math - tm - ideoguntur.org/.../uploads/2020/02/maths-tm-paper-i-ii.pdf · 2020-02-17 · 2 21....

$: Math - TM - Ideoguntur.org/.../uploads/2020/02/Maths-TM-Paper-I-II.pdf · 2020-02-17 · 2 21. yêdüÔe dü+K´\˝À >∑TDø±s¡ $˝ÀeTeTT e´edæú‘·eTT ne⁄‘·T+$
1

1. yêdüÔe dü+K´\T12 e÷s¡Tÿ Á|üX¯ï\T :

1. yêdüÔe dü+K´\T ìs¡«∫+|ü⁄eTT.

2. nø£s¡D°j·T dü+K´\≈£î, ø£s¡D°j·T dü+K´\≈£î ø£ uÒ<ÛäeTTqT Áyêj·TTeTT.

3. j·T÷øÏ¢&é uÛ≤>±Vü‰s¡ X‚wü$~Ûì ‘Ó\|ü+&ç.

4. n+ø£>∑DÏ‘· ÁbÕ<∏ä$Tø£ dæ<ë∆+‘·eTT ‘Ó\|ü+&ç.

5. l og34

2764

$\Te m+‘· ?

6.11

2 52 jÓTTø£ÿ <äXÊ+X¯s¡÷|üeTT ø£qT>=q+&ç.

7. l ogp q

r

3 4

2 qT $düÔ]+∫ Áyêj·T+&ç.

8.456

210 n+‘·eTT >∑\ <äXÊ+X¯e÷ ? n+‘·eTT Òì <äXÊ+X¯e÷ ?

9. 810, 270 \ >∑kÕuÛ≤ m+‘· ?

10. 23 I 32 I 54 eT]j·TT 22 I 35 I 52 \ >∑kÕuÛ≤ m+‘· ?

11. 360, 260 \ ø£kÕ>∑T m+‘· ?

12. 62019 ˝Àì ˇø£≥¢ kÕúqeTT m+‘· ?

13. n+‘·eTT Òì Äes¡ÔqeTT ø±ì <äXÊ+X¯eTTq≈£î ˇø£ ñ<ëVü≤s¡D Áyêj·T+&ç.

14. 81 I 27 R 3K nsTTq K $\Te m+‘· ?

15. log28 = 3 Bìì |òü÷‘ê+ø£ s¡÷|ü+˝À Áyêj·T+&ç.

16. xn = y qT dü+es¡Ze÷q s¡÷|ü+˝À Áyêj·T+&ç.

17. ¬s+&ÉT es¡Tdü düVü≤» dü+K´\ >∑kÕuÛ≤ m+‘· ?

18. 10 $\Te m+‘· ?

19. ªªlog 3 ø£s¡D°j·T dü+K´ ne⁄‘·T+~μμ nì kÂeT´ #Ó|ü⁄‘·Tqï~. ˙e⁄ ÄyÓT‘√ @ø°uÛÑ$kÕÔyê ?

20. 4 ˇø£ yêdüÔe dü+K´ ne⁄‘·T+<ë ?

2

21. yêdüÔe dü+K´\˝À >∑TDø±s¡ $˝ÀeTeTT e´edæú‘·eTT ne⁄‘·T+<ë ?

22. P1, P2, P3, P4 .............. Pn \T nìï Á|ü<Ûëq dü+K´\T nsTT‘˚ M{Ï nìï+{Ï jÓTTø£ÿ >∑kÕuÛ≤ m+‘· ?

23. log21024 $\Te m+‘· ?

24. (11 I 7 I 5 I 3) G (11 I 7 I 5 I 3) ˇø£ dü+j·TTø£Ô dü+K´ ne⁄‘·T+<ë ? m˝≤ ?

á ÁøÏ+~ yêø£ eTT\qT nqTdü]+∫ dü]jÓÆTq »yêãTì >∑T]Ô+#·+&ç. (25 qT+&ç 28 es¡≈£î)

25. yêø£ eTT A : 227 ø£ nø£s¡D°j·T dü+U´

yêø£ eTT B : π ˇø£ nø£s¡D°j·T dü+K´

a) A, B \T ¬s+&É÷ dü‘· y˚T b) A dü‘· eTT B ndü‘· eTT

c) A ndü‘· eTT B dü‘· eTT d) A, B \T ¬s+&É÷ ndü‘· y˚T

26. yêø£´eTT A : log33 = 3

yêø£ eTT B = log31 = 1

a) A, B \T ¬s+&É÷ dü‘· y˚T b) A dü‘· eTT, B ndü‘· eTT

c) A ndü‘· eTT B dü‘· eTT d) AB \T ¬s+&É÷ ndü‘· eTT

27. yêø£ eTT A : 519 ˇø£ n+‘·eTT ø±ì Äes¡Ôq <äXÊ+X¯eTT

yêø£ eTT B = 5719 ˇø£ n+‘·eTT ø±ì Äes¡Ôq <äXÊ+X¯eTT

a) A, B \T ¬s+&É÷ dü‘· y˚T b) A dü‘· eTT, B ndü‘· eTT

c) A ndü‘· eTT, B dü‘· eTT d) A, B \T ¬s+&É÷ ndü‘· eTT

28. yêø£ eTT A : log 1000 = 3 log 2 + 3 log 5

yêø£ eTT B : log (32 x 35) = 3 log 2 + 3 log 5

a) A, B \T ¬s+&É÷ dü‘· eTT b) A dü‘· eTT, B ndü‘· eTT

c) A ndü‘· eTT B dü‘· eTT d) A, B \T ¬s+&É÷ ndü‘· eTT

29. 2 eT]j·TT 3 eT<Ûä >∑\ ø£ ø£s¡D°j·T dü+K´ Áyêj·TTeTT.

30. 5 eT]j·TT 6 eT<Ûä >∑\ ø£ n+‘·eTT Òì Äes¡ÔqeTT ø±ì <äXÊ+X¯eTT Áyêj·TTeTT.

3

Key12 e÷s¡Tÿ Á|üX¯ï\T :

1. nø£s¡D°j·T dü+U≤´dü$T‹ eT]j·TT ø£s¡D°j·T dü+U≤´ dü$T‹ ø£*|æ yêdüÔe dü+U≤´ dü$T‹ n+{≤s¡T.

2.pq (q ≠ 0) s¡÷|ü+˝À Áyêj·T>∑\ dü+K´\T nø£s¡D°j·T dü+K´\T.pq (q ≠ 0) s¡÷|ü+˝À Áyêj·T Òì dü+K´\T ø£s¡D°j·T dü+K´\T

( Ò<ë)nø£s¡D°j·T dü+U´ n+‘·eTT >∑\ <äXÊ+X¯eTT eT]j·TT n+‘·eTT Òì Äes¡Ôq <äXÊ+X¯eTTø£s¡D°j·T dü+K´\T n+‘·eTT Òì Äes¡ÔqeTT ø±ì <ÛäXÊ+X¯eTT

3. a = bq + r, 0 < r < b nj˚T´ $<Ûä+>± <Ûäq |üPs¡í dü+K´\T a eT]j·TT b \ »‘·≈£î nqT>∑TD+>± q eT]j·TTr nqT @¬ø’ø£ |üPs¡í dü+K´\T e´edæú‘·+ ne⁄‘êsTT.

4. Á|ü‹ dü+j·TTø£Ô dü+K´qT Á|ü<ÛëHê+ø£eTT\ \ã›eTT>± Áyêj·T e#·TÃqT. eT]j·TT Ä Á|ü<ÛëHê+ø±\ Áø£eT+@<Ó’q|üŒ{ÏøÏ ø±s¡D≤+ø±\ \ã›eTT @¬ø’ø£eTT

5. 3

6. 0.55

7. 3 log p + 4 log q – 2 log r

8. n+‘·eTT Òì <äXÊ+X¯eTT

9. 270

10. 22 I 35 I 52

11. 720

12. 6

13. 1.23234 2345 ......................

(Or)

Any example

14. 6

15. 23 R 8

16. logxy = n

17. 1

18. 3.162

19. ne⁄qT

20. ø±<äT

4

21. e´edæú‘·eTT ø±<äT

22. 1

23. 10

24. ne⁄‘·T+~. 2 ˇø£ ø±s¡D≤+ø£eTT

25. b

26. d

27. b

28. b

29. ˇø£ dü]jÓÆTq ñ<ëVü≤s¡D ( 5 , 6 , 7 , 8 )

30. 5.010120123 ................... (Or) (dü]jÓÆTq ñ<ëVü≤s¡D @<Ó’Hê )

2. dü$T‘·T\T12 e÷s¡Tÿ Á|üX¯ï\T :

1. dü$T‹ nq>± H˚$T ?

2. dü$T‹ jÓTTø£ÿ ø±]¶q Ÿ q+ãsY n+fÒ @$T{Ï ?

3. $j·TTø£Ô dü$T‘·T\T nq>± H˚$T ?

4. A = {2, 3, 5, 7} ì dü$T‹ ìsêàD s¡÷|ü+˝À Áyêj·T+&ç.

5. B = {x / x nq>± >∑&çj·÷s¡+˝Àì dü+K´\T } Bìì C≤_‘ê s¡÷|ü+˝À Áyêj·T+&ç.

Bìì ñ|üjÓ÷–+∫ 6, 7, 8 eT]j·TT 9 \≈£î »yêãT Áyêj·T+&ç.

6. á yÓHé ∫Á‘·eTT <˚ìì dü÷∫düTÔ+~ ?

7. A ∪ B m+‘· ?

8. A ∩ B ø£qT>=qTeTT.

9. A – B ø£qT>=qTeTT.

B

A

5

10. á ÁøÏ+~ yêìì dü]>± »‘·|üs¡#·TeTT.

A) A ∪ B i) {x ∈ A and x ∈ B}

B) A ∩ B ii) {x ∈ A and x ∈ B}

C) A – B iii) {x ∈ A or x ∈ B}

a) A - i, B - ii, C - iii b) A - ii, B - iii, C - i

c) A - iii, B - ii, C - i d) A - i, B - iii, C - ii

11. A = {1, 2, 3, 4}, B = {4, 5, 6, 7} \≈£î yÓHé ∫Á‘·eTT ^j·T+&ç.

á ÁøÏ+~ ∫Á‘êìï |ü]o*+∫ 12 qT+∫ 14 Á|üX¯ï\≈£î CyêãTìeTTà

12. A – B qT ø£qT>=qTeTT.

13. B – A qT ø£qT>=qTeTT.

14. A1 qT ø£qT>=qTeTT.

15. á ÁøÏ+~ yêø±´\qT |ü]o*+∫ dü]jÓÆTq »yêãTqT >∑T]Ô+#·TeTT

yêø£ eTT A : - düVü≤» dü+U≤´dü$T‹, |üPsêí+ø±\ dü$T‹øÏ ñ|üdü$T‹

yêø£ eTT B : - yêdüÔe dü+U≤´dü$T‹, nø£s¡D°j·T dü+U≤´ dü$T‹øÏ ñ|üdü$T‹

a) A, B \T ¬s+&É÷ dü‘· eTT b) A dü‘· eTT B ndü‘· eTT

c) A ndü‘· eTT, B dü‘· eTT d) A, B \ ¬s+&É÷ ndü‘· eTT

16. ªªdü$T‘·T\ düy˚Tàfi¯qeTT dæú‘· +‘·s¡eTTμμ nì s¡$ #ÓbÕŒ&ÉT. e⁄ n‘·ì‘√ @ø°uÛÑ$kÕÔyê ? m+<äT≈£î ?

17. ªªdü$T‘·T\ |æ‘êeTVüQ&ÉTμμ mes¡T ?

18. Á|ü<Ûëq dü+U≤´ dü$T‹øÏ, dü+j·TTø£Ô dü+K´\ dü$T‹øÏ #˚<ÛäqeTT Áyêj·T+&ç.

19. dü$T‘·T\ düy˚Tàfi¯qeTT˝À ‘·‘·‡eT eT÷\ø£ dü$T‹ @~ ?

20. n(A) = 8, n (B) = 10 n (A ∩ B) = 3 nsTTq n (A ∪ B) m+‘· ?

21. n eT÷\ø±\T >∑\ dü$T‹ jÓTTø£ÿ ñ|üdü$T‘·T\ dü+K´ m+‘· ?

A B μ1

2

3

4

5

6

7

8

6

22. ÁøÏ+~ yê{Ïì dü]>± »‘·|ü]#˚ »yêãTì >∑T]Ô+#·TeTT.N = düVü≤» dü+U≤´ dü$T‹ W = |üPsêí+ø±\ dü$T‹A) N ∪ W i) W

B) N ∩ W ii) N

C) N – W iii) φa) A – i, B - ii, C - iii b) A - ii, B - i, C - iii

c) A - iii, B - i, C - ii d) A - i, B - iii, C - ii

23. ÁøÏ+~ yêø±´\qT |ü]o*+∫ dü]jÓÆTq »yêãTì >∑T]Ô+#·TeTT.yêø£ eTT A :- ¬s+&ÉT $j·TTø£Ô dü$T‘·T\ #˚<ÛäqeTT X¯Sq´ dü$T‹yêø£ eTT B :- @ø£eT÷\ø£ dü$T‹˝Àì eT÷\ø±\ dü+K´ düTqïa) A, B \T dü‘· eTT b) A dü‘· eTT B ndü‘· eTTc) A ndü‘· eTT B dü‘· eTT d) A, B \T ¬s+&É÷ ndü‘· eTT

24. A nH˚~ 16 jÓTTø£ÿ ø±s¡D≤+ø±\ dü$T‹ nH˚~ 12 jÓTTø£ÿ ø±s¡D≤+ø±\ dü$T‹ nsTT‘˚ A ∩ B qTø£qT>=qTeTT.

25. "A ˇø£ Á|ü<Ûëq dü+U≤´ dü$T‹ á yêø£ eTT dü]jÓÆTq<˚Hê. nsTT‘˚ 7 ∈ A"

26. n|ü]$T‘· dü$T‹øÏ ø£ ñ<ëVü≤s¡D Áyêj·T+&ç.27. A ∪ B = B nj˚T´ $<Ûä+>± A, B dü$T‘·T\qT Áyêj·T+&ç.28. n (A) = 10, n (B) = 11 nsTT‘˚ A ∪ B ˝À >∑]wü+>± ñ+&˚ eT÷\ø±\ dü+K´ m+‘· ?

