mathematik 2 für ingenieure fourier- und laplace...
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Skriptum zur Vorlesung
Mathematik 2
für Ingenieure
Fourier- und Laplace-Transformation
Teil 3: Laplace-Transformation
Prof. Dr.-Ing. Norbert Höptner
(nach einer Vorlage von Prof. Dr.-Ing. Torsten Benkner)
Fachhochschule Pforzheim
FB2-Ingenieurwissenschaften, Elektrotechnik/Informationstechnik
Vorlesungsskript "Mathematik 2: Fourier- und Laplace-Transformation", Teil 3: Laplace-Transformation
Prof. Dr.-Ing. Norbert Höptner (nach einer Vorlage von Prof. Dr.-Ing. Torsten Benkner) 2
Inhalt
2. Fourier- und Laplace-Transformation
2.1 Fourier-Reihenentwicklung
2.1.1 Zielsetzung, Begründung und Vorgehensweise 2.1.2 Ableitung der reellen Fourierreihe 2.1.2.1 Reelle Fourierreihe mit Sinus- und Kosinusschwingungen 2.1.2.2 Vereinfachte Bestimmung der reellen Fourierkoeffizienten 2.1.2.3 Reelle Fourierreihe in Sinusform 2.1.2.4 Reelle Fourierreihe in Cosinusform 2.1.2.5 Anschauliche Darstellung der verschiedenen Formen der reellen Fourierreihe 2.1.3 Ableitung der komplexen Fourierreihe 2.1.4 Rechenbeispiel 2.1.5 Graphische Darstellung periodischer Zeitfunktionen im Frequenzbereich 2.1.5.1 Amplitudenspektrum 2.1.5.2 Amplitudenbetrags- und Phasenspektrum 2.1.5.3 Komplexe Darstellung Übungsblatt Fourierreihe
2.2 Fourier-Transformation
2.2.1 Herleitung des Fourier-Integrals 2.2.2 Rechenbeispiele 2.2.2.1 Rechteckimpuls 2.2.2.2 Zeitbegrenzte Cosinusschwingung 2.2.2.3 Delta-Impuls Übungsblatt Fourier-Transformation
2.3 Laplace-Transformation
2.3.1 Einführung 2.3.2 Rechenregeln der Laplace-Transformation 2.3.2.1 Linearitätssatz 2.3.2.2 Änlichkeitssatz 2.3.2.3 Verschiebungssatz 2.3.2.4 Dämpfungssatz 2.3.2.5 Differentiationssatz 2.3.3 Korrespondenztabelle 2.3.4 Beispiele 2.3.5 Periodische Funktionen 2.3.6 Laplace-Rücktransformation 2.3.7 Anwendungsbeispiele Übungsblatt Laplace-Transformation Ergänzungsaufgaben Fourier-Reihen und –Transformation / Lösungen Ergänzungsaufgaben zur Laplace-Transformation / Lösungen
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2.3 Laplace-Transformation
2.3.1 Einführung
Zweck: u.a. leichteres Lösen komplizierter Differentialgleichungen
Einsatz in E-Technik / Maschinenbau / Regelungstechnik ...
Differentialgleichung:
Vorgehensweise:
1. Die DGL (linear mit konstanten Koeffizienten, s. Kap. 1) wird mit Laplace-Transformation in eine algebraische Gleichung überführt.
2. Als Lösung dieser Gleichung erhält man die Bildfunktion Y(p) der gesuchten Original-funktion y(t).
3. Die gesuchte Lösung y(t) der DGL erhält man durch Rücktransformation der Bildfunktion Y(p). (Korrespondenztabellen, Partialbruchzerlegung, Reihenentwicklung, ...)
Vorteil: Rechenoperationen im Bildbereich meist leichter ausführbar!
