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FACULTAD NACIONAL DE INGENIERIAELEMENTOS DE MÁQUINAS 1
CASO DE ESTUDIO DISEÑO DE EJES
DATOS
Pot 5hp ω 740rpm
R pol 68.70mm
R eng 42.30mm
Elaborado por: Ing. Miguel A. Ruiz Orellana 1 de 27
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RESOLUCION
Como primer paso se tendra encontrar las fuerzas solicitantes y reacciones existentes en el eje,por cuanto encontramos:
El momento torsor solicitante será: MtPot
ω Mt 48.11 N mEn la polea
La fuerza generada sobre la polea será:
donde: α es el angulo que abraza la correaexpresado en radianes.
f el coeficiente de friccion poleacorrea
S1 se toma como la fuerza mas grande de tensión del lado de la correa cargada, y S2 del ladode la correa floja.
sea f 0.4 α 153deg
entonces k ef α
2.91
S1 2.91 S2=
Por otro lado se tiene:
Por sumatoria de fuerzas estáticas se tendrá que la suma delas dos fuerzas da dos veces la fuerza media.
Por sumatoria de momentos, se tiene que la fuerza que ejerceel movimiento resulta de la resta de la mayor menos la menor.
reemplazando3.91S2 2 S0=
1.91 S2 F=
Finalmentedespejando sepuede obtener las
relacionesmostradas.
Para el presente caso la fuerza tangencial de la polea seria F.
Mt S1 S2 r 2=
FMt
R pol
F 700.35 N
S2 2F
1.91 S2 733.35N
F 1.91 S2
F 1400.71 N
S1 S2 F S1 2134.06 N
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Sumatoria de momentos en el eje "X",en el punto de la polea.
R ay 50 F2ry 93.5 R by 137 0=
sumatoria de fuerzas en "Y"
R ay R by F2ry F1ry 0=
de donde resolviendo:
R ay
R by
577.5
493.31
N
Realizando el mismo precedimeinto en el eje "Y"
Sumatoria de momentos en el eje "Y", en el punto de la polea.
R ax 50 F2tx 93.5 R bx 137 0=
sumatoria de fuerzas en "Y"
R ax R bx F2tx F1tx 0=
R ax
R bx
3836.41
623.86
N
La ecuación de momentos de todo el eje será:
Mx z( ) F1ry z R ay z 50mm( ) μ z 50mm( ) F2ry z 93.5mm( ) μ z 93.5mm( ) μ 137mm z( )
0 0.05 0.1 0.15 0.2
10
10
20
30
Mx z( )
z
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My z( ) F1tx z R ax z 50mm( ) μ z 50mm( ) F2tx z 93.5mm( ) μ z 93.5mm( ) μ 137mm z( )
0 0.05 0.1
100
50My z( )
z
0 0.05 0.1
150
100
50
50
traza 1
traza 2
GRAFICA DE MOMENTOS EN EL EJE
LONGITUD [m]
M O M E N T O S [ N * m ]
Mx z( )
My z( )
z
A manera de estudio se va a calcular primero la sección del diámetro 3, el apoyo del rodamientointermedio.
CALCULO DEL EJE SEGÚN NORMA DIN 44713
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EN LA SECCION 3
En la sección 3 se tiene dos situaciones:La primera antes de considerar la reacción Ra (a 42,5mm), cuyos factores de entalladura1.serán para un apoyo de hombros.Y la otra considerando la reacción Ra (a 57,5mm), en la cual el factor de entalladura es la de2.una endidura para anillo de sujeción.
