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MATEMÁTICAS BÁSICAS
Profesora: Jeanneth Galeano PeñalozaCoordinadora: Margarita Ospina
Universidad Nacional de Colombia Sede BogotáDepartamento de Matemáticas
9 de marzo de 2009
JGP Universidad Nacional de Colombia Sede Bogotá Departamento de Matemáticas
MATEMÁTICAS BÁSICAS
Sistemas Numéricos
Parte I
Sistemas Numéricos
JGP Universidad Nacional de Colombia Sede Bogotá Departamento de Matemáticas
MATEMÁTICAS BÁSICAS
Sistemas Numéricos
Números Naturales
Números Naturales
Fueron creados por la mente humana para contar los objetosen diversas colecciones.
N = {0, 1, 2, 3, . . . }
Para algunos autores los naturales comienzan en 1 y alconjunto {0, 1, 2, . . . } lo llaman el conjunto de los enterosno-negativos o números cardinales. En éste último caso, el 0corresponde al cardinal del conjunto vacío.
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MATEMÁTICAS BÁSICAS
Sistemas Numéricos
Números Naturales
En el conjunto de los números naturales podemos considerardos operaciones: suma y multiplicación.
Propiedades de la suma en los naturales
Para todo a, b, c números naturales,
Asociativa a + (b + c) = (a + b) + c
Conmutativa a + b = b + a
Existencia de elemento neutro a + 0 = 0 + a = a
Existencia de inverso aditivo
3 + � = 0?
Falla!!!!
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MATEMÁTICAS BÁSICAS
Sistemas Numéricos
Números Naturales
En el conjunto de los números naturales podemos considerardos operaciones: suma y multiplicación.
Propiedades de la suma en los naturales
Para todo a, b, c números naturales,
Asociativa a + (b + c) = (a + b) + c
Conmutativa a + b = b + a
Existencia de elemento neutro a + 0 = 0 + a = a
Existencia de inverso aditivo
3 + � = 0?
Falla!!!!
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MATEMÁTICAS BÁSICAS
Sistemas Numéricos
Números Naturales
En el conjunto de los números naturales podemos considerardos operaciones: suma y multiplicación.
Propiedades de la suma en los naturales
Para todo a, b, c números naturales,
Asociativa a + (b + c) = (a + b) + c
Conmutativa a + b = b + a
Existencia de elemento neutro a + 0 = 0 + a = a
Existencia de inverso aditivo
3 + � = 0?
Falla!!!!
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Sistemas Numéricos
Números Naturales
En el conjunto de los números naturales podemos considerardos operaciones: suma y multiplicación.
Propiedades de la suma en los naturales
Para todo a, b, c números naturales,
Asociativa a + (b + c) = (a + b) + c
Conmutativa a + b = b + a
Existencia de elemento neutro a + 0 = 0 + a = a
Existencia de inverso aditivo
3 + � = 0?
Falla!!!!
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MATEMÁTICAS BÁSICAS
Sistemas Numéricos
Números Enteros
Números Enteros
Es el conjunto formado por los números naturales y susopuestos.
Z = {. . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . . }
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MATEMÁTICAS BÁSICAS
Sistemas Numéricos
Números Enteros
En el conjunto de los números enteros consideramos dosoperaciones: suma y multiplicación.
Propiedades de la suma en los enteros
Para todo a, b, c números enteros,
Asociativa a + (b + c) = (a + b) + c
Conmutativa a + b = b + a
Existencia de elemento neutro a + 0 = 0 + a = a
Existencia de inversos aditivos a + (−a) = 0
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Sistemas Numéricos
Números Enteros
En el conjunto de los números enteros consideramos dosoperaciones: suma y multiplicación.
Propiedades de la suma en los enteros
Para todo a, b, c números enteros,
Asociativa a + (b + c) = (a + b) + c
Conmutativa a + b = b + a
Existencia de elemento neutro a + 0 = 0 + a = a
Existencia de inversos aditivos a + (−a) = 0
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Sistemas Numéricos
Números Enteros
En el conjunto de los números enteros consideramos dosoperaciones: suma y multiplicación.
Propiedades de la suma en los enteros
Para todo a, b, c números enteros,
Asociativa a + (b + c) = (a + b) + c
Conmutativa a + b = b + a
Existencia de elemento neutro a + 0 = 0 + a = a
Existencia de inversos aditivos a + (−a) = 0
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Sistemas Numéricos
Números Enteros
En el conjunto de los números enteros consideramos dosoperaciones: suma y multiplicación.
Propiedades de la suma en los enteros
Para todo a, b, c números enteros,
Asociativa a + (b + c) = (a + b) + c
Conmutativa a + b = b + a
Existencia de elemento neutro a + 0 = 0 + a = a
Existencia de inversos aditivos a + (−a) = 0
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Sistemas Numéricos
Números Enteros
En el conjunto de los números enteros consideramos dosoperaciones: suma y multiplicación.
Propiedades de la suma en los enteros
Para todo a, b, c números enteros,
Asociativa a + (b + c) = (a + b) + c
Conmutativa a + b = b + a
Existencia de elemento neutro a + 0 = 0 + a = a
Existencia de inversos aditivos a + (−a) = 0
¿Cuál es el inverso aditivo de cero?
