Antti Majaniemi

MATEMATIIKKA II

Differentiaali- ja integraalilaskentaa

sekä differentiaaliyhtälöitä

U L

R

u

2

1

u

i = i (t)

t = 0

C

u3

2016 ISBN 978-952-93-8168-5

Tämä teos on lisensoitu Creative Commons Nimeä-EiKaupallinen 4.0

Kansainvälinen -lisenssillä. Tarkastele lisenssiä osoitteessa http://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/deed.fi.

Antti Majaniemen perikunta on päättänyt antaa tämän teoksen käytettäväksi yllä olevalla lisenssillä. Painatus ei ollut enää kannattavaa alhaisen

kysynnän vuoksi, mutta tällä tavalla oppimateriaali on edelleen opiskelijoiden ja oppilaitosten käytettävissä.

Tämä teos on ladattavissa osoitteessa http://anttimajaniemi.fi

Turussa 20.11.2016

Jari Majaniemi

jari @ anttimajaniemi.fi

i

SISÄLLYS

1 Differentiaaliyhtälöistä ___________________________________ 1 1.1 Peruskäsitteitä _______________________________________ 1 1.2 Mekaniikan ja lujuusopin esimerkki ______________________ 2 1.3 Muuttujien erottaminen _______________________________ 4 1.4 Lineaarinen 1. kertaluvun DY __________________________ 7 1.5 Virtapiirisovellus ___________________________________ 11

2 Toisen kertaluvun DY __________________________________ 16 2.1 Vakiokertoiminen lineaarinen toisen kertaluvun DY ________ 16 2.2 Esimerkkejä _______________________________________ 17 2.3 Sovelluksia ________________________________________ 20

3 Trigonometristen funktioiden käänteisfunktiot ______________ 30 3.1 Käänteisfunktio ja sen derivaatta _______________________ 30 3.2 Arkusfunktiot ______________________________________ 31 3.3 Integroimismenetelmiä. Areafunktiot ____________________ 34

4 Murtofunktion integrointi _______________________________ 39 4.1 Perustapauksia _____________________________________ 39 4.2 Osamurtoihin jako __________________________________ 40

5 Trigonometristen funktioiden integrointi ___________________ 45 5.1 Perustapauksia _____________________________________ 45 5.2 Tulot sin ax cos bx , sin ax sin bx, cos ax cos bx ___________ 45 5.3 Potenssilausekkeen sinm x cosn x integrointi ______________ 46 5.4 Sijoituksia _________________________________________ 47

6 Irrationaalifunktioiden integrointi ________________________ 49

7 Eksponentti-, logaritmi- ja hyperbelifunktiot _______________ 52 7.1 Eksponenttifunktioiden integrointitapoja _________________ 52 7.2 Logaritmifunktioiden integrointitapoja___________________ 53 7.3 Hyperbelifunktiot ___________________________________ 53

8 Lisää integraalien sovelluksia ____________________________ 57 8.1 Funktion keskiarvo välillä [a,b] ________________________ 57 8.2 Kaaren pituus ______________________________________ 58 *8.3 Pyöräyspinnan ala ___________________________________ 58 8.4 Työintegraali _______________________________________ 59 8.5 Epäolennainen integraali______________________________ 60

9 Käyriä koskevia tuloksia ________________________________ 63 9.1 Kertaus ___________________________________________ 63 *9.2 Kaaren painopiste ___________________________________ 63 9.3 Ratkaisemattoman funktion derivointi ___________________ 64

ii

9.4 Parametrimuotoisen funktion derivointi __________________ 65 9.5 Parametrikäyrän kaaren pituus ja vastaavan alueen ala ______ 67 9.6 Käyrän kaarevuus ___________________________________ 67 9.7 Käyrä napakoordinaatistossa __________________________ 70 *9.8 Kaaren pituus ja pinta-ala napakoordinaatistossa ___________ 71

*10 Integraalin derivointi parametrin suhteen ________________ 76 10.1 Parametri integroimisrajoissa __________________________ 76 10.2 Parametri integroitavassa funktiossa _____________________ 77

11 Numeerisia menetelmiä _________________________________ 79 11.1 Haarukointi ja iterointi (kertaus) ________________________ 79 11.2 Newtonin menetelmä (tangenttimenetelmä) _______________ 80 11.3 Numeerinen derivointi _______________________________ 81 11.4 Numeerinen integrointi suorakulmiomenetelmällä __________ 83 11.5 Puolisuunnikasmenetelmä _____________________________ 84 11.6 Simpsonin sääntö ___________________________________ 85

Vastauksia ________________________________________________ 89

Monisteen tässä osassa käsitellään differentiaaliyhtälöitä (luvut 1 ja 2), arkusfunktioita (luku 3), integroimistekniikkaa (luvut 4...7) sekä erilaisia derivointiin ja integrointiin liittyviä kysymyksiä, joita voidaan opettaa valikoiden, linjakohtaisesti.

Integrointitekniikan osuutta voidaan keventää ja korvata paikoitellen matemaattisten tietokoneohjelmien käytöllä sen mukaan, mitä ohjelmia on käytettävissä ja minkä opintosuunnan opetus on kyseessä. Opintosuunnan tulisi vaikuttaa myös diff. yhtälöiden sovellusten valintaan. Diff. yhtälöitä käsitellään monisteen seuraavan osan loppupuolella jonkin verran numeerisesti ja Laplace-muunnoksilla.

Tässä painoksessa olen jatkanut monisteen muokkaamista ja korjailua. Lähinnä olen yrittänyt parantaa kuvien ulkoasua muuttamalla kuvissa viivoja paksummiksi ja kirjaimia lihavoiduiksi ja kursiiviksi. Toivon että monisteen kaikenlaisten puutteiden paikallistamisessa saan muiden opettajien apua kuten tähänkin asti.

Turussa 25.7. 1998 Antti Majaniemi

Olen päivittänyt monistetta korjaten sitä tämän päivän tilanteeseen paremmin sopivaksi.

Turussa 14.7.2008 Jari Majaniemi

1

1 Differentiaaliyhtälöistä

1.1 Peruskäsitteitä

Yhtälöä, jossa esiintyy tuntemattoman funktion ainakin yksi derivaatta,

sanotaan ���������������� ���, esim.

′ + = ′′ + ′ − = +y xy x y y y x2 3 2 12

sin , .

Jatkossa käytetään lyhenteitä diff.yhtälö tai DY.

Esim. 1 Ratkaise DY

′ − =y x2 0 .

Tehtävä on sama kuin kaikkien sellaisten funktioiden etsiminen,

joiden derivaatta on 2x. Näin yksinkertainen DY ratkeaa

suoraan integroimalla:

′ =

= = +�y x

y x dx x C

2

2 2

integroidaan

.

Koska C voi olla mikä reaaliluku

tahansa, tällä DY:llä on äärettömän

monta ratkaisua. Ratkaisufunktiot

y x C= +2 muodostavat yhdessä

DY:n ������ ���������, joka on

geometrisesti eräs paraabeliparvi.

DY:ssä voi olla mukana myös jokin

�������, esim. ehto

y elix

y( )2 3

2

3=

=

=

��� (lue:"��������������������").

Tämä alkuehto määrää integroimisvakion suuruuden ts. valitsee

ratkaisuparvesta yhden funktion (paraabelin):

y x C alkuehto

x

y

C C y x

= +=

=

���= + ∴ = − ∴ = −

2

2 2

2

3

3 2 1 1

.

Ratkaisu y x= −21 on tämän DY:n eräs ��������������.

2

Esim. 2 Eräässä suoraviivaisessa liikkeessä nopeus v muuttuu ajan t

funktiona seuraavan lain mukaisesti:

( ) ( ) ,t v t t t+ ⋅ − = ≥1 2 1 0

Laske matkan s(t) lauseke, kun hetkellä t = 1 kappale on

kohdassa s = 3, ts. s(1) = 3. Aikaisemman mukaan � � �==== ′′′′( ):

v s tt

t

s tt

tdt

t

tdt

tdt t t C

= ′ =+

+

=+

+

=+ −

+= −

+== − + +

�� �

( ) .

( )

( )( ) ln .

2 1

1

2 1

1

2 2 1

12

1

12 1

integr

suor. jako jakokulmassa tai seuraavasti:

Itseisarvot ovat tarpeettomat, koska t ≥ 0 .

Alkuehto:

t

sC C

s t t t

=

=

���⇒ = − + ⇒ = +

∴ = − + + +

1

33 2 2 1 2

2 1 1 2

ln ln

( ) ln( ) ln .

1.2 Mekaniikan ja lujuusopin esimerkki

Esim. 3 Kummastakin päästään

tuetun palkin pituus on 4

(m) ja sitä kuormittaa

kuvan mukainen paraa-

belikuorma. Paraabelin

yhtälö on muotoa

y a x

a a y x

− = −

− = − ∴ = − ∴ = − −

1 2 0 0

1 2 1 2

2

2 1

4

1

4

2

( ) ( , )

( ) ( ) .

toteuttaa

paraabeli on

Kuormitustiheys q(x) (kuorma/pituusyks.) on siis

q x x( ) ( )= − −1 21

4

2 (esim. q( )2 1= ).

1) Mekaniikan mukaan ���������������� � ��( ) kohdassa x on

sellainen, että sen 2. derivaatta on –q(x). Tästä tulee taivutus-

momentille 2. kertaluvun DY, jonka ratkaiseminen vaatii kaksi

q(x)

x41

(2,1)

3

integrointia. Siten yleiseen ratkaisuun tulee kaksi integroimis-

vakiota. Laskut ovat seuraavat:

M (x) q(x)t

′′ = − = − + −

′ = − + − = − + − +

= − + − + +

�1 2

1 2 2

2

1

4

2

1

4

2 1

12

3

1

1

2

2 1

48

4

1 2

( )

( ) ( ( ) ) ( )

( ) ( ) .

x

M x x dx x x C

M x x x C x C

t

t

integr.

integr.

Koska integroimisvakioita on 2 kappaletta, tarvitaan 2 alku-

ehtoa, jotta niille määräytyisivät jotkin arvot.

Alkuehdot: Kummassakin päässä taivutusmomentti on = 0, ts.

M M elix

Mja

x

Mt t

t t

( ) ( ) .0 4 00

0

4

0= =

=

=

���=

=

���

Kun 1. alkuehto sijoitetaan M xt( ) :n lausekkeeseen, saadaan

0 0 2 01

48

4

2 2

1

3= + − + + ∴ = −( ) .C C

Sitten 2. alkuehto antaa yhtälön

0 4 2 4 21

2

2 1

48

4

1

1

3 1= − ⋅ + ⋅ + ⋅ − ∴ =C C

∴∴∴∴ ==== −−−− ++++ −−−− ++++ −−−−� � � � ��( ) ( )1

2

2 1

48

4 1

32 2 .

2) Lujuusopin mukaan, jos

taipuma on pieni, palkin�

������������� �==== ( ) toinen

derivaatta on yhteydessä

taivutusmomenttiin seuraavan

DY:n mukaisesti:

′′′′′′′′ ==== −−−− ��

��

�( ) ,

missä E ja I ovat vakioita (E = aineen

kimmovakio ja I on palkin poikkileikkauksen

neliömomentti poikkileikkauksen painopisteen

kautta kulkevan vaakasuoran akselin (z) suh-

teen).

Jos tähän taipumaviivan diff.yhtälöön sijoitettaisiin edellä

laskettu taivutusmomentin lauseke ja suoritettaisiin kaksi

q(x)

y = y(x)taipumaviiva

y

x40

z

4

integrointia sekä käytettäisiin alkuehtoja: y y( ) ( )0 4 0= = (ts.

tukien kohdalta palkki ei taivu), saataisiin taipumaviivan lauseke

y(x). Maksimitaipuma saataisiin tässä esimerkissä palkin

keskellä, ts. laskemalla y(2).

1.3 Muuttujien erottaminen

Edellä käsitellyt DY:t olivat sellaisia, että ne voitiin muuttaa muotoon

′ = ′′ = ′′′ =y u x y u x y u x( ) , ( ), ( ), ...

eli muotoon, jossa jonkin kertaluvun derivaatta = ainoastaan x:n lauseke.

Mikäli tämä lauseke sisältää myös tuntemattoman funktion y, suora

integrointi ei käy. Jos tällainen DY on 1. kertalukua ts. korkein derivaatta

on y', DY saattaa ratketa ���������� ���������. Tässä menetelmässä

käytetään lähtökohtana tietoa

′′′′ ====�

�� (= differentiaalien osamäärä) .

Esim. 4 ′ = ′ =

=

= ⋅ ≠

=

= + = ⇒ =

= ⇒ = ±

= ± = ⋅ = ⋅

= ± ⋅±

∴ ± =

∴ =

� �

+

+

y xy

dy

dxxy

x dx y

x dx

y x C z a z e

y e z z a

y e e e e e

e ee

e C

a

x C

x C a b b a

C x

C

C

2

2

2 0

2

2

1

2

1

2

1

1

21

1

�

��

�� ��

erotetaan muuttujat ( : t vasemmalle, : t oikealle)

dy

yintegroidaan kumpikin puoli

dy

y

yleisesti

= a

e

kulkee kaikki pos. ja neg. luvut

voidaan merkitä

(myös ratkaisu = 0 on mukana).

a+ b

y x

y

( )

ln ln

( )

Huomaa, että edellisellä DY:llä integrointivakio ei tullut ratkaisun perään

lisätermiksi: y e Cx

= +2

, vaan kertoimeksi eteen: y Cex

=2

. Näiden kahden

funktioparven kuvaajat eivät ole samanlaisia. Edellisessä parvessa on

5

funktio y ex

=2

, jota siirretään C:n arvon avulla ylös- ja alaspäin.

Jälkimmäisen parven funktiot nousevat sitä jyrkemmin, mitä suurempi C-

kerroin on.

Esim. 5 xy y

xdy

dxy

dy

y

dx

x

y x C x C

y e e e e ax C C x a

′ − =

=

=

= ⋅ + = +

= ± = ± ⋅ =

∴ =

� �

+

2 0

2

2

21

2

1

2

1 1

2

suora integrointi ei käy. Kokeillaan

muuttujien erottamista

erotetaan muuttujat ja integroidaan

yleisesti

ln ln ln

.

ln ln ln

���

Aina ei edellisen tapaista integroimisvakion vaihtamista tarvita:

Esim. 6 ′ + =

= −

− =

= + ∴ =+

� �

y xy

dy

dxxy

dy

yx dx

yx C y

x C

2 0

2

2

1 1

2

2

2

2

2.

Muuttujien erottaminen onnistuu, jos DY voidaan muuttaa tulo- tai osa-

määrämuotoon, esim. u xdy

dxv y( ) ( )= . Sen sijaan esim. DY:ssä

dy

dxx y= +

muuttujia ei pystytä erottamaan (yritä!).

Useat eksponentti- tai logaritmilait ovat peräisin Esimerkin 4 tapaisista

DY:istä. Tällaisia ovat esim. aineen radioaktiivisuuden tai mikrobien määrän

väheneminen, bakteerikannan kasvu tai solujen määrän lisääntyminen solun

jakautumisessa, lämmön tasaantuminen kappaleen ja ympäristön välillä jne.

Seuraavasta näkyy, miten tällaisissa tapauksissa joudutaan diff.yhtälöihin.

Esim. 7 Tarkastellaan ainetta, jota alussa on määrä mo, mutta joka vähe-

nee vähitellen (esim. muuttuu toiseksi aineeksi tai "väsyy" tai

radioaktiivisuus häviää, mikrobit häviävät tms.).

6

Hetkellä t ainetta on jäljellä enää määrä m(t). Jos tästä hetkestä

mennään pieni aika �t eteenpäin hetkeen t t+ � , niin

ainemäärän muutos �m (joka on negatiivinen) on verrannollinen

1) aikavälin pituuteen, jos aikaväli on hyvin pieni (esimerkiksi,

jos ainetta häviää 1 millisekunnissa tietty määrä, niin 2 ms:ssa

sitä häviää kaksinkertainen määrä),

2) jäljellä olevaan ainemäärään (jos esim. 1 g:sta häviää tietty

määrä, niin 2 g:sta häviää kaksinkertainen määrä).

Siis � �m k m t= ⋅ ⋅ . Koska � �m mutta m ja t< > >0 0 0, , niin

verrannollisuuskerroin k < 0 . Merkitään k = −λ , jolloin λ > 0 .

∴ = − ⋅ ⋅� �m m tλ ,

�

�

m

t

m= − ⋅λ .

Kun �t→ 0 , tämä yhtälö muuttuu diff.yhtälöksi

( )

ln

1dm

dtm

dm

mdt

m t C m

= − ⋅

= −

= − +

� �λ

λ

λ

erotetaan muuttujat ja integroidaan

(itseisarvoja ei tarvita, koska > 0).

Alussa ainetta oli jäljellä määrä mo, ts. alkuehtona on

t

m mm C C m

o

o o

=

=

���⇒ = + ⇒ =

00ln ln .

∴ ln lnm t mo

= − +λ eli ln lnm m to

− = −λ .

∴ = −lnm

mo

tλ ∴ =−m

m

e

o

tλ ∴ � � ���

====−−−−λλλλ .

Edellä mainitun kahden verrannollisuuskohdan 1) ja 2) sijaan olisi voitu

lähteä liikkeelle suoraan diff.yhtälöstä (1). Sen mukaan ainemäärän muut-

tumisnopeus on verrannollinen jäljellä olevaan ainemäärään.

7

1.4 Lineaarinen 1. kertaluvun DY

Lineaarisen, 1. kertaluvun DY:n yleinen muoto on

(1) ′′′′ ++++ ==== � � � �( ) ( ) .

Lineaarisuus merkitsee tässä yhteydessä, että diff.yhtälö on 1. astetta muut-

tujiin y ja y' nähden. Esim. diff.yhtälöt

′ + = + ′ − + = ′ =y x y x xy x y x y y x2 1 1 2, ( ) sin , /

ovat lineaarisia, mutta seuraavat DY:t eivät ole:

xy y yy y x y x y′ + = ′ + = ′ =2

0 2, , / .

Vastaavassa homogeenisessa DY:ssä on v(x):n tilalla 0:

(2) ′′′′ ++++ ==== � � ( ) 0 .

Lineaarisen DY:n (1) ratkaiseminen tapahtuu kolmessa vaiheessa:

Vaihe 1: Vastaavan homogeenisen DY:n (2) yleisen ratkaisun

y y xh

= ( ) määrittäminen (ratkaisukaavalla),

Vaihe 2: Lineaarisen DY:n (1) jonkin yksityisratkaisun y y xo

= ( )

etsiminen (yritteellä tms.).

Vaihe 3: Lineaarisen DY:n (1) yleinen ratkaisu on näiden kahden

ratkaisun summa:

y y x y xh o

= +( ) ( ) .

�����! Johdetaan ����"������� DY:n (2) yleiselle ratkaisulle ��������#

�����. Se käy erottamalla muuttujat:

dy

dxu x y

dy

yu x dx

y U x C

y e e e C eU x C C U x U x

= − ⋅

= −

= − +

= ± = ± ⋅ =

� �

− + − −

( )

( )

ln ( )

.( ) ( ) ( )

merkitään ( ):n integraalifunktiota ( ): lläu x U x

1

1 1

8

Saatu tulos esitetään yleensä muodossa, jossa integraalifunktion U(x) tilalle

merkitään u x dx( )� . Kun tämän integraalin arvo lasketaan, siihen ei tule

enää mukaan integroimisvakiota, sillä integroimisvakio siirtyi johtamisessa

lausekkeen eteen. Siis

Lause. Homogeenisen DY:n ′′′′ ++++ ==== � � ( ) 0 yleinen ratkaisu on

(3) ��� � ��

====�−−−− ( )

,

missä u x dx( )� on u(x):n integraalifunktio ilman yleistä

integroimisvakiota.

Esim. 8 ′ + =

= =− ←�

y x y

y C e C ex dx x

(sin )

sin cos

0

ei int. vakiota tähän!

Myös esimerkkien 4, 5 ja 7 DY:t ovat muotoa (2), joten ne

voidaan ratkaista ratkaisukaavalla (3) seuraavasti:

1) (Esim. 4)

ei int. vakiota!

′ =

′ − = ∴ = −

= =

=

− −

←

� �

y xy

y xy u x x

y C e C e

y C e

x dx x dx

x

2

2 0 2

2 2

2

( ( ) )

2) (Esim. 5.)xy y

yxy

y C e C e C e C xxdx

x x

′ − =

′ − =

= = = =− −�

2 0

20

2

2 22ln ln .

3) (Esim. 7.)

dm

mm m m

m C e C edt

t

= − ⋅ ⇔ ′ + =

= =−� −

λ λ

λ λ

0

.

Sen sijaan esimerkin 6 DY ′ + =y xy2 02 ei ole muotoa (2) (sillä

vp. ei ole lineaarinen), joten siihen ratkaisukaava ei käy.

9

������ Lineaarisen DY:n ′ + =y u x y v x( ) ( ) jonkin yksityisratkaisun

etsiminen.

Seuraavassa rajoitutaan siihen tapaukseen, että u(x):nä on jokin vakio a, ts.

että kyseessä on ns. ���������������� lineaarinen DY.

(4) ′′′′ ++++ ⋅⋅⋅⋅ ==== � � �( ).

Kun etsitään tämän jotakin yksityisratkaisua, etsitään sellaista x:n lauseketta

y(x), että jos se kerrotaan a:lla ja lisätään derivaattaansa y'(x), tuloksena on

lauseke v(x):

′ + ⋅ =y x a y x v x( ) ( ) ( ) .

Kun y(x):n kerroin on vakio a�� ���������� (�)� ������ �������� �������

�$�%&������������������ seuraavasti:

Jos esim. v(x) on 2. asteen polynomi, niin y(x):nkin täytyy olla

polynomi, jotta lausekkeesta ′ + ⋅y x a y x( ) ( ) tulisi polynomi. Koska

y'(x) on alempiasteinen kun y(x), ei lausekkeesta ′ + ⋅y x a y x( ) ( ) tule

2. asteen polynomia, ellei y(x):n aste ole tarkalleen 2.

Vastaavasti jos v(x) on esim. 2 3ex , täytyy y(x):n olla sama e:n potenssi

ex3 sopivalla vakiolla A kerrottuna, jotta lausekkeesta ′ + ⋅y x a y x( ) ( )

voisi tulla 2 3ex .

Etsittävää funktiota y y x= ( ) sanotaan ���������. Seuraavaan taulukkoon on

koottu eräitä esimerkkejä sopivista yritefunktioista.

DY: ′′′′ ++++ ⋅⋅⋅⋅ ==== � � �( )

�(�)

Yrite:

�==== ( )

2 3x + y Ax B= +

x2

3+ y Ax Bx C= + +2 (ei riitä y Ax C= +

2 )

5 3 2 3sin cosx x+ y A x B x= +sin cos3 3

2 3sin x y A x B x= +sin cos3 3 (ei y A x= sin 3 )

52ex y Ae x=

2 tai joskus y Axe x=2

3 25

x ex

+− y Ax B Ce x

= + +−5 (joskus x:llä kerrottu)

10

������ Vaiheiden 1 ja 2 tulosten yhdistäminen. Voidaan todistaa, että

lineaarisen DY:n yleinen ratkaisu on homogeenisen yhtälön

yleisen ratkaisun ja koko lineaarisen DY:n ratkaisujen summa.

Esim. 9

6 2

1 2o o

′ + =

′

�

+= +

′ =

���

⋅

⋅

′ + = + + ≡

=

+ =

���∴

=

= −

���∴ = −

+

+ −

y y x

y y

y Ax B

y A

y y Ax B A x

x

A

B A

A

B

3 18

3 0

3

1

3 3 3 18

3 18

3 0

6

2

.

.

.

.

( ) .

.

:

.

1

=

2

o

o

Homog. diff.yhtälön + = yleinen ratkaisu:

Ce =

Koko DY:n yksityisratkaisu. Yrite:

Jotta DY:n vp ja op olisivat identtisesti eli kaikilla :n

arvoilla samat, täytyy vastinpotenssien kertoimien olla

samat. Täten saadaan yhtälöpari

yksityisratkaisu on

Koko DY:n yleinen ratkaisu on summa

- 3dx

��

�

#��

�� '� ���=

-

Esim. 10

1 Ce

2

sin2x cos2x

1 2 y = Ce sin2x cos2x

o 2x

o

o o 2x

′ − =

=�

=

= +

′ = − +

���⋅ −

⋅

− − + − ≡

+− − =

− =

���− = ∴ = − = ∴ = −

+ + −

y y x

y Ce

Yrite

y A x B x

y B x A x

A B x A B x x

A B

A B

B B A y

dx

2 4 2

2 2

2 2 2 2

2

1

2 2 2 2 2 2 4 2

2 2 0

2 2 4

4 4 1 1

2

cos

. .