Diámetro del eje en el apoyo de hombros z3 42.50mm
Estimación del diametro del eje:
Trabajando con material st60
σust60 60kgf
mm2
σust60 588.399 MPa Esfuerzo último
σyst60 37kgf
mm2
σyst60 362.846 MPa Esfuerzo admisible
asumiendo una tensión al corte de 0.57 σ badm
τadm σyst60 0.57 τadm 206.82 N
mm2
además el ESFUERZO ADMISIBLE EXPERIMENTAL, que sugiere Decker (E.M.pag. 233, tabla72) es:
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σ badm 80 N
mm2
a flexión
τadm 50 N
mm
2 a torsión
El momento máximo a flexión en ese punto será:
M3x Mx z3( ) 2117.29 N cm
M3y My z3( ) 8819.16 N cm
Mmax3 M3x( )2
M3y( )2
Mmax3 90.7 N m
Estimación a flexión del eje en el punto 3
df3
Mmax3
0.1 σ badm
1
3
df3 22.465 mm
Estimación a cortante por torsión
dt3
Mt
0.2 τadm
1
3
d
t3
16.882 mm
Se asume un diámetro mínimo de 25 mm con st60 de3 25mm
el modulo de sección para ese diámetro será:
w b3 0.1 de33
w b3 1.56 cm3
a flexión σ b
Mmax1
w b1
=
w3 0.2 de33
w3 3.13 cm3
a torsión
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Recalculo de la tensión de flexión
σ b
Mmax3
w b3
σ b 58.05 MPa
Tensión a la torsión
τMt
w3
τ 15.4 MPa
No se tiene fuerzas axiales solicitando al eje.Tensión a tracción σ 0
N
m2
Cálculo de la tensión equivalente
Se debe combinar todos los tipos de tensiones en una sola equivalente, así:
σv2 σ02
3 α02
τ2
=
σ0 σ σ b σ0 58.05 MPa
Luego debemos seleccionar el valor de 0 que es el factor de fatiga, en el cual si el eje tieneflexión alternativa y torsión permanente 0=0.4, si la torsión fuese pulsatoria 0=0.7, y el casomás crítico es cuando la torsión y la flexión son alternativos, entonces 0=1.0.
Para el presente caso de estudio, se considerará TORSION PULSATORIA.
α00.48
3a 1=if
1.47
3a 2=if
3
3a 3=if
α0 0.4
σv3 σ02
3 α02
τ2
σv3 59.02 MPa
NOTA.-
Cuando el eje gira a menos de 1000 rpm, no se considera que este entre en fatiga, por consiguiente se puede utilizar la tensión equivalente para obtener el diámetro definitivo del eje enesta sección.
dff3
Mmax3
0.1 σv3
1
3
dff = 24.862 mm > df3 22.46 mm
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Mismo criterio de evaluación se tendria si se hace la comparación siguiente:
la tensión equivalente (tensión solic itante) =< la resistencia admisible del material
σv3 59.02 MPa σ badm 80 MPa
CALCULO DE LA RESISTENCIA A LA FATIGA
La ecuación que verifica que el dimensionado del eje resiste a cargas cíclicas, se expresa de laforma:
σG
σw b0
βkb 1 R ( ) k σw=
σGEsfuerzo a la fatiga (esfuerzo solicitante)
σwResistencia a la fatiga del material
b0Coeficiente de acabado superficial
βkbCoeficiente de entalladura
R Grado de reposo del eje
k Factor para el límite de resistencia a la fatiga del material
Esta ecuación se puede interpretar como:
El esfuerzo a fatiga solicitante debe ser menor o igual a la resistencia a fatiga delmaterial multiplicado por su factor.
σG k σw
Se hace notar que el factor de limite de fatiga es proximo a 2, y el valor de resistencia ala fatiga del material es proximo a la mitad del esfuerzo último del material, con lo quese comprueba que todo diseño a fatiga se calcula a resistencia última del material y noasi respecto de su esfuerzo de fluencia como en losestudios de carga estática.
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Coeficiente de acabado superficial
Se puede obtener del grafico 189 (E.M. Decker, pag 236)
En el gráfico entramoscon el valor de la tensiónúltima del material (eje
de las abscisas), y eltipo de acabadosuperficial (eje de lasordenadas de laderecha). Tomamos lacurva que corresponda yvamos horizontalmentehasta los valores de laizquierda que son loscoeficientes de acabadosuperficial, en estecaso:
b0 0.95
Cálculo del coeficiente de entalladura
El coeficiente de entalladura esta determinado por el coeficiente de forma de entalladura, elcual se extrae de gráficas de coeficientes de entalladura, por ejemplo para apoyo de hombros,de las gráficas del texto de Decker:
βkbαkb
1 ρ χ =
Como se tenia el valor del diámetro deleje igual a 25mm, entonces el apoyode hombro podemos suponer tenga30mm.De la misma definición salta el valor dela altura t=2.5mm.Por fabricación y para evitar concentraciones de esfuerzoselevadas, se debe dar en fabricaciónun radio de curvatura en las esquinas,en este caso definimos este con r=1mm.
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t 2.5mm r1 1mm d 25mm D 30mm
d
D0.83
r1
t0.4
De forma análoga a la gráfica del acabado superficial, tomamos los valores de las abscisas ylas ordenadas de la derecha como ingreso.
αkb 2.4
Luego encontramos el valor de ρ "Ro" es el radio de entalladura más crítico para elmaterial.
de la tabla para ST60, con σu σB= 600 N
mm2
=
el radio de entalladura ρ 0.06mm
La caida de tensión por la entalladura: χ 2
de3
2
ρ
χ 33.41
1
mm
β
kb
αkb
1 ρ χ
0.99
El valor de la resistencia a la fatiga del material se toma de la misma tabla 73.