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Sistemas Numéricos
Números Enteros
Propiedades de la multiplicación en los enteros
Para todo a, b, c números enteros,
Asociativa a(bc) = (ab)c
Conmutativa ab = ba
Existencia de elemento neutro a1 = 1a = a
Existencia de inverso multiplicativo
5 · � = 1?
Falla!!!!
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Sistemas Numéricos
Números Enteros
Propiedades de la multiplicación en los enteros
Para todo a, b, c números enteros,
Asociativa a(bc) = (ab)c
Conmutativa ab = ba
Existencia de elemento neutro a1 = 1a = a
Existencia de inverso multiplicativo
5 · � = 1?
Falla!!!!
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Sistemas Numéricos
Números Enteros
Propiedades de la multiplicación en los enteros
Para todo a, b, c números enteros,
Asociativa a(bc) = (ab)c
Conmutativa ab = ba
Existencia de elemento neutro a1 = 1a = a
Existencia de inverso multiplicativo
5 · � = 1?
Falla!!!!
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Sistemas Numéricos
Números Enteros
Propiedades de la multiplicación en los enteros
Para todo a, b, c números enteros,
Asociativa a(bc) = (ab)c
Conmutativa ab = ba
Existencia de elemento neutro a1 = 1a = a
Existencia de inverso multiplicativo
5 · � = 1?
Falla!!!!
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Sistemas Numéricos
Números Racionales
Números Racionales
Es el conjunto formado por los enteros y cocientes de enteros.
Q = {ab|a, b ∈ Z, b 6= 0}
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Sistemas Numéricos
Números Racionales
El conjunto de los números racionales, con las operacionessuma y multiplicación satisface las siguientes propiedades.
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Sistemas Numéricos
Números Racionales
Propiedades
Para todo a, b, c números racionales,
Asociativas
a + (b + c) = (a + b) + c,
a(bc) = (ab)c.
Conmutativas
a + b = b + a,
ab = ba.
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Sistemas Numéricos
Números Racionales
Propiedades
Para todo a, b, c números racionales,
Asociativas
a + (b + c) = (a + b) + c,
a(bc) = (ab)c.
Conmutativas
a + b = b + a,
ab = ba.
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Sistemas Numéricos
Números Racionales
Propiedades
Existencia de elementos neutrosExiste un elemento 0 tal que a + 0 = 0 + a = a,
Existe un elemento 1 tal que a1 = 1a = a.
Existencia de inversos aditivos y multiplicativosPara todo a racional existe −a tal que a + (−a) = 0Para todo racional a 6= 0 existe 1
a tal que a(1
a
)
= 1
Distributiva de la multiplicación respecto de la suma
a(b + c) = ab + ac.
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Sistemas Numéricos
Números Racionales
Propiedades
Existencia de elementos neutrosExiste un elemento 0 tal que a + 0 = 0 + a = a,
Existe un elemento 1 tal que a1 = 1a = a.
Existencia de inversos aditivos y multiplicativosPara todo a racional existe −a tal que a + (−a) = 0Para todo racional a 6= 0 existe 1
a tal que a(1
a
)
= 1
Distributiva de la multiplicación respecto de la suma
a(b + c) = ab + ac.
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Sistemas Numéricos
Números Racionales
Propiedades
Existencia de elementos neutrosExiste un elemento 0 tal que a + 0 = 0 + a = a,
Existe un elemento 1 tal que a1 = 1a = a.
Existencia de inversos aditivos y multiplicativosPara todo a racional existe −a tal que a + (−a) = 0Para todo racional a 6= 0 existe 1
a tal que a(1
a
)
= 1
Distributiva de la multiplicación respecto de la suma
a(b + c) = ab + ac.
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Sistemas Numéricos
Números Racionales
Los números racionales son de la forma ab , al realizar la
división encontramos la expresión decimal del número. Dichadivisión puede terminar, como en
58
= 0,625
o puede ser infinita, pero con un tramo de cifras que se repite,como en
211
= 0,1818181818 . . . ,
podemos decir entonces, que los números racionales sonaquellos cuya expresión decimal es finita o periódica.
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Sistemas Numéricos
Números Racionales
Los números racionales son de la forma ab , al realizar la
división encontramos la expresión decimal del número. Dichadivisión puede terminar, como en
58
= 0,625
o puede ser infinita, pero con un tramo de cifras que se repite,como en
211
= 0,1818181818 . . . ,
podemos decir entonces, que los números racionales sonaquellos cuya expresión decimal es finita o periódica.
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Sistemas Numéricos
Números Racionales
Los números racionales son de la forma ab , al realizar la
división encontramos la expresión decimal del número. Dichadivisión puede terminar, como en
58
= 0,625
o puede ser infinita, pero con un tramo de cifras que se repite,como en
211
= 0,1818181818 . . . ,
podemos decir entonces, que los números racionales sonaquellos cuya expresión decimal es finita o periódica.
