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MATEMÁTICA

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STIM

E.C

OM

frente 2

Circunferências

19

CircunferênciasCapítulo 3

1. Classifi cando as posições relativas entre duas circunferências

1.1. Os aros dos jogos olímpicos – A representação dos continentes – Circunferências secantes

Europa

Ásia

África América

Oceania

A1

A2

B C2

3O1 O2

Intersecções: A1 e A2

R1 = 3R2 = 21 < d(O1, O2) = 2 < 5

Os símbolos olímpicos refl etem os ideais do Olimpismo. Os cinco aros interligados sobre um fundo branco, nas cores azul, amarela, preta, verde e vermelha, representam a união dos cinco continentes. É a principal repre-sentação gráfi ca dos Jogos Olímpicos e a marca do próprio Comitê Olímpico Inter-nacional (COI).

Disponível em: <htt p://www.cob.org.br/movimento-olimpico/os-simbolos-o-

limpicos>. Acesso em: 25 maio 2013.

Como podemos observar, cada um dos aros é representado por uma circunferência, e cada uma delas intersecta pelo menos uma circunferência em dois pontos.

Assim, dizemos que esses aros representam circunfe-rências secantes entre si.

Desse modo, podemos dizer que duas circunferências são secantes entre si se atendem às seguintes condições:

• Possuem dois pontos de intersecção;• Sejam O1 e O2 seus centros e R1 e R2 seus raios, de modo que R1 > R2. Então:

R1 – R2 < d(O1, O2) < R1 + R2

Ou seja, a distância entre seus centros é maior que a diferença entre seus raios, mas menor que a soma de seus raios.

Observe a imagem a seguir, que mostra duas circunferências secantes entre si:

20

1.2. As rodas de uma bicicleta – Qual a distância entre os eixos? – Circunferências exteriores

Uma das maiores invenções depois da roda, sem dúvida, foi a bicicleta.Em antiguidade ela antecedeu aos motores a vapor e a explosão, além de

ser considerada o “primeiro veículo mecânico” para o transporte individual.De construção bastante simples (duas rodas fi xas no mesmo plano),

mediante traves cavilhadas – duas para cada roda, para movimentá-la seu condutor, sentado sobre o quadro, dava passadas à esquerda e à direita até obter a velocidade desejada para o seu deslocamento. Seu inventor, o Conde francês J.H. De Civrac, em 1791, deu-lhe o nome de “Celerífero”.

Pierre Michaux, cidadão francês, profi ssional da forja e do ferro, foi o inventor dos pedais em 1860, alterando signifi cativamente o curso da evolução da bicicleta, que teve, na velha Europa, sua “primeira explosão de consumo”. Por concessão do Governo Francês em 1865, ele obteve uma autorização para montar a primeira fábrica de bici-

cletas do mundo: A “Biciclos Michaux”.Disponível em: <htt p://www.museudabicicleta.com.br/museu_hist.html>. Acesso em: 25 maio 2013. Adaptado.

1.2. As rodas de uma bicicleta – Qual a distância entre os eixos? – Circunferências exteriores

Uma das maiores invenções depois da roda, sem dúvida, foi a bicicleta.Em antiguidade ela antecedeu aos motores a vapor e a explosão, além de

ser considerada o “primeiro veículo mecânico” para o transporte individual.De construção bastante simples (duas rodas fi xas no mesmo plano),

mediante traves cavilhadas – duas para cada roda, para movimentá-la seu condutor, sentado sobre o quadro, dava passadas à esquerda e à direita até obter a velocidade desejada para o seu deslocamento. Seu inventor, o Conde francês J.H. De Civrac, em 1791, deu-lhe o nome de “Celerífero”.

Pierre Michaux, cidadão francês, profi ssional da forja e do ferro, foi o inventor dos pedais em 1860, alterando signifi cativamente o curso da evolução da bicicleta, que teve, na velha Europa, sua “primeira explosão de consumo”. Por concessão do Governo Francês em 1865, ele obteve uma autorização para montar a primeira fábrica de bici-

cletas do mundo: A “Biciclos Michaux”.

