MATEMÁTICA

Conjuntos Numéricos A concepção do conjunto numérico pode ser compreendida a partir da compreensão de um conjunto. Os conjuntos numéricos foram concebidos conforme surgiam mudanças na matemática. Para desenvolver a matemática hoje estudada, inúmeras mudanças na organização de todos os conceitos matemáticos foram necessárias. A concepção dos conjuntos numéricos recebeu maior rigor em sua construção com Georg Cantor, que pesquisou a respeito do número infinito. Cantor iniciou diversos estudos sobre os conjuntos numéricos, constituindo, assim, a teoria dos conjuntos. Definir conjunto é algo tão primitivo que se torna uma tarefa difícil. Entretanto, compreendemos conjunto como uma coleção de objetos, números, enfim, elementos com características semelhantes. Sendo assim, os conjuntos numéricos são compreendidos como os conjuntos dos números que possuem características semelhantes. Nesta seção, a concepção desses conjuntos será abordada, visando à compreensão dos elementos que constituem cada um dos conjuntos numéricos.

Temos então os seguintes conjuntos numéricos:

Conjunto dos números Naturais ( ); Conjunto dos números Inteiros ( ); Conjunto dos números Racionais ( ); Conjunto dos números Irracionais ( ); Conjunto dos números Reais ( ); Conjunto dos números Complexos ( ); Este último conjunto numérico possui uma seção especial para ele (Números Complexos).

Números naturais

Pertencem ao conjunto dos naturais os números inteiros positivos, incluindo o zero. Esse conjunto é representado

pela letra N maiúscula. Os elementos dos conjuntos devem estar sempre entre chaves.

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, ... }

- Quando for representar o Conjunto dos Naturais não nulos (excluindo o zero) devemos colocar * ao lado do N.

Representado assim:

N* = {1, 2,3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8 ,9 ,10 ,11 ,12, ... }

A reticência indica que sempre é possível acrescentar mais um elemento.

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} ou N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... }

Qualquer que seja o elemento de N, ele sempre tem um sucessor. Também falamos em antecessor de um número.

• 6 é o sucessor de 5.

• 7 é o sucessor de 6.

• 19 é antecessor de 20.

• 47 é o antecessor de 48.

Como todo número natural tem um sucessor, dizemos que o conjunto N é infinito.

Quando um conjunto é finito?

O conjunto dos números naturais maiores que 5 é infinito: {6, 7, 8, 9, ...}

Já o conjunto dos números naturais menores que 5 é finito: {0, 1, 2, 3, 4}

Veja mais alguns exemplos de conjuntos finitos.

• O conjunto dos alunos da classe.

• O conjunto dos professores da escola.

• O conjunto das pessoas que formam a população brasileira.

Números inteiros O conjunto dos números inteiros é resultado da evolução da contagem em razão da necessidade de números menores que zero.

Os números inteiros positivos foram os primeiros números trabalhados pela humanidade e eram utilizados para contagem.

O conjunto dos números inteiros não negativos recebe o nome de conjunto dos números naturais, sendo ele:

={0,1,2,3,4,5,6…}

O conjunto dos números inteiros contempla também os inteiros negativos:

={…,-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8…}

Os números inteiros estão presentes até hoje em diversas situações do cotidiano da humanidade, como para medir temperaturas, contar dinheiro, marcar as horas etc. Sua importância é indiscutível.

Diante disso, buscaremos estudar todas as propriedades desse conjunto numérico que existe há tanto tempo, perpassando pela teoria de conjuntos, intersecção de conjuntos numéricos, entre outros conceitos que fazem parte desse conteúdo.

Números Racionais Os números decimais são aqueles números que podem ser escritos na forma de fração. Podemos escrevê-los de algumas formas diferentes:

Por exemplo: Em forma de fração ordinária: ; ; e todos os seus opostos.

Esses números têm a forma com a , b Z e b ≠ 0. Números decimais com finitas ordens decimais ou extensão finita:

Esses números têm a forma com a , b Z e b ≠ 0. ♦ Número decimal com infinitas ordens decimais ou de extensão infinita periódica. São dízimas periódicas simples ou compostas:

As dízimas periódicas de expansão infinita podem ser escritas na forma : com a, b Z e b ≠ 0. - O conjunto dos números racionais é representado pela letra Q maiúscula.

Q = {x = , com a Z e b Z*}

- Outros subconjuntos de Q: Além de N e Z, existem outros subconjuntos de Q. Q* ---------- É o conjunto dos números racionais diferentes de zero. Q+ ---------- É o conjunto dos números racionais positivos e o zero. Q- ----------- É o conjunto dos números racionais negativos e o zero. Q*

+ ---------- É o conjunto dos números racionais positivos. Q*

- ----------- É o conjunto dos números racionais negativos. - Representação Geométrica

Entre dois números racionais existem infinitos outros números racionais.

Números reais

O conjunto dos números reais é formado pela união entre os conjuntos dos números racionais e irracionais. O conjunto dos números reais é formado pela união entre o conjunto dos números racionais e o conjunto dos números irracionais. Existem várias propriedades a respeito dos números reais, que são extensões das propriedades dos números racionais. Essas propriedades estão relacionadas com a ordem dos números reais e com o estudo das operações matemáticas básicas aplicadas aos elementos desse conjunto. A definição dos números reais depende das definições dos conjuntos dos números racionais e irracionais, que, por sua vez, dependem da definição dos números inteiros. Dessa maneira, todos os números geralmente estudados até o final do Ensino Fundamental e início do Ensino Médio são os números reais. De posse da definição de números reais, discutiremos as propriedades mais importantes relacionadas com esse conjunto numérico.

Propriedades do conjunto dos números reais As propriedades a seguir são decorrentes da definição dos números reais e também da inclusão das operações “adição” e “multiplicação” entre os elementos desse conjunto. O conjunto dos números reais é um conjunto completo Existe uma relação feita entre o conjunto dos números reais e a reta numérica, que é construída da seguinte maneira: para cada número real, existe um e apenas um ponto representando-o na reta numérica. É possível mostrar que a reta não contém nenhum “furo”, isto é, ponto que não represente número real algum. Portanto, o conjunto dos números reais é completo. O conjunto dos números reais é um conjunto ordenado Ainda avaliando a reta numérica, comparando dois números reais quaisquer, aquele que estiver mais à esquerda é menor do que aquele que estiver mais à direita. Além disso, se estiverem no mesmo ponto, serão iguais. Essa é a ordenação do conjunto dos números reais representada na reta numérica.

Frações

O símbolo significa a:b, sendo a e b números naturais e b diferente de zero.

Chamamos:

de fração;

a de numerador;

b de denominador.

Se a é múltiplo de b, então é um número natural.

Veja um exemplo:

A fração é igual a 8:2. Neste caso, 8 é o numerador e 2 é o denominador. Efetuando a divisão

de 8 por 2, obtemos o quociente 4. Assim, é um número natural e 8 é múltiplo de 2.

Durante muito tempo, os números naturais foram os únicos conhecidos e usados pelos homens. Depois começaram a surgir questões que não poderiam ser resolvidas com números naturais. Então surgiu o conceito de número fracionário.

O significado de uma fração

Algumas vezes, é um número natural. Outras vezes, isso não acontece. Neste caso, qual é

o significado de ?

Uma fração envolve a seguinte idéia: dividir algo em partes iguais. Dentre essas partes, consideramos uma ou algumas, conforme nosso interesse.

Exemplo: Roberval comeu de um chocolate. Isso significa que, se dividíssemos o chocolate em 4 partes iguais, Roberval teria comido 3 partes:

Frações equivalentes

Frações equivalentes são frações que representam a mesma parte do todo.