. :

sin cos

sin cos

( )

( )sin ( )cos cos

, .

: .

Seuraavan esimerkin a)-kohdassa on käytettävä "tavallista" eksponentti-

funktio-yritettä ja b)-kohdassa x:llä kerrottua yritettä.

11

Esim. 11

1 y Ce

2

y 3e

1 2 y Ce 3e

o x

o

5x

o o 2x 5x

a y y e

y Ae

y Ae

Ae e A A

x

x

x

x x

) .

.

.( )

: .

′ − =

=

+=

′ =

�����

⋅ −

⋅

≡ ∴ = ∴ = ∴ =

+ = +

2 9

5

2

1

3 9 3 9 3

5

2

5

5

5 5

( edellä)

b y y e x) .′ − = =2 4 2 1 y Ceo 2x .

2o

. Yrite y Ae x=2 ei käy, sillä tätä muotoa olevat funktiot

toteuttavat homogeenisen DY:n ′ − =y y2 0 (kohdan 1° nojalla,

jossa on juuri sama eksponentti 2x ja A:n paikalla vain C).

Toisin sanottuna: jokainen funktioista y Ae x=2 tekee DY:n vp:n

0:ksi, eikä mikään tee sitä 4 2ex :ksi. Se, että yrite y Ae x=

2 ei

käy, näkyisi laskuissa siten, että jouduttaisiin mahdottomaan

yhtälöön 0 42

≡ ex (kokeile).

Tällaisessa tapauksessa täytyy kokeilla x:llä kerrottua yritettä:

+=

′ = +

�����

⋅ −

⋅

− + + = ≡ ∴ =

∴ =

+ = + =

y Axe

y Ae Axe

Axe Ae Axe Ae e A

Ce xe

x

x x

x x x x x

x x

2

2 2

2 2 2 2 2

2 2

2

2

1

2 2 4 4

4

( )

.

.

.

y 4xe

1 2 : y e (C + 4x)

2x

o o 2x

1.5 Virtapiirisovellus

Esim. 12 (RL-piiri) Johdetaan virranvoimak-

kuudelle � � �==== ( ) lauseke oheisessa

virtapiirissä. Katkaisija suljetaan

hetkellä t = 0 , jolloin virta alkaa

kasvaa arvosta 0. Virta ei saavuta

heti lopullista arvoaan i∞, sillä

käämi vastustaa virran kasvua.

U L

R

u

2

1

u

i = i(t)

t = 0

12

Käämin vastustava vaikutus virran muuttumiseen voidaan esittää

seuraavana sääntönä: käämissä tapahtuva jännitehäviö on

verrannollinen virran muuttumisnopeuteen, ts.

� (��

��1==== ⋅⋅⋅⋅ (verrannollisuuskerroin L on �����������).

(Alussa, jolloin virta pyrkii kasvamaan

nopeasti, käämi vastustaa tehokkaasti virran

kasvua. Myöhemmin, kun virta ei enää

paljon kasva, ts. em. derivaatta ≈ 0, käämin

vaikutus on lähes olematon.)

Vastuksen aiheuttama jännitehäviö taas on (Ohmin lain mukaan)

verrannollinen virran voimakkuuteen:

� ) �2==== ⋅⋅⋅⋅ (verrannollisuuskerroin R on �����������).

Koska kokonaisjännite U on jännitehäviöiden summa (Kirch-

hoff), saadaan DY

( � ) � *⋅⋅⋅⋅ ′′′′ ++++ ⋅⋅⋅⋅ ==== .

Tämä on vakiokertoiminen, lineaarinen 1. kertaluvun DY (jossa

oikealla puolella on vakiopolynomi). Ratkaistaan se:

1 .

2

1 + 2 =

o

o

o o

Homog. DY on eli

Koska op. on vakiopolynomi , niin yrite on

i = A

i = 0

L i R i

iR

Li i Ce Ce

U

R

L

AR U AU

Ri

U

R

i CeU

R

Alkuehtot

iCe

U

RC

U

R

iU

Re

U

R

U

Rkun t

R

Ldt

R

Lt

R

Lt

R

Lt

⋅ ′ + ⋅ =

′ + = ∴ =�

=

+′

���⋅

⋅

≡ ∴ = ∴ =

+

=

=

���⇒ = + ∴ = −

∴ = − + → →∞ ∴ =

− −

−

−

∞

0

0

0

00 0

.

.

.

:

:

, .�*

)

t

i(t)

13

HARJOITUKSIA

A

1.1 Ratkaise DY xy′ =1, alkuehtona yx

y( )1 2

1

2=

=

=

���eli .

1.2 Määritä DY:n y x′ = sin 2 yleinen ratkaisu sekä sellainen yksityis-

ratkaisu, että se täyttää alkuehdon y( )0 1= .

1.3 a) x y xx

y+ ′ =

=

=

���2

1

2, , b) x y

x

y

y

21

1

1

1

′′ =

=

=

′ =

���

��, .

1.4 Ratkaise erottamalla muuttujat a) ′ − =y xy 0 , b) ′ + =y x y(sin ) 0.

1.5 Ratkaise DY a) xdy+ydx=0, x

y

=

=

���2

4, b) x dy y dx

x

y

2 20

2

2+ =

=

=

���, .

1.6 Ratkaise ratkaisukaavalla: a) ′ − =y xy 0 , b) ′ + =y x y(sin ) 0 .

1.7 Ratkaise a) erottamalla muuttujat, b) ratkaisukaavalla 2 3 0′ − =y xy .

1.8 Ratkaise a) ′ + =y y x2 , b) ′ + =y y ex

2 34 .

1.9 Mikä DY:n ′ + =y y x2 2sin ratkaisukäyristä kulkee origon kautta?

B

1.10 Ratkaise DY ′′ =y x21, alkuehtoina y y( ) ( )1 2 1= = .

1.11 Määritä DY:n ′′ =y xex2 yleinen ratkaisu.

1.12 Pystysuorassa heittoliikkeessä kiihtyvyys a toteuttaa ehdon a g= −

( g m s= 9 812

, / , a s t= ′′( ) ). Määritä matkan s = s(t) lauseke, kun

hetkellä t = 0 kappaleella on alkunopeus vo ja alkukorkeus s

o.

1.13 Ratkaise seuraava DY erottamalla muuttujat sekä piirrä ratkaisu-

käyrä yy x′ − =1, x

y

=

=

���1

1.

1.14 a) ′ + =y xy4 0 , b) xy y′ + =20 (vihje: eri menetelmät a)- ja b)

kohdissa).

14

1.15 Ratkaise DY ′ − =y y3 6 a) erottamalla muuttujat , b) käsittelemällä

DY:tä lineaarisena DY:nä.

1.16 Kappaleen lämpötila hetkellä t on T ja ympäristön on (koko ajan)

Tymp. Lyhyenä aikavälinä lämpötilan muutos on verrannollinen

aikavälin pituuteen sekä kappaleen ja ympäristön väliseen lämpötila-

eroon. a) Johda näiden tietojen avulla lämpötilalle T T t= ( ) DY ja

b) ratkaise se, kun kappaleen alkulämpötila (hetkellä t = 0 ) on

10oC ja ympäristön 50 o

C (erota muuttujat).

1.17 Edellisen harjoituksen mukaisen kappaleen lämpötila on tunnin

kuluttua (hetkellä t =1) 45o . Mikä se on kahden tunnin kuluttua?

1.18 Ratkaise a) ′ − =−

y y ex , b) ′ + =

−y y e

x .

1.19 Vaihtovirtapiirissä jännite u t= 3 2sin , R = 2 ( )� ja L H=1( ) (arvot

ovat laskujen yksinkertaistamiseksi tekaistuja). Johda virranvoimak-

kuudelle i i t= ( ) DY ja ratkaise se, kun i A( ) / ( )0 1 4= .

C

1.20 Kummastakin päästään tuetun palkin pituus on L ja sitä kuormittaa

tasainen kuorma, kuormituskorkeutena q (= vakio). Laske diff.yhtä-

löillä taivutusmomentin ja taipumaviivan lausekkeet.

1.21 Laske ulokekannattajan, jonka pituus on L ja jota kuormittaa

tasainen kuorma, taipumaviivan yhtälö ja maksimitaipuma. (Ohje:

alkuehdot ovat y( )0 0= ja ′ =y (0) 0 —miksi?)

1.22 Vaihtovirtapiirissä on u t= 311 100sin( )π , R = 2� , L H=1 ja

i( )0 0= (käämin oikosulkumoottori) . Määritä i(t):n lauseke.

1.23 Eräs bakteerikanta lisääntyy siten, että lyhyenä aikavälinä lisäys on

verrannollinen bakteerimäärään ja aikavälin pituuteen. Tutkimus

alkoi klo 9.00 ja klo 12.00 todettiin bakteerimäärän lisääntyneen

72%.

a) Montako % määrä on lisääntynyt kokeen alusta hetkeen 11.00

mennessä?

b) Milloin bakteerimäärä tulee kolminkertaiseksi alkutilanteeseen

verrattuna?

c) Montako % määrä lisääntyy aikavälillä klo 16.00 ... klo 16.30?

15

1.24 Vakion variointi. Jos 1. kertaluvun lineaarinen DY ei ole vakio-

kertoiminen, sen yksityisratkaisua ei löydetä yleensä edellä esitetyllä

yritemenetelmällä, vaan sopiva yrite saadaan muuntamalla (varioi-

malla) homogeenisen diff.yhtälön yleistä ratkaisua seuraavasti.

Korvaa homogeenisen diff.-yhtälön ratkaisussa vakio C funktiolla

C(x) ja yritä löytää tälle funktiolle jokin sellainen lauseke, että näin

muunnettu homogeenisen DY:n ratkaisu toteuttaa lineaarisen DY:n.

Esimerkiksi

′ + = >y y x xx

1 0sin , 1o. Homog.DY:n yl. ratk. on y Cx

= (laske!)

2o .

sin ( ) sin ( ) sin cos

( )

( ) ( )

( )

y

y

x C x x x C x x x x

C x

x x

C x x C x

x

C x

x

= ⋅

′ = ⋅

���

��≡ ∴ ′ ≡ ∴ = −

′ ⋅ −

′

1

21

1 2o o

+ = + −: cossin

y xC

x

x

x.

a) Suorita edelliset laskut yksityiskohtaisesti.

b) Ratkaise DY ′ + =y y x x22

tan sin .

1.25 Laske virta i(t) viereisessä piirissä:

1.26 Osoita, että funktiot

( ) ( )x C y C z a− + − + =1

2

1

2 2 2

toteuttavat osittaisdifferentiaaliyhtälön

zz

x

z

yy x⋅ − = −( )

∂

∂

∂

∂.

(Vihje: termin z2 osittaisderivaatta esim. x:n suhteen on 2zz

x

⋅∂

∂).

L = 7 (H)

u = 311 sin 100πt

t = 0

16

2 Toisen kertaluvun DY

2.1 Vakiokertoiminen lineaarinen toisen kertaluvun DY

Otsikon mukainen DY on muotoa

(1) ′′′′′′′′ ++++ ′′′′ ++++ ====� �� �� � �( ) .

Se ratkaistaan kolmessa vaiheessa, joista kaksi viimeistä ovat lähes saman-

laisia kuin edellä (mutta joskus tarvitaan x2 :lla kerrottu yrite). Ensimmäinen

vaihe, vastaavan homogeenisen DY:n

(2) ′′′′′′′′ ++++ ′′′′ ++++ ====� �� �� 0

yleisen ratkaisun määrittäminen, on erilainen. Ratkaiseminen perustuu ns.

����������� ������� käyttämiseen ja seuraavaan lauseeseen (joka esite-

tään todistuksetta):

Lause 1 Jos homogeeniselle DY:lle (2) löydetään kaksi yksityisratkaisua

y x ja y x1 2( ) ( ) , joiden suhde ei ole vakio, niin ��������

���� ���� ������� on

� � � � � � �==== ⋅⋅⋅⋅ ++++ ⋅⋅⋅⋅1 1 2 2

( ) ( )

Näiden kahden yksityisratkaisun y x ja y x1 2( ) ( ) määrittämistavan

johtamiseen käytetään eksponenttimuotoista yritettä y erx= (joka on

samantapainen kuin vastaavan 1. kertaluvun DY:n ′ + =y ay 0 ratkaisu

y Ce ax= − ).

y e

y re

y r e

b

a

y ay by e r ar b r ar b

rx

rx

rx

rx

=

′ =

′′ =

���

��

⋅

⋅

⋅

′′ + ′ + = + + ≡ ∴>

2

0

2 2

1

0 0�( ) .+ + =

Funktio y erx= on siis homogeenisen diff.yhtälön (2) yksityisratkaisu,

mikäli r:llä on sellainen arvo, että

� � �� � � � ��.

17

Tätä tavallista toisen asteen yhtälöä sanotaan DY:n (2) ������������

��������. Huomaa, että sen kertoimet ovat samat kuin DY:n kertoimet.

Sen mukaan, millaisia karakteristisen yhtälön � �� �20� � � juuret (eli

ratkaisut) ovat, käsittely jakautuu kolmeen osaan:

1) Karakteristisella yhtälöllä on ���� ������� ���������� r ja r1 2

.

Tällöin em. yritteellä saadaan yksityisratkaisut y e ja y er x r x= =1 2 .

Näiden suhde e e e vakior x r x r r x1 2 1 2:

( )= ≠− , joten Lauseen 1 mukaan

homogeenisen DY:n (2) yleinen ratkaisu on

� � � �� �

�� �� �= + .

2) Karakteristisen yhtälön juuret ovat samat eli yhtälöllä on ������

���� �1 2,. Tällöin em. yritteellä saadaan vain yksi yksityisratkaisu

y er x

= 1 2, . Voidaan todistaa, että tällöin myös x:llä kerrottu funktio

y xer x

= 1 2, toteuttaa homogeenisen DY:n. Lauseen 1 mukaan homogee-

nisen DY:n (2) yleinen ratkaisu on nyt

� !� � �"� �

� ��#�= + = +C e C xe

r x r x

1 2

1 2 1 2, ,.

3) Karakteristisen yhtälön juuret ovat ���������: � � �= ± ,

a b, ∈R . Voidaan todistaa, että tässä tapauksessa y e bxax= sin ja

y e bxax= cos toteuttavat homogeenisen DY:n. Koska näiden kahden

yksityisratkaisun suhde ei ole vakio (vaan = tan bx ), niin homogee-

nisen DY:n (2) yleinen ratkaisu on

� � �� � ����==== ++++( )

1 2sin cos .

2.2 Esimerkkejä

Esim. 1 Ratkaistaan kaksi vakiokertoimista, homogeenista diff.yhtälöä:

1 4 4 0

2

)

.

′′′′′′′′ ++++ ′′′′ ++++ ==== ++++ ++++ ====

==== −−−−

∴∴∴∴ ==== ++++−−−−

� � �

���������� �

karakteristinen yhtälö r2 4r 4 0

� � � ���� �( )

18

2 4 13 0 4 13 0

2 2 13 2 9 2 3

2

2

)

.

′′ + ′ + = + + =

= − ± − = − ± − = − ±

∴ = +−

y y y r r

r i

� � � � ��21 2

( sin3 cos3 )

Seuraava DY ei ole enää homogeeninen vaan lineaarinen, joten siinä on

käytettävä kaikkia em. vaiheita 1 2 3° ° °, ja . Huomaa, että mukana olevat

alkuehdot ovat koko DY:n alkuehtoja, joten niitä on käytettävä kohtaan

1 2° + ° eikä kohdan 1° jälkeen.

Esim. 2 ′′ + ′ + =��� ′

���y y y x

x

y

x

y4 3 18

0

1

0

3, alkuehtoina

=

= ja

=

=.

1o

.

,

.

Homog. DY:n yleinen ratkaisu. Karakt. yhtälö on

r juuret 2 + + = = − = −

∴ = +− −

4 3 0 1 31 2

1 2

3

r r r

y C e C ex x

2o

.

( )

Koko DY:n yksityisratkaisu. Yrite:

= +

=

=

y Ax B

y A

y

Ax A B x

′

′′

���

��

⋅

⋅

⋅

+ + ≡

0

3

4

1

3 4 3 18

3 18

4 3 0

6

86 8

A

A B

A

By x

=

+ =

���∴

=

= −

���∴ = −

1 +2o o

. � � � �� �==== ++++ ++++ −−−−−−−− −−−−1 2

36 8

Alkuehdot:x

yC e C e C C

y C e C e

x

yC C C C

x x

=

=

���⇒ = + − ⇒ + =

′ = − − +

=

′ =

���⇒ = − − + ⇒ + =

− −

0

11 8 9

3 6

0

33 3 6 3 3

1

0

2

0

1 2

1 2

3

1 2 1 2

++ =

+ =

���⋅ −

⋅

= −

C C

C C

C

1 2

1 2

2

9

3 3

1

1

2 6

( )

∴ = − =C C2 1

3 12, ∴∴∴∴ ==== −−−− ++++ −−−−−−−− −−−−� �� �12 3 6 8

3.

19

*Seuraavasta DY:stä puuttuu y-termi, mikä aiheuttaa tässä esimerkissä

(mutta ei aina) sen, että täytyy käyttää x:llä kerrottua yritettä (yksityiskohdat

harj.)

*

. ( ) , .

.

Esim. 3

1o

′′ + ′ = +

+ = ⇔ + = ∴ = = −

∴ = + = +− −

y y x

r r r r r r

y C e C e C C ex x x

2 1

0 1 0 0 12

1 2

1

0

2 1 2

2o

1 2

2

.

.

Yrite = + johtaa ristiriitaan + .

Yrite = ( + ) eli = + sensijaan käy.

Suorita laskut. Vastaus on

y Ax B A x

y x Ax B y Ax Bx

vakio ei ole vakio

� ���≡

= + + −−

2 1

2

� � � � ��

*Seuraavassakin esimerkissä yritteet ovat poikkeuksellisia (harj.).

* ) sin

( sin cos ) sin cos .

Esim. 4 1 .o

a y y x r r i

y e C x C x C x C xx

′′ + = + = ∴ = ±

∴ = + = +

9 2 3 9 0 3

3 3 3 3

2

0

1 2 1 2

2 .o Yrite ei käy, sillä y A x B x= +sin cos3 3 nämä funk-

tiot ovat juuri samat kuin homogeenisen DY:n ratkaisut. Siksi

tarvitaan x:llä kerrottu yrite. (Käytä derivaattoja laskiessasi

tulon derivoimissääntöä.)

b y y y e x) .′′ + ′ + = −4 4 6 2 Homog. DY:n ratkaisu on Esim.1 mukaan

y e C C x C e C xex x x= + = +− − −2

1 2 1

2

2

2( ) .

Yritefunktioksi ei käy y Ae x= −2 eikä myöskään y Axe x= −2 ,

sillä nämä funktiot ovat mukana homog. DY:n ratkaisuissa (kun

valitaan C20= tai vastaavasti C

10= ). Siksi tässä esimerkissä

on käytettävä x2 :lla kerrottua yritettä y Ax e x= −2 2 .

*Jos edellisen DY:n oikealla puolella olisi ollut esim. 6 3ex− (siis eri

eksponentti kuin homogeenisen DY:n ratkaisussa), niin normaali yrite

y Ae x= −3 olisi ollut oikea yrite.

20

2.3 Sovelluksia

Esim. 5 $�������� �������� ��. Kappale, jonka massa

m = 4 , liikkuu pitkin s-akselia edestakaisin voiman F s= −16

vaikutuksesta. Muodosta liikkeelle

s s t= ( ) DY ja ratkaise se, kun

hetkellä t = 0 kappale on kohdassa

s =1 ja sillä on nopeus v = −2 3 .

Nopeudella on näin erikoinen arvo, jotta amplitudiksi saataisiin

kokonaisluku. Luonnollisempi arvo olisi esim. tämän nopeuden

likiarvo. Mittayksiköt on jätetty pois, jotta perusidea tulisi paremmin

esiin.

Lähtökohtana on liikelaki % ��==== , missä % �� ����� �����

���� ���� �����. Tässä esimerkissä mukana on vain "har-

moninen" voima F s= −16 . Diff.yhtälöön joudutaan sen kautta,

että kiihtyvyys on matkan toinen derivaatta: � � �==== ′′′′′′′′( ) .

�� % � � % %

� �

= = = ′′ = = −

′′ = −

∴ ′′ + =

∑m s

s s

4 16

4 16 4

, ,

:

.4 0

Kyseessä on homogeeninen vakiokertoiminen 2. kertaluvun DY.

Se ratkeaa siis karakteristisen yhtälön avulla seuraavasti:

r r i s e C t C t

C t C t

v s C t C t

t

sC C C

t

vC C

t2 0

1

1 2

1 2

1 2

1

0

2

1

2

1 1

4 0 2 2 2

2 2

2 2 2 2

0

11 0 0 1

0

2 32 3 2 0 3

+ = ⇔ = ± ∴ = +

= +

= ′ = −

=

=

���⇒ = + ⇒ =

=

= −

���

⇒ − = − ⇒ = −

∴ = − +

=

= =

�

� �

( sin cos )

sin cos

cos sin

sin cos

.� � �3 sin 2 cos2

Harmoninen liike muodostuu siis sini- ja kosinikomponenteista, joilla

kummallakin on sama jakso 2 2π π/ = .

Yleisesti funktion y t= sinω jakso on

T = 2π ω/ , sillä

sin /ω ω π π ωt t n t n= ⇔ = ⋅ ⇔ = ⋅0 ,

josta saadaan peräkkäisiä 0-kohtia 0 2, / , / ,...π ω π ω .

s

0 s

π/ω 2π/ω

21

*Koska komponenttiaalloilla on sama jakso, ne voidaan tarvittaessa (esim.

piirtämistä varten) yhdistää yhdeksi siniaalloksi seuraavasti:

s t t A

A t t

A t A t

= − + ≡ + =

≡ +

≡ +

3 2 2

2 2

2 2

sin cos , ?

(sin cos cos sin )

( cos )sin ( sin )cos

& �sin(2 )ϕϕϕϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

+= −

=

���

+ = + ∴ =

⇒

= − ∴ = −���

= ∴ = − =

A

A

A A

A

A

cos

sin

( )

( )

(cos sin )

sin

costan ,

/ / /

ϕ

ϕ

ϕ ϕ

ϕ

ϕϕ

ϕ π ϕ π π π

3

1

3 1 2

1

3

1

3

6 6 5 6

2

2

2 2 2

Jaetaan alempi yhtälö ylemmällä

2. neljännes, koska sini pos.

kosini neg.

Peruskulma o

∴� �= 2sin(2 +5 / 6)π .

Käyrä on viereisen kuvan

mukainen. Kohta −5 12π /

saadaan, kun tutkitaan

milloin s = 0 eli milloin

sin( / )2 5 6 0t + =π . Tämän

yksi ratkaisu on

2 5 6 0

5 12

t

t

+ =

∴ = −

π

π

/

/ .

Yhtälössä t:n kerroin 2 on värähtelyn kulmataajuus, jota merkitään

yleensä ω :lla. Siis tässä esimerkissä

kulmataajuus ω = 2 , jakso (jaksonaika) T = =2π

ωπ ,

frekvenssi eli taajuus fT

= =1 1

π.

Seuraavassa esimerkissä heikennetään harmonista voimaa F s= −16 ,

korvaamalla se voimalla F s= −13 . Samalla lisätään systeemiin vaimennus,

jonka suuruus on valittu sellaiseksi, että lopputuloksena on värähtely (nyt

vaimennettuna), jonka kulmataajuus ω on edelleenkin 2.

Esim. 6 $������� �������� ��. Kappaleeseen, jonka massa on

1, vaikuttaa harmoninen voima F s1

13= − ja vaimentava voima,

joka on verrannollinen nopeuteen: F v26= − (ns. �������

−5π/12

1π

s

t

π

22

�������). Johda liikkeelle DY ja ratkaise se, kun hetkellä

t = 0 kappale on kohdassa s =1 ja sillä on nopeus v = −1.

Tilannetta voidaan havainnol-

listaa oheisella kuvalla, jossa

systeemiin on lisätty jokin

vaimennin (esim. vajaatehoinen

iskunvaimennin).