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Definitionsgleichungen
Transformation: ( ) ( ){ }F p LT f t= F p f t e dtpt( ) ( )= −
∞
∫0
bzw. F(p) •ο f(t) (Korrespondenzschreibweise n. DIN 5487)
Inverse Transformation: ( ) ( ){ }f t LT F p= −1 f tj
F p e dppt
j
j
o
o
( ) ( )=− ∞
+ ∞
∫1
2πσ
σ
bzw. f(t) ο• F(p)
Laplace-Operator: p = σ + jω (Literatur auch s = p)
σ = reel, positiv ≡ Dämpfung
vgl. Fourier-Transformation (σ = 0)
Beispiel: Einheitssprung σ(t)
t
f(t)
0
1
F p f t e dt e dtp
ep p
pt pt pt( ) ( ) ( )= = =−
=−
− =−
∞
−
∞
−
∞
∫ ∫0 0 0
11 1
11
"Praxis": Transformation bzw. Rücktransformation mittels Korrespondenztabellen und Anwendung der Laplace-Rechenregeln (s.u.), evtl. passende algebraische Umformungen nötig.
( )f tt
t=
<
≥
0 0
1 0
;
;
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2.3.2 Rechenregeln der Laplace-Transformation
f(t) F(p) Transformation
f(t) °• F(p)
f tj
F p e dppt
j
j
o
o
( ) ( )=− ∞
+ ∞
∫1
2πσ
σ
(*)
F p f t e dtpt( ) ( )= −
∞
∫0
Linearitätssatz
a1f1(t) + a2f2(t)
a1F1(p) + a2F2(p)
Ähnlichkeitssatz
f(at) mit a > 0
1/a F(p/a)
Verschiebungssatz
f(t-τ) mit τ > 0
e-pτ F(p)
Dämpfungssatz
e-at f(t)
F(p+a)
1. Differentiation
f’(t)
pF(p) - f(+0) (**)
n. Differentiation
f(n)(t)
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
p F p p f p f
p f f
n n n
n n
− + − ′ + −
− ⋅ + − +
− −
− −
1 2
2 1
0 0
0 0K
Integrationssatz
f d
t
( )τ τ0
∫
1/p F(p)
Faltungssatz
( ) ( )f f t dt
1 2
0
τ τ τ−∫
F1(p) • F2(p)
Anfangswertsatz ( )limt
x t→0
( )( )limp
pF p→∞
Endwertsatz ( )limt
x t→∞
( )( )limp
pF p→0
(*): Rücktransformation besser mit Partialbruchzerlegung bzw. Reihenentwicklung von F(p) und Korrespondenztafel
(**): t → +0, da linksseitiger Grenzwert null
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2.3.2.1 Linearitätssatz
f(t) = a1f1(t) + a2f2(t)
( ) ( ){ } ( ) ( )( )
( ) ( )
( ){ } ( ){ }
LT a f t a f t a f t a f t e dt
a f t e dt a f t e dt
a LT f t a LT f t
pt
pt pt
1 1 2 2 1 1 2 2
0
1 1
0
2 2
0
1 1 2 2
+ = + ⋅
= ⋅ + ⋅
= ⋅ + ⋅
∞
−
−
∞
−
∞
∫
∫ ∫
⇒ ( ) ( ){ } ( ){ } ( ){ }LT a f t a f t a LT f t a LT f t1 1 2 2 1 1 2 2+ = ⋅ + ⋅
2.3.2.2 Ähnlichkeitssatz
( ){ } ( )LT f at f at e dtpt= ⋅ −
∞
∫0
