math 3 anal 2017-18 cm3 print

cours de

Francis Clarke

Analyse III

Fonctions de plusieurs variables

MAT2019L séquence 4

automne 2017

CM3

Analyse III Calendrier 2017 (les mercredi)

13 septembre cours 20 septembre cours TD27 septembre cours TD4 octobre cours TD 11 octobre cours TD 18 octobre cours TD25 octobre cours TD1 novembre8 novembre cours TD 15 novembre cours TD 22 novembre cours TD 29 novembre cours TD6 décembre cours TD13 décembre cours TD

CT final : entre le 7 et le 17 janvier 2018 (2h)Deuxième session : entre le 25 juin et le 6 juillet

Partiel (90 min)

Le partiel sera en amphi et les DSTD en TD ; les dates sont à confirmer

DSTD-3

Note finale :20% partiel, 15% trois DSTD,

15% colles, et 50% CT

DSTD-1

DSTD-2

1

2

Mais en une seule dimension

En L1 vous avez rencontre :

• la droite et le theoreme de Bolzano-Weierstrass

• la convergence des suites

• la continuite des fonctions

• le theoreme des valeurs intermediaires

• les fonctions elementaires

• la derivee

• le theoreme des accroissements finis

• les developpements limites

• l’integrale

�f(x)dx

Beaucoup de phénomènes physiques dépendent de la position du système dans l’espace.Par exemple: la géolocalisation, le positionnement d’un satellite en orbite, les courants dans l’océan...

Autre exemple (calcul de la note finale)

(c’est une fonction que l’on a intérêt à maximiser)

Les fonctions de plusieurs variables

La note finale F du cours :

F (x, y, z, p, u, v, t, r) : R8 → [0, 20],

ou (x, y, z) sont les trois notes de DS, p la note dupartiel, u et v des deux colles, t du controle terminal,et r du rattrapage.

3

4

Exemple: design d’un caniveau

largeur du materiau (a plier) = �

��

�

x

� − 2x� ��

θ

x

θ

x

Mais sur queldomaine?

� �� la fonction f(x, θ) a maximiser

aire de la coupe transversale

= x sin θ[� − 2x + x cos θ ]

En general, la fonction f est definie seulementsur une partie D ⊂ Rn.

L’ensemble D, qui est souvent definiimplicitement, est le domaine de f .

Exemple

f(x, y) = ln(1 − x2 − y2)

Il faut

1 − x2 − y2 > 0

⇐⇒ x2 + y2 < 1

Donc D ici serait la boule unite ouverte dans R2 .

5

6

L’espace Rn et sa topologie

Dans l’etude des fonctions de n variables, l’espace Rn

est le contexte sous-jacent.

Pour n > 1, des domaines plus compliques que de simplesintervalles dans la droite entrent en jeu.

Il faut un vocabulaire adapte, et quelques outilstopologiques et geometriques.

Rn est un espace vectoriel (on peut former des combinaisonslineaires, multiplier un element par un scalaire etc.).

Sa dimension est n: c’est le nombre d’elements dans toute base.

La base canonique est constituee des n elements

{e1, e2, . . . , en},

ou e1 = (1, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, 0 . . . , 0), etc.

Rn = {x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ R × R · · · × R}

R2 = {(x, y) ∈ R × R}

R3 = {(x, y, z) ∈ R × R × R}

L’espace Rn

Sauf pour n = 1, Rn n’est pas un corps(on n’a pas de division).

7

8

Les normes sur Rn

Une norme veut dire une fonction � · � : Rn → [0,∞[ayant les proprietes suivantes:

• �u� > 0 pour tout u �= 0, et �0� = 0

(definie positive);

• �λu� = |λ|�u� pour tout scalaire λ ∈ R et u ∈ Rn

(positivement homogene);

• �u + v� ≤ �u� + �v� pour tout u, v ∈ Rn

(inegalite du triangle).

Une norme correspond a une facon de mesurer la tailled’un element dans Rn. Il y a infiniment de normesdifferentes.

notation

La boule unite fermee (qui correspond a une certainenorme) veut dire l’ensemble

B = B(0, 1) = B��(0, 1) := {u ∈ Rn : �u� ≤ 1}.

La boule unite ouverte veut dire l’ensemble

B◦ = B◦(0, 1) = B◦��(0, 1) := {u ∈ Rn : �u� < 1}.

De facon plus generale on definit les boules fermees etouvertes de centre w et de rayon r > 0:

B(w, r) = B��(w, r) := {u ∈ Rn : �u − w� ≤ r}.

B◦(w, r) = B◦��(w, r) := {u ∈ Rn : �u − w� < r}.

9

10

y

x

Ou est situe le point

12x +

12y ?

⇐⇒�z1z2

�= a

�x1

x2

�+ b

�y1

y2

�(n = 2)

Une combinaison lineaire de deux points x et ydans Rn veut dire un element z ∈ Rn de la forme

z = ax + by

ou les coefficients a, b de la combinaison lineairesont des nombres reels.

Quand x �= y, l’ensemble descombinaisons lineaires

z = x+t(y−x) = (1−t)x+ty

(ou t varie dans R) decrit ladroite determinee par x et y.