�� %

� � � � � �

= = = ′′ = = − − = − − ′

⋅ ′′ = − − ′ ∴ ′′ + ′ + =

+ + = ∴ = − ± − = − ±

∴ = +=

=

���⇒ = ⋅ + ∴ =

= ′ = − ⋅ + + −

∑

−

− −

m a s F F s v s s

s s s DY

Kar yhtälö r r r i

t

sC

v s e C t C t e C t C

i

t t

1 13 6 13 6

1 13 6

6 13 0 3 9 13 3 2

0

11 1 0

3 2 2 2 2 2 2

2

2

3

1 2

3

1 2

, ,

. : .

( ) .

( sin cos ) ( cos sin

s 6s 13s 0

( sin2 cos2 ) 13t

1 2 2

homog.lin.

t

t

vC C C

)

.

.

=

= −

���⇒ − = − ⋅ + ⇒ − = − + ∴ =

∴ = +−

0

11 3 2 1 3 2

2 1 1�

� � �

1

3t

1

(sin2 cos2 )

*Yhdistetään vielä sini-ja kosinikomponentit: sin cos2 2t t+ . Koska niillä on

paitsi sama jakso (2 2π π/ = ) myös sama amplitudi, yhdistäminen käy

edellistä esimerkkiä helpommin trigonometrian tuloksen

sin cos sin( / )α α α π± = ±2 4

avulla. Näin saadaan tulos

� ��==== ++++−−−−2 2 43 sin( / )ππππ .

Kyseessä on vaimeneva, sinimuotoinen

värähtely, jonka amplitudi on 23e

t− .

Vaimennustekijä e t−3 pienenee hyvin

voimakkaasti t:n kasvaessa. Käyrä on

viereisen kuvan tapainen, mutta nope-

ammin vaimeneva (b:n arvo 3 on

piirtämistä ajatellen liian suuri jos s- ja

t-asteikoilla halutaan käyttää yhtä

pitkää mittayksikköä).

Edellisessä esimerkissä harmonisen voiman % ��==== −−−− ja vaimentavan

voiman % � �==== −−−− ==== −−−− ′′′′ββββ ββββ kertoimien k ja β suhde oli sellainen, että

tuloksena oli ns. ���� �������. Tämä näkyi laskuissa siten, että

s

0 s

t

s

s = Ae-bt

sin(ωt + ϕ)

s = Ae-bt

s = -Ae-bt

23

karakteristisen yhtälön juuret olivat imaginaariset ja siksi värähtelystä tuli

sinimuotoinen.

Jos suhdetta β/k suurennetaan (joko kasvattamalla vaimennusta tai heiken-

tämällä harmonista voimaa), karakteristisen yhtälön juuret muuttuvat reaali-

siksi ja ratkaisu on eksponenttimuotoa: s C e C e a bat bt= + >− −

1 20( , ) .

Kyseessä on ns. ����� ������� (vrt. auton jousitus ja kunnossa olevat

iskunvaimentimet) ja käyrä on esimerkiksi seuraavan kuvan tapainen.

Harj. A m F s F v

s v

= = − = −

= =

���1 5 6

0 0 1

1 2, , ,

( ) ( ).

Näiden välimuoto on ns. kriittinen vaimennus,

joka vastaa kaksoisjuuri-tapausta. Ratkaisu on

muotoa s e C C tat= +− ( )

1 2 ja käyrä ei eroa

kovin paljoa edellisestä.

Harj. B m F s F v s v= = − = − = =1 9 6 0 0 11 2

, , , ( ) ( ) .

Esim. 7 Lisätään edellisen esi-

merkin tapaiseen sys-

teemiin vielä värähte-

lyä "häiritsevä" pak-

kovoima (joka voi olla

esim. sinimuotoinen). Jos esimerkiksi m F s F v= = − = −1 5 21 2

, ,

ja pakkovoima on F t3

2= sin , niin DY:n ratkaisuksi saadaan

(kohtien 1 2o o+ avulla, tarkemmin harj.)

s e C t C t t tt= + + −− ( sin cos ) ( sin cos ).

1 2

1

52 2 2

Ensimmäisen termin edessä oleva ����������� e t− aiheuttaa

sen, että tämä termi → 0, kun t kasvaa. Siten jonkin ajan kuluttua

s t t t≈ − ≈ −1

5

5

52 0 46( sin cos ) sin( , ).

ts. systeemi värähtelee pakkovoiman kulmataajuudella ω =1, mutta tässä esimerkissä pakkovoimaa pienemmällä amplitudilla.

Pakkovoimaan 2sin t nähden s:ssä on ��� �� (��) 0,46.

s = C e + C e-bt-at

s

t

s

0 s

F= -ks F = -βv F = a sin ωt

24

Esim. 8 '(� )�* Lisätään aikaisemmin

käsiteltyyn RL-piiriin konden-

saattori, jonka kapasitanssi on C

ja joka on hetkellä t = 0 varaukseton. Uusi jännitehäviö

on verrannollinen varaukseen q

(verrannollisuuskertoimena 1/C):

� +�3

1==== .

Kirchhoffin lain mukaan jännitehäviöiden summa on = U, ts.

(1) L Ri q Udi

dt C+ + =1 .

Tässä yhtälössä on kaksi tuntematonta funktiota �==== ( ) ja

+ + �==== ( ) . Niitä sitoo kuitenkin toisiinsa se, että lyhyenä aika-

välinä dt kondensaattori saa varauksen dq i t dt= ( ) ts. että

�,+

,�( )==== . Siten ′ =i t

d q

dt( )

2

2. Kun nämä sijoitetaan yhtälöön (1),

saadaan

(2) ( ' + -, +

,�

,+

,� �

2

2

1++++ ++++ ==== .

Tästä saadaan ratkaistua varaus q, alkuehtoina q( )0 0= ja

i( )0 0= eli ′ =q ( )0 0 . Sen jälkeen i saadaan q:n derivaattana.

*Yhtälöstä (1) saataisiin myös i:lle DY seuraavasti. Koska

dq i t dt= ( ) , niin hetkeen t mennessä kondensaattori on saanut

varauksen

q i t dtt

= � ( )0

(sillä koko varaus on osavarausten summa)

Kun tämä sijoitetaan yhtälöön (1), i(t):lle saadaan differentiaali-

integraaliyhtälö

( ' � ,� -,

,� �

�

++++ ++++ ====�10( ) .

Tästä yhtälöstä seuraa derivoimalla i(t):lle 2. kertaluvun DY

(3) ( ' �,

,�

,

,� �

2

2

10++++ ++++ ====( ) ,

sillä

d

dt

td

dt

td

dtf t dt F t F t F F t f t( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0

0 0� = = − = ′ − = .

U L

R

u

2

1

u

i = i(t)

t = 0

C

u3

25

*Yhtälön (3) toinen alkuehto on i( )0 0= . Toinen i′ =( ) ?0 täytyy

laskea vastaavan RL-piirin i t n( ): lausekkeesta (ts. ajattelemalla,

että alussa kondensaattori on tyhjä, joten se ei vaikuta silloin

virran kasvusuuntaan).

*Esim. 9 .��������� ����, pituus ℓ , massa m. Johdetaan

heilahduskulmalle ϕ ϕ= ( )t DY.

ma F a F mg

m mg

g

g

= = ′′ = −

′′ = −

′′ + =

′′ + =

ℓ

ℓ

ℓ

ℓ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

, sin

sin

sin

sin .

0

0

Tämä ei ole lineaarinen DY. Jos oletetaan, että

heilahduskulman suurin arvo ϕmax

on aika

pieni, esim. alle π / 18 rad (=10o ), niin

sin ( lim )sin

ϕ ϕϕ

ϕ

ϕ≈ =

→sillä

0

1 .

Näin DY saadaan linearisoiduksi:

′′ + = = ∴ ′′ + =

+ = ∴ = ± − = ±

∴ = +

=

=

���⇒ = ∴ =

=

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ

ϕϕ

g g

t

k k

r k r k ki

e C kt C kt

tC C kt

ℓ ℓ0 0

0

0

00

2 2

2 2 2

0

1

1 2

2 1

Merkitään

kar. yhtälö:

( sin cos ).

sin .

�

Toisen integrointivakion C1 määrittäminen ei käy alkuehdon

avulla aivan tavanomaisesti, vaan seuraavalla päättelyllä. Koska

sinin suurin arvo on 1 ja ϕ :n suurin arvo on ϕmax

, niin täytyy

olla C1=ϕ

max. Siis

ϕ ϕ=max

sin kt .

Tästä saadaan tavallinen heilahdusajan T laskukaava seuraavasti:

mg

ϕ

F

26

tk k

k n T

TT T

Tk g

=

=

���

⇒ = ⇒ =

∴ = + ⋅ ∴ = =

4

4 4

4 2

1

1

2 2 2

ϕ ϕϕ ϕ

π π ππ

max

max maxsin sin

( ) .ℓ

*Esim.10 /�����,���� perustapaus. Taivutusmomentti

kohdassa x on

M F yt= ⋅ .

Sijoitetaan tämä taipumaviivan diff.yhtälöön:

′′ = − = − = − =

∴ ′′ + = + = ∴ = ±

∴ = +

=

=

���⇒ = ∴ =

=

=

���⇒ =

y y k y k

y k y r k r ki

y C kx C kx

x

yC y C kx

x

yC k

M

EI

F

EI

F

EI

t 2

2 2 2

1 2

2 1

1

0 0

0

00

00

( )

sin cos

sin

sinℓ

ℓ

Tästä lähtien käsittely ei ole "tavanomaista" vaan tapahtuu

seuraavasti. Koska C k1

0sin ℓ = , niin

1 0 0

1) Joko taipumaviivan yhtälö on =

ei nurjahdusta

C y= ⇒

⇒

2) Tai: sin ( , , , ...)k k n n

n

Fn EI

F

EI

ℓ ℓ

ℓ

ℓ

= ⇒ = ⋅ = ± ±

∴ = ⋅

=

0 0 1 2

2 2

2

π

π

π

Siten pienin voima, jolla nurjahdus tapahtuu, saadaan kun n =1:

FEI

=π 2

2ℓ

.

Nurjahdus eroaa palkin taivutuksesta mm. siten, että jos

vaikuttava voima on niin suuri, että nurjahdus tapahtuu, palkki

"taipuu alas asti" ts. niin paljon, että alku- ja loppupäät yhtyvät.

F

x

0y

x

y

+

27

HARJOITUKSIA

A

2.1 a) ′′ + ′ + =y y y16 64 0 , b) ′′ + =y y4 0 . c) ′′ + ′ + =y y y ex

22 .

2.2 ′′ − =

=

=

′ =

���

��−

y y e

x

y

y

x

,

/

0

0

1 2

.

2.3 a) ′′ − = −y y e

x

4 , b) ′′ + =y y xsin .

2.4 Kappaleeseen, jonka massa m =1, vaikuttaa harmoninen voima F s= − . a) Johda liikkeelle s s t= ( ) DY ja ratkaise se, kun hetkellä

t = 0 kappale on kohdassa s =1 ja sillä on nopeus v =1. b) Yhdistä sini- ja kosinikomponentit yhdeksi siniaalloksi. Ohje: Koska kompo-

nenteilla on sama amplitudikin, yhdistäminen käy helposti kaavan

sin cos sin( / )α α α π+ = +2 4 avulla. c) Piirrä kuvaaja.

2.5 Ratkaise Esimerkin 7 edellä mainitut kaksi vaimennetun värähdys-

liikkeen harjoitusta a) Harj. A ja b) Harj. B sekä kolmantena

c) m F s F v s v= = − = − = =1 5 2 0 0 11 2

, , , ( ) ( ) .

B

2.6 a) ′′ + = −y y x x4 6 3sin cos , alkuehtoina x

yja

x

y

=

=

���=

′ =

���0

4

0

6 ,

b) ′′ + ′ =y y x2 8 2sin , y y( ) , ( )0 1 0 0= ′ = .

2.7 Ratkaise Esimerkin 3 DY (vastaus esimerkin yhteydessä).

2.8 Seuraavista DY:istä ainakin yksi vaatii "vajautensa" vuoksi x:llä

kerrotun yritteen. Ratkaise nämä DY:t

a) ′′ − = +y y x4 2 1, b) ′′ − ′ = −y y x4 1 8 , c) ′′ + ′ =y y xsin .

Huom. Ole yleisesti tarkkana, kun muodostat "vajaalle" DY:lle kar.

yhtälön. Esim. c)-kohdassa väärä kar. yhtälö r2

1 0+ = antaisi

homog. DY:lle ratkaisun C x C x1 2sin cos+ ja sitten olisi loogista

käyttää x:llä kerrottua yritettä (joka kuitenkin johtaa ristiriitaan).

28

2.9 Määritä DY:n ′′ + ′ + =y y y8 7 0 sellainen ratkaisukäyrä, joka

leikkaa x-akselin origossa 45o kulmassa.

2.10 Määritä DY:n ′′ − =y y4 4 a) yleinen ratkaisu, b) sellainen

yksityisratkaisu, joka sivuaa suoraa y = 2x origossa.

2.11 Ratkaise ′′ − ′ + = +y y y x2 11

2

2 , alkuehtoina y y( ) , ( )0 1 0 2= ′ = .

2.12 Kappaleeseen, jonka massa m = 2 , vaikuttavat voimat F s18= − ja

F t t2

6 3= −sin cos . Johda funktiolle s s t= ( ) DY ja ratkaise se, kun

s ja v( ) ( )0 3 0 2= = .

2.13 Kappaleeseen, jonka massa = 1, vaikuttaa harmoninen voima −9s ,

vaimentava voima −6v ja pakkovoima 4 2e

t− . Muodosta ja ratkaise

liikkeen DY.

2.14 Kappaleeseen, jonka massa m = 2, vaikuttavat voimat F v1

4= − ja

F t2

10 2= sin . Muodosta matkalle s s t= ( ) DY ja määritä sen

yleinen ratkaisu.

2.15 Kappaleeseen, jonka massa = 1, vaikuttavat voimat F v1

2= − ja

F t2

8 2= sin . Muodosta matkalle s s t= ( ) DY ja ratkaise se, kun

s( )0 1= ja v( )0 0= .

2.16 Ratkaise Esimerkin 4 diff.yhtälöt a) ja b).

C

2.17 Kappaleeseen vaikuttaa a) vain harmoninen voima F ks= − , b) myös

vaimentava voima F v= −β , c) näiden lisäksi pakkovoima F tosinω .

Merkitään k

m o=ω 2

, β

δm= 2 ja

F

m o

o

K= . Muodosta näiden kolmen

tapauksen diff.yhtälöt.

2.18 Viereisen kuvan mukaisessa RC-piirissä

katkaisija suljetaan hetkellä t = 0, jolloin

virta i kasvaa heti ohmin lain mukaiseen

arvoon ja kondensaattori alkaa varautua. a)

Muodosta i:lle DY ja ratkaise se. b) Laske

varauksen q lauseke (integroi i(t):n lauseke).

R

CU

29

2.19 Ratkaise RCL-piiri erityisarvoilla U V=10 , R = 2� , C F= 1

5,

L H=1 . Katkaisija suljetaan hetkellä t = 0, jolloin kondensaattori on

varaukseton.

2.20 RCL-piirissä R L H C F= = = ⋅ −16 0 02 2 10 4( ), , ( ), ( )� , U V=12 ( ) .

a) Muodosta varauksen yleinen lauseke. b) laske i:n lauseke, kun

q i( ) ( )0 0 0= = . Myöhemmin virtapiirejä käsitellään ns. Laplace-

muunnosten avulla.

2.21 Ratkaise ′′′ − ′′ + ′ =y y y ex

3 2 kahdella eri tavalla: a) käyttämällä

karakteristista yhtälöä ja yritettä samaan tapaan kuin edellä, b)

merkitsemällä ′ =y u , jolloin saat u:lle 2. kertaluvun diff. yhtälön.

2.22 Ratkaise ′′ + ′ = >y y x xx

1 0, merkitsemällä ′ =y u ja käyttämällä

vakion variointia (joka esiteltiin edellisen luvun C-tehtävissä).

2.23 Todista, että DY:llä x y xy y2

3 0′′ − ′ + = on muotoa y xr= oleva

ratkaisu ja määritä r.

2.24 Ratkaise DY-ryhmä′ + ′ + =

′ − ′ + = +

���y z y x

y z z x

2 2

2 2 1, missä y y x z z x= =( ), ( ) .

2.25 Seuraavassa tehtävässä saadaan liikkeelle 1. kertaluvun DY, joka

muodostetaan samantapaisesti kuin harmonisessa liikkeessä: Putoa-

vaan kappaleeseen vaikuttaa maan vetovoima F mg= ja ilmanvas-

tus, joka on verrannollinen nopeuden johonkin potenssiin: F kvr= .

a) Muodosta nopeudelle v DY. b) Ratkaise DY siinä tapauksessa,

että r =1. c) Laske tapauksessa r = 2 rajanopeus v∞ ts. nopeuden

raja-arvo, kun t→∞ .

Ohje: Rajanopeus saadaan selville DY:stä ratkaisematta diff.

yhtälöä, sillä kun t→∞ , niin nopeuskäyrän tangentin kulmakerroin

eli v' lähenee nollaa (koska nopeus vakioituu).

2.26 Kanootti (massa m) työnnetään liikkeelle nopeudella 5 (m/s).

a) Johda kanootin kulkemalle matkalle s = s(t) diff.yhtälö ja ratkaise

se, kun oletetaan, että kanoottiin vaikuttaa vain väliaineen vastus,

joka on on suoraan verrannollinen nopeuteen (F = –kv).

b) Minkä muodon ratkaisu saa, jos tiedetään, että kanootti pysähtyy

15 m päähän?

30

3 Trigonometristen funktioiden käänteisfunktiot

3.1 Käänteisfunktio ja sen derivaatta

Funktion f perusominaisuus on se, että jokaista x:n

arvoa, joka kuuluu määrittelyjoukkoon, vastaa

yksikäsitteinen y:n arvo. Nämä y:n arvot eivät aina

ole eri suuria. Esim. paraabelilla y x= 2 x:n arvoja

+2 ja –2 vastaa sama y:n arvo 4.

Jos funktio kasvaa tai vähenee aidosti, niin eri x:n

arvot kuvautuvat erisuurille y:n arvoille. Siten

tällaisilla funktioilla y f x= ( ) jokaista y:n arvoa-

kin vastaa yksikäsitteinen x:n arvo x g y= ( ) ts. g

täyttää funktion perusominaisuuden. Yhtälön

x g y= ( ) määrittelemää funktiota g sanotaan f-

funktion ���������������� ja sen merkkinä on

(teoreettisissa tarkasteluissa) f −1 . Tässä yhteydessä –1 ei tarkoita tavallista

negatiivista eksponenttia.

Esim. 1 funktio käänteisfunktio

y x= +2 1 ⇔ xy

=−1

2

y x= 3 ⇔ x y= 3

y x= ln ⇔ x ey= .

Koska esim. y x= ln ⇔ x ey= , ts.

kyseessä on sama yhtälö vain

kahdessa eri muodossa, niin näiden

funktioiden kuvaajat xy-koordinaa-

tistossa ovat samat. Jos jälkimmäi-

sessä yhtälössä vaihdetaan x ja y

keskenään, jolloin x tulee riippumat-

toman muuttujan (eli argumentin) ja y

funktion merkiksi, niin uuden yhtälön

y ex= kuvaaja on entiselle kuvaajalle

symmetrinen suoran y = x suhteen.

x

y

y=f(x) eli

x=g(y)y

x

(1,e)

(e,1)

y = ln x elix = ey

y = ex

31

Lause 1 Käänteisfunktioiden derivaatat ovat toistensa käänteislukuja:

��

� �

��

====1.

Esim. 2 Jos logaritmifunktion derivoimissääntö tunnetaan, sen avulla

voidaan johtaa eksponenttifunktion derivoimissääntö seuraavasti.

Koska y ex= ⇔ x y= ln , niin

D eD y

y ex

y

x= = = =

1 1

1ln

.

Joskus funktio saadaan ������ ����������, ts. aidosti kasvavaksi tai

väheneväksi, kun rajoitetaan funktion määrittelyjoukkoa. Siten funktiolle

saadaan käänteisfunktio. Esimerkiksi funktiolla y

= x2 rajoitettuna x:n positiivisiin arvoihin on

käänteisfunktio:

y x x= >20, ⇔ x y= .

Vastaavasti funktiolla y = sin x rajoitettuna väliin

− ≤ ≤π π/ /2 2x (vrt. seuraava kuva) on

käänteisfunktio x y= arcsin (lue: arkussini y).

Ohjelmistoissa on usein

lyhenteen arcsin tilalla

asin tai asn. (Ehkä

matematiikassakin olisi

syytä siirtyä näihin.)

3.2 Arkusfunktiot

Arkussini. Edellisen mukaan

y x x x y= − ≤ ≤ ⇔ =sin , / / arcsinπ π2 2 .

Kun tässä vaihdetaan x ja y keskenään ja luetaan

päättely oikealta vasemmalle, saadaan tulos

(1) � � ==== ⇔⇔⇔⇔ ==== −−−− ≤≤≤≤ ≤≤≤≤arcsin sin , / /ππππ ππππ2 2 .

Täten käyrä y x= arcsin on sama käyrä kuin

x y y= − ≤ ≤sin , / /π π2 2 , ts. kyseessä on

y = x , x > 0

eli x = y

2

−π/2

π/2

y = sin x, -π/2 < x <π/2

eli x = arcsin y

-1

1

π/2

−π/2

y=arcsin x

32

pätkä y-akselin ympärillä aaltoilevasta sinikäyrästä.

Tuloksen (1) mukaan y eli arcsin x toteuttaa

ehdot sin y x= , − ≤ ≤π π/ /2 2y , ts.

������� �� �� ���������� ����� ��������−−−− ≤≤≤≤ ≤≤≤≤ππππ ππππ/ /2 2 �������������������.

Siten esim. arcsin1

2 = sellainen kulma

väliltä [ , ]− π π2 2

, että sen sini on 12. Tällainen kulma

on π6. Siis

Esim. 3 arcsin1

2 6= π .

arcsin( )− = −3

2 3

π (kuva),

arcsin 2 ei ole määritelty, sillä ei ole

olemassa kulmaa, jonka sini olisi 2,

arcsin( , ) ,− ≈ −0 234 0 236 (laskimessa ehkä sin−1 tai inv sin),

arcsin( )− = −1

2 6

π .

*Yleisesti

(2) arcsin arcsin( )−−−− ==== −−−−� � ,

sillä viereisessä kuvassa kulma, jonka sini on x, on

α ja kulma, jonka sini on –x, on −α , ts.

arcsin x =α ja arcsin( )− = −x α .

*Yhtälön (2) mukaan arcsin � on pariton funktio.

Koska y x x y y= ⇔ = − ≤ ≤arcsin sin , / /π π2 2 , niin lauseen 1 nojalla

D xD y y y x

arcsinsin cos sin

= = =+ −

=−

>

1 1 1

1

1

1

0

2 2�.

Siis

(3) � ��

arcsin ====−−−−

1

12

Esim. 4 D x

x x

arcsin( )

21

1 22

2

1 42 2=

−⋅ =

− (sisäfunktiona 2x).

xα

1

α = arcsin x

(α on kulma, jonka sini on x)

1

2- 3

1�

-�

αααα

−αααα

33

Esim. 5 dx

x

x

1 4 6 122 1/2

2 2

1/2

2 2

−== = − =� //

arcsinπ π π

.

*Arkuskosini. Kun kosinifunktio rajoitetaan välille 0...π , se on monoto-

nisesti vähenevä ja saa (kertaalleen) kaikki arvonsa –1...1. Täten voidaan

määritellä

y x x y y= ⇔ = ≤ ≤arccos cos , 0 π .

Siis arccos x on sellainen kulma väliltä [ , ]0 π , että sen kosini on x.

Esim. 6 arccos , arccos( )1

2 3

1

2 3

2

3= − = − =π π ππ .

Yleisesti (vrt. kuva)

(4) arccos( ) arccos−−−− ==== −−−−� �ππππ .

Arkuskosini ei siis ole parillinen funktio kuten

kosini. Arkuskosini voidaan esittää arkussinin avulla

seuraavasti (vrt. viereinen kuva):

(5) arccos arcsin� �==== −−−−ππππ2

.

Tästä seuraa, että

� � � ��

arccos arcsin==== −−−− ==== −−−−−−−−

1

12.

