mathimatika epal a oria

Το παρόν αποτελεί μια ταξινομημένη συλλογή δέκα λυμένων θεμάτων για τα Μαθηματικά της Α’ Ομάδας των ΕΠΑ.Λ. (πρώην Τ.Ε.Ε.) στην ύλη των ορίων. Παρά την αποσπασματική του μορφή υλοποιεί πολλές από τις απόψεις μου σχετικά με το πως πρέπει να είναι ένα βοήθημα για τα Μαθηματικά της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης. Επιπλεόν αποτελεί μια έμπρακτη απόδειξη των ευχαριστιών μου πρός τους μαθητές και τις μαθήτριες των (νύν) ΕΠΑ.Λ. (πρώην Τ.Ε.Ε.) για στήριξη και την εμπιστοσύνη που έχουν δείξει όλα αυτά τα χρόνια πρός την ιστοσελίδα και το πρόσωπο μου.

Θεωρώ ότι μπορεί επίσης να φανεί χρήσιμο (τουλάχιστον σε κάποιο αρχικό στάδιο συναναστροφής με το οικείο γνωστικό αντικείμενο) για την αντίστοιχη ύλη των Μαθηματικών Γενικής Παιδείας που διδάσκονται οι μαθητές του Γενικού Λυκείου και οι μαθητές της Β’ Ομάδας των ΕΠΑ.Λ.

Κάθε είδους παρατήρηση—κριτική, τόσο από τους μαθητές όσο και από τους διδάσκοντες του μαθήματος, γίνετε πάντα δεκτή με ιδιαίτερη χαρά.

Γιάννης Γ. Ψυχογιός Δρ. Χημικός Μηχανικός Ε.Μ.Π. & Φοιτητής Σχολής Πληροφορικής Ε.Α.Π.

1. Απαγορεύεται ρητά η οποιαδήποτε χρήση του παρόντος για κερδοσκοπικούς σκοπούς. 2. Επιτρέπεται η αναδιανομή του ψηφιακού αυτού αρχείου χωρίς καμοία τροποποίηση

του.

Προλεγόμενα

Έκδοση 1.0, Οκτώβριος 2012

ΓΙΑΝΝΗΣ Γ. ΨΥΧΟΓΙΟΣ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΠΑ.Λ. (ΟΜΑΔΑΣ Α´) 2

v Στόχοι Βασικός στόχος αυτής της άσκησης είναι να θυμηθούμε τον τρόπο εύρεσης του πεδίου ορισμού μερικών βασικών συναρτήσεων. Εν όψει αυτού υπενθυμίζουμε ότι η πολυωνιμκή συνάρτηση 𝑃𝑃(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎 𝑥𝑥 + 𝑎𝑎 𝑥𝑥 +⋯+ 𝑎𝑎 ορίζεται για κάθε πραγματικό αριθμό 𝑥𝑥 , δηλαδή το πεδίο ορισμού της είναι το σύνολο 𝐷𝐷 = ℝ. Η ρητή συνάρτηση 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = ( )

( ), όπου

𝑃𝑃 και 𝑄𝑄 πολυωνυμικές συναρτήσεις, ορίζεται για εκείνα τα 𝑥𝑥 για τα οποία είναι 𝑄𝑄(𝑥𝑥) ≠ 0, δηλαδή το πεδίο ορισμού της είναι το σύνολο 𝐷𝐷 = {𝑥𝑥 ∈ ℝ | 𝑄𝑄(𝑥𝑥) ≠ 0}. Τέλος η συνάρτηση 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑔𝑔(𝑥𝑥) ορίζεται για εκείνες τις τιμές του 𝑥𝑥 για τις οποίες η συνάρτηση 𝑔𝑔 είναι μη αρνητική, δηλαδή το πεδίο ορισμού της είναι το σύνολο 𝐷𝐷 = {𝑥𝑥 ∈ ℝ | 𝑔𝑔(𝑥𝑥) ≥ 0}.

Βαθμός δυσκολίας ¢oo

� Εκφώνηση Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων(*):

i) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = ii) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = √𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 − 2 iii) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = √√

iv) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = v) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = vi) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) =

� Λύση

i) Η δευτεροβάθμια εξίσωση 𝑥𝑥 − 3𝑥𝑥 + 2 = 0 έχει διακρίνυσα 𝛥𝛥 = (−3) − 4 ∙ 1 ∙ (2) =1 > 0 και επομένως δυο πραγματικές ρίζες, τις:

𝑥𝑥 , =−(−3) ± √1

2 ∙ 1 =3 ± 12 =

2

1

Για να ορίζεται η 𝑓𝑓 πρέπει 𝑥𝑥 − 3𝑥𝑥 + 2 ≠ 0⇔ 𝑥𝑥 ∈ ℝ− {1,2} και επομένως το πεδίο ορισμού της 𝑓𝑓 είναι το σύνολο 𝐷𝐷 = ℝ − {1,2}. ii) Η δευτεροβάθμια εξίσωση 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 − 2 = 0 έχει διακρίνουσα 𝛥𝛥 = (1) − 4 ∙ 1 ∙ (−2) =9 > 0 και επομένως δυο πραγματικές ρίζες, τις:

𝑥𝑥 , =−1 ± √92 ∙ 1 =

−1 ± 32 =

1

−2

Άρα το πρόσημο του τριωνύμου 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 − 2 έχει όπως φαίνεται στον διπλανό πίνακα. Για να ορίζεται η 𝑓𝑓 πρέπει 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 − 2 ≥ 0 και επομένως το πεδίο ορισμού της 𝑓𝑓 είναι το σύνολο 𝐷𝐷 = (−∞,−2] ∪ [1,+∞).

Θέμα 1

+ +

–20

10

(*) Τα ερωτήματα v) και vi) απαιτούν καλή γνώση ύλης Μαθηματικών Α’ & Β’ Λυκείου, είναι σαφώς δύσκολα για το επίπεδο που εδώ συζητάμε, και μπορούν να παραλειφθούν.


iii) Για να ορίζεται η 𝑓𝑓 πρέπει ταυτόχρονα να ισχύουν: 𝑥𝑥 − 2 ≥ 0

2 − √𝑥𝑥 ≠ 0

𝑥𝑥 ≥ 0

⇔

𝑥𝑥 ≥ 2

√𝑥𝑥 ≠ 2

𝑥𝑥 ≥ 0

⇔

𝑥𝑥 ≥ 2

𝑥𝑥 ≠ 4

𝑥𝑥 ≥ 0

⇔𝑥𝑥 ≥ 2

𝑥𝑥 ≠ 4

Επομένως το πεδίο ορισμού της 𝑓𝑓 είναι το σύνολο 𝐷𝐷 = [2,4) ∪ (4 +∞). iv) Ο παρονομαστής μηδενίζεται όταν 𝑥𝑥 + 3𝑥𝑥 + 10 = 0. Η διακρίνουσα της εξίσωσης είναι 𝛥𝛥 = (3) − 4 ∙ 1 ∙ (10) = −31 < 0 , οπότε δεν έχει πραγματικές ρίζες (μάλιστα είναι 𝑥𝑥 + 3𝑥𝑥 + 10 > 0 για κάθε 𝑥𝑥 ∈ ℝ). Επομένως το πεδίο ορισμού της 𝑓𝑓 είναι το σύνολο 𝐷𝐷 = ℝ. v) Για να ορίζεται η 𝑓𝑓 πρέπει ταυτόχρονα να ισχύουν:

2𝑥𝑥 + 1𝑥𝑥 − 3 ≥ 0

𝑥𝑥 − 3 ≠ 0⇔

(𝑥𝑥 − 3)(2𝑥𝑥 + 1) ≥ 0

𝑥𝑥 ≠ 3⇔

2𝑥𝑥 − 5𝑥𝑥 − 3 ≥ 0

𝑥𝑥 ≠ 3

Το τριώνυμο 2𝑥𝑥 − 5𝑥𝑥 − 3 έχει διακρίνουσα 𝛥𝛥 = (−5) − 4 ∙ 2 ∙ (−3) = 49 > 0 και επομένως δυο πραγματικές ρίζες:

