matematika kÖzgazdÁszoknaksalamonjulia/v1_files/sk00.pdfmatematika nyelvén ábrázoljuk a...
TRANSCRIPT
MATEMATIKA KÖZGAZDÁSZOKNAK
MAKÓ Zoltán
2014/2015
ii
1
2
Fejezet 1
A matematika szerepe a
közgazdasági modellek
kidolgozásában
1.1 Miért fontos a közgaszdászoknak a matem-
atika?
A gazdaság egy ködös, átláthatatlan világ.
Az elso úttörok még teljes vaksötétben s puszta szemükre hagyatva
vágtak neki, sokszor inkább káprázatot, mintsem fényt követve.
A matematika lett az a szövetnék, amelynek fényénél mára
tisztán kiveheto mindaz, mi ennekelotte csak homályban derengett.
–Irving Fisher (1982)
A gazdasági tevékenységek évezredek óta életünk részét képezik.
Maga a közgazdaságtan jelentésu ógörög eredetu ”ökonómia” szó jelntése
„házvezetés, házvezetésvitel” is ezt mutatja. Persze már a görögök elotti
társadalmakban is voltak kereskedok, akiknek tevékenysége néminemuleg
a mai értelemben is közgazdaságinak nevezheto. Tudták például, hogy a
szük termés általában a gabona árának emelkedésével jár, az aranykészlet
fogyása viszont valószínuleg a gabonaár csökkenését vonja maga után.
A közgazdasági fogalmak évszázadokon át nem jelentettek többet an-
nál, mint ami a legelemibb matematika egyszeru kifejezéseivel is megad-
3
4FEJEZET 1. AMATEMATIKA SZEREPE AKÖZGAZDASÁGTANBAN
ható. Az elemi aritmetika bovön elegendo volt mindazon feladatok
elvégzésére, amelyekre egy kereskedonek szüksége lehetett, ezekhez a
számításokhoz eszköz gyanánt tökéletesen megfelelt az abakusz.
A közgazdaságtan fejlodése a tizennyolcadik században fordulópon-
tjához ért. A gazdasági gondolatokat kezdték formába önteni, és ezen gon-
dolatok elindultak azon az úton, hogy elméleté fejlodjenek. Ilyen gondola-
tokat tartalmaztak a következõ muvek: David Hume, Political Discourses
(1752); Francois Quesnay, Tableau Economique (1759); Adam Smith, The
Wealth of Nations (1756).
A XIX. század közepe környékén néhány szerzo elméletének kidolgo-
zásához elkezdett matematikai eszközöket használni. Ezen legelsok között
olyan közgazdászok neveivel találkozunk, mint: Antoine Cournot [6] —
az elso, aki explicit kersleti görbét rajzolt és definiálta is azt, valamint
közgazdasági szélsoértékfeladatokat oldott meg a differenciálszámítás es-
zközeit használva; Léon Walras[19] — megoldotta a minden piacra egyide-
juleg kiterjedo, a kereslet és kinálat általános egyensúlyára vonatkozó elso
egyenletrendszert.
A következo történet szemléletes példa arra, hogy miként alka-
lmazhatják a közgaszdászok a matematikai tudásukat gyakorlati problé-
mak megoldására.
1953 februárjában Hollandiában egy addig sosem látott hatal-
mas árvíz pusztított. A víz átszakította az országot védo
gátakat, és a hömpölygo árban több mint 1800-an lelték
halálukat. Az anyagi kár a becslések szerint az azévi nemzeti
jövedelem 7%-át tette ki. A jövoben várható hasonló ter-
mészeti katasztrofák megelozésére bizottság alakult és megál-
lapították, hogy 100%-os biztonságot nyújtó gátak építésére
hatalmas összegekre van szükség. Az igazi problémát tehát
a költség és a biztonság közötti határvonal meghúzása jelen-
tette: a magasabb gátak nyilván drágábbak, de az általuk
nyújtott biztonság nagyobb, az alacsonyabbak olcsobbak, de
az általuk nyújtott biztonság is kisebb. A bizottságnak tehát
meg kellett próbálnia a gátak valamiféle optimális magasságát
meghatározni.
Az ilyen és ehhez hasonló határvonal-meghúzási problémáknak
központi szerepük van a közgazdaságtanban. Ezekben a problémákban
1.1. MIÉRT FONTOS A KÖZGASZDÁSZOKNAK AMATEMATIKA?5
az a közös, hogy valaminek a javulásáért mindig más valaminek a rom-
lásával kell fizetnünk (mint a fenti példában a költségcsökkenésért a biz-
tonság romlásával fizetünk) és a feladatunk az, hogy e két valami között
kell valamilyen optimális határvonalat meghúzni. Ezek a problémák olyan
szélsoértékfeladatokra vezetnek, amelyek elegánsan kezelhetok a matem-
atikai formanyelv eszközeivel.
A közgazdaságnak azt az ágát, amely a matematikai for-
manyelv és eszközök segítségével kifejtett elméleteket és mod-
elleket foglalja össze matematikai közgazdaságtannak nevez-
zük, ami szoros rokonságban van az ökonometriával és az op-
erációkutatással, amelyek alapvetõen magukkal a matematikai
és statisztikai módszerekkel, illetve azok gyakorlati alkalmazá-
saival foglalkoznak.
A matematikai közgazdaságtan legfontosabb eredményeinek össze-
foglalását, magyar nyelven az olvasó a Zalai Ernõ által írt Matematikai
közgazdaságtan [18] címû könyvében találja meg.
Nem hagyhartjuk szó nélkül azt sem, hogy a matematika közgazdasági
alkalmazása szinte egyidõs a vele kapcsolatos fentartások hangoztatásá-
val. A matematika közgazdasági alkalmazásaival szemben megnyilvánuló
kétely és bírálat okai összetettek s nehezen érthetõk meg azoknak a sajátos
körülményeknek az alapos ismerete nélkül, amelyek között a matematikai
közgazdaságtan kifejlõdött (lásd [18]). Ez a folyamat paradigmák, ku-
tatási programok köré tömörült és egymással rivalizáló közösségekben és
közösségek között zajlik.
Közismert például Walras és Marshall szakmai és személyes ellentéte.
Marshall, aki a maga korában kiváló matematikai tudással rendelkezett,
Walrassal ellentétben korántsem volt a közgazdaságtan „matematizálásá-
nak” kritikálatlan híve. Ma is érdemes megszívlelni az általa a matematika
közgazdasági alkalmazására adott „hatparancsolatát”
„Egyre inkább az lett az érzésem, hogy egy jó matematikai
tétel, amely egy közgazdasági hipotézist fogalmaz meg, aligha
lehet jó közgazdaságtan, és egyre inkább tartottam magam a
következõ szabályokhoz: 1. A matematikát csak gyorsírásként
használd, s ne a kutatás hajtómotorjaként! 2. Csak addig
használd, míg eredményre nem jutottál általa! 3. Fordítsd le
6FEJEZET 1. AMATEMATIKA SZEREPE AKÖZGAZDASÁGTANBAN
angolra! 4. Illusztráld a valós életbõl vett fontos példákkal!
5. Vesd a tûzbe a matematikai változatot! 6. Ha nem tudod
sikeresen megoldani a 4. feladatot, akkor égesd el az angol
változatot is! [14]”
Ez a „hatparancsolat” arra figyelmeztet, hogy a matematikai nyelveze-
tre való átállás a közgazdaságtanban az intellektuális játékokkal, képzetes
problémákkal való foglalkozás veszélyével jár. Walras és Marshall egymás-
sal ellentétes elképzelésében nemcsak a szakmáról és a módszertanról alko-
tott felfogásbeli különbsége jelenik meg, hanem a feltételezett olvasóközön-
ség közötti különbség is. Walras a szakma szûkebb, matematikában jár-
tas képviselõit, Marshall ezzel szemben egy szélesebb, közgazdasági is-
mereteket igénylõ társadalmi réteget vette célba. Mindezek miatt az el-
lentétek és viták várhatóan még hosszú ideig fenn fognak maradni, de
mindenki elismeri, hogy a verbális elméletek aximatikus kifejtése élesebb
megvilágításba helyezi az egyébként gyakran csak homályosan megfogal-
mazott állításokat, elõsegíti azok érvényeségi feltételeinek és korlátjainak
tisztázását, és lehetõvé teszi olyan következtetések feltárását is, amelyeket
a matematikai levezetés nélkül fel sem lehetne fedezni. A matematika
közgazdaságtani alkalmazása didaktikai szempontból is felbecsülhetetlen,
mivel szabatos, logikus gondolkodásra tanít. Ezért nincs értelme a matem-
atika szerepérõl elvi szinten vitatkozni, legfeljebb csak arról, hogy „men-
nyit” és „milyen” matematikát használjunk az elméleti tisztánlátás és
gyakorlati felhasználás érdekében.
1.2 A gazdasági folyamatok modellezésének fázi-
sai
A közgazdaságtant rendszerint az empirikus (tapasztalati) tudományok
közé sorolják. Ilyen tudományok még a természettudományok. Ezen tu-
dományokat a közös módszertan fogja össze egy csoportba, amelynek fobb
szempontjai a következok:
1. Jelenségek minoségi és mennyiségi szempontok szerinti megfi-
gyelése mind természeti mind gondosan elokészített laboratoriumi
körülmények között.
2. A megfigyelés során mért adatok numerikus és statisztikai feldolgo-
zása.
1.2. A GAZDASÁGI FOLYAMATOK MODELLEZÉSÉNEK FÁZISAI7
3. Olyan elméleti modellek megalkotása, amelyek leírják a megfigyelt
jelenségeket és magyarázatott adnak a köztük levo kölcsönhatásokra.
4. Elorejelzések készítése ezen modellek alapján.
5. A modellek korrigálása és továbbfejlesztése az elorejelzések és a
tapasztalati mérések eredményeinek összehasonlítása után.
Összefoglalva ez azt jelenti, hogy az empirikus tudományok a megfi-
gyelés, modellezés és felülvizsgálat hármas követelményén alapszanak. Ah-
hoz, hogy egy tevékenységet empirikus tudománynak minosítsük, a fenti
pontok mindegyikének meg kell felelnie, mivel
— az elmélet nélküli megfigyelések a valóságról pusztán képeket tudnak
közölni, de a jelenségekre már képtelenek magyarázatot adni,
— az olyan elméletek viszont, amelyek nem megfigyelésen alapulnak,
nagyon könnyen elszakadhatnak attól a valóságtól, amelynek jelen-
ségeit éppen értelmezni hivatottak.
A közgazdaságtan emprikus tudományá a XX század elején vált,
amikor a közgaszdászoknak sikerült megalkotniuk a közgazdasági folyam-
atok elso modelljeit.
A modell —mint a megismerés sajátos formája— egyszerubben,
anyagilag vagy eszmeileg reprezentálja a vizsgált objektumot.
Az objektum és a modell között mindig pontosan meghatáro-
zott megfeleltetési viszony van. A modell a megismerési folya-
matban és kutatásban új ismeretek szerzését teszi lehetové.
Modelleket felépítésük szerint szokták osztályozni. Ezek szerint van-
nak anyagi és eszmei modellek.
Az anyagi modelleknek négy alaptípusa van:
— geometriai modellek az objektum térbeli tulajdonságait és arányait
mértékarányosan transzformáló konstrukciók ( pld. makettek);
— fizikai modellek nemcsak az objektum és a modell közötti geometriai
hasonlóságot, hanem fizikai természetük hasonlóságát is feltételezi;
8FEJEZET 1. AMATEMATIKA SZEREPE AKÖZGAZDASÁGTANBAN
— a tárgyi-matematikai modellek anyagilag reprodukálják a különbözo je-
lenségek mennyiségi és szerkezeti összefüggéseit. Ide sorolhatók a
gazdasági folyamatok számítógépen történo modellezése is;
— kibernetikai modellek bizonyos mértékig azonosak a tárgyi-matematikai
modellekkel, de speciális sajátosságuk, hogy ezek a modellek
kifejezik a bonyolult, dinamikus rendszerek viselkedésmódját,
környezetükhöz való viszonyát;
Az eszmei modelleknek két alaptípusa van:
— képmásmodellek eszmei úton, elemi képekbol tevodnek össze. Kife-
jezhetik a modellezett objektum lényeges oldalait, a strukturájában
rejlo törvényszeruségeket, de a szemléletesség is a lényegükhöz tar-
tozik.
— jelmodellek jelekbol épülnek fel. ezek segítségével fejezik ki a vizsgált
objektum elemeit, strukturáját és muködését.
A folyamatábra jelmagyarázata:
1. Modellezendo gazdasági folyamat.
2. Az adott gazdasági folyamat elemzése
3. Közgazdasági modell
4. Matematikai apparátus -matematikai analizis
-matematikai programozás
-valószínuségszámítás
-statisztika
-numerikus eljárások stb.
5. Matematikai modell -eszmei
-tárgyi
6. A matematikai modell megoldása -számítástechnika alkalmazásával
7. A modellezett gazdasági folyamat
tudományos modelljének eredményei
1. Az objektív valóság absztrahálása a vizsgálat céljának megfelelo tu-
dományos modellé. A tudományos modell helyességét ellenoriznünk
kell az eredményeknek a gyakorlattal való egybevetésével. A mod-
ellezésnek ebben a fázisában kétféle hibát is elkövethetünk:
1.2. A GAZDASÁGI FOLYAMATOK MODELLEZÉSÉNEK FÁZISAI9
ábra 1.1: 1. ábra. A gazdasági folyamatok modellezésének fázisai.
10FEJEZET 1. AMATEMATIKA SZEREPE AKÖZGAZDASÁGTANBAN
— egyrészt ha nem ismerjük megfeleloen a valóságot (informá-
cióhiány vagy hibás információ következtében),
— másrészt ha nem ismerjük fel valamely tényezo jelentoségét, és azt
a modellbol kihagyjuk.
Általában a közgazdasági modell eredményeinek a gyakorlattal való
szembesítése csak a matematikai modell megoldása után kerül-
het sor, így a tudományos modellbol fakadó hibákat csak késobb
szurhetjük ki. A másik probléma az, hogy a közgazdaságtanban elo-
forduló feltevések rendszerint kevésbé szabatosan vannak megfogal-
mazva mint a fizikában, így a bennük levo tévedések sem olyan nyil-
vánvalók. Ennek érdekében vizsgáljunk meg két klasszikus példát.
Példa (Arisztotelész-Galileo Galilei) Arisztetelész Kr. e. 350
körül kiagyalt elmélete szerint a szabadon eso testek zuhanási
sebessége állandó és a nehezebb testek a könnyebbeknél gy-
orsabban zuhannak. Ezt cáfolta látványosan a XVI század-
ban Galileo Galilei, amikor kisérletileg kimutatta, hogy a légel-
lenállást elhanyagolva bármely szabadon eso test sebessége az
esés kezdetétol fogva eltelt idovel arányos és ez az arányossági
tényezo minden test esetében ugyanaz.
Példa (Phillips-görbe) A. W. Phillips egy 1958-ban publikált
dolgozatában a brit gazdaság 1861-tol 1957-ig terjedo idoszakán
belüli bérnövekedés és munkanélküléség éves arányait vizsgálta.
A megfigyelt arányokat egy koordináta-rendszerben ábrázolva
egy görbéhez jutott.Ezt a görbét nevezik Phillips görbének.
Az eredmények alapján a közgazdászok egésszen az 1970-es
évekig elfogadták, hogy a infláció és a munkanélküliség közti
valami-valamiért problémát ez a görbe írja le. A probléma
közismerten abban áll, hogy egyrészt az adócsökkentés vagy a
megemelt közkiadások hatására munkahelyek teremtodhetnek,
de ennek az az ára, hogy no az infláció. Megfordítva, az infláció
adóemeléssel vagy közkiadások megnyirbálásával csökkentheto,
ennek viszont munkanélküliség-növekedés az ára.
Ennek cáfolatára az 1973-1982 éves idoszakban a nyugati orszá-
gokban egyidejüleg jelentkezett a magas infláció és a magas
munkanélküliség, és a megfigyelések adatai egyre másra maga-
1.2. A GAZDASÁGI FOLYAMATOKMODELLEZÉSÉNEK FÁZISAI11
san a hagyományos Phillips görbe fölötti értékeket vett fel. (
Ezt az idoszakot nevezik a pangás vagy stagnálás idoszakának.)
Ahogy Arisztotelesz elgodolásai is a tapasztalatokkal ellent-
mondásba került ugyanúgy a Phillips görbe is modosításra
szorult.De, hogy miért csúszott hiba Phillips elgodolásaiba, már
nehezebben érheto úton. A közgászdászok szerint azért for-
dulhatott elo a pangás idoszaka, mert az emberek megtanul-
tak együtt élni az inflációval, bér és kölcsön- szerzodéseiket
is az inflációs várakozásaiknak megfeleloen alakították. Je-
lenleg a Phillips görbe helyett egy olyan görbét használnak,
amely a munkanélküliség és az infláció várt mértékétol való
eltérés között húzodik. Továbbá az inflációs várakozásnak ez
a mértéke az infláció tényleges értékének emelkedésével együtt
növekszik.Tehát a csökkeno munkanélküliség nem csak egysz-
eruen csak növeli az inflációt, hanem meg is gyorsítja az infláció
növekedését.
2. A következo fázisban megfelelo matematikai eszközök segítségével a
matematika nyelvén ábrázoljuk a közgazdasági modellt.
A matematikai modell nem a valóságnak, hanem a közgaz-
dasági modellnek a megjelenítése, tehát a matematikai mod-
ellbol nyert eredmények csak akkor bizonyulhatnak jónak, ha
helyes közgazdasági modellen alapúlnak.
Ebben a szakaszban is követhetünk el hibát
— a modell rossz megfogalmazásával (pl. egy modell lényegétol ide-
gen feltétel vagy változó eltozíthatja annak belso összefüggéseit
és téves összefüggésekre adhat alkalmat);
— pontatlan adatok felhasználásával;
— a matematikai módszer helytelen alkalmazásával.
3. A matematikai modell megoldása után az eredményeket közgaz-
dasági szempontból kell értelmezni, elemezni és meg kell vizsálni,
hogy a visszacsatolás müködik-e. Ekkor dönthetjük el, hogy a mod-
ell használható-e vagy a modellezést az elkövetett hiba jellegétol füg-
goen valamelyik korábbi fázisában újra kell kezdenünk.
12FEJEZET 1. AMATEMATIKA SZEREPE AKÖZGAZDASÁGTANBAN
Összefoglalva az egésszet, a továbbiakban sosem szabad elfelejteni,
hogy
a modell a valóságnak csak pusztán egy megközelítésére képes,
és az empirikus tudományok célja az, hogy olyan modelleket
alkosson, amelyek a valóságot a leheto legjobban tükrözi.
Ebben a jegyzetben azokat a matematikai analízis tárgyköréhez tar-
tozó fogalmakat foglaljuk össze egységes rendszerbe, amelyek az általános
egyensúlyelmélet megértéséhez nélkülözhetetlenek. Nem célunk az elmélet
részletes ismertetése, mivel ez a Zalai Ernõ [18] könyvében megtalálható.
Itt csak annyit jegyzünk meg, hogy
az egyensúlyelmélet a modern árútermelõ gazdaság mûködését
szinte kizárólag az egyensúlyi jelenségek és mechanizmusok
alapján tanulmányozó elmélet.
Ez az elmélet nemcsak a fogalmakat, de az idõközben változó matem-
atikai szemléletet és módszertant is átvete, mivel az alapítóktól (Walras,
Jevons és Pareto) kezdve nagy súlyt fektettek az elmélet axiómatikus,
formalizált kifejtésére. A gazdasági egyensúly matematikai modelljei a
matematikai közgazdaságtan legátfogóbb, annak szinte minden elemét
felölelõ matematikai építményei. A termelési függvények, az input-output
modellek, a hasznossági függvények és a különbözõ keresleti rendszerek
mind részet képezik, vagy szoros rokonságba hozhatók az általános egyen-
súlyelméleti modellekkel.
1.3 A matematikai bizonyítás
Az eddigiekben már hangsúlyoztuk a matematikai modellek fontos sz-
erepét a tapasztalati tudományokban, különösen a közgazdaságtanban.
A továbbiakban arra szeretnénk ráírányítani a figyelmet, hogy mennyire
fontos a modellt le1eíró nyelvezet pontossága.
Példa Oldjuk meg az
x+ 3 =√9− x
egyenletet.
1.3. A MATEMATIKAI BIZONYÍTÁS 13
Hol a hiba a megoldásban?
(x+ 3)2 =√9− x2
x2 + 6x+ 9 = 9− xx2 + 7x = 0 /x
x+ 7 = 0
x = −7.
Visszahelyettesítve kapjuk, hogy
−7 + 3 =p9− (−7)
−4 =√16
−4 = 4.
Ez a példa rávilágít a körültekintés nélküli mechanikus számolás veszé-
lyeire. Sajnos az ilyen rejtett hibák kiszurésére számítógépes programok
soha sem lesznek képesek, ezért kell vigyázni a számítógép használatára
a modellezés során. Ilyen hibákra már sajnos sokszor ráfizetett az em-
beriség. Hogy mi ezt elkerüljük a jegyzet megírása során arra törekedtünk,
hogy minden kijelentésünk egyértelmu legyen, következtetéseink pedig
logikusak. Ennek érdekében a következokben felsoroljuk a legfontosabb
logikai szabályokat.
Definíció 1.3.1 Azokat a kijelentéseket, amelyeknek van értelmuk és
amelyekrol egyértelmuen eldönthetok, hogy igazak vagy hamisak ál-
lításoknak ( ítéleteknek) nevezzük. Tehát minden állításhoz tartozik egy
„igaz” (i = 1) vagy „hamis” (i = 0) jelzõ. 1, 0 az állítás logikai értéke.
Ha egy P állítás igaz volt akkor az állítás ellentetje a ”nem P”
hamis, ha pedig hamis volt akkor ellentetje ”nem P” igaz lesz.
Ezekkel az állításokkat a ”vagy”, és az ”és” kötoszavakkal köthetjük
össze. Legyen P és Q két állítás. Az alábbi szabályok alapján tudjuk
eldönteni egy összetett kijelentésrol, hogy igaz-e vagy hamis.
A ”P vagy Q” állítás akkor és csakis akkor lesz hamis ha mind
a két állítás hamis volt. Minden más esetben a ”P vagy Q”
állítás igaz.
14FEJEZET 1. AMATEMATIKA SZEREPE AKÖZGAZDASÁGTANBAN
A ”P és Q” állítás akkor és csakis akkor lesz igaz ha mind a
két állítás igaz volt. Minden más esetben a ”P és Q” állítás
hamis.
Ahhoz, hogy egy logikai következtetéslánc végigvitelekor ne vesszünk
el az egyes lépések útvesztojében, sokszor bizonyulnak hasznos
segédeszköznek az implikációs nyilak.
Legyen P és Q két állítás. A ”P ⇒ Q” állítás akkor és csakis
akkor lesz hamis, ha P igaz volt, de Q hamis. Minden más
esetben a ”P ⇒ Q” állítás igaz. A⇒ szimbólum neve impliká-
ciós nyíl, és minden olyan esetben szoktuk alkalmazni, amikor
tudjuk, hogy P igaz volta maga után vonja Q igaz voltát.
Ilyenkor azt mondjuk, hogy P -bol következik Q, vagy hogy
P elegendo feltétele Q-nak, vagy hogy Q szükséges feltétele
P -nek.
Egy másik fontos jel az ”⇔” ekvivalencia nyíl .
Legyen P és Q két állítás. A ”P ⇔ Q” állítás akkor és csakis
akkor igaz, ha ”P ⇒ Q” és ”Q ⇒ P” állítások egyidejüleg
igazak. Ilyenkor azt mondjuk, hogy P szükséges és elégséges
feltétele Q-nak, vagy hogy P akkor és csakis akkor, ha Q, vagy
hogy P ekvivalens Q−val.
Most oldjuk meg helyesen implikációs nyilakat használva az x + 3 =√9− x egyenletet.Vegyük észre, hogy a levezetés során kapott gyökök
visszahelyettesítése nem csupán annak ellenorzésére szolgál, hogy jól
számoltunk-e, hanem mindez logikai szempontból is szükséges.
x+ 3 =√9− x⇒
(x+ 3)2 =√9− x2 ⇒
x2 + 6x+ 9 = 9− x⇒x2 + 7x = 0⇒
x = 0 vagy x = −7.De innen nem következik az, hogy x = 0 vagy x = −7 kielégíti az x +3 =√9− x egyenletet. Vagyis más szóval azt is mondhatjuk, hogy x =
1.3. A MATEMATIKAI BIZONYÍTÁS 15
0 vagy x = −7 szükséges de nem elégséges feltétele annak, hogy x +
3 =√9− x. Tehát, ahhoz, hogy az elégségességet is igazoljuk a kapott
gyököket vissza kell helyetesíteni az egyenletbe és ellenõrizni kell, hogy
kielégítik-e az egyenletet. Ezek után kapjuk, hogy az egyenlet megoldása
x = 0.
Logikai kijelentésekben sokszor használjuk a ”létezik” (∃) és a
”bármely” vagy ”minden” (∀) kötoszavakat. Ha P (x) egy olyan ítélet,amelynek logikai értéke az x változótól függ, akkor az ilyen kijelentések
így néznek ki ∃x ∈ X P (x) vagy ∀x ∈ X P (x) .
A ∃x ∈ X P (x) ítélet akkor és csakis akkor lesz igaz, ha
találunk egy olyan x0 elemet az X halmazban, amelyre a
P (x0) ítélet igaz.
A ∀x ∈ X P (x) ítélet akkor és csakis akkor lesz igaz, ha
akármelyik x elemét vesszük az X halmaznak a P (x) ítélet
igaz.
A matematika minden területén a legfontosabb eredményeket té-
teleknek nevezzük. Egy ilyen tétel logikailag hibátlan bebizonyítása sok-
szor igencsak összetett feladat. Ha a bizonyításokat nem is mindig írjuk
le azért összefoglalásként felsoroljuk a matematikában használatos külön-
bözo bizonyítási módszereket.
Minden matematikai tétel megfogalmazható az alábbi módon:
P ⇒ Q
alakú implikációként, ahol P a tétel feltételeit jelöli (amit
tudunk), Q pedig a tétel konklúziója (amit tudni szeretnénk)
Bizonyítási eljárások:
1. Direkt bizonyítás. A leheto legtermészetesebbnek tuno dolog, hogy
kiindulunk a P -bol és lépésrol lépésre jutunk el Q−hoz.2. Inverz módon. Mivel P ⇒ Q azzal egyenértéku, hogy nem Q ⇒nem P ezért ebben az esetben abból indulunk ki, hogy Q nem igaz,
és ennek alapján megmutatjuk, hogy P sem lehet igaz. (Pl. ”Ha
esik az eso, akkor vizes a fu” azzal egyenértéku, hogy ”Ha nem vizes
a fu, akkor nem esik az eso”)
16FEJEZET 1. AMATEMATIKA SZEREPE AKÖZGAZDASÁGTANBAN
3. Indirekt bizonyítás. Ez a módszer azon a logikai elven alapszik, hogy
igaz állításból helyes következtetések láncolatán keresztül lehetetlen
hamis állításhoz jutni. Azaz feltételezzük, hogy a P ⇒ Q kijelen-
tés hamis és ha helyes következtetések láncolatán keresztül hamis
állításhoz jutunk, akkor következtetésképpen a P ⇒ Q állítás igaz
kell, hogy legyen. Vegyük észre, hogy az inverz bizonyítási mód ez
utóbbinak egy nagyon egyszerusített változata, ezért nem is szokták
külön bizonyítási módnak tekinteni.
Példa Igazoljuk, hogy
x2 − 5x+ 4 < 0⇒ x > 0.
Megoldás Direkt: Tegyük fel, hogy x2 − 5x+ 4 < 0 ⇒ x2 + 4 < 5x ⇒5x > x2 + 4 > 4 > 0⇒ x > 0.
Inverz: Tegyük fel, hogy x ≤ 0⇒ x2 ≥ 0 és−5x ≥ 0⇒ x2−5x+4 ≥0.
Indirekt: Tegyük fel, hogy az állítás hamis. Ekkor létezik olyan
x, amelyre x2 − 5x + 4 < 0 és mégis x ≤ 0. De ha x ≤ 0, akkor
x2 − 5x+ 4 ≥ 0, így ellentmondáshoz jutottunk.A fentiekben vázolt bizonyítási módok az ún. deduktív érvelésre, azaz
a logika következtetési szabályaira támaszkodnak. Ezzel szemben szá-
mos tudományterületen (természettudományok, közgazdasági tudomány)
az induktív érvelést is elfogadják. Ez nem más, mint következtetés lev-
onása pusztán néhány (vagy akár nagyon sok) megfigyelés alapján. Példá-
nak okáért vizsgáljuk meg az alábbi történetet:
Egy csillagász, egy fizikus és egy matematikus utazik a vona-
ton.
Hargita megyén keresztül haladva a mezon egy legelészo
birkanyájat látnak.
Megszólal a csillagász:” Csíkban feketék a birkák”
A fizikus pontosít:” Csíkban léteznek fekete birkák”
Mire a matematikus kijelenti, hogy:” Csíkban létezik egy
birkanyáj, amelyben minden birkának legalább az egyik oldala
fekete”
1.3. A MATEMATIKAI BIZONYÍTÁS 17
Történet is mutatja, hogy a matematikában akárhány sajátos esetet
megvizsgálhatunk és mégsem vonhatunk le általános következtetéseket,
ezért a matematikában az induktív érvelés nem elfogadott bizonyítási mód.
Más kérdés az, hogy az induktív észjárás a matematikának is egy élteto
forrása, ötleteket szolgáltat hipotézisek megfogalmazásához. Mindazonál-
tal létezik a matematikai indukció, amely egy helyes bizonyítási eszköz, de
ez már más fogalmat takar.
18FEJEZET 1. AMATEMATIKA SZEREPE AKÖZGAZDASÁGTANBAN
Fejezet 2
Valós számok
A matematika lépten nyomon használja a valós számokat. A valós számok
halmazát R−el jelöljük és ismertnek tekintjük. A valós számok halmazávalazonban nem csupán mint halmazzal lesz dolgunk, hiszen elemei között
ismét valós számokat eredményezo muveleteket értelmezünk.
Felhívjuk a figyelmet arra, hogya valós számok halmaza a matem-
atika eléggé bonyolult építménye, amely a tudomány sok évszázados fe-
jlodésének során jött létre.
Ha valós számok halmazát intuitíven fel akarjuk építeni végig kell jár-
juk azt az útat, amit az elemi iskolai tanulmányainktól a középiskola be-
fejezéséig végig jártunk.
• Kezdtük az elso osztályban a természetes számokat tanulni. A
tanítónéni vagy tanítóbácsi elmagyarázta, hogy melyek ezek a
számok, hogyan kell oket leírni és hogyan kell oket kiolvasni.
Majd megmutatta, hogy miképpen lehet velük muveleteket végezni,
valamint nagyságrendi viszonyokat ( <, =,>) állapítottunk meg
közöttük. Megtanított összeadni és kivonni. Itt már az okosab-
baknak feltünhetett, hogy csak nagyobb számokból tudtunk kivonni
egy kisebb számot, és meg is fogalmazhatták azt a kérdést, hogy mi
történik, ha kisebbol akarunk nagyobbat kivonni?
• A második osztályban megtanultuk szorozni a természetes
számokkal. Az osztás muveletnél csak a mradék fogalmának
bevezetésével tudtuk elvégezni az osztást.
19
20 FEJEZET 2. VALÓS SZÁMOK
• Ötödik osztályban megmutatták, mi történik, ha kisebb számbólnagyobb számot vonunk ki. Ezzel el is jutottunk a negatív szám fo-
galmához és az egész számok halmazához. Az egész számok halmazá-
nak elégtelensége azonban hamar kiderült, az osztás muveletét nem
mindig tudtuk maradék nélkül elvégezni, pedig ezekre már nagyon
egyszeru mérések során is szükség mutatkozott.
• Hatodik osztályban bovítettük ismereteinket megtanultuk, hogy
léteznek ún. törtszámok és meglepetésként ért az a dolog, hogy egy
törtszámot többféle képpen is lehet ábrázolni. Ez érdekességként ha-
tott az elozo években a számokról kialakított ismereteinkhez képest.
Ezzel el is jutottunk a racionális számok fogalmához.
• Már hetedik osztályban tanultuk, hogy a négyzet átlója nem
összemérheto a négyzet oldalaival. Tehát a racionális számokon
kivül még vannak más számok is. Ezeket a számokat neveztük valós
számoknak.
• Kilencedik osztályban majd igazoljuk, hogy a √2 nem racionális
szám, ezzel már eljutottunk ahhoz a felismeréshez, hogy a racionális
számok halmazát is kell bovíteni. A bovítésben szereplo új számok
az irracinális számok. Az irracionális számok halmaza és a racinális
számok halmazának egyesítése adja a valós számok halmazát. Itt
már különbözo feladatok megoldásakor a valós számokat ismertnek
tekintjük.
• Tizedik osztályban a valós számok halmazának azt az elégtelenségét,hogy nem minden másodfokú egyenletnek van valós gyöke úgy old-
juk fel, hogy kibovítsük a valós számok halmazát, bevezetjük a a
komplex szám fogalmát.
• Tizenegyedik és tizenkettedik osztályban megint érintsük a valósszámok fogalmát, de nem történik meg ezen számok pontos matem-
atikai értelmezése.
A valós számok halmazának egyik felépítése tehát valami olyansfélét
jelentene, hogy kiindulunk a természetes számok halmazának ismeretébol
és néhány axióma segítségével értelmeznénk az egész, a racionális és a
valós számok halmazát, az említett muveleteket, a rendezést, stb. A másik
elehetoség abban áll, hogy axiomatikusan írjuk le a valós számok halmazát.
2.1. RELÁCIÓK 21
A valós számok axiomatikus értelmezésének egyszeru fogalomalkotás
mellett az is az elonye, hogy valós számok halmazát a benne értelmezett
alapmuveletek és rendezés legfontosabb tulajdonságával együtt adja meg.
Mielott rátérnénk a valós számok fogalmának bevezetésére, foglaljuk
össze az elozoekben felsoroltakat. Nézzük meg intuitíven melyek ezek a
számhalmazok, mit is akarunk mi pontosan megfogalmazni.
1. A természetes számok halmaza
N = 0, 1, 2, 3, 4, ... .
2. Az egész számok halmaza
Z = ...,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, ... .
3. A racionális számok halmaza
Q =n ab/ a ∈ Z, b ∈ N\ 0
o.
4. A valós számok halmaza, ahogy a középiskolában értelmezzük
R =nx / (∃) (xn)n∈N sorozat, amelyre lim
n→∞xn = xo.
5. A komplex számok halmaza
C = (a, b) / a, b ∈ R .
Mielott megadnánk azokat axiómákat, amelyekbol a valós számokra
vonatkozó ismert muveleti szabályok és a legfontosabb tulajdonságok
következnek néhány alapfogalmat kell megismernünk.
2.1 Relációk, függvények és muveletek
Definíció 2.1.1 Az A és B halmazok Descartes-féle szorzatán az (a, b)
alakú rendezett elempárok halmazát értjük, ahol a ∈ A, b ∈ B. Tehát
A×B = (x, y) / x ∈ A es y ∈ B .
22 FEJEZET 2. VALÓS SZÁMOK
Az A×B szorzatot a síkban a következo módon tehetjük szemléletesé.
Felveszünk a síkban egy derékszögu koordináta-rendszert. A
koordináta-rendszer Ox tengelyén felvesszük A halmazt, az Oy tengelyén
pedig a B halmazt. Az (x, y) rendezett számpár az x abszcisszájú és y
koordinátájú pontot jelöli a síkban. Ekkor A×B a koordinátatengelyekkelpárhuzamos oldalú (besatirozott) téglalapot jelöli.
Definíció 2.1.2 Legyen A és B két halmaz, S pedig az A×B egy részhal-maza. Azt mondjuk, hogy az A halmaz x eleme <S relációban van a Bhalmaz y elemével, ha (x, y) ∈ S. Az <S-et bináris relációnak nevezzükés azt a tényt, hogy x <S relációban van y-nal így jelöljük x <S y. HaA = B akkor az <S-et homogén relációnak nevezzük, és azt mondjuk,hogy a reláció az A halmazban értelmezett.
Példa. Legyen A = 1, 2, 3, S = (1, 2) , (1, 3) , (2, 1) . Akkor aztnomdhatjuk, hogy 1 <S 2, 1 <S 3, 2 <S 1, de 3 nem <S 1, 2 nem <S3, 3 nem <S 2.
Az alábbiakban három sajátos relációt említünk meg.
Definíció 2.1.3 (rendezési reláció) Legyen A egy halmaz és < egy
reláció az A-n. Az < relációt rendezési relációnak nevezzük, ha:
2.1. RELÁCIÓK 23
1. reflexiv: bármely x ∈ A esetén x<x;2. tranzitív: bármely x, y, z ∈ A esetén, ha x<y és y<z, akkor x<z;3. antiszimmetrikus: bármely x, y ∈ A esetén, ha x<y és y<x, akkorx = y.
A fenti példában megadott reláció nem rendezési reláció.
Példa. LegyenA = N.Akkor az N-n az ismert≤ reláció rendezési reláció.Vagyis az a reláció, hogy: bármely x, y ∈ N esetén x ≤ y, akkor éscsakis akkor, ha létezik egy a ∈ N úgy, hogy x+ a = y egy rendezésireláció.
Bizonyítás 1 1) reflexivitás: bármely x ∈ N estén létezik az a = 0, úgyhogy x+ a = x. Tehát x ≤ x.
2) tranzitivitás: bármely x, y, z ∈ N esetén, ha x ≤ y és y ≤ z, akkorléteznek a, b ∈ N, úgy hogy a + x = y és y + b = z. Következésképpen
x+ a+ b = z. Tehát x ≤ z.3) antiszimmetrikusság: bármely x, y ∈ N esetén, ha x<y és y<x,
akkor léteznek a, b ∈ N, úgy hogy a+x = y és y+b = x. Következésképpena+ y + b = y. Ahonnan a+ b = 0. Vagyis a = b = 0. Tehát x = y.
Definíció 2.1.4 Ha az A halmazon értelmezett egy < rendezési reláció,
akkor az A-t rendezett halmaznak nevezzük. Egy ilyen halmazt az (A,<)szimbolummokkal jelöljük.
A fenti példában megadott reláció nem rendezési reláció.
Példa. (N,≤) rendezett halmaz.
Definíció 2.1.5 Ha az (A,<) rendezett halmaz bármely két x, y elemérefennáll x<y vagy y<x relációk valamelyike, akkor azt mondjuk, hogy az(A,<) teljesen rendezett halmaz és, hogy az A minden elempárja összeha-sonlítható.
A fenti példában megadott reláció nem rendezési reláció.
Példa. 1. (N,≤) teljesen rendezett halmaz, mivel bármely két számotvesszük az N-bol azok összehasonlíthatók.
24 FEJEZET 2. VALÓS SZÁMOK
2. Az rajzon szemléltetett A×B halmazon nem lehet értelmezni
teljes rendezési relációt, mivel elemei számpárok és akárhogyan
is értelmezünk egy rendezési relációt, ezzel a relációval nem
mindegyik számpár hasonlítható össze.
3. Valamely síkban adott középpontú koncentrikus körlapokból
álló halmaz a bennfoglalási relációra nézve teljesen rendezett
halmaz.
4. Legyen A egy halmaz. A (℘ (A) ,⊆) rendezett, de nem teljesen
rendezett halmaz.
Definíció 2.1.6 (ekvivalencia reláció) Legyen A egy halmaz és < egyreláció az A-n. Az < relációt ekvivalencia relációnak nevezzük, ha:
1. reflexiv: bármely x ∈ A esetén x<x;2. tranzitív: bármely x, y, z ∈ A esetén, ha x<y és y<z, akkor x<z;3. szimmetrikus: bármely x, y ∈ A esetén, ha x<y, akkor y<x.
Példa 1. A sík háromszögeinek halmazában a hasonlósági reláció.
Definíció 2.1.7 Legyen A és B két halmaz. Az A és B halmazon
értelmezett f relációt függvénynek nevezzük, ha bármely x ∈ A esetén
egyetlen olyan elem van B-ben, amelyre x f y. Ezt a relációt f : A → B
szimbolumokkal jelöljük. Arra a tényre, hogy x f y az f (x) = y jelölést
használjuk. Függvényi relációban az A − t értelmezési tartománynakB−éréktartománynak (értékkészletnek), az f (x) = y pedig leképzési sz-
abálynak nevezzük
Megjegyzés 2.1.8 Ahhoz, hogy egy f függvényt megadottnak tekintsük
kell ismerni az A értelmezési tartományt, B értékkészletet és az f (x)
leképzési szabályt.
A mi szempontunkból három fontosabb függvényosztály van, ezeket
említjük meg a továbbiakban.
Definíció 2.1.9 Az f : A→ B függvény akkor és csakis akkor injektív, ha
bármely x1, x2 ∈ A esetén, abból a ténybol, hogy f (x1) = f (x2) következik,hogy x1 = x2.
2.2. KOMMUTATÍV TEST 25
Definíció 2.1.10 Az f : A → B függvény akkor és csakis akkor szür-
jektív, ha bármely y ∈ B esetén létezik x ∈ A úgy, hogy ténybol, hogy
f (x) = y.
Definíció 2.1.11 Az f : A→ B függvény akkor és csakis akkor bijektív,
ha injektív és szürjektív.
A függvények halmazában egyes függvényeknek ”kitüntetett” szerep
jut, ezeket nevezzük muveleteknek. A muvelet evont értelmezése elott
említsünk meg néhány ismert muveletet:
- az egész számok összeadása;
- szabad vektorok számmal történo szorzása.
Definíció 2.1.12 Legyen A egy adott halmaz. Az f : A × A → A az
A− n értelmezett bináris belso muveletnek nevezzük. Azt a tényt, hogy ac = f (a, b) ∈ A az a és b elemeknek az f muveleti eredménye röviden ígyjelöljük c = a ∗ b, ahol ∗ a muveletet szimbolizáló jel.
Megjegyzés 2.1.13 Mivel a továbbiakban csak bináris belso muveletekkel
foglalkozunk, ezért ezeket röviden, csak muveletknek nevezzük.
Most már rátérhetünk a valós számhalmaz értelmezésére.
2.2 Teljesen rendezett kommutatív test
Definíció 2.2.1 A kommutatív test egy olyan K halmaz, amelyben
értelmezett a + -szal jelölt összeadási és a ∗-gal jelölt szorzási muveletekúgy, hogy teljesüljenek a következo feltételek:
1. Bármely a, b ∈ K estén a+ b = b+ a (kommutativitás)
2. Bármely a, b, c ∈ K estén a+ (b+ c) = (a+ b) + c (asszociativitás)
3. Létezik egy olyan K -beli szám (jelöljük ezt 0-val), hogy minden a ∈ Kesetén a+ 0 = a. ( zérus elem)
4. Bármely a ∈ K esetén létezik egy olyan K -beli szám (jelöljük ezt
−a-val és nevezzük az a ellentetjének ), amelyre a+ (−a) = 0.
26 FEJEZET 2. VALÓS SZÁMOK
5. Bármely a, b ∈ K estén a ∗ b = b ∗ a (kommutativitás)6. Bármely a, b, c ∈ K estén a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c (asszociativitás)7. Létezik egy olyan K\ 0 -beli szám (jelöljük ezt 1-el), hogy minden
a ∈ K esetén a ∗ 1 = a. ( egység elem)8. Bármely a ∈ K\ 0 esetén létezik egy olyan K -beli szám (jelöljük
ezt 1/a-val és nevezzük az a reciprokának ), amelyre a ∗ 1/a = 1.
9. Bármely a, b, c ∈ K estén a ∗ (b+ c) = a ∗ b+ a ∗ c (disztributivitás)
Megjegyzés 2.2.2 Az itt felsorolt axiómák az ún. testaxiómák, amelyek
megtalálhatók a XII. osztályos tankönyvben.
Definíció 2.2.3 A teljesen rendezett kommutatív test olyan K kommu-
tatív test, amelyben értelmezett egy, az összeadással és a szorzással össze-
férheto ≤-vel jelölt teljes rendezési reláció. Ez azt jelenti, hogy az elozokilenc axiómák mellett teljesülnek az alábbiak is:
10. Bármely a, b ∈ K estén a ≤ b vagy b ≤ a;11. Bármely a, b, c ∈ A esetén, ha a ≤ b és b ≤ c, akkor a ≤ c;12. Bármely a, b ∈ A esetén, ha a ≤ b és b ≤ a, akkor a = b;13. Bármely a, b, c ∈ A esetén, ha a ≤ b, akkor a+ c ≤ b+ c;14. Bármely a, b, c ∈ A, 0 ≤ c esetén, ha a ≤ b, akkor a ∗ c ≤ b ∗ c;
Definíció 2.2.4 Ha a ≤ b és a 6= b, akkor azt mondjuk, hogy, hogy a < b( vagys a kisebb mint b). Ha 0 < a, akkor azt mondjuk, hogy a pozitív, ha
pedig a < 0, akkor az a-t negatívnak nevezzük.
Megjegyzés 2.2.5 A továbbiakban a K mindig teljesen rendezett kom-
mutatív testet jelöl.
Igazolni lehet az alábbi egyszeru tulajdonságokat:
Tétel 2.2.6 1. A 0 és 1 elemek egyértelmuek, vagyis pontosan egy
zérus elem és pontosan egy egység elem létezik a K kommutatív test-ben.
2.2. KOMMUTATÍV TEST 27
2. Bármely a ∈ K esetén pontosan egy −a elem létezik és, ha a 6= 0,
akkor pontosan egy 1/a elem létezik.
3. Bármely a ∈ K esetén, ha a 6= 0, akkor a és −a közül az egyikpozitív, a másik pedig negatív.
4. 0 < 1.
Példa A racinális számok halmaza az ismert muveletekkel rendelkezik
ezzel a tulajdonsággal, de mégsem azonos a valós számok halmazá-
val, még valamilyen tulajdonsággal kel rendelkezzen a K, ahhoz,hogy valós számhalmaz legyen. Ezt a tulajdonságot a következo
axióma adja meg.
Axióma ( Választóelem axiómája) A K olyan A és B részhalmazait,amelyre bármely x ∈ A és y ∈ B esetén x ≤ y a (A,B) szim-
bolummal jelöljük és azt mondjuk, hogy (A,B) rendezett halmazpár
. Ha bármely ilyen (A,B) halmazpárhoz létezik olyan z ∈ K ( z-
t választóelemnek nevezzük) elem, amelyre x ≤ z ≤ y, akkor azt
mondjuk, hogy K-ban van választó elem. Egyszeruen azt is mond-hatjuk, hogy K-ban bármely rendezett halmazpárnak van választóeleme.
Definíció 2.2.7 Ha a K teljesen rendezett komutatív testben teljesül a
választóelem axiómája, akkor a K testet valós számrendszernek nevezzük.
Ebben az esetben a K elemeit valós számoknak nevezzük.
Megjegyzés 2.2.8 A valós számrendszert axiómatikusan értelmeztük.
Mint minden axiómatikus értelmezésnél, vele kapcsolatban is feltevodnek
az alábbi kérdések:
1. A valós számok axiómarendszere független-e, azaz a rendszer
valamely axiómája nem következik-e a többibol? Bebizonyítható,
hogy az itt ismertetett axiómarendszer nem független1. Nyilván-
valóan törekedünk arra, hogy az axiómarendszer független legyen, de
ez nem kötelezzo, mivel a függetlenség betartása sok esetben megne-
hezíti a didaktikai tárgyalást.
1Az indoklás megtalálható a Muntean I., Definitia axiomatica a numerelor reale,
Gazeta Matematica, Seria A, Vol. 78., nr. 5. 1973 dolgozatában.
28 FEJEZET 2. VALÓS SZÁMOK
2. A valós számok axiómarendszere nem ellentmondasos-e, azaz a
megengedett következtetési szabályokkal nem fejezheto-e ki egy olyan
állítás, amely igaz, és a tagadása is igaz? A kérdés visszaveze-
theto a természetes számok halmaza Peano-féle axiómarendszeronek
ellentmondás-mentességére, amit Hilbert gondolatainak továbbfe-
jlesztésével sikerült igazolni.
3. Van-e egyáltalán olyan halmaz, amely teljesíti a felsorolt axiómák
mindegyikét? Ezt a kérdést vissza lehet vezetni a természetes számok
halmazának létezésére. Röviden a válasz az, hogy ha léteznek ter-
mészetes számok, akkor megszerkeszheto a valós számrendszer is.
Megjegyezzük, hogy a halmazelmélet eddigi ismert axiómarendszere
elfogadja a termászetes számok létezését.
4. Láttuk, ha elfogadjuk a halmazelmélet axiómatikus felépítését2, akkor
létezik a valós számrendszer, ezért felvetodik az a kérdés, hogy va-
jon nincs-e több valós számrendszer, azaz nem létezik-e több olyan
teljesen rendezett kommutatív test, amely teljesíti a választóelem ax-
iómáját? Ezzel a kérdéssel kapcsolatban megemlítjük, hogy léteznek
különbözo számrendszerek. Ilyen számrendszert szerkesztett Dedek-
ing R., Cantor G., Weierstrass K. és mások. Bizonyos értelem-
ben mégis beszélhetünk a valós számok egyértelmuségérol, amit a
következo tételben jelentünk ki.
Tétel 2.2.9 3Ha K1 és K2 két olyan teljesen rendezett kommutatív test,amely teljesíti a választóelem axiómáját, akkor K1 és K2 izomorf, azazlétezik egy olyan f : K1 → K2 bijektív függvény, hogy bármely x, y ∈ K1esetén teljesülnek az alábbi feltételek:
1. f (x+ y) = f (x) + f (y) ;
2. f (x ∗ y) = f (x) ∗ f (y) ;3. Ha x ≤ y akkor és csakis akkor, ha f (x) ≤ f (y) .2Jelenleg nincs más út, mivel minden mélyebb matematikai kérdés a halmazelmélet
elentmondásmntességére vezetõdik vissza. A baj csak, akkor lesz, ha véletlenül valaki
ellentmondást talál a halmazelmélet axiómarendszerében, mivel akkor a matematika
nagyon sok állítása nem fogja megállni a helyét.3A tétel bizonyítását lásd a
Balázs Márton—Kolumbán József: Matematikai analizis, Dacia Könyvkiadó,
Kolozsvár, 1978.
2.3. RÉSZHALMAZOK 29
Megjegyzés 2.2.10 A tétel tulajdonképpen azt mondja ki, hogy eltek-
intve a szimbolikától, amit a valós számrendszer felépítésekor használunk,
csak egy valos számrendszer van.
A továbbiakban rögzítünk egy (R,+, ·,≤) valós számrendszert, ame-lyet egyszeruen R-el fogunk jelölni. Elemeit valós számoknak és a valósszámok halmazát is R-el jelöljük. A két fogalom azonos jelölése nem fog
gondot okozni, mivel a szövegösszefüggésbol mindik fogjuk tudni, hogy
melyikrol van szó.
2.3 A valós számok halmazának fontos részhal-
mazai
A 2.2.6 tétel alapján 0 < 1. Ha 2 szimbolummal jelöljük a 2 = 1 + 1 -et,
akkor 1 = 1+ 0 < 1+ 1 < 2. Hasonlóa 3 jelöli a 2+ 1-et, akkor 2 < 3 stb.
Definíció 2.3.1 Az R egy M részhalmazát induktívnak nevezzük, ha :
1. 1 ∈M ;2. bármely x ∈M estén x+ 1 ∈M.
Példa A valós számok halmaza rendelkezik ezzel a tulajdonsággal.
Definíció 2.3.2 A valós számok halmazának összes induktív részhalmazá-
nak a keresztmetszetét a természetes számok halmazának nevezzük és N-eljelöljük. Tehát
N =T
M⊆RM induktiv
M (2.1)
Az N halmaz elemeit természetes számoknak nevezzük.
Megjegyzés 2.3.3 A természetes számok halmaza nem más mint a valós
számok halmazának a benfoglalási relációra nézve legkisebb részhalmaza.
Tétel 2.3.4 4A természetes számok halmaza teljesíti a Peano-féle ax-
iómákat. Ezek a következok:
4Bizonyitást lásd a:
Balázs Márton, Matematikai analízis, Erdélyi Tankönyvtanács kiadásában,
Kolozsvár, 2000.
30 FEJEZET 2. VALÓS SZÁMOK
1. 1 ∈ N;2. ha n ∈ N, akkor n+ 1 ∈ N;3. ha n,m ∈ N és n+ 1 = m+ 1, akkor n = m;
4. ha n ∈ N, akkor n+ 1 6= 1;5. érvényesül az indukció elve, amit a következoképpen fogalmazunk
meg:
Rendeljünk minden n természetes számhoz egy T (n) állítást. Ekkor
a teljes indukció elve alapján fennáll a következo: 1) a T (1) állítás
igaz, és 2) ha bármely n természetes szám esetén a T (n) állítás igaz
volta maga után vonja a T (n+ 1) állítás igaz voltát, akkor T (k)
igaz minden k természetes számra.
Megjegyzés 2.3.5 Mivel mindegyik valós számrendszer tartalmaz olyan
részhalmazt, amely kielégíti a Peano-féle axiómákat. Ezért elvileg többféle
természetes számhalmaz lehetséges. Be lehet bizonyítani, hogy ezek
izomorfak.
Definíció 2.3.6 Az R valós számok halmazának azt a Z részhalmazát,
amelynek elemei a 0, az összes természetes szám és azok ellentetjei, az
egész számok halmazának nevezzük. Tehát
Z = x ∈ R / x ∈ N vagy − x ∈ N vagy x = 0A Z halmaz elemeit egész számoknak nevezzük.
Tétel 2.3.7 (Arkhimédesz-féle tulajdonság) Bármely x, y ∈ R es-
etén létezik olyan n természetes szám, hogy x < ny.
Megjegyzés 2.3.8 Bármely x ∈ R esetén létezik olyan m egész szám,
hogy m ≤ x < m+ 1.Ezt az m egész számot az x egészrészének nevezzük, és az [x] szim-
bolummal jelöljük. Az x = x− [x] szám az x törtrészének nevezzük.
Definíció 2.3.9 Az R valós számok halmazának a
Q = x ∈ R / ∃ n ∈ Nés ∃ m ∈ Z úgy, hogy x = m · 1/nrészhalmazát racionális számok halmazának, elemeit pedig racionális
számoknak nevezzük.
2.3. RÉSZHALMAZOK 31
Megjegyzés 2.3.10 Az értelmezésekbol azonnal következik, hogy
N ⊆ Z ⊆ Q ⊆ R.
Definíció 2.3.11 Azokat a valós számokat, amelyek nem racionálisak,
iracionális számoknak nevezzük.
Bizonyítás 2 Ez a példa megmutatja, hogy vannak iracionális számok.
Tekintjük az alábbi halmazokat:
A =©x ∈ Q / 0 < x es x2 < 2
ª,
B =©y ∈ Q / 0 < y es 2 < y2
ª.
Nyilvánvalóan igaz, hogy 1 ∈ A, 2 ∈ B és bármely x ∈ A, y ∈ B es-
etén x < y. A választóelem létezésének axiómája alapján van olyan
z ∈ R, hogy x ≤ z ≤ y bármely x ∈ A, y ∈ B esetén. Mivel 1 ∈ Akövetkezik, hogy 0 < 1 ≤ z. Kimutatjuk, hogy z iracionális. Tételez-zük fel az ellentétesét, azaz z racionális. Össze kell hasonlítsuk z2−ta 2−vel.
I. eset. z2 < 2. Ez azt jelenti, hogy 2−z2 > 0.Mivel (1 + z)2−z2 >0 következik, hogy
2− z2(1 + z)2 − z2 > 0
Legyen most h olyan pozitív szám, amelyre
0 < h < min
½1,
2− z2(1 + z)2 − z2
¾Ekkor
(z + h)2 = z2 + 2hz + h2 ≤ z2 + h (2z + 1) < z2 + 2− z2 = 2.