Exemplo: são equivalentes

Para encontrar frações equivalentes devemos multiplicar o numerador e o denominador por ummesmo número natural, diferente de zero.

Exemplo: obter frações equivalentes à fração .

Portanto as frações são algumas das frações equivalentes a .

Simplificação de frações

Uma fração equivalente a , com termos menores, é . A fração foi obtida dividindo-se

ambos os termos da fração pelo fator comum 3. Dizemos que a fração é uma fração

simplificada de .

A fração não pode ser simplificada, por isso é chamada de fração irredutível. A fração não pode ser simplificada porque 3 e 4 não possuem nenhum fator comum Números fracionários

Seria possível substituir a letra X por um número natural que torne a sentença abaixo verdadeira?

5 . X = 1

Substituindo X, temos:

X por 0 temos: 5.0 = 0 X por 1 temos: 5.1 = 5.

Portanto, substituindo X por qualquer número natural jamais encontraremos o produto 1. Para resolver esse problema temos que criar novos números. Assim, surgem os números fracionários.

Toda fração equivalente representa o mesmo número fracionário.

Portanto, uma fração (n diferente de zero) e todas frações equivalentes a ela representam o

mesmo número fracionário .

Resolvendo agora o problema inicial, concluímos que X = , pois .

Adição e subtração de números fracionários

1º) denominadores iguais

Para somar frações com denominadores iguais, basta somar os numeradores e conservar o denominador.

Para subtrair frações com denominadores iguais, basta subtrair os numeradores e conservar o denominador

Observe os exemplos:

2º) denominadores diferentes

Para somar frações com denominadores diferentes, uma solução é obter frações equivalentes, de denominadores iguais ao mmc dos denominadores das frações. Exemplo: somar

as frações .

Obtendo o mmc dos denominadores temos mmc(5,2) = 10.

(10:5).4 = 8 (10:2).5 = 25

Resumindo: utilizamos o mmc para obter as frações equivalentes e depois somamos normalmente as frações, que já terão o mesmo denominador, ou seja, utilizamos o caso 1.

números fracionários, devemos multiplicar numerador por numerador, e denominador por denominador, assim como é mostrado nos exemplos abaixo:

Na divisão de números fracionários, devemos multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda, como é mostrado no exemplo abaixo:

Potenciação e radiciação de números fracionários

Na potenciação, quando elevamos um número fracionário a um determinado expoente, estamos elevando o numerador e o denominador a esse expoente, conforme os exemplos abaixo:

Na radiciação, quando aplicamos a raiz quadrada a um número fracionário, estamos aplicando essa raiz ao numerador e ao denominador, conforme o exemplo abaixo:

Critérios de divisibilidade

Para alguns números como o dois, o três, o cinco e outros, existem regras que permitem verificar a divisibilidade sem se efetuar a divisão. Essas regras são chamadas de critérios de divisibilidade.

Divisibilidade por 2

Um número natural é divisível por 2 quando ele termina em 0, ou 2, ou 4, ou 6, ou 8, ou seja, quando ele é par.

Exemplos: 1) 5040 é divisível por 2, pois termina em 0. 2) 237 não é divisível por 2, pois não é um número par.

Divisibilidade por 4

Um número é divisível por 4 quando termina em 00 ou quando o número formado pelos dois últimos algarismos da direita for divisível por 4.

Exemplo: 1800 é divisível por 4, pois termina em 00. 4116 é divisível por 4, pois 16 é divisível por 4. 1324 é divisível por 4, pois 24 é divisível por 4. 3850 não é divisível por 4, pois não termina em 00 e 50 não é divisível por 4.

Divisibilidade por 5

Um número natural é divisível por 5 quando ele termina em 0 ou 5.

Exemplos: 1) 55 é divisível por 5, pois termina em 5. 2) 90 é divisível por 5, pois termina em 0. 3) 87 não é divisível por 5, pois não termina em 0 nem em 5.

Números Primos

Números primos são os números naturais que têm apenas dois divisores diferentes: o 1 e ele mesmo.

Exemplos: 1) 2 tem apenas os divisores 1 e 2, portanto 2 é um número primo. 2) 17 tem apenas os divisores 1 e 17, portanto 17 é um número primo. 3) 10 tem os divisores 1, 2, 5 e 10, portanto 10 não é um número primo.

Observações: => 1 não é um número primo, porque ele tem apenas um divisor que é ele mesmo. => 2 é o único número primo que é par.

Os números que têm mais de dois divisores são chamados números compostos. Exemplo: 15 tem mais de dois divisores => 15 é um número composto.

Reconhecimento de um número primo

Para saber se um número é primo, dividimos esse número pelos números primos 2, 3, 5, 7, 11 etc. até que tenhamos: => ou uma divisão com resto zero e neste caso o número não é primo, => ou uma divisão com quociente menor que o divisor e o resto diferente de zero. Neste caso o número é primo.

Exemplos:

1) O número 161:

não é par, portanto não é divisível por 2; 1+6+1 = 8, portanto não é divisível por 3; não termina em 0 nem em 5, portanto não é divisível por 5; por 7: 161 / 7 = 23, com resto zero, logo 161 é divisível por 7, e portanto não é um número

primo.

2) O número 113:

não é par, portanto não é divisível por 2; 1+1+3 = 5, portanto não é divisível por 3; não termina em 0 nem em 5, portanto não é divisível por 5; por 7: 113 / 7 = 16, com resto 1. O quociente (16) ainda é maior que o divisor (7). por 11: 113 / 11 = 10, com resto 3. O quociente (10) é menor que o divisor (11), e além

disso o resto é diferente de zero (o resto vale 3), portanto 113 é um número primo.

Decomposição em fatores primos

Todo número natural, maior que 1, pode ser decomposto num produto de dois ou mais fatores.

Decomposição do número 24 num produto: 24 = 4 x 6 24 = 2 x 2 x 6 24 = 2 x 2 x 2 x 3 = 23 x 3

No produto 2 x 2 x 2 x 3 todos os fatores são primos. Chamamos de fatoração de 24 a decomposição de 24 num produto de fatores primos. Então a fatoração de 24 é 23 x 3.

De um modo geral, chamamos de fatoração de um número natural, maior que 1, a sua decomposição num produto de fatores primos.

Regra prática para a fatoração

Existe um dispositivo prático para fatorar um número. Acompanhe, no exemplo, os passos

para montar esse dispositivo:

1º) Dividimos o número pelo seu menor divisor primo;

2º) a seguir, dividimos o quociente obtido pelo menor divisor primo desse quociente e assim sucessivamente até obter o quociente 1.

A figura ao lado mostra a fatoração do número 630.

Então 630 = 2 x 3 x 3 x 5 x 7. 630 = 2 x 32 x 5 x 7.

Determinação dos divisores de um número: Vamos determinar, por exemplo, os divisores de 90:

1º) decompomos o número em fatores primos;

2º) traçamos uma linha e escrevemos o 1 no alto, porque ele é divisor de qualquer número;

3º) multiplicamos sucessivamente cada fator primo pelos divisores já obtidos e escrevemos esses produtos ao lado de cada fator primo;

4º) os divisores já obtidos não precisam ser repetidos.

Portanto os divisores de 90 são 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90.

Máximo Divisor Comum

Dois números naturais sempre têm divisores comuns. Por exemplo: os divisores comuns de 12 e18 são 1,2,3 e 6. Dentre eles, 6 é o maior. Então chamamos o 6 de máximo divisor comum de 12 e 18 e indicamos m.d.c.(12,18) = 6.

