Ocak 2012

Matematiksel Proje

ve

Projenin Matematiği

Doç.Dr. Ogün Dogru Gazi Üniversitesi, Fen Fakültesi,

Matematik Bölümü, Öğretim Üyesi

Proje

Herkes tarafından kabul görmüş yada

ispatlanmış olan bilimsel yöntemler

kullanılarak, insanlığa ve farklı bilim

dallarına yarar sağlayan sonuçların elde

edildiği yada yeni hükümlerin ispatlandığı

bir ekip çalışmasıdır.

Projenin Giriş Kısmı

• Bu kısımda, sunulacak projenin konusu ve amacı özetlenip, kapsamı hakkında referanslara dayalı açıklayıcı bilgilere yer verilmesi öngörülür.

• Projenin konusu ne kadar karmaşık olursa olsun onun uygun ve anlaşılabilir bir dille özetlenmesi sizin proje konunuza olan hakimiyetinizin bir göstergesidir.

Projenin Amacı

• Güncel ve teknolojik bilgileri daha çok kullanmak,

• Mantıksal ve yaratıcı düşünceyi özendirmek,

• Problem çözme yeteneğini geliştirmek,

• Eleştiri yapma ve sorgulama becerisini artırmak,

• Yeni ispat teknikleri geliştirmek,

Projenin Amacı

• Gerek Yaşantımıza gerekse mesleğimize,

farklı bakış açılarıyla yaklaşma yeteneğini

geliştirmek

Projenin Hedefleri

• İnsanlığa ve farklı bilim dallarına fayda

sağlayan (disiplinler arası) sonuçlar elde

etmek.

• Özellikle Matematik, farklı bilim dallarının

yararlandığı bir temel bilim dalı

olduğundan bu tip sonuçları içinde yoğun

bir şekilde barındırır.

Projenin Hedefleri

• Eldeki verilerden hareketle yararlı ve

orijinal sonuçlara ulaşmak

Projenin Hedefleri

• Daha önce ispatlanan şeyleri genişletmek

veya genelleştirmek

nba

nba

nba

nba

Projenin Hedefleri

• Daha önce yapılan ispatları basite

indirgemek,

• Zor olan bir problemi daha basit

yöntemlerle çözmek, yada zor bir

işlemi daha basit bir düzeye

indirgeyip anlatımı kolaylaştırarak

anlaşılabilirliği artırmak,

121x113 = 13673

3

7 6

3

1

Konvekslik ve Konkavlık

Kullanılan Materyal ve Yöntem

• Bir hesaplamayı öncekilere göre daha

kolay bir şekilde veya daha az veri

ışığında yapabilmek, elde edilen sonucu

kuvvetlendirir.

• Derlenecek verilerin yapısı ve

kullanılacak metodlar detaylı bir şekilde

anlatılmalıdır.

Başarı Kriterleri

• Beklenen nedir? Kabaca ne gibi

sonuçlar elde edilirse projenin

başarılı sayılacağı açık bir dille

belirtilmelidir.

Başarı Kriterleri

• Çalışma esnasında projenin planlanan şekilde

gitmesine engel teşkil edecek durumların ortaya

çıkma ihtimaline karşı bir B planı da verilmelidir.

Elde Edilen Sonuçlar

• Araştırmalar ve çalışmalar

sonucunda elde edilen sonuçlar

ispatlarıyla birlikte ayrıntılı bir

şekilde sunulur.

Elde Edilen Sonuçlar

• Sonucun daha önceki sonuçlarla

karşılaştırması yapılır ve elde edilen

sonuçların öncekilere göre avantajları ve

dezavantajları belirtilir.

• Matematiksel bakış açısıyla, kullanılan

yöntem açısından ispatların (kısalık

uzunluk gibi) avantajları belirtilir.

Değerlendirme

• Son aşamada, proje süresince belli

aralıklarla ve proje sona erdikten sonra

proje sonuçlarının ve etkisinin

değerlendirmesi yapılır.

• Sonuçlar daha önce yapılan çalışmalarla

karşılaştırılarak çalışmanın amacına ne

ölçüde ulaşıldığı belirtilir.

• Proje çalışmalarında elde edilen sonuçlar

bir rapor halinde yazılır.

• Matematikçiler; varsayımların

doğruluğunu veya yanlışlığını

matematiksel ispatlarla ortaya

koyan bilim insanlarıdır.

Dolayısıyla Matematikçilerin

yaptıkları, ispata dayandığından

sonsuza dek doğruluğunu korurlar.

• Bir olguyu açıklamak yada bir sonuca, bir hüküme ulaşabilmek için öne sürülmüş fikirlere yada koşullara hipotez denir.

• Hüküm; bazı öne sürülmüş fikirler yada koşullar ışığında elde edilecek olan sonuçtur.

• Teorem; ispatlanması gereken ve hipotezin ışığında bir hüküm içeren önermedir.