29. A = {x : x ∈ Z, − 52

< x < 52 } nsTT‘˚ dü$T‹qT C≤_‘ê s¡÷|ü+˝À Áyêj·T+&ç.

30. A 1 18

127

164

1125

, , , , qT dü$T‹ ìsêàD s¡÷|ü+˝À Áyêj·T+&ç.


1. düTìs¡«∫‘· edüTÔe⁄\ düeTT<ëj·Ty˚T dü$T‹

2. ˇø£ dü$T‹˝Àì eT÷\ø±\ dü+K´qT Ä dü$T‹ jÓTTø£ÿ ø±]¶q Ÿ q+ãsY n+{≤s¡T.

3. A ∩ B = φ nsTT‘˚ A, B \qT $j·TTø£Ô dü$T‘·T\ n+{≤s¡T.

( Ò<ë)

@ ¬s+&ÉT dü$T‘·T\¬ø’Hê ñeTà&ç eT÷\ø±\T Òq≥¢sTT‘˚ Ä dü$T‘·T\T $j·TTø£Ô dü$T‘·T\T

4. {x / x ˇø£ Á|ü<Ûëq dü+K´. x < 10, x ∈ N}

5. {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}

6. A ⊂ B

7. B

7

8. A

9. φ

10. C

11.

12. {1, 2, 3}

13. {6, 7, 8}

14. {6, 7, 8}

15. b

16. @ø°uÛÑ$kÕÔqT (A ∪ B = B ∪ A)

17. C≤]® ø±+≥sY

18. φ

19. φ

20. 15

21. 2n

22. a

23. b

24. {1, 2, 4}

25. dü]jÓÆTq~

26. N ( Ò<ë) @<Ó’Hê dü]jÓÆTq CyêãT

27. A = {1, 2} B = {1, 2, 3}

(Or)

@<Ó’Hê dü¬s’q »yêãT

28. 21

29. {– 2, – 1, 0, 1, 2}

30. x x n N nn

/ . , 13

5

A B μ

1

2

3

4

5

6

7

8

8

3. ãVüQ|ü<äT\T12 e÷s¡Tÿ Á|üX¯ï\T :

1. ãVüQ|ü~ nq>± H˚$T ?

2. kÂeT´ á $<Ûä+>± #Ó|æŒq~ ªªãVüQ|ü~˝Àì |ü<ë\ ø£qï ãVüQ|ü~ |ü]e÷DeTT ø£{Ï m≈£îÿe>± ñ+≥T+~μμkÂeT´‘√ ˙e⁄ @ø°uÛÑ$kÕÔyê ?

3. x2 – 7x + 12 ˝Àì X¯SHê´\ \ã›eTT m+‘· ?

4. 4x2 – 1 ãVüQ|ü~ X¯SHê´\ \ã›eTT m+‘· ?

5. x7 + x4 – 2x3 – 4x + 1 ãVüQ|ü~˝À x5 >∑TDø£eTT m+‘· ?

6. ÁøÏ+<ä Ç∫Ãq Á>±|òü⁄˝Àì ãVüQ|ü~øÏ mìï X¯SHê´\T ø£\e⁄ ?

7. P(x) = x2 + x + 1 nsTTq P (– 1) $\Te m+‘· ?

8. 3x3 – 5x2 – 10x + 9 ãVüQ|ü~ jÓTTø£ÿ X¯SHê´\ \ã›eTT m+‘· ?

9. x2 – Kx + 1 ãVüQ|ü~ X¯SHê´\ yÓTT‘·ÔeTT 2 nsTTq K $\Te m+‘· ?

10. ãVüQ|ü<äT\ uÛ≤>±Vü‰s¡eTT jÓTTø£ÿ n˝≤Z]<∏äyéT Áyêj·TTeTT.

11. á ÁøÏ+~ yêì˝À dü]jÓÆTq $<Ûä+>± »‘·|ü]∫q »yêãTqT ø£qT>=qTeTT.

Á>±|òt X¯SHê´\ dü+K´

A) i) 0

B) ii) 1 a) A - i, B - ii, C - iii b) A - i, B - iii, C - ii

C) iii) 2 c) A - iii, B - ii, C - i d) A - ii, B - i, C - iii

9

12. x3 – 4x2 + 3x + 8 ãVüQ|ü~ jÓTTø£ÿ X¯SHê´\ \ã›eTT m+‘· ?

13. n e |ü]e÷DeTT >∑\ ãVüQ|ü~ kÕ<Ûës¡D s¡÷|üeTT @~ ?

14. 2 , – 2 X¯SHê´\T>± >∑\ ãVüQ|ü~ Áyêj·TTeTT.

15. 4x3 – 8x2 + 4x – 3 ãVüQ|ü~ jÓTTø£ÿ X¯SHê´\T α, β, γ nsTT‘˚ αβ + βγ + γα \ $\Te m+‘· ?

16. P(x) = x3 – 1 nsTTq P (– 3) $\Te m+‘· ?

17. x2 = x – 6 jÓTTø£ÿ ˇø£ X¯SqéTT 3 nsTTq ¬s+&Ée X¯SqéTT $\Te m+‘· ?

18. á ÁøÏ+~ yêø±´\qT |ü]o*+∫ dü]jÓÆTq »yêãTì >∑T]Ô+#·TeTT α, β, γ \T px3 + qx2 + rx + 5 jÓTTø£ÿX¯SHê´\T nsTT‘˚

A) α + β + γ i) rp

B) αβ + βγ + γα ii) sp

C) αβγ iii) − q

p

a) A - iii, B - i, C - ii b) A - i, B - ii, C- iii

c) A - iii, B - ii, C - i d) A - ii, B - iii, C - i

19. P4 – 16 jÓTTø£ÿ ˇø£ ø±s¡D≤+ø£eTT Áyêj·TTeTT.

20. X¯SHê´\ yÓTT‘·ÔeTT 3 X¯SHê´\ \ã›eTT 4 nj˚T´ es¡Z ãVüQ|ü~ @~ ?

21. (x3 – 27) ™ (x2 + 3x + 9) m+‘· ?

22. P(x) = x2 – 8x + K nsTTq P(x) qT (x – 1) #˚ uÛ≤–+#·>± e#·TÃ X‚wüeTT m+‘· ?

23. x2 – 5x – 6 jÓTTø£ÿ ø±s¡D≤+ø±\T Áyêj·TTeTT.

24. x2 + x (p + q) + pq jÓTTø£ÿ X¯SHê´\T @$T{Ï ?

25. P(x) = 3x2 + 2x – 1 nsTTq P( 12 ) $\Te m+‘· ?

26. ax2 + ax + 2 = 0 eT]j·TT x2 + x + b = 0 \≈£î ˇø£ ñeTà&ç X¯SqéTT 1 nsTT‘˚ ab $\Te m+‘· ?

10

27. α, β, ρ \T x3 – 10x + 33x – 36 jÓTTø£ÿ X¯SHê´\T nsTT‘˚ αβ = 18 nsTTq r $\Te m+‘· ?

28. α, β, ρ \T X¯SHê´\T>± >∑\ |òüTq ãVüQ|ü~ Áyêj·TTeTT.

29. x3 + 3x2 – 3x – 9 ãVüQ|ü~ jÓTTø£ÿ ¬s+&ÉT X¯SHê´\T 3 eT]j·TT – 3 nsTTq eT÷&Ée X¯Sq´eTT@~ ?

30. 3x3 + x2 + x + d jÓTTø£ÿ ˇø£ X¯Sq´eTT 1 nsTT‘˚ d $\Te m+‘· ?

Key

12 e÷s¡Tÿ Á|üX¯ï\T :

1. s¡TDÒ‘·s¡ <Ûäq|üPs¡í dü+K´\ |òü÷‘ê\T ñqï #·s¡sêX¯ó\‘√ ≈£L&çq ;õj·T düe÷düeTTqT ãVüQ|ü~n+{≤s¡T.

2. @ø°uÛÑ$+#·TqT

3. 7

4. − 14

5. 0

6. 3

7. 1

8. – 3

9. 2

10. p(x) = g(x) q(x) + r(x) [g(x) ≠ 0, Ç#·Ã≥ q(x) uÛ≤>∑|òü\+ r(x) X‚wü+]

11. b

12. – 8

13. aoxn + a, xn – 1 + a2 xn – 2 + .............. + an

14. x2 – 2

15. 1

16. – 28

11

17. – 2

18. a

19. (p + q) (p – z), (p2 + 4)

20. x2 – 3x + 4

21. x – 3

22. k – 7

23. (x – 6) (x + 1)

24. – p, – q

25. 34

26. 2

27. – 2

28. x2 – (α + β + γ) x2 + (αβ + βγ + γα) x – αβγ (Or) (x – α) (x – β) (x – ρ)

29. – 3

30. 5

4. ¬s+&ÉT #·s¡sêX¯ó\˝À πsFj·T düMTø£s¡D≤\ »‘·12 e÷s¡Tÿ Á|üX¯ï\T :

1. ¬s+&ÉT #·s¡sêX¯ó\˝À πsFj·T düMTø£s¡DeTT nq>± H˚$T ?

2. ax + by + c = 0 nqTq~ ¬s+&ÉT#·s¡sêX¯ó\˝À πsFj·T düMTø£s¡DeTT ø±e&ÜìøÏ ìj·TeTeTT Áyêj·T+&ç.

3. 2x + 4y = 8 eT]j·TT 6x + 12y = 24 nqT πsFj·T düMTø£s¡DeTT\≈£î mìï »‘·\ kÕ<Ûäq\T ñ+{≤sTT ?

4. kx + 2y = 5 eT]j·TT 3x + y = 1 \≈£î kÕ<Ûäq Òø£b˛‘˚ K $\Te m+‘· ?

5. 2x – 3y = 0 nsTT‘˚ 2x + 3y qT y |ü<äeTT\˝À Áyêj·TTeTT.

6. 2 (x + 5) = 19 – x jÓTTø£ÿ kÕ<Ûäq @~ ?

7. 2x + 5y – 10 = 0 nH˚ πsK x - nø£åeTTqT @ _+<äTe⁄ e<ä› K+&ç+#·Tø=qTqT.

12

8. x = 0 eT]j·TT x = 2 nH˚ πsFj·T düMTø£s¡D≤\ »‘·≈£î mìï kÕ<Ûäq\T ñ+{≤sTT ?

9. ÁøÏ+~ yêì˝À dü]jÓÆTq $<Ûä+>± »‘·|ü]∫q »yêãTì ø£qT>=qTeTT.

A) aa

bb

1

2

1

2≠ i) düe÷+‘·s¡ πsK\T

B) aa

1

2 =

bb

1

2 =

cc

1

2ii) K+&Éq πsK\T

C) aa

1

2 =

bb

1

2 ≠

cc

1

2iii) @ø°uÛÑ$+# πsK\T

a) A - ii, B - iii, C - i b) A – ii, B - i, C - iii

c) A - i, B - ii, C- iii d) A - iii, B - ii, C - i

10. ÁøÏ+~ yêì˝À dü]>± »‘·|ü]∫q »yêãTì >∑T]Ô+#·TeTT.

A) aa

bb

1

2

1

2≠ i) kÕ<Ûäq Ò<äT

B) aa

1

2 =

bb

1

2 ≠

cc

1

2ii) πø kÕ<Ûäq

C) aa

1

2 =

bb

1

2 =

cc

1

2iii) nq+‘· kÕ<Ûäq\T

a) A - i, B - ii, C - iii b) A - i, B - iii, C - ii

c) A - ii, B - iii, C - i d) A - iii, B - ii, C - i

11. 2x + 3y = 4 eT]j·TT 6x + 9y = K \T @ø°uÛÑ$+#·Tø=H˚ πsK\T nsTTq K $\Te m+‘· ?

12. x = 5 eT]j·TT y = 5 eT<Ûä ø√DeTT m+‘· ?

13. x + y = 5, x – y = 1 jÓTTø£ÿ kÕ<Ûäq @$T{Ï ?

14. 2x + y = 5 eT]j·TT 3x – 2y – 5 = 0 düMTø£s¡D≤\ »‘·≈£î mìï kÕ<Ûäq\T ñ+{≤sTT ?

15. dü+>∑‘· düMTø£s¡D≤\T nq>± H˚$T ?

16. ÁøÏ+~ yêì˝À dü]>± »‘·|ü]∫q »yêãTqT >∑T]Ô+#·TeTT.

A) x + y = 20, x – y = 2 i) düe÷+‘·s¡ πsK\T

B) x + y = 2, 3x – 3y = 6 ii) K+&Éq πsK\T

C) x – y = 2, 3x – 3y = 12 iii) @ø°uÛÑ$+# πsK\T

a) A - ii, B - i, C - iii b) A - ii, B - iii, C - i

c) A - i, B - ii, C - iii d) A - i, B - iii, C - ii

13

17. á ÁøÏ+~ yêø±´\qT |ü]o*+∫ dü]jÓÆTq »yêãTì >∑T]Ô+#·TeTT.

yêø£ eTT A : aa

1

2 =

bb

cc

1

2

1

2= \T dü«‘·+Á‘· düMTø£s¡D≤\T

yêø£ eTT B : a1 x + b1 y + c1 = 0, a2x + b2 x + c2 = 0

kÕ<Ûäq

a) A eT]j·TT B\T ¬s+&É÷ dü‘· eTT b) A dü‘· eTT B ndü‘· eTT


18. qe´ á $<Ûä+>± #Ó|æŒ+~ 5x – 4y + 8 = 0 eT]j·TT 7x – 6y – 9 = 0 \T düe÷+‘·s¡ πsK\Tìdü÷∫kÕÔsTTμμ MTs¡T qe´‘√ @ø°uÛÑ$kÕÔsê ?

19. x = 3 eT]j·TT x = – 3 \≈£î s¡|òt Á>±|òtqT ^j·TTeTT.