Vagyis z + h ∈ A. De mivel a z az A halmaz felso korlátja
következik, hogy z + h ≤ z. Tehát
0 < h ≤ 0
s ez a két egyenlottlenség ellentmond egymásnak. Kapott ellent-
mondás azt eredményezi, hogy a z2 ≥ 2.
32 FEJEZET 2. VALÓS SZÁMOK
II. eset. Feltételezzük, hogy z2 > 2. Válasszuk meg most a k szá-
mot úgy, hogy fennálljanak a következok:
0 < k < 1;
k < z;
k <z2 − 22z + 1
.
Ezeknek az egyenlottlenségeknek a felhasználásával kapjuk, hogy
bármely t ≥ z − k esetén
t2 ≥ (z − k)2 = z2 − 2kz + k2= z2 − k (2z − k) > z2 − k (2z + 1)> z2 − z2 + 2 = 2.
Vagyis (z − k)-nál nagyobb vagy vele egyenlo szám nem tar-
tozhat hozzá az A halmazhoz. Ez pedig azt jelenti, hogy
(z − k)2 ≥ 2. Tehát z − k felso korlátja az A-nak. Ami aztjelenti, hogy z ≤ z − k. Vagyis
0 < k ≤ 0,
s ez a két egyenlottlenség ellentmond egymásnak. Kapott ellent-
mondás azt eredményezi, hogy a z2 ≤ 2.
Az I. és II. esetek azt mutatják, hogy
z2 = 2.
Most nézzük meg, hogy z racionális-e?
Feltételezzük, hogy z racionális, vagyis, hogy léteznek m,n szigorúan
pozitív egész számok, amelyre:
ln ko (m,n) = 1,
z2 =³mn
´2= 2.
Tehát
m2 = 2n2
2.3. RÉSZHALMAZOK 33
Következésképpen m2 páros szám. ami azt jelenti, hogy m is páros.
Tehát m = 2p, ahol p egy egész szám.Innen
(2p)2 = 2n2,
n2 = 2p2.
Tehát n is páros szám. Ami ellentmond annak a feltevésnek, hogy
m és n relatív primek.
Definíció 2.3.12 Bármely b ∈ R+ esetén azt az egyetlen nemnegatív szá-mot, amelynek négyzete b, a b szám négyzetgyökének nevezzük és
√b sz-
imbolummal jelöljük.
Definíció 2.3.13 Bármely n ≥ 2 természetes szám és b ∈ R+ esetén
azt az egyetlen nemnegatív számot, amelynek n-edik hatványa b, a b szám
n-dik gyökének nevezzük ésn√b szimbolummal jelöljük.
2.3.1 A valós számok egy geometriai interpretációja. Sz
ámegyenes
Egy egyenesen kijelölünk két pontot, az egyiket megfeleltetjük a 0-nak,
a másikat pedig az 1−nek. Akkor minden valós számnak kölcsönösen
egyértelmuen megfeleltetheto egy pont ezen az egyenesen. Vagyis min-
den valós számnak megfelel pontosan egy pont a szóban forgó egyene-
sen és fordítva, az egyenes pontjainak megfelel pontosan egy valós szém.
Egy ilyen egyenest számegyenesnek nevezzük. Ezen van egyhaladási irány
amely a 0-tol az 1 felé mutat.
Definíció 2.3.14 Minden a ∈ R számhoz hozzárendelünk egy, |a| szim-bolummal jelölt és abszolút értéknek (modulusznak) nevezett nemnegatív
számot a következo módon:
|a| =½
a ha a ≥ 0,−a ha a < 0.
Tétel 2.3.15 Bármely a, b ∈ R esetében:
1. |ab| = |a| |b| ;
2.¯ab
¯=
|a||b| ha b 6= 0;
34 FEJEZET 2. VALÓS SZÁMOK
3. |a+ b| ≤ |a|+ |b| ;4. ||a|− |b|| ≤ |a− b|
Definíció 2.3.16 A számegyenes két pontjának a-nak és b-nek a távol-
ságán a
d (a, b) = |a− b|számot értjük.
Tétel 2.3.17 Bármely a, b ∈ R esetében:
1. d (a, b) ≥ 0;2. d (a, b) akkor és csakis akkor, ha a = b.
3. d (a, b) = d (b, a) ;
4. Bármely c ∈ R esetén d (a, b) ≤ d (a, c) + d (c, b) ;
2.3.2 Improprius számok
Definíció 2.3.18 Egy olyan x : N→ R függvényt valós számsorozatnak
nevezzük és (xn)n∈N-vel jelöljük.
Definíció 2.3.19 Legyen (xn)n∈N valós számsorozat. Azt mondjuk, hogyxn határértéke plusz végtelen (+∞ ), ha bármely b valós szám esetén létezik
egy olyan n0 küszöbbindex, amelyre xn > b bármely n ≥ n0 esetén.
Definíció 2.3.20 Legyen (xn)n∈N valós számsorozat. Azt mondjuk, hogyxn határértéke minusz végtelen (−∞ ), ha bármely b valós szám esetén
létezik egy olyan n0 küszöbbindex, amelyre xn < b bármely n ≥ n0 esetén.
Megjegyzés 2.3.21 Az, hogy az (xn) sorozat tart a +∞-hez nem a
tartás fogalma és a +∞ fogalmak közti összefüggést jelent, ehhez elozete-
sen a +∞ fogalmát kellett volna értelmezni, hanem csupán szövegrövidítés,
amelynek értelmét az elobbi értelmezés adja meg. Csak ilyen értelemben
lehet a ±∞ számnak tekinteni. Hogy ezta különbbséget érzékeltessük ezeket
improprius számoknak nevezzük
Tétel 2.3.22 Bármely a ∈ R esetén:
2.3. RÉSZHALMAZOK 35
1. a+∞ = +∞+ a = +∞;
2. a−∞ = −∞+ a = −∞;
3. a (+∞) = (+∞) a = +∞ , ha a > 0;
4. a (+∞) = (+∞) a = −∞ , ha a < 0;
5. a+∞ = a
−∞ = 0;
6. +∞+∞ = +∞;
7. −∞−∞ = −∞;
8. (+∞) (+∞) = (−∞) (−∞) = −∞;
9. (+∞) (−∞) = (−∞) (+∞) = −∞;
Megjegyzés 2.3.23 A 0 (+∞) , (+∞) 0, 0 (−∞) , (−∞) 0, +∞ − ∞,−∞+∞, −∞− (−∞) , ±∞±∞ muveleteket nem értelmezhetjük.
Definíció 2.3.24 R = R∪ −∞,+∞ a kiterjesztett valós számok hal-maza.
2.3.3 Intervallumok
Az eddigiek során szóba jött már R több fontos részhalmaza, így N, Z, Q,R \Q, R+, R−, R∗. Most R-nek újabb fontos részhalmaztípusait ismerjükmeg.
Definíció 2.3.25 Legyen a, b két olyan valós szám, amelyre a < b. Az
a, b számokhoz hozzárendelhetjük az R alábbi részhalmazait:
1. a,b zárt intervallum:
[a, b] = x ∈ R / a ≤ x ≤ b ;
2. a,b nyílt intervallum:
(a, b) = x ∈ R / a < x < b ;
36 FEJEZET 2. VALÓS SZÁMOK
3. a,b alulról zárt, felülrol nyílt intervallum:
[a, b) = x ∈ R / a ≤ x < b ;
4. a,b alulról nyílt, felülrol zárt intervallum:
(a, b] = x ∈ R / a < x ≤ b ;
5. felülrol nem korlátos a, +∞ zárt intervallum:
[a,+∞) = x ∈ R / a ≤ x ;
6. felülrol nem korlátos a, +∞ nyílt intervallum:
(a,+∞) = x ∈ R / a < x ;
7. alulról nem korlátos −∞, a zárt intervallum:
(−∞, a] = x ∈ R / x ≤ a ;
8. alulról nem korlátos −∞, a nyílt intervallum:
(−∞, a) = x ∈ R / x < a ;
9. egyik irányban sem korlátos intervallum:
(−∞,+∞) = R.
2.3.4 Pont környezetei
Definíció 2.3.26 Legyen a ∈ R és d > 0. Ekkor az a pont d sugarú
környezetén a
C (a, d) = x ∈ R / |x− a| < drészhalmazt értjük.
Definíció 2.3.27 Legyen a ∈ R és d > 0. Ekkor az a pont d sugarú bal
oldali környezetén a
(a− d, a]intervallumot értjük.
2.3. RÉSZHALMAZOK 37
Definíció 2.3.28 Legyen a ∈ R és d > 0. Ekkor az a pont d sugarú jobboldali környezetén a
[a, a+ d)
intervallumot értjük.
Definíció 2.3.29 Legyen a ∈ R. Ekkor az a pont környezete mindenolyan V részhalmaza az R-nek, amelyre létezik egy d > 0 szám úgy, hogy
C (a, d) ⊆ V.
Definíció 2.3.30 Legyen a ∈ R. Ekkor az a pont környezeteinek halmazátV (a)-val jelöljük.
38 FEJEZET 2. VALÓS SZÁMOK
Fejezet 3
Egyváltozós valós
függvények
3.1 Függvények megadása
A természet- és a muszaki tudományok egyik legfontosabb matematikai
eszköze a függvény. Függvény még leképzésnek vagy transzformációnak is
szokták nevezni.
Egy változó mennyiség függvénye egy másiknak, ha az elso változó
függ a második változótól. Például egy négyzet területe függ a négyzet
oldalának hosszától. Konkrétan
T = a2.
Egy mási példa függvényre a homérséklet méroszáma. Ha C-vel
jelöljük a homérsékletet Celsius fokban kifejezett értékét, akkor ez füg-
gvénye lesz F -nek, ahol F ugyanez a homérséklet Fahrenheit-fokban kife-
jezve. Konkrétan
C =5
9(F − 32)
A mindennapi életben sokszor említjük a függvény szót. Mondhatjuk
például, hogy a ”félévi matematika osztályzat függvénye a félév során
kifejtett (matematikai) tevékenységnek”. Természetesen elég nehéz volna
konkrét formulát találni erre a függvényre, de nem feltétlenül szükséges
matematikai képlet, ahhoz, hogy beszélhessünk arról, hogy egy változó
függvénye-e egy másiknak. Például az említett függvényt táblázat for-
májában is megadhatjuk:
39
40 FEJEZET 3. FÜGGVÉNYEK
vizsga (50 %) 7 4 10
szemináriumi tevékenység (10%) 8 10 4
házi feladatok (10%) 8 10 4
ellenorzo1 (15%) 7 10 4
ellenorzo2 (15%) 7 10 4
átlag 7.2 7 7
jegy 7 4 10
Ez a függvény 5 paramétertol függ. Az ilyen függvényeket 5 változós
függvényeknek nevezzük. Mi ezen az órán csak 1 változós függvényekkel
fogunk foglalkozni.
Amint már az elozo órán említettük a függvényt a reláció segítségével
értelmezzük. Ennek alapján kijelenthetjük az alábbi értelmezést.
Definíció 3.1.1 Legyen A és B két halmaz. Az A és B halmazon
értelmezett f relációt függvénynek nevezzük, ha bármely x ∈ A esetén
egyetlen olyan elem van B-ben, amelyre x f y. Ezt a relációt f : A → B
szimbolummal jelöljük. Arra a tényre, hogy x f y az f (x) = y jelölést
használjuk. Függvényi relációban az A − t értelmezési tartománynakB−éréktartománynak (értékkészletnek), az f (x) = y pedig leképzési sz-
abálynak nevezzük.
Megjegyzés 3.1.2 Ahhoz, hogy egy f függvényt megadottnak tekintsük
kell ismerni az A értelmezési tartományt, B értékkészletet és az f (x)
leképzési szabályt. Az x-et az f független változójának vagy argumentumá-
nak mondjuk, y-t pedig az f függo változójának nevezzük, mivel y értéke
általában függ az x értékétol. A közgazdaságtanban szokták x-et exogén,
míg y-t endogén változónak is nevezni.
Figyelem! Két függvény akkor és csakis akkor egyenlo, ha értelmezési
tartományuk, értékkészletük és leképzési szabályuk azonos.
Függvények megadási módjai: 1. Táblázatos formában.
2. Képletes formában.
3. Venn-diagramok segítségével.
4. Olyan szabályok segítségével, amelyek boztosítják, hogy a sz-
abályrendszer függvényt definiál.
3.1. FÜGGVÉNYEK MEGADÁSA 41
Definíció 3.1.3 (Halmaznak függvény szerinti képe) Vegyük
valamely f : A→ B függvényt, s legyen C ⊂ A. Ekkor azf (C) = y ∈ B / (∃)x ∈ Cúgy, hogy f (x) = y
halmaz, a C halmaznak f függvény szerini képe.
Definíció 3.1.4 (Halmaznak függvény szerini osképe) Vegyük
valamely f : A→ B függvényt, s legyen C ⊂ B. Ekkor azf−1 (C) = x ∈ A / f (x) ∈ C
halmaz, a C halmaznak f függvény szerini osképe.
Definíció 3.1.5 (Függvény grafikonja) Az f : A → B függvény
grafikonja az
graf (f) = (x, f (x)) / x ∈ Ahalmaz.
Definíció 3.1.6 (Egyváltozós valós függvény) Az f : A→ B egyvál-
tozós valós függvénynek nevezzük, ha A,B ⊆ R.
Példák 1. Rendeljük minden számhoz a köbét: f : R→ R, f (x) = x3.
2. Tegyük fel, hogy egy termékfajta x-darabjának lejben számí-
tott eloállítási költsége
C (x) = 10000x√x+ 50000.
Mivel a darabszám csak pozitív lehet ezért a C értelmezési tar-
tománya az R+ értékkészlete pedig az [50000,+∞) interval-lum. Ha a mondott termékbol 100 darabot állítanak elo, akkor
az eloállítási költség C (100) = 10000 ∗ 100√100 + 50000 =10050000 lej lesz. 101 darab eloállítási költsége pedig C (101) =
10000 ∗ 101√101 + 50000 = 10200000 lej lesz. Tehát a ter-
melés egy darabbal történo növelési költsége ( a közgaszdászok
határköltségnek nevezik)
T (x) = C (x+ 1)− C (x) = 10000 (x+ 1)√x+ 1 + 50000− 10000x√x− 50000= 10000
¡(x+ 1)
√x+ 1− x√x¢ .
Például T (100) = 10200000 − 10050000 = 150 000 lej.
42 FEJEZET 3. FÜGGVÉNYEK
Definíció 3.1.7 Vegyük valamely f : A→ B függvényt, s legyen C ⊂ A.Ekkor az
f |C : C → B,
f |C (x) = f (x)bármely x ∈ C esetén, függvényt az f függvénynek a C halmazra vonatkozóleszukítésének nevezzük.
Definíció 3.1.8 (Két függvény összetett függvénye) Legyen f :
A → B és g : C → D olyan függvények, amelyre f (A) ⊂ C. Ekkor
az
g f : A→ D,
g f (x) = g (f (x)) ,∀x ∈ A,függvényt a g és f függvények összetett függvényének nevezzük.
Példák 1. Adottak az f : [0, 1]→ [0, 2] , f (x) = 2x2 és g : [1,+∞)→[0, 1] , g (x) = 1
xfüggvények. Határozzuk meg az f g és a g f
függvényeket.
(a) f g : [1,+∞) → [0, 2], g f (x) = g (f (x)) = g¡2x2¢=
12x2.
(b) Mivel az f ([0, 1]) = [0, 2] nincs benne a g értelmezési
tarományában az [1,+∞) intervallumban, ezért a gf füg-gvényt nem lehet értelmezni.
3.2 Inverálható függvények
Definíció 3.2.1 Ha egy f : A→ B függvényre teljesül, hogy bármely y ∈B esetén pontosan egy olyan x ∈ A létezik, amelyre f (x) = y, akkor az f-et invertálható függvénynek nevezzük. Az f inverzét az f−1 szimbolummaljelöljük és a következoképpen értelmezzük:
f−1 : B → A,
f−1 (y) = x akkor és csakis akkor, ha f (x) = y.
Tétel 3.2.2 Ha az f : A→ B invertálható, akkor az f−1 is invertálhatóés¡f−1
¢−1= f.
3.2. INVERÁLHATÓ FÜGGVÉNYEK 43
Definíció 3.2.3 Az f : A→ B függvény akkor és csakis akkor injektív, ha
bármely x1, x2 ∈ A esetén, abból a ténybol, hogy f (x1) = f (x2) következik,hogy x1 = x2.
Definíció 3.2.4 Az f : A→ B függvény akkor és csakis akkor szürjektív,
ha bármely y ∈ B esetén létezik x ∈ A úgy, hogy ténybol, hogy f (x) = y.
Definíció 3.2.5 Az f : A → B függvény akkor és csakis akkor bijektív,
ha injektív és szürjektív.
Tétel 3.2.6 Az f : A→ B akkor és csakis akkor invertálható, ha bijektív.
Tétel 3.2.7 Legyen f : A → B és g : C → D olyan invertálható füg-
gvények, amelyre f (A) ⊂ C. Ekkor a g f : A→ D függvény is invertál-
ható és(g f)−1 = f−1 g−1.
Példák 1. Igazoljuk, hogy az f : R→ R, f (x) = ax + b (a 6= 0) füg-gvény bijektív, határozzuk meg az inverzét és rajzoljuk meg az
f grafikonját, ha a = 1 és b = 2. Mi történik, ha a = 0?
(a) Injektívitás: bármely x1, x2 ∈ R esetén, ha f (x1) =
f (x2)⇒ ax1 + b = ax2 + b ⇒ a (x1 − x2) = 0 ⇒ x1 = x2.
(b) Szürjektívitás: bármely y ∈ R esetén tekintjük az f (x) = yegyenletet. Mivel ennek az ax + b = y egyenletnek van
x = y−bamegoldása, következik, hogy f szürjektív.
(c) Invertálhatóság: mivel f bijektív következik, hogy invertál-
ható is. Az f inverze az f−1 : R→ R, f (x) = x−ba
füg-
gvény.
-6
-4
-2
0
2
-4 -2 2 4
Az f (x) = x− 2 grafikonja.
44 FEJEZET 3. FÜGGVÉNYEK
(d) Ha a = 0, akkor f nem bijektív függvény.
2. Tanulmányozzuk az f : R→ R, f (x) = x2 − 2x függvény in-vertálhatóságát és rajzoljuk meg a grafikonját. Válasszuk úgy
meg az f értelmezési tartományát és értékkészletét, hogy az így
kapott függvény bijektív legyen. Ebben az esetben határozzuk
meg az f inverzét.
(a) Injektívitás: legyen x1 = 2, x2 = 0 . Azonnal kiszámítható,
hogy f (x1) = f (x2) , de mivel x1 6= x2 következik, hogy
f nem injektív.
(b) Szürjektivítás: Legyen y = −3. Ekkor az x2 − 2x = −3egyenletnek nincs valós megoldása, tehát a függvény nem
szürjektív.
(c) f-1
0
1
2
3
-1 1 2 3
Az f (x) = x2 − 2x grafikonja(d) Legyen az értelmezési tartomány [1,+∞) intervallum, az
értékkészlet pedig, a [−1,+∞) intervallum. Ekkor a g :[1,+∞) → [−1,+∞) , g (x) = x2 − 2x függvény bijektív.A g inverze a g−1 : [−1,+∞) → [1,+∞) , g−1 (x) = 1 +√1 + x függvény.
3.3 Muveletek valós függvényekkel
Eddig tulajdonképpen három olyan általános eljárást (leszukítés,
összetevés, invertálás) ismertünk meg, amelyekkel új függvényeket
tudtunk eloállítani. Most a továbbiakban csak egyváltozós valós füg-
gvényekkel foglalkozunk.
3.4. MONOTON FÜGGVÉNYEK 45
Definíció 3.3.1 Bármely f : R→ R és bármely c ∈ R esetén a (cf)
függvényt, az alábbi módon értelmezzük:
(cf) : R→ R,
(cf) (x) = cf (x) ,∀x ∈ R.
Definíció 3.3.2 Bármely f : R→ R és g : R→ R függvények esetén az(f + g) függvényt, az alábbi módon értelmezzük:
(f + g) : R→ R,
(f + g) (x) = f (x) + g (x) ,∀x ∈ R.
Definíció 3.3.3 Bármely f : R→ R és g : R→ R függvények esetén az(f · g) függvényt, az alábbi módon értelmezzük:
(f · g) : R→ R,
(f · g) (x) = f (x) · g (x) ,∀x ∈ R.
Definíció 3.3.4 Bármely f : R→ R jelöljük D = x ∈ R / f (x) 6= 0halmazt. Az 1/f függvényt, az alábbi módon értelmezzük:
(1/f) : D→ R,
(1/f) (x) = 1/f (x) ,∀x ∈ R.
3.4 Monoton függvények
A legtöbb esetben nem tudjuk ábrázolni a függvény grafikonját, hanem
csak a grafikon néhány pontját. Gyakorlatilag a különbözo számítások is
csak véges sok függvényérték kiszámítását teszik lehetové. Feltevodik az
a kérdés, hogy vajon nem lehet-e ebbol a néhány pontból következtetni
a függvény grafikonjára? A válasz az, hogy valóban vannak olyan füg-
gvények, amelyek grafikonja megszerkeszheto két pont ismeretében. Ezek
a lineáris függvények. A másik kérdés, hogy a megszerkesztett pontok is-
meretében milyen tulajdonságokat lehet felismerni? Példának okáért ilyen
tulajdonság a monotonítás.
Definíció 3.4.1 Azt mondjuk, hogy az f : D → R, (D ⊆ R) függvénymonoton növekvo, ha bármely x1, x2 ∈ D, x1 ≤ x2 esetén f (x1) ≤ f (x2).
46 FEJEZET 3. FÜGGVÉNYEK
Definíció 3.4.2 Azt mondjuk, hogy az f : D → R, (D ⊆ R) függvénymonoton csökkeno, ha bármely x1, x2 ∈ D, x1 ≤ x2 esetén f (x1) ≥ f (x2).
Definíció 3.4.3 Azt mondjuk, hogy az f : D → R, (D ⊆ R) függvényszigorúan monoton növekvo, ha bármely x1, x2 ∈ D, x1 < x2 esetén
f (x1) < f (x2) .
Definíció 3.4.4 Azt mondjuk, hogy az f : D → R, (D ⊆ R) függvényszigorúan monoton csökkeno, ha bármely x1, x2 ∈ D, x1 < x2 esetén
f (x1) > f (x2) .
Definíció 3.4.5 Azt mondjuk, hogy az f : D → R, (D ⊆ R) függvénymonoton, ha monoton csökkeno vagy monoton növekvo.
Definíció 3.4.6 Azt mondjuk, hogy az f : D → R, (D ⊆ R) füg-gvény szigorúan monoton, ha szigorúan monoton csökkeno vagy szigorúan
monoton növekvo.
Példák 1. Az egyváltozós elsofokú f : R→ R, f (x) = ax+b függvény
monoton. Éspedig,
-ha a > 0, akkor f szigorúan növekvo,
-ha a < 0, akkor f szigorúan csökkeno,
-ha a = 0, akkor f állandó.
2. Az egyváltozós másodfokú f : R→ R, f (x) = x2 + bx + c
függvény nem monoton.
3. Az egyváltozós harmadfokú f : R→ R, f (x) = x3+ bx2+ cx+d függvény monoton növekvo, ha f -nek csak egy valós gyöke
van. Ha f -nek három különbözo valós gyöke van, akkor f nem
monoton.
3.5 Konvex és konkáv függvények
Definíció 3.5.1 Legyen f : I → R, (I ⊆ R intervallum) . függvény kon-vex, ha bármely x1, x2 ∈ I, x1 < x2 esetén a grafikon (x1, f (x1)) ,
(x2, f (x2)) pontjait összeköto szakasz minden pontja a függvény grafikonja
felett van. Vagyis bármely z ∈ [x1, x2] esetén¯¯ z f (z) 1
x1 f (x1) 1
x2 f (x2) 1
¯¯ ≥ f (z)
3.6. PÁROS ÉS PÁRATLAN FÜGGVÉNYEK 47
Definíció 3.5.2 Legyen f : I → R, (I ⊆ R intervallum) . függvény kon-vex, ha bármely x1, x2 ∈ I, x1 < x2 esetén a grafikon (x1, f (x1)) ,
(x2, f (x2)) pontjait összeköto szakasz minden pontja a függvény grafikonja
alatt van. Vagyis bármely z ∈ [x1, x2] esetén¯¯ z f (z) 1
x1 f (x1) 1
x2 f (x2) 1
¯¯ ≤ f (z)
Tétel 3.5.3 Legyen f : I → R, (I ⊆ R intervallum) függvény akkor éscsakis akkor konvex, ha bármely x1, x2 ∈ I és a ∈ [0, 1] esetén
f ((1− a)x1 + ax2) ≤ (1− a) f (x1) + af (x2) .
Tétel 3.5.4 Legyen f : I → R, (I ⊆ R intervallum) függvény akkor éscsakis akkor konkáv, ha bármely x1, x2 ∈ I és a ∈ [0, 1] esetén
f ((1− a)x1 + ax2) ≥ (1− a) f (x1) + af (x2) .
Példák 1. Az egyváltozós másodfokú f : R→ R, f (x) = x2 + bx+ cfüggvény nem konvex.
2. Az egyváltozós másodfokú f : R→ R, f (x) = −x2 + bx + cfüggvény nem konkáv.
3. Az egyváltozós elsofokú f : R→ R, f (x) = ax + b függvény
konkáv is és konvex is.
4. Az egyváltozós harmadfokú f : R→ R, f (x) = x3+ bx2+ cx+d nem is konkáv és nem is konvex, de nannak részei, ahol a
függvény konvex és vannak részei, ahol a függvény konkáv.
3.6 Páros és páratlan függvények
Definíció 3.6.1 Azt mondjuk, hogy az f : D→ R páros függvény, ha:
1. bármely x ∈ D esetén −x ∈ D;2. bármely x ∈ D esetén f (−x) = f (x) .
Definíció 3.6.2 Azt mondjuk, hogy az f : D→ R páratlan függvény, ha:
48 FEJEZET 3. FÜGGVÉNYEK
1. bármely x ∈ D esetén −x ∈ D;2. bármely x ∈ D esetén f (−x) = −f (x) ;
Megjegyzés 3.6.3 Az f : D → R páros, ha grafikonja szimetrikus az
Oy tengelyre nézve. Az f : D → R páratlan, ha grafikonja szimetrikus azorigora nézve.
Példák 1. Az f : R→ R, f (x) = xk, k ∈ 1, 2, 3, ... függvény párosha k páros és páratlan, ha k páratlan.
2. Az f : R→ R, f (x) = sinx páratlan függvény.
3. Az f : R→ R, f (x) = cosx páros függvény.
4. Az f : R→ R, f (x) = x2 + x nem is páros és nem is páratlan
függvény.
3.7 Periodikus függvények
Definíció 3.7.1 Azt mondjuk, hogy az f : R → R periodikus függvény,
ha létezik egy T > 0 szám úgy, hogy bármely x ∈ R eseténf (x+ T ) = f (x) .
Ha létezik ilyen szám akkor T -t az f periodusának nevezzük. Ha létezik,
egy legkisebb T periodus, akkor ezt alapperiodusnakvagy foperodusnak
nevezzük.
Példák 1. A trigonometrikus függvények periódikusak
(a) sin : R→ R alapperiódusa T = 2π;(b) cos : R→ R alapperiódusa T = 2π;(c) tan : R\©(2k + 1) π
2/ k ∈ Zª→ R alapperiódusa T = π;
(d) cot : R\ kπ / k ∈ Z→ R alapperiódusa T = π;
2. Az f : R→ R, f (x) = konst függvény periódikus, de nincs
alapperiodusa.
3. Az f : R→ R,
f (x) =
½4x ha x ∈ £k, (2k + 1) 1
2
¤,
−4 (x− 1) ha x ∈ ¡(2k + 1) 12, k + 1
¢,
ahol k ∈ Z. (fürészfog függvény) periódikus, alapperiodusa
T = 1.
Fejezet 4
Sorozatok
4.1 Elozmények
Induljunk ki egy, az eddigiek során már szóba jött problémáról. Láttuk,
hogy minden pozitív számnak, így például 2-nek is van négyzetgyöke.
Hogyan lehet közelítoleg ezt kiszámítani? Ehhez persze azt is tisztázni kell,
hogy mit értünk közelíto eloállításon. Lényegében a következot: bármilyen
hibakorlátot adunk is (legyen ez például 0.0001), meg tudunk-e határozni
olyan, mondjuk racionális számot, amely ennél a hibakorlátnál jobban
megközelíti a√2-t, vagyis olyan r ∈ Q számot, amelyre például fennáll az¯
r −√2¯≤ 0.0001
egyenlotlenség. Azért beszélünk éppen racionális számokról, mert világos,
hogy gyakorlatilag csak ilyenekkel tudunk számolni. A most kiragadott
feladat csupán csak egy a tömérdek feladat közül, amelyekre a sorozatok
konvergenciája fogalmának birtokában majd választ lehet adni.
4.2 Sorozatok
Definíció 4.2.1 Az f : N→ R függvényt valós számsorozatnak nevezzük.A sorozat tagjait a1 = f (1) , a2 = f (2) , ..., an = f (n) szimbolumokkal
jelöljük. Az an-t a sorozat általános tagjának nevezzük. Az an általános
tagú sorozatot az (an)n≥1-vel jelöljük.
49
50 FEJEZET 4. SOROZATOK
Megjegyzés 4.2.2 A függvények egyenloségének a fogalmából adódik,
hogy két sorozat akkor és csak akkor egyenlo, ha bármely index esetében
az azonos indexu tagjaik egyenlok.
Példa 1. Ha f (n) = 1n, akkor a sorozat általános tagja an =
1n. Írjuk
fel a sorozat elso öt elemét!
a1 =1
1= 1,
a2 =1
2,
a3 =1
3,
a4 =1
4,
a5 =1
5.
2. Írjuk fel az an+1 = an + 2 sorozat elso öt elemét, ha a1 = 1!
a1 = 1,
a2 = 3,
a3 = 5,
a4 = 7,
a5 = 9.
Az elso példában a sorozat általános tagját explicit formában, a má-
sodik példában pedig rekurzív formában adtuk meg.
Feladat. A második példában megadott sorozat általános tagja anali-
tikus formában:
an = 2n− 1.Figyelem! A sorozat definiciójából következik, hogy a sorozat néhány
tagjának a megadása nem határozza meg a sorozatot, ha nem füz-
zük hozzá a képzési szabályt. Például matematikailag értelmetlen a
következo sorozat:
1, 2, 4, 6, 8, 10, ...,
mivel teljesen jogosan lehetne mondani, hogy csupa 10-essel, vagy
csupa 8-assal folytatodik, hiszen ezek a kezdo tagok egyáltalán nem
határozzák meg a továbbiakat.
4.3. ALAPVETO SOROZATOK 51
4.3 Alapveto sorozatok
4.3.1 Számtani sorozatok
Definíció 4.3.1 Az (an)n≥1 sorozatot számtaninak (vagy számtani hal-adványnak) mondjuk, ha bármely tagjának és az azt megelozo tagnak a
különbsége állandó érték. Jelölje d az állandó különbséget, a definició sz-
erint:
an = an−1 + d.
Ez a tulajdonság az jelenti, hogy a sorozat bármely tagja az elozobol
a d hozzáadásával jön létre. Tehát a számtani sorozat általános tagját az
alábbi képlettel számítjuk ki:
a2 = a1 + d,
a3 = a2 + d = a1 + 2d,
a4 = a3 + d = a1 + 3d,
...
an = a1 + (n− 1) d.
Megjegyzés 4.3.2 A számtani sorozat elnevezés onnan származik, hogy
a sorozat bármely tagja számtani közepe két szomszédos tagjának, vagyis
an =an−1 + an+1
2
Megjegyzés 4.3.3 A d különbség ismeretében a számtani sorozat
bármely tagja eloállítható.
Definíció 4.3.4 Jelöljük Sn-nel a sorozat elso n tagjának az összegét.
Tétel 4.3.5
Sn =n (a1 + an)
2,
és
Sn =n (2a1 + (n− 1) d)
2
Feladat! A számtani sorozat elso eleme 3, 17-dik eleme 27. Hányadik
eleme a sorozatnak 15. Válasz: 9-dik.
52 FEJEZET 4. SOROZATOK
4.3.2 Mértani sorozatok
Definíció 4.3.6 Az (an)n≥1 sorozatot mértaninak (vagy mértani halad-ványnak) mondjuk, ha bármely tagjának és az azt megelozo tagnak a
hányadosa állandó érték. Jelölje q az állandó hányadost, akkor defini-
ciónk szerintan+1
an= q.
Ez a tulajdonság az jelenti, hogy a sorozat bármely tagja az elozobol a
q szorzásával jön létre. Tehát a mértani sorozat általános tagját az alábbi
képlettel számítjuk ki:
a2 = a1q,
a3 = a2q = a1q2,
a4 = a3q = a1q3,
...
an = a1qn−1.
Megjegyzés 4.3.7 A mértani sorozat elnevezés onnan származik, hogy
a sorozat bármely tagja mértani közepe két szomszédos tagjának, vagyis
a2n = an−1an+1
Megjegyzés 4.3.8 A q hányados ismeretében a mértani sorozat bármely
tagja eloállítható.
Definíció 4.3.9 Jelöljük Sn-nel a sorozat elso n tagjának az összegét.
Tétel 4.3.10
Sn = a1qn − 1q − 1 .
Feladat! Írjuk fel a mértani sorozat elso hat tagját, ha elso tagja a1 =
0.4, 6−dok tagja pedig 180. Válasz: 2
5, 15, 110, 120, 140.
4.4. KONVERGENS SOROZATOK 53
4.3.3 A mértani sorozat alkalmazásai: kamatoskamat-
számítás
Ha egy t-vel jelölt összeg p%-kal kamatozik a bankban , egy év alatt¡1 + p
100
¢-szorosára növekszik.
Elso év elején:
a1 = t
Második év elején:
a2 = t³1 +
p
100
´Harmadik év elején:
a3 = a2
³1 +
p
100
´= t
³1 +
p
100
´2Az n-dik év elején:
an = t³1 +
p
100
´n−1összegünk lessz a bankban. Jelöljük q =
¡1 + p
100
¢-vel a hányadost. Pénzü-
gyben ezt a mennyiséget kamattényezonek nevezik.
Tétel 4.3.11 A kamatoskamat-számítás képlete. n-dik év végén p ka-
matlább esetén a t kezdoösszeg
tn = t³1 +
p
100
´n= tqn
összegre no.
Feladat Mennyi pénzünk lessz a bankban 100-év múlva, ha állandó 30%
kamatláb mellett leteszünk az év elején 2-lejt a bankba. q = 1+ 30100
=
1. 3. Alkalmazuk a kamatoskamat képletét:
t100 = 2
µ13
10
¶100≈ 495.8 70.000.000 lej.
4.4 Konvergens sorozatok
Mielott a sorozatok konvergenciáját értelmeznénk vizsgáljunk meg két tu-
lajdonságot.
Vegyük az an = 2n általános tagú sorozatot. Ábrázoljuka a sorozat
tagjait az Oxy koordinátarendszerben. Az alábbi grafikont kapjuk:
54 FEJEZET 4. SOROZATOK
f
2
4
6
8
10
12
14
16
0 1 2 3 4
A (2n)n≥1 sorozat grafikonja.
Látható, hogy a sorozat tagjai növekednek. A függvényeknél megis-
mert monotonítási szabályokat felhasználva értelmezhetjük a sorozatok
monotonítását.
Definíció 4.4.1 Az (an)n≥1 sorozat monoton növekvo, ha bármely n ≥ 1esetén
an+1 ≥ an.Definíció 4.4.2 Az (an)n≥1 sorozat monoton csökkeno, ha bármely n ≥ 1esetén
an+1 ≤ an.Vegyük az an =
¡12
¢náltalános tagú sorozatot. Ábrázoljuka a sorozat
tagjait az Oxy koordinátarendszerben. Az alábbi grafikont kapjuk:
¡12
¢n 0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 1 2 3 4n
Az¡¡12
¢n¢n≥1 sorozat grafikonja
4.4. KONVERGENS SOROZATOK 55
Látható, hogy ez a sorozat monoton csökkeno. De még egy tulajdon-
sággal rendelkezik, minden tagja 0 és 1 között van. Az ilyen sorozatokat
korlátos sorozatnak nevezzük. Általában a korlátosságot az alábbi módon
értelmezzük.
Definíció 4.4.3 Az (an)n≥1 sorozat alulról korlátos, ha találunk egy b ∈ Rszámot úgy, hogy esetén
b ≤ an.Definíció 4.4.4 Az (an)n≥1 sorozat felülrol korlátos, ha találunk egy c ∈R számot úgy, hogy esetén
an ≤ c.Definíció 4.4.5 Az (an)n≥1 sorozat korlátos, ha alulról és felülrol is kor-látos.
Mielott rátérnénk a konvergencia fogalmának ismertetésére, figyeljük
meg, hogy az¡12
¢nsorozat tagjai, ahogy az n no közelebb kerülnek az Ox
tengelyhez (vagyis értékeik tartnak a 0-hoz) . Ezt a ”közelebb kerülést”
fogalmazzuk meg a sorozat konvergenciájának értelmezésében.
Definíció 4.4.6 Az (an)n≥1 sorozat határértéke a c ∈ R szám, ha min-den olyan nyílt (p, q) intervallum, amely tartalamzza a c-t, véges számú
tag kivételével tartalmazza az (an)n≥1 tagjait is. Más szóval, bármely a c-ttartalmazó (p, q) intervallumhoz lehet találni egy olyan n0 ∈ N küszöbszá-mot, hogy minden n ≥ n0 estén an ∈ (p, q) . Azt a tényt, hogy a sorozathatárértéke c így jelöljük: lim
n→+∞an = c.
Definíció 4.4.7 Az (an)n≥1 sorozat konvergens, ha a sorozatnak vanhatárértéke. Ellenkezo esetben a sorozat divergens.
Definíció 4.4.8 Az (an)n≥1 sorozat határértéke a +∞, ha minden p ∈ Rszám esetén lehet találni egy olyan n0 ∈ N küszöbszámot, hogy minden
n ≥ n0 számra an ≥ p. Azt a tényt, hogy a sorozat határértéke +∞ így
jelöljük: limn→+∞an = +∞.
Definíció 4.4.9 Az (an)n≥1 sorozat határértéke a −∞, ha minden p ∈ Rszám esetén lehet találni egy olyan n0 ∈ N küszöbszámot, hogy minden
n ≥ n0 számra an ≤ p. Azt a tényt, hogy a sorozat határértéke −∞ így
jelöljük: limn→+∞an = −∞.
56 FEJEZET 4. SOROZATOK
Az abszolútérték segítségével a határérték fogalmát másképpen is kife-
jezhetjük.
Tétel 4.4.10 (ε−os konvergencia-kritérium) limn→+∞an = c akkor és
csakis akkor, ha bármely ε > 0 szám esetén létezik egy n0 ∈ N küszöbszámúgy, hogy minden n ≥ n0 estén |an − c| ≤ ε.
Bizonyítás 3 Legyen limn→+∞ an = c és ε > 0. A konvergencia értelmezése
alapján létezik a (c− ε, c+ ε) intervallumhoz egy n0 ∈ N küszöbszám úgy,
hogy minden n ≥ n0 estén an ∈ (c− ε, c+ ε) . Ami azt is jelenti, hogy
minden n ≥ n0 estén |an − c| ≤ ε.
Fordítva: Legyen (p, q) egy olyan intervallum, amely tartalmazza a c-t.
Jelöljük ε = min c− p, q − c . A feltétel szerint létezik n0 ∈ N küszöb-
szám úgy, hogy minden n ≥ n0 estén |an − c| ≤ ε. De ez azt is jelenti,
hogy minden n ≥ n0 estén an ∈ (c− ε, c+ ε) ⊆ (p, q) .
Tétel 4.4.11 A konvergens sorozatnak csak egy határértéke van.
Bizonyítás 4 Tételezzük fel, hogy (an)n≥1 sorozatnak két különbözo
határértéke létezik. Legyenek ezek a c1 < c2 számok. Válasszuk ε =c2−c13
számot. Akkor az ε-os konvergencia kritérium alapján léteznek az n1 il-
letve n2 küszöbbszámok úgy, hogy bármely n ≥ max n1, n2 esetén:
|an − c1| ≤ εés |an − c2| ≤ ε.
Vagyis minden n ≥ max n1, n2 esetén:
c2 − c1 = |c2 − c1|≤ |c2 − an − c1 + an|≤ |c2 − an|+ |c1 − an|≤ 2ε = 2c2 − 2c1
3.
Ahonnan kapjuk, hogy 3c2−3c1 ≤ 2c2−2c1. Ami azt jelenti, hogy c2 ≤ c1.Ez pedig ellentmond a feltevésnek. Következésképpen a tételben megfogal-
mazott kijelentés igaz.
Tétel 4.4.12 Minden konvergens sorozat korlátos.
4.4. KONVERGENS SOROZATOK 57
Bizonyítás 5 Tételezzük fel, hogy limn→+∞ an = c. Válasszuk p = c − 1 és
q = c + 1 számokat. A konvergencia értelmezése alapján létezik n0 ∈ Nküszöbszám úgy, hogy minden n ≥ n0 estén an ∈ (p, q) . Legyen
x = min a1, a2, ..., an0 , p ésy = max a1, a2, ..., an0 , q .
Akkor bármely n ≥ 1 esetén an ∈ [x, y] . Ami azt jelenti, hogy az an sorozatkorlátos.
Általában elég nehéz feladat annak eldöntése, hogy egy sorozat-
nak van-e határértéke. Az alábbi tulajdonságok bizonyos esetekben ezt
megkönnyítik. Ezeknek a lényege, hogy konvergens sorozatokból kiindulva
bizonyos muveletek elvégzése után újra konvergens sosrozatokhoz jutunk.
Tétel 4.4.13 Ha (an)n≥1 és (bn)n≥1 konvergens számsorozatok és λ ∈ R,akkor
1. limn→+∞ (an + bn) = lim
n→+∞an + limn→+∞ bn;
2. limn→+∞ (λan) = λ lim
n→+∞an;
3. limn→+∞ (an · bn) = lim
n→+∞an · limn→+∞ bn;
4. limn→+∞
³1an
´= 1
limn→+∞
an, ha bármely n ∈ N esetén an 6= 0 és
limn→+∞an 6= 0.
5. ha an ≤ bn egyenlotlenségbol következik, hogy limn→+∞ an ≤ lim
n→+∞ bn.
6. Ha l : N→ N szigorúan növekvo függvény, akkor limn→+∞al(n)
= limn→+∞an
Bizonyítás 6 Legyen limn→+∞ an = a, lim
n→+∞ bn = b és ε > 0. Akkor az ε-
os konvergencia kritérium alapján léteznek az n1 illetve n2 küszöbbszámok
úgy, hogy bármely n ≥ max n1, n2 = n0 esetén:
|an − a| ≤ ε/2és |bn − b| ≤ ε/2.
58 FEJEZET 4. SOROZATOK
Ekkor
|an + bn − a− b| ≤ |an − a | + | bn − b| ≤ ε
Ami azt jelenti, hogy limn→+∞ (an + bn) = a+ b.
Hasonló módon igazoljuk a többi összefüggést is.
Megjegyzés 4.4.14 A 4.4.13 tátel 6. pontjában megszerkesztett soroza-
tot az (an)n≥1 részsorozatának nevezzük. Ezzel a megfogalmazással a 6.pont azt mondja ki, hogy egy konvergens sorozat bármely részsorozatának
a határértéke megegyezik a sorozat határértékével.
Feladat Igazoljuk, hogy limn→+∞
1n= 0! Legyen ε > 0. Abból, hogy¯
1n− 0¯≤ ε következik n ≥ 1
ε. Ha választjuk n0 =
£1ε
¤+ 1, akkor az
ε-os konvergencia kritérium alapján következik a kért egyenloség.
Egy másik fontos fogalom, amelynek segítségével nagyon sok sorozat
konvergenciáját vizsgálni lehet az a Cauchy-féle sorozat fogalam.
Megjegyzés 4.4.15 Hasonlóan igazolható, hogy ha az (an)n≥1 sorozathatárértéke ±∞, akkor az (1/an)n≥1 sorozat határértéke 0.Definíció 4.4.16 Azt mondjuk, hogy az (an)n≥1 Cauchy-sorozat, ha
bármely ε > 0 szám esetén létezik egy n0 ∈ N küszöbszám úgy, hogy min-
den n,m ≥ n0 estén |an − am| ≤ ε.
Tétel 4.4.17 Minden konvergens sorozat Cauchy-sorozat.
Bizonyítás 7 Legyen limn→+∞ an = a. Akkor az ε-os konvergencia
kritérium alapján létezik az n0 küszöbbszám úgy, hogy bármely n ≥ n0és m ≥ n0 esetén :
|an − a| ≤ ε/2és |am − a| ≤ ε/2.
Ekkor
|an − a− am+a| ≤ |an − a | + | am − a| ≤ ε
Ami azt jelenti, hogy az (an)n≥1 Cauchy-sorozat.
Tétel 4.4.18 Ha (an)n≥1 sorozat növekvo és felülrol korlátos, akkor kon-vergens és
limn→+∞ an = sup an / n ∈ N
4.4. KONVERGENS SOROZATOK 59
Bizonyítás 8 Legyen L = sup an / n ∈ N és ε > 0. Az L − ε nem
lehet a sorozatnak felso korlátja, mert akkor nem L nem lenne a sorozat
legkisebb felso korlátja, vagyis akkor L > sup an / n ∈ N . Ezek szerintvan a sorozatnak egy olyan an0 tagja amelyre L− ε < an0 . Mivel a sorozatnövekvo következik, hogy minden n ≥ n0 esetén an > L − ε és an ≤ L.Amibol következik, hogy a sorozat tagjai az n0 küszömbindextol kezdve az
(L− ε, L+ ε) intervallumban vannak, ami a definició szerint azt jelenti,
hogy limn→+∞ an = L.
Tétel 4.4.19 Ha (an)n≥1 sorozat csökkeno és alulról korlátos, akkor kon-vergens és
limn→+∞an = inf an / n ∈ N
Bizonyítás 9 Ha (an)n≥1 sorozat csökkeno és alulról korlátos, akkor a(−an)n≥1 sorozat növekvo és felülrol korlátos. Tehát
limn→+∞−an = sup −an / n ∈ N .
Vagyis
limn→+∞ an = inf an / n ∈ N .
Tétel 4.4.20 (Cesaro lemma) Minden korlátos sorozatnak van kon-
vergens részsorozata.
Tétel 4.4.21 Minden Cauchy sorozat korlátos.
Teljesen hasonlóan igazoljuk mint a 9.3.3tételt.
Tétel 4.4.22 Ha egy Cauchy sorozatnak van egy konvergens részsorozata,
akkor a sorozat is konvergens.
Tétel 4.4.23 (Cauchy-féle konvergencia-kritérium) A valós
számok halmazában egy sorozat pontosan akkor konvergens, ha Cauchy-
sorozat.
Bizonyítás 10 A 4.4.21tétel alapján minden Cauchy sorozat korlátos,
tehát a Cesaro lemma alapján van a sorozatnak egy konvergens rész-
sorozata. Ami a 5.3.8 tétel alapján azt eredményezi, hogy a sorozat is
konvergens és a tétel szerint a határértéke megegyezik a megszerkesztett
részsorozat határértékével.
60 FEJEZET 4. SOROZATOK
A Cauchy-féle konvergencia-kritériumot szokás belso kritériumnak
is nevezni, mivel csak a sorozat tagjaira ró ki feltételeket, asorozat
határértéke nem szerepel benne.
Nagyon fontos kritérium a sorozatok határértékének kiszámításakor az
alábbi tétel.
Tétel 4.4.24 (Cesaro-Stolz ) Tekintjük az (an)n≥1 és (bn)n≥1 soroza-tokat. Ha
(i) (bn)n≥1 szigorúan növekvo;
(ii) limn→+∞ bn = +∞;
(iii) limn→+∞
an+1−anbn+1−bn = l ∈ R;
akkor
limn→+∞
an
bn= l.
Következmény. Ennek a tételnek három fontos következménye van.
1. Ha az (an)n≥1 sorozat határértéke a, amely lehet véges vagyvégtelen, akkor a sorozat számtani közeparányossának is a
határértéke a, vagyis
limn→+∞ (a1 + a2 + ...+ an) /n = a.
2. Ha az (an)n≥1 pozitív tagú sorozat határértéke a véges szám,akkor a sorozat mértani közeparányossának is a határértéke a,
vagyis
limn→+∞
n√a1a2...an = a.
3. Ha az (an)n≥1 pozitív tagú sorozat esetén limn→+∞
an+1an
=
a,amely lehet véges vagy végtelen, akkor limn→+∞ an = a.
Bizonyítás 11 Felhasználjuk a Cesaro-Stolz tételt.
4.4. KONVERGENS SOROZATOK 61
1. Legyen bn = n. Feltételezzük, hogy limn→+∞ an = a véges. Akkor a
Cesaro-Stolz tétel feltételei teljesülnek és
limn→+∞ (a1 + a2 + ...+ an) /n = lim
n→+∞(a1 + a2 + ...+ an+1)− (a1 + a2 + ...+ an)
n+ 1− n= limn→+∞an+1 = a.
Ha limn→+∞ an = +∞, akkor feltételezzük, limn→+∞ (a1 + a2 + ...+ an) /n =
a hogy léteznek egy 0 = n0 < n1 < n2 < n3 < ... ∈ N küszöbindexekúgy, hogy bármely i = 1, 2, 3, .. esetén ani−1+1+ani−1+2+...+ani ≥ i.Akkor bármely k ∈ N−re
(a1 + a2 + ...+ ank) /nk
≥ (an0+1 + an0+2 + ...+ an1) /nk + ...+¡ank−1+1 + ank−1+2 + ...+ ank
¢/nk
≥ (1 + 2 + ...nk) /nk = (1 + nk)nk/nk= 1 + nk.
Tehát az ((a1 + a2 + ...+ an) /n)n≥1 sorozatnak létezik az
((a1 + a2 + ...+ ank) /nk)k≥1 részsorozata, amelyre
limk→+∞
(a1 + a2 + ...+ ank) /nk ≥ limk→+∞
1 + nk = +∞.
Következésképpen
limn→+∞ (a1 + a2 + ...+ an) /n = +∞.
teljesen hasonlóan igazoljuk a következmények többi alpontját is.
4.4.1 Nevezetes sorozatok és határértékük
4.4.2 Mértani sorozat
Tétel 4.4.25 Legyen a mértani sorozat általános tagja an = qn. Akkor
limn→+∞ q
n =
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩+∞ ha q > 1,
1 ha q = 1,
0 ha −1 < q < 1,nincs hatarerteke ha q ≤ −1.
62 FEJEZET 4. SOROZATOK
Bizonyítás 12 Ha q > 1, akkor q = 1 + h alakba írható, ahol h > 0. A
Bernoulli-féle egyenlotlenség alapján
qn = (1 + h)n ≥ 1 + nh.
Az egyenlotlenség jobb oldalának határértéke +∞. Következésképpen
a4.4.13 tétel 5. alpontja alapján
limn→+∞ q
n ≥ limn→+∞ 1 + nh = +∞.
Tehát
limn→+∞ q
n = +∞.
Ha q = 1, akkor nyilvánvaló, hogy limn→+∞ q
n = 1
Ha |q| < 1, akkor 1|q| > 1. Tehát
limn→+∞
µ1
|q|¶n
= +∞.
Ezért a 4.4.15 megjegyzés szerint
limn→+∞ q
n = limn→+∞
1³1|q|´n = 0.
Ha q < −1, akkor |q| > 1, ezért a fentiek szerint
limn→+∞ |q|
n = +∞.
Ekkor a páros tagokból álló részsorozat határértéke +∞, és a páratlantagokból álló részsorozat határértéke −∞. Következésképpen a sorozatnaknincs határértéke.
Ha q = −1, akkor |q| = 1, ezért a fentiek szerint
limn→+∞ |q|
n = 1.
Ekkor a páros tagokból álló részsorozat határértéke 1, és a páratlan tagok-
ból álló részsorozat határértéke −1. Következésképpen a sorozatnak nincshatárértéke.
4.4. KONVERGENS SOROZATOK 63
Feladat Határozzuk meg az
an =
µ√4n + 2
3n + 1
¶általánostagú sorozat határértékét.
Megoldás
limn→+∞
√4n + 2
3n + 1= limn→+∞
q4n
32n+ 2
32n
1 + 13n
= limn→+∞
q4n
9n+ 29n
1 + 13n
=0
1.
4.4.3 Számtani sorozat határértéke
Tétel 4.4.26 Az an = a1 + (n− 1) d általános tagú számtani sorozathatárértékét az alábbi képlettel adhatjuk meg:
limn→+∞ a1 + (n− 1) d =
⎧⎨⎩+∞ ha d > 0,
a1 ha d = 0,
−∞ ha d < 0.
A tétel állítása könnyen belátható, ezért a bizonyítását elhagyjuk.
4.4.4 Egy szám gyökének közelíto kiszámítása
Tétel 4.4.27 Ha b ≥ 1, akkor az
an+1 =1
2
µan +
b
an
¶rekurzív sorozat határértéke az a1 = b kezdoérték esetén
√b.
Bizonyítás 13 Igazoljuk, hogy a sorozat csökkeno és alulról korlátos.
Alkalmazva a számtani és mértani középarányos közti összefüggést, iga-
zoljuk, hogy a sorozat alulról korlátos:
an+1 =1
2
µan +
b
an
¶≥ranb
an=√b
64 FEJEZET 4. SOROZATOK
Igazoljuk, hogy a sorozat csökkeno.
Mivel an+1 =12
³an +
ban
´, következik, hogy
an+1
an=1
2+1
2
b
a2n
≤ 12+1
2
a2na2n= 1.
Következésképpen
an+1 ≤ an .
A 4.4.19 tétel alapján az (an)n≥1sorozat konvergens. Legyen a sorozathatárértéke l. Ekkor az (an+1)n≥1 sorozat határértéke is l. Következéskép-pen a rekurziós összefüggésbol következik, hogy
l =1
2
µl +
b
l
¶.
Ahonnan l =√b
Megjegyzés 4.4.28 Hasonlóan igazolhatjuk, hogy ha b ≥ 1, akkor az
an+1 =1
k
µ(k − 1) an + b
ak−1n
¶
rekurzív sorozat határértéke az a1 = b kezdoérték eseténk√b.
Feladat Határozzuk meg a√2-t 2 tizedes pontossággal.
Megoldás Mivel az a1 = 2, an+1 = 12
³an +
2an
´rekurzív sorozat
határértéke√2 meg kell határozzuk, hogy a sorozat hányadik tagja
4.4. KONVERGENS SOROZATOK 65
lesz a√2-tol 0.01 -nél kisebb távolságra.
an+1 −√2 =
1
2
µan +
2
an
¶−√2
=1
2
µan − 2
√2 +
2
an
¶=1
2
Ã√an −
√2√an
!2=
1
2an
³an −
√2´2
≤ 12
³an −
√2´2.
Innen teljes indukcióval igazolható, hogy
an −√2 ≤ 1
22n−1
Tehát, ahhoz, hogy a megközelítés 0.01−nél jobb legyen kell teljesüljön az
1
22n−1 ≤ 0.01
egyenlotlenség. Ahonnan kapjuk, hogy n ≥ 2.9343. Tehát már a sorozat3. tagja 0.01-nél jobban megközelíti a
√2-t. Ezt az értéket megkapjuk,
ha kiszámoljuk a sorozat 3. tagját.
a2 =1
2
µ2 +
2
2
¶=3
2
a3 =1
2
Ã3
2+232
!=17
12= 1. 416 7
Valóban¯√2− 1. 416 7
¯= 0.002 486 4 ≤ 0.01.