• Lemma (Yardımcı Teorem);

Teoremlerin ispatında kullanılan

sonuçların yer aldığı önermelerdir ve

ispata dayanırlar.

•Teoremler verilmeden önce

kullanılan kavramlar tanımlanır.

• Tanım olarak bilinen bazı kavramlar

aslında matematiksel ispatlara

dayanır ve böylece tanım olmaktan

çıkarlar.

• Bazı tanımları genişletmek yada

genelleştirmek için başka tanımlar

yaparız.

Gamma Fonksiyonu

Gamma fonksiyonu;

şeklinde bir genelleştirilmiş integralle

tanımlanır. Bu fonksiyona genelleştirilmiş

faktöriyel fonksiyonu da denilmektedir.

Gamma fonksiyonun sağladığı bazı eşitlikler

aşağıdaki şekildedir.

Son ifadede x=0 yazılmasıyla;

elde edilir.

Eğer

ifadesinde x yerine 5/2 yazılırsa;

elde edilir.

Kesirli Basamaktan Türevler

Ayrıca olmak üzere, Gamma fonksiyonu yardımıyla tanımlanan

ifade bize bir fonksiyonun kesirli basamaktan türevlerini göstermektedir. Eğer ise

olmak üzere ve

olacağından,

yazılabilir.

Örneğin f(x) fonksiyonun 5/2 inci basamaktan

türevi

şeklinde hesaplanır.

Eğer ise

olup, Gamma fonksiyonun özellikleri

kullanıldığında

bulunur.

Örneğin fonksiyonunun 3/2 inci

basamaktan türevi

ifadesi yardımıyla

İstatistiksel Yakınsama

• Her hangi bir yakınsak dizi istatistiksel

yakınsaktır fakat tersi doğru olmayabilir.

• İstatistiksel yakınsak olan bir dizi sınırsız da

olabilir.

Örneğin

dizisi ye istatistiksel yakınsak olmasına

rağmen için yakınsak değildir.

2

2

2

1 321

mk ifL

mmk ifLxk

,...),,(,

2L

21 LL

• Tanımlanan fonksiyonlar ilk

bakışta anlamsız gelebilir. Bu

nedenle örneklendirme yapılarak

konuya açıklık getirilmelidir.

Dirac-Delta Fonksiyonu

Dirac-delta fonksiyonu olarak bilinen

fonksiyonuna Matematikçiler ilk başta bir anlam verememişlerdir. Oysa 1933 de P. Dirac ve E. Shrödinger bu fonksiyonun yer aldığı kuantum mekaniğindeki çalışmalarıyla Nobel ödülü almışlar ve sonraları bu fonksiyon sıklıkla kullanılan bir fonksiyon haline gelmiştir.

Örneğin, bazı matematiksel modellerde patlama adı verilen çok yüksek değerler ortaya çıkabilir. Buna ani voltaj yükselmeleri veya yıldırım düşmelerini örnek verebiliriz. Bu tip problemlerin matematiksel modeli yapıldığında

tipinde bir diferensiyel denklemle karşılaşılır. Burada g(t),

aralığında çok büyük, diğer durumlarda ise sıfır olan bir fonksiyon olarak karşımıza çıkar.

g(t) fonksiyonu üzerinde çok yüksek ve ani

bir etki olduğundan buna etki fonksiyonu

denir ve

şeklinde gösterilir.

Eğer g(t), zamana bağlı voltaj değişimini

gösterirse I(n) de aralığı boyunca

toplam voltaj etkisini gösterir.

Özel olarak ve n çok küçük bir pozitif

sabit olmak üzere

şeklindeki bir fonksiyon Dirac-delta tipindedir.

Gerçekten;

olup, ve t=0 için de

sağlanır.

Bir diğer örnek, daire için Dirihlet probleminin

çözümü olan

fonksiyonun çekirdeği olan

Poisson çekirdeğidir ki bu da bir deltasal çekirdektir.

Gerçekten

dir. için ve

dur.

• Matematikte özel durumlarda ortaya çıkan

sonuçlar her zaman geçerli olmayabilir. Bu sebeple

bir genelleştirme yapılırken mutlaka ispata

dayandırılmalıdır.

Örneğin; yarı çapı r olan bir kürenin hacmini V ile

yüzey alanını da S ile gösterirsek;

ve yani,

elde ederiz. Oysa bu durum başka cisimler için

geçerli olmayabilir.

Bir başka örnek olarak aşağıdakini verebiliriz.

• Kullanılan tanımlar ve geçerli olduğu bölgeler iyi bilinmelidir.

Örneğin, x pozitif bir tamsayı olmak üzere

ifadesinden taraf tarafa türev alırsak;

olur. Sizce bunun yorumu nedir?

Yaklaşımlar Teorisi, Analiz ve Uygulamalı Matematiğin arakesitinde yer alan ve halen güncelliğini koruyan, aktif çalışmaların yapıldığı bir alandır.

