matematika 1 8. mintatanterv -...

DR. CZEGLÉDY ISTVÁNDR. HAJDU SÁNDORNOVÁK LÁSZLÓNÉSCHERLEIN MÁRTA

MATEMATIKA 1−−8.

MINTATANTERV

Általános iskola 1−8. osztályNyolcosztályos gimnázium 1−4. osztályHatosztályos gimnázium 1−2. osztályTizenkét osztályos iskola 1−8. osztály

Mûszaki Könyvkiadó, Budapest

TARTALOM

SZAKÉRTÕI VÉLEMÉNY ................................................................................................. 4

ÁLTALÁNOS TUDNIVALÓK............................................................................................. 5

Kerettanterv − mintatanterv ..................................................................................... 5A Matematika 1−8. mintatanterv fõbb sajátosságai.................................................. 5A helyi tanterv megtervezése ................................................................................... 7

A helyi tanterv kialakításának sémája .............................................................. 8

ÁLTALÁNOS NEVELÉSI CÉLOK ..................................................................................... 9

MATEMATIKA 1−4. ......................................................................................................... 11

A témakörökrõl általában .......................................................................................... 12Az egyes évfolyamok tanterve.................................................................................. 15

1. osztály .......................................................................................................... 152. osztály .......................................................................................................... 233. osztály .......................................................................................................... 314. osztály .......................................................................................................... 41

MATEMATIKA 5−8. ......................................................................................................... 51

A képesség szerinti csoportbontásról ....................................................................... 52A témakörökrõl általában .......................................................................................... 54Kapcsolatok .............................................................................................................. 58Az egyes évfolyamok tanterve.................................................................................. 59

5. osztály .......................................................................................................... 596. osztály .......................................................................................................... 717. osztály .......................................................................................................... 818. osztály .......................................................................................................... 93

3

SZAKÉRTÕI VÉLEMÉNY

A már jól ismert MINTATANTERV átdolgozott változata a Kerettantervi szabályozás(módosított KT. 48. §) figyelembevételével, egységes koncepció szerint tervezi meg atananyag-feldolgozás menetét az alapfokú oktatás 1−8. évfolyamára.

Nemcsak megfelelõ alapot ad az eltérõ óraszámban dolgozó iskolák helyi tantervénekelkészítéséhez, hanem lehetõvé teszi az egy az egyben történõ adaptálást is mindazonintézmények számára, amelyek Hajdu-taneszközökbõl tanítanak. Jól alkalmazható akerettanterv által megfogalmazott minimális óraszám és az ettõl eltérõ magasabb óraszá-mok (Kt. r. 52. § 1. sz. melléklet) esetén is az általános iskolában, a 6. és a 8. osztályosgimnáziumok megfelelõ évfolyamain (Kt. r. 10. §).

A bevezetõ részben az adott szintre jellemzõ fejlesztési követelményeket, tananyag-tartalmakat, tevékenységi formákat rendszerezi témakörönként a kerettantervi rendelet11. § alapján (gondolkodási módszerek fejlesztése; számtan, algebra; összefüggések,függvények, sorozatok; geometria, mérés; valószínûség, statisztika).

A Mintatanterv tantervi ajánlása a kerettanterv koncepcióját, a tananyaggal és a köve-telményekkel kapcsolatos elõírásait figyelembe véve épül fel. Tartalmazza a kerettanterváltal meghatározott, az éves idõkeret mintegy 80%-át lefedõ tananyag részletes feldolgo-zását. A fennmaradó 20%-ba a kerettantervben nem szereplõ, a tananyag elmélyítését,rendszerezését szolgáló anyagrészek kerültek. Ezzel megszünteti a kerettantervi hézago-kat, biztosítja a matematikai fogalmak egymásra épülését, a továbblépéshez szükségestudás és képesség kialakítását, az alsó és a felsõ tagozat közötti zökkenõmentes átme-netet, az átjárhatóságot.

Ehhez igazodnak a megfogalmazott tantervi követelmények is, élve a kerettanterviszabályozás (Kt. r. 11. §) engedte évfolyamonkénti átcsoportosítás lehetõségével, így aMintatanterv minimumszintje − bizonyos évfolyamok adott témaköreiben − meghaladja akerettanterv továbbhaladási feltételeit.

Az évfolyamokra lebontott tantervek (KT. 48. §) bemutatják a különbözõ óraszámilehetõségeket, felsorolják az alkalmazásra javasolt tanulói és tanári taneszközöket, ezentúl tartalmazzák a többi tantárggyal való tantervi kapcsolódási lehetõséget. A tananyagfeldolgozása követi a kerettanterv által az adott évfolyamra meghatározott témakörönkéntielrendezést. Ezzel párhuzamosan, a kerettantervvel összhangban a minimumkövetel-mények és a minimumszintet meghaladó követelmények kerültek rögzítésre.

Beépíti a kapcsolódó tudományágak követelményeit, a kerettantervi elõírásokon túl-mutatva koncentrál a többi tantárgy ismeretanyagával, elõsegítve a tantárgyak közöttiharmonizáció tervezését.

Ezzel a Mintatantervvel, tantárgy-pedagógiai, szakmódszertani, didaktikai segítségetkapnak az évfolyamonkénti tanmenetek elkészítéséhez a matematikát tanító nevelõk.

Heincinger Viktornématematika szaktárgyi szakértõ (0951)

4

ÁLTALÁNOS TUDNIVALÓK

KERETTANTERV −− MINTATANTERV

A kerettanterv a jogszabályoknak megfelelõen a tanítható tananyag mintegy 80%-át ölelifel, csak azt a minimumot írja elõ, amelyet minden tanulónak tanítanunk kell. A fenn-maradó 20% kitöltését a helyi tantervre bízza, ezért a tananyagot és a követelményt(beleértve a minimumkövetelményeket is) a helyi tanterv szintjén kell belsõ ellent-mondásoktól mentes, logikailag „hézagmentes” rendszerré kiegészítenünk úgy, hogy atárstantárgyak matematikai megalapozását, illetve az alsó és felsõ tagozat közti átmene-tet is figyelembe vegyük. A helyi tantervek szerkesztésekor lehetõség van arra is, hogy aszabadon tervezhetõ órakeret egy részét a matematikaoktatás számára biztosítsuk.

A mintatanterv ajánlása szerint, a jogsza-bályokkal összhangban minden évfolyamonvannak olyan anyagrészek, amelyeket taní-tunk, de nem követelünk meg. Ezek egyrésze elõkészíti a késõbb tanítandókat, másrésze a matematikai szemlélet fejlesztését,a látókör kiszélesítését szolgálja, mozgáste-ret biztosít a tehetséges tanulók optimálisfejlesztésére.

Az ábra a mintatanterv, a kerettanterv,illetve a tananyag, a követelmények,ezen belül a minimumszinthez kapcsolódóanyagrészek viszonyát szemlélteti.

A MATEMATIKA 1−−8. MINTATANTERVFÕBB SAJÁTOSSÁGAI

1. osztálytól (az iskolára való elõkészítést is beleértve) 8. osztályig egységes koncep-ció szerint tervezi meg a matematika-tananyagot. Az alsó tagozatos tankönyvekszerves elõzményei a felsõ tagozatban általánosan használt tankönyveknek. Ezért a helyimatematika-tantervet tanítókból és matematikatanárokból álló közös szakmai munka-közösség dolgozhatja ki, így zökkenõmentessé válhat az alsó és a felsõ tagozat köztiátmenet.

Korábbi nemzetközi felmérések kimutatták, hogy a magyar felsõ tagozatos matema-tikatanítás a világ élvonalába tartozott. A mintatantervben tükrözõdõ koncepció fontoscélja, hogy egyrészt a felsõ tagozaton megõrizzük a korábbi színvonalat, másrészt azalsó tagozaton is megközelítsük azt.

Matematika 1−8. osztály 5

A mintatanterv a tananyagot úgy építi fel, hogy összhangban legyen azzal a kötelezõ,illetve kiegészítõ összóraszámmal, amelyet a kerettanterv elõírásai alapján a matematikainevelésre fordíthatunk. Rámutat a kényszerû redukálás lehetõségeire, ha a helyi tantervcsak a kötelezõ órakeretet biztosítja (ez csak a minimumszint eléréséhez elegendõ).Ajánlásokat tartalmaz az emeltebb óraszámnak megfelelõ kiegészítésekre is.

A mintatanterv egyik legfontosabb jellemzõje, hogy figyelembe veszi, hogy lényegeskülönbségek vannak a tanulók képességeiben és törekvéseiben. Rámutat a redukálás,illetve a kiegészítés lehetõségeire. Ezért a mintatantervhez kapcsolódó taneszközök1. osztálytól kezdve tantárgy-pszichológiai megközelítésében, tartalmában és mélységé-ben nagyon széles sávban dolgozzák fel a tananyagot. Egyaránt figyelmet fordítanaka lemaradók felzárkóztatására és a tehetséggondozásra. Vagyis nem a mindenki számá-ra megtanítandó tananyag növekszik, hanem a differenciálás lehetõsége bõvül. Ez lehe-tõvé teszi, hogy a pedagógus a helyi tanterv sajátosságait figyelembe véve rugalmasanalkalmazkodjék az osztály és az egyes tanulók színvonalához, valamint saját értékrend-jéhez.

A tananyag koncentrikus felépítésébõl következik, hogy nagy átfedés van az egyesévfolyamok tananyaga között. Ez a felépítés rámutat arra, hogy melyek azok a korábbantanult anyagrészek, amelyekre továbbra is oda kell figyelnünk (ezzel támogatja a begya-korlást és a felzárkóztatást), továbbá rugalmassá teszi a tantervet, s lehetõvé teszi akülönféle helyi elképzelések kidolgozását is. A fentiekbõl az is következik, hogy ataneszközök mindig több anyagot, feladatot tartalmaznak, mint amennyit egy átlagososztályban fel lehet dolgoztatni. A pedagógus dönthet, hogy egyes anyagrészeket melyikévfolyamon, milyen súllyal és milyen mélységben tanít, mely feladatokat dolgoztatja fel,és melyeket hagyja el. A különbözõ elképzelések megvalósításához a Programoknyújthatnak segítséget.

A mintatanterv minden évfolyamon a kerettanterv szellemének megfelelõen nagygondot fordít az anyanyelvi nevelésre, az anyanyelv helyes használatára, a gondolatokszabatos megfogalmaztatására és a szövegértelmezõ képesség fejlesztésére.

A matematikai gondolkodás egyik pillére a problémaérzékeny, rugalmas, ötletgazdag,elõremutató divergens gondolkodás, másik pillére a fegyelmezett, kidolgozásra képesalgoritmikus gondolkodás. A taneszközök és a Programok nagy súlyt helyeznek e kétgondolkodási mód egyidejû fejlesztésére.

Ugyancsak tantárgy-pszichológiai megfontolásokból a tanterv arányosan tervezi mega jobb agyféltekés képi dominanciájú és a bal agyféltekés fogalmi dominanciájú gon-dolkodás fejlesztését is. Ezért a taneszközök az átlagosnál alaposabban dolgozzák felpéldául a geometriával, a grafikonokkal kapcsolatos anyagrészeket.

A tantervben, a Programokban és a taneszközökben a megszokottnál nagyobb szere-pet kap a matematika gyakorlati alkalmazása. Ez abban is megnyilvánul, hogy nemcsakazokat a követelményeket veszik figyelembe, amelyeket a kerettanterv a matematikaszámára elõír, hanem a más mûveltségi területeken (a technikában, a környezet-ismeretben és a természettudományi tantárgyakban) megfogalmazott követelményekmatematikai vonatkozásait is.

6 Matematika 1−8. osztály

A HELYI TANTERV MEGTERVEZÉSE

A helyi tanterv megtervezéséhez segédanyagként használhatjuk a mintatantervet, azegyes évfolyamok számára kiadott Programokat és a Témazáró felmérõ feladatsoroktanári változatait.

A mintatanterv feladata a matematikai nevelés globális áttekintése.A Programok évfolyamonként konkretizálják a követelményeket, részletezik a célokat,

feltárják a tantárgyon belüli és tantárgyak közötti kapcsolódási lehetõségeket.Az egyes iskolák helyi tantervei más-más óraszámot biztosíthatnak a matematika-

tanítás számára, ezért jelentõs különbségek alakulhatnak ki a matematika-tananyagmennyisége és színvonala között. A Programok alternatívákat is tartalmazó tanmenet-javaslatai rugalmasan alkalmazkodnak ehhez a sokszínûséghez.

Végül a Programok az egyes anyagrészek feldolgozásához kapcsolódóan a tanmenetialternatívákat is figyelembe vevõ módszertani ajánlásokat fogalmaznak meg.

A Témazáró felmérõ feladatsorok feladatokkal „fedik le” és értelmezik a követelmé-nyeket, javaslatokat tartalmaznak az értékelési normák kialakítására.

A fenti dokumentumok csak ajánlásnak tekinthetõk. A tananyag végsõ összeállítása,a tananyag-feldolgozás menetének kialakítása, a követelmények pontosítása a taní-tókból és matematikatanárokból álló szakmai munkaközösség feladata.

A helyi tanterv összeállításakor gondoljuk végig a következõket:

1. Van-e igény és lehetõség a képesség szerinti csoportbontásra?2. A szabadon tervezhetõ órakeretbõl évfolyamonként, ezen belül félévenként vagy két-hetes ciklusonként hány óra biztosítható a matematikai nevelés számára?3. A kiegészítõ órakeretbõl hány óra rendszeresíthetõ felzárkóztatásra, tehetséggondo-zásra, illetve a középiskolai felvételi vizsgákra történõ felkészítésre?4. Az alsó és a felsõ tagozat tananyaga és követelményrendszere szervesen illeszkedjékegymáshoz.5. A helyi tanterv egyik legsajátosabb feladata a különbözõ tantárgyak tanításának össze-hangolása. Tartalmilag és a tananyag-feldolgozás menetében is egyeztessük a matema-tika, illetve a technika, környezetismeret és a természettudományi tantárgyak tananyagát.6. A jogszabály lehetõséget biztosít a tananyag páratlan-páros évfolyamok közti átcso-portosítására. Ezt a tankönyvek felépítése (nagy átfedések) is lehetõvé teszik. Ha atananyag összeállításakor eltérünk a tankönyvektõl, akkor gondoskodjunk arról, hogy azígy kialakított rendszer egymásra épülõ fogalmakból álljon.7. Hagyjunk elegendõ idõt a tanultak begyakorlására, elmélyítésére, problémaszintû alkal-mazására. Több ismeret felszínes megtanítása nem jelenti azt, hogy a tanuló matematika-tudása értékesebb lesz. Inkább kevesebbet tanítsunk meg, de azt alaposan, alkalmazásraképesen. Ugyanakkor a kerettanterv által elõírtakat a 4., a 6. és a 8. osztály végérefeltétlenül teljesítenünk kell.8. Rögzítsük, hogy évfolyamonként mi módon és milyen elvek figyelembevételével érté-keljük a tanulókat, hány dolgozatot írattassunk. Pontosítsuk a követelményeket és azértékelési normákat.

Végül felhívjuk a figyelmet arra, hogy a helyi tanterv csak a legalapvetõbb kérdésekbenkösse meg a tanítók és szaktanárok kezét. Hagyjon elegendõ mozgásteret saját elkép-zeléseik, értékrendjük érvényesítésére, módszertani elgondolásaik megvalósítására.


A helyi tanterv kialakításának sémája


ÁLTALÁNOS NEVELÉSI CÉLOK

Az alábbiakban táblázatba foglaljuk azokat a kerettantervben is megfogalmazott nevelésicélokat, amelyeket a matematikatanítás során leginkább szem elõtt kell tartanunk. Ezeketaz általános célokat az évfolyamnak, a tananyagnak és a pillanatnyi pedagógiai helyzet-nek megfelelõen konkretizálnunk kell.

Nem soroltuk fel külön a nevelési céloknak a „pszichomotoros tartományba” esõvonatkozásait. Bizonyos helyzetekben ezek is elõtérbe kerülhetnek (például a beszéd-készség fejlesztése, számjegyek írásának tanítása, mérõeszközök használata).

Értelmi nevelési vonatkozások Érzelmi, akarati vonatkozások

A megfigyelõképesség fejlesztése

Élmények aktív megfigyelésének, befoga-dásának, tudati feldolgozásának képes-sége (érzékelés, észlelés, gondolkodás).

Spontán érdeklõdés, kíváncsiság, figye-lemkoncentráció, tudatos figyelem.

Kommunikációs képességek fejlesztése

Az anyanyelv és a szaknyelv helyeshasználata. A gondolatok tartalmilag ésnyelvileg szabatos kifejtésének képes-sége és szokása. Bõvülõ passzív és aktívszókincs, a szakszavak és a matematikaijelrendszer felismerése, majd tudatoshasználata. Szóbeli és írásbeli szövegekértelmezésének képessége.

Hajlandóság, igény és törekvés sajátészrevételek, gondolatok nyelvileg helyeskifejtésére, illetve a matematika jelrend-szerével történõ megfogalmazására. Amagyartalanság kerülése. A tanár és atársak közléseinek figyelmes meghallga-tása, a szövegek figyelmes olvasása.

Az önálló ismeretszerzésre nevelés

A tanulási tevékenységben felismert vagyszóban, írásban közölt új ismeretek, fo-galmak, összefüggések megértése, álta-lánosítása, rendszerré szervezése, újkapcsolatok keresése. A logikus gondol-kodás képessége. A tanultak megõrzése,beépítése a meglévõ ismeretrendszerbe.Emlékezõképesség. A helyes tanulásiszokások kiépülése.

Hajlandóság és törekvés az ismeretszer-zésre, mások gondolatmenetének köve-tésére, értékelésére, az összefüggésekmegértésére, a megértett ismeretek tuda-tos megtanulására. Igény a hiányos vagymeg nem értett ismeretek kiegészítésére.Az értelem nélküli bevésés elutasítása.Kötelességtudat, lelkiismeretesség.

A tanultak alkalmazására nevelés

A tanultak spontán vagy tudatos repro-dukálása, konkretizálása, átszervezésea feladatnak megfelelõen. Fegyelmezett,konvergens algoritmikus gondolkodás, ki-dolgozási képesség. A fokozatosan hosz-szabbodó és egyre intenzívebbé válószellemi erõkifejtés képessége.

Figyelemkoncentráció és figyelemmeg-osztás. Törekvés a tanultak begyakorlá-sára, alkalmazhatóvá tételére. Munka-fegyelem, a munkával járó nehézségekvállalása, monotonitástûrés. Önellenõr-zés. A munkasikerek átélése.


Értelmi nevelési vonatkozások Érzelmi, akarati vonatkozások

Problémamegoldásra nevelés

A tanultak alkotó alkalmazásának képes-sége új ismeretek feltárásában. Gondol-kodási mûveletek (például összehasonlí-tás, analízis, szintézis, elvonatkoztatás,általánosítás, analógia). Divergens gon-dolkodási képességek (problémaérzé-kenység, képzelet, ötletgazdagság, rugal-masság, eredetiség).

Érdeklõdés a megszokottól eltérõ felada-tok iránt. Önbizalom. Ambíció. A szellemierõpróba igénye. Hajlandóság a szokat-lan feladathelyzetek és az esetlegessikertelenség vállalására. Törekvés a fel-adatok sokoldalú megközelítésére, a ko-rábbi elképzelések megváltoztatására, új-szerû megoldások keresésére. Akarat-erõ. Sikerélmény.

A gyakorlati alkalmazásra nevelés

Tapasztalatok és ismeretek a matemati-kai fogalmaknak, módszereknek, eljárá-soknak és gondolkodásformáknak a gya-korlatban, illetve más tantárgyakban (tu-dományokban) történõ alkalmazhatósá-gáról.

Törekvés a matematika eszközszerû al-kalmazására. Annak a meggyõzõdésneka kialakulása, hogy a matematikai isme-retek és a matematikatanulás során ki-alakult képességek a mindennapi életbenis hasznosak és széles körben alkalmaz-hatók.

Esztétikai nevelés

A matematikai tartalom, egy-egy feladat,gondolatmenet esztétikájának meglátása(egzaktság, teljesség, eredetiség, játé-kosság stb.). A gondolatok esztétikusszóbeli kifejezése. Az írásbeli munka ésa szerkesztések esztétikus elvégzése.Helyes viselkedési formák ismerete ésszokása.

Az egzakt, teljes és célratörõ gondolat-menet igényének kialakulása. A pontatlanés a „pongyola” fogalmazás, a helytelenbeszédforma és intonáció stb. kerülése.Hajlandóság és törekvés az igényes, át-tekinthetõ füzetvezetésre, a helyes visel-kedésre.

Közösségi együttmûködésre nevelés

A közösség normáinak ismerete, a nor-mák alkalmazásának a szokása. Értelmiegyüttmûködés képessége; mások gon-dolatmenetének megértése, értékelése,alkalmazása.

A közösség normáinak elfogadása. Alkal-mazkodóképesség, a beilleszkedés igé-nye. Közösségi szellem, segítõkészség.A közösségben folyó munka pozitív érté-kelése.

Reális énkép kialakítása

A tanuló saját adottságainak, hajlamai-nak, képességeinek és hibáinak isme-rete, helyes értékelése. A céltudatosságmegjelenése. Tudatos önfejlesztés.

Sikerélmények, önbizalom, ambíció. Po-zitív énkép. A hiányosságok kiküszöbölé-sére, jobb eredmények elérésére törek-vés.



Ez a tanterv a kerettanterv koncepcióját, a tananyaggal és követelményekkel kapcsolatoselõírásait figyelembe véve épül fel. Ugyanakkor tartalmában és követelményeiben helyen-ként meghaladja a kerettanterv elvárásait a következõk miatt:

1. A kerettantervben elõírt tartalmat ki kell egészíteni úgy, hogy a fogalmak egymásraépüljenek, „hézagmentes” és alkalmazásra képes rendszer alakuljon ki.

2. A követelményeket és ezen belül a minimális teljesítményt úgy kell elõírni, hogy atovábblépéshez szükséges tudást és képességeket biztosítsák.

3. Biztosítani kell az egyéb tantárgyak (lásd késõbb) számára a kerettanterv által elõírtkövetelmények teljesítéséhez szükséges matematikai ismereteket, eszközöket, képes-ségeket.

4. Az alsó és felsõ tagozat közötti zökkenõmentes átmenet érdekében meg kell teremteniazt az alapot, amelyre építkezve eleget tehetünk a kerettanterv által a különbözõtantárgyak számára 5. és 6. osztályban elõírt követelményeknek.

A tanterv felépítése nem a feldolgozás folyamatát tükrözi, hanem a kerettantervszerkezetéhez igazodik. A tananyag-feldolgozás menetét az egyes évfolyamok számárakészült Programok tartalmazzák.

Az alsó tagozatos matematikaoktatás jellegébõl következik, hogy az egyes tantervitémákat nem elszigetelve, hanem egymással kapcsolatban, egymást erõsítve dolgoztukfel. A tartalomban felsorolt öt témakörbõl az elsõ és második osztályban csak a számtan,algebra és a geometria, mérés jelenik meg önállóan, a másik három témakört beépítjükebbe a kettõbe, illetve eszközként használjuk a matematikai gondolkodás fejlesztésében.

Harmadik, negyedik osztályban az összefüggések, függvények, sorozatok, illetve avalószínûség, statisztika témakörökhöz tartozó tananyag egy részét feldolgozhatjuk3-4 órás összefüggõ egységekben úgy is, hogy az órák fõ témáját alkossák.

A matematika-tananyag koncentrikusan épül fel. Ezért a tantervben az egyes osztályokszámára elõírt tartalom és tevékenységek felsorolásában látszólag nagy az átfedés.Ugyanakkor évrõl évre egyre bõvebb számkörben, nehezebb ismeretanyagra épül atevékenység. A feladatok összetettebbek, a kialakult fogalmak absztraktabbak, a felismertösszefüggések mélyebbek, általánosabbak.

Óraszám

Osztály 1. osztály 2. osztály 3. osztály 4. osztály

Kötelezõ óraszám 4 óra/hét 4 óra/hét 4 óra/hét 3 óra/hét

Optimális óraszám 5 óra/hét 5 óra/hét 5 óra/hét 4 óra/hét

A fogalmak megszilárdítása, az eljárások begyakoroltatása, a tanulási szokások kiala-kítása, a képességek fejlesztése érdekében szükséges lenne, hogy 1−4. osztálybanmindennap legyen matematikaóra.


1., 2. és 3. osztályban, ha a helyi tanterv nem biztosítja legalább a heti 4,5 órát, akkor ahiányt részben pótolhatjuk úgy, hogy a környezetismeret és a technika tananyagának amatematikával és egymással közös részét (elsõsorban geometria, mérések témakörben)komplex módon tanmenetben és óraszámban összehangolva dolgozzuk fel. Ha nincsmindennap matematikaóra, akkor fennáll a veszélye annak, hogy nem tudunk differen-ciáltan foglalkozni a tehetséges tanulókkal, illetve a nehezebben haladókkal. Ezért aleszakadóknak folyamatosan szervezzünk korrepetálásokat és a tehetséges tanulóknakszakköri foglalkozásokat.

4. osztályban is szükségünk lenne legalább a heti 4,5 órára, ha azt szeretnénk, hogytanulóinknak ne okozzon gondot a felsõ tagozatba lépés. (Az 5. osztályos tananyag nõtt,az órakeret változatlan!) Ezért normál 4. osztályban feltétlenül a matematikaoktatásszámára építsük be a szabadon tervezhetõ heti 1 órát. Ezen túlmenõen rendszeresenbiztosítsunk órát a korrepetálásra, esetleg a tehetséggondozásra.

Otthoni munka

Átlagosan 15 perc/nap minden évfolyam számára (ezen felül esetenként szorgalmifeladatokat adhatunk). A házi feladat célja lehet a tanultak begyakorlása, a felejtéskompenzálása, a következõ órán feldolgozandó anyagrész elõkészítése.

Vannak olyan anyagrészek, amelyek begyakorlására az otthoni munkában a szoká-sosnál több idõt kell fordítanunk. Ilyenek például: statisztikai adatok gyûjtése; a lakás,az udvar, az otthoni környezet felmérése, feltérképezése.

A TÉMAKÖRÖKRÕL ÁLTALÁBAN

Gondolkodási módszerek alapozása

A Nemzeti alaptantervben a gondolkodási módszerek alapozása önálló témakör.A témakörökhöz tartozó tananyag részben tartalmazza a halmaz, logika, illetve a

kombinatorika elemeit. Az alsó tagozatban nem tanítunk halmazelméletet, matematikailogikát, illetve kombinatorikát, hanem a számtan, algebra és a geometria, mérés téma-körökbe beépítve eszközként használjuk a feladatok megoldásában. Ezért a kerettanterv,és ennek megfelelõen a mintatanterv az 1−4. évfolyamon nem önálló fejezetben foglalko-zik ezekkel a területekkel, hanem a többi témakörbe beépítve írja le az elvárásokat.

Az ide tartozó ismeretek a matematikai szemlélet fejlesztését szolgálják, segítik atanulókat a fogalmak kialakításában, a köztük lévõ kapcsolat felismerésében, sajátgondolataik és észrevételeik pontos kifejezésében, mások gondolatainak megértésében.

A korszerû matematikatanítás törekvése, hogy a tanuló ne készen kapja az ismerete-ket, hanem tárgyi tevékenységbõl, a valóság megfigyelésébõl, feladatsorok feldolgozá-sából kiindulva mintegy felfedezze azokat. Ezért ez a tanterv minimális teljesítmény-szinten is megfogalmaz elvárásokat.

Az elmúlt évek matematikai felmérései súlyos hiányosságokat állapítottak meg atanulók beszédkészsége, a matematikai gondolatok elmondása, leírása és a matematikaiszövegek értelmezése terén. Ezért ez a tanterv és a taneszközeink különös gondotfordítanak erre a területre.


Számtan, algebra

Az alsó tagozatos matematikatanítás alapvetõ feladata az alkalmazásképes szám- ésmûveletfogalom megalapozása, elmélyítése, a szóbeli és írásbeli eljárások megtanítása,a számolási rutin fejlesztése, a rugalmas, ugyanakkor fegyelmezett gondolkodási képes-ségek alakítása.

A felsorolt feladatok teljesítésének érdekében ez a tanterv a következõ területekenmeghaladja a kerettanterv matematikával kapcsolatos elõírásait:

A kerettanterv a 4. osztály végéig a 10 000-es számkör megtanítását írja elõ. Ugyan-akkor csak a 10 000-nél nagyobb számkör teszi lehetõvé például a mindennapi életkövetelményeinek megvalósítását (vásárlás, családi költségvetés). Ezért a mintatanterva 4. osztály végére legalább 20 000-ig, de lehetõleg 100 000-ig javasolja kiterjeszteni aszámkört, bár minimális teljesítmény szintjén csak a 10 000-es számkör ismeretét várja el.

Különös gondot fordít a számolási eljárások elsajátíttatására, a biztos szóbeli szá-molási rutin alakítására, az írásbeli mûveletek begyakoroltatására, beleértve a kétjegyûszámmal való szorzást és osztást is.

A szokásosnál nagyobb hangsúlyt helyez a szöveges feladatokra, a funkcionálisanalfabetizmus felszámolására.

Már elsõ osztálytól kezdve figyelembe veszi a gyermekek sokféleségét, emiatt atananyag igen „széles sávú” feldolgozását javasolja.

A leírtakból következik, hogy ez a témakör az összóraszám nagyobb részébenfõtémaként szerepel, elsõ osztályban az órák mintegy 80−85%-ában, majd fokozatosancsökkenve negyedik osztályban 60−70%-ában.

Összefüggések, függvények, sorozatok

A számtan, algebra témakörben tanultak megerõsítésére, alkotó alkalmazására sok olyanfeladatot dolgoztunk fel, amely ehhez a témakörhöz is kapcsolódik. Ezek a feladatokelõkészíthetik a szám- és mûveletfogalom kiterjesztését is. Például a 2. osztályban a3-mal növekvõ vagy csökkenõ sorozatok képzése egyaránt szolgálhatja a 3-mal valószorzás és osztás elõkészítését, a tízes átlépés gyakorlását és a számok számegye-nesen való elhelyezkedésével kapcsolatos tapasztalatszerzést.

Ez a tanterv önálló témakörként írja le a matematikai mûveltségnek ezt a területét, amita következõkkel indokolhatunk:

Összefüggések keresését, sorozatok képzését, függvénytáblázatok kitöltését, grafi-konok készítését, elemzését stb. eszközként használhatjuk a matematika egyéb téma-köreiben is.

Harmadik és negyedik osztályban, s majd a felsõ tagozatban önálló tananyagkéntelkülöníthetõ óraszámban is szerepel.


Geometria, mérés

A képi gondolkodás, a térszemlélet fejlesztése ugyanolyan fontos, mint például aszámolási rutin vagy a szövegértelmezés alakítása. Ezért a tantervhez kapcsolódótaneszközök bõséges és sokszínû feladatot tartalmaznak. Ennek ellenére a geometria-tanításunk nem lehet tankönyvcentrikus. A modellezés, a tényleges mérés elengedhe-tetlen feltétele a geometriai látásmód megalapozásának, a fogalmak kialakításának.

Már 1. osztálytól kezdve fordítsunk különös gondot erre a témakörre!A tanterv a szokásosnál nagyobb súlyt fektet a mindennapi élet geometriájára, például

a gyakorlati mérésekre, a nézeti rajzok, alaprajzok alkalmazására, készítésére. Ezeket azanyagrészeket a technika és a környezetismeret is tartalmazza. Ezért ezeket nemegymástól függetlenül, hanem tematikailag és a tanmenetekben összehangolva javasoljukfeldolgozni.

Az elmondottakból az is következik, hogy a követelményeket összhangba kell hozni afenti tantárgyak követelményeivel.

A szám- és mûveletfogalom kialakítása és elmélyítése szoros kapcsolatban van améréssel, ezért ezek a témakörök mindegyik évfolyamon összefonódva, egymást erõsítvejelennek meg a tanulási folyamatban.

A geometria, mérés témakör önálló óraszámának aránya az összóraszámhoz képestfokozatosan nõ. 1. osztályban 10−15%, 4. osztályban 20−25%.

Valószínûség, statisztika

A valószínûség fogalomkörével elsõsorban ne tankönyvi feladatokon keresztül ismer-kedjék meg a gyermek, hanem közösen elvégzett kísérletek, „valószínûségi játékok”kimeneteleinek megfigyelésével, lejegyzésével, értelmezésével. Ugyanez vonatkozika gyermek mindennapi életével kapcsolatos adatok, mérési eredmények gyûjtésére,statisztikai feldolgozására is. Itt is vegyük figyelembe a többi tantárgy tematikáját.

A témakörhöz tartozó tartalmak feldolgozása nem különíthetõ el a számtan, a függvé-nyek, grafikonok és a mérések tanításától. Ezért a témára fordítható óraszám nemhatározható meg egyértelmûen.


AZ EGYES ÉVFOLYAMOK TANTERVE

1. osztály

Javasolt óraszám

I. A kerettanterv alapóraszáma heti 4 óra; évi 148 óra:

Ebben az esetben feltétlen javasoljuk a „leszakadók” felzárkóztatásának megszer-vezését.

II. A kötelezõ óraszámon belül 1 óra szabadon tervezhetõ. Ha ennek az óraszámnak afelét a helyi tanterv a matematika tanítására biztosítja, akkor a következõ lehetõsé-geket javasoljuk:a) Kéthetes ciklusonként 9 matematikaóra van; évi 166 óra:

b) Az elsõ félévben 4, a másodikban 5 matematikaóra van. Ezzel biztosítható a 20-asszámkörben a tanultak kellõ begyakorlása.

III. Optimális változat a heti 4 alapóra +1 szabadon tervezhetõ óra; évi 185 óra:

Taneszközök

Hajdu Sándor: Matematika 1., tankönyvHajdu Sándor: Felmérõ feladatsorok. Matematika 1. osztály, tanulói segédlet (A javítási

útmutatót a Program utolsó fejezete tartalmazza.)Hajdu Sándor: Matematika 1−2. Eszköztár, tanulói segédlet (Vagy számkártyák, logikai

lapok, színes korongok, pálcikák stb.)Hajdu Sándor: Matematika 1. Program, tanítói segédlet

Megjegyzések

1. Beiratkozáskor célszerû felhívni a szülõk figyelmét a Hajdu Sándor−Scherlein Márta:Mesélõ fejtörõ címû kiadványra, amely globálisan fejleszti a gyerekek képességeit, éselõkészíti õket az iskolai tanulásra. A szülõk, illetve az óvónõk számára módszertanijavaslatokat is tartalmaz.