Une combinaison convexe de deux points x et ydans Rn veut dire un element z ∈ Rn de la forme

z = (1 − t)x + ty

ou le reel t appartient a [0, 1].

Il s’agit donc d’une combinaison lineaire de x et you les deux coefficients sont positifs ou nuls et desomme 1.

11

12

Definitions: intervalle dans Rn; partie convexe

Soient x et y deux points dans Rn. Le segment

(ou l’intervalle) ferme [x, y ] est defini par

[x, y ] = {z ∈ Rn: z = (1 − t)x + ty : t ∈ [0, 1]} .

Pour l’intervalle ouvert ]x, y [ , omettre

t = 0 et t = 1.

On dit qu’une partie U dans Rnest convexe si

x ∈ U, y ∈ U =⇒ [x, y ] ⊂ U .

x

y

y

x

x

y

pas

convexe

Definition. Une partie C dans Rn est dite convexe lorsque

x, y ∈ C, t ∈ [0, 1] =⇒ (1 − t)x + ty ∈ C.

Sens geometrique : si la partie C contient deux points,elle contient aussi le segment entre les deux points.

En TD, on montrera:

Proposition. Soit � · � une norme sur Rn. Alors saboule unite (ouverte ou fermee) est convexe.

13

14

norme euclidienne, p-norme, norme lpLa norme euclidienne de Rn est definie par

�x�2 :=�x21 + x2

2 + · · · + x2n

�1/2, x ∈ Rn.

Donc la distance euclidienne entre deux points(a, b) et (c, d) dans R2 est donnee par

�(a, b) − (c, d)�2 =�(a − c)2 + (b − d)2

�1/2

La norme infini de Rn est definie par

�x�∞ := maxi=1,2,...,n

|xi| , x ∈ Rn.

De facon plus generale, pour chaque nombre reelp ∈ [1,∞[ , on definit la p-norme sur Rn par

�x�p :=�|x1|p + |x2|p + · · ·+ |xn|p

�1/p, x ∈ Rn.

Illustrations of unitcircles in different p-norms (every vectorfrom the origin to theunit circle has a lengthof one, the length beingcalculated with length-formula of thecorresponding p).

Unit circle (superellipse) in p = 32

norm

For a real number p ! 1, the p-norm or Lp-norm of x is defined by

The Euclidean norm from above falls into this class and is the 2-norm, andthe 1-norm is the norm that corresponds to the Manhattan distance.

The L!-norm or maximum norm (or uniform norm) is the limit of the Lp-norms for p " #. It turns out that this limit is equivalent to the followingdefinition:

For all p ! 1, the p-norms and maximum norm as defined above indeedsatisfy the properties of a "length function" (or norm), which are that:

only the zero vector has zero length,the length of the vector is positive homogeneous with respect to multiplication by a scalar, andthe length of the sum of two vectors is no larger than the sum of lengths of the vectors (triangle inequality).

Abstractly speaking, this means that Rn together with the p-norm is a Banach space. This Banach space is the Lp-space over Rn.

Relations between p-norms

The grid distance ("Manhattan distance") between two points is never shorter than the length of the line segmentbetween them (the Euclidean or "as the crow flies" distance). Formally, this means that the Euclidean norm of anyvector is bounded by its 1-norm:

This fact generalizes to p-norms in that the p-norm ||x||p of any given vector x does not grow with p:

||x||p+a $ ||x||p for any vector x and real numbers p ! 1 and a ! 0. (In fact this remains true for 0 < p < 1 and a ! 0.)

For the opposite direction, the following relation between the 1-norm and the 2-norm is known:

This inequality depends on the dimension n of the underlying vector space and follows directly from the Cauchy–Schwarz inequality.

In general, for vectors in Cn where 0 < r < p:

When 0 < p < 1

In Rn for n > 1, the formula

defines an absolutely homogeneous function of degree 1 for 0 < p < 1; however, the resulting

function does not define an F-norm, because it is not subadditive. In Rn for n > 1, the formula for0 < p < 1

defines a subadditive function, which does define an F-norm. This F-norm is homogeneous of degree

quelques boules unité dans R2

�(x, y)�2 :=�x2 + y2

�1/2, (x, y) ∈ R2.

�(x, y)�1 := |x| + |y|, (x, y) ∈ R2.

�(x, y)�∞ := max{|x|, |y|}, (x, y) ∈ R2.

La boule unite fermee de la norme euclidienne sur R2 :

B2(0, 1) :=�(x, y) ∈ R2 : (x2 + y2)1/2 ≤ 1

�

La boule unite fermee de la 1-norme (ou norme L1) sur R2 :

B1(0, 1) :=�(x, y) ∈ R2 : |x| + |y| ≤ 1

�

La boule unite fermee de la norme infini sur R2 :

B∞(0, 1) :=�(x, y) ∈ R2 : max

�|x|, |y|

�≤ 1

�

�(x, y)�p :=�|x|p + |y|p

�1/p, (x, y) ∈ R2.



norm














When 0 < p < 1







norm














When 0 < p < 1





15

16



norm














When 0 < p < 1





p = 3/2

Illustr

ation

s of u

nit

circle

s in di

fferen

t p-

norm

s (ev

ery ve

ctor

from th

e orig

in to

the

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ircle

has a

leng

th

of on

e, the

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th be

ing

calcu

lated

with

leng

th-

formula

of th

e

corre

spond

ing p)

.

