Matematiikan tukikurssiHannu Kivimäki

1

Sisältö

I Ensimmäinen välikoe 1

1 Integrointi 1

2 Osittaisintegrointi 5

3 Osamurtohajotelma 10

4 Lisää osamurtoja 14

5 Sijoituskeino 19

6 Määrätty integraali 21

7 Ylä- ja alasumma 22

8 Määrätyn integraalin laskeminen 25

9 Määrätyn integraalin laskeminen sijoituksella 28

10 Määrätyn integraalin derivoiminen 31

11 Määrätyn integraalin sovelluksia 35

12 Tilavuuden ja vaipan alan laskeminen 36

13 Epäoleelliset integraalit 37

14 Integraalien suppeneminen 39

15 Tiheysfunktiot 44

16 Tasointegraalit 47

17 Tasointegraalin laskeminen 51

18 Tasointegraalin laskeminen monimutkaisemmassa joukossa 54

19 Muuttujien vaihto: siirtyminen napakoordinaatteihin 58

20 Avaruusintegraali 66

2

21 Avaruusintegraali yli monimutkaisempien alueiden 68

22 Muuttujan vaihto: sylinterikoordinaatit 71

23 Muuttujan vaihto: pallokoordinaatit 74

24 Ensimmäiseen välikokeeseen valmistavia tehtäviä 7824.1 Osittaisintegrointia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7824.2 Osamurtohajotelmia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8024.3 Yhden muuttujan sijoituskeino . . . . . . . . . . . . . . . . . 8024.4 Tasointegraalit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8024.5 Napakoordinaatit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8124.6 Sylinterikoordinaatit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8224.7 Pallokoordinaatit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

II Toinen välikoe 84

25 Useamman muuttujan funktion raja-arvo 84

26 Useamman muuttujan funktion jatkuvuus 90

27 Osittaisderivaatat ja gradientti 91

28 Vektoriarvoiset funktiot 92

29 Suunnattu derivaatta 93

30 Tangenttitason yhtälö 96

31 Hessen matriisi 98

32 Kokonaisdifferentiaali 99

33 Osittaisderivoinnin ketjusääntö 101

34 Implisiittinen derivointi 102

35 Neliömuodot 107

36 Neliömuotojen definiittisyys 109

37 Konveksius ja konkaavius 112

3

38 Lokaalit ääriarvot 114

39 Ääriarvon laskeminen joukossa 119

40 Rajoitetun ääriarvon laskeminen Lagrangen menetelmällä 121

41 Differentiaaliyhtälöt 123

42 Lineaariset differentiaaliyhtälöt 124

43 Toiseen välikokeeseen valmistavia tehtäviä 12643.1 Useamman muuttujan raja-arvo ja jatkuvuus . . . . . . . . . 12643.2 Suunnattu derivaatta ja tangenttitason yhtälö . . . . . . . . . 12743.3 Osittaisderivoinnin ketjusääntö . . . . . . . . . . . . . . . . . 12743.4 Implisiittinen derivointi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12743.5 Neliömuodot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12743.6 Useamman muuttujan funktion optimointi . . . . . . . . . . 12743.7 Differentiaaliyhtälöt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

A Ratkaisut ensimmäisen välikokeen harjoituksiin 128A.1 Osittaisintegrointia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128A.2 Osamurtohajotelmia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130A.3 Sijoituskeino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131A.4 Tasointegraalit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132A.5 Napakoordinaatit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134A.6 Sylinterikoordinaatit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135A.7 Pallokoordinaatit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

B Ratkaisut toisen välikokeen harjoituksiin 138B.1 Useamman muuttujan raja-arvo ja jatkuvuus . . . . . . . . . 138B.2 Suunnattu derivaatta ja tangenttitason yhtälö . . . . . . . . . 139B.3 Osittaisderivoinnin ketjusääntö . . . . . . . . . . . . . . . . . 140B.4 Implisiittinen derivointi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141B.5 Neliömuodot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141B.6 Useamman muuttujan funktion optimointi . . . . . . . . . . 141B.7 Differentiaaliyhtälöt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

4

Osa I

Ensimmäinen välikoe

1 Integrointi

Integrointi on derivoinnin käänteistoimitus: jos funktion F(x) derivaattaon f (x), niin funktion f (x) integraali on F(x). Täten, koska esimerkiksifunktion x2 + e2x derivaatta on 2x + 2e2x, niin tämän funktion 2x + 2e2x

integraali on x2 + e2x. Tätä merkitään seuraavasti:∫2x + 2e2xdx = x2 + e2x.

Tässä∫(·)dx tarkoittaa yksinkertaisesti että lauseke (·) integroidaan. Se

on yhtenäinen merkintä, jonka osat ”∫

” ja ”dx” eivät tarkoita yksinäänvarsinaisesti mitään, joskin ”dx” kertoo, että integrointi suoritetaan x:nsuhteen. Vastaavasti

∫(·)dy tarkoittaa integrointia y:n suhteen.

Vastaavasti huomataan esimerkiksi, että∫x5dx =

16

x6,

koska ddx

16 x6 = x5. Integrointi on siis helppoa, jos osaat arvata, minkä

funktion derivaatta tietty funktio on. Tavallaan siis osaat jo integroida, jososaat derivoida.

Integraalifunktio ei kuitenkaan ole yksikäsitteinen: myös funktio 1/6x6 +10 on funktion x5 integraalifunktio, koska funktion 1/6x6 + 10 derivaattaon x5. Itse asiassa jos F(x) on funktion f (x) integraalifunktio eli d

dx F(x) =f (x), niin myös funktio F(x) + C on funktion f (x) integraalifunktio millätahansa vakion C arvolla, koska

ddx

(F(x) + C) = f (x) + 0 = f (x).

Esimerkki 1.1. Funktion 4x2 kaikki integraalifunktiot ovat muotoa 43 x3 +

C, koska ddx

(43 x3 + C

)= 4x2.

Koska integrointi on derivoinnin käänteistoimitus, niin jokaista derivoi-missääntöä vastaa käänteinen integroimissääntö. Otetaan näistä esimerk-kejä.

1

Esimerkki 1.2. Potenssifunktion xn derivaatta on nxn−1. Täten∫xndx =

1n + 1

xn+1 + C.

Eli koska potenssin derivoimissääntö kertoo, että potenssi tulee eteen ker-toimeksi ja potenssi vähenee yhdellä, kertoo vastaava integrointisääntö ettäpotenssi kasvaa yhdellä ja tämän yhdellä kasvaneen potenssin käänteisluku tuleeeteen kertoimeksi. Tästä seuraa esimerkiksi, että∫

x325dx =1

326x326 + C.

Esimerkki 1.3. Tunnetusti logaritmin ln x derivaatta on 1/x. Täten∫ 1x

dx = ln x + C,

kun x > 0.

Tähän mennessä käsitellyt integroinnit ovat olleet käytännössä melko suo-raviivaisia. Hankalampia tehtäviä ovat usein derivoinnin ketjusääntöönperustuvat integroinnit. Derivoinnin ketjusääntöhän kertoo, että yhdiste-tyn funktion f (g(x)) derivaatta on f ′(g(x))g′(x). Eli ”ulkofunktion de-rivaatta (arvolla sisäfunktio g(x)) kertaa sisäfunktion derivaatta”. Tätentämä sääntö kertoo meille esimerkiksi, että

Dx(x2 + 6x)20 = 20(x2 + 6x)19(2x + 6).

Täten luonnollisesti∫20(x2 + 6x)19(2x + 6)dx = (x2 + 6x)20 + C,

eli käytännössä tässäkään integroimissäännössä ei ole mitään uutta: sekertoo ainoastaan että∫

f ′(g(x))g′(x)dx = f (g(x)) + C.

Käytännössä vaikeaa on huomata, että lauseke20(x2 + 6x)19(2x + 6) on muotoa f ′(g(x))g′(x).

Esimerkki 1.4. ∫(3x2 + 2)ex3+2x+5dx = ex3+2x+5 + C.

2

Matemaattisen analyysin kurssilta muistuu mieleen myös, että logarit-min derivoimissääntöä ja ketjusääntöä voi yhdistää derivoitaessa funk-tion f (x) logaritmia:

Dx ln f (x) =f ′(x)f (x)

.

Tässä pitää muistaa, että logaritmi on määritelty ainoastaan, kun f (x) >0. Toisaalta jos f (x) < 0, niin silloin puolestaan ln(− f (x)) on määritelty(koska tällöin − f (x) > 0) ja

Dx ln(− f (x)) =− f ′(x)− f (x)

=f ′(x)f (x)

.

Täten funktion f ′(x)f (x) integrointi tuottaa tuloksen ln f (x) + C, jos f (x) on

positiivinen, ja tuloksen ln(− f (x)) + C, jos f (x) on negatiivinen. Nämäkaksi tapausta voi yhdistää kätevästi kirjoittamalla, että∫ f ′(x)

f (x)dx = ln | f (x)|+ C,

jossa f (x) voi olla negatiivinen tai positiivinen, kunhan f (x) 6= 0.

Koska esimerkiksi

Dx ln(x2 + 5x + 1) =2x + 5

x2 + 5x + 1,

niin vastaava integrointi kertoo täten, että∫ ( 2x + 5x2 + 5x + 1

)dx = ln |x2 + 5x + 1|+ C.

Eli jos tunnistat integroitavan funktion olevan muotoa f ′(x)f (x) , niin integroin-

titehtävän vastaus on yksinkertaisesti ln | f (x)|+ C.

Esimerkki 1.5. Integroidaan nyt funktio

12x2 + 4x3 + x

.

Tämä ei itse asiassa ole muotoa f ′(x)/ f (x), mutta sen huomataan ole-van muotoa 4 f ′(x)/ f (x). Koska integrointi on lineaarinen operaatio1, tä-män lausekkeen integrointi voidaan suorittaa helposti siirtämällä kerroin4 eteen:

1Tämä tarkoittaa, että∫(a f (x) + bg(x))dx = a

∫f (x)dx + b

∫g(x)dx.

3

∫ 12x2 + 4x3 + x

dx = 4∫ 3x2 + 1

x3 + xdx

= 4 ln |x3 + x|.

Tässä vaaditaan täydellisyyden vuoksi vielä ehto x3 + x 6= 0.

Huomaa, että integraalifunktio F(x) on aina derivoituva, koska määri-telmän mukaan F′(x) = f (x). Analyysin peruskurssilla osoitettiin, ettäderivoituva funktio on aina jatkuva. Tästä seuraa, että integraalifunktioon aina jatkuva. Tästä tuloksesta on apua, kun haetaan paloittain määri-teltyjen funktioiden integraaleja, kuten alla olevassa tehtävässä:

Esimerkki 1.6. Etsitään funktion

f (x) =

{x2, kun x ≥ 0x, kun x < 0

integraalifunktio. Aluksi integroidaan funktio paloittain: funktion x2 inte-graalifunktiot ovat muotoa 1

3 x3 + C1 ja funktion x integraalifunktiot ovatmuotoa 1

2 x2 +C2. Täten funkion f (x) integraalifunktiot F(x) ovat muotoa

F(x) =

{13 x3 + C1, kun x ≥ 012 x2 + C2, kun x < 0.

Tämän integraalifunktion pitää kuitenkin olla jatkuva, koska integraali-funktiot ovat aina jatkuvia. Tämä rajoittaa vakioiden C1 ja C2 arvoja. Jottatuo integraalifunktio olisi jatkuva, on oltava että pisteessä x = 0 nuo kaksipalasta yhtyvät, eli

13

x3 + C1 =12

x2 + C2, kun x = 0.

Tästä seuraa, että on oltava C1 = C2. Täten halutut integraalifunktiotvoidaan ilmaista muodossa:

F(x) =

{13 x3 + C, kun x ≥ 012 x2 + C, kun x < 0.

Tässäkin esimerkissä tuloksena oli siis joukko integraalifunktioita: yksiintegraalifunktio jokaista vakion C arvoa kohden. Käytännössä saadaan

4

vain yksi ratkaisu, jos rajoitetaan funktion arvoa tietyssä pisteessä. Jos yl-lä olevassa esimerkissä vaadittaisiin vaikkapa, että F(3) = 0, niin silloin1333 + C = 0 eli C = −9. Tällöin saataisiin yksikäsitteinen integraalifunk-tio:

F(x) =

{13 x3 − 9, kun x ≥ 012 x2 − 9, kun x < 0.

Tämä ehto F(3) = 0 on esimerkki alkuarvosta, joita tullaan tapaamaanlisää esimerkiksi differentiaaliyhtälöiden yhteydessä.

2 Osittaisintegrointi

Matemaattisen analyysin peruskurssilla derivoitiin funktioita, jotka oli-vat kahden funktion tuloja: esimerkiksi funktio (2x2 + 3x + 1)(ex + 4x)on funktioiden 2x2 + 3x + 1 ja ex + 4x tulo. Tällainen funktio derivoitiintulosäännöllä, joka menee seuraavasti:

(2.1)d

dx( f (x)g(x)) = f ′(x)g(x) + f (x)g′(x).

Tällä kaavalla voidaan laskea esimerkiksi yllä olevan funktion derivaatta:

ddx

((2x2 + 3x + 1)(ex + 4x)

)= (4x+ 3)(ex + 4x)+ (2x2 + 3x+ 1)(ex + 4).

Derivoinnin tulosääntö eli yhtälö (2.1) voidaan luonnollisesti integroidakummaltakin puolelta:∫ d

dx( f (x)g(x))dx =

∫f ′(x)g(x)dx +

∫f (x)g′(x)dx.

Koska integrointi ja derivointi ovat toistensa käänteistoimituksia, yllä ole-van yhtälön vasemmalla puolella nämä kaksi toimitusta kumoavat toisen-sa ja koko yhtälö saadaan seuraavaan muotoon:

f (x)g(x) =∫

f ′(x)g(x)dx +∫

f (x)g′(x)dx.

Tästä yhtälöstä voidaan nyt vähentää kummaltakin puolelta termi∫f ′(x)g(x)dx,

jolloin saadaan osittaisintegroinnin kaava:

5

(2.2)∫

f (x)g′(x) = f (x)g(x)−∫

f ′(x)g(x)dx.

Eli: haluamme integroida funktion f (x)g′(x). Jos tämä integrointi ei on-nistu suoraan (esimerkiksi kappaleessa 1 esitetyllä tavalla), voidaan ko-keilla osittaisintegrointia. Tällöin lasketaan ensin funktion f (x) derivaattaf ′(x) ja funktion g′(x) integraali g(x). Lopuksi lasketaan integraali∫

f ′(x)g(x)dx,

minkä jälkeen haluttu integraali saadaan kaavasta (2.2).

Esimerkki 2.1. Lasketaan integraali∫xexdx

käyttämällä osittaisintegrointia. Ensinnä luonnollisesti laskettavan inte-graalin on oltava muotoa ∫

f (x)g′(x)dx.

Esimerkin lauseke on tätä muotoa, kun xex = f (x)g′(x). Käytännössäsaamme aina valita, kumpi osista x ja ex on f (x) ja kumpi on g′(x). Tämätehtävä ratkeaa ainoastaan, jos valitsemme nämä seuraavasti:

f (x) = xg′(x) = ex.

Seuraava vaihe osittaisintegroinnissa on aina laskea funktiot f ′(x) ja g(x).Nämä on tällä kertaa helppo laskea:

f ′(x) = 1g(x) = ex.

Tällöin termi f (x)g(x) on yhtä kuin xex. Tämän tehtävään sovellettunaosittaisintegroinnin kaava kertoo siis seuraavaa:∫

f (x)g′(x)dx = f (x)g(x)−∫

f ′(x)g(x)∫xexdx = xex −

∫1 · exdx.

6

Koska tuo viimeinen termi ∫1 · exdx

on yhtä kuin ex, on tehtävän ratkaisu seuraava:∫xexdx = xex − ex.

Tämä on vielä hyvä varmistaa derivoimalla yllä olevan yhtälön oikea puo-li (käytetään derivoinnin tulosääntöä):

ddx

(xex − ex) = 1 · ex + xex − ex

= xex.

Eli tehtävän tulos pätee.

Tässä esimerkissä huomasimme osittaisintegroinnin päävaiheet:

1. Valitaan kumpi integroitavan lausekkeen osista on f (x) ja kumpi ong′(x).

2. Lasketaan f ′(x) ja g(x).

3. Lasketaan integraali∫

f ′(x)g(x)dx

4. Käytetään osittaisintegroinnin kaavaa.

Tämä oli yksinkertainen osittaisintegrointitehtävä ja kaikki nämä vaiheetsujuivat vaivatta. Seuraavassa esimerkissä kohta 3 ei toimi suoraan, vaanosittaisintegrointia joudutaan soveltamaan useaan kertaan.

Esimerkki 2.2. Lasketaan seuraavaksi integraali∫x2exdx.

Valitaan funktiot seuraavasti: f (x) = x2 ja g′(x) = ex, jolloin f ′(x) = 2xja g(x) = ex. Tällöin saadaan osittaisintegroinnin kaavaa käyttäen:∫

x2exdx = x2ex −∫

2xexdx.

Tässä integraali ∫2xexdx

7

ei ole laskettavissa suoraan, mutta sekin voidaan laskea osittaisintegroin-nilla, mikä oikeastaan tehtiinkin jo (vakiota 2 vaille) edellisessä esimer-kissä:

∫2xexdx = 2

∫xexdx

= 2(xex − ex).

∫x2exdx = x2ex −

∫2xexdx

= x2ex − 2(xex − ex)dx

= x2ex − 2xex + 2exdx.

Tämän esimerkin opetus on siis, että joskus osittaisintegrointia pitää so-veltaa useamman kerran samassa tehtävässä. Seuraava esimerkki puoles-taan kertoo, että joskus osittaisintegrointi vaatii hieman luovuutta funk-tioiden f (x) ja g′(x) valinnassa.

Esimerkki 2.3. Lasketaan integraali∫ln xdx.

Tässä funktiot f (x) ja g′(x) tuntuvat aluksi mahdottomilta muodostaa,koska integraalin sisässä näyttää olevan vain yksi funktio: ln x. Pienelläluovuudella huomaamme kuitenkin että tämäkin lauseke voidaan esittääkahden funktion tulona: muodossa∫

1 · ln xdx,

jolloin voidaan valita f (x) = ln x ja g′(x) = 1. Nyt f (x)g(x) = x ln x ja∫f ′(x)g(x)dx =

∫ 1x· x dx = x,

jolloin ∫ln xdx = x ln x− x.

Alla olevassa esimerkissä esiintyy kolmas tapaus, joka kohdataan useinosittaisintegroitaessa: integrointi ei varsinaisesti tuota tulosta, mutta lo-pulta saadaan lauseke, josta integraali saadaan pääteltyä.

8

Esimerkki 2.4. Integroidaan nyt osittaisintegroinnilla∫e2x sin xdx.

Valitaan f (x) = e2x ja g′(x) = sin x. Täten f ′(x) = 2e2x ja g(x) = − cos x(koska kosiinifunktion derivaatta on − sin x), joten∫

e2x sin xdx = −e2x cos x−∫

2e2x(− cos x)

= −e2x cos x + 2∫

e2x cos x

Sovelletaan nyt osittaisintegrointia toiseen kertaan: nyt tuohon jälkimmäi-sen integraaliin ∫

e2x cos x.

Valitaan tässä f (x) = e2x ja g′(x) = cos x. Täten f ′(x) = 2e2x ja g(x) =sin x ja yllä oleva lauseke saadaan seuraavaan muotoon:

−e2x cos x + 2∫

e2x cos xdx = −e2x cos x + 2(

e2x sin x−∫

sin x(2e2xdx))

= −e2x cos x + 2e2x sin x− 4∫

sin xe2xdx.

Nyt huomataan, että tähän asti saatu tulos kertoo itse asiassa seuraavaa:∫e2x sin xdx = −e2x cos x + 2e2x sin x− 4

∫sin xe2xdx

Tässä integraali yhtälön vasemmalla puolella on sama kuin yhtälön oi-kean puolen viimeinen termi, joten ne voidaan siirtää samalle puolelle.Tämän jälkeen integraali ratkeaa helposti:∫

e2x sin xdx = −e2x cos x + 2e2x sin x− 4∫

sin xe2xdx

5∫

e2x sin xdx = −e2x cos x + 2e2x sin x∫e2x sin xdx =

15

(−e2x cos x + 2e2x sin x

)Tiivisteenä: osittaisintegrointi on derivoinnin tulosäännön käänteistoimi-tus2. Sitä kannattaa soveltaa silloin, kun∫

f (x)g′(x)dx

2Jos et muista tentissä osittaisintegroinnin kaavaa ulkoa, riittää että muistat tulonderivoimissäännön, jolloin voit johtaa osittaisintegraalin kaavan tästä.

9

on vaikea laskea, mutta ∫f ′(x)g(x)dx

on helppo laskea. Kuten aina integroitaessa, voi osittaisintegroinninkintuloksen tarkistaa derivoimalla saatu lauseke.

3 Osamurtohajotelma

Usein integroitavana on rationaalifunktio eli funktio, joka on muotoa

P(x)Q(x)

,

jossa P(x) ja Q(x) ovat polynomeja. Tällainen rationaalifunktio on esi-merkiksi

x5 + 3x + 1x3 + 2x2 .

Tässä kannattaa kiinnittää aluksi huomiota polynomien asteisiin: yllä osoit-tajan aste on 5 ja nimittäjän aste on 3. Polynomin aste on siis sen kor-keimman potenssin aste. Rationaalifunktioiden integraaleja laskettaessaon oleellista huomata ensiksi, onko osoittajan aste suurempi kuin nimit-täjän aste. Yllä osoittajan aste on suurempi, kun taas funktion

x2 + 4xx7 + 5x2 + 2

nimittäjän aste (eli 7) on suurempi kuin osoittajan aste (eli 2). Se onkoosoittajan vai nimittäjän aste suurempi ratkaisee miten näitä integraalejakannattaa laskea.

Aluksi käsittelemme tapauksen, jossa nimittäjän asteluku on suurempi.Esimerkki tällaisesta funktiosta on

1(x− 4)(x− 2)

,

jonka nimittäjän asteluku on kaksi, minkä voi nähdä laskemalla nimittä-jän lausekkeen auki. Tätä funktiota on kuitenkin mahdotonta integroidasuoraan. Oleellista tällaisessa tapauksessa on tutkia nimittäjän nollakoh-tia. Yllä olevalla funktiolla on kaksi erillistä nollakohtaa: x1 = 4 ja x2 = 2.

10

Tällaisessa tapauksessa tuolle funktiolle voi tehdä seuraavanlaisen osa-murtohajotelman:

1(x− 4)(x− 2)

=A1

x− 4+

A2

x− 2.

Tässä A1 ja A2 ovat vakioita, jotka pitää ratkaista. Käytännössä nämäratkaistaan valitsemalla ne siten, että yllä olevan yhtälön vasen ja oikeapuoli ovat samoja:

1(x− 4)(x− 2)

=A1

x− 4+

A2

x− 2

=(x− 2)A1

(x− 2)(x− 4)+

(x− 4)A2

(x− 4)(x− 2)

=(x− 2)A1 + (x− 4)A2

(x− 4)(x− 2)

=A1x− 2A1 + A2x− 4A2

(x− 4)(x− 2).

Tästä voidaan nyt ratkaista A1 ja A2: täytyy päteä, että

1(x− 4)(x− 2)

=A1x− 2A1 + A2x− 4A2

(x− 4)(x− 2)

eli että 1 = A1x− 2A1 + A2x− 4A2. Koska tällä vasemmalla puolella onpelkkä luku 1, eikä yhtään x:ää sisältävää termiä, niin on oltava että A1x+A2x = 0 eli A1 + A2 = 0. Toinen ehto, joka saadaan on −2A1 − 4A2 = 1.Kun nämä kaksi ehtoa yhdistetään, saadaan ensimmäisestä ehdosta, ettäA1 = −A2, jonka voi sijoittaa toiseen ehtoon ja ratkaista 2A2 − 4A2 = 1eli A2 = −1/2, jolloin A1 = 1/2. Täten tuo tehtävän rationaalifunktiovoidaan esittää muodossa

1(x− 4)(x− 2)

=A1

x− 4+

A2

x− 2

=1/2

x− 4− 1/2

x− 2.

Nyt tämä oikea puoli on integroitavissa:∫ 1/2x− 4

− 1/2x− 2

dx = 1/2∫ 1

x− 4dx− 1/2

∫ 1x− 2

dx

= 1/2 ln |x− 4| − 1/2 ln |x− 2|+ C.

11

Täten tehtävän ratkaisu on∫ 1(x− 4)(x− 2)

dx = 1/2 ln |x− 4| − 1/2 ln |x− 2|+ C.

Yleisesti ottaen kun integroitavana on rationaalifunktio f (x) = P(x)/Q(x),jonka nimittäjän Q aste on suurempi kuin sen osoittajan P aste ja jonka ni-mittäjällä on erilliset nollakohdat (Q(x) = a(x− x1)(x− x2) · · · (x− xn))niin integraali saadaan ratkaistua jakamalla tehtävän funktio ensin osa-murtoihin:

P(x)Q(x)

=A1

x− x1+

A2

x− x2+ · · ·+ An

x− xn

ja ratkaisemalla tästä vakiot A1, . . . , An. Tästä saadaan lopulta integroi-malla ratkaisuksi∫ P(x)

Q(x)dx = A1 ln |x− x1|+ A2 ln |x− x2|+ · · ·+ An ln |x− xn|+ C

Esimerkki 3.1. Halutaan laskea integraali∫ 1x2 − x

dx.

Nyt pitää aloittaa jakamalla nimittäjä tekijöihin, jolloin näemme sen nol-lakohdat:

1x2 − x

=1

x(x− 1).

Eli nimittäjän nollakohdat ovat selvästi 0 ja 1. Täten osamurtohajotelmaon muotoa

1x(x− 1)

=A1

x+

A2

x− 1.

Tästä voidaan ratkaista kertoimet A1 ja A2 vanhaan malliin:

1x(x− 1)

=A1

x+

A2

x− 1

=A1(x− 1)x(x− 1)

+A2x

x(x− 1)

=A1x− A1 + A2x

x(x− 1).

Jälleen ratkaistaan termit A1 ja A2 asettamalla 1 = A1x− A1 + A2x. Tästäseuraa heti, että A1 = −1. Tästä taas seuraa, että A2 = 1. Täten∫ 1

x(x− 1)dx =

∫ −1x

dx +∫ 1

x− 1dx

= − ln |x|dx + ln |x− 1|+ C.

12

Toinen osamurtotapaus, jota käsittelemme, on tapaus jossa osoittajan as-teluku on suurempi kuin nimittäjän asteluku. Tällainen funktio on esi-merkiksi

x4

x2 − 3x + 2.

Tällainen polynomi pitää aluksi muokata eri muotoon esimerkiksi jako-kulmassa. Alla tämä muokkaus kuitenkin suoritetaan hieman eri taval-la. Ideana on esittää osoittaja x4 muodossa ”nimittäjä kertaa jokin lukuplus jokin luku”. Eli yleisesti ottaen haluamme esittää rationaalifunktionP(x)/Q(x) muodossa

a(x)Q(x) + b(x)Q(x)

= a(x) +b(x)Q(x)

,

jossa a(x) ja b(x) ovat polynomeja ja P(x) = a(x)Q(x) + b(x). Ideana on,että osamäärä b(x)

Q(x) olisi muodossa, jossa nimittäjän asteluku olisi suurem-pi kuin osoittajan asteluku.

Funktionx4

x2 − 3x + 2

tapauksessa haluamme siis lisätä osoittajaan nimittäjän x2− 3x+ 2 kerrot-tuna jollakin polynomilla. Koska osoittajassa on termi x4, niin kerrotaantämä nimittäjä termillä x2, jolloin näiden tulossa esiintyy termi x4:

x4

x2 − 3x + 2=

x2(x2 − 3x + 2) + (3x3 − 2x2)

x2 − 3x + 2

= x2 +3x3 − 2x2

x2 − 3x + 2.

Tuossa jälkimmäinen termi 3x3 − 2x2 valittiin siten, että pätee yhtäsuu-ruus x4 = x2(x2 − 3x + 2) + (3x3 − 2x2). Tämän jälkeen osoittajan tekijätjaettiin erikseen nimittäjällä. Saadussa funktiossa on kuitenkin edelleentekijä (3x3 − 2x2)/(x2 − 3x + 2), jossa osoittajan aste ylittää nimittäjänasteen. Sovelletaan tähänkin samaa tekniikkaa: esitetään sen osoittaja ni-mittäjän kertoimen ja jäännöstermin avulla:

3x3 − 2x2

x2 − 3x + 2=

3x(x2 − 3x + 2) + (9x2 − 6x)x2 − 3x + 2

= 3x +9x2 − 6x

x2 − 3x + 2.

13

Tässä valittiin jälleen nimittäjään kerroin 3x siten että osoittajan suurintermi 3x3 saataisiin nimittäjän ja termin 3x kertoimena. Termi (9x2 − 6x)valittiin siten, että pätisi 3x3 − 2x2 = 3x(x2 − 3x + 2) + (9x2 − 6x).

Nyt olemme saaneet alkuperäisen funktion muotoon

x4

x2 − 3x + 2= x2 + 3x +

9x2 − 6xx2 − 3x + 2

.

Muokataan vielä tämä viimeinen termi samalla taktiikalla kuntoon. Esi-tetään se muodossa

9x2 − 6xx2 − 3x + 2

=9(x2 − 3x + 2) + (21x− 18)

x2 − 3x + 2

= 9 +21x− 18

x2 − 3x + 2

Täten olemme saaneet muokattua alkuperäisen funktion muotoon

x4

x2 − 3x + 2= x2 + 3x + 9 +

21x− 18x2 − 3x + 2

.

Tämän viimeinen termi ei ole vieläkään integroitavissa, mutta ainakin seon tuttua tyyppiä, jossa nimittäjän asteluku ylittää osoittajan asteluvun.Lisäksi sen nimittäjä voidaan esittää tulomuodossa: x2 − 3x + 2 = (x −1)(x− 2), joten lauseke voidaan esittää osamurtoina:

21x− 18x2 − 3x + 2

=A1

x− 1+

A2

x− 2.

Tästä voidaan ratkaista vanhaan tapaan A1 = −3 ja A2 = 24. Täten alku-peräinen funktio saadaan integroitua seuraavasti:

∫ x4

x2 − 3x + 2dx =

∫x2 + 3x + 9− 3

x− 1+

24x− 2

dx

=13

x3 +32

x2 + 9x− 3 ln |x− 1|+ 24 ln |x− 2|+ C.

4 Lisää osamurtoja

Tutkitaan jälleen rationaalifunktion P(x)/Q(x) integrointia. Aiemmin kä-sittelimme tapauksen, jossa nimittäjä voidaan esittää muodossa Q(x) =

14

a(x− x1)(x− x2) · · · (x− xn). Tässä siis nimittäjällä on n kappaletta nol-lakohtia: nollakohdat ovat x1, x2, . . . , xn, jotka olivat kaikki keskenään eri-suuria eli xi 6= xj kun i 6= j. Tällainen yhtälö saatiin integroitua esittämäl-lä se muodossa

P(x)Q(x)

=A1

x− x1+

A2

x− x2+ · · ·+ An

x− xn

ja integroimalla tämän lausekkeen oikea puoli. Tässä siis rationaalifunk-tio jaettiin osamurtoihin.

Nyt jatketaan osamurtojen käsittelyä, mutta enää ei oleteta että nimittäjänvoi esittää muodossa Q(x) = a(x − x1)(x − x2) · · · (x − xn), jossa nolla-kohdat ovat erisuuria. Voi olla esimerkiksi, että integroitava rationaali-funktio on

(4.3)1

(x− 3)2 =1

(x− 3)(x− 3),

jolloin nimittäjällä (x − 3)2 on kaksi kertaa toistuva nollakohta x1 = 3.Samoin funktiolla

1(x− 10)(x− 1)8

on 8-kertainen nollakohta x1 = 1, minkä lisäksi sillä on selvästi nollakoh-ta x2 = 10. Tällainen useampikertainen nimittäjän nollakohta voidaanmyös ratkaista osamurtohajotelmalla, mutta se vaatii erilaista osamurto-hajotelmaa.Ensinnä pitää huomata, että yllä yhtälö (4.3) on helppo integroida, sillä∫ 1

(x− 3)2 dx =∫(x− 3)−2dx

= −(x− 3)−1 + C

= − 1x− 3

+ C.

Jaetaan nyt yhtälö1

(x− 1)(x− 3)2

osamurtoihin seuraavasti:

1(x− 1)(x− 3)2 =

A1

x− 1+

A2

x− 3+

A3

(x− 3)2 .

15

Nyt siis kahteen kertaan toistuva nollakohta 3 aiheuttaa sen, että termix− 3 esiintyy osamurtohajotelmassa sekä ensimmäisessä että toisessa po-tenssissa. Nyt yllä olevasta yhtälöstä voidaan ratkaista tuttuun malliinkertoimet A1,A2 ja A3:

1(x− 1)(x− 3)2 =

A1

x− 1+

A2

x− 3+

A3

(x− 3)2

=A1(x− 3)2

(x− 1)(x− 3)2 +A2(x− 1)(x− 3)(x− 1)(x− 3)2 +

A3(x− 1)(x− 1)(x− 3)2

=A1(x2 − 6x + 9)(x− 1)(x− 3)2 +

A2(x2 − 4x + 3)(x− 1)(x− 3)2 +

A3(x− 1)(x− 1)(x− 3)2 .

Tästä yhtälöstä voidaan ratkaista kertoimet A1, A2 ja A3 asettamalla osoit-tajat yhtä suuriksi:

1 = A1(x2 − 6x + 9) + A2(x2 − 4x + 3) + A3(x− 1).

Tämän yhtälön vasemmalla puolella ei esiinny termejä, jossa olisi kertoi-mena x2 tai x. Täten on oltava esimerkiksi, että A1x2 + A2x2 = 0 ⇐⇒A1 + A2 = 0. Vastaavalla päättelyllä saadaan yhtälöryhmä

A1 + A2 = 0−6A1 − 4A2 + A3 = 0

9A1 + 3A2 − A3 = 1

Tästä saadaan ratkaistua kertoimet

A1 = 1/4A2 = −1/4A3 = 1/2.