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Sistemas Numéricos
Números Racionales
Ejercicio
Encontrar la expresión decimal de los siguientes números1 24
5
2 193
3 56200
4 367
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MATEMÁTICAS BÁSICAS
Sistemas Numéricos
Números Racionales
Para encontrar la expresión racional de 1, 25 procedemos de lasiguiente forma,
x = 1.25
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Sistemas Numéricos
Números Racionales
Para encontrar la expresión racional de 1, 25 procedemos de lasiguiente forma,
x = 1.25
100x = 125.25
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Sistemas Numéricos
Números Racionales
Para encontrar la expresión racional de 1, 25 procedemos de lasiguiente forma,
x = 1.25
100x = 125.25
99x = 124 Restando
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Sistemas Numéricos
Números Racionales
Para encontrar la expresión racional de 1, 25 procedemos de lasiguiente forma,
x = 1.25
100x = 125.25
99x = 124 Restando
x =12499
.
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Sistemas Numéricos
Números Racionales
Ejercicio
Encontrar la expresión racional de los siguientes números1 1.62 8.423 47,93354 23,56782
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Sistemas Numéricos
Números Irracionales
Números Irracionales
Existe otro tipo de números, que no pueden escribirse en laforma a
b con a y b enteros, éstos se conocen como irracionales.
Ejemplos
√2 = 1,4142 . . .
π = 3,141592 . . .
0,1234567891011121314151617 . . .
1,21221222122221222221222222 . . .
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Sistemas Numéricos
Números Irracionales
Números Irracionales
Existe otro tipo de números, que no pueden escribirse en laforma a
b con a y b enteros, éstos se conocen como irracionales.
Ejemplos
√2 = 1,4142 . . .
π = 3,141592 . . .
0,1234567891011121314151617 . . .
1,21221222122221222221222222 . . .
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Sistemas Numéricos
Números Irracionales
Números Irracionales
Existe otro tipo de números, que no pueden escribirse en laforma a
b con a y b enteros, éstos se conocen como irracionales.
Ejemplos
√2 = 1,4142 . . .
π = 3,141592 . . .
0,1234567891011121314151617 . . .
1,21221222122221222221222222 . . .
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Sistemas Numéricos
Números Irracionales
Números Irracionales
Existe otro tipo de números, que no pueden escribirse en laforma a
b con a y b enteros, éstos se conocen como irracionales.
Ejemplos
√2 = 1,4142 . . .
π = 3,141592 . . .
0,1234567891011121314151617 . . .
1,21221222122221222221222222 . . .
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Sistemas Numéricos
Números Irracionales
Números Irracionales
Existe otro tipo de números, que no pueden escribirse en laforma a
b con a y b enteros, éstos se conocen como irracionales.
Ejemplos
√2 = 1,4142 . . .
π = 3,141592 . . .
0,1234567891011121314151617 . . .
1,21221222122221222221222222 . . .
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Sistemas Numéricos
Números Irracionales
Ejercicio
Construya un número irracional entre 5 y 6.
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Sistemas Numéricos
Números Irracionales
La suma de irracionales es irracional?
La multiplicación de irracionales es irracional?
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Sistemas Numéricos
Números Irracionales
La suma de irracionales es irracional?
La multiplicación de irracionales es irracional?
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Sistemas Numéricos
Números Reales
Números Reales
El conjunto de los números reales está formado por losracionales y los irracionales. Se nota R.R satisface todas las propiedades que vimos que cumplen losnúmeros racionales. Tanto los reales como los racionales, conestas propiedades reciben el nombre de cuerpos.
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MATEMÁTICAS BÁSICAS
Sistemas Numéricos
Sistemas numéricos
Note queN ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R
Muestre que estas contenencias son estrictas.
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Sistemas Numéricos
Sistemas numéricos
Note queN ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R
Muestre que estas contenencias son estrictas.
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Sistemas Numéricos
Sistemas numéricos
Note queN ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R
Muestre que estas contenencias son estrictas.
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Sistemas Numéricos
Sistemas numéricos
Note queN ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R
Muestre que estas contenencias son estrictas.
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Sistemas Numéricos
Otras propiedades de los números reales
Para todo a, b, c, d números reales.
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MATEMÁTICAS BÁSICAS
Sistemas Numéricos
Otras propiedades de los números reales
Para todo a, b, c, d números reales.
Si a = b entonces a + c = b + c
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MATEMÁTICAS BÁSICAS
Sistemas Numéricos
Otras propiedades de los números reales
Para todo a, b, c, d números reales.
Si a = b entonces a + c = b + c
Si a = b entonces ac = bc
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Sistemas Numéricos
Otras propiedades de los números reales
Para todo a, b, c, d números reales.
Si a = b entonces a + c = b + c
Si a = b entonces ac = bc
Si ac = bc entonces a = b ¿Siempre?
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Sistemas Numéricos
Otras propiedades de los números reales
Para todo a, b, c, d números reales.
Si a = b entonces a + c = b + c
Si a = b entonces ac = bc
Si ac = bc entonces a = b ¿Siempre? si c 6= 0
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Sistemas Numéricos
Otras propiedades de los números reales
Para todo a, b, c, d números reales.
Si a = b entonces a + c = b + c
Si a = b entonces ac = bc
Si ac = bc entonces a = b ¿Siempre? si c 6= 0
a · 0 = 0 para todo a
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Sistemas Numéricos
Otras propiedades de los números reales
Para todo a, b, c, d números reales.
