matematika diskrit 1 - himpunan - official site of ahmad...
TRANSCRIPT
Matematika Diskrit 1Himpunan
Dr. Ahmad Sabri
Universitas Gunadarma
Matematika Diskrit 1
Pendahuluan
Apakah Matematika Diskrit itu?
Matematika diskrit adalah kajian terhadap objek/strukturmatematis, di mana objek-objek tersebut diasosiasikan sebagainilai-nilai diskrit.
Matematika Diskrit 1
Himpunan
Konsep-konsep dasar
Himpunan
Definisi
Himpunan adalah kumpulan objek dengan karakteristik yang telahdidefinisikan sebelumnya.
Contoh
Himpunan mahasiswa UG.
Himpunan bilangan genap.
Himpunan untai biner panjang 5 yang memiliki 3 simbol ‘1’.
dsb.
Matematika Diskrit 1
Himpunan
Konsep-konsep dasar
Himpunan
Definisi
Himpunan adalah kumpulan objek dengan karakteristik yang telahdidefinisikan sebelumnya.
Contoh
Himpunan mahasiswa UG.
Himpunan bilangan genap.
Himpunan untai biner panjang 5 yang memiliki 3 simbol ‘1’.
dsb.
Matematika Diskrit 1
Himpunan
Konsep-konsep dasar
Notasi pada himpunan
Simbol himpunan dinyatakan dalam huruf besar miring,anggota-anggotanya ditulis di antara kurung kurawal {}, dansetiap anggotanya dipisahkan oleh koma. Urutan simbol tidakberpengaruh. Contoh A = {a, i, u, e, o} = {i, o, a, e, u}Relasi: ∈, 3, ⊂, ⊆, ⊃, ⊇.
Negasi dari relasi: /∈, 63, 6⊂, *, 6⊃, 6⊇.
Operasi: ∩, ∪
Matematika Diskrit 1
Himpunan
Konsep-konsep dasar
Contoh
A = {1, 3, 5, 7, . . .} dapat dinyatakan sebagaiA = {x|x bilangan ganjil}B = {x|x2 + 3x− 10 = 0}, C = { −5, 2},D = {−5, 2, 2,−5}. Maka, B = C = D.
Matematika Diskrit 1
Himpunan
Konsep-konsep dasar
Subhimpunan
Definisi
Diberikan dua himpunan A dan B. Jika untuk sebarangx ∈ A berlaku x ∈ B, maka dikatakan A adalah subhimpunandari B. Secara matematis, A ⊆ B, atau B ⊇ A.
A = B jika dan hanya jika A ⊆ B dan B ⊆ A.
Jika A ⊆ B dan A 6= B, maka A dikatakan sebagaisubhimpunan sejati (proper subset) dari B, dan dinotasikansebagai A ⊂ B.
Untuk seterusnya, istilah “subhimpunan” mengacu pada simbol ⊂.
Matematika Diskrit 1
Himpunan
Konsep-konsep dasar
Beberapa himpunan yang sering digunakan
N: himpunan bilangan natural (asli) 1, 2, 3, . . ..
Z: himpunan bilangan integer (bulat) . . . ,−2,−1, 0, 1, 2, . . ..Q: himpunan bilangan rasional.
R: himpunan bilangan riil.
C: himpunan bilangan kompleks.
Perhatikan bahwa N ⊆ Z ⊆ Q ⊆ R ⊆ C.
U: himpunan semesta
∅ atau {}: himpunan kosong
Matematika Diskrit 1
Himpunan
Konsep-konsep dasar
Himpunan disjoin
Definisi
Himpunan A dan B dikatakan disjoin jika tidak terdapat elemenanggota A yang juga menjadi anggota B.
Contoh
Diberikan A = {2, 4, 6, 8, 10}, B = {2, 4, 8, 16}, C = {1, 3, 5, 7, 9}.A dan B tidak disjoin. Namun, A dan C disjoin, demikian pulahalnya denga B dan C.
Matematika Diskrit 1
Himpunan
Konsep-konsep dasar
Diagram Venn
Diagram Venn adalah representasi himpunan secara visual, di manareprsentasi himpunan tersebut berada dalam sua-tu daerah persegi panjang sebagai representasi himpunan semesta U.
Matematika Diskrit 1
Himpunan
Konsep-konsep dasar
Operasi pada himpunan
∪: operasi gabung. A ∪B = {x|x ∈ A atau x ∈ B}∩: operasi iris. A ∩B = {x|x ∈ A dan x ∈ B}
Matematika Diskrit 1
Himpunan
Konsep-konsep dasar
Jika A dan B disjoin, maka A ∩B = ∅.Jika S = A ∪B dan A ∩B = ∅, maka S dikatakan sebagaigabungan disjoin dari A dan B.
Matematika Diskrit 1
Himpunan
Konsep-konsep dasar
Teorema
Diberikan sebarang dua himpunan A dan B. Maka berlaku:
A ∩B ⊆ A ⊆ A ∪B, dan
A ∩B ⊆ B ⊆ A ∪B.
Teorema
Ketiga pernyataan berikut ekivalen:
A ⊆ B,
A ∩B = A,
A = B.
Matematika Diskrit 1
Himpunan
Konsep-konsep dasar
Teorema
Diberikan sebarang dua himpunan A dan B. Maka berlaku:
A ∩B ⊆ A ⊆ A ∪B, dan
A ∩B ⊆ B ⊆ A ∪B.