Unit ci

rcle (

supere

llipse)

in p

= 3 2

norm

For a r

eal nu

mber p

! 1, th

e p-norm

or Lp -norm

of x i

s defi

ned b

y

The Euc

lidean

norm

from ab

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alls in

to thi

s clas

s and

is the

2-no

rm, a

nd

the 1-

norm

is the

norm

that

corre

spond

s to th

e Man

hatta

n dist

ance.

The L! -norm

or m

axim

um no

rm (o

r unif

orm no

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the l

imit o

f the Lp -

norm

s for p "

#. It

turns

out th

at thi

s limit i

s equ

ivalen

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e foll

owing

defin

ition:

For all

p ! 1

, the p

-norm

s and

max

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norm

as de

fined

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e ind

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y the

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th fun

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), whic

h are

that:

only

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the le

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vecto

r is po

sitive

homog

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us with

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multipl

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n by a

scala

r, and

the le

ngth

of the

sum of

two v

ectors

is no

large

r than

the s

um of

leng

ths of

the v

ectors

(trian

gle in

equa

lity).

Abstrac

tly sp

eaking

, this m

eans th

at Rn to

gethe

r with

the p

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is a B

anach

space

. This

Banach

space

is the

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space ov

er Rn .

Relatio

ns betw

een p-

norms

The gr

id dis

tance

("Man

hatta

n dist

ance"

) betw

een tw

o poin

ts is n

ever

shorte

r than

the l

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rm:

This fa

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that

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norm

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n vect

or x d

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p:

||x|| p+a

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1 and a

! 0. (I

n fact

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the 1

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and t

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norm

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This in

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.

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, for v

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in Cn w

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0 < r <

p:

When

0 < p

< 1

In Rn fo

r n > 1, th

e form

ula

defin

es an

absol

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homog

eneo

us fun

ction

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gree 1

for 0

< p < 1; h

owev

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e resu

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functi

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. In Rn fo

r n > 1, th

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ula fo

r

0 < p

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fines

a sub

addit

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nctio

n, whic

h doe

s defi

ne an

F-norm

. This

F-norm

is ho

mogen

eous

of de

gree

p = 3



norm














When 0 < p < 1





p = 1



norm














When 0 < p < 1





p = 2



norm














When 0 < p < 1





p = ∞

la boule unité de la p-norme

Par contre, la norme euclidienne joue un rôle particulier à cause du produit scalaire :

Les normes différentes induisent des boules (et des distances) différentes, mais la même topologie (notions de ouvert, convergence, continuité, etc.)

Soient u, v deux points dans Rn.

u • v = �u, v� :=n�

i=1

uiviOn a

u • u =

n�

i=1

uiui =

n�

i=1

u2i = �u�2

2

17

18

équivalence des normes sur Rn

Remarque. Il suit de la premiere inegalite que si �x�∗ ≤ 1,alors �x� ≤ c.

Donc la boule B∗(0, 1) est contenue dans la boule B(0, c).

Par dilatation, la boule B∗(0, r) est contenue dans la boule B(0, rc).

Par translation, la boule B∗(u, r) est contenue dans B(u, rc).

Il en resulte: chaque boule pour la norme � · � contient uneboule (centree au meme point) pour la norme � · �∗.

La deuxieme inegalite mene a la meme conclusion dans l’autresens: chaque boule pour la norme � · �∗ contient une boule(centree au meme point) pour la norme � · �.

Theoreme. Soient � · � et � · �∗ deux normes sur Rn.Alors les normes sont equivalentes:il existe c et k positifs tels que

�x� ≤ c�x�∗ , �x�∗ ≤ k�x�, x ∈ Rn.


�x� ≤ c�x�∗ , �x�∗ ≤ k�x�, x ∈ Rn.

La preuve utilise :

Theoreme de Bolzano-Weierstrass.

Soit (xi) une suite bornee dans R. Alorsil existe une sous-suite (ou suite extraite)(xij) qui converge vers une limite x.

19

20

Demonstration. On prend n = 2 et l’on demontre le theoreme lorsque

la norme � · �∗ est la 1-norme � · �1 ; cela suffit car on obtient que

toute norme sur Rnest equivalente a celle-ci, d’ou elles sont toutes

equivalentes entre elles.

On veut donc montrer l’existence de c et k tels que

�(x, y)� ≤ c�(x, y)�1 , �(x, y)�1 ≤ k�(x, y)�, (x, y) ∈ R2 .

La premiere inegalite est obtenue ainsi:

�(x, y)� = �xe1 + ye2� ≤ |x|�e1� + |y|�e2�≤ c(|x| + |y|) (ou c = max(�e1�, �e2�))= c�(x, y)�1.


�x� ≤ c�x�∗ , �x�∗ ≤ k�x�, x ∈ Rn.

Il reste a prouver l’existence de k positif tel que

�(x, y)�1 ≤ k�(x, y)�, (x, y) ∈ R2.