Arkustangentti. Tangettifunktiolla rajoitettuna

avoimelle välille − π π2 2... on käänteisfunktio:

y x x y y= ⇔ = − < <arctan tan ,π π2 2

.

Siis arctan x on sellainen kulma väliltä

− π π2 2… , että sen tangentti on x.

Esim. 7 arctan 33

= π ,

arctan( )− = −33

π .

*Yleisesti: arctan x on pariton funktio.

1βαx-x

α = arccos x

β = arccos(-x)

x

1

α

β

α = arcsin x

β = arccos x

β=π/2−α

π

y = tan x

y = arctan x

34

*Seuraavalla tuloksella voi olla käyttöä mm. ohjelmoinnissa:

(6) arcsin arctan� �

�====

−−−−1 2.

*sillä viereisessä kuvassa α on sekä kulma, jonka sini

on x että kulma, jonka tangentti on x x/ 12− .

(Funktioiden parittomuuden takia voidaan olettaa, että x > 0.)

Koska y x x y y= ⇔ = − < <arctan tan ,π π2 2

, niin

D xD y y x

arctantan tan

= =+

=+

1 1

1

1

12 2

.

Siis

(7) � ��

arctan ====++++

1

12.

Esim. 8 1 3 11

1 3 13

3

9 6 22 2) arctan( )

( )D x

x x x

+ =+ +

⋅ =+ +

.

21 4 4 221

1

1

1

) arctan ( ) .dx

xx

+= = − − =

− −� π π π

3.3 Integroimismenetelmiä. Areafunktiot

Arkussinin ja arkustangentin derivoimiskaavoilla on integroinnissa merki-

tystä laajemmaltikin, sillä eräät integraalit palautuvat näihin, kun käytetään

apuna sijoitusta ja neliöintiä.

Esim. 9dx

xsij x t dx dt

dt

tt C x C

1 4

2 2

1

2

2

1

2

2

1

2

1

2

−= ∴ =

=−

= + = +

��

.

arcsin arcsin .

*( )

.

arctan arctan( ) .

Esim. 10dx

x x

dx

x

sij x t

dx dt

dt

tt C x C

4 4 2 2 1 1

2 1

2

12 1

2 2

1

2

2

1

2

1

2

+ +=

+ +

+ =

=

=+

= + = + +

���

α

�1

1 - �2

35

Esim. 11dx

x a

sij x at

dx adt

adt

a t a a

dt

t at C

a

x

aC

2 2

2 2 2 2

1

1

1 1

+

=

=

=+

=+

= + = +

���

.

arctan arctan .

Siis

��

� � �

�

��

2 2

1

++++==== ++++� arctan ja vastaavasti

��

� �

�

��

2 2−−−−==== ++++� arcsin .

Kaavastossa on kolme lähes samannäköistä integraalia, mutta niiden tulokset

ovat eräitä logaritmifunktioita:

��

� � �

� �

� ��

��

� �� � � �

��

� �� � � �

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

1

2−−−−====

−−−−

++++++++

−−−−==== ++++ −−−− ++++

++++==== ++++ ++++ ++++

�� �

ln ,

ln , ln( ) .

Esim. 12dx

x

dx

x

x

x

sillä a aa

4 4

1

2 2

2

2

1

4

1

31

3 1

20

1

20

1

0

1

1

4

1

3

1

4

1

−= −

−= −

⋅

−

+= −

−− −

= − = = − = −

� � ln (ln ln )

ln ln ( ln ln ln ln ).

Edelliset tulokset voidaan perustella esim. derivoimalla oikeat puolet.

Varsinaisesti ne ovat peräisin hyperbelifunktioiden käänteisfunktioiden eli

ns. ������������� derivoimiskaavoista.

*Koska hyperbelifunktiot ovat eksponenttifunktioyhdelmiä, on luonnollista,

että niiden käänteisfunktiot ovat eräitä logaritmifunktioita. Esim.

y xe e

x ar y y y

x x

= =−

⇔ = = + +−

sinh sinh ln( ).2

12

*Tod. Ratkaistaan x yhtälöstä e e

y

x x−=

−

2:

e e y e

e ye e y y

x y y

x x x

x x x

− = ⋅

− − = ⇔ = ± + − >

⇔ = + +

−2

2 1 0 1 0

1

2 2

2

( )

ln( ).

ei käy, sillä ex

36

HARJOITUKSIA

A

3.1 Jos mahdollista, laske seuraavat arvot ilman laskinta, taulukkoja tms.

(erikoiskolmion tai trig.ympyrän avulla) ja tarkista tulokset laskimen

avulla. Tulokset radiaaneina.

a) arcsin 3

2, b) arcsin1 , c) arcsin 0 , d) arcsin( )− 3

2

e) arcsin( )− 2

2 + arcsin( )− 1

2, f) arcsin 3

5 g) arcsin 5

4,

h) 2arcsin( )−1 +3 1

2arcsin( )− .

3.2 Kuten edellinen, mutta arkussinin tilalla arkuskosini.

3.3 Kuten 3.1., mutta a) arctan 3 , b) arctan( )− 1

3, c) arctan 2 ,

d) 32 1

3arctan ( )− , e) arctan( )− 1

3

2 .

3.4 Derivoi a) arcsin 1

x, b) ln arcsin x , c) 2 3arcsin t , d) x x

2arcsin .

3.5 Derivoi a) arctan 3x , b) arctan x c) arctan ex2 .

3.6 a) dx

x120

1 2

−� / , b)

2

12

xdx

x−� , c) .

2

123 2

3 2 dt

t−−� /

/

.

3.7 a) dx

x120

1

+� , b)

xdx

x120

1

+� , c)

ds

s21

3

1+−� .

3.8 Laske sopivan sijoituksen avulla dx

x1 920

1 3

+� / .

3.9 a) dx

x20

3

9+� , b)

ds

s29−

� , c) dt

t2

4−� .

3.10 Laske neliöinnin ja sopivan sijoituksen avulla dx

x x2

6 13+ +� .

3.11 Laske neliöinnin ja sopivan sijoituksen avulla dx

x x2

4+� .

37

B

3.12 Johda lauseen 1 avulla funktion y x= 3 derivaatan lauseke.

3.13 a) D xarcsin , b) D xarcsin( )2 1− , c) Dx

arccos2

1+.

3.14 Laske Dx

xarctan

1

1

+

−.

3.15 Laske sijoituksen x t= 2sin avulla 42

−� x dx ja tarkista tulos

kaavastosta löytyvän kaavan

a x dx a x Cx a x

a

2 2

2

2 2

2

2

− = − + +� arcsin

avulla. (Tämä kaava johdettaisiin samantapaisesti.)

3.16 Laske arcsin( ) arccos( )− −t ja t , jos tiedetään, että arcsin tb

=−π

4.

3.17 a) dx

x321

3

+−� , b) dx

x x4 4 32+ +

� , c) du

u23

4

4−� .

3.18 a) 2 1

1

2

2

x

xdx

+

+� (suorita jako) b)

x

x

dx+

−� 1

42

, c) dx

x1 92+

�

C

3.19 Esitä yhtälön sin x a= ratkaisut arkusfunktioita (lukua arcsin a )

käyttäen siinä tapauksessa, että a) a ≥ 0 , b) a < 0 (Vihje: mikä on

peruskulma?)

3.20 Kuten edellinen, mutta arkussinin sijalla 1) arkuskosini, 2) arkus-

tangentti.

3.21 Osoita, että jos a > 0, niin

dx

x x a

sign x

a

a

xC

2 2−= − +� arcsin , missä sign x on x:n

etumerkkifunktio (signum), ts. sign xjos x

jos x=

≥

− <

���1 0

1 0

,

,.

38

3.22 Esitä arccos x arkustangentin avulla.

3.23 Tulos arccos arcsinx x= −π2

perusteltiin vain kolmion avulla, ts.

olettamalla, että x on positiivinen. Todista se siinä tapauksessa, että

x on negatiivinen.

3.24 Tulos sin(arcsin )� �==== pitää paikkansa aina kun arcsin x on määri-

telty (ts. kun x ≤1), sillä aina "sini kulmasta, jonka sini on x, on x".

a) Määritä tämän avulla funktion y x= −arcsin 23

4

π käänteisfunktio.

Sen sijaan arcsin(sin )� ei aina ole = x, koska arkussinin arvon

täytyy olla aina välillä − π π2 2... , mutta x voi olla minkä kokoinen

kulma tahansa. Ainoastaan, jos x rajoitetaan välille − π π2 2... , niin

arcsin(sin )x x= .

Niinpä esim. arcsin(sin )4

3 3

π π= − (sillä kulma, jonka sini on muuten

sama kuin kulman 4

3

π sini, mutta joka on välillä − π π2 2... , on − π

3.

Laske vastaavasti seuraavat arvot ja tarkista tulokset laskimella:

b) arcsin(sin )2 , c) arcsin(sin )4 , d)arcsin(sin )6 . e) arcsin(cos )5

6

π .

3.25 Laske yleisesti arcsin(cos )x , kun x on a) välillä π π2... , b) välillä

3

22

π π... . Ohje: Merkitse arcsin(cos )x y= , jolloin

sin cos ,sin sin

sin( )

y x yn

tai nx

= − ≤ ≤= ⇔ = + ⋅

= − + ⋅−

π

π πα β α β π

α π β π

2

2 2

2

2� .

Ratkaise tästä kaikki y:n arvot ja valitse niistä oikea.

39

4 Murtofunktion integrointi

4.1 Perustapauksia

������������ ovat muotoa a x

b x

( )

( ), missä a(x) ja b(x) ovat polynomeja.

Aikaisemmissa luvuissa on esiintynyt lähinnä sellaisten murtofunktioiden

integrointia, joiden nimittäjissä on vain yksi jaoton tekijä tai tällaisen tekijän

potenssi. Seuraavassa esimerkissä on tällaisia "perustapauksia".

Esim. 1 adx

x

dx

xx C

bdx

xx dx

xC

xC

) ln ,

)( )

( )

( )

( ),

2 1

2

2 12 1

2 12 1 2

2 1

3 1

1

4 2 1

1

2

1

2

3

1

2

3

1

2

3 1

2

+=

+= + +

+= + ⋅

=+

− ++ = −

++

� �� � −

− +

cx

xdx

x

xdx x C

ddx

xC

edx

xC

x

x

x

) ln( ) ,

) arctan ,

) ln ,

2

1

2 2

1

2

2

2

1

2 2

2

1

4

2

2

3

2

33

4

4

+=

+= + +

+= +

−= +

� ��� −

+

fdx

x x

dx

x

sij x t

dx dt

dt

tC Ct x

)( )

.

arctan arctan .

4 4 5 2 1 4

2 1

2

4

2 2

1

2

2

1

2

1

2 2

1

4

2 1

2

+ +=

+ +

+ =

=

=+

= ⋅ + = +

��

� +

�������� � �� �������≥≥≥≥���������� ���������������������� ������������� � �� �� joko jakokulmassa tai esim. seuraavalla tavalla:

Esim. 2x

xdx

x

xdx

x

xdx

xdx x x C

1 2

2

2 1

2 1 1

2 1

11

2 12 1

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

−= −

−= −

− +

−

= − +−

= − + − +

���� ( ) ( ln )

Jos suoritat jaon jakokulmassa, polynomien termien täytyy olla jakokul-

massa x:n alenevien potenssien mukaisessa järjestyksessä. Kokeile esim.

40

4 4 23 17

2 3 2

4 7

2 3 2

3 2

2 22 5

x x x

x x

x

x x

x− − +

+ −− ++ −

= − + .

Yleisesti yllä olevan esimerkin tapaisen jaon tulos on muotoa

a x

b xq x

r x

b x

( )

( )( )

( )

( )= + ,

missä q(x) on osamääräpolynomi ja r(x) jakojäännöspolynomi, jonka aste on

alempi kuin jakajapolynomin b(x) aste.

Koska polynomi q(x) on helppo integroida, tehtäväksi jää sellaisen murto-

funktion integrointi, jossa osoittaja on alempiasteinen kuin nimittäjä.

4.2 Osamurtoihin jako

�� �������� � �� on menetelmä, jolla sellainen supistetussa muodossa

oleva murtofunktio, jonka osoittaja on nimittäjää alempiasteinen ja jonka

nimittäjässä on vähintään kaksi jaotonta tekijää, voidaan "paloitella osiin"

(osamurtoihin).

Esim. 3 Ix

x xdx=

− +

+ −� 4 7

2 3 22

.

(Vaihtoehtoinen esim. x

x xdx

2

23 2+ +∫ . Se vaatii ensin jaon.)

Nimittäjän 0-kohdat ovat 12

2ja − , joten sen tekijöihin jako on

2 3 2 2 2 2 1 22 1

2x x x x x x+ − = − + = − +( )( ) ( )( )

Yritetään jakaa integroitava funktio kahteen osaan, kahden osa-

murron summaksi seuraavasti:

− +

− +≡

−+

+

4 7

2 1 2 2 1 2

x

x x

A

x

B

x( )( ).

Kertoimien A ja B määrittämistä varten kerrotaan tämä yhtälö

vasemman puolen nimittäjällä:

− +

− +≡

−+

+⋅ − +

− + ≡ + + −

4 7

2 1 2 2 1 22 1 2

4 7 2 2 1

x

x x

A

x

B

xx x

x A x B x

( )( )( )( )

( ) ( )

Kun ���� � �� � ������������������� , saadaan A:n ja B:n

määrittämiseksi seuraava yhtälöpari:

41

++ = −

− =

���⋅

⋅

= ∴ = = −

A B

A B

A A B

2 4

2 7

1

2

5 10 2 3

(

,

x:n kertoimet)

(vakiotermit)

∴ =−

−+

= − − + +�Ix x

dx x x C( ) ln ln2

2 1

3

22 1 3 2 .

Yleisesti voidaan todistaa, että

1) jokainen reaalikertoiminen polynomi jakautuu �:ssä jaotto-

miin tekijöihin, jotka ovat lineaarisia tai 2. astetta,

2) jokainen (reaalikertoiminen, supistettu) murtofunktio, jonka

osoittaja on alempiasteinen kuin nimittäjä, voidaan jakaa

osamurtoihin. Osamurtokehitelmän muoto riippuu nimittäjän

tekijöistä seuraavan neljän esimerkin mukaisesti:

1) ������������������ �������� �� ���� �� :

− +

− +≡

−+

+

4 7

2 1 2 2 1 2

x

x x

A

x

B

x( )( ) (Esim. 3 edellä),

2) Nimittäjässä on �������� ������� ����������:

3 7 4 1

1

3 2

3

x x x

x x

A

x

− + +

−≡ + +

−+

−( )

B

x -1

C

(x 1)

D

(x 1)2 3

3) Nimittäjässä on � �������� �����������:

3 4

1 2 3 1 2 3

2

2

0

2

x x

x x x

A

x x x

jaoton diskr

+ −

− + +≡

−+

+ +

<

( )( )

( . )

� ��� ���

Bx +C

*4) Nimittäjässä on �������� ����� �������� �����������:

3 4 2 1

1 1 1

4 3 2

22 2 2 2

x x x x

x x

A

x

Bx C

x

Dx E

x

jaoton

− + − +

+≡ +

+

++

+

+( ) ( )���

(Murtofunktioiden 2) - 4) kertoimet ovat seuraavat:

2) A B C D= = = = −1 2 0 1, , , , 3) A B C= = = −1 2 1, , .

4) A B C D E= = = − = = −1 2 1 0 1, , , , .)

42

Esim. 4x

x xdx

x

x

x x

A

x

B

x

Cx D

xx x

x Ax x B x Cx D x

−

+ +

−

+≡ + +

+

+⋅ +

− ≡ + + + + +

� 1

4 4

1

4 44

1 4 4

2 2

2

2 2 2 2

2 2

2 2 2

( )

( )( )

( ) ( ) ( )

on 2 - kertainen lineaarinen tekijä

x on jaoton 2. asteen tekijä2

Kun verrataan vastinpotenssien kertoimia, saadaan seuraava

yhtälöryhmä:

A C x n

B D n

A x n

A B

C D

+ =

+ =

=

−

�

���

���

∴= = −

= − =

�����

0

0

4 1

3

1

4

1

4

1

4

1

4

( : )

:

( :

,

,

kertoimet

(x kertoimet)

kertoimet)

4B = 1 (vakiotermit)

2

∴ = − +− +

+= + +

−

+� �I

x x

x

xdx x

x

x

xdx

1

4 2 2

1

4 2

1 1 1

4

1 1

4( ) (ln ) .

Jäljellä olevan integraalin laskeminen:

1

4 4

2

44

2 2

1

2 2

1

2 2

1

2

2−

+=

+−

+= − + +� � �x

xdx

dx

x

x dx

xx C

xarctan ln( ) .

Vastaus voidaan kirjoittaa esim. muotoon

Ix

xC

x

x=+

+ + +1

8

2

2

2

24(ln arctan ) .

Kokeile, missä muodossa valmisohjelmat (MathCad, Matlab, Mathematica,

Maple tms.) antavat edellisen vastauksen. Esim. Mathematica-ohjelma

laskee osamurtokehitelmän Apart-käskyllä. Kehitelmän saat takaisin yhdeksi

murtofunktioksi Factor-käskyllä.

Jos nimittäjä muodostuu ainoastaan yhden lineaarisen tekijän potenssista ja

osoittajassakin on x:ää, vaatii sekin osamurtoihin jaon, mutta kehitelmä

saadaan joskus helpommin kuin edellisellä tavalla seuraavasti:

3 1

2

3 2 5

2

3

2

5

22 2 2

x

x

x

x x x

−

−≡

− +

−≡

−+

−( )

( )

( ) ( ).

43

*Esim. muotoa Ax B

x x

+

+ +22 5

oleva osamurtotermi integroidaan neliöimällä

nimittäjä ja käyttämällä sijoitusta sillä tavoin kuin arkusfunktioita koskevan

luvun loppuosassa on esitetty.

*Neliöinnin ja sijoituksen avulla esim. funktion Ax B

x x

+

+ +( )2 22 5 integrointi

johtaa integraaliin 1

12 2( )tdt

+� , jolle löytyy kaavastosta palautuskaava.

*Osamurtokehitelmiä tarvitaan paitsi integroinnissa myös esim. Laplace-

muunnosten yhteydessä.

*Esitetään vielä muutama tekijöihinjakoesimerkki:

x x x x x x x x x3 2 22 5 6 1 6 1 2 3+ − − = + + − = + − +( )( ) ( )( )( ) ,

2 7 4 2 2 1 43 2 12

2 2

1 16 0

x x x x x x x x

D

+ + − = − + = − + +

= − <

( )( ...) ( ) ( ) ,

jaoton,

� �� ��

x x x x3 22 5 2 095− − = − +( , ...)( ...) (haarukointi tms. ja jakokulma),

x x x x x x

x x x x

4 4 2 2 2 2 2

2 2

1 2 1 2 1 2

1 2 1 2

+ = + + − = + −

= + − + +

( )

( )( ).

HARJOITUKSIA

A

4.1 a) x

xdx

−−� 11

0

, b) x

xdx

1−� , c)

4

2 1

2x

xdx

+� .

4.2 a) x

xdx

−

+� 1

12

b) x x

xdx

2

20

1 2

1

+

+� .

4.3 Muodosta osamurtokehitelmä: a) x

x x

−

+

4

22

, b) 2

12s −

.

4.4 Muodosta osamurtokehitelmä ja integroi

a) x

x xdx

−

+� 1

2, b)

5

2 7 32

x xdx

− +� .

4.5 Mikä on funktion s s

s s s

2

3 2

3 2− −

+ + osamurtokehitelmä?

44

4.6 Laske x

x xdx

2

3 22

3 1+

−� .

4.7 Esitä funktion a) ax b

x x x

2

2 2 32 2

+

− +( ), b)

ax b

x x x

2

2 2 22 1

+

− +( ) osamurto-

kehitelmän muoto (kertoimien arvoja ei tarvitse laskea)?

B

4.8 a) x

x xdx

2

22+ −

� , b) x x

x xdx

2

2

3 26

1 9

− +

+ +�( )( )

.

4.9 Laske dx

x x4 42−

� a) käyttämällä osamurtoihin jakoa, b) neliöinnin

ja sijoituksen avulla, c) kaavaston kaavalla dx

ax bx c2 + +� .

4.10 Muodosta funktion 4 2

1 1

2

2 2

s s

s s

+

+ +( )( ) osamurtokehitelmä.

4.11 a) 3 5

22

x

x xdx

+

+� , b)

8 4

44 2

x

x xdx

−

+� .

4.12 a) x

x xdx

2

3 2

1+

−� , b)

3 1

1 120

1 x

x xdx

+

+ +�( )( )

.

C

4.13 dt

t30

1

1+� . 4.14

3 2

2

2

3

x x

x xdx

− +

+ −� .

4.15 Voidaan todistaa, että (reaali-tai kompleksikertoiminen) polynomi

jakautuu kompleksilukualueella lineaarisiin tekijöihin, ja jos a bi+

on polynomin nollakohta, niin samoin on a bi− . Tekijöiden

x a bi− +( ) ja x a bi− −( ) tulo antaa reaalikertoimisen toisen asteen

tekijän, joka on reaalilukujoukossa � jaoton (koska sen nollakohdat

eivät ole reaaliset). Millaisia ovat näiden tulosten perusteella a)

kolmannen, b) neljännen asteen reaalikertoimisen polynomin

jaottomat tekijät reaalilukualueella?

45

5 Trigonometristen funktioiden integrointi

5.1 Perustapauksia

Esim. 1 1) sin( ) cos( )ax b dx ax b Ca

+ = − + +� 1 ,

2) tansin

cosln cosω

ω ω

ωω

ω ωt dt

t

tdt t C= −

− ⋅= +�� −1 1 ,

Eräs päämenetelmä trigonometristen funktioiden integroinnissa on ���������

���������. Kertaa se, ellet hallitse sitä hyvin (I osa, luku 7)!

Integraalien sin2x dx� ja cos

2x dx� laskemiseen on aikaisemmin käytetty

yleensä palautuskaavaa. Eksponentista 2 päästään eroon myös kaavoilla

cos cos sin

.

2 2 1 1 22 2α α α

α α α α

= − = −

∴ = − = +sin (1 cos2 ), cos (1 cos2 )2 1

2

2 1

2

Esim. 2 sin ( cos ) (sin

)

( sin ) ( ) .

/ / /2

0

41

2 0

41

20

4

1

2 4

1

6

3

2 8

1

12 8

1

12

3 1 66

6

1

t dt t dt ttπ π π

π π π π

� �= − = −

= − = − − = +

*Palautuskaavan käyttäminen olisi vaatinut ensin sijoituksen 3t u= .

*Integraalin tan2x dx� laskemisessa voidaan käyttää palautuskaavan

sijasta tietoa D x xtan tan= +1 2 seuraavasti:

Esim. 3 tan ( tan ) tan .2 2 1

55 1 5 1 5x dx x dx x x C= + − = − +�� � �� ��

5.2 Tulot sin �� cos �� , sin �� sin ��, cos �� cos ��

Jos � = �, niin otsikon mukaisten tulojen integroinnissa voidaan käyttää

apuna kaavaa sin sin cos2 2αααα αααα αααα==== (vrt. Esim. 5 jäljempänä).

Jos taas a b≠ , nämä tulolausekkeet integroidaan siten, että muutetaan "tulot

summiksi" seuraavien trigonometristen kaavojen avulla:

46

sin sin cos( ) cos( )

cos cos cos( ) cos( )

sin cos sin( ) sin( ) .

α β α β α β

α β α β α β

α β α β α β

= − − +

= − + +

= − + +

����

���

1

2

1

2

1

2

Esim. 4 sin cos sin( ) sin

sin sin (cos cos ) .

2 3 5

5 5

1

2

1

2

1

2

1

5

t t dt t t dt

t t dt t t C

⋅ = − +

= − + = − +

� ��

* sin cos sin cos

(cos )

(cos ) ( ) .

/ / /

Esim. 5 ω ω ω ω

ω π

πω

ω

ω

ω ω

ω πω

t t dt t dt t

T

T T T

T

0

41

2 0

41

40

4

2 2

1 2

1 1 11

2

1

4

1

4

1

4

2

� �= = −

= − − ∴ =

= − − = − − − =

jakso T = 2

5.3 Potenssilausekkeen sinm � cosn � integrointi

Esim. 6 sin cos sin ( sin ) cos

sin cos sin cossin sin

.