2. Szeptember elsõ heteiben célszerû integrált foglalkozásokat tartani. Az 1. osztályostankönyv bevezetõ része sok olyan feladatot tartalmaz, amely komplex módon kapcso-lódik több tantárgy célkitûzéseinek megvalósításához.

Matematika 1. osztály 15

Számtan, algebra

Általános fejlesztési feladatok

A megfigyelõképességnek, a problémamegoldó gondolkodás alapjainak, a matematikaitartalom képi, szóbeli és írásbeli kifejezõképességének fejlesztése. A szám- és mûvelet-fogalom, illetve a matematikai fogalomalkotás képességeinek alakítása. A valóság és amatematika elemi kapcsolatainak felismertetése. A számolási rutin és a problémamegoldógondolkodás, illetve a finommanipulációs képesség fejlesztése. Szövegértelmezõ képes-ség alakítása, a matematikatanulással kapcsolatos tevékenységformák megismerése,szokások kialakítása. Lényegkiemelõ és problémamegoldó képesség formálása matema-tikai problémák ábrázolásával, szöveges megfogalmazásával.

Jellemzõk

Összóraszám: 120−150 tanítási óra attól függõen, hogy a helyi tanterv hány órát biztosíta matematika tanítására.

Otthoni munkára javasolt idõ: 35 óra.

A számtan, algebra témakör keretében foglalkozunk térbeli tájékozódást fejlesztõ felada-tok megoldásával, mennyiségek összehasonlításával, valószínûségi játékokkal, statisz-tikai adatok gyûjtésével, összefüggések vizsgálatával, sorozatok képzésével, függvény-táblázatok kitöltésével, különbözõ állítások igazságának eldöntésével stb. Ezért a fentiórakeret mintegy 20−30%-a az egyéb tantervi témakörökben megfogalmazott fejlesztésiés oktatási célok megvalósítását is szolgálja.

Tananyag, tevékenység,gondolkodási módszerek alapozása

MinimumkövetelményMinimumszintet meghaladó követelmény

Számfogalom

Fogalmak, összefüggések megjelenítésetevékenységgel, modellel, rajzzal.

Tárgyak, személyek, számok, mennyisé-gek, alakzatok összehasonlítása, szétvá-logatása, rendezése, rendszerezése egy(esetleg két) adott, illetve felismert szem-pont szerint.

A természetes szám fogalmának megala-pozása 0-tól 20-ig sokféle tevékenység-gel, szemléltetéssel, tartalmi megközelí-téssel. A számok írása, olvasása.

A természetes szám mint véges halmazszámossága, mint sorszám, mint mérõ-szám, mint mûveleti eredmény.

A számok nagyság szerinti összehasonlí-tása, rendezése, a >, <, = jelek meg-ismerése, használata.

Ismert halmaz elemeinek összehasonlítá-sa, szétválogatása adott szempont sze-rint.

Tárgyak megszámlálása és leszámlálása20-ig egyesével, kettesével, mennyisé-gek megmérése, kimérése. Számok írá-sa, olvasása, helyes használata. A kétje-gyû szám bontása 10-nek és egy egyje-gyû számnak az összegére.

Számok, mennyiségek nagyság szerintiösszehasonlítása, sorba rendezése nö-vekvõ, illetve csökkenõ sorrendben. Asorszám fogalmának ismerete, helyeshasználata, írása, olvasása. Számszom-szédok megállapítása. Adott számok he-lyének megkeresése egyesével beosztottszámegyenesen.

16 Matematika 1. osztály



Ismerkedés a számegyenessel. A szám-egyenes alkalmazása a számfogalom ésa mûveletfogalom alakításában.

A természetes számok elemi tulajdonsá-gai: számszomszédok, páros és páratlan,egyjegyû és kétjegyû számok fogalma.

Kombinatorikus gondolkodásmód alkal-mazása elemek, lehetõségek, megoldá-sok kiválasztásában, összegyûjtésében,elrendezésében a matematika különbözõtémaköreiben (például számok bontottalakjainak felsorolásában).

Páros, páratlan, egyjegyû, kétjegyû számfogalmának ismerete, helyes használata.

Konkrét számok, számhalmazok tulaj-donságairól megfogalmazott állításokigazságának eldöntése.

Tevékenységrõl, rajzról, egyszerû szö-vegrõl tanult összefüggések megfigyelé-se, leolvasása, megfogalmazása mate-matikai jelekkel (esetleg tanítói segítõkérdések alapján).

Tevékenységrõl, rajzról, egyszerû szö-vegrõl tanult fogalmak, összefüggésekönálló megfigyelése, leolvasása, megfo-galmazása szöveggel, matematikai jelek-kel.

Mûveletfogalom és mûveletvégzés

Az összeadás és kivonás fogalmának,különbözõ értelmezéseinek megalapo-zása a 20-as számkörben sokféle tevé-kenységgel.

Az összeadás és kivonás elemi tulajdon-ságainak, az összeadás és kivonás kap-csolatának felismertetése.

Az összeadás és kivonás begyakorlása,többféle kiszámítási mód megismerése,alkalmazása. A változások megfigyelése,megfogalmazása, leírása matematikai je-lekkel. Többféle megoldás keresése. Azelõzõekkel kapcsolatos állítások igazsá-gának eldöntése, állítások tagadása.

Nyitott mondatok kiegészítése konkrétalaphalmaz elemeivel.

Számokkal, mûveletekkel, relációkkal,mennyiségekkel kapcsolatos kifejezésekmegismerése, használata, a számok kö-zötti összefüggések felismerése, megfo-galmazása, lejegyzése relációs jelekkel,mûveletekkel.

Az összeadás és a kivonás különbözõértelmezéseinek alkalmazása a 20-asszámkörben. Összeadás és kivonás írá-sa rajzról. A számegyenesen való lépe-getés mint összeadás, illetve kivonás.

Összeadás és kivonás 10 és 20 között(a 10-es számkörben begyakoroltak ana-lógiájára). Gyakorlottság két szám össze-gének és különbségének meghatározá-sában a tíz átlépésével is.

Számok bontása két szám összegére,számok összeg- és különbségalakjainakfelsorolása.

Kétjegyû számok bontása két számösszegére, az egyik tag 10.

Kéttagú összeg hiányzó tagjának pótlása.

Kivonásban a hiányzó kivonandó, illetvekisebbítendõ meghatározása.

Három-, négytagú összeg kiszámítása.

Páros számok bontása két egyenlõ tagösszegére.




Szövegértelmezés és szövegkészítés

Az összeadással és kivonással kapcsola-tos szöveges feladatok feldolgozása tár-gyi tevékenységgel, játékkal, rajzzal, amatematikai modell megkeresése, a fel-adat megoldása.

Szöveg megfogalmazása tevékenység-rõl, rajzról, mûveletrõl.

III. óraszámváltozat esetén:

(Kiegészítésként javasolt anyagrészek.)Ismerkedés a £, ³, /<, />, /= relációkkal.

Ismerkedés a római számírással.

Kitekintés a 100-as számkörre.

Ismerkedés egyenletek, egyenlõtlenségek megol-dásával.

Legegyszerûbb szöveges feladatok nemönálló olvasás alapján történõ értelme-zése, megoldása tárgyi tevékenységgel,rajzzal, mûveletekkel (esetleg tanítói rá-vezetõ kérdések alapján).

Egyszerû szöveges feladatok értelmezé-se, megoldása tevékenységgel, rajzzal,mûvelettel.



A megfigyelõképesség, a gondolkodási mûveletek, a számolási rutin, a szövegértelmezõképesség fejlesztése változatos feladatok, tevékenységek segítségével. Összefüggéseketfelismerõ és rendezõ képesség fejlesztése. Rugalmas gondolkodásra, ötletgazdagságravaló törekvés.

Jellemzõk

A felsorolt tartalmakat, tevékenységeket 1. osztályban nem tanítjuk önálló témakörként.Az ebbe a témakörbe tartozó feladatok feldolgozását eszközként használjuk a számtan,algebra, illetve a geometria, mérés témakörökhöz tartozó fogalmak elmélyítéséhez, aköztük lévõ kapcsolatok feltárásához, a számolási rutin és a rugalmas problémamegoldógondolkodás fejlesztéséhez, a kreatív attitûd alakításához.

Ezért az erre a témakörre fordított óraszám nem határozható meg egyértelmûen.




Összefüggések, függvények

Számok, mennyiségek, formák, tárgyak,jelenségek stb. közti kapcsolatok megfi-gyelése, keresése, felismerése, megjele-nítése például kiválasztással, összeha-sonlítással, párosítással, sorba rende-zéssel, nyíljelöléssel. (Kisebb, nagyobb,ugyanannyi, több, kevesebb, egyenlõ,ugyanolyan alakú, ugyanabba a csoport-ba tartozik stb.) Grafikonok.

Formák, színezések, mennyiségek, szá-mosságok változásának megfigyelése,felismerése. A változtatás végrehajtásaadott vagy felismert szabály alapján.

Táblázatok kitöltése szöveggel vagyegyenlettel adott, esetleg felismert sza-bály alapján. A szabály felírása többfélealakban, több szabály keresése.

Számok, mennyiségek közti ismert kap-csolatok megjelenítése nyíljelöléssel, sor-ba rendezéssel, matematikai jelekkel.

Számok bontásának táblázatba rende-zése.

Összetartozó elempárok keresése, egy-szerû egyenlettel vagy szöveggel adottfüggvény táblázatának kitöltése.

Sorozatok

Számokból, formákból, mozgásokból stb.álló periodikus sorozatok folytatása.

Sorozatok folytatása adott vagy felismertszabály alapján, lépegetés számegyene-sen.

Periodikus sorozatok képzése. Ugyanaz-zal a számmal növekvõ vagy csökkenõsorozatok folytatása a 20-as számkör-ben, adott szabály alapján.

Sorozatok folytatása felismert szabályalapján.

Geometria, mérés


A megfigyelõképesség, a képi gondolkodás, a sík- és a térbeli tájékozódási képességfejlesztése, a geometriai fogalomalkotás elemi képességeinek alakítása. A valóság és amatematika elemi kapcsolatainak felismertetése. Az összehasonlító, megkülönböztetõképesség alakítása mennyiségek tevékenységgel történõ rendezése útján.

Jellemzõk

Összóraszám: 20−25 tanítási óra.

Otthoni munkára javasolt idõ: 10−15 óra (figyelembe véve az önálló mérések, modelle-zések nagyobb idõigényét).


A szám- és mûveletfogalom kialakítása és elmélyítése szoros kapcsolatban van améréssel, ezért a témakörhöz tartozó tartalmak és tevékenységek közel fele a számtan,algebra témakör feldolgozásába komplex módon beépítve jelenik meg.

Ugyanakkor a geometria, mérés 20−25 órájában is fejlesztjük a tanulók szám- ésmûveletfogalmát, összehasonlításokat, statisztikai adatgyûjtéseket végeztethetünk, ösz-szefüggéseket állapíttathatunk meg stb.

A tananyag feldolgozásakor vegyük figyelembe a kerettantervnek a környezetismeretreés a technikára vonatkozó követelményeit.

Kapcsolatok

A tananyag feldolgozásakor vegyük figyelembe a társtantárgyakra vonatkozó elvárásokat.

Környezetismeret:

Saját testhez viszonyított irányok. Évszakok, hónapok, nap, napszakok. Megfigyelés,összehasonlítás, csoportosítás a tanulók közvetlen környezetében lévõ tárgyak körében.

Technika:

Becslés, mérés, rendezés. A vonalzó használata. Építés.

Ha a helyi tantervben a tanmenetek felépítésében is biztosítjuk a tantárgyak közöttikoncentrációt (esetleg integrációt), akkor a különbözõ tantárgyakban tanított tartalmakegymást erõsítik.



Mennyiségek, mérések

Ismerkedés különbözõ mennyiségekkel,mérõeszközökkel, a mérés, a mértékegy-ség, a mérõszám fogalmával. Mérési ta-pasztalatok megfogalmazása.

Tapasztalatszerzés a mértékegység ésmérõszám közötti fordított arányosságmegismertetésére.

Hosszúságok összehasonlítása, sorbarendezése, becslése, a hosszúságmé-réssel kapcsolatos kifejezések (hosszú,rövid, széles, keskeny, magas, alacsony,mély stb.) használata. A centiméter, de-ciméter, méter megismerése. Mérés al-kalmi mértékegységekkel (például kira-kás színes rudakkal), centiméterrel, deci-méterrel, méterrel.

Ûrtartalmak összehasonlítása, sorba ren-dezése, becslése.

Mérés alkalmi mértékegységekkel, liter-rel, deciliterrel.

Hosszúság és ûrtartalom összehasonlí-tása, megmérése és kimérése választottmértékegységgel, az eredmény megfo-galmazása a tanult kifejezésekkel.

A centiméter és a deciméter, illetve a literés a deciliter fogalma, a köztük lévõ kap-csolatok ismerete, alkalmazása.

20 cm-nél nem nagyobb távolságok meg-mérése, kimérése centiméterrel, a vonal-zó használata.

A tanult mértékegységek használataszám- és egyszerû szöveges feladatok-ban.




Tömegek összemérése (egyensúlyozás),ismerkedés a kilogrammal.

Események idõbeli lefolyásának, idõtarta-mának megfigyelése. Évszakok, hóna-pok, hét, nap, napszakok, óra.

A hét, nap, óra idõtartamok helyes alkal-mazása.

Tájékozódás, helymeghatározás

Tájékozódás térben. Irányok, irányváltoz-tatások. A térbeli tájékozódással kapcso-latos kifejezések (alatta, fölötte, mellette,elõtte, mögötte, közötte, jobbra, balrastb.) használata.

A térbeli tájékozódást szolgáló legfonto-sabb kifejezések megértése, helyes hasz-nálata, helymeghatározás a tanult kifeje-zésekkel.

Alakzatok elõállításának vizsgálata

Ismerkedés geometriai formákkal, geo-metriai tulajdonságokkal. Testek építése,alakzatok elõállítsa. Alakzatok tulajdon-ságainak megfigyelése, alakzatok szétvá-logatása tulajdonságok alapján.

A tengelyes szimmetria fogalmának elõ-készítése, tengelyesen szimmetrikus for-mák vizsgálata, elõállítása kirakással, pa-pírkivágással stb.

Tapasztalatszerzés elemi geometriai tu-lajdonságok fogalmának elõkészítésére.

Alakzatok közül a háromszög, a négy-szög, az ötszög és a kör felismerése, ki-választása.

Térbeli és síkbeli alakzatok azonosításaés megkülönböztetése néhány megfigyeltgeometriai tulajdonság alapján.



A rendszerezõképesség, a megfigyelõképesség és a matematikai szemléletmód fejlesz-tése. A matematika iránti érdeklõdés felkeltése matematikai játékok segítségével.

Jellemzõk

A szám- és mûveletfogalom kialakításával kapcsolatosan foglalkozzunk e témakörhöztartozó feladatokkal is, ezért összóraszám külön nem határozható meg.




Valószínûségi játékok, például kockado-bások kimeneteleinek megfigyelése. A„biztos”, a „lehetséges” és a „lehetetlen”események elkülönítése.

A tanuló mindennapi életével kapcsolatosstatisztikai adatok gyûjtése, lejegyzése,ábrázolása. Oszlopdiagram értelmezése,elõállítása. Sejtések megfogalmazása,tapasztalatok összevetése sejtésekkel,megállapításokkal.


2. osztály

Javasolt óraszám


Ebben az esetben feltétlen javasoljuk a „leszakadók” felzárkóztatásának megszerve-zését.

II. A kötelezõ óraszámon belül 1 óra szabadon tervezhetõ. Ha ennek az óraszámnak afelét a helyi tanterv a matematika tanítására biztosítja, akkor a következõ lehetõsé-geket javasoljuk:a) Kéthetes ciklusonként 9 matematikaóra van; évi 166 óra:

b) Az elsõ félévben 5, a másodikban 4 matematikaóra van. Ezzel biztosítható az elemiszámolási ismeretek megfelelõ elsajátítása, begyakorlása.

III. Optimális változat a heti 4 alapóra +1 szabadon tervezhetõ óra; évi 185 óra:

Taneszközök

Hajdu Sándor: Matematika 2., tankönyvHajdu Sándor: Felmérõ feladatsorok. Matematika 2. osztály, tanulói segédletHajdu Sándor: Matematika 1−2. Eszköztár, tanulói segédlet (Vagy számkártyák, logikai

lapok, színes korongok, pálcikák stb.)Hajdu Sándor: Matematika 2. Program, tanítói segédlet

Számtan, algebra


A megfigyelõképességnek, a problémamegoldó gondolkodás alapjainak, a matematikaitartalom képi, szóbeli és írásbeli kifejezõképességének és a matematikai fogalomalkotásképességeinek fejlesztése. Az önálló, logikus, rugalmas, kreatív gondolkodóképességalakítása. Kételkedés, ellenõrzés, igazolás, indoklások megfogalmazása. A matematika-tanulással kapcsolatos tevékenységformák, szokások bõvülése, erõsítése.

Kombinatorikus gondolkodásmód alkalmazása számok, mûveletek, lehetõségek, meg-oldások kiválasztásában, összegyûjtésében, elrendezésében.

A szám- és mûveletfogalom elmélyítése, tartalmi bõvítése, e fogalmak kiterjesztésenagyobb számkörre. A számolási rutin fejlesztése. Analógiás gondolkodás, absztrakció.Viszonyítási képesség fejlesztése. Algoritmusok követése. Emlékezetfejlesztés.


A valóság és a matematika elemi kapcsolatainak felismertetése.A bõvülõ ismeretkörrel kapcsolatosan a szaknyelv helyes használata. Egyszerû, illetve

összetettebb szöveges feladatok értelmezése, eleinte tanítói felolvasás, majd önálló,néma olvasás alapján. A matematikai modell felírása, a feladat megoldása, a megoldásellenõrzése, értelmezése (ismerkedés a diszkusszió alapjaival), többféle megoldás kere-sése.

Jellemzõk

Összóraszám: 120−140 tanítási óra a helyi tanterv összóraszámának megfelelõen.

Otthoni munkára javasolt idõ: 30−40 óra.

A számtan, algebra témakör keretében foglalkozunk számok különbözõ tulajdonságokszerinti rendezésével, rendszerezésével, állítások igazságának eldöntésével, mennyi-ségek összehasonlításával, összefüggések vizsgálatával, sorozatok folytatásával, függ-vénytáblázatok kitöltésével, statisztikai adatok gyûjtésével, értelmezésével, lejegyzésével,valószínûségi kísérletekkel. Ezért a fenti órakeret mintegy 20−25%-a az egyéb tantervitémakörökben megfogalmazott fejlesztési célok megvalósítását is szolgálja.



Számfogalom


A 100-as számkörben halmazok, mennyi-ségek megfigyelése, összehasonlítása.Halmazok elemeinek szétválogatása,rendezése, rendszerezése egy és kétadott, illetve felismert szempont szerint.A változások és összefüggések megfi-gyelése, megfogalmazása, leírása mate-matikai jelekkel.

A számfogalomról tanultak kiterjesztése a100-as számkörre.

A kerek tízesek fogalmának különfélemegközelítése. Az alakiérték, helyiérték,tényleges érték fogalmának elõkészítése.

A kétjegyû szám mint egy kerek tízes ésegy egyjegyû szám összege.

A 100-nál nem nagyobb számok írásarómai számírással az I, V, X, L, C jeleksegítségével.

A 100-as számkörben adott számok,mennyiségek megfigyelése, összehason-lítása, rendszerezése, szétválogatása,rendezése többféleképpen, adott szem-pontok szerint. Ezzel kapcsolatosan igazállítások megfogalmazása, illetve állítá-sok igazságának eldöntése. Halmazokösszehasonlítása.

Viszonyítások: nagyobb, több, hányszorakkora megfogalmazása.

Darabszám, mérõszám használata.

Biztos számfogalom a 100-as számkör-ben:

Elemek meg- és leszámlálása egyesével,kettesével, tízesével 100-ig.

Az egyjegyû és kétjegyû szám fogalma,a kétjegyû számok bontása tízesek ésegyesek összegére. A számok írása, ol-vasása 100-ig, nagyság szerinti össze-hasonlításuk, felsorolásuk növekvõ, illet-ve csökkenõ sorrendben.




Kétjegyû számok nagyság szerinti ösz-szehasonlítása, sorba rendezésük. Ábrá-zolásuk egyesével beosztott számegye-nesen. Számok közelítõ helye a többfélebeosztású számegyenesen. A számokegyes, tízes, páros, páratlan szomszédai.

A páros, páratlan szám fogalmának álta-lánosítása, elmélyítése. Meg- és leszá-molás kettesével, hármasával, négyesé-vel, ötösével, tízesével. Oszthatóság (2-vel, 5-tel, 10-zel, ...) vizsgálata a soral-kotás és a szorzótábla közvetlen alkal-mazásával.

A természetes szám mint mérõszám.

Ismerkedés mennyiségek legegyszerûbbtörtrészeivel.Kitekintés az 1000-es számkörre.

Az =, <, > jelek helyes használata. Szá-mok helyének megtalálása az egyesévelbeosztott számegyenesen. Az egyes, il-letve a tízes számszomszédok megálla-pítása. Számok közti kapcsolatok.

Számok néhány tulajdonságának ismere-te. A páros és a páratlan számok fogal-ma, felismerése.

A sorszám fogalmának ismerete, írása,olvasása, helyes használata.

A páros és a páratlan számok legfonto-sabb tulajdonságainak ismerete, alkalma-zása. A számok rendezése legfeljebb kétszempont szerint. Viszonyítások: mennyi-vel több (kevesebb), hányszor akkora.


Az összeadásról és kivonásról tanultakkiterjesztése a 100-as számkörre sokféletevékenységre, illetve analógiára épít-kezve. Többféle kiszámítási mód megis-merése, alkalmazása, begyakorlása. Azösszeadás és kivonás elemi tulajdonsá-gainak, az összeadás és kivonás kapcso-latának felismertetése, alkalmazása. Ta-pasztalatgyûjtés az összeg és különbségváltozásairól.

A szorzás értelmezése: egyenlõ tagokösszeadása darabszámmal, mennyisé-gekkel, számegyenesen való lépegetés-sel stb. Következtetés egyrõl többre.A szorzás tényezõi felcserélhetõségének,a szorzótáblák közötti kapcsolatoknak,a szorzat változásainak felismertetése,ezek alkalmazása a szorzótáblák megta-nulásában. A szorzótáblák begyakorlása.

Az osztás értelmezése: az osztás mint aszorzás fordított mûvelete, az osztás mintbennfoglalás, mint részekre osztás. Kö-vetkeztetés többrõl egyre.

A négy alapmûvelet fogalma és biztos el-végzése a 100-as számkörben:

Az összeadás és kivonás különféle ér-telmezései kép, tevékenység, szövegstb. alapján, elvégzése a 100-as szám-körben. Az összeadás és a kivonás meg-jelenítése számegyenesen való lépege-téssel. Az összeadás és a kivonás kap-csolatának ismerete.

Az összeg tagjai felcserélhetõségének is-merete, alkalmazása.

A szorzás értelmezése, a szorzótáblákismerete és alkalmazása, következtetésegyrõl többre. A szorzat megjelenítéseszámegyenesen való lépegetéssel, illetvetéglalapos elrendezéssel.

Az osztás értelmezése a tanult szorzó-táblákhoz kapcsolódóan: az osztás minta szorzás fordított mûvelete, mint benn-foglalás, mint részekre osztás. Az osz-tás alkalmazása, következtetés többrõlegyre.




Tapasztalatgyûjtés a hányados változá-sairól. A maradékos osztás értelmezése,alkalmazása a tanult szorzótáblákhozkapcsolódóan.

Mennyiségek, kétjegyû számok kétszere-se, páros számok fele. Mûveletek helyessorrendjének megismerése, alkalmazása,zárójelek használata. Több mûveletbõlálló feladatsorok. Kétjegyû számok szor-zása egyjegyûvel a 100-as számkörönbelül, ismerkedés kétjegyû számok egy-jegyûvel való osztásával, ha a hányadoskétjegyû.

A szorzat tényezõi felcserélhetõségénekismerete, alkalmazása. Maradékos osz-tás a szorzótáblák alkalmazásával.

Hiányos összeadásban, kivonásban,szorzásban, osztásban a hiányzó kom-ponens megkeresése. A számok közöttikapcsolatok mûveletekkel történõ megje-lenítése.

Összetett számfeladatok megoldása, amûveletek helyes sorrendjének ismerete,alkalmazása. Zárójelek használata. Két-jegyû számok szorzása egyjegyû szám-mal a 100-as számkörben. Kétjegyû pá-ros számok felének meghatározása.

Összefüggések, kapcsolatok,szövegértelmezés és szövegkészítés

A számokkal, mûveletekkel kapcsolatosfeladatokban összefüggések vizsgálata,többféle megoldás keresése. Az elõzõek-kel kapcsolatos igaz, illetve hamis állítá-sok igazságának eldöntése. Állítások ta-gadása. Ismerkedés a logikai „és”-sel.

Nyitott mondat felírása tevékenységrõl,ábráról, szövegrõl.

Nyitott mondatok igazságtartalmánakmegkeresése.

Alaphalmaz, részhalmaz, kiegészítõ hal-maz szerepe nyitott mondat megoldá-sában.

Egyszerû, majd a matematikai tartalombõvülésével fokozatosan összetettebbszöveges feladatok a számokról, mûvele-tekrõl tanultak értelmezésére, elmélyíté-sére, gyakorlására.

A szöveges feladatok megoldása kap-csán az adatok lejegyzése, az összefüg-gések megállapítása, a számítás tervé-nek (esetleg többféle alakban történõ) el-készítése, az eredmény meghatározása,ellenõrzése és értelmezése a szövegalapján, válasz megfogalmazása.

Szöveg megfogalmazása tevékenység-rõl, rajzról, mûveletekrõl.

Nyitott mondatba számok, mennyiségek,alakzatok behelyettesítése.

Nyitott mondat igazzá tétele.

Nyitott mondat készítése szövegrõl, áb-ráról.

Egy mûvelettel leírható egyszerû szöve-ges feladat értelmezése, megoldása.

Lejegyzés (ábrázolás).

Terv, mûveletek kijelölése.

Számolás.

Ellenõrzés.

Válasz megfogalmazása.

Legfeljebb két mûvelettel leírható egysze-rû szöveges feladat önálló olvasással tör-ténõ értelmezése, megoldása.




A megfigyelõképesség, a gondolkodási mûveletek, a számolási rutin, a szövegértelmezõképesség fejlesztése változatos feladatok, tevékenységek segítségével. Rugalmas, krea-tív gondolkodásra, ötletgazdagságra való törekvés. A valóság és a matematika különöskapcsolatának felismertetetése.

Jellemzõk

Az itt felsorolt tartalmakat, tevékenységeket nem tanítjuk önálló témakörként, hanemeszközként használjuk a számtan, algebra, illetve geometria, mérés témakörökhöz tartozófogalmak elmélyítésére, a köztük lévõ kapcsolatok feltárására, a számolási rutin ésa rugalmas problémamegoldó gondolkodás fejlesztésére, a kreatív attitûd alakítására.A témakör feldolgozására szánt óraszám nem határozható meg egyértelmûen.




Számok, mennyiségek, formák, tárgyak,jelenségek stb. közti kapcsolatok megfi-gyelése, keresése, felismerése, megjele-nítése például kiválasztással, összeha-sonlítással, párosítással, sorba rende-zéssel, nyíljelöléssel stb.

Táblázattal adott kapcsolatok értelmezé-se, szövegkészítés táblázat alapján.

Táblázatok kitöltése szöveggel vagyegyenlettel adott, illetve felismert szabályalapján. A szabály felírása többféle alak-ban.

A bõvülõ tartalomnak megfelelõen szá-mok, mennyiségek, alakzatok közti felis-mert kapcsolatok megjelenítése külön-bözõ módon. Egyszerû tapasztalati függ-vények.

Táblázat kitöltése adott szabály szerint.

Táblázattal adott függvényhez szabálykeresése, annak felismerése, hogy többszabály is lehetséges. Szöveggel adottfüggvény szabályának meghatározása,táblázatának kitöltése.

Sorozatok

Tárgy-, rajz-, jel- és számsorozatok kie-gészítése, folytatása adott vagy felismertösszefüggés szerint. A kapcsolat szavak-kal, mûveletekkel való kifejezése (különb-ségsorozat, hányadossorozat). A sorozattulajdonságainak megfigyelése (növeke-dés, csökkenés, periodikusság stb.).

2-vel, 3-mal, 4-gyel, ..., 10-zel növekvõ,illetve csökkenõ sorozatok folytatása, aszabály felismerése.

Ugyanazzal a számmal növekvõ vagycsökkenõ sorozatok képzése.

Néhány elemével adott sorozathoz sza-bály(-ok) keresése, a sorozat folytatása.


Geometria, mérés


A megfigyelõképesség, a képi gondolkodás, a síkbeli és a térbeli tájékozódási képességfejlesztése. A geometriai fogalomalkotás elemi képességeinek alakítása. Alkotóképesség,kreativitás. Kombinatorikus gondolkodásmód alkalmazása lehetõségek, megoldások kivá-lasztásában, síkidomok, testek elõállításában. A valóság és a matematika elemi kapcso-latainak felismertetése. Tudatos eszközhasználat. Pontosság.

Jellemzõk

Összóraszám: 20−30 tanítási óra a helyi tanterv összóraszámának megfelelõen.

Otthoni munkára javasolt idõ: 10−15 óra (figyelembe véve a mérések, modellezésekidõigényét).

A szám- és mûveletfogalom kialakítása és elmélyítése szoros kapcsolatban van améréssel, ezért a témakörhöz tartozó tartalmak és tevékenységek közel fele a számtan,algebra témakör feldolgozásába komplex módon beépítve jelenik meg.

Ugyanakkor a geometria, mérés 20−30 órájában is fejlesztjük a tanulók szám- ésmûveletfogalmát, összehasonlításokat, statisztikai adatgyûjtéseket végeztethetünk, ösz-szefüggéseket állapíttathatunk meg stb.

Kapcsolatok

A 2. osztályos geometria, mérések témakör egyes tananyagait a társtantárgyak (technika,rajz, környezetismeret) kerettantervei is tartalmazzák. Ezeknek az ismereteknek atantervekben történõ összehangolása lehetõséget biztosít arra, hogy kevesebb idõ alattmélyebben és hatékonyabban tudjuk feldolgozni a tananyagot.

Környezetismeret:

Becslések, egyszerû mérések alkalmilag választott és szabvány egységekkel (m, dm, cm,kg, dkg, l, dl, óra, perc, nap, hét, hónap, év). Tájékozódás az idõben. Idõmérésekvégzése, mértékegységeinek használata. Különbözõ mérések elvégzése a saját testen.

Technika:

Makett építése látszati rajz alapján építõelemekbõl. A becslés és a méretmegadásgyakorlása. A kicsinyítés és a nagyítás fogalma.




A különbözõ mennyiségekrõl, mérõesz-közökrõl tanultak kibõvítése, elmélyítése,alkalmazásuk a bõvülõ számkör figye-lembevételével. Gyakorlati mérések.




Hosszúságok összehasonlítása, sorbarendezése, becslése, a hosszúságmé-réssel kapcsolatos kifejezések használa-ta. A centiméter, deciméter, méter fogal-ma, kapcsolatuk. Mérés alkalmi mérték-egységekkel, centiméterrel, deciméterrel,méterrel.

Ûrtartalmak összehasonlítása, sorba ren-dezése, becslése. A liter, deciliter éscentiliter fogalma, kapcsolatuk. Mérésalkalmi mértékegységekkel, literrel, decili-terrel, centiliterrel.

Tömegek összehasonlítása, a kilogramm,a dekagramm és a köztük lévõ kapcsolat.

Az idõmérés egységei (év, hónap, hét,nap, óra, perc). Események idõbeli lefo-lyásának, idõtartamának megfigyelése.

Mértékegységek átváltása. Tapasztalat-szerzés a mértékegység és a mérõszámközötti fordított arányosság felismerteté-sére.

Szöveges feladatok. Mûveletek mennyi-ségekkel.

Hosszúságok összehasonlítása, megmé-rése, egyenes vonalon adott hosszúságúszakasz kimérése. A méter, a deciméter,a centiméter és a köztük lévõ kapcsolatismerete.

Ûrtartalmak összehasonlítása, a liter, adeciliter, a centiliter és a köztük lévõ kap-csolat ismerete.

Tömegek összehasonlítása, a kilogramm,a dekagramm és a köztük lévõ kapcsolatismerete.

Az idõmérés egységeinek (év, hónap,hét, nap, óra, perc) ismerete.

A hosszúság-, az idõ-, a tömeg- és azûrtartalommérésrõl tanultak alkalmazásagyakorlati mérésekben szöveges felada-tokban. Mûveletek mennyiségekkel. Mér-tékegységek átváltása.

Síkidomok, testek, transzformációk

Ismerkedés geometriai formákkal, geo-metriai tulajdonságokkal.

Tapasztalatszerzés elemi geometriai tu-lajdonságok fogalmának elõkészítésére.A tengelyes szimmetria fogalmának bõ-vítése, tengelyesen szimmetrikus formákvizsgálata, elõállítása kirakással, hajtoga-tással, papírkivágással stb.

Különbözõ sokszögek vizsgálata. A tég-lalap és a négyzet fogalma. Tapasztalat-szerzés a téglalap és négyzet legfonto-sabb tulajdonságainak felismertetésére.

Testek építése (például színes rúdból,modellezõ készletbõl). Testek másolásamodellrõl. A téglatest és a kocka fogalma,legszembetûnõbb tulajdonságaik vizsgá-lata.

Az alakzatok közül a kör, a háromszög, anégyszög, az ötszög kiválasztása.

Alakzatok tükrösségének vizsgálata tü-körrel, hajtogatással.

Síkidomok elõállítása tulajdonságaik vizs-gálata.

A hatszög, hétszög stb. felismerése.A négyszögek közül a téglalapok, a tégla-lapok közül a négyzetek kiválasztása.

A testek közül a téglatest, a téglatestekközül a kocka kiválasztása, az élek, la-pok, csúcsok felismerése, számbavétele.




Síkidomok, illetve testek csoportosítása,rendezése egy-két adott vagy felismertszempont szerint, síkidomok elõállítása,másolása. Vonalzó, sablon használata. Atapasztalatok szóbeli megfogalmazása.

