mathimatika katefthinsis epanalipsi

Β΄ Τεύχος

Μαθηματικά κατεύθυνσης

Γ΄ Λυκείου

Τετράδιο Επανάληψης

www.askisopolis.gr

Στέλιος Μιχαήλογλου

Ευάγγελος Τόλης

Απρίλιος 2016

Έκδοση α΄

Το βιβλίο αυτό θέλει να απαντήσει στην ερώτηση που συχνά θέτουν οι μαθητές: Τι

να κάνω επανάληψη; Από πού να ξεκινήσω και ποιες ασκήσεις να κάνω;

Προσπαθεί να βάλει σε μια σειρά τη γνώση των μαθητών που αποκτήθηκε όλη τη

σχολική χρονιά και έτσι οι μαθητές να έχουν σαφή εικόνα για την ύλη των

Μαθηματικών κατεύθυνσης της Γ΄ Λυκείου.

Ο μαθητής καλείται να μάθει τη θεωρία , να διαβάσει τη μεθοδολογία των βασικών

ασκήσεων, να μελετήσει ή και να λύσει μόνος του μια άσκηση από κάθε περίπτωση

και στη συνέχεια να εφαρμόσει την ύλη που μελέτησε σε μια όμοια άλυτη άσκηση για

λόγους εξάσκησης και εμπέδωσης.

Καλή μελέτη και εξάσκηση λοιπόν.

ΥΣ: Η εικόνα στο εξώφυλλο είναι πίνακας του Picasso.

Στέλιος Μιχαήλογλου

Ευάγγελος Τόλης

www.askisopolis.gr Εφαπτομένη καμπύλης

5

1. Εξίσωση εφαπτομένης

Εξίσωση ευθείας

Γνωρίζουμε ότι μία ευθεία ε, που διέρχεται απόσημείο 0 0A x , y και έχει συντελεστή διεύθυνσης ,έχει εξίσωση 0 0: y y x x Αν τώρα η ε εφάπτεται στη γραφική παράστασημίας συνάρτησης f στο σημείο Α, ισχύει: 0 0y f x

και 0f x .Οπότε, η ε έχει εξίσωση: 0 0 0y f x f x x x

Παρατηρήσεις

Αν μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο 0x , τότε για τη γωνία που σχηματίζει η εφαπτομένητης fC στο 0x με τον άξονα x x , ισχύει: 00 90 f x 0

o090 180 f x 0

000 f x 0 (εφαπτομένη παράλληλη στον άξονα x x ).

Μεθοδολογία ασκήσεων – Λυμένες ασκήσεις

1η Κατηγορία: Εξίσωση εφαπτομένης σε γνωστό σημείο 0 0M x ,f x

Βρίσκουμε το 0f x , αν δεν δίνεται. Βρίσκουμε το f x και στη συνέχεια το 0f x . Αντικαθιστούμε στον τύπο 0 0 0y f x f x x x .Σε περίπτωση που έχουμε συνάρτηση πολλαπλού τύπου και ζητείται η εξίσωση εφαπτομένηςστο σημείο αλλαγής τύπου, βρίσκουμε το 0f x , αν υπάρχει, με πλευρικές παραγώγους.

Εύρεση παραμέτρωνΌταν δίνεται μία συνάρτηση f και ζητούνται οι τιμές των παραμέτρων έτσι ώστε η fC να έχειστο σημείο 0 0M x ,f x εφαπτομένη την y x , τότε ισχύει ότι:

0f x και 0 0f x x .

1.Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων των παρακάτω συναρτήσεων στο σημείο0x 1 .

α) 3 21 5f x x x 7x 13 2

β)

3 2

2

x 3x 5, x 1g xx 7x 9, x 1

.

Λύση


5







o090 180 f x 0








α) 3 21 5f x x x 7x 13 2

β)

3 2

2

x 3x 5, x 1g xx 7x 9, x 1

.

Λύση


5







o090 180 f x 0








α) 3 21 5f x x x 7x 13 2

β)

3 2

2

x 3x 5, x 1g xx 7x 9, x 1

.

Λύση


6

α) Είναι 1 5 23f 1 7 13 2 6 , 2f x x 5x 7 και f 1 3 .

Η εξίσωση εφαπτομένης είναι: 23y f 1 f 1 x 1 y 3 x 16

18x 6y 5 0 .

β) Είναι 3 2

x 1 x 1

g x g 1 x 3x 4lim limx 1 x 1

x 1

x 1lim

2x 4x 4

x 1

9 και

2

x 1 x 1 x 1

g x g 1 x 1 x 8x 7x 8lim lim lim 9x 1 x 1 x 1

. Οπότε g 1 9 . Άρα, η εξίσωση

εφαπτομένης είναι: y g 1 g 1 x 1 y 1 9 x 1 y 9x 10 .

2.Δίνεται η συνάρτηση 2 1f x xx

, x 0 . Να βρείτε την εφαπτομένη της, στο σημείο

M 1,f 1 .

Λύση

3.Δίνεται η συνάρτηση

2

συνx 2x 2, x 0f xx 2x 3, x 0

. Να βρείτε την εφαπτομένη της fC στο

σημείο με τετμημένη 0x 0 .Λύση


7

4.Δίνονται οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις f,g : , για τις οποίες ισχύει

2f x g 6x x για κάθε x . Αν η ευθεία ε : y 2x 4 είναι εφαπτομένη της gC

στο σημείο A 5,g 5 , να βρείτε την εφαπτομένη της fC στο σημείο B 1,f 1 .

ΛύσηΕπειδή το σημείο Α ανήκει στην ε, ισχύει: g 5 2 5 4 6 .Επειδή η ε εφάπτεται της gC στο Α, ισχύει ότι: g 5 2 . Είναι f 1 g 6 1 g 5 6 .

2 2 2f x g 6x x 6x x 6 2x g 6x x και για x 1 είναι f 1 4g 5 8 .

Η εφαπτομένη της fC στο Β, έχει εξίσωση: y f 1 f 1 x 1 y 6 8 x 1 y 8x 2

5.Δίνονται οι συναρτήσεις f,g : , όπου f παραγωγίσιμη και x 2g x f 2 x . Αν η

ευθεία y x 1 εφάπτεται στη fC στο 0x 3 , να βρείτε την εφαπτομένη της gC στο

σημείο 1,g 1 .

Λύση

6.Δίνεται η συνάρτηση x

f x x e , x 0 . Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της fC στο

σημείο A 0,f 0 , σχηματίζει με τους άξονες τρίγωνο, με εμβαδόν 12

τ.μ.

ΛύσηΕίναι of 0 0 e 1 και xln x e x ln x ef (x) e e . Η f είναι παραγωγίσιμη στο (0, ) με

x ln x e x ln x ef x e e x ln x e x xx e ln x ex e

.

Η εφαπτομένη της fC στο Α είναι η ευθεία: : y f 0 f 0 x 0 y 1 x y x 1

Για y 0 είναι: 0 x 1 x 1 και η ε τέμνει τον x x στοσημείο 1,0 . Για x 0 είναι: y 0 1 1 και ηε τέμνει τον y y στο σημείο 0,1 .Η ε σχηματίζει με τους άξονες το τρίγωνο ΟΒΓ, το οποίο έχει εμβαδόν:

1 1 1E (OB)(O ) 1 1 .2 2 2 .

7.Έστω η συνάρτηση 2xf x x , x 0 . Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της fC στο 0x 1


7










Λύση




τ.μ.



.



1 1 1E (OB)(O ) 1 1 .2 2 2 .



7










Λύση




τ.μ.



.



1 1 1E (OB)(O ) 1 1 .2 2 2 .



8

σχηματίζει τους άξονες τρίγωνο με εμβαδό 1E4

.

Λύση

8.Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f, για την οποία ισχύει ότι:

f x 2 2f 2 x συν 3x , για κάθε x . Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει με

τον άξονα x x η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο 0x 2 .Λύση

Για να βρούμε την γωνία ω που σχηματίζει η εφαπτομένη της fC στο 0x 2 με τον άξονα x x , αρκείνα υπολογίσουμε το f 2 . Είναι

f x 2 x 2 2f 2 x 2 x 3x 3x f x 2 2f 2 x 3 3x

και, f x 2 2f 2 x 2 x 3 3x 3x f x 2 2f 2 x 3 3x .

Στην τελευταία σχέση θέτουμε x 0 και έχουμε f 2 2f 2 3 0 3f 2 3 f 2 1 .Άρα, 1 45

180 45 135 , δηλαδή 135 , γιατί 0 180 .

9.Δίνεται δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f : , για την οποία ισχύει: xf 2 x f 2 x e συνx , για κάθε x .Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει η

εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα στο σημείο μετετμημένη 2.

Λύση

x x


9

10.Δίνεται συνεχής συνάρτηση f για την οποία ισχύει ότι:

x 0

f x συνxlim 3

x.Να βρείτε

την εφαπτομένη της fC στο 0x 0 .

Λύση

Αρκεί να προσδιορίσουμε το f 0 και το f 0 . Έστω f x xg x

x

, x 0 με

x 0limg x 3

.Τότε f x x xg x f x xg x x , οπότε

x 0 x 0limf x lim xg x x 0 3 0 1

.Επειδή η f είναι συνεχής, ισχύει ότι

x 0

f 0 limf x 1

. Είναι f x x f x 1 1 x f x 1 1 xg x g xx x x x

f x 1 1 xg xx x και

x 0 x 0

f x 1 1 xlim lim g x 3 0 3x x

.

Είναι x 0 x 0

f x f 0 f x 1lim lim 3

x 0 x

, άρα f 0 3 .

Η εξίσωση της εφαπτομένης είναι: y f 0 f 0 x 0 y 1 3x y 3x 1 .

11.Δίνεται συνεχής συνάρτηση f : , για την οποία ισχύει:

x 2

f x x 1lim 3

x 2.

α) Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο 0x 2 .β) Να βρείτε την εφαπτομένη της fC στο 0x 2 .

Λύση

12.Δίνεται η συνάρτηση 2f x x αx β και η ευθεία ε: y λx 1 . Να βρείτε τα

α,β,λ για τα οποία η ε εφάπτεται της Cf στο σημείο A 2,3 .

Λύση


10

Το Α είναι κοινό σημείο των ε, fC οπότε: f 2 3 4 2 3 2 1 (1) και3 2 1 2 . Επειδή η ε εφάπτεται της fC στο σημείο 2,3 ισχύει: f 2 2 .

Όμως 2f x x x 2x οπότε 4 2 2 και λόγω της (1)είναι: 3

13.Δίνεται η συνάρτηση 2f x αx 3x β και η ευθεία ε : y βx γ , α,β, γ .Να βρείτε

τα α,β,γ, ώστε η ε να εφάπτεται της fC στο σημείο A 1,2 .

Λύση

14.Δίνεται συνάρτηση f, συνεχής στο 0x 0 , για την οποία ισχύει:

5

7x 0

1f x ημx x ημxlim 1

x.Να αποδείξετε ότι:

α) Η fC διέρχεται από την αρχή των αξόνων.β) Ο άξονας x x εφάπτεται της fC στην αρχή των αξόνων.

Λύση

15.Έστω συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο με f x 0 για κάθε x .

Θεωρούμε τη συνάρτηση

f xg x

f x, x . Αν η γραφική παράσταση της g τέμνει τον

άξονα x΄x στο σημείο 0x ,0 τότε η εφαπτομένη της g στο σημείο 0x ,0 είναι κάθετη


11

στην ευθεία x y k 0 , για κάθε k .Λύση

2η Κατηγορία: Εξίσωση εφαπτομένης σε άγνωστο σημείοΥποθέτουμε ότι 0 0M x ,f x είναι το σημείο επαφής που πληροί την συγκεκριμένη ιδιότητα.Ανάλογα με την ιδιότητα, έχουμε τις παρακάτω συνθήκες:- Αν η εφαπτομένη ε είναι παράλληλη σε ευθεία : y x ,τότε: 0f x

- Αν η εφαπτομένη ε είναι κάθετη σε ευθεία : y x , τότε: 0f x 1

- Αν η εφαπτομένη έχει κλίση λ, τότε 0f x .- Αν η εφαπτομένη σχηματίζει γωνία ω με τον άξονα x΄x, τότε ισχύει: 0f x .

Εφαπτομένη από σημείο εκτός fC .Όταν θέλουμε να βρούμε την εξίσωση εφαπτομένης που άγεται από σημείο A , που δενανήκει στη γραφική παράσταση της f, τότε:Υποθέτουμε ότι το σημείο επαφής είναι το 0 0M x ,f x . Γράφουμε τον τύπο της εξίσωσης

εφαπτομένης: 0 0 0: y f x f x x x (1), και αντικαθιστούμε τα 0 0f x , f x .Επειδή ηεφαπτομένη ε διέρχεται από το σημείο , , οι συντεταγμένες του θα επαληθεύουν τηνεξίσωση (1), δηλαδή: 0 0 0f x f x x .Από την τελευταία σχέση υπολογίζουμε τα 0x , που μπορεί να είναι και περισσότερα από ένα.

16.Δίνεται η συνάρτηση 2f x x 4 , x . Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων

της fC , σε κάθε περίπτωση:α) Είναι παράλληλες στην ευθεία: 1δ : y 4x 5 .β) Είναι κάθετες στην ευθεία: 2δ : x 2y 1 0 .γ) Είναι παράλληλες με τον άξονα x x .δ) Σχηματίζουν με τον άξονα x x , γωνία o135 .

ΛύσηΈστω 0 0M x ,f x το σημείο επαφής για κάθε περίπτωση. Είναι f x 2x .


12

α)Επειδή η εφαπτομένη της fC είναι παράλληλη στην ευθεία 1 ,ισχύει ότι:

10 0 0f x 4 2x 4 x 2 . Η εξίσωση της εφαπτομένης είναι:

y f 2 f 2 x 2 y 0 4 x 2 y 4x 8 .

β) Επειδή η εφαπτομένη της fC είναι κάθετη στην ευθεία 2 ,ισχύει ότι:

20f x 1 2 0

1x2 01 x 1

Η εξίσωση της εφαπτομένης είναι: y f 1 f 1 x 1 y 2x 5 .

γ) Επειδή η εφαπτομένη είναι παράλληλη στον άξονα x΄x, ισχύει ότι: 0 0 0f x 0 2x 0 x 0

Η εξίσωση της εφαπτομένης είναι y f 0 f 0 x y 4

δ)Είναι o0 0 0

1f x 135 2x 1 x2

Η εξίσωση της εφαπτομένης είναι: 1 1 1 17y f f x y x2 2 2 4

.

17.Δίνεται η συνάρτηση 3f x x 2x 4 . Να βρείτε τις εφαπτομένες της fC που

σχηματίζουν με τον άξονα x x , γωνία o45 .Λύση

18.Δίνεται η συνάρτηση f x 3lnx x , x 0 . Να βρείτε την εφαπτομένη της fC , που

είναι κάθετη στην ευθεία ε : x 2y 6 0 .Λύση


13

19.Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει σημείο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f x ln αx 1 αx , α 0 στο οποίο η εφαπτόμενη να είναι κάθετη στην ευθεία

x α y 5 0 .Λύση

20.Δίνεται η συνάρτηση 3xf x e x . Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της fC ,

που διέρχεται από την αρχή των αξόνων.Λύση

Έστω 0 0M x ,f x το σημείο επαφής. Τότε, η εξίσωση εφαπτομένης είναι:

0 0 0y f x f x x x (1). Είναι 3xf x 3e 1 , οπότε 03x0f x 3e 1 και 03x

0 0f x e x .

Άρα, η (1) γίνεται: 0 03x 3x0 0y e x 3e 1 x x (2).

Επειδή η ευθεία διέρχεται από το σημείο Ο(0,0), τότε η (2) γίνεται: 0 03x 3x

0 00 e x 3e 1 0 x 0 03x 3x0 0 0e x 3x e x

0 0 03x 3x 3x0 03x e e 0 e 3x 1 0 0 0

13x 1 0 x3

.Τότε 1 1f e3 3

, 1f 3e 13

και η

εξίσωση της εφαπτομένης είναι: 1 1y e 3e 1 x y 3e 1 x3 3

.

21.Δίνεται η συνάρτηση

2x 3f xx 1

, x 1 . Να βρείτε τις εφαπτομένες της fC , που

άγονται από το σημείο

3A 0,2

.

Λύση


14

3η Κατηγορία: Κοινή εφαπτομένη

Κοινή εφαπτομένη σε κοινό σημείοΑν οι γραφικές παραστάσεις δύο συναρτήσεων f,g έχουν κοινή εφαπτομένη σε κοινό τουςσημείο 0 0M x ,y , τότε: 0 0f x g x και 0 0f x g x

Κοινή εφαπτομένη σε διαφορετικά σημείαΌταν δίνονται δύο συναρτήσεις f,g και ζητείται να βρεθεί αν υπάρχει, ευθεία που εφάπτεταικαι στις δύο γραφικές παραστάσεις. Τότε: Εξετάζουμε αρχικά, αν υπάρχει κοινή εφαπτομένη σε κοινό σημείο. Υποθέτουμε ότι A ,f και ,g είναι τα σημεία επαφής της κοινής

εφαπτομένης με τις f gC ,C .

: y f ( ) f x y f x f f: y g g x y g x g g

.

Για να είναι η ίδια ευθεία, πρέπει:

f g

f f g g

Λύνοντας το προηγούμενο σύστημα, βρίσκουμε τα α και β.

Ευθεία που εφάπτεται στην fCΑν θέλουμε να δείξουμε ότι μία γνωστή ευθεία : y x εφάπτεται στην fC , τότε: Λύνουμε το σύστημα των εξισώσεων , f x και βρίσκουμε τα κοινά τους σημεία. Έστω 1 1M x ,y ένα κοινό σημείο.Αν 1f x , τότε το Μ είναι σημείο επαφής.Αν 1f x , τότε το Μ είναι σημείο τομής.Αν η ευθεία δ δεν είναι γνωστή, τότε αρχικά βρίσκουμε την εξίσωσή της και ακολουθούμε ταπαραπάνω βήματα.

22.Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης

x 1g xx 2

στο σημείο με τετμημένη 0x 3 , εφάπτεται και στη γραφική παράσταση της

συνάρτησης 2f x x x 17 .

ΛύσηΑρχικά θα βρούμε την εφαπτομένη ε της gC στο σημείο 0x 3 . Είναι

2 2

x 2 x 1 3g xx 2 x 2

, οπότε 3g 3 31 και g 3 4 , άρα:

: y g 3 g 3 x 3 y 4 3 x 3 y 3x 13 .Θέλουμε να δείξουμε ότι η ευθεία : y 3x 13 εφάπτεται και στη γραφική παράσταση της 2f x x x 17 . Από το σύστημα των δύο εξισώσεων έχουμε:


15

2 2f x x x 17 x x 17 3x 13y 3x 13 y 3x 13

2 x 2x 4x 4 0y 19y 3x 13

.

Οπότε, το κοινό σημείο των fC και ε είναι, το M 2,19 . Είναι f x 2x 1 και

f 2 2 2 1 3 . Άρα, η ευθεία y 3x 13 εφάπτεται και στην fC .

23.Δίνεται η συνάρτηση xf x

x 1. Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της Cf στο 0x 2

εφάπτεται στη γραφική παράσταση της συνάρτησης 2g x x 5x 8 .

Λύση

24.Δίνονται οι συναρτήσεις f x α x 1 και

βx αg xx 1

. Να βρείτε τα α,β , για τα

οποία οι f gC ,C έχουν κοινή εφαπτομένη στο κοινό τους σημείο, με τετμημένη 0x 4 .

Λύση

Οι συναρτήσεις f,g είναι παραγωγίσιμες, με f x2 x , x 0 και

2g x

x 1

, x 1 .

Για να έχουν κοινή εφαπτομένη στο κοινό τους σημείο, με τετμημένη 0x 4 ,πρέπει:

42 1f 4 g 4 3f 4 g 4

4 9

15 4 3 613 4 0 13

24

25.Δίνονται οι συναρτήσεις

αx βf xx 1

και 3 2g x x αx 2x β . Να βρείτε τα

α,β , ώστε οι f gC ,C να δέχονται κοινή εφαπτομένη στο κοινό τους σημείο, με

τετμημένη 0x 1 .Λύση


16

26.Να βρείτε τις κοινές εφαπτομένες των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων: 2f x x 5x 10 και 2g x x x 6 .

ΛύσηΈστω A ,f και ,g τα σημεία, όπου η κοινή εφαπτομένη, εφάπτεται στις f gC ,Cαντίστοιχα. Τότε:

: y f f x: y g g x

y f x f fy g x g g

. Πρέπει:

f g

f f g g 2 2

2 5 2 15 10 2 5 6 2 1

2 2

2244

2 22 0

.

Οπότε, τα σημεία επαφής είναι 2,4 και B 0,6 και η κοινή εφαπτομένη είναι η ευθείαAB: y x 6 .

27.Έστω 2f x x x και 2g x x 2x 3 . Να εξετάσετε αν οι f gC , C δέχονται κοινή

εφαπτόμενη.Λύση

www.askisopolis.gr Ρυθμός μεταβολής

17

2. Ρυθμός μεταβολήςΟρισμόςΑν δύο μεταβλητά μεγέθη x,y συνδέονται με τη σχέση y f x , όπου f συνάρτησηπαραγωγίσιμη στο 0x , τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς x στο σημείο 0x τηνπαράγωγο 0f x .

Ο ρυθμός μεταβολής του διαστήματος s που διανύει ένα κινητό, ως προς το χρόνο t, τη χρονικήστιγμή 0t είναι η στιγμιαία ταχύτητα του κινητού. Δηλαδή 0 0s t t

Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας υ ενός κινητού, ως προς το χρόνο t, τη χρονική στιγμή 0tείναι η επιτάχυνση του κινητού. Δηλαδή 0 0t t

Αν Κ το κόστος , Ε η είσπραξη και Ρ το κέρδος από τη κατασκευή και πώληση x ποσότητας ενόςπροϊόντος, τότε το οριακό κόστος στο 0x είναι το 0x ,η οριακή είσπραξη στο 0x είναι το 0x και το οριακό κέρδος στο 0x είναι το 0x .


4η Κατηγορία: Ρυθμός μεταβολής συγκεκριμένης συνάρτησηςO ρυθμός μεταβολής μίας συνάρτησης y f t , ως προς t, όταν 0t t , είναι η παράγωγος τηςf στο 0t , δηλαδή το 0f t .

Προβλήματα ΟικονομίαςΣτα προβλήματα οικονομίας, η βασική σχέση που ισχύει είναι:

Κέρδος = Έσοδα – ΚόστοςΑν K x η συνάρτηση κόστους, τότε το μέσο κόστος παραγωγής x μονάδων προϊόντος, είναι:

K x K 0K x

x

Πρόβλημα κίνησης σε καμπύληΑν δίνεται σώμα που κινείται σε καμπύλη C, τότε:- Καταγράφουμε όλα τα δεδομένα της εκφώνησης, εκφράζοντας τα x,y συναρτήσει τουχρόνου t x t ,y t . Αν κάποια από τις συντεταγμένες του σημείου ελαττώνεται με ρυθμό α,

τότε x t ή y t .- Υπολογίζουμε τις τιμές των x, y τη χρονική στιγμή 0t που μας ενδιαφέρει.- Παραγωγίζουμε την εξίσωση της καμπύλης ως προς t και αντικαθιστούμε 0t t .- Κάνουμε αντικατάσταση στην τελευταία σχέση και συνήθως προκύπτει το ζητούμενο.

28. Έστω f t mgr η ποσότητα ενός φαρμάκου που έχει απορροφηθεί από έναν ασθενή, t

ώρες μετά τη λήψη του. Αν

t4f t 1 4 , να βρείτε:

α) Την ποσότητα του φαρμάκου που έχει απορροφηθεί από το σώμα του ασθενούς, δύοώρες μετά τη λήψη του.

β) Τη χρονική στιγμή κατά την οποία ο ρυθμός απορρόφησης του φαρμάκου από τον

ασθενή είναι ίσος με το 164

του ρυθμού απορρόφησης τη στιγμή λήψης του.


18

Λύση

α)Είναι 2 14 2 1 1 1f 2 1 4 1 4 1 1 mgr

2 24

.

β)Ο ρυθμός απορρόφησης του φαρμάκου τη χρονική στιγμή t, είναι:

t t t4 4 4t 1f t 1 4 4 ln 4 4 ln 4

4 4

.

Ο ρυθμός απορρόφησης του φαρμάκου τη χρονική στιγμή t 0 , είναι: 1f 0 ln 44

. Αναζητάμε τη

χρονική στιγμή 0t , κατά την οποία ισχύει:

01 1f t f 064 4

0t4 1 14 ln 4

64 4 ln 4

0 0t t3 04 4

0t14 4 4 3 t 12

64 4 ώρες.

29. Ένας πληθυσμός μικροβίων μεταβάλλεται συναρτήσει του χρόνου t (ώρες) σύμφωνα με

τον τύπο:

500P t 1000t 1

. Να βρείτε:

α) Τον αρχικό πληθυσμό των μικροβίων.β) Τον αριθμό των μικροβίων μετά από 9 ώρες.γ) Το ρυθμό μεταβολής του πληθυσμού των μικροβίων μετά από 9 ώρες.

Λύση

30. Μία βιομηχανία, κατασκευάζει x χιλιάδες τεμάχια ενός προϊόντος το μήνα. Αν το κόστοςπαραγωγής είναι 2K x 30x 500x 100 χιλιάδες ευρώ και η τιμή πώλησης του κάθε

τεμαχίου του προϊόντος είναι 22x 105x 3200 ευρώ, να βρείτε:

α) Πότε ο ρυθμός μεταβολής του κέρδους είναι αρνητικός.β) Να αποδείξετε ότι ο ρυθμός μεταβολής του μέσου κόστους είναι μηδέν, όταν ο ρυθμός

μεταβολής του κόστους ισούται με το μέσο κόστος.Λύση

α) Η είσπραξη της βιομηχανίας από την πώληση των x χιλιάδων τεμαχίων, είναι: 2x 2x 105x 3200 χιλιάδες ευρώ. Αν f x το κέρδος της βιομηχανίας, τότε:

2f x x 2x 105x 3200 K x 3 2 2f x 2x 105x 3200x 30x 500x 100

3 2f x 2x 135x 2700x 100 .

Ο ρυθμός μεταβολής του κέρδους, είναι: 2 2f x 6x 270x 2700 6 x 45x 450 .Είναι:


19

2f x 0 6 x 45x 450 0 6 x 15 x 30 0 x 15,30 Οπότε, ο ρυθμόςμεταβολής του κέρδους, είναι αρνητικός, όταν η βιομηχανία παράγει περισσότερα από 15.000τεμάχια και λιγότερα από 30.000 τεμάχια.

β) Το μέσο κόστος της βιομηχανίας είναι: K x K 0K x

x

.

Ο ρυθμός μεταβολής του μέσου κόστους είναι: K x x K x K 0K x

x . Είναι:

K x 0 xK x K x K 0 0 xK x K x K 0

K x K 0K x K x

x

.

31. Το κόστος κατασκευής x τεμαχίων ενός προϊόντος, είναι 27x 27x 8 χιλιάδες ευρώ,ενώ τα έσοδα από την πώληση των x τεμαχίων είναι, 3 2x 2x 3x 4 χιλιάδες ευρώ.Να βρείτε τον ελάχιστο αριθμό τεμαχίων που πρέπει να κατασκευαστούν, ώστε ορυθμός μεταβολής του κέρδους να είναι θετικός.

Λύση

32. Ένα σώμα βρίσκεται σε κυκλική τροχιά, με εξίσωση 2 2x y 25 . Όταν το σώμαδιέρχεται από το σημείο A 3,4 , η τετμημένη του x ελαττώνεται με ρυθμό 4 μονάδες

μήκους ανά δευτερόλεπτο. Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της τεταγμένης του, τηχρονική στιγμή που το σώμα διέρχεται από το σημείο Α.

ΛύσηΕίναι: 2 2x t y t 25 (1) και x t 4 μον. μήκους/sec.Έστω 0t η χρονική στιγμή που το σώμαβρίσκεται στη θέση Α. Τότε 0x t 3 και 0y t 4 .

Παραγωγίζοντας τη σχέση (1) κατά μέλη, έχουμε: 2 2x t y t 25

2x t x t 2y t y t 0 x t x t y t y t 0 και για 0t t είναι:

0 0 0 0x t x t y t y t 0 (2). Η σχέση (2) γίνεται: 0 03 4 4y t 0 y t 3 .

33. Σημείο Μ κινείται επί της παραβολής 2y 25 x , x 0,5 . Τη χρονική στιγμή που η

απόστασή του από την αρχή των αξόνων είναι ίση με 97 μονάδες μήκους, ο ρυθμόςμεταβολής της τετμημένης του είναι 2μον.μ / sec . Να βρείτε:

α) Το ρυθμό μεταβολής της τεταγμένης του Μ.β) Το ρυθμό μεταβολής της γωνίας θ MOx .


20

Λύση

34. Υλικό σημείο κινείται επί της καμπύλης y xln x , x 0 . Να βρείτε τη θέση του, τηχρονική στιγμή κατά την οποία ο ρυθμός μεταβολής της τεταγμένης του, είναι διπλάσιοςαπό το ρυθμό μεταβολής της τετμημένης του, αν γνωρίζουμε ότι ο ρυθμός μεταβολής τηςτετμημένης του σημείου είναι θετικός.

Λύση

35. Υλικό σημείο Μ, κινείται επί της έλλειψης, 2 29x 16y 144 , x 0 . Αν η τετμημένη τουΜ αυξάνεται με ρυθμό 4 μονάδες μήκους ανά δευτερόλεπτο, να βρείτε το ρυθμόμεταβολής της τεταγμένης του, στο σημείο κατά το οποίο τέμνεται η έλλειψη με την ευθείαy x .

Λύση


21

5η Κατηγορία: Προβλήματα ευθύγραμμης κίνησηςΑν δίνεται σώμα που κινείται επί ευθείας και η συνάρτηση θέσης του κάθε χρονική στιγμή tείναι S x t , τότε: Η στιγμιαία ταχύτητά του, τη χρονική στιγμή 0t , είναι 0 0t x t . Η στιγμιαία του επιτάχυνση t , τη χρονική στιγμή 0t , είναι 0 0t t . Το σώμα δεν κινείται όταν t 0 . Το σώμα κινείται κατά τη θετική φορά, όταν t 0 και κατά την αρνητική φορά, όταν

t 0 . Το συνολικό διάστημα που διανύει το κινητό, είναι:

ό 2 2 1 1S x t x t x t x t x t x 0 , όπου 1 2t , t οι ρίζες της εξίσωσης (t) 0 .

Η μέση ταχύτητα του σώματος σε όλη τη διάρκεια κίνησής του, είναι:ό

St

, όπου

S το συνολικό διάστημα. Η ταχύτητα του σώματος αυξάνεται, όταν t 0 και ελαττώνεται όταν t 0 .

36. Ένα σώμα, κινείται πάνω σε ευθεία και η θέση του κάθε χρονική στιγμή t(sec) δίνεταιαπό τον τύπο: 3 2x t t 6t 9t 2 , t 0,5 .

α) Να βρείτε την αρχική θέση του σώματος πάνω στην ευθεία.β) Να βρείτε την ταχύτητα και την επιτάχυνσή του τη χρονική στιγμή t.γ) Να βρείτε την επιτάχυνσή του τις χρονικές στιγμές που είναι ακίνητο.δ) Να βρείτε τα χρονικά διαστήματα κατά τα οποία το σώμα κινείται κατά τη θετική και

κατά την αρνητική φορά.ε) Να βρείτε το συνολικό διάστημα που διανύει το σώμα.στ) Να βρείτε τη μέση ταχύτητα του σώματος.

Λύσηα)Το σώμα βρίσκεται στην αρχική του θέση, τη χρονική στιγμή t 0 .

Είναι x 0 2 . Επομένως βρίσκεται στη θέση Α.

β)Η ταχύτητά του είναι 2t x t 3t 12t 9 και η επιτάχυνσή τουείναι t t 6t 12 .

γ)Το σώμα είναι ακίνητο όταν: 2t 0 3t 12t 9 0 t 1 ή t 3 .Τότε 1 6 12 6 και 3 18 12 6 .

δ)Από το διπλανό πίνακα, προκύπτει ότι, όταν: t 0,1 3,5 είναι (t) 0 και το σώμα κινείται κατά τη θετική φορά, ενώόταν t 1,3 είναι (t) 0 και το σώμα κινείται κατά την αρνητική φορά.

ε)Το σώμα ξεκινά από τη θέση Α και όταν σταματήσει για πρώτη φορά νακινείται, δηλαδή για t 1 , βρίσκεται στη θέση x 1 6 .

t 0 1 3 5 t + - +


21





St

, όπου











t 0 1 3 5 t + - +


21





St

, όπου











t 0 1 3 5 t + - +


22

Το διάστημα ΑΒ είναι x 1 x 0 6 2 4 .

Αμέσως μετά, ξεκινά να κινείται με επιτάχυνση 1 6 και σταματάει ξανά να κινείται όταν t 3 και τότεβρίσκεται στη θέση x 3 2 .

Το διάστημα που διανύει είναι: x 3 x 1 4 .

Έπειτα, ξεκινά να κινείται με επιτάχυνση 3 6 και τη χρονική στιγμήt 5 βρίσκεται στη θέση x 5 22 .Το διάστημα που διανύει είναι:

x 5 x 3 22 2 20 . Οπότε, το συνολικό διάστημα που διανύει, είναι: S 4 4 20 28

μονάδες μήκους.

στ)Είναιό

S 28 5,6t 5

μονάδες μήκους/sec.

37. Η θέση ενός κινητού που κινείται επί του άξονα x x , δίνεται από τον τύπο

3 21x(t) t 3t 5t 13

, όπου t ο χρόνος σε sec, με t 0,6 . Να βρείτε:

α) Την ταχύτητα και την επιτάχυνση του κινητού.β) Το συνολικό διάστημα που διανύει το κινητό.γ) Τη μέση ταχύτητα του κινητού.δ) Τις χρονικές στιγμές κατά τις οποίες το κινητό κινείται κατά τη θετική και κατά την

αρνητική φορά.Λύση


22







στ)Είναιό

S 28 5,6t 5



3 21x(t) t 3t 5t 13





22







στ)Είναιό

S 28 5,6t 5



3 21x(t) t 3t 5t 13





23

6η Κατηγορία: Ρυθμός μεταβολής σε γεωμετρικά σχήματαΡυθμός μεταβολής σε τρίγωναΑρχικά κάνουμε σχήμα και εκφράζουμε όλα τα μήκη συναρτήσει του t. Στη συνέχειαχρησιμοποιούμε το διάγραμμα:

Για επίπεδα σχήματα ή στερεά χρησιμοποιούμε τους τύπους περιμέτρου, εμβαδού ή όγκου.Στη διαδικασία επίλυσης ακολουθούμε τα εξής βήματα:1ο: Κάνουμε σχήμα, όπου είναι απαραίτητο και συμβολίζουμε με μεταβλητές τα διάφορα

μεγέθη.2ο: Βρίσκουμε τις γεωμετρικές σχέσεις που συνδέουν τις μεταβλητές και τις

κάνουμε συναρτήσεις με μεταβλητή το t.3ο: Υπολογίζουμε τη τιμή των μεταβλητών τη χρονική στιγμή 0t που μας ενδιαφέρει.4ο: Παραγωγίζουμε τις σχέσεις και με αντικατάσταση προκύπτει το ζητούμενο.

38. Ένας άνθρωπος ύψους 1,80m, απομακρύνεταιαπό έναν φανοστάτη, ύψους 7,2m, με ταχύτητα

0,9m/sec. Να βρείτε την ταχύτητα με την οποίααυξάνεται ο ίσκιος του ανθρώπου.

ΛύσηΟ άνθρωπος έχει διανύσει την απόσταση OA x ή OA x(t) .Επειδή η ταχύτητά του είναι 0,9m/sec,ισχύει: x t 0,9 .Η σκιά του ανθρώπου είναι το τμήμα AB S ή AB S t . Αναζητούμε το S t .Τα τρίγωνα ΟΒΦ και ΑΒΓ είναι όμοια, οπότε από τους λόγους ομοιότητας, ισχύει:

S tAB 1,8 1OB x t +S t 7,2 4

4S t x t S t

13S t x t S t x t3

και 1 1S t x t 0,9 0,3m / sec3 3

.

39. Ένας παρατηρητής απέχει 300m από ένα ευθύγραμμο τμήμα ενός αυτοκινητοδρόμου.Ένα αυτοκίνητο εισέρχεται στην αρχή του τμήματος αυτού με ταχύτητα 80km/h. Να

Ένα τρίγωνο στο σχήμα

Πως βρίσκω τη γεωμετρική σχέση που συνδέει ταμεταβλητά μεγέθη του προβλήματος;

Δύο τρίγωνα στο σχήμα

ορθογώνιο τρίγωνο

Πυθαγόρειοθεώρημα

Τριγωνομετρικοίαριθμοί οξείας

γωνίας

Η σχέση συνήθως είναι:2 2 2 2

(νόμος συνημιτόνων)ή

12

Συνήθωςεφαρμόζουμε

συνθήκη ομοιότηταςτριγώνων

τυχαίο τρίγωνο


23








S tAB 1,8 1OB x t +S t 7,2 4

4S t x t S t

13S t x t S t x t3

και 1 1S t x t 0,9 0,3m / sec3 3

.








γωνίας



12





23








S tAB 1,8 1OB x t +S t 7,2 4

4S t x t S t

13S t x t S t x t3

και 1 1S t x t 0,9 0,3m / sec3 3

.








γωνίας



12





24

βρείτε την ταχύτητα με την οποία πλησιάζει το αυτοκίνητο τον παρατηρητή όταν ημεταξύ τους απόσταση είναι 500m.

Λύση

40. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ, με γωνία oA 30 και πλευρές β 4cm και γ 2cm . Αν ηπλευρά

αυξάνεται με ρυθμό 0,5cm / s και η πλευρά γ αυξάνεται με ρυθμό 0,9cm / s , να βρείτε:α) Το ρυθμό μεταβολής του Εμβαδού του τριγώνου τη χρονική στιγμή κατά την οποία είναι

ισοσκελές, με κορυφή Α.β) Το ρυθμό μεταβολής της πλευράς α του τριγώνου, τη χρονική στιγμή που είναιισοσκελές, με κορυφή Α.

Λύσηα) Τη χρονική στιγμή t 0 , είναι: (0) 4cm , (0) 2cm .

Τη χρονική στιγμή t, η πλευρά β έχει αυξήσει το μήκος της κατά 0,5 cm και ηπλευρά γ, κατά 0,9 cm . Άρα, (t) 4 0,5t και (t) 2 0,9t .Το τρίγωνο είναι ισοσκελές τη χρονική στιγμή κατά την οποία:

(t) (t) 4 0,5t 2 0,9t t 5sec .Το Εμβαδόν Ε(t) του τριγώνου είναι:

o1 1 1E(t) (t) (t) (t) (t) 30 (t) (t)2 2 4 .

Είναι (5) 4 0,5 5 6,5 (5), (5) 0,5 και (5) 0,9 .

1(t) (t) (t) (t) (t)4

και

21 1E (5) (5) (5) (5) (5) 0,5 6,5 6,5 0,9 2,275cm / s4 4

.

β) Από το νόμο των συνημιτόνων στο τρίγωνο ΑΒΓ, έχουμε:2 2 2(t) (t) (t) 2 (t) (t) 2 2(t) (t) (t) (t) (t) 3 .

Η συνάρτηση t είναι παραγωγίσιμη στο 0, με:

2 2

2 (t) (t) 2 (t) (t) 3 (t) (t) (t) (t)(t)

2 (t) (t) (t) (t) 3

και για t 5 είναι:

2 2

2 6,5 0,5 2 6,5 0,9 3 0,5 6,5 6,5 0,9(t) 1,35cm/s

2 6,5 6,5 6,5 6,5 3


24


Λύση







o1 1 1E(t) (t) (t) (t) (t) 30 (t) (t)2 2 4 .

Είναι (5) 4 0,5 5 6,5 (5), (5) 0,5 και (5) 0,9 .

1(t) (t) (t) (t) (t)4

και

21 1E (5) (5) (5) (5) (5) 0,5 6,5 6,5 0,9 2,275cm / s4 4

.



2 2

2 (t) (t) 2 (t) (t) 3 (t) (t) (t) (t)(t)

2 (t) (t) (t) (t) 3


2 2

2 6,5 0,5 2 6,5 0,9 3 0,5 6,5 6,5 0,9(t) 1,35cm/s

2 6,5 6,5 6,5 6,5 3


24


Λύση







o1 1 1E(t) (t) (t) (t) (t) 30 (t) (t)2 2 4 .

Είναι (5) 4 0,5 5 6,5 (5), (5) 0,5 και (5) 0,9 .

1(t) (t) (t) (t) (t)4

και

21 1E (5) (5) (5) (5) (5) 0,5 6,5 6,5 0,9 2,275cm / s4 4

.



2 2

2 (t) (t) 2 (t) (t) 3 (t) (t) (t) (t)(t)

2 (t) (t) (t) (t) 3


2 2

2 6,5 0,5 2 6,5 0,9 3 0,5 6,5 6,5 0,9(t) 1,35cm/s

2 6,5 6,5 6,5 6,5 3


25

41. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με oA 150 και πλευρές β 4cm και γ 2cm . Αν οι πλευρές β,γαυξάνονται με ρυθμό 2cm / sec , να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του εμβαδού του μετάαπό 3sec .

Λύση

42. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο με βάση 8cm και ύψος που αυξάνεται με ρυθμό 0,5cm/sec.Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της γωνίας της κορυφής, όταν το ύψος του τριγώνουείναι 3cm.

Λύση

43. Σκάλα μήκους 5m, είναι τοποθετημένη σε έναντοίχο. Το κάτω μέρος της σκάλας γλιστράει καιαπομακρύνεται από τον τοίχο με ταχύτητα0,2m / s . Τη χρονική στιγμή κατά την οποία ηκορυφή της σκάλας απέχει 4m από το έδαφος,να βρείτε:

α) Το ρυθμό μεταβολής της γωνίας θ.β) Την ταχύτητα πτώσης της κορυφής Α της σκάλας.

ΛύσηΕίναι OB x t , x t 0,2m / s . Επίσης, OA y t , AB 5m και OBA t .


25


Λύση


Λύση





25


Λύση


Λύση





26

Είναι 2 2x t y t 25 (1) και y tt

5 , x t

t5

.

Είναι 0y t 4m και 2 20 0 0x t y t 25 x t 3m . Είναι 0

4t5

και 03t5

.

x t x tt t t

5 5

και για 0t t , είναι:

00 0

x tt t

5

04 0,2t5 5 0t 0,05rad / s .

Είναι 2 2x t y t 25 2x t x t 2y t y t 0 . Για 0t t είναι:

0 0 0 0x t x t y t y t 0 0 03 0,2 4y t 0 y t 0,15m / s

44. Δίνεται ορθή γωνία xOy και το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ μήκους 10m του οποίου τα άκραΑ και Β ολισθαίνουν πάνω στις πλευρές Oy και Ox αντίστοιχα. Το σημείο Β κινείται μεσταθερή ταχύτητα 2m/sec και η θέση του πάνω στον άξονα Οx δίνεται από τη συνάρτηση s t υt , t 0,5 , όπου t ο χρόνος σε sec.

α) Να βρείτε το εμβαδόν E t του τριγώνου ΑΟΒ ως συνάρτηση του χρόνου t.

β) Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του εμβαδού E(t) , τη στιγμή κατά την οποία το μήκοςτου ΟΑ είναι 6cm.

Λύση

45. Δύο υλικά σημεία Α και Β κινούνται πάνω στους άξονες x x και y y αντίστοιχα. Αν οιθέσεις τους κάθε χρονική στιγμή t(sec) δίνονται από τις συναρτήσεις 2x t t t και

2y t 4 t , να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της μεταξύ τους απόστασης τη χρονική

στιγμή t 1 sec .Λύση


27

46. Ένα υλικό σημείο Μ κινείται επί της ευθείας y 2x 4 και η τετμημένη του κάθε

χρονική στιγμή t(sec) , δίνεται από τον τύπο 2tx(t) e , t 1 . Δίνεται επίσης το σημείο

A(8,0) . Τη χρονική στιγμή κατά την οποία το σώμα διέρχεται από το σημείο 4 4e ,2e 4 ,

να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του εμβαδού του τριγώνου ΟΑΜ, όπου Ο η αρχή τωναξόνων.

Λύση

47. Ένα αερόστατο ξεκινά από το σημείο Κ να ανέρχεταικατακόρυφα με ταχύτητα 20m / min .Ένας άνθρωποςβρίσκεται σε απόσταση 30m από το σημείο Κ και παρατηρείτο αερόστατο να απομακρύνεται. Να βρείτε την ταχύτητα

απομάκρυνσης του αερόστατου, από τον άνθρωπο,δύο λεπτά μετά την έναρξη της κατακόρυφης κίνησής του.

Λύση


27





Λύση



Λύση


27





Λύση



Λύση

www.askisopolis.gr Θεώρημα Rolle

28

3. ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLEΑν μία συνάρτηση f είναι: Συνεχής στο κλειστό διάστημα , , παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα , και f f ,τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα , τέτοιο, ώστε

f 0 .

Γεωμετρική ερμηνείαΑν για μια συνάρτηση f ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle σε ένα διάστημα ,

, τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο της fC στο οποίο η εφαπτομένη είναι οριζόντια, δηλαδή είναιπαράλληλη στον άξονα x΄x.

Αλγεβρική ερμηνείαΤο συμπέρασμα του Θ. Rolle είναι ότι η εξίσωση f x 0 , έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο , .Επομένως, το θεώρημα αποτελεί ένα ισχυρό εργαλείο για την εύρεση μίας τουλάχιστον ρίζας σε έναδιάστημα.

