matematicki list 1986 xx 4.pdf
DESCRIPTION
Matematicki listTRANSCRIPT
---- ---:)
OBAVESTENJE PRETPLATNICIMA
. _ .-1. uredniStvo poziva nastavnikc i profesore matematike, kao i ostalc dlanoveda Salju svoje_priloge za Iist: clanke, odabrane zadatke, zadatke sa prijemnih ispitai
-maternatickih.takmidenja, razne zanimljivosti. pozeljno je da svi'rutofiri loil-uccnidkih _resenja zadataka) budu pisani pisaiom maiinom, s proredoml nuiopisirc ne vradaju.
2, Matematidki /rsr namenj-'n je svim uienicima Iv-vIII raz. osnovnc 5koleList izlazi 6 puta u toku Skolske godinc i ro: t5. IX, L Xl, lj. XlI, t. II, 15. III15. v.
3. Godi5nja pretplata (za svih 6 brojeve) iznosi 300 dinara. Narudiocima za viscod l0 kompleta odobravamo rabar (20%, l5%, loft), zavisno od roka do kojeg scisplati celokupna pretplata 0. xII, L III, l. vI). Nikakvi drugi odbici nc uvazavaju sc
. Narudzbine se mogu vrsiti samo. pismenim putcm i lalju se san:o nposrednona adresu lista. Novac za sve narudzbine se ialje. na liro-recun Drustva iatemati-Iore SR Srbije, broj 60t06-678-2t700, Klez-Mihailova 35/IV, ." nurn"ko- ,"Matematitki /isr. Pri tome obavezno treba navesti tainu adrrsu na koju list trebadostaviti i jasno naznaditi na Sta se narudZbina odnosno uplata odnosi.
-
Narudibine na manje od r0 primeraka lista isporuduju sc samo po izvrsenojpretplati. ostale narudibine. treba da budu isplacene najkasni.le na 90 dane po pri-jemu prve isporudene poSiljke,.a.u svakom. sluCaju najkisnije-do 31. V l98d g.Ohoveitenja se mogu dobiti preko telefona 6r.0il{3d-263.{. Redakcija Matematiikog Iista raspolale sledeiim do sada izaslim godiitima
Matennriikog lisra: XlIl, XIV, XV, XVI, XVII. XVlil i XlX, koji.. pr"oOuju poccni od 150 dinara po komplctu.
s:m toga se od posebnih izdanja Matematiikog /rsta mogu d,obiti: Zbirka rc-lcnih zadataku sa marematiikih takmiienja udenika osnovne ikolcltrece. doounieno iz-danje) od V. stoianoviia po ceni od 220 dinara i Zabavna matematika'od
-o. klep:ca
po ccni od 280 dinara po primerku.5. Mole sc poverioci Matemari(ko.g rista d,a izmire sva rosr;rra dugovania6. Sve priloge, p:imedhe :ur.r .libine t.i iskljuiivo ., . :.dr rlltetemrtilli list, Knez i,lihei,o"a lS/t' 2. p.72t, llfi), gcognd.
MATEMATIETT LISTZA UCENIKE OSNOVNE STOTE
XX
4
SADR2A'l. P. Dimic: Odmeravanjc teCnosti pomodu datih sudova.]. !. P3nc: Jedajr nadin pribliZnog izvcdenja kvadrature kruga..l. P. Tasovii: Terenskr merenja pomodu najprostijih insrrjm.nutu . . . ..{. M. Mrmak: Radunarif. FU9. pitanja i zadaraka za proveravanje stedenih znanjaiz matematik;6. za.daci sa republickog takmicenja udenija osnovnih st ot" si ii-uij"7. OJabrani zadaci8. Konkursni zadaci9. Re5enjr konkursnih zadataka iz Maten:.:atidktg listaXX,2 ... ......
97l0l102107t08ll3I r9t2l122126
tor.
BEOCRADI 986.
10. Zaninrljivosti i razno! l. Nagradni tadatak . . . .. . ..3 3rr.
SA}EZ DRUSTAVA MATEMATICARA, FIZICARA I ASTRONOMAJUGOSLAVIJE
MATEMATIEKI LISTzr uEenike osDoyne Skole
God. XX, broj 4 (1986)
Izlazi Sest puta godi5nje.
IZDAJE DRUSTVO MATEMATIEARA SR SRBIJE.
Beograd, Knez Mihailova 35iIV, p. p. 728
Redakcioni odbor:
Eda Okretii-Salzrri (Ljubljana), ttr Zetjko Pauie (Zagreb),Kosta Mijatovri (Sarajevo), Danilo Siepanovrc (Titograd),
inr Slobodanka Georgievska (Skopje), Velimir Sotirovrt (Novi Sad).Sinasi Korenica (Pri5tina), nr Vladimir Stojanovit (Beograd)
Uredni5tvo:
Miroslav Zivkovii, mr Miijana Mrmak, dr Arif Zolii,Branka Derasimovit (sekrelar uredniitva), dr Ljubomir Cukii, Ilija Mitrovit,
Staniia Pelkovit
Glavni i odgovorni urednik: Platon Dimit
Sva prava umnoZavanja, preStampavanja i prevodenja zadrLavaDru5tvo matematiCara SR Srbije.
Oslobodcno plaianja poroza na promet na osnovure3enja RepubliCkog sckrctarijataza kulturu SR Srbije br. 413-186-03 od ll. l. 1973. godinc
larton fuvrh (6corpa.q]
oAMEPAB.{IbE TETIHOCTI,I nOMOhv AATIIK CyAOBA
Hera je Aaro n cy.lloBa r(qin Mory npItMI{ rrt at, a2, 03 . . . (tn na-Tapa reqHocrtr l{ y Kojr{Ma ce Hana3r b1 (br ( a1), bz (bz ( az), b3 (b3 ( a3)
. . . bn (bn -a,) nurapa reqxocrl.L Ceu rora flpernocraBnMo ll crtege-
he: n:rr Aa ce reqHocr Moxe caMo npcnnBaril I{3 cyAa y cy,q tl ro rafioAa ce yEeK rxfl r'.cnpa3Hn cyll I{3 r'ojef ce n3rllra }lnn Han][n c].II yxojlr ce TerrHo3T ynHBa; ILIIH Aa CC TctltlocT,.nopeA nperurBalrfl, Moxco.qHelryA joilr n AfJII{BaTII y CyAOBe, OA'loCHo lI3JIHoarlI (npocr:narn)llf rbrlx. l{ ogAa ce Moxe [ocraBrTn [Irrarbe: KaxBc ce KoJIHqIIHe Teq'HOCTTT MOry oAMeprrrll noMohy oBlrx cy,(oBa ?
Ono nnrare je, aro ra rpe6a peur{rl{ y cBoj beronoj onurocrl{,roMnnl,rKoBaHo, Ho, MI{ ra Kao TaKBo oBAe neheuo Hn perlaBaTil, tlerohertro ce 3a.[pxar[ caMo Ha cnyqajeBllMa KaAa cc pacilotaxc ca 2 cyA&r
odHocno ca 3 cyAa, r{ rroKa3arH Ha rIpI{MepI{Ma KaKo ce oHo y ruM cny'qajeB[Ma y flornyHocrrt peuaBa.
fl p n r.,r e p l. V .ssa cyAa, o/I rojlx nprn Moxe ,qa nprrun 4lTeqHocrfi, a .(pyrH 7 l, Halare ce 2 l, oAHocHo 6 I ulexa. Koje ce crcNOJrHqHne MneKa 6es Ao.nnsalsa I{ npocfina]ba Mory y ,{a'roM cnyqajy oAMepHrH noMohy oBa ABa cyAa?
.{a 6ncr.ro oAroBopl{tr Ha oBo nHTaIbe, a Aa npr (2'6)
roMe He il3ocraBl{Mo Hn jeAHy MoryhHocr, nocryn[heMo (l'7) (4'4)
oBaro. T. I
OrHaqrheuo noqerHy pacnoAeny Mn€Ka (r. ra6. l) ca (2, 6) npa3MoTprrx xaxBe cBe HoBe pacnoAene Mory x3 lbe npon3ahtr' Karoy oBoM cnyqajy Moxer{o caMo Aa npenl{BaMo MJIexo r{3 JeAHor cyjlay Apyrfi, nona3ehr cA oEc noqerHe pacnoAere, MoxeMo Ao6HTlt caMo
,[BC HOBe pacno,qeJre, r{ ro HJ|H pacno.uery (1, 7) nnn Facno,uety (4,4).
3arnu, ca pacnoAere (1. 7) MoxeMo npchlt caMo Ha pacnoAeny (4, 4). narojy cMo Morrlt npeh[ Beh nyreM npBor npent{Ba}ba, na je 3aro H€heMoy3crn y o6:np; a Ir3 pacnoAene (4,4) MoxeMo no6xrHjour caMo pacnoAc-ny (1,7), xojy cMo raxofe Beh fiMatr, na HH lby HcheMo y3erll y o63np.3naq[, Aalt€ nr{jc Moryhc ro6nru Hrrxaxly HoBy pacnoAeny.
llpcua roMc, BtrAI{Mo aa y oBoM cnyqaiy t{oxcMo o.(McpHTE carrol, 2, 4. 6. 7, 8 Jtnrepa MJrera.
rr
97
(4,7) (3,7) (4,0) (4,7) <4,s, (o,7) (4,7' (0,D (t,0) (4,7) (0,4) (1,0) (0,7) (4.2) (0,0) (1,0) (0,21 (0,0),o (3,0) o (0,5) (4,3) (o,l) o ooo(o:3) (4,t) (0,t (J)o o
T.zllocuarpajrrro caA pacno geay (4,61, xoja je y ra6. 2 ra6cacxeHa
Ha npBoM Mecry - JIa KaxeMo - Apyre erane cBnx AoJrr{Barba, npenH-Baba ll oAnnBarba. Bx4nr*lo ga, nolalehfi oA oBe pacnoAeJre, MoxeMo:a) 4onynnnr Apyrn cy,q, na Ao6nrr pacnoAeny (4,2h 6) rpennrn AeoBoAe H3 rrpBor cyAa y Apyrrr, na 4o6nrr pacnoAeny (3,2); a) fi3JtrrrltBoAy n3 npBor cyAa, tra Ao6Hrx pacnoAeny (0,6) - anfi EBArlMo Aa cMoTy pacnoAeny reh nuanr y Apyroj erann Hauer nocrynra, na je Hchc-Mo y3err{ y_o6arp; r) rslrrx BoAy ur Apyror cyAa, na Ao6xrn pacno-Aeny (1,9). 3arru MoxeMo qrrqro flocryrrrrrrr r norasehrr og pacno-aena (2,7), (1,7), (4,4), (0,6) r (2,0), na heuo Ao6nrx pacnoacni 14,21,(4,5), nrg,rcBc Ao pacnone;re (0,0), roje cy Hasuaqene y rpcll*u pe4yra6ere 2. TIpu roM€ npfiMchyjcuo ga he uefy caaa ao6njennM pacno-trenaMa 6rrru x ucly co6orrr jeguaxrx.3aro, nourro 6n ce y rory Aa-,bcr nocrytrra, rr3 cDrD( oBarBlx pacno.(era Morrfi Ao6xrx caMo ltcro-BFTITC HOEe pactro.qe[e, MoxcMo cc 3aApxaril Ha caMo je4noj, pcu{uonproj no pcry oI olrrx pacno4cla. Crora heuo, na npnrrep, ol crlrrpactrorene (1,71, y trilJtcu pa$Marparx caMo rpty otr rsfr r lo hcuo
98
o3Haql{rrl TfiMe rrrTo heuo rcnog cBfix Apyrfix oBaKBrrx o3HaKa noayhnno je4ny upryl). Cmrqxo heuo yunHxrt4. 14 y ocrruloM cryuajenuua no-HaBJbarba lI3 HcTr{x erana Haurer ilocTynxa.
flocrrarpajr"ro caA rpBy oA pacnoAena (4,7). CaAa ne MoxeMo HrIy jegaH cyA AoJrr{Barr{ BoIy, a He Mox(eMo je nu ilpen}IBarn rs jeguorcy1a y Apyrfi. Moxelro caMo r{cnpa3H}.rru 6ulo npru cya, 6ilno Jlpyril,,ulr{ oHAa go6rjar'ao pacnoAeJle (0,7) lr (4,0), xoje cMo seh uMann yrpehoj eranr{ oBor Har.uer nocryrrKa. 3naur, nora:ehn oA oBe pacilo-AeJre, He Moxe ce ,uo6urlr HuKaKBa HoBa pacnoAelra, fl ro je y ra6. 2Ha3Haqeno raKo [rro je ucnoa npBe oA o3HaKa (4,7) naupran je4anrpyxuh.
Hanocrerry, pagehlr raKo r{ Aarne, ,uo6nhe ce csfi oHH noAaunrojn cy yHerr{ y ra6.2, a rr3 rre ce BfiAw aa nouohy IIoMeHyra ABa cy4a,aKo ce y lbr,rMa seh Hara:e 2 l, oxuocno 6 I soAe, Mory oAMepurr l-l I I
soAe. CeM Tora ce B rAu rr Aa ce, Ha npr.IMep, 3 I noAe uory go6uru rehy rpehoj eranr{ oBor fiocryrrKa, nocne Apyror llore3a, aKo ce r,qe rrpeKo(4,6), ar'w Aa ce Ao rbl,tx Moxe Aohr ucro raro. H nocne rpeher no-Te3a, aKo ce uAe npero pacfloAene (.2,7). I,4.cro raro ce srl'q,u Aa he ce
I I so4e vohr oAuepmr caMo aKo ce rne oA pacno,Il€Jre (2,6) napacnoAeJry (1,7), ura.
fl p r r"r e p 3. Ilocroje 3 cyaa og xojnx npBI{ Mo)Ke 4a npnltn 2 l,ApyrH 5 I, a rpehn 7 I re.rHocrH. V npaornr o,4 IbI{x uwa 2l BnHa, Apyrfije nparaH, a y rpehev uwa 4l sura. Moxe lll ce nouohy oBa rpr{ cyAanuHo xoje je y runua rroAerr{Tn Ha ABa jegHaxa .uena?
