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Mathesis Roma 9 marzo 2016 Proposta di soluzione di Adriana Lanza

PROBLEMA. L’EFFETTO GEMELLI

Adattamento da P.A. Tipler –Invito alla Fisica 3 E.F.Taylor-J.A.Wheeler –

Fisica dello Spazio-Tempo Zanichelli

Obiettivi

Presentare una soluzione semplificata del “Paradosso dei

Gemelli”

Utilizzare in modo consapevole le trasformazioni di Lorentz e i

diagrammi spazio-temporali

Riconoscere il carattere relativo della simultaneità

Utilizzare il concetto di tempo proprio, distanza propria,

intervallo Spazio-temporale

I due gemelli Oreste e Omero hanno accettato di partecipare ad un

esperimento per verificare l’EFFETTO GEMELLI:

<<Se O’ fa un lungo viaggio di andata e ritorno , a velocità confrontabile

con quella della luce, mentre il suo gemello O resta a terra, al suo ritorno

trova il gemello molto più invecchiato rispetto a lui.>>

Oreste rimane a terra ( riferimento Ω) mentre Omero intraprende un viaggio

con un’ astronave che si muove con velocità

, raggiunge una stella

lontana dalla terra 8 anni –luce (8c) e torna subito indietro ripercorrendo la

stessa distanza con la stessa velocità.

L’orologio di Oreste è sincronizzato con quelli della terra .

I due gemelli sincronizzano i loro orologi in modo che segnino il valore 0

nell’istante in cui Omero inizia il suo viaggio (Evento A )

a) Dal punto di vista di Oreste e secondo le leggi della Relatività speciale,

dopo quanti anni Omero tornerà sulla terra? di quanto sarà

invecchiato?

b) Una serie di stazioni di guardia affianca l’astronave di Omero e costituisce

un riferimento spaziale ,ad essa solidale , che indicheremo con Ω1.

I due riferimenti hanno l’origine in comune, nel punto in cui Omero è

partito.

Le stazioni sono munite di orologi tra loro sincronizzati.

Indicheremo Oreste,Omero e la stella con O, O’ , S rispettivamente.

Quando è affiancato a S, O’confronta il tempo del suo orologio con quello

di S.

Una delle stazioni spaziali, S’, registra il passaggio della Terra e confronta il

tempo del suo orologio con quello dell’orologio di O.


Di quanto si è spostato O, rispetto ad O’, e in quanto tempo, secondo il

riferimento Ω1?

Verifica che la distanza spazio-temporale tra i due eventi

A{O’≡O} e B{ O’ ≡S}

è la stessa in entrambi i riferimenti

Secondo il riferimento Ω1 gli orologi di S e di O non sono sincronizzati.

Quale orologio anticipa e quale ritarda? Qual è la differenza fra i tempi

segnati dai due orologi?

c) In relazione agli eventi A e B disegna, in un riferimento xOt,

o la linea universo e la linea di simultaneità di O’

o la linea universo e la linea di simultaneità di O

o la linea universo e la linea di simultaneità di S

In relazione all’evento B calcola

le coordinate del punto So in cui la linea di simultaneità di S incontra la

linea universo di O

le coordinate del punto S1 in cui la linea di simultaneità di O’ incontra la

linea universo di O

Commenta i risultati alla luce della relatività della simultaneità

d) Appena raggiunge S , O’ inverte il suo moto istantaneamente.

Un’altra serie di stazioni spaziali affianca l’astronave di O’ e costituisce un

riferimento spaziale ad essa solidale che indicheremo con Ω2.

Disegna nel piano xOt, In relazione all’ evento B la nuova linea-universo e

la nuova linea di simultaneità di O’e determina i punti R e S2 in cui ciascuna di

esse incontra la linea –universo di O.

Cosa rappresentano le coordinate di ciascuno di questi punti?

e) Dal punto di vista di Omero, di quanto è invecchiato Oreste quando si

ricongiungono?

Soluzione

a) Oreste e Omero sincronizzano i loro orologi in modo che segnano il valore 0

nell’istante in cui sono affiancati e Omero inizia il suo viaggio

Essi fanno anche da origine ciascuno al proprio riferimento spaziale e saranno indicati con

O e O’ rispettivamente.