Täten integrointi voidaan suorittaa seuraavasti:∫ 1(x− 1)(x− 3)2 dx =

∫ 1/4x− 1

dx +∫ −1/4

x− 3dx +

∫ 1/2(x− 3)2 dx

=14

ln |x− 1| − 14

ln |x− 3| − 12

(1

x− 3

)+ C.

Yllä olevalla tekniikalla voidaan ratkaista myös lauseke, jossa toistuvianollakohtia on enemmän kuin kaksi. Esimerkiksi yhtälö

1(x− 1)(x− 3)3

16

jaetaan osamurtoihin seuraavasti:

1(x− 1)(x− 3)3 =

A1

x− 1+

A2

x− 3+

A3

(x− 3)2 +A4

(x− 3)3 .

Yleisesti ottaen siis rationaalifunktio, jonka nimittäjässä on k-kertainenjuuri, voidaan jakaa osamurtoihin seuraavasti:

P(x)a(x− x1)(x− x2)k =

A1

x− x1+

A2

x− x2+

A3

(x− x2)2 + · · ·+ Ak

(x− x2)k .

Osamurtohajotelmista on nyt on käsitelty tapaukset, joissa rationaalifunk-tion P(x)/Q(x) nimittäjä voidaan esittää nollakohtiensa tulona eli muo-dossa a(x− x1) · · · (x− xn). Kuitenkin esimerkiksi funktion

1(x− 1)(x2 + 1)

nimittäjän tekijällä x2 + 1 ei ole yhtään nollakohtaa, koska x2 + 1 > 0kaikilla x. Tällöin osamurtohajotelma saa seuraavan muodon:

1(x− 1)(x2 + 1)

=A

x− 1+

Bx + Cx2 + 1

,

jossa A, B ja C ovat reaalilukuja. Tällä kertaa nollakohdattoman terminx2 + 1 osamurtoon tulee termi, joka on muotoa Bx + C. Tämän jälkeenlasku sujuu samaan tapaan kuin aikaisemminkin.

Esimerkki 4.1. Integroidaan rationaalifunktio

xx3 − 2x2 + x− 2

.

Ensinnä huomataan kokeilemalla, että nimittäjän yksi nollakohta on x1 =2. Täten nimittäjä voidaan esittää termin (x − 2) ja jonkin toisen termintulona. Huomataan, että itse asiassa nimittäjä voidaan jakaa tekijöihinseuraavasti: x3 − 2x2 + x − 2 = (x − 2)(x2 + 1). Täten integroitavana onfunktio x

(x− 2)(x2 + 1).

Tässä tekijällä x2 + 1 ei ole yhtään nollakohtaa. Täten osamurtohajotelmaon seuraava:

x(x− 2)(x2 + 1)

=A

x− 2+

Bx + Cx2 + 1

.

17

Tästä ratkaistaan seuraavaksi kertoimet A, B ja C:

x(x− 2)(x2 + 1)

=A

x− 2+

Bx + Cx2 + 1

=A(x2 + 1)

(x− 2)(x2 + 1)+

(Bx + C)(x− 2)(x− 2)(x2 + 1)

=Ax2 + A

(x− 2)(x2 + 1)+

Bx2 − 2Bx + Cx− 2C(x− 2)(x2 + 1)

.

Asetetaan jälleen samankertoimiset termit yhtä suuriksi, jolloin saadaan

A = 2/5B = −2/5C = 1/5

Täten integrointi voidaan suorittaa seuraavalla hajotelmalla:∫ x(x− 2)(x2 + 1)

dx =∫ 2/5

x− 2dx +

∫ −2/5x + 1/5x2 + 1

dx

=25

∫ 1x− 2

dx− 15

∫ 2xx2 + 1

dx +15

∫ 1x2 + 1

dx

=25

ln |x− 2| − 15

ln |x2 + 1|+ 15

arctan x + C.

Tässä toisella rivillä jaettiin tekijä (−2/5x + 1/5)/(x2 + 1) kahteen osaan,joista toiseen käytettiin tulosta, jonka mukaan funktion 1/(1 + x2) integ-raali on arctan x.

Nyt olemme käsitelleet kaikki osamurtotapaukset. Rationaalifunktio P(x)/Q(x)integroidaan siis seuraavasti:

1. Jos rationaalifunktio on muotoa F′(x)/F(x) se voidaan integroidasuoraan: sen integraali on ln |F(x)|+ C. Samoin jos rationaalifunk-tio on muotoa 1/(x − xn)k, se voidaan integroida suoraan. Kolmassuoraan integroitava lauseke on 1/(1 + x2).

2. Jos rationaalifunktio ei ole jompaa kumpaa näistä muodoista, sepalautetaan näihin muotoihin osamurtohajotelman avulla. Tästä onuseita tapauksia:

(a) Jos osoittajan aste on suurempi tai yhtä suuri kuin nimittäjänaste, se muokataan esimerkiksi jakokulman avulla muotoon,jossa nimittäjän aste ylittää osoittajan asteen.

18

(b) Jos nimittäjän aste ylittää osoittajan asteen, rationaalifunktioesitetään osamurtojen summana. Osamurtojen tarkka muotoriippuu siitä, onko nimittäjällä kuinka monta nollakohtaa, ja joson, niin ovatko nämä nollakohdat useampikertaisia vai uniik-keja. Osamurtohajotelman avulla rationaalifunktio palautetaanmuotoon, jossa se voidaan esittää esimerkiksi muotoa F′(x)/F(x)olevien termien summana.

5 Sijoituskeino

Jos integraali ei ratkea tähän mennessä käsitellyillä tekniikoilla, voidaanintegroitava lauseke usein muokata ratkeavaan muotoon sijoittamalla x:npaikalle jokin muu muuttuja. Esimerkiksi integraalin∫ 1

x2 + 6x + 10dx

voi ratkaista sijoituskeinolla. Muokataan aluksi nimittäjä x2 + 6x + 10muotoon, josta nähdään millainen sijoitus kannattaa tehdä. Huomataan,että x2 + 6x + 10 = x2 + 6x + 9 + 1 = (x + 3)2 + 1, joten luonteva sijoitusolisi valita t = x + 3. Eli nyt tekijä x + 3 korvataan t:llä:∫ 1

x2 + 6x + 10dx =

∫ 1(x + 3)2 + 1

dx

=∫ 1

t2 + 1dt

Yllä sijoitettiin myös dx:n paikalle dt, koska integrointi suoritettiin lopultat:n suhteen. Nyt integraali on ratkeavassa muodossa, sillä integraali, jokaon muotoa 1/(1 + x2) on arkustangenttifunktion integraali. Eli:∫ 1

t2 + 1dt = arctan t + C

Sijoituskeinoa käyttäessä pitää muistaa lopussa sijoittaa takaisin x:ää si-sältävä lauseke t:n paikalle. Tässä tehtävässä siis sijoitetaan t = x + 3takaisin, jolloin saadaan lopullinen vastaus:∫ 1

x2 + 6x + 10dx = arctan(x + 3) + C.

Sijoituskeinossa siis sijoitetaan jonkin x:n lausekkeen paikalle t. Tyypilli-nen sijoitus on esimerkiksi

t =√

x eli

x = t2.

19

Tällaisen sijoituksen idea on siis tehdä integroitavasta lausekkeesta hel-posti laskettava. Sijoituskeinossa siis korvataan x lausekkeella g(t) eli jol-lakin t:n funktiolla. Käytännössä tehtävästä etsitään x:ää sisältäviä terme-jä, joiden paikalle olisi kätevää sijoittaa t. Yllä esimerkiksi valitsimme ter-min x + 3 korvattavaksi t:llä, koska se teki integroinnista helpompaa. Si-joituskeinoa soveltavissa tehtävissä ongelmana on yleensä nimen omaankeksiä mikä lauseke kannattaa korvata t:llä. Usein ensimmäinen sijoitus-yritys ei tuota tulosta, vaan on yritettävä uudestaan eri sijoituksella.

Aina kun sijoittaa t:n lausekkeeseen, pitää muistaa myös korvata dx lausek-keella g′(t)dt eli funktion g derivaatan ja dt:n tulolla. Yllä tämä ei ollutongelma, koska jos t = x + 3 niin x = t− 3 = g(t) ja selkeästi g′(t) = 1,jolloin dx = dt.

Esimerkki 5.1. Lasketaan integraali∫x√

x + 1dx

sijoituksella. Tässä potentiaalisina sijoituksina tulee mieleen t = x + 1 jat =√

x + 1. Tämä tehtävä ratkeaa kätevästi tällä jälkimmäisellä sijoituk-sella, joten olkoon t =

√x + 1. Ensin ratkaistaan tästä x:

t =√

x + 1

t2 = x + 1

x = t2 − 1 = g(t)

Tästä saadaan, että g′(t) = 2t, jolloin meidän pitää muistaa sijoittaa dx:npaikalle 2tdt. Tällöin tehdään sijoitukset

√x + 1 = t

x = t2 − 1 jadx = 2tdt

jolloin lauseke saadaan muotoon∫x√

x + 1dx =∫(t2 − 1)t(2tdt)

=∫

2t4 − 2t2dt

=25

t5 − 23

t3 + C

20

Lopullinen vastaus saadaan sijoittamalla yllä t:n paikalle takaisin lauseke√x + 1: ∫

x√

x + 1dx =25(√

x + 1)5 − 23(√

x + 1)3 + C

=25(x + 1)5/2 − 2

3(x + 1)3/2 + C.

Yllä sijoituskeino ratkaisi tehtävän melko suoraan. Usein sijoituksen tu-loksena kuitenkin päädytään lausekkeeseen, jota on muokattava esimer-kiksi osamurroilla parempaan muotoon.

Sijoituskeinossa ja osamurroissa on siis kummassakin ideana muokata in-tegroitavaa lauseketta helpompaan muotoon. Usein lausekkeen saa hel-pompaan muotoon muullakin tavoin. Esimerkiksi jos laskettavana on in-tegraali ∫

2 sin x cos xdx

voimme käyttää kaavaa 2 sin x cos x = sin 2x, jolla integraali ratkeaa hel-posti.

6 Määrätty integraali

Aiemmin tarkastelimme määräämätöntä integraalia∫(·)dx, jonka hyöty

on pääosin siinä, että se on derivoinnin käänteistoimitus. Nyt käsittelem-me alustavasti määrättyä integraalia∫ b

a(·)dx.

Tähän on aiempaan verrattuna lisätty integroinnin rajat: integrointi aloi-tetaan pisteestä x = a ja lopetetaan pisteeseen x = b. Eli väli (a, b) onintegrointiväli: funktio integroidaan tältä väliltä. Määrätty integraali onhyvin kätevä käsite. Esimerkiksi jos f (x) on ei-negatiivinen funktio elif (x) ≥ 0, niin määrätty integraali∫ b

af (x)dx

mittaa funktion f ja x-akselin rajoittaman alueen pinta-alaa välillä a ≤x ≤ b. Määrätyn integraalin intuitio on se, että jos välin (a, b) pituus on 1

21

(eli jos b = a + 1), niin määrätty integraali antaa funktion keskiarvon tällävälillä. Esimerkiksi tiedetään, että∫ 1

0x2dx =

13

.

Koska välin (0, 1) pituus on yksi, niin voimme sanoa, että funktion x2 kes-kiarvo tällä on tällä välillä on 1/3. Yllä huomataan, että määrätyllä inte-graalilla on myös se hyvä puoli, että sen arvo on yksikäsitteinen. Samaa eivoi sanoa määräämättömästä integraalista, jossa on aina mukana vakio C.

Jos välin (a, b) pituus ei ole yksi, voidaan sanoa että määrätty integraaliantaa funktion keskiarvon tällä välillä kerrottuna välin (a, b) pituudella eliluvulla b− a:∫ b

af (x)dx =

(Funktion f keskiarvo välillä (a, b)

)· (b− a).

Tämän intuition avulla voimme antaa arvioita tietyn määrätyn integraalinarvolle. Jos tiedämme vaikka, että funktio f saa aina arvonsa välillä 1/2ja 3/2 eli 1/2 ≤ f (x) ≤ 3/2, niin luonnollisesti tämän funktion keskiarvoon myös tällä välillä. Koska määrätty integraali on funktion keskiarvotietyllä välillä (a, b) kerrottuna tämän välin pituudella, voidaan nyt sanoa

12(b− a) ≤

∫ b

af (x)dx ≤ 3

2(b− a).

7 Ylä- ja alasumma

Määrätyn integraalin täsmällinen määritelmä vaatii alasumman ja ylä-summan käsitteitä. Ylä- ja alasumma kertovat yksinkertaisesti arvion tie-tyn käyrän alla olevan alueen pinta-alalle. Oletetaan nyt, että haluammelaskea määrätyn integraalin ∫ 1

0f (x)dx

eli haluamme laskea funktion f (x) alla olevan alueen pinta-alan, kun x ∈(0, 1). Alasumma a antaa tälle pinta-alalle alarajan ja yläsumma a antaapuolestaan tälle pinta-alalle ylärajan, eli

a ≤∫ 1

0f (x)dx ≤ a

22

Kummankin laskeminen aloitetaan jakamalla väli (a, b) osiin. Yllä käytet-ty väli on (0, 1). Tämän voi jakaa osiin esimerkiksi seuraavasti:

(0, 1) = (0, 1/3] ∪ (1/3, 2/3] ∪ (2/3, 1)

Tässä jakopisteet ovat 1/3 ja 2/3. Ne siis jakavat välin (0,1) kolmeenosaan. Alasumma saadaan tämän jaon avulla laskettua kolmessa osas-sa. Valitaan ensin väliltä (0, 1/3) funktion f (x) pienin3 arvo tällä välil-lä. Olkoon tämä m1. Seuraavaksi valitaan funktion pienin arvo väliltä(1/3, 2/3). Olkoon tämä m2. Valitaan vastaavasti funktion pienin arvovälillä (2/3, 1), jota merkitään m3. Nyt näiden jakopisteiden määrittämäalasumma saadaan laskettua kertomalla nuo pisteet m1, m2 ja m3 kyseis-ten välien pituuksilla (eli luvulla 1/3):

a =13

m1 +13

m2 +13

m3.

Yläsumma saadaan vastaavasti laskemalla funktion suurimmat arvot yllämuodostetuilla väleillä. Merkitään näitä suurimpia arvoja M1, M2 ja M3.Näistä saadaan laskettua yläsumma kaavalla

a =13

M1 +13

M2 +13

M3.

Esimerkki 7.1. Lasketaan integraalille∫ 2

1x2dx

ylä- ja alasumma. Ensin pitää päättää välin (2, 3) jakopisteet. Valitaanpisteiksi 4/3 ja 5/3, jolloin saamme siis kolme väliä. Ensin pitäisi laskeafunktion pienemmät ja suurimmat arvot näillä väleillä. Tämä on helppoa,koska f on välillä (2, 3) aidosti kasvava funktio: suurin arvo on siis ainavälin oikeassa päätepisteessä ja pienin arvo on taas vasemmassa pääte-pisteessä. Täten alasumman kaava on

a =13

f (1) +13

f (4/3) +13

f (5/3)

=13

1 +13

16/9 +13

25/9

=9

27+

1627

+2527

=5027≈ 1, 85

3Jos funktio ei saavuta minimiä tällä välillä, valitaan infimum minimin asemesta:m1 = inf{ f (x) : x ∈ (0, 1/3)}.

23

Vastaavasti yläsumman kaava on

a =13

f (4/3) +13

f (5/3) +13

f (2)

=13

16/9 +13

25/9 +13

4

=1627

+2527

+3627

=7727≈ 2, 85

Todellisuudessa tuo määrätty integraali on arvoltaan 7/3 ≈ 2, 33. Tässätehtävässä nähtiin myös esimerkki siitä, että alasumma on aina pienem-pi kuin yläsumma, kun taas itse määrätty integraali on näiden kahdenvälissä.

Yllä jaoimme välin vain kolmeen osaan. Jakoa voi kuitenkin tihentää va-litsemalla enemmän ja enemmän jakopisteitä. Tällöin tämän jaon määrit-tämät ylä- ja alasummat lähestyvät toisiaan ja niiden antama arvio funk-tion rajoittaman alan pinta-alalle on yhä parempi. Tämän takia määrättyintegraali määritellään ylä- tai alasummien raja-arvona, kun tuota jakoatihennetään rajatta, eli kun jakopisteitä valitaan yhä enemmän ja enem-män.

Tästä määritelmästä nähdään myös, miksi määrätty integraali voidaantulkita keskiarvona, kun integrointivälin pituus on 1. Jos jakopisteitä onaluksi vaikka 5, on alasumma

a =15

m1 +15

m2 +15

m3 +15

m4 +15

m5

=15(m1 + m2 + m3 + m4 + m5).

Toisin sanottuna alasumma on funktion viiden arvon keskiarvo. Jos ja-koa tihennetään, niin funktiosta otetaan keskiarvoja, jossa on mukanayhä enemmän ja enemmän funktion pisteitä. Esimerkiksi jos jakopistei-tä on 100, saadaan alasumma

a =1

101

101

∑i=1

mi.

Täten määrätyn integraalin tulkinta keskiarvona on oikeutettu. Tästä näh-dään myös, että määrätty integraali on siis eräänlainen summa.

24

8 Määrätyn integraalin laskeminen

Aiemmin määrittelimme määrätyn integraalin∫ b

a f (x)dx funktion f (x)ala- ja yläsummien raja-arvona. Määrätyllä integraalilla on kaksi intuitii-vista tulkintaa:

1. Mikäli f (x) on ei-negatiivinen eli f (x) ≥ 0, niin määrätty integraa-li antaa funktion f (x) ja x-akselin välissä olevan alueen pinta-alanvälillä (a, b).

2. Määrätty integraali∫ b

a f (x)dx on funktion f (x) keskiarvo välillä(a, b) kerrottuna tämän välin pituudella eli luvulla b− a.

Funktion f (x) määräämätön integraali∫

f (x)dx määriteltiin puolestaanilman vastaavanlaista intuitiota: se on ainoastaan laskusääntö, joka onderivoinnin käänteistoimitus. Eli esimerkiksi∫ (

x3 +1

1 + x2

)dx =

14

x4 + arctan x + C.

Määräämätön integraali ja määrätty integraali kuitenkin liittyvät toisiinsakiinteästi, kuten näiden nimistäkin voi päätellä. Merkitään alla määrää-mätöntä integraalia

∫f (x)dx merkinnällä F(x). Eli

F(x) =∫

f (x)dx.

Täten esimerkiksi jos f (x) = x3, niin F(x) = (1/4)x4 + C.

Integraalilaskennan päälause sanoo, että määrätyt integraalit voi laskeamääräämättömien integraalien avulla:∫ b

af (x)dx = F(b)− F(a).

Eli: halutaan laskea funktion f (x) määrätty integraali välillä (a, b). Tä-mä saadaan laskemalla aluksi funktion f määräämätön integraali F(x) jakatsomalla, mikä sen arvo on pisteessä a ja mikä sen arvo on pisteessä b.

Esimerkki 8.1. Halutaan laskea määrätty integraali∫ 4

3 x2dx. Integraali-laskennan päälauseen mukaan:∫ 4

3x2dx = F(4)− F(3),

25

jossa F on funktion x2 määräämätön integraali eli F(x) = (1/3)x3 + C.Täten ∫ 4

3x2dx = F(4)− F(3)

=

(13

43 + C)−(

13

33 + C)

=643− 9

=373

.

Toisin sanottuna funktion x2 määrätty integraali välillä (3, 4) on 37/3 ≈12, 3. Huomaa yllä, että vakio C häviää määrättyä integraalia laskettaessa.Näin käy aina, joten sitä on turha pitää laskussa mukana.

Huomaa edellisessä esimerkissä, että tulos∫ 4

3 x2dx ≈ 12, 3 kertoo, ettäfunktion x2 keskimääräinen arvo välillä (3, 4) on 12,3. Toinen tulkinta on,että tämän funktion ja x akselin väliin jää pinta-ala, joka on suuruudeltaan12,3 välillä (3, 4).

Esimerkki 8.2. Lasketaan∫ b

a exdx. Koska ex on oma integraalinsa, niin∫ b

aexdx = F(b)− F(a)

= eb − ea.

Huomaa, että tässä vakiota C ei pidetty laskussa mukana.

Määrätyn integraalin laskemista helpottaa käytännössä, jos käytämme no-taation F(b)− F(a) asemesta merkintää

∣∣ba. Täten siis esimerkiksi∫ b

a(3x + 1)dx =

∣∣∣∣ba

(32

x2 + x)

=

(32

b2 + b)−(

32

a2 + a)

.

Kuten yllä mainitsimme, määrätyn integraalin voi nähdä keskiarvona taipinta-alana. Tästä tulkinnasta seuraa hyödyllisiä sovelluksia. Seuraavassaesimerkissä käytetään lisäksi tietoa∫ b

af (x)dx +

∫ b

ag(x)dx =

∫ b

a( f (x) + g(x))dx,

eli integroinnin lineaarisuutta.

26

Esimerkki 8.3. Laske käyrien y = x2 ja y = x sekä suorien x = 1 ja x = 2reunustaman alueen pinta-ala.

Ratkaisu. Kuten tunnettua, pinta-alan voi laskea integraalina∫ b

a f (x)dx.Koska reunustamassa on suorat x = 1 ja x = 2, niin valitaan integroinninpäätepisteiksi a = 1 ja b = 2. Lisäksi tiedetään

1. Integraali∫ b

a x2dx antaa käyrän y = x2 ja x-akselin välissä olevanalueen pinta-alan. Merkitään tätä alaa A.

2. Integraali∫ b

a xdx antaa suoran y = x ja x-akselin välissä olevanalueen pinta-alan. Merkitään tätä alaa B.

3. Välillä (1, 2) pätee x2 > x, eli käyrä y = x2 on suoran y = x yläpuo-lella.

Täten käyrien y = x2 ja y = x välissä olevan alueen pinta-ala saadaanerotuksena A− B. Eli erotuksena∫ b

ax2dx−

∫ b

axdx =

∫ b

a(x2 − x)dx.

Tästä seuraa, että käyrien y = x2 ja y = x reunustaman alueen pinta-alavälillä (1, 2) saadaan integroimalla erotus x2 − x integrointirajoilla a = 1ja b = 2:

∫ 2

1(x2 − x)dx =

∣∣∣∣21

(13

x3 − 12

x2)

=

(83− 4

2

)−(

13− 1

2

)=

73− 3

2

=56

.

Eli käyrien y = x2 ja y = x sekä suorien x = 1 ja x = 2 reunustamanalueen pinta-ala on 5/6.

Esimerkki 8.4. Laske käyrien y = x2 ja y = x sekä suorien x = 0 ja x = 2reunustaman alueen pinta-ala.

Ratkaisu. Integrointiväli on nyt (0, 2). Huomataan, että välillä (0, 1) päteex > x2, mutta välillä (1, 2) taas pätee x2 > x. Käyrien välistä pinta-alaa

27

laskiessa pitää aina vähentää korkeammalla olevasta käyrästä matalam-malla oleva käyrä, joten tämä tehtävä on laskettava kahdessa osassa.

Välillä (0, 1) pätee x > x2, joten integroidaan erotus x− x2 tällä välillä:

∫ 1

0(x− x2)dx =

∣∣∣∣10

(12

x2 − 13

x3)

=12− 1

3

=16

.

Välillä (1, 2) pätee x2 > x, joten integroidaan tällä välillä puolestaan ero-tus x2 − x: ∫ 2

1(x2 − x)dx =

∣∣∣∣21

(13

x3 − 12

x2)

=

(83− 4

2

)−(

13− 1

2

)=

56

.

Täten käyrien y = x2 ja y = x sekä suorien x = 0 ja x = 2 reunustamanalueen pinta-ala on 1/6 + 5/6 = 1.

9 Määrätyn integraalin laskeminen sijoituksella

Aiemmin laskimme määräämättömiä integraaleja sijoituksella x = g(t).Siinä siis integroitavan lausekkeen muuttuja x korvattiin sijoituksella g(t)ja vastaavasti termi dx korvattiin termillä g′(t)dt. Määrätyn integraalinlaskeminen tällä tavalla on periaatteessa samanlaista, mutta integroinninrajat a ja b pitää myös muuntaa.

Esimerkki 9.1. Lasketaan nyt integraali∫ 0

−1x√

x + 1dx.

Tehdään aluksi sijoitus t = x + 1, jolloin x = t− 1 ja dx = dt. Integroin-tilausekkeeseen tehdään nyt nämä sijoitukset, mutta pitää huomata että

28

sijoituksen takia myös integroinnin rajat muuttuvat. Integrointirajat a = −1ja b = 0 on määritelty muuttujan x suhteen ja nyt siirrytään muuttujaant = x + 1. Täten jos x = −1, niin t = 0 ja jos x = 0, niin t = 1. Integrointi-rajojen a = 0 ja b = 1 paikalle tulevat täten uudet rajat c = 0 ja d = 1.

Tällöin integraali saadaan muotoon∫ 0

−1x√

x + 1dx =∫ 1

0(t− 1)

√tdt

=∫ 1

0t3/2 − t1/2dt

=

∣∣∣∣10

(25

t5/2 − 23

t3/2)

=25− 2

3

= − 415

Seuraavaksi käsitellään trigonometristen funktioiden integroimista sijoi-tuskeinolla. Määritellään aluksi trigonometrisen funktiot yksikköympy-rän avulla. Tarkastellaan alla olevaa kuvaa. Huomaa ensinnä, että kuvas-sa pätee Pythagoraan lause a2 + b2 = c2 eli hypotenuusan neliö on yhtäkuin kateettien neliöiden summa:

1

t

√1 + t2

x

Eli pätee (√

1 + t2)2 = 12 + t2. Toisaalta koska kulman x sini on määritel-män mukaan sen vastaisen sivun ja hypotenuusan suhde, pätee

sin x =t√

1 + t2.

29

Vastaavasti kulman kosiini on sen kulman viereisen sivun ja hypote-nuusan suhde, joten

cos x =1√

1 + t2.

Tangentti puolestaan on kulman vastaisen ja viereisen sivun suhde elikuvassa

tan x = t.

Näitä tietoja voi käyttää sovellettaessa sijoitusta t = tan x. Tätä sijoitustakäytetään integraaleihin, jotka ovat muotoa∫ 1

a + b sin2 x + c cos2 xdx.

Tällöin tehdään korvaukset

sin2 x =t2

1 + t2 ja

cos2 x =1

1 + t2 .

Esimerkki 9.2. Integroidaan∫ π/4

−π/4

14− 3 sin2 x

dx.

Tehdään sijoitus tan x = t. Täten x = arctan t, joten dx = dt/(1 + t2). Ter-min sin2 x paikalle puolestaan sijoitetaan termi t2/(1 + t2).

Myös integroinnin rajat muuttuvat: kun x = −π/4, niin tan x = −1 jakun x = π/4, niin tan x = 1. Tehdään kaikki nämä sijoitukset:∫ π/4

−π/4

14− 3 sin2 x

dx =∫ 1

−1

14− 3(t2/(1 + t2))

(dt

1 + t2

)=∫ 1

−1

14(1 + t2)− 3t2 dt

=∫ 1

−1

14 + t2 dt.

Tämä integraali näyttää nyt kohtalaisen yksinkertaiselta. Huomataan, että

30

tämä saadaan laskettua arkustangenttifunkion avulla:∫ 1

−1

14 + t2 dt =

∫ 1

−1

14

(1

1 + (t/2)2

)dt

=

∣∣∣∣1−1

(12

arctan(t/2))

=12(arctan(1/2)− arctan(−1/2))

= 2 arctan(1/2).

Tässä viimeinen yhtäsuuruus perustuu siihen, että arctan(−1/2) = − arctan(1/2).

Sijoituskeinoa käytettäessä pitää siis tehdä seuraavat korvaukset:

1. Muuttujaa x sisältävät termit pitää korvata termillä g(t).

2. Termi dx pitää korvata termillä g′(t)dt.

3. Integroinnin rajat pitää korvata uusilla rajoilla.

10 Määrätyn integraalin derivoiminen

Tutkitaan nyt määrättyä integraalia, jonka yläraja on muuttuja x. Tutki-taan siis integraalia ∫ x

af (t)dt.

Tämä integraali on nyt muuttujan x funktio, joten voidaan merkitä

F(x) =∫ x

af (t)dt.

Esimerkki tällaisesta funktiosta on

F(x) =∫ x

a(t2 + t)dt.

Huomaa, että tämä on nimenomaan muuttujan x funktio, eikä muuttujant funktio. Muuttuja t häviää integroitaessa, joten yhtä hyvin voitaisiinkirjoittaa

F(x) =∫ x

a(c2 + c)dc,

31

eli tuo integraalin sisässä oleva kirjain ei ole laskennan kannalta oleelli-nen.

Integraalilaskennan toinen päälause kertoo, että integraalin∫ x

a f (t)dt de-rivaatta muuttujan x suhteen on funktio f (x):

ddx

∫ x

af (t) = f (x).

Tämän tuloksen voi tulkita intuitiivisesti, kun muistaa, että määrätyn in-tegraalin voi tulkita pinta-alana. Derivaatta d

dx

∫ xa f (t) siis kertoo, kuinka

funktion f (x) ja x-akselin väliin jäävän alueen pinta-ala muuttuu, kunsiirrytään hieman oikealle eli kasvatetaan argumenttia x hieman. Vastauson, että ala muuttuu funktion f arvon verran. Tämä on sikäli intuitiivista,koska kyseinen pinta-ala muuttuu paljon, jos f (x) on suuri luku ja vähänjos f (x) on pieni luku.

Esimerkki 10.1. Laske derivaatta F′(x), kun

F(x) =∫ x

a(t2 + t)dt.

Ratkaisu. Integraalilaskennan päälauseen mukaan

F′(x) =d

dx

∫ x

a(t2 + t)dt

= x2 + x.

Seuraavassa esimerkissä käytetään tietoa∫ a

xf (t)dt = −

∫ x

af (t)dt,

eli jos integrointirajojen järjestystä vaihtaa, niin integraali kertoutuu lu-vulla −1.

Esimerkki 10.2. Laske derivaatta F′(x), kun

F(x) =∫ a

xln tdt.

Ratkaisu. Integraalilaskennan päälauseen mukaan

ddx

∫ a

xln tdt = − d

dx

∫ x

aln tdt

= − ln x.

32

Siispä alarajalla oleva muuttuja x on helppo palauttaa ylärajalle. Hiemanenemmän ongelmia tuottaa integraalin

∫ x2

af (t)dt

laskeminen, sillä tässä ylärajana ei ole muuttuja x, vaan tämän muuttu-jan funktio x2. Tästä tilanteesta selvitään kuitenkin sopivalla notaatiolla:merkitään

F(x2) =∫ x2

af (t)dt,

eli nyt merkitään, että laskettava integraali on jonkin muuttujan F arvopisteessä x2. Täten siis

F(x) =∫ x

af (t)dt.

Derivoinnin ketjusäännön perusteella pätee

ddx

F(x2) = 2xF′(x2),

eli yhdistetyn funktion derivaatta saadaan sisäfunktion x2 ja ulkofunktionF derivaattojen tulona. Tästä seuraa, että

ddx

∫ x2

af (t)dt = 2x f (x2),

jossa siis 2x on sisäfunktion x2 derivaatta ja f (x2) on ulkofunktion F(x)derivaatta arvioituna pisteessä x2.

Esimerkki 10.3. Derivoi funktio

F(x2) =∫ x2

acos tdt.

Ratkaisu. Ketjusäännön ja integroinnin päälauseen mukaan

ddx

∫ x2

acos tdt = 2x cos x2.

Jos integroinnin rajana on jokin muu funktio kuin x2, selvitään tästäkinketjusäännön yksinkertaisella sovelluksella.

33

Esimerkki 10.4. Derivoi funktio∫ sin x

aln tdt.

Ratkaisu. Merkitään ensinnä tätä integraalia funktion F arvona pisteessäsin x:

F(sin x) =∫ sin x

aln tdt.

Tässä siis sisäfunktio on sin x. Tämän derivaatta on tunnetusti cos x. Nytvoidaan jälleen soveltaa ketjusääntöä:

ddx

∫ sin x

aln tdt = cos x ln | sin x|.

Yllä todettiin, että muuttuja x saa esiintyä joko integroinnin ala- tai ylä-rajalla. Se voi kuitenkin esiintyä kummallakin rajalla yhtä aikaa. Tämä eituota laskuihin ongelmia, koska integraalin voi aina jakaa osiin:∫ x

−xf (t)dt =

∫ 0

−xf (t)dt +

∫ x

0f (t)dt

= −∫ −x

0f (t)dt +

∫ x

0f (t)dt.

Integraalin∫ −x

0 f (t)dt voi derivoida jälleen ketjusäännöllä: merkitään

F(−x) =∫ −x

0f (t)dt.

Tätend

dxF(−x) = −1 f (−x).

Tämän perusteella

ddx

∫ x

−xf (t)dt = − d

dx

∫ −x

0f (t)dt +

ddx

∫ x

0f (t)dt

= f (−x) + f (x).

Esimerkki 10.5. Derivoi ∫ x3

−xet2

dt.

34

Ratkaisu. Jaetaan tämä integraali ensin kahteen osaan:

∫ x3

−xet2

dt =∫ 0

−xet2

+∫ x3

0et2

= −∫ −x

0et2

+∫ x3

0et2

.

Näistä kummankin integrointi sujuu nyt kätevästi ketjusäännöllä:

ddx

∫ x3

−xet2

dt = − ddx

∫ −x

0et2

dt +d

dx

∫ x3

0et2

= e(−x)2+ 3x2e(x3)2

= ex2+ 3x2ex6

.

11 Määrätyn integraalin sovelluksia

Määrätyllä integroinnilla on runsaasti sovelluksia, jotka perustuvat sii-hen, että integraali esittää pinta-alaa. Taloustieteessä esimerkiksi kulutta-jan ylijäämä on kahden käyrän välissä oleva pinta-ala, joten sen voi laskeamäärättynä integraalina.

