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Mathématiques pour la mécanique de la rupturesingularités, analyse asymptotique, calcul numérique
Grégory Vial
Institut Camille Jordan, École Centrale de Lyon
Colloque Inter’actions 2016
ENS Lyon, 23–27 mai 2016
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Mathématiques pour la mécanique de la ruptureContexte
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Mathématiques pour la mécanique de la ruptureContexte
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Mathématiques pour la mécanique de la ruptureContexte
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Mathématiques pour la mécanique de la ruptureContexte
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Mathématiques pour la mécanique de la ruptureQuestions liées à la propagation des fissures
I Problématique
I Initiation de la fissuration.I Propagation de la fissure.
I Autour de l’initiation de la fissuration
I Sous quelle condition ?I À quel endroit ?
I Autour de la propagation de la fissure
I Quel parcours ?I Quelle vitesse ?
I Problématique commune : critère de fissuration en rupture fragile.
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Mathématiques pour la mécanique de la ruptureQuestions liées à la propagation des fissures
I Problématique
I Initiation de la fissuration.I Propagation de la fissure.
I Autour de l’initiation de la fissuration
I Sous quelle condition ?I À quel endroit ?
I Autour de la propagation de la fissure
I Quel parcours ?I Quelle vitesse ?
I Problématique commune : critère de fissuration en rupture fragile.
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Mathématiques pour la mécanique de la ruptureQuestions liées à la propagation des fissures
I Problématique
I Initiation de la fissuration.
I Propagation de la fissure.
I Autour de l’initiation de la fissuration
I Sous quelle condition ?I À quel endroit ?
I Autour de la propagation de la fissure
I Quel parcours ?I Quelle vitesse ?
I Problématique commune : critère de fissuration en rupture fragile.
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Mathématiques pour la mécanique de la ruptureQuestions liées à la propagation des fissures
I Problématique
I Initiation de la fissuration.I Propagation de la fissure.
I Autour de l’initiation de la fissuration
I Sous quelle condition ?I À quel endroit ?
I Autour de la propagation de la fissure
I Quel parcours ?I Quelle vitesse ?
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Mathématiques pour la mécanique de la ruptureQuestions liées à la propagation des fissures
I Problématique
I Initiation de la fissuration.I Propagation de la fissure.
I Autour de l’initiation de la fissuration
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I Problématique
I Initiation de la fissuration.I Propagation de la fissure.
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I Initiation de la fissuration.I Propagation de la fissure.
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I Initiation de la fissuration.I Propagation de la fissure.
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I Initiation de la fissuration.I Propagation de la fissure.
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I Problématique
I Initiation de la fissuration.I Propagation de la fissure.
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I Problématique
I Initiation de la fissuration.I Propagation de la fissure.
I Autour de l’initiation de la fissuration
I Sous quelle condition ?I À quel endroit ?
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I Quel parcours ?I Quelle vitesse ?
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Mathématiques pour la mécanique de la ruptureQuelques mots de la théorie de Griffith (1920)
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•!(t)
I Géométrie de la fissuration connue
I Γ : courbe où se développe la fissure.
I `(t) : longueur de la fissure au temps t .
I Cadre énergétique
I Énergie potentielle W (`) du matériau avec fissure `.I P(t , `) = t2W (`) : énergie potentielle du matériau à t .I Taux de restitution d’énergie potentielle : G(t , `) = −t2W ′(`).
I Axiomes
I Irréversibilité : `′(t) ≥ 0.I Stabilité : G(t , `(t)) ≤ k .I Activation : [G(t , `(t))− k]`′(t) = 0.
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Mathématiques pour la mécanique de la ruptureQuelques mots de la théorie de Griffith (1920)
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I Géométrie de la fissuration connue
I Γ : courbe où se développe la fissure.
I `(t) : longueur de la fissure au temps t .
I Cadre énergétique
I Énergie potentielle W (`) du matériau avec fissure `.I P(t , `) = t2W (`) : énergie potentielle du matériau à t .I Taux de restitution d’énergie potentielle : G(t , `) = −t2W ′(`).
I Axiomes
I Irréversibilité : `′(t) ≥ 0.I Stabilité : G(t , `(t)) ≤ k .I Activation : [G(t , `(t))− k]`′(t) = 0.
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Mathématiques pour la mécanique de la ruptureQuelques mots de la théorie de Griffith (1920)
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I Géométrie de la fissuration connue
I Γ : courbe où se développe la fissure.
I `(t) : longueur de la fissure au temps t .
I Cadre énergétique
I Énergie potentielle W (`) du matériau avec fissure `.I P(t , `) = t2W (`) : énergie potentielle du matériau à t .I Taux de restitution d’énergie potentielle : G(t , `) = −t2W ′(`).
I Axiomes
I Irréversibilité : `′(t) ≥ 0.I Stabilité : G(t , `(t)) ≤ k .I Activation : [G(t , `(t))− k]`′(t) = 0.
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I Géométrie de la fissuration connue
I Γ : courbe où se développe la fissure.
I `(t) : longueur de la fissure au temps t .
I Cadre énergétiqueI Énergie potentielle W (`) du matériau avec fissure `.
I P(t , `) = t2W (`) : énergie potentielle du matériau à t .I Taux de restitution d’énergie potentielle : G(t , `) = −t2W ′(`).
I Axiomes
I Irréversibilité : `′(t) ≥ 0.I Stabilité : G(t , `(t)) ≤ k .I Activation : [G(t , `(t))− k]`′(t) = 0.
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I Géométrie de la fissuration connue
I Γ : courbe où se développe la fissure.
I `(t) : longueur de la fissure au temps t .
I Cadre énergétiqueI Énergie potentielle W (`) du matériau avec fissure `.I P(t , `) = t2W (`) : énergie potentielle du matériau à t .
I Taux de restitution d’énergie potentielle : G(t , `) = −t2W ′(`).
I Axiomes
I Irréversibilité : `′(t) ≥ 0.I Stabilité : G(t , `(t)) ≤ k .I Activation : [G(t , `(t))− k]`′(t) = 0.
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I Géométrie de la fissuration connue
I Γ : courbe où se développe la fissure.
I `(t) : longueur de la fissure au temps t .
I Cadre énergétiqueI Énergie potentielle W (`) du matériau avec fissure `.I P(t , `) = t2W (`) : énergie potentielle du matériau à t .I Taux de restitution d’énergie potentielle : G(t , `) = −t2W ′(`).
I Axiomes
I Irréversibilité : `′(t) ≥ 0.I Stabilité : G(t , `(t)) ≤ k .I Activation : [G(t , `(t))− k]`′(t) = 0.
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I Géométrie de la fissuration connue
I Γ : courbe où se développe la fissure.
I `(t) : longueur de la fissure au temps t .
I Cadre énergétiqueI Énergie potentielle W (`) du matériau avec fissure `.I P(t , `) = t2W (`) : énergie potentielle du matériau à t .I Taux de restitution d’énergie potentielle : G(t , `) = −t2W ′(`).
I Axiomes
I Irréversibilité : `′(t) ≥ 0.I Stabilité : G(t , `(t)) ≤ k .I Activation : [G(t , `(t))− k]`′(t) = 0.
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Mathématiques pour la mécanique de la ruptureQuelques mots de la théorie de Griffith (1920)
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I Géométrie de la fissuration connue
I Γ : courbe où se développe la fissure.
I `(t) : longueur de la fissure au temps t .
I Cadre énergétiqueI Énergie potentielle W (`) du matériau avec fissure `.I P(t , `) = t2W (`) : énergie potentielle du matériau à t .I Taux de restitution d’énergie potentielle : G(t , `) = −t2W ′(`).
I AxiomesI Irréversibilité : `′(t) ≥ 0.
I Stabilité : G(t , `(t)) ≤ k .I Activation : [G(t , `(t))− k]`′(t) = 0.
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I Géométrie de la fissuration connue
I Γ : courbe où se développe la fissure.
I `(t) : longueur de la fissure au temps t .
I Cadre énergétiqueI Énergie potentielle W (`) du matériau avec fissure `.I P(t , `) = t2W (`) : énergie potentielle du matériau à t .I Taux de restitution d’énergie potentielle : G(t , `) = −t2W ′(`).
I AxiomesI Irréversibilité : `′(t) ≥ 0.I Stabilité : G(t , `(t)) ≤ k .
I Activation : [G(t , `(t))− k]`′(t) = 0.
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Mathématiques pour la mécanique de la ruptureQuelques mots de la théorie de Griffith (1920)
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I Géométrie de la fissuration connue
I Γ : courbe où se développe la fissure.
I `(t) : longueur de la fissure au temps t .
I Cadre énergétiqueI Énergie potentielle W (`) du matériau avec fissure `.I P(t , `) = t2W (`) : énergie potentielle du matériau à t .I Taux de restitution d’énergie potentielle : G(t , `) = −t2W ′(`).
I AxiomesI Irréversibilité : `′(t) ≥ 0.I Stabilité : G(t , `(t)) ≤ k .I Activation : [G(t , `(t))− k]`′(t) = 0.
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Mathématiques pour la mécanique de la ruptureQuelques mots de la théorie de Griffith (1920)
I Résumé : `(t) ∈ [0, L].I P(t , `) = t2W (`) et G(t , `) = −t2W ′(`).I Irréversibilité : `′(t) ≥ 0.I Stabilité : G(t , `(t)) ≤ k .I Activation : [G(t , `(t))− k]`′(t) = 0.
Théorème. Si W ∈ C 2 est strictement convexe, il existe T > 0 et` ∈ C 1([0, T ]) unique solution.
Preuve. On pose ϕt (`) = P(t , `) + k` ; donc ϕ′t (`) = t2W ′(`) + k .
On pose t0 =√−k/W ′(0) et T =
√−k/W ′(L).
I Si t ≤ t0, `∗t = 0 minimise ϕt .
I Si t0 < t < T , ∃!`∗t minimisant ϕt .
I Si t = T , `∗T = L minimise ϕt .
On voit que `(t) = `∗t satisfait les axiomes. Il y a unicité.
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Mathématiques pour la mécanique de la ruptureQuelques mots de la théorie de Griffith (1920)
I Résumé : `(t) ∈ [0, L].I P(t , `) = t2W (`) et G(t , `) = −t2W ′(`).I Irréversibilité : `′(t) ≥ 0.I Stabilité : G(t , `(t)) ≤ k .I Activation : [G(t , `(t))− k]`′(t) = 0.
Théorème. Si W ∈ C 2 est strictement convexe, il existe T > 0 et` ∈ C 1([0, T ]) unique solution.
Preuve. On pose ϕt (`) = P(t , `) + k` ; donc ϕ′t (`) = t2W ′(`) + k .
On pose t0 =√−k/W ′(0) et T =
√−k/W ′(L).
I Si t ≤ t0, `∗t = 0 minimise ϕt .
I Si t0 < t < T , ∃!`∗t minimisant ϕt .
I Si t = T , `∗T = L minimise ϕt .
On voit que `(t) = `∗t satisfait les axiomes. Il y a unicité.
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Mathématiques pour la mécanique de la ruptureQuelques mots de la théorie de Griffith (1920)
I Résumé : `(t) ∈ [0, L].I P(t , `) = t2W (`) et G(t , `) = −t2W ′(`).I Irréversibilité : `′(t) ≥ 0.I Stabilité : G(t , `(t)) ≤ k .I Activation : [G(t , `(t))− k]`′(t) = 0.
Théorème. Si W ∈ C 2 est strictement convexe, il existe T > 0 et` ∈ C 1([0, T ]) unique solution.
Preuve. On pose ϕt (`) = P(t , `) + k` ; donc ϕ′t (`) = t2W ′(`) + k .
On pose t0 =√−k/W ′(0) et T =
√−k/W ′(L).
I Si t ≤ t0, `∗t = 0 minimise ϕt .
I Si t0 < t < T , ∃!`∗t minimisant ϕt .
I Si t = T , `∗T = L minimise ϕt .
On voit que `(t) = `∗t satisfait les axiomes. Il y a unicité.
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Mathématiques pour la mécanique de la ruptureQuelques mots de la théorie de Griffith (1920)
I Résumé : `(t) ∈ [0, L].I P(t , `) = t2W (`) et G(t , `) = −t2W ′(`).I Irréversibilité : `′(t) ≥ 0.I Stabilité : G(t , `(t)) ≤ k .I Activation : [G(t , `(t))− k]`′(t) = 0.
Théorème. Si W ∈ C 2 est strictement convexe, il existe T > 0 et` ∈ C 1([0, T ]) unique solution.
Preuve. On pose ϕt (`) = P(t , `) + k`
; donc ϕ′t (`) = t2W ′(`) + k .
On pose t0 =√−k/W ′(0) et T =
√−k/W ′(L).
I Si t ≤ t0, `∗t = 0 minimise ϕt .
I Si t0 < t < T , ∃!`∗t minimisant ϕt .
I Si t = T , `∗T = L minimise ϕt .
On voit que `(t) = `∗t satisfait les axiomes. Il y a unicité.