Il suffit de considerer (x, y) �= (0, 0). On divise alors chaque

cote par λ := �(x, y)�1 .

L’inegalite voulue devient :

�(x, y)/λ� ≥ 1/k.

Le point (x, y)/λ appartient a l’ensemble

{(u, v) : �(u, v)�1 = 1}.

Conclusion: il suffit de montrer que l’infimum de �(u, v)� sur l’ensemble{(u, v) : �(u, v)�1 = 1} est strictement positif.

21

22

On raisonne par l’absurde, en supposant (au contraire) qu’il existe

une suite (ui, vi) avec �(ui, vi

)�1 = 1 ∀ i telle que �(ui, vi)� →

0.

Les suites (ui) et (vi

) sont bornees. On invoque Bolzano-Weierstrass

(en passant au besoin a des sous-suites, sans modifier la notation) afin

de supposer que ui → u et vi → v. On a �(u, v)�1 �= 0, car autrement

u = v = 0, ce qui contredit �(ui, vi)� = 1 ∀i.

On a alors

��(ui, vi)� − �(u, v)�

�� ≤ �(ui, vi) − (u, v)�

≤ c�(ui, vi) − (u, v)�1 (par l’inegalite etablie ci-dessus)

→ 0 ,

d’ou �(u, v)� = limi→∞

�(ui, vi)� = 0 (par hypothese).

Mais ceci implique (u, v) = (0, 0), ce qui est la contradiction

recherchee.

Conclusion: il suffit de montrer que l’infimum de �(u, v)� sur l’ensemble{(u, v) : �(u, v)�1 = 1} est strictement positif.

�x� ≤ �x − y� + �y� =⇒ �x� − �y� ≤ �x − y�De meme, �y� − �x� ≤ �x − y�

Soit (ui) une suite de points dans Rn. On dit que la suite

converge vers la limite u ∈ Rnlorsque la suite numerique

�ui − u� converge vers 0.

suites et leur limites

Geometriquement:

Pour toute boule B(u, �) autour de u, la suite restedans la boule a partir d’un certain point.

Definition equivalente (a la Cauchy):

Pour tout � > 0 il existe N� tel que

i ≥ N� =⇒ �ui − u� < �.

On montre facilement que la suite ((ai, bi)) dans R2

converge vers (a, b) si et seulement si ai → a et bi → b.

Preuve: prenons la 1-norme sur R2 ; alors

(ai, bi) → (a, b) ⇐⇒ �(ai, bi) − (a, b)�1 → 0

⇐⇒ |ai − a| + |bi − b| → 0. �

23

24

terminologie

Un ensemble A est dit borne lorsqu’il existe R > 0tel que A ⊂ B(0, R).

(C-a-d, il existe R > 0 t.q. �x� ≤ R ∀x ∈ A.)

Par le theoreme de l’equivalence des normes, c’estune propriete qui ne depend pas du choix de norme.

Preuve :On applique la version connue dans la droite comme suit :

On extrait une sous-suite afin que la suite des premieres coordonnees

converge ; ensuite une sous-suite de la sous-suite afin que les deuxiemes

coordonnees convergent, etc.

Corollaire.(Bolzano-Weierstrass) Une suite dans Rn

qui est bornee admet une sous-suite (suite extraite)qui converge vers une limite.

On dit qu’un ensemble A est un voisinage (ou contient un voisinage) d’un point u lorsqu’il existe une boule B(u,r) comprise dans A.

Vue l’équivalence des normes (l’emboîtement), cette définition ne dépend pas de la norme utilisée.

Il en sera de même pour nos autres notions topologiques: ouvert, fermé, etc.

Exemple : dans R, l’intervalle [-1,1] est un voisinage du point 0, mais pas du point 1.

25

26

Un ensemble A dans Rn est dit ouvert si, pour chaque u ∈ A,il existe r > 0 (qui depend de u) tel que B(u, r) ⊂ A.

Ici, la boule correspond a une norme quelconque sur Rn.

Puisque toutes ces normes sont equivalentes, on obtientla meme notion de ‘ouvert’, independamment du choixde norme.

Un ensemble est ouvert lorsqu’il est un voisinage de chacun des points qu’il contient.

Dans la droite R (n = 1), l’ensemble (l’intervalle)]0, 1[ est ouvert.

L’intervalle [0, 1], ou encore [0, 1[, ne l’est pas.

Rq: la boule unité ouverte est un ouvert.

sans arêtes (côtés)

avec arêtes (et sommets)A A

ouvert pas ouvert

27

28

Un ensemble A est dit ferme lorsque soncomplementaire est ouvert.

sans arêtes

avec arêtes

fermé, pas ouvertouvert, pas fermé

A A

Demonstration

=⇒ Soit (xi) une suite dans A qui tend vers x. On va supposer

x /∈ A et obtenir une contradiction (preuve par l’absurde).

Or A est fermee, donc son complementaire ACest ouvert (par definition).

Alors il existe r > 0 tel que x ∈ B(x, r) ⊂ AC. Ceci entraıne

(definition de limite) que pour tout i suffisamment grand on a

xi ∈ B (x, r) ⊂ AC .