Integraalilla voi laskea paitsi aloja, myös tilavuuksia. Tyypillinen sovelluson seuraava: jokin käyrä y = f (x) pyörähtää x-akselin ympäri tietyllävälillä (a, b). Tällaisella pyörähdyskappaleella on tilavuus, joka on helppolaskea integraalin avulla: sen kaava on

π∫ b

a( f (x))2dx,

eli kyseisen tilavuuden saa integroimalla f : neliön pyörähdysvälillä (a, b)ja kertomalla tuloksen π:llä.

Esimerkki 11.1. Käyrä y = x2 + 1 pyörähtää x-akselin ympäri välillä(0, 1). Laske syntyneen kappaleen tilavuus.

35

Ratkaisu. Kyseinen tilavuus saadaan integraalina

π∫ 1

0(x2 + 1)2dx = π

∫ 1

0(x4 + 2x2 + 1)dx

= π

∣∣∣∣10(

15

x5 +23

x3 + x)

= π(15+

23+ 1)

=2815

π.

12 Tilavuuden ja vaipan alan laskeminen

Kuten aiemmin käsittelimme, määrätyn integraalin avulla voi laskea pinta-aloja ja tilavuuksia. Tyypillisenä sovelluksena tilavuuden laskemisesta ontapaus, jossa jokin käyrä y = f (x) pyörähtää x-akselin ympäri jollakin vä-lillä a ≤ x ≤ b. Tällaisen kappaleen tilavuus A saatiin laskettua kaavalla

A = π∫ b

a( f (x))2 dx.

Toisaalta määrätyn integraalin avulla voi laskea myös tällaisen pyöräh-tämällä syntyneen kappaleen vaipan ala. Tämä ala B saadaan laskettuakaavalla

B = 2π∫ b

a| f (x)|

√1 + ( f ′(x))2dx.

Esimerkki 12.1. Käyrä f (x) = 1 + x pyörähtää x-akselin ympäri välillä1 ≤ x ≤ 2. Syntyneen kappaleen tilavuus A saadaan laskettua yllä esite-tyllä kaavalla:

A = π∫ b

a( f (x))2 dx

= π∫ 2

1(1 + x)2 dx

= π∫ 2

1

(1 + 2x + x2

)dx

= π

∣∣∣∣21

(x + x2 +

13

x3)

= π

((2 + 4 +

83

)−(

1 + 1 +13

))=

193

π.

36

Vastaavasti syntyneen pyörähdyskappaleen vaipan ala B saadaan lasket-tua seuraavasti:

B = 2π∫ b

a| f (x)|

√1 + ( f ′(x))2dx

= 2π∫ 2

1|1 + x|

√1 + 1dx

= 2π∫ 2

1(1 + x)

√2dx

= 2√

2π

∣∣∣∣21(x +

12

x2)

= 2√

2π

(52

)= 5√

2π.

Tässä itseisarvot voitiin poistaa, koska 1 + x on positiivinen tutkitullavälillä 1 ≤ x ≤ 2.

13 Epäoleelliset integraalit

Tähän mennessä lasketut integraalit ovat olleet ”hyvin käyttäytyviä” elimuotoa ∫ b

af (x)dx,

jossa a ja b ovat olleet reaalilukuja. Tällainen integraali on ollut yleensäkohtuullisen suoraviivaisesti laskettavissa: jos f (x) on jatkuva funktio,niin yllä olevaa tyyppiä oleva integraali on aina olemassa eli voidaankirjoittaa ∫ b

af (x)dx = A,

eli integraali∫ b

a f (x)dx on jokin reaaliluku A. Tässä oleellista siis on, ettäf on jatkuva funktio välillä [a, b] ja että a ja b ovat reaalilukuja. Tällöintämä integraali on olemassa eli f on integroituva välillä [a, b].

Ennen kuin etenemme, on syytä ymmärtää intuitiivisesti miksi yllä ole-vaa tyyppiä oleva integraali on aina olemassa. Tämän voi perustella sillä,että integraali voidaan ymmärtää käyrän ja x-akselin välissä olevan alu-een pinta-alana. Jos piirrät jatkuvan funktion f jollekin äärelliselle välille[a, b], niin tämän funktion ja x-akselin välissä on aina pakolla äärellinen

37

pinta-ala. Täten jatkuva funktio on integroituva äärellisellä välillä.

Nyt tutkimme tapausta, jossa f :n jatkuvuus tai a:n ja b:n äärellisyys eivätenää päde. Tyyppiesimerkki tälläisestä integraalista on∫ ∞

1

1x2 dx.

Tässä siis toisena integrointirajana on ääretön. Onko tämä integraali ole-massa? Tämä riippuu intuitiivisesti siitä, onko käyrän y = 1/x2 ja x-akselin välissä olevan alueen pinta-ala ääretön vai äärellinen välillä x ∈[1, ∞[. Tätä ei voi kuitenkaan päättää ennen kuin tiedetään, miten tällai-nen integraali lasketaan. Määritellään siis epäoleellinen integraali seu-raavanlaisena raja-arvona:∫ ∞

af (x)dx = lim

M→∞

∫ M

af (x)dx.

Tässä määritelmässä siis halutaan laskea integraali äärettömyydessä. Tä-mä tapahtuu siten, että lasketaan aluksi integraali∫ M

af (x)dx,

ja annetaan tämän jälkeen integroinnin ylärajan kasvaa rajatta eli otetaanraja-arvo

limM→∞

∫ M

af (x)dx.

Tämä on siis määritelmän mukaan sama asia kuin integraali äärettömyy-dessä eli

limM→∞

∫ M

af (x)dx =

∫ ∞

af (x)dx.

Nyt voimme laskea epäoleellisen integraalin∫ ∞

1

1x2 dx.

Merkitään siis integroinnin ylärajaa kirjaimella M ja annetaan tämän ylä-

38

rajan kasvaa rajatta:∫ ∞

1

1x2 dx = lim

M→∞

∫ M

1

1x2 dx

= limM→∞

∣∣∣∣M1

(−1

x

)= lim

M→∞

(− 1

M− (−1)

)= lim

M→∞(1− 1

M) = 1.

Täten tämä integraali on siis olemassa ja täten käyrän y = 1/x2 ja x-akselin välissä olevan alueen pinta-ala välillä [1, ∞[ on yksi.

Epäoleellinen integraali lasketaan täsmälleen samalla tekniikalla kuin yl-lä, jos integroitava on funktio joka on epäjatkuva integroimisvälillä. Esi-merkki tälläisestä integraalista on∫ 1

0

1x

.

Nyt funktio 1/x on epäjatkuva nollassa, joten tämä integraali määritel-lään jälleen raja-arvona: ∫ 1

0

1x

dx = lima→0

∫a

11x

dx.

14 Integraalien suppeneminen

Yllä laskettiin esimerkkinä integraali∫ ∞

1

1x2 dx = 1.

Tässä siis epäoleellinen integraali oli olemassa. Näin ei kuitenkaan ainakäy. Tämä huomataan laskemalla esimerkiksi funktion 1/x integraali vä-

39

lillä [1, ∞] ∫ ∞

1

1x

dx = limM→∞

∫ M

1

1x

dx

= limM→∞

∣∣∣∣M1

ln x

= limM→∞

(ln M− ln 1)

= ∞− 0,

eli kyseinen integraali on ääretön. Toisin sanottuna siis funktion 1/x jax-akselin välissä oleva pinta-ala on ääretön välillä [1, ∞[.

Jos integraali ∫ ∞

af (x)dx

on arvoltaan jokin reaaliluku, sanotaan että se suppenee. Jos tämä epä-oleellinen integraali puolestaan ei ole reaaliluku (vaan esimerkiksi ääre-tön tai miinus ääretön), niin kyseinen integraali hajaantuu. Usein hajaan-tumisen tai suppenemisen voi päättää yksinkertaisesti laskemalla epä-oleellisen integraalin, kuten alla olevassa esimerkissä.

Esimerkki 14.1. Tutki suppeneeko vai hajaantuuko∫ ∞

0xe−x2

dx.

Ratkaisu. Integraali näyttää alkuun siltä, että siinä tarvitsisi käyttää osit-taisintegrointia, mutta tämä itse asiassa sujuu helpommin, sillä integroita-va lauseke xe−x2

on itse asiassa ”melkein” muotoa f ′(x) f (x), jossa f (x) =e−x2

: ∫ ∞

0xe−x2

dx = limM→∞

∫ M

0xe−x2

dx

= limM→∞

∣∣∣∣M0

(−1

2e−x2

)= lim

M→∞

(−1

2e−M2 − (−1

2e0)

)= 0− (−1/2) = 1/2.

40

Usein integroitavaa funktiota ei kuitenkaan voi suoraan laskea. Tällainenon esimerkiksi integraali ∫ ∞

1e−x2

dx,

jota ei voi suoraan laskea siitä yksinkertaisesta syystä, että tähän laskuuntarvittavaa määräämätöntä integraalia∫

e−x2dx

ei ole olemassa. Tämän ja monet muut ei-negatiivisten funktioiden inte-graalit voi kuitenkin osoittaa suppeneviksi majoranttiperiaatteen avulla.Tätä periaatetta käytetään, kun halutaan osoittaa että integraali4∫ b

af (x)dx.

on olemassa. Muistetaan aluksi, että integraali on pinta-ala. Haluammesiis osoittaa, että jokin pinta-ala on äärellinen. Oletetaan nyt, että löyde-tään jokin integraali

∫ ba g(x)dx joka on suurempi kuin f :n integraali:

∫ b

af (x)dx ≤

∫ b

ag(x)dx.

Jos tämä integraali∫ b

a g(x)dx on nyt olemassa äärellisenä, niin integraali∫ ba f (x)dx on myös pakolla olemassa: pinta-ala

∫ ba f (x)dx on äärellisenä

olemassa, koska se on pienempi kuin pinta-ala∫ b

a g(x)dx, joka on myösäärellisenä olemassa.Oletetaan siis että seuraavat seikat pätevät:

1.0 ≤ f (x)

2.f (x) ≤ g(x) kun x ∈ [a, b]

3. Integraali ∫ b

ag(x)dx

on äärellisenä olemassa.4Tässä b voi olla myös ∞ ja a voi olla −∞.

41

Tällöin pätee ∫ b

af (x)dx ≤

∫ b

ag(x)dx

ja integraali∫ b

a f (x) suppenee majoranttiperiaatteen nojalla. Majorantti-periaatteessa siis etsitään suurempiarvoinen integraali, joka suppenee.

Esimerkki 14.2. Osoita, että ∫ ∞

1e−x2

dx

suppenee.

Ratkaisu. Nyt f (x) = e−x2. Tämä funktio on aina positiivinen, joten sii-

hen voi mahdollisesti soveltaa majoranttiperiaatetta. Halutaan löytää tätäsuurempiarvoinen funktio g(x), jonka integraali suppenee. Välillä [1, ∞]pätee

e−x2= e−xe−x ≤ e−x.

Täten funktioksi g voidaan valita g(x) = e−x. Tämän integraali on helppolaskea: ∫ ∞

1e−xdx = lim

M→∞

∫ M

1e−xdx

= limM→∞

∣∣∣∣M1(−e−x)

= limM→∞

(−e−M − (−e−1))

= e−1.

Eli ∫ ∞

1e−x2

dx ≤∫ ∞

1e−xdx = e−1,

joten esimerkin integraali suppenee majoranttiperiaatteen nojalla.

Nyt kun majoranttiperiaate on käsitelty, on helppo arvata mistä on kyseminoranttiperiaatteessa. Tässä tarkastellaan jälleen kahta funktiota f jag, jotka ovat kumpikin ei-negatiivisia ja joille pätee∫ b

ag(x)dx ≤

∫ b

af (x)dx

42

ja lisäksi oletetaan, että integraali∫ b

a g(x)dx hajaantuu. Tällöin minorant-

tiperiaatteen nojalla myös integraali∫ b

a f (x)dx hajaantuu5. Eli intuitiivi-sesti ajateltuna funktion f ja x-akselin välinen pinta-ala on ääretön, koskatämä ala on ”suurempi” kuin funktion g ja x-akselin välinen pinta-ala, jo-ka on ääretön.

Minoranttiperiaatetta käytetään seuraavasti:

1. Halutaan todistaa, että jokin integraali∫ b

a f (x)dx hajaantuu.

2. Etsitään funktio g, joka on pienempi kuin f eli g(x) ≤ f (x) ja jonkaintegraali

∫ ba g(x)dx hajaantuu.

3. Tällöin integraali∫ b

a f (x)dx hajaantuu.

Esimerkki 14.3. Osoita minoranttiperiaatteen avulla, että integraali∫ ∞

2

1√x− 1

dx

hajaantuu.

Ratkaisu. Nyt f (x) = 1√x−1 . Pitäisi löytää tätä funktiota pienempi funktio

g, jonka integraali hajaantuu välillä [2, ∞]. Helppo tapa löytää pienempifunktio on kasvattaa osoittajaa yhdellä:

1√x− 1

>1√x

.

Eli nyt etsimämme funktio on g(x) = 1/√

x. Tämän integraali voidaanlaskea jälleen suoraviivaisesti:∫ ∞

2

1√x

dx = limM→∞

∫ M

2

1√x

dx

= limM→∞

∣∣∣∣M2

2√

x

= limM→∞

(2√

M− 2√

2)

= ∞.

5Tämä periaate seuraa itse asiassa suoraan majoranttiperiaatteesta: jos f suppenisi,niin silloin majoranttiperiaatetta voisi soveltaa ja myös g suppenisi.

43

Täten koska∞ =

1√x<

1√x− 1

,

niin integraali 1√x−1 hajaantuu.

15 Tiheysfunktiot

Kuten jo useaan kertaan on todettu, integraalilla voi laskea aloja ja tila-vuuksia. Yksi määrätyn integraalin tärkeimpiä sovelluksia on lisäksi se,että sillä voi laskea tapahtumien todennäköisyyksiä. Tämän sovelluksenkäyttäminen vaatii kuitenkin tiheysfunktion käsitettä.

Tiheysfunktio on matemaattisesti ajateltuna mikä tahansa ei-negatiivisiaarvoja saava funktio, joka integroituu reaaliakselilla lukuun yksi eli jollepätee ∫ ∞

−∞f (x)dx = 1 ja

f (x) ≥ 0.

Graafisesti tulkittuna tiheysfunktio on siis funktio, joka on jatkuvasti x-akselin yläpuolella (tai x-akselilla) ja jonka alla olevan alueen pinta-ala onyksi.

Tiheysfunktion idea on seuraava: jos satunnaismuuttujalla X on tiheys-funktio f (x), niin tätä tiheysfunktiota integroimalla voi laskea todennä-köisyyksiä. Jos merkitään P(a ≤ X ≤ b) todennäköisyyttä, että satun-naismuuttuja X saa arvon välillä [a, b], niin tämän todennäköisyyden voilaskea integroimalla satunnaismuuttujan tiheysfunktion f (x) tällä välillä:

P(a ≤ X ≤ b) =∫ b

af (x)dx.

Alla olevissa esimerkeissä käytetään lisäksi seuraavaa ”integrointisään-töä”: jos funktio f (x) on jollakin välillä [i, j] nolla eli pätee f (x) = 0, x ∈[i, j], niin myös tämän funktion integraali välillä [i, j] on nolla eli∫ j

if (x) = 0.

Tarkastellaan nyt funktiota f (x), joka on määritelty paloittain:

f (x) =

{ex, kun x ∈ [a, b]0 muulloin.

44

Eli funktio f saa positiivisen arvon ex joukossa [a, b] ja on nolla muualla.Kun tätä funktiota nyt integroi välillä [−∞, ∞], niin se alue jossa funktioon nolla voidaan sivuttaa:∫ ∞

−∞f (x)dx =

∫ b

aexdx.

Eli koska funktion integraali on nolla sillä alueella jossa funktio on nolla,niin integroitaessa tämä nolla-alue voidaan poistaa eli integroinnit rajatvoidaan muuttaa siten, että nolla-alue poistuu.

Tarkastellaan nyt esimerkkien avulla tiheysfunktioita ja niiden integroin-tia.

Esimerkki 15.1. Satunnaismuuttuja X on tasajakautunut, jos todennäköi-syys että X saa arvon tietyssä joukossa riippuu ainoastaan tämän joukonkoosta (eikä tämän joukon sijainnista x-akselilla). Jos X on esimerkiksitasajakautunut välillä [0, 2], sen tiheysfunktio on

f (x) =

{12 , jos 0 ≤ x ≤ 20 muulloin.

Tämä on tiheysfunktio, koska se on aina ei-negatiivinen ja sen integraalireaaliakselilla on yksi: ∫ ∞

−∞f (x)dx =

∫ 2

0

12

dx

=

∣∣∣∣20

12

x

= 1.

Nyt tätä tiheysfunktiota integroimalla voi siis laskea todennäköisyyksiä.Lasketaan todennäköisyys, että X saa arvon välillä [0, 1/6]:

P(0 ≤ X ≤ 1/6) =∫ 1/6

0

12

dx

=

∣∣∣∣1/6

0

12

x = 1/12.

Esimerkki 15.2. Toinen esimerkki satunnaismuuttujan tiheysfunktiostaon

f (x) =

{e−x, jos x ≥ 00 muulloin.

45

Tämä on tiheysfunktio, koska se on aina ei-negatiivinen ja se integroituuyhteen: ∫ ∞

−∞f (x)dx =

∫ ∞

0e−xdx

= limM→∞

∫ M

0e−xdx

= limM→∞

∣∣∣∣M0− e−x

= limM→∞

(−e−M − (−e−0))

= −0− (−1) = 1.

Tämä on erään eksponenttijakauman tiheysfunktio. Integroimalla tiheys-funktiota voidaan jälleen laskea välien todennäköisyyksiä:

P(a ≤ X ≤ b) =∫ b

ae−xdx

= (−e−a − (−e−b)

= e−b − e−a,

jossa oletetaan, että a > 0.

Tarkastellaan nyt paloittain määriteltyä funktiota

f (x) =

{ax2, jos 0 ≤ x ≤ 100 muulloin.

Tässä a on jokin vakio. Kysymys kuuluu: millä a:n arvolla tämä funktio ontiheysfunktio? Koska tiheysfunktiolta vaaditaan ensinnäkin ei-negatiiviisuus,niin on pakko olla, että a ≥ 0, sillä muuten yllä oleva tiheysfunktio saisinegatiivia arvoja.

Toisaalta tiheysfunktiolta vaaditaan, että se integroituu yhteen reaaliak-selilla eli ∫ ∞

−∞f (x)dx = 1.

Integroidaan nyt funktio f (x) = ax2 ja katsotaan millä a:n arvolla se

46

integroituu lukuun yksi:∫ ∞

−∞f (x)dx =

∫ ∞

−∞ax2dx

=∫ 10

0ax2dx

=

∣∣∣∣10

0

a3

x3.

=a3

1000.

Nyt tämä funktio on siis tiheysfunktio, kun tämä integraali saa arvon yksieli pätee

a3

1000 = 1,

eli a = 3/1000. Täten funktio

f (x) =

{3

100 x2, jos 0 ≤ x ≤ 100 muulloin

on tiheysfunktio.

16 Tasointegraalit

Ennen tasointegraaleihin siirtymistä käsitellään hieman integroinnin no-taatiota. Tarkastellaan jälleen tavallista yksiulotteista integraalia∫ b

af (x)dx.

Tässä siis integrointi tapahtuu välillä x ∈ [a, b]. Tätä väliä [a, b] voidaankuitenkin merkitä [a, b] = A, jolloin yllä oleva integraali voidaan merkitävastaavasti: ∫ b

af (x)dx =

∫A

f (x)dx.

Integraali∫

A f (x)dx ilmaisee, että funktio f (x) integroidaan joukossa A.Tässä tapauksessa koska A = [a, b], niin tämä on sama asia kuin integ-raali

∫ ba f (x)dx.

47

Tälle uudelle lyhyemmälle notaatiolle tulee käyttöä, kun tarkastelemmeuseamman muuttujan funktion integroimista. Tarkastellaan kahden muut-tujan funktiota

f : R×R→ R, (x, y)→ f (x, y).

Tämän muuttujan lähtöjoukko on nyt taso eli R×R. Sen maalijoukko onpuolestaan reaaliluvut eli R. Yksi esimerkki tällaisesta kahden muuttujanfunktiosta on

f (x, y) = x + y,

jolle pätee siis esimerkiksi että f (1, 2) = 3. Nyt tällaista funktiota f (x, y)voi integroida tasossa eli kahden muuttujan x ja y suhteen. Syntynyt in-tegraali on nimeltään tasointegraali.

Seuraavaksi tasointegraali pitäisi määritellä. Palautetaan aluksi mieliin,että yhden muuttujan tapauksessa määrätty integraali

∫ ba f (x)dx määri-

teltiin ala- ja yläsummien avulla. Esimerkiksi alasumma saatiin laskettuajakamalla ensin integrointiväli [a, b] osiin ja laskemalla funktion f pieninarvo jokaisessa näistä osissa. Esimerkissämme väli [a, b] jaettiin kolmenosaan, joiden jokaisen pituus oli 1/3. Laskimme seuraavaksi funktion fpienimmän arvon jokaisessa näistä osissa: merkitsimme näitä m1, m2 jam3. Alasumma saatiin tämän jälkeen summana

13

m1 +13

m2 +13

m3,

jossa siis jokaisen välin pituus kerrottiin funktion pienemmällä arvollakyseisellä välillä.

Kuten yhden muuttujan tapauksessa, määrätty integraali tasossa määri-tellään ylä- ja alasummien avulla. Nyt emme kuitenkaan voi enää pelkäs-tään osittaa väliä, koska tasointegraali on nimensä mukaisesti määriteltytasossa eikä välillä. Valitaan integroitavaksi funktioksi f (x, y) = x + y.Tutkitaan kuitenkin helppoa esimerkkiä, jossa integrointi tapahtuu jou-kossa

[1, 3]× [1, 3],

eli joukossa jossa x ∈ [1, 3] ja y ∈ [1, 3]. Tämä joukko on sikäli helppo, et-tä se määritellään kahden välin karteesisena tulona. Kyseinen joukko onsiis yksinkertainen suorakulmio, joka näyttää kuvana seuraavalta:

48

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

−2

−1

1

2

3

4

5

6

0

Tasointegraalin ylä- ja alasummia laskettaessa tämä suorakulmio jaetaanosiin. Muodostetaan alla olevassa kuvassa näkyvä mahdollisimman yk-sinkertainen jako eli jaetaan väli [1, 3] kahtia keskeltä:

1 2 3

1

2

3

A1 A2

A3 A4

Tästä näkyy, että suorakulmio [1, 3]× [1, 3] jaettiin nyt neljään osaan: osiinA1, A2, A3 ja A4. Alasumma määritellään valitsemalla funktion f pieninarvo jokaisessa näistä osista ja kertomalla se näiden osien pinta-alalla.

Olkoon siis m(Ai) funktion f pienin arvo joukossa Ai, jossa luonnolli-sesti i on 1, 2, 3 tai 4. Koska jokaisen näiden joukon pinta-ala on 1, niinalasumma on tässä tapauksessa

m(A1) + m(A2) + m(A3) + m(A4).

49

Nyt integroitavana on funktio f (x, y) = x + y. Kuvaa katsomalla huoma-taan, että tämän pienin arvo joukossa A1 on yhtä kuin 1 + 1 = 2. Vastaa-vasti tämän funktion pienin arvo joukossa A2 on 2 + 1 = 3, joukossa A3tämä pienin arvo on samoin 2 + 1 = 3 ja joukossa A4 tämä pienin arvoon 2 + 2 = 4. Täten alasumma saa arvon

m(A1) + m(A2) + m(A3) + m(A4) = 2 + 2 + 3 + 4= 11.

Vastaavasti yläsumma saadaan valitsemalla jokaisesta joukosta Ai funk-tion suurin arvo tässä joukossa. Merkitään tätä suurinta arvoa joukossaM(Ai), jolloin yläsumma saadaan jälleen helposti katsomalla yllä olevaakuvaa:

M(A1) + M(A2) + M(A3) + M(A4) = 4 + 5 + 5 + 6= 20.

Näin karkealla osituksella ylä- ja alasummat siis eroavat toisistaan melkopaljon. Nämä summat antavat siis ylä- ja alarajan tasointegraalille, jotamerkitään kahdella integroimismerkillä∫∫

Af (x, y)dxdy =

∫∫A(x + y)dxdy,

jossa joukko A on suorakulmio [1, 3]× [1, 3].

Esimerkki 16.1. Lasketaan vielä ylä- ja alasummien antamat arviot ta-sointegraalille ∫∫

A(x− y)dxdy,

jossa A = [0, 1]× [0, 2]. Tehdään nyt jako, jossa x-arvojen väli [0, 1] jaetaanväleihin

[0, 1

2

]ja[

12 , 1]

ja y-arvojen väli [0, 2] jaetaan neljään väliin:[0, 1

2

],[

12 , 1],[1, 1

2

]ja[

12 , 2]. Nyt tällä jaolla suorakulmio A = [0, 1]× [0, 2] saa-

daan jaettua kahdeksaan osaan (piirrä kuva, tästä ei ota muuten selvää):

A1 =

[0,

12

]×[

0,12

]A5 =

[0,

12

]×[

1,32

]A2 =

[12

, 1]×[

0,12

]A6 =

[12

, 1]×[

1,32

]A3 =

[0,

12

]×[

12

, 1]

A7 =

[0,

12

]×[

32

, 2]

A4 =

[12

, 1]×[

12

, 1]

A8 =

[12

, 1]×[

32

, 2]

50

Näiden jokaisen osan ala on 1/4. Koska integroitava funktio on f (x, y) =x− y, niin kyseisen funktion pienin arvo jokaisessa näistä joukosta löytyyvalitsemalla mahdollisimman pieni x-arvo ja mahdollisimman suuri y-arvo. Täten alasummaksi saadaan

14(m(A1) + m(A2) + m(A3) + m(A4) + m(A5) + m(A6) + m(A7) + m(A8))

=14

(−1

2+ 0− 1− 1

2− 3

2− 1− 2− 3

2

)=− 9

4.

Vastaavasti yläsumma saadaan järkeiltyä siten, että valitaan osituksen jo-kaisessa joukossa mahdollisimman suuri x-arvo ja mahdollisimman pieniy-arvo. Täten tämä yläsumma on

14(M(A1) + M(A2) + M(A3) + M(A4) + M(A5) + M(A6) + MA7) + M(A8))

=14

(12+ 1 + 0 +

12− 1

2+ 0− 1− 1

2

)=0.

Jälleen siis ylä- ja alaintegraali tuottavat huomattavan erilaisia tuloksia.Todellisuudessa kyseinen integraali on −1.

17 Tasointegraalin laskeminen

Aiemmin tutkimme ylä- ja alasummien antamia arvioita tasointegraalille∫∫A

f (x, y)dxdy.

Tässä siis funktio f (x, y) integroidaan muuttujien x ja y suhteen jossaintason R2 osajoukossa A. Aikaisemmissa esimerkeissä tämä integrointi-joukko on ollut suorakulmio eli

A = [a, b]× [c, d].

Ala- ja yläsummien laskemisessa ideana oli osittaa tämä suorakulmio Aosiin ja laskea tämän avulla arvio tälle tasointegraalille. Kun tätä ositus-ta hienonnetaan, niin tämä arvio paranee ja on lähempänä integraalintodellista arvoa. Jos tasointegraali

∫∫A f (x, y)dxdy on olemassa, niin se

51

voidaan määritellä näiden ylä- ja alasummien raja-arvona.

Tasointegraalin∫∫

A f (x, y)dxdy geometrinen intuitio on, että se antaafunktion f (x, y) ja xy-tason välissä olevan alueen tilavuuden, kun x jay rajoitetaan joukkoon A.

Esimerkki 17.1. Jos integroinnin alue A on suorakulmio [0, 1]× [0, 2] ja in-tegroitavana on vakiofunktio f (x, y) = 10, niin integraali

∫∫A f (x, y)dxdy

antaa funktion f (x, y) ja xy-tason suorakulmion [0, 1]× [0, 2] välissä ole-van alueen tilavuuden, joka selvästi on 10 · 2 = 20.

Toinen intuitiivinen tulkinta tasointegraalille on, että se antaa funktion fkeskiarvon joukossa A kerrottuna tämän joukon pinta-alalla. Eli∫∫

Af (x, y)dxdy = (Funktion f keskiarvo joukossa A) · (joukon A pinta-ala).

Tästä seuraa suoraan, että funktion f keskiarvo joukossa A saadaan jaka-malla integraali

∫∫A f (x, y)dxdy joukon A alalla:

Funktion f keskiarvo joukossa A =

∫∫A f (x, y)dxdy

Joukon A pinta-ala

Esimerkiksi yllä olevassa esimerkissä joukon A = [0, 1]× [0, 2] pinta-alaoli 2, joten funktion keskiarvo tässä joukossa oli 20/2 = 10.

Nyt kun tasointegraalille on esitetty intuitiivinen tulkinta, käsittelem-me kuinka tämä tasointegraali käytännössä lasketaan. Tämä on yllättä-vän helppoa, kun integrointialue A on suorakulmio [a, b]× [c, d]. Tällöinfunktion f (x, y) integrointi joukossa A voidaan laskea integroimalla tä-mä funktion ensin x:n suhteen ja integroimalla tämän jälkeen syntynytlauseke y:n suhteen. Merkitään integraalia seuraavasti:∫∫

Axydxdy =

∫ d

c

∫ b

af (x, y)dxdy.

Nyt tämä integrointi sujuu laskemalla aluksi ”sisäintegraali”, jota merki-tään alla sulkujen sisässä olevana lausekkeena:∫ d

c

∫ b

af (x, y)dxdy =

∫ d

c

(∫ b

af (x, y)dx

)dy

Eli lasketaan aluksi sisäintegraali∫ b

a f (x, y)dx. Tämän jälkeen integroi-daan syntynyt lauseke y:n suhteen, kuten alla oleva esimerkki valaisee:

52

Esimerkki 17.2. Laske tasointegraali∫∫

A xydxdy, kun A on suorakulmio[0, 2]× [5, 6].

Ratkaisu. Nyt tehtävän suorakulmiolla on rajat 0 ≤ x ≤ 2 ja 5 ≤ y ≤ 6.Täten tämä tasointegraali voidaan kirjoittaa muodossa∫∫

Axydxdy =

∫ 6

5

∫ 2

0xydxdy.

Tämä on helppo laskea: integroidaan ensin x:n suhteen ja tämän jälkeenintegroidaan syntynyt lauseke y:n suhteen:∫ 6

5

∫ 2

0xydxdy =

∫ 6

5

(∫ 2

0xydx

)dy

=∫ 6

5

(∣∣∣∣20

x2

2y

)dy

=∫ 6

5(2y)dy

=

∣∣∣∣65y2

= 62 − 52

= 36− 25 = 11.

Voit integroida tämän tasointegraalin myös toisessa järjestyksessä eli las-kea integraalin ∫ 2

0

(∫ 6

5xydy

)dx.

Tästä saatava tulos on sama.

Kun integrointialue on suorakulmio, lasketaan tasointegraali integroimal-la funktio f (x, y) ensin joko x:n tai y:n suhteen ja tämän jälkeen jäljelläolevan muuttujan suhteen.

Esimerkki 17.3. Laske tasointegraali∫∫

A y3dxdy integroimalla ensiksi y:nsuhteen, kun A on suorakulmio [0, 1]× [3, 4].

Nyt tätä tasointegraalia voidaan jälleen merkitä seuraavasti:∫∫A

y3dxdy =∫ 4

3

∫ 1

0y3dxdy.

53

Integroinnin järjestystä voi nyt vaihtaa vapaasti:∫ 4

3

(∫ 1

0y3dx

)dy =

∫ 1

0

(∫ 4

3y3dy

)dx

=∫ 1

0

(∣∣∣∣43

y4

4

)dx

=∫ 1

0

(44

4− 34

4

)dx

=∫ 1

0

(54− 27

4

)dx

=∫ 1

0

(1894

)dx

=

∣∣∣∣10

1894

x

=1894

.

Yllä olevissa esimerkeissä integrointi sujui yhtä helposti kummassakinjärjestyksessä: integrointi ensin x:n suhteen ja sen jälkeen y:n suhteen oliyhtä helppoa kuin integrointi ensin y:n suhteen ja tämän jälkeen x:n suh-teen. Käytännössä näin ei kuitenkaan aina ole, joten jos integrointi ei tun-nu sujuvan tietyssä järjestyksessä, kannattaa yrittää vaihtaa integrointi-järjestystä.

Yllä olevista esimerkeistä nähtiin, että tasointegraalin laskeminen on yleen-sä helppoa, jos integrointialue A on suorakulmio. Ikävä kyllä integrointimuuttuu huomattavasti vaikeammaksi heti, kun tämä integrointialue eienää ole yksinkertainen suorakulmio. Alla kappaleessa 18 käsittelemmetapausta, jossa integrointi yli monimutkaisempien alueiden onnistuu va-litsemalla sopiva integrointijärjestys. Kappaleessa 19 taas käsitellään ta-paus, jossa integrointi onnistuu muuttujanvaihdoksella.

18 Tasointegraalin laskeminen monimutkaisem-massa joukossa

Tasointegraalin∫∫

A f (x, y)dxdy laskeminen suorakulmiossa A = [a, b]×[c, d] ei ole sen vaikeampaa kuin yhden muuttujan funktion integroimi-nen. Tässä tapauksessa tämä yhden muuttujan integrointi pitää vain suo-

54

rittaa kaksi kertaa peräkkäin: ensin x:n ja sen jälkeen y:n suhteen tai toisinpäin. Jatkossa käsitellään vaikeampaa tapausta, jossa A ei ole suorakul-mio.

Käsitellään aluksi esimerkkitapaus, jossa integrointi tapahtuu kolmiossa,jonka kärkipisteinä ovat (0, 0), (0, 1) ja (1, 0). Tämä integrointialue näyt-tää nyt seuraavalta:

1

1

Huomataan aluksi, että kolmion kärjet (0, 1) ja (1, 0) yhdistää viiva, jokaon osa suoraa y = 1− x. Tämän jälkeen huomataan, että tämä kolmiovoidaan esittää alueena, jossa x on välillä [0, 1] ja y on välillä 0 ≤ y ≤1− x. Tämä huomio mahdollistaa integroinnin tässä kolmiossa.