Substitution: u=at → dt = 1/a du
→ ( ){ } ( )LT f ata
f u e dupu a= ⋅ −
∞
∫1
0
/
⇒ ( ){ }LT f ata
Fp
a= ⋅
1
2.3.2.3 Verschiebungssatz
f(t<0) = 0
τ ≥ 0
f(t) f(t-τ)
τ
t
f
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( ){ } ( )LT f t f t e dtpt− = − ⋅ −
∞
∫τ ττ
Substitution: u=t-τ → dt = du
( ){ } ( ) ( ) ( )LT f t f u e du e f u e dup u p pu− = ⋅ = ⋅ ⋅− +
∞
− −
∞
∫ ∫τ τ τ
0 0
⇒ ( ){ } ( )LT f t e F pp− = ⋅−τ τ
2.3.2.4 Dämpfungssatz
( ){ } ( ) ( ) ( ) ( )LT e f t f t e e dt f t e dt f t e dt mit p p aat at pt p a t p t− − −
∞
− +
∞
−
∞
⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ = +∫ ∫ ∫0 0 0
' '
⇒ ( ){ } ( )LT e f t F p aat− ⋅ = +
2.3.2.5 Differentiationssatz
( ){ }LT f tdf
dte dtpt& = ⋅ −
∞
∫0
Int.regel: u dv u v v du⋅ = ⋅ − ⋅∫ ∫
setze dvdf
dtdt= ⋅ u. u e pt= −
( )v f t du p e dtpt= = − ⋅ −
→ ( ){ } ( ) ( )LT f t f t e p f t e dtpt pt& = + ⋅− ∞ −
∞
∫00
( ){ } ( ) ( )LT f t f t e p F ppt& = + ⋅− ∞
0
⇒ ( ){ } ( ) ( )LT f t f p F p& = − + ⋅0
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( ){ } ( )LT f t f t e dtpt&& &&= ⋅ −
∞
∫0
setze dv f dt= ⋅&& u. u e pt= −
( )v f t du p e dtpt= = − ⋅ −&
→ ( ){ } ( ) ( )LT f t f t e p f t e dtpt pt&& & &= + ⋅− ∞ −
∞
∫00
( ){ }tfLTp &⋅
( ) ( ) ( )[ ]= − + ⋅ − +&f p f pF p0 0
( ) ( ) ( )= − − ⋅ +&f p f p F p0 0 2
bisher: ( ){ } ( )LT f t F p=
( )
( ) ( )LTdf t
dtp F p f
= ⋅ − 0
( )( ) ( ) ( )LT
d f t
dtp F p p f f
2
22 0 0
= ⋅ − ⋅ − &
analoges Weiterführen der Rechnung führt auf:
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )LTd f t
dtp F p p f p f p f f
n
nn n n n n
= − − ′ − − ⋅ −− − − −1 2 2 10 0 0 0K
sind sämtliche Anfangsbedingungen f(i)(0) ∀ i=0...(n-1) gleich Null, so folgt:
( ) ( ){ } ( )LT f t p F pn n= ⋅
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2.3.3 Korrespondenztabelle
Nr. F(p) f(t)
1 1 ( )δ t
t
t=
∞ =
≠
;
;
0
0 0 "Delta-Impuls"
2 1
p ( )σ t
t
t=
≥
<
1 0
0 0
;
; "Einheitssprung"
3 1
pn ( )
t
n
n−
−
1
1 !
4 1
p a+
e at−
5
( )1
p p a⋅ + ( )
11
ae at⋅ − −
6 p
p2 2+ ω
cos(ωt)
7 ω
ωp2 2+
sin(ωt)
8
( ) ( )1
p a p b+ ⋅ +
e e
a b
bt at− −−
−
9
( )1
0p a
nn+
>; ( )
t
ne
nat
−
−
−⋅
1
1 !
10
( )1
p p an
⋅ + ( )1
10
1
a
at
ien
i
i
nat−
⋅
=
−
−∑!