𝑥𝑥 , =−(−5) ± √49

2 ∙ 2 =5± 74 =

3

−

Άρα το πρόσημο του τριωνύμου 2𝑥𝑥 − 5𝑥𝑥 − 3 έχει όπως φαίνεται στον διπλανό πίνακα. Οπότε έχουμε:

2𝑥𝑥 − 5𝑥𝑥 − 3 ≥ 0⇔ 𝑥𝑥 ∈ −∞,− ∪ [3,+∞)

Επομένως το πεδίο ορισμού της 𝑓𝑓 είναι το σύνολο 𝐷𝐷 = −∞,− ∪ (3,+∞).

vi) Το τριώνυμο −𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 + 6 έχει διακρίνουσα 𝛥𝛥 = (1) − 4 ∙ (−1) ∙ 6 = 25 > 0 και επομένως έχουμε δυο πραγματικές ρίζες:

𝑥𝑥 , =−1± √252 ∙ (−1) =

−1± 5−2 =

−2

3

Για να ορίζεται η 𝑓𝑓 πρέπει ταυτόχρονα να ισχύουν: −𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 + 6𝑥𝑥 − 4

≥ 0

𝑥𝑥 − 4 ≠ 0⇔

(𝑥𝑥 − 4)(−𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 + 6) ≥ 0

(𝑥𝑥 − 2)(𝑥𝑥 + 2) ≠ 0⇔

𝑥𝑥 ∈ (−∞, 2] ∪ [3,+∞)

𝑥𝑥 ≠ ±2⇔

𝑥𝑥 ∈ (−∞,−2) ∪ (−2,2) ∪ [3,+∞) Επομένως το πεδίο ορισμού της 𝑓𝑓 είναι το σύνολο 𝐷𝐷 = (−∞,−2) ∪ [3,+∞).

+ +

–½0

30

2 42 2 3

2 + + 6


v Στόχοι Βασικός στόχος αυτής της άσκησης είναι να συνειδητοποιήσουμε ότι η αναζήτηση του ορίου μιας συνάρτησης έχει νόημα μόνο σε σημεία στην περιοχή των οποίων ορίζεται η δοθείσα συνάρτηση. Έτσι για παράδειγμα δεν είναι υποχρεωτικό το σημείο στο οποίο ψάχνουμε να βρούμε το όριο μιας συνάρτησης να είναι σημείο του πεδίου ορισμού της. Για να έχει λοιπόν νόημα η αναζήτηση του lim → 𝑓𝑓(𝑥𝑥) δεν είναι υποχρεωτικό να έχουμε 𝑥𝑥 ∈ 𝐷𝐷 , αλλά αρκεί η 𝑓𝑓 να ορίζεται «κοντά» στο 𝑥𝑥 (είτε αριστερά του, είτε δεξιά του, είτε εκατέρωθεν του). Σε τέτοιες περιπτώσεις αρκετές φορές είναι απαραίτητη η χρήση της έννοιας του αριστερού και δεξιού πλευρικού ορίου της 𝑓𝑓 στο 𝑥𝑥 .

Η 𝑓𝑓 είναι ορισμένη Σχηματική αναπαράσταση Έχει νόημα το Συμβολισμός

Αριστερά του 𝑥𝑥

Αριστερό πλευρικό όριο lim→

𝑓𝑓(𝑥𝑥)

Δεξιά του 𝑥𝑥

Δεξιό πλευρικό όριο lim→

𝑓𝑓(𝑥𝑥)

Εκατέρωθεν του 𝑥𝑥

Αριστερό και δεξιό πλευρικό όριο −

Παρατήρηση: Στις δύο πρώτες περιπτώσεις του παραπάνω πίνακα η 𝑓𝑓 μπορεί να ορίζεται και στο 𝑥𝑥 , αλλά αυτό δεν αλλάζει την ορολογία ή/και τον συμβολισμό. Στην τρίτη περίπτωση αν η 𝑓𝑓 ορίζεται και στο 𝑥𝑥 τότε υποχρεωτικά θα έχει διαφορετικό τύπο εκατέρωθεν του 𝑥𝑥 . Σε αυτή την περίπτωση λέμε ότι έχουμε συνάρτηση με κλάδους.

Θέμα 2

Λύστε µόνοι σας ! Βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων:

i) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = √𝑥𝑥 − 2 ii) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = iii) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) =

iv) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) =√

v) 𝑔𝑔(𝑥𝑥) = √3 − 𝑥𝑥 − √2 + 𝑥𝑥

Απάντηση

i) 𝐷𝐷 = [2,+∞), ii) 𝐷𝐷 = ℝ− {0,1}, iii) 𝐷𝐷 = ℝ − {−3,3}, iv) 𝐷𝐷 = (−∞,−3) ∪(2,+∞), v) 𝐷𝐷 = [−2,3]



� Εκφώνηση Δίνεται η συνάρτηση 𝑓𝑓 με τύπο:

𝑓𝑓(𝑥𝑥) =√𝑥𝑥 − 4𝑥𝑥 + 3

𝑥𝑥 − 4

Να εξετάσετε αν έχει νόημα η αναζήτηση των ορίων: i) lim → 𝑓𝑓(𝑥𝑥) ii) lim → 𝑓𝑓(𝑥𝑥) iii) lim → 𝑓𝑓(𝑥𝑥) iv) lim → 𝑓𝑓(𝑥𝑥) v) lim → 𝑓𝑓(𝑥𝑥)

� Λύση

Για να απαντήσουμε σε ένα τέτοιο ερώτημα πρέπει πρώτα να βρούμε το πεδιο ορισμού της 𝑓𝑓. Για να ορίζεται η 𝑓𝑓 θα πρέπει να ισχύουν:

𝑥𝑥 − 4𝑥𝑥 + 3 ≥ 0

𝑥𝑥 − 4 ≠ 0⇔

𝑥𝑥 − 4𝑥𝑥 + 3 ≥ 0

(𝑥𝑥 − 2)(𝑥𝑥 + 2) ≠ 0⇔

𝑥𝑥 − 4𝑥𝑥 + 3 ≥ 0

𝑥𝑥 ≠ ±2

Για το τριώνυμο 𝑥𝑥 − 4𝑥𝑥 + 3 έχουμε 𝛥𝛥 = 16− 12 = 4 > 0, οπότε δύο πραγματικές ρίζες:

𝑥𝑥 , =4 ± √42 =

4 ± 22 =

3

1

Το πρόσημο του τριωνύμου φαίνεται στον διπλανό πίνακα. Επομένως:

𝑥𝑥 − 4𝑥𝑥 + 3 ≥ 0

𝑥𝑥 ≠ ±2⇔

𝑥𝑥 ∈ (−∞,1] ∪ [3,+∞)

𝑥𝑥 ≠ ±2

οπότε το πεδίο ορισμού της 𝑓𝑓 είναι το σύνολο 𝐷𝐷 = (−∞,−2) ∪ (−2,1] ∪ [3,+∞).

i) Αφου η 𝑓𝑓 ορίζεται εκατέρωθεν του 𝑥𝑥 = −2, έχει νόημα η αναζήτηση του lim → 𝑓𝑓(𝑥𝑥). ii) Αφου η 𝑓𝑓 δεν ορίζεται κοντά στο 𝑥𝑥 = 2, δεν έχει νόημα η αναζήτηση του lim → 𝑓𝑓(𝑥𝑥). iii) Αφου η 𝑓𝑓 ορίζεται μόνο δεξιά του 𝑥𝑥 = 3, έχει νόημα μόνο η αναζήτηση του πλευρικού ορίου lim → 𝑓𝑓(𝑥𝑥). iv) Αφου η 𝑓𝑓 ορίζεται κοντά στο 𝑥𝑥 = 0, έχει νόημα η αναζήτηση του lim → 𝑓𝑓(𝑥𝑥). v) Αφου η 𝑓𝑓 δεν ορίζεται δεξιά του 𝑥𝑥 = 1, έχει νόημα μόνο η αναζήτηση του πλευρικού ορίου lim → 𝑓𝑓(𝑥𝑥).