Esimerkki 18.1. Integroidaan tässä kolmiossa funktio f (x, y) = xy. Kutenyllä mainittiin, tämä kolmio voidaan esittää alueena, jossa 0 ≤ x ≤ 1 ja0 ≤ y ≤ 1 − x. Täten haluttu integraali saadaan laskemalla seuraavaintegraali: ∫ 1

0

∫ 1−x

0xydydx.

Huomaa, että tässä sisäintegraalina on y:n suhteen integroitava lauseke∫ 1−x0 xydy. Tämä johtuu siitä, että y:n rajat ovat ”monimutkaiset” eli si-

55

sältävät x:n termejä. Nyt tämän integrointi sujuu suoraviivaisesti:∫ 1

0

∫ 1−x

0xydydx =

∫ 1

0

(∫ 1−x

0xydy

)dx

=∫ 1

0

(∣∣∣∣1−x

0x

y2

2

)dx

=∫ 1

0

(x(1− x2)

2

)dx

=12

∫ 1

0(x− x3)dx

=12

∣∣∣∣10(

x2

2− x4

4)

=12(

12− 1

4)

=18

.

Yllä olevassa esimerkissä siis integrointialue esitettiin muodossa, jossax oli kahden vakion välissä eli a ≤ x ≤ b samalla kun y oli kahdenx:ää sisältävän lausekkeen välissä eli g1(x) ≤ y ≤ g2(x). Yllä olevassaesimerkissä siis g1(x) = 0 ja g2(x) = 1 − x. Usein siis integrointialuevoidaan esittää nimenomaan tällaisessa muodossa eli alueena

a ≤ x ≤ bg1(x) ≤ y ≤ g2(x).

Tällaisen alueen yli integrointi suoritetaan laskemalla integraali∫ b

a

∫ g2(x)

g1(x)f (x, y)dydx.

Esimerkki 18.2. Tutkitaan nyt alla olevassa kuvassa näkyvää integroin-tialuetta, jossa x on välillä [0, 1] ja y on välillä x2 ≤ y ≤

√x:

56

1

1

Integroidaan tällä alueella funktio f (xy) = xy. Tämän integrointi sujuuyllä esitellyllä tavalla:

∫ b

a

∫ g2(x)

g1(x)(xy)dydx =

∫ 1

0

∫ √x

x2(xy)dydx

=∫ 1

0

∣∣∣∣√

x

x2

12(xy2)dx

=∫ 1

0

x2(x− x4)dx

=12

∫ 1

0(x2 − x5)dx

=12

∣∣∣∣10

(13

x3 − 16

x6)

=12

(13− 1

6

)=

112

Näissä kahdessa esimerkissä siis x oli yksinkertaisella välillä [a, b] ja y olix:n funktioiden välillä. Palataan nyt kolmioon, jossa 0 ≤ x ≤ 1 ja 0 ≤y ≤ 1− x. Huomataan, että täsmälleen saman kolmion voi esittää myösalueena 0 ≤ y ≤ 1 ja 0 ≤ x ≤ 1− y. Eli tässä y on tietyllä yksinkertaisellavälillä [a, b] ja x on kahden y:n funktion välissä eli g1(y) ≤ x ≤ g2(y). Nyt

57

tällä välillä voi integroida esimerkiksi funktion f (x, y) = x:∫ 1

0

∫ 1−y

0xdxdy =

∫ 1

0

∣∣∣∣1−y

0

12

x2dy

=12

∫ 1

0(1− y)2dy

=12

∫ 1

0(1− 2y + y2)dy

=12

∣∣∣∣10(y− y2 +

13

y3)

=12(1− 12 +

13

13)

=16

.

Monet alueet voi siis esittää kahdessa muodossa: joko muodossa jossa xon välillä [a, b] ja y välillä [g1(x), g2(x)] tai muodossa y on välillä [c, d] ja yvälillä [g3(x), g4(x)]. Näiden alueiden muodostaminen on usein vaikeaaellei niitä piirrä paperille.

Jos tehtävän integroimisalue voidaan esittää kahdessa eri muodossa (ku-ten yllä), niin usein integrointi on helpompaa toisella näistä alueista. Tä-ten jos integrointi ei onnistu tietyllä alueella helposti, kannattaa miettiäjosko tämän alueen voisi esittää eri muodossa.

19 Muuttujien vaihto: siirtyminen napakoordi-naatteihin

Yhden muuttujan funktioiden tapauksessa integraalit ratkesivat usein muut-tujanvaihdolla, jossa integraaliin

∫ ba f (x)dx tehtiin korvaus x = g(t). Tä-

män jälkeen korvattiin vielä termi dx termillä g′(t)dt ja laskettiin integ-raali ∫ g−1(b)

g−1(a)f (g(t))g′(t)dt,

jossa integroinnit rajat on myös muutettu, kuten aina muuttujaa vaihdet-taessa on muistettava tehdä.

Yhden muuttujan tapauksessa muuttujan vaihdossa ideana on siis laittaax:n paikalle t:tä sisältävä lauseke g(t), jonka avulla integraali on usein

58

helppo laskea. Yhden muuttujan muuttujanvaihdos sisältää siis kolmeelementtiä:

1. Jokainen integroitavan lausekkeen termi x korvataan termillä g(t)eli jollakin t:n lausekkeella.

2. Termi dx korvataan termillä g′(t)dt.

3. Integroinnin rajat ovat alun perin x = a ja x = b. Nyt kun tehdäänsijoitus x = g(t), niin myös nämä rajat muuttuvat. Kun alkuperäi-nen raja on x = a, niin sijoituksesta x = g(t) saadaan g(t) = a ⇐⇒t = g−1(a). Samoin rajasta x = b saadaan raja t = g−1(b). Tätenintegraali saadaan muotoon

∫ b

af (x)dx =

∫ g−1(b)

g−1(a)f (g(t))g′(t)dt.

Tasointegraalin muuttujanvaihdoksessa on myös mukana nämä kolmeelementtiä. Tarkastellaan nyt tasointegraalia∫∫

A(xy)dxdy.

Ensimmäinen muuttujanvaihdoksen elementti on sijoitus. Tässä siis x jay korvataan joillakin muilla termeillä. Nyt x korvataan termillä jota mer-kitään x(u, v) eli x korvataan kahden muuttujan funktiolla x(u, v). Sa-moin y korvataan kahden muuttujan funktiolla y(u, v). Otetaan esimer-kiksi muunnos, jossa x(u, v) = u + v ja y(u, v) = u− v Tällöin integroita-va lauseke xy saadaan muotoon (u + v)(u− v) = u2 − v2.

Toinen muuttujanvaihdoksen elementti on, että termi dxdy korvataanjollakin toisella termillä. Tämä termi on monimutkaisempi kuin yhdenmuuttujan tapauksessa, koska sijoitetut funktiot ovat nyt kahden muut-tujan funktioita. Tarkastellaan yleistä sijoitusta

x = x(u, v)y = y(u, v).

Nyt termi dxdy korvataan termillä |J|dudv. Tässä termi J on Jakobindeterminantti, joka on yhtä kuin

J =∂x(u, v)

∂u· ∂y(u, v)

∂v− ∂x(u, v)

∂v· ∂y(u, v)

∂u.

59

Jos esimerkiksi

x(u, v) = u + vy(u, v) = u− v,

niin ∂x(u,v)∂u = 1, ∂x(u,v)

∂v = 1, ∂y(u,v)∂u = 1 ja ∂y(u,v)

∂v = −1. Tällöin Jakobin de-terminantti on 1 · (−1)− 1 · (1) = −2. Täten tämän muuttujanvaihdoksentapauksessa termi dxdy korvataan termillä | − 2|dudv eli termillä 2dudv.

Esimerkki 19.1. Tarkastellaan edelleen muuttujanvaihdosta x(u, v) = u+v, y(u, v) = u− v. Lasketaan integraali∫∫

A(x + y)dxdy

tällä muuttujanvaihdoksella. Olkoon integrointialue suorakulmio A =[−1, 1]× [0, 2]. Ensin pitää katsoa miten tämä alue muuntuu tässä muut-tujanvaihdoksessa. Ratkaistaan ensin yhtälöt x = u+ v ja y = u− v muut-tujien u ja v suhteen. Tästä saadaan ratkaistua

u =x + y

2

v =x− y

2.

Täten, kun x on välillä −1 ≤ x ≤ 1 ja y on välillä 0 ≤ y ≤ 2, niin ylläolevista yhtälöistä nähdään, että u on välillä (−1/2, 3/2) ja v on välillä[−3/2, 1/2].

60

Lisäksi pitää muistaa sijoittaa termin dxdy paikalle termi |J|dudv = 2dudv:∫∫A(x + y)dxdy =

∫ 1/2

−3/2

∫ 3/2

−1/2((u + v) + (u− v))2dudv

=∫ 1/2

−3/2

∫ 3/2

−1/2(2u)2dudv

=∫ 1/2

−3/2

∫ 3/2

−1/2(4u)dudv

=∫ 1/2

−3/2

∣∣∣∣3/2

−1/2(2u2)dv

=∫ 1/2

−3/2(9/2− 1/2)dv

=∫ 1/2

−3/2(4)dv

=

∣∣∣∣1/2

−3/2(4v)dv

= 2− (−3)= 5.

Tässä siis tehtiin kohtalaisen yksinkertainen muuttujanvaihto: siinä siir-ryttiin muuttujista x ja y muuttujiin u ja v. Usein tehdään kuitenkin kun-nianhimoisempia muuttujanvaihtoja. Tasointegraalin tapauksessa tyypil-lisin lienee siirtyminen napakoordinaatteihin. Tässä ideana on vaihtaamuuttujat x ja y muuttujiin r ja θ tekemällä muuttujanvaihto

x(r, θ) = r cos θ

y(r, θ) = r sin θ.

Tämä muuttujanvaihto voi vaikuttaa nopeasti katsottuna hieman eksoot-tiselta, mutta tässä on ideana se että kun summataan näiden neliöt elix2 + y2, niin saadaan

(x(r, θ))2 + (y(r, θ))2 = r2 cos2 θ + r2 sin2 θ

= r2(cos2 θ + sin2 θ)

= r2

koska cos2 θ + sin2 θ = 1. Täten jos integroitavassa lausekkeessa on termix2 + y2, niin napakoordinaattimuunnoksella

x(r, θ) = r cos θ

y(r, θ) = r sin θ

61

tämä termi x2 + y2 voidaan korvata termillä r2. Tämä mahdollistaa mo-nien integraalien laskemisen.

Napakoordinaattimuunnoksessa termi dxdy pitää luonnollisesti korvatatermillä |J|drdθ. Lasketaan siis nyt Jakobin determinantti:

J =∂x(r, θ)

∂r· ∂y(r, θ)

∂θ− ∂x(r, θ)

∂θ· ∂y(r, θ)

∂r= cos θ(r cos θ)− (−r sin θ)(sin θ)

= r cos2 θ + r sin2 θ

= r(cos2 θ + sin2 θ)

= r.

Täten Jakobin determinantti on napakoordinaattimuunnoksen tapaukses-sa r.

Esimerkki 19.2. Integroi ∫∫A

√x2 + y2dxdy,

kun A on yksikköympyrä eli A = {(x, y) : x2 + y2 ≤ 1}.

Ratkaisu. Siirrytään napakoordinaatteihin, mikä tässä tapauksessa onnis-tuu sijoituksella x2 + y2 = r2. Tällöin integroitava lauseke

√x2 + y2 saa-

daan muotoon√

r2 = r.

Nyt integroinnin rajat pitää myös muuttaa. Koska alueena on x2 + y2 ≤ 1,niin r2 ≤ 1. Täten laitetaan r väille [0, 1]. Vastaavasti napakoordinaat-timuunnoksessa θ tulkitaan kulmana. Koska integrointialueena on ko-ko yksikköympyrä, annetaan tämän kulman θ kulkea koko matkansa eli

62

0 ≤ θ ≤ 2π. Täten integrointi suoritetaan seuraavasti:∫∫A

√x2 + y2dxdy =

∫ 2π

0

∫ 1

0(r)rdrdθ

=∫ 2π

0

∫ 1

0r2drdθ

=∫ 2π

0

∣∣∣∣10

13

r3dθ

=∫ 2π

0

13

dθ

=

∣∣∣∣2π

0

13

θ

=2π

3.

Esimerkki 19.3. Olkoon A joukko {(x, y) : x2 + y2 ≤ 1} eli yksikköympy-rä. Lasketaan nyt integraali ∫∫

Aex2+y2

dxdy.

Tätä on vaikeaa integroida ilman muuttujanvaihtoa. Koska integroitavalauseke sisältää termin x2 + y2, on napakoordinaattimuunnos luonnolli-nen tapa edetä. Eli tehdään korvaus

x = r cos θ, y = r sin θ,

jolloin termi x2 + y2 voidaan korvata termillä r2. Jakobin determinantti Jlaskettiinkin jo yllä: se on r. Lopuksi muunnetaan vielä integrointirajat:kun x2 + y2 ≤ 1 niin luonnollisesti r2 ≤ 1. Täten saadaan raja 0 ≤ r ≤ 1.

63

Vastaavasti 0 ≤ θ ≤ 2π. Täten integrointi sujuu seuraavasti:∫∫A

ex2+y2dxdy =

∫ 2π

0

∫ 1

0er2 |J|drdθ

=∫ 2π

0

(∫ 1

0er2

rdr)

dθ

=∫ 2π

0

(∣∣∣∣10

12

er2

)dθ

=∫ 2π

0

12(e− 1)dθ

=

∣∣∣∣2π

0

12(e− 1) θ

=12(e− 1) 2π

= π (e− 1)

Näissä esimerkeissä integrointialue oli siis koko yksikköympyrä. Käsitel-lään seuraavaksi tapaus, jossa integroitavana on kahden ympyrän välissäoleva alue.

Esimerkki 19.4. Integroi ∫∫A

√x2 + y2dxdy,

kun A on alue A = {(x, y) : 1 ≤ x2 + y2 ≤ 4}.

Ratkaisu. Nyt integrointialue on 1 ≤ x2 + y2 ≤ 4 eli 1 ≤ r2 ≤ 4 eli

64

1 ≤ r ≤ 2. Lisäksi kulman θ annetaan jälleen olla välillä [0, 2π]:∫∫A

√x2 + y2dxdy =

∫ 2π

0

∫ 2

1

√r2rdrdθ

=∫ 2π

0

∫ 2

1(r)rdrdθ

=∫ 2π

0

∫ 2

1r2drdθ

=∫ 2π

0

∣∣∣∣21

13

r3dθ

=∫ 2π

0(

83− 1

3)dθ

=

∣∣∣∣2π

0(

73)θ

=14π

3.

Toinen tapa, jolla integroinnin rajat voivat erota aiemmasta, on että meil-lä ei ole integrointialueena enää täysi ympyrä, vaan ainoastaan tietty ym-pyrän osa. Tällöin kulma θ ei enää mene täyttä kierrosta [0, 2π], vaanainoastaan osan tästä.

Esimerkki 19.5. Integroi ∫∫A

√x2 + y2dxdy,

kun A on nyt alue A = {(x, y) : 0 ≤ x2 + y2 ≤ 9, y ≥ 0}.

Ratkaisu. Nyt integrointialueella pätee 0 ≤ x2 + y2 ≤ 9 eli 0 ≤ r ≤ 3.Nyt on kuitenkin voimassa lisärajoitus y ≥ 0. Tällöin integrointialueenaon puoliympyrä eli kuvassa näkyvä alue:

65

Tällöin kulma θ kulkee puoliympyrän verran, jolloin 0 ≤ θ ≤ π. Laske-taan nyt tämä integraali näillä rajoilla:∫∫

A

√x2 + y2dxdy =

∫ π

0

∫ 3

0(r)rdrdθ

=∫ π

0

∫ 3

0r2drdθ

=∫ π

0|30

13

r3dθ

=∫ π

0(9)dθ

=

∣∣∣∣π0

9θ

= 9π.

20 Avaruusintegraali

Aiemmin laskimme yksiulotteisia integraaleja∫ b

a f (x)dx, jossa integroin-tialue on x-akselin väli [a, b]. Lisäksi laskimme kaksiulotteisia integraa-leja

∫∫A g(x, y)dxdy, jossa integrointialue A puolestaan löytyi tasosta eli

A ∈ R2.

Nyt siirrymme kolmanteen ulottuvuuteen ja laskemme integraaleja, joissaintegrointialue A on kolmiulotteisessa avaruudessa eli R3:ssa. Tällaistaavaruusintegraalia merkitään∫∫∫

Af (x, y, z)dxdydz.

Tässä siis kolmen muuttujan funktio f (x, y, z) integroidaan kaikkien kol-men muuttujansa x:n, y:n ja z:n suhteen.

Integrointialueen A muoto ratkaisee jälleen, kuinka helppoa integrointikäytännössä on. Helppoa tämä integrointi on silloin, jos A on suorakul-mainen särmiö eli

A = [a, b]× [c, d]× [p, q].

Eli toisin sanottuna A on tässä joukko, jossa x ∈ [a, b], y ∈ [c, d] jaz ∈ [p, q] eli kaikki muuttujat rajoitetaan vakioväleille. Tällöin integrointisujuu suoraviivaisesti integroimalla funktio jokaisen muuttujansa suhteen

66

vuoron perään:

∫∫∫A

f (x, y, z)dxdydz =∫ q

p

∫ d

c

∫ b

af (x, y, z)dxdydz.

Esimerkki 20.1. Integroidaan funktio f (x, y, z) = xyz joukossa A = [1, 2]×[3, 4]× [0, 2]. Tässä siis integroinnin rajat ovat nyt x ∈ [1, 2], y ∈ [3, 4] jaz ∈ [0, 2]. Käytetään integrointiin yllä olevaa kaavaa:∫∫∫

Af (x, y, z)dxdydz =

∫ q

p

∫ d

c

∫ b

af (x, y, z)dxdydz

=∫ 2

0

∫ 4

3

∫ 2

1(xyz)dxdydz.

Nyt tämän integraalin voi laskea missä järjestyksessä haluaa. Integroi-daan tämä alla ensin x, sitten y:n ja lopulta z:n suhteen:

∫ 2

0

∫ 4

3

∫ 2

1(xyz)dxdydz =

∫ 2

0

∫ 4

3

∣∣∣∣21

12(x2yz)dydz

=12

∫ 2

0

∫ 4

3yz∣∣∣∣21(x2)dydz

=12

∫ 2

0

∫ 4

3yz(3)dydz

=12

∫ 2

0

∣∣∣∣43

32(y2z)dz

=34

∫ 2

0z∣∣∣∣43y2dz

=34

∫ 2

0z(7)dz

=34

∣∣∣∣20

72

z2

=34

(72· 4)

=212

.

Tämä lasku siis on kohtalaisen pitkä, mutta suoraviivainen.

67

Esimerkki 20.2. Edellisessä esimerkissä integraali laskettiin integroimallaensin x:n, sitten y:n ja lopuksi z:n suhteen. Tämän integroinnin voi suo-rittaa tällaisen suorakulmaisen särmiön tapauksessa myös muussa jär-jestyksessä. Tulos on sama. Lasketaan tämä integraali alla integroimallaensin y:n, sitten z:n ja lopuksi x:n suhteen:∫ 2

0

∫ 4

3

∫ 2

1(xyz)dxdydz =

∫ 2

0

∫ 2

1

∫ 4

3(xyz)dydzdx

=12

∫ 2

0

∫ 2

1

∣∣∣∣43(xy2z)dzdx

=12

∫ 2

0

∫ 2

1xz∣∣∣∣43(y2)dzdx

=12

∫ 2

0

∫ 2

1xz(7)dzdx

=74

∫ 2

0

∣∣∣∣21xz2dx

=74

∫ 2

03xdx

=218

∣∣∣∣20x2dx

=212

.

Tulos on siis sama. Huomaa, että termien dx, dy ja dz järjestys kertoo in-tegrointijärjestyksen. Täten esimerkiksi dzdxdy tarkoittaa, että integrointisuoritetaan ensin z:n, sitten x:n ja lopuksi y:n suhteen.

21 Avaruusintegraali yli monimutkaisempien aluei-den

Yllä todettiin, että avaruusintegraalien laskeminen suorakulmaisissa sär-miöissä on kohtalaisen suoraviivaista. Integrointialueena on kuitenkinusein jokin avaruuden R3 monimutkaisempi osajoukko. Integrointirajo-jen muodostaminen on tällöin usein vaikeaa.

Tarkastellaan nyt integrointia yleisessä avaruuden joukossa A ⊂ R3. Ha-

68

luamme siis laskea integraalin∫∫∫A

f (x, y, z)dxdydz.

Tämän laskeminen onnistuu samalla tekniikalla kuin aikaisemmin esi-merkiksi silloin, kun pystymme esittämään alueen A seuraavanlaisenajoukkona:

a ≤ x ≤ b,φ1(x) ≤ y ≤ φ2(x),

v1(x, y) ≤ z ≤ b ≤ v2(x, y).

Tässä siis x on vakiovälillä [a, b]. Muuttujan y puolestaan sallitaan olevankahden x:n funktion välissä. Muuttujan z taas sallitaan olla funktioidenv1(x, y) ja v2(x, y) välissä. Tässä on siis kolme ehtoa:

1. Muuttujan x rajat eivät saa riippua muista muuttujista: x on vakio-välillä.

2. Muuttujan y rajat saavat riippua x:stä: y on funktioiden φ1(x) jaφ1(x) välissä.

3. Muuttujan z rajat saavat riippua x:stä ja y:stä. Muuttuja z on funk-tioiden v1(x, y) ja v2(x, y) välissä.

Jos alue A pystytään esittämään tässä muodossa, niin haluttu integraalisaadaan laskettua seuraavalla kaavalla:∫∫∫

Af (x, y, z)dxdydz =

∫ b

a

∫ φ2(x)

φ1(x)

∫ v2(x,y)

v1(x,y)f (x, y, x)dzdydx.

Eli: Integroidaan funktio f (x, y, z) ensin z suhteen integrointirajoilla v1(x, y)ja v2(x, y). Seuraavaksi integroidaan syntynyt lauseke y:n suhteen in-tegrointirajoilla φ1(x) ja φ2(x). Lopuksi integroidaan tästä syntynyt lause-ke x:n suhteen välillä [a, b].

Esimerkki 21.1. Lasketaan avaruusintegraali∫∫∫A(1)dxdydz,

kun A on joukko jota rajaa taso 2x + y + 3z = 12 ja koordinaattitasot x =0, y = 0 ja z = 0. Nyt tämä alue pitäisi kirjoittaa yllä esitellyssä muodossa.Ratkaistaan aluksi yhtälö 2x + y + 3z = 12 muuttujan z suhteen:

z =13(12− 2x− y) .

69

Tämä on nyt z:n yläraja. Sen alaraja saadaan ehdosta z = 0, joten

0 ≤ z ≤ 13(12− 2x− y) .

Muuttujan y rajat puolestaan saadaan ratkaisemalla lauseke 2x+ y+ 3z =12 muuttujan y suhteen:

2x + y + 3z = 12y = 12− 2x− 3z.

Tässä y on suurimmillaan, kun z on pienimmillään: kun z = 0. Yllä ole-vasta yhtälöstä nähdään että tällöin y = 12 − 2x. Tämä on y:n yläraja.Muuttujan y alaraja on 0. Täten y on välillä [0, 12− 2x].

Muuttujan x rajat nähdään myös katsomalla yhtälöä 2x + y + 3z = 12.Tästä nähdään, että x on integrointialueella suurimmillaan silloin kun yja z ovat minimissään, eli silloin kun y = 0 ja z = 0. Tällöin x = 6. Täten0 ≤ x ≤ 6.

Nyt kun rajat on ratkaistu, tämän funktion integrointi voidaan suorittaasuoraviivaisesti:∫∫∫

A(1)dxdydz =

∫ b

a

∫ φ2(x)

φ1(x)

∫ v2(x,y)

v1(x,y)(1)dzdydx

=∫ 3

0

∫ 12−2x

0

∫ 13 (12−2x−y)

0(1)dzdydx

Tässä oli integroinnin vaikea osuus: kun rajat on muodostettu, etenee in-tegrointi suoraviivaisesti: ensin integroidaan funktio f (x, y, x) = 1 muut-

70

tujan z suhteen, sitten y:n suhteen ja lopuksi x:n suhteen:∫ 3

0

∫ 12−2x

0

∫ 13 (12−2x−y)

0(1)dzdydx

=∫ 3

0

∫ 12−2x

0

∣∣∣∣ 13 (12−2x−y)

0(z)dydx

=∫ 3

0

∫ 12−2x

0

13(12− 2x− y)dydx

=∫ 3

0

∣∣∣∣12−2x

0

13

(12y− 2xy− 1

2y2)

dydx

=∫ 3

0

∣∣∣∣12−2x

0

(4y− 2

3xy− 1

6y2)

dx

=∫ 3

0

(4 (12− 2x)− 2

3x (12− 2x)− 1

6(12− 2x)2

)dx

=∫ 3

0

(23

x2 − 8x + 24)

dx

=

∣∣∣∣30

(29

x3 − 4x2 + 24x)

= 6− 4 · 32 + 24 · 3= 42.

Yllä olevassa esimerkissä siis meillä oli neljä tasoa: x = 0, y = 0, z = 0ja 2x + y + 3z = 24. Nämä tasot rajoittivat integrointialueen A. Tehtävänhaaste oli löytää sopivat integroinnin rajat. Yhtälöistä z = 0 ja 2x + y +3z = 24 oli kohtalaisen suoraviivaista ratkaista z:n rajat. Muuttujan y rajatpuolestaan saatiin ratkaistua valitsemalla z = 0 yhtälössä 2x + y + 3z =24.

22 Muuttujan vaihto: sylinterikoordinaatit

Myös kolmen muuttujan funktiota f (x, y, z) integroitaessa voidaan tehdämuuttujanvaihdos. Nyt muuttujat x, y ja z korvataan lausekkeilla, jotkasisältävät muuttujia u, v ja w:

x = x(u, v, w)

y = y(u, v, w)

z = z(u, v, w).

71

Nyt siis x korvataan funktiolla x(u, v, w), y korvataan funktiolla y(u, v, w)ja z korvataan funktiolla z(u, v, w). Esimerkki tällaisesta muuttujanvaih-doksesta on

x = u + vy = u− vz = z,

jossa siis z pysyy omana itsenään, mutta muuttujat x ja y muuntuvat. Tä-mä on kuitenkin hyvin yksinkertainen muuttujanvaihdos. Käytännössäkaksi käytetyintä muuttujanvaihdosta avaruusintegraaleille ovat siirtymi-nen sylinterikoordinaatteihin ja siirtyminen pallokoordinaatteihin.

Seuraavassa oletamme, että determinantin laskukaava on tuttu. Jos näinei ole, kannattaa hyväksyä tulokset sellaisinaan.

Sylinterikoordinaattimuunnos on melkein sama kuin aiemmin käsiteltysiirtyminen napakoordinaatteihin. Se on seuraava muunnos:

x = r cos θ

y = r sin θ

z = z.

Tässä siis muuttujat x ja y korvataan täsmälleen samoilla muuttujilla kuinnapakoordinaattimuunnoksen tapauksessa. Muuttuja z ei tässä muun-noksessa muunnu. Tämän muunnoksen Jakobin determinantti on samakuin napakoordinaattimuunnoksella:

∂(x, y, z)∂(r, θ, z)

=

∣∣∣∣∣∣∣∂x∂r

∂x∂θ

∂x∂z

∂y∂r

∂y∂θ

∂y∂z

∂z∂r

∂z∂θ

∂z∂z

∣∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣cos θ −r sin θ 0sin θ r cos θ 0

0 0 1

∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣cos θ −r sin θsin θ r cos θ

∣∣∣∣ · 1= cos θ (r cos θ)− (−r sin θ(sin θ))

= r(

cos2 θ + sin2 θ)

= r.

72

Täten sylinterikoordinaatteihin siirryttäessä integraali muuttuu seuraa-vasti: ∫∫∫

Af (x, y, z)dxdydz =

∫∫∫D

f (r cos θ, r sin θ, z) rdrdθdz,

jossa alkuperäinen integrointialue A muuntuu sylinterikoordinaatteihinsiirryttäessä alueeksi D.

Sylinterikoordinaatteihin siirryttäessä on sama etu kuin napakoordinaat-teihin siirryttäessä: termi x2 + y2 voidaan korvata yksinkertaisella termil-lä r2. Tätä muunnosta kannattaa käyttää muun muassa silloin, kun in-tegrointialue A on muotoa x2 + y2 ≤ a ja c ≤ z ≤ d, eli jos integrointialueon sylinterin muotoinen.

Esimerkki 22.1. Lasketaan integraali∫∫∫A(xy)dxdydz,

jossa alue A on sylinteri x2 + y2 ≤ 1 ja 0 ≤ z ≤ 1. Koska x2 + y2 = r2,niin muuttujan r rajat ovat 0 ≤ r ≤ 1. Puolestaan muuttuja θ on tuttuuntapaan välillä [0, 2π], koska integrointialueena on koko sylinteri eikä esi-merkiksi sylinterinpuolikas. Koska muuttuja z ei muunnu sylinterimuun-noksessa mihinkään, sen rajat eivät muutu eli 0 ≤ z ≤ 1. Täten integrointisujuu tällä kertaa seuraavasti:∫∫∫

A(xy)dxdydz =

∫ 1

0

∫ 2π

0

∫ 1

0(r cos θ) (r sin θ) rdrdθdz

=∫ 1

0

∫ 2π

0

∫ 1

0

(r3 cos θ sin θ

)drdθdz

=∫ 1

0

∫ 2π

0

∣∣∣∣10

(14

r4 cos θ sin θ

)dθdz

=14

∫ 1

0

∫ 2π

0(cos θ sin θ) dθdz

=14

∫ 1

0

∣∣∣∣2π

0

12(sin θ)2 dz

= 0.

Tässä integrointi suoritettiin siis koko sylinterissä, koska kulma θ olitäydellä välillään [0, 2π]. Huomaa lisäksi, että tulos kertoo että funktio

73

f (x, y, z) = xy saa keskimäärin arvon nolla tehtävän sylinterissä. Tämäjohtuu käytännössä siitä, että tämän funktion negatiiviset arvot tasapai-nottavat sen positiiviset arvot integrointialueella.

Kulma θ on usein jollakin pienemmällä välillä, kuin [0, 2π]. Alla olevassaesimerkissä lisäehto y ≥ 0 aiheuttaa sen, että θ rajoittuu välille [0, π].

Esimerkki 22.2. Integroidaan muuttuja ex2+y2puolisylinterissä, jonka ra-

jat ovat x2 + y2 ≤ 9, 1 ≤ z ≤ 2 ja y ≥ 0 eli lasketaan integraali∫∫∫A

ex2+y2dxdydz.

Tehdään sylinterimuunnos, jolloin lauseke ex2+y2saadaan muotoon er2

.Integroinnin raja x2 + y2 ≤ 9 muuttuu muotoon 0 ≤ r ≤ 3 ja raja y ≥ 0tarkoittaa, että θ rajoittuu välille [0, π]. Puolestaan raja 1 ≤ z ≤ 2 pysyyennallaan.

Nyt integraali lasketaan sylinterikoordinaatteihin siirtymällä seuraavasti:∫∫∫A

(ex2+y2

)dxdydz =

∫ 2

1

∫ π

0

∫ 3

0

(er2

r)

drdθdz

=∫ 2

1

∫ π

0

∣∣∣∣30

(12

er2)

dθdz

=12

∫ 2

1

∫ π

0

(e9 − 1

)dθdz

=

(e9 − 1

2

) ∫ 2

1

∣∣∣∣π0(θ)dz

=

(e9 − 1

2

) ∣∣∣∣21(zπ)

= π

(e9 − 1

2

).

23 Muuttujan vaihto: pallokoordinaatit

Yllä käsittelimme sylinterikoordinaattimuunnoksen, jonka voi ymmärtäänapakoordinaattien yleistyksenä, kun integrointi tapahtuu avaruudessaR3. Tämä muunnos on hyödyllinen, kun integrointialueena oli joukko jo-ka on muotoa a ≤ x2 + y2 ≤ b, v1(x, y) ≤ z ≤ v2(x, y). Sylinterikoordi-naattien hyödyllisyys perustuu siihen, että termi x2 + y2 voidaan korvata

74

termillä r2.

Tutkitaan nyt palloa. Pallo on alue avaruudessa, joka määrittyy yhtälöstäx2 + y2 + z2 ≤ a, jossa a on jokin vakio. Jos integrointialueena on pallo taipallon osa, on usein hyödyllistä siirtyä pallokoordinaatteihin. Pallokoor-dinaattimuunnoksessa muuttujat x, y ja z korvataan muuttujien r, θ ja ϕlausekkeilla seuraavasti:

x = r sin θ cos ϕ

y = r sin θ sin ϕ

z = r cos θ

Tämä muunnos on nyt hieman monimutkaisempi kuin sylinterikoordi-naattimuunnos. Sen hyödyllisyys perustuu kuitenkin samantyyliseen seik-kaan kuin sylinterikoordinaattienkin hyödyllisyys. Tämä nähdään sum-maamalla x2 + y2 + z2 yhteen:

x2 + y2 + z2 = r2 sin2 θ cos2 ϕ + r2 sin2 θ sin2 ϕ + r2 cos2 θ

= r2(

sin2 θ cos2 ϕ + sin2 θ sin2 ϕ + cos2 θ)

= r2

sin2 θ(

cos2 ϕ + sin2 ϕ)

︸ ︷︷ ︸=1

+ cos2 θ

= r2

(sin2 θ + cos2 θ

)= r2.

Täten pallokoordinaattien hyöty on siinä, että pallomaisilla alueilla esiin-tyvä termi x2 + y2 + z2 voidaan korvata yksinkertaisella termillä r2. Tä-mä helpottaa integrointia huomattavasti. Puolestaan pallokoordinaatistonmuuttujat θ ja ϕ pitää tulkita kulmina.

