matematika dasar
DESCRIPTION
Materi Kuliah Mata Kuliah Matematika DasarTRANSCRIPT
DIKTAT BAHAN KULIAH
MATEMATIKA
UNI 612105 BOBOT 3(3-0)
SEMESTER I
OLEH
YOHANNES
NIP. 195204071986031001
JURUSAN TEKNIK SIPIL
FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS LAMPUNG
AGUSTUS 2012
i
KATA PENGANTAR
Matematika adalah ilmu dasar dalam bidang keteknik-sipilan. Banyak permasalahan
teknik sipil yang dapat diatasi dengan pendekatan matematika. Oleh karena itu penguasaan
bidang ilmu ini sangat penting bagi seorang mahasiswa teknik sipil.
Diktat ini disusun sesuai dengan kurikulum 2012 bagi mahasiswa S1 Teknik Sipil
Fakultas Teknik Universitas Lampung untuk memudahkan pemahaman dalam perkuliahan,
walaupun tidak menutup kemungkinan dipergunakan juga oleh para alumni atau teknisi yang
berkepentingan dengan masalah matematika. Diktat ini berisi penjelasan singkat mengenai
konsep matematika disertai tuntunan praktis dalam contoh-contoh perhitungan. Rumus-rumus
yang ditampilkan tidak diuraikan penjabarannya secara rinci namun hanya dibahas
penggunaannya saja. Oleh karena itu, jika ingin mempelajari Matematika lebih mendalam,
dianjurkan mempelajari buku teks lainnya.
Terima kasih penulis sampaikan kepada para rekan dosen dan mahasiswa yang
memberi saran dan kritik demi penyempurnaan buku ini. Semoga diktat ini bermanfaat.
Bandarlampung, 16 Agustus 2012
Penulis, Yohannes
ii
DAFTAR ISI Halaman
JUDUL KATA PENGANTAR …………………………………………… i DAFTAR ISI …………………………………………… ii DAFTAR GAMBAR …………………………………………… iii
Bab I Sistem Bilangan 1.1 Himpunan Bilangan Real …………………………………………… 1 1.2 Pertidaksamaan …………………………………………… 2 1.3 Harga Mutlak …………………………………………… 3
Tugas Mandiri Bab I …………………………………………… 4
BAB II Fungsi dan Grafik 2.1 Pengertian Fungsi …………………………………………… 5 2.2 Menggambar Grafik …………………………………………… 6 2.3 Fungsi Trigonometri …………………………………………… 7
Tugas Mandiri Bab II …………………………………………… 9
BAB III Limit 3.1 Limit Fungsi Aljabar …………………………………………… 10 3.2 Limit Fungsi Trigonometri …………………………………………… 11 3.3 Kontinuitas …………………………………………… 12
Tugas Mandiri Bab III …………………………………………… 13
BAB IV Turunan / Diferensial 4.1. Definisi Turunan …………………………………………… 14 4.2. Turunan Fungsi Aljabar …………………………………………… 15 4.3. Turunan Fungsi Trigonometris ………………........…………………….. 16 4.4. Gradien Garis Singgung …………………………………………… 17 4.5. Fungsi Naik, Stasioner dan Fungsi Turun ............................................ 19
Tugas Mandiri Bab IV …………………………………………… 20
BAB V Turunan Fungsi Transenden 5.1 Pendahuluan …………………………………………… 22 5.2 Fungsi Logaritma Natural …………………………………………… 22 5.3 Fungsi Eksponen …………………………………………… 23 5.4 Fungsi Inversi Trigonometri …………………………………………… 25 5.5 Fungsi Hiperbolik …………………………………………… 27 5.6 Fungsi Inversi Hiperbolik …………………………………………… 28
Tugas Mandiri Bab V …………………………………………… 29
BAB VI Turunan Fungsi Berbagai Variabel 6.1 Geometri Fungsi Dua Variabel …………………………………………… 31 6.2 Turunan Parsial Fungsi Dua Variabel ................................................. 32 6.3 Turunan Parsial Lebih Tinggi …………………………………………… 33 6.4 Turunan Fungsi Implisit …………………………………………… 33 6.5 Bidang Singgung dan Garis Normal ……………………………………. 34 6.6 Menentukan Jenis Titik Ekstrim …………………………………………… 35 6.7 Turunan Parsial Fungsi Parameter ……………………………………… 35 6.8 Diferensial Total …………………………………………… 36
Tugas Mandiri Bab VI …………………………………………… 37
Sumber Pustaka .......………………………………………………................… 39
iii
DAFTAR GAMBAR
Halaman
Gambar 1.1 Sketsa Bilangan Real …………………………………………… 1 Gambar 1.2 Skala Bilangan …………………………………………… 1 Gambar 1.3 Interval Hingga …………………………………………… 1 Gambar 1.4 Interval tak Hingga …………………………………………… 1 Gambar 2.1 Grafik Fungsi y = – x + |x| ……..….…………………………… 5 Gambar 2.2 Grafik Fungsi f(x) …………………………………………… 6 Gambar 2.3 Grafik Fungsi f(x) …………………………………………… 6 Gambar 2.4 Segitiga ABC …………………………………………… 7 Gambar 2.5 Fungsi y = sin x …………………………………………… 7 Gambar 2.6 Fungsi y = cos x …………………………………………… 7 Gambar 2.7 Fungsi y = tan x …………………………………………… 8 Gambar 2.8 Grafik y = 2sin ½ (x + 1/3 π) ………………....................…. 8 Gambar 2.9 Grafik y = sin2x dan y = cosx .………………....................…. 8 Gambar 3.1 Sketsa Limit Barisan …………………………………………… 10 Gambar 4.1 Gradien Garis Singgung ............………………………...…… 17 Gambar 4.2 Fungsi Naik, Stasioner dan Fungsi Turun .…………………… 18 Gambar 4.3 Grafik Fungsi y = x3 + x2 ………………………………………. 18 Gambar 4.4 Grafik Fungsi y = x3 – x2 – 8x + 2 …………................……… 19 Gambar 6.1 Paraboloida Eliptik …………………………………………… 31 Gambar 6.2 Bola pusat di (0, 0,0) jari-jari r ...........……….…………………... 31 Gambar 6.3 Elipsoida berpusat di (0, 0, 0) …….................………………… 31 Gambar 6.4 Hiperboloida berdaun satu ……….................………………… 32 Gambar 6.5 Silinder Parabolik …………………………………………… 32 Gambar 6.6 Hiperboloida berdaun dua ……………..........………………… 32 Gambar 6.7 Kerucut Eliptik …………………………………………… 32 Gambar 6.8 Bidang Singgung dan Garis Normal ..........………………… 32
1
BAB I SISTEM BILANGAN
1.1 Himpunan Bilangan Real
Himpunan bilangan real terdiri atas bilangan rasional dan irrasional. Rincian terlihat pada gambar 1.1
Dikenal juga bilangan imajiner yaitu √ –1. Paduan bilangan real dan bilangan imajiner disebut bilangan kompleks. Ditulis a + b√ –1, dimana a dan b bilangan real. Bila i = √ –1 maka ditulis menjadi a + bi.
Sifat-sifat urutan bilangan: 1. Trikotomi : jika x dan y suatu bilangan, berlaku: x < y atau x = y atau x > y 2. Transitif : jika x < y dan y < z maka x < z 3. Penambahan : jika x < y jika dan hanya jika x + z < y + z 4. Perkalian : jika z positip maka x < y jika dan hanya jika xz < yz
jika z negatip maka x < y jika dan hanya jika xz > yz
Skala bilangan merupakan penampilan secara grafis dari himpunan bilangan real oleh simbol titik-titik pada sebuah garis. Garis tersebut dinamakan garis bilangan. Setiap bilangan dinyatakan hanya oleh satu titik, dan demikian pula sebuah titik hanya mewakili sebuah bilangan. Jika a dan b adalah dua bilangan berbeda dan a < b, maka a terletak di sebelah kiri b pada garis bilangan tersebut.
Interval bilangan dapat dibedakan atas interval hingga dan interval tak hingga.
a. Interval hingga: jika a dan b adalah dua bilangan real berbeda dimana a < b, himpunan bilangan x antara a dan b dikatakan memiliki interval hingga. Titik a dan b disebut titik ujung interval.:
o Terbuka : a < x < b o Tertutup : a ≤ x ≤ b o Semi Terbuka : a < x ≤ b atau a ≤ x < b
b. Interval tak hingga: jika a sebuah bilangan real, maka himpunan bilangan x yang memenuhi x <
a, x ≤ a, x > a, atau x ≥ a, dikatakan memiliki interval tak hingga.
x
a b interval terbuka
a < x < b
x
a b interval tertutup
a ≤ x ≤ b
x
a b interval semi terbuka
a < x ≤ b
x
a b interval semi terbuka
a ≤ x < b
Gambar 1.3 Interval Hingga
Gambar 1.2 Skala Bilangan
– 4 – 3 – 2 – 1 0 1 2 3 4
π 21/2 -3/2 -5/2
Gambar 1.4 Interval Tak Hingga
x
a interval tak hingga x < a
x
a interval tak hingga x ≥ a
Gambar 1.1 Sketsa Bilangan Real
Bilangan rasional
Bilangan irrasional : √2 = 1,4242...., π = 3,14159....., dll.
Bilangan real
bil. bulat
bil. pecahan ba , a dan b bulat
bil. bulat positip : 0, 1, 2, 3, 4, 5, ….
bil. asli : 1, 2, 3, 4, 5, ….
bil. bulat negatip : – 1, – 2, – 3, – 4….
bil. prima : 2, 3, 5, 7, 11, 13, ….
2
1.2 Pertidaksamaan
Pernyataan a < b, a > b, a ≤ b, dan a ≥ b disebut pertidaksamaan dengan beberapa ketentuan, yaitu:
(1) a > 0 jika dan hanya jika a positip (2) a < 0 jika dan hanya jika a negatip (3) a > 0 jika dan hanya jika – a < 0 (4) a < 0 jika dan hanya jika – a > 0 (5) jika a < b dan b < c, maka a < c (6) jika a < b dan c bilangan real, maka a + c < b + c (7) jika a < b dan c < d, maka a + c < b + d (8) jika a < b dan c bilangan positip, maka ac < bc (9) jika a < b dan c bilangan negatip, maka ac > bc (10) jika 0 < a < b dan 0 < c < d, maka ac < bd
Teorema: | x | < a jika dan hanya jika – a < x < a dimana a > 0 | x | > a jika dan hanya jika x < – a atau x > a
Contoh : Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan berikut
1. – 5 ≤ 2x + 6 < 4 Jawab: – 11 ≤ 2x < – 2 → – 11/2 ≤ x < – 1 HP : { x : – 11/2 ≤ x < – 1 }
2. x2 – x < 6 Jawab: faktorisasi (x – 3)(x + 2) < 0 Titik pemecah x = – 2 dan x = 3
berdasarkan skema garis bilangan itu diperoleh HP : { x : – 2 ≤ x < 3 }
3. 3x2 – x – 2 > 0 Jawab: faktorisasi (3x + 2)(x – 1) > 0 , titik pemecah x = - 2/3 dan x = 1
berdasarkan skema garis bilangan itu diperoleh HP : { x : x < – 2/3 atau x > 1 }
4. 02x1x ≥
+−
Jawab:
Jangan mengalikan kedua ruas dengan x+2, sebab angka pengali itu bisa positip atau negatip, Ttitik pemecahnya yaitu x = – 2 dan x = 1.
untuk x = 1, nilainya 0 dan x = – 2, nilainya ∞ HP : { x : x < – 2 atau x ≥ 1 }
5. 12x5x2 ≤
−−
Jawab:
Jangan mengalikan kedua ruas dengan x – 2, tapi pindahkan angka 1 ke ruas kiri
012x5x2 ≤−
−−
→ 02x2x
2x5x2 ≤
−−−
−−
→ 02x3x ≤
−−
HP : { x : 2 < x ≤ 3 }
6. x3 – 5x2 + 4x ≤ 0 Jawab: pertidaksamaan di atas dapat difaktorisasi menjadi x(x – 1)(x – 4) ≤ 0, sehingga terdapat 3 titik pemecah yaitu x = 0, x = 1, dan x = 4. Buat garis bilangan.
HP : { x : x ≤ 0 atau 1 ≤ x ≤ 4 }
7. (x + 1)(x – 1)2(x – 3) ≤ 0 Jawab: Ada 3 titik pemecah, yaitu x = – 1, x = 1, dan x = 3
HP : { x : – 1 ≤ x ≤ 3 }
– 2 3
0 0 + + –
2 3
∞ 0 + + –
– 2/3 1
0 0 + + –
– 2 1
∞ 0 + + –
0 1
0 0 + + –
4
– 0
– 1 1
0 0 + + –
3
– 0
3
8. Sebuah halaman berbentuk persegi panjang memerlukan pagar sepanjang 200 meter. Panjang salah satu sisinya adalah x meter. Nyatakan luas L sebagai fungsi dari x. Tentukan pula daerah dari x. Jawab:
Panjang pagar = 200 m. Jika lebar = x m, panjang = 100 – x m. Luas y = panjang x lebar = x (100 – x).
