Contoh rumus dalam bentuk persamaan diferensial

Struktur1. Lendutan dan putaran sudut pada balok:

dθdx

=d2 wdx2

=− MEI

d2

dx2 (EId2 wdx2 )− d

dx (Ndwdx )=q

2. Lendutan pada pelat∂4 w∂ x4

+2∂4 w

∂ x2∂ y2+∂4 w

∂ x4=q

ξ

dimana = putaran sudutw = lendutanM = momenN = gaya axialq = beban latral terbagi ratax, y = sumbu-sumbu horisontalE = modulus elastisitasEI = kekakuan

=

Eh3

12 (1−ν2)h = ketebalan plat = Poisson's ratio

Saluran terbuka 1. Kekalan massa pada

y∂ V∂ x

+V∂ y∂ x

+∂ y∂ t

=0

2. Kekalan momentum∂ y∂ x

+Vg

∂ V∂ x

+ 1g

∂V∂ t

=So−S f

Aliran air tanah

∂∂ x (K x

∂ h∂ x )+ ∂

∂ y (K y∂ h∂ y )=S

∂ h∂ t

Contaminant Transport

∂C∂ t

+u∂C∂ x

+v∂C∂ y

+w∂C∂ z

=D [∂2C∂ x2

+ ∂2C∂ y2

+∂2C∂ z2 ]

SOLUSI ANALITIS ODE

A. Bentuk separable equationM ( x ) dx+N ( y ) dy=0

Solusi:

∫M ( x ) dx+∫N ( y ) dy+C=0Contoh

1. Cari solusi dari 9 yy '+4 x=0Soal ini dapat dituliskan menjadi

9 ydydx

+4 x=0

9 y dy+4 x dx=0

∫ 9 y dy+∫ 4 x dx=09

2y2+2 x2+C=0

2. Cari solusi umum dari ODE derajad satu yang linear dan homogenous y '+M ( x ) y=0 ini.

Soal ini dapat dituliskan menjadi1y

dy+M ( x ) dx=0

sehingga

∫1y

dy+∫M ( x ) dx=0

ln( y )=−∫ M (x ) dx+c

y=e−∫M (x ) dx+c

¿ec e−∫M ( x ) dx

¿ec

e−∫M (x ) dx

¿C

e−∫M (x ) dx

B. Bentuk reducible to separable equations M ( yx ) dx− dy=0

Solusi: Definisikan u sebagai u=y/x, maka y=ux dan y' = u + xu'. Bila ini disubstitusikan kedalam M ( y

x ) dx− dy=0 , yang dapat dituliskan sebagai y '=M ( yx ) , akan menghasilkan

M (u)=u+xu ' atau ditulis ulang sehingga jelas berbentuk separable sebagai berikut:1x

dx+ 1u−M (u)

du=0

Contoh:

Carilah solusi dari 2 xyy '− y2+ x2=0Bila persamaan yang dipersoalkan dibagi dengan x2 akan menghasilkan

2( yx ) dy

dx−( y

x )2

+1=0

atau

((yx )

2

−1

2( yx ) ) dx−dy=0

Dengan memakai u=y/x, maka M (u)= ( u2−1

2u ) dan solusi bisa didapatkan melalui

1x

dx+ 1

u−( u2−12u )

du=0

yang dapat disederhanakan menjadi1x

dx+ 2u

u2+1du=0

dan selanjutnya

∫1x

dx+∫2u

u2+1du=0

ln( x )+ln (u2+1)+C=0ln(u2+1 )=−( ln ( x )+C )

u2=cx

−1

y2

x2=

cx

−1

y=√cx−x2

C. Bentuk exact M (x , y ) dx+ N ( x , y ) dy=0 dimana

∂ M∂ y

=∂ N∂ x

Keterangan:

Apabila M (x , y ) dx+ N ( x , y ) dy=0 adalah exact maka ada suatu fungsi u(x,y) sedemikian

rupa sehingga du=M (x , y ) dx+ N ( x , y ) dy . Selanjutnya, karena du=∂u

∂ xdx+ ∂u

∂ ydy

, maka

M ( x , y )=∂u∂ x [C.1a]

N ( x , y )= ∂u∂ y [C.1b]

Disini terlihat bahwa

∂ M ( x , y )∂ y

=∂2u∂ x ∂ y

∂ N ( x , y )∂ x

=∂2u∂ x ∂ y

sehingga∂ M∂ y

=∂ N∂ x [C.2]

Persamaan [C.2] ini dapat dipakai untuk menyelidiki apakah ODE M (x , y ) dx+ N ( x , y ) dy=0 adalah exact atau tidak.