A kerület és a terület fogalmának alapo-zása.

A hasonlóság és egybevágóság fogalmá-nak alapozása.

Síkidomok, illetve testek rendezése leg-feljebb két szempont szerint.



A megfigyelõképesség és a matematikai szemléletmód fejlesztése, a mindennapi életés a matematika közötti kapcsolatok felfedeztetése. Szóbeli és képi kifejezõképességfejlesztése. Kombinatorikus képesség fejlesztése, a valószínûségi szemlélet alapozása.

Jellemzõk

A tanítás során nem jelenik meg önálló témakörként. Összóraszám: nem határozhatómeg.

Kapcsolatok

A statisztikai adatok gyûjtése, feldolgozása szoros kapcsolatban van mennyiségekmérésével, és azon keresztül a környezetismeret témakörével.



A tanuló mindennapi életével kapcsolatosstatisztikai adatok gyûjtése, lejegyzése.

Egyszerû valószínûségi kísérletek kime-neteleinek megfigyelése, lejegyzése, Azadatok táblázatba rendezése, szemlélte-tése grafikonnal, oszlopdiagrammal. Táb-lázatok, grafikonok értelmezése. A „biz-tos”, a „lehetséges” és a „lehetetlen” ese-mények elkülönítése.

A mindennapi élet véletlen jelenségeinekmegfigyelése, lejegyzése.


3. osztály

Javasolt óraszám


Ebben az esetben feltétlen javasoljuk a „leszakadók” felzárkóztatásának megszer-vezését.

II. A kötelezõ óraszámon belül 1 óra szabadon tervezhetõ. Ha ennek az óraszámnak afelét a helyi tanterv a matematika tanítására biztosítja, akkor a következõ lehetõ-ségeket javasoljuk:a) Kéthetes ciklusonként 9 matematikaóra van; évi 166 óra:

b) Az elsõ félévben 5, a másodikban 4 matematikaóra van. Ez a megosztás lehetõvéteszi, hogy viszonylag korán foglalkozzunk az írásbeli osztással, és kellõen begya-koroltassuk ezt az algoritmust.

III. Optimális változat a heti 4 alapóra + 1 szabadon tervezhetõ óra; évi 185 óra:

Taneszközök

Hajdu Sándor: Matematika 3., tankönyvHajdu Sándor: Matematika 3. Gyakorló, tanulói segédletHajdu Sándor: Matematika 3−4. Feladatgyûjtemény, tehetséggondozó tanulói segédletHajdu Sándor: Felmérõ feladatsorok. Matematika 3. osztály, tanulói segédletHajdu Sándor: Matematika 3. Program, tanítói segédletCzeglédy István−Hadházy Jenõ: Matematika 3−5. Eszköztár, tanulói segédlet

Számtan, algebra


A megfigyelõképesség, a gondolkodási mûveletek, az önálló, fegyelmezett, logikus, prob-lémamegoldó gondolkodás fejlesztése. A rugalmas, ötletgazdag gondolkodás alapjainakalakítása többféle megoldás keresésével. Egyszerû kombinatorikus feladatokban alehetõségek elõállítása, rendezése. Kombinatorikus gondolkodásmód alkalmazása amatematika különbözõ témaköreiben. A matematikai tartalom képi, szóbeli és írásbelikifejezõképességének fejlesztése. A matematikatanulással kapcsolatos tevékenység-formák, szokások bõvítése, erõsítése.


A szám- és mûveletfogalom elmélyítése, tartalmi bõvítése, e fogalmak kiterjesztésenagyobb számkörre. Szöveges feladatok, egyszerû matematikai szövegek megértése,értelmezése, megjelenítése tevékenységgel, önálló, néma olvasás alapján. A szaknyelvhelyes használata.

A valóság és a matematika elemi kapcsolatainak felismerése, alkalmazása, tovább-építése.

A számolási rutin fejlesztése, a fegyelmezett algoritmikus gondolkodás elemeinekalakítása. A becslés képességének fejlesztése. A mûveletfogalom és a mûveleti tulajdon-ságokról tanultak kiterjesztése az írásbeli mûveletekre.

Jellemzõk

Összóraszám: 110−130 tanítási óra a helyi tanterv összóraszámától függõen.


A 3. osztályban is tudatosan törekszünk a témakörök összeszövésére, a matematikaitartalom komplex feldolgozására.

Így a számtan-algebra tárgyalása során a fogalmak elmélyítéséhez, a köztük levõkapcsolatok feltárásához eszközszerûen alkalmazzuk a halmazok vizsgálatát, állításokigazságának eldöntését, a kombinatorikus gondolkodásmódot.

A számtan-algebra témakörében feldolgozott ismereteket folyamatosan alkalmazzukfüggvények értelmezésére, sorozatok képzésére, folytatására, nyitott mondatok megoldá-sára, statisztikai megfigyelések értelmezésére, feldolgozására, mértékegységek átvál-tására stb. Ezért a fenti órakeret mintegy 20−30%-ában kapcsolódik az egyéb tantervitémakörökben megfogalmazottakhoz.

Hangsúlyozzuk, hogy a szövegértelmezõ képesség fejlesztése minden tantárgy, ésezen belül is a matematika kiemelt feladata. Ezért a matematikára fordított idõ mintegy30%-ában szöveges feladatot kell megoldatnunk.

Ez a tanterv − a tantervi minimumhoz képest − 2000-es számkörben dolgozza fel atananyagot, és tartalmazza az egyjegyûvel való osztást is. Így élünk azzal a jogszabályadta lehetõséggel, hogy a kerettanterv tananyagát mintegy 20%-kal bõvítsük. Ez a többleta tanítási tapasztalat szerint a heti 4 óra matematikatanítás mellett sem okoz gondot.Ugyanakkor jelentõsen enyhíti a felsõbb évfolyamokon jelentkezõ idõhiányt.

A 10 000-es számkörre való kitekintést csak heti 5 matematikaóra mellett, átlagosnáljobb tanulócsoportokban javasoljuk.



Számfogalom


A 2000-es számkör elemeinek, mennyi-ségeknek a megfigyelése, összehasonlí-tása, szétválogatása, rendezése, rend-szerezése egy és két adott, illetve felis-mert szempont szerint.

Az 1000-es számkörben adott számok,mennyiségek megfigyelése, összehason-lítása, rendezése, szétválogatása, rend-szerezése különbözõ (egyszerre egy)adott szempontok szerint. Igaz, hamis ál-lítások megfogalmazása, állítások igaz-ságának eldöntése. Számhalmazok leg-fontosabb tulajdonságainak felismerése.




A változások és összefüggések megfi-gyelése, megfogalmazása, leírása mate-matikai jelekkel. Többféle megoldás kere-sése. Az elõzõekkel kapcsolatosan, a fo-galmak és a köztük lévõ kapcsolatok tu-datosítása és a logikus gondolkodás fej-lesztése céljából igaz, illetve hamis állítá-sok megfogalmazása, állítások igazsá-gának eldöntése. A „nem”, „és”, „vanolyan ...”, „minden”, „egyik sem”, „nemmind” kifejezések alkalmazása konkrét,véges halmazokkal kapcsolatban.

A természetes számokról tanultak kiter-jesztése a 2000-es számkörre.

A természetes szám mint halmazok szá-mossága és mint mérõszám.

A tízes számrendszer fogalma, számokalakiértéke, helyiértéke, tényleges értéke.Számok bontása, képzése helyiértékszerint. Számok különbözõ alakjai (ösz-szeg, sorozat stb.).

Római számírás 2000-ig az I, V, X, L, C,D, M jelekkel.

Számok kerekítése tízesre, százasra, ez-resre. Számok közelítõ helye a tízes,százas, esetleg más beosztással adottszámegyenesen.

Számok összehasonlítása, rendezése.

Az osztó, többszörös fogalma.

Kétjegyû számok oszthatóságának vizs-gálata a szorzótáblák alkalmazásával,2-vel, 5-tel, 10-zel, 100-zal osztható szá-mok a 2000-es számkörben.

Egyéb oszthatósági feladatok az osztásalkalmazásával.

III. óraszámváltozat esetén:

(Kiegészítésként javasolt anyagrész.)Kitekintés a 10 000-es számkörre.

A 2000-es számkörben adott számokmegfigyelése, összehasonlítása, rende-zése, szétválogatása, rendszerezése egyvagy két adott vagy felismert szempontszerint. Alaphalmaz különbözõ részhal-mazainak jellemzése az elemek közöstulajdonságával. Elemek elhelyezése hal-mazábrában, táblázatban. Igaz, hamis ál-lítások megfogalmazása, illetve állításokigazságának eldöntése, a „nem”, „és”,„van olyan ...”, „minden” kifejezések meg-értése, alkalmazása.

Biztos számfogalom az 1000-es szám-körben. Számlálás tízesével, százasávalaz 1000-es számkörben.

Egyjegyû, kétjegyû, háromjegyû szám fo-galmának ismerete.

Háromjegyû számok bontása százasok,tízesek, egyesek összegére. Az alakiér-ték, helyiérték, tényleges érték ismerete,alkalmazása. A számok írása, olvasása1000-ig. Nagyság szerinti összehasonlí-tásuk. Felsorolásuk növekvõ, illetve csök-kenõ sorrendben. Az =, <, > jelek he-lyes használata.

Számok közelítõ helyének megtalálása atízesével, százasával beosztott szám-egyenesen.

A számok egyes, tízes, százas szom-szédainak megállapítása. Számok kere-kítése tízesre, százasra.

A páros, páratlan, öttel, tízzel, százzalosztható számok felismerése, a fogalmakalkalmazása a számok szétválogatásá-ban, rendszerezésében.

A minimális teljesítményben felsorolt kö-vetelményeket ezen a szinten a 2000-esszámkörben várjuk el. Ennek megfele-lõen a négyjegyû szám fogalmát, helyiér-ték szerinti bontását is megkövetelhetjük.Továbbá: számok közelítõ helyénekmegtalálása a húszasával, ötvenesével,kétszázasával, ötszázasával beosztottszámegyenesen.




Negatív számok (elõkészítés)

A negatív szám fogalmának elõkészítése,többféle modell megismerése, lépegetésszámegyenesen.

Modellrõl, rajzról negatív értékek leolva-sása, illetve negatív értékek megjelení-tése.

Törtek (elõkészítés)

Mennyiségek törtrészének fogalma, elõ-állítása, kiszámítása, modellezése, ösz-szehasonlítása. Törtrész kiegészítése 1egészre, az 1 egész elõállítása a törtrészismeretében.

Modellrõl, rajzról egyszerû törtrész leol-vasása, illetve törtrész megjelenítése.


A négy alapmûvelet értelmezése a 2000-es számkörben.

Szóbeli számolási eljárások a 200-asszámkörben, analóg számítások kerek tí-zesekkel, százasokkal a 2000-es szám-körben. Szorzás és osztás 10-zel és 100-zal. Mûveleti tulajdonságok (tagok, ténye-zõk felcserélhetõsége, csoportosíthatósá-ga, összeg, különbség szorzása, osztá-sa) és mûveletek közti összefüggésekvizsgálata, alkalmazása. Annak megfi-gyelése, hogy hogyan változik a mûveletieredmény, ha az egyes összetevõketváltoztatjuk.

Írásbeli összeadás, kivonás, egyjegyûvelvaló szorzás és osztás. Az írásbeli mûve-letek eredményének becslése, az ered-mény ellenõrzése a becsült értékkel valóösszevetéssel. A közelítõ érték és a való-di érték összehasonlítása. A kivonás ésosztás ellenõrzése az inverz mûvelet al-kalmazásával is.

A négy alapmûvelet értelmezése tevé-kenység, számegyenesen való lépege-tés, modell, rajz, szöveg, mérés stb.alapján.

Az összeadás és kivonás biztos elvég-zése szóban a 100-as számkörben. Há-romjegyû számok összegének, különb-ségének becslése kerek százasokkalszámolva. Az írásbeli összeadás és ki-vonás biztos elvégzése az 1000-esszámkörben. (Az összeg 3-4 tagú is le-het.) Az összeadás tagjai felcserélhetõ-ségének, az összeadás és kivonás kap-csolatának ismerete és alkalmazása. Azeredmény ellenõrzése a becsült értékkelvaló összevetéssel, a kivonás ellenõr-zése összeadással is.

A szorzás és osztás biztos elvégzéseszóban a szorzótáblák közvetlen alkal-mazásával. Kerek tízesek szorzása egy-jegyû számmal szóban az 1000-esszámkörben. Számok szorzása 10-zel,kerek tízesek osztása 10-zel.

Az egyjegyûvel való írásbeli szorzás biz-tos elvégzése az 1000-es számkörben.Az eredmény ellenõrzése a becsült érték-kel való összevetéssel.




Az összeadás és kivonás biztos elvég-zése szóban a 200-as számkörben, 0-ravégzõdõ számok összeadása, kivonása a2000-es számkörben.

A kerek tízesekkel való számolás, alkal-mazása az írásbeli összeadás, kivonásés szorzás eredményének becslésében.

Az írásbeli osztás eredményének becslé-se két érték közé szorítással. A négyalapmûvelet írásbeli elvégzése a 2000-esszámkörben. Az eredmény ellenõrzése.

Összetett számfeladatokban a mûveleteksorrendje, zárójelek alkalmazása.

Egyenletek, egyenlõtlenségek megoldásatervszerû próbálgatással, illetve egy lé-pésben következtetéssel.

Egyenlõtlenségek igazsághalmazánakábrázolása számegyenesen.

Két mûveletet tartalmazó összetett szám-feladatok megoldása, a mûveletek sor-rendjének és a zárójelek használatánakismerete és alkalmazása.

Kettõnél több mûveletet is tartalmazószámfeladatok megoldása.

A mûveletek közötti kapcsolatok felhasz-nálása ismeretlen összetevõ megkeresé-sére egy, esetleg két lépésben, egyenle-tek, egyenlõtlenségek megoldása pró-bálgatással, esetleg következtetéssel.

Összefüggések, kapcsolatok,szövegértelmezés és szövegkészítés

A bõvülõ ismeretkörrel kapcsolatos nyitottmondatok igazsághalmazának megkere-sése próbálgatással.

Szöveges feladatok megoldása az írás-beli mûveletek alkalmazásával is. Követ-keztetés 1-rõl többre, többrõl 1-re.

A szöveges feladat megoldásmeneténektudatosítása: Az adatok lejegyzése. Amegoldási terv meghatározása, felírásamatematikai jelekkel, az eredmény becs-lése, kiszámítása. Az eredmény ellenõr-zése, értelmezése a szöveg alapján.Több megoldás keresése, összehasonlí-tása. Matematikai modell (sorozatok, táb-lázatok, rajzok, nyíldiagramok, grafiko-nok) használata a szöveges feladatokmegoldásához.

Ismert alaphalmaz elemeirõl annak el-döntése, hogy igazzá tesznek-e egy adottnyitott mondatot vagy sem.

Fogalmak, összefüggések felismerésetevékenységrõl, rajzról, modellrõl.

Egy mûvelettel megoldható egyszerûszöveges feladat értelmezése, az adatoklejegyzése, az összefüggések felisme-rése, a terv elkészítése, az eredménybecslése, kiszámítása a szóbeli és írás-beli mûveletek alkalmazásával. Az ered-mény ellenõrzése a becsült értékkel valóösszehasonlítással, illetve kivonás ésosztás esetén az inverz mûvelettel is.Szöveges válasz megfogalmazása.

Összetettebb szöveges feladatok megol-dása, önálló néma olvasás alapján is.




A megfigyelõképesség, a felismerõ- és alkotóképesség, a számolási rutin, a rugalmas,ötletgazdag, problémamegoldó gondolkodás sokoldalú fejlesztése. A matematikai model-lek alkalmazhatóságának felismerése. A döntési képesség formálása.

Jellemzõk



Az itt felsorolt tartalmak, tevékenységek kis részét tanítjuk önálló témakörként. Nagyobbikrésze eszközként szolgál a számtan, algebra, illetve geometria, mérés és a valószínûség,statisztika témakörök tanulása során.




Megfigyelések, mérések, szöveggel adottfüggvények számadatainak táblázatbarendezése. Kapcsolatok ábrázolása nyíl-diagrammal, oszlopdiagrammal, grafikon-nal. Grafikonok, diagramok olvasása.

Táblázattal, szöveggel, grafikonnal adottfüggvények szabályának keresése, meg-fogalmazása szóban, egyenlettel. Több-féle szabály keresése, a szabály meg-fogalmazása többféleképpen.

Táblázattal, diagrammal, grafikonnaladott összefüggések összetartozó ér-tékpárjainak leolvasása. Táblázat kiegé-szítése egyszerû szabály alapján.

Táblázattal, diagrammal, grafikonnal adottösszefüggések értelmezése, a kapcso-latok felismerése. Táblázattal, szöveggeladott függvény szabályának leírása, atáblázat kiegészítése.

Sorozatok

Sorozatok folytatása, kiegészítése adottszabály szerint. Néhány elemével adottsorozathoz különféle szabály keresése.

Állandó különbségû sorozat szabályánakfelismerése, a sorozat folytatása.

A sorozat szabályának megfogalmazása.Sorozat folytatása adott vagy felismertszabály alapján.


Geometria, mérés


A bõvülõ tartalom feldolgozásával a megfigyelõképesség, a fogalomalkotó és problé-mamegoldó képi gondolkodás, a térszemlélet fejlesztése. Képesség absztrakt geometriaifogalmak megalkotására. Azoknak a képességeknek és szemléletnek az alapozása,amelyek lehetõvé teszik a matematika alkalmazását más tantárgyakban és a mindennapiéletben. A matematika és a valóság kapcsolatának építése. Kreatív gondolkodás fejlesz-tése.

Jellemzõk



A szám- és mûveletfogalom kialakítása és elmélyítése szoros kapcsolatban van améréssel, a különbözõ mértékegységek átváltásával, alkalmazásával. Ezért a tanulásifolyamatban komplex módon összeszövõdhet e két témakör. A mérések lehetõségetbiztosítanak az eredmények statisztikai rendezésére, feldolgozására, diagramokon, gra-fikonokon történõ megjelenítésére is.

Kapcsolatok

A 3. osztályos geometria, mérések témakör tananyagának mintegy fele megtalálható atárstantárgyak (környezetismeret, technika, rajz) tananyagában is. A társtantárgyaknakszükségük van ezeknek az ismereteknek a matematikai megalapozására. A matematikaifogalmakat életszerûvé teszi, hogy ezeket az ismereteket a társtantárgyakban alkalmaz-zuk. A kapcsolatok megfelelõ kiaknázásával nem csak mélyebbé tesszük az ismereteket,hanem idõt is megtakarítunk.

Környezetismeret:

Becslések, egyszerû mérések szabvány egységekkel (m, dm, cm, mm, t, kg, dkg, g, l, dl,cl, ml, óra, perc, másodperc, °C). Testünk mérhetõ tulajdonságai. A tárgyak alaprajza.Kicsinyítés rajzolással. Útvonalrajzok, térképvázlatok, térképszerû ábrázolások ismerttereprõl. A térképvázlaton útvonalak bejelölése, bejárása.

Technika:

Egyszerû épületmakettek irányított készítése megadott alaprajz szerint. Méretek leolvasá-sa rajzokról. A rajz és a tárgy megfeleltetése. A mérési eredmények feljegyzése. Méréscentiméter pontossággal, mérési eredmények. Helyes anyag-, idõ- és pénzbeosztás.





Hosszúságok becslése (a tízesre, szá-zasra kerekítésrõl tanultak alkalmazásá-val), összehasonlítása, megmérése, ki-mérése milliméterrel, centiméterrel, deci-méterrel, méterrel. A kilométer fogalma.Átváltások.

Ûrtartalmak becslése (a kerekítésrõl ta-nultak alkalmazásával), összehasonlítá-sa, megmérése, kimérése alkalmi mér-tékegységgel, milliliterrel, centiliterrel, de-ciliterrel, literrel. A hektoliter fogalma. Át-váltások.

Tömegek becslése, összehasonlítása,megmérése, kimérése alkalmi mérték-egységgel, dekagrammal, kilogrammal.A gramm, a tonna fogalma. Átváltások.

Az idõmérésrõl tanultak felelevenítése.

Napok átváltása órákra, órák átváltásapercekre stb. (Az írásbeli szorzásról, osz-tásról tanultak alkalmazása.)

A másodperc fogalma. Átváltások.

Egység, mennyiség, mérõszám kapcso-lata.

Alaprajzok, nézeti rajzok, térképek értel-mezése, mérés és tájékozódás terem-ben, iskolaudvaron, parkban stb. alaprajz,térkép segítségével.

Hosszúságok leolvasása látszati rajzok-ról, alaprajzokról (ismerkedés szintjén).

Hosszúságok, ûrtartalmak, tömegek ösz-szehasonlítása tevékenységgel, megmé-résük, kimérésük alkalmi, illetve a tanultmértékegységekkel. A mérõeszközök éshasználatuk ismerete.

A tanult mértékegységek közti kapcsola-tok ismerete. A mértékegység és mérõ-szám kapcsolatának megállapítása.

Mérésekkel kapcsolatos legegyszerûbbátváltások végrehajtása (2000-es szám-körön belül maradva).

Méréssel kapcsolatos ismeretek alkalma-zása gyakorlati problémákban, szövegesfeladatok értelmezésében, megoldásá-ban. A mérések pontosságának megha-tározása.

A gyermek mindennapi életével kapcso-latos idõtartamok mérése.




Alakzatok elõállítása, vizsgálata

Síkidomok, testek vizsgálata, szétváloga-tása, osztályozása különbözõ szempon-tok szerint (tapasztalatgyûjtés).

Transzformációk végrehajtása, rács, par-kettázás, kirakás stb. segítségével. Adotttranszformáció szabályának megkeresé-se (nagyítás, kicsinyítés, egybevágóság,nyújtás, zsugorítás, torzítás stb.). Egybe-vágósági transzformációk felhasználásaalakzatok tulajdonságainak vizsgálatá-ban, különbözõ szimmetriák megsejte-tése, megkülönböztetése. Tengelyesentükrös alakzatok elõállítása, kirakás,nyírás, hajtogatás, tükrözés. A vonalzóés körzõ használata.

Párhuzamos és merõleges egyenespárokvizsgálata, elõállítása, felismerése, fo-galma síkban és térben. Ismerkedés aderékszög fogalmával. Szögek össze-hasonlítása a derékszöggel, elfordulásokmérése derékszöggel (fõ világtájak, óra).

A téglalapról és a négyzetrõl tanultak fel-elevenítése (oldalak, csúcsok), a tükör-tengelyek megrajzolása, a téglalap pár-huzamos és merõleges oldalpárjainakmegkeresése.

A téglatestrõl és a kockáról tanultak fel-elevenítése (élek, lapok, csúcsok), kiegé-szítése. Testek építése szabadon ésadott feltételek szerint. A térfogat mérésealkalmi egységekkel. Párhuzamos és me-rõleges egyenesek keresése a testeken.

Sokszögek kerületének meghatározásakonkrét esetekben.

A terület fogalmának és a területszámí-tásnak az elõkészítése, sokszögek lefe-dése különbözõ alakú és méretû la-pokkal. Térfogat mérése alkalmi mérték-egységekkel, kirakással.

Testek építése modellrõl.

Síkidomok elõállítása.

Párhuzamos és merõleges egyenespárokfelismerése síkban.

Alakzatok tükrösségének felismeréseesetleg eszközzel.

A téglalap és a négyzet felismerése,legfontosabb tulajdonságaik felsorolása,megmutatása rajzról. A téglalap és anégyzet közti kapcsolat ismerete.

A téglatest és a kocka felismerése, aköztük lévõ kapcsolat ismerete.

Párhuzamos és merõleges egyenespá-rok felismerése a térben is.

Síkbeli tükrözés végrehajtása építéssel,négyzetrácson stb.

Egybevágó síkidomok felismerése és ki-választása konkrét alaphalmaz esetén.

A síkidomokkal, testekkel kapcsolatoselnevezések (oldal, csúcs, szemközti,szomszédos, illetve csúcs, él, lap) helyeshasználata az alakzatok vizsgálata során.

Konkrét esetekben a téglalap és a négy-zet kerületének mérése és számítása.




A megfigyelõképesség és a matematikai szemléletmód fejlesztése, a mindennapi élet ésa matematika közötti kapcsolatok felfedeztetése. Kifejezõképesség fejlesztése a sejtésekmegfogalmazásával. Logikus gondolkodás fejlesztése.

Jellemzõk

A számtan, algebra, a geometria, mérés, illetve az összefüggések, függvények, sorozatoktémakörökkel kapcsolatosan foglalkozzunk e témakörhöz tartozó feladatokkal is. Azösszóraszám nem határozható meg.



Valószínûségi kísérletek kimeneteleinekmegfigyelése. A kimenetelek gyakorisá-gának meghatározása. Sejtések megfo-galmazása, összehasonlításuk az ered-ménnyel. A valószínûbb és a kevésbévalószínû események megkülönbözteté-se („biztos”, „lehetséges”, „lehetetlen”). Atanuló mindennapi életével kapcsolatosvéletlen események megfigyelése, le-jegyzése.

Statisztikai adatok, mérési eredményekmegfigyelése, gyûjtése, táblázatba ren-dezése, megjelenítése oszlopdiagram-mal, grafikonnal.

Táblázatból, grafikonról, diagramról ada-tok leolvasása, értelmezése, elemzése.

Két adat számtani közepének értelme-zése.

Statisztikai adatok leolvasása táblázatból,grafikonról, diagramról.

A tanuló mindennapi életével kapcsolatosstatisztikai adatok, mérési eredményekösszegyûjtése, táblázatba rendezése, di-agramok, grafikonok készítése.

A biztos és a véletlen megkülönböztetésekonkrét tapasztalatszerzés útján.


4. osztály

Javasolt óraszám


Megjegyzés: A fejlett országok körében egyedülállóan alacsony óraszám. Általábanalapelv, hogy ennek a korosztálynak mindennap legyen matematikaórája. A korábbitantervek Magyarországon is tartották magukat ehhez az alapelvhez.

Ebben az esetben, ha nem tervezzük meg a felzárkóztatást, akkor a leszakadótanulók reménytelen helyzetbe kerülnek a felsõ tagozaton.

A redukált tananyag miatt mintegy 40−50 órával terheljük meg az 5. osztályosmatematikaoktatást úgy, hogy annak órakerete nem növekedett, és korábbi tananyagasem csökkent.

II. A szabadon tervezhetõ 1 órának a felét megkapja a matematika:a) Kéthetes ciklusonként 7 matematikaóra van; évi 129 óra:

b) Az elsõ félévben 3, a másodikban 4 matematikaóra van. Ez a megosztás kisséenyhítheti a felsõ tagozatba lépéssel járó gondokat.

III. A szabadon tervezhetõ 1 órát teljes egészében a matematikatanítás számárabiztosítja a helyi tanterv. Évi 148 óra:

Taneszközök

Hajdu Sándor: Matematika 4., tankönyv (2003/2004-es tanévig)Hajdu Sándor: Matematika 4. A, alapszintû tankönyv (2004/2005-ös tanévtõl)Hajdu Sándor: Matematika 4. B, tankönyv, bõvített változat (2004/2005-ös tanévtõl)Hajdu Sándor: Matematika 4. Gyakorló, tanulói segédlet (2003/2004-es tanévig)Hajdu Sándor: Matematika 4. A Gyakorló, alapszint (2004/2005-ös tanévtõl)Hajdu Sándor: Matematika 4. B Gyakorló, bõvített változat (2004/2005-ös tanévtõl)Hajdu Sándor: Matematika 3−4. Feladatgyûjtemény, tehetséggondozó tanulói segédletHajdu Sándor: Felmérõ feladatsorok. Matematika 4. osztály, tanulói segédletHajdu Sándor: Matematika 4. Program, tanítói segédletCzeglédy István−Hadházy Jenõ: Matematika 3−5. Eszköztár, tanulói segédlet

Az alapszintû tankönyv és gyakorló csupán a kerettantervben elõírt redukált tananyagottartalmazza. A bõvített változat ad lehetõséget a fenti 2., illetve 3. óraszámvariációbanadott tanulás megszervezésére.


Számtan, algebra


A megfigyelõképesség, az önálló, fegyelmezett, logikus, problémamegoldó, rugalmas,ötletgazdag gondolkodás alakítása.

A matematikai tartalom képi, szóbeli és írásbeli kifejezõképességének fejlesztése.A matematikatanulással kapcsolatos tevékenységformák, szokások bõvítése, erõsítése.

A bõvülõ matematikai tartalomnak megfelelõen a matematikai fogalomalkotás képes-ségeinek fejlesztése. A szám- és mûveletfogalom elmélyítése, tartalmi bõvítése, e fogal-mak kiterjesztése nagyobb számkörre. Kombinatorikus gondolkodásmód alkalmazása azelemek kiválasztása, sorba rendezése, a lehetõségek elõállítása, elrendezése táblázat-ban, fadiagramon. Az összes eset keresése.

A valóság és a matematika elemi kapcsolatainak felismerése, alkalmazása.A számolási rutin fejlesztése, a fegyelmezett, algoritmikus gondolkodás alakítása.

A gondolkodási mûveletek, illetve a problémamegoldó gondolkodás fejlesztése.Az önállóság növelése a feladatok szövegének értelmezésében, megoldási algorit-

musok kialakítása és alkalmazása. A helyes tanulási szokások erõsítése.

Jellemzõk



A számtan, algebra témakör feldolgozásába komplex módon beépülnek az egyéb téma-körökhöz tartozó tartalmak, tevékenységek.

III. óraszámváltozat esetén lehetõség nyílik a kétjegyû osztóval való osztás bekapcso-lására, és a 100 000-es számkör „belakására”. Ennél is fontosabb, hogy sokkal mélyeb-ben foglalkozhatunk a tanultak alkalmazásával, van idõnk a hiányosságok pótlására és atehetséggondozásra.



Számfogalom

A természetes számokról tanultak kiter-jesztése 20 000-ig.

A természetes szám mint halmazok szá-mossága és mint mérõszám. A tízesszámrendszer fogalma, számok alakiér-téke, helyiértéke, tényleges értéke. Szá-mok bontása, képzése helyiérték szerint.


A 10 000-es számkörben adott számok,mennyiségek megfigyelése, összehason-lítása, rendezése, szétválogatása, rend-szerezése különbözõ adott szempontszerint. Igaz, hamis állítások megfogal-mazása, állítások igazságának eldöntése,a „nem”, „és”, „van olyan ...”, „minden”kifejezések megértése.




A 20 000-es számkör elemeinek, mennyi-ségeknek megfigyelése, összehasonlítá-sa, szétválogatása, rendezése, rendsze-rezése egy, több adott, illetve felismertszempont szerint. A változások és ösz-szefüggések megfigyelése, megfogalma-zása, leírása matematikai jelekkel. Több-féle megoldás keresése. Igaz, illetve ha-mis állítások megfogalmazása, állításokigazságának eldöntése. A „nem”, „és”,„van olyan ...”, „minden”, „nincs olyan ...”,„egyik sem”, „nem minden” kifejezésekhasználata. Ismerkedés a logikai „vagy”-gyal.

Számok kerekítése tízesre, százasra, ez-resre, tízezresre.

Számok közelítõ helye a tízes, százas,ezres, esetleg más beosztással adottszámegyenesen. Számok összehasonlí-tása, rendezése.

Római számírás az I, V, X, L, C, D, Mjelekkel.

Számok összeg-, különbség-, hányados-és összetett alakjai.

III. óraszámváltozat esetén:A fenti ismeretrendszer kiterjesztése a 100 000-es(esetleg 1 000 000-s) számkörre.

A 20 000-es számkörben adott számokmegfigyelése, összehasonlítása, rende-zése, szétválogatása, rendszerezése egyvagy két adott vagy felismert szempontszerint. A „nem”, „és”, „van olyan ...”,„minden” kifejezések használata.

Biztos számfogalom a 10 000-es szám-körben. Számlálás tízesével, százasával,ezresével a 10 000-es számkörben.

Egyjegyû, kétjegyû, háromjegyû négyje-gyû szám fogalmának ismerete.

Számok bontása ezresek, százasok, tí-zesek, egyesek összegére. Az alakiérték,helyiérték, tényleges érték ismerete, al-kalmazása.

A számok írása, olvasása 10 000-ig.Nagyság szerinti összehasonlításuk. Fel-sorolásuk növekvõ, illetve csökkenõ sor-rendben. Az =, <, > jelek helyes hasz-nálata.

Számok közelítõ helyének megtalálása atízesével, százasával, ezresével beosz-tott számegyenesen.

A számok egyes, tízes, százas szom-szédainak megállapítása. Számok kere-kítése tízesre, százasra, ezresre.

A páros, páratlan, öttel, tízzel, százzal,ezerrel osztható számok felismerése.

A minimális teljesítményben felsorolt kö-vetelményeket ezen a szinten a 20 000-es számkörben várjuk el. Ennek megfe-lelõen az ötjegyû szám fogalmát, helyi-érték szerinti bontását is megkövetel-hetjük. Továbbá: számok közelítõ helyé-nek megtalálása a húszasával, ötvenesé-vel, kétszázasával, ötszázasával stb. be-osztott számegyenesen.




Negatív számok (elõkészítés)

A negatív szám fogalmának elõkészítése,többféle modell megismerése, lépegetésszámegyenesen.

Hõmérõrõl negatív értékek leolvasása,változások felismerése.

Különbözõ modellrõl, rajzról, számegye-nesrõl negatív értékek leolvasása, aköztük lévõ viszony megállapítása.

Törtek (elõkészítés)

Mennyiségek törtrészének fogalma, elõ-állítása, kiszámítása, modellezése, ösz-szehasonlítása. Törtrész kiegészítése 1egészre, az 1 egész elõállítása a törtrészismeretében.

Mennyiségek felének, harmadának, ne-gyedének, tizedének felismerése, meg-határozása.

Formák, mennyiségek, számok kis neve-zõjû törtrészének elõállítása, kiszámí-tása, összehasonlítása (a számláló 1-nélnagyobb is lehet).


Szóbeli számolási eljárások a 20 000-esszámkörben, analóg számítások kerek tí-zesekkel, százasokkal, ezresekkel stb. a20 000-es számkörben. Szorzás és osz-tás 10-zel, 100-zal és 1000-rel. Mûveletitulajdonságok és mûveletek közti össze-függések vizsgálata, alkalmazása. Annakmegfigyelése, hogy hogyan változik amûveleti eredmény, ha az egyes össze-tevõket változtatjuk.