4 3 4 2

4 6

5 7

1

5 7

x x dx x x x dx

x x dx x x dxx x

C

⋅ = ⋅ −

= ⋅ − ⋅ = − +

� ���

Jos siis ainakin toinen eksponentti on pariton, jätetään tästä potenssista yksi

funktio muuttamatta (sisäfunktion derivaataksi) ja muu osa muutetaan

toiseksi trig. funktioksi kaavan sin cos2 2

1α α+ = avulla.

Esim. 7 sin cos ( cos ) cos

cos cos

2 4 2 4

4 6

1x x dx x x dx

x dx x dx

⋅ = − ⋅

= − =

� ��� ... (palautuskaava).

Jos siis kumpikin eksponentti on parillinen, joudutaan muuttamaan koko

toisen funktion potenssi (pienempi) toiseksi kaavan sin cos2 2

1α α+ = avul-

la ja käyttämään palautuskaavaa.

Jälkimmäinen tapa kävisi myös Esimerkkiin 6, mutta se johtaisi oleellisesti

pidempiin laskuihin (ja vastaus olisi aivan erinäköinen).

47

5.4 Sijoituksia

*sin

cos

. cos

sin

ln lncos

cos.

������x dx

x

sij x t

x dx dt

dt

t

dt

t

t

tC

x

xC

1

1 1

1

2

1

1

1

2

1

1

2

2 2

−

=

∴− =

=−

−=

−=

−

++ =

−

++

�� �

*Tässä esimerkissä sijoituksella päästiin kosinifunktiosta eroon. Sijoitus

johti helpompaan integraaliin, koska osoittajassa oli etumerkkiä vaille

kosinin differentiaali. Sijoitus muutti "trigonometrisen murtofunktion"

integroinnin tavallisen murtofunktion integroinniksi.

*Esim. integraaliin dx

x1+cos� ei käy edellinen sijoitus sillä x t= arccos ja

siten dx:lle tulee hankala lauseke: dx t dt= − −1 12

/ . On olemassa eräs

trigonometrinen erikoissijoitus, joka muuttaa sinin, kosinin, tangentin ja dx:n

t:n murtofunktioiksi. Tämä sijoitus on

tan tx

2= .

*Tätä ja kaavoja sintan

tan2

2

12

αα

α=

+ ja cos

tan

tan2

1

1

2

2α

α

α=

−

+ käyttäen

saadaan sin , cos , tanx x x esitettyä t:n murtofunktioina:

sintan

tan, cos

tan

tantan

sin

cosx

t

t

xt

t

xx

x

t

t

x

x

x

x

=+

=+

=−

+=

−

+∴ = =

−

2

1

2

1

1

1

1

1

2

1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2 2.

Lisäksi x

t x t dxt

dt2

2 21

12

= ∴ = ⋅ = ⋅+

arctan arctan , (vrt. kaavasto).

*cos

. tan cos ,

tan .

Esim. 9dx

xsij t x

t

tdx

dt

t

dt

t

t

t

dt

t

t t

t

dtdt t C C

x

x

1

1

1

2

1

2

1

11

1

2

1

1 1

1

2

2

2

2

2

2 2

2

2

2

2

2 2

2

+= ∴ =

−

+=

+

= +

+−

+

= +

+ + −

+

= = = + = +

�

� � � �

*Tutki, miten matematiikkaohjelmat (MathCad, Matlab tms.) pystyvät

integroimaan edellä olevan tapaisia funktioita ja millaisessa muodossa ne

esittävät vastauksen.

48

HARJOITUKSIA

A

5.1 a) sin( / )/

3 60

2

x dx−� ππ

, b) cos/

30

3

ωt dtT� (T = 2π ω/ ).

5.2 a) tan2

0

1

4u du� , b) (sin cos )/

2 2

0

2

2 3t t dt+�π .

5.3 a) sin cosx x dxπ

π2� , b) cos sin3x x dx� .

5.4 sin cos/

3 2

0

2

x x dxπ� .

*5.5 Laske (sij. tan x t2= ) a)

1

sin xdx� , b)

1

1−� cos xdx .

B

5.6 a) ( )sint t dt+� 1 2 , b) sin5

20

xdx

π� .

5.7 a) cos

sin

/ x

xdx

10

2

+�π

, b) sin

sin

/ 2

10

4 x

xdx

+�π

.

5.8 ( ) sin( / )/

t t dtT

+ +� 1 3 30

2

ω π (T = 2π ω/ ).

*5.9 a) dt

t10

3

−� sin

/π, b)

dx

x120

4

+�

sin

/π (sij. tan x t= ).

C

5.10 a) dt

tsin3ω� , b)

dx

x xdx

sin cos22� .

5.11 Lyhyenä aikavälinä dt vaihtovirta tekee työn dW u t i t dt= ( ) ( ) (vrt.

tasavirran työ W Pt UI t= = ). Laske integroimalla tästä työ yhden

jakson 0...T aikana, jos u t u t( ) ɵsin= ω ja i t i t( ) ɵ sin( )= −ω ϕ .

49

6 Irrationaalifunktioiden integrointi

Irrationaalifunktioissa muuttuja x esiintyy juuren alla. Tällaisia integraaleja

on laskettu aikaisemmin esim. yhdistetyn funktion potenssin yhteydessä ja

arkus- ja areafunktioiden yhteydessä.

Esim. 1x

x

dx x x dxx

C

x C

2

3

1

3

3 1/2 2 1

3

3 1/2

2

3

3

11 3

1

1 2

1

+= ⋅ + ⋅ = ⋅

++

= + +

� � −( )( )

/

.

Irrationaalifunktioista suuri osa on sellaisia, että niillä ei ole olemassa mitään

tavallisen muotoista integraalifunktiota (kuten on voitu todistaa). Niinpä esi-

merkiksi integraalien 13

+� x dx ja 123

−� x dx arvoja ei pystytä tavalli-

sessa mielessä laskemaan. Myöhemmin opitaan esittämään näiden integraa-

lien arvot äärettömän pitkinä sarjoina. Seuraavassa esitetään eräitä funktio-

tyyppejä, joiden integrointi onnistuu sopivan sijoituksen (tai

sijoitusmenettelyllä johdetun valmiskaavan) avulla.

*Jos juuren alla oleva lauseke on lineaarinen, voidaan koko juurilauseke

valita uudeksi muuttujaksi:

* .

( )

( ln ) , .

Esim. 2x

xdx sij x t x t dx t dt

t

tt dt

t t

tdt t t

tdt

t tt t C missä t x

− +− = ∴ − = ∴ =

=+

+=

+

+= − + −

+

= − + − + + = −

�� ��

2 12 2 2

2

12 2

2

12 3

3

1

23 2

3 3 1 2

2

2 3

2

3 2

Tässä esimerkissä on ehkä tarpeetonta suorittaa sievennys

pidemmälle.

*Jos integroitavassa funktiossa esiintyy muotoa a x2 2− oleva juuri-

lauseke, niin sopiva sijoitus on � � �= − ≤ ≤ >sin ( / / , )π π2 2 0t a .

Tällöin nimittäin

a x a a t a t a t dx a t dt2 2 2 2 2 2

1− = − = − = =sin sin cos , cos

ts. integraalista häviää juurilauseke ja integraali muuttuu trigonometriseksi.

Tyyppiesimerkki on seuraava:

50

* . sin , cos

sin cos sin cos

cos

sin cos sin , cos ( )

arcsin .

Esim. 3 -4 2 2

4 4 2 4 1

4

2 2 1

2 4

2

2 2

2

2 2

2 4

2

2 2

2

2

x dx sij x t dx t dt

t t dt t t dt

t dt

t t t C t t

x C

x x x

x x

���

�

= =

= − = −

=

= + + = = − =

= + − +

−

*Jos integroitavassa funktiossa esiintyy muotoa a x tai x a2 2 2 2+ −

oleva juurilauseke, niin eräät mahdolliset sijoitukset ovat x a t= tan ja

xa

t=

sin. Yleensä näiden sijoitusten käyttö vaatii kuitenkin aika hyvää trigo-

nometristen lausekkeitten käsittelytaitoa. Kaavastosta löytyy muitakin sopi-

via sijoituksia ja seuraavat kuusi valmista "perusintegraalia":

a x dx a x C

a x dx a x x a x C

x a dx x a x x a C

dx

a x

C

dx

a x

x a x C

dx

x a

x x a C

x a x

a

x a

x a

x

a

2 2

2

2 2

2

2 2

2

2 2

2

2 2

2 2

2

2 2

2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2

2

2

− = − + +

+ = + + + + +

− = − − + − +

−

= +

+= + + +

−

= + − +

������

arcsin ,

ln( ) ,

ln ,

arcsin ,

ln( ) ,

ln .

Esim. 4dt

t

Cdt

t

t t Ct

4 44

2 2 2

2

−

= +−

= + − +� �arcsin , ln .

*Jos integroitavassa funktiossa on esim. muotoa a b x2 2 2+ oleva lauseke,

niin sijoituksella bx t= integrointi muuttuu edellisen kohdan mukaiseksi.

*Jos integroitavassa funktiossa on muotoa ax bx c2 + + , oleva osa, niin

neliöinti ja neliöosan sijoitus t:ksi poistaa juuren alta 1. asteen termin ja

integrointi palautuu edellisiin kohtiin kuten seuraava esimerkki osoittaa.

51

* ( )

( )

( arcsin )

arcsin .

Esim. 5 3 6 9 3 9 6 1 1

4 3 1 3 1 3

4 4

3 6 9

2 2 2 2

2

2 1

3

1

3 2

2 2

2 2

3 1

6

2 2

3

3 1

2

2

+ − = − − + +

= − − − = ∴ =

= − ⋅ = − + +

= + − + +

� ���− −

x x dx x x dx

x dx x t dx dt

t dt t C

x x C

t t

x x

HARJOITUKSIA

A, B

6.1 a) x x dx12

0

1

+� , b) x x dx10

1

+� , c) x

xdx

2

2� .

6.2 a) dx

x +�

1, b)

x

xdx

−�

1, c)

dx

x2 1 1− −� .

6.3 a) dt

t +�

14

9

, *b) dx

x420

1

−� .

6.4 a) x x dx12

0

1

−� , *b) x x dx2 2

0

1

1−� .

6.5 x x dx2 2

0

3

9 −� (sij. x = 3 sin t)

6.6 a) 22

0

1

+� x dx , b) du

u220

1

−� , c)

du

u220

1

+� .

*6.7 a) x x dx2

2

0

4 8+ +−� , b)

dt

t t2

2+� .

C

6.8 a) dx

x x421

3

−� , b)

dx

x x2 29−

� .

6.9 Laske trig. sijoituksella: a) dx

x x2

4−� ( x > 0 ), b)

12

1

3 +� x

xdx .

6.10 Laske 1−� x

xdx sijoituksella

1−=

x

x

t .

52

7 Eksponentti-, logaritmi- ja hyperbelifunktiot

Edellä on esitelty kolmen tärkeän funktiotyypin, murto-, trigonometristen- ja

irrationaalifunktioiden integrointimenetelmiä. Täydennetään tätä luetteloa

vielä lähinnä eksponentti- ja logaritmifunktioilla.

7.1 Eksponenttifunktioiden integrointitapoja

Esim. 1 1

2 2

2 1

2

2

1

2

1

2

2 2 2

) .

) ( ) .

e dx e C

xe dx e x dx e C

x x

x x x

− −

− − −

�� �

= − +

= − ⋅ − = − +

Jälkimmäisessä kohdassa oli mukana sopiva x:n potenssi sisäfunktion deri-

vaataksi. Seuraavassa esimerkissä on mukana liian korkea x:n potenssi. Se

poistuu �������������������.

Esim. 2 xe dxu x v e

u v e

x e e dx e e

e e e e

x

x

x

x x x

−

−

−

− − − −

− − −

= ′ =

′ = = −

���

���

= ⋅ − + = − −

= − − − = −

��

2

2

1

2

20

1

0

11

2

2 1

2

2

0

11

2

2 1

40

12

1

2

2 1

4

2 0 1

4

3

4

2

1

( )

( ) .

Esim. 3 On pystytty todistamaan, että integraalien

e dxx−� 2

(ns. virheintegraali) ja e

xdx

x

�

arvoille ei ole olemassa mitään tavallista esitystapaa (ns. suljetussa muodos-

sa). Näille integraaleille saadaan myöhemmin esitys sarjojen avulla.

Kaavastosta löytyvät osittaisintegroinnilla johdetut kaavat ainakin

integraaleille

e bx dxax

sin� ja e bx dxax

cos�

sekä kaava

x e dx e x nx n n x n Cn x x n n n n

= − + − − + + − +− −� ( ( ) ... ( ) !)1 2

1 1 .

53

Esim. 4 sij. 2x e dx x t dx dt t

t e dt t e dt e t t t

e e e

x

t t t

3 2

0

11

2

1

2

1

2

3 1

20

21

16

3

0

21

160

23 2

1

16

2 0 1

8

2

0 2

3 3 2 3 2 1

2 6 3

�� �

= ∴ = =

= ⋅ = = − + ⋅ − ⋅ ⋅

= ⋅ − − = +

� � , , : ...

( ) ( )

[ ( )] ( ).

(Toisin: 3 osittaisintegrointia.)

7.2 Logaritmifunktioiden integrointitapoja

Päämenetelmänä voidaan ehkä pitää ������ ���.

Esim. 5 I x x dx sij x t x e dx e dt

e t e dt t e dtu t v e

u v e

te e C x x x x x C

t t

t tt

t

t

t t

= = ∴ = =

= ⋅ ⋅ == ′ =

′ = =

�

���

�

���

= − + = − +

�

� �

ln . ln ,

ln .

3

2

3

2

3

2

3

2

3

2

1 2

3

2

3

4

9

2

3

4

9

*Edelliseen esimerkkiin käy myös osittaisintegrointi seuraavasti:

I x x dxu x v x

u v x x

x x x x dx x x x x x C

x

== ′ =

′ = =

���

���

− = − +

��

lnln

ln ln .

1 2

3

2

3

2

3

2

3

4

9

Näin päin!

=

7.3 Hyperbelifunktiot

Hyperbelifunktioita sinh x e ex x

= − −

2, cosh x e e

x x

= + −

2 ja tanh sinh

coshx

x

x=

sisältäviä lausekkeita voidaan integroida esim. siten, että muutetaan ne

eksponenttifunktiolausekkeiksi.

Esim. 6 cosh ( ) ( )

( )

( ) sinh .

2 2 1

4

2

1

2

1

4

1

2

2 1

2

2

1

4

2 2

1

4

22

2

22 2

2

x dxe e

dx e e e e dx

e x e C

e ex C x C

x x

x x x x

x x

x x

x

=+

= + +

= + − +

=−

+ + = + +

−−

=

−

−

−

��� ���

54

Hyperbelifunktioita voidaan käsitellä myös samantapaisesti kuin trigono-

metrisia funktioita. Hyperbelifunktiolla on nimittäin laskulakeja, jotka ovat

lähes samanlaisia kuin trigonometristen funktioiden laskulait, ainoastaan + ja

– merkeissä on eroja. Esimerkiksi

(1) cosh sinh2 2

1x x− = (– eikä +).

(2) sinh( ) sinh cosh cosh sinhx y x y x y+ = + ,

(3) cosh( ) cosh cosh sinh sinhx y x y x y+ = + (+ eikä –),

(4) sinh sinh cosh2 2x x x= ,

(5) cosh cosh sinh22 2

x x x= + (+ eikä –),

(6) D x x D x xsinh cosh , cosh sinh ,= =

(7) D xx

xtanhcosh

tanh= = −1

12

2 (– eikä +)

*Todistetaan laki (2):

ope e e e e e e e

e e e e e e e e e e e e e e e e

e e e ee e

x y

x x y y x x y y

x y x y x y x y x y x y x y x y

x y x y

x y x y

.

sinh( ).( )

=−

⋅+

++

⋅−

= + − − + − + −

= − =−

= +

− − − −

− − − − − − − −

− −+ − +

2 2 2 2

2 22

14

14

*Lait (1) ja (3) todistettaisiin vastaavasti. Lait (4) ja (5) seuraavat laeista (2)

ja (3), kun x y= . Derivoimissäännöt (6) ja (7) todistetaan seuraavasti:

D x De e e e

x

x x x x

sinh( )

cosh .=−

=− ⋅ −

=− −

2

1

2 Toinen vastaavasti.

D x Dx

x

x x x x

x x

ain mukaan

tanhsinh

cosh

cosh cosh sinh sinh

cosh cosh

( )

= =⋅ − ⋅

=

=1 1

2 2

1

l� ������ ������

.

55

Esim. 7 Lasketaan cosh2x dx� uudelleen (vrt. Esim. 6), mutta nyt lakien

(5) ja (1) nojalla.

cosh cosh sinh cosh (cosh ) cosh

cosh (cosh ).

2 1 2 1

2 1

2 2 2 2 2

2 1

2

x x x x x x

x x

= + = + − = −

∴ = + Täten

cosh (cosh ) (sinh

) sinh2 1

2

1

2

1

42 1

2

22

2x dx x dx

xx C x C

x= + = + + = + +� � .

HARJOITUKSIA

A

7.1 a ) e dxx−� 3

0

1

, b) te dttϕ� , c) 2e dx

x� .

7.2 Laske kaavaston kaavojen avulla

a) e t dtt−� sinω , b) x e dx

x4� .

7.3 Laske x x dx3ln� a) sopivalla sijoituksella, b) suoraan osittais-

integroimalla.

7.4 a) x x dxsinh� , b) x x dxcosh0

1� c) sinh2x dx� .

7.5 a) D ax bln cosh( )+ , b) Dx x

1

sinh cosh.

56

B

7.6 Todista, että cosh sinh

cosh sinh .

x x e

x x e

x

x

+ =

− =

�� −

7.7 Todista, että cosh sinh2 2

1x x− = .

7.8 a) x e dxx4 −� , b)

x

edx

x

2

� .

7.9 Käyrän y x= ln ja x-akselin välinen alue välillä 1...e pyörähtää a) x-

akselin, b) y-akselin ympäri. Laske pyöräyskappaleen tilavuus.

7.10 Laske e

edx

x

x

1+ −� (sij. e tx = ).

7.11 a x x dx bdu

u u) ln , )

ln

2 �� .

C

7.12 Trigonometriset- eli ympyräfunktiot (Circular functions) liittyvät

ympyrään myös siten, että

x r t

y r t

=

=

��cos

sin

on ympyrän parametriesitys. Osoita, että x a t

y b t

= ±

=

��cosh

sinh on hyper-

belin eräs parametriesitys (joten hyperbelifunktiot ovat tekemisissä

hyperbelin kanssa).

7.13 Arkusfunktioiden integrointiin käyvät samantapaiset menetelmät kuin

logaritmin integrointiin. Laske x x dxarcsin� a) sijoituksella, b)

osittaisintegroinnilla.

7.14 Laske e

e edt

t

t t

2

− −� .

57

8 Lisää integraalien sovelluksia

8.1 Funktion keskiarvo välillä [�,�]

Jaetaan väli [a,b] n:ään yhtä suureen

osaan. Merkitään yhden osavälin pituutta

�x :llä ja i:nnen osavälin keskipistettä

ci:llä. Funktion arvojen f c( ),

1..., f c

n( )

aritmeetinen keskiarvo on

f c f c

nx llän

( ) ... ( ):1

+ +lavennetaan �

=⋅ + + ⋅

⋅⋅ = −

=−

⋅ →−

→=

∑ �

f c x f c x

n xn x b a

b af c x

b af x dx x

n

i

i

n

a

b

( ) .... ( )

( ) ( ) ,

1

1

1 10

� �

��

� � kun .

Saatu integraalilauseke esittää kaikkien väliin [a,b] kuuluvien

funktionarvojen f(x) (joita on äärettömän monta) keskiarvoa. Sitä sanotaan

funktion f keskiarvoksi välillä [a,b] ja merkitään esim. fk:lla. Siis

�� �

� � ��� �

�====

−−−− �1

( ) .

Esim. 1 Funktion y x= sin keskiarvo välillä [0,π] on

f x dx xk =−

= − =�1

0

1 2

0 0π π π

π πsin ( cos ) .

*Esim. 2 Funktion f neliöllinen keskiarvo tarkoittaa funktion f 2 keski-

arvon neliöjuurta. Laske jännitteen u u t= ɵ sinω tehollisarvo ueff

(effective value) eli neliöllinen keskiarvo jaksovälillä [0,T].

uT

u t dtt z dt dz

z T

u

Tz dz T

eff

T

T

2 2 2

0

1

2

2

0

1

0 0

2

=−

⋅= ∴ =

= =

��

ɵ sin,

: ...

ɵsin

ωω

ω

ωω π

ω

ω

sij.

= = −�ɵ sin sin ( cos )u

z dz z z

2

2

0

22 1

221 2

π

π

a b

c1

c2

c3

cn

f(c )1

f(c )2

f(c )n

�x �x

58

= − = − =ɵ

(sin

)ɵ

( )ɵ.

u

z

z u u2

0

22 2

4

2

2 42 0

2π ππ

π ∴ �

�eff

2=ɵ

.

8.2 Kaaren pituus

Lasketaan käyrän y f x= ( ) kaaren pituus

välillä [a, b] eli pisteestä A pisteeseen B.

Kaarialkio kohdassa x on

��

� � ��

= + = ′ ⋅

= + ′ ⋅ = + ′ ⋅

( ) ( ) ( )

[ ( ) ] ( ) .

dx dy dy f x dx

f x dx

2 2

2 21 1 ( )2

Kun x muuttuu a:sta b:hen, koko kaari saadaan kaarialkioiden "summana":

� � � ���

�==== ++++ ′′′′� 1 2( ) .

Esim. 3 Paraabelinkaaren y x x= ≤ ≤20 1, pituus:

s x dxx t dx dt

t

t dt t t tt

= += ∴ =

= + = + + + +

= + + ≈

��1 4

2

0 2

1 1 1

2 5 2 5 1 48

2

0

11

2

1

2

2 1

20

2

0

2

2

2 1

2

2

1

4

sij.

: ...

[ ln( )]

[ ln( )] , .

*8.3 Pyöräyspinnan ala

*Käyrä y f x= ( ) pyörähtää x-akselin ympäri

välillä [a, b].

*Kun kaarialkio ds kohdassa x pyörähtää,

syntyy vyö, jonka pituus on 2π⋅f(x) ja leveys on

ds. Täten vyön pinta-ala on

dA f x ds f x f x dx= ⋅ = + ′2 2 1 2π π( ) ( ) ( )

.

a bx

dxdy

ds

x+dx

y = f(x)

A

B

ds

f ( x)

xa b

59

Koko pinta-ala on vöiden pinta-alojen "summa":

� � � � ���

�==== ++++ ′′′′�2 1 2ππππ ( ) ( ) .

Esim. 4 Paraabelinkaari y x x= ≤ ≤20 1, pyörähtää x-akselin ympäri.

Muodostuneen pinnan pinta-ala on

A x x dx= + ≈�2 1 4 3 80972 2

0

1

π , .

Karkean likiarvon saat esim. käyttämällä integraalin määri-

telmään perustuvaa keinoa ja 4 osaväliä. *Tarkka arvo olisi π32

18 5 2 5[ ln( )]− + .

8.4 Työintegraali

Jos matka-akselin s suuntainen voima F(s)

kuljettaa kappaletta kohdasta s1 kohtaan s

2, se

tekee työn

� � ���

�==== � ( )

1

2

,

sillä kohdassa s ds:n pituisella matkalla työ on dW F s ds= ⋅( ) ja koko työ

on osatöiden "summa" (vrt. I osa, s. 47).

Esim. 5 Kahden massapisteen välinen vetovoima on F cm m

r

= 1 2

2. Kun

etäisyys muutetaan arvosta r1 arvoon r

2, tehdään työ

W cm mr

dr cm mr

cm mr rr

r

r

r

= = − = −�1 2 2 1 2 1 2

1 2

1 1 1 1

1

2

1

2

( ) ( ) .

����� � ����� ��������� voidaan soveltaa

samaa ajattelutapaa. Silloin matkan s tilalla on

tilavuus V ja voiman F tilalla on paine p, joka

muuttuu V:n funktiona: p = p(V). Kun kaasu

laajenee pienen määrän dV, se tekee työn

dW p V dV= ⋅( ) .

s1

s2

F = F(s)s

p = p(V)

VV V1 2

60

Koko työ on osatöiden "summa":

� � ���

�==== � ( )

1

2

.