Modelo de bicicleta desenvolvido por Michaux:

Nos dias de hoje, as bicicletas evoluíram muito e representam um dos momentos mais competitivos de um esporte olímpico composto por três modalidades, o ciclismo, a corrida e a natação. Estamos falando do triátlon. As bicicletas utilizadas neste esporte olímpico são desenvolvidas de acordo com as medidas dos atletas, tamanha é a necessidade de um alto desempenho destes. Sendo assim, a distância entre os eixos dos pneus também é de grande importância. Observe a imagem ao lado:

Podemos observar que:• as rodas não se tocam;• a distância entre os centros das rodas é maior

que a soma de seus raios, ou seja, se O1 e O2 são os cen-tros das rodas que têm ambas o mesmo raio R, então:

d(O1, O2) > 2 R

As rodas da bicicleta francesa, assim como as rodas das bicicletas dos triatletas, são representadas por duas circunferências que não apresentam pontos em comum, sendo chamadas, assim, de circunferências exteriores.

Desse modo, podemos defi nir que duas circunferên-cias são exteriores se atendem às seguintes condições:

• Não possuem pontos de intersecção;• Sejam O1 e O2 seus centros e R1 e R2 seus raios, de

modo que R1 > R2. Então:

d(O1, O2) > R1 + R2

Ou seja, a distância entre seus centros é maior que a soma de seus raios.

Observe a imagem a seguir, que mostra duas circunferências externas entre si:

©

GE

ME

NA

CO

M |

DR

EA

MST

IME

.CO

M

B C23

O1 O2

Intersecções: Não há

R1 = 3R2 = 2d(O1, O2) = 6 > 5

1

© LJUPCO SMOKOVSKI | DREAMSTIME.COM

21

1.3. As engrenagens que movem o mundo – Circunferências tangentes

Em 2012, as Olimpíadas foram disputadas em Londres, Ingla-terra, que tem como um de seus cartões postais mais conheci-dos o Big Ben, onde fi ca uma torre com 96 metros que abriga um relógio, o “Grande Relógio de Westminster”.

Os relógios funcionam por meio de engrenagens que fazem com que seja possível o movimento de seus ponteiros. Observe a imagem das engrenagens de um relógio, elas são feitas de cir-cunferências que se tocam em apenas um ponto, sendo chama-das de circunferências tangentes.

©

PT

LEE

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©

PO

GO

NIC

I | D

RE

AM

STIM

E.C

OM

Sendo assim, podemos determinar dois tipos de circunferências tangen-tes, de acordo com as defi nições a seguir:

• Circunferências tangentes interiormenteDuas circunferências são tangentes interiormente se atendem às

seguintes condições:

– Possuem um único ponto de intersecção, chamado de ponto de tangência (T);

– Sejam O1 e O2 seus centros e R1 e R2 seus raios, de modo que R1 > R2. Então:

d(O1, O2) = R1 – R2

Ou seja, a distância entre seus centros é igual à diferença entre seus raios.

Observe a imagem ao lado, que mostra duas circunferências tangentes interiormente.

• Circunferências tangentes exteriormenteDuas circunferências são tangentes exteriormente se

atendem às seguintes condições:

– Possuem um único ponto de intersecção, cha-mado de ponto de tangência (T);

– Sejam O1 e O2 seus centros e R1 e R2 seus raios, de modo que R1 > R2. Então:

d(O1, O2) = R1 + R2

Ou seja, a distância entre seus centros é igual à soma de seus raios.

Observe a imagem ao lado, que mostra duas circunfe-rências tangentes exteriormente:

T23

O1 O2

Intersecções: T

R1 = 3R2 = 2d(O1, O2) = 1

B C23

O1 O2

Intersecções: T

R1 = 3R2 = 2d(O1, O2) = 5

T

22

1.4. Acertando o alvo – Circunferência interior

Com registro de utilização desde o século IV a.C. pelos egípcios, quando o preparo do arco e da flecha era passado de geração em gera-ção, estes artefatos foram utilizados por um longo tempo como arma de guerra, e também como ferramenta de caça. Somente em 1879, em Chi-cago, foi organizada a primeira competição, nos EUA, e, em 1908, foi reco-nhecido como esporte olímpico, nas Olimpíadas de Londres, contando com a participação de 200 arqueiros da América do Norte e da Europa.