L’asse e l’asse sono coincidenti con la retta che congiunge O con S.

Su ciascuno dei riferimenti spaziali sono posti sistemi di orologi tra loro sincronizzati.

Orologi sincronizzati in un riferimento non lo sono nell’altro se ciascun riferimento si

muove rispetto all’altro


Viaggio di andata

Dati:

Distanza OS a riposo = 8c

Velocità relativa tra i due riferimenti

(β = 4/5 γ= 5/3)

Misura della distanza temporale: tra i due eventi

O è in quiete rispetto alla retta OS, quindi può calcolare tranquillamente la distanza

temporale dividendo

= 10 anni ma può anche leggere sul suo orologio l’istante di

partenza e far leggere ad un suo collaboratore, sull’orologio di S , l’orario di arrivo.

L’orologio di S segnerà 10 anni.

O’ può usare solo il suo orologio , leggendo il valore del tempo all’istante in cui sta

affiancato con O e il valore del tempo nell’istante in cui è affiancato con S. Il suo

orologio segna 6 anni =

Poichè il tempo di ritorno è uguale quello di andata, Omero tornerà sulla terra

dopo 20 anni, misurati da Oreste, e sarà invecchiato di 12 anni.

I risultati sono in accordo con le leggi della Relatività speciale e con le trasformazioni

di Lorentz

Legge di dilatazione del tempo

il tempo proprio è quello misurato

con un solo orologio, quindi da O’, il

quale assiste ai due eventi sempre

nello stesso luogo

Il tempo improprio è quello misurato

da O, con due orologi, in quanto i due

eventi avvengono, per lui, ad una

distanza di 8c.

Contrazione delle

lunghezze

Il segmento OS è in moto

rispetto a O’ per il quale la

distanza di 8c risulta contratta

lunghezza impropria =

=

8c *3/5 =4,8 c

Ovvero

la misura del tempo proprio

permette a O’ di misurare la

lunghezza del segmento OS

nel suo riferimento

Trasformazioni di Lorentz

Coordinate dei due eventi in ciascun

riferimento

Evento A Evento B

O (0;0) (8c; 10)

O’ (0;0) (0;6)

Invarianza dell’intervallo spazio

temporale

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b) Punto di vista di O


Quando O’ giunge in S, gli orologi del riferimento di O segnano tutti 10 anni. L’orologio di S

rileva che invece l’orologio di O’ segna 6 anni.

O conclude che

L’orologio di O’ ritarda rispetto ai suoi

O’ è invecchiato solo di 6 anni , mentre sulla terra sono passati 10 anni

è verificata la legge di dilatazione del tempo

Punto di vista di O’

Nell’istante in cui l’orologio di O’ segna 6 anni, O’ è affiancato ad S il cui orologio segna 10

anni.

Se vuol sapere dov’è O e di quanto è invecchiato ha bisogno di un altro orologio.

Le stazioni di guardia che si muovono parallelamente alla direzione del moto di O’ sono munite

di orologi. Possiamo pensare , quindi, che nel riferimento di O’ possono esserci infiniti orologi

tra loro sincronizzati e che segnano 6 anni. Tra questi ce ne sarà uno, S’, che si trova affiancato

ad O.

S’ si trova a distanza -4,8 c da O’ e rileva che l’orologio di O segna 3,6 anni

Questi risultati sono in accordo con le leggi della Relatività speciale e con le trasformazioni

di Lorentz

Legge di dilatazione del tempo

il tempo proprio è quello

misurato con un solo orologio,

quindi da O, il quale assiste ai due

eventi sempre nello stesso luogo

Il tempo improprio è quello

misurato da O’, con due orologi, in

quanto i due eventi avvengono, per

lui, ad una distanza di 4,8c.