O maior divisor comum de dois ou mais números é chamado de máximo divisor comum desses números. Usamos a abreviação m.d.c.

Alguns exemplos: mdc (6,12) = 6 mdc (12,20) = 4 mdc (20,24) = 4 mdc (12,20,24) = 4 mdc (6,12,15) = 3

CÁLCULO DO M.D.C.

Um modo de calcular o m.d.c. de dois ou mais números é utilizar a decomposição desses números em fatores primos.

1) decompomos os números em fatores primos; 2) o m.d.c. é o produto dos fatores primos comuns.

Acompanhe o cálculo do m.d.c. entre 36 e 90: 36 = 2 x 2 x 3 x 3 90 = 2 x 3 x 3 x 5

O m.d.c. é o produto dos fatores primos comuns => m.d.c.(36,90) = 2 x 3 x 3 Portanto m.d.c.(36,90) = 18.

Escrevendo a fatoração do número na forma de potência temos: 36 = 22 x 32 90 = 2 x 32 x5 Portanto m.d.c.(36,90) = 2 x 32 = 18.

O m.d.c. de dois ou mais números, quando fatorados, é o produto dos fatores comuns a eles, cada um elevado ao menor expoente.

CÁLCULO DO M.D.C. PELO PROCESSO DAS DIVISÕES SUCESSIVAS

Nesse processo efetuamos várias divisões até chegar a uma divisão exata. O divisor desta divisão é o m.d.c. Acompanhe o cálculo do m.d.c.(48,30).

Regra prática: 1º) dividimos o número maior pelo número menor; 48 / 30 = 1 (com resto 18)

2º) dividimos o divisor 30, que é divisor da divisão anterior, por 18, que é o resto da divisão anterior, e assim sucessivamente;

30 / 18 = 1 (com resto 12)

18 / 12 = 1 (com resto 6)

12 / 6 = 2 (com resto zero - divisão exata)

3º) O divisor da divisão exata é 6. Então m.d.c.(48,30) = 6.

NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI

Dois ou mais números são primos entre si quando o máximo divisor comum desses números é 1.

Exemplos: Os números 35 e 24 são números primos entre si, pois mdc (35,24) = 1. Os números 35 e 21 não são números primos entre si, pois mdc (35,21) =

PROPRIEDADE DO M.D.C.

Dentre os números 6, 18 e 30, o número 6 é divisor dos outros dois. Neste caso, 6 é o m.d.c.(6,18,30). Observe:

6 = 2 x 3 18 = 2 x 32 30 = 2 x 3 x 5 Portanto m.d.c.(6,18,30) = 6

Dados dois ou mais números, se um deles é divisor de todos os outros, então ele é o m.d.c. dos números dados.

MÚLTIPLO DE UM NÚMERO NATURAL

Como 24 é divisível por 3 dizemos que 24 é múltiplo de 3. 24 também é múltiplo de 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 e 24.

Se um número é divisível por outro, diferente de zero, então dizemos que ele é múltiplo desse outro.

Os múltiplos de um número são calculados multiplicando-se esse número pelos números naturais.

Exemplo: os múltiplos de 7 são: 7x0, 7x1, 7x2, 7x3, 7x4, ... = 0 , 7 , 14 , 21 , 28 , ...

MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (M.M.C.)

Dois ou mais números sempre têm múltiplos comuns a eles.

Vamos achar os múltiplos comuns de 4 e 6: Múltiplos de 6: 0, 6, 12, 18, 24, 30,... Múltiplos de 4: 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24,... Múltiplos comuns de 4 e 6: 0, 12, 24,...

Dentre estes múltiplos, diferentes de zero, 12 é o menor deles. Chamamos o 12 de mínimo múltiplo comum de 4 e 6.

O menor múltiplo comum de dois ou mais números, diferente de zero, é chamado de mínimo múltiplo comum desses números. Usamos a abreviação m.m.c.

CÁLCULO DO M.M.C.

Podemos calcular o m.m.c. de dois ou mais números utilizando a fatoração. Acompanhe o cálculo do m.m.c. de 12 e 30:

1º) decompomos os números em fatores primos 2º) o m.m.c. é o produto dos fatores primos comuns e não-comuns:

12 = 2 x 2 x 3 30 = 2 x 3 x 5 m.m.c (12,30) = 2 x 2 x 3 x 5

Escrevendo a fatoração dos números na forma de potência, temos: 12 = 22 x 3 30 = 2 x 3 x 5 m.m.c (12,30) = 22 x 3 x 5

O m.m.c. de dois ou mais números, quando fatorados, é o produto dos fatores comuns e não-comuns a eles, cada um elevado ao maior expoente.

PROCESSO DA DECOMPOSIÇÃO SIMULTÂNEA Neste processo decompomos todos os números ao mesmo tempo, num dispositivo como mostra a figura ao lado. O produto dos fatores primos que obtemos nessa decomposição é o m.m.c. desses números. Ao lado vemos o cálculo do m.m.c.(15,24,60)

Portanto, m.m.c.(15,24,60) = 2 x 2 x 2 x 3 x 5 = 120

PROPRIEDADE DO M.M.C.

Entre os números 3, 6 e 30, o número 30 é múltiplo dos outros dois. Neste caso, 30 é o m.m.c.(3,6,30). Observe:

m.m.c.(3,6,30) = 2 x 3 x 5 = 30

Dados dois ou mais números, se um deles é múltiplo de todos os outros, então ele é o m.m.c. dos números dados.

Considerando os números 4 e 15, ques são primos entre si. O m.m.c.(4,15) é igual a 60, que é o produto de 4 por 15. Observe:

m.m.c.(4,15) = 2 x 2 x 3 x 5 = 60

Dados dois números primos entre si, o m.m.c. deles é o produto desses números.

Equações de primeiro grau

(com uma variável)

Equação é toda sentença matemática aberta que exprime uma relação de igualdade. A palavra equação tem o prefixo equa, que em latim quer dizer "igual". Exemplos:

2x + 8 = 0

5x - 4 = 6x + 8

3a - b - c = 0

Não são equações:

4 + 8 = 7 + 5 (Não é uma sentença aberta)

x - 5 < 3 (Não é igualdade)

(não é sentença aberta, nem igualdade)

A equação geral do primeiro grau:

ax+b = 0

onde a e b são números conhecidos e a diferente de 0, se resolve de maneira simples: subtraindo b dos dois lados, obtemos:

ax = -b

dividindo agora por a (dos dois lados), temos:

Considera a equação 2x - 8 = 3x -10

A letra é a incógnita da equação. A palavra incógnita significa " desconhecida".

Na equação acima a incógnita é x; tudo que antecede o sinal da igualdade denomina-se 1º membro, e o que sucede, 2º membro.

Qualquer parcela, do 1º ou do 2º membro, é um termo da equação.

Equação do 1º grau na incógnita x é toda equação que pode ser escrita na forma ax=b, sendo a e b números racionais, com a diferente de zero.

Conjunto Verdade e Conjunto Universo de uma Equação

Considere o conjunto A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e a equação x + 2 = 5.

Observe que o número 3 do conjunto A é denominado conjunto universo da equação e o conjunto {3} é o conjunto verdade dessa mesma equação.

Observe este outro exemplo:

Determine os números inteiros que satisfazem a equação x² = 25

O conjunto dos números inteiro é o conjunto universo da equação.

Os números -5 e 5, que satisfazem a equação, formam o conjunto verdade, podendo ser indicado por: V = {-5, 5}.

Daí concluímos que:

Conjunto Universo é o conjunto de todos os valores que variável pode assumir. Indica-se por U.

Conjunto verdade é o conjunto dos valores de U, que tornam verdadeira a equação . Indica-se por V.