Veja, a seguir, algumas imagens deste esporte que tem como princi-pal objetivo acertar as flechas o mais próximo possível do centro do alvo, já que as regiões mais próximas dele têm maior pontuação por serem menores que aquelas mais distantes.

Observando as imagens, podemos notar que os alvos são represen-tados por várias circunferências que possuem o mesmo centro, por esse motivo são chamadas de circunferências concêntricas. Além desse aspecto, podemos considerar que estas circunferências não possuem ponto em comum e que cada um delas se encontra na região interna de pelo menos uma outra circunferência. Assim, dizemos que cada uma delas é interior a pelo menos uma circunferência.

Desse modo, podemos definir que duas circunferências são interiores se atendem às seguintes condições:

• Não possuem pontos de intersecção;• Sejam O1 e O2 seus centros e R1 e R2 seus raios, de modo que

R1 > R2. Então:

d(O1, O2) < R1 – R2

Ou seja, a distância entre seus centros é menor que a diferença entre seus raios.Observe a imagem a seguir, que mostra duas circunferências interiores:

O1 O2

d(O1, O2) = 0,72 < 1 R1 = 3 R2 = 2

R1 R2

2. A busca pelo valor de π – O comprimento da circunferência

Povos da Antiguidade, tais como os egípcios e os mesopotâmicos, tiveram mui-tos de seus estudos apoiados na busca pela determinação do valor de π, mas foi no início da era cristã, na China, que as melhores representações para este número surgiram. Os métodos utilizados pelos chineses baseavam-se no cálculo do perí-metro de um polígono regular com 3.072 lados inscrito em uma circunferência, a partir do qual foi possível chegar ao valor aproximado de 3,14159.

Hoje sabemos que o valor de π é definido a partir da razão entre o comprimento da circunferência e o seu diâmetro, de modo que:

π = Cr2

Logo, podemos dizer que o comprimento de uma circunferência de raio r é dado por:

C=2 π r

© JOSEPH GOUGH | DREAMSTIME.COM

23

Assim, se considerarmos o comprimento e o diâmetro de alguns objetos circulares, teremos os exemplos a seguir:

© ALFREDO RAGAZZONI, AKSEN, HONGCHAN001 | DREAMSTIME.COMALFREDO RAGAZZONI, AKSEN, HONGCHAN001 ALFREDO RAGAZZONI, AKSEN, HONGCHAN001 | DREAMSTIME.COMALFREDO RAGAZZONI, AKSEN, HONGCHAN001

A seguir, temos alguns exercícios que mostram como aplicar a equação para o cálculo do comprimento da circunferência.

Exemplo 1:Calcule o comprimento do arco AB� nas fi guras a seguir:

5 cm

A

B

l Passo 1:Sabe-se que o comprimento C de uma volta da circunferência é dado por

2 π R.Como R = 5 cm, então:C=2 ⋅ π ⋅ 5 = 10 π cm

Passo 2:O arco de uma volta, cuja medida é 360°, será associado ao comprimento

do arco de uma volta (2πR), e o arco AB� de medida 90°, será associado a um arco de comprimento l. Assim, teremos:

360°-----------10 π90°----------l

l =90360

· 10 π=14

· 10 π =52

π cm

5 cmA

B

l

200º

b)

Passo 1:Sabe-se que o comprimento C de uma volta da circunferência é dado

por 2 π R.Como R=5 cm, então:C = 2 . π . 5 = 10 π cm

Passo 2:O arco de uma volta, cuja medida é 360º, será associado ao compri-

mento do arco de uma volta (2 π R), e o arco AB� , de medida 200º, será asso-ciado a um arco de comprimento l. Assim, teremos:

360°-----------10π200°--------l

l = 200360

· 10 π = 59

· 10 π = 509

π cm

a)

24

Exemplo 2:Em uma engrenagem, uma roda tem 50 cm de raio e com-

pleta 400 voltas enquanto uma outra roda menor completa 1.000 voltas. Encontre o comprimento do raio da roda menor.

