Univerzitet u Tuzli

Tehnološki fakultet Tuzla

UVOD U HEMIJSKO

INŢENJERSTVO

Interni (radni) materijal za polaganje testa br1)

Tuzla, novembar 2013. godine

Sadrţaj

1.Hemijska procesna industrija .............................................................................................. 3

2.Hemijska procesna industrija i «uloga» hemijskog inţenjera .............................................. 4 2. 1. Historija hemijskog inţenjerstva .................................................................................... 4

2. 2. Pojam inţenejrstvo i hemijsko inţenjerstvo? ................................................................. 5 2. 3. Tipični problemi hemijskog inţenjerstva ....................................................................... 6

2. 4. Što rade i koliko zaraĎuju hemijski inţenjeri? ................................................................ 7 2. 5. Etički kodeks hemijskog inţenjera ................................................................................. 8

I. Temeljna pravila ................................................................................................................ 8 II. Pravila prakse, iskustvena pravila ..................................................................................... 8

III. Profesionalne obaveze ................................................................................................... 10 2. 6. Budućnost hemijskog inţenjerstva ............................................................................... 11

3. Fizičke veličine i pripadajuće jedinice ............................................................................. 11 3. 1. MeĎunarodni sistem jedinica ....................................................................................... 12

3. 2. Jedinice i dimenzionisanje jedinica .............................................................................. 15 3. 3. Izvori fizičko-kemijskih podataka ................................................................................ 19

4 0. Matematske metode u hemijskom inţenjerstvu ............................................................. 21 4. 1. Grafička analiza. interpretacija ekperimentalnih podataka ........................................... 21

4. 2. Greške mjerenja .......................................................................................................... 43 4. 3. Sistemi linearnih jednačina .......................................................................................... 45

4. 4. Sistemi nelinearnih jednačina ...................................................................................... 50

1.Hemijska procesna industrija

Hemijska industrija je nastala u XIX vijeku (u vrijeme industrijske revolucije). Njeni proizvodi

obuhvataju, dvije velike kategorije – organske proizvode na bazi nafte i prirodnog gasa (etilen propilen, metanol i derivati) i neorganske proizvode (industrijski gas, velike kiseline – sumporna,

hlorovodonična, azotna, i soli).

Proizvodi organske hemije predstavljaju 70% cjelokupne proizvodnje hemijske industrije.

Proizvodnja hemijske industrije, usmjerena je na dvije velike porodice proizvoda, lake i teške hemije.

Laka hemija, ulazi su sastav farmaceutske industrije, proizvodnje parfema, kozmetike, proizvoda za

odrţavanje, mastila, tuševa, boja, lakova, ali isto tako i u sastav elektronske, optičke i agroprehrambene industrije, proizvodnje specijalnog lijepka za avione i kosmičke brodove, koţe i

tekstila. Teška hemija, obuhvata proizvode širokog asortimana, kao petrohemijske ili karbohemijske,

na osnovi kamenog uglja. Najuspješniji sektori teške hemijske industrije u 1998.godini, bili su proizvodi za dezinfekciju i odrţavanje,namijenjeni domaćinstvima ili profesionalnoj upotrebi i sve širi

asortiman proizvoda za zaštitu bilja (prodaja fitosanitarnih proizvoda, u porastu oko 8,5-9% godišnje).

Petrohemija je najnovija grana hemijske industrije, pojavila se (neposredno po završetku prvog

svjetskog rata) u vrijeme kada kompanija Standard Oil proizvodi izopropanol, (antifriz, rastvarač),

Union Carbide, glikol (antifriz), Cities Service usavršava proizvodnju metanola (rastvarača) i od

1928.godine, sinteznog amonijaka, propilena, koji 1938.godine omogućava proizvodnju poliestera i 1939.godine, revolucionarnog najlona na bazi smole poliamida. Petrohemija veoma brzo napreduje

50-ih i 60-ih godina XX vijeka. Početkom 70-ih godina, u petrohemijskoj proizvodnji preovladavaju

tri regiona – SAD, Zapadna Evropa (Njemačka, Francuska i posebno Velika Britanija) i Japan.

Hemijska industrija je danas sektor, u kome su naučno istraţivanje i razvoj (IR), od izuzetno velikog

značaja u odnosu na stalne inovacije. Početkom 1988.godine, u okvirima hemijske industrije, obavlja

se preko 10% od ukupnog IR. Hemijska indsutrija je predmet posebnog nadzora, posle katastrofe u Savezu (Italija, 1976.godine – zagaĎenje dioksinom) i Bipolu (Indija – propuštanje otrovnog gasa, pri

čemu je ţivot izgubilo preko 2000 osoba). U proizvodnji hemijske industrije prva je EU sa 32% od

ukupne proizvodnje u svijetu, ispred SAD (26%), Japana (15%) i Azije bez Japana (12%). Razmjena izmeĎu partnera Trijade (EU, SAD, Japan) je uravnoteţena. Polovina petrohemijske proizvodnje,

dolazi iz regiona izvan SAD i Zapadne Evrope, nekada najvećih trţišta u svijetu.

Hemijske kompanije sa zapada, investirale su u azijske drţave do 1997.godine. Na Bliskom Istoku,

pojavile su se jedinice za proizvodnju u oblasti bazne hemije, čiji se rad zasniva na nalazištima

prirodnog gasa, koje su mnogo rentabilnije od jedinica u starim industrijski razvijenim drţavama,

posebno za proizvodnju jedne vrste koji Englezi nazivaju nafta (derivat nafte izmeĎu benzina i kerozina). Iz tog razloga, bivši veliki proizvoĎači, odustaju od jednog dijela proizvodnje iz oblasti

bazne hemije i razvijaju aktivnosti s većom dodatnom vrijednošću, u oblasti lake hemije i parahemije.

Po ulasku u novi ciklus rasta, krajem 90-ih godina XX vijeka, hemijsku industriju zahvata talas fuzionisanja, do danas neviĎenog obima u tom sektoru.

Švajcarska preduzeća Sandoz i Ciba, 1996.godine ulaze u sastav kompanije Novartis, 1998.godine se spajaju i Francuske firme Sanofi i Synthelabo, čijim stopama idu, 1999.godine Astra (Švedska) i

Zeneca (Velika Britanija), stvarajući firmu Astrazeneca. Iz objedinjene aktivnosti kompanija Ron-

Pulen (Francuska) i Hoechst (Nemačka), 1999.godine nastaje Aventis, dok Dow Chemical preuzima

kontrolu nad firmom Union Carbide (SAD). Britanski Glaxo Smith Kline, osnovan je u decembru 2000.godine. Druga novina u strategiji hemijskih kompanija, jeste njihova sve veća specijalizacija.

Njemačke firme Bayer i BASF, kao i švajcarska firma Solvay i dalje se bave raznim aktivnostima.

MeĎutim, drugi se bave računanjem, šta im se više isplati – farmaceutska industrija ili agroprehrambena proizvodnja. Mnoga preduzeća zatvaraju pogone za poljoprivredu, da bi se

isključivo posvijetila naukama ţivota (Novartis, Astrazeneca, Aventis). Nasuprot njima, Syngenta

Monsanto i DuPont, postaju ,,velikani,, agrohemije.

2.Hemijska procesna industrija i «uloga» hemijskog inţenjera

2. 1. Historija hemijskog inţenjerstva

Koncept inţenjerstva - datira od prije 4.000 godina p.n.e. kada su izmišljene fundamentalne

civilizacijske inovacije: točak i

poluga

Otkriće točka revolucioniziralo je: aktivnosti transporta, rata i produkcije keramike, i

primjenu energije vode i vjetra –vodenice i vjetrenjače.

Watt-ova parna mašina predstavlja najveći pokretač industrijske revolucije što potvrĎuje vodeću

ulogu inţenjerstva u modernoj historiji.

1824. godine, francuski fizičar Sadi Karno u svom djelu "O pokretnoj snazi vatre" prvi je proučavao

termodinamiku reakcija sagorijevanja u parnim mašinama.

U 1850-im godinama, njemački fizičar Rudolf Klauzijus počeo je da primjenjuje principe koje je razvio Karno na hemijske sisteme na atomskom i molekularnom nivou.

Tokom 1873. i 1876. na Univerzitetu Jejl, američki matematičar i fizičar Dţozaja Vilijard Gibs, koji je prvi u SAD stekao titulu doktora nauka, razvio je grafičku metodologiju baziranu na matematici za

proučavanje hemijskih sistema pomoću Klauzijusove termodinamike.

1882. godine, njemački fizičar Herman fon Helmholc objavio je rad o termodinamici, sličan Gibsovom, ali više baziran na elektrohemiji, u kojem je pokazao da je mjera hemijskog afiniteta

odnosno "sila" hemijske reakcije odreĎena mjerom slobodne energije hemijskog procesa. Prateći ove

rane razvitke, počela je da se razvija nova nauka hemijskog inţenjerstva.

1805. - Dţon Dalton objavljuje Atomske teţine, omogućavajući izjednačavanje hemijskih jednačina i

stvarajući osnovu hemijskog inţenjerstva.

1882. - otvara se smjer "Hemijska tehnologija" na Juniverziti Koledţu u Londonu.

1883. - Ozborn Rejnolds definiše bezdimenzionalnu grupu za protok fluida, koja vodi do razumijevanja protoka i transfera mase i toplote.

1885. - Henri E. Armstrong otvara smjer "Hemijsko inţenjerstvo" na Central Koledţu u Londonu (potonji Imperijalni Koledţ).

1888. - Luis M. Norton otvara novi smjer "Hemijsko inţenjerstvo" na Masačusetskom institutu za tehnologiju (MIT)

1889. - Na Politehničkom institutu Rouz diplomira prva generacija hemijskih inţenjera u SAD.

1891. - MIT dodjeljuje diplomu iz hemijskog inţenjerstva Vilijamu Pejdţu Brajanu i još šestorici

kandidata.

1901. - Dţordţ E. Dejvis izdaje Priručnik o hemijskom inţenjerstvu.1905. - Oliver Paterson Vats

dobiva titulu doktora tehničkih nauka iz hemijskog inţenjerstva na Univerzitetu u Viskonsinu.

1908. - osniva se Američki institut hemijskih inţenjera

1922. - osniva se Britanski institut hemijskih inţenjera.

2. 2. Pojam inţenejrstvo i hemijsko inţenjerstvo?

Pojam inţenjerstva datira iz jedanaestog vijeka: „ingeniator“ latinske riječi - graditelj utvrĎenja ili izumitelj osnov za englesku riječ “engine”

Savremeni pojam inţenjerstva ili inţenjeringa (engl. engineering)

-porijeklo od riječi inţenjer (engl. engineer), neko tko rukuje mašinom (engl. engine)

Inţenjerstvo je istovremeno:

disciplina, umjetnost, i

profesija

Termin inţenjerstvo u praksi se koristi da označi disciplinu koja primjenjuje: -naučna, matematička i tehnička znanja i principe, i

-za razvoj, projektovanje, izradu i primjenu inventivnih, upotrebljivih i ekonomičnih

proizvoda, objekata ili procesa.

Inţenjer je osoba koja je obrazovana da se profesionalno bavi inţenjerstvom. Inţenjer pronalazi,

razvija i primjenjuje funkcionalna, ekonomična i bezbjedna rješenja praktičnih problema

-primjenom matematičkih, naučnih i tehničkih znanja i iskustava, -korištenjem menadţerskih tehnika i alata za voĎenje projekata, i

-primjenom sistemskih metoda u tehničkim i upravljačkim procesima projekta

Termin inţenjerstvo se u praksi koristi da označi disciplinu koja primjenjuje naučna i tehnička znanja

i iskustva za kreiranje i primjenu upotrebljivih proizvoda, objekata ili procesa. Termin inţenjering se

u praksi koristi da označi organizaciju ili proces u kome se praktično primjenjuje disciplina inţenjerstva. Profesija inţenjera ostvaruje vezi izmeĎu potreba društva i komercijalne primjenjivosti

rješenja, nauke i umjetnosti odakle crpi ideje za kreiranje rješenja

Razlike izmeĎu naučnika i inţenjera Naučnik postavlja pitanje „zašto” i vrši istraţivanja fenomena da naĎe odgovor na to pitanje. Naučnik

istraţuje fenomene koji već postoje ulazeći u nepoznato. Inţenjer ţeli da „zna kako” da riješi problem

i „kako” da primijeni rješenje. Inţenjer kreira ono što nikada nije postojalo koristeći ono što je poznato.

Hemijsko inţenjerstvo je koncentrisano na primjenu: • naučnih,

• matematičkih, i

• tehničkih znanja za rješenje praktičnih problema.

Hemijski inţenjer jeste inţenjer koji rješava probleme vezane za industrijske procese hemijske i

fizičke transformacije materije. Hemijsko inţenjerstvo predstavlja matematičku i tehničku podršku

hemijskoj tehnologiji i obuhvata projektovanje, voĎenje i optimizaciju tehnološkog procesa u kome su ključne operacije hemijske reakcije.

Osnovna znanja koja jedan hemijski inţenjer mora posjedovati:

Matematika, Fizika,

Hemija i fizička hemija

Osnovne tehnoloških operacija,

Separacioni procesi, Tehnička i hemijska termodinamika,

Reakcijsko inţenjerstvo,

Zaštita okoline, Projektovanje procesa,

Mašinstvo,

Dinamika procesa, Sistemi automatskog upravljanja,

Fenomeni prenosa

Kako je toliko veliki opseg interesovanja jednog hemijskog inţenjera, on se u svijetu često naziva i "univerzalnim" inţenjerom.

Postoje 3 osnovna tipa hemijskih inţenjera u praksi koji najbolje oslikavaju kakav je u stvari posao

ovog inţenjera : -Inţenjer u laboratoriji - to je onaj profil koji otkriva fizičke i hemijske zakonitosti koje

opisuju neki hemijski proces, i putem eksperimenata i teorijskog znanja on proces s eksperimentalne

skale prevodi na industrijsku skalu, često uz pomoć pilot postrojenja. Za ovaj profil hemijskog inţenjera najbitnija osobina je inventivnost.

-Inţenjer projektant - ovaj profil hemijskog inţenjera projektuje opremu i/ili cijeli hemijski

proces u skladu sa stečenim znanjem i iskustvom. Obično se posao ovakvog inţenjera sprovodi već dokazanim postupkom projektovanja i zahtijeva dosta praktičnog znanja ali ne i inventivnost.

-Inţenjer u pogonu - najčešći slučaj. Ovaj tip inţenjera prinuĎen je da na licu mjesta rješava

probleme koji nastaju u procesu i da kontinualno vodi i unapreĎuje proces. U ovom slučaju fundamentalno znanje nije toliko presudno kao u prva dva slučaja već je najbitnija osobina ovakvog

inţenjera iskustvo, obzirom da u praksi teorijsko znanje često ne pomaţe.

2. 3. Tipični problemi hemijskog inţenjerstva

Postoje 3 tipična problema jednog hemijskog inţenjera, a koji se često i ne mogu jasno odvojiti.

1.Bilansiranje procesa.

Ovo podrazumijeva bilanse mase unutar procesa, bilanse količine kretanja i bilanse toplote. Ovakvi

problemi u zavisnosti koliki stepen aproksimacije uzimamo mogu biti od vrlo jednostavnih do veoma

sloţenih.