20. y = 3 eT]j·TT y = 0 \≈£î s¡|òt Á>±|òtqT ^j·TTeTT.

21. x = 0 eT]j·TT y = 0 \≈£î mìï »‘·\ kÕ<Ûäq\T ø£\e⁄.

22. ÁøÏ+~ Á>±|òü⁄˝Àì πsFj·T düMTø£s¡D≤\ »‘·≈£î mìï kÕ<Ûäq\T ø£\e⁄.

23. px + 3y + 4 = 0, 12 x + 9y + 12 = 0 \≈£î p jÓTTø£ÿ @ $\Te≈£î ô|’ πsFj·T düMTø£s¡D≤\ »‘·\≈£înq+‘· kÕ<Ûäq\T ñ+{≤sTT.

á ÁøÏ+~ ù|sêqT #·~$ 24, 25 Á|üX¯ï\≈£î »yêãT\qT Çe«+&ç.

5 ô|ì‡fi¯ófl 9 ø£\eTT\ KØ<äT s¡÷. 115, 2 ô|ì‡fi¯ófl eT]j·TT 5 ø£\eTT\ KØ<äT s¡÷. 60

24. ô|’ düe÷#ês¡eTTq≈£î πsFj·T düMTø£s¡D≤\T Áyêj·T+&ç.

25. ô|’ düe÷#ês¡eTT˝Àì πsFj·T düMTø£s¡D≤\ »‘· dü+>∑‘·e÷ ? ndü+>∑‘·e÷ ?

x + y = 5

x + y = 2

14

26.5

1

1

22

6

1

3

21

x y x y

; \qT a, b \˝À πsFj·T düMTø£s¡D≤\ »‘·>± ‘·–Z+∫ Áyêj·T+&ç.

27. dü]jÓÆTq »yêãTì >∑T]Ô+#·+&ç.

yêø£ eTT A : 2x + 3y = 0 πsK eT÷\_+<äTe⁄ >∑T+&Ü b˛‘·T+~.

yêø£ eTT B : 2x + 3y = 5 πsK eT÷\ _+<äTe⁄ >∑T+&Ü b˛‘·T+~.



28. x = 3, y = 3, x = – 3, y = – 3 \‘√ @s¡Œ&˚ #·‘·Ts¡ÁdüeTT yÓ’XÊ\´eTT m+‘· ?

Key


1. a, b, c \T yêdüÔe dü+K´\T nsTTq ax + by + c = 0 (a2 + b2 ≠ 0) s¡÷|ü+˝À ñqï düMTø£s¡DeTTqT¬s+&ÉT #·s¡sêX¯ó\˝À πsFj·T düMTø£s¡DeTT n+{≤s¡T.

2. a2 + b2 ≠ 0

3. nq+‘· kÕ<Ûäq\T

4. 6 5. 6y

6. 3 7. (5, 0)

8. kÕ<Ûäq Ò<äT 9. a

10. a 11. 12

12. 90o 13. (3, 2)

14. ˇø£ kÕ<Ûäq

15. ¬s+&ÉT #·s¡sêX¯ó\˝À πsFj·T düMTø£s¡D≤\ »‘·qT ø£ dü+ ˇø£ kÕ<Ûäq nHêï ñ+fÒ yê{Ïì dü+>∑‘·düMTø£s¡D≤\T n+{≤s¡T.

16. b

17. a

18. @ø°uÛÑ$+#·qT

15

19.

20.

21. ˇø£ »‘· 22. kÕ<Ûäq Ò<äT

23. 4 24. 5x + 9y = 115

2x + 5y = 60

25. K+&Éq πsK\T 26. 5a + b = 2

6a – 3b = 1

27. b 28. 36 #· ˆ j·T÷ì≥T¢

5. es¡Z düMTø£s¡D≤\T12 e÷s¡Tÿ Á|üX¯ï\T :

1. es¡Z düMTø£s¡DeTT jÓTTø£ÿ ÁbÕe÷DÏø£ s¡÷|üeTT Áyêj·T+&ç.

2. ax2 + bx + c = 0 jÓTTø£ÿ eT÷˝eTT K nsTT‘˚ aK2 + bK + c $\Te m+‘· ?

3. 3x2 + 4 = 0 es¡Z düMTø£s¡DeTTq≈£î yêdüÔe eT÷˝≤\T mìï ?

4. x2 – 7x + 2 = 0 es¡Z düMTø£s¡DeTTq≈£î $#·øÏåDÏ @$T{Ï ?

5. x2 – 11 x + 30 jÓTTø£ÿ ˇø£ eT÷\eTT 6 nsTT‘˚ ¬s+&Ée eT÷\eTT m+‘· ?

6. α, β \T eT÷˝≤\T>± >∑\ es¡Z düMTø£s¡DeTT Áyêj·TTeTT.

y = – 3

y

y = 3

x

x – 3 x = 3

x

y

16

7. á ÁøÏ+~ yêì˝À dü]jÓÆTq $<Ûä+>± »‘·|ü]∫q »yêãTqT >∑T]Ô+#·TeTT.

A) b2 – 4ac = 0 i) eT÷˝≤\T düe÷Hê\T, yêdüÔyê\T

B) b2 – 4ac > 0 ii) eT÷˝≤\T ndüe÷Hê\T, nyêdüÔyê\T

C) b2 – 4ac < 0 iii) eT÷˝≤\T ndüe÷Hê\T, yêdüÔyê\T

a) A - i, B - iii, C - ii b) A – i, B - ii, C - iii

c) A - ii, B - i, C- iii d) A - iii, B - i, C - ii

8. ÁøÏ+~ yêì˝À dü]>± »‘·|ü]∫q »yêãTì >∑T]Ô+#·TeTT.

ax2 + bx + c = 0 jÓTTø£ÿ eT÷˝\T α, β \T nsTT‘˚

A) α + β i) b aac2 | a |

B) αβ ii) − ba

C) |α – β| iii) ca

a) A - ii, B - iii, C - i b) A - ii, B - i, C - iii

c) A - i, B - ii, C - iii d) A - i, B - iii, C - ii

9. ax2 + bx + c = 0 ˇø£ es¡Z düMTø£s¡DeTT ø±e&ÜìøÏ ìj·TeTeTT @$T{Ï ?

10. x2 – 2x + 3 = 0 jÓTTø£ÿ eT÷˝≤\T α, β \T nsTT‘˚ α2 + β2 $\Te m+‘· ?

11. 5 eT]j·TT 6 eT÷˝≤\T>± >∑\ es¡Z düMTø£s¡DeTT @~ ?

12. eT÷˝≤\ yÓTT‘·Ô+ 5 eT]j·TT eT÷˝≤\ \ã›eTT 6 >± >∑\ es¡Z düMTø£s¡DeTT @~ ?

13. ÁøÏ+~ yêø±´\qT |ü]o*+∫ dü]jÓÆTq »yêãTì >∑T]Ô+#·TeTT.

5x2 + 2 3 x – 11 = 0

yêø£ eTT A : eT÷˝≤\ yÓTT‘·Ô+ 2 3

5

yêø£ eTT B : eT÷˝≤\ \ã›eTT 115

a) A eT]j·TT B \T ¬s+&É÷ dü‘· eTT b) A dü‘· eTT B ndü‘· eTT

c) A ndü‘· eTT B dü‘· eTT d) A eT]j·TT B ¬s+&É÷ ndü‘· eTT

17

14. x = 1x jÓTTø£ÿ ø£ eT÷\eTT ªª1μμ nsTT‘˚ ¬s+&Ée eT÷\eTT @~ ?

15. b2 < 4ac ≈£î ˇø£ s¡|òt Á>±|òtqT ^j·TTeTT.

16. ªª¬s+&ÉT es¡Tdü dü+K´\ \ã›eTT 210μμ á yêø£ eTTq≈£î dü]b˛j˚T es¡Z düMTø£s¡DeTT Áyêj·TTeTT.

17. ªªˇø£ dü+K´ eT]j·TT <ëì e⁄´Å‘·ÿeTeTT\ yÓTT‘·ÔeTT 103 nsTTq Ä dü+K´ @~ ?

18. 10x2 – 20x + K = 0 jÓTTø£ÿ eT÷˝≤\T düe÷qeTT nsTT‘˚ K $\Te m+‘· ?

19. ¬s+&ÉT eT÷˝≤\T düe÷qeTT>± >∑\ es¡Z düMTø£s¡DeTT jÓTTø£ÿ s¡|òt Á>±|òtqT j·TTeTT.

20. Á¬>{≤ á $<Ûä+>± #Ó|æŒ+~ ªª 3x2 + 13x + 14 = 0 jÓTTø£ÿ ˇø£ eT÷\eTT – 2 ˙e⁄ ÄyÓT‘√ @ø°uÛÑ$kÕÔyê ?

21. ˇø£ Bs¡Z #·‘·Ts¡ÁkÕø±s¡ bÕ¢≥T bı&Ée⁄ <ëì yÓ&É\TŒ ø£Hêï 1 MT. m≈£îÿe <ëì yÓ’XÊ\´eTT 12 #· ˆMTˆˆ nsTTqô|’ yêø±´ìøÏ es¡Z düMTø£s¡DeTT Áyêj·T+&ç.

22. eT÷˝≤\ yÓTT‘·ÔeTT 0 nj˚T´ ø£ es¡Z düMTø£s¡DeTT Áyêj·T+&ç.

23. eT÷\\ \ã›eTT 1 nj˚T´ ø£ es¡Z düMTø£s¡DeTT Áyêj·T+&ç.

24. (2x – 2) (3x + 5) = 3x (x + 4) qT es¡Z düMTø£s¡D ÁbÕe÷DÏø£ s¡÷|ü+˝À Áyêj·TTeTT.

25. 4x2 – 12xy + 9y2 jÓTTø£ÿ es¡Z eT÷\eTT m+‘· ?

26. x2 – 4x + 4 = 0 nsTT‘˚ x ™ 1x $\Te m+‘· ?

Key


1. ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 2. 0

3. 0 4. 41

5. 5 6. x2 – (α + β) x + αβ = 0 (Or)(x – α) (x – β) = 0

7. a 8. a

9. a ≠ 0 10. – 2

11. x2 – 11x + 30 = 0 12. x – 5x + 6 = 0

18

13. 6 14. – 1

15. Ò<ë Ò<ë

16. x2 + x – 210 = 0 17. 3 ˝Ò<ë 13

18. 10

19. Ò<ë Ò<ë

20. @ø°uÛÑ$kÕÔqT

21. x2 + x – 12 = 0

22. x2 – 3 = 0 (Or) @<Ó’Hê dü¬s’q »yêãT

23. 3x2 – 4x + 3 = 0 ( Ò<ë) @<˚ì dü¬s’q »yêãT

24. 2x2 – 8x – 10 = 0

25. (2x – 3y)

26. 4

6. ÁX‚&ÛÉT\T12 e÷s¡Tÿ Á|üX¯ï\T :

1. n+ø£ÁX‚&Ûçì ìs¡«∫+|ü⁄eTT.

2. >∑TDÁX‚&Ûç nq>± @$T{Ï ?

3. n+ø£ÁX‚&Ûç À yÓTT<ä{Ï |ü<äeTT a |ü<ë+‘·s¡eTT d nsTTq ne |ü<äeTT @$T{Ï ?

4. n+ø£ÁX‚&Ûç À yÓTT<ä{Ï |ü<äeTT a |ü<ë+‘·s¡eTT d nsTTq n |ü<ë\ yÓTT‘·ÔeTT m+‘· ?

5. 1 + 2 + 3 + ......... + n $\Te m+‘· ?

6. dü]jÓÆTq yêìì »‘·|ü]∫ »yêãTì >∑T]Ô+#·TeTT.A) 5, 2, –1, – 4 ..... i) 3 + 5n

B) 8, 13, 18, 23 ...... ii) 8 – 3n

C) 9, 19, 29, 39 ..... iii) 10n – 1

a) A - i, B - ii, C - iii b) A - ii, B - i, C - iii

c) A - ii, B - iii, C - i d) A - i, B - iii, C - ii

19

7. >∑TDÁX‚&Ûç À ne |ü<äeTT kÕ<Ûës¡Ds¡÷|üeTT @$T{Ï ?

8. ÁøÏ+~ yê{Ïì dü]>± »‘·|üs¡∫q <ëìì >∑T]Ô+#·TeTT.

A) a = 2, d = 4 i) 5, 5, 5, 5, ............

B) a = – 3, d= – 2 ii) 2, 6, 10, 14, ........

C) a = 5, d= 0 iii) – 3, – 5, – 7, – 9, .................


c) A - iii, B - ii, C - i d) A - ii, B - i, C - iii

9. ÁøÏ+~ yêø±´\qT |ü]o*+∫ dü]jÓÆTq »yêãTqT >∑T]Ô+#·TeTT.

yêø£ eTT A : 3, 11, 19, ..... ÁX‚&Ûç À 10e |ü<äeTT 75

yêø£ eTT B : – 15, – 5, 5, 15 ÁX‚&Ûç À 10e |ü<äeTT 75

a) A eT]j·TT B ¬s+&É÷ dü‘· eTT b) A dü‘· eTT B ndü‘· eTT


10. ÁøÏ+~ yêø±´\qT |ü]o*+∫ dü]jÓÆTq »yêãTqT >∑T]Ô+#·TeTT.

yêø£ eTT A : a – d, a, a + d n+ø£ÁX‚&Ûç Àì eT÷&ÉT es¡Tdü |ü<ë\T n+ø£Áø£X‚&Ûç Àì Hê\T>∑T es¡Tdü |ü<ë\T

yêø£ eTT B : a – 3d, a – d, a + d, a + 3d

a) A eT]j·TT B ¬s+&É÷ dü‘· eTT b) A dü‘· eTT B ndü‘· eTT


11. 3, 8, 13, 18, .......... n+ø£ÁX‚&Ûç À 78 mqïe |ü<äeTT ?

12. yÓTT<ä{Ï 100 dü] düVü≤» dü+K´\ yÓTT‘·ÔeTT m+‘· ?