Solusi:

Persamaan [C.1a] dapat dituliskan sebagai ∂u=M ( x , y ) ∂ x , sehingga ∫∂ u=∫M ( x , y ) ∂ x

dan

u=∫ M ( x , y ) ∂ x+C ( y )[C.3]

Perhatikan bahwa integrasi dx ini dilakukan dengan menganggap y konstan. Dengan demikian, bilangan "konstan" hasil integrasi ini mungkin saja masih mengandung y. Untuk mengakomodasi situasi ini bilangan "konstan" tersebut dituliskan dengan notasi C(y). Suku C(y) ini dapat dicari dengan mensubsitusikan turunan u terhadap y yang didapat dari persamaan [C.3] ini kedalam persamaan [C.1b]. sehingga

N ( x , y )= ∂∂ y

∫M ( x , y ) ∂ x+∂C ( y )

∂ y [C.4]atau

∂C ( y )∂ y

=N ( x , y )− ∂∂ y

∫M ( x , y ) ∂ x

dan

C ( y )=∫ (N ( x , y )− ∂∂ y∫M ( x , y ) ∂ x) ∂ y+c

Hasil integrasi dC ini menghasilkan bilangan konstan c yang tidak mungkin mengandung variabel x maupun y. Kali ini bilangan konstan ini Bila persamaan terakhir ini disubstitusikan kembali ke [C.3] akan didapatkan:

cyxyxMy

yxNxyxMu

∫ ∫∫ ),(),(),([C.5]

Mengingat bahwa M (x , y ) dx+ N ( x , y ) dy=0 , sementara du=M (x , y ) dx+ N ( x , y ) dy , maka dapat disimpulkan bahwa du = 0 yang implikasinya adalah

u=konstan. [C.6]Dengan menggabungkan kenyataan ini dengan [C.5] akan didapatkan

∫M ( x , y ) ∂ x+∫ (N ( x , y )−∂∂ y ∫M ( x , y ) ∂ x ) ∂ y+c=kons tan

∫M ( x , y ) ∂ x+∫ (N ( x , y )−∂∂ y

∫M ( x , y ) ∂ x ) ∂ y=kons tan-c

sehingga

∫M ( x , y ) ∂ x+∫ (N ( x , y )− ∂∂ y∫M ( x , y ) ∂ x ) ∂ y=C

[C.7]

Persamaan [C.7] ini merupakan solusi dari M (x , y ) dx+ N ( x , y ) dy=0 apabila ODE ini exact.

Contoh:

1. Apakah sin y dx+( x cos y−2 y ) dy=0 exact ?

Dari soal diatas didapat M ( x , y )=sin y dan N ( x , y )=(x cos y−2 y ) sehingga

yy

Mcos

dan

∂ N∂ x

=cos y. Jadi persamaan yang dipersoalkan terbukti memenuhi

[C.2] sehingga dapat disimpulkan bahwa persamaan tersebut adalah exact

2. Cari solusi sin y dx+(x cos y−2 y ) dx=0 ini.Karena persamaan ini exact, maka menurut [C.3]

u=∫ M dx

=∫sin y dx=x sin y+C ( y )

Selanjutnya menurut [C.4]

∂u∂ y

=N ( x , y )

∂∂ y

( x sin y+C ( y ))=x cos y−2 y

x cos y+∂ C( y )∂ y

=x cos y−2 y

∂C ( y )∂ y

=−2 y

atau C ( y )=− y2+c . Sehingga u=x sin y− y2+cDan karena u=konstan (pers C.6) maka

x sin y− y2+c=konstanx sin y− y2=konstan−cx sin y− y2=C

D. Integrating Factor untuk mengubah agar 0),(, dyyxNdxyxM menjadi exact

Keterangan:

Apabila M (x , y ) dx+ N ( x , y ) dy=0 tidak exact, maka dapat dibuktikan bahwa ODE ini dapat dijadikan exact dengan mengalikannya dengan integrating factor F(x,y) sehingga

F ( x , y ) M (x , y ) dx+ F (x , y ) N ( x , y ) dy=0 [D.1]Karena persamaan ini exact, maka

∂(FM )∂ y

=∂( FN )

∂ xatau

M∂ F∂ y

+F∂ M∂ y

=N∂ F∂ x

+F∂ N∂ x [D.2]

Bila integrating factor dipilih agar hanya merupakan fungsi x saja sehingga integrating factor adalah F(x), maka [D.2] menjadi

F∂ M∂ y

=N∂ F∂ x

+F∂ N∂ x

atau

∂ F∂ x

=F ( ∂ M∂ y

−∂ N∂ x

N )dan lebih jauh lagi dapat dituliskan sebagai

1F

∂ F=( ∂ M∂ y

−∂ N∂ x

N ) ∂ x

∫1F

∂ F=∫(∂ M∂ y

−∂ N∂ x

N ) ∂ x

ln F=∫(∂ M∂ y

−∂ N∂ x

N ) ∂ x

sehingga bila dipakai notasiN x=

∂ N∂ x dan

M y=∂ M∂ y maka

∫

dx

N

NM xy

exF )( [D.3]

Perlu dicatat bahwa suku

M y−N x

N haruslah hanya merupakan fungsi x agar integrating factor F yang dihasilkan benar-benar F(x). Bila hal ini tidak terpenuhi dicari jalan lain yaitu dengan mencari integrating factor yang F(y) saja. Dengan penurunan yang analog akan didapatkan

F ( y )=e−∫(M y−N x

M ) dy

[D.4]

Solusi:

Apabila M (x , y ) dx+ N ( x , y ) dy=0 tidak exact, maka berdasarkan [D.1] dan [D.3], persamaan

e∫(N x−M x

N ) dx

M ( x , y ) dx+ e∫(N x− M x

N ) dx

N ( x , y ) dy=0 [D.5]atau

e−∫(M y−Nx

M ) dy

M (x , y ) dx+ e−∫( M y−N x

M ) dy

N ( x , y ) dy=0 [D.6]adalah exact.

Contoh:

1. Apakah dx+(3 x−e−2 y ) dy=0 exact ?

Dari soal diatas didapat M ( x , y )=1 dan N ( x , y )=(3 x−e−2 y )sehingga M y=0 dan N x=3 . Jadi persamaan yang dipersoalkan terbukti tidak exact.

2. Carilah F yang dapat mengubah dx+(3 x−e−2 y ) dy=0 menjadi exact.Dicoba integrating factor yang merupakan fungsi x saja dengan menerapkan [D.3].

Ternyata y

xy

exN

NM23

30

mengandung x dan y sehingga tidak mungkin menghasilkan F(x).

Alternativenya dicari integrating factor yang merupakan fungsi y saja F(y).M y−N x

M=0−3

1=−3

yang tidak mengandung x, maka penerapan [D.4] menghasilkan

F ( y )=e−∫(−3) dy=e3 y

sehingga ODE yang dipersoalkan dirubah menjadi

e3 y dx+(3 xe3 y−e y ) dy=0yang memenuhi syarat exact dimana

M y=N x=3 e3 y

E. Bentuk linear non-homogenous derajad satu

dydx

+N (x ) y=q (x )

Solusi:

Bentuk

dydx

+N (x ) y=q (x ) dapat dituliskan menjadi ( N ( x ) y−q( x )) dx+dy=0 sehingga

M=N ( x ) y−q( x ) dam N=1. Selanjutnya F ( x )=e∫ ( M y−N x )/N dx

=eN (x ) sehingga ODE yang

dipersoalkan menjadieN ( x ) ( N ( x ) y−q ( x )) dx+eN ( x )dy=0