Myös pallokoordinaattien tapauksessa meidän pitää löytää tämän muun-noksen Jakobin determinantti. Tämän laskeminen on tällä kertaa hieman

75

työläämpää kuin aikaisemmin:

∂(x, y, z)∂(r, ϕ, θ)

=

∣∣∣∣∣∣∣∣∂x∂r

∂x∂ϕ

∂x∂θ

∂y∂r

∂y∂ϕ

∂y∂θ

∂z∂r

∂z∂ϕ

∂z∂θ

∣∣∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣sin θ cos ϕ −r sin θ sin ϕ r cos θ cos ϕsin θ sin ϕ r sin θ cos ϕ r cos θ sin ϕ

cos θ 0 −r sin ϕ

∣∣∣∣∣∣Huomataan, että viimeisellä rivillä on nolla. Täten tämä determinantti onhelpointa laskea, kun sen laajentaa viimeistä riviä käyttäen:

∂(x, y, z)∂(r, ϕ, θ)

= cos θ

∣∣∣∣−r sin θ sin ϕ r cos θ cos ϕr sin θ cos ϕ r cos θ sin ϕ

∣∣∣∣− r sin θ

∣∣∣∣sin θ cos ϕ −r sin θ sin ϕsin θ sin ϕ r sin θ cos ϕ

∣∣∣∣Tästä seuraa parin rivin laskutoimituksen jälkeen, että

∂(x, y, z)∂(r, ϕ, θ)

= −r2 sin θ.

Lopulliseen integraaliin sijoitetaan tämän Jakobin determinantin itseisar-vo, eli r2 sin θ. Täten pallokoordinaatteihin siirryttäessä integraali muut-tuu seuraavasti:∫∫∫

Af (x, y, z)dxdydz =

∫∫∫D

f (r sin θ cos ϕ, r sin θ sin ϕ, r cos θ) r2 sin θdrdϕdθ.

Esimerkki 23.1. Lasketaan integraali∫∫∫A

√x2 + y2 + z2dxdydz,

kun integrointijoukko A on pallo x2 + y2 + z2 ≤ 100. Koska integroin-tialueessa esiintyy termi x2 + y2 + z2, on pallokoordinaattimuunnos jär-kevä ratkaisu. Korvataan siis termi x2 + y2 + z2 termillä r2. Täten uuttaintegrointialuetta rajoittaa 0 ≤ r2 ≤ 100 ⇐⇒ 0 ≤ r ≤ 10.

Seuraavaksi pitää päättää kulmien ϕ ja θ rajat. Aina kun integroimmetäydessä ympyrässä, niin kulma ϕ käy täyden kierroksen eli 0 ≤ ϕ ≤

76

2π. Kulma θ puolestaan käy tällöin puoli kierrosta: 0 ≤ θ ≤ π. Tätenintegroinnin rajat ovat tässä tapauksessa

0 ≤ r ≤ 100 ≤ ϕ ≤ 2π

0 ≤ θ ≤ π.

Rajojen muodostamisen jälkeen tämäkin integrointi on suoraviivaista, kun-han muistetaan sijoittaa Jakobin determinantin itseisarvo eli r2 sin θ tähänmuunnettuun integraaliin:∫∫∫

A

√x2 + y2 + z2dxdydz =

∫ 2π

0

∫ π

0

∫ 10

0(r)(

r2 sin θ)

drdθdϕ

=∫ 2π

0

∫ π

0

∫ 10

0

(r3 sin θ

)drdθdϕ

=∫ 2π

0

∫ π

0

∣∣∣∣10

0

14

(r4 sin θ

)dθdϕ

=14

∫ 2π

0

∫ π

010000 (sin θ)dθdϕ

= 2500∫ 2π

0

∣∣∣∣π0(− cos θ)dϕ

= 2500∫ 2π

0(− cos π + cos 0)dϕ

= 2500∫ 2π

0(2)dϕ

= 2500∣∣∣∣2π

0(2ϕ)

= 2500 (4π)

= 10000π.

Tässä siis integrointialueena oli koko pallo. Jos rajoitteena on lisäksi z ≥ 0,niin kulmaa θ pitää modifioida siten että integrointi tapahtuu ainoastaanpuolipallossa, jossa x2 + y2 + z2 ≤ a ja z ≥ 0. Tämä onnistuu rajoitta-malla θ välille [0, π/2]. Vastaavasti rajoittamalla kulmia θ ja ϕ voidaanintegroida funktioita pallon eri osissa.

77

24 Ensimmäiseen välikokeeseen valmistavia teh-täviä

Ensimmäisen välikokeen koealue on pelkkää integrointia. Täten tentistäoleellista on hallita integraalien laskutekniikat. Alla on harjoituksia, joitatekemällä voit valmistautua tenttiin. Ne käsittelevät osaa koealueen aihe-piiristä, eivätkä kata koko koealuetta. Ratkaisut näihin ja kaikkiin mui-hinkin harjoituksiin löytyvät liitteestä A, joka alkaa sivulta 128. Ennenharjoituksen tekemistä voi olla syytä kerrata harjoituksen aihepiiri sitäkäsittelevästä kappaleesta.

24.1 Osittaisintegrointia

Ensimmäinen tässä käsiteltävä integrointitekniikka on osittaisintegrointi(katso sivu 5). Esitetään aluksi osittaisintegroinnin kaava määrätyn inte-graalin tapauksessa:

∫ b

af (x)g′(x)dx =

∣∣∣∣ba( f (x)g(x))−

∫ b

af ′(x)g(x).

Esimerkki 24.1. Lasketaan integraali∫ 2

1xexdx

osittaisintegroimalla. Valitaan funktiot f (x) ja g′(x) seuraavasti: f (x) = xja g′(x) = ex. Tällöin f ′(x) = 1 ja g(x) = ex. Täten osittaisintegroinninkaavaa käyttäen integraali saadaan muokattua seuraavaan muotoon:∫ 2

1xexdx =

∣∣∣∣21(xex)−

∫ 2

1exdx

=(

2e2 − e)−∣∣∣∣21ex

= e (2e− 1)−(

e2 − e)

= e (2e− 1)− e (e− 1)

= 2e2 − e− e2 + e = e2.

Osittaisintegrointia käytettäessä on oleellista päättää mikä on f (x) ja mi-kä on g′(x). Tämän jälkeen integrointi onnistuu suoraviivaisesti osittai-sintegroinnin kaavaa käyttäen. Tyypillisesti osittaisintegrointia tarvitaan

78

seuraavanlaisia funktioita integroitaessa (alla n on kokonaisluku ja a ja bovat vakioita):

1. Integraali∫

xneaxdx. Tämä ratkeaa kun valitaan f (x) =xn.

2. Integraali∫

xn sin bxdx ja∫

xn cos bxdx. Nämä ratkeavat,kun valitaan f (x) = xn.

3. Integraali∫

xn ln(ax)dx. Tämä ratkeaa kun valitaan f (x) =ln(ax).

4. Trigonometriset funktiot, jotka on kerrottu eax:llä:∫

eax sin bxdxja∫

eax cos bxdx. Tämä ratkeaa kun valitaan f (x) = eax.

Näistä kahden ensimmäisen ratkaisu perustuu siihen, että funktion f (x) =xn derivointi n kertaa johtaa siihen, että termi x häviää. Kohta 3 puoles-taan perustuu siihen, että termin f (x) = ln(ax) derivaatta on 1/x. Koh-dan 4 periaate on monimutkaisempi. Se selviää harjoituksessa 24.3.

Osittaisintegroitaessa pitää lisäksi muistaa, että joskus osittaisintegrointiavoi joutua soveltamaan samassa tehtävässä useaan otteeseen.

Harjoitus 24.1. Integroi∫

xe2xdx. Ratkaisu sivulla 128.

Harjoitus 24.2. Integroi∫

x ln xdx. Ratkaisu sivulla 128.

Seuraavan tehtävän integraali on tyyppiä∫

eax sin bxdx. Tällaisessa tehtä-vassä tarvitaan osittaisintegrointia kahteen kertaan sekä termien yhdiste-lyä.

Harjoitus 24.3. Integroi∫

ex sin xdx. Ratkaisu sivulla 129.

Seuraavat kaksi integraalia ratkeavat myös osittaisintegroimalla, vaikka-kaan ne eivät ole yllä lueteltua neljää tyyppiä.

Harjoitus 24.4. Integroi∫(ln x)2 dx. Laske

∫ 21 (ln x)2 dx. Ratkaisu sivulla

128.

Harjoitus 24.5. Laske integraali∫ 2

0arctan xdx.

Ratkaisu sivulla 130.

79

24.2 Osamurtohajotelmia

Rationaalifunktiot eli kahden polynomifunktion osamäärät ratkeavat useinsuoraan: esimerkiksi tyyppiä f ′(x)/ f (x) olevan funktion integraali onmuotoa | f (x)|+ C. Samoin tyyppiä a/(1 + x2) oleva funktio voidaan in-tegroida suoraan: sen integraali on a arctan x + C. Osamurtohajotelmissaideana on palauttaa rationaalifunktio P(x)/Q(x) tällaiseen muotoon, jo-ka on suoraan integroitavissa.

Harjoitus 24.6. Laske integraali∫ 1x2 + x− 2

dx.

Ratkaisu sivulla 130.

24.3 Yhden muuttujan sijoituskeino

Yhden muuttujan sijoituskeinossa ideana on korvata integroitavan lausek-keen termi x muuttujaa t sisältävällä termillä g(t). Lisäksi pitää muistaakorvata termi dx termillä dt.

Harjoitus 24.7. Laske integraali∫ 2

1x√

x + 1dx

Ratkaisu sivulla 131.

Harjoitus 24.8. Laske integraali

∫ 2

1

x4

1 + x10 dx

Ratkaisu sivulla 132.

24.4 Tasointegraalit

Tasointegraalin laskeminen suorakulmiossa [a, b]× [c, d] on helppoa. Al-la olevat esimerkit käsittelevät integrointia yli monimutkaisempien tasonalueiden. Kummassakin tehtävässä tällainen alue on kolmio, mutta sa-ma ratkaisutekniikka soveltuu myös integrointiin yli muunlaisten tasonalueiden.

80

Harjoitus 24.9. Laske tasointegraali∫∫A

xydxdy,

kun A on kolmio, jota rajoittavat pisteet (0, 0), (3, 3) ja (3, 1).Ratkaisu sivulla 132.

Harjoitus 24.10. Laske tasointegraali∫∫A

xydxdy,

kun A on kolmio, jota rajoittavat pisteet (0, 0), (1, 2) ja (1,−2).Ratkaisu sivulla 133.

24.5 Napakoordinaatit

Napakoordinaattimuunnosta on hyvä käyttää, kun laskettavana on ta-sointegraali jonka integrointialue A on joko ympyrä tai yleisemmin kah-den osaympyrän väliin jäävä alue. Napakoordinaattimuunnos on muun-nos

x = r cos θ

y = r sin θ.

Tätä muunnosta käytettäessä on huomattava, että alkuperäisen lausek-keen termi x2 + y2 korvataan termillä r2. Haasteena napakoordinaattiteh-tävissä on usein valita muuttujien r ja θ integrointirajat oikein.

Harjoitus 24.11. Laske tasointegraali∫∫A(1)dxdy,

kun A on neljäsosaympyrä x2 + y2 ≤ 4, y ≥ 0 ja x ≥ 0. Ratkaisu sivulla134.

Harjoitus 24.12. Laske tasointegraali∫∫A(x2 + y2 + 1)dxdy,

kun A on alue, jota rajoittaa ympyrät x2 + y2 ≤ 9 ja x2 + y2 ≤ 4 sekäkoordinaattiakseli y ≥ 0. Ratkaisu sivulla 135.

81

24.6 Sylinterikoordinaatit

Sylinterikoordinaattimuunnos on napakoordinaattimuunnoksen (yksi) yleis-tys avaruusintegraaleille. Kyseessä on muunnos

x = r cos θ

y = r sin θ

z = z.

Tämä muunnos toimi hyvin pitkälti samalla tavalla kuin napakoordinaat-timuunnos. Tämän muunnoksen nimi tulee siitä, että jos integroitava alueon muotoa x2 + y2 ≤ a, b ≤ z ≤ c, niin se on avaruuteen (R3) piirrettynäsylinterin muotoinen.

Harjoitus 24.13. Laske integraali∫∫∫A

(x2 + y2 + z2

)dxdydz,

kun A on sylinteri x2 + y2 ≤ 1, 2 ≤ z ≤ 3. Ratkaisu sivulla 135.

Sylinterimuunnoksessa muuttuja z voi olla muulla kuin vakiovälillä, ku-ten seuraavassa tehtävässä.

Harjoitus 24.14. Laske integraali∫∫∫A

(x2 + y2

)dxdydz,

kun A on sylinteri, jota rajoittaa tasot x2 + y2 ≤ 1, z = 0 ja z = x2 + y2.Vaaditaan lisäksi, että y ≥ 0. Ratkaisu sivulla 136.

24.7 Pallokoordinaatit

Pallokoordinaattimuunnos on muunnos, joka on nimensä mukaisesti hyö-dyllinen integroitaessa pallomaisilla R3:n alueilla. Kyseessä on muunnos,jossa muuttujat x, y ja z korvataan muuttujilla r, θ ja ϕ seuraavasti:

x = r sin θ cos ϕ

y = r sin θ sin ϕ

z = r cos θ

82

Tämän muunnoksen hyöty on siinä, että sitä käytettäessä termi x2 + y2 +z2 voidaan korvata termillä r2. Haastavaa pallokoordinaattimuunnostakäytettäessä on muodostaa rajat uusille muuttujille r, θ ja ϕ. Jos integroin-ti tapahtuu täydessä pallossa, jossa x2 + y2 + z2 ≤ a2, niin rajat ovat

0 ≤ r ≤ a0 ≤ θ ≤ π

0 ≤ ϕ ≤ 2π.

Harjoitus 24.15. Laske integraali∫∫∫A(1)dxdydz,

kun integrointijoukko A on kahden pallon rajoittama ala: 4 ≤ x2 + y2 +z2 ≤ 25. Ratkaisu sivulla 137.

83

Osa II

Toinen välikoe

25 Useamman muuttujan funktion raja-arvo

Palautetaan aluksi mieliin yhden muuttujan funktion g(x) raja-arvo

limx→a

g(x).

Tämä raja-arvo kertoo, mitä arvoa funktio g(x) lähestyy, kun x lähestyyarvoa a. Esimerkiksi

limx→2

x2 = 4,

koska funktio g(x) = x2 lähestyy arvoa 4, kun x lähestyy arvoa 2.

Toisaalta esimerkiksi funktio

g(x) =

{1, jos x ≥ 0−1, jos x < 0

ei saa raja-arvoa origossa, eli limx→0 g(x) ei ole olemassa. Tämä johtuusiitä, että kyseisen funktion oikeanpuoleinen raja-arvo limx→0+ g(x) onyhtä kuin yksi, kun taas sen vasemmanpuoleinen raja-arvo limx→0− g(x)on yhtä kuin −1. Tällöin funktiolla ei voi olla raja-arvoa. Usein on siismahdollista todistaa, että yhden muuttujan funktiolla ei ole raja-arvoaosoittamalla, että sen oikean- ja vasemmanpuoleinen raja-arvo ovat eri-suuria eli

limx→a+

g(x) 6= limx→a−

g(x).

Tämä tulos on hyödyllistä tulkita siten, että funktiolla ei ole raja-arvoapisteessä a, mikäli laskettu raja-arvo on eri kun pistettä a lähestytään eripuolilta. Tämä tulkita osoittautuu hyödylliseksi monen muuttujan funk-tioiden raja-arvoja laskettaessa.

Nyt tarkastellaan kahden muuttujan funktion raja-arvoja. Kahden muut-tujan funktiota merkitään f (x, y). Tällaisen funktion raja-arvoa merkitäänpuolestaan

lim(x,y)→(x0,y0)

f (x, y).

84

Tämä on funktion f (x, y) raja-arvo, kun x lähestyy arvoa x0 ja y lähestyyarvoa y0 eli (x, y)→ (x0, y0). Yksinkertainen esimerkki kahden muuttujanfunktiosta on f (x, y) = xy, jolle pätee esimerkiksi

lim(x,y)→(0,0)

f (x, y) = 0

eli tämän funktion raja-arvo origossa on nolla. Tämä on selvä tulos, silläkun x ja y lähestyvät nollaa, niin myös tulo xy lähestyy nollaa.

Seuraavaksi esitetään yksi tapa osoittaa, että jotakin raja-arvoalim(x,y)→(x0,y0) f (x, y) ei ole olemassa. Yllä todettiin, että yhden muuttujantapauksessa riittää osoittaa, että limx→a+ g(x) 6= limx→a− g(x) eli jos raja-arvon laskeminen eri suunnista tuottaa eri tuloksia, ei raja-arvoa ole ole-massa. Usean muuttujan tapauksessa voidaan käyttää samaa tekniikkaa:lasketaan raja arvo lim(x,y)→(x0,y0) f (x, y), kun pistettä (x0, y0) lähestytääneri suunnista. Jos eri suunnista saadaan eri tuloksia, ei tätä raja-arvoa oleolemassa.

Koska piste (x0, y0) on tasossa (eli avaruudessa R2 ), niin sitä voi itseasiassa lähestyä hyvinkin monesta eri suunnasta. Jos esimerkiksi laskem-me raja-arvoa origossa eli suuretta

lim(x,y)→(0,0)

f (x, y),

niin lukupari (x, y) voi lähestyä origoa useasta eri suunnasta: esimerkiksisuoraa y = x pitkin tai paraabelia y = x2 pitkin. Jos raja-arvolasku tuottaaeri tuloksia eri lähestymisteitä pitkin, ei tätä raja-arvoa ole olemassa.

Esimerkki 25.1. Osoitetaan, että raja-arvoa

lim(x,y)→(0,0)

x2

x2 + y2

ei ole olemassa. Tämän voi osoittaa seuraavalla tavalla: valitaan kaksi pol-kua, joita pitkin (x, y) lähestyy origoa ja näytetään, että raja-arvotulos oneri. Ensinnä (x, y) voi lähestyä origoa suoraa y = x pitkin, koska origo(0, 0) sisältyy suoraan y = x. Tämä raja-arvo saadaan laskettua tekemällä

85

lausekkeeseen x2/(x2 + y2) sijoitus x = y:

x2

x2 + y2 =x2

x2 + x2

=x2

2x2

=12

.

Eli kun origoa lähestytään suoraa y = x pitkin, saadaan raja-arvo 1/2.

Origoa voi kuitenkin lähestyä myös esimerkiksi suoraa y = 0 pitkin. Täl-löin saadaan seuraava tulos:

x2

x2 + y2 =x2

x2

= 1.

Eli tällöin raja-arvo on yksi. Täten eri polkuja pitkin saadaan laskettua eriraja-arvoja, joten kyseistä raja-arvoa lim(x,y)→(0,0)

x2

x2+y2 ei ole olemassa.

Alla on vielä toinen esimerkki, joka soveltaa tätä samaa tekniikkaa.

Esimerkki 25.2. Osoita, että raja-arvoa

lim(x,y)→(0,0)

x3y2x6 + y2

ei ole olemassa.

Ratkaisu. Lasketaan raja-arvo aluksi y-akselia eli suoraa x = 0 pitkin:

x3y2x6 + y2 = 0.

Täten raja arvo suoraa x = 0 pitkin on nolla. Valitaan toiseksi poluksiy = x3. Tällöin

x3y2x6 + y2 =

x3x3

2x6 + x6

=x6

3x6

=13

.

86

Eli eri polkuja pitkin saadaan eri raja-arvoja, joten funktiolla lim(x,y)→(0,0)x3y

2x6+y2

ei ole raja-arvoa origossa.

Yllä esitetty tekniikka, jolla osoitetaan että funktiolla f (x, y) ei ole raja-arvoa pisteessä (x0, y0) on siis seuraava:

1. Lasketaan raja-arvo lim(x,y)→(x0,y0) f (x, y) eri polkuja pitkin. Jos (x0, y0) =

(0, 0), niin tällaisia polkuja voi olla esimerkiksi y = x tai y = 0.

2. Jos raja-arvolasku tuottaa näitä eri polkuja pitkin eri tuloksia, ei tätäraja-arvoa ole olemassa.

Nyt on siis esitetty tapa, jolla raja-arvon olemattomuus osoitetaan. Seu-raavaksi näytettään, kuinka todistetaan että raja arvo

lim(x,y)→(x0,y0)

f (x, y)

on olemassa. Tämä on helppoa, mikäli raja-arvo ei ole ”vaikeaa muotoa”,kuten muotoa 0

0 . Täten pätee esimerkiksi

lim(x,y)→(1,1)

x2 + y2

xy= 2,

mikä nähdään suoraan sijoittamalla arvot x = 1 ja y = 1 kyseiseen lausek-keeseen.

Ongelmia sen sijaan tuottaa erityisesti tyyppiä 00 olevat raja-arvot. Esi-

merkki tällaisesta on

lim(x,y)→(0,0)

x2yx2 + y2 ,

jossa siis sekä osoittaja, että nimittäjä lähestyvät nollaa. Mikäli tätä tyyp-piä oleva raja-arvo on olemassa, sen olomassaolo on osoitettava käyttäensuoraan raja-arvon määritelmää.

Palautetaan tätä varten aluksi mieliin yhden muuttujan funktion f (x)raja-arvon määritelmä pisteessä x0: limx→x0 f (x) = a tarkoittaa intuitii-visesti sitä, että f (x):n etäisyys luvusta a eli | f (x)− a| on pieni, kun x:netäisyys luvusta x0 on pieni. Tarkempi määritelmä kuuluu suomeksi seu-raavasti:

limx→x0 f (x) = a tarkoittaa, että erotus | f (x)− a| saadaan niinpieneksi kuin halutaan, kunhan valitaan luku x riittävän läheltä lu-kua x0.

87

Matematiikan kielellä tämä ilmaistaan seuraavasti

Kaikille ε > 0 on olemassa δ > 0 siten että |x− x0| < δ =⇒| f (x)− a| < ε.

Toisin sanottuna funktion f (x) raja-arvo pisteessä x0 on yhtä kuin a, mi-käli f (x) etäisyys a:sta eli | f (x)− a| saadaan aina alle ε:n päähän, kunhanvalitaan luku x tarpeeksi läheltä lukua x0. Tässä ideana on se, että ε voi-daan valita niin pieneksi kuin halutaan, eli | f (x)− a| saadaan halutunpieneksi.

Kahden muuttujan funktioiden tapauksessa tämä määritelmä on intuitii-visesti täysin sama, eli

lim(x,y)→(x0,y0)

f (x, y) = a

tarkoittaa, että etäisyys | f (x, y)− a| saadaan halutun pieneksi valitsemal-la piste (x, y) riittävän läheltä lukua (x0, y0). Ainoa muutos tulee siitä,että pisteet (x, y) ja (x0, y0) ovat lukupareja, joten niiden etäisyys pitäämääritellä jollakin tavalla. Tällä kurssilla käytettään perinteistä normia,eli pisteiden (x, y) ja (x0, y0) etäisyys on

‖(x, y)− (x0, y0)‖ =√(x− x0)2 + (y− y0)2.

Täten kahden muuttujan funktion f (x, y) raja-arvo pisteessä (x0, y0) onyhtä kuin a, mikäli pätee

Kaikille ε > 0 on olemassa δ > 0 siten että√(x− x0)2 + (y− y0)2 < δ =⇒ | f (x, y)− a| < ε.

Täten pääasiallinen ero yhden muuttujan funktion raja-arvon määritel-mään on ainoastaan termin |x− x0| korvaaminen termillä

√(x− x0)2 + (y− y0)2.

Nyt meillä on tarvittavat työkalut todistaa, että raja-arvo

lim(x,y)→(0,0)

x2yx2 + y2

on itse asiassa yhtä kuin nolla. Raja-arvon määritelmä sanoo nyt, ettätämä raja-arvo on 0, mikäli valitsemalla tarpeeksi pieni arvo√

(x− x0)2 + (y− y0)2 =√

x2 + y2

88

erotus | f (x, y)− 0| = | f (x, y)| saadaan niin pieneksi kuin halutaan. Huo-mataan aluksi, että

| f (x, y)| =∣∣∣∣ x2yx2 + y2

∣∣∣∣≤∣∣∣∣x2y

x2

∣∣∣∣= |y| .

Täten itseisarvo | f (x, y)| on aina pienempi tai yhtä suuri kuin |y|. Tehtäväratkeaa suoraan tämän huomion jälkeen, sillä pätee myös√

x2 + y2 ≥√

y2 = |y| .

Täten:| f (x, y)| ≤ |y| ≤

√x2 + y2.

Eli kun valitaan piste (x, y) tarpeeksi läheltä origoa (0, 0), niin |y| saadaanhalutun pieneksi ja samalla | f (x, y)| saadaan halutun pieneksi. Täten

lim(x,y)→(0,0)

x2yx2 + y2 = 0

Täten tekniikka, jolla osoitetaan kahden muuttujan funktion raja-arvonolemassaolo, on seuraava:

1. Ensin pitää arvata, että tämä raja-arvo on jokin a (yllä oli a = 0).

2. Seuraavaksi yritetään osoittaa, että erotus | f (x, y)− a| on pienempikuin jokin tietty luku b (yllä tämä luku oli b = |y|).

3. Seuraavaksi osoitetaan, että√(x− x0)2 + (y− y0)2 on puolestaan

suurempi kuin tämä luku b.

4. Täten, kun√(x− x0)2 + (y− y0)2 valitaan riittävän pieneksi, | f (x, y)− a|

saadaan halutun pieneksi, koska

| f (x, y)− a| ≤ b ≤√(x− x0)2 + (y− y0)2.

Täten kun√(x− x0)2 + (y− y0)2 −→ 0, niin | f (x, y)− a| −→ 0. Eli

lim(x,y)→(0,0) x2y/(x2 + y2) = 0.

89

Esimerkki 25.3. Osoita, että

lim(x,y)→(0,0)

x2

2√

x2 + y2= 0.

Ratkaisu. Noudatetaan yllä esitettyjä vaiheita. Aluksi tutkitaan erotusta| f (x, y)− a|:

| f (x, y)− a| =∣∣∣∣∣ x2

2√

x2 + y2− 0

∣∣∣∣∣≤ x2 + y2

2√

x2 + y2

=12

(x2 + y2√

x2 + y2

)

=12

(√x2 + y2

).

Lisäksi√

x2 + y2 ≥ 12

√x2 + y2, joten pätee:

| f (x, y)− 0| ≤ 12

(√x2 + y2

)≤√

x2 + y2,

joten funktio f (x, y) saadaan niin lähelle nollaa kuin halutaan valitsemal-la (x, y) tarpeeksi läheltä origoa. Täten

lim(x,y)→(0,0)

x2

2√

x2 + y2= 0.

26 Useamman muuttujan funktion jatkuvuus

Useamman muuttujan funktion jatkuvuus määritellään täsmälleen samal-la tavalla kuin yhden muuttujan funktion jatkuvuus6: esimerkiksi funktiof (x, y) on jatkuva pisteessä (x0, y0), jos sen raja-arvo tässä pisteessä onyhtä kuin funktion arvo tässä pisteessä eli mikäli pätee

lim(x,y)→(x0,y0)

f (x, y) = f (x0, y0).

6Tämä määritelmä itse asiassa vaatii sen, että piste (x0, y0) on kasaantumispiste elipiste, jonka jokaisessa ympäristössä on muita määrittelyjoukon pisteitä.

90

Usean muuttujan funktiolle pätee periaatteessa samat jatkuvuustuloksetkuin yhdenkin muuttujan funktiolle: jatkuvien funktioiden tulo on jatku-va, samoin kuin jatkuvien funktioiden osamäärä (kunhan nimittäjä ei olenolla). Lisäksi jatkuvien funktioiden yhdistetty funktio on jatkuva.

Esimerkki 26.1. Funktiox2y2

1 + x2

on jatkuva, sillä se on jatkuvien funktioiden osamäärä. Samoin

ex2+y2

on jatkuva sillä se on jatkuvien funktioiden yhdistetty funktio.

27 Osittaisderivaatat ja gradientti

Osittaisderivointi ei eroa tekniikaltaan oleellisesti tavallisesta derivoin-nista. Jos meillä on kahden muuttujan funktio f (x, y), niin tämän osit-taisderivaattaa muuttujan x suhteen merkitään ∂ f (x, y)/∂x ja vastaavastiosittaisderivaattaa y:n suhteen merkitään ∂ f (x, y)/∂y.

Laskettaessa esimerkiksi osittaisderivaattaa ∂ f (x, y)/∂x on syytä muistaakohdella muuttujaa y kuten vakiota.

Esimerkki 27.1. Funktiolle f (x, y) = y ln x pätee:

∂ f (x, y)∂x

=yx

∂ f (x, y)∂y

= ln x.

Tässä siis derivoitaessa x:n suhteen kohdellaan muuttujaa y kuin vakiotaja derivoitaessa y:n suhteen kohdellaan muuttujaa x kuin vakiota.

Kahden muuttujan tapauksessa osittaisderivaatta ∂ f (x, y)/∂x kertoo, kuin-ka paljon tietyn funktion f (x, y) arvo muuttuu, kun muuttujaa x kasvate-taan ”vähän” samalla kun muuttuja y pidetään vakioisena.

Kansantaloustieteessä osittaisderivaatat ovat suosittuja työkaluja: jos esi-merkiksi F(K, L) on perinteinen tuotantofunktio, niin osittaisderivaatta

91

∂F(K, L)/∂K ilmaisee kuinka paljon tuotanto kasvaa, kun pääomaa K kas-vatetaan yksi yksikkö. Osittaisderivoinnin suosiota taloustieteessä voi pe-rustella sillä, että se ilmaisee ceteris paribus -käsitteen matemaattisesti.

Osittaisderivoitaessa funktiota, jossa on enemmän kuin kaksi muuttujaa,on yllä esitetty tekniikka ja intuitio täsmälleen sama.

Esimerkki 27.2. Lasketaan funktion f (x, y, z) = x2yz5 osittaisderivaatat:

∂ f (x, y, z)∂x

= 2xyz5

∂ f (x, y, z)∂y

= x2z5.

∂ f (x, y, z)∂z

= 5x2yz4.

Funktion f gradientti ∇ f saadaan yksinkertaisesti esittämällä osittaisde-rivaatat rivivektorina. Täten yllä olevassa esimerkissä pätee

∇ f (x, y, z) =(

∂ f (x, y, z)∂x

,∂ f (x, y, z)

∂y,

∂ f (x, y, z)∂z

)=(

2xyz5, x2z5, 5x2yz4)

.

Täten voidaan laskea esimerkiksi tämän funktion gradientti pisteessä (1, 1, 1):

∇ f (1, 1, 1) = (2, 1, 5) .

28 Vektoriarvoiset funktiot

Yllä olemme tarkastelleet usean muuttujan funktioita, jotka ovat reaaliar-voisia eli f (x, y) ∈ R. Funktio voi kuitenkin olla myös vektoriarvoinen,kuten funktio f (x, y) = (x2y, y3). Tämä funktio saa siis arvon, joka ei olereaaliluku vaan lukupari eli f (x, y) ∈ R2. Tällaisessa funktiossa ei sinän-sä ole mitään outoa: konkreettinen esimerkki tällaisesta funktiosta olisif (x) = (l, k), jossa x on tietty paikka, l on tämän paikan lämpötila ja ksen ilmankosteus. Tässä siis funktio f antaa tietyn paikan lämpötilan jailmankosteuden.

Vektoriarvoisen funktion komponenttifunktiot ovat sen arvovektorin al-kiot. Täten esimerkiksi funktion f (x, y) = (x2y, y3) komponenttifunktiot

92

ovat f1(x, y) = x2y ja f2(x, y) = y3. Komponenttifunktioiden hyöty on sii-nä, että vektoriarvoisen funktion jatkuvuus ja määrittelyjoukko voidaanmääritellä sen komponenttifunktioiden avulla. Esimerkiksi vektoriarvoi-nen funktio f (x, y) = ( f1(x, y), f2(x, y)) on jatkuva, mikäli sen kompo-nenttifunktiot ovat jatkuvia.

Vastaavasti vektoriarvoisen funktion osittaisderivaatat määritellään osit-taisderivoimalla jokainen komponenttifunktio erikseen. Täten esimerkiksifunktion f (x, y) = (x2y, y3) osittaisderivaatat ovat:

∂ f (x, y)∂x

= (2xy, 0)

∂ f (x, y)∂y

= (x2, 3y2).

Täten vektoriarvoisen funktion osittaisderivaatat ovat myös vektoriarvoi-sia.

29 Suunnattu derivaatta

Aluksi tarkastelemme vektoreita, koska ymmärrys vektoreista helpottaaalla olevien asioiden omaksumista. Kun liikutaan tasossa eli avaruudessaR2, niin vektori (x, y) on yksinkertaisesti lukupari koordinaatistossa. Sevoidaan visualisoida nuolena, joka alkaa origosta ja päättyy pisteeseen(x, y). Esimerkiksi vektori (1, 0) on vektori, joka alkaa origosta ja päättyypisteeseen (1, 0). Alla olevassa kuvassa on kuvattu kolme vektoria:

(1, 0)

(0, 1) (1, 1)

Vektorilla on aina suunta ja pituus. Yllä olevassa kuvassa kaikilla kolmel-la vektorilla on eri suunta. Kaksi näistä kulkee koordinaattiakseleidensuuntaisesti ja yksi 45 asteen kulmassa. Vektorin pituus on sen etäisyysorigosta eli

√x2 + y2. Täten siis vektorien (1, 0) ja (0, 1) pituus on yksi

93

ja vektorin (1, 1) pituus on√

12 + 12 =√

2. Vektori on yksikkövektori,jos sen pituus on yksi. Toisaalta myös vektorista (1, 1) saadaan muodos-tettua yksikkövektori jakamalla sen jokainen komponentti sen pituudella√

2. Täten (1/√

2, 1/√

2) on yksikkövektori.

Tarkastellaan nyt jälleen kahden muuttujan funktiota f (x, y). Tämän funk-tion osittaisderivaatta ∂ f (x, y)/∂x kertoo, kuinka funktion f arvo muut-tuu, kun x-akselilla siirrytään ”vähän” oikealle. Puolestaan ∂ f (x, y)/∂ykertoo, kuinka tämä arvo muuttuu, kun y-akselilla siirrytään ylöspäin.Funktion gradientti ∇ f (x, y) esittää nämä osittaisderivaatat vektorina

∇ f (x, y) =(

∂ f (x, y)∂x

,∂ f (x, y)

∂y

).