13. a = 15 eT]j·TT d = – 5 nsTTq Ä ÁX‚&Ûç Àì Hê\Ze |ü<äeTT m+‘· ?

14. 7 #˚ ìX‚Ùwü+>± uÛ≤–+#·>∑\ eT÷&É+¬ø\ dü+K´\T mìï ?

15. a = 3 eT]j·TT r = 2 >± >∑\ >∑TDÁX‚&Ûç À ne |ü<äeTT m+‘· ?

16. x, x + 5, x + 15 \T >∑TDÁX‚&Ûç Àì eT÷&ÉT es¡Tdü |ü<ë\T nsTT‘˚ x $\Te m+‘· ?

17. 3 , 3, 3 3 ....................... >∑TDÁX‚&Ûç À 27 mqïe |ü<äeTT ?

18. ˇø£ n+ø£ÁX‚&Ûç À ¬s+&Ée |ü<äeTT 32 ◊<äe |ü<äeTT 80 nsTTq 7e |ü<äeTT m+‘· ?

20

19. ˇø£ n+ø£ÁX‚&Ûç À 9e |ü<äeTT, 10e |ü<äeTT es¡Tdü>± 81, 90 nsTTq |ü<ë+‘·s¡eTT m+‘· ?

20. 8K + 4, 6K + 1, 2K + 12 \T n+ø£ ÁX‚&Ûç À ñ+fÒ K $\Te m+‘· ?

21. x – y, x + 2y, x + 5y, ...... n+ø£ÁX‚&Ûç À |ü<ë+‘·s¡eTT m+‘· ?

22. yÓTT<ä{Ï 20 uÒdæ düVü≤» dü+K´\ yÓTT‘·ÔeTT m+‘· ?

23. –3 |ü<ë+‘·s¡eTT >∑\ n+ø£ÁX‚&ÛçøÏ ˇø£ ñ<ëVü≤s¡D Áyêj·T+&ç.

24. a = 5 , r = 1

5 >∑\ >∑TDÁX‚&Ûç Àì yÓTT<ä{Ï eT÷&ÉT |ü<ë\T Áyêj·T+&ç.

25. ªª2, 2, 2, 2, 2, ............. \T n+ø£ÁX‚&Ûç À ñHêïsTT. eT]j·TT >∑TDÁX‚&Ûç À ñHêïsTTμμ nì eT˝≤˝≤#Ó|ü⁄‘·Tqï~. ˙e⁄ ÄyÓT‘√ @ø°uÛÑ$kÕÔyê ? Ò<ë ? m+<äT≈£î ?

Key


1. ˇø£ dü+K´\ C≤_‘ê˝À yÓTT<ä{Ï |ü<äeTT ‘·|üŒ $T–*q nìï |ü<ë\T yêì eTT+<äTqï |ü<ëìøÏ @<√ ø£dæús¡ dü+K´qT ø£\|ü≥+ e\¢ edü÷Ô ñ+fÒ Ä C≤_‘êqT n+ø£ÁX‚&Ûç n+{≤s¡T.

2. ˇø£ dü+K´\ C≤_‘ê˝À yÓTT<ä{Ï |ü<äeTT ‘·|üŒ $T–*q |ü<ë\T nìï yêì eTT+<äTqï |ü<ë\qT ø£ dæús¡dü+K´#˚ >∑TDÏ+#·&É+ e\¢ @s¡Œ&ÉT‘·÷ ñ+fÒ Ä C≤_‘êqT >∑TDÁX‚&Ûç n+{≤s¡T.

3. a + (n – 1) d 4. n a n d2

2 1+ −[ ]( )

5. n n( )+ 12

6. b

7. a.rn – 1 8. b

9. a 10. a

11. 16e |ü<äeTT 12. 10100

13. 0 14. 128

15. 3 (2)n – 1 16. 5

17. 6e |ü<äeTT 18. 112

19. 9 20. 7

21

21. 3y 22. 400

23. 10, 7, 4, 1, ............... 24. 5 , 1, 1

5

( Ò<ë)

@<˚ì dü¬s’q »yêãT

25. @ø°uÛÑ$kÕÔqT |ü<ë+‘·s¡eTT R 0 kÕe÷q´ ìwüŒ‹Ô R 1

10. πøåÁ‘·$T‹12 e÷s¡Tÿ Á|üX¯ï\T :

1. 4 ôd+.MT. I 3 ôd+.MT. I 2 ôd+.MT. ø=\‘·\T >∑\ Bs¡È |òüTqeTT |òüTq|ü]e÷DeTT m+‘· ?

2. 6 ôd+.MT. I 5 ôd+.MT. I 4 ôd+.MT. ø=\‘·\T >∑\ Bs¡È |òüTqeTT jÓTTø£ÿ Á|üø£ÿ‘·\ yÓ’XÊ\éTT m+‘· ?

3. bı&Ée⁄ 10 ôd+.MT., yÓ&É\TŒ 8 ôd+.MT., m‘·TÔ 5 ôd+.MT. >∑\ Bs¡È|òüTqeTT dü+|üPs¡í‘·\ yÓ’XÊ\éTT ø£qTø√ÿ+&ç.

4. 6 ôd+.MT. uÛÑT»+ >∑\ düeT|òüTqeTT |òüTq|ü]e÷D+ ø£qTø√ÿ+&ç.

5. 20 MT. uÛÑT»+>± >∑*Zq düeT|òüTqeTT Hê\T>∑T >√&É\ yÓ’XÊ\éTT Á|üø£ÿ‘·\yÓ’XÊ\éTT ø£qTø√ÿ+&ç.

6. 5 ôd+.MT. uÛÑT»+>± >∑\ |òüTqeTT dü+|üPs¡í‘·\ yÓ’XÊ\´+ ø£qTø√ÿ+&ç.

7. uÛÑ÷yê´kÕs¡úeTT 6 ôd+.MT eT]j·TT m‘·TÔ 7 ôd+.MT. >± >∑*Zq dü÷ú|üeTT jÓTTø£ÿ eÁø£‘·\ yÓ’XÊ\éTTø£qTø√ÿ+&ç.

8. 7 ôd+.MT. uÛÑ÷yê´kÕs¡úeTT m‘·TÔ 10 ôd+.MT. >± >∑*Zq dü÷ú|üeTT jÓTTø£ÿ dü+|üPs¡í‘·\ yÓ’XÊ\éTT m+‘· ?

9. 7 ôd+.MT. uÛÑ÷yê´kÕs¡úeTT m‘·TÔ 5 ôd+.MT. >± >∑*Zq dü÷ú|üeTT jÓTTø£ÿ |òüTq|ü]e÷DeTT ø£qTø√ÿ+&ç.

10. ˇø£ dü÷ú|üeTT jÓTTø£ÿ uÛÑ÷. |ü]~Û 220 ôd+.MT. <ëì m‘·TÔ 63ôd+.MT. nsTTq <ëì eÁø£‘·\ yÓ’XÊ\éTTm+‘· ?

11. uÛÑ÷yê´kÕs¡úeTT 12 ôd+.MT m‘·TÔ 7 ôd+.MT. >± >∑\ X¯+KTe⁄ |òüTq|ü]e÷DeTT m+‘· ?

12. uÛÑ÷yê´kÕs¡úeTT 7 ôd+.MT. @≥yê\T m‘·TÔ 25 ôd+.MT.>± >∑*Zq X¯+KTe⁄ eÁø£‘·\ yÓ’XÊ\éTT m+‘· ?

13. 7 ôd+.MT. yê´kÕs¡úeTT>± >∑\ >√fi¯ dü+|üPs¡í‘·\ yÓ’XÊ\éTT m+‘· ?

14. uÛÑ÷yê´kÕs¡úeTT 7 ôd+.MT. m‘·TÔ 24 ôd+.MT. >± >∑*Zq X¯+KTe⁄ jÓTTø£ÿ dü+|üPs¡í‘·\ yÓ’XÊ\éTT m+‘· ?

15. 21 ôd+.MT. yê´kÕs¡ú+>± >∑*Zq >√¢ãT jÓTTø£ÿ |òüTq|ü]e÷DeTT m+‘· ?

22

16. ˇø£ >√fi≤ø±s¡ ã+‹ yê´düeTT 7 ôd+.MT. nsTTq <ëì dü+|üPs¡í ‘·\ yÓ’XÊ\éTT (eÁø£‘·\ yÓ’XÊ\éTT)m+‘· ?

17. yê´kÕs¡úeTT 14 ôd+.MT. >± >∑*Zq ns¡ú>√fi¯eTT dü+|üPs¡í‘·\ yÓ’XÊ\éTT m+‘· ?

18. 21 ôd+.MT. yê´kÕs¡úeTT>± >∑*Zq ns¡ú>√fi¯eTT |òüTq|ü]e÷DeTT m+‘· ?

19. 8 ôd+.MT. yê´kÕs¡úeTT>± >∑*Zq ns¡ú>√fi≤ø±s¡ ÇqT|ü eTTø£ÿqT ø£]–+∫ 2 ôd+.MT. yê´kÕs¡úeTT>± >∑*Zq>√fi≤\T>± #˚dæq mìï >√fi≤\T ‘·j·÷s¡e⁄‘êsTT ?

20. ˇø£ Áø£eT |æs¡$T&é uÛÑ÷$T #·‘·Ts¡ÁkÕø±s¡+>± ñ+~. <ëì uÛÑT»eTT 4 ôd+.MT. eT]j·TT |æs¡$T&é m‘·TÔ 18ôd+.MT. nsTTq Ä |æs¡$T&é |òüTq|ü]e÷DeTT m+‘· ?

21. lbh |òüTq|ü]e÷DeTT >∑*Zq |òüTqeTT˝À |üfÒº n‹ bı&ÉyÓ’q ø£Ás¡ bı&Ée⁄ m+‘· ?

22. ¬s+&ÉT >√fi≤\ |òüTq |ü]e÷D≤\ ìwüŒ‹Ô 125 : 216 nsTTq yê{Ï eÁø£‘·\ yÓ’XÊ˝≤´\ ìwüŒ‹Ô m+‘· ?

23. ns¡ú>√fi¯eTT eT]j·TT X¯+KTe⁄ Äø±s¡eTT ø£*Zq ø£ s¡|òt ôdÿ#YqT j·TTeTT.

24. dü]>± »‘·|ü]∫q »yêãTì >∑T]Ô+#·TeTT.

A) eTT+<äT ø±´|üP‡ Ÿ i) dü÷ú|üeTT, X¯+KTe⁄ ns¡ú>√fi¯eTT

B) ◊dtÁø°+ ø√Hé ii) dü÷ú|üeTT, ¬s+&ÉT ns¡ú>√fi≤\T

C) eTT≈£îÿ #ÓøÏÿq ô|ì‡ Ÿ iii) X¯+KTe⁄, ns¡ú>√fi¯eTT


c) A - iii, B - i, c - ii d) A - ii, B - i, C - iii

25. dü]>± »‘·|ü]∫q »yêãTì >∑T]Ô+#·TeTT

A) >√fi¯eTT eÁø£‘·\ yÓ’XÊ\éTT i) 2 πr2

B) ns¡ú>√fi¯eTT eÁø£‘·\ yÓ’XÊ\éTT ii) 3 πr2

C) ns¡ú>√fi¯eTT dü+|üPs¡í‘·\ yÓ’XÊ\éTT iii) 4 πr2

a) A - i, B - ii, C - iii b) A - iii, B - i, C - ii

c) A - ii, B - i, C - iii d) A - iii, B - ii, C - i

26. ˇø£ >√¢ãTô|’ uÛÑ÷eT<Ûä πsK bı&Ée⁄ 44 ôd+.MT. nsTTq Ä >√¢ãT eÁø£‘·\ yÓ’XÊ\éTT m+‘· ?

23

27. ÁøÏ+~ yêø±´\qT |ü]o*+∫ dü]jÓÆTq »yêãTì >∑T]Ô+#·TeTT

yêø£ eTT A : πø m‘·TÔ, πø uÛÑ÷yê´kÕs¡úeTT ø£*Zq dü÷ú|üeTT eT]j·TT X¯+KTe⁄ |òüTq|ü]e÷D≤\ ìwüŒ‹Ôes¡Tdü>± 3 : 1

yêø£ eTT πø m‘·TÔ, πø uÛÑ÷yê´kÕs¡úeTT ø£*Zq >√fi¯eTT dü÷ú|üeTT eT]j·TT X¯+KTe⁄ \ eÁø£‘·\ yÓ’XÊ˝≤´\ìwüŒ‹Ô 4 : 4 : 5 (es¡Tdü>±)

a) A dü‘· eTT B dü‘· eTT b) A dü‘· eTT B ndü‘· eTT

c) A dü‘· eTT B dü‘· eTT d) A ndü‘· + B ndü‘· +

28. X¯+KTe⁄ eT<Ûä #˚Ã¤<äeTT ∫‘·TÔ |ü≥eTT j·TTeTT.

29. øÏ+~ yêø±´\qT |ü]o*+∫ dü]jÓÆTq »yêãTì >∑T]Ô+#·TeTT

yêø£ eTT A : dü÷ú|üeTT jÓTTø£ÿ ì\Te⁄ eT<Ûä #˚Ã¤<äeTT Bs¡È#·‘·Ts¡ÁdüeTT

yêø£ eTT B : X¯+KTe⁄ jÓTTø£ÿ ì\Te⁄ eT<Ûä #˚Ã¤<äeTT Á‹uÛÑT»eTT


c) A ndü‘· eTT, B dü‘· eTT d) A, B \T ¬s+&É÷ ndü‘· eTT

30. øÏ+~ yêø±´\qT |ü]o*+∫ dü]jÓÆTq »yêãTì >∑T]Ô+#·TeTT.

yêø£ eTT A : a cm uÛÑT»+>± >∑\ |òüTqeTT˝À ô|≥º>∑\ ø£Ás¡ >∑]wü bı&Ée⁄ 3 a cm.

yêø£ eTT B : πr2h |òüTq|ü]e÷D+ >∑\ dü÷ú|ü+˝À ñ+#·>∑\ dü÷~ >∑]wü bı&Ée⁄ j·T÷ì≥T¢



Key


1. 24 cm3 2. 88 cm2

3. 340 cm2 4. 216 cm3

5. 1600 m2 6. 150 cm2

7. 264 cm2 8. 748 cm2

24

9. 770 cm3 10. 13860 cm2

11. 1056 cm3 12. 550 cm2

13. 682 cm2 14. 616 cm2

15. 38808 cm3 16. 154 cm2

17. 1848 cm2 18. 19404 cm3

19. 32 20. 96 cm3

21. l2 2 2 b h 22. 25 : 36

23. 24. b

25. b 26. 616 m2

27. a 28.