+ +

10

30

31


v Στόχοι Βασικός στόχος αυτής της άσκησης είναι η χρήση της έννοιας των πλευρικών ορίων σε ένα σημείο 𝑥𝑥 και πως μέσω αυτών μπορούμε να διαπιστώσουμε άν μια συνάρτηση 𝑓𝑓 έχει όριο στο 𝑥𝑥 .


� Εκφώνηση Δίνεται η συνάρτηση 𝑓𝑓:ℝ → ℝ με τύπο:

𝑓𝑓(𝑥𝑥) =1− 2𝑥𝑥 , 𝑥𝑥 ≤ −1

−𝑥𝑥 + 4 , 𝑥𝑥 > −1

Να υπολογιστεί, αν υπάρχει, το όριο lim → 𝑓𝑓(𝑥𝑥).

� Λύση

Καταρχάς έχει νόημα η αναζήτηση του ορίου lim → 𝑓𝑓(𝑥𝑥) αφού η 𝑓𝑓 ορίζεται εκατέρωθεν του 𝑥𝑥 = −1. Αφού η 𝑓𝑓 έχει διαφορετικό τύπο δεξιά και αριστερά του 𝑥𝑥 = −1 πρέπει να χρησιμοποιήσουμε πλευρικά όρια. Έχουμε:

n Αριστερό πλευρικό όριο lim→

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = lim→

(1 − 2𝑥𝑥) = 1− 2 ∙ (−1) = 3

Θέμα 3

Λύστε µόνοι σας ! Δίνεται η συνάρτηση:

𝑔𝑔(𝑥𝑥) =𝑥𝑥 , 𝑥𝑥 < 12 − 𝑥𝑥 , 1 < 𝑥𝑥 ≤ 2𝑥𝑥 − 3 , 2 < 𝑥𝑥 < 3

Ελέγξτετε ποιά από τα επόμενα όρια έχουν νόημα: i) lim → 𝑔𝑔(𝑥𝑥) ii) lim → 𝑔𝑔(𝑥𝑥) iii) lim → 𝑔𝑔(𝑥𝑥) iv) lim → 𝑔𝑔(𝑥𝑥) v) lim → 𝑔𝑔(𝑥𝑥) vi) lim → 𝑔𝑔(𝑥𝑥)

Απάντηση i) Έχει, ii) Έχει, iii) Έχει, iv) Έχει, v) Δεν έχει, vi) Δεν έχει


v Στόχοι Και αυτή η άσκηση στοχεύει στην εξοικείωση με την έννοια των πλευρικών ορίων. Το «σενάριο» της είναι λίγο διαφορετικό σε σχέση με το προηγούμενο θέμα, αφού εδώ δε θα ελένξουμε αν η συνάρτηση μας έχει όριο στο 𝑥𝑥 , αλλά θα επιβάλουμε να έχει όριο στο 𝑥𝑥 .


� Εκφώνηση Να βρεθεί η τιμή του 𝜆𝜆 ∈ ℝ έτσι ώστε η συνάρτηση:

𝑓𝑓(𝑥𝑥) =3 − 𝜆𝜆𝑥𝑥 , 𝑥𝑥 > 1

𝑥𝑥 + 1 , 𝑥𝑥 ≤ 1

να έχει όριο στο 𝑥𝑥 = 1.

� Λύση

Αφού η 𝑓𝑓 αλλάζει τύπο εκατέρωθεν του σημείου 𝑥𝑥 = 1 θα πρέπει να χρησιμοποιήσουμε πλευρικά όρια. Έχουμε:

Θέμα 4


𝑔𝑔(𝑥𝑥) =𝑥𝑥 + 1 ,𝑥𝑥 < 0𝑒𝑒 ,0 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 1

,𝑥𝑥 > 1

Υπολογίστε, αν υπάχρουν, τα επόμενα όρια: i) lim → 𝑔𝑔(𝑥𝑥) ii) lim → 𝑔𝑔(𝑥𝑥)

Απάντηση

i) 1, ii) Δεν υπάρχει

n Δεξιό πλευρικό όριο lim→


(−𝑥𝑥 + 4) = −(−1) + 4 = 5

Αφού lim → 𝑓𝑓(𝑥𝑥) ≠ lim → 𝑓𝑓(𝑥𝑥) έπεται ότι δεν υπάρχει το όριο lim → 𝑓𝑓(𝑥𝑥).


v Στόχοι Ένα ακόμα θέμα από την κατηγορία: «προσδιορισμός κάποιας παραμέτρου ώστε μια δοσμένη συνάρτηση να έχει όριο σε κάποιο δοσμένο σημείο 𝑥𝑥 ». Η μεθοδολογία επίλυσης είναι ίδια με αυτή του προηγούμενου θέματος, με τη διαφορά ότι εδώ θα δούμε πως προκύπτει πιό περίπλοκη εξίσωση υπολογισμού της ζητούμενης παραμέτρου.

Βαθμός δυσκολίας ¢¢o

� Εκφώνηση Έστω μια συνάρτηση 𝑓𝑓 ορισμένη στο σύνολο (1,2) ∪ (2,3) με lim → 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝜆𝜆 + 1 και lim → 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 12𝜆𝜆 − 26, όπου 𝜆𝜆 παραγματικός αριθμός. Για ποιές τιμές του 𝜆𝜆 υπάρχει το lim → 𝑓𝑓(𝑥𝑥) και ποιά η τιμή του ;

Θέμα 5


𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 3𝑥𝑥 − 𝛼𝛼𝑥𝑥 + 2 ,𝑥𝑥 ≥ 1−𝑥𝑥 + 5𝛼𝛼𝑥𝑥 − 6 ,𝑥𝑥 < 1

Βρείτε την τιμή του 𝛼𝛼 ∈ ℝ ώστε η 𝑓𝑓 να έχει όριο στο σημείο 𝑥𝑥 = 1.

Απάντηση

𝛼𝛼 = 6

n Αριστερό πλευρικό όριο lim→


(𝑥𝑥 + 1) = 1+ 1 = 2

n Δεξιό πλευρικό όριο lim→


(3 − 𝜆𝜆𝑥𝑥 ) = 3 − 𝜆𝜆 ∙ (1) = 3− 𝜆𝜆

Για να υπάρχει το ζητούμενο όριο πρέπει και αρκεί τα πλευρικά όρια της 𝑓𝑓 στο 𝑥𝑥 = 1 να είναι μεταξύ τους ίσα, δηλαδή:

lim→


𝑓𝑓(𝑥𝑥)⇔ 2 = 3− 𝜆𝜆⇔ 𝜆𝜆 = 1

Για αυτή την τιμή του 𝜆𝜆, η τιμή του ορίου είναι: lim→𝑓𝑓(𝑥𝑥) = lim

→𝑓𝑓(𝑥𝑥) = lim

→𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 2


� Λύση

Αφού η 𝑓𝑓 είναι ορισμένη εκατέρωθεν του 𝑥𝑥 = 2 έχει νόημα το lim → 𝑓𝑓(𝑥𝑥). Τώρα για να υπάρχει το όριο πρέπει και αρκεί τα πλευρικά όρια της 𝑓𝑓 στο 𝑥𝑥 = 2 να είναι ίσα μεταξύ τους:

lim→


𝑓𝑓(𝑥𝑥)⇔ 𝜆𝜆 + 1 = 12𝜆𝜆 − 26⇔ 𝜆𝜆 − 12𝜆𝜆 + 27 = 0⇔

[(𝜆𝜆 ) − 2 ∙ 6 ∙ 𝜆𝜆 + 6 ]− 9 = 0⇔ (𝜆𝜆 − 6) = 9⇔𝜆𝜆 − 6 = 3

𝜆𝜆 − 6 = −3⇔

𝜆𝜆 = ±3

𝜆𝜆 = ±√3

Άρα το ζητούμενο όριο υπάρχει για 𝜆𝜆 = −3,−√3,√3, 3. Προφανώς η τιμή του εξαρτάται από την τιμή του 𝜆𝜆 (ακριβέστερα: από την τιμή του 𝜆𝜆 ), οπότε διακρίνουμε τις περιπτώσεις: n 𝜆𝜆 = ±√3 (𝜆𝜆 = 3)