11
(*)
1
22 2p ap b+ + [ ]
( ) 1sin1
12
121
<⋅⋅
>=−
− Dfürte
b
aDfüree
w
at
tptp
ωω
12
(*)
p
p ap b2 22+ + [ ]
( ) ( ) 1sincos
12
121
21
<
−⋅
>=−
− Dfürta
te
b
aDfürepep
w
at
tptp
ωω
ω
13
(*) ( )1
22 2p p ap b⋅ + +
( ) ( )
1
21
2 21
11 0 1
22 1
2
1 2
b
p
we
p
we für D
a
b
bt
at e für D
p t p t
at
+ −
= >
⋅ − −
⋅
< <−cos sinω
ωω
(*) Abkürzungen: w a b b a= − = −2 2 2 2; ω ; p a w a j1 2, = − ± = − ± ω
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Herleitung einiger Korrespondenzen
Nr. 4: Dämpfungssatz mit f(t) = σ(t) = 1 f. t>0 (Einheitssprung)
( ){ } ( )LT t F pp
σ = =1
(s.o., Beispiel zum Einheitssprung)
( ){ } ( )LT e t F p ap a
at− = + =+
σ1
Nr. 5: ( ) ( ) ( )f ta
e tat= ⋅ − ⋅−1
1 σ
( ) ( ) ( ){ } ( ){ }{ }
( ) ( )
LTa
e ta
LT t LT e t
a p p a a
a
p p a p p a
at at11
1
1 1 1 1 1
− ⋅
= −
= −+
= ⋅⋅ +
=⋅ +
− −σ σ σ
Nr. 6: ( ) ( ) ( )f t t t= cos ω σ
→ ( ) ( ) ( )f t e e tj t j t= ⋅ + ⋅−1
2ω ω σ
→
( ){ } { } { }[ ]LT t LT e LT e
p j p j
p
p
j t j tcos ω
ω ω
ω
ω ω= ⋅ +
= ⋅−
++
= ⋅+
−1
2
1
2
1 1
1
2
22 2
⇒ ( ){ }LT tp
pcos ω
ω=
+2 2
f
1/a
t
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Nr. 3: für n = 2 → "Rampenfunktion"
( ){ }LT t t t e dtptσ = ⋅ −
∞
∫0
Int.regel: u dv u v v du⋅ = ⋅ − ⋅∫ ∫
setze dv e dtpt= ⋅− u. u t=
ve
pdu dt
pt
= − =
−
→ ( ){ }LT t tt e
p
e
pdt
pt pt
σ = −⋅
+
− ∞ −∞
∫0 0
( )lim lim lim't
pt
tpt
L Hospital tptt e
t
e pe→∞
−
→∞ →∞⋅ = = =
10
→ ( ){ }LT t te
p p
pt
σ = − =
− ∞
2
0
2
1
Übungsaufgabe: Bitte leiten Sie die allgemeine Form für n her!
(Tip: sukzessive Anwendung der Integrationsregel (u,v), vgl. Herleitung des Differentiationssatzes)
( ) ( )f t t t= ⋅σ f(t)
t
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2.3.4 Beispiele
2.3.4.1 Verzögerter Sprung
t
f(t)
0
A
To
a) Lösung mit Laplace-Integral (lt. Definition):
( ){ } ( )LT f t f t e dt A e dtA
pe
A
pept pt
T
pt
T
pT= ⋅ = ⋅ ⋅ = − ⋅ = − + ⋅−
∞
−
∞
−
∞
−∫ ∫0
1 00 0
0
( ){ }LT A t TA
pe pTσ − = ⋅ −
00
b) Lösung mit Rechenregeln / Korrespondenztabelle:
σ(t) ο• 1/p (Korr.tab. Nr. 2)
f(t-T) ο• e-pT F(p) (Verschiebungssatz)
A f(t) ο• A F(p) (Lin.satz mit f2 = 0)
⇒ ( ){ } 0
0pTe
p
ATtALT −⋅=−σ
( )f tA t T
t T=
≥
<
;
;0
00
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2.3.4.2 Exponentialfunktion
f(t) = eat a = bel. komplexe Zahl
( )
F p e e dt e dta p
e
a pe
a p p afür a p
at pt a p t a p t
t
a p t
( )
lim Re
( ) ( )
( )
= = =−
−−
−=
−− <
−
∞
−
∞
−
∞
→∞
−
∫ ∫0 0 0
1
1 1 10
Übung: leiten Sie bitte das Ergebnis mit Hilfe d. Korrespondenztabelle her!