Fungsi L = x(100 – x) syarat x > 0 dan 100 – x > 0 atau x < 100 Daerah x adalah 0 < x < 100 meter.
9. Sebuah kertas berukuran 10 x 14 cm akan dibuat kotak terbuka bagian atasnya. lalu kertas
tersebut digunting ujung-ujungnya berbentuk bujur sangkar bersisi x. Nyatakan volume kotak itu sebagai fungsi x dan tentukan daerah x. Jawab:
Berdasarkan sketsa di samping diperoleh: V = panjang x lebar x tinggi V = (14 – 2x)(10 – 2x) x = 4(7 – x)(5 – x) x syarat volume > 0 atau V > 0, sehingga 4(7 – x)(5 – x) x > 0 Titik pemecah x = 0, x = 5, dan x = 7.
HP { x : 0 < x < 5 atau x > 7 } Namun x > 7 tidak mungkin sebab panjang = 14 – 2x akan menjadi negatip. Jadi daerah x adalah 0 < x < 5
1.3 Harga Mutlak
Harga mutlak | x | dari bilangan real x didefinisikan sebagai :
| x | = x jika x ≥ 0 dan
| x | = – x jika x < 0
Contoh :
1. Tentukan harga x yang memenuhi | 3x + 2 | = 5 Jawab: untuk 3x + 2 = 5, diperoleh x = 1 untuk – (3x + 2) = 5, atau – 3x – 2 = 5, diperoleh x = – 7/3 Jadi HP: { x: x = 1 atau x = – 7/3 }
2. Tentukan harga x yang memenuhi | 2x – 1 | = | 4x + 3 | Jawab: untuk 2x – 1 = 4x + 3, diperoleh x = – 2 untuk – (2x – 1) = 4x + 3, diperoleh x = – 1/3 Jadi HP: { x: x = – 2 atau x = – 1/3 }
3. Tentukan harga x yang memenuhi | 5x + 4 | = – 3 Jawab: Tidak ada harga x yang memenuhi sebab harga mutlak tidak mungkin negatip
4. Tentukan harga x yang memenuhi | x – 5 | < 4 Jawab: | x – 5 | < 4 sama dengan – 4 < x – 5 < 4 → 1 < x < 9. Jadi HP: { x: 1 < x < 9 }
5. Hitung: 13 + | – 1 – 4 | – 3 – | – 8 | jawab: 13 + | – 1 – 4 | – 3 – | – 8 | = 13 + 5 – 3 – 8 = 7
6. Selesaikan | 3x – 5 | ≥ 1 Jawab: untuk 3x – 5 ≤ – 1 diperoleh x ≤ 4/3 dan untuk 3x – 5 ≥ 1 diperoleh x ≥ 2
10 cm
14 cm
x x
14 – 2x 10 – 2x
0 5
0 0 + + –
7
– 0
x
100 – x
halaman
pagar
4
TUGAS MANDIRI BAB I
Tugas Subbab 1.1
Sederhanakan
1.
73
4911
73
4911
+
−
2. 2)22
5
2
1( −− .3.
3x6
x4
x32x
18+
+−+
4. 6x52x
2x2x
12x
6x2x
+−
−+
−
−+ 5. y311y2
12y9
y2y6
2−
+−−
+−
6.
3x5
1x5
3x42x
23x
x
−+
−
+−−
−
Tugas Subbab 1.2
1. Tentukan nilai yang memenuhi 03x42x
6x52x <+−
+−
2. Suatu persegi panjang, panjangnya lebih 3 cm daripada lebarnya. Jika lebarnya x cm dan luasnya minimum 15 cm2, tentukan sistem pertidaksamaannya.
3. Jika y = 2x + 1 dan x2 – 8x + 15 < 0, tentukan nilai y yang memenuhi.
4. Selesaikan 5x
77x
5+
>−
10. Selesaikan 06x22x4
3x52x2 <−+
−+
5. Selesaikan 11x7x2 ≤
−+
11. Selesaikan 04x6
4x32x <−
−−
6. Selesaikan 1x
1x2 <− 12. Selesaikan
x4
2)2x(
x2 ≥−
7. Selesaikan 142x
)4x2)(1x( <+
+− 13. Selesaikan (x – 2)(3 – x) ≥ 4(x – 2)
8. Selesaikan 022x
2x4 ≥+
− 14. Selesaikan 21
8x3
4x3
x +≥−
9. Selesaikan 05x62x
6x2 <+−
− 15. Selesaikan
3x42x
5
2x32x
3
+−<
+−
Tugas Subbab 1.3
1. Jika | 2x – 3 | < 1 dan 2x < 3, tentukan x
2. Jika | x – 2 |2 < 4 | x – 2 | + 12, tentukan x
3. Jika | –x2 + 2x – 2 | < 2, tentukan x
4. Jika | 2x + 1 | < | 2x – 3 |, tentukan x 5. Jika x ≥ 1 dan x | x – 1 | + | x | | x – 1 | ≤ 2x, tentukan x
6. Jika 11x2
3 >−
dimana x ≠ 1/2 , tentukan x.
7. Jika 0 < | x – 3 | ≤ 3, tentukan x
8. Tentukan himpunan penyelesaian untuk ketidak samaan berikut
a. 623x ≤− b. 63
x1 >−
c. 1x5
2 >+ d. 415x3 ≤+
5
BAB II FUNGSI DAN GRAFIK
2.1 Pengertian Fungsi
Definisi : Fungsi f adalah suatu aturan padanan yang menghubungkan tiap obyek x dalam suatu himpunan, yang disebut daerah asal, dengan sebuah nilai unik f(x) dari himpunan kedua. Himpunan nilai yang diperoleh secara demikian disebut daerah hasil fungsi tersebut. x disebut variabel bebas dan y = f(x) disebut variabel tak bebas. Contoh :
1. Diketahui f(x) = x2 – 2x, tentukan h
)4(f)h4(f −+ Jawab:
f(4) = 42 – 2.4 = 16 – 8 = 8
f(4+h) = (4+h)2 – 2(4+h) = 16 + 8h + h2 – 8 – 2h = 8 + 6h + h2
h)4(f)h4(f −+
= h
2hh6 + = 6 + h
2. Diketahui g(x) = x1
, tentukan h
)a(g)ha(g −+
Jawab: h
)a(g)ha(g −+ =
ah2a
1h1
.a)ha(
hh
a1
ha1
+−=
+−=
−+
3. Jika f(x) = x2 – x maka tentukan f(x – 1)
Jawab f(x – 1) = (x – 1) 2 – (x – 1) = x2 – 2x + 1 – x + 1 = x2 – 3x + 2
Bila daerah asal tidak dirinci, berarti daerah asal itu adalah himpunan bilangan real terbesar, dimana aturan fungsi itu bermakna dan memberi nilai bilangan real. Daerah asal itu disebut daerah asal alamiah.
Contoh:
1. Tentukan daerah asal alamiah untuk (a) f(x) = 3x
1−
(b) g(t) = 2t9 −
Jawab: (a) daerah asal alamiah fungsi tersebut adalah x = seluruh bilangan real untuk x ≠ 3. (b) agar tidak menjadi bilangan imajiner, syaratnya 9 – t2 ≥ 0.
(3 + t)(3-t) ≥ 0. Titik pemecah t = – 3 dan t = 3, diperoleh – 3 ≤ t ≤ 3. Jadi daerah asal adalah HP: {t: – 3 ≤ t ≤ 3}
2. Diketahui : Daerah asal x = { – 4, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2} dan fungsi y = – x + | x | Tentukan : daerah hasil fungsi tersebut dan gambarkan grafiknya
Jawab:
y = – x + | x |
x y
– 4 8
– 3 6
– 2 4
– 1 2
0 0
1 0
2 0
–4 –3 –2 –1 0 1 2
2
4
6
8
Fungsi y = – x + x
sumbu x
sumbu y
Gambar 2.1 Grafik Fungsi y = – x + x
6
2.2 Menggambar Grafik
Beberapa fungsi khusus yang sering dijumpai adalah:
a. Fungsi identitas : f(x) = x b. Fungsi konstan : f(x) = a dimana a = konstanta c. Fungsi modulus (nilai mutlak) : f(x) = x jika x ≥ 0
–x jika x < 0 d. Fungsi tangga : 0 jika 0 ≤ x < 1 f(x) = 1 jika 1 ≤ x < 2
2 jika 2 ≤ x < 3 e. Fungsi linier : f(x) = ax + b, dimana a dan b konstanta f. Fungsi kuadrat : f(x) = ax2 + bx + c, dimana a, b, dan c konstanta Contoh :
1. Gambarkan grafik dari fungsi x + 1 jika x > 3 f(x) = 2 jika – 2 ≤ x ≤ 3 2x + 3 jika x < – 2
jawab:
2. Gambarkan grafik fungsi
– x untuk – 3 ≤ x ≤ – 1 y = x2 – 2 untuk – 1 < x ≤ 2 x + 1 untuk 2 < x ≤ 3
Jawab
2. Suatu fungsi linier f: x → cx32 + , memetakan 6 ke 5. Tentukan x sehingga f(x) = 0
Jawab: Fungsi linier tersebut dapat ditulis menjadi y = cx32 +
Memetakan 6 ke 5, artinya untuk x = 6 didapat y = 5. Dengan memasukkan nilai x dan y ke fungsi tersebut diperoleh 5 = 2/3. 6 + c atau c = 1.
Jadi persamaan tersebut adalah y = 1x32 + . Jika f(x) = 0, maka 1x
32 + = 0, didapatkan x = –
23
x y
– 4 – 5 – 3 – 3 – 2- – 1 – 2 2 – 1 2 0 2 3 2 3+ 4 4 5
1 2 3 4 –2 –1 –3 –4 –1
–2
–3
1
2
3
4
5
0
–4
–5
Gambar 2.2 Grafik Fungsi f(x)
x y
– 3 3 – 1 1 – 1+ – 1
0 – 2 1 – 1 2 2 2+ 3 3 4
Gambar 2.3 Grafik Fungsi f(x)
0 1 2 3 –2 –1 –3 –1 –2
–3
1
2
3
4
X
Y
7
2.3 Fungsi Trigonometri
Untuk mempelajari fungsi trigonometri, perlu diulang kembali rumus-rumus trigonometri :
sin2x + cos2x = 1 1 + tan2x = sec2x 1 + cot2x = csc2x
Rumus penjumlahan Rumus pengurangan
sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y sin(x – y) = sin x cos y – cos x sin y
cos(x + y) = cos x cos y – sin x sin y cos(x – y) = cos x cos y + sin x sin y
tan(x + y) = ytanxtan1ytanxtan
−+
tan(x – y) = ytanxtan1ytanxtan
+−
Rumus sudut ganda
sin 2x = 2 sin x cos x cos 2x = cos2 x – sin2 x = 1 – 2 sin2 x = 2 cos2 x – 1
tan 2x = xtanxcot
2
1x2cot
xcot2
x2tan1
xtan2−
=−
=−
Rumus perkalian
sin x cos y = 21
{sin(x+y) + sin(x – y)} sin x sin y = 21
{cos(x+y) – cos(x – y)}
cos x sin y = 21
{sin(x+y) – sin(x – y)} cos x cos y = 21
{cos(x+y) + cos(x – y)}
Rumus faktor
sin x + sin y = 2
yxcos
2yx
sin2−+
cos x + cos y = 2
yxcos
2yx
cos2−+
sin x – sin y = 2
yxsin
2yx
cos2−+
cos x – cos y = 2
yxsin
2yx
sin2−+−
Rumus Sinus Rumus Cosinus
γ
=β
=α sin
csin
bsin
a a2 = b2 + c2 – 2 bc cos α
b2 = a2 + c2 – 2 ac cos β
c2 = a2 + b2 – 2 ab cos γ
Persamaan
a. Jika sin x = sin a, maka . b. Jika cos x = cos a, maka x = a + k.360o x = a + k.360o x = (1800 – a) + k.3600 x = – a + k.360o
c. Jika tan x = tan a, maka x = a + k.180o d. Jika cot x = cot a, maka x = a + k.180o a. Fungsi Sinus :
Bentuk sederhana : y = sin x dimana: x dalam satuan sudut atau radian y dalam satuan jarak
b. Fungsi Cosinus
Bentuk sederhana : y = cos x dimana: x dalam satuan sudut atau radian y dalam satuan jarak
0o 90o 180o 270o 360o
Gambar 2.5 Fungsi y = sin x
Y
X
0o 90o 180o 270o 360o
Gambar 2.6 Fungsi y = cos x
Y
X
α β
γ C
B A
c
Gambar 2.4 Segitiga ABC
a b
8
c. Fungsi Tangen Bentuk sederhana : y = tan x dimana: x dalam satuan sudut atau radian y dalam satuan jarak
Contoh :
1. Gambarkan sketsa grafik y = )31x(
21sin2 π+ untuk interval 0o ≤ x ≤ 360o.
Jawab: 1/3 π = 60o
x y x y 0o 1 210o 1,414
30o 1,414 240o 1 60o 1,732 270o 0,518 90o 1,932 300o 0 120o 2 330o – 0,528 150o 1,932 360o – 1 180o 1,732
2. Tentukan titik potong persamaan y = sin 2x dan y = cos x dalam interval 0o ≤ x ≤ 360o. Gambarkan sketsa kedua grafik dan titik potongnya.