Aa 6u ce oEroBopuno Ha oBo rrlrratbe, rpe6a nocrylrlrTr y cytrl-Tr,rHr Hcro oHaKo Kao ruro je 6nno ro yqnrbeuo y Be3!I ca npnuepov l,rj. rpe6a npehu Ha npecunaba BrrHa nr jenHor cyAa y Apyrfi, apxehltce ogpefeuor peAa, KaKo ce He 6r nponycrrrna HN je,rua voryhHocr.Taxo 6N ce oH,aa lo6una ra6ena 3, y xojoj ce neh y qerBproM peAyjanrua pacnopeA (2,3,1), ycneA qera Hr.rje Hn norpe6uo Aa ce Bpue AaJbepacnoAene. CaA ce y npBoM u rpehelt cyAy Hana3e ytrynHo 3 I sHHa,
a y ApyroM cy.qy ce HaJIa3I{ oner 3 I nrtta, TaI(o .qa ce 6 nurapz nunaMory noAenrrrtt^ laa.u,aa jeAlraxa ,qera.
tTs.l'
(0,2,4)
(2,0,4)(0,0,6)(0,5,1)(2,3, I )
T.3Hl relxscrrx pa:tnora y oBoM Texcry Jc fioABnaqobc E3ocraBJbexo' atf,
cy 3aro qrOpe xoje je rpe6a.no noArytr urral\rnabe *yp3RBoM.
99
II p r u cp 2. V ,qra cytra, oA rojrx uprr Moxe .{a nprvr 4 I?e{Hocrr, a Apyrn Moxe Aa npfiMn 7 I reqHocrn, Hara3e ce 2 l, oguouro6 I roAe. Kolnxo nrrrapa BoAe MoxeMo oAMepnrr{ nouohy ora ABacyAa aKo ce, ceM npeJlfiBarba, MoxeMo KopI{cTIITIl l{ ,4oJrnBarbeM BoAeca qecMe, a MoxeMo no BoJbIt n Aa npaSHlrMo cy.qoBe, Aa [3nr{BaMoro.4y nr rrnx ?y onou clyrajy nocrynnheMo cnnrrno nperxo,qnoM. Jeamro urroheuo ca4a yBeK BoAnrr paqyra r{ o roM mra he ce,aoro.[orrr axo najnpe,y rpau[uaMa uoryhHocrlr. BoAy AoJrilBaMo, 3aruM je npe.nnaauo r,H4nocJrerry, l{3Jrr{BaMo je, n4yhn peAoM, oa jeguor cyAa Ao Apyror.
flolarehu, gaxre, oA pacflo.qene (2,6) Br[Ar{rvro Aa uoxeuo:AonyHfirnnpBn cyA, na Ao6rrn pacnoAeny (4,6); Aonynrlrn Apyrr cyA,na 4o6nrr pacnoAeny (2,7); npenrrrr Aeo BoAe u3 npBor cyAa y Apyr[,na Ao6_nru pacnoAeny (1,7); npelnru Aeo BoAe r{3 Apyror cyAa y rpBn,na go6rrn pacnoreny (4,4); uznurrr BoAy rlg npBor cyAa, tla ao6:rrn939!oaely (0,6); us.rrlrur BoAy n3 Apyror cyAa, na ,uo6srn pactroAeny(2,0) - s. ra6r. 2.
1-r7-l(2'6)
(1,7) (4,4) (0,01 (2,0)(4,6) (2,7t
(2,4,0)
(2,2,2)o
(0,5,1)(2,3,t)
(l,5,0)(1,0,5)
(o,4,2)
o
Ilpnuep 4. Lluanro 3 npasHa cyAa oA 6,5 n 4lxrpc. KaroMoxeMo nouohy lbt{x, ropncrehn ce secMoM,yje,qHo npa3no6ypeaaycneMo 7 I no,qe?
V onou cayvajy rpe6a nocryn[rrr cxoAuo oHoM ruro je 6rroyqHrbeHo y Be3n ca np[Meporvr 2, jep y oBoM clyvajy, ceM rrpenEBarba,Moxe ra 6yae u AoJrrrBarba, oAHocHo n3rrrBar$a. Taro heuo y npnojerann r{Marr{ pac[oAeny (0, 0, 0), na heuo osAa Ao6nu pacnoAerc(6, 0, 0), (0, 5, 0) (0, 0, 4), nrA. Cse Aor He .so6rjeuo cBe pacnoAene,npr{Ka3ane y ra6nx4r 4.
tr4: ose ra6ere DlrAuMo Aa Haru 3aAarar MoxeMo nrnpunrx xaj-6pxe aro HaqnHr{Mo pacnoAene (0, 0, 0) - (6, O, 0) - (6, 5, 0) - (2, 5, 4)r{rrr{ pacnoAene (0,0,0) - (6,0,0) - (6, 5,0) - (6, 1,4), na y o6acny.raja fi3 npBa ABa cyAa cacneMo BoAy y 6ype. Ceu rora ra MoxeMotlcro raKo 6pro peurnrx rr aKo rl,qeMo rrpeKo pacnoAena (0, 0, 0) -(0, 5, 0) - (0, 1,4) - (6, l,4).
I4s oaor npr{Mepa, Kao H u3 nperxoArrur(, Moxe c€ ERAcrn xaro cenyreM cr{creMarcKor pa3Marparba Mory Hahn cra pctuerba oB€ Dpcrc3aAaTaKa, yMecTo Aa ce oHa caMo RacyMrle Tpaxe.
i6J'4l(0,0,0)
(6,0,0) (0,5,0) (0,0,4)(6,s,0) (6,0,4) (1,5,0) (2,0,4) (6,J,0) (0,5,4) (5,0,0) (0,t,4) (6,0,{l (0,5,1) (4,0,0) (0..1.0)
--i-- --i-- --]ii-,l (6,5,0) (6,0,4) (r,5,0) (2,o,4) I't(o,s,c)(2,s,+) (6,1.4) (6,s,4)(t,5,4) (6,4,0) (r,J.O (o,i,t) (t,t,4) (1,0,0) (2,J,O(0,2.4)( 2,1,o) t2,o,o)l
rr I (0,5,4) (5,0,0) (0,1,4) tI 6,5,4) (5,0,4) (4.5,0) (5,5,0) (J,0,4) (1,0,4) (6,1,4) (t,0,4) (4,t,0) (0,t,c) t
Dr Isrk Papo (Sarajevo)
JEDAN NACIN PRIBLIZNOG IZVODENJAKVADRATURE KRUGA
Pod kvadraturom kruga podrazumijeva se konstrukcija kvad-rata - i to samo uz upotrebu ravnala i Sestara - dtja bi povrSinabila jednaka povriini datog kruga. Taj problem je jedan oC najsta-rijih slavnih geometrijskih problema i tek je pre okolo sto goCinadokazano da je todno izvodenje ove konstrukcije nemoguie. Ali jezato nadeno dosta pribliZnih rje5enja ovog problema, pa bih ja ovdeCa iznesem ono na kojc sam kao mlad inZenjer naiSao.
Ovo se rje5enje tazira na dinjenici Ca je V7+y' 3e'-n ler, za'ista, kako je /1ot,4142136 i/3o 1,7320508, to je /1+/3**3,1462644, dok je nlv3,1415927.
Konstrukcija ,,moje kvadrature kruga" prikazana je na sl. l.i o njoj dajem sljeCeda obja5njenja:
- prvo, nacrta se krug s centrom u tadki Ot i polumjerom R;
- drugo, naC polumjerom O, B konstrui5e se kvadrat dija je
dijagonala OtA: n li;- treie, obaranjem ove duiine na ravan O, Edobije se duZina Or C;
- detvrto, u trokutu DO.C hipotenuza ie R / 3;
- peto, duZina DC, tj. R y'3 prenese se Sestarom u ravanOrC, u poloiaj CE;
- Sesto, O,F predstavlja polumjer R;
- sedmo, simetrala duZine FE prolazi tadkom Or;
- osmo, iz tadke 02, kao centra, konstruira se polukrug i upolukrug ucrta trokut s hipotenuzom FE i katetama FG i EG;ovaJ
Iil{ (4,0,0)
(4,5,0) (4,0,4)T.4
le,qaqt
l. Kyrap rpc6a na cacnc y rarax 3 I ro.qc, anf, on xxa cnuo 2 rparxacy&a, n ro jeaan ou. 2l n je4an oA 41. Moxc nR or novoDy oEa .qra cyAaAa oAMepE 3l roae?
2. Hexx uoner jc EMao cy.q oa E I nanyncx MncxoM, a xrco jc og rorMnexa aa ysajun cBoM cyccay I I unexa. Ho, oB je rrrao jcr:r caxo Aalt npa3ffrcyAa, n ro jegax o,q 5 l, a .qpyrf, oA 3 L Aa ar jc ox Enax raorao Aa oAxcpr3a cBor cyceaa I I rrlc*a?
3, I,lnano rpf, cyAa: nfor oa 21, tUyrt oA 31, e rpetr or 51. KojccDc rorf,qnnc EoAc uory 6rrr goneccre cl .rccMc nonotty rr rpe cyae?
r00
(0,4,0) I(6,4,0) (0,4,4) J
fI
,, $iII
IIF
l0l
- dcvcto, kako je ozc:/ryZ.',E-ffin7ilF T--Rl/laTl-la'Ry'i,. to povrsina kvairata 1:GJH iznosi payR2zc.
!-! Pt:Tl tom.e. je. kvadrat O2GJH traZeni kiadrat i on se po svo-tol_poyr-Si.1i-razlikuje od datog kruga pribtiZno za R2.3,it6Z_- R2. 3,1416 : n2.S,0046
Prreu Tecorrh (Eeorpaa)
TEPEHCICI MEPEIbA NOMONY HAJIIPOCTWJUXI{HCTPYMEHATA
rNcac_r je o,q AaEHnHa xacrojao Aa rnMeprr rgBecsa pacrojara ynpupoAu. H jnpe c€ cnyxxo npoqebrrBalleu baoxa u 6pojarue-r,a con-crBeE[x ropara, noroM HerIITo caoxeHnjuu
iCIIpaE: Ir{3, Aa 6n C€ AaIr:'C BHIryo y XOcioC, :
oAarne Eprur n,jnpeqrnrurja crrxMarba. :
.{,rnac, y npaxc4 r npn xajo6xruujerrr I'[peMepalarby 3eMJLrrrura ynotpe6nara oe reo-Aorlrr (cl. l), rncrpyMeur ca AoureAoM 3aMeperbe yrnoDa y xopu3ouraauoj n Eeprs-rarnroj paBxrr. Aax x nouohy nexnx npoiruxnHcrpyMegara, roje Moxe Aa rranpaBu cBaxnyqexuli, Mory ce ,n(ocra raquo oapefrrnarnx3:lecgir o.qcrojarra y npnpoar! axo ce ruMuHcrpyMeHTHMa rraxJrnBo pyxyje. Tu cy un-crpyMexrx cleAehn:
l) 3uaqra, npln_a Morxa tryxrue l,S-2 m, o6ojena Harr3Mer{rrquoupBeH-oMn6crov 6ojov 1:aryr_{rberra ea 16a4:,ne v r.rri i.n.zul.2).Koqxtx, Ayxrore l0-l5cm, .qole :aunrenx:a y6uar*" y3eMrLy (cr. 2b).
3) Mcrarnra nallrJbf,ra Ayxnre l0 m, crannpa[a, 3a Mepelbc
AyxruIa (cr. 2c).4) Erep ca HocaqeM u trcroM - cnpaEa roja ce cacrojn oA,{Ec
jeruure JrerBuut€ Ayxxuc oxo 20 cm, yuIaBJEe[e HopMam{o jeana y.qpyry: na rxjnr cy rpajerma exgqpn, a roja je mcalexa Ha Morxf, B
ra xojy je nprnerax rucar (ca. 2d).Aa urmoro caA rarEa ce cE€ Mepelba Mory rrrtplunrn nouohy
otux HlIcTpyMeHaTa.
l. rpaclrpAbE nPABEpJIllHJlrE.##fi!"*" PACTo'AI6A HA
llpetnocrarnMo Aa rpe6a o6elexxrlr Aeo npaBe mcnrje Ha paE'rroM Tepexy nrvely raqara A n B u il3Meprrr nyx A8.36or rora rpe6axajnpe Ha AyxI{ ,{B olnaqnru HeKoJIrKo raqara xoje cy uefyco6xoyAaJbelte 3a He Bxrue o.q l0 m. Oro ce nocrlDl(e
I
xa raj Haqlor urro ce y raq(aMa A u B noc' I I
TaBe 3HaqKe (c.n.3), na nocMarpau croju nopea I t -H3Ha{Ke y raqKu ,{, ,40x rberoB noMohunx, ca J)rpehou sHatlroM y pyI{H, oAJra3It npeMa. Taqxfi ll cn. 3B u, va oactojany se leher"r oa l0 m (xoje qenxoAora), Apxehr 3uaqlry ycuparlro, noM€pa ucry cEe AorJIer Aor no.cMarpaq xoA Ta{Ke ;1 se crexne yr[cax Aa oBa noxperua 3]raqxa nor'nyno trornafla 3Baqxy u3 TarIKe a. Taj nocneAlbu noloxaj norperlleTaqKe ce o6enexn nouohy jemror rolquha roju ce ra6oAe y 3€MJby Irrrore je rBBpIIreHa rlpBa erana rpacupalba. 3arrnr oe, no norpe6u, orejtrocry[aK noIIaBJba cBe AoK uena ,uyx AB ue 6yAe usAerena xoaqtrhr${aNa Aerole ne rehe oA l0 m, xoju ce Mory l$Meprrn nouohy qerilque
trANTJEUKE.