σw 270MPa por que: σust60 588.4 MPa
El grado de reposo " R"
El grado de reposo indica el tipo de movimiento al que esta sometido el eje, así:
R 0= Si el eje tiene flexión y torsión alternativas
R 0.5= Si el eje tiene flexión alternativa y torsión pulsatoria
R 0.25= Si el eje tiene flexión alternativa y torsión permanente
Para el presente caso: R 0.25
Factor límite de fatiga
Este valor modifica el valor limite de resistencia contra el cual se compara el esfuerzo a lafatiga obtenido (el esfuerzo solicitante).
k 2.1= si el eje tiene torsión y flexión.
k 1.6= si el eje solo tiene torsión
En el presente tramo: k 2.1
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Reemplazando
σG
σw b0
βkb 1 R ( ) 344.27 MPa k σw 567 MPa
el dimensionado es CORRECTO !!!
La seguridad contra rotura:
El valor de la seguridad contra rotura por fatiga nos da un valor que expresa cuantas veces latensión a la fatiga es superior a la tensión equivalente, o para entender mejor esta relación,ordenamos las expresiones:
σG k σw= además k σw ≈σu
entoncesSD
σu
σv=
Ahora si, podemos analizar cuantas veces superior es la Resistencia ultima del materialrespecto de la tensión solicitente máxima que esta representada por el esfuerzo equivalente.
SD 2 cuando el grado de reposo R=0...0.25
SD 1.7 cuando el grado de reposo R=0.25...0.75
SD 1.4 cuando el grado de reposo R=0.75...1.0
SD
σG
σv3
SD 5.83 1.7 esto cumple
Ahora se va a revisar el método de dimensionado según la normaASME
ESTIMACIÓN DE LA RESISTENCIA A FATIGA DEL MATERIAL DEL EJE
Se calcula la resistencia a la fatiga del material..
Se σust60 0.5 σust60 σust60 200ksiif
100ksi σust60 200ksiif
Se Se σust60 Se 294.2 MPa
PRESUNCIÓN DE LOS FACTORES DE CARGA QUE AFECTAN AL EJE
Para la obtención del diametro inicial todos los factores se consideran como 1,ya para el reclaculo se debe obtener los valores de cada uno de ellos.
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7.1 Factor de Carga
C1 1 flexiónif
0.7 axialif
=
C1 1
7.2 Factor de Tamaño
d 15mm
cc2 d 1
1mm
0.097
C2 d( ) 1 d 8mmif
1.189 cc2 8mm d 254mmif
0.6 d 254mmif
C2 C2 d( )
C2 0.91
7.3 Fac to r d e Su perf ic ie
C3 A Sut b
=
Que tipo de acabado superficial tiene el material
1.- Maquinado 2.- Rectificado 3.- Rolado en caliente 4.- Forjado
Escriba la respuesta (1,2,3 o 4)
resp 2
A 1.58 resp 1=if
4.51 resp 2=if
57.7 resp 3=if
272 resp 4=if
b 0.085 resp 1=if
0.265 resp 2=if
0.718 resp 3=if
0.995 resp 4=if
C3 A σust601
106Pa
b
C3 0.83
7.4 Factor deTemperatura
Temp 20cc4 1 0.0058
1
1 Temp 450( )
C4 1 Temp 450if
cc4 450 Temp 550if
C4 1
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7.5 Fac to r de Conf iab il idad
Escriba la confiabilidad que desea a su diseño (valores únicos a elegir)
50%, 90%, 99%, 99.9%, 99.99% y 99.999%
confia 99.00%
C5 1 confia 50%=if
0.897 confia 90%=if
0.814 confia 99%=if
0.753 confia 99.9%=if
0.702 confia 99.99%=if
0.659 confia 99.999%=if
C5 0.81
8. OBTENCIÓN DE LA TENSIÓN A LA FATIGA CORREGIDA
Sf C1 C2 C3 C4 C5 Se Sf 182.21 MPa
9. CÁLCULO DE LA SENSIBILIDAD A LAS MUESCAS Y LOS FACTORES DECONCENTRACIÓN
El factor de concentración de esfuerzos a la fatiga es:
K f 1 q K t 1 =
para ello encontramos el factor de concentración de esfuerzos
K t Akt
r kt
d
bkt
=
donde:
Akt 0.96689 r kt 1 d 15 bkt 0.15417
K t Akt
r kt
d
bkt
K t 1.47
además el valor de la sensibilidad a las muescas
q 1
1 Neuber
r kt
= σust60 85.34 ksi
Neuber 0.08
q 1
1 Neuber
r
kt
q 0.93
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K f 1 q K t 1 K f 1.43
Se puede utilizar los siguientes factores referenciales para diseñar:
Parachaveteros:
de perfil K tch1 2.0
de corredera K tch2 1.6
Chaflanes de hombros:
bordes cortantes K tbc 2.5
bordes redondeados K tbr 1.5
Aguj eros Pasantes:
K tap 3
10. SELECCIÓN DEL FACTOR DE SEGURIDAD
El factor de seguridad para diseño se puede elegir según el número correspondiente a loscriterios siguientes:
Materiales conocidos y cargas conocidas.1.Materiales y fuerzas medianamente conocidas.2.Materiales medianamente conocidos con fuerzas fluctuantes.3.