Observações:

O conjunto verdade é subconjunto do conjunto universo.

Não sendo citado o conjunto universo, devemos considerar como conjunto universo o conjunto dos números racionais.

O conjunto verdade é também conhecido por conjunto solução e pode ser indicado por S.

Raízes de uma equação

Os elementos do conjunto verdade de uma equação são chamados raízes da equação.

Para verificar se um número é raiz de uma equação, devemos obedecer à seguinte seqüência:

Substituir a incógnita por esse número. Determinar o valor de cada membro da equação. Verificar a igualdade, sendo uma sentença verdadeira, o número considerado é raiz da

equação.

Exemplos:

Verifique quais dos elementos do conjunto universo são raízes das equações abaixo, determinando em cada caso o conjunto verdade

Resolva a equação x - 2 = 0, sendo U = {0, 1, 2, 3}.

Para x = 0 na equação x - 2 = 0 temos: 0 - 2 = 0 => -2 = 0. (F)

Para x = 1 na equação x - 2 = 0 temos: 1 - 2 = 0 => -1 = 0. (F)

Para x = 2 na equação x - 2 = 0 temos: 2 - 2 = 0 => 0 = 0. (V)

Para x = 3 na equação x - 2 = 0 temos: 3 - 2 = 0 => 1 = 0. (F)

Verificamos que 2 é raiz da equação x - 2 = 0, logo V = {2}.

Resolva a equação 2x - 5 = 1, sendo U = {-1, 0, 1, 2}.

Para x = -1 na equação 2x - 5 = 1 temos: 2 . (-1) - 5 = 1 => -7 = 1. (F)

Para x = 0 na equação 2x - 5 = 1 temos: 2 . 0 - 5 = 1 => -5 = 1. (F)

Para x = 1 na equação 2x - 5 = 1 temos: 2 . 1 - 5 = 1 => -3 = 1. (F)

Para x = 2 na equação 2x - 5 = 1 temos: 2 . 2 - 5 = 1 => -1 = 1. (F)

A equação 2x - 5 = 1 não possui raiz em U, logo V = Ø.

Resolução de uma equação

Resolver uma equação consiste em realizar uma espécie de operações de operações que nos conduzem a equações equivalentes cada vez mais simples e que nos permitem, finalmente, determinar os elementos do conjunto verdade ou as raízes da equação. Resumindo:

Resolver uma equação significa determinar o seu conjunto verdade, dentro do conjunto universo considerado.

Na resolução de uma equação do 1º grau com uma incógnita, devemos aplicar os princípios de equivalência das igualdades (aditivo e multiplicativo). Exemplos:

Sendo , resolva a equação .

MMC (4, 6) = 12

-9x = 10 => Multiplicador por (-1)

9x = -10

Como , então

Sendo , resolva a equação 2 . (x - 2) - 3 . (1 - x) = 2 . (x - 4).

Iniciamos aplicando a propriedade distributiva da multiplicação

2x - 4 - 3 + 3x = 2x - 8

2x + 3x -2x = - 8 + 4 + 3

3x = -1

Como , então

Pares ordenados

Muitas vezes, para localizar um ponto num plano, utilizamos dois números racionais, numa certa ordem.

Denominamos esses números de par ordenado. Exemplos:

Assim:

Indicamos por (x, y) o par ordenado formado pelos elementos x e y, onde x é o 1º elemento e y é o 2º elemento.

Observações

1. De um modo geral, sendo x e y dois números racionais quaisquer, temos: . Exemplos

2. Dois pares ordenados (x, y) e (r, s) são iguais somente se x = r e y = s.

Representação gráfica de um Par Ordenado

Podemos representar um par ordenado através de um ponto em um plano.

Esse ponto é chamado de imagem do par ordenado.

Coordenadas Cartesianas

Os números do par ordenados são chamados coordenadas cartesianas. Exemplos:

A (3, 5) ==> 3 e 5 são as coordenadas do ponto A.

Denominamos de abscissa o 1º número do par ordenado, e ordenada, o 2º número desse par. Assim:

Plano Cartesiano

Representamos um par ordenado em um plano cartesiano.

Esse plano é formado por duas retas, x e y, perpendiculares entre si.

A reta horizontal é o eixo das abscissas (eixo x).

A reta vertical é o eixo das ordenadas (eixo y).

O ponto comum dessas duas retas é denominado

origem, que corresponde ao par ordenado (0, 0).

Localização de um Ponto

Para localizar um ponto num plano cartesiano, utilizamos a seqüência prática:

O 1º número do par ordenado deve ser localizado no eixo das abscissas. O 2º número do par ordenado deve ser localizado no eixo das ordenadas. No encontro das perpendiculares aos eixos x e y, por esses pontos, determinamos o ponto procurado.

Exemplo:

Localize o ponto (4, 3).

Produto Cartesiano

Sejam os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {3, 4}. Com auxílio do diagrama de flechas ao lado formaremos o conjunto de todos os pares ordenados em que o 1º elemento pertença ao conjunto A e o 2º pertença ao conjunto B.

Assim , obtemos o conjunto: {(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4)}

Esse conjunto é denominado produto cartesiano de A por B, e é indicado por:

Logo:

Dados dois conjuntos A e B, não-vazios, denominamos produtos cartesiano A x B o conjunto de todos

os pares ordenados (x, y) onde

Potenciação

Seja a multiplicação 2 . 2 . 2 . 2, onde todos os fatores são iguais. Podemos indicar este produto de modo abreviado

2 . 2 . 2 . 2 = 24 = 16

Denominamos

Base: o número que se repete.

Expoente: o número de fatores iguais.

Potência: o resultado da operação.

A operação efetuada é denominada potenciação.

Exemplos:

54 = 5 . 5 . 5 . 5 = 625

43 = 4 . 4 . 4 = 6

Leitura

Observe alguns exemplos:

3² (lê-se “três elevado ao quadrado ou o quadrado de três”) 2³ (lê-se “dois elevado ao cubo ou o cubo de dois”)

(lê-se “sete elevado à quarta potência ou a quarta potência de sete”)

(lê-se “seis elevado à quinta potência ou a quinta potência de seis”

Observação:

Um número natural é um quadrado perfeito quando é o produto de dois fatores iguais. Por exemplo, os números 4, 36 e 100 são quadrados perfeitos, pois 2² = 4, 6² = 36 e 10² = 100.

Propriedades da potenciação

Todo número natural elevado ao expoente 1 é igual a ele mesmo.

Exemplos:

Todo número natural não-nulo elevado ao expoente zero é igual a 1.

Exemplos:

Toda potência da base 1 é igual a 1.

Exemplos:

Toda potência de 10 é igual ao numeral formado pelo algarismo 1 seguido de tantos zeros quantas

forem as unidades do expoente.

Exemplos:

O expoente negativo significa que ocorre a troca de lugar entre o numerador o denominador.

Exemplos:

Se tivermos uma potência negativa no denominador, este se transforma em numerador ao trocar o

sinal da potência.

Exemplos:

Estudaremos a seguir algumas propriedades operatórias da potenciação.

Produto de potências de mesma base

Considere o produto . Observe que:

Assim:

Tomando por base o exemplo acima, podemos concluir que:

Para multiplicar potências de mesma base, devemos conservar a base

e somar os expoentes.

Divisão de potências de mesma base

Considere o quociente . Observe que:

Assim:

Tomando por base o exemplo acima, podemos concluir que:

Para dividir potências de mesma base, não-nula, devemos

conservar a base e subtrair os expoentes.