2. TPACIIPAEE HOPMAJIE HA NATY NPABY U NPABE NAPAJIEIIHBcA AATOM nPABOM
tlecro ce jarra norpe6a 3a rpacrperreM HeI(e npale roja je rop-rtiaJrxa rra AaToj upaaoj y uexoj neroj rarxn M, fia npuMep npu orpa-l1rcany 3eMJbnura y o6anry flpaDoyraoulrKa, rlaApara r crnquo.
V orom cnyrajy na aaroj nparoj, y neuoj raqxu M, uo6oAe ccRoca{ erepa y BeprsranHou uoloxajy (ruro ce nocrlD(e xopuurheneurncxa). 3arnu ce y ueroj apyroj raqxu.f{ re npaBe (cl. 4) ra6oae jeana3HarIKa, na ce Kpcraqa exepa c6phe oxo croje oce Ha Hocaqy cle Aorce ,IFa excepqera (na cl. A n B) u no6oAeua 3uaq(a y raqxf, /[ He xa[yxa rcroj rparoj" .(alre ce, Eil3HpsIb€M npexo ercepa C t D (npura'
Cr. I
r02Cn.2t Cn. 2b Cr. 2c Ca. 2d
t03
3agEM Ea cr. 4) nocrarn jonr jeana 3narlxa, a raro .la c.e ogg nale nailpaEqy CD,na ce rbeuo no,uHoxjc (xa cn. rarxa f), roBexe ca raqroMM. Tana hc 6Hru ME j MN.
y rarrr(E B u ne oMera rrocMarpaqa y raqKn B Ea riu!.u 3raqxy y raqrfiA, oura rpe6a y rayKaMa A u B rpacnparr.r HopMen e Ha npe Ey AB, uarbrlMa oAMepfiTn rBa AoBoJbHo BeJrHKa ogcrojama AC:BD r{ Heno-cpe.r.Ho,r3Meplrrll oAcrojane C D: A B.
Cn.1 Cr. 8
6) Aro je npenpera raxBa Aa ce tz A He BrAr4 3HaqKa y tatxu B,Hr,trI,I ce ns B sw!,n 3naqKa y rarIKI,t A, owaa rpe 6a xa paBHcM T€peHyrna6parn jeAxy rar{Ky C n: roje ce Blrae ra\xe A uB (c1.8), na ueno-cpeAHo E3Mepr.rrr.r lyxu AC u CB.3a'rutr rpe6a Ha AyxHMa AC u CBu:a6paru ra.rrce M N N raro rc je AC : MC: BC : NC:k I{ HenccpeA-Ho r{3Meprrn A}x M,^y'. Karo je A, ACB-L MCN, ro je ABIMN:k,na je, Ha ocHoBy tora, AB:MN.k.' Hauouena. Ollaj 3aAaraK ce Hajlaxrue p€IxaBa xagnccrojn rrroryh-
Hocr Aa 'ra.txe M N .ly' npegcrarrajy cpe,qulllra lyxu AB u CD, za'roruro je ra4a AB:2 MN.
4. OAPEbI,TBAISE OACTOJATbA ABEJY TAqAKA KAA NOCTOJIIII3BECHA CMETIbA AA CE MEPETbE I43BEAE HENOCPEAHO, A CAMO
JE JEAHA OA TNX TATIAKA AOCTYNHA MEPAqI{MA
flpernocrannMo, Ha npnMep, aa rpe6a oApeAHTr.I luupl.Iuy pexeHa .rnjoj ce jeaHoj o6anw H?Jra3e Mepaqu. Taaa rpe6a nccraBHril eK€py HeKy rauxy P xa o6arur per(e raxo Aa npaBau C D ua ere py 6yae ynep€Hxa HexoujacHo BHArbuBoM npeAMery y ravKtt Q ua lpyroi c6alu pere(ca.9), ua Kpo3 no4xoxje eKepa rpacuparl{ HopMany Ha npaBa\ PQ.Ha roj HopMaJrr{ rpe6a o,qpeanrn Her(y ralxy R raxo aa 6ylLe PR=m, uHeKy Apyry raYr(y s, raxo ga 6yae RS:n. na rpacxparu npaty QRcBe Ao r6eHe raqKe npeceKa I ca nopuarcM Ha nparoj P,S, xoucrpyu-caHoMyraqKn S. Kaxo he raAa 6uru L,QFR-A' TfiS, ro he 6u'ru:PQ : ST:m:n:k, oAaKrIe. je PQ:57.7r.
Hauoueua. H y oaor"r cny.rajy H3paqyuaBane 6uhe xajje4nocran-nrje axo raqxe P ll R 6y.qy u:a6paxe raxo Aa 6y!re m:2n, jep heoHAa 6irrs PQ:2 ST.
Cl. rQ-1
Ln. )
KLC:l' 6
6yae EK:FL:d" na cc
Vxeronnxo jc rexe xoilcrpy[carfi HopMany ua nparoj MN aroncra rpe6a aa npo[e xpo3 Taqry P xoja ce He HaJra3x na nparoj l]/i/.Taaa je, xaxMe, norpe6Ho, aa ce xajnpe oApeAu rarra p, xoja npca-cTaBJba IIopMenHy npojexunjy raqxe P Ha Aary npaBy MN, a ro ce no-crltxc oBaxo. Ha nparoj MN (c1.5) ura6epe ce je4la noAecxa raqxaS y xojy se, y Bepr[rcaJrHoM noaoxajy, noctann jeAsa 3Haqra. 3anm ceocMcrpas, ca exepoM y pyqu, xpehyhr ce no nparoj M/9, npn6anxyjeTEqru P, rpyaehx ce .{a ce 3aycraEu y ouoj raqru roja je xaj6axxaTaqrn P, u ro npoBepaBa xa cleAehs HaqHH: nocraBJba lloca{ exepateprrrraJrxo y oH€ Ta{KenpaBe MN xojeje oaoxa npoqeuno 3a raxBe uyrrp$yje Aa nu ce rasra P ualatn Ha nparqy excepa C u D, aro ceta{xa S HaJra3H Ha npaBuy excepa A u 8. KaAa ro 6una nocruruyro,o6clexara nafeuo noauoxje exepa xao rarxy p H llpena3u Ha rpacu-parf,c TpaxeHc HopMene
Hanoclerxy, eEo H xaxo ce xoucrpy-HIIIe npaBa napatenHa ca IIaToM npaBoMMN, a xa AaroM oacrojany d oA ncre, Hanpaaoj It{N (cn.6) r:a6epy ce ABe npou3-EoJbl{eraqxeff uLuy rbuMa ce xoucrpy-ttluy rBe uopMane. 3arxu rpe6a Ha rlrMHoprfirJraMa oApeAErH raqxe .6. xf Taro Aarpor ratlxc En F rpacupa npaBa.
E
3. OAPEAITDATbE OACTOJAT5A ABE TATIKE KAA nOCTOJI{ HIBECHACMETTLA AA CE MEPETf,E I{IBEAE HENOCPEAHO, AJIH CY OEE
TAqKE AOCTYNI|E MEPAqNMA
V oaov cayrajy Moxe ce nocryn[r]r aeojaro.a) Aro npenpcxa xoja oxeuoryhyje xenocpeAno M€p€rbc oAcro-
jatst AB (ct. 7) uxje raxaa ,{a cc H3 A ue r,u,ra 3xaqtra nocraB:beua
104105
G:r. 9 Cn. l0
OAPEDIIBAIbE OACTOJAIbA ABE Y TAqAKA KOJE CY O6EBHAJbITBE, Ann Cy MEPAIInMA nEnPnCTyIrAqHE
flpernocraun:{o Aa rpe6a ga ce orpcAlr ogcrojarre 4aejy ravaraHa HeKoM ocrpBy og crpaue Mepaqa rojn ce rrtlrarc na c6bln pexe. VToM urriby ce najnpe Ha o6aan o3xaqe .uBe rlpou3BoJbHe rarlxe C n D(cn. l0). 3arn*r ce xa npaaoj CD, nprn'rexoM exepa, oApeAe ra'Ixe En,lt rao nognox;a HopMana raqe(a A n B Ha nparoj CD. CneAehn xo-pax je oApefunarse cpeAnlura O na Ayxn .EF. Bnrupajyhn, gare,oApeAe ce HanocJrerxy raqKe G n H raxo Aa je G rarxa npecexa npa-sfix AEA BO,a H za jera{KanpeceranpaEnx BF nAO. Vcaegrora je:
L, AEO-\ HFO (jep ie 4AEO:4HFO, IAOE:4FOH, EO:OF),
L BFO:L,.GEO (jep je 4.BFO:{OEG,4EOG:4BOF, EO:OF).
Mefyrnu, oAarne npon3l{na3lr aa jeA AOB=.GOH (co6sxporr,t
Aa je, npeMa nperxoAnoM. AO:OH, BO:OG 'rr luro ie 4ACB::4GOH),ra ce HerrpncrynarlHo pacrojare A.B orye\yje np€MepaBa-tleu pacroja*a GH.
3a,qaurl. Hanpasn caM exep, Tpr 3na'rxe r xounhc, a'yMccro {crltqxc traHTJL[rc
Moxe[I ynorpe6nrr n jarr xajaoxcxrt xonalr, na xojeu heru rropornua o3raqflrxoacrojarca oA no jeanor uerpa. 3arnu rpacupaj jelau uparoyraoxlr n rpouallrxa neroroj ,qrjaronanu raqxy I{3 xoje cc nerora xpaha crpaluua BnAr noa npaDnvyrnoM.
2. oaperu Ayxf,lry jeAse rrpane snjcu jcAlot{ xpajy uc Moxcrr nprhe.3, Yorn Ala Aplera roja cy rE Eclrpgcrylray[a r oApcAr Elxolo otrcrojanc.
106
KOI\XURSNI ZAI)ATAI( BR. .I
Napiii program kojim ie se, pr€tno unetim podacima o &ttini poluprednikaa jednog kruga, duiini polupreinika b drugog kruga i njilovog centralnog rastojanja c,moti odrediti njihov uzajamni poloiaj u ravni,
RAEUNARI
U ovoj rubrici objavljuju !. rrdrci ir recunilstv. zr u&-nikc loji su vcd ugudlni u red sa rldunarinr. Rdlcnja ztdrtrtasrrtojc s u sslrvljahju od8ovrrtjddih prolrrmr loji trcba dabudu napisani trtaDpariIn slovima i litko. Incna rrgrvalaca svihdobro rcllcnib zadatah bidc objevljcne u 6, broju ovot goditt.Mrtcmalickos lista.
Svrlo rcicnjc trcba Do3lrti u poscbnonr tovcrtu, nr torcmdG biti napislno RACUNAnSTVO. RcScni trcbr dr budu poipi.rrn., uz nrvodenja lkolo i Ecsta. Rclcnjr ovo3 zld.tka.tr€bt drbudc dostevflcao nejdrljc do t5. 3. 19E5. t.
Ovaj program sc sastoji iz tri ciklidnc petlje tojc vric promcnu vrcdnosticifara trocifrenog broja od l0O do 599. Jasno je da je najvcdi trocifrcn broj toji is-punjava traieni uslov 500, ali zbog prcglednosti programa ispituju sc vrcdnosti do599, 3to neznatno produZujc wemc izwSena prograrna.
Da bi sc prograrnom ispitivale vrcdnosti od l0O do 499, rcbalo bi narcdbu30 zameniti sa FOR A: I TO 4, a izmcdu naredbi 90 i l0O uvcsti 92 PRINT 5z ra
i 95 I:I*1. Tako jc poslednje rclenjc uklju&no u naredbi 92 i dodato ukupnombroj0 relLtdja u narodbi 95.
Mp Mupjaw Mpuax
ReSenje konkursnog z&tka br. 3
5 HOMEla l:a2S PRINT "TROCIFRETV BROJEVI CTUJB ZTTN CIFARA S.'3a FOR A:r TO 5
4u FOR B:rz TO 956 FOR C:o TO I6S IF A+B+C:S I-I*I: PRINT A; D; C7s ItiEXT Cta NEXT B9s I{EXT A
TOO PRINT 'NEMA VTSE R.F*qENJA.'IIS PRINT ''UTUPNO IMA'i Ii ''RESENJA.'t2s sToP
t07
IZDON PITANJA I LADATAXAZA PROVERAVANJE STEEENOG ZSANJA IZ MATEMATIKE
TV RAZRED
TZBAR PITANJA I T.ADATAKAZA PROVERAVANJE STECENOG ZNANJA IZ MATEMATIKE
V RAZREDYarijanta IFOVRSINA PRAVOUGAONIKA IKVADRATAl. Osmougao je sastavljen od podudar-
nih kvadrata (sl. l). ObeleZi njegovatemena i zapi3i skup njegovih stra-nica. Koliko kvadrata i pravougao-nika moie5 da uoCi5 na slici l?