Si a = b entonces a + c = b + c
Si a = b entonces ac = bc
Si ac = bc entonces a = b ¿Siempre? si c 6= 0
a · 0 = 0 para todo a
Si ab = 0 entonces a = 0 o bien b = 0
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Sistemas Numéricos
Otras propiedades de los números reales
Para todo a, b, c, d números reales.
Si a = b entonces a + c = b + c
Si a = b entonces ac = bc
Si ac = bc entonces a = b ¿Siempre? si c 6= 0
a · 0 = 0 para todo a
Si ab = 0 entonces a = 0 o bien b = 0
−(−a) = a
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Sistemas Numéricos
Otras propiedades de los números reales
Para todo a, b, c, d números reales.
Si a = b entonces a + c = b + c
Si a = b entonces ac = bc
Si ac = bc entonces a = b ¿Siempre? si c 6= 0
a · 0 = 0 para todo a
Si ab = 0 entonces a = 0 o bien b = 0
−(−a) = a
(−a)b = −(ab) = a(−b)
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Sistemas Numéricos
Otras propiedades de los números reales
Para todo a, b, c, d números reales.
Si a = b entonces a + c = b + c
Si a = b entonces ac = bc
Si ac = bc entonces a = b ¿Siempre? si c 6= 0
a · 0 = 0 para todo a
Si ab = 0 entonces a = 0 o bien b = 0
−(−a) = a
(−a)b = −(ab) = a(−b)
(−a)(−b) = ab
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Sistemas Numéricos
Otras propiedades de los números reales
Para todo a, b, c, d números reales.
Si a = b entonces a + c = b + c
Si a = b entonces ac = bc
Si ac = bc entonces a = b ¿Siempre? si c 6= 0
a · 0 = 0 para todo a
Si ab = 0 entonces a = 0 o bien b = 0
−(−a) = a
(−a)b = −(ab) = a(−b)
(−a)(−b) = ab
(−1)a = −a
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Sistemas Numéricos
Otras propiedades de los números reales
Para todo a, b, c, d números reales.
Si a = b entonces a + c = b + c
Si a = b entonces ac = bc
Si ac = bc entonces a = b ¿Siempre? si c 6= 0
a · 0 = 0 para todo a
Si ab = 0 entonces a = 0 o bien b = 0
−(−a) = a
(−a)b = −(ab) = a(−b)
(−a)(−b) = ab
(−1)a = −a
Si a 6= 0 entonces el inverso multiplicativo de a se nota a−1
y a−1 = 1a
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Sistemas Numéricos
Otras propiedades de los números reales
Para todo a, b, c, d números reales.
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Sistemas Numéricos
Otras propiedades de los números reales
Para todo a, b, c, d números reales.ab = c
d si ad = bc
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Sistemas Numéricos
Otras propiedades de los números reales
Para todo a, b, c, d números reales.ab = c
d si ad = bcadbd = a
b
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Sistemas Numéricos
Otras propiedades de los números reales
Para todo a, b, c, d números reales.ab = c
d si ad = bcadbd = a
ba−b = −a
b = − ab
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Sistemas Numéricos
Otras propiedades de los números reales
Para todo a, b, c, d números reales.ab = c
d si ad = bcadbd = a
ba−b = −a
b = − ab
ab + c
b = a+cb
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Sistemas Numéricos
Otras propiedades de los números reales
Para todo a, b, c, d números reales.ab = c
d si ad = bcadbd = a
ba−b = −a
b = − ab
ab + c
b = a+cb
ab + c
d = ad+bcbd
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Sistemas Numéricos
Otras propiedades de los números reales
Para todo a, b, c, d números reales.ab = c
d si ad = bcadbd = a
ba−b = −a
b = − ab
ab + c
b = a+cb
ab + c
d = ad+bcbd
ab · c
d = acbd
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Sistemas Numéricos
Otras propiedades de los números reales
Para todo a, b, c, d números reales.ab = c
d si ad = bcadbd = a
ba−b = −a
b = − ab
ab + c
b = a+cb
ab + c
d = ad+bcbd
ab · c
d = acbd
ab ÷ c
d = ab · d
c = adbc
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Sistemas Numéricos
Representación gráfica
A continuación vemos cómo podemos representar en una rectacada uno de estos conjuntos.
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Sistemas Numéricos
Representación gráfica de los naturales
Sobre una recta,
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Sistemas Numéricos
Representación gráfica de los naturales
Sobre una recta, escogemos un punto que representa el 0
b
0
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Sistemas Numéricos
Representación gráfica de los naturales
Sobre una recta, escogemos un punto que representa el 0 yotro, normalmente a la derecha, que representa el 1.
b
0b
1
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Sistemas Numéricos
Representación gráfica de los naturales
Sobre una recta, escogemos un punto que representa el 0 yotro, normalmente a la derecha, que representa el 1.
b
0b
1b
2
luego, a la misma distancia, marcamos el 2,
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Sistemas Numéricos
Representación gráfica de los naturales
Sobre una recta, escogemos un punto que representa el 0 yotro, normalmente a la derecha, que representa el 1.
b
0b
1b
2b
3
luego, a la misma distancia, marcamos el 2, el 3
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MATEMÁTICAS BÁSICAS
Sistemas Numéricos
Representación gráfica de los naturales
Sobre una recta, escogemos un punto que representa el 0 yotro, normalmente a la derecha, que representa el 1.
b
0b
1b
2b
3b
4
luego, a la misma distancia, marcamos el 2, el 3 y asísucesivamente, de manera que queden todos los naturales endicha recta.