![Page 32: Mathématiques pour la mécanique de la rupture [5pt ... · Mathématiques pour la mécanique de la rupture singularités, analyse asymptotique, calcul numérique Grégory Vial Institut](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022613/5b9d482709d3f275078c0ab4/html5/thumbnails/32.jpg)
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureQuelques mots de la théorie de Griffith (1920)
I Résumé : `(t) ∈ [0, L].I P(t , `) = t2W (`) et G(t , `) = −t2W ′(`).I Irréversibilité : `′(t) ≥ 0.I Stabilité : G(t , `(t)) ≤ k .I Activation : [G(t , `(t))− k]`′(t) = 0.
Théorème. Si W ∈ C 2 est strictement convexe, il existe T > 0 et` ∈ C 1([0, T ]) unique solution.
Preuve. On pose ϕt (`) = P(t , `) + k` ; donc ϕ′t (`) = t2W ′(`) + k .
On pose t0 =√−k/W ′(0) et T =
√−k/W ′(L).
I Si t ≤ t0, `∗t = 0 minimise ϕt .
I Si t0 < t < T , ∃!`∗t minimisant ϕt .
I Si t = T , `∗T = L minimise ϕt .
On voit que `(t) = `∗t satisfait les axiomes. Il y a unicité.
![Page 33: Mathématiques pour la mécanique de la rupture [5pt ... · Mathématiques pour la mécanique de la rupture singularités, analyse asymptotique, calcul numérique Grégory Vial Institut](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022613/5b9d482709d3f275078c0ab4/html5/thumbnails/33.jpg)
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureQuelques mots de la théorie de Griffith (1920)
I Résumé : `(t) ∈ [0, L].I P(t , `) = t2W (`) et G(t , `) = −t2W ′(`).I Irréversibilité : `′(t) ≥ 0.I Stabilité : G(t , `(t)) ≤ k .I Activation : [G(t , `(t))− k]`′(t) = 0.
Théorème. Si W ∈ C 2 est strictement convexe, il existe T > 0 et` ∈ C 1([0, T ]) unique solution.
Preuve. On pose ϕt (`) = P(t , `) + k` ; donc ϕ′t (`) = t2W ′(`) + k .
On pose t0 =√−k/W ′(0) et T =
√−k/W ′(L).
I Si t ≤ t0, `∗t = 0 minimise ϕt .
I Si t0 < t < T , ∃!`∗t minimisant ϕt .
I Si t = T , `∗T = L minimise ϕt .
On voit que `(t) = `∗t satisfait les axiomes. Il y a unicité.
![Page 34: Mathématiques pour la mécanique de la rupture [5pt ... · Mathématiques pour la mécanique de la rupture singularités, analyse asymptotique, calcul numérique Grégory Vial Institut](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022613/5b9d482709d3f275078c0ab4/html5/thumbnails/34.jpg)
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureQuelques mots de la théorie de Griffith (1920)
I Résumé : `(t) ∈ [0, L].I P(t , `) = t2W (`) et G(t , `) = −t2W ′(`).I Irréversibilité : `′(t) ≥ 0.I Stabilité : G(t , `(t)) ≤ k .I Activation : [G(t , `(t))− k]`′(t) = 0.
Théorème. Si W ∈ C 2 est strictement convexe, il existe T > 0 et` ∈ C 1([0, T ]) unique solution.
Preuve. On pose ϕt (`) = P(t , `) + k` ; donc ϕ′t (`) = t2W ′(`) + k .
On pose t0 =√−k/W ′(0) et T =
√−k/W ′(L).
I Si t ≤ t0, `∗t = 0 minimise ϕt .
I Si t0 < t < T , ∃!`∗t minimisant ϕt .
I Si t = T , `∗T = L minimise ϕt .
On voit que `(t) = `∗t satisfait les axiomes. Il y a unicité.
![Page 35: Mathématiques pour la mécanique de la rupture [5pt ... · Mathématiques pour la mécanique de la rupture singularités, analyse asymptotique, calcul numérique Grégory Vial Institut](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022613/5b9d482709d3f275078c0ab4/html5/thumbnails/35.jpg)
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureQuelques mots de la théorie de Griffith (1920)
I Résumé : `(t) ∈ [0, L].I P(t , `) = t2W (`) et G(t , `) = −t2W ′(`).I Irréversibilité : `′(t) ≥ 0.I Stabilité : G(t , `(t)) ≤ k .I Activation : [G(t , `(t))− k]`′(t) = 0.
Théorème. Si W ∈ C 2 est strictement convexe, il existe T > 0 et` ∈ C 1([0, T ]) unique solution.
Preuve. On pose ϕt (`) = P(t , `) + k` ; donc ϕ′t (`) = t2W ′(`) + k .
On pose t0 =√−k/W ′(0) et T =
√−k/W ′(L).
I Si t ≤ t0, `∗t = 0 minimise ϕt .
I Si t0 < t < T , ∃!`∗t minimisant ϕt .
I Si t = T , `∗T = L minimise ϕt .
On voit que `(t) = `∗t satisfait les axiomes. Il y a unicité.
![Page 36: Mathématiques pour la mécanique de la rupture [5pt ... · Mathématiques pour la mécanique de la rupture singularités, analyse asymptotique, calcul numérique Grégory Vial Institut](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022613/5b9d482709d3f275078c0ab4/html5/thumbnails/36.jpg)
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureQuelques mots de la théorie de Griffith (1920)
I Résumé : `(t) ∈ [0, L].I P(t , `) = t2W (`) et G(t , `) = −t2W ′(`).I Irréversibilité : `′(t) ≥ 0.I Stabilité : G(t , `(t)) ≤ k .I Activation : [G(t , `(t))− k]`′(t) = 0.
Théorème. Si W ∈ C 2 est strictement convexe, il existe T > 0 et` ∈ C 1([0, T ]) unique solution.
Preuve. On pose ϕt (`) = P(t , `) + k` ; donc ϕ′t (`) = t2W ′(`) + k .
On pose t0 =√−k/W ′(0) et T =
√−k/W ′(L).
I Si t ≤ t0, `∗t = 0 minimise ϕt .
I Si t0 < t < T , ∃!`∗t minimisant ϕt .
I Si t = T , `∗T = L minimise ϕt .
On voit que `(t) = `∗t satisfait les axiomes. Il y a unicité.
![Page 37: Mathématiques pour la mécanique de la rupture [5pt ... · Mathématiques pour la mécanique de la rupture singularités, analyse asymptotique, calcul numérique Grégory Vial Institut](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022613/5b9d482709d3f275078c0ab4/html5/thumbnails/37.jpg)
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureQuelques mots de la théorie de Griffith (1920)
I Résumé : `(t) ∈ [0, L].I P(t , `) = t2W (`) et G(t , `) = −t2W ′(`).I Irréversibilité : `′(t) ≥ 0.I Stabilité : G(t , `(t)) ≤ k .I Activation : [G(t , `(t))− k]`′(t) = 0.
Théorème. Si W ∈ C 2 est strictement convexe, il existe T > 0 et` ∈ C 1([0, T ]) unique solution.
Preuve. On pose ϕt (`) = P(t , `) + k` ; donc ϕ′t (`) = t2W ′(`) + k .
On pose t0 =√−k/W ′(0) et T =
√−k/W ′(L).
I Si t ≤ t0, `∗t = 0 minimise ϕt .
I Si t0 < t < T , ∃!`∗t minimisant ϕt .
I Si t = T , `∗T = L minimise ϕt .
On voit que `(t) = `∗t satisfait les axiomes.
Il y a unicité.
![Page 38: Mathématiques pour la mécanique de la rupture [5pt ... · Mathématiques pour la mécanique de la rupture singularités, analyse asymptotique, calcul numérique Grégory Vial Institut](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022613/5b9d482709d3f275078c0ab4/html5/thumbnails/38.jpg)
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureQuelques mots de la théorie de Griffith (1920)
I Résumé : `(t) ∈ [0, L].I P(t , `) = t2W (`) et G(t , `) = −t2W ′(`).I Irréversibilité : `′(t) ≥ 0.I Stabilité : G(t , `(t)) ≤ k .I Activation : [G(t , `(t))− k]`′(t) = 0.
Théorème. Si W ∈ C 2 est strictement convexe, il existe T > 0 et` ∈ C 1([0, T ]) unique solution.
Preuve. On pose ϕt (`) = P(t , `) + k` ; donc ϕ′t (`) = t2W ′(`) + k .
On pose t0 =√−k/W ′(0) et T =
√−k/W ′(L).
I Si t ≤ t0, `∗t = 0 minimise ϕt .
I Si t0 < t < T , ∃!`∗t minimisant ϕt .
I Si t = T , `∗T = L minimise ϕt .
On voit que `(t) = `∗t satisfait les axiomes. Il y a unicité.
![Page 39: Mathématiques pour la mécanique de la rupture [5pt ... · Mathématiques pour la mécanique de la rupture singularités, analyse asymptotique, calcul numérique Grégory Vial Institut](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022613/5b9d482709d3f275078c0ab4/html5/thumbnails/39.jpg)
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureQuelques mots de la théorie de Griffith (1920)
Théorème. Si W ∈ C 2 est strictement convexe, il existe T > 0 et` ∈ C 1([0, T ]) unique solution.
I Problème : W n’est pas convexe.
I Idée : définir `(t) comme solution de
`(t) = argmin`
P(t , `) + k` = argmin`
t2W (`) + k`.
I ` = 0 est solution pour t petit.
I ` = 0 est solution tant que
I W strict. convexe sur [`0, L].
![Page 40: Mathématiques pour la mécanique de la rupture [5pt ... · Mathématiques pour la mécanique de la rupture singularités, analyse asymptotique, calcul numérique Grégory Vial Institut](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022613/5b9d482709d3f275078c0ab4/html5/thumbnails/40.jpg)
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureQuelques mots de la théorie de Griffith (1920)
Théorème. Si W ∈ C 2 est strictement convexe, il existe T > 0 et` ∈ C 1([0, T ]) unique solution.
I Problème : W n’est pas convexe.
I Idée : définir `(t) comme solution de
`(t) = argmin`
P(t , `) + k` = argmin`
t2W (`) + k`.
`
W (`)
L
I ` = 0 est solution pour t petit.
I ` = 0 est solution tant que
I W strict. convexe sur [`0, L].
![Page 41: Mathématiques pour la mécanique de la rupture [5pt ... · Mathématiques pour la mécanique de la rupture singularités, analyse asymptotique, calcul numérique Grégory Vial Institut](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022613/5b9d482709d3f275078c0ab4/html5/thumbnails/41.jpg)
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureQuelques mots de la théorie de Griffith (1920)
Théorème. Si W ∈ C 2 est strictement convexe, il existe T > 0 et` ∈ C 1([0, T ]) unique solution.
I Problème : W n’est pas convexe.
I Idée : définir `(t) comme solution de
`(t) = argmin`
P(t , `) + k` = argmin`
t2W (`) + k`.
`
W (`)
L
I ` = 0 est solution pour t petit.
I ` = 0 est solution tant que
I W strict. convexe sur [`0, L].
![Page 42: Mathématiques pour la mécanique de la rupture [5pt ... · Mathématiques pour la mécanique de la rupture singularités, analyse asymptotique, calcul numérique Grégory Vial Institut](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022613/5b9d482709d3f275078c0ab4/html5/thumbnails/42.jpg)
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureQuelques mots de la théorie de Griffith (1920)
Théorème. Si W ∈ C 2 est strictement convexe, il existe T > 0 et` ∈ C 1([0, T ]) unique solution.
I Problème : W n’est pas convexe.
I Idée : définir `(t) comme solution de
`(t) = argmin`
P(t , `) + k` = argmin`
t2W (`) + k`.
`
W (`)
L
I ` = 0 est solution pour t petit.
I ` = 0 est solution tant que
I W strict. convexe sur [`0, L].
![Page 43: Mathématiques pour la mécanique de la rupture [5pt ... · Mathématiques pour la mécanique de la rupture singularités, analyse asymptotique, calcul numérique Grégory Vial Institut](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022613/5b9d482709d3f275078c0ab4/html5/thumbnails/43.jpg)
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureQuelques mots de la théorie de Griffith (1920)
Théorème. Si W ∈ C 2 est strictement convexe, il existe T > 0 et` ∈ C 1([0, T ]) unique solution.
I Problème : W n’est pas convexe.
I Idée : définir `(t) comme solution de
`(t) = argmin`
P(t , `) + k` = argmin`
t2W (`) + k`.
`
W (`)
L
I ` = 0 est solution pour t petit.
I ` = 0 est solution tant que
t2W (0) ≤ t2W (`) + k`.
I W strict. convexe sur [`0, L].
![Page 44: Mathématiques pour la mécanique de la rupture [5pt ... · Mathématiques pour la mécanique de la rupture singularités, analyse asymptotique, calcul numérique Grégory Vial Institut](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022613/5b9d482709d3f275078c0ab4/html5/thumbnails/44.jpg)
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureQuelques mots de la théorie de Griffith (1920)
Théorème. Si W ∈ C 2 est strictement convexe, il existe T > 0 et` ∈ C 1([0, T ]) unique solution.
I Problème : W n’est pas convexe.
I Idée : définir `(t) comme solution de
`(t) = argmin`
P(t , `) + k` = argmin`
t2W (`) + k`.
`
W (`)
L
I ` = 0 est solution pour t petit.