66 FEJEZET 4. SOROZATOK
4.4.5 Polinomiális sorozatok határértéke
Tétel 4.4.29 Legyenek adottak az a0, a1, a2,..., ap, b0, b1, b2,..., bq ∈ Rvalós számok úgy, hogy ap 6= 0 és bq 6= 0. Akkor
limn→+∞
apnp + ap−1np−1 + ...+ a1n+ a0
bqnq + bq−1nq−1 + ...+ b1n+ b0=
⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩apbq
ha p = q,
+∞ ha p > qésapbq> 0 ,
−∞ ha p > qésapbq< 0,
0 ha p < q .
⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭A tétel bizonyítását az olvasóra bizzuk.
4.4.6 Az e szám mint határérték
Tétel 4.4.30
limn→+∞
µ1 +
1
n
¶nsorozat konvergens.
Bizonyítás 14 Megmutatjuk, hogy az an =¡1 + 1
n
¢náltalános tagú
sorozat növekvo.
an+1
an=
³1 + 1
n+1
´n+1¡1 + 1
n
¢n =
³n+2n+1
´n+1¡n+1n
¢n =
³n+2n+1
´n¡n+1n
¢n n+ 2n+ 1
=
¡n2 + 2n
¢n(n2 + 2n+ 1)
n
n+ 2
n+ 1=
µ1− 1
n2 + 2n+ 1
¶nn+ 2
n+ 1.
Az elso tényezore alkalmazuk a Bernoulli-féle egyenlotlenséget és kapjuk:
an+1
an=
µ1− 1
n2 + 2n+ 1
¶nn+ 2
n+ 1
≥µ1− n
n2 + 2n+ 1
¶n+ 2
n+ 1
=(n+ 1)3 + 1
(n+ 1)3≥ 1
4.4. KONVERGENS SOROZATOK 67
Most már csak azt kell igazolni, hogy a sorozat felülrol korlátos. Vegyük
a
bn =
µ1 +
1
n
¶n+1sorozatot. Teljesen hasonló módon kapjuk, hogy (bn)n≥1 csökkeno. Mivelbármely n-re
an =
µ1 +
1
n
¶n≤µ1 +
1
n
¶nµ1 +
1
n
¶=
µ1 +
1
n
¶n+1= bn
következik, hogy az (an)n≥1 felülrol korlátos. Például an ≤ b1 = 4. Hason-lóan (bn)n≥1 is alulról korlátos. Például 2 = a1 ≤ bn. Következik innen,hogy mind a két sorozat konvergens és
limn→+∞ (bn − an) = lim
n→+∞
"µ1 +
1
n
¶n+1−µ1 +
1
n
¶n#
= limn→+∞
µ1 +
1
n
¶nµ1 +
1
n− 1¶
= limn→+∞
µ1 +
1
n
¶n1
n
= limn→+∞an
1
n= 0.
Ami azt jelenti, hogy az (an)n≥1 és (bn)n≥1 sorozatoknak ugyanaz ahatárértéke. Ezt a közös határértéket jelöljük e−vel. Mivel a1000 = 2.7169és b1000 = 2.7196 következik, hogy két tizedesjegyre kerekítve az e ' 2.71
4.4.7 Az n√a sorozat határértéke
Tétel 4.4.31 Bármely a ≥ 0 számra
limn→+∞
n√a = 1
Bizonyítás 15 Alkalmazzuk a Cesaro-Stolz tétel 2. következményét.
Legyen a1 = a és an = 1 általános tagú sorozat. Akkor a második
következmény alapján
limn→+∞
n√a = lim
n→+∞n√a1a2...an = lim
n→+∞an = 1.
68 FEJEZET 4. SOROZATOK
Tétel 4.4.32
limn→+∞
n√n = 1
A tétel bizonyítását a függvények folytonos tulajdonságának a fel-
használásával bizonyítjuk, ezért most a bizonyítástól eltekintünk.
Fejezet 5
Numerikus sorok
5.1 Elozmények
A sorozatok halmazából lényeges szerepük van azoknak a sorozatoknak,
amelyeknek tagjai valamilyen sorozat tagjainak az összegezésével jönnek
létre. Példá- ul csak gondoljunk a számtani vagy a mértani sorozat elso
n tagjának az összegére. Azonnal felvetodik az a kérdés, hogy vajon más
sorozatok esetén az elso n tag összegét hogyan tudjuk kiszámolni? Az ilyen
tipusú problémák vizsgálata érdekében vezetjük be a számsor fogalmát.
Definíció 5.1.1 Legyen adott az (an)n≥1 sorozat. Az
sn = a1 + a2 + ...+ an
általános tagú sorozatot az (an)n≥1−hez rendelt sornak nevezzük, és∞Pn=1
an
vagy az a1 + a2 + ... + an + ... szimbolummal jelöljük. Az sn összeget a∞Pn=1
an sor n−ed rendu részletösszegének, az an számot pedig a sor n-ediktagjának nevezzük.
Definíció 5.1.2 Azt mondjuk, hogy az∞Pn=1
an sor konvergens, ha rés-
zletösszegeinek sorozata konvergens. Ha a limn→+∞ sn = s akkor ezt az s szá-
mot a∞Pn=1
an sor összegének nevezzük és ekkor azt írjuk, hogy∞Pn=1
an = a.
Ha a sor nem konvergens, akkor azt mondjuk, hogy a sor divergens.
69
70 FEJEZET 5. NUMERIKUS SOROK
Megjegyzés 5.1.3 Abból a ténybol, hogy a sort és az összegét is ugyanaz-
zal a∞Pn=1
an szimbolummal jelöljük nem okoz bonyodalmat, mert a szöveg-
összefüggésbol kiderül, hogy melyikrol van szó.
Definíció 5.1.4 Ha a∞Pn=1
an sor konvergens és összege s, akkor az Rn =
s − sn különbséget a sor n-edik maradékának nevezzük. Minthogy Rn =∞Pk=n+1
ak szintén sor, a maradék fogalma kiterjesztheto divergens sorokra
is.
Megjegyzés 5.1.5 A∞Pn=1
an sor akkor és csakis akkor konvergens, ha
minden n ≥ 1 esetén az Rn sorok konvergensek és limn→+∞Rn = 0.
Feladat. Írjuk fel az¡1n
¢n≥1 sorozathoz tartozó sor elso 5 tagját.
Megoldás.
s1 = 1;
s2 = 1 +1
2=3
2;
s2 = 1 +1
2+1
3=11
6;
s4 = 1 +1
2+1
3+1
4=25
12;
s4 = 1 +1
2+1
3+1
4+1
5=137
60;
Feladat. Igazoljuk, hogy a∞Pn=1
1nsor (harmonikus sor) divergens.
Megoldás. Alkalmaazuk a Cauchy-féle konvergencia kritériumot, amely
azt mondja ki, hogy egy sorozat akkor és csakis akkor konvergens,
ha Cauchy sorozat. A mi esetünkben azt kell kimutatni, hogy az
sn = 1 +1
2+1
3+ ...+
1
n
5.1. ELOZMÉNYEK 71
általános tagú sorozat nem Cauchy sorozat. Ennek érdekében
számítsuk ki egy adott n ≥ 1 esetén az s2n − sn különbséget:
s2n − sn = 1
n+ 1+
1
n+ 2+ ...+
1
2n
> n1
2n=1
2.
Válasszuk meg akkor az ε = 13-nak és feltételezzük, hogy az (sn)n≥1
részletösszegek sorozata Cauchy-féle sorozat. Akkor létezik egy n0 ∈N küszöbszám úgy, hogy bármely n ≥ n0 esetén |s2n − sn| ≤ ε.
Következésképpen
1
2< |s2n − sn| ≤ ε =
1
3.
Ez az ellentmondás azt eredményezi, hogy a sor nem Cauchy-féle
sorozat. Következésképpen nem is konvergens. Mivel a sorozat szig-
orúan növekvo következik, hogy
∞Xn=1
1
n= +∞
Megjegyzés 5.1.6 Az utobbi feladatban kimutatott tulajdonság alapján
azt mondhatjuk, hogy a harmonikus sor divergens és összege +∞.
Feladat. Határozzuk meg a∞Pn=0
qn mértani sor összegét.
Megoldás. Tudjuk, hogy a mértani sor elso n tagjának osszege
sn =qn+1 − 1q − 1 , ha q 6= 1.
Innen azonnal látható, hogy
∞Xn=0
qn = limn→+∞ sn
=
⎧⎨⎩+∞ ha q ≥ 1,11−q ha −1 < q < 1,
nincs hatarerteke ha q ≤ −1.
72 FEJEZET 5. NUMERIKUS SOROK
Feladat. Határozzuk meg a∞Pn=0
1n(n+1)
sor összegét.
Megoldás. A részletösszegek sorozata:
sn =1
1 · 2 +1
2 · 3 +1
3 · 4 + ...+1
n · (n+ 1) .
Felvetodik a kérdés, hogy nem lehetne-e ezt az összeget egyszerubb
explicit alakba felírni? Olyan alakra volna szükség, amelynek a
határértékét ki tudjuk számítani. Észrevehetjük, hogy
1
n · (n+ 1) =1
n− 1
n+ 1.
Ezt a képletet alkalmazva újra kiszámítjuk az sn-t:
sn =1
1− 12+
1
2− 13+
1
3− 14+
...+
1
n− 1
n+ 1
= 1− 1
n+ 1.
Tehát
∞Xn=0
1
n (n+ 1)= limn→+∞ sn
= limn→+∞ 1−
1
n+ 1
= 1.
5.2 Muveletek sorokkal
A számsorok összegének, szorzatának és skalárral történo szorzásának a
kiszámít- ása véges számú valós szám összeadásának valamint szorzásának
az általánosítása- ként fogható fel.
5.2. MUVELETEK SOROKKAL 73
Definíció 5.2.1 Tekintjük a∞Pn=1
an,∞Pn=1
bn sorokat. Akkor
∞Xn=1
an +
∞Xn=1
bn =
∞Xn=1
(an + bn) ,
λ
∞Xn=1
an =
∞Xn=1
λan, bármely λ ∈ R esetén.
∞Xn=1
an ·∞Xn=1
bn = limn→+∞
nXi=1
ÃnXk=1
(aibk)
!
Tétel 5.2.2 Tegyük fel, hogy a∞Pn=1
an sor konvergens. Ekkor bármely
λ ∈ R esetén a∞Pn=1
λan sor konvergens és
∞Xn=1
λan = λ
∞Xn=1
an.
Tétel 5.2.3 Tegyük fel, hogy a∞Pn=1
an,∞Pn=1
bn sorok konvergensek. Ekkor
∞Pn=1
(an + bn) sor konvergens és
∞Xn=1
(an + bn) =
∞Xn=1
an +
∞Xn=1
bn
Tétel 5.2.4 Ha az∞Pn=1
an sornak van összege, akkor minden átcsoportosí-
tott sorának ugyanaz az összege.
Bizonyítás 16 Vegyük a természetes számok tetszoleges n1 < n2 < ... <
nk < ... sorozatát. Az
(a1 + a2 + ...+ an1) + (an1+1 + an1+2 + ...+ an2)+
...+¡ank+1 + ank+2 + ...+ ank+1
¢+ ...
sort az adott sor átcsoportosított sorának nevezzük. Az összeadás aszzoci-
atív tulajdonsága miatt ez az összeg azonos a sor összegével, de csak akkor,
ha az összeg létezik és véges.
74 FEJEZET 5. NUMERIKUS SOROK
Megjegyzés 5.2.5 A∞Pn=1
(−1)n sor összege, ha (−1 + 1) + (−1 + 1) +(−1 + 1)+... csoportosítást használjuk,akkor 0, ha pedig a −1+ (−1 + 1)+(−1 + 1) + (−1 + 1) + ... csoportosítást , akkor −1.
5.3 Konvergenciakritériumok
A részletösszegek sorozatának konvergenciájáról általában nehéz meg-
gyozodni. Ezért olyan kritériumokat adunk meg, amelyekkel az (sn)n≥1sorozat vizsgálata nélkül lehet eldönteni a sor konvergenciáját vagy diver-
genciáját.
5.3.1 Kritériumok általános sorokra
Tétel 5.3.1 A∞Pn=1
an sor konvergenciájának szükséges feltétele, hogy a
sorozat tagjaiból álló sorozat határértéke zéró legyen, vagyis limn→+∞an = 0.
Bizonyítás 17 Legyen a sor konvergens. Ekkor limn→+∞ sn = s ∈ R. De
ekkor a limn→+∞ sn−1 = s is fennáll. Következésképpen
limn→+∞an = lim
n→+∞ [(a1 + a2 + ...+ an)− (a1 + a2 + ...+ an−1)]= limn→+∞ sn − lim
n→+∞ sn−1 = s− s = 0.
Megjegyzés 5.3.2 A tétel fordítottja nem igaz. Vagyis abból a ténybol,
hogy limn→+∞an = 0 nem következik, hogy
∞Pn=1
an sor konvergens. Ennek
érdekében lásd a harmonikus sort.
A sorozatokra felírt Cauchy-féle kritérium sorokra is felírható.
Tétel 5.3.3 (Cauchy-féle kritérium sorokra) A∞Pn=1
an sor akkor és
csakis akkor konvergens, ha minden ε > 0 számhoz létezik olyan n0 ∈ Nküszöbszám, hogy bármely n ≥ n0 és bármely k ∈ N esetén
|an+1 + an+2 + ...+ an+k| ≤ ε.
5.3. KONVERGENCIAKRITÉRIUMOK 75
Bizonyítás 18 A tétel bizonyítása azon a tényen alapszik, hogy a rés-
zletösszegek sorozatára lehet alkalmazni a sorozatokra érvénye Cauchy-
féle konvergencia- kritériumot. Ennek értelmében a∞Pn=1
an sor akkor
és csakis akkor konvergens, ha (sn)n≥1 részletösszegek sorozata Cauchy-féle sorozat. Akkor létezik egy n0 ∈ N küszöbszám úgy, hogy bármely
n ≥ n0 esetén és bármely k ∈ N esetén |sn+k − sn| ≤ ε. Következéskép-
pen a∞Pn=1
an sor akkor és csakis akkor konvergens, ha létezik egy n0 ∈ Nküszöbszám úgy, hogy bármely n ≥ n0 esetén és bármely k ∈ N esetén
|an+1 + an+2 + ...+ an+k| ≤ ε.
5.3.2 Pozitív tagú sorok
Definíció 5.3.4 A∞Pn=1
an sor pozitív tagú sor, ha an > 0 bármely n ≥ 1esetén.
Tétel 5.3.5 (Korlátossági kritérium) A∞Pn=1
an pozitív tagú sor akkor
és csakis akkor konvergens, ha részletösszegeinek sorozata felülrol korlátos.
Bizonyítás 19 A pozitív tagú sor részletösszegeinek sorozata szigorúan
növekvo. Növekvo sorozat viszont pontosan akkor konvergens, ha felülrol
korlátos.
Definíció 5.3.6 A∞Pn=1
an pozitív tagú sornak a∞Pn=1
bn sor majoránsa, ha
minden n ∈ N esetén an ≤ bn. Ebben az esetben a∞Pn=1
an sor minoránsa a
∞Pn=1
bn sornak.
Tétel 5.3.7 (Majorálási kritérium) Ha∞Pn=1
an pozitív tagú sornak van
egy∞Pn=1
bn konvergens majoránsa, akkor a∞Pn=1
an is konvergens.
Bizonyítás 20 Ha a majoráns∞Pn=1
bn sor konvergens, akkor a rés-
zletösszegeinek sorozata korlátos. Mivel minden n ∈ N esetén an ≤ bn
76 FEJEZET 5. NUMERIKUS SOROK
következik, hogy az∞Pn=1
an sor részletösszegeinek sorozata is korlátos.
Ekkor a korlátossági kritérium alapján a∞Pn=1
an sor is konvergens.
A majorálási kritérium alapján megfogalmazhatjuk az alábbi diver-
genciát igazoló kritériomot.
Tétel 5.3.8 Ha∞Pn=1
an pozitív tagú sornak van egy∞Pn=1
bn divergens mi-
noránsa, akkor a∞Pn=1
an is divergens.
Bizonyítás 21 Ha a minoráns∞Pn=1
bn sor divergens, akkor a rés-
zletösszegek sorozatának határértéke +∞. Mivel minden n ∈ N esetén
bn ≤ an következik, hogy az∞Pn=1
an sor határértéke is +∞. Ekkor a∞Pn=1
an
sor is divergens.
Feladat. Tanulmányozzuk az α ∈ R paraméter függvényében a∞Pn=1
1nα
sor konvergenciáját.
Megoldás. Ha α ≤ 0, akkor 1nα
= n−α ≥ 1 bármely n ≥ 1 esetén.
Alkalmazva a 5.3.8 tételt és felhasználva azt a tényt, hogy a∞Pn=1
1 =
+∞, következik, hogy ebben az esetben a∞Pn=1
1nα= +∞.
Ha α ∈ (0, 1], akkor 1nα≥ 1
nbármely n ≥ 1 esetén. Alkalmazva
a 5.3.8 tételt és felhasználva azt a tényt, hogy a∞Pn=1
1n= +∞,
következik, hogy ebben az esetben a∞Pn=1
1nα= +∞.
Ha α > 1, akkor bármely n ∈ N esetén találunk olyan k ∈ N számot,
5.3. KONVERGENCIAKRITÉRIUMOK 77
amelyre 2k ≤ n < 2k+1. Ebben az esetben
sn = 1 +1
2α+1
3α+ ...+
1
nα
≤ 1 + 1
2α+1
3α+ ...+
1
nα+
1
(n+ 1)α+ ...+
1
(2k+1 − 1)α
= 1 +
µ1
2α+1
3α
¶+
µ1
4α+1
5α+1
6α+1
7α
¶+
+
µ1
8α+1
9α+
1
10α+
1
11α+
1
12α+
1
13α+
1
14α+
1
15α
¶+ ...
+
µ1
2kα+
1
(2k + 1)α + ...+
1
(2k+1 − 1)α¶
≤ 1 + 2 12α+ 4
1
4α+ 8
1
8α+ ...+ 2k
1
2kα
= 1 +1
2α−1+
µ1
2α−1
¶2+
µ1
2α−1
¶3+ ...+
µ1
2α−1
¶k=1− ¡ 1
2α−1¢k+1
1− 12α−1
≤ 1
1− 12α−1
.
Tehát bármely n ∈ N esetén az
sn ≤ 1
1− 12α−1
.
Ami azt jelenti, hogy a részletösszegek sorozata felülrol korlátos.
Következés- képpen ebben az esetben a∞Pn=1
1nα
sor konvergens.
Összefoglalva a különbözo eseteket az alábbi következtetésre jutunk:
∞Xn=1
1
nαsor
½divergens ha α ≤ 1,konvergens ha α > 1.
Tétel 5.3.9 (D’Alambert-féle hányadoskritérium) A pozitív tagú∞Pn=1
an sor konvergens, ha létezik q < 1 szám és egy n0 ∈ N küszöbindexúgy, hogy bármely n ≥ n0 esetén an+1
an≤ q < 1.
78 FEJEZET 5. NUMERIKUS SOROK
Bizonyítás 22 A feltétel értelmében
an0+1 ≤ an0q,an0+2 ≤ an0+1q ≤ an0q2,an0+3 ≤ an0+2q ≤ an0q3,
...
an0+k ≤ an0+k−1q ≤ an0qk.
Innen bármely n = n0 + k esetén következik, hogy
sn0+k ≤ an0³1 + q + q2 + ...+ qk
´+ a1 + a2 + ...+ an0−1
= +a1 + a2 + ...+ an0−1 + an01− qk+11− q
≤ +a1 + a2 + ...+ an0−1 + an01
1− q .
Ez azt jelenti, hogy a részletösszegek sorozata felülrol korlátos, ami a
korlátos- sági kritérium szerint a sor konvergenciáját eredményezi.
Figyelem! A konvergencia eldöntéséhez nem elég, ha csak annyit
tudunk, hogyan+1an
hányados 1-nél kisebb, hanem egy 1-nél kisebb q
számnál kell kisebbnek lennie.
A hányados kritérium alkalmazás szempontjából nagyon elonyös
felírását az alábbi tétel tartalmazza.
Tétel 5.3.10 A pozitív tagú∞Pn=1
an sornál, ha
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩lim
n→+∞an+1an
< 1 akkor a sor konvergens,
limn→+∞
an+1an
> 1 akkor a sor divergens,
limn→+∞
an+1an
= 1 akkor a sor lehet divergens is és konvergens is.
Bizonyítás 23 Ha a határérték kisebb mint 1, akkor találunk egy olyan
n0 ∈ N küszöbindexet, amelyre bármely n ≥ n0 esetén an+1an≤ q < 1. A
hányados kritérium alapján a sor konvergens.
Ha a határérték nagyobb mint 1, akkor találunk egy olyan n0 ∈ Nküszöbindexet, amelyre bármely n ≥ n0 esetén an+1
an> q > 1. A hányados
5.3. KONVERGENCIAKRITÉRIUMOK 79
kritérium bizonyításában szereplo q nagyobb lesz mint 1, tehát a sor ebben
az esetben divergens lesz.
A harmadik esetre példaul szolgálnak a∞Pn=0
1n(n+1)
és a∞Pn=0
1nsorok. Az
elobbi konvergens az utobbi pedig divergens.
Feladat. Vizsgáljuk meg a hányados kritériummal a∞Pn=0
n2nsor konver-
genciáját.
Megoldás. Számítjuk a következo határértéket:
limn→+∞
an+1
an= limn→+∞
n+12n+1
n2n
= limn→+∞
n+12n+1
n2n
=1
3< 0.
Mivel a határérték kisebb mint 1, következik, hogy a sor konvergens.
Tétel 5.3.11 (Caushy-féle gyökkritérium) A pozitív tagú∞Pn=1
an sor
konvergens, ha létezik q < 1 szám és egy n0 ∈ N küszöbindex úgy, hogy
bármely n ≥ n0 esetén n√an ≤ q < 1.
Bizonyítás 24 Mivel n√an ≤ q következik, hogy an ≤ qn. De q < 1 ezért
a∞Pn=1
qn sor konvergens. A majorálási kritérium alapján következik, hogy
az∞Pn=1
an is konvergens.
Hasonlóan mint a hányadoskritériumot ezt a kritériumot is fel lehet
írni egy kényelmesebb formába.
Tétel 5.3.12 A pozitív tagú∞Pn=1
an sornál, ha
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩lim
n→+∞n√an < 1 akkor a sor konvergens,
limn→+∞
n√an > 1 akkor a sor divergens,
limn→+∞
n√an = 1 akkor a sor lehet divergens is és konvergens is.
80 FEJEZET 5. NUMERIKUS SOROK
5.3.3 Váltakozó elojelu sorok
Definíció 5.3.13 Valamely (an)n≥1 számsorozatot akkor nevezzük vál-takozó elojelunek (alternálónak), ha bármely n ∈ N esetében an ·an+1 < 0.Az ilyen sorozatokból képzett sorokat váltakozó elojelu soroknak nevezzük.
Példák.∞Pn=1
(−1)n ,∞Pn=1
(−1)n 12n.
Tétel 5.3.14 (Leibniz kritérium váltakozó elojelu sorokra) Ha a∞Pn=1
an váltakozó elojelu sor tagjaiból képzett (|an|)n≥1 sorozat monoton
csökkeno és határértéke 0, akkor a∞Pn=1
an sor is konvergens.
Bizonyítás 25 Mivel a (|an|)n≥1 monoton csökkeno következik, hogy
|an+1| ≤ |an| bármely n ∈ N esetén. Feltételezzük, hogy az∞Pn=1
an sor
olyan váltakozó elojelu sor amelyben am < 0. Akkor bármely m ∈ N és
bármely páratlan n ∈ N esetén:nXk=1
am+k =
nXk=1
(−1)k+1 |am+k|
= |am+1|− (|am+2|− |am+3|)−− ...− (|am+n−1|− |am+n|)≤ |am|
Ha n páros, akkor
nXk=1
am+k =
nXk=1
(−1)k+1 |am+k|
= |am+1|− (|am+2|− |am+3|)−− ...− (|am+n−2|− |am+n−1|)− |an+m|≤ |am+1|
Tehát bármely n,m ∈ N eseténnPk=1
am+k ≤ |am|
5.3. KONVERGENCIAKRITÉRIUMOK 81
Másik szempontból bármely n,m ∈ N esetén, ha n páros, akkornXk=1
am+k =
nXk=1
(−1)k+1 |am+k|
= (|am+1|− |am+2|)++ ...+ (|am+n−1|− |an+k|)≥ 0.
Ha pedig n páratlan, akkor
nXk=1
am+k =
nXk=1
(−1)k+1 |am+k|
= (|am+1|− |am+2|)++ ...+ (|am+n−2|− |am+n−1|) + |am+k|≥ 0.
Összefoglalva az egésszet azt igazoltuk, hogy bármely n,m ∈ N esetén:
0 ≤nXk=1
am+k ≤ |am|
Most alkalmazzuk a Cauchy-féle konvergenciakritériumot. Mivel
limm→+∞ |am| = 0 következik, hogy bármely ε > 0 számra létezik egy n0 ∈ Nküszöbindex úgy, hogy |am| ≤ ε. Tehát bármely n,m ∈ N, m ≥ n0 esetén¯
¯nXk=1
am+k
¯¯ =
nXk=1
(−1)k+1 |am+k| ≤ |am| ≤ ε.
Ez azt jelenti, hogy a sor konvergens.
Feladat. Igazoljuk, hogy∞Pn=1
(−1)n 1nváltakozó elojelu harmonikus sor
konvergens.
Megoldás. A Leibniz kritérium alapján következik a kért tulajdonság,
mivel |an| =¯(−1)n 1
n
¯= 1
nsorozat csökkeno és határértéke 0.
82 FEJEZET 5. NUMERIKUS SOROK
5.4 Abszolút konvergens sorok
Amint már az elobb említettük a sorok összegét a valós szám összeadásá-
nak az általánosításaként értelmezzük. Azonnal feltevodik az a kérdés,
hogy az így értelmezett összegnek megvannak-e az összeadás alapveto tu-
lajdonságai. Az asszociativitás már láttuk, hogy konvergens sorok esetén
teljesül. Most azt fogjuk tanulmányozni, hogy a kommutativitás vajon
teljesül-e?
Ennek érdekében bevezetünk két fogalmat.
Definíció 5.4.1 A∞Pn=1
an sort abszolút konvregensnek nevezzük, ha
∞Pn=1
|an| sor konvergens.
Definíció 5.4.2 A∞Pn=1
an sort feltételesen konvregensnek nevezzük, kon-
vergens de nem abszolút konvergens.
Megjegyzés 5.4.3 A sorok halmazát három osztályra bonthatjuk:
1. divergens sorok,
2. feltételesen konvergens sorok,
3. abszolút konvergens sorok.
Ezen osztályok között az ábrán bemutott benfoglalási kapcsolat áll
fenn.
5.4. ABSZOLÚT KONVERGENS SOROK 83
Tétel 5.4.4 Bármely abszolút konvergens sor konvergens.
Bizonyítás 26 A Cauchy-féle konvergenciakritériumból azonnal
következik az állítás.
Ezután azt vizsgáljuk meg, hogy a konvergens sorokat át lehet-e ren-
dezni úgy, hogy sem a sor konvergens volta, sem a sor összege ne vál-
tozzék. Abszolút konvergens sor esetében ez megteheto, de feltételesen
konvergens sorok esetében a sor átrendezheto úgy, hogy összege egy már
elozoen megválasztott valós szám legyen.
Definíció 5.4.5 Azt mondjuk, hogy∞Pn=1
bn sor a∞Pn=1
an sor egy átren-
dezése, ha létezik olyan p : N→ N bijektív függvény, amelyre
∞Xn=1
bp(n) =
∞Xn=1
an.
Példa.∞Pn=1
an egy átrendezése az (a1 + a3 + a2 + a4 + a5 + a7 + a6 + a8 + ...)
sor
Tétel 5.4.6 Ha a∞Pn=1
an sor abszolút konvergens, akkor bármely átren-
dezése abszolút konvergens és ugyanaz az összege.
84 FEJEZET 5. NUMERIKUS SOROK
Tétel 5.4.7 (Riemann) Ha a∞Pn=1
an sor feltételesen konvergens, akkor
minden a ∈ R számhoz lehet találni egy olyan∞Pn=1
bn átrendezését a sornak,
amelyre∞Pn=1
bn = a. Az∞Pn=1
an sornak vannak olyan átrendezései is amelyek
divergensek.
Feladat. Adjuk meg a∞Pn=1
(−1)n−1 (1/n) feltételesen konvergens sornakegy olyan átrendezését, amelyre a sor összege az eredeti sor összege
1 legyen.
Megoldás. Az utóbbi tétel bizonyítása alapján szerkesztjük az olyan
sorokat, amelyeknek a határértéke egy adott szám. A szerkesztés
a következo ötlet alapján történik. Az elso lépésben adjuk össze
az elofordulásuk sorrendjében annyi pozitív tagot, hogy az összeg
csak az utolsó tag hozzá- adásával emelkedjék a megadott szám fölé.
Jelöljük a ennél a lépésnél összeadott tagok számát k1-el. Ugyankkor
kezdjük el egy p : N→ N sorozat értelmezését úgy, hogy p1, p2, ..., pk1értékeknek rendre az ebben az elso lépésben összeadott tagok indexét
vesszük. A második lépésben az elozo összeghez adjunk hozzá an-
nyi negatív tagot az elofordulásuk sorrendjében, hogy csak az utolsó
tag hozzáadásakor kerüljünk a megadott szám alá. Folytassuk a p
sorozat értelmezését úgy, hogy a pk1+1, pk1+2, ..., pk2 értékeknek ren-
dre a második lépésben vett tagok indexeit vesszük. A második
lépés után a megadott szám alá kerültünk. Folytassuk az eljárást az
elso lépéshez hasonlóan addig amíg a megadott szám fölé kerülünk,
majd a második lépéshez hasonlóan addig amíg megint a szám alá
kerülünk. Ezt a gondolatmenetet alkalmazva eljutunk egy összeghez,
amely váltakozva hol nagyobb, hol kisebb a megadott számnál. Iga-
zolni lehet, hogy az így kapott összeg határértéke a kért szám.
A leírt ötlet alapján szerkesztjük azt a sort amelynek határértéke 1.
Legyen p : N→ N, egy olyan sorozat, amelyre az alábbi sorozatotkapjuk:
∞Xn=1
(−1)pn−1 (1/pn) = 1+ 13− 12+1
5− 14+1
7+1
9− 16+1
11+1
13+ ...
5.4. ABSZOLÚT KONVERGENS SOROK 85
Ennek a sornak azért lessz az összege 1, mert
s2 =1
3> 1, s3 =
5
6< 1, s4 =
31
30> 1, s5 =
47
60< 1, s6 =
389
420< 1,
s7 =1307
1260> 1, s8 =
1097
1260< 1, s9 =
13 327
13 860< 1, s10 =
187 111
180 180> 1, ... .
A felírt szabály alapján:
p1 = 1, p2 = 3, p3 = 2, p4 = 5, p5 = 4,
p6 = 7, p7 = 9, p8 = 6, p9 = 11, p10 = 13, ...
86 FEJEZET 5. NUMERIKUS SOROK
Fejezet 6
Függvények határértéke és
folytonossága
6.1 Elozmények
A matematikában és alkalmazásaiban többféle határértéktipussal ta-
lalkozhatunk. Közülük egyikkel, a számsorozatok határértékével az elozo
órákon már foglalkoztunk.
Ezen az órán a függvények pontbeli határértékét és folytonosságát vizs-
gáljuk. Kiiindulunk a függvény adott pontban vett határértékébol majd
értelmezzük a függvény pontbeli folytonosságát. Megjegyezzük, hogy a
fordított út is járható és a két út tudományos szempontból egyenértéku.
6.2 Valós-valós függvények pontbeli határértéke
A pontbeli folytonosság illetve határérték rokon fogalmak, de nem
egyenértékuek. Az elobbi egyszerubb és természetesebb, az utóbbi tradi-
cióból elterjedtebb.
Mielott értelmeznénk a pontbeli határértéket vizsgáljuk meg az alábbi
függvé- nyek viselkedését az x0 = 1 pont körül: f : R\ 1→ R,f (x) = 1
1−x . Ennek érdekében készítsünk egy értéktáblázatot az x0 körüliértékekre
x 0.5 0.8 0.9 0.009 0.00009 1.00001 1.001 1.1 1.2 1.5
f (x) 2 5 10 −1000 100000 −100000 −1000 −10 −5 −2
87
88 FEJEZET 6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE
Amint a táblázatból is látható, minnél közelebb kerülünk az 1-hez,
abszolútértékben annál nagyobb függvényértékeket kapunk. Grafiku-
san ábrázolva még szembeötlobb, hogy amint tartunk az 1-hez a füg-
gvényértékek abszolútérték- ben tartnak a végtelenhez. De mi a biztosíték
arra, hogy a sejtésünk helyes? További numerikus kísérletezéssel megerosí-
thetjük feltételezésünket, de nem készíthetünk olyan táblázatot, amely az
összes 1-hez közeli x értéket tartalmazza. Tehát szimpla numerikus szá-
molással nem tudjuk biztosan meghatározni a határértéket. Innen ered a
határérték megtalálására szolgáló szigorú eljárás szükségszerusége.
A határérték szigorú értelmezése feltételezi néhány alapvetõ topológiai
fogalom bevezetését. Ezeket soroljuk fel a következõkben.
Definíció 6.2.1 Az A ⊆ R halmaznak az x0 egy belso pontja, ha létezikegy olyan ε > 0 szám, amelyre (x0 − ε, x0 + ε) ⊆ A. Az A halmaz belsõ
pontjainak halmazát Å szimbolummal jelöljük.
Definíció 6.2.2 Az A ⊆ R halmaz nyílt, ha A =Å.
Megjegyzés 6.2.3 Tulajdonképpen egy halamz akkor nyílt, ha felírható
mint véges vagy végtelen számú nyílt intervallum egyesítése.
Definíció 6.2.4 Az A ⊆ R halmaz zárt, ha A egy nyílt halmaz kiegészítõhalmaza.
Megjegyzés 6.2.5 Tulajdonképpen egy halamz akkor zárt, ha felírható
mint véges számú zárt intervallum egyesítése.
Definíció 6.2.6 Az A ⊆ R halmaznak az x0 ∈ R egy torlódási pontja,
ha bármely ε > 0 számra az (x0 − ε, x0 + ε) intervallumnak van A-val az
x0-tól különbözo közös pontja. Az A halmaz torlódási pontjainak halmazát
A jelöljük.
Definíció 6.2.7 Az A ⊆ R halmaznak a +∞ torlódási pontja, ha létezik
egy p ∈ R szám úgy, hogy bármely x > p esetén x ∈ A.
Definíció 6.2.8 Az A ⊆ R halmaznak a −∞ torlódási pontja, ha létezik
egy q ∈ R szám úgy, hogy bármely x < q esetén x ∈ A.
Definíció 6.2.9 Az A ⊆ R halmaznak az x0 ∈ A egy izolált pontja, ha
létezik olyan ε > 0 szám, amelyre (x0 − ε, x0 + ε) ∩A = x0 .
6.2. PONTBELI HATÁRÉRTÉK 89
Definíció 6.2.10 Azx0 ∈ R számnak a V ⊆ R halmaz környezete, ha x0belsõ pontja a V -nek. Az x0 környezeteinek halmazát V (x0)-val jelöljük.
Definíció 6.2.11 Az V ⊆ R halmaz a +∞ egy környezete, ha +∞ tor-
lódási pontja a V -nek.
Definíció 6.2.12 Az V ⊆ R halmaz a −∞ egy környezete, ha −∞ tor-
lódási pontja a V -nek.
Definíció 6.2.13 Tekintsük az f : A→ R (A ⊆ R) függvényt és az x0 ∈R véges vagy végtelen torlódási pontját az A halmaznak . Azt mondjuk,
hogy az f függvénynek az x0 pontban a határértéke l ∈ R- ami lehet végesvagy végtelen , ha az l minden V környezetének megfelel az x0 egy olyan
U környezete, hogy bármely x ∈ A ∩ U, x 6= x0 esetén f (x) ∈ V.
Az ε-os nyelvezet segítségével is lehet értelmezni a határérték fogalmát,
csak akkor külön-külön minden olyan esetet le kell tárgyalni, amikor vagy
az x0 vagy az l véges végtelen.
Ezeket az eseteket az alábbi tételbe foglaljuk össze.
Tétel 6.2.14 1. Tekintsük az f : A → R függvényt és az x0 ∈ R tor-lódási pontját az A halmaznak. Azt mondjuk, hogy az f függvénynek
az x0 pontban a határértéke l ∈ R, ha minden ε > 0 számra találunk
egy olyan δ > 0 küszöbszámot, hogy bármely x ∈ A \ x0 esetén,ha |x− x0| < δ, akkor |f (x)− l| < ε. Az f függvénynek x0 beli
határértékét a limx→x0
f (x) szimbolummal jelöljük.
2. Tekintsük az f : A→ R függvényt és az x0 ∈ R torlódási pontját azA halmaznak. Azt mondjuk, hogy az f függvénynek az x0 pontban a
határértéke +∞, ha minden p > 0 számra találunk egy olyan δ > 0
küszöbszámot, hogy bármely x ∈ A \ x0 esetén, ha |x− x0| < δ,
akkor f (x) > p. Eben az esetben limx→x0
f (x) = +∞ jelölést használjuk.
3. Tekintsük az f : A→ R függvényt és az x0 ∈ R torlódási pontját azA halmaznak. Azt mondjuk, hogy az f függvénynek az x0 pontban a
határértéke −∞, ha minden q < 0 számra találunk egy olyan δ > 0
küszöbszámot, hogy bármely x ∈ A \ x0 esetén, ha |x− x0| < δ,
akkor f (x) < q. Eben az esetben limx→x0
f (x) = −∞ jelölést használjuk.
90 FEJEZET 6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE
4. A +∞ torlódási pontja az A halmaznak, ha létezik egy olyan p
küszöbbszám, hogy minden x > p szám az A halmaznak eleme legyen.
5. A −∞ torlódási pontja az A halmaznak, ha létezik egy olyan q
küszöbbszám, hogy minden x < q szám az A halmaznak eleme legyen.
6. Tekintsük az f : A → R függvényt és +∞ torlódási pontját az
A halmaznak. Azt mondjuk, hogy az f függvénynek a +∞-ben ahatárértéke l ∈ R, ha minden ε > 0 számra találunk egy olyan
p > 0 küszöbszámot, hogy bármely x ∈ A esetén, ha x > p, akkor
|f (x)− l| < ε. Eben az esetben limx→+∞ f (x) = l jelölést használjuk.
7. Tekintsük az f : A → R függvényt és −∞ torlódási pontját az
A halmaznak. Azt mondjuk, hogy az f függvénynek a −∞-ben ahatárértéke l ∈ R, ha minden ε > 0 számra találunk egy olyan
q < 0 küszöbszámot, hogy bármely x ∈ A esetén, ha x < q, akkor
|f (x)− l| < ε. Eben az esetben a limx→−∞ f (x) = l jelölést
használjuk.
8. Tekintsük az f : A → R függvényt és +∞ torlódási pontját az
A halmaznak. Azt mondjuk, hogy az f függvénynek a +∞-ben ahatárértéke +∞, ha minden ε > 0 számra találunk egy olyan p > 0
küszöbszámot, hogy bármely x ∈ A esetén, ha x > p, akkor f (x) > ε.
Eben az esetben a limx→+∞ f (x) = +∞ jelölést használjuk.
9. Tekintsük az f : A → R függvényt és +∞ torlódási pontját az
A halmaznak. Azt mondjuk, hogy az f függvénynek a +∞-ben ahatárértéke −∞, ha minden ε < 0 számra találunk egy olyan p > 0
küszöbszámot, hogy bármely x ∈ A esetén, ha x > p, akkor f (x) < ε.
Eben az esetbena limx→+∞ f (x) = −∞ jelölést használjuk.
10. Tekintsük az f : A → R függvényt és −∞ torlódási pontját az
A halmaznak. Azt mondjuk, hogy az f függvénynek a −∞-ben ahatárértéke +∞, ha minden ε > 0 számra találunk egy olyan q < 0
küszöbszámot, hogy bármely x ∈ A esetén, ha x < q, akkor f (x) > ε.
Eben az esetben limx→−∞ f (x) = +∞ jelölést használjuk.
11. Tekintsük az f : A → R függvényt és −∞ torlódási pontját az
A halmaznak. Azt mondjuk, hogy az f függvénynek a −∞-ben a
6.2. PONTBELI HATÁRÉRTÉK 91
határértéke −∞, ha minden ε < 0 számra találunk egy olyan q < 0
küszöbszámot, hogy bármely x ∈ A esetén, ha x < q, akkor f (x) < ε.
Eben az esetben limx→−∞ f (x) = −∞ jelölést használjuk.
Bizonyítás 27 A tétel minden esetének a bizonyítása hasonló gondo-
latmenetet igényel. Példaként megadjuk a véges pontban véges határérték
(1.) esetére az igazolást. Ha kiindulunk 6.2.13 értelmezésbeli állításból,
és felhasználva azt a tényt, hogy minden ε > 0 számra az (l − ε, l + ε)
környezete az l-nek, akkor az állítás szerint létezik egy olyan U környezete
az x0-nak, hogy bármely x ∈ A ∩ U, x 6= x0 esetén f (x) ∈ (l − ε, l + ε) .
Mivel U környezete az x0 következik, hogy létezik egy δ > 0 szám úgy,
hogy (x0 − δ, x0 + δ) ⊆ U. Az így megválasztott δ-ra teljesül az 6.2.14 (1.)esetére megadott feltétel.
Fordítva: kiindulunk a6.2.14 tétel (1.) esetében megfogalmazott ál-
lításból és ol és igazoljuk a 6.2.13 értelmezésbeli állítást. Legyen V egy
környezete az l-nek. Akkor a környezet értelmezése alapján létezik egy
ε > 0 szám úgy, hogy (l − ε, l + ε) ⊆ V . A 6.2.14 -bõl következik, hogy
létezik egy δ > 0 küszöbbszám, amelyre, ha x ∈ A∩ (x0 − δ, x0 + δ)\x0 ,akkor f (x) ∈ (l − ε, l + ε) ⊆ V. Választva az U = (x0 − δ, x0 + δ)
környezetét az x0-nak megkapjuk a 6.2.13 értelmezésbeli állítást szük-
ségességét.
Megjegyzés 6.2.15 Mivel a 6.2.13 értelmezés egyenértékü a 6.2.14 tétel-
lel, ezért ebben a tételben megfogalmazott kijelentésket lehet tekinteni úgy
is mint az adott függvény x0 pontbeli határértékének az értelmezése.
Tétel 6.2.16 Ha valamely függvénynek van határértéke egy adott pont-
ban, akkor ez a határérték egyértelmu.
Bizonyítás 28 Csak a véges esetet igazoljuk. Feltételezzük, hogy két
különbözo l1 < l2 határértéke van. Legyen ε = (l2 − l1) /3. Akkor létezneka δ1, δ2 > 0 küszöbszámok úgy, hogy bármely x ∈ A \ x0 esetén,ha |x− x0| < min δ1, δ2, akkor |f (x)− l1| < ε és |f (x)− l2| < ε.
Következésképpen 3ε = |l2 − l1| ≤ |f (x)− l2|+ |f (x)− l1| < 2ε. Ami
ellentmondás, tehát a függvénynek egy adott pontban csak egy határértéke
lehet. Minden más esetben a bizonyítás hasonló.
A függvény pontbel határértékét sorozatok segítségével is értelmezhet-
nénk. Ezt az értelmezést adjuk meg az alábbiakban.
92 FEJEZET 6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE
Tétel 6.2.17 Tekintsük az f : A → R (A ⊆ R) függvényt és az x0 ∈ Rvéges vagy végtelen torlódási pontját az A halmaznak . Akkor lim
x→x0f (x) =
l ∈ R akkor és csakis akkor, ha bármely (xn)n≥1 olyan számsorozat esetén,amelyre xn ∈ A\x0 és lim
n→+∞xn = x0 következik, hogy limn→+∞ f (xn) = l.
Bizonyítás 29 Legyen limx→x0
f (x) = l , (xn)n≥1 olyan számsorozat , ame-
lyre xn ∈ A \ x0 és limn→+∞xn = x0, és V egy környezete az l-nek.
A feletevés alapján létezik egy olyan U környezete az x0-nak amelyre
bármely x ∈ U ∩ A \ x0 , f (x) ∈ V. Mivel limn→+∞xn = x0 következik,
hogy létezik egy olyan n0 ∈ N küszöbindex, hogy bármely n ≥ n0 eseténxn ∈ U ∩ A \ x0 . Következésképpen f (xn) ∈ V. Ami éppen azt jelenti,hogy lim
n→+∞ f (xn) = l.
Fordítva. Feltételezzük, hogy bármely (xn)n≥1 olyan számsorozat es-etén, amelyre xn ∈ A \ x0 és lim
n→+∞xn = x0 akkor limn→+∞ f (xn) = l,
de limx→x0
f (x) 6= l. Akkor van egy olyan V környezete az l-nek, amelyre
bármely U környezetét vesszük az x0-nak létezik olyan x ∈ U ∩ A \ x0, amelyre f (x) /∈ V. Elore vesszük azt az esetet, amikor x0 véges és
legyen Un =¡x0 − 1
n, x0 +
1n
¢,ahol n ≥ 1 egy kornyezete az x0-nak.
Akkor a feletevés alapján létezik egy olyan xn-el jelölt szám, amelyre
xn ∈ Un ∩ A \ x0 és f (xn) /∈ V. Mivel xn ∈ Un ∩ A \ x0 következik,hogy |xn − x0| < 1
n, tehát lim
n→+∞xn = x0. Akkor limn→+∞ f (xn) = l.
Következésképpen kell létezzen egy olyan n0 ∈ N küszöbindex, hogy bármelyn ≥ n0 esetén f (xn) ∈ V . Ami elleentmond a feltevésnek, tehát
limx→x0
f (x) = l .
Ha x0 = +∞, akkor a bizonyítás telejesen hasonló, csak ebben azesetben Un = (n,+∞) . Ha pedig x0 = −∞, akkor Un = (−∞,−n) .
Megjegyzés 6.2.18 A pontbeli határértékekkel kapcsolatos tulajdonsá-
gok vizsgálatára leggyakrabban az utobbi tételben megfogalmazott feltételt
használjuk, ezért ez tekintheto úgy is mint a függvény pontbeli
határértékének egy másik értelmezése.
6.3. JOBB ÉS BAL OLDALI HATÁRÉRTÉK 93
6.3 Jobb és bal oldali határérték
Számítási szempontból az eggyik legalapvetobb tulajdonság a
határértékkel kapcsolatosan, a jobb és bal oldali határértékek fogalmával
fogható meg.
Definíció 6.3.1 Tekintsük az f : A → R ( A ⊆ R) függvényt, legyenx0 az A1 = A ∩ (−∞, x0) egy torlódási pontja. Az f függvény bal
oldali határértéke az x0 pontban lb, ha lb az f függvény A1 halmazra való
leszukítésének határértéke az x0 pontban. Ebben az esetben a bal oldali
határértékre a következo jelöléseket használjuk:
lb = limx→x0x<x0
f (x) = limx%x0
f (x) = f (x0 − 0)
Definíció 6.3.2 Tekintsük az f : A → R ( A ⊆ R) függvényt, legyenx0 az A1 = A ∩ (x0,+∞) egy torlódási pontja. Az f függvény jobb
oldali határértéke az x0 pontban lj, ha lj az f függvény A1 halmazra való
leszukítésének határértéke az x0 pontban. Ebben az esetben a jobb oldali
határértékre a következo jelöléseket használjuk:
lb = limx→x0x>x0
f (x) = limx&x0
f (x) = f (x0 + 0)
Tétel 6.3.3 Tekintsük az f : A → R ( A ⊆ R) függvényt, legyen x0 egytorlódási pontja az A-nak, hogy az x0-ban létezzék a függvény bal és jobb
oldali határértéke. Akkor a következo két állítás egyenértéku:
1. a függvénynek van határértéke az x0-ban;
2. f (x0 − 0) = f (x0 + 0) .
Bizonyítás 30 1. ⇒ 2. Ha limx→x0
f (x) = l, akkor nyilvánvaló, hogy
f (x0 − 0) = f (x0 + 0) = l2.⇒ 1. Feltételezzük, hogy f (x0 − 0) = f (x0 + 0) = l. Igazoljuk, hogy
limx→x0
f (x) = l. Ebbol a célból legyen V egy környezete az l-nek. A 2.
feltételbol következik, hogy léteznek az U1, U2 környezetei az x0-nak úgy,
hogy bármely x ∈ U1 ∩ A ∩ (−∞, x0) és y ∈ U2 ∩ A ∩ (x0,+∞) eseténf (x) ∈ V, f (y) ∈ V. Vegyük U = U1 ∩ U2 környezetét az x0-nak. Akkorbármely x ∈ U1 ∩ U2 ∩ A \ x0 esetén x ∈ U1 ∩ A ∩ (−∞, x0) vagy
94 FEJEZET 6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE
x ∈ U2 ∩ A ∩ (x0,+∞) . Következésképpen f (x) ∈ V. Ami egyben azt isjelent, hogy lim
x→x0f (x) = l.
A sorozatoknál megismert eredmények hasonló eredményhez vezetnek
a függvé- nyek határértéke estén is.
Tétel 6.3.4 Tekintsük az f : A→ R és g : A→ R( A ⊆ R) függvényeket,legyen x0 véges vagy végtelen torlódási pontja az A-nak. Ha léteznek és
végesek a limx→x0
f (x) , limx→x0
g (x) határértékek, akkor
1. limx→x0
[f (x) + g (x)] = limx→x0
f (x) + limx→x0
g (x) ;
2. limx→x0
[f (x) · g (x)] = limx→x0
f (x) · limx→x0
g (x) ;
3. Bármely λ ∈ R szám esetén limx→x0
[λf (x)] = λ limx→x0
f (x) ;
4. Ha van az x0 pontnak egy olyan U környezete, amelyre g (x) 6= 0 éslimx→x0
g (x) 6= 0, akkor limx→x0
[f (x) /g (x)] = limx→x0
f (x) / limx→x0
g (x) ;
Bizonyítás 31 Példaként igazoljuk, az elso tulajdonságot. Mivel
limx→x0
f (x) = l1, limx→x0
g (x) = l2 következik, hogy bármely (xn)n≥1 sorozat
esetén, ha limn→+∞xn = x0 akkor lim
n→+∞ f (xn) = l1, limn→+∞ g (xn) =
l2. A sorozatoknál leírt tulajdonság alapján limn→+∞ [f (xn) + g (xn)] =
limn→+∞ f (xn) + lim
n→+∞ g (xn) = l1 + l2.
Teljesen hasonlóan igazoljuk a többi tulajdonságot is.
6.4 Függvények aszimptotái
6.4.1 Vízszintes és függoleges azimptóták
Definíció 6.4.1 Tekintsük egy olyan f : A → R függvényt, amelynek a
+∞ torlódási pontja. Ha limx→+∞ f (x) = l és l véges szám, akkor azt mond-
juk, hogy a függvénynek a +∞-ben az y = l egyenletu egyenes vízszintes
aszimptotája.
6.4. FÜGGVÉNYEK ASZIMPTOTÁI 95
Definíció 6.4.2 Tekintsük egy olyan f : A → R függvényt, amelynek a
−∞ torlódási pontja. Ha limx→−∞ f (x) = l és l véges szám, akkor azt mond-
juk, hogy a függvénynek a −∞-ben az y = l egyenletu egyenes vízszintes
aszimptotája.
Definíció 6.4.3 Tekintsük egy olyan f : A → R függvényt, amelynek a
x0 ∈ R torlódási pontja. Ha limx%x0
f (x) = ±∞ , akkor azt mondjuk, hogy a
függvénynek az x = x0 egyenletu egyenes bal oldali függoleges aszimptotája.
96 FEJEZET 6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE
Definíció 6.4.4 Tekintsük egy olyan f : A → R függvényt, amelynek
a x0 ∈ R torlódási pontja. Ha limx&x0
f (x) = ±∞ , akkor azt mondjuk,
hogy a függvénynek az x = x0 egyenletu egyenes jobb oldali függoleges
aszimptotája.
6.4.2 Ferde aszimptoták
Definíció 6.4.5 Tekintsük egy olyan f : A → R függvényt, amelynek a
+∞ torlódási pontja. Az y = mx+ n ( m 6= 0, n ∈ R) egyenletu egyenesa +∞-ben ferde aszinptotája az f-nek, ha lim
x→+∞ |f (x)−mx− n| = 0.
Definíció 6.4.6 Tekintsük egy olyan f : A → R függvényt, amelynek a
−∞ torlódási pontja. Az y = mx+ n ( m 6= 0, n ∈ R) egyenletu egyenesa −∞-ben ferde aszinptotája az f-nek, ha lim
x→−∞ |f (x)−mx− n| = 0.
6.5. PONTBELI HATÁRÉRTÉK KISZÁMÍTÁSA 97
Tétel 6.4.7 Tekintsük egy olyan f : A → R függvényt, amelynek a +∞torlódási pontja. Az y = mx+n ( m 6= 0, n ∈ R) egyenletu egyenes a +∞-ben ferde aszinptotája az f-nek, ha lim
x→+∞f(x)x= m és lim
x→+∞ f (x)−mx =n.
Bizonyítás 32 limx→+∞ |f (x)−mx− n| = 0 egyenértéku azzal, hogy
limx→+∞ (f (x)−mx− n) = 0 (6.1)
vagy
limx→+∞x
µf (x)
x−m− n
x
¶= 0,
ahonnan szükségszeru, hogy
limx→+∞
µf (x)
x−m− n
x
¶= 0.
Tehát ebben az esetben
limx→+∞
µf (x)
x
¶= m,
és akkor (6.1) összefüggés alapján limx→+∞ (f (x)−mx) = n.
6.5 Függvények pontbeli határértékének
kiszámítása
1. Polinomfüggvény határértéke. Ha P (x) =nPk=0
akxk, ak ∈ R, an 6= 0
polinomfüggvény, akkor bármely x0 ∈ R (véges vagy végtelen) számesetén
limx→x0
P (x) = P (x0) .
98 FEJEZET 6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE
Példák. limx→1
¡4x2 + 3x− 1¢ = 6, lim
x→∞¡x2 − 1¢ = +∞,
2. Racionális függvény határértéke.Ha P és Q polinomfüggvények és
Q (x0) 6= 0, akkorlimx→x0
P (x)
Q (x)=P (x0)
Q (x0).
Példák. limx→1
4x+1x+2
= 53, limx→3
2x7+1x2−5 =
43754, limx→−∞
x4+1x2+2
= +∞.
Ha Q (x0) = 0, akkor külön tanulmányozás szükséges. Éspedig, ha
P (x0) 6= 0, akkor bal és jobb oldali határértékeket kell számítani,
amelyek alapján kapjuk, hogy
limx%x0
P (x)
Q (x)= ±∞és lim
x&x0P (x)
Q (x)= ±∞.
Példák. limx→1
1x−1 . Mivel az 1/0 esethez jutunk ki kell számítani a
bal és jobb oldali határértékeket:
limx%1
1
x− 1 = −∞és limx&11
x− 1 = +∞.
A határérték nem létezik mivel a bal és jobb oldali határértékek
különbözok.
limx→1
1
(x−1)2 . Mivel az 1/0 esethez jutunk ki kell számítani a balés jobb oldali határértékeket:
limx%1
1
(x− 1)2 = +∞ées limx&11
(x− 1)2 = +∞.
Tehát
limx→1
1
(x− 1)2 = +∞
Ha Q (x0) = P (x0) = 0, akkor addig egyszerusítünk x−x0-val, amígaz elozo két eset valamelyikéhez nem jutunk.
Példák.
limx→1
x2 − 1x− 1 = lim
x→1(x− 1) (x+ 1)
x− 1 = limx→1
(x+ 1)
1= 2;
6.5. PONTBELI HATÁRÉRTÉK KISZÁMÍTÁSA 99
limx→3
x3 − 9x2 + 27x− 27x3 − 27 = lim
x→3(x− 3)3
(x− 3) (x2 + 3x+ 9)
= limx→3
(x− 3)2(x2 + 3x+ 9)
= 0.