Írásbeli összeadás és kivonás, illetveszorzás kétjegyû szorzóval, osztás egyje-gyû osztóval. Az eredmény becslése, el-lenõrzése a becsült értékkel való össze-vetéssel, illetve az inverz mûvelet alkal-mazásával.

II. óraszámváltozat esetén:Ismerkedés a kétjegyû osztóval való írásbeli osz-tással.

A négy alapmûvelet értelmezése tevé-kenység, számegyenesen való lépege-tés, modell, rajz, szöveg, mérés stb.alapján.

Számok összegének, különbségénekbecslése kerekített értékekkel.

Az írásbeli összeadás és kivonás biztoselvégzése a 10 000-es számkörben.

Az összeadás tagjai felcserélhetõségé-nek, az összeadás és kivonás kapcsola-tának ismerete és alkalmazása. Azeredmény ellenõrzése a becsült értékkelvaló összevetéssel, a kivonás ellenõr-zése összeadással is. A mûveletekkelkapcsolatos elnevezések használata.

A szorzás és osztás biztos elvégzéseszóban a szorzótáblák közvetlen alkal-mazásával.

Kerek tízesek szorzása egyjegyû szám-mal szóban a 10 000-es számkörben.

Szorzás, osztás 10-zel, 100-zal, ... . Akétjegyûvel való írásbeli szorzás és azegyjegyû osztóval való írásbeli osztásbiztos elvégzése a 10 000-es számkör-ben. Az eredmény ellenõrzése.




III. óraszámváltozat esetén:Írásbeli osztás kétjegyû osztóval.

A tanult írásbeli mûveletek alkalmazása a 100 000-es számkörben, különös tekintettel a becslésekre.

A minimumszintû követelmények kiter-jesztése a 20 000-es számkörre.A kétjegyû számmal való írásbeli osztás eredmé-nyének becslése, a mûvelet elvégzése, ellenõrzé-se.

Összetett számfeladatok megoldása, mû-veletek sorrendje, zárójelek használata.

A 2-vel, 5-tel, 10-zel, 100-zal, 1000-relosztható számok.

Egyenletek, egyenlõtlenségek megoldásatervszerû próbálgatással, illetve egy lé-pésben következtetéssel.

Egyenlõtlenségek igazsághalmazánakábrázolása számegyenesen.

Legfeljebb 2-3 mûveletet tartalmazó ösz-szetett számfeladatok megoldása, a mû-veletek sorrendjének és a zárójelek hasz-nálatának ismerete és alkalmazása.

Háromnál több mûveletet is tartalmazószámfeladatok megoldása.

A mûveletek közötti kapcsolatok felhasz-nálása ismeretlen összetevõ megkeresé-sére egy, esetleg két lépésben, egyenle-tek, egyenlõtlenségek megoldása próbál-gatással, esetleg következtetéssel.

Összefüggések, kapcsolatok

Nyitott mondatok igazsághalmazánakmegkeresése egyszerû esetben követ-keztetéssel, tervszerû próbálgatással.

Alaphalmaz, részhalmaz és kiegészítõhalmaz kapcsolatának értelmezése.

Egyszerû, illetve összetettebb szövegesfeladatok megoldása, egyszerû matema-tikai szövegek megértése, értelmezéseönálló, néma olvasás alapján. A szak-nyelv helyes használata. A szükséges ésfelesleges adatok szétválasztása.

Szöveges feladatok megoldása az írás-beli mûveletek alkalmazásával is. Követ-keztetés 1-rõl többre, többrõl 1-re, többrõltöbbre. A szöveges feladat megoldásme-netének tudatosítása. Többféle megoldá-si menet keresése.

III. óraszámváltozat esetén:A szöveges feladatok adatait a 100 000-es szám-körbõl is választhatjuk.

A kétjegyû osztóval történõ írásbeli osztás alkalma-zása szöveges feladatok megoldásában.

Következtetés többrõl többre.

Fogalmak, összefüggések felismerésetevékenységrõl, rajzról, modellrõl.

Nyitott mondatok igazsághalmazánakmegkeresése próbálgatással.

Két mûvelettel megoldható egyszerû szö-veges feladat értelmezése, az adatok le-jegyzése, az összefüggések felismerése,a terv elkészítése, az eredmény becs-lése, kiszámítása a szóbeli és írásbelimûveletek alkalmazásával. Az eredményellenõrzése. Szöveges válasz megfogal-mazása.

Összetettebb, esetleg felesleges adatot istartalmazó szöveges feladatok megoldá-sa önálló néma olvasás alapján is. Többmegoldás keresése.

Elemek elhelyezése halmazábrában, táb-lázatban két szempont egyidejû figye-lembevételével.




A megfigyelõképesség, a számolási rutin, a rugalmas, ötletgazdag, problémamegoldógondolkodás sokoldalú fejlesztése. A matematikai modellek alkalmazhatóságának felis-merése. Lényegkiemelõ és általánosító képesség fejlesztése, következmények meglá-tására való képesség fejlesztése. Rövid, tömör kifejezõképesség alakítása. Absztrakciósképesség alapozása.

Jellemzõk



Az itt felsorolt tartalmak, tevékenységek egy részét tanítjuk önálló témakörként. Másikrésze eszközként szolgál a számtan, algebra, illetve geometria, mérés és a valószínûség,statisztika témakörök tanulása során.




Megfigyelések, mérések, szöveggel adottfüggvények számadatainak táblázatbarendezése. Kapcsolatok ábrázolása nyíl-diagrammal, oszlopdiagrammal, grafikon-nal. Grafikonok, diagramok építése olva-sása.

Táblázattal, szöveggel, grafikonnal adottfüggvények szabályának keresése, meg-fogalmazása szóban, egyenlettel stb.Többféle szabály keresése, illetve a sza-bály megfogalmazása többféle alakban.

Hozzárendelések, leképezések. Szám-szám függvények sokféle formában.

Táblázattal, diagrammal, grafikonnaladott összefüggések összetartozó érték-párjainak leolvasása. Táblázat kiegészí-tése adott szabály alapján.

Táblázattal, diagrammal, grafikonnaladott összefüggések értelmezése, a kap-csolatok felismerése. Megfigyeléssel,méréssel nyert adatokból táblázatok,diagramok, grafikonok készítése. Táblá-zattal adott függvény szabályának leírá-sa, esetleg többféle alakban.

Táblázat kiegészítése összetettebbegyenlettel adott, illetve felismert szabályalapján.

Szöveggel adott függvény szabályánakfelírása, táblázat kitöltése.




Sorozatok

Sorozatok folytatása, kiegészítése adottszabály szerint. Néhány elemével adottsorozathoz különféle szabály keresése.

Különbség- és hányadossorozat képzé-se. Számtani sorozatok 10., 20., 100. ele-mének megállapítása.

Adatok sorozatba rendezése, a folytatás-ra vonatkozó sejtések megfogalmazása.

Állandó különbségû sorozat szabályánakfelismerése, a sorozat folytatása adottvagy felismert szabály alapján.

Sorozat elemei közti összefüggés felis-merése, a sorozatképzés szabályánakmegfogalmazása esetleg többféle alak-ban. Néhány elemével megadott sorozat-hoz többféle szabály keresése.

Geometria, mérés


A bõvülõ tartalom feldolgozásával a megfigyelõképesség, a fogalomalkotó és probléma-megoldó képi gondolkodás, a térszemlélet fejlesztése. Azoknak a képességeknek ésszemléletnek az alakítása, amelyek lehetõvé teszik a matematika alkalmazását mástantárgyakban és a mindennapi életben. Konstrukciós képesség alakítása. Helymegha-tározás képességének fejlesztése.

Jellemzõk



A szám- és mûveletfogalom kialakítása és elmélyítése szoros kapcsolatban van améréssel, a különbözõ mértékegységek átváltásával, alkalmazásával. Ezért a tanulásifolyamatban komplex módon összeszövõdhet a két témakör. A mérések lehetõségetbiztosítanak az eredmények statisztikai rendezésére, feldolgozására, diagramokon, gra-fikonokon történõ megjelenítésére is.

A mérésekben, a mérésekhez kapcsolódó átváltásokban, számításokban a szám-körbõvítés ad lehetõséget a továbblépésre.

Az alakzatok vizsgálata során a gyermekek összetettebb gondolkodási mûveletekreképesek, mint az elõzõ években, ezért a felismert tulajdonságok, összefüggések abszt-raktabbak, általánosabbak, mélyebbek lehetnek.

Kapcsolatok

A 4. osztályban különösen fontos, hogy a különbözõ tantárgyak azonos anyagrészeittanmenetben és órarendben is összehangolt módon, mintegy „integrált tantárgy” kereté-ben dolgozzuk fel. Így a különbözõ órákon tanultak erõsítik egymást.


Környezetismeret:

Önálló mérés a gyakori szabvány mértékegységek alkalmazásával. Méréssor megter-vezése, végzése.

Megfigyelések, mérések a testen. A mérések rögzítése tanítói segítséggel.Tájékozódási gyakorlat a lakóhely térképével, egyszerû tájolóval. Egyszerû utazás

megtervezése menetrend segítségével.

Technika:

A legkevesebb hulladékra törekvés a munkafolyamatokban.A forma, a funkció és a méret közti összefüggések megállapítása és felhasználása a

tervezés során.A mérés és a rajzeszközök használatának gyakorlása. Alaprajz és nézet. Nézeti

ábrázolás, méretrajz.Egyszerû makett készítése, és a kész munka összehasonlítása a tervekkel.




Hosszúságok, ûrtartalmak, tömegekbecslése, összehasonlítása, megmérése,kimérése.

Az idõmérésrõl tanultak elmélyítése.

Mértékegységek közötti átváltások a10 000-es számkörön belül maradva.

A mértékegységek és a köztük lévõ kap-csolatok alkalmazása számításos, illetveszöveges feladatokban.

Alaprajzok, nézeti rajzok, térképek értel-mezése, készítése. Tájékozódás alap-rajz, térkép segítségével.

Hosszúságok, ûrtartalmak, tömegek ösz-szehasonlítása, megmérésük, kimérésükalkalmi, illetve a szabványos mértékegy-ségekkel. A mérõeszközök ismerete éshasználatuk. A gyermek mindennapi éle-tével kapcsolatos idõtartamok mérése.

A tanult mértékegységek közti kapcsola-tok ismerete.

Mérésekkel kapcsolatos legegyszerûbbátváltások végrehajtása.

Méréssel kapcsolatos ismeretek alkalma-zása szöveges feladatok értelmezésé-ben, megoldásában.

Alakzatok elõállítása, vizsgálata

Síkidomok, testek vizsgálata, csoportosí-tásuk egyidejûleg 2-3 szempont szerintis. Testek másolása modellrõl. Testeképítése adott feltételek szerint testekbõl,lapokból. Testháló készítése, tervezése,összeállítása: téglalap, kocka.

Különbözõ transzformációk végrehajtásarács, parkettázás, kirakás, tükrözés, vetí-tés, elforgatás stb. segítségével. Térbeliés síkbeli tükörképek elõállítása.

Adott feltételeknek megfelelõ geometriaialakzatok építése síkban, térben.

Párhuzamos és merõleges egyenespárokfelismerése síkban és térben.

Alakzatok tükrösségének felismerése.

A téglalap és a négyzet tulajdonságainakfelsorolása, megmutatása rajzról. Tégla-lap és négyzet közti kapcsolat ismerete.

A téglatest és a kocka felismerése, aköztük lévõ kapcsolat ismerete.




A hasonlósági és az egybevágóságitranszformációk felismerése, megkülön-böztetése egyéb transzformációktól. Na-gyítás, kicsinyítés szemléletes fogalma,alkalmazásuk alaprajzok, nézeti rajzokértelmezésében, készítésében.

Párhuzamos és merõleges egyenesek,síkok. A derékszög fogalma. Szögmérésderékszög felével, negyedével.

A téglalapról, négyzetrõl, téglatestrõl,kockáról korábban tanultak elmélyítése.Téglatestek építése, vizsgálata.

Sokszögek kerületének meghatározása.

A terület fogalmának és a területszámí-tásnak az elõkészítése, sokszögek sok-féle átdarabolása, lefedésük különbözõalakú és méretû lapokkal.

A térfogatmérés fogalmának elõkészíté-se. Téglatest térfogatának meghatározá-sa különbözõ alkalmi egységekkel, kira-kással, építéssel.

Konkrét esetekben a téglalap és a négy-zet kerületének, területének mérése ésszámítása.

Párhuzamos és merõleges egyenespá-rok felismerése a térben is.

Síkbeli tükrözés végrehajtása építéssel,négyzetrácson stb.

Egybevágó síkidomok felismerése és ki-választása konkrét alaphalmaz esetén.

A síkidomokkal, testekkel kapcsolatoselnevezések (oldal, csúcs, szemközti,szomszédos, illetve csúcs, él, lap) helyeshasználata az alakzatok vizsgálata során.

A téglatest és a kocka tulajdonságainakfelsorolása.



A megfigyelõképesség és a matematikai szemléletmód fejlesztése, a mindennapi életés a matematika közötti kapcsolatok felfedeztetése. A problémamegoldó gondolkodásfejlesztése.

Jellemzõk

A számtan, algebra, a geometria, mérés, illetve az összefüggések, függvények, sorozatoktémakörökkel kapcsolatosan foglalkozzunk e témakörhöz tartozó feladatokkal is. A téma-körre fordított összóraszám nem határozható meg.




Valószínûségi kísérletek lehetséges ki-meneteleinek elõzetes megállapítása,sejtés megfogalmazása kísérletsoroza-tokban, a különbözõ események gyakori-ságára vonatkozóan. Az események ki-menetelének megfigyelése, lejegyzése,gyakoriságuk meghatározása, a sejtés ésa kísérlet eredményének összehasonlí-tása. A kísérleti eredmények összevetésea sejtéssel, az eltérés megállapítása ésmagyarázata.

A tanuló mindennapi életével kapcsolatosvéletlen események megfigyelése, le-jegyzése. Tapasztalatok szerzésével to-vábbi fogalomalkotás elõkészítése (a„biztos”, a „lehetséges” és a „lehetetlen”események, törtszámok).

A gyakoriság, valószínû, kevésbé való-színû értelmezése konkrét példákon.

Statisztikai adatok, mérési eredményekmegfigyelése, gyûjtése, táblázatba ren-dezése, megjelenítése oszlopdiagram-mal, grafikonnal.

Táblázatból, grafikonról, diagramról ada-tok leolvasása, értelmezése. Az „átlag”fogalmának bevezetése, használata ada-tok együttesének jellemzésére.

Statisztikai adatok, mérési eredményekleolvasása táblázatból, grafikonról, diag-ramról.

A tanuló mindennapi életével kapcsolatosstatisztikai adatok, mérési eredményekösszegyûjtése, táblázatba rendezése, di-agramok, grafikonok készítése.

Egyszerû valószínûségi kísérletek le-hetséges kimeneteleinek megállapítása,megfigyelése, lejegyzése, gyakoriságukmeghatározása.

Példák megfogalmazása a „biztos”, a „le-hetséges” és a „lehetetlen” fogalmánakhasználatával.



Ez a tanterv a kerettanterv koncepcióját, a tananyaggal és követelményekkel kapcsolatoselõírásait figyelembe véve épül fel, és az „alapszint” számára megfogalmazott követel-mények csak a következõk miatt térhetnek el a kerettantervben elõírtaktól:

1. A kerettantervben elõírt tartalmat és követelményeket ki kell egészítenünk úgy, hogylogikailag és didaktikailag egymásra épülõ, belsõ ellentmondásoktól és „hézagoktól”mentes, alkalmazásra képes rendszer jöjjön létre.

2. Biztosítanunk kell az egyéb tantárgyak (természetismeret, informatika, fizika, kémia,technika, földrajz) számára azt a matematikai eszköztudást, amely lehetõvé teszi, hogya kerettantervben rögzített oktatási feladataikat megoldhassák.

A kerettantervben elõírt tartalom és követelményrendszer nem alapozza meg kellõen aközépiskolai matematikatanulást. Ezért a tanterv a középiskolába készülõk, illetve gim-náziumi tagozatra járók számára további ajánlásokat fogalmaz meg.

A tanterv felépítése nem a feldolgozás menetét tükrözi, hanem a kerettanterv szerke-zetéhez igazodik. A tananyag-feldolgozás csomópontjait, menetét, a tantárgyon belüli éstantárgyak közötti konkrét kapcsolódási lehetõségeket az egyes évfolyamok számárakészült Programok tartalmazzák. A Programokban közölt tanmenetjavaslatok kitérnekarra is, hogy hogyan vehetjük figyelembe az osztály tudásszintjét a tananyag feldolgozásasorán.

5−7. osztályban az öt témakörbõl a számtan, algebra, az összefüggések, függvények,sorozatok és a geometria, mérés önállóan is megjelenik a tanításban, a másik kéttémakör elsõsorban ezek feldolgozásába épül be. 8. osztályban a halmazok, a logika, akombinatorika, a valószínûség és a statisztika korábban tanult tananyagát 2-3 órás önállótömbökben áttekinthetjük, összegezhetjük, általánosíthatjuk úgy, hogy ezek az anyagré-szek alkossák az órák fõ témáját. Ugyanakkor a matematikaoktatás jellegébõl következik,hogy az egyes tantervi témákat egymást erõsítve, egymással összeszõve dolgozzuk fel.A különbözõ témakörökben elsajátított ismereteket, eljárásokat beépítjük a többi témakörfeldolgozásába, illetve eszközként használjuk az egységes matematikai gondolkodásfejlesztésében.

Óraszám

Osztály 5. osztály 6. osztály 7. osztály 8. osztály

Kötelezõ óraszám 4 óra/hét 3 óra/hét 3 óra/hét 3 óra/hét

Bõvített óraszám 5 óra/hét 4 óra/hét 4 óra/hét 4 óra/hét

Emelt szint 6 óra/hét 4,5 óra/hét 4,5 óra/hét 4,5 óra/hét

5. osztályban a kerettanterv alapján a kötelezõ órakeretbõl biztosítható a heti 4 tanóra.Ezen túlmenõen a kiegészítõ keretbõl célszerû osztályonként és hetenként legalább 1-1órát (esetleg képesség szerinti csoportbontásban) biztosítanunk az aktuális feladatokmegoldására, felzárkóztatásra, tehetséggondozásra. Mindenképpen gondoskodnunk kell


az alsó tagozatból örökölt hiányok pótlásáról, illetve a tehetséges tanulók megfelelõfelkészítésérõl.

6., 7. és 8. osztályban a kötelezõ órakeretbõl heti 3 óra jut a matematikatanításra.A tapasztalatok alapján ebben az óraszámban a kerettanterv által elõírt törzsanyagot csakfelületesen lehet feldolgozni, nem jut idõ a tanultak begyakoroltatására, a felzárkóztatásra,a középiskolákba készülõk megfelelõ felkészítésére, s nem elégíthetõk ki a társtantár-gyaknak a matematikaoktatással kapcsolatos igényei sem. A fentiek miatt a szabadontervezhetõ órakeretbõl mindenképpen építsünk be az órarendbe heti 1 órát, illetve akiegészítõ órakeretbõl biztosítsuk a rendszeres differenciált gyakorlást (korrepetálást,illetve tehetséggondozó felkészítést), hogy a nehezebben tanulók is teljesíteni tudják aminimumkövetelményeket, és a jobbak is elérhessék a képességeiknek megfelelõ tudás-szintet. Ha lehetõségünk van rá, akkor ezt a két nagyon különbözõ feladatot tehetségszerinti csoportbontásban valósítsuk meg. (Ha legalább két párhuzamos osztály van, ez acsoportbontás már nem jelent további óraigényt.)

Otthoni munka: 20 perc/nap minden évfolyam számára.

A KÉPESSÉG SZERINTI CSOPORTBONTÁSRÓL

Felméréseink azt mutatják, hogy 7. osztálytól kezdve olyan nagy különbségek vannakegy-egy osztályon belül is a tanulók tudásában és képességeiben, hogy a tehetséges,illetve a lassabban tanuló (és nem érdeklõdõ) gyerekeknek nem lehet eredményesentanítani ugyanazt a tananyagot, ugyanolyan mélységben és ugyanazokkal a módsze-rekkel.

A nehezebben tanulóknak több idõre van szükségük az alapvetõ eszköztudásbegyakorlására, ugyanakkor ha a tehetséges tanulókkal nem lépünk túl ezen, akkorfeladatmegoldó képességük nem fejlõdik, elidegenedhetnek a matematikától, és aközépiskolában (de már a felvételi vizsgán is) nehezebben állhatják meg a helyüket afokozott követelményekkel szembesülve.

A tanulók különbözõ képességeibõl adódó eltérõ oktatási feladatokat egy tanórán belülidifferenciálással már csak nehezen oldhatjuk meg. Ezért azt javasoljuk, hogy 7. osztálytólkezdve legalább az anyanyelv, az idegen nyelv és a matematika esetén alakítsunk kiviszonylag homogén képességû és ambíciójú tanulócsoportokat. Erre a közoktatásrólszóló törvény kiegészítõ órakeretet biztosít. Ha az iskolában évfolyamonként legalább kétpárhuzamos osztály van, akkor ennek a csoportbontásnak nincs sem anyagi, semszervezési akadálya.

Nagyobb iskolában az iskolafenntartóval egyetértésben 7. osztálytól kezdve indíthatunk„gimnáziumra felkészítõ” (a továbbiakban „bõvített szintû”), „általános” és „felzárkóztató”tanulócsoportokat is.

A matematikai tudás és képesség szerinti csoportbontást azokban az iskolákban nehézmegvalósítani, amelyekben egy-egy évfolyamon csak egy kis létszámú osztály van. Ittlegalább az órák egy részében, minimum heti egy órában bontsuk az osztályt. Ennek abontásnak az óraigénye „elszámolható” a korrepetálásra vagy a diákkörre biztosítottórakeretbõl. Ilyen szervezésben a törzsanyagot a teljes osztállyal tartott órákon lehet


feldolgozni, míg a fennmaradó órákon az alapszinten tanulókkal a minimumkövetelmény-hez kapcsolódó anyagot gyakoroltatjuk, a hiányosságokat pótoljuk, a „bõvített szinten”viszont kiegészítjük, elmélyítjük a tanultakat.

Mi lehet a különbség az alapszint és a „bõvített szint” tananyaga és követelményrend-szere között?

„Bõvített szinten” a tananyag tartalmában nem sokkal lépjük túl az alapszintet. Elsõsor-ban a szemlélet- és képességfejlesztés terén kell többet nyújtanunk.

Alapszinten sokszor megelégszünk azzal, hogy a tanuló − a szemléletre támasz-kodva − minél teljesebben sorolja fel a fogalom tartalmi jegyeit, minél több összefüggést„fedez fel”.

„Bõvített szinten” mélyebben tárgyaljuk a tananyagot, ugyanazt több oldalról járjukkörül, több szempontból vizsgáljuk meg. A tanulóknak fokozatosan el kell jutniuk oda,hogy megértsék, mi a definíció és mi a tétel. Képessé kell válniuk arra, hogy ki tudjákválasztani a fogalom definiáló tulajdonságait, majd ennek alapján meg tudják fogalmazni adefiníciót. Tudják megkülönböztetni a szükséges és elégséges feltételeket. Ismerjék fel akülönbséget a sejtés és a bizonyítás között. Jussanak el a tételek bizonyításához.

Alapszinten elegendõ lehet a begyakorolt ismeretek közvetlen alkalmazása típus-feladatokban. „Bõvített szinten” a tanulóknak az újszerû, összetettebb feladatokban ismeg kell találniuk a megoldás kulcsát. „Bõvített szinten” olyan feladatokkal is foglal-kozhatunk, amelyekre alapszinten már nem feltétlenül kerülhet sor (például algebrai törtekértelmezési tartományának vizsgálata, geometriai bizonyítások).

Az emelt szintû oktatás számára a jogszabály szerint 5. osztályban heti 6 órát, 6−8.osztályban legalább heti 4,5 órát kell biztosítani legalább két éven át.

A taneszközök bõvített változatai elegendõ tananyagot és feladatot tartalmaznak azemelt szintû képzéshez. Az osztály színvonalát, a gyermekek érdeklõdését és képes-ségeit figyelembe véve dönthetünk arról, hogy mely területeken és mennyiben léphetjüktúl a kerettanterv elõírásait.

Az 5−8. osztályos tankönyveket úgy szerkesztettük meg, és a Programot úgy állítottukössze, hogy egy osztályon belül is, egymással összhangban és egymással párhuza-mosan megszervezhetõ legyen az alapszintû, a „bõvített szintû” és akár az emelt szintûképzés is.

Pedagógiailag nehéz feladat a különbözõ szinten tanulók mindenki által elfogadhatóértékelése. Ezért ha az iskola a matematikaoktatást képesség szerinti csoportosításbanoldja meg, akkor a helyi tantervben nagyon gondosan kell kidolgozni a követelmény-rendszerét.

Vizsgálataink azt mutatják, hogy ha pedagógiailag kellõen elõkészítjük és elfogadtatjuka csoportbontást, mindkét irányban biztosítjuk az átjárhatóságot, akkor a tanulók többsé-ge jól érzi magát az ilyen homogén csoportban, és minden szinten lényegesen eredmé-nyesebbé válik a munka.


A TÉMAKÖRÖKRÕL ÁLTALÁBAN

Gondolkodási módszerek

Az alsó tagozatos elvárások a felsõ tagozatban is érvényesek. A témakör szemléletfor-máló szerepe és eszközjellege miatt azok a tevékenységek, feladatféleségek, amelyekkela tanulók alsó tagozatban találkoztak, a felsõ tagozatos tanterv tananyagában éskövetelményeiben is megfogalmazódnak, esetleg egy-egy feltétellel bõvítve. (Ezeket abõvítéseket az adott osztály követelményeivel kapcsolatosan részletezzük.) Az alsóés felsõ tagozatos követelmények közti különbség nem a halmazelméleti és logikaiismeretek kibõvítésével fogalmazható meg elsõsorban, hanem azzal, hogy ezeknek a(korábban tanult) ismereteknek a biztosabb tudását, elvontabb, tudatosabb, összetettebbfeladatokban történõ alkalmazását várjuk el. Amit korábban csak a jobbaktól vártunk el,az most már minimumkövetelmény, vagy amit két halmaz esetében vizsgáltunk, azta vizsgálatot most több halmaz egyidejû figyelembevételével végezzük el. Bõvül azalkalmazás területe is.

A gondolkodási módszerek témakör 5−7. osztályban csak helyenként jelenik megönálló fejezetként, de eszközként, szemléletként behálózza a teljes matematikatanítást.Ide tartozik bármely témakörben:

− pozitív motiváció kialakítása;− összefüggések megfigyelése, felismerése;− konkrét dolgok adott szempont szerinti osztályozása, rendszerezése, rendezése;− logikai kapcsolatok értelmezése és áttekintése, felhasználása a fogalomalkotásban,

a nyelv logikai elemeinek helyes használata;− egyszerû állítások, következtetések megfogalmazása;− a tanultakhoz kapcsolódó egyszerû állítások igazságának eldöntése, késõbb a fel-

ismert összefüggések igazolása;− matematikai szövegek értelmezése;− kombinatorikus gondolatmenetek alkalmazása lehetõségek felkutatásában, rendsze-

rezésében.

A helyi tanterv szerkesztésekor dönthetünk úgy is, hogy jobb csoportban (fõképpen agimnáziumi tagozatban) vagy középiskolába készülõ tanulók esetén tudatosítjuk a hal-mazokról és a kombinatorikából tanultakat. Erre legkésõbb 8. osztályban kerítsünk sort.

Az 1970-es években végzett felmérésekhez képest lényegesen romlott a tanulókszövegértelmezõ képessége. Ezért minden osztályban, minden témakörben sok szö-veges feladatot oldassunk meg. Az erre alkalmas feladatok megoldása során várjuk el atanulóktól:

− a feladat pontos értelmezését, az adatok lejegyzését;− az összefüggések megfogalmazását a matematika nyelvén;− a megoldási terv elkészítését, lejegyzését;− az eredmény megfelelõ pontosságú becslését;− a feladat megoldását, a kivitelezés pontosságát;− az eredmény ellenõrzését, értékelését;− a diszkussziót.


Súlyos hiányosságokat tapasztalhatunk a tanulók beszédkészsége, a matematikaigondolatok elmondása és leírása területén. Ezért minél több alkalmat biztosítsunk atanulóknak a szóbeli szereplésre (definíciók, összefüggések, ötletek, megoldási tervek,bizonyítások önálló megfogalmazására, lejegyzésére). A nyelvhelyességi hibákat követ-kezetesen javíttassuk, javítsuk.

A számtan, algebra és a geometria, mérés témakörök is igen sok lehetõséget nyújta-nak a kombinatorikus szemlélet fejlesztésére és a megfogalmazott követelményekelérésére. Az erre alkalmas feladatok megoldásakor sor kerül az összes eset megke-resésére valamilyen rend szerint. A rendezési séma lehet például fadiagram vagytáblázat. A 8. osztályos tankönyv 6. fejezete és a Matematika 7−8. Feladatgyûjtemény5.1. fejezete lehetõséget biztosít arra, hogy a kombinatorikai feladatok megoldása során akorábbi években összegyûjtött tapasztalatokat tudatos szintre emeljük, s esetleg azáltalános összefüggéseket is felismertessük.

Számtan, algebra

A számtan, algebra a matematika-tananyag gerincét alkotja, általában az összóraszám35−55%-át fordítjuk ennek a témakörnek a tanítására. Feltétlenül látnunk kell, hogy mitvárhatunk tanítványainktól ezen a területen, milyen ütemben és milyen mélységbendolgozhatjuk fel az új anyagot.

Javasoljuk, hogy a helyi tanterv is biztosítson kellõ átfedést az egyes évfolyamokkövetelményei között. Ezt az átfedést a tanulók egyenlõtlen fejlõdésével, a felejtéssel,esetleg a tagozatváltással kapcsolatos problémákkal egyaránt indokolhatjuk. Nagyonfontos, hogy az ebbe a témakörbe tartozó eszköztudást a tanulók alaposan elsajátítsák,begyakorolják.

A szóbeli és írásbeli számolási rutin fejlesztése továbbra is fontos feladat. Bár aszámológépek fokozatos alkalmazása felment a sokjegyû számokkal végzett mûveletekgyakorlása alól, a matematika és a számítástechnika továbbra is igényli a pontosságra,kitartásra, figyelemösszpontosításra szoktatást. Biztos aritmetikai tudás nélkül bizonytalanlesz az arra épülõ algebrai, függvénytani, geometriai ismeretrendszer is. Ezért fontos afolyamatos ismétlés megtervezése (házi feladatok megválasztása, ellenõrzése; néhányperces, óra eleji „bemelegítõ”, játékos feladatok a szóbeli számolás gyakorlására; azírásbeli mûveletek eredményének becslése; a korábban tanultak rendszeres alkalmazása,összeszövése az új anyagrészekkel; stb.).

Ha a tanuló megtanulta és begyakorolta a szóbeli és írásbeli számolási eljárásokat,akkor fokozatosan vezessük be és tanítsuk meg a számológép alkalmazását is. (Vegyükfigyelembe az Informatika mûveltségi terület tantervi ajánlásait.) 6. osztályban csak olyanegyszerû gépek használatát célszerû engedélyezni, amelyek „nem ismerik” a mûvelet-végzés helyes sorrendjét. Így összetett számfeladatokban a tanulóknak kell megtervez-niük a számolás menetét. 8. osztálytól kezdve viszont már olyan gépekre van szükség,amelyekkel négyzetgyököt is lehet vonni (késõbb meg lehet adni a trigonometrikusfüggvények értékeit).

A szöveges feladatok megoldása, s ezáltal a szövegértelmezõ képesség folyamatosfejlesztése minden évfolyamon kiemelt tantervi feladat.



Az összóraszám 10−15%-át fordítjuk ennek a témakörnek önálló óra keretében történõtanítására.

A függvényszemlélet fejlesztése, a kapcsolatok és a változások megfigyelése, szabá-lyok megfogalmazása, leírása nemcsak ebben a témakörben történik, hanem behálózzaa többit is, összeszövi az egyes matematikai témákat. Ebbõl az is következik, hogy 5−8.osztályban a függvényekkel kapcsolatos biztos eszköztudás igen fontos követelmény,fontosabb, mint az egzakt fogalmak kialakítása és a definíciók megtanítása.

Fordítsunk gondot a grafikonok, táblázatok készítésére, olvasására, elemzésére. Az ittszerzett ismereteket nemcsak a mindennapi életben és a társtantárgyak tanulása soránhasznosíthatja a tanuló (bár ez önmagában is fontossá teszi ezt a témakört), hanem azabsztrakt fogalmak kialakulásához is biztos szemléleti alapot szolgáltathat, továbbászemléletes szinten elõkészítheti az elemi függvényvizsgálat tanítását.

A tapasztalat alapján nagyobb gondot kell fordítanunk a szöveggel megadott függvé-nyekre, az adatok lejegyzésére, a változók kifejezésére, ezzel segítve a gyakorlati élettelvaló kapcsolatot, a szöveges feladatok egyenlettel történõ megoldását is.

A sorozatok tanításával kapcsolatosan az osztály képességét és érdeklõdését figye-lembe véve a legkülönbözõbb színvonalon alakíthatjuk ki saját programunkat.

Geometria, mérés

Az egész évi összóraszám mintegy 30−35%-ában foglalkozunk ezzel a témakörrel.7. osztályban ez a hányad nagyobb. Ezen túlmenõen, az aktuális tananyaghoz kapcso-lódva a többi fejezetben is megfogalmazunk geometriai problémákat, mint ahogy ageometria tanulása során gyakoroljuk, elmélyítjük, kibõvítjük, esetleg elõkészítjük a mástémakörökhöz tartozó ismereteket. Fontos, hogy a racionális számokról, a velük végzettmûveletekrõl és az algebrai kifejezésekrõl tanultakat biztosan alkalmazzák a tanulók ageometriai számításokban, a kerület-, terület-, felszín- és térfogatképletek értelmezé-sében, használatában.