Siispä ∂ f (x, y)/∂x on funktion f muutos siirryttäessä (x, y)-tasossa oi-kealle eli vektorin (1, 0) suuntaan. Vastaavasti ∂ f (x, y)/∂y on funktion fmuutos siirryttäessä (x, y)-tasossa ylöspäin eli vektorin (0, 1) suuntaan. Ta-sossa voi kuitenkin siirtyä muuhunkin suuntaan kuin oikealle tai ylös.Tästä seuraa ja myös funktion f derivaatan voi laskea, kun (x, y)-tasossasiirrytään johonkin yleiseen suuntaan.

Voimme esimerkiksi laskea funktion f (x, y) derivaatan, kun siirrymme(x, y)-tasossa vektorin (1/

√2, 1/√

2) suuntaan. Tällainen derivaatta tie-tyn yksikkövektorin (v1, v2) suuntaan on nimeltään suunnattu derivaat-ta ja sen määritelmä on kahden muuttujan funktion f (x, y) tapauksessaseuraava:

ddt

(f ((x, y) + t(v1, v2))

)∣∣∣∣t=0

Tässä määritelmässä f ((x, y) + t(v1, v2)) on funktion f arvo pisteessä(x, y) + t(v1, v2) = (x + tv1, y + tv2). Tässä siis pisteestä (x, y) siirrytäänvektorin (v1, v2) suuntaan ja t kertoo, kuinka paljon tämän vektorin suun-taan liikutaan. Derivaatta d

dt f ((x, y) + t(v1, v2)) kertoo, miten funktion ar-vo muuttuu, kun t kasvaa hieman eli kun siirrytään pisteestä (x, y) hie-man kohden vektoria (v1, v2). Suunnattu derivaatta arvioidaan pisteessät = 0: se siis kertoo paljonko funktion f arvo muuttuu, kun pisteestä(x, y) lähdetään liikkuumaan vektorin (v1, v2) suuntaan.

Suunnatulle derivaatalle on olemassa helppo laskukaava:

ddt

(f ((x, y) + t(v1, v2))

)∣∣∣∣t=0

=∂ f (x, y)

∂xv1 +

∂ f (x, y)∂y

v2.

94

Toisin sanottuna suunnattu derivaatta tietyn yksikkövektorin (v1, v2) suun-taan saadaan kertomalla funktion f osittaisderivaatat tämän yksikkövek-torin vastaavilla komponenteilla. Täten suunnattua derivaattaa vektorin(v1, v2) suuntaan voi ajatella osittaisderivaattojen ∂ f (x, y)/∂x ja ∂ f (x, y)/∂ypainotettuna keskiarvona, jossa osittaisderivaatan ∂ f (x, y)/∂x paino onv1 ja osittaisderivaatan ∂ f (x, y)/∂y paino on v2.

Esimerkki 29.1. Lasketaan funktion f (x, y) = xy derivaatta vektorin (1, 2)suuntaan. Vektori (1, 2) ei ole yksikkövektori, joten muodostetaan siitäyksikkövektori jakamalla sen jokainen komponentti sen pituudella. Vek-torin (1, 2) pituus on

√12 + 22 =

√5, joten tästä vektorista saadaan muo-

dostettua yksikkövektori (1/√

5, 2/√

5). Nyt funktion f (x, y) = xy deri-vaatta tämän yksikkövektorin suuntaan on

∂ f (x, y)∂x

v1 +∂ f (x, y)

∂yv2 =

∂ f (x, y)∂x

1/√

5 +∂ f (x, y)

∂y2/√

5

= y/√

5 + 2x/√

5.

Täten tämän funktion derivaatta tämän yksikkövektorin suuntaan esimer-kiksi pisteessä (1, 1) on yhtä kuin 1/

√5 + 2/

√5 = 3/

√5. Täten jos pis-

teestä (1, 1) liikutaan yksi yksikkö vektorin (1, 2) suuntaan, niin funktionf arvo muuttuu noin 3/

√5.

Tärkeää tässä vaiheessa on ymmärtää suunnatun derivaatan intuitio. Tie-detään, että ∂ f (x, y)/∂x kertoo, paljonko funktion f arvo muuttuu, kunsiirrytään vektorin (1, 0) suuntaan ja puolestaan ∂ f (x, y)/∂y kertoo pal-jonko funktion f arvo muuttuu, kun siirrytään vektorin (0, 1) suuntaan.Kuitenkin (x, y) voidaan liikkua myös moneen muuhun suuntaan ja suun-nattu derivaatta antaa funktion muutoksen tietyn vektorin (v1, v2) suun-taan.

Esimerkki 29.2. Olkoon U(x1, x2) hyötyfunktio. Hyödykkeen yksi raja-hyöty on tunnetusti ∂U(x1, x2)/∂x1 ja hyödykkeen kaksi rajahyöty puo-lestaan on ∂U(x1, x2)/∂x2. Paljonko on kuluttajan rajahyöty, jos hän kas-vattaa kummankin hyödykkeen kulutusta saman verran?

Ratkaisu. Jos hän kasvattaa kummankin hyödykkeen kulutusta samanverran, hän siirtyy (x1, x2)-avaruudessa vektorin (1, 1) suuntaan. Tämärajahyöty saadaan siis laskemalla hyötyfunktion suunnattu derivaatta vek-toria (1, 1) vastaavan yksikkövektorin (1/

√2, 1/√

2) suuntaan. Tämä onyhtä kuin

∂U(x1, x2)

∂x11/√

2 +∂U(x1, x2)

∂x21/√

2.

95

Koska suunnattu derivaatta kuvaa funktion muutoksen tiettyyn suun-taan, ja näitä suuntia on täydet 360 astetta, herää kysymys että mihinsuuntaan funktion f arvo kasvaa nopeimmin. Osoittautuu, että funktiokasvaa nopeinten gradienttinsa ∇ f suuntaan.

Esimerkki 29.3. Funktio f (x, y) = x2 + y2 kasvaa nopeinten vektorin(2x, 2y) suuntaan. Esimerkiksi pisteessä (1, 0) tämä funktio kasvaa no-peinten vektorin (2, 0) suuntaan.

Funktio kasvaa siis nopeinten gradienttinsa suuntaan. Tämä tulos on si-käli uskottava, että jos meillä on esimerkiksi funktio f (x, y) = y, niin tämäkasvaa selkeästi nopeinten y-akselin suuntaan. Tämän funktion gradient-ti on (0, 1), joten selvästi tämä funktio kasvaa nopeinten gradienttinsasuuntaan. Vastaavasti funktio f (x, y) = xy kasvaa nopeinten suuntaan(y, x). Täten jos olemme suoralla x = y, saadaan funktiota f (x, y) = xykasvatettua eniten siirtymällä yksikkövektorin (1/

√2, 1/√

2) suuntaan.

Tarkastellaan jälleen funktiota f (x, y) = y, joka siis kasvaa nopeinteny-akselin suuntaan. Kyseinen funktio myös selvästi vähenee nopeintensuuntaan (0,−1) eli liikuttaessa y-akselilla alaspäin. Tämä esimerkki yleis-tyy siten, että jokainen funktio vähenee nopeinten suuntaan −∇ f eli gra-dientista päinvastaiseen suuntaan.

Funktio f (x, y) kasvaa pisteessä (x0, y0) nopeiten gradienttinsa∇ f (x0, y0)suuntaan. Se vähenee tässä pisteessä nopeiten vektorin −∇ f (x0, y0)suuntaan.

30 Tangenttitason yhtälö

Yhden muuttujan analyysissä funktiolle f (x) voitiin muodostaa tangent-tisuora pisteeseen (x0, f (x0)). Tämän tangenttisuoran yhtälö on

y = f (x0) + f ′(x)(x− x0).

Yhden muuttujan funktion tangenttisuora on siis suora a + bx, joka ap-proksimoi funktiota pisteen (x0, y0) läheisyydessä. Useamman muuttujantapauksessa tangenttisuoraa vastaa tangenttitaso.

Tarkastellaan nyt kolmen muuttujan funktiota f (x, y, z). Tällaiselle funk-tiolle voi muodostaa tasa-arvopinnan f (x, y, z) = k. Tämä pinta koostuu

96

siis kaikista pisteistä (x, y, z), joilla f saa arvon k. Esimerkki tällaisestatasa-arvopinnasta on

x2 + y2 + z2 = 1,

joka siis sisältää esimerkiksi pisteet (1, 0, 0), (0, 1, 0) ja (1/√

3, 1/√

3, 1/√

3).Tällaisen tasa-arvopinnan pisteeseen (x0, y0, z0) voidaan piirtää tangent-titaso. Tasa-arvopinnan f (x, y, z) = k pisteeseen (x0, y0, z0) piirretyn tan-genttitason yhtälö on yhtä kuin

∇ f (x0, y0, z0) · (x− x0, y− y0, z− z0) = 0∂ f (x0, y0, z0)

∂x(x− x0) +

∂ f (x0, y0, z0)

∂y(y− y0) +

∂ f (x0, y0, z0)

∂z(z− z0) = 0,

jossa esimerkiksi ∂ f (x0, y0, z0)/∂x tarkoittaa osittaisderivaattaa ∂ f (x, y, z)/∂xarvioituna pisteessä (x0, y0, z0).

Toisin sanottuna tangenttitason yhtälö saadaan laskemalla funktion f osit-taisderivaatat pisteessä (x0, y0, z0) ja kertomalla nämä erotuksilla x − x0,z− z0 ja z− z0.

Esimerkki 30.1. Tasa-arvopinnalle x2 + y2 + z2 = 1 voidaan määrittää ylläolevalla kaavalla tangenttitaso. Sen kaava pisteessä (x0, y0, z0) on

2x0(x− x0) + 2y0(y− y0) + 2z0(z− z0) = 0

Täten esimerkiksi pisteeseen (1/√

3, 1/√

3, 1/√

3) piirretyn tangenttita-son yhtälö on yhtä kuin

21√3

(x− 1√

3

)+ 2

1√3

(y− 1√

3

)+ 2

1√3

(z− 1√

3

)= 0(

x− 1√3

)+

(y− 1√

3

)+

(z− 1√

3

)= 0

z =3√3− x− y

z =√

3− x− y.

Pisteen (x0, y0, z0) tangenttitason vastainen normaalisuora on yksinker-taisesti gradientti∇ f (x0, y0, z0). Tämä ei ole yllättävää, sillä pisteen (x0, y0, z0)läheisyydessä funktion f (x, y, z) arvo tangenttitasolla on kutakuinkin k elivakio, kun taas gradientti kertoo mihin suuntaan funktio kasvaa nopein-ten. Funktio siis kasvaa nopeinten gradienttinsa suuntaan eli kohtisuo-raan pois päin tangenttitasostaan.

97

Täten yllä olevassa esimerkissä pisteeseen (1/√

3, 1/√

3, 1/√

3) piirrettynormaalisuora on vektorin ∇ f (x0, y0, z0) = (2/

√3, 2/√

3, 2/√

3) suun-tainen.

Esimerkki 30.2. Ratkaistaan yhtälön xyz = 2 määrittämän tasa-arvopinnantangenttitaso ja normaalisuora pisteessä (1, 1, 2). Tangenttitaso saadaanyhtälöstä

y0z0(x− x0) + x0z0(y− y0) + x0y0(z− z0) = 0.

Kun tähän sijoitetaan (x0, y0, z0) = (1, 1, 2), saadaan

y0z0(x− x0) + x0z0(y− y0) + x0y0(z− z0) = 02(x− 1) + 2(y− 1) + (z− 1) = 0

z = 5− 2x− 2y.

Normaalisuora on puolestaan gradientin ∇ f (x0, y0, z0) = (2, 2, 1) suun-tainen.

31 Hessen matriisi

Tarkastellaan n:n muuttujan funktiota f (x1, . . . , xn). Merkitään tämän funk-tion derivaattaa muuttujan xi suhteen fi. Tällöin siis esimerkiksi f1 =∂ f (x1, . . . , xn)/∂x1. Huomataan, että myös näitä osittaisderivaattoja voiderivoida edelleen, eli osittaisderivaatasta voi itsestään ottaa osittaisderi-vaatan. Täten esimerkiksi

f12 =∂2 f (x1, . . . , xn)

∂x1∂x2.

Täten jos meillä on esimerkiksi funktio f (x, y) = x2y, niin f1 = 2xy jaf12 = 2x ja f11 = 2y. Nyt näistä toisista osittaisderivaatoista voi muodos-taa Hessen matriisin, joka on kahden muuttujan funktion f (x, y) tapauk-sessa yhtä kuin

H(x, y) =[

f11 f12f21 f22

].

Toisin sanottuna Hessen matriisi sisältää ainoastaan funktion toisen deri-vaatat tietyssä järjestyksessä.

Esimerkki 31.1. Funktion f (x, y) = exy+ y2 Hessen matriisi on yhtä kuin

H(x, y) =[

f11 f12f21 f22

]=

[exy ex

ex 2

]

98

Tässä huomataan, että f12 = f21 eli ristikkäisderivaatat ovat samoja. Tämätulos itse asiassa pätee aina, kun osittaisderivaatat ovat jatkuvia.

Hessen matriisilla ja erityisesti sen determinantilla on suurta käyttöä useam-man muuttujan funktioita optimoitaessa. Hessen matriisin determinanttion yhtä kuin f11 f22 − f 2

12, joten edellisessä tehtävässä tämä determinanttisaa arvon 2exy− (ex)2 = 2exy− e2x.

32 Kokonaisdifferentiaali

Palautetaan mieliin, että yhden muuttujan funktion tapauksessa diffe-rentioituvuus tarkoitti sitä, että funktion f (x) muutosta ∆ f (x0) = f (x0 +dx) − f (x0) voitiin approksimoida ”hyvin” pisteen x0 läheisyydessä lu-vulla f ′(x0)dx. Tässä dx on argumentin x ”pieni” muutos ja differentioi-tuvuus tarkoittaa siis sitä, että funktion muutos f (x0 + dx) − f (x0) onkutakuinkin funktion derivaatta tässä pisteessä x0 kerrottuna muutoksel-la dx.

Usean muuttujan funktion tapauksessa differentioituvuuden määritelmäon vastaava. Tarkastellaan tässä kahden muuttujan funktiota f (x, y), jon-ka argumentti (x, y) muuttuu pisteestä (x0, y0) pisteeseen (x0 + dx, y0 +dy). Tällöin tämän funktion muutos on yhtä kuin

f (x0 + dx, y0 + dy)− f (x0, y0).

Mikäli tämä funktio on differentioituva, tätä muutosta voidaan approksi-moida funktion f osittaisderivaattojen avulla seuraavasti:

f (x0 + dx, y0 + dy)− f (x0, y0) ≈∂ f (x, y)

∂xdx +

∂ f (x, y)∂y

dy.

Tämä on funktion f (x, y) kokonaisdifferentiaali. Se siis approksimoifunktio f muutosta, kun siirrytään pisteestä (x0, y0) pisteeseen (x0 +dx, y0 +dy).

Esimerkki 32.1. Funktion f (x, y) = x2y + y2x kokonaisdifferentiaali on

(2xy + y2)dx + (x2 + 2yx)dy.

Täten tämän funktion kokonaisdifferentiaali esimerkiksi pisteessä (1, 5)on yhtä kuin 27dx + 21dy. Täten jos liikumme pisteestä (1, 5) pienen mat-kan siten, että x muuttuu arvoon x + dx ja y muuttuu arvoon y + dy, niin

99

funktion f muutos on kutakuinkin 27dx + 21dy. Esimerkiksi jos sekä xettä y kasvavat kymmenesosan, niin tämä funktio kasvaa kutakuinkinmäärän 27dx + 21dy = 2, 7 + 2, 1 = 4, 8.

Esimerkki 32.2. Kokonaisdifferentiaalilla on runsaasti sovelluksia kan-santaloustieteessä. Jos meillä on tarkasteltavana esimerkiksi rahan kysyn-täfunktio L(i, Y), niin tämän funktion muutosta approksimoi sen koko-naisdifferentiaali

dL(i, Y) =∂L(i, Y)

∂idi +

∂L(i, Y)∂Y

dY

eli rahan kysynnän muutos on kutakuinkin rahan kysynnän derivaattakoron i suhteen eli ∂L(i, Y)/∂i kerrottuna koron muutoksella di plus ra-han kysynnän muutos tulojen Y suhteen ∂L(i, Y)/∂Y kerrottuna tulojenY muutoksella dY.

Tästä voidaan johtaa myös LM-käyrän kulmakerroin: rahamarkkinat ovattasapainossa, kun

L(i, Y) = M/P.

Nyt kun M/P on vakio, niin yllä olevasta tasapainoehdosta voidaan ottaakummaltakin puolelta kokonaisderivaatta:

dL(i, Y) = d(M/P)∂L(i, Y)

∂idi +

∂L(i, Y)∂Y

dY = 0,

jossa d(M/P) = 0, koska M/P on vakio. Yllä olevasta yhtälöstä saadaanmuokattua LM-käyrän kulmakerroin di/dY:

∂L(i, Y)∂i

di +∂L(i, Y)

∂YdY = 0

∂L(i, Y)∂i

di = −∂L(i, Y)∂Y

dY

didY

= −(

∂L(i, Y)/∂Y∂L(i, Y)/∂i

).

Esimerkki 32.3. Toinen kokonaisdifferentiaalin sovellus on, että sillä saa-daan laskettua indifferenssikäyrän kulmakerroin. Indifferenssikäyrä onhyötyfunktion samanarvonkäyrä. Jos hyötyfunktio on U(x1, x2), niin in-differenssikäyrä on muotoa

U(x1, x2) = k.

100

Huomataan aluksi, että indifferenssikäyrä on määritelty (x1, x2)-avaruudessa.Indifferenssinkäyrän kulmakerroin on siis kulmakerroin ∂x2/∂x1. Ote-taan nyt kokonaisdifferentiaali yllä olevan yhtälön kummaltakin puolelta:

dU(x1, x2) = dk∂U(x1, x2)

∂x1dx1 +

∂U(x1, x2)

∂x2dx2 = 0

∂U(x1, x2)

∂x2dx2 = −∂U(x1, x2)

∂x1dx1

dx2

dx1= − ∂U(x1, x2)/∂x1

∂U(x1, x2)/U(x1, x2)x2.

Indifferenssikäyrän kulmakerroin on siis − ∂U(x1,x2)/∂x1∂U(x1,x2)/U(x1,x2)x2

.

33 Osittaisderivoinnin ketjusääntö

Yhden muuttujan yhdistetyn funktion f (g(x)) derivoinnin ketjusääntökertoo, että tämän funktion derivaatta on f ′(g(x))g′(x). Täten esimerkik-si funktion f (g(x)) = (1 + x2)2 derivaatta on yhtä kuin f ′(g(x))g′(x) =2(1 + x2) · 2x.

Usean muuttujan ketjusääntö vastaa jossain määrin yhden muuttujan vas-taavaa sääntöä. Tutkitaan jälleen kahden muuttujan funktiota f (u, v), mut-ta oletetaan nyt, että sekä u että v ovat joiden muuttujien x, y, ja z funk-tioita. Tutkittavana on siis funktio

f (u, v) = f (u(x, y, x), v(x, y, x)).

Nyt haluamme laskea tämän funktion osittaisderivaatan ∂ f /∂x. Huoma-taan, että kun muuttajaa x muutetaan niin funktion f argumentit u ja vkumpikin muuttuvat. Nyt funktio f muuttuu siis kahdesta syystä: koskau muuttuu ja v muuttuu. Tarkka kaava funktion f osittaisderivaatalle x:nsuhteen on seuraava:

∂ f (u, v)∂x

=∂ f (u, v)

∂u∂u∂x

+∂ f (u, v)

∂v∂v∂x

.

Tämä usean muuttujan ketjusääntö siis kertoo osittaisderivaatan ∂ f /∂xolevan yhtä kuin muuttujien u ja v osittaisderivaatat x:n suhteen kerrot-tuna funktion f derivaatoilla u:n ja v:n suhteen.

101

Esimerkki 33.1. Olkoon f (u, v) = uv2 + eu ja lisäksi u = 2yx2 ja v = x2y3.Lasketaan nyt osittaisderivaatat ∂ f /∂x ja ∂ f /∂y. Ketjusäännöllä saadaan:

∂ f (u, v)∂x

=∂ f (u, v)

∂u∂u∂x

+∂ f (u, v)

∂v∂v∂x

= (v2 + eu) · 4yx + 2uv · 2xy3.

Lopulliseen vastaukseen sijoitetaan vielä u:n ja v:n tilalle u = 2yx2 jav = x2y3:

∂ f (u, v)∂x

= (v2 + eu) · 4yx + 2uv · 2xy3

= ((x2y3)2 + e2yx2) · 4yx + 2(2yx2)(x2y3) · 2xy3

= (x4y6 + e2yx2) · 4yx + 8yx2x2y3 · xy3

= 4x5y7 + 4xye2yx2+ 8x5y7.

Sama vastaus saadaan sijoittamalla funktioon f (u, v) = uv2 + eu arvotu = 2yx2 ja v = x2y3 ja osittaisderivoimalla tämän jälkeen normaalisti.

Esimerkki 33.2. Tutkitaan jälleen taloustieteellistä esimerkkiä. Olkoon

Y = F(K, AL)

perinteinen makrotaloudellinen tuotantofunktio. Tutkitaan nyt, miten tuo-tanto kasvaa ajassa t. Merkitään yllä olevaan yhtälöön, että kaikki muut-tujan ovat ajan t funktioita:

Y(t) = F(K(t), A(t)L(t)).

Nyt voidaan laskea tuotannon muutos ajan suhteen eli Y′(t). Tämä on-nistuu ketjusäännöllä

Y′(t) =∂F∂K

K′(t) +∂F

∂ALddt

(A(t)L(t))

=∂F∂K

K′(t) +∂F

∂AL(A′(T)L(t) + L′(t)A(t)).

34 Implisiittinen derivointi

Tarkastellaan nyt yhtälöäF(x, y) = c,

102

jossa x ja y ovat muuttujia ja c on vakio. Esimerkki tällaisesta yhtälöstä on

x2y5 + 5xy = 14.

Tässä yhtälössä siis vasemmalla puolella on kahden muuttujan funktioF(x, y) ja oikealle puolella vakio c. Nyt haluamme selvittää, onko mah-dollista että jonkin pisteen (x0, y0) ympäristössä tämä yhtälö voidaan rat-kaista muuttujan y suhteen. Tämän yhtälön ratkaisu y:n suhteen tarkoit-taa, että voimme ratkaista tämän yhtälön muotoon y = y(x). Joskus tyyp-piä F(x, y) = c olevan funktion ratkaisu y:n suhteen on helppoa, kutenfunktion

x2y = 3,

tapauksessa: tästä voidaan ratkaista helposti y = 3/x2. Yleensä tällainensuora ratkaisu y:n suhteen ei kuitenkaan ole läheskään näin helppoa: esi-merkiksi yhtälö x2y5 + 5xy = 14 ei ratkea helposti muotoon y = y(x).Voimme kuitenkin sanoa, että tietyn pisteen (x0, y0) ympäristössä yhtä-lö F(x, y) määrittää tällaisen implisiittifunktion y(x), mikäli seuraavatehdot täyttyvät:

1. Funktiolla F(x, y) on jatkuvat osittaisderivaatat.

2. Piste (x0, y0) toteuttaa yhtälön F(x, y) = c eli F(x0, y0) = c.

3. ∂F(x, y)/∂y 6= 0 pisteessä (x0, y0).

Nämä kolme kohtaa riittävät implisiittifunktion y = y(x) olemassaolonperusteluun.

Esimerkki 34.1. Tarkastellaan nyt yhtälöä x2y5 + 5xy = 14 pisteen (x0, y0) =(2, 1) ympäristössä. Ensinnä huomataan, että kun sijoitamme x = 2 ja y =1 tähän yhtälöön, niin saamme tuloksen 14 = 14 eli piste (x0, y0) = (2, 1)toteuttaa tämän yhtälön.

Toiseksi ∂F(x, y)/∂y = 5x2y4 + 5x saa arvon 30 pisteessä (2, 1). Täten∂F(x, y)/∂y 6= 0 pisteessä (2, 1). Lisäksi huomataan, että funktion F osit-taisderivaatat ovat jatkuvia, koska ne ovat polynomifunktioita. Täten pis-teen (2, 1) ympäristössä yhtälö x2y5 + 5xy = 14 määrittää implisiittifunk-tion y = y(x).

Jos yllä luetellut kolme ehtoa ovat voimassa ja implisiittifunktio on tä-ten olemassa eli y = y(x), niin voimme luonnollisesti merkitä F(x, y) =F(x, y(x)). Täten yllä olevan esimerkin tapauksessa voimme merkitä

x2y5 + 5xy = 14 eli

x2[y(x)]5 + 5xy(x) = 14.

103

Nyt tällaisen yhtälön F(x, y(x)) = c voi derivoida kummaltakin puoleltax:n suhteen. Tarkastellaan yksinkertaisena esimerkkinä yhtälöä

x2 + y3 = 2,

joka määrittää implisiittifunktion y = y(x) pisteen (1, 1) ympäristössä,koska 12 + 13 = 2 (eli F(x0, y0) = c) ja ∂F(x, y)/∂y = 3y2 = 3, kun y = 1.Nyt voimme määrittää myös tämän implisiittifunktion y(x) derivaatany′(x). Merkitään aluksi yhtälö x2 + y3 = 2 muodossa x2 + [y(x)]3 = 2. Nyttämän voi derivoida kummaltakin puolelta muuttujan x suhteen. Ensinnähuomataan, että oikea puoli on vakio, joten sen derivaatta x:n suhteenon 0. Toisaalta vasenta puolta derivoitaessa on huomattava, että funktion[y(x)]3 derivaatta x:n suhteen saadaan ketjusäännöllä:

ddx

(x2 + [y(x)]3

)=

ddx

(2)

2x + 3[y(x)]2y′(x) = 0

y′(x) = − 2x3[y(x)]2

= −23

, kun (x, y) = (1, 1).

Tähän mennessä olemme siis näyttäneet, miten on mahdollista osoittaaettä yhtälö F(x, y) määrittää implisiittifunktion y(x) ja kuinka tämän impli-siittifunktion derivaatan y′(x) voi laskea. Otetaan seuraavaksi hieman vai-keampi esimerkki implisiittifunktion derivaatan laskemisesta.

Esimerkki 34.2. Tarkastellaan jälleen yhtälöä x2y5 + 5xy = 14. Lasketaantästä yhtälöstä saatavan implisiittifunktion y(x) derivaatta pisteessä (2, 1).Merkitään tätä yhtälöä ensinnä

x2[y(x)]5 + 5xy(x) = 14

Tämän derivointi x:n suhteen ei ole enää niin yksinkertaista kuin aiem-min, sillä esimerkiksi termi x2[y(x)]5 on funktioiden x2 ja [y(x)]5 tulo, jo-ten se pitää derivoida tulosäännöllä. Palautetaan mieliin, että derivoinnintulosääntö kertoo, että

ddx

( f (x)g(x)) = f ′(x)g(x) + g′(x) f (x).

Derivoidaan tätä sääntöä käyttäen aluksi pelkästään termi x2[y(x)]5:

ddx

(x2[y(x)]5) = 2x[y(x)]5︸ ︷︷ ︸= f ′(x)g(x)

+ 5[y(x)]4y′(x)x2︸ ︷︷ ︸=g′(x) f (x)

.

104

Vastaavalla tekniikalla saadaan ratkaistua termin 5xy(x) derivaatta:

ddx

(5xy(x)) = 5y(x) + y′(x)5x.

Näiden kahden derivoinnin jälkeen voimme derivoida kummaltakin puo-lelta koko lausekkeen x2[y(x)]5 + 5xy(x) = 14 ja ratkaista tästä terminy′(x):

2x[y(x)]5 + 5[y(x)]4y′(x)x2 + 5y(x) + y′(x)5x = 0

y′(x)(5[y(x)]4x2 + 5x) = −2x[y(x)]5 − 5y(x)

y′(x) = −(

2x[y(x)]5 + 5y(x)5[y(x)]4x2 + 5x

)= −

(2 · 2 + 5

5 · 4 + 5 · 2

)= −

(9

30

)= −3/10.

Yllä oleva tulos saadaan myös helpommin seuraavan lauseen avulla:

Lause 34.1. Jos yhtälö F(x, y) = c määrittää implisiittifunktion y(x) tie-tyssä pisteessä, niin tämän funktio derivaatta y′(x) saadaan kaavasta

y′(x) = −∂F(x, y)/∂x∂F(x, y)/∂y

.

Voit tarkistaa, että vaikkapa esimerkin 34.2 tulos noudattaa tätä kaavaa.

Nyt siis tiedämme, että yhtälö x2[y(x)]5 + 5xy(x) = 14 määrittää pistees-sä (2, 1) implisiittifunktio y(x), jonka derivaatta tässä pisteessä on −3/10.Näiden kahden tiedon perusteella voimme muodostaa tälle implisiitti-funktiolle y(x) tangenttisuoran yhtälön. Palautetaan mieliin, että funk-tion y(x) pisteeseen (x0, y0) piirretyn tangenttisuoran yhtälö on

y− y0 = y′(x)(x− x0).

Täten funktion y(x) pisteeseen (2, 1) muodostetun tangenttisuoran yhtälöon

y− 1 = − 310

(x− 2) ⇐⇒ y = − 310

x +85

.

Tässä siis huomataan, että vaikka emme muodostaneet yhtälön x2[y(x)]5 +5xy(x) = 14 määrittämän implisiittifunktion y(x) lauseketta, pystyim-me muodostamaan tämän lausekkeen tangenttisuoran yhtälön pisteeseen

105

(2, 1).

Tarkastellaan seuraavaksi kolmen muuttujan yhtälöstä F(x, y, z) = c saa-tavaa implisiittifunktiota, jossa muuttuja z ratkaistaan muuttujien x ja ysuhteen. Tällainen implisiittifunktio z(x, y) on olemassa pisteen (x0, y0, z0)ympäristössä, mikäli tämä piste toteuttaa annetun yhtälön eli F(x0, y0, z0) =c ja mikäli ∂F(x, y, z)/∂z 6= 0 pisteessä (x0, y0, z0).

Nyt saatua implisiittifunktio z(x, y) voi osittaisderivoida muuttujien x jay suhteen. Nämä derivaatat saadaan helposti seuraavista kaavoista7:

∂z(x, y)∂x

= −∂F(x, y, z)/∂x∂F(x, y, z)/∂z

∂z(x, y)∂y

= −∂F(x, y, z)/∂y∂F(x, y, z)/∂z

.

Esimerkki 34.3. Yhtälö x2y + y2z + z2x = 3 määrittää implisiittifunktionz(x, y) pisteen (1, 1, 1) ympäristössä, sillä tämä piste toteuttaa kyseisenyhtälön ja tämän yhtälön vasemman puolen derivaatta muuttujan z suh-teen on y2 + 2zx, joka saa arvon 3 6= 0 pisteessä (1, 1, 1). Yllä esitellylläkaavalla voimme nyt laskea tämän implisiittifunktion osittaisderivaatat:

∂z(x, y)∂x

= −∂F(x, y, z)/∂x∂F(x, y, z)/∂z

= −2xy + z2

y2 + 2zx= −3

3= −1

∂z(x, y)∂y

= −∂F(x, y, z)/∂y∂F(x, y, z)/∂z

= −x2 + 2yzy2 + 2zx

= −33= −1.

7Joskus näitä derivaattoja merkitään seuraavasti:

∂z(x, y)∂x

= D1z(x, y)

∂z(x, y)∂y

= D2z(x, y).

106

35 Neliömuodot

Tarkastellaan nyt funktiota Q(x, y) = x2 + 4xy + y2. Tämä on kahdenmuuttujan funktio, joka on esimerkki neliömuodosta. Tällainen kahdenmuuttujan neliömuoto on funktio Q(x, y) = ax2 + bxy + cy2. Kolmenmuuttujan neliömuoto on puolestaan funktio Q(x, y, z) = a1x2 + a2y2 +a3z2 + a4xy + a5xz + a6yz. Tällainen kolmen muuttujan neliömuoto siissisältää kaikki muuttujien x, y ja z sellaiset tulot, joissa on kaksi termiä.Vastaavasti kahden muuttujan neliömuoto sisältää kaikki muuttujien x jay ja sellaiset tulot, joissa on kaksi termiä. Huomataan siis, että neliömuo-dossa on korkeintaan toisen potenssin termejä, eikä siinä ole vakioterme-jä.

Neliömuoto Q(x, y) = x2 + 4xy + y2 voidaan esittää seuraavanlaisessamatriisimuodossa

x2 + 4xy + y2 =[

x y] [ 1 2

2 1

] [xy

].

Tämä nähdään kertomalla yllä oleva matriisi auki8:

[x y

] [ 1 22 1

] [xy

]=[

x y] [ 1 · x + 2 · y

2 · x + 1 · y

]= x(1 · x + 2 · y) + y(2 · x + 1 · y)= x2 + 2xy + 2yx + y2

= x2 + 4xy + y2.

Tämä matriisiesitys on siis yksi tapa esittää neliömuoto Q(x, y). Tämänmatriisiesityksen hyöty paljastuu hieman myöhemmin, mutta nyt tarkas-tellaan kuinka mikä tahansa kahden muuttujan neliömuoto voidaan esit-tää tällaisessa matriisimuodossa.

Ensinnä huomataan, että kahden muuttujan neliömuoto Q(x, y) on ainamuotoa ax2 + bxy + cy2. Nyt haluamme esittää tämän matriisimuodossaeli muodossa

ax2 + bxy + cy2 =[

x y] [ a11 a12

a21 a22

] [xy

].

8Tämän ymmärtämiseksi pitää osata kertoa matriiseja. Matriisien A ja B tulon ABij:s alkio on matriisin A i:nnen rivin ja matriisin B j:nnen sarakkeen pistetulo.

107

Jotta tämä matriisiesitys olisi uniikki, vaadimme lisäksi että a12 = a21,jolloin voimme merkitä

ax2 + bxy + cy2 =[

x y] [ a11 a12

a12 a22

] [xy

].