Ha x0 = ±∞, akkor a határértéket úgy számoljuk mint a soroza-toknál.
3. Gyökfüggvény határértéke. Ha n egy páratlan, 2-nél nagyobb ter-
mészetes szám, akkor bármely x0 ∈ R pontban.
limx→x0
n√x = n
√x0;
limx→+∞
n√x = +∞;
limx→−∞
n√x = −∞.
Ha n egy páros, 1-nél nagyobb természetes szám, akkor bármely
x0 ∈ R+ pontban.
limx→x0
n√x = n
√x0;
limx→+∞
n√x = +∞;
limx&0
n√x = 0.
100 FEJEZET 6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE
Példák. limx→2√x2 + 1 =
√5; lim
x→−33√x3 − 1 = −28;
limx→0
√x2 + 1−√1− x2
x
= limx→0
³√x2 + 1−√1− x2
´³√x2 + 1 +
√1− x2
´x³√x2 + 1 +
√1− x2
´= limx→0
x2 + 1 + x2 − 1x³√x2 + 1 +
√1− x2
´= limx→0
2x2
x³√x2 + 1 +
√1− x2
´= limx→0
2x³√x2 + 1 +
√1− x2
´ = 0.4. Exponenciális függvény határértéke.Legyen a > 0, a 6= 1. Akkor
bármely x0 ∈ R esetén
limx→x0
ax = ax0 ,
limx→+∞a
x =
½+∞ ha a > 1,
0 ha 0 < a < 1,
limx→−∞a
x =
½0 ha a > 1,
+∞ ha 0 < a < 1.
limx→2
3x = 9; limx→−∞ 5
x = 0; limx→0
¡12
¢x= 1;
5. Hiperbolikus függvények határértéke. a szinuszhiperbolikus füg-
gvényt sh-val jelöljük és így értelmezzük:sh : R→ R,
sh (x) =ex − e−x
2;
a koszinuszhiperbolikus függvényt ch-val jelöljük és így értelmezzük:
ch : R→ R,
ch (x) =ex + e−x
2;
6.5. PONTBELI HATÁRÉRTÉK KISZÁMÍTÁSA 101
a tangenshiperbolikus függvényt th-val jelöljük és így értelmezzük:
th : R→ R,
th (x) =sh (x)
ch (x).
Bármely x0 ∈ R eseténlimx→x0
sh (x) = sh (x0) ;
limx→x0
ch (x) = ch (x0) ;
limx→x0
th (x) = th (x0) ;
limx→+∞ sh (x) = +∞;lim
x→−∞ sh (x) = −∞;lim
x→+∞ ch (x) = +∞;lim
x→−∞ sh (x) = +∞;
Példák. limx→0
sh (x) = sh (0) = 0; limx→0
ch (x) = ch (0) = 1.
6. Logaritmusfüggvény határértéke. Legyen a > 0, a 6= 1. Bármely
x0 > 0 szám esetén:
limx→x0
loga x = loga x0;
limx&0
loga x =−∞ ha a > 1,
+∞ ha 0 < a < 1,
limx→+∞ loga x =
+∞ ha a > 1,
−∞ ha 0 < a < 1.
Példák. limx→1
lnx = 1; limx→0
log1/2 x =∞;
7. Trigonometriai függvények határértéke. Legyen x0 ∈ R.limx→x0
sinx = sin (x0) ;
limx→x0
cosx = cos (x0) ;
limx→x0
tanx = tan (x0) , ha x = (2k + 1)π
2, k ∈ Z;
limx→x0
cotx = cot (x0) , ha x = kπ, k ∈ Z;
102 FEJEZET 6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE
Mivel ezek a függvények periódikusak, ezért ±∞-ben nincs
határértékük.
limx%(2k+1)π
2
tanx = +∞, ha k ∈ Z;
limx&(2k+1)π
2
tanx = −∞, ha k ∈ Z;
limx%kπ
cotx = −∞, ha k ∈ Z;
limx&kπ
cotx = +∞, ha k ∈ Z.
Egy nagyon fontos határérték következik:
limx→0
sinx
x= 1.
Ezt az összefüggést igazoljuk is.
Bizonyítás 33 Elore készítsük el a következo ábrát, mivel ez segít
a gondolatmenet megértésében.
Az OAC∆ területe kisebb mint az OACkorcikk területe s ez kisebb
mint az OAB∆ területe. Tehát
1
2sinx ≤ 1
2x ≤ 1
2tanx, ha 0 < x <
π
2.
6.5. PONTBELI HATÁRÉRTÉK KISZÁMÍTÁSA 103
Az egyenloséget megszorozva 2sinx
-el kapjuk:
1 ≤ x
sinx≤ cosx.
Az egyenlotlenség igaz akkor is, ha −π2< x < 0 a cos és az f :¡−π
2, π2
¢ \ 0→ R, f (x) = xsinx
páros függvények. Tehát
1
cosx≤ sinx
x≤ 1, ha x ∈
³−π2,π
2
´\ 0
Ha mos veszünk egy olyan (xn)n≥1 sorozatot, amelynek a határértéke0, de xn 6= 0, akkor a sorozat tagjai egy bizonyos n0 ∈ N küszöbindex-tol kezdve a
¡−π2, π2
¢intervallumban lesznek. Következésképpen
1
cosxn≤ sinxn
xn≤ 1 , bármely n ≥ n0 esetén.
Határértékre térve kapjuk:
limn→+∞
1
cosxn≤ limn→+∞
sinxn
xn≤ 1, vagyis
1 ≤ limn→+∞
sinxn
xn≤ 1.
A 6.2.17 tétel alapján akkor a limx→0
sinxx= 1.
Példák.
limx→0
sin 3x
x= limx→0
sin 3x
3x
3x
x= 3 lim
x→0sin 3x
3x= 3;
limx→0
1− cosxx2
= limx→0
2 sin2 x2
x2= 2 lim
x→0
µsin x
2
x
¶2= 2 lim
x→0
µsin x
2x2
x2
x
¶2= 2 lim
x→0
µsin x
2x2
1
2
¶2= 2
1
4limx→0
µsin x
2x2
¶2=1
2.
8. e-s határérték. Az e szám értelmezésébol könnyen kapjuk, hogy
limx→+∞
µ1 +
1
x
¶x= e.
104 FEJEZET 6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE
Az x = 1/y helyettesítéssel kapjuk
limy→0
(1 + y)1y = e.
9. Más az e számhoz tarttozó határértékek.
limx→0
ln (1 + x)
x= 1,
mivel limx→0
ln(1+x)x
= limx→0
ln (1 + x)1x = ln e = 1.
limx→0
ax − 1x
= ln a, ha a > 0és a 6= 1,
mivel limx→0
ax−1x
= limu→0
u ln aln(1+u)
= ln a limu→0
uln(1+u)
= ln a. Itt fel-
használtuk az u = ax − 1 helyettesítést.
limx→0
(1 + x)r − 1x
= r, ha r ∈ R,
mivel limx→0
(1+x)r−1x
= limv→0
2rv−12v−1 = lim
v→0
2rv−1rv
r2v−1v
= r ln 2ln 2
= r. Itt fel-
használjuk az 1 + x = 2v helyettesítést.
6.6 Valós-valós függvények pontbeli
folytonossága
Elorebocsátjuk, hogy a folytonosság a matematika és a ter-
mészettudományok egyik legalapvetobb fogalma.
A folytonosság a mindennapi nyelvben elég gyakran használt foga-
lom. Például akkor használják, ha úgy akarják jellemezni a változást,
mint fokozatost a hirtelen változással szemben. Az ilyen értelemben való
szóhasználat szoros kapcsolatban van a folytonos függvény fogalmával.
Lényegében egy függvényt akkor nevezünk folytonosnak, ha a független
változó kis változtatása a függvény értékeinek kis változását eredményezi.
Az elozo paragrafus példáiból is látszik, hogy a határérték számítását
egy olyan pont környezetében végeztük el, amely nem tartozik hozzá az
értelmezési tartományhoz. Az ilyen pontban a folytonosság kérdése fel
6.6. FÜGGVÉNYEK FOLYTONOSSÁGA 105
sem merül. Tehát az elso különbség a két fogalom között az , hogy a
pontbeli folytonosságot csak az értelmezési tartomány pontjaiban, pont-
beli határértéket pedig az értelmezési tartomány torlódási pontjaiban szá-
molhatjuk.
A másik különbség, amint a továbbiakban majd látni fogunk, hogy
elofordul- hat, hogy egy függvénynek van határértéke egy adott pontban,
de nem folytonos abban a pontban.
Ezeket a külömbségeket figyelembevéve az izolált pontoktól eltekintve
a függvény határértéke a folytonosság egy általánosításaként fogható fel.
Geometriailag egy függvény folytonos, ha grafikus képe összefüggo,
vagyis nincsenek szakadásai. A mellékelt ábrákon egy folytonos és egy
szakadásos függvény grafikus képe látható:
Folytonos függvény.
Szakadásos függvény.
A matematika természettudományokban és közgazdaságtanban való
106 FEJEZET 6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE
alkalmazásaiban egy függvény gyakran valamilyen jelenség idobeli vál-
tozását jellemzi. Ekkor a függvény folytonossága a jelenség folytonosságát
tükrözi. Gondoljunk például a homérsklet, mint az ido függvényére, ami
folytonosan változik, nem ugrik egyik értékrol a másikra anélkül, hogy a
közbeeso értékeket felvenné. Másrészt, például a valamilyen tárgy piaci
ára mindig racionális szám kell legyen és ez mint az ido függvénye nem
folytonos függvény.
A folytonosság fogalmának matematikai meghatározása az alábbi:
Definíció 6.6.1 Az f : A → R , ( A ⊆ R) valós változós valós függvényértelmezési tartományának valamely x0 ∈ A pontjában folytonos, ha min-den ε > 0 számra találunk egy olyan δ > 0, hogy bármely x ∈ A esetén,
ha |x− x0| < δ, akkor |f (x)− f (x0)| < ε.
Megjegyzés 6.6.2 A definicióban szereplo ε-t hibahatárnak, vagy hibako-
rlátnak, a δ-t pedig az ε-hoz rendelt küszöbszámnak nevezzük.
Figyelem! Mégegyszer hangsúlyozzuk, hogy adott függvény
folytonosságáról vagy szakadásosságáról csak az értelmezési
tartomány pontjaiban beszélhet- tünk.
Az f függvény folytonosságát kétféleképpen is szemléltethetjük:
1. Tetszés szerint megadjuk az ε hibahatárt és megjelöljük a koordiná-
tasíkban az R× (f (x0)− ε, f (x0) + ε) sávot.
A létezik δ küszöbszám azt jelenti, hogy az f összes olyan pontja,
amelynek elso komponense az (x0 − δ, x0 + δ) intervallumban van
hozzátartozik a sávhoz.
6.6. FÜGGVÉNYEK FOLYTONOSSÁGA 107
2. Tetszés szerint megadjuk az ε hibahatárt és megjelöljük a számegye-
nesen (f (x0)− ε, f (x0) + ε) intervallumot A létezik δ küszöbszám
azt jelenti, hogy az f szerini hozzárendelést szemlélteto összes olyan
nyíl, amelynek kezdopontja az (x0 − δ, x0 + δ) intervallumban van
az (f (x0)− ε, f (x0) + ε) intervallumban végzodik.
Definíció 6.6.3 Ha az f : A→ R , ( A ⊆ R) valós változós valós függvényértelmezési tartományának valamely x0 ∈ A pontjában nem folytonos,
108 FEJEZET 6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE
akkor azt mondjuk, hogy az f szakadásos az x0-ban, vagy hogy az x0 az
f-nek szakadási pontja.
Megjegyzés 6.6.4 Az f : A → R , ( A ⊆ R) valós változós valós füg-gvény értelmezési tartományának valamely x0 ∈ A pontjában szakadásos,
ha létezik ε > 0 szám úgy, hogy bármely δ > 0 esetén , találunk olyan
x ∈ A számot, amelyre |x− x0| < δ és |f (x)− f (x0)| ≥ ε.
Hogy az f szakadásos grafikonon szemléltetve azt jelneti, hogy találunk
olyan R × (f (x0)− ε, f (x0) + ε) sávot, amelyre bármely δ küszöbszám
esetén az f -nek lesznek pontjai a sávon kivul, amikor az x komponens
végigjárja az (x0 − δ, x0 + δ) intervallumot.
Feladat. Igazoljuk, hogy az f : R→ R, f (x) = ax+ b, (a 6= 0) elsofokúfüggvény folytonos!
Megoldás Legyen x0 ∈ R az értelmezési tartomány egy pontja és
legyen ε > 0 szám. Akkor, ha: |f (x)− f (x0)| < ε, akkor
|ax+ b− ax0 − b| < ε. Tehát |x− x0| < ε/ |a|. Következéskép-
pen, ha δ = ε/ |a|, akkor következik, hogy bármely x ∈ R, amelyre|x− x0| < δ következik, hogy |f (x)− f (x0)| < ε. Ami azt jelent,
hogy az f folytonos az x0-ban.
6.6. FÜGGVÉNYEK FOLYTONOSSÁGA 109
Feladat. Igazoljuk, hogy az f : R→ R, f (x) = [x] , egészrész függvényszakadásos minden x0 ∈ Z pontban!
Megoldás. Az igazolást segíti, ha megrajzoljuk a függvény grafikonját.
-200
0
200
400
600
800
1000
-4 -2 2 4
A grafikon azt mutatja, hogy a függvénynek minden egész pontban
egy egységnyi ugrása van.
Legyen most x0 ∈ Z ( például x0 = 2). Választjuk ε = 1/4.
Akkor bármely δ > 0 esetén, minden olyan x ∈ R számra, amelyre|x− x0| < δ és x < x0 következik, hogy |f (x)− f (x0)| = 1 > ε.
Ami éppen azt mutatja, hogy az f -nek az x0 szakadási pontja.
Gyakran elofordul, hogy egy függvény nem folytonos valamelypontban,
azonban valamely leszukítése már folytonos. Ilyen esetekre vezették be a
bal oldali illetve jobb oldali folytonosság fogalmát.
Definíció 6.6.5 Az f : A → R , ( A ⊆ R) valós változós valós függvényértelmezési tartományának valamely x0 ∈ A pontjában balról folytonos, haminden ε > 0 számra találunk egy olyan δ > 0, hogy bármely x ∈ A esetén,ha |x− x0| < δ és x < x0, akkor |f (x)− f (x0)| < ε.
Definíció 6.6.6 Az f : A → R , ( A ⊆ R) valós változós valós függvényértelmezési tartományának valamely x0 ∈ A pontjában jobbról folytonos,
ha minden ε > 0 számra találunk egy olyan δ > 0, hogy bármely x ∈ Aesetén, ha |x− x0| < δ és x > x0, akkor |f (x)− f (x0)| < ε.
Az alábbi tétel kapcsolatot teremt a folytonosság a bal oldali és jobb
oldali folytonosságok között.
110 FEJEZET 6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE
Tétel 6.6.7 Az f : A → R , ( A ⊆ R) valós változós valós függvényértelmezési tartományának valamely belso x0 ∈ A pontjában akkor és
csakis akkor folytonos, ha balról és jobbról is folytonos ebben a pontban.
Tétel 6.6.8 Az f : [a, b]→ R valós változós valós függvény az a pontbanakkor és csakis akkor folytonos, ha jobbról folytonos ebben a pontban.
Tétel 6.6.9 Az f : [a, b] → R valós változós valós függvény az b pontbanakkor és csakis akkor folytonos, ha balról folytonos ebben a pontban.
A tételekben megfogalmazott kijelentések annyira nyilvánvalók, hogy
bizonyításoktól eltekintünk.
Tétel 6.6.10 Az f : A → R , ( A ⊆ R) valós változós valós függvényértelmezési tartomány minden izolált pontjában folytonos.
Bizonyítás 34 Ha az x0 egy izolált pontja az A-nak, akkor létezik egy
olyan δ > 0 szám, amelyre (x0 − δ, x0 + δ)∩A = x0 . Következésképpen,bármely ε > 0 esetén, ha x ∈ A számra, amelyre |x− x0| < δ, akkor
x = x0. Tehát |f (x)− f (x0)| = 0 < ε.
Tétel 6.6.11 Az f : A → R , ( A ⊆ R) valós változós valós függvényértelmezési tartományának valamely x0 ∈ A nem izolált pontjában akkor
és csakis akkor jobbról folytonos, ha van jobb oldali véges határértéke és
ez a határérték megegyezik az f (x0)-val.
Bizonyítás 35 Feltételezzük, hogy a függvény jobbról folytonos az x0-ban.
Legyen ε > 0. Mivel f jobbról folytonos, következik, hogy létezik a δ > 0
küszöbszám úgy, hogy bármely x > x0, x ∈ A esetén, ha |x− x0| < δ,
akkor |f (x)− f (x0)| < ε. De ez éppen azt jelenti, hogy limx&x0
f (x) =
f (x0) . Fordítva, ha limx&x0
f (x) = f (x0) , bármely ε > 0 számra létezik a
δ > 0 küszöbszám úgy, hogy bármely x > x0, x ∈ A esetén, ha |x− x0| < δ,
akkor |f (x)− f (x0)| < ε. De ez éppen azt jelent, hogy f folytonos az x0-
ban.
Teljesen hasonló gondolatmenettel igazolhatók a követekezo tételek.
Tétel 6.6.12 Az f : A → R , ( A ⊆ R) valós változós valós függvényértelmezési tartományának valamely x0 ∈ A nem izolált pontjában akkor
és csakis akkor balról folytonos, ha van bal oldali véges határértéke és ez a
határérték megegyezik az f (x0)-val.
6.6. FÜGGVÉNYEK FOLYTONOSSÁGA 111
Tétel 6.6.13 Az f : A → R , ( A ⊆ R) valós változós valós függvényértelmezési tartományának valamely x0 ∈ A belso pontjában akkor és
csakis akkor folytonos, ha van jobb valamint bal oldali véges határértéke
és ezek a határérték egyenlok az f (x0)-val.
A függvény pontbeli határértékének sorozatos értelmezésének (6.2.17
tétel) és az elobbi tétel egy következménye.
Tétel 6.6.14 Az f : A → R , ( A ⊆ R) valós változós valós füg-gvény értelmezési tartományának valamely x0 ∈ A pontjában akkor és
csakis akkor folytonos, ha bármely (xn)n≥1, xn ∈ A sorozat esetén, ha
limn→+∞xn = x0, akkor lim
n→+∞ f (xn) = f (x0) .
Definíció 6.6.15 Ha az f : A → R , ( A ⊆ R) valós változós valósfüggvény értelmezési tartományának valamely x0 ∈ A pontjában nem
folytonos, de bal és jobb oldali határértékei ebben a pontban végesek, akkor
azt mondjuk, hogy a függvénynek az x0-ban elsofajú szakadási pontja van.
Definíció 6.6.16 Ha az f : A → R , ( A ⊆ R) valós változós valósfüggvény értelmezési tartományának valamely x0 ∈ A pontjában nem
folytonos, de az x0 nem elsofajú szakadási pont, akkor azt mondjuk, hogy,
hogy a függvénynek az x0-ban másodfajú szakadási pontja van.
Példák. 1. Tanulmányozzuk az f : R→ R,
f (x) =
½x− 1 ha x ≥ 1,x ha x < 1,
függvény folytonosságát az x0 = 1 pontban.
Mivel f (1− 0) = limx%1
f (x) = limx%1
x = 1, f (1 + 0) =
limx&1
f (x) = limx&1
x − 1 = 0 és f (1) = 0 értékek nem egyen-
lok, de a jobb és bal oldali határértékek végesek következik,
hogy az f -nek az 1 pont elsofajú szakadási pontja.
2. Tanulmányozzuk az f : R→ R,
f (x) =
½x2 ha x ≥ 0,−x ha x < 0,
függvény folytonosságát az x0 = 0 pontban.
112 FEJEZET 6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE
Mivel f (0− 0) = limx%0
f (x) = limx%0−x = 0, f (0 + 0) =
limx&0
f (x) = limx&1
x2 = 0 és f (0) = 0 értékek egyenlok,
következik, hogy az f a 0-ban folytonos.
3. Vannak olyan függvények is, amely az értelmezési tartományuk
egyik pontjában sem folytonosak. Erre egy példa a következo:
f : R→ R,
f (x) =
½1 ha x racionális szám,
0 ha x irracionális szám.
Ezt a függvényt hívják Dirichlet-féle függvénynek. Ez a füg-
gvény gyakorlatilag nem ábrázolható, de igazolható, hogy
egy pontban sem folytonos. Ennek érdekében legyen x0egy racionális szám. Választjuk az
¡1n+ x0
¢n≥1 racionális
tagú sorozatot. Ennek a sorozatnak a határértéke x0 és az
f (xn) = 1 általános tagú sorozat határértéke 1. Most vegyük
a¡πn+ x0
¢n≥1 irracionális tagú sorozatot. Ennek a sorozat-
nak a határértéke x0 és az f (yn) = 0 általános tagú sorozat
határértéke 0. Következésképpen találtunk két olyan különbüzo
sorozatot, amelyeknek a határártákük x0, de a behelyettesítési
értékekbol képzett sorozatok határértéke különbözo. Így a
6.2.17 tétel alapján az x0-ban a függvénynek másodfajú sza-
kadási pontja van.
Most legyen x0 egy irracionális szám. Választjuk az¡1n+ x0
¢n≥1 irrracionális tagú sorozatot. Ennek a sorozat-
nak a határértéke x0 és az f (xn) = 0 általános tagú sorozat
határértéke 0. Mivel minden irracinális szám eloállítható mint
valamely racionális tagú sorozat határértéke, következik, hogy
létezik egy olyan (yn)n≥1racionális tagú sorozat, amelynek ahatárértéke éppen x0. Ebben az esetben az f (yn) = 1 ál-
talános tagú sorozat határértéke 1. Következésképpen találtunk
két olyan különbüzo sorozatot, amelyeknek a határártákük x0,
de a behelyettesítési értékekbol képzett sorozatok határértéke
különbözo. Így a 6.2.17 tétel alapján az x0-ban a függvénynek
másodfajú szakadási pontja van. Összefoglalva ez azt jelenti,
hogy a Dirichlet-féle függvénynek a valós számtengely minden
pontja másod- fajú szakadási pont.
6.7. ADOTT HALMAZON FOLYTONOS FÜGGVÉNYEK 113
Mivel a folytonosság tanulmányozása visszavezetheto a pontbeli
határérték meghatározására, ezért a folytonos függvényekre is kijelen-
thetünk egy a 6.3.4 tételhez hasonló tételt.
Tétel 6.6.17 Tekintsük az f : A → R és g : A → R( A ⊆ R) füg-gvényeket, legyen x0 egy pontja az A-nak. Ha f és g folytonosak az
x0-ban, akkor f + g, f − g, fg, |f | ,max f, g , min f, g függvények isfolytonosak az x0-ban. Ha g (x0) 6= 0, akkor az f/g függvény is folytonos.
Tétel 6.6.18 Tekintsük az f : A → B és g : B → R( A,B ⊆ R és
f (a) ⊆ B) függvényeket, legyen x0 egy pontja az A-nak és y0 = f (x0) egypontja B-nek. Ha f folytonos az x0-ban és g folytonos az y0-ban, akkor
g f összetett függvény is folytonos az x0-ban.
Bizonyítás 36 Legyen (xn)n≥1 olyan sorozat, amelyre xn ∈ A és
limn→+∞xn = x0. Mivel az f folytonos az x0-ban következik, hogy
limn→+∞ f (xn) = f (x0) . Mivel g folytonos az f (x0)-ban és lim
n→+∞ f (xn) =
f (x0) következik, hogy limn→+∞ g (f (xn)) = g (f (x0)) . Ami éppen azt je-
lenti, hogy limn→+∞ g f (xn) = g f (x0) és, hogy g f folytonos az x0-ban.
6.7 Adott halmazon folytonos függvények
Definíció 6.7.1 Az f : A→ R (A ⊆ R ) függvény folytonos az A halma-zon, ha az A minden pontjában folytonos.
Definíció 6.7.2 Az A ⊆ R halmazt kompaktnak nevezzük, ha korlátos észárt.
Megjegyzés 6.7.3 Tulajdonképpen A ⊆ R halmaz akkor és csakis akkorkompakt ha véges számú zárt intervallum egyesítése képpen írható fel.
A továbbiakban ismertetjük adott halmazon folytonos függvényekkel
kapcsolatos legfontosabb globális jellegu eredményeket.
Tétel 6.7.4 (Bolzano tétele) Ha f : [a, b] → R függvény folytonos és
f (a) · f (b) < 0, akkor létezik egy c ∈ (a, b) úgy, hogy f (c) = 0.
114 FEJEZET 6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE
Bizonyítás 37 Az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hogy
f (a) < 0 és f (b) > 0. Ellenkezõ esetben az f függvény helyett a tula-
jdonságot a −f függvényre vizsgáljuk. A tétel bizonyítását végezzük in-
direkt módon, vagyis feltételezzük, hogy f (x) 6= 0 bármely x ∈ (a, b) es-etén. Felezzük az [a, b] intervallumot. Az így kapott λ felezõpontra vagy
f (a) · f (λ) < 0 vagy f (b) · f (λ) < 0. Ha az elsõ eset áll fenn, akkor
legyen a1 = a és b1 = λ ellenkezõ esetben legyen a a1 = λ és b1 = b.
Felezzük most az [a1, b1] intervallumot. Az így kapott λ felezõpontra vagy
f (a1) · f (λ) < 0 vagy f (b1) · f (λ) < 0. Ha az elsõ eset áll fenn, akkor
legyen a2 = a1 és b2 = λ ellenkezõ esetben legyen a a2 = λ és b2 = b1. És
így tovább, általában a szerkesztést az alábbi módon végezzük el:½an+1 = an, bn+1 =
an+bn2
ha f (an) · f¡an+bn2
¢< 0,
an+1 =an+bn2, bn+1 = bn ha f (bn) · f
¡an+bn2
¢< 0.
Azonnal látható, hogy f (an) f (bn) < 0.
Az így kapott [an, bn] intervallumok hosszát a következõ képpen határoz-
zuk meg: Mivel λ felezõpontja volt az [a, b] intervallumnak , ezért
|b1 − a1| = 1
2|b− a|
Mivel λ felezõpontja volt az [a1, b1] intervallumnak , ezért
|b2 − a2| = 1
2|b1 − a1| = 1
22|b− a|
6.7. ADOTT HALMAZON FOLYTONOS FÜGGVÉNYEK 115
És így tovább kapjuk:
|bn − an| = 1
2n|b− a| , (6.2)
bármely n ∈ N esetén. Határértékre térve a (6.2) összefüggésben kapjuk,hogy
limn→+∞ |bn − an| = lim
n→+∞1
2n|b− a| = 0. (6.3)
Mivel az (an)n≥1 sorozat növekvõ és minden tagja kisebb mint b1következik, hogy konvergens. Hasonlóan a (bn)n≥1 sorozat csökkenõ ésminden tagja nagyobb mint a1 következik, hogy konvergens. De a (6.3)
összefüggés alapján következik, hogy az (an)n≥1 és a (bn)n≥1 sorozatok-nak úgyanaz a határértékük jelöljük ezt c-vel. Mivel az (an)n≥1 növekvõés (bn)n≥1 csökkenõ nyílvánvaló, hogy c ∈ [a, b] intervallumnak. Mivelfeltevés alapjánf folytonos és f (c) > 0 vagy f (c) < 0 következik,
hogy az f a c egy környezetében elõjeltartó. Ennek alapján létezik egy
olyan ε > 0 szám amelyre bármely x ∈ [a, b] számra ha |x− c| < ε,
akkor f (x) f (c) > 0. A határérték értelmezése alapján, létezik egy olyan
n0 ∈ N küszöbindex, amelyre bármely n ≥ n0 esetén 0 ≤ c − an < ε
0 ≤ bn− c < 0 . Tehát f (an) f (c) > 0 és f (bn) f (c) > 0. Következéskép-pen f (an) f (bn) > 0. Ami ellentmond a szerkesztésben megadott tulajdon-
ságnak. Következésképpen f (c) = 0.
Tétel 6.7.5 Ha az f : A→ R (A ⊆ R ) függvény folytonos az A kompakthalmazon, akkor az f korlátos.
Bizonyítás 38 Tegyük fel, hog az f nem korlátos, Ekkor minden k ∈ Ntermészetes számhoz találunk olyan xk ∈ A elemet, amelyre f (xk) > k.
Az (xk)k≥1 sorozat korlátos mivel egy korlátos halmaznak az elemeibolvan alkotva. Tehát tartalmaz egy konvergens részsorozatot, jelöljük ezt is
(xk)k≥1-val. Mivel A zárt, következik, hogy limk→+∞
xk = x0 ∈ A. Mivel ffolytonos az x0-ban következik, hogy lim
k→+∞f (xk) = f (x0), de az f (xk)
sorozat nem volt korlátos, ami ellentmond annak a ténynek, hogy minden
konvergens sorozat korlátos. Következésképpen f korlátos kell legyen.
Tétel 6.7.6 (Weierstrass tétele) Ha f : [a, b]→ R függvény folytonos,akkor léteznek az olyan c, d ∈ [a, b] pontok, amelyekre
f (c) = sup f (x) / x ∈ [a, b] ,f (d) = inf f (x) / x ∈ [a, b] .
116 FEJEZET 6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE
Bizonyítás 39 Az elozo tétel alapján az f függvény korlátos. Tehát
létezik egy olyan M szám amelyre M = sup f (x) / x ∈ [a, b] . Tulaj-donképpen azt kell igazolni, hogy létezik egy olyan c ∈ [a, b] pont amelyreM = f (c) . Tételezzük fel az ellentétesét, ami azt jelenti, hogy f (x) < M
bármely x ∈ [a, b] esetén. Jelöljük g a következo folytonos függvényt:
g (x) = M − f (x) . Azonnal látható, hogy g pozitív, tehát a h = 1/g
függvény is folytonos. Tehát az elozo tétel alapján a h is folytonos.
Következik, hogy létezik olyan K > 0 szám, hogy h (x) = 1/g (x) =
1/ (M − f (x)) < K. Legyen ε = 1/K. Következésképpen M − f (x) > ε.
Tehát f (x) < M − ε, bármely x ∈ [a, b] esetén. Következésképpen Mnem a legkisebb felso korlát. Ez ellentmond a feltevésnek, tehát létezik egy
olyan c ∈ [a, b] pont amelyre M = f (c) .
Megjegyzés 6.7.7 A Weirstrass tétele a szélsoértékszámításnak egyik ki-
indulópontja, ezért jelentõségét a szélsõértékfeladatok megoldásakor fogjuk
szmelél- tetni.
Tétel 6.7.8 Tekintsük az I intervallumon folytonos f : I → R függvénytés legyen U = f (I) . Az f : I → U függvény akkor és csakis akkor bijektív,
ha szigorüan monoton és ebben az esetben az f−1 : U → I függvény is
folytonos és szigorúan monoton.
Bizonyítás 40 Ha f bijektív, akkor bármely az értéktartományon belüli
értéket csak egyszer vehet fel. Ha nem volna monoton, akkor létezne egy
olyan része a függvénynek, amely ugyanzon értékeket más behelyettesítési
értékekre veszi fel, ez ellentmod az injektívitásnak.
A függvény értékkészlete úgy van definiálva, hogy a szürjektivítás tel-
jesüljön. Ha szigorúan monoton, akkor két különbözõ pontban más és más
függvényértékek vannak, ami azt jelent, hogy a függvény injektív.
Fejezet 7
Egyváltozós függvények
deriváltja
7.1 Az egyváltozós valós függvények deriváltja
Ebben a paragrafusban az egyváltozós valós függvények pontbeli derivál-
hatóságát és alaptulajdonságait vizsgáljuk.
A függvények vizsgálatának egyik legalapvetobb eszköze a derivált.
Ennek segítségével tudjuk eldönteni, hogy a függvény milyen vátozá-
sokat szenved, ha az értelmezési tarományán végighaladva külöbözo pon-
tokban számítjuk a relatív változásokat. Ha egy folyamatot vizsgálunk
mindig egyik legalapvetobb mennyiség amit számítunk a folyamat vál-
tozási sebessége. Hogy eljussunk a derivált fogalmához vizsgáljuk meg
egy egyenesvonalú mozgás folyamatát.
A mozgást egyenesvonalúnak nevezzük, ha pályája egy egyenes.
Legyen t1 az az idopont amikor a test az A pontban van, és jelöljük
B-vel azt a pontot, ahová a test a t1 + 1 ido múlva jut. Ennek az út-
nak a hossza x (t1 + 1) − x (t1) = vk. Ha a megtett út hosszát méterben
117
118 FEJEZET 7. FÜGGVÉNYEK DERIVÁLTJA
mérjük akkor azt mondhatjuk, hogy a test egy másodperc alatt vk m-t
tett meg, vagy még azt is mondhatjuk, hogy a test közepes sebessége v1méter/másodperc.
Ha ezt a fogalmat általánosítjuk és nem 1 másodperc múlva mérjük a
megett utat, hanem mondjuk ∆t ido múlva, akkor az x (t1 +∆t)− x (t1)út megtételéhez ebben az esetben ∆t ido szükséges. Tehát ekkor a a vkközepes sebesség
vk =x (t1 +∆t)− x (t1)
∆t. (7.1)
Ez a számérték nyilván csak átlagos jellemzoje a sebességnek, hiszen ez
pillanatról pillanatra változhat a [t1, t1 +∆t] idointervallumban. Nekünk
arra volna szükségünk, hogy egy adott pillanatban határozzuk meg a
sebességet. Ennek érdekében úgy járhatunk el, hogy csökkentjük∆t idoin-
tervallum hosszát, újra lemérjük a megtett x (t1 +∆t)−x (t1) utat és újrakiszámítjuk az (7.1) hányadost. Nyílvánvaló, hogy ebben az esetben egy
jobb közelítését kapjuk a t1 idoponthoz tartozó sebességnek. A t1-beli
pontos pillanatnyi sebességet akkor kapjuk meg, amikor ∆t-vel tartunk
a zéróhoz és vesszük az (7.1) hányados határértékét. Tehát a t1-beli pil-
lanatnyi sebesség
v (t1) = lim∆t→0
x (t1 +∆t)− x (t1)∆t
. (7.2)
Minden idoponthoz hozzárendelhetjük a pillanatnyi sebességet, amely tu-
lajdonképpen azt mutatja meg, hogy az adott pillanatban milyen relatív
változást szenved a mozgás.
Mivel nem csak a mozgást, hanem bármely folyamatot (lehet az
közgazdasági folyamat is) leírhatunk függvények segítségével, ezért a (7.2)
tipusú határértékeknek nagy szerepük van a függvények és ezen keresztül
a folyamatok változási sebességének a meghatározásában.
Definíció 7.1.1 Tekintsük az f : A → R (A ⊆ R) függvényt és x0 ∈ Aegy belso pontját. Ha létezik és véges a
limh→0
f (x0 + h)− f (x0)h
(7.3)
határérték, akkor ezt a határértéket az f függvény x0-beli deriváltjá-
nak, vagy differenciálhányadosának nevezzük és f 0 (x0) vagy dfdx(x0) vagy
dfdx|x=x0vagy fx (x0) szimbólumokkal jelöljük.
7.1. A DERIVÁLT ÉRTELMEZÉSE 119
Definíció 7.1.2 Ha az f : A → R függvény deriválható az x0 ∈ A pont-
ban, akkor a D : R→ R, D (h) = f 0 (x0)h függvény az f differenciálja azx0 pontban. A D változóját a h-t még dx szimbolummal is szokták jelölni
és a D növekményének nevezik.
Megjegyzés 7.1.3 A derivált létezésének problémája nem vetodik fel az
értelmezési tartomány izolált pontjaiban.
Példák. Határozzuk meg az f : R→ R, f (x) = xn, n ∈ N hatványfüg-gvény x0 ∈ R pontbeli deriváltját.
f 0 (x0) = limh→0
f (x0 + h)− f (x0)h
(7.4)
= limh→0
(x0 + h)n − xn0h
= limh→0
(h+ x0)n − xn0h
= limh→0
hn + C1nhn−1x0 + ...+ Cn−1n hxn−10 + xn0 − xn0
h
= limh→0
hn + C1nhn−1x0 + ...+ Cn−1n hxn−10
h
= limh→0
hn−1 + C1nhn−2x0 + ...+ Cn−1n xn−10 = nxn−10
Ez a képlet általánosítható bármilyen valós hatványkitevore.
Határozzuk meg az f : [0,+∞)→ R, f (x) = xr, r ∈ R\ 0hatványfüggvény x0 ∈ (0,+∞) pontbeli deriváltját.
f 0 (x0) = limh→0
f (x0 + h)− f (x0)h
(7.5)
= limh→0
(x0 + h)r − xr0h
= limh→0
xr0
h³1 + h
x0
´r− 1i
h
= xr0 limh→0
³1 + h
x0
´r− 1
hx0
1
x0
= xr0r1
x0= rxr−10
120 FEJEZET 7. FÜGGVÉNYEK DERIVÁLTJA
Határozzuk meg az f : R→ R, f (x) = c, c ∈ R konsatans függvényx0 ∈ R pontbeli deriváltját.
f 0 (x0) = limh→0
f (x0 + h)− f (x0)h
(7.6)
= limh→0
c− ch
= 0.
Határozzuk meg az f : R→ R, f (x) = sinx,szinusz függvény x0 ∈ Rpontbeli deriváltját.
f 0 (x0) = limh→0
f (x0 + h)− f (x0)h
(7.7)
= limh→0
sin (x0 + h)− sin (x0)h
= limh→0
sin¡h2
¢cos¡x0 +
h2
¢h2
= cosx0.
Tétel 7.1.4 Tekintsük az f : A → R (A ⊆ R) függvényt és x0 ∈ A egy
belso pontját. Ha az f deriválható az x0-ban, akkor f folytonos is ebben a
pontban.
Bizonyítás 41 Mivel
f (x0 + h)− f (x0) = f (x0 + h)− f (x0)h
h,
következik, hogy
limx→x0
f (x)− f (x0) = limx→x0
f (x0 + (x− x0))− f (x0)= limh→0
f (x0 + h)− f (x0)
= limh→0
f (x0 + h)− f (x0)h
h
= f 0 (x0) · 0 = 0.
Tehát limx→x0
f (x) = f (x0) . Következésképpen f folytonos az x0-ban.
7.1. A DERIVÁLT ÉRTELMEZÉSE 121
Megjegyzés 7.1.5 Fordítva nem igaz a tétel. Más szóval léteznek olyan
függvények amelyek egy adott pontban folytonosak, de nem deriválhatók
ebben a pontban. Ennek bizonyítására szolgál az alábbi példa.
Példa. f : R→ R, f (x) = |x| abszolútérték függvény tudjuk, hogyfolytonos és igazoljuk, hogy mégse deriválható az x0 = 0-ban.
Mielott igazolnánk ábrázoljuk a függvény grafikonját.
0
1
2
3
4
5
-4 -2 2 4
Most nézzük meg miért nem deriválható az x0 = 0-ban.
limh→0
f (x0 + h)− f (x0)h
=
= limh→0
|0 + h|− |0|h
= limh→0
|h|h.
Mivel limh%0
|h|h= −1 és lim
h&0|h|h= 1 ezért a lim
h→0f(x0+h)−f(x0)
hhatárérték
nem létezik. Következésképpen az függvény az x0 = 0-ban nem
deriválható.
Megjegyzés 7.1.6 Léteznek olyan függvények is, amelyek értelmezési
tartományuk minden pontjában folytonosak, de eggyik pontjukban sem de-
riválhatók. Ennek érdekében vizsgáljuk meg a következo példát.
Példa. Minden n ∈ N esetén tekintjük az fn : R→ R,
fn (x) =
½x ha x ∈ £ 2k
4n, 2k+14n
¤,
24n− x ha x ∈ ¡2k+1
4n, 2k+24n
¤,
122 FEJEZET 7. FÜGGVÉNYEK DERIVÁLTJA
ahol k ∈ Z.
Az értelmezésbol és a rajzról is nyilvánvaló, hogy bármely n-re az
fn függvények folytonosak. A rajzról az is leolvasható, hogy minden
k/4n pont töréspontja az fn-nek. Tehát két szomszédos töréspont
távolsága 1/4n. Az is látható, hogy
|fn (x)| ≤ 1/4n (7.8)
bármely x ∈ R esetén. Táhát minden x-re az (fn (x))n≥1 sorozatkonvergens. A keresett f függvényt ezekbol a függvényekbol
összegezes útján szerkesztjük. Vagyis, bármely x ∈ R esetén:
f (x) =
+∞Xn=1
fn (x) .
Ez az összeg az (7.8) összefüggés alapján létezik és véges. Az (7.8)
összefüggésbol és az fn függvények folytonosságából az is következik,
hogy az f függvény folytonos.
Ki fogjuk mutatni, hogy az f egyetlen x0 ∈ R pontban sem derivál-
ható. A szerkesztésbol és az (7.8) összefüggésbol következik, hogy
minden n ∈ N esetén létezik olyan xn ∈ R szám, hogy az x0 és azxn között az fn-nek ne legyen töréspontja, és
|xn − x0| = 1
2
1
4n,
és akkor az fn függvény értelmezése alapján, bármely k = 1, 2, ..., n
esetén ¯fn (xn)− fn (x0)
xn − x0
¯= 1.
7.1. A DERIVÁLT ÉRTELMEZÉSE 123
Másrészt, bármely p = n + 1, n + 2, ... esetén az fp függvények
periodikusak az 1214nperiódussal, ezért
fp (xn)− fp (x0) = 0.
Akkor
f (xn)− f (x0)xn − x0 =
+∞Xn=1
fn (xn)− fn (x0)xn − x0
=
nXk=1
fk (xn)− fk (x0)xn − x0 .
De ez a sor nem konvergens, mivel¯f (xn+1)− f (x0)
xn+1 − x0 − f (xn)− f (x0)xn − x0
¯= 1
Következésképpen az f nem deriválható.
A folytonossághoz hasonlóan itt is lehet értelmezni a bal oldali és ajobb
oldali deriváltakat.
Definíció 7.1.7 Tekintsük az f : A → R (A ⊆ R) függvényt és x0 ∈ Aegy pontját. Ha létezik és véges a
limh%0
f (x0 + h)− f (x0)h
(7.9)
határérték, akkor ezt a határértéket az f függvény x0-beli bal oldali de-
riváltjának, vagy differenciálhányadosának nevezzük és f 0b (x0) szimbólum-mal jelöljük.
Definíció 7.1.8 Tekintsük az f : A → R (A ⊆ R) függvényt és x0 ∈ Aegy pontját. Ha létezik és véges a
limh&0
f (x0 + h)− f (x0)h
(7.10)
határérték, akkor ezt a határértéket az f függvény x0-beli jobb oldali de-
riváltjának, vagy differenciálhányadosának nevezzük és f 0j (x0) szimbólum-mal jelöljük.
124 FEJEZET 7. FÜGGVÉNYEK DERIVÁLTJA
A függvény folytonosságának tanulmányozásakor hasznos kritérium
a bal és jobb oldali határértékeknek a behelyettesítési értékkel való
azonossága. Ezt a módszert alkalmazzuk adott pontban a függvény de-
riválhatóságának tanulmányozására is, tekinettel arra, hogy a derivál-
hatóság egy bizonyos határérték létezését jelnti.
Tétel 7.1.9 Ha az f : A → R (A ⊆ R) függvény az x0 ∈ A pontban
deriválható, akkor f 0b (x0) = f 0j (x0) = f 0 (x0) . Fordítva, ha az f 0b (x0)és f 0j (x0) számok léteznek és egyenlok, akkor f deriválható az x0-ban ésf 0b (x0) = f
0j (x0) = f
0 (x0) .
Példa. Igazoljuk, hogy az f : R → R, f (x) =p|x| függvény nem
deriválható az x0 = 0-ban.
Megoldás. Számítjuk a bal és jobb oldali deriváltakat:
f 0b (0) = limh%0
f (h)− f (0)h
= limh%0
p|h|h
= limh%0
√−hh
= limh%0
1
−√−h = −∞.
f 0j (0) = limh&0
f (h)− f (0)h
= limh&0
p|h|h
= limh&0
√h
h= limh&0
1√h=∞.
Mivel a két határérték külonbözo ( még nem is végesek) következik,
hogy a függvény az x0 = 0-ban nem deriválható.
A deriválhatóság fogalmát kiterjeszthetjük az egész értelmezési tar-
tományra is. Amikor azt mondjuk, hogy egy függvény deriválható (differ-
enciálható), akkor a következoket értjük.
Definíció 7.1.10 Az f : A → R (A ⊆ R) függvényt deriválhatónak (dif-ferenciálhatónak) nevezzük, ha értelmezési tartománya nyílt halmaz és f
az értelmezési tartományának minden pontjában deriválható.
7.2. A DERIVÁLT MÉRTANI JELENTÉSE 125
7.2 A derivált mértani jelentése
Mártanilag a derivált fogalma szoros kapcsolatban van az érinto fogalmá-
val. Analitikus mértanból tudjuk, hogy minden f : (a, b) → R függvénygrafikus képe egy görbe, és azt is tudjuk, ha a görbe bizonyos tulajdon-
ságokkal rendelkezik, akkor egy adott pontban meghúzható az érintoje. A
mellékelt ábrán az (x0, f (x0)) pontban az elso görbének megszerkeszheto
az érintoje a másodiknak meg nem.
Igazolható, hogy az elso görbének azért létezik érintoje mert a füg-
gvény az x0-ban deriválható. A második görbének meg azért nem létezik
egyértelmu érintoje mert a függvény az x0-ban nem deriválható.
Tétel 7.2.1 Ha az f : (a, b) → R függvénynek az x0 ∈ (a, b) pontbanderiválható, akkor a függvénynek az (x0, f (x0)) pontban létezik érintoje,
éspedig az az egyenes, amelynek egyenlete:
y − f (x0) = f 0 (x0) (x− x0) .
Bizonyítás 42 A könnyebb megértés céljából készítsük el a következo
ábrát.
126 FEJEZET 7. FÜGGVÉNYEK DERIVÁLTJA
Tudjuk, hogy az (x0, f (x0)) ponton átmeno egyenes egyenlete:
y − f (x0) = m (x− x0) ,ahol
m = tanϕ =f (x)− f (x0)
x− x0 . (7.11)
Legyen x = x0 + h. Határértékre térve az (7.11) összefüggésben, kapjuk:
m = tanϕ = limh−→0
f (x0 + h)− f (x0)h
= f 0 (x0) .
1. Következmény. Deriválható függvények esetén az f 0 (x0) az
f grafikus képéhez az (x0, f (x0)) pontban húzott érinto
iránytényezoje. Ha f 0 (x0) = +∞ vagy f 0 (x0) = −∞ akkor az
(x0, f (x0)) pontban húzott érinto meroleges az Ox tengelyre.
2. Következmény. Ha az f : (a, b)→ R függvénynek az x0 ∈ (a, b) pont-ban léteznek a bal és jobb oldali deriváltjai és ezek közül legalább az
egyik véges, akkor a függvénynek az (x0, f (x0)) szögpontja.( Ilyen
szögpontja van az(7.2) ábrán a második függvénynek az (x0, f (x0))
pontban.)
7.3 Deriválási szabályok
Tétel 7.3.1 Ha az f, g : A→ R deriválható függvények az x0 ∈ A pontbanés λ ∈ R egy valós szám, akkor:(i) az f + g is deriválható az x0-ban és
(f + g)0 (x0) = f 0 (x0) + g0 (x0) ;
7.3. DERIVÁLÁSI SZABÁLYOK 127
(ii) a λ f is deriválható az x0-ban és
(λf)0 (x0) = λf 0 (x0) ;
(iii) az f · g is deriválható az x0-ban és
(f · g)0 (x0) = f 0 (x0) · g (x0) + f (x0) · g0 (x0) ;
(iv) ha g (x0) 6= 0, akkor fgis deriválható az x0-ban és
µf
g
¶0(x0) =
f 0 (x0) · g (x0)− f (x0) · g0 (x0)g2 (x0)
.
Bizonyítás 43 Az elso két azonosság azonnal következik a derivált
értelmezésébol. Itt igazoljuk a harmadik és negyedik összefüggést:
(f · g)0 (x0) = limh−→0
f (x0 + h) g (x0 + h)− f (x0) g (x0)h
= limh−→0
f (x0 + h) g (x0 + h)− f (x0) g (x0 + h) + f (x0) g (x0 + h)− f (x0) g (x0)h
= limh−→0
f (x0 + h) g (x0 + h)− f (x0) g (x0 + h)h
+ limh−→0
f (x0) g (x0 + h)− f (x0) g (x0)h
= limh−→0
f (x0 + h)− f (x0)h
g (x0 + h)
+ f (x0) limh−→0
g (x0 + h)− g (x0)h
= f 0 (x0) · g (x0) + f (x0) · g0 (x0) .
Mivel g (x0) 6= 0 és g folytonos az x0-ban következik, hogy g nem zéró
az x0 egy környezetében, tehát értelme van az f/g (x0) kifejezésnek ebben
128 FEJEZET 7. FÜGGVÉNYEK DERIVÁLTJA
a környezetben. Így
µf
g
¶0(x0) = lim
h−→0
f(x0+h)
g(x0+h)− f(x0)
g(x0)
h
= limh−→0
f (x0 + h) g (x0)− f (x0) g (x0 + h)hg (x0) g (x0 + h)
= limh−→0
f (x0 + h) g (x0)− f (x0) g (x0) + f (x0) g (x0)− f (x0) g (x0 + h)hg (x0) g (x0 + h)
= limh−→0
f (x0 + h) g (x0)− f (x0) g (x0)hg (x0) g (x0 + h)
− limh−→0
−f (x0) g (x0) + f (x0) g (x0 + h)hg (x0) g (x0 + h)
= g (x0) limh−→0
f (x0 + h)− f (x0)hg (x0) g (x0 + h)
− f (x0) limh−→0
g (x0 + h)− g (x0)hg (x0) g (x0 + h)
=f 0 (x0) · g (x0)− f (x0) · g0 (x0)
g2 (x0).
3. Következmény. Sajátos esetben, ha f (x) = 1 és g (x0) 6= 0, akkorµ1
g
¶0(x0) = − g0 (x0)
g2 (x0).
Megjegyzés 7.3.2 A tétel alapján deriválni tudunk polinomfüggvényeket,
racionális függvényeket, trigonometrikus függvényeket stb.
Tétel 7.3.3 (Összetett függvény deriváltja) Tekintjük az f : A→ Rés g : B → R függvényeket úgy, hogy f (A) ⊆ B. Ha f deriválható x0 ∈ Apontban és g deriválható az y0 = f (x0) ∈ B potban, akkor g f : A → Rfüggvény is deriválható az x0 pontban és
(g f)0 (x0) = g0 (f (x0)) · f 0 (x0) .
7.3. DERIVÁLÁSI SZABÁLYOK 129
Bizonyítás 44
(g f)0 (x0) = limh−→0
g (f (x0 + h))− g (f (x0))h
= limh−→0
g (f (x0 + h))− g (f (x0))f (x0 + h)− f (x0)
f (x0 + h)− f (x0)h
= limh−→0
g (f (x0 + h))− g (f (x0))f (x0 + h)− f (x0) lim
h−→0f (x0 + h)− f (x0)
h
= g0 (f (x0)) · f 0 (x0) .
Igazoljuk, hogy elso határérték azért éppen g0 (f (x0)) . Mivel a g derivál-ható az f (x0)-ban következik:
g0 (f (x0)) = limu−→0
g (f (x0) + u)− g (f (x0))u
.
A határérték létezésének egyértelmuségébol következik, hogy ez a határérték
váltzozatlan marad, ha u-t helyettesítjük egy olyan függvénnyel ami tart a
0-hoz. Így legyen u = f (x0 + h)− f (x0). Mivel f folytonos az x0-ban azu valóban tart a 0-hoz ha h tart a 0-hoz.. Tehát
g0 (f (x0)) = limu−→0
g (f (x0) + f (x0 + h)− f (x0))− g (f (x0))f (x0 + h)− f (x0)
= limh−→0
g (f (x0 + h))− g (f (x0))f (x0 + h)− f (x0) .
Megjegyzés 7.3.4 A kapott szabály alapján kiszámíthatjuk bonyolultabb
összetett függvények deriváltját is, ha ismerjük az összetevo függvények
deriváltját.
Tétel 7.3.5 (Inverz függvény deriváltja) Ha az f : A → B függvény
bijektív, deriválható az x0 ∈ A pontban és f 0 (x0) 6= 0, akkor az f−1 : B →A függvény is deriválható az y0 = f (x0) pontban és¡
f−1 (y0)¢0=
1
f 0 (x0).
Bizonyítás 45 Mivel f-nek az f−1 inverze, ezért f−1f (x) = x bármelyx ∈ A esetén. Deriválva az egyenloség mindkét oldalát kapjuk:¡
f−1 f¢0 (x) = (x)0 .
130 FEJEZET 7. FÜGGVÉNYEK DERIVÁLTJA
Alkalmazva az összetett függvény deriválási szabályát kapjuk:¡f−1
¢0(f (x0)) f
0 (x0) = 1.
Vagyis ¡f−1
¢0(y0) =
1
f 0 (x0).
7.4 Deriválási képletek
Ebben a részben néhány elemi függvény deriválási képletét adjuk meg.
7.4.1 Konstansfüggvény deriváltja
Tétel 7.4.1 Bármely c ∈ R esetén az f : R→ R, f (x) = c konstans
függvény deriválható minden x ∈ R pontban és f 0 (x) = 0.
Bizonyítását a tételnek már elobb elvégeztük. Lásd a (7.6) képletet.
f (x) = 5
4
4.5
5
5.5
6
-4 -2 0 2 4
A konstansfüggvény grafikonja.
7.4.2 Hatványfüggvény deriváltja
Tétel 7.4.2 Bármely n ∈ N (n ≥ 1) esetén az f : R→ R, f (x) = xn
hatványfüggvény deriválható minden x ∈ R pontban és f 0 (x) = nxn−1.
Bizonyítását a tételnek már elobb elvégeztük. Lásd a (7.4) képletet.
7.4. DERIVÁLÁSI KÉPLETEK 131
-100
-50
0
50
100
-4 -2 2 4x
A hatványfüggvény, ha n páratlan.
x20
5
10
15
20
25
-4 -2 2 4x
A haványfüggvény grafikonja, ha n páros.
Ez a tétel bizonyos megszorításokkal érvényes abban az esetben is, ha
kitevo valós szám.
Tétel 7.4.3 Bármely r ∈ R esetén az f : (0,+∞)→ R, f (x) = xr
hatványfüggvény deriválható minden x ∈ (0,+∞) pontban és f 0 (x) =rxr−1.
Bizonyítását a tételnek már elobb elvégeztük. Lásd a (7.5) képletet.
Ennek a tételnek néhány érdekesebb esetét foglaljuk össze az alábbi
két tételben és ezek következményeiben.
Tétel 7.4.4 Bármely k ∈ N, k ≥ 1 esetén az f : [0,+∞)→ R, f (x) =2k√x hatványfüggvény deriválható minden x ∈ (0,+∞) pontban és f 0 (x) =1
2k2k
q(x)2k−1
132 FEJEZET 7. FÜGGVÉNYEK DERIVÁLTJA
3. Következmény. az f : [0,+∞)→ R, f (x) =√x négyzetgyökfüg-
gvény deriválható minden x ∈ (0,+∞) pontban és f 0 (x) = 1
2√x.
0
0.5
1
1.5
2
1 2 3 4 5x
A négyzetgyökfüggvény grafikonja.
Tétel 7.4.5 Bármely k ∈ N, k ≥ 1 esetén az f : R→ R, f (x) = 2k+1√x
hatványfüggvény deriválható minden x ∈ R\ 0 pontban és f 0 (x) =1
(2k + 1)2k+1
q(x)2k
4. Következmény. az f : x ∈ R\ 0→ R, f (x) = 3√x köbgyökfüggvény
deriválható minden x ∈ R\ 0 pontban és f 0 (x) = 1
33√x2.
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
-4 -2 2 4
A köbgyökfüggvény grafikonja.
