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O material apresentado esta organizado emLicoes. Em cada Licao o texto compreendeumaparte inicial onde saoapresentados de formaconcisa, conceitos e resultados, os quaissempreaparecemacompanhadosdevariosexemplos. Aposestaapresentacao, damosincioasecaode Exerccios Resolvidos queconstitui aessenciadestelivro. Finalizamos cadaLicaocomumalistade ExercciosPropostos ,muitosdosquaisguardamsemelhancacomaquelesjaresolvidos. Nonaldolivroapresentamosasrespostasousolucoesdessesexerccios.Apesardetratar-sedeumtextocomtopicosdoEnsinoMedioaabordagemdessestopicosprocurair umpoucoalemdeumasimples abordagemanvel deEnsinoMedio. Tivemos apreocupacaodeinterrelacionarosdiversostemasabordadosesemprequepossvel,procurandodestacar seusaspectosgeometricosouintuitivos. Alemdisso, procuramosser informaissemperder,noentanto,aexatidaomatematica.Nos temas desenvolvidos e nos exerccios resolvidos e propostos, buscamos lapidar no alunoumaposturade questionamentos constantes e ointeresse por vizualizacoes geometricas deconceitos efatos quandoissoenatural. Oautor entendequemesmonaotendoassimiladocom desenvoltura esses conceitos no Ensino Medio o aluno adquiriu maturidade, o que lhe devepermitirabsorverumaabordagemumpoucomaisricadostopicosselecionados.EmmuitasLicoesusamosconceitoseresultados,nasuasformasasmaiselementares,paraemLicoesposterioresdesenvolvermostaisassuntoscommaisprofundidade.Outrapreocupacaofoi adeabordar variostopicostratadosnoMestradoProssional emMatematicaemRedeNacional(PROFMAT)comoobjetivodeoferecerumtextoqueajudeoprofessordoEnsinoMedionapreparacaodesuasaulas.Numproximovolume, voltaremosaabordaroutrostopicosdamatematicabasicacomosmesmosobjetivos.RiodeJaneiro,fevereirode2015OautoriiConversaaopedoouvidoAprender matematicanaocostumaser umatarefafacil paraagrandemaioriadosmortaisequando tentamos aprende-la, precisamos saber como faze-lo. Primeiramente, precisamos quererdesvendaromisterioquetemosdiantedenosedepois,senaotemos,precisamosadquirirumaposturadequem,sistematicamente,estaquestionandooqueveeoquenaove.Porexemplo,quandovocetentaentenderumadenicao(ouumaregra,umteorema,umatecnica, etc)voceprecisa, depoisdele-lacommuitaatencao, construir oudar exemplosdeobjetos que satisfazematal denicao; mais doque isso, tambemprecisaconstruir oudarexemplos de objetos que naosatisfazemadenicaoestudada. Issofeito, voce comecouaentenderadenicao.Quando estudamos matematica nao devemos perder as oportunidades de criar alguma coisa,pormaiselementarqueelaseja: issoestaportrasdaslinhasdoquefoi ditosobreaposturacom relacao a uma denicao (ou uma regra, um teorema, uma tecnica, etc). Outro exemplo e oseguinte: quando tentamos resolver um exerccio e nao conseguimos, talvez, antes de abandona-loseriamaisinteressantetentarresolverumcasoparticulardoqueepedido. Naoquerdizerqueresolvidoocasoparticular vocevai conseguir resolver oproblema. Mas tambemnaoegarantidoquevocenaopossaenxergarasolucaodocasogeral,estudandoumcasoparticular !Eessaestrategiadeabordagemdoproblemapodeser,emalgunscasos,algomagico.Tentar resolver exerccios e uma atitude fundamental quando se quer aprender matematica.Eles saocomoumdocedefesta, umafonteondeseescondemdiversas perguntas eepre-cisosaberdegusta-los, descobr-las, redescobr-lassobreoutrasformas ! Quandovoceterminaderesolver umexerccio, afestanaoterminouai, entrounasegundafase: existemalgumasperguntasimportantesquevoceprecisasesentir naobrigacaomoral decoloca-lascomumacerta frequencia. Sera que essa solucao nao e muito complicada para o problema que tenho emmaos ?Alem disso, resolvido um problema precisamos pensar nele com mais atencao para saberseelenosforneceumresultadointeressantequedevemosincorporaraonossoconhecimento.Mas, umproblemaresolvidotambemnosforneceachancedevariosoutrosquestionamentos:usamostodasashipoteses? oresultadonaopareceestaremcontradicaocomalgumacoisajaconhecida ? podemosgeneralizaroresultadoobtido ? podemosrecolocaresseproblemanumoutro contexto ?ou seja, somos capazer de criar outros exerccios, a partir deste, e resolve-los ?Saocompequenosquestionamentosnoincioquevamosevoluirparaquestoesmaissos-ticadas, quevamosconstruir nossoamadurecimento, moldar nossaintuicaoequemsabenofuturo,sercapazdecolocarumimportanteproblemaequemsabeainda,resolve-lo !!RiodeJaneiro,fevereirode2015OautoriiiConte udo1 Conjuntos 11 Pertinencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Comodescreverconjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.1 Anotacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Igualdade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Conjuntosespeciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44.1 Conjuntouniverso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44.2 Conjuntovazio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54.3 Conjuntounitario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Conjuntosnitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 DiagramadeVenn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 Inclusao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77.1 Propriedades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 Operacoescomconjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98.1 Uniao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98.2 Intersecao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108.3 Diferenca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108.4 ProdutoCartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118.5 Propriedadesdasoperacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 Quanticadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1210 Osignicadode = e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1311 Construindonovasarmacoes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1311.1 Anegacaode A B. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15Exercciosresolvidos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 Apresenta caodosn umerosreais 241 Subconjuntosespeciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 Representacaonaretaorientada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 Direitaeesquerda maioremenor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284 Modulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.1 Propriedadesdomodulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315 Intervalosdareta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326 Oplanocartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33Exercciosresolvidos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443 Operacoes 471 Interpretandogeometricamenteasoma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472 Simetrias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.1 Simetrianareta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.2 Simetriasnoplanocartesiano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51Exercciosresolvidos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644 Propriedadesdasoperacoes 671 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 671.1 Utilidadepraticadaspropriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 691.2 SubtracaoeDivisao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 691.3 Regrasdesinais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702 Fatora cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712.1 Produtosnotaveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713 Operandocomfracoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723.1 Igualdade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723.2 Simplicacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733.3 Operacoeselementarescomfracoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744 Leisdecancelamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754.1 a b = 0 a = 0 ou b = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . 75Exercciosresolvidos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 845 Expressaodecimal 871 N umerodecimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 872 Expressaodecimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 883 Notacaocientca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92Exercciosresolvidos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 976 Relacaodeordem 981 Propriedadesdarelacaodeordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 992 Leisdecancelamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1003 Consequenciasdasleisdecancelamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101Exercciosresolvidos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102vExerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1137 N umerosracionaisen umerosirracionais 1151 N umerosracionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1152 Decomposicaoemfatoresprimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1163 Representandoosracionaisnareta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1173.1 OTeoremadeThales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1183.2 AplicandooTeoremadeThales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1184 OTeoremadePitagoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1195 N umerosirracionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1215.15 nao eracional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1216 Regrasparaidenticarirracionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1237 Racionais periodicidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125Exercciosresolvidos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1348 Estudodeexpressoes 1361 Domnio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1362 Graco. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1383 Zeros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139Exercciosresolvidos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1469 Resolucaodeequacoes 1481 Algumasequacoeselementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1482 Equacaoeexpressaodoprimeirograu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1492.1 Resolucaodeumaequacaodoprimeirograu. . . . . . . . . . . . . . . 1492.2 Sinaldeumaexpressaodoprimeirograu. . . . . . . . . . . . . . . . . 1502.3 Gracodeumaexpressaodoprimeirograu . . . . . . . . . . . . . . . 1512.4 Devoltaaracionais periodicidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1523 Equacaoeexpressaodosegundograu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1543.1 Completandoquadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1543.2 Simetrianumaexpressaodosegundograu . . . . . . . . . . . . . . . . 1553.3 Valoresextremosdeumaexpressaodosegundograu . . . . . . . . . . 1563.4 Razesesinaisdeumaexpressaodosegundograu. . . . . . . . . . . . 1573.5 Equacaodosegundograuesistemadeequacoes . . . . . . . . . . . . 1613.6 Gracodeumaexpressaodosegundograu . . . . . . . . . . . . . . . . 1624 Mudancadevariavel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167Exercciosresolvidos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1685 Equacao (ExpressaoA)(ExpressaoB)=0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192Exercciosresolvidos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197vi10Simplicandoequacoes 2011 Operandosobreequacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2011.1 Equivalenciadeequacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2021.2 Transitividadedaequivalenciadeequacoes . . . . . . . . . . . . . . . . 2031.3 Operacoesquenaomodicamoconjuntodassolucoes . . . . . . . . . 2041.4 Operacoesquemodicamoconjuntodassolucoes . . . . . . . . . . . 2081.5 Resolvendoequacoescommodulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211Exercciosresolvidos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21711Estudandoosinal deexpressoes 2191 Umaregrafundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220Exercciosresolvidos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22812Resolucaodeinequacoes 2301 Umexemplomodelo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2302 Equacoeseinequacoescommodulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232Exercciosresolvidos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24713Potencias 2491 Expoentesinteiros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2492 Expoentesracionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2502.1 Razes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2502.2 Razesdepotencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2543 Expoentesirracionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2554 Comooperarcompotencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2575 Umaconvencao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259Exercciosresolvidos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27114Propriedadesdaspotencias 2741 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2742 Potenciaserelacaodeordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278Exercciosresolvidos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29315Gracos 2941 Expressoespareseexpressoes mpares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2942 Crescimentoedecrescimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2963 Concavidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2984 Gracosdepotencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299vii4.1 Potenciacomexpoentepositivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3004.2 Potenciacomexpoenteinteiroepositivo . . . . . . . . . . . . . . . . . 3004.3 Potenciacomexpoenteracionalpositivo. . . . . . . . . . . . . . . . . 3024.4 Potenciacomexpoenteirracionalpositivo . . . . . . . . . . . . . . . . 3054.5 Emresumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3054.6 Potenciacomexpoentenegativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3074.7 Emresumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3125 Gracosdeexponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3136 Operandosobregracos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3166.1 E(x) e E(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3176.2 E(x) e |E(x)| . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3176.3 E(x) e E(x) + . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3176.4 E(x) e E(x + ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3186.5 E(x) e E(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319Exercciosresolvidos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33316Progressoeseseries 3361 Progressaoeseriegeometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3361.1 Somandoos nprimeirostermos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3372 Progressaoaritmetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3403 Sequenciaseseries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3424 Propriedadesdasseries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344Exercciosresolvidos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365ApendiceA:Tra candoasparalelas 368ApendiceB:Realizandotriangulos 369Respostasdosexercciospropostos 372Li cao1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372Li cao2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374Li cao3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378Li cao4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382Li cao5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386Li cao6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387Li cao7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389Li cao8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391Li cao9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397Li cao10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409Li cao11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410viiiLi cao12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415Li cao13. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418Li cao14. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420Li cao15. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422Li cao16. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431ReferenciasBibliogracas 434IndiceRemissivo 435ix1ConjuntosOque eumconjunto ?Equalquercolecaodeobjetos. Acolecaoformadapelosalgarismos 0 ,3 ,5 ,9 ; Acolecaodosplanetasdonossosistemasolar ; AcolecaodoslivrosdaBibliotecaNacional doRiodeJaneiro ; Acolecaoformadapelosn umerosreais.Nesses exemplos os objetos que compoemos conjuntos estaoescritos emitalico. Elestambemsaoditoselementosdoconjunto.Quandorespondemosaperguntaacimadizendoqueumconjuntoequalquer colecaodeobjetos nos naoestamos denindooqueeumconjunto, nemoqueeumelementodesseconjunto. Nosapenasapresentamossinonimosparaessaspalavras: colecaoeobjeto,respecti-vamente. Sinonimos que nos sao mais familiares, que fazem parte do nosso cotidiano. As nocoesdeconjuntoedeelementodeumconjuntosaoprimitivas. Naoasdenimosemmatematica.1 PertinenciaDadosumobjeto b eumconjunto Aescrevemos:b A (le-se: bpertencea A)para indicar que o objetobe elementodoconjunto A.b/ A (le-se: bnaopertencea A)para indicar que o objetobnao e elementodoconjunto A.Licao1 Se cao2 : ComodescreverconjuntosA barra inclinada / colocada sobre um smbolo matematico, regra geral,tem como obje-tivonegaroqueosmbolosignica. Issoserafeitocomfreq uenciaaolongodestetexto.Exemplos+Seja Aoconjuntoformadopelosn umeros 4;2;e 5 . Temosque:4 A ; 2 A ; 3 A ; 5 A ; A ; 0/ A.+Seja Boconjuntodosn umeros mpares. Entao:2/ B ; 7 B ; 3 B ; 2/ B ; 8/ B ; 5 B.2 ComodescreverconjuntosConjuntossaoformadosporelementos, porisso, paradescrever umconjuntoprecisamosde-clararcomprecisaoquaissaoosseuselementos. Faremosissodeduasmaneiras:1. Listandoentrechavestodososelementosdoconjunto:A = {1 ,2 , 3 ,5 ,8 ,7 , 11 ,10} ; B= { a ,e ,i ,o ,u}.2. Dandopropriedadesquecaracterizamoselementosdoconjunto:CeoconjuntodospasesdaAmericadoSul ;Deoconjuntodosn umerosinteirospositivos.Apropriedade P que caracterizaoselementosdoconjunto Ce:P : serpasdaAmericadoSul.Assim, x CeomesmoquexepasdaAmericadoSul.Apropriedade P que caracterizaoselementosdoconjunto De:P : sern umerointeiroepositivo.Logo, x Deomesmoquexen umerointeiroepositivo.Nessecaso,usaremosanotacao_x; xtemapropriedade P_lidacomo: conjuntodos xtaisque1xtemapropriedade P.1Usamos ; comosignicadode tal que . Comomesmosignicado,tambemsaousados | e : .2Licao1 Secao2 : Anotacao . . . Fazendousodestanotacao,podemosescrevemos:C= { x; xepasdaAmericadoSul } ; D = { x; xen umerointeiroepositivo }.Exemplos+Se Xeoconjuntoformadopelassolucoesdaequac ao x2(x 1) = 0 entaopodemosescrever:X= {x; x2(x 1) = 0}.+Se Xeoconjuntodosn umerosinteirosmaioresdoque 1 emenoresdoque 9podemosescrever:X= {x; x en umerointeiromaiordoque 1 emenordoque 9} ou X= {2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8 }.2.1 Anotacao . . . Comfrequenciausamos anotacao . . . nopapel daexpressaoe assimpor diante, quepressupoe: oleitorsabecomoprosseguir. Por exemplo, escrevemosqueoconjunto Zdosn umerosinteiros eoconjuntoZ = {. . ., 4 , 3 , 2 , 1 ,0 ,1 ,2 ,3 ,4 ,. . .}paraindicarquedepoisdo 4 vem5 ,depois 6 , 7 eassimpordiante;queantesdo 4 vem5 , 6e assim por diante. Escrevemos que o conjuntoNdos n umeros naturais e o conjuntoN = {1 , 2 , 3 , 4 , . . .} .Tambemescrevemos {12 , 10 , 8 ,. . .,206 ,208 ,210} paraevitardeescrevertodosos n umeros pares de 12 `a 210 . Anotacao . . . pressupoequesabemos qual alei deformacaoquegeratodososelementosdoconjuntodescrito !Exemplos+Paraindicarque nassumetodososvaloresinteirosnaonegativos,escrevemos,porexemplo,n {0 , 1 , 2 , 3 , . . .} ouentao n = 0 , 1 , 2 , 3 , . . .+Paraindicarque massumetodososvaloresinteiros,podemosescrever: m = 0 , 1 , 2 , . . .+Aoescrever que oconjunto Ae dadopor A= {5 , . . ., 21} dicilmente saberemos quais saooselementos quecompoemoconjunto A, amenos queocontextonoqual nos inserimos, dealgumaforma,nosindiquequal ealeideforma caoquegeraoselementosdoconjunto A.+Alista 1 ,5 ,52,54,56,58, . . ., 5kpossui 121 elementos. Qualovalordointeiro k ?Vejamos ! Adescricaoaseguir,listaos 121 elementosacimareferidos1, 5, 512, 522, 532, . . . , 51192. .119elementos. Portanto, k = 119 2 = 238 .3Licao1 Secao3 : Igualdade3 IgualdadeDenicao. Doisconjuntossaoiguaisquandotemexatamenteosmesmoselementos.Quando Ae Bsaoiguaisescrevemos A = B. Casocontrario,escrevemos A = B.Exemplos+SejamA = { 0 , 1 ,2 ,6 , 3 ,4 , 3 } e B= { 3 ,2 ,6 , 1 ,4 ,0 , 3 ,3 }.Oselementosdosconjuntos Ae Bestaolistadosemordemdiferente. Alemdisso, oelemento 3 foilistado duas vezes no conjuntoB. No entanto, de acordo com a denicao de igualdadeesses conjuntossaoiguais,poistemexatamenteosmesmoselementos,asaber: 3, 1, 0, 2, 3, 4 e 6.