Παρατηρήσεις1. Οι συνθήκες του Θ. Rolle είναι ικανές, όχι όμως αναγκαίες. Για παράδειγμα, αν θεωρήσουμε τη

συνάρτηση 2 12 x , x 1,

4f x

1 1x , x ,14 4

, παρατηρούμε ότι:

- Δεν είναι συνεχής στο 1,1

- Δεν είναι παραγωγίσιμη στο –1,1

- 3f 1 1 f 14

Όμως στο 0x 0 ισχύει: f 0 0

2. Οι δύο πρώτες προϋποθέσεις του Θ. Rolle μπορούν να αντικατασταθούν από τη συνθήκη: η f είναιπαραγωγίσιμη στο , .

3. Αν μία συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη σε ένα διάστημα , , τότε δεν εφαρμόζεται το Θ.Rolle για την fστο , , γιατί f f .

4. Το Θ. Rolle εξασφαλίζει την ύπαρξη ρίζας της εξίσωσης f x 0 σε ένα διάστημα , ,χωρίςόμως να προσδιορίζει τη ρίζα.

5. Το Θ. Rolle εξασφαλίζει την ύπαρξη ρίζας της εξίσωσης f x 0 , ενώ το Θ. Bolzano εξασφαλίζειτην ύπαρξη ρίζας για την εξίσωση f x 0 .

6. Δεν μπορεί να ισχύουν ταυτόχρονα για μία συνάρτηση f, οι προϋποθέσεις του Θ. Bolzano και τουΘ. Rolle.

7. Οι πολυωνυμικές συναρτήσεις είναι παραγωγίσιμες σε όλο το , άρα και σε κάθε κλειστόδιάστημα , . Επομένως, οι δύο πρώτες προϋποθέσεις του Θ. Rolle, ισχύουν για κάθεπολυωνυμική συνάρτηση.


28


f 0 .






4f x

1 1x , x ,14 4




- 3f 1 1 f 14









28


f 0 .






4f x

1 1x , x ,14 4




- 3f 1 1 f 14









29

7η ΚατηγορίαΈλεγχος εφαρμογής του Θ. Rolle-εύρεση του ξΕξετάζουμε αν εφαρμόζονται οι τρείς προϋποθέσεις του θεωρήματος. Σε περίπτωση πουζητείται να βρεθεί και ο αριθμός Rolle, τότε λύνουμε την εξίσωση f 0 και βρίσκουμε τα

, .

Παραμετρικές θ. RolleΣε ασκήσεις στις οποίες ζητείται ο προσδιορισμός παραμέτρων ώστε να εφαρμόζεται το θ.Rolle στο διάστημα , , τότε απαιτούμε: f f . Η f να είναι συνεχής στο , και στην περίπτωση που έχουμε συνάρτηση πολλαπλού

τύπου, να είναι συνεχής στο σημείο αλλαγής τύπου. Η f να είναι παραγωγίσιμη στο , και αν είναι κλαδωτή, να είναι παραγωγίσιμη στο

σημείο αλλαγής.Λύνοντας το σύστημα των εξισώσεων που προκύπτουν από τα 3 προηγούμενα βήματα,προσδιορίζουμε τις παραμέτρους.

Γεωμετρική ερμηνεία θ. RolleΣε ασκήσεις στις οποίες ζητείται να εξετάσουμε αν υπάρχει σημείο M ,f με ,

τέτοιο ώστε, η εφαπτομένη της fC να είναι παράλληλη με τον άξονα x x , τότε εξετάζουμε ανπληρούνται οι 3 προϋποθέσεις του θ. Rolle.

48. Να εξετάσετε για τις παρακάτω συναρτήσεις, αν εφαρμόζεται το θ. Rolle στο κλειστόδιάστημα που δίνεται και να βρείτε τις ρίζες της παραγώγου στο αντίστοιχο ανοικτόδιάστημα:

α) 2f x x 3x 9 στο 3,0 β)

2

4

x 1, x 0g xx 1, x 0

στο 1,1 .

Λύσηα) Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 3,0 ως σύνθεση συνεχών, είναι παραγωγίσιμη στο 3,0 με

2

2x 3f x2 x 3x 9

και f 3 f 0 9 3 , οπότε σύμφωνα με το θ. Rolle υπάρχει

3,0 τέτοιο, ώστε: 2

2 3 3f 0 0 2 3 022 3 9

.

β) Για x 0 είναι και για x 0 είναι 3g x 4x . Στο x 0 έχουμε: 2 2

x 0 x 0 x 0

g x g 0 x 1 1 xlim lim limx x

x0 και 4 4

x 0 x 0 x 0

g x g 0 x 1 1 xlim lim limx x

3

x0 ,

Άρα, g 0 2 και 3

2x, x 0g x

4x , x 0

.Η συνάρτηση g, είναι παραγωγίσιμη στο 1,1 , άρα και

συνεχής. Επίσης, 2g 1 1 2 1 1 0 και 3 2g 1 1 4 1 2 1 1 0 , οπότε g 1 g 1 .Άρα, εφαρμόζεται το θ. Rolle για τη συνάρτηση g στο διάστημα 1,1 . Δηλαδή, υπάρχει ( 1,1)

τέτοιο, ώστε g 0 . Αν 1,0 τότε g 0 2 0 0 .Αν 0,1 , τότε 3g 0 4 0 0 που απορρίπτεται.Άρα, ο αριθμός Rolle είναι ο 0 .


30

49. Να εξετάσετε αν ισχύει το θεώρημα Rolle στις παρακάτω συναρτήσεις, στα αντίστοιχαδιαστήματα. Στη συνέχεια να βρείτε όλα τα ξ α,β , για τα οποία ισχύει f ξ 0 .

α) 2f x 3x x , x 0,3 β) 2f x x 6x 8 , x 2,4

Λύση

50. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α,β,γ για τους οποίους εφαρμόζεται το θ. Rolle

για τη συνάρτηση

2

2

x βx α, x 0f xγx 4x 4, x 0

, στο διάστημα 1,1 .

ΛύσηΠρέπει: 2 2f 1 f 1 1 1 1 4 1 4 7 (1).Η f πρέπει να είναι συνεχής στο 1,1 , άρα και στο x 0 , οπότε

x 0 x 0lim f x lim f x f 0 4

(2).Επίσης, η f πρέπει να είναι παραγωγίσιμη στο 1,1 , άρα και στο x 0 .

Για x 0 , 2

x 0 x 0

f x f 0 x xlim limx

x 0

xlim

x

xx

και

για x 0 2

x 0 x 0

f x f 0 x 4x 4lim limx

x 0

xlim

x

x 4x

4 .

Πρέπει x 0 x 0

f x f 0 f x f 0lim lim 4

x x

και από την (1) προκύπτει 7 .

51. Δίνεται η συνάρτηση

2

9 κx, x 3,1f x

2x λx μ, x 1,5. Να βρείτε τα κ,λ,μ , ώστε να

ισχύει για την f το θ. Rolle στο διάστημα 3,5 .

Λύση


31

52. Δίνεται η συνάρτηση 43f(x) x 1 x , x 0,1 . Να αποδείξετε ότι υπάρχει

ξ 0,1 τέτοιο, ώστε, η εφαπτομένης της fC στο σημείο ξ,f ξ να είναι παράλληλη

προς τον άξονα x x .Λύση

Αρκεί να αποδείξουμε ότι υπάρχει 0,1 τέτοιο, ώστε f 0 .Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 0,1 ως πράξη συνεχών συναρτήσεων. Για να βρούμε την f ,

μορφοποιούμε τον τύπο : 1

3 4 5 4 5 3f x x x x x .

Η f είναι παραγωγίσιμη στο 0,1 ως σύνθεση παραγωγίσιμων συναρτήσεων με:

2

4 5 4 5 3 432

4 5 3

1 1 1f x x x x x 4x 5x3 3 x x

3 4

24 53

4x 5xf x3 x x

. Επειδή

f 0 f 1 0 , εφαρμόζεται για την f το θ. Rolle και υπάρχει 0,1 τέτοιο, ώστε f 0 .

53. Να αποδείξετε ότι υπάρχει σημείο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης x 2f x e x 1 ημx , με τετμημένη ξ 1,1 , στο οποίο η εφαπτομένη είναι παράλληλη

στον άξονα x x .Λύση


32

54. Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f : για την οποία ισχύει ότι

22 f x

f x 14

για κάθε x . Να αποδείξετε ότι υπάρχει σημείο της γραφικής

παράστασης της f στο οποίο η εφαπτομένη είναι παράλληλη στον άξονα x΄x.Λύση

8η Κατηγορία: Υπάρχει ξ α,β : Π ξ, f ξ , f ξ 0

Για να βρούμε την αρχική συνάρτηση της παράστασης που πρέπει να ορίσουμε για ναεφαρμόσουμε το θεώρημα Rolle, θα χρησιμοποιούμε τη παρακάτω λογική:- Φέρνουμε τη σχέση στη μορφή h x 0 (μεταφέρουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος

θέτοντας ως άγνωστο το x)Αν η παράσταση h περιέχει το x και το f x ,τότε:Βρίσκω την αρχική της h με βάση τον πίνακα βασικών παραγώγων. Είναι:

k 1k xx ,k 1

k 1

x x , x x x xe e , 1 ln xx

,

1 2 xx

, 21 x

x

, 2

1 xx

Αν η παράσταση h περιέχει το f x και το f x , τότε:1ο: Αρχικά παρατηρώ αν η παράσταση h είναι ή μπορεί να μετασχηματιστεί σε παράγωγος

γινομένου ή πηλίκου. f g fg fg ή 2f g fg f

gg

2ο: Αν δεν ισχύει το προηγούμενο εξετάζω αν η παράσταση h προέρχεται από παράγωγο

σύνθεσης.

k 1k f x

f x f x ,k 1k 1

, f x

ln f x f x 0f x ,

f x

2 f xf x

,

f x f xe f x e , f x f x f x , f x f x f x ,

2

f xf x

f x

3ο: Αν δεν ισχύει κάποιο από τα προηγούμενα, φέρνω τη παράσταση h στη μορφή

f x g x f x 0 και πολλαπλασιάζω με το G xe , όπου G αρχική της g.


33

Τότε η σχέση γίνεται: G x G xe f x e g x f x 0 G x G xe f x e f x 0 ή

G xe f x 0

55. Δίνεται συνάρτηση f, παραγωγίσιμη στο 0,1 με f 0 4 και f 1 1 . Να αποδείξετε

ότι υπάρχει ξ 0,1 τέτοιο, ώστε: 2f ξ 3ξ 4ξ 2 .

ΛύσηΘέτοντας όπου ξ το x, είναι: 2 2f x 3x 4x 2 f x 3x 4x 2 0 .

Παρατηρούμε ότι: 3 2 2f x x 2x 2x f x 3x 4x 2

Θεωρούμε τη συνάρτηση 3 2h x f x x 2x 2x , x 0,1 .Η οποία είναι συνεχής στο 0,1 ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων και παραγωγίσιμη στο 0,1 , με

2h x f x 3x 4x 2 .Είναι 3 2h 0 f 0 0 2 0 2 0 4 και

3 2h 1 f 1 1 2 1 2 1 4 , δηλαδή h 0 h 1 , οπότε λόγω του Θ. Rolle υπάρχει 0,1

τέτοιο, ώστε: h 0 2 2f 3 4 2 0 f 3 4 2 .

56. Δίνεται συνάρτηση f, παραγωγίσιμη στο για την οποία ισχύει: f 2 f 1 3 . Να

αποδείξετε ότι υπάρχει ξ 1,2 τέτοιο, ώστε: 2f ξ 3ξ 4ξ 2 .

Λύση

57. Έστω συνάρτηση fπαραγωγίσιμη στο 0,1 με f 1 1 .Να αποδείξετε ότι η εξίσωση

xf x 2 f x έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα 0,1 .

Λύση

xf x 2 f x xf x f x 2x 0 . Παρατηρούμε ότι: 2xf x x xf x f x 2x .

Θεωρούμε τη συνάρτηση 2h x xf x x , x 0,1 .Η h είναι συνεχής στο 0,1 ως πράξη συνεχών συναρτήσεων και παραγωγίσιμη στο 0,1 με

h x xf x f x 2x .Είναι h 0 0 και h 1 f 1 1 1 1 0 , δηλαδή h 0 h 1 , άραλόγω του θ. Rolle υπάρχει 0,1 τέτοιο, ώστε: h 0 f f 2 0 .


34

58. Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f : . Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 22x 3 f x x 3x f x 0 , έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο διάστημα 0,3 .

Λύση

59. Δίνεται συνεχής συνάρτηση f : 1,2 0, , δύο φορές παραγωγίσιμη στο 1,2 με

f x 0 και f 1 f 2 f 1 f 2 . Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ 1,2 , τέτοιο, ώστε:

2

f ξ f ξ f ξ .

Λύση

f x 02

f x f x f x f x f x f x f x 0

2

f x f x f x f x0

f x

Παρατηρούμε ότι

2

f x f x f x f x f xf x f x

, για αυτό το λόγο θεωρούμε τη συνάρτηση

f xh x

f x

, x 1,2 , Η h είναι συνεχής στο 1,2 ως πηλίκο συνεχών συναρτήσεων και

παραγωγίσιμη στο 1,2 με

2

2

f x f x f xh x

f x

.

Είναι

f 2 f 1

f 1 f 2 f 1 f 2 h 2 h 1f 2 f 1

, οπότε σύμφωνα με το θ. Rolle, υπάρχει

1,2 , τέτοιο, ώστε:

2

2

f f fh 0

f

2f f f 0

2f f f .

60. Δίνεται συνάρτηση f, άρτια και παραγωγίσιμη στο 2,2 . Να αποδείξετε ότι

υπάρχει ξ 2,2 , τέτοιο, ώστε

α) f ξ ημξ 8ξ β) 2ξf ξ 2ξe γ) f ξ ημξ ξσυνξ 0

δ) 2ξ 1 f ξ ξ ε) 3f ξ 2ξ 4ξ στ) f ξ συνf ξ ημξ 0

Λύση


35

61. Δίνεται f : [α,β] η οποία είναι συνεχής στο α,β παραγωγίσιμη στο α,β και

f α f β 0 . Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ α,β , ώστε:

α) f ξ ξf ξ 0 β) ν ν 1ξ f ξ νξ f ξ 0 , ν

γ) f ξ ημξ f ξ συνξ 0 δ) f ξ συνξ f ξ ημξ 0

Λύση


36

62. Δίνεται η συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής στο 3,3 , παραγωγίσιμη στο 3,3 με

f 3 f 3 και f x 0 για κάθε x 3,3 . Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ 3,3

τέτοιο, ώστε f ξ 2ξf ξ .

Λύση1ος τρόπος: Θέτοντας όπου ξ το x και έχουμε: f x 2xf x f x 2xf x 0 (1).

Η αρχική της 2x είναι 2x , οπότε πολλαπλασιάζουμε την (1) με2xe και είναι:

2 2x xe f x 2xe f x 0 παρατηρούμε ότι 2 2 2x x xe f x e f x 2xe f x .

Θεωρούμε τη συνάρτηση 2xh x e f x , x 3,3 . Η h είναι συνεχής στο 3,3 ως γινόμενο

συνεχών συναρτήσεων και παραγωγίσιμη στο 3,3 με 2 2x xh x e f x 2xe f x . Είναι

9h 3 e f 3 και 9h 3 e f 3 , δηλαδή h 3 h 3 . Οπότε, σύμφωνα με το θ. Rolle, υπάρχει

3,3 τέτοιο, ώστε: 2

2 2 :e 0h 0 e f 2 e f 0

f 2 f 0 f 2 f .2ος τρόπος: Στον προηγούμενο τρόπο δεν χρησιμοποιήθηκε η σχέση f x 0 για κάθε x 3,3 .

Είναι

f x f xf x 2xf x 2x 2x 0

f x f x

.

Παρατηρούμε ότι

2 f xln f x x 2x

f x .

Έστω η συνάρτηση 2h x ln f x x , x 3,3 . Η h είναι συνεχής στο 3,3 ως πράξεις συνεχώνσυναρτήσεων και παραγωγίσιμη στο 3,3 με

f xh x 2x

f x

.Είναι h 3 ln f 3 9 και h 3 ln f 3 9 δηλαδή h( 3) h(3) , άρα

σύμφωνα με το θ. Rolle, υπάρχει 3,3 τέτοιο, ώστε:

fh 0 2 0

f

f 2 f .

63. Δίνεται συνάρτηση f συνεχής στο 0,2 , παραγωγίσιμη στο 0,2 με f 0 0 .

Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ 0,2 τέτοιο ώστε 24f ξ f ξ f 2 .

Λύση


37

64. Δίνεται συνάρτηση f, συνεχής στο α,α , α 0 , παραγωγίσιμη στο α,α και

f α f α 0 . Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ α,α , τέτοιο, ώστε:

α) f ξ f ξ 0 β) f ξ 2f ξ 0

γ) f ξ 2ξf ξ 0 δ) f ξ 2ξ 1 f ξ 0

Λύση

65. Δίνεται συνάρτηση f, παραγωγίσιμη στο 0,1 , με f 1 f 0 1 . Να αποδείξετε ότι:

α) Υπάρχει θ 0,1 , τέτοιο, ώστε f θ 2 2θ .

β) Υπάρχει ξ 0,1 , τέτοιο, ώστε

f 0 f ξf ξ

ξ 1.

Λύσηα) Είναι f 2 2 f 2 2 0 . Θέτουμε όπου θ το x και έχουμε: f x 2 2x 0 .

Παρατηρούμε ότι 2f x 2x x f x 2 2x .Θεωρούμε τη συνάρτηση


38

2g x f x 2x x , x 0,1 . Η g είναι συνεχής στο 0,1 και παραγωγίσιμη στο 0,1 , με

g x f x 2 2x .Είναι: g 0 f 0 και g 1 f 1 2 1 f 1 1 . Όμως, f 1 f 0 1

f 0 f 1 1 g 0 g 1 . Οπότε, λόγω του θ. Rolle, υπάρχει 0,1 , τέτοιο, ώστε

g 0 f 2 2 0 .

β) Είναι f 0 ff f 1 f f 0 0

1

. Θέτουμε όπου ξ το x και έχουμε:

f x x 1 f x f 0 0 .

Παρατηρούμε ότι f x x 1 f 0 x f x x 1 f x f 0 .

Θεωρούμε τη συνάρτηση h x f x x 1 f 0 x , x 0,1 . Η h είναι συνεχής στο 0,1 καιπαραγωγίσιμη στο 0,1 , με h x f x x 1 f x f 0 .Επίσης, είναι h 0 f 0 και

h 1 f 0 , δηλαδή h 0 h 1 . Οπότε, λόγω του θ. Rolle, υπάρχει 0,1 , τέτοιο, ώστε:

h 0 f 1 f f 0 0 .

66. Δίνεται συνάρτηση fπαραγωγίσιμη στο 0,1 με f 1 f 0 1 .

α) Να αποδειχθεί ότι υπάρχει 1ξ 0,1 τέτοιο, ώστε: 1 1f ξ 2ξ .

β) Να αποδειχθεί ότι υπάρχει 2ξ 0,1 τέτοιο, ώστε:

2

22

f 1 1 f ξf ξ

ξ 1.

Λύση

67. Δίνεται συνάρτηση f, παραγωγίσιμη στο α,β , α,β 0 , με 2f α α β και 2f β αβ .

Να αποδείξετε ότι υπάρχει σημείο M ξ,f ξ , με ξ α,β , στο οποίο η εφαπτομένη της

fC διέρχεται από την αρχή των αξόνων.Λύση


39

Η εφαπτομένη της fC στο Μ, έχει εξίσωση y f f x . Για να διέρχεται από την αρχή τωναξόνων, πρέπει: 0 f f 0 f f 0 .

Θέτουμε όπου ξ το x και έχουμε: 2

xf x f x xxf x f x 0 0

x

.

Παρατηρούμε ότι 2

f x xf x f x xx x

.

Θεωρούμε τη συνάρτηση f xg x

x , x , . H g είναι συνεχής στο , , ως πηλίκο συνεχών

συναρτήσεων και παραγωγίσιμη στο , , με 2

f x x f xg x

x

. Επίσης είναι:

2fg

και 2f

g

, δηλαδή g g . Οπότε, λόγω του θ.

Rolle, υπάρχει , , τέτοιο, ώστε: 2

f fg 0 0 f f 0

.

68. Δίνεται συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο α,β , α 0 με f α α και f β β . Να

αποδείξετε ότι υπάρχει εφαπτομένη της Cf σε σημείο με τετμημένη 0x α,β που

διέρχεται από την αρχή των αξόνων.Λύση

69. Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f : 3,3 , για την οποία ισχύει ότι:

22xf x x 9 f x (1), για κάθε x 3,3 . Να αποδείξετε ότι:

α) f 3 f 3 0 .

β) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f τέμνει τον άξονα x x σε τουλάχιστον ένα


40

σημείο, με τετμημένη 0x 3,3 .

Λύσηα) Για x 3 είναι: 22 3f 3 3 9 f 3 6f 3 0 f 3 0 .

Για x 3 είναι: 22 3 f 3 3 9 f 3 6f 3 0 f 3 0 Άρα f 3 f 3 0 .

β)Έστω ότι η f δεν τέμνει τον άξονα x x σε κανένα σημείο με τετμημένη 0x 3,3 , δηλαδή

f x 0 για κάθε x 3,3 . Τότε, επειδή f 3 0 και f 3 0 , είναι f x 0 για κάθε

x 3,3 . Είναι: 22xf x x 9 f x 22xf x x 9 f x 0

2 2

2

x 9 f x x 9 f x0

f x

. Παρατηρούμε ότι

2 22

2

x 9 f x x 9 f xx 9f x f x

Θεωρούμε τη συνάρτηση 2x 9g x

f x

, x 3,3 . Η g είναι συνεχής στο 3,3 ως πηλίκο

συνεχών συναρτήσεων, παραγωγίσιμη στο 3,3 με

2

2

2xf x x 9 f xg x

f x

και

g 3 0 g 3 , οπότε λόγω του θ.Rolle υπάρχει 0x 3,3 , τέτοιο, ώστε:

20 0 0 0

0 20

2x f x x 9 f xg x 0 0

f x

2 20 0 0 0 0 0 0 02x f x x 9 f x 0 2x f x x 9 f x που είναι άτοπο λόγω της σχέσης (1).

Άρα η f έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο 3,3 .

70. Δίνεται συνάρτηση f, παραγωγίσιμη στο 2,2 , για την οποία ισχύει:

26xf x 3x 12 f x , για κάθε x 2,2 . Να αποδείξετε ότι:

α) f 2 f 2 0 β) Η f έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο 2,2 .

Λύση


41

71. Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f : α,β α,β , με π0 α β2

, για την οποία

γνωρίζουμε ότι, f α β , f β α και ημβ βημα α

. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ α,β

τέτοιο, ώστε f ξ εφξ f ξ 0 .

Λύση

72. Δίνεται συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο

π0,3

για την οποία ισχύει ότι

πf 0 2f3

.

Να αποδείξετε ότι υπάρχει

πξ 0,3

τέτοιο, ώστε f ξ f ξ εφξ 0 .

Λύση

73. Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f : 1,1 0, με f 1 f 1 . Να

αποδείξετε ότι υπάρχει ξ 1,1 τέτοιο, ώστε:


42

α) 2f ξ 2ξf ξ β) 3f ξ 8ξ f ξ γ) f ξ5f ξ 6ξ e ε) 3f ξ συνf ξ 2ξ

Λύση

74. Δίνεται συνάρτηση fπαραγωγίσιμη στο για την οποία ισχύει : f 2 f 33 2 . Νααποδείξετε ότι υπάρχει ξ 2,3 τέτοιο, ώστε ξf ξ lnξ f ξ .

Λύση

75. Δίνεται συνάρτηση fπαραγωγίσιμη στο . Να αποδείξετε ότι η εξίσωση

2

2xf xf x

1 xέχει μια τουλάχιστον ρίζα στο .

Λύση


43

76. Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση g : 0,1 με g 0 0 και g x 0 , για κάθε

x 0,1 . Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ 0,1 τέτοιο, ώστε:

2g ξ g 1 ξg ξ g 1 ξ

.

Λύση

77. Δίνονται οι συναρτήσεις f,g,h, όπου η f είναι παραγωγίσιμη στο , αg x f α x e ,

βh x f β x e , α β , για τις οποίες ισχύει ότι goh x hog x για κάθε x .

Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ τέτοιο, ώστε f ξ f ξ 1 0 .

Λύση


44

78. Δίνεται συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο α,β με f α f β f α f β .

Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ α,β τέτοιο, ώστε 2

f ξ f ξ 0 .

Λύση

79. Δίνονται οι συναρτήσεις f, h δυο φορές παραγωγίσιμες στο 4,5 με f 4 f 5 0

και h x f x κ x 4 x 5 , κ .Αν υπάρχει 0x 4,5 τέτοιο, ώστε 0h x 0 ,

να αποδείξετε ότι:

α) υπάρχει ξ 4,5 τέτοιο, ώστε h ξ 0 β) 0 0 01f x f ξ x 4 x 52

.

Λύση


45

9η Κατηγορία: Συνδυασμοί θεωρημάτωνΠολλές φορές για να αποδείξουμε ότι υπάρχει , τέτοιο, ώστε: f 0 ή f 0

ή…δεν συμπεριλαμβάνεται εμφανώς στην εκφώνηση η συνθήκη f f ή f f ,τότε ενδέχεται να πρέπει να χρησιμοποιήσουμε το θεώρημα του Bolzano ή το θεώρημαενδιάμεσων τιμών ήτο θεώρημα του Rolle σε άλλο διάστημα ή σε άλλη συνάρτηση.

48. Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f : για την οποία ισχύει: f α 0 ,

f α f β 0 , και f γ 0 , όπου α,β, γ , με α β γ . Να αποδείξετε ότι η

γραφική παράσταση της f, δέχεται εφαπτομένη παράλληλη στον άξονα x x .Λύση

Αρκεί να αποδείξουμε ότι η εξίσωση f x 0 έχει τουλάχιστον μία ρίζα. Επειδή f 0 και

f f 0 , είναι f 0 και f f 0 .Επειδή η f είναι συνεχής σε καθένα από τα διαστήματα , και , , λόγω του θ. Bolzano,υπάρχουν 1x , και 2x , τέτοια, ώστε, 1f x 0 και 2f x 0 .Για την f ισχύουν οιπροϋποθέσεις του θ. Rolle στο 1 2x ,x , οπότε υπάρχει 1 2x ,x τέτοιο, ώστε f 0 .

81. Έστω δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f : με f γνησίως αύξουσαστο . Αν η ευθεία ε: y 3x 2 τέμνει την fC στα σημεία A α,f α , B β,f β

και Γ γ,f γ με α β γ , να αποδείξετε ότι:

α) υπάρχουν δύο τουλάχιστον σημεία της fC στα οποία οι εφαπτομένες είναιπαράλληλες στην ε.

β) Υπάρχει μοναδικό σημείο της γραφικής παράστασης της f στο οποίο ηεφαπτομένη είναι παράλληλη στον άξονα x΄x.

Λύση


46

82. Δίνεται συνάρτηση f, παραγωγίσιμη στο 2,3 και με συνεχή παράγωγο στο 2,3 .

Επίσης, ισχύουν: 19f 3 f 23

και f 2 6 . Να αποδείξετε ότι:

α) Υπάρχει 0x 2,3 , τέτοιο, ώστε 20 0f x x .

β) Υπάρχει ρ 2,3 , τέτοιο, ώστε f ρ 3ρ .

Λύση

α) Θεωρούμε τη συνάρτηση 3xh x f x

3 , η οποία είναι παραγωγίσιμη, άρα και συνεχής στο

2,3 , με 2h x f x x . Είναι 8h 2 f 23

και 19 8h 3 f 3 9 f 2 9 f 23 3

,

δηλαδή h 2 h 3 . Οπότε, σύμφωνα με το Θ. Rolle, υπάρχει 0x 2,3 , τέτοιο, ώστε:

2 20 0 0 0 0h (x ) 0 f x x 0 f x x .

β) Θεωρούμε τη συνάρτηση x f x 3x , η οποία είναι συνεχής στο διάστημα 02,x 2,3 ,ως διαφορά συνεχών συναρτήσεων.Επίσης, 2 f 2 6 0 και

0

20 0 0 0x f x 3x x 3x 0 0x x 3 0 , γιατί 0x 2,3 .

Άρα 02 x 0 , οπότε, σύμφωνα με το θ. Bolzano, υπάρχει 02,x 2,3 τέτοιο, ώστε:

0 f 3 0 f 3 .

83. Δίνεται συνάρτηση g, παραγωγίσιμη στο 0,1 , με g συνεχή στο 0,1 κα

1g 1 g 02

, g (0) 0 . Να αποδείξετε ότι:

α) Υπάρχει ξ 0,1 , τέτοιο, ώστε g ξ ξ .

β) Υπάρχει ρ 0,1 , τέτοιο, ώστε g ρ 2ρ .

Λύση


47

84. Έστω συνάρτηση fπαραγωγίσιμη στο α,4α , α 0 με f x 0 για κάθε x α,4α και

f α f 2α f 3α f 4α . Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f δέχεται οριζόντια

εφαπτομένη.Λύση

Επειδή η f είναι συνεχής στο ,2 , λόγω του θεωρήματος μέγιστης-ελάχιστης τιμής, θα υπάρχουνm,M τέτοια, ώστε: m f x M για κάθε x ,2 . Επειδή επιπλέον είναι f x 0 , θα είναιm 0 , δηλαδή 0 m f x M για κάθε x ,2 . Άρα m f M , m f 2 M και μεπολλαπλασιασμό κατά μέλη προκύπτει ότι:

2 2m f f 2 M m f f 2 M , οπότε από το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών, υπάρχει

1x ,2 τέτοιο, ώστε 1f x f f 2 .

Όμοια 1 10 m f x M για κάθε x 3 ,4 . Άρα 1 1m f 3 M , 1 1m f 4 M και

2 21 1 1 1m f 3 f 4 M m f 3 f 4 M , οπότε λόγω του θεωρήματος ενδιάμεσων τιμών

υπάρχει 2x 3 ,4 τέτοιο, ώστε 2f x f 3 f 4 .Είναι

1 2f f 2 f 3 f 4 f f 2 f 3 f 4 f x f x .

Επειδή η f είναι συνεχής στο 1 2x ,x και παραγωγίσιμη στο 1 2x ,x , λόγω του θεωρήματος Rolle,υπάρχει 1 2x ,x ,4 τέτοιο, ώστε f 0 . Δηλαδή η fC δέχεται οριζόντια εφαπτομένη.

85. Έστω παραγωγίσιμη συνάρτηση f : 0,3 0, με f 0 f 1 f 2 f 3 .

Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f δέχεται οριζόντια εφαπτομένη.Λύση

86. Έστω f : [2,6] μια συνάρτηση 3 φορές παραγωγίσιμη στο 2,6 με f 2 f 6 και

f 2 f 6 0 . Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ 2, 6 , τέτοιο ώστε : 3f ξ 0 .

Λύση


48

10η Κατηγορία: Τουλάχιστον μία ρίζαΣε ασκήσεις που ζητείται να αποδείξουμε ότι η εξίσωση f x 0 έχει τουλάχιστον μία ρίζαστο διάστημα , κάνουμε τα εξής: Εξετάζουμε αν εφαρμόζεται το θ. Bolzano για την f στο , ή αν η συνάρτηση έχει

προφανή ρίζα στο , . Αν δεν συμβαίνει το προηγούμενο, τότε θεωρούμε την αρχική συνάρτηση F της f (δηλαδή

τη συνάρτηση για την οποία ισχύει F x f x για κάθε x , ) και εφαρμόζουμε γι’αυτή, το θ. Rolle.

Αν ζητούνται τουλάχιστον ν ρίζες στο , , τότε χωρίζουμε το διάστημα σε νυποδιαστήματα και αποδεικνύουμε ότι σε κάθε διάστημα υπάρχει μία τουλάχιστον ρίζα. Για

την εύρεση της F χρησιμοποιούμε τις παρακάτω αντιπαραγωγίσεις:1xx , 11

,

1 ln xx

, x x , x x , x xe e ,…

87. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση: 3 2 24x 3κx 3λ 9x 6κx 2λx , κ,λ , έχειμία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα 0,3 .

ΛύσηΕίναι: 3 2 24x 3 x 3 9x 6 x 2 x

3 2 24x 3 x 9x 6 x 2 x 3 0 3 24x 3 3 x 2 3 x 3 0

Θεωρούμε τη συνάρτηση 3 2f x 4x 3 3 x 2 3 x 3 , x 0,3 .Για την f δεν εφαρμόζεται το θ.Bolzano στο 0,3 , γιατί f 0 3 και f 3 9 27 3 για ταοποία δεν γνωρίζουμε τίποτα για το πρόσημό τους.Θεωρούμε τη συνάρτηση 4 3 2F x x 3 x 3 x 3 x , x 0,3 που είναι μια αρχική τηςf στο 0,3 .Η F είναι συνεχής στο 0,3 ως πολυωνυμική και παραγωγίσιμη στο 0,3 με:

3 2F x f x 4x 3 3 x 2 3 x 3 .Είναι F 0 0 και F 3 81 27 3 9 3 9 0 , δηλαδή F 0 F 3 ,


49

οπότε, από το θ. Rolle υπάρχει: 0,3 τέτοιο, ώστε F 0 f 0 δηλαδή η εξίσωση ρίζατης εξίσωσης 3 24x 3 3 x 2 3 x 3 0 έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο 0,3 .

88. Να αποδείξετε ότι οι παρακάτω εξισώσεις έχουν τουλάχιστον μία ρίζα στο 0,1

α) 4 35x 4x 2x 1 0 β) 1 xe 1 x 2x 2

Λύση

89. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 22x 3 συνx x 3x 2 ημx έχει τουλάχιστον

μία ρίζα στο διάστημα 1,2 .

Λύση


50

11η Κατηγορία: Το πολύ κ ρίζεςΓια να αποδείξουμε ότι η εξίσωση f x 0 έχειτο πολύ κ ρίζες κάνουμε τα εξής:Υποθέτουμε ότι η f έχει ( 1) ρίζες

1 2 1, , ..., με 1 2 1... .Σύμφωνα με το θεώρημα Rolle υπάρχουν

1 1 2, , 2 2 3, ,…, 1,

τέτοια, ώστε: 1 2f f ...... f 0 .Εξετάζουμε αν η f μπορεί να έχει κ ρίζες.Αν δεν μπορεί, τότε έχουμε καταλήξει σε άτοπο,οπότε η f δεν έχει 1 ρίζες και έχει το πολύ κ ρίζες.Αν το άτοπο δεν είναι εμφανές στην f συνεχίζουμε την προηγούμενη διαδικασία και βρίσκουμε 1 ρίζες στην f κ.ο.κ.

90. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 4 3 2x 2x 6x x 1 έχει το πολύ δύο πραγματικές ρίζες.Λύση

Θεωρούμε τη συνάρτηση 4 3 2f x x 2x 6x x 1 ,η οποία υποθέτουμε ότι έχει 3 διαφορετικέςπραγματικές ρίζες 1 2 3, , με 1 2 3 , δηλαδή 1 2 3f f f 0 .Η f είναι συνεχής στο ως

πολυωνυμική και παραγωγίσιμη με 3 2f x 4x 6x 12x 1 .Σύμφωνα με το Θ. Rolle υπάρχουν 1 1 2, , 2 2 3, τέτοια ώστε 1 2f 0 f . Η f είναι συνεχής 1 2, και παραγωγίσιμη στο 1 2, με 2f x 12x 12x 12 Σύμφωνα με το θ.Rolle υπάρχει 1 2, τέτοιο, ώστε: 2 2f 0 12 12 12 0 1 0 , άτοπο, γιατί

3 0 . Άρα, η αρχική εξίσωση έχει το πολύ 2 ρίζες.

91. Αν α 0 ,να αποδείξετε ότι η εξίσωση 4 2x αx βx γ 0 έχει το πολύ δύοπραγματικές ρίζες.

Λύση

1 2 3

1 2

ξ

f

f

f

f

f

f

1 2 3 4

1 2 3

4 5

ξ 3f


51

92. α) Δίνεται συνάρτηση f : , δύο φορές παραγωγίσιμη, με f x 0 , για

κάθε x . Να αποδείξετε ότι η f έχει το πολύ δύο διαφορετικές ρίζες.β) Να λύσετε την εξίσωση: xe e 1 x 1 .

Λύση

93. Δίνεται συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο με xf x 2f x για

κάθε x 0,2 και f 2 2 . Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικός ξ 0,2

τέτοιος, ώστε: f ξ 2 ξf ξ .

Λύση

94. α) Έστω η συνάρτηση f συνεχής στο α,β παραγωγίσιμη στο α,β . Αν η

εξίσωση f x 0 , έχει μια ακριβώς ρίζα στο α,β , να αποδείξετε ότι η

εξίσωση f x 0 έχει το πολύ δύο ρίζες στο α,β .

β) Να αποδείξτε ότι η εξίσωση 22x xημx συνx 0 , έχει δύο ακριβώς ρίζεςστο π,π .

Λύση


52

95. Δίνεται η συνάρτηση 2

4 3 2 3λf x x x x 6λ x 28

, λ,x . Αν η εξίσωση

f x 0 έχει 4 πραγματικές ρίζες, να αποδείξετε ότι λ 3 .

ΛύσηΈστω 1 2 3 4, , , με 1 2 3 4 , ρίζες της f, δηλαδή: 1 2 3 4f f f f 0 .

Η f είναι συνεχής στο και παραγωγίσιμη, με

2

3 2 3f x 4x 3x x 64 .

Λόγω του θ. Rolle, υπάρχουν 1 1 2, ,

2 2 3, , 3 3 4, τέτοια, ώστε

1f 0 , 2f 0 , 3f 0 .

Η συνάρτηση f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο , με 2

2f x 12x 6x4 , οπότε, λόγω του

θ. Rolle, υπάρχουν 4 1 2, και 5 2 3, τέτοια, ώστε: 4 5f 0 f .

Δηλαδή, η εξίσωση 2

2f x 0 12x 6x 04 έχει τουλάχιστον δύο ρίζες στο . Επειδή όμως

είναι 2ου βαθμού έχει ακριβώς 2 ρίζες οπότε, ισχύει:2

2 2 20 36 4 12 0 36 12 0 12 36 3 34

.

96. Αν η εξίσωση 4 3 2x 2x αx 12αx 1 0 ,α έχει τέσσερις πραγματικέςρίζες, να βρεθεί η τιμή της παραμέτρου α.

Λύση

f

f

f

1 2 3 4

1 2 3

4 5


53

12η Κατηγορία: Ακριβώς μία ρίζαΓια να αποδείξουμε ότι μία εξίσωση έχει μοναδική ρίζα στο διάστημα , , θααποδεικνύουμε ότι η αντίστοιχη συνάρτηση έχει τουλάχιστον μία και το πολύ μία ρίζα στοδιάστημα αυτό. Γενικά ισχύει:

ά ί ύ ί ώ ί ί Για το «τουλάχιστον μία», θα εφαρμόσουμε: Θεώρημα Bolzano ή Θ. Rolle στην αρχική συνάρτηση (αρχική της f είναι η F, όταν F f ) ή Θα βρούμε προφανή ρίζα της f στο διάστημα , . Για να αποδείξουμε ότι έχει το πολύ μία ρίζα, θα υποθέσουμε ότι έχει δύο ρίζες

1 2, , , με 1 2 και εφαρμόζοντας θ. Rolle στο 1 2, , θα καταλήξουμε σεάτοπο.

97. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 3 26x 3x 5x 3 0 έχει μοναδική ρίζα στο διάστημα 0,1 .

ΛύσηΎπαρξηΈστω 3 2f x 6x 3x 5x 3 , x 0,1 . Αρχικά θα αποδείξουμε ότι η f έχει τουλάχιστον μία ρίζαστο 0,1 .1ος τρόποςΓια το λόγο αυτό εξετάζουμε αν ισχύουν οι προϋποθέσεις του θ. Bolzano.Είναι f 0 3 0 και f 1 5 0 . Δηλαδή f 0 f 1 0 , οπότε επειδή η f είναι συνεχής στο 0,1 ,η εξίσωση f x 0 έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο 0,1 .2ος τρόποςΤο ίδιο όμως θα μπορούσαμε να το αποδείξουμε και με το θ.Rolle. Θεωρούμε την αρχική συνάρτηση F

της f. Είναι: 4 3 26 5F x x x x 3x4 2 , x 0,1 .


54

Η F είναι συνεχής στο 0,1 και παραγωγίσιμη στο 0,1 με 3 2F x 6x 3x 5x 3 f x . Επίσης

F 0 0 και 6 5F 1 1 3 04 2 , δηλαδή F 0 F 1 , οπότε η εξίσωση F x 0 f x 0

έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο 0,1 .ΜοναδικότηταΣτη συνέχεια θα αποδείξουμε ότι η f έχει το πολύ μία ρίζα στο 0,1 .Έστω ότι η f έχει δύο ρίζες 1 2, 0,1 με 1 2 . Τότε, επειδή η f είναι συνεχής στο 1 2, ,παραγωγίσιμη στο 1 2, με 2f (x) 18x 6x 5 και 1 2f f 0 , λόγω του θ. Rolle, υπάρχει

1 2, 0,1 τέτοιο, ώστε,

f 0 218 6 5 0 , που είναι αδύνατη, αφού 0 .Άρα, η f δεν έχει δύο ρίζες στο 0,1και έχει ακριβώς μία ρίζα στο διάστημα αυτό.

98. Να αποδείξετε ότι οι παρακάτω εξισώσεις έχουν ακριβώς μία ρίζα στο 1,2 .

α) 3x 2 3lnx β) 4 3 2x x 30 20xΛύση

99. Δίνεται συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο με xf x 2f x για κάθε

x 0,2 και f 2 2 . Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικός ξ 0,2 τέτοιος, ώστε:

f ξ 2 ξf ξ .

Λύση

Είναι f x 2 xf x f x xf x 2 0 . Παρατηρούμε ότι xf x 2x f x xf x 2

.Έστω η συνάρτηση g x xf x 2x , x 0,2 .Η g είναι συνεχής στο 0,2 και παραγωγίσιμη στο

0,2 με g x f x xf x 2 . Είναι g 0 0 και g 2 2f 2 4 4 4 0 , δηλαδή

g 0 g 2 . Σύμφωνα με το θεώρημα Rolle υπάρχει 0,2 τέτοιο, ώστε

g 0 f f 2 0 f 2 f

Θα αποδείξουμε τώρα τη μοναδικότητα του ξ. Έστω ότι η εξίσωση f x xf x 2 0 g x 0

έχει και άλλη ρίζα και έστω . Τότε επειδή η g είναι συνεχής στο διάστημα , ως πράξειςσυνεχών συναρτήσεων, παραγωγίσιμη στο , με


55

g x f x xf x 2 f x f x xf x 2f x xf x και g g , σύμφωνα με

το θεώρημα Rolle η εξίσωση g x 0 2f x xf x 0 xf x 2f x , έχει τουλάχιστονμία ρίζα στο , που είναι άτοπο. Άρα η εξίσωση g x 0 δεν έχει δύο ρίζες, οπότε το ξ είναι ημοναδική της ρίζα.

100. Δίνεται συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο με 2f x 12x για κάθε

x 1,1 και f 1 f 1 . Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 3f x 4x έχει

μοναδική ρίζα στο 1,1 .

Λύση

101. Να αποδείξετε ότι οι παρακάτω εξισώσεις έχουν ακριβώς μία ρίζα:α) x 3 xe x e β) 3x 2x xe 3e 15e 2 0

Λύση


56

102. Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f : 1,3 , για την οποία ισχύει ότι

1 f x 13

για κάθε x 1,3 και 1f x3

για κάθε x 1,3 . Να αποδείξετε

ότι υπάρχει μοναδικό 0x 1,3 τέτοιο, ώστε 00

xf x

3.

Λύση

103. Δίνεται συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο α,β με f α f β 0 , 0 α β .

α) Να αποδείξετε ότι υπάρχει 0x α,β τέτοιο, ώστε 0 0 0x f x f x .

β) Αν f x 0 να αποδείξετε ότι το ox είναι μοναδικό.

Λύση

www.askisopolis.gr Θεώρημα Μέσης Τιμής

57

4. Θεώρημα (Lagrange) Μέσης Τιμής (Θ.Μ.Τ.)ΘεώρημαΑν μία συνάρτηση είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα , και παραγωγίσιμη στο ανοικτόδιάστημα , ,τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα , τέτοιο, ώστε:

f ff

Γεωμετρική ερμηνεία Θ.Μ.Τ.Υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο , f με , τέτοιο,

ώστε η εφαπτομένη της fC στο , f να είναι παράλληλη στηχορδή ΑΒ.

Φυσική ερμηνεία Θ.Μ.Τ.Το πηλίκο f f

είναι ο μέσος ρυθμός μεταβολής της f

στο , , ενώ το f είναι ο στιγμιαίος ρυθμός μεταβολής. ΤοΘ.Μ.Τ. αναφέρει ότι υπάρχει σημείο εσωτερικό τουδιαστήματος, όπου ο στιγμιαίος ρυθμός μεταβολής, ισούται μετο μέσο ρυθμό μεταβολής. Για παράδειγμα, ένα όχημα πουεπιταχύνεται από την ηρεμία και χρειάζεται 14sec για να

διανύσει απόσταση 182m, έχει μέση ταχύτητα 182 13m / sec14 . Σε

κάποιο σημείο της κίνησης, το ταχύμετρο θα δείξει 46,8Km / h 13m / sec .

Παρατηρήσεις1. Αν για μία συνάρτηση f ισχύουν οι προϋποθέσεις του θ. Rolle, τότε για την f ισχύουν και οι

προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ.2. Αν για μία συνάρτηση f ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. στο διάστημα , , τότε ο

αριθμός f f

ανήκει στο σύνολο τιμών της f .

3. Το αντίστροφο του Θ.Μ.Τ. δεν ισχύει. Δηλαδή, αν

υπάρχει 0x , τέτοιο, ώστε 0

f ff x

, αυτό

δεν σημαίνει ότι η f είναι συνεχής στο , καιπαραγωγίσιμη στο , .