2.PredviĎanje fazne i/ili reakcione ravnoteţe u heterogenim ili homogenim sistemima.

3.Projektovanje ili voĎenje reaktora i separatora na osnovu proračuna prva dva problema i empirijskih

korelacija.

Srodne nauke i naučne discipline

Razvoj inţenjerstva obuhvatio je sljedeće oblasti:

1.GraĎevinarstvo i mašinska industrija – početna primjena 2.Pojavom električne energije inţenjerstvo se širi i u druge oblasti. Ključni faktor razvoja

elektro, hemijske i telekomunikacione industrije

3.Pomorsko inţenjerstvo se razvija u periodu intenzivnih istraţivanja okeana 4.Inţenjerstvo u aeronautici je tragalo za ostvarenjem antičkog sna za letenjem

5.Upravljačko inţenjerstvo je ubrzalo fazu intezivne automatizacije

6.Industrijsko inţenjerstvo - masovna proizvodnja i sistem distribucije

Hemijsko inţenjerstvo ne bi postojalo da ne postoji hemija. Hemijska reakcija koju hemičari otkriju, a

za čiju se proizvodnju ispostavi da bi bila isplativa, treba razviti proces proizvodnje. Hemičari definišu zakonitosti reakcije, a hemijski inţenjeri te zakonitosti koriste u praktične svrhe. Problemi

fenomena prenosa koji se javljaju u procesu transporta, zagrijavanja, hlaĎenja, ili hemijske reakcije,

često nemaju veze sa hemizmom, već sa fizičkim aspektom procesa. Zbog toga hemija ne moţe da odgovori na ta pitanja, već se tu u pomoć priziva fizika. Ove dvije oblasti najtješnje su povezane

oblasti koja se zove fenomeni prenosa. MeĎutim, kako su matematičke formulacije ove oblasti često

kompleksne, hemijski inţenjer mora imati jaku pozadinu u znanju matematike. Stubovi» hemijskog inţenjerstva prikazani su na Slici 1,

Slika 1. «Stubovi» hemijskog inţenjerstva

Kada se definisanje nekog procesnog problema riješi, potrebno je takav proces i fizički ostvariti, tj. napraviti postrojenje. Ovdje stupa na snagu veza hemijskih inţenjera i mašinskih inţenjera, zbog toga

što samo grupa inţenjera ovog tipa moţe uspješno projektovati postrojenje.

Danas je hemijsko inţenjerstvo široko naučno polje, koje pokriva oblasti od biotehnologije i nanotehnologije do obrade minerala.

Oblasti hemijskog inţenjerstva date i su u Tabeli 1. Tabela 1. Oblasti hemijskog inţenjerstva

Biohemijsko inţenjerstvo.

Biomedicinsko inţenjerstvo.

Biomolekularno inţenjerstvo. Nauka o mikrofluidima

Nanotehnologija

Prirodno okruţenje Polimeri

Kontrola procesa

Procesi kristalizacije

Biotehnologija.

Tehnologija keramike.

Modeliranje hemijskih procesa. Reakcijsko inţenjerstvo.

Dizajn destilacije.

Dizajn procesa Razvoj procesa

Tehnologija papira,

Procesi separacije

Elektrokemija.

Inţenjerstvo ţivotne sredine.

Dinamika fluida. Inţenjerstvo prerade hrane,

Transfer toplote

Transfer mase Nauka o materijalima

Procesi destilacije

Membranski procesi

Termodinamika

2. 4. Što rade i koliko zaraĎuju hemijski inţenjeri?

45% rade u “tradicionalnim” disciplinama, naftna industrija, plastična industrija, industrija

papira, i dr. 35% zaštita okoline, konsalting, mikroelektronika, biotehnologija materijala.

10 idu na poslijediplomski studij iz inţenjerstva .

10% idu na ostale poslijediplomske studije (pravo, medicina, biznis i dr.)

Koliko zaraĎuju hemijski inţenjeri????

Izvještaj The National Association of Colleges and Employers (NACE), period Sept 1999 - Jan 2000:

$49,418 with a Bachelor's degree

$56,100 with a Master's degree $68,491 with a Ph.D.

2. 5. Etički kodeks hemijskog inţenjera

Inţenjeri obavljaju svoje profesionalne aktivnosti koje zahtijevaju pridrţavanje načela etičkog ponašanja. Kao što je navedeno u Nacionalnom društvu profesionalnih inţenjera (NSPE) " Od

članova ovog udruţenja očekuje se da će pridrţavati najviših standarda poštenja i integriteta. Inţenjeri

imaju izravan i bitan utjecaj na kvalitetu ţivota za sve ljude. Sukladno tome, od inţenjera se zahtijeva poštenje i nepristranost, a njihova aktivnost mora biti posvećena zaštiti javnog zdravlja, sigurnosti i

dobrobiti svih.

Etika se odnosi na proučavanje morala i moralnih načela pri obavljanju profesionalnih zadataka.

Naravno, postoje poslovi gdje je pogreška moţe se tolerirati. Na primjer, u restoranu ako vam konobar donese drugo piće umjesto onog koje ste poručili, moţe se «preţivjeti» s tom greškom. To

su greške koje se obično mogu ispraviti bez ikakve štete. Ali ako nesposoban ili neetičan inţenjer

krivo dizajnira most, zgradu, avion, fabriku takva greška mogla biti uzrok za stotine ljudi. Poznati filozof Konfucije, jednom je prilikom zapisao, "Čovjek koji je počinio pogrešku i to ne ispravi je

počinio još jednu pogrešku. "Nacionalni društvo profesionalnih inţenjera SAD (NSPE) je vrlo

detaljno izradilo etički kodeks ponašanja.

I. Temeljna pravila

Inţenjeri, u ispunjavanju svojih profesionalnih duţnosti, duţni su:

1.Najvaţnijim smatrati sigurnost, zdravlje i dobrobit javnosti.

2.Izvoditi usluge samo u područjima nadleţnosti.

3.Davati javne izjave na objektivnom i istinit način. 4.Zaštiti vjerodostojnost dokumentacije i poslovnih akata svakog poslodavca ili klijenta.

5. Izbjegavajte djela/poslove koji za cilj imaju prevaru.

6.Ponašati se časno, odgovorno, etično i zakonito kako bi se poboljšala čast, ugled i korisnost struke.

II. Pravila prakse, iskustvena pravila

1.Inţenjeri će odrţati mjerodavnim sigurnost, zdravlje i dobrobit javnosti. Ako je inţenjersko stručno

mišljenje takvo da moţe doći do ugroţavanja ţivota ili imovine, izvijestit će o tome poslodavca ili

klijentu i neki drugi organ na način koji je za to prikladan. Inţenjeri će odobrit samo one dokumente koji su u skladu s normama/standardima. Inţenjeri ne smiju

otkriti činjenice, podatke ili informacije bez prethodne suglasnosti klijenta ili poslodavca, osim kao

ako su za to ovlašteni po zakonu. Inţenjeri ne smiju dopustiti korištenje svog imena ili se udruţivati u poslovne pothvate s bilo kojom osobom ili firmon za koje se sumnja da se bave prijevarama ili

nepoštenim/nelegalnim radom. Inţenjeri ako doĎu do informacija o kršenju ovih pravila duţni si o

tome izvijestiti odgovarajuća stručna tijela i, kada je to relevantno, takoĎer s tijelima javne vlasti

suraĎivati u cilju dostavljanje tih podataka ili pomoći koja im moţe biti potrebna.

2. Inţenjeri će pruţati usluge samo u područjima njihove nadleţnosti/kompetentnosti

a)Inţenjeri će preuzimati zadatke tek kada kvalificirani obrazovanjem ili iskustvom u specifičnim

područjima tehnike.

b)Inţenjeri neće potpisati bilo kakav plan ili dokumenata koji se bave tematikom za koju nisu

osposobljeni niti se na bilo koji plan ili dokument nije pripremljen pod njihovim vodstvom i uz njihov

nadzor.

c)Inţenjeri mogu prihvatiti zadatke i preuzeti odgovornost za koordinaciju cijelog projekta i potpisati i

zapečatiti inţenjering dokumente za cijeli projekt, pod uvjetom da je svaki tehnički segment potpisan i zapečaćen samo od kvalificiranih inţenjera.

3. Inţenjeri daju javne izjave samo objektivno i istinito.

a)Inţenjeri će biti objektivni i iskreni u stručnim izvješćima, izjavama, ili svjedočenja. Oni će uključiti

sve relevantne informacije u takvim izvješćima, izjave ili svjedočenje s datumom koji označava kada

je informacija bila aktualna.

b). Inţenjeri mogu izraziti javno svoje tehničko mišljenja koje je utemeljeno na činjenicama i

kompetencijama o predmetu.

c). Inţenjeri ne daju izjave, kritike o tehničkim pitanjima koja su inspirirana ili plaćena od

zainteresiranih strana. U njihovim komentarima ne smije se otkriti postojanje bilo kakvog interesa zainteresirane strane.

4. Inţenjeri rade vrlo pošteno za svakog poslodavca ili klijenta.

a)Inţenjeri će objaviti sve poznate ili mogući sukob interesa koji bi mogao utjecati na ili se čini da

utječu na njihovu prosudbu ili kvalitetu svojih usluga.

b) Inţenjeri će isključiti sve poznate ili moguće sukobe interesa koji bi mogli utjecati na njihov stručni

sud.

c)Inţenjeri neće prihvatiti financijsku ili neku drugu naknadu na istom projektu, osim ako to nije

javno objavljeno uz suglasnost svih zainteresiranih strana. Inţenjeri neće traţiti ili prihvatiti financijske ili druge vrijedne razmatranja, izravno ili neizravno, od vanjskih agenata u vezi s radom za

koje su odgovorni.

d. Inţenjeri koji rade u javnim sluţbama, kao članovi, savjetnici ili zaposlenici vladinog sektora ne smiju sudjelovati u donošenju odluka koje mogu biti u vezi s interesom njihove institucije u privatnoj

ili javnoj inţenjerskoj praksi.

e)Inţenjeri neće traţiti ili prihvatiti ugovor od tijela drţavne vlasti u kojoj je direktor ili sluţbenik njihove organizacije član.

5. Inţenjeri će izbjegavati djela prevare.

a)Inţenjeri neće krivotvoriti svoje kvalifikacije ili dopustiti pogrešno predstavljanje na njegovu

pridruţenih društava kvalifikacijama. Oni se neće laţno predstavljati ili precjenjivati svoju

odgovornost u prethodnim zadacima. Brošurama ili drugim prezentacijama neće davati pogrešne činjenice u vezi poslodavaca, zaposlenika, suradnika, i dr.

b)Inţenjeri neće ponuditi, traţiti ili primati, izravno ili neizravno, ili bilo kakav doprinos kako bi se

utjecati na dodjelu ugovora od strane tijela javne vlasti. Oni ne nude bilo koji dar ili drugu materijalnu naknadu, kako bi se osigurao svoj rad. Oni ne moraju platiti proviziju, postotak, ili brokersku

naknadu, kako bi se osigurali rad.

III. Profesionalne obaveze

1.Inţenjeri će se voditi u svim svojim odnosima prema najvišim standardima poštenja i integriteta.

a)Inţenjeri će priznati svoje pogreške i ne smiju narušavati ili izmijeniti činjenice.

b)Inţenjeri će savjetovati svojim klijentima ili zaposlenicima kad vjeruju da projekt neće biti

uspješna. c)Inţenjeri neće prihvatiti projekta izvan svoje institucije na štetu svog redovnog posla ili interesa

institucije. Prije prihvaćanja bilo kakvog zadatka izvan institucije duţan je obavijestiti svoje

poslodavce.

d) Inţenjeri neće pokušati privući inţenjera od drugog poslodavca laţnim ili pogrešnim informacijama.

e) Inţenjeri ne smiju promicati vlastite interese na štetu dostojanstva i integriteta struke.

2. Inţenjeri će u svakom trenutku nastojati sluţiti javnom interesu. Inţenjeri će traţiti priliku da

sudjeluju u graĎanskom poslova; karijera usmjeravanja za mlade; i raditi za unapreĎenje sigurnosti,

zdravlju i dobrobiti svoje zajednice.

b. Inţenjeri neće potpisati planove ili specifikacije koje nisu u konformitetu s vaţećim inţenjerskim

standardima. Ako klijent ili poslodavac inzistira na takav neprofesionalno ponašanje, oni će

obavijestiti odgovarajuće organe i povući se iz projekta.

c. Inţenjeri će nastojati proširiti znanje javnosti iz oblasti inţenejrstva.

3. Inţenjeri će izbjeći svako ponašanje ili praksu koja vara javnost.. Inţenjeri će izbjeći korištenje

izvješća koji sadrţe pogrešno iznošenje materijalnih činjenica ili izostavljanjem značajnih činjenica.

b. U skladu s navedenim, inţenjeri mogu oglašavati za zapošljavanje osoblja. c. U skladu s navedenim, inţenjeri mogu pripremiti članke za tehničku pripremu, ali takvi predmeti ne

podrazumijeva kredit autora za obavljeni rad po drugima.

4. Inţenjeri ne smiju otkriti, bez suglasnosti, povjerljive informacije o poslovima ili tehničkim

procesima bilo sadašnjeg ili bivšeg klijenta ili poslodavca, ili drţavnom tijelu na kojoj oni sluţe.

b. Inţenjeri ne smiju, bez suglasnosti svih zainteresiranih strana, sudjelovati u odreĎenom projektu ili

postupak u kojem inţenjer stekao odreĎenu specijalizirano znanje u ime bivše klijenta ili poslodavac.

5. Inţenjeri ne smiju biti pod utjecajem u svojih profesionalnih duţnosti prema sukobu interesa. Inţenjeri neće prihvatiti financijske ili druge razmatranja, uključujući i besplatno inţenjering dizajna,

iz materijalnih ili opremu dobavljača za navodeći njihov proizvod.

b. Inţenjeri neće prihvatiti povjerenstava ili prava, izravno ili neizravno, iz kontraktori ili druge osobe

koje se bave s klijentima ili poslodavaca inţenjera u vezi s radom za koje inţenjer je odgovoran.

6. Inţenjeri neće pokušati dobiti posao ili napredovanje ili profesionalna uključema po neistinito

kritizirati druge inţenjere, ili drugim nepravilne ili upitna metode. Inţenjeri neće zahtijevati,

predloţiti, ili prihvatiti proviziju na temelju kontingenta pod okolnosti u kojima njihova presuda moţe biti ugroţena.

b. Inţenjeri u plaću pozicije moraju prihvatiti sa skraćenim radnim vremenom inţenjering samo u mjeri u kojoj u skladu s politikom poslodavca, au skladu s etičkim razmatranjima.

c. Inţenjeri ne smiju, bez suglasnosti, korištenje opreme, potrošni materijal, laboratorijski ili ured

objekata od poslodavca za obavljanje privatne prakse izvan.

8. Inţenjeri će prihvatiti osobnu odgovornost za svoje profesionalne djelatnosti.

a)Inţenjeri mogu traţiti naknadu štete za usluge koje proizlaze iz njihove prakse za osim nepaţnje, gdje je inţenjer interesi inače ne moţe biti zaštićen. Inţenjeri moraju biti u skladu s drţavnim

zakonima.

b. Inţenjeri ne smiju koristiti povezanost s neinţenjerskim udruţenjima, korporacijama, ili partnerstvo

kao "plašt" za nemoralna djela.