Teorema
Ketiga pernyataan berikut ekivalen:
A ⊆ B,
A ∩B = A,
A = B.
Matematika Diskrit 1
Himpunan
Konsep-konsep dasar
Generalisasi operasi himpunan
Diberikan sejumlah hingga himpunan A1, A2, . . . , Am. Operasigabung dan iris untuk semua himpunan tersebut didefinisikansebagai berikut:
A1∪A2∪. . .∪Am =⋃m
i=1Ai = {x|x ∈ Ai untuk beberapa i}A1 ∪A2 ∩ . . . ∪Am =
⋂mi=1Ai = {x|x ∈ Ai untuk semua i}
Matematika Diskrit 1
Himpunan
Konsep-konsep dasar
Komplemen mutlak
Definisi
Komplemen mutlak (selanjutnya disebut komplemen) darihimpunan A, dinotasikan sebagai AC atau A′, adalah himpunanelemen semesta yang bukan merupakan elemen himpunan A.Secara matematis, A′ = {x|x ∈ U, x /∈ A}.
Matematika Diskrit 1
Himpunan
Konsep-konsep dasar
Komplemen relatif
Definisi
Komplemen relatif dari himpunan B terhadap himpunan A,dinotasikan sebagai A \B (dibaca A kurang B), adalah himpunanelemen anggota A yang bukan merupakan elemen anggota B.Secara matematis, A′ = {x|x ∈ A, x /∈ B}.
Matematika Diskrit 1
Himpunan
Konsep-konsep dasar
Perbedaan simetris
Definisi
Perbedaan simetris (symmetric difference) dari himpunan A danB, dinotasikan sebagai A⊕B, terdiri dari elemen-elemen anggotaA atau anggota B, namun tidak keduanya. Secara matematis:
A⊕B = (A ∪B) \ (A ∩B),
atauA⊕B = (A \B) ∪ (B \A).
Matematika Diskrit 1
Himpunan
Aljabar himpunan
Aljabar himpunan
Matematika Diskrit 1
Himpunan
Himpunan hingga dan prinsip pencacahan
Himpunan hingga
Himpunan A dikatakan hingga jika A adalah ∅ atau|A| = c > 0, c integer (A memuat tepat sejumlah hinggaelemen). Dalam kasus lain, A dikatakan tak-hingga.
Himpunan A dikatakan terhitung (countable) jika A hingga,atau jika elemen-elemen pada A dapat disusun dalam polabarisan. Dalam kasus yang terakhir ini A dikatakan terhitungtak-hingga (countably infinite). Dalam hal yang lainnya, Adikatakan tak terhitung (uncountable).
Matematika Diskrit 1
Himpunan
Himpunan hingga dan prinsip pencacahan
Prinsip pencacahan
Kardinalitas (banyak elemen) dari himpunan A dinotasikan sebagain(A), |A|, #(A), atau card(A).Jika A dan B himpunan hingga dan disjoin, maka:
n(A ∪B) = n(A) + n(B).
n(A \B) = n(A)− n(A ∩B).
n(A′) = n(U)− n(A).
Matematika Diskrit 1
Himpunan
Himpunan hingga dan prinsip pencacahan
Prinsip pencacahan
Jika A dan B himpunan hingga dan tidak disjoin, maka:
n(A ∪B) = n(A) + n(B)− n(A ∩B).
Prinsip di atas di sebut sebagai Prinsip inklusi-eksklusi.
Matematika Diskrit 1
Himpunan
Himpunan hingga dan prinsip pencacahan
Prinsip pencacahan
Jika A dan B himpunan hingga dan tidak disjoin, maka:
n(A ∪B) = n(A) + n(B)− n(A ∩B).
Prinsip di atas di sebut sebagai Prinsip inklusi-eksklusi.
Matematika Diskrit 1
Himpunan
Kelas, partisi, dan himpunan kuasa
Kelas himpunan
Himpunan-himpunan yang memiliki beberapa kesamaankarakteristik objek membentuk sebuah kelas himpunan.
Kelas himpunan pada dasarnya adalah himpunan yangberanggotakan himpunan.
Matematika Diskrit 1
Himpunan
Kelas, partisi, dan himpunan kuasa
Himpunan pangkat
Definisi
Diberikan sebuah himpunan hingga A. Himpunan pangkat dari A,dinotasikan sebagai P (A), adalah sebuah himpunan yangberanggotakan semua subhimpunan dari A.
Kardinalitas P (A) dinotasikan sebagai 2A, dan diberikan oleh2n(A).
Matematika Diskrit 1
Himpunan
Kelas, partisi, dan himpunan kuasa
Himpunan pangkat
Definisi
Diberikan sebuah himpunan hingga A. Himpunan pangkat dari A,dinotasikan sebagai P (A), adalah sebuah himpunan yangberanggotakan semua subhimpunan dari A.
Kardinalitas P (A) dinotasikan sebagai 2A, dan diberikan oleh2n(A).
Matematika Diskrit 1
Himpunan
Kelas, partisi, dan himpunan kuasa
Himpunan partisi
Sebuah k-partisi dari himpunan S adalah himpunan{A1, A2, . . . , Ak} di mana:
Ai ∩Aj = ∅, untuk i 6= j (Ai dan Aj disjoin).⋃ki=1Ai = S