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Sistemas Numéricos
Representación gráfica de los enteros
Sobre la recta,
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Sistemas Numéricos
Representación gráfica de los enteros
Sobre la recta, marcamos los números naturales,
b
0b
1b
2b
3b
4
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Sistemas Numéricos
Representación gráfica de los enteros
Sobre la recta, marcamos los números naturales, y luego, haciala izquierda los inversos aditivos de los números naturales
b
0b
1b
2b
3b
4b
-1b
-2b
-3b
-4
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MATEMÁTICAS BÁSICAS
Sistemas Numéricos
Representación gráfica de los enteros
Sobre la recta, marcamos los números naturales, y luego, haciala izquierda los inversos aditivos de los números naturales
b
0b
1b
2b
3b
4b
-1b
-2b
-3b
-4
y tenemos la representación en la recta de los númerosenteros.
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Sistemas Numéricos
Representación gráfica de los racionales
Sobre la misma recta, podemos ubicar por ejemplo
b
0b
1b
2b
3b
4b
-1b
-2b
-3b
-4
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Sistemas Numéricos
Representación gráfica de los racionales
Sobre la misma recta, podemos ubicar por ejemplo 12 ,
b
0b
1b
2b
3b
4b
-1b
-2b
-3b
-4b
12
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Sistemas Numéricos
Representación gráfica de los racionales
Sobre la misma recta, podemos ubicar por ejemplo 12 , 1
4 ,
b
0b
1b
2b
3b
4b
-1b
-2b
-3b
-4b
12
b
14
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Sistemas Numéricos
Representación gráfica de los racionales
Sobre la misma recta, podemos ubicar por ejemplo 12 , 1
4 , 32 ,
b
0b
1b
2b
3b
4b
-1b
-2b
-3b
-4b
12
b
14
b
32
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Sistemas Numéricos
Representación gráfica de los racionales
Sobre la misma recta, podemos ubicar por ejemplo 12 , 1
4 , 32 , 13
4 ,
b
0b
1b
2b
3b
4b
-1b
-2b
-3b
-4b
12
b
14
b
32
b
134
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Sistemas Numéricos
Representación gráfica de los racionales
Sobre la misma recta, podemos ubicar por ejemplo 12 , 1
4 , 32 , 13
4 ,−1
3 ,
b
0b
1b
2b
3b
4b
-1b
-2b
-3b
-4b
12
b
14
b
32
b
134
b
−13
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Sistemas Numéricos
Representación gráfica de los racionales
Sobre la misma recta, podemos ubicar por ejemplo 12 , 1
4 , 32 , 13
4 ,−1
3 , −125 .
b
0b
1b
2b
3b
4b
-1b
-2b
-3b
-4b
12
b
14
b
32
b
134
b
−13
b
−125
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Sistemas Numéricos
Representación gráfica de los racionales
Sobre la misma recta, podemos ubicar por ejemplo 12 , 1
4 , 32 , 13
4 ,−1
3 , −125 .
b
0b
1b
2b
3b
4b
-1b
-2b
-3b
-4b
12
b
14
b
32
b
134
b
−13
b
−125
y tenemos la representación gráfica de los racionales.
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Sistemas Numéricos
Representación gráfica de los reales
Podemos completar la recta, con los irracionales, por ejemplo
b
0b
1b
2b
3b
4b
-1b
-2b
-3b
-4b
12
b
14
b
32
b
134
b
−13
b
−125
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Sistemas Numéricos
Representación gráfica de los reales
Podemos completar la recta, con los irracionales, por ejemplo√2,
b
0b
1b
2b
3b
4b
-1b
-2b
-3b
-4b
12
b
14
b
32
b
134
b
−13
b
−125
b
√2
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Sistemas Numéricos
Representación gráfica de los reales
Podemos completar la recta, con los irracionales, por ejemplo√2,−
√3,
b
0b
1b
2b
3b
4b
-1b
-2b
-3b
-4b
12
b
14
b
32
b
134
b
−13
b
−125
b
√2
b
−√
3
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Sistemas Numéricos
Representación gráfica de los reales
Podemos completar la recta, con los irracionales, por ejemplo√2,−
√3, π,
b
0b
1b
2b
3b
4b
-1b
-2b
-3b
-4b
12
b
14
b
32
b
134
b
−13
b
−125
b
√2
b
−√
3b
π
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Sistemas Numéricos
Representación gráfica de los reales
Podemos completar la recta, con los irracionales, por ejemplo√2,−
√3, π, r1 = −3,456789101112 . . .
b
0b
1b
2b
3b
4b
-1b
-2b
-3b
-4b
12
b
14
b
32
b
134
b
−13
b
−125
b
√2
b
−√
3b
πb
r1
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Sistemas Numéricos
Representación gráfica de los reales
Podemos completar la recta, con los irracionales, por ejemplo√2,−
√3, π, r1 = −3,456789101112 . . .
b
0b
1b
2b
3b
4b
-1b
-2b
-3b
-4b
12
b
14
b
32
b
134
b
−13
b
−125
b
√2
b
−√
3b
πb
r1
y obtenemos la representación gráfica de los números reales.