Potência da potência

Considere a potência . Observe que:

Assim:

Tomando por base o exemplo acima, podemos concluir que:

Para elevar uma potência a um novo expoente, devemos

conservar a base e multiplicar os expoentes.

Distributiva da potenciação em relação à multiplicação

Considere a expressão . Observe que:

Tomando por base o exemplo acima, podemos concluir que:

Para elevar um produto a um expoente, devemos

elevar cada fator a esse expoente.

Distributiva da potenciação em relação à divisão

Considere a expressão . Observe que:

Tomando por base o exemplo acima, podemos concluir que:

Para elevar um quociente a um expoente, devemos elevar o numerador e o denominador a esse

expoente.

Radiciação

Já sabemos que 6² = 36. Aprenderemos agora a operação que nos permite determinar qual o número que elevado ao quadrado equivale a 36.

, pois 6 elevado ao quadrado é 36.

Essa operação é a inversa da potenciação e denomina-se radiciação.

Outros exemplos:

, pois 2³ = 8.

, pois .

Notação

Leitura

(lê-se “raiz quadrada de 81”)

(lê-se “raiz cúbica de 64”)

(lê-se “raiz quarta de 16”)

Observação:

Na indicação de raiz quadrada, podemos omitir o índice 2. Por exemplo, .

Raízes de índice par

Quando elevamos um número positivo ou um número negativo a um expoente par, o resultado sempre é um número positivo.

Exemplo: (-4)² = (-4)(-4) = 16 e (+4)² = (+4)(+4) = 16

Porém, como em matemática o resultado de uma operação deve ser único, fica definido que:

Genericamente:

Qualquer raiz de índice par de um número positivo é o número positivo que elevado ao expoente

correspondente a esse indíce equivale ao número dado.

Observação:

Não existe raiz real de um número negativo se o índice for par.

Exemplo:

não existe, pois não há nenhum número real que elevado ao quadrado dê - 4.

Raízes de índice ímpar

Quando o índice de uma raiz é ímpar e o radicando é positivo, a raiz é positiva.

Quando o índice de uma raíz é ímpar e o radicando é negativo, a raiz é negativa.

Exemplos:

Potência com expoente fracionário

Se a é um número real positivo, m é um número inteiro e n é um número natural não-nulo, temos que:

Exemplos

Propriedades dos radicais

Propriedade Justificativa Exemplo

Escrevendo em forma de potência com expoente fracionário:

Propriedades operatórias dos radicais

Propriedade Justificativa Exemplo

Radical de um

produto

Radical de um

quociente

Mudança de

índice

Simplificação de radicais

Confira a seguir alguns exemplos de simplificação de radicais, com base nas propriedades operatórias do item anterior:

Radicais semelhantes

Radicais semelhantes são aqueles que têm o mesmo índice e o mesmo radicando.

Exemplos:

Adição e subtração de radicais

Exemplos

1º caso:

Radicais semelhantes

Fazemos como

na redução de

termos

semelhantes de

uma soma

algébrica.

2º caso:

Radicais semelhantes após simplificação

Depois de obter

radicais

semelhantes,

procedemos

como no 1º caso.

3º caso:

Os radicais não são semelhantes

Extraímos as

raízes e

efetuamos as

operações.

Multiplicação e divisão de radicais

Exemplos

1º caso:

Os radicais têm o mesmo índice

Efetuamos a operação

entre os radicandos.

2º caso:

Os radicais não têm o mesmo índice

Primeiramente os

reduzimos ao mesmo

índice e depois

efetuamos as

operações.

Potência de um radical

Para elevar um radical a uma certa potência, devemos conservar o índice e elevar o radicando à potência indicada.

Veja a justificativa dessa propriedade através de um exemplo:

Outros exemplos:

Radical de um radical Para obter a raiz de uma raiz, devemos conservar o radicando e multiplicar os índices.

Veja a justificativa dessa propriedade através de um exemplo:

Outros exemplos:

Racionalização de denominadores

Considere a fração , cujo denominador é um número irracional.

Vamos agora multiplicar o numerador e o denominador desta fração por , obtendo uma fração equivalente:

Observe que a fração equivalente possui um denominador racional.

A essa transformação, damos o nome de racionalização de denomindores.

A racionalização de denominadores consiste, portanto, na obtenção de um fração com denominador racional, equivalente a uma anterior, que possuía um ou mais radicais em seu denominador.

Para racionalizar o denominador de uma fração, devemos multiplicar os termos desta fração por uma expressão com radical, denominado fator racionalizante, de modo a obter uma nova fração equivalente com denominador sem radical.

Principais casos de racionalização

1º caso: O denominador é um radical de índice 2. Exemplo:

é o fator racionalizante de , pois = a

2º caso: O denominador é um radical de índice diferente de 2, ou a soma (ou diferença) de dois termos.

Neste caso, é necessário multiplicar o numerador e o denominador da fração por um termo conveniente, para que desapareça o radical que se encontra no denominador. Exemplo:

A seguir, os principais fatores racionalizantes, de acordo com o tipo do denominador.

é o fator racionalizante de

é o fator racionalizante de

é o fator racionalizante de

é o fator racionalizante de

Veja outro exemplo:

Razões - Introdução

Vamos considerar um carro de corrida com 4m de comprimento e um kart com 2m de comprimento. Para compararmos as medidas dos carros, basta dividir o comprimento de um deles pelo outro. Assim:

(o tamanho do carro de corrida é duas vezes o tamanho do kart).

Podemos afirmar também que o kart tem a metade do comprimento do carro de corrida. A comparação entre dois números racionais, através de uma divisão, chama-se razão.

A razão pode também ser representada por 1:2 e significa que cada metro do kart corresponde a 2m do carro de corrida.

Denominamos de razão entre dois números a e b (b diferente de zero)

o quociente ou a:b.

A palavra razão, vem do latim ratio, e significa "divisão". Como no exemplo anterior, são diversas as situações em que utilizamos o conceito de razão. Exemplos:

Dos 1200 inscritos num concurso, passaram 240 candidatos. Razão dos candidatos aprovados nesse concurso:

(de cada 5 candidatos inscritos, 1 foi aprovado).

Para cada 100 convidados, 75 eram mulheres. Razão entre o número de mulheres e o número de convidados:

(de cada 4 convidados, 3 eram mulheres).

Observações:

1) A razão entre dois números racionais pode ser apresentada de três formas. Exemplo:

Razão entre 1 e 4: 1:4 ou ou 0,25.

2) A razão entre dois números racionais pode ser expressa com sinal negativo, desde que seus termos tenham sinais contrários. Exemplos:

A razão entre 1 e -8 é .

A razão entre é .

Termos de uma razão

Observe a razão:

(lê-se "a está para b" ou "a para b").

Na razão a:b ou , o número a é denominado antecedente e o número b é denominado consequente. Veja o exemplo:

3:5 =

Leitura da razão: 3 está para 5 ou 3 para 5.

Razões inversas

Considere as razões .

Observe que o produto dessas duas razões é igual a 1, ou seja, .

Nesse caso, podemos afirmar que são razões inversas.

Duas razões são inversas entre si quando o produto delas é igual a 1.

Exemplo:

são razões inversas, pois .

Verifique que nas razões inversas o antecedente de uma é o consequente da outra, e vice-versa.

Observações:

1) Uma razão de antecedente zero não possui inversa. 2) Para determinar a razão inversa de uma razão dada, devemos permutar (trocar) os seus termos.

Exemplo: O inverso de .

Razões equivalentes

Dada uma razão entre dois números, obtemos uma razão equivalente da seguinte maneira:

Multiplicando-se ou dividindo-se os termos de uma razão por um mesmo número racional (diferente de zero), obtemos uma razão equivalente.