Passo 1:Uma volta completa da roda maior mede:

2 π R = 2 π · 50 = 100 π cm

Assim, quando essa roda completa 400 voltas, temos a seguinte distância:

400 · 100 π = 40.000 π cm

Passo 2:Uma volta completa da roda menor mede 2 π r, em que r é o

raio da roda menor.Quando essa roda completa 1.000 voltas, temos a

seguinte distância:

1.000 · 2 π r

Passo 3:Como as duas rodas giram simultaneamente, temos:

2.000 π r = 40.000 π → r = 40 0002 000..

ππ

→ r = 20 cm

3. A London Eye e suas cabines – Medidas de arcos em radianos e conversões

Para comemorar a virada do milênio, os londrinos presencia-ram a construção de uma estrutura de 135 metros de diâmetro que tinha tempo pré-programado de cinco anos de existência, mas tanto foi o sucesso da London Eye que a terceira maior roda gigante do mundo se tornou um dos pontos turísticos mais dis-putados de Londres.

© ADRIEL80 | DREAMSTIME.COM

Visão noturna das cabines da London Eye

© MARCORUBINO | DREAMSTIME.COM

Visão de todas as cabines da London Eye

Sendo assim, façamos a seguinte pergunta: Como poderíamos medir a distân-cia entre duas cabines consecutivas da London Eye sabendo que ela possui um total de trinta e duas cabines?

Para responder a essa pergunta, precisamos da seguinte definição:

• Arcos de circunferênciaArcos de circunferência são as partes de uma circunferência determinadas

quando a dividimos a partir de dois de seus pontos.

©CHARLOTTE LEAPER | DREAMSTIME.COM

25

Vamos utilizar o esquema a seguir, em que dividimos uma circunferência em 32 partes iguais, com cada ponto representando uma cabine da London Eye, mode-lando, assim, a situação descrita.

A

B

O L

A

B

O

O arco dado pelos pontos A e B na circunferência de centro O é chamado de arco AB� e pode ser mensurado das seguintes formas:

• ComprimentoSe o arco determinado é dado pelos pontos A e B, e o seu comprimento é dado

por L, então diremos que o arco AB� tem comprimento L, e este será dado de acordo com unidades de medidas lineares, como, por exemplo, o metro, o centíme-tro e o quilômetro.

• Medida angularSe tomássemos o centro da circunferência como sendo o

vértice e os segmentos OA e OB como sendo os lados de um ângulo, teríamos o que chamamos de ângulo central, e este evidenciaria qual fração da circunferência tomaríamos.

Como a medida do ângulo é dada por α, diremos que o arco AB� está associado ao ângulo α, pois o primeiro é deter-minado pelos lados do segundo.

Assim, a medida angular do arco AB� é igual a α. Podemos expressar essa afi rmação pela seguinte notação:

m( AB� )= α

A

B

O α L

26

3.1. A medida de um arco em radiano

Sabendo que a London Eye é dividida em 32 partes iguais a partir de suas cabi-nes, podemos dizer que o ângulo central que determina cada um dos arcos repre-senta 1/32 da circunferência.

Sendo assim, para podermos defi nir essa unidade de medida, vamos desenvol-ver alguns procedimentos.

• Tomemos uma circunferência com raio de comprimento igual a 8 cm e, nela, um arco de comprimento igual a 8 cm.

A

B

O8

Comprimento dearco de AB = 8

Se tomarmos a razão entre os comprimentos do raio e do arco, teremos:

LR

=88

=1

• Se o raio da circunferência for de 8 cm e o comprimento do arco determi-nado for de 4 cm, então:

LR

=48

=12

3.2. Calculando a medida de um arco em radianos

A razão entre o comprimento de um arco e o comprimento do raio da circun-ferência que o contém serve de parâmetro para que determinemos uma nova uni-dade de medida angular, chamada de radiano. Sendo assim:

Se θ é a medida de um ângulo em radianos, então:

θ=LR

Em que L é o comprimento do arco e R é o comprimento do raio.A notação usada para representar essa unidade de medida angular é o rad.

Conclusão:“Encontrar a medida de um arco em radianos implica em dizer quantas vezes o

raio da circunferência “cabe” no comprimento do arco”.

1 radiano:Se um arco tem comprimento L e se L = R, então a medida do ângulo θ determi-

nado por AB� é igual a 1 rad.