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Números reales
Los números que se encuentran a la derecha del cero sellaman números reales positivos , los que se encuentran a laizquierda se llaman números reales negativos . El númerocero no es ni positivo ni negativo.
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Sistemas Numéricos
Números reales
Si a es positivo, entonces −a es negativo.
Si a es negativo, entonces −a es positivo.
Si a es positivo, entonces 1a es positivo.
Si a es negativo, entonces 1a es negativo.
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Sistemas Numéricos
Números reales
Si a es positivo, entonces −a es negativo.
Si a es negativo, entonces −a es positivo.
Si a es positivo, entonces 1a es positivo.
Si a es negativo, entonces 1a es negativo.
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Sistemas Numéricos
Números reales
Si a es positivo, entonces −a es negativo.
Si a es negativo, entonces −a es positivo.
Si a es positivo, entonces 1a es positivo.
Si a es negativo, entonces 1a es negativo.
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Sistemas Numéricos
Números reales
Si a es positivo, entonces −a es negativo.
Si a es negativo, entonces −a es positivo.
Si a es positivo, entonces 1a es positivo.
Si a es negativo, entonces 1a es negativo.
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Sistemas Numéricos
Números reales
Ejercicio
Complete
Si a = 35 , entonces −a = y 1
a =
Si a = 281, entonces −a = y 1a =
Si a = −π, entonces −a = y 1a =
Si a = 1√2, entonces −a = y 1
a =
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Orden
Parte II
Orden
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Orden
Orden
a > b se lee a es mayor que b,significa que a − b es positivo.En la recta real a está a la derecha de b.
a < b se lee a es menor que b,significa que a − b es negativo.En la recta real a está a la izquierda de b.
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Orden
Orden
a > b se lee a es mayor que b,significa que a − b es positivo.En la recta real a está a la derecha de b.
a < b se lee a es menor que b,significa que a − b es negativo.En la recta real a está a la izquierda de b.
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Orden
Orden
Ejercicio
Organice los siguientes números en orden ascendente.13 ; 0,333; 0,313233343536373839404142434445...;
0,3; 0,32; 99300 ; 98
300 .
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Orden
Orden
Ley de la tricotomía
Si a y b son números reales, entonces una y solo una una delas siguientes expresiones es verdadera:
a = b, a < b o bien a > b.
Ley de los signos
Si a y b tienen el mismo signo, entonces ab y ab son
positivos.
Si a y b tienen signos opuestos, entonces ab y ab son
negativos.
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MATEMÁTICAS BÁSICAS
Orden
Orden
Ley de la tricotomía
Si a y b son números reales, entonces una y solo una una delas siguientes expresiones es verdadera:
a = b, a < b o bien a > b.
Ley de los signos
Si a y b tienen el mismo signo, entonces ab y ab son
positivos.
Si a y b tienen signos opuestos, entonces ab y ab son
negativos.
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Orden
Intervalos
Un intervalo es un subconjunto de la recta real, que contienetodos los puntos que cumplen ciertas desigualdades: x > a,x ≥ a, x < b, x ≤ b o a < x < b.Note que a < x < b es una expresión resumida de a < x yx < b.
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Orden
Intervalos
Un intervalo es un subconjunto de la recta real, que contienetodos los puntos que cumplen ciertas desigualdades: x > a,x ≥ a, x < b, x ≤ b o a < x < b.Note que a < x < b es una expresión resumida de a < x yx < b.
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Orden
Notación para intervalos
1 (a, b) = {x |a < x < b}2 (a, b] = {x |a < x ≤ b}3 [a, b) = {x |a ≤ x < b}4 [a, b] = {x |a ≤ x ≤ b}
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Orden
Notación para intervalos
1 (a, b) = {x |a < x < b}2 (a, b] = {x |a < x ≤ b}3 [a, b) = {x |a ≤ x < b}4 [a, b] = {x |a ≤ x ≤ b}
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Orden
Notación para intervalos
1 (a, b) = {x |a < x < b}2 (a, b] = {x |a < x ≤ b}3 [a, b) = {x |a ≤ x < b}4 [a, b] = {x |a ≤ x ≤ b}
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MATEMÁTICAS BÁSICAS
Orden
Notación para intervalos
1 (a, b) = {x |a < x < b}2 (a, b] = {x |a < x ≤ b}3 [a, b) = {x |a ≤ x < b}4 [a, b] = {x |a ≤ x ≤ b}
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Orden
Notación para intervalos
1 (a,∞) = {x |x > a} ♣
♣ Recuerde que ∞ NO es un número, solo nos da la idea deque los elementos de ese intervalo se extienden infinitamenteen los positivos.
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MATEMÁTICAS BÁSICAS
Orden
Notación para intervalos
1 (a,∞) = {x |x > a} ♣2 [a,∞) = {x |x ≥ a}
♣ Recuerde que ∞ NO es un número, solo nos da la idea deque los elementos de ese intervalo se extienden infinitamenteen los positivos.
