matematika - suku banyak
TRANSCRIPT
Media Pembelajaran Matematika SMA Kelas XI Semester 2 Media Pembelajaran Matematika SMA Kelas XI Semester 2
Media Pembelajaran Matematika SMA Kelas XI Semester 2 Media Pembelajaran Matematika SMA Kelas XI Semester 2
4.Menggunakan aturan
suku banyak dalam
penyelesai an masalah
Media Pembelajaran Matematika SMA Kelas XI Semester 2 Media Pembelajaran Matematika SMA Kelas XI Semester 2
4.2 Menggunakan teorema sisa
dan teorema faktor dalam
pemecahan masalah
Media Pembelajaran Matematika SMA Kelas XI Semester 2 Media Pembelajaran Matematika SMA Kelas XI Semester 2
Menentukan sisa pembagian suku-banyak
oleh bentuk linear dan kuadrat dengan
teorema sisa.
Menentukan faktor linear dari suku-banyak
dengan teorema faktor.
Menyelesaikan persamaan suku-banyak
dengan menggunakan teorema faktor
Membuktikan teorema sisa dan teorema
faktor
1
2
3
4
Media Pembelajaran Matematika SMA Kelas XI Semester 2 Media Pembelajaran Matematika SMA Kelas XI Semester 2
Teorema Sisa untuk Pembagian Bentuk Linear
Teorema Sisa :
TEOREMA SISA dan TEOREMA FAKTOR
1.Jika suatu suku banyak f(x) dibagi oleh
pembagi linear berbentuk (x – k), maka
sisanya adalah s = f(k).
2.Jika suatu suku banyak f(x) dibagi oleh
pembagi linear berbentuk (ax + b), maka
sisanya adalah s = abf
Bukti : f(x) = (x – k).H(x) + s
Jika x = k, maka f(k) = (k – k).H(k) + s f(k) = 0.H(k) + s
f(k) = 0 + s Sisa s = f(k) (terbukti)
Media Pembelajaran Matematika SMA Kelas XI Semester 2 Media Pembelajaran Matematika SMA Kelas XI Semester 2
Contoh soal :
1. Tentukan sisa pembagian suku banyak (3x4+4x3–x2+5x– 7)
oleh (x – 2)
Jawab : S = f(2) = 3.24 + 4.23 – 22 + 5.2 – 7
= 3.16 + 4.8 – 4 + 10 – 7
= 3.16 + 4.8 – 4 + 10 – 7
= 48 + 32 – 1 = 79
Jadi sisa suku banyak di atas adalah 79
2. Suku banyak (2x3 + ax2 + bx – 2) memberikan sisa 7 jika
dibagi (2x – 3) dan habis dibagi oleh (x + 2). Tentukan nilai
a + b !
Media Pembelajaran Matematika SMA Kelas XI Semester 2 Media Pembelajaran Matematika SMA Kelas XI Semester 2
Jawab : f(x) = (2x3 + ax2 + bx – 2)
s = 7 jika dibagi (2x – 3)
s = = 7 23f
s = = 2 + a + b – 2 = 7 23f 3
23
23 2
23
72f s2
3b4
9a427
23
x 4 27 + 9a + 6b = 36
9a + 6b = 9 : 3 3a + 2b = 3 ......(1)
f(x) habis dibagi (x + 2) s = f(– 2) = 0
s = f(– 2) = 2(– 2)3+ a(– 2)2+ b(– 2) – 2 = 0
s = f(– 2) = – 16 + 4a – 2b – 2 = 0
2. Suku banyak (2x3 + ax2 + bx – 2) memberikan sisa 7 jika dibagi
(2x – 3) dan habis dibagi oleh (x + 2). Tentukan nilai a + b !