9. Inţenjeri će dati kredit za inţenjering rad onima kojima je kredit zbog, te će prepoprepoznata

vlasnička interese drugih.

a) Inţenjeri će, kad god je to moguće, imenovati osobu ili osobe koje bi mogle biti pojedinačno odgovoran za dizajn, izume, spisa ili drugih postignuća.

b. Inţenjeri koriste dizajna isporučio klijent priznati da dizajnira ostaju oslonac- ničenja od klijenta i

ne moţe biti umnoţen inţenjer za druge, bez izričitog dozvola. c. Inţenjeri, prije poduzimanja posao za druge u vezi s kojim inţenjer moţe napraviti poboljšanja,

planove, crteţe, izume, ili druge evidencije koje mogu opravdati autorska prava ili patenti, treba ući u

pozitivnom sporazuma o vlasništvu.

2. 6. Budućnost hemijskog inţenjerstva

Moderna disciplina hemijskog inţenjerstva obuhvata mnogo više od samog inţenjerstva procesa. Hemijski inţenjeri sada učestvuju u razvoju i proizvodnji modernih materijala, kao i posebnih

hemikalija. Neki od ovih proizvoda su materijali potrebni za aero i kosmonautiku, proizvodnju

automobila, primjenu u biomedicinske svrhe, elektroniku, zaštitu ţivotne sredine, vojne potrebe itd. Neki od primjera su ultrajaka vlakna, tekstil, biokompatibilni materijali za implantate i proteze, gelovi

za medicinsku primjenu, lijekovi, filmovi sa posebnim dielektričnim, optičkim ili spektroskopskim

osobinama koji se koriste kod optoelektroničkih ureĎaja. Mnogi hemijski inţenjeri rade na biološkim projektima kao što je proučavanje biopolimera (proteina) i dešifrovanje ljudskog genoma.

Budućnost hemijskog inţenjerstva je svijetla prema onome što naučnici govore. Početkom 2007.

godine otkriven je laboratorijski postupak dobivanja vodika i kiseonika iz vode pomoću solarne energije, što nagovještava početak industrijske proizvodnje čistog goriva. Hemijski inţenjeri biće

neophodni i u proizvodnji gorivih ćelija, goriva budućnosti. Napuštanjem nafte kao energetskog

resursa, morat će se usavršiti Fišer-Tropš sinteza da bi se odrţala svjetska proizvodnja plastike i petrohemijska industrija. Naravno, farmaceutska i prehrambena industrija morat će i dalje da rade

maksimalnim kapacitetima da bi bio moguć odrţivi razvoj. Dakle biće neophodno još veće prisustvo

hemijskih inţenjera na trţištu rada. Hemijska industrija je bazična industrija, dakle preduslov progresa mnogih drugih primarnih, sekundarnih i tercijarnih djelatnosti i zbog toga se jedan kompletan

privredni prostor drţave ne moţe zamisliti bez hemijske industrije i hemijskog inţenjerstva.

Osnovna pravila u savremenom inţenjerstvu kod razvoja i izrade sloţenih sistema:

Matematičko modeliranje sistema Sumilacija izgleda sistema, primjenom CAD/CAM/CAE tehnologija

Izrada smanjenog fizičkog modela

Eksperimenti, metematičko modeliranje i simulacije danas su najmoćniji alati koji se koriste u inţenjerstvu.3. Fizičke veličine i pripadajuće jedinice

3. 1. MeĎunarodni sistem jedinica

U svakodnevnom ţivotu i radu neprekidno se susrećemo s mjerenjima. Sve što kupujemo prodaje se u odreĎenim količinama i to plaćamo odreĎenom količinom novca, mjerimo udaljenost koju trebamo

prijeći i vrijeme koje nam je za to potrebno, liječnici mjere brzinu pulsa, krvni pritisak, temperaturu,

količinu alkohola, glukoze ili kolesterola u krvi, itd. Mjerenje je proces u kojem se fizičkim eksperimentom usporeĎuje dana veličina s nekom njezinom vrijednošću uzetom za jedinicu. Rezultat

mjerenja sastoji se od dva dijela: mjernog broja i mjerne jedinice. Mjerni broj je broj s kojim treba

pomnoţiti mjernu jedinicu da dobijemo veličinu koju mjerimo.

Da bi se izvela mjerenja mora se definirati mjerna jedinica ili izraditi njezin etalon. U području praktičnog mjerenja uvrijeţilo se tijekom vremena veliki broj različitih mjernih jedinica za istu fizičku

veličinu. Mnoštvo raznovrsnih mjernih jedinica zahtijeva isto toliko definicija i još više pretvorbenih

faktora, što oteţava razumijevanje pojedinih fizičkih pojava kao i njihove meĎusobne ovisnosti. Jedanaesta opšta konferencija za mjere i utege na svom zasjedanju 1960. godine prihvatila je tzv.

MeĎunarodni sustav jedinica – SI (Le systeme Internationa l d'Unites). Na tom zasjedanju prihvaćene

su i odgovarajuće definicije osnovnih jedinica duljine, mase, vremena, termodinamičke temperature, jakosti električne struje i jakosti svjetla.

MeĎunarodni sustav mjernih jedinica dopunjen je 1971. god. uvoĎenjem količine tvari, kao osnovne

fizičke veličine i pripadne jedinice, mol.

Definicija jedinica u SI sistemu

Duţina

Metar je duţina putanje koju u vakuumu preĎe svjetlost za (1/299 792 458) sekundi.

Masa

Kilogram je masa meĎunarodnog etalona kilograma.

Vrijeme

Sekunda je trajanje od 9 192 631 770 perioda zračenja, koje odgovara prijelazu izmeĎu dva hiperfina nivoa osnovnog stanja atoma cezijuma

133Cs

Jačina struje Amper jer jačina stalne električne struje, koja, kad se odrţava u dvama pravim paralelnim

provodnicima neograničene duţine i zanemarljivog kruţnog presjeka, koji se nalaze u vakuumu na

meĎusobnom rastojanju od 1 metra, prouzrokuje meĎu tim provodnicima silu koja je jednaka 2·10−7

njutna po metru duţine.

Temperatura

Kelvin je termodinamička temperatura, koja je jednaka 273,16-om dijelu termodinamičke temperature trojne tačke vode.

Količina tvari Mol je količina materije sistema koji sadrţi toliko elementarnih jedinica koliko ima atoma u 0,012

kilograma ugljenika 12

C.

Jačina svjetlosti Kandela je svjetlosna jačina u datom pravcu koji emituje monohromatsko zračenje frekvencije

540 · 1012

herca i čija je energetska jačina u tom pravcu 1/683 vata po steradijanu.

Duţina: Metar je udaljenost koju u vakuumu preĎe svjetlost u 1/299 792 458 sekundi.

Masa:

Kilogram je masa prakilograma koji se čuva u meĎunarodnom birou za mjere i utege u Sèvresu. Temperatura: Kelvin, jedinica termodinamičke temperature, jest 273,15-i dio termodinamičke

temperature trojne točke vode.

3.1. 1. Duţina

Podaci o konverziji duţine prikazani su u Tab. 1.,

Tabela 1. Konverzioni faktori za duţinu

1 A (ANGRSTREM) 1.0010-10

M

1(mikron) 1.0010-6

m

i in (inč) 0,0254 m

1 ft (stopa) 0,3048 m

1 yd (jard) 0,9144 m

1 mile (milja) 1609,4 m

1 mile (nautička) 1853,3 m

3.1. 2. Površina

Podaci o konverziji površine prikazani su u Tab. 2.,

Tabela 2. Konverzioni faktori za površinu

1 IN2 6,451610

-4M

2

1 ft2 0,092903 m

2

1 yd2 0,83613 m

2

1 mile2 2,5900 10

6m

2

3.1. 3. Zapremina

Podaci o konverziji zapremina prikazani su u Tab. 3.,

Tabela 3.Konverzioni faktori za zapreminu

1 IN3 1,638710

-5M

3

1 ft3 0,028317 m

3

1 yd3 0,764550 m

3

1 US gal 0,0037853 m3

1 UK gal 0,0045460 m3

1 barrel(US-naftni) 0,15898 m3

1 lube oil barrel 0,20819 m3

1 register ton 2,8317 m3

3.1. 4. Masa

Podaci o konverziji mase prikazani su u Tab. 4.,

Tabela 4.Konverzioni faktori za masu

1 KPS2/M 9,8067kg

1 lb 0,45359 kg

1 ton US,kratka) 907,14 kg

1 ton(UK,duga) 1016,0 kg

1 grain 6,480010-5

kg

3.1. 5. Jedinice temperature

Podaci o konverziji temperature prikazani su u Tab. 5.,

Tabela 5. Konverzioni faktori za temperaturu

UNOS K C F

T, Kelvin 1 1 274,15 525,47

C, Celzijus 1 274,15 1 33,8

F, Farenhajt 1 241,705 -31,444 1

R, Renkin 1 1,8 276,39 428,14

3.1. 6. Volumni protok

Podaci o konverziji volumnog protoka prikazani su u Tab. 6.,

Tabela 6.Konverzioni faktori za volumni protok

1 M3 /hr 2,7778 10

-4 M

3/S

1 ft3 /hr 7,8658 10

-6m

3/s

1 cu.ft.min 4,719 10-4

m3/s

1 US gal/hr 1,051510-6

m3/s

1 UK gal/hr 1,262810-6

m3/s

1 US gal/min 7,576610-5

m3/s

3.1. 7. Brzina

Podaci o konverziji brzine prikazani su u Tab. 7.,

Tabela 7. Konverzioni faktori za brzinu

1FT/hr 8,4667 10-5

M/S

1 ft /min 0,00508 m/s

1 ft/s 0,30580 m/s

1 mile/s 0,44704 m/s

3.1. 8. Ubrzanje

Podaci o konverziji ubrzanja prikazani su u Tab. 8.,

Tabela 8. Konverzioni faktori za ubrzanje

1cm/s2 0,01 m/s

2

1 ft/s2 0,30480 m/s

2

3.1. 9. Jedinice gustoće

Podaci o konverziji gustoće prikazani su u Tab. 9.,

Tabela 9. Konverzioni faktori za gustoću

unos kg/m3 kps

2/ft

3 lb/ft

3 lb/in

3

1kg/m3 1 1 0,102 0,06243 0,00003616

1 kps2/m

4 1 9,80665 1 0,6122 0,00035666

1 lb/ft3 1 16,02 1,633 1 0,0005782

1 lb/in3 1 27680 2823 1728 1

3.1. 10. Jedinice sile

Podaci o konverziji sile prikazani su u Tab. 10.,

Tabela 10. Konverzioni faktori za silu

unos kg/m3

kps2/ft

3 lb/ft

3 lb/in

3

1 njutn 1 1 0,102 100000 0,2248

1 kilopond 1 9,80665 1 981000 2,204

1 din 1 0,00001 1,0210 -6

1 0,00000225

1 funta sile 1 4,44822 0,4536 444800 1

3.1. 11. Jedinice energije

Podaci o konverziji energije prikazani su u Tab. 11.,

Tabela 11. Konverzioni faktori za energiju

UNOS J KWH KCAL KPM

1 dţul, J 1 1 2,7778E-07 0,0002388 0,10197

1 kilovatčas, kWh 1 3600000 1 859,845 36710

1 kilokalorija, kcal 1 4186,8 0,001163 1 426,935

1 kilopondmetar, kpm 1 9,80665 2,72410 -6 0,002342 1

1 konjska snaga, KSh 1 2647800 0,7355 632,416 270000

1 britanska termička jed., Btu 1 1055,06 0,0002931 0,252 107,58

3. 2. Jedinice i dimenzionisanje jedinica

Mjesto primjene SI sistema jedinica obuhvata fizičke veličine. Ne fizičke veličine (npr. ekonomske,

socioekonomske itd.) nisu obuhvaćeni SI sistemom jedinica. Opšte gledano postoji mogućnost da

fizičke veličine budu prikazane i u drugim jedinicama. U pojedinim oblastima nauke i ekonomije dotično je i u današnjici uobičajeni i u pojedinim drţavama čak i zakonski dozvoljeno. Za

meĎunarodnu razmjenu je pak jedan internacionalno jedinstven sistem jedinica svrsishodan, jer na taj

način bivaju otklonjene nejasnoće i greške pri preračunavanju. Toj svrsi sluţi i SI sistem, pri čemu

jedinice različitih mjernih sistema ne bi trebale biti miješane pri upotrebi. Jedna mjerna jedinica ima svoje pisamo ime i jednu oznaku. Imena se zavisno od jezika mogu različito pisati (npr. eng. degree

Celsius, fr. degré Celsius, njem. Grad Celsius). Oznake mjernih jedinica su pak svugdje iste (npr. °C).

Oznaka spaja brojku sa jedinicom SI sistema i piše se sa malim odstojanjem poslije brojke. Dotično vaţi i za pisanje temperature u stepenima celzijusa. Osnovne mjerne jedinice date su u Tab.

12,

Tabela 12. Osnovne mjerne jedinice

Izvedene mjerne jedinice date su u Tab. 13,

Veličina Oznaka u formuli Osnovna mjerna jedinica oznaka

duţina l metar m

masa m kilogram Kg

vrijeme t sekunda S

jačina električne struje I amper A

temperatura T kelvin K

količina materije n mol mol

svjetlosna jačina lV kandela cd

Tabela 13. Izvedene mjerne jedinice

Veličina

Oznaka

u

formuli

Izvedena mjerna

jedinica Oznaka

U osnovnim

jedinicama

površina A kvadratni metar m2 m

2

zapremina V kubni metar m3 m

3

ugao u ravni

α,. (sva

grčka

slova)

radijan rad

prostorni ugao Ω steradijan sr

gustoća ρ kilogram po kubnom

metru; Kg/m

3;

frekvencija f herc Hz

brzina v metar u sekundi m/s

ubrzanje a metar u sekundi na

kvadrat m/s

2

Sila F njutn N

Pritisak p paskal Pa

energija W joule (dţul) J

snaga P vat W

električni napon

(električni potencijal) U volt V

količina elektriciteta

(naelektrisanje) Q coulomb (kulon) C

magnetni fluks Φ veber Wb

električna otpornost R om (ohm) Ω

električna provodnost G siemens S

induktivnost L henri H

električna kapacitivnost C farad F

magnetna indukcija,

indukcija B tesla T

jačina električnog polja E volt po metru ili njutn po kulonu

V/m ili N/C

jačina magnetnog polja H amper po metru A/m

permeabilitet μ henri po metru H/m

svjetlosni fluks Φν lumen lm

osvijetljenost Eν lux (luks) lx

impuls p Njutnsekunda Ns

aktivnost radioaktivnog izvora

A becquerel (bekerel) Bq

apsorbovana doza

jonizujućeg zračenja D grey (grej) Gy

entropija S dţul po kelvinu J/K

Izvedene jedinice SI bez posebnih naziva i znakova date su u Tab. 14, Tabela 14. Izvedene jedinice SI bez posebnih naziva i znakova