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Orden
Notación para intervalos
1 (a,∞) = {x |x > a} ♣2 [a,∞) = {x |x ≥ a}3 (−∞, b) = {x |x < b} ♠
♣ Recuerde que ∞ NO es un número, solo nos da la idea deque los elementos de ese intervalo se extienden infinitamenteen los positivos.♠ aquí el signo − nos indica la parte negativa de la recta real.
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Orden
Notación para intervalos
1 (a,∞) = {x |x > a} ♣2 [a,∞) = {x |x ≥ a}3 (−∞, b) = {x |x < b} ♠4 (−∞, b] = {x |x ≤ b}
♣ Recuerde que ∞ NO es un número, solo nos da la idea deque los elementos de ese intervalo se extienden infinitamenteen los positivos.♠ aquí el signo − nos indica la parte negativa de la recta real.
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MATEMÁTICAS BÁSICAS
Orden
Notación para intervalos
1 (a,∞) = {x |x > a} ♣2 [a,∞) = {x |x ≥ a}3 (−∞, b) = {x |x < b} ♠4 (−∞, b] = {x |x ≤ b}5 (−∞,∞) = R
♣ Recuerde que ∞ NO es un número, solo nos da la idea deque los elementos de ese intervalo se extienden infinitamenteen los positivos.♠ aquí el signo − nos indica la parte negativa de la recta real.
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MATEMÁTICAS BÁSICAS
Orden
Ejemplos de intervalos
b
0b
1b
2b
3b
4b
-1b
-2b
-3b
-4
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MATEMÁTICAS BÁSICAS
Orden
Ejemplos de intervalos
b
0b
1b
2b
3b
4b
-1b
-2b
-3b
-4
1-3(−3, 1)
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MATEMÁTICAS BÁSICAS
Orden
Ejemplos de intervalos
b
0b
1b
2b
3b
4b
-1b
-2b
-3b
-4
1-3
-1 3
(−3, 1)
[−1, 3)
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MATEMÁTICAS BÁSICAS
Orden
Ejemplos de intervalos
b
0b
1b
2b
3b
4b
-1b
-2b
-3b
-4
1-3
-1 3
1 3
(−3, 1)
[−1, 3)
[1, 3]
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Orden
Ejemplos de intervalos
b
0b
1b
2b
3b
4b
-1b
-2b
-3b
-4
1-3
-1 3
1 3
-4 1
(−3, 1)
[−1, 3)
[1, 3]
(−4, 1]
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MATEMÁTICAS BÁSICAS
Orden
Ejemplos de intervalos
b
0b
1b
2b
3b
4b
-1b
-2b
-3b
-4
1-3
-1 3
1 3
-4 1
-2
(−3, 1)
[−1, 3)
[1, 3]
(−4, 1]
(−2,∞)
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MATEMÁTICAS BÁSICAS
Valor absoluto
Parte III
Valor absoluto
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MATEMÁTICAS BÁSICAS
Valor absoluto
Valor Absoluto
El valor absoluto de un número real corresponde a la distanciaque hay entre él y el origen.
Definición
Sea x un número real,
|x | =
{
x si x ≥ 0,
−x si x < 0.
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Valor absoluto
Valor Absoluto
Ejemplos
|24| =
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Valor absoluto
Valor Absoluto
Ejemplos
|24| = 24
| − 3,7| =
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MATEMÁTICAS BÁSICAS
Valor absoluto
Valor Absoluto
Ejemplos
|24| = 24
| − 3,7| = 3.7
| − 12,4| =
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MATEMÁTICAS BÁSICAS
Valor absoluto
Valor Absoluto
Ejemplos
|24| = 24
| − 3,7| = 3.7
| − 12,4| = 12.4
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MATEMÁTICAS BÁSICAS
Valor absoluto
Valor Absoluto
Ejemplos
|24| = 24
| − 3,7| = 3.7
| − 12,4| = 12.4
|x − 1| =
{
x − 1 si x − 1 ≥ 0
−(x − 1) si x − 1 < 0
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MATEMÁTICAS BÁSICAS
Valor absoluto
Valor Absoluto
Ejemplos
|24| = 24
| − 3,7| = 3.7
| − 12,4| = 12.4
|x − 1| =
{
x − 1 si x − 1 ≥ 0
−(x − 1) si x − 1 < 0
=
{
x − 1 si x ≥ 1
−x + 1 si x < 1
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MATEMÁTICAS BÁSICAS
Valor absoluto
Valor Absoluto
Sea a ≥ 0|x | ≤ a equivale a −a ≤ x ≤ a
a0−a
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Valor absoluto
Valor Absoluto
Sea a ≥ 0|x | ≤ a equivale a −a ≤ x ≤ a
a0−a
|x | ≥ a equivale a x ≥ a o x ≤ −a
a0−a
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MATEMÁTICAS BÁSICAS
Valor absoluto
Valor Absoluto
¿Qué pasa si a es negativo?
¿Qué pasa si a = 0?
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MATEMÁTICAS BÁSICAS
Valor absoluto
Valor Absoluto
¿Qué pasa si a es negativo?
|x | ≤ a
¿Qué pasa si a = 0?