+SejamAoconjuntodosn umeros mparesmaioresdoque1 e Boconjuntodosn umeros mparesmaiores ou iguais a 7. Os conjuntos AeBnao sao iguais porque nao possuem exatamente os mesmoselementos. Defato, 5 Aporem5/ B. Portanto, A = B.4 Conjuntosespeciais4.1 ConjuntouniversoConsidereoseguinteconjunto: { x; x>0 }. Notequeesseconjuntonaoestadescritodemodoclaro. Analdecontas,dequaisn umerosmaioresdoquezeroestamosfalando? Dosn umerosparesmaioresdoquezero? Dos n umeros racionaismaiores do que zero? Dosn umerosinteirosmaioresdoquezero? Oudosn umerosreaismaioresdoquezero?Paradescreveroconjunto{ x; x>0 }, semambiguidade, precisamosdizerondevamosprocuraroselementos xquesaomaioresdoquezero. Sevamosprocura-losnoconjuntoPdosn umerospares,escrevemos:{x P; x > 0}. Sevamosprocura-losnoconjuntoZdosinteiros,devemosescrever:{x Z; x > 0}. Sevamosprocura-losnoconjuntoQdosn umerosracionais,escreveremos:{x Q; x > 0}. Esevamosprocura-losnoconjuntoRdosreais,seranecessarioescrever:{x R; x > 0}.4Licao1 Secao4 : ConjuntosespeciaisAgorasim, temosconjuntosdescritossemambiguidade, poisdissemosemcadaumdelesondevamosprocuraroselementosquesaomaioresdoquezero.Mais geralmente, seja Uum conjunto qualquer. O conjunto formado pelos elementos de Uquetemapropriedade Pseraescritonaforma{x U; xtemapropriedade P}eoconjunto U seraditoumconjuntouniverso.Nosexemplosacimaosconjuntosuniversosao,respectivamente: P, Z, QeR.Algumasvezesdescreveremosconjuntossemexplicitaroconjuntouniversodeondeosseuselementosforamretiradosmas,issososerafeitoquandonaohouverambiguidadenadescricaodoconjunto. Issoquerdizerqueemalgummomentodadiscussaooconjuntouniversofoi,ousera,informalmentexado.4.2 ConjuntovazioOconjuntoquenaotemelementosechamadoconjuntovazioeedenotadopor ou{ }.Porexemplo, oconjuntoformadopelospasesqueganharam7vezesaCopadoMundodeFutebol eoconjuntovazio.O conjunto vazio pode ser descrito atraves de propriedades que se contradizem. Por exemplo:{x R; x = x} = ; {x Z; x2= 1} = .4.3 ConjuntounitarioOsconjuntosunitariossaoaquelesformadosporum unicoelemento. Oconjuntodospasesqueganharam5vezesaCopadoMundodeFutebol eumconjuntounitariopoisseu unicoelemento eoBrasil.Exemplos+Conjuntosunitarios:{0} ; {10} ; {4} ; {2 , 2} ; {x R; x3= 1} ; {n Z; 2 < n < 4}.+Conjuntosnaounitarios:{2 , 2} ; {1 , 2 , 3} ; ; {x R; x2= 1} ; {n Z; 2 n < 4}.Cadaumdosconjuntosnoexemploacimapossuimaisdoqueumelemento,salvooconjuntovazioquenaopossuielementos.5Licao1 Secao5 : Conjuntosnitos5 ConjuntosnitosOsconjuntos{5}..1elemento; {1 , 0 , 2}. .3elementos; {3 , 2 , 0 , 1}. .4elementos; {1 , 2 , 1 , 4 , 15 , 3 , 9}. .7elementostemumaimportantepropriedadeemcomum: podemoscontar todososseuselementos, doprimeiro,ao ultimo. Dizemosquetaisconjuntossaonitos.Maisprecisamente: umconjuntoenitoquandopodemoscontar todos osseuselemen-tos, iniciandoacontagemem1 (alias, comosemprefazemosquandocontamosobjetos)eterminandoacontagememalguminteiropositivo n. Nessecaso, dizemosqueoconjuntoeumconjuntonitocomnelementosou,simplesmente,queoconjuntotemnelementos.Evidentemente, devemoscontarcadaelementouma unicavez, parapoderarmarque neon umeroexatodeelementosdoconjunto. On umerodeelementosdeumconjuntonitoAedenotadopor #(A).Exemplos+A = {3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9}eumconjuntonitocom7 elementoseescrevemos #(A) = 7.+B= {x Z; x 0 e x 10}eumconjuntonitocom11 elementos. Assim, #(B) = 11 .+O conjunto de todas as estrelas do Universo em que vivemos e um conjunto com uma quantidade muitograndedeelementosmas enito,segundooscientistas.Observequeoconjuntovazionaoseenquadrananocaodeconjuntonitoqueacabamosdeapresentar, poiselenaotemelementosaseremcontados. Noentanto, convencionamosqueoconjuntovazioenitoetemzeroelementos.Quandoumconjunto Anaoe nitoelee ditoumconjuntoinnito ouumconjuntocomumainnidadedeelementos. Nessecaso, escrevemos que #(A) = . Escrevemos#(A) < paraindicarque Aeumconjuntonito.Paranalizar, chamamossuaatencaoparaumfatoimportante: quandocontamososele-mentosdeumconjuntonito, oresultadonal dacontagemindependedaordememqueoselementosdoconjuntoforamcontados. Ditoinformalmente: independedequemoscontou.Esse eumresultadoaserdemonstrado,masnaoofaremosaqui.Depossedospre-requisitosnecessarios, naoedifcil mostrarqueauniao, aintersecao, oproduto cartesiano eadiferenca (conceitos querelembraremos mais adiante)dedois conjuntosnitos,saoconjuntosnitos. Tambemnao edifcilmostraretampoucofogedanossaintuicaomatematica, que todoconjuntocontidonumconjuntonitoenito ; que todoconjuntoquecontemumconjuntoinnito etambemumconjuntoinnito.Voce encontrara uma denicao formal de conjunto nito e as propriedades aqui citadas, nasreferencias[5,6].6Licao1 Se cao6 : DiagramadeVennExemplos de conjuntos innitos+Conjuntodosn umerospares ;+Conjuntodosm ultiplospositivosde5 ;+Conjuntodosn umeros mparesquesaomaioresdoque223 ;+Conjuntodosn umerosdaforma1nonde neuminteiropositivo ;+Conjuntodosn umerosdaforma n2 onde neuminteironegativo .Vejacomodemonstrar queoconjuntodos n umeros pares naoenitonoexerccio6dapagina18. Naoseradifcil adaptaraquelaprovaparamostrarqueosconjuntosdalistaacimasao,defato,conjuntosinnitos.6 DiagramadeVennComorepresentarconjuntosgracamente ?Comovizualiza-los ?Uma maneira de vizualizar conjuntos innitose pensar ne-lescomosefossemregioesdoplano. Aguraaoladomostraumadessas representacoes. Oconjunto Aeformadopelospontos da regiao hachurada. Do conjuntoAtambem faz parteos pontos sobre a linha escura que delimita a regiao hachurada.`_`_`_`_`_`_`_`_`_`_`_`_`_`_`_`_`_`_`_`_`_`_`_`_`_`_`_`_`_`_`_`_`_`_`_`_`_`_`_`_`_`_`_`_`_`_`_`_`_`_`_`_`_`_`_`_`_`_`_`_`_`_`_`_`_`_`_`_`_`_`_`_`_`_`_`_`_`_`_`_`_`_`_`_`_`_`_`_`_`_`_`_`_`_`_`_`_`_`_`_ AlinhaescurafazpartedoconjuntoA._`

AEssas representacoes gracas sao chamadas diagramas de Venn. Veremos que elas tambemservem para representar gracamente conceitos (como inclusao, uniao, intersecao, etc) e testaravalidadedearmacoesmatematicas,comoveremosnodecorrerdessalicao.OsdiagramasdeVenntambemsaousadospararepresentarconjuntosnitos. Nestecasodesenhamosregioesdoplanoerepresentamosnointeriordes-sas regioes apenas os objetos que constituem os conjuntos emquestao. Por exemplo, na gura ao lado representamos o con-juntoA = {7 , 2 ,0 ,1 ,2 ,5 ,10}._

A 012210577 InclusaoDenicao. SejamAe Bconjuntos. Dizemosque Aesubconjuntode Bquandotodoelementode Atambem eelementode B.7Licao1 Se cao7 : InclusaoQuando Ae subconjuntode B dizemos que Aestacontido (ouincludo) emB eescrevemos A B, ou que BcontemAe escrevemos B A. QuandoAnaoestacontidoemBescrevemos A B. Analogamente, quando BnaocontemAescreve-se: B A.Quando AestacontidoemBe A = Bdizemosque Aeumsubconjuntopropriode Beusamosanotacao A B.Exemplos+SejamA = {1 ,2 ,3 ,4 ,5} e B= {1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6}.Temosque A Bpoistodoelementode Atambem eelementode B.+SejamA=conjuntodosn umerosinteirosmaioresdoque 5 ;B=conjuntodosn umerosinteirosmaioresdoque 11 .Nessecaso, B A. Defato, se x Bentao x>11. Logo x>5. Consequentemente, x Aprovando,assim,oquepretendamos.+SejamA=conjuntodosn umerospares ;B=conjuntodosm ultiplosde3 .Aqui, AnaoestacontidoemB, pois nem todo par e m ultiplo de 3. Por exemplo, 4 Amas 4/ B.Podemostambemconcluirque BnaoestacontidoemA, poisnemtodom ultiplode 3 epar.Eoquesepassa,porexemplo,comon umero 9 : temosque 9 Bmas 9/ A.Observacao BqualquerquesejaoconjuntoB. Ajusticativaparaessaarmacaoseraapresentadanapagina16.7.1 PropriedadesPropriedadesdainclusao1. A A2. Se A B e B A entao B=A3. Se A B e B C entao A CA armacao todoelementodeAtambem eelementodeA, queeevidente, justicaaprimeira propriedade da relacao de inclusao.Asegundapropriedadeforneceumcriterioparamostrarquedoisconjuntossaoiguais:doisconjuntossaoiguaisquandocadaumdelesestacontidonooutro.Aterceira propriedade e dita propriedadetransitivadainclusao.8Licao1 Secao8 : OperacoescomconjuntosNaguraaolado, usamosdiagramasde Venn para vizualizar a transitivi-dadenarelacaodeinclusao.'&$%CB