Esim. 6 Ihannekaasulla on pV nRT= , missä n ja R ovat vakioita (mooli-

määrä ja kaasuvakio). Jos myös kaasun lämpötila T pidetään

vakiona eli kyseessä on �������� � muutos, niin yhtälö on

muotoa pV = vakio . Koska koko ajan paineen ja tilavuuden

tulolla on sama arvo, tämän arvon pitää olla = alkupaineen p1 ja

alkutilavuuden V1 tulon, ts.

pV p V p p VV

= ∴ =1 1 1 1

1.

Isotermisessä muutoksessa siis paine on kääntäen verrannollinen

tilavuuteen. Työ

W pVV

dV pV VV

V

V

V

= = =�1 1 1 1

1

1

2

1

2

ln � ��

�1 1

2

1

ln .

8.5 Epäolennainen integraali

Joissakin sovelluksissa joudutaan laskemaan integraaleja, joissa integroimis-

välin [a,b] tilalla on äärettömyyteen ulottuva väli, esim. [ , )a ∞ .

Esim. 7 Esimerkissä 5 laskettiin työ, kun massapisteiden välimatka muu-

tettiin arvosta r1 arvoon r

2. Jos välimatka muuttuu jostakin

arvosta R äärettömyyteen (hyvin kauas), niin työ on

W cm mr

dr cm mr

cm mR

cm m

RR R

= = − = − − =∞ ∞�1 2 2 1 2 1 2

1 21 1

01

( ) .

Kyseessä on eräs ns. ������ �� � � � �������� (improper

integral), jonka laskeminen kävi lähes tavalliseen tapaan. Ylä-

rajaa ∞ ei voida varsinaisesti "sijoittaa" integraalifunktioon 1r

muuttujan r tilalle, vaan oikea ajattelutapa on, että 1r:n raja-arvo

on 0, kun r→∞ .

Jos epäolennaisen integraalin arvo on äärellinen, sanotaan, että integraali

����� �� (konvergoi). Muussa tapauksessa taas integraali ����� ���

(divergoi).

61

HARJOITUKSIA

A

8.1 Laske funktion y x= 2 keskiarvo välillä [0,2].

8.2 Käyrällä y x2 3= eli y x= ± 3 2/ on origossa kärki. Piirrä kuva ja

laske käyrän ylemmän puolikkaan pituus välillä [0,5].

8.3 Laske Esimerkin 4 mukaisen alueen pinta-alan likiarvo, käyttämällä

integraalin määritelmään perustuvaa keinoa ja 4 osaväliä.

8.4 x-akselin suuntainen, eksponentiaalisesti vähenevä voima F ex= −

32

kuljettaa kappaletta x-akselia pitkin origosta äärettömyyteen. Laske

työ.

8.5 Osoita, että a) integraali 1

22 xdx

∞� suppenee ja sen arvo on 1/2,

mutta b) integraali 1

2 xdx

∞� hajaantuu. Koska integroitavat funktiot

ovat > 0 integroimisvälillä, integraalit esittävät eräitä pinta-aloja.

Piirrä havainnollistavat kuvat samaan koordinaatistoon.

B

8.6 Kappale liikkuu suoraviivaisesti nopeudella v = v(t). Laske nopeuden

keskiarvo aikavälillä [ , ]t t1 2

.

8.7 Laske ketjuviivan y x= cosh pituus välillä [ , ]−1 1 .

8.8 Käyrä y f x= ( ) pyörähtää y-akselin ympäri välillä [a,b], missä a ≥

0. a) Johda muodostuneen pyöräyspinnan alalle laskukaava.

b) Sovella tulosta perusparaabeliin välillä [0,1].

8.9 Johda r-säteisen pallon pinta-alan kaava A r= 4 2π .

8.10 Adiabaattisessa muutoksessa kaasun paineen ja tilavuuden välillä on

yhteys

(1) pV vakioκ = ,

missä eksponentti κ (kappa) on jonkin verran 1:tä suurempi luku

(κ κ= < ≤c cp V/ , / ).1 5 3 Laske tilavuudenmuutostyö, jos κ = 1,5 ja

laissa (1) vakiolla on arvo 3. Piirrä vastaavan funktion p V= 3 1 5/

,

kuvaaja.

8.11 Laske käyrän y xex= −2 ja x-akselin välisen äärettömyyteen ulottu-

van alueen ala (piirrä kuva).

62

C

8.12 Keskiarvo fk täyttää ehdon f b a f x dx

ka

b

⋅ − = �( ) ( ) . Jos f(x) >0

välillä [a,b], niin tämän yhtälön kumpikin puoli esittää tiettyä pinta-

alaa. Mikä geometrinen merkitys fk:lla siis tässä tapauksessa on?

8.13 Laske virranvoimakkuuden i i t= +ɵ sin( )ω ϕ neliöllinen keskiarvo

välillä [0,T].

8.14 Jos köysi (vaijeri, kaapeli tms.) on ripus-

tettu loivasti, ts. kuvassa b on paljon pie-

nempi kuin a (merk. � << �), niin köysi

asettuu likimain paraabelin muotoon.

a) Johda köyden pituudelle likiarvokaava

sa b

a≈

+6 4

3

2 2

,

käyttäen tietoa, että yleisesti

1 11

2+ ≈ +z z , jos z << 1

(sillä op vp z2 2 2

4 0− = ≈/ ). b) Laske s:n likiarvokaavasta b, kun 2a

= 30,0 m ja s = 31,0 m.

8.15 Funktion f(t) ������� ��� �� F(s) saadaan, kun tämä funktio

kerrotaan "vaimennustekijällä" e st− (s > 0) ja integroidaan 0:sta

äärettömään, siis

F s e f t dtst( ) ( )= −∞�0

.

Laske seuraavien funktioiden Laplace-muunnokset:

a) f(t) = a (a = vakio), b) f(t) = t, c) f t eat( ) = (s > a).

!

�

��

�

63

9 Käyriä koskevia tuloksia

9.1 Kertaus

Edellä on esitetty mm. seuraavat käyrää y f x= ( ) koskevat tulokset:

1) Pisteeseen P x yo o o( , ) piirretyn ��������� ja ������� yhtälöt ovat

y y f x x x y yf x

x xo o o o

o

o− = ′ − − = −

′−( )( ),

( )( )

1.

2) Jos ′′ >y xo

( ) 0 , niin käyrä on negatiivisen y-akselin

suuntaan kupera pisteessä P x yo o o( , ) .

3) Kaarialkio ja ������� ����� ovat

ds f x dx= + ′1 2( ) , s f x dxa

b

= + ′� 1 2( ) .

*9.2 Kaaren painopiste

*Pisteessä (x, y) olevan kaarialkion ds staattiset

momentit ovat

dS x ds dS y dsy x= ⋅ = ⋅,

ja koko kaaren momentit ovat osien momenttien

"summia", ts.

S x ds x f x dx S y ds f x f x dxy a

b

a

b

x a

b

a

b= = + ′ = = + ′� � � �1 12 2( ) , ( ) ( ) .

*Näitä käytetään kaaren y f x a x b= ≤ ≤( ), painopisteen ( , )x yp p

laskemiseen seuraavasti. Jos kaaren pituus s ja ���� ���� ( , )x yp p

tunnettaisiin, niin kaaren momentit olisivat

S x s S y sy p x p= ⋅ = ⋅, ∴∴∴∴ ==== ====�

�

��

�

�

�

�, .

*Esim.1 Laske paraabelinkaaren y x x= ≤ ≤20 1, painopiste.

Tässä esimerkissä f x x f x x( ) , ( )= ′ =2 2 , joten

Po

y

xxo

x

y

y

x

(x,y)ds

64

s x dx= + =� 1 4 1 4782

0

1

, ... (laskettu aikaisemmin),

S x x dxy= + = − =� 1 4 5 5 1 0 84832

0

11

12( ) , ...,

S x x dxx= + =� 2 2

0

1

1 4 0 6063, ... (esim. MathCad-ohjelmalla)

∴ = ≈ = ≈xS

sy

S

sp

y

p

x0 574 0 410, , , .

9.3 Ratkaisemattoman funktion derivointi

*Esim. 2 Piste (3,2) toteuttaa ellipsin x y2 2

4 25+ =

yhtälön. Tähän pisteeseen piirretyn tangen-

tin kulmakerroin voidaan laskea derivointia

käyttäen kahdella eri tavalla:

1) Ratkaistaan yhtälöstä y x:n funktiona:

y x= ± −( ) 12

225

(+ antaa ellipsin ylemmän puolikkaan) ja lasketaan sitten ′y ( )3 .

2) Derivointi ���������������� �� � ��������������:

Derivoidaan yhtälön x y2 2

4 25+ = kumpikin puoli erikseen.

Termin x2 derivointi käy tavalliseen tapaan, mutta termiä 4 2y

derivoitaessa täytyy huomata, että y on x:n funktio y y x= ( ) ,

joten y2 :n derivoinnissa on käytettävä yhdistetyn funktion deri-

voimissääntöä D y x y x y x( ) ( ) ( )2 12= ⋅ ⋅ ′ . Siis

x yy y x

x y y

yx

yk

2 24 25

2 8 0

4

3

8

+ ==

+ ⋅ ′ =

∴ ′ = − ∴ = −

derivoidaan termi termiltä

muistaen, että

tangentin kulmakerroin

( )

.

Derivaatan lausekkeeseen jäi myös y:tä, mutta tästä ei ole

haittaa, koska tangentin sivuamispisteen kumpikin koordinaatti

tunnetaan. *Lasketaan vielä toinen derivaatta ′′y kyseisessä

pisteessä (3,2):

(3,2)

65

2 8 0

2 8 8 0

2 83

88 2 0

25

128

2

x y yimplisiittisesti

y y y y

y y

+ ⋅ ′ =

+ ′ ⋅ ′ + ⋅ ′′ =

+ ⋅ − + ⋅ ⋅ ′′ = ∴ ′′ = −

derivoidaan

(tulon derivointi)

( ) .

9.4 Parametrimuotoisen funktion derivointi

Useat tekniikassa esiintyvät käyrät esitetään parametrimuodossa:

� � �

� � �

====

====

���( )

( ).

Kullakin (kyseeseen tulevalla) parametrin t arvolla parametriesitys antaa

käyrän yhden pisteen.

Esim. 3 Sykloidi syntyy, kun r-säteinen ympyrä vierii suoraa viivaa

pitkin ja tarkastellaan vierivän ympyrän yhden pisteen liikettä

(vrt. polkupyörän venttiilitapin liike). Jos vierintä tapahtuu pitkin

x-akselia, sykloidin yhtälöt ovat (kuten alla todistetaan)

(1) x r t t

y r t

= −

= −

���( sin )

( cos )1,

missä t on seuraavan kuvan mukainen keskuskulma. Parametrin t

arvoja 0:sta 2π:hin vastaa se sykloidin kaari, joka alkaa origosta.

�

y

��

��2πr

(t = 0)(t = 2π)

4πr

x

*Todistetaan yhtälöt (1). Kuvan mukaan sykloidin yleisen

pisteen P koordinaatit ovat

y r r t r t= − = −cos ( cos )1 ja x OQ r t= − sin .

Mutta OQ = kaari PQ (vierinnän takia) ja radiaanin määritelmän

mukaan kaari PQ r t= ⋅ . Siis x r t r t r t t= ⋅ − = −sin ( sin ) .

Sykloidin parametriyhtälöt (1) määrittelevät y:n x:n funktiona, sillä kutakin

x:n arvoa vastaa yksikäsitteinen y:n arvo (vrt. kuva). Tämän funktion esitys

tavallisessa ratkaistussa eli eksplisiittimuodossa y f x= ( ) on mutkikas

66

arkusfunktiolauseke. Derivaatta ′f x( ) saadaan kuitenkin helposti parametri-

esityksen avulla, sillä derivaatta = differentiaalien dy ja dx osamäärä:

′ = =−

=−

f xdy

dx

r t dt

r t dt

t

t( )

sin

( cos )

sin

cos.

1 1

Vastaavasti yleisesti paramertimuotoisen funktion x x t

y y t

=

=

���( )

( ) derivaatta on

(2) ��

��

� �

� �====

′′′′

′′′′

( )

( ).

*Toisen derivaatan lauseke on mutkikkaampi:

� �

��

� � � �

�

2

2 3====

′′′′ ′′′′′′′′ −−−− ′′′′ ′′′′′′′′

′′′′( )

missä esim. x′ tarkoittaa samaa kuin x t′ ( ) .

*Tod. Sääntö (2) antaa derivaattafunktion itse asiassa parametrimuodossa:

x x t

dy

dx

y t

x t

d y

dx

d

dt

y t

x t

x t

y t x t y t x t

x t

x t

=

=′

′

���

��⇒ =

′

′

′=

′′ ⋅ ′ − ′ ⋅ ′′

′

′

( )

( )

( )

(( )

( ))

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ).

( )2

2

2 2

Esim. 4 Laske t:n arvoa π / 2 vastaava sykloidin piste sekä 1. ja 2. kerta-

luvun derivaatat tässä pisteessä, kun vierivän ympyrän säde on 2.

x t t

y t

t

= − = − = −

= − = − =

=

2 2 2 1 2

2 1 2 1 0 2

2

( sin ) ( / )

( cos ) ( )

/π

π π

′ = − =

′ = =

���′′ = =

′′ = =

���x t

y t

x t

y t

2 1 2

2 2

2 2

2 0

( cos )

sin,

sin

cos.

∴ =′

′= =

⋅ − ⋅= −

dy

dx

y

x

d y

dx1

2 0 2 2

2

1

2

2

2 3, .

67

9.5 Parametrikäyrän kaaren pituus ja vastaavan alueen ala

*Oletetaan, että kun t kasvaa arvosta t1

arvoon t2, niin x kasvaa arvosta a arvoon b

(kuva). Tällöin saadaan kertaalleen käyrä

A:sta B:hen. Lasketaan kaari- ja pinta-alkiot

kohdassa x, joka saadaan parametrin arvolla t:

ds dx dy dA y dx jos y= + = ⋅ >( ) ( ) , , .2 2 0

Koska dx x t dt

dy y t dt

= ′

= ′

���( )

( ) ja y y t= ( ) , niin

ds x t y t dt= ′ + ′( ) ( )2 2 ja dA y t x t dt= ⋅ ′( ) ( ) .

Tästä saadaan kaaren AB pituudelle sekä käyrän ja x-akselin välisen alueen

alalle kaavat

s x t y t dtt

t

= ′ + ′� ( ) ( ) ,2 2

1

2

A y t x t dtt

t

= ⋅ ′� ( ) ( ) .1

2

*Pinta-alaa laskettaessa on huolehdittava siitä, että dA:n lauseke on

positiivinen. Alkuoletus, että x(t) kasvaa t:n mukana, merkitsee samaa kuin

se, että ′ >x t( ) 0 integroimisvälillä. Jos ′ <x t( ) 0 , niin t:n kasvaessa x:n

arvot pienenevät eli käyrä "piirtyy" B:stä A:han. Jos ′x t( ) vaihtaa merkkiä

välillä [ , ]t t1 2

, niin käyrä piirtyy (osittain tai kokonaan) moneen kertaan ja

integraali ei anna oikeaa pinta-alaa.

9.6 Käyrän kaarevuus

Siirrytään käyrällä jostakin pisteestä A

lähtien matka s eteenpäin pisteeseen P.

Tangentin suuntakulma α muuttuu matkan s

mukana, ts. α on matkan s funktio:

α α= ( )s . Lisäys �s aiheuttaa suuntakulman

muutoksen �α.

Suhde �

�

α

s

kuvaa kaartumisen nopeutta

�s:n pituisella välillä PQ. Sitä sanotaan

keskikaarevuudeksi tällä välillä.

�

(� = 0)

��

�

��α

α�=�α(�)

�

B

a bx=x(t)

dxdyds

A

68

Keskikaarevuuden raja-arvo

��

�

���==== ====

→→→→lim����

����

����0

αααα αααα

on nimeltään käyrän ���������� ��������� �. Se kuvaa käyrän kaartumis-

nopeutta pisteessä P. Suuri kaarevuus merkitsee, että käyrä kaartuu jyrkästi

(P:n lähistöllä).

Esim. 5 Laske r-säteisen ympyrän kaarevuus.

ks

s r

s rs s

= = =→ →

lim lim/

� �

�

�

�

�0 0

1α.

Siis r-säteisen ympyrän kaarevuus = 1/r.

Jos käyrällä on kaarevuus k jossakin pisteessä P,

niin edellisen tuloksen mukaan 1/k-säteisellä ympyrällä on sama kaarevuus

1

1/ kk= . Tällaisen ympyrän sädettä eli lukua

ρρρρ ====1

� (ρ = "roo")

sanotaan käyrän ����������������� pisteessä P.

Jos ρ-säteinen ympyrä asetetaan sellaiseen

kohtaan, että sillä on yhteinen tangentti käyrän

kanssa pisteessä P (vrt. kuva), niin P:ssä ympyrä ja

käyrä sivuavat toisiaan ja ympyrä kaartuu yhtä

nopeasti kuin käyrä. Tällainen ���������� ���

liittyy siis hyvin käyrään pisteessä P.

*Käyrän kaarevuus k ja kaarevuussäde ρ voivat itse

asiassa olla myös negatiivisia. Näin käy, jos s:n

kasvattaminen pienentää tangentin suuntakulmaa α,

koska tällöin � �α / s on negatiivinen (viereinen

kuva).

Lause Käyrän y = f(x) kaarevuussäde pisteessä P(x,y) on

ρρρρ ====++++ ′′′′

′′′′′′′′

[ ( ) ] /1 2 3 2y

y .

�

�

����αααα ����αααα��

�ρρρρ

��

�

����� > 0

�αααα < 0

69

* .

( ) [ ( ) ]

tan arctan( )

[ ( ) ]

/ [ ( ) ]

[ ( ) ].

/

Tod

k

ds

d

ds y dx y dx

y y dy

y dx

y dx

y y dx

y

y

ρα α α α

= =

= + ′ = + ′

= ′ ∴ = ′ ∴ =+ ′

⋅ ′′

=+ ′

′′ + ′=

+ ′

′′

11 1

1

1

1

1

1

2 2 1/2

2

2 1/2

2

2 3 2

Esim. 6 Laske käyrän y x= ln kaarevuussäde pisteessä (1,0).

′ = ′′ = − ∴ ′ = ′′ = −yxy

x

y y1 1

1 1 1 12

, ( ) , ( )

∴ =+

−= − = −ρ

[ ].

//1 1

12

2 3 23 2

2 2

Jos ′ ≈y 0 , niin edellisen lauseen mukaan ρ ≈′′

1

y. Tätä tietoa käytetään

esimerkiksi palkin taipumaviivan diff.yhtälön johtamisessa (lujuusopissa tai

rakenteiden mekaniikassa).

*Parametrimuotoiselle käyrälle vastaava kaarevuussäteen lauseke on

ρ =′ + ′

′ ′′ − ′ ′′

[( ) ( ) ]/

x y

x y y x

2 2 3 2

.

*Mm. jyrsinnässä voidaan tarvita kaarevuussäteen ρ

lisäksi kaarevuusympyrän keskipisteen eli ns. ������

��������� ������ lausekkeita.

*Kaarevuuskeskipisteelle (a, b) voidaan johtaa seuraa-

vat lausekkeet, joista edellinen pari koskee käyrää

y f x= ( ) ja jälkimmäinen parametrimuotoista käyrää

(vrt. kaavasto):

a x yy

y

b yy

y

= − ′ ⋅+ ′

′′

= ++ ′

′′

�

���

���

1

1

2

2

( )

( ) käyränä

y f x=

���

�( ),

a x yx y

x y y x

b y xx y

x y y x

= − ′ ⋅′ + ′

′ ′′ − ′ ′′

= − ′ ⋅′ + ′

′ ′′ − ′ ′′

�

���

���

( ) ( )

( ) ( )

2 2

2 2

käyränä

x x t

y y t

=

=

���

�

���

��( )

( )

.

�(�,�)ρρρρ

(�,�)

70

*Kun piste P liikkuu käyrää pitkin, sen kaarevuuskeskipiste piirtää toisen

käyrän, kaarevuuskeskipisteiden uran, jota sanotaan alkuperäisen käyrän

����������. Kääntäen alkuperäistä käyrää sanotaan kaarevuuskeski-

pisteiden urakäyrän ����������� (esim. evolventtihammaspyörät).

9.7 Käyrä napakoordinaatistossa

Monissa sovelluksissa (robotiikka, CAD,...) on luonnollista

käyttää suorakulmaisen koordinaatiston sijaan joskus

napakoordinaatteja, ts. esittää pisteen paikka tai paikan

muutos (P:stä Q:hun) etäisyyden r (> 0) ja vaihekulman ϕ

avulla.

Jos napa-akselina on positiivinen x-akseli, pisteen P

suorakulmaisten ja napakoordinaattien välillä on yhteys (vrt.

kuva)

x r

y r

=

=

���cos

sin

ϕ

ϕ ja kääntäen

r x y

y

x

= +

= ⇒ =

���

��

2 2

tan ...ϕ ϕ (oikea neljännes!)

Tavallista käyrän esitystä y f x= ( ) vastaa napakoordinaatistossa esitys

r r= ( )ϕ .

Antamalla tässä ϕ:lle arvoja sopivin välein, saadaan käyrä piirrettyä.

Esim. 7 Spiraalin r = 2ϕ kuvaaja on

viereisen kuvan mukainen. Jos

ϕ:llä on esim. arvo 3 (rad), niin r

saa arvon 6.

*Yleisemmin ns. Arkhimedeen spiraalin

� �==== ϕϕϕϕ (missä k = vakio) sovellukset perus-

tuvat siihen, että r kasvaa suoraan verrannol-

lisena kulmaan ϕ.

*Logaritminen spiraali � ���====ϕϕϕϕ taas esiintyy

leikkurien terissä, muotojyrsimissä yms. siksi, että

tällä spiraalilla käyrän ja säteen välinen kulma on

käyrän jokaisessa pisteessä samankokoinen, kuten

voidaan todistaa.

��

ϕϕϕϕ

�

�

�

� = 2ϕϕϕϕ

�=6(ϕϕϕϕ�====�3)

10

10

71

Esim. 8 Käyrän r = cos2ϕ

kuvaaja on vierei-

sen kuvan mukai-

nen. Kun ϕ kasvaa

0:sta π/4:ään, niin

r:n arvot pienenevät

1:stä 0:aan. Sen jälkeen etäisyys r on negatiivinen aina ϕ:n arvoon

3π/4 saakka, jolloin r tulee taas positiiviseksi ja saadaan käyrän

pisteitä.

*Voidaan myös sopia, että jos r on negatiivinen, niin vastaava piste

on kyseisen etäisyyden päässä origosta, mutta sen vastakkaisella

puolella. Näin ajatellen edellisestä käyrästä tulee "nelilehtinen".

*9.8 Kaaren pituus ja pinta-ala napakoordinaatistossa

*Kun käyränä on r r= ( )ϕ , niin kaaren AB pituudelle ja sektorimaisen

alueen AOB pinta-alalle saadaan laskukaavat seuraavasti (vrt. kuva):

Kohdassa ϕ r:llä on tietty arvo

r(ϕ). Kun ϕ saa (äärettömän

pienen) lisäyksen dϕ, niin pinta-

ala saa sektorimaisen lisäyksen

dA ja kaari lisäyksen ds.

Pinta-alaa laskettaessa sektori

dA voidaan korvata

ympyränsektorilla, jonka säde

on r(ϕ) ja kaari b r d= ⋅( )ϕ ϕ

(rad. määr.). Sektorin ala on

siten

dA b r r d= ⋅ =1

2

1

2

2( ) ( )ϕ ϕ ϕ .

Kun kulman lisäys dϕ on (äärettömän) pieni, niin jäljelle jäävä sektorin osa

on suorakulmainen kolmio (ts. b ja ds ovat likimain suoria). Pythagoraan

lauseen mukaan

ds b dr b r d dr r d

r d r d

r r d

= + = ⋅ = ′

= + ′

= + ′

2 2

2 2 2 2

2 2

( ) ( ) , ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) .

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ

(diff.)

�

�

�

� = �(ϕϕϕϕ)

ϕϕϕϕ

�ϕϕϕϕ

���

��

ϕϕϕϕ �====�ϕϕϕϕ

ϕϕϕϕ�= �ϕϕϕϕ

1

2

0°

10°

20°

30°

40° π/4=45°°°° 3π/4

1

72

Kun dA:n ja ds:n lausekkeet "summataan" ϕ1:stä ϕ

2:een, saadaan tulokset

A r d= �12 2

1

2

( )ϕ ϕϕ

ϕ, s r r d= + ′� ( ) ( )ϕ ϕ ϕ

ϕ

ϕ2 2

1

2

*Esim. 9 Laske edellisen esimerkin mu-

kaisen käyrän r = cos2ϕ rajoit-

taman alueen ala ja käyrän pituus.