Για παράδειγμα, η συνάρτηση f του διπλανού σχήματος.

Υπάρχει 0x , τέτοιο, ώστε 0

f ff x

, (ε//ΑΒ), όμως η f δεν είναι παραγωγίσιμη

στο , , αφού δεν είναι παραγωγίσιμη στο 1x .


57


f ff










αριθμός f f




f ff x

, αυτό




f ff x




57


f ff










αριθμός f f




f ff x

, αυτό




f ff x




58

13η ΚατηγορίαΆμεση εφαρμογή του Θ.Μ.Τ.Εξετάζουμε αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο , και παραγωγίσιμη στο , .

Γεωμετρική ερμηνεία Θ.Μ.Τ.Σε ασκήσεις στις οποίες ζητείται να δειχθεί ότι υπάρχει σημείο ,f της fC , στο οποίο η

εφαπτομένη είναι παράλληλη σε κάποια χορδή που ορίζεται από τα σημεία A ,f και

B ,f , θα εξετάσουμε αν εφαρμόζεται το Θ.Μ.Τ. στο διάστημα , .

Ανισοτικές σχέσεις για τιμές της fΣε ανισώσεις που θέλουμε να αποδείξουμε μία ανίσωση για συγκεκριμένη τιμή της f, θαεφαρμόζουμε, εφόσον πληρούνται οι προϋποθέσεις, Θ.Μ.Τ. για την f σε κατάλληλο διάστημα.Επίσης, αν ισχύει μία ανισοτική σχέση για την f , τότε αυτό αποτελεί ένδειξη για εφαρμογήΘ.Μ.Τ.


2

3

4x 2, x 1f xx 5x, x 1

και τα σημεία Α 0,2 , Β 2,18 . Να βρείτε

σημείο της fC τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της fC σε αυτό το σημείο, να είναι παράλληλη προςτην ευθεία ΑΒ.

ΛύσηΘα εξετάσουμε αν εφαρμόζεται το Θ.Μ.Τ. για την f στο 0,2 . Είναι 2

x 1 x 1lim f x lim 4x 2 6 f 1

,

3

x 1 x 1lim f x lim x 5x 6

, οπότε η f είναι συνεχής στο 0x 1 και είναι συνεχής στο 0,2 , επειδή

κάθε κλάδος της είναι πολυωνυμική συνάρτηση.Επίσης, για x 1 είναι f x 8x , ενώ για x 1 , 2f x 3x 5 . Στο 0x 1 έχουμε:

2

x 1 x 1 x 1

4 x 1f x f 1 4x 2 6lim lim limx 1 x 1

x 1

x 1

8 ,

3

x 1 x 1 x 1

x 1f x f 1 x 5x 6lim lim limx 1 x 1

2x x 6

x 1

8 ,

οπότε η f είναι παραγωγίσιμη στο 0x 1 επομένως και στο 0,2 , με 2

8x, x 1f x

3x 5, x 1

. Άρα

σύμφωνα με το Θ.Μ.Τ. υπάρχει 0,2 τέτοιο, ώστε:

f 2 f 0 18 2f f f 82 0 2

.

Αν 1 , τότε 8 8 1 0,2 . Αν 1 , τότε 2 2 23 5 8 3 3 1 1 ή

1 0,2 . Άρα το ζητούμενο σημείο είναι το 1,f 1 ή 1,6 .

105. Δίνεται f συνεχής στο 2,6 παραγωγίσιμη στο 2,6 με f 2 6ν , f 6 2ν, ν . Να

αποδείξετε ότι υπάρχει ξ 2,6 τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f

στο σημείο Μ ξ,f ξ , να είναι κάθετη στην ευθεία (ε) με εξίσωση νy x ν .


59

Λύση

106. Δίνεται συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο 1,3 με f 1 2και 3 f x 1 για κάθε

x 1,3 . Να αποδείξετε ότι f 3 4 .

ΛύσηΗ συνάρτηση f είναι συνεχής στο 1,3 και επειδή 3 f x 1 (1), για κάθε x 1,3 , υπάρχει ηπαράγωγος στο 1,3 , οπότε είναι και παραγωγίσιμη. Σύμφωνα με το Θ.Μ.Τ., υπάρχει 1,3 τέτοιο,

ώστε: f 3 f 1 f 3 2f

3 1 2

.

Επειδή 3 f x 1 για κάθε x 1,3 είναι και f 3 23 f 1 3 1

2

6 f 3 2 2 4 f 3 4 f 3 4 .

107. Δίνεται συνάρτηση f, συνεχής στο 0,2 , με f 0 0 και παραγωγίσιμη στο 0,2 , με

f x 2 , για κάθε x 0,2 . Να αποδείξετε ότι f 2 4 .

Λύση

108. Δίνεται συνάρτηση f συνεχής στο 1,1 , παραγωγίσιμη στο 1,1 με f x 1 για κάθε

x 1,1 . Aν f 1 1 και f 1 1 , να αποδείξετε ότι f x x για κάθε x 1,1 .

ΛύσηΓια την f εφαρμόζεται το θεώρημα μέσης τιμής σε καθένα από τα διαστήματα 1,x και x,1 ,

x 1,1 οπότε υπάρχουν 1 1,x και 2 x,1 τέτοια, ώστε:


60

1

f x f 1 f x 1f

x 1 x 1

και 2

f 1 f x 1 f xf

1 x 1 x

.

Επειδή f x 1 για κάθε x 1,1 είναι και 1

f x 1f 1 1 f x 1 x 1

x 1

f x x (1) και 2

1 f xf 1 1 1 f x 1 x f x x

1 x

(2).

Από τις σχέσεις (1),(2) προκύπτει ότι f x x για κάθε x 1,1 .Επειδή f 1 1 και f 1 1 τελικά είναι f x x για κάθε x 1,1 .

109. Δίνεται συνάρτηση fπαραγωγίσιμη στο 0,1 με f 0 3 , f 1 5και f x 2 για κάθε

x 0,1 . Να αποδείξετε ότι f x 2x 3για κάθε x 0,1 .

Λύση

14η Κατηγορία: Διαμερισμός διαστήματος

1 2f f ... f

Ασκήσεις στις οποίες ζητείται η ύπαρξη 1 2, , ..., , , ώστε να ισχύει: 1 2f f ... f .

Χωρίζουμε το , σε ν ίσα υποδιαστήματα, που το καθένα έχει πλάτος

και

εφαρμόζουμε το ΘΜΤ στα διαστήματα αυτά.


61

1 1 2 2f f ... f

Ασκήσεις στις οποίες ζητείται η ύπαρξη 1 2, , ..., , , ώστε να ισχύει: 1 1 2 2f f ... f με 1 2, , ..., * .

Έστω d και 1 2 ... * . Χωρίζουμε το , σε ν υποδιαστήματα:

1 1 2 1,x , x ,x , ..., x , , με αντίστοιχα πλάτη: 1 21 2d, d,..., d

Εφαρμόζουμε Θ.Μ.Τ. σε καθένα από αυτά και στη συνέχεια προσθέτουμε κατά μέλη.

110. Δίνεται η παραγωγίσιμη στο α,β συνάρτηση f, για την οποία ισχύουν οι σχέσεις

f α β 4α και f β α 4β . Να αποδείξετε ότι υπάρχουν 1 2 3ξ ,ξ ,ξ α,β τέτοια, ώστε:

1 2 3f ξ f ξ f ξ 9 .

Λύση

Χωρίζουμε το διάστημα , σε τρία ίσα υποδιαστήματα, πλάτους3 . Έτσι σε καθένα από τα

διαστήματα 2 2 2 2, , , , ,3 3 3 3

εφαρμόζεται το Θ.Μ.Τ, οπότε υπάρχουν

1 2 32 2 2 2, , , , ,

3 3 3 3

τέτοια, ώστε

1

2 2f f ( ) f f ( )3 3f 23 3

(1).

2

2 2 2 2f f f f3 3 3 3f 2 23 3 3

(2).

3

2 2f f f f3 3f 2

3 3

(3).

Προσθέτοντας κατά μέλη τις σχέσεις (1), (2), (3), προκύπτει:

1 2 3

f f 34 4f f f 9

3 3 3

.

111. Δίνεται συνάρτηση fπαραγωγίσιμη στο 0,9 , με f 0 f 9 . Να αποδείξετε ότι

υπάρχουν 1 2 3ξ ,ξ ,ξ 0,9 τέτοια , ώστε: 1 2 3f ξ f ξ f ξ 0 .

Λύση


61

1 1 2 2f f ... f







1 2 3f ξ f ξ f ξ 9 .

Λύση


διαστήματα 2 2 2 2, , , , ,3 3 3 3


1 2 32 2 2 2, , , , ,

3 3 3 3


1

2 2f f ( ) f f ( )3 3f 23 3

(1).

2

2 2 2 2f f f f3 3 3 3f 2 23 3 3

(2).

3

2 2f f f f3 3f 2

3 3

(3).


1 2 3

f f 34 4f f f 9

3 3 3

.



Λύση


61

1 1 2 2f f ... f







1 2 3f ξ f ξ f ξ 9 .

Λύση


διαστήματα 2 2 2 2, , , , ,3 3 3 3


1 2 32 2 2 2, , , , ,

3 3 3 3


1

2 2f f ( ) f f ( )3 3f 23 3

(1).

2

2 2 2 2f f f f3 3 3 3f 2 23 3 3

(2).

3

2 2f f f f3 3f 2

3 3

(3).


1 2 3

f f 34 4f f f 9

3 3 3

.



Λύση


62

112. Δίνεται παραγωγίσιμη στο α,β συνάρτηση f, για την οποία ισχύουν οι σχέσεις:


1 2 32f ξ f ξ 3f ξ 18 .

ΛύσηΈστω d . Χωρίζουμε το , σε 3 υποδιαστήματα 1 1 2 2, x , x ,x , x , , με αντίστοιχα πλάτη:

1 12x6

, 2 2 11x x6

και 3 23x6

. Εφαρμόζοντας το Θ.Μ.Τ. σε

καθένα από αυτά, υπάρχουν 1 1 2 1 2 3 2, x , x ,x , x , τέτοια, ώστε:

1 1 21 1

1

f x f f x f f x f2f f2x 66

(1),

2 1 2 1 2 12 2

2 1

f x f x f x f x f x f x1f f1x x 66

(2) και

2 2 23 3

2

f f x f f x f f x3f f3x 66

(3).


1 2 3

f f 32 1 3 4 4f f f 36 6 6

1 2 32f f 3f 3 6 18 .

113. Έστω συνάρτηση fπαραγωγίσιμη στο α,β με f α α και f β β . Να αποδείξετε ότι

υπάρχουν 1 2 3ξ ,ξ ,ξ α,β τέτοια, ώστε: 1 2 32f ξ 3f ξ 5f ξ 10 .

Λύση


63

114. Δίνεται συνάρτηση f, παραγωγίσιμη στο 0,20 με f 0 0 και f 20 10 .

α) Να αποδείξετε ότι υπάρχει 0x 0,20 τέτοιο, ώστε 0f x 5 .

β) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν 1 2ξ ,ξ 0,20 τέτοια, ώστε:

1 2

1 1 4f ξ f ξ

.

Λύσηα) Επειδή f 0 5 f 20 και f συνεχής στο 0,20 , λόγω του θεωρήματος ενδιάμεσων τιμών υπάρχει

0x 0,20 τέτοιο, ώστε 0f x 5 .

β) Για την f εφαρμόζεται το Θ.Μ.Τ. σε καθένα από τα διαστήματα 00,x και 0x ,20 , οπότε υπάρχουν

1 2, 0,20 τέτοια, ώστε:

0 01

0 0 1

f x f 0 x5 1fx 0 x f 5

και

0 02

0 0 0 2

f 20 f x 20 x10 5 5 1f20 x 20 x 20 x f 5

Είναι

00 0

1 2

xx 20 x1 1f f 5 5

020 x

45

.

115. Δίνεται συνάρτηση fπαραγωγίσιμη στο 1,1 με f γνησίως φθίνουσα στο 1,1 ,

f 1 1και f 1 5 . Να αποδείξετε ότι:

α) Υπάρχει ξ 1,1 τέτοιο, ώστε f ξ 3 .

β) Υπάρχουν 1 2ξ ,ξ 1,1 τέτοια, ώστε

1 2

1 1 1f ξ f ξ

.

γ) f 0 3 .


64

116. Δίνεται συνάρτηση f, συνεχής στο 2,10 και παραγωγίσιμη στο 2,10 με f 2 3 και

f 10 15 .

α) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν 1 2x ,x 2,10 τέτοια, ώστε 1f x 5 και 2f x 9 .

β) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν 1 2 3ξ ,ξ ,ξ 2,10 τέτοια, ώστε:

1 2 3

1 2 3 4f ξ f ξ f ξ

.

Λύσηα) Επειδή f 2 5 f 10 και f 2 9 f 10 καιf συνεχής στο 2,10 , λόγω

του θεωρήματος ενδιάμεσων τιμών υπάρχουν 1 2x ,x 2,10 τέτοια, ώστε 1f x 5 και 2f x 9 .

β) Έστω 1 2x x .Εφαρμόζοντας το Θ.Μ.Τ. για την f στα διαστήματα 1 1 2 22,x , x ,x , x ,10 , υπάρχουν 1 1 2 1 22,x , x ,x και 3 2x ,10 τέτοια, ώστε:

1 11

1 1 1 1

f x f 2 x 25 3 2 1fx 2 x 2 x 2 f 2

(1)

2 1 2 12

2 1 2 1 2 1 2

f x f x x x9 5 4 1fx x x x x x f 4

2 1

2

x x2f 2

(2)

2 23

2 2 2 3

f 0 f x 10 x15 9 6 1f10 x 10 x 10 x f 6

2

3

10 x3f 2

(3).

Προσθέτοντας κατά μέλη τις σχέσεις (1), (2), (3), έχουμε:

1 2 1 2

1 2 3

x 2 x x 10 x1 2 3 8 4f f f 2 2

.

117. Δίνεται συνάρτηση f, παραγωγίσιμη στο 0,10 , με f(0) 0 και f(10) 20 .

α) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν 1 2x ,x 0,10 τέτοια, ώστε 1f x 4 και 2f x 10 .

β) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν 1 2 3ξ ,ξ ,ξ 0,10 τέτοια, ώστε:

1 2 3

2 3 5 5f ξ f ξ f ξ

.

Λύση


65

25η Κατηγορία: Συνδυασμοί θεωρημάτων - Θεωρητικές ασκήσειςΎπαρξη , με f 0 .Εφαρμόζουμε Rolle για την f στο διάστημα: 1 2, , όπου τα 1 2, έχουν προκύψει απόεφαρμογή του Θ.Μ.Τ.

Ύπαρξη 1 2, , με 1 2f f ...Σε ασκήσεις διαδοχικών ερωτημάτων στις οποίες προηγείται υπαρξιακό πρόβλημα (υπάρχει

0x , …) και ακολουθεί πρόβλημα ύπαρξης 1 2, , , , τα οποία 1 2, να ικανοποιούνμία σχέση, τότε τα 1 2, θα προκύψουν από εφαρμογή του Θ.Μ.Τ. σε καθένα από τα διαστήματα

0, x και 0x , .

Ύπαρξη , με f ή f ή 0

Εφαρμόζουμε διαδοχικά ΘΜΤ ή και Θ.Rolle, ώστε να βρούμε το πρόσημο των 1 2f ,f καιστη συνέχεια εφαρμόζουμε Θ.Μ.Τ. στην f στο 1 2, .

Ύπαρξη 1 2, ,.. , με

1 2

1 2

... ...f f

Θα διαμερίζουμε το σύνολο τιμών της f σε αντίστοιχα διαστήματα και με χρήση του Θ.Ε.Τ. θαβρίσκουμε 1 2x ,x , ... , των οποίων οι τιμές είναι ίσες με τις θέσεις διαμέρισης του συνόλουτιμών. Στη συνέχεια θα εφαρμόζουμε το Θ.Μ.Τ. στα αντίστοιχα διαστήματα.

118. Αν η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο α,β και ισχύει :

α βf α f β 2f2

(1), να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ α,β τέτοιο, ώστε f ξ 0 .

Λύση


66

Η f είναι συνεχής στο , [ , ]2

και παραγωγίσιμη στο ,2

, λόγω του Θ.Μ.Τ υπάρχει

ένα τουλάχιστον 1 ,2

τέτοιο, ώστε:

1

f f2f

2

(2). Ομοίως από το Θ.Μ.Τ στο

,2

, υπάρχει ένα τουλάχιστον 2 ,2

τέτοιο, ώστε :

2

f f2f

2

(3). Από

την υπόθεση έχουμε: f f 2f f f f f2 2 2

(4).

Επομένως από τις σχέσεις (2),(3),(4), προκύπτει ότι : 1 2f f .Η f είναι συνεχής στο 1 2, αφού είναι παραγωγίσιμη , είναι και συνεχής στο , , οπότεσυνεχής και στο 1 2, , .Η f είναι παραγωγίσιμη στο 1 2, ,αφού η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο , και

1 2f f , οπότε λόγω του Θ.Rolle για την f στο 1 2, υπάρχει ένα τουλάχιστον

1 2, , τέτοιο, ώστε: f 0 .

119. Δίνεται συνάρτηση f, δύο φορές παραγωγίσιμη στο 2,6 για την οποία ισχύει:

2f 4 f 2 f 6 . Να αποδείξετε ότι υπάρχει 0x 2,6 τέτοιο, ώστε 0f x 0 .

Λύση

120. Δίνεται συνάρτηση f, παραγωγίσιμη στο 2,2 με f 2 2 και f 2 6 . Να

αποδείξετε ότι:α) Υπάρχει 0x 2,2 τέτοιο, ώστε: 0 0f x 4 x .

β) Υπάρχουν 1 2ξ ,ξ 2,2 τέτοια, ώστε: 1 2f ξ f ξ 1 .


67

Λύσηα) Θεωρούμε τη συνάρτηση h x f x 4 x , η οποία είναι συνεχής στο 2,2 , ως άθροισμα

συνεχών συναρτήσεων. Είναι: h 2 f 2 4 2 2 4 2 4 0 και

h 2 f 2 4 2 6 4 2 4 0 , δηλαδή h 2 h 2 0 , οπότε λόγω του θεωρήματος Bolzanoυπάρχει 0x 2,2 τέτοιο, ώστε: 0 0 0 0 0h x 0 f x 4 x 0 f x 4 x .

β) Σε καθένα από τα διαστήματα 0 02,x , x ,2 η f ικανοποιεί τις προϋποθέσειςτου Θ.Μ.Τ, οπότε υπάρχουν 1 02,x και 2 0x ,2 τέτοια, ώστε:

0 0 01

0 0

f x f 2 4 x 2 2 xfx 2 2 2 x

(1) και 0 0 02

0 0 0

f 2 f x 6 4 x 2 xf2 x 2 x 2 x

(2).

Πολλαπλασιάζοντας τις σχέσεις (1), (2) κατά μέλη, προκύπτει: 0 01 2

0 0

2 x 2 xf f 12 x 2 x

.

121. Δίνεται συνάρτηση f, παραγωγίσιμη στο 1,2 , για την οποία ισχύει f 1 4 και f 2 1 .

Να αποδείξετε ότι:α) Υπάρχει 0x 1,2 τέτοιο, ώστε, 0 0f x 3x 2 .

β) Υπάρχουν 1 2ξ ,ξ 1,2 τέτοια, ώστε: 1 2f ξ f ξ 9 .

Λύση

122. Δίνεται συνάρτηση f με συνεχή πρώτη παράγωγο στο 0,2 και f 2 f 0 2 . Να

αποδείξετε ότι:α) Υπάρχουν 1 2ξ ,ξ 0,2 τέτοια, ώστε: 1 2f ξ f ξ 2 .

β) Υπάρχει ξ 0,2 τέτοιο, ώστε: 1 22f ξ f ξ f ξ .

Λύσηα) Λόγω του Θ.Μ.Τ. για την f υπάρχουν 1 0,1 και 2 1,2 τέτοια, ώστε:


68

1f f 1 f 0 και 2f f 2 f 1 .

Είναι 1 2f f f 1 f 0 f 2 f 1 f 2 f 0 2 .

β) Επειδή f συνεχής στο 0,2 υπάρχουν m,M : m f x M για κάθε x 0,2 . Είναι

1m f M , 2m f M και 1 2f fm M

2

, οπότε υπάρχει 0,2 τέτοιο, ώστε

1 2f ff

2

.

123. Δίνεται συνάρτηση f με συνεχή πρώτη παράγωγο στο 1,4 και f 4 f 1 1 . Να

αποδείξετε ότι:α) Υπάρχουν 1 2 3ξ ,ξ ,ξ 1,4 τέτοια, ώστε: 1 2 3f ξ f ξ f ξ 1 .

β) Υπάρχει ξ 1,4 τέτοιο, ώστε: 1 2 33f ξ f ξ f ξ f ξ .

Λύση

124. Δίνεται συνάρτηση f, δύο φορές παραγωγίσιμη στο α,β , με f α f β 0 και

f x 0 , για κάθε x α,β . Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ α,β τέτοιο, ώστε: f ξ 0 .

Λύση

Η f είναι συνεχής σε καθένα από τα διαστήματα ,2

, ,2

και παραγωγίσιμη στα


69

,2

και ,

2

, οπότε λόγω του θεωρήματος μέσης τιμής, υπάρχουν 1 ,2

και

2 ,2

τέτοια, ώστε:

1

f f f2 2f 0

2 2

και

2

f f f2 2f 0

2 2

.

Η f είναι συνεχής στο 1 2, και παραγωγίσιμη στο 1 2, , άρα λόγω του θεωρήματος μέσης τιμής

υπάρχει 1 2, , τέτοιο, ώστε: 2 1

2 1

f ff 0

.

125. Δίνεται συνάρτηση f δυο φορές παραγωγίσιμη στο α,β με f α 0 και

f β f β 0 . Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ α,β τέτοιο, ώστε f ξ 0 .

Λύση

126. Δίνεται συνάρτηση g, δύο φορές παραγωγίσιμη στο και ευθεία ε, που τέμνει την gC σε

τρία διαφορετικά σημεία 1 1 2 2A x ,g x , B x ,g x και 3 3Γ x ,g x . Να αποδείξετε ότι

υπάρχει τουλάχιστον ένας πραγματικός αριθμός ξ τέτοιο, ώστε g ξ 0 .

ΛύσηΕπειδή τα σημεία Α,Β,Γ, είναι διαφορετικά, μπορούμε να υποθέσουμε ότι 1 2 3x x x .Οπότε, στα διαστήματα 1 2 2 3x ,x , x ,x εφαρμόζεται το Θ.Μ.Τ. καιυπάρχουν 1 1 2x ,x , 2 2 3x ,x τέτοια, ώστε:

2 11

2 1

g x g xg

x x

(1) και 3 22

3 2

g x g xg

x x

(2).

Επειδή τα σημεία Α,Β,Γ είναι συνευθειακά, ισχύει: AB / /B , άρα

ABλ 2 1 3 2

2 1 3 2

g x g x g x g xx x x x

οπότε, από (1), (2) θα

είναι 1 2g g .


69

,2

και ,

2


και

2 ,2


1

f f f2 2f 0

2 2

και

2

f f f2 2f 0

2 2

.



2 1

f ff 0

.



Λύση





2 11

2 1

g x g xg

x x

(1) και 3 22

3 2

g x g xg

x x

(2).


ABλ 2 1 3 2

2 1 3 2



είναι 1 2g g .


69

,2

και ,

2


και

2 ,2


1

f f f2 2f 0

2 2

και

2

f f f2 2f 0

2 2

.



2 1

f ff 0

.



Λύση





2 11

2 1

g x g xg

x x

(1) και 3 22

3 2

g x g xg

x x

(2).


ABλ 2 1 3 2

2 1 3 2



είναι 1 2g g .


70

Για τη συνάρτηση g , ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θ. Rolle, γιατί η g είναι δύο φορές παραγωγίσιμη,οπότε θα υπάρχει τουλάχιστον ένα 1 2, τέτοιο, ώστε g 0 .

127. Δίνεται συνάρτηση f δύο παραγωγίσιμη στο . Αν υπάρχουν τρία συνευθειακάσημεία της fC , να αποδείξετε ότι η εξίσωση f x 0 έχει τουλάχιστον μια ρίζα.

Λύση

128. Δίνεται συνάρτηση f, συνεχής στο 1,e και παραγωγίσιμη στο 1,e , με f 1 3και

f e e 2 . Να αποδείξετε ότι υπάρχουν 1 2ξ ,ξ 1,e , με 1 2ξ ξ τέτοια, ώστε:

1 2f ξ f ξ 1

Λύση

Είναι e 2 3 e 1 11 e 1 e

, οπότε : y 3 1 x e y x e 3 . Θεωρούμε τη

συνάρτηση h(x) f (x) x e 3 , η οποία είναι συνεχής στο 1,e , ως πράξη συνεχών και

h 1 f 1 1 e 3 3 1 e 3 1 e 0 ,

h e f e e e 3 e 2 3 e 1 0 , οπότε

h 1 h e 0 και σύμφωνα με το θ. Bolzano, υπάρχει 0x 1,e τέτοιο,ώστε: 0h x 0 0 0f x x e 3 0 0 0f x x e 3. Σταδιαστήματα 01, x και 0x ,e ισχύουν για την f οι προϋποθέσεις τουΘ.Μ.Τ. Οπότε υπάρχουν 1 01,x και 2 0x ,e τέτοια, ώστε:

0 0 01

0 0 0

f x f 1 x e 3 3 e xfx 1 x 1 x 1

και

0 0 02

0 0 0

f e f x e 2 x e 3 x 1fe x e x e x

. Άρα, 0 01 2

0 0

e x x 1f f 1x 1 e x

.


70



Λύση



1 2f ξ f ξ 1

Λύση

Είναι e 2 3 e 1 11 e 1 e



h 1 f 1 1 e 3 3 1 e 3 1 e 0 ,

h e f e e e 3 e 2 3 e 1 0 , οπότε


0 0 01

0 0 0

f x f 1 x e 3 3 e xfx 1 x 1 x 1

και

0 0 02

0 0 0


. Άρα, 0 01 2

0 0

e x x 1f f 1x 1 e x

.


70



Λύση



1 2f ξ f ξ 1

Λύση

Είναι e 2 3 e 1 11 e 1 e



h 1 f 1 1 e 3 3 1 e 3 1 e 0 ,

h e f e e e 3 e 2 3 e 1 0 , οπότε


0 0 01

0 0 0

f x f 1 x e 3 3 e xfx 1 x 1 x 1

και

0 0 02

0 0 0


. Άρα, 0 01 2

0 0

e x x 1f f 1x 1 e x

.


71

129. Δίνεται συνάρτηση fπαραγωγίσιμη στο α,β με f α f β 0 . Να αποδειχθεί ότι

υπάρχουν 1 2ξ ,ξ α,β με 1 2ξ ξ τέτοια, ώστε: 1 2f ξ f ξ 0 .

Λύση

130. Δίνεται συνάρτηση f, παραγωγίσιμη στο , για την οποία ισχύει: 2f x x 1 , για κάθε

x . Να αποδείξετε ότι

xlim f x .

ΛύσηΕπειδή η f είναι παραγωγίσιμη στο , είναι συνεχής στο 0,x και παραγωγίσιμη στο 0,x με x 0 .Επομένως, λόγω του Θ.Μ.Τ. υπάρχει 0,x τέτοιο, ώστε:

f x f 0f f x xf f 0

x 0

.Είναι 2f x x 1 1 για κάθε x , άρα και f 1 .

Είναι f x xf f 0 x f 0 Επειδή xlim x f 0

είναι x f 0 0 σε μια περιοχή του

άρα 1 1f x x f 0 0 0

f x x f 0

. Επειδή

x

1lim 0x f 0

, από το κριτήριο

παρεμβολής είναι και x

1lim 0f x

και επειδή f x 0 όταν x , είναι xlim f x

.

131. Δίνεται συνάρτηση f, παραγωγίσιμη στο , για την οποία ισχύει: 2f x x x 4 , για

κάθε x . Να αποδείξετε ότι

xlim f x .

Λύση


72

132. Έστω συνάρτηση fπαραγωγίσιμη στο 0, . Αν υπάρχουν στο τα όρια xlim f x και

xlim f x , να αποδείξετε ότι

xlim f x 0 .

ΛύσηΕπειδή για την f εφαρμόζεται το Θ.Μ.Τ. στο διάστημα x,x 1 , x 0 , υπάρχει x,x 1 τέτοιο,

ώστε: f x 1 f xf f x 1 f x

x 1 x

.

Έστω xlim f x

, τότε x ulim f x 1 lim f u

.

Επειδή οι τιμές του ξ εξαρτώνται από τις τιμές του x, είναι x x x 1 και όταν x , τότε και

x , οπότε:

x u

x x u ulim f x 1 f x lim f x lim f u 0

.

133. Έστω συνάρτηση fπαραγωγίσιμη στο με

xlim f x 0 . Να αποδείξετε ότι

x

lim f x 2 f x 2f x 1 0 .

Λύση

134. Να λύσετε την εξίσωση x x x x3 4 2 5 .Λύση

Η εξίσωση γίνεται x x x x3 2 5 4 (1). Θεωρούμε τη συνάρτηση xf t t , η οποία είναιπαραγωγίσιμη στο 0, με x 1f t xt .Η f είναι παραγωγίσιμη στα διαστήματα 2,3 και 4,5 , οπότε σύμφωνα με το Θ.Μ.Τ. υπάρχουν

1 2,3 και 2 4,5 τέτοια, ώστε:

x 1 x x1 1

f 3 f 2f x 3 2

3 2

και x 1 x x2 2

f 5 f 4f x 5 4

5 4

.

Οπότε, η εξίσωση (1) είναι ισοδύναμη με την εξίσωση: x 1 x 1 x 1 x 1

1 2 1 2x x x 0 x 0 ή x 1 x 11 2 (2).


73

Από την (2) έχουμεx 1x 1

1 1x 1

2 2

1 1

και επειδή 1

2

1

, γιατί 1 2 , θα είναι x 1 0 x 1 .

Άρα, η εξίσωση έχει ακριβώς δύο λύσεις, x 0 ή x 1 .

135. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: α) x x x x5 6 7 4 β) x xx 2 3Λύση

136. Δίνεται συνάρτηση f, δύο φορές παραγωγίσιμη στο , για την οποία ισχύει f 1 f 2 f 0 f 3 . Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f x 0 , έχει τουλάχιστον μία

ρίζα.Λύση


74

137. Έστω η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f : 0,3 με f 3 f 1 f 2 f 0 .

α) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν 1 2 3ξ ,ξ ,ξ 0,3 τέτοια, ώστε: 1f ξ 0 , 2f ξ 0 και

3f ξ 0 .

β) Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ 0,3 τέτοιο, ώστε f ξ 0 .

Λύση

138. Δίνεται συνάρτηση f με συνεχή πρώτη παράγωγο στο για την οποία ισχύει: f 1 0, f 3 f 4 3 .

α) Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ 1,4 τέτοιο, ώστε f ξ 1 .

β) Να αποδείξετε ότι υπάρχει ρ 1,4 τέτοιο, ώστε 1f ρ2

.

Λύση


75

139. Δίνεται συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο 2,2 για την οποία ισχύει ότι:

22 xf x 1 f x 1 x 1 e 2για κάθε x .Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ 2,2

τέτοιο, ώστε: f ξ 0 .

Λύση

140. Έστω μια συνάρτηση f συνεχής σ’ ένα διάστημα α,β που έχει συνεχή δεύτερη παράγωγο

στο α,β . Αν ισχύει f α f β 0 και υπάρχουν αριθμοί γ α,β , δ α,β , έτσι ώστε

f γ f δ 0 , να αποδείξετε ότι:

α) Υπάρχει μία τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης f(x) 0 στο διάστημα α,β .

β) Υπάρχουν σημεία 1 2ξ , ξ α,β τέτοια ώστε 1f ξ 0 και 2f ξ 0 .

γ) Υπάρχει ξ α,β τέτοιο, ώστε f ξ 0 .

Λύση


76

141. Έστω συνάρτηση fπαραγωγίσιμη στο με f γνησίως αύξουσα και f 5 0 . Να

αποδείξετε ότι

xlim f x .

Λύση

26η Κατηγορία: Ανισοτικές σχέσειςΓια να αποδείξουμε μία ανίσωση για συγκεκριμένες τιμές της f, θα εφαρμόζουμε, εφόσονπληρούνται οι προϋποθέσεις, Θ.Μ.Τ. για την f σε κατάλληλο διάστημα.Σε ανισώσεις δύο μεταβλητών θα προσπαθούμε να σχηματίσουμε τη διαφορά f f έτσιώστε να «ανακαλύψουμε» ποια είναι η f και ποιο το διάστημα , στο οποίο θα εφαρμόσουμετο Θ.Μ.Τ. Στη συνέχεια θα εφαρμόζουμε τον ορισμό μονοτονίας για την f στην ανίσωση: .

142. Αν 0 α β , να αποδείξετε ότι

1 lnβ ln α 1β β α α

.

ΛύσηΘεωρούμε την συνάρτηση f x ln x, x 0 .

Η f είναι συνεχής στο , και παραγωγίσιμη στο , με 1f (x)x

. Από το Θ.Μ.Τ υπάρχει ένα

τουλάχιστον , τέτοιο, ώστε: f f 1 ln lnf

.

Είναι 1 1 1 1 ln ln 1 1 ln ln 1

.


77

143. Να αποδείξετε ότι για κάθε

πα,β 0,2

, με α β , ισχύει: 2 2

β α β αεφβ εφασυν α συν β

.

Λύση

144. Να αποδείξετε ότι x ln x 1 x

x 1για κάθε x 0 .

ΛύσηΈστω f t ln t , t 1,1 x , x 0 .Η f είναι συνεχής στο 1,1 x και παραγωγίσιμη στο 1,1 x με

1f tt

, οπότε σύμφωνα με το Θ.Μ.Τ., υπάρχει 1,1 x τέτοιο, ώστε

f 1 x f 1f

1

x 1

ln x 1 ln11

0ln x 11

x x

.

Είναι ln x 11 1 11 x 1 1 1x 1 x 1 x

x ln x 1 x

x 1

.

145. Να αποδείξετε ότι

α)

1 1 1ln 1x 1 x x

, x 0 β)

2 x 1 2ln

x 1 x 1 x 1, x 1

Λύση


78

146. Να αποδείξετε ότι 7π 3 πημ18 2 36

.

Λύση

Είναι: 7 3 7 7 618 2 36 18 3 36 18 18 36

.

Έστω f (x) x , 6 7x ,18 18

. Η f είναι συνεχής στο 6 7,18 18

και παραγωγίσιμη

στο 6 7,18 18

, με f (x) x , οπότε λόγω του Θ.Μ.Τ. υπάρχει 6 7,18 18

τέτοιο, ώστε:

7 6 7 6f f18 18 18 18f 7 618 18 18

.

Είναι 6 718 18 και η συνάρτηση συνx είναι2 στο διάστημα 6 7, 0,

18 18 2

,

οπότε: 6 718 18

.

Άρα,

7 66 7 6 118 1818 3 18 18 2 18 36

18

.

147. Να αποδείξετε ότι: 7π 1 3 3πημ15 2 20

.

Λύση


79

148. Να αποδείξετε ότι α β α ββ α e e e e β α , για κάθε α,β .

ΛύσηΘεωρούμε τη συνάρτηση xf x e , με xf x e , x . Αν , τότε εφαρμόζεται το Θ.Μ.Τ. για την f στο , , οπότε υπάρχει , τέτοιο ώστε:

βf f e ef e

. Είναι:

β

βe ee e e e e e e e e

Αν , τότε λόγω του Θ.Μ.Τ. για την f στο , , υπάρχει , τέτοιο, ώστε:

β βe ef f e ef e e

. Είναι: e e e

β 0e ee e

βe e e e e e e e

Αν , τότε προφανώς ισχύει η ισότητα, οπότε για κάθε , , ισχύει: βe e e e .

149. Δίνεται παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f με f γνησίως αύξουσα στο . Να αποδείξετε

ότι

α β2f f α f β2

για κάθε α,β .

Λύση


80

150. Να αποδείξετε ότι 2 1 2 1ημx ημx x x για κάθε 1 2x ,x .

ΛύσηΈστω 1 2x x . Θεωρούμε τη συνάρτηση f x x , 1 2x x ,x .Η f είναι συνεχής στο 1 2x ,x και παραγωγίσιμη στο 1 2x ,x με f x x , οπότε από το Θ.Μ.Τ

υπάρχει ένα τουλάχιστον 1 2x ,x τέτοιο, ώστε: 2 1

2 1

f x f xf ( )

x x

(1). Γνωρίζουμε ότι ισχύει :

1 , άρα 2 12 1 2 1

2 1

f x f xf 1 1 x x x x

x x

. Ομοίως αν 2 1x x .

Τέλος αν 1 2x x ,τότε ισχύει η ισότητα 1 1 1 1x x x x .

151. Να αποδείξετε ότι για κάθε α,β ισχύει: συνβ συνα β α .

Λύση

152. Να συγκρίνετε τους αριθμούς 4 4A 3 4 και 4 4B 2 5 .Λύση

Αρκεί να βρούμε το πρόσημο της διαφοράς A B . Είναι:

4 4 4 44 4 4 4A B 3 4 2 5 3 2 5 4 . Θεωρούμε τη συνάρτηση 4f (x) x , x 0 .

Είναι1 34 4

4 3

1 1f (x) x x4 4 x

. Λόγω του Θ.Μ.Τ. για την f υπάρχουν 1 2,3 και 2 4,5

τέτοια, ώστε: 441 34

1

f (3) f (2) 1f 3 23 2 4

και

442 34

2

f (5) f (4) 1f 5 45 4 4

.Είναι 1 22 3 4 5 , οπότε:

3 3 3 3 3 34 4 4 41 2 1 2 1 2 3 34 4

1 2

1 14 44 4

4 4 4 44 4 4 43 2 5 4 3 4 2 5 0 A B 0 A B .


81

153. Να συγκρίνετε τους αριθμούς: 3 37 3 και 3 36 4 .

Λύση

154. Να αποδείξετε ότι:

x 1 1 xln lnx x x 1

για κάθε x 1 .

Λύση


82

155. Δίνεται συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο , με f γνησίως αύξουσα στο . Νααποδείξετε ότι 2f x f x 1 f x 1 για κάθε x .

Λύση

156. Δίνεται συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο με f γνησίως αύξουσα στο και f 1 1 ,

f 0 0 . Να αποδείξετε ότι για κάθε x 0,1 είναι 1f x

2 x.

Λύση

www.askisopolis.gr Συνέπειες θεωρήματος Μέσης Τιμής

83

Συνέπειες Θ.Μ.Τ. – Σταθερή συνάρτησηΜε τη βοήθεια του Θεωρήματος Μέσης Τιμής του διαφορικού λογισμού, αποδεικνύονται αρκετάσημαντικά θεωρήματα της Ανάλυσης.

ΘεώρημαΈστω μία συνάρτηση f, ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν η f είναι συνεχής στο Δ, και f x 0 γιακάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, τότε η f είναι σταθερή σε όλο το διάστημα Δ.

ΑπόδειξηΑρκεί να αποδείξουμε ότι για οποιαδήποτε 1 2x , x ισχύει 1 2f x f x . Πράγματι

Αν 1 2x x , τότε προφανώς 1 2f x f x .

Αν 1 2x x , τότε στο διάστημα 1 2[x , x ] η f ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος μέσης τιμής.

Επομένως, υπάρχει 1 2(x , x ) τέτοιο, ώστε 2 1

2 1

f x f xf

x x

(1)

Επειδή το ξ είναι εσωτερικό σημείο του Δ, ισχύει f 0 ,οπότε, λόγω της (1), είναι 1 2f x f x .

Αν 2 1x x , τότε ομοίως αποδεικνύεται ότι. 1 2f x f x .

Σε όλες λοιπόν τις περιπτώσεις είναι 1 2f x f x .

ΠαρατηρήσειςΤο παραπάνω θεώρημα ισχύει μόνο σε ένα διάστημα και όχι σε ένωσηδιαστημάτων.

Π.χ., αν: 2, x 0

f x1, x 0

, τότε f x 0 για κάθε x ,0 0, ,

όμως η f δεν είναι σταθερή στο ,0 0, , όπως διαπιστώνουμε και στοδιπλανό σχήμα. Το αντίστροφο όμως του θεωρήματος ισχύει.

Γιατί γνωρίζουμε από τις παραγώγους βασικών συναρτήσεων ότι c 0 .

ΠόρισμαΈστω οι συναρτήσεις f,g, ορισμένες σε διάστημα Δ. Αν οι f,g είναι συνεχείς στο Δ, και f x g x γιακάθε εσωτερικό σημείο x ,τότε υπάρχει σταθερά c τέτοια, ώστε για κάθε x , να ισχύει f x g x c .

ΑπόδειξηΗ συνάρτηση f g είναι συνεχής στο Δ και για κάθε εσωτερικό σημείο x

ισχύει f g x f x g x 0 . Επομένως, σύμφωνα με το παραπάνωθεώρημα, η συνάρτηση f g είναι σταθερή στο Δ. Άρα, υπάρχει σταθερά Cτέτοια, ώστε για κάθε x να ισχύει f x g x c , οπότε f x g x c .


83







2 1

f x f xf

x x

(1)





Π.χ., αν: 2, x 0

f x1, x 0








83







2 1

f x f xf

x x

(1)





Π.χ., αν: 2, x 0

f x1, x 0








84

Παρατηρήσεις1. Όπως και το θεώρημα, έτσι και το προηγούμενο πόρισμα ισχύει σε διάστημα και όχι σε ένωση

διαστημάτων. Για παράδειγμα, αν: 2, x 0

f x3, x 0

και 4, x 0

g x7, x 0

τότε ισχύει

f (x) g (x) 0 , για κάθε x ,0 0, , όμως δεν υπάρχει c τέτοιο, ώστε

f x g x c για κάθε x ,0 0, .Ισχύει όμως το αντίστροφο του πορίσματος.

2. Αν δύο συναρτήσεις είναι ίσες, τότε έχουν και ίσες παραγώγους. Ενώ αν δύο συναρτήσεις έχουν ίσεςπαραγώγους, τότε δεν είναι κατ’ ανάγκη ίσες.

3. Για μία συνάρτηση f ορισμένη στο ισχύει η ισοδυναμία: xf x f x f x ce Την παραπάνω ισοδυναμία, την χρησιμοποιούμε συχνά σε ασκήσεις εύρεσης τύπου συνάρτησης.

26η Κατηγορία: Σταθερή συνάρτησηΓια να αποδείξουμε ότι μια συνάρτηση είναι σταθερή, θα αποδεικνύουμε ότι f x 0 . Για ναβρούμε τη σταθερή τιμή της συνάρτησης, θα θέτουμε στη θέση του x, κατάλληλο αριθμό.

157. Δίνονται οι παραγωγίσιμες στο συναρτήσεις f,g με f x 2g x , g x 2f x .

α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση h x f x ημ2x g x συν2x 1 είναι σταθερή.

β) Αν g 0 0 , να βρείτε την h.

Λύσηα) Η h είναι παραγωγίσιμη στο ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων με: h x f x 2x 2f x 2x g x 2x 2g x 2x

h x 2g x 2x 2f x 2x 2f x 2x 2g x 2x 0 h x c , c για κάθεx .

β) Είναι h 0 f 0 0 g 0 0

1 1 1 , άρα c 1 και h x 1 για κάθε x .

158. Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f για την οποία ισχύει ότι

f x f x 0 για κάθε x . Αν 22h x f x f x , x , τότε:

α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση h είναι σταθερή.β) Να βρείτε το τύπο της f αν f 1 f 1 0 .

Λύση


85

159. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση 4 4 2 2 2f x 2ημ x συν x 3ημ xσυν x ημ x είναι σταθερή.

Λύση

160. Δίνεται δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f : για την οποία ισχύει ότι:

2

f x f x 2f x f x , για κάθε x και f 0 f 0 0 .

α) Να αποδείξετε ότι υπάρχει σταθερά, c για την οποία ισχύει: 22 xf x f x ce , για

κάθε x .β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι σταθερή στο .

Λύση


86

161. Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο 0, για την οποία ισχύει: 2 xxf x f x x e

για κάθε x 0 και

2x 1

f x e 1lim 2

x 1.

α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση xf x

g x ex

είναι σταθερή στο 0, .

β) Να αποδείξετε ότι xf x xe x , x 0 .

γ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f x 2 έχει μοναδική ρίζα στο διάστημα 0,1 .

Λύση

162. Δίνεται συνάρτηση f, δύο φορές παραγωγίσιμη στο , για την οποία ισχύει: f x f x 2f x για κάθε x . Αν η εφαπτομένη της fC στην αρχή των αξόνων

είναι παράλληλη στην ευθεία y 2x 1 , τότε:

α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση xg(x) f x f x e 2 είναι σταθερή στο .

β) Να βρείτε τη συνάρτηση f.Λύση


87

163. Έστω συνάρτηση f : , για την οποία ισχύει: f α f β 1 συν α β , για κάθε

α,β . Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι σταθερή.Λύση

Αρκεί να αποδείξουμε ότι 0f x 0 για κάθε 0x . Επειδή 1 για κάθε , , είναι

1 0 , οπότε η δοθείσα σχέση, γίνεται: f f 1 . Θέτοντας x και

0x , η σχέση έχουμε:

0 0f x f x 1 x x και διαιρώντας με 0x x για 0x x , είναι:

0 0

0 0

f x f x 1 x xx x x x

0 0

0 0

f x f x 1 x xx x x x

0 0 0

0 0 0

1 x x f x f x 1 x xx x x x x x

. Όμως,

0

0

x x 00

1 x x 1lim lim 0x x

,

άρα από το κριτήριο παρεμβολής προκύπτει ότι, 0

0

x x0

f x f xlim 0

x x

, δηλαδή 0f x 0 , οπότε η

συνάρτηση f είναι σταθερή.

