materi statistika distribusi

8/18/2019 Materi STATISTIKA DISTRIBUSI

1/16

BAB I

MATERI

1.1. Distribusi Gamma

Ada beberapa distribusi penting dalam distribusi uji hidup, salah satunya

adalah distribusi gamma. Fungsi gamma dinotasikan Γ( α ) untuk semua α > 0,

didefinisikan sebagai

( x )=∫0

∞

t α −1

e−t

dt

Fungsi gamma memiliki siat!siat berikut"

#. Γ( α ) $ (α % #) Γ( α % #), untuk α > #&

'. Γ( n ) $ (n % #) , untuk n $ #, ', &

*. Γ(#+') $-.

#.#.#Fungsi epadatan /eluang (Fkp)

Fungsi kepadatan peluang (kp) dari distribusi gamma dengan dua

parameter yaitu p dan adalah sebagai berikut"

dimana" 1(p) $ (p!#) adalah ungsi gamma.

#. 2ilai mean dari distribusi gamma adalah"

1


2/16

'. 2ilai 3arians dari distribusi gamma adalah"

#.#.'Fungsi 4ur3i3or

Fungsi sur3i3or adalah peluang suatu indi3idu atau objek masih tetap hidup

sampai dengan 5aktu t yang telah ditentukan. Fungsi sur3i3or dideinisikan

sebagai berikut"

2


3/16

Fungsi sur3i3or distribusi gamma yang kita peroleh adalah suatu ungsi

sur3i3or distribusi gamma dalam bentuk eksplisit. ita membiarkan ungsi

sur3i3or distribusi gamma dalam bentuk eksplisit karena untuk menyelesaikan

pengintegralan yang ada dalam rumus diatas pengintegralannya 6ukup rumit.

#.#.* Fungsi 7a8ard

arena ungsi sur3i3or distribusi gamma tidak dalam bentuk eksplisit, maka

ungsi ha8ardnya juga tidak dalam bentuk eksplisit juga. Fungsi ha8ard

dideinisikan sebagai berikut"

#.#.9Fungsi 7a8ard umulati

Fungsi ha8ard kumulati pun tidak bisa kita nyatakan dalam bentuk implisit,

karena ungsi ha8ardnya sendiri dinyatakan dalam bentuk eksplisit. Fungsi ha8ard

kumulati dideinisikan sebagai berikut"

3


4/16

#.#.: ;stimasi


5/16

2ilai maksimum dari akan di6apai apabila

Atau

4ehingga

dan kita peroleh

?erdasarkan hasil estimasi tehadap yang kita peroleh diatas, maka

dapat dibuktikan bah5a dan . @istribusi dari

merupakan distribusi gamma dengan parameter . .

4eperti yang telah diketahui (=#,=',...,=n) adalah distribusi identik

independen (iid) yang berdistribusi gamma dengan parameter p dan ,

oleh karena itu maka berdistribusi gamma dengan parameternya

dan np, sedangkan untuk merupakan distribusi gamma dengan parameternya np dan . 4ehingga kita peroleh ungsi kepadatan

peluang (kp) dari adalah sebagai berikut"

diperoleh

5


6/16

tidak diketahui. arena itu, adalah 6o6ok untuk .

4elanjutnya kita akan mengestimasi parameter p berdasarkan padaestimasi yang telah diperoleh

! Fungsi kepadatan peluang (kp) bersama dari ( X 1, X 2,…, X n) adalah"

! Fungsi likelihoodnya adalah"

2ilai maksimum dari akan di6apai apabila

6


7/16

Fungsi sulit untuk dipe6ahkan sehingga untuk rumus diataskita dapat menyelesaikannya dengan menggunakan metode iterasi

2e5ton!Baphson.


8/16

ambar #.' Fungsi ;ksponensial

Fungsi eksponensial (merah) terlihat hampir mendatar hori8ontal (naik

se6ara sangat perlahan) untuk nilai E yang negati, dan naik se6ara 6epatuntuk nilai E yang positi.