Media Pembelajaran Matematika SMA Kelas XI Semester 2 Media Pembelajaran Matematika SMA Kelas XI Semester 2
s = f(– 2) = – 16 + 4a – 2b – 2 = 0
4a – 2b = 18 : 2
2a – b = 9 ….......(2)
Dari persamaan (1) dan (2), kita cari nilai a dan b :
(1)….3a + 2b = 3 (2)….2a – b = 9
x 1
x 2
3a + 2b = 3 4a – 2b = 18 + 7a = 21
a = 3
Untuk menentukan nilai b, substitusikan a = 3 pada
persamaan (1) atau (2) (2)…. 2 . 3 – b = 9 b = – 3
Jadi a + b = 3 + (– 3) = 0
Media Pembelajaran Matematika SMA Kelas XI Semester 2 Media Pembelajaran Matematika SMA Kelas XI Semester 2
Teorema Sisa untuk Pembagian Bentuk
Kuadrat yang dapat difaktorkan (x – a)(x – b)
Algoritma Pembagian Suku Banyak oleh (x – a)(x – b)
Jika fungsi suku banyak f(x) dibagi oleh (x–a)(x – b),
selalu dapat dituliskan :
f(x) = p(x) . H(x) + s
f(x) = (x–a)(x – b) . H(x) + s(x)
f(x) = (x–a)(x – b) . H(x) + (px+q)
P adalah koefisien x dan q adalah konstanta
Untuk menentukan nilai p dan q lakukan kegiatan
5.2 pada hal. 173
Media Pembelajaran Matematika SMA Kelas XI Semester 2 Media Pembelajaran Matematika SMA Kelas XI Semester 2
Sehingga didapatkan :
ba
afbbfaqdan
ba
bfafp
)(.)(.)()(
Jadi :
ba
afbbfax
ba
bfafxs
)(.)(.)()()(
Contoh soal : Tentukan sisa pembagian suku banyak (3x4+4x3–x2+5x– 7)
oleh x2 + x – 6 !
Jawab :
P(x) = x2 + x – 6 = (x – 2)(x + 3)
F(x) = (3x4+4x3–x2+5x– 7)
a = 2 dan b = - 3
Media Pembelajaran Matematika SMA Kelas XI Semester 2 Media Pembelajaran Matematika SMA Kelas XI Semester 2
)3(2
79).3(104.2
)3(2
10479)(
xxs
Jadi :
ba
afbbfax
ba
bfafxs
)(.)(.)()()(
5
237208
5
25
x
895 x
Media Pembelajaran Matematika SMA Kelas XI Semester 2 Media Pembelajaran Matematika SMA Kelas XI Semester 2
P(x) = x2 + x – 6 = (x – 2)(x + 3)
F(x) = (3x4+4x3–x2+5x– 7)
a = 2 dan b = - 3
Jawab :
f(a) = f(2) = 3.24 + 4.23 – 22 + 5.2 – 7 = 48 + 32 – 4 + 10 – 7 = 79
f(b) = f(- 3) = 3.(- 3)4 + 4. (- 3)3 – (- 3)2 + 5. (- 3) – 7
= 243 – 108 – 9 – 15 – 7
= 104
ba
afbbfax
ba
bfafxs
)(.)(.)()()(
Jadi :
Media Pembelajaran Matematika SMA Kelas XI Semester 2 Media Pembelajaran Matematika SMA Kelas XI Semester 2
Teorema Faktor
1.Suatu fungsi suku banyak f(x) memiliki
faktor (x – k) jika dan hanya jika f(k) = 0.
2.Suatu fungsi suku banyak f(x) memiliki
faktor (ax + b) jika dan hanya jika = 0 abf
Contoh soal : Buktikan bahwa (x – 2) dan (x + 3) adalah faktor-faktor dari
suku banyak (2x4 + 7x3 – 4x2 – 27x – 18) !