I ` = 0 est solution tant que
W (`) ≥W (0)− kt2
`.
I W strict. convexe sur [`0, L].
![Page 45: Mathématiques pour la mécanique de la rupture [5pt ... · Mathématiques pour la mécanique de la rupture singularités, analyse asymptotique, calcul numérique Grégory Vial Institut](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022613/5b9d482709d3f275078c0ab4/html5/thumbnails/45.jpg)
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureQuelques mots de la théorie de Griffith (1920)
Théorème. Si W ∈ C 2 est strictement convexe, il existe T > 0 et` ∈ C 1([0, T ]) unique solution.
I Problème : W n’est pas convexe.
I Idée : définir `(t) comme solution de
`(t) = argmin`
P(t , `) + k` = argmin`
t2W (`) + k`.
`
W (`)
W (0) •
•
`0
•L•
I ` = 0 est solution pour t petit.
I ` = 0 est solution tant que
W (`) ≥W (0)− kt2
`.
I W strict. convexe sur [`0, L].
![Page 46: Mathématiques pour la mécanique de la rupture [5pt ... · Mathématiques pour la mécanique de la rupture singularités, analyse asymptotique, calcul numérique Grégory Vial Institut](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022613/5b9d482709d3f275078c0ab4/html5/thumbnails/46.jpg)
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureQuelques mots de la théorie de Griffith (1920)
Théorème. Si W ∈ C 2 est strictement convexe, il existe T > 0 et` ∈ C 1([0, T ]) unique solution.
I Problème : W n’est pas convexe.
I Idée : définir `(t) comme solution de
`(t) = argmin`
P(t , `) + k` = argmin`
t2W (`) + k`.
`
W (`)
W (0) •
•
`0
•L•
I ` = 0 est solution pour t petit.
I ` = 0 est solution tant que
W (`) ≥W (0)− kt2
`.
I W strict. convexe sur [`0, L].
![Page 47: Mathématiques pour la mécanique de la rupture [5pt ... · Mathématiques pour la mécanique de la rupture singularités, analyse asymptotique, calcul numérique Grégory Vial Institut](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022613/5b9d482709d3f275078c0ab4/html5/thumbnails/47.jpg)
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureQuelques mots de la théorie de Griffith (1920)
Théorème. Si W ∈ C 2 est strictement convexe, il existe T > 0 et` ∈ C 1([0, T ]) unique solution.
I Problème : W n’est pas convexe.
I Idée : définir `(t) comme solution de
`(t) = argmin`
P(t , `) + k` = argmin`
t2W (`) + k`.
I ` = 0 est solution pour t petit.
I ` = 0 est solution tant que
W (`) ≥W (0)− kt2
`.
I W strict. convexe sur [`0, L].
![Page 48: Mathématiques pour la mécanique de la rupture [5pt ... · Mathématiques pour la mécanique de la rupture singularités, analyse asymptotique, calcul numérique Grégory Vial Institut](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022613/5b9d482709d3f275078c0ab4/html5/thumbnails/48.jpg)
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureModèles mathématiques étudiés
I Comment calculer l’énergie W (`) ?
![Page 49: Mathématiques pour la mécanique de la rupture [5pt ... · Mathématiques pour la mécanique de la rupture singularités, analyse asymptotique, calcul numérique Grégory Vial Institut](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022613/5b9d482709d3f275078c0ab4/html5/thumbnails/49.jpg)
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureModèles mathématiques étudiés
I Comment calculer l’énergie W (`) ?
I Cadre réaliste : élasticité linéaire 3DI ~u(x1, x2, x3) : vecteur déplacement (inconnue).
I ~f (x1, x2, x2) : vecteur chargement (connu).
I EDP : « L~u = ~f », avec L opérateur linéaire.I Conditions aux limites.
![Page 50: Mathématiques pour la mécanique de la rupture [5pt ... · Mathématiques pour la mécanique de la rupture singularités, analyse asymptotique, calcul numérique Grégory Vial Institut](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022613/5b9d482709d3f275078c0ab4/html5/thumbnails/50.jpg)
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureModèles mathématiques étudiés
I Comment calculer l’énergie W (`) ?
I Problème « jouet » (∆ = ∂2
∂x21
+ ∂2
∂x22
)
x1
x2
Ω
Γ `•0•
−∆u(x) = f (x) dans Ω,
u(x) = 0 sur ∂Ω \ Γ,
∂u∂x2
(x) = 0 sur Γ,
etW (`) = −
∫Ω
|∇u|2.
![Page 51: Mathématiques pour la mécanique de la rupture [5pt ... · Mathématiques pour la mécanique de la rupture singularités, analyse asymptotique, calcul numérique Grégory Vial Institut](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022613/5b9d482709d3f275078c0ab4/html5/thumbnails/51.jpg)
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureModèles mathématiques étudiés
I Comment calculer l’énergie W (`) ?
I Problème « jouet » (∆ = ∂2
∂x21
+ ∂2
∂x22
)
x1
x2
Ω
Γ `•0•
−∆u(x) = f (x) dans Ω,
u(x) = 0 sur ∂Ω \ Γ,
∂u∂x2
(x) = 0 sur Γ,
etW (`) = −
∫Ω
|∇u|2.
Question : relier W (`) au comportement de u en front de fissure ?
![Page 52: Mathématiques pour la mécanique de la rupture [5pt ... · Mathématiques pour la mécanique de la rupture singularités, analyse asymptotique, calcul numérique Grégory Vial Institut](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022613/5b9d482709d3f275078c0ab4/html5/thumbnails/52.jpg)
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureRégularité des problèmes elliptiques
I Constat :
I Remarque : si f ∈ L2(Ω), ∃!u ∈ H1(Ω) solution du pb.
I Réciproque ?
I Pas OK dans Ω en général.
![Page 53: Mathématiques pour la mécanique de la rupture [5pt ... · Mathématiques pour la mécanique de la rupture singularités, analyse asymptotique, calcul numérique Grégory Vial Institut](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022613/5b9d482709d3f275078c0ab4/html5/thumbnails/53.jpg)
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureRégularité des problèmes elliptiques
I Constat : si u ∈ C k (Ω), alors f = −∆u ∈ C k−2(Ω).
I Remarque : si f ∈ L2(Ω), ∃!u ∈ H1(Ω) solution du pb.
I Réciproque ?
I Pas OK dans Ω en général.
![Page 54: Mathématiques pour la mécanique de la rupture [5pt ... · Mathématiques pour la mécanique de la rupture singularités, analyse asymptotique, calcul numérique Grégory Vial Institut](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022613/5b9d482709d3f275078c0ab4/html5/thumbnails/54.jpg)
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureRégularité des problèmes elliptiques
I Constat : si u ∈ Hk (Ω), alors f = −∆u ∈ Hk−2(Ω).
I Remarque : si f ∈ L2(Ω), ∃!u ∈ H1(Ω) solution du pb.
I Réciproque ?
I Pas OK dans Ω en général.
![Page 55: Mathématiques pour la mécanique de la rupture [5pt ... · Mathématiques pour la mécanique de la rupture singularités, analyse asymptotique, calcul numérique Grégory Vial Institut](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022613/5b9d482709d3f275078c0ab4/html5/thumbnails/55.jpg)
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureRégularité des problèmes elliptiques
I Constat : si u ∈ Hk (Ω), alors f = −∆u ∈ Hk−2(Ω).
Hk (Ω) =
u ∈ L2(Ω) ; ∀|α| ≤ k, ∂αu ∈ L2(Ω).
I Remarque : si f ∈ L2(Ω), ∃!u ∈ H1(Ω) solution du pb.
I Réciproque ?
I Pas OK dans Ω en général.
![Page 56: Mathématiques pour la mécanique de la rupture [5pt ... · Mathématiques pour la mécanique de la rupture singularités, analyse asymptotique, calcul numérique Grégory Vial Institut](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022613/5b9d482709d3f275078c0ab4/html5/thumbnails/56.jpg)
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureRégularité des problèmes elliptiques
I Constat : si u ∈ Hk (Ω), alors f = −∆u ∈ Hk−2(Ω).
Hk (Ω) =
u ∈ L2(Ω) ; ∀|α| ≤ k, ∂αu ∈ L2(Ω).
I Remarque : si f ∈ L2(Ω), ∃!u ∈ H1(Ω) solution du pb.
I Réciproque ?
I Pas OK dans Ω en général.
![Page 57: Mathématiques pour la mécanique de la rupture [5pt ... · Mathématiques pour la mécanique de la rupture singularités, analyse asymptotique, calcul numérique Grégory Vial Institut](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022613/5b9d482709d3f275078c0ab4/html5/thumbnails/57.jpg)
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureRégularité des problèmes elliptiques
I Constat : si u ∈ Hk (Ω), alors f = −∆u ∈ Hk−2(Ω).
Hk (Ω) =
u ∈ L2(Ω) ; ∀|α| ≤ k, ∂αu ∈ L2(Ω).
I Remarque : si f ∈ L2(Ω), ∃!u ∈ H1(Ω) solution du pb.
I Réciproque ?
I Pas OK dans Ω en général.
![Page 58: Mathématiques pour la mécanique de la rupture [5pt ... · Mathématiques pour la mécanique de la rupture singularités, analyse asymptotique, calcul numérique Grégory Vial Institut](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022613/5b9d482709d3f275078c0ab4/html5/thumbnails/58.jpg)
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureRégularité des problèmes elliptiques
I Constat : si u ∈ Hk (Ω), alors f = −∆u ∈ Hk−2(Ω).
Hk (Ω) =
u ∈ L2(Ω) ; ∀|α| ≤ k, ∂αu ∈ L2(Ω).
I Remarque : si f ∈ L2(Ω), ∃!u ∈ H1(Ω) solution du pb.
I Réciproque ?I OK dans Rd :
I Pas OK dans Ω en général.
![Page 59: Mathématiques pour la mécanique de la rupture [5pt ... · Mathématiques pour la mécanique de la rupture singularités, analyse asymptotique, calcul numérique Grégory Vial Institut](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022613/5b9d482709d3f275078c0ab4/html5/thumbnails/59.jpg)
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureRégularité des problèmes elliptiques
I Constat : si u ∈ Hk (Ω), alors f = −∆u ∈ Hk−2(Ω).
Hk (Ω) =
u ∈ L2(Ω) ; ∀|α| ≤ k, ∂αu ∈ L2(Ω).
I Remarque : si f ∈ L2(Ω), ∃!u ∈ H1(Ω) solution du pb.
I Réciproque ?I OK dans Rd :
Hk (Rd) =
u ∈ L2(Ω) ;
(1 + |ξ|2
) k2 u ∈ L2(Rd)
.
I Pas OK dans Ω en général.
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Mathématiques pour la mécanique de la ruptureRégularité des problèmes elliptiques
I Constat : si u ∈ Hk (Ω), alors f = −∆u ∈ Hk−2(Ω).
Hk (Ω) =
u ∈ L2(Ω) ; ∀|α| ≤ k, ∂αu ∈ L2(Ω).
I Remarque : si f ∈ L2(Ω), ∃!u ∈ H1(Ω) solution du pb.
I Réciproque ?I OK dans Rd :
Hk (Rd) =
u ∈ L2(Ω) ;
(1 + |ξ|2
) k2 u ∈ L2(Rd)
.
Si u ∈ L2 et −∆u ∈ L2, alors u −∆u ∈ L2
I Pas OK dans Ω en général.
![Page 61: Mathématiques pour la mécanique de la rupture [5pt ... · Mathématiques pour la mécanique de la rupture singularités, analyse asymptotique, calcul numérique Grégory Vial Institut](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022613/5b9d482709d3f275078c0ab4/html5/thumbnails/61.jpg)
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureRégularité des problèmes elliptiques
I Constat : si u ∈ Hk (Ω), alors f = −∆u ∈ Hk−2(Ω).
Hk (Ω) =
u ∈ L2(Ω) ; ∀|α| ≤ k, ∂αu ∈ L2(Ω).
I Remarque : si f ∈ L2(Ω), ∃!u ∈ H1(Ω) solution du pb.
I Réciproque ?I OK dans Rd :
Hk (Rd) =
u ∈ L2(Ω) ;
(1 + |ξ|2
) k2 u ∈ L2(Rd)
.
Si u ∈ L2 et −∆u ∈ L2, alors u −∆u ∈ L2 et
F [u −∆u](ξ) = (1 + |ξ|2)u(ξ),
I Pas OK dans Ω en général.
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Mathématiques pour la mécanique de la ruptureRégularité des problèmes elliptiques
I Constat : si u ∈ Hk (Ω), alors f = −∆u ∈ Hk−2(Ω).
Hk (Ω) =
u ∈ L2(Ω) ; ∀|α| ≤ k, ∂αu ∈ L2(Ω).
I Remarque : si f ∈ L2(Ω), ∃!u ∈ H1(Ω) solution du pb.
I Réciproque ?I OK dans Rd :
Hk (Rd) =
u ∈ L2(Ω) ;
(1 + |ξ|2
) k2 u ∈ L2(Rd)
.
Si u ∈ L2 et −∆u ∈ L2, alors u −∆u ∈ L2 et
F [u −∆u](ξ) = (1 + |ξ|2)u(ξ),
donc u ∈ H2(Rd).