29. a 30. a

d w d

25

7. ìs¡÷|üø£ C≤´$T‹12 e÷s¡Tÿ Á|üX¯ï\T :

1. ìs¡÷|üø£ C≤´$T‹ |æ‘êeTVüQ&ÉT nì me]ì n+{≤s¡T.2. (0, 0) (3, 0) (3, 3) eT]j·TT (0, 3) osê¸\T>± >∑\ #·‘·Ts¡T“¤» yÓ’XÊ\éTT3. (0, 0) eT]j·TT (a sin θ, a cos θ) _+<äTe⁄\ eT<Ûä <ä÷s¡eTT ø£qT>=qTeTT.4. ôV≤sêHé‡ |ü<ä∆‹˝À Á‹uÛÑT» yÓ’XÊ\éTTq≈£î dü÷Á‘·eTT

5. xa

yb

+ = 1 πsK yê\T

6. (– 4, 23 ) _+<äTe⁄ @ bÕ<äeTTq≈£î #Ó+<äTqT

7. Δ ABC ˝À, G >∑Ts¡T‘·«πø+Á<äeTT, AD eT<Ûä >∑‘· πsK nsTTq AG : GD =

8. 3x – 4y + 5 = 0 πsK ìs¡÷|üø£ nøå±\‘√ @s¡Œs¡T#·T Á‹uÛÑT» yÓ’XÊ\éTT9. x = – 4, y = 3 nsTTq (– x, – y) _+<äTe⁄ @ bÕ<ä+q≈£î #Ó+<äTqT ?10. 4y – 3x + 5 = 0 πsK y nø£åeTTqT @ _+<äTe⁄ e<ä› K+&ç+#·TqT11. y = x πsK jÓTTø£ÿ yê\T ‘·qeTT12. x = 0, y = 0 eT]j·TT x + y = 9 πsK \‘√ @s¡Œ&ÉT Á‹uÛÑT» >∑Ts¡T‘·« πø+Á<äeTTqT ø£qT>=qTeTT.13. (– 8, – 7) _+<äTe⁄ qT+&ç Y - nø£åeTTq≈£î >∑\<ä÷s¡eTT14. (sin2 θ, sec2 θ) eT]j·TT (cos2 θ – tan2 θ) _+<äTe⁄\qT ø£\T|ü⁄πsK eT<Ûä _+<äT ìs¡÷|üø£eTT\T

ø£qT>=qTeTT.15. 3 x – y + 5 = 0 πsK <Ûäq ~X¯ À X - nø£åeTT‘√ #˚j·TTø√DeTT16. á ÁøÏ+~ yêìì »‘·|üs¡#·TeTT.

i) x - nø£åeTT yê\T [ ] a) y = 0

ii) y - nø£åeTT yê\T [ ] b) x = 0

iii) x - nø£åeTT düMTø£s¡DeTT [ ] c) ìs¡«∫+|ü ÒeTTiv) y - nø£åeTT düMTø£s¡DeTT [ ] d) 0

A) i -a, ii - b, iii - c B) i - d, ii - c, iii - a, iv - b

C) i - c, ii - b, iii - d, iv - a D) @Bø±<äT17. á ÁøÏ+~ yêìì »‘·|üs¡#·TeTT.

i) (– 2, 3) _+<äTe⁄ [ ] a) 12

ii) (2, 3) _+<äTe⁄ [ ] b) (0, 0)

iii) (2, 3) (– 2, – 3) _+<äTe⁄\ eT<Ûä _+<äTe⁄ [ ] c) Q2iv) 2y = x πsK yê\T [ ] d) Q1A) i - c, ii - d, iii - b, iv - a B) i - a, ii - b, iii - c, iv - d

C) @Bø±<äT D) i - d, ii - a, iii - b, iv - c

1 e÷s¡Tÿ\ Á|üX¯ï\T :1. eT÷\ _+<äTe⁄ qT+&ç (3, P) _+<äTe⁄≈£î eT<Ûä <ä÷s¡eTT 5 j·T÷ì≥T¢ nsTTq P $\Te m+‘· ?2. (3, 2) (– 1, 5) eT]j·TT (11, 0) _+<äTe⁄\‘√ @s¡Œ&ÉT Á‹uÛÑT»eTT jÓTTø£ÿ >∑Ts¡T‘·« πø+Á<ä ìs¡÷|üø£eTT\T

ø£qT>=qTeTT.

26

3. eè‘·Ôπø+Á<äeTT (0, 0) >± >∑*– eè‘·Ô yê´düeTT jÓTTø£ÿ ˇø£ ∫es¡ ìs¡÷|üø£ (– 2, 3) nsTTq ¬s+&Ée ∫es¡ìs¡÷|üø±\T ø£qT>=qTeTT.

4. (2, – 4) eT]j·TT (– 4, 2) _+<äTe⁄\qT ø£\T|ü⁄ πsU≤K+&ÉeTTqT 3 : 7 ìwüŒ‹Ô À $uÛÑõ+#·T _+<äTìs¡÷|üø£eTT\T ø£qT>=qTeTT.

5. A, B, C _+<äTe⁄\T düπsFj·÷\T nì #·÷|ü⁄≥≈£î ìj·Te÷\T Áyêj·TTeTT.

6. eT÷\ _+<äTe⁄ πø+Á<äeTT>± >∑*– (– 1, 4) _+<äTe⁄ >∑T+&Ü b˛e⁄ eè‘·Ô #·T≥Tºø=\‘· ø£qT>=qTeTT.

7. Á‹uÛÑT» ¬s+&ÉT os¡ ìs¡÷|üø±\T (1, 8) eT]j·TT (– 6, 4) nsTTq >∑Ts¡T‘·«πø+Á<äeTT (0, 0) ø£*– j·TTqïÁ‹uÛÑT» 3e os¡ìs¡÷|üø±\T ø£qT>=qTeTT.

8. (O, K) (– 2, 1) eT]j·TT (– 3, – 2) \T düπsFj·T _+<äTe⁄\sTTq K $\Te

9. y = mx + c πsK (0, 2) eT]j·TT (1, 0) >∑T+&Üb˛sTTq m $\Te

10. (– 3 12 , 3) eT]j·TT (– 7, 2 1

2 ) _+<äTe⁄\ >∑T+&Üb˛e⁄ πsU≤yê\T ø£qT>=qTeTT.

11. (– 7, – 3) (5, 10) (15, 8) \T sê+ãdt jÓTTø£ÿ 3 osê\T nsTTq sê+ãdt jÓTTø£ÿ 4e os¡eTTqT ø£qT>=qTeTT.

12. A (1, 0) B(4, a) _+<äTe⁄\ eT<Ûä <ä÷s¡eTT 5 j·T÷ì≥T¢ nsTTq 'a' $\Te

13. ˇø£ Á‹uÛÑT» yÓ’XÊ\éTT 13 #·<äs¡|ü⁄ j·T÷ì≥T¢ nsTTq Á‹uÛÑT» uÛÑTC≤\ eT<Ûä _+<äTe⁄\‘√ @s¡Œ&ÉT Á‹uÛÑT»yÓ’XÊ\éTT ø£qT>=qTeTT.

14. Á‹<Ûëø£s¡D _+<äTe⁄\T nq>± H˚$T ?

15. Hê\T>∑T _+<äT ìs¡÷|üø£eTT\T Ç∫Ãq n$ düe÷+‘·s¡ #·‘·Ts¡T“¤» os¡eTT\ì m˝≤ #·÷|ü>∑\e⁄ ?

16. (– 1.5, 3) (6, 2) eT]j·TT (– 3, 4) _+<äTe⁄\T osê¸\T>± >∑\ Á‹uÛÑT» yÓ’XÊ\éTTqT ø£qT>=qTeTT.


1. Rene Descartes 2. 9 #·.j·T÷.

3. a j·T÷ì≥T¢ 4. −( ) −( ) −( )s s a s b s c

5. − ba

6. Q2

7. 2 : 1 8. 2524 #·.j·T÷.

9. Q1 10. (0, − 54

)

11. 45o 12. (3, 3)

13. 7 j·T÷ì≥T¢ 14. ( 12 , 1

2 )

15. 60o 16. B

17. A

27

1 e÷s¡Tÿ\ Á|üX¯ï\T :

1. 32 5 9 5 P P; ; 9 + P = 25; P = 25 – 9 = 16

2.3 1 1

3

2 5 0

3

13

3

10

3

, ,

3.

2

20

3

20

x y, , – 2 + x = 0, 3 + y = 0, x = 2; y = – 3

4.1

5

4

5,

5. a) Δ ABC = 0 ø±e …qT

b) AB yê\T = BC yê\T = AC yê\T ø±e …qT, AB + BC = AC ø±e …qT.

6. r r ( ) ;1 4 1 16 17 2 222

717

44

7172 2 j·T÷ì≥T¢

7.1 6

30

8 4

30

x y, ; – 5 + x = 0; 12 + y = 0; x = 5; y = – 12

8.1

2 0

2 1

3 2

1

2

3

1

K K; ; K – 1 = 6; k = 6 + 1 = 7

9. y = mx + c ; 2 = mo + c, 0 = m + c ; m + 2 = 0

c = 2, m = – 2

10. yê\T 2 3

7 3

3

7

1

21

12

12

72

72

7 62

14 72

12212

11. x4 = x1 – x2 + x3 y4 = y1 – y2 + y3

= – 7 – 5 + 15 = – 3 – 10 + 8

= 3 = – 5

4e os¡eTT R (3, – 5)

12. ( ) ( ) ;4 1 0 52 2 a 9 + a2 = 25; a2 = 25 – 9 = 16

a = 16 = + 4

13. Δ ABC = 13

Δ DEF = 14 x Δ ABC = 13

4 #·.j·T÷. D

EB C

A

F

28

14. <ä‘·Ô πsU≤K+&Üìï 1 : 2 eT]j·TT 2 : 1 ìwüŒ‹Ô À n+‘·s¡+>± $uÛÑõ+#·T _+<äTe⁄\qT Á‹<∏ëø£s¡D _+<äTe⁄\Tn+{≤eTT.

15. A, B, C, D \T osê¸\T, AC, BD \T ø£sêí\Tø£s¡íeTT AC eT<Ûä _+<äTe⁄ R ø£s¡íeTT BD eT<Ûä _+<äTe⁄ nsTTq#√ n$ düe÷+‘·s¡ #·‘·Ts¡T“¤» osê¸\Tn>∑TqT

16. Δ = 1

2 1 2 3 2 3 1 3 1 2x y y x y y x y y−( ) + −( ) + −( ) #·.j·T÷.

= 1

21 5 2 4 6 4 3 3 3 2 . ( ) ( ) ( )

= 1

21 5 2 6 1 3 1 . ( ) ( ) ( )

= 1

23 6 3

6

33 #·.j·T÷.

8. düs¡÷|ü Á‹uÛÑT»eTT\T12 e÷s¡Tÿ Á|üX¯ï\T :

1. ABCD sê+ãdt q+<äT AB2 + BC2 + CD2 + DA2 = ______

2. Δ ABC ~ Δ DEF \T yê{Ï yÓ’XÊ˝≤´\T es¡Tdü>± 64 cm2 eT]j·TT 81 cm2 eT]j·TT DE = 6 cm

nsTTq AB = ________

3. ˇø£ #·‘·Ts¡Ádü ø£s¡íeTT 5 2 cm nsTTq <ëì yÓ’XÊ\´+ m+‘· ?

4. 7.2 cm bı&Ée⁄ >∑\ πsU≤K+&Üìïñ 5 : 3 ìwüŒ‹Ô À $uÛÑõ+#·>± @s¡Œ&ÉT ô|<ä› uÛ≤>∑|ü⁄ bı&Ée⁄ ______

5. Δ DEF ˝À uÛÑTC≤\T EF, DF, DE \ eT<Ûä _+<äTe⁄\T es¡Tdü>± A, B, C eT]j·TT Δ ABC yÓ’XÊ\´+144 cm2 nsTTq Δ DEF yÓ’XÊ\´+ m+‘· _____

6. Á|üø£ÿ |ü≥eTT qT+&ç x $\Te m+‘· _________

7. Á|üø£ÿ |ü{+ qT+&ç y + z $\Te

3

y

)

))

z

4 3

)

))

8

M

15

N

Q R

P4

5

x

29

8. Δ ABC ~ Δ XYZ; ∠ C = 50o, ∠ B = 70o nsTTq ∠ x = ________

9. C≤´$Trj·T XÊg|æ‘·>± me]ì |æ\TkÕÔs¡T ?

10. \+ãø√D düeT~«u≤VüQ Á‹uÛÑT»+ ABC ˝À \+ãø√D+ C e<ä› ø£\<äT nsTTq AB2 = _______

11. düeTu≤VüQ Á‹uÛÑT»|ü⁄ uÛÑT»eTT 'a' Á|üe÷D≤\T nsTTq <ëì ñqï‹ Á|üe÷D≤\T

12. ÁøÏ+~ yêìì »‘·|üs¡Ã+&ç.