ASe A Be B Centao A C.8 Operacoescomconjuntos8.1 UniaoDenicao. Auniaodosconjuntos Ae BeoconjuntoA B:= {x; x A ou x B}.`Asvezesusaremososmbolo:=quetemomesmosignicadoque=. Elesoserausadoparalembrarqueestamosdiantedeumadenicao.Exemplos+{1 , 3 , 4 , 7 , 8} {1 , 2 , 7 , 18} = {1 , 2 , 3 , 4 , 7 , 8 , 18}.+{x Z; x > 5} {4 , 2 , 1 ,1} = {4 , 2 , 1 , 1 ,6 , 7 , 8 , . . .}.+NosdiagramasdeVennaseguirauniao A Berepresentadapelasregioeshachuradas.ABABA BABABA BObservacaoEmnossocotidianoecomumusaraconjuncao ou comsentidoexclusivo. Omesmonaoaconteceemmatematica: quandoarmamos x A ou x Bpodemocorrertrespossi-bilidades:xpertenceexclusivamentea A; xpertenceexclusivamentea B;xpertencesimultaneamenteaosdoisconjuntos Ae B.9Licao1 Secao8 : Operacoescomconjuntos8.2 IntersecaoDenicao. Aintersecaodosconjuntos Ae BeoconjuntoA B:= {x; x A e x B}.Osconjuntos Ae Bsaoditosdisjuntosquandonaopossuemelementosemcomum; ouseja,quando A B= .Exemplos+{1 , 0 , 1 , 3 , 4 , 7 , 8} {1 , 0 , 1 , 2 , 7} = {1 , 0 , 1 , 7}.+{1 , 2 , 5 , 7 , 8 , 9} {x Z; x < 8} = {1 , 2 , 5 , 7}.+NosdiagramasdeVennaseguiraintersecao A Berepresentadapelaregiaodecorcinza.ABABABAe Bsaoconjuntosdisjuntos.Nessecaso,A B= .ObservacaoAconjuncao e tememmatematicaomesmosignicadoqueemnossoquotidiano: odesimultaneidade.8.3 DiferencaDenicao. Adiferenca A Bdosconjuntos Ae B, eoconjuntoformadopeloselementosde Aquenaosaoelementosde B,isto e,AB:= {x; x A e x B}.Tambemecomumanotacao A \ Bparaindicar adiferenca A B. Quando B Adizemosque ABeocomplementarde Bemrelacaoa Aeodenotamospor AB.Exemplos+{1 , 3 , 4 , 5 , 1 , 2} {2 , 3 , 4 , 1 , 0} = {1 , 5 , 2} .+ComoN = {1 , 2 , . . .} Z = {0 , 1 , 2 , . . .} temosqueZN = {0 , 1 , 2 , 3 , . . .}.10Licao1 Secao8 : Operacoescomconjuntos8.4 ProdutoCartesianoDenicao. O produto cartesiano ABdos conjuntos AeB, e o conjunto dos paresordenados (x, y) onde x Ae y B,isto e,AB:=_(x, y); x A e y B_.Lembre-se que dois pares ordenados(x, y)e(a , b)deABsao iguaisquando, e somentequando, x=a e y=b . Dizemosque xe y saoascoordenadas doparordenado ( x, y ) :xeaprimeiracoordenadae y easegundacoordenada.Exemplos+{1 , 5 , 1 , 2} {4 , 1 , 0} eoconjuntoformadopelos pares ordenados: (1 , 4) , (1 , 1) , (1 , 0) ,(5 , 4) ,(5 , 1) ,(5 , 0) ,(1 , 4) ,(1 , 1) ,(1 , 0) ,(2 , 4) ,(2 , 1) ,(2 , 0).+Z Zeformadopelosparesordenadosdaforma (m, n) onde m, nsaointeirosquaisquer.+R Reformadopelosparesordenadosdaforma (x, y) onde x, y saon umerosreaisquaisquer.8.5 PropriedadesdasoperacoesApresentamos no quadro a seguir algumas propriedades das operacoes de uniao e de intersecao.Propriedadesdauniaoedaintersecao1. Idempotencia: A A=A=A A2. Comutatividade:A B=B AA B=B A3. Associatividade:(A B) C=A (B C)(A B) C=A (B C)4. Distributividade:A (B C)=(A B) (A C)A (B C)=(A B) (A C)5. #(A B)=#(A) + #(B) #(A B) se #(A)< e #(B)< 11Licao1 Secao9 : QuanticadoresEapropriedade associativaque nos permite entender A B C e A B C semambiguidade. Notequeadenicaodeuniaoenvolveapenasdoisconjuntos. Assim, paradarumsignicado`a A B C respeitandoaordememque A, B, C aparecemnaexpressao,devemos interpreta-lo como(AB) Cou, comoA(BC). A associatividade nos garantequetantofaz,e eissoquenospermiteabandonarosparentesesaoescrever A B C.9 QuanticadoresEmnossalinguagemmatematicafaremosusodedoisquanticadores:quanticadordeuniversalidade:denotadopor esignicandoqualquerquesejaouparatodooutodo.quanticadordeexistencia:denotadopor esignicandoexisteouexistem.ExemplosAarmacao podeserescritacomo:Existemn umerosinteirosnegativos n Z talque n < 0 n Z; n < 0Nemtodon umerointeiroenulo x Z talque x = 0 x Z ; x = 0Existemn umerosparesmaioresque2001x Ptalque x > 2001 x P; x > 2001Oquadradodequalquern umerointeiroemaiorouigual azerox2 0 , x ZOdobrodequalquern umerointeiro eumn umeropar2y P, y ZOquocientededoisn umerosinteirospodenaoserumn umerointeirom, n Z talquemn/ R m, n Z;mn/ ROdobrodequalquern umerointeiro eumn umeropar2y P, y ZOprodutodequalquern umerorealporzerovalezerob 0 = 0 , b RAdiferencaentredoisn umerosinteiroseumn umerointeiroa b Z , a , b ZAdiferencaentredoisn umerosinteirospodenaoserumn umeropara , b Z talque a b/ P a , b Z ; a b/ P12Licao1 Se cao10 : Osignicadode = e 10 Osignicadode = e Emmatematica, osmbolo = eusadoparaindicar queaarmacao`aesquerdadessesmboloimplicaaarmacao`adireita,comoem:a = 2 = a > 1 ;x 1 = x2 1 ;a b = 0 = a = b ;onde a , b , xsaon umerosreais2.Quandoaarmacao`aesquerdaimplicaaarmacao`adireitaevice-versa, dizemosqueasarmacoessaoequivalenteseusamososmbolo comonosexemplosaseguir.3a = 12 a = 4 ;a b > 0 a > b ;a b = 2 a = b + 2 ;onde a , b , xsaon umerosreais.Em cada um dos exemplos acima, a armacao `a esquerda e a armacao `a direita do smbolo temexatamenteomesmosignicadomatematico;elasapenasestaoescritasdeformadiferente. Osmbolo tambemelidocomo: quando,esomentequandoouentaose,esomentese.Tantoaimplicacaoquandoaequivalenciaentrearmacoessaotransitivas,isto e:se p q e q r entao p r ; se p q e q r entao p r.Exemplos+Dadosn umerosreais ae b temosque:a < 0 2a < 0 ;a > 0 e b > 0 = a +b > 0 ;a < 0 e b 0 = ab 0 .+SejamAe Bdoisconjuntosdisjuntos.Temosque: x A = x/ B.+x {1} = x {1 , 2}.+x = 1 = x = 1 ou x = 2 .+Seja Aumconjuntoqualquer.Entao: a A {a} A.11 ConstruindonovasarmacoesDadasduasarmacoes p , q podemosconstruircomelasduasoutrasarmacoes: aarmacao ( p e q )aqualso e verdadeiraquandoambasasarmacoes p , q osao;2Nessecasotambemdizemos: aarmacao`adireitadasetaeconsequencia daarmacao`aesquerdaouentao,queaarmacao`adireita seguecomoconsequencia daarmacao`aesquerda.13Licao1 Se cao11 : Construindonovasarmacoes aarmacao ( p ou q )aqualso e falsaquandoambasasarmacoes p , q osao.Exemplos+Considereosconjuntos {1} e {1 ,2 }. Sobreasarmacoesaseguirpodemosconcluir: Armacao: 1 {1} e2 {1}.EumaarmacaoFALSA,poisasegunda efalsa(apesardaprimeiraserverdadeira); Armacao: 1 {1} ou2 {1}.EumaarmacaoVERDADEIRA,poisaprimeira everdadeira(apesardasegundaserfalsa); Armacao: 1/ {1} ou2 {1 ,2 }.E uma armacao VERDADEIRA, pois a segunda e verdadeira (nao obstante a primeira seja falsa); Armacao:2/ {1} e 1 {1 ,2 } ;EumaarmacaoVERDADEIRA,poisaprimeira everdadeiraeasegundatambem. Armacao:2 {1} ou 1/ {1 ,2 } ;EumaarmacaoFALSA,poisaprimeira efalsaeasegundatambem.Mais Exemplos+Aarmacao 3 3 signica:3 emenordoque3. .pou 3 eiguala3. .q.Aarmacao p efalsa(3 oux = ) ;(iii) x > 2 = x 2 ( isto e, x > 2 oux = 2 ) ;(iv) x < = x ( isto e, x < oux = ) ;(v) x 2 = x = 2 ;(vi) x 2 = x < 2 .Pararesponderaessasperguntas,facamos:(i) Sabemosque x=2 . Logo, seguecomoconsequenciaqueaarmacao x ou x= eVERDADEIRA,poisasegundadelas everdadeira.