Jawab Bila kedua persamaan di atas dipotongkan diperoleh sin 2x = cos x atau sin 2 x = sin (90o – x) berdasarkan persamaan di atas diperoleh a. 2x = 90o – x + k.360o didapat 3x = 90o + k.360o atau x = 30o + k.120o
untuk k = 0 maka x = 30o dan y = 0,866, untuk k = 1 maka x = 150o dan y = – 0,866 untuk k = 2 maka x = 270o dan y = 0
b. 2x = 180o – (90o – x) + k.360o didapat 2x = 90o + x + k.360o atau x = 90o + k.360o untuk k = 0 maka x = 90o dan y = 0 Jadi himpunan titik potong adalah { (30o, 0,866), (90o, 0), (150o, – 0,866), (270o, 0) }
Penggambaran grafiknya sbb
y = sin 2x y = cos x
Gambar 2.9 Grafik y = sin 2x dan y = cos x
x y x y x y x y x y 0o 0 135o – 1 255o 0,5 0o 1 210o – 0,866 15o 0,5 150o –0,866 270o 0 30o 0,866 240o – 0,5 30o 0,866 165o – 0,5 285o – 0,5 60o 0,5 270o 0 45o 1 180o 0 300o –0,866 90o 0 300o 0,5 60o 0,866 195o 0,5 315o – 1 120o – 0,5 330o 0,866 75o 0,5 210o 0,866 330o –0,866 150o – 0,866 360o 1 90o 0 225o 1 345o – 0,5 180o – 1 105o – 0,5 240o 0,866 360o 0 120o – 0,866
0o 90o 180o 270o 360o 0
1
– 1
– 2
2
Gambar 2.8 Grafik y = )31x(
21sin2 π+
90o 180o
270o 360o 0o
y = sin 2x y = cos x
Gambar 2.7 Fungsi y = tan x
X
00 1800 3600
Y
2700 900
9
TUGAS MANDIRI BAB II
Tugas Subbab 2.1
1. Diketahui 22x
1x)x(f
+
−= , hitung f(0), f(2a), dan f(x1
)
2. Jika f(x) = 6x
52x3+
− , hitunglah f(0) + 6f(2)
3. Jika f(x) = 6x
52x3+
− , tentukan f(2) + 6 f(–3)
Tentukan daerah asal dari:
4. a. y = 162x − b. y = 2x16
1x22x
−
+−
5. a. y = 12x
12x
+
− b. y = 1xx2x
+−
Tugas Subbab 2.2
1. Gambarkan sketsa grafik a. y = x2 – 2x + 4 c. y = 2x2 – 4x + 3 b. y = x3 + x2 – 2x d. y = – 2x2 – 4x + 3
2. Gambarkan sketsa grafik
a. y = 5x
)3x)(2x(−
−− c. y = x4 – 2
3. Gambarkan sketsa grafik
x2 + 1 jika x ≤ – 2 f(x) = 2x – x2 jika – 2 < x ≤ 1 x + 3 jika x > 1
4. Gambarkan sketsa grafik
x jika x ≤ – 2 f(x) = x3 – 1 jika – 2 < x ≤ 1 x2 + 3 jika x > 1
Tugas Subbab 2.3
A. Gambarkan sketsa grafik untuk 0o < x < 3600
1. y = sin x – cos x 2. y = 2 sin (x + 21 π) + 1. 3. by = cos
21 x
4. y = 1 – cos 2x 5. x = sin 2y – 3 untuk 0o < y < 1800
B. Tentukan himpunan x untuk persamaan berikut
1. sin x = 0,5 untuk – 1800 < x < 1800 4. sin x = cos 2x untuk 0o < x < 3600
2. cos x = 221 untuk 0o < x < 7200 5. tan 2x = 3
31 untuk 0o < x < 1800
C. Tentukan titik potong antara antara fungsi-fungsi berikut
1. y = sin 2x dengan y = cos x untuk – 1800 < x < 1800
2. y = sin 21 x dengan y = cos
21 x untuk 0o < x < 7200
3. y = sin x + 1 dan y = – sin x – 1 untuk 0o < x < 3600
4. y = sin 3x dan y = 321 untuk 0o < x < 3600
10
BAB III LIMIT
3.1 Limit Fungsi Aljabar
Limit Barisan. Jika terdapat suatu barisan 1, 3/2, 5/3, 7/4, 9/5, …….., 2 – 1 /n, lalu diplotkan pada garis bilangan, maka untuk n sangat besar mendekati tak hingga, nilainya akan mendekati 2. Dikatakan bahwa limit barisan adalah 2 atau ditulis: 2)n/12(limulim
nn
n=−=
∞→∞→
Gambar 3.1 Sketsa Limit Barisan
Limit Fungsi. Jika diketahui fungsi f(x) = x2, maka untuk x mendekati 2, fungsi akan bernilai 4. Bila fungsi itu disajikan dalam tabel akan terlihat sebagai berikut
x 1,9 1,99 1,999 1,9999 1,99999 1,999999 ....... y 3,61 3,9601 3,996 3,9996 3,99996 3,999996 .......
Perhatikan, saat x semakin mendekati dua, maka y semakin mendekati 4. Secara matematis dituliskan sebagai
: 2x
lim)x(f2x
lim→
=→
x2 = 4
Limit Kiri dan Limit Kanan
Jika x mendekati a dari kiri, ditulis x → a– disebut limit kiri Jika x mendekati a dari kanan, ditulis x → a+ disebut limit kanan misalnya x → 2– maka nilai a = 1,9 1,99 1,999 1,9999 dan seterusnya x → 2+ maka nilai a = 2,1 2,01 2,001 2,0001 dan seterusnya
Gambar 3.2 Limit kiri dan limit kanan
Suatu fungsi dikatakan mempunyai limit jika limit kiri dan limit kanan ada dan bernilai sama. )x(f
axlim
−→ ada, berarti fungsi mempunyai limit kiri
)x(fax
lim+→
ada, berarti fungsi mempunyai limit kanan
Jadi, )x(fax
lim→
ada, berarti fungsi mempunyai limit kiri dan kanan dan bernilai limit sama
Contoh :
1. Tentukan limit untuk barisan berikut:
3, 5/2, 7/3, 9/4, 11/5, …….., 2+1/n, ……… Jawab : )n1
2(nlimnu
nlim +
∞→=
∞→ = 2
2. 29
627
3x9x32x
3xlim
)3x)(3x()9x32x)(3x(
3xlim
92x
273x
3xlim ==
+++
→=
+−++−
→=
−
−
→
Perhatian! Pernyataan x a berarti x ≠ a
2 mendekati 2 dari kiri mendekati 2 dari kanan
0 1 2
.........
3/2 5/3
11
3. Selidiki x/123
1
0xlim
+→
Untuk x → 0–, maka x/123
1
0xlim
+−→ =
31
031 =+
Untuk x → +0 , maka x/123
1
0xlim
++→ = 0
1 =∞
Karena limit kiri ≠ limit kanan, maka x/123
1
0xlim
+→ = tidak ada
4. 232x
1x
1xlim
−+
−→
= 232x
1x
1xlim
−+
−→
.232x
232x
++
++ =
432x
)232x)(1x(
1xlim
−+
++−
→
12x
)232x)(1x(
1xlim
−
++−
→ =
)1x)(1x()232x)(1x(
1xlim
−+++−
→ =
)1x(232x
1xlim
+++
→ = 2
24 =
5. h
3x3)hx(
0xlim
−+
→=
h
3x)3h2xh3h2x33x(
0xlim
−+++
→=
h
3h2xh3h2x3
0xlim
++
→
0xlim→
3x2 + 3xh + h2 = 3x2
3.2 Limit Fungsi Trigonometri
Dalam limit fungsi trigonometri dinyatakan persamaan sebagai berikut:
xsinx
0xlim→
= 1 x
xsin
0xlim→
= 1
xtanx
0xlim→
= 1 x
xtan
0xlim→
= 1
Contoh: Hitunglah
1. x4cos1x2cos1
0xlim
−−
→ =
)x22sin21(1
)x2sin21(1
0xlim
−−
−−→
= x22sin2
x2sin2
0xlim→
= 2)xcosxsin2(
x2sin
0xlim→
= x2cos4
1
0xlim→
= 41
2. xcos1
xtanx
0xlim
−→ =
x212sin2
xtanx
0xlim→
.x
21.x
21
x21.x
21
= x
212sin
x21x
21
21
0xlim→
.x
xtan
x41x = 2
3. 2x
nxcosmxcos
0xlim
−
→ =
2x
)nxmx(21sin)nxmx(
21sin2
0xlim
−+−
→
2x
x)nm(21sinx)nm(
21sin2
0xlim
−+−
→.
x)nm(21.x)nm(
21
x)nm(21.x)nm(
21
−+
−+ = –
21 (m + n)(m – n)
12
3.3 Kontinuitas
Fungsi f(x) disebut kontinu di x = x0, jika
a. f(x0) terdefinisi b.
oxxlim→
f(x) ada
c. oxx
lim→
f(x) = f(x0)
Contoh :
Selidiki apakah fungsi berikut kontinu. Jika tidak, di titik mana fungsi tersebut diskontinu.
1. Fungsi
>−≤+
=1xuntukx3
1xuntukx3)x(f
Jawab: Melihat fungsi di atas, titik yang perlu diselidiki adalah di x = 1
a. Fungsi f(x0) = f(1) = 3 + 1 = 4 → fungsi tersebut ada untuk x = 1 b.
0xxlim→
f(x) = −→1x
lim 3 + x = 4 (limit kiri) 0xx
lim→
f(x) = +→1x
lim 3 – x = 2 (limit kanan)
Karena limit kiri ≠ limit kanan, berarti tidak ada limit (syarat kedua tidak terpenuhi) Kesimpulan : fungsi tersebut diskontinu di x = 1
2. Fungsi 2x42x
)x(f−−= Jawab:
Titik yang perlu diselidiki adalah x = 2 dan x = – 2
Untuk x = 2
a. Fungsi f(x0) = f(2) = 00
2244 =
−−
= tak terdefinisi
syarat pertama tak terpenuhi. Jadi, fungsi diskontinu di x = 2
Untuk x = – 2
a. Fungsi f(x0) = f(–2) = 04
022
44 =−
=−−
− → fungsi tersebut ada untuk x = – 2
b. 0xx
lim→
f(x) = 2x
lim−→ 2x
42x−− =
2xlim
−→ 2x)2x)(2x(
−−+
= 2x
lim−→
(x + 2) = 0
c. 0xx
lim→
f(x) = f(x0) = 0
Karena memenuhi ketiga syarat, maka fungsi kontinu di x = – 2
3. Fungsi f(x) = 1x
5x42x−
−+ untuk x ≠ 1
6 untuk x = 1
Jawab: Titik yang perlu diselidiki adalah x = 1
a. Fungsi f(x0) = f(1) = 6
b. 0xx
lim→
f(x) = 1x
lim→ 1x
5x42x−
−+ = 1x
lim→ 1x
)1x)(5x(−
−+ = 6
c. 0xx
lim→
f(x) = f(x0) = 6
Kesimpulan, karena memenuhi ketiga syarat, fungsi kontinu di x = 1
syarat fungsi kontinu
13
TUGAS MANDIRI BAB III
Tugas Subbab 3.1
Hitunglah :
1. 3)1x(
2)1x3(
1xlim
+
−→
2. 1x
32x3x64x2
1xlim
−++−
→ 3. x2xx2x(
xlim −−+
∞→
4. 13x4
2x2x
xlim
−
−+
∞→ 5.
2a2x
3a3x
axlim
−
−
→ 6.
12x2x
4x
4xlim
−−
−
→
7. 52x3
2x4
2xlim
+−
−
→ 8.
2)1x(
2x2x
1xlim
−
−+→
9.
+−−−
∞→5x22x9)2x3(
xlim
10.
ba
bbaa
balim
−
−
→ 11.
2)1x(
2x2x
1xlim
−
−+→
12.
−−+
−−
→ 4x2x22x
2x82x2
2xlim
13. xx10
2x
xlim
+∞→ 14.
3a3x
ax)1a(2x
axlim
−
++−
→ 15.
−−
−→ 3x1
3x1
1
1xlim
Tugas Subbab 3.2
Hitunglah:
1. 3x
xsinxtan
0xlim
−
→ 2.
x21cos
x21cosxsin
xlim
+
π→ 3.
2/x2/cosxcos
2/xlim
π−π−
π→
4. ax
asinxsin
axlim
−−
→ 5.
xcos1x2sin
0xlim
−→ 6.
xx2sinx2tan
0xlim
−
→
7
xcos1x2sin2x
0xlim
−→ 8.
xcos21x3sin
0xlim
−→ 9.
x2cos1xcos1
0xlim
−−
→
Tugas Subbab 3.3
Selidiki kontinuitas fungsi-fungsi berikut dan gambarkan sketsa grafiknya
1.
=
≠−
−=
2xuntuk3
2xuntuk42x
83x)x(f 2. f(x) =
≥+<<−
≤+
2xuntuk3x
2x1untukx38
1xuntuk3x2
3. f(x) = 2x342x9
−− 4.