2. Izradunaj obim i povriinu nacrtanogosmougla (sl. l) ako je duZina strani-cl jednog kvadrata 2 cm.
3. Podcli datu figuru (sl. 2) na jedini-Cne kvadrate stranice I cm. Kolika jepovrSina tc figure? Izradunaj njenobim.
sr. l st. 2
4. Obim jcdnog pravougaonika je24 cm, a dulina jedne njegove stra-nicc 4 cm. Na koliko jedinidnihkvadrata mofu da se podeli ovajpravougaonik?
5. Kvadrat i pravougaonik imaju jed-nakc obime (16 cm). Uporcdi njiho-ve povr5irrc ako je duZina -iednestranice pravougaonika 2 cm.
6. Nacrtaj na kvadratnoj mreZi pravo-ugaonik, pa konstruisi dui Cija jedulina jednaka obimu tog pravo-ugaonika. lzradunaj njegovu' povr-5inu.
7. Izradunaj duZinu stranice onog kvad-rata lija je povrSina jednaka pow-Sini pravougaonika Cije su duiiriestranica9cmi4cm.
V a r ij a n t a lBROJEVI O I I KAO FAKTORI.BROJ O KAO DELJENIK. BROJ IKAO DJELITELJ I KAO KOLIENIKOPSEG TROKUTA I CETVEROKU-KUTAl. eemu je-jednak umnoiak nekog
broja i broia l?2, eemu je jednak umnoZak nekog
broja i nule?3. Izradunaj: a) 596'1: b) 726'0:
c) 381 ' t3 . 729'0.4. lzraEunaj: a) 0' l; b) 0'0' I ; c)
l.l.t'0.5. Napi5i dve jednakosti u kojima su
faktori jednaki umno5ku.6. Cemu je jednak kolidnik nule i ma.
kog prirodnog broja?7. Kada je kolidnik dva prirodna bio-
ja l?E. lzradunaj: a) 0:967: b) 0: l: c)
63 :63.9. Kolidnik dva broja je nula. Koliki
je djeljenik?10. Kada je kolidnik dva broja jednak
djeljeniku?ll. NapiSi jednakost u kojoj su dje-
ljenik, djelilac i kolidnik isti brojevi.12. Zadan je Sesterokut ABCDEF (sl. l\
i.duiine ED, AD i BD. ZaPiSi sku'pove trokuta i detverokuta koje mo-ie5 da uodi5 na slici I -
A
13. Izmjeri stranice trokuta BCD iietverokuta ADEF (sl. l), pa izra-dunaj njihove opsege.
Varijanta ISABIRANJE I ODUZIMANJE RAZ-LOMAKA ISTIH IMENILACA. SA.BIRANJE I ODUZIMANJE BROJE-VA U DECIMALNOM ZAPISU.OSNA SIMETRIJAl. Kako se sabiraju razlomci istih
imenilaca?2. Kako scl oduzimaju razlomci istih
imenilaca?t25
3. Izratunai: a)-+-+-''' 7 7 7'
" (*.;)-(+-+)
4. Kako se sabiraju brojevi u dcci-malnom zapisu?
5. Kako se oduzimaju brojevi u de-cimalnom zapisu?
5. Izradunaj : a) 5,38 t2,689-(1,009 +2,37); b) 5{0,09--0,00009);
c) 3,8+4,69-6.7. Na kvadratnoj mreii nacrtane su 2
figure (sl. l, 2). Precrtaj ih i kon-strui3i simetridne slike tih figura uodnosu na uodene osc simetrije.
st. r st. 2
t. Kako s€ osnom simetrijom presli-kaju praVa nr, akoje ova prava nor-malna na osi simetrije s?
9. Kako se osnom simtrijom presli-kava dui MN u odnosu na pravu rako je MN ji s.
Varijanta 2
RAZLOMAK. USPOREDIVANJERAZLOMAKA. ZBRAJANJE I ODUZIMANJE RAZLOMAKA RAZLI-eirln NeztvNlKA.l. Kako se apisuju razlomci? Napi5i
razlomak diji je brojnik m, a naziv-nik n. Sto treba naglasiti za z?
2. Mogu li se napisati svi razlomcikoji su jednaki nekom prirodnombroju? Napi3i pet razlomaka kojisu jednaki: a) 7; b) t0; c) 12.
3. Kakav odnos postoji izmedu sku-povaQ+,NiNo?
4. Kako se usporeduju razlomci ijed-nakih nazivnika?
5. Kako se usporeduju razlomci jed-nakih brojnika?
5. Kako se usporeduju razlomci razli-Citih nazivnika i razliditih brojnika?
587. Usporedi razlomke: a) ; i ;;
9 9 298 472b)-i-'c)7-i2-.'5 8 395 586
8. Kako se izraEunava zbroj razloma-ka razliditih nazivnika?
9. Kako se izradunava. razlika razlo-maka razliditih nazivnika?
l210. Izradunai: a) --+3 -'-'5'-7'
l 16 3'b) 3-r--+5 -.-584
2lll. Izradunaj: a) l0-3 7-+5 --7-2.-7412. Odredi: a) A*B*C;b\(A+B>-
-c; c) A-(B+c), ako ietlll
A:10 -=2 -. B:34 2' 4 5
13. Izradunaj bez zapisivanja222 333 lil 333 lllla)-: b)---.'444 666 222' ' 999 3333
Zbor nztikr u nrltamim Dlanorimr i prcgrrmima naiib rcFuttlilr i potrajitr od nfu€dcf,ih
'rd]rtrlt nc odil'6-vtiljr1 r'i r*inr uenicinr niaih ikoh: rli mcdu niimr r.eli uicnil moie n.cr onc
loii na odaoltr.ju.
r0E 109
Varijanta IJEDNACINE I NEIEDNACNT UVEZI SA SABIRANJEM I ODUZI.MANJEM RAZLOMAKA. SVOJST-VA PARALELOGRAMAl. Napi5i reSenje jednaCine u kojoj je
nepoznata oznadena sa r.. a) m++x:p: b,t m_x:pi c) x_m:i1.
2. ReSi jednadine: a) 3,5*x:27,89;l4
b) 5- +y:lO; c)72,72:zi _.653. Reti jednadine: al 9,5-y-l,lgi
bl l4_z:2,089; c) 0,75-x:1.5
4. Reii jednaiine: a) z-13,5:0,69;13 I
b\ x-2 4:it c\ y---2,4.
5. Napi5i reSenje nejednadine u ko-joj je nepoznata oznadena sa x..a) x*m>n: b) x*m<n; c) x--m>n: d1 x-m<n.
5. Odredi reSenja nejednadina:
Ia) z+3 - <12: b) x-0,5>3,99;
4lll
c) Y-Z = :,3-7.; d) x-3,25 <9 - .
6J57. Paralelogrami ABCD i ABEF (sl. l)
imaju zajednidku stranicu AB.Uporedi duti CD i EF. Sta znai oCetvorouglu DCEF?
6G
,4 sl. I a
8. Ako su ABCD i ABEF paralelogra-mi i tadka F pripada pravoj CD,pokaii da su tadke D, F, E i C ko-linearne i da je DF:CE.
il0 tlt
IZBOR PTTANJA I ZADATAKAZA PROVERAVANJE STECENOG ZNANJA IZ MATEMATIKE
VI RAZRED
Varijanla 2
IZBOR PITANJA I ZADATAKAZA PROVERAVANJE STECENOG ZNANJA IZ MATEMATITE
VIT PA3PEA
MNOZENJE I DIJELJENJE CIJE-LIH BROJEVA. MNOZENJE NE-JEDNAKOSTI NEGATIVNIM BRO-JEM. FUNKCIJE U GEOMETRIJI.REFLEKSIJE. ROTACIJEl. Kako se mnoZe cijeli brojevi?2. Kako se dijele cijeli brojevi?3. Izradunavanje; a) --22. 7. (-1);
b) 33 '(-2)' 5; c) 1876'(-l)'.396.0.(-2).4. Izradunavanje: a) 144: (-12);
b) 0 : (-236): c) (-2589) : l;d) 345 : (-345).
5. Kako se nejdenakost mnoZi nega-tivnim brojem? Poka2i na primjeru!
6. Koja se nejednakost dobija, ako senejednakosti: a) -.Y>3 ; b) -y<8,c) --a.).0; d) -z<0 pomnoie sa
-l?7. Koristeii se pravokutnom mreZom,nacrtaj reflektirane slike zadanih li-kova (sl. l. 2. 3).
8. Zadat je kvadrat ABCD (sl. 4).Koje su duZine reflektirane slikeduZina DE. AB i K, ako je pravac8D os refleksije?
A--g/
X/4 B\
Varijanta IDIREKTNA PROPORCIONAL-NOST. OBRNUTA PROPORCIO.NALNOST. TACKE, PRAVE I RAV-NI. PRIZMA
1. Napi3i formulu funkcije direktneproporcionalnosti. Koji uslov morazadovoljavati koeficijent propor-cionalnosti?
2. Napi5i formulu funkcije obrnuteproporcioanlnosti i uslov koji mo-ra zadovoljavati koeficijent p&-porcionalnosti. T
3. Jedno vozilo se kreie stalnom brzi-nom od 120 km na das. U kakvomsu odnosu: a) vreme voinje i pre-eleni put; b) pretleni put i vremevoZnje?
4. Dat je ik povr5ineDat Je pravougaonrK povrslne546 m:. Ako sejedna njegova stra-nica z puta poveda, kako 6e sedruga promeniti pod uslovom dapovrSina ostane nepromenjena? Ukakvoj su zavisnosti duZina i Sirinaovih pravougaonika?
5. Koji su oC cvih iskaza tadni;a) Ravan je odretlena dvema mimoi-
laznim pravama, dvema paralelnimpravama ili dvema pravama kojese seku.
b) Ako je prava normalna na jednojpravoj u ravni, ona je normalna natoj ravni.
c) Ako je prava paralelna s jednompravom u ravni, ona je paralelna stom ravni.
d) Ako je prava paralelna s dvemaravnima koje se seku, ona je Pa-ralelna .i sa presednom pravom tihravni.
e) Dve prave normalne na tredoj pra-voj normalne su i medu sobom.
-f) Ako je prava paralelua sa jednomod dveju paralelnih ravni, ona jeparalelna i sa drugom.
Vari j anta 2
JEDNADZBE I NEJEDNADZSB VZ V VEZI S MNOZENJEM I DIJE-LJENJEM. MNOGOKUTI.1. Cemu je jednak nepoznat faktor
ako je poznat umnoiak i drugifaktor?2. Rijeii jednadZbe: a) --28x:--280; b) -39y:-535tc) 144:-1,22.
3. eemu je jednak nepoinat djelitelj.ako su poznati kolidnik i djeljenik?
4. Cemu je jednak nepoznat djeljenik,ako su poznati kolidnik i djelitelj?
5. Rije5i jednadjbe: a).r:4,5 :-2,25;b) -ro'' ( -.1) : c) 4,5. x: -2,25,
Id) l0: -1tr.
6. Rije5i nejednadibe: a)5x>-Z!.
b) -3y<-9,15; c) Jx>18,3;d) 4z<0,5.
7. Ako je 2l broj vrhova mnogokuta,izradunaj broj trokuta na koje 6ebiti podileljen taj mnogokut kad senacrtaju sve dijanonale kojima jezajednidka tadka jedan vrh togmnogokuta,
8. Ako je 26 broj vrhova mnogokuta,izradunaj: a) zbir unutarnjih ku'tova tog mnogokuta i b) ukupanbroj dijagonala koje se mogu na-crtati u tom mnogokutu.
9. Izradunaj nutarnji kut a) pravilnogosmerokuta i b) Pravilnog trina'estokuta.
10. U zadanu kruZnicu upi5i pravilan. dvanaesterokut. Nacrtaj sve njego-ve ose simetrije, izradunaj njegovuploltinu i opseg, ako je r:5 cm.
11. Izradunaj zbroj svih nutarnjih ku-tova pravilnog mnogokuta sa 20stradca.
IZBOR PITANJA I ZADATAXAZA PROVERAVANJE STECL\OG ZNA,\{JA IZ \TATEMATIXE
VIII PA3PEA
MATEMATI{qKA TAKMAIIEBA3AAAqH CA pEnyElrnrlKof TAKMuqETbA
YqEH}IKA OCHOBHID( III(OJIACP CPEI4JE
VI PA3PEA
l. flpnrpervrajyhn y.renrrxe 3a cner HacraBHrx je pacnopcano yvexrxe y 3Bpcre, anfi vy je npeocrao 1 yrennx. 3arrv je noxyrrtao ca 4 rpcre, ann cy My[p3ocTana 2 yrernxa.. Kaa nx je pacnopeAno y 5 apcra, npeocraJra cy My 5 yqe-FEKa, a ra.u je navr.*tro 6 npcra, [peocraJra cy uy 4 yqeHEKa. Ta,ua je HacraBxgxpexao: ,,flocrpojre ce y 8 apcra", ajenan yleHrr Ha ro pere: ,,Apyxe HacraBxrqe,ouer he npeocraru 6 yvennxa, aJrr axo HaquroMo 7 tpc'ra, uehe npcocrarx Hr je-aan yueanx". Illcnocragnno ce gaje onaj yrerux 6uo y npary n Aa irc nocroju MaIb[6poj y.rennra Kojrl 3aAoBotbasa oie yc.trone. Konuxo je-y.rennxa 6sro xa
-nplrnpe-
MaNra?
2. Y rpil urabaqra HaceJba RMa yKynHo J6 000 cranosnnxa. Kortuxo cranoB-HnKa nMa y cBaKoM HaceJby, aroje nornaro Aa2l3 6poja crarornuxa y npBoM Ha-cerry jeaxaxo je ca 0,5 6poja cranonnu(a y ApyroM HaceJby u c 215 6poja craxoa-nnra rpeher nacera?