164. Δίνεται συνάρτηση f για την οποία ισχύει: 2

f x f y x y ,για κάθε

x, y . Να αποδείξετε ότι η f είναι σταθερή.Λύση

165. Να αποδείξετε ότι: 24 4 4 2 2(x ρ) x ρ 2 x ρx ρ για κάθε ρ,x .

ΛύσηΘεωρούμε τη συνάρτηση: 24 4 4 2 2f x x x 2 x x , x .

Είναι: 3 3 2 2f x 4 x 4x 4 x x 2x

3 2 2 3 3 3 2 2 2 2 3f x 4 x 3x 3x 4x 4 2x x 2x x 2x

3 2 2 3 3 3f x 4x 12x 12x 4 4x 8x 2 2 2 2 3f x 4x 8x 4x 8x 4 0


88

Είναι f x 0 , άρα f x c για κάθε x και για x 0 είναι 24 4 2f 0 2 0 .

Άρα 24 4 4 2 2f x 0 x x 2 x x 0 24 4 4 2 2x x 2 x x .

166. Να αποδείξετε ότι για κάθε x , ισχύει:

3 3 3 3

κ λ x λ x κ x κ λ x κ λ 24κλx , κ,λ

Λύση

167. Δίνεται συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο με f x συνx f x ημx 0 για κάθε

x και f 0 1 . Να αποδείξετε ότι f x συνx , x .

ΛύσηΈστω g x f x x , x , τότε: f x x f x x 0

g x g x 0 2g x g x 0 , άρα 2 2g x 0 g x c , c .

Για x 0 είναι 22g 0 c f 0 1 c c 0 , οπότε

2g x 0 g x 0 f x x 0 f x x για κάθε x .

168. Δίνεται συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο 0, με f x xlnx f x lnx 1 0 για

κάθε x 0 και f 1 0 . Να αποδείξετε ότι f x xlnx , x 0 .

Λύση


89

27η Κατηγορία: Εύρεση τύπουΜορφή f x h x

Βρίσκουμε την αρχική Η της g ( H x h x ) με βάση τους παρακάτω τύπους αντιπαραγώγισης:1xx , 11

, 1 ln xx

, x x , x x , x xe e ,…

Τότε η σχέση f x h x γίνεται: f x H x f x H x c …….

Μορφή f x , f x , x h x

169. Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f, σε καθεμία από τις παραπάνω περιπτώσεις:

α) f x 6x 10 , f 1 0 , f 1 1 β) 1 ημ xf x

x, f 0 2 , x 0 .

Λύση

Βρίσκουμε τη αρχική H της h1ο: Αρχικά παρατηρούμε αν το πρώτο μέλος είναι ή μπορεί να γίνει παράγωγος γινομένου ή

πηλίκου. f g fg fg ή 2f g fg f

gg

Τότε

f x g x H x f x g x H x c... ή f x

H x .......g x

2ο: Αν δεν ισχύει το προηγούμενο εξετάζω αν το πρώτο μέλος προέρχεται από παράγωγο

σύνθεσης: k 1k f x

f x f x ,k 1k 1

, f x

ln f x f x 0f x ,

f x2 f x

f x

, f x f xe f x e , f x f x f x ,

f x f x f x , 2

f xf x

f x

3ο: Αν δεν ισχύει κάποιο από τα προηγούμενα, φέρνω το πρώτο μέλος στη μορφή

f x g x f x 0 και πολλαπλασιάζω με το G xe , όπου G αρχική της g.Τότε η σχέση

γίνεται: G x G xe f x e g x f x h x G x G xe f x e f x H x ή

G x G xe f x H x e f x H x c... Παρατήρηση: xf x f x f x ce , c .


90

α) Είναι 3f x 6x 10 f x 6 2x

210x

2

1f x 3x 10x c ,

1c . Είναι 1 1f 1 1 3 10 c 1 c 6 , οπότε:

2f x 3x 10x 6 f x 3 3x

3510

2x2

6x

3 22f x x 5x 6x c , 2c .

2 2f 1 0 1 5 6 c 0 c 2 , άρα, 3 2f x x 5x 6x 2 , x .

β) Είναι 1 x 1 1f x xx x x

1 1f x 2 2 x 2 x 2 x2 x 2 x

f (x) 2 x 2 x

f x 2 x 2 x c, c .

Είναι f 0 2 2 0 c 2 c 0 , άρα f x 2 x 2 x , x 0 .

170. Να βρείτε τη συνάρτηση f, για την οποία ισχύει:α) 2xf x 2e x, x 0 , 2f 1 e β) 2f x 12ημ 4xσυν4x , f 0 0

γ) 22f x 2x 3 x 3x 4, f 0 16 δ)

x 1f x e ln xx

και f 1 1

ε) 2f x ln x 2lnx , f(1) 0 στ) 2xf x 4e , f 0 f 0 3

Λύση


91

171. Να βρείτε συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο 0, με

α) x xf x e συνx e ημx , f 0 0 , β)

34 ln x 1

f xx

, f 1 3 , x 0

Λύση

172. Να βρείτε συνάρτηση f παραγωγίσιμη για την οποία ισχύει ότι:α) f 4x 3 2x 5 και f 3 1 , x β) 2f x 3x 9 και f 0 0 , x 0

Λύση


92

173. Να βρείτε συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο 0, ,για την οποία ισχύει ότι

x xxf lnx xe e , για κάθε x 0 και f 1 e .

Λύση

174. Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f, στις παρακάτω περιπτώσεις:

α) 2f x ημx 2xσυν x f x συνx και f 0 1 ,

πx 0,2

.

β) x f xf x e , f 0 0 .

γ) f x 2xf x , f 1 e , f x 0 , για κάθε x .

Λύση

α) 2f x x f x x 2x x

2

f x x f x x2x

x

2 2f x f xx x c

x x

2f x x c x , c .

Για x 0 είναι f 0 1c c c 10 1

άρα , 2f x x 1 x , x 0,

2

.

β)

xx f x

f x

ef x e f xe

f x xf x e e f x f xx xe e e e c , c .

Για x 0 είναι f 0 0e e c 1 1 c c 0 , άρα f x xe e f x x , x .

γ) α΄ τρόπος:

f xf x 2xf x 2x

f x

2ln f x x 2ln f x x c , c .

Για x 1 είναι 2ln f 1 1 c ln e 1 c 1 1 c c 0 .

Οπότε, 22 xln f x x f x e , x .

β΄ τρόπος: 2 2x xf x 2xf x f x 2xf x 0 e f x 2xe f x 0

2 2 2

2x x x

x

ce f x 0 e f x c f x ce , ce

.


93

Για x 1 είναι f 1 ce e c e c 1 , άρα 2xf x e , x .Παρατήρηση: Δεν χρησιμοποιήσαμε τη σχέση f x 0 , για κάθε x .

175. Να βρείτε τον τύπο συνάρτησης f παραγωγίσιμης στο 0, για την οποία ισχύει ότι:

α) xxf x f x e και f 1 e 1 β)

1 f xf x 3x

xκαι f 1 1

γ) xf x x 1 f x και f 1 e , x 0

δ) f x συνx f x ημx συνx 0 και f 0 1 ,

πx 0,2

Λύση

176. Δίνεται συνάρτηση f, δύο φορές παραγωγίσιμη στο , για την οποία ισχύει: 2x 1 f x 4xf x 2f x 0 για κάθε x .Αν η fC διέρχεται από την αρχή των

αξόνων και η εφαπτομένη της στο σημείο αυτό είναι παράλληλη στην ευθείαε: 2x y 3 0 να βρείτε την f.

Λύση


94

177. Να βρείτε συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο για την οποία ισχύει:

α)

xx ef xf x

f 0 2 , f x 0 β)

3 x2x ef xf x

, f 0 2 , f x 0

γ) x f x2f x e , f 0 0 δ)

22

2xf x ln x 1 f xx 1

, f x 0 f 0 1

ε)

xf x ln xf x

2, f e 1 , x 1 στ)

3

2

4x 2xf x3f x

, f(1) 2 , x 1 , f x 0

ζ) 2f x 2xf x , f 0 1 , f x 0 η) f x 4x f x , f 0 1 , f x 0

Λύση


95

178. Να βρείτε συνάρτηση g, δύο φορές παραγωγίσιμη στο , για την οποία ισχύει: 2g x g x g x , x , g x 0 για κάθε x και g 0 g 0 1 .

Λύση

179. Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f : 0, για την οποία ισχύει:

2f x 4xf x και 1f 13

.

α) Να αποδείξετε ότι 2

1f x2x 1

β) Να υπολογίσετε το όριο

x

1lim 2xf x ημf x

.

Λύση


96

180. Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f, για την οποία ισχύει 2x 1f x 2x 3 f x e

για κάθε x και f 0 e .

ΛύσηΜια αρχική της συνάρτησης 2x 3 είναι η 2x 3x . Οπότε πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη τηςδοσμένης σχέσης με

2x 3xe και η σχέση γίνεται:

2 2 2 2x 3x x 3x x 1 x 3xe f x 2x 3 e f x e e , άρα 2x 3x 3x 1e f x e και

2 2x 3x 3x 1 x 3x 3x 11 1e f x e e f x e c3 3

, c

Για x 0 είναι 0 1 1 2e f 0 e c e e c c e3 3 3 .Άρα:

2

2 2

3x 13x 1

x 3x 3x 1x 3x x 3x

1 2e e1 2 e 23 3e f x e e f x f x3 3 e 3e

, x .

181. Να βρείτε συνάρτηση f, παραγωγίσιμη στο , για την οποία ισχύει:α) f x 2xf x 2x , f 0 1 e β) x συνxf x f x ημx e , 1f 0 e

γ) f x f x συνx συνx , f 0 2

Λύση


97

182. Να βρείτε συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο για την οποία ισχύει ότι: 2x 1 f x 2x 10x 8 και f 0 1 .

Λύση

Για κάθε x 1 είναι 2 2 x 12x 10x 8f x

x 1

x 4

x 1

2x 8 άρα 2f x x 8x

2

12

2

x 8x c , x 1f x

x 8x c , x 1

, 1 2c ,c . Είναι 2f 0 1 c 1 , άρα

21

2

x 8x c , x 1f xx 8x 1, x 1

Επειδή η f είναι παραγωγίσιμη στο είναι συνεχής στο 0x 1 , άρα

x 1 x 1lim f x lim f x f 1

.

Όμως 2

x 1 x 1lim f x lim x 8x 1 6

και 2

1 1x 1 x 1lim f x lim x 8x c 7 c

,

άρα 1 17 c 6 c 1 .

Δηλαδή 2

2

x 8x 1, x 1f x x 8x 1, x 1

6, x 1

, άρα 2f x x 8x 1 για κάθε x .

183. Να βρείτε συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο για την οποία ισχύει ότι: 2x 1 f x 2x 8x 10 για κάθε x και f 0 2 .

Λύση


98

184. Να βρείτε συνάρτηση f, παραγωγίσιμη στο για την οποία ισχύει: 2x 2 f x f x 3x 2x 1 , για κάθε x .

Λύση

2 3 2x 2 f x f x 3x 2x 1 x 2 f x x x x c

3 2x 2 f x x x x c , c .Για x 2 ,είναι: 0 8 4 2 c c 2 , άρα

3 2x 2 f x x x x 2 . Όμως με το σχήμα Horner προκύπτει: 3 2 2x x x 2 x 2 x x 1 ,

άρα 2x 2

x 2 f (x) x 2 x x 1 f x

2x x 1

x 2

2x x 1, x 2 Επειδή η f είναι

συνεχής στο 0x 2 , ισχύει: 2

x 2 x 2f 2 limf x lim x x 1 7

.Άρα 2f x x x 1 για κάθε x .

185. Να βρείτε συνάρτηση f, παραγωγίσιμη στο για την οποία, για κάθε x , ισχύει : 2x 1 f x 3x 6x 1 f x .

Λύση

186. Να βρείτε συνάρτηση f συνεχής στο , παραγωγίσιμη στο 2 με

f x x 2 f x 0 , της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από τα σημεία A 1,3

και B 3,4 .

Λύση


99

x 2

2

f x x 2 f xf x x 2 f x 0 0

x 2

Παρατηρούμε ότι 2

f x f x x 2 f xx 2 x 2

, άρα f x0

x 2

1

1

22

f xc , x 2 c x 2 , x 2x 2 f x

c x 2 , x 2f xc , x 2

x 2

με 1 2c ,c . Είναι 1 1f 1 3 c 1 2 3 c 3 και 2 2f 3 4 c 3 2 4 c 4 .

Επίσης, x 2 x 2lim f x lim 3 x 2 0

και

x 2 x 2lim f x lim 4 x 2 0

, οπότε η f είναι συνεχής

στο 2. Άρα, η ζητούμενη συνάρτηση είναι:

3 x 2 , x 2f x 0, x 2

4 x 2 , x 2

.

187. Να βρείτε συνάρτηση f, παραγωγίσιμη στο , για την οποία ισχύει: 2 xf x xf x x e

και f 1 e .

Λύση

188. Να βρείτε παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f για την οποία ισχύει ότι: xf x x 2 f x

για κάθε x , f 1 e και 1f 1e

.

Λύση


100

x 0

xf x x 2 f x xf x xf x 2f x xf x 2f x xf x

2 22 2

4

x f x 2xf x xx f x 2xf x x f x

x

4

f xx 2

, άρα 2 2

f x f xx x

(1). Έστω

2

f xg x

x ,

τότε η (1) γίνεται: x

11 2x

2

c e , x 0g x g x g x , c ,c

c e , x 0

.Άρα

x 2 x

1 12 x 2 x

2 2

f x c e , x 0 c x e , x 0f x

x c e , x 0 c x e , x 0

. Είναι 2 2f 1 e c e e c 1 και

1 11 1

1f 1 c e e c 1e

άρα 2 x

2 x

x e , x 0f xx e , x 0

. Δηλαδή 2 xf x x e για κάθε x 0 .

Η δοθείσα σχέση για x 0 γίνεται 0 f 0 0 2 f 0 f 0 0 .Επειδή η f είναι παραγωγίσιμη στο , είναι συνεχής στο x 0 , άρα 2 x

x 0 x 0f 0 limf x lim x e 0

, άρα τελικά 2 xf x x e για κάθε x .

189. Να βρείτε συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο για την οποία ισχύει: 2f x f x x 1 2xf x για κάθε x και f 0 3 .

Λύση

190. Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f : , για την οποία ισχύει x f x f x f x , για κάθε x και f 1 e και 1f 1 e . Να βρείτε τον τύπο

της f.Λύση

x 0

2

xf x f x f xxf x xf x f x xf x f x xf x

x x

. Άρα f x f x

x x

, οπότε:


101

Για x 0 είναι: x x1 1

f x f x f xc e f x c xe

x x x

, 1c και για x 1 είναι

1 1f 1 e e c e c 1 , άρα xf x xe , x 0 .

Για x 0 είναι: x x2 2

f x f x f xc e f x c xe

x x x

, 2c και για x 1 είναι

1 1 12 2f 1 e e c 1 e c 1 , άρα xf x xe , x 0 .

Οπότε, ο τύπος της f είναι x

x

xe , x 0f xxe , x 0

.

191. Να βρείτε συνάρτηση f, παραγωγίσιμη στο , για την οποία ισχύει:α) f x xf x , f 1 1 β) 3 xxf x 2f x x e , f 1 f 1 e

Λύση

192. Δίνεται η παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f, για την οποία ισχύουν 2 x1f x f x e3

για

κάθε x και f 0 3 .

α) Να αποδείξετε ότι f x 0 , για κάθε x β) Να βρείτε τον τύπο της f.

Λύση

α) Επειδή x1 e 03 για κάθε x είναι και 2f x f x 0 , άρα f x 0 για κάθε x .

Επειδή η f είναι παραγωγίσιμη είναι και συνεχής στο , άρα διατηρεί σταθερόπρόσημο. Αφού f 0 3 0 , είναι f x 0 , για κάθε x .

β) Η σχέση 2 x3f x f x e γίνεται: 3 x 3 xf x e f x e c , c . Για x 0 , είναι


102

3 0 3f 0 e c 3 1 c c 26 ,άρα 33 x xf x e 26 f x e 26 , x .

193. Δίνεται συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο 1, με 2f e 2 και xf x f x 1 για κάθε

x 1 .α) Να αποδείξετε ότι f x 0 για κάθε x 1 β) Να βρείτε τον τύπο της f.

Λύση

194. Να βρείτε συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο για την οποία ισχύει: f x f x ημxσυνx 0 και f 0 1 .

Λύση

f x f x x x 0 2f x f x 2 x x άρα 2 2 2 2f x x f x x c Για x 0 είναι 2 2f 0 0 c c 1 άρα 2 2f x x 1 .Επειδή 2x 1 0 για κάθε x είναι 2f x 0 , άρα f x 0 και επειδή η f είναι συνεχής στο ,διατηρεί σταθερό πρόσημο. Όμως f 0 1 0 , άρα f x 0 για κάθε x , οπότε:

2 2 2f x x 1 f x x 1 , x .

195. Να βρείτε συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο για την οποία ισχύει: 2xf x f x e και

f 0 1 .

Λύση


103

196. Να βρείτε παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f για την οποία ισχύει: x xf x f x e f x f x e 0 για κάθε x και f 0 2 .

Λύση x x x x 2xf x f x e f x f x e 0 f x f x e f x e f x e 0

2x x x 2x xf x f x e e f x e f x 2f x f x 2e 2 e f x

2 2x x 2 2x xf x e 2e f x f x e 2e f x c, c .

Για x 0 είναι 2f 0 1 2f 0 c c 1 , άρα

2 2x x 2 x 2xf x e 2e f x 1 f x 2e f x e 1 2xf x e 1 (1)

Έστω xg x f x e , x . Επειδή 2g x 1 0 , είναι g x 0 και επειδή η g είναι συνεχής,διατηρεί σταθερό πρόσημο. Όμως 0g 0 f 0 e 2 1 1 0 , άρα g x 0 για κάθε x , οπότε απότην σχέση (1), προκύπτει: x xf x e 1 f x e 1 , x .

197. Να βρείτε συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο για την οποία ισχύει: f x f x 2x 1και

f 0 1 .

Λύση

198. Να βρείτε τη συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη και δύο φορές παραγωγίσιμη στο καιγια την οποία ισχύουν: f 0 f 0 1 και f x f x για κάθε x .

Λύση


104

f x f x f x f x f x f x f (x) f (x) f (x) f (x) , άρα σύμφωνα με τηνπαρατήρηση προηγούμενης μεθοδολογίας, θα είναι xf x f x ce , c . Για x 0 είναι

0f 0 f 0 ce 1 1 c c 2 , άρα xf x f x 2e (1).Η αρχική της g x 1 είναι η G x x , οπότε πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη με xe και η σχέση (1)

γίνεται: x x 2x x 2x x 2x1e f x e f x 2e e f x e e f x e c , 1c .Για x 0 είναι

0 01 1 1e f 0 e c 1 1 c c 0 , οπότε

2xx 2x x

xee f x e f x f x ee

, x .

199. Να βρείτε συνάρτηση f, δύο φορές παραγωγίσιμη στο , για την οποία ισχύει: f x 2f x f x 0 , x και f 0 f 0 1 .

Λύση

200. Να βρείτε παραγωγίσιμη συνάρτηση f : 0, , για την οποία ισχύει:

f xy f x f y για κάθε x, y 0, και f 1 1 .

ΛύσηΓια x y 1 είναι: f 1 f 1 f 1 f 1 0 .

Παραγωγίζοντας ως προς x, έχουμε: f xy xy f x 0 f xy y f x .

Για 1yx , προκύπτει: 1 1 1f x f x f x f 1

x x x

.

Για x y 1 η σχέση f xy f x f y γίνεται: f 1 f 1 f 1 f 1 0 , άρα

1f x f x ln x cx

, c . f 1 0 ln1 c 0 c 0 , άρα f x ln x , x 0 .

201. Να βρείτε συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο 0, για την οποία ισχύει ότι

f xy xf y yf x για κάθε x, y 0, και f 1 0 και f 1 1 .


105

Λύση

202. Να βρείτε τις παραγωγίσιμες συναρτήσεις f : και g : 0, , για τις οποίες

για κάθε x 0 , ισχύουν f g x 2x , f g x 2x και g 1 0 .

ΛύσηΓια κάθε x 0 παραγωγίζουμε τη σχέση f g x 2x (1), και έχουμε: f g x g x 2 και επειδή

f g x 2x , είναι 12xg x 2 g x g x ln x cx

, c . Είναι

g 1 ln1 c c 0 , άρα g x ln x , x 0 .Η σχέση (1) γίνεται f ln x 2x . Θέτουμε όπου x το xe

και η σχέση γίνεται x x xf ln e 2e f x 2e , x .

203. Να βρείτε συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο 0, με σύνολο τιμών το 0, , για την

οποία ισχύουν οι σχέσεις:

1 xfx f x

για κάθε x 0, και f 1 f 1 1 .

Λύση


106

204. Έστω οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις g,h : , για τις οποίες ισχύουν

g x g x g x h x h x h x και h 2 g 2 1 . Να αποδείξετε ότι

h x g x , για κάθε x .

ΛύσηΕίναι g x g x g x h x h x h x g x g x 1 h x 1 h x

g x g x 1 h x h x 1 0 2 g x 1 g x 1 2 h x 1 h x 1 0 .

Άρα 2 2 2 2g x 1 h x 1 0 g x 1 h x 1 c

, c .

Για x 2 είναι 2 2g 2 1 h 2 1 c 0 c , οπότε 2 2

g x 1 h x 1 0 άρα g x 1 0

και h x 1 0 .Οπότε g x h x 1 , για κάθε x .

205. Έστω οι παραγωγίσιμες στο 0, συναρτήσεις f,g για τις οποίες ισχύει ότι: f 1 2 ,

g 1 1 , 2g x g x 0 και

f x f xg x g x

για κάθε x 0 .Να αποδείξετε ότι

f x g x 1 .

Λύση


107

206. α) Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση g : για την οποία ισχύει g x g x , για

κάθε x . Να αποδείξετε ότι xg x ce , x .

β) Δίνεται η συνάρτηση f : 1, , για την οποία ισχύει :

x xf x lnx f x lnx f x και f 3 1 . Να βρείτε το xlim f x .

Λύση

α) x x x xg x g x 0 e g x e g x 0 e g x 0 e g x c xx

cg x cee

, c .

β) x 1

x xf x ln x f x ln x f x xf x ln x xf x ln x f x 0

f xf x ln x f x ln x 0

x ή f x ln x f x ln x 0 f x ln x f x ln x

Με βάση το α) ερώτημα, είναι: xx

cf x ln x ce f xe ln x

.Είναι

33cf 3 1 1 c e ln 3

e ln 3 , άρα

3

xe ln3f xe ln x , x 1 και

3

xx x

e ln3lim f x lim 0e ln x

.

207. Δίνονται οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις f,g για τις οποίες ισχύουν οι σχέσεις: 2xf x g x f x g x e για κάθε x και f 0 1 . Να βρείτε τους τύπους των f,g.

Λύση


108

208. Δίνεται συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο 0, για την οποία ισχύει ότι:

1 1f f xx x

(1) για κάθε x 0 και f 1 1 .

α) Να αποδείξετε ότι f x 0 για κάθε x 0, .

β)

1f f x 1x

, x 0 γ) f x x , x 0 .

Λύση

α) Είναι 1 1f f x 0x x

για κάθε x 0 , άρα 1f 0x

, οπότε και f x ,f x 0 για κάθε

x 0 .Επειδή η f είναι παραγωγίσιμη στο 0, είναι και συνεχής στο διάστημα αυτό, οπότε διατηρείσταθερό πρόσημο στο 0, .Όμως f 1 1 0 , άρα f x 0 για κάθε x 0 .

β) Αντικαθιστώντας στη σχέση (1) όπου x το 1x

, έχουμε: 21 1 1 1f x f x f f xx x x x

(2)

Με αφαίρεση κατά μέλη των (1),(2), έχουμε:

21 1 1 1 1f f x f f x 0 f f x f f x 0x x x x x

1f f x 0

x

1f f x cx

, c .Για x 1 είναι f 1 f 1 c c 1 , άρα 1f f x 1x

(3), x 0 .

γ) Από τη σχέση (1), έχουμε: 1 1 1 1f f x fx x x xf x

και με αντικατάσταση στη σχέση (3),

προκύπτει:

f x1 1f x 1 f x xf x ln x ln f xxf x x f x

1ln f x ln x c ,

1c . Για x 1 είναι 1 1ln f 1 ln1 c c 0 , άρα ln f x ln x f x x για κάθε x 0 .

209. Να βρείτε συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο 0, για την οποία ισχύει ότι

f x1fx x

για κάθε x 0 και f 1 1 .

Λύση


109

Γενικές ασκήσεις210. Δίνεται η συνάρτηση f, η οποία είναι παραγωγίσιμη στο με f x 0 για κάθε x .

α) Να δείξετε ότι η f είναι 1-1.β) Αν η Cf διέρχεται από τα σημεία A 1,2005 και B 2,1 , να λύσετε την εξίσωση

1 2f 2004 f x 8 2 .

γ) Να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο Μ της fC , στο οποίο η εφαπτομένη είναι

κάθετη στην ευθεία ε: 1y x 2005668

.

Λύση


110

211. Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : με f 0 0 για την οποία ισχύει ότι: f x xf x x για κάθε x .

α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g x xf x x είναι σταθερή στο .

β) Να αποδείξετε ότι 1 xf xx

, x 0 .

γ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 1 x x x έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο 3,2 2

.

δ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα 0, τέτοιο, ώστε 22

21

.

Λύση

www.askisopolis.gr Μονοτονία συνάρτησης

111

Μονοτονία συνάρτησηςΟρισμόςΈστω f μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο Α και Β ένα υποσύνολο του Α. Η συνάρτηση f θαλέγεται:Γνησίως αύξουσα στο διάστημα Δ όταν για κάθε 1 2x ,x με 1 2x x ισχύει: 1 2f x f x .Γνησίως φθίνουσα στο διάστημα Δ όταν, για κάθε 1 2x ,x με 1 2x x ισχύει: 1 2f x f x .

ΘεώρημαΈστω συνάρτηση f, συνεχής σε ένα διάστημα Δ.Αν f x 0 για κάθε x στο εσωτερικό του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα 1 στο Δ.

Αν f x 0 για κάθε x στο εσωτερικό του Δ, τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα 2 στο Δ.Απόδειξη

Αποδεικνύουμε το θεώρημα στην περίπτωση που είναι f x 0 .

Έστω 1 2x , x με 1 2x x . Θα δείξουμε ότι 1 2f x f x . Πράγματι, στο διάστημα 1 2[x , x ] η f

ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. Επομένως, υπάρχει 1 2x , x τέτοιο, ώστε

2 1

2 1

f x f xf

x x

, οπότε έχουμε 2 1 2 1f (x ) f (x ) f x x .

Επειδή f 0 και 2 1x x 0 , έχουμε 2 1f x f x 0 , οπότε 1 2f x f x .

Στην περίπτωση που είναι f x 0 εργαζόμαστε αναλόγως.

Παρατηρήσεις1. Το αντίστροφο του προηγούμενου θεωρήματος δεν ισχύει. Δηλαδή, αν η f είναι

γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ τότε δεν ισχύει υποχρεωτικά f x 0 γιακάθε x στο εσωτερικό του Δ. Για παράδειγμα, θεωρούμε τη συνάρτηση 3f x xμε γραφική παράσταση που δίνεται στο διπλανό σχήμα. Παρατηρούμε ότι η f είναι

γνησίως αύξουσα στο όμως 3 2f x x 3x 0 για κάθε x .

2. Αν η f είναι συνεχής σε ένα διάστημα , και f x 0 για κάθε x , , τότε η f είναιγνησίως αύξουσα στο , . Δηλαδή, στα άκρα του διαστήματος Δ δεν μας ενδιαφέρει το πρόσημοτης f , αλλά ούτε και η ύπαρξή της. Το μόνο που απαιτεί το κριτήριο για τηνεφαρμογή του, είναι η συνέχεια της f στα κλειστά άκρα του Δ.

Για παράδειγμα η συνάρτηση f x x έχει 1f x 02 x

για κάθε x 0, ,

όμως η f είναι γνησίως αύξουσα στο 0,

3. Το θεώρημα εφαρμόζεται σε ένα διάστημα και όχι σε ένωση διαστημάτων.Δηλαδή αν η f είναι συνεχής στο 1 2 και η f διατηρεί σταθερό πρόσημοστα 1 και 2 , τότε δεν προκύπτει ότι η f είναι γνησίως μονότονη στο Δ, αλλάότι είναι γνησίως μονότονη σε καθένα από τα διαστήματα 1 2, .


111







2 1

2 1

f x f xf

x x













111







2 1

2 1

f x f xf

x x













112

x

f

f

1 2+ – +

Για παράδειγμα η συνάρτηση 1f x ,x 0x . Η f είναι παραγωγίσιμη στο ,0 0, με

21f x 0x

. Παρατηρούμε ότι η f δεν είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ, αλλά είναι γνησίως φθίνουσα

σε καθένα από τα διαστήματα ,0 και 0, .

ΠαρατηρήσειςΑν η συνάρτηση ff : D είναι γνησίως μονότονη, τότε: Η f είναι "1 1" στο fD . Για κάθε 1 2 fx ,x D ισχύει 1 2 1 2f x f x x x . Ορίζεται η 1f . Η εξίσωση f x 0 έχει το πολύ μία λύση στο fD . Η f δεν είναι άρτιαΑν επιπλέον η f είναι συνεχής στο fD , τότε: Βρίσκοντας τα όρια στα άκρα του fD , προσδιορίζουμε το σύνολο τιμών f A . Η 1

ff : f A D είναι συνεχής και με το ίδιο είδος μονοτονίας.Aν fD , , τότε: Εφαρμόζεται το θεώρημα ενδιάμεσης τιμής, γιατί f f . Αν είναι f f 0 , τότε εφαρμόζεται το Θ. Bolzano.Αν επιπλέον η f είναι παραγωγίσιμη στο fD : Δεν εφαρμόζεται το Θ. Rolle, γιατί f f .Εφαρμόζεται το Θ.Μ.Τ.

28η Κατηγορία: Μελέτη μονοτονίας – Πρόσημο συνάρτησηςΓια να μελετήσουμε μία συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία, μελετάμε το πρόσημο της f καιεφαρμόζουμε το θεώρημα.Σε ορισμένες περιπτώσεις είναι δύσκολο να βρούμε το πρόσημο της f . Τότε καταφεύγουμε στηδεύτερη παράγωγο f . Με βάση το πρόσημο της f , βρίσκουμε τη μονοτονία της f και στησυνέχεια από το πρόσημο της f , τη μονοτονία της f.Για να βρούμε τη μονοτονία της συνάρτησης πολλαπλού τύπου μελετάμε το πρόσημο κάθεκλάδου της f , έχοντας υπόψιν ότι τη παραγωγισιμότητα της f στο σημείο αλλαγής του τύπου,δεν χρειάζεται να τη γνωρίζουμε γιατί δεν επηρεάζει τη μονοτονία της συνάρτησης. Τη συνέχειαόμως της συνάρτησης στο σημείο αλλαγής του τύπου, θα τη μελετάμε αφού χρειάζεται στοθεώρημα μονοτονίας.

212. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τις συναρτήσεις:α) 3 2f x 2x 9x 12x 5 β) 2g x ln x 8x 12

Λύσηα) Είναι fD . Η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο με

2f (x) 6x 18x 12 . 2f x 0 6 x 3x 2 0 x 1 ή x 2 .

Για κάθε x 1 είναι f x 0 , άρα f γνησίως αύξουσα στο ,1 .Για κάθε 1 x 2 είναι f x 0 , άρα f γνησίως φθίνουσα στο 1,2


113

και για κάθε x 2 είναι f x 0 , άρα f γνησίως αύξουσα στο 2, .

β) Πρέπει 2x 8x 12 0 x 2 x 6 0 x 2 ή x 6 , οπότε το πεδίο ορισμού της g είναι

gD ,2 6, . Η g είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο gD , με

2

2 2

x 8x 12 2x 8g xx 8x 12 x 8x 12

. Είναι 22x 8g x 0 0 2x 8 x 4

x 8x 12

. Οπότε

για κάθε x ,2 είναι g x 0 , άρα gγνησίως φθίνουσα στο ,2 και για κάθε x 2,

είναι g x 0 , άρα g γνησίως αύξουσα στο 2, .

213. Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία τις παρακάτω συναρτήσεις :

α) 2f x x 6x 8 β)

xlnxf xx 1

Λύση

214. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση

2

2

x 2x 2, x 3f x

1 x 9, x 3.

ΛύσηΕξετάζουμε τη συνέχεια της f στο 0x 3 . Είναι 2


,

2

x 3 x 3lim f x lim 1 x 9 1

και f (3) 1 , άρα η f είναι συνεχής στο 0x 3 . Είναι

2

2x 2, x 3f x x , x 3

x 9

.


114

Για x 3 είναι f x 0 2x 2 0 x 1 . Για κάθε x 1,3 είναι f x 0 , άρα f γνησίωςαύξουσα στο 1,3 και για κάθε x ,1 είναι f x 0 , άρα f γνησίως φθίνουσα στο ,1 . Για

x 3 είναι 2

xf x 0x 9

, άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο 3, .


α)

2

3 2 x, x 2f x

x 2x 1, x 2β) 2f x x 6 x 5

Λύση

216. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τις συναρτήσεις:

α) 2f x x 2x xlnx lnx β) x 2g x 2e x 2x 1 γ)

ln x 1h x

ln x, όταν x 2

Λύση

α) Για κάθε x 0 η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη με είναι 1 1f x 2x 2 ln x xx x

12x 1 ln xx . Παρατηρούμε ότι f 1 0 .Είναι 2

1 1f x 2 0x x

για κάθε x 0 , άρα f

γνησίως αύξουσα στο 0, .


115

x – +

0g

g

Για f

0 x 1 f x f 1 0 f x 0

1

, άρα f γνησίως φθίνουσα στο 0,1 . Για x 1 είναι

f x f 1 0 f x 0 , άρα η f γνησίως αύξουσα στο 1, .

β) Για κάθε x η g είναι συνεχής και παραγωγίσιμη με είναι xg x 2e 2x 2 . Παρατηρούμε ότι g 0 0 .

Η g είναι παραγωγίσιμη με xg (x) 2e 2 , άραx xg (x) 0 2e 2 0 e 1 x 0

Για g

x 0 g x g 0 0 g x 0

2

, άρα g γνησίως αύξουσα στο ,0 . Για

g

x 0 g x g 0 0 g x 0

1

, άρα g γνησίως αύξουσα στο 0, , οπότε, για κάθε x ηg είναι γνησίως αύξουσα.

γ) Η h είναι παραγωγίσιμη στο 2, με

2 2

1 1ln x ln x 1 x ln x x 1 ln x 1x 1 xh xln x x x 1 ln x

Επειδή ισχύει 2x x 1 ln x 0 για κάθε x 2 , αρκεί να βρούμε το πρόσημο του αριθμητή

x ln x x 1 ln x 1

1ος τρόπος: Έστω x x ln x x 1 ln x 1 , x 2 . Η φ είναι συνεχής και παραγωγίσιμη με

x ln x 1 ln x 1 1 ln x ln x 1 .Είναι x x 1 ln x ln x 1 ln x ln x 1 0 άρα x 0 , οπότε φ γνησίως αύξουσα στο

2, .Για κάθε x 2 είναι x 2 x 2ln 2 0 , οπότε h x 0 , άρα η h είναι γνησίωςαύξουσα στο 2, .2ος τρόπος: Έστω x x ln x , x 2 . Είναι x ln x 1 0 για κάθε x 2 , άρα φ γνησίως

αύξουσα στο 2, .Είναι x x 1 x x 1 x ln x x 1 ln x 1

1

h x 0 , άρα ηh είναι γνησίως αύξουσα στο 2, .


α) 2f x 2xlnx x 1 β) x 2f x 4e 2x 4x γ) 21f x x x ημx2

Λύση


116

218. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση 4xf x συνx

24, x 0, .

Λύση

Η f είναι τρείς φορές παραγωγίσιμη στο , άρα και στο 0, με 3xf x x

6 ,

2xf x x

2 και 3f x x x . Επειδή για κάθε x 0 είναι x x ,ισχύει ότι 3f x 0

,άρα f είναι γνησίως φθίνουσα στο 0, . Είναι f

x 0 f x f 0 1 0 f x 0

2

, άρα η

f είναι γνησίως φθίνουσα στο 0, .Είναι f

x 0 f x f 0 0 f x 0

2

, άρα, η f είναιγνησίως φθίνουσα στο 0, .

219. Να μελετήσετε προς τη μονοτονία τη συνάρτηση: 3f x 6ημx 6x x .

Λύση


117

220. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση

ln αx 1f x

ln βx 1, 0 α β , x 0 .

Λύση

Είναι:

2

ln x 1 ln x 1x 1 x 1f x

ln x 1

2

x 1 ln x 1 x 1 ln x 1f x

x 1 x 1 ln x 1

.

Επειδή 0 και x 0 , είναι x 1 0 , x 1 0 και 2ln x 1 0 , οπότε το πρόσημο της f εξαρτάται από το πρόσημο της παράστασης x 1 ln x 1 x 1 ln x 1 .Έστω g x x 1 ln x 1 x 1 ln x 1 , x 0 . Η g είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο

0, με: g x ln x 1 x 1 ln x 1 x 1x 1 x 1

g x ln x 1 ln x 1 ln x 1 ln x 1 x 1g x lnx 1

.

Επειδή και x 0 , ισχύει ότι: x x x 1 x 1 x 1 x 11 ln 0x 1 x 1

x 1ln 0x 1

g x 0 και g γνησίως αύξουσα στο 0, .

Για κάθε x 0 είναι g x g 0 0 , οπότε και f x 0 άρα f γνησίως αύξουσα στο 0, .

221. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση

lnx lnkf x

x k, k 0 είναι γνησίως φθίνουσα στο

διάστημα 0,k .

Λύση


118

222. Να προσδιοριστούν οι τιμές του λ , ώστε να είναι γνησίως αύξουσα στο ησυνάρτηση 3 2f x 4x λ 2 x 12x 5 .

ΛύσηΕίναι 2f x 12x 2 2 x 12 .

2 22 24 2 4 12 4 2 12 4 2 12 2 12 4 14 10

Αν 0 , δηλαδή 14 10 0 10 ή 14 , τότε η f έχει δύο ρίζες 1ρ , 2 και θααλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν τους, άρα η f δεν θα είναι γνησίως αύξουσα στο .Αν 0 14 10 0 14 ή 10 , τότε:

Για 14 είναι 22f (x) 12x 24x 12 12 x 1 0 για κάθε x 1 άρα η f είναι γνησίως αύξουσα

στο και για 10 είναι: 2f x 12x 24x 12 212 x 1 0 για κάθε x 1 , άρα η f είναιγνησίως αύξουσα στο .Αν 0 10 14 , τότε f (x) 0 για κάθε , άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο . Άρα, η fείναι γνησίως αύξουσα στο , όταν 10 14 .

223. Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού λ, για τις οποίες η συνάρτηση 3 2f x 4x 3λx 12x 2 είναι γνησίως αύξουσα στο .

Λύση

224. Να βρείτε το πρόσημο των παρακάτω συναρτήσεων:α) xf x e x , x β) 2f x 2lnx 1 x , x 0

Λύση

α) Η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο με x xf x e x e 1 .

x xf x 0 e 1 0 e 1 x 0 . Για κάθε x 0 είναι f x 0 ,άρα f γνησίως αύξουσα στο 0, .Για κάθε x 0 είναι f x 0 , άρα

f γνησίως φθίνουσα στο ,0 . Για κάθεf

x 0 2

f x f 0 1 , άρα f x 0 και για κάθεf

x 0 1

f x f 0 1 , άρα f x 0 . Οπότε, f x 0 για κάθε x .

x 0 f +f 2 1


119

β) Η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο 0, με 22 2 2xf x 2x

x x .

22 2xf x 0 0

x 22 2x 0 2x 1 0 x 1 .

Για κάθε x 0,1 είναι f x 0 , άρα f γνησίωςαύξουσα στο 0,1 και για κάθε x 1, είναι

f x 0 , άρα f γνησίως φθίνουσα στο 1, . Για κάθεf

0 x 1 1

f x f 1 0 και για κάθεf

x 1 2

f x f 1 0 .Οπότε f (x) 0 , για κάθε x 0 .

225. Να βρείτε το πρόσημο των παρακάτω συναρτήσεων:α) 2f x 2 x 1 ln x 1 x 2x 5 , x 0 β) f x lnx vx v , v

Λύση

226. Δίνεται η συνάρτηση xf x e 3lnx e , x 0 .

α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία.β) Να βρείτε το πρόσημο των αριθμών f 0,45 και f 1821 .

γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς 10 20 30f 10 , f 20 , f 30 .

Λύση

α) Για κάθε x 0 είναι x 3f x e 0x

, οπότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο 0, .

β) Παρατηρούμε ότι f 1 0 και 0,45 1 1821 , οπότε f 0,45 f 1 f 1821

f 0,45 0 f 1821 .

x 0 1 f + f 1 2


120

γ) Είναι1

10 1010 10 ,1

20 2020 20 ,1

30 3030 30 .Θεωρούμε τη συνάρτηση 1xg x x , x 0 , τότε:

Είναι 1x

1 ln xln xx xg x x e e . Η g είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο 0, με

ln x 1x x

2ln x 1 ln xg x e xx x

.

1x

21 ln xg x 0 x 0

x 1 ln x 0 ln x 1 0 x e .

Για κάθε x e, είναι g x 0 , άρα η g είναι γνησίως

φθίνουσα στο e, . Είναιg

e 10 20 30 2

g 10 g 20 g 30 f

10 20 310 20 30 1

10 20 3f 10 f 20 f 30 .

227. Δίνεται η συνάρτηση x 2xf x e e 2 , x .

α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία.

β) Να βρείτε το πρόσημο των αριθμών

1f100

και

1f100

.

γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς 10f 5 , 20f 10 και 30f 15 .

Λύση

x 0 e 10 20 30 g΄ + –

g


121

228. Έστω συνάρτηση f συνεχής στο α,β και δύο φορές παραγωγίσιμη στο α,β με

f x 0 για κάθε x α,β . Αν f x f α για κάθε x α,β , να αποδείξετε ότι η f

είναι γνησίως φθίνουσα στο α,β .

ΛύσηΑρκεί να αποδείξουμε ότι f x 0 για κάθε x , . Υποθέτουμε ότι υπάρχει , τέτοιο, ώστε

f 0 . Επειδή f x 0 για κάθε x , , η f είναι γνησίως φθίνουσα στο , . Άρα, μεx θα ισχύει f f x f 0 , οπότε f x 0 , άρα η f θα είναι γνησίως αύξουσα στο

, .Δηλαδή, αν x , τότε f f x f f f .Αυτό όμως είναι άτοπο, γιατί από την υπόθεση γνωρίζουμε ότι f x f για κάθε x , ,επομένως θα πρέπει και f f .Άρα δεν υπάρχει , τέτοιο ώστε f 0 , δηλαδή f x 0 για κάθε x , , οπότε η f είναιγνησίως φθίνουσα στο , .

229. Δίνεται συνάρτηση f, δύο φορές παραγωγίσιμη στο α,β , με f α f β λ 0 και

f x 0 , για κάθε x α,β . Να αποδείξετε ότι f x 0 για κάθε x α,β .

Λύση

230. Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f : 0, με f γνησίως φθίνουσα και f 0 0 . Να

μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση: x f x

g x 2e 3ln x 1x

, x 0 .

ΛύσηΓια την f εφαρμόζεται το Θ.Μ.Τ. στο 0,x , οπότε υπάρχει 0,x τέτοιο, ώστε:

f x f 0 f xf

x 0 x

Είναι f f x

0 x f f x f x xf x f x 0x

(1)


122

Η g είναι παραγωγίσιμη στο 0, με x2

xf x f x3g x 2ex x

.Επειδή x 32e 0

x και

2

xf x f x0

x

, για κάθε x 0 , είναι g x 0 , οπότε g γνησίως αύξουσα στο 0, .

231. Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f με f γνησίως αύξουσα στο 0, . Aν f 0 0 να

αποδείξετε ότι η συνάρτηση

f xg x

x,είναι γνησίως αύξουσα, στο 0, .

Λύση

232. Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f : 0, με f x 0 για κάθε x 0 και

f 0 0 . Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f τέμνει τη γραφική παράσταση

της συνάρτησης g x 2x xlnx το πολύ σε ένα σημείο.

Λύση


123

233. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση 2

f x 1 ln x 2x, x 0 .

Λύση

234. Να βρείτε το λ ώστε η συνάρτηση

2λ x 4f xx 1

να είναι γνησίως αύξουσα σε

καθένα από τα διαστήματα του πεδίου ορισμού της.Λύση

235. Δίνεται συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο , για την οποία ισχύει ότι: f x xf x 3f x για κάθε x . Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία.

Λύση


124


x 1f x lnx , x 0x

.

α) Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία.β) Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ α,β , α 1 τέτοιο, ώστε: 2f ξ f α f β .

Λύση

29η Κατηγορία: Σύνολο τιμώνΘα βρίσκουμε το σύνολο τιμών, σε κάθε ένα από τα υποδιαστήματα του πεδίου ορισμού σταοποία η συνάρτηση είναι συνεχής και γνησίως μονότονη.