1) düeTu≤VüQ Á‹uÛÑT» yÓ’XÊ\´+ [ ] a) a(2 + 2 )

2) ns¡úeè‘·Ô+˝À ø√D+ [ ] b) 34

a2

3) düeT~«u≤VüQ \+ãø√D Á‹uÛÑT» #·T≥Tºø=\‘· [ ] c) 90o

A) i -a, ii - b, iii - c B) i - b, ii - c, iii - a

C) i - c, ii - b, iii - a D) @Bø±<äT

13. ˇø£ Á‹uÛÑT» uÛÑTC≤\T 1 : 1 : 2 ìwüŒ‹Ô À ñqï yê{Ï ø√D≤\ ìwüŒ‹Ô R

14. ÁøÏ+~ yêì˝À \+ãø√D Á‹uÛÑT» uÛÑTC≤\T ø±>∑\$A) 5, 8, 11 B) 6, 8, 12 C) 56, 33, 65 D) 3, 4, 6

1 e÷s¡Tÿ\ Á|üX¯ï\T :1. düs¡÷|ü Á‹uÛÑTC≤\ <Ûäsêà\T sêj·T+&ç.2. <∏ Ÿ‡ dæ<ë∆+‘·+ sêj·T+&ç3. ÁøÏ+<ä Çe«ã&çq Á‹uÛÑT»+˝À AB // QR eT]j·TT PA = 2 cm., AQ = 3 cm nsTTq

Δ PQR, Δ PAR \ yÓ’XÊ˝≤´\ ìwüŒ‹Ô _______

4. Δ ABC ˝À DE // BC, AD = x, DB = x – 2, AE = x + 2 eT]j·TT EC = x – 1 nsTTq x$\Te _______

5. ¬s+&ÉT Á‹uÛÑTC≤\T düs¡÷|üeTT\T n>∑T≥≈£î >∑\ uÛÑT.ø=.uÛÑT. ìj·TeT+ sêj·T+&ç.

6. ªªÁ‹uÛÑT»+˝Àì n+‘·s¡ ø√D≤\ yÓTT‘·Ô+ 180oμμ Á|üe#·q+≈£î e´‹πsø£ Á|üe#·q+ sêj·T+&ç.

7. ¬s+&ÉT ãVüQuÛÑTE\T düs¡÷bÕ\T n>∑T≥≈£î >∑\ ìj·Te÷\T ‘Ó\Œ+&ç.

A B

Q R

P2

3

AB

Q R

P

A

30

Key


1. AB2 + BC2 + CD2 + DA2 = AC2 + BD2

2. Δ ABC ~ Δ DEF = Δ ABC = 64, Δ DEF = 81

DE

AB ABAB

9

8

6 9

89 48

AB 48

9

16

3

3. #·‘·Ts¡Ádü+ yÓ’XÊ\´eTT R d2 2

2

5 2

2

50

2

R 25 #·.ôd+.MT.

4. ô|<ä› uÛ≤>∑eTT R 7 2

85

. R 0.9 I 5 R 4.5 ôd+.MT.

5. Δ ABC= 144

Δ DEF = 4 I Δ ABC = 4 x 144 R 576 ôd+.MT.2

6.MN

QR

PN

PR x

5

15

4

4

5(4 + x) = 4 x 15

20 + 5x = 60

5x = 60 – 20 = 40

x = 40

5 = 8

7.3 6

8

3 8

6

24

64

zz

;

yy

4 3

6

8

4 3 6

83 3

;

(z + y) = (4 + 3 3 )

8. Δ ABC ~ Δ XYZ; ∠ C = 50o, ∠ B = 70o ∠ X = ∠ A 180 – 120 = 60o

9. j·T÷øÏ¢&é

xA B

C

6D E

F

5 2

D

AE F

D

B

M

15

N

Q R

P4

2

5

3

y

)

))

z

4 3

)

))

8

31

10. AB2 = AC2 + BC2

= AC2 + AC2 ( AC = BC)

AB2 = 2 AC2

11. AD2 = AB2 – BD2 = aa

aa2

22

2

2 4

= 4

4

3

4

2 2 2a a a

AD = 32

a

12. B 13. 45 : 45 : 90 ⇒ 1 : 1 : 2 14. C (652 = 562 + 332)

1 e÷s¡Tÿ\ Á|üX¯ï\T :1. i) nqTs¡÷|ü ø√DeTT\T düe÷qeTT

ii) nqTs¡÷|ü uÛÑTC≤\T πø ìwüŒ‹Ô À ñ+&ÉTqT2. Á‹uÛÑT»eTT˝À ¬s+&ÉT uÛÑTC≤\qT πø ìwüŒ‹Ô À $uÛÑõ+#·T πsK eT÷&Ée uÛÑTC≤ìøÏ düe÷+‘·s¡+>±

ñ+&ÉTqT.3. AB // QR, PA = 2 ôd+.MT. AQ = 3 ôd+.MT

∴ Δ PQR = 25, Δ PAB = 4

DE // BC, AD = x, DB = x – 2 AE = x + 2 EC = x – 1

4.BD

BA

CE

CA

x

x

x

x

2

2 2

1

2 1

(x – 2) (2x + 1) = (x – 1) (2x – 2)

2x2 + x – 4x – 2 = 2x2 – 2x – 2x + 2

– 3x – 2 = – 4x + 2

4x – 3x = 2 + 2, x = 4

5. uÛÑT.ø=.uÛÑT. düs¡÷|ü‘· : ¬s+&ÉT Á‹uÛÑT»eTT\˝À ø£ Á‹uÛÑT»eTT˝Àì ¬s+&ÉT uÛÑT»eTT\T yêì eT<Ûä ø√DeTT¬s+&Ée Á‹uÛÑT»eTT˝Àì düs¡÷|ü uÛÑT»eTT yêì eT<Ûä ø√DeTTq≈£î düe÷qeTTsTTq Ä ¬s+&ÉTÁ‹uÛÑT»eTT\T düs¡«düe÷qeTT.

6. Á|üe#·q e´‹πsø£eTT : Á‹uÛÑT»eTT˝Àì ø√DeTT\ yÓTT‘·Ô+ 180o ø±<äT7. i) ii)

8. AC2 = AB2 + BC2 = 82 + 62 = 64 + 36 = 100 AC = 100 = 10 MT.e´øÏÔ ‘=* kÕúq+ qT+∫ kÕúq+ q≈£î <ä÷s¡eTT R 10 MT.

C A

B

A

B CD

a a

a2

a2

A B

Q R

P2

3

E

Q R

P

D

C

BA

6 MT.

8 MT.

32

9. eè‘êÔìøÏ düŒs¡ÙπsK\T #˚<Ûäq πsK\T12 e÷s¡Tÿ Á|üX¯ï\T :

1. eè‘êÔìøÏ düŒs¡ÙπsKqT ìs¡«∫+#·TeTT.

2. Á|üø£ÿ |ü≥+˝Àì ôdø±ºs¡T yÓ’XÊ\´eTT ø£qT>=qTeTT.

3. @ø£ πø+Á<ä eè‘·ÔeTT\≈£î j·T>∑*–q düŒs¡ÙπsK\ dü+U´

4. Á|üø£ÿ |ü≥+˝Àì düŒs¡ÙπsK bı&Ée⁄

5. eè‘êÔìøÏ u≤Vü≤´ _+<äTe⁄ qT+∫ ^∫q düŒs¡ÙπsK\T

6. Á|üø£ÿ|ü≥+˝À ùw&é #˚j·Tã&çq ÁbÕ+‘· yÓ’XÊ\´eTT

7. eè‘·ÔeTT˝Àì n‹ ô|<ä› C≤´qT ‘Ó\T|ü⁄eTT.

8. eè‘·Ô yê´kÕs¡úeTTq≈£î, düŒs¡ÙπsK≈£î eT<Ûä >∑\ ø√DeTT

9. eè‘êÔìøÏ u≤Vü≤´ _+<äTe⁄ qT+∫ ^j·T>∑*–q #˚<Ûäq πsK\ dü+U´

10. ÁøÏ+~ yêø£ eTT˝À ndü‘· eTTsTTq~

Á|üe#·qeTT 1 : #˚<Ûäq πsK eè‘êÔìï πø ˇø£ _+<äTe⁄ e<ä› K+&ç+#·TqT

Á|üe#·qeTT 2 : düŒs¡ÙπsK eè‘êÔìï ¬s+&ÉT yπs«s¡T _+<äTe⁄\ e<ä› K+&ç+#·TqT.

A) 1 e÷Á‘·y˚T B) 1 eT]j·TT 2 e÷Á‘·y˚T C) 2 e÷Á‘·y˚T D) @Bø±<äT


1. Á|üø£ÿ|ü≥+ qT+&ç OA ø£qT>=qTeTT.

O

A B

P

rl

A d

1 ôd+.MT.

O

A

B8 ôd+.MT.

17 ôd+.MT.

33

2. 3 ôd+.MT. yê´kÕs¡úeTT >∑\ eè‘·ÔeTTq≈£î ¬s+&ÉT düŒs¡ÙπsK\qT 60o ø√DeTT‘√ ì]à+∫q düŒs¡ÙπsK bı&Ée⁄m+‘· ?

3. Á|üø£ÿ |ü≥eTT˝À PA = 15 ôd+.MT.,PB = 20 ôd+.MT. nsTTq ùw&é #˚dæqÁbÕ+‘· yÓ’XÊ\éTTqT ø£qT>=qTeTT.

4. 3 ôd+.MT. yê´kÕs¡úeTT >∑\ eè‘·ÔeTT˝À n‹ ô|<ä› C≤´qT ^∫ <ëì bı&Ée⁄qT ‘Ó\T|ü⁄eTT.5. eè‘·ÔeTTqT n\Œ eè‘·Ô K+&É / n~Ûø£ eè‘·Ô K+&ÉeTTqT ùw&é #˚j·TTeTT.6. 7 ôd+.MT. uÛÑT»eTT>± >∑\ #·‘·Ts¡ÁdüeTT˝À eè‘êÔìï n+‘·]¢œ+∫q <ëì yÓ’XÊ\éTTqT ø£qT>=qTeTT.7. ns¡úeè‘·Ô yê´kÕs¡úeTT 14 ôd+.MT. nsTTq ns¡úeè‘·Ô #·T≥Tºø=\‘· ø=qT>=qTeTT.8. Á|üø£ÿ |ü≥+˝À AP = 5 ôd+.MT. BQ = 4.5 ôd+.MT. CR = 3.5 ôd+.MT. nsTTq Δ ABC

#·T≥Tºø=\‘· ø£qT>=qTeTT.

Key


1. eè‘êÔìï πø ˇø£ _+<äTe⁄ e<ä› düŒs¡Ù+#·T πsKqT düŒs¡ÙπsK n+{≤s¡T.

2.x

360πr2 =

90

360

22

73× × 12 =

1

4

22

7× × 1 = 11

14 #·.j·T÷.

3. 0

4. l = d r2 2

5. düe÷qeTT

6. OAC ôdø£ºs¡T yÓ’XÊ\éTT – AOB \+ãø√D Á‹uÛÑT» yÓ’XÊ\éTT

7. yê´düeTT

8. 90o

9. nq+‘·eTT10. B


1. OA2 = OP2 – AP2 = 172 – 82 = 289 – 64 = 225

OA = 225 = 15 j·T÷ì≥T¢

.

C

R.

.

A

B

P

Q

A B

P

34

2. Δ OAP tan 30o = AP

OA

1

3

33 3

ll j·T÷ì≥T¢

3. ùw&é #˚dæq ÁbÕ+‘· yÓ’XÊ\éTT R APB ns¡úeè‘·Ô yÓ’XÊ\éTT ` Δ APB yÓ’XÊ\éTT

= r

ab2

2

1

2

Δ APB = 12 x 15 x 20 = 150; AB2 = 152 + 202 = 225 + 400

AB2 = 625; AB = 25

r = AB

2

ùw&é #˚dæ ÁbÕ+‘· yÓ’XÊ\éTT = 22

7

25

2

25

2

1

215 20

= 11 625

14

150

1

6875 750

14

= 1625

14

875

2 = 437.5 #·.j·T÷ì≥T¢

4. n‹ ô|<ä› u≤q R 2 I 3 R 6 ôd+.MT.

5.

6. #·‘·Ts¡Ádü uÛÑT»eTT R 7 ôd+.MT.eè‘·Ô yê´kÕs¡úeTT r R 7

2 ôd+.MT.

eè‘·Ô yÓ’XÊ\éTT πr2 = 227 x 7

2 x 72 = 77

2 #·.j·T÷.

7. ns¡úeè‘·Ô #·T≥Tºø=\‘· πr + 2r

(Or) 367

r

= 36 14

7

2

= 72 ôd+.MT.

8. ABC Á‹uÛÑT» #·T≥Tºø=\‘· R 2(5 G 4.5 G 3.5)

R 2(13) R 26 ôd+.MT.

eè‘·Ô yê´kÕs¡úeTT R ôd+.MT. eè‘·Ô yÓ’XÊ\éTT R #·.j·T÷.

35

11. Á‹ø√D$T‹12 e÷s¡Tÿ Á|üX¯ï\T :

1. sin θ = cos θ nsTTq θ $\Te (θ < 90o)

2. (tan2 20192 – sec2 2019o) $\Te

3.cos

sec

ec o

o36

54 $\Te m+‘· ?

4. 4 tan θ = 3 nsTTq cos θ

5. dü÷ø°Îø£]+#·TeTT cos sin cosec2 2 2

6. (tan 1o, tan 2o........ tan 88o. tan 89o) $\Te m+‘· ?7. (cos1o. cos2o.cos3o .................. cos 90o) $\Te m+‘· ?