Az alsó tagozat szemléletes szinten megalapoz szinte minden olyan fogalmat, amelyrea felsõ tagozatban építünk. Ugyanakkor tisztában kell lennünk azzal, hogy az alsótagozatos geometriai foglalkozások elsõdleges célja a képi gondolkodás, problémaérzé-kenység alakítása, a geometriai szemléletmód fejlesztése. Az életkori sajátosságokbóladódóan sem várhatjuk el, hogy a felsõ tagozatba lépõ tanulók tudatos és alkalmazás-képes ismeretrendszerrel rendelkezzenek. A geometria tanításának megtervezésekor aztis figyelembe kell vennünk, hogy ezen a téren a legpolarizáltabb a tanulók tudása.A képességek egyenlõtlen fejlõdése miatt is lényeges eltérések lehetnek a tanulók között.Ezért a legtöbb osztályban a témakört feldolgozó órák mintegy felében javasoljuk atanulók optimális fejlõdését biztosító differenciálást.

A felsõ tagozatban is fontos szerepe van a modellezésnek, kísérletezgetésnek, konkrétalakzatok megfigyelésének, mérések tényleges elvégzésének. A fogalomrendszer deduk-


tív felépítése nem felel meg ennek a korosztálynak. Ennek ellenére ebben a témakörbenmár célszerû egyes összefüggéseket nemcsak felismertetni, hanem a gyermek szintjénmegfogalmaztatni és 6. osztálytól kezdve bizonyíttatni is. Jobb képességû tanulóinkban8. osztály végére fokozatosan kialakíthatjuk a deduktív fogalomalkotásnak és az össze-függések bizonyításának igényét.

A felmérések szerint az elvárt szint alatt marad a terület-, felszín-, térfogatszámítássalkapcsolatos ismeretek elsajátítása, alkalmazása és a térszemlélet fejlettsége. Ezért (és agyakorlati alkalmazásra nevelés miatt is) fontosnak tartjuk, hogy behatóan, a számtan,algebra, illetve a többi geometriai témakörrel is koncentrálva foglalkozzunk ezekkel azanyagrészekkel.

A korábban megszokottnál kapjon nagyobb hangsúlyt a mindennapok geometriája:a terepen végzett mérés, a gyakorlati jellegû szöveges feladatok megoldása, nézetirajzok, alaprajzok értelmezése stb.


A tankönyvekben a valószínûség témakörbõl csak néhány önálló fejezet van, a Mate-matika 7−8. Feladatgyûjteményben viszont önálló részt képez Valószínûségi kísérletekés számítások, illetve Mi a valószínûbb? címmel.

A statisztikai vizsgálatok (táblázatok, grafikonok, diagramok elemzése, készítése) elsõ-sorban a számtan, illetve függvények témakörhöz kapcsolódnak.

Célszerû a tankönyvekben található feladatokat tényleges valószínûségi kísérletekkel,aktuális statisztikai adatok gyûjtésével, vizsgálatokkal kiegészítenünk.


KAPCSOLATOK

A matematikatanulás során elsajátított ismeretek, pozitív attitûdök, kialakult tanulásiszokások, gondolkodási, esetenként manuális képességek elõfeltételei más tantárgyaksikeres tanulásának is. Másrészt ha a társtantárgyak és a matematika helyi tantervét éstanmenetét egymással összehangoltan szerkesztjük meg, akkor a matematikai ismeret-rendszer is átfogóbbá és alkalmazásra képesebbé válik.

5–6. évfolyamon a matematika, a természetismeret (alsó tagozatban a környezet-ismeret) és részben a technika kerettanterve a mérések témakörben, valamint a nézetirajzok, alaprajzok értelmezésével, készítésével, továbbá a hõmérsékletméréssel kapcso-latosan lényegében ugyanazokat a követelményeket fogalmazza meg. Szoros kapcso-latba hozható még a matematikában (és a történelemben) tanultakkal a tájékozódástérben és idõben, idõmérés, napi idõszámítás, irány és távolság meghatározása térképen,a keresõhálózat és a kilométer-hálózat használata. Ezen túlmenõen a gyûjtött vagy akísérletekben megfigyelt, illetve egyszerû mérésekkel nyert adatok rögzítése, rendszere-zése, értelmezése, ábrázolása grafikon segítségével, következtetések megfogalmazásaszintén matematikai alapozást feltételez, illetve elmélyítheti a matematikaórán tanultakat.

6–8. évfolyamon informatikában követelmény a gyûjtött adatok célszerû elrende-zése, csoportosítása, ismeretek különféle jelekkel leírása, algoritmusok szöveges, rajzosmegfogalmazása, értelmezése. 8. osztály végére egyszerû matematikai és logikai fel-adatok megoldása, különbözõ számtípusú adatok használata, algoritmusok készítése,kódolása, különbözõ tantárgyakhoz kapcsolódóan adatok táblázatba rendezése, az ösz-szefüggések kiolvasása, következtetések megfogalmazása, diagramok készítése táblázatalapján.

7–8. évfolyamon a fizika és a kémia tananyagának feldolgozásakor, a mérési ered-mények rögzítése, értelmezése során a tanulóknak alkalmazniuk kell a szabvány mérték-egységeket, végre kell hajtaniuk a szükséges számításokat (például kémiában százalék-számítást), értelmezniük és alkalmazniuk kell a tanult képleteket, fel kell ismerniük, ha amennyiségek között egyenes, illetve fordított arányosság van. Fizikában követelmény azegyszerû mérések adatainak felvétele, táblázatba foglalása és grafikus ábrázolása, azábrázolt függvénykapcsolat kvalitatív értelmezése. A korábban tanult mértékegységekbiztonságos alkalmazása elõfeltétele annak, hogy az új fogalmak (sûrûség, sebesség,gyorsulás, erõ, nyomás, munka stb.) mértékegységeit értelmezni és alkalmazni tudják atanulók. Az elmozdulás, az erõ vektormennyiség, ezért a vektor fogalmára már 7. osz-tályban szükség van.

5–8. évfolyamon a rajz és vizuális kultúra tantárgyban a tanulók modelleznek,maketteket, téri helyzeteket ábrázoló látszati rajzokat, formaelemzõ szerkezeti rajzokat,metszeteket készítenek. Eljutnak a Monge három képsíkos vetületi, illetve az axonomet-rikus ábrázolásig. Gyakorolják a szerkesztõeszközök, esetleg a számítógépes rajzoló-programok alkalmazását.


AZ EGYES ÉVFOLYAMOK TANTERVE

5. osztály

Javasolt óraszám

4 tanítási óra hetente (a szükségletnek, illetve igényeknek megfelelõen korrepetálás,illetve szakkör). Amennyiben alsó tagozaton redukált óraszámban tanulták a tanulók amatematikát, és 4. osztályban nem biztosította a helyi tanterv legalább a heti 4 tanórát,akkor 5. osztályban nem elegendõ a heti 4 matematikaóra a kerettantervi minimumelsajátításához és begyakorlásához. Ebben az esetben javasoljuk, hogy legalább azelsõ félévben a szabadon tervezhetõ órakeret egy óráját felhasználva heti 5 órábantanítsák a matematikát.

Otthoni munkára javasolt idõ: 20 perc/nap.

Taneszközök

Hajdu Sándor: Matematika 4., tankönyv II. kötet (amennyiben az alsó tagozatban szerzettismeretek nincsenek összhangban a felsõ tagozat elvárásaival)Hajdu Sándor: Matematika 5. A, alapszintû tankönyvHajdu Sándor: Matematika 5. B, tankönyv, bõvített változatHajdu Sándor: Matematika 5. feladatainak megoldásaHajdu Sándor: Matematika 5. GyakorlóHajdu Sándor: Matematika 5−6. Feladatgyûjtemény, tehetséggondozó tanulói segédletCzeglédy István−Hadházy Jenõ: Matematika 3−5. Eszköztár, tanulói segédletHajdu Sándor: Témazáró felmérõ feladatsorok. Matematika 5. osztály. Tanulói példányAndrásfai Béla: Versenymatek gyerekeknek, tehetséggondozó tanulói segédletHajdu Sándor: Matematika 5. Program, tanári segédletHajdu Sándor: Témazáró felmérõ feladatsorok. Matematika 5. osztály. Tanári példány

Az 5. osztályos taneszközök jellemzõi

Az alapszint tananyaga lényegében nem haladja meg a kerettantervi elõírásokat. Abõvített változat elsõdleges célja, hogy lehetõséget biztosítson a tanultak elmélyítésére,kiegészítésére, az átlagos vagy annál jobb képességû tanulók optimális fejlesztésére.Ezzel megoldható a jogszabályban biztosított lehetõségek kiaknázása (+20% tananyag,5−6. osztályos anyagrészek cseréje).

A taneszközök „széles sávban” dolgozzák fel a tananyagot, egyaránt lehetõségetbiztosítanak a lemaradó gyermekek felzárkóztatására (a Gyakorló többek között ezt a céltszolgálja), illetve az átlagosnál tehetségesebb, esetleg gimnáziumi tagozatra járó gyer-mekek fejlesztésére (Feladatgyûjtemény).

A bõséges feladatanyag lehetõvé teszi azt is, hogy a taneszközrendszer rugalmasanilleszkedjék nagyon sokféle helyi koncepcióhoz. Ugyanakkor ez azt is jelenti, hogy azátlagosnál gyengébb osztályokban nem lehet a taneszközök által kínált teljes választékotfeldolgozni. A Program tartalmaz ajánlásokat a különbözõ szintû és mélységû tananyag-feldolgozások megtervezéséhez, a feladatok kiválasztásához.




A megfigyelõképesség, a problémaérzékenység, a rugalmas, ugyanakkor fegyelmezettgondolkodás fejlesztése. Törekvés a problémák önálló megoldására, az összefüggésekfelismerése, a fogalmak megértése, elsajátítása, alkalmazása.

A matematikai tartalom képi, szóbeli, írásbeli kifejezõképességének fejlesztése, a nyelvlogikai elemeinek helyes használata, a szövegben rejlõ összefüggések felismerése,lejegyzése. A logikus gondolkodás alakítása. Törekvés felismert összefüggések, egysze-rû gondolatmenetek önálló megfogalmazására, mások (a társak, a tanár, a tankönyv)véleményének, gondolatmenetének megértésére.

Jellemzõk

A korábbi évekhez viszonyítva nagyobb szerepet kap a halmazok, logika, kombinatorikaeszközszerû alkalmazása más témakörökhöz kapcsolódó fogalomrendszerek alakításá-ban, a tanultak tudatosításában, a gondolkodási képességek fejlesztésében. A tanításiórán nem jelenik meg külön témakörként, ezért önálló óraszámot nem állapíthatunk meg.

A nemzetközi felmérések szerint a magyar tanulók szövegértelmezõ képességenagyon siralmas képest mutat. Az elfogadható szövegértelmezõ képesség kialakításához3−6. osztályban a matematikára fordított tanulási idõ mintegy 30%-ában szövegesfeladatokkal kell foglalkoznunk. Ehhez a taneszközöknek a matematika különbözõterületérõl évfolyamonként mintegy 400-500 (változatos típusú és nehézségû) szövegesfeladatot kell biztosítaniuk. Amennyiben az alsó tagozatban használt tankönyvek nemtartalmaznak elegendõ számban, megfelelõ változatosságban és szinten szövegesfeladatokat, akkor készüljünk fel arra, hogy 5. osztályban kell pótolnunk a hiányosságokat.Vizsgáljuk meg a következõket:

1. Önálló, néma olvasás alapján mennyire képes értelmezni a tanuló a szöveget. Képes-emegkülönböztetni a szükséges, illetve a felesleges adatokat?

2. Képes-e megfogalmazni és leírni a megoldási tervet?3. Képes-e önállóan megbecsülni, kiszámítani és ellenõrizni az eredményt a szöveg

alapján?4. Meg tudja-e fogalmazni a választ az eredmény ismeretében?

Az alsó tagozatos hiányosságok pótlásához segítséget nyújthat a tankönyvcsalád4. osztályos tankönyvének II. kötete.




A számtan, algebra és geometria, méréstémakör tananyagához kapcsolódva:

adott halmazokról igaz, hamis állításokmegfogalmazása és vizsgálata, állításokigazságának eldöntése;

alaphalmaz, nyitott mondat, igazsághal-maz fogalma, adott nyitott mondat igaz-sághalmazának meghatározása, megje-lenítése például számegyenesen, hal-mazábrán;

halmazok megadása tulajdonsággal;

ismert halmazok elemeinek összehason-lítása, rendezése, rendszerezése külön-bözõ szempontok szerint;

ismert halmazok egymáshoz való viszo-nyának vizsgálata, részhalmazok kép-zése, a kiegészítõ halmazuk elõállítása,két, három (véges és jól ismert végtelen)halmaz metszetének és egyesítésénekképzése, megjelenítése halmazábrán,táblázatban, számegyenesen stb.;

a logikai „és”, „vagy”, a „minden”, „vanolyan” kifejezések és tagadásuk hasz-nálata konkrét véges halmazokon és jólismert végtelen halmazokon.

Ismert elemeket tartalmazó halmaz ele-meinek csoportosítása, rendezése, rend-szerezése adott szempont szerint.

Egyszerû szövegek értelmezése, lefordí-tása a matematika nyelvére. A „nem”, alogikai „és”, valamint a „minden”, „vanolyan” kifejezések alkalmazása.

Ismert alaphalmaz elemeirõl annak el-döntése, hogy igazzá tesznek-e egy nyi-tott mondatot vagy sem.

Ismert elemeket tartalmazó két halmazmetszetének és egyesítésének képzése,a metszet, illetve az unió elemeinek fel-sorolása.

Az „alaphalmaz”, „nyitott mondat”, „igaz-sághalmaz” kifejezések ismerete.

Matematikai szövegek értelmezése. Egy-szerû és összetettebb szöveges felada-tok megoldása a matematika mindentémaköréhez kapcsolódóan. Szövegal-kotás. Ismerkedés a szaknyelv helyeshasználatával a felismert, illetve elsa-játított fogalmak, összefüggések szóbelimegfogalmazásában.

Kombinatorikus feladatok, egy feltételrendszeres változtatása, a lehetõségekmegtalálása, táblázatba foglalása.

Ismerkedés egyszerû folyamatábrákkal.

Matematikatörténeti érdekességek.

Informatikai eszközök (például lexikon)igénybevétele.

Matematikai szövegek elemzése, értel-mezése. Összetettebb szöveges felada-tok megoldása. Szövegalkotás. Törekvésa szaknyelv helyes használatára, a felis-mert, illetve elsajátított fogalmak, tulaj-donságok, összefüggések szóbeli meg-fogalmazására konkrét esetben, a szem-léletre támaszkodva.

Egyszerû kombinatorikus feladatokbanaz elemek kiválogatása, rendezése azadott feltételnek megfelelõen az adatoktervszerû változtatásával (4-5 elemig), alehetõségek megtalálása.


Számtan, algebra


A matematikai fogalomalkotás képességeinek, az önállósodó, rugalmas, a probléma-meglátó és problémamegoldó gondolkodás fejlesztése.

A szám- és mûveletfogalom elmélyítése, bõvítése, magasabb absztrakciós szintrefejlesztése. A számolási rutin biztonságosabbá tétele. A logikus, fegyelmezett, algorit-mikus gondolkodás, az önellenõrzés igényének és képességének alakítása, következe-tesség.

A szöveges feladatok megoldása során a szövegértelmezõ képesség fejlesztése,a valóság és a matematika elemi kapcsolatainak felismertetése.

Jellemzõk


Otthoni munkára, illetve korrepetálásra javasolt idõ: 30−40 óra.

A helyi tanterv alsó tagozatos tananyagát és követelményrendszerének színvonalátfigyelembe véve biztosítunk kellõ idõt a tanultak felelevenítésére, tudatosítására, begya-koroltatására, az esetleges hiányosságok pótlására, majd a korábban tanultak óvatosbõvítésére. Erre a megalapozásra építhetjük fel a felsõ tagozatos számtan, algebratémakör tananyagát.



Természetes számok

A számkör bõvítése 1 millióig. Számos-ság és mérõszám becslése, meghatáro-zása, ha ismerjük a mennyiséget és amértékegységet.

A tízes számrendszer, az alakiérték, he-lyiérték, tényleges érték kapcsolata. Szá-mok írása − helyesírása is −, olvasásaaz 1 milliós számkörben. Számok helye aszámegyenesen, nagyság szerinti össze-hasonlításuk, rendezésük. Számok helyi-érték szerint bontott összegalakja. Szá-mok egyes, tízes, százas stb. szomszé-dai. Kerekítés, a kerekített érték kifeje-zése kettõs egyenlõtlenséggel.

Osztók, többszörösök. Oszthatóság.Oszthatósági feltételek keresése.

Közös osztók, közös többszörösök kere-sése próbálgatással.

Ismerkedés a nem tízes számrendsze-rekkel, 2-es alapú számrendszer.

Számok elõállítása helyiérték szerint bon-tott összegalakban, illetve a bontott alak-ból a szám felírása.

1 milliós számkörben számok írása, ol-vasása; nagyság szerinti összehasonlí-tásuk, rendezésük; adott nagyságrendrekerekítésük. Tájékozódás az egyesével,tízesével, százasával stb. beosztottszámegyenesen.

Az „alakiérték”, „helyiérték”, „ténylegesérték” fogalmak értelmezése, helyeshasználatuk. Tájékozódás esetleg nemegyesével, tízesével, százasával stb. be-osztott számegyenesen is, ha tetszõle-gesen adott két szám helye.




Mûveletek az 1 milliós számkörben

Szorzás, osztás 10-zel, 100-zal, 1000-rel.

Összeadás, kivonás, szorzás, osztás ke-rekített értékekkel. Ennek felhasználásaaz eredmény becslésében, a szövegesfeladatok várható eredményének közelítõmegadásával, az ellenõrzésben.

A mûveletek elvégzése. Írásbeli osztástöbbjegyû osztóval. A mûveletekben sze-replõ komponensek megnevezése.

A mûveletek inverze, az ismeretlen kom-ponens kiszámítása. A komponensekváltoztatásainak hatása az eredményváltozására. A 0 és az 1 szerepe a mûve-letekben. Mûveleti tulajdonságok, vizsgá-lata konkrét számfeladatokhoz kapcso-lódva. Zárójelek használata. Zárójeles ki-fejezés felírása zárójel nélkül. Összeg,különbség, szorzat, hányados szorzása,osztása. Mûveletek helyes sorrendje.

Szorzás, osztás 10-zel, 100-zal, 1000-rel.

Számolás kerekített értékekkel, az írás-beli mûveletek eredményének becslése.

A mûveletek írásbeli eljárásainak alkal-mazása. A kivonás és az osztás eredmé-nyének ellenõrzése az inverz mûveletekalkalmazásával is.

A mûveletek helyes sorrendben való vég-rehajtása, zárójelek figyelembevétele, aszámítás menetének megtervezése.

A mûveletek írásbeli eljárásainak tudatosés biztos alkalmazása. A mûveletekbenszereplõ komponensek megnevezése. Amûveletek legfontosabb tulajdonságainakismerete és alkalmazása az egyszerûbbmegoldási mód keresésében. A mûvele-tek és inverzeik kapcsolatának ismereteés alkalmazása a számítások ellenõrzé-sében és egyenletek, egyenlõtlenségekmegoldásában.

Egész számok

Ellentétes mennyiségek, a negatív egészszámok értelmezése a szemléletre tá-maszkodva. Egész számok megjelení-tése különbözõ modellekkel. Az egészszámok helye a számegyenesen, ren-dezésük. Számok ellentettje, abszolútér-téke.

Az egész számok összeadásának, kivo-násának értelmezése, elvégzése közvet-lenül a szemléletre támaszkodva, kis ab-szolútértékû számok esetén, az általánosszabályok megfogalmazásának igényenélkül.

Az egész számok fogalomrendszerévelkapcsolatos legfontosabb elnevezésekmegértése. Számok ellentettjének és ab-szolútértékének megállapítása. Az egészszámok ábrázolása számegyenesen,nagyságviszonyaik megállapítása esetlega szemléletre támaszkodva.

Kis abszolútértékû egész számok össze-adása a szemléletre támaszkodva.

Ellentétes mennyiségek értelmezése. Aszámkörbõvítéssel kapcsolatos elneve-zések tudatos használata. Egész számoknagyság szerinti rendezése. Egész szá-mok összeadása, kivonása a szemléletretámaszkodva, az általános szabályokmegfogalmazásának igénye nélkül.




Törtek

A tört kétféle értelmezése: mint az egésztörtrésze, mint két egész szám hánya-dosa. Elnevezések a törtalakkal kapcso-latban. A törtek megjelenítése eszközzel,rajzzal, helyük a számegyenesen, egészszomszédaik. A törtek mint mennyiségekmérõszámai. Törtalak mint számlálóvalés nevezõvel leírt kifejezés, amely egészszám is lehet. A törtek különbözõ alakjai,például összegalakjuk.

A törtszámok mint nem egész számok.Negatív törtek mint a pozitív törtek ellentettjei,összeadásuk, kivonásuk (ismerkedés).

A törtek bõvítése, egyszerûsítése ta-pasztalati alapon. Közös nevezõre hozá-suk a szemléletre támaszkodva a leg-egyszerûbb esetekben. Nagyság szerintiösszehasonlításuk, rendezésük.

Egyenlõ nevezõjû törtek összeadása, ki-vonása. Különbözõ nevezõjû törtek ösz-szeadása, kivonása, ha a nevezõk szem-lélet alapján könnyen közös nevezõrehozhatók. Törtek szorzása, osztása ter-mészetes számmal.

A törttel kapcsolatos elnevezések isme-rete. Konkrét törtek értelmezése a szem-léletre támaszkodva. Törtek egyszerûsí-tése, bõvítése; nagyság szerinti össze-hasonlításuk esetleg eszköz vagy rajzsegítségével. Egyenlõ nevezõjû törtekösszeadása, kivonása.

A törttel kapcsolatos elnevezések helyeshasználata. A tört kétféle értelmezésénekalkalmazása a törtek elõállításában,számegyenesen való ábrázolásában stb.Egyszerûbb esetekben a törtek egysze-rûsítése, bõvítése, nagyság szerinti ren-dezése. Különbözõ nevezõjû törtek ösz-szeadása, kivonása (ha a nevezõ egyje-gyû vagy szemlélet alapján könnyen kö-zös nevezõre hozható). Törtek szorzásatermészetes számmal.

Szemlélethez jól kapcsolódó feladatok-ban egész részbõl a törtrész, törtrészbõlaz egész rész meghatározása, kiszámí-tása.

Számok tizedestört alakja

A tízes számrendszer helyiérték-tábláza-tának kibõvítése az egészeknél kisebbhelyiértékekre is.

A tizedestörtek értelmezése, írása, olva-sása. Tört átalakítása tizedestörtté: ter-mészetes szám osztása természetesszámmal úgy, hogy a hányados végesvagy végtelen szakaszos tizedestört.Véges tizedestört felírása törtalakban.

Tizedestörtek helye a számegyenesen,egyszerûsítésük, bõvítésük, nagyságszerinti összehasonlításuk, rendezésük;adott pontosságú számszomszédaikmegállapítása, kerekítésük.

Tízezred nagyságrendig tizedestörtekírása, olvasása, a számjegyek jelen-tésének ismerete. Egyszerûsítésük, bõví-tésük. Ábrázolásuk számegyenesen tize-dekre, századokra stb. történõ beosztásesetén, nagyság szerinti összehasonlítá-suk, adott nagyságrendre kerekítésük.

Tizedestörtek szorzása, osztása 10-zel,100-zal, 1000-rel stb.

Természetes szám osztása természetesszámmal úgy is, hogy a hányados végesvagy végtelen szakaszos tizedestört.

Tizedestörtek közelítõ helyének ábrázo-lása számegyenesen, becsléssel, nagy-ság szerinti rendezésük.




Tizedestörtek összeadása, kivonása;szorzásuk, osztásuk természetes szám-mal. A mûveleti tulajdonságokról tanultakkiterjesztése a tizedestörtekre.Találkozás a negatív tizedestörtekkel, ábrázolásukszámegyenesen, nagyság szerinti összehasonlítá-suk, egyszerû számítások.

Tizedestörtek összeadása, kivonása; szor-zásuk, osztásuk természetes számmal.

Összetett számfeladatok megoldása tize-destörtekkel is.

Egyenletek, egyenlõtlenségek

Egyszerû egyenletek, egyenlõtlenségekmegoldása tervszerû próbálgatással, le-bontogatással (egy-két lépésben).

Egyenlõtlenségben az ismeretlen kom-ponens lehetséges értékeinek keresése,a megoldás ábrázolása számegyenesen.

Egyszerû egyenletek, egyenlõtlenségekmegoldása próbálgatással vagy egy lé-pésben következtetéssel, a tizedestörtek-rõl tanultak alkalmazásával is.

Egyenletek, egyenlõtlenségek megoldásatervszerû próbálgatással vagy egy-két lé-pésben következtetéssel. Az egész szá-mokról, a törtekrõl és tizedestörtekrõl ta-nultak alkalmazása.

Szöveges feladatok

Szöveges feladatok megoldása (ideértveaz olyanokat is, amikor a számítási terv-ben több mûvelet, illetve zárójel szere-pel). A feladatban szereplõ adatok lejegy-zése, ábrázolása. A közöttük fennállókapcsolatok megértése, megállapítása.Felesleges adatok, ellentmondó adatok,hiányzó feltételek megállapítása. Megol-dási terv készítése. Az eredmény elõze-tes becslése, kiszámítása, ellenõrzése,értelmezése a szöveg alapján. Vala-mennyi lehetséges megoldás keresése. Amegoldás során a tanult mûveleti tulaj-donságok és eljárások alkalmazása.

Következtetési feladatok: egyrõl többre,többrõl egyre, többrõl többre egyenes ésfordított arányosság esetén.

Törtrész kiszámítása egész részbõl,egész kiszámítása törtrészbõl, következ-tetéssel. A törtekrõl és tizedestörtekrõltanultak alkalmazása szöveges, illetvegyakorlati jellegû feladatok, egyszerûegyenletek, egyenlõtlenségek megoldá-sában, mérésekben stb.

Két mûvelettel megoldható egyszerû szö-veges feladatok értelmezése, az adatoklejegyzése; megoldási terv készítése; azeredmény kielégítõ becslése, meghatá-rozása a természetes számok, egyszerûtörtek, tizedestörtek körében értelmezettmûveleti eljárások alkalmazásával; amegoldás ellenõrzése; szöveges válaszmegfogalmazása.

Két vagy több mûvelettel megoldhatóösszetettebb szöveges feladatok értel-mezése, a felesleges és a szükségesadatok megállapítása, az adatok lejegy-zése, az összefüggések alapján megol-dási terv készítése, az eredmény kielé-gítõ becslése, meghatározása, a megol-dás ellenõrzése, az eredmény egybeve-tése a szöveggel, illetve a valósággal. Azegész számokról, a törtekrõl és tizedes-törtekrõl tanultak alkalmazása.




A matematikában központi szerepet játszó relációk fogalmának és tulajdonságaiknak atudatosítása a matematika különbözõ témaköreihez kapcsolódóan.

A megfigyelõ-, összehasonlító képesség, a rugalmas, ötletgazdag, problémameglátó ésproblémamegoldó gondolkodás fejlesztése. A számolási rutin alakítása. Késztetés atöbbféle megoldás (matematikai modell) keresésére és az önellenõrzésre. A matematikagyakorlati alkalmazhatóságának felismertetése a tapasztalati függvények vizsgálatasorán.

Jellemzõk


Otthoni munkára, illetve korrepetálásra javasolt idõ: 3−4 óra.

A témakörhöz tartozó tartalmak közül a grafikonokkal, az egyenes és fordított arányos-sági következtetésekkel, valamint a derékszögû koordináta-rendszerrel foglalkozunkönálló órák keretében. A témakörhöz tartozó egyéb, már alsó tagozatban elsajátítottismereteket és eljárásokat a számfogalom kibõvítése, a mûveletek értelmezése ésgyakorlása során alkalmazzuk.




Számok, alakzatok, mennyiségek köztiösszefüggések keresése, vizsgálata, afelismert összefüggések alkalmazása azelemek rendezésében, csoportosításá-ban.

Számhalmazok, ponthalmazok részhal-mazainak vizsgálatakor a „kisebb”, „na-gyobb”, „egyenlõ”, „nem kisebb”, „nemnagyobb”, „nem egyenlõ”, „több, mint ...”,„kevesebb, mint ...” kifejezések helyeshasználata.

Számhalmazok, ponthalmazok részhal-mazainak vizsgálatakor, képzésekora „legalább”, „legfeljebb”, „kisebb vagyegyenlõ”, „nagyobb vagy egyenlõ” kife-jezések helyes használata, a kapcsolatokhelyes felírása, ábrázolása.

A síkbeli derékszögû koordináta-rend-szer; kapcsolatok ábrázolása a koordiná-ta-rendszerben.

Tapasztalati függvények ábrázolása mé-rések és táblázatok alapján. Grafikonok,diagramok olvasása, elemzése.

A koordináta-rendszer ismerete, pontjai-nak rendezett számpárral történõ jellem-zése, adott számpárhoz tartozó pontokmegkeresése.

Tapasztalati függvények összetartozó ér-tékeinek leolvasása diagramról, grafikon-ról.




Szöveggel, táblázattal adott függvényvizsgálata, ekvivalens és nem ekvivalensszabályok keresése próbálgatással; azegész számokról, a törtekrõl és tizedes-törtekrõl tanultak alkalmazása.

Konkrét feladatok egyenes arányosságra,fordított arányosságra.

Táblázatok hiányzó elemeinek pótlásaadott, egyszerû szabály alapján, a tize-destörtekkel végzett mûveletekkel is.

Tapasztalati függvények grafikonjának el-készítése és elemzése.

Táblázatok hiányzó elemeinek pótlásaadott, illetve felismert szabály alapján, azegész számokkal, törtekkel, tizedestör-tekkel végzett mûveletekkel is. Többféleszabály megfogalmazása.

Sorozatok

Sorozat elemeinek felírása adott szabályalapján (a sorozat folytatása mindkétirányban). Néhány elemmel adott soro-zathoz különbözõ szabályok megfogal-mazása; az egész számokról, a törtekrõlés tizedestörtekrõl tanultak alkalmazása.

Egyszerû sorozatok hiányzó elemeinekpótlása adott szabály alapján, a tizedes-törtekkel végzett mûveletekkel is.

Sorozatok hiányzó elemeinek pótlásaadott, illetve felismert szabály alapján, azegész számokkal, törtekkel, tizedestör-tekkel végzett mûveletekkel is. Többféleszabály megfogalmazása.

Geometria, mérés


A megfigyelõképesség, a fogalomalkotó és problémamegoldó képi gondolkodás és atérszemlélet fejlesztése. A halmaz- és függvényszemlélet alkalmazása geometriai prob-lémák megoldásában. A mérésekhez kapcsolódóan a szám- és a mûveletfogalom továbbimélyítése, a számolási biztonság növelése. A matematika gyakorlati alkalmazhatósá-gának felismertetése.

Megfelelõ jártasság kialakítása a körzõ és a vonalzó, illetve a mérõeszközök haszná-latában; a kézügyesség fejlesztése, a pontos, esztétikus munkavégzésre törekvés.

Jellemzõk


A mérésekkel és a mértékegységek átváltásával kapcsolatos ismereteket a számtan,algebra tananyag feldolgozása során elevenítjük fel, egészítjük ki, gyakoroltatjuk be.Alkalmazzuk a törtekrõl, tizedestörtekrõl tanultakat.


Az alsó tagozatban tanult geometriai ismereteket logikailag rendezzük, magasabbabsztrakciós szintre emeljük, és lényegesen kibõvítjük. A gyermek ebben az évbenismerkedik meg a legegyszerûbb szerkesztésekkel, a geometriai fogalmak és össze-függések általános megfogalmazásával.

A tananyag felépítésekor megfontolandó, hogy a 6. osztályos tananyagból itt foglal-kozzunk a trapézok, paralelogrammák és a téglalap megszerkesztésével (esetleg derék-szögû vonalzó segítségével). Ugyanakkor a szakaszfelezõ merõlegessel kapcsolatosszerkesztésekkel pedig 6. osztályban foglalkozhatunk. Erre a cserére az 5. osztályos Btankönyv, illetve a 6. osztályos könyvek lehetõséget biztosítanak.




A mennyiség, a mértékegység, mérõ-szám fogalma. A mértékegységek több-szöröseit és törtrészeit kifejezõ kilo-,hekto-, deka-, deci-, centi-, milli- szócs-kák és a megfelelõ rövidítések jelentése.Mennyiségek kifejezése többféleképpen,kisebb vagy nagyobb mértékegységekkel(a mérõszám lehet tört vagy tizedestörtis).

A hosszúság (távolság), terület, térfogat,ûrtartalom, tömeg, idõ becslése, méréseés az ezekkel kapcsolatos számítások.Mértékegységek és mérõszámok közöttiösszefüggések. Mûveletek mennyiségek-kel. Mérések a terepen.

Hosszúság, tömeg, idõ, ûrtartalom becs-lése, megmérése, kimérése a tanult mér-tékegységekkel.

A szemlélet számára elfogadható alkal-mazásokban a mennyiségek megadásamás mértékegységekkel is. A mérések ésátváltások során a tizedestörtekrõl ta-nultak alkalmazása.

A mérések és átváltások során a törtekrõltanultak alkalmazása. A mérésekrõl ta-nultak alkalmazása szöveges feladatok-ban, szöveggel adott függvényekben.

Alakzatok síkban és térben

Test, felület, sík, vonal, egyenes, pont,félegyenes, szakasz. Egyenesek kölcsö-nös helyzete a térben és a síkban.Konkrét térelemek kölcsönös helyzeténekvizsgálata (az általánosítás igénye nél-kül). A vonalzó és a körzõ használata.Merõleges és párhuzamos egyenesekelõállítása.

A szög mint szögtartomány. Elnevezéseka szöggel kapcsolatban. Szögfajták. Szö-gek mérése alkalmi és szabvány egysé-gekkel. A szögmérõ használata, szögraj-zolás, szögmásolás.Távolság- és szögmérés térképen és terepen (tájo-ló használata).

Párhuzamos és merõleges egyenesekfelismerése és elõállítása.

Téglalap, négyzet elõállítása az oldalak-ból.

Két ponthalmaz távolságának meghatá-rozása. A vonalzó és a körzõ használataszakaszok másolásában, egyszerû szer-kesztésekben.

Szögmérõ használata, adott nagyságúszög megrajzolása, megmérése.




Alakzatok (ponthalmazok) távolsága.Adott tulajdonságú pontok keresése vo-nalon, síkban, térben. A kör és a gömbmint adott tulajdonságú ponthalmaz. Akörrel kapcsolatos fogalmak.