2.3.4.3 Potenzfunktion
f(t) = t2
F p t e dt et
p
t
p pe
t
p
t
p p
et
p
t
p p p p
pt
Bronstein
pt pt
t
pt
da e stär als tpt
( )²
( )² ( )³
²
² ³
lim²
² ³ ³ ³
, ' ker' ²
= =−
−−
+−
= − − −
= − − −
+ =
−
∞
−
∞
−
∞
→∞
−
→
∫
−
2
0 0 0
0
2 2 2 2
2 2 2 2
1 2444 3444
vgl. Korrespondenztabelle
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2.3.5 Periodische Funktionen
Transformierte einer periodischen Funktion f(t) mit Periodendauer T
Definition einer periodischen Fkt.: f(t-kT) = f(t)
F pe
f t e dtpT
Periodizität
pt
T
( ) ( )=− −
−∫1
10124 34
mit f(t < 0) = 0
vgl. nicht periodische Funktion: F p f t e dtpt( ) ( )= −
∞
∫0
Beispiel: Rechtecksignal
f tt T
T t T( )
/
/=
< <
< <
1 0 2
0 2
f(t)
tT0 T/2
1
( )( )
( )( )
( )
F pe
e dt e dte p
e
e pe
e
e p
e
e e p
p e e p
pTpt
T
pt
T
T
pTpt
T
pTpT
pT
pT
a a a
pT
pT pT
pT pT
( )/
/
/
//
/
( ²) ( )( )
/
/ /
/ /
=−
+
=
−
−
=−
⋅−
− =−
−
−
− +
=+
=+
⋅
−
− −
−
−
−
−
−
−
− = − +
−
− −
− −
∫ ∫
=
1
11 0
1
1
1
1
1
11
1
1
1
1 1
1
1
1
1
1
0
2
2 0
2
22
2 2
1 1 1
2
2 2
2 2
f(t)
T t
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2.3.6 Laplace-Rücktransformation
( ){ } ( ) ( )LT F p f tj
F p e dppt− = = ⋅ ⋅∫1 1
2π
Integration um alle (i.A. komplexen) Pole von F(p)
z.B. f tj
F p e dppt
j
j
o
o
( ) ( )=− ∞
+ ∞
∫1
2πσ
σ
Integration oft "schwer" durchzuführen ⇒ Praxis: Korrespondenztabelle
Beispiel:
F pp
p p( )
²=
+
+ +
5
2 10
umformen: p
p p
p
p
p
p p
+
+ +=
+
+ +=
+
+ ++
+ +
5
2 10
5
1 9
1
1 3²
4
3
3
1 3²² ( )² ( )² ( )²
Korrespondenzen aus Tabelle:
cos(ωt) °• p
p² ²+ω mit p = p + 1 → ω = 3
sin(ωt) °• ω
ωp² ²+ mit p = p + 1 → ω = 3
Dämpfungssatz e-at f(t) °• F(p+a)
hier: p = p + 1 → a = 1
→ f(t) = [cos(3t) + 4/3 sin(3t)]e-t
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2.3.6.1 Partialbruchzerlegung
sehr hilfreich, um gebrochen rationale Funktionen F(p) mittels Korrespondenztabelle rückzu-transformieren
auch hilfreich bei Integration
gebr. rat. Funktion wird in Summe von kleineren Brüchen umgeformt
allgemein: f xZ x
N x
a x a x a
x b x bn
no
mo
( )( )
( )
...
...= =
+ + +
+ + +
1
1
mit n < m ; m, n ∈ N ; ai, bi ∈ R ; an ≠ 0 (bm = 1 durch Kürzen)
Prinzip (zunächst rückwärts)
3
2
2
5
3 5 2 2
2 5
5 11
3 10x x
x x
x x
x
x x−+
+=
+ + −
− +=
+
+ −
( ) ( )
( )( ) ²
<-------------- Partialbruchzerlegung
Ziel: Faktorzerlegung Nenner N(x) = (x - x1)(x - x2) (bei quadratischem Nenner)
Bem.: Partialbruchzerlegung grundsätzlich immer möglich!