C’est bien une contradiction, puisque xi ∈ A ∀ i.

⇐= Soit A stable dans le sens indique ; on prouve que ACest ouvert,

en raisonnant par l’absurde. Si ACn’est pas ouvert, il existe x ∈ AC

tel que, quelque soit r > 0, la boule B(x, r) n’est pas comprise dans

AC. En prenant r =

1i, on en deduit que pour chaque i, il existe

xi ∈ A ∩ B(x, 1i). La suite (xi) converge vers x mais sa limite n’est

pas dans A, contradiction. �

Proposition Une partie A dans Rn est fermeesi et seulement si A est stable sous les limitesde suites dans A, au sens suivant :

xi ∈ A ∀ i ∈ N, limi→∞

xi = x =⇒ x ∈ A.

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avec une arête

ni ouvert ni fermé

L’ensemble vide ∅ est ouvert (convention).

Il est aussi ferme.

Les seuls ensembles dans Rn qui sont a la foisferme et ouvert sont ∅ et Rn.

A

Deuxieme partie. Soit A := ∩ki=1Ai une intersection finie

d’ouverts, et soit u un point dans A.

Pour chaque i, le point u appartient a Ai , qui est ouvert.

Donc par definition il existe une boule B(u, ri) comprise dans Ai.

On pose r := mini=1,2,...,k ri > 0.

Alors B(u, r) ⊂ A. On a prouve que A est ouvert.

Demonstration. Soit A :=�

τ∈T Aτ une reunion d’ouverts

(dans le meme Rn, bien sur).

Soit u un point dans A.

Il existe τ tel que u ∈ Aτ . Mais Aτ etant ouvert, il existe

par definition une boule B(u, r) comprise dans Aτ .

Il vient B(u, r) ⊂ A.

On a prouve que A est ouvert.

Proposition. Une reunion quelconque d’ouvertsest un ouvert. Une intersection finie d’ouvertsest un ouvert.

31

32

Proposition. Une intersection quelconque defermes est un ferme. Une reunion finie de fermesest un ferme.

Demonstration.

Soit F :=�

τ∈T Fτ une intersection quelconque de fermes.

On veut prouver que F est ferme.

On a (par de Moivre)

F c=

�

τ∈T

F cτ .

Mais F cτ est ouvert pour chaque τ ∈ T . Donc F c

est un

ouvert, par la proposition precedente.

On a prouve que F est ferme.

La deuxieme affirmation est laissee en exercice.

intérieur d’un ensembleSoit A une partie dans Rn

. On definit l’interieur de Acomme etant la reunion de tous les ouverts contenus dans A.

Notation: intA ou A◦.

Il est equivalent de dire: la reunion de toutes

les boules ouvertes comprises dans A.

Ou encore: le plus grand ouvert compris dans A.

Il est clair que intA ⊂ A. Lorsque A ne contient aucune

boule, on a intA = ∅.

intA =A

A int A = ∅

33

34

Rqs :

A est ouvert ssi A = int A

A est ouvert ssi son complémentaire est fermé

A est fermé ssi son complémentaire est ouvert

Soit A une partie dans Rn. On definit l’adherence

de A comme etant l’intersection de tous les fermes

qui contiennent A. (On dit aussi fermeture.)

Notation: adhA ou A.

Il est equivalent de dire: le plus petit ferme qui

contient A.

adhérence d’un ensemble

Corollaire. Un point u appartient a adhA ssi il existeune suite (ui) dans A qui converge vers u.

adhA =

Proposition. Un point u appartient a adhA ssi touteboule B(u, r) (ou r > 0) contient un point de A.

Rq : A est fermé ssi A = adh A

35

36

frontière d’un ensembleSoit A une partie dans Rn

. On definit la frontiere de A,

notee frA ou ∂A, comme suit:

frA = adhA\intA.

frA =

Proposition. Un point u appartient a frA ssi touteboule B(u, r) (ou r > 0) contient un point de A ainsiqu’un point de son complementaire Ac.

avec une arête

ni ouvert ni fermé

AintA =

adhA =

frA =

37

38

Proposition. Soit A une partie dans Rn. Alors

adhA = A ∪ frA = intA ∪ frA.

Demonstration. On a frA = adhA\intA par definition.

Alors

intA ∪ frA = intA ∪ [adhA\intA] = adhA.

On a donc egalite entre le premier et le troisieme terme

de l’enonce.

Il reste a prouver que les deux derniers ensembles coıncident.

On a evidemment

A ∪ frA ⊃ intA ∪ frA.

Verifions l’inclusion contraire, en considerant un point uquelconque dans A ∪ frA = A ∪ [adhA\intA].

Si u ∈ intA, alors u ∈ intA ∪ frA.

Si, au contraire, u /∈ intA, alors u est forcement dans adhA,

d’ou u ∈ adhA\intA = frA.

Dans les deux cas, on obtient u ∈ intA ∪ frA. �

Un ensemble A qui est ferme et borne est dit compact.

Theoreme de Bolzano-Weierstrasspour un compact

Soit (xi) une suite dans une partiecompacte A dans Rn. Alors il existeune sous-suite (xij) qui converge versun point x dans A.