Naziv Znakovi Veličina

kvadratni metar m2 Površina

kubni metar m3 Zapremina

recipročni metar 1/m, m-1

valni broj

metar u sekundi m/s Brzina

metar u sekundi na kvadrat m/s2 Ubrzanje

kubni metar u sekundi m3/s Volumni protok

kilogram po kubnom metru kg/m3 Gustoća

dţul po kvadratnom metru J/m2 energijska gustoća

dţul po kilogramu J/kg energijski tok

dţul po kilogramkelvinu J/(kgK) specifični toplotni kapacitet

kandela po kvadratnom metru cd/m2 osvjetljenost

mol po kubnom metru mol/m3 Umnoţna koncentracija

grej u sekundi Gy/s brzina apsorbirane doze

(broj) jedan 1 lomni indeks

Iznimno dopuštene jednice izvan SI s posebnim nazivima i znakovima date su u Tab. 15,

Tabela 15. Iznimno dopuštene jednice izvan SI s posebnim nazivima i znakovima

naziv znak veličina upotreba samo za

morska milja Duţina pomorski, riječni i zračni promet

astronomska jedinica astronomiju

Ar a površina Površinu zemljišta

hektar ha

Litra l, L zapremina

stepen 1°

minuta 1´ ugao

sekunda 12

Gon 1g

atomska jedinica mase u fiziku i kemiju

karat masa masu dragulja

gram g

tona t

minuta min

sat h vrijeme

dan d

čvor brzina pomorski i zračni promet

teks tex duţinska masa tekstilna vlakna i konac

bar bar

milimetar ţivina stuba mmHg tlak izraţavanje pritiska tjelesnih tekućina

elektronvolt eV energija posebna područja

var var snaga reaktivnu (jalovu) snagu izmjenične električne struje

Bel B nivo

Neper Np nivo

Prefiksi za pretvaranje decimalnih jedinica dati su u Tab. 16

Tabela 16. Prefiksi za pretvaranje decimalnih jedinica

prefiks jota zeta eksa peta tera giga mega kilo hekto deka deci

Znak Y Z E P T G M k h da d

Vrijednost 1024

1021

1018

1015

1012

109 10

6 10

3 10

2 10 10

–1

Refiks centi mili mikro nano piko femto ato zepto jokto

Znak c m µ n p f a z y

Vrijednost 10–2

10-3

10–6

10–9

10-12

10–15

10–18

10–21

10–24

Oznake zapremina, mase i količine tvari prikazane su u Tab. 17.,

Tabela 17. Oznake zapremina, mase i količine tvari

X A,(S) V M E

V

X

zapreminski,

gustoća

aV

A

Površinska

zapremina

zapreminski udio

V

m

zapreminska

masa

wV

E

energija po

zapremini

3

2

m

m 3m

kg

3m

J

m

X

maseni,

specifični

sm

A

površina po masi

kg

m 2

vm

V

zapremina po

masi

kg

m3

w

maseni udio

1

em

E

energija po masi

kg

J

n

X

molski, hemijski

mAn

A

površina po molu

mol

m 2

mVn

V

zapremina po

molu

mol

m3

Mn

m

masa po molu

mol

kg

mEn

E

energija po molu

mol

J

Oznake za tok, površinski i zapreminski tok prikazane su u Tab. 18.,

Tabela 18. Tok, površinski tok, zapreminski tok

X V M N Q/J

t

X

tok

)(Qqt

Vv

Zapreminski tok

s

m3

zapreminski udio

V

m

zapreminska

masa

3m

kg

wV

E

energija po

zapremini

3m

J

)(At

X

površinski tok , ne

fluks

vAt

V

)(

brzina toka

s

m

sm

m

2

3

GAt

m

)(

površinski maseni

tok

sm

kg2

JAt

n

)(

površinski

molski tok

sm

mol2

qA

površinski

toplotni tok

2m

W

)(Vt

X

prostorni tok,

gustoća toka

?)(

Vt

V

gustoća prostornog

toka

ssm

m 13

3

?)(

Vt

m

gustoća masenog

toka

sm

kg

3

vVt

n

)(

brzina reakcije

sm

mol

3

?

Vt

prostorna snaga

3m

W

3. 3. Izvori fizičko-kemijskih podataka

Hemijsko-inţenjerski proračuni zahtijevaju što tačnije podatke o fizičko-kemijskim karakteristikama supstanci. Kao najčešći načini pribavljanja potrebnih podataka mogu se

navesti :

Softver za simulaciju i projektovanje procesa (ASPEN PLUS, CHEMCAD itd.)

On-line kompjuterizovane banke ili baze podataka, preko Interneta

Banke podataka na CD

Interne banke podataka firme Konsultacije sa isporučiocima sirovina i/ili opreme

Eksperimentalno odreĎivanje

Korištenje baza podataka uključuje, pretraţivanje radi nalaţenja pojedinačnih vrijednosti, ili

korištenje procedura – potprograma (subroutine) za predskazivanje ţeljenih vrijednosti

pomoću empirijskih korelacija

Neki od izvora fizičko-hemijskih podataka su,

American Chemical Society, TAPD,ACS,Washington,DC, 1994.

American Chemical Society, Chemical Abstracts Service, DC:ACS. American Petroleum Institute, Technical Data Book – Petroleum Refining.New York,1970.

Dechema, Chemistry Data Series, Deutsche Gesellschaft für Chemisches Apparatewesen e.v.,

Berlin, Germany

Lange_s Handbook of Chemistry and Physics, New York.,McGraw-Hill. Natural Gas Processors Suppliers Association, Engineering Data Book, Tulsa,

Perry,R.H and D.Green,Chemical Engineers_ Hanbook, New York, McGraw- Hill.

Reid,R.C.,J.M.Prausnitz and B.D.Poling, The Properties of Gases and Liquids McGraw-Hill. Yaws, C.L.,Physical Properties, a Guide to the Physical, Thermodynamics and Transport

Property Data of Industrially Important Chemical Compounds, New York. McGraw-Hill.

Journal of Chemical and Engineering Data,

3. 4. Aplikacija kopjurtera u hemijsko m inţenejrstvu

Softveri za numeričku analizu

U današnje vrijeme su za numeričko rješavanje inţenjerskih i naučnih problema na raspolaganju brojni komercijalni softveri. Ovdje nisu dati softveri koji se odnose na numeričko rješavanje

parcijalnih diferencijalnih jednačina, odnosno softveri zasnovani na metodama poput metode

konačnih elemenata - MKE, metode konačnih zapremina - MKZ i slično. Excel

Excel predstavlja proračunsku tabelu (engleski naziv spread sheet) koju je kao dio paketa

Microsoft Office-a razvio Microsoft, Inc. Ovaj programski paket omogućava razne proračune na

podacima rasporeĎenim u redovima i kolonama. Ukoliko se promjeni bilo koji podatak, kompletan proračun koji zavisi od tog promijenjenog podatka se automatski koriguje. Uz ove osnovne

karakteristike, Excel posjeduje i veliki broj ugraĎenih algoritama, kao što su statistički testovi,

deskriptivna statistika, Fourierova analiza, regresija, nelinearna regresija i drugi. Ovaj paket, takoĎer, omogućava i brzo crtanje grafova u različitim stilovima (histogrami, kolone, površine, x − y

grafovi,...), a sa Visual Basic programiranjem, koje je sastavni dio paketa, moguće je pravljenje

sopstvenih windows aplikacija visokog kvaliteta. Ipak, treba napomenuti da ovaj softver nije napravljen za numeričku analizu, ali u svakom slučaju moţe da posluţi za rješavanje mnogih

numeričkih problema. (Web stranica: http://office.microsoft.com/en-gb/excel/default.aspx)

Maple

Maple predstavlja višenamjenski matematički softverski alat visokog kvaliteta sa potpuno integriranim numeričkim i simboličkim računanjem. Sve funkcije softvera su pristupačne iz

WYSIWYG tehničkog okruţenja, a matematički izrazi se ispisuju u prirodnoj notaciji. Uz sve to, tu

su i state-of-the-art grafika, te animacije sa potpunom kontrolom editovanja i prezentacije.(Web stranica: http://www.maplesoft.com/products/Maple/index.aspx)

Mathematica Wolfram Mathematica, jedan od vodećih matematičkih softvera, razvio je Wolfram Research. Slično,

Maple 6 predstavlja sistem sa integriranim numeričkim i simboličkim računanjem. Ovaj softver

obuhvata najveću kolekciju algoritma u jednom sistemu, koji mogu da rade u mnogobrojnim

oblastima numeričkog, grafičkog ili simboličkog računanja. Web stranica:

http://www.wolfram.com/products/mathematica/index.html

MathCAD

Mathcad je rješenje za izradu matematičkih kalkulacija i proračuna koji je naročito pogodan za

inţenjersku primjenu. Radi na numerički i simbolički način i pokriva sva područja matematike.

Unutar Mathcad- a dolaze biblioteke s proračunima primjenjivim u različitim područjima tehničkih

nauka. Karakterizira ga vrlo jednostavno korištenje. U Mathcadu se proračuni upisuju na isti način na

koji bi se upisivali u svesku, uz mogućnost dodavanja tekstualnih dijelova, slika i dijagrama. Samim

tim dokument je vrlo čitak, moţe sluţiti kao krajnji dokument za pohranjivanje znanja, a ponovno je

iskoristiv jer izmjenom ulaznih parametra mjenjamo cijeli proračun. Osim toga, Mathcad radi s

mjernim jedinicama. Mathcad sluţi(Web stranica: http://www.ptc.com/products/mathcad/):

za kombiniranje raznih funkcija za izračunavanje, izradu grafika ili prijenos podataka koja ga čini posebno korisnim kako u inţenjerskoj praksi tako i u drugim oblastima računskih nauka,

matematici, fizici ili hemiji,

istodobnom rješavanju i dokumentiranju inţenjerskih proračuna,

integriranju matematičkih proračuna, teksta, i grafova na jednoj radnoj stranici, integriranju numeričkih i simboličkih znakova,

unapreĎenju matematičkih analiza i izradu proračuna, i

poticanju inovacija i nuĎenju značajnih ličnih i procesnih prednosti. U Matchad-u je moguće:

izvoditi matematičke operacije sa ugraĎenim funkcijama i matematičkim operatorima,

definirati vlastite varijable i funkcije,

izračunavati funkcije i izraze za nizove brojeva, crtati grafike funkcija,

računati sume (redove) i integrale,

izvoditi matrični račun,

izračunavati sisteme jednačina, i linearna interpolacija.

MATLAB

MATLAB je integrirano proračunsko okruţenje koje kombinuje numeričke proračune, naprednu

grafiku i vizualizaciju, sa višim programskim jezikom. Ovaj softverski paket moţe afektivnije da se koristi u mnogo širem opsegu aplikacija u odnosu na gore spomenute pakete. Ove

aplikacije obuhvataju područja procesiranja signala i slika, komunikacija, kontrole dizajniranja,

testiranja i mjerenja, finansijskog modelovanja i analize, te numeričke

biologije. Moguće je MATLAB i integrirati sa drugim programskim jezicima i aplikacijama. (Web stranica: http://www.mathworks.com/products/matlab/ )

4 0. Matematske metode u hemijskom inţenjerstvu

4. 1. Grafička analiza. interpretacija ekperimentalnih podataka

Dijagram rasipanja podataka

Dijagram rasipanja predstavlja grafički prikaz zavisnosti i meĎuzavisnosti izmeĎu promjenljivih, za

koje se ne moţe utvrditi funkcionalna zavisnost, niti se moţe precizno iskazati odreĎenje koji od datih skupova podataka predstavlja nezavisnu, a koji zavisnu promjenljivu. Dijagram ili grafik rasipanja se,

za jednofaktorni eksperiment (zavisnost promjenljivih x i y), konstruiše na osnovu dobivenog

eksperimentalnog skupa podataka, odnosno izmjerenih vrijednosti parova x i y, u pravouglom

koordinatnom sistemu sa specijalno odabranim skalama mjerenja na apscisnoj i ordinatnoj osi. Na apscisnoj osi nanose se vrijednosti nezavisno promjenljive x, a na ordinatnoj osi vrijednosti zavisno

promjenljive y. Tako konstruiran grafik naziva se grafik funkcija eksperimentalnih podataka, odnosno

dijagram rasipanja. Dijagram rasipanja, na očigledan način, omogućava slikovitu predstavu o tome da

li postoji ili ne postoji zavisnost i meĎuzavisnost izmeĎu promjenljivih x i y kao i njen tok (ponašanje) funkcije, tj. pokazuje kako se funkcija mijenja kada njen argument uzima sve vrijednosti iz oblasti

definiranosti. Tako npr., na osnovu nacrtanih eksperimentalnih tačaka moţe se vizualno uočiti oblik

aproksimativne linije: prava, kriva, monotono rastuća, opadajuća ili periodična linija, tačke maksimuma i/ili minimuma ili prevojne tačke. Prevojne tačke eksperimentalne krive na dijagramu

rasipanja mogu značiti granicu izmeĎu dva različita mehanizma iste pojave ili granicu poremećaja u

mjerenju. Dijagram rasipanja, takoĎer, na očigledan način otkriva ekstremne vrijednosti, pa je najpogodnija metoda analize pri odreĎivanju optimuma. Na dijagramu rasipanja se, isto tako, mogu

lako uočiti grube greške, a često i sistematske i slučajne greške ravnomjernim rasipanjem

eksperimentalnih podataka oko aproksimativne krive. Dijagram rasipanja se koristi da bi se

ilustrovalo kako izlazne karakteristike objekta istraţivanja variraju zbog nekog odreĎenog faktora (promjenljive). Na osnovu izgleda oblika eksperimentalnih tačaka u dijagramu rasipanja moţe se

utvrditi karakter i intenzitet istraţivane zavisnosti i meĎuzavisnosti. Zavisnost i meĎuzavisnost, na

osnovu dijagrama rasipanja, moţe biti : linearna zavisnost eksperimentalnih tačaka, koja predstavlja pravolinijski oblik dijagrama

rasipanja i

nelinearna zavisnost eksperimentalnih tačaka, koja predstavlja krivolinijski oblik dijagrama rasipanja

Zavisnost i meĎuzavisnost, zavisno od oblika dijagrama rasipanja, moţe biti:rastuća ili pozitivna

zavisnost eksperimentalnih tačaka, koja na dijagramu rasipanja označava upravo proporcionalnu vezu

izmeĎu promjenljivih, odnosno sa porastom nezavisno promjenljive x zavisno promjenljiva y, takoĎer, raste(slučaj kada je koeficijent korelacije pozitivan, veći od nule: 0<r<+1) I opadajuća ili

negativna zavisnost eksperimentalnih tačaka, koja na dijagramu rasipanja pokazuje da je veza izmeĎu

promjenljivih obrnuto proporcionalna, odnosno opadanjem nezavisno promjenljive x dovodi do opadanja i zavisno promjenljive y (slučaj kada je koeficijent korelacije negativan, manji od nule:

0>r>-1)

jaka meĎuzavisnost, koja pokazuje da su eksperimentalne tačke na dijagramu rasipanja vrlo bliske

nekoj funkcionalnoj zavisnosti, odnosno teorijskoj aproksimativnoj krivoj (ako se sve eksperimentalne tačke na dijagramu rasipanju nalaze na aproksimativnoj krivoj tada se kaţe da postoji

potpuna meĎuzavisnost, što je jedna teorijska mogućnost, slučaj kada je i koeficijent korelacije jednak

jedinici: r=1) I slaba meĎuzavisnost, koja pokazuje da su eksperimentalne tačke na dijagramu rasipanja nisu bliske nijednoj teorijskoj aproksimativnoj krivoj, (ako eksperimentalne tačke na

dijagramu rasipanju označavaju nezavisnost jedne promjenljive od druge tada se kaţe da postoji

potpuno odsustvo meĎuzavisnosti, slučaj kada je i koeficijent korelacije jednak nuli, r=0).