237. Να βρείτε το σύνολο τιμών των συναρτήσεων:

α) 2f x ln x 3 x 2x β) 2g x 6x x γ) 1h x ln x

x 2Λύση

α) Για κάθε x 3 είναι 1f x 2x 2 0x 3

,άρα η f είναι γνησίως

αύξουσα στο 3, .Είναι 2

x 3 x 3lim f x lim ln x 3 x 2x

γιατί

x 3lim ln x 3

και

2

x xlim f x lim ln x 3 x 2x

, γιατί xlim ln x 3

και 2

xlim x 2x

. Επειδή η

f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο 3, , το σύνολο τιμών της είναι:

xx 3

f A lim f x , lim f x ,

.


125

β) Πρέπει 26x x 0 x 6 x 0 0 x 6 . Είναι gD 0,6 . Η g είναι συνεχής στο 0,6 και

παραγωγίσιμη στο 0,6 με 2

6 2xg x2 6x x

και 2

6 2xg x 0 02 6x x

6 2x 0 x 3

Για κάθε x 0,3 είναι g x 0 , άρα g γνησίως αύξουσα στο

0,3 . Για κάθε x 3,6 είναι g x 0 , άρα g γνησίως φθίνουσα στο 3,6 . Η g είναι συνεχής και

γνησίως αύξουσα στο 1 0,3 , οπότε το σύνολο τιμών της είναι: 1g g 0 ,g 3 0,3 .

Η g είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο 2 3,6 , οπότε το σύνολο τιμών της είναι:

2g g 6 ,g 3 0,3 Άρα, το σύνολο τιμών της g, είναι g A 0,3 .

γ) Πρέπει x 0 και x 2 0 , οπότε το πεδίο ορισμού είναι hD 0,2 2, . Είναι

2 2

2 2 2

x 2 x1 1 x 5x 4h xx x 2 x x 2 x x 2

22

2x 5x 4h x 0 0 x 5x 4 0x x 2

0 x 1 ή x 4 .Το πρόσημο της h και η μονοτονία της h δίνονται στον παρακάτω πίνακα:

x 0 1 2 4 h + – – +

h

Είναι x 0 x 0

1lim h x lim ln xx 2

,

x 2 x 2


,

x 2 x 2


,

x x


, h 1 1 και 1h 4 ln 4

2

Οπότε, το σύνολο τιμών στο διάστημα 1 0,1 είναι 1h , 1 .Στο διάστημα 2 1,2 , είναι 2h , 1 .Στο διάστημα 3 2,4 , είναι

31h ln 4 ,2

και στο διάστημα 4 4, , είναι 4

1h ln 4 ,2

Άρα, το σύνολο τιμών της h είναι: 1 2 3 41h A h h h h , 1 ln 4 ,2

.

238. Να βρείτε το σύνολο τιμών των παρακάτω συναρτήσεων:

α)

x x

x x

e ef xe e

β) f x x lnx συνx

Λύση

x 0 3 6g΄ + –

g 30 0

–1

12ln 4


126

239. Δίνεται η συνάρτηση xef x x ,x 0 .

α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f.Λύση


127

240. Δίνεται συνάρτηση f τρεις φορές παραγωγίσιμη στο α,β με α β 0 , για την οποία

ισχύει ότι: f β β , f α 2α , f β 2β και f x 0 για κάθε x α,β . Να βρείτε

το σύνολο τιμών της συνάρτησης g x f x βx .

Λύση


128

30η Κατηγορία: Μονοτονία και ανισώσεις

Για να αποδείξουμε μία ανίσωση της μορφής f x 0 ή f x 0 μελετάμε την f ως προς τη μονοτονίακαι εφαρμόζουμε τον ορισμό μονοτονίας.Στη περίπτωση που η f δεν είναι γνησίως μονότονη, εφαρμόζουμε τον ορισμό μονοτονίας σε κάθε ένα απότα διαστήματα που είναι γνησίως μονότονη.


α) ln x 3 x 4 , x 4 β) 3xημx x

6, x 0 γ) 2lnx ex , x 0

Λύσηα) Θεωρούμε τη συνάρτηση f x ln x 3 x 4 , x 4, .

Η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο 4, με 1 1 x 3 4 xf x 1 0x 3 x 3 x 3

για κάθε

x 4 , άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο 4, .Επομένως, για x 4 είναι f x f 4

ln x 3 x 4 ln 4 3 4 4 ln x 3 x 4 0 ln x 3 x 4 .

β) Θεωρούμε την 3xg x x x

6 , x 0 , η οποία είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο 0, , με

2xg x x 1

2 και g x x x 0 για κάθε x 0 ( x x για κάθε x 0 ), άρα η g

είναι γνησίως αύξουσα στο 0, . Για κάθε x 0 είναι g x g 0 0 , άρα η g είναι γνησίως

αύξουσα στο 0, . Για x 0 είναι 3xg x g 0 x x 0

6

3xx x6

.

γ) Έστω η συνάρτηση 2g x ln x ex , x 0 .

Η g είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο 0, με 21 1 2exg x 2ex

x x , οπότε

2

21 2exg x 0 0 1 2ex 0x

x 02 1 1 1x x 0 x

2e 2e 2e

.

Για κάθε 1x 0,2e

είναι g x 0 , άρα η είναι γνησίως αύξουσα στο 10,2e

και για κάθε

1x ,2e

είναι g x 0 , άρα η g είναι γνησίως φθίνουσα στο 1 ,2e

.

Είναι g1 10 x g x g

2e 2e

1

και για g1 1x g x g

2e 2e

2

.

Άρα για κάθε x 0 είναι: 1g x g2e

2 1 1ln x ex ln 02e 2

2ln x ex 0 2ln x ex .


129


α) xσυνx ημx , x 0,π β) 2

x xe 1 x2

, x 0 γ) 1 xxe 1 x , x 0

Λύση

243. Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : 1, , για την οποία ισχύει:

2 xxf x f x x e για κάθε x 1 και f 1 e . Να αποδείξετε ότι xf x xe για κάθε x 1 .

Λύση

Είναι 2 x 2 xxf x f x x e xf x f x x e x

2

xf x f xe

x

xf x

e 0x

xf xe 0

x

.Θεωρούμε τη συνάρτηση xf x

g x ex

, f : 0, x 1, .

Η g είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο 1, με xf xg x e 0

x

, άρα η g είναι γνησίως

φθίνουσα στο 1, .Για κάθε x 1 είναι xf x f 1g x g 1 e e

x 1

xf xe e e 0

x

x xf xe f x xe

x .


130

244. Δίνεται δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση για την οποία ισχύει ότι: f 0 1 , f 0 2

και 2

f x f x f x για κάθε x 0 . Να αποδείξετε ότι 2xf x e για κάθε x 0 .

Λύση

245. Να λύσετε την ανίσωση:

2

2x 1 x 5x 9x 5x 9ln 3 3

x 1, x 0 .

Λύση2

2x 1 x 5x 9x 5x 9ln 3 3

x 1

22 x 1 x 5x 9ln x 5x 9 ln x 1 3 3

22 x 5x 9 x 1ln x 5x 9 3 ln x 1 3 (1).

Θεωρούμε τη συνάρτηση xf x ln x 3 , με x 0 , οπότε η (1) γίνεται: 2f x 5x 9 f x 1 .

Είναι x1f x 3 ln 3 0x

, οπότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο 0, , άρα είναι:

f

2f x 5x 9 f x 1 1

2x 5x 9 x 1 2x 6x 8 0 x 4 x 2 0 2 x 4 .

246. Να λύσετε την ανίσωση: 22 x 3x 7 2x 1ln x 3x 7 2 ln 2x 1 2 , x 0 .

Λύση


131

247. α) Να αποδείξετε ότι 2x 1ln x 1 x

2 5για κάθε x 0, .

β) Δίνεται συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο 0, για την οποία ισχύει:

2 3

5 3 4 x xf x 2f x 3f x x 1 ln x 1 x 1825 2 6

για κάθε x 0 . Να

αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο 0, .

Λύση

α) Έστω 2x 1g x ln x 1 x

2 5 , x 0, .Η g είναι συνεχής και

παραγωγίσιμη στο 0, με 21 x 1 x x 11 xg x 1 x 0x 1 x 1 x 1

για κάθε x 0 , οπότε

η g είναι γνησίως αύξουσα στο 0, .

Για κάθε x 0 είναι 1g x g 0 05

2x 1ln x 1 x 0

2 5

2x 1ln x 1 x2 5

.

β) Παραγωγίζοντας και τα δύο μέλη της σχέσης, προκύπτει:

2 3

5 3 4 x xf x 2f x 3f x x 1 ln x 1 x 1825 2 6

2

4 2 4 x5f x f x 6f x f x 3f x ln x 1 1 x5 2

2

4 2 x 1f x 5f x 6f x 3 ln x 1 x2 5

. Επειδή 4 25f x 6f x 3 0 και

2x 1ln x 1 x 0

2 5 για κάθε x 0 , είναι και f x 0 , οπότε f γνησίως αύξουσα στο 0, .

248. α) Να αποδείξετε ότι 1lnx 1x


β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση

lnxg xx 1

είναι γνησίως φθίνουσα στο 1, .

γ) Αν κ 1, λ 1 και κ 1 ln λ λ 1 lnκ , να αποδείξετε ότι κ λ .

Λύση


132

249. Να αποδείξετε ότι 2 3 2x x xx ln 1 x

2 3 2για κάθε x 0 .

Λύση

Θα δείξουμε πρώτα ότι 2 3 2 3x x x xx ln 1 x ln 1 x x 0

2 3 2 3 .

Θεωρούμε τη συνάρτηση 2 3x xg x ln 1 x x

2 3 με x 0 , η οποία είναι παραγωγίσιμη με

3

21 xg x 1 x x 01 x x 1

για κάθε x 0 , άρα η g είναι γνησίως φθίνουσα στο 0, . Άρα

για κάθε x 0 είναι g x g 0 2 3 2 3x x x xln 1 x x 0 x ln 1 x

2 3 2 3 .

Θα δείξουμε επίσης ότι 2 2x xx ln 1 x ln 1 x x 0

2 2 .

Έστω η συνάρτηση 2xf x ln 1 x x

2 με x 0 .Είναι

2 2x 1 x 1 1 x1 x x 1 1 x xf x x 1 01 x 1 x 1 x 1 x

για κάθε x 0 ,άρα η f είναι

γνησίως αύξουσα στο 0, . Για κάθε x 0 είναι

2 2x xf x f 0 ln 1 x x 0 x ln 1 x

2 2 .

250. Να αποδείξετε ότι : 22x x 2ln x+1 2x , x 0 .

Λύση


133

251. Να αποδείξετε ότι v v v5 3 2 για κάθε φυσικό αριθμό ν, με v 1 .Λύση

Παρατηρούμε ότι 5 3 2 , οπότε: vv v v v v5 3 2 3 2 3 2 0 .

Θεωρούμε τη συνάρτηση v v vf x x 2 x 2 , x 0 . Η f είναι παραγωγίσιμη στο 0, με

v 1 v 1v 1 v 1f x v x 2 vx v x 2 x .

Επειδή είναι 0 x x 2 και v 1 0 , ισχύει: v 1 v 1v 1 v 1x x 2 x 2 x 0 , άρα f x 0 και f γνησίως αύξουσα στο 0, . Επειδή 3 0 ,

ισχύει: v vv v v vf 3 f 0 3 2 3 2 0 2 0 2 v v v v v v v v5 3 2 2 2 0 5 3 2 .

252. Να βρείτε φυσικό αριθμό ν με v 2 , για τον οποίο ισχύει: ν ν 1ημ x συν x2

Λύση

253. Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f : α,β με f (x) 0 για κάθε x α,β και

f α f β . Να αποδείξετε ότι f(x) f α , x α,β .

ΛύσηΓια την f ισχύουν οι προϋποθέσεις του θ. Rolle στο διάστημα , , οπότε υπάρχει , τέτοιο, ώστε

f 0 . Επειδή f x 0 συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο , .


134

Για κάθε f

x f x f 0 f x 0 , άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο , . Για κάθε

f

x f x f 1

(1).

Για κάθε f

x f x f 0 f x 0

2

, άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο , . Για κάθε

f

x f x f f 2

f x f (2).Από τις σχέσεις (1), (2), είναι: f x f για κάθε x , .

254. Δίνεται συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο α,β , για την οποία ισχύει ότι

f α f β 0 και f x 0 για κάθε x α,β . Να αποδείξετε ότι f x 0 για κάθε

x α,β .

Λύση

255. Δίνεται συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο 1,4 , για την οποία ισχύει f x 0

για κάθε x 1,4 . Να συγκρίνετε τους αριθμούς A f 2 f 3 και B f 1 f 4 .

ΛύσηΑρκεί να βρούμε το πρόσημο της διαφοράς A B f 2 f 3 f 1 f 4 f 2 f 1 f 4 f 3 .

Για την f εφαρμόζεται το Θ.Μ.Τ. σε καθένα από τα διαστήματα 1,2 , 3,4 , οπότε υπάρχουν 1 1,2

και 2 3,4 τέτοια, ώστε: 1

f 2 f 1f f 2 f 1

2 1

και 2

f 4 f 3f f 4 f 3

4 3

.

Είναι f x 0 , οπότε η f είναι γνησίως φθίνουσα στο 1,4 .Είναι 1 21 2 3 4 , άρα 1 2f f f 2 f 1 f 4 f 3

f 2 f 1 f 4 f 3 0 A B 0 A B .


135

256. Δίνεται συνάρτηση f, δύο φορές παραγωγίσιμη στο , για την οποία ισχύει f x 0 για

κάθε x . Να συγκρίνετε τους αριθμούς A f 2 f 2 και B f 1 f 1 .

Λύση

257. Αν μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο , η f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα για

κάθε x , f 1 1 και f 0 0 , να αποδείξετε ότι για κάθε x 0,1 είναι 1f x

2 x.

ΛύσηΕφαρμόζουμε Θ.Μ.Τ. στα διαστήματα 0,x και x,1 , οπότε υπάρχει 1 0,x τέτοιο, ώστε

1

f x f 0 f xf

x x

και 2 x,1 τέτοιο, ώστε 2

f 1 f x 1 f xf

1 x 1 x

. Είναι

x 1 x 0f

1 2 1 2

f x 1 f x f f

x 1 x

1

1 x f x x 1 f x f x xf x x xf x f x x .

Αρκεί να δείξουμε ότι 1x2 x

2 x x 1 .

22x x 1 2x 2x 1 0 2x 1 0 που ισχύει στο 0,1 .

258. Δίνεται συνάρτηση g, παραγωγίσιμη στο ρ,ρ με g γνησίως αύξουσα στο διάστημα αυτό.

Να αποδείξετε ότι: g x x ρ g ρ g ρ .

Λύση


136

259. Δίνεται δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f : 0, με 2x2 f x 4e για κάθε

x 0 , f 0 0 και f 0 1 .Να αποδείξετε ότι:

α) 2 2xx 1 f x e για κάθε x 0 .

β) Υπάρχει μοναδικό 0x 0,1 τέτοιο, ώστε 0 0f x lnx 0 .

Λύσηα) Έστω 2xg x f x e , x 0 .

Η g είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο 0, με 2xg x f x 2e και

2xg x f x 4e . Είναι 2x2 f x 4e , άρα 2xf x 4e 0 g x 0 , άρα η g είναι

γνησίως φθίνουσα στο 0, . Για κάθε g

x 0 g x g 0 0

2

, άρα η g είναι γνησίως φθίνουσα στο

0, . Για κάθε g

2x 2xx 0 g x g 0 0 f x e 0 f x e 2

.Έστω 2h x f x x 1, x 0 . Η h είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο 0, με h x f x 2x

και h x f x 2 . Είναι 2x2 f x 4e , άρα . h f x 2 0 h x 0 ., άρα η είναι γνησίως

αύξουσα στο 0, . Για κάθε h

x 0 h x h 0 0

1

, άρα h γνησίως αύξουσα στο 0, .

Για κάθε h

2 2x 0 h x h 0 0 f x x 1 0 f x x 1 1

.

β) Έστω x f x ln x, x 0,1 . Επειδή x 0 x 0lim x lim f x ln x

, υπάρχει 0,1

τέτοιο, ώστε 0 . Είναι 2 2xx 1 f x e για κάθε x 0 και για x 1 , έχουμε 22 f 1 e , άρα

f 1 0 και 1 f 1 ln1 0f 1 0 . Επειδή 1 0 και η φ είναι συνεχής στο ,1 ως

άθροισμα συνεχών συναρτήσεων, λόγω του θεωρήματος Bolzano, υπάρχει 0x ,1 τέτοιο, ώστε

0 0 0x 0 f x ln x 0 . Η φ είναι παραγωγίσιμη στο 0,1 με 1x f xx

.

Όμως από το προηγούμενο σκέλος έχουμε ότι h x 0

f x 2x 0 f x 2x 0 ,άρα και x 0 για κάθε x 0,1 , άρα η φ είναι γνησίως αύξουσακαι το 0x είναι η μοναδική ρίζα της εξίσωσης f x ln x 0 στο διάστημα 0,1 .

260. Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f : για την οποία ισχύει:

2 2x 1 f x x x 2 για κάθε x 0 . Να υπολογίσετε το όριο

3x

f xlim

x.


137

Λύση

261. α) Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία η συνάρτηση xf x , x 0

1 x

β) Να αποδείξετε ότι:

α β α β1 α β 1 α 1 β

, για κάθε α,β .

Λύση


138

262. Να λύσετε την ανίσωση 2x2 x 1 , x .

Λύση

263. Δίνεται συνάρτηση f, δύο φορές παραγωγίσιμη στο με f x 0 και

2

f x f x f x 0 για κάθε x . Να αποδείξετε ότι:

α) Η συνάρτησηf

fείναι γνησίως αύξουσα.

β) Για κάθε 1 2x ,x ισχύει:

1 2

1 2

x xf f x f x

2.

Λύση


139


x

x

ef x , xe 1

.

α) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία.β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f.γ) Για κάθε x 0 να αποδείξετε ότι: x x x xf 3 f 5 f 5 f 3

Λύση

265. Αν α,β με α β , να αποδείξετε ότι ln α 1 β α ln β 1 , 0 α β

Λύση


140

266. Δίνεται συνάρτηση f, δύο φορές παραγωγίσιμη στο α,β , α 0 , με f x 0 για κάθε

x α,β , f β α και 2αf α

β. Να αποδείξετε ότι αf x x

βγια κάθε x α,β .

Λύση

31η Κατηγορία: Μονοτονία και εξισώσειςΤο πολύ μία ρίζα

Για να δείξουμε ότι η εξίσωση f x 0 έχει το πολύ μία ρίζα, έχουμε δύο επιλογές:Μονοτονία: Aν η συνάρτηση είναι συνεχής και γνησίως μονότονη στο , , τότε η εξίσωση

f x 0 έχει το πολύ μία ρίζα στο διάστημα αυτό.

Rolle και άτοπο: Υποθέτουμε ότι έχει δύο ρίζες 1 2, με 1 2 και εφαρμόζοντας το Θ. Rolleγια την f στο 1 2, , καταλήγουμε σε άτοπο.

Ακριβώς μία ρίζα σε διάστημαώ ί ί ά ά ί ύ ί

Θα αποδεικνύουμε με θ. Bolzano ή με θ.Rolle στην αρχική συνάρτηση ότι η f έχει τουλάχιστονμία ρίζα. Θα αποδεικνύουμε με μονοτονία ή με Rolle άτοπο ότι η f έχει το πολύ μία ρίζα

Ακριβώς μία ρίζαΘα βρίσκουμε προφανή ρίζα και στη συνέχεια θα αποδεικνύουμε ότι η αντίστοιχη συνάρτησηείναι γνησίως μονότονη.Θα Βρίσκουμε το σύνολο τιμών της f. Αν το 0 ανήκει στο σύνολο τιμών, τότε η συνάρτηση έχειρίζα η οποία λόγο της μονοτονίας της συνάρτησης θα είναι μοναδική.

Πλήθος ριζών εξίσωσηςΘα βρίσκουμε το σύνολο τιμών της αντίστοιχης συνάρτησης σε καθένα από τα διαστήματα πουείναι γνησίως μονότονη. Σε όσα από τα προηγούμενα υποσύνολα του συνόλου τιμών περιέχεται το0, τόσες ρίζες έχει η εξίσωση f x 0 .


141

Λύση εξίσωσηςΘα βρίσκουμε προφανή ρίζα και στη συνέχεια θα αποδεικνύουμε ότι η αντίστοιχη συνάρτησηείναι γνησίως μονότονη.

267. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 3xlnx 6

3έχει το πολύ μία ρίζα στο διάστημα 1,2 .

Λύση

Είναι3 3x xln x 6 ln x 6 0

3 3 . Θεωρούμε τη συνάρτηση

3xf x ln x 63

.

α΄ τρόπος (Μονοτονία)

Η f είναι παραγωγίσιμη στο 0, , άρα και στο 1,2 με 21f x x 0x

.

Οπότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο 1,2 , άρα η εξίσωση f x 0 θα έχει το πολύ μία ρίζα στο 1,2 .β΄ τρόπος (Rolle – άτοπο)Έστω ότι η f έχει δύο ρίζες 1 2, 1,2 με 1 2 . Η f είναι συνεχής στο 1 2, , παραγωγίσιμη στο

1 2, με 3

21 1 xf x xx 3

και 1 2f f 0 .

Οπότε, λόγω του Θ. Rolle θα υπάρχει 1 2, 1,2 τέτοιο, ώστε 31f 0 0

3

3 1 0 3 1 1 1,2 , άτοπο. Άρα η f έχει το πολύ μία ρίζα στο 1,2 .

268. Να αποδείξετε ότι οι παρακάτω εξισώσεις έχουν το πολύ μία ρίζα.

α)

x3 4x 34

β) 2ημx 2x 7 γ) 3 24x 21x 18x 50 0 , x 1,2

Λύση


142

269. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 4 3 2x x 20x 28 0 έχει μοναδική ρίζα στο διάστημα 1,2 .

ΛύσηΘεωρούμε τη συνάρτηση 4 3 2f x x x 20x 28 , η οποία είναι συνεχής και παραγωγίσιμη σε όλο το , άρα και στο διάστημα 1,2 .Είναι f 1 6 0 και f 2 76 0 , οπότε f 1 f 2 0 .Σύμφωνα με το Θ. Bolzano, θα υπάρχει 0x 1,2 τέτοιο, ώστε 0f x 0 , δηλαδή 0x ρίζα της εξίσωσης.

Είναι 3 2f x 4x 3x 40x 2x 4x 3x 40 0 , όταν x 1,2 . Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο

1,2 , οπότε η ρίζα 0x που βρήκαμε προηγουμένως είναι μοναδική.

270. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 4x 7lnx 16 , x 1,2 έχει ακριβώς μια ρίζα.

Λύση

271. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση vx lnx 1 , v έχει ακριβώς μία ρίζα στο 0,1 .

ΛύσηΈστω vf x x ln x 1 , x 0,1 .

Είναι v 1 1f x vx 0x

για κάθε x 0,1 , άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα 0,1 . Είναι

x 0lim ln x

και v

x 0lim x 1 1

, οπότε

x 0lim f x

και vf 1 1 ln1 1 2 .

1ος τρόπος (Με χρήση του συνόλου τιμών)Αν A 0,1 , τότε το σύνολο τιμών της f, είναι

x 0f A lim f x ,f 1 ,2

.

Παρατηρούμε ότι το μηδέν είναι εσωτερικό σημείο του συνόλου τιμών της f. Επειδή η f είναι συνεχής στο 0,1 , υπάρχει 0x 0,1 τέτοιο, ώστε 0f x 0 .Όμως η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα αυτό, οπότε το 0x είναι μοναδικός.


143

2ος τρόπος (Θεώρημα Bolzano)Επειδή

x 0lim f x

, υπάρχει 0,1 τέτοιο, ώστε f 0 .Οπότε, f f 1 0 και αφού η f είναι

συνεχής στο ,1 , λόγω του Θ. Bolzano υπάρχει 0x ,1 0,1 τέτοιο, ώστε 0f x 0 .Επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο 0,1 , το 0x είναι μοναδικό.

272. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση xx συνx e έχει μοναδική λύση.Λύση

273. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 2

x xe 1 x2

, x , έχει μοναδική ρίζα.

Λύση

Έστω 2

x xf x e 1 x2

, x .Η f είναι παραγωγίσιμη στο με xf x e x 1 και

xf x e 1 . xf x 0 e 1 x 0 .Για κάθε x 0 είναι f x 0 , άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο 0, .Για κάθε x 0 είναι f x f 0 0 , άρα η f είναι γνησίως αύξουσαστο 0, . Για κάθε x 0 είναι f x 0 , άρα η f είναι γνησίωςφθίνουσα στο ,0 . Για κάθε x 0 είναι f x f 0 0 , άρα η f είναιγνησίως αύξουσα στο ,0 . Επειδή η f είναι συνεχής, είναι γνησίως αύξουσα στο .

Παρατηρούμε ότι f 0 0 , άρα η x 0 είναι η μοναδική ρίζα της εξίσωσης 2

x xf x 0 e 1 x2

.

274. α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση 3f x x 2x 1 ημ2x , x , είναι γνησίως

αύξουσα.β) Η εξίσωση 3x 2x 1 ημ2x έχει μία μόνο ρίζα στο διάστημα 0,1 .

Λύση

x 0 f +

f ]+ 0 +[f

[


144

275. Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης: 2 36x 2 x 9x .Λύση

Είναι 2 3 3 26x 2 x 9x x 6x 9x 2 0 .Θεωρούμε τη συνάρτηση 3 2f x x 6x 9x 2 , x .Η f είναι παραγωγίσιμη στο , με 2f x 3x 12x 9 .

Είναι 2f x 0 3 x 4x 3 0 x 1 ή x 3 .

Για κάθε x 1 είναι f x 0 άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο ,1 .Για κάθε x 1,3 είναι f x 0 , άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο 1,3 .Τέλος για κάθε x 3 είναι f x 0 άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο 3, .

Είναι f 1 2 , f 3 2 , 3 2

x xlim f x lim x 6x 9x 2

3

xlim x

και

3 2

x xlim f x lim x 6x 9x 2

3

xlim x

. Η f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο ,1 με

σύνολο τιμών 1 xf A lim f x ,f 1 ,2

. Επειδή το 0 είναι εσωτερικό του 1f A , υπάρχει

μοναδικός 1 ,1 τέτοιος, ώστε 1f 0 .Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο 1,3 , οπότε το αντίστοιχο

σύνολο τιμών είναι: 2f A f 3 ,f 1 2,2 .

Επειδή το 0 είναι εσωτερικό του 2f A , θα υπάρχει μοναδικός 2 2,2 τέτοιος, ώστε 2f 0 .

Η f είναι γνησίως αύξουσα στο 3, , με αντίστοιχο σύνολο τιμών: 3 xf A f 3 , lim f x 2,

.

Επειδή το 0 είναι εσωτερικό του 3f A , υπάρχει μοναδικός 3 3, τέτοιος, ώστε 3f 0 . Άρα, ηεξίσωση f x 0 έχει ακριβώς τρεις ρίζες.

x 1 3 f + – +

f 1 2 1


145

276. Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης:

3 22x 3x 2x 16

.

Λύση

277. Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης κ1 lnx e 1 , κ .

Λύση

1 ln x e 1 1e1 ln x

1ln1 ln x

ln 1 ln x (1).

Θεωρούμε την f x ln 1 ln x ,πρέπει x 0 και 1 ln x 0 ln x ln e x e , άρα το πεδίοορισμού της f είναι το A 0,e . Η f είναι παραγωγίσιμη στο 0,e , με

11 ln x 1xf x 01 ln x 1 ln x x 1 ln x

, όταν x 0,e .

Άρα, η f είναι γνησίως αύξουσα στο 0,e και x 0lim ln x

,

x 0lim 1 ln x

,

x 0lim ln 1 ln x

, άρα

x 0 x 0lim f x lim ln 1 ln x

.

Επίσης, x elim 1 ln x 0

,

x elim ln 1 ln x

, οπότε

x e x elim f x lim ln 1 ln x

. Άρα, η f

έχει σύνολο τιμών το x 0 x e

f A lim f x , lim f x ,

, οπότε η εξίσωση (1) f x , θα

έχει ακριβώς μία λύση στο 0,e .


146

278. Δίνεται η συνάρτηση 44f x x 2 x , x .

α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία.β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f.γ) Να βρείτε το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης

44λx λ 2 x 1 , λ .

Λύση

279. Να λύσετε τις εξισώσεις:α) 4x xe e 2 β)

3 2x 18 2x 9x 3 2e e 9x x 2x 18Λύση

α) Παρατηρούμε ότι το x 0 είναι ρίζα της εξίσωσης, γιατί 0 0e e 2 1 1 2 ,ισχύει. Θεωρούμε τη συνάρτηση 4x xf x e e 2 , η οποία είναι παραγωγίσιμη στο , με

4x xf x 4e e 0 , οπότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο , άρα η ρίζα x 0 είναι μοναδική.

β) Είναι3 2x 18 2x 9x 3 2e e 9x x 2x 18

3 2x 18 3 2x 9x 2e x 18 e 2x 9x .Θεωρούμε τη συνάρτηση xf x e x , x , οπότε η εξίσωση γίνεται 3 2f x 18 f 2x 9x (1).

Η f είναι παραγωγίσιμη στο , με xf x e 1 0 , οπότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο , άρα και"1 1" , οπότε από την (1) έχουμε:

f 1 1

3 2 3 2 3 2f x 18 f 2x 9x x 18 2x 9x x 2x 9x 18 0

2 2x x 2 9 x 2 0 x 2 x 9 0 x 2 x 3 x 3 0 x 2 ή x 3 ή x 3 .


147

280. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις:α) 22x x lnx 3 β) x 3xe e 2γ) 2ln x 1 x x 6 0 δ)

1821x 2ln x 1 e 1 x 2

Λύση

281. Να λυθεί η εξίσωση: x x x10 8 2 9 .Λύση

1ος τρόπος:x xx x

x x xx x

10 8 10 810 8 2 9 2 2 09 9 9 9

Έστω x x10 8f x 2, x

9 9

. Παρατηρούμε ότι 0 010 8f 0 2 1 1 2 0

9 9

και

1 110 8 10 8f 1 2 2 0

9 9 9 9

.


148

Η f είναι παραγωγίσιμη στο με x x10 10 8 8f x ln ln

9 9 9 9

και

x x

2 210 10 8 8f x ln ln 09 9 9 9

, άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο .

Επειδή f 0 f 1 0 ικανοποιούνται για την f οι προϋποθέσεις του θ.Rolle, οπότε υπάρχει 0,1

τέτοιο, ώστε: f 0 . Για κάθε f

x f x f 0

1

, άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα

, . Επειδή το 1 περιέχεται στο διάστημα , και η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα αυτό,το 1 είναι η μοναδική ρίζα της f x 0 στο , .

Για κάθε f

x f x f 0

1

, άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο , .Επειδή το 0 περιέχεται στο διάστημα , και η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα αυτό, το 0 είναιη μοναδική ρίζα της f x 0 στο , . Επειδή 1 και η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα

, ισχύει ότι f f 1 f 0 , οπότε η εξίσωση f x 0 έχει μοναδικές ρίζες τα 0 και 1.

2ος τρόπος: x x x x x x x10 8 2 9 10 9 9 8 . Έστω xf t t , t 8,10 .Η f είναι συνεχής στα διαστήματα 8,9 , 9,10 και παραγωγίσιμη στα 8,9 , 9,10 με

x 1f x xt ,οπότε λόγω του θεωρήματος μέσης τιμής υπάρχουν 1 8,9 και 2 9,10 τέτοια, ώστε:

x 1 x x1 1

f 9 f 8f x 9 8

9 8

και x 1 x x2 2

f 10 f 9f x 10 9

10 9

.

Η (1) γίνεται: x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 11 2 1 2 1 2x x x x 0 x 0 x 0 ή

x 1x 1 x 1 11 2

2

1

και επειδή 1 2 είναι x 1 0 x 1 .

282. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις:α) x x x4 2 6 β) x x2 2 3 5x 3

Λύση


149

283. Δίνονται οι συναρτήσεις x 1 2f x e x 3x 1 και g x lnx x 1 .

α) Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τις συναρτήσεις f,g.β) Να λύσετε την εξίσωση x 1 2e lnx x 2x 0 .γ) Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των f,g έχουν κοινή εφαπτομένη τον άξονα x΄x.

Λύσηα) Η f είναι παραγωγίσιμη στο με x 1f x e 2x 3 και x 1f x e 2 .

Είναι f x 0 , άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο .Παρατηρούμε ότι f 1 0 , οπότε για κάθε x 1 είναι f x f 1 0 , άρα η f είναι γνησίως φθίνουσαστο ,1 . Για κάθε x 1 είναι f x f 1 0 , άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο 1, .Η g είναι

παραγωγίσιμη στο 0, με 1 1 xg x 1x x

. Είναι x 0

g x 0 1 x 0 x 1

. Για κάθε

x 0,1 είναι g x 0 , άρα η g είναι γνησίως αύξουσα στο 0,1 . Για κάθε x 1, είναι

g x 0 , άρα η g είναι γνησίως φθίνουσα στο 1, .

β) x 1 2e ln x x 2x 0 x 1 2e x 2x ln x x 1 2e x 3x 1 ln x x 1 f x g x .

Για κάθε f

x 1 f x f 1 0 1

και g

x 1 g x g 1 0 2

, δηλαδή f x g x . Για κάθε

f

0 x 1 f x f 1 0 2

καιg

0 x 1 1

g x g 1 0 , δηλαδή f x g x . Επειδή

f 1 g 1 0 , η x 1 είναι η μοναδική ρίζα της εξίσωσης f x g x .

γ) Επειδή f 1 g 1 0 , οι f gC ,C έχουν κοινό σημείο με τον άξονα x΄x το 1,0 .Επειδή

f 1 g 1 0 , ο άξονας x΄x εφάπτεται στις f gC ,C στο 1,0 .


x

2

ef x ,xx 1

.

α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία.

β) Να συγκρίνετε τους αριθμούς 3 2e και 43

.

γ) Να λύσετε την ανίσωση

4x x 1

2

x 1ex 1

.

δ) Να λύσετε την εξίσωση

2x

2

4x 4x 2ex 2x 2

.

Λύση


150

285. Δίνεται η παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f, για την οποία είναι f x 2 για κάθε x .

Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f x 0 έχει ακριβώς μία ρίζα.

Λύση

Έστω x 0 . Λόγω Θ.Μ.Τ. για την f στο 0,x υπάρχει 0,x τέτοιο, ώστε f x f 0f

x

.

Είναι f x f 0f 2 2 f x 2x f 0

x

.

Επειδή x xlim 2x f 0 lim 2x

είναι f x 2x f 0 0 κοντά στο , άρα:

1 10

f x 2x f 0

. Επειδή

x

1lim 02x f 0

, από το κριτήριο παρεμβολής προκύπτει ότι

x

1lim 0f x

. Όμως f x 0 στο άρα xlim f x

.

Έστω x 0 . Λόγω Θ.Μ.Τ. για την f στο x,0 υπάρχει x,0 τέτοιο, ώστε

f 0 f xf

x

. Είναι f 0 f xf 2 2 f x 2x f 0 f x 2x f 0

x

.

Επειδή x xlim 2x f 0 lim 2x

είναι f x 2x f 0 0 κοντά στο , άρα:


151

1 1 0

2x f 0 f x

. Επειδή

x

1lim 02x f 0

, από το κριτήριο παρεμβολής προκύπτει ότι

x

1lim 0f x

. Όμως f x 0 στο άρα xlim f x

.

Επειδή f x 2 0 η f είναι γνησίως αύξουσα στο και επειδή είναι συνεχής, έχει σύνολο τιμών το

x xf A lim f x , lim f x

. Επειδή 0 f A και η f είναι γνησίως αύξουσα, η εξίσωση f x 0

έχει μοναδική ρίζα.

286. Δίνεται η παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f, για την οποία είναι f x 1 για κάθε x .

Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f x 0 έχει ακριβώς μία ρίζα.

Λύση

287. Δίνεται συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο 1,2 για την οποία ισχύει : f 1 1 και f x 1

για κάθε x 1,2 . Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f x 0 έχει μοναδική ρίζα στο διάστημα

1,2 .

Λύση


152

288. Να λύσετε την εξίσωση 2 3 3x x 2 2 x 3e x x x 2x e x 3 3 .

Λύση

289. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 3x 3x 1 0 έχει δύο θετικές ρίζες και μία αρνητική.Λύση


153

290. Δίνεται η εξίσωση 2lnx x 2 0 .α) Να αποδείξετε ότι είναι αδύνατη στο 0, .

β) Να αποδείξετε ότι έχει ακριβώς μια λύση στο ,0 .

Λύση

291. Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f : 1,e 0,1 , με f x 0 , για κάθε x 1,e . Να

αποδείξετε ότι η εξίσωση f x x 1 lnx έχει ακριβώς μία ρίζα στο διάστημα 1,e .

Λύση


154

292. α) Να λύσετε την εξίσωση xx e 1 .β) Έστω συνάρτηση f : για την οποία ισχύει ότι f xf x e 3x 1 για κάθε x .

Να αποδείξετε ότι:i. η f είναι γνησίως αύξουσα.ii. η fC διέρχεται από την αρχή των αξόνων.

iii. αν η f είναι παραγωγίσιμη στο , να αποδείξετε ότι f x f x 1 f x f x 1 .

Λύση

www.askisopolis.gr Ακρότατα συνάρτησης

155

Ακρότατα συνάρτησης

α) Μία συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού Α, λέμε ότι παρουσιάζει στο0x A τοπικό μέγιστο, όταν υπάρχει 0 τέτοιο, ώστε:

για κάθε 0 0x A x ,x .–Το 0x λέγεται θέση ή σημείο τοπικού μέγιστου της f.–Το 0f x λέγεται τοπικό μέγιστο της f.Αν η σχέση 0f x f x ισχύει για κάθε x A , τότε λέμε ότι η f

παρουσιάζει στο 0x ολικό μέγιστο ή απλά μέγιστο το 0f x . 0f x f x

β) Μία συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού Α λέμε ότι παρουσιάζει στο0x A τοπικό ελάχιστο, όταν υπάρχει 0 τέτοιο, ώστε: 0f x f x , για κάθε 0 0x A x ,x .

–Το 0x λέγεται θέση ή σημείο τοπικού ελάχιστου της f.–Το 0f x λέγεται τοπικό ελάχιστο της f.Αν η σχέση ισχύει για κάθε x A , τότε λέμε ότι η f παρουσιάζει στο

0x ολικό ελάχιστο ή απλά ελάχιστο το 0f x .Τα τοπικά μέγιστα και τα τοπικά ελάχιστα μίας συνάρτησης f, λέγονται και τοπικά ακρότατα αυτής, ενώτα σημεία στα οποία η f παρουσιάζει τοπικά ακρότατα, λέγονται θέσεις τοπικών ακροτάτων της f. Τομέγιστο και το ελάχιστο της f λέγονται ολικά ακρότατα ή απλά ακρότατα αυτής.Παρατηρήσεις- Αν μία συνάρτηση f έχει μέγιστο, τότε αυτό είναι το μεγαλύτερο από τα τοπικά μέγιστα.- Το μεγαλύτερο όμως από τα τοπικά μέγιστα μίας συνάρτησης δεν είναι πάντοτε μέγιστο αυτής.- Αν μία συνάρτηση f έχει ελάχιστο, τότε αυτό είναι το μικρότερο από τα τοπικά ελάχιστα της f.

Επίσης το μικρότερο από τα τοπικά ελάχιστα μίας συνάρτησης δεν είναι πάντοτε ελάχιστο τηςσυνάρτησης.

- Ένα τοπικό ελάχιστο μπορεί να είναι μεγαλύτερο από ένα τοπικό μέγιστο.- Τα ολικά ακρότατα μίας συνάρτησης f είναι και τοπικά ακρότατα. Το αντίστροφο όμως δεν ισχύει.

Προσδιορισμός των τοπικών ακροτάτωνΘεώρημα FermatΈστω συνάρτηση f, ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και 0x ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η fπαρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο 0x και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, τότε: 0f x 0 .

ΑπόδειξηΑς υποθέσουμε ότι η f παρουσιάζει στο 0x τοπικό μέγιστο. Επειδή το 0x είναι εσωτερικό σημείο του Δκαι η f παρουσιάζει σ’ αυτό τοπικό μέγιστο, υπάρχει 0 τέτοιο, ώστε 0 0(x , x ) και

0f x f x , για κάθε 0 0x A x , x . (1)

Επειδή, επιπλέον, η f είναι παραγωγίσιμη στο 0x , ισχύει

0 0

0 00 x x x x

0 0

f x f x f x f xf x lim lim

x x x x

.Επομένως,


155














0 0

0 00 x x x x

0 0


x x x x

.Επομένως,


155














0 0

0 00 x x x x

0 0


x x x x

.Επομένως,


156

— αν 0 0x x , x , τότε, λόγω της (1), θα είναι 0

0

f x f x0

x x

, οπότε θα έχουμε

0

00 x x

0

f x f xf x lim 0

x x

(2)


0

f x f x0

x x


0

00 x x

0

f x f xf x lim 0

x x

. (3)

Έτσι, από τις (2) και (3) έχουμε 0f x 0 .Η απόδειξη για τοπικό ελάχιστο είναι ανάλογη.

ΠαρατήρησηΤο αντίστροφο του θεωρήματος Fermat δεν ισχύει. Δηλαδή, αν υπάρχει

0x στο εσωτερικό ενός διαστήματος fA , στο οποίο ισχύει 0f x 0 ,τότε η f δεν είναι υποχρεωτικό να παρουσιάζει

ακρότατο στο 0x .Για παράδειγμα, θεωρούμε τη συνάρτηση 3f x x , x .Είναι 2f x 3x και f 0 0 όμως, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα,η f δεν παρουσιάζει ακρότατο στο 0x 0 .

ΣχόλιοΣύμφωνα με το προηγούμενο θεώρημα, τα εσωτερικά σημεία του Δ, στα οποία η f είναι διαφορετική απότο μηδέν, δεν είναι θέσεις τοπικών ακροτάτων. Επομένως, οι π ι θ α ν έ ςθ έ σ ε ι ς τ ων τ ο π ι κ ώ ν α κ ρ ο τ ά τ ω ν μιας συνάρτησης f σ’ ένα διάστημα Δ είναι:

1. Τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία η παράγωγος της f μηδενίζεται.2. Τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία η f δεν παραγωγίζεται.3. Τα άκρα του Δ (αν ανήκουν στο πεδίο ορισμού της).Τα ε σ ω τ ε ρ ι κ ά σημεία του Δ στα οποία η f δεν παραγωγίζεται ή η παράγωγός της είναι ίση με τομηδέν, λέγονται κρίσιμα σημεία της f στο διάστημα Δ.

ΠρότασηΔίνεται συνάρτηση f συνεχής στο , με f f . Να αποδείξετε ότι η f έχει τουλάχιστον ένακρίσιμο σημείο.

ΑπόδειξηΑν υπάρχουν σημεία του , στα οποία η f δεν είναι παραγωγίσιμη, τότε αυτά αποτελούν κρίσιμασημεία της f. Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο , , τότε λόγω του θεωρήματος Rolle η εξίσωση f x 0

έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο , , οπότε και πάλι η f έχει τουλάχιστον ένα κρίσιμο σημείο.

Θεώρημα (Κριτήριο πρώτης παραγώγου)Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ’ ένα διάστημα , , με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του 0x ,στο οποίο όμως η f είναι συνεχής.i. Αν f x 0 στο 0, x και f x 0 στο 0x , , τότε το 0f x είναι τοπικό μέγιστο της f.


156


0

f x f x0

x x


0

00 x x

0

f x f xf x lim 0

x x

(2)


0

f x f x0

x x


0

00 x x

0

f x f xf x lim 0

x x

. (3)












156


0

f x f x0

x x


0

00 x x

0

f x f xf x lim 0

x x

(2)


0

f x f x0

x x


0

00 x x

0

f x f xf x lim 0

x x

. (3)












157

ii. Αν f x 0 στο 0, x και f x 0 στο 0x , , τότε το 0f x είναι τοπικό ελάχιστο της f.iii. Aν η f διατηρεί πρόσημο στο 0 0, x x , , τότε το 0f x δεν είναι τοπικό ακρότατο και η f

είναι γνησίως μονότονη στο ( , ) .Απόδειξη

i. Επειδή f x 0 για κάθε 0x ,x και η f είναι συνεχής στο 0x , η f είναι γνησίως αύξουσα στο

0, x . Έτσι έχουμε 0f x f x , για κάθε 0x ,x . (1)Επειδή f x 0 για κάθε 0x x , και η f είναι συνεχής στο 0x , η f είναι γνησίως φθίνουσα στο

0x , . Έτσι έχουμε: 0f x f x , για κάθε 0x x , . (2)Επομένως, λόγω των (1) και (2), ισχύει: 0f x f x , για κάθε x , ,που σημαίνει ότι το 0f xείναι μέγιστο της f στο ( , ) και άρα τοπικό μέγιστο αυτής.

ii. Εργαζόμαστε αναλόγως.

iii. Έστω ότι f x 0 , για κάθε 0 0x ,x x , .Επειδή η f είναι συνεχής στο 0x θα είναι γνησίως αύξουσα σε κάθε ένα από τα διαστήματα 0, x και

0x , . Επομένως, για 1 0 2x x x ισχύει 1 0 2f x f x f x . Άρα το 0f x δεν είναι τοπικόακρότατο της f. Θα δείξουμε, τώρα, ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο , . Πράγματι, έστω

1 2x ,x , με 1 2x x .— Αν 1 2 0x ,x ,x , επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο 0, x , θα ισχύει 1 2f x f x .— Αν 1 2 0x ,x x , , επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο 0x , , θα ισχύει 1 2f x f x .— Τέλος, αν 1 0 2x x x , τότε όπως είδαμε 1 0 2f x f x f x .

Επομένως, σε όλες τις περιπτώσεις ισχύει 1 2f x f x , οπότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο , .Ομοίως, αν f x 0 για κάθε 0 0x ,x x , .