I Pas OK dans Ω en général.
![Page 63: Mathématiques pour la mécanique de la rupture [5pt ... · Mathématiques pour la mécanique de la rupture singularités, analyse asymptotique, calcul numérique Grégory Vial Institut](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022613/5b9d482709d3f275078c0ab4/html5/thumbnails/63.jpg)
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureRégularité des problèmes elliptiques
I Constat : si u ∈ Hk (Ω), alors f = −∆u ∈ Hk−2(Ω).
Hk (Ω) =
u ∈ L2(Ω) ; ∀|α| ≤ k, ∂αu ∈ L2(Ω).
I Remarque : si f ∈ L2(Ω), ∃!u ∈ H1(Ω) solution du pb.
I Réciproque ?I Pas OK dans Ω en général.
![Page 64: Mathématiques pour la mécanique de la rupture [5pt ... · Mathématiques pour la mécanique de la rupture singularités, analyse asymptotique, calcul numérique Grégory Vial Institut](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022613/5b9d482709d3f275078c0ab4/html5/thumbnails/64.jpg)
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureRégularité des problèmes elliptiques
I Constat : si u ∈ Hk (Ω), alors f = −∆u ∈ Hk−2(Ω).
Hk (Ω) =
u ∈ L2(Ω) ; ∀|α| ≤ k, ∂αu ∈ L2(Ω).
I Remarque : si f ∈ L2(Ω), ∃!u ∈ H1(Ω) solution du pb.
I Réciproque ?I Pas OK dans Ω en général.
Ω
ΓN
ΓD
θr
0•
![Page 65: Mathématiques pour la mécanique de la rupture [5pt ... · Mathématiques pour la mécanique de la rupture singularités, analyse asymptotique, calcul numérique Grégory Vial Institut](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022613/5b9d482709d3f275078c0ab4/html5/thumbnails/65.jpg)
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureRégularité des problèmes elliptiques
I Constat : si u ∈ Hk (Ω), alors f = −∆u ∈ Hk−2(Ω).
Hk (Ω) =
u ∈ L2(Ω) ; ∀|α| ≤ k, ∂αu ∈ L2(Ω).
I Remarque : si f ∈ L2(Ω), ∃!u ∈ H1(Ω) solution du pb.
I Réciproque ?I Pas OK dans Ω en général.
Ω
ΓN
ΓD
θr
0•
Soit u(r , θ) = η(r)s(r , θ), avec s(t , θ) =√
r sin(θ2
),
et η = 1 pour r < r∗ et η = 0 pour r > r∗.
![Page 66: Mathématiques pour la mécanique de la rupture [5pt ... · Mathématiques pour la mécanique de la rupture singularités, analyse asymptotique, calcul numérique Grégory Vial Institut](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022613/5b9d482709d3f275078c0ab4/html5/thumbnails/66.jpg)
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureRégularité des problèmes elliptiques
I Constat : si u ∈ Hk (Ω), alors f = −∆u ∈ Hk−2(Ω).
Hk (Ω) =
u ∈ L2(Ω) ; ∀|α| ≤ k, ∂αu ∈ L2(Ω).
I Remarque : si f ∈ L2(Ω), ∃!u ∈ H1(Ω) solution du pb.
I Réciproque ?I Pas OK dans Ω en général.
Ω
ΓN
ΓD
θr
0•
Soit u(r , θ) = η(r)s(r , θ), avec s(t , θ) =√
r sin(θ2
),
et η = 1 pour r < r∗ et η = 0 pour r > r∗.
∆u = η∆s + 2∇η · ∇s + ∆ηs
![Page 67: Mathématiques pour la mécanique de la rupture [5pt ... · Mathématiques pour la mécanique de la rupture singularités, analyse asymptotique, calcul numérique Grégory Vial Institut](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022613/5b9d482709d3f275078c0ab4/html5/thumbnails/67.jpg)
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureRégularité des problèmes elliptiques
I Constat : si u ∈ Hk (Ω), alors f = −∆u ∈ Hk−2(Ω).
Hk (Ω) =
u ∈ L2(Ω) ; ∀|α| ≤ k, ∂αu ∈ L2(Ω).
I Remarque : si f ∈ L2(Ω), ∃!u ∈ H1(Ω) solution du pb.
I Réciproque ?I Pas OK dans Ω en général.
Ω
ΓN
ΓD
θr
0•
Soit u(r , θ) = η(r)s(r , θ), avec s(t , θ) =√
r sin(θ2
),
et η = 1 pour r < r∗ et η = 0 pour r > r∗.
∆u = 2∇η · ∇s + ∆ηs
![Page 68: Mathématiques pour la mécanique de la rupture [5pt ... · Mathématiques pour la mécanique de la rupture singularités, analyse asymptotique, calcul numérique Grégory Vial Institut](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022613/5b9d482709d3f275078c0ab4/html5/thumbnails/68.jpg)
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureRégularité des problèmes elliptiques
I Constat : si u ∈ Hk (Ω), alors f = −∆u ∈ Hk−2(Ω).
Hk (Ω) =
u ∈ L2(Ω) ; ∀|α| ≤ k, ∂αu ∈ L2(Ω).
I Remarque : si f ∈ L2(Ω), ∃!u ∈ H1(Ω) solution du pb.
I Réciproque ?I Pas OK dans Ω en général.
Ω
ΓN
ΓD
θr
0•
Soit u(r , θ) = η(r)s(r , θ), avec s(t , θ) =√
r sin(θ2
),
et η = 1 pour r < r∗ et η = 0 pour r > r∗.
∆u = 2∇η · ∇s + ∆ηs ∈ C∞(Ω) ⊂ L2(Ω).
![Page 69: Mathématiques pour la mécanique de la rupture [5pt ... · Mathématiques pour la mécanique de la rupture singularités, analyse asymptotique, calcul numérique Grégory Vial Institut](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022613/5b9d482709d3f275078c0ab4/html5/thumbnails/69.jpg)
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureRégularité des problèmes elliptiques
I Constat : si u ∈ Hk (Ω), alors f = −∆u ∈ Hk−2(Ω).
Hk (Ω) =
u ∈ L2(Ω) ; ∀|α| ≤ k, ∂αu ∈ L2(Ω).
I Remarque : si f ∈ L2(Ω), ∃!u ∈ H1(Ω) solution du pb.
I Réciproque ?I Pas OK dans Ω en général.
Ω
ΓN
ΓD
θr
0•
Soit u(r , θ) = η(r)s(r , θ), avec s(t , θ) =√
r sin(θ2
),
et η = 1 pour r < r∗ et η = 0 pour r > r∗.
∆u = 2∇η · ∇s + ∆ηs ∈ C∞(Ω) ⊂ L2(Ω).
Pourtant u /∈ H2(Ω).
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Mathématiques pour la mécanique de la ruptureSingularités des problèmes elliptiques
I Le problème mixte
Théorème. Si f ∈ L2(Ω) et ∂Ω possède un sommet d’angle ω,alors la solution u ∈ H1(Ω) de
−∆u = f dans Ω, u = 0 sur ∂ΓD, ∂νu = 0 sur ΓN
satisfait u = ureg + λrα sin(αθ), avec ureg ∈ H2(Ω) et α = π2ω .
I Remarque. Pour la fissure ω = π.
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Mathématiques pour la mécanique de la ruptureSingularités des problèmes elliptiques
I Le problème de Dirichlet
I Dans un polygone
Théorème. Si f ∈ L2(Ω) et ∂Ω possède un sommet d’angleω, alors la solution u ∈ H1(Ω) de
−∆u = f dans Ω, u = 0 sur ∂Ω
satisfait u = ureg + λrα sin(αθ), avec ureg ∈ H2(Ω) et α = πω
.
Remarque. rα sin(αθ) ∈ H2(Ω) ssi α > 1.
I Le problème mixte
Théorème. Si f ∈ L2(Ω) et ∂Ω possède un sommet d’angle ω,alors la solution u ∈ H1(Ω) de
−∆u = f dans Ω, u = 0 sur ∂ΓD, ∂νu = 0 sur ΓN
satisfait u = ureg + λrα sin(αθ), avec ureg ∈ H2(Ω) et α = π2ω .
I Remarque. Pour la fissure ω = π.
![Page 72: Mathématiques pour la mécanique de la rupture [5pt ... · Mathématiques pour la mécanique de la rupture singularités, analyse asymptotique, calcul numérique Grégory Vial Institut](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022613/5b9d482709d3f275078c0ab4/html5/thumbnails/72.jpg)
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureSingularités des problèmes elliptiques
I Le problème de DirichletI Dans un ouvert régulier
Théorème. Si f ∈ L2(Ω) et ∂Ω est de classe C 2, alors lasolution u ∈ H1(Ω) de
−∆u = f dans Ω, u = 0 sur ∂Ω
satisfait u ∈ H2(Ω).
I Dans un polygone
Théorème. Si f ∈ L2(Ω) et ∂Ω possède un sommet d’angleω, alors la solution u ∈ H1(Ω) de
−∆u = f dans Ω, u = 0 sur ∂Ω
satisfait u = ureg + λrα sin(αθ), avec ureg ∈ H2(Ω) et α = πω
.
Remarque. rα sin(αθ) ∈ H2(Ω) ssi α > 1.
I Le problème mixte
Théorème. Si f ∈ L2(Ω) et ∂Ω possède un sommet d’angle ω,alors la solution u ∈ H1(Ω) de
−∆u = f dans Ω, u = 0 sur ∂ΓD, ∂νu = 0 sur ΓN
satisfait u = ureg + λrα sin(αθ), avec ureg ∈ H2(Ω) et α = π2ω .
I Remarque. Pour la fissure ω = π.
![Page 73: Mathématiques pour la mécanique de la rupture [5pt ... · Mathématiques pour la mécanique de la rupture singularités, analyse asymptotique, calcul numérique Grégory Vial Institut](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022613/5b9d482709d3f275078c0ab4/html5/thumbnails/73.jpg)
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureSingularités des problèmes elliptiques
I Le problème de DirichletI Dans un polygone
Théorème. Si f ∈ L2(Ω) et ∂Ω possède un sommet d’angleω, alors la solution u ∈ H1(Ω) de
−∆u = f dans Ω, u = 0 sur ∂Ω
satisfait u = ureg + λrα sin(αθ), avec ureg ∈ H2(Ω) et α = πω
.
Remarque. rα sin(αθ) ∈ H2(Ω) ssi α > 1.
I Le problème mixte
Théorème. Si f ∈ L2(Ω) et ∂Ω possède un sommet d’angle ω,alors la solution u ∈ H1(Ω) de
−∆u = f dans Ω, u = 0 sur ∂ΓD, ∂νu = 0 sur ΓN
satisfait u = ureg + λrα sin(αθ), avec ureg ∈ H2(Ω) et α = π2ω .
I Remarque. Pour la fissure ω = π.
![Page 74: Mathématiques pour la mécanique de la rupture [5pt ... · Mathématiques pour la mécanique de la rupture singularités, analyse asymptotique, calcul numérique Grégory Vial Institut](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022613/5b9d482709d3f275078c0ab4/html5/thumbnails/74.jpg)
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureSingularités des problèmes elliptiques
I Le problème de DirichletI Dans un polygone
Théorème. Si f ∈ L2(Ω) et ∂Ω possède un sommet d’angleω, alors la solution u ∈ H1(Ω) de
−∆u = f dans Ω, u = 0 sur ∂Ω
satisfait u = ureg + λrα sin(αθ), avec ureg ∈ H2(Ω) et α = πω
.
Remarque. rα sin(αθ) ∈ H2(Ω) ssi α > 1.
Ω
θ
r
0•
I Le problème mixte
Théorème. Si f ∈ L2(Ω) et ∂Ω possède un sommet d’angle ω,alors la solution u ∈ H1(Ω) de
−∆u = f dans Ω, u = 0 sur ∂ΓD, ∂νu = 0 sur ΓN
satisfait u = ureg + λrα sin(αθ), avec ureg ∈ H2(Ω) et α = π2ω .
I Remarque. Pour la fissure ω = π.
![Page 75: Mathématiques pour la mécanique de la rupture [5pt ... · Mathématiques pour la mécanique de la rupture singularités, analyse asymptotique, calcul numérique Grégory Vial Institut](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022613/5b9d482709d3f275078c0ab4/html5/thumbnails/75.jpg)
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureSingularités des problèmes elliptiques
I Le problème de DirichletI Dans un polygone
Théorème. Si f ∈ L2(Ω) et ∂Ω possède un sommet d’angleω, alors la solution u ∈ H1(Ω) de
−∆u = f dans Ω, u = 0 sur ∂Ω
satisfait u = ureg + λrα sin(αθ), avec ureg ∈ H2(Ω) et α = πω
.
Remarque. rα sin(αθ) ∈ H2(Ω) ssi α > 1.
Ω
θ
r
0•
Le gradient du déplacementn’est pas borné :
∇u'0
r−13
I Le problème mixte
Théorème. Si f ∈ L2(Ω) et ∂Ω possède un sommet d’angle ω,alors la solution u ∈ H1(Ω) de
−∆u = f dans Ω, u = 0 sur ∂ΓD, ∂νu = 0 sur ΓN
satisfait u = ureg + λrα sin(αθ), avec ureg ∈ H2(Ω) et α = π2ω .