=
≠−
+−=
3xuntuk2
3xuntuk3x
3x42x)x(f
5. f(x) = 42x
164x
−
− 6. f(x) = 2)3x(
2x2x
−
−+
7. f(x) = 52x3
2x4
+−
− 8. f(x) =
6x52x
42x
+−
−
14
BAB IV TURUNAN / DIFERENSIAL
4.1 Definisi Turunan
Turunan fungsi y = f(x) terhadap x di titik x = x0 didefinisikan sebagai:
xy
0xlim
∆∆
→∆ =
xf
0xlim
∆∆
→∆ =
x
)0x(f)x0x(f
0xlim
∆−∆+
→∆ jika limitnya ada dan ditulis sebagai f’(x).
Contoh :
1. Tentukan dxdy
untuk fungsi y = x3 – x2 – 4 di titik x = 0 dan x = – 1
Jawab:
y + ∆y = (x + ∆x)3 – (x + ∆x)2 – 4 = x3 + 3x2 (∆x) + 3x (∆x) 2 + (∆x) 3 – x2 – 2x (∆x) – (∆x)2 – 4 = (x3 – x2 – 4) + 3x2 (∆x) – 2x (∆x) + 3x (∆x) 2 – (∆x)2 + (∆x) 3 ∆y = (3x2 – 2x) ∆x + (3x – 1) (∆x)2 + (∆x)3
xy
∆∆
= 3x2 – 2x + (3x – 1) ∆x + (∆x)2,
dxdy
= 0x
lim→∆
{ 3x2 – 2x + (3x – 1) ∆x + (∆x)2 } = 3x2 – 2x
Untuk x = 0, 0xdx
dy
=
= 3 (0)2 – 2(0) = 0 dan x = 1, 1xdx
dy
−=
= 3 (–1)2 – 2(–1) = 5
2. Carilah turunan dari fungsi y = 2x
1−
di titik x = 1 dan x = 3
Jawab: y + ∆y = 2)xx(
1−∆+
→ ∆y = 2)xx(
1−∆+
– 2x
1−
= )2xx)(2x()2xx()2x(
−∆+−−∆+−−
= )2xx)(2x(
x−∆+−
∆−
maka
xy
∆∆
= )2xx)(2x(
1−∆+−
−
dxdy
= 0x
lim→∆ )2xx)(2x(
1−∆+−
− =
2)2x(
1
−
−
1xdxdy
=
= 2)21(
1
−
− = – 1 dan
3xdxdy
=
= 2)23(
1
−
− = – 1
3. Lintasan dengan persamaan s = t2 + 3t. Hitunglah kecepatan sesaat waktu t = 2
Jawab :
Kecepatan sesaat = dtds
= 2t + 3. Untuk t = 2, maka dtds
= 2.2 + 3 = 7
Jadi kecepatan sesaat = 7 satuan kecepatan
4. Lintasan dengan persamaan s = (3t2 + 5) m dengan waktu t berubah dari 2 sampai 3 detik.
Hitunglah kecepatan rata-rata.
Jawab : Kecepatan rata-rata = ts
∆∆
= t
)t(s)tt(s∆
−∆+ =
t)52t3(}52)tt(3{
∆+−+∆+
= t
)52t3()52t3tt62t3(∆
+−+∆+∆+ = t
2t3tt6∆
∆+∆ = 6t + 3∆t
untuk t = 2 dan t1 = 3 maka ∆t = 3 – 2 = 1. Kecepatan rata-rata = ts
∆∆
= 6.2 +3.1 = 15 m/s
15
4.2 Turunan Fungsi Aljabar
a. Turunan Fungsi y = axn
Jika diketahui suatu fungsi f(x) = axn, maka turunan pertama dari fungsi tersebut adalah:
f’(x) = h
)x(f)hx(f
0hlim
−+→
= h
naxn)hx(a
0hlim
−+
→
untuk n = 1, yaitu f(x) = ax, maka f’(x) = h
ax)hx(a
0hlim
−+
→ =
haxahax
0hlim
−+→
= hah
0hlim→
= a
untuk n = 2, yaitu f(x) = ax2, maka f’(x) = h
2ax2)hx(a
0hlim
−+
→ =
h
2ax2ahaxh22ax
0hlim
−++
→
= h
2ahaxh2
0hlim
+
→= ahax2
0hlim +→
= 2ax
dan seterusnya
f(x) = ax, turunannya f’(x) = a f(x) = ax2, turunannya f’(x) = 2ax f(x) = ax3, turunannya f’(x) = 3ax2
Jadi: f(x) = axn, turunannya f’(x) = naxn-1
Contoh: Tentukan turunan dari fungsi berikut
1. f(x) = 3 2x2 Jawab : f(x) = 32
x2 . f’(x) = 2.1
32
x32 −
= 31
x34 −
= 3 x3
4
2. f(x) = x
1x − Jawab : f(x) = 1x)12
1x( −− = 1x2
1x −−
− .
Jadi f’(x) = 2x)1(23
x21 −−−
−− =
xx2
1− + 2x
1
b. Turunan Fungsi dari Fungsi
Jika y = f(u) dan u = g(x), maka y = f{g(x)} adalah fungsi dari x. Jika y fungsi yang dapat diturunkan terhadap u dan u dapat diturunkan terhadap x, maka y = f{g(x)} adalah fungsi yang dapat diturunkan terhadap x.
dxdy
= dudy
.dxdu
Demikian pula, jika y = f(t) sedangkan x = g(t), maka turunan y terhadap x
dxdy
= dtdy
.dxdt
Contoh :
1. Hitunglah dxdy
untuk fungsi y = 1u1u
+−
, dimana u = x
Jawab : dudy
= 2)1u(
)1u()1u(
+
−−+ =
2)1u(
2
+ =
2)1x(
2
+ dan
dxdu
= x2
1
Jadi dxdy
= dudy
.dxdu
= 2)1x(
2
+.
x2
1 = 2)1x(x
1
+
16
2. Hitunglah dxdy
untuk fungsi y = 12t
t2
− dan x = 12t −
Jawab : dtdy
= 2)12t(
t2.t2)12t(2
−
−− = 2)12t(
2t422t2
−
−− = 2)12t(
2t22
−
−− = 2)12t(
)2t1(2
−
+−
dtdx
= t2.21
)12t(21 −
− = 12t
t
− →
dxdt
= t
12t −
dxdy
= dtdy
.dxdt
= 2)12t(
)2t1(2
−
+− t
12t −=
2)12t(t
12t)2t1(2
−
−+−
c. Turunan Fungsi Lebih Tinggi
Jika y = f(x) adalah fungsi yang dapat diturunkan, turunannya disebut turunan pertama. Jika turunan pertama dapat diturunkan lagi maka turunannya disebut turunan kedua.
Ditulis 2dx
y2d , y”, atau f”(x)
Demikian seterusnya turunan dari turunan kedua disebut turunan ketiga dinyatakan dengan
3dx
y3d , y”’, atau f’”(x), ..................... dan seterusnya
Contoh:
Jika y = 4x4 – x3 + 6x2 – 7x + 8 Tentukan 3dx
y3d
Jawab : dxdy
= 16x3 – 3x2 + 12x – 7, 2dx
y2d = 48x2 – 6x + 12, dan 3dx
y3d = 96 x – 6
d. Turunan Fungsi Implisit
Persamaan f(x,y) = 0 pada suatu daerah tertentu menentukan y sebagai fungsi implisit dari x. Turunan y’ dapat diperoleh dengan salah satu cara berikut: a. Jika mungkin, ubahlah fungsi implisit tersebut menjadi fungsi eksplisit y = g(x). Kemudian turunkan
dengan cara biasa. b. Pikirkan y sebagai fungsi x. Turunkan persamaan implisit tersebut terhadap x dan persamaan yang
diperoleh diselesaikan untuk y’. Proses penurunan ini disebut penurunan implisit.
Contoh: Hitung dxdy
dari persamaan implisit xy + x – 2y – 1 = 0
Jawab : x dxdy
+ y + 1 – 2 dxdy
= 0, → (x – 2) dxdy
= – (y + 1) → dxdy
= )2x()1y(
−+−
4.3 Turunan Fungsi Trigonometri
Turunan fungsi trigonometri y = sin x dapat diperoleh sebagai berikut:
f’(x) = h
)x(f)hx(f
0hlim
−+→
= h
xsin)hx(sin
0hlim
−+→
= h
2xhx
sin2
xhxcos2
0hlim
−+++
→
f’(x) = h
2h
sin2
hx2cos2
0hlim
+
→ =
2hx2
cos0h
lim+
→ = cos x
Dengan cara yang sama, dapat pula dihitung turunan f’(x) untuk y = cos x, y = tan x, dan seterusnya.
17
Berikut adalah hasil turunan dari fungsi trigonometri:
1. Fungsi y = sin u → dxdy
= cos u dxdu
4. Fungsi y = cot u → dxdy
= – 2csc u dxdu
2. Fungsi y = cos u → dxdy
= – sin u dxdu
5. Fungsi y = sec u → dxdy
= tan u sec u dxdu
3. Fungsi y = tan u → dxdy
= 2sec u dxdu
6. Fungsi y = csc u → dxdy
= – cot u csc u dxdu
Contoh : Hitunglah dxdy
untuk fungsi-fungsi berikut
1. y = x2 sin x Jawab : dxdy
= 2x sin x + x2 cos x
2. y = tan2(3x2 – 2) Jawab : dxdy
= 2 tan(3x2 – 2) sec2 (3x2 – 2) (6x) = 12x tan(3x2 – 2) sec2 (3x2 – 2)
3. sin y + cos x = 1 Jawab : cos y dxdy
– sin x = 0 → dxdy
= ycosxsin
4. sin y = cos 2x Jawab : cos y dxdy
= – 2sin 2x → dxdy
= ycos
x2sin2−
5. x cos y = sin(x+y) Jawab : cos y – x sin y dxdy
= cos(x+y) dxdy
+ cos(x+y)
{– x sin y – cos(x+y)} dxdy
= – cos y + cos(x+y) → dxdy
= )yxcos(ysinx)yxcos(ycos
+++−
4.4 Gradien Garis Singgung
Titik P(x, f(x)) adalah sebarang titik yang terletak pada kurva y = f(x). Garis singgung kurva pada titik P adalah garis lurus melalui P dengan gradien m, dimana:
m = f’(x) = dxdy
= h
)x(f)hx(f
0hlim
−+→
, jika limit itu ada.
Gambar 4.1 Gradien Garis Singgung Contoh soal:
1. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y = x5x3 2 − di titik (1, – 2).
Jawab: Gradien garis singgung kurva m = dxdy
= 6x – 5. Pada titik (1, – 2), maka m = 6.1 – 5 = 1
Persamaan garis garis singgung dengan m = 1 dan melalui (1, – 2) adalah:
y – y1 = m (x – x1) → y – (– 2) = 1 (x – 1) → y = x – 3 adalah pers. garis singgung tsb.
2. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y = 3xx2 2 +− sejajar garis y = 3x – 2
Jawab:
Gradien garis singgung kurva m1 = dxdy
= 4x – 1 sejajar berarti m1 = m2
Gradien garis y = x – 3 adalah m2 = 3 4x – 1 = 3, atau x = 1
Untuk x = 1, maka pada kurva y = 3xx2 2 +− didapat y = 4. Jadi titik singgungnya (1,4)
PGS yang diminta adalah: y – 4 = 3 (x – 1) → y = 3x + 1
f(x)
f(x+h)
0 x h
x + h
P(x, f(x))
Q(x+h, f(x+h))
y = f(x)
garis singgung
18
3. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y = x melalui titik (– 4, 0)
Jawab: Kurva y = x , gradien garis singgung m = dxdy
= x2
1
Pers. garis menyinggung kurva di (x, x ), melalui (– 4, 0) dengan m = x2
1
y2 – y1 = m (x2 – x1) → 0 – x = x2
1 (– 4 – x) kedua ruas dikalikan x , didapat
– 2x = – 4 – x sehingga – x = – 4 atau x = 4
Untuk titik singgung x = 4 didapat y = 4 = 2, dan m = 42
1 = 41
Jadi, pers. garis singgungnya: y – 2 = 41
(x – 4) atau y = 41
x + 1
4.5 Fungsi Naik, Stasioner, dan Fungsi Turun
Ada 3 keadaan kurva berkaitan sifat turunannya, yaitu: 1. Jika f’(x0) > 0, fungsi y = f(x) naik di titik x = x0 2. Jika f’(x0) < 0, fungsi y = f(x) turun di titik x = x0 3. Jika f’(x0) = 0, fungsi y = f(x) stationer di titik x = x0
Gambar 4.2 Fungsi Naik, Stasioner, dan Fungsi Turun
Terdapat juga tiga keadaan titik stasioner berkaitan dengan turunan kedua fungsi, yaitu: a. Jika f’(x0) = 0 dan f”(x0) > 0, maka titik stasioner (x0, y0) adalah titik minimum b. Jika f’(x0) = 0 dan f”(x0) < 0, maka titik stasioner (x0, y0) adalah titik maksimum c. Jika f’(x0) = 0 dan f”(x0) = 0, maka titik stasioner (x0, y0) adalah titik belok Contoh soal :
1. Tentukan titik-titik ekstrim pada persamaan y = x3 + x2 . Gambarkan sketsanya Jawab: Turunan fungsi f’(x) = 3x2 + 2x = x (3x + 2) Titik ekstrim terjadi jika f’(x) = 0, sehingga x (3x + 2) = 0. Didapat x = 0 atau x = – 2/3. Untuk x = 0, maka y = 0, untuk x = – 2/3, maka y = 4/27 Jadi titik ekstrim terdapat pada titik (0, 0) dan titik (– 2/3, 4/27)
Untuk menyelidiki jenis titik ekstrim tersebut dihitung f”(x) = 6x + 2 Untuk titik (0, 0) diperoleh f”(x) = 2 > 0, titik tersebut adalah titik minimum Untuk titik (– 2/3, 4/27) diperoleh f”(x) = – 2 < 0, titik tersebut adalah titik maksimum
Sketsa grafik untuk kurva tersebut sebagai berikut
Gambar 4.3 Grafik y = x3 + x2
titik maksimum
titik minimum
titik belok
y = f(x)
f’(x0) > 0 naik turun
f’(x0)<0 stasioner f’(x0) = 0
f’(x0) = 0 stationer
f’(x0) = 0 stasioner
X
Y 2
0 1 2 – 1
– 1
– 2
1
titik minimum (0, 0)
titik maksimum (– 2/3, 4/27)
19
2. Diketahui persamaan y = x3 – x2 – 8x + 2. Tentukan interval fungsi y naik dan turun. Gambarkan sketsa grafiknya Jawab:
y = x3 – x2 – 8x + 2, fungsi naik jika dxdy
> 0 dan fungsi turun jika dxdy
< 0
dxdy
= 3x2 – 2x – 8 = (3x + 4) (x – 2). Titik pemecah x = 3
4− dan x = 2
Fungsi naik saat dxdy > 0 dan fungsi turun saat f’(x ) < 0
Dari sketsa di samping diperoleh kesimpulan bahwa
Fungsi naik untuk x < 34− atau x > 2
Fungsi turun untuk 34− < x < 2
Untuk menyelidiki sifat titik x =34− dan x = 2, maka dihitung
2dx
y2d = 6x – 2
Untuk x =34− diperoleh
2dx
y2d = – 10 < 0, maka titik tersebut adalah titik maksimum
Untuk x = 2 diperoleh 2dx
y2d = 10 > 0, maka titik tersebut adalah titik minimum
Untuk x = 34− , didapat y =
27230
dan untuk x = 2, didapat y = – 10.
Jadi (34− ,
27230
) adalah titik maksimum, sedangkan (2, – 10) adalah titik minimum
Sketsa grafik untuk kurva tersebut sebagai berikut
Gambar 4.4 Grafik y = x3 – x2 – 8x + 2
3. Bagilah bilangan 150 menjadi 2 bagian sehingga perkalian bagian pertama dengan kuadrat bagian kedua menjadi bernilai maksimum. Tentukan nilai kedua bilangan itu.
Jawab :
Misalnya bilangan bagian kedua = x, maka bagian pertama = 150 – x Jadi fungsinya menjadi f(x) = (150 – x) x2. Fungsi ini harus bernilai maksimum.
Harga ekstrim terjadi jika f’(x) = 0, sehingga 300 x – 3 x2 = 0 Persamaan menjadi 3x (100 – x) = 0 didapat x = 0 dan x = 100. (x = 0 tidak memenuhi) f”(x) = 300 – 6x, untuk x = 100, maka f”(x) = – 300 < 0, jadi x = 100 bernilai maksimum.
Jadi bilangan bagian pertama = 150 – 100 = 50 dan bagian kedua = 100.
(2, – 10) titik minimum
(-4/3, 230/27) titik maksimum
X
Y
0
y = x3 – x2 – 8x + 2
34− 2
+ + –
20
TUGAS MANDIRI BAB IV
Tugas Subbab 4.1
1. Hitung xy
∆∆
jika diberikan y = x2 + 4x dan x berubah dari 0,7 menjadi 0,85.
2. Tentukan kecepatan rata-rata jika t berubah dari 2 sampai 5 detik dan s = (2t2 + 5t – 3) m.
3. Tentukan turunan dari y = 1x21x2
+−
4. Tentukan kemiringan dari kurva y = 1x
4+
di titik x = 1
5. Tentukan kemiringan garis singgung parabola y = – x2 + 5x – 6 di titik parabola memotong sumbu x.
Tugas Subbab 4.2
1. Tentukan dxdy dari fungsi berikut
a. y = x2x2 + c. x = y + 5 e. yx + = 1
b. y = 3 x2
1 d. y = 5x
13x −
2. Tentukan turunan dxdy dari
a. y = 3)2x63x( −+ e. 13x2
13xy
+
−= i. 1x1x
y+−=
b. y = 2)13x2(3)42x( −+ f. )x32x2()1x2x(y +++= j. x2x2y +=
c. y = 4)32x( − g. 2)53x(
)22x3()1x2(y
+
−+= k. x
43 4x6y +=
d. y = 2)2x2a(
3
−, a konstan h.
2
x1x
y
+= l. x22x2y −=
3. Tentukan turunan dxdy dari fungsi implisit berikut
a. 02y22x33xyy2x =++− c. xyxyy += e. 06x52xy2x3xy =+−+−
b. 22yx2
y3x =+
− d. 1x53y3x4y34x +=−+
4. Diketahui 5x242x93x2)x(f +−+= . Jika f’(x) < 0, tentukan nilai x 5. Tentukan turunan pertama dan kedua dari persamaan berikut:
a. 2xyyx 33 =+ untuk x = 1 b. x + xy + y = 2
Tugas Subbab 4.3
1. y = 21 tan x sin 2x 4. y = x (3 x + 4 cos x) 7. y =
xcosxsinx+
10. y = xcosxsin
xsinx+
2. y = x4sin1
x4cos−
5. y = xsinx
x+
8. y = xcosxsin
xsin+
3. y = xtan 6. y = xcos1xsinx
++ 9. y =
xcosxsinxcosxsin
+−
21
Tugas Subbab 4.4
Tentukan persamaan garis singgung pada kurva :
1. y = 2x2 + 3 sejajar garis 8x – y + 3 = 0 2. y = 9 – x2 melalui titik di luar kurva (0, 11)
3. y = 2x2
1 melalui titik di luar kurva (1, – 2)
4. y = 3x melalui titik singgung (8,2)
5. y = x (x – 1) (x – 2) di titik potong kurva dengan sumbu X. 6. y = (4x – 3)2 – 1 tegak lurus garis x + 2y – 11 = 0 7. Tentukan kedudukan titik-titik pada kurva y = 2 x3 + 13 x2 + 5x + 9
dimana garis singgung di titik-titik tersebut melalui (0, 0)
8. Jika garis singgung pada kurva y = x)xb
a( + di titik (4, 8)
mempunyai gradien 2, tentukan harga a dan b Tugas Subbab 4.5
1. Selidiki apakah persamaan y = 2x
1−
mempunyai nilai maksimum atau minimum.
Tentukan pula interval fungsi y naik atau turun. Gambarkan sketsa grafiknya.
2. Selidiki fungsi y = 7x60x12x10x3 234 −+−− untuk titik belok, interval fungsi naik atau turun, serta titik maksimum dan minimum. Gambarkan sketsa grafiknya
3. Sebatang kawat 60 meter dipotong menjadi 2. Satu potong dibentuk menjadi lingkaran dan potongan kedua menjadi bujur sangkar. Agar luas kedua bentuk itu maksimum, tentukan panjang masing-masing potongan kawat tersebut.
4. Selembar karton berukuran 100 x 140 cm akan dibuat menjadi sebuah kotak tanpa tutup. Setiap sudut karton dipotong berbentuk bujur sangkar. Jika ingin diperoleh volume kotak maksimum, tentukan tinggi kotak tersebut.
5. Ongkos produksi x buah TV per hari Rp ( 25x35x241 ++ ), harga jual total Rp (50 –
21 x). Berapa
buah televisi harus diproduksi per hari agar keuntungannya maksimum?
6. Diberikan y = 8x6xx 2213
31 +−+ . Tentukan titik-titik kritis, interval y naik dan turun, dan nilai
maksimum dan minimum. Gambarkan sketsa grafiknya. 7. Tunjukkan bahwa y = x3 – 8 tidak memiliki titik maksimum maupun minimum. 8. Tunjukkan bahwa y = x5 + 20 x – 6 adalah fungsi naik untuk semua nilai x. 9. Tunjukkan bahwa y = 1 – x3 – x7 adalah fungsi turun untuk semua nilai x. 10. Jika dalam sebuah lingkaran berjari-jari r akan digambarkan sebuah trapesium yang alasnya 2r
dengan luas maksimum, buktikan luas trapesium itu = 32r43 .
11. Tentukan titik maksimum dan minimum dari 2x2 – 4xy + 3y2 – 8x + 8y – 1 = 0. 12. Tentukan nilai absolut maksimum dan minimum dari y = (x – 3)2 dalam interval 0 ≤ x ≤ 4. 13. Tentukan persamaan garis melalui titik (3, 4) yang memotong kuadran pertama dalam bentuk
segitiga dengan luas minimum
22
BAB V TURUNAN FUNGSI TRANSENDEN
5.1 Pendahuluan
Salah satu fungsi non aljabar adalah fungsi transenden. Fungsi transenden mencakup antara lain fungsi logaritma, fungsi eksponen, fungsi trigonometri, dan fungsi hiperbolik 5.2 Fungsi Logaritma Natural
Dalam matematika dikenal bentuk logaritma natural : ln x = xloge
dimana : e = k/1)k1(0k
limn)n1
1(nlim +
→=+
∞→ = 2,7182818284589…….
bilangan e adalah irasional dan tak terukur
Telah dibuktikan secara matematis bahwa fungsi y = ln x turunannya dxdy =
x1
Secara umum, jika y = ln u maka turunannya dxdy =
dxdu
u1
Catatan : Aturan dalam logaritma natural mirip logaritma biasa, yaitu:
a. ln (ab) = ln a + ln b c. ln ab = b ln a
b. ln ba
= ln a – ln b d. ln e = 1
Contoh soal:
Tentukan turunan dari
1. y = ln (x2 – 1) Jawab : dxdy =
dxdu
u1 = x2
12x
1
− =
12x
x2
−
2. y = ln {2x2 (4x – 1) Jawab: dxdy = )x42x24(
)1x4(2x2
1 −−
= )1x4(x)1x6(2
−−
3. y = ln (x – 1)2 Jawab : y = ln (x – 1)2 = 2 ln (x – 1) Jadi dxdy =
1x2−
b. Diferensiasi menggunakan logaritma natural
Diferensiasi secara logaritmik adalah membuat kedua ruas menjadi fungsi logaritma natural, sehingga menjadi ln y = ln f(x). Kedua ruas lalu diturunkan menjadi:
)x('f)x(f
1dxdy
y1 = diperoleh
)x(f)x('f
ydxdy =
Contoh soal: Tentukan turunan dari
1. y = (x3 + 1)7 (2 – x2)3 Jawab:
ln y = ln(x3+1)7 (2 – x2)3 atau ln y = 7 ln (x3 + 1) + 3 ln (2 – x2)
dxdy
y1 =
13x
)2x3(7
+ +
2x2
)x2(3
−
− →
dxdy = y (
13x
)2x3(7
+ +
2x2
)x2(3
−
−) = 3)2x2(7)13x( −+ {
13x
2x21
+ +
2x2
x6
−
−}
dxdy
= y (13x
)2x3(7
+ +
2x2
)x2(3
−
−) = 3)2x2(7)13x( −+ {
13x
2x21
+ +
2x2
x6
−
−}
= 3)2x2(7)13x( −+ {)2x2()13x(
x64x64x212x42
−+
−−− } = 2)2x2(6)13x( −+ 3x (– 9x3 + 14x – 2)
23
2. y = 3 2)1x(
2x1
+
−
Jawab:
ln y = )1x(ln32
)2x1(ln21 +−− → 6 ln y = )1x(ln4)x1(ln3 2 +−− lalu kedua ruas diturunkan
dxdy
y6 =
1x4
2x1
)x2(3+
−−
− →
dxdy
= 6y
(1x
42x1
)x2(3+
−−
−)
dxdy
= 61
3 2)1x(
2x1
+
−(
)1x()2x1(
2x44x62x6
+−
+−−− ) = 61
3 2)1x(
2x1
+
−(
)1x()2x1(
4x62x2
+−
−−− )
dxdy
= 31
3 2)1x(
2x1
+
−(
)1x()2x1(
)1x)(2x(
+−
++−) =
2x13 2)1x(3
)2x(
−+
+−
c. Diferensiasi Fungsi y = alog x
y = alog x sama dengan ay = x, atau ln ay = ln x → y ln a = ln x → y = alnxln
ln a = konstan
Untuk y = alog x = alnxln
maka dxdy
= alnx
1
Secara umum, untuk y = alog u, turunannya dxdy
= dxdu
alnu1
Contoh soal: Tentukan turunan dari
1. y = 2 log (x2 – 1) Jawab: dxdy
= 2ln)12x(
x2
−
2. y = log (x4 + 3x2) Jawab: dxdy
= 10ln)2x34x(
x63x4
+
+
5.3 Fungsi Eksponen
Fungsi eksponen ada dua jenis, yaitu y = ex atau y = eu dan y = ax atau y = au
Teorema: Jika a dan b adalah bilangan real maka berlaku:
ea + b = ea . eb ea – b = ea / eb
eab = (ea)b = (eb)a ax = ex ln a sehingga ln ax = x ln a
Catatan e adalah singkatan dari nama seorang ahli matematika dan fisika berkebangsaan Swiss, Leonhard Euler. a. Turunan fungsi y = ex
Fungsi y = ex diubah menjadi ln y = ln ex → ln y = x ln e → ln y = x.