(iii) Sabemosque x>2 . Logo, seguecomoconsequenciaqueaarmacao x>2 ou x=2 eVERDADEIRA,poisaprimeiradelas everdadeira.(iv) Sabemosque x 45 . Logoaarmacao eFALSA.(c) Sek {n Z ; n3< 10}entaok3< 10 . Logo, ke um inteiro negativo. Portanto, k3< 0e,consequentemente, k3< 1 ,ouseja, k {n Z; n3< 1}. Portanto,aarmacao eVERDADEIRA.10. SejamA, B, Cconjuntosquaisquer. MostrequeA (B C) =(A B) (B C)construindodiagramasdeVennondeosconjuntos A (B C) e (A B) (B C) saodistintos.Solucao Naguraaseguirexibimososconjuntos A, B, C. Naguradomeio, apartehachuradarepresentaoconjunto A (B C). Naguraqueesta`adireita,apartehachuradamostraoconjunto(A B) (B C). EssaconstrucaogarantequeA (B C) = (A B) (B C).ABCABCABC19Licao1 : Exercciosresolvidos11. SejamAe Bconjuntosquaisquer. Mostreque A=(AB) (A B).Solucao Oselementosde Asedividememdoisgruposdistintos: oselementosde AquenaoestaoemB,ouseja,oselementosde AB; oselementosde AqueestaoemB,ouseja,oselementosde A B.Consequentemente, A = (AB) (A B).12. SejamA= {x Z; x 5} , B= {x Z; x 1} e C= {x Z; x>7} . Deter-mine: A B ; A C ; B C.Solucao Temosque:(a)A B= {x Z; x 5 ou x 1} = {. . . , 7, 6, 5, 1, 0, 1, 2, . . .}.(b)A C= {x Z; x 5 ou x > 7} = {. . . , 7, 6, 5, 8, 9, 10, 11, . . .}.(c)B C= {x Z; x 1 e x > 7} = {8, 9, 10, . . .} = {x Z; x > 7}.13. Escrevaasarmacoesaseguirusandoquanticadores.(a)Existemn umerosparesmaioresdoque 100100;(b)Oprodutodedoisn umerosinteirosesempreumn umerointeiro ;(c)Doprodutodedoisinteirospoderesultarumn umeronaopar ;(d)Dasomadedoisinteirospoderesultarumn umeronegativo .Solucao(a)Existemn umerosparesmaioresdoque 100100: a P; a > 100100(b)Oprodutodedoisn umerosinteiros esempreumn umerointeiro: a b Z, a ,b Z(c)Doprodutodedoisinteirospoderesultarumn umeronaopar: a , b Z; ab/ P(d)Dasomadedoisinteirospoderesultarumn umeronegativo: a , b Z; a +b < 014. SejamA, Bconjuntosquaisquer. Digaquaisdasarmacoesaseguir saofalsasequaissaoverdadeiras.(a) x A B = x A (b) x A B = x/ AB.Solucao Vamos`aanalisedecadaumadasarmac oes.(a) Se x A B entao x Aou x B. Noentanto, naopodemos concluir que x pertencenecessariamenteaoconjunto A. Por exemplo, quando A= {1} , B= {2} e x=2 temos que:x A Bmas x/ A. Esseexemplomostraqueaarmacao eFALSA.(b)Seja x A B. Aoretirarde Aoselementosde B, certamenteretiramosde Aoselementoscomuns a Aea Bouseja, A B. Emparticular, retiramos oelemento x. Consequentemente,x/ AB. Issomostraqueaarmacaodoitem(b) eVERDADEIRA.20Licao1 : Exercciosresolvidos15. Sejamx, y R. Quaisdasarmacoesaseguirsaofalsasequaissaoverdadeiras ?(a) x2>0 = x>0 (b) x3>0 = x>0(c) y>3 = y2>8 (d) x + y=0 = x2+ y2=0.Solucao Analisemoscadaumadasquestoescolocadas.(a)FALSA,poispara x = 1 temos: x2= (1)2> 0 mas, x = 1 nao epositivo.(b)VERDADEIRA, poison umero x naopodesernulo(nessecaso x3=0)nempodesernegativo(nessecaso x3< 0 pelaregradesinais).(c) Como y >3 temos que y2>9 . Mas, se y2>9 entao y2>8 . PortantoaarmacaoeVERDADEIRA.(d)FALSA,poispara x = 1 e y= 1 temos: x +y= 0 mas, x2+y2= 2 = 0 .16. Mostreque a2+ b2+ c2esempre mparquando a , b saointeirosconsecutivose c=ab .Solucao Como a , b saointeirosconsecutivose c = ab entao a2+b2+c2temaforma:a2+b2+c2= n2+ (n + 1)2+n2(n + 1)2= 2n2+ 2n + 1 +n4+ 2n3+n2= 3n2+ 2n + 2n3+n4+ 1 = 2(n +n3). .par+3n2+n4+ 1 .Paramostrarque 2(n +n3) + 3n2+n4+ 1e mparbastamostrarque 3n2+n4+ 1esempre mpar,poisjasabemosque 2(n +n3) epar.Paraissotemosque: se neparentao 3n2e n4saon umerosparese,consequentemente, 3n2+n4+ 1 sera mpar; se ne mpar entao 3n2e n4saon umeros mparese, consequentemente, 3n2+ n4serapar,dondeconclumosque 3n2+n4+ 1 sera mpar .Conclumosentaoque a2+b2+c2serasempre mpar .17. Sejama , x R. Quaisdasarmacoesaseguirsaofalsasequaissaoverdadeiras ?(a) x=a = x= a (b) x= 2 = x2= 4(c) x=8 =3x= 2 (d) x=4 =x= 2 .Solucao21Exerccios1. Listeoselementosdecadaumdosconjuntos:(a)Conjuntodos m ultiplos positivos de 5quesaomenoresdoque37 ;(b)Conjuntodos10primeirosinteirospositivosquedivididospor4deixamresto3 ;(c)Conjuntodosinteirospositivosquesaodivi-sorescomunsde60e100 ;(d)Conjuntodosn umerosinteirospositivosquesaomenoresdoque50equesaodivisveispor7.2. Digaseos conjuntos aseguir saoiguais ousesaodistintos. Redijaumajusticativaparasuaresposta.(a) { 1 ,2 ,4 ,7 ,5 ,9 ,10 ,2 } ;{ 2 ,9 ,5 ,2 ,10 ,7 ,9 ,1 ,4 ,7 }.(b)Conjuntodostriangulosretangulos ;Conjuntodostrianguloseq uilateros.(c)Conjunto dos n umerosmpares que sao maio-resouiguaisa3 ;Conjunto dos n umerosmpares que sao maio-resdoque2.(d)Conjuntodosn umerosprimosquesaodivi-soresde210 ;Conjuntodosn umerosprimosquesaodivi-soresde420.Nota: Umn umero p N= {1 , 2 , 3 , 4 , . . .}e um n umero primo quando ele temapenasdois divisores positivos edistintos , asaber, 1eoproprion umero. Seguedadenicaoqueon umero 1 nao eprimo.3. Umconjunto Aeformadopelosdgitosdauni-dadedosn umeros:123223; 26746; 1391203.Listeoselementosdoconjunto A.4. Quais dos conjuntos a seguir sao unitarios e quaisdelessaooconjuntovazio ?(a) {x Z; x2+ 1 = 0} ;(b) {y P; y3= 8} ;(c) {x Z; x = x2} ;(d) {x Z; x + 1 = 2 e x 1 = 3} ;5. SejaAo conjunto formado por todos os inteirosnque tem a seguinte propriedade: o resto da di-visao de 4n+7por 5deixa resto2 . Pergunta-se:(a)0 A? (b)37 A?(c)12 A? (d)10010 A?(e) 5 A? (f) 7 A?6. Osconjuntosaseguirsaonitos ?(a)Conjuntodosn umerosparescomdoisalga-rsmos ;(b) {y Z; (y 1)(y 2) = 0} ;(c) {x Z; x > 10 ou x < 25} ;(d)Conjunto dos n umeros inteiros positivos commenosdoque5algarismos ;7. Determineon umerodeelementosdecadaumdosconjuntosaseguir.(a) {2 , 3 , 4 , 5 , 6 , . . . , 1567} ;(b) {53 , 2 , 1 , 0 , 1 , 2 , . . ., 8901} ;8. Seja An= { 3 , 2 , 1 ,. . .,n 1 } onden Ze n 2 .(a)Descrevaosconjuntos A2,A0,A2e A5listandotodososseuselementos ;(b)Determineon umerodeelementosde An.9. SejamAn= { 1 ,2 ,3 ,4 ,. . .,n + 3 } ;Bn= { n, n + 1 ,. . .,n + 1 ,n + 2 } ;Cn= { 10 ,10 + 2 ,. . .,10 + 2n} ;onde n Ze n 0.Descrevacadaumdosconjuntos:A0,B1,C2,A3,B4,C5listandotodososse-uselementos.10. Determineon umerodeelementos dos conjun-tos An, Bne Cndoexerccioanterior. Essen umero,claro,dependedointeiro n 0 .11. Naslistasaseguir, digaqual eoelementosoli-citado.Licao1 : Exerccios(a)Qual eocentesimoelementonalista1 ,23,35,47,59,611,. . . ?(b)Qual eomilesimoelementonalista1 ,3 ,52,74,96,118,. . . ?(c)Qual eocentesimoquintoelementodalista1 ,23,45,67,89,1011,. . . ?12. Sabendo que a lista 1 , 2 , 42, 65, 88, 1011, . . . , kpossui 273 elementos, determine k e open ultimoelementodalista.13. Quantostriangulosisoscelestemladosinteirosepermetroiguala 20 ?14. Quais dos conjuntos a seguir sao nitos ?Deter-mineon umerodeelementos daqueles quesaonitos.(a)Conjuntodosm ultiplospositivosde3quesaomenoresdoque 2.317 ;(b)Conjunto dos triangulos retangulos cujas medi-das dos lados sao n umeros inteiros ecuja areavale 24 ;(c) {n Z+;102 < 2n + 1 2.307 } ;(d)Conjuntodostrianguloscujabasemede 2 ecujaalturarelativaaessabase,mede 1 .15. Construa diagramas de Venn que represente cadaumadassituacoesaseguir:(a)A B, B Amas AeBtem elementosemcomum;(b)A B = , A Ce A B C = ;(c)(B A) C = e A B C = ;(d)Anao contemB, Besta contido emCeCcontemA.16. Determinetodosospossveisconjuntos Xquesatisfazemaigualdade A X=B, onde AeBsaodadosaseguir:A = { 1 ,3 ,5 } eB= { 1 ,1 , 2 ,3 ,5 ,0 }.17. SejamA,B conjuntos quaisquer. Digaquaisdas armacoes aseguir saofalsas e quais saoverdadeiras.