Nyt voimme kertoa tämän yhtälön oikean puolen auki, jolloin saammeseuraavat tulokset:

a11 = aa12 = b/2a22 = c

Toisin sanottuna neliömuodon Q(x, y) = ax2 + bxy + xy2 matriisiesityson seuraava:

ax2 + bxy + cy2 =[

x y] [ a b/2

b/2 c

] [xy

].

Esimerkki 35.1. Neliömuodon Q(x, y) = 10x2 − 5xy + 3y2 matriisiesityson [

x y] [ 10 −5/2−5/2 3

] [xy

].

Esimerkki 35.2. Neliömuodon Q(x, y) = x2 + y2 matriisiesitys on[x y

] [ 1 00 1

] [xy

].

Vastaavasti kolmen muuttujan neliömuoto

Q(x, y, z) = a1x2 + a2y2 + a3z2 + a4xy + a5xz + a6yz

voidaan esittää matriisimuodossa[x y z

] a1 a4/2 a5/2a4/2 a2 a6/2a5/2 a6/2 a3

xyz

.

Tämäkin tulos voidaan osoittaa kertomalla matriisi auki. Huomaa erityi-sesti, että yllä oleva matriisi on symmetrinen ja että sen päädiagonaaliltalöytyvät termien x2, y2 ja z2 kertoimet.

Esimerkki 35.3. Kolmen muuttujan neliömuoto

Q(x, y, z) = 10x2 + 2y2 + z2 + 2xz

voidaan esittää matriisimuodossa[x y z

] 10 0 10 2 01 0 1

xyz

.

108

36 Neliömuotojen definiittisyys

Nyt kun osaamme esittää neliömuodon matriisien tulona, voimme alkaatarkastella näiden neliömuotojen ominaisuuksia. Merkitään aluksi neliö-muotoa Q(x, y) = ax2 + bxy + cy2 matriisimuodossa[

x y]

A[

xy

],

jossa A on matriisi[

a b/2b/2 c

].

Lisäksi huomataan, että neliömuoto saa aina arvon 0, kun (x, y) = 0 eliQ(0, 0) = a02 + b0 · 0 + c02 = 0. Nyt voimme määritellä neliömuodondefiniittisyyden. Neliömuoto Q(x, y) = ax2 + bxy + cy2 on positiivises-ti definiitti, jos Q(x, y) > 0 aina kun (x, y) 6= 0. Tällöin merkitsemmeA > 0. Neliömuoto on siis positiivisesti definiitti, mikäli se saa aina po-sitiivisia arvoja, kun (x, y) 6= 0. Täten esimerkiksi neliömuoto x2 + y2 onpositiivisesti definiitti. Koska tämän neliömuodon matriisiesitys on[

x y] [ 1 0

0 1

] [xy

],

niin voimme merkitä A =

[1 00 1

]> 0, mikä tarkoittaa että matriisi A on

positiivisesti definiitti. On siis yhtäpitävää, että neliömuoto Q ja sitä vastaa-va matriisi A ovat positiivisesti definiittejä.

Neliömuoto on puolestaan negatiivisesti definiitti, jos Q(x, y) < 0 ai-na kun (x, y) 6= (0, 0). Negatiivisesti definiitti neliömuoto siis saa ni-mensä mukaisesta aina negatiivisia arvoja (kun (x, y) 6= 0). Esimerkiksineliömuoto −x2 − 2y2 on negatiivisesti definiitti. Täten voimme merkitä

A =

[−1 0

0 −2

]< 0.

Neliömuoto on positiivisesti semidefiniitti, mikäli Q(x, y) ≥ 0 pätee kai-killa lukupareilla (x, y). Tällöin merkitään A ≥ 0. Esimerkiksi neliömuotoQ(x, y) = x2 + 2xy + y2 = (x + y)2 ≥ 0 on positiivisesti semidefiniitti. Seei kuitenkaan ole positiivisesti definiitti (se on ainoastaan semidefiniitti),koska esimerkiksi Q(1,−1) = 0, vaikka (1,−1) 6= (0, 0). Koska tämänneliömuodon matriisiesitys on[

x y] [ 1 1

1 1

] [xy

],

109

niin voimme merkitä[

1 11 1

]≥ 0. Huomaa, että positiivisesti definiit-

ti neliömuoto on yllä olevan määritelmän nojalla aina myös positiivisestisemidefiniitti.

Neliömuoto on puolestaan negatiivisesti semidefiniitti, mikäli Q(x, y) ≤0 pätee kaikilla lukupareilla (x, y). Tällöin merkitään A ≤ 0. EsimerkiksiQ(x, y) = −x2− 2xy− y2 = −(x+ y)2 ≤ 0 on negatiivisesti semidefiniitti.Täten

A =

[−1 −1−1 −1

]≤ 0.

Jos neliömuoto ei ole positiivisesti eikä negatiivisesti definiitti tai semide-finiitti, niin se on indefiniittti. Täten esimerkiksi neliömuoto

Q(x, y) = xy =[

x y] [ 0 1/2

1/2 0

] [xy

]on indefiniitti. Tämä nähdään esimerkiksi siitä, että Q(1, 1) = 1 > 0, mut-ta Q(−1, 1) = −1 < 0. Neliömuoto on siis indefiniitti, mikäli se saa sekäpositiivisia että negatiivisia arvoja.

Jos neliömuoto Q(x, y) on positiivisesti definiitti eli Q(x, y) > 0, niin ker-tomalla tämä epäyhtälö puolittain −1:llä saadaan, että −Q(x, y) < 0 elijos Q(x, y) on positiivisesti definiitti, niin −Q(x, y) on negatiivisesti definiit-ti. Samalla tavalla nähdään, että jos Q(x, y) on positiivisesti semidefiniittiniin −Q(x, y) on negatiivisesti semidefiniitti.

Kolmen muuttujan neliömuodon definiittisyys määritellään täsmälleenvastaavalla tavalla. Esimerkiksi Q(x, y, z) = x2 + y2 + z2 on positiivisestidefiniitti eli

A =

1 0 00 1 00 0 1

> 0.

Hyödyllinen tapa tarkistaa onko neliömuoto Q (tai yhtäpitävästi sitä vas-taava matriisi A) positiivisesti definiitti esitetään seuraavassa tuloksessa.

Neliömuoto Q(x, y) =[

x y] [ a11 a12

a12 a22

] [xy

]on positiivisesti defi-

niitti, jos ja vain jos

a11 > 0 ja∣∣∣∣ a11 a12

a12 a22

∣∣∣∣ > 0.

110

Esimerkki 36.1. Tarkastellaan neliömuotoa Q(x, y) = x2 + xy+ y2. Tämänmatriisiesitys on [

x y] [ 1 1/2

1/2 1

] [xy

].

Täten selvästi a11 = 1 > 0. Vastaavasti:∣∣∣∣ 1 1/21/2 1

∣∣∣∣ = 1− 1/4 = 3/4 > 0,

joten neliömuoto Q(x, y) = x2 + xy + y2 on positiivisesti definiitti. Yhtä-

pitävästi voidaan sanoa, että matriisi[

1 1/21/2 1

]on positiivisesti defi-

niitti.

Kolmen muuttujan neliömuoto

[x y z

] a11 a12 a13a12 a22 a23a13 a23 a33

xyz

on puolestaan positiivisesti definiitti, mikäli pätee

a11 > 0 ja∣∣∣∣ a11 a12

a12 a22

∣∣∣∣ > 0 ja

∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a12 a22 a23a13 a23 a33

∣∣∣∣∣∣ > 0.

Esimerkki 36.2. Tarkastellaan kolmen muuttujan neliömuotoa Q(x, y, z) =x2 + y2 + z2 + xy + xz + yz. Tämän matriisiesitys on

[x y z

] 1 1/2 1/21/2 1 1/21/2 1/2 1

xyz

.

Tälle matriisille pätee selvästi a11 > 0. Lisäksi∣∣∣∣ a11 a12a12 a22

∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ 1 1/21/2 1

∣∣∣∣ = 1− 1/4 = 3/4 > 0.

Kolmas neliömuodon definiittisyyden tarkistamiseen vaadittava determi-nantti on puolestaan∣∣∣∣∣∣

1 1/2 1/21/2 1 1/21/2 1/2 1

∣∣∣∣∣∣ = 1∣∣∣∣ 1 1/2

1/2 1

∣∣∣∣− 1/2∣∣∣∣ 1/2 1/2

1/2 1

∣∣∣∣+ 1/2∣∣∣∣ 1/2 1/2

1 1/2

∣∣∣∣= 3/4− 1/8− 1/8= 3/4− 1/4= 1/2 > 0.

111

Täten kaikki yllä lasketut determinantin on positiivisia, joten neliömuo-to Q(x, y, z) = x2 + y2 + z2 + xy + xz + yz on positiivisesti definiitti eliQ(x, y, z) > 0 aina kun (x, y, z) 6= 0.

Neliömuoto Q(x, y, z) on vastaavasti negatiivisesti definiitti, mikäli pätee

a11 < 0 ja∣∣∣∣ a11 a12

a12 a22

∣∣∣∣ > 0 ja

∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a12 a22 a23a13 a23 a33

∣∣∣∣∣∣ < 0,

eli mikäli yllä olevien determinanttien etumerkki vuorottelee.

37 Konveksius ja konkaavius

Muutetaan tässä vaiheessa hieman notaatiota. Aiemmin x ja y olivat reaa-lilukuja, nyt lihavoiduilla kirjaimilla merkitään vektoreja: x = (x1, . . . , xn)ja y = (y1, . . . , yn). Nyt siis x ja y ovat vektoreja.

Tarkastellaan alla yksinkertaisuuden vuoksi vektoreja, joissa on kaksi kom-ponenttia: x = (x1, x2) ja y = (y1, y2). Kaikki alla esiteltävät määritelmätyleistyvät helposti useampiulotteisiin vektoreihin.

Vektoreista x = (x1, x2) ja y = (y1, y2) voidaan muodostaa näiden kombi-naatio tx+(1− t)y = (tx1 +(1− t)y1, tx2 +(1− t)y2), jossa 0 ≤ t ≤ 1. Tä-mä on siis vektorien x ja y painotettu keskiarvo. Jos esimerkiksi t = 2/3,niin tällainen kombinaatio saa arvon

23

x +13

y =

(23

x1 +13

y1,23

x2 +23

y2

).

Näiden kombinaatioiden avulla on mahdollista määrittää funktion f kon-kaavius ja konveksisuus. Funktio f on konveksi, jos pätee

f (tx + (1− t)y) ≤ t f (x) + (1− t) f (y) elif (tx1 + (1− t)y1, tx2 + (1− t)y2) ≤ t f (x1, x2) + (1− t) f (y1, y2).(37.4)

Konveksius tarkoittaa siis, että funktion f arvo vektorien x ja y ”välissä”eli pisteessä tx + (1− t)y on pienempi tai yhtä suuri kuin arvojen f (x) jaf (y) painotettu keskiarvo t f (x) + (1− t) f (y). Graafisesti konveksius tar-koittaa sitä, että funktio f on tangenttitasonsa yläpuolella.

112

Funktio f on puolestaan konkaavi, mikäli pätee

(37.5) f (tx + (1− t)y) ≥ t f (x) + (1− t) f (y)

eli mikä funktion f arvo pisteiden f arvo vektorien x ja y välissä on suu-rempi tai yhtä suuri kuin arvojen f (x) ja f (y) painotettu keskiarvo.

Jos yhtälöissä (37.4) ja (37.5) epäyhtälömerkit ′′ ≤′′ ja ′′ ≥′′ korvataantiukoilla epäyhtälöillä ′′ <′′ ja ′′ >′′ niin saadaan tiukan konveksisuudenja tiukan konkaaviuden määritelmät.

Esimerkki 37.1. Osoitetaan suoraan määritelmän avulla, että yhden muut-tujan itseisarvofunktio f (x) = |x| on konveksi. Kirjoitetaan aluksi, mitäkonveksius tarkoittaisi tämän funktion kohdalla: jos x ja y ovat reaalilu-kuja, niin se tarkoittaa että

f (tx + (1− t)y) ≤ t f (x) + (1− t) f (y) eli|tx + (1− t)y| ≤ t |x|+ (1− t) |y|

Tämän yllä olevan epäyhtälön voi itse asiassa osoittaa todeksi hyödyntä-mällä syksyn kurssilla käsiteltyä kolmioepäyhtälöä9

|a + b| ≤ |a|+ |b| .

Nyt kun tätä kolmioepäyhtälöä soveltaa lukuihin a = tx ja b = (1− t)y,niin saadaan

|tx + (1− t)y| ≤ |tx|+ |(1− t)y| = t |x|+ (1− t) |y| ,

mikä on juurikin haluttu tulos. Täten |x| on konveksi funktio.

Käytännössä konveksisuus/konkaavius on usein helpointa osoittaa Hes-sen matriisin definiittisyyden avulla. Palautetaan mieliin, että kahdenmuuttujan funktion f (x1, x2) tapauksessa Hessen matriisi H(x1, x2) saa-daan funktion f toisista osittaisderivaatoista:

H(x1, x2) =

[f11 f12f21 f22

].

Hessen matriisille pätevät seuraavat tulokset:

9Kolmioepäyhtälö pätee yleisemmin normeille, eli jos x ja y ∈ Rn, niin

‖x + y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖ .

113

1. Jos Hessen matriisi on positiivisesti semidefiniitti eli H ≥ 0, niinfunktio f on konveksi.

2. Jos Hessen matriisi on positiivisesti definiitti eli H > 0, niin funktiof on vahvasti konveksi.

3. Jos Hessen matriisi on negatiivisesti semidefiniitti eli H ≤ 0, niinfunktio f on konkaavi.

4. Jos Hessen matriisi on negatiivisesti definiitti eli H < 0, niin funktiof on vahvasti konkaavi.

Tässä tulee siis esiin matriisien definiittisyyden hyöty: funktion Hessenmatriisin definiittisyyden avulla voidaan päättää onko tämä funktio kon-veksi vaiko konkaavi.

Esimerkki 37.2. Osoitetaan, että funktio f (x1, x2) = x21 + x2

2 on vahvastikonveksi. Tämän funktion Hessen matriisi on

H =

[2 00 2

],

jolle pätee determinanttitulokset a11 = 2 > 0 ja∣∣∣∣ a11 a12a21 a22

∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ 2 00 2

∣∣∣∣ = 4 > 0.

Täten tämän funktion Hessen matriisi on positiivisesti definiitti ja tämäfunktio on vahvasti konveksi.

Yllä olevan esimerkin funktio oli siis vahvasti konveksi koko määritte-lyjoukossaan R2. Yleisesti ottaen jonkin funktion f Hessen matriisi voiosa positiivisesti definiitti vain tietyssä osajoukossa A ⊂ R2. Tällöin f onvahvasti konveksi tässä joukossa A.

38 Lokaalit ääriarvot

Yhden muuttujan funktion f (x) lokaali maksimi on piste x0, jossa f (x)on suurempi kuin muualle pisteen x0 ympäristössä, eli kun

f (x0) ≥ f (x).

Tässä määritelmässä x kuuluu välille, johon sisältyy piste x0 eli x ∈(x0 − ε, x0 + ε), jossa ε > 0.

114

Lokaali minimi määritellään vastaavalla tavalla, ainoastaan epäyhtälönsuunta muuttuu. Jos funktiolla f on pisteessä x0 joko lokaali maksimi tailokaali minimi, niin tällöin sanotaan että funktiolla f on pisteessä x0 lo-kaali ääriarvo. Jos funktio f on derivoituva, niin välttämätön ehto tämänfunktion lokaalille ääriarvolle on, että sen derivaatta tässä pisteessä onnolla eli

f ′(x0) = 0.

Puolestaan funktion f toinen derivaatta kertoo, onko tällä funktiolla ää-riarvopisteessä x0 lokaali maksimi, lokaali minimi vaiko kumpaakaan. Jospätee f ′(x0) = 0 ja f ′′(x0) < 0, niin funktio f on tässä pisteessä x0 aidostikonkaavi ja sillä on kyseisessä pisteessä lokaali maksimi. Jos puolestaanf ′(x0) = 0 ja f ′′(x0) > 0, niin kyseisessä pisteessä funktio on aidostikonveksi ja sillä on lokaali minimi. Jos puolestaan pätee f ′(x0) = 0 jaf ′′(x0) = 0, emme tiedä onko funktiolla tässä pisteessä lokaalia minimiä,lokaalia maksimia vaiko kumpaakaan.

Nyt etsimme kuitenkin useamman muuttujan funktioiden ääriarvoa. Ylläyhden muuttujan funktiolle esitellyillä ideoilla on kuitenkin selkeät vasti-neet usean muuttujan funktion ääriarvoja etsittäessä. Tarkastellaan aluksiyksinkertaisuuden vuoksi kahden muuttujan funktiota f (x, y). Tällaisellafunktiolla on lokaali maksimi pisteessä (x0, y0), mikäli funktio f saa täs-sä pisteessä suuremman (tai yhtä suuren) arvon, kuin tämän ympäristönpisteissä eli mikäli

f (x0, y0) ≥ f (x, y),

kun (x, y) kuuluu pisteen (x0, y0) ympäristöön. Tässä määritelmässä pis-teen (x0, y0) ympäristö on ympyrä, jolla on säde r ja jonka keskipiste on(x0, y0) eli voimme yhtäpitävästi sanoa, että yllä olevassa määritelmässäpiste (x, y) kuuluu joukkoon10.{

(x, y) :√(x− x0)2 + (y− y0)2 < r

}.

Täten kahden muuttujan funktiolla on pisteessä (x0, y0) lokaali ääriarvo,mikäli luku f (x0, y0) on suurempi kuin mikään luku f (x, y), kun (x, y)

10Tarkka määritelmä lokaalille maksimille on, että funktiolla f (x, y) on pisteessä(x0, y0) lokaali ääriarvo, mikäli on olemassa piste r siten että f (x0, y0) ≥ f (x, y), kun

(x, y) ∈{(x, y) :

√(x− x0)2 + (y− y0)2 < r

}.

115

kuuluu pisteen (x0, y0) ympäristöön.

Lokaali minimi määritellään vastaavalla tavalla. Lokaali ääriarvo tarkoit-taa edelleen joko lokaalia maksimia tai lokaalia minimiä. Jos funktio f (x, y)on differentioituva, niin välttämätön ehto lokaalille ääriarvolle on, ettäsen osittaisderivaatat ovat pisteessä (x0, y0) nollia eli

∂ f (x0, y0)

∂x= 0

∂ f (x0, y0)

∂y= 0.

Nämä ehdot eivät kuitenkaan takaa, että funktiolla f olisi tässä pisteessä(x0, y0) lokaalia ääriarvoa. Tämän ratkaisemiseksi tarvitaan toisen asteenehtoja. Yhden muuttujan funktiolle toisen asteen ehto maksimille pistees-sä x0 oli se, että tämä funktio f on kyseisessä pisteessä aidosti konkaavieli että f ′′(x0) < 0. Myös kahden muuttujan funktiolle pätee itse asias-sa täsmälleen sama konveksisuusehto: funktio f (x, y) saavuttaa pisteessä(x0, y0) lokaalin maksimin, mikäli pätee

∂ f (x0, y0)

∂x= 0

∂ f (x0, y0)

∂y= 0 ja

f (x, y) on pisteessä (x0, y0) aidosti konkaavi.

Täten voimme sanoa, että funktio f (x, y) saavuttaa pisteessä (x0, y0) lo-kaalin maksimin mikäli yllä olevat kolme ehtoa toteutuvat. Derivaattojennollakohdat on yleensä helppo ratkaista. Funktion f aito konkaavius puo-lestaan ratkeaa tämän funktion Hessen matriisin definiittisyydestä. Jos

H(x, y) =[

f11 f12f12 f22

]on negatiivisesti definiitti pisteessä (x0, y0), niin funktio f on aidosti kon-kaavi tässä pisteessä. Täten yllä esitetty ehto lokaalille maksimille saa-daan muotoon

∂ f (x0, y0)

∂x= 0

∂ f (x0, y0)

∂y= 0 ja

H(x, y) < 0 pisteessä (x0, y0).

116

Lisäksi viime viikolta muistetaan, että Hessen matriisi on negatiivisestidefiniitti silloin, kun pätee

f11 < 0 ja∣∣∣∣ f11 f12

f12 f22

∣∣∣∣ = f11 f22 − f 212 > 0.

Täten saadaan muodostettua laskemisen kannalta kaikkein hyödyllisim-mät ehdot kahden muuttujan funktion maksimille pisteessä (x0, y0):

∂ f (x0, y0)

∂x= 0

∂ f (x0, y0)

∂y= 0 ja

f11 < 0 ja∣∣∣∣ f11 f12

f12 f22

∣∣∣∣ > 0.

Vastaavasti funktio f (x, y) saavuttaa pisteessä (x0, y0) lokaalin minimin,mikäli pätee ∂ f (x0,y0)

∂x = 0, ∂ f (x0,y0)∂y = 0 ja f on pisteessä (x0, y0) aidosti

konveksi. Lisäksi muistetaan, että f on aidosti konveksi, mikäli sen Hes-sen matriisi on positiivisesti definiitti eli

H(x, y) =[

f11 f12f12 f22

]> 0

pisteessä (x0, y0). Tämä Hessen matriisi on pisteessä (x0, y0) positiivisestidefiniitti mikäli pätee

f11 > 0 ja∣∣∣∣ f11 f12

f12 f22

∣∣∣∣ = f11 f22 − f 212 > 0

pisteessä (x0, y0). Täten riittävä ehto differentioituvan funktion f (x, y) lo-kaalille minimille pisteessä (x0, y0) on

∂ f (x0, y0)

∂x= 0

∂ f (x0, y0)

∂y= 0 ja

f11 > 0 ja∣∣∣∣ f11 f12

f12 f22

∣∣∣∣ > 0.

Täten verrattuna lokaaliin maksimiin lokaalin minimin toisen asteen eh-don erottaa ainoastaan toisen derivaatan f11 etumerkki11.

11Itse asiassa koska f11 > 0 ja f11 f22 − f 212 > 0 ⇐⇒ f11 f22 > f 2

12 > 0, niin tästäseuraa myös, että f22 > 0. Vastaavasti maksimin saavuttavalla funktiolla pätee f11 < 0 jaf22 < 0.

117

Esimerkki 38.1. Etsitään funktion x2 + y2 − xy lokaalit ääriarvopisteet.Ensimmäisen asteen ehdot ovat

∂ f (x, y)∂x

= 2x− y = 0 ⇐⇒ 2x = y

∂ f (x, y)∂y

= 2y− x = 0 ⇐⇒ 2y = x.

Näistä seuraa, että ainoa mahdollinen lokaali ääriarvokohta on piste jos-sa yllä olevat ehdot toteutuvat eli piste (x0, y0) = (0, 0). Tämän ääriar-vopisteen laatu nähdään toisen asteen ehdoista. Tämän funktion Hessenmatriisi on

H(x, y) =[

f11 f12f12 f22

]=

[2 −1−1 2

].

Tälle pätee f11 = 2 > 0 ja f11 f22 − f 212 = 4− 1 = 3 > 0, joten piste (0, 0)

on tämän funktion lokaali minimi.

Esimerkki 38.2. Etsitään funktion (x − 1)2 + (y − 2)2 lokaalit ääriarvot.Suoraan määritelmästä nähdään, että tämän funktion globaali ja lokaaliminimi on pisteessä (1, 2). Osoitetaan tämä nyt myös yllä opitulla teknii-kalla. Ensinnä

(x− 1)2 + (y− 2)2 = x2 − 2x + 1 + y2 − 4y + 4 = x2 − 2x + y2 − 4y + 5.

Tämän ensimmäiset osittaisderivaatat ovat

∂ f (x, y)∂x

= 2x− 2 = 0 ⇐⇒ x = 1

∂ f (x, y)∂y

= 2y− 4 = 0 ⇐⇒ y = 2.

Täten piste (1, 2) toteuttaa nämä ensimmäisen asteen ehdot. Hessen mat-riisi on puolestaan

H(x, y) =[

f11 f12f12 f22

]=

[2 00 2

].

Tälle pätee selvästi f11 = 2 > 0 ja f11 f22 − f 212 = 4 > 0, joten piste (1, 2)

on tämän funktio lokaali (ja globaali) minimi.

On syytä huomata, että näiden kahden esimerkin funktioilla ei ole ollen-kaan globaalia maksimia. Tämä johtuu siitä, että f (x, y)→ ∞, kun x → ∞tai y→ ∞ eli nämä funktiot saavat mielivaltaisen suuria arvoja.

118

Esitetään vielä ehdot kolmen muuttujan funktion f (x, y, z) maksimille.Ensimmäisen asteen ehto on edelleen, että funktion ensimmäiset osittais-derivaatat ovat nollia. Lisäksi vaadimme, että funktio f (x, y, z) on ääriar-vopisteessä (x0, y0, y0) aidosti konkaavi. Täten ehdot lokaalille maksimilleovat:

∂ f (x0, y0, z0)

∂x= 0

∂ f (x0, y0, z0)

∂y= 0

∂ f (x0, y0, z0)

∂z= 0 ja

f11 < 0 ja∣∣∣∣ f11 f12

f12 f22

∣∣∣∣ > 0 ja

∣∣∣∣∣∣f11 f12 f13f12 f22 f23f13 f23 f33

∣∣∣∣∣∣ < 0.

Vastaavasti ehto lokaalille minimille on, että funktio f (x, y, z) on ääriar-vopisteessä (x0, y0, y0) aidosti konveksi. Täten ehdot lokaalille minimilleovat:

∂ f (x0, y0, z0)

∂x= 0

∂ f (x0, y0, z0)

∂y= 0

∂ f (x0, y0, z0)

∂z= 0 ja

f11 > 0 ja∣∣∣∣ f11 f12

f12 f22

∣∣∣∣ > 0 ja

∣∣∣∣∣∣f11 f12 f13f12 f22 f23f13 f23 f33

∣∣∣∣∣∣ > 0.

39 Ääriarvon laskeminen joukossa

Tarkastellaan kahden muuttujan funktiota f (x, y). Haluamme nyt laskeatämän funktion suurimman ja pienimmän arvon, kun (x, y) kuuluu jo-honkin joukkoon A eli (x, y) ∈ A. Jotta funktiolla f varmasti olisi joukos-sa A suurin ja pienin arvo, pitää olettaa ensinnä että f on jatkuva funktioja toisaalta että A on kompakti joukko.

Joukko A ∈ Rn on kompakti, jos se on suljettu ja rajoitettu. Esimerkkikompaktista joukosta on

A = {(x, y) : −1 ≤ x ≤ 1,−1 ≤ y ≤ 1}.

119

Tämä joukko on suljettu, koska se sisältää reunansa eli pisteet, joissax = −1, x = 1, y = −1 tai y = 1. Se on rajoitettu, koska x ja y ovataina tietyllä äärellisellä alueella. Täten se on suljettu ja rajoitettu eli kom-pakti12.

Tutkitaan funktiota f (x, y) = xy. Tämä funktio saavuttaa sekä maksiminettä minimin yllä määritellyssä joukossa A = {(x, y) : −1 ≤ x ≤ 1,−1 ≤x ≤ 1}, koska joukko A on kompakti. Tämän funktion maksimi ja minimijoukossa A voivat löytyä kahdesta eri paikkaa:

1. Ääriarvot voivat olla joukon A sisäpisteissä. Tällaisessa ääriarvopis-teessä on pädettävä, että ∂ f (x, y)/∂x = 0 ja ∂ f (x, y)/∂y = 0.

2. Ääriarvot voivat olla joukon A reunalla eli pisteissä, joissa x =−1, x = 1, y = −1 tai y = 1.

Etsitään aluksi mahdolliset ääriarvot joukon A sisäpisteissä. Ensimmäisenasteen ehdoista saamme mahdolliset lokaalit ääriarvot:

∂ f (x, y)∂x

= y = 0

∂ f (x, y)∂y

= x = 0.

Täten piste (0, 0) (joka on myös joukon A reunalla) on funktion f mah-dollinen ääriarvo. Tässä pisteessä f (0, 0) = 0. Tämä piste ei kuitenkaanole edes lokaali ääriarvo. Tämä nähdään siitä, että jokaisessa pisteen (0, 0)ympäristössä funktio f saa toisaalta arvoja, jotka ovat yli nollan (esimer-kiksi kun x > 0 ja y > 0) ja toisaalta arvoja, jotka ovat alle nollan (esimer-kiksi kun x > 0 ja y < 0). Täten (0, 0) ei ainakaan ole funktion f maksimieikä minimi joukossa A.

Koska joukko A on kompakti joukko, niin funktio f kuitenkin pakollasaavuttaa minimin ja maksimin tässä joukossa. Koska ääriarvoja ei löyty-nyt osittaisderivaattojen nollakohdista, on näiden ääriarvojen pakko löy-tyä tämän joukon reunalta. Tarkastellaan aluksi reunaa, jossa x = 1. Täl-löin funktio saa arvon f (1, y) = y, joka on minimissään pisteessä y = −1ja maksimissaan pisteessä y = 1. Vastaavasti voidaan tarkastella reunaa

12Topologiassa joukko A on kompakti, jos jokaisella tämän joukon avoimella peitteelläon äärellinen alipeite. Se että joukko on suljettu ja rajoitettu on yhtäpitävää kompaktiu-den kanssa, kun joukko A kuuluu joukkoon Rn. Tämä yhtäpitävyys ei kuitenkaan pädevälttämättä esimerkiksi jos A ⊂ Q.

120

f (x, 1) = x, jolla funktio on suurimmillaan kun x = 1 ja pienimmilläänkun x = −1. Reunalla x = −1 funktio f (−1, y) = −y saavuttaa maksi-min pisteessä (−1,−1) ja minimin pisteessä (−1, 1). Vastaavasti reunallay = −1 funktio f (x,−1) = −x saavuttaa maksimin pisteessä (−1,−1) jaminimin pisteessä (1,−1).

Yllä tehdyistä reunatarkistuksista voidaan päätellä, että funktio f saavut-taa maksiminsa joukossa A, kun (x, y) = (1, 1) tai kun (x, y) = (−1,−1)ja miniminsä kun (x, y) = (1,−1) tai kun (x, y) = (−1, 1).

40 Rajoitetun ääriarvon laskeminen Lagrangenmenetelmällä

Tähän mennessä olemme esittäneet, että jatkuvan funktion f ääriarvotkompaktissa joukossa A löytyvät tarkastelemalla ensinnä tämän joukonsisäpisteistä löytyviä mahdollisia osittaisderivaattojen nollakohtia ja toi-saalta joukon A reunaa. Nyt pyrimme löytämään jonkin funktion f (x, y)ääriarvon tietyllä rajoitteella. Tällainen rajoite voi olla vaikkapa ehto x +y = 1. Merkitään rajoitetta yleisesti g(x, y) = c, josa c on jokin vakio.

Funktion f (x, y) voi usein optimoida rajoitteella g(x, y) = c käyttäen La-grangen menetelmää. Tämän menetelmän ideana on muodostaa Lagran-gen funktio

L(x, y; λ) = f (x, y) + λ(c− g(x, y)),

jota derivoimalla voidaan löytää funktion f (x, y) ääriarvot ehdolla g(x, y) =c. Ideana on derivoida tätä funktiota aluksi x:n ja y:n suhteen ja asettaaderivaatat nolliksi, jolloin muodostuu yhtälöpari. Lopuksi tämän yhtälö-parin ratkaisu pitää sijoittaa rajoitteeseen g(x, y) = c.

Esimerkki 40.1. Etsitään funktion f (x, y) = xy ääriarvot ehdolla x2 +y2 = 4. Tässä siis rajoitefunktio on g(x, y) = x2 + y2 ja c = 4. Lagrangenfunktio on täten

L(x, y; λ) = xy + λ(4− x2 − y2).

Derivoidaan tämä x:n ja y:n suhteen:

∂L(x, y; λ)

∂x= y− λ · 2x = 0

∂L(x, y; λ)

∂y= x− λ · 2y = 0

121

Tästä yhtälöryhmästä saadaan ratkaistua ehto y/2x = x/2y ⇐⇒ y2 =x2. Kun tämä ehto sijoitetaan rajoitteeseen x2 + y2 = 4, saadaan x2 =2 ⇐⇒ x = ±2. Koska ääriarvopisteissä pätee y2 = x2, mahdollisiaääriarvopisteitä ovat pisteet (x, y) = (±2,±2). Näistä pisteistä funktiof (x, y) = xy saa maksimiarvonsa pisteissä (x, y) = (2, 2) ja (x, y) =(−2,−2). Minimiarvonsa se saavuttaa pisteissä (x, y) = (−2, 2) ja (x, y) =(2,−2)

Esimerkki 40.2. Etsi Lagrangen menetelmällä alaltaan suurin suorakul-mio, jonka ympärysmitta on a.

Ratkaisu. Tarkastellaan suorakulmiota, jonka sivut ovat pituudeltaan xja y. Tämän suorakulmion ala on tällöin xy. Tämän suorakulmion ympä-rysmitta on 2x + 2y. Täten rajoitteena on ehto 2x + 2y = a. Lagrangenfunktio on tällöin

L(x, y; λ) = xy + λ(a− 2x− 2y).

Kun tämä derivoidaan x:n ja y:n suhteen, saadaan ehdot

∂L(x, y; λ)

∂x= y− 2λ = 0

∂L(x, y; λ)

∂y= x− 2λ = 0.

Tästä puolestaan saadaan ehto x = y. Kun tämä sijoitetaan rajoitteeseen,saadaan tulos x = y = a/4. Täten suurin suorakulmio, jonka ympärys-mitta on a, on neliö jonka sivun pituus on a/4.

Esimerkki 40.3. Etsitään Lagrangen menetelmällä suoran y = x + 1 sepiste, joka on lähimpänä origoa. Ensinnä pitää pohtia, että mitä funktiotatässä optimoidaan. Huomataan, että tässä etsitään pisteen (x, y) pienin-tä etäisyyttä origosta, kun tämä piste (x, y) toteuttaa ehdon y = x + 1.Palautetaan mieliin, että pisteen (x, y) etäisyys origosta on√

x2 + y2.