Se θ = 1 rad d LR

=1 d L = R

3.3. A medida de uma circunferência em radianos

Por fi m, precisamos responder à seguinte pergunta:“Quantos radianos tem uma circunferência completa?”Se r é o raio e C é o comprimento da circunferência, então:

Cr2

= π d Cr

= 2π rad

27

Portanto, a razão entre o comprimento da circunferência e o seu raio resulta em 2π. Se usarmos uma aproximação de duas casas decimais, podemos dizer que 2 π = 6,28 e, como sabemos que a medida de um ângulo em radianos representa quantas vezes o raio cabe no comprimento da circunferência, concluímos que cabe 6 vezes o raio mais 0,28 deste raio, isto é, “um pouco mais que 6 vezes o raio”.

ARQUIMEDES

Arquimedes (287 a.C. – 212 a.C.) avaliou a razão entre o comprimento da circunferên-cia e o seu diâmetro por meio de um processo chamado de iteração, empregado atualmente na computação. Arquimedes, a partir de um hexágono regular inscrito em uma circunfe-rência, dobrou sucessivamente seu número de lados até chegar a noventa e seis. O resul-tado obtido por ele foi uma aproximação do valor de π dado pelas desigualdades 310 / 71< π <310/70, chegando mais perto do valor conhe-cido nos dias de hoje do que do valor conhe-cido pelos egípcios e pelos babilônios.

ARQUIMEDES

n = 4 n = 5 n = 6

n = 7 n = 8 n = 9

Método de exaustão utilizado por Arquimedes.

3.4. Conversões

Utilizando a relação de medidas entre graus e radianos para 1⁄2 de uma circun-ferência, temos:

180º d π radPor fi m, temos todas as ferramentas necessárias para encontrar o compri-

mento de um arco determinado por duas cabines da London Eye. Veja o cálculo de cada arco da London Eye em radianos:

12

da circunferência -------------- π rad

132

da circunferência ----------------x rad

x2

= π32

d x= π16

rad

3.5. Convertendo entre graus e radianos

De acordo com as relações dadas anteriormente entre graus e radianos, segue a relação entre as medidas em graus e as medidas em radianos:

90° = π2

rad

180° = π rad

270°= 32π rad

360°= 2π rad

30° = π6

rad

45° = π4

rad

60° = π3

rad

120° = 23π( )2π rad

20° = π9

rad

36° = π5

rad

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MATEMÁTICA

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Ângulos na circunferência

29

Ângulos na circunferênciaCapítulo 4

1. De onde todos veem um show de rock ’n’ roll sob o mesmo ângulo – Ângulos na circunferência

Bandas de rock ’n’ roll costumam levar muitos fãs aos seus shows, o que acaba prejudicando a visão das pessoas, dado o grande número de espectadores. Ainda temos outro problema, que diz respeito ao ângulo de visão de cada ponto da pla-teia, que não é o mesmo. Sendo assim, pergunta-se:

Em que posição devem fi car três pessoas que queiram enxergar o show sob o mesmo ângulo?

Para responder a esta pergunta, devemos trabalhar com ângulos determina-dos a partir de pontos de uma circunferência.

Observe o ângulo a seguir e a relação que este estabelece com um arco de uma circunferência.

• Ângulo centralSe um ângulo tem o vértice no centro da circunferência, ele é chamado de

ângulo central. Chamamos de arco correspondente ao ângulo central o arco cujos pontos são internos ao ângulo.

AÔB: ângulo central

APB� é o arco correspondente do AÔB.

Medida do ângulo central: A medida de um ângulo central é igual à medida

do seu arco correspondente.

Exemplo:

B

A

O

P

αB

A

O

43º

α

α = 43º

1.1. Ângulo inscrito

Se um ângulo tem seu vértice na circunferência e lados secantes na mesma, ele é chamado de ângulo ins-crito. O seu arco correspondente será aquele cujos pontos são internos a ele.

APB� é inscrito.

ACB� é o arco correspondente do APB� .

B

A

O

θ

C

P

B

A

O

θ

C

P

68º

θ = 34º

Medida do ângulo inscrito: A medida de um ângulo inscrito é igual à

metade da medida do seu arco correspondente.

Exemplo:

30

1.2. Propriedades de ângulos inscritos

A seguir, temos propriedades que são consequências da relação entre um ângulo inscrito e seu arco correspondente:

• Triângulo retânguloTodo ângulo inscrito em uma semicircunferência com um lado sobre o diâmetro é retângulo.