3. V pr.r6rrax je uyurreno 30 urryra xoje ce jeay ruebyaobno. JeAila rury(aje cara caMo aKo.nojeae 3 urryxe- ({uje BaxHo Aa Jur r:ra.qne rnn cure). Koanxo ccuajnnure uJryKa Moxe racurnrn? (,{arn gera.lruo o6pa3noxerb€).
4. ,{ar je nafa.nenorpau 4BCD Koa xojer je AB:2 BC. Cpelurure M crpa-nuqe lEcnojeHoje ca reMenuMa C n D,Idtpatyraru r(onfiKo creneHfl E3Hocr yraoCMD.
5. llr relrena I npanoyraoxuxa ABCD cnyureHaje HopMaJra ua gnjaroxaly.E [poayxeHa je :a caojy AyxnHy Ao raere F. ,(oxararr ,qa je:
a) syx BFNopMarrHa na lyx DF;6) reraopoyrao BDFC jemaKoxpaKr rpane3.
YII PA3PEA
1. Osp:anrn qH$pi k axo je: l.ll ... l-22....2:(k!..,..t)t200 r00 t00
2. Bscune napaulelrorpaMa oAroce ce xao 2:3, a g6ru u3rrocH 40 cm. lI:-paqyHaTr cTpaHr{ue napanenorpaMa.
3. y KBaapary ABCD ra\xa E je cpeanurre crpafiBrl€ CD, a F je noA[oxjeHopMare us B Ea AE. fioratarn .qa crpaHnqe rpoyrna BEF :apor,ot*,arajy ognoc:BE: BF: EF:5 :4:3.
4. Oa lr.lva rBaaparHor o6rnxa noBpurxn€ 246,49 dmz Eaqsnetr je ouorarsarbra. Kornxa je ranpevlna ror ra{rxa?
5. .[,ata je npaoa p r raqKe A t B ca pa3xxx crpaua Aar€ npaBe.
a) KoxcrpyncaTfi rrpaly a xpo3 raqxy A a ipaBy D xpor-rarxy .B, raro AanpaBa p [orroBr{ jeAau o.u yrnoDa oApeDensx r;;paosv' a t b.
6) V xov cryqajy 3aAarar reua perrera?c)'Kaa 3aAarar cMa Eruc pcBcr$a?
113
Varijanta I
LINEARNE JEDNAEINE SA JED-NOM NEPOZNATOM. LINEARNENEJEDNAEINE SA JEDNOM NE-POZNATOM. POJAM SLICNOSTIFICURA. SLICNOST TROUCLOVAl. Napi5i skup relenja jednalina ax:. -b u zavisnosti od a.2. Sastavi linearnu jednadinu sa jed.
nom nepoznatom: a) koja ima je-dinstveno reienje; b) dije re5enjeje ma koji realan broj; c) koja jenemogu6a.
3. Natli vrednost promenljive z zaz+l
koju je -^ - jednako dvostrukojJ
z*lvrednosti razlike z i --_.
4. Koji skup moie da bude skup re-Senja nejednadine ax>b u zavis-nosti od a2
5. MoZe li m da bude pozitivan brojako je njegov zbir sa 13,4 manjiod -5?5. Odgovori na pitanja: a) Jesu liromb i kvadrat jednakih stranicaslidne figure? b) Jesu li svi jedna-kokraki trouglovi slidne figure? c)Pod kojim uslovima su dva para-lelolrama slidne figure?
?. Nacltaj dva slidni Sestougla. Stase mole reci za njihove stranhe iuglove?
t. Konstrui5i trougao dije su duiinestranica 30 mm, 24 mm i 26 mm,a'zatim konstruiSi slidan rrougaodiji je obim 60 mm.
9. Jednakostranidnom trouglu sirani-ce m:3 konstrui5i slilan trougabstranice ,n r takg da je
- tttt: }'' r' 10:6'10. Jesu li dva trougla slidna ako jedan
od njih ima uglove od 55" i 25',a drugi uglove od 45" i 60'?
Varijanta 2
OPERACIJE SA POLINOMIMA.SLTCNOST TROKUTA I SLTCNOSTFOLIGONA
l. Cemu je jednak zbroj dva polino-ma?
2. Na koju raeunsku radnju se svodioduzimanje polinoma ,{ od poli-noma B?
.3. Cemu je jednak produkt dva poli-noma i kako se dobija?
4. Polinom 513+6,12+3r--4 napilikao zbroj tri polinoma.
5. Izradunaj: ^\
A+Bi b) l-A; c)B-A, ako je l:3xr{2xz-3 iB:Sxr +5 x-t.
6. Izradunaj: a) A'B i B: A, ako jeA : 3o2 *6a*7 i B: l2a5 +39a1 +4-58a3-26a2-l8o-21.
7. Je li istinita izjava:a) Svaka dva pravokutnika su slid-na; b) Svaka dva pravilna Sestero-kuta su slidna. c) Svaka dva jed-nakokradna trokuta su slidna.
t. Natli omjer duljina pripadnih stra-nica slidnih trokuta, ako je omjernjihovih ploitina 9 :16.
9. Jesu Ii dva trokuta slidna ako je-dan od njih ima kutove od 60" i70q, a drugi kutove od 50" i 80"?
10, Jesu li nacrtani parovi trokuta(sl. l, 2, ,3) slidni?
63
'7A,st. r
Hst. 3
6
sl. 2
1
T
lr2
(fi] oooro"" cBc a,Bollf,ope;j:t:iT":lpojese xojr, xaa ce ca'epy ca Epo-jeu xitrr{canrM scrgM rlu0psMa arr o6pryrnv peAo},r, .uajy g6rp xojr npr AeJbergyca 5 qaje octatar 3.
.ftflerg'pn pagnrxa rpe6a Aa ypane jelax nocao. Axo 6u uprr, ppyru n rpehrpa,[E]tHajerxo, 3aBprrlrJrrr 6u raj uocao ra 6 carn, a axo 6lr paanmr nps[, trpyrl rr{erBpru,3alpurnrx6n sa7,5 caru. MeDyrsv, axo pa.qe cauo rpehn u {erBpru, 3araj uog;1o uu rpe6a lOcaru.3a xomrxo carn he 3aBpursru axo pa.qe calr aajegxo?
/^' 306(| Vrexux je ,,crparno" pa3noMaK
16;, t"*o urro je f,3(rcraBEo Hyne.
Taxo je nnar .qo6no raqax pe3yrrar, fi. ooorrrrf, ycnoB roin ga.qororraaaiy
qx$pea, b,c,d,ra."p"rnot"*4!- Moxe cKptrsrn lra ncrrr xarnn. Ilpoae-
pxrx ao6xjexl ycnoB.4. V rpoyuy ABC yrao Ko.q reMexa A rsa nyra je rehn or yrna xoA Te-
Merra .R. Axo cy AyxrrHe crpaxuua: AB:c, BC:au AC:b, AoKa3arn ,ua jeaz: b (b+ c).
5. Oro ourrpoyuor nejeaxaxocrpaHrqHor rpoyrna ABC osucatta je xpyx-xtru:r. HeKa BlclrHe oBor rpoyrna rr3 TeMeHa A, Bl C cexy peaoM rpyxnr{rly y ra{-xa'Ma M, N, P. ,{oxararu ya je oprorleHrap E rpoyrta ABC ucrotpeueHo qeHrapynf,cauor xpyra rpoyrta MNP,
Peurerra raAartnlVI PA3PEA
1. Bnanvo aa 6n, tra cy lra [punp€MaMa yqecrEoBa:ra jcm ,uBa yqeHuxa, 16r-xos 6poj 6no .ueurs ca 3,4,5, 6 r E. flpeva roue, ro je 6poj xoju je ta 2 vrar*;uoA gajeaxuqror carpxaoua 6pojena 3, 4, 5, 6 n 8, rj. 6poj o6:ruxa l20n-2, rrcje ri nprpo.ran 6poj. Oa csxx 6pojesa osor o6ruxa, AeJbr{Bux ca 7, rajrva*n je6poj 238, Toruxo yqeHnxa ce npunpeMaJlo 3a cner.
t222. Kaxo je 0,5: ,:7, MoxeMo pehu aa je - 6poja craHoar{rxa y npDoM
.22 IuaceJby jeanax ca -:- y rpyroM v.ct = ! rp:hev HaceJby. 36or rora je ; npaor45J
llt6poja jeaxaxa ca - npyror H ca - rpeher. Axo oay ; o3Ha{EMo ca x, ou1a y rrpBoM4)JHaceJby xMa 3x craHoBHsKa, y llpyroM 4x n y rp:heu 5x. To je yxynEo l2x, a rnaMo aa Hx je 36 000. flaxle, x:3 000. flpeua rove, y npBoM HaceJby je 9 Offi, y ppy-rov 12 000 r y rpehev 15 000 craHoeHrxa.
ryhz jz rc 61nE
3. H: vox: ce 3acrrrnTu l0 urryxa, jep 6r raaa 6nno nojeaeuo 30 urryxa.s.rx 3C luryxa 6ap j:aHa Mop3 ocrara, jep serr.ra xo aa je uojeae, aarre, Mo-t l.a6lnE rojrtreno Hajagule 29 urryra. Aoxaxnuo.qa ie Moryhe ra ce 9 urry-
Ol slru.rx 3C Ur1Y63 6aP j:anaOl srru.rx 3C luryxa 6ap j:ana Mop3 ocrara, jep neva xo aa je uojeae, aarre, Mo-ryhrjl aa 6yae uoj:aeno Hajagule 29 urryra. Aoxaxnuo.qaje Moryhe aa ce 9 urry-Kl 3!csrr{. Hajnpe ce 3acrrre 7 ruryxa, Taxo ruro crara nojele no 3 rra,qse ruryxe,ajnpe ce 3acilTe 7 ruryxa, Taxo ruro crara nojere no 3 rra,qse ruryxe,
r [ojeAeHo je 2l uryra, a oa 9 npeocrattx 2 cy rJra.qHe. Caaa ose 2Hr raj xavnx nojeaeuo je 2l uryra, a oa 9 npeocrattx 2 cyttojeAy no 3 cere ruryre lr oue ce 3actrTe. 3saqu, uoxe Aa ce 3acxrx najBuue 9 urryxa.
ll4
- -_--1. Hexa je N cpe.uuryre crparnqe CD. Tana cy qeraopoyrnosn AMND nMBCN pou6ora (cn. l). Kaxo_cy ,qnjaroxare porqi vJiaxi ,i-i"-r"rb-" yrv_rprur$nx vrnoea (norxara.oco6up-p9y_6a), ro' cy Mi-a uo ciiiii^ni- iii:vynopeA'nx yrnoBa 4BMN t 4AMN.36or rora je yrao urvefy *ni jelr"l-"6'-noBxHE onpyxeHor yrna, rj. 4CMD:90".
F
Cr. I Cn.25. a) flo rorcrpyxqnjr ravra Fje orMerprqua -ratxu A y oAHocy Ha npaByBD, na je u rpoyrao BFD_caue"rpwax, a caMurr;iuM n rroAy.qapaH ca npaBoyrnrMrpoyrnoM BAD (ct. 2). 36or rora je yrao BFD npar, rj. tvi 'Af je uiir"ir""
"uNx DF.
. _ _ 6)_4t{ja.osata BD.qen[ trp€_Boyraoxux ABCD Ha ABa noayAapna rpoyrna!2?-y_!9D_:_K1o ie rpoyrao_BFD_noaya"paupoyrtry ABD, cn..qr, .Ua cy rue6ycoooMrloAynapHn rpoyrnoBH BFD u BCD.Oryaaje DF: BC u BF:C D, a 4BDF::4cBD. caaa c.rreAu aa cy rroayAapHn r rpoyrnogu cDF.n BCF(nr,aajy jegHaxecse oArosapajyhe crpaunqe), na je v 4CFD:4BCT. J6Or jeaxixociir"!.r,o""roA reMeHa B u D,xao r xoA T-eMeHa C n F, cneI'A Aaje y reraopoyrny-BCFD16or yraoaa (9{4_n C je.qHax t80"..(arre, npa"Jbo
" be ci;;;;;;;rJ. bryror3rla3x Aa je BCFD rparre3, n ro jeguaxoxilain, jep je nC:pf.vrl PA3PEA
200
l. ,{oxarahevo Aa je /r:3: l.lL...l ^.-... r: tofi-o-t-r.irh -
2W t00200 t00
1000 .. .0-l 100. . .0-l_2._99t00 100
Itffio-lt, 7frlls1, ;t\:l ' /:{' ' i:(33"'3)'z'
_ 2. lexacy a u b ayxuue^crpaHrrqa a xuy oqronapajyheBtrcuge.Ta.qa je!7a1 nr!:b4, na je ax:by. O.qaeae je x:y:i:o, oaroiro b:a:2:3, uar'b:za.
KaKo Je oOr{M napanenorpaMa 40 cm, 6uhe a*b:20. Ca,qa naxo n3pa-lryuaaaMo ga je a:12 cm, D:8 cm.