Exemplos:

são razões equivalentes.

são razões equivalentes.

Razões entre grandezas da mesma espécie

O conceito é o seguinte:

Denomina-se razão entre grandezas de mesma espécie o quociente entre os números que expressam as medidas dessas grandezas numa mesma unidade.

Exemplos:

1) Calcular a razão entre a altura de dois anões, sabendo que o primeiro possui uma altura h1= 1,20m e o segundo possui uma altura h2= 1,50m. A razão entre as alturas h1 e h2 é dada por:

2) Determinar a razão entre as áreas das superfícies das quadras de vôlei e basquete, sabendo que a quadra de vôlei possui uma área de 162m2 e a de basquete possui uma área de 240m2.

Razão entre as área da quadra de vôlei e basquete: .

Razões entre grandezas de espécies diferentes

O conceito é o seguinte:

Para determinar a razão entre duas grandezas de espécies diferentes, determina-se o quociente entre as medidas dessas grandezas. Essa razão deve ser acompanhada da notação que relaciona as grandezas envolvidas.

Exemplos:

1) Consumo médio:

Beatriz foi de São Paulo a Campinas (92Km) no seu carro. Foram gastos nesse percurso 8 litros de combustível. Qual a razão entre a distância e o combustível consumido? O que significa essa razão? Solução:

Razão =

Razão = (lê-se "11,5 quilômetros por litro").

Essa razão significa que a cada litro consumido foram percorridos em média 11,5 km.

2) Velocidade média:

Moacir fez o percurso Rio-São Paulo (450Km) em 5 horas. Qual a razão entre a medida dessas grandezas? O que significa essa razão? Solução:

Razão =

Razão = 90 km/h (lê-se "90 quilômetros por hora").

Essa razão significa que a cada hora foram percorridos em média 90 km.

3) Densidade demográfica:

O estado do Ceará no último censo teve uma população avaliada em 6.701.924 habitantes. Sua área é de 145.694 km2. Determine a razão entre o número de habitantes e a área desse estado. O que significa essa razão? Solução:

Razão =

Razão = 46 hab/km2 (lê-se "46 habitantes por quilômetro quadrado").

Essa razão significa que em cada quilômetro quadrado existem em média 46 habitantes.

4) Densidade absoluta ou massa específica:

Um cubo de ferro de 1cm de aresta tem massa igual a 7,8g. Determine a razão entre a massa e o volume desse corpo. O que significa essa razão? Solução:

Volume = 1cm . 1cm . 1cm = 1cm3

Razão =

Razão = 7,8 g/cm3 (lê-se "7,8 gramas por centímetro cúbico").

Essa razão significa que 1cm3 de ferro pesa 7,8g.

Proporções - Introdução

Rogerião e Claudinho passeiam com seus cachorros. Rogerião pesa 120kg, e seu cão, 40kg. Claudinho, por sua vez, pesa 48kg, e seu cão, 16kg.

Observe a razão entre o peso dos dois rapazes:

Observe, agora, a razão entre o peso dos cachorros:

Verificamos que as duas razões são iguais. Nesse caso, podemos afirmar que a igualdade

é uma proporção. Assim:

Proporção é uma igualdade entre duas razões.

Elementos de uma proporção

Dados quatro números racionais a, b, c, d, não-nulos, nessa ordem, dizemos que eles formam uma proporção quando a razão do 1º para o 2º for igual à razão do 3º para o 4º. Assim:

ou a:b=c:d

(lê-se "a está para b assim como c está para d")

Os números a, b, c e d são os termos da proporção, sendo:

b e c os meios da proporção. a e d os extremos da proporção.

Exemplo:

Dada a proporção , temos: Leitura: 3 está para 4 assim como 27 está para 36. Meios: 4 e 27 Extremos: 3 e 36

Propriedade fundamental das proporções

Observe as seguintes proporções:

Produto dos meios = 4.30 = 120 Produto dos extremos = 3.40 = 120

Produto dos meios = 9.20 = 180 Produto dos extremos = 4.45 = 180

Produto dos meios = 8.45 = 360 Produto dos extremos = 5.72 = 360

De modo geral, temos que:

Daí podemos enunciar a propriedade fundamental das proporções:

Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos

Aplicações da propriedade fundamental

Determinação do termo desconhecido de uma proporção

Exemplos:

Determine o valor de x na proporção:

Solução: 5 . x = 8 . 15 (aplicando a propriedade fundamental) 5 . x = 120

x = 24

Logo, o valor de x é 24.

Determine o valor de x na proporção:

Solução: 5 . (x-3) = 4 . (2x+1) (aplicando a propriedade fundamental) 5x - 15 = 8x + 4 5x - 8x = 4 + 15 -3x = 19 3x = -19

x =

Logo, o valor de x é .

Os números 5, 8, 35 e x formam, nessa ordem, uma proporção. Determine o valor de x.

Solução:

(aplicando a propriedade fundamental)

5 . x = 8 . 35 5x = 280

x = 56

Logo, o valor de x é 56

Resolução de problemas envolvendo proporções

Exemplo:

Numa salina, de cada metro cúbico (m3) de água salgada, são retirados 40 dm3 de sal. Para obtermos 2 m3 de sal, quantos metros cúbicos de água salgada são necessários?

Solução:

A quantidade de sal retirada é proporcional ao volume de água salgada. Indicamos por x a quantidade de água salgada a ser determinada e armamos a proporção:

Lembre-se que 40dm3 = 0,04m3.

(aplicando a propriedade fundamental)

1 . 2 = 0,04 . x 0,04x = 2

x = 50 m3

Logo, são necessários 50 m3 de água salgada

Algarismos Romanos

A numeração romana é um sistema de numeração que usa letras maiúsculas, as quais são atribuídos valores. Os algarismos romanos são usados principalmente:

Nos números de capítulos uma obra. Nas cenas de um teatro. Nos nomes de papas e imperadores. Na designação de congressos, olimpíadas, assembleias...

Regras

A numeração romana utiliza sete letras maiúsculas, que correspondem aos seguintes valores:

Letras Valores

I 1

V 5

X 10

L 50

C 100

D 500

M 1000

Exemplos: XVI = 16; LXVI = 66.

Se à direita de uma cifra romana se escreve outra igual ou menor, o valor desta se soma ao valor da anterior.

Exemplos: VI = 6 XXI = 21 LXVII = 67

A letra "I" colocada diante da "V" ou de "X", subtrai uma unidade; a letra "X", precedendo a letra "L" ou a "C", lhes subtrai dez unidades e a letra "C", diante da "D" ou da "M", lhes subtrai cem unidades.

Exemplos: IV = 4 IX = 9

XL = 40 XC = 90 CD = 400 CM = 900

Em nenhum número se pode pôr uma mesma letra mais de três vezes seguidas. Antigamente se via as vezes a letra "I" ou a "X" até quatro vezes seguidas. Exemplos: XIII = 13 XIV = 14 XXXIII = 33 XXXIV = 34

A letra "V", "L" e a "D" não podem se duplicar porque outras letras ("X", "C", "M") representam seu valor duplicado.

Exemplos: X = 10 C = 100 M = 1.000

Se entre duas cifras quaisquer existe outra menor, o valor desta pertencerá a letra seguinte a ela.

Exemplos: XIX = 19 LIV = 54 CXXIX = 129

O valor dos números romanos quando multiplicados por mil, colocam-se barras horizontais em cima dos mesmos.

Exemplos:

Grandezas - Introdução

Entendemos por grandeza tudo aquilo que pode ser medido, contado. As grandezas podem ter suas medidas aumentadas ou diminuídas.