Neljäsosa käyrästä ja alasta

saadaan kun ϕ muuttuu 0...π/4.

Siten

A d

d

o

= ⋅= −

∴ = +

= + = + =

��

4 22 2 1

1 2

2 1 44

4 4

1

2

24

2

2 1

2

1

20

4

0

4

(cos )cos cos

cos ( cos )

( cos ) (sin

) .

/

/ /

ϕ ϕα α

α α

ϕ ϕ ϕϕ π

π

π π

s d= ⋅ + ≈�4 2 4 2 4 8442 2

0

4

cos sin , ./

ϕ ϕ ϕπ

HARJOITUKSIA

A

9.1 Paraabelista y x= −4 2 jää x-akselin yläpuolelle osa. Laske tämän

kaaren painopiste.

9.2 Laske käyrän y y x2

0+ + =sin cos tangentin kulmakerroin käyrällä

olevassa pisteessä ( / , )π 2 0 .

9.3 Laske dy

dx ja

d y

dx

2

2, kun

x t

y t

=

=

�����

2

3

3

2.

9.4 Laske sykloidin yhden kaaren ja x-akselin välisen alueen pinta-ala.

9.5 Määritä ellipsin kaarevuussäde pisteessä (a,0). Ohje: käytä ellipsin

parametriesitystä.

9.6 a) Piirrä logaritminen spiraali r e= ϕ välillä −π π... / 2 . b) Laske sen

alueen ala, jota rajoittaa tämä kaari ja positiiviset x- ja y-akselit (ϕ

muuttuu siis 0 2... /π ).

9.7 Laske spiraalin r = ≤ ≤2 0ϕ ϕ π, pituus.

1

ππππ//// 44443333ππππ ////4444

73

9.8 Piirrä käyrä r = sin 2ϕ ja laske sen rajoittaman kuvion ala.

B

9.9 Laske käyrän y x x x= ≤ ≤2

30 1, painopisteen y-koordinaatti.

9.10 Käyrälle x y y2 3

2 2 0− + = piirretään tangentti ja normaali

pisteesseen ( , )3 2− . Määritä näiden yhtälöt.

9.11 Piirrä ellipsi x t

y t

=

=

���3

5

cos

sin ja laske

d y

dx

2

2 t:n arvoa 3 4π / vastaavassa

pisteessä.

9.12 Onko käyrä x t t

y t t

= +

= −

���4 2 2

4 2 2

cos cos

sin sin positiivisen- vai negatiivisen y-

akselin suuntaan kupera kohdassa t = π / 2?

9.13 Laske sykloidin yhden kaaren pituus. (Ohje tarkan arvon laskemi-

seksi: 1 22

2− =cos sint

t , sillä cos sin2 1 22α α= − .)

9.14 Määritä käyrän y x= ln pisteeseen (1,0) piirretyn

kaarevuusympyrän yhtälö.

9.15 Määritä käyrän yx

=+

+1

12 pisteeseen P( , )0 3 piirretyn kaarevuus-

ympyrän yhtälö. (Säteen saat myös laskemalla keskipisteen O ja

pisteen P välisen etäisyyden.)

9.16 Laske spiraalin r e= ≤ ≤20 2

ϕ ϕ π, pituus.

9.17 Piirrä käyrä r = cos3ϕ ja laske sen rajoittaman kuvion ala.

9.18 Piirrä käyrä r = sin 3ϕ ja laske sen rajoittaman kuvion ala.

C

9.19 Laske r-säteisen puoliympyränkaaren painopiste

(kuva).

9.20 Osoita, että ellipsin ��

�

�

2

2

2

21++++ ==== pisteeseen ( , )x y

o o

piirretyn tangentin yhtälö on � �

�

� �

�

� �

2 21++++ ==== .

74

9.21 Osoita (eliminoimalla parametri t), että x t

y t

t

t

= +

= −

�����

1

1 on erään hyper-

belin eräs parametriesitys. Laske tämän hyperbelin tangentin kulma-

kerroin pisteessä ( , )2 11

2

1

2.

9.22 Jana, jonka pituus on a, liikkuu niin, että sen päätepisteet ovat

koordinaattiakseleilla (piirrä kuva, jossa näkyy tällainen jana useassa

eri asemassa). Tällaisen janaparven "uloimmista" pisteistä muodos-

tuu kyseisen parven ����������, joka on tässä tapauksessa ns.

���������. Asteroidille voidaan johtaa parametriyhtälöt

x a t

y a t

=

=

�����

cos

sin

3

3.

a) Määritä asteroidin tangentti kohdassa t = π / 6 . b) Laske tämän

tangentin leikkauspisteet A ja B koordinaatiakselien kanssa. c)

Laske janan AB pituus (joksi pitäisi tulla a).

9.23 Kun r-säteinen ympyrä vierii origokeskisen R-säteisen ympyrän

sisällä, vierivän ympyrän piste P (joka on alussa x-akselin ja R-

säteisen ympyrän leikkauspiste) piirtää ns. �� ���������, jonka

yhtälöt ovat (vrt. kaavasto)

x R r t r t

y R r t r t

R r

r

R r

r

= − +

= − −

�����

−

−

( )cos cos

( )sin sin

a) Piirrä havainnollistava kuva (esim. r cm R cm= =2 6, ).

b) Osoita, että jos R = 2r, piste P liikkuu pitkin x-akselia. Tässä

tapauksessa vierivän ympyrän halkaisijan PQ piste Q liikkuu pitkin

y-akselia (symmetrian vuoksi). Siis janan liike niin, että janan

päätepisteet pysyvät akseleilla, voidaan saada aikaan pyörimis-

liikkeen avulla. (Olisiko tällä ������������� ��������� tiedolla

käyttöä tekniikassa?)

c) Osoita, että jos R r= 4 , hyposykloidista tulee asteroidi (edellinen

harj.).

9.24 Laske asteroidin kaaren pituus ja sen rajoittaman pinnan ala.

75

9.25 �������������

x x t

y y t

z z t

=

=

=

���

��

( )

( )

( )

��������� saadaan vastaavasti kuin

tasokäyrällä lauseke s x y z dtt

t

= ′ + ′ + ′� ( ) ( ) ( )2 2 2

1

2

. Laske

sovelluksena �����������

x r t

y r t

z th

=

=

=

���

��

cos

sin

2π

yhden kierroksen pituus. (Se saataisiin

alkeellisesti alla olevasta kuvasta.)

��

��

2222ππππ�

�

9.26 Missä pisteessä käyrän y x= ln kaarevuus on (itseisarvoltaan) suu-

rimmillaan?

9.27 Määritä perusparaabelin evoluutta.

9.28 Määritä sykloidin evoluutta.

9.29 Käyrä r r= ( )ϕ saadaan parametrimuotoon seuraavasti:

x r

y r

x r

y r

r r=

=

���⇒

=

= (

���=cos

sin

( )cos

)sin

( )ϕ

ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ

(ϕ parametrina).

Laske tämän tiedon avulla Arkhimedeen spiraalin r k= ϕ kaarevuus-

säde ja kaarevuuskeskipiste (jälkimmäinen lasku on työläs).

9.30 ��������� on eräs ns.episykloidin erikoistapaus. Se syntyy, kun a-

säteinen ympyrä vierii samankokoisen ympyrän ulkopuolella.

a) Hahmottele tämän perusteella kardioidin kuva. Jos kardioidin

kärki siirretään origoon, yhtälö voidaan esittää napakoordinaatistossa

muodossa r a= −( cos )1 ϕ . b) Laske kardioidin rajoittaman alueen

ala.

c) Laske kardioidin kaarenpituus. (Ohje: 1 22

2− =cos sinϕ

ϕ).

��

�

�´

�

�

�

76

*10 Integraalin derivointi parametrin suhteen

10.1 Parametri integroimisrajoissa

Integraalin f x dx( )� arvo on parvi x:n funktioita: F x C( )+ . Jos nämä

funktiot derivoidaan integroimismuuttujan x suhteen, saadaan alkuperäinen

funktio f x( ) , ts.

d

dxf x dx f x( ) ( )=� .

Tämä tulos ilmaisee integroinnin ja derivoinnin käänteisyyden toisiinsa

nähden.

Jos määrätyn integraalin f x dxa

b

( )� rajat ovat vakioita, niin

d

dxf x dxa

b

( ) =� 0 (sillä vakion derivaatta = 0).

Jos sensijaan esim. ylärajan b tilalla on jokin parametri t, koko määrätyn

integraalin arvo on t:n funktio ja tästä voidaan laskea derivaatta t:n suhteen:

�

��� � �� � �( ) ( )

a

t� = = − = ′ − =d

dtF x

d

dtF t F a F t

a

t

( ) [ ( ) ( )] ( ) 0 .

Tulos: Jos integraalin ylärajana on parametri t ja alaraja on vakio, niin

integraalin derivaatta t:n suhteen saadaan, kun yläraja sijoitetaan integroi-

tavaan funktioon integroimismuuttujan tilalle.

Esim. 1 Dx

xdx

t

tt

t sin sin.

1� = (Tätä integraalia ei pystytä laskemaan

tavalliseen tapaan, mutta sen derivaatta pystytään siis laske-

maan.)

*Jos b:n tilalla on t:n funktio b(t), niin yhdistetyn funktion derivoimis-

säännön (ketjusäännön) nojalla

d

dtf x dx

d

dtF x

d

dtF b t F a F b t b t

a

b t

a

b t

( ) ( ) [ ( ( ) ( )] ( ( )) ( )( ) ( )� = = − = ′ ⋅ ′ .

Esim. 2 Dx

xdx

t

t

t

tt

t sin sin sin.

1

3 3

33

3� = ⋅ =

77

10.2 Parametri integroitavassa funktiossa

Parametri t voi olla myös integroitavassa funktiossa f, joka on tällöin itse

asiassa kahden muuttujan x ja t funktio f(x, t), ja integraali on muotoa

f x t dxa

b

( , )� .

Koska integraalia laskettaessa integroimisrajat sijoitetaan x:n paikalle

integraalifunktioon F(x,t), tämän integraalin arvo on pelkästään t:n funktio ja

voidaan kysyä sen derivaattaa t:n suhteen:

d

dtf x t dxa

b

( , ) ?� =

Jos integraali ajatellaan "summaksi", seuraava tulos ilmaisee sen, että tämä

"summa" voidaan derivoida termi termiltä:

�

��� � � ��

�� � � ��

�

�

�

�( , ) ( , )� �==== ∂∂∂∂

∂∂∂∂.

Yhtälön oikealla puolella derivoitava funktio on kahden muuttujan funktio,

joten kyseessä on osittaisderivaatan laskeminen t:n suhteen. Tätä tulosta

(jota ei perustella tarkemmin), sanotaan myös ���������� �� ����������

�������������, sillä vasemmalla puolella funktio integroidaan ensin ja

derivoidaan senjälkeen ja oikealla puolella tehdään päinvastoin. Seuraava

esimerkki vaatii tällaisen vaihdon, sillä funktio sin txx

ei integroidu x:n

suhteen tavallisessa mielessä.

Esim. 3d

dt

tx

xdx

t

tx

xdx

tx x

xdx

tx dxtx

tt t

t

sin sin cos

cossin

(sin sin ).

1

2

1

2

1

2

1

2

1

21 2

� � ��

= =⋅

= = = −

∂

∂

Huomaa, että derivoinnissa ∂∂t

tx

x

sin on x vakio, kun taas integ-

raalissa sin tx dx1

2� on t vakio.

78

HARJOITUKSIA

A

10.1 Derivoi a) sin2

0ω ωd

t� , b) cos( )x dxt

2

01

3

+� .

10.2 Laske d

dttx t dx( )+� 2

0

2

kahdella eri tavalla:

a) merkityssä järjestyksessä, ts. suorittamalla ensin integrointi ja

sitten derivointi,

b) vaihtamalla ensin derivoinnin ja integroinnin järjestys.

Kummastakin pitäisi tulla sama tulos.

B

10.3 Miten derivoidaan integraali f x dxa

b

( )� t:n suhteen, jos alarajan a

tilalla on a) t, b) t:n funktio a(t).

10.4 Derivoi a) x x t dxln( )2

1

2

+� , b) e

xdx

tx

2

3� .

C

10.5 Johda laskukaava derivaatalle d

dtf x dx

a t

b t

( )( )

( )� .

10.6 a) d

dt

td

cosω

ωω

1

3� , b) d

d

tdt

ω

ω

ω

cos

1

3� .

10.7 Taivutusmomentti kohdassa x on

(kuva)

M Ax x u q u du

Ax x q u du uq u du

x

x

x x

= − −

= − +

�� �( ) ( )

( ) ( ) .

0

0 0

Laske ′′Mx.

�

�� (�)

�

�(�)

�+�� �

79

11 Numeerisia menetelmiä

11.1 Haarukointi ja iterointi (kertaus)

Esim. 1 Määritä yhtälön 2 3 03x x− − = reaalijuuret. Mahdolliset ratio-

naalijuuret ovat muotoa p/q, missä p on 3:n tekijä (± ±1 tai 3) ja

q on 2:n posit. tekijä (1 tai 2). Täten kokeiltaviksi luvuiksi jäävät

± ± ± ±1 31

2

3

2, , , . Mikään näistä ei toteuta yhtälöä, joten yhtälöllä

ei ole rationaalijuuria.

Kirjoitetaan yhtälö muotoon

(1) x x3 1

2

3

2= +

ja piirretään käyrät y x= 3 ja y x= +1

2

3

2.

Kuvan mukaan yhtälöllä (1) on vain yksi

reaalijuuri x ≈13, (sillä tämä x antaa kum-

mallekin y:lle saman arvon eli toteuttaa

yhtälön (1)). Tarkennetaan tätä likiarvoa ����������� (ks.

seuraava taulukko):

Esim. kohdassa 1,3 lausekkeen

2 33x x− − likiarvo on paljon

lähempänä 0:aa kuin kohdassa

1,2. Siksi seuraavaksi arvauk-

seksi on valittu 1,28 (eikä 1,25).

Taulukon mukaan

1,289|5 < x < 1,2900,

joten katkaisussa 3. desimaali 9

korottuu. ∴ x ≈1,290.

Esim. 2 Sama ��������. Ratkaistaan

yhtälöstä "yksi x erilleen", esim.

x x= +( ) /3 23 ∴ iterointi-algoritmi on x xn n+ = +

13 3 2( ) / .

x1

13= , ; x x2 3

11290 1 2897= =, ..., , ..., x4

1 28963= , .... ,

x x5 6

1 289624 1 289624= =, ..., , ... ∴ x ≈1,28962.

x

2 33x x− −

1,2 – (0,744)

1,4 + (1,088)

1,3 + (0,094, siis lähes 0)

1,28 – (0,085...)

1,29 + (0,003...) �

1,289 – (0,0005...)

1,2895 – �

80

11.2 Newtonin menetelmä (tangenttimenetelmä)

Edellisten esimerkkien yhtälö on muotoa f x( ) = 0 , missä f(x) on polynomi-

funktiona jatkuva. Haarukointi on tällaisille funktioille varma menetelmä

juuren likiarvon x1 parantamiseksi, koska siinä "haarukointiväli" pienenee

joka askeleella vähintään puoleen.

Iterointi sen sijaan ei toimi aina, sillä xn-arvot eivät aina lähene n:n kasva-

essa mitään äärellistä raja-arvoa, ts. jono x x1 2, ,... voi hajaantua. Silloin kun

iterointi toimii, se toimii yleensä nopeasti, ts. muutamalla askeleella saadaan

jo hyvä likiarvo. Sama koskee seuraavaa Newtonin menetelmää.

Olkoon x1 yhtälön f x( ) = 0 reaalijuuren likiarvo (joka on saatu esim.

graafisesti tai teknillisissä tehtävissä tunnetaan usein asiayhteydestä).

Käyrän y f x= ( ) pisteeseen ( , ( ))x f x1 1

piirretyn tangentin yhtälö on

y f x f x x x− = ′ −( ) ( )( )1 1 1

.

Lasketaan tämän leikkauspiste ( , )x20 x-

akselin kanssa:

01 1 2 1

− = ′ −f x f x x x( ) ( )( )

−′

= − ∴ = −′

f x

f xx x x x

f x

f x

( )

( )

( )

( )1

1

2 1 2 1

1

1

.

Otetaan x2 uudeksi lähtöarvoksi, jolloin saadaan vastaavasti

x xf x

f x3 2

2

2

= −′

( )

( ).

Jatkamalla samaan tapaan saadaan �� ���� ����������

� �� �

� �� �

�

�++++ ==== −−−−

′′′′1

( )

( ).

Esim. 3 Tarkastellaan samaa yhtälöä kuin edellä. Silloin

f x x x f x x x xx x

xn n

n n

n

( ) , ( )= − − ′ = − ∴ = −− −

−+2 3 6 1

2 3

6 1

3 2

1

3

2.

�1

�2

�3

(� ,f (� ))1 1

�1

�2

�3

� = f(�)

81

Tästä saadaan peräkkäin x:n likiarvoiksi

13 1 28971 1 28962390 1 289623901 1 2896239, , , ... , ..., , ... , .∴ ≈x

Seuraava kuva havainnollistaa sellaista tilannetta, jossa x:n arvot lähtevät

hajaantumaan ja Newtonin menetelmä ei siksi toimi.

�1

�2

�3

11.3 Numeerinen derivointi

Numeerinen derivointi eli derivaatan likiarvon

laskeminen perustuu yksinkertaisimmillaan derivaa-

tan määritelmään. Sen mukaan

(2) ′ ≈+ −

f xf x h f x

h( )

( ) ( )1

1 1 , jos h ≈ 0 .

Geometrisesti tämä merkitsee, että pisteeseen P

piirretyn tangentin kulmakertoimen tilalla käytetään

sekantin PQ kulmakerrointa (vrt. kuva). Jos merkitään x:n "lisättyä" arvoa

x2:lla, ts. x h x

1 2+ = ∴ = −h x x

2 1, niin (2) voidaan kirjoittaa myös

muotoon

′ ≈−

−f x

f x f x

x x( )

( ) ( )1

2 1

2 1

, jos x x2 1

0− ≈ .

eli muotoon

′ ≈−

−f x

y y

x x( )

1

2 1

2 1

, jos x x2 1

0− ≈ .

Derivaatalle eli pisteeseen P piirretyn tangentin

kulmakertoimelle saadaan ehkä parempi likiarvo,

jos sekantin PQ kulmakertoimen sijalla käytetään

sekantin AQ kulmakerrointa (vrt. kuva). Tällöin

′ ≈−

−

+ −

+ −

f xf x f x

x xn

n n

n n

( )( ) ( )

1 1

1 1

.

1�

1� + �

f(� )1

f(� + �)1

�

�

n-1�

n�

�

n+1�

�

�

tang.

82

Jos x x x x h x x hn n n= = + = −+ −, ,

1 1, niin tämä tulos saa muodon

(3) ′ ≈+ − −

f xf x h f x h

h( )

( ) ( )

2.

Eräs mahdollisuus olisi myös käyttää sekanttien AP ja PQ kulmakertoimien

keskiarvoa.

Esim. 4 Jos f x x x( ) ln( )= + , ja h = 0 01, , niin

′ ≈+ − +

=f ( )ln( , , ) ln( )

,, ...1

101 101 1 1

0 010 746

Jos käytetään kohdan x =1 kummallakin

puolella olevia kohtia x h+ =1 01, ja

x h− = 0 99, , saadaan parempi likiarvo

′ ≈+ − +

=f ( )ln( , , ) ln( , , )

,, ...1

101 1 01 0 99 0 99

0 020 750021

Tarkka derivaatan arvo on 0,75.

Numeeriseen derivointiin joudutaan tyytymään mm. silloin, kun funktion

analyyttistä lauseketta ei ole tiedossa, vaan funktio tunnetaan esim.

piirturin piirtämänä käyränä tai parien ( , )x yi i

muodostamana taulukkona

(datatietoina).

Toinen derivaatta ′′f x( ) on ensimmäisen derivaatan ′f x( ) derivaatta. Jos

käytetään (2):ta vastaavaa ajattelutapaa, niin

′′ ≈′ + − ′

≈

+ + − +−

+ −

f xf x h f x

h

f x h h f x h

h

f x h f x

hh

( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

.

Tämä sievenee muotoon

′′ ≈+ − + +

f xf x h f x h f x

h( )

( ) ( ) ( )2 22

.

*Minkä muodon saat, jos käytät (3):a vastaavaa ajattelutapaa?

1

�

83

11.4 Numeerinen integrointi suorakulmiomenetelmällä

Integraalin likiarvon laskemiseen on tähän saakka käytetty integraalin määri-

telmän antamaa tulosta

f x dx f c x f c xa

b

n( ) ( ) ( )� ≈ + +

1� �⋯ ,

missä ci:t ovat �x -osavälien keski-

pisteitä.

Menetelmää sanotaan ��������������������,

koska siinä erikoistapauksessa, että f ci

( ) > 0 ,

edellisen summan termi f c xi

( )� antaa �x -

kantaisen ja f ci

( ) :n korkuisen suorakulmion alan

(vrt. kuva). Tässä tapauksessa siis integraalin

laskeminen korvataan suorakulmioiden alojen

summaamisella.

Tällä erikoistapauksella voidaan myös perustella

sitä, että jos f(x) muuttuu aika lineaarisesti osaväleillä, niin edellinen kaava

antaa aika hyvän likiarvon integraalille. Tällöin nimittäin kunkin

suorakulmion ala on aika hyvin samansuuruinen kuin vastaava käyrän ja x-

akselin välinen ala.

Suorakulmiomenetelmässä käyrän tilalla käytetään kullakin osavälillä vaaka-

viivaa, ts. vakiofunktiota eli 0:nnen asteen polynomia. Koko käyrä korvataan

siis porrasfunktiolla, joten menetelmää voitaisiin sanoa myös porras-

menetelmäksi.

Yhden osavälin pituutta �x b an

= − merkitään yleensä h:lla, jolloin tulos

voidaan esittää muodossa

(4) � � �� � � ��

�

�

�

�

( ) ( )� ∑∑∑∑≈≈≈≈

====1

, missä �� �

�====

−−−−.

*Mieti miten tekisit tästä tietokoneohjelman (Basicillä, Pascalilla tms).

Käytä apuna tietoja c a h1

2= + / ja c c hi i+ = +1

.

*Osavälien ei tarvitse suorakulmiomenetelmässä olla yhtä pitkiä eikä

pisteiden ci osavälien keskipisteitä, vaan tämä likiarvomenetelmä voidaan

esittää yleisemmin seuraavasti:

����� ����� �����

�1 �2 �

n� �

f (� )1

f(� )2

�1

�2

����� �����

84

Jaetaan integroimisväli [a, b]

osaväleihin, joiden pituudet ovat

� �1 2x x, , ... ,�

nx ja kultakin

osaväliltä valitaan yksi x:n arvo.

Merkitään i:nneltä väliltä valittua x:n arvoa ci:llä ( , ,..., )i n=1 2 . Silloin

(5) � � �� � � ��

�

� �

�

�

( ) ( )� ∑∑∑∑≈≈≈≈====

����

1

.

11.5 Puolisuunnikasmenetelmä

Puolisuunnikasmenetelmässä käyrä kor-

vataan pisteiden P Po, ,...1

kautta kulke-

valla murtoviivalla, ts. kullakin osavälillä

käyrän tilalla käytetään 1. asteen polyno-

mifunktiota.

Jos erityisesti f x( ) > 0 ,

suorakulmioiden tilalle tulee "pystyssä

olevia" puolisuunnikkaita. Esim.

ensimmäisen puolisuunnikkaan ala

saadaan, kun "kantasivujen" y ja y1 2

keskiarvo kerrotaan

puolisuunnikkaan korkeudella h. Koko integraalin likiarvo on siten summa

(6) f x dxy y

hy y

hy y

hy y

ha

bo n n( )� ≈+

⋅ ++

⋅ ++

⋅ + ++

⋅−1 1 2 2 3 1

2 2 2 2⋯ .