7.4. DERIVÁLÁSI KÉPLETEK 133
7.4.3 Exponenciális függvény deriváltja
Tétel 7.4.6 f : R→ R, f (x) = ex hatványfüggvény deriválható mindenx ∈ R pontban és f 0 (x) = ex.
Bizonyítás 46 Legyen x0 ∈ R. Akkor
f 0 (x0) = limh−→0
ex0+h − ex0h
=
= ex0 limh−→0
eh − 1h
= ex0 .
Az utolsó lépésnél felhasználtuk az limh−→0
ah−1h
= ln a összefüggést.
Tétel 7.4.7 Ha a > 0 és a 6= 1, akkor az f : R→ R, f (x) = ax
hatványfüggvény deriválható minden x ∈ R pontban és f 0 (x) = ax ln a.
Bizonyítás 47 Legyen x0 ∈ R. Akkor
f 0 (x0) = limh−→0
ax0+h − ax0h
=
= ax0 limh−→0
ah − 1h
= ax0 ln a.
0
1
2
3
4
5
6
7
-2 -1 1 2x
Az exponenciálisfüggvény grafikonja, ha az alap 1-nél nagyobb.
134 FEJEZET 7. FÜGGVÉNYEK DERIVÁLTJA
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
-2 -1 0 1 2
Az exponenciálisfüggvény grafikonja, ha az alap 1-nél kisebb.
7.4.4 Logaritmusfüggvény deriváltja
Tétel 7.4.8 Az f : (0,+∞)→ R, f (x) = lnx logaritmusfüggvény de-
riválható minden x ∈ (0,+∞) pontban és f 0 (x) = 1x.
Bizonyítás 48 Legyen x0 ∈ (0,+∞). Akkor
f 0 (x0) = limh−→0
ln (x0 + h)− lnx0h
= limh−→0
ln x0+hx0
h
= limh−→0
ln³1 + h
x0
´hx0
1
x0=1
x0
Az utolsó lépésnél felhasználtuk az limu−→0
ln(1+u)u
= 1 összefüggést.
Tétel 7.4.9 Ha a > 0 és a 6= 1, akkor az f : (0,+∞)→ R, f (x) = loga xlogaritmusfüggvény deriválható minden x ∈ (0,+∞) pontban és f 0 (x) =1x1ln a.
Bizonyítás 49 f (x) = loga x =lnxln a. Következésképpen f 0 (x) =
¡lnxln a
¢0=
1ln a(lnx)0 = 1
x1ln a.
7.4. DERIVÁLÁSI KÉPLETEK 135
-2
-1
0
1
2
1 2 3 4 5
A logaritmusfüggvény grafikonja, ha az alap 1-nél kisebb.
-4
-3
-2
-1
0
1
2
1 2 3 4 5
A logaritmusfüggvény grafikonja, ha az alap 1-nél nagyobb.
7.4.5 Szinuszfüggvény deriváltja
Tétel 7.4.10 Az f : R→ R, f (x) = sinx szinuszfüggvény deriválható
minden x ∈ R pontban és f 0 (x) = cosx.
Bizonyítását a tételnek már elobb elvégeztük. Lásd a (7.7) képletet.
136 FEJEZET 7. FÜGGVÉNYEK DERIVÁLTJA
-1
-0.5
0
0.5
1
-6 -4 -2 2 4 6x
A szinuszfüggvény grafikonja
7.4.6 Koszinuszfüggvény deriváltja
Tétel 7.4.11 Az f : R→ R, f (x) = cosx koszinuszfüggvény deriválhatóminden x ∈ R pontban és f 0 (x) = − sinx.
Bizonyítás 50 f (x) = cosx = sin¡π2− x¢ . Következésképpen f 0 (x) =¡
sin¡π2− x¢¢0 = ¡π
2− x¢0 cos ¡π
2− x¢ = − cos ¡π
2− x¢ = − sinx.
-1
-0.5
0
0.5
1
-6 -4 -2 2 4 6x
A koszinuszfüggvény grafikonja.
7.4.7 Tangensfüggvény deriváltja
Tétel 7.4.12 Az f : R\©(2k + 1) π2/ k ∈ Zª→ R, f (x) = tanx tan-
gensfüggvény deriválható minden x ∈ R\©(2k + 1) π2/ k ∈ Zª pontban és
f 0 (x) = 1cos2 x
.
7.4. DERIVÁLÁSI KÉPLETEK 137
Bizonyítás 51 f (x) = sinxcosx
. Következésképpen f 0 (x) =¡sinxcosx
¢0=
(sinx)0 cosx−sinx(cosx)0cos2 x
= cos2 x+sin2 xcos2 x
= 1cos2 x
.
-10
-5
0
5
10
-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5x
A tangensfüggvény grafikonja.
7.4.8 Kotangensfüggvény deriváltja
Tétel 7.4.13 Az f : R\ kπ / k ∈ Z→ R, f (x) = cotx kotangensfüg-
gvény deriválható minden x ∈ R\ kπ / k ∈ Z pontban és f 0 (x) = −1sin2 x
.
Bizonyítás 52 f (x) = cosxsinx
. Következésképpen f 0 (x) =¡cosxsinx
¢0=
(cosx)0 sinx−cosx(sinx)0sin2 x
= −cos2 x+sin2 xsin2 x
= − 1sin2 x
.
-10
-5
0
5
10
0.5 1 1.5 2 2.5 3x
A kotangensfüggvény grafikonja.
138 FEJEZET 7. FÜGGVÉNYEK DERIVÁLTJA
7.4.9 Arkuszszinusz függvény deriváltja.
Definíció 7.4.14 Mivel az f :£−π
2, π2
¤ → [−1, 1], f (x) = sinx szi-
nuszfüggvény bijektív, ezért invertálható. A függvény inverzét arkuszsz-
inuszfüggvénynek nevezzük és arcsin szimbolummal jelüljük.
Tétel 7.4.15 A g : [−1, 1]→ £−π2, π2
¤, g (x) = arcsinx arkuszszinuszfüg-
gvény deriválható minden x ∈ (−1, 1) pontban és g0 (x) = 1√1−x2 .
Bizonyítás 53 Alkalmazzuk az inverz függvény deriválási tételét ( lásd
7.3.5) a sin és arcsin függvényekre. Így
(arcsin y)0 =1
(sinx)0,
ahol y = sinx. Vagyis x = arcsin y. Tehát
(arcsin y)0 =1
(sinx)0
=1
cosx
=1p
1− sin2 x=
1q1− (sin (arcsin y))2
=1p1− y2
,
mivel sin (arcsin y) = y.
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
-1 -0.5 0.5 1x
Az arkuszszinusz-függvény grafikonja.
7.4. DERIVÁLÁSI KÉPLETEK 139
7.4.10 Arkuszkoszinusz függvény deriváltja.
Definíció 7.4.16 Mivel az f : [0,π]→ [−1, 1], f (x) = cosx koszinuszfüg-gvény bijektív, ezért invertálható. A függvény inverzét arkuszkoszinuszfüg-
gvénynek nevezzük és arccos szimbolummal jelüljük.
Tétel 7.4.17 A g : [−1, 1]→ [0,π], g (x) = arccosx arkuszkoszinuszfüg-gvény deriválható minden x ∈ (−1, 1) pontban és g0 (x) = −1√
1−x2 .
Bizonyítás 54 Alkalmazzuk az inverz függvény deriválási tételét ( lásd
7.3.5) a cos és arccos függvényekre. Így
(arccos y)0 =1
(cosx)0,
ahol y = cosx. Vagyis x = cos y. Tehát
(arccos y)0 =1
(cosx)0
=−1sinx
=−1√
1− cos2 x=
−1q1− (cos (arccos y))2
=−1p1− y2
,
mivel cos (arccos y) = y.
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
-1 -0.5 0.5 1x
Az arkuszkoszinusz-függvény grafikonja.
140 FEJEZET 7. FÜGGVÉNYEK DERIVÁLTJA
7.4.11 Arkusztangens függvény deriváltja.
Definíció 7.4.18 Mivel az f :¡−π
2, π2
¢ → R, f (x) = tanx tangensfüg-
gvény bijektív, ezért invertálható. A függvény inverzét arkusztangensfüg-
gvénynek nevezzük és arctan szimbolummal jelüljük.
Tétel 7.4.19 A g : R→ ¡−π2, π2
¢, g (x) = arctanx arkusztangensfüg-
gvény deriválható minden x ∈ R pontban és g0 (x) = 11+x2
Bizonyítás 55 Alkalmazzuk az inverz függvény deriválási tételét ( lásd
7.3.5) a tan és arctan függvényekre. Így
(arctan y)0 =1
(tanx)0,
ahol y = tanx. Vagyis x = arctan y. Tehát
(arctan y)0 =1
(tanx)0
= cos2 x
=1
1 + tan2 x
=1
1 + (tan (arctan y))2
=1
1 + y2,
mivel tan (arctan y) = y.
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
-10 -5 5 10x
Az arkusztangens-függvény grafikonja.
7.4. DERIVÁLÁSI KÉPLETEK 141
7.4.12 Arkuszkotangens függvény deriváltja.
Definíció 7.4.20 Mivel az f : (0,π) → R, f (x) = cotx kotangensfüg-
gvény bijektív, ezért invertálható. A függvény inverzét arkuszkotangens-
függvénynek nevezzük és arccot szimbolummal jelüljük.
Tétel 7.4.21 A g : R→ (0,π), g (x) = arccotx arkuszkotangensfüg-
gvény deriválható minden x ∈ R pontban és g0 (x) = −11+x2
Bizonyítás 56 Alkalmazzuk az inverz függvény deriválási tételét ( lásd
7.3.5) a cot és arccot függvényekre. Így
(arccot y)0 =1
(cotx)0,
ahol y = cotx. Vagyis x = arccot y. Tehát
(arccot y)0 =1
(cotx)0
= − sin2 x=
−11 + cot2 x
=−1
1 + (cot (arccot y))2
=−11 + y2
,
mivel cot (arccot y) = y.
0.5
1
1.5
2
2.5
3
-10 -5 0 5 10x
Az arkuszkotangens-függvény grafikonja.
142 FEJEZET 7. FÜGGVÉNYEK DERIVÁLTJA
7.4.13 Hiperbolikusz függvények deriváltja
Definíció 7.4.22 Az f : R→ R, f (x) = ex−e−x2
függvényt szinuszhiper-
bolilokusz függvénynek nevezzük és f = sinh szimbolummal jelöljük.
Definíció 7.4.23 Az f : R→ R, f (x) = ex+e−x2
függvényt koszi-
nuszhiperbolilokusz függvénynek nevezzük és f = cosh szimbolummal
jelöljük.
Tétel 7.4.24 Bármely x, y ∈ R esetén
cosh2 x− sinh2 x = 1,
cosh (x+ y) = coshx cosh y + sinhx sinh y,
sinh (x+ y) = sinhx cosh y + coshx sinh y.
A tulajdonságok az exponenciális függvény deriválási szabályából és a
függvények értlemezésébol azonnal következnek.
Amint látható, ez a függvénypár hasonló tulajdonságokkal bír mint
a szinusz és koszinusz függvénypár, ezért nevezik oket szinusz- illetve
koszinuszhoperbolikusz függvényeknek.
Tétel 7.4.25 Az f : R→ R, f (x) = sinhx szinuszhiperbolikusz függvényderiválható minden x ∈ R pontban és f 0 (x) = coshx.
Tétel 7.4.26 Az f : R→ R, f (x) = coshx koszinuszhiperbolikusz füg-
gvény deriválható minden x ∈ R pontban és f 0 (x) = sinhx.
Bizonyítás 57
(sinhx)0 =µex − e−x
2
¶0=ex + e−x
2= coshx;
(coshx)0 =µex + e−x
2
¶0=ex − e−x
2= sinhx.
7.4. DERIVÁLÁSI KÉPLETEK 143
-60
-40
-20
0
20
40
60
-4 -2 2 4x
A szinuszhiperbolikusz-függvény grafikonja.
0
10
20
30
40
50
60
70
-4 -2 2 4x
Koszinuszhiperbolikusz-függvény grafikonja.
7.4.14 Elemi függvények
Ha figyelmesen megnézzük ebben a paragrafusban felsorolt függvényeket,
azonnal észre lehet venni, hogy ezek a függvények egésszen kevés kiindulási
függvénybol származtathatók. Ezek az alapveto függvények az
1. f : R→ R,f (x) = x elsofokú polinomfüggvény;
2. f : R→ R,f (x) = ex exponenciális függvény;
3. f : R→ R,f (x) = sinx szinuszfüggvény.
A többi függvény ezekbol képezheto, felhasználva a következo füg-
gvényképzésre vonatkozó eljárásokat:
144 FEJEZET 7. FÜGGVÉNYEK DERIVÁLTJA
1. állandóval való szorzás;
2. összeadás;
3. szorzás;
4. egy adott halmazra való leszükítés;
5. függvény összetevés;
6. inverz függvény képzés.
Ezekkel az eljárásokkal, többször alkalmazva oket nem csak az elozoek-
ben bemutatott függvényeket tudjuk megszerkeszteni, hanem ezen kivul
még nagyon sok más függvényt is.
Ebben a paragrafusban bemutatott függvényeket elemi függvényeknek
nevezzük. A segítségükkel, a megadott eljárásokkal képzett újabb füg-
gvényeket összetett függvényeknek nevezzük. Az összett függvény de-
riválási tétele alapján az így szerkesztett függvények is deriválhatók
lesznek. Ezen deriválási szabályokat adjuk meg az alábbi táblázatban.
7.5. MAGASSABB RENDU DERIVÁLTAK 145
A függvény és deriváltja
u u0
un, n ≥ 1, n ∈ N nun−1u0
ur, r ∈ R, (u > 0) rur−1u0, (u > 0)√u, (u ≥ 0) u0
2√u, (u > 0)
3√u
u0
3√u2, (u 6= 0)
eu euu0
au, a > 0, a 6= 1 auu0 ln a
lnu, (u > 0)1
uu0, (u > 0)
loga u, a > 0, a 6= 1, (u > 0)1
uu01
ln a, (u > 0)
sinu u0 cosucosu −u0 sinutanu,
¡u ∈ R\©(2k + 1) π
2/ k ∈ Zª¢ 1
cos2 uu0, (cosu 6= 0)
cotu, (u ∈ R\ kπ / k ∈ Z) −1sin2 u
u0, (sinu 6= 0)arcsinu, (u ∈ [−1, 1]) 1√
1− u2u0, (u ∈ (−1, 1))
arccosu, (u ∈ [−1, 1]) −1√1− u2u
0, (u ∈ (−1, 1))
arctanu1
1 + u2u0
arccotu−11 + u2
u0
7.5 Magassabb rendu deriváltak
Definíció 7.5.1 Az f : A → R függvény kétszer deriválható az x0 ∈ Apontban, ha f deriválható az x0 egy környezetében és f
0 deriválható azx0-ban. Az f másodrendu deriváltját az x0-ban f
00 (x0)-val jelöljük.
Hasonlóan értelmezzük az f n-edrendu deriváltját is.
Definíció 7.5.2 Az f : A → R függvény n-szer deriválható az
x0 ∈ A pontban, ha f-nek létezik (n− 1)-edrendu deriváltja az x0 egykörnyezetében és f (n−1) deriválható az x0-ban. Az f n-edrendu deriváltjátaz x0-ban f
(n) (x0)-val jelöljük.
146 FEJEZET 7. FÜGGVÉNYEK DERIVÁLTJA
Példa. Legyen f : R → R, f (x) = x4 + 2x3. Határozzuk meg az f
5-ödrendu deriváltját.
f 0 (x) = 4x3 + 6x2;
f00(x) = 12x2 + 12x;
f 000 (x) = 24x+ 12;
f (4) (x) = 24;
f (5) (x) = 0.
Megjegyzés 7.5.3 A példában bemuatott tulajdonság érvényes általános
esetben is. Vagyis, ha f : R → R egy n-ed rendu polinomfüggvény, akkorf (n+1) (x) = 0 bármely x ∈ R esetén.
Példa. Oldjuk meg az f 00 (x) = 0 egyenletet, ha f : R→ R, f (x) = e−x2.
f 0 (x) = −2xe−x2 ;f00(x) = −2e−x2 + 4x2e−x2 .
Tehát
−2e−x2 + 4x2e−x2 = 0,¡−2 + 4x2¢ e−x2 = 0.Vagyis
−2 + 4x2 = 0,
x12 = ±√2
2.
7.6 A derivált közgazdasági alkalmazása
A közgazdászok a függvény deriváltját a különbözo függvények elasztic-
itásának meghatározásában használják, amikor azt tanulmányozzák, hogy
például egy termék kereslete y, hogy függ a termék árától az x-tol. Vagyis
tulajdonképpen az y = f (x) függvényt tanulmányozzák.
Kérdezhetjük, hogy hány darabbal változik meg a termék iránti
kereslet, ha az ára 1000 lejjel no. Itt egy konkrét számot kapunk, a kereslet
7.6. A DERIVÁLT KÖZGAZDASÁGI ALKALMAZÁSA 147
változását darabszámban megadva. De a keresletnek az ilyen fajta füg-
gosége az ártól nem a legszerencsésebb, mivel például 1 kg cukor árának
1000 lejes növekedése jelentos, míg egy autó árának 1000 lejes növekedése
jelentéktelen.
Ezért a közgazdászok a relatív változásokat tekintik. Vagyis hány
százalékkal változik a kereslet, ha az ár 1% -kal no. Az így kapott szám a
kereslet árelaszticitása vagy árrugalrnassága.
Tegyük fel, hogy egy termék iránti keresletet az f függvény írja le.
Ha az ár változása ∆x, akkor a kereslet változását ∆y-nal jelöljük.
Tehát
∆y = f (x+∆x)− f (x)A kereslet relatív változása:
∆y
y=f (x+∆x)− f (x)
f (x)
A kereslet relatív változásának és az ár relatív változásának hányadosát
a kereslet átlagos elaszticitásának nevezzük az [x, x+∆x] intervallumban.
Tehát∆yy
∆xx
=x
y
∆y
∆x=
x
f (x)
f (x+∆x)− f (x)∆x
. (7.12)
Az átlagos elaszticitást az árnak egy bizonyos x értéke mellett a
(7.12)ben szereplo hányados határértéke adja meg, amikor ∆x tart a 0-
hoz.
Definíció 7.6.1 Tekintsük az f : A → R függvényt és az x0 ∈ A pontot.Ha f deriválható az x0-ban és f (x0) 6= 0, akkor az f átlagos elaszticitásaaz x0-ban
Elf (x0) = limh→0
x0
f (x0 + h)
f (x+ h)− f (x)h
=x0
f (x0)f 0 (x0) .
Példa. Számitsuk f (x) = ex exponenciális függvény elaszticitását
elaszticitását egy x ∈ R pontban.
El (ex) =x
ex(ex)0 = x.
148 FEJEZET 7. FÜGGVÉNYEK DERIVÁLTJA
Példa. Tegyük fel, hogy a fagylalt árusításának árelaszticitása −0.6.Határozzuk meg, milyen következménye van a fagylat 10%-os
áremelésének. Jelöljük a fagylalt árát x-el. y = f (x) függvény írja
le a kereslet függését az ártól. Ekkor El (ex) = 6/10 és ∆xx= 10%.
Tehát
∆yy
∆xx
' Elf (x) , (7.13)
∆y
y' Elf (x) ∆x
x= −6/10 · 1/10 = −6%.
Ez azt jelenti, hogy az árak 10%-os növekedése a forgalom kb. 6%-os
csökkenéséhez vezet.
Megjegyzés 7.6.2 Az (7.13) képlet azt mutatja meg, hogy az árak p%-os
növekedése a kereslet q = |Elf (x)| · p%-os csökkenéséhez vezet.Legyen valamely termék keresletfüggvénye y = f (x), Akkor f (x)
egységnek x áron való eladása esetén a gyártó jövedelme
R(x) = x.f(x)
A szorzat x szerinti deriválása után kapjuk
R0(x) = f (x) + xf 0 (x)
= f (x)
µ1 +
x
f (x)f 0 (x)
¶= f (x) (1 +Elf (x)) .
A jövedelemfüggvény elaszticitása:
ElR (x) =x
R (x)R0 (x)
=xf (x) (1 +Elf (x))
xf (x)
= 1 +Elf (x) .
Látható, hogy a jövedelem árelaszticitása és a kereslét árelaszticitása
közötti különbség mindig 1. Innen adódik, hogy ha Elf(x) = −1, akkorElR(x) = 0. Tehát ha a kereslet árelaszticitása −1, akkor egy kis árvál-tozásnak a jövedelemre való hatása elhanyagolható.
7.7. KÖZELÍTO SZÁMÍTÁSOK 149
Tétel 7.6.3 (Muveletek az elaszticitással) Ha az f, g : A → R füg-
gvények deriválhatók az x0 ∈ A pontban, f (x0) 6= 0 és g (x0) 6= 0, akkor:
1. ElA= 0 bármely A ∈ R konstans esetén;
2. El (f + g) (x0) =f (x0)Elf (x0) + g (x0)Elg (x0)
f (x0) + g (x0), ha f (x0) +
g (x0) 6= 0;
3. El (f − g) (x0) =f (x0)Elf (x0)− g (x0)Elg (x0)
f (x0)− g (x0) , ha f (x0) −g (x0) 6= 0;
4. El (fg) (x0) = Elf (x0) +Elg (x0) ;
5. El (f/g) (x0) = Elf (x0)−Elg (x0) ;6. El (f g) (x0) = Elf (g (x0))Elg (x0) , ha az f g függvény
képezheto.
Feladatok. Határozzuk meg a következo függvények elaszticicitását:
1. f(x) = 3x−3;
2. f(x) = −10x5 + 2x3;3. f(x) = 1√
x;
4. f(x) =√x5.
7.7 Közelíto számítások
Ha f : A→ R deriválható az x0 ∈ A pontban, akkor azy − f (x0) = f 0 (x0) (x− x0)
egyenletu egyenes érintoje az f grafikonjának az (x0, f (x0)) pontban.
Ezért az x0-hoz elég közeli x értékekre
f (x) ' f (x0) + f 0 (x0) (x− x0) . (7.14)
Ebben a képletben a jobb oldalon egy elsofokú polinomfüggvény szerepel és
ezért azt mondjuk, hogy az (7.14) képlet az f függvény elsofokú közelítése
az x0 környezetében.
150 FEJEZET 7. FÜGGVÉNYEK DERIVÁLTJA
Példa. Határozzuk meg a szinuszfüggvény elsofokú közelíto polinomfüg-
gvényét az x0 = 0 környezetében. Mivel (sinx)0 |x=0 = 1,ezért
sinx ' x, (7.15)
ha x nagyon közel van a 0-hoz.
7.8 Középértéktételek és következményeik
Az elozo paragrafusokban megismertük a deriválás technikájának alapveto
módszereit. Ebben a paragrafusban ismertetjük azokat az alapveto
eredményeket, amelyek sikerrel alkalmazhatók a deriválható függvények
alapveto tulajdonságainak a vizsgálatát (növekedés, fogyás, alaki vis-
zonyok, szélsoérték stb.).
7.8.1 A függvények szélsoérték-pontjai
Egész sor matematikai, technikai, gazdasági problémánál fontos tudni bi-
zonyos változó mennyiségek maximumát és minimumát. Miután a matem-
atikailag megfogalmaztuk a problémát (megtaláltuk a jelenséget leíró
függvény), feladatunk megkeresni milyen tulajdonságot kell teljesítsen a
tanulmányozott függvény, hogy adott pontban minimuma vagy maximuma
legyen.
Definíció 7.8.1 Legyen f : A → R, (A ⊆ R) egy függvény. Az x0 ∈ Apontot az f helyi (lokális) maximum pontjának nevezzük, ha létezik x0-nak
egy olyan U környezete, hogy bármely x ∈ U ∩A értékref (x) ≤ f (x0) .
Ebben az esetben az f (x0) számot a függvény helyi (lokális) maximumának
nevezzük.
Definíció 7.8.2 Legyen f : A → R, (A ⊆ R) egy függvény. Az x0 ∈ Apontot az f helyi (lokális) minimum pontjának nevezzük, ha létezik x0-nak
egy olyan U környezete, hogy bármely x ∈ U ∩A értékref (x) ≥ f (x0) .
Ebben az esetben az f (x0) számot a függvény helyi (lokális) minimumának
nevezzük.
7.8. KÖZÉPÉRTÉKTÉTELEK ÉS KÖVETKEZMÉNYEIK 151
Definíció 7.8.3 Legyen f : A → R, (A ⊆ R) egy függvény. Az x0 ∈ Apont az f helyi (lokális) szélsoérték pontja, ha x0 helyi minimum pont vagy
helyi maximum pont.
Definíció 7.8.4 Legyen f : A → R, (A ⊆ R) egy függvény. Az x0 ∈ Apontot az f (globális) maximum pontjának nevezzük, ha bármely x ∈ Aértékre
f (x) ≤ f (x0) .Ebben az esetben az f (x0) számot a függvény (globális) maximumának
nevezzük.
Definíció 7.8.5 Legyen f : A → R, (A ⊆ R) egy függvény. Az x0 ∈ Apontot az f (globális) minimum pontjának nevezzük, ha bármely x ∈ Aértékre
f (x) ≥ f (x0) .Ebben az esetben az f (x0) számot a függvény (globális) minimumának
nevezzük.
A mellékelt ábrán az f : [a, b] → R függvény grafikonja látható. Azábráról leolvasható, hogy az x1, x3, b pontok helyi maximum pontok, az
a, x2, x4 pontok pedig helyi minimum pontok. A függvény globális maxi-
mum pontja az x1, globális mininum pontja pedig az x4. Ezekhez a szél-
soérték pontokhoz tartozó behelyettesítési értékek pedig a maguk során
helyi minimumok illetve helyi maximumok. A függvény minimuma az
f (x4) érték, maximuma pedig az f (x1) érték.
A derivált jelentoségét hangsulyozza ki a következo tétel.
152 FEJEZET 7. FÜGGVÉNYEK DERIVÁLTJA
Tétel 7.8.6 (P. Fermat tétele) Legyen az f : (a, b) → R függvénynek
az x0 ∈ (a, b) egy helyi szélsoérték pontja. Ha f deriválható az x0-ban,akkor f 0 (x0) = 0.
Bizonyítás 58 Tegyük fel, hogy x0 helyi minimum pont. Akkor létezik x0-
nak egy olyan U ⊂ (a, b) környezete, hogy bármely x ∈ U esetén f (x0) ≤f (x) . Mivel f deriválható az x0-ban, ezért f
0b (x0) = f
0j (x0) . De
f 0b (x0) = limh%0
f (x0 + h)− f (x0)h
≤ 0,
mert f (x0 + h) ≥ f (x0), ha x0 + h ∈ U és h < 0. Hasonlóan
f 0j (x0) = limh&0
f (x0 + h)− f (x0)h
≥ 0,
mert f (x0 + h) ≥ f (x0), ha x0 + h ∈ U és h > 0.
Innen következik, hogy az f 0b (x0) = f 0j (x0) egyenloség csak akkor tel-jesülhet, ha f 0b (x0) = f
0j (x0) = 0.
Megjegyzés 7.8.7 Feltétlenül szükséges, hogy a függvény értelmezési tar-
tománya nyílt legyen, mert ha zárt lenne, akkor az x0 = a, vagy x0 = b
végpontokban nem lehet számítani egyszerre a bal és jobb oldali derivál-
takat.
Az a tény, hogy a derivált értéke a helyi szélsoérték pontokban zéró
azt mutatja, hogy ebben a pontban a függvény grafikonjához húzott érinto
párhuzamos a vizszíntes tengellyel. Ez megfigyelheto a fenti ábrán az
(x2, f (x2)) , (x3, f (x3)) , (x4, f (x4)) pontokban. Észreveheto, ha a füg-
gvény nem deriválható egy helyi szélsoérték pontban, akkor a bal és jobb
oldali érintok létezhetnek, de nem mind a ketto vizszíntes.
Megjegyzés 7.8.8 A tétel fordítottja nem igaz. Elofordulhat, hogy
f 0 (x0) = 0 és az x0 nem helyi szélsoéerték pont. Például az f : R→ R,f (x) = x3 függvénynek a deriváltja az x0 = 0-ban és mégis a 0 nem helyi
szélsoérték pontja, mivel f szigorúan növekvo függvény.
7.8. KÖZÉPÉRTÉKTÉTELEK ÉS KÖVETKEZMÉNYEIK 153
-100
-50
0
50
100
-4 -2 2 4x
Az f : R→ R, f (x) = x3 függvény grafikonja.
Megjegyzés 7.8.9 A grafikon azt mutatja, hogy a 0-ban valóban a de-
rivált 0, mivel a függvénynek ebben a pontban vizszíntes érintoje van, de
csak a grafikon meghajlik, de nem változtat irányt. Ezért azt mondhatjuk,
hogy Fermat tétele szükséges, de nem elégséges feltétele a szélsoérték pont
létezésének.
Definíció 7.8.10 Ha az f : A→ R, (A ⊆ R) függvény az x0 ∈ A ponbanderiválható és f 0 (x0) = 0, akkor azt mondjuk, hogy x0 az f stacionáriuspontja.
Megjegyzés 7.8.11 Az elobbi értelmezés alapján Fermát tétele azt
mondja ki, hogy egy deriválható függvény helyi szélsoérték pontjai a sta-
cionárius pontok közül kereshetok. Ezt a tényt használjuk fel a szélsoérték
feladatok megoldásakor.
7.8.2 Rolle tétele
Mielott megismerkednénk a tétellel bevezetünk egy függvényosztályt, és-
pedig azon függvények osztályát, amelyek zárt intervallumon folytonosak
és ennek az intervallumnak a belsejében deriválhatók. Pontosabban
mondva:
Definíció 7.8.12 Az f : [a, b] → R függvényt Rolle-tulajdonságúnak
nevezzük, ha folytonos az [a, b] zárt intervallumon és deriválható az (a, b)
nyílt intervallumon.
154 FEJEZET 7. FÜGGVÉNYEK DERIVÁLTJA
Tétel 7.8.13 (M. Rolle tétele) Ha az f : [a, b]→ R függvény folytonosaz [a, b] zárt intervallumon, deriválható az (a, b) nyílt intervallumon és
f (a) = f (b), akkor létezik legalább egy olyan c ∈ (a, b) pont amelyre
f 0 (c) = 0.
Megjegyzés 7.8.14 A tétel szemléletes tartalam: ha egy Rolle-
tulajdonságú f függvénygörbe (a, f (a)) és (b, f (b)) pontjához tartozó húrja
párhuzamos a vizszíntes tengellyel, akkor az a és b között van olyan c pont,
hogy a hozzá tartozó (c, f (c)) görbepontban az érinto párhuzamos legyen
a vizszíntes tengellyel. Lásd az alábbi ábrát.
Bizonyítás 59 Rolle tételének a bizonyítása azon tényen alapszik, hogy
az f függvény zárt intervallumon folytonos függvény és ezért Weierstrass
tétele alapján eléri minimumát és maximumát. Ebbol következik, hogy van
az f-nek helyi minimum és helyi maximum pontja is. Ha az f állandó,
akkor minden c ∈ (a, b) pontra f 0 (c) = 0. Ha f nem állandó, akkor
létezik olyan c1, c2 ∈ [a, b] úgy, hogy vagy f (c1) = minx∈[a,b]
f (x) < f (a),
vagy f (c2) = maxx∈[a,b]
f (x) > f (a) . Tehát az f-nek van f (a)-tól különbözo
szélsoértéke. Ezért vagy c1 ∈ (a, b) vagy c2 ∈ (a, b). Fermat tétele alapjánvagy f 0 (c1) = 0 vagy f 0 (c2) = 0.
Következmény. Az f : (a, b) → R deriválható függvény két gyöke
között van a függvény deriváltjának is legalább egy gyöke. Szem-
létetésképpen figyeld az alábbi ábrát.
7.8. KÖZÉPÉRTÉKTÉTELEK ÉS KÖVETKEZMÉNYEIK 155
Megjegyzés 7.8.15 A Rolle tételének minden feltétele szükséges, hogy a
tétel következménye igaz legyen. Mivel, ha
(i) f csak az (a, b) intervallumon folytonos, akkor az
f (x) =
½ −x ha x ∈ (0, 1] ,−1 ha x = 0,
függvény teljesiti a többi feltételt és bármely c ∈ (0, 1) esetén f 0 (c) 6=0.
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
00.2 0.4 0.6 0.8 1
Az f függvény grafikonja.
(ii) Ha f (a) 6= f (b), akkor az f : [0, 1]→ R,f (x) = x függvényre a többifeltétel teljesül, de bármely c ∈ (0, 1) esetén f 0 (c) 6= 0.
(iii) Ha f nem deriválható az (a, b) intervallumon, akkor az f :
[−1, 1]→ R, f (x) = |x| függvénynek a minimum pontja az x0 = 0,
de ebben a pontban a függvény nem deriválható, így f 0 (0) nem lehet
zéró. A többi pontban a függvény deriválható, de a derivált értéke
nem zéró.
156 FEJEZET 7. FÜGGVÉNYEK DERIVÁLTJA
7.9 Lagrange-féle középértéktétel
A Lagrange-féle középértéktétel tulajdonképpen a Rolle tételének egy ál-
talánosítása.
Tétel 7.9.1 (J. Lagrange-féle középértéktétel) Ha az f : [a, b] → Rfüggvény folytonos az [a, b] zárt intervallumon és deriválható az (a, b) nyílt
intervallumon, akkor létezik legalább egy olyan c ∈ (a, b) pont, amelyre
f 0 (c) =f (b)− f (a)
b− a .
Megjegyzés 7.9.2 A tétel szemléletes tartalam: egy Rolle-tulajdonságú
f függvény esetén található olyan c az a és b közötti pont, amelyre
a (c, f (c)) görbepontban az érinto párhuzamos legyen a függvénygörbe
(a, f (a)) és (b, f (b)) pontjához tartozó húrjával. Lásd az alábbi ábrát.
Bizonyítás 60 Lagrange tételének igazolását úgy oldjuk meg, hogy vissza-
vezessük Rolle tételére. Ennek érdekében vegyük a g : [a, b] → R, g (x) =f (x)− f(b)−f(a)
b−a x függvényt és nézzük meg, hogy teljesíti-e Rolle tételének
feltételeit. Elsosorban, mivel f Rolle tulajdonságú volt következik, hogy a
7.9. LAGRANGE-FÉLE KÖZÉPÉRTÉKTÉTEL 157
g is Rolle tulajdonságú lesz. Másodsorban,
g (a) = f (a)− f (b)− f (a)b− a a
=f (a) b− f (a) a− f (b) a+ f (a) a
b− a=f (a) b− f (b) a
b− a ,
és
g (b) = f (b)− f (b)− f (a)b− a b
=f (b) b− f (b) a− f (b) b+ f (a) b
b− a=f (a) b− f (b) a
b− a .
Tehát g teljesíti Rolle tételének a feltételeit, következésképpen létezik olyan
c ∈ (a, b), amelyre g0 (c) = 0. De
g0 (c) = f 0 (c)− f (b)− f (a)b− a .
Következésképpen
f 0 (c) =f (b)− f (a)
b− a .
Megjegyzés 7.9.3 Lagrange-féle középértéktételt szokták még a véges
növekedések tételének nevezni is.
Megjegyzés 7.9.4 Ugyanúgy, mint a Rolle tételénél a c nem egyértelmu.
Megjegyzés 7.9.5 Hasonlóan mint a Rolle tételénél a felsorolt feltételek
mind szükségesek a Lagrange tétel következményének teljesüléséhez.
Lagrange tétele alkalmazható a függvények deriválhatóságának eldön-
tésére is. Ezt igazolja, az alábbi feltétel.
1. Következmény. Legyen f függvény értelmezve az x0 ∈ R pont egy Ukörnyezetében, deriválható az U \x0 halmazon és folytonos az x0-ban. Ha létezik és véges a lim
x→x0f 0 (x) határérték, akkor f deriválható
az x0-ban és f0 (x0) = lim
x→x0f 0 (x) .
158 FEJEZET 7. FÜGGVÉNYEK DERIVÁLTJA
Bizonyítás 61 Alkalmazzuk Lagrange tételét az [x0, x0 + h] interval-
lumra. Következik, hogy létezik ch ∈ (x0, x0 + h) úgy, hogy
f 0 (ch) =f (x0 + h)− f (x0)
h.
Mivel x0 < ch < x0 + h, k0vetkezik, hogy
limh&0
f (x0 + h)− f (x0)h
= limh&0
f 0 (ch) = f 0j (x0) = limx→x0
f 0 (x)
Hasonlóan az [x0 − h, x0] következik, hogy f 0b (x0) = limx→x0
f 0 (x) . Mivel
a bal és jobb oldali határértékek egyenloek, következik, hogy a függvlny
deriválható az x0-ban és f0 (x0) = lim
x→x0f 0 (x) .
Példa. Igazoljuk, hogy az alábbi f függvény deriválható az x0 = 1 pont-
ban:
f (x) =
½x2
2− 1
2, ha x ≤ 1,
lnx, ha x > 1.
Megoldás. Alkalmazzuk a következményt. Elore megnézzzük, hogy az
f folytonos-e az x0-ban.
limx%1
f (x) = limx%1
x2
2− 1
2= 0
limx&1
f (x) = limx&1
lnx = 0
f (1) = 12
2 − 12= 0
⎫⎪⎪⎬⎪⎪⎭ =⇒
f folytonos az x0 ban.
Majd kiszámítjuk az x0 ban a bal és jobb oldali deriváltakat
f 0 (x) =½x, ha x < 1,1x, ha x > 1.
Tehátf 0j (1) = lim
x&1f 0 (x) = lim
x&11x= 1,
f 0b (1) = limx%1
f 0 (x) = limx&1
x = 1,
⎫⎬⎭ =⇒
Mivel a két határérték egyenlo, következik, hogy f deriválható az
x0-ban és f0 (1) = 1.
7.9. LAGRANGE-FÉLE KÖZÉPÉRTÉKTÉTEL 159
2. Következmény. Ha az f : (a, b) → R függvény deriválható és a de-riváltja pozitív, akkor a függvény növekvo.
Bizonyítás 62 Legyen x1, x2 ∈ (a, b) úgy, hogy x1 < x2. Akkor az f
teljesiti a Lagrange-féle középértéktétel feltételeit. Tehát létezik c ∈ (x1, x2)úgy, hogy
f 0 (c) =f (x2)− f (x1)
x2 − x1 .
Következésképpen
f (x2)− f (x1) = f 0 (c) (x2 − x1) ≥ 0.
Vagyis f (x2) ≥ f (x1) . Ami azt mutatja, hogy f növekvo.
Hasonló következmény igaz, ha a derivált negatív.
3. Következmény. Ha az f : (a, b) → R függvény deriválható és a de-riváltja negatív, akkor a függvény csökkeno.
4. Következmény. Ha az f : (a, b) → R függvény deriválható és a de-riváltja szigorúan pozitív, akkor a függvény szigorúan növekvo.
5. Következmény. Ha az f : (a, b) → R függvény deriválható és a de-riváltja szigorúan negatív, akkor a függvény szigorúan csökkeno.
7.9.1 Cauchy-féle középértéktétel
Ez tétel a Lagrange-féle középértéktétel egy általánosítása.
Tétel 7.9.6 Ha az f : [a, b]→ R és g : [a, b]→ R függvények folytonosakaz [a, b] zárt intervallumon, deriválhatók az (a, b) nyílt intervallumon és
bármely x ∈ (a, b) esetén g0 (x) 6= 0, akkor létezik legalább egy olyan c ∈(a, b) pont, amelyre
f 0 (c)g0 (c)
=f (b)− f (a)g (b)− g (a) .
Bizonyítás 63 Cauchy tételének igazolását úgy oldjuk meg, hogy vis-
szavezessük Rolle tételére. Ennek érdekében vegyük a h : [a, b] → R,h (x) = f (x) − f (a) − f(b)−f(a)
g(b)−g(a) [g (x)− g (a)] függvényt és nézzük meg,hogy teljesíti-e Rolle tételének feltételeit. Elsosorban nézzük meg, hogy
160 FEJEZET 7. FÜGGVÉNYEK DERIVÁLTJA
a függvénynek, van-erteleme. Vagyis a tört nevezoje nem-e zéró. Ha
zéró volna, akkor g (b) = g (a) . Akkor Rolle tétele alapján létezne olyan
c1 ∈ (a, b) pont, amelyre g0 (c1) = 0. De ez ellentmond azzal a feltevésseel,hogy bármely x ∈ (a, b) esetén g0 (x) 6= 0.
Másodsorban, mivel f, g Rolle tulajdonságúak következik, hogy a h is
Rolle tulajdonságú lesz.
Harmadsorban,
h (a) = f (a)− f (a)− f (b)− f (a)g (b)− g (a) [g (a)− g (a)] = 0
és
h (b) = f (b)− f (a)− f (b)− f (a)g (b)− g (a) [g (b)− g (a)]
= f (b)− f (a)− f (b) + f (a) = 0.
Tehát h teljesíti Rolle tételének a feltételeit, következésképpen létezik olyan
c ∈ (a, b), amelyre h0 (c) = 0. De
h0 (c) = f 0 (c)− f (b)− f (a)b− a g0 (c) .
Következésképpen
f 0 (c)g0 (c)
=f (b)− f (a)g (b)− g (a) .
Megjegyzés 7.9.7 Megfigyelheto, hogy visszakapjuk Lagrange tételét, ha
a g (x) = x.
A Cauchy-féle középérték egyik legfontosabb következménye a
l’Hospital-szabály.
7.9.2 l’Hospital-szabály
Két valós változós valós függvény hányadosa határértékénrk a kiszámítása
nem mindig egyszeru. Sot, általában a határérték létezése sem látható
be könnyen. A következo tétel elégséges feltételt ad a hányados
határértékének létezésére és módszert a kiszámítására.
7.9. LAGRANGE-FÉLE KÖZÉPÉRTÉKTÉTEL 161
Tétel 7.9.8 (l’Hospital-szabály) Legyen x0 az I ⊆ R intervallum végesvagy végtelen torlódási pontja, f és g pedig az I\x0 halmazon értelmezettfüggvények. ha f és g kielégítik az alábbi feltételeket:
(i) limx→x0
f (x) = 0 és limx→x0
g (x) = 0 vagy limx→x0
f (x) = ±∞ és limx→x0
g (x) =
±∞;(ii) f, g deriválhatók az I \ x0 halmazon;
(iii) g0 (x) 6= 0 az I \ x0 halmazon;
(iv) létezik az A = limx→x0
f 0(x)g0(x) véges vagy végtelen, akkor limx→x0
f(x)
g(x)= A.
Bizonyítás 64 A tétel bizonyításakor három esetet kell megkülönböztetni:
A. eset. x0 6= ±∞ és limx→x0
f (x) = limx→x0
g (x) = 0. Értelmezzük az
I ∪ x0 halmazon az f1 és g1 függvényeket
f1 (x) =
½f (x) ha x 6= x0,0, ha x = x0.
g1 (x) =
½g (x) ha x 6= x0,0, ha x = x0.
Nyilván limx→x0
f1 (x) = 0 és limx→x0
g1 (x) = 0 tehát az f1 és g1 függvények
folytonosak az x0-ban. Ha x ∈ I, akkor az f1, g1 függvények teljesítika Cauchy-féle tétel feltételeit az [x0, x] intervallumon. Tehát létezik egy
cx ∈ (x0, x) úgy, hogy
f 01 (cx)g01 (cx)
=f1 (x)− f1 (x0)g1 (x)− g1 (x0) .
Mivel f1 (x) = f (x) , g1 (x) = g (x) és f1 (x0) = 0, g1 (x0) = 0 következik
f 01 (cx)g01 (cx)
=f (x)
g (x).
Minthogy feltevés szerint
A = limx→x0
f 0 (x)g0 (x)
162 FEJEZET 7. FÜGGVÉNYEK DERIVÁLTJA
határérték létezik és cx → x0, amikor x→ x0 következik, hogy
limx→x0
f 0 (x)g0 (x)
= limcx→x0
f 0 (xx)g0 (xx)
= A.
B. eset. x0 = ∞ (vagy x0 = −∞) és limx→x0
f (x) = limx→x0
g (x) = 0.
Ebben az esetben feltételezzük, hogy 0 /∈ I és az I intervallumot az x = 1y
helyettesítéssel egy olyan J intervallumba transzformáljuk, amelynek bal
oldali végpontja 0 ( jobb oldali végpontja 0).
Mivelhf³1y
´i0= −1
y2f 0³1y
´éshg³1y
´i0= −1
y2g0³1y
´következik, hogy
limx→+∞
f (x)
g (x)= limy&0
f³1y
´g³1y
´ .Ezzel a határérték kiszámítását visszavezettük az A. esetre. vagyis
limx→+∞
f (x)
g (x)= limy&0
f³1y
´g³1y
´= limy&0
hf³1y
´i0hg³1y
´i0= limy&0
−1y2f 0³1y
´−1y2g0³1y
´= limy&0
f 0³1y
´g0³1y
´= limx→+∞
f 0 (x)g0 (x)
.
C. eset. Ha limx→x0
f (x) = limx→x0
g (x) = ±∞, akkor tekintsük az f ésg nek egy olyan I 0 intervallumra való leszükítését, amelyben az f és g-nek nincs gyöke. Mivel f differenciálható az x0 egy környezetében, ezért
bármely két x0 < x < x1 számot vesszük ebbõl a környezetbõl az [x, x1]
7.10. A MÁSODRENDU DERIVÁLT MÉRTANI JELENTÉSE 163
intervallumra alkalmazható a Cauchy-féle középértéktétel. Így létezik egy
c ∈ (x, x1) úgy, hogyf 0 (c)g0 (c)
=f (x1)− f (x)g (x1)− g (x) .
Ahonnan
f (x)
g (x)
1− f(x1)
f(x)
1− g(x1)
g(x)
=f 0 (c)g0 (c)
.
Ha már most a jobboldalon állóf 0(c)g0(c) hányadosnak van határértéke, ha c
tart az x0-hoz, akkor a baloldali kifejezésnek is van és a két határérték
megegyezik. De a baloldalon a
limx→x0
f (x1)
f (x)= limx→x0
g (x1)
g (x)= 0,
mivel a limx→x0
f (x) = limx→x0
g (x) = ±∞ és f (x1), g (x1) állandó értékek.
Következésképpen
limc→x0
f 0 (c)g0 (c)
= limx→x0
f 0 (c)g0 (c)
= limx→x0
f (x)
g (x)
1− f(x1)
f(x)
1− g(x1)
g(x)
= limx→x0
f (x)
g (x).
D. eset. x0 = ∞ (vagy x0 = −∞) és limx→x0
f (x) = limx→x0
g (x) = ±∞.Ebben az esetben feltételezzük, hogy 0 /∈ I és az I intervallumot az x = 1
y
helyettesítéssel egy olyan J intervallumba transzformáljuk, amelynek bal
oldali végpontja 0 ( jobb oldali végpontja 0). Továbbiakban a gondolatmenet
azonos a B. esetnél leírtakkal.
7.10 A másodrendu derivált mértani jelentése
Láttuk, hogy az elsorendu derivált ismerete fontos információt ad a füg-
gvény viselkedésérol. Ebben a paragrafusban megvizsgáljuk, hogy mi a
szerepe a másodrendu deriváltnak a függvények tanulmányozásába.
Definíció 7.10.1 Az f : I → R függvényt az I intervallum konvexnek
nevezzük, ha bármely x1, x2 ∈ I és bármely α ∈ [0, 1] eseténf ((1− α)x1 + αx2) ≤ (1− α) f (x1) + αf (x2) . (7.16)
164 FEJEZET 7. FÜGGVÉNYEK DERIVÁLTJA
Definíció 7.10.2 Az f : I → R függvényt az I intervallum konkávnak
nevezzük, ha bármely x1, x2 ∈ I és bármely α ∈ [0, 1] esetén
f ((1− α)x1 + αx2) ≥ (1− α) f (x1) + αf (x2) . (7.17)
Ezeknek a fogalmaknak érdekes mértani jelentése van. Vegyük a
grafikus kép különbözo A (x1, f (x1)) , B (x2, f (x2)) pontjait. Ekkor a kon-
vexitásnak (7.16 képletnek) az a jelentése, hogy a grafikus képnek minden
olyan pontja, amely az A és B pontok közé esik az AB húr alatt van. A
konkavitásnak (7.17 képletnek) pedig az, hogy a grafikus képnek minden
olyan pontja, amely az A és B pontok közé esik az AB húr felett van.
Az alábbi ábrán szemléltessük a konvexitás jelentését. Tudjuk, hogy
xα = (1− α)x1 + αx2 egy érték az [x1, x2] intervallumból az yα =
(1− α) f (x1)+αf (x2) pedig az xα-nak megfelelo érték az AB húron. Az
ábrát figyelve látható, hogy a (7.16) képlet azt fejezi ki, hogy f (xα) ≤ yα.
A konvexitás mértani jelentése.
Hétköznapian azt mondhatjuk, hogy a konvex függvénynek olyan a
görbülete, hogy kis elmozdítás után olyan helyzetbe hozható, hogy a ”víz
nem folyik ki belole”. A konkáv pedig olyan függvény, amelybol a ”víz
kifolyik”.
7.10. A MÁSODRENDU DERIVÁLT MÉRTANI JELENTÉSE 165
A konkavitás mértani jelentése.
Azonnal felvetodik az a kérdés, hogy miképpen tudjuk egy adott füg-
gvényrol viszonylag egyszeru számítások után eldönteni, hogy konvex-e
illetve konkáv-e? Erre ad feleletet az alábbi tétel.
Tétel 7.10.3 Legyen az f : I → R függvény az I nyílt intervallumon
kétszer differenciálható. Az f függvény akkor és csakis akkor konvex, ha
f 00 (x) ≥ 0 bármely x ∈ I esetén.
Bizonyítás 65 Legyen x1, x2 ∈ I és α ∈ [0, 1] úgy, hogy x1 < xα =
(1− α)x1 + αx2 < x2. Lagrange tétele alapján léteznek a c1 ∈ (x1, xα)és c2 ∈ (xα, x2) értékek úgy, hogy
f 0 (c1) =f (xα)− f (x1)
xα − x1 ,
és
f 0 (c2) =f (x2)− f (xα)
x2 − xα .
Mivel c1 < c2 és f00 (x) ≥ 0 bármely x ∈ I következik, hogy f 0 növekvo
függvény és ezért f 0 (c1) ≤ f” (c2). Tehátf (xα)− f (x1)
xα − x1 ≤ f (x2)− f (xα)x2 − xα .
Innen az xα = (1− α)x1 + αx2 helyettesítéssel kapjuk, hogy
f (xα)− f (x1)α (x2 − x1) ≤ f (x2)− f (xα)
(1− α) (x2 − x1) ,
166 FEJEZET 7. FÜGGVÉNYEK DERIVÁLTJA
vagyis
f ((1− α)x1 + αx2) ≤ (1− α) f (x1) + αf (x2) .
Fordítva. Legyen x1, x2 ∈ I és α ∈ [0, 1] úgy, hogy x1 < xα =
(1− α)x1 + αx2 < x2. Akkor xα = x1 + α (x2 − x1). Jelöljük h =
α (x2 − x1). Azonnal belátható, hogy h → 0, ha α → 0. Mivel f 0 de-riválható az x1-ben következik, hogy
f 0 (x1) = limh→0
f (x1 + h)− f (x1)h
(7.18)
= limα→0
f ( xα)− f (x1)α (x2 − x1)
≤ limα→0
(1− α) f (x1) + αf (x2)− f (x1)α (x2 − x1)
=f (x2)− f (x1)
x2 − x1 .
Lagrange tétele alapján létezik a cα ∈ (x1, xα) érték úgy, hogy
f 00 (cα) =f 0 (xα)− f 0 (x1)
xα − x1Az (7.18) összefüggés alapján
f 00 (cα) ≥f 0 (xα)− f(xα)−f(x1)
xα−x1xα − x1
=f 0 (xα)α (x2 − x1)− f (xα) + f (x1)
α (x2 − x1)≥ f
0 (xα)α (x2 − x1)− α (f (x2)− f (x1))α (x2 − x1)
=f 0 (xα) (x2 − x1)− (f (x2)− f (x1))
(x2 − x1)= f 0 (xα)− f (x2)− f (x1)
x2 − x1 .
De az (x1, x2) intervallumban létezik olyan dx2 szám, amelyre
f 00 (cα) ≥ f 0 (xα)− f 0 (dx2 )
7.10. A MÁSODRENDU DERIVÁLT MÉRTANI JELENTÉSE 167
Határértékre térve ebben az egyenlottlenségben és felhasználva azt a tényt,
hogy f kétszer differenciálható az x1-ben kapjuk, hogy
f 00 (x1) = limx2→x1
f 00 (cα)
≥ limx2→x1
f 0 (xα)− f 0 (dx2 )= lim
α→0f 0 (xα)− lim
x2→x1f 0 (dx2 )
= f 0 (x1)− f 0 (x1) = 0.Hasonló tétel érvényes a konkavitásra is.
Tétel 7.10.4 Legyen az f : I → R függvény az I nyílt intervallumon
kétszer differenciálható. Az f függvény akkor és csakis akkor konkáv, ha
f 00 (x) ≥ 0 bármely x ∈ I esetén.Ennek a tételnek az igazolása visszavezetheto az elozo tételre, fel-
használva azt a tényt, hogy f akkor és csakis akkor konkáv, ha −f konvex.Általában egy függvénynek vannak olyan részei amelyen a függvény
konvex és vannak olyan részei, amelyen konkáv. Az áttérés az eggyik
részbol a másikra az úgynevezett inflexiós ponton keresztül történik.
Definíció 7.10.5 Az f : I → R függvénynek az x0 ∈I inflexiós (áthajlási)pontja, ha léteznek az x1, x2 ∈ I értékek úgy, hogy x1 < x0 < x2 és amelyreaz f konvex az (x1, x0) intervallumon és konkáv az (x0, x2) intervallumon
vagy fordítva.
A szélsoértékek meghatározásának szempontjából két fontos tétel
következik.
Tétel 7.10.6 Ha az f : I → R kétszer deriválható függvénynek az x0 ∈Istacionárius pontja és f 00 (x0) > 0, akkor az x0 helyi minimum pontja az
f-nek.
Tétel 7.10.7 Ha az f : I → R kétszer deriválható függvénynek az x0 ∈Istacionárius pontja és f 00 (x0) < 0, akkor az x0 helyi maximum pontja az
f-nek.
Bizonyítás 66 Mivel f 00 (x0) > 0 következik, hogy van az x0-nak egy
olyan V környezete, amelyen az f 00 pozitív. Ami azt jelent, hogy a V -n az f 0 növekvo. De a tétel feltétele szerint f 0 (x0) = 0. Következésképpenaz x0-ig a V -n az f
0 negatív, azután peddig pozitív. Vagyis az f a V -n azx0-ig csökkeno azután peddig növekvo. Tehát az x0 helyi minimum pont.
168 FEJEZET 7. FÜGGVÉNYEK DERIVÁLTJA
7.11 A függvények ábrázolása
A függvények tanulmányozásánál a grafikus kép megrajzolása nagyon
hasznos eszköz. Segítségével lehet szemléltetni a függvény globális tu-
lajdonságait. Ebben a paragrafusban a függvények grafikus képeinek a
megrajzolása lesz a célunk.
Azért, hogy egy függvény grafikus képének ábrázolása rendszeres
legyen, a következo lépéseket kell betartani.
1. A függvény maximális E értelmezési tartományának a
meghatározása. Az értelmezési tartomány vagy már eredetileg
adott, vagy mi határozzuk meg mint az elemi függvények maximális
értelmezési tartományainak a kereszmetszetét.