3. Hexa je crpanuqa aaror KBa.qpara ,qyxrlHe a. Ilapaoyr.nn rpoytao BCEtrMa xarere BC:a u ca:l{cn,3). Kopncrehu ce ffuraropunoM r€opeMoM Br.z
C
BM
200 too
-1000...0-2.100...0+l
t00
(100. .. 0-rF
ll5
I ^ t - oVC rna3xMo: OU: i
o2*Zo2:; Ilonpurnnarpoyrna ABE jep:- AB.EG:
I - I I al,'']:2o,. Hr je4naxocrn P:- AE.BF,o^uHocHo: T or:t."O, ao6njaruro:
2a 2al 5 2al 5BF:-: : j . CaAa ur npaBoyruror rpoyrnaV"5 V 5. /s'.,._=: lsaz -zbaz i45a, lrF.s 3a I iEF:VBE2_BFr:N
4 _ 2s:V ,r.:V ,a : to
al'-52a153u15 I 2 3 S 4cnetu: BE:BF;fif: 1-:-:-.-. -z 5 1o--t'T'ro-to'lo'II TBpAHTIO,
.BEF N:pauyaauo:
. flperrla roMe,
3
t0:5:4::, rrrro ce
CED
GBCr. 3
i.ilil,"illrlL
t( Ii\.t__,:/
Csr. 4
4. BRcnxa rarxa je4naxa je crpaxnqn KBaapara: h:a (cn.4). Kaxo je az::246,49 dm2, ro je a:/IC6,arj:15,7 dm x h:15,7 dm. florynperxux 6a:e sa*ranrpa,ryHaherro rHajyhn ga je o6ur'r 6ase jeaHax crpaHnr.In KBagpara: 21 7s:15,7 dm.Vrnwajyhr pa je r:3,l4,,qo6ujarvro: r:15,7 :6,28:2,5 dm. 3anpeuuna narxa je:v:r2 r h:2,52.3,14.15,7:308,1125 dmr:308 112,5 cmz.
5. a) flpelra 3axreBy, ilpaaa p rpe6a ga 6yae crrrlerpa ra yrna, na he raqxaAt,cvMeTpn t$aca A y oAHocy Ea p, rtpu'JiaAaT'' nparoj b. oryaa HMaMo KoHcTpyx-qujy: roncrpyxureMo ra\xy Ar (cn. 5), na je npaaa 6 oapebena raqxaMa B u A1.3arnu xpor npeceqHy rarxy ,S-upaeux b u p u rav.ry ,tt xoucrpyuureMo rrpaBy c.,{,oxar 4a ofincaHa xoucrpyrqnja flpeAcraB$a peuerbe 3aAarra, o.lfirreAaH je.
D) 3a.qarax sehe ulrarx peulerbe axo je npaaa b napatenua ca p, (ctr. 6).c) 3agarar he nuarn 6et6poj peruerra ano je Ar:8, rj. aro cy ra\xe A n B
crivrerpnrne y oAnocy xa p.TaAa he perrene 6arn caarr nap trpaBux xpot A u B,xoje ce cexy Ea upaaoj p.
r16
AI.tI
I
-__-'----"lfI
b A; B
C,'r. 5 C;r' 6
VIII PA3PEA
l. Hexa je aD rpaxenr .qnoqrrppeur 6poj, a*O u bz=0. Taaa je ab:l0a*bn bo:l}b*a, na je at+ta:ll (al-b). Hern 6poj fipll Jrerberty ca 5 aaje ocraraK3, aro uy je xpajna qH0pa (quOpa je4rruua) 3 nnn 8. Karo ce (a*6) uuoxu call, cleanaaceca 3 u;rn ca 8 ruopa3aBpl[aBar]turbnpqu$aparpaxenor 6poja,rj. r6rp (a* 6). To je r"toryhe caMo axo je: a* b:3, ann a+ b:13' nan a* b--8,n.lIn a*D:18. Taro gobnjaMo cBa t*oryha peuJerta:
ate{l2, Zl, 49,94,58, 85, 6?, 76, 17, 7l, 26, 62, 35,53, 44, 99}.
2. flp:rnocraBnMo Aa 6u npnn paaHHK caM 3aBpurllo nocao 3a a carrr, Dpyrlt
l'l I IcaT3aBpulro,pe,uoM,Aeonocrla: -, 7. ;, 7' flnna rpn, npeMa ycnoay, ra I
lllllcar 3aBpluc rajeAso; nocna. Taxo lobnjatro jeanavnxy: - ; - i-: -:-. Cls'"6ahc6
ltllllliHo, (rcrarr yeJroBH aaiy: -i t+i:1,5";*7:-0.
Ca6nPat6eM oBe rpH
tl I I l\ I I I I I Ijeaxaxocrn ao6nhevo: r\;r1,*;- O): O
+?,S+ O,
HrH ;'T- ,.'I I tl 2 t\ I
* Z:t [;+"- mi:;. 3aarn, cna qerBopltqa pa.rHHKa rajeat:o, ra je,nax car'l
6n ranpurnnn = .nocna, a qeo nocao tanputnnv 6u ra 5 carn.
laO h ah lWa+ b
xoinu lcloaov ie -.- .- -. oaHocH' rod cd l00c ; r1
. Oaa ieafiarocr cKBHsateHTnal0c *d
:(l00c-i-d) (l0a+D). oraxne je:X)ad:90bc. urro aa je rpaxcHlt ycnoa: ad=-bc.
t1
3. Tpeba onpertrn ron
l0a+ h jc ycnoBy: (lWa:bl (lOc*d):
ll7
3e npoeepy. ao6ujexu ycloB Hsrmrrlnvo y o6,,rrxy: " :{ , HvsMo:btl
ia\6,10O.-Fl.l(X)arb ,. b .: o ..
Kaxo je -;-:-, ro cy f,3p33ll y 3arpsAaMa jeAraxn Il00c-d t t. b I'/i100----tr ! o \\ / i _ A{tO-a=tiparxoMaft ce Moxe cKprr'r':
ly!:!:D. cnr*roi" "
Ili: \ b - I-t'Oc-d d ' toc_d a{,f01=r\\d Ib - l00a*D lfa+b:-. Aarcle, norapllyjeuo Aa ie
-_
: --, axo je ad:bc,oAgocgo aro jcd l00c,d l0c+da .c;: 7'
4. H:xa j: D ra{ra_xa no;rynpraoj CA, taxsa rc je AD:AB (c.rr. 7). v jel-HJKoKpiKoM rpoyrny ABD jeauaxu cy MeDy co6ou yrnoau xoA TeMeHa B n D-, na
raxo je a:48*4D, nznazu.ua je: + B:4 D:1 ":B. .(ax,re, tpoyrao BCDzqvt yrro3e: v,2p:6 (xs1 TeM3Ha B) n g (ko.u revexa D), na je oryAa cnxsarr
arrov rpoyrny ABC. I4r.re,clnqno:Tu cJte.qs nponopuuoudnxocr o4rorapajyhnxcrp.rHHrta: BC : CD:AC : 8C, o4uocuo: a : (b+c):b : a,..a o! BAe,qdOijar,roTptxeHy jeAuaxocr: a2 : b ( b * cl.
Cn. ? Ca. 8
_ 5. !r 6:rcrvro yrnpffirr{ Aa je E uexTap ynxcaror xpyra rpoyrna MNp, tpe-6r aonararn Aa cy riplBa AM, BN, CP cave.rptxe yuto*a PM N, MNp. NpM (cn. E).
flo r,or;rplxqajn, yrnoan ACP l ABN jeaHaxrr cy xao yrnoBl ca HopManxrMKprU:{vl. Mefyuv, 4PMA:{ACP,jep cy ro nepnQepajcxu yrnoBu saq ncrnv.ryrKoM. l4ctoraxo je 4AMN:4ABN. OryAa xurarn H ra je 4PMA:4AMN,rj. aa jc nprst AM cr.verp:ua yrrlra P.VN. Cnlquo aoxaryjevo a na jenpaBa 8N cnMerpara yrta MNP, ruro rrorBpDyje Aa je raqxa f,, rj. rajelnuvrara{ra crMerpata AM x 8N, u:xrap xpyra yurcauor y rpoyrao MNp.
ll8
oAAEPAHI{ 3MATII{Orn 3r.[sqr rDc6a la tau cryxc ra rcr6y r Dpnupcr.lbs 3r
Mar?Mlrrrra ratxrtcffi, tao E rt Dsa y ro&cxofruatoj eral/ju. Oat-6panB ta.qru[ rf,cy rcrnrE r MCG ,trt rr pcurlr clrrE yscErr roirpaflorro trDatr nacrary vltcxarExo y [ronx. l]eaarxc rDc6a cavoclarEo ,qa pcrrtTc, t nalqIdE lrcoynrarE r ytrytctra EGIa laM cjlyrcra roxT?ony, ih yrcruro xojr ulry pcuc*a lhwypcxux tagafuMlpc[opyr ,rrro jc aa trpcrroAno gc,ttc Ogaapwaoefuxa, jcD cy ou,'!alulr or foxrylrcclx, aa orsj Dsa lpcapratrr toprcBo yrcr6arerc.
A) 3a Y,renuxe IV u V Pa?Pega
2(X!1. Korsro jellra oa rlojnx 6aKa nMa rpa6ara?2046. 3auenn cnoBa je.rrxoqrrlpexnu (je4notxavenxacrsM) 6pojearva raxo
Aa cc rr3 A+BBBBB+BBBBB:ABBBBB.qo6sje roqEa je,quaxocr.
2047. Konuro cery[qr r.way 1252 qaca 15 Mrtryra lr 7 ceryuan?20{t. Apgexx cry6 o6nnxa KBaApara, vrja je Ayx[Ha (ayrxHa) 12 dm, rr-
cnHa I dm x rurlpllEa 4 dm, rpe6a npecehE no ayxHHx rI ltrIlprHl{ ua tpx je,axaxa
.qena. ll3paqyHaj BoBpnr[]ry (nnourrnry) je.qxor raxror .qela.2019. Axo c€ cBaxa HBf,ua (6pHA) aaror xBaapa aBa nyra noreha, Konnro rryra
he noaprunna (urourrcHa) Taxo ao6rjenor xBaApa 6unr reha oA noBplri[He aarorrBaapa ?
B) 3a yveauxe V u VI palpega
2050. I(aaa je nyrnur [pertrao [onoalsy rryra s jou l0 km, ocrano rray je
Aa npet)e joE
nyra ?
2051. Jelas cry6 Mocra xana3lr c€ y peun rurpnue135 uerapa, Kpajerx Mocra cy cnMerprrxrr rov cry6yy oaHocy xao6ale pef,e. KoJrf,xa je qyxxna (gyrbuua)ror rrocra?
2O52.Ha cnnur I je aara npaBa (rpaBau\ CG nnpaB[ yrnoBrr (ryrorn) BOD u FOA. Axo je yraoCOD:12" 32'u yrao FOG:25"25', r.onnxn je yrao(ryr) AO8?
C1 3a yvenuxe VI u VII po?pega
l415?2O13..{ar je pa:rovax:
'?t43. Kojr 6poj rp€6a o.uy3ern o,uBMenEoqa r
Ao,[arlr Epojuoqy, ra 6f, ce rocllc crpahBeara ,uc6urro I ] ?5
2054.'Aro xae 6nusxlov o.l ryhe ilo rlxorer yqegxx uyryje ra I car n 45MrfHyra Mar6e Hero aro 6.r rurao leutKe. Bpuna rseroBor rperar]a onunrnov je12 km/h, a neuxe 3,6 km/h. Kolrxo je urxona yaaJL€Ha oa ryhe onor yvexnxa?
2055. Jeaax otr crlo:barursux yrlroBa jearaxoxparor rpoyrna (sarlcrnx xy-rora scrorprqHor rporyra) je 80'. Hrpaxyxarn yrao ntweby ocuoBs[e rr Bf,ccueroja o^[rorapa rpaxy.
ilIT
fiyra. Ko,.rrxa je ,qpcxua (qyrbuua)
Cr. I
ll9
D) fo y,tsilyy. VII u VIil po?p.go
2056. Hrparyx ur", 2J1Y!254+399.253
i05Z Parar.r*a (rnrDepenqnjal I nn"o, 6poja x | ,or.o. 6poja je4xaxa
_344je -.9euy je jeaxaxa pa3rn{Ka nrue}y - rpBor o 7 aOfror 6poja?
- 205E. ,{oratarr aa ce qeuTap onilcaHor xpyra xoA npaBoyrnor rpoyrna(npaaoryrror rpoxyra) n:ula3u y cpemurry rrcroBe xunorexy3c.
E) 3a ywnuxe VIII pazpega
^. 2W9.3a xoje Bpeaxocrn napaMerpa rz je.qxagrxa (je.ryau6a) m(x_l)::2(x-14) HeMa peuerba ? -
- 2060. floAeaurx 6poj 90 r{a ABa Aena raro Aa je nerocrpyrn npgn geo sa 9sehrr oA ApocrpyKor lpyror A€rra.
2061. y [paBoyrfloM rpoyrny (uparoryrnou rpoxyry) ErrcEHa xoja oaro-Fapa x-rnor€Hy3tr ,qentr xlnoreny3y Ha oAceqxe oA 36 cm n 64 cm. llrparyiaj o6nu(oucer) ror rpoyrna.
F) 3a yuenuxe c6ux pa3pega
2062. XaA jc flerap norpoumo je,sny ocvnfly cnoje yrrreftrrac, ocrano Myto ,ulrfl_apa,. KonHxa je 6nna llerpora yrurelernna?
- 2062.,{aro je 9 no4yAapHnx xia.qpara, 3 rrpsexa, 3 6c.na n 3 uara. }6nxTpeoa pa3MecrrTx no noJb[Ma jeAnor neher xBaApara Aruexarja 3 x 3 raxo ga ccy cDaroM pery E y cBaxoM crynuy nafe no jeAau qpncu, uo jeaan 6eo n no jcaarnJIaB xga,qpar. Ha xonnro ce fiaqrrra Moxe ro yqrnrrn?^ ?9f{,. Crpannua AB tpoyrna ABC yua ayxxny 5 cm, a DBcaEa CD r:nocx3 cm. Moxc nx o6nn onor rpoyraa Aa 6yle ticmi
Peuene oAa6psrrx 3rAarrKl 2045-20642045. 4. 2OtK. A:1, B:9. 2047. S i08 I ti s. 2!4t. p: t8 dm2. 2UD. 4 ryra
21150. 60 km. 2051. 270 m. 2052. 57' S7'. 2053. 57 843. rOSl. S tm. fbSS.-SO.