Háromszög szerkesztése három oldal-ból, szakaszfelezõ merõleges fogalma,megszerkesztése, alkalmazása egyszerûszerkesztésekben. Egyenes adott pont-ján áthaladó merõleges szerkesztése.

A síkidomok és a sokszög fogalma, vizs-gálata; oldal, csúcs, átló, konvexitás.A trapéz, a paralelogramma, a rombusz. A trapéz,a paralelogramma magassága.

A téglalap, a négyzet fogalma, tulajdon-ságaik, e fogalmak közti kapcsolatok; elõ-állításuk.

Testek építése, vizsgálata; lapok, élek,csúcsok a testen, helyzetük, kapcsolata-ik. Testek felül-, elöl-, oldalnézeti ábrázo-lása. Téglatest, kocka építése, hálózatuk.

A tanult elnevezések (test, felület, vonal,pont; lap, él, csúcs; egyenes, félegyenes,szakasz; tér, sík; távolság; merõleges,párhuzamos) megértése és helyes hasz-nálata. Háromszög szerkesztése háromoldalból, szakaszfelezõ merõleges meg-szerkesztése.

Alakzatok adott szempontok szerinti cso-portosítása több tulajdonság egyidejû fi-gyelembevételével.

A négyszögek közül a téglalap, a négyzetlegfontosabb tulajdonságaik felsorolásaszemlélet alapján. Az egyenesszög mintegység alkalmazása.

A szög fogalmának és a szögfajtáknak azismerete.

A körvonal mint adott tulajdonságú pont-halmaz, illetve a körrel kapcsolatos elne-vezések ismerete.

Kerület, terület, felszín, térfogat

Sokszögek kerületének kiszámítása. Atéglalap és a négyzet kerülete.

A terület, a felszín, a térfogat szemléletesfogalma, mérése és mértékegységei.

A téglalap, négyzet területe. Háromszö-gek, négyszögek területének meghatáro-zása kiegészítéssel, átdarabolással azismerkedés szintjén. A téglatest, a kockafelszíne, térfogata.

Téglalap, négyzet kerületének és terüle-tének kiszámítása. A téglatest és a kockamint speciális téglatest hálójának elkészí-tése; felszínének, térfogatának kiszámí-tása. A megfelelõ mértékegységek isme-rete, használata.

A terület, a térfogat mértékegységeinekátváltása. A térfogat, az ûrtartalom mér-tékegységei közti kapcsolat ismerete.

A tanultak alkalmazása gyakorlati jellegûfeladatokban.




A megfigyelõ-, elemzõképesség és a matematikai szemlélet fejlesztése. A mindennapiélet matematikai vonatkozásainak és a matematika gyakorlati alkalmazhatóságának felis-mertetése.

Jellemzõk


Otthoni munkára, egyéni adatgyûjtésre javasolt idõ: 3−4 óra.

A számtan, algebra, függvények, grafikonok és a geometria, mérés témakörök tananya-gának feldolgozása során fogalmazzunk meg konkrét, a gyermekek mindennapi életévelkapcsolatos valószínûségi és statisztikai feladatokat is. (Például a fiúk és a lányok átlagosmagasságának, tömegének, dolgozati eredményeinek stb. összehasonlítása.) Így a téma-kör tananyagának feldolgozására fordított tényleges idõ lényegesen több lehet, mint afenti 3−4 óra.



Véletlen események megfigyelése. Való-színûségi kísérletek eredményeinek sta-tisztikai elemzése, az események gyako-risága; relatív gyakoriság.

A biztos, a lehetséges és a lehetetlenesemény fogalmának alakítása.

A tanulók által gyûjtött és táblázatokbantalált statisztikai adatok vizsgálata, ábrá-zolása grafikonon, diagramon. Grafikon,diagram olvasása, értelmezése.

Több szám számtani közepe.

Néhány szám, mennyiség átlagának ki-számítása.

Események megfigyelése, biztos, lehet-séges, lehetetlen események kiválasztá-sa.

Adatok gyûjtése, rendezése, rendszere-zése, gyûjtött és például statisztikai kiad-ványokban talált adatok elemzése, értel-mezése, ábrázolása grafikonnal, diag-rammal. Grafikonról adatok leolvasása.


6. osztály

Javasolt óraszám

A kerettanterv által meghatározott maximális óraszám heti 3 óra. A kerettanterv nemcsökkenthette lényegesen a korábbi tananyag mennyiségét és követelményszintjét, mivelezek az ismeretek, jártasságok és képességek nélkülözhetetlenek a 7. osztályos algebra,fizika, kémia és számítástechnika tanításához. További gondot jelenthet, ha az alsótagozatos hiányok pótlása miatt 5. osztályos tananyagrészek feldolgozása „csúszik át”6. osztályba. A fejlett országok többségében ennek a korosztálynak mindennap tartanakmatematikaórát. A fentiek alapján javasoljuk, hogy a szabadon tervezhetõ órát a mate-matikaoktatás kapja. Így a javasolt óraszám 4 óra/hét (az igényeknek megfelelõenkorrepetálás, felvételi elõkészítés, szakkör).


Taneszközök

Hajdu Sándor: Matematika 6. A, alapszintû tankönyvHajdu Sándor: Matematika 6. B, tankönyv, bõvített változatHajdu Sándor: Matematika 6. feladatainak megoldásaHajdu Sándor: Matematika 6. GyakorlóHajdu Sándor: Matematika 5−6. Feladatgyûjtemény, tehetséggondozó tanulói segédletHajdu Sándor: Témazáró felmérõ feladatsorok. Matematika 6. osztály. Tanulói példányAndrásfai Béla: Versenymatek gyerekeknek, tehetséggondozó tanulói segédletHajdu Sándor: Matematika 6. Program, tanári segédletHajdu Sándor: Témazáró felmérõ feladatsorok. Matematika 6. osztály. Tanári példány

A 6. osztályos taneszközök jellemzõi

A kerettanterv által elõírt tananyagot az alapszintû tankönyv tartalmazza. A bõvítettváltozatban a százalékszámítást, a számelméletet és a geometriai szerkesztéseket akerettantervben ajánlottnál bõvebben és mélyebben dolgozzuk fel. Ezek a fejezetek atörzsanyagon és a lemaradó gyermekek felzárkóztatására szánt feladatsorokon túlmenõ-en olyan anyagrészeket és feladatsorokat is tartalmaznak, amelyek lehetõséget nyújtanaka tehetségesebb, esetleg gimnáziumi tagozatra járó vagy készülõ gyermekek optimálisfejlesztésére. Ugyanakkor ez azt is jelenti, hogy az átlagosnál gyengébb osztályokbannem szükséges a teljes bõvített változatot feldolgozni. A Program tartalmaz ajánlásokat akülönbözõ szintû és mélységû tananyag-feldolgozások megtervezéséhez, a feladatokkiválasztásához.




Azoknak a képességeknek az alakítása, amelyek lehetõvé teszik a problémák önállómeglátását és megoldását, az elvonatkoztatást és általánosítást, mások magyarázatánakmegértését, szövegek önálló értelmezését, új ismeretek elsajátítását, a felismert össze-függések képi, szóbeli, írásbeli kifejezését. Tervezés, ellenõrzés igényének kialakítása.

Jellemzõk

Eszközként alkalmazzuk a matematika egyéb témaköreihez tartozó fogalmak kialakítása,az összefüggések felismertetése és az ismeretek rendszerezése során. Ezért a téma-körre fordítandó összóraszám nem határozható meg.

A Nat-ban és a kerettantervben elõírtaknál határozottabb követelményeket célszerûmegfogalmaznunk: minimumszinten a szövegértelmezõ képesség fejlesztésében és anyelv logikai elemeinek ismeretében, a középiskolába készülõ tanulóinknál a logikusgondolkodás és a matematikai látásmód alakításában.



A halmazalgebrai és logikai fogalmakeszközszerû alkalmazása más témakö-rökben, konkrét feladatokban az ismere-tek feltárására, rendszerezésére, a fogal-mak közti kapcsolatok megláttatására,jellemzésére.

Állítások igazságának eldöntése, igaz,hamis állítások megfogalmazása. „Min-den”, „van olyan”, „nem”, „és”, „vagy” ésmás velük egyezõ értelmû kifejezésekhasználata adott véges halmazokra,egyszerû végtelen halmazokra és hal-mazoktól függetlenül is különféle mate-matikai témákkal kapcsolatban. A „ha ...,akkor ...” logikai szerkezet használatakonkrét feladatokban (ismerkedés szint-jén).

Ismert elemeket tartalmazó halmaz ele-meinek csoportosítása, rendezése, rend-szerezése egy vagy két adott szempontszerint.

A bõvülõ tartalomnak megfelelõ egyszerûmatematikai szövegek értelmezése, lefor-dítása a matematika nyelvére. A „nem”, alogikai „és”, valamint a „minden”, „vanolyan” kifejezések alkalmazása.

Ismert alaphalmaz elemeirõl annak el-döntése, hogy igazzá tesznek-e egy nyi-tott mondatot vagy sem.

A halmazokkal és logikával kapcsolatoslegalapvetõbb ismeretek alkalmazásamatematikai és nem matematikai tárgy-körökben. Három halmaz metszetének ésegyesítésének képzése, a metszet, illetveaz unió elemeinek felsorolása. A met-szetképzés és a logikai „és”, valamint azunióképzés és a logikai „vagy” kapcso-latának ismerete, helyes használatuk, al-kalmazásuk.




A bõvülõ tartalomnak megfelelõ matema-tikai szövegek értelmezése. Egyszerû ésösszetettebb szöveges feladatok megol-dása a matematika minden témaköréhezkapcsolódóan. Szövegalkotás. A szak-nyelv helyes használata a felismert, illet-ve elsajátított fogalmak, összefüggések,gondolatmenetek szóbeli megfogalmazá-sában.

Matematikatörténeti érdekességek, híresmagyar matematikusok.

Kapcsolat az informatikával.

Matematikai szövegek elemzése, értel-mezése. Összetettebb szöveges felada-tok megoldása. Szövegalkotás. Törekvésa szaknyelv helyes használatára, a felis-mert, illetve elsajátított fogalmak, tulaj-donságok, összefüggések, bizonyításokgondolatmenetének szóbeli megfogalma-zására a szemléletre támaszkodva.

Kombinatorikai gondolatmenetek eszköz-szerû alkalmazása konkrét feladatokban(például adott szám összes osztójának,adott sokszög összes átlójának, adottkísérlet összes kimenetelének megkere-sésében).

Egyszerû kombinatorikus feladatokbanaz elemek kiválogatása, rendezése azadott feltételnek megfelelõen az adatoktervszerû változtatásával, a lehetõségekmegtalálása, rendezése.

Számtan, algebra


A racionális számkör és a racionális számokkal végzett mûveletek biztos ismerete.Gyakorlottság a négy alapmûvelet elvégzésében a teljes racionális számkörben, tetszõ-leges alakban adott számokkal. Képesség a tanultak alkalmazására a matematika egyébtémaköreiben, más tantárgyakban és a mindennapi életben. Az önellenõrzés képessé-gének és igényének alakítása.

Az általános összefüggések kutatásának, szabatos megfogalmazásának és bizonyítá-sának igénye.

Jellemzõk

Javasolt óraszám: 50−60, illetve 70−85 tanítási óra attól függõen, hogy a helyi tantervheti hány órát biztosít a matematikatanításra.


Az alapszintû tankönyv a kerettantervben elõírt tananyagot tartalmazza. A bõvítetttankönyv egyes (például az „ismerkedés” szóval jelzett) anyagrészeket a kerettantervbenelõírtnál bõvebben és mélyebben tárgyal, ezért a feldolgozás alaposságában, mélysé-gében igazodjunk az osztály színvonalához.


Ugyanakkor a következõ témakörökben a lehetõségekhez igazodva haladjuk meg akerettantervben leírtakat azért, hogy a 7. és a 8. osztályos matematika és természet-tudományos tárgyak elõírt tananyagának feldolgozását megalapozzuk:

Minimumszinten is követeljük meg a tanulóktól, hogy kellõen gyakorolják be a négyalapmûveletet a teljes racionális számkörben. Ezt az elvárást már az egyenletek megol-dásával kapcsolatos 6. osztályos minimumkövetelmény is feltételezi.

A racionális számkörben végzett mûveletekrõl tanultakat tudják a tanulók alkalmazniegyszerû szöveges feladatok megoldásában is.

Ismerkedjenek meg a tanulók a százalékszámítással úgy, hogy a 7. osztályos év elejiismétlés után már biztosan tudják alkalmazni.

A matematikai gondolkodásmód fejlesztése és a törtekkel végzett mûveletek tudato-sabbá tétele érdekében javasoljuk az oszthatósági feltételek alaposabb feldolgozását.



A racionális számok

A természetes számkör bõvítése 106-nálnagyobb nagyságrendekre.

A törtekkel kapcsolatos fogalomrendszerkibõvítése, elmélyítése. Mennyiségektörtrésze; a tört mint mérés, mint össze-hasonlítás eredménye.

A tízes számrendszerrõl tanultak kiter-jesztése a tizedestörtekre, a tizedestörtfogalmának elmélyítése. Végtelen szaka-szos tizedestörtek.

Kerekítés. A szám közelítõ, illetve valódiértékének megkülönböztetése a helyzet-nek, a szöveg adatai közötti összefüg-gésnek megfelelõen.

Számok aránya, kifejezése tört-, tizedes-tört és százalékalakban.

Ismerkedés a racionális számokkal kap-csolatos fogalomrendszerrel: a racionálisszám mint két egész szám hányadosa;a 0, a pozitív egész, a negatív egész,a pozitív tört- és a negatív törtszámokegyütt alkotják a racionális számok hal-mazát.

Ismerkedés a hatványozással.

A tízes számrendszer biztos ismerete.Számok írása, olvasása (a 106-nál na-gyobb számoké, tizedestörteké, illetvepozitív és negatív számoké is), nagyságszerinti összehasonlításuk, rendezésük,ábrázolásuk számegyenesen, adottnagyságrendre kerekítésük. A racionálisszámkörrel kapcsolatos alapvetõ fogal-mak (például pozitív szám, negatív szám,elõjelek, ellentett, abszolútérték, egészszám, törtszám, reciprok) ismerete.

Törtek értelmezése a szemléletre tá-maszkodva. Elnevezések ismerete. Tört-alakban adott racionális számok írása,olvasása. Egyszerûbb esetekben bõvíté-sük, egyszerûsítésük, közös nevezõrehozásuk, nagyság szerinti összehason-lításuk, ábrázolásuk számegyenesen.

A racionális számkörrel kapcsolatos fo-galomrendszer ismerete.

A pontos szám és a közelítõ szám jelen-tése közötti különbség értelmezése.




A négy alapmûvelet a racionális szá-mok körében

A négy alapmûvelet az egész számokkörében: az összeadás és a kivonás ér-telmezése és elvégzése nagyobb abszo-lútértékû számok esetén is; a szorzás ésaz osztás értelmezése; szabályok megfo-galmazása.

A négy alapmûvelet értelmezése és vég-rehajtása a törtek körében: a törtek ösz-szeadása és kivonása nagyobb nevezõesetén is; reciprok; a törttel való szorzásés osztás értelmezése; szabályok megfo-galmazása.

A tizedestörtek szorzása, osztása 10-zel,100-zal, ..., 0,1-del, 0,01-dal stb. A négyalapmûvelet a tizedestörtek körében;szorzás és osztás tizedestörttel. A mûve-leti eredmények adott pontosságú becs-lése.

Mûveleti tulajdonságok vizsgálata és al-kalmazása a racionális számkörben.Összetett számfeladatok, zárójelek hasz-nálata, mûveleti sorrend.

Az egész számok körében értelmezettnégy alapmûvelet végrehajtása, alkalma-zása a legegyszerûbb feladatokban.

A négy alapmûvelet értelmezése, elvég-zése a nemnegatív törtek körében (azösszeadás és kivonás esetében a törtekkönnyen közös nevezõre hozhatók).

A négy alapmûvelet végrehajtása tize-destörtekkel, a mûveleti eredmény becs-lése adott pontosságú kerekített érté-kekkel számolva. A tanultak alkalmazásakét-három lépésben megoldható felada-tokban, egyéb témakörökhöz kapcsolód-va is.

A négy alapmûvelet értelmezése, végre-hajtása tetszõleges alakban adott racio-nális számok körében. Összetett szám-feladatok megoldása. A tanultak alkalma-zása függvénytáblázatok, sorozatok kie-gészítésében.

Szöveges feladatok

Egyszerû, a mindennapi gyakorlathoz iskapcsolódó szöveges feladatok megoldá-sa a racionális számokról tanultak alkal-mazásával. Következtetési feladatok azegyenes és a fordított arányossággalkapcsolatban. Adott mennyiség törtré-szének kiszámítása, adott törtrészbõl azegész mennyiség kiszámítása.

Legfeljebb két mûvelettel leírható egy-szerû (esetleg fordított szövegezésû, fe-lesleges adatot is tartalmazó) szövegesfeladatok értelmezése, a szükséges, il-letve felesleges adatok szétválasztása,számítási terv leírása, a feladat megol-dása, a megoldás ellenõrzése és értel-mezése a törtekrõl, tizedestörtekrõl, illet-ve a mûveleti sorrendrõl és a zárójelekrõltanultak alkalmazásával is.

Egyenes arányosság felismerése, az is-meretlen mennyiség kiszámítása.

Összetettebb szöveges feladatok meg-oldása. Fordított arányossági feladatokmegoldása következtetéssel.




Százalékszámítás; elnevezések; az alap,a százalékérték, a százalékláb kiszámítá-sa következtetéssel. A százalékérték ki-számítása törttel való szorzással, az alapkiszámítása törttel való osztással, a szá-zalékláb kiszámítása a százalékérték ésaz alap arányából.

Adott mennyiség törtrészének és adotttörtrészbõl az egységnyi mennyiségnek akiszámítása következtetéssel.

A százalékszámítással kapcsolatos leg-egyszerûbb feladatok megoldása.

Elemi számelméleti ismeretek

A természetes számok tulajdonságainakvizsgálata, tapasztalati megalapozása.Osztópárok, az összes osztó megkere-sése (kis számok esetén).Törzsszám (prímszám), összetett szám fogalma. Aszámok törzstényezõs alakra bontása.

A közös osztók, közös többszörösök.A legnagyobb közös osztó, a legkisebb közös több-szörös fogalma és megkeresése konkrét példák-ban.

Oszthatósági feltételek (például 2-vel, 5-tel, 10-zel, 4-gyel, 25-tel, 100-zal, 1000-rel, 10 000-rel) keresése, vizsgálata, meg-fogalmazása, ismerkedés a bizonyításokgondolatmenetével konkrét számokhozkapcsolódóan. Ismerkedés a maradék-osztályokkal.A 3-mal, 6-tal, 9-cel való oszthatóság vizsgálata.

Kisebb számok osztópárjainak keresése.

A 2-vel, 5-tel, 10-zel, 100-zal, 1000-relstb. osztható számok felismerése.

A tanult oszthatósági szabályok ismerete,megfogalmazása, alkalmazása egy adottszám osztóinak megállapításában. Többszám legnagyobb közös osztójának éslegkisebb közös többszörösének megke-resése egyszerûbb esetekben.

A tanult számelméleti ismeretek alkalma-zása törtek átalakításában, összeadásá-ban, kivonásában.

Egyenletek, egyenlõtlenségek

Ismerkedés az egyenletekkel, egyenlõt-lenségekkel kapcsolatos fogalomrend-szerrel: nyitott mondat, alaphalmaz, igaz-sághalmaz, egyenlet, egyenlõtlenség,azonosság, azonos egyenlõtlenség. Elsõ-fokú egyenletek és egyenlõtlenségekmegoldása tervszerû próbálgatással, illet-ve a mûveletek közötti összefüggésekalkalmazásával. Ismerkedés a mérleg-elvvel. A megoldás ellenõrzése. Szöve-ges feladatból egyenlet felírása, megol-dása, az eredmény ellenõrzése a szövegalapján.

Egész együtthatós, két, három lépésbenmegoldható elsõfokú egyenletek megol-dása tetszõleges eljárással, a megoldásellenõrzése.

Azonos átalakítást nem igénylõ elsõfokúegyenletek, egyenlõtlenségek megoldása(két-három lépésben) lebontogatássalvagy a mérlegelv alkalmazásával. Azegyenlõtlenség megoldásának ellenõrzé-se néhány jól megválasztott elem behe-lyettesítésével. A racionális számokkalvégzett mûveletekrõl tanultak alkalma-zása.




A függvénnyel kapcsolatos fogalomrendszer elõkészítése a tudatosítás és az elnevezé-sek bevezetésének igénye nélkül.

Az egyenes és a fordított arányosság alapos kimunkálása úgy, hogy a tanulók ezeketaz ismereteket a matematika egyéb témaköreiben is legyenek képesek alkalmazni, illetvemegfeleljenek a 7. és 8. osztályos földrajz-, fizika- és kémiatanítás igényeinek.

Jellemzõk



Minden témakörben eszközjelleggel alkalmazzuk az ebbe a témakörbe tartozó ismerete-ket, tevékenységeket. Önálló témakörként a grafikonok vizsgálata, illetve az egyenes és afordított arányosság jelenik meg. A fenti óraszám ezekre a témakörökre vonatkozik. Agrafikonok készítése, értelmezése során statisztikai megfigyeléseket, elemzéseket isvégeztetünk, így szoros kapcsolat van a két témakör feldolgozása között.




Kísérleti eredmények, mérési adatok táb-lázatba rendezése, ábrázolása diagra-mokon, grafikonokon; összefüggések le-olvasása grafikonról, táblázatról. Össze-tartozó értékpárok ábrázolása koordi-náta-rendszerben. Szöveggel, táblázattalvagy grafikonnal megadott függvényekjellemzése.

Az egyenes és a fordított arányosság ér-telmezése, elkülönítésük egymástól, illet-ve egyéb függvénykapcsolatoktól. Tanul-mányozásuk konkrét feladatokhoz kap-csolódóan, az értelmezési tartomány ésértékkészlet vizsgálata (e fogalmak tuda-tosításának igénye nélkül), táblázatok ésgrafikonok készítése, a szabály felírásatöbbféle alakban. Az egyenes arányos-ság grafikonjának vizsgálata, a meredek-ség értelmezése a szemléletre támasz-kodva. Arányossági következtetések többlépésben is.

Kísérleti eredmények, mérési adatok táb-lázatba rendezése; adatok leolvasásagrafikonról, táblázatról. Biztos tájékozó-dás a derékszögû koordináta-rendszer-ben.

Az egyenes, illetve fordított arányosságfelismerése. Egyszerû egyenes arányos-sági következtetések végzése. Az egye-nes arányosság ábrázolása, az összetar-tozó értékpárok leolvasása.

Kísérleti eredmények, mérési adatokábrázolása diagramokon, grafikonokon.Szöveggel, táblázattal vagy grafikonnalmegadott függvények jellemzése.

Összetettebb egyenes arányossági ésegyszerûbb fordított arányossági követ-keztetések végzése konkrét példákban.Az egyenes és a fordított arányosság fo-galmának, definíciójának, tulajdonságai-nak ismerete. A tanultak alkotó alkalma-zása a gyakorlati életbõl vett függvény-kapcsolatok vizsgálatában.




Sorozatok

Racionális számsorozatok folytatásamindkét irányban. Valahányadik tag fel-írása.

Racionális számsorozat folytatása adott(egyszerû) szabály szerint.

Néhány elemével adott sorozathoz kü-lönbözõ szabályok keresése, a felismertszabály felírása többféle alakban. Soro-zatok folytatása felismert szabály alapján.

Geometria, mérés


A 7. és a 8. osztályos matematika, illetve technika, fizika, kémia, biológia, földrajz sikerestanulásához és a tanuló mindennapi életéhez szükséges geometriai látásmód, tér-szemlélet, ismeretrendszer és képességek megalapozása, alakítása. Gyakorlottság amennyiségek becslésében és mérésében, a mértékegységek átváltásában, az alapvetõszerkesztési eljárások alkalmazásában, a mérõeszközök, a körzõ és a vonalzó haszná-latában.

A tehetséges, illetve a gimnáziumba készülõ tanulók esetében annak a megláttatása,hogy a matematikában a fogalmakat definiáljuk, a felismert összefüggéseket logikaikövetkeztetések útján bizonyítjuk.

Jellemzõk

Összóraszám: 22−26, illetve 35−45 tanítási óra a helyi tanterv órakerete szerint.


A kerettantervben ajánlott minimális óraszámban csak akkor dolgozható fel az alapszintûtananyag, ha a leszakadóknak rendszeres korrepetálással biztosítjuk a felzárkóztatást.Az idõhiányból eredõ gondokat kissé csökkenthetjük, ha élve a jogszabály adta lehetõsé-gekkel, az 5. és 6. osztályos tananyagot céltudatosan átrendezzük (a tananyagátfedésekkiaknázásával).

A mérésekkel kapcsolatos ismereteket már a korábbi években elsajátították a tanulók,6. osztályban a számtan, algebra, az összefüggések, függvények, sorozatok, illetve avalószínûség, statisztika témakörökben tanultak gyakorlati alkalmazásaként gyakoroljukezeket.

A geometriai szerkesztések terén a bõvített tankönyv meghaladja a kerettantervbenajánlottakat. Ezért gyengébb képességû osztályokban az osztály színvonalához igazítvakevesebb súlyt helyezzünk ezekre az anyagrészekre, mint amennyit a tankönyv sugall.Ugyanakkor a középiskolába készülõ, tehetséges tanulóinkkal alaposan dolgozzuk felezeket a fejezeteket, s oldassunk meg minél több feladatot ezekbõl a részekbõl.





A mérésekrõl és mértékegységekrõl ko-rábban tanultak gyakorlása, megszilárdí-tása. Mennyiségek felírása különbözõmértékegységekkel, a törtekrõl, tizedes-törtekrõl tanultak alkalmazásával is.

Mennyiségek becslése, mérése, a mérõ-eszközök ismerete és rutinos használata.A mérések és a mértékegységek átvál-tása során a törtekrõl, tizedestörtekrõl ta-nultak alkalmazása.

Geometriai transzformációk

Ismerkedés az egybevágósági transz-formációkkal a síkon (parkettán, koordi-náta-rendszerben) és a térben.

A tengelyes tükrözés legfontosabb tulaj-donságai. Pont, szakasz, félegyenes,egyenes, szög, síkidom tengelyesen tük-rös helyzetû képének megrajzolása (pél-dául négyzetrácson, koordináta-rend-szerben) és megszerkesztése.

Tengelyesen tükrös alakzatok vizsgálata:kör, négyzet, téglalap, egyenlõ szárú há-romszögek, deltoidok.Húrtrapézok, a tengelyes tükrözés tulajdonságai-nak alkalmazása egyszerû feladatokban.

Szakaszmásolás, felezõmerõleges fogal-ma, megszerkesztése. Szög másolása,szög felezése.

Geometriai szerkesztések: párhuzamos,merõleges egyenesek, nevezetes szögek(60°, 30°, 45°, 75°), szimmetrikus három-szögek, négyszögek szerkesztése.

A tengelyes tükrözés alapvetõ tulajdon-ságainak ismerete. Háromszög, négy-szög tengelyes tükörképének megszer-kesztése.

A szimmetrikus négyszögek, háromszö-gek felismerése, tulajdonságaik felsorolá-sa rajz alapján.

Szakasz felezõmerõlegesének, felezõ-pontjának megszerkesztése. A szögfajtákfelismerése. Szög mérése, másolása ésfelezése. Derékszög és párhuzamosegyenesek megrajzolása két vonalzóval.

Szimmetrikus háromszögek, négyszögekmegszerkesztése.

A szimmetriával igazolható tulajdonságokismerete, alkalmazása.

Derékszög, párhuzamos egyenespár, ne-vezetes szögek megszerkesztése, a ta-nultak alkalmazása egyszerû szerkeszté-si feladatokban.

Síkidomok, testekSzimmetrikus háromszögek, négyszögek kerületé-nek, területének kiszámítása, általános szabályokmegfogalmazása, bizonyítása és alkalmazása.

A sokszögekrõl tanultak kibõvítése, álta-lánosítása: a sokszög fogalma, tulajdon-ságai; konvex és nemkonvex négyszö-gek; a sokszög átlóinak száma. Speciálisnégyszögek (trapéz, paralelogramma,rombusz, deltoid fogalma). A sokszögek,ezen belül a négyszögek csoportosításakülönbözõ szempontok szerint.

Sokszögek kerületének, a téglalap, négy-zet területének kiszámítása, a területmértékegységeinek átváltása a törtekrõl,tizedestörtekrõl tanultak alkalmazásával.

A háromszög-egyenlõtlenség és a há-romszög belsõ szögeinek összegévelkapcsolatos összefüggés ismerete, alkal-mazása számításokban, bizonyítások-ban.

A körrel kapcsolatos fogalmak, elnevezé-sek és az érintõ tulajdonságainak isme-rete.




Geometriai bizonyítások: a háromszög-egyenlõtlenség; a háromszög belsõ szö-geinek összege. A háromszögek csopor-tosítása szögeik és oldalaik szerint.A háromszög külsõ szögeinek fogalma, összege.

Ismerkedés a húrnégyszöggel, a húrtrapézzal, bel-sõ szögeik vizsgálata.

A körrel kapcsolatos fogalomkör.

Térelemek kölcsönös helyzete. Testeképítése. Különbözõ testek hálózatánakfelvázolása, a felszín kiszámítása.

Síkra szimmetrikus alakzatok kereséseés vizsgálata a térben.



A matematika gyakorlati alkalmazására törekvés. A megfigyelõképesség, elemzõképes-ség, számolási rutin fejlesztése. Tervszerûség.

Jellemzõk

A számtan, algebra, illetve az összefüggések, függvények, sorozatok témakörben bõvülõismeretek alkalmazása jelent többletet az 5. osztályos tartalomhoz és követelményekhezviszonyítva. Önálló óraszám e témakörben nem határozható meg.

A témakörhöz tartozó tananyag feldolgozását nem tankönyvcentrikusan, hanem tény-leges kísérletekre, gyûjtõmunkára alapozva oldhatjuk meg.



Véletlen események megfigyelése. Kísér-letek eredményeinek statisztikai elemzé-se, az események gyakorisága; relatívgyakoriság. A biztos, a lehetséges és alehetetlen esemény fogalma.

Gyûjtött és táblázatokban talált adatokvizsgálata, ábrázolása grafikonon, diag-ramon. Grafikon, oszlopdiagram, kördiag-ram olvasása, értelmezése.

Több szám számtani közepe.

Több szám, mennyiség átlagának meg-határozása.

Események megfigyelése, biztos, lehet-séges, lehetetlen események kiválasz-tása.

Adatok gyûjtése, rendezése, rendszere-zése, gyûjtött és például statisztikai kiad-ványokban talált adatok elemzése, értel-mezése, ábrázolása grafikonnal, diag-rammal. Grafikonról adatok leolvasása.


7. osztály

Javasolt óraszám

A kötelezõ órakeretbõl 3 tanítási óra hetente. Javasolt óraszám a kiegészítõ órakeretbõl:1 + 1 óra/hét. Legalább a kiegészítõ órát differenciált csoportbontásban célszerû meg-szervezni úgy, hogy egy órát az órarendben is rögzített felzárkóztató gyakorlásra, egymásik órát tehetséggondozásra, illetve szakkörre biztosítsunk (a tanulók igényeinek meg-felelõen).

Otthoni munkára javasolt idõ: 20 perc/tanóra.

Taneszközök

Hajdu Sándor: Matematika 7. A, alapszintû tankönyv (2002-ben kerül átdolgozásra)Hajdu Sándor: Matematika 7. B, tankönyv, bõvített változat (2002/2003-as tanévtõl)Hajdu Sándor: Matematika 7. feladatainak megoldásaHajdu Sándor: Matematika 7−8. GyakorlóHajdu Sándor: Matematika 7−8. Feladatgyûjtemény, tehetséggondozó tanulói segédletHajdu Sándor: Témazáró felmérõ feladatsorok. Matematika 7. osztály. Tanulói példányHajdu Sándor: Matematika 7. Program, tanári segédletHajdu Sándor: Témazáró felmérõ feladatsorok. Matematika 7. osztály. Tanári példány


A taneszközök „széles sávban” dolgozzák fel a tananyagot, egyaránt lehetõséget biz-tosítanak a lemaradó gyermekek felzárkóztatására, illetve az átlagosnál tehetségesebb,esetleg gimnáziumi tagozatra járó gyermekek fejlesztésére. Ez azt is jelenti, hogy azegyes osztályokban nem lehet vagy nem kell a tankönyv minden fejezetét teljes mélysé-gében feldolgozni, a taneszközökben lévõ minden feladatot megoldatni. A Programtartalmaz ajánlásokat a különbözõ szintû és mélységû tananyag-feldolgozások megter-vezéséhez, a feladatok kiválasztásához.

Amennyiben 6. osztályban nem sikerült a mintatanterv által ajánlott célokat elérni ageometriában, illetve a racionális számokkal végzett mûveletek, valamint a százalék-számítás terén, akkor az év eleji ismétléshez szükségünk lehet a Matematika 6. Gyakorlóalkalmazására is.

A tankönyv bõvített változata tartalmazza a középiskolába készülõknek szánt kiegé-szítõ anyagrészeket, összetettebb fejtörõ feladatokat. Az alapszintû és a kiegészítõfejezetek összehangolásához a Program nyújt segítséget. Ez a megoldás lehetõvé teszia differenciálást azokban az iskolákban is, amelyekben nem oldható meg a tehetségszerinti csoportbontás.

A tankönyv alapszintû és bõvített változata, valamint a kétféle célt szolgáló kiegészítõtanulói segédlet, a Gyakorló, illetve a Feladatgyûjtemény lehetõvé teszi, hogy a tanesz-közcsalád rugalmasan illeszkedjék nagyon sokféle helyi koncepcióhoz, értékrendhez.

A témazáró felmérõ feladatsorok úgy illeszkednek a különbözõ koncepciókhoz, hogyegy alapszintû és egy emelt szintû értékelési normára adnak mintát (vagy eltérõ felada-tokkal vagy azonos feladatok eltérõ minõsítésével).




A gondolkodási módszerek egyre tudatosabb alkotó alkalmazása a matematikai fogalmakértelmezésében, a fogalmak közti kapcsolatok feltárásában, a problémák megoldásában,a felismert összefüggések bizonyításában.