8. tan θ = ab nsTTq sin θ

9. tan 5A = cot (A – 18o) nsTTq A $\Te (A n\Œø√DeTT)10. Á‹uÛÑT»ø√DeTT\ ìwüŒ‹Ô 1 : 2 : 3 À ñqï n‹ ∫qï ø√DeTT11. (cos 70o cos 10o + sin 70o sin 10o) $\Te m+‘· ?12. sin A = cos B nsTTq (A + B)

13. tan 25o.tan 65o = sin θ nsTTq 'θ' $\Te14. sin θ jÓTTø£ÿ >∑]wüº $\Te15. sin2 75o + sin215o $\Te16. dü÷ø°Îø£]+#·TeTT (sin x + cos x)2 + (sin x – cos x)2

17. cosec θ + cot θ = K nsTTq (cosec θ – cot θ) $\Te18. 'sec θ' jÓTTø£ÿ $˝ÀeT ìwüŒ‹Ô19. sin 15 jÓTTø£ÿ $\Te20. »‘·|üs¡T#·TeTT

i) sin (90 – θ) [ ] a) cot θii) cos (90 – θ) [ ] b) cosec θiii) tan (90 – θ) [ ] c) sin θiv) sec (90 – θ) [ ] d) cos θA) i - a, ii - b, iii - c, iv - d B) i - c, ii - d, iii - a, iv - bC) i - d, ii - c, iii - a, iv -b D) @Bø±<äT

1 e÷s¡Tÿ\ Á|üX¯ï\T :1. cosec θ = x 1 nsTTq cos θ $\Te

2. cos θ = 32

nsTTq (3 tan2 θ – 2 sin2 θ) $\Te

3. tan (A + B) = m, tan (A – B) = n nsTTq tan 2A

4. tan 36o. tan 54o = 1 nì #·÷|ü⁄eTT.5. 2 tan2 45 + cos2 30 – sin2 60o $\Te m+‘· ?6. tan θ qT 'cosec θ' \˝À ‘Ó\T|ü⁄eTT.

36

7. 4 sin2 θ – 1 = 0 nsTTq θ $\Te (θ ∠ 90o)

8. sin θ = log22 nsTTq 'θ' $\Te

9. tan2 θ + tan4 θ = sec4 θ – sec2 θ nì #·÷|ü⁄eTT.10. sec A (1 – sin A) (sec A + tan A) qT dü÷ø°Îø£]+#·TeTT.

11. ABC Á‹uÛÑT»eTT˝À sec C

12. cos A = 1213 nsTTq sin A eT]j·TT cot A ø£qT>=qTeTT.


1. sin 45 = cos 45 = 12 ø±e⁄q θ = 45o

2. tan2 θ – sec2 θ = – 1 ø±e⁄q tan2 2019 – sec2 2019 = – 1

3.cos

sec

sec ( )

sec

sec

sec

ec 36

54

90 36

54

54

541

4. 4 tan θ = 3, tan θ = 34 cos θ = 4

5

5. cos sin cosec2 2 2 = cosec cot cot2 21

6. (tan 1o, tan 2o........ tan 45o................. tan 88o. tan 89o)

tan 1o. tan 2o.............. tan 45 ................ cot 2o. cot 1o

(tan 1. cot 1o) x (tan 2o.cot2o) x ............. tan 45 = 1 x 1 ............. x 1 = 1

7. cos 1. cos 2. cos 3 ........ cos 90. cos 1o x cos 2o .............. x 0 = 0

8. tan θ = ab ; sin θ =

a

a b2 2

9. tan 5A = cot (A – 18) = tan [90 – (A – 18)] = tan (108 – A)

5A = 108 – A; 6A = 108; A = 108

6 = 18o

10. ∫qïø√DeTT 30o (Á‹uÛÑT» ø√DeTT\T 30o, 60o, 90o)11. (cos 70 cos 10 + sin 70 sin 10) = cos (70 – 10) = cos 60o = 1

212. sin A = cos B = sin (90 – B), A = 90 – B, A + B = 90o

13. tan 25o.cot (90 – 65) = sin θ ; tan 25.cot 25 = sin θsin θ = 1 = sin 90o

∴ θ = 90o

3

4

5

a

b

ab

22+

B

A

C4

3

37

14. sin θ jÓTTø£ÿ >∑]wüº $\Te ª1μ

15. sin2 75o + sin215o = sin2 75 + cos2 75 = 1 (sin 15 = cos (90 – 15 = cos 75)

16. sin2 x + cos2 x + 2 sin x cos x + sin2 x + cos2 x – 2 sin x cos x = 1 + 1 = 2

17. (cosec θ – cot θ) =1

K

18. 'sec θ' $˝ÀeT ìwüŒ‹Ô cos θ

19. sin 15 = sin (45 – 30) = sin 45 cos 30 – cos 45 sin 30o

= 1

2

3

2

1

2

1

2

3 1

2 2. .

20. C


1. cosec θ = n 1 ; sin θ = 1

1n cos θ = n

n 1

2. cos θ = 32

= cos 30o; 3 tan2 30o – 2 sin2 30 = 3 x 13 – 2 x 1

4 = 1 – 12 = 1

2

3. tan 2A = tan [A + B + A – B] = tan ( ) tan ( )

tan ( ) tan ( )

A B A B

A B A B

m n

mn

1 2 1 2

4. tan 36.tan 54 = tan 36.cot (90 – 54) = tan 36o. cot 36o = 1

5. 2 tan2 45 + cos2 30 – sin2 60o = 2 13

2

3

222

2 2

$\Te m+‘· ?

6. tan θ = 1 1

12cot cos

ec

7. 4 sin2 θ – 1; sin2 θ = 14 ; sin θ = 1

2 = sin 30o = θ = 30o

8. sin θ = log22 = sin 90o ∴ θ = 90o

9. tan2 θ + tan4 θ = tan2 θ (1 + tan2 θ)

= (sec2 θ – 1) sec2 θ = sec4 θ – sec2 θ

1(

n + 1

n

38

B C

A5

3

4

B C

A13

5

12

10. sec A (1 – sin A) (sec A + tan A)

(sec A – sec A sin A) (sec A + tan A)

(sec A – sin

cos

A

A) (sec A + tan A) = (sec A – tan A) (sec A + tan A)

= sec2 A – tan2 A = 1

11. sec C = AB

BC = 5

4

12. cos A = 1213 BC = 13 12 169 1442 2

= 25 = 5

sin A = 513 eT]j·TT cot A = 12

5

12. Á‹ø√D$T‹ nqTes¡ÔHê\T12 e÷s¡Tÿ Á|üX¯ï\T :

1. Á|üø£ÿ |ü{eTT qT+&ç 'h' $\Te ø£qT>=qTeTT.

2. Á|üø£ÿ |ü≥eTT qT+&ç AD // BC nsTTq x $\Te

3. tan x = h

4 eT]j·TT cot x =

h

9 nsTTq 'h' $\Te ø£qT>=qTeTT.

4. Á|üø£ÿ |ü≥eTT˝À qT+∫ AD // BC nsTTq }s¡ú«ø√DeTT

5. ÁøÏ+~ |ü≥eTT qT+∫ BC bı&Ée⁄ qT ø£qT>=qT≥≈£î yê&ÉT Á‹ø√D$T‹ ìwüŒ‹Ô

39

6. @<˚ì ¬s+&ÉT ô|’<∏ë>∑s¡dt Á‹ø±\T Áyêj·TTeTT.

7. ˇø£ düÔ+uÛÑeTT jÓTTø£ÿ m‘·TÔ eT]j·T &É\ ìwüŒ‹Ô 3 : 1 nsTTq dü÷s¡T´ì ñqï‹

8. Á|üø£ÿ |ü≥eTT qT+∫ 'θ' ø£qT>=qTeTT.

9. Á|üø£ÿ |ü≥eTT qT+∫ 'x' $\Te ø£qT>=qTeTT.

10. 10 MT. bı&Ée⁄ >∑\ ì#ÓÃqqT >√&ÉqT 5 MT. m‘·TÔ À ‘ê≈£îq≥T¢+∫q ì#ÓÃq øÏå‹» düe÷+‘·s¡πsK‘√ #˚j·TTø√DeTT.


1. ìeTï ø√DeTT eT]j·TT }s¡ú«ø√DeTT\qT #·÷|ü⁄ |ü≥eTTqT j·TTeTT.

2. 26 MT. bı&Ée⁄ >∑\ ì#ÓÃq >√&ÉqT 30o ø√DeTT‘√ ‘ê≈£îq≥T¢ (øÏå‹»πsK) ñ+∫q ì#ÓÃq >√&ÉqT m+‘·m‘·TÔ À ‘ê≈£îqT ?

3. uÛÑ÷eT≥ºeTT qT+∫ 2.5 MT. m‘·TÔ À C≤s¡T&ÉT ã\¢qT @sêŒ≥T #˚dæq n~ øÏå‹» düe÷+‘·s¡ πsK‘√ 45o

ø√DeTT #˚dæq C≤s¡T&ÉT ã\¢ bı&Ée⁄qT ø£qT>=qTeTT.

4. x = (sec θ + tan θ); y = sec θ – tan θ nsTTq xy $\Te

5. cos 40 = 0.76 nsTTq sin 50 $\Te

6. ˇø£ #Ó≥TºqT 30o }s¡ú«ø√DeTT‘√ ˇø£ e´øÏÔ |ü]o*+∫, Ä |ü]o\Hê kÕúqeTT qT+∫ #Ó≥Tº ~X¯>± 20 MT.ø£~*q 60o }s¡ú« ø√DeTT‘√ #Ó≥Tºô|’ uÛ≤>∑eTTqT >∑eTì+∫q #Ó≥Tº m‘·TÔ m+‘· ?

7. ¬s+&ÉT $<äT´‘Y düÔ+uÛÑeTT\T es¡Tdü>± 15 MT, 20 MT. m‘·TÔ ø£\e⁄ yê{Ï ô|’uÛ≤>∑eTT\qT ø£\T|ü⁄ πsK øÏå‹»düe÷+‘·s¡ πsK‘√ 45o }s¡ú« ø√DeTT #˚dæq Ä ¬s+&ÉT düÔ+uÛ≤\ eT<Ûä <ä÷s¡eTT m+‘· ?

8. x = a sin θ y = a cos θ nsTTq x2 + y2 $\TeKey


1. tan 45 = h

5; 1 =

h

5 = h = 5 MT.

2. AP // BC, C = 45o

tan 45 = 50

BC; 1 =

50

BC ; BC = 50 MT.

40

3. tan x = h

4 eT]j·TT tan x = 9

h ; h

4 = 9

h ; h2 = 9 x 4 = 36

= h = 36 = + 6

4. ìeTïø√DeTT R ∠ DAC = 60o

5. ''cos θ'' cos 45 = x

15 2

1

2 15 2

x ; 15x

6. ô|’<∏ë>∑s¡Hé Á‹ø±\T 3, 4, 5 ; 1, 1, 2 , 8, 15, 17

7. tan θ = tan 60o = 3

}s¡ú«ø√DeTT = 60o

8. sin θ = 32

; sin 60o = 32

; θ = 60o

9. x = 5

10. sin θ = AB

AC; sin θ = 5

10 = 12 = sin 30o

∴ θ = 30o

1 e÷s¡Tÿ\ Á|üX¯ï\T :1. }s¡ú«ø√DeTT 'α'

ìeTïø√DeTT 'β'

2. ì#ÓÃq bı&Ée⁄ AC = 26 MT.

sin θ = AB

AC, sin 30o =

h h

26

1

2 26,

2h = 26, h = 26

2 = 13 MT.

41

3. C≤s¡T&ÉT ã\¢ bı&Ée⁄ R l MT

sin 45 = 2 5 1

2

2 52 5 2

l ll; ;

l = 2 - 5 (1.414) = 3.535 MT.

4. x = sec θ + tan θ, y = sec θ – tan θ

xy = (sec θ + tan θ) (sec θ – tan θ)

= sec2 θ – tan2 θ = 1

∴ xy = 1

5. cos 40o = 0.76

sin 50 = cos (90 – 50) (∴ sin θ = cos (90 – θ)

= cos 40 = 0.76

6. tan 30o = h

x20 tan 60o = h

x

1

3 20

h

x3

h

x

h = 20

3

xh = 3 x

20

3

x = 3 x

3x = 20 + x

2x = 20 = x = 10

7. DE // BC, ∠ ADE = 45

tan 45 = 10

DE ; 1 =

10

DE ; DE = 10

¬s+&ÉT düÔ+uÛÑeTT\ eT<Ûä <ä÷s¡eTT R 10 MT.

8. x = a sin θ ; y = a cos θ

x2 + y2 = a2 sin2 θ + a2 cos2 θ

= a2 (sin2 θ + cos2 θ)

= a2

∴ x2 + y2 = a2

42

13. dü+uÛ≤e´‘·12 e÷s¡Tÿ Á|üX¯ï\T :

1. dü+uÛ≤e´‘· jÓTTø£ÿ $\Te y˚ì eT<Ûä ñ+&ÉTqT.

2. dü+uÛ≤e´‘· yÓTT<ä{Ï kÕ] ìs¡«∫+#·q~

3. P(E) = 0.032 nsTTq P( E )

4. ˇø£ |òüT≥q jÓTTø£ÿ dü+uÛ≤e´‘· ø£qT>=qT≥≈£î dü÷Á‘·eTT

5. ndü+uÛÑe |òüT≥q≈£î ˇø£ ñ<ëVü≤s¡D

6. ÁøÏ+~ yêì˝À dü‘· eT>∑T Á|üe#·qeTT

1) 0 < P(E) < 1 [ ] A) (1)e÷Á‘·yT

2) P(E) jÓTTø£ÿ >∑]wüº $\Te 3 [ ] B) (1), (3) e÷Á‘·y˚T

3) P(E) + P( E ) = 1 [ ] C) (2) (3) e÷Á‘·y˚T

4) P( E ) = 1 + P (E) [ ] D) @~ø±<äT

7. K∫Ã‘· |òüT≥q jÓTTø£ÿ dü+uÛ≤e´‘·

8. ¬s+&ÉT HêD…eTT\T m>∑Tey˚dæq e#·TÃ yÓTT‘·Ô+ |üs¡ edüHê\T Áyêj·TTeTT.