4ebagai ungsi 3ariabel bilangan real x, graik e x selalu positi (berada

di atas sumbu x) dan nilainya bertambah (dilihat dari kiri ke kanan). raiknya

tidak menyentuh sumbu x, namun mendekati sumbu tersebut se6ara asimptotik.

Cn3ers dari ungsi ini, logaritma natural, atau ln( x), dideinisikan untuk nilai x

yang positi.

@istribusi probabilitas eksponensial merupakan pengujian digunakanuntuk melakukan perkiraan atau prediksi dengan hanya membutuhkan

perkiraan rata!rata populasi, karena dalam distribusi eksponensial memiliki

standar de3iasi sama dengan rata!rata. @istribusi ini termasuk ke dalam distribusi

kontinyu. Hiri dari distribusi ini adalah kur3anya mempunyai ekor di sebelah

kanan dan nilai E dimulai dari 0 sampai tak hingga. ambar kur3a distribusi

eksponensial berbeda!beda tergantung dari nilai E dan I sebagai berikut "

8


9/16

4yarat dari distribusi eksponensial yaitu "• = J 0• I > 0• e $ ',#G'G...

@alam menghitung probabilitas distribusi eksponensial, rumus yang

digunakan adalah "

@imana = $ inter3al rata!rata

I $ parameter rata!rata

=o $ rata!rata sampel yang ditanyakan

e $ eksponensial $ ',#G'G

ambar daerah luas kur3a distribusi eksponensial "

9


10/16

eterangan " daerah arsiran probabilitas tergantung tanda J atau K. Lika

/(= K =o) maka daerah arsiran probabilitasnya berada di sebelah kiri.

1.3. Distribusi Weilbull

Meibull adalah suatu metode yang digunakan untuk memperkirakan

probabilitas mesin peralatan yang berdasarkan atas data yang ada. 4eperti yangdiperkirakan oleh Meibull, distribusi ini sangat berguna sekali karena kapabilitas

dan sedikit sampelnya, dan kemampuannya dapat menunjukkan bentuk distribusi

data yang terbaik.

Alasan pemakaian metode 5eibull dalam pemeliharaan mesin+ peralatan

adalah dikarenakan untuk memprediksikan kerusakan sehingga dapat dihitung

keandalan mesin+ peralatan, dan dapat meramalkan kerusakan yang akan terjadi

5alaupun belum terjadi kerusakan sebelumnya.

/ada dasarnya distribusi 5eibull ini dimaksudkan untuk menggambarkan

keadaan optimal dari suatu mesin atau peralatan baik perbagiannya ataupun

komponen komponennya.

Fungsi 5eibull dapat dideskripsikan dengan"

@an ungsi kumulati analisa 5eibull adalah"

10


11/16

dimana"

e $ ',#G...t $ 5aktu teijadinya kerusakan

h $ eta $ 6harateristi6 lie (HN)

b $ beta shape a6tor atau garis miring

F(t) $ probabilitas kumulati dan 5aktu terjadinya kerusakan sebelum

atau sama dengan t.

(t) $ ungsi padat distribusi rek5ensi

Buang lingkup kegunaan analisa 5eibull antara lain adalah"

#. /eren6anaan kegiatan pemeliharaan dan biaya penggantian yang eekti.'. /enge3aluasian ren6ana!ren6ana kegiatan pemeliharaan perbaikan.*. /eren6anaan pengamanan spare part.9. prediksi kerusakan.:. @an lain sebagainya.

a. /erhitungan 5aktu kerusakan dan suspension pada mesin+peralatan adalah

sebagai berikut"

#. /erhitungan 5aktu kerusakan untuk peralatan yang baru mengalami ' buah kerusakan, maka dihitung dengan men6ari rentang 5aktu antar

dua kerusakan tersebut, dan disebut dengan 5aktu kerusakan.'. /erhitungan 5aktu kerusakan untuk peralatan yang sudah mengalami

beberapa kerusakan, dihitung dengan merata!ratakan seluruh 5aktu

antar tiap kerusakan dan disebut dengan 5aktu kerusakan.

b. /erhitungan untuk peralatan yang belum mengalami kerusakan, maka

perhitungan suspension untuk keadaan "#. Maktu pemasangan (tanggal pemasangan) sesudah pertengahan a5al

periode, maka perhitungan suspension dihitung mulai dari 5aktu

pemakaian sampai dengan akhir periode perhitungan.'. Maktu pemasangan (tanggal pemasangan) sebelum pertengahan a5al

periode, maka perhitungan suspension dihitung mulai dari perhitungan

a5al periode sampai dengan akhir periode perhitungan.