lim→

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝜆𝜆 + 1 = 9+ 1 = 10

lim→

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 12𝜆𝜆 − 26 = 36− 26 = 10

lim→


𝑓𝑓(𝑥𝑥) ⇒ lim→𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 10

n 𝜆𝜆 = ±3 (𝜆𝜆 = 9)

lim→

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝜆𝜆 + 1 = 81+ 1 = 82

lim→

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 12𝜆𝜆 − 26 = 108 − 26 = 82

lim→


𝑓𝑓(𝑥𝑥) ⇒ lim→𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 82

Π α ρ α τ ή ρ η σ η Η εξίσωση 𝜆𝜆 − 12𝜆𝜆 + 27 = 0 είναι διτετράγωνη, οπότε μπορεί να επιλυθεί κατά τα γνωστά θέτοντας 𝜆𝜆 = 𝜅𝜅 ≥ 0, οπότε τρέπεται στην δευτεροβάθμια (ως πρός 𝜅𝜅) εξίσωση 𝜅𝜅 − 12𝜅𝜅 +27 = 0.

Γ ε ν ι κ ή Π α ρ α τ ή ρ η σ η

Μέχρι τώρα έχουμε χρησιμοποιήσει δυο διαφορετικές εκφράσεις αναφερόμενοι στο όριο μιας συνάρτησης 𝑓𝑓 σε ένα σημειο 𝑥𝑥 : � Το όριο lim → 𝑓𝑓(𝑥𝑥) έχει—δεν έχει νόημα � Το όριο lim → 𝑓𝑓(𝑥𝑥) υπάρχει—δεν υπάρχει Πρέπει να γίνει σαφής η διαφορά που εμπεριέχουν αυτές οι εκφράσεις. Συγκεκριμένα, για να «έχουμε το δικαίωμα» να αποφανθούμε αν το lim → 𝑓𝑓(𝑥𝑥) υπάρχει—δεν υπάρχει πρέπει πρώτα να έχουμε διασφαλίσει ότι έχει νόημα. Δεν έχει δηλαδή έννοια να συζητάμε αν υπάρχει—δεν υπάρχει ένα όριο το οποίο δεν έχει νόημα. Συνοπτικά: � Αν το lim → 𝑓𝑓(𝑥𝑥) έχει νόημα τότε μπορεί να υπάρχει ή να μην υπάρχει. � Αν το lim → 𝑓𝑓(𝑥𝑥) δεν έχει νόημα τελειώνει η οποιαδήποτε περαιτέρω συζήτηση επ’

αυτού.


v Στόχοι Και αυτή η άσκηση ανήκει στην ίδια ματηγορία με τις δυο προηγούμενες, με τη μοναδική διαφορά ότι εδώ έχουμε δυο παραμέτρους πρός υπολογισμό.


� Εκφώνηση Να βρείτε τις τιμές των 𝛼𝛼,𝛽𝛽 ∈ ℝ έτσι ώστε η συνάρτηση:

𝑓𝑓(𝑥𝑥) =

𝑥𝑥 + 𝛼𝛼𝛼𝛼 + 𝛽𝛽 , 𝑥𝑥 ∈ [0,2]

𝑥𝑥 + 1 , 𝑥𝑥 ∈ (2,3]

2𝛼𝛼𝛼𝛼 − 3𝛽𝛽 , 𝑥𝑥 ∈ (3,4]

να έχει όριο στα σημεία 𝑥𝑥 = 2 και 𝑥𝑥 = 3.

� Λύση

Η συνάρτηση αλλάζει τύπο εκατέρωθεν του 𝑥𝑥 και του 𝑥𝑥 , οπότε πρέπει να υπολογίσουμε τα πλευρικά της όρια στα δύο αυτά σημεία. Έχουμε: n Αριστερό πλευρικό όριο στο 𝑥𝑥 = 2

lim→


(𝑥𝑥 + 𝛼𝛼𝛼𝛼 + 𝛽𝛽) = 4 + 2𝛼𝛼 + 𝛽𝛽 (1)

n Δεξιό πλευρικό όριο στο 𝑥𝑥 = 2 lim→


(𝑥𝑥 + 1) = 4 + 1 = 5 (2)

n Αριστερό πλευρικό όριο στο 𝑥𝑥 = 3 lim→


(𝑥𝑥 + 1) = 9 + 1 = 10 (3)

n Δεξιό πλευρικό όριο στο 𝑥𝑥 = 3 lim→


(2𝛼𝛼𝛼𝛼 − 3𝛽𝛽) = 6𝛼𝛼 − 3𝛽𝛽 (4)

Για να έχει όριο η 𝑓𝑓 στο 𝑥𝑥 = 2 πρέπει:

lim→


𝑓𝑓(𝑥𝑥)( ),( )

4 + 2𝛼𝛼 + 𝛽𝛽 = 5⇔ 2𝛼𝛼 + 𝛽𝛽 = 1 (5)


lim→


𝑓𝑓(𝑥𝑥)( ),( )

10 = 6𝛼𝛼 − 3𝛽𝛽 ⇔ 6𝛼𝛼 − 3𝛽𝛽 = 10 (6)

Οι (5) και (6) αποτελούν ένα γραμμικό σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους, το οποίο και λύνουμε:

2𝛼𝛼 + 𝛽𝛽 = 1

6𝛼𝛼 − 3𝛽𝛽 = 10⇔

6𝛼𝛼 + 3𝛽𝛽 = 3

6𝛼𝛼 − 3𝛽𝛽 = 10⇔

12𝛼𝛼 = 13

𝛽𝛽 = 1 − 2𝛼𝛼⇔ 𝛼𝛼 =

1312

𝛽𝛽 = 1 − 2𝛼𝛼⇔

𝛼𝛼 =1312

𝛽𝛽 = −76

Θέμα 6


v Στόχοι Μια πολύ βασική κατηγορία ασκήσεων για τις εξετάσεις είναι αυτή της εύρεσης του ορίου lim →

( )( )

, όταν lim → 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 0 και lim → 𝑔𝑔(𝑥𝑥) = 0. Φανερά όταν τόσο το όριο του

αριθμητή όσο και του παρονομαστή τείνουν στο 0, στο όριο lim →( )( )

δεν μπορεί να αποδοθεί κάποια συγκεκριμένη τιμή. Για το λόγο αυτό λέμε ότι έχουμε: «απροσδιόριστη μορφή (διαβάζουμε: μηδέν δια μηδέν)» ή ότι έχουμε «απροσδιοριστιά ». Για τις περιπτώσεις που μας απασχολούν στο επίπεδο της ύλης του μαθήματος ο υπολογισμός του ορίου επιτυγχάνεται με μετατροπή του κλάσματος ( )

( ) σε ένα ίσο κλάσμα ( )

( ) στο οποίο όμως είναι

lim → 𝑡𝑡(𝑥𝑥) ≠ 0 και επομένως η τιμή του lim →( )( )

είναι πλήρως καθορισμένη. Η διαδικασία μετατροπής μιας απροσδιόριστης μορφής σε μια μορφή με καθορισμένο όριο ονομάζεται άρση της απροσδιοριστίας. Για το επίπεδο της ύλης μας υπάρχουν δύο μέθοδοι άρσης της απροσδιοριστάς :

α) Παραγοντοποίηση Η μέθοδος αυτή εφαρμόζεται όταν η συνάρτηση 𝑓𝑓(𝑥𝑥) ή/και η συνάρτηση 𝑔𝑔(𝑥𝑥) μπορούν να παραγοντοποιηθούν και μάλιστα κατά τέτοιο τρόπο ώστε στο κλάσμα ( )

( ) να προκύψει

απλοποίηση μεταξύ του αριθμητή και του παρονομαστή [δείτε τα ερωτήματα i) και ii) της άσκησης που ακολουθεί].