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Vorgehensweise: f xZ x
N x( )
( )
( )=
1. Bestimme Nullstellen des Nennerpolynoms N(x)
2. Jeder Nullstelle wird ein Partialbruch zugeordnet. Ansatz:
a) x1 einfache reelle Nullstelle → A
x xpb x
−=
1
( )
b) x1 zweifache reelle Nullstelle → A
x x
A
x xpb x1
1
2
1−+
−=
( )²( )
c) x1 r-fache reelle Nullstelle → A
x x
A
x x
Ar
x x rpb x
1
1
2
1 1−
+−
+ +−
=( )²
...( )
( )
d) komplexe Nullstellen relativ kompliziert
Ai unbekannt = zu bestimmende Konstanten
3. f x pb xii
N
( ) ( )==
∑1
mit N: Anzahl der Nullstellen des Nennerpolynoms
4. Bestimmung der Konstanten Ai :
• alle Brüche auf Hauptnenner bringen
• ‘geeignete’ x-Werte einsetzen, z.B. Nennernullstellen,
• ergibt Lineares Gleichungssystem
• Lösung des LG mit Gauß oder Koeffizientenvergleich
Anm.: f(x) mit Nennerpolynomen der Form N(x) = (x2 + ax + q)r können auch d. den Ansatz
( )( ) ( )
f xB x C
x ax q
B x C
x ax q
B x C
x ax q
r rr=
+
+ ++
+
+ ++ +
+
+ +
1 12
2 2
2 2 2K zerlegt werden.
Bestimmung der Bi, Ci über z.B. Koeffizientenvergleich.
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2.3.6.2 Beispiele zur Partialbruchzerlegung
a) einfache Nullstellen f xx
x x
Z x
N x( )
²
( )
( )=
+
+ −=
5 11
3 10
1. Bestimme Nullstellen
N(x) = x² + 3x - 10 = 0
→ x1 2
3 9 40
2
3 7
2/ =− ± +
=− ±
→ x1 = +2 x2 = -5
→ N(x) = (x-2)(x+5)
Probe: x² - 2x + 5x - 10 = x² + 3x - 10 3
2. Zuordnung Partialbruch
x1 = +2 : pb xA
x x
A
x11 2
( ) =−
=−
x2 = -5 : pb xB
x2 5( ) =
+
3. Partialbrüche f x pb xA
x
B
xii
( ) ( )= =−
++=
∑1
2
2 5
4. Bestimmung der Konstanten
f xA x B x
x x
Ax A Bx B
x x
x
x x
A B x A B x
( )( ) ( )
( )( ) ² ²
( ) ( ) (*)
!
!
=+ + −
− +=
+ + −
+ −
+
+ −
→ + + − = +
=5 2
2 5
5 2
3 10
5 11
3 10
5 2 5 11
Vorlesungsskript "Mathematik 2: Fourier- und Laplace-Transformation", Teil 3: Laplace-Transformation
Prof. Dr.-Ing. Norbert Höptner (nach einer Vorlage von Prof. Dr.-Ing. Torsten Benkner) 18
Methode 1: Koeffizientenvergleich mit (*)
A + B = 5 (i)
5A - 2B = 11 (ii)
→ A = 5 - B (i’)
(i’) in (ii) : 5(5-B) - 2B = 11
25 - 5B - 2B = 11
-7B = -14
→ B = 2
→ A = 3
→ 5 11
3 10
3
2
2
5
x
x x x x
+
+ −=
−+
+²
Methode 2: ‘geeignete’ x-Werte einsetzen
x kann beliebig sein, z.B. Nullstellen von N(x)
mit (*):
x1 = 2 : (A+B)2 + (5A-2B) = 10 + 11
2A + 2B + 5A - 2B = 21
7A = 21
→ A = 3 s.o.
x2 = -5 : (A+B)(-5) + (5A-2B) = -25 + 11
-5A - 5B + 5A - 2B = -14
→ B = 2 s.o.
z.B. Anwendung Integration:
5 11
3 10
3
2
2
53 2 2 5
x
x xdx
x xdx x x
+
+ −=
−+
+
= − + +∫ ∫²
ln ln
Übung: − −
− −=
+−
−
x
x x x x
9
2 24
1
2 4
3
2 6² ( ) ( )
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Prof. Dr.-Ing. Norbert Höptner (nach einer Vorlage von Prof. Dr.-Ing. Torsten Benkner) 19
b) zweifache Nullstellen f xx
x x
Z x
N x( )
²
( )
( )=
−
− +=
5
6 9
1. Bestimme Nullstellen
N(x) = x² - 6x + 9 = 0
→ x1 2
6 36 36
23/ =
+ ± −= → x1 = x2 = 3
→ N(x) = (x-3)2
2. Zuordnung Partialbruch
x1 = x2 = 3 : pb xA
x
A
x( )
( )²=
−+
−
1 2
3 3
3. Partialbrüche ( )f x pb xA
x
A
x( )
( )²= =
−+
−
1 2
3 3
4. Bestimmung der Konstanten
f xA x A
xA x A A x( )
( )
( )²(*)
!