Materiales mediananmente conocidos con fuerzas de impacto.4.
Factor 2
Ns 2 Factor 1=if
2.5 Factor 2=if
3 Factor 3=if
5 Factor 4=if
Ns 2.5
11. CÁLCULO DE LOS DIÁMETROS ESTIMADOS
Momentos flectores alternantes y medios
Mmax Mmax3
Mmin
Mmax3
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Ma
Mmax Mmin
2
Mm
Mmax Mmin
2
Momentos torsores
Mtmax Mt
Mtmin Mt
Mta
Mtmax Mtmin
2
Mtm
Mtmax Mtmin
2
Los diámetros saldrán según la ecuación:
d3
32 Ns
π
K f Ma
Sf
2
0.75Mtmax
σyst60
2
1
3
d3 26.4 mm
Redondeando:
d31 30mm d31 30 mm
CALCULO DE LOS COJINETES DE DESLIZAMIENTO Y DE ELEMENTOSRODANTES
Obtención de las reacciones resultantes:
R a R ay2
R ax2
R a 3879.63 N
R b R by2
R bx2
R b 795.33N
CARGA SOBRE EL COJINETE
P R b P 795.33 N
COJINETES DE DESLIZAMIENTO
Holgura por diseñohol d31 d3 3.6 mm
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Por normalización en fabricación y recomendación de la norma, para un AJUSTE conholgura, pues debe circular el aceite, se toma el ajuste C11/h9, cuyos rangos se muestran acontinuación:
Para el eje único 52 μm 0.05 mmPara el agujero 60μm 0.06 mm
El rango de holgura entre estos es: 52 60( ) μm 0.112 mm
La velocidad del eje:
ω 77.491
s
La velocidad tangencial:
Vt π d31 ω Vt 7.3
m
s
La tolerancia diametral:cr
1mm
20.5 mm
La longitud del cojinete:
Debe ir desde long/d=1 hasta long/d=0.25 Long 0.5 d31 15 mm
Selección del número de Ocvick
Se recomienda para moteres de funcionamiento liviano y alta velocidad valores inferiores a 30
O N 15 nº Ocvick
La excentricidad por olgura:
ε 0.21394 0.38517 log O N 0.0008 O N 60
ε 0.7
La constante adimensional Ke:
K εε π
21 ε
2 16 ε2
1
2
4 1 ε2
2
K ε 2.47
Obtención de la viscos idad absoluta del aceite para la carga solicitada:
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νa
P cr 2
K ε Vt Long3
νa 3.27 Pa s
la holgura minima que requiere
hmin cr 1 ε( ) hmin 0.15 mm
por cuanto para fabricación cambia el ajuste, pudiendo darnos un A11/h11
eje 130 μm
agujero 300μm
La tolerancia d iametral: cr 430μm
20.22 mm
νa
P cr 2
K ε Vt Long3
νa 0.6 Pa s
la holgura minima que requiere
hmin cr 1 ε( ) hmin 0.06 mm
SELECCION DE COJINETES DE ELEMENTOS RODANTES
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Se determina el diámetro del eje, además de la carga estática a soportar, con esos valores seingresa a las tablas de rodamientos.
d31 30 mm F P 795.33 N
En la primera fila encontramos el rodamiento necesario: C 10.9kN
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La vida del rodamiento
L10C
F
3
1000000 rpm L10 2.57 109 rpm
con trabajo de 8 horas dia a 740rpm, estos deberan durar
tdias
L10
8 60 1
day740 rpm
tdias 7246.99 day
El eje tendra un ajuste de agujero un ico H7/r6
el agujero 8μm
el eje 12μm
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