Demonstração:Como α é um ângulo

inscrito, vemos que a

medida do arco BCE� é o dobro de BÂC. Assim temos:

2 α = 180º d α = 90º∴ ∆ ΑΒC é retângulo

B

A

OC

α

2α E

B

A

OC

• Quadrilátero inscritoTodo quadrilátero inscrito em uma circunferência tem ângulos opostos suplementares.

B

A

O

C

α

θ

D

α + θ = 180ºβ + γ = 180º

β

γB

A

O

C

α

θ

D

β

γ

2α

2θ

Demonstração:2α + 2θ = 360º (: 2)α + θ = 180º

1.3. Onde todos têm o mesmo ângulo de visão – Arco capaz

Dois ou mais ângulos inscritos em uma mesma circunferência, com o mesmo arco correspondente, têm medidas iguais.

O

θ

A

θ θ

B

P

O arco APB é chamado de arco capaz de θ. Sendo assim, se três pessoas querem enxergar o show de rock ’n’ roll

sob o mesmo ângulo de visão, então elas devem se posicionar sob um arco capaz.

O

θ

A

θ θ

B

P1

Palco

P2

P3

Palco

31

1.4. Visualizando o show sob ângulos de visões diferentes – Pontos não pertencentes ao arco capaz

Considerando que o palco do show é uma corda AB de uma circunferência e que P é um ponto dessa circunferência que representa uma pessoa que está

assistindo ao show, com APB� =θ, chamamos o arco APB de arco capaz de θ, ou seja, todos os pontos pertencentes ao arco APB veem o palco sob um ângulo de mesma medida θ.

Na imagem ao lado, temos representadas três pessoas localizadas em três pontos diferentes da plateia, de modo que a pessoa indicada pelo ponto P1 está sob o arco capaz de θ, a indicada pelo ponto P2 está na região interior da circunferência, ou seja, está mais próxima do palco, enquanto que a pessoa indicada pelo ponto P3 está na região exterior da circunferência.

O

β

A

θ

B

P1

P2

P3

α

Palco

P1

P2 P3

2. Outros ângulos na circunferência

Após termos estudado os ângulos centrais e inscritos, trabalhare-mos outros tipos de ângulos na circunferência. São eles:

• Ângulo de segmentoSe um ângulo tem seu vértice sobre a circunferência, um

de seus lados é secante e o outro é tangente à circunferên-cia. Então, ele é chamado de ângulo de segmento.

C

PA

B

θ

T

© DWPHOTOS | DREAMSTIME.COM

32

A medida de um ângulo de segmento é igual à metade da medida de seu arco correspondente. Veja os exemplos a seguir:

C

A

P

180º

90º

r

TB

C

P

A

T

60º

120º

• Ângulo excêntrico internoSe um ângulo tem seu vértice no interior da circunferência e

seus lados são secantes a ela, então ele é chamado de ângulo excên-trico interno.

APB� e CPD� são ângulos excêntricos internos.

AEB� e CFD� são os arcos correspondentes de APB� e CPD� .

A medida de um ângulo excêntrico interno θ é dada pela seguinte equação:

θ =+AEB CFD� �

2

Veja a seguir a determinação da medida do ângulo excêntrico interno θ:

θ θ= + → =130 502

90� �

�

O

C

B

D

Fθ

A

E

P

• Ângulo excêntrico externoSe um ângulo tem seu vértice no exterior da circunferência

e seus lados são ambos secantes ou ambos tangentes ou um é secante e o outro é tangente, então ele é chamado de ângulo

excêntrico externo.

APB� é um ângulo excêntrico externo.

AEB� e CFD� são os arcos correspondentes de APB� .A medida de um ângulo excêntrico externo θ é dada pela

seguinte equação:

θ =−CFD AEB� �

2

O

C

B

A

D

E

F

P

50º

130º

θ

θ

O

C

B

A

D

E

F

P

33

Veja a seguir a determinação da medida do ângulo excêntrico externo θ:

O

C

B

D

Fθ

A

EP 50º

130º

θ θ= − → =130 502

40� �

�

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34

Anotações