Jellemzõk

A témakörhöz tartozó ismereteket nem tanítjuk önálló témaként, továbbra is eszközkéntalkalmazzuk a matematikai fogalomrendszerek alakítása során. Ezért a témakörre fordí-tandó összóraszám nem határozható meg. Ugyanakkor fokozatosan fel kell fedeztetnünka tanulókkal (még mindig konkrét feladatokra támaszkodva) a logikai és a halmaz-mûveletek sajátosságait, a helyes következtetési sémákat stb.

A szövegértelmezõ képesség fejlesztésében és a nyelv logikai elemeinek ismeretébenminimumszinten is célszerû követelményt megfogalmaznunk. Ezen követelmények teljesí-tése nélkül tanulóink nem tudják elsajátítani a matematika egyéb témaköreit, illetve akerettanterv más mûveltségi területei számára megfogalmazott minimumszintû követel-ményeket sem.

A középiskolába készülõ tanulóinkat fokozatosan fel kell készítenünk a deduktív isme-retszerzés sajátosságaira, ki kell alakítanunk az ehhez szükséges matematikai látásmó-dot és logikus gondolkodási képességet.



Állítások átfogalmazása más, egyezõjelentésû formára. A „minden”, „vanolyan”, „és”, „vagy”, „ha ..., akkor ...”,„pontosan akkor ..., ha ...”, „akkor és csakakkor ..., ha ...” kifejezések használata.

A „nem”, a logikai „és”, logikai „vagy”,„ha ..., akkor ...”, valamint a „minden”,„van olyan” kifejezések alkalmazása.

A „pontosan akkor ..., ha ...”, „akkor éscsak akkor ..., ha ...” kifejezések helyeshasználata. A „minden”, „van olyan” tí-pusú állítások átfogalmazása, igazolásavagy megcáfolása (konkrét példákon).

Ismert halmazok egymáshoz való viszo-nyának vizsgálata. Részhalmazok kép-zése adott szempontok szerint. A „nem”és a halmaz komplementere, az „és” és ahalmazok metszete, a „vagy” és a hal-mazok uniója közti kapcsolat megsej-tetése.

Ismert elemeket tartalmazó halmaz ele-meinek csoportosítása, rendezése, rend-szerezése két adott szempont szerint.

Egyszerû matematikai szövegek értelme-zése. Szöveges feladatok megoldása amatematika minden témaköréhez kap-csolódóan.




A logikai és a halmazokról tanult ismere-tek alkalmazása az újonnan tanult isme-retekkel kapcsolatos állítások igazságá-nak eldöntésében, az új fogalmak köztikapcsolatok feltárásában, sejtések, ösz-szefüggések megfogalmazásában a ma-tematika minden témakörében. Egyszerûkövetkeztetések, bizonyítások különféletárgykörökbõl vett példákon.

A bõvülõ tartalomnak megfelelõ matema-tikai szövegek értelmezése. Egyszerû ésösszetettebb szöveges feladatok megol-dása a matematika minden témaköréhezkapcsolódóan. Szövegalkotás.

Kombinatorikus feladatok egy-egy felté-telének rendszeres változtatása, a felté-telnek megfelelõen a feladat megoldása:

a lehetõségek számának táblázatba fog-lalása;

ezek elemzése, összehasonlítása, azadatok közötti összefüggés megállapítá-sa.

Kombinatorikai gondolatmenetek eszköz-szerû alkalmazása konkrét feladatokbana matematika minden témakörében.Megfordítható és meg nem fordítható állítások ke-resése, például oszthatósággal, geometriával kap-csolatban.

Ismert alaphalmaz elemeirõl annak el-döntése, hogy igazzá tesznek-e egy nyi-tott mondatot vagy sem. Az „alaphalmaz”,„nyitott mondat”, „igazsághalmaz” kifeje-zések ismerete.

A halmazokkal és logikával kapcsolato-san tanult legalapvetõbb ismeretek tuda-tos alkalmazása matematikai és nem ma-tematikai tárgykörökben.

Egyszerû matematikai szövegek elem-zése, lefordítása a matematika nyelvére.Összetettebb szöveges feladatok megol-dása. Szövegalkotás. A szaknyelv helyeshasználata. A felismert, illetve elsajátítottfogalmak, tulajdonságok, összefüggések,bizonyítások gondolatmenetének szóbeliés írásbeli megfogalmazása.

Kombinatorikus feladatok megoldása so-rán (4-5 elem) a lehetõségek táblázatbafoglalása, elemzése.

Számtan, algebra


A számokkal, illetve algebrai kifejezésekkel kapcsolatos ismeretek és eljárások olyanszintre emelése, amely lehetõvé teszi ezek eszközszerû alkalmazását a matematikaegyéb témaköreiben és a fizika, kémia, technika stb. tanulása során. Az induktív és amatematikára jellemzõ deduktív gondolkodásmód, az elvonatkoztatási, az általánosítási,illetve a konkretizálási képesség alakítása. A zsebszámológép rutinszerû használatánakelsajátítása.


Jellemzõk

Óraszám: 54−60 tanítási óra.


Amennyiben a szükséges alapok (lásd alább) hiányoznak, akkor lényegesen több tanításiórára lehet szükség. A taneszközök úgy épülnek fel, hogy nagy az átfedés a 6. és a 7.osztályos tananyag között, így segítségükkel pótolhatók az esetleges hiányosságok,de szükség lehet a Matematika 6. Gyakorló használatára is.

Legalább 50 órát akkor is biztosítsunk erre a témakörre, ha a helyi tanterv alapján csakheti 3 órában tanítjuk a matematikát. Ebben az esetben a korábban tanultak (mûveletek,százalékszámítás, szöveges feladatok) év eleji alapos begyakoroltatására nagyon kevésidõ jut, az új anyagrészekkel is csak felületesen foglalkozhatunk, ezért a lemaradóknakkorrepetálást kell szerveznünk.

Javasoljuk, hogy részletesen foglalkozzunk a számok normálalakjával (különösengimnáziumi tagozaton, illetve középiskolába készülõk esetén). Ezt a természetismeretitantárgyak és a számítástechnika egyaránt igénylik.

Az algebrai kifejezések értelmezésének és a velük való mûveleti eljárásoknak a meg-tanulása, illetve az egyenletek megoldása jelentõs elvonatkoztatási és általánosításiképességet tételez fel. Ezért az alapszinten tanulóknál nem törekedhetünk a teljességre.Azonban a gimnáziumi tagozatra járó, illetve középiskolába készülõ tanulóinkkal dolgoz-tassuk fel és gyakoroltassuk be a teljes bõvített tankönyvi anyagot.



Mûveletek racionális számokkal

A racionális számokról és a velük végzettmûveletekrõl tanultak tudatosabb szintreemelése. A különbözõ alakban adott raci-onális számokkal végzett mûveletek algo-ritmusainak begyakorlása, alkalmazásaaz új anyagrészek feldolgozása során amatematika minden témakörében. Mûve-leti azonosságok, alkalmazásuk a számí-tások egyszerûsítésében. Mûveleti sor-rend, zárójelek használata. Kerekítés, kö-zelítõ számítások.

Hatványozás, a kitevõ természetes szám.A hatványozás azonosságainak felismer-tetése, a megfigyelt összefüggések álta-lánosítása, ismerkedés a bizonyításokgondolatmenetével. Az 1-nél nagyobbszámok normálalakja. Mûveletek normál-alakban adott számokkal.

Ismerkedés a zsebszámológéppel.

A négy alapmûvelet biztos elvégzésebármilyen alakú racionális számok köré-ben. Az eredmények elõzetes becslése.

Egyenes és fordított arányossággal kap-csolatos egyszerû feladatok megoldásakövetkeztetéssel. A százalékérték, azalap és a százalékláb kiszámítása a má-sik kettõ ismeretében.

Egyszerû szöveges feladatok megoldásaa tanult témakörökkel kapcsolatosan.

Osztó, többszörös, két szám közös osz-tóinak, néhány közös többszörösénekmegkeresése egyszerûbb esetekben.

Annak eldöntése, hogy mikor kell pontos,illetve mikor lehet kerekített értékkel szá-molni. A közelítõ értékekkel végzett szá-mítás hibájának becslése.

A hatvány fogalmának ismerete. Az 1-nélnagyobb számok normálalakjának értel-mezése, felírása, alkalmazása egysze-rûbb esetekben.




Két szám aránya, több szám aránya.Arányos osztás, feladatok az arányososztásra. Egyenes és fordított arányos-sági feladatok megoldása. Az aránypár.Az aránypár ismeretlen tagjának kiszá-mítása. Mennyiségek törtrésze. Összetettkövetkeztetések.

A százalékérték kiszámítása törttel valószorzással. Az alap kiszámítása törttelvaló osztással.

A százalékláb kiszámítása a százalékér-ték és az alap arányából.

Osztók, többszörösök, a korábban tanultoszthatósági szabályok felelevenítése,kiegészítése, oszthatóság 3-mal, 9-cel,8-cal, 125-tel, 6-tal, ... . Számok prím-tényezõkre bontása, a legnagyobb közösosztó és a legkisebb közös többszöröskiszámítása a prímtényezõkre bontássegítségével, ismerkedés a bizonyításokgondolatmenetével.

Néhány matematikatörténeti vonatkozás.

Az arány fogalmának ismerete. Arányososztással, egyenes és fordított arányos-sággal kapcsolatos feladatok megoldásaaz arányszámmal való szorzással, osz-tással is. Az aránypár fogalmának isme-rete, az aránypár ismeretlen tagjának ki-számítása.

Prímszám, összetett szám fogalmánakismerete, számok törzstényezõkre bontá-sa.

Algebrai kifejezések, egyenletek,egyenlõtlenségek

Algebrai egész kifejezések értelmezése,helyettesítési értékének kiszámítása.Egynemû kifejezések, összevonásuk.Egytagú, illetve többtagú algebrai kife-jezések szorzása egytagú kifejezéssel.Többtagú kifejezés szorzattá alakítása ki-emeléssel.

Egyszerû algebrai egész kifejezések he-lyettesítési értékének kiszámítása. Egy-nemû kifejezések összevonása. Algebraikifejezések szorzása számmal.

4-5 lépéssel megoldható lineáris egyen-let, egyenlõtlenség megoldása.

Egytagú, illetve többtagú algebrai kifeje-zések szorzása egytagú kifejezéssel. Atanult azonosságok ismerete és alkalma-zása a számítások ésszerûsítésében, el-lenõrzésében, algebrai kifejezések átala-kításában, egyenletek, egyenlõtlenségekmegoldása során.




Egész- és törtegyütthatós elsõfokúegyenletek és egyenlõtlenségek megol-dása mérlegelvvel, a megoldás során azalgebrai kifejezésekkel kapcsolatosan ta-nultak alkalmazása.

Szöveges feladatok megoldása követ-keztetéssel, egyenlettel.

Becslés. A megoldás létezésének eldön-tése, ellenõrzés a szöveg alapján.

A mérlegelv tudatos alkalmazása.

Egyenlettel megoldható szöveges felada-tokban lévõ probléma feltárása, az ada-tok között a szükségesek és a felesle-gesek megkülönböztetése, a szükségesadatok közötti kapcsolatok megállapítá-sa, a keresett adat (adatok) meghatá-rozása. A feladat megoldási tervénekegyenlet, egyenlõtlenség formájában tör-ténõ megfogalmazása, az eredménybecslése, a megoldás (megoldások) meg-keresése, ellenõrzése, az eredeti problé-ma tükrében történõ megvizsgálása.

A 10 negatív egész kitevõjû hatványai, a 0 és 1közé esõ számok normálalakja.

Algebrai törtek értelmezési tartománya, helyettesí-tési értékének kiszámítása.

Többtagú kifejezés szorzása többtagú kifejezéssel.

Ismerkedés nem elsõfokú egyenletek megoldásá-val.

A hatványozás azonosságainak ismerete, értelme-zése, bizonyítása, alkalmazása.

Algebrai törtkifejezések helyettesítési értékének ki-számítása. Többtagú kifejezés szorzattá alakításakiemeléssel.



A matematikai fogalomalkotás képességének alakítása a függvénnyel kapcsolatos isme-retrendszer tudatosításával, az általános összefüggések felismertetésével, megfogalma-zásával és alkalmazásával. A tanultak eszközszerû alkalmazása a matematika egyébtémaköreiben, illetve a fizika, kémia, technika stb. tanulása során.

Jellemzõk

Óraszám: 15−18 tanítási óra.


Legalább 10−12 órát akkor is szánjunk erre a témakörre, ha a helyi tanterv alapján csakheti 3 matematikaóra van. Ebben az esetben nem törekedhetünk az elvontabb fogalmakkialakítására, ezért a középiskolába készülõ tanulóinkkal külön kell foglalkoznunk.

A függvény fogalmával kapcsolatos témakör fontosságát mutatja egyrészt a matema-tikában, a természettudományokban és a gyakorlati életben elfoglalt helye, másrészt aproblémamegoldó gondolkodásban és a matematikai látásmódra nevelésben játszottszerepe.


A programunk alapján elõször találkozik ennyire elvont fogalomrendszerrel a tanuló.Ezért csak az elmúlt évek alapozó munkájára építve, sok-sok konkrét példa elemzéséveljuthatunk el az általánosításokig. A matematikát nehezen elsajátító tanulóknál ne ragasz-kodjunk a definíciók értelem nélküli megtanulásához. Fontosabb, hogy a tanuló a függ-vényrõl tanultakat gyakorlati jellegû feladatokban, a fizika, kémia, földrajz tanulásakoralkalmazni tudja.

A racionális számokról tanultak átismétlésekor, illetve a folyamatos ismétlés során újraés újra sorozatokkal is találkozzanak a tanulók.



Összefüggések

Konkrét rendezési relációk, ekvivalencia-relációk és egyéb összefüggések vizsgá-lata a különféle matematikai témákhozkapcsolódva.

A tanult összefüggések felismerése, al-kalmazása konkrét feladatokban (például„osztható”, „kisebb”, „valamivel osztvaugyanazt a maradékot adja”, „párhuza-mos”, „egybevágó”).

Ismert alaphalmaz elemeinek rendezése,rendszerezése adott vagy felismert relá-ció figyelembevételével.

Függvények

Két halmaz közti hozzárendelések (relá-ciók) különbözõ megjelenítése konkrétfeladatok megoldásához kapcsolódóan.

A függvény mint egyértelmû hozzárende-lés. Elnevezések: független változó, függ-vényérték, értelmezési tartomány, érték-készlet. A függvény megadása az értel-mezési tartomány, az értékkészlet és ahozzárendelési szabály megadásával tör-ténik. A hozzárendelési szabály megad-ható képlettel, formulával, utasítással;táblázattal, grafikonnal. Szöveggel meg-adott függvények vizsgálata.

A lineáris függvény fogalma, grafikusábrázolása, menetének vizsgálata. Azegyenes arányosság és a konstansfüggvény mint speciális lineáris függvény.

Néhány nemlineáris függvény (például afordított arányosság és az abszolútérték-függvény).

Táblázattal, grafikonnal adott tapasztalatifüggvény értelmezése, menetének vizs-gálata. Táblázat kitöltése adott szabályvagy grafikon alapján. Grafikonok meg-rajzolása táblázat segítségével.

Táblázattal, grafikonnal vagy formulávalmegadott lineáris függvény meneténekvizsgálata.

A függvénnyel kapcsolatos fogalomrend-szer ismerete. A megfeleltetések közül afüggvény kiválasztása.

Táblázattal vagy formulával megadott li-neáris függvény grafikonjának megrajzo-lása, értelmezése, menetének vizsgálata.

A fordított arányosság mint függvény fo-galmának ismerete, grafikonjának meg-rajzolása, értelmezése.

Szöveggel adott lineáris függvényhez,fordított arányossághoz a szabály felírá-sa, táblázat kitöltése.




Sorozatok

Konkrét sorozatok értelmezése, vizsgá-lata a racionális számokról és az algebraikifejezésekrõl tanultak gyakorlására.

Konkrét sorozat folytatása adott egyszerûszabály alapján, a sorozat változásánakmegfigyelése.

Néhány elemével adott sorozathoz sza-bályok keresése, a sorozat többféle foly-tatása a felismert szabályok alapján.

Egyenletek és egyenlõtlenségek grafikusmegoldása.Esetleg további nemlineáris függvények ábrázolása(egészrész-, törtrészfüggvény), vizsgálata.

Egyenletek grafikus megoldása.

A függvénnyel kapcsolatos fogalmak értelmezése,a definíciók szabatos megfogalmazása.

Az abszolútérték-függvény ismerete.

Geometria, mérés


A matematikai látásmód és a képi problémamegoldó képesség fejlesztése a korábbanfelismert fogalmak, összefüggések tudatosításával, általánosításával, elvontabb szintreemelésével. A bizonyítási igény felkeltése. Olyan képességek (térszemlélet, finommani-pulációs képesség) alapozása, amelyekre nemcsak a matematika, hanem a szakmaitárgyak (például a mûszaki rajz) tanulásában is szükség lesz.

Jellemzõk



Amennyiben a helyi tanterv csak heti 3 órát biztosít a matematika számára, akkor erre atémakörre csupán 30−35 óra marad, ami a kerettantervben elõírt követelményeknek csakredukált szintû teljesítését teszi lehetõvé.

A mérésekkel kapcsolatos ismereteket a számtan, algebra, illetve az összefüggések,függvények, sorozatok témakörökhöz kapcsolódóan is gyakoroltassuk.

Ha az elmúlt tanévben a tengelyes tükrözésre, illetve a deltoidra nem fordítottunk kellõóraszámot, akkor ezekre az anyagrészekre további órákat kell szánnunk.

A vektorokkal kapcsolatos ismeretrendszer szükséges egyes fizikában tanult fogalmak,illetve matematikában a párhuzamos szárú szögpár fogalmának kialakításához. Ezértfeltétlenül javasoljuk, hogy már a 7. osztályban foglalkozzunk a vektorokkal és ehhezkapcsolódóan az eltolással, esetleg úgy, hogy a kör kerületét, területét és a körhengert a8. osztályban tanítjuk.


A geometria tanításával egy jelentõs szemléletváltást is meg kell alapoznunk. Elsõ-sorban a gimnáziumi tagozatra járó, illetve a középiskolába készülõ tanulóknak fokoza-tosan fel kell ismerniük a következõket:

1. Különbséget kell tennünk a rajzolás és a meghatározott szabályok szerint elvégzettszerkesztés között.

2. Mit jelent egy fogalmat definiálni? Mikor helyes egy definíció? Melyek az alapfogalmak,melyek a definiált fogalmak?

3. Mi a tétel? Mi a különbség a definíció és a tétel között?4. Mit jelent a bizonyítás? Mi a különbség a szemléletre támaszkodó sejtés és a logikailag

helyes következtetésekkel levezetett bizonyítás között? Mit kell bizonyítanunk és mitnem?



Mérések, mértékegységek

A mérésekrõl, mértékegységekrõl tanul-tak alkalmazása a matematika különbözõtémaköreihez tartozó feladatokban. A ko-rábban és az újonnan (például a számoknormálalakjáról, a hasáb felszínérõl éstérfogatának számításáról) tanultak ösz-szekapcsolása.

A hosszúság, a tömeg, az ûrtartalom ésaz idõ mérésének, szabványos mérték-egységeinek, a köztük lévõ kapcsolatok-nak az ismerete, alkalmazása egyszerûfeladatokban.

A tanultak alkotó alkalmazása az újanyag feldolgozása során, illetve a ter-mészettudományi tantárgyakhoz kapcso-lódó feladatokban is.

Síkidomok, testek

Alapfogalmak, alaptételek. Térelemek,kölcsönös helyzetük, rendszerezés.

Síkidomok. A sokszög fogalma, tulajdon-ságai, csoportosításuk. A sokszögek ke-rülete.

Szögmérés, szögfelezés, szögmásolás, aszögek fajtái.

A vektor fogalma. Vektorok ellentettje,összeadása, kivonása.Az elfordulás mérése irányított szöggel, forgásszö-gek.

Az alapvetõ geometriai fogalmak, elne-vezések, jelölések ismerete. A térelemekkölcsönös helyzetének felismerése konk-rét vizsgálatokban.

Sokszögek csoportosítása adott szem-pontok szerint.

Szögfelezés, szögmásolás.

A vektor fogalmának ismerete.

A vektorok ellentettjének, összegének,különbségének megszerkesztése konkrétfeladatokban. A fizikában tanultakkal (el-mozdulás, erõ) való kapcsolat felisme-rése.Az elfordulás mérése, az irányított szög és a for-gásszög fogalmának ismerete.




A terület fogalma, tulajdonságai, mérték-egységei. A deltoid, a paralelogramma, aháromszög, a trapéz területének kiszámí-tása átdarabolással, kiegészítéssel, azáltalános szabály megfogalmazása és al-kalmazása. A négyszög, tetszõleges sok-szögek területének kiszámítása három-szögekre bontással.A kör kerülete, területe.

Egyenes körhenger fogalma, tulajdonságai, hálója,felszíne, térfogata.

Testek építése a tanult síkidomok fel-használásával.

A térfogat fogalma, mértékegységei.

Az egyenes hasáb származtatása, tulaj-donságai, hálózata, felszíne, térfogata.

A deltoid, a paralelogramma (négyzet,téglalap, rombusz), a háromszög, a tra-péz területének kiszámítása az általánosszabályok alkalmazásával. A terület szab-ványos mértékegységeinek ismerete.

Az egyenes hasáb felismerése, felszíné-nek, térfogatának meghatározása. A tér-fogat szabványos mértékegységeinek is-merete.

A deltoid, a paralelogramma, a három-szög, a trapéz területképletének leveze-tése átdarabolással, kiegészítéssel.

A szabályos sokszögek, illetve a tetszõ-leges sokszögek területének kiszámításaháromszögekre bontással.

Az egyenes hasáb értelmezése, tulaj-donságainak felsorolása, hálózatának fel-vázolása. A térfogatszámítás alkalmazá-sa a fizikában és a kémiában.

Egybevágósági transzformációk

A geometriai transzformáció mint pont-pont függvény értelmezése. Mozgások,transzformációk vizsgálata a síkon (par-kettán, koordináta-rendszerben) és a tér-ben. Az egybevágósági transzformációfogalma. A korábban tanultak tudatosítá-sa, rendszerezése, elmélyítése.

A tengelyes tükrözésrõl tanultak felele-venítése, kiegészítése. A tengelyes tük-rözés mint a síkon értelmezett egybevá-gósági transzformáció, illetve mint egytengely körüli 180°-os elforgatás a térben.

Az egybevágó alakzatok felismerése.

Az eltolás, a tengelyes tükrözés és aközéppontos tükrözés fogalmának ésalaptulajdonságainak ismerete. Három-szög, négyszög tengelyes tükrözéssel, il-letve középpontos tükrözéssel kapott ké-pének megszerkesztése.

Tengelyesen szimmetrikus alakzatok fel-ismerése.

A geometriai transzformáció és az egy-bevágóság fogalmának ismerete.

Az eltolás fogalma, alaptulajdonságai. Azeltolás mint egybevágósági transzformá-ció, megadása, végrehajtása, tulajdonsá-gai. Egyállású szögek.

Az elforgatás szemléletes fogalma, azelforgatás mint egybevágósági transz-formáció.Az elforgatás megadása, tulajdonságai, egyszerûalakzatok elforgatása. Forgásszimmetrikus alakza-tok.

Az elforgatás fogalmának és alaptulajdonságainakismerete. Egyszerû alakzat elforgatással kapottképének megszerkesztése. A forgásszimmetrikusalakzatok felismerése, annak megállapítása, hogya forgásszimmetrikus alakzat milyen forgatásokkalhozható fedésbe önmagával.

Középpontosan szimmetrikus alakzatokfelismerése.

Az egybevágósági transzformációk alkalmazásaegyszerû szerkesztésekben, bizonyításokban.




Merõleges szárú szögek.

A középpontos tükrözés fogalma, alaptu-lajdonságai, kapcsolata az elforgatással.A középpontos tükrözés mint egybevágó-sági transzformáció. A középpontos tük-rözés megadása a középponttal; pont,szakasz, szög, egyéb alakzatok közép-pontos tükrözése. Középpontosan szim-metrikus alakzatok vizsgálata.

Fordított állású szögek, csúcsszögek,180°-ra kiegészítõ szögek, mellékszögek.

A szabályos sokszögek fogalma, külön-bözõ szimmetriáik vizsgálata.

A párhuzamos szárú szögek és a merõ-leges szárú szögek származtatása, felis-merése ábrákon, alakzatokon, az össze-függések alkalmazása számításokban,bizonyításokban.

A sokszögekrõl tanultak kiegészítése

A háromszögrõl az elõzõ években tanul-tak rendszerezése. A háromszögek cso-portosítása adott szempontok szerint.Összefüggések a háromszög külsõ ésbelsõ szögei között, a háromszög oldalaiközött. A háromszög magasságai. Há-romszögek egybevágóságának alapese-tei.

A háromszög fogalma, a speciális há-romszögek tulajdonságainak felismerése,háromszögek megszerkesztése a leg-egyszerûbb esetekben. A háromszögbelsõ szögei közti kapcsolat ismerete, al-kalmazása számításokban.

A háromszög külsõ és belsõ szögei köztiösszefüggések ismerete, alkalmazásukszerkesztési, számításos és bizonyításifeladatokban. A háromszögek egybevá-gósági alapeseteinek ismerete. Három-szögek szerkesztése a tanult egybevágó-sági esetek felhasználásával.

A négyszögekrõl, speciális négyszögek-rõl az elõzõ években tanultak rendszere-zése, csoportosításuk adott szempontokszerint. A négyszögek tulajdonságai.Négyszögek szerkesztése.

A deltoidról tanultak felelevenítése, a hiá-nyosságok pótlása.

A paralelogramma értelmezése és ameghatározásból következõ egyéb tulaj-donságok. A középpontosan tükrös négy-szög, a paralelogramma. A paralelogram-mák osztályozása adott szempontok sze-rint. Speciális paralelogrammák. Parale-logrammák szerkesztése.

A négyszög fogalmának ismerete.

A deltoid fogalma, legfontosabb tulajdon-ságainak felismerése.

A paralelogramma és a speciális parale-logrammák (rombusz, téglalap, négyzet)fogalma, legfontosabb tulajdonságaik fel-ismerése.

A trapéz és a speciális trapézok fogalma,legfontosabb tulajdonságaik felismerése.

A négyszögek, speciális négyszögek fo-galmának, tulajdonságainak biztos isme-rete, e fogalmak közti kapcsolatok felis-merése.




A trapéz meghatározása és a meghatá-rozásból következõ tulajdonságok. Spe-ciális trapézok. Trapéz szerkesztése.A tengelyes tükrözés, az eltolás, az elforgatás és aközéppontos tükrözés tulajdonságainak alkalmazá-sa egyszerû szerkesztési, számolási és bizonyításifeladatokban.

Eltolás, elforgatás, középpontos tükrözés helyette-sítése két tengelyes tükrözéssel.

Összefüggés a háromszög szögei és oldalai között.

A deltoid, húrtrapéz, paralelogramma,speciális paralelogrammák szimmetria-viszonyainak meglátása, alkalmazásukszámításokban, szerkesztésekben.

A négyszög belsõ szögei összegénekmeghatározása.

A deltoid, a trapéz és a paralelogrammabelsõ szögei közti kapcsolat ismerete,alkalmazása számításokban, szerkeszté-sekben.Négyszög, speciális négyszögek szerkesztése aháromszögszerkesztés, illetve a speciális négyszö-gek tulajdonságainak felhasználásával.

A szerkesztési feladatok megoldásmeneténekmegismerése. Törekvés a felismert összefüggésekbizonyítására.



A matematikai látásmód fejlesztése. A mindennapi véletlen jelenségek értelmezése.

Jellemzõk

Nem tanítjuk külön témakörként. Ténylegesen végeztessünk valószínûségi kísérleteket(játékokat). Értelmeztessük különbözõ statisztikai kiadványok táblázatait, grafikonjait.



Egyszerû valószínûségi kísérletek vég-zése, a kimenetel becslése, megfigyelé-se, lejegyzése. A becslés és a valóságoskimenetel összehasonlítása. A relatívgyakoriság meghatározása. A valószínû-ség kiszámítása. A kiszámított valószínû-ség és a relatív gyakoriság összehason-lítása. A valószínûségi kísérletekben,illetve a mindennapi életben megfigyeltesemények kimeneteleinek statisztikaifeldolgozása.

Statisztikai adatokat tartalmazó tábláza-tokról, grafikonokról adatok leolvasása,összefüggések megfigyelése, értelme-zése. A gyakoriság fogalma.

Egyszerû kísérletekben a valószínûségbecslése, a kimenetelek lejegyzése, a re-latív gyakoriság kiszámítása.

Statisztikai adatok gyûjtése, rendezése,rendszerezése, elemzése, értelmezése,ábrázolása grafikonnal, diagrammal.


8. osztály

Javasolt óraszám

A kötelezõ órakeretbõl: 3 óra/hét. Javasolt óraszám a kiegészítõ órakeretbõl: 1 + 1óra/hét. Legalább a kiegészítõ órát differenciált csoportbontásban célszerû megszervezniúgy, hogy egy órát az órarendben is rögzített felzárkóztató gyakorlásra, a másik órátközépiskolai elõkészítésre, illetve szakkörre biztosítsunk (a tanulók igényeinek megfe-lelõen).


Taneszközök

Hajdu Sándor: Matematika 8. A, alapszintû tankönyvHajdu Sándor: Matematika 8. B, tankönyv, bõvített változat (2003-tól)Hajdu Sándor: Matematika 8. feladatainak megoldásaHajdu Sándor: Matematika 7−8. GyakorlóHajdu Sándor: Matematika 7−8. Feladatgyûjtemény, tehetséggondozó tanulói segédletHajdu Sándor: Témazáró felmérõ feladatsorok. Matematika 8. osztály. Tanulói példányHajdu Sándor: Matematika 8. Program, tanári segédletHajdu Sándor: Témazáró felmérõ feladatsorok. Matematika 8. osztály. Tanári példány

Zsebszámológép (négyzetgyökvonásra is alkalmas)


A középiskolába készülõ tanulóknak a kerettantervben ajánlottnál bõvebb tananyagot kellmegtanulniuk, azt mélyebben és alaposabban kell elsajátítaniuk, összetettebb feladatokatkell megoldaniuk, mint azoknak, akik csupán szakmai képzésre készülnek. Ezért a8. osztályos tankönyv is alapszintû és bõvített változatban jelenik meg. A bõvített változatkiegészítõ részei olyan anyagrészeket és feladatsorokat is tartalmaznak, amelyek lehetõ-séget nyújtanak a tehetségesebb, esetleg gimnáziumi tagozatra járó vagy középiskolábakészülõ tanulók optimális fejlesztésére. Az alapszintû és a kiegészítõ részek össze-hangolásához a Program nyújt segítséget. Ez a szerkezeti megoldás lehetõvé teszi azt,hogy a törzsanyagot a tanulók együtt tanulják, míg a kiegészítõ anyagrészeket különórákon. Így azokban az iskolákban is mód nyílik a differenciálásra, amelyekben nemoldható meg a tehetség szerinti csoportbontás.

A fentiek azt is jelentik, hogy az átlagosnál gyengébb osztályokban nem szükséges ateljes tankönyvet feldolgozni, illetve a nem középiskolába készülõ tanulóknak mindentmegtanítani. A Program tartalmaz ajánlásokat a különbözõ szintû és mélységû tananyag-feldolgozások megtervezéséhez, a feladatok kiválasztásához.

A témazáró felmérõ feladatsorok úgy illeszkednek a különbözõ követelményszintekhez,hogy egy alapszintû és egy emelt szintû értékelési normára tesznek ajánlást (vagy eltérõfeladatokkal vagy azonos feladatok eltérõ minõsítésével).




A matematika további tanulásához, illetve más tantárgyakban és a mindennapi életbenvaló eszközszerû alkalmazásához szükséges gondolkodási képességek és beállítódáskialakítása.

A gimnáziumi tagozatra járó, illetve a középiskolába készülõ tanulók a 8. évfolyamvégére váljanak képessé az induktív és a deduktív ismeretszerzésre egyaránt. A konkrétpéldákban megfigyelteket legyenek képesek általánosítani, a megismert fogalmakattudják definiálni, az összefüggéseket tételként megfogalmazni, ismerjék a különbséget asejtés és a bizonyítás között. Ugyanakkor az elvont összefüggéseket, szabályokat legye-nek képesek értelmezni, bizonyítani, konkrét példákban alkotó módon alkalmazni.

Jellemzõk

Összóraszám: 6−8 óra a halmazmûveletek és a kombinatorikában tanultak tudatosí-tására.


Az e témakörhöz tartozó ismereteket nagyrészt eszközszerûen, a matematika mindentémaköréhez kapcsolódóan alkalmazzuk a fogalmak közti összefüggések feltárásakor.Ezért a fenti óraszám nem teljes.

A témakörhöz tartozó, a halmazmûveletekkel, majd a kombinatorikával kapcsolatosismeretek tudatosítását, rendszerezését önálló témaként is feldolgozhatjuk. Jobb cso-portban konkrét feladatok megoldására támaszkodva eljuthatunk az általánosításig,esetleg a jelölések bevezetéséig is. Ám ha a helyi tanterv csak heti 3 órát biztosít amatematika számára, akkor ettõl az elvontabb szintû feldolgozástól el kell tekintenünk.

A középiskolába készülõ tanulóktól fokozatosan várjuk el a definíciók, tételek szabatosmegfogalmazását, a gondolatmenetek logikai rendezését, a szaknyelv helyes haszná-latát. Ugyanakkor minimumszinten is célszerû megkövetelnünk az egyszerûbb szövegekértelmezését és a nyelv logikai elemeinek ismeretét. Ezen követelmények teljesítésenélkül a tanuló nem válhat képessé az önálló tanulásra.



A „minden”, „van olyan”, „és”, „vagy”,„ha ..., akkor ...”, „pontosan akkor ...,ha ...”, „akkor és csak akkor ..., ha ...” ki-fejezések helyes használata, átfogalma-zása más, egyezõ jelentésû formára, azilyen kijelentések tagadása.

Ismert halmazok egymáshoz való viszo-nyának vizsgálata. Részhalmazok kép-zése adott szempontok szerint.

Ismert elemeket tartalmazó halmaz ele-meinek csoportosítása, rendezése, rend-szerezése adott szempontok szerint.

A bõvülõ tartalomnak megfelelõ egyszerûmatematikai szövegek értelmezése. A„nem”, a logikai „és”, a logikai „vagy”, a„ha ..., akkor ...”, valamint a „minden”,a „van olyan” kifejezések alkalmazása.