Regresiona analiza

Regresiona analiza je metod kojim se ispituje i utvrĎuje zavisnost izmeĎu dvije ili više promjenljivih,

tj. sagledava uticaj promjene jedne ili više promjenljivih na promjenu drugih promjenljivih. Pri tome su x1, x2, ..., xk nezavisno promjenljive koje utiču i uslovljavaju veličinu zavisno promjenljive y.

Nezavisno promjenljive se u teoriji eksperimenta nazivaju faktori, a zavisno promjenljiva rezultat

eksperimenta. Naziv regresija (povlačenje, vraćanje unazad) nastao je slučajno i nema nikakve veze sa metodom. Potiče iz proučavanja nasljeĎa (uticaj visine očeva na visinu sinova) koju je izvodio

engleski antropolog F. Galton krajem XIX vijeka. Pokazalo se da izmeĎu njih postoji zavisnost,

odnosno tendencija, da sin bude iste visine kao i otac, ali da su sinovi ipak manji od očeva. Od tada je

metoda ispitivanja zavisnosti izmeĎu pojava, odnosno povlačenje od osnovnog zaključka, u matematičkoj statistici dobio naziv regresiona analiza.

U matematici postoje dva oblika zavisnosti :

o funkcionalna zavisnost izraţena pomoću matematičkih jednačina tako da svakoj kombinaciji

vrijednosti nezavisno promjenljivih x1, x2, ..., xk tačno odgovara vrijednost za y i o stohastička ili statistička zavisnost koja se na osnovu eksperimentalnih podataka moţe izraziti

pomoću očekivane zavisnosti ili regresione jednačine (aproksimativne krive), tako da svakoj

mjerenoj kombinaciji vrijednosti nezavisno promjenljivih x1, x2, ..., xk odgovara računska

vrijednost za y i greška eksperimenta (regresije) ε=y-ŷ od čije veličine zavisi preciznost predviĎanja regresione jednačine.

To znači da se kao rezultat regresione analize dobiva regresiona zavisnost, koja se često naziva matematički model objekta istraţivan ŷ= f (x1, x2, ..., xk) i standardna greška regresije ε.

Regresiona, odnosno matematička, zavisnost pruţa mogućnost da se za svako xX izračuna odgovarajuća vrijednost za funkciju, ŷ = f (x1, x2, ..., xk) primjenjujući naznačene operacije u

analitičkom izrazu. Regresiona jednačina je adekvatnima što je greška eksperimenta ε=y-ŷ manja, tj.

ako računske vrijednosti zavisno promjenljive ŷ više odgovaraju izmjerenim vrijednostima y. Na slikama Sl.1 i Sl.2 prikazani su primjeri kada podaci dobiveni eksperimentom imaju pravolinijsko

rastući ili opadajući trend.

Slika 2.Pravolinijsko padajuća funkcija Slika 3.Pravolinijsko rastuća funkcija

Na Sl. 3 i Sl. 4 grafički su prikazani slučajevi kada podaci imaju krivolinijsko rastući ili padajući trend.

Slika 4. Krivolinijsko padajuća funkcija Slika 5. Krivolinijsko rastuća funkcija

Na Sl. 5 i Sl. 6 grafički su prikazani slučajevi kada podaci imaju oscilatorno ili nema

zakonomjernosti.

Slika 6. Oscilirajuća funkcija Slika 7. Nema zakonomjernosti

Pod pretpostavkom da se iz rasturanja podataka moţe zaključiti da rasipanje i raspored parova podataka o promatranim pojavama u pravolinijskom smjeru i obliku tada se treba opredijeliti za

linearnu funkciju. To je ona srednja linija koja prolazi izmeĎu parova podataka promatranih serija.

Linija regresije prolazi izmeĎu parova podataka promatranih pojava tako da zbir normalnih

odstojanja točaka na grafikonu od linije regresije bude ravan nuli odnosno da zbir kvadrata tih odstojanja bude minimalan.

Linearna regresija, oblik funkcije, Y= A + BX

Primjer 1. Eksperimentalni podaci dobiveni mjerenjem izduţenja štapa grijanjem predstavljeni su u Tab. 19.,

Tabela 19. Eksperimentalni podaci mjerenja duţine štapa o temperaturi

Temperatura, C 10 15 20 25 30

Duţina, (mm) 1003 1005 1010 1008 1014

Naći funkcionalnu ovisnost duţine štapa o temperaturi i izduţenje štapa na temperaturi 21,46 C?

Rješenje:

Odsječak na y osi:

22 )( xxn

yxyxnb

nagib pravca:

n

xbya

koeficijent korelacije:

2222 )()( yynxxn

yxyxnr

a) Eksperimentalni podaci prikazani su na Sl. 7

1000

1005

1010

1015

10 15 20 25 30

Temperatura

Duži

na

Slika 8. Eksperimentalni podaci

b) Matematička obrada podataka dana je u Tab. 20.,

Tabela 20. Matematička obrada podataka

Br. T = x l = y xy xx yy

1 10 1003 10030 100 1006009

2 15 1005 15075 225 1010025

3 20 1010 20200 400 1020100

4 25 1008 25200 625 1016064

5 30 1014 30420 900 1028196

Ukupno: 100 5040 100925 2250 5080394

Uvrštavanjem u jednačinu,

22 )( xxn

yxyxnb

dobiva se vrijednost koeficijenta b, b=0,5. Uvrštavanjem dobivenih podataka u jednačinu,

n

xbya

dobiva se vrijednost koeficijenta a, a=998. Rješavanjem jednačine,

2222 )()( yynxxn

yxyxnr

dobiva se vrijednost koeficijenta r, r=0,919. Ovisnost duţine štapa o temperaturi dana je slijedećom

relacijom, l = 998 + 0,5t.

Na temperaturi 21,46C duţina štapa iznosi,

l = 998 + 0,5 21,46=1008,73 mm

Nelinearna regresija,oblik funkcije, Y=AXB

Primjer 2. Analiza potrošnje goriva u automobilima i količina CO2 u izduvnom plinu data je u Tab.

21.,

Tabela 21. Eksperimentalni podaci potrošnje goriva u automobilima i količina CO2 u izduvnom plinu,

m (kg) 3,70 5,12 7,17 9,40 11,42 12,30

x(co2 )% 2,12 3,74 7,04 11,60 15,30 19,00

Ako se dnevno potroši 50000 kg goriva izračunati količinu osloboĎenog CO2 ?

Rješenje:

a) formiranje sistema jednačina na osnovu eksperimentalnih podataka i rješavanje” metodom polovljenja “

Na osnovu eksperimentalnih podaka moguće je zapisati slijedeći sistem Jednačina:

log 3,70 = log A + B log 2,12 (1) log 5,12 = log A + B log 3,74 (2)

log 7,17 = log A + B log 7,04 (3)

log 9,40 = log A + B log 11,60 (4) log 11,42 = log A + B log15,30 (5)

log 12,30 = log A + B log 19 (6)

Sumiranjem prve tri i preostale tri jednačine dobiva se sistem od dvije jednačine sa dvije nepoznate:

2,1329 = 3logA + b 1,7466

3,1206 = 3 log A + b 3,5278

Rješenjem sistema jednačina dobivaju se vrijednosti koeficijenta, a=2,4441i b=0,5545.

b) Eksperimentalni podaci su prikazani na Sl. 8

05

101520

3,7 5,12 7,17 9,4 11,4 12,3

potrošnja goriva

ud

io C

O2

Slika 9. Grafička prezentacija eksperimentalnih podataka

Linearizacijom funkcije:

K =A XB / (log)

logK = logA + B logX

Nakon linearizacije podaci su prikazani na Sl. 9

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0,33 0,57 0,85 1,06 1,18 1,28

x

log

y

Slika 10. Podaci nakon linearizacije

Matematička obrada podataka dana je u Tab. 22.,

Tabela 22. Matematička analiza eksperimentalnih podataka

br. y x logx logy logx log y logx logx logy logy

1 3,7 2,12 0,326 0,56 0,18 0,10 0,32

2 5,12 3,74 0,572 0,70 0,40 0,32 0,50

3 7,17 7,04 0,847 0,85 0,72 0,71 0,73

4 9,4 11,6 1,064 0,97 1,03 1,13 0,94

5 11,42 15,3 1,184 1,05 1,25 1,40 1,11

6 12,3 19 1,278 1,08 1,39 1,63 1,18

ukupno 49,11 58,8 5,274 5,25 4,99 5,32 4,81

Nakon analize eksperimentalnih podataka i njihovog uvrštavanja u jednačinu,

22 )( xxn

yxyxnb

dobiva se vrijednost koeficijenta b, b=0,5537. Uvrštavanjem dobivenih podataka u jednačinu,

n

xbya

dobiva se vrijednost člana a, loga=0,38 odnosno a=2,4434. Koeficijent korelacije sračunat prema

jednačini,

2222 )()( yynxxn

yxyxnr

iznosi, r= 0,9994.

Oblik funkcije, Y=10(A+BX)

Primjer 3. Potrebno je odrediti empirijsku formulu zavisnosti izmeĎu količine absorbovanog benzena

u sintetičkom kaučuku x (%), i otpornosti čvrstoće na kidanje, y, na osnovu eksperimentalnih podataka prikazanih u Tab. 23.,

Tabela 23. Eksperimentalni podaci apsorpcije benzena u sintetičkom kaučuku

absor.benzen x,mas.%) 0 0,61 1,04 1,68 2,71 5,13 7,86 21,50 31

čvrs. na kidanje, y 3615 3650 3605 3445 3320 2890 2685 1360 925

Naći funkcionalnu ovisnost otpornosti na kidanje od količine absorbovanog benzena i vrijednost

otpornosti za 18,5 % benzena?

Rješenje:

a)formiranje sistema jednačina na osnovu eksperimentalnih podataka i rješavanje” metodom polovljenja “

log 3615 = a + b 0 (1)

log 3650 = a + b 0,61 (2)

log 3605 = a + b 1,04 (3)

log 3445 = a + b 1,68 (4)

log 3320 = a + b 2,71 (5)

log 2890 = a + b 5,13 (6)

log 2685 = a + b 7,86 (7)

log 1360 = a + b 21,50 (8)

log 925 = a + b 31 (9)

Sumiranjem prvih pet i naredne četiri jednačine dobiva se sistem od dvije jednačine sa dvije

nepoznate:

17,7356=5 a + 6,04 b

12,9894=4 a + 65,49 b

Rješenjem sistema Jednačina dobivaju se koeficijenti, a=3,5710, b=-0,01977 i funkcija ima oblik xy 01977,05710,310

Eksperimentalni podaci dati su u grafičkoj formi na Sl. 10,

500

1500

2500

3500

4500

0 0,61 1,04 1,68 2,71 5,13 7,86 21,50 31

x

y

Slika 11. Eksperimentalni podaci u grafičkoj formi

Nakon linearizacije funkcije

log y = a + b x

Dobiveni podaci su prikazani na Sl. 11

2,8

3,2

3,6

4

0 0,61 1,04 1,68 2,71 5,13 7,86 21,50 31

x

log

Y

Slika 12. Eksperimentalni podaci u grafičkoj formi

Matematička obrada podataka

b) Analiza eksperimentalnih podataka je prikazana u Tab. 24.,

Tabela 24. Proračun koeficijenta potrebnih za formiranje funkcionalnog zapisa

br. y x logy x logy xx logy logy

1 3615 0 3,55 0 0 12,66

2 3650 0,61 3,56 2,17 0,37 12,68

3 3605 1,04 3,55 3,69 1,08 12,65

4 3445 1,68 3,53 5,94 2,82 12,51

5 3320 2,71 3,52 9,54 7,34 12,39

6 2890 5,13 3,46 17,75 26,31 11,97

7 2685 7,86 3,42 26,95 61,77 11,75

8 1360 21,5 3,13 67,37 462,25 9,81

9 925 31 2,96 91,95 961 8,79

25495 71,53 30,72 225,38 1522, 105,2

Uvrštavanjem u jednačinu,

22 )( xxn

yxyxnb

dobiva se vrijednost koeficijenta b, b=-0,02. Uvrštavanjem dobivenih podataka u jednačinu,

n

xbya

dobiva se vrijednost koeficijenta a, a=3,5706. Koeficijent korelacije sračunat prema jednačini,

2222 )()( yynxxn

yxyxnr

r=0,999. Funkcija ima oblik, xy 02,05706,310

Za količinu absorbovanog benzena od 18,5%, otpornost gume na kidanje iznosi 1587 .

Oblik funkcije ,Y=a10(bX)

Primjer Na osnovu eksperimentalnih podataka mjerenjem visine (km) i atmosferskog pritiska

dobiveni su podaci prikazani u Tab. 25.,

Tabela 25. Eksperimentalni podaci mjerenja nadmorske visine i atmosferskog pritiska

p (mmHg) 760 674,8 598 528,9 466,6 410,6 360,2

h (km) 0 1 2 3 4 5 6

Rješenje: a) formiranje sistema jednačina na osnovu eksperimentalnih podataka i rješavanje” metodom

polovljenja “

log 760 =log A + B0 (1)

log 674,8=logA+B1 (2)

log 598=logA+B2 (3)

log 528,9=logA+B3 (4)

log 466,6=logA+B4 (5)

log 410,6=logA+B5 (6)

log 360,2=logA+B6 (7) Sumiranje prve četiri i naredne tri jednačine dobiva se sistem od dvije jednačine sa dvije nepoznate:

11,2101=4 logA + b 6

7,83891=3 logA +b15

Rješavanjem sistema jednačina dobiva se loga =2,883885 i vrijednost a=765,3939 i b=- 0,05424 te

funkcija ima oblik hy 05424,0103939,765

a) Eksperimentalni podaci su prikazani Sl. 12,

300

450

600

750

0 1 2 3 4 5 6

visina

pri

tisa

k

Slika 13. Eksperimentalni podaci prikazani grafički

Slika rasturanja podataka

Nakon linearizacije funkcije: log p = loga + b h

Podaci nakon linearizacije su prikazani na Sl. 13,

2,5

2,7

2,9

0 1 2 3 4 5 6

x

log

y

Slika 14. Podaci nakon linearizacije

Matematička obrada podataka prikazana je u Tab. 26

Tabela 26. Matematička obrada podataka

br. y x logy xy xx yy

1 760 0 2,880 0 0 8,299

2 674,8 1 2,829 2,8291 1 8,004

3 598 2 2,776 5,5534 4 7,710

4 528,9 3 2,723 8,1701 9 7,416

5 466,6 4 2,668 10,675 16 7,123

6 410,6 5 2,613 13,067 25 6,829

7 360,2 6 2,55 15,339 36 6,535

total 21 19,04 55,634 91 51,91

Uvrštavanjem u jednačinu,

22 )( xxn

yxyxnb

dobiva se vrijednost koeficijenta b, b=-0,054. Uvrštavanjem dobivenih podataka u jednačinu,

n

xbya

dobiva se vrijednost koeficijenta, loga=2,8833, a=102,8833

= 764,36.