2056.254.399-t4s
254.399 + (254--399)It:1. 2057. -, 205E. Yrryrcrso: troxa3arx .tra cccsMe-35
ryrye - .xarcra cery y cpearurry xHtroreny3e. 2059. m:2. 2106.0. 27 n 63.frr6_lr240cm. 2O62.64n:r.u. 2063. 12.2041. H; uoxe. Hr jesHa on crp;Haua /Ct BC ne uoice 6nru MaEa o,[ 3 cm.
120t2t
KONKURSNI ZADACIOvi zadaci su namcnjcni prvcnstvcno za samostltaE
rad onib udcnika koji sc B vcdoj mcri intcrcsuiu za matcmr-tiku. Rc5cnjc svakog zadatka bidc objavljcn6 sa Dotpisomonog rcsavaoca koji bude prvi poslao sasvim tatno-i ;aibo-ljc obrazlolcno rcScnjc u toku prvih 20 dana Do izlasku lista.
Imcna onih resavalaca koji polatju bar t0 Dravilnibrclcnja konkursnih zadataka bidc obj-avlj:na uvek Do5to scod.niih piifit pd ukupno l0 takvih rasarja. Scm tola 6c uposlcdf,jcm broju lista za ovu Skolstu godinu biti ooscbnoobjavljcna imcna najboljih rcsavalaca, za-lojc iu p*i"iCi"inovlanc nagradc.
Relavajtc postavljenc zadatkc i laljitc ib u Sto vcdcmbroj\. Matematitkom listu. Relavaoci .mogu poslati rcdakcijircScnja samo onih ?adatala koji u predvideni.za njihov rczridi za uCenikc svih razreda, Zadatke resavajtc samostalno- nctrazcdi pomod ni od ko'ga. Slikc crrajrc irecizno.-a iiiini.pilitc obrazlozcno i ditko, Na jednom listu papira trcba nl-pisati sa istc stranc redni broj. tekst i komoleino rclcnic sa-mo po jcdnog zadatka i svako resenje treba potpisaii psnizimenom i prezimenom, navodeti tazred i odeljenje, ikolu, m?sto ikutnu adresu. Nepotpuna r€Senja, kao i resfija bez obrazlozcnja,odnosoo bez pune adrese poSiljaoca, n€de se uzimati u obzir.
.. Sva rc5enja koja Saljetc istovremeno stavitc u jedan kovert i posaljite ih na adr€su redak-cijc sa naznakom ,,Konkursni zadaci". No poledini koverta ^avidite svoje imc, Skolu i razrcd.Rclcnja zadataka iz ovog brcja lista rreba poslati najkasnijc do l0..III t9i6. g.'
A) Za utenike IV i Y razreda
982. Koliko ukupno prabaka imaju sve prabake svakog doveka?
283. Zamjeni slova jednoznamenkastim fiednocifrenim) brojevima tako dase iz TIK*TAK:SAT dobije rodna jednakost.
984. Kako se moZe presjeii kocka jednim rezom, paralelnim sa jednom nje_nom stranom, tako da se dobue kvadar dva puta.manje plostine (povrsine) od pio-Stine date kocke?
B) Za utenike Y i YI razreda
9E5. Jedna slavina napuni prazanbazen za.3 sata. Druga slavina nepuni istiisti bazen za 4 sata. Ako se u isto vreme otvore obe slavine-i odvodna clv, kojaprazni bazen, bazen ie se napuniti za 2 sata. za koje vreme odvodna cev isiraznipun bazen?
986. Diferencija (razlika) dva uporedna kuta (ugla) ie !- vet'egkuta. KolikaI
e velidina svakog od ta dva uporedna kuta?
C) Za utenike VI i WI razreda
987. Diferencija (razlika) dva broja ie ++ !.AkomanjiodnjihuvedamoT-2puta, diferencija de biti tO 1. Naei ove broieve.l4
988: U pravokutnom trokutu (pravouglom trouglu) kut (ugao) izmetlu hipo-tenuzine visine i simetrale pravog kuatje ll" 30'. Naci iiljaste (oltrj; kuteve daiogpravokutnog trokuta.
D) Zo uEenikc YII i Ym rozrcda
989. Ccna ulaznicc na stadionu je 150 dinara. Kada je cena sniZ:na, bfoj po-setilaca se pove6ao za 5Ol, a ukupan prihod je porastao a 25/.. Na koliko dinara jesniiena cena ulaznice?
990. U konveksnom Cetverokutniku (detvorouglu) ABCD dijagonale se sjekuu todki O. Ako je ploStina (povr5ina) trokuta (trougla) ODC geometrijska sredinaploStina trokuta BOC i AOD, dokazati da je Cetverokutnik ABCD trapez.
E') Za uienike VIII razreda
991. Dokazati da je zasvako xEZ irr^r*t-5.!'-*4'ceo broj.120
992. Kutevi (uglovi) na duljoj (duloj) osnovici trapeza su 600 i 30". Kradaosnovica jednaka je kracem kraku i iznosi I cm. Izradunaj plo5tinu (povri3nu) trapza.
F\ Zo uienike svih razredo
993. Na jednom pravokutniku (pravougaoniku) koji sadrii l0 polja (sl. l)poredano je 8 ietona i to tako da jedan iza drugog dolazi na smenu po jedan beo ipo jedan crn Zeton. Sem toga na levom kraju pravokutnika, ispred prvog belogzetona, ima dva prazna mesta za dva iletona. Pokazati kako je moguie u 4 potezapostaviti date Zetone tako da se najpre jave svi crni Uetoni, a zatim svi beli Zetoni,ako se pri svakom potezu izvrli premestanje po dva susedna ietona na po dva su-sedna slobodna polja, s tim da se njihov medusobni poredak ne menja.
sl. I
994. Kvadrat treba rasedi na 5 delova tako da se od njih mogu sastaviti dvajednaka kvadrata.
PEIITEIbA KOHKyPCHT4X 3AAATAKA 969-981U3 MATEMATI{TIKOT JIUCTA XX,3
A) 3a yueuuxe IV u V pa?pega
969. V jegnoj Sa6pu4u trtpu pagnuxa HaquHe npu atafrxe ?a npu gaxa. Ko-nuxo he ataJixu Haupasutru rcgail pagHuKa ta wecti gana pagehu uog ucnulr yc,to-au.va ?
Ka.( rpz pr.rr:{uKa nartlrtre rpr{ anarKe 3a rplr AaHa, oH.ua: je,qax peanxxKaqnHH jerny a,rarxy 3a rpl{ AaHa; ce.[aM paArlnxa $aqrue ceAaM zrnarKl{ 3a rptrALyr : a ceaaM ptAHfiKa HaqHHe 15 alarxu 3a uecr AaHa.
969. Radmilo Radovit, uC. IVn r. OS ,,21 oktobar", Kragujevac
970. IIa 6u ce ut vecfra A cfruirro y uecfro B, ygarbeno og Mecfra I 560 km,ilofrpe6no je 48O min. Hctluu ilpesoiHuw cpegcfueou cutuxe ce u? Mecua B y MecnoC za 270 min. Ko,ruxo je uecilo C yganeuo og uecuta B?
Karo oao [p3Bo3Ho cp3.(crDo rrpena3r{ 70 km ra I vac, la 270 uwryra, rj.qerrpr r no veca, npehxhe 3 l 5 km, na pacrojarre nrvefy rvrecra B n C n:nocx 3 l 5 km.
970. Otivera Tanasijevit, ud. V, r. OS ,,Zmaj J. Jovanovi6", Beograd
t22
I
971. Tpu frpaae (ipaa4a\ a, b, c ccxy ce y frpu Eawe (Eovxc) A, A, C. Ko-rtuKo urya oufrpux (wunacfrux), myaux u Apasux yitoso (xyfreea), quja cy EtcMeHa(epxocul iilauxe A, B, C u xpa4u uu ilpuilagajy ilpaeauaa. b, c? Og ueia ueucu 6pojtuux yinoaa?
Epoj oaux yraona (ryrera) 3as[cn oa vclyco6xor nonoxaja cBaxc trB€ o.EoBe rplr npare (npalua),
ARo ce cBe npaa€ cexy no.u xocnM yrroBuM,f (cn. I n cl. 2\, -raia he ro,ucBaxor o,q reMeHa A, B, C 6arrl no ADa orurpa (urnracra) yrJra r no .qBa ryna yrra
- yrynHo 6 ourrpax r 6 rymrx yrnola. Axo ce ,qE€ npale cexy noa [paBHM yrnoM(cn. 3), raaa he roA rrrrxoBor npeceKa 6nrn 4 lpaBa yrra, a xo.q ocraJrxx npecerano aBa ourrpa n no trBa ryna yrna - yxynno 4 ounpa,4 ryna n 4 npara yrna.
Cn. I Cn.2 Cr. 3
Goran Milovanlevrc, ud. IV, r. OS ,,Karadcrde.., Top;la
B'1 ?a yuenuxe V u YI pazpego
972. Hajxanu nJegauuxu cagpxanau gea 6poja je 5040, o tr,uxoc tajeehutaJegnuuxu.getu4a4 je 24, Jegan og frux dpojeaa je 240. Koju je gpyiu 6poj ?
Spoj5040 Moxe ce 3anncarr xao:2.2:Z.Z'3'3' j'j, aOioJ240xao;2' 2'2'2' 3' 5- vo,rasarv{o ta jeswa 3 n 7 st 6poja 5040 ne npnriaaajy 6pojy240. -Ta -3 y 7 rao x najaehn :ajsgnuvrn iuerunaq 24, quHnoqn cy rbaxexdi Otbja.fla je: 3 '7 '24:5O4.
Duiica Mirit, ud. V r. OS ,,C. M.lo avljevii.., pecka
973. liao (xyfr) a eehu je og csot xonfrteuenfriuoi ,-i,ra 3a oxo,tuxo 3axo,tuxo je ilahu og ceoi cyilaeneniiaoi yirc, Kotuxu je yiao c?
l'Il npnloxexnx c.n. 4 n 5 Bnan ce Aa je 1: ax-B s y:90'-2 B, a ur uprexacynJreMeHTHtrx-yrroBa: y:180"-Z a. LIr nocne,urse a8e je.uuarocrn nua:n ra je:90'-2 B:180"-2 a, a u3 oBe je.utaxocrr npournlatn: 2 a-2 g:90", o.uxocgoc-p_1a-5", rj. y:45'. 3anenov 1 y je4nxocru: y:180'-2 o nrparyuaniuo Aa Je:a:67" 3O',
Cn. 4
Ycsna Alcksijevsko. ut.
Cr. 5
V r. OS ,,F. Jahid-5panac.., Suho Poljc
t23
C\ 3a yuenuxe l/l u l'II pa3pego
971. Kaga je ueuax ttpeuno qenspt\luryt uytua tt jotu 5 km, ocuiato uy je gaupehe jout tupefrunl' lt.t,ua il jotu l0 km. Ko:uxa je gyxutro (g)'.ouna) uyna?
tt75Karo ,e -, c.'rejlr na (5,-10) km, rj. 15 km. npejrcraBJba -- o.tr- 4 .'l l- t2
AyxHHe nyra. OAaBAe 3aKr'y'{yjeMo Aa ;l- n-vra u3Hoclt J km, uno 3HaqH Aa je Ay-t2
xilHa ueror nyra 36 n^' oorr,rr,o srojanovit,ud. VI" r. os .,uc:telj rasa.., Nii
975. ilail je iupot'ido (rttpoxl-ut) ABC. y iite'tts11y (epxy) A t<ouciiipyuca*e c!11.r':xu (91,:xp11g') AD u AE, IuaKo ga je AD yupaaxa na AC u AD:AC, a AE ytrpaexona AB u AE:AB. Ilpu [itoue cy waqKe B u D c ucne cripaqe ipaee AB. loxatautusa je BD:CE.
Tpaxenajeasaxocr BD:CE je nocre4nua no-AyAapHocrn rpoyrJroBa ABD v ACE. loxaxnMo ro.flo rorcrpyxqujn je AD:AC u AB:AE. la.rre je4DAB:9O"-a, a rarobe je u 4CAE-90"-cc, urrorloKa3yje aa je u 4DAB:4EAC. flpervra rove, rpo-yrnoan ABC u ACE cy fioayaapnr raro u;ro nvajyjeanaxe no ABe oAroBapajyhe crpaHuue r{ lbuMa 3ax-saheHu yrao.l4z one notryaapHocrr{ cneal jeaxaxocru Tpshe cTpaHHue, rj. cnear jeAxarocr BD:CE.
E
Cr. 6
Dragan Stefanovii, ud. VI, r. OS ,,ttt. Ko:ovac.., Sabac
D) 3a yueauxe VII u VIII pa?pega
976. floxazawu ga ji troapituo frpaueia jegnaxa upou?sogy ,<paka u pacilo-jawa Aoi xpo\a og cpeguwna gpyioi xpaxa.
Hexa je ylpsne3y ABCD (cn.7) raqra Ecpean-rure xpaxa BC,uuera je EM pzcroje,rce raqxe E'oA xparaAD.Kpot EroncrpynurnMo npaBy D, napareruy canpsBov 4D. tlpasa p ceqe fipaBe AB u DC y raqKaMaN u F. flosp-unHa rp3fle3a ABCD je jeauaxa noep-urr.rix napenenorp3Ma ANFD, jep cy rpoyrnosr NBfn CEF nolyaap:ra. flouprurHa napaJrenorpaua ANFDje AD' ME, jep je ME !AD. 3naqn aa je noopruxnarpaneja ABCD jzpuara AD' ME.