=− +
−→ − + = −
1 21 1 2
3
33 5
Methode 1: Koeffizientenvgl. mit (*)
→ A1 = 1 → 3 . 1 - A2 = 5 → A2 = -2
→ f xx
x x x x( )
² ( )²=
−
− +=
−−
−
5
6 9
1
3
2
3
Methode 2: ‘geeignete’ x-Werte
mit (*)
x1 = 3 : 3A1 - 3A1 + A2 = 3 - 5 → A2 = -2 s.o.
A1: A1x - 3A1 - 2 = x - 5
A1(x - 3) = x - 3 → A1 = 1 s.o.
Übung: 15 26 5
3 4
4
1
11
2
1
2
x x
x x x x x
²
³ ² ( ) ( )²
+ −
+ −=
−+
+−
+
Vorlesungsskript "Mathematik 2: Fourier- und Laplace-Transformation", Teil 3: Laplace-Transformation
Prof. Dr.-Ing. Norbert Höptner (nach einer Vorlage von Prof. Dr.-Ing. Torsten Benkner) 20
2.3.7 Anwendungsbeispiele
2.3.7.1 Differentialgleichung erster Ordnung
Ein Körper bewegt sich mit der Anfangsgeschwindigkeit v0 horizontal in einer reibungsbehaf-
teten Flüssigkeit:
&vk
mv+ = 0 Anfangsbedingung: v(t=0) = vo
mathematisch: y’ + a y = 0 mit a = k/m Anfangsbed.: y(x=0) = yo
1. Laplace-Transformation
aus Rechenregeln: p F(p) - y(0) + a F(p) = 0
2. Lösen im Bildbereich
F(p) (p + a) = y(0) (Anfangsbed. bereits berücksichtigt!)
→ =+
F p yp a
( ) ( )01
3. Rücktransformation
aus Korrespondenztabelle (Nr. 4) e-at °• 1/p+a
→ y = y(0) e-at
physikalische Größen:
v = vo e-(k/m)t
v
t
vo
k/m
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2.3.7.2 Differentialgleichung 2. Ordnung
RLC in Reihenschaltung mit plötzlich angelegter äußerer
Spannung U0 (σ - Impuls, Einheitssprung)
&& & & ( )IR
LI
C LI
LU
LU to+ + = ⋅ =
1 1 1δ
Anfangsbedingung: ( ) ( ) 00;00 == II &
L
C
R
Uo
mathematisch: y’’ + d y’ + ωωωωo²y = bo δδδδ(t) Anf.bed.: y(x=0) = y’(0) = 0
mit y = I ; d = R/L ; ω02 = 1/LC ; b0 = U0/L
1. Laplace-Transformation
aus Rechenregeln:
p² F(p) - p y(0) - y’(0) + d p F(p) - d y(0) + ωωωωo² F(p) = bo 1
2. Lösen im Bildbereich
mit Anf.bed.: p² F(p) + d p F(p) + ωo² F(p) = bo 1
→ F(p) {p² + dp + ωo²} = bo
→ F pb
p d po
o
( )²
=+ ⋅ +ω 2
auch hier 3 Fälle im Nenner! (vgl. Kap. 1.3.6)
im weiteren: gedämpfter Schwingfall angenommen
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3. Rücktransformation
Korrespondenztabelle Nr. 11:
•ο
1
22 2p ap b+ + [ ]
( ) 1sin1
12
121
<⋅⋅
>=−
− Dfürte
b
aDfüree
w
at
tptp
ωω
hier: 2a = d ; b = ω0 gedämpfte Schwingung: 122 0
<==L
CRdD
ω
→ ( ) ( )f tb
e tat= ⋅ ⋅−0
ωωsin mit ω ω= − = −
0
2 2
21
2a
LC
R
L
physikalische Größen: ( )I tU
Le to
R
Lt
( ) sin=−
ωω2