I Remarque. Pour la fissure ω = π.
![Page 76: Mathématiques pour la mécanique de la rupture [5pt ... · Mathématiques pour la mécanique de la rupture singularités, analyse asymptotique, calcul numérique Grégory Vial Institut](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022613/5b9d482709d3f275078c0ab4/html5/thumbnails/76.jpg)
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureSingularités des problèmes elliptiques
I Le problème mixte
Théorème. Si f ∈ L2(Ω) et ∂Ω possède un sommet d’angle ω,alors la solution u ∈ H1(Ω) de
−∆u = f dans Ω, u = 0 sur ∂ΓD, ∂νu = 0 sur ΓN
satisfait u = ureg + λrα sin(αθ), avec ureg ∈ H2(Ω) et α = π2ω .
I Remarque. Pour la fissure ω = π.
![Page 77: Mathématiques pour la mécanique de la rupture [5pt ... · Mathématiques pour la mécanique de la rupture singularités, analyse asymptotique, calcul numérique Grégory Vial Institut](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022613/5b9d482709d3f275078c0ab4/html5/thumbnails/77.jpg)
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureSingularités des problèmes elliptiques
I Le problème mixte
Théorème. Si f ∈ L2(Ω) et ∂Ω possède un sommet d’angle ω,alors la solution u ∈ H1(Ω) de
−∆u = f dans Ω, u = 0 sur ∂ΓD, ∂νu = 0 sur ΓN
satisfait u = ureg + λrα sin(αθ), avec ureg ∈ H2(Ω) et α = π2ω .
I Remarque. Pour la fissure ω = π.
Ω
ΓN
ΓD
θr
0•
![Page 78: Mathématiques pour la mécanique de la rupture [5pt ... · Mathématiques pour la mécanique de la rupture singularités, analyse asymptotique, calcul numérique Grégory Vial Institut](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022613/5b9d482709d3f275078c0ab4/html5/thumbnails/78.jpg)
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureSingularités des problèmes elliptiques
I Le problème mixte
Théorème. Si f ∈ L2(Ω) et ∂Ω possède un sommet d’angle ω,alors la solution u ∈ H1(Ω) de
−∆u = f dans Ω, u = 0 sur ∂ΓD, ∂νu = 0 sur ΓN
satisfait u = ureg + λrα sin(αθ), avec ureg ∈ H2(Ω) et α = π2ω .
I Remarque. Pour la fissure ω = π.
Ω
ΓN
ΓD
θr
0•
λ : facteur d’intensité de contrainte (SIF).
![Page 79: Mathématiques pour la mécanique de la rupture [5pt ... · Mathématiques pour la mécanique de la rupture singularités, analyse asymptotique, calcul numérique Grégory Vial Institut](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022613/5b9d482709d3f275078c0ab4/html5/thumbnails/79.jpg)
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureSingularités des problèmes elliptiques
I Le problème mixte
Théorème. Si f ∈ L2(Ω) et ∂Ω possède un sommet d’angle ω,alors la solution u ∈ H1(Ω) de
−∆u = f dans Ω, u = 0 sur ∂ΓD, ∂νu = 0 sur ΓN
satisfait u = ureg + λrα sin(αθ), avec ureg ∈ H2(Ω) et α = π2ω .
I Remarque. Pour la fissure ω = π.
Ω
ΓN
ΓD
θr
0•
λ : facteur d’intensité de contrainte (SIF).
Lien avec le taux de restitution d’énergie :
W ′(`) = −λ2 π
4.
![Page 80: Mathématiques pour la mécanique de la rupture [5pt ... · Mathématiques pour la mécanique de la rupture singularités, analyse asymptotique, calcul numérique Grégory Vial Institut](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022613/5b9d482709d3f275078c0ab4/html5/thumbnails/80.jpg)
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureEnjeux numériques
I Problème modèle :−∆u = f dans Ω,
u = 0 sur ∂Ω.
H = H10(Ω) = u ∈ H1(Ω) ; u = 0 sur ∂Ω.
I Approximation de Galerkin : Hn ⊂ H avec dimHn = n.
I (Pn) est un système linéaire n× n : si un =n∑
j=1
αjφj .
I Comment choisir Hn et la base (φj) ?
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Mathématiques pour la mécanique de la ruptureEnjeux numériques
Ω
θ
r
0•
I Problème modèle :−∆u = f dans Ω,
u = 0 sur ∂Ω.
H = H10(Ω) = u ∈ H1(Ω) ; u = 0 sur ∂Ω.
I Approximation de Galerkin : Hn ⊂ H avec dimHn = n.
I (Pn) est un système linéaire n× n : si un =n∑
j=1
αjφj .
I Comment choisir Hn et la base (φj) ?
![Page 82: Mathématiques pour la mécanique de la rupture [5pt ... · Mathématiques pour la mécanique de la rupture singularités, analyse asymptotique, calcul numérique Grégory Vial Institut](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022613/5b9d482709d3f275078c0ab4/html5/thumbnails/82.jpg)
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureEnjeux numériques
Ω
θ
r
0•
I Problème modèle :−∆u = f dans Ω,
u = 0 sur ∂Ω.
H = H10(Ω) = u ∈ H1(Ω) ; u = 0 sur ∂Ω.
I Formulation variationnelle : on cherche u ∈ H et
I Approximation de Galerkin : Hn ⊂ H avec dimHn = n.
I (Pn) est un système linéaire n× n : si un =n∑
j=1
αjφj .
I Comment choisir Hn et la base (φj) ?
![Page 83: Mathématiques pour la mécanique de la rupture [5pt ... · Mathématiques pour la mécanique de la rupture singularités, analyse asymptotique, calcul numérique Grégory Vial Institut](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022613/5b9d482709d3f275078c0ab4/html5/thumbnails/83.jpg)
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureEnjeux numériques
Ω
θ
r
0•
I Problème modèle :−∆u = f dans Ω,
u = 0 sur ∂Ω.
H = H10(Ω) = u ∈ H1(Ω) ; u = 0 sur ∂Ω.
I Formulation variationnelle : on cherche u ∈ H et
−∆u = f
I Approximation de Galerkin : Hn ⊂ H avec dimHn = n.
I (Pn) est un système linéaire n× n : si un =n∑
j=1
αjφj .
I Comment choisir Hn et la base (φj) ?
![Page 84: Mathématiques pour la mécanique de la rupture [5pt ... · Mathématiques pour la mécanique de la rupture singularités, analyse asymptotique, calcul numérique Grégory Vial Institut](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022613/5b9d482709d3f275078c0ab4/html5/thumbnails/84.jpg)
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureEnjeux numériques
Ω
θ
r
0•
I Problème modèle :−∆u = f dans Ω,
u = 0 sur ∂Ω.
H = H10(Ω) = u ∈ H1(Ω) ; u = 0 sur ∂Ω.
I Formulation variationnelle : on cherche u ∈ H et
∀v ∈ H −∆u v = f v
I Approximation de Galerkin : Hn ⊂ H avec dimHn = n.
I (Pn) est un système linéaire n× n : si un =n∑
j=1
αjφj .
I Comment choisir Hn et la base (φj) ?
![Page 85: Mathématiques pour la mécanique de la rupture [5pt ... · Mathématiques pour la mécanique de la rupture singularités, analyse asymptotique, calcul numérique Grégory Vial Institut](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022613/5b9d482709d3f275078c0ab4/html5/thumbnails/85.jpg)
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureEnjeux numériques
Ω
θ
r
0•
I Problème modèle :−∆u = f dans Ω,
u = 0 sur ∂Ω.
H = H10(Ω) = u ∈ H1(Ω) ; u = 0 sur ∂Ω.
I Formulation variationnelle : on cherche u ∈ H et
∀v ∈ H −∫
Ω
∆u v =
∫Ω
f v
I Approximation de Galerkin : Hn ⊂ H avec dimHn = n.
I (Pn) est un système linéaire n× n : si un =n∑
j=1
αjφj .
I Comment choisir Hn et la base (φj) ?
![Page 86: Mathématiques pour la mécanique de la rupture [5pt ... · Mathématiques pour la mécanique de la rupture singularités, analyse asymptotique, calcul numérique Grégory Vial Institut](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022613/5b9d482709d3f275078c0ab4/html5/thumbnails/86.jpg)
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureEnjeux numériques
Ω
θ
r
0•
I Problème modèle :−∆u = f dans Ω,
u = 0 sur ∂Ω.
H = H10(Ω) = u ∈ H1(Ω) ; u = 0 sur ∂Ω.
I Formulation variationnelle : on cherche u ∈ H et
∀v ∈ H −∫∂Ω
∂νu v +
∫Ω
∇u · ∇v =
∫Ω
f v
I Approximation de Galerkin : Hn ⊂ H avec dimHn = n.
I (Pn) est un système linéaire n× n : si un =n∑
j=1
αjφj .
I Comment choisir Hn et la base (φj) ?
![Page 87: Mathématiques pour la mécanique de la rupture [5pt ... · Mathématiques pour la mécanique de la rupture singularités, analyse asymptotique, calcul numérique Grégory Vial Institut](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022613/5b9d482709d3f275078c0ab4/html5/thumbnails/87.jpg)
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureEnjeux numériques
Ω
θ
r
0•
I Problème modèle :−∆u = f dans Ω,
u = 0 sur ∂Ω.
H = H10(Ω) = u ∈ H1(Ω) ; u = 0 sur ∂Ω.
I Formulation variationnelle : on cherche u ∈ H et
∀v ∈ H
∫Ω
∇u · ∇v =
∫Ω
f v (P)
I Approximation de Galerkin : Hn ⊂ H avec dimHn = n.
I (Pn) est un système linéaire n× n : si un =n∑
j=1
αjφj .
I Comment choisir Hn et la base (φj) ?
![Page 88: Mathématiques pour la mécanique de la rupture [5pt ... · Mathématiques pour la mécanique de la rupture singularités, analyse asymptotique, calcul numérique Grégory Vial Institut](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022613/5b9d482709d3f275078c0ab4/html5/thumbnails/88.jpg)
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureEnjeux numériques
Ω
θ
r
0•
I Problème modèle :−∆u = f dans Ω,
u = 0 sur ∂Ω.
H = H10(Ω) = u ∈ H1(Ω) ; u = 0 sur ∂Ω.
I Approximation de Galerkin : Hn ⊂ H avec dimHn = n.
∀vn ∈ Hn
∫Ω
∇un · ∇vn =
∫Ω
f vn (Pn)
I (Pn) est un système linéaire n× n : si un =n∑
j=1
αjφj .
I Comment choisir Hn et la base (φj) ?
![Page 89: Mathématiques pour la mécanique de la rupture [5pt ... · Mathématiques pour la mécanique de la rupture singularités, analyse asymptotique, calcul numérique Grégory Vial Institut](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022613/5b9d482709d3f275078c0ab4/html5/thumbnails/89.jpg)
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureEnjeux numériques
Ω
θ
r
0•
I Problème modèle :−∆u = f dans Ω,
u = 0 sur ∂Ω.
H = H10(Ω) = u ∈ H1(Ω) ; u = 0 sur ∂Ω.
I Approximation de Galerkin : Hn ⊂ H avec dimHn = n.
∀vn ∈ Hn
∫Ω
∇un · ∇vn =
∫Ω
f vn (Pn)
I (Pn) est un système linéaire n× n : si un =n∑
j=1
αjφj .
I Comment choisir Hn et la base (φj) ?
![Page 90: Mathématiques pour la mécanique de la rupture [5pt ... · Mathématiques pour la mécanique de la rupture singularités, analyse asymptotique, calcul numérique Grégory Vial Institut](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022613/5b9d482709d3f275078c0ab4/html5/thumbnails/90.jpg)
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureEnjeux numériques
Ω
θ
r
0•
I Problème modèle :−∆u = f dans Ω,
u = 0 sur ∂Ω.
H = H10(Ω) = u ∈ H1(Ω) ; u = 0 sur ∂Ω.
I Approximation de Galerkin : Hn ⊂ H avec dimHn = n.
∀vn ∈ Hn
n∑j=1
αj
∫Ω
∇φj · ∇vn =
∫Ω
f vn
I (Pn) est un système linéaire n× n : si un =n∑
j=1
αjφj .
I Comment choisir Hn et la base (φj) ?
![Page 91: Mathématiques pour la mécanique de la rupture [5pt ... · Mathématiques pour la mécanique de la rupture singularités, analyse asymptotique, calcul numérique Grégory Vial Institut](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022613/5b9d482709d3f275078c0ab4/html5/thumbnails/91.jpg)
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureEnjeux numériques
Ω
θ
r
0•
I Problème modèle :−∆u = f dans Ω,
u = 0 sur ∂Ω.
H = H10(Ω) = u ∈ H1(Ω) ; u = 0 sur ∂Ω.
I Approximation de Galerkin : Hn ⊂ H avec dimHn = n.
∀i = 1, . . . ,n,n∑
j=1
αj
∫Ω
∇φj · ∇φi =
∫Ω
f φi
I (Pn) est un système linéaire n× n : si un =n∑
j=1
αjφj .