Koeficijent korelacije sračunat prema jednačini,

2222 )()( yynxxn

yxyxnr

i iznosi r=0,999, te funkcija ima oblik hy 054,01036,764

Oblik funkcije,Y=Ae(Bx)

PrimjerPri proračunu brzine hemijske reakcije u reaktoru i količine materije nastale u vremenu,

(funkcionalna ovisnost y = ae (b )

), dobiveni su podaci prikazani u Tab. 27

Tabela 27. Eksperimentalni podaci o provedenoj hemijskoj reakciji

,(S) 3 6 9 12 15 18 21 24

Y,(kmol/s) 57,6 41,9 31 22,7 16,6 12,2 8,9 6,5

Nakon analize eksperimentalnih podataka i njihovog uvrštavanja u jednačinu

xxxn

yxyxnb

2

dobiva se vrijednost koeficijenta b, b=1,8288272. Uvrštavanjem dobivenih podataka u jednačinu,

n

xbya

dobiva se vrijednost koeficijenta a, a=-0,007626 te se dobiva analitički zapis funkcije, )8288272,1(007626,0 ey

Primjer 4Čistoća fenola, kao finalnog produkta, često se, u laboratoriji utvrĎuje preko njegove tačke

kristalizacije (mrţnjenja). Zavisnost temperature kristalizacije fenola od sadrţaja vode u njemu dati u

Tab. 28.,

Tabela 28. Eksperimentalni podaci zavisnosti temperature kristalizacije fenola od sadrţaja vode

sadrţaj vode, mas% 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

temp.kristalizacije 40,54 40,14 39,75 39,36 38,97 38,57

Utvrditi analitički oblik zavisnosti kojim se opisuje temperatura kristalizacije fenola od sadrţaja vode

u uzorku. Kolika je temperatura kristalizacije čistog fenola? Koliki je sadrţaj fenola u uzorku čije je

ledište 38,1°C?

Rješenje

a) Eksperimentalni podaci su prikazani na Sl. 14,

37

39

41

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6

Sadržaj vode

Tem

p. kri

st.

Slika 15 Eksperimentalni podaci prikazani u grafičkom obliku

b) Matematički obraĎeni podaci prikazani su u Tab. 29.,

Tabela 29. Matematska obrada podataka

br. x (%) t xt xx tt

1 0,1 40,54 4,054 0,01 1643,49

2 0,2 40,14 8,028 0,04 1611,22

3 0,3 39,75 11,925 0,09 1580,06

4 0,4 39,36 15,744 0,16 1549,21

5 0,5 38,97 19,485 0,25 1518,66

6 0,6 38,57 23,142 0,36 1487,64

Ukupno: x=2,1 t=237,33 xt=82,378 xx=0,91 tt=9390,29

Nakon analize eksperimentalnih podataka i njihovog uvrštavanja u jednačinu,

xxxn

yxyxnb

2

dobiva se vrijednost koeficijenta b, b= -3,929. Uvrštavanjem dobivenih podataka u jednačinu,

n

xbya

dobiva se vrijednost člana a=40,93.Koeficijent korelacije računa prema jednačini,

2222 )()( yynxxn

yxyxnr

i iznosi r=1.Funkcionalna ovisnost poprima slijedeći oblik, t=40,93-3,929x. Temperatura

kristalizacije čistog fenola iznosi 40,93 C. Sadrţaj fenola u uzorku čiji je ledište 38,1 C iznosi 0,720363 %.

Oblik funkcije, Y=AXB+C

Primjer Analizirana zavisnost izmeĎu količine supstance koja se uparava u uparivaču, y, i količine

koja je isparila u vremenu od jednog sata x(kg/h) i dobiveni podaci su dati u Tab. 30,

Tabela 30. Eksperimentalni podaci o sadrţaju supstance koja se uparava u rastvoru i uparene količine

y 0,10 0,28 0,80 1,38 2,56 4,10

x 250 500 900 1200 1600 2000

Rješenje:

b) Dobiveni eksperimentalni podaci prikazani su na Sl. 15,

012345

250 500 900 1200 1600 2000

x

y

Slika 16. Eksperimentalni podaci prikazani u grafičkom obliku

Nakon linearizacije eksperimentalnih podataka dobiva se linearna zavisnost, prikazana na Sl. 16,

-1,3

-0,8

-0,3

0,2

0,7

2,397 2,669 2,954 3,079 3,204 3,301

log x

log(y

-c)

Slika 17. Eksperimentalni podaci nakon linearizacije

Matematska analiza podataka dana je u Tab. 31.,

br. y x logx log(y-c) logx log(y-c) logx logx log(y-c) log(y-c)

1 0,1 250 2,39794 -1,284 -3,0789 5,75012 1,6486

2 0,28 500 2,69897 -0,6345 -1,7125 7,28444 0,4026

3 0,8 900 2,95424 -0,1238 -0,3656 8,72755 0,0153

4 1,38 1200 3,07918 0,1245 0,383 9,48136 0,0155

5 2,56 1600 3,20412 0,40002 1,281 10,2664 0,1600

6 4,1 2000 3,30103 0,60767 2,005 10,8968 0,3690

Ukupno: 9,22 6450 17,6355 -0,9101 -1,486 52,4066 2,6110

Tabela 31. Matematska analiza podataka

Logaritmiranjem lijeve i desne strane jednačine:

log ( Y-C ) =log A + B log X

dobiva se linearna ovisnost log(y-c) naspram log x .

Na grafiku uočiti krajnje tačke,x=25 , y=0,1 i x=2000 y=4,10.

213 xxx = 2000250 =707

Za x3=707 na grafiku odgovara y3=0,507

Za sistem od tri jednačine:

bxacy 11 (1)

bxacy 22 (2)

bxacy 33 (3)

bbb

b axaxxxaxa 21213

))(( 213 cycycy

0408,0507,0210,410,0

507,010,41,0

2

2

321

2

321

yyy

yyyc

Formira se sistem od šest Jednačina:

Log (y-c)=log(a) + b log(x)

log ( 0,10 -0,048 ) = log a + b log 250 (1)

log ( 0,28 -0,048 ) = log a + b log 500 (2)

log ( 0,80 -0,048 ) = log a + b log 900 (3) log ( 1,38 -0,048 ) = log a + b log 1200 (3)

log ( 2,56 -0,048 ) = log a + b log 1600 (4)

log ( 4,10 -0,048 ) = log a + b log 2000 (5)

Sumiranjem prve tri i prestale tri jednačine dobiva se sistem od dvije jednačine sa dvije nepoznate

-2,0423 = 3 log a + b 8,0511

-1,1322 = 3 log a + b 9,5843

nalaze se vrijednosti za koeficijente a=5,78910-7

i b=2,071,tako da je konačan oblik funkcije,

048,010789,5 27 xy

Oblik funkcije,Y=10a+bx

+c

Primjer Ispitivana je rastvorljivost NaCl u vodi (g/100 g vode) u ovisnosti od temperature i dobiveni podaci su dati u Tab. 32.,

Tabela 32. Eksperimentalni podaci rastvorljivosti natrijum klorida u vodi

y-NaCl(%) 5 7.40 10,50 14 19,30 24,3

T,C 10 20 30 40 50 60

Rješenje: Logaritmiranjem lijeve i desne strane jednačine:

log ( Y - C ) = A + B X Za krajnje vrijednosti x1 i x2 nalazi se aritmetička sredina i vrijednost x3 odnosno y3. Nakon

zapisivanja sistema Jednačina

11 )log( xbacy (1)

22 )log( xbacy (2)

33 )log( xbacy (3)

tako da je:

22

213

xxb

aaxba

)()(2

1213 bxabxaxba

))(log(2

1)log( 213 cycycy

))(( 213 cycycy

321

2

321

2yyy

yyyc

a) formiranje sistema Jednačina:

log ( y-c ) = a + b x

log ( 5 + 4,82 )= a + b 10 (1)

log(7,40 + 4,82 )= a + b 20 (2)

log(10,50+ 4,82 )= a + b 30 (3)

log( 14 + 4,82 )= a + b 40 (4)

log(19,30 + 4,82 )= a + b 50 (5)

log(24,30+ 4,82 )= a + b 60 (6)

Sumiranjem prve tri jednačine a nakon toga i prestale tri dobiva se sistem od dvije jednačine sa dvije

nepoznate.

3,2644 = 3 a + b 60

4,1210 = 3 a + b150

dobivaju se vrijednosti za koeficijente, b=0,0095177; a=0,8977 tako da Jednačina ima oblik,

82,410 00955,08973,0 xy

Podaci dobiveni eksperimentom prikazani su na Sl. 17,

x

y

0

5

10

15

20

25

10 20 30 40 50 60

Slika 18. Podaci dobiveni eksperimentom

Nakon linearizacije podatak dobivene su vrijednosti prikazane na Sl. 18,

xlo

g y

+4,8

2

0.8

1.05

1.3

1.55

10 20 30 40 50 60

Slika 19. Podaci nakon linearizacije

Matematička obrada podataka prikazan je u Tab. 33.,

Tabela 33. Matematička obrada podataka

br. y x log(y-c) x log(y-c) xx log(y-c) log(y-c)

1 5 10 0,99 9,92 100 0,98

2 7,4 20 1,08 21,74 400 1,18

3 10,5 30 1,18 35,55 900 1,40

4 14 40 1,27 50,98 1600 1,62

5 19,3 50 1,38 69,11 2500 1,91

6 24,3 60 1,46 87,85 3600 2,14

Ukupno 80,5 210 7,38 275,17 9100 9,25

Nakon analize eksperimentalnih podataka i njihovog uvrštavanja u jednačinu,

22 )( xxn

yxyxnb

dobiva se vrijednost koeficijenta b, b=0,00953. Uvrštavanjem dobivenih podataka u jednačinu,

n

xbya

dobiva se vrijednost člana a=0,89737. Koeficijent korelacije računa prema jednačini,

2222 )()( yynxxn

yxyxnr

i iznosi 0,999629 tako da Jednačina ima oblik, 82,410 00953,089737,0 xy .

Oblik funkcije, Y=a+bx+cx2

Primjer Eksperimentalni podaci odreĎivanja temperature ključanja smjese etanol- voda pri različitih

sadrţaja vode u smjesi dati su u Tab. 34.,

Tabela 34. Podaci o temperaturi ključanja sistema etanol-voda

y(%) 0,59 0,95 1,43 2,05 2,78 3,65

x(c) 0 20 40 60 80 100

Rješenje:

2

11 cxbxay

)()( 2

1

2

11 xxcxxbyy

11

1

1 )( cxcxbxxcbxx

yy

te je izmeĎu članova

1

1

xx

yy

i x linearna ovisnost.

a)Formiranje sistema jednačina:

0,0018 = a + 20 b (1)

0,0210 = a + 40 b (2)

0,0243 = a + 60 b (3) 0,0274 = a + 80 b (4)

0,0306 = a + 100 b (5)

Sumiranjem prve tri i preostale dvije jednačine nastaje sistem od dvije jednačine sa dvije nepoznate

0,0633 = 3 a + 120 b

0,0580 = 2 a + 180 b Rješavanjem sistema jednačina dobivaju se vrijednosti koeficijenata a=0,0143 i b=0,00016 te

rješavanjem jednačine,

xxx

yy

00016,00143,0

1

1

dobiva se funkcionalni zapis, 200016,00143,059,0 xxy

Eksperimentalni podaci su prikazani na Sl. 19,

01234

0 20 40 60 80 100

Temperatura

Sad

ržaj

vode

Slika 20. Grafička prezentacija eksperimentalnih podataka

Nakon linearizacije podaci su prikazani na Sl. 20

0,0150,0180,0210,0240,0270,03

20

40

60

80

100

temperatura

(y-y

1)/

(x-x

1)

Slika 21. Podaci nakon linearizacije

Matematska obrada podataka dana je u Tab. 35.,

Tabela 35.Matematska analiza podataka

br. y x y-y1 x-x1 x (y-y1)/(x-x1) x(y-y1)(x-x1) xx (y-y1)/(x-x1)(y-y1)(x-x1)

1 0,59 0 0 0 0 0 0 0 0

2 0,95 20 0,36 20 20 0,018 0,36 400 0,00032

3 1,43 40 0,84 40 40 0,021 0,84 1600 0,0004

4 2,05 60 1,46 60 60 0,024 1,46 3600 0,0005

5 2,78 80 2,19 80 80 0,027 2,19 6400 0,0007

6 3,65 100 3,06 100 100 0,03 3,06 10000 0,0009

11,45 300 300 0,121 7,91 22000 0,0030

Nakon analize eksperimentalnih podataka i njihovog uvrštavanja u jednačinu,

22 )( xxn

yxyxnb

dobiva se vrijednost koeficijenta b, b=0,000158. Uvrštavanjem dobivenih podataka u jednačinu,

n

xbya

dobiva se vrijednost člana a=0,0148.

Koeficijent korelacije računa prema jednačini,

2222 )()( yynxxn

yxyxnr

i dobiva se vrijednost r=0,9999 tako da funkcija poprima oblik2000158,00148,059,0 xxy

Oblik funkcije,xba

xy

Primjer 1.Eksperimentalni podaci za ravnoteţu sistema sirćetna kiselina-diacetat--propilenglikol, gdje x i y predstavljaju molske udjele sirćetne kiseline u tečnoj i parnoj fazi dat su u Tab. 36,

Tabela 36. Ravnoteţni podaci za sistem sirćetna kiselina-diacetat- propilenglikol

y 0,572 0,748 0,836 0,888 0,923 0,947 0,967 0,980

x 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8

Rješenje:

Funkcija oblika,

xba

xy

moţe se zapisati u formi:

bx

a

y

1

gdje odnos 1/y i 1/x predstavlja linearnu zavisnost.

a) Formiranje sistema bilansnih Jednačina:

1,748 = a +10,00 b (1)

1,337 = a +5,000b (2)

1,196 = a +3,333b (3)

1,126 = a +2,500b (4) 1,083 = a +2,000 b (5)

1,056 = a +1,667 b (6)

1,034 = a +1,429 b (7) 1,020 = a +1,250 b (8)

Sumiranjem prve četiri i naredne četiri jednačine nastaje sistem, 5,407 = 4 a +20,833 b

4,193 = 4 a +6,346 b

Rješenjem sistema jednačini dobivaju se vrijednosti koeficijenta a= 0,9153 i b= 0,0838, te se moţe

zapisati,

xy

0838,09153,0

1

odnosno,

x

xy

9153,00838,0

Eksperimentalni podaci su grafički prikazani na Sl. 21.,

0,5

0,7

0,9

1,1

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8

x

y

Slika 22. Grafička prezentacija eksperimentalnih podataka

Nakon linearizacije grafička prezentacija podataka je prikazana na Sl. 22.,

11,21,41,61,8

10 5

3,33

32,

5 2

1,66

7

1,42

91,

25

x

y

Slika 23. Grafička prezentacija nakon linearizacije

Matematička analiza podatak je dana u Tab. 37.,

Br. y x 1/x 1/y (1/x)(1/y) (1/x)(1/x) (1/y)(1/y)