9. ˇø£ bÕ∫ø£qT m>∑Ts¡y˚dæq Á|ü<Ûëq dü+K´ e#·TÃ dü+uÛ≤e´‘·

10. 52 ù|ø£eTTø£ÿ\T ø£≥º qT+∫ j·÷<äè∫Ã¤ø£eTT>± ø£ eTTø£ÿqT rdæq n~ eTTK ø±s¡T¶ø±ì~ n>∑T≥≈£î dü+uÛ≤e´‘·

11. 52 ù|ø£ eTTø£ÿ\ ø£≥º qT+∫ j·÷<äè∫Ã¤ø£eTT>± ø£ eTTø£ÿqT rdæq n~ ms¡T|ü⁄ sêE n>∑T≥≈£î dü+uÛ≤e´‘·

12. áÁøÏ+~ yêì˝À ˇø£ |òüT≥q jÓTTø£ÿ dü+uÛ≤e´‘·qT ‘Ó\T|üì~

A) 0.75 B) 32 C) 25% D) 2

3


1. 'MATHEMATICS' qT+∫ ø£ nø£ås¡eTTqT j·÷<äè∫Ãø£eTT>± mqTïø=ìq n~ n#·TÃ nø£ås¡eTT n>∑T≥≈£îdü+uÛ≤e´‘·

2. yÓTT<ä{Ï 50 düVü≤» dü+K´\ qT+∫ ø£ dü+K´qT j·÷<Ûäè∫Ãø£eTT>± rdüTø=ìq n~ Á|ü<Ûëq dü+K´ n>∑T≥≈£îdü+uÛ≤e´‘·

3. ˇø£ ô|f…º 6 ãT\T>∑T, 8 q\T|ü⁄, 9 Ä≈£î|ü#·Ã s¡+>∑T ø£\eTT\Tqï j·÷<Ûäè∫Ãø£eTT>± 1 ô|qTïqT rdæq n~ãT\T>∑T Ò<ë q\T|ü⁄ ô|qTï n>∑T≥≈£î dü+uÛ≤e´‘·

4. 3 HêD…eTT\qT m>∑Ts¡y˚dæq e#·TÃ yÓTT‘·Ô+ |üs¡ ekÕHê\T Áyêj·TTeTT.

5. A = {1, 2, 3, ...... 30} qT+∫ ø£ dü+K´qT j·÷<Ûäè∫Ãø£eTT>± rdæq n~ 3 # uÛ≤–+|üã&ÉT≥≈£î dü+uÛ≤e´‘·

43

6. Á|üø£ÿ #·Áø£+ qT+∫ u≤DeTT eTT\T¢ Á|ü<Ûëq dü+K´ e<ä› Ä>∑T≥≈£î dü+uÛ≤e´‘·

7. ˇø£ ≈£î≥T+ãeTT˝À Ç<ä›s¡T |æ\¢\T ø£*– ñqï n+<äT˝À ø£ dü+ 1 Ä&É |æ\¢ ø£*– ñ+&ÉT≥≈£î dü+uÛ≤e´‘·

8. 0, 2, 3, 4, 5 n+¬ø\ qT+∫ 5 n+¬ø\ dü+K´\qT ‘·j·÷s¡T#˚dæq n+<äT˝À Ä dü+K´\T 5 #˚uÛ≤–+|üã&ÉT≥≈£î dü+uÛ≤e´‘·

Key


1. 0 eT]j·T 1

2. ôd’eTHé ˝≤ù|¢dt

3. P( E ) = 1 – P(E) = 1–0.032 = 0.968

4. P(E) =

5. ˇø£ bÕ∫ø£qT <=]¢+∫q ª7μ |ü&ÉT |üs¡ ekÕqeTT\T

6. B

7. 1

8. HH, HT, TH, TT

9. P(E) = 3

6 or

1

2

10. P(E) = 1252 = 3

13

11. P(E) = 252 or 1

26

12. B ( 32 > 1)


1. P(E) = R 411

2. 50 ˝À|ü⁄ Á|ü<ÛëHê+ø£eTT\T 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47 R 15

P(E) = R 15

50

3

10

nqT≈£L\ |üs¡ ekÕHê\ dü+K´yÓTT‘·Ô+ |üs¡ ekÕHê\ dü+K´



12

3 4

5

44

3. P(E) = R 14

23

4. TTT, THH, HTH, HHT, HTT, THT, TTH, HHH (8)

5. P(E) = R 10

30

1

3

6. P(E) = R 35 (Or) 0.6

7. yÓTT‘·Ô+ |üs¡ ekÕHê\ dü+K´ BB, BG, GB, GG

P(E) = R 34 (Or) 0.75

14. kÕ+K´ø£ XÊgeTT12 e÷s¡Tÿ Á|üX¯ï\T :

1. – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, 4 sêX¯ó\ yê´|æÔ

2. kÕ+K´ø£XÊg |æ‘êeTVüQ&Éì me]ì n+{≤s¡T.

3. yÓTT<ä{Ï 'n' düVü≤» dü+K´\ n+ø£ eT<Ûä eTeTT ø£qT>=qTeTT.

4. a + 1, a + 3, a + 4 eT]j·TT a + 8 \ n+ø£eT<Ûä eTeTT ø£qT>=qTeTT.

5. ‘·s¡>∑‹ eT<Ûä $\Te\qT <˚ìì >∑DÏ+#·T≥≈£î yê&ÉT<äTeTT

6. 1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3 sêX¯ó\ u≤VüQfi¯ø£eTT ø£qT>=qTeTT.

7. πø+Á<äkÕúq|ü⁄ ø=\‘·\˝À n‘· +‘· $X¯«dü j·TyÓTÆq~

8. x, x3 , x

5 , x4 , x

2 sêX¯ó\ eT<Ûä >∑‘·eTT ª6μ nsTTq x $\Te

9. 20 29 ‘·s¡>∑‹ jÓTTø£ÿ eT<Ûä $\Te\qT ø£qT>=qTeTT.

10. eØZø£è‘· <ä‘êÔ+X¯eTTq≈£î eT<Ûä >∑‘·eTT ø£qT>=qT≥≈£î dü÷Á‘·eTT ‘Ó\T|ü⁄eTT.

11. (n+ø£eT<Ûä eTeTT u≤VüQfi¯ø£eTT) R

12. 1 ` 8, 9 ` 16, 17 ` 24 ‘·s¡>∑‘·T\ bı&Ée⁄ m+‘· ?

13. 10 19, 20 29, 30 39 ‘·s¡>∑‘·T\ Vü≤<äT›\T Áyêj·TTeTT.

14. 7, 8, 11, a, 4, sêX¯ó\ n+ø£eT<Ûä eTeTT ª7μ nsTTq a $\Te m+‘· ?





45

15. »‘·|üs¡#·TeTT.

– 2, 0, 1, 2, 3, 5, 9, 8, 6, 5 sêX¯ó\

i) yê´|æÔ a) 5

ii) n+ø£eT<Ûä eTeTT b) 3.7

iii) eT<Ûä >∑‘·eTT c) 11

iv) u≤VüQfi¯ø£eTT d) 4

A) i - a, ii - b, iii - c, iv - d B) i - d, ii - c, iii - b, iv - a

C) i - c, ii - b, iii - d, iv - a D) @Bø±<äT


1. eØZø£è‘· <ä‘êÔ+X¯eTTq≈£î eT<Ûä >∑‘· dü÷Á‘·eTT˝Àì |ü<ë\T $e]+|ü⁄eTT.

2. ø=ìï sêXó\ n+ø£eT<Ûä eTeTT ª11μ Á|ü‹ sê•øÏ ª3μ ø£\T|ü>± e#·TÃ sêXó\ jÓTTø£ÿ n+ø£eT<Ûä eTeTT ø£qT>=qTeTT.

3. Äs√Vü≤D dü+∫‘·bÂq'|ü⁄q´eÁø£eTT, nes√Vü≤D dü+∫‘·bÂq'|ü⁄q´ eÁø£eT\ K+&Éq _+<äTe⁄ @eT>∑TqT ?(∫Á‘·+˝À #·÷|ü⁄eTT)

4. 10 eT]j·TT 50 \ eT<Ûä >∑\ 7 jÓTTø£ÿ yÓTT<ä{Ï Hê\T>∑T >∑TDÏC≤\ düsêdü] ø£qT>=qTeTT.

5. u≤VüQfi¯ø£eTT eqedüúeTT ø±ì <ä‘êÔ+X¯eTTqT ñ<äVü≤]+#·TeTT.

6. n+ø£eT<Ûä eTeTT jÓTTø£ÿ $•wüº‘·\T ‘Ó\T|ü⁄eTT.

7. 6, – 4, 23 , 1 1

4 , 0, 0.3 sêX¯ó\ n+ø£eT<Ûä eTeTT ø£qT>=qTeTT.

8. dü+∫‘·bÂq'|ü⁄q´eTTqT <˚ìì >∑DÏ+#·T≥≈£î yê&ÉT<äTeTT

9. yÓTT<ä{Ï 5 Á|ü<Ûëqdü+K´\ eT<Ûä >∑‘·eTTqT ø£qT>=qTeTT.

10. x eT]j·TT 1x \ dü>∑≥T M nsTTq x3 eT]j·TT

13x

\ dü>∑≥T ø£qT>=qTeTT.

11.

ô|’ |ü{Ïºø£ Àì >∑DÏ‘·eTT˝À A Áπ>&ÉT kÕ~Û+∫q $<ë´s¡Tú\ dü+K´

12. πø+Á<ä kÕúq|ü⁄ ø=\‘·\T mìï yêìì ‘Ó\T|ü⁄eTT.

>∑DÏ‘·+˝À$<ë´s¡Tú\ e÷s¡Tÿ\T

$<ë´s¡Tú\ dü+K´

0 - 34 35 - 50 51 - 60 61 - 75 76 - 91 92 - 100

9 16 24 15 4 2

46

Key


1. yê´|æÔ R >∑]wüº $\Te – ø£ìwüº $\Te = 4 – (– 2) = 6

2. Ronald A fisher

3. n+ø£eT<Ûä eTeTT R

n

n

n n

n

n( )1

2

1

2

4. dü>∑≥T Ra a a a a a

a

1 3 4 8

4

4 16

4

4 4

44

( )( )

5. ‘·s¡>∑‹ eT<Ûä $\Te\qT n+ø£eT<Ûä eTeTTqT >∑DÏ+#·T≥≈£î yê&ÉT<äTeTT

6. u≤VüQfi¯ø£eTT eédæú‘·eTT ø±<äT

7. eT<Ûä >∑‘·eTT

8. Äs√Vü≤DÁø£eTeTT x5 , x

4 , x3 , x

2 , x; x3 = 6 ; x = 3 x 6 = 18

9. ‘·s¡>∑‹ eT<Ûä $\Te R 20 29

2

49

224 5

.

10. eT<Ûä >∑‘·eTT = l +

ncf

f2

−⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟ x h

11. n+ø£eT<Ûä eTeTT u≤VüQfi¯ø£eTT R 3 (eT<Ûä >∑‘·eTT u≤VüQfi¯ø£eTT)

12. K∫Ã‘· Vü≤<äT›\ uÛÒ<äeTT h = 8.5 – 0.5 = 8

13. 9.5 ` 19.5, 19.5 ` 29.5, 29.5 ` 39.5

14. dü>∑≥T = 7 8 11 4

57

a, 30 + a = 35, a = 35 – 30 = 5

15. C


1. eT<Ûä >∑‘·eTT = l +

ncf

f2

−⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟ x h

l = eT<Ûä >∑‘· ‘·s¡>∑‹ Vü≤<äT›n = <ä‘êÔ+X¯+˝Àì sêX¯ó\ dü+Kćf = eT<Ûä >∑‘· ‘·s¡>∑‹ jÓTTø£ÿ dü+∫‘· bÂq'|ü⁄qéTTf = eT<Ûä >∑‘· ‘·s¡>∑‹ jÓTTø£ÿ bÂq'|ü⁄qéTTh = eT<Ûä >∑‘· ‘·s¡>∑‹ bı&Ée⁄

47

2. sêX¯ó\ n+ø£eT<Ûä eTeTT R 113. Äs√Vü≤D, nes√Vü≤D dü+∫‘·bÂq'|ü⁄q´ eÁø£eTT\ K+&Éq _+<äTe⁄qT eT<Ûä >∑‘·eTT n+{≤s¡T.

4. 10 eT]j·TT 50 \ eT<Ûä >∑\ 7 jÓTTø£ÿ >∑TDÏC≤\T 14, 21, 28, 35, 42, 49 yÓTT<ä{Ï Hê\T>∑T 7 jÓTTø£ÿ

>∑TDÏC≤\ n+ø£eT<Ûä eTeTT R 14 21 28 35

4

98

424 5

.

5. ñ<ë : 1, 2, 3, 4, 5

6. $•wüº‘·\T :`

1) n+ø£eT<Ûä eTeTTqT düT\Te⁄>± …øÏÿ+#·e#·TÃqT

2) <ä‘êÔ+XeTT˝Àì n+‘· $\Te\T nq>± >∑]wüº, ø£ìwüº $\Te\T n+ø£eT<Ûä eTeTTô|’ Á|üuÛ≤eeTT #·÷|ü⁄qT.

7. dü>∑≥T = 6 4 0

6 6

23

54

310

21

23

54

310

= 120 40 75 18

60

1

6

=

253

360

8. dü+∫‘· bÂq'|ü⁄q´eTT eT<Ûä >∑‘·eTTqT >∑DÏ+#·T≥≈£î yê&ÉT<äTeTT

9. yÓTT<ä{Ï 5 Á|ü<Ûëq dü+K´\T 2, 3, 5, 7, 11

eT<Ûä >∑‘·eTT e 5 1

2

sê• R 3esê• R 5

48

10.x

nM x

xMx

11

2; , xx

22

21

= xx

m

2

2

221

2 4 2

xx

xx

xx

33

22

1 1 11

= 2m (4m2 – 2 – 1)

= 2m (4m2 – 3) (Or) 8m3 – 6m

xx

33

1 dü>∑≥T

x m m m mm mx

3

2

8 6

2

2 4 3

24 3

1 3 333

[ ]

11. |ü{Ïºø£ qT+∫ >∑DÏ‘·eTT˝À A1 Áπ>&ÉT kÕ~Û+∫q $<ë´s¡Tú\T dü+K´ R 10

12. πø+Á<ä kÕúq|ü⁄ ø=\‘·\T 3

n$

1) n+ø£eT<Ûä eTeTT

2) eT<Ûä >∑‘·eTT

3) u≤VüQfi¯ø£eTT

EYE

2

math - tm - ideoguntur.org/.../uploads/2020/02/maths-tm-paper-i-ii.pdf · 2020-02-17 · 2 21....

Documents