Alguns exemplos de grandeza: o volume, a massa, a superfície, o comprimento, a capacidade, a velocidade, o tempo, o custo e a produção.

É comum ao nosso dia-a-dia situações em que relacionamos duas ou mais grandezas. Por exemplo:

Em uma corrida de "quilômetros contra o relógio", quanto maior for a velocidade, menor será o tempo gasto nessa prova. Aqui as grandezas são a velocidade e o tempo.

Num forno utilizado para a produção de ferro fundido comum, quanto maior for o tempo de uso, maior será a produção de ferro. Nesse caso, as grandezas são o tempo e a produção.

Grandezas diretamente proporcionais

Um forno tem sua produção de ferro fundido de acordo com a tabela abaixo:

Tempo (minutos) Produção (Kg)

5 100

10 200

15 300

20 400

Observe que uma grandeza varia de acordo com a outra. Essas grandezas são variáveis dependentes. Observe que:

Quando duplicamos o tempo, a produção também duplica. 5 min ----> 100Kg 10 min ----> 200Kg

Quando triplicamos o tempo, a produção também triplica. 5 min ----> 100Kg 15 min ----> 300Kg

Assim:

Duas grandezas variáveis dependentes são diretamente proporcionais quando a razão entre os valores da 1ª grandeza é igual a razão entre os valores correspondentes da 2ª.

Verifique na tabela que a razão entre dois valores de uma grandeza é igual a razão entre os dois valores correspondentes da outra grandeza.

Grandezas inversamente proporcionais

Um ciclista faz um treino para a prova de "1000 metros contra o relógio", mantendo em cada volta uma velocidade constante e obtendo, assim, um tempo correspondente, conforme a tabela abaixo.

Velocidade (m/s) Tempo (s)

5 200

8 125

10 100

16 62,5

20 50

Observe que uma grandeza varia de acordo com a outra. Essas grandezas são variáveis dependentes. Observe que:

Quando duplicamos a velocidade, o tempo fica reduzido à metade. 5 m/s ----> 200s 10 m/s ----> 100s

Quando quadriplicamos a velocidade, o tempo fica reduzido à quarta parte. 5 m/s ----> 200s 20 m/s ----> 50s

Assim:

Duas grandezas variáveis dependentes são inversamente proporcionais quando a razão entre os valores da 1ª grandeza é igual ao inverso da razão entre os valores correspondentes da 2ª.

Verifique na tabela que a razão entre dois valores de uma grandeza é igual ao inverso da razão entre os dois valores correspondentes da outra grandeza.

Regra de três simples

Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já conhecidos.

Passos utilizados numa regra de três simples:

1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência.

2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais.

3º) Montar a proporção e resolver a equação.

Exemplos:

1) Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m2, uma lancha com motor movido a energia solar consegue produzir 400 watts por hora de energia. Aumentando-se essa área para 1,5m2, qual será a energia produzida?

Solução: montando a tabela:

Área (m2) Energia (Wh)

1,2 400

1,5 x

Identificação do tipo de relação:

Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna). Observe que: Aumentando a área de absorção, a energia solar aumenta. Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são diretamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no mesmo sentido (para baixo) na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Logo, a energia produzida será de 500 watts por hora.

2) Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400Km/h, faz um determinado percurso em 3 horas. Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de 480km/h?

Solução: montando a tabela:

Velocidade (Km/h) Tempo (h)

400 3

480 x

Identificação do tipo de relação:

Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna). Observe que: Aumentando a velocidade, o tempo do percurso diminui. Como as palavras são contrárias (aumentando - diminui), podemos afirmar que as grandezas são inversamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no sentido contrário (para cima) na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Logo, o tempo desse percurso seria de 2,5 horas ou 2 horas e 30 minutos.

3) Bianca comprou 3 camisetas e pagou R$120,00. Quanto ela pagaria se comprasse 5 camisetas do mesmo tipo e preço?

Solução: montando a tabela:

Camisetas Preço (R$)

3 120

5 x

Observe que: Aumentando o número de camisetas, o preço aumenta. Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são diretamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Logo, a Bianca pagaria R$200,00 pelas 5 camisetas.

4) Uma equipe de operários, trabalhando 8 horas por dia, realizou determinada obra em 20 dias. Se o número de horas de serviço for reduzido para 5 horas, em que prazo essa equipe fará o mesmo trabalho?

Solução: montando a tabela:

Horas por dia Prazo para término (dias)

8 20

5 x

Observe que: Diminuindo o número de horas trabalhadas por dia, o prazo para término aumenta. Como as palavras são contrárias (diminuindo - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são inversamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Dízimas periódicas

Há frações que não possuem representações decimal exata. Por exemplo:

Aos numerais decimais em que há repetição periódica e infinita de um ou mais algarismos, dá-se o nome de numerais decimais periódicos ou dízimas periódicas.

Numa dízima periódica, o algarismo ou algarismos que se repetem infinitamente, constituem o período dessa dízima.

As dízimas classificam-se em dízimas periódicas simples e dízimas periódicas compostas. Exemplos:

(período: 5)

(período: 3) (período: 12)

São dízimas periódicas simples, uma vez que o período apresenta-se logo após a vírgula.

Período: 2

Parte não periódica: 0

Período: 4

Período não periódica: 15

Período: 23

Parte não periódica: 1

São dízimas periódicas compostas, uma vez que entre o período e a vírgula existe uma parte não periódica.

Observações:

Consideramos parte não periódica de uma dízima o termo situado entre vírgulas e o período. Excluímos portanto da parte não periódica o inteiro.

Podemos representar uma dízima periódica das seguintes maneiras:

PORCENTAGEM

É frequente o uso de expressões que refletem acréscimos ou reduções em preços, números ou quantidades, sempre tomando por base 100 unidades. Alguns exemplos:

A gasolina teve um aumento de 15% Significa que em cada R$100 houve um acréscimo de R$15,00

O cliente recebeu um desconto de 10% em todas as mercadorias. Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$10,00

Dos jogadores que jogam no Grêmio, 90% são craques. Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Grêmio, 90 são craques.

Razão centesimal

Toda a razão que tem para consequente o número 100 denomina-se razão centesimal. Alguns exemplos:

Podemos representar uma razão centesimal de outras formas:

As expressões 7%, 16% e 125% são chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais.

Classificação dos polígonos

Os nomes dos polígonos dependem do critério que utilizamos para classificá-los. Se usarmos o número de ângulos ou o número de lados, teremos a seguinte nomenclatura:

NÚMERO DE LADOS (OU ÂNGULOS)

NOME DO POLÍGONO

EM FUNÇÃO DO NÚMERO DE ÂNGULOS

EM FUNÇÃO DO NÚMERO DE LADOS

3 triângulo trilátero

4 quadrângulo quadrilátero

5 pentágono pentalátero

6 hexágono hexalátero

7 heptágono heptalátero

8 octógono octolátero

9 eneágono enealátero

10 decágono decalátero

11 undecágono undecalátero

12 dodecágono dodecalátero

15 pentadecágono pentadecalátero

20 icoságono icosalátero

Numeração decimal

A figura nos mostra um paralelepípedo com suas principais dimensões em centímetros.

Essas dimensões são apresentadas sob a forma de notação decimal, que corresponde a uma outra forma de

representação dos números racionais fracionários.

A representação dos números fracionária já era conhecida há quase 3.000 anos, enquanto a forma decimal surgiu no século XVI com o matemático francês François Viète.

O uso dos números decimais é bem superior ao dos números fracionários. Observe que nos computadores e nas máquinas calculadoras utilizamos unicamente a forma decimal.