Itt az alábbiakra kell figyeljünk:
(a) ha függvény törtet is tartalmaz, akkor az eloforduló törtek
nevezoje nem szabad zéró legyen, mivel a zéróval való osztásnak
nincs értelme;
(b) ha a függvény páros rendu gyököt is tartalmaz, akkor a púros
rendu gyökök alatti kifejezések nem szabad negatívak legyenek;
(c) ha a függvény logaritmikus kifejezéseket tartalmaz, akkor a log-
aritmusok alatti kifejezések szigorúan pozitívak kell legyenek;
(d) ha függvény irracionális kitevoju hatványokat tartalamz, akkor
az irracionális kitevok altti kifejezések nem szabad negatívak
legyenek;
(e) ha a függvény tartalmazza a tan függvényt, akkor a tan füg-
gvény változója nem szabad a π páratlan számú többszöröse
legyen;
(f) ha a függvény tartalmazza a cot függvényt, akkor a cot füg-
gvény változója nem szabad a π páros számú többszöröse
legyen;
(g) ha a függvény tartalmazza az arcsin vagy arccos függvényt,
akkor a arcsin függvény vagy arccos változója a [−1, 1] inter-vallumban kell legyen.
2. A függvény elojelének és a grafikus kép esetleges szimmetriáinak
meghatározása.
7.11. A FÜGGVÉNYEK ÁBRÁZOLÁSA 169
Itt az alábbiakra kell figyeljünk:
(a) ha lehetséges meghatározzuk a függvény gyökeit;
(b) ha lehetséges meghatározzuk a függvénynek a 0-val való behe-
lyettesítési értékét, mivel ez az érték adja meg a grafikus képnek
az Oy tengellyel való metszéspontját;
(c) megvizsgáljuk, hogy a függvény nem e páros vagy páratlan. Ha
páros akkor a grafikus kép szimmetrikus az Oy tengelyre nézve.
Ha páratlan, akkor a grafikus kép szimmetrikos az O origóra
nézve. Ilyenkor a függvény tanulmányozása leszükítheto az E∩[0,+∞) halmazra;
(d) megvizsgáljuk, hogy a függvény nem periodikus-e. Ha peri-
odikus, akkor meghatározzuk a T foperiódusát. Ilyenkor a füg-
gvény tanulmányozása leszükítheto egy foperiódus hosszúságú
intervallumra.
3. A függvény folytonosságának tanulmányozása és az aszimptotáinak
a meghatározása.
Itt az alábbiakra kell figyeljünk:
(a) a folytonosság kérdése az értelmezési tartomány végpontjaiban
tevodik fel. Más helyen a függvény folytonos mivel elemi füg-
gvényekbol van megszerkesztve;
(b) ha lehetséges kiszámítjuk a ±∞-ben a függvény határértékeit.Ha ezek közül valamelyik véges, akkor ott van vizszíntes asz-
imtota;
(c) az értelmezési tartomány határpontjaiban kiszámítjuk a füg-
gvény határértékeit. Ha ezek közül valamelyik ±∞, akkor ottfüggoleges aszimptota van;
(d) ha a függvénynek nem volt vizszíntes aszimptotája és a +∞vagy −∞ torlódási pontja az értelmezési tartománynak, akkor
megvizsgáljuk, hogy van-e ferde aszimptota.
4. Az elsorendu derivált tanulmányozása.
Itt az alábbiakra kell figyeljünk:
170 FEJEZET 7. FÜGGVÉNYEK DERIVÁLTJA
(a) meghatározzuk az értelmezési tartománynak azt a részét, ahol
a függvény deriváható és kiszámítjuk az a függvény deriváltját;
(b) megoldjuk az f 0 (x) = 0 egyenletet. Az egyenlet gyökei leszneka függvény stacionárius pontjai;
(c) meghatározzuk azokat az intervallumokat, ahol f 0 elojeltartó.Ez alapján döntjük el, hogy a stacionárius pontok közül melyik
helyi minimum illetve helyi maximum pont;
5. A másodrendu derivált tanulmányozása.
Itt az alábbiakra kell figyeljünk:
(a) meghatározzuk az értelmezési tartománynak azt a részét, ahol
a függvény kétszer deriváható és kiszámítjuk az a függvény
másodrendu deriváltját;
(b) megoldjuk az f 00 (x) = 0 egyenletet. Az egyenlet gyökei leszneka függvény elhajlási pontjai;
(c) meghatározzuk azokat az intervallumokat, ahol f 0 elojeltartó.Ez alapján döntjük el, hogy a függvény hol konvex és hol
konkáv. Ahol a másodrendu derivált pozitív ott konvex, ahol
pedig negatív ott konkáv.
6. A függvényváltozás táblázatának elkészítése. A kapott ered-
ményeket négysoros táblázatba foglaljuk össze, az alábbi minta
alapján
x A fontosabb pontokat tartalmazó sor.
f 0 (x) A derivált elojeleit tartalmazó sor.
f 00 (x) A másodrendu derivált elojeleit tartlmazó sor
f (x) A függvény változásait tartalmazó sor.
7. A grafikus kép megrajzolása. Az Oxy koordinátarendszerben feltün-
tetjük az elozo lépésekben kapott pontokat, egyeneseket.
A következo példán szemléltetjük a függvényábrázolás lépéseit.
Példa. Ábrázoljuk a következo függvény grafikonját: f : E → R,
f (x) =
¯x2 − 1
¯x+ 2
7.11. A FÜGGVÉNYEK ÁBRÁZOLÁSA 171
Megoldás.
1. A függvény maximális E értelmezési tartományának a
meghatározása. Mivel a függvény képlete törtet is tartalmaz,
ezért a nevezo nem szabad 0 legyen.
x+ 2 6= 0x 6= −2.
Tehát E = R\ −2 .2. A függvény elojelének és a grafikus kép esetleges szimmetriáinak
meghatározása. Megoldjuk az f (x) = 0 egyenletet:¯x2 − 1
¯x+ 2
= 0
Egy tört, akkor zéró, ha számlálója zéró, ezért¯x2 − 1
¯= 0
Vagyis
x2 − 1 = 0Innen x1,2 = ±1.A függvény nem páros, mivel f (x) 6= f (−x) .A függvény nem páratlan, mivel f (x) 6= −f (−x) .A függvény nem is periódikus. Itt jegyezzük meg, hogy a racionális
függvények nem periódikusak.
Kiszámítjuk az Oy tengellyel való metszéspontot y0 = f (0) =12.
3. A függvény folytonosságának tanulmányozása és az aszimptotáinak
a meghatározása. A függvény folytonos, mivel folytonos függvények-
bol tevodik össze.
Vizszintes aszimptoták:
limx→+∞
¯x2 − 1
¯x+ 2
= limx→+∞
x2 − 1x+ 2
= +∞,
limx→−∞
¯x2 − 1
¯x+ 2
= limx→−∞
x2 − 1x+ 2
= −∞.
172 FEJEZET 7. FÜGGVÉNYEK DERIVÁLTJA
Nincs vizszíntes aszimptota.
Függoleges aszimptoták:
limx→−2x>−2
¯x2 − 1
¯x+ 2
= limx→−2x>−2
x2 − 1x+ 2
=4− 1
−2 + 0 + 2 = +∞,
limx→−2x<−2
¯x2 − 1
¯x+ 2
= limx→−2x<−2
x2 − 1x+ 2
=4− 1
−2− 0 + 2 = −∞,
Az x = −2 függoleges aszimptota.Ferde aszimptoták:
m = limx→+∞
¯x2 − 1
¯x (x+ 2)
= limx→+∞
x2 − 1x2 + 2x
= 1,
n = limx→+∞
¯x2 − 1
¯x+ 2
−mx = limx→+∞
x2 − 1− x2 − 2xx+ 2
= −2.A +∞-ben az y = x− 2 egyenletu egyenes ferde aszimptota.
m = limx→−∞
¯x2 − 1
¯x (x+ 2)
= limx→−∞
x2 − 1x2 + 2x
= 1,
n = limx→−∞
¯x2 − 1
¯x+ 2
−mx = limx→−∞
x2 − 1− x2 − 2xx+ 2
= −2.A −∞-ben az y = x− 2 egyenletu egyenes ferde aszimptota.
4. Az elsorendu derivált tanulmányozása. Elore a függvényt kapcsos
zárójeles formába írjuk:¯x2 − 1
¯=
½x2 − 1, ha x ∈ (−∞,−2) ∪ (−2,−1] ∪ [1,+∞) ,1− x2, ha x ∈ (−1, 1) ,
f (x) =
(x2−1x+2
, ha x ∈ (−∞,−2) ∪ (−2,−1] ∪ [1,+∞) ,1−x2x+2
, ha x ∈ (−1, 1) ,
Tehát
f 0 (x) =
⎧⎨⎩x2+4x+1
(x+2)2, ha x ∈ (−∞,−2) ∪ (−2,−1) ∪ (1,+∞) ,
−x2+4x+1(x+2)2
, ha x ∈ (−1, 1) ,(7.19)
7.11. A FÜGGVÉNYEK ÁBRÁZOLÁSA 173
Meg kell vizsgáljuk a függvény deriválhatóságát a −1 és 1-ben.
f 0b (−1) = limx%−1
f (x) = limx%−1
x2 + 4x+ 1
(x+ 2)2= −2,
f 0j (−1) = limx&−1
f (x) = limx&−1
−x2 + 4x+ 1
(x+ 2)2= 2.
A függvény nem deriválható a −1-ben.
f 0b (1) = limx%1
f (x) = limx%1−x
2 + 4x+ 1
(x+ 2)2= −2
3,
f 0j (1) = limx&1
f (x) = limx&1
x2 + 4x+ 1
(x+ 2)2=2
3.
A függvény nem deriválható az 1-ben.
A stacionárius pontok meghatározása:
(i) ha x ∈ (−∞,−2) ∪ (−2,−1) ∪ (1,+∞), akkor f 0 (x) = x2+4x+1
(x+2)2
gyökeit határozzuk meg:
x2 + 4x+ 1
(x+ 2)2= 0
A megoldások x1 = −2 + √3,x2 = −2−√3. De csak x2 ∈
(−∞,−2) ∪ (−2,−1) ∪ (1,+∞) .
(ii) ha x ∈ x ∈ (−1, 1), akkor f 0 (x) = −x2+4x+1(x+2)2
gyökeit határozzuk
meg: A megoldások x1 = −2 +√3, x2 = −2 −
√3. De csak
x1 ∈ (−1, 1) .
Az f 0 elojeltáblázata:
x −∞ −2−√3 −2 −1 −2 +√3 0 1 +∞f 0 (x) + 0 − | − −2 | 2 + 0 − − 1
4− − 2
3| 23+
174 FEJEZET 7. FÜGGVÉNYEK DERIVÁLTJA
5. A másodrendu derivált tanulmányozása. Kiindulunk az elsorendu
derivált (7.19)képletébol és mégegyszer deriváljuk.
f 0 (x) =
(6
(x+2)3, ha x ∈ (−∞,−2) ∪ (−2,−1) ∪ (1,+∞) ,
− 6
(x+2)3, ha x ∈ (−1, 1) ,
(7.20)
Az f 00 (x) = 0 egyenletnek nincs megoldása, így azonnal elkészí-
thetjük az elojeltáblázatát:
x −∞ −2 −1 0 1 +∞f 0 (x) − | + | − − 6
8− | +
6. A függvényváltozás táblázatának elkészítése. A kapott ered-
ményeket négysoros táblázatba foglaljuk össze.
x −∞ −2−√3 −2 −1 −2 +√3 0 1 +∞f 0 (x) + 0 − | − −2 | 2 + 0 − − 1
4− − 2
3| 23+
f 00 (x) − | + | − − 34
− | +
f (x) y=x−2 % −7. 46 & −∞|+∞ & 0 % 0. 535 9 & 12& 0 % y=x
f¡−2−√3¢ = ¯
(−2−√3)2−1
¯−2−√3+2 = −1
3
³¡−2−√3¢2 − 1´√3 ' −7.464 1,
f¡−2 +√3¢ = ¯
(−2+√3)2−1
¯−2+√3+2 = 1
3
³− ¡−2 +√3¢2 + 1´√3 ' 0.
535 9.
7. A függvény grafikonjának a megrajzolása.
7.11. A FÜGGVÉNYEK ÁBRÁZOLÁSA 175
Az f grafikus képe.
1.
176 FEJEZET 7. FÜGGVÉNYEK DERIVÁLTJA
Fejezet 8
Függvények hatványsorba
fejtése
8.1 Függvénysorok
A matematikai analízis gyakorlati alkalmazásaiban sokszor elonyös, hogy
bizonyos függvényeket elemi függvények összegével közelítsük meg.
Definíció 8.1.1 Ha egy sor tagjai az A halmazon értelmezett valós füg-
gvények, a sort valós függvénysornak nevezzük és így jelöljük:
+∞Xn=1
un vagy u1 + u2 + ...+ un.
A sor részletösszeg-sorozatát sn-nel jelöljük:
sn = u1 + u2 + ...+ un.
Megjegyzés 8.1.2 AzP+∞n=1 un függvénysor tulajdonképpen egy olyan
függvénysorozat, amelynek tagjai az s1, s2, ..., sn, ... Ennek a sorozatnak
a tagjai függvények.
177
178 FEJEZET 8. FÜGGVÉNYEK HATVÁNYSORA
Függvénysor.
Egy adott x0-raP+∞n=1 un (x0) számsor lehet konvergens vagy divergns.
Ha konvergens, akkor az x0-t konvergenciapontnak nevezzük.
Definíció 8.1.3 A
D =
(x ∈ A /
+∞Xn=1
un (x) konvergens
)halmazt a függvénysor konvergenciatartományának nevezzük.
Definíció 8.1.4 A D halmaz minden pontjához hozzárendelve aP+∞n=1 un (x) sor összegét egy s : D → R függvényt értelmezhetünk. Nyil-
vánvaló, hogy bármely x ∈ D esetén
s (x) = limn→+∞ sn (x) .
Definíció 8.1.5 AP+∞n=1 un függvénysor konvergens, ha D = A.
Definíció 8.1.6 Azt mondjuk, hogy aP+∞n=1 un függvénysor egyenletesen
konvergens az E ⊆ D halmazon, ha bármely ε > 0 számhoz létezik olyan
n0 = n (ε) ∈ N küszöbindex, hogy bármely n ≥ n0 és bármely x ∈ E esetén|sn (x)− s (x)| < ε.
8.2. HATVÁNYSOROK 179
Megjegyzés 8.1.7 Az egyenletes konvergencia és az abszolút konvergen-
cia között nincs semmi kapcsolat.
Az egyenletes konvergencia szeml éltetése.
8.2 Hatványsorok
A matematikában és alkalmazásaiban rengeteg típusú függvénysor szere-
pel. Közülük szerkezetileg a legegyszerubb, de gyakorlati alkalmazásokban
leggyakrabban használt a hatványsor.
Definíció 8.2.1 H adott egy (an)n≥0 valós sorozat, akkor a
+∞Xn=0
anxn (8.1)
függvénysort hatványsornak nevezzük. A hatványsor általános tagja az
un : R→ R,un (x) = anx
n,
hatványfüggvény és részletösszegsorozata
sn = a0 + a1x+ a2x2 + ...+ anx
n
egy n-ed fokú polinomfüggvény.
180 FEJEZET 8. FÜGGVÉNYEK HATVÁNYSORA
Definíció 8.2.2 Egy (an)n≥0 valós számsorozatnak az l ∈ R véges vagy
végtelen szám torlódási helye, ha bármely V környezetét vesszük az l-nek
létezik olyan n ∈ N szám amelyre an ∈ V.Definíció 8.2.3 A torlódási pontok közül a legkisebbet a sorozat alsó
határértékének, a legnagyobbat peddig felso határértékének nevezzük. Az
alsó határértéket lim an-el, a felso határértéket peddig lim an-el jelöljük.
Példa. Az an = (−1)n általános tagú sorozat esetén lim (−1)n = −1 éslim (−1)n = 1.
Tétel 8.2.4 (Cauchy-Hadamard) AP+∞n=0 anx
n hatványsorhoz ren-
deljük hozzá az
l = lim n√an
számot, és legyen
R =
⎧⎨⎩1l, ha 0 < l < +∞0, ha l = +∞+∞, ha l = 0.
A hatványsor az R sugarú x = 0 középpontú intervallum belsejében kon-
vergens, az intervallumon kivül pedig divergens.
Példák. Tanulmányozzuk a következo függvénysorok konvergenciáját.
1.P+∞n=0
1n!xn;
2.P+∞n=0
(−1)nn!xn;
3.P+∞n=0 x
n;
4.P+∞n=0 (−1)n xn
Megoldás. 1. an =1n!.
l = lim n√an = lim
n
r1
n!
= limn→+∞
bn+1
bn= limn→+∞
1(n+1)!
1n!
= limn→+∞
n!
(n+ 1)!= limn→+∞
1
n+ 1= 0.
A konvergenciasugár R = +∞. Következésképpen a hatványsorkonvergenciaintervalluma az R.
8.3. HATVÁNYSORBA FEJTÉS 181
2. an =(−1)nn!.
l = lim n√an = lim
n→+∞
1(n+1)!
1n!
= limn→+∞
n!
(n+ 1)!= limn→+∞
1
n+ 1= 0.
A konvergenciasugár R = +∞. Következésképpen a hatványsorkonvergenciaintervalluma az R.
3. an = 1. Tehát
l = lim n√an = lim
n√1 = 1.
A konvergenciasugár R = 1. Következésképpen a hatványsor
konvergenciaintervalluma az (−1, 1).4. an = (−1)n . Tehát
l = lim n√an = lim
n√1 = 1.
A konvergenciasugár R = 1. Következésképpen a hatványsor
konvergenciaintervalluma az (−1, 1).
8.3 Függvények hatványsorba fejtése
Természetesen vetodik fel az a kérdés, hogy az f : A → R függvény
megközelítheto-e valamilyen hatványsorral? Ha a kérdésre a válasz poz-
itív, akkor írhatjuk, hogy
f (x) = a0 + a1x+ a2x2 + ...+ anx
n + ....
Ebben az esetben azt mondjuk, hogy az f függvény hatványsorba fejtheto.
Tudjuk, hogy a hatványsor összege a (−R,R) konvergenciaintervallu-mon végtelenszer deriválható függvény, tehát annak szükséges és elégséges
feltétele, hogy az f a konvergenciaintervallumon sorbafejtheto legyen az,
hogy f végtelen sokszor deriválható legyen, vagyis
f (x) = a0 + a1x+ a2x2 + ...+ anx
n + ...,
f 0 (x) = a1 + 2a2x+ ...+ nanxn−1 + ....
182 FEJEZET 8. FÜGGVÉNYEK HATVÁNYSORA
f00(x) = 2a2 + 2.3a3x...+ n (n− 1) anxn−2 + ....
...................................................................
f (n) (x) = n (n− 1) (n− 2) ...1an + ...= n!an + ...
Tehát bármely x ∈ (−R,R) pont esetén, ha x = 0, akkor kapjuk, hogy
a0 = f (0) ,
a1 =f 0 (0)1!
,
a2 =f00(0)
2!,
a3 =f000(0)
3!,
.................,
an =f (n) (0)
n!,
Tehát a keresett hatványsor együtthatóit egyértelmuen meghatározza az
f függvény.
Definíció 8.3.1 Az
f (0) +f 0 (0)1!
x+f00(0)
2!x2 +
f000(0)
3!x3 + ...+
f (n) (0)
n!xn + ...
sort az f függvény Mac-Laurin-féle sorának nevezzük.
Megjegyzés 8.3.2 Ha egy függvény hatványsorba fejtheto, akkor a
hatványsor azonos a függvény Mac-Laurin-féle sorával.
Ha a sorbafejtés nem a zéró körül történik, hanem egy a valós szám
körül, akkor az ugynevezett Taylor-féle sorhoz jutunk.
8.3. HATVÁNYSORBA FEJTÉS 183
Definíció 8.3.3 Ha az f függvény végtelen sokszor deriválható az
(a−R, a+R) intervallumon, akkor az
Tfa (x) = f (a) +f 0 (a)1!
(x− a) + f00(a)
2!(x− a)2 + f
000(a)
3!(x− a)3+
+ ...+f (n) (a)
n!(x− a)n + ...
sort az f függvény Taylor-féle sorának nevezzük.
Definíció 8.3.4 A Tfa Taylor-féle sor elso n tagjának összegét Tnfa sz-
imbolummal jelöljük.
Megjegyzés 8.3.5 Ha a = 0, akkor a Mac-Laurin sort kapjuk.
Az alábbi két tétel a Taylor-sor két alapveto lokális tulajdonságát mu-
tatja be.
Tétel 8.3.6 Ha az f függvény n+ 1-szer deriválható az a-ban, akkor
limx→a
f (x)− Tnfa (x)(x− a)n+1 =
f (n) (a)
(n+ 1)!.
Bizonyítás 67 Teljes indukcióval igazoljuk.
P (k) : ha az f függvény k + 1-szer deriválható az a-ban, akkor
limx→a
f (x)− Tkfa (x)(x− a)k+1
=f (k+1) (a)
(k + 1)!.
P (0) :
limx→a
f (x)− T0fa (x)(x− a)1 = lim
x→af (x)− f (a)
x− a =f 0 (a)1!
Feltételezzük, hogy
P (k) : ha az f függvény k + 1-szer deriválható az a-ban, akkor
limx→a
f (x)− Tkfa (x)(x− a)k+1
=f (k+1) (a)
(k + 1)!
Igazoljuk, hogy
184 FEJEZET 8. FÜGGVÉNYEK HATVÁNYSORA
P (k + 1) : ha az f függvény k + 2-szer deriválható az a-ban, akkor
limx→a
f (x)− Tk+1fa (x)(x− a)k+2
=f (k+2) (a)
(k + 2)!.
Mivel a P (k) kijelentés igaz minden olyan függvényre, amely k-szor
deriválható és az f 0 függvény k-szor deriválható ezért alkalmazhassuk P (k)indukciós feltételt az f 0 függvényre. Ekkor
limx→a
f 0 (x)− Tkf 0a (x)(x− a)k+1
=f (k+2) (a)
(k + 1)!,
ahol
Tkf0a (x) = f
0 (a)+f00(a)
1!(x− a)+f
000(a)
2!(x− a)2+...+f
(k+1) (a)
k!(x− a)k
és
(Tkfa (x))0 =
Ãf (a) +
f0(a)
1!(x− a) + f
00(a)
2!(x− a)2 + ...+ f
(k+1) (a)
(k + 1)!(x− a)k+1
!0=f0(a)
1!+ 2
f00(a)
2!(x− a) + 3f
000(a)
3!(x− a)2+
+ ...+ (k + 1)f (k+1) (a)
(k + 1)!(x− a)k
= Tkf0a (x) .
Felhasználva ezt az összefüggést alkalmazzuk a l’Hospital szabályt a
P (k + 1) kifejezésben szereplo határérték kiszámítására
limx→a
f (x)− Tk+1fa (x)(x− a)k+2
= limx→a
f 0 (x)− (Tk+1fa (x))0(k + 2) (x− a)k+1
=1
k + 2limx→a
f 0 (x)− Tkf 0a (x)(x− a)k+1
=1
k + 2
f (k+1) (a)
(k + 1)!=f (k+1) (a)
(k + 2)!.
Tétel 8.3.7 Ha az f függvény n-szer deriválható az a-ban, akkor
limx→a
f (x)− Tnfa (x)(x− a)n = 0.
8.3. HATVÁNYSORBA FEJTÉS 185
Bizonyítás 68 Mivel
f (x)− Tnfa (x)(x− a)n =
f (x)− Tn−1fa (x)(x− a)n − f
n (a)
n!
(x− a)n(x− a)n ,
ezért
limx→a
f (x)− Tnfa (x)(x− a)n =
fn (a)
n!− f
n (a)
n!= 0.
Megjegyzés 8.3.8 Ez a tétel azt mondja ki, hogy ha az f függvény n-szer
deriválható, akkor a Tnfa függvény n-ed rendben tart az f (a)-hoz, amikor
x tart az a-hoz. Ez azt is jelenti, hogy Tnfa függvény és f n-ed rendben
egyenlo, vagyis f (a) = Tnfa (a) , f0 (a) = T 0nfa (a) , f 00 (a) = T 00nfa (a) , ...,
f (n) (a) = T(n)n fa (a)
Ezek után felvetodik az a kérdés, hogy milyen feltételek mellett tart a
Taylor-féle sor a függvényhez a. Erre ad választ az alábbi tétel.
Tétel 8.3.9 Annak szükséges és elégséges feltétele, hogy az f végtelen sok-
szor deriválható függvény Taylor-féle sora az (a−R, a+R) intervallumontartson az f-hez, hogy a sor Mn (x) maradéka tartson a zéróhoz, amikor
n tart a +∞-hez és x ∈ (a−R, a+R) .
Bizonyítás 69 Mivel f végtelen sokszor deriválható az (a−R, a+R) in-tervallumon, ezért
f (x) = f (a)+f 0 (a)1!
(x− a)+f00(a)
2!(x− a)2+...+f
(n) (a)
n!(x− a)n+Mn (x) ,
vagyis¯¯f (x)− f (a) + f 0 (a)1!
(x− a) + f00(a)
2!(x− a)2 + ...+ f
(n) (a)
n!(x− a)n
¯¯ = |Mn (x)| .
Mivel az Mn (x) tart a zéróhoz bármely x ∈ (a−R, a+R) , következik,hogy a sor is tart az f (x)-hez.
Ezzel a feltétellel az a baj, hogy a maradékra nem ad egy konkrét
becslést. Ezért a következo feledatunk, hogy a maradékot konkrétabb
alakra hozzuk.
186 FEJEZET 8. FÜGGVÉNYEK HATVÁNYSORA
Tétel 8.3.10 Legyen I nyílt intervallum és tegyük fel, hogy az f függvény
n+1-szer deriválható az I-n. Ekkor az I bármely különbözo a és x pontja
esetén található olyan c szám az a és x között, hogy
f (x)− Tnfa (x) = f (n+1) (c)
(n+ 1)!(x− a)n+1 .
Bizonyítás 70 Legyen a < x . Ha a > x, akkor a bizonyítás teljesen
hasonlóan végezheto el.
Bevezetjük az F : I → R,
F (s) = f (s)− Tnfa (s)− f (x)− Tnfa (x)(x− a)n+1 (s− a)n+1
függvényt. Felhasználva azt a tényt, hogy f (a) = Tnfa (a) , f0 (a) =
T 0nfa (a) , f 00 (a) = T 00nfa (a) , ..., f (n) (a) = T(n)n fa (a) kapjuk, hogy
F (a) = F 0 (a) = F 00 (a) = ... = Fn (a) = 0.
Az F (x) = F (a) = 0 egyenloségbol Rolle- tétele szerint létezik olyan c1 ∈(a, x) úgy, hogy F 0 (c1) = 0. Az F 0 (c1) = F
0(a) = 0 egyenloségbol Rolle-
tétele szerint létezik olyan c2 ∈ (a, c1) úgy, hogy F 00(c2) = 0. Az F
00(c1) =
F00(a) = 0 egyenloségbol Rolle- tétele szerint létezik olyan c3 ∈ (a, c2)
úgy, hogy F000(c3) = 0. És így tovább következik, hogy létezik olyan cn ∈
(a, cn−1) úgy, hogy F (n) (cn) = 0. És legvégül, mivel F (n) (cn) = Fn (a) =0 Rolle- tétele szerint létezik olyan c ∈ (a, cn), amelyre F (n+1) (c) = 0.
Vagyis
f (n+1) (c)− T (n+1)n fa (s)− f (x)− Tnfa (x)(x− a)n+1 (n+ 1)! = 0.
De T(n+1)n fa (s) = 0, mert egy n-ed fokú plonomfüggvény n + 1-ed rendu
deriváltja nulla. Innen következik, hogy
f (n+1) (c) =f (x)− Tnfa (x)(x− a)n+1 (n+ 1)!,
vagyis
f (x)− Tnfa (x) = f (n+1) (c)
(n+ 1)!(x− a)n+1 .
8.3. HATVÁNYSORBA FEJTÉS 187
Megjegyzés 8.3.11 Ennek a tételnek az a nagy erénye, hogy megadja a
maradék explicit kifejezését:
Mn (x) =f (n+1) (c)
(n+ 1)!(x− a)n+1
Ezt a maradékképletet a Taylor-féle sor Lagrange-féle maradéktagjának
nevezzük.
A Lagrange-féle maradéktagot felhasználva kijelenthesük az alábbi
tételt.
Tétel 8.3.12 Ha az f függvény deriváltjai az (a−R, a+R) intervallum-ban egyenletesen korlátosak, akkor a függvény az (a−R, a+R) interval-lumban Taylor-sorba fejtheto.
Bizonyítás 71 A tétel alapján létezik olyan K ∈ R szám, amelyre
bármely x ∈ (a−R, a+R) és n ∈ N esetén |fn (x)| ≤ K. Akkor a
Lagrange-féle maradéktag
Mn (x) =f (n+1) (c)
(n+ 1)!(x− a)n+1 ,
ahol c egy szám x és a között. Ekkor
|Mn (x)| ≤ K
(n+ 1)!|x− a|n+1 ,
de
limn→+∞
|x− a|n+1(n+ 1)!
= 0.
Következésképpen
limn→+∞ |Mn (x)| = 0.
Ami azt jelenti, hogy
limn→+∞ Tnfa = f.
Megjegyzés 8.3.13 Megtörténhet, hogy valamely függvényhez rendelt
Taylor-sor konvergens, de összege nem egyenlo a származtató függvénnyel
egyetlen (a−R, a+R) intervallumban sem. Valóban legyen f : R→ R,
f (x) =
½e−1/x
2, ha x 6= 0
0, ha x = 0.
188 FEJEZET 8. FÜGGVÉNYEK HATVÁNYSORA
Ha x 6= 0, akkor a függvény nyilván végtelen sokszor deriválható. Igazol-ható, hogy f 0 (0) = 0, f 00 (0) = 0, f 000 (0) = 0, ..., f (n) (0) = 0. Tehát
Tfa (x) = 0 +0
1!x+
0
2!x2 + ...+
0
n!xn + ...
= 0.
Ugyanakkor f (x) 6= 0 bármely x ∈ R esetén. A függvényhez rendelt
Taylor-sor maradéktagja,
Mn (x) =f (n+1) (c)
(n+ 1)!xn+1,
ahol c 6= 0 szám. Igazolni lehet, hogy ebben az esetben az |Mn (x)| nemkonvergál a nullához, amikor n tart a végtelenhez és x 6= 0.
Példák. Fejtsük sorba az alábbi függvényeket és tanulmányozzuk a sorok
konvergenciáját:
1. f (x) = ex :
2. f (x) = sinx;
3. f (x) = cosx;
4. f (x) = (1 + x)r, ahol r ∈ R;5. f (x) = 1
1+x
6. f (x) = 11−x ;
7. f (x) =√x;
8. f (x) = ln (1 + x) ;
9. f (x) = ln (1− x) :10. f (x) = lnx;
11. f (x) = ln³1+x1−x
´.
Megoldás. 1. f 0 (x) = ex, f 00 (x) = ex, f 000 (x) = ex, ..., f (n) (x) = ex,
tehát¯f (n) (x)
¯≤ eR, ha x ∈ (−R,R) . Ha a = 0, akkor
ex = 1 +x
1!+x2
2!+ ...+
xn
n!+ ... (8.2)
8.3. HATVÁNYSORBA FEJTÉS 189
Mivel a sorbafejtés bármely (−R,R) intervallumban érvényes,ezért az ex-nek ez a megközelítése bármely x ∈ R számra
érvényes. Felhasználva az (8.2) képletet most kiszámoljuk az
e számot 4 tizedes pontossággal. Ha x = 1, akkor
ex = 1 +1
1!+1
2!+ ...+
1
n!+Mn (1) , (8.3)
ahol
Mn (x) =ec
(n+ 1)!xn+1,
és c ∈ (0, 1) . Tehát
Mn (1) =ec
(n+ 1)!≤ 3
(n+ 1)!.
A megközelítés jobb lessz mint 10−4, ha a maradék kisebb mint10−4.Vagyis
3
(n+ 1)!≤ 1
104.
Innen
(n+ 1)! ≥ 30000.Meg kell, határozzuk azt a legkissebb n számot, amelyre a fenti
egyenlotlenség teljesül. 6! = 720, 7! = 5040, 8! = 40 320. Tehát
n+ 1 = 8. Vagyis n = 7.
Tehát e-nek 4 tizedes megközelítése:
e ' 1 + 1
1!+1
2!+1
3!+1
4!+1
5!+1
6!+1
7!=685
252' 2.71825
2. f (x) = sinx, f 0 (x) = cosx, f 00 (x) = − sinx, f 000 (x) =
− cosx,..., f (n) (x) = sin¡x+ nπ
2
¢. Tehát
¯f (n) (x)
¯≤ 1
bármely x ∈ R esetén. Ha a = 0, akkor
sinx = x− x3
3!+x5
5!− ...+ (−1)n−1 x2n−1
(2n− 1)! + .... (8.4)
Ez a sorbafejtés is minden x ∈ R számra érvényes. A sorbafe-jtés maradéktagja
M2n−1 (x) =sin¡c+ (2n) π
2
¢(2n)!
x2n
≤ 1
(2n)!x2n.
190 FEJEZET 8. FÜGGVÉNYEK HATVÁNYSORA
Felhasználva az (8.4) képletet most is számoljuk ki a sin π180
=
sin 10 számot 4 tizedes pontossággal. Ha x = π180, akkor
M2n−1³ π
180
´≤ 1
(2n)!
³ π
180
´2n≤ 1
(2n)!
1
45
A megközelítés jobb lessz mint 10−4, ha a maradék kisebb mint10−4.Vagyis
1
(2n)!
1
45≤ 1
104.
Innen
(2n)! ≥ 1000045
=2000
9.
Meg kell, határozzuk azt a legkissebb n számot, amelyre a fenti
egyenlotlenség teljesül. 4! = 24, 5! = 120, 6! = 720 Tehát 2n =
6. Vagyis n = 3. Tehát sin π180-nak 4 tizedes megközelítése:
sinπ
180=
π
180−¡
π180
¢33!
+
¡π180
¢55!
' 0.017452
3. f (x) = cosx, f 0 (x) = − sinx, f 00 (x) = − cosx, f 000 (x) =sinx,..., f (n) (x) = cos
¡x+ nπ
2
¢. Tehát
¯f (n) (x)
¯≤ 1 bármely
x ∈ R esetén. Ha a = 0, akkor
cosx = 1− x2
2!+x4
4!− ...+ (−1)n−1 x2n−2
(2n− 2)! + .... (8.5)
Ez a sorbafejtés is minden x ∈ R számra érvényes. A sorbafe-jtés maradéktagja
M2n−1 (x) =cos¡c+ (2n) π
2
¢(2n)!
x2n
≤ 1
(2n)!x2n.
8.3. HATVÁNYSORBA FEJTÉS 191
Felhasználva az (8.4) képletet most is számoljuk ki a cos π180
=
sin 10 számot 4 tizedes pontossággal. Ha x = π180, akkor
M2n−1³ π
180
´≤ 1
(2n)!
³ π
180
´2n≤ 1
(2n)!
1
45
A megközelítés jobb lessz mint 10−4, ha a maradék kisebb mint10−4.Vagyis
1
(2n)!
1
45≤ 1
104.
Innen
(2n)! ≥ 1000045
=2000
9.
Meg kell, határozzuk azt a legkissebb n számot, amelyre a fenti
egyenlotlenség teljesül. 4! = 24, 5! = 120, 6! = 720 Tehát 2n =
6. Vagyis n = 3. Tehát sin π180-nak 4 tizedes megközelítése:
cosπ
180= 1−
¡π180
¢22!
+
¡π180
¢44!
' 0.99985
Ellenorzésként vizsgáljuk meg, hogy cos2 π180+sin2 π
180kifejezés
értéke mennyire tér el az 1-tol!
cos2π
180+ sin2
π
180= 0.999852 + 0.0174522 ' 1.0001.
Ami megfelel az elvárásoknak, vagyis annak, hogy külön-külön
mindegyik tagot 4 tizedes pontossággal adtuk meg.
4. f (x) = (1 + x)r, f 0 (x) = r (1 + x)r−1 ,f 00 (x) = r (r − 1) (1 + x)r−2 , f (n) (x) =
r (r − 1) ... (r − n+ 1) (1 + x)r−n . Ha a = 0, akkor
Tf0 (x) = 1 +r
1!x+
r (r − 1)2!
x2 +r (r − 1) (r − 2)
3!x3 + ...
+r (r − 1) ... (r − n+ 1)
n!xn + ...
192 FEJEZET 8. FÜGGVÉNYEK HATVÁNYSORA
Ez a függvénysor konvergens, ha |x| < 1. Ez azonban nem ele-
gendo a sorbafejtéshez. Megvizsgáljuk a maradéktagot, hogy
valóban tart-e a nullához.
|Mn (x)| =¯¯r (r − 1) ... (r − n) (1 + c)r−n−1(n+ 1)!
xn+1
¯¯
≤¯¯r (r − 1) ... (r − n) (1 + c)r−n−1(n+ 1)!
¯¯ .
Mivel 0 < c < 1 következik, hogy
|Mn (x)| ≤¯r (r − 1) ... (r − n) 2r−n−1
(n+ 1)!
¯.
Vagyis
|Mn (x)| ≤¯r (r − 1) ... (r − n)
(n+ 1)!
¯2r−n−1.
A jobb oldalon egy zéróhoz tartozó sorozat van, következik,
hogy maradéktag is tart a nullához. Tehát
(1 + x)r = 1 +r
1!x+
r (r − 1)2!
x2 +r (r − 1) (r − 2)
3!x3 + ...
+r (r − 1) ... (r − n+ 1)
n!xn + ...
minden x ∈ (−1, 1) esetén. Ezt a sort binomiális sornak is
nevezik mert, ha sajátos esetben r természetes szám, akkor
visszakapjuk Newton binomiális képletét.
5. f (x) = 11+x
olyan sajátos esete az elozo feladatnak, amelyben
r = −1. Következik, hogy1
1 + x= 1− 1
1!x+
1 · 22!x2 − 1 · 2 · 3
3!x3 + ...
+ (−1)n 1 · 2 · 3 · ... · nn!
xn + ...
= 1− x+ x2 − x3 + ...+ (−1)n xn + ...
minden x ∈ (−1, 1) esetén.
8.3. HATVÁNYSORBA FEJTÉS 193
6. Az elozo feladatban x-et helyettesítjük −x-el. Ekkor kapjuk,hogy
1
1− x = 1 + x+ x2 + x3 + ...+ xn + ...
minden x ∈ (−1, 1) esetén.7. f (x) =
√x = (x)1/2 = (1 + x− 1)1/2 . Alkalmazzuk, a 4 példa
eredményét, ha r = 1/2
(1 + (x− 1))1/2 = 1 + 1
2 · 1! (x− 1) +12
¡12− 1¢2!
(x− 1)2
+12
¡12− 1¢ ¡1
2− 2¢
3!(x− 1)3 + ...
+12
¡12− 1¢ ... ¡1
2− n+ 1¢
n!(x− 1)n + ...,
minden x ∈ (0, 2) esetén. Ugyanezt az eredményt kapjuk, ha a√x sorbafejtjük az a = 1 érékre.
8. f (x) = ln (1 + x), f 0 (x) = 11+x
. Innen azonnal következik,
hogy
(ln (1 + x))0 =1
1 + x= 1− x+ x2 − x3 + ...+ (−1)n xn + ...
Ahonnan
ln (1 + x) = x− x2
2+x3
3− x
4
4+ ...+ (−1)n−1 x
n
n+ ...,
minden x ∈ (−1, 1) esetén.9. Az elozo feladathoz hasonlóan kapjuk, hogy f (x) = ln (1− x),f 0 (x) = −1
1−x . Innen azonnal következik, hogy
(ln (1− x))0 = −11− x = −1− x− x2 − x3...− xn + ...
Ahonnan
ln (1− x) = −x− x2
2− x
3
3− x
4
4− ...− x
n
n+ ...,
minden x ∈ (−1, 1) esetén.
194 FEJEZET 8. FÜGGVÉNYEK HATVÁNYSORA
10. f (x) = lnx. Ha jelöljük y = x − 1-t, akkor f (x) =
ln (1 + (x− 1)) = ln (1 + y) . A 7-dik példa szerint
ln (x) = ln (1 + y) = y − y2
2+y3
3− y
4
4+ ...+ (−1)n−1 y
n
n+ ...
= (x− 1)− (x− 1)22
+(x− 1)33
− (x− 1)4
4+ ...
+ (−1)n−1 (x− 1)n
n+ ...,
minden olyan x-re, amelyre −1 < x− 1 < 1. Tehát
ln (x) = x− 1− (x− 1)22
+(x− 1)33
− (x− 1)4
4+ ...
+ (−1)n−1 (x− 1)n
n+ ...,
minden x ∈ (0, 2) esetén. Ugyanide jutnánk, ha az a = 1
értékre a lnx-nek direkt felírnánk a Taylor-féle sorát.
11. f (x) = ln³1+x1−x
´= ln (1 + x)− ln (1− x). Alkalmazzuk a 8. és
9. példák eredményeit.
ln (1 + x)− ln (1− x) = x− x2
2+x3
3− x
4
4+ ...+ (−1)n−1 x
n
n+ ...
+ x+x2
2+x3
3+x4
4+ ...+
xn
n+ ...
= 2
µx+
x3
3+x5
5+ ...+
x2n−1
2n− 1 + ...¶,
minden x ∈ (−1, 1) . Ezt a képletet szokták felhasználni a logar-itmustáblák elkészítésére. Legyen az elozo képletben x = 1
2y+1,
ahol y ∈ N. Ekkor1 + x
1− x =y + 1
y
és
ln (y + 1) = ln y + 2
µ1
2y + 1+
1
3 (2y + 1)3+
1
5 (2y + 1)5+
...+1
(2n− 1) (2y + 1)2n−1 + ...¶
8.3. HATVÁNYSORBA FEJTÉS 195
Például számítsuk ki ln 2, ln 3, ln 4 közelíto értékét 4 tizedesnyi
pontossággal. Kiindulunk az 2n-ed rendu maradékból.
ln (y + 1) = ln y + 2
µ1
2y + 1+
1
3 (2y + 1)3+
1
5 (2y + 1)5+
...+1
(2n− 1) (2y + 1)2n−1¶+M2n (y) ,
ahol
M2n (y) =2
(2n+ 1) (2y + 1)2n+1+
2
(2n+ 3) (2y + 1)2n+3+
+2
(2n+ 5) (2y + 1)2n+5+ ...
≤ 2
(2y + 1)2n+11
(2n+ 1)2n+1
µ1 +
1
(2n+ 1)2+
1
(2n+ 1)4
+1
(2n+ 1)6+ ...
¶=
2
(2y + 1)2n+11
(2n+ 1)2n+11
1− 1
(2n+1)2
=2
(2y + 1)2n+11
(2n+ 1)2n+1(2n+ 1)2
4n2 + 4n+ 1− 1=
2
(2y + 1)2n+11
(2n+ 1)2n−11
4n (n+ 1)
≤ 1
2 (2y + 1)2n+1 (2n+ 1).
Ha y = 1, akkor
M2n (y) ≤ 1
2 · 32n+1 (2n+ 1)Ez kell kisebb legyen mint a megengedett hiba, vagyis
2 · 32n+1 (2n+ 1) ≥ 10000Jelöljük p (n) = 2·32n+1 (2n+ 1) . Akkor p (2) = 2430.0, p (3) =30618 ≥ 10000. Tehát n = 3. Így
ln (2) ' ln 1 + 2µ1
3+
1
3 · 33 +1
5 · 35¶= 0.69312.
196 FEJEZET 8. FÜGGVÉNYEK HATVÁNYSORA
Ha y = 2, akkor
M2n (y) ≤ 1
2 · 52n+1 (2n+ 1)Ez kell kisebb legyen mint a megengedett hiba, vagyis
2 · 52n+1 (2n+ 1) ≥ 10000Jelöljük p (n) = 2 · 52n+1 (2n+ 1) . Akkor p (2) = 31 250 ≥10000. Tehát n = 2. Így
ln (3) ' ln 2 + 2µ1
5+
1
3 · 53¶= 1.0985
Ha y = 3, akkor
M2n (y) ≤ 1
2 · 72n+1 (2n+ 1)Ez kell kisebb legyen mint a megengedett hiba, vagyis
2 · 72n+1 (2n+ 1) ≥ 10000Jelöljük p (n) = 2·72n+1 (2n+ 1) .Akkor p (2) = 1. 680 7×105 ≥10000 Tehát n = 2. Így
ln (4) ' ln 3 + 2µ1
7+
1
3 · 73¶= 1.3863.
Feladat. Igazoljuk, hogy az e irracionális szám.
Megoldás. Feltételezzük, hogy racionális. Ekkor nyilvánvalóan bármely
n ≥ 4 esetén n!e ∈ N, amibol következik, hogy
a = n!
∙e−
µ1 +
1
1!+1
2!+ ...+
1
n!
¶¸∈ N,
de
e−µ1 +
1
1!+1
2!+ ...+
1
n!
¶≤ 3
(n+ 1)!
Ahonnan
0 < a ≤ n! 3
(n+ 1)!=
3
n+ 1< 1,
és ez ellentmond annak, hogy a ∈ N.
8.3. HATVÁNYSORBA FEJTÉS 197
Feladat. Az f (x) = x4 + x3 − 2x + 3 polinomfüggvényt rendezzük átx− 2 hatványai szerint.
Megoldás. A feladatot megoldhatjuk úgy is, hogy x-et helyettesítjük
x = (x− 2) + 2-vel és elvégezzük a számításokat. E hosszadal-
mas számolás helyett egyszerubben jutunk a célhoz, ha megfigyeljük,
hogy f -nek az x4 + x3 − 2x+ 3 tulajdonképpen az a = 0-ra történosorbafejtése. Most, ha az f -et sorba fejtjük az a = 2-re, akkor
kapjuk:
f (x) = f (2) +f 0 (2)1!
(x− 2) + f00 (2)2!
(x− 2)2 + f000 (2)3!
(x− 2)3
+f (4) (2)
4!(x− 2)4 ,
ahol f (2) = 23, f 0 (x) = 4x3 + 3x2 − 2, f 0 (2) = 42, f 00 (x) = 12x2 +6x − 2, f 00 (2) = 58, f 000 (x) = 24x + 6, f 000 (2) = 54, f (4) (x) = 24,f (4) (2) = 24. Tehát
f (x) = 23 + 42 (x− 2) + 582(x− 2)2 + 54
6(x− 2)3 + 24
24(x− 2)4
= 23 + 42 (x− 2) + 29 (x− 2)2 + 9 (x− 2)3 + (x− 2)4 .
198 FEJEZET 8. FÜGGVÉNYEK HATVÁNYSORA
Fejezet 9
Riemann-féle integrál
9.1 Síkidomok területének a meghatározása
A síkidomok területének meghatározása az egyik olyan feladat, amellyel a
matematikusok a legrégibb idoktol foglalkoznak. Az egység oldalú négyzet
területét mértékegységnek vesszük. Bonyolultabb síkidomok területének
meghatározása csak sok sajátos eset tanulmányozása után következhetett.
Ezeknek a területeknek a meghatározása nagyon leleményes módszerekkel
történt, azonban az akkori matematikusok még nem vették észre, hogy az
alkalmazott eljárások egy bizonyos általános módszer sajátos esetei. Ma
már tudjuk, hogy minden területfeladat úgynevezett integrálszámításra
vezetheto vissza.
Vegyük példának egy parabolaív alatti terület kiszámítását.
199
200 FEJEZET 9. RIEMANN-FÉLE INTEGRÁL
A parabolaív alatti terület kiszámítása.
A feladatunk tehát az, hogy kiszámítsuk az OAA1 besatirozott
területet, ha OA az y = ax2 parabola íve. Jelöljük OA1-et l-el. Os-
szuk fel OA1-et n egyenlo részre. Ekkor egy rész hossza l/n. Az egyes
osztópontok abscissai:l
n,2l
n,3l
n, ...,
nl
n.
Ezen abszisszákhoz tartozó megfelelo ordináták
al2
n2, a4l2
n2, a32l2
n2, ..., a
n2l2
n2.
A szóban forgó területbe belerajzoljuk az osztópontok által meghatározott
téglalapokat. Ilyen téglalapok mindig belerajzolhatók. A k-dik osztópon-
thoz tartozó téglalap területe
Tk =l
nak2l2
n2= a
k2l3
n3.
Így a területbe berajzolt téglalapok összterülete
t (n) = T0 + T1 + ...+ Tn−1
= al3
n3
³12 + 22 + ...+ (n− 1)2
´,
de tudjuk, hogy
12 + 22 + ...+ (n− 1)2 = (2n− 1) (n− 1)n6
.
9.1. SÍKIDOMOK TERÜLETE 201
Így
t (n) = al3
n3(2n− 1) (n− 1)n
6.
Ha most minden egyes osztópont által meghatározott szakaszra olyan
téglalapokat rajzolunk, amelynek magassága a szakasz jobboldali vég-
pontjában emelt ordináta, akkor a kérdéses területet magába foglaló,
téglalapokból álló területet kapunk.A k-dik osztóponthoz tartozó téglalap
területe
Tk =l
na(k + 1)2 l2
n2= a
(k + 1)2 l3
n3.
Így a területet magába foglaló téglalapok összterülete
T (n) = T0 + T1 + ...+ Tn−1
= al3
n3
¡12 + 22 + ...+ n2
¢,
de tudjuk, hogy
12 + 22 + ...+ n2 =(2n+ 1)n (n+ 1)
6.
Így
T (n) = al3
n3(2n+ 1)n (n+ 1)
6.
Ha már most n-et növesztjük, vagyis mind jobban megközelítjük a be-
satírozott területet alulról is és felülrol is, akkor határesetben kapjuk,
hogy
t = limn→+∞ t (n) = lim
n→+∞ al3
n3(2n− 1) (n− 1)n
6=al3
3,
és
T = limn→+∞T (n) = lim
n→+∞ al3
n3(2n+ 1)n (n+ 1)
6=al3
3.
Tehát e közös határérték lesz a besatirozott rész területe.
Ezt a megközelítési módszert általános esetben is alkalmazhatjuk, de
nem minden esetben lesz a t a T -vel egyenlo. Ezért a beírt téglalpok
összterületét a t-et a síkidom belso, a területet magába foglaló téglalapok
összterületet T -et pedig a síkidom külso területének (mértékének) nevez-
zük. Ilyen alapon nem csak összefüggo tartományoknak a külso vagy belso
területét lehet meghatározni, hanem akármilyen A ⊆ R2 halmazhoz is hoz-zárendelheto két méroszám a belso és külso mérték.
202 FEJEZET 9. RIEMANN-FÉLE INTEGRÁL
Külsõ és belsõ m érték.
Ha meg akarjuk mérni az korlátos A halmazt, akkor van egy olyan
[a, b]× [c, d] téglalap, amely tartalmazza az A-t. Az [a, b] és [c, d] interval-lumokat felosztjuk tetszoleges módon az
a < x1 < x2 < ...xk = b,
illetve a
c < y1 < y2 < ... < yp = d
pontokkal. Jelöljük P -vel azon téglalapok egyesítését, amelyek az A belse-
jében vannak és jelöljük Q-val azon téglalapok egyesítését, amelyeknek
az A-val van közös részük. Jelöljük m (P )-vel a P területét (mértékét)
és m (Q)-val a Q területét (mértékét). Ha tekintjük az [a, b] × [c, d]
téglalap összes lehetséges felosztását és jelöljük P-vel az összes P típusú
és Q-val az összes Q típusú sokszögek halmazát, akkor S ([a, b]× [c, d])-vel jelöljük, akkor az m (P ) / P ∈ P minden eleme kisebb lesz mintaz m (Q) / Q ∈ Q halmaz bármely eleme. Tehát az m (P ) / P ∈ Phalmaz felülrol és az m (Q) / Q ∈ Q halmaz pedig alulról lesz korlátos.Így értleme van a
t (A) = sup m (P ) / P ∈ P
és
T (A) = inf m (Q) / Q ∈ Qbelso illetve külso mértékek értelmezésének. Azonnal látható, hogy t (A) ≤T (A) .
9.1. SÍKIDOMOK TERÜLETE 203
Definíció 9.1.1 Az A ⊆ R2 korlátos halmazt (Jordan szerint)
mérhetonek nevezzük, ha t (A) = T (A) . Ezt a közös számot az A hal-
maz mértékének vagy területének nevezzük és m (A)-val jelöljük.
Példák. 1. A téglalap mérheto halmaz és mértéke egyenlo a téglalap
területével.
2. Az
A = (x, y) ∈ [0, 1]× [0, 2] / 0 ≤ y ≤ 2, ha x racinális és 0 ≤ y ≤ 1, ha x irracinálishalmaz nem mérheto.
Tétel 9.1.2 Ha az Ai ⊂ R2, i ∈ 1, 2, 3, ...k halmazok mérhetok, akkorA =
kSi=1
Ai halmaz is mérheto. Ha ezenkívül az Åi halmazok páronként
disztjunktak, akkor
m (A) =
kXi=1
m (Ai) .
Tétel 9.1.3 Ha az f : [a, b] → R függvény folytonos, akkor grafikonja
nulla mértékü halmaz.
Következmény. Ha f : [a, b]→ R függvény folytonos, akkor az
A =©(x, y) ∈ R2/ 0 ≤ y ≤ f (x) , ha x ∈ [a, b]ª
halmaz mérheto. Ezt a halmazt nevezzük a függvény grafikonja
alatti görbevonalú trapéznak.
A függvény grafikonja alatti görbevonalú trapéz.
204 FEJEZET 9. RIEMANN-FÉLE INTEGRÁL
9.2 A határozott integrál fogalma
Az eddigi tárgyalt területszámítási módszer általánosítható olyan szem-
pontból, hogy a trapéz területének a számításakor nem az alapok
félösszegét vesszük, hanem valamely közbeeeso pont behelyettesítési
értékét. Így jutunk el az integrál fogalmához. Hogy az integrált
megkülönböztessük a primitív függvényektol, amelynek jelölésére hagy-
omány alapján szintén az inegráljelt használják, ezért ezt a fogalmat
határozott integrálnak is szokták nevezni.
Figyelem. A határozott integrál, az integrál (Riemann-féle inegrál) egy
és ugyanazt a fogalmat jelenti.
A továbbiakban ismertessük a határozott integrál felépítését.
Legyen f : [a, b]→ R egy korlátos függvény. Osszuk fel az [a, b] inter-vallumot a következo osztópontokkal
a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b.
Definíció 9.2.1 Az [a, b] intervallum összes felosztásainak halmazát
Ω [a, b]-vel jelöljük.
Ω [a, b] = [x0, x1, x2, ..., xn] / x0 < x1 < x2 < ... < xn
Legyen ∆ = [x0, x1, x2, ..., xn] ∈ Ω [a, b] egy felosztása az [a, b]-nek.Ehhez a felosztáshoz hozzárendelünk egy ξ∆ = [ξ1, ξ2, ..., ξn] olyan pon-
trendszert, amelyre xi−1 ≤ ξi ≤ xi bármely i = 1, n esetén.
Definíció 9.2.2 Az
S (f,∆, ξ∆) =
nXi=1
f (ξi) (xi − xi−1)
összeget az f függvényhez, a ∆ felosztáshoz és a ξ∆ pontrendszerhez rendelt
Riemann-féle összegnek nevezzük.
Definíció 9.2.3 A ∆ = [x0, x1, x2, ..., xn] ∈ Ω [a, b] felosztás normáján akövetkezo számot értjük:
k∆k = max©xi − xi−1 / i = 1, nª .
9.2. HATÁROZOTT INTEGRÁL 205
Definíció 9.2.4 Az f : [a, b] → R függvényt Riemann-féle értelemben
integrálhatónak nevezzük, ha létezik és véges a következo határérték:
I = limk∆k→0
S (f,∆, ξ∆) ,
vagyis minden ε > 0 számhoz létezik olyan δ = δ (ε) > 0 szám, hogy ha
k∆k < δ akkor
|S (f,∆, ξ∆)− I| < ε
bármely olyan ξ∆ = [ξ1, ξ2, ..., ξn] pontrendszerre, amelyre xi−1 ≤ ξi ≤ xibármely i = 1, n esetén. Ezt az I számot az f függvény
integráljának nevezzük és
I =
bZa
f (x) dx
szimbolummal jelöljük.