anni

Contrazione delle

lunghezze

Il segmento O’S’ è in moto

rispetto a O per il quale la

distanza di 8c risulta

contratta

lunghezza impropria =

=

4,8c *3/5 =2,88 c

Ovvero

la misura del tempo proprio

permette a O di misurare la

lunghezza del segmento O’S’

nel suo riferimento

Trasformazioni di Lorentz

Coordinate dei due eventi in ciascun

riferimento

Evento O S’ Evento B

O (0; 3,6) (8c; 10)

O’ (-4,8c ; 6) (0,6)

Invarianza dell’intervallo spazio

temporale

O, rispetto ad O’, secondo il riferimento Ω1 si è spostato di una

distanza pari a 4,8c ( in verso contrario al moto di O’ rispetto a O) in

un tempo pari a 6 anni

O’ conclude che

L’orologio di O ritarda rispetto ai suoi

O è invecchiato solo di 3,6 anni , mentre per lui sono passati 6 anni


Secondo il riferimento Ω1 gli orologi di S e di O non sono sincronizzati in

quanto quello di O segna 3,6 mentre quello di S segna 10

S è in anticipo, rispetto a O, di 6,4 anni

Essendo

si ottiene

S, l’orologio “inseguitore”, il quale , secondo O’, durante l’operazione di sincronizzazione riceve

prima il segnale, anticipa di una quantità proporzionale alla distanza da O.

c) Nel riferimento xOt, avendo posto c=1, solidale con O


La linea universo di O è la retta x=0

La linea universo di S è la retta x=8

Le rette di simultaneità di O sono rette parallele all’ asse x (t=costante)

• la linea universo di O’ è la retta

• La linea universo di un raggio di luce che parte da O è la retta t=x (linea-luce) • Le rette di simultaneità di O’ sono rette simmetriche rispetto alle corrispondenti linee-luce ,

cioè aventi coefficiente angolare uguale a v

costante

Evento B

Le coordinate del punto So in cui la linea di simultaneità di S incontra la linea universo di O sono

So

le coordinate del punto S1 in cui la linea di simultaneità di O’ incontra la linea universo di O sono

S1

So rappresenta l’evento {l’orologio di O segna 10 anni} S1 rappresenta l’evento {l’orologio di O segna 3,6 anni}

L’evento B è simultaneo di So nel riferimento di O, mentre è simultaneo di S1 nel

riferimento di O’ d) Se il moto relativo, di O’ rispetto ad O e viceversa , continua in modo rettilineo e uniforme, i

due riferimenti sono equivalenti per il Principio di relatività

Se però O’ fa una virata e torna indietro, cambia la sua linea universo, ma anche la sua linea di

simultaneità!

Linea universo

Linea di simultaneità

Non appena inizia la virata, O’ si trasferisce in un altro riferimento, quello della seconda serie di

stazioni di guardia.

La nuova linea universo di O’ incontra la linea universo di O nel punto R di ordinata 20 che

rappresenta l’evento {Omero ritorna da Oreste)

La nuova linea di simultaneità di O’ incontra la linea universo di O nel punto di ordinata 16,4

che rappresenta l’evento {l’orologio di O segna 16,4 anni}


Nel periodo di tempo , per O’ trascurabile, dell’inversione di marcia, sulla terra

sono passati 16,4-3,6 = 12,8 anni che, aggiunti ai 7,2 anni ( 3,6 anni per l’andata

e 3,6 anni per il ritorno) , danno come risultato 20.

Nel nuovo riferimento gli orologi della terra sono in anticipo di 6,4 anni rispetto a quelli della

stella!

Tutti gli eventi appartenenti al segmento , prima della virata erano al di sopra della retta di

simultaneità di O’, cioè nel futuro di O’. Dopo la virata passano al di sotto della retta di

simultaneità, cioè nel passato.

• Questo fatto è sorprendente ma non paradossale.

• I suddetti eventi dovevano ancora essere registrati dagli orologi del primo

riferimento di O’ ( quello del viaggio di andata) mentre erano stati già registrati

dagli orologi del riferimento in cui Omero si trasferisce nel viaggio di ritorno.

e)Quando si ricongiungono i due gemelli concordano sul fatto che:

Oreste è invecchiato di 20 anni e Omero è invecchiato di 12 anni.

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