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40

Les fonctions de plusieurs variables

Soit f : Rn → R une fonction (scalaire, reelle)

de n variables (reelles).

Notations:

f(x) (x ∈ Rn) ou f(x1, x2, . . . , xn) (xi ∈ R)

f(x, y, z) (n = 3); ou encore z = f(x, y) (n = 2)

On ecrit aussi

x = (x1, x2, . . . , xn) �→ f(x) = f(x1, x2, . . . , xn)

ou, pour definir la fonction f (par exemple):

f : R2 → R(x, y) �→ f(x, y) = x2

+ sin(xy) − xy4

41

42

En general, la fonction f est definie seulementsur une partie D ⊂ Rn.

L’ensemble D, qui est souvent definiimplicitement, est le domaine de f .

Exemple

f(x, y) = ln(1 − x2 − y2)

Il faut

1 − x2 − y2 > 0

⇐⇒ x2 + y2 < 1D = B0(0, 1) ⊂ R2

(la boule unite ouverte dans R2)

Peut-on prolonger la fonction de façon naturelle à la frontière de son domaine?

Soit f : D → R une fonction, ou D est une region

dans Rn, soit w un point dans adhD, et soit �

un nombre reel.

On dit que f tend vers � lorsque x ∈ Rntend vers w,

et l’on ecrit

limx→w

f(x) = �

pourvu que pour tout � > 0, il existe δ = δ(�) > 0

tel que

x ∈ D, �x − w� < δ =⇒ |f(x) − �| < �.

Ici, x est une variable muette, mais w et � ont des

valeurs prescrites. A noter: x est restreint a D.

Informellement, ceci veut dire qu’en prenant

l’argument de f suffisamment proche de w, la valeur

de f sera aussi proche du nombre � que desire.

le choix de norme n’importe pas

43

44

Remarques On peut ecrire plus explicitement

limx→wx∈D

f(x) = � ou lim

x→w, x∈D

f(x) = �.

Il faut que toutes les facons d’approcher

le point w donne la limite �.

Remarques

1. La limite se verifie (ou se contredit)

par les suites, au sens suivant.

On a limx→w

f(x) = � si et seulement si:

pour chaque suite xi dans D qui

converge vers w, on a

limi→∞

f(xi) = �.

2. Certaines propositions connues pour

n = 1 s’etendent facilement a n > 1,

par exemple: la limite de la somme =

la somme des limites, etc. (sous les

hypotheses analogues).

45

46

Soit f : D → R une fonction, ou D est une region

dans Rn, et soit w un point dans adhD.

On dit que f tend vers +∞ lorsque x tend vers w,

et l’on ecrit

limx→w

f(x) = +∞

pourvu que pour tout M > 0, il existe δ = δ(M) > 0

tel que

x ∈ D, �x − w� < δ =⇒ f(x) > M.

Informellement: en prenant l’argument de fsuffisamment proche de w, la valeur de f sera

arbitrairement grande.

Exemple: lim(x,y)→(0,0)

1

x2 + y2= +∞.

convergence vers l’infini

Soit f : Rn → R une fonction, et soit � ∈ R.

On dit que f tend vers � lorsque �x� tend vers +∞,

et l’on ecrit

lim�x�→∞

f(x) = �

pourvu que pour tout ε > 0, il existe M = M(ε)tel que

x ∈ Rn, �x� > M =⇒ |f(x) − �| < ε.

Informellement: en prenant l’argument de fsuffisamment grand en norme, la valeur de f sera

arbitrairement proche de �.

convergence quand x tend vers l’infini

Exemple: lim�(x,y)�→∞

1

x2 + y2= 0.

Evident en prenant � · � = � · �2 , car alors

1

x2 + y2=

1

�(x, y)�22

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48

Continuité des fonctions de plusieurs variables

Definition Soit f : D → R une fonction,

ou le domaine D est une partie dans Rn.

On dit que f est continue au point w si:

1. w ∈ D (donc, f(w) est defini)

2. On a

limx→w

f(x) = f(w)

La fonction est dite continue si elle est

continue en chaque point de son domaine.

Remarque On peut ecrire plus explicitement

limx→wx∈D

f(x) = f(w) ou lim

x→w, x∈D

f(x) = f(w).

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50

Remarque

La continuite se verifie (ou se contredit)par les suites, au sens suivant.

La fonction f est continue en w ∈ Dsi et seulement si:

pour chaque suite xi dans D quiconverge vers w, on a

limi→∞

f(xi) = f(w).

Exemple

f(x, y) =

�=

xyx2+y2 si (x, y) �= (0, 0)

= 0 si (x, y) = (0, 0)

On a bien (0, 0) ∈ D. Mais cette fonction n’est

pas continue, car (comme on le montre sur la

prochaine page)

lim(x,y)→(0,0)

f(x, y) n’existe pas !

Il n’y a aucun choix de f(0, 0) qui rendrait la

fonction continue ; la discontinuite en (0, 0) est

intrinseque.

51

52

f(x, y) =xy

x2 + y2, D = R2\{(0, 0)}

Peut-on affirmer

lim(x,y)→(0,0)

f(x, y) = 0 ?