Jika fungsi tersebut diturunkan didapat, 1dxdy
y1 = atau =
dxdy
y = ex
Jadi y = ex maka =dxdy
ex atau secara umum y = eu maka =dxdy
eu dxdu
Contoh Soal : Tentukan turunan dari 2x
1
ey =
Jawab: =dx
dy
2x
1
e . (3x
2− ) = 3x
2x
1
e2−
24
b. Turunan fungsi y = ax
Fungsi y = ax diubah menjadi ln y = ln ax → ln y = x ln a. Jika diturunkan didapat,
=dxdy
y1 ln a atau =
dxdy
y ln a = ax ln a
Jadi y = ax turunannya adalah =dxdy
ax ln a
y = au turunannya adalah =dxdy
au ln adxdu
Contoh soal:
Tentukan turunan dari y = 1x42 − Jawab:
y = 1x42 − maka turunannya =dxdy
1x42 − ln 2 . 4 = 1x42 + ln 2
c. Turunan fungsi y = xx dan f(x) = g(x)h(x)
Ada perbedaan antara fungsi pangkat dan fungsi eksponen, yaitu:
Fungsi pangkat : y = xa atau y = ua dimana bilangan pokok x atau u adalah variabel dan bilangan pangkat a tetap
Fungsi eksponen : y = ex atau y = eu dan y = ax atau y = au dimana bilangan pokok e atau a tetap dan bilangan pangkat x atau u adalah variabel
Namun, fungsi y = xx dan f(x) = g(x)h(x) bukanlah fungsi pangkat maupun eksponen, sebab bilangan pokok dan bilangan eksponen adalah variabel. Oleh karena itu, turunan untuk fungsi ini tidak boleh menggunakan turunan untuk fungsi pangkat maupun eksponen. Untuk menurunkannya kedua ruas harus dijadikan logaritma natural. Contoh soal: Tentukan turunan fungsi berikut
1. y = xx Jawab: Ubah menjadi logaritma natural ln y = x ln x, turunkan
xx
xlndxdy
y1 += = ln x + 1 Jadi )1x(lnxx)1x(lny
dxdy +=+=
2. y = x22xx − → ln y = (x2 – 2x) ln x diturunkan
x1
)x22x(xln)2x2(dxdy
y1 −+−=
=dx
dy x22xx − (2x ln x – 2 ln x + x – 2)
Contoh soal esai:
1. Dalam suatu kondisi tertentu, laju pertumbuhan bakteri dinyatakan sebanding dengan jumlah bakteri yang ada. Jika ada 1000 bakteri saat ini, lalu 12 menit kemudian bertumbuh menjadi 2000 bakteri. Berapa lamakah bakteri tersebut menjadi 1.000.000?
Jawab:
Misal A = jumlah bakteri saat t, t = waktu, k = konstanta, dan dtdA
= laju pertumbuhan bakteri,
maka laju pertumbuhan bakteri dinyatakan sebagai dtdA
= k.A atau A
dA = k dt.
Kedua ruas diintegralkan menjadi:
∫=∫ dtkA
dA menghasilkan ln A = kt + C1 atau A = 1Ckte + = 1Cekte
Jika 1Ce = C, didapat persamaan A = C kte Untuk t = 0 dan A = 1000, maka 1000 = C.e0, didapat C = 1000 Untuk t = 12, A = 2000, dan C = 1000, maka
25
2000 = 1000.e12 k sehingga e12 k = 2 → 12k = ln 2 → k = 12
2ln = 0,05776
Jadi untuk A = 1.000.000, C = 1.000, dan k = 0,05776,
1.000.000 = 1.000 t05776,0e → t05776,0e = 1000 → 0,05776 t = ln 1000
t = 05776,01000ln
= 119, 6. Jadi waktu yang diperlukan = 119, 6 menit
2. Sebatang besi panjangnya L meter pada suhu t dengan persamaan L = 60 e0,0001t. Hitung pertambahan panjang batang besi tersebut jika suhunya berubah dari 00 menjadi 250. Jawab:
L = 60 e0,0001t turunannya adalah dtdL
= 60 e0,0001t. 0,0001
Jadi perubahan panjang terhadap suhu dL = 0,006 e0,0001t dt Diketahui t1 = 00 , t2 = 250, maka dt = 250 – 00 = 250, maka dL = 0,006 e0,0001x0 25 = 0,150 meter
5.4 Fungsi Inversi Trigonometri
Definisi untuk fungsi inversi trigonometri sebagai berikut:
a. y = arc sin x jika dan hanya jika siny = x untuk – π/2 ≤ y ≤ π/2 b. y = arc cos x jika dan hanya jika cos y = x untuk 0 ≤ y ≤ π c. y = arc tan x jika dan hanya jika tan y = x untuk – π/2 < y < π/2 d. y = arc cot x jika dan hanya jika cot y = x untuk 0 < y < π e. y = arc sec x jika dan hanya jika sec y = x untuk – π ≤ y ≤ – π/2, 0 ≤ y < π/2 f. y = arc csc x jika dan hanya jika csc y = x untuk – π ≤ y ≤ – π/2, 0 < y ≤ π/2
a. Turunan Fungsi y = arc sin x
y = arc sin x → sin y = x, kedua ruas diturunkan cos y dy = dx atau ycos
1dxdy =
sin y = x dan cos y = 2x1−
maka, ycos
1
dx
dy= =
2x1
1
−
Jadi untuk y = arc sin x turunannya adalah =dxdy
2x1
1
−
Secara umum y = arc sin u turunannya adalah =dxdy
dxdu
2u1
1
−
b. Turunan Fungsi y = arc cos x
y = arc cos x → cos y = x, kedua ruas diturunkan – sin y dy = dx atau ysin
1dxdy −=
cos y = x dan sin y = 2x1−
maka, ysin
1dxdy −= =
2x1
1
−
−
Jadi untuk y = arc cos x turunannya adalah =dxdy
2x1
1
−
−
Secara umum y = arc cos u turunannya adalah =dxdy
– dxdu
2u1
1
−
y
1 x
2x1−
y
1
x
2x1−
26
c. Turunan Fungsi y = arc tan x
y = arc tan x → tan y = x, kedua ruas diturunkan sec2 y dy = dx atau y2sec
1dxdy =
tan y = x dan sec y = 1x2 +
maka, y2sec
1dxdy = =
12x
1
+
Jadi untuk y = arc tan x turunannya adalah =dxdy
12x
1
+
Secara umum y = arc tan u turunannya adalah =dxdy
dxdu
12u
1
+
d. Turunan Fungsi y = arc cot x
y = arc cot x → cot y = x, kedua ruas diturunkan csc2 y dy = dx atau y2csc
1dxdy −=
cot y = x dan csc y = 1x2 +
maka, y2csc
1dxdy −= =
12x
1
+
−
Jadi: y = arc cot x turunannya adalah =dxdy
– 12x
1
+
Secara umum y = arc cot u turunannya adalah =dxdy
– dxdu
12u
1
+
e. Turunan Fungsi y = arc sec x
y = arc sec x → sec y = x, kedua ruas diturunkan sec y tan y dy = dx atau ytanysec
1dxdy =
sec y = x maka tan y = 12x −
ytanysec1
dxdy = =
12xx
1
−
Jadi: y = arc sec x turunannya adalah =dxdy
12xx
1
−
Secara umum y = arc sec u turunannya adalah =dxdy
12uu
1
− dxdu
f. Turunan Fungsi y = arc csc x
y = arc csc x → csc y = x, kedua ruas diturunkan – csc y cot y dy = dx atau ycotycsc
1dxdy −=
csc y = x maka cot y = 12x −
ycotycsc1
dxdy −= =
12xx
1
−
−
Jadi: y = arc csc x turunannya adalah =dxdy
– 12xx
1
−
Secara umum y = arc csc u turunannya adalah =dxdy
– 12uu
1
− dxdu
y
x
1
12x −
y
x 1
12x −
y x
1 12x +
y 1
12x +x
27
Contoh : Tentukan turunan dari
1. y = arc cot
−+
x1x1
2. y = ax
sinarc2a2x2ax +−
Jawab:
1. Menurut rumus jika y = arc cot u maka =dxdy
– dxdu
12u
1
+
Misal u = x1x1
−+
maka dxdu
= 2xx21
2
+− dan
12u
1
+ =
12
x1x1
1
+
−+
= )2x1(2
2xx21
+
+−
=dxdy
– )2x1(2
2xx21
+
+−2xx21
2
+− =
2x1
1
+−
2. =dxdy
2x2a − + x )x2(2/1)2x2a(21 −−− +
a1
2)ax
(1
12a
−
= 2x2a − – 2x2a
2x
− +
2x2a
2a
− =
2x2a
)2x2a(2
−
− = 2x2a2 −
5.5 Fungsi Hiperbolik
a. Definisi fungsi hiperbolik
1. Sinus hiperbolik : sinh x = 2
xexe −−
2. Cosinus hiperbolik : cosh x = 2
xexe −+
3. Tangent hiperbolik : tanh x = xcoshxsinh =
xexe
xexe
+
−−
4. Cotangent hiperbolik : coth x = xsinhxcosh =
xexe
xexe
−
−+
5. Secant hiperbolik : sech x = xcosh
1 = xexe
2−+
6. Cosecant hiperbolik : csch x = xsinh
1 =
xexe
2−−
Persamaan dasar mirip dengan fungsi trigonometri biasa:
Fungsi Hiperbolik Fungsi Trigonometri
a. tanh x = xcoth
1 tan x =
xcot1
b. cosh2 x – sinh2 x = 1 cos2 x + sin2 x = 1 c. 1 – tanh2 x = sech2 x 1 + tan2 x = sec2 x d. 1 – coth2 x = – csch2 x 1 + cot2 x = csc2 x
b. Turunan Fungsi Hiperbolik
a. y = sinh x = 2
xexe −− dxdy
= 2
xexe −+ = cosh x
b. y = cosh x = 2
xexe −+ dxdy
= 2
xexe −− = sinh x
c. y = tanh x = xexe
xexe
+
−− dxdy
= 2
xexe
2
−+= sech2 x
28
d. y = coth x = xexe
xexe
−
−+ dxdy
= 2
xexe
2
−−− = – csch2 x
e. y = sech x = xexe
2−+
dxdy
= –xexe
2−+ xexe
xexe−+
−− = – sech x tanh x
f. y = csch x = xx ee
2−−
dxdy
= 2)xexe(
)xexe(2−−
−+− = – csch x coth x
Secara umum:
a. y = sinh u → dxdy
= cosh u dxdu
d. y = coth u → dxdy
= – csch2 u dxdu
b. y = cosh u → dxdy
= sinh u dxdu
e. y = sech u → dxdy
= – sech u tanh u dxdu
c. y = tanh u → dxdy
= sech2 u dxdu
f. y = csch u → dxdy
= – csch u coth u dxdu
Contoh : Tentukan turunan dari
1. y = tanh (1 – x2) Jawab : dxdy
= – 2x sech2(1 – x2)
2. y = ln (sinh x) Jawab : dxdy
= xsinhxcosh = coth x
3. y = tanh (5
1x4 +) Jawab :
dxdy
= )5
1x4(2hsec
54 +
5.6 Fungsi Inversi Hiperbolik
1. y = arc sinh u dxdu
12u
1dxdy
+=
2. y = arc cosh u dxdu
12u
1dxdy
−=
3. y = arc tanh u dxdu
2u1
1dxdy
−= dimana u2 < 1
4. y = arc coth u dxdu
2u1
1dxdy
−= dimana u2 > 1
5. y = arc sech u dxdu
2u1u
1dxdy
−= dimana 0 < u < 1
6. y = arc csch u dxdu
2u1u
1dxdy
+
−= dimana u ≠ 0
Contoh :
1. Buktikan jika y = arc sinh u, turunannya dxdu
12u
1dxdy
+=
Bukti: Misal u = sinh y, maka dxdy
ycoshdxdu = atau
dxdu
ycosh1
dxdy =
cosh2y = 1 + sinh2y = 1 + u2 maka cosh y = 2u1+ = 12u +
Jadi dxdu
12u
1dxdy
+= terbukti
29
TUGAS MANDIRI BAB V
Tugas Subbab 5.2
A. Tentukan turunan dari:
1. y = ln {(4x2 + 3) (2x – 1)} 6. y = ln cos2x
2. y = ln (x3 + 2) (x2 + 3) 7. y = (x2 – 2) ln sin x
3. y = ln2)4x3(
4x
− 8. xy + y ln x – ln y = 0
4. y = {ln (x3 – 4)2}3 9. xy (ln y + ln x) = 1
5. y = ln )33x(x + 10. y = 2x2 )x(ln
B. Tentukan turunan dari fungsi-fungsi berikut
1. 12x
12xy
−
+= 3. 3
5x32x
2)32x(2xy
+−
−=
2. 43x
312x
y−
+= 4. y = 2x1
2)2x1(x
+
−
C. Tentukan turunan dari
1. y = alog (3x2 – 5) 4. y = log (ln x)
2. y = 3 2)5x2(log + 5. y = ln (log x)3
3. y = 5 log sin2 x
Tugas Subbab 5.3
a. Tentukan turunan dari fungsi berikut
1. y = 2xe 4. y = xe− sin 2x
2, y = xln2xe 5. y = xe− ln x
3. y = xexe
xexe−+
−− 6. y = axeaxe
axeaxe−+
−−
b. Tentukan turunan dari
1. y = x5 3. y = 1x2
1x2
+
−
2. y = x2 3x 4. Y = 2x3)x32x4( −
c. Tentukan turunan dari
1. y = xsin)12x( + 4. y = x3 7. y = 4x35 − 10. y = xeex +
2. y = 2xex
− 5. y = 1x)32x( +− 8. y = xlnx
3. y = 42x)1x2( +− 6. y = 3x2)2x(ln + 9. y = 12x1010)12x( +++
d. Soal esai: Laju pertumbuhan penduduk di suatu kota dinyatakan sebanding dengan jumlahnya pada setiap saat. Jika jumlah penduduk bertambah dari 40.000 menjadi 60.000 dalam 40 tahun, kapankan jumlah penduduk mencapai 100.000?