Nyt ongelma on siis minimoida funktio√

x2 + y2 ehdolla y = x + 1.Yhtäpitävästi voimme kuitenkin minimoida funktion x2 + y2 ehdolla y =

x + 1, koska funktio x2 + y2 on funktion√

x2 + y2 kasvava muunnos.Täten saamme Lagrangen funktion

L(x, y; λ) = x2 + y2 + λ(y− x− 1).

122

Tämän ensimmäiset derivaatat x:n ja y:n suhteen ovat

∂L(x, y; λ)

∂x= 2x− λ = 0

∂L(x, y; λ)

∂y= 2y + λ = 0

Tästä yhtälöparista saadaan ratkaistua ehto x = −y. Kun tämä ehtopuolestaan sijoitetaan rajoitteeseen y = x + 1, saadaan optimikohdaksi(x, y) = (−1/2, 1/2). Jos piirrät suoran y = x + 1 koordinaatistoon, huo-maan heti että tämä piste on se piste, jossa suoran y = x + 1 etäisyysorigosta on pienimmillään.

41 Differentiaaliyhtälöt

Olkoon y = f (x) jokin yhden muuttujan funktio. Merkitään tämän funk-tion ensimmäistä derivaattaa y′ = f ′(x). Puolestaan y′′ = f ′′(x) on tämänfunktion toinen derivaatta ja tämän funktion n:ttä derivaattaa merkitääny(n) = f (n)(x). Differentiaaliyhtälö on yhtälö, joka sisältää funktion yderivaattoja. Esimerkki tällaisesta differentiaaliyhtälöstä on

(41.6) y′ = y.

Tämän yhtälön voi ratkaista helposti. On jo ennestään tiedossa, että funk-tio y = ex toteuttaa tämän yhtälön, koska y′ = d

dx ex = ex = y. Ratkais-taan tämä differentiaaliyhtälö kuitenkin integroimalla, sillä tällä tavallanäemme miten differentiaaliyhtälöitä usein ratkaistaan. Merkitään aluksifunktion y argumentti x näkyviin, jolloin yhtälö (41.6) saadaan muotoon

y′(x) = y(x).

Nyt tämä yhtälö on yhtäpitävä yhtälön y′(x)/y(x) = 1 kanssa13. Integroi-daan tämä yhtälö:

y′(x)y(x)

= 1

ln y(x) = x + C

y(x) = ex+C

y(x) = exeC

y(x) = C1ex ∣∣ C1 = eC

13Tämä pätee, jos y(x) 6= 0. Itse asiassa y(x) = 0 toteuttaa myös differentiaaliyhtälöny′ = y.

123

Täten differentiaaliyhtälön y′ = y ratkaisu y(x) = C1ex saatiin helpostimyös integroimalla.

Differentiaaliyhtälö y′ = y on esimerkki ensimmäisen kertaluvun diffe-rentiaaliyhtälöstä. Tämä tarkoittaa, että korkein y:n derivaatta mitä tämäyhtälö sisältää on y:n ensimmäinen derivaatta y′. Vastaavasti esimerkiksi

ay′′ + by = x2 ∣∣ a, b ∈ R

on esimerkki toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöstä.

Usein helppo tekniikka ratkaista differentiaaliyhtälö on merkitä y:n de-rivaattaa muodossa y′ = dy/dx ja kertoa differentiaaliyhtälön kumpikinpuoli dx:llä.

Esimerkki 41.1. Ratkaistaan differentiaaliyhtälö y′ = yx:

y′ = yxdydx

= yx

dyy

= xdx

ln y =12

x2 + C

y = e12 x2+C

y = C1e12 x2 ∣∣ C1 = eC.

42 Lineaariset differentiaaliyhtälöt

Yhtälöy′ + x2y = sin x

on esimerkki ensimmäisen kertaluvun lineaarisesta differentiaaliyhtälös-tä. Yleinen muoto ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälölle on

(42.7) y′ + p(x)y = q(x),

jossa p(x) ja q(x) ovat x:n funktioita. Nyt tämä yhtälö pitäisi muokatamuotoon, josta kumpikin puoli olisi helposti integroitavissa. Tämä muok-kaus tapahtuu kertomalla yhtälön (42.7) kumpikin puoli integroivalla

124

tekijällä. Tämä integroiva tekijä on ensimmäisen kertaluvun lineaarisendifferentiaaliyhtälön tapauksessa funktio

e∫

p(x)dx.

Tässä funktiota p(x) integroitaessa voi jättää integrointivakion pois. Tä-ten jos esimerkiksi p(x) = x2, niin e

∫p(x)dx = ex3/3.

Integroiva tekijä saadaan siis integroimalla funktio p(x) ja laittamalla syn-tynyt funktio eksponenttifunktion potenssiin. Seuraavaksi nähdään, mik-si tämä tekniikka toimii. Kerrotaan yhtälön y′ + p(x)y = q(x) kumpikinpuoli tällä integroivalla tekijällä e

∫p(x)dx:

y′ + p(x)y = q(x)∣∣ · e

∫p(x)dx

e∫

p(x)dxy′ + e∫

p(x)dx p(x)y = q(x)e∫

p(x)dx.(42.8)

Nyt tämän yhtälön vasen puoli on itse asiassa funktion ye∫

p(x)dx deri-vaatta. Tämä nähdään derivoimalla tämä yhtälö ye

∫p(x)dx derivoinnin tu-

losäännön avulla argumentin x suhteen:

ddx

(ye∫

p(x)dx)= y′e

∫p(x)dx + e

∫p(x)dx p(x)y.

Tämä on nyt sama kuin yhtälön (42.8) vasen puoli. Täten tämä differenti-aaliyhtälö voidaan muokata seuraavasti:

y′ + p(x)y = q(x)∣∣ · (e

∫p(x)dx)

e∫

p(x)dxy′ + e∫

p(x)dx p(x)y = q(x)e∫

p(x)dx

ddx

(ye∫

p(x)dx)= q(x)e

∫p(x)dx.

Tämän yhtälön ratkaisu saadaan integroimalla kumpikin puoli x:n suh-teen:

ddx

(ye∫

p(x)dx)= q(x)e

∫p(x)dx

ye∫

p(x)dx =∫

q(x)e∫

p(x)dx + C

y =

∫q(x)e

∫p(x)dx + C

e∫

p(x)dx

Käytännössä tätä kaavaa voi käyttää suoraan ensimmäisen asteen diffe-rentiaaliyhtälöä ratkaistaessa, mutta usein yllä esitetyt välivaiheet kan-nattaa toistaa.

125

Esimerkki 42.1. Rakaistaan yllä esitellyllä tekniikalla differentiaaliyhtälö

y′ + 2y = 1.

Tässä yhtälössä p(x) = 2, joten e∫

p(x)dx = e2x. Kerrotaan nyt tämän dif-ferentiaaliyhtälön kumpikin puoli tällä integroivalla tekijällä ja integroi-daan syntynyt lauseke:

y′ + 2y = 1

y′e2x + 2ye2x = e2x

ddx

(ye2x

)= e2x

ye2x =12

e2x + C

y =12+

Ce2x

=12+ Ce−2x.

Tässä esimerkissä integrointivakio C säilyi mukana loppuun asti. Integroin-tivakiosta päästään tarvittaessa eroon määrittelemällä funktiolle y(x) jo-kin alkuarvo. Jos vaikka määrittelisimme yllä olevan esimerkin differenti-aaliyhtälölle alkuarvon y(0) = 10, voitaisiin vakio C ratkaista seuraavasti:

y(0) = 1012+ Ce−2·0 = 10

C =192

.

Täten differentiaaliyhtälön y′ + 2y = 1 ratkaisu alkuarvolla y(0) = 10 on

y =12+

192

e−2x.

43 Toiseen välikokeeseen valmistavia tehtäviä

43.1 Useamman muuttujan raja-arvo ja jatkuvuus

Harjoitus 43.1. Osoita, että raja-arvoa lim(x,y)−→(0,0) 8x2/(x2 + y2) ei oleolemassa. Ratkaisu sivulla 138.

Harjoitus 43.2. Osoita, että lim(x,y)−→(0,0) y2/(x2 + y2) = 0. Ratkaisu si-vulla 139.

126

43.2 Suunnattu derivaatta ja tangenttitason yhtälö

Harjoitus 43.3. Laske funktion f (x, y) = x2y suunnattu derivaatta yksik-kövektorin (3/

√10, 1/

√10) suuntaan pisteessä (1, 2). Ratkaisu sivulla

139.

Harjoitus 43.4. Laske yhtälön x2yz + x2 = 2 tangenttitason yhtälö pis-teessä (x0, y0, z0) = (1, 1, 1). Ratkaisu sivulla 139.

43.3 Osittaisderivoinnin ketjusääntö

Harjoitus 43.5. Olkoon f (u, v) = uv2 + vu2, u = xy ja v = exy. Laske osit-taisderivaatat ∂ f (u, v)/∂x ja ∂ f (u, v)/∂y ketjusäännöllä. Ratkaisu sivulla140.

43.4 Implisiittinen derivointi

Harjoitus 43.6. Laske yhtälön x2y + y3x = 2 implisiittisesti määrittämänfunktion y(x) derivaatta y′(x) pisteessä (1, 1). Osoita, että tämä yhtälömäärittelee implisiittifunktion y(x). Ratkaisu sivulla 141.

43.5 Neliömuodot

Harjoitus 43.7. Osoita, että neliömuoto x2 − xy + y2 on positiivisesti de-finiitti. Ratkaisu sivulla 141.

43.6 Useamman muuttujan funktion optimointi

Harjoitus 43.8. Etsi funktion f (x, y) = 2x3 − 6xy + y3 lokaalit ääriarvot.Ratkaisu sivulla 141.

Harjoitus 43.9. Missä pisteessä suora y = 5x + 7 on lähimpänä origoa?Ratkaisu sivulla 142.

43.7 Differentiaaliyhtälöt

Harjoitus 43.10. Ratkaise differentiaaliyhtälö y′ = 2yx. Ratkaisu sivulla143.

Harjoitus 43.11. Ratkaise differentiaaliyhtälö y′ − 2yx = ex2. Ratkaisu

sivulla 143.

Harjoitus 43.12. Olkoon edellisessä tehtävässä alkuarvo y(0) = 1. Ratkai-se tämä alkuarvotehtävä. Ratkaisu sivulla 144.

127

A Ratkaisut ensimmäisen välikokeen harjoituk-siin

A.1 Osittaisintegrointia

Ratkaisu harjoitukseen 24.1 sivulla 79. Valitaan aluksi funktiot f (x) jag′(x) seuraavasti:

f (x) = x ⇒ f ′(x) = 1

g′(x) = e2x ⇒ g(x) =12

e2x.

Täten integrointi sujuu osittaisintegroinnilla seuraavasti:∫xe2xdx = x

12

e2x −∫ 1

2e2xdx

= x12

e2x − 14

e2x + C.

Ratkaisu harjoitukseen 24.2 sivulla 79. Valitaan funktiot f (x) ja g′(x)seuraavasti:

f (x) = ln x ⇒ f ′(x) =1x

g′(x) = x ⇒ g(x) =x2

2.

Nyt integrointi etenee seuraavasti:∫x ln xdx = ln x · x2

2−∫ x2

2

(1x

)dx

= ln x · x2

2−∫ x

2dx

= ln x · x2

2− x2

4+ C.

Ratkaisu harjoitukseen 24.4 sivulla 79. Valitaan tässä funktiot f (x) jag′(x) seuraavasti:

f (x) = (ln x)2 ⇒ f ′(x) =2 ln x

xg′(x) = 1 ⇒ g(x) = x.

128

Täten voimme käyttää osittaisintegroinnin kaavaa:∫(ln x)2 dx = (ln x)2 · x−

∫ (2 ln xx

)xdx

= (ln x)2 · x− 2∫

ln xdx + C1

Integraali∫

ln xdx laskettiin esimerkissä 2.3 sivulla 8. Tulos on∫

ln xdx =x ln x− x. Täten yllä oleva yhtälö saadaan muotoon:∫

(ln x)2 dx = (ln x)2 · x− 2∫

ln xdx + C1

= (ln x)2 · x− 2 (x ln x− x) + C.

Ratkaisu harjoitukseen 24.3 sivulla 79. Tämäkin ratkeaa osittaisintegroi-malla. Valitaan funktiot f (x) ja g′(x) seuraavasti:

f (x) = ex ⇒ f ′(x) = ex

g′(x) = sin x ⇒ g(x) = − cos x.

Nyt integrointi sujuu seuraavasti∫ex sin xdx = −ex cos x−

∫(− cos x)exdx

= −ex cos x +∫

cos x · exdx

Seuraavaksi integroidaan∫

cos x · exdx vastaavanlaisella osittaisintegroin-nilla: ∫

ex sin xdx = −ex cos x +∫

cos x · exdx

= −ex cos x +

(sin x · ex −

∫sin xexdx

)= −ex cos x + sin x · ex −

∫sin xexdx

Yhdistetään nyt yhtälön kummallakin puolella esiintyvät termit∫

sin xex:

2∫

ex sin xdx = −ex cos x + sin x · ex∫ex sin xdx =

12(−ex cos x + sin x · ex)

129

Tyyppiä∫

eax sin bxdx tai∫

eax cos bxdx olevat integraalit ratkeavat ainavastaavalla tekniikalla: osittaisintegroidaan kahteen kertaa ja yhdistetäänsamat termit.

∫(ln x)2 dx = (ln x)2 · x− 2

∫ln xdx

= (ln x)2 · x− 2 (x ln x− x) + C

Käyttämällä kaavaa∫ b

af (x)g′(x)dx =

∣∣∣∣ba( f (x)g(x))−

∫ b

af ′(x)g(x)dx

saamme laskettua arvon∫ 2

1 (ln x)2 dx:∫ 2

1(ln x)2 dx =

∣∣∣∣21

((ln x)2 · x

)−∣∣∣∣212 (x ln x− x)

=((ln 2)2 · 2− (ln 1)2 · 1

)− 2 ((2 ln 2− 2)− 2 (1 ln 1− 1))

= 2 · ln 22 − 2 (2 ln 2− 2)

Ratkaisu harjoitukseen 24.5 sivulla 79. Tämäkin ratkeaa osittaisintegroi-malla. Valitaan funktiot f (x) ja g′(x) seuraavasti:

f (x) = arctan x ⇒ f ′(x) =1

1 + x2

g′(x) = 1 ⇒ g(x) = x.

Nyt integrointi sujuu seuraavasti∫ 2

0arctan xdx =

∣∣∣∣20(x arctan x)−

∫ 2

0

(x

1 + x2

)dx

= (2 arctan 2)−∣∣∣∣20

(12

ln(1 + x2)

)= (2 arctan 2)− 1

2ln(5).

A.2 Osamurtohajotelmia

Ratkaisu harjoitukseen 24.6 sivulla 80. Kirjoitetaan aluksi osamäärä 1x2−x+2

seuraavassa muodossa:1

(x− 1)(x + 2).

130

Huomataan, että tällä on kaksi erillistä nollakohtaa. Täten tälle voi tehdäseuraavanlaisen osamurtohajotelman:

1(x− 1)(x + 2)

=A1

x− 1+

A2

x + 2.

Ratkaistaan tästä A1 ja A2:

1(x− 1)(x + 2)

=A1

x− 1+

A2

x + 2

=A1(x + 2) + A2(x− 1)

(x− 1)(x + 2)

=A1x + 2A1 + A2x− A2

(x− 1)(x + 2)

=(A1 + A2)x + (2A1 − A2)

(x− 1)(x + 2)

Laitetaan oikean ja vasemman puolen kertoimet yhtä suuriksi: saadaan

A1 + A2 = 02A1 − A2 = 1

Mistä saadaan ratkaistua A1 = 13 ja A2 = −1

3 . Täten integrointi sujuuseuraavasti:∫ 1

(x− 1)(x + 2)dx =

∫ 1/3x− 1

dx−∫ 1/3

x + 2dx

=13

ln |x− 1| − 13

ln |x + 2|+ C.

A.3 Sijoituskeino

Ratkaisu harjoitukseen 24.7 sivulla 80. Tehdään sijoitus t = x + 1 ⇐⇒x = t− 1. Täten dx = dt. Integroinnin raja x = 1 korvautuu rajalla t = 2

131

ja raja x = 2 korvautuu rajalla t = 3:∫ 2

1x√

x + 1dx =∫ 3

2(t− 1)

√tdt

=∫ 3

2(t3/2 − t1/2)dt

=

∣∣∣∣32

(25

t5/2 − 32

t3/2)

=

(25

35/2 − 32

33/2)−(

25

25/2 − 32

23/2)

=7√

25− 9√

310

.

Ratkaisu harjoitukseen 24.8 sivulla 80. Huomataan aluksi, että integraalivoidaan esittää muodossa ∫ 2

1

x4

1 + (x5)2 dx.

Tehdään sijoitus t = x5. Tällöin dt = 5x4dx, joten x4dx = 1/5dt ja in-tegroitavan lausekkeen nimittäjä x4dx voidaan esittää muodossa 1/5dt.

Lisäksi pitää muistaa muuntaa integroinnin rajat: kun x = 1, niin t = 5 jakun x = 2, niin t = 32. Täten integrointi onnistuu seuraavasti:

∫ 2

1

x4

1 + (x5)2 dx =∫ 32

1

1/5dt1 + t2

=

∣∣∣∣32

1

15

arctan t

=15(arctan 32− arctan 1) .

A.4 Tasointegraalit

Ratkaisu harjoitukseen 24.9 sivulla 81. Nyt tehtävän kolmio voidaanesittää alueena, jossa 0 ≤ x ≤ 3 ja 1

3 x ≤ y ≤ x. Täten integrointi su-

132

juu seuraavasti: ∫∫A

xydxdy =∫ 3

0

∫ x

13 x

xydydx

=∫ 3

0

∣∣∣∣x13 x

(12

xy2)

dx

=12

∫ 3

0x∣∣∣∣x

13 x

(y2)

dx

=12

∫ 3

0x

(x2 −

(13

x)2)

dx

=12

∫ 3

0

89

x3dx

=49

∫ 3

0x3dx

=49

∣∣∣∣30

14

x4

=19· 34

= 9.

Ratkaisu harjoitukseen 24.10 sivulla 81. Kun tämän kolmion piirtää,huomaa että sen voi esittää kahtena alueena: toinen alue on −2 ≤ y ≤ 0,−1

2 y ≤ x ≤ 1. Toinen on 0 ≤ y ≤ 2, 12 y ≤ x ≤ 1. Lasketaan nämä kaksi

133

integraalia erikseen:

∫ 0

−2

∫ 1

− 12 y

xydxdy =12

∫ 0

−2y∣∣∣∣1− 1

2 yx2dy

=12

∫ 0

−2y(

1 +12

y)

dy

=12

∫ 0

−2

(y +

12

y2)

dy

=12

∣∣∣∣0−2

(12

y2 +16

y3)

=12

(12

22 +16

23)

=12

(2 +

43

)=

53

.

ja jälkimmäinen integraali:

∫ 2

0

∫ 1

12 y

xydxdy =∫ 2

0y∣∣∣∣1

12 y

x2dy

=∫ 2

0y(

12

)dy

=∫ 2

0y(y

2

)= 2

Täten ∫∫A

xydxdy =53+ 2 =

113

.

A.5 Napakoordinaatit

Ratkaisu harjoitukseen 24.11 sivulla 81. Siirrytään napakoordinaattei-hin, eli tehdään muunnos x = r cos θ, y = r sin θ. Täten tunnetusti x2 +y2 = r2 ja koska x2 + y2 ≤ 4, niin r2 ≤ 4 eli 0 ≤ r ≤ 2.

Ehdot y ≥ 0 ja x ≥ 0 puolestaan määrittävät kulman θ rajat (piirrä kuva):0 ≤ θ ≤ π/2. Lisäksi pitää muistaa lisätä napakoordinaattimuunnoksen

134

Jakobin determinantti eli r mukaan:∫∫A(1)dxdy =

∫ π/2

0

∫ 2

0(r)drdθ

=∫ π/2

0

∣∣∣∣20

12

r2dθ

=∫ π/2

02dθ

=

∣∣∣∣π/2

02θ

= π.

Ratkaisu harjoitukseen 24.12 sivulla 81. Nyt integroinnin rajat ovat 2 ≤r ≤ 3 ja 0 ≤ θ ≤ π. Täten integrointi sujuu seuraavasti:∫∫

A(x2 + y2 + 1)dxdy =

∫ π

0

∫ 3

2(r2 + 1)rdrdθ

=∫ π

0

∫ 3

2

(r3 + r

)drdθ

=∫ π

0

∣∣∣∣32

(14

r4 +12

r2)

dθ

=∫ π

0

((14

34 +12

32)−(

14

24 +12

22))

dθ

=∫ π

0

(214

)dθ

=

∣∣∣∣π0

(214

)θ

=

(214

)π

A.6 Sylinterikoordinaatit

Ratkaisu harjoitukseen 24.13 sivulla 82. Tehdään sylinterimuunnos

x = r cos θ

y = r sin θ

z = z.

135

Tällöin integroitava lauseke saa muodon x2 + y2 + z2 = r2 + z2. Integroin-nin rajat ovat nyt 0 ≤ r ≤ 1, 2 ≤ z ≤ 3. Lisäksi Jakobin determinantti onr: ∫∫∫

A

(x2 + y2 + z2

)dxdydz =

∫ 3

2

∫ 2π

0

∫ 1

0

(r2 + z2

)rdrdθdz

=∫ 3

2

∫ 2π

0

∫ 1

0

(r3 + rz2

)drdθdz

=∫ 3

2

∫ 2π

0

∣∣∣∣10

(14

r4 + z2 · 12

r2)

dθdz

=∫ 3

2

∫ 2π

0

(14+

12

z2)

dθdz

=∫ 3

2

∣∣∣∣2π

0

(14+

12

z2)

θdz

=∫ 3

22π

(14+

12

z2)

dz

=

∣∣∣∣322π

(z4+

16

z3)

= 2π

((34+

33

6

)−(

24+

23

6

))=

41π

6.

Ratkaisu harjoitukseen 24.14 sivulla 82. Tehdään jälleen sylinterimuun-nos. Nyt r on edelleen välillä 0 ≤ r ≤ 1. Puolestaan muuttuja z on välillä0 ≤ z ≤ x2 + y2 eli 0 ≤ z ≤ r2. Ehto y ≥ 0 puolestaan pakottaa kulman θ

136

välille [0, π]. Täten integrointi sujuu seuraavasti:

∫∫∫A

(x2 + y2

)dxdydz =

∫ 1

0

∫ π

0

∫ r2

0

(r2 · r

)dzdθdr

=∫ 1

0

∫ π

0

∫ r2

0

(r3)

dzdθdr

=∫ 1

0

∫ π

0

∣∣∣∣r2

0

(r3z)

dθdr

=∫ 1

0

∫ π

0

(r5)

dθdr

=∫ 1

0

∣∣∣∣π0

(r5θ)

dr

=∫ 1

0

(π · r5

)dr

= π

∣∣∣∣10

(16

r6)

=π

6.

A.7 Pallokoordinaatit

Ratkaisu harjoitukseen 24.15 sivulla 83. Nyt integroinnin rajaksi saa-daan 4 ≤ r2 ≤ 25 eli 2 ≤ r ≤ 5. Kulmat θ ja ϕ taas saavat täydet asteensa:0 ≤ θ ≤ π ja 0 ≤ ϕ ≤ 2π. Lisäksi pitää muistaa, että pallokoordinaatti-

137

muunnoksen Jakobin determinantin itseisarvo on r2 sin θ. Täten:∫∫∫A(1)dxdydz =

∫ 2π

0

∫ π

0

∫ 5

2

(r2 sin θ

)drdθdϕ

=∫ 2π

0

∫ π

0

∣∣∣∣52

13

(r3 sin θ

)dθdϕ

=13

∫ 2π

0

∫ π

0(sin θ) (53 − 23)dθdϕ

=13

∫ 2π

0

∫ π

0(sin θ) (117)dθdϕ

=1173

∫ 2π

0

∣∣∣∣π0(− cos θ)dϕ

=1173

∫ 2π

0(− cos π + cos 0)dϕ

=1173

∫ 2π

0(2)dϕ

= 4π

(1173

)= π

(4683

).

B Ratkaisut toisen välikokeen harjoituksiin

B.1 Useamman muuttujan raja-arvo ja jatkuvuus

Ratkaisu harjoitukseen 43.1 sivulla 126. Lasketaan raja-arvo

lim(x,y)−→(0,0)

8x2/(x2 + y2),

kun (x, y) lähestyy origoa eri suoria pitkin. Kun (x, y) lähestyy origoasuoraa x = y pitkin, niin

lim(x,y)−→(0,0)

8x2

x2 + y2 = lim(x,y)−→(0,0)

8x2

x2 + x2

=8x2

2x2

= 4.

Eli tässä tapauksessa raja-arvo on 4. Jos taas tämä funktio lähestyy origoa

138

suoraa x = 0 pitkin, niin raja-arvo on nolla:

lim(x,y)−→(0,0)

8x2

x2 + y2 = lim(x,y)−→(0,0)

03

02 + y2

= 0.

Täten kun origoa lähestytään eri suoria pitkin, saadaan eri tuloksia. Tästäseuraa, että raja-arvoa lim(x,y)−→(0,0) 8x2/(x2 + y2) ei voi olla olemassa.

Ratkaisu harjoitukseen 43.2 sivulla 126. Tutkitaan erotusta∣∣y3/(x2 + y2)− 0

∣∣.Osoitetaan ensiksi, että tämä erotus on aina pienempi kuin |y|:∣∣∣∣ y3

x2 + y2 − 0∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ y3

x2 + y2

∣∣∣∣≤∣∣∣∣y3

y2

∣∣∣∣= |y| .

Lisäksi pätee, että |y| =√

y2 ≤√

x2 + y2, joten∣∣∣∣ y3

x2 + y2 − 0∣∣∣∣ ≤ √x2 + y2 −→ 0.

Tämä tarkoittaa, että kun (x, y) −→ (0, 0) niin y3/(x2 + y2) −→ 0. Toisinsanottuna

lim(x,y)−→(0,0)

y2

x2 + y2 = 0.

B.2 Suunnattu derivaatta ja tangenttitason yhtälö

Ratkaisu harjoitukseen 43.3 sivulla 127. Funktiolle f (x, y) = x2y pätee∂ f (x, y)/∂x = 2xy ja ∂ f (x, y)/∂y = x2. Tämän funktion derivaatta vekto-rin (3/

√10, 1/

√10) suuntaan on

∂ f (x, y)∂x

v1 +∂ f (x, y)

∂yv2 = 2xy

3√10

+ x2 1√10

.

Pisteessä (1, 2) tämä saa arvon 12/√

10 + 1/√

10 = 13/√

10.

Ratkaisu harjoitukseen 43.4 sivulla 127. Yhtälön f (x, y, z) = k pisteeseen(x0, y0, z0) piirretyn tangenttitason yhtälö saadaan kaavasta

∂ f (x0, y0, z0)

∂x(x− x0) +

∂ f (x0, y0, z0)

∂y(y− y0) +

∂ f (x0, y0, z0)

∂z(z− z0) = 0.

139

Lisäksi tehtävän yhtälöön pätee

∂ f (x0, y0, z0)

∂x= 2x0y0z0 + 2x0

∂ f (x0, y0, z0)

∂y= x2

0z0

∂ f (x0, y0, z0)

∂z= x2

0y0.

Täten tangenttitason yhtälö pisteessä (x0, y0, z0) = (1, 1, 1) on

∂ f (x0, y0, z0)

∂x(x− x0) +

∂ f (x0, y0, z0)

∂y(y− y0) +

∂ f (x0, y0, z0)

∂z(z− z0) = 0

(2x0y0z0 + 2x0)(x− x0) + (x20z0)(y− y0) + (x2

0y0)(z− z0) = 04(x− 1) + (y− 1) + (z− 1) = 0

z = 6− 4x− y.

B.3 Osittaisderivoinnin ketjusääntö

Ratkaisu harjoitukseen 43.5 sivulla 127. Merkitään jälleen alaindekseilläosittaisderivaattoja, jolloin esimerkiksi ∂ f (u, v)/∂x = fx ja ∂u/∂x = ux.Ketjusäännön mukaan

∂ f (u, v)∂x

= fuux + fvvx

=(

v2 + 2vu)

y +(

2uv + u2)

yexy

=((exy)2 + 2 (exy) (xy)

)y +

(2 (xy) (exy) + (xy)2

)yexy

=(

e2xy + 2exyxy)

y +(

2xyexy + x2y2)

yexy.

Vastaavalla laskulla saadaan ratkaistua fy:

∂ f (u, v)∂y

= fuuy + fvvy

=(

v2 + 2vu)

x +(

2uv + u2)

xexy

=((exy)2 + 2 (exy) (xy)

)x +

(2 (xy) (exy) + (xy)2

)xexy

=(

e2xy + 2exyxy)

x +(

2xyexy + x2y2)

xexy.

140

B.4 Implisiittinen derivointi

Ratkaisu harjoitukseen 43.6 sivulla 127. Yhtälö x2y + y3x = 2 määrittääimplisiittifunktion y(x) pisteessä (1, 1), koska ensinnä tämä piste toteut-taa tämän yhtälön (12 · 1 + 13 · 1 = 2) ja toisaalta ∂(x2y + y3x)/∂y ei olenolla tässä pisteessä. Tämän implisiittifunktion y(x) derivaatta y′(x) saa-daan kaavalla

y′(x) = −∂F(x, y)/∂x∂F(x, y)/∂y

.

Tässä tehtävässä F(x, y) = x2y + y3x, joten ∂F(x, y)/∂x = 2xy + y3 ja∂F(x, y)/∂y = x2 + 3y2x. Täten

y′(x) = − 2xy + y3

x2 + 3y2x= −3

4.

B.5 Neliömuodot

Ratkaisu harjoitukseen 43.7 sivulla 127. Lasketaan aluksi tämän neliö-muodon Hessen matriisi. Se on[

2 −1−1 2

].

Tälle matriisille pätee a11 = 2 > 0 ja∣∣∣∣ 2 −1−1 2

∣∣∣∣ = 4− 1 = 3 > 0.

Täten nämä determinantit kertovat, että tämä neliömuoto on positiivisestidefiniitti.

B.6 Useamman muuttujan funktion optimointi

Ratkaisu harjoitukseen 43.8 sivulla 127. Etsitään aluksi tämän funktionensimmäisten derivaattojen nollakohdat:

∂ f (x, y)∂x

= 6x2 − 6y = 0

∂ f (x, y)∂y

= −6x + 3y2 = 0.

141

Ensimmäisestä yhtälöstä saadaan x2 = y. Kun tämä sijoitetaan toiseenyhtälöön, saadaan

−6x + 3(x2)2 = 0

3x(−2 + x3) = 0

x = 0 tai x = 21/3.

Koska x2 = y, niin mahdolliset ääriarvopisteet ovat (0, 0) ja (21/3, 22/3).Näiden ääriarvopisteiden laadun tarkistamiseksi lasketaan funktion f (x, y) =2x3 − 6xy + y3 Hessen matriisi:

H(x, y) =[

12x −6−6 6y

]Tämän determinantti on 72xy − 36. Pisteessä (0, 0) tämä determinant-ti on negatiivinen, joten kyseessä ei ole lokaali ääriarvopiste. Pisteessä(21/3, 22/3) Tämä determinantti saa arvon 72 · 2− 36 = 108 > 0. Lisäksitässä pisteessä fxx = 12x = 12 · 21/3 > 0, joten piste (21/3, 22/3) on tämänfunktion lokaali minimi.

Ratkaisu harjoitukseen 43.9 sivulla 127. Etsittäessä funktion pienintäetäisyyttä origoon minimoitava funktiona on etäisyys origosta eli

√x2 + y2.

Tätä etäisyyttä minimoidaan rajoitteella y = 5x + 7. Lisäksi on syytä huo-mata, että voimme yhtä hyvin minimoida funktiota x2 + y2, koska ky-seessä on funktion

√x2 + y2 kasvava muunnos. Tästä saadaan Lagrangen

funktioL(x, y; λ) = x2 + y2 + λ(y− 5x− 7).

Asetetaan tämän derivaatat x:n ja y:n suhteen nolliksi:

2x− 5λ = 02y + λ = 0

Näistä saadaan yhtälö 2x/5 = −2y, josta saadaan ratkaistua x = −5y.Sijoitetaan tämä rajoitteeseen y = 5x + 7:

y = 5x + 7y = 5(−5y) + 7

26y = 7

y =726

.

Vastaavasti x = −5y = −35/26. Täten haettu piste on (−35/26, 7/26).

142

B.7 Differentiaaliyhtälöt

Ratkaisu harjoitukseen 43.10 sivulla 127. Merkitään tätä differentiaaliyh-tälöä aluksi muodossa

dydx

= 2yx.

Nyt tämä yhtälö voidaan jakaa puolittain y:llä ja kertoa puolittain dx:llä.Tällöin se saadaan muotoon

dyy

= 2xdx.

Nyt syntynyt lauseke voidaan integroida kummaltakin puolelta x:n suh-teen: ∫ dy

y=∫

2xdx

ln y = x2 + C

y = ex2+C

y = C1ex2 ∣∣ C1 = eC.

Ratkaisu harjoitukseen 43.11 sivulla 127. Kyseessä on lineaarinen dif-ferentiaaliyhtälö eli muotoa y′ + p(x)y = q(x) oleva differentiaaliyhtälö,jossa p(x) = −2x ja q(x) = ex2

. Tällainen yhtälö ratkeaa kertomalla sepuolittain integroivalla tekijällä

e∫

p(x)dx = e−x2.

Kun yhtälö kerrotaan tällä tekijällä puolittain, saadaan

y′ − 2yx = ex2

(y′ − 2yx)e−x2= ex2

e−x2

ddx

(ye−x2

)= 1

ye−x2= x + C

y = (x + C)/e−x2

y = (x + C)ex2.

143

Ratkaisu harjoitukseen 43.12 sivulla 127. Sijoitetaan ratkaisuun y = (x +C)ex2

alkuarvo y(0) = 1:

y = (x + C)ex2

1 = (0 + C)e02

C = 1.

Täten alkuarvotehtävän ratkaisu on y = (x + 1)ex2.

144