1 0,572 0,1 10 1,748 17,4825 100 3,05638

2 0,748 0,2 5 1,336 6,6844 25 1,7872

3 0,836 0,3 3,33 1,196 3,9872 11,111 1,4308

4 0,888 0,4 2,5 1,126 2,8153 6,25 1,2681

5 0,923 0,5 2 1,083 2,16684 4 1,1738

6 0,947 0,6 1,66 1,055 1,75994 2,7777 1,1150

7 0,967 0,7 1,42 1,034 1,4773 2,0408 1,0694

8 0,98 0,8 1,25 1,020 1,275 1,5625 1,0412

Ukupno 6,861 3,6 27,17 9,601 37,649 152,74 11,9421

Tabela 37. Matematička analiza podataka

Nakon analize eksperimentalnih podataka i njihovog uvrštavanja u jednačinu,

22 )( xxn

yxyxnb

dobiva se vrijednost koeficijenta b, b=0,08327. Uvrštavanjem dobivenih podataka u jednačinu,

n

xbya

dobiva se vrijednost člana a=0,91727. Koeficijent korelacije računa prema jednačini,

2222 )()( yynxxn

yxyxnr

i iznosi r=0,9997 tako da funkcija ima oblik,

x

xy

91727,008327,0

Funkcija oblika , )/(10 XbaY

Primjer Toluendiizocijanat je jedna od sirovina za proizvodnju poliuretanskih U procesu proizvodnje

poliuretana potrebno je znati zavisnost viskoziteta toluendiizocijanata i gustoće od temperature. Mjerenjem gustoće i viskoziteta toluendiizocijanata u laboratoriju u ovisnosti o temperaturi dobiveni

su rezultati prikazani u Tab. 38.,

Tabela 38. Eksperimentalni podaci dobiveno mjerenjem gustoće toluendiizocijanata u laboratoriju

Temp.(°c) 20 30 40 50 60 70 80

Gustoća,(g/cm3) 1,2205 1,2105 1,2004 1,1903 1,1803 1,1702 1,1601

Fukcionalna ovisnost gustoće o temperaturi je pravac dok je viskoznost u funkciji o temperaturi

=10(a+b/T)

Rješenje:

Analiza podataka je prikazana u Tab. 39.,

Tabela 39. Proračun koeficijenta u jednačini funkcionalne ovisnosti

x y xy xx

1 20 1.2205 24.41 400

2 30 1.2105 36.315 900

3 40 1.2004 48.016 1600

4 50 1.1903 59.515 2500

5 60 2.1803 130.818 3600

6 70 1.1702 81.914 4900

7 80 1.1601 92.808 6400

=350 =8.3323 =413.796 =20300

Uvrštavanjem u jednačinu,

xxxn

yxyxnb

2

dobiva se vrijednost koeficijenta b, b=-0,001006. Uvrštavanjem dobivenih podataka u jednačinu,

n

xbya

dobiva se vrijednost koeficijenta a, a=1,240667 te se dobiva analitički zapis funkcije

Y=1.240668-0.00101*x

b) Podaci o viskoznosti su prikazani u Tab. 40.,

Tabela 40. Eksperimentalni podaci dobiveni mjerenjem viskoznosti toluendiizocijanata u laboratoriju

Temperatura, (°c) 20 30 40 50 60 70 80

Viskozitet,(cp) 3,06 2,49 2,06 1,72 1,46 1,24 1,07

Rješenje:

Analiza podataka je prikazana u Tab. 41.,

Tabela 41. Proračun koeficijenta u jednačini funkcionalne ovisnosti

x 1/x y (1/x)y (1/x)(1/x) logy

1 20 0.050 3.06 0.153 0.0025 0.4857

2 30 0.033 2.49 0.083 0.00111 0.3961

3 40 0.025 2.06 0.051 0.00062 0.3138

4 50 0.020 1.72 0.034 0.0004 0.2355

5 60 0.016 1.46 0.024 2.77778E- 0.1643

6 70 0.014 1.24 0.017 2.04082E- 0.093

7 80 0.012 1.07 0.013 0.013375 0.0293

=350 =0.171785 =13.1 =0.377322 =0.018492 =1.718474

Uvrštavanjem u jednačinu,

xxxn

yxyxnb

2

dobiva se vrijednost koeficijenta b, b= 0.862794. Uvrštavanjem dobivenih podataka u jednačinu,

n

xbya

dobiva se vrijednost koeficijenta a, a=0.224322 te se dobiva analitički zapis funkcije

Y=0,22432+0,862794x.

4. 2. Greške mjerenja

Prilikom osmišljavanja i postavljanja eksperimenta, tokom provoĎenja istraţivanja i obrade podataka,

od posebnog značaja je da eksperimentator izvrši analizu grešaka mjerenja, kako bi mogao da isključi ili umanji njihova dejstva na odgovarajuće zaključke i dobivene rezultate. Greške koje se pojavljuju

tokom eksperimenta mogu da se kategorišu u nekoliko grupa:

sistematske greške,

slučajne greške i grube greške.

Sistematske greške predstavljaju greške mjerenja odreĎene veličine, pri čemu srednja vrijednost

uzastopnih očitavanja odstupa od poznate tačne vrijednosti. Ove greške se manifestuju nezavisno od broja uzastopnih očitavanja konkretnog parametra.

Srednja vrijednost rezultata mjerenja, koja se odreĎuje po jednačini:

moţe da odstupa od tačne vrijednosti μ tako da bude:

Ako se odstupanje ponavlja iz mjerenja u mjerenje - radi se o sistematskim greškama. MeĎutim,

postoji mogućnost i da mjeni instrument ima veliko sopstveno rasipanje rezultata i tada se radi o

slučajnim greškama. Kada se prilikom mjerenja dobije odstupanje

to moţe da ukaţe na situaciju kod koje pri velikom rasipanju rezultata mjerenja instrument

ne mora da ima sistematsku grešku. Specifičan problem vezan za pojavu sistematske greške predstavlja greška koja nije nastala dejstvom samog instrumenta već kao posljedica dejstva

nekontroliranih spoljnih faktora. U odreĎenim slučajevima sistematska greška moţe da se otkloni

odgovarajućim preračunavanjem, kada je riječ o prostijim slučajevima, ili baţdarenjem instrumenata, kada je riječ o sloţenijim i komplikovanijim slučajevima. Slučajne greške predstavljaju rezultat

dejstva slučajnih, obično spoljnih faktora koji ne mogu da se kontrolišu, te zbog toga njihovo dejstvo

uvećava grešku eksperimenta, jer ne mogu da se odvojeno iskaţu. Slučajna greška moţe da se utvrdi

samo putem više uzastopnih mjerenja iste veličine i obavljanjem više mjerenja rezultata, pri istom

nivou kontroliranih faktora. Za eksperimentatora slučajna greška, kao i drugi tipovi grešaka, ne bi

trebalo da predstavljaju iznenaĎenje, već njeno dejstvo treba predvidjeti i definisati kontroliranjem uticaja, faktora, nivoa faktora, ponavljanjem mjerenja i slično. Eksperimentator treba, u cilju

utvrĎivanja slučajne greške, da izradi histogram diskretnih rezultata mjerenja jedne iste veličine

Slika 24. Histogram 10 diskretnih rezultata mjerenja jedne iste veličine

Obradom rezultata mjerenja iste veličine moguće je da se odredi devijacija:

koja je pokazana kao razlika tačne vrijednosti μ i rezultata mjerenja xi. Teorija pokazuje da će se

najveća učestalost rezultata pojaviti oko tačne vrijednosti, što omogućuje prikaz zavisnosti rezultata

mjerenja i učestalosti koja odgovara normalnoj (Gausovoj) raspodjeli odstupanja

Slika 25. Raspodjela rezultata mjerenja iste veličine kod različite učestalosti mjerenja

Data raspodjela prikazuje stanje koje pokazuje da će se izmeĎu svih rezultata mjerenja (x1, x2,.., xn) nalaziti i jedna vrijednost μ koja će se najčešće pojavljivati. Ta vrijednost moţe da se smatra

najtačnijom vrednošću. Prilikom eksperimentalnih istraţivanja traţi se rezultat na bazi odreĎenog

većeg broja mjerenja n, tačna vrijednost se procjenjuje odreĎivanjem srednje vrijednosti dobivenih

rezultata:

Pošto je xsr srednja vrijednost traţenog rezultata, svaki pojedinačni rezultat će odstupati od tačne

vrijednosti za veličinu devijacije:

Kod normalne (Gausove) raspodjele koja ima osu simetrije u tačnoj vrijednosti, suma devijacija biće jednaka nuli. Teorija planiranja eksperimenta bazira se na dobijanju rezultata čije vrijednosti

odgovaraju normalnoj raspodjeli. Fizički uslovi ovakve raspodjele odreĎeni su sljedećim postavkama:

• odstupanje od tačne vrijednosti predstavlja rezultujuće dejstvo pojedinih uticaja koji su meĎusobno nezavisni, mali i mnogobrojni i

• nastajanje pozitivne i negativne devijacije (odstupanja) ima istu vjerovatnoću. Vjerovatnoća

kojom se javlja neka vrijednost rezultata x kod normalne raspodjele odreĎena je funkcijom koja vaţi

za sve vrijednosti −∞ < x < ∞:

gdje je σ 2 disperzija rezultata. Funkcija normalne raspodjele za sve vrijednosti rezultata od −∞ do x

ima oblik:

koji omogućuje odreĎivanje vjerovatnoće kojom će rezultat neke mjerene veličine x biti u nekom prethodno odreĎenom intervalu:

U inţenjerskoj praksi obično nisu poznate vrijednosti za μ (tačna vrijednost, etalon ili poznata vrijednost) i σ2 (disperzija ili mjera tačnosti mjerenja), pa one moraju da se procjene odgovarajućim

matematičkim metodama, tj. dovoljnim brojem mjerenja na izdvojenom slučajnom uzorku. U tom

smislu potrebno je da budu ispunjeni sljedeći uslovi:

• aritmetička sredina xsr svih rezultata mjerenja kod uzorka mora biti "fiksirana" veličina u

odnosu na tačnu vrijednost (matematičko očekivanje srednje vrijednosti rezultata treba da bude tačna vrijednost);

• srednja vrijednost rezultata mjerenja mora da bude uzorak veličina (povećanjem broja

rezultata mjerenja kod uzorka, srednja vrijednost će biti bliţa tačnoj vrijednosti) i

• uzorak treba da bude sa što manjim rasipanjem rezultata.

Na pojavu grube greške u inţenjerskom eksperimentu utiču greške čovjeka u očitavanju, loši uslovi u

kojima se eksperiment obavlja i niz drugih različitih uticaja. Ovakav tip greške se obično lako prepoznaje prilikom unošenja pogrešnog rezultata u grafik

Slika 26. Prikaz pojave grube greške

U slučaju pojave takve greške eksperimentator mora da izvrši provjeru i da utvrdi uzrok pojave takve

greške, te istu odbaci kako ne bi došlo do pogrešnih zaključnih razmatranja.

Greške koje se mogu pojaviti tokom izvoĎenja eksperimenta i izračunavanja odreĎenih podataka

zahtijevaju kompletnu analizu od strane eksperimentatora.

4. 3. Sistemi linearnih jednačina

Gauss-ove elementarne transformacije

Zadan je sustav linearnih jednačini:

x + 2y -3z = 0

2x -y + 4z = 5 3x + y -z = 2

Pri odreĎivanju rješenja metodom Gauss-ove eliminacije zadani sistem jednačini se napiše u

matričnom obliku:

bxA

2

5

0

113

412

321

z

y

x

Rješavanje se provodi na sljedeći način:

1. korak: Potrebno je načiniti proširenu matricu Ab, tako da vektor rješenja

b pripišemo kao četvrti

stupac matrici koeficijenata A.

2. korak: Na retke proširene matrice primjenjujemo elementarne transformacije da bi smo ispod

glavne dijagonale matrice Ab dobili sve nule.(elementarne transformacije ne primjenjuju se na stupce, njima je jedino moguće zamijeniti mjesta)

1.prvi redak prepisati 2.elemente drugog retka umanjiti za vrijednost elemenata prvog retka pomnoţenih s dva

3.elemente trećeg retka umanjiti za vrijednost elemenata prvog retka pomnoţenih s tri

2850

51050

0321

2113

5412

0321

4. prvi i drugi redak prepisati

5. elemente trećeg retka umanjiti za vrijednost elemenata drugog retka

3200

51050

0321

2850

51052

0321

6.prvi redak prepisati 7.drugi redak podijeliti sa (-5)

8 treći redak podijeliti sa (-2)

23

100

1210

0321

3200

51050

0321

3. korak: Iz trećeg reda matrice očita se da je 1 z = 3/2.

Dobivena vrijednost nepoznanice z uvrsti se u drugu jednačinu iz proširene matrice Ab (drugi redak

matrice):

1210 zyx

12

32 y

13 y

31y

2y

Dobivene vrijednosti nepoznanica y i z uvrste se u prvu jednačinu iz proširene matrice Ab (drugi

redak matrice):

0321 zyx

02

3322 x

02

94 x

02

1x

2

1x

Rješenje sistema linearnih jednačini je: 2

1x , 2y i

2

3z

Cramerovi sistemi i Cramerovo pravilo

Za linearni sistem,

1131211 bzayaxa

2232221 bzayaxa

3333231 bzayaxa

definira se determinatna sistema,

333231

232221

131211

333231

232221

131211

det

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

D

ako je sistem kvadratni odnosno ima jednak broj jednačina i varijabli te je determinanta sistema

različita od nule tada se taj sistem naziva Cramerov sistem. Na njega se moţe primijeniti takozvano Cramerovo pravilo za odreĎivanje rješenja na sljedeći način:

D

Dz

D

Dy

D

Dx 321 ,, ,

gdje se determinatne D1, D2 i D3 odreĎuju po formulama :

33231

22221

11211

3

33331

23221

13111

2

33323

23222

13121

1 ,,

baa

baa

baa

D

aba

aba

aba

D

aab

aab

aab

D

Rješenje Cramerovog sistema je jedinstveno.

Ako je determinatna soistema jednaka nuli ili ako sistem nije kvadratni tada se se preporučuje

primjena Gaussovih elementranih transformacija. Primjere 1.

Riješiti sistem,

Za linearni sistem,

532

0

3

zyx

zyx

zx

Prvo se računa determinatna sistema da se provjeri dali je različita od nule odnosno dali je ovo

Cramerov sistem,

05

312

111

101

D

u sljedećem koraku računaju se vrijednosti determinatni D1, D2 i D3 koje se odreĎuju po formulama,

4

512

011

301

,15

352

101

131

,11

315

110

103

321

DDD

odnosno vrijednosti:

5

4,

5

15,

5

11 zyx ,

Gauss-Jordan-ov postupak

Elementarne transformacije koje su provedene u drugom koraku rješavanja kod Gauss-ove eliminacije moguće je nastaviti sve dok na glavnoj dijagonali matrice nisu jedinice, a ostali elementi ispod i iznad

dijagonale nule.