30
Tugas Subbab 5.4
Tentukan turunan dari
1. y2 sin x + y = arc tan x 5. y = ln ln sec 2x 9. y = arc sin ex
2. y = 2x2a
x
− – arc sin
ax
6. y = 2x
42x − +
2x
secarc21
10. y = arc sin x
3. y = x2 arccosx2
7. y = xsin x 11. ln (x+y) = arc tan yx
4. y = arc tan x3
8. y = arc sin (x-1)
Tugas Subbab 5.5
A. Buktikan
1. cosh x + sinh x = ex 6. cosh 2x = cosh2 x + sinh2 x
2. cosh x – sinh x = e-x 7. sinh 2x = 2 sinh x cosh x
3. 2
1xcoshx
212sinh
−= 8. sinh (x + y) = sinh x cosh y + cosh x sinh y
4. tanh 2x = x2tanh1
xtanh2
+ 9. cosh (x + y) = cosh x cosh y + sinh x sinh y
5. 2
1xcoshx
212cosh
+=
B. Tentukan turunan dari
1. y = x sech x2 4. y = csch2 (x2 + 1)
2. y = ln cosh x 5. y = a cosh ax
3. y = 1xtanh
1
+
Tugas Subbab 5.6
1. Buktikan turunan fungsi inversi hiperbolik no 2 – 6 di atas. 2. Buktikan persamaan 8 – 10
31
BAB VI TURUNAN FUNGSI BEBERAPA VARIABEL
6.1 Geometri Fungsi Dua Variabel
Persamaan z = f(x, y) atau F(x, y, z) = 0 bila dilukiskan pada ruang 3 dimensi dengan sistem koordinat XYZ, umumnya berbentuk permukaan. Untuk melukiskan permukaan, perlu diperhatikan 4 hal, yaitu: 1. Daerah definisi dan rentang fungsi f tersebut. 2. Sifat simetri fungsi f tersebut. 3. Kurva perpotongan dengan bidang koordinat (XOY, XOZ, dan YOZ) dengan memasukkan
• nilai z = 0 untuk mendapatkan kurva perpotongan permukaan dengan bidang XOY • nilai y = 0 untuk mendapatkan kurva perpotongan permukaan dengan bidang XOZ • nilai x = 0 untuk mendapatkan kurva perpotongan permukaan dengan bidang YOZ
4. Perpotongan dengan bidang lainnya, misal dengan bidang sejajar bidang XOY pada jarak z0 didapat dengan memasukkan z = z0, bidang sejajar bidang XOZ pada jarak y0 didapat dengan memasukkan y = y0, atau bidang sejajar bidang YOZ pada jarak x0 didapat dengan memasukkan x = x0. Kurva perpotongan disebut level kurva dan proyeksinya pada bidang koordinat disebut garis kontur.
Contoh : a. Gambarkan permukaan 4 x2 + y2 = z
Jawab : Pers. tsb diubah menjadi z = 4 x2 + y2 Dalam bentuk z = f(x, y), daerah definisi Df adalah bidang XOY. Nilai z selalu positip sebab variabel x dan y dalam bentuk kuadrat. Rentang fungsi Rf adalah z ≥ 0. Level kurva didapat dari persamaan 4x2 + y2 = c dimana c bilangan riel > 0, ini persamaan elips pada z = c. Untuk y = 0, didapat z = 4 x2 yaitu persamaan parabola pada bidang XOZ. Untuk x = 0, didapat z = y2 yaitu persamaan parabola pada bidang YOZ. Bentuk lukisannya sebagai berikut:
b. Gambarkan permukaan x2 + y2 + z2 = r2 Jawab : Persamaan itu dilukiskan sebagai bola dengan pusat di (0,0,0) dan jari-jari r. Untuk x = 0, persamaan memotong bidang YOZ menjadi y2 + z2 = r2 berupa lingkaran, untuk y = 0 memotong bidang XOZ menjadi x2 + z2 = r2 berupa lingkaran, untuk z = 0 memotong bidang XOY menjadi x2 + y2 = r2 berupa lingkaran.
c. Gambarkan permukaan 12c
2z2b
2y2a
2x =++ dimana a, b, dan c positip, dan a = b
Jawab : Perpotongannya dengan bidang koordinat
• XOY, dengan z = 0 adalah 12b
2y2a
2x =+
a = b, membentuk persamaan lingkaran
• XOZ, dengan y = 0 adalah 12c
2z2a
2x =+
• YOZ, dengan x = 0 adalah 12c
2z2b
2y =+
keduanya membentuk persamaan elips. Jadi persamaan tersebut berbentuk elipsoida (elips putaran)
Y
X
Z Pada z = c, kurva berbentuk elips
Pada y = 0, z = 4 x2, dan x = 0, z = y2, kurva berbentuk parabola
Permukaan ini disebut paraboloida eliptik
Gambar 6.1 Paraboloida Eliptik
Z
Y
X (0, 0, 0)
Gambar 6.3 Elipsoida berpusat di (0, 0, 0)
Z
Y
X (0, 0, 0)
Gambar 6.2 Bola pusat di (0, 0, 0) dan jari-jari r
32
d. Gambarkan permukaan 12c
2z2b
2y2a
2x =−+ dimana a, b, dan c positip, dan a = b
Jawab : Perpotongan persamaan itu dengan bidang:
• XOY, dengan z = 0 adalah 12b
2y2a
2x =+
untuk a = b, membentuk persamaan lingkaran
• XOZ, dengan y = 0 adalah 12c
2z2a
2x =−
• YOZ, dengan x = 0 adalah 12c
2z2b
2y =−
keduanya membentuk persamaan hiperbola. Dengan demikian persamaan tersebut dilukiskan berbentuk hiperboloida berdaun satu.
e. Gambarkan permukaan z = y2
Jawab : Persamaan itu tidak memiliki variabel x, artinya nilai x dapat diambil sembarang. Perpotongan dengan bidang YOZ dengan x = 0 tetap adalah z = y2 yaitu berupa parabola. Permukaannya berbentuk silinder parabolik
f. Gambarkan permukaan 12a
2x2b
2y2c
2z =−− dimana a, b,
dan c positip, dan a = b Jawab: Persamaan tersebut menghasilkan gambar sebagaimana tercantum di samping. Jelaskan sendiri penyelesaiannya.
g. Gambarkan permukaan 2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x =+ dimana a, b,
dan c positip, dan a = b Jawab : Persamaan tersebut menghasilkan gambar sebagaimana di samping. Jelaskan sendiri penyelesaiannya.
6.2 Turunan Parsial Fungsi Dua Variabel
Turunan parsial dari fungsi z = f(x, y) adalah:
Txz
∂∂ = turunan parsial dari fungsi z terhadap x di T(xt, yt, zt) dimana y dianggap konstan
Tyz
∂∂
= turunan parsial dari fungsi z terhadap x di T(xt, yt, zt) dimana x dianggap konstan
Contoh: Tentukan turunan parsial dari:
a. z = x2 + y2 Jawab : xz
∂∂
= 2x dan y
z
∂∂
= 2y
b. z = xy Jawab : xz
∂∂
= y dan y
z
∂∂
= x
Y
Gambar 6.6 Hiperboloida berdaun dua
Z
X
Gambar 6.4 Hiperboloida berdaun satu
Z
Y
X
Gambar 6,5 Silinder parabolik
Z
Y
X
Gambar 6.7 Kerucut eliptik
Y
Z
X
33
6.3 Turunan Parsial Lebih Tinggi
Turunan parsial tingkat dua fungsi z = f(x, y) terbagi atas 4 macam, yaitu:
1. 2x
f2
∂
∂ =
∂∂
∂∂
xf
x 3.
yxf2
∂∂∂ =
∂∂
∂∂
yf
x
2. 2y
f2
∂
∂ =
∂∂
∂∂
yf
y 4.
xyf2
∂∂∂ =
∂∂
∂∂
xf
y catatan :
yxf2
∂∂∂ =
xyf2
∂∂∂
Turunan parsial tingkat tiga fungsi z = f(x, y) terbagi atas 8 macam, yaitu:
1. 3x
f3
∂
∂ =
∂∂
∂∂
∂∂
xf
xx 4.
yx2f3
∂∂
∂ =
∂∂
∂∂
∂∂
yf
xx 7.
y2x
f3
∂∂
∂ =
∂∂
∂∂
∂∂
yf
yx
2. 3y
f3
∂
∂ =
∂∂
∂∂
∂∂
yf
yy 5.
xy2f3
∂∂
∂ =
∂∂
∂∂
∂∂
xf
yy 8.
x2y
f3
∂∂
∂ =
∂∂
∂∂
∂∂
xf
xy
3. xyx
f3
∂∂∂∂
=
∂∂
∂∂
∂∂
xf
yx 6.