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MATEMÁTICAS BÁSICAS
Valor absoluto
Valor Absoluto
¿Qué pasa si a es negativo?
|x | ≤ a no tiene solución puesto que el valor absoluto deun número es mayor o igual a cero.
¿Qué pasa si a = 0?
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MATEMÁTICAS BÁSICAS
Valor absoluto
Valor Absoluto
¿Qué pasa si a es negativo?
|x | ≤ a no tiene solución puesto que el valor absoluto deun número es mayor o igual a cero.
|x | ≥ a
¿Qué pasa si a = 0?
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MATEMÁTICAS BÁSICAS
Valor absoluto
Valor Absoluto
¿Qué pasa si a es negativo?
|x | ≤ a no tiene solución puesto que el valor absoluto deun número es mayor o igual a cero.
|x | ≥ a tiene como solución a todos los números reales.
¿Qué pasa si a = 0?
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MATEMÁTICAS BÁSICAS
Valor absoluto
Valor Absoluto
¿Qué pasa si a es negativo?
|x | ≤ a no tiene solución puesto que el valor absoluto deun número es mayor o igual a cero.
|x | ≥ a tiene como solución a todos los números reales.
¿Qué pasa si a = 0?
|x | ≤ 0
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MATEMÁTICAS BÁSICAS
Valor absoluto
Valor Absoluto
¿Qué pasa si a es negativo?
|x | ≤ a no tiene solución puesto que el valor absoluto deun número es mayor o igual a cero.
|x | ≥ a tiene como solución a todos los números reales.
¿Qué pasa si a = 0?
|x | ≤ 0 tiene a x = 0 como única solución.
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MATEMÁTICAS BÁSICAS
Valor absoluto
Valor Absoluto
¿Qué pasa si a es negativo?
|x | ≤ a no tiene solución puesto que el valor absoluto deun número es mayor o igual a cero.
|x | ≥ a tiene como solución a todos los números reales.
¿Qué pasa si a = 0?
|x | ≤ 0 tiene a x = 0 como única solución.
|x | ≥ 0
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Valor absoluto
Valor Absoluto
¿Qué pasa si a es negativo?
|x | ≤ a no tiene solución puesto que el valor absoluto deun número es mayor o igual a cero.
|x | ≥ a tiene como solución a todos los números reales.
¿Qué pasa si a = 0?
|x | ≤ 0 tiene a x = 0 como única solución.
|x | ≥ 0 tiene a todos los reales como solución.
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MATEMÁTICAS BÁSICAS
Valor absoluto
Valor Absoluto
¿Qué pasa si a es negativo?
|x | ≤ a no tiene solución puesto que el valor absoluto deun número es mayor o igual a cero.
|x | ≥ a tiene como solución a todos los números reales.
¿Qué pasa si a = 0?
|x | ≤ 0 tiene a x = 0 como única solución.
|x | ≥ 0 tiene a todos los reales como solución.
|x | < 0
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Valor absoluto
Valor Absoluto
¿Qué pasa si a es negativo?
|x | ≤ a no tiene solución puesto que el valor absoluto deun número es mayor o igual a cero.
|x | ≥ a tiene como solución a todos los números reales.
¿Qué pasa si a = 0?
|x | ≤ 0 tiene a x = 0 como única solución.
|x | ≥ 0 tiene a todos los reales como solución.
|x | < 0 no tiene solución.
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MATEMÁTICAS BÁSICAS
Valor absoluto
Valor Absoluto
¿Qué pasa si a es negativo?
|x | ≤ a no tiene solución puesto que el valor absoluto deun número es mayor o igual a cero.
|x | ≥ a tiene como solución a todos los números reales.
¿Qué pasa si a = 0?
|x | ≤ 0 tiene a x = 0 como única solución.
|x | ≥ 0 tiene a todos los reales como solución.
|x | < 0 no tiene solución.
|x | > 0
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Valor absoluto
Valor Absoluto
¿Qué pasa si a es negativo?
|x | ≤ a no tiene solución puesto que el valor absoluto deun número es mayor o igual a cero.
|x | ≥ a tiene como solución a todos los números reales.
¿Qué pasa si a = 0?
|x | ≤ 0 tiene a x = 0 como única solución.
|x | ≥ 0 tiene a todos los reales como solución.
|x | < 0 no tiene solución.
|x | > 0 tiene como solución a todos los reales, excepto alcero.
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MATEMÁTICAS BÁSICAS
Valor absoluto
Valor absoluto
Propiedades
|a| ≥ 0
|a| = | − a||ab| = |a||b|∣
∣
ab
∣
∣ = |a||b|
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MATEMÁTICAS BÁSICAS
Valor absoluto
Valor absoluto
Desigualdad triangular
|a + b| ≤ |a| + |b|Ejercicio. Encuentre números a y b para los que se cumplaque
(i) |a + b| < |a| + |b|(ii) |a + b| = |a| + |b|
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Valor absoluto
Valor absoluto
Desigualdad triangular
|a + b| ≤ |a| + |b|Ejercicio. Encuentre números a y b para los que se cumplaque
(i) |a + b| < |a| + |b|(ii) |a + b| = |a| + |b|
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