Puolisuunnikasmenetelmässä siis osaväliltä lasketun arvon f ci

( ) tilalle

kaavoissa (4) ja (5) tulee välin päätepistearvojen keskiarvo y yi i− +1

2. (Tämä

pitää paikkansa vaikka yi:t eivät olisi positiivisia tai jako ei olisi tasa-

välinen.) Tulos (6) sievenee muotoon

� � �� ��

� � ��

�

��

��( ) ( )� ≈≈≈≈ ⋅⋅⋅⋅ ++++ ++++ ++++ ++++ ++++−−−−

2 21 2 1

⋯ , missä �� �

�====

−−−−.

*Puolisuunnikassääntöä (Trapezoidal Rule) on helppo käyttää, koska siinä ei

tarvita funktion arvoja muuta kuin osavälien päätepisteissä. Esimerkiksi

edellisen kuvan mukaisella funktiolla sääntö antaa hyvän likiarvon, sillä

ensimmäinen termi summassa (6) (ensimmäisen puolisuunnikkaan ala) on

jonkin verran liian pieni, toinen on suunnilleen oikeankokoinen ja kolmas

termi jonkin verran liian suuri (liian vähän negatiivinen).

� = �0�1

�2

�n-1

�n

�1

�2

�n

= �

�o

�2

�3

�1

�o

�

�2 �

3

1

�o

�1

�2

�3

� �

85

11.6 Simpsonin sääntö

Puolisuunnikassäännössä korvattiin käyrän kahta peräkkäistä pistettä vastaa-

vat käyränosat P Po 1

, PP1 2

, P P2 3

,... suorilla. ���������� ���������

korvataan kolmea peräkkäistä pistettä vastaavat käyränosat P PPo 1 2

,

P P P2 3 4

,.P P P4 5 6

,... paraabelin kaarilla, mikä antaa yleensä paremman

likiarvon (approksimaation), vrt. seuraava kuva Osavälejä tarvitaan tällöin

parillinen määrä (muuten viimeiseen osaan täytyy soveltaa esim.

puolisuunnikassääntöä).

Jaetaan siis väli [a, b]

��������� määrään osavälejä,

joiden pituudet ovat

�� �

�====

−−−−.

Korvataan kolmea ensimmäistä

pistettä P PPo 1 2

vastaava käyrän-

osa näiden pisteiden kautta kul-

kevalla paraabelinkaarella

y ax bx c= + +2 .

Paraabelin kertoimet saadaan pisteiden P PPo 1 2

koordinaattien perusteella.

Kun vastaavan integraalinosan I f x dxx

x

o

02

2

= � ( ) likiarvona käytetään

paraabelin antamaa integraalia I ax bx c dxx

x

o

02

22

≈ + +� ( ) , niin lopputulos

on (kuten voidaan todistaa)

(7) I y y yho02 3 1 2

4≈ + +( )

Vastaavasti I y y yh24 3 2 3 4

4≈ + +( )

I y y yh46 3 4 5 6

4≈ + +( )

⋮

Kun nämä lasketaan yhteen, koko integraalille saadaan likiarvo

� � �� � � � � � � ��

��

� � �( ) ( )� ≈≈≈≈ ⋅⋅⋅⋅ ++++ ++++ ++++ ++++ ++++ ++++ ++++−−−−3 1 2 3 4 14 2 4 2 4⋯ ,

missä osavälien lukumäärä � on parillinen ja � � ��==== −−−− .

Po

P1 P

2

P3

P4

P5

P6

xo

x1

x2

x3

x4

x5

x6

yo

y1

y2

y3

86

Esim. 5 Laske käyrän y x= sin 2 kaaren pituus yhden jakson väliltä.

Jakson pituus on 2 2π π/ = , joten yksi jaksoväli on esim. [ , ]0 π .

s f x dx x dx

g g g g g

g x

= + ′ = +∴

≈ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ≈

� �1 1 4 2

0 4 4 2 2 4 3 4 4 436

2

0

2

0( ) cos

[ ( ) ( / ) ( / ) ( / ) ( )] , .

( )

π π

π

ππ π π π

� ��� ���Simpson, 4 osaväliä

= / 4

/ 4

3

h

Vaikka yleensä Simpsonin menetelmä on aikaisempia menetelmiä tehok-

kaampi, tässä esimerkissä Simpsonin säännön antama likiarvo on huono,

sillä oikea s:n arvo on s = 5 270367, ... Puolisuunnikassääntö antaisi neljällä

osavälillä paremman likiarvon 5,083... ja alkeellisin suorakulmiomenetelmä

likiarvon 5,441... Käyrän y g x= ( ) muoto on sellainen, että käyrän korvaa-

minen kahdella paraabelin kaarella onnistuu huonosti (vrt. seuraava kuva).

Puolisuunnikassäännön mukainen murtoviiva sopii paraabeleja paremmin

yhteen tämän käyrän kanssa.

ππππππππ//// 2222

� = �(�)

Esim. 6 Tynnyrin korkeus on h, pohjien alat

ovat A ja C sekä poikkileikkausala

keskellä on B. Johda tilavuudelle liki-

arvokaava Simpsonin säännöllä.

Jos poikkileikkaus kohdassa x on

A(x), niin dx:n levyisen levyn tilavuus

dV A x dx= ( ) ja koko tilavuus on

"summa"

V A x dxh

A A h A hh

= ≈ + + = + +� ( )/

[ ( ) ( / ) ( )]0

2

30 4 2

�� �

6[ 4 ]

(Simpson, 2 osaväliä, pituudet h/2).

x

0 h/2 h

A B C

x

87

HARJOITUKSIA

A

11.1 Ratkaise a) haarukoimalla, b) iteroimalla, c) Newtonin menetelmällä

yhtälö x x3

1= + neljän numeron tarkkuudella.

11.2 Määritä Newtonin menetelmällä seuraavien yhtälöiden juuret kolmen

desimaalin tarkkuudella:

a) sin x x− + =2 0 , b) ln x x− + =2 0 .

11.3 Laske a) suorakulmio-, b) puolisuunnikas-, c) Simpsonin menetel-

mällä integraalin dx

x120

1

+� likiarvo, käyttäen 4 osaväliä. Vertaa tulok-

sia tarkkaan arvoon.

B

11.4 Laske yhtälön x x x x4 3 2

2 8 12 0− + − + = rationaalijuuri ja sitten

tangenttimenetelmällä irrationaalijuuren 3-numeroinen likiarvo.

(Poista rationaalijuurta vastaava tekijä ensin jakamalla.)

11.5 Jatka esimerkkiä 4, laskemalla samalle funktiolle f x( ) = ln( )x x+

toisen derivaatan ′′f ( )1 likiarvon eri tavoilla ja vertaa tuloksia

tarkkaan arvoon.

11.6 Laske a) Simpsonin säännöllä, b) puolisuunnikassäännöllä integraa-

lin x x dx2

0cos

π� likiarvo. Käytä 4 osaväliä. (Tarkan arvon saisit

kahdella osittaisintegroinnilla.)

11.7 Laske Simpsonin säännöllä ln x

xdx

+� 11

2

, 6 osaväliä. Huomaa: kun

osavälejä on 6, niin likiarvokaavassa on 7 termiä (miksi?)

11.8 Laske 13

0

3

+� x dx puolisuunnikassäännöllä, 6 osaväliä.

11.9 Laske Simpsonin säännöllä, 8 osaväliä, dx

x1 34

8

+� .

88

11.10 Laske sin x

xdx

1

9� Simpsonin säännöllä, 4 osaväliä. (Laskin RAD-

näytölle!)

11.11 Viereisen kuvan tapaisen pyöräyskappaleen

halkaisija mitattiin 10,0 mm:n välein ja tulokset

olivat mm:issä 10,0 13,0 18,0 24,0 40,0 60,0

ja 90,0. Laske kappaleen tilavuus.

C

11.12 Ympyrän kaari b on 20% jännettä a

pidempi. Laske keskuskulma. Ohje: käytä

radiaanin määritelmää ja kulman α / 2

siniä. (Tämä ongelma tuli eteen

teknikkotason lujuusopissa.)

11.13 Tiedetään, että eräs kokeellinen käyrä on

esim. polynomimuotoinen, joten se kaartuu

"tasaisesti", ilman äkkimutkia. Oletetaan,

että käyrältä tunnetaan lähekkäin olevat arvoparit

( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , )x y x y x y x y x yn n n n n n n n n n− − − − + + + +2 2 1 1 1 1 2 2

.

Johda toiselle derivaatalle ′′f xn

( ) likiarvokaava. Käytä apuna

kaikkia viittä lähipistettä.

1,2�

�αααα

�/2

89

Vastauksia

1.1 y x= +ln 2 1.2 y x y x= − − = +1

2

22 3 1(cos ) ( sin )eli

1.3 y x x= − +1

3

3 1

2

2 1

62 , y x x= − + −ln 2 1. 1.4 a) y Cex=

22/ ,

b) y Ce x= cos 1.5 a) xy = 8 , b) yx

x=

−1 1.6 a) y Cex=

22/ ,

b) y Ce x= cos 1.7 y Cex

=3

4

2

1.8 a) y Ce xx= + −−2 1

2

1

4,

b) y Ce ex x= +−2 1

2

4 1.9 y e x xx= + −−1

4

2 2 2( sin cos )

1.10 y x x= − + + −ln ln ln2 1 2 1.11 y e x C x Cx= − + +1

4

2

1 21( )

1.12 s s v t gto o

= + − 1

2

2 1.13 y x x= ± + −22 2 , hyperbeli, kp. ( , )−1 0 ,

puoliakselit 3 1.14 a) y Ce x= −22

, b) yx C

=+

1

ln

1.15 y Ce x= −32 1.16

dT

dtk T T

ymp= −( ) , T e C

kt o= − ⋅( )50 40

1.17 n Co

. ,49 4 (49 375,o

C ) 1.18 a) y Ce ex x= − −1

2

b) y e x Cx= +− ( ) 1.19 i e t tt= + −−2 3

42 2(sin cos )

(= e tt− + −2 3 2

42 4sin( / )π ) 1.20

qLx x

2

2( )− ,

q

EIx Lx L x

24

4 3 32( )− + 1.21 y x Lx L xq

EI= − +

24

4 3 2 24 6( ) ,

yqL

EImax =4

8 1.22 0 990 0 00630 100 0 990 100

2, , sin , cose t t

t− + −π π

1.23 a) 44%, b) klo 15.05, c) 9,5%

1.24 y C x x x x x= + −cos sin cos cos2 2 1.25 i t= −311

7001 100

ππ( cos ) .

2.1 a) y e C C xx= +−81 2

( ), b) y C x C x= +1 2

2 2sin cos

c) y e C C x ex x= + +− ( )

1 2

1

9

2 , 2.2 y e e xex x x= − −− −1

2( )

2.3 a) y C e C e ex x x= + −− −

1

2

2

2 1

3, b) y C x C x x x= + −

1 2

1

2sin cos cos

2.4 b) s t= +2 4sin( / )π 2.5 a) s e et t= −− −3

2

1

2

5 , b) s e tt= +−3 1 4( )

c) s e t tt= +− (sin cos )2 2 eli s e t

t= +−2 2 4sin( / )π

2.6 a) y x x x x= + + −2 2 5 2 2sin cos sin cos

b) y e x xx= − − −−3 2 2

2sin cos .

2.8 a) y C e C e xx x= + − −−

1

2

2

2 1

2

1

4, b) y C C e x x

x= + + +1 2

4 2 1

4

90

c) y C C e x xx= + − +−

1 2

1

2(sin cos ) .

2.9 y e ex x= −− −1

6

7( ) 2.10 a) y C e C ex x= + −−1

2

2

21, b) y e

x= −21.

2.11 y e x x xx= − + + +3 1 2 41

2

2( ) .

2.12 s t t t t= + + −1

2

1

2

1

22 3 2sin cos sin cos .

2.13 s e C C t et t= + +− −3

1 2

24( ) 2.14 s C C e t tt= + − +−

1 2

2 5

82 2(sin cos )

2.15 s e t tt= − − −−

3 2 22

sin cos .

2.16 a) y C x C x x= + −1 2

1

33 3sin ( )cos , b) y e C C x xx= + +−2

1 2

23( ) .

2.17 ′′ + =s so

ω 20 , ′′ + ′ + =s s s

o2 0

2δ ω , ′′ + ′ + =s s s K to o

22δ ω ωsin .

2.18 i eU

R

tRC=

− 1

, q CU e RCt

= −−

( )11

2.19 i e tt= −

5 2sin

2.20 a) q e C t C tt= + + ⋅− −400

1 2

3300 300 2 4 10( sin cos ) , ,

b) i e tt= −

2 300400

sin 2.21 y C C e C e xex x x= + + −1 2 3

2

2.22 y C x x C= + +1

3

29ln / 2.23 r = ±2 3

2.24 y C e C e xx x= + + −−

1

2

2

21,

z C e C e xx x= − − + − + + +

1

2

2

2 1

21 2 1 2( ) ( ) .

2.25 a) ′ + =v v gk

m

r , b) v Cek

mt mg

k= +

−, c) v

mg

k∞ = .

2.26 a) s em

k

tk

m= −−5 1( ) , b) s e

t

= −−

15 1 3( ) .

3.1 π π π π π/ , / , , / , / , , , , /3 2 0 3 5 12 0 644 3 2− − −ei

3.2 π π π π π/ , , / , / , / , , , ,6 0 2 5 6 17 12 0 927 4ei

3.3 π π π/ , / , , , / , ,3 6 1107 12 0 3222−

3.4 a) −−

= −−

1 1

14 2 2x x x x

( ) , b) 1

12

arcsin x x⋅ −,

c) 6

1 92− t

, d) 21

2

2x x

x

x

arcsin +−

3.5 a) 3

1 92

+ x, b)

1

2 2( )x x+, c)

2

1

2

4

e

e

x

x +.

3.6 a) π / 6 , b) − − +2 12

x C , c) 4 3π / , 3.7 a) π / 4 , b) 12

2ln ,

c) 7 12π / 3.8 π / 9 3.9 a) π / 18 , b) 16

3

3ln

s

sC

−

++ ,

c) ln t t C+ − +2

4 3.10 12

3

2arctan

xC

+ +

91

3.11. ln x x x C+ + + +2 42

3.13. a) 1

22

x x−, b)

1

2x x−

,

c) 2

1 2 32

x x x+ + − 3.14

1

12

+ x 3.16

b b− −π π

4

3

4,

3.17 a) π 3 6/ , b) 1

2 2

2 1

2arctan

xC

++ , c) ln ,

4 2 3

3 50 355

+

+≈

3.18 a) 2x x C− +arctan b) x x x C2 2

4 4− + + − +ln ,

c) 13

23 1 9ln( )x x C+ + +

3.19 ax a n

x a nb

x a n

x a n)

arcsin

arcsin)

( arcsin )

( arcsin )

1

2

1

2

2

2

2

2 2

= + ⋅

= − + ⋅

���= + − + ⋅

= − − + ⋅

���π

π π

π π

π π.

Tämä sievenee niin, että b)-kohdan kaikki kulmat saadaan a)-kohdan

ratkaisukaavoista (sillä kun n kulkee kaikki kokonaisluvut, samoin

tekee n+1), vrt. kaavasto. 3.20 ks. kaavasto,

3.21 D op integr. funktio= 3.22 arccos arctanx

x

x

= −−

π

2 12

3.23 Käytä tulosta arccos( ) arccos− = −x xπ ja arkussinin parittomuutta.

3.24 a) x y= +1

2

3

4sin( )π , b) π − 2 , c) π − 4 , d) 6 2− π , e) −π / 3

3.25 a) y x= −π2

, b) y x x= + − = −π ππ2

3

22

4.1 a) 1 2− ln , b) − − − +x x Cln 1 , c) x x x C2 1

22 1− + + +ln

4.2 a) 12

2 1ln( ) arctanx x C+ − + , b) 1 24

+ −lnπ

4.3 a) 3

2

2

x x+− , b)

1

1

1

1s s−−

+ 4.4 a) ln

( )x

xC

++

1 2

,

b) lnx

xC

−

−+

3

2 1 4.5

3 1

1

2

2

s

s s s

−

+ +− 4.6 3 2 3

1

6ln ln− −

4.7 Huomaa, että a)-kohdan sulkulauseke on jaoton, b)-kohdan ei.

4.8 a) x x x C+ − − + +1

3

4

31 2ln ln ,

b) 3 1 92 1

3 3ln ln( ) arctanx x C

x+ − + − + 4.9 14

1lnx

xC

− +

4.10 −+

++

++

+

2

1

1

1

2 1

12 2s s

s

s( ) 4.11 a) 1

25 2( ln ln )x x C+ + + ,

b) 1 2

24

1

2 2x

Cx

x

x+ + ++

ln arctan 4.12 a) 1 1 2

x

x

xC+

−+ln

( ), b)

π

2

2

2−ln

4.13 ln 2

3

3

9+π

4.14 ln ln( ) arctanx x xx

C− + + + −+

+1 22

7

2 1

7

2 .

92

4.15 a) Joko kaikki lineaarisia tai lineaarinen ja 2. asteen tekijä.

b) Lineaarisia tekijöitä on 0, 2 tai neljä, muut toisen asteen tekijöitä.

5.1 a) 16

3 1( )+ , b) 0 5.2 a) 14

4 1tan − , b) π / 2

5.3 a) 0, b) 182 2 4( cos cos )x x C− + 5.4 2/15 5.5 a) ln tan x C

2+ ,

b) − +12

/ tanx

C 5.6 a) 14

1

22 1 2sin ( )cost t t C− + + , b) 16/15

5.7 a) ln 2 , b) 2 23

2− +ln( ) 5.8 ( ) / ( )3 3 3 9 2π ω ω+ −

5.9 a) 1 3+ , b) 1

22arctan 5.10 a) sij. ωt u= ja palautuskaava,

b) 12

1

4

2ln tan tanx x C+ + 5.11 ɵ

ɵcos

uiT

2ϕ

6.1 a) 132 2 1( )− , b) 4

151 2( )+ , c) 2

5

2x x C+

6.2 a) 2 2 1x x C− + +ln( ) , b) 2

31 1 2 1( )x x x C− − + − + , c)

2 1 2 1 1x x C− + − − +ln 6.3 a) 2 23

4+ ln , b) π / 6

6.4 a) 1/3, b) π / 16 6.5 81 16π / 6.6 a) 12

1 3

23 + +

ln , b) π / 4 ,

c) ln 1 3

2

+ 6.7 a) 2 2 2 2 1+ −ln( ) , b) ln t t t C+ + + +1 22

.

6.8 a) − = − −1

2 12

1

23 2 3 3ln( tan ) ( ln( ))π , b) −

−+

9

9

2x

xC

6.9 a) − +1

2

2arcsin

xC , b) Vihje:

1

2sin cost t

dt� =+� sin cos

sin cos

2 2

2

t t

t tdt

= +− �� cos sinsin

2 1t t dt

tdt , Vastaus: 2 3

1

2 8− −ln ln tan

π eli

2 2 3 2 11

2− − − −ln ln( ) 6.10 x C

x

x

x

x

1 1− −− +arctan

7.1 a) e

e

3

3

1

3

−, b)

e tC

tϕ ϕ

ϕ

( )−+

12

, c) 2 2e Cx +

7.2 a) −+

+ +−e

t t C

t

ωω ω ω

2 1(sin cos ) ,

b) e x x x x Cx ( )4 3 24 12 24 24− + − + +

7.3 1

16

4 4 1x x C( ln )− + 7.4 a) x x x Ccosh sinh− + , b) 1 1− / e

= − +sinh cosh1 1 1, c) 14

2 2(sinh )x x C− + = − − +−1

8

2 2 4( )e e x Cx x

7.5 a) a ax btanh( )+ , b) − cosh

sinh cosh

2

2 2

x

x x

=−4

2 2sinh tanhx x

7.7 a) a xtanh , b) −4 2

22

cosh

sinh

x

x

93

7.8 a) − + + + + +−e x x x x Cx ( )4 3 24 12 24 24 , b) − + + +−

e x x Cx ( )2 2 2

7.9 a) π ( )e − 2 , b) π

212( )e + 7.10 e e C

x x− + +ln( )1

7.11 a) x

x C

3

93 1( ln )− + , b) ln lnu C+

7.13 ( ) sinxarsc x x x C

2

2

1

4

1

4

21− + − +

7.14 e Ct e

e

t

t+ +−

+1

2

1

1ln 8.1 4/3 8.2 335/27 8.3 3,71

8.4 3/2 8.6 s t s t

t t

( ) ( )2 1

2 1

−

−, joka on = keskinopeus tällä aikavälillä

8.7 2 1 1sinh /= −e e 8.8 a) A x f x dx= + ′�2 12π ( ) , b) π

65 5 1( )−

8.9 vrt. pallon tilavuuden laskukaavan johtaminen pyöräyskappaleen yh-

teydessä (I osa, s. 65) 8.10 W V V= ⋅ −6 1 110 5

20 5

( / / ), , . Kyseessä

on vain potenssin V −1 5, integrointi, ei sen pahempi asia!

8.11 1/4 8.12 fk:llä on sellainen arvo, että suoran y = f

k ja x-akselin

väliin jää välille [a, b] yhtä suuri alue kuin käyrän y = f(x) ja x-

akselin väliin 8.13 ɵ /i 2 8.14 b) 3,35 m

8.15 a) F(s) = a/s, b) F(s) = 1 2/ s , c) F s

s a( ) = −

1 (s > a).

9.1 ( ; , / , ) ( ; , )0 20 23 9 294 0 218≈ 9.2 1 9.3 1 1 6 4/ / ( )t ja t− 9.4

32πr

9.5 b a2/ 9.6 1

41( )e

π − 9.7 π π π π1 1 12 22 2+ + + + ≈ln( ) ,

9.8 Kuten r = cos2ϕ , mutta 45o kiertyneenä, A = π / 4

9.9 y p ≈ ≈0 3484

1 2190 286

,

,, 9.10 4 5 2x y+ = , 5 4 23x y− =

9.11 −10 2 9/ 9.12 d y

dx

2

2

1

40= > , siis negatiivisen y-akselin suuntaan

kupera. 9.13 8r 9.14 x y x y2 2

6 4 5 0+ − + + =

9.15 x y x y2 2

2 8 15 0+ − − + = 9.16 5

2

4 1( )eπ −

9.17 "kolmiapila", A = π / 4 9.18 "kolmiapila", A = π / 4 9.19 ( , )0 2

πr

9.21 hyperbeli, jonka puoliakselit ovat 2 ja 2, k = 5 3/ 9.24 6R, 38

2πR

9.25 ( )2 2 2πr h+ 9.26 ( / , ln )1 2 21

2−

94

9.27 Parametrimuodossa a x

b x

= −

= +

�����

4

3

3

2 1

2

(parametrina x), ts. jos merkitään

paraabelin pisteen P x-koordinaattia t:llä ja kaarevuuskeskipistettä

( , )x y :llä, niin x t

y t

= −

= +

�����

4

3

3

2 1

2

9.28 x r t t

y r t

= +

= − −

���( sin )

( cos )1 (sekin on eräs

sykloidi) 9.29 ρϕ

ϕ=

+

+

k[ ]/

1

2

2 3 2

2, a k=

− −

+

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ

cos sin sin2

22

,

b k=+ +

+

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ

sin cos cos2

22

(missä kulma ϕ on radiaaneissa.

Näitä tuloksia tarvittiin jyrsimen ohjelmoinnissa.)

9.30 a) "lumpeenlehti", b) 3 22πa / , c) 8a

10.1 a) sin2 t , b) 3 12 6t tcos( )+ 10.2 2 4+ t

10.3 a) − f t( ) , b) − ⋅ ′f a t a t( ( )) ( ) 10.4 a) 12

4

1ln

++t

t, b) 1 3 2

t

t te e( )−

10.5 d

dtf x d x f b t b t f a t a t

a t

b t

( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ( )) ( )( )

( )� = ⋅ ′ − ⋅ ′

10.6 a) 1 3t

t t(cos cos )− , b) 1 2

2 33 3 3

ω ωω ω ω ω( cos cos ) (sin sin )− − −

10.7 −q x( ) 11.1 1,325 11.2 a) 2,554 b) 0,159 ja 3,146

11.3 tarkka arvo π / 4 11.4 2 ja 1,63 11.5 tarkka arvo −11 16/

11.6 a) –6,24 (tarkka arvo −2π ) 11.7 0,1472

11.8 7,395 (tarkempi arvo 7,3414...) 11.9 0,292 (tarkempi arvo

0,29188...)

11.10 0,712 (tarkempi arvo 0,71895...) 11.11 77 0 103 3

, ⋅ mm

11.12 2,053