A „nem” és a halmaz komplementere, az„és” és a halmazok metszete, a „vagy” ésa halmazok uniója közti kapcsolat tuda-tosítása, e halmazmûveletek értelmezé-se.

A tanult halmazalgebrai és logikai alapokeszközszerû alkalmazása az ismeretekrendszerezésében, állítások igazságánakeldöntésében, sejtések megfogalmazásá-ban, a fogalmak közti kapcsolatok feltárá-sában, összefüggések bizonyításában.

A bõvülõ tartalomnak megfelelõ matema-tikai szövegek: definíciók, tételek, ma-gyarázatok értelmezése. Egyszerû ésösszetettebb szöveges feladatok megol-dása a matematika minden témaköréhezkapcsolódóan. Szövegalkotás.

Változatos kombinatorikai feladatok meg-oldása különbözõ módszerekkel:

a lehetõségek számának táblázatba fog-lalása;

az adatok közötti összefüggés megállapí-tása, megjelenítése;

a felismert összefüggésre általánosíthatómagyarázat keresése.

Kombinatorikai gondolatmenetek eszköz-szerû alkalmazása konkrét feladatokbana matematika minden témakörében.

Néhány matematikatörténeti érdekességmegismerése, nagy magyar matematiku-sok munkássága.

Középiskolába készülõk számára javasoltanyagrészekA halmazmûveletekrõl tanultak általánosítása, a je-lölések bevezetése.

Megfordítható és meg nem fordítható állítások ke-resése a matematika különbözõ témaköreiben.

A kombinatorika rendszerezettebb, mélyebb feldol-gozása.

Szöveges feladatok megoldása a mate-matika minden témakörében.

Ismert alaphalmaz elemeirõl annak el-döntése, hogy igazzá tesznek-e egy nyi-tott mondatot vagy sem. Az „alaphalmaz”,„nyitott mondat”, „igazsághalmaz” kifeje-zések ismerete.

A „pontosan akkor ..., ha ...”, „akkor éscsak akkor ..., ha ...” kifejezések helyeshasználata. A „minden”, „van olyan” tí-pusú állítások átfogalmazása, igazolásavagy megcáfolása. Állítások igazságánakeldöntése.

Matematikai szövegek elemzése, értel-mezése, lefordítása a matematika nyel-vére. Összetettebb szöveges feladatokmegoldása. Szövegalkotás. A szaknyelvhelyes használata. A felismert, illetve el-sajátított fogalmak, tulajdonságok, össze-függések, bizonyítások gondolatmeneté-nek szóbeli megfogalmazása.

A logikai és a halmazmûveletek, a helyeskövetkeztetési sémák egyre tudatosabbalkalmazása a fogalmak közti kapcsola-tok feltárásában, megjelenítésében, a de-finíciók és tételek megfogalmazásában, abizonyítások gondolatmenetének felépí-tésében.

Kombinatorikus feladatok megoldása so-rán a lehetõségek táblázatba foglalása,elemzése, az összefüggések megálla-pítása, megjelenítése, az összes esetrendszerezett felsorolása.


Számtan, algebra


A számokkal, illetve algebrai kifejezésekkel kapcsolatos ismeretek és eljárások (beleértvea zsebszámológép használatát is) kiegészítése és begyakorlása. A tanultak eszközszerûalkalmazásának képessége és igénye a matematika egyéb témaköreiben és a fizika,kémia, technika stb. tanulása során, illetve a mindennapi életben. Az esetleges hiányos-ságok pótlása. Az induktív és a deduktív fogalomalkotó és problémamegoldó képességalakítása.

Jellemzõk

Összóraszám: 45−55 tanóra.

Otthoni munkára javasolt idõ: 25−35 óra. (Ebbe az órakeretbe beszámítottuk az egészévi folyamatos ismétlést is!)

Legalább 40 órát akkor is biztosítsunk erre a témakörre, ha a helyi tanterv alapján csakheti 3 órában tanítjuk a matematikát. Ebben az esetben a tanultak begyakoroltatásárakevés idõ jut, s a szöveges feladatok egy részét el is kell hagynunk.

Javasoljuk, hogy ebben az évben is részletesen foglalkozzunk a számok normálalak-jával, a százalékszámítással és a szöveges feladatokkal. Amennyiben a szükséges ala-pok nem megfelelõek, akkor a hiányosságok pótlására több órát kell fordítanunk (példáula halmazmûveletekkel vagy az egyenletekkel való foglalkozások rovására), illetve gondo-sabban kell beépítenünk ezeket az ismereteket a folyamatos ismétlésbe. A taneszközökbõ teret biztosítanak a tananyag ilyen felépítésére is.

Legkésõbb a 8. osztályban gyakoroltassuk be a zsebszámológépek használatát.Ha elegendõ idõnk van rá, akkor a kerettanterv elõírásain túllépve célszerû értel-

meznünk legalább a 10 nempozitív egész kitevõjû hatványait is. Ez nem jelent gondot atanulóknak, és késõbb kamatosan megtérül a megtanítására felhasznált néhány óra.Ugyanis a fizika és a kémia tanulása során szükség van erre az ismeretre, továbbá ennekbirtokában sikeresebben használhatja a tanuló a zsebszámológépet.

Javasoljuk, hogy az egyenletekkel, egyenlõtlenségekkel foglalkozó fejezetet feladat-gyûjteménynek tekintsék a kollégák, és a helyi tanterv sajátosságait, a társtantárgyakhozvaló kapcsolódás lehetõségeit (no meg a középiskolai felvételi vizsgák idõpontját) figye-lembe véve építsék be ezeket az anyagrészeket a tananyag különbözõ fejezeteibe.



Számok és mûveletek

A racionális számokról tanultak rendsze-rezése: a racionális számok felírhatók kétegész szám hányadosaként, ha a nevezõnem zérus, a racionális szám felírhatóvéges tizedestört vagy végtelen szaka-szos tizedestört alakban.

A racionális számok olvasása, felírásukkülönbözõ alakban, nagyság szerinti ösz-szehasonlításuk, nagyságrendjük megál-lapítása, adott pontosságú közelítõ érté-kük megadása. A racionális számok (kö-zelítõ) helyének meghatározása a szám-egyenesen.




Mûveletek értelmezése. Mûveletek tet-szõleges alakban adott racionális szá-mokkal. Mûveleti azonosságok rendsze-rezése, alkalmazásuk a számítások egy-szerûsítésében. Mûveleti sorrend, záróje-lek használata, a számítások megterve-zése. Számolás kerekített értékekkel (azeredmény elõzetes becslése). A zseb-számológép használatának begyakor-lása.

Hatványozás, számolás hatványokkal, is-merkedés a 10 egész kitevõjû hatványa-ival.

A négy alapmûvelet biztos elvégzése(írásban vagy zsebszámológéppel) bár-milyen alakú racionális számmal. Azeredmények elõzetes becslése.

A pozitív egész kitevõjû hatvány értelme-zése, meghatározása.

A racionális szám fogalmának értelme-zése, annak megértése, hogy a szám-egyenes nem mindegyik pontjához tarto-zik racionális szám.

A hatvány fogalmának és a hatványokkalvégzett mûveleti azonosságoknak az is-merete, értelmezésük, bizonyításuk, al-kalmazásuk egyszerûbb esetekben.

Az 1-nél nagyobb számok normálalakja,ismerkedés a 0 és 1 közé esõ számoknormálalakjával, illetve a normálalakbanadott számokkal (a zsebszámológép al-kalmazásával is) végzett mûveletekkel.

Számok négyzetének meghatározása, anégyzetgyök fogalma, meghatározása,zsebszámológép, esetleg táblázat alkal-mazásával.

Ismerkedés a valós számokkal:

a valós számok „befedik” a számegye-nest,

a valós számok a racionális és az irraci-onális számok,

az irracionális számok végtelen, nemszakaszos tizedestört alakban írhatók fel.

Arány, arányos osztás, egyenes és for-dított arányossági feladatok, aránypár,mennyiségek törtrésze, százalékszámí-tás (a korábban tanultak felelevenítése,rendszerezése, begyakorlása, új anyag-ban történõ alkalmazása).

Az oszthatósággal kapcsolatosan koráb-ban tanultak rendszerezése.

1-nél nagyobb számok normálalakjánakértelmezése, felírása.

A négyzetgyök fogalmának ismerete;számok négyzetének, 1 és 100 közé esõszám négyzetgyökének meghatározásazsebszámológép segítségével.

Egyenes és fordított arányosság felisme-rése, egyszerû feladatok megoldása kö-vetkeztetéssel. A százalékérték, az alapés a százalékláb kiszámítása a másikkettõ ismeretében.

Számok osztóinak, többszöröseinek, kétszám közös osztójának és közös több-szörösének meghatározása egyszerûbbesetekben.

Egyszerû szöveges feladatok megoldásaa tanult témakörökkel kapcsolatosan.

Számok normálalakjának értelmezése,felírása, alkalmazása számításokban.

Maximális begyakorlottság összetett fel-adatokban a racionális számokkal vég-zett számítások megtervezésében, azeredmények elõzetes becslésében, amûveletek végrehajtásában, beleértve ahatványozást és a négyzetgyökvonást is.A tanult azonosságok célszerû alkalma-zása a számítások egyszerûsítésében.




Az arány fogalmának ismerete. Arányososztással, egyenes és fordított arányos-sággal kapcsolatos összetettebb felada-tok megoldása. Az aránypár fogalmánakismerete, az aránypár ismeretlen tagjá-nak kiszámítása. Összetettebb százalék-számítási feladatok értelmezése, megol-dása.

Számok osztóinak, többszöröseinek, kétszám közös osztójának és közös több-szörösének meghatározása az osztható-sági szabályok és a számok prímténye-zõkre bontásának alkalmazásával.

Algebrai kifejezések, egyenletek,egyenlõtlenségek

Algebrai egész kifejezések értelmezése,helyettesítési értékének kiszámítása.Egynemû kifejezések, összevonásuk.Egytagú, illetve többtagú algebrai kifeje-zések szorzása egytagú kifejezéssel.Többtagú kifejezés szorzattá alakításakiemeléssel.

Az egyenlet, egyenlõtlenség, azonosság,azonos egyenlõtlenség, alaphalmaz,megoldáshalmaz fogalma. Egész- éstörtegyütthatós elsõfokú egyenletek ésegyenlõtlenségek megoldása mérlegelv-vel, a megoldás során az azonos és ek-vivalens egyenletre vezetõ átalakításokalkalmazása.

Szöveges feladatok megoldása követ-keztetéssel, egyenlettel („típusfeladatok”is). Becslés. A megoldás létezésének el-döntése, ellenõrzés a szöveg alapján.

Egyszerû algebrai egész kifejezések ér-telmezése, helyettesítési értékének ki-számítása, egynemû kifejezések össze-vonása, algebrai kifejezések szorzásaszámmal; alkalmazásuk a matematikaegyéb témaköreiben (például a felszín-számítási képletek felírásában), illetve afizikában és a kémiában, a legegysze-rûbb esetekben.

Egyszerû elsõfokú egyenletek, egyenlõt-lenségek megoldása, a megoldás ellen-õrzése. Egyszerû egyenlettel megoldha-tó szöveges feladatok értelmezése, azadatok közti kapcsolatok önálló felírásaegyenlettel, az egyenlet megoldása, amegoldás ellenõrzése a szöveg alapján.

Egytagú, illetve többtagú algebrai kifeje-zések szorzása egytagú kifejezéssel.Többtagú kifejezés szorzattá alakításakiemeléssel. A tanult azonosságok isme-rete és alkalmazása a számítások ész-szerûsítésében, ellenõrzésében, algebraikifejezések átalakításában, az egyenle-tek, egyenlõtlenségek megoldása során.A mérlegelv tudatos alkalmazása. Azegyenlõtlenség megoldásának ellenõrzé-se a komponensek változtatásáról tanul-tak alkalmazásával.




Egyenlettel megoldható szöveges felada-tokban lévõ probléma feltárása, az ada-tok között a szükségesek és a felesle-gesek megkülönböztetése, a szükségesadatok közötti kapcsolatok megállapítása,a keresett adat (adatok) meghatározása.A feladat megoldási tervének egyenlet,egyenlõtlenség formájában történõ meg-fogalmazása, az eredmény becslése, amegoldás (megoldások) megkeresése,ellenõrzése, az eredeti probléma tükré-ben történõ megvizsgálása.

Gimnáziumi tagozaton ajánlott kiegészítõanyagrészekA hatványozás fogalmának és a tanult azonossá-goknak a kiterjesztése a 0 és a negatív egész kite-võkre (ismerkedés a permanenciaelvvel).

A racionális számok tizedestört alakja.

A 2 négyzetgyöke nem racionális szám.

Ismerkedés nem elsõfokú egyenletek megoldásá-val.

Néhány nevezetes azonosság megismerése.

A 0 és 1 közé esõ számok normálalakjának alkal-mazása.

Algebrai törtek értelmezési tartománya, helyettesí-tési értékének kiszámítása.

Többtagú kifejezés szorzása többtagú kifejezéssel.A tanult nevezetes azonosságok alkalmazása.

Összetettebb szöveges feladatok megoldásaegyenlettel.



Az induktív és a deduktív fogalomalkotás képességének alakítása a fogalmak köztikapcsolatok tudatosításával, az általános összefüggések felismertetésével, megfogalma-zásával és alkalmazásával. A tanultak eszközszerû alkalmazása a matematika egyébtémaköreiben és a fizika, kémia, technika stb. tanulása során, illetve tapasztalati függvé-nyek esetében a mindennapi életben. A problémaérzékenység, ötletgazdagság fejlesz-tése különbözõ megoldások keresésével.

Jellemzõk

Óraszám: 15−25 óra.


Legalább 15 órát akkor is szánjunk erre a témakörre, ha a helyi tanterv alapján csak heti3 matematikaóra van. Ebben az esetben nem törekedhetünk az elvontabb fogalmakkialakítására, a sorozatok mélyebb megismerésére, ezért a középiskolába készülõ tanu-lóinkkal külön kell foglalkoznunk.


Fontos az elmúlt években tanultak rendszerezése, gyakorlása, alkotó alkalmazása azúj ismeretek szerzésében (például a számok négyzetének és négyzetgyökének értel-mezésében, statisztikai vizsgálatokban). Fontos, hogy a tanulók a függvényrõl tanultakatgyakorlati jellegû feladatokban, a fizika, kémia, földrajz tanulásakor alkalmazni tudják.

A sorozatokról tanultakat önálló anyagként tekintjük át és egészítjük ki. Ez a témakör isalkalmas a problémaérzékenységnek, a magasabb szintû matematikai ismeretszerzõ ésproblémamegoldó gondolkodás képességének fejlesztésére.



Összefüggések

Konkrét rendezési relációk, ekvivalencia-relációk és egyéb összefüggések vizsgá-lata a különféle matematikai témákhozkapcsolódva.

A tanult összefüggések felismerése, al-kalmazása konkrét feladatokban (például:„osztható”, „kisebb”, „ugyanabba a rész-halmazba tartozik”, „párhuzamos”, „tü-körképei egymásnak”, „egybevágó”, „ha-sonló”).

Ismert alaphalmaz elemeinek rendezése,rendszerezése, csoportosítása adott vagyfelismert reláció alapján.

Függvények

A függvényekrõl tanultak rendszerezése.

Két halmaz közti hozzárendelések (relá-ciók) különbözõ megjelenítése konkrétfeladatok megoldásához kapcsolódóan.A függvény mint egy adott halmazonértelmezett egyértelmû hozzárendelés.Tapasztalati függvények megadása táb-lázattal, grafikonnal. Kapcsolat a görbealakja és a függvény által leírt jelenség,törvényszerûség között. Szöveggel meg-adott függvények vizsgálata.

A lineáris függvény fogalma, grafikusábrázolása, menetének vizsgálata. Azegyenes arányosság és a konstans függ-vény mint speciális lineáris függvény.

A derékszögû koordináta-rendszer biztosismerete.

Táblázattal, grafikonnal adott tapasztalatifüggvény értelmezése, menetének vizs-gálata. Táblázat kitöltése adott szabály,grafikon alapján. Grafikonok megrajzo-lása táblázat segítségével.

Táblázattal, formulával adott lineárisfüggvény grafikonjának megrajzolása.

A függvénnyel kapcsolatos fogalomrend-szer ismerete, alkalmazása a többi téma-kör rendszerezésekor. A megfeleltetésekközül a függvénykapcsolat kiválasztása.

Táblázattal, szöveggel, formulával adottlineáris függvény értelmezése, grafikon-jának megrajzolása, menetének vizsgála-ta, a tanultak alkalmazása a matematikamás témaköreiben, illetve egyéb tantár-gyakban.




Néhány nemlineáris függvény (például afordított arányosság, az abszolútérték-függvény, a másodfokú függvény, anégyzetgyökfüggvény) vizsgálata.

A lineáris függvény és az elsõfokú egyen-let kapcsolata. Egyenletek, egyenlõtlen-ségek grafikus megoldása.

A fordított arányosság mint függvény,az abszolútérték-függvény, a másodfokúfüggvény, a négyzetgyökfüggvény isme-rete, értelmezése, grafikonjuk megrajzo-lása.

Szöveggel adott lineáris függvényhez,fordított arányossághoz a szabály felírá-sa, táblázat kitöltése.

Sorozatok

Konkrét sorozatok értelmezése, vizsgá-lata a racionális számokról és az algebraikifejezésekrõl tanultak gyakorlására, sza-bályok keresése.

A sorozat mint függvény.

A számtani sorozat értelmezése, folyta-tása, tulajdonságainak vizsgálata, a kü-lönbségsorozat fogalma, a számtani so-rozat n-edik eleme.

A mértani sorozat értelmezése, folytatá-sa, tulajdonságainak vizsgálata, a hánya-dossorozat fogalma, a mértani sorozatn-edik eleme.

Konkrét sorozat folytatása adott egyszerûszabály alapján, a sorozat változásánakmegfigyelése.

Néhány elemével adott sorozathoz sza-bályok keresése, a sorozat többféle foly-tatása adott vagy felismert szabályokalapján.

A számtani és a mértani sorozat értel-mezése, képzési szabályuk felismerése,tulajdonságaik vizsgálata, a sorozatokn-edik elemének meghatározása konkrétn esetén.

Gimnáziumi tagozaton ajánlott kiegészítõanyagrészekFüggvények összekapcsolása több lépésben is; vál-tozótranszformációk, illetve függvényérték-transz-formációk. A függvény és transzformáltjának grafi-konja közötti kapcsolat megfogalmazása geomet-riai transzformációkkal.

Néhány érdekes sorozat megismerése, szabályokkeresése.

A számtani sorozat, illetve a mértani sorozat n-ediktagjának és az elsõ n tag összegének meghatáro-zása, az általános összefüggés megállapítása, bi-zonyítása, alkalmazása.

A függvénnyel kapcsolatos fogalmak értelmezése,a definíciók szabatos megfogalmazása. A transz-formált függvények grafikonjának megrajzolása.

Nemlineáris egyenletek és egyenlõtlenségek grafi-kus megoldása.

Sorozatokkal kapcsolatos feladatok megoldása aképletek alkalmazásával, következtetéssel, egyen-lettel.


Geometria, mérés


A matematikai látásmód, a képi fogalomalkotó és problémamegoldó képesség fejlesztésea bõvülõ tartalomnak és a magasabb absztrakciós szintû tevékenységnek megfelelõen.A bizonyítási igény felkeltése, a matematikai ismeretszerzéssel kapcsolatos szemléletmegváltozása.

Gyakorlottság a körzõ és a vonalzó használatában.

Jellemzõk



A mérésekkel kapcsolatos ismereteket a számtan, algebra, illetve az összefüggések,függvények, sorozatok témakörökhöz kapcsolódóan is gyakoroltathatjuk.

Amennyiben a helyi tanterv csak heti 3 órát biztosít a matematika számára, akkor errea témakörre csupán 30−35 óra marad. Ez azt jelenti, hogy a kötelezõ óraszámban akerettanterv elõírásait csak felületesen tudjuk megvalósítani, nem jut elég idõ a tanultakelmélyítésére, begyakorlására, a középiskolai szemléletmód elõkészítésére. Ezért a lema-radókkal és a középiskolákba készülõkkel külön kell foglalkoznunk.

A 7. osztályban megalapozott szemléletváltás 8. osztályban teljessé válik: a fogalmakatkorábbi ismeretekre építve definiáljuk, az összefüggéseket tételként fogalmazzuk meg,és logikailag helyes következtetésekkel bizonyítjuk, a számításos feladatoknál nemmérjük, hanem felismert összefüggések alapján kiszámítjuk az adatokat, az alakzatokatnem megrajzoljuk, hanem megszerkesztjük. Elsõsorban a gimnáziumi tagozatra járó,illetve a középiskolába készülõ tanulóknak kell magukévá tenniük ezt az új szemléletet.

A mintatanterv élt azzal a lehetõséggel, hogy bizonyos anyagrészeket évfolyamokközött felcseréljen a következõk miatt:

1. Az alsó tagozatos tananyag és követelményrendszer folytatásaként javasoljuk, hogy7. osztályban az egybevágósági transzformációk teljes rendszerével foglalkozzunk,majd az ott szerzett tapasztalatokat 8. osztályban mélyítsük el.

2. A kerettanterv ajánlásaival ellentétben javasoljuk a hasonlósággal kapcsolatos ismere-tek feldolgozását a középpontos hasonlóság értelmezése elõtt. Ez a tárgyalásmódkapcsolódik szervesen az alsó tagozatban, illetve a földrajzban, technikában korábbantanultakhoz.

3. A fentiek ellensúlyozására javasoljuk, hogy a kör kerületével, területével és a körhen-gerrel a 8. osztályban foglalkozzunk.

A tankönyvekben viszont „átfedésekkel” biztosítjuk, hogy a kerettanterv szerinti felépí-tés alapján is feldolgozható legyen a tananyag.




Mérések, mértékegységek

A mérésekrõl, mértékegységekrõl tanul-tak alkalmazása a matematika különbözõtémaköreihez tartozó feladatokban.

A hosszúság, a tömeg, az ûrtartalom ésaz idõ mérésének, szabványos mérték-egységeinek, a köztük lévõ kapcsolatok-nak az ismerete, alkalmazásuk egyszerûfeladatokban.

A mérésekrõl, mértékegységekrõl tanul-tak alkotó alkalmazása a matematika kü-lönbözõ témaköreiben, illetve a termé-szettudományi tantárgyakban is. A szá-mok normálalakjáról, a négyzetre eme-lésrõl és négyzetgyökvonásról tanultakalkalmazása.

Síkidomok, felületek, testek

Alapfogalmak, alaptételek, elnevezések,jelölések. Térelemek, kölcsönös helyze-tük.

A vektor fogalma. Vektorok ellentettje,összeadása, kivonása.Vektorok szorzása egy számmal (ismerkedés).

Síkidomok. A sokszögekrõl tanultak ösz-szegzése, kiegészítése. A sokszögek ke-rülete. A szabályos sokszögek fogalma,tulajdonságai.

Szögmérés, a szögekkel kapcsolatosszerkesztések, a szögek fajtái. Az elfor-dulás mérése irányított szöggel, forgás-szögek. Szögpárok. Egyenes és sík, ill.két sík által bezárt szög értelmezése.

Ponthalmazok távolsága, adott tulajdon-ságú ponthalmazok felismertetése, alkal-mazásuk szerkesztésekben, összefüggé-sek feltárásában, bizonyításokban.

A háromszögrõl az elõzõ években tanul-tak rendszerezése, kiegészítése. A há-romszögek csoportosítása adott szem-pontok szerint. Összefüggések a három-szög külsõ és belsõ szögei között, a há-romszög oldalai között. Háromszögekegybevágóságának alapesetei.

Az alapvetõ geometriai fogalmak, elne-vezések, jelölések és szerkesztési eljárá-sok ismerete. A térelemek kölcsönöshelyzetének felismerése.

Sokszögek csoportosítása adott szem-pontok szerint. A sokszög kerületének ki-számítása.

Szög mérése szögmérõvel, a fok isme-rete. A szögek fajtáinak felismerése.

A szakaszfelezõ merõleges és a szögfe-lezõ tulajdonságainak ismerete, meg-szerkesztésük. A háromszög legfonto-sabb tulajdonságainak ismerete, alkalma-zása. Háromszögek szerkesztése alap-esetekben.

A szögpárok származtatása, felismeréseábrákon, alakzatokon, az összefüggésekalkalmazása számításokban és bizonyí-tásokban.

Az elfordulás mérése, az irányított szögés a forgásszög fogalmának ismerete.

A vektor fogalmának ismerete. A vekto-rok ellentettjének, összegének, különb-ségének, valahányszorosának megszer-kesztése konkrét feladatokban. A tanul-tak alkalmazása a fizikában.




Az egybevágóság feltételeinek, illetveponthalmazok tulajdonságainak felhasz-nálása háromszögek szerkesztésében.A háromszög nevezetes egyenesei, pontjai és kö-rei, az összefüggések felismertetése és bizonyítá-sa: a háromszög oldalfelezõ merõlegesei, a köré írtkör; szögfelezõ egyenesei, a beírt köre; magas-ságegyenesei, magasságpontja; középvonalai;súlyvonalai, súlypontja.

Pitagorasz tétele, igazolása átdarabolás-sal, a tétel megfordítása, alkalmazásaszámításos feladatokban. A négyzettáb-lázat vagy a zsebszámológép haszná-lata.

A négyszögekrõl, speciális négyszögek-rõl az elõzõ években tanultak rendszere-zése. A speciális négyszögek értelme-zése, tulajdonságaik vizsgálata, a fogal-mak közti kapcsolatok áttekintése. Négy-szögek szerkesztése. A négyszögek,speciálisan a trapézok, deltoidok, parale-logrammák belsõ szögei közti összefüg-gések felismertetése, alkalmazásuk szá-mításokban, szerkesztésekben.

A terület fogalma, tulajdonságai, mér-tékegységei. A háromszög és a speciálisnégyszögek területképleteinek alkalma-zása. Tetszõleges sokszögek területénekkiszámítása háromszögekre bontással.

A körrõl tanultak kiegészítése, a kör ke-rülete, területe.

A térfogat fogalma, mértékegységei.

A Pitagorasz-tétel ismerete, felhaszná-lása egyszerû feladatokban.

A terület szabványos mértékegységeinekismerete. A háromszög, a speciális négy-szögek területének kiszámítása az álta-lános szabályok alkalmazásával. A körkerületének és területének kiszámítása.

A térfogat mértékegységeinek ismerete.

A háromszög nevezetes egyeneseinek, pontjainakmegszerkesztése, adott háromszög köré írt köré-nek és beírt körének megszerkesztése.

A Pitagorasz-tétel ismerete, bizonyítása,felhasználása például vektorok összegé-nek, sokszögek területének, testek fel-színének meghatározásában, olyan fel-adatokban, amelyekben a hiányzó adatPitagorasz tételével kiszámítható.

A deltoid, a paralelogramma, a három-szög, a trapéz területképletének leveze-tése átdarabolással, kiegészítéssel.

Tetszõleges sokszögek területének ki-számítása háromszögekre bontással. Aterület mértékegységeinek átváltása. Aterületszámítás alkalmazása sokszögla-pokkal határolt testek felszínének kiszá-mításában, illetve a fizikában és a gya-korlati életben.

A körrõl tanultak ismerete, a kör kerüle-tének, adott középponti szöghöz tartozókörív hosszának, a körlap, a körgyûrû ésa körcikk területének kiszámítása.

A térfogat szabványos mértékegységei-nek átváltása. Az ûrtartalom és a térfogatmértékegységei közti kapcsolat ismerete,alkalmazása. A térfogatszámítás alkal-mazása a fizikában és a kémiában(például a tömeg, sûrûség és térfogatközti összefüggés vizsgálatában).




Az egyenes hasáb és az egyenes kör-henger származtatása, tulajdonságaik,hálójuk, felszínük, térfogatuk. Henger-szerû testek. Ismerkedés a gúlával, a gú-la származtatása, hálója, felszíne.

Az egyenes hasáb (a kocka, a téglatest),a körhenger és a gúla felismerése. Azegyenes hasáb felszínének, térfogatánakmeghatározása.

Az egyenes hasáb, egyenes körhenger,gúla származtatása, tulajdonságaik felso-rolása, hálójuk felvázolása, felszínük ki-számítása. Az egyenes körhenger térfo-gatának meghatározása.

Geometriai transzformációk

A geometriai transzformáció mint pont-pont függvény értelmezése. Mozgások,transzformációk vizsgálata a síkon és atérben.

Az egybevágósági transzformáció fogal-mának felelevenítése, a tanult egybevá-gósági transzformációk rendszerezése.Szimmetriák értelmezése, vizsgálata,alkalmazásuk háromszögek, speciálisnégyszögek, szabályos sokszögek vizs-gálatában.

A hasonlóság fogalma, a hasonlóságarányának értelmezése; nagyítás, kicsi-nyítés adott arány szerint. A hasonlóságalkalmazása gyakorlati jellegû felada-tokban. A hasonlóság mint geometriaitranszformáció. A síkidomok, sokszögekhasonlóságának feltételei. Az egybevá-góság mint a hasonlóság speciális esete.Háromszögek hasonlóságának alapesetei, hasonlóháromszögek szerkesztése. A háromszögek ha-sonlóságán alapuló számítási, szerkesztési és bi-zonyítási feladatok. A párhuzamos szelõk tételénekelõkészítése.

Az egybevágó, illetve a hasonló alakza-tok felismerése.

Az eltolás, a tengelyes tükrözés és a kö-zéppontos tükrözés fogalmának és alap-tulajdonságainak ismerete. Egyszerûalakzat tengelyes tükrözéssel, eltolással,illetve középpontos tükrözéssel kapottképének megszerkesztése. Tengelyesenszimmetrikus alakzatok felismerése.

A hasonlóságról tanultak alkalmazásaalaprajzok, térképek, nézeti rajzok értel-mezésében. Szakasz egyenlõ részekreosztásának megszerkesztése.

A geometriai transzformáció, az egybe-vágóság, a hasonlóság és a középpontoshasonlóság mint geometriai transzformá-ció fogalmának ismerete.Az elforgatás fogalmának és alaptulajdonságainakismerete. Egyszerû alakzat elforgatással kapottképének megszerkesztése. A forgásszimmetrikusalakzatok felismerése, annak megállapítása, hogyegy forgásszimmetrikus alakzat milyen forgatások-kal hozható fedésbe önmagával.




A középpontos hasonlóság mint geo-metriai transzformáció.A vektorok skalárral való szorzásának elõkészíté-se. A középpontos hasonlóság segítségével meg-oldható számítási, szerkesztési feladatok.

A hasonlóság feltételeinek, tulajdonsága-inak ismerete, alkalmazása kicsinyítettvagy nagyított kép adott arány szerintimegrajzolásában, a hiányzó adatok ki-számításában (gyakorlati jellegû felada-tokban is).

A háromszögek hasonlósága alapesetei-nek ismerete. A háromszögek hasonló-ságán alapuló számítási és szerkesztésifeladatok megoldása.

Középpontosan hasonló sokszögek szer-kesztése adott arány szerint.

Gimnáziumi tagozaton ajánlott kiegészítõanyagrészekAz egybevágósági és a hasonlósági transzformá-ciókról, az adott tulajdonságú ponthalmazokról ta-nultak alkalmazása szerkesztési és bizonyítási fel-adatokban.

Thalész tétele, a tétel és megfordításának bizonyí-tása. A Thalész-tétel alkalmazása szerkesztések-ben, érintõ szerkesztése körhöz. A párhuzamosszelõk tétele.

Összetettebb feladatok megoldása a hasonlóságtémakörébõl; szakasz arányos felosztása.

Hasonló síkidomok területének, hasonló testek fel-színének, térfogatának aránya.

Az euklideszi szerkesztés eljárásainak és a szer-kesztési feladatok megoldásmenetének ismerete.Vázlatkészítés, a szerkesztés menetének leírása, aszerkesztés helyességének igazolása. A felismertösszefüggések bizonyítása.

A Pitagorasz-tétel alkalmazása összetettebb sík-és térgeometriai feladatokban.

A Thalész-tétel ismerete, alkalmazása szerkeszté-sekben.

Összetettebb számítási, szerkesztési feladatokmegoldása a hasonlóság témakörébõl; szakaszarányos felosztásának alkalmazása. Hasonló sík-idomok területe, hasonló testek felszíne, térfogataarányának meghatározása.




Az elmúlt években szerzett tapasztalatok rendszerezése, tudatos szintre emelése.A matematikai látásmód fejlesztése. A matematika gyakorlati alkalmazhatóságának felis-mertetése.

Jellemzõk



A valószínûségi kísérletekkel, számításokkal és a statisztikai vizsgálatokkal a tankönyv ésa Matematika 7−8. Feladatgyûjtemény külön alpontokban foglalkozik. Ez lehetõvé tesziönálló órák megszervezését ezen anyagrészek feldolgozására.



Egyszerû valószínûségi kísérletek vég-zése, a kimenetel becslése, megfigye-lése, lejegyzése, táblázatba rendezése. Abecslés és a valóságos kimenetel ösz-szehasonlítása. A relatív gyakoriság fo-galma, meghatározása. A valószínûségkiszámítása kombinatorikus gondolatme-nettel. A kiszámított valószínûség és arelatív gyakoriság összehasonlítása.

A valószínûségi kísérletekben, illetve amindennapi életben megfigyelt esemé-nyek kimeneteleinek statisztikai feldolgo-zása. A kimenetelek különbözõ szem-pontok szerinti kategorizálása, rendezé-se. A megoszlások szemléltetése külön-bözõ diagramokkal, táblázatokkal. Adat-halmazok elemzése (módusz, medián,terjedelem) és értelmezése. Az átlagmeghatározása, az eredmények átlagkörüli szóródásának megfigyelése (ta-pasztalatszerzés).

Két változó véletlen kapcsolatának meg-figyelése, ábrázolása.

Statisztikai adatokat tartalmazó tábláza-tokról, grafikonokról adatok leolvasása,összefüggések megfigyelése, értelmezé-se. Az átlag kiszámítása.

Egyszerû kísérletekben a valószínûségbecslése, esetleg meghatározása, a ki-menetelek lejegyzése, a relatív gyakori-ság kiszámítása.

Statisztikai adatok gyûjtése, rendezése,rendszerezése, elemzése, értelmezése,ábrázolása grafikonnal, diagrammal, leg-gyakoribb adat, középsõ adat meghatá-rozása.


matematika 1 8. mintatanterv -...

Documents