matematika teknik i - ee.unud.ac.id · pdf fileprasyarat : kalkulus i, kalkulus ii, aljabar...
TRANSCRIPT
09/10/2007 Ir. I Nyoman Setiawan, MT. 1
Matematika Teknik IKode Mata Kuliah : TE 3218
SKS : 3
Prasyarat : Kalkulus I, Kalkulus II, Aljabar Vektor & Kompleks
Tujuan : Mahasiswa memahami permasalahan teknik dalam bentuk PD atau integral, serta dapat menerapkan metode penyelesaiannya
Pokok Bahasan : PD orde satu, PD separable, PD eksak, PD linier homogen dan non-homogen, sistem persamaan diferensial. Integral garis riil, teorema Green, integral permukaan, teorema Stokes, teorema Gauss, integral garis kompleks, deret Laurent, metode integral residu.
Kepustakaan : 1. Kreyzig, Erwin, Advanced Engineering Mathematics, 8th
Edition, John Wiley & Sons Inc.,1999.2. Pipes,L.A, Applied Mathematic for Engineer and Physicis,
McGraw-Hill,1976
09/10/2007 Ir. I Nyoman Setiawan, MT. 2
Matematika Teknik I
09/10/2007 Ir. I Nyoman Setiawan, MT. 3
Persamaan Diferensial Biasa danOrdenya
Persamaan diferensial biasa diartikan sebagai suatupersamaan yang melibatkan turunan pertama ataulebih dari fungsi sembarang y terhadap variabel x.Contoh :
• y’ = cos x• y” + 4y = 0• x2y’’’y’ + 2exy” = (x2 + 2)y2 dx
dyy ='
Orde suatu persamaan diferensial ditentukan dari turunantertinggi yang terdapat dalam persamaan tersebut.
09/10/2007 Ir. I Nyoman Setiawan, MT. 4
SatuDimensiGelombangPersamaan2
22
2
2
xuc
tu
∂∂
=∂∂
SatuDimensiLaplacePersamaan02
2
2
2
=∂∂
+∂∂
yu
xu
SatuDimensiPanasAliranPersamaan2
22
xuc
tu
∂∂
=∂∂
Istilah biasa membedakan dengan persamaandiferensial parsial
Contoh :
DuaDimensiPoissonPersamaan),(2
2
2
2
yxfyu
xu
=∂∂
+∂∂
TigaDimensiLaplacePersamaan02
2
2
2
2
2
=∂∂
+∂∂
+∂∂
zu
yu
xu
09/10/2007 Ir. I Nyoman Setiawan, MT. 5
09/10/2007 Ir. I Nyoman Setiawan, MT. 6
Konsep Penyelesaian
Suatu fungsi y = g(x) dikatakan suatu penyelesaianpersamaan diferensial orde pertama yang diberikan padainterval a<x<b, jika g(x) didefinisikan dan dapatdideferensiasikan seluruhnya pada selang tersebutsehingga persamaan tersebut menjadi suatu identitas,jikay dan y’ masing-masing digantikan dengan g dan g’
Contoh :Buktikan bahwa fungsi y = g(x) = x2 merupakan penyelesaianpersamaan diferensial orde pertama xy’ = 2y
g’ = 2xSekarang subtitusikan g dan g’ ke persamaan diferensial
x(2x) = 2x2 (terbukti)
09/10/2007 Ir. I Nyoman Setiawan, MT. 7
Penyelesaian ImplisitKadang-kadang suatu penyelesaianpersamaan diferensial muncul sebagai fungsiimplisit, yaitu secara implisit diberikan dalambentuk
G(x,y) = 0ContohFungsi terhadap x secara implisit diberikanoleh : x2 + y2 – 1 = 0 merupakan penyelesaianimplisit dari persamaan diferensial yy’ = -xpada selang -1 < x < 1
09/10/2007 Ir. I Nyoman Setiawan, MT. 8
Penyelesaian Umum dan PenyelesaianKhusus
Contoh :y’ = cos x
Dengan mengintegralkan maka didapat penyelesaiannya :y = sin x + c (c = konstanta sembarang)
Bila c = 0 maka penyelesaiannya adalah y = sin xBila c = 1,5 maka penyelesaiannya adalah y = sin x + 1,5 dan
sebagainyaBila c belum diketahui/ditentukan disebut Penyelesaian UmumBila c sudah diketahui/ditentukan disebut Penyelesaian
Khusus
09/10/2007 Ir. I Nyoman Setiawan, MT. 9
Suatu persamaan diferensial orde pertama dapatmempunyai lebih dari satu penyelesaian
Penyelesaian y’ = cos xy = sin x + c
09/10/2007 Ir. I Nyoman Setiawan, MT. 10
Penyelesaian SingularDalam beberapa kasus terdapat penyelesaian lain dari persamaan yang diberikan oleh penyelesaiantersebut ternyata tidak dapat diperoleh denganmemberikan nilai tertentu pada sembarangkonstanta dari penyelesaian umum, penyelesaianyang demikian disebut penyelesaian singular daripersamaan tersebut.Contoh :
y’2 – xy + y = 0mempunyai penyelesaian umum
y = cx - c2
09/10/2007 Ir. I Nyoman Setiawan, MT. 11
Penyelesaian singular
Setiap penyelesaian khusus menggambarkansuatu garis singgung pada parabola yang digambarkan oleh penyelesaian singular
09/10/2007 Ir. I Nyoman Setiawan, MT. 12
Persamaan Diferensial TerpisahBeberapa persamaan diferensial dapat dirubah kedalam bentuk :
g(y)y’ = f(x)g(y)dy = f(x)dx
Persaman ini disebut persamaan diferensial terpisahDengan mengintegralkan maka didapat
dxdyy ='
∫ ∫ += cdxxfdyyg )()(
09/10/2007 Ir. I Nyoman Setiawan, MT. 13
xyy
Contoh
2'ldiferensiapersamaanSelesaikan
:
−=
cx
cx
eAAey
ey
cxy
xdxy
dyxydxdy
==
=
+−=
−=−=
−
+−
2
2
2ln:didapatintegrasiDengan
22
:anPenyelesai
09/10/2007 Ir. I Nyoman Setiawan, MT. 14
Persamaan Diferensial Eksak
Suatu persamaan diferensial orde pertamaberbentuk :
M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0Dikatakan eksak jika ruas kiri persamaantersebut merupakan diferensial total ataueksak
dyyudx
xudu
∂∂
+∂∂
=
dari suatu fungsi u(x,y)
09/10/2007 Ir. I Nyoman Setiawan, MT. 15
dyyudx
xudu
∂∂
+∂∂
=Syarat Eksak
xN
yM
eksakSyaratyx
uxN
xyu
yM
NyuM
xu
∂∂
=∂∂
∂∂∂
=∂∂
∂∂∂
=∂∂
=∂∂
=∂∂
22
09/10/2007 Ir. I Nyoman Setiawan, MT. 16
Contoh : 02. 2 =+ xydydxya
eksaktersebutpersamaanmaka,Karena
22
xN
yM
yxNy
yM
∂∂
=∂∂
=∂∂
=∂∂
Apakaheksak ?02)34(. 2 =++ xydydxyxb
a.
b.
eksaktidaktersebutpersamaanmaka,Karena
26
2,34
2
2
xN
yM
yxNy
yM
xyNyxM
∂∂
≠∂∂
=∂∂
=∂∂
=+=