En s’approchant de l’origine (0, 0) verticalement(par l’axe des y), on obtient la limite 0(car f(0, ·) est identiquement 0).

De meme si l’on s’approche horizontalement(par l’axe des x).

Mais si l’on s’approche de (0, 0) en suivantla droite x = y, on a f(x, x) = 1/2, qui netend pas vers 0.

Conclusion: f n’admet aucune limite en (0, 0).

La continuite de f ne se verifie pasune coordonnee a la fois.

L’exemple montre que :

(car les fonctions partielles x �→ f(x, y) et y �→ f(x, y)

sont toutes continues)

53

54

On peut demontrer que certaines fonctions souvent rencontrees sont

continues, notamment:

Les polynomes en n variables; comme, par exemple,

f(x, y) = x2y + y4(pour n = 2).

La fonction (x, y) �→ xy(dans la region x > 0).

On montre aussi que les sommes, produits, composes, etc. de fonc-

tions continues sont continues. Il suit (mais nous omettons les details)

que des fonctions telles les suivantes sont continues (en respectant les

domaines de definition):

f(x, y) = x2y + y4+ ln(x + y + 3), dans le demi-plan x + y + 3 > 0

g(x, y) = (sinx)2 cosx + (cos y)4 + ln(sinx + cosx + 3), partout

h(x, y) =P (x,y)Q(x,y)

, ou P,Q sont des polynomes, quand Q(x, y) �= 0

ϕ(x, y, z) = arcsin(x+ex+z−cos(x+y+z)), dans un voisinage de (0, 0, 0)

(exactement, ou |x + ex+z − cos(x + y + z)| ≤ 1)

Propriétés des fonctions continues

• les ensembles de niveau sont fermés

• stabilité locale d’une valeur

• existence d’un min/max

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56

Continuité et ensembles de niveauProposition. Soit f : Rn → R une fonction continue, et soit λ ∈ R.Alors les ensembles (de niveau, sous-niveau, sur-niveau) suivantssont fermes:

{x ∈ Rn : f(x) = λ}, {x ∈ Rn : f(x) ≤ λ}, {x ∈ Rn : f(x) ≥ λ},

et les ensembles suivants sont ouverts:

{x ∈ Rn : f(x) < λ}, {x ∈ Rn : f(x) > λ}.

Demonstration. (pour l’ensemble de niveau

Aλ := {x ∈ Rn: f(x) = λ}

�

Soit (ui) une suite dans Aλ qui converge vers u. Alors f(ui) = λ ∀i.Par la continuite de f , on a f(u) = limi→∞ f(ui) = λ.Donc u ∈ Aλ.

On a prouve que Aλ est ferme. �

Rappel. Un ensemble A dans Rn est ferme si et seulement siA est stable sous la convergence des suites ; c-a-d

ui ∈ A ∀i, ui → u =⇒ u ∈ A.

application: pour montrer qu’un ensemble est fermé, il suffit de l’exprimer comme un ensemble de niveau (ou sous-niveau au sens large) d’une fonction continue

Exemple

Le premier quadrant

Q1 := {(x, y) ∈ R2 : x ≥ 0, y ≥ 0}

est ferme, car

Q1 = {(x, y) : x ≥ 0} ∩ {(x, y) : y ≥ 0}= {(x, y) : f(x, y) ≥ 0} ∩ {(x, y) : g(x, y) ≥ 0}

ou f(x, y = x et g(x, y) = y sont des fonctions continues(des polynomes).

Puisque l’intersection de deux fermes est ferme, il vientque Q1 est ferme.

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Generalisation : Les ensembles de niveau (ou sous-niveau,

ou sur-niveau) d’une fonction continue definie sur un

domaine ferme sont fermes. Formellement:

Proposition Soit f : D → R une fonction continue, ou

D ⊂ Rnest ferme. Alors les ensembles

{x ∈ D : f(x) = λ} et {x ∈ D : f(x) � (ou �)λ}

sont fermes.

Demonstration On traite l’ensemble de niveau S, en utili-

sant le critere par suite. Soit xi une suite dans Sconvergeant vers un point x. Il faut montrer que x ∈ S.

Or xi ∈ D pour chaque i, et D est ferme; il vient x ∈ D.

On a aussi f(xi) = λ pour chaque i, d’ou (par la

continuite de f) f(x) = λ. Conclusion: x ∈ S.

Remarque Il faut que l’ensemble de sous-niveau (ou de

sur-niveau) soit defini par une inegalite au sens large pour

que l’ensemble soit ferme.

D

Démonstration : exercice

u

Stabilite locale de la valeur d’une fonction continue.

Soit f : D → R une fonction, ou D est un domainedans Rn, et soit u ∈ D un point de continuite de f .

Si f(u) = λ, alors pour tout � > 0 il existe unvoisinage de u, disons une boule B(u, r), tel que

x ∈ B(u, r) ∩ D =⇒ λ − � < f(x) < λ + �.

)(λ=

f(u)

59

60

Corollaire

Une fonction continue qui est positive en un pointest positive localement autour du point.

Formellement:

Proposition Soit f : D → R une fonction, soitw ∈ D un point de continuite de f tel que f(w) > 0.Alors il existe un voisinage W de w tel que

x ∈ D ∩ W =⇒ f(x) > 0.