32η Κατηγορία: Εύρεση ακροτάτων - Εύρεση παραμέτρωνΤα ακρότατα μίας συνάρτησης f, ολικά ή τοπικά, τα αναζητούμε:1. Στις ρίζες της f x 0 .2. Στα σημεία που δεν ορίζεται η f .3. Στα ακραία σημεία του πεδίου ορισμού, 0x 0x που ανήκουν στο fD (3: στάσιμα σημεία).

Ακρότατα σε συνάρτηση πολλαπλού τύπου

Για να βρούμε τα ακρότατα της συνάρτησης

1 0

2 0

f x , x xf x

f x , x x

, αρχικά εξετάζουμε τη

συνέχεια στη θέση 0x .- Αν η f είναι συνεχής στο , τότε βρίσκουμε τα ακρότατα της f ανά κλάδο και αν αλλάζει η

μονοτονία της f στο 0x , τότε και αυτό είναι θέση τοπικού ακρότατου.- Αν η f δεν είναι συνεχής στο 0x , τότε ενδέχεται η συνάρτηση να παρουσιάζει ακρότατο στο ,

ακόμη και χωρίς να αλλάζει η μονοτονία της εκατέρωθεν του 0x . Αυτό το διαπιστώνουμε με ταπλευρικά όρια της f στο 0x και το 0f x .


158

Αν 0 0

0 x x x xf x lim f x lim f x

, τότε η f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο 0x .

Αν 0 0

0 x x x xf x lim f x lim f x

, τότε η f παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο 0x .

Εύρεση παραμέτρων μέσω ακροτάτουΣε ασκήσεις που έχουμε μία παραγωγίσιμη συνάρτηση που ο τύπος της περιέχει παραμέτρους τιςοποίες ζητάμε να προσδιορίσουμε ώστε η f να παρουσιάζει ακρότατο για 0 fx x D , με τιμή 0y ,τότε: Υποθέτουμε, με βάση το Θ.Fermat ότι 0f x 0 . Επειδή η τιμή του ακροτάτου είναι 0y , ισχύει ότι: 0 0f x y

Αφού βρούμε τις παραμέτρους, εξετάζουμε αν εκατέρωθεν του 0x η f αλλάζει πρόσημο. Μόνοτότε, γίνονται δεκτές οι τιμές των παραμέτρων.

293. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα, τις συναρτήσεις:α) 3 2f x x 9x 15x 7 β) 2g x 4x x

Λύσηα) Η f είναι παραγωγίσιμη στο με 2 2f x 3x 18x 15 3 x 6x 5 .

Είναι 2f x 0 3 x 6x 5 0 x 1 ή x 5 .

Είναι f x 0 για κάθε x 1 και x 5 , οπότε η f είναι γνησίωςαύξουσα στα διαστήματα ,1 και 5, .Είναι f x 0 για κάθε x 1,5 , άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο 1,5 .Παρουσιάζει τοπικό μέγιστο για x 1 το 3 2f 1 1 9 1 15 1 7 0 και τοπικό ελάχιστο για x 5 το 3 2f 5 5 9 5 15 5 7 32 .

β) Πρέπει 24x x 0 x 4 x 0 0 x 4 και gD 0,4 .

Η g είναι συνεχής στο 0,4 και παραγωγίσιμη στο 0,4 με 2

2 2

4x x 4 2xg x2 4x x 2 4x x

.Είναι

2

4 2xg x 0 02 4x x

4 2x 0 x 2 .

Για κάθε x 0,2 είναι g x 0 , άρα η g είναι γνησίως αύξουσαστο 0,2 . Για κάθε x 2,4 είναι g x 0 , άρα η g είναι γνησίωςφθίνουσα στο 2,4 . Έχει τοπικά ελάχιστα για x 0 το g 0 0 καιγια x 4 το g 4 0 , ενώ παρουσιάζει τοπικό μέγιστο, το οποίο είναι και ολικό μέγιστο για x 2 το

g 2 4 2 .

294. Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις;

α) f x 2x συν2x, x 0,π β) 2xf x 2ln x 1 2x ln x 1

4γ)

lnxf x

lnx x

x 1 5 f + +f 1 2 1

x 0 2 4g + -g 1 2


159

Λύση

295. Να βρείτε τα ακρότατα των παρακάτω συναρτήσεων:

α)

3

2

x 12x, x 0f xx x, x 0

β) 2g x x 4x .

Λύσηα) Είναι: 3

x 0 x 0lim f x lim x 12x 0 f 0

και 2

x 0 x 0lim f x lim x x 0

, άρα η f είναι συνεχής στο

0x 0 . Για x 0 είναι 2f x 3x 12 και x 0

2 2f x 0 3 x 4 0 x 4 x 2

Για x 0 είναι f x 2x 1 και 1f x 0 2x 1 0 x2

Η συνάρτηση f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο για x 2 το f 2 16 και τοπικό ελάχιστο για 1x2 το

1 1f2 4

.

x –2 0 12 2

3x2–12 + – – – +2x–1 – – – + +

f΄ + – – + +

f T.MT.E


160

β) Η συνάρτηση 2g x x 4x είναι συνεχής στο ως απόλυτη τιμή της συνεχούς συνάρτησης

2x 4x , και ο τύπος της χωρίς τις απόλυτες τιμές είναι 2

2

x 4x, x 0 ή x 4g x

x 4x, 0 x 4

.

Για x 0 ή x 4 : g x 2x 4 0 x 2

Για 0 x 4 : g x 2x 4 0 x 2 .

Η g έχει τοπικό ελάχιστο για x 0 το g 0 0 , τοπικό μέγιστο για x 2 το g 2 4 και τοπικόελάχιστο για x 4 το g 4 0 .

296. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις:

α)

2

3 2

x 4x 3, x 3f x2x 15x 24x 9, x 3

β) 2f x x 6x 8

Λύση

x 0 2 4 2x–4 – – + +-2x+4 + + – –

g΄ – + – +

g T.ET.M

T.E


161

297. Να μελετήσετε ως προς τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις:

α)

2x , x 1f x4 x, x 1

β)

3

2

x , x 0g x 3, x 0

x 1, x 0

Λύσηα) Είναι 2

x 1 x 1lim f x lim x 1

και

x 1 x 1lim f x lim 4 x 3 f 1

οπότε η f δεν είναι συνεχής

στο 0x 1 . Για x 1 , f x 2x 0 x 0 καιγια x 1 , f x 1 0 .Είναι

x 1 x 1f 1 3 lim f x lim f x

,

οπότε η f έχει τοπικό μέγιστο για x 1 το f 1 3 .Επίσης, παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο για x 0 το f 0 0 .

Παρατήρηση

Αν 2x , x 1f x

4 x, x 1

, τότε θα είχαμε τον ίδιο πίνακα μεταβολών,

αλλά η 1f δεν θα είχε τοπικό μέγιστο στο 0x 1 .β) Είναι 3

x 0 x 0lim g x lim x 0

, 2

x 0 x 0lim g x lim x 1 1

και g 0 3 , οπότε

η g δεν είναι συνεχής στο 0x 0 .Για x 0 , 2g x 3x 0 g ,0 1 και για x 0 , g x 2x 0 g 0, 1 .

Είναι x 0 x 0

g 3 lim g x lim g x

.οπότε η g έχει τοπικό μέγιστο

για x 0 το g 0 3 .


α)

x 2, x 0f x 5, x 0

x, x 0β)

2

x 1, x 2f xx 6x, x 2

Λύση

x 0 1 2x – + +–1 – – –f΄ – + –

f T.E


161


α)

2x , x 1f x4 x, x 1

β)

3

2

x , x 0g x 3, x 0

x 1, x 0



και





,



Αν 2x , x 1f x

4 x, x 1




, 2




Είναι x 0 x 0

g 3 lim g x lim g x


για x 0 το g 0 3 .


α)

x 2, x 0f x 5, x 0

x, x 0β)

2

x 1, x 2f xx 6x, x 2

Λύση

x 0 1 2x – + +–1 – – –f΄ – + –

f T.E


161


α)

2x , x 1f x4 x, x 1

β)

3

2

x , x 0g x 3, x 0

x 1, x 0



και





,



Αν 2x , x 1f x

4 x, x 1




, 2




Είναι x 0 x 0

g 3 lim g x lim g x


για x 0 το g 0 3 .


α)

x 2, x 0f x 5, x 0

x, x 0β)

2

x 1, x 2f xx 6x, x 2

Λύση

x 0 1 2x – + +–1 – – –f΄ – + –

f T.E


162

299. Αν η συνάρτηση 2f x x α β x 3 β α παρουσιάζει στο 0x 2 τοπικό ακρότατο το

8, να βρεθούν τα α,β .Λύση

Η f είναι παραγωγίσιμη στο με f x 2x . Επειδή η f παρουσιάζει ακρότατο στο 0x 2 ,ισχύει: f 2 0 4 0 4 (1).Επίσης, επειδή η τιμή του ακροτάτου είναι 8, ισχύει: f 2 8 4 2 3 8 5 4 (2).

Από (1), (2), έχουμε:4 4

5 4 0

.

Για 4 και 0 είναι: 2f x x 4x 12 και f x 2x 4 0 x 2 .Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο , 2 και γνησίως αύξουσα στο 2, καιέχει ελάχιστο το f 2 8 .Άρα, οι τιμές 4 και 0 είναι δεκτές.


2αx βx 2f xx 3

, α,β . Να βρείτε τα α,β, ώστε η f να

παρουσιάζει ακρότατο στο σημείο A 1, 2 .

Λύση

x 2 f΄ – +

f


163

301. Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση g : , για την οποία ισχύει ότι:

3 2 x 13g x 1 αg 2x 3e 32

για κάθε x , α 0 . Αν η συνάρτηση x 2f x g x e

παρουσιάζει ακρότατο για x 2 , να υπολογίστε το α και το f 2 .

Λύση

Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο , με x 2f x g x e (1) και επειδή παρουσιάζει ακρότατοστο x 2 εσωτερικό του , τότε σύμφωνα με το Θ. Fermat είναι: 0f 2 0 g 2 e 0 g 2 1 (2).

Παραγωγίζουμε τη σχέση 3 2 x 13g x 1 g 2x 3e 32

έχουμε:

2 x 133g x 1 g x 1 x 1 2g 2x g 2x 2x 3e 02

2 x 13g x 1 g x 1 6 g 2x g 2x 3e 0 .

Θέτουμε x 1 , οπότε 2

23g 2 g 2 6 g 2 g 2 3 0 23g 2 6 g 2 3 0

2g 2 2 g 2 1 0 (3).Η τελευταία σχέση είναι τριώνυμο ως προς g 2 και επειδή το g 2 πρέπει να παίρνει μοναδική τιμή,τότε 2 20 4 4 0 1 1 ή 1 (απορρίπτεται).Άρα, για 1 η (3) γίνεται 22g 2 2g 2 1 0 g 2 1 0 g 2 1 .

Άρα, 0f 2 g 2 e 1 1 0 .

302. Δίνεται συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο 0, για την οποία ισχύει:

3 2f x x xf x για κάθε x 0 . Αν η f παρουσιάζει ακρότατο στο x0, τότε να βρείτε το x0.

Λύση


164

303. Για ποια τιμή της παραμέτρου λ 0 το μέγιστο της συνάρτησης λx

x 1f xe

γίνεται

ελάχιστο;Λύση

Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο , με

x x

2x

x 1 e e x 1f x

e

x x

2x

e e x 1

e

x

2x

e 1 x

e

x

1 xe .

Είναι x1 xf x 0 0

e 1 x 0 1x

.

Για κάθε 1x

είναι f x 0 άρα 1f , 1 . Για κάθε 1x

είναι

f x 0 άρα 1f , 2 . Η f έχει μέγιστο το

1

1 1

1 111 efee

.

Έστω 1eg

με 0 η συνάρτηση των μεγίστων της f.

Τότε 11 1

2 2

e 1e eg

και g 0 1 .

Για κάθε 1 είναι g 0 άρα η g είναι γνησίως φθίνουσα στο 0,1 και για κάθε 1 είναι g 0 , άρα η g είναι γνησίως αύξουσα στο 1, . Η g έχει ελάχιστο για 1 .

304. Δίνεται η συνάρτηση 2λ λ xf x x e , λ 0 , x 0 . Να βρείτε το λ, ώστε το μέγιστο της f

να είναι όσο το δυνατόν μεγαλύτερο.Λύση

x

1

f΄ + –

f 1 2


165

305. Δίνεται συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο , για την οποία ισχύει 3 x 22f x f x e x 2x 3 7 για κάθε x . Να αποδείξετε ότι η f δεν έχει

ακρότατα.Λύση

Έστω ότι η συνάρτηση παρουσιάζει ακρότατο για 0x x τότε λόγω του θεωρήματος Fermat ισχύει: 0f x 0 . Παραγωγίζουμε τη σχέση που μας δίνεται και έχουμε:

2 x 2 x6f x f x f x e x 2x 3 e 2x 2 .Θέτουμε στη σχέση 0x x και είναι

0 0x x2 20 0 0 0 0 06f x f x f x e x 2x 3 e 2x 2 0x 2

0 0 00 e x 2x 3 2x 2

0x 2 20 0 0 0e x 4x 5 0 x 4x 5 0 που είναι άτοπο, γιατί 16 20 4 0 .

Άρα, η συνάρτηση f δεν έχει ακρότατα.

306. Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f : για την οποία ισχύει ότι 2 2f x x 1 2xf x για κάθε x . Να αποδείξετε ότι η f δεν έχει ακρότατα.

Λύση

307. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση 2 xf x x αx β e , α,β,x με 2α 4 4β δεν έχει

ακρότατα.Λύση


166

308. Έστω η συνάρτηση 2xf x 2x 2λ e , x ,λ 0 . Να βρείτε την μεγαλύτερη ακέραια

τιμή του λ για την οποία η f είναι γνησίως αύξουσα στο .Λύση

309. Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f : για την οποία ισχύει ότι:

3 2f x x 1 f x 0 . Να βρείτε τα ακρότατα της f.

Λύση


167

310. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση 2 2 2

f x x α x β x γ , α β γ έχει τρία τοπικά

ελάχιστα και δύο τοπικά μέγιστα.Λύση

33η Κατηγορία: Κρίσιμα σημείαΑν μια παραγωγίσιμη συνάρτηση f έχει κρίσιμο σημείο το 0x τότε από το θεώρημα Fermatισχύει ότι: 0f x 0 , δηλαδή το 0x είναι ρίζα της f .

311. Δίνεται συνάρτηση g, δύο φορές παραγωγίσιμη στο , για την οποία ισχύει: g x g x 2g x για κάθε x .Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση

x 2f x e g x 5x 1 έχει το πολύ ένα κρίσιμο σημείο.

Λύση


168

Η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο με x x xf x e g x e g x 10x e g x g x 10x και

x xf x e g x g x e g x g x 10 xe g x 2g x g x 10 .Επειδή ισχύει g x g x 2g x g x g x 2g x 0 , x είναι f x 0 για κάθε x ,οπότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο .Επομένως, η εξίσωση f x 0 έχει το πολύ μία ρίζα στο , οπότε η f έχει το πολύ ένα κρίσιμο σημείο.

312. Δίνεται η συνάρτηση 2h x 2f x e , όπου η h είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο , με

22 2 2 22x h x h x h x για κάθε x . Να αποδείξετε ότι η f έχει το πολύ ένα

κρίσιμο σημείο.Λύση

313. Δίνεται η συνάρτηση 4 3 2f x αx 4βx γx δx ε , αβ 0 . Αν η f έχει τρία κρίσιμα

σημεία, να αποδείξετε ότι 2αγ 6β .Λύση

Η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο με 3 2f x 4 x 12 x 2 x και 2f x 12 x 24 x 2 .Επειδή η f έχει τρία κρίσιμα σημεία και είναι παραγωγίσιμη στο , τα σημεία

αυτά είναι ρίζες της εξίσωσης f x 0 .Έστω 1 2 3x ,x ,x με 1 2 3x x x τέτοια, ώστε 1 2 3f x f x f x 0 .Λόγω του Θ. Rolle, για την f υπάρχουν 1 1 2x , x και 2 2 3x , x τέτοια,

ώστε 1 2f 0 f .Δηλαδή, η f έχει τουλάχιστον δύο ρίζες. Επειδή όμως η f είναι 2ου βαθμού,

έχει ακριβώς δύο ρίζες, οπότε: 20 24 4 12 2 0 2 2 2576 96 0 96 576 6 .


169

314. Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f : α, γ , για την οποία ισχύει: f α α , f β β

και

2α βf γ3

, β α, γ . Να αποδείξετε ότι η f έχει τουλάχιστον ένα κρίσιμο σημείο με

τετμημένη 0x α, γ .

Λύση

315. Δίνεται η συνάρτηση 2f x ln x x 1 lnx 1, x 0 . Να αποδείξετε ότι η γραφική

παράσταση της f έχει ακριβώς ένα κρίσιμο σημείο στο διάστημα 1,2 .

Λύση


170

34η Κατηγορία: Ακρότατο και ανισώσειςΑνισώσεις της μορφής f x 0 ή f x 0

Μελετάμε την f ως προς τα ακρότατα. Αν έχει ελάχιστο στο 0x , τότε 0f x f x , ενώ αν έχειμέγιστο στο 0x , τότε 0f x f x .

Δεδομένες ανισώσεις της μορφής f x 0 ή f x 0(Από ανισοτική σχέση σε σχέση ισότητας)Αρχικά βρίσκουμε προφανή ρίζα της f. Έστω ότι 0f x 0 , τότε η ανίσωση γίνεται: 0f x f x

ή 0f x f x . Σε κάθε περίπτωση η f παρουσιάζει ακρότατο στο 0x .Αν το 0x είναι εσωτερικό του πεδίου ορισμού της f και η f είναι παραγωγίσιμη, τότε σύμφωνα μετο θεώρημα Fermat, ισχύει 0f x 0 και από αυτή τη σχέση θα προκύπτει το ζητούμενο.

Ανισώσεις της μορφής h x f x g x Συνήθως οι ανισότητες αυτής της μορφής αποδεικνύονται με δύο τρόπους.1ος τρόπος: Αποδεικνύω ότι h x f x και f x g x που είναι της προηγούμενης μορφής.2ος τρόπος: Εφαρμόζω το θεώρημα μέσης τιμής για την f σε διάστημα που έχει ως άκρο του το x

(συνήθως 0, x ).

Ανισώσεις της μορφής m f x M 1ος τρόπος: Βρίσκουμε το σύνολο τιμών της f. Αν είναι το διάστημα m,M , τότε m f x M

για κάθε x που ανήκει στο πεδίο ορισμού της f.2ος τρόπος: Αποδεικνύω ότι m f x και f x M που είναι της προηγούμενης μορφής.

316. Να αποδείξετε τις ανισότητες:α) xe x 1 για κάθε x β) x x 1x e , x 0 .

Λύσηα) Θεωρούμε τη συνάρτηση xf x e x 1 , x . Η f είναι παραγωγίσιμη στο με xf x e 1 και

xf x 0 e 1 0 x 0e e x 0 . Για κάθε x 0 είναι f x 0 άρα η fείναι γνησίως φθίνουσα στο ,0 .Για κάθε x 0 είναι f x 0 άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο 0, .Η f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο 0, άρα για κάθε x είναι: x 0f x f 0 e x 1 e 1 x xe x 1 0 e x 1

β) x x 1 x x 1x e ln x ln e x ln x x 1 x ln x x 1 0 .Έστω f x x ln x x 1, x 0 . Είναι f x ln x 0 x 1 . Για κάθε 0 x 1 είναι

x 0 f +f 2 1


171

f x 0 f γνησίως φθίνουσα στο 0,1 και για κάθε x 1 είναι f x 0 f γνησίως αύξουσα στο

1, . Η f έχει ελάχιστο το f 1 0 , άρα f x 0 xln x x 1 0 .


α) x2e ln 2x 1 2 , 1x2

β) 2ημx εφx 3x ,

πx 0,2

γ) 2 xxx 2 x 1 , x 0,2

Λύση

318. Δίνεται η συνάρτηση ln xf x , x 0x

.

α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.β) Να αποδείξετε ότι β αα β για κάθε e α β .γ) Να αποδείξετε ότι e xx e για κάθε x 0 .δ) Αν υπάρχει α 0 για τον οποίο ισχύει ότι e xx α , να αποδείξετε ότι α e .

Λύση

α) Η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο 0, με 21 ln xf x

x .


172

f x 0 ln x 1 x e .Είναι f x 0 για κάθε x 0,e , άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο 0,e Για κάθε x e, είναι f x 0 , άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο e, . Έχει ολικό

μέγιστο το 1f ee .

β) f ln lne f f ln ln

2

ln ln

γ) Για κάθε x 0 είναι e e xln x 1f x f e eln x x ln x x x ex e

.

δ) e x e x ln x ln lnx ln x ln eln x x ln f xx e e

.

Είναι 1f xe , για κάθε x 0 , άρα πρέπει 1 ln ln 1 e

e e

.


ln xf xx

, x 0 .

α) Να βρείτε τα ακρότατα της f.β) Να αποδείξετε ότι για κάθε x 0 ισχύει

2x 2ee x .γ) Αν υπάρχει α 0 για τον οποίο για κάθε x 0 ισχύει

2x 2eα x , να αποδείξετε ότι α e .Λύση

320. Αν για κάθε x 0 ισχύει ότι 2lnx γx x γ 1 , να αποδείξετε ότι γ 1 .Λύση

Είναι 2ln x x x 1 2ln x x x 1 0 .Θεωρούμε τη συνάρτηση 2f x ln x x x 1 με x 0 .Παρατηρούμε ότι f 1 ln1 1 1 0 , άρα f x f 1 .


173

Επειδή f x f 1 , η f έχει ελάχιστο στο x 1 που είναι εσωτερικό του πεδίου ορισμού της. Επειδή η f

είναι παραγωγίσιμη στο 0, , με 1f x 2 x 1x

, σύμφωνα με το Θ. Fermat ισχύει:

1f 1 0 2 1 01

2 2 0 1 .

321. Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f : , για την οποία ισχύει xf x 2x 2ln x 1

για κάθε x 1 . Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f διέρχεται από την αρχή τωναξόνων.

Λύση

322. Δίνεται συνάρτηση f, δύο φορές παραγωγίσιμη στο , για την οποία ισχύει: 2f x f α f β , για κάθε α,β με α β . Να αποδείξετε ότι:

α) f α f β .

β) Η εξίσωση f x 0 έχει τουλάχιστον δύο πραγματικές ρίζες.

Λύσηα) Για x είναι 2f f f f f (1).

Για x είναι 2f f f f f (2). Από τις (1), (2) προκύπτει ότι f f .

β) Επειδή f f , έχουμε:

2f x 2f f x f2f x 2f f x f

.

Δηλαδή, η συνάρτηση f παρουσιάζει μέγιστο στα x και x που είναι εσωτερικά σημεία τουπεδίου ορισμού της.Επειδή η f είναι παραγωγίσιμη στο , λόγω του Θ. Fermat ισχύει: f 0 f .Επειδή f f , λόγω του Θ. Rolle για την f, υπάρχει 0x , τέτοιο, ώστε 0f x 0 . Δηλαδή 0f f x f 0 .Λόγω του Θ. Rolle για την f στα διαστήματα 0, x και 0x , , υπάρχει

τουλάχιστον ένα 1 0, x και τουλάχιστον ένα 2 0x , τέτοια, ώστε: 1f 0 και 2f 0 .Δηλαδή, η εξίσωση f x 0 έχει τουλάχιστον δύο ρίζες


174

323. Δίνεται η τρεις φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f : , για την οποία ισχύει: 2f x f 3 f 4 , x . Να αποδείξετε ότι:

α) f 3 f 4 .

β) Υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ 3,4 τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της γραφικής

παράστασης της f στο σημείο M ξ,f ξ να είναι παράλληλη στον άξονα x x .

Λύση

324. Να αποδείξετε ότι x xx 1 e xe 1 , για κάθε x .Λύση

1ος τρόπος: Θα δείξουμε ότι xe x 1 και x xe xe 1 .Θεωρούμε τη συνάρτηση xf x e x 1 , x .Η f είναι παραγωγίσιμη στο με xf x e 1 και f x 0 x 0 .Για κάθε x 0 είναι f x 0 άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο ,0 . Για κάθε x 0 είναι f x 0

άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο 0, . Άρα, για κάθε x είναι f x f 0 xe x 1 0 xe x 1 .

Έστω η συνάρτηση x xg x e xe 1 .Είναι x x x xg x e e xe xe και xg x 0 xe 0 x 0 .Για κάθε x 0 είναι g x 0 άρα η g είναι γνησίωςαύξουσα στο ,0 . Για κάθε x 0 είναι g x 0 άρα η g είναι γνησίως φθίνουσα στο 0, .Οπότε, για κάθε x είναι g x g 0 x xe xe 1 0 x xe xe 1 .

x 0 g + g 1 2

x 0 f +f 2 1


175

2ος τρόπος: Έστω x 0 , θεωρούμε τη συνάρτηση th t e με t 0, x , η οποία είναι συνεχής καιπαραγωγίσιμη στο 0, x , με th t e . Άρα, σύμφωνα με το Θ.Μ.Τ., υπάρχει 0, x τέτοιο, ώστε

xh x h 0 e 1h ex x

(1). Είναι(1)

0 x0 x e e e x x 0

xe 11 ex

x xx e 1 xe x xx 1 e xe 1 .Όμοια, με χρήση του Θ.Μ.Τ. στο x,0 δείχνουμε ότι ισχύει η προηγούμενη για x 0 . Για x 0 είναι

0 00 1 e 0 e 1 και ισχύει η ισότητα. Άρα, για κάθε x είναι x xx 1 e xe 1 .

325. α) Να αποδείξετε ότι 2x πημx για κάθε πx 0,2

.

β) Να αποδείξετε ότι 2πσυνx x π για κάθε πx 0,2

.

Λύση

326. Δίνεται συνάρτηση f, παραγωγίσιμη στο , που ικανοποιεί τη σχέση: f xf x e x 1

για κάθε x και f 0 0 .

α) Να εκφράσετε την f ως συνάρτηση της f.

β) Να αποδείξετε ότι x f x xf x2

για κάθε x 0, .

Λύση


176

327. Να αποδείξετε ότι για κάθε x 1,1 ισχύει: 2 x 5e x 3x 1 ee

.

ΛύσηΈστω 2 xf x x 3x 1 e , x . Η f είναι παραγωγίσιμη στο με

x 2 x 2 xf x 2x 3 e x 3x 1 e x x 2 e .

2f x 0 x x 2 0 x 2 ή x 1 .Το πρόσημο της f και η μονοτονία της f, δίνονται στον διπλανόπίνακα. Για κάθε x 1,2 είναι f x 0

άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο 1,1 .Οπότε, για κάθε 1 x 1 είναι

f 1 f x f 1 f 1 f x f 1 . Όμως f 1 e και 1 5f 1 5ee

, άρα

2 x5 5e f x e x 3x 1 ee e

.

328. Να αποδείξετε ότι: 2 x1 x x 1 e 1e

για κάθε x 0,1 .

Λύση

x - 1 2 f + +f 1 2 1


177

329. Δίνεται η συνάρτηση x

ν

ef xx , x 0 , ν .

α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.

β) Να αποδείξετε ότιν

x xeeν


γ) Αν θ 0 καιν

x θxθν

για κάθε x 0 , να υπολογίσετε το θ.

Λύση


178

330. Δίνονται οι συναρτήσεις xf x e , g x x και h x lnx , x 0 . Μια κατακόρυφη

ευθεία x α , α 0 τέμνει τις γραφικές παραστάσεις των f, h στα σημεία Α,Β αντίστοιχα.α) Να αποδείξετε ότι f x g x h x για κάθε x 0 .

β) Να βρείτε την απόσταση AB d α .

γ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει 0α 0,1 στο οποίο η απόσταση d γίνεται ελάχιστη.

Λύση

331. Δίνεται η συνάρτηση f x lnx αx 2 , x 0 , α 0 .

α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.β) Έστω Α το σημείο της γραφικής παράστασης της f στο οποίο παρουσιάζει μέγιστο. Να

βρείτε τη γραμμή στην οποία κινείται το Α.γ) Να βρείτε τη μικρότερη τιμή του α για την οποία ισχύει: ln x αx 2 .

Λύση


179

Θεωρητικές ασκήσεις

332. Αν για την παραγωγίσιμη συνάρτηση f : ισχύει ότι f 1 f 4 f 3 , να

αποδείξετε ότι υπάρχει 0x τέτοιο, ώστε 0f x 0 .

Λύση1ος τρόπος: Επειδή f 1 f 4 f 3 το f 4 δεν είναι ελάχιστη τιμή της f. Οπότε η f θα παρουσιάζειελάχιστο σε εσωτερικό σημείο 0x του διαστήματος 1,4 .Επειδή η f είναι παραγωγίσιμη, σύμφωνα με το Θ. Fermat, ισχύει ότι 0f x 0 .2ος τρόπος: Επειδή f 1 f 4 f 3 και η f είναι συνεχής στο 1,3 , σύμφωνα με το Θ.Ε.Τ., υπάρχει 1,3 τέτοιο, ώστε f f 4 . Τότε όμως η f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο

διάστημα , 4 , οπότε υπάρχει 0x ,4 τέτοιο, ώστε 0f x 0 .

333. Δίνεται συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο 0,2 με f 0 f 2 f 1 . Να αποδείξετε ότι

υπάρχει 0x 0,2 τέτοιο, ώστε 0f x 0 .

Λύση

334. α) Δίνεται συνάρτηση f, παραγωγίσιμη στο διάστημα 1,4 με f 3 f 4 f 1 f 2 ,να

αποδείξετε ότι η f έχει τουλάχιστον δύο κρίσιμα σημεία.


180

β) Αν η f είναι συνεχής στο 1,4 και f 1 f 3 f 2 f 4 , να αποδείξετε ότι η f

έχει τουλάχιστον δύο κρίσιμα σημεία.Λύση

α) Επειδή η f είναι συνεχής στο 1,4 και δεν παρουσιάζει ακρότατα στα άκρα 1 και 4 ( Τα f 1 , f 4 είναιενδιάμεσες τιμές) θα παρουσιάζει ακρότατα σε εσωτερικά σημεία 1 2x ,x του διαστήματος 1,4 . Τότεσύμφωνα με το θεώρημα Fermat, ισχύει ότι 1f x 0 και 2f x 0 , άρα η f έχει τουλάχιστον δύορίζες, οπότε η f έχει τουλάχιστον δύο κρίσιμα σημεία.

β) Επειδή f 1 f 3 f 2 f 4 , δεν γνωρίζουμε αν η f παρουσιάζει ακρότατα στο εσωτερικό του

1,4 ή στα άκρα του και για το λόγο αυτό δεν θα χρησιμοποιήσουμε το θεώρημα Fermat.Για την f εφαρμόζεται το θεώρημα μέσης τιμής σε καθένα από τα διαστήματα 1,2 , 2,3 , 3,4 , οπότε

υπάρχουν 1 1,2 , 2 2,3 και 3 3,4 τέτοια, ώστε: 1

f 2 f 1f f 2 f 1

2 1

,

2

f 3 f 2f f 3 f 2

3 2

και 3

f 4 f 3f f 4 f 3

4 3

.

Επειδή f 1 f 3 f 2 f 4 , είναι 1f 0 , 2f 0 και 3f 0 .Επειδή 1 2f f 0 , 2 3f f 0 και η f είναι συνεχής στο 1,4 , σύμφωνα με το θεώρημαBolzano, η εξίσωση f x 0 έχει τουλάχιστον μία ρίζα σε καθένα από τα διαστήματα 1 2, και

2 3, . Άρα η f έχει τουλάχιστον δύο κρίσιμα σημεία.

335. α) Δίνεται συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο διάστημα 0,8 με f 2 f 0 f 8 f 6 , να

αποδείξετε ότι η f έχει τουλάχιστον δύο κρίσιμα σημεία.β) Αν η f είναι συνεχής στο 0,8 και f 8 f 2 f 6 f 0 ,να αποδείξετε ότι η f

έχει τουλάχιστον δύο κρίσιμα σημεία.Λύση


181

336. Έστω μία συνάρτηση f, δύο φορές παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα α,β και 0x α,β για

το οποίο ισχύει 0f x 0 . Αν f x 0 , για κάθε 0 0x α,x x ,β , να αποδείξετε ότι η f

έχει ελάχιστο στο α,β το 0f x .

ΛύσηΕπειδή f x 0 , τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο , .Αν 0x , x , δηλαδή 0x x ,είναι 0f x f x 0 f x 0 , οπότε η f είναι γνησίως φθίνουσα στο 0, x .Αν 0x x , , δηλαδή 0x x , είναι: 0f x f x 0 f x 0 , οπότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο

0x , . Άρα, η f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο 0x .

337. Δίνεται δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f : με f x 0 για κάθε x . Αν η

συνάρτηση f δεν είναι "1 1" , να αποδείξετε ότι η f έχει μέγιστο.Λύση

338. Δίνεται η τρεις φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση g : , για την οποία ισχύει: g x 0

για κάθε x και υπάρχουν α,β με α β τέτοια, ώστε g α g β 0 .Να αποδείξετε

ότι:α) g α g β 0 .

β) Υπάρχει γ α,β τέτοιο, ώστε g γ 0 .

x α x0 βf΄ – +

fO.Ε.


182

γ) Υπάρχουν 1 2ξ ,ξ α,β με 1 2ξ ξ τέτοια, ώστε 1 2g ξ g ξ 0 .

δ) Υπάρχει ξ α,β τέτοιο, ώστε (3)g ξ 0 .

Λύσηα) Είναι g x 0 και επειδή g g 0 είναι g x g και g x g . Δηλαδή η g

παρουσιάζει ολικό μέγιστο το 0 στα α,β εσωτερικά του , στα οποία είναι και παραγωγίσιμη. Άρα,σύμφωνα με το Θ. Fermat, ισχύει ότι: g g 0 .

β) Η g είναι παραγωγίσιμη στο , και g g , άρα σύμφωνα με το Θ. Rolle, υπάρχει ,

τέτοιο, ώστε g 0 .

γ) Για τη συνάρτηση g ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θ. Rolle στα διαστήματα , και , , γιατί g g g 0 , οπότε θα υπάρχουν 1 , και 2 , τέτοια, ώστε 1g 0 και 2g 0 .

δ) Η g είναι παραγωγίσιμη στο 1 2, και 1 2g g , άρα σύμφωνα με το Θ.Rolle, θα υπάρχει 1 2, , τέτοιο, ώστε (3)g 0 .

339. Δίνεται συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο α,α , α 0 με συνεχή παράγωγο και

σύνολο τιμών το 2α,2α .Αν αf α2

και αf α3 , να αποδείξετε ότι:

α) 1 2ξ ,ξ α,α τέτοια, ώστε 1 2f ξ f ξ 0 .

β) υπάρχει ξ α,α τέτοιο, ώστε f ξ 0 .

Λύση


183

340. Δίνεται παραγωγίσιμη και περιττή συνάρτηση f : . Αν η f παρουσιάζει μέγιστο στοσημείο M 2,6 , να αποδείξετε ότι:

α) f x 6 για κάθε x .

β) Η εφαπτομένη της fC στο σημείο με τετμημένη 0x 2 είναι παράλληλη στον άξονα x x .

Λύσηα) Επειδή η f είναι περιττή στο , ισχύει ότι f x f x για κάθε x . Για x 2 είναι f 2 f 2 6 . Επειδή η f παρουσιάζει μέγιστο στο σημείο M 2,6 , ισχύει ότι f x f 2 6 για

κάθε x . Αν αντικαταστήσουμε όπου x το –x, προκύπτει: f x 6 f x 6 f x 6

β) Επειδή η f παρουσιάζει ακρότατο στο 0x 2 στο οποίο είναι παραγωγίσιμη και το –2 είναι εσωτερικότου , τότε σύμφωνα με το Θ. Fermat, ισχύει ότι f 2 0 .Άρα, η εφαπτομένη της fC στο σημείο μετετμημένη 0x 2 είναι παράλληλη στον άξονα x x .

341. Δίνεται δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f : 1,4 , με f συνεχή στο 1,4 για την

οποία ισχύει ότι: f 1 f 2 , f x 0 και f x 2 f 4 x για κάθε x 1,4 .

α) Να λύσετε την εξίσωση f x 0 .

β) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.Λύση

342. Δίνονται οι συναρτήσεις f,g : α,β , όπου η f είναι παραγωγίσιμη στο α,β και η g

είναι συνεχής στο διάστημα αυτό. Αν f x g x f x για κάθε x α,β και

g α g β 0 , να αποδείξετε ότι η f είναι η μηδενική συνάρτηση.

ΛύσηΘα αποδείξουμε ότι f x 0 για κάθε x , .


184

Παρατηρούμε ότι f g 0f 0 και f g

0f 0 .

Δηλαδή δύο τιμές της f είναι ίσες με το μηδέν. Παρατηρούμε ακόμη ότι για την f μπορούμε ναεφαρμόσουμε και το θεώρημα Rolle στο , , οπότε υπάρχει , τέτοιο, ώστε f 0 . Τότε

f g f 0

0 . Άρα έχουμε και μια τρίτη τιμή της f ίση με το μηδέν. Για να αποδείξουμε ότι όλεςοι τιμές της f είναι ίσες με μηδέν, θα αποδείξουμε ότι το ελάχιστο m και το μέγιστο M της είναι ίσα μεμηδέν.Επειδή η f είναι συνεχής στο , θα παρουσιάζει μια ελάχιστη και μια μέγιστη τιμή στο διάστημα αυτό.Αν παρουσιάζει ελάχιστο στο 1x και μέγιστο στο 2x που είναι εσωτερικά σημεία του , , τότε από το

θεώρημα Fermat, ισχύει ότι 1f x 0 και 2f x 0 . Τότε όμως 1 1 1m f x g x f x 0

0 και

2 2 2M f x g x f x 0

0 , δηλαδή m M 0 . Αν η f παρουσιάζει ακρότατα στα άκρα του , ,

τότε αν υποθέσουμε ότι έχει ελάχιστο στο α και μέγιστο στο β, τότε: m f 0 , f 0 , δηλαδήκαι πάλι m M 0 . Άρα η f είναι η μηδενική συνάρτηση.

343. Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f : 1,1 , με 2f x x 1 f x για κάθε

x 1,1 . Να αποδείξετε ότι η f είναι η μηδενική συνάρτηση.

Λύση

344. Δίνεται συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο 0,2 , με f 0 f 2 1 και f 1 4 . Αν το

0x 1 είναι η μοναδική ρίζα της εξίσωσης f x 0 ,να αποδείξετε ότι:

α) η f δεν έχει ακρότατα στο διάστημα 0,1 .

β) Αν η f είναι συνεχής, να βρείτε το σύνολο τιμών της f.


185

Λύση

35η Κατηγορία: Προβλήματα ακροτάτωνΜέγιστο Κέρδος – Ελάχιστο ΚόστοςΑν θέλουμε να βρούμε την ποσότητα χ ενός προϊόντος, που παράγεται ή πωλείται, για την οποία ηεπιχείρηση που το παράγει έχει μέγιστο κέρδος ή ελάχιστο κόστος, τότε:Εκφράζουμε τις συναρτήσεις Κέρδους – Εσόδων – Κόστους, συναρτήσει των x μονάδων προϊόντοςή της μίας μονάδας του παραγόμενου προϊόντος, ανάλογα με την εκφώνηση του προβλήματος.Είναι:

ΚΕΡΔΟΣ = ΕΣΟΔΑ – ΚΟΣΤΟΣΣτη συνέχεια βάζουμε περιορισμούς στη συνάρτηση που θέλουμε να βρούμε το ακρότατο. Τέλος

μελετάμε τη συνάρτηση που μας ενδιαφέρει, ως προς τα ακρότατο.

Προβλήματα ακροτάτων σε καμπύλες Βρίσκουμε τη συνάρτηση του μεγέθους στο οποίο αναφέρεται το ακρότατο. Αν η συνάρτηση

περιέχει δύο μεταβλητές, βρίσκουμε μία σχέση που τις συνδέει και υπολογίζουμε τη μία,συναρτήσει της άλλης.

Βρίσκουμε τους περιορισμούς που διέπουν τη μεταβλητή της συνάρτησης που θέλουμε ναβρούμε το ακρότατο της.Οι προηγούμενοι περιορισμοί καθορίζουν το πεδίο ορισμού της συνάρτησης.

Μελετάμε τη συνάρτηση ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.


186

Γεωμετρικά προβλήματαΓια να βρούμε ένα ακρότατο ενός μεγέθους που περιγράφεται μέσα από γεωμετρικό πρόβλημα,ακολουθούμε την εξής διαδικασία: Κατασκευάζουμε σχήμα. Βρίσκουμε τη συνάρτηση f που εκφράζει το μέγεθος, του οποίου ζητάμε το ακρότατο. Αν η

συνάρτηση περιέχει δύο αγνώστους, τότε μέσω του σχήματος βρίσκουμε μία σχέση που τιςσυνδέει και αντικαθιστούμε τη μία, συναρτήσει της άλλης.

Από το σχήμα βρίσκουμε τους περιορισμούς στους οποίους υπόκειται η μεταβλητή. Οιπεριορισμοί αυτοί, καθορίζουν το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. Κάνουμε μελέτη μονοτονίαςκαι ακροτάτων της συνάρτησης f από όπου προκύπτει το ζητούμενο.

345. Μία βιομηχανία παράγει x ποσότητα από ένα προϊόν, με κόστος που δίνεται από τη

συνάρτηση 3αxK x

4 , x 0 και 2 9α ,

9 2

. Τα έσοδα από την πώληση x ποσότητας του

προϊόντος, δίνονται από τη συνάρτηση 2E x x , x 0 .

α) Να βρείτε την ποσότητα 0x , για την οποία έχουμε το μέγιστο κέρδος που συμβολίζεται με

M α .

β) Να βρείτε την τιμή του α, για την οποία το M α γίνεται μέγιστο, καθώς και το μέγιστο

κέρδος.Λύση

α) Έστω f x η συνάρτηση του κέρδους της βιομηχανίας από την πώληση της x ποσότητας του

προϊόντος. Τότε: 3

2 xf x E x K x x4

, x 0 . Η f είναι παραγωγίσιμη στο 0, με

2 2 x 8 3 x3 x 8x 3 xf x 2x4 4 4

.Είναι x 8 3 x 8f x 0 0 x4 3

.

Το πρόσημο της f και η μονοτονία της f δίνονται στο διπλανό

πίνακα. Η συνάρτηση κέρδους παρουσιάζει μέγιστο για 8x3

το

2 3

28 8 8 64M f

3 3 4 3 27

.

β) Η συνάρτηση 264M

27

είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα 2 9,

9 2

,

με 3128M27

. Είναι M 0 για κάθε 2 9,9 2

, οπότε η συνάρτηση Μ είναι γνησίως

φθίνουσα στο διάστημα 2 9,9 2

.Παρουσιάζει μέγιστο για 29

το: 22 64M 489 227

9

.

346. Μία βιομηχανία παράγει χ μονάδες ενός προϊόντος το μήνα, με κόστος που δίνεται από τοντύπο: K x 1000x 100 ευρώ. Η τιμή πώλησης κάθε μονάδας του παραγόμενου προϊόντος

είναι 5000 2x ευρώ.

x 0 8/3α f΄ + –

f Ο.M


187

α) Να βρείτε την ποσότητα του προϊόντος που πρέπει να παράγει η βιομηχανία, ώστε να έχειμέγιστο κέρδος.

β) Να βρείτε το μέγιστο κέρδος.γ) Αν για κάθε μονάδα προϊόντος επιβάλλεται φόρος 400 ευρώ, να βρείτε την τιμή πώλησης

του προϊόντος για την οποία το κέρδος γίνεται μέγιστο.Λύση

347. Έστω ότι η εφαπτομένη ε της γραφικής παράστασης της συνάρτησης xf xx 1

,

x 1 σε τυχαίο της σημείο, τέμνει τους άξονες x x και y y στα σημεία Α και Β αντίστοιχα.Να βρείτε το σημείο της fC , για το οποίο το άθροισμα των αποστάσεων της αρχής Ο τωναξόνων από τα Α και Β, γίνεται ελάχιστο.

Λύση

Για κάθε x 1 είναι 2

1f xx 1

.Έστω 0 0M x ,f x σημείο της fC .Η εφαπτομένη ε της fC στο Μ

έχει εξίσωση: 0 0 0y f x f x x x

002

0 0

x 1y x xx 1 x 1

.

Για y 0 είναι:

002

0 0

x 1 x xx 1 x 1

2 20 0 0 0x x x x x x .

Η ε τέμνει τον x x στο σημείο 20A x ,0 .

Για x 0 είναι:

002

0 0

x 1y 0 xx 1 x 1

20

20

xyx 1

.

Η ε τέμνει τον y y στο σημείο

20

20

xB 0,x 1

.


187





,


Λύση


1f xx 1



002

0 0

x 1y x xx 1 x 1

.


002

0 0

x 1 x xx 1 x 1

2 20 0 0 0x x x x x x .



002

0 0

x 1y 0 xx 1 x 1

20

20

xyx 1

.


20

20

xB 0,x 1

.


187





,


Λύση


1f xx 1



002

0 0

x 1y x xx 1 x 1

.


002

0 0

x 1 x xx 1 x 1

2 20 0 0 0x x x x x x .



002

0 0

x 1y 0 xx 1 x 1

20

20

xyx 1

.


20

20

xB 0,x 1

.