(a)Se x Aentao x AB;(b)Se x Aentao x B A;(c)x A B = x AB;(d)Suponhaque AB = .Podemosentaoconcluirque A B = .18. Sejamx,y R. Quaisdasarmacoesaseguirsaoverdadeiras ?(a) x5> 0 x > 0 ;(b) x6= 0 x = 0 ;(c) x > 2 = x 3 ;(d) x {3} = x {3 , } ;(e) x = 3 = x = 3 ou x = .19. Digaquaisdasarmacoesaseguirsaofalsas.(1)Sejama , b Rtaisque a , b 0.Seguedaque a3b > 0.(2)Sejama , b Rtaisque a 0 e b > 0.Seguedaque a4b 0.(3)Sejama , b Rtaisque a 0 e b > 0.Seguedaque (a4+ 0,1)b > 0.(4)Sejama, b Rtaisque a 0 e b > 0.Seguedaque (a + 0,1)4b > 0.20. Escreva as armacoes a seguir como zemos nosexemplosdasecao9.(a)Oproduto de dois n umeros inteiros e umn umerointeiro ;(b)Existemn umeros inteiros menores do que101101;(c)Oquocientededoisinteirosnaonulos eumn umeroracional ;(d)Adiferencade dois inteiros positivos podeseruminteironegativo.21. Sabendoque #(A) =n e #(B) =mper-gunta-se: quantoselementospossui oconjuntoAB?232Apresenta caodosn umerosreaisVamos relembrar algumas notacoes, denicoes efatos elementares sobreoconjunto Rdosn umerosreaisesuarepresentacaonareta. Nossoobjetivo edesenvolverumavisaogeometricadoconjuntodosn umerosreaisedealgunsconceitosquevamostratarnessalicao.1 SubconjuntosespeciaisDestacamososseguintessubconjuntosdeR:1. InteirosZ = {. . ., 4 , 3 , 2 , 1 ,0 ,1 ,2 ,3 ,4 ,. . .}.Outrossubconjuntos:Z= Z {0} Z+= {1 ,2 ,3 ,4 ,. . .} = N Z= {1 , 2 , 3 , 4 ,. . .}.OconjuntoZ+dosinteirospositivoseditoconjuntodosn umerosnaturais. Eletambemedenotadopor N.2. RacionaisQ =_pq; p , q Z e q = 0_.Exemplos:12; 1,5 =1510; 34= 34;80,5= 8 510= 8 105=161; 7 =71.Licao2 Secao2 : Representa caonaretaorientadaNotequetodointeiro p podeserescritonaforma p =p1 . Portanto,todon umerointeiroetambemumn umeroracional,isto e, Z Q.Veremosmaistardeque:pq=pq= pqparatodo p , q Z e q = 0 .Umaexpressaodaformapqcomp , q inteirose q = 0 tambemeditafracaoden umerosinteirosou,simplesmente,fracao.Notequetodon umeroracional naonulopodeserescritonaformapqou pqonde p , qsaointeirospositivos. Alemdisso,decompondo p e q emfatoresprimosecancelandofatoresprimos comuns ao numerador e ao denominador da fracao, obtemos o que chamamos de fracaoirredutvel. Assim,toda fracao nao nula tem a sua forma irredutvel,alias, unica. Voltaremos aesteassuntoquandotratarmosdoTeoremadaDecomposicaoemFatoresPrimosnaLicao7.Nosexemplosaseguir, asfracoes`adireitadossinaisdeigual estaonaformairredutvel,masasdaesquerdanaoestaonessaforma:515=13; 414= 27;12660=2110;63= 2 .3. IrracionaisAprendemosnoEnsinoMedioquealemdosn umerosracionais, fazempartedoconjuntodosn umerosreais, osn umeroschamadosde irracionais. Naofaremosaqui umadenicaoformaldesses n umeros, mas vamos aprender a operar com eles, relembrar algumas de suas propriedades,suaharmonia comosracionaiseprocurardesenvolverumavisaogeometricadesseuniverso.Exemplosden umerosirracionais:5 ; 3 ; ; 35 ;235.Em geral, nao e facil demonstrar que tais n umeros nao sao n umeros racionais. Por exemplo,anaoracionalidadedon umero sofoi demonstradaem1761,pelomatematicofrancesJ.H.Lambert. NaLicao7voltaremos acomentar sobreesteassuntoemostraremos que5 e,defato, umn umeronaoracional. Issosignicaqueparamedirahipotenusadeumtrianguloretangulocomcatetosmedindo 2 e 1 respectivamente, precisamoslancar maoden umerosnaoracionais, ouseja, precisamoscriar outrosn umeros emharmonia comosracionaisparaassociarumamedidaaessahipotenusa. Voltaremosafalardesta harmonia napagina90.2 Representa caonaretaorientadaFixar uma orientacaona reta e xar um sentido de percurso, como mostrado na gura a seguir.Feitoisso,ospontos`adireitadeumpontoQdaretasaoaquelesquepodemseracessadosa25Licao2 Secao2 : Representa caonaretaorientadapartirde Q, seguindoosentidodepercursoxado, ouseja, seguindoaorientacaoxada. Naguraaseguir, Resta`adireitade Q. Ospontos`aesquerdade Qsaoaquelesquepodemseracessadosapartirde Q, seguindoosentidodepercursocontrarioaoxado. Naguraaseguir,oponto P esta`aesquerdade Q.Retaorientadaeasnocoesdedireitaeesquerda Qsentidodepercurso pontosdareta`adireitadeQRPpontosdareta`aesquerdadeQOponto Qnaoestanem`adireita,nem`aesquerdade Q.Duasconseq uenciasimediatasdosconceitosdedireitaeesquerdasao:Se P esta`adireitade Qese Qesta`adireitade Rentao P esta`adireitade R.P Q RSe P esta`aesquerdade Qese Qesta`aesquerdade Rentao P esta`aesquerdade R.R Q PEssa eapropriedadetransitivadasrelacoesdedireitaeesquerda. Janosdeparamoscomessapropriedadenainclusaodeconjuntos. Outrapropriedadeimediata easeguinte:P esta`adireitade Qse,esomentese, Qesta`aesquerdade P.P QAlemdessaspropriedadestemostambemque: Dadosdoispontos P, Qdareta,ocorreumaeapenasumadastresalternativas: Pe Qcoincidem Pesta`adireitade Q P esta`aesquerdade Q.Aretamunidadeumaorientacao editaretaorientada.Fixemosagoraumaretaorientada(dita,simplesmente,reta),umpontoOsobreela(cha-madodeorigem)eumsegmentodereta u (chamadodeunidadedecomprimento), comomostradosnaguraaseguir. Comessesingredientesareta edita retareal oueixoreal.Ou. .unidadedecomprimentoretaorientadaCom esses tres objetos e algumas construcoes geometricas vamos localizar na reta os inteiros,os racionais e n umeros irracionais como2 ,3 ,. . . etc. Vamos tambem utilizar estimativasparater umaideiadalocalizacaodeoutros n umeros, racionais ouirracionais, nareta. No26Licao2 Secao2 : Representa caonaretaorientadamomento, apesar denaotermosaindaumaideiaprecisasobrearepresentacaodosn umerosreaiscomopontosdaretareal,sabemosentendercomclarezaodiagramaaseguir. .. .. .. .. u u u u5 4 3`21,71 0O1 2 3=3,14 . . .3,14 . . .= 4 55,7`6`2`3`52Adireitade 0 estaoosreaispositivosAesquerdade 0 estaoosreaisnegativosOn umerorealzero nao epositivo,nemnegativo.Parecemagia, mas aescolhadaorienta cao, daunidade u edaorigemOdeterminamnareta, deformaprecisa, aposicaodecadaumdos n umeros reais, racionais eirracionais.Alemdisso, acadapontodaretacorrespondeumeapenas umn umeroreal. Issosignicaquen umeros reais epontos daretaestaoembijecao. Noentanto, registre-se, transformaressa magia emrealidadematematicaealgonadaelementar. Nessesentido,aretamunidadeorientacao, origem e unidade de comprimento e umafotograado conjunto dos n umeros reais.Cadan umeroreal eentendidocomoacoordenadadopontodaretaqueorepresenta.Uma propriedade importante, dita propriedadearquimediana, dos n umeros reais e a seguinte:naretasempreexisteumn umerointeiro`adireitadeumn umerorealdado.Repare, nodiagramaacima, que 2 e2 estaoeq uidistantesdaorigem, istoe, estao`aumamesmadistanciadaorigem. Essadistanciavale 2. Lembre-sequedistanciaesemprepositivaounula.Assimcomo 2 e 2 , os n umeros b e b estaoeq uidistantes daorigemOconformemostradonosdiagramasaseguir. Dizemosque b e b saosimetricosemrelacaoaorigem.0 b bquando b epositivo(b enegativo)0 b bquando b enegativo(b epositivo)Alias,quantovaleadistanciade b `aorigem?Aten cao! Nao podemos dizer que vale b pois b pode ser negativo. Nao podemos dizer quevale b pois b podesernegativo. Noentanto,nossaintuicaorespondera :adistanciade2 aorigemvale2 ; adistanciade 34 aorigemvale34 .0 .. 