β) Συζυγείς παραστάσεις Η μέθοδος αυτή χρησιμοποιείται όταν η μέθοδος της παραγοντοποίησης δεν μπορεί να εφαρμοστεί. Υλοποιείται μέσω πολλαπλασιασμού του αριθμητή και του παρονομαστή του

Θέμα 7

Λύστε µόνοι σας ! Βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς 𝛼𝛼 και 𝛽𝛽 έτσι ώστε οι συνάρτησεις:

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 2 ln(𝑥𝑥 + 1) + 2𝛼𝛼 ,−1 < 𝑥𝑥 < 02𝑥𝑥 − 𝛽𝛽 , 𝑥𝑥 ≥ 0

𝑔𝑔(𝑥𝑥) = √𝑒𝑒 + 8 , 𝑥𝑥 < 0𝑥𝑥 + 𝛼𝛼 + 1 , 𝑥𝑥 ≥ 0

να έχουν όριο στο σημείο 𝑥𝑥 = 0.

Υπόδειξη—Απάντηση

Για να έχει όριο η 𝑓𝑓 στο 𝑥𝑥 = 0 πρέπει 2𝛼𝛼 = −𝛽𝛽. Για να έχει όριο η 𝑔𝑔 στο 𝑥𝑥 = 0 πρέπει 𝑎𝑎 + 1 = 3⇔ 𝛼𝛼 = 4. Άρα αφού 2𝛼𝛼 = −𝛽𝛽 ⇒ 𝛽𝛽 = −8.


κλάσματος ( )( )

είτε με την συζυγή παράσταση του:

i) αριθμητή [δείτε τo ερώτημα iii) της άσκησης που ακολουθεί] ii) παρονομαστή [δείτε τo ερώτημα iv) της άσκησης που ακολουθεί] iii) αριθμητή και του παρονομαστή [δείτε τo ερώτημα v) της άσκησης που ακολουθεί]

Το τι ακριβώς θα χρησιμοποιήσουμε από τις παραπάνω τρείς επιλογές εξαρτάται από τη μορφή του κλάσματος ( )

( ). Γενικά θα προσπαθούμε πρώτα με βάση τον εξής «κανόνα»:

πολλαπλασιάζουμε με την συζυγή εκείνης της συνάρτησης που δεν παραγοντοποιείται. Επομένως αν η 𝑓𝑓(𝑥𝑥) δεν παραγοντοποιείται πολλαπλασιάζουμε με την συζυγή της 𝑓𝑓(𝑥𝑥). Aν η 𝑔𝑔(𝑥𝑥) δεν παραγοντοποιείται πολλαπλασιάζουμε με την συζυγή της 𝑔𝑔(𝑥𝑥). Τέλος, αν και η 𝑓𝑓(𝑥𝑥) και η 𝑔𝑔(𝑥𝑥) δεν παραγοντοποιούνται πολλαπλασιάζουμε με την συζυγή της 𝑓𝑓(𝑥𝑥) και τη συζυγή της 𝑔𝑔(𝑥𝑥). Καλό θα ήταν στο σημείο αυτό να υπενθυμήσουμε την έννοια της συζυγούς παράστασης. Η παράσταση 𝛢𝛢 − 𝛣𝛣 ονομάζεται συζυγής παράσταση της 𝛢𝛢 + 𝛣𝛣 και αντίστροφα η παράσταση 𝛢𝛢 + 𝛣𝛣 ονομάζεται συζυγής παράσταση της 𝛢𝛢 − 𝛣𝛣 . Το βασικό γνώρισμα δυο συζυγών παραστάσεων είναι ότι το γινόμενο τους αποτελεί αποτελεί διαφορά τετραγώνων, αφού:

(𝛢𝛢 − 𝛣𝛣)(𝛢𝛢 + 𝛣𝛣) = 𝛢𝛢 − 𝛣𝛣


� Εκφώνηση Να βρείτε τις τιμές των ορίων:

i) lim → ii) lim → iii) lim →√

iv) lim → √ v) lim →

√√

� Λύση

i) Αφού lim → (𝑥𝑥 + 4) = 0 και lim → (𝑥𝑥 − 16) = 0 το όριο εμφανίζει την απροσδιόριστη μορφή . Παρατηρούμε ότι ο παρονομαστής παραγοντοποιείται αφού 𝑥𝑥 − 16 = 𝑥𝑥 − 4 = (𝑥𝑥 − 4)(𝑥𝑥 + 4) και μάλιστα προκύπτει απλοποίηση, αφού:

𝑥𝑥 + 4𝑥𝑥 − 16 =

𝑥𝑥 + 4(𝑥𝑥 − 4)(𝑥𝑥 + 4) =

1𝑥𝑥 − 4

Άρα:

lim→

𝑥𝑥 + 4𝑥𝑥 − 16 = lim

→

1𝑥𝑥 − 4 = lim

→

1−4 − 4 = −

18

ii) Αφού lim → (𝑥𝑥 − 6𝑥𝑥 + 5) = 0 και lim → (𝑥𝑥 − 3𝑥𝑥 + 2) = 0 το όριο εμφανίζει την απροσδιόριστη μορφή . Το τριώνυμο του αριθμητή έχει 𝛥𝛥 = 16 > 0 και ρίζες:

𝑥𝑥 , =6± 42 =

5

1


Άρα ο αριθμητής παραγοντοποιείται ως (𝑥𝑥 − 5)(𝑥𝑥 − 1).

Το τριώνυμο του παρονομαστή έχει 𝛥𝛥 = 1 > 0 και ρίζες:

𝑥𝑥 , =3± 12 =

2

1

Άρα ο παρονομαστής παραγοντοποιείται ως (𝑥𝑥 − 2)(𝑥𝑥 − 1).

Επομένως προκύπτει απλοποίηση, αφού: 𝑥𝑥 − 6𝑥𝑥 + 5𝑥𝑥 − 3𝑥𝑥 + 2 =

(𝑥𝑥 − 5)(𝑥𝑥 − 1)(𝑥𝑥 − 2)(𝑥𝑥 − 1) =

𝑥𝑥 − 5𝑥𝑥 − 2

Άρα το ζητούμενο όριο γίνετε:

lim→

𝑥𝑥 − 6𝑥𝑥 + 5𝑥𝑥 − 3𝑥𝑥 + 2 = lim

→

𝑥𝑥 − 5𝑥𝑥 − 2 =

1 − 51 − 2 = 4

iii) Αφού lim → √𝑥𝑥 + 1− 2 = 0 και lim → (𝑥𝑥 − 2𝑥𝑥 − 3) = 0 το όριο εμφανίζει την απροσδιόριστη μορφή . Επειδή ο αριθμητής δεν παραγοντοποιείται πολλαπλασιάζουμε αριθμητή και παρονομαστή με την συζηγή παράσταση του αριθμητή και έχουμε:

√𝑥𝑥 + 1 − 2𝑥𝑥 − 2𝑥𝑥 − 3 =

√𝑥𝑥 + 1− 2 √𝑥𝑥 + 1 + 2(𝑥𝑥 − 2𝑥𝑥 − 3) √𝑥𝑥 + 1 + 2

=√𝑥𝑥 + 1 − 2

(𝑥𝑥 − 2𝑥𝑥 − 3) √𝑥𝑥 + 1+ 2=

𝑥𝑥 + 1 − 4(𝑥𝑥 − 2𝑥𝑥 − 3) √𝑥𝑥 + 1 + 2

=𝑥𝑥 − 3

(𝑥𝑥 − 2𝑥𝑥 − 3) √𝑥𝑥 + 1 + 2 (γ. 1)

Επειδή δεν προέκυψε απλοποίηση πρέπει να παραγοντοποιήσουμε το 𝑥𝑥 − 2𝑥𝑥 − 3 το οποίο έχει 𝛥𝛥 = 16 > 0 και επομένως δύο ρίζες:

𝑥𝑥 , =2 ± 42 =

3

−1

Άρα έχουμε ότι 𝑥𝑥 − 2𝑥𝑥 − 3 = (𝑥𝑥 − 3)(𝑥𝑥 + 1) και η (γ.1) γίνετε:

√𝑥𝑥 + 1− 2𝑥𝑥 − 2𝑥𝑥 − 3 =

𝑥𝑥 − 3(𝑥𝑥 − 3)(𝑥𝑥 + 1) √𝑥𝑥 + 1 + 2

=1

(𝑥𝑥 + 1) √𝑥𝑥 + 1 + 2

Μπορούμε πλέον να υπολογίσουμε το ζητούμενο όριο:

lim→

√𝑥𝑥 + 1 − 2𝑥𝑥 − 2𝑥𝑥 − 3 = lim

→

1(𝑥𝑥 + 1) √𝑥𝑥 + 1 + 2

=1

(3 + 1) √3 + 1+ 2=116

iv) Αφού lim → (2𝑥𝑥 − 10) = 0 και lim → 5− √5𝑥𝑥 = 0 το όριο εμφανίζει την απροσδιόριστη μορφή . Επειδή ο παρονομαστής δεν παραγοντοποιειται πολλαπλασιάζουμε αριθμητή και παρονομαστή με την συζηγή παράσταση του παρονομαστή και έχουμε:

2𝑥𝑥 − 105 − √5𝑥𝑥

=(2𝑥𝑥 − 10) 5 + √5𝑥𝑥5 − √5𝑥𝑥 5+ √5𝑥𝑥

=2(𝑥𝑥 − 5) 5 + √5𝑥𝑥

−5(𝑥𝑥 − 5) = −25 5 + √5𝑥𝑥


lim→

2𝑥𝑥 − 105 − √5𝑥𝑥

= lim→

−25 5+ √5𝑥𝑥 = −

25 lim→ 5 + √5𝑥𝑥 = −

25 5 + √5 ∙ 5 = −4


v Στόχοι Στόχος της παρούσας άσκησης είναι μια σύντομη ενασχόληση με όρια τα οποία περιέχουν απόλυτες τιμές. Η γενική ιδέα αντιμετώπισης τέτοιου είδους προβλημάτων είναι να χρησιμοποιήσουμε τον ορισμό της απόλυτης τιμής και να γράψουμε τον τύπο της συνάρτησης χωρίς απόλυτες τιμές. Το αποτέλεσμα αυτής της εργασίας είναι η δημιουργία μιας συνάρτησης με κλάδους. Για παράδειγμα, η συνάρτηση 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = |𝑥𝑥 − 3|,𝑥𝑥 ∈ ℝ, χωρίς το σύμβολο της απόλυτης τιμής γράφεται:

𝑓𝑓(𝑥𝑥) =−𝑥𝑥 + 3 ,𝑥𝑥 ≤ 3

𝑥𝑥 + 3 ,𝑥𝑥 > 3

Θέμα 8

Λύστε µόνοι σας ! Βρείτε τις τιμές των ορίων:

i) lim →√ ii) lim → √

iii) lim →√

iv) lim → v) lim →√√

Απάντηση

i) 2, ii) 2, iii) , iv) , v)

v) Αφού lim → √𝑥𝑥 + 9 − 3 = 0 και lim → √4 − 𝑥𝑥 − 2 = 0 το όριο εμφανίζει την απροσδιόριστη μορφή . Επειδή ούτε ο αριθμητής ούτε ο παρονομαστής παραγοντοποιούνται πολλαπλασιάζουμε αριθμητή και παρονομαστή με την συζηγή παράσταση του αριθμητή και του παρονομαστή και έχουμε:

√𝑥𝑥 + 9 − 3√4 − 𝑥𝑥 − 2

=√𝑥𝑥 + 9 − 3 √𝑥𝑥 + 9 + 3 √4 − 𝑥𝑥 + 2√4 − 𝑥𝑥 − 2 √4− 𝑥𝑥 + 2 √𝑥𝑥 + 9 + 3

=(𝑥𝑥 + 9− 9) √4− 𝑥𝑥 + 2(4 − 𝑥𝑥 − 4) √𝑥𝑥 + 9 + 3

=

𝑥𝑥 √4− 𝑥𝑥 + 2−𝑥𝑥 √𝑥𝑥 + 9 + 3

= −√4 − 𝑥𝑥 + 2√𝑥𝑥 + 9 + 3


lim→

√𝑥𝑥 + 9− 3√4 − 𝑥𝑥 − 2

= − lim→

√4 − 𝑥𝑥 + 2√𝑥𝑥 + 9 + 3

= −√4 + 2√9 + 3

= −46 = −

23


αφού |𝑥𝑥 − 3| = 𝑥𝑥 + 3 όταν 𝑥𝑥 − 3 > 0⇔ 𝑥𝑥 > 3 και |𝑥𝑥 − 3| = −(𝑥𝑥 − 3) = −𝑥𝑥 + 3 όταν 𝑥𝑥 − 3 < 0⇔ 𝑥𝑥 < 3. Γενικότερα η μέθοδος που πρέπει να ακολουθήσουμε σε αυτή την περίπτωση αποτελείται από τα εξής βήματα: i) Για κάθε συνάρτηση η οποία βρίσκεται εντός απόλυτης τιμής βρίσκουμε τα σημεία

μηδενισμού της και το πρόσημο της σε ολόκληρο το πεδίο ορισμού της. ii) Κατασκευάζουμε πίνακα σε κάθε γραμμή του οποίου φαίνεται ο μηδενισμός και το

πρόσημο κάθε συνάρτησης που μελετήσαμε στο βήμα i). Για κάθε διάστημα με άκρα στα οποία μηδενίζεται κάποια απόλυτη τιμή βρίσκουμε τη μορφή που παίρνει ο τύπος της συνάρτησης της οποίας ζητάμε το όριο.

Αν ο τύπος της συνάρτησης της οποίας αναζητούμε το όριο περιέχει πολλαπλές απόλυτες τιμές τότε η παραπάνω εργασία μπορεί να γίνει δύσκολη και επίπονη. Σε τέτοιες περιπτώσεις βγάζουμε τα σύμβολα των απόλυτων τιμών μελετώντας τα πρόσημα κοντά στο σημείο στο οποίο μας ζητείται να υπολογίσουμε το όριο [δείτε τον β’ τρόπο επίλυσης του ερωτήματος i) της άσκησης που ακολουθεί]. Αν υπάρχει απόλυτη τιμή το πρόσημο της οποίας αλλάζει εκατέρωθεν του σημείου στο οποίο αναζητούμε το όριο πρέπει να χρησιμοποιήσουμε πλευρικά όρια [δείτε το ερώτημα ii) της άσκησης που ακολουθεί].


� Εκφώνηση Να βρεθεί, αν υπάρχει, η τιμή καθενός από τα επόμενα όρια:

i) lim → 𝑓𝑓(𝑥𝑥), με 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = | | | | ,𝑥𝑥 ≠ 0

ii) lim → 𝑓𝑓(𝑥𝑥), με 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = ,𝑥𝑥 ≠ 2

� Λύση

i) n α´ τρόπος Έχουμε δυο συναρτήσεις εντός απόλυτων τιμών, οι οποίες χωρίς το σύμβολο της απόλυτης τιμής γράφονται:

|𝑥𝑥 + 5| =

−𝑥𝑥 − 5 , 𝑥𝑥 ∈ (−∞,−5)

0 , 𝑥𝑥 = −5

𝑥𝑥 + 5 , 𝑥𝑥 ∈ (−5,+∞)

|𝑥𝑥 − 4| =

−𝑥𝑥 + 4 ,𝑥𝑥 ∈ (−∞,4)

0 ,𝑥𝑥 = 4

𝑥𝑥 − 4 ,𝑥𝑥 ∈ (4,+∞)

Με την βοήθεια του διπλανού πίνακα ο τύπος της συνάρτησης χωρίς τις απόλυτες τιμές γίνετε:

–5 4| + 5|| 4| + 4 4

+ 5 + 4 + 5 5



⎩⎪⎨

⎪⎧ ,𝑥𝑥 < −5

,−5 < 𝑥𝑥 < 4

,𝑥𝑥 > 4

Φανερά η 𝑓𝑓 ορίζεται γύρω από το σημείο 𝑥𝑥 = 0, οπότε έχει νόημα το lim → 𝑓𝑓(𝑥𝑥). Είναι δε:

lim→𝑓𝑓(𝑥𝑥) = lim

→

−2𝑥𝑥𝑥𝑥 − 5𝑥𝑥 + 6𝑥𝑥 =

00 = −2 lim

→

𝑥𝑥𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 5𝑥𝑥 + 6) =

−2 lim→

1𝑥𝑥 − 5𝑥𝑥 + 6 = −2

16 = −

13

n β´ τρόπος Καταρχήν παρατηρούμε ότι lim → |𝑥𝑥 + 5| = 5 και lim → |𝑥𝑥 − 4| = |−4| = 0 , οπότε το όριο του αριθμητή είναι lim → (|𝑥𝑥 + 5|+ 3|𝑥𝑥 − 4|− 17) = 0. Το όριο του παρονομαστή είναι lim → (𝑥𝑥 − 5𝑥𝑥 + 6𝑥𝑥) = 0 και επομένως το ζητούμενο όριο παρουσιάζει την απροσδιόριστη μορφή . Αρχικά θα βγάλουμε τις απόλυτες τιμές από τον αριθμητή χρησιμοποιώντας το γεγονός ότι μας ενδιαφέρει να υπολογίσουμε το όριο όταν 𝑥𝑥 → 0. Τότε είναι 𝑥𝑥 + 5 > 0, οπότε |𝑥𝑥 + 5| = 𝑥𝑥 + 5 και 𝑥𝑥 − 4 < 0, οπότε |𝑥𝑥 − 4| = −(𝑥𝑥 − 4) = −𝑥𝑥 + 4. Άρα ο αριθμητής γράφεται:

|𝑥𝑥 + 5|+ 3|𝑥𝑥 − 4|− 17 = 𝑥𝑥 + 5 + 3(−𝑥𝑥 + 4) − 17 = −2𝑥𝑥 [𝑥𝑥~0]

Ο παρονομαστής παραγοντοποιείται αφού 𝑥𝑥 − 5𝑥𝑥 + 6𝑥𝑥 = 𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 5𝑥𝑥 + 6) = 𝑥𝑥(𝑥𝑥 −3)(𝑥𝑥 − 2), διότι το τριώνυμο 𝑥𝑥 − 5𝑥𝑥 + 6 έχει ρίζες ± = 3,2.

Άρα για 𝑥𝑥~0 έχουμε:

𝑓𝑓(𝑥𝑥) =|𝑥𝑥 + 5|+ 3|𝑥𝑥 − 4|− 17

𝑥𝑥 − 5𝑥𝑥 + 6𝑥𝑥 =−2𝑥𝑥

𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 3)(𝑥𝑥 − 2) = −2

(𝑥𝑥 − 3)(𝑥𝑥 − 2)


lim→𝑓𝑓(𝑥𝑥) = − lim

→

2(𝑥𝑥 − 3)(𝑥𝑥 − 2) = −

2(−3) ∙ (−2) = −

13

ii) Καταρχήν παρατηρούμε ότι lim → |𝑥𝑥 − 6𝑥𝑥 + 8| = 0 και lim → (𝑥𝑥 − 2) = 0, επομένως το ζητούμενο όριο παρουσιάζει την απροσδιόριστη μορφή . Θα διώξουμε το σύμβολο της απόλυτης τιμής μελετώντας το πρόσημο του τριωνύμου 𝑥𝑥 − 6𝑥𝑥 + 8 = (𝑥𝑥 − 2)(𝑥𝑥 − 4) , το οποίο έχει όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Άρα όταν(*) 𝑥𝑥~2 έχουμε |𝑥𝑥 − 6𝑥𝑥 + 8| = 𝑥𝑥 − 6𝑥𝑥 + 8 =(𝑥𝑥 − 2)(𝑥𝑥 − 4) , ενώ όταν 𝑥𝑥~2 έχουμε |𝑥𝑥 − 6𝑥𝑥 +8| = −(𝑥𝑥 − 6𝑥𝑥 + 8) = −(𝑥𝑥 − 2)(𝑥𝑥 − 4), επομένως:

+ +

20

40

(*) Έχω χρησιμοποιήσει το σύμβολο ~ (το οποίο δεν υπάρχει στο σχολικό βιβλίο) καθαρά για λόγους συντομογραφίας. Ο συμβολισμός 𝑥𝑥~𝑎𝑎 δηλώνει ότι η μεταβλητή 𝑥𝑥 βρίσκετε κοντά στον πραγματικό αριθμό 𝛼𝛼.


v Στόχοι Μια πρώτη επαναληπτική άσκηση στην οποία θα χρησιμοποιήσουμε κάποιες από τις τεχνικές που μάθαμε στα προηγούμενα θέματα.


� Εκφώνηση Δίνεται η συνάρτηση:

𝑓𝑓(𝑥𝑥) =𝑥𝑥 + 1 , 𝑥𝑥 ≤ 1

𝑥𝑥 + 𝜆𝜆𝜆𝜆 − 1𝑥𝑥 + 1

, 𝑥𝑥 > 1

i) Να βρεθεί ο 𝜆𝜆 ∈ ℝ έτσι ώστε η 𝑓𝑓 να έχει όριο στο 𝑥𝑥 = 1.

ii) Για την παραπάνω τιμή του 𝜆𝜆 να βρεθεί το lim → 𝑔𝑔(𝑥𝑥), όπου 𝑔𝑔(𝑥𝑥) = ( ) ( ).

Θέμα 9

Λύστε µόνοι σας ! Βρείτε, αν υπάρχουν, τις τιμές των ορίων:

i) lim →| | ii) lim → iii) lim →

Απάντηση

i) Δεν υπάρχει, ii) − , iii) −3

𝑓𝑓(𝑥𝑥) =(𝑥𝑥 − 2)(𝑥𝑥 − 4)

𝑥𝑥 − 2 = 𝑥𝑥 − 4,𝑥𝑥~2

𝑓𝑓(𝑥𝑥) =−(𝑥𝑥 − 2)(𝑥𝑥 − 4)

𝑥𝑥 − 2 = −𝑥𝑥 + 4, 𝑥𝑥~2

Οπότε τα πλευρικά όρια της 𝑓𝑓(𝑥𝑥) στο 𝑥𝑥 = 2 είναι: lim→


(𝑥𝑥 − 4) = −2

lim→


(−𝑥𝑥 + 4) = 2

Αφού lim → 𝑓𝑓(𝑥𝑥) ≠ lim → 𝑓𝑓(𝑥𝑥) έπεται ότι δεν υπάρχει το lim → 𝑓𝑓(𝑥𝑥).