188

Είναι 2 20 0OA x x και

20

20

xOBx 1

. Επειδή θέλουμε να βρούμε το ελάχιστο του αθροίσματος

22 0

0 20

xOA OB xx 1

, 0x 1 , θεωρούμε τη συνάρτηση

22

2xg x x

x 1

, x 1 . Η g είναι

παραγωγίσιμη στο , 1 με

2

3 3

2x x 2 x x 32xg x 2xx 1 x 1

. Για κάθε x 1 είναι:

2

3

2x x 2 x x 3g x 0 0

x 1

x 2 0 x 2

(αφού x 1 , τότε είναι x 0 , 3x 1 0 και 2x x 3 0 ).Το πρόσημο της g και η μονοτονία της g δίνονται στον διπλανόπίνακα. Επειδή η συνάρτηση g παρουσιάζει ελάχιστο για x 2 , τοάθροισμα OA OB γίνεται ελάχιστο για 0x 2 . Τότε

2f 2 22 1

.Οπότε, το ζητούμενο σημείο είναι το M 2,2 .

348. Να βρείτε σημείο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης xf x e 1 που απέχει τη

μικρότερη απόσταση από το σημείο A 1,1 .

Λύση

x -2 -1g – +

g O.Ε


189

y

χ

y

Α

Β ΓΔ

349. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ, με AB AΓ 10cm . Να βρείτε τις διαστάσεις τουτριγώνου για τις οποίες το εμβαδόν του είναι μέγιστο.

ΛύσηΈστω ότι το ύψος ΑΚ του τριγώνου έχει μήκος x και η βάση του ΒΓ είναι 2y. Από το Πυθαγόρειοθεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΔΓ, ισχύει:

2 2 2 2 2x y 10 y 100 x , άρα 2y 100 x .

Για το εμβαδόν Ε του τριγώνου ΑΒΓ, ισχύει: 21 1E A (B ) x2y x 100 x2 2 .

Έστω 2E x x 100 x με x 0,10 .

Είναι 2

2

2xE x 100 x x2 100 x

22 2

2

100 x x

100 x

2

2

100 2xE x100 x

Είναι 2 2E x 0 100 2x 0 x 50 x 50 5 2 και επειδή x 0,10 , ισχύει 0 x 5 2 .

Για κάθε x 0,5 2 είναι E x 0 άρα η Ε είναι γνησίως αύξουσα στο 0,5 2 και για κάθε

x 5 2,10 είναι E x 0 άρα η Ε είναι γνησίως φθίνουσα στο 5 2,10 .Το εμβαδόν Ε του τριγώνου

ΑΒΓ γίνεται μέγιστο για x 5 2cm . Τότε 22y 2 100 5 2 10 2 και το μέγιστο εμβαδόν είναι2E 5 2 5 2 50cm .

350. Δίνεται ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓΔ με μικρή βάση την ΑΒ. Αν AB ΒΓ AΔ α 0 ,

να βρείτε τις διαστάσεις του τραπεζίου, ώστε το εμβαδόν του να είναι μέγιστο.Λύση

www.askisopolis.gr Κυρτότητα συνάρτησης

190

Κυρτότητα – Σημεία ΚαμπήςΟρισμόςΈστω συνάρτηση f, συνεχής σε ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμηστο εσωτερικό του Δ. Η f στρέφει τα κοίλα προς τα άνω ή είναι κυρτή στο Δ, αν η f είναι γνησίως αύξουσα στο εσωτερικό του Δ.

Στο διπλανό σχήμα είναι 1 2x x και 1 2 , οπότε: 1 2 1 2f x f x άρα η f

είναι γνησίως αύξουσα.

Η f στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω ή είναι κοίλη στο Δ, αν ηf είναι γνησίως φθίνουσα στο εσωτερικό του Δ.

Στο διπλανό σχήμα είναι 1 2x x και 1 2 , οπότε:

1 2 1 2f x f x άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα.

ΘεώρημαΈστω μία συνάρτηση f, συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δύοφορές παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ.– Αν f x 0 για κάθε x στο εσωτερικό του Δ, τότε η f είναι κυρτή στο Δ.– Αν f x 0 για κάθε x στο εσωτερικό του Δ, τότε η f είναι κοίλη στο Δ.Το αντίστροφο του προηγούμενου θεωρήματος δεν ισχύει. Δηλαδή, αν η f είναι κυρτή στο Δ, τότε δενισχύει πάντα f x 0 για κάθε x στο εσωτερικό του Δ. Για παράδειγμα,θεωρούμε τη συνάρτηση 4f x x , x . Από τη γραφική παράσταση της f πουδίνεται στο διπλανό σχήμα, προκύπτει ότι είναι κυρτή στο .Όμως, 3f x 4x , 2f x 12x 0 για κάθε x .Δηλαδή η f δεν είναι πάντα θετική αφού f 0 0 .

Παρατηρήσεις – Σχόλια

1. Για να δηλώσουμε ότι μία συνάρτηση είναι κυρτή, χρησιμοποιούμε το σύμβολο3 και για την κοίλη, τοσύμβολο4.

2. Γενικά, ισχύει ότι: Αν f x 0 για κάθε x , με την ισότητα να ισχύει για διακεκριμένες τιμές τουΔ που δεν συνιστούν διάστημα, τότε η f είναι κυρτή στο Δ.

Σημεία καμπήςΟρισμόςΈστω μία συνάρτηση f, παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα , , με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του 0x .Aν:– Η f είναι κυρτή στο 0,x και κοίλη στο 0x , , ή αντιστρόφως και

– Η fC έχει εφαπτομένη στο σημείο 0 0A x ,f x .


190














190














191

τότε, το σημείο Α ονομάζεται σημείο καμπής της fC .

Όταν το 0 0A x ,f x είναι σημείο καμπής της fC , τότε λέμε ότι η f παρουσιάζει στο 0x καμπή και το

0x λέγεται θέση σημείου καμπής. Στα σημεία καμπής η εφαπτομένη της fC “διαπερνά” την καμπύλη.

ΘεώρημαΑν το 0 0A x ,f x είναι σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της f και η f είναι δυο φορές

παραγωγίσιμη, τότε 0f x 0 .Ο ι π ι θ α ν έ ς θ έ σ ε ι ς σ η μ ε ί ω ν κ α μ π ή ς μιας συνάρτησης f σ’ ένα διάστημα Δ είναι:i) τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία η f μηδενίζεται, και

ii) τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία δεν υπάρχει η f .

Γενικά:Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σ’ ένα διάστημα , και 0x , . Aν

η f αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν του 0x και ορίζεται εφαπτομένη της fC στο 0 0A x ,f x

τότε το 0 0A x ,f x είναι σημείο καμπής.

ΠρότασηΈστω συνάρτηση f παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ. Να αποδείξετε ότι:i. Αν η f είναι κυρτή, τότε η fC βρίσκεται πάνω από κάθε εφαπτομένη της.ii. Αν η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από κάθε εφαπτομένη της (εκτός του σημείου

επαφής), τότε η f είναι κυρτή στο Δ.Απόδειξη

i. Η εφαπτομένη της fC στο σημείο 0 0M x ,f x έχει εξίσωση:

0 0 0y f x f x x x 0 0 0 0y f x x f x x f x

Αρκεί να αποδείξουμε ότι οποιοδήποτε σημείο A x,f x της fC

βρίσκεται πάνω από το σημείο BB x, y της εφαπτομένης που έχει τηνίδια τετμημένη. Δηλαδή: A B 0 0 0 0y y f x f x x x f x f x

0 0 0f x f x f x x x .Επειδή 0x x , χωρίς βλάβη της γενικότητας μπορούμε να υποθέσουμε ότι: 0x x . Τότε εφαρμόζεταιγια την f το θεώρημα μέσης τιμής στο 0x ,x και υπάρχει 0x ,x τέτοιο, ώστε

0

0

f x f xf

x x

. Είναι 0x x και η f είναι παραγωγίσιμη και κυρτή στο Δ, άρα η f είναι

γνησίως αύξουσα στο διάστημα αυτό, οπότε:

00 0 0 0 0

0

f x f xf f x f x f x f x f x x x

x x

.

ii. Έστω 1 2x ,x με 1 2x x . Η εφαπτομένη της fC στο σημείο 1 1x ,f x έχει εξίσωση:

1 1 1 1 1 1y f x f x x x y f x x x f x (1).


191

















0

0

f x f xf

x x



00 0 0 0 0

0


x x

.


1 1 1 1 1 1y f x f x x x y f x x x f x (1).


191

















0

0

f x f xf

x x



00 0 0 0 0

0


x x

.


1 1 1 1 1 1y f x f x x x y f x x x f x (1).


192

Επειδή η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από κάθε εφαπτομένη της (εκτός του σημείουεπαφής), το σημείο 2 2x ,f x βρίσκεται πάνω από την (1), δηλαδή:

2 1 2 1 1 2 1 1 2 1f x f x x x f x f x f x f x x x (2).

Η εφαπτομένη της fC στο σημείο 2 2x ,f x έχει εξίσωση:

2 2 2 2 2 2y f x f x x x y f x x x f x (3).

Το σημείο 1 1x ,f x βρίσκεται πάνω από την (3), δηλαδή:

1 2 2 2 2 1 2 2 1f x f x x x f x f x f x f x x x (4).Από τις σχέσεις (2),(4) προκύπτει ότι:

2 1x x 0

1 2 1 2 2 1 1 2f x x x f x x x f x f x

, άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ , οπότεη f είναι κυρτή στο Δ.

Σημείωση: Όμοια αν η f είναι κοίλη στο Δ βρίσκεται κάτω από κάθε εφαπτομένη της.

ΠαρατήρησηΑν μια συνάρτηση είναι κοίλη ή κυρτή τότε το μοναδικό κοινό σημείο της fC με την εφαπτομένη είναι τοσημείο επαφής.

Ασκήσεις – Μεθοδολογία ασκήσεων

36η Κατηγορία: Μελέτη κυρτότητας – Σημεία καμπής

Κάνουμε πίνακα προσήμων της f .Όπου f x 0 η f είναι κυρτή και όπου f x 0 η f είναικοίλη. Τα σημεία του fD που η f αλλάζει πρόσημο είναι σημεία καμπής.

Συνάρτηση πολλαπλού τύπουΣε συνάρτηση πολλαπλού τύπου επιπλέον εξετάζουμε αν ορίζεται εφαπτομένη της fC στο σημείοαλλαγής του τύπου. Αν ναι και αν η f αλλάζει πρόσημο στο σημείο αυτό, τότε είναι σημείοκαμπής.

Παραμετρικές κυρτότηταςΑν μια συνάρτηση f παρουσιάζει σημείο καμπής το 0 0A x ,y , τότε:Υποθέτουμε ότι ισχύει το ζητούμενο, οπότε ισχύει: 0f x 0 και 0 0f x y .Από τις προηγούμενες σχέσεις υπολογίζουμε τις παραμέτρους.Κάνουμε αντικατάσταση των τιμών των παραμέτρων στην f και επαληθεύουμε την υπόθεση.

351. Να μελετήσετε ως προς την κυρτότητα τη συνάρτηση 4 3f x 2x 4x 2x 1 .Λύση

H f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο , με 3 2f x 8x 12x 2 και 2f x 24x 24x .

x 0 1 f + f 4Σ.Κ3Σ.Κ4


193

Είναι f x 0 24x x 1 0 x 0 ή x 1 .Για κάθε x 0 και x 1 είναι f x 0 , οπότε η f είναι κοίλη στα ,0 και 1, . Για κάθε 0 x 1

είναι f x 0 , οπότε η f είναι κυρτή στο διάστημα 0,1 . Παρουσιάζει σημεία καμπής στα σημεία

A 0,f 0 0,1 κα B 1,f 1 1,1 .

352. Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία οι παρακάτω συναρτήσεις είναι κυρτές ή κοίλες και ναπροσδιορίσετε τα σημεία καμπής τους (αν υπάρχουν).

α) 4 2f x x 6x 7x 2 β) x

x

2e 1f xe 2

Λύση

353. Να μελετήσετε ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής τη συνάρτηση

3 2

2

x 3x 15, x 2f x9 x , x 2

ΛύσηΕίναι 3 2


και 2


, άρα η f είναι συνεχής στο

0x 2 .


194

Για x 2 3 2

x 2 x 2

f x f 2 x 3x 15 5lim limx 2 x 2

2

x 2

x 2 x 5x 10lim 24

x 2

, ενώ για x 2 είναι

2

x 2 x 2

f x f 2 9 x 5lim limx 2 x 2

x 2

2 x 2 xlim

x 2

4 .

Άρα, δεν ορίζεται εφαπτομένη στο 0x 2 .Για x 2 είναι 2f x 3x 6x και f x 6x 6 . Είναι

x 2

f x 0 6x 6 0

1 x 2 .Για x 2 , f x 2x , f x 2 0 .Άρα, η f είναι κυρτήστο 1,2 , κοίλη στα , 1

και 2, , ενώ έχει σημείο καμπήςτο A 1, 13 .

354. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα σημεία καμπής τη συνάρτηση :

2

3 2

x 4x 6, x 0f xx 6x 4x 6, x 0

Λύση

355. Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης

1f x 2eln xx

στο σημείο 1M , ee

, διαπερνά την fC .

ΛύσηΓια να αποδείξουμε ότι η εφαπτομένη της fC στο Μ διαπερνά την fC , αρκεί να δείξουμε ότι το Μ είναι

σημείο καμπής της fC . Για κάθε x 0 είναι 22e 1f xx x

και

x –1 2 6x+6 – + +

–2 – – –f – + –

f Σ.Κ.


195

2 32e 2f xx x

3

2 ex 1f x 0

x

1ex 1 0 xe

Το πρόσημο της f και η κυρτότητα της f, δίνονται στον διπλανό πίνακα.Άρα, η fC έχει σημείο καμπής το Μ και η εφαπτομένη στο Μ διαπερνά την fC .

356. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f x x 1 ln x 1 xln x ,

x 1 , δεν δέχεται σε κανένα της σημείο εφαπτομένη που να την διαπερνά.Λύση

357. Να βρείτε τις τιμές του λ , για τις οποίες η συνάρτηση 4 3 2g x x λx 3x x 1

είναι κοίλη στο .Λύση

Είναι 3 2g x 4x 3 x 6x 1 και 2 2g x 12x 6 x 6 6 2x x 1 .

Η g έχει διακρίνουσα 2 8 2 2 2 2 .

Αν 2 2 ή 2 2 , τότε 0 και η g έχει δύο ρίζες που εκατέρωθεν τους, αλλάζει πρόσημο.Άρα, η g δεν είναι κοίλη στην περίπτωση αυτή.Αν 2 2 , τότε 0 και η g έχει μία διπλή ρίζα, την 1x και ισχύει: g x 0 για κάθε 1x x ,οπότε η g είναι κοίλη στο .Αν 2 2,2 2 , τότε 0 και g x 0 για κάθε x , οπότε η g είναι κοίλη στο . Άρα για να

είναι η g κοίλη στο , πρέπει 2 2,2 2 .

358. Να προσδιορίσετε τις τιμές της παραμέτρου , για τις οποίες η συνάρτηση 4 3 2f x α 3 x 4x 6x 4α 5 είναι κοίλη στο .

Λύση

x 0 1e

f + –f 3Σ.Κ 4


196

359. Να βρείτε τα α,β , ώστε η συνάρτηση βf x α xx

να έχει σημείο καμπής το

A 1,4 .

Λύση

Η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο 0, με xf x2x x και 3

x x 3 xf x4x

. Για να

είναι το A 1,4 σημείο καμπής της fC , πρέπει:

3f 1 0 304f 1 4 14

.

Για 3 και 1 είναι 1f x 3 xx

, 3x 1f x2x x

και 3

3 x 1 xf x

4x

.

x 0

3

3 x 1 xf x 0 1 x 0 x 1

4x

Για κάθε x 0,1 είναι f x 0 άρα η f είναι κυρτή στο 0,1 και για κάθε x 1 είναι f x 0 άρα η fείναι κοίλη στο 1, . Η f έχει σημείο καμπής το A 1,4 .

360. Να βρείτε τα α,β για τα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης

2

αxf xx β

να έχει σημείο καμπής στο 3M 3,2

. Η Cf έχει άλλο σημείο καμπής;

Λύση


197

361. Δίνεται συνάρτηση f, δύο φορές παραγωγίσιμη στο , για την οποία ισχύει: 2 2f x x 6 f x 5x 0 για κάθε x . Να αποδείξετε ότι η f δεν παρουσιάζει σημείο

καμπής.Λύση

Έστω ότι η f έχει σημείο καμπής στο 0x . Τότε, 0f x 0 .

Είναι: 2 2f x x 6 f x 5x 0 2f x f x f x x 6 f x 10x 0 και

2f x f x f x x 6 f x 10x 0

22 f x 2f x f x f x f x x 6 f x 10 0 . Για 0x x έχουμε:

20 0 0 0 0 02 f x 2f x f x 2f x x 6 f x 10 0 2

0 02 f x 2f x 10 0

20 0f x f x 5 0 . (1)

Η (1) είναι εξίσωση 2ου βαθμού ως προς το 0f x και έχει 1 20 19 0 , άρα είναι αδύνατηστο , οπότε η fC δεν έχει σημεία καμπής.

362. Δίνεται συνάρτηση g, δύο φορές παραγωγίσιμη στο , για την οποία ισχύει: 2 2g x x 4 g x x 0 για κάθε x . Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της g

δεν έχει σημεία καμπής.Λύση


198

363. Δίνεται συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο , για την οποία ισχύει: x

x

4e 3f x , xe 4

.

α) Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία η συνάρτηση g x f x 4x .

β) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f τέμνει την ευθεία y 4x το πολύ σ΄ ένασημείο.

γ) Να αποδείξετε ότι η f είναι κυρτή στο .δ) Να υπολογίσετε το όριο

xlim f x 1 f x

.

Λύση

α) Η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο με x

x4 e 3g x f x 4 4e 4

x13 0

e 4

,άρα η g

είναι γνησίως φθίνουσα στο .

β) Επειδή η g είναι γνησίως φθίνουσα στο , η εξίσωση g x 0 f x 4x 0 f x 4x έχει το πολύ μία ρίζα.

γ) Είναι

x x x xx x

2 2x x x

4e e 4 4e 3 e4e 3 13ef x 0e 4 e 4 e 4

, x , άρα η f είναι κυρτή

στο .

δ) Για την f εφαρμόζεται το θεώρημα μέσης τιμής στο διάστημα x,x 1 ,x , οπότε υπάρχει

x,x 1 τέτοιο, ώστε: f x 1 f xf f x 1 f x

x 1 x

. Είναι x x 1 και επειδή η f

είναι κυρτή, η f είναι γνησίως αύξουσα, οπότε:

x x 1

x x 14e 3 4e 3f x f f x 1 f x 1 f xe 4 e 4

. Είναι

xx x x

xx x xxxx

3 3e 4 44e 3 e elim lim lim 444e 4 1e 1ee

και

x 1x 1 x 1 x 1

x 1x x xx 1x 1x 1

3 3e 4 44e 3 e elim lim lim 444e 4 1e 1ee

, οπότε λόγω του κριτηρίου παρεμβολής είναι και

xlim f x 1 f x 4

.

364. Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f : α,β για την οποία ισχύουν οι σχέσεις:

f β 2f α και 2f x 3f x 6f x 5 για κάθε x α,β .

α) Να αποδείξετε ότι f α 0 .

β) Αν f α 1 , να αποδείξετε ότι:


199

i. η f είναι κυρτή.ii. δεν υπάρχουν τρία διαφορετικά σημεία της fC που να είναι συνευθειακά.

Λύση

365. Δίνεται συνάρτηση f, δύο φορές παραγωγίσιμη στο 0, με 2 xx e f xf x

x

, x 0 .

Να αποδείξετε ότι η f είναι κυρτή στο 0, .

Λύση


200

366. Δίνεται συνάρτηση x x2 3f x ln

2

, x .

α) Να αποδείξετε ότι η f είναι κυρτή στο .

β) Αν f x λx για κάθε λ,x , να αποδείξετε ότι ln6λ2

.

Λύση

367. Δίνεται η συνάρτηση x 2f x 2λe x . Να αποδείξετε ότι για κάθε λ 0 η fC έχει

ακριβώς ένα σημείο καμπής του οποίου να βρείτε το γεωμετρικό τόπο.Λύση


201

368. Δίνεται η συνάρτηση 2xf x 2e .

α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.β) Να αποδείξετε ότι η fC έχει δύο σημεία καμπής.γ) Εγγράφουμε ένα ορθογώνιο με βάση στον άξονα x΄x και τις δύο άλλες του κορυφές επί της

fC . Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του ορθογωνίου γίνεται μέγιστο, όταν οι δύο κορυφές τουβρίσκονται στα σημεία καμπής της fC .

Λύση

37η Κατηγορία: Κυρτότητα και ανισώσειςΗ συνεισφορά της κυρτότητας στις ανισώσεις είναι μέσω της μονοτονίας τηςf . Αν η f είναι κυρτή, η f είναι γνησίως αύξουσα και αν η f είναι κοίλη, η f είναι γνησίωςφθίνουσα.Αν θέλουμε να αποδείξουμε ανίσωση της μορφής f x x ή

f x x , τότε εξετάζουμε αν η y x είναι εφαπτομένη της fC και αν η f είναι κυρτή ήκοίλη. Αν η f είναι κυρτή, τότε βρίσκεται κάτω από κάθε εφαπτομένη της, δηλαδή f x x ,ενώ αν είναι κοίλη ισχύει το αντίθετο.

369. Δίνονται οι συναρτήσεις f x 1 lnx , xg x x , x 0 .

α) Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των f,g έχουν κοινή εφαπτομένη στο 0x 1 .


202

β) Να αποδείξετε ότι f x g x για κάθε x 0 .

Λύσηα) Αρκεί να δείξουμε ότι f 1 g 1 και f 1 g 1 . Οι f,g είναι παραγωγίσιμες

στο 0, με 1f xx

και x x ln x x ln x x ln x xg x x e e x x ln x 1 και είναι

1f 1 1 ln1 1 1 g 1 και 11f 1 1 1 1 ln1 g 11

.

Η κοινή εφαπτομένη είναι y f 1 f 1 x 1 y 1 1 x 1 y x .

β) Η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο 0, με 21f x 0x

, άρα

η f είναι κοίλη στο 0, . Επίσης και η g είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο 0, με

x xg x x ln x 1 x ln x 1 2 2x x x1 1g x x ln x 1 x x ln x 1 0x x

, όταν

x 0, , άρα η g είναι κυρτή στο 0, .Επειδή η f είναι κοίλη στο 0, , τότε η εφαπτομένη σεκάθε σημείο θα είναι πάνω από την fC και επειδή η g είναι κυρτή, κάθε εφαπτομένη θα είναι κάτω απότην gC . Άρα, f x x g x .

370. Δίνεται η συνάρτηση 4xf x e x 1 , x .

α) Να αποδείξετε ότι η f είναι κυρτή στο .β) Να βρείτε την εφαπτομένη της fC στο 0x 0 .

γ) Να αποδείξετε ότι 4xe x 1 3x 2 για κάθε x .

Λύση


203

371. Δίνεται η συνάρτηση 3x 2xf x e e 2x , x .

α) Να βρείτε την εφαπτομένη της fC στο σημείο A 0,f 0 .

β) Να αποδείξετε ότι 3x 2xe e 5x 2 .Λύση

372. Δίνεται συνάρτηση f παραγωγίσιμη και κυρτή στο , με

2

x 1

f x xlim 2

x 1.

α) Να βρείτε την εφαπτομένη της fC στο 0x 1 .

β) Να αποδείξετε ότι f x 4x 3 0 για κάθε x .

γ) Αν η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο , να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ 1,2 τέτοιο,

ώστε: f ξ 0 .

Λύση


204

373. Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f στο α,β με f α f β 0 . Αν η f είναι κοίλη στο

α,β , να δείξετε ότι f x 0 για κάθε x α,β .

ΛύσηΓια τη συνάρτηση f, ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θ. Rolle στο διάστημα , , οπότε υπάρχει ,

τέτοιο, ώστε f 0 .Επειδή η f είναι κοίλη στο , η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα αυτό. Aν x , , τότε x , άρα f x f 0 , δηλαδή f x 0 ,

οπότε η f γνησίως αύξουσα στα , και επειδή x είναι f x f 0 f x 0 . Aν x , , τότε x , οπότε f x f 0 , δηλαδή f x 0 , άρα

η f γνησίως φθίνουσα στο , και αφού x f x f 0 f x 0 .Άρα, σε κάθε περίπτωση f x 0 για κάθε x , .

374. Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιμη και κυρτή στο α,β με f α f β 0 .

α) Να αποδείξετε ότι: f α f β 0 .

β) Να βρείτε το πρόσημο της f.γ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει 0x α,β τέτοιο, ώστε 0 0f x f x .

Λύση


205

375. α) Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη και κυρτή στο συνάρτηση f. Να αποδείξετε ότι

α β2f f α f β2

για κάθε α,β (ανισότητα Jensen).

β) Να αποδείξετε ότι για κάθε

1 2

πx ,x 0,2

με 1 2x x ,ισχύει :

1 2

1 2

x x2εφ εφx εφx

2.

Λύσηα) Έστω , τότε η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη, άρα και συνεχής

στα διαστήματα ,2

και ,

2

. Οπότε, λόγω του Θ.Μ.Τ. υπάρχουν 1 ,2

και

2 ,2


1

f f f f2 2f

2 2

και

2

f f f f2 2f

2 2

.

Επειδή η f είναι κυρτή, η f είναι γνησίως αύξουσα στο και επειδή 1 2 1 22

,

θα είναι:

1 2

f f f f2 2f f

2 2

f f f f 2f f f2 2 2

.

Όμοια, αν .

Αν , τότε είναι 2f 2f f f 2f2

.

Άρα, για κάθε , , είναι 2f f f2

.

β) Θεωρούμε τη συνάρτηση f x x , x 0,2

.

Είναι 21f x

x

και 3

2 xf x 0x

, άρα η f είναι κυρτή στο 0,2

.Για κάθε 1 2x ,x 0,2

με

1 2x x ,ισχύει 1 21 2

x x2f f x f x2

1 2

1 2x x2 x x

2

376. Δίνεται η συνάρτηση xf x x ln e 1 , x . Να αποδείξετε ότι:


206

α) η f είναι γνησίως αύξουσα. β) η f είναι κοίλη.

γ) xf x f x ln2 , για κάθε x 0, . δ)

x 1 x

1 1f x 1 f xe 1 e 1

.

Λύση

377. Δίνεται συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο , με

x 2

f x 3xlim 1

x 2και f 4 6 .

α) Να αποδείξετε ότι f 2 6 .

β) Να βρείτε την εφαπτομένη της fC στο σημείο A 2,f 2 .

γ) Να αποδείξετε ότι η ευθεία y x 3 τέμνει τη fC σε ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη

0x 2,4 .

δ) Αν η f είναι κοίλη, να αποδείξετε ότι υπάρχει ακριβώς ένα ξ 2,4 στο οποίο η f

παρουσιάζει τοπικό μέγιστο.Λύση


207

378. Δίνεται συνάρτηση f, παραγωγίσιμη στο , της οποίας η γραφική παράστασηδιέρχεται από την αρχή των αξόνων. Αν η f είναι κυρτή στο ,0 , να αποδείξετε ότι :

2 39f x 8f x3 4


Λύση


208

379. Δίνεται συνάρτηση f, παραγωγίσιμη και κοίλη στο 0,5 με f 2 0 . Να αποδείξετε ότι

3f 0 2f 5 0 .

Λύση

380. Δίνεται συνάρτηση f παραγωγίσιμη και κυρτή στο α,α , α 0 . Αν f α α και

f α α , να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f βρίσκεται κάτω από την ευθεία y x

για κάθε x α,α .

Λύση

381. Δίνεται πολυωνυμική συνάρτηση f με πραγματικούς συντελεστές, για την οποία γνωρίζουμεότι: f 0 0 , f 1 0 , f 2 0 και f x 0 για κάθε x 0,2 . Να αποδείξετε ότι:

α) Η εξίσωση f x 0 έχει ακριβώς 2 ρίζες στο 0,2 .

β) Η f είναι κυρτή στο 0,2 .


209

γ) f x f 0 x f 0 .

Λύση

Θεωρητικές ασκήσεις

382. Αν μία συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και κυρτή στο , να δείξετε ότι δεν έχειπερισσότερα από ένα ακρότατα.

ΛύσηΈστω ότι η f έχει δύο ακρότατα στο στα σημεία , με . Τότε, σύμφωνα με το Θ. Fermatισχύει ότι: f f 0 (1).Επειδή η f είναι κυρτή, θα είναι η f γνησίως αύξουσα. Οπότε, αν f f , άτοπο από την(1). Άρα, η f θα έχει το πολύ μία ρίζα, οπότε η f δεν θα έχει περισσότερα από ένα ακρότατα.

383. Δίνεται συνάρτηση f, δύο φορές παραγωγίσιμη στο . Να αποδείξετε ότι μεταξύ δύοδιαδοχικών ακρότατων της f, υπάρχει τουλάχιστον ένα πιθανό σημείο καμπής.

Λύση


210

384. Δίνεται συνάρτηση f, ορισμένη στο , για την οποία ορίζεται η 3f και είναι 3f x 0

για κάθε x . Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει ευθεία που να εφάπτεται σε δύο διαφορετικάσημεία 1 1A x ,f x και 2 2B x ,f x στην fC .

ΛύσηΈστω ότι υπάρχει ευθεία ε, που εφάπτεται της fC στα σημεία

1 1A x ,f x και 2 2B x ,f x με 1 2x x . Τότε, θα είναι

2 11 2

2 1

f x f xf x f x

x x

(1).

Η συνάρτηση f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο 1 2x ,x , οπότεσύμφωνα με το Θ.Μ.Τ. θα υπάρχει 1 2x ,x τέτοιο, ώστε

2 1

2 1

f x f xf

x x

(2). Από (1), (2) είναι 1 2f x f f x . Για τη συνάρτηση f ισχύουν οι

προϋποθέσεις του Θ. Rolle στα διαστήματα 1x , και 2, x , οπότε θα υπάρχουν 1 1x , ,

2 2, x τέτοια, ώστε 1 2f f 0 .Η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο 1 2, και

1 2f f , άρα σύμφωνα με το Θ. Rolle θα υπάρχει 0 1 2x , τέτοιο, ώστε 30f x 0 . Άτοπο,

γιατί 3f x 0 για κάθε x .

385. Δίνεται συνάρτηση f παραγωγίσιμη και κυρτή στο α,β . Να αποδειχθεί ότι τρία

οποιαδήποτε σημεία της fC , διαφορετικά μεταξύ τους, δεν μπορούν να βρίσκονται στην ίδιαευθεία.

Λύση

386. α) Αν μία συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο , τότε να αποδείξετε ότι δενυπάρχει 0x , στο οποίο η f να παρουσιάζει ταυτόχρονα τοπικό ακρότατο και σημείο


210





2 11 2

2 1

f x f xf x f x

x x

(1).


2 1

2 1

f x f xf

x x








Λύση



210





2 11 2

2 1

f x f xf x f x

x x

(1).


2 1

2 1

f x f xf

x x








Λύση



211

καμπής.β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση x 2g x 2e x 2x δεν παρουσιάζει τοπικό ακρότατο

στο 0x 0 .Λύση

α) Έστω ότι υπάρχει 0x , στο οποίο η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο και σημείο καμπής ταυτόχρονα.Τότε θα ισχύει 0 0f x f x 0 και λόγω του ότι παρουσιάζει σημείο καμπής στο 0x θα αλλάζει ηκυρτότητα εκατέρωθεν του 0x .Υποθέτουμε ότι η f είναι κοίλη σε διάστημα 0 0x ,x και κυρτή σε διάστημα 0 0x ,x , οπότε η f

θα είναι γνησίως φθίνουσα στο 0 0x ,x και γνησίως αύξουσα στο 0 0x ,x .Οπότε:Αν 0 0x x ,x , δηλαδή 0x x , θα είναι 0f x f x f x 0 .Αν 0 0x x ,x , δηλαδή 0x x , θα είναι 0f x f x f x 0 .Άρα, η f διατηρεί σταθερό πρόσημο εκατέρωθεν του 0x , άρα δεν παρουσιάζει ακρότατο για 0x xόπως υποθέσαμε αρχικά.

β) Η g είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο με xg x 2e 2x 2 και xg x 2e 2 . Για κάθε x 0

είναι g x 0 άρα η g είναι κυρτή στο 0, και για κάθε x 0 είναι g x 0 άρα η g είναι κοίληστο ,0 . Η g έχει σημείο καμπής στο 0x 0 , οπότε δεν έχει τοπικό ακρότατο στο σημείο αυτό.

387. Δίνονται οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις f,g, όπου η f είναι κυρτή και η g κοίλη στο . Νααποδείξετε ότι:α) Οι γραφικές τους παραστάσεις έχουν το πολύ δύο κοινά σημεία.β) Αν οι f gC ,C έχουν κοινή εφαπτομένη σε ένα κοινό τους σημείο, τότε αυτό είναι και το

μοναδικό κοινό σημείο τους.Λύση


212

388. Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιμη και κοίλη στο με f 5 0 . Να αποδείξετε ότι:

xlim f x .

ΛύσηΓια την f εφαρμόζεται το θεώρημα μέσης τιμής στο διάστημα x, 5 , x 5 οπότε υπάρχει x, 5 ,

τέτοιο, ώστε: f 5 f xf

5 x

f 5 x f 5 f x f x xf f 5 5f

Έστω f 5 5f k , τότε f x xf k Επειδή η f είναι κοίλη στο , η f είναι γνησίως φθίνουσα.

Είναι f x 0

x 5 f f 5 xf xf 5

]

xf k xf 5 k f x xf 5 k

Επειδή x xlim xf 5 k lim xf 5

, είναι xf 5 k 0 κοντά στο , άρα

1 1f x xf 5 k 0 0

xf 5 k f x

.

Είναι x

1lim 0xf 5 k

, οπότε από το κριτήριο παρεμβολής είναι και x

1lim 0f x

και επειδή

f x 0 κοντά στο , είναι xlim f x

.

389. Δίνεται συνάρτηση f παραγωγίσιμη και κοίλη στο . Αν η f παρουσιάζει ακρότατο στοσημείο Ο 0,0 ,τότε:

α) να αποδείξετε ότι

x xlim f x lim f x .

β) f x 0 για κάθε x .

Λύση

www.askisopolis.gr Κανόνας De L΄Hospital

213

Κανόνας De L’ HospitalΘεώρημαΑν για τις συναρτήσεις f,g είναι:

0 0x x x xlim f x 0 lim g x

ή 0 0x x x x

lim f x lim g x

,

0x , και υπάρχει το όριο 0x x

f xlim

g x

(πεπερασμένο ή άπειρο), τότε:

0 0x x x x

f x f xlim lim

g x g x

Παρατηρήσεις1. Το θεώρημα ισχύει και για τις μορφές , ,

.

2. Το παραπάνω θεώρημα ισχύει και για πλευρικά όρια και επιπλέον, μπορούμε αν χρειάζεται, να τοεφαρμόσουμε περισσότερες φορές, αρκεί κάθε φορά να πληρούνται οι προϋποθέσεις του.

3. Το αντίστροφο του θεωρήματος δεν ισχύει. Δηλαδή, αν υπάρχει το 0x x

f xlim

g x, τότε δεν σημαίνει ότι

οπωσδήποτε θα υπάρχει και το 0x x

f xlim

g x

.

4. Οι μορφές 0 , , 00 , 0 , 0 , 1 ανάγονται σε 00

ή

και αντιμετωπίζονται με το

θεώρημα.


38η Κατηγορία: Απροσδιοριστία 00

ή

Αν έχουμε όριο 0x x

f xlim

g xή

x

f xlim

g xκαι διαπιστώσουμε ότι τα όρια του αριθμητή και του

παρονομαστή είναι και τα δύο 0 ή είναι και τα δύο , τότε: Εφαρμόζουμε τον κανόνα de l’Hospital (DL’Η) στην περίπτωση που υπάρχει το όριο των

παραγώγων του αριθμητή και του παρονομαστή. Αν εμφανίζεται και πάλι απροσδιοριστία, επαναλαμβάνουμε τον κανόνα DL’H,

0 0x x x x

f x f xlim lim

g x g x

0x x

f xlim .....

g x

Παρατηρήσεις- Ο κανόνας DL’H εφαρμόζεται και σε πλευρικά όρια.- Αν ο κανόνας DL’H εφαρμοστεί σε μη απροσδιόριστη μορφή, προκύπτει

λάθος όριο.- Πρέπει πάντα να προσέχουμε αν υπάρχει το όριο των παραγώγων που

προκύπτουν για να μπορούμε να εφαρμόσουμε τον κανόνα DL’H.

390. Να υπολογίσετε τα όρια:

α)

x x

x 0

e e 2xlimx ημx

β)

3

xx

x ln xlime

γ)

1x

x 0lim xe


214

Λύση

α) Είναι

0x xx x 0

x 0 DLH x 0

e e 2xe e 2xlim limx x x x

0 0

x x x x x x0 0

x 0 DLH x 0 DLH x 0

e e 2 e e e elim lim lim1 x x x

1 ux

0 0

x 0

e e 2lim 20 1

.

β)

33

xx DLH x x

x ln xx ln xlim lime e

2

xx

13xxlim

e

2

xx

16xxlim

e

3

x x 3x x

26 1 2xlim lim 6 0e e x

.

γ) Θέτουμε , όταν x 0 τότε u . Είναι

u1 u uux

u u DLH u ux 0

e1 e elim xe lim e lim lim limu u 1u

391. Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια:

α)

2

x 2 3x 0

x 1 συνxlim

6e 6x 4x x 6β)

2x 2x

x 0

e e 2limημ2x 2x

γ)

2x 2

2x 0

e x 1limημ x

Λύση


215


3

x

1lim x x ημx

Λύση

Έστω 1 ux , τότε 1x

u και όταν x είναι u 0 . Τότε:

022 0

33 3 DLH 3x u 0 u 0 u 0

u u1 1 1 u ulim x x lim u lim limx u u u u

2 2u 0 u 0

2u u 1lim lim 2u u3u 3u

γιατί

u 0lim 2u u 1

και 2u 0

1lim3u .


α)

x

2 xx

x elimx e

β) x 0

ln εφxlim

ln ημxγ)

2

x

x 1limlnx

Λύση

394. Δίνεται συνάρτηση f, συνεχής στο , για την οποία ισχύει: x ημx f x εφx x για

κάθε x . Να βρείτε το f 0 .

Λύση


216

395. Δίνεται συνάρτηση f, δύο φορές παραγωγίσιμη στο με f συνεχή στο , για την

οποία ισχύει: f 0 f 0 0και f 0 2 .Να αποδείξετε ότι

2

x 0

x f xlim 1

xf x

Λύση

396. Δίνεται συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο . Να αποδείξετε ότι

2h 0

f x 2h f x 2h 2f xlim f x

4hΛύση

00

2h 0 DLH h 0

f x 2h f x 2h 2f x f x 2h x 2h f x 2h x 2hlim lim

4h 8h

h 0 h 0

22f x 2h 2f x 2hlim lim

8h

f x 2h f x 2h

8

4h

h 0

f x 2h f x f x 2h f x1 lim4 h

h 0

f x 2h f x f x 2h f x1 lim4 h h

1 2f x 2 f x f x4

γιατί

ukh u hk

h 0 u 0 u 0 u 0

f x kh f x f x u f x f x u f xlim lim k lim kf xuh u

k

397. Δίνεται συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο . Να αποδείξετε ότι

2h 0

f x 3h 3f x h 6f xlim 2f x

3h


217

Λύση

398. Να βρείτε τα α,β ,για τα οποία η συνάρτηση

2xe αx, x 0f x

ln x 1 β 3, x 0είναι

παραγωγίσιμη στο 0x 0 .Λύση

Επειδή η f είναι παραγωγίσιμη στο 0x 0 , θα είναι και συνεχής, οπότε: 2x 0

x 0 x 0lim f x lim e x e 1 f 0

και

x 0 x 0lim f x lim ln x 1 3 3

.

Πρέπει 3 1 4 . Επίσης, για x 0 είναι

0

2x 2x0

DLHx 0 x 0 x 0

f x f 0 e x 1 2ef 0 lim lim lim 2x x 1

και για x 0 ,

x 0 x 0 x 0

f x f 0 ln x 1 3 1 ln x 1 4f 0 lim lim lim

x x x

00

x 0 x 0 x 0 x 0

1ln x 1 4 4 ln x 1 1x 1lim lim lim lim 1

x x 1 x 1

.

Άρα, πρέπει 2 1 1 .


xαe x 1, x 0f x4ημx βx 2, x 0

. Αν η f είναι παραγωγίσιμη

στο 0x 0 , να βρείτε τα α,β .Λύση


218

400. Να βρείτε τις τιμές των α,β , για τις οποίες ισχύει:

2x

2x 0

e αxημx βσυνx 1lim2x

.

Λύση

Έστω 2x

2e x x xf x

x

με x 0

1limf x2 , x 0 .

Τότε, 2x 2e x x x x f x και

2x 2 0

x 0 x 0lim e x x x lim x f x e 0 0 1 0 1

.

Για 1 είναι2 2

0x x0

2x 0 DLH x 0

e x x x 2xe x x x xlim limx 2x

2x

x 0

x x 1 x 1 3lim e 12 x 2 2 x 2 2 2 2

. Άρα 3 1 12 2 .

401. Αν

x

2x 0

e αxημ2x βσυν2x x 9lim2x

, να βρείτε τα α,β .

Λύση

402. Δίνεται συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο για την οποία ισχύει ότι

3 x 2f x f x e x x 1 για κάθε x . Να βρείτε το

2x 0

f xlim

x.


219

ΛύσηΣτη σχέση 3 x 2f x f x e x x 1 (1), για x 0 προκύπτει:

3f 0 f 0 0 2e 1 f 0 f 0 1 0 f 0 0 .

Επειδή η f είναι παραγωγίσιμη στο , θα είναι και συνεχής, οπότε x 0limf x f 0 0

.

Άρα, το ζητούμενο όριο 2x 0

f xlim

xείναι της μορφής 0

0

και γίνεται 2x 0 x 0

f x f xlim lim

x 2x

(2).

Δεν ξέρουμε όμως αν η f είναι 2 φορές παραγωγίσιμη για να εφαρμόσουμε ξανά τον κανόνα deL’Hospital. Από την (1), παραγωγίζοντας κατά μέλη, έχουμε:

2 x 2 x3f x f x f x e 2x 1 f x 3f x 1 e 2x 1 x

2e 2x 1f x3f x 1

(3).

Οπότε, η (2) με βάση την (3), γίνεται:

x

2 x

2x 0 x 0 x 0

e 2x 1f x 3f x 1 e 2x 1 1 1 1 1lim lim lim

2x 2x 2x 3f x 1 2 1 2

, αφού

0x x0

x 0 DLH x 0

e 2x 1 e 2 1lim lim2x 2 2

.

403. Έστω συνάρτηση f, με συνεχή δεύτερη παράγωγο στο , για την οποία ισχύει: 0f x 1 , 0f x 4 και 0f x f x , για κάθε x , 0x . Να υπολογίσετε το όριο

0x x0 0 0

1 1limf x f x x x f x

.

Λύση

404. Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f : με x

lim f x 2f x 4 . Αν υπάρχει στο το όριο

xlim f x , να αποδείξετε ότι:

α)

xlim f x 0 β)

xlim f x 4

Λύση


220

α) Έστω xlim f x

, τότε

2x 2x 2x

22xx x DLH x 2x

e f x 2e f x e f xlim f x lim lim

e 2 e

2x

x

elim

22x

2f x f x

2 e

2x

x

1 lim f x 2f x e 02

β) Έστω f x 2f x g x με xlim g x 4

, τότε: f x g x 2f x και

x xlim f x lim g x 2f x 4

405. Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f : με x

lim f x f x 6 . Αν υπάρχει στο το όριο

xlim f x , να αποδείξετε ότι:

α)

xlim f x 6 β)

xlim f x 0

Λύση

40η Κατηγορία: 0 , , 00 , 0 , 0 , 1 , 0

Αν έχουμε 0x x

lim f x g x

ή xlim f x g x

με 0x x

lim f x 0

και 0x x

lim g x

, τότε, για να

άρουμε την απροσδιοριστία, μετασχηματίζουμε σε σύνθετο κλάσμα και περνάμε σε

απροσδιοριστίες 00

ή

, που τις υπολογίζουμε όπως στην πρώτη μέθοδο. Συγκεκριμένα:

0

0

0

x x

x x

x x

f x 0lim 1 0g x

lim f x g xg x

lim 1f x


221

000 , 0 , 1 ,

Όταν έχουμε να υπολογίσουμε όριο της μορφής

0

g x

x xlim f x

και προκύπτει απροσδιοριστία

της μορφής 00 ή 1 ή 0 , τότε:

- Μετασχηματίζουμε g x g x lnf xf x e , f x 0 .

- Είναι

0

g x

x xlim f x

0

g x lnf x

x xlim e

.

Υπολογίζουμε το όριο του εκθέτη 0x x

lim g x lnf x

, στο οποίο ενδεχομένως να εφαρμόσουμε

κάποια από τις προηγούμενες μεθόδους.


α)x 0

lim xlnx β)

x 0lim εφx ln x γ)

1x

xlim x e 1

Λύση

α) 0

DLHx 0 x 0 x 0 x 0

1ln xln x xlim x ln x lim lim lim1 1

x x

2

1x

x 0lim x 0

β) Είναι 0

x 0lim x ln x

x 0

ln xlim 1x

DLHx 0

ln xlimx

2

x 0 x 02

1xxlim lim1 x

x

x 0

xlim x 1 0 0x

.

γ)

1x

x 0lim x e 1

010x

x DLH

e 1lim 1x

1x

2

x

2

1exlim 1

x

10x

xlim e e 1

.


α)

21

2 xx 0lim x e β)

2 x

xlim x x e γ)

x 0

lim lnx ln x 1 δ)

x 0lim ln x ημx x

Λύση


222

408. Να υπολογίσετε τα όρια: α)

2

xlim 3x 2lnx β)

x 0

1 xlimx 1 συνx

Λύση

α) Είναι

2

xlim 3x 2ln x

2

2x

ln xlim x 3 2x

.