Kararina Nikolajevil, ud. VII r. OS,,ll oktobar'., Svet6zarevo'.,
917. Kojolt c: 4ufipolr ?aspuaea 6poj 357too?Karo je 100:4,25, ro je 357r00:(357+;zs. Epoj 3574 3aBpulaBa ce 6pojerrr l,
na ce H Spoj 357100 3aBpulaBa 6pojel'.r l.Gordana Aleksit, ud. VII r. OS ,.M. Popovii", Gradanica
E) 3a S'ueuuxe VIII paspega
978. flpouuoa (npo.qyrr) ABa y3acrorra ue,ra 6poja, oA Kojrx je nehn oao,1 r6nx KBaaptr Hexor nprpoauor 6poja, ae*nr je ucroBpeMexo u ca 4 n ca 6.Aorararu.
124
B
D
BCn.'l
-l
Hera je pehr .rntura[ ($axrop) k2. Tana je npouruoA ror $axropa x rrploroA rbera Malber npnpoAHor 6poja: kz (k2-l):(k-1) k (k +1k. flpna rpr {HHHnaqacy y3acrorlH[ npupoasH 6pojesu, na jeaau oA rsxx rr.ropa..6rufi.r AeJbnB ca 3 x 6apje,qag oa rbfixje aeJbHB ca 2, reje npon3Bo.q AeJbuB ca 6. Aare, aroje k napan 6poj,oHAa je npon3Boa k.k, \e:*,nt cv 4, a axo je k Henapag 6poj, oaaa je npon:rogk2 (k2-l) AerbrB ca 4. 3aro je u nporrnoa k2 (kz-t) AeDnB ca 4.
Stanislav kapetanovit, uC. Vlll r. OS ,,I. GunCulii,., Beograd
979. y Kpt,i je yuucav ilpauezoug ABCD, waxoga gujaionaaa AC, xoja je ilpeunux Kpyia, genu yiao(ryn) xog uteweua A xa yiaoee og3Oo u4O'. Azpauynajoufrap yiao uzuefiy gujaiouata AC u BD.
. Ilperra cr. 8 cy 4DAC:4DBC:30', xao repr-$eprjcxu yrnoBr{ (xyroru) Hcror Kpyra Haa ucrlMrpyxHnM nyr(oM. TaxoDeje 4CDA:4BAC:4O'.Karo je L ACD upanoyrau(nparoryrnn) 4DCA:6O",ua nr A CDS r.ruar'.ro. {CSD:180'-(40'+60'):80'.
Boban Nikolii, uC. VIII r. OS ,,8. Miljkovid,,, Ni5
980. Muhxo je 6uo y 5 ilpugaaxu4a u y caaxoj je uolilpouuo n lO guaapa euweog iionoeuxe aoe4a xoju je uuao y uely xag je yaozuo y ilpogaeauqy. Kag je usauctc)ui ueute upogosHu4e, Huje uMao auwe Hu guHapa, Ko.tuxo je noea4a uuao xaga jeyuao y wpey upogaenu4y?
flourro.je:Mxhxo y neroj npoaaBunq[ ocrao 6e: HoBarra,3HaqH Aa je y rryyurao ca 204uxapa, naje ry norporullo noJa oA Tora HoBua ujour l0 guuapa. HaclrqaH HarllH ce sarnyvyje aa je y qreBpry rrpoAaBHruy yruao ca 60 4nHapa, y rpehyca 140 lanapa, y Apyry ca 300 axxapa o y upBy ca 620 snuapa.
Marijana Bajkii, ui. V r. OS ,.1. Gundul.i,., Beograd
981. Ho ct. 9 uua 2O frauaxa. Koauxo ce ,<sagpauaa Moiy Ha4ptaaiuu naxo gauM iAeMeHa ie)Ke y Hg?Ha.teHuN Iiaqxaua? Kotuxo ce og utux uaqaKa uopa ut6pu-cauu aKo ce xohe ga ce nu jegau Ksagpan ca weMcnu.vo y ipeoc,uaruM iaaqKawa Heaoxe naupfuatllu?
cev 9 ruannx KBaapa-ra roju ce aobnjy xenocpeaHrM rroBe3HBa[6eM cyceAHnxTaqaKa Ha cx. 9 Mory ce aobnrNjou-r 12 KBaapara, oHaKo Kao urro je ,o np*o_craBlbelro rla cl. 10.
Cn. 9
Milena fovonovii,
Cr. l0V r. OS ,,1. GunCuli6.,, Eeograduc.
t25
ZANIMLJIVOSTI I RAZNO
M.\TEM:\TICKA UKRSTENTCA
Horizontalno:l. Dijagonala kvadra dije su ivice a : I 8., : 6 i c : 9. 3. Vrednost izraza (x2 * l)2
za .r=.9. 6. Vrednost izraza x2- 163 gde je x reSenje jednadine 3 (x-l):2 (x+30)8. Trocifren broj diji je zbir cifara I 8. 9. Kvadrat dvocifrenog broja Ciji je zbir cifara 7.ll. Cetiri uzastopna neparna broja, podev od veieg broja ka manjem. 13. Vrednostizraza -150 1([6 (52*5. 3)-ll . 2l : [85-(813r3)+6 (2' 7-144 : 36)-98)] 15.Dvocifren broj dija je razlika cifara 2, a zbir prve cifre i detvorostruke druge dajetaj broj. 17. PovrSina trzpeza uvecana l0 puta, ako je o:6, b:3 i h:1.2.18. Cetiri uzastopna prirodna broja. 20. Brojna vrednost izraza 6-r (xu * | ) za x:9.
Vertikalno:2. Treii unutralnji ugao trougla ako je a: l0' i 9:22".3. Broj dija je sedmina
za 2 veea oJ njegove devet ne. 4, Vrednost izraza (xy12+38, gde su x i y reienjasistema x-.y:13 - 2x-)':ll.5. Aritmetidka sredina brojeva:215,400 i600.7. Vrednost izraza (3: 16). 10.000 8. Povr5ina trapeza dije su osnovice a:74, b:52a visina h:45.10. Cetvorocifren broj diji je zbir cifara 8. 12, Vrednost izraza (.x2-
l r li 2 i 2' 5
-10) (.r'l), ako je x reSenje jednacine t \- ll-1 l"--, j- t:-2.
t4. vrednost i.ra.a '. i - 1 .I',1/ 3)']' ',. -1\' uvecana t6puta. 16. vrednostr si 'l\ 3ll i 4Jizraza 360-3 (72:.6-5 '5-l). 19. Dvocifren broj Ciie"3u cifrc re5enja sistema
-r I'r-1,:ll.--- !-:1.- '15 l0
DA LI STE DOVITLJIVI?
l. Koji od sv.h cel.h brojeva izmedu Ii 100 ima to sv.jstvo da pcCeljen sa .v. jo.rrseJnrinom daje broi 7?
2. U strugari testera olseca od jeJnogstabla u svakom minutu p,r jeJan komaC du-2.ne I metar. Po le kog vremena 6e b.ti isede-no celo stablo od 9 n'.etara?
3. M:iere li olmah Ca kaZete Sta je99 100vece: ili
- ?100 tot sr- r
Sastavio S. Rodojkovil (Ni\l
. 4. Pravougaonik dija je duiina 9 cm, a Sirina 4 cm, rreba raseii na dva po-dudarna dela tako da se od njih moie sklopiti kvadrat.
- Odgovori ne pitanir iz proSlog broia lista, postavljenih u ovol rubrici,t. 51. 2. 37. 3. Ne moie.
t26
2 ? /, {
o 7
? t0
tl t2
,3 1t t5 t6
78 t9
?0
NAGRADNI ZADATAK BR 95.
, N9 sl. I teba popuniti kvadrarite i kruiiie brojevima tako da se, kako unnoieniku, tako i a proizvodu jave svih 9 brojew od I do 9 i da se dobije is-pravno mnoienje.
rrf r[[nlr"8st. I
- ?a_trcn_o -rcScnje ovog zadarka bidc naSradcno matcmatiCkim knjigama ili Driboram zapisanjc 2Oz. onih koji posalju tacna rcscnja. Izbor nagradenih biic izvrsen bd porrebi.zrcbom.. Rcscnja posl8ti n8 adrcsu: Matcmatiaki lisr. p. p.72E. ll00l Bmirad-. Na samom radu
oDavczno trcba napisati imc i pr_ezimc-. razred, odcljcnje imc, skolc i postu (sa postanskim brojcm).Na kovcrtu _(omotu) naznaditi: Nagredoi zadarak 95. Resenja poslati najkasnije do 15. 3. 19g6.'go6.Molc s citaoci iz svakc Skolc da lalju rcscnja samo-oni ucciici tbli su zaOaiak'rlliti
samostalno.
REZULTATI KONKURSA ZA NAGRADNI ZADATAI( BR. '3ReSen j a z ad a t a k a. - Zlata ima 15 godina.
. Od ukupno 2 622 pristigla odgovora tadno su' bila I 583 odgovora. Uvezi s tim je Zrebcim'odabrano 306 udenika, koji su nagradeni.
Nagradeni su slegeci uGenici:
IY nred. Denr Alckcmdrr, OS >Cirilo i Mctodijc<, Bcograd; Cretkovid Dregen, OS op.Krstid(' Pirot: Dokovid Alekrendn. os >J. Popovii<, obrcnovac; Filipoyid sverhnr. oS->v. pcricu,frjiggglic;.Hr.uUcnp_M-r1,_O$ DS: Marko_vii<, Novi Sad; Iid Goren..bS >1. Loii iiUa-r,. Grdctica;Jrkli6 Mimhv_.oS >N. Tcsla<. Lipar; Jeni6ijevi6 Silie. oS >J. popovid<, Kruscvac: Xrtuail l(r-lrrinr. os*>R. siskovii(,_smcdcrcvika paranki; Luk!6 2lren-. os 'ii. iili'ai.,-Gai-i!;'fr}irr3vieB.l"F. 91.:rt..PanCii<t,-Bcograd-; -Milol-Ketrrine,-OS >A. Mrazovicr, Sombor; frfirrovi,i trfiriir, OStV.- K8radzid(, Sabac; Mmulin Hclqnr, OS nA. Mrazovii<, Sombor: N€lori6 Bobrn, OS rV.'Karr-dZid<,'Kladovol Obrenovid Rrde. OS DF. ,alli6(, Biictijnsko Suho Poljcl penrid Deiin. bS >I. LotaRjbar((, Skoba-lji.Smedercvoi fetrovid Anr. OS rl\{. KuSiu. lvan ica; pcri;vid Zr;ko. OS'rri.-okrobry..Plandisre-; PiScevid_oliven. oS >D. J_crkovi6_<. Banatski Karlovac; phvlid Mirjeoe, oS o29. novem-bar(, Ribnicat Redoievid Vlrdinir, OS DM. Zivoiinovie(, Mladcoovac;4rfi6 Ridooir. OSlrl. Cti;iii.Smcdcrcvo; Simid Drrgile, OS DJ. Suaiin. Bcodin; SreieDovid SrSr, -OS og. b;ril'ii., S"".r"-rcro:Shnkovid-Bilirne.9$ "R: Mitr-oyiea. Cacak;_stoirnovid-violete, bS rs. naa-il;ie,l.-imcorrctoiSmigc Heldr, OS Smarje pri Jclsah; Tomid Vukrlin, OS "M. Igumanovidr, ScCa Rcka.
V rrzrcd, Ademov Tiirnr, OS >J. Jovanovic Zmaj((, panCcvo. Anitelkovid Boirr. OS >E. Kar-1"f."..!!il; Anid Slobodrn, OS DB. pavtovic(, Konjuh; Beikovid tfeir,_OS;Oi V. lrlrfr"A,,Zagteb;troiorid_Deniiele'.ol_no. Pctrotn. Banatski Brcstovac; Botid lvrnr. oS >Void Karadordc<, Nis;Db:Iilotid zottD, oS->rHcroj Srbar, osipaonica; crnkovid Srir. oS rD. Jaksii<. Zaietar: Cerimii B!lf,yr,_9! DPGtcfi S.(, Novo_MiloScvo; Cuid Jane. OS D29. novembarl". Kraljcvo: Ccerr Jelar.oS,Dv. I(aradii6,<r Priboi; _Cirrkovid Jelene, oS >S. Kerkovii(. L ig; Dcki6 Fikrerr. OS nz. iovcmbar",Bulim;.Dorirnid Nr-reh. OS >D. JakSii<. Kovin: Itrlir.r T.tirnr. OS >p, Kodi6r.. Bosanska Krufa:9rnbelid_Nerrir' oS rD. Karaklaiie(, Lazarcvac: Grgid lvrn. oS rv. Karadtii,., iiunic"; Hur'*iiNirve!-r, OS DN. Mackii(, Kl ut; hmovid Liubice. OS >M. Kusi6<, Ivan ica; Jrtrovlievid Dngutin.os >D. Popovi6<, Bclusic; Jerkovid Demir' os DB. Radiccvic(. smcd€rcvo; Jovenovii snelenr-, osEl4. oktobar<, Draginaci Ki! Mrriirne, OS-DDr M. lvckovid(, Zagrcb: t(imrrid puiiele. OS'>fLNazor(, Novi Slankamcn: Lerrevid Sr5r. OS >Hcro Srba<, Osipaoiis j Lrzori( Sofijr.'OS DA. Du-
127