23100

2010

21001

23100

2010

29021

23100

1210

0321

Kada su elementi glavne dijagonale jedinice, a ispod i iznad glavne dijagonale nule rješenje je moguće

očitati direktno iz matrice:

1.redak 5,0001 zyx

2.redak 2010 zyx

3.redak 5,1100 zyx

x = 5.0, y = 2, z = 1,5

Iterativne metode

Gauss-Seidl-ova iteracija

Zadan je sistem linearnih jednačina:

1032 fzyx

2542 fzyx

323 fzyx

Postupak rješavanja je sljedeći:

1. Zadane jednačine napišu se u eksplicitnom obliku: x = f (y,z) x = -2 y + 3 z = g

y = f (x,z) y = 2 x + 4 z – 5 = g2

z = f (x,y) z = 3 x + y – 2 = g3

2. Pretpostavimo da su y i z u prvoj jednačini nula i izračunamo x ( x = 0 ).

3. U drugu jednačinu uvrstimo dobivenu vrijednost za x i pretpostavimo da je z = 0. Izračunamo y ( y

=-5 ). 4. U treću jednačinu se uvrsti te se dobiva vrijednost za x i y i izračuna z( z=-7 ).

5. Iterativni postupak se započinje uvrštavanjem vrijednosti za y i z u prvu jednačinu, pa x i z (koje

izračunamo) u drugu jednačinu, pa x i y u treću jednačinu. 6. Postupak ponavljamo dok se vrijednosti nepoznanica dobivene u novoj iteraciji razlikuju od

vrijednosti iz prethodne iteracije. Kada se dobiju iste vrijednosti nepoznanica u dvije susjedne

iteracije završen je Gauss-Seidl-ov iterativni postupak. x = 5.0 y = 2 z =5.1

Jacobijeva linearna iteracija

Linearnu jednačinu zadanu u implicitnom obliku f(x)=0 (stacionarno stanje funkcije) moţemo riješiti običnom linearnom iteracijom.

Zadana je Jednačina:

0.7 · x + 3 = 0

1. Jednačinu je potrebno prevesti u oblik: x + g(x) = 0

(1 -0.3 )· x + 3 = 0 x -0.3 ·x + 3 = 0

2. Dobiveni oblik funkcije izrazi se eksplicitno po x :

x = 0.3 ·x -3

3. Pretpostavimo početnu vrijednost za x i vršimo iterativno izračunavanje sve dok se vrijednosti za x

u dvije susjedne iteracije razlikuju jedna od druge. Kada se u dvije susjedne iteracije dobiju iste

vrijednosti za x, postupak izračunavanja je završen. Opši oblik iterativne formule za ovu metodu je: x(k+1) = a x(k) + b

* niz rješenja konvergira kada je |a| < 1

x(k+1) = 0.3 ·x(k) -3

Pretpostavimo da x(k) = 1 u prvoj iteraciji (k = 1)

x2= 0.3· (1) ·-3 = -2.7

x3 = 0.3· (-2.7) ·-3 = -3.81 x4 = 0.3· (-3.81)· -3 = -4.143

...

x(k+1) = x(k) (rješenje)

Iterativnim izračunavanjem dobiveni su rezultati su prikazani u Tab. 42,

Tabela 42. Rezultati dobiveni iterativnim izračunavanjem

K X(K)

0 1

2

3

4 5

6

… 12

13

1 -2.7

-3.81

-4.143

-4.2429 -4.27287

-4.28186

-4.28571 -4.28571

Grafičko odreĎivanje rješenja nelinearne jednačine metodom Jacobijevih linearnih iteracija je prikazano je na Sl. 23

Slika 27. Grafičko odreĎivanje rješenja linearne jednačine metodom Jacobijevih linearnih iteracija.

4. 4. Sistemi nelinearnih jednačina

Wegstein-ova metoda

Zadana je nelinearna Jednačina:

e-x

-x = 0, f(x) = 0

1.Funkciju je potrebno izraziti eksplicitno po x:

x = e-x

2. Pretpostavimo početnu vrijednost za x i uvrštavamo je u iterativni oblik zadane funkcije

(x0 = 2) x(k+1) = e-x(k)

x1=f(xo)= e

-xo =e

-2 =0.1353353

3-Vrijednost za x2 odredi se kao apscisa presjeka pravca y=x i sekante kroz točke (x0, f(x0)) i (x1, f(x1))

na krivulji koja predstavlja funkciju f(x)=e-x

.

x1 = f(x0)

1)(

)( 10

01

12

kk

k

xfx

xfx

xxxx =...=0.664116

4. Na isti način izvode se i sljedeći koraci iterativnog izračunavanja, pa je opća iterativna formula za sljedeće korake:

1)(

)( 11

1

1

kk

kk

kkkk

xfx

xfx

xxxx

Iterativnim izračunavanjem dobiveni su rezultati: prikazani u Tab. 43

Tabela 43. Rezultati dobiveni iterativnim izračunavanjem

k x(k)

0

1 2

3

4 5

6

7

2

0.1353353 0.664116

0.575107

0.567006 0.5671435

0.5671433

0.5671433

Grafička prezentacija rezultata prikazana je na Sl. 24

Slika 28. Grafičko odreĎivanje rješenja nelinearne jednačine

Wegstein-ovom metodom

Newton-Raphson-ova metoda (metoda tangente)

Zadana je nelinearna Jednačina:

e-x

-x = 0.

Ova metoda zahtijeva izračunavanje prve derivacije zadane funkcije. Opši oblik iterativne formule je:

)(

)(1

k

kkk

xf

xfxx

Odredimo derivaciju funkcije f(x)=e-x

-x, koja mora biti implicitno zadana ili naknadno prevedena u

implicitni oblik.

f(x)=e-x

-x

f(x)=-e-x

-1

2. Iterativni oblik formule za zadanu nelinearnu jednačinu je:

11

k

k

x

k

x

kke

xexx

Pretpostavljena početna vrijednost je: x0 = 2

3576,01

21

1 2

2

001

0

0

e

e

e

xexx

x

x

5587,0.......11

1

112

x

x

e

xexx

Iterativnim izračunavanjem dobiveni su rezultati su prikazani u Tab. 44,

Tabela 44. Rezultati dobiveni iterativnim izračunavanjem

k x(k)

0 2

1 0.3576

2 0.5587

3 0.56713

4 0.5671433

5 0.5671433

Newton-Raphson-ov iterativni postupak ima kvadratnu konvergenciju i prikazan je na Sl. 25

Slika 29 Newton-Raphson-ov iterativni postup

Rješenja se nalaze tako da se u tačci y=f(x), gdje je tačka f(x)=x(k+1), povuče tangenta na krivulju y=f(x). U tačci gdje tangenta presjeca apscisu očita se vrijednost x(k+1). Za tako dobivenu vrijednost x

naĎe se f(x) i ponovo u toj tački funkcije povuče tangenta.

Postupak se ponavlja sve do nalaţenja konačnog rješenja nelinearne jednačine f(x)=0, a to je tačka u kojoj krivulja presjeca apscisu.

Metoda sekante (regula falsi)

Zadana je nelinearna Jednačina:

e-x

-x = 0

Metoda sekante koristi za pronalaţenje rješenja Newton-Raphson-ov algoritam rješavanja, u kojem je

derivacija funkcije zamijenjena izrazom f(x+) i zbog toga niz rješenja sporije konvergira:

)()()(

xfxfxf

Opšti oblik iterativne formule metode sekante je:

)()(

)(1

kk

kkk

xfxf

xfxx

gdje je xk+1 sjecište sekante sa apscisom. Za zadanu jednačinu iterativna formula je:

)()(

)(1

k

x

k

x

k

x

kkxexe

xexx

kk

k

Konačni oblik nakon ureĎivanja formule je:

kk

k

xx

k

x

kkee

xexx 1

Vrijednost za odabire se proizvoljno, a što je manji to je manje iteracija potrebno za dobivanje konačnog rješenja.

Neka je = 0.001, a x0 = 2. Iterativnim izračunavanjem dobiveni su rezultati su prikazani u Tab. 45., Tabela 45. Rezultati dobiveni iterativnim izračunavanjem

k x(k)

0 2

1 0.3580

2 0.5582

3 0.567129

4 0.56714

5 0.56714

Postupak omogućuje izračunavanje tačaka na krivulji kroz koje prolazi sekanta, a potom i tačke na apscisi kroz koju prolazi sekanta (xk+1) i ta vrijednost odsječka na apscisi postaje vrijednost varijable

xk u slijedećoj iteraciji. Ovako odrečena vrijednost apscise uzima se kao vrijednost xk za slijedeću

iteraciju. Prednost je metode sekante nad Newton-Raphson-ovom metodom što ne zahtijeva

izračunavanje derivacije, a nedostatak što sporije konvergira.

Primjer 5. Izračunati zapremina butana pri T=368,25K i pritisku 763,3 mmHg po jednačini

)1(mm V

B

V

TRp

ako su koeficijent u jednačini B=-444,2 cm3/mol a plinska konstanta R=62361 cm

3mmHg/molK. Pri

rješavanju koristiti, a) grafičku metodu

b) metodu supstitucije uz tačnost ε=1·10-4

. Početna vrijednost zapremina V=10000cm3/mol.

c) Newtonovu metodu

a) Pri rješavanju funkcije grafičkom metodom funkcija se zapisuje u oblik f(x)=0.

0)( mVf

odnosno,

0)1()(

mm

mV

B

V

TRpVf

Rezultati proračunana dati su u Tab. 46.,

Tabela 46. Podaci proračuna vrijednosti funkcije f (Vm) za različite vrijednosti zapremina Vm

)(3

mol

cmVm )1()(

mm

mV

B

V

TRpVf

10000 -1430,94

15000 -722,126

20000 -359,22

25000 -138,756

30000 9,35295

35000 115,7

40000 195,765

45000 258,217

Grafička prezentacija podataka prikazana je na Sl. 26.,

-2000

-1500

-1000

-500

0

500

0 10000 20000 30000 40000 50000 60000

Vm

f(V

m)

Slika 30. Grafička prezentacija eksperimentalnih podataka

Sa grafa se moţe uočiti da za vrijednost funkcije f(Vm)=0 vrijednost zapremina Vm poprima

vrijednost, 29700mV cm3/mol. Ako bi se za interval pretraţivanja odabrao zapremina od 29000 do

30000 cm3/mol. uz korak 250 cm

3/mol. dobili bi se podaci dati u Tab. 47.,

Tabela 47. podaci za interval pretraţivanja zapremine od 29000 do 30000 cm3/mol uz korak 250

cm3/mol.

)(3

mol

cmVm )1()(

mm

mV

B

V

TRpVf

29000 -16,2478

29250 -9,68608

29500 -3,23384

29750 3,11163

30000 9,35295

Grafička prezentacija je dana na Sl. 27.,

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

29000 29200 29400 29600 29800 30000

Vm

f(V

m)

Slika 31. Grafička prezentacija podataka za pretraţivanje zapremina od 29000 do 30000 cm

3/mol uz

korak 250 cm3/mol.

b)Prilikom rješavanja metodom supstitucije potrebno je jednačinu zapisati u oblik, )( mm VfV .

Prvobitan oblik jednačine se mnoţi sa Vm

m

mm

VV

B

V

TRp

/)1(

U sljedećem koraku se dijeli sa pritiskom,

pV

B

V

TRVp

mm

m

/)1(

te se dobiva,

p

V

BTR

Vm

m

1

U prvom koraku je potrebno provjeriti uslov konvergencije odnosno dali je, 1)(, mVf . Ako ovaj

uslov nije ispunjen funkcija će divergirati. Potrebno je zapisati funkciju u analitičkom obliku

m

mVp

BTR

p

TRVf

1)(

odnosno,

1)(

mm V

p

BTR

p

TRVf .

Izvod funkcije je,

2)(

mm Vp

BTRVf

Potrebno je zadovoljiti uslove,

1)( )1( mVf

i

1)( 2)1(

mVp

BTR

Ako se uvrste podaci,

11336,0100005,763

)2,444(25,36862361 2

nakon ispunjenja uvjeta prilazi se rješavanju f(Vm).

U prvoj iteraciji za vrijednost zapremina Vm=10000 cm3/mol dobivaju se vrijednosti date u Tab. 48.,

Tabela 48. Vrijednost funkcije f(Vm) za zapremina Vm=10000 cm3/mol

k

)(k

mV

p

V

BTR

Vm

m

1

)(

)()1(

k

m

k

m

k

m

V

VV

1

10000

mol

cm

mmHgmolK

molcm

molcmmmHgcm

33

33

8,287415,763

)10000

2,4441(25,36862331

1,8742

Rezultati za vrijednost zapremina Vm= 28741,8 cm3/mol su dati u Tab. 49,

Tabela 49. Rezultati druge iteracije za vrijednost zapremina Vm= 28741,8 cm3/mol

k )(k

mV

p

V

BTR

Vm

m

1

)(

)()1(

k

m

k

m

k

m

V

VV

2

28741,8

mol

cm3

296135,763

)8,28741

2,4441(25,36862361

0,0303

Rezultati treće iteracije su dati u Tab. 50,

Tabela 50. Rezultati druge iteracije za vrijednost zapremina Vm= 29613 cm3/mol

k

)(k

mV p

V

BTR

Vm

m

1 )(

)()1(

k

m

k

m

k

m

V

VV

3

29613

mol

cm3

7,296265,763

)29613

2,4441(25,36862361

0,0046

Dobivena vrijednost )(

)()1(

k

m

k

m

k

m

V

VV

=0,00046 je veća od .

c) Pri rješavanju nelinearne jednačine Newtonovom metodom neophodno je zapisati funkciju, f(Vm) =

0 odnosno,

01)(

mm

mV

B

V

TRpVf

tako da ,

0)( 21

mmm VBTRVTRpVf

izraz za rješavanje problema Newtonovom metodom,

)(

)()(

)()()1(

k

kkk

xf

xfxx

, (k=1,2….)

odnosno

)(

)()(

)()()1(

k

m

k

mk

m

k

mVf

VfVV

tako da je izvod funkcije,

32

32 22)(

mm

mmmV

BTR

V

TRVBTRVTRVf

U prvom iterativnom koraku za početno rješenje zapremina Vm= 10000 cm3/mol podaci su dati Tab.

51,

Tabela 51. Rezultati iteracije za vrijednost zapremina Vm= 10000 cm3/mol

k

)1(

mV )(

)()1(

)1()1()2(

m

mmm

Vf

VfVV

)(

)()1(

k

m

k

m

k

m

V

VV

1 10000 16840 0,684

U drugom iterativnom koraku za rješenje zapremina Vm= 16840 cm

3/mol podaci su dati Tab. 52,

Tabela 52. Rezultati iteracije za vrijednost zapremina Vm= 16840 cm3/mol

k

)1(

mV )(

)()1(

)1()1()2(

m

mmm

Vf

VfVV

)(

)()1(

k

m

k

m

k

m

V

VV

1 16840 24195,1 0,437

U trećem iterativnom koraku za rješenje zapremina Vm= 24195,1 cm3/mol podaci su dati Tab. 53,

Tabela 53. Rezultati iteracije za vrijednost zapremina Vm= 24195,1 cm3/mol

k

)1(

mV )(

)()1(

)1()1()2(

m

mmm

Vf

VfVV

)(

)()1(

k

m

k

m

k

m

V

VV

1 24195,1 28649,8 0,184

Nakon treće iteracije izraz )(

)()1(

k

m

k

m

k

m

V

VV

>ε tako da nema rješenja. Ako bi se plin ponašao kao

idealan,

TRVp m

odnosno,

mol

cm

mmHgKmol

KmmHg

cm

p

TRVm

3

3

300785,763

25,36862361

K

Iz podataka je vidljivo da se vrijednosti plina dobivene za idealan i realan plin ne razlikuju u znatnoj mjeri.