Bukti : f(x) = (2x4 + 7x3 – 4x2 – 27x – 18)
• (x – 2) faktor dari (2x4 + 7x3 – 4x2 – 27x – 18)
maka f(2) = (2.24 + 7.23 – 4.22 – 27.2 – 18)
Media Pembelajaran Matematika SMA Kelas XI Semester 2 Media Pembelajaran Matematika SMA Kelas XI Semester 2
Bukti : f(x) = (2x4 + 7x3 – 4x2 – 27x – 18)
• (x – 2) faktor dari (2x4 + 7x3 – 4x2 – 27x – 18)
maka f(2) = (2.24 + 7.23 – 4.22 – 27.2 – 18)
= (32 + 56 – 16 – 54 – 18) = 0
Karena f(2) = 0, maka (x – 2) adalah faktor dari f(x)
Terbukti
• (x + 3) faktor dari (2x4 + 7x3 – 4x2 – 27x – 18)
maka f(-3) = (2.(-3)4 + 7.(-3)3 – 4.(-3)2 – 27.(-3) – 18)
= (162 – 189 – 36 + 81 – 18) = 0
Karena f(-3) = 0, maka (x + 3) adalah faktor dari f(x)
Terbukti
Media Pembelajaran Matematika SMA Kelas XI Semester 2 Media Pembelajaran Matematika SMA Kelas XI Semester 2
Menyelesaikan Persamaan Suku Banyak
Menentukan Faktor Linear dari Suku Banyak
Jika f(x) = a0xn + a1x
n-1 + … + an-1x + an dan
(x – a) merupakan faktor dari f(x), maka nilai
a yang mungkin adalah faktor-faktor bulat
dari an
Contoh soal : Tentukan faktor-faktor dari suku banyak (2x3 – 5x2 – 14x + 8)
Jawab :
Nilai a yang mungkin adalah ±8, ±4, ±2, ±1
Dengan cara trial and error, tentukan nilai a yang mungkin
dengan mensubstitusikan ke dalan f(x) sehingga f(a) = 0
f(x) = 2x3 – 5x2 – 14x + 8
Media Pembelajaran Matematika SMA Kelas XI Semester 2 Media Pembelajaran Matematika SMA Kelas XI Semester 2
Contoh soal : Tentukan faktor-faktor dari suku banyak (2x3 – 5x2 – 14x + 8)
Jawab :
Nilai a yang mungkin adalah ±8, ±4, ±2, ±1
Dengan cara trial and error, tentukan nilai a yang mungkin
dengan mensubstitusikan ke dalan f(x) sehingga f(a) = 0
f(x) = 2x3 – 5x2 – 14x + 8
Untuk a = -2 f(- 2) = 0, sehingga (x + 2) merupakan faktor
dari f(x)
Untuk menentukan faktor-faktor yang lain dapat dilakukan
dengan cara HORNER sebagai berikut :
Media Pembelajaran Matematika SMA Kelas XI Semester 2 Media Pembelajaran Matematika SMA Kelas XI Semester 2
2 – 14 – 5 8
x = – 2
2
– 4 + – 9
18
4
– 8
0 f(-2)
Sehingga : f(x) = (x – k).H(x) + s
2x3 – 5x2 – 14x + 8 =
2x3 – 5x2 – 14x + 8 =
Jadi faktor dari 2x3 – 5x2 – 14x + 8 adalah (x + 2), (2x – 1)
dan (x – 4)
(x + 2).(2x2 – 9x + 4) + 0
(x + 2).(2x – 1)(x – 4)
Media Pembelajaran Matematika SMA Kelas XI Semester 2 Media Pembelajaran Matematika SMA Kelas XI Semester 2