Frações Decimais

Observe as frações:

Os denominadores são potências de 10.

Assim:

Denominam-se frações decimais, todas as frações que apresentam potências de 10 no denominador.

Numeração decimal

O francês Viète (1540 - 1603) desenvolveu um método para escrever as frações decimais; no lugar de frações, Viète escreveria números com vírgula. Esse método, modernizado, é utilizado até hoje.

Observe no quando a representação de frações decimais através de números decimais:

Fração Decimal = Números Decimais

= 0,1

= 0,01

= 0,001

= 0,0001

Fração Decimal = Números Decimais

= 0,5

= 0,05

= 0,005

= 0,0005

Fração Decimal = Números Decimais

= 11,7

= 1,17

= 0,117

= 0,0117

Os números 0,1, 0,01, 0,001; 11,7, por exemplo, são números decimais. Nessa representação, verificamos que a vírgula separa a parte inteira da parte decimal.

Medidas de tempo

É comum em nosso dia-a-dia pergunta do tipo:

Qual a duração dessa partida de futebol? Qual o tempo dessa viagem? Qual a duração desse curso? Qual o melhor tempo obtido por esse corredor?

Todas essas perguntas serão respondidas tomando por base uma unidade padrão de medida de tempo.

A unidade de tempo escolhida como padrão no Sistema Internacional (SI) é o segundo.

Segundo

O Sol foi o primeiro relógio do homem: o intervalo de tempo natural decorrido entre as sucessivas passagens do Sol sobre um dado meridiano dá origem ao dia solar.

O segundo (s) é o tempo equivalente a do dia solar médio.

As medidas de tempo não pertencem ao Sistema Métrico Decimal.

Múltiplos e Submúltiplos do Segundo

Quadro de unidades

Múltiplos minutos hora dia

min h d

60 s 60 min = 3.600 s 24 h = 1.440 min = 86.400s

São submúltiplos do segundo:

décimo de segundo centésimo de segundo milésimo de segundo

Cuidado: Nunca escreva 2,40h como forma de representar 2h40min, pois o sistema de medidas de tempo não é decimal. Observe:

Outras importantes unidades de medida:

mês (comercial) = 30 dias

ano (comercial) = 360 dias

ano (normal) = 365 dias e 6 horas

ano (bissexto) = 366 dias

semana = 7 dias

quinzena = 15 dias

bimestre = 2 meses

trimestre = 3 meses

quadrimestre = 4 meses

semestre = 6 meses

biênio = 2 anos

lustro ou quinqüênio = 5 anos

década = 10 anos

século = 100 anos

milênio = 1.000 anos

Ângulos

O ÂNGULO E SEUS ELEMENTOS

Duas semi-retas que não estejam contidas na mesma reta, e que tenham a mesma origem, dividem o plano em duas regiões: uma convexa e outra não-convexa.

Cada uma dessas regiões, junto com as semi-retas, forma um ângulo. Assim, as duas semi-retas determinam dois ângulos:

Todo ângulo possui dois lados e um vértice. Os lados são as semi-retas que determinam. O vértice é a origem comum dessas semi-retas.

O ângulo convexo, de vértice O e lados , é indicado por: AÔB, BÔA ou Ô.

Ângulos

Observe agora dois casos em que as semi-retas de mesma origem estão contidas na mesma reta. Nesses casos, formam-se também ângulos.

As semi-retas coincidem. Temos aí o ângulo nulo e o ângulo de uma volta.

As semi-retas não coincidem. Temos aí dois ângulos rasos ou de meia-volta.

Podemos, então, estabelecer que:

Ângulo é a região do plano limitada por duas semi-retas que têm a mesma origem.

MEDIDA DE UM ÂNGULO

A medida de um ângulo é dada pela medida de sua abertura. A unidade padrão de medida de um ângulo é o grau, cujo símbolo é º.

Tomando um ângulo raso ou de meia-volta e dividindo-o em 180 partes iguais, determinamos 180 ângulos de mesma medida. Cada um desses ângulos representa um ângulo de 1º grau (1º).

Para medir ângulos utilizamos um instrumento denominado transferidor. O transferidor já vem graduado com divisões de 1º em 1º. Existem dois tipos de transferidor: Transferidor de 180º e de 360º.

O grau compreende os submúltiplos:

O minuto corresponde a do grau. Indica-se um minuto por 1'.

1º=60'

O segundo corresponde a do minuto. Indica-se um segundo por 1''.

1'=60''

Logo, podemos concluir que:

1º = 60'.60 = 3.600''

Quando um ângulo é medido em graus, minutos e segundos, estamos utilizando o sistema sexagesimal.

Como medir um ângulo, utilizando o transferidor

Observe a sequência

O centro O do transferidor deve ser colocado sobre o vértice do ângulo.

A linha horizontal que passa pelo centro deve coincidir com uma das semi-retas do ângulo .

Verificamos a medida da escala em que passa a outra semi-reta .

Leitura de um ângulo

Observe as seguintes indicações de ângulos e suas respectivas leituras:

15º (lê-se "15 graus'')

45º50' (lê-se ''45 graus e 50 minutos'')

Como construir um ângulo utilizando o transferidor

Observe a seqüência utilizada na construção de um ângulo de 50º:

Traçamos uma semi-reta .

Colocamos o centro do transferidor sobre a origem da semi-reta (A). Identificamos no transferidor o ponto (C) correspondente à medida de 50º.

Traçamos a semi-reta , obtendo o ângulo BÂC que mede 50º.

Os ângulos de 30º, 45º, 60º e 90º são ângulos especiais.

Eles podem ser desenhados com esquadro.

TEORIA DOS CONJUNTOS

Símbolos

: pertence : existe

: não pertence : não existe

: está contido : para todo (ou qualquer que seja)

: não está contido : conjunto vazio

: contém N: conjunto dos números naturais

: não contém Z : conjunto dos números inteiros

/ : tal que Q: conjunto dos números racionais

: implica que Q'= I: conjunto dos números irracionais

: se, e somente se R: conjunto dos números reais

Símbolos das operações

: A intersecção B

: A união B

a - b: diferença de A com B

a < b: a menor que b

: a menor ou igual a b

a > b: a maior que b

: a maior ou igual a b

: a e b

: a ou b

Conceitos de conjuntos

Conjunto vazio: é um conjunto que não possui elementos. O conjunto vazio é representado por { } ou .

Subconjuntos: quando todos os elementos de um conjunto A qualquer pertencem a um outro conjunto B,

diz-se, então, que A é um subconjunto de B, ou seja A B. Observações:

Todo o conjunto A é subconjunto dele próprio, ou seja ;

O conjunto vazio, por convenção, é subconjunto de qualquer conjunto, ou seja

União de Conjuntos: dados os conjuntos A e B, define-se como união dos conjuntos A e B ao conjunto

representado por , formado por todos os elementos pertencentes a A ou B, ou seja:

Intersecção de Conjuntos: dados os conjuntos A e B, define-se como intersecção dos conjuntos A e B ao

conjunto representado por , formado por todos os elementos pertencentes a A e B, simultaneamente,

ou seja:

Diferença de Conjuntos: dados os conjuntos A e B, define-se como diferença entre A e B (nesta ordem) ao conjunto representado por A-B, formado por todos os elementos pertencentes a A, mas que não pertencem a

B, ou seja

Produto Cartesiano: dados os conjuntos A e B, chama-se peoduto cartesiano A com B, ao conjunto AxB, formado por todos os pares ordenados (x,y), onde x é elemento de A e y é elemento de B, ou seja

Número de subconjuntos de um conjunto: se um conjunto A possuir n elementos, então existirão 2n

subconjuntos de A.