I Comment choisir Hn et la base (φj) ?
![Page 92: Mathématiques pour la mécanique de la rupture [5pt ... · Mathématiques pour la mécanique de la rupture singularités, analyse asymptotique, calcul numérique Grégory Vial Institut](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022613/5b9d482709d3f275078c0ab4/html5/thumbnails/92.jpg)
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureEnjeux numériques
Ω
θ
r
0•
I Problème modèle :−∆u = f dans Ω,
u = 0 sur ∂Ω.
H = H10(Ω) = u ∈ H1(Ω) ; u = 0 sur ∂Ω.
I Approximation de Galerkin : Hn ⊂ H avec dimHn = n.
∀i = 1, . . . ,n,n∑
j=1
αjKi j =
∫Ω
f φi
I (Pn) est un système linéaire n× n : si un =n∑
j=1
αjφj .
I Comment choisir Hn et la base (φj) ?
![Page 93: Mathématiques pour la mécanique de la rupture [5pt ... · Mathématiques pour la mécanique de la rupture singularités, analyse asymptotique, calcul numérique Grégory Vial Institut](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022613/5b9d482709d3f275078c0ab4/html5/thumbnails/93.jpg)
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureEnjeux numériques
Ω
θ
r
0•
I Problème modèle :−∆u = f dans Ω,
u = 0 sur ∂Ω.
H = H10(Ω) = u ∈ H1(Ω) ; u = 0 sur ∂Ω.
I Approximation de Galerkin : Hn ⊂ H avec dimHn = n.
∀i = 1, . . . ,n,n∑
j=1
αjKi j = Bi
I (Pn) est un système linéaire n× n : si un =n∑
j=1
αjφj .
I Comment choisir Hn et la base (φj) ?
![Page 94: Mathématiques pour la mécanique de la rupture [5pt ... · Mathématiques pour la mécanique de la rupture singularités, analyse asymptotique, calcul numérique Grégory Vial Institut](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022613/5b9d482709d3f275078c0ab4/html5/thumbnails/94.jpg)
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureEnjeux numériques
Ω
θ
r
0•
I Problème modèle :−∆u = f dans Ω,
u = 0 sur ∂Ω.
H = H10(Ω) = u ∈ H1(Ω) ; u = 0 sur ∂Ω.
I Approximation de Galerkin : Hn ⊂ H avec dimHn = n.
Kα = B
I (Pn) est un système linéaire n× n : si un =n∑
j=1
αjφj .
Ki j =
∫Ω
∇φj · ∇φi Bi =
∫Ω
fφi .
I Comment choisir Hn et la base (φj) ?
![Page 95: Mathématiques pour la mécanique de la rupture [5pt ... · Mathématiques pour la mécanique de la rupture singularités, analyse asymptotique, calcul numérique Grégory Vial Institut](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022613/5b9d482709d3f275078c0ab4/html5/thumbnails/95.jpg)
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureEnjeux numériques
Ω
θ
r
0•
I Problème modèle :−∆u = f dans Ω,
u = 0 sur ∂Ω.
H = H10(Ω) = u ∈ H1(Ω) ; u = 0 sur ∂Ω.
I Approximation de Galerkin : Hn ⊂ H avec dimHn = n.
Kα = B
I (Pn) est un système linéaire n× n : si un =n∑
j=1
αjφj .
Ki j =
∫Ω
∇φj · ∇φi Bi =
∫Ω
fφi .
I Comment choisir Hn et la base (φj) ?
![Page 96: Mathématiques pour la mécanique de la rupture [5pt ... · Mathématiques pour la mécanique de la rupture singularités, analyse asymptotique, calcul numérique Grégory Vial Institut](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022613/5b9d482709d3f275078c0ab4/html5/thumbnails/96.jpg)
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureEnjeux numériques
I Méthodes des éléments finis
I Maillage du domaine
I Triangulation Tn :
Ω =⋃
K∈Tn
K
I Si K 6= L,
K ∩ L = arête ou sommet.
I Espace d’approximation et fonctions de base
I Hn =
v ∈ C (Ω) ; ∀K ∈ Tn, v |K ∈ P1
.
I ∀si sommet de Tn, φi(sj) = δi j .
![Page 97: Mathématiques pour la mécanique de la rupture [5pt ... · Mathématiques pour la mécanique de la rupture singularités, analyse asymptotique, calcul numérique Grégory Vial Institut](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022613/5b9d482709d3f275078c0ab4/html5/thumbnails/97.jpg)
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureEnjeux numériques
I Méthodes des éléments finis
I Maillage du domaine
I Triangulation Tn :
Ω =⋃
K∈Tn
K
I Si K 6= L,
K ∩ L = arête ou sommet.
I Espace d’approximation et fonctions de base
I Hn =
v ∈ C (Ω) ; ∀K ∈ Tn, v |K ∈ P1
.
I ∀si sommet de Tn, φi(sj) = δi j .
![Page 98: Mathématiques pour la mécanique de la rupture [5pt ... · Mathématiques pour la mécanique de la rupture singularités, analyse asymptotique, calcul numérique Grégory Vial Institut](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022613/5b9d482709d3f275078c0ab4/html5/thumbnails/98.jpg)
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureEnjeux numériques
I Méthodes des éléments finis
I Maillage du domaine
I Triangulation Tn :
Ω =⋃
K∈Tn
K
I Si K 6= L,
K ∩ L = arête ou sommet.
I Espace d’approximation et fonctions de base
I Hn =
v ∈ C (Ω) ; ∀K ∈ Tn, v |K ∈ P1
.
I ∀si sommet de Tn, φi(sj) = δi j .
![Page 99: Mathématiques pour la mécanique de la rupture [5pt ... · Mathématiques pour la mécanique de la rupture singularités, analyse asymptotique, calcul numérique Grégory Vial Institut](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022613/5b9d482709d3f275078c0ab4/html5/thumbnails/99.jpg)
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureEnjeux numériques
I Méthodes des éléments finis
I Maillage du domaine
I Triangulation Tn :
Ω =⋃
K∈Tn
K
I Si K 6= L,
K ∩ L = arête ou sommet.
I Espace d’approximation et fonctions de base
I Hn =
v ∈ C (Ω) ; ∀K ∈ Tn, v |K ∈ P1
.
I ∀si sommet de Tn, φi(sj) = δi j .
![Page 100: Mathématiques pour la mécanique de la rupture [5pt ... · Mathématiques pour la mécanique de la rupture singularités, analyse asymptotique, calcul numérique Grégory Vial Institut](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022613/5b9d482709d3f275078c0ab4/html5/thumbnails/100.jpg)
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureEnjeux numériques
I Méthodes des éléments finis
I Maillage du domaine
I Triangulation Tn :
Ω =⋃
K∈Tn
K
I Si K 6= L,
K ∩ L = arête ou sommet.
I Espace d’approximation et fonctions de base
I Hn =
v ∈ C (Ω) ; ∀K ∈ Tn, v |K ∈ P1
.
I ∀si sommet de Tn, φi(sj) = δi j .
![Page 101: Mathématiques pour la mécanique de la rupture [5pt ... · Mathématiques pour la mécanique de la rupture singularités, analyse asymptotique, calcul numérique Grégory Vial Institut](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022613/5b9d482709d3f275078c0ab4/html5/thumbnails/101.jpg)
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureEnjeux numériques
I Méthodes des éléments finis
I Maillage du domaine
I Triangulation Tn :
Ω =⋃
K∈Tn
K
I Si K 6= L,
K ∩ L = arête ou sommet.
I Espace d’approximation et fonctions de base
I Hn =
v ∈ C (Ω) ; ∀K ∈ Tn, v |K ∈ P1
.
I ∀si sommet de Tn, φi(sj) = δi j .
![Page 102: Mathématiques pour la mécanique de la rupture [5pt ... · Mathématiques pour la mécanique de la rupture singularités, analyse asymptotique, calcul numérique Grégory Vial Institut](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022613/5b9d482709d3f275078c0ab4/html5/thumbnails/102.jpg)
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureEnjeux numériques
I Méthodes des éléments finis
I Maillage du domaine
I Triangulation Tn :
Ω =⋃
K∈Tn
K
I Si K 6= L,
K ∩ L = arête ou sommet.
I Espace d’approximation et fonctions de base
I Hn =
v ∈ C (Ω) ; ∀K ∈ Tn, v |K ∈ P1
.
I ∀si sommet de Tn, φi(sj) = δi j .
![Page 103: Mathématiques pour la mécanique de la rupture [5pt ... · Mathématiques pour la mécanique de la rupture singularités, analyse asymptotique, calcul numérique Grégory Vial Institut](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022613/5b9d482709d3f275078c0ab4/html5/thumbnails/103.jpg)
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureEnjeux numériques
I Méthodes des éléments finisI Maillage du domaine
I Triangulation Tn :
Ω =⋃
K∈Tn
K
I Si K 6= L,
K ∩ L = arête ou sommet.
I Espace d’approximation et fonctions de base
I Hn =
v ∈ C (Ω) ; ∀K ∈ Tn, v |K ∈ P1
.
I ∀si sommet de Tn, φi(sj) = δi j .
![Page 104: Mathématiques pour la mécanique de la rupture [5pt ... · Mathématiques pour la mécanique de la rupture singularités, analyse asymptotique, calcul numérique Grégory Vial Institut](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022613/5b9d482709d3f275078c0ab4/html5/thumbnails/104.jpg)
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureEnjeux numériques
I Estimations d’erreur (cas régulier)
Théorème. Si u ∈ H2(Ω), alors
‖u − un‖H1(Ω) ≤ C h ‖f‖L2(Ω).
![Page 105: Mathématiques pour la mécanique de la rupture [5pt ... · Mathématiques pour la mécanique de la rupture singularités, analyse asymptotique, calcul numérique Grégory Vial Institut](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022613/5b9d482709d3f275078c0ab4/html5/thumbnails/105.jpg)
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureEnjeux numériques
I Estimations d’erreur (cas régulier)
Théorème. Si u ∈ H2(Ω), alors
‖u − un‖H1(Ω) ≤ C h ‖f‖L2(Ω).
![Page 106: Mathématiques pour la mécanique de la rupture [5pt ... · Mathématiques pour la mécanique de la rupture singularités, analyse asymptotique, calcul numérique Grégory Vial Institut](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022613/5b9d482709d3f275078c0ab4/html5/thumbnails/106.jpg)
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureEnjeux numériques
I Estimations d’erreur (cas régulier)
Théorème. Si u ∈ H2(Ω), alors
‖u − un‖H1(Ω) ≤ C h ‖f‖L2(Ω).
u
Calculs pour h ' 0.01
![Page 107: Mathématiques pour la mécanique de la rupture [5pt ... · Mathématiques pour la mécanique de la rupture singularités, analyse asymptotique, calcul numérique Grégory Vial Institut](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022613/5b9d482709d3f275078c0ab4/html5/thumbnails/107.jpg)
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureEnjeux numériques
I Estimations d’erreur (cas régulier)
Théorème. Si u ∈ H2(Ω), alors
‖u − un‖H1(Ω) ≤ C h ‖f‖L2(Ω).
u un
Calculs pour h ' 0.01
![Page 108: Mathématiques pour la mécanique de la rupture [5pt ... · Mathématiques pour la mécanique de la rupture singularités, analyse asymptotique, calcul numérique Grégory Vial Institut](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022613/5b9d482709d3f275078c0ab4/html5/thumbnails/108.jpg)
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureEnjeux numériques
I Estimations d’erreur (cas régulier)
Théorème. Si u ∈ H2(Ω), alors
‖u − un‖H1(Ω) ≤ C h ‖f‖L2(Ω).
u un u − un
Calculs pour h ' 0.01 – ‖u − un‖H1(Ω) ' 9 · 10−4
![Page 109: Mathématiques pour la mécanique de la rupture [5pt ... · Mathématiques pour la mécanique de la rupture singularités, analyse asymptotique, calcul numérique Grégory Vial Institut](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022613/5b9d482709d3f275078c0ab4/html5/thumbnails/109.jpg)
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureEnjeux numériques
I Estimations d’erreur (cas régulier)
Théorème. Si u ∈ H2(Ω), alors
‖u − un‖H1(Ω) ≤ C h ‖f‖L2(Ω).
u un u − un
Calculs pour h ' 0.004
![Page 110: Mathématiques pour la mécanique de la rupture [5pt ... · Mathématiques pour la mécanique de la rupture singularités, analyse asymptotique, calcul numérique Grégory Vial Institut](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022613/5b9d482709d3f275078c0ab4/html5/thumbnails/110.jpg)
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureEnjeux numériques
I Estimations d’erreur (cas régulier)
Théorème. Si u ∈ H2(Ω), alors
‖u − un‖H1(Ω) ≤ C h ‖f‖L2(Ω).
u un u − un
Calculs pour h ' 0.004
![Page 111: Mathématiques pour la mécanique de la rupture [5pt ... · Mathématiques pour la mécanique de la rupture singularités, analyse asymptotique, calcul numérique Grégory Vial Institut](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022613/5b9d482709d3f275078c0ab4/html5/thumbnails/111.jpg)
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureEnjeux numériques
I Estimations d’erreur (cas régulier)
Théorème. Si u ∈ H2(Ω), alors
‖u − un‖H1(Ω) ≤ C h ‖f‖L2(Ω).