Menyelesaikan Persamaan Suku Banyak
Contoh soal : Selesaikan persamaan suku banyak 2x3 – 5x2 – 14x + 8 = 0
Jawab :
Nilai a yang mungkin adalah ±8, ±4, ±2, ±1
Dengan cara trial and error, tentukan nilai a yang mungkin
dengan mensubstitusikan ke dalan f(x) sehingga f(a) = 0
f(x) = 2x3 – 5x2 – 14x + 8
Untuk a = -2 f(- 2) = 0, sehingga (x + 2) merupakan faktor
dari f(x)
Untuk menentukan faktor-faktor yang lain dapat dilakukan
dengan cara HORNER sebagai berikut :
Media Pembelajaran Matematika SMA Kelas XI Semester 2 Media Pembelajaran Matematika SMA Kelas XI Semester 2
2 – 14 – 5 8
x = – 2
2
– 4 + – 9
18
4
– 8
0 f(-2)
Sehingga :
f(x) = (x – k).H(x) + s
2x3 – 5x2 – 14x + 8 =
2x3 – 5x2 – 14x + 8 =
Jadi faktor dari 2x3 – 5x2 – 14x + 8 adalah (x + 2), (2x – 1)
dan (x – 4)
(x + 2).(2x2 – 9x + 4) + 0
(x + 2).(2x – 1)(x – 4)
Media Pembelajaran Matematika SMA Kelas XI Semester 2 Media Pembelajaran Matematika SMA Kelas XI Semester 2
Pembagian Suku Banyak Hitunglah 1.256 dibagi 3 dengan cara bersusun !
Algoritma Pembagian Suku Banyak oleh (x – k)
1. Cara bersusun
Contoh soal :
Tentukan pembagian suku banyak f(x) = 3x4 + 4x3 – x2 + 5x – 7
dibagi (x – 2) !
Jawab : 3x4 + 4x3 – x2 + 5x – 7 (x – 2)
3x3
3x4 – 6x3 - 10x3 – x2 + 5x – 7
+ 10x2
10x3 – 20x2 - 19x2 + 5x – 7
+ 19x
19x2 – 38x -
Media Pembelajaran Matematika SMA Kelas XI Semester 2 Media Pembelajaran Matematika SMA Kelas XI Semester 2
3x4 + 4x3 – x2 + 5x – 7 (x – 2)
3x3
3x4 – 6x3 - 10x3 – x2 + 5x – 7
+ 10x2
10x3 – 20x2 - 19x2 + 5x – 7
+ 19x
19x2 – 38x - 43x – 7
+ 43
43x – 86 - 79 sisa
Hasil bagi
pembagi
Jadi hasil baginya = 3x3 + 10x2 + 19x + 43
dan sisanya adalah 79
Media Pembelajaran Matematika SMA Kelas XI Semester 2 Media Pembelajaran Matematika SMA Kelas XI Semester 2
2. Cara Bagan/Horner/Sintetis : Contoh soal :
Jawab :
3 - 1 4 - 7 5
x = 2
3
6 + 10
20
19
38
43 79
86
Sisa
Tentukan pembagian suku banyak f(x) = 3x4 + 4x3 – x2 + 5x – 7
dibagi (x – 2) !
Koefisien Hasil Bagi
Jadi hasil baginya = 3x3 + 10x2 + 19x + 43 dan sisanya
adalah 79
Media Pembelajaran Matematika SMA Kelas XI Semester 2 Media Pembelajaran Matematika SMA Kelas XI Semester 2
Pembagian Suku Banyak
Algoritma Pembagian Suku Banyak oleh (ax+b)
1. Cara bersusun
Contoh soal :
Tentukan pembagian suku banyak f(x) = 6x4 – 4x2 + 2x – 1
dibagi (2x + 4) !