Bu teorideki çalışmalara cebirsel polinomların uzayında, trigonometrik polinomların ise uzayında yoğun

olduğunu belirten Weierstrass’ın (1885) teoremlerinden sonra ağırlık verilmiştir.

],[ baC],[* C

1912 yılında Weierstrass’ın bu teoremini

sağlayan bir polinom örneği S.N. Bernstein

tarafından aşağıdaki şekilde tanımlanmıştır.

n

k

knnk

n xxpfxfB0

, ]1,0[),()())((

burada

knk

kn xxk

nxP

)1()(,

şeklindedir.

Yaklaşımlar teorisinde operatör dizilerinin

yaklaşımının elde edilebilmesi için gerek

ve yeter koşulların bulunması kolay

değildir.

Kapalı bir aralıkta sürekli olan bir

fonksiyonun lineer pozitif operatör

dizisiyle düzgün yaklaştırılması için gerek

ve yeter koşullar ilk kez toplam biçimindeki

özel tipten bir lineer pozitif operatör dizisi

için 1951 yılında H. Bohman tarafından

verilmiştir.

Bohman’ın bu teoreminden sonra daha

genel olarak herhangi bir lineer pozitif

operatör dizisi için kapalı bir aralıkta

sürekli olan bir fonksiyonun lineer pozitif

operatör dizisiyle düzgün yaklaştırılması

için gerek ve yeter koşullar 1953 yılında

P.P. Korovkin tarafından verilmiştir. Bu

teoremler literatürde bazen Bohman-

Korovkin teoremleri olarak, çoğu kez de

Korovkin teoremleri olarak yer

almaktadırlar.

Korovkin, sürekli fonksiyonlar için verdiği

bu teoremi tüm reel eksende periyodlu

sürekli fonksiyonlar uzayı olan

uzayı için de ve test fonksi-

yonlarını kullanarak ifade ve ispat

etmiştir.

2

],[* baCxsin,1 xcos

• P.P. Korovkin, Linear Operators and Approximation Theory, Hindustan Pub. Corp., Delhi, (1960).

• G. G. Lorentz, Approximation of Functions, Holt, New York, 1966.

• R.A. DeVore, The Approximation of Continuous Functions by Positive Linear Operators, Springer-Verlag, Berlin, 1972.

• F. Altomare and M. Campiti, Korovkin Type

Approximation Theory and Its Applications,

de Gruyter Stud. Math. 17, Berlin, 1994.

• A. Hacıyev ve H.H. Hacısalihoğlu, Lineer

Pozitif Operatör Dizilerinin Yaklaşım

Özellikleri, Ankara Üniversitesi Yayınları,

1997.

• Çeşitli metodlarla bazı uzaylardaki fonksiyonların lineer pozitif operatör dizileriyle düzgün, noktasal yada istatistiksel yakınsaklığının sağlandığı operatörleri oluşturmak.

• Düzgünleştirme modülü, Lipschitz tipli fonksiyonlar ve Peetre K-fonksiyonları yardımıyla fonksiyonların lineer pozitif operatörlerle yaklaşımının hızını belirlemek.

• Bazı test fonksiyonlarını koruyan ve daha hızlı yaklaşım veren King tipli l.p.o. dizileri oluşturmak.

• İlk genelleşmelerin Lupaş ve Phillips tarafından

yapıldığı ve daha hızlı yaklaşım veren q-tipli l.p.o.

dizileri oluşturmak.

• Tanımlanan l.p.o. dizisinin monotonluğu ile ilgili

sonuçların elde edilebilmesi için fonksiyonun

sağlaması gereken koşulların belirlenmesi (artanlık,

azalanlık, konvekslik, konkavlık gibi)

• Tüm reel eksende düzgün yakınsamanın sağlandığı

l.p.o. dizilerinin ağırlıklı uzaylarda yaklaşım

özelliklerinin incelenmesi. (Global yaklaşım)

• İki yada çok değişkenli fonksiyon uzaylarında l.p.o. dizileri ile yaklaşım.

• L.p.o. dizilerinin türevlerinin özellikleri. (simultaneous yaklaşım, test fonksiyonlarının sağladığı diferensiyel denklemlerin bulunması, bölünmüş farklarla ifadeler v.b.)

• Fonksiyonların l.p.o. dizileriyle yaklaşımının test fonksiyonlarını içeren eşitsizliklerle (quantitative tahminler) gösterilmesi

• L.p.o. dizisi için elde edilmiş olan bir quantitative tahmin yada yaklaşım hızı veren bir tahminden yararlanarak operatör içerisinde yer alan fonksiyonun hangi koşullar altında hangi uzayda (saturation sınıfı) olacağının belirlenmesi. (ters sonuçlar)

• L.p.o. dizileriyle fonksiyonların noktasal yaklaştırılmasındaki yaklaşım hızını veren asimptotik tahminler ve bunların elde edilmesi için gerekli koşullar.

Katılımınız için teşekkürler…