u un u − un
Calculs pour h ' 0.004 – ‖u − un‖H1(Ω) ' 2.7 · 10−4
![Page 112: Mathématiques pour la mécanique de la rupture [5pt ... · Mathématiques pour la mécanique de la rupture singularités, analyse asymptotique, calcul numérique Grégory Vial Institut](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022613/5b9d482709d3f275078c0ab4/html5/thumbnails/112.jpg)
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureEnjeux numériques
I Estimations d’erreur (cas régulier)
Théorème. Si u ∈ H2(Ω), alors
‖u − un‖H1(Ω) ≤ C h ‖f‖L2(Ω).
u un u − un
Calculs pour h ' 0.001
![Page 113: Mathématiques pour la mécanique de la rupture [5pt ... · Mathématiques pour la mécanique de la rupture singularités, analyse asymptotique, calcul numérique Grégory Vial Institut](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022613/5b9d482709d3f275078c0ab4/html5/thumbnails/113.jpg)
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureEnjeux numériques
I Estimations d’erreur (cas régulier)
Théorème. Si u ∈ H2(Ω), alors
‖u − un‖H1(Ω) ≤ C h ‖f‖L2(Ω).
u un u − un
Calculs pour h ' 0.001
![Page 114: Mathématiques pour la mécanique de la rupture [5pt ... · Mathématiques pour la mécanique de la rupture singularités, analyse asymptotique, calcul numérique Grégory Vial Institut](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022613/5b9d482709d3f275078c0ab4/html5/thumbnails/114.jpg)
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureEnjeux numériques
I Estimations d’erreur (cas régulier)
Théorème. Si u ∈ H2(Ω), alors
‖u − un‖H1(Ω) ≤ C h ‖f‖L2(Ω).
u un u − un
Calculs pour h ' 0.001 – ‖u − un‖H1(Ω) ' 8 · 10−5
![Page 115: Mathématiques pour la mécanique de la rupture [5pt ... · Mathématiques pour la mécanique de la rupture singularités, analyse asymptotique, calcul numérique Grégory Vial Institut](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022613/5b9d482709d3f275078c0ab4/html5/thumbnails/115.jpg)
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureEnjeux numériques
I Estimations d’erreur (cas singulier)
Théorème. Dans le cas d’un secteur d’angle ω, on a en général
‖u − un‖H1(Ω) ≤ C hα ‖f‖L2(Ω).
avec α = πω
.
![Page 116: Mathématiques pour la mécanique de la rupture [5pt ... · Mathématiques pour la mécanique de la rupture singularités, analyse asymptotique, calcul numérique Grégory Vial Institut](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022613/5b9d482709d3f275078c0ab4/html5/thumbnails/116.jpg)
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureEnjeux numériques
I Estimations d’erreur (cas singulier)
Théorème. Dans le cas d’un secteur d’angle ω, on a en général
‖u − un‖H1(Ω) ≤ C hα ‖f‖L2(Ω).
avec α = πω
.
![Page 117: Mathématiques pour la mécanique de la rupture [5pt ... · Mathématiques pour la mécanique de la rupture singularités, analyse asymptotique, calcul numérique Grégory Vial Institut](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022613/5b9d482709d3f275078c0ab4/html5/thumbnails/117.jpg)
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureEnjeux numériques
I Estimations d’erreur (cas singulier)
Théorème. Dans le cas d’un secteur d’angle ω, on a en général
‖u − un‖H1(Ω) ≤ C hα ‖f‖L2(Ω).
avec α = πω
.
u
Calculs pour h ' 0.01
![Page 118: Mathématiques pour la mécanique de la rupture [5pt ... · Mathématiques pour la mécanique de la rupture singularités, analyse asymptotique, calcul numérique Grégory Vial Institut](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022613/5b9d482709d3f275078c0ab4/html5/thumbnails/118.jpg)
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureEnjeux numériques
I Estimations d’erreur (cas singulier)
Théorème. Dans le cas d’un secteur d’angle ω, on a en général
‖u − un‖H1(Ω) ≤ C hα ‖f‖L2(Ω).
avec α = πω
.
u un
Calculs pour h ' 0.01
![Page 119: Mathématiques pour la mécanique de la rupture [5pt ... · Mathématiques pour la mécanique de la rupture singularités, analyse asymptotique, calcul numérique Grégory Vial Institut](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022613/5b9d482709d3f275078c0ab4/html5/thumbnails/119.jpg)
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureEnjeux numériques
I Estimations d’erreur (cas singulier)
Théorème. Dans le cas d’un secteur d’angle ω, on a en général
‖u − un‖H1(Ω) ≤ C hα ‖f‖L2(Ω).
avec α = πω
.
u un u − un
Calculs pour h ' 0.01 – ‖u − un‖H1(Ω) ' 0.22
![Page 120: Mathématiques pour la mécanique de la rupture [5pt ... · Mathématiques pour la mécanique de la rupture singularités, analyse asymptotique, calcul numérique Grégory Vial Institut](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022613/5b9d482709d3f275078c0ab4/html5/thumbnails/120.jpg)
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureEnjeux numériques
I Estimations d’erreur (cas singulier)
Théorème. Dans le cas d’un secteur d’angle ω, on a en général
‖u − un‖H1(Ω) ≤ C hα ‖f‖L2(Ω).
avec α = πω
.
u un u − un
Calculs pour h ' 0.004
![Page 121: Mathématiques pour la mécanique de la rupture [5pt ... · Mathématiques pour la mécanique de la rupture singularités, analyse asymptotique, calcul numérique Grégory Vial Institut](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022613/5b9d482709d3f275078c0ab4/html5/thumbnails/121.jpg)
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureEnjeux numériques
I Estimations d’erreur (cas singulier)
Théorème. Dans le cas d’un secteur d’angle ω, on a en général
‖u − un‖H1(Ω) ≤ C hα ‖f‖L2(Ω).
avec α = πω
.
u un u − un
Calculs pour h ' 0.004
![Page 122: Mathématiques pour la mécanique de la rupture [5pt ... · Mathématiques pour la mécanique de la rupture singularités, analyse asymptotique, calcul numérique Grégory Vial Institut](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022613/5b9d482709d3f275078c0ab4/html5/thumbnails/122.jpg)
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureEnjeux numériques
I Estimations d’erreur (cas singulier)
Théorème. Dans le cas d’un secteur d’angle ω, on a en général
‖u − un‖H1(Ω) ≤ C hα ‖f‖L2(Ω).
avec α = πω
.
u un u − un
Calculs pour h ' 0.004 – ‖u − un‖H1(Ω) ' 3.3 · 10−2
![Page 123: Mathématiques pour la mécanique de la rupture [5pt ... · Mathématiques pour la mécanique de la rupture singularités, analyse asymptotique, calcul numérique Grégory Vial Institut](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022613/5b9d482709d3f275078c0ab4/html5/thumbnails/123.jpg)
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureEnjeux numériques
I Estimations d’erreur (cas singulier)
Théorème. Dans le cas d’un secteur d’angle ω, on a en général
‖u − un‖H1(Ω) ≤ C hα ‖f‖L2(Ω).
avec α = πω
.
u un u − un
Calculs pour h ' 0.001
![Page 124: Mathématiques pour la mécanique de la rupture [5pt ... · Mathématiques pour la mécanique de la rupture singularités, analyse asymptotique, calcul numérique Grégory Vial Institut](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022613/5b9d482709d3f275078c0ab4/html5/thumbnails/124.jpg)
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureEnjeux numériques
I Estimations d’erreur (cas singulier)
Théorème. Dans le cas d’un secteur d’angle ω, on a en général
‖u − un‖H1(Ω) ≤ C hα ‖f‖L2(Ω).
avec α = πω
.
u un u − un
Calculs pour h ' 0.001
![Page 125: Mathématiques pour la mécanique de la rupture [5pt ... · Mathématiques pour la mécanique de la rupture singularités, analyse asymptotique, calcul numérique Grégory Vial Institut](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022613/5b9d482709d3f275078c0ab4/html5/thumbnails/125.jpg)
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureEnjeux numériques
I Estimations d’erreur (cas singulier)
Théorème. Dans le cas d’un secteur d’angle ω, on a en général
‖u − un‖H1(Ω) ≤ C hα ‖f‖L2(Ω).
avec α = πω
.
u un u − un
Calculs pour h ' 0.001 – ‖u − un‖H1(Ω) ' 2.6 · 10−2
![Page 126: Mathématiques pour la mécanique de la rupture [5pt ... · Mathématiques pour la mécanique de la rupture singularités, analyse asymptotique, calcul numérique Grégory Vial Institut](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022613/5b9d482709d3f275078c0ab4/html5/thumbnails/126.jpg)
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureEnjeux numériques
Théorème. Si u ∈ H2(Ω), alors
‖u − un‖H1(Ω) ≤ C h ‖f‖L2(Ω).
Théorème. Dans le cas d’un secteur d’angle ω, on a en général
‖u − un‖H1(Ω) ≤ C hα ‖f‖L2(Ω).
avec α = πω
.
I But = construire des méthodes pour pallier ce défaut.
I Méthodes de raffinement de maillage.
I Méthodes d’adjonction de singularité.
![Page 127: Mathématiques pour la mécanique de la rupture [5pt ... · Mathématiques pour la mécanique de la rupture singularités, analyse asymptotique, calcul numérique Grégory Vial Institut](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022613/5b9d482709d3f275078c0ab4/html5/thumbnails/127.jpg)
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureEnjeux numériques
Théorème. Si u ∈ H2(Ω), alors
‖u − un‖H1(Ω) ≤ C h ‖f‖L2(Ω).
Théorème. Dans le cas d’un secteur d’angle ω, on a en général
‖u − un‖H1(Ω) ≤ C hα ‖f‖L2(Ω).
avec α = πω
.
I But = construire des méthodes pour pallier ce défaut.
I Méthodes de raffinement de maillage.
I Méthodes d’adjonction de singularité.
![Page 128: Mathématiques pour la mécanique de la rupture [5pt ... · Mathématiques pour la mécanique de la rupture singularités, analyse asymptotique, calcul numérique Grégory Vial Institut](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022613/5b9d482709d3f275078c0ab4/html5/thumbnails/128.jpg)
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureEnjeux numériques
Théorème. Si u ∈ H2(Ω), alors
‖u − un‖H1(Ω) ≤ C h ‖f‖L2(Ω).
Théorème. Dans le cas d’un secteur d’angle ω, on a en général
‖u − un‖H1(Ω) ≤ C hα ‖f‖L2(Ω).
avec α = πω
.
I But = construire des méthodes pour pallier ce défaut.
I Méthodes de raffinement de maillage.
I Méthodes d’adjonction de singularité.
![Page 129: Mathématiques pour la mécanique de la rupture [5pt ... · Mathématiques pour la mécanique de la rupture singularités, analyse asymptotique, calcul numérique Grégory Vial Institut](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022613/5b9d482709d3f275078c0ab4/html5/thumbnails/129.jpg)
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureEnjeux numériques
Théorème. Si u ∈ H2(Ω), alors
‖u − un‖H1(Ω) ≤ C h ‖f‖L2(Ω).
Théorème. Dans le cas d’un secteur d’angle ω, on a en général
‖u − un‖H1(Ω) ≤ C hα ‖f‖L2(Ω).
avec α = πω
.
I But = construire des méthodes pour pallier ce défaut.
I Méthodes de raffinement de maillage.
I Méthodes d’adjonction de singularité.
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Mathématiques pour la mécanique de la ruptureInitiation des fissures
I Comment calculer le SIF pour des petites fissures ?
I Problème modèle :
Ωεε
0••0ε
−∆uε(x) = f (x) dans Ωε,
uε(x) = 0 sur ∂Ωε
Pour ε > 0,
uε(x) = uεreg + λε√
rε sin(θε2
).
Question. Asymptotique de λε pour ε→ 0 ?
I Méthode : construire un développement asymptotique de uε.
![Page 131: Mathématiques pour la mécanique de la rupture [5pt ... · Mathématiques pour la mécanique de la rupture singularités, analyse asymptotique, calcul numérique Grégory Vial Institut](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022613/5b9d482709d3f275078c0ab4/html5/thumbnails/131.jpg)
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureInitiation des fissures
I Comment calculer le SIF pour des petites fissures ?
I Problème modèle :
Ωεε
0••0ε
−∆uε(x) = f (x) dans Ωε,
uε(x) = 0 sur ∂Ωε
Pour ε > 0,
uε(x) = uεreg + λε√
rε sin(θε2
).
Question. Asymptotique de λε pour ε→ 0 ?
I Méthode : construire un développement asymptotique de uε.
![Page 132: Mathématiques pour la mécanique de la rupture [5pt ... · Mathématiques pour la mécanique de la rupture singularités, analyse asymptotique, calcul numérique Grégory Vial Institut](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022613/5b9d482709d3f275078c0ab4/html5/thumbnails/132.jpg)
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureInitiation des fissures
I Comment calculer le SIF pour des petites fissures ?