Jawab : 6x4 + 0x3 – 4x2 + 2x – 1 (2x + 4)
3x3
6x4 + 12x3 - – 12x3 – 4x2 + 2x – 1
– 6x2
– 12x3 – 24x2 -
20x2 + 2x – 1
+ 10x
20x2 + 40x -
Media Pembelajaran Matematika SMA Kelas XI Semester 2 Media Pembelajaran Matematika SMA Kelas XI Semester 2
6x4 + 0x3 – 4x2 + 2x – 1 (2x + 4)
3x3
6x4 + 12x3 - – 12x3 – 4x2 + 2x – 1
– 6x2
– 12x3 – 24x2 -
20x2 + 2x – 1
+ 10x
20x2 + 40x - – 38x – 1
– 19
– 38x – 76 - 75 sisa
Jadi hasil baginya = 3x3 - 6x2 + 10x -19 dan
sisanya adalah 75
Hasil bagi
pembagi
6x4 – 4x2 + 2x – 1= (2x + 4)(3x3 - 6x2 + 10x -19) + 75
Media Pembelajaran Matematika SMA Kelas XI Semester 2 Media Pembelajaran Matematika SMA Kelas XI Semester 2
2. Cara Bagan/Horner/Sintetis : Contoh soal :
Jawab :
6 – 4 0 – 1 2
x = – 2
6
– 12 + – 12
24
20
– 40
– 38 75
76
Sisa
Tentukan pembagian suku banyak f(x) = 6x4 – 4x2 + 2x – 1
dibagi (2x + 4) !
Jadi hasil baginya : H(x) = 3x3 – 6x2 + 10x – 19 dan
sisanya adalah f(– 2) = 75
H(x) =
a
3820x12x6x 23
= 3x3 – 6x2 + 10x – 19 2
3820x12x6x 23
Media Pembelajaran Matematika SMA Kelas XI Semester 2 Media Pembelajaran Matematika SMA Kelas XI Semester 2
Pembagian Suku Banyak
Algoritma Pembagian Suku Banyak oleh (ax2+ bx + c)
1. Cara bersusun
Contoh soal :
Tentukan pembagian suku banyak f(x) = 4x4 – 5x2 + 3x – 1
dibagi (2x2 + x – 1) !
Jawab : 4x4 + 0x3 – 5x2 + 3x – 1 (2x2 + x – 1) 4x4 + 2x3 – 2x2
- – 2x3 – 3x2 + 3x – 1
2x2
– 2x3 – x2 + x -
– 2x2 + 2x – 1
– x
-
– 1
– 2x2 – x + 1
3x – 2 sisa
Hasil bagi
pembagi
Media Pembelajaran Matematika SMA Kelas XI Semester 2 Media Pembelajaran Matematika SMA Kelas XI Semester 2
2. Cara Bagan/Horner/Sintetis : Contoh soal :
Jawab :
Tentukan pembagian suku banyak f(x) = 4x4 – 5x2 + 3x – 1
dibagi (2x2 + x – 1) !
Media Pembelajaran Matematika SMA Kelas XI Semester 2 Media Pembelajaran Matematika SMA Kelas XI Semester 2
2. Cara Bagan/Horner/Sintetis : Contoh soal :
Jawab :
4 – 5 0 – 1 3
x = 1/2 4
– 4 + – 4
4
– 1
1
4 – 5
– 4
Sisa 1
Tentukan pembagian suku banyak f(x) =4X4 + 0X3 – 5X2 +
3X – 1 bagi (2x2 + X - 1) !
x = – 1
2 – 1 – 1
4 – 2 – 2 3 Sisa 2
Media Pembelajaran Matematika SMA Kelas XI Semester 2 Media Pembelajaran Matematika SMA Kelas XI Semester 2
Sisa = sisa 2 ( pembagi 1) + sisa 1
3 (X + 1) + ( - 5)
3X + 3 – 5 = 3X – 2
Hasil bagi 4X2 – 2X – 2 2
= 2X2 - X - 1
Media Pembelajaran Matematika SMA Kelas XI Semester 2 Media Pembelajaran Matematika SMA Kelas XI Semester 2
Kesimpulan
Atau dengan cara Horner :
x - a
s1
x - b
s2
Sisanya = S2 ( x – a) + S1
Media Pembelajaran Matematika SMA Kelas XI Semester 2 Media Pembelajaran Matematika SMA Kelas XI Semester 2
Terima Kasih