Megjegyzés 9.2.5 Az elozo paragrafusban bemutatott területfogalom sz-
erint tehát, ha f (x) ≥ 0, akkor az y = f (x) görbe alatti terület
T =
bZa
f (x) dx-szel
egyenlo.
Az integrál értelmezése.
206 FEJEZET 9. RIEMANN-FÉLE INTEGRÁL
9.3 Az integrálhatóság alapveto tulajdonságai
Ebben a paragrafusban az integrálhatóság néhány alapveto elégséges tulaj-
donságát adjuk meg. Elore is megjegyezzük, hogy az integrálhatóságnak a
függvény korlátossága csak szükséges feltétele, de nem elégséges. Például,
ha tekintjük az f : [0, 1]→ R,
f (x) =
½0, ha x irracionális,
1 ha x racionális,
függvényt, akkor f az intervallum bármely ∆ felosztása mellett az összeg
értéke a ξ∆ pontrendszer függvényében a 0 és az 1 értékeket veheti fel.
Tehát az f korlátos, de nem integrálható.
Tétel 9.3.1 Az f : [a, b]→ R zárt intervallumon monoton függvény inte-grálható.
Tétel 9.3.2 Az f : [a, b] → R zárt intervallumon folytonos függvény in-tegrálható.
Tétel 9.3.3 Egy intervallumon integrálható függvény továbbra is integrál-
ható marad, és az integrál értéke sem változik meg, ha az intervallumban
véges sok helyen (tetszolegesen) megváltoztatjuk a függvény értékét.
Megjegyzés 9.3.4 Ennek a tételnek az alapján azt is mondhatjuk, hogy
az általunk bevezetett integrálfogalom nem szorossan függ a függvény
grafikonjától. Vagyis, ha véges sok helyen a grafikonon (tetszoleges ) vál-
toztatásokat eszközlünk, akkor a függvény integrálja nem változik meg.
Megjegyzés 9.3.5 A 9.3.3 tétel egy másik következménye, hogy a
racionális függvények integrálhatók.
Megjegyzés 9.3.6 A 9.3.3 tétel harmadik következménye, hogy ha az f
: [a, b] → R függvény felbontható véges számú folytonos függvényre (sza-
kaszosan folytonos függvény), akkor az f integrálható. Legtöbbször ezt a
tulajdonságot alkalmazzuk az integrálhatóság eldöntésére.
9.4. AZ INTEGRÁL TULAJDONSÁGAI 207
Szakaszosan folytonos, integrálható függvény.
9.4 Az integrál tulajdonságai
Ebben a paragrafusban ismertessük az integrál alapveto tulajdonságait.
Tulajdonságok. 1. Az f : [a, b] → R , f (x) = C, C ∈ R függvény
integráljabZa
cdx = C (b− a) .
A f = C konstans függvény integrálja.
2. Ha az f : [a, b]→ R integrálható [a, c] és [c, b] intervallumokon,
ahol c ∈ [a, b] , akkor f integrálható az [a, b] intervallumon is,
208 FEJEZET 9. RIEMANN-FÉLE INTEGRÁL
ésbZa
f (x) dx =
cZa
f (x) dx+
bZc
f (x) dx.
Az integrál két részre történõ bontása.
3. Ha az f : [a, b] → R és g : [a, b] → R integrálható függvények,
akkor f + g is integrálható és
bZa
f (x) + g (x) dx =
bZa
f (x) dx+
bZa
g (x) dx.
4. Ha az f : [a, b]→ R integrálható függvény és λ ∈ R, akkor
bZa
λf (x) dx = λ
bZa
f (x) dx.
5. Egy intervallumon integrálható pozitív függvény integrálja is
pozitív, az intervallumon integrálható negatív függvény inte-
grálja pedig negatív.
6. Ha az f : [a, b]→ R integrálható függvény , akkor
bZa
f (x) dx = −aZb
f (x) dx.
9.4. AZ INTEGRÁL TULAJDONSÁGAI 209
7. Ha az f : [−a, a]→ R páratlan integrálható függvény , akkor
aZ−af (x) dx = 0
8. Ha az f : [−a, a]→ R páros integrálható függvény , akkor
aZ−af (x) dx = 2
aZ0
f (x) dx
A tulajdonságok bizonyítása megtalálható a középiskolás
tankönyvben. Ezért most itt a bizonyításoktól eletkintünk.
Tétel 9.4.1 (Középérték tétel) Ha az f : [a, b] → R integrálható
függvény és m ≤ f (x) ≤M bármely x ∈ [a, b] esetén , akkor létezik olyanp ∈ [m,M ] szám, amelyre
bZa
f (x) dx = p (b− a) .
Sajátos esetben, ha f folytonos, akkor létezik olyan α ∈ [a, b] szám,amelyre
bZa
f (x) dx = f (α) (b− a) .
Bizonyítás 72 Mivel m ≤ f (x) ≤M következik, hogy
m (b− a) ≤bZa
f (x) dx ≤M (b− a) .
Innen
m ≤ 1
b− a
bZa
f (x) dx ≤M .
210 FEJEZET 9. RIEMANN-FÉLE INTEGRÁL
Ha jelöljük
m ≤ 1
b− a
bZa
f (x) dx = p ≤M,
akkorbZa
f (x) dx = p (b− a) .
Ha f folytonos, akkor létezik olyan α ∈ [a, b], amelyre f (α) = p. Innenkapjuk a kért egyenloséget.
A középérték tétel szemléltetése
9.5 Az integrál kiszámítása
Az integrál kiszámítása az értelmezés alapján elégé nehézkes feladat.
Az értelmezésben eloforduló határérték kiszámítása sok leleményességet
igényel. Ezért olyan eljárást kell kersni, amellyel az integrál bizonyos
egyszerubb esetékben kiszámítható. Ennek érdekében vezetjük be a prim-
itív függvény fogalmát.
9.5.1 A primitív függvény fogalma
Definíció 9.5.1 Az f : I → R ( I ⊆ R intervallum) függvénynek az
F : I → R függvény primitív függvénye, ha:
(i) F deriválható;
(ii) F 0 (x) = f (x) bármely x ∈ I esetén.
9.5. AZ INTEGRÁL KISZÁMÍTÁSA 211
Tétel 9.5.2 Ha az f : I → R függvénynek az F primitív függvénye, akkorbármely C ∈ R esetén az F + C is primitív függvénye az f-nek és az f
összes primitív függvénye az F +C alakba írható.
Bizonyítás 73 Valóban F + C deriválható és bármely x ∈ I esetén
(F (x) + C)0 = F 0 (x) = f (x) .Legyen G egy primitív függvénye az f-nek. Ekkor bármely x ∈ I es-
etén G0 (x) − F 0 (x) = f (x) − f (x) = 0. Tehát bármely x ∈ I esetén(G− F )0 (x) = 0. Ami azt jelenti, hogy az G − F konstans függvény,
vagyis létezik olyan C ∈ R szám, amelyre G− F = C.
Megjegyzés 9.5.3 Ez a tétel azt mutatja meg, hogy ha f-nek van prim-
itív függvénye, akkor végtelen sok primitív függvénye van. Az összes
promitívek halmazát nevezzük határozatlan integrálnak.
Definíció 9.5.4 Az f : I → R függvény primitív függvényeinek halmazátaz f függvény határozatlan integráljának nevezzük és aZ
f (x) dx
szimbolummal jelöljük.
Figyelem! Nem szabad összetéveszteni a határozatlan integrált a
határozott integrállal, mivel a határozatlan integrál egy függvényhal-
maz a határozott integráll pedig egy szám amely a függvénygörbe
alatti területet adja meg. Közöttük semmilyen fogalmi kapcsolat
sincs, csak a jelölésük hasonlít egymásra. Hogy a különbséget a
érzékeltessük, amikor a határozatlan integrálról beszélünk, akkor
expliciten ezt ki is mondjuk, a határozott integrált amint már az
elozoekben is jeleztük ”integrálnak” is mondhatjuk.
A határozatlan integrál alapveto tulajdonságai
A határozatlan integrál amint láttuk egy halmaz, amelyet röviden így
írhatunk le:Zf (x) dx =
½ ∅, ha f -nek nincs primitív függvénye,
F + C / C ∈ R , ha F primitív fügRgvénye az f -nek.
212 FEJEZET 9. RIEMANN-FÉLE INTEGRÁL
Tétel 9.5.5 A határozatlan integrál az alábbi tulajdonságokkal ren-
delkezik:
1.©g0 / g ∈ R f (x) dxª = f ;
2. ha az f és g függvényeknek van primitív függvénye az I intervallu-
mon, akkor
Zf (x) + g (x) dx =
Zf (x) dx+
Zg (x) dx;
3. ha az f függvényeknek van primitív függvénye az I intervallumon,
akkor
Zf (x) dx = −
Zf (x) dx;
4. ha az f függvényeknek van primitív függvénye az I intervallumon és
λ ∈ R, akkor
Zλf (x) dx = λ
Zf (x) dx;
A tulajdonságok igazolása a derivált tulajdonságainak a felhasználásá-
val történik. Viszonylag könnyen elvégezhetok ezért az olvasóra bizzuk.
9.5. AZ INTEGRÁL KISZÁMÍTÁSA 213
Határozatlan alapintegrálok
Rλdx = λx+C;Rxαdx = xα+1
α+1+ C, ha α 6= −1;R
1xdx = lnx+C, ha x > 0;R1xdx = ln (−x) + C, ha x < 0;R1xdx = ln |x|+C;Rsinxdx = − cosx+ C;Rcosxdx = sinx+ C;R1
cos2 xdx =
R ¡1 + tan2 x
¢dx = tanx+ C;R
1sin2 x
dx =R ¡1 + cot2 x
¢dx = − cotx+ C;R
exdx = ex + C;Raxdx = ax
ln a+ C, ha a > 0 és a 6= 1;R
1√1−x2dx = arcsinx+ C;R1
1−x2dx = arthx+ C =12lnq
1+x1−x +C, ha |x| < 1;R
11−x2dx = arcthx+C =
12lnq
x+1x−1 + C, ha |x| > 1;R
11+x2
dx = arctanx+ C;Rsinhxdx = coshx+ C;Rcoshxdx = sinhx+ C;R
1√x2+1
dx =arsinhx+ C = ln³x+√x2 + 1
´+ C;R
1√x2−1dx =arcoshx+ C = ln
³x+√x2 − 1
´+ C.
9.5.2 Newton-Leibniz integrálási szabály
Ha az f : [a, b]→ R függvény integrálható, akkor bármely x ∈ [a, b] eseténis az f |[a,x] is integrálható. Ezért az F : [a, b]→ R,
F (x) =
xZa
f (u) du
egy valós függvény.
Azonnal felvetodik az a kérdés, hogy vajon az F primitív függvénye-e
az f -nek?
Tétel 9.5.6 Ha az f : [a, b] → R függvény folytonos, akkor F primitív
függvénye az f-nek.
214 FEJEZET 9. RIEMANN-FÉLE INTEGRÁL
Bizonyítás 74 Ha x0 ∈ [a, b], akkor
limx→x0
F (x)− F (x0)x− x0 = lim
x→x0
xRa
f (u) du−x0Ra
f (u) du
x− x0 =
= limx→x0
xRx0
f (u) du
x− x0= f (x0) .
Az utóbbi egyenl0oség a középérték tételbol következik, mivel a tétel alapján
létezik olyan α ∈ [x0, x] szám, amelyrexZ
x0
f (u) du = (x− x0) f (α) .
Tehát
limx→x0
xRx0
f (u) du
x− x0 = limx→x0
(x− x0) f (α)x− x0 = f (x0) .
Tétel 9.5.7 (Newton-Leibniz-féle képlet) Ha az f : [a, b] → R füg-
gvény folytonos, akkor
bZa
f (x) dx = F (b)− F (a)
az f minden F primitív függvénye esetén.
Bizonyítás 75 Mivel f folytonos, következik, hogy
F (x) =
xZa
f (u) du+ C.
Ahonnan következik, hogy
F (a) = C
9.5. AZ INTEGRÁL KISZÁMÍTÁSA 215
és
F (b) =
bZa
f (u) du+ C
Tehát
bZa
f (x) dx = F (b)− F (a) .
9.5.3 Integrálási módszerek
Parciális integrálás módszere
Tétel 9.5.8 Ha az f : [a, b]→ R és g : [a, b]→ R folytonosan deriválhatófüggvények, akkor
bZa
f 0 (x) g (x) dx = f (b) g (b)− f (a) g (a)−bZa
f (x) g0 (x) dx.
Bizonyítás 76 Alkalmazzuk a szorzat deriválási szabályát:
[f (x) g (x)]0 = f 0 (x) g (x) + f (x) g0 (x) .
Ha az egyenlet mindkét oldalán integrálunk visszakapjuk a kért össze-
függést. Az integrás elvégezheto, mivel az egyenloség mindkét oldalán
folytonos függvények vannak.
216 FEJEZET 9. RIEMANN-FÉLE INTEGRÁL
Példák. 1.
2Z1
lnxdx =
2Z1
(x)0 lnxdx
= x lnx|21 −2Z1
x (lnx)0 dx
= 2 ln 2− 1 ln 1−2Z1
x1
xdx
= 2 ln 2−2Z1
dx
= 2 ln 2− x|21= 2 ln 2− 2 + 1= 2 ln 2− 1.
2.
1Z0
xexdx =
1Z0
x (ex)0 dx = xex|10 −1Z0
(x)0 exdx
= 1e1 − 0e0 −1Z0
exdx
= e− ex|10 = e− e+ 1 = 1.
9.5. AZ INTEGRÁL KISZÁMÍTÁSA 217
3.
1Z0
p1 + x2dx =
1Z0
1 + x2√1 + x2
dx =
1Z0
1√1 + x2
dx+
1Z0
x2√1 + x2
dx
= ln³x+
p1 + x2
´|10 +
1Z0
x√1 + x2
xdx
= ln³1 +√2´− ln (1) +
1Z0
³p1 + x2
´0xdx
= ln³1 +√2´+³p
1 + x2´x|10 −
1Z0
³p1 + x2
´(x)0 dx
= ln³1 +√2´+√2−
1Z0
³p1 + x2
´dx.
Ha bevezetjük az
I =
1Z0
p1 + x2dx
jelölést, akkor azt kapjuk, hogy
I = ln³1 +√2´+√2− I.
Ahonnan
I =1
2ln³1 +√2´+
√2
2.
Helyettesítéssel való integrálás
Az összetett függvény deriválási szabályának a megfeleloje az integrálás
körében. A módszer lényege itt az, hogy az x változónak olyan függvényét
vezetjük be az integrándusban az x helyébe, amely a primitív függvény
meghatározását egyszerubbé teszi.
218 FEJEZET 9. RIEMANN-FÉLE INTEGRÁL
Tétel 9.5.9 Ha az f : [a, b] → R folytonos és g : [a, b] → R folytonosanderiválható függvény, akkor
bZa
f (x) dx =
qZp
f (g (u)) g0 (u) du,
ahol a = g (p) és b = g (q) .
Bizonyítás 77 Legyen F primitív függvénye az f-nek. Akkor
(F g)0 (u) = F 0 (g (u)) g0 (u) = f (g (u)) g0 (u) .
Tehát
bZa
f (x) dx =
g(q)Zg(p)
f (x) dx
= F (g (q))− F (g (p))
=
qZp
f (g (u)) g0 (u) du.
Példák. Számítsuk ki az alábbi integrált:
1Z0
p1− x2dx.
Legyen x = sinu. Akkor (x)0 · dx = cosu · du. Vagyis dx = cosu · du.
9.5. AZ INTEGRÁL KISZÁMÍTÁSA 219
Akkor
1Z0
p1− x2dx =
π2Z0
p1− sin2 u cosudu
=
π2Z0
cosu cosudu
=
π2Z0
cos2 udu
=
π2Z0
1 + cos 2u
2du
=
π2Z0
1
2du+
π2Z0
cos 2u
2du
=1
2u|π/20 +
1
4sin 2u|π/20
=π
4+1
4(sinπ − sin 0)
=π
4.
2. Számítsuk ki az alábbi integrált:
π/3Zπ/6
1
sin 2xdx.
π/3Zπ/6
1
sin 2xdx =
π/3Zπ/6
1
2 sinx cosxdx
=1
2
π/3Zπ/6
1
tanx
1
cos2 xdx.
220 FEJEZET 9. RIEMANN-FÉLE INTEGRÁL
Bevezetjük a tanx = u jelölést. Ekkor du = (tanx)0 dx. Vagyisdu = 1
cos2 xdx. Tehát
1
2
π/3Zπ/6
1
tanx
1
cos2 xdx. =
1
2
√3Z
√3/3
1
udu
=1
2lnu|
√3√3/3
=1
2ln3√3√3
= ln√3.
9.6 Az inegrál közelíto kiszámítása
Az inegrál Newton-Leinbniz képlettel történo számításának az a hátránya,
hogy csak nagyon sajátos esetekben alkalmazható. A gyakorlatban elofor-
duló függvények integrálja általában nem számítható ki ezzel a képlettel.
Ezért feltevodik az a kérdés, hogy ekkor hogyan lehet kiszámítani az inte-
grált? A válasz sajnos negatív, vagyis pontos számításra más lehetoségünk
nincs, de azért nem kell elkeserednünk, mivel közelíto számításokra mindig
van lehetoség, és ha meggondoljuk a gyakorlat nem is követel mást tolünk.
Ezért az integrál közelíto kiszámításának módszerei nagyobb gyakorlati je-
lentoséggel bírnak. Ezt támasztja alá az is, hogy a számítógéppel végzett
integrálás is valamilyen közelíto módszeren alapúl. A közelíto módszerek
alkalmazásakor arra törekszünk, hogy az elkövetett hibát meg tudjuk bec-
sülni.
A feladat ebben az esetben:
Feladat. Ha f : [a, b] → R integrálható függvény, határozzuk meg egy
bizonyos pontossággal az
I =
bZa
f (x) dx
integrál értékét.
9.6. INEGRÁL KÖZELÍTO KISZÁMÍTÁSA 221
A határozott integrál közelíto értékének a kiszámítási módja az, hogy
az f függvényt az [a, b] intervallumon olyan g függvénnyel közelítjük meg,
amelynek az integrálját könnyen ki tudjuk számítani, és az f függvény
integálját helyettesítjük a g függvény integráljával.
Konkrét esetekben általában az f függvéy analitikus alakja nem is-
mert, csak annyit tudunk, hogy a függvény folytonos és ismerjük az
értékeit az xk ∈ [a, b], k = 1, ..., n pontokban. Ekkor a függvényt poli-
nomfüggvénnyel közelítjük meg, és akkor az integrál értéke az alábbi
kvadraturával adható meg:
bZa
f (x) dx =
nXk=0
Akf (xk) +R.
Ebben a képletben az Ak a kvadratura együtthatói, R pedig a hiba.
Annak a polinomnak a megszerkesztését, amely értékei az xk pon-
tokban megegyezik az f fügvény értékeivel, interpolációnak nevezzük.
Az interpoláció legegyszerubb példáját a logaritmustáblák használatá-
nak a szabájaiból ismerjük. Itt az argumentum közbeeso-a táblázatban
nem szereplo-értékek kiszámításakor a függvény táblázati értékéhez hoz-
záadunk egy korekciót, amelyet úgy kapunk, hogy a függvény kicsiny
növekményét arányosnak vesszük a független változó növekményével.
Az interpolációnak gyakorlati jelentosége rendkivül nagy, hiszen
például fizikai, gazdasági, szociológiai mérések kiértékelésénél lépten-
nyomon használják.
A szerint, hogy az xk osztópontokat hogyan válasszuk és, hogy az
[xk−1, xk] intervallumon milyen közelítését vesszük az f függvénynek
különbözo numerikus integrálási módszereket kapunk.
9.6.1 Trapéz módszer
Ebben a módszerben az [a, b] intervallumot n egyenlo részre osztjuk. Az
osztópontok xk = x0 + kh, k = 0, ..., n, x0 = a, xn = b, h =b−an.
Az [xk−1, xk] intervallumon az f függvényt lineárisan közelítjük meg.Vagyis
f (x) ≈ xk − xh
f (xk−1) +x− xk−1
hf (xk) ,
bármely x ∈ [xk−1, xk] esetén.
222 FEJEZET 9. RIEMANN-FÉLE INTEGRÁL
Ekkor
bZa
f (x) dx =
nXk=1
xkZxk−1
f (x) dx
≈nXk=1
xkZxk−1
xk − xh
f (xk−1) +x− xk−1
hf (xk) dx
=
nXk=1
[xkf (xk−1)− xk−1f (xk)]+
=1
2
nXk=1
(f (xk)− f (xk−1)) (xk + xk−1)
=h
2
nXk=1
[f (xk) + f (xk−1)]
Tehát az integrál egy megközelíto értékét az alábbi képlet adja meg:
bZa
f (x) dx ≈ hµf (a) + f (b)
2+ f (x1) + f (x2) + ...+ f (xn−1)
¶(9.1)
Tétel 9.6.1 Ha f : [a, b] → R kétszer folytonosan differenciálható füg-
gvény, akkor
¯¯bZa
f (x) dx− hµf (a) + f (b)
2+ f (x1) + f (x2) + ...+ f (xn−1)
¶¯¯ ≤ M (b− a)312n2
,
ahol M = max |f” (x) / x ∈ [a, b]|
9.6. INEGRÁL KÖZELÍTO KISZÁMÍTÁSA 223
Bizonyítás 78 (Bizonyítás)
xkZxk−1
f (x) dx =
xkZxk−1
f (x) (x− xk−1)0 dx
= (xk − xk−1) f (xk)−xkZ
xk−1
(x− xk−1) f 0 (x) dx
= (xk − xk−1) f (xk)−xkZ
xk−1
(x− xk−1) f 0 (x) (x− xk)0 dx
= (xk − xk−1) f (xk) +xkZ
xk−1
(x− xk−1) (x− xk) f 00 (x) dx+xkZ
xk−1
(x− xk) f 0 (x) dx
= (xk − xk−1) f (xk) +xkZ
xk−1
(x− xk−1) (x− xk) f 00 (x) dx
+(xk − xk−1) f (xk−1)−xkZ
xk−1
f (x) dx.
Tehát
xkZxk−1
f (x) dx =1
2(xk − xk−1) (f (xk) + f (xk−1))+1
2
xkZxk−1
(x− xk−1) (x− xk) f 00 (x) dx.
A fentiek alapján kapjuk, hogy¯¯ xkZxk−1
f (x) dx− 12(xk − xk−1) (f (xk) + f (xk−1))
¯¯
≤ 12
xkZxk−1
¯(x− xk−1) (x− xk) f 00 (x)
¯dx
≤ (xk − xk−1)3
12M
224 FEJEZET 9. RIEMANN-FÉLE INTEGRÁL
Összegezés után kapjuk, hogy¯¯bZa
f (x) dx− hµf (a) + f (b)
2+ f (x1) + f (x2) + ...+ f (xn−1)
¶¯¯=
¯¯ nXk=1
xkZxk−1
f (x) dx− 12(xk − xk−1) (f (xk) + f (xk−1))
¯¯
≤nXk=1
(xk − xk−1)312
M =Mh3
12n =
M (b− a)312n3
n =M (b− a)312n2
Ez a képlet azt mutatja, hogy a hiba fordítottan arányos az n2-tel.
Következésképpen minnél kisebb részekre osztjuk az intervallumot, annál
pontosabb értékét kapjuk az integrálnak. Összefoglalva ez azt jelenti, hogy
az integrál kiszámításának egy lehetséges képlete az
Tétel 9.6.2 Ha f : [a, b] → R kétszer folytonosan differenciálható füg-
gvény, akkor
bZa
f (x) dx = h
µf (a) + f (b)
2+ f (x1) + f (x2) + ...+ f (xn−1)
¶+O
¡n2¢.
(9.2)
Az O¡n2¢jelölés azt mutatja, hogy a képlet hibája 1
n2−tel azonos
nagyságrendu. Pontosabban mondva, ha egy összefüggés az alábbi alakba
írható
I = g (n) +O³nk´,
akkor
limn→∞ (I − g (n))n
k
határérték véges. A képlet hibája 1nk−tel azonos nagyságrendu, ha k a
leheto legnagyobb, amelyre a fenti határérték még véges marad.
Megjegyzés 9.6.3 A Newton-Leibniz-féle képlet hibája 1n∞ -nel azonos
nagyságrendu.
9.6. INEGRÁL KÖZELÍTO KISZÁMÍTÁSA 225
Az integrálra adott (3)-as képlet éppen, olyan értékes mint a Newton-
Leibniz képlet, sot gyakorlati szempontból nagyobb a jelentosége, mivel
ezzel sokkal több integrál számítható ki, ezért általánosabb is. Valóban,
amíg nem jelentek meg a számítógépek elégé nehezen volt alkalmazható,
de jelenleg számítógéppel nagyon rövid ido alatt nagyon nagy pontossággal
használható.
9.6.2 Simpson-féle formula
Az integrál közelíto kiszámítása céljából felosztjuk az [a, b] intervallumot
2n egyenlo részre. Az osztópontok xk = x0 + kh, k = 0, ..., 2n, x0 = a,
xn = b, h =b−an.
Az [xk−1, xk] intervallumon az f függvényt az L2 Langrage-féle poli-nommal közelítjük meg.
Megjegyzés 9.6.4 Az n-ed rendu Lagrange-féle polinom az a legfeljebb
n-ed rendu polinom, amely az x0 < x1 < ... < xn értékekre az y0, y1, ..., ynértékeket veszi fel:
Ln (x) =
nXi=0
yi(x− x0) (x− x1) ... (x− xi−1) (x− xi+1) ... (x− xn)
(xi − x0) (xi − x1) ... (xi − xi−1) (xi − xi+1) ... (xi − xn) .
Ha n = 2,akkor az x2(k−1) < x2k−1 < x2k csomópontokhoz tartozó L2Langrage-féle polinom
L2 (x) =(x− x2k−1) (x− x2k)¡
x2(k−1) − x2k−1¢ ¡x2(k−1) − x2k
¢f ¡x2(k−1)¢+
¡x− x2(k−1)
¢(x− x2k)¡
x2k−1 − x2(k−1)¢(x2k−1 − x2k)
f (x2k−1)
+
¡x− x2(k−1)
¢(x− x2k−1)¡
x2k − x2(k−1)¢(x2k − x2k−1)
f (x2k)
A továbbiakban a trapéz modszernél leírtak alapján járunk el és az
alábbi közelíto integrálási képlethez jutunk
bZa
f (x) dx =h
3f (a) + f (b) + 4 [f (x1) + f (x3) + ...+ f (x2n−1)]
+2 [f (x2) + f (x4) + ...+ f (x2n−2)] .
226 FEJEZET 9. RIEMANN-FÉLE INTEGRÁL
Tétel 9.6.5 Ha f : [a, b]→ R négyszer folytonosan differenciálható füg-
gvény, akkor¯¯bZa
f (x) dx− h3
n−1Xi=0
[f (x2i) + 4f (x2i+1) + f (x2i+2)]
¯¯ ≤ N (b− a)52880n4
,
ahol N = max©¯f (4) (x) / x ∈ [a, b]
¯ª.
Összefoglalva ez azt jelenti, hogy az integrál kiszámításának egy lehet-
séges képlete:
Tétel 9.6.6 Ha f : [a, b]→ R négyszer folytonosan differenciálható füg-
gvény, akkor
bZa
f (x) dx =h
3f (a) + f (b) + 4 [f (x1) + f (x3) + ...+ f (x2n−1)] (9.3)
+2 [f (x2) + f (x4) + ...+ f (x2n−2)]+O¡n4¢.
9.6.3 A megengedett hibahatár betartása
Adott az ε > 0 szám. Határozzuk meg a csomópontok számát, úgy hogy
az integrálási hiba kisebb legyen mint ε.
A trapéz módszernél megkeressük a függvény másodrendu deriváltjá-
nak egy lehetséges felso korlátját az M -et és azután megoldjuk az alábbi
egyenlotlenséget
M (b− a)312n2
≤ ε.
Amibol következik, hogy
n =
⎡⎢⎢⎢sM (b− a)3
12ε
⎤⎥⎥⎥+ 1. (9.4)
A Simpson-képletnél megkeressük a függvény negyedrendu deriváltjá-
nak egy lehetséges felso korlátját az N -et és azután megoldjuk az alábbi
egyenlotlenséget
9.6. INEGRÁL KÖZELÍTO KISZÁMÍTÁSA 227
N (b− a)52880n4
≤ ε.
Amibol következik, hogy
n =
⎡⎢⎢⎢ 4
sN (b− a)52880ε
⎤⎥⎥⎥+ 1 (9.5)
Látható, hogy mind a két esetben elég nehézkes a csomópontok számá-
nak a meghatározása, ezért inkább a kétszeres számítási módszert alka-
lmazzuk. Ez azt jelenti, hogy kiszámítsuk az integrál In és I2n közelíto
értékeit n darab csomópont és 2n darab csomópont esetén is. Figyeljük a
két érték közti eltérést és felhasználjuk a Runge-féle elvet, amely kimondja,
hogy az R integrálási hibát a trapéz módszer esetén az
R ≈ 13|In − I2n| , (9.6)
a Simpson-képlet esetén pedig az
R ≈ 1
15|In − I2n| (9.7)
közelíto képlet adja meg.
9.6.4 Számítási algoritmus a trapéz módszer esetén
1. lépés. Legyen
n =
⎡⎢⎢⎢s(b− a)312ε
⎤⎥⎥⎥+ 1. (9.8)
2. lépés. Számítjuk az In-t és az I2n-t.
3. lépés. Ha |In − I2n| ≤ 3√ε, akkor megkaptuk ε pontossággal az
integrál értékét és kilépünk az algoritmusból.
4. lépés. Növeljük az n-t és folytassuk az algoritmust a 2. lépéstol.
228 FEJEZET 9. RIEMANN-FÉLE INTEGRÁL
9.6.5 Számítási algoritmus a Simpson-képlet esetén
1. lépés. Legyen
n =
⎡⎢⎢⎢ 4
s(b− a)52880ε
⎤⎥⎥⎥+ 1 (9.9)
2. lépés. Számítjuk az In-t és az I2n-t.
3. lépés. Ha |In − I2n| ≤ 15 4√ε, akkor megkaptuk ε pontossággal az
integrál értékét és kilépünk az algoritmusból.
4. lépés. Növeljük az n-t és folytassuk az algoritmust a 2. lépéstol.
Hogy teljes legyen a mind a két módszer leírása, meg kell adjuk a
számítógéppel történo kiszámítás módját is. Erre több programozási nyelv
is használható, de itt egy széles körben elterjedt numerikus módszerek
alkalmazásara íródott matematikai programozási környezetet mutatunk
be. Ezt a környezetet MatLab numerikus analizátornak nevezzik és amint
látni fogjuk nagyon könnyen megtanulható és viszonylag könnyen lehet
benne programozni.
9.7 Rövid MatLab ismertetés
9.7. RÖVID MATLAB ISMERTETÉS 229
A MatLAb matematikai programozási nyelvet a MathWorks szofter
gyártó cég készítette. 1984-ben jelent meg az elso verziója és ezt bovítet-
ték tovább. Jelenleg már a 6-os verzió is a piacon van. A cég termékeirol és
a MatLab-ról további információk szerezhetok be a www.mathworks.com
internetes címen.
A MatLab öt fontosabb részbol tevodik össze:
1. MatLab fordító. Ez végzi el az általunk megírt matematikai pro-
gramnak az operációsrendszer által ismert kódra történo fordítását.
2. Parancssor ablak. Indításkor ez jelenik meg a képernyon és ebben
az ablakban írhatjuk be az alapveto utasításokat.
3. Szerkeszto ablak. A parancssor ablakból indítható. Ebben az ablak-
ban szerkesztjük matematikai programjainkat.
230 FEJEZET 9. RIEMANN-FÉLE INTEGRÁL
4. Súgó ablak. A parancssor ablakból indítható. Ebben az ablakban
kérünk segítséget a programozás során.
9.7. RÖVID MATLAB ISMERTETÉS 231
5. Eszköztárak( ToolBoxes). Ezek az állományok tartalmazzák a már
megírt matematikai programokat. Az állományok az internetrol is
letölthetok és mi is szerkeszhetünk ilyeneket.
Mit is tud a MatLab?
1. Egyszeru matematikai számításokat lehet vele végezni
2. Már az 5.2 verziónak is egy elégé jól felépített grafikai komponense
van. Ez lehetové teszi a görbék és felületdarabok ketto
232 FEJEZET 9. RIEMANN-FÉLE INTEGRÁL
és három dimenziós ábrázolását.
3. Van egy úgynevezett Simuling komponense, amelynek segít-
ségével dinamikus megjelenítést is végezhetünk.
9.7. RÖVID MATLAB ISMERTETÉS 233
4. Az lineáris algebra eszköztára képes:
(a) mátrix muveletek elvégzésére;
(b) vektorokkal történo muveletek elvégzésére;
(c) lineáris egyenletrendszerek megoldására;
(d) determináns kiszámítására;
(e) sajátértékek, sajátvektorok meghatározására;
(f) iteratív muveletek végzésére;
(g) stb.
5. A polinomok és interpoláció eszköztár képes:
(a) polinomokkal történo muveletek elvégzésére;
(b) lineáris interpolációra;
(c) polinomiális interpolációra;
(d) Lagrange-féle interpolációra;
(e) az interpoláció hibájának a meghatározására;
(f) stb.
6. A numerikus integrációs eszkoztár ismeri:
(a) a trapéz módszert;
(b) Simpson-féle képletet;
(c) stb.
7. A differenciálegyenletek eszköztár ismeri:
(a) a differenciálegyenletek Runge-Kuta 3,4,5 numerikus
megoldási módszereit.
(b) stb.
8. A szimbolikus számításokat végzo eszköztár képes szimbolikus
számítások elvégzésére.
234 FEJEZET 9. RIEMANN-FÉLE INTEGRÁL
9. Az általunk megírt matematikai programok, vagy az eszköztárak
beépíthetok a Visual C++ programozási környezetbe is. Ezáltal a
környezettol független szimulációs programok készíthetok.
10. Nem tesz különbséget a számok között. Például, ha egy másodfokú
egyenletet oldunk meg nem kell leellenorizni a delta értékét, mivel
ha a delta negatív, akkor automatikusan komplex gyökököt számol.
9.8 A trapéz módszer MatLabban
A módszert az alábbi példán keresztül mutatjuk be:
Feladat. Számítsuk ki az integrált 6 tizedes pontossággal:
I =
1Z0
e−x2
dx.
9.8.1 Ha a hiba megbecslése az 9.8 képlet alapján történik
1. lépés.
Abban az esetben, ha integrálandó függvény analitikus képlete
ismert, akkor létrehozunk egy úgynevezett .m állományt, amely a füg-
gvény leképzési szabályát tartalmaza. Ha nem ismert ilyen képlet, akkor
felsoroljuk egy adattömbe a függvény behelyettesítési értékeit.
A mi esetünkben az f.m állomány az alábbiakat tartalmaza.
function ert=f(x)
ert=exp(-x*x);
Az állomány neve meg kell egyezzen a függvény azonosítójával. A mi
esetünkben ez f.m
2. lépés.
Úgyanabban a könyvtárban, amelyben a függvény is található létre-
hozunk egy másik .m állományt az integrálási módszerrel. Ennek az ál-
lománynak a neve trapez.m és az alábbiakat tartalmazza:
9.8. A TRAPÉZ MÓDSZER MATLABBAN 235
function [eredmeny]=trapez(f_name,a,b,hiba)
%kiszámítjuk, hogy legalább hány osztópont szükséges az adott hiba-
határ eléréséhez;
n=sqrt(1/hiba)+1;
% a lépéshossz;
h=(b-a)/n;
% az integrálösszeg kezdeti értéke;
I=(feval(f_name,a)+feval(f_name,b))/2;
% az integrálösszeg kiszámítása
for k=1:1.0:n-1,
fk=feval(f_name,(a+k*h));
I=I+fk;
end;
% az integrálösszegnek a lépéshosszal történo beszorzása;
I=h*I;
% az eredmény 20 tizedesjeggyel történo kiírása;
vpa(I,20)
3. lépés:
Hogy az általunk készített ”trapez” nevu MatLab integráló füg-
gvény értékét az f függvényre, a [0, 1] intervallumra és 0.0000001 hibával
kiszámítsuk a parancssorba gépeljük be
trapez(’f ’,0,1,0.0000001)
Egy bizonyos ido múlva a számítógép kiírja az eredményt:
ans =
.74679182261973753310
Ha más függvény integrálját akarjuk kiszámítani, akkor csak létre kell
hozni az 1. lépésben leírtak alapján egy újabb .m állományt, amely tartal-
mazza az integrálandó függvény leképzési szabáját és utána kell alkalmazni
rá a a trapez MatLab függvényt a megadott intervallummal. Az alapfüg-
gvényekre direkt lehet alkalmazni a trapez MatLab függvényt. Példának
okáért számítsuk ki
I =
πZ0
sinxdx
integrált 12 tizedes pontossággal.
Begépeljük a parancssorba:
236 FEJEZET 9. RIEMANN-FÉLE INTEGRÁL
trapez(’sin’,0,pi,0.0000000000001)
Körülbelül 5 perc múlva az alábbi eredményt írja ki a számítógép.
ans =
1.9999999999992832400
Megfigyelheto, hogy valóban az eredmény 12 tizedes pontosságú, mivel
a pontos értéktol, a 2-tol való eltérés 0.71676× 10−12 .Hogy szemléltessük is az f függvényt szerkesztünk egy olyan MatLab
függvényt amely kirajzolja az adott függvény grafikonját. Ezért létre-
hozunk egy .m tipusú állományt, amely a következoket tartalmazza:
function grafikon(f_name,a,b,lepes)
i=0;
% kiszámítjuk a behelyettesítési értékeket;
for t=a:lepes:b,
i=i+1;
x(i)=t;
y(i)=feval(f_name,t);
end;
% kirajzoljuk az f függvény grafikonját
plot(x,y)
% megválasszuk a megjelenítési módot;
grid on
% felíratozzuk a koordináta-tengelyeket
xlabel(’x’);
ylabel(’y’);
Ezt az állományt elmentsük a grafikon.m néven.
Ha a parancssorba begépeljük a
grafikon(’f ’,0,1,0.01)
utasítást, akkor a számítógép kirajzolja az f függvény grafikonját.
9.8. A TRAPÉZ MÓDSZER MATLABBAN 237
9.8.2 Ha a hiba megbecslése a kétszeres számítási módszer
alapján történik
function [eredmeny]=trapez2(f_name,a,b,ep)
n=sqrt((b-a)^3/12/ep)+1;
hiba=ep+1;
% addig végezzük a számításokat amig a hiba kisebb lesz mint az ep;
while (hiba >ep)
%kiszámítjuk az In-t
h=(b-a)/n;
I1=(feval(f_name,a)+feval(f_name,b))/2;
for k=1:1.0:n-1,
fk=feval(f_name,(a+k*h));
I1=I1+fk;
end;
I1=h*I1;
%kiszámítjuk az I2n-t;
h=(b-a)/2/n;
I2=(feval(f_name,a)+feval(f_name,b))/2;
for k=1:1.0:2*n-1,
238 FEJEZET 9. RIEMANN-FÉLE INTEGRÁL
fk=feval(f_name,(a+k*h));
I2=I2+fk;
end;
I2=h*I2;
% meghatározzuk a hibát
hiba=(I1-I2)*(I1-I2)/9;
% növeljük az n-t;
n=2*n;
end;
%kiiratjuk az eredményt.
vpa(I2,20)
Ha kiakarjuk számolni az
I =
πZ0
sinxdx
integrált 6 tizedes pontossággal.a parancssorba gépeljük be
trapez2(’sin’,0,pi,0.000001)
Eredményül a számítógép kiírja
ans =
1.9999990577998927321.
Látható, hogy valóban a hiba kisebb mint 0.000001.
9.9 Simpson-képlet MatLabban
9.9.1 Ha a hiba megbecslése a 9.9 képlet alapján történik
function [eredmeny]=trapez(f_name,a,b,hiba)
n=round(((b-a)^5/2880/hiba )^(1/4))+1;
h=(b-a)/2/n;
I=(feval(f_name,a)+feval(f_name,b));
for k=1:2.0:2*n-1,
fk=feval(f_name,(a+k*h));
I=I+4*fk;
end;
for k=2:2.0:2*n-2,
fk=feval(f_name,(a+k*h));
I=I+2*fk;
9.9. SIMPSON-KÉPLET MATLABBAN 239
end;
I=h*I/3;
vpa(I,20)
Ha kiakarjuk számolni az
I =
πZ0
sinxdx
integrált 6 tizedes pontossággal.a parancssorba gépeljük be
simpson(’sin’,0,pi,0.000001)
Eredményül a számítógép kiirja
ans =
2.0000005194886716353.
Látható, hogy valóban az eredmény 6 tizedes pontosságú.
9.9.2 Ha a hiba megbecslése a kétszeres számítási módszer
alapján történik
function [eredmeny]=simpson2(f_name,a,b,ep)
n=round(((b-a)^5/2880/ep )^(1/4))+1;
hiba=ep+1
while (hiba>ep)
h=(b-a)/2/n;
I1=(feval(f_name,a)+feval(f_name,b));
for k=1:2.0:2*n-1,
fk=feval(f_name,(a+k*h));
I1=I1+4*fk;
end;
for k=2:2.0:2*n-2,
fk=feval(f_name,(a+k*h));
I1=I1+2*fk;
end;
I1=h*I1/3;
m=2*n;
h=(b-a)/2/m;
I2=(feval(f_name,a)+feval(f_name,b));
for k=1:2.0:2*m,
240 FEJEZET 9. RIEMANN-FÉLE INTEGRÁL
fk=feval(f_name,(a+k*h));
I2=I2+4*fk;
end;
for k=2:2.0:2*m-1,
fk=feval(f_name,(a+k*h));
I2=I2+2*fk;
end;
I2=h*I2/3;
hiba=(I1-I2)*(I1-I2)*(I1-I2)*(I1-I2)/50625;
n=2*n;
end;
vpa(I2,20)
Ha kiakarjuk számolni az
I =
πZ0
sinxdx
integrált 6 tizedes pontossággal a parancssorba gépeljük be
simpson2(’sin’,0,pi,0.000001)
Eredményül a számítógép kiírja
ans =
2.0000000324482267722.
Látható, hogy valóban az eredmény 6 tizedes pontosságnál jobb.
9.10 Szimbolikus integrálszámítás
A MatLab rendelkezik olyan eszköztárral, amely képes szimbolikus
számításokat is végezni. Hogy megnézzük ez miként is muködik készít-
sünk egy .m állományt, amelybe írjuk be:
syms x x1 alpha u t;
f= [cos(x*t),sin(x*t)];
int(1/(1+x^2))
int(sin(alpha*u),alpha)
int(x1*log(1+x1),0,1)
int(4*x*t,x,2,sin(t))
9.10. SZIMBOLIKUS INTEGRÁLSZÁMÍTÁS 241
int([exp(t),exp(alpha*t)])
int(f,t)
Eredményként a számítógép a következoket írja ki:
syms x x1 alpha u t;
% az 11+x2
határozott integrálja
int(1/(1+x^2))
ans =
atan(x)
% a sin (alpha ∗ u) határozott integrálja, ahol az ismeretlen az alpha;int(sin(alpha*u),alpha)
ans =
-cos(alpha*u)/u
% az x1 log (1 + x1) határozott integrálja, a határok 0 és 1;
int(x1*log(1+x1),0,1)
ans =
1/4
% a 4∗x∗t határozott integrálja, ahol a függvény változója x, a határok2 és sin t;
int(4*x*t,x,2,sin(t))
ans =
2*sin(t)^2*t-8*t
% az¡et, ealpha∗t
¢vektorfüggvény határozatlan integrálja;
int([exp(t),exp(alpha*t)])
ans =
[ exp(t), 1/alpha*exp(alpha*t)]
% az f (t) = (cos(x ∗ t), sin(x ∗ t)) vektorfüggvény integrálja, ahol t
a függvény változója;
f = [cos(x*t),sin(x*t)];
int(f,t)
ans =
[ sin(x*t)/x, -cos(x*t)/x].
242 FEJEZET 9. RIEMANN-FÉLE INTEGRÁL
Fejezet 10
Differenciálegyenletek
10.1 Alapfogalmak
A közgazdászok gyakran elemzik különbözo közgazdasági változók, mint
nemzeti jövedelem, kamatlábak, pénzkinálat, olajtermelés, gabonaárak
idobeli alakulását. A változók alakulását leíró törvényszeruségeket ál-
talában egy vagy több ún. differenciálegyenlet segítségével fejezik ki.
Definíció 10.1.1 Egy egyenletet differenciálegyenletnek nevezzük, ha az
egyenletben az ismeretlen függvénynek a deriváltjai is szerepelnek.
Példa.
y0 = y + x,
ahol y az x-nek a függvénye. Ezt így jelöljük y = y (x) .
Definíció 10.1.2 Formálisan a differenciálegyenletet így írjuk le:
f³x, y, y0, y00, ..., y(n)
´= 0, (10.1)
ahol f : D→ R olyan függvény, amelyre D ⊆ Rn+2 és y = y (x) x-tol függofüggvény.
Megoldani egy ilyen egyenletet azt jelent, hogy megkeressük az összes
olyan y : A→ R (A ⊆ R) n-szer deriválható függvényt, amely kielégíti az(10.1) egyenletet.
Definíció 10.1.3 Az egyenletben szereplo legmagasabb derivált foka
megadja az egyenlet rendjét.
243
244 FEJEZET 10. DIFFERENCIÁLEGYENLETEK
Példa. Az
y00 + xy − y = 0differenciálegyenlet másodrendu.
Az
y0 − y = 0differenciálegyenlet elsorendu
Az
x+ y0 + xy(5) = 0
differenciálegyenlet 5-öd rendu.
Megjegyzés 10.1.4 Sokszor a derivált jelölése helyett a differenciál-
hányados jelölést is használják:
dy
dx= y0,
d2y
dx2= y00, ...,
dny
dxn= y(n).
A differenciálegyenletek általában nem szoktak magukra jelentkezni,
hozzájuk szokták kapcsolni az úgynevezett kezdoértékekt is.
Definíció 10.1.5 Az⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
f¡x, y, y0, y00, ..., y(n)
¢= 0,
y (x0) = y0,
y0(x0) = y
00,
y00 (x0) = y000 ,...
y(n−1) (x0) = yn−10 ,
(10.2)
feladatot kezdoérték-feladatnak vagy Cauchy-feladatnak nevezzük, ahol f :
D → R olyan függvény, amelyre D ⊆ Rn+2, y = y (x) x-tol függo füg-
gvény, x0, y0, y00, ..., y
n−10 valós számok. Megoldani a (10.2) feladatot azt
jelenti, hogy megkeressük az összes olyan y : A→ R (A ⊆ R) függvényt,amely kielégíti úgy a differenciálegyenletet mint a hozzájacsatolt kezdeti
feltételeket.
10.2. ELSORENDU DIFFERENCIÁLEGYENLETEK 245
10.2 Elsorendu differenciálegyenletek
A legegyszerubb differenciálegyenletek az elsorendu differenciálegyenletek.
Definíció 10.2.1 Formálisan az elsorenu differenciálegyenletet így írjuk
le:
f¡x, y, y0
¢= 0, (10.3)
ahol f : D → R olyan függvény, amelyre D ⊆ R3 és y = y (x) x-tol függofüggvények.
Megoldani egy ilyen egyenletet azt jelenti, hogy megkeressük az összes
olyan y : A→ R (A ⊆ R) deriválható függvényt, amely kielégíti az (10.1)egyenletet.
Definíció 10.2.2 Az elsorendu differenciálegyenlethez kapcsolt
kezdoérték-feladat: ½f (x, y, y0) = 0,y (x0) = y0.
(10.4)
Példák. 1. ½yy0 + xy = sin y,y (0) = π.
(10.5)
2. ½y0 + y = x,y (2) = 3.
(10.6)
Megjegyzés 10.2.3 Általában egy differenciálegyenletnek több megoldása
van. A kezdo-érték feladat azt tuzi ki célul, hogy megkeresse ezek közül azt
az y megoldást amely teljesíti az y (x0) = y0 feltételt is. Ebbol kifolyólag
a kezdoértékek megváltoztatása általában maga után vonja a kezdoérték-
feladat megoldásának a megváltozását is.
10.2.1 Kanonikus differenciálegyenletek
Az elsorendu differenciálegyenletek egy bizonyos csoportja a következo
alakba írható.
y0 = f (x, y) (10.7)
Ezeket az egyenleteket nevezzuk kanonikus differenciálegyenleteknek.
Legtöbb gazdasági feladat eredményezte differenciálegyenlet ebbe az
alakba hozható.
246 FEJEZET 10. DIFFERENCIÁLEGYENLETEK
Példa.
y0 = x2 + 1.
Az (10.7)egyenletetek közül azok oldhatók meg legegyszerubben, ame-
lyekben az x és y szétválaszthatók. Formálisan egy ilyen egyenlet az alábbi
alakba írható:
q (y) y0 = p (x) .
Megoldására a példákban bemutatott formális számolási eljárásokat
használjuk.
Példa. Oldjuk meg az
y0x+ 2 = 0
differenciálegyenletet!
Megoldás.
y0x+ 2 = 0,y0x = −2,y0 =
−2x,
dy
dx=−2x,
dy =−2xdxZ
dy =
Z −2xdx.
Ahonnan, kapjuk, hogy
y = −2 ln |x|+ c.
Példa. Oldjuk meg az ½y0x2 + x = 2y (1) = 2
Cauchy-féle feladatot!
10.2. ELSORENDU DIFFERENCIÁLEGYENLETEK 247
Megoldás.
y0x2 + x = 2,
y0x2 = 2− x,y0 =
2− xx2
,
dy
dx=2− xx2
,
dy =2− xx2
dx,Zdy =
Z2− xx2
dx.
Ahonnan
y =−2x− ln |x|+ c
Mivel a mi esetünkben az x0 = 1 > 0, ezért az csak az x pozitív
értékek érdekelnek, így az egyenlet megoldása:
y =−2x− lnx+ c
Behelyettesítve a kezdoértékeket meghatározzuk a c állandó értékét.
2 =−21− ln 1 + c,
ahonnan
c = 4.
Tehát a kezdoérték-feladat megoldása:
y =−2x− lnx+ 4.
Próba. Behelyettesítünk a differenciálegyenletbe.
y0 =2
x2− 1x,
ahonnan
y0x2 + x =µ2
x2− 1x
¶x2 + x
= 2− x+ x = 2.
248 FEJEZET 10. DIFFERENCIÁLEGYENLETEK
Valóban az y kielégíti az differenciálegyenletet.
Behelyettesítünk a kezdofeltételbe
y (1) =−21− ln 1 + 4
= 2.
y kielégíti a kezdofeltételt is.
Példa. Oldjuk meg az
y0y2 + yx = 2y
differenciálegyenletet.
Megoldás.
y0y2 + yx = 2y,
y0y2 − 2y + yx = 0,y0y2 + (x− 2) y = 0,y¡y0y + x− 2¢ = 0.
Ahonnan y = 0, vagy
y0y + x− 2 = 0,y0y = 2− x,ydy
dx= 2− x,
ydy = (2− x) dx,Zydy =
Z2− xdx.
Vagyis
y2
2= 2x− x
2
2+ c.
Tehát
y = ±p4x− x2 + c,
ha x ∈ [0, 4] .
10.3. OLAJKITERMELÉS 249
Megjegyzés 10.2.4 A példákból is megfigyelheto, hogy a differenciále-
gyenletnek végtelen sok megoldása van, de a kezdoérték-feladatnak csak
egy megoldása van. Ez azért általában nincs így, de a gazdasági
folyamatokat, fizikai folyamatokat az ido függvényében leíró kezdoérték-
feladatoknak egy megoldása szokott lenni. Matematikailag is meg lehet
adni olyan feltételeket, amely biztosítja a kezdoérték-feladat megoldásának
egyértelmuségét.
Tétel 10.2.5 (Picard tétele.) Ha létezik egy olyan Lf > 0 szám, amelyre
|f(x, y1)− f(x, y2)| ≤ Lf |y1 − y2|, (10.8)
bármely x ∈ [x0, xv] és y1, y2 ∈ R, akkor a½y0 = f (x, y) ,y (x0) = y0,
kezdoérték-feladatnak pontosan egy megoldása van az [x0, xv] intervallu-
mon.
Definíció 10.2.6 Azokat az f függvényeket, amelyek 10.8 feltételeket tel-
jesítik, második változója szerint Lipschitz folytonos függvényeknek nevez-
zük. Ezt f ∈ Lip(y)-nal jelöljük.
A továbbiakban feltételezzük, hogy f ∈ Lip(y). Ez a feltétel biztosítjaa megoldás egyértelmuségét.
Megjegyzés 10.2.7 A tételt bizonyító Picard-iteráció számítógépes meg-
valósítása nem egyszeru de lehetséges: ehhez szimbolikus kalkulusra alka-
lmas program szükséges (pl. MAPLE vagy MATHEMATICA). A konver-
gencia lassú de biztos.
A továbbiakban bemutatunk néhány olyan közgazdasági folyamatot
amely kanonikus differenciálegyenlethez vezet.
10.3 Olajkitermelés
Tegyük fel, hogy a t = 0 idopontban kezdjük el az olajat kitermelni egy
olyan kútból, amely K hordó olajat tartalmaz.
250 FEJEZET 10. DIFFERENCIÁLEGYENLETEK
Definíció 10.3.1 Jelöljük y-al az alábbi függvényt:
y (t) = a t idopont után megmaradó olaj hordóként (barrel).
Azonnal látható, hogy:
1. y (0) = K.
2. Ha feltesszük, hogy az olajat nem öntsük vissza a kútba, akkor y
csökkeno függvény.
A [t, t+∆t] idointervallumban kitermelt olajmennyiség
y (t)− y (t+∆t)
Az egységnyi ido alatt kitermelt mennyiség ezért
y (t)− y (t+∆t)∆t
= −y (t+∆t)− y (t)∆t
Ha feltesszük, hogy f differenciálható, és ha∆t→ 0, akkor dydt(t) = −v (t),
ahol v a kitermelés sebessége. Ekkor½dydt(t) = −v (t) ,y (0) = K,
kezdetiérték problémához jutunk.
Ha a kitermelés sebessége állandó, vagyis v (t) = v, akkor a differen-
ciálegyenlet így alakuldy
dt(t) = −v,
ahonnan
dy = −vdtZdy =
Z−vdt.
Vagyis
y = −vt+ c.A kezdofeltételbol kapjuk
K = −v · 0 + c.
10.4. VALUTATARTALÉKOK 251
Tehát állandó kitermelési sebesség mellett az olajkitermelés folyamatát
leíró egyenlet
y = −vt+K.Ebbol nyílvánvaló, hogy az olajkút akkor merül ki, ha
K = vt,
vagyis
t = K/v
ido múlva.
10.4 Valutatartalékok
Jelölje y (t) egy adott ország devizakészletét a t idopontban. Feltéve, hogy
F differenciálható, az idoegység alatti devizakészlet-változás
f (t) = y0 (t) .
Ha f (t) > 0, ez azt jelenti, hogy a t idopontban devizabeáramlás történik
az országba, míg ha f (t) < 0, akkor devizakiáramlás. Ha egy adott t0pillanatban a devizakészlet y0, akkor a következo kezdoérték-feladathoz
jutunk: ½y0 (t) = f (t) ,y (t0) = y0.
Innen kapjuk, hogy
y =
Zf (t) dt+ c,
Ezzel az egyenlettel egy adott t1 pillanatban kiszámolható a devizakészlet.
Éspedig
y (t1) = y0 +
t1Zt0
f (t) dt.
Megjegyzés 10.4.1 Ez a képlet azt is megmutatja, hogy ha az f függvény
írja le a devizakészlet-változását, akkor a devizakészlet a t1 idopontban
azonos a f függvény [t0, t1] intervallumhoz tartozó gráf alatti terület és a
kezdeti y0 érték összegével.