� Λύση

i) Η συνάρτηση αλλάζει τύπο εκατέρωθεν του 𝑥𝑥 = 1, οπότε πρέπει να υπολογίσουμε τα πλευρικά της όρια. Έχουμε: n Αριστερό πλευρικό όριο στο 𝑥𝑥 = 1

lim→


(𝑥𝑥 + 1) = 1 + 1 = 2 (1)

n Δεξιό πλευρικό όριο στο 𝑥𝑥 = 1

lim→


𝑥𝑥 + 𝜆𝜆𝜆𝜆 − 1𝑥𝑥 + 1 =

1+ 𝜆𝜆 − 11 + 1 =

𝜆𝜆2 (2)


lim→


𝑓𝑓(𝑥𝑥)( ),( ) 𝜆𝜆

2 = 2⇔ 𝜆𝜆 = 4

ii) Είναι 𝑓𝑓(1) = 1 + 1 = 2. Όταν 𝑥𝑥 ≤ 1 είναι 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 + 1, οπότε ο τύπος της 𝑔𝑔 είναι:

𝑔𝑔(𝑥𝑥) =𝑓𝑓(𝑥𝑥) − 𝑓𝑓(1)

𝑥𝑥 − 1 =𝑥𝑥 + 1 − 2𝑥𝑥 − 1 =

𝑥𝑥 − 1𝑥𝑥 − 1 =

(𝑥𝑥 + 1)(𝑥𝑥 − 1)𝑥𝑥 − 1 = 𝑥𝑥 + 1,𝑥𝑥 ≤ 1

Όταν 𝑥𝑥 > 1 είναι 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = , οπότε ο τύπος της 𝑔𝑔 είναι:


𝑥𝑥 − 1 =𝑥𝑥 + 4𝑥𝑥 − 1

𝑥𝑥 + 1 − 2𝑥𝑥 − 1 =

𝑥𝑥 + 4𝑥𝑥 − 1 − 2(𝑥𝑥 + 1)𝑥𝑥 + 1𝑥𝑥 − 1 =

𝑥𝑥 + 2𝑥𝑥 − 3(𝑥𝑥 − 1)(𝑥𝑥 + 1) =

(𝑥𝑥 − 1)(𝑥𝑥 + 3)(𝑥𝑥 − 1)(𝑥𝑥 + 1) =

𝑥𝑥 + 3𝑥𝑥 + 1 , 𝑥𝑥 > 1

Επομένως μπορούμε να γράψουμε τον τύπο της 𝑔𝑔 με μορφή κλάδων ως εξής:

𝑔𝑔(𝑥𝑥) =𝑥𝑥 + 1 ,𝑥𝑥 ≤ 1𝑥𝑥 + 3𝑥𝑥 + 1

,𝑥𝑥 > 1

Έχουμε τώρα: n Αριστερό πλευρικό όριο της 𝑔𝑔 στο 𝑥𝑥 = 1

lim→

𝑔𝑔(𝑥𝑥) = lim→

(𝑥𝑥 + 1) = 2

n Δεξιό πλευρικό όριο της 𝑔𝑔 στο 𝑥𝑥 = 1

lim→


𝑥𝑥 + 3𝑥𝑥 + 1 =

1+ 31+ 1 = 2

οπότε lim → 𝑔𝑔(𝑥𝑥) = lim → 𝑔𝑔(𝑥𝑥) και επομένως lim → 𝑔𝑔(𝑥𝑥) = 2.

Σ χ ό λ ι ο

Όπως θα δείτε στο κεφάλαιο των παραγώγων το lim →( ) ( ), όταν υπάρχει, αποτελεί

την τιμή της παραγώγου συνάρτησης της 𝑓𝑓 στο σημείο 𝑥𝑥 .


v Στόχοι Μια δεύτερη επαναληπτική άσκηση στην ίδια λογική με την προηγούμενη, με μοναδική διαφορά ότι θα χρησιμοποιήσουμε κάποιες διαφορετικές τεχνικές σε σχέση με πρίν για τον υπολογισμό των ζητούμενων ορίων.


� Εκφώνηση Δίνεται η συνάρτηση:

𝑓𝑓(𝑥𝑥) =𝑥𝑥 + 5𝑥𝑥 + 2 , 𝑥𝑥 ∈ [0,2]98 𝑥𝑥 +

74 , 𝑥𝑥𝑥𝑥(2,+∞)

i) Να αποδείξετε ότι lim → 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 4.

ii) Για εξετάσετε αν η συνάρτηση 𝑔𝑔(𝑥𝑥) = ( ) ( ) ,𝑥𝑥 ≠ 2 έχει όριο στο 𝑥𝑥 = 2.

� Λύση

i) Η συνάρτηση αλλάζει τύπο εκατέρωθεν του 𝑥𝑥 = 2, οπότε πρέπει να υπολογίσουμε τα πλευρικά της όρια. Έχουμε: n Αριστερό πλευρικό όριο στο 𝑥𝑥 = 2

lim→


𝑥𝑥 + 5𝑥𝑥 + 2 = √4+ 10+ 2 = 4 (1)

n Δεξιό πλευρικό όριο στο 𝑥𝑥 = 2

lim→


98 𝑥𝑥 +

74 =

98 ∙ 2 +

74 =

164 = 4 (2)

Αφού lim → 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = lim → 𝑓𝑓(𝑥𝑥) έπεται ότι υπάρχει το lim → 𝑓𝑓(𝑥𝑥) και μάλιστα ισχύει ότι lim → 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 4. ii) Είναι 𝑓𝑓(2) = √4 + 10 + 2 = 4. Όταν 𝑥𝑥 < 2 είναι 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = √𝑥𝑥 + 5𝑥𝑥 + 2, οπότε ο τύπος της 𝑔𝑔 είναι:

𝑔𝑔(𝑥𝑥) =𝑓𝑓(𝑥𝑥)− 𝑓𝑓(2)

𝑥𝑥 − 2 =√𝑥𝑥 + 5𝑥𝑥 + 2 − 4

𝑥𝑥 − 2 , 𝑥𝑥 < 2

Όταν 𝑥𝑥 > 2 είναι 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 + , οπότε ο τύπος της 𝑔𝑔 είναι:


𝑥𝑥 − 2 =98 𝑥𝑥 +

74 − 4

𝑥𝑥 − 2 =98 ,𝑥𝑥 > 2

Θέμα 10


Επομένως μπορούμε να γράψουμε τον τύπο της 𝑔𝑔 με μορφή κλάδων ως εξής:

𝑔𝑔(𝑥𝑥) =√ , 𝑥𝑥 < 2

, 𝑥𝑥 > 2

Έχουμε τώρα: n Αριστερό πλευρικό όριο της 𝑔𝑔 στο 𝑥𝑥 = 2

lim→


√𝑥𝑥 + 5𝑥𝑥 + 2 − 4𝑥𝑥 − 2 =

00 =

lim→

√𝑥𝑥 + 5𝑥𝑥 + 2 − 4 √𝑥𝑥 + 5𝑥𝑥 + 2 + 4(𝑥𝑥 − 2) √𝑥𝑥 + 5𝑥𝑥 + 2 + 4

= lim→

𝑥𝑥 + 5𝑥𝑥 + 2 − 16(𝑥𝑥 − 2) √𝑥𝑥 + 5𝑥𝑥 + 2+ 4

=

lim→

𝑥𝑥 + 5𝑥𝑥 − 14(𝑥𝑥 − 2) √𝑥𝑥 + 5𝑥𝑥 + 2 + 4

= lim→

(𝑥𝑥 − 2)(𝑥𝑥 + 7)(𝑥𝑥 − 2) √𝑥𝑥 + 5𝑥𝑥 + 2 + 4

=

lim→

𝑥𝑥 + 7√𝑥𝑥 + 5𝑥𝑥 + 2 + 4

=98

n Δεξιό πλευρικό όριο της 𝑔𝑔 στο 𝑥𝑥 = 2

lim→

𝑔𝑔(𝑥𝑥) =98

Αφού lim → 𝑔𝑔(𝑥𝑥) = lim → 𝑔𝑔(𝑥𝑥) και επομένως lim → 𝑔𝑔(𝑥𝑥) = .



⎩⎪⎨

⎪⎧𝑥𝑥 + 𝛼𝛼𝑥𝑥 + 2𝛽𝛽𝛽𝛽 + 2 ,𝑥𝑥 ≤ −14𝑥𝑥 − 𝛼𝛼𝑥𝑥 + 2𝑥𝑥 + 𝛽𝛽

𝑥𝑥 + 3𝑥𝑥 + 2,−1 < 𝑥𝑥 < 0

𝑥𝑥 − 𝑥𝑥𝑥𝑥 + 1 ,𝑥𝑥 ≥ 0

Να βρείτε τις τιμές των 𝛼𝛼,𝛽𝛽 ∈ ℝ έτσι ώστε η 𝑓𝑓 να έχει όριο στα σημεία 𝑥𝑥 = −1 και 𝑥𝑥 = 0.

Απάντηση

𝛼𝛼 = 𝛽𝛽 = 0

�

mathimatika epal a oria

Documents