2 34distancia=20..2 34distancia=3427Licao2 Se cao3 : Direitaeesquerda maioremenorParaapresentarmosanocaodedistanciaentren umerosreais,passemosantes `as nocoesdemaioremenor,esuarelacaocomdireitaeesquerda.3 Direitaeesquerda maioremenorAgoraquejaidenticamosn umerosreaiscompontosdareta,podemostraduzirasnocoesdedireitaeesquerda,comorelacoesentren umerosreais.Dados a , b Rdiremos:aemenor doque b quando aesta`a esquerda deb e escrevemos a < b ;< b aaemaior doque b quando a esta`adireitade b eescrevemos a > b .< a bAsrelacoesdemenoremaiorsaoditasrelacoesdeordementreosn umerosreais.Aspropriedadesdedireitaeesquerda,vistasanteriormente,tomamaseguinteforma: a3 (b) |x + 2| 1 (c) |3 x|>2 (d) |2x 4|>6Solucao Doexerccioanteriorpodemosgarantirque:(a) |x 1| > 3 x 1 (, 3 ) ( 3 , ) x (, 1 3 ) ( 1 + 3 , ) x (, 2 ) ( 4 , ) .(b) |x + 2| 1 x + 2 (, 1 ] [ 1 , ) x (, 2 1 ] [2 + 1 , ) x (, 3 ] [1 , ).(c) |3 x| > 2 |x 3| > 2 x 3 (, 2 ) ( 2 , ) x (, 3 2 ) ( 3 + 2 , ) x (, 1 ) ( 5 , ).(d) |2x 4| > 6 2|x 2| > 6 |x 2| > 3 x 2 (, 3 ) ( 3 , ) x (, 1 ) ( 5 , ).23. Fa caumaestimativapara b Rsabendoqueeleenegativoeque |1 2b| 3.Solucao Temosque:|1 2b| 3 |2b 1| 3 2b 1 (, 3 ] [ 3 , ) 2b (, 1 3 ] [ 1 + 3 , ) 2b (, 2 ] [ 4 , ) .Como b < 0 conclumosque 2b 2 ,ouseja, b 1.24. Sabendoque b [ 1 , 3 ) determine:(1)Omenorintervaloquecontem b + 2(2)Omenorintervaloquecontem 3 b .Solucao Tomemos b [ 1 , 3 ).(1)Como b [ 1 , 3 ) , oseutransladadopor 2 pertenceaotransladadode [ 1 , 3 ) por 2 . Portanto,b + 2 [ 1 + 2 , 3 + 2 ) = [ 3 , 5 ) . Assim,ointervaloprocurado eointervalo [ 3 , 5 ) .(2) De b [ 1 , 3 ) segue que b pertence ao simetrico do intervalo[ 1 , 3 ) em relacao `a origem,que eo intervalo(3 , 1 ]. Assim, b (3 , 1 ] e, consequentemente, 3b (3+3 , 1+3 ] = ( 0 , 2 ].Assim,ointervaloprocurado eointervalo ( 0 , 2 ] .25. Sabendoque b (, 1 ] determineomenorintervaloquecontem 2 b .Solucao De b (, 1 ] segueque b pertenceaosimetricodointervalo (, 1 ] emrelacaoaorigem, que e o intervalo[1 , ). Assim, b [1 , ) e, consequentemente, b+2 [1+2 , ).Portanto,ointervaloprocurado eointervalo [ 1 , ) .61Licao3 : Exercciosresolvidos26. Deumaequacaoquetemcomosolucoes,exatamente,ospontosdaretacujoquadradodeseutransladadopor 2 vale 5 . Resolvatal equacao.Solucao Seja z Rumtal ponto. Oseutransladadopor 2 vale z+ 2 . Oquadradodessetransladadovale 5 ,ouseja, (z + 2)2= 5 . Logo,osn umerosprocuradossaoaquelesquesatisfazemaequacao (z + 2)2= 5 .Resolvendoessaequacao,obtemos:(z + 2)2= 5 z + 2 = 5 z= 2 5 .27. Emcadaumdositensaseguirsaodadosdoispontosdoplanocartesiano. Determine,emcadacaso,aequacaocartesianadoeixodesimetriadessespontos.(a)(1 , 0 ) e (1 , 2 ) (b)(2 , 2 ) e (2 , 1 )(c)(1 , 1 ) e ( 3 , 1 ) (d)(1 2 , 1) e (2 1 , 1 ) .Solucao(a)Nesseitemospontospossuemasmesmasabcissas. Logo, oeixodesimetriaearetahorizontalpassandopelopontomediopmentre 0e 2oqualvale: pm= 1. Logo,oeixodesimetria earetadeequacao y= 1 .(b) Nesse caso os pontos tambem tem a mesma abcissas. Portanto, o eixo de simetria e a reta horizontalpassando pelo pontomediopmentre 2e 1o qualvale: pm= (2 +1)/2 = 1/2. Logo,oeixo desimetria earetadeequacao y= 1/2 .(c)Nesseitemospontospossuemamesmaordenada. Portanto, oeixodesimetriaearetaverticalpassandopelopontomedio pmentre1 e 3 oqual vale: pm=(1 + 3)/2=1. Logo, oeixodesimetria earetadeequacao x = 1 .(d) Nesse item os pontos tambem possuem a mesma ordenada. Logo, o eixo de simetria e a reta verticalpassando pelo ponto mediopmentre 12e 1+2o qual vale: pm= (12+1+2)/2 =1. Logo,oeixodesimetria earetadeequacao x = 1 .Nasgurasabaixoexibimosessassimetrias.(1, 0)(1, 2)(2 , 2)(2 , 1) y=1y= 1/2(1, 1)(3 , 1)(12 , 1)(1+2 , 1)x=1x=128. Deumainequacaoquetemcomosolucoes, exatamente, ospontosdaretacujocubodoseutransladadopor 3 emenordoqueotransladadodoseuquadradopor 1 .Solucao Denotemosumtalpontopor x. Temosque:62Licao3 : Exercciosresolvidos ocubodoseutransladadopor 3 vale (x 3)3; otransladadodoseuquadradopor 1 vale x2+ 1 .Portanto,ainequacaoprocurada e: (x 3)3< x2+ 1 .29. Determineosimetricodoponto (3 , 1) emrelacaoaoeixodesimetriadeequacao x=1,2 .Solucao Sabemosqueosimetricoprocuradotemordenadaigual a 1 . Restadeterminar suaab-cissa. Eelaeosimetricode 3 emrelacaoa 1,2 oqual sabemosdeterminar: paraisso, escrevemos3 = 1,2 + (3 1,2) .Portanto, osimetricode 3 emrelacaoa 1,2vale: 1,2( 31,2 ) = 2,43 = 0,6 = 3/5 .Conseq uentemente, o simetrico de(3 , 1)procu-rado e (3/5 , 1 ) .(3, 1) (3/5, 1)3 3/5x=1,230. Determine os simetricos dos pontos (3 , 1), (2 , 2) em relacao `a origem do plano cartesiano.Fa caumaguraexibindotaispontoseseussimetricos.Solucao Os simetricos procurados sao (3 , 1)e (2 , 2) respectivamente. Elessaomostradosna-guraaseguir. Os pontos mais claros saoos pontosintermediariosobtidosquandozemos, comoprimeirareexao,areexaoemrelacaoaoeixodasordenadas.xy(2,2)(2,2)(2,2)(3,1)(3,1)(3,1)63Exerccios1. Conhecendo na reta orientada as localizacoesda origem, da unidade e de2 , use umcompassoe faca as representacoes gracas de1, 22, 2, 2, 1 2 ede 1 +2 .0 122. Determine os n umeros reais que satisfazemacondicaodecadaitemaseguir.(a)Oseutransladadopor 4 vale 3 ;(b)Odobrodoseutransladadopor 1 vale 5 ;(c)Oseutransladadopor 1,2 vale 3 ;(d)Adistanciaa1 dodobrodoseutransla-dadopor 7,vale 3 .3. Determine os simetricos de 1 , 4 , 3 , 2e deemrelacao`a 1 .4. Quais dos pares de n umeros a seguir sao simetri-cosemrelacaoa 3 :5 e 7 ; 1 e 7 ; 13 e 4 ; 0 e 4 ;103 e 97 ?5. Determine b Rdetal formaque 3 e 7 se-jamsimetricosemrelacaoa b .6. Determine:(a)osimetricoemrelacaoa 1 dointervalo[1 , 3) ;(b)o simetrico emrelacao a 1 do intervalo(, 2) ;(c)osimetricoemrelacaoa dointervalo(4 , ) ;(d)o simetrico emrelacao aorigem do intervalo(3 , ] .Emcada itemfaca guras que represente suasolucao.7. Determineosn umerosreaiscujadistancia `a 3vale5 .8. Qual e o n umero realquetransladado de 5pro-duzon umero 2,01 .9. Qual e o n umero real que transladado do seu do-broproduzon umero3 ?10. Determine umaequacaocujas solucoes saoospontos da reta que transladados por 2 saoiguaisaosquadruplosdosseustransladadospor1 . Resolvatalequacao.11. Exiba uma equacao cujas solucoes sao os pontosdaretaqueestaoequidistantesdoseuquadradoedoseucubo.12. De umaequacaoque descrevaos n umeros re-aiscujostransladadospor 1 coindicidemcomoquadradodoseutransladadopor 1 .13. ResolvaasequacoesemR:(a) |2x 1| = 2 (b) |1 + 3x| = 3(c) |x2 3| = 1 (d) |2 +x2| = 3 .14. De umainequacaoque descrevaos pontos daretacujodobrodoseutransladadopor 2 emaiorqueasuadistanciaa 2 .15. Seja xumn umeroreal. Qualeaexpressaodoseusimetricoemrelacaoa 2 ?16. O simetrico em relacao a2de um certo n umeroreal coincide comotransladadodesse n umeropor 7. Determinetaln umero.17. ResolvaasinequacoesemR:(a) |x 3| < 2 (b) |x + 1| < 3(c) |x 1| < 3 (d) |3 x| < 1 .18. ResolvaasinequacoesemR:(a) |x 3| > 1 (b) |2 +x| > 5(c) |3 +x| > 2 (d) |1 x| > 0 .19. ResolvaasinequacoesemR:(a) |x 1| 3 (b) |5 +x|