Exemple

Montrer que la fonction

(x, y) �→ ln(x + sin(x2y))

est definie et continue dans un voisinage du point (1, 0) dans R2.

(a) Les fonctions (x, y) �→ x et (x, y) �→ x2y sont continues sur R2, en

tant que polynomes.

(b) La fonction (x, y) �→ sin(x2y) est continue, etant la composee de

fonctions continues (on sait que sin est continue).

(c) La fonction (x, y) �→ g(x, y) := x + sin(x2y) est continue, car elle

est la somme de deux fonctions continues.

(d) On a g(1, 0) = 1 + sin 0 = 1. Par la continuite de g, il existe

un voisinage V du point (1, 0) dans lequel g reste strictement posi-

tive.

(e) Pour (x, y) dans V , la fonction (x, y) �→ ln(g(x, y)) (c-a-d la fonc-

tion f) est alors bien definie et continue, par les proprietes connues

de la fonction ln(·).

preuve :

61

62

exemple enune dimension Minimiser la fonction f(x) := ex

3sur R.

C’est absolument faux !

Il aurait fallu savoir a priori qu’un minimum existe !

On sait qu’en un point x donnant le min de la fonction,

la derivee s’annule. (C’est la regle de Fermat.) Donc on

pose f �(x) = 0 :

f �(x) =

�ex

3��

= 3x2ex3

= 0.

Le seul point qui satisfait ceci est x = 0.

Conclusion: le min est atteint en 0.

existence d’un min/max

Exemple (n = 1) Soit A l’intervalle [0,∞[ et f la fonction

f(x) = e−x.

On a infA f = 0 et supA f = 1.

Soit A une partie non vide dans Rn, et f : A → R une fonction. On

note infA f la borne inferieure de l’image de A par f , c-a-d, la borne

inferieure de l’ensemble f(A) de reels suivant:

f(A) = {f(u) : u ∈ A}.

Rappel: il s’agit du plus grand minorant de f(A); si f(A) n’admet

aucun minorant, alors infA f = −∞ par definition.

De meme pour supA f .

5

e−x

x

1

Notons que supA f est atteint dans cet exemple,mais infA f ne l’est pas.

63

64

Remarque

Soit A une partie non vide dans Rn, et f : A → R

une fonction.

La borne inferieure infA f de f sur A n’est pas

forcement atteinte par un point de A. C-a-d, le

infimum ne correspond pas toujours a un minimum.

On utilise ce mot ‘minimum’ lorsque le inf est atteint ;

on ecrit alors minA f .

Cependant, il existe toujours une suite minimisante:une suite (xi) dans A telle que

limi→∞

f(xi) = infA

f .

(Ceci reste vrai dans le cas ou infA f = −∞.)

Le probleme abstrait

(P) minA

f

optimis!tion

65

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L’importance en optimisation d’un théorème d’existence a priori vient de cette logique.Cette logique fait défaut en absence d’un théorème d’existence

La methode deductive applique le raisonnementsuivant pour resoudre (P) :

• Prouver qu’une solution de (P) existe;

• Etudier les conditions necessaires afind’identifier les eventuelles solutions;

• Comparer les points trouves afin dedecouvrir la (ou les) solutions.

Le théorème suivant (de Weierstrass) est de forte importance en optimisation.

Theoreme (de Weierstrass) Soit f : A → R une fonctioncontinue, ou A ⊂ Rn est un compact non vide. Alors fatteint un minimum sur A, et atteint un maximum sur A.

Demonstration La demonstration utilise une suiteminimisante ; elle ne traite que le cas d’un minimum,l’autre etant pareil.

Soit α le infimum de f sur A. A priori , α pourraitetre −∞, ou bien un nombre fini mais n’atteint paraucun point dans A.

Soit xi une suite minimisante pour infA f ; c-a-d, on axi ∈ A et limi f(xi) = α. L’ensemble A etant compact,on peut extraire une sous-suite xϕ(i) qui converge versune limite x∗ ∈ A (Bolzano-Weierstrass + compacite).

Par la continuite de f , on obtient

f(x∗) = limi

f(xϕ(i)) = limi

f(xi) = α ∈ R.

Il vient f(x∗) = α, d’ou la conclusion: f atteint unminimum (fini) par rapport a D en x∗. �

borné + fermé

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En général, l’existence peut faire défaut en absence de soit la compacité de A, soit la continuité de f

exemple manque de compacité

exemple manque de continuité

Il n’est pas dit que, dans des cas précis, on n’aura pas l’existence même si ces ingrédients ne sont pas présents

inf = 0pas atteint

inf = 0pas atteint

5

e−x

x

1A = [0,∞)

x

f

A = [a, b]

a b

Que faut-il retenir ?

Beaucoup de définitions !

• Definitions de base en topologie : ouvert, ferme,convexe, borne, compact, voisinage, interieur,adherence, frontiere ; relations entre ces notions

• Les normes, et l’equivalence des normes

• Convergence des suites dans Rn

• La continuite et ses consequences (notammentle theoreme de Weierstrass)

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70

Fin du troisième cours

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