I Problème modèle :
Ωεε
0••0ε
−∆uε(x) = f (x) dans Ωε,
uε(x) = 0 sur ∂Ωε
Pour ε > 0,
uε(x) = uεreg + λε√
rε sin(θε2
).
Question. Asymptotique de λε pour ε→ 0 ?
I Méthode : construire un développement asymptotique de uε.
![Page 133: Mathématiques pour la mécanique de la rupture [5pt ... · Mathématiques pour la mécanique de la rupture singularités, analyse asymptotique, calcul numérique Grégory Vial Institut](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022613/5b9d482709d3f275078c0ab4/html5/thumbnails/133.jpg)
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureInitiation des fissures
I Comment calculer le SIF pour des petites fissures ?
I Problème modèle :
Ωεε
0••0ε
−∆uε(x) = f (x) dans Ωε,
uε(x) = 0 sur ∂Ωε
Pour ε > 0,
uε(x) = uεreg + λε√
rε sin(θε2
).
Question. Asymptotique de λε pour ε→ 0 ?
I Méthode : construire un développement asymptotique de uε.
![Page 134: Mathématiques pour la mécanique de la rupture [5pt ... · Mathématiques pour la mécanique de la rupture singularités, analyse asymptotique, calcul numérique Grégory Vial Institut](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022613/5b9d482709d3f275078c0ab4/html5/thumbnails/134.jpg)
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureInitiation des fissures
I Comment calculer le SIF pour des petites fissures ?
I Problème modèle :
Ωεε
0••0ε
−∆uε(x) = f (x) dans Ωε,
uε(x) = 0 sur ∂Ωε
Pour ε > 0,
uε(x) = uεreg + λε√
rε sin(θε2
).
Question. Asymptotique de λε pour ε→ 0 ?
I Méthode : construire un développement asymptotique de uε.
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Mathématiques pour la mécanique de la ruptureInitiation des fissures
I Développement asymptotique
uε(x) ' u0(x) + c ε23 K(xε
),
où K résout−∆K (X) = 0 dans Π∞,
K (X) = |X|23 sin
( 2θ3
)sur ∂Π∞.
Ωεε
0• •0ε
Ω0
0•
Π∞
0•
•01
![Page 136: Mathématiques pour la mécanique de la rupture [5pt ... · Mathématiques pour la mécanique de la rupture singularités, analyse asymptotique, calcul numérique Grégory Vial Institut](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022613/5b9d482709d3f275078c0ab4/html5/thumbnails/136.jpg)
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureInitiation des fissures
I Développement asymptotique
uε(x) ' u0(x) + c ε23 K(xε
),
où K résout−∆K (X) = 0 dans Π∞,
K (X) = |X|23 sin
( 2θ3
)sur ∂Π∞.
Ωεε
0• •0ε
Ω0
0•
Π∞
0•
•01
![Page 137: Mathématiques pour la mécanique de la rupture [5pt ... · Mathématiques pour la mécanique de la rupture singularités, analyse asymptotique, calcul numérique Grégory Vial Institut](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022613/5b9d482709d3f275078c0ab4/html5/thumbnails/137.jpg)
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureInitiation des fissures
I Développement asymptotique
uε(x) ' u0(x) + c ε23 K(xε
),
où K résout−∆K (X) = 0 dans Π∞,
K (X) = |X|23 sin
( 2θ3
)sur ∂Π∞.
Ωεε
0• •0ε
Ω0
0•
Π∞
0•
•01
![Page 138: Mathématiques pour la mécanique de la rupture [5pt ... · Mathématiques pour la mécanique de la rupture singularités, analyse asymptotique, calcul numérique Grégory Vial Institut](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022613/5b9d482709d3f275078c0ab4/html5/thumbnails/138.jpg)
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureInitiation des fissures
I Développement asymptotique
uε(x) ' u0(x) + c ε23 K(xε
),
où K résout−∆K (X) = 0 dans Π∞,
K (X) = |X|23 sin
( 2θ3
)sur ∂Π∞.
K (X) 'X=01
b√|X− 01| sin
(θ
2
)
Ωεε
0• •0ε
Ω0
0•
Π∞
0•
•01
![Page 139: Mathématiques pour la mécanique de la rupture [5pt ... · Mathématiques pour la mécanique de la rupture singularités, analyse asymptotique, calcul numérique Grégory Vial Institut](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022613/5b9d482709d3f275078c0ab4/html5/thumbnails/139.jpg)
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureInitiation des fissures
I Développement asymptotique
uε(x) ' u0(x) + c b ε23
√∣∣∣xε− 01
∣∣∣ sin(θ1
2
),
où K résout−∆K (X) = 0 dans Π∞,
K (X) = |X|23 sin
( 2θ3
)sur ∂Π∞.
K (X) 'X=01
b√|X− 01| sin
(θ
2
)
Ωεε
0• •0ε
Ω0
0•
Π∞
0•
•01
![Page 140: Mathématiques pour la mécanique de la rupture [5pt ... · Mathématiques pour la mécanique de la rupture singularités, analyse asymptotique, calcul numérique Grégory Vial Institut](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022613/5b9d482709d3f275078c0ab4/html5/thumbnails/140.jpg)
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureInitiation des fissures
I Développement asymptotique
uε(x) ' u0(x) + c b ε23
√∣∣∣∣xε − 0εε
∣∣∣∣ sin(θ1
2
),
où K résout−∆K (X) = 0 dans Π∞,
K (X) = |X|23 sin
( 2θ3
)sur ∂Π∞.
K (X) 'X=01
b√|X− 01| sin
(θ
2
)
Ωεε
0• •0ε
Ω0
0•
Π∞
0•
•01
![Page 141: Mathématiques pour la mécanique de la rupture [5pt ... · Mathématiques pour la mécanique de la rupture singularités, analyse asymptotique, calcul numérique Grégory Vial Institut](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022613/5b9d482709d3f275078c0ab4/html5/thumbnails/141.jpg)
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureInitiation des fissures
I Développement asymptotique
uε(x) ' u0(x) + c b ε23−
12
√|x− 0ε| sin
(θε2
),
où K résout−∆K (X) = 0 dans Π∞,
K (X) = |X|23 sin
( 2θ3
)sur ∂Π∞.
K (X) 'X=01
b√|X− 01| sin
(θ
2
)
Ωεε
0• •0ε
Ω0
0•
Π∞
0•
•01
![Page 142: Mathématiques pour la mécanique de la rupture [5pt ... · Mathématiques pour la mécanique de la rupture singularités, analyse asymptotique, calcul numérique Grégory Vial Institut](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022613/5b9d482709d3f275078c0ab4/html5/thumbnails/142.jpg)
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureInitiation des fissures
I Développement asymptotique
uε(x) ' u0(x) + c b ε16
√|x− 0ε| sin
(θε2
),
où K résout−∆K (X) = 0 dans Π∞,
K (X) = |X|23 sin
( 2θ3
)sur ∂Π∞.
K (X) 'X=01
b√|X− 01| sin
(θ
2
)
Ωεε
0• •0ε
Ω0
0•
Π∞
0•
•01
![Page 143: Mathématiques pour la mécanique de la rupture [5pt ... · Mathématiques pour la mécanique de la rupture singularités, analyse asymptotique, calcul numérique Grégory Vial Institut](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022613/5b9d482709d3f275078c0ab4/html5/thumbnails/143.jpg)
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureInitiation des fissures
I Développement asymptotique (vis-à-vis de ε)
uε(x) ' u0(x) + c b ε16
√|x− 0ε| sin
(θε2
).
I Décomposition au voisinage de 0ε
uε(x) ' uεreg + λε
√|x− 0ε| sin
(θε2
).
I D’où l’asymptotique
λε = c b ε16 .
En particulier λε → 0 lorsque ε→ 0.
Ωεε
0••0ε
![Page 144: Mathématiques pour la mécanique de la rupture [5pt ... · Mathématiques pour la mécanique de la rupture singularités, analyse asymptotique, calcul numérique Grégory Vial Institut](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022613/5b9d482709d3f275078c0ab4/html5/thumbnails/144.jpg)
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureInitiation des fissures
I Développement asymptotique (vis-à-vis de ε)
uε(x) ' u0(x) + c b ε16
√|x− 0ε| sin
(θε2
).
I Décomposition au voisinage de 0ε
uε(x) ' uεreg + λε
√|x− 0ε| sin
(θε2
).
I D’où l’asymptotique
λε = c b ε16 .
En particulier λε → 0 lorsque ε→ 0.
Ωεε
0••0ε
![Page 145: Mathématiques pour la mécanique de la rupture [5pt ... · Mathématiques pour la mécanique de la rupture singularités, analyse asymptotique, calcul numérique Grégory Vial Institut](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022613/5b9d482709d3f275078c0ab4/html5/thumbnails/145.jpg)
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureInitiation des fissures
I Développement asymptotique (vis-à-vis de ε)
uε(x) ' u0(x) + c b ε16
√|x− 0ε| sin
(θε2
).
I Décomposition au voisinage de 0ε
uε(x) ' uεreg + λε
√|x− 0ε| sin
(θε2
).
I D’où l’asymptotique
λε = c b ε16 .
En particulier λε → 0 lorsque ε→ 0.
Ωεε
0• •0ε
![Page 146: Mathématiques pour la mécanique de la rupture [5pt ... · Mathématiques pour la mécanique de la rupture singularités, analyse asymptotique, calcul numérique Grégory Vial Institut](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022613/5b9d482709d3f275078c0ab4/html5/thumbnails/146.jpg)
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureInitiation des fissures
I Développement asymptotique (vis-à-vis de ε)
uε(x) ' u0(x) + c b ε16
√|x− 0ε| sin
(θε2
).
I Décomposition au voisinage de 0ε
uε(x) ' uεreg + λε
√|x− 0ε| sin
(θε2
).
I D’où l’asymptotique
λε = c b ε16 .
En particulier λε → 0 lorsque ε→ 0.
Ωεε
0• •0ε
![Page 147: Mathématiques pour la mécanique de la rupture [5pt ... · Mathématiques pour la mécanique de la rupture singularités, analyse asymptotique, calcul numérique Grégory Vial Institut](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022613/5b9d482709d3f275078c0ab4/html5/thumbnails/147.jpg)
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureInitiation des fissures
I Développement asymptotique (vis-à-vis de ε)
uε(x) ' u0(x) + c b ε16
√|x− 0ε| sin
(θε2
).
I Décomposition au voisinage de 0ε
uε(x) ' uεreg + λε
√|x− 0ε| sin
(θε2
).
I D’où l’asymptotique
λε = c b ε16 .
En particulier λε → 0 lorsque ε→ 0.
Ωεε
0• •0ε
![Page 148: Mathématiques pour la mécanique de la rupture [5pt ... · Mathématiques pour la mécanique de la rupture singularités, analyse asymptotique, calcul numérique Grégory Vial Institut](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022613/5b9d482709d3f275078c0ab4/html5/thumbnails/148.jpg)
Mathématiques pour la mécanique de la ruptureProgramme de la semaine
Plan du cours
I Cours 1 : régularité/singularités des problèmes elliptiques
I Cours 2 : Méthodes numériques
I Cours 3 : études asymptotiques
Exercices
I Calcul de singularités et d’asymptotiques.
I Simulations éléments finis.
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Mathématiques pour la mécanique de la ruptureProgramme de la semaine
Plan du cours
I Cours 1 : régularité/singularités des problèmes elliptiques
I Cours 2 : Méthodes numériques
I Cours 3 : études asymptotiques
Exercices
I Calcul de singularités et d’asymptotiques.
I Simulations éléments finis.
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Mathématiques pour la mécanique de la ruptureProgramme de la semaine
Plan du cours
I Cours 1 : régularité/singularités des problèmes elliptiques
I Cours 2 : Méthodes numériques
I Cours 3 : études asymptotiques
Exercices
I Calcul de singularités et d’asymptotiques.
I Simulations éléments finis.
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Mathématiques pour la mécanique de la ruptureProgramme de la semaine
Plan du cours
I Cours 1 : régularité/singularités des problèmes elliptiques
I Cours 2 : Méthodes numériques
I Cours 3 : études asymptotiques
Exercices
I Calcul de singularités et d’asymptotiques.
I Simulations éléments finis.
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Mathématiques pour la mécanique de la ruptureProgramme de la semaine
Plan du cours
I Cours 1 : régularité/singularités des problèmes elliptiques
I Cours 2 : Méthodes numériques
I Cours 3 : études asymptotiques
Exercices
I Calcul de singularités et d’asymptotiques.
I Simulations éléments finis.
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Mathématiques pour la mécanique de la ruptureProgramme de la semaine
Plan du cours
I Cours 1 : régularité/singularités des problèmes elliptiques
I Cours 2 : Méthodes numériques
I Cours 3 : études asymptotiques
Exercices
I Calcul de singularités et d’asymptotiques.
I Simulations éléments finis.
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Mathématiques pour la mécanique de la ruptureProgramme de la semaine
Plan du cours
I Cours 1 : régularité/singularités des problèmes elliptiques
I Cours 2 : Méthodes numériques
I Cours 3 : études asymptotiques
Exercices
I Calcul de singularités et d’asymptotiques.
I Simulations éléments finis.