yxyf3
∂∂∂∂ =
∂∂
∂∂
∂∂
yf
xy
Contoh soal : Tentukan semua turunan parsial tingkat dua untuk fungsi:
a. z = x sin2y Jawab : xz
∂∂
= sin2y dan yz
∂∂
= 2 x sin y cos y = x sin 2y
2x
z2
∂
∂ = 0, 2y
z2
∂
∂ = 2x cos 2y, yxz2
∂∂∂ = 2 sin y cos y = sin 2y, dan
xyz2
∂∂∂
= sin 2y
b. z = sin (xy) Jawab : xz
∂∂
= y cos (xy) dan yz
∂∂
= x cos (xy),
2x
z2
∂
∂ = – y2 sin (xy),
2y
z2
∂
∂ = – x2 sin (xy),
yxz2
∂∂∂ = cos (xy) – xy sin (xy), dan
xyz2
∂∂∂ = cos (xy) – xy sin (xy)
6.4 Turunan Fungsi Implisit
Persamaan f(x,y,z) = 0 adalah fungsi implisit dalam ruang tiga dimensi. Untuk menghitung dxdz maka
variabel z dan x diturunkan terhadap x dengan menganggap y konstan, dan untuk menghitung dydz
maka
variabel z dan y diturunkan terhadap y dengan menganggap x konstan. Contoh:
1. Hitung dxdz dan
dydz
dari persamaan implisit xyz + x2z – 2y2z3 – xy + 2 = 0
Jawab : yz + xy dxdz + 2xz + x2
dxdz – 6y2z2
dxdz – y = 0
(xy + x2
– 6y2z2)
dxdz = y – yz – 2xz maka
dxdz =
2z2y62xxy
xz2yzy
−+
−−
xz + xy dydz
+ x2 dydz
– 4yz3 – 6y2z2
dydz
– x = 0
(xy + x2
– 6y2z2)
dydz
= x – xz – 4yz3 maka dxdz =
2z2y62xxy
3yz4xzx
−+
−−
34
2. Hitung dxdz dan
dydz
dari persamaan implisit xy2sin z + x2cos2z – y2 – xy = 0
Jawab : y2sin z + xy2cos z dxdz + 2xcos2z – 2x2cos z sin z
dxdz – y = 0
(xy2cos z – 2x2cos z sin z)dxdz = y – y2sin z – 2xcos2z
maka dxdz =
zsinzcos2x2zcos2xy
z2cosx2zsin2yy
−
−−
2xy sin z + xy2 cos z dydz
– 2x2 cos z sin zdydz
– 2y – x = 0
(xy2 cos z – 2x2 cos z sin z) dy
dz = x – 2xy sin z + 2y
maka dxdz =
zsinzcos2x2zcos2xy
y2zsinxy2x
−
+−
6.5 Bidang Singgung dan Garis Normal
Persamaan bidang yang menyinggung fungsi z = f(x, y) di titik T (x0, y0, z0) adalah:
)oyy(Ty
z)oxx(
Txz
ozz −
∂∂+−
∂∂=−
Sedangkan, persamaan garis normalnya adalah: X = Nt)oz,oy,ox( + dimana: X = vektor garis normal t = parameter
N = (1, 0, Tx
z
∂∂ ) X (0, 1,
Tyz
∂∂
X = perkalian cross (silang) vektor
Contoh: Diketahui bidang permukaan z = x3 + x2y + y3 + y2x + 1. Tentukan : a. Persamaan bidang singgung melalui titik T (1, 1, 5) pada permukaan tersebut. b. Persamaan garis normal
Jawab:
a. xz
∂∂
= 3x2 + 2xy + y2 maka Tx
z
∂∂ = 3 + 2 + 1 = 6
yz
∂∂
= x2 + 3y2 + 2xy maka Ty
z
∂∂
= 1 + 3 + 2 = 6
maka persamaan bidang singgung:
)oyy(Ty
z)oxx(
Txz
ozz −
∂∂+−
∂∂=−
z – 5 = 6 (x – 1) + 6 (y – 1) maka z = 6x + 6y – 7
b. Persamaan garis normal : X = Nt)oz,oy,ox( +
N = (1, 0, Tx
z
∂∂ ) X (0, 1,
Tyz
∂∂
= (1, 0, 6) X (0, 1, 6)
= 610
601
jji
= – 6i – 6j + k = (– 6, – 6, 1)
Jadi X = (1, 1, 5) + t (– 6, – 6, 1) dengan t = parameter
garis normal bidang
singgung
bidang permukaan z = f(x, y)
T(x0, y0, z )
Gambar 6.8 Bidang Singgung dan Garis Normal
35
6.6 Menentukan Jenis Titik Ekstrim
Jika titik T (x0, y0, z0) adalah titik stasioner dari fungsi z = f (x, y) dan berlaku
Tx
z
∂∂ = 0 dan
Tyz
∂∂
= 0
serta diskriminan fungsi f = ∆, dimana
∆ = 2x
f2
∂
∂ 2y
f2
∂
∂ – 2
yxf2
∂∂∂
maka berlaku ketentuan sebagai berikut:
1. Jika di T berlaku ∆ > 0, dan 2x
f2
∂
∂ < 0 atau 2y
f2
∂
∂ < 0, maka T adalah titik maksimum
2. Jika di T berlaku ∆ > 0, dan 2x
f2
∂
∂ > 0 atau 2y
f2
∂
∂ > 0, maka T adalah titik minimum
3. Jika di T berlaku ∆ < 0, maka T bukan titik ekstrim
4. Jika di T berlaku ∆ = 0, maka tidak dapat ditarik kesimpulan mengenai T Contoh : Tentukan titik-titik ekstrim dan jenisnya dari persamaan z = x2 + y2
Jawab: Hitung turunan parsialnya, yaitu:
xz
∂∂
= 2x xy
z2
∂∂∂
= 0 2x
z2
∂
∂ = 2
yz
∂∂
= 2y yxz2
∂∂∂ = 0
2y
z2
∂
∂ = 2
∆ = 2x
f2
∂
∂ 2y
f2
∂
∂ – 2
yxf2
∂∂∂ = 2 . 2 – 0 = 4 > 0
Titik stasioner didapat dari xz
∂∂
= 0 dan yz
∂∂
= 0, diperoleh 2x = 0 atau x = 0 dan 2y = 0 atau y = 0,
sedangkan z = x2 + y2 = 0 + 0 = 0. Jadi titik stasioner (0, 0, 0). Tentukan jenis titik stasioner ini,
maksimum atau minimum. Di titik (0, 0, 0) diperoleh ∆ = 4 > 0, 2x
z2
∂
∂ = 2 > 0 maka sesuai ketentuan di
atas, disimpulkan titik tersebut minimum. 6.7 Turunan Parsial Fungsi Parameter
Jika diketahui suatu fungsi z = f (x, y) dimana x = f(t) dan y = f(t) maka turunan parsial z terhadap parameter t adalah:
tz
∂∂
= xz
∂∂
tx
∂∂
+ yz
∂∂
ty
∂∂
Contoh
1. Tentukan tz
∂∂
jika z2 – 3xy + 2yz + 5 = 0, x = t2 – 5t +7, dan y = sin2t
Jawab : Persamaan di atas adalah persamaan implisit. Diturunkan diperoleh:
2zxz
∂∂
– 3y + 2y xz
∂∂
= 0 → (2z + 2y) x
z∂∂
= 3y → xz
∂∂
= y2z2
y3+
2zyz
∂∂
– 3x + 2z + 2y yz
∂∂
= 0 → (2z + 2y) y
z∂∂
= 3x – 2z → yz
∂∂
= y2z2z2x3
+−
36
x = t2 – 5t +7 → tx
∂∂
= 2t – 5 dan y = sin2t → ty
∂∂
= 2 sin t cos t = sin 2t
tz
∂∂
= xz
∂∂
tx
∂∂
+ yz
∂∂
ty
∂∂
= y2z2
y3+
(2t – 5) + y2z2z2x3
+− sin 2t
tz
∂∂
= y2z2
)5t2(y3+
− +
y2z2t2sin)z2x3(
+−
2. Diketahui suatu persamaan volume silinder v = πR2T, dimana R = jari-jari lingkaran
silinder dan T = tinggi silinder
Jika pada silinder itu berlaku bahwa tingginya
berkurang dengan kecepatan 0,3 cm/detik, dan jari-jarinya bertambah dengan kecepatan 0,5 cm/detik. Hitung kecepatan berubahnya volume silinder pada saat tingginya 10 cm dan jari-jari 7 cm.
Jawab: v = πR2T maka Rv
∂∂
= 2πRT dan Tv
∂∂
= πR2 sedangkan
tT
∂∂
= – 0,3 cm/dt dan tR
∂∂
= 0,5 cm/dt
Jadi kecepatan berubahnya volume silinder
tv
∂∂
= Rv
∂∂
tR
∂∂
+ Tv
∂∂
tT
∂∂
= 2πRT 0,5 + πR2 (– 0,3)
untuk T = 10 cm dan R = 7 cm maka
tv
∂∂
= 2π 7 10 0,5 – π 72 0,3 = (70 – 14,7) π = 55,3π cm3/dt
6.8 Diferensial Total
Jika z = f (x, y) maka diferensial total dari fungsi tersebut adalah
dz = dxxz
∂∂ + dy
yz
∂∂
Artinya, jika pada x terjadi perubahan sebesar dx dan pada y terjadi perubahan sebesar dy maka pada z akan terjadi perubahan sebesar dz sebesar persamaan di atas.
Contoh:
1. Di lapangan akan dibuat empat persegi panjang dengan panjang 421 m dan lebar 314 m, setelah dipatok dan diukur kembali, diperoleh data baru panjangnya berubah menjadi 421,02 m dan lebarnya menjadi 313,97 m. Berapa perubahan (kesalahan) yang terjadi pada luasnya? Jawab: Luas = panjang x lebar. Misal Luas = L, panjang = x, dan lebar = y, maka L = xy
xL
∂∂ = y dan
yL
∂∂ = x, dx = 421,02 – 421 = 0,02 m dan dy = 313,97 – 314 = – 0,03 m
dL = dxxL
∂∂ + dy
yL
∂∂ = y dx + x dy = 314 . 0,02 + 421 (– 0,03) = – 6,35 m2
2. Tentukan nilai taksiran 1,1)02,4( sampai 3 desimal. Jawab :
Ambil harga bulat, x = 4 maka dx = 4,02 – 4 = 0,02
dan y = 1 maka dy = 1,1 – 1 = 0,1
Fungsi tersebut adalah z = xy
turunan parsialnya xz
∂∂
= 1yxy − = 1. 40 = 1 dan yz
∂∂
= xy ln x = 41 ln 4 = 4 ln 4
dz = dxxz
∂∂ + dy
yz
∂∂ = 1yxy − dx + xy ln x dy = 1. 0,02 + 4 ln 4. 0,1 ≈ 0,575
Jadi 1,1)02,4( = 41 + dz = 4 + 0,575 = 4,575
Check : 4,021,1 = 4,620071092
R
T
Silinder
37
TUGAS MANDIRI BAB VI
Tugas Subbab 6.3
Tentukan turunan parsial untuk fungsi berikut:
1. z = x2 sin y 4. z = x2 + 3xy + y2 7. z = x cos y – y cos x
2. z = ln 2y2x + 5. z = arctan xy
8. z = xy
3. z = 2y
x 6. z =
2x
y2y
x −
9. Diketahui z = 2y2x + , buktikan zyz
yxz
x =∂∂+
∂∂
10. Diketahui z = ln 2y2x + , buktikan 1yz
yxz
x =∂∂−
∂∂
Tugas Subbab 6.4
Tentukan turunan parsial tingkat dua dan tiga untuk semua soal 1 – 8 di atas
Tugas Subbab 6.5
1. Tentukan turunan xz
∂∂
dan yz
∂∂ dari ysin(xz) – 2 tan x + y cos2x + xsin3z = 0
2. Diketahui persamaan xylogzye
xyz2x
+= xy – xz + yz. Tentukan turunan
xz
∂∂
dan yz
∂∂
3. Diketahui suatu persamaan implisit x2z – 3yz2 = – 2
Hitung xz
∂∂
, yz
∂∂
, 2x
z2
∂
∂ , 2y
z2
∂
∂ , xy
z2
∂∂∂ di titik (1, 1, 1)
Tugas Subbab 6.6
1. Diketahui persamaan z = x
yx + dan titik T (1, 1, 2) terletak pada permukaan tersebut.
Tentukan persamaan bidang singgung dan persamaan garis normal yang melalui T.
2. Idem, persamaan z = x3 – 2xy + y2 dan titik T (1, – 1, 4)
3. Idem, persamaan z = 2y2x + dan titik T (4, – 3, 5)
4. Idem, persamaan z = 2x
y2y
x − dan titik T (1, – 1, 2)
5. Idem, persamaan z = 2y
x dan titik T (2, – 1, 2)
Tugas Subbab 6.7
1. Tentukan nilai ekstrim dan jenisnya (jika ada) untuk fungsi-fungsi berikut:
a. z = x3 + x2y – 2y3 + 3y2 d. z = 2x2 – y2 + 20x – 11y b. z = x3 + y3 + x2 – 5y2 – x + 3y e. z = 4xy2 – 2x2y – x c. z = x2 + y2 + 3xy
2. Akan dibuat sebuah kotak tanpa tutup atas dengan volume 108 cm3. Berapa ukuran kotak tersebut agar luas permukaannya minimum?
X Y
Z
volume 108 cm3
38
Tugas Subbab 6.8
1. Tentukan tz
∂∂
jika
a. z = x2 + 3xy + 5y2, x = sin t, dan y = cos t b. z = ln (x2 + y2), x = e-t, dan y = et
2. Jika pada suatu kerucut berlaku bahwa tingginya berkurang dengan kecepatan 0,2 cm/detik, jari-jari bertambah dengan kecepatan 0,3 cm/detik. Hitung kecepatan berubahnya volume kerucut pada saat tingginya 15 cm dan jari-jari 10 cm.
Petunjuk : Volume kerucut v = y2x31 π , dimana x = jari-jari lingkaran alas kerucut
dan y = tinggi kerucut.
Kecepatan berubahnya volume = tV
∂∂
= xV
∂∂
tx
∂∂
+ yV
∂∂
ty
∂∂
Tugas Subbab 6.9
1. Tentukan diferensial total dari
a. z = x3 y + 2xy c. z = 2y2xe −
b. z = arctan xy
d. z = 21
)2y2x(x−
+
2. Akan dibuat segitiga siku-siku seperti gambar dengan x = 6 meter dan y = 8 meter. Pada pengukuran x terdapat kesalahan 0,25 cm dan pada pengukuran y terdapat kesalahan – 0,125 cm. Berapa kesalahan pada z?
3. Dalam suatu pengukuran untuk menentukan luas segitiga ABC,
diperoleh data sbb: x = 152 m dengan kesalahan dx = 2 cm y = 210 m dengan kesalahan dy = 2 cm θ = 60o dengan kesalahan dθ = 0,5o.
Jika luas L = 21 x y sin θ, tentukan besar kesalahan luas dL
dengan menggunakan perhitungan diferensial total
dL = dxxL
∂∂ + dy
yL
∂∂ + θ
θ∂∂
dL
Catatan: besaran sudut harus diubah dalam bentuk radian
x y
z
y
x A B
C
θ
39
Sumber Pustaka
1. Purcell, E.J., dan D. Varberg, 1987, Kalkulus dan Geometri Analitis, Jilid 1, Alih Bahasa: I.N. Susila, B. Kartasasmita, dan Rawuh, Penerbit Erlangga, Jakarta
2. Soemartojo, N., 1988, Kalkulus, Penerbit Erlangga, Jakarta