#.*.# eandalan dan Naju erusakan

11


12/16

eandalan dari suatu mesin+ peralatan dapat dideenisikan sebagai peluang

bah5a mesin atau peralatan tersebut akan berungsi sebagai mana mestinya.

Fungsi keandalan adalah ungsi matematik yang menyatakan hubungan keandalan

dengan 5katu.

eandalan (reliability) peralatan dapat dihitung dengan persamaan sebagai

berikut"

@imana"

F (t) $ probabilitas kumulati B (t) $ probabilitas keandalan (reliability)

eandalan suatu mesin+ peralatan erat kaitannya dengan laju kerusakan

mesin+peralatan tersebut yang merupaan banyaknya kerusakan tiap satuan 5aktu.


13/16

b. Rariansi

1.4. Distribusi Pareto

#.9.#/engertian @istribusi /areto@istribusi /areto ditemukan oleh seorang ekonom yaitu Rilredo /areto

sekitar tahun #G9G!#S'*. Rilredo /areto mengamati bah5a G0T kekayaan di


14/16

@an ungsi distribusi kumulatinya adalah

F ( x )=1−( γ x )α

, x≥ γ ,α >0,γ >0

1

Var ( X )=

α

(α −1 )2 (α −2) α >

2

@istribusi pareto merupakan distribusi yang tidak mempunyai ungsi

pembangkit momen. 4edangkan ungsi karakteristik dari distribusi pareto adalah"

φ ( t )=κ θκ e−it 0 Γ (−κ ) , dimana Γ (−κ ) merupakan bentuk dari ungsi

gamma.

#.9.'4iatt!4iat @istribusi /areto4iat!siat dari distribusi pareto antara lain "

#. ur3a distribusi pareto mempunyai kemiringan positi '. ur3a distribusi berbentuk leptukortik *. Fungsi padat peluang distribusi pareto memiliki modus tunggal pada x =

0 dengan nilai maksimumκ

θ

14


15/16

9. Lika X 3ariabel a6ak kontinu berdistribusi pareto dengan parameter θ

dan κ , untuk c > 0 maka cX akan berdistribusi pareto dengan

parameter c θ dan κ

:. Vntuk κ 1 , lim x→ 0

f ( x )=κ

θ danlim

x → ∞

f ( x )=0

#.9.*Bumus!Bumus @istribusi /areto Probabilit Densit !un"tion #PD!$

%umulati&e Distribution !un"tion #%D!$

Rata'rata

Me(ian

Mo(us

)arian

*ke+ness

,urtosis

Moment Generatin- !un"tion #MG!$

%ara"teristi" !un"tion #%!$

Momen ke'k

15

http://www.rumusstatistik.com/2013/07/rata-rata-mean-atau-rataan.htmlhttp://www.rumusstatistik.com/2013/08/median.htmlhttp://www.rumusstatistik.com/2013/08/modus-mode.htmlhttp://www.rumusstatistik.com/2013/07/varian-dan-standar-deviasi-simpangan.htmlhttp://www.rumusstatistik.com/2013/08/median.htmlhttp://www.rumusstatistik.com/2013/08/modus-mode.htmlhttp://www.rumusstatistik.com/2013/07/varian-dan-standar-deviasi-simpangan.htmlhttp://www.rumusstatistik.com/2013/07/rata-rata-mean-atau-rataan.html


16/16

#.9.9/enerapan @istribusi /areto

@istribusi /areto sering dipakai pada persoalan uji hidup.

materi statistika distribusi

Documents