252 FEJEZET 10. DIFFERENCIÁLEGYENLETEK
10.5 Jövedelemeloszlás
Sok országban jövedelemadózásból származó adatokat használnak fel arra,
hogy adott év jövedelemeloszlási jellemzoit vizsgálják, illetve azt, hogy az
évek során hogyan változnak. A jövedelmet euroban mérjük és jelölje y (x)
azon személyek arányát az egész társadalomban, akiknek legfeljebb x euro
jövedelemmel rendelkeznek. Ha x0 a legalacsonyabb és x1 a legmagasabb
regisztrált jövedelem a népesség körében, akkor az y függvényre vagyunk
kiváncsiak az [x0, x1] intervallumban. Az y általában nem folytonos és nem
is deriválható függvény, de ha a népesség elég nagy akkor találunk olyan y
deriválható függvényt, amely jó becslést ad a valódi jövedelemeloszlásra.
Tegyük fel ezért, hogy y folytonosan deriválható és deriváltja f és így a
következo kezdoérték-feladatot kapjuk:½y0 (x) = f (x) ,y (x0) = y0.
A derivált definiciójából következik, hogy
f (x)h ≈ y (x+ h)− y (x)
minden kis h-ra. Tehát f (x)h körülbelül egyenlo azon egyének arányával,
akiknek a jövedelmük x és x+h között van. Az f függvény neve jövedelem-
suruségfüggvény, y pedig a hozzátartozó eloszlásfüggvény.
Ha feltesszük, hogy az f jövedelem-suruségfüggvény folytonos és inte-
gráljuk az y0 (x) = f (x) függvényt kapjuk, hogy
ydy = f (x) dx,
ahonnan
y (x) = y0 +
xZx0
f (u) du
Az y0 +xRx0
f (x) dx megadja azon egyének arányát a társadalomban,
akiknek jövedelme kisebb mint x. Ebbol kifolyólag, ha a népesség száma
n, akkor
n
⎛⎝y0 + xZx0
f (u) du
⎞⎠
10.5. JÖVEDELEMELOSZLÁS 253
azon egyének száma akiknek jövedelmük kisebb mint x.
Ha ezt a képletet alkalmazzuk egy [a, b] ⊆ [x0, x1] intervallumra, akkorkapjuk, hogy
y (b)− y (a) =bZa
f (u) du. (10.9)
Ez a képlet megadja azon egyének számát akiknek jövedelme az [a, b] in-
tervallumban van.
Most peddig azon személyek M (x) összjövedelmét akarjuk
meghatározni, akiknek jövedelmük kisebb mint x. Ennek érdekében
tekintsük az [x, x+ h] jövedelemintervallumot. Ebbe az intervallumba
n
x+hZx
f (u) du
egyén esik. De ez az inegrál a középérték-tétel alapján kis h esetén
megközelítheto az f (x) (x+ h− x) értékkel egyenlo:
n
x+hZx
f (u) du ≈ nf (x)h.
Tehát ezen személyek összjövedelme megközelítoleg
M (x+ h)−M (x) = nf (x)hx.
ÍgyM (x+ h)−M (x)
h= nf (x)x.
Ha most h-val tartunk a nullához, akkor a következo kezdoérték-feladatot
kapjuk: ½M 0 (x) = nf (x)x,M (x0) = nx0y0,
ahol nx0y0 a minimális jövedelemmel rendelkezo személyek összjövedelme.
Az elozoekhez hasonlóan ha megoldjuk ezt a Cauchy-feladatot, kapjuk,
hogy:
M (x) = nx0y0 + n
xZx0
uf (u) du. (10.10)
254 FEJEZET 10. DIFFERENCIÁLEGYENLETEK
De f (x) = y0 (x) és ezért
M (x) = nx0y0 + n
xZx0
y0 (u) du
= nx0y0 + n (xy − x0y0)− nxZ
x0
y (u) du
= nxy − nxZ
x0
y (u) du.
Ha alkalmazzuk az 10.10 képletet egy [a, b] ⊆ [x0, x1] intervallumra,
kapjuk, hogy
M (b)−M (a) = n
bZa
uf (u) du. (10.11)
Az (10.11) képlet megadja azon személyek összjövedelmét akiknek
jövedelmük a és b között van. Az (10.9) és (10.11) képletek alapján azok-
nak az átlagjövedelme akiknek a jövedelme az [a, b] intervallumba esik
m =
bRa
uf (u) du
bRa
f (u) du
.
Ezt a jövedelemeloszlást jól közelíto függvény a Pareto-eloszlás. Ennél
azon egyének aránya, akiknek legfeljebb x euro a jövedelmük
f (x) = Bx−A.
Itt B és A pozitív konstansok. Empirikus becslése az A-nak: 2.4 < A <
2.6. Ha x közel van a 0-hoz akkor a képlet nem értelmes A ≥ 1 esetén,mivel
bZa
f (x)→ +∞, ha x→ 0.
10.6. A JÖVEDELEMELOSZLÁS BEFOLYÁSOLÁSA 255
Példa. Egy [a, b] közötti jövedelemmel rendelkezo népességnek a
jövedelem-eloszlási függvénye
f (x) = Bx−2.5.
Határozzuk meg az átlagjövedelmét!
Megoldás. Most
bZa
f (x) dx =
bZa
Bx−2.5dx =2
3B¡a−1.5 − b−1.5¢ ,
ésbZa
xf (x) dx =
bZa
Bx−1.5dx = 2B¡a−0.5 − b−0.5¢ .
Így
m =2B¡a−0.5 − b0.5¢
23B (a−1.5 − b−1.5) = 3
a−0.5 − b−0.5a−1.5 − b−1.5 .
Tegyük fel, hogy b nagyon nagy. Ekkor b−0.5 és b−1.5 közel van anullához, és így m ≈ 3a. Tehát azok átlagjövedelme, akik legalábba eurot keresnek kb. 3a.
10.6 A jövedelemeloszlás befolyásolása
Tegyük fel, hogy egy társadalom tagjainak egy olyan árút kinálnak, ame-
lynek kereslete csak annak p árától és az egyén x jövedelmétol függ. Legyen
D (p, x) az x jövedelmu egyén folytonos kersleti függvénye, ha az ár p. ha
a jövedelmek a és b között mozognak, a jövedelemeloszlás f (x), akkor
mennyi lesz az árú öszkereslete p ár mellett.
Legyen a p ár rögzített, és T (x) azon egyének összes kereslete, akik
legfeljebb x jövedelemmel rendelkeznek. Tekintsük az [x, x+ h] jövedelem-
intervallumot. Tudjuk, hogy ebbe az intervallumba
n
x+hZx
f (u) du ≈ nf (x)h
256 FEJEZET 10. DIFFERENCIÁLEGYENLETEK
egyén jövedelme esik. Mivel mindegyik kereslete ebben az intervallumban
megközelítoleg D (p, x) , ezért az egyének öszkereslete
T (x+ h)− T (x) = nD (p, x) f (x)h.
AhonnanT (x+ h)− T (x)
h= nD (p, x) f (x) .
Ha h-val tartunk a nullához, akkor a következo kezdoérték-feladathoz ju-
tunk: ½T 0 (x) = nD (p, x) f (x) ,
T (x0) = c0.
Így
T (x) = c0 + n
xZx0
D (p, u) f (u) dx
Ha alkalmazzuk ezt a képletet az [a, b] ⊆ [x0, x1] intervallumra, kapjuk,hogy
T (b)− T (a) = nbZa
D (p, u) f (u) du. (10.12)
Viszont a T (b) − T (a) éppen a népesség öszkereslete az árú iránt. Eztermészetesen függ a p-tol. Jelöljük ezt
h (p) = n
bZa
D (p, u) f (u) du-vel
és akkor a h (p) megadja a p árú iránti teljes keresletet azon egyének által,
akiknek jövedelmük a és b között van.
Példa. Legyen a jövedelemeloszlási függény
f (x) = Bx−2.5,
és legyen
D (p, x) = Ap−1.5x2.08.
(Ez a függvény írja le Norvégia tej iránti keresletét 1925 és 1935
között.) Számítsuk ki az öszkeresletet!
10.7. KAMATOS KAMAT 257
Megoldás.
h (p) = n
bZa
D (p, u) f (u) du
=n ·A ·B0.58
p−1.5¡b0.58 − a0.58¢ .
10.7 Kamatos kamat
Legyen w = w (t) > 0 valamely számla t idopontban vett egyenlege
és legyen r = r (t) a folyamatosan alakuló kamatláb. Vizsgáljuk az
egyenleg változását a [t, t+ h] idointervallumban. Ebben a rövid sza-
kaszban feltételezhetjük, hogy a kamatláb állandó. Ezért w (t+ h) =
w (t) + hr (t)w (t). Így
w (t+ h)−w (t)h
= r (t)w (t) .
Ha h-val tartunk a nullához akkor az alábbi differenciálegyenletet kapjuk:
dw
dt= r (t)w.
Ez egy szétválaszható egyenlet.
dw
dt= r (t)w,Z
dw
w=
Zr (t) dt,
ahonnan
lnw =
Zr (t) dt+ c.
Bevezetve a C = ec jelölést kapjuk, hogy:
w = Ce
tR0
r(u)du
.
Tegyük fel a számla nyitó egyenlege w (0) = w0. Akkor a w (0) = Ce0.
Ahonnan kapjuk:
w = w0e
tR0
r(u)du
.
258 FEJEZET 10. DIFFERENCIÁLEGYENLETEK
Példa. Ha a kamatláb egyenletesen növekszik és kezdetben a betett
egyenleg w0-volt, határozzuk meg az egyenleg változását!
Megoldás. A kamatláb változását az r = At +B (A > 0) egyenlet írja
le. Ekkor
tZ0
r (u) du =
tZ0
Au+Bdu
= At2
2+Bt.
Ezért
w = w0eA t2
2+Bt.
10.8 Ívhossz
Határozzuk meg az f folytonosan deriválható függvény [x0, x1] interval-
lumához tartozó ívének hosszát!
Felhasználva Pitagorász tételét elemi hosszúságokra az alábi öszefüg-
gést kapjuk:
ds2 = dx2 + dy2.
Ahonnan
ds
dx=
s1 +
µdy
dx
¶2.
De µdy
dx
¶2=¡f 0¢2
Ezzel a jelölossel a következo kezdoérték-feladathoz jutunk:(dsdx=
q1 + (f 0 (x))2,
s (x0) = 0,
Ez is szétválaszható egyenlet. Így a leírtak alapján megoldható.
ds =
q1 + (f 0 (x))2dxZ
ds =
Z q1 + (f 0 (x))2dx.
10.8. ÍVHOSSZ 259
Ahonnan
s =
xZx0
q1 + (f 0 (u))2du+ c.
Felhasználva a kezdofeltételt kapjuk:
0 = 0 + c.
Tehát az ívhossz kiszámítására az alábbi képlet használható:
s =
x1Zx0
q1 + (f 0 (u))2du. (10.13)
Példa. Határozzuk meg az f (x) = x2 függvény [0, 1] intervallumhoz
tartozó ívének hosszát!
Megoldás. Az f 0 (x) = 2x behelyettesítjük (10.13) képletbe:
s =
1Z0
p1 + 4u2du.
A x = 2u helyettesítéssel kapjuk: dx = 2du és
s =1
2
2Z0
p1 + x2dx.
260 FEJEZET 10. DIFFERENCIÁLEGYENLETEK
2Z0
p1 + x2dx =
2Z0
1 + x2√1 + x2
dx =
2Z0
1√1 + x2
dx+
2Z0
x2√1 + x2
dx
= ln³x+
p1 + x2
´|20 +
2Z0
x√1 + x2
xdx
= ln³2 +√5´− ln (1) +
2Z0
³p1 + x2
´0xdx
= ln³2 +√5´+³p
1 + x2´x|20 −
2Z0
³p1 + x2
´(x)0 dx
= ln³2 +√5´+ 2√5−
2Z0
³p1 + x2
´dx.
Ha bevezetjük az
I =
2Z0
p1 + x2dx
jelölést, akkor azt kapjuk, hogy
I = ln³2 +√5´+ 2√5− I.
Ahonnan
I =1
2ln³2 +√5´+√5.
Az inegrált az ívhosz kopletébe helyettesítve kapjuk:
s =1
4ln³2 +√5´+
√5
2.
Fejezet 11
Szemináriumi feladatok
11.1 Halmazelmélet
11.1.1 Halmazelméleti alapfogalmak
Mindennapjaink során egyfolytában szinte egyebet sem teszünk, mint dol-
gokat adott szempontok szerint azonos vagy éppen különbözo osztályokba
sorolunk, tehát mindig valamilyen szempont szerint bizonyos dolgokra
együtt tekintünk. A matematikában az ilyen összeségeket halmazoknak
nevezzük, a hozzátartozó dolgokat pedig elemeknek.
A halmazt és a halmazhoz való tartozást alapfogalmaknak tek-
intjük. Minden halmaztól megköveteljük, hogy vele kapcsolat-
ban bármely pontosan meghatározott dologról egyértelmuen el-
döntheto legyen, hogy
— vagy hozzátartozik a szóban forgó halmazhoz, ilyenkor azt mondjuk, hogy
ez a bizonyos dolog eleme a halmaznak. Jelölés: ha X a halmaz és
ez a bizonyos dolog a, akkor azt írjuk, hogy a ∈ X.
— vagy nem tartozik hozzá a szóban forgó halmazhoz, ilyenkor azt mond-
juk, hogy ez a bizonyos dolog nem eleme a halmaznak. Jelölés: ha
X a halmaz és ez a bizonyos dolog a, akkor azt írjuk, hogy a /∈ X.
Összefoglalva azt mondhatjuk, hogy ha X halmaz, akkor bármely a
dolog esetén
261
262 FEJEZET 11. SZEMINÁRIUMI FELADATOK
vagy
az a ∈ X állítás igaz és az a /∈ X állítás hamis,
vagy megfordítva
az a ∈ X állítás hamis és az a /∈ X állítás igaz.
Példák halmazok megadására.
Megadjuk a halmaz elemeit:
A = 1, 2, 3 .
Megadjuk azokat a tulajdonságokat amelyeket a halmaz elemei
kell, hogy teljesítsenek:
B = x / x páratlan természetes szám .
A halmazok egyik ostályozási módja a halmaz elemeinek számát veszi
alapul. Igy lehetnek véges vagy végtelen halmazok A mi esetünkben az A
véges, a B pedig végtelen halmaz.
Definíció 11.1.1 Az X és az Y halmaz egyenlo (X = Y ), ha ugyanazok
az elmei.
Példa 3, 2 = ©x / x természetes szám és x2 − 5x+ 6 = 0ª .Definíció 11.1.2 Azt mondjuk, hogy az X halmaz az Y halmaz részhal-
maza (X ⊂ Y ), ha X minden eleme az Y halmaznak is eleme.
Tétel 11.1.3 Tekintjük az X és Y halmazokat. Akkor
X = Y ⇔ X ⊂ Y es Y ⊂ X.
Bizonyítás 79 Szemináriumon bizonyítjuk.
Tétel 11.1.4 Tekintjük az X, Y és Z halmazokat. Akkor, ha
X ⊂ Y es Y ⊂ Z ⇒ X ⊂ Z.
Bizonyítás 80 Szemináriumon bizonyítjuk.
11.1. HALMAZELMÉLET 263
Definíció 11.1.5 Bármely X halmaz esetében értelmezheto, a ℘ (X) sz-
imbolummal jelölt X hatványhalmazát, ahol
℘ (X) = A / A ⊂ XPélda. ℘ (1, 2, 3) = ∅, 1 , 2 , 3 , 1, 2 , 1, 3 , 2, 3 , 1, 2, 3Megjegyzés 11.1.6 Megfigyelheto, hogy egy n elemu halmaznak 2n darab
részhalmaza van. Probáljuk igazolni ezt a kijelentést.
11.1.2 Muveletek halmazokkal
Definíció 11.1.7 (Egyesítés) Az X és halmazok egyesítése vagy uniója
(X ∪ Y ) pontosan azokból az elemekbol áll, amelyek vagy X vagy az Y
elemei. Szimbolikusan ezt így írjuk:
X ∪ Y = x / x ∈ X vagy x ∈ Y .Definíció 11.1.8 (Keresztmetszet) Az X és Y halmazok közös része vagy
metszete(X ∩ Y ) pontosan azokból az elemekbol áll, amelyek az X-nek ésaz Y -nak is elemei. Szimbolikusan ezt így írjuk:
X ∩ Y = x / x ∈ X es x ∈ Y .Definíció 11.1.9 (Különbsége) Az X és Y halmazok különbsége (X\Y )pontosan azokból az elemekbol áll, amelyek az X-nek elmei és az Y -nak
nem elemei. Szimbolikusan ezt így írjuk:
X\Y = x / x ∈ X es x ∈ Y .Definíció 11.1.10 (Diszjunkt halmazok) Az X és Y halmazok diszjunk-
tak, ha X ∩ Y = ∅.Definíció 11.1.11 (Komplementer halmaz) Ha az X részhalmaza az
Y halmaznak, akkor Y \X különbséget az X-nek Y -ra vonatkozó kom-
plementer vagy kiegészíto halmazának nevezzük és CYX szimbolummal
jelöljük.
Definíció 11.1.12 (Descartes-féle szorzat) Az X és Y halmazok
Descartes-féle szorzata (X×Y ) pontosan azokból a számpárokból áll, ame-lyeknek az elso tagja X-nek eleme és a második tagja Y -nak eleme. Szim-
bolikusan ezt így írjuk:
X × Y = (x, y) / x ∈ X es y ∈ Y .
264 FEJEZET 11. SZEMINÁRIUMI FELADATOK
Definíció 11.1.13 Amikor a halmazok egymás közötti kapcsolatait vizs-
gáljuk, nagy segítségünkre lehet az illeto halmazok síkbeli tartományokkal
való szemlél- tetése. Mindegyik halmaznak egy zárt vonallal határolt tar-
tomány felel meg, a halmaz elemeit a határvonalon belüli pontokkal szem-
léltetjük. Az ily módon készített ábrákat Venn-diagramoknak nevezzük.
11.1.3 Kituzött feladatok
1. Legyen A = 1, 2, 3, B = 2, 3 , C = 2, 3, 4, 5, 6, D = 1 .
(a) Döntsük el, hogy a következo állítások közül melyek igazak?
i. 1 ∈ A;ii. 2 /∈ C;iii. B ∈ A;iv. B ⊂ C;v. CAB = D.
(b) Határozzuk meg az A∩B, A∪B∪C, A\B, (C \B)\A, A×B,(B × C) \ (A×B) halmazokat.
2. Egy közvéleménykutatás során 1000 embert arról kérdeznek meg,
hogy A, B és C napilapok közül melyeket olvassák már aznap. A
válaszok szerint 420-an olvasták az A-t, 316-on B-t, 160-an pedig
C-t. Ezen belül 116-on voltak olyanok, akik A-t is, B-t is olvasták,
100-an olyanok, akik A-t is, C-t is, és 30-an pedig olyanok akik B-t
is, C-t is olvasták. 16 személy volt, aki aznap mindhárom napilapot
olvasta már.
(a) Fogalmazzuk meg a feladatot halmazelméleti fogalmak segít-
ségével!
(b) Hányan voltak olyanok, akik A-t olvasták, de B-t nem?
(c) Hányan voltak, akik sem A-t, sem B-t nem olvasták, de C-t
olvasták?
(d) Hányan voltak, akik egyik újságot sem olvasták?
(e) Fogalmazzunk meg hasonló kérdéseket és probáljuk megválas-
zolni oket!
11.1. HALMAZELMÉLET 265
(f) Igazoljuk, hogy tetszoleges A, B és C véges halmazokra igaz az
|A ∪B ∪C| = |A|+ |B|+ |C|− |A ∩B|− |A ∩ C|− |B ∩ C|+ |A ∩B ∩ C|
összefüggés, ahol |X| jelöljük az X halmaz elemeinek a számát.
3. Igazoljuk, hogy tetszoleges A,B és C halmazok esetén érvényesek az
alábbi összefüggések:
(a) A ∪B = B ∪A, A ∩B = B ∩A (kommutativitás);(b) A ∪ (B ∪ C) = (A ∪B) ∪ C, A ∩ (B ∩C) = (A ∩B) ∩ C (ass-
zociativitás);
(c) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C) , A ∩ (B ∪C) = (A ∩B) ∪(A ∩C) (disztributivitás);
(d) (A\B) \C = (A\C) \ (B\C) ;(e) Ha B ⊂ A és C ⊂ A, akkor érvényesek a ún. de
Morgan-féle azonosságok, vagyis CA (B ∪C) = CAB ∩ CACés CA (B ∩C) = CAB ∪CAC;
(f) Jelöljük A∆B = (A\B) ∪ (B\A) a szimmetrikus különbséget,akkor mutassuk ki, hogy A ∪B = (A ∩B) ∪ (A∆B) , A∆B =(A ∪B) \ (A ∩B) .
Ábrázoljuk ezeket a tulajdonságokat Venn-diagramok segítségével is.
4. Határozzuk meg azokat az A,B halmazokat amelyek egyidejuleg tel-
jesítik az alábbi tulajdonságokat:
(a) A ∪B = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 ;(b) A ∩B = 7, 8, 9, 10 ;(c) B \A = 4, 5, 6, 11 .
5. Határozzuk meg azt az E halmazt amely teljesíti az alábbi tulajdon-
ságokat:
(a) 1, 2, 3, 4 ⊂ E;(b) 3, 4, 5, 6 ⊂ E;
266 FEJEZET 11. SZEMINÁRIUMI FELADATOK
(c) E ⊂ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ;(d) 7, 8 ∩E = ∅.
6. Határozzuk meg azokat az E halmazokat és E azon A és B részhal-
mazait, amelyre:
(a) CEA = 7, 8, 9, 10, 11, 12 ;(b) CEB = 5, 6, 11, 12 ;(c) A ∩B = 1, 2, 3, 4 .
7. Legyen E egy olyan halmaz, amelynek két eleme van. Határozzuk
meg mindazokat az X,Y halmazokat, amelyre X ∪ Y = E.8. Határozzuk meg az alábbi halmazok elemeit:
(a) A =nx ∈ Z / x = 6n−7
2n+1, n ∈ Z
o;
(b) B =nx ∈ Z / x = 6n2+7
3n+1, n ∈ Z
o;
(c) C =nx ∈ Z / x = 3n2−2n+1
n2−1 , n ∈ Zo;
(d) D =©x ∈ N / x2 − 6x− 7 = 0ª ;
(e) E =©x ∈ Z / x2 − x− 2 = 0ª ;
(f) F = x ∈ Z / |x− 1|+ 1 = 0 ;(g) F = x ∈ Z / |x− 1|− 1 = 0 ;(h) H =
©x ∈ R /
¯x2 − 4
¯− 2x+ 1 = 0ª ;
(i) I = x ∈ R / |x− 1|− |x− 4| = 3 ∩x ∈ R / |x− 2|− |x− 3| = 1 ;
(j) J =nx ∈ R / létezik a ∈ Rúugy hogy x = a2−a+1
a+1
o;
9. Határozzuk meg az alábbi halmazok elemeinek a számát az m ∈ Rparaméter függvényében:
(a)©x ∈ R / x2 + x+m = 0
ª ∩ [0,+∞) ;(b)
©x ∈ R / x2 + 2x+m = 0
ª;
(c)©x ∈ R / x2 +mx+ 1 = 0ª ∩ (−∞, 0] ;
11.1. HALMAZELMÉLET 267
(d)©x ∈ R / mx2 + 2 (m+ 1)x+m− 2 = 0ª ∩ [0,+∞) ;
(e)©x ∈ R / x2 −mx+m− 1 = 0ª ∪©x ∈ R / x2 − (m+ 1)x+m = 0
ª;
(f)©x ∈ R / x2 + 2 (m+ 1)x+m = 0
ª ∪©x ∈ R / x2 + 2mx+m− 1 = 0ª ;
(g) (x, y) ∈ N×N / x+ 3y = 2001 ;(h) (x, y) ∈ N×N / 4x+ 3y = 1980 ;
10. A legfelsobb Bíróság megtagadja egy alsóbbszíntu bíróság azon dön-
tésének felülbírálatát, hamely helybenhagyja egy vádlott vallomás-
megtagadási kérelmének egy bíró által történo megtagadását. Nos,
van-e joga a vádlottnak hallgatni?
11. Elemezzük az alábbi sírfeliratot logikai szempontból:
Akik ismerték ot, szerették.
Akik nem szerették, nem is ismerték.
12. Fogalmazzuk meg halmazelméleti fogalmakkal és utána elemezzük
az alábbi kijelentéseket:
(a) A költok között a legnagyobb festo és a festok között a legnagy-
obb költo vajon ugyanaz a személy-e?
(b) A költok között a legöregebb festo és a festok között a
legöregebb költo vajon egy és ugyanaz a személy-e?
13. Egy társaságban végzett felmérés szerint a társaságból ötvenen
kávéznak és negyvenen teáznak. Harmincöt olyan személy van, aki
kávézni is, teázni is szokott, valamint tíz olyan személy, aki egyiket
sem. Hányan vannak a társaságban?
14. Igazoljuk teljes indukcióval, hogy minden n ∈ N esetén:
(a) 1 + 2 + 3 + ...+ n =n(n+1)2
;
(b) 2 + 4 + 6 + ...+ 2n = n (n+ 1) ;
(c) 1 + 3 + 5 + ...+ (2n− 1) = n2;(d) (n+ 1)! > 2n+3, ha n > 3;
268 FEJEZET 11. SZEMINÁRIUMI FELADATOK
(e) 3n ≥ 1 + 2n.
15. Egy 5m acélrudat kell legyártanunk. A hosszúság legfeljebb 1
mm-rel térhet el a megadottól. Írjuk fel a rúd méterben mért x
hosszára vonatkozó ezen feltételt egy egyenlõtlenségpárral, illetve az
abszolútéréték segítségével.
16. Igazoljuk az alábbi egyenlõtlenségeket:
(a)a1 + a2 + ...+ an
n≥ n√a1a2...an , bármely a1, a2, ..., an ∈ R+
számok esetén (számtani és mértani középarányosok közti
egyenlõtlenség);
(b) n√a1a2...an ≥ n
1a1+ 1a2+ ...+ 1
an
,bármely a1, a2, ..., an > 0
számok esetén (mértani és harmonikus középarányosok közti
egyenlõtlenség);
(c)
ÃnXi=1
aibi
!2≤
nXi=1
a2i
nXi=1
b2i , bármely a1, a2, ..., an, b1, ..., bn ∈ R
számok esetén, (Cauchy-Buniakovski egyenlõtlenség);
(d)
ÃnXi=1
(ai + bi)2
!1/2≤Ã
nXi=1
a2i
!1/2+
ÃnXi=1
b2i
!1/2,
bármely a1, a2, ..., an, b1, ..., bn ∈ R+ számok esetén,(Minkovski egyenlõtlenség).
11.2 Egyváltozós valós függvények
11.2.1 Grafikonok
Az eloadáson a függvény grafikonját az alábbi modón értelmeztük.
Definíció 11.2.1 Az f : A→ B függvény grafikonja az
graf (f) = (x, f (x)) / x ∈ A .
11.2. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK 269
Ahhoz, hogy egy függvény grafikonját ábrázoljuk fel kell venni egy
síkbeli koordinátarendszert és ebbe be kell rajzolni a grafikon pontjait.
Figyelem! A függvény grafikonja egy olyan halmaz, amelynek elemei
pontok. Amikor a függvény grafikonját ábrázoljuk, akkor a halmaz
néhány pontját tudjuk csak feltüntetni, ezért az elkészített ábra csak
szemlélteti a grafikon halmazt, de nem egyenértéku vele. Ebbol ki-
folyólag az ábra segítségével történo bizonyítások a matematikában
nem fogadhatók el, csak szemlélteto eszközként használhatók fel.
Definíció 11.2.2 Ha a síkban adott két pont A (x1, y1) és B (x2, y2) ,
akkor az AB távolságot Pitagorász tétele alapján az alábbi képlet segít-
ségével számítjuk ki:
d (A,B) =
q(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2.
Definíció 11.2.3 Az A (x1, y1) és B (x2, y2) pontokon átmeno egyenes
egyenlete a síkban:y − y1y2 − y1 =
x− x1x2 − x1 .
Definíció 11.2.4 Az A (x1, y1) ponton átmeno m meredekségu egyenes
egyenlete a síkban:
y − y1 = m (x− x1)
Definíció 11.2.5 Az A (x1, y1) és B (x2, y2) pontokon átmeno egyenes
meredeksége:
m =y2 − y1x2 − x1 , ha x2 6= x1.
Definíció 11.2.6 Általános helyzetu egyenes egyenlet
Ax+By +C = 0.
Definíció 11.2.7 Az A (x0, y0) középpontú r sugarú kör egyenlete a sík-
ban:
(x− x1)2 + (y − y1)2 = r2
270 FEJEZET 11. SZEMINÁRIUMI FELADATOK
11.2.2 Feladatok
1. Kerssük meg az y = 2x − 1, x2 + y2 = 16 és x√y = 2 egyenletek
néhány megoldását, majd kiséreljük meg a grafikonjaik ábrázolását.
2. Ábrázoljuk az alábbi feltételeknek eleget tevo (x, y) pontok hal-
mazát:
(a) y = 4;
(b) x < 0;
(c) y = x;
(d) y ≥ x;(e) |x| = 2;(f) x2 + 2y2 = 6;
(g) y +√x− 1 = 0.
3. Számítsuk ki az alábbi pontpárok távolságát:
(a) (1, 3) és (2, 4) ;
(b) (−1, 3) és (−2,−4) ;(c) (a, 3) és (2 + a, 5) ;
(d) (x, y) és (2x, y + 3) .
4. A (2, 4) és (5, y) távolsága√13. Adjuk meg y értékét. Mi a helyzet,
ha a távolság 2?
5. Írjuk fel az alábbi körök egyenletét:
(a) A középpontja (2, 3) , a sugara 4;
(b) A középpontja (2, 5) , és átmegy a (−1, 3) ponton.
6. Az alábbi egyenleteknél fejezzük ki y mint x függvénye. Határoz-
zuk meg az illeto függvény maximális értelmezési tartományát! Ha
lehetséges, akkor ezen függvények értékkészletét válasszuk úgy meg,
hogy a függvény bijektív legyen. Ebben az esetben határozzuk meg
a függvény inverzét is!
11.2. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK 271
(a) x+ y = 2;
(b) y2 + x = 0;
(c) yx− 3y = x;(d) y3 + x = 0;
(e) x3 + y3 = 1;
7. A nemzetközi Bálnavadászati Bizottság 20-as számú jelentésében
a déli sarkvidéki uszonyos bálnák N egyedszámának 1958 és 1963
közötti alakulását az
N = −17400t+ 151000, 0 ≤ t ≤ 5
függvénnyel becsülték meg, ahol t = 0 érték 1958 januárjának, a
t = 1 érték 1959 januárjának felel meg.
(a) Ezen egyenlet alapján mennyi lett volna az uszonyos bálnák
száma 1960 áprilisában, hát 1962 szeptemberében?
(b) Ugyanilyen arányú egyedszámcsökkenéssel számolva mikkora
várható az uszonyos bálnák kipusztulása?
8. Az alábbi szabályok közül melyek definiálnak függvényt? Válasszuk
ki a függvények közül az injektíveket, majd azokat, amelyeknek van
inverzük. Ebben az esetben határozzuk meg az inverz függvényeket.
(a) Az a szabály, amely egy tanteremben tartozkodó személyek
mindegyikéhez hozzárendeli az illeto testmagasságát.
(b) Az a szabály, amely minden anyához hozzárendeli a legfiatalabb
gyermekét.
(c) Az a szabály, amely egy téglalap területéhez hozzárendeli a
kerületét.
(d) Az a szabály, amely egy gömb térfogatához hozzárendeli a fel-
színét.
(e) Az a szabály, amely az (x, y) számpárhoz hozzárendeli az
(x+ 3, y) számpárt.
272 FEJEZET 11. SZEMINÁRIUMI FELADATOK
9. Minden ember beletartozik az A, B, AB, 0 vércsoportok valame-
lyikébe. Tekintsük azt a függvényt, amely egy n−tagú társaságbanmindenkihez hozzárendeli a vércsoportját. Milyen n értékekre nem
lehet a függvény injektív.
10. Mely esetben áll fenn az f = g egyenloség?
(a) f : R→ R, f (x) = 4√x8; g : R→ R, h (x) = x2;
(b) f : R\ 0→ R, f (x) = x|x| ; g : R\ 0→ R, g (x) = |x|
x;
(c) f : R\ 0→ R, f (x) = x2√x2; g : R\ 0→ R, g (x) = x2
x;
11. Írjuk fel az f g, illetve f g h függvényösszetevéseket, ha:
(a) f : R→ R, f (x) = |x| ; g : R→ R, g (x) = x2;h : R→ R,g (x) =
p|x|;
(b) f : R→ R,
f (x) =
½3x+ 1 ha x ≤ 1,−2 ha x > 1,
és g : R→ R,
g (x) =
½ −3 ha x ≤ −2,x− 2 ha x > −2,
(c) f : R→ R, f (x) = |x− 1|+2; g : R→ R, g (x) = |x− 2|+1;h :R→ R, h (x) = x2;
12. Igazoljuk, hogy az alábbi függvények bijektívek és határozzuk meg
az inverziket!
(a) f : R→ R,
f (x) =
½2x− 1 ha x ≤ 2,x+ 1 ha x > 2,
(b) f : R→ R,
f (x) =
½x2 ha x ≥ 2,
3x− 2 ha x < 2,
11.3. SOROZATOK 273
(c) f : R→ R,
f (x) =
½x− 3 ha x ≤ 4,2x− 7 ha x > 4.
13. Igazoljuk, hogy az alábbi függvények nem injektívek:
(a) f : R→ R, f (x) = x3 − 5x2 + 2;(b) f : R→ R, f (x) = x2 − 5x+ 1;
14. Tanulmányozzuk az alábbi függvények monotonítását:
(a) f : (0, 1]→ (0,+∞), f (x) = x+ 1x;
(b) f : [1,+∞)→ (0,+∞), f (x) = x+ 1x;
11.3 Sorozatok
1. Számítsuk ki alábbi határértékeket:
(a) limn→+∞
3n2+5n+65n2−2n+4 ;
(b) limn→+∞
3n4+2n+610n2−2n+4 ;
(c) limn→+∞
8n7+5n6−2n5+8n4+12342n10−3n+1 ;
(d) limn→+∞
2n−4n4+2n2−2n+1 ;
(e) limn→+∞
√5n2 + 1−√5n2 + 3;
2. Alkalmazva a Cauchy-féle konvergenciakritériumot igazoljuk, hogy
a követ- kezõ sorozatok konvergensek:
(a) an =2n+35n+7
;
(b) bn = 1 +122+ 1
23+ ...+ 1
2n;
(c) cn =(2n+1)(3n−1)
2n2−3 .
3. Alkalmazva a Cesaro-Stolz tételt és következményeit határozzuk meg
a következõ sorozatok határértékeit:
274 FEJEZET 11. SZEMINÁRIUMI FELADATOK
(a) an =1n
¡1 + 1
2+ 1
3+ ...+ 1
n
¢;
(b) bn =1n
¡1ln 2+ 1
ln 3+ 1
ln 4+ ...+ 1
lnn
¢;
(c) cn =n
q1 +√2 + ...+
√n;
(d) dn =n
q(n!)2
(2n)!8n;
(e) en =1·3+2·4+3·5+...+n·(n+2)1·4+2·5+3·6+...+n·(n+3) ;
(f) fn =ln(n!)lnnn
.
4. Alkalmazva egy megfelelõ összegezési eljárást számítsuk ki a
következõ össszegeket:
(a)∞Pn=1
n3·5·7·...·(2n+1) ;
(b)∞Pn=1
44n2−1 ;
(c)∞Pn=1
3n2+3n+1
n3(n+1)3;
(d)∞Pn=1
ln¡1− 1
n2
¢.
5. Számítsuk ki az e számmal kapcsolatos alábbi határértékeket:
(a) limn→+∞ 1 +
11!+ 1
2!+ ...+ 1
n!;
(b) limn→+∞
¡1 + 4
n
¢2n;
(c) limn→+∞
³2n2+2n+12n2+2n
´n2+1;
(d) limn→+∞
³n3+n+1n3+2n
´n2+n−1n+1
;
(e) limn→+∞
hn+1p(n+ 1)!− n+1
√n!i;
6. A hányadoskritérium és a gyökkritérium segítségével tanulmányoz-
zuk az alábbi sorok természetét:
(a)∞Pn=1
n!nn;
11.3. SOROZATOK 275
(b)∞Pn=1
qn
(1+qn)2, ahol q ∈ R+ \ 1 ;
(c)∞Pn=1
1n n√n;
(d)∞Pn=1
√n+1−√n√
n;
(e)∞Pn=1
1n·2n ;
7. Feltételesen konvergensek-e a következõ sorok?
(a)∞Pn=1
(−1)nn−lnn ;
(b)∞Pn=1
(−1)n n!nn;
(c)∞Pn=1
(−1)n sin an;
8. Számítsuk ki a√3− at, ε = 0.001 tizedes pontossággal.
9. Számítsuk ki a következõ határértéket:
limn→+∞ 2
n+1
vuut2−
s2 +
r2 + ...+
q2 +√3| z
n+1
10. Határozzuk meg az α,β ∈ R paramétereket úgy, hogy
limn→+∞
p2n2 + 4n+ 1− αn− β = 2
√2.
11. Határozzuk meg az α ∈ R paramétert úgy, hogy
limn→+∞n
α
µqn+√n−
qn−√n
¶határérték létezzen és véges legyen.
12. Tanulmányozzuk az alábbi rekurencia képletekkel megadott soroza-
tok konvergenciáját:
276 FEJEZET 11. SZEMINÁRIUMI FELADATOK
(a) a1 = α/2, an+1 = α/2 + an/2, α ∈ (0, 1) ;(b) a1 = α, an+1 = α+
√an,α > 0;
(c) a1 = 5, an+1 = 2an +p3a2n − 11;
11.4 Függvények határértéke és folytonossága
1. Számítsuk ki az alábbi határértékeket:
(a) limx→1
x2−1x3−1 ;
(b) limx→a
xp−aqxq−aq , ahol p, q ∈ N;
(c) limx→2
x2−2xx2−4x+4 ;
(d) limx→2
x3+3x2−9x−2x3−x−6 ;
(e) limx→1
Axn+Bxp+C
(x−1)2 , ha A + B + C = 0, nA + pB = 0, n,m ∈ N,A,B,C ∈ R;
(f) limx→0
√1+x−√1+3x
x;
(g) limx→0
√1+x+ 3
√1−x−√1+3x− 5
√1+2x
4√1+4x− 6
√1+x
;
(h) limx→7
2−√x−3x2−49 ;
(i) limx→1
|x−1|x−1 ;
(j) limx→a
n√x− n
√a
3√x− 3√a, ha n ∈ N;
(k) limx→0
ln[(1+√x)(1+ 4
√x)(1+ 3
√x)...(1+ 2n
√x)]
x12n
;
(l) limx→0
eax−ebxx
;
(m) limh→0
ln(x+h)+ln(x−h)−2 lnxh2
, ha x ∈ R;
(n) limx→0
ln(1+x)x
;
(o) limx→0
ex2−2+
√x2+1
x2;
(p) limx→2
2x−4x−2 ;
11.4. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 277
(q) limx→0
ln(1+kxn)xn
, ha k ∈ R, n ∈ N;
(r) limx→1
loga xx−1 , ha a > 0, a 6= 1;
2. Számítsuk ki az alábbi határértékeket:
(a) limx→0
sin2 x2+2x2
x2;
(b) limx→0
sinn axbxn
, ha a, b ∈ R;(c) lim
x→0tanx−xx2
;
(d) limx→0
arcsinxx
;
(e) limx→−a
arcsin(x+a)
x2+ax, ha a ∈ R;
(f) limx→π
1−sin x2
(π−x)2 :
(g) limx→0
sinmxsinnx
, ha m,n ∈ R;
(h) limx→+∞
2x2−43x2−4x ;
(i) limx→+∞
ln(1+ex)x
;
(j) limx→+∞
ln(x2+x+1)x8−x+8 ;
(k) limx→+∞
ln(1+e3x)ln(1+e5x)
;
(l) limx→+∞
2√x+3
3√x2+4
4√x3
44√x3+1+3
√x+2
;
(m) limx→+∞
¡ax+bx
2
¢ 1x , ha a, b ∈ R;
(n) limx→3
(7− 2x)tan πx2 ;
(o) limx→−∞
£ln (2− x) + ln ¡x2 + 1¢− ln ¡1− x2¢¤ ;
(p) limx→−∞ (ln |x+ 2|− ln |2− x|) ;
(q) limx→2
x2+2x7
h5
x2−x−6i;
3. Határozzuk meg a következo függvények maximális értelmezési tar-
tományát és aszimptotáit:
278 FEJEZET 11. SZEMINÁRIUMI FELADATOK
(a) f : D→ R, f (x) = 1x(x+2)
;
(b) f : D→ R, f (x) =q
x−1x+1
;
(c) f : D→ R, f (x) = 1x−2 ;
(d) f : D→ R, f (x) = x+ arctanx;
(e) f : D→ R, f (x) = |x−2|x−2 ;
(f) f : D→ R, f (x) = x2+1|x−1| ;
(g) f : D→ R, f (x) = x+23√x2−1 ;
(h) f : D→ R, f (x) = xe1x ;
(i) f : D→ R, f (x) = 2−√x+11−√x+1 ;
(j) f : D→ R, f (x) = lg|x|+1x lg e
;
(k) f : D→ R, f (x) = arctan (lnx) ;
4. Határozzuk meg az alábbi feladatokban eloforduló paraméterek
értékeit úgy, hogy a megadaott feltételek teljesüljenek:
(a) keressük azon a, b ∈ R számokat, amelyre
limx→+∞
µx2 + 1
x+ 1− ax− b
¶= 0;
(b) keressük azon a ∈ R számot, amelyre
limx→+∞
³px2 + x+ 1− ax
´,
véges és nem zéró;
(c) keressük azon a, b ∈ R számokat, amelyre
limx→+∞
³3p8− x3 − ax+ b
´= 0;
(d) keressük azokat az a ∈ R számokat, amelyre az f : R→ R,
f (x) =
(e
x2
1+x2 ha x ∈ [0,+∞) ,a ha (−∞, 0) ,
függvénynek van határértéke az x0 = 0-ban.
11.4. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 279
5. Legyen n ∈ N, n ≥ 2. Igazoljuk, hogy
limx→0
sinxn − sinn xxn+2
=n
6.
6. Tanulmányozzuk a következo függvények folytonosságát:
(a) f : R→ R,
f (x) =
(x
1+e1x
ha x 6= 0,0 ha x = 0;
(b) f : R→ R,
f (x) =
½x1−x ha x 6= 1,−1 ha x = 1;
(c) f : R→ R,
f (x) =
(sinx|x| ha x 6= 0,1 ha x = 0;
(d) f : R\ 1→ R,
f (x) = 1 + ln|x|+ 1|x− 1| ;
(e) f : R\ 1→ R,
f (x) =
(x2+|x|x2−x ha x 6= 0,0 ha x = 0;
(f) f : R→ R,
f (x) =
½x−ln(x+1)
xha x > 0,
|x| ha x ≤ 0;
7. Az a ∈ R paraméter függvényében tanulmányozzuk az alábbi füg-gvények folytonosságát:
(a) f : [0, 2]→ R,
f (x) =
½x+ 1 ha x ∈ [0, 1] ,3ax+ 3 ha x ∈ (1, 2] ;
280 FEJEZET 11. SZEMINÁRIUMI FELADATOK
(b) f : [2, 4]→ R,
f (x) =
( √x−2−1x−3 ha x ∈ [2, 3) ,
ax9+ 1
3ha x ∈ [3, 4] ;
(c) f : R→ R,
f (x) =
½arctan π
2−x ha x 6= 2,a ha x = 2;
(d) f : [0, 2]→ R,
f (x) =
(6 sin[a(x−1)]
x−1 ha x ∈ [0, 1) ,5x− a ha x ∈ [1, 2] ;
8. Igazoljuk, ha az f : [0, 1] → [0, 1] ∪ [2, 3] függvény folytonos ésf¡12
¢= 0, akkor f nem lehet szürjektív, f nem lehet szigorúan
növekvo és f nem lehet injektív.
9. Keressük meg az összes olyan folytonos f : R→ R függvényt, ame-lyre f (x+ y) = f (x) f (y) bármely x, y∈ R esetén.
10. Keressük meg azokat az f : (0, 1)→ R függvényeket, amelyre
(a) f (xy) = xf (y) + yf (x) bármely x, y ∈ R esetén.(b) f (xy) = xf (x) + yf (y) bármely x, y ∈ R esetén.
11.5 Függvények hatványsora
1. A l’Hospital szabály alkalmazásával számítsuk ki az alábbi
határértékeket:
(a) limx→0
sin 5x2x;
(b) limx→0
x2−12x−2 ;
(c) limx&0
x lnx;
(d) limx&0
xx;
11.5. FÜGGVÉNYEK HATVÁNYSORA 281
(e) limx→0
sinhxsinx
;
(f) limx→1
lnx2x−2 ;
(g) limx→1
x1
1−x ;
(h) limx→1
∙1
2(1−√x) −1
3(1− 3√x)
¸;
(i) limx→1
³xx−1 − 1
lnx
´1. Ábrázoljuk az alábbi függvényeket:
(a) f : E → R, f (x) = 1x+ 1
x2;
(b) f : E → R, f (x) = x4 − 4x;(c) f : E → R, f (x) =
√x
x−1 ;
(d) f : E → R, f (x) = x+√1− x;
(e) f : E → R, f (x) = x lnx;
(f) f : E → R, f (x) = xe−x;
(g) f : E → R, f (x) = x sinx;
(h) f : E → R, f (x) = e−x2;
(i) f : E → R, f (x) = x arcsinx;
(j) f : E → R, f (x) = sin¡x2¢;
(k) f : E → R, f (x) = |x|x;
(l) f : E → R, f (x) =
(|x|x−1 , ha x < 1
x, ha x ≥ 1 ;
(m) f : E → R, f (x) = xx;
(n) f : E → R, f (x) = x1x ;
(o) f : E → R, f (x) = x+kx, ha k > 0;
(p) f : E → R, f (x) = (x+ 2) ekx, ha k ∈ R;
2. Határozzuk meg a következõ hatványsorok konvergenciainterval-
lumát:
282 FEJEZET 11. SZEMINÁRIUMI FELADATOK
(a)+∞Pn=0
1n!xn;
(b)+∞Pn=0
(−1)n 1n!xn;
(c)+∞Pn=1
12n−1x
2n−1;
(d)+∞Pn=1
(−1)n2n−1 x
2n−1;
(e)+∞Pn=1
1n2nxn;
(f)+∞Pn=1
1nxn;
(g)+∞Pn=1
(−1)n−1n
xn;
(h)+∞Pn=1
nxn;
(i)+∞Pn=1
n!xn;
(j)+∞Pn=1
1nnxn;
(k)+∞Pn=1
1n9n
(x− 3)2n ;
(l)+∞Pn=1
1(n+1) ln(n+1)
(x− 5)2n ;
3. Fejtsük Mac-Laurin-sorba az alábbi függvényeket és adjuk meg a sor
konvergenciaintervallumát:
(a) f (x) = 3(1−x)(1+2x) ;
(b) f (x) = 2x−3(x−1)2 ;
(c) f (x) = ex2;
(d) f (x) = (1 + x) ln (1 + x) ;
(e) f (x) = 14−x2 ;
11.6. DIFFERENCIÁLEGYENLETEK 283
(f) f (x) = ln¡x2 + 1
¢;
4. Fejtsük Taylor sorba az alábbi függvényeket az (x− 1) haványai sz-erint:
(a) f (x) = lnx;
(b) f (x) = 1x;
(c) f (x) = 1x2;
(d) f (x) = ex;
(e) f (x) = e−x2;
5. Számítsuk ki sin 150-t és cos 150-t het tizedes pontossággal,
használva a szinusz és koszinusz függvények sorbafejtését.
6. Számítsuk ki e2-t het tizedes pontossággal, használva az exponen-
ciálisfüggvény sorbafejtését.
7. Számítsuk ki√5-t het tizedes pontossággal, használva a gyökfüg-
gvény sorbafejtését.
8. Számítsuk ki 3√5-t het tizedes pontossággal, használva a köbgyök-
függvény sorbafejtését.
9. Ha f = arctan, akkor:
(a) határozzuk meg a következõ deriváltakat: f 0 (0), f 00 (0), f 000 (0) ,f (4) (0) , f (2001) (0), f (2002) (0) ;
(b) írjuk fel az f függvény Mac-Laurin féle sorát és tanulmányozzuk
a sor konvergenciaintervallumát;
(c) a függvény Mac-Laurin sora alapján számítsuk ki a π értékét
het tizedes pontossággal.
11.6 Differenciálegyenletek
1. Oldjuk meg az alábbi szétválaszható változójú differenciálegyen-
leteket, és ellenoeizzük a megoldást:
(a) dxdt= −2x2t;
284 FEJEZET 11. SZEMINÁRIUMI FELADATOK
(b) xx2 = t+ 1;
(c) (y − 2) y0 + x+ 1 = 0;(d) xy0 = 2y;
(e) xyy0 = 1− x2;(f) y − xy0 = a ¡1 + x2y¢ .
2. Oldjuk meg a következo kezdoérték-feladatokat:
(a) (1 + ex) yy0 = ex, y (0) = 1;
(b) y0 sinx = y ln y, y¡π2
¢= 1;
(c) x = t3 − t, x (0) = 2;(d) tx = x (1− t), x (1) = 1/e;(e)
¡1 + t3
¢x = t2x, x (0) = 2.
3. Oldjuk meg az alábbi elsorendu lineáris differenciálegyenleteket:
(a) y0 − yx= x2;
(b) x+ x = t;
(c) x+ 2tx = 4t;
(d)¡t2 + 1
¢x+ etx = t ln t;
4. Jelölje egy jószág árát P és tegyük fel, hogy ha az ár P , akkor
a kereslet a D (P ) = a − bP és a kínálat S (P ) = e + hP, ahol
a, b, e, h pozitív konstansok. Tegyük fel, hogy P = P (t) az idotol
függo változó és az ár idobeli megváltozása arányos a D (P )−S (P )túlkereslettel. Tehát
P = λ [D (P )− S (P )] ,
ahol λ egy pozitív konstans. A D (P ) és S (P ) képletét felhasználva
igazoljuk, hogy a
P = Ce−λ(b+h) +a− eb+ h
.
Mi történik nagyon sok ido eltelte után?
5. Oldjuk meg a következo kezdoérték-feladatokat!
11.6. DIFFERENCIÁLEGYENLETEK 285
(a) xy0 + y − ex = 0, y (a) = b;(b) y0 − y
1−x2 − 1− x = 0, y (0) = 0;(c) dy
dx− y
x= x, y (1) = e;
(d) dydx+ 2y
x= x3, y (2) = 1;
(e) ydx+ xdy = 0, y (e) = e.
6. A következo differenciálegyenletket közgazdászok vizsgálják. Oldjuk
meg ezeket!
(a) K =¡Anα0a
b¢Kb−ce(αv+ε)t, b− c 6= 1, αv + ε 6= 0;
(b) x =(β−αx)(x−a)
x, α > 0, β > 0, a > 0, αa 6= β.
7. Oldjuk meg az elhalálozás Gomertz-Makeham törvényét leíró differ-
enciálegyenletet:
x+¡a+ bct
¢x = 0,
ahol a, b, c pozitív konstansok és c 6= 1. Tanulmányozzuk különbözokezdoértékekre az egyenletet.
8. Jelölje X = X (t) a nemzeti jövedelmet, K = K (t) a toke menny-
iségét és L = L (t) a t idopontban az országban dolgozó munkások
számát. Tegyük fel, hogy minden t ≥ 0 esetén
X = AK1−αLα, ( Cobb-Douglas törvény)
K = sX,
L = L0ept,
ahol A, s, L0, p pozitív állandók és α ∈ (0, 1) . Ezekbol az egyenletek-bol vezessünk le egy egyenletet a K = K (t) mennyiségre és oldjuk
meg az így kapott egyenletet a K (0) = K0 kezdeti feltétel mellett.
Megoldás:
K =
∙Kα0 +
s
pALα0
¡eαpt − 1¢¸1/α .
9. Oldjuk meg a logisztikus növekedést leíró differenciálegyenletet:
dx
dt= B (x− a) (x− b) .
286 FEJEZET 11. SZEMINÁRIUMI FELADATOK
Speciálisan határozzuk meg a megoldást, ha B = −1, a = −1 ésb = 2. Néhány kezdeti értékekre rajzoljuk meg az x = x (t) görbét!
Megoldás:
x = −1 + 3
1− Ce−3t .
10. A CES ( Constant Elasticity of Substitution) termelosi függvény
vizsgálata kapcsán Arrow, Chenery, Minhas és Solow a következo
differenciálegyenletet vizsgálták:
dy
dx=y (1− αyq)
x,
ahol α és q 6= 0 konstansok, és x, y > 0. Felhasználva az
1
y+
αyq−1
1− αyq=
1
y (1− αyq)
azonosságot mutassuk ki, hogy a differenciálegyenlet általános
megoldása:
y =¡ex−q + α
¢−1/qalakba írható.
Irodalomjegyzék
[1] BALÁZS Márton: Matematikai analízis, Egyetemi tankönyv, Erdélyi
Tankönyvtanács, Kolozsvár, 2000.
[2] BALÁZS M., KOLUMBÁN J.: Matematikai analízis. Dacia Könyvki-
adó, Kolozsvár 1978.
[3] BLAGA P., MURESAN A.: Matematici aplicate în economie, vol. I,
Transilvania Press, Cluj-Napoca, 1996;
[4] BRADLEY, Teresa, PATTON, Paul: Essential Mathematics for Eco-
nomics and Business, John Wiley Publications, New-York, 1998.
[5] COCAN Moise: Matematici speciale aplicate în economie, Omnia
Uni-S.A.S.T. Brasov, 1995.
[6] COURNOT, A. A. (1838): Recherches sur les principles mathéma-
tiques de la théorie des richesses. [angolul: Researches Into the Math-
ematical Principles of the Theory of Wealth, Macmillian, New York
(1920)].
[7] KOPCHENOVA, N.V. and Maron, I.A.: Computatinal Mathematics,
MIR, Moscow, 1990.
[8] KÓSA András Ismerkedés a matematikai analízissel, Muszaki
könyvkiadó, Budapest, 1981.
[9] KÓSA András: Útban a felsobb matematikához, LSI Oktatóközpont,
Budapest, 1995.
[10] LANCASTER, Kelvin: Mathematical Economics, Dover Publica-
tions, NewYork, 1987.
287
288 IRODALOMJEGYZÉK
[11] MURESAN A.: Matematici pentru economisti, vol. I, partea I si II,
Litografia Univ. Babes-Bolyai Cluj-Napoca, 1983.
[12] Nakamura, Shoichiro: Numerical Analysis and Graphic Visualization
with MATLAB, Pretince-Hall, Inc., New Jeresey, 1996.
[13] OSTASZEWSKI, Adam: Mathematics in Economics, Models and
Methods, Blackwell Publishers,Oxford UK, 1995.
[14] PIGOU, A. C. (1925): Memoirs of Alfred Marshall, Macmillian, Lon-
don.
[15] STOYAN, G.: MATLAB, Typotex, Budapest, 1999.
[16] SYDSÆTER-HAMMOND:Matematika közgaszdászoknak, Aula, Bu-
dapest, 1998.
[17] SIRETCHI GH.: Calcul diferential si integral. I Editura stiintifica si
Enciclopedi- ca, Bucuresti, 1985.
[18] ZALAI Ernõ (2000): Matematikai közgazdaságtan, Közgazdasági és
Jogi kiadó, Budapest.
[19] WALRAS, L. (1874, 1877): Eléments d’Économie Politique Pure,
Corbaz, Lausenne (Elements of Pure Economics, Allen and Unwin,
London, 1954).
[20] The MathWorks: Using MATLAB Version 5., The MathWorks, Inc.,
Natick, Mass., June 1997.