6 SaSa, OS >M. popovid<,Gradanica; Pavlovid Mariia, OS DN. Tesla(, Beograd; Pavlovid lyan, OS >S. Sin<teiid<, Beograd; pav-lovi6 Zortn, OS DL. K. Lazarevic<, Sabac; Petrovid Zorica, OS >S. Markovii<, Rekovac; PJporid Me-rica, OS DS. Rodii(, Kikinda; Rondid Zinaida, OS >B. Buha<. prijepotje; Sarid Slavica, OS oj. CtijiCn,Debrc; Savid Liiliana, OS )M. Mladenovii - Celja<, Dudovica;'slavievska NataSe, <jS rC. peteivniJabuka; Stevanovid Zon, OS >V. Pelagii<, Zenical Stojanov SaSi, O. S >V. KaradiiC<, VrSac; SerugeDanica, OS >Videm<, Videm; Todid Jasoa, OS >J. Cvijid<, Debrc; Topalovid Slevice, OS >S. Colovid<Arilje,

- VIII razred. Anti6 Novica, .OS ->8. Stojanovid Drenidki<, Medveda:- Boiici6 Redonia,DC. Milosavtjevii<, pecka; Brkid Smail, OS DN. Maikid<, Ktjud; Ceki6Milrt;"U, OS,rs,'Kii-arouid,iSikirica; Cvetkovid Sladana, OS >V. ZivkoviC Vlatko<, Minidevo; _Doikid Damir, OS >D. Milovid<,Tivat; Br_anka Luki6, OS )V. Pelagii<, Zenica; Miiatov Valeriia, OS >KanjiZa<, KaniiZa; PetrasiDoyidPctar, OS )R. Krstii(, Trsteniki Radovanovi6 Alaksandar, OS >!. RadideviC<; Beograd; RobarVlado, OS Dvidem pri Ptuju<, Vide,m pri Ptuju: Simid Tetiuana,-OS >S. SindeliC<, V. Popovid; Strn-kovi6 Zorm, OS >V. Karadziin, Cupiija; Stmoievid Zoran, OS >D, Obradovid<, Vranje; VukosevDarko, OS DR. DomanoYid(, Beograd.

REZULTATI KONKURSA ZA NACRADNI ZADATAK BR. 67

Re5enj e zad.atka. - Goranov otac je imao 45 godina, a od svihpetocifrenih brojevajedino broj 99 999 ima svojsvto da zbir qiegovih cifara iznosi45. Na osnovu toga Goranov otac je zakljuCio da je broj kupljenog loza bio 99 999.

Do predvitlenog roka stiglo je ukupno 242 odgovora, od kojih je 130 bilotadno. U vezi s tim nagradeno je 40 re5avalaca,

NAGRADENI SU SLEDECI UCENICI

V razred, BoIi6 Slobodan, OS DB. Radidevid(, Batajnica; Kitarovid Jekov, OS )V. Gortan<,Rijeka; Kulid Vladimir,

-OS)I. L. Ribar<, Sombor; Lazarevil Verica, OS )S. Marid(. Ugrinovci; La;

zsrevid Vestra, OS >M. diplii<, N. Bedej; Miti6-Dragan, OS DP. Krstid(, Pirot; Momailovi-d Goren, OS>V. Dugosevii<, Ruma; Mosurovid Biliua,_ OS >V. PeriC Valert((, Prijepolje; Popovid Zoran, OS,))R. Mitrovii(, CaCak; RaCiIevid Branko, OS >F. Filipovii<, Beograd; Trkulja Vesne, OS )D. Krsrii<Beograd; Irvan Saodra, OS )J. Creid Milenko<, Beoein.

Vf razred. Cincovi€ Zorm, OS >IY kralj. bataljon(, Kraljevo; Jovmovid Nikole, OS >M. Igu-manovii<, Kosjerid; Okmovid Ve&ana, OS >V. Ribanikar(, Beograd; Petrovid Slobodan, OS >S. Ra-didevid<, Sedlare; Popovid Ljiliana, OS>N,Grulovii<, N. Pazova; Popovid Velentinr. OSDA.Savtii(,Valjevo; Srdo! Andriiana, OS >Marija i Lina(, Umag; Trbuliak Davor, OS >O. Ker5ovani<<,Zagreb

vII razred. Ba5i6 Zoran. OS >S. Rodii(, Lazarevo; Bieki6 Miroslav. OS DS. V. KaradZiCr<Cadak; Dordevi6 lesna, OS >9. oktobar<, Zitni Popok; Erid-DuIanka, OS >D. Misovid(, Cadak; Iri-tanin Bratislav,-Os-)J. B. Tito<, Beograd; Jelevid Vesne, O-S >1S. Omerovid Car<, Maglaj; Maisterovi6 Danilo, OS >2. Zrenjanix, Vr5ac; Mrkovid Gor3n, OS DC. Mitosavljelii<, PeckafMiikov bra-nislav, OS DB. RadiCevid(, Beograd; Pigac Biserk&_OS >Brada Malek(, Prelog; Stankovid GrozdmrOS >I. L. Ribar<, Grdelica; qtonaikovi6 Draer& OS )rV. Mitrovii<, Beograd; Stoiilovid Vesne, OS>Cegar<<, NiS; Sarid Gavrilo, OS >29. novembu<, Krep5id; Tomelevi6 Miriua, OS DZ. Misir:<, Rajkovid.

WIIrured.Kora.ekValentino,_Os>R.Prokokovid<,Nevesinje; TomaSevid-Miodrag, OS>2.MiSii<, Rajkovii; Tomeqki Milivoie, OS >V. Nazor<, Beograd,; Simid Tetjrnr, OS DS. Si;delid<, V.Popovic; Sain Vikror, OS >I. Gundulid<, Beograd.

t92

matematicki list 1980 xiv 6

Documents