Όμως, 2 2x DLH x x

1ln x 1xlim lim lim 0x 2x 2x

και 2

xlim x

, άρα 22x

ln xlim x 3 2x

.

β) Είναιx 0

1limx και

00

DLHx 0 x 0

x 1lim lim1 x x

, οπότε

x 0

1 xlimx 1 x

02 0

DLHx 0

1 x xlimx 1 x

00

DLHx 0

x 2xlim1 x x x

x 0

x 2limx x x x

x 0

1lim x 22 x x x

, γιατί

x 0 x 0

1 1 1lim lim x2 x x x x 2 xx

και x 0lim x 2 1 0

.


α)

x 2

xlim e x x β)

xlim x ln x γ)

x 0

1 1limημx x

δ)

x 1

1 1limln x x 1

ε)

x 0

1 xlimx 1 συνx

στ)

x

xlim ln e 1 x

Λύση


223


α)

x

x 0lim x β)

2x

x

x 1limx 1

γ)

1x

xlim x 3

Λύσηα) Είναι

0

x x ln x

x 0 x 00lim x lim e

. Όμως

0 DLHx 0 x 0

ln xlim x ln x lim 1x

x 0 x 02

1xlim lim x 01x

. Θέτουμε x ln x u . Όταν x τότε

u 0 , άρα x x ln x u 0

u 0x 0 x 0lim x lim e lime e 1

.

β)2

2x x 1x lnx 1

x x1

x 1lim lim ex 1

και

02

x

x 1lim x lnx 1

00

x DLH

2

x 1lnx 1lim 1x

3

2x x

3

2x 1 x 1 xlim lim2 x 1

x

Θέτουμε 2 x 1x ln ux 1

. Όταν x τότε u , άρα2

2x x 1x lnux 1

x x u

x 1lim lim e lim ex 1

.

γ) Είναι 01

xxlim x 3

ln x 31 ln x 3x x

x xlim e lim e

. Όμως,

x DLH x

1ln x 3 x 3lim lim

x 1

x

1lim 0x 3

. Θέτουμε ln x 3u

x .Όταν x τότε u 0 ,

άρα ln x 31

u 0xxx x u 0lim x 3 lim e lime e 1

.


α)

x 1

x 1lim x 1 , x 1 β)

1x

xlim x γ)

1x

xlim ln x


224

δ)

x

x 0lim ημx ε)

1ημx

x 0lim x 1 στ)

1x x

xlim e x

ζ)

1ln x

x 0lim εφx η)

x

x

1lim 1x

Λύση


225

412. Δίνεται η συνάρτηση xf x ln e 1 lnx, x 0 .

α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f.Λύση

413. Δίνεται η συνάρτηση f x xlnx x 1 , x 0

α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.β) Να αποδείξετε ότι xln x x 1 για κάθε x 0 .γ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f.

Λύση


226


xlnx, x 0f x0, x 0

.

α) Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο 0.β) Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση f και να βρείτε το σύνολο τιμών της.

Λύση

415. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 2ln x 2xlnx 1 έχει ακριβώς μια ρίζα στο 0, .

Λύση

www.askisopolis.gr Ασύμπτωτες

227

Ασύμπτωτες– Κατακόρυφη ασύμπτωτη

Η ευθεία 0x x λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f, αν ένατουλάχιστον από τα όρια

0x xlim f x

,

0x xlim f x

είναι ή .

Κατακόρυφη ασύμπτωτη έχουν οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων που το πεδίο ορισμούτους είναι ανοικτό διάστημα ή ένωση ανοικτών διαστημάτων. Για να τις προσδιορίσουμε,βρίσκουμε τα όρια στα άκρα των διαστημάτων του πεδίου ορισμού της.

Αν η ευθεία 0x x είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της fC , τότε δεν αποκλείεται η fC να τηντέμνει.

– Οριζόντια ασύμπτωτηΗ ευθεία y λέγεται οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης μίας συνάρτησης f στο (αντιστοίχως στο ), αν

xlim f x

(αντιστοίχως xlim f x

).

Αν η ευθεία y είναι οριζόντια ασύμπτωτη της fC στο , τότε η fC μπορεί και να την τέμνει.

ΟρισμόςΗ ευθεία y x λέγεται ασύμπτωτη (πλάγια) της γραφικής παράστασης της f στο ,αντιστοίχως στο , αν

xlim f x x 0

ή αντιστοίχως

xlim f x x 0

.Συνήθως, για τον προσδιορισμό των ασύμπτωτων μίας συνάρτησης f, χρησιμοποιούμε το παρακάτωθεώρημα:

ΘεώρημαΗ ευθεία y x είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο , αντιστοίχως στο , αν και μόνο αν:

x

f xlim

x και

xlim f x x

, αντίστοιχα

x

f xlim

x και

xlim f x x

.


227



0x xlim f x

,

0x xlim f x

είναι ή .




xlim f x


).



xlim f x x 0


xlim f x x 0



x

f xlim

x και

xlim f x x


x

f xlim

x και

xlim f x x

.


227



0x xlim f x

,

0x xlim f x

είναι ή .




xlim f x


).



xlim f x x 0


xlim f x x 0



x

f xlim

x και

xlim f x x


x

f xlim

x και

xlim f x x

.


228

Παρατηρήσεις1. Η αναζήτηση πλάγιας ή οριζόντιας ασύμπτωτης μίας συνάρτησης f, έχει νόημα μόνο αν υπάρχουν

περιοχές του ή του στο πεδίο ορισμού της f.2. Αν μία ευθεία είναι ασύμπτωτη της fC , τότε η fC μπορεί και να την τέμνει.3. Μία συνάρτηση συνεχής σε κλειστό διάστημα δεν έχει ασύμπτωτες.4. Στην ίδια περιοχή του ή αντίστοιχα του , μία συνάρτηση δεν μπορεί να έχει πλάγια και

οριζόντια ασύμπτωτη.5. Οι πολυωνυμικές συναρτήσεις με βαθμό μεγαλύτερο ή ίσο του 2, δεν έχουν ασύμπτωτες.6. Τα πολυώνυμα με βαθμό 1 ή 0 ή το μηδενικό πολυώνυμο, έχουν ασύμπτωτη τον εαυτό τους.

7. Οι ρητές συναρτήσεις

P xQ x

, στις οποίες ο βαθμός του αριθμητή P x είναι μεγαλύτερος

τουλάχιστον κατά δύο βαθμούς του παρονομαστή, δεν έχουν πλάγιες ασύμπτωτες.

8. Αν x

f xlim 0

x , τότε η fC δεν έχει πλάγια ασύμπτωτη στο ή στο και έχει οριζόντια

ασύμπτωτη στην αντίστοιχη περιοχή.

40η Κατηγορία: ΑσύμπτωτεςΚατακόρυφη ασύμπτωτηΒρίσκουμε το πεδίο ορισμού fD .Αν το πεδίο ορισμού έχει ανοικτό άκρο , τότε εξετάζουμε τα όρια

xlimf x

ή

xlim f x

ή

xlim f x

.Αν κάποιο από τα προηγούμενα όρια είναι , τότε η x είναι κατακόρυφη

ασύμπτωτη.Μπορεί το fD και να είναι σημείο αλλαγής τύπου μίας συνάρτησης που δεν είναι συνεχήςστο α. Αν κάποιο από τα πλευρικά όρια στο α είναι , τότε η x είναι κατακόρυφηασύμπτωτη της fC .

Πλάγια - Οριζόντια ασύμπτωτηΒρίσκουμε το πεδίο ορισμού της f. Αν το fD έχει άκρο ή , τότε ενδεχομένως η fC ναέχει πλάγια ή οριζόντια ασύμπτωτη.

Βρίσκουμε τα

x

f xlim

x και

xlim f x x

.

Αν

x

f xlim *

x και

xlim f x x

, τότε η y x είναι πλάγια

ασύμπτωτη της fC στο .Αν 0 και

xlim f x

, τότε η y είναι οριζόντια ασύμπτωτη της fC στο .

Με όμοιο τρόπο εξετάζουμε την πλάγια ή οριζόντια ασύμπτωτη της fC στο .

416. Να βρείτε, αν υπάρχουν, οι κατακόρυφες ασύμπτωτες των γραφικών παραστάσεων τωνσυναρτήσεων:

α)

23x 5x 2f xx 2

β) g x σφx , x 0,π γ)

x 1, x 1h x 1 , x 1

x 1Λύση

α) Είναι fD 2 ,2 2, .Θα εξετάσουμε για κατακόρυφη ασύμπτωτη της fC στο 0x 2 .


229

Είναι 2

x 2 x 2

3x 5x 2limf x limx 2

2

x 2

1lim 3x 5x 2x 2

γιατίx 2

1limx 2

και

2

x 2lim 3x 5x 2 20

. Άρα η x 2 είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη.

β) Είναι gD 0, , οπότε θα εξετάσουμε για κατακόρυφες ασύμπτωτεςστα σημεία 1x 0 και 2x .

Είναι x 0 x 0 x 0

xlim g x lim x limx

x 0

1lim xx

γιατίx 0lim x 1 0

,

x 0

1limx

αφούx 0lim x 0

και x 0 για κάθε x 0,

2

. Άρα, η x 0 , δηλαδή ο άξονας

x΄x, είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη. Επίσης, x xlim g x lim x

x

1lim xx

, γιατί

xlim x 1 0

,

x

1limx

αφούxlim x 0

και x 0 για κάθε x ,

2

, οπότε και η

x είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη.

γ) Είναι x 1 x 1

1lim h x limx 1

, οπότε η x 1 είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της fC .

417. Να βρείτε, αν υπάρχουν, τις κατακόρυφες ασύμπτωτες των γραφικών παραστάσεωντων παρακάτω συναρτήσεων:

α)

xe 1f xx

β)

lnxf xx 1

γ)

3 , x 1f x x 12x 4, x 1

Λύση


230

418. Να εξετάσετε αν οι γραφικές παραστάσεις των παρακάτω συναρτήσεων, δέχονταιοριζόντιες ή πλάγιες ασύμπτωτες:

α)

2x x 3x 2f xx 1

β) ημxg xx

Λύση

α) Πρέπει2x 3x 2 0 x 1

x 1 0

ή x 2 ,άρα fD ,1 2, .

Είναι 2

x x

f x x x 3x 2lim limx x x 1

2

x

3 2x 1x xlim 1

1x 1x

. Άρα, 1 .

Είναι 2

x x

x x 3x 2lim f x x lim xx 1

2 2

x

x x 3x 2 x xlimx 1

2

x

xlim x 3x 2 x 1x 1

2 2

2x

x 3x 2 x 1 x 3x 2 x 1xlimx 1 x 3x 2 x 1

2 2

2x

x x 3x 2 x 2x 1limx 1 x 3x 2 x 1

x

2

1x 1x xlim

1 3 2 1x 1 x 1 1x x x x

x

2

111 1xlim 1 23 2 11 1 1x x x x

.Άρα, 12

και η ευθεία 1y x2

είναι πλάγια

ασύμπτωτη της fC στο .Όμοια, αποδεικνύεται ότι η ευθεία 1y x2

είναι πλάγια ασύμπτωτη

της fC στο .

β) Είναι gD ,0 0, . Είναι 2x x

g x xlim limx x

, όμως

2 2 2 2 22

xx 1 1 x 1x x x x xx

και λόγω του κριτηρίου παρεμβολής, είναι: 2x

xlim 0x

.

Άρα, x

g xlim 0

x και η gC έχει οριζόντια ασύμπτωτη.

Είναι x x

xlim g x lim 0x

, αφού x 1

x x

και λόγω κριτηρίου παρεμβολής ισχύει ότι

x

xlim 0x

.Άρα, η ευθεία y 0 , δηλαδή ο άξονας x x , είναι οριζόντια ασύμπτωτη της fC στο

.Επειδή δεν διαφοροποιούνται τα προηγούμενα όρια όταν x , η y 0 είναι οριζόντιαασύμπτωτη της fC και στο .


231

419. Να βρείτε τις οριζόντιες ασύμπτωτες των γραφικών παραστάσεων των παρακάτωσυναρτήσεων:

α) 2f x x 4x 6 x β)

24x 1f xx

Λύση

420. Δίνεται συνάρτηση f : για την οποία ισχύει ότι

3 2

2

3x 5x 23x 5 f xx

για

κάθε x 0 . Να εξετάσετε αν η fC έχει πλάγια ασύμπτωτη.

Λύση

Για x 0 έχουμε: 3 2

3

f x5 3x 5x 23x x x

.

Επειδήx

5lim 3 3x

,3 2 3

3x x

3x 5x 2 3 xlim limx

3x3 , σύμφωνα με το κριτήριο παρεμβολής είναι

και x

f xlim 3 3

x .

3 2

23x 5x 23x 5 f x

x

3 2

23x 5x 25 f x 3x 3x

x


232

2

25x 25 f x 3x

x

. Επειδή2

2x

5x 2lim 5x

είναι και

xlim f x 3x 5

.

Άρα, η y 3x 5 είναι πλάγια ασύμπτωτη της fC στο . Με παρόμοιο τρόπο διαπιστώνουμε ότι ηy 3x 5 είναι πλάγια της fC και στο .

421. Δίνεται συνάρτηση f παραγωγίσιμη και κυρτή στο , για την οποία ισχύει ότι

f 1 0 και 2

lnx1 f x 1x

για κάθε x 1 . Να αποδείξετε ότι η ευθεία y x 1 είναι

πλάγια ασύμπτωτη της fC στο .

Λύση

422. Δίνεται η συνάρτηση xf x x e συνx

α) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της Cf στο .β) Να βρείτε το πλήθος των κοινών σημείων της Cf με τις ασύμπτωτες του προηγούμενου

ερωτήματος.Λύση

α) Για κάθε x 0 , είναι xxf x x e x x1 e

x x x

.

Είναιxx 1 1 x 1

x x x x x x

και επειδή

x x

1 1lim 0 limx x

,ισχύειx

xlim 0x

. Άρα x

x x

f x xlim lim 1 e 1x x

.

Είναι x xf x x x e x x e x και

x x xf x x e x e x e x xe f x x e

Επειδή x x

x xlim e 0 lim e

είναι και

xlim f x x 0

.


233

Οπότε η ευθεία y x είναι ασύμπτωτη της Cf στο .

β) Οι τετμημένες των κοινών σημείων της Cf με την ασύμπτωτη y x , είναι οι λύσεις της εξίσωσης

xf x x x e x x xe x 0 x 0 x k , k2

.

Επομένως τα κοινά σημεία είναι της μορφής k ,k , k2 2

.

423. Δίνεται η συνάρτηση 2xf x 2x 1 e ημx , x .

α) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της fC στο .β) Να βρείτε τα σημεία τομής της fC με τις ασύμπτωτές της στο .

Λύση


2α 2 x βx 3f x

2x γ. Να βρείτε τα α,β, γ , για τα οποία οι

ευθείες x 3 και y 2είναι ασύμπτωτες της fC .

Λύση

Για να ορίζεται η f, πρέπει 2x 0 x2

, οπότε fD2

.

Για να είναι η x 3 κατακόρυφη ασύμπτωτη της fC , πρέπει x 3limf x

ή

x 3lim f x

ή

x 3lim f x

να

είναι .Αυτό μπορεί να συμβαίνει όταν 3 62

.

Για να είναι η y 2 οριζόντια ασύμπτωτη της fC , πρέπει xlim f x 2

.


234

– Αν 2 0 2 , τότε x 3f x2x 6

και

x x x

xx 2lim f x lim lim

2x 6

2x

x

6 22x

. Πρέπει 2 42

.

– Αν 2 0 2 , τότε xlim f x

2

x

2 xlim

2x

x

2 xlim

2

.

– Αν 2 0 2 , τότε όμοια xlim f x

.

Άρα τελικά 2 και 4 .Για 2 , 4 , 6 θα επαληθεύσουμε αν η x 3 είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της fC . Είναι:

x 3 x 3 x 3

4x 3 1lim f x lim lim 4x 32x 6 2x 6

, αφού

x 3lim 4x 3 15 0

και

x 3

1lim2x 6

.

Άρα, η x 3 είναι όντως κατακόρυφη ασύμπτωτη της fC , οπότε οι προηγούμενες τιμές των α,β,γ,είναι δεκτές.


2α 1 x βx γf x

x γ. Να βρείτε τα α,β, γ , ώστε οι

ευθείες 1ε : x 2 και 2ε : y 3x 4 να είναι ασύμπτωτες της fC .

Λύση


235

426. Να βρείτε τα α,β, γ με β 0 , για τα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης

2f x 2αx 4βx γx 2 έχει στο πλάγια ασύμπτωτη μία ευθεία παράλληλη στην

1ε : y 4x 3 και στο οριζόντια ασύμπτωτη την y 1 .Λύση

Πρέπει 24 x x 2 0 , είναι 2 32 0 , οπότε το τριώνυμο έχει δύο ρίζες 1 2, με 1 2

και τότε το πεδίο ορισμού της f είναι f 1 2D , , . Οπότε, έχουν νόημα οι ασύμπτωτες στο και αντίστοιχα. Επειδή η fC έχει πλάγια ασύμπτωτη μία ευθεία παράλληλη στην

1 : y 4x 3 ισχύει: x

f xlim 4

x . Είναι

2

x x x

xf x 2 x 4 x x 2lim lim lim

x x

222 4

x xx

2 4 2 2 .

Πρέπει 2 2 4 (1).

Επειδή η fC έχει οριζόντια ασύμπτωτη στο , ισχύει: x

f xlim 0

x

Είναι 2 2

x x x

22 x x 4f x 2 x 4 x x 2 x xlim lim limx x x

2

x

2x 2 4x x

lim 2 4 2 2x

. Άρα, 2 2 0 (2).

Από (1), (2) προκύπτει 1 και 1 , οπότε 2f x 2x 4x x 2 .Επειδή η fC έχει οριζόντια ασύμπτωτη στο την y 1 , ισχύει ότι:

xlim f x 1

.

Είναι 2 2

2

2x x x

4x x 2 4xlim f x lim 4x x 2 2x lim4x x 2 2x

x

2

2xxlim

2x 4 2x x

4

. Οπότε, 1 4

4

.

427. Δίνεται η συνάρτηση 2f x 9x αx 2 βx , α 0,6 , β . Να βρείτε τα α,β,

ώστε η ευθεία ε : y 6x 1 να είναι ασύμπτωτη της fC στο .

Λύση


236

428. Έστω g,h συνεχείς συναρτήσεις τέτοιες, ώστε να ισχύει g x h x x 4 , x .

Έστω η ευθεία y 3x 7 είναι ασύμπτωτη της gC στο . Να βρείτε τα όρια:

α)

x

h xlim

xβ)

2x

h x 3x ημ2xlim

xg x 3x 1

Λύση

Επειδή η y 3x 7 είναι πλάγια ασύμπτωτης της gC στο , τότε γνωρίζουμε ότι: x

g xlim 3

x και

xlim g x 3x 7

.

α) Από τη σχέση g x h x x 4 είναι h x g x x 4 , οπότε:

x x

h x g x x 4lim lim

x x

x

g x 4lim 1x x

3 1 0 2 .

β) Έχουμε 2x

h x 3x 2xlim

xg x 3x 1

x

h x 2xx 3x x

lim1x g x 3xx

x

h x 2x3 2x 2xlim 1g x 3x

x

2 3 2 0 57 0 7

.

Είναι2x2x 1 1 2x 1

2x 2x 2x 2x 2x 2x

και από το κριτήριο παρεμβολής ισχύει ότι

x

2xlim 02x

.

429. Δίνονται οι συνεχείς συναρτήσεις f,g : , για τις οποίες ισχύει:

f x g x x 4 , x . Έστω ότι η ευθεία y 3x 7 είναι ασύμπτωτη της fC στο .

α) Να υπολογίσετε τα όρια: i.

x

g xlim

xii.

2x

g x 3x ημ2xlim

xf x 3x 1

β) Να αποδείξετε ότι η ευθεία y 2x 3 είναι ασύμπτωτη της gC στο .

Λύση


237

430. Δίνεται συνάρτηση f : της οποίας η γραφική παράσταση έχει στο ασύμπτωτητην ευθεία y 2x 7 . Να υπολογίσετε τις τιμές του α 2 , για τις οποίες:

2

2x

α 1 f x 4αχ 7lim 4

xf x 2x α 5 x 4.

Λύση

Είναι: x

f xlim 2

x και

xlim f x 2x 7

.

2

2x x

x1 f x 4 7lim lim

xf x 2x 5 x 4

2 f x 71 4x

4f x 2x 5x

22 1 4 07 5 0

22 2 4 42

2 22 2 4 4 8 2 8 6 0 2 4 3 0 1 ή 3 .


2α 1 x βx 3f x

x γ. Να βρείτε τα α,β, γ , ώστε οι

ευθείες x 2 και y 2 να είναι ασύμπτωτες της fC .

Λύση


238

432. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης

22x 5x 1f xx 2

έχει

ασύμπτωτη στο την ευθεία y 2x 1 .Λύση

433. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης

2

ημ πxln x ,x 0,1 1,

f x x 1π ,x 1

Λύση


239


lnxg x 2xx

, x 0 .

α) Να βρείτε τη πλάγια ασύμπτωτη της gC στο .

β)Έστω συνάρτηση f : 0, δύο φορές παραγωγίσιμη με f x 0 για κάθε x 0 .

Αν η fC έχει δύο κοινά σημεία με την πλάγια ασύμπτωτη της gC , να αποδείξετε ότι η

εξίσωση xf x f x 0 έχει ακριβώς μία ρίζα στο 0, .

Λύση


240

435. Δίνονται οι συναρτήσεις f,g : 0, για τις οποίες ισχύει 2g x f x x xlnx

για κάθε x 1 . Αν οι γραφικές παραστάσεις των f,g δέχονται πλάγιες ασύμπτωτες στο τις ευθείες 1 2ε ,ε αντίστοιχα, να δείξετε ότι 1 2ε ε .

Λύση

436. Δίνεται συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο 0, . Αν η ευθεία y λx β , λ 0 είναι

ασύμπτωτη της Cf στο , να αποδείξετε ότι:α)

xlim f x λ β)

x

lim f x xf x β

Λύση


241

437. Έστω συνάρτηση f , ορισμένη στο , της οποίας η γραφική παράσταση έχει στο ασύμπτωτη την ευθεία y λx β , λ 0 .

α) Να αποδείξετε ότι

xlim f x .

β) Αν ορίζεται η σύνθεση fof , να βρείτε την ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης τηςfof στο .

γ) Να εξετάσετε αν οι γραφικές παραστάσεις των f,fof , δέχονται κοινή ασύμπτωτη στο .

Λύση


242

www.askisopolis.gr Αρχική συνάρτηση

243

Ολοκληρωτικός λογισμός


244


245

Αρχική συνάρτηση

Ορισμός: Έστω μια συνάρτηση fορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αρχική συνάρτηση ή παράγουσατης f στο Δ ονομάζεται κάθε συνάρτηση F που είναι παραγωγίσιμη στο Δ και ισχύει:

F x f x για κάθε x .

ΘεώρημαΈστω συνάρτηση f ορισμένη στο Δ και F η αρχική της f στο Δ. Τότε: Όλες οι συναρτήσεις της μορφής F x c , c είναι αρχικές της f στο Δ. Κάθε άλλη αρχική G της f στο Δ παίρνει τη μορφή G x F x c , c .

Παρατηρήσεις1. Κάθε συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα Δ, έχει παράγουσα σ’ αυτό το διάστημα.2. Αν συνάρτηση f δεν έχει παράγουσα σε ένα διάστημα Δ, τότε δεν είναι συνεχής στο διάστημα αυτό.3. Η αρχική συνάρτηση μιας συνάρτησης f ορίζεται σε ένα διάστημα και όχι σε ένωση διαστημάτων.

Για παράδειγμα αν 21f x

x

τότε αρχική αυτής είναι F x x σε καθένα από τα

διαστήματα 2 ,2 , .4. Αν 1F , 2F αρχικές της f τότε 1 2F x F x c 0 .

Ασκήσεις

1. Να βρείτε τις παράγουσες των παρακάτω συναρτήσεων:α) 2f x 3x 4x 1 β) f x συνx ημx

γ) x 1f x 2x

, x 0 δ)

2xxe 3x 1f xx

, x 0

Λύση

α) Παρατηρούμε ότι 3 2 2F x x 2x x 3x 4x 1 f x , άρα οι παράγουσες της f είναι:

3 2F x x 2x x c, c .

β) Παρατηρούμε ότι F x x x x x f x , άρα οι παράγουσες της f είναι:

F x x x c, c .

γ) Παρατηρούμε ότι x2 1F x 2 x 2 f xln 2 x

, άρα οι παράγουσες της f είναι:

2F x 2 x c, cln 2

.

δ) Είναι 2xxe 3x 1 xf x

x

2xe

x3 x

x

2x1 1e 3x x

, x 0


246

Παρατηρούμε ότι 2x

2xe 1F x 3x ln x e 3 f x2 x

, άρα οι παράγουσες της f είναι:

2xeF x 3x ln x c, c2

.

2. Να βρείτε τις παράγουσες των παρακάτω συναρτήσεων:α) 2f x 6x 2x 3 β) f x ημx 2συν2x

γ) x 2xf x e 2e δ)

x 2xe 4x 2f xx

, x 0

ε) 2 2

1 1f xσυν x ημ x

,

πx 0,2

στ)

2

2

2x 1f x

x, x 0

ζ) 3f x 3 x 6 x , x 0 η)

3 2

2

συν x ημ x 3f xσυν x

,

πx 0,2

Λύση


247

3. Να βρείτε τις παράγουσες των παρακάτω συναρτήσεων:α) x xf x xe e β) f x xσυνx ημx

γ) 2

1 lnxf xx

, x 0 δ) x

1 xf xe

Λύση

α)Είναι x x x x xf x xe e f x x e x e xe , οπότε αν xF x xe , τότε

xF x xe f x . Άρα οι παράγουσες της f είναι: xF x xe c, c .

β) f x x x x x x x x x x οπότε αν F x x x , τότε

F x x x f x . Άρα οι παράγουσες της f είναι: F x x x c, c .

γ) 2 2 2

1x ln x x ln x x ln x1 ln x ln xxf xx x x x

, οπότε αν ln xF xx

, τότε

ln xF x f xx

. Άρα οι παράγουσες της f είναι: ln xF x c, cx

.

δ)

x xx x x

2 2x x x xx x

x e x ee 1 x1 x e xe xf xe e e ee e

, οπότε αν x

xF xe

, τότε

xxF x f xe

. Άρα οι παράγουσες της f είναι: xxF x c, ce

.

4. Να βρείτε τις παράγουσες των παρακάτω συναρτήσεων:α) xf x 1 x e β) f x ημx xσυνx

γ) f x lnx 1 δ) 2

xσυνx ημxf x

x, x 0

Λύση


248

5. Να βρείτε τις παράγουσες των παρακάτω συναρτήσεων:

α) 42 3f x 10 3x 2 x 2x 5 β) 3f x συνx ημ x

γ)

2

x 1f xx 2x 5

δ) lnxf xx

ε) 2xf x 2xe στ)

2

2xf xx 1

Λύση

α) 4 42 3 3 3f x 10 3x 2 x 2x 5 10 x 2x 5 x 2x 5

53f x 2 x 2x 5 άρα, αν 53F x 2 x 2x 5 , τότε F x f x .

Οπότε οι παράγουσες της f είναι: 53F x 2 x 2x 5 c, c .

β) 4

3 3 xf x x x x x4

, άρα, αν 4xF x

4

, τότε F x f x .Άρα οι

παράγουσες της f είναι: 4xF x c, c

4

.

γ) 2

2

2 2 2

x 2x 5x 1 2x 2f x x 2x 5x 2x 5 2 x 2x 5 2 x 2x 5

, άρα αν 2F x x 2x 5 ,

τότε F x f x .Οπότε οι παράγουσες της f είναι: 2F x x 2x 5 c, c .

δ) 2ln x ln xf x ln x ln x

x 2

άρα, αν 2ln xF x2

, τότε F x f x .Άρα οι παράγουσες της f

είναι: 2ln xF x c, c2

.

ε) 2 2 2x 2 x xf x 2xe x e e άρα, αν 2xF x e , τότε F x f x . Άρα οι παράγουσες της f

είναι: 2xF x e c, c .

στ) 2

22 2

x 12xf x ln x 1x 1 x 1

άρα, αν 2F x ln x 1 , τότε F x f x .Άρα οι

παράγουσες της f είναι: 2F x ln x 1 c, c


249


α) 32f x 4 2x 4 x 4x 1 β) f x συνx ημx γ)

2

x 1f x3x 6x 8

δ) 2ln xf xx

, x 0 ε) xef x

2 x, x 0 στ)

2

2xf xx 4

ζ) f x ασυν αx β η)

x 3f x 23x 1

, x 0 θ) f x σφx , x 0,π

Λύση


250

7. Δίνονται οι συναρτήσεις 2xf x αημx βσυνx e και 2xg x 2ημx συνx e . Να βρεθούν

τα α , β ώστε η f να είναι παράγουσα της g .Λύση

Πρέπει να ισχύει f x g x .Είναι: 2x 2xf x x x e x x e

2x 2xf x x x e 2e x x

2xf x e x x 2 x 2 x 2xf x e 2 x 2 x Για να είναι. f x g x για κάθε x , πρέπει:

2x2 x 2 x e 2x2 x x e

Άρα,2 22 1

14

, 32

.

8. Δίνονται οι συναρτήσεις 2 2xf x αx βx γ e και 2xg x 4x 2 e . Να βρείτε τα

α,β, γ για τα οποία η f να είναι παράγουσα της g.Λύση

9. Να βρείτε τις αρχικές συναρτήσεις των παρακάτω συναρτήσεων:

α) 2f x συνx 7x

β)

x

x

e ημx συνx, x 0g x

3e 3, x 0.

Λύση

α) Η συνάρτηση 2f x x 2x

είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της ,0 0, . Για την

αρχική συνάρτηση F της f στο διάστημα ,0 έχουμε: F x 2ln x x 7x

1 1F x 2ln x x 7x c 2ln x x 7x c 1c .


251

Για την αρχική συνάρτηση F της f στο διάστημα 0, έχουμε: F x 2ln x x 7x

2 2F x 2ln x x 7x c 2ln x x 7x c Άρα το σύνολο όλων των αρχικών συναρτήσεων της f στο * αποτελείται από τις συναρτήσεις της

μορφής: 1

2

2ln x x 7x c , x 0F x

2ln x x 7x c , x 0

β)Είναι x

x 0 x 0lim g x lim e x x 0

, x

x 0 x 0lim g x lim 3e 3 0

και g 0 0 .Άρα η

συνάρτηση g είναι συνεχής στο . Είναι x xg x e x x e x x ,

Αν G αρχική της g, τότε για x 0 είναι: x1 1G x e x x c , c και για x 0 είναι

x2 2G x 3e 3x c , c .

Άρα μια αρχική συνάρτηση της g στο είναι x

1x

2

e x x c , x 0G x

3e 3x c , x 0

Επειδή η G x είναι παραγωγίσιμη στο θα είναι και συνεχής στο οπότε θα είναι και συνεχής στο

0x 0 . Δηλαδή: x 0 x 0lim G x lim G x

x x

1 2x 0 x 0lim e x x c lim 3e 3x c

0 01 2e 0 c 3e c 1 22 c 3 c 2 1c c 1 .

Άρα το σύνολο των αρχικών συναρτήσεων της g στο έχει τη γενική μορφή:

x

1x

1

e x x c ,x 0G x

3e 3x c 1,x 0

.


α)

x

2x 1, x 0f xe , x 0

β)

ημx x, x 0f xσυνx 1, x 0

γ) f x x 2

Λύση


252

11. Έστω F μια αρχική της συνεχούς συνάρτησης f στο . Αν η F δεν είναι “1–1” να δειχθείότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f τέμνει τον άξονα x x τουλάχιστον σε ένα σημείο.

ΛύσηΈστω ότι η fC δεν τέμνει τον άξονα x x σε κανένα σημείο, δηλαδή f x 0 για κάθε x . Αφού Fαρχική της f τότε F x f x 0 δηλαδή F x 0 για κάθε x . Επειδή η F είναι παραγωγίσιμηστο θα είναι συνεχής και παραγωγίσιμη σε τυχαίο διάστημα 1 2x ,x με 1 2x x . Άρα σύμφωνα με το

Θ.Μ.Τ. θα υπάρχει 1 2x ,x τέτοιο, ώστε: 1 2

1 2

F x F xF

x x

. Όμως F 0 άρα:

1 2F x F x 0 1 2F x F x . Αφού για κάθε 1 2x x είναι 1 2F x F x τότε η F θα είναι“ 1–1” που είναι άτοπο. Άρα η γραφική παράσταση της f θα τέμνει τον x x τουλάχιστον σε ένα σημείο.

12. Δίνεται συνεχής συνάρτηση f : με παράγουσα F για την οποία ισχύει:

x

x

4e 3f x , xe 4

.

α) Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία η συνάρτηση g x F x 4x .

β) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f τέμνει την ευθεία y 4x το πολύ σε ένασημείο.

γ) Να υπολογίσετε το όριο

xlim F x 1 F x .

Λύση


253

13. Δίνεται συνεχής συνάρτηση f : με παράγουσα F. Αν F 0 f 0 1 , και

f x F 1 x e για κάθε x , τότε:

α) Να αποδείξετε ότι F 1 e .

β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g x F x F 1 x είναι σταθερή στο και να βρείτε τη

τιμή της.γ) Να αποδείξετε ότι η F είναι γνησίως μονότονη.δ) Να βρείτε την f.

Λύση

14. Δίνεται συνάρτηση f : με παράγουσα F για την οποία ισχύει 2 2 24αF x 4α F x

για κάθε x , α . Να αποδείξετε ότι:α) F 0 F 1 2α .

β) η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα x΄x τουλάχιστον μία φορά.Λύση


254

15. Έστω F αρχική της 2xf x e , x . Να αποδείξετε ότι

xlim F x .

Λύση

16. Δίνονται οι συνεχείς συναρτήσεις f,g : όπου F, G αντίστοιχα οι παράγουσες τους.Αν 2xF x G x f x g x e για κάθε x και F 0 1 , να βρείτε τις συναρτήσεις f,g.

Λύση


255

17. Δίνεται συνεχής συνάρτηση f : 0, με παράγουσα F για την οποία ισχύει:

1f F x 4xx

για κάθε x 0 και F 1 2 . Να αποδείξετε ότι

α) F x 0 για κάθε x 0,

β)

1F F x 4x

, x 0

γ) η f είναι σταθερή και να βρείτε τον τύπο της.Λύση

www.askisopolis.gr Ορισμένο ολοκλήρωμα

256

Ορισμένο ΟλοκλήρωμαΝα αποδείξετε ότι το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της

συνάρτησης 2f x x , τον άξονα των x και τις ευθείες x 0 και x 1 είναι 1E3

Απόδειξη

Μια μέθοδος να προσεγγίσουμε το ζητούμενο εμβαδόν είναι ηεξής:

Χωρίζουμε το διάστημα ]1,0[ σε ν ισομήκη υποδιαστήματα,

μήκουςν

xΔ 1 , με άκρα τα σημεία: 00 x ,

νx 1

1 ,ν

x 22 ,

………….….,ν

νxν1

1

, 1ννxν .

Σχηματίζουμε τα ορθογώνια με βάσεις τα υποδιαστήματα αυτάκαι ύψη την ελάχιστη τιμή της f σε καθένα από αυτά. (Σχ. 6).Μια προσέγγιση του εμβαδού που ζητάμε είναι τοάθροισμα, νε , των εμβαδών των παραπάνω ορθογωνίων.Δηλαδή, το:

1 1 1 2 1 1 1f (0) f f f

2222 12101

νν

ννν

])1(21[1 2223 ν

ν

2

2

3 6132

6)12()1(1

νννννν

ν

.

Αν, τώρα, σχηματίσουμε τα ορθογώνια με βάσειςτα παραπάνω υποδιαστήματα και ύψη τηνμέγιστη τιμή της f σε καθένα απ’ αυτά (Σχ. 7),τότε το άθροισμα

1 1 2 1 1f f f

των εμβαδών των ορθογωνίων αυτών είναι μιαακόμη προσέγγιση του ζητούμενου εμβαδού.Είναι όμως,

1 1 2 1 1f f f

222 211νν

ννν )21(1 222

3 νν

2

2

3 6132

6)12)(1(1

νννννν

ν

.

Το ζητούμενο, όμως, εμβαδόν Ε βρίσκεται μεταξύ των και E . Δηλαδή ισχύει , οπότε

lim lim . Επειδή 1lim lim

3 , έχουμε 1

3 .

vv12

v1v

1

1O x

y 7

. . .

y=x2

1

Ω

1O x

yy=x2

5

2v

1v

vv1

1

1O x

y 6

. . .

y=x2


257

Ορισμός εμβαδού

Έστω συνάρτηση f συνεχής στο διάστημα , με f x 0 για κάθε x , και το χωρίοπου ορίζεται από την fC τον άξονα x x και τιςευθείες x , x .Για να ορίσουμε το εμβαδόν του χωρίου εργαζόμαστε ως εξής: Χωρίζουμε το διάστημα , σε ν ισομήκη

υποδιαστήματα, μήκους x

με τα

σημεία 0 1 2x x x ... x . Επιλέγουμε αυθαίρετα σε κάθε υποδιάστημα 1x , x ένα σημείο με 1,2,..., , καισχηματίζουμε τα ορθογώνια που έχουν βάση

x και ύψη τα f . Το άθροισμα τωνεμβαδών των ορθογωνίων ισούται με:

1 2S f x f x ... f x

Υπολογίζουμε το lim S

.

Αποδεικνύεται ότι το lim S

υπάρχει στο και είναι ανεξάρτητο από την επιλογή των

σημείων . Το όριο αυτό ονομάζεται εμβαδόν του επίπεδου χωρίου και συμβολίζεται με E .

Η έννοια του ορισμένου ολοκληρώματος

Έστω μια συνάρτηση f συνεχής στο , . Αν χωρίσουμεόπως προηγουμένως το , σε

ισομήκη υποδιαστήματα μήκους x

με τα

σημεία 0 1 2x x x ... x και επιλέξουμεαυθαίρετα 1x ,x για κάθε 1,2,..., , τότε το άθροισμα

1 2S f x f x ... f x μπορούμε να το

συμβολίσουμε 1

S f x

.

Αποδεικνύεται ότι το lim Sδηλαδή

1lim f x

υπάρχει και είναι ανεξάρτητο από την επιλογή των ενδιάμεσων σημείων .


257




με τα



1 2S f x f x ... f x


.







με τα




S f x

.


1lim f x



257




με τα



1 2S f x f x ... f x


.







με τα




S f x

.


1lim f x



258

Το παραπάνω όριο ονομάζεται ορισμένο ολοκλήρωμα της f από το στο και συμβολίζεται

f x dx

. Δηλαδή: 1

f x dx lim f x

Αν επιλέξουμε ως το δεξιό άκρο κάθε υποδιαστήματος, δηλαδή

τότε προκύπτει ο

ορισμός του ορισμένου ολοκληρώματος κατά Riemann:

1

f x dx lim f

Παρατηρήσεις1.Οι αριθμοί και ονομάζονται όρια ολοκλήρωσης2.Το ορισμένο ολοκλήρωμα είναι σταθερός πραγματικός αριθμός και είναι ανεξάρτητο από τη

μεταβλητή ολοκλήρωσης. Δηλαδή:

f x dx f u du f d f d

3.Από τον ορισμό του ορισμένου ολοκληρώματος προκύπτει ότι κάθε συνάρτηση f συνεχής στο , είναι ολοκληρώσιμη σε αυτό.

4.Αν f x 0 για κάθε x , τότε το f x dx

δίνει το εμβαδόν του χωρίου που

περικλείεται από την fC , τον άξονα x x και τις ευθείες x και x .

Ιδιότητες του ορισμένου ολοκληρώματος

1. Ο ορισμός του ορισμένου ολοκληρώματος επεκτείνεται και όταν ως εξής:

f x dx 0

και f x dx f x dx

2. Αν οι συναρτήσεις f και g είναι συνεχής στο , και , τότε:

f x dx f x dx

f x g x dx f x dx g x dx

f x g x dx f x dx g x dx

3. Αν η f είναι συνεχής στο και , , τότε:

f x dx f x dx f x dx

(σχέση Chasles)

4. Έστω f συνεχής στο διάστημα , με f x 0 για κάθε x , . Αν η f δεν είναι παντού μηδέν

στο , τότε f x dx 0

.

5. Είναι cdx c

.


259

ΠαρατήρησηΑν f x 0 για κάθε x , τότε f x dx 0

.

Αν όμως f x dx 0

, τότε δεν ισχύει f x 0 για κάθε x , παρά μόνο με την προϋπόθεση ότι

f x 0 ή f x 0 για κάθε x , .

Θεμελιώδες θεώρημα ολοκληρωτικού λογισμού

Έστω f μια συνεχής συνάρτηση στο , . Αν G είναι μια παράγουσα της f στο , τότε:

f x dx G G G x

Απόδειξη

Σύμφωνα με το προηγούμενο θεώρημα, η συνάρτησηx

F(x) f (t)dt

είναι μια παράγουσα της f στο

[ , ] . Επειδή και η G είναι μια παράγουσα της f στο[ , ] , θα υπάρχει c τέτοιο, ώστεG(x) F(x) c . (1)

Από την (1), για x , έχουμε G( ) F( ) c f (t)dt c c

, οπότε c G( ) .

Επομένως, G(x) F(x) G( ) ,οπότε, για x , έχουμε G( ) F( ) G( ) f (t)dt G( )

και

άρα f (t)dt G( ) G( )

.

Μέθοδοι Ολοκλήρωσης

Ολοκλήρωση κατά παράγοντες: f x g x dx f x g x f x g x dx

όπου f ,g συνεχείς στο , .

Μέθοδος αντικατάστασης: 2

1

u

uf u du f g x g x dx

όπου f ,g συνεχείς στο , και 1u g , 2u g

Ανισοτικές σχέσεις ολοκληρωμάτωνΠρόταση 1Αν για κάθε x , είναι f x g x τότε f x dx g x dx

ΑπόδειξηΕπειδή f x g x 0 για κάθε x , τότε :

f x g x dx 0

f x dx g x dx 0

f x dx g x dx


260

Πρόταση 2Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο , , τότε υπάρχουν m,M τέτοια ώστε:

m f x dx M

.

ΑπόδειξηΕπειδή η f είναι συνεχής στο , τότε από το θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής θα υπάρχουνm,M τέτοια ώστε m f x M για κάθε x , . Οπότε σύμφωνα με την προηγούμενη πρόταση

mdx f x dx Mdx

m f x dx M

Παρατήρηση: Δεν ισχύουν τα αντίστροφα των παραπάνω προτάσεων.

Πρόταση 3Έστω συνάρτηση f συνεχής στο 0, με f x dx 0

για κάθε , 0, με . Να

αποδείξετε ότι f x 0 για κάθε x 0 .

ΑπόδειξηΈστω ότι υπάρχει 0x 0, με 0f x 0 τότε, κοντά στο 0x θα είναι f x 0 , δηλαδή θα υπάρχουν

θετικοί αριθμοί γ,δ πολύ κοντά στο 0x τέτοιοι, ώστε f x dx 0

. Το τελευταίο όμως είναι άτοπο γιατί

f x dx 0

για κάθε , 0, με , άρα f x 0 για κάθε x 0 .


18. Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f.

Έστω x

0F x f t dt , x 0,5 .

Αν το εμβαδόν του χωρίου Ω είναι E Ω 5 , να υπολογίσετε τα

F 0 , F 2 , F 4 , F 5 .

Λύση

Είναι 0

0F 0 f t dt 0 ,

2

0

2 4F 2 f t dt 42

4 2 4

0 0 2

2 4F 4 f t dt f t dt f t dt 2 4 122

και

5 4 5

0 0 4F 5 f t dt f t dt f t dt 12 5 17


260


m f x dx M

.


mdx f x dx Mdx

m f x dx M








f x dx 0




Έστω x

0F x f t dt , x 0,5 .


F 0 , F 2 , F 4 , F 5 .

Λύση

Είναι 0

0F 0 f t dt 0 ,

2

0

2 4F 2 f t dt 42

4 2 4

0 0 2

2 4F 4 f t dt f t dt f t dt 2 4 122

και

5 4 5

0 0 4F 5 f t dt f t dt f t dt 12 5 17


260


m f x dx M

.


mdx f x dx Mdx

m f x dx M








f x dx 0




Έστω x

0F x f t dt , x 0,5 .


F 0 , F 2 , F 4 , F 5 .

Λύση

Είναι 0

0F 0 f t dt 0 ,

2

0

2 4F 2 f t dt 42

4 2 4

0 0 2

2 4F 4 f t dt f t dt f t dt 2 4 122

και

5 4 5

0 0 4F 5 f t dt f t dt f t dt 12 5 17


261

19. Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση μιαςσυνάρτησης f . Να υπολογίσετε τα παρακάτω ολοκληρώματα:

0

1 2Ι f x dx

1

2 2Ι f x dx

3

3 1Ι f x dx

5

4 3Ι f x dx

Λύση

20. Να βρείτε τις τιμές του α για τις οποίες ισχύει:

2

2

2 2α 4 6α

6α α 4

συν x συν xdx dx 81 ημx 1 ημx

Λύση2

2

2 24 6

6 4

x xdx dx 81 x 1 x

2 22 24 4

6 6

x xdx dx 81 x 1 x

2 2 24

6

x x dx 81 x 1 x

2 4 2

6

1 x 1 xx dx 81 x 1 x

2 4 2

26

2x dx 81 x

2 4 2

26

2x dx 8x

2 4

62dx 8

22 4 6 8 2 6 4 4 2 6 8 0 2 ή 4

21. Αν ισχύει:

2

2

2 2λ 1 λ 3 1

2 2λ 3 λ 1 1

4x 3x 5 3x 3x 9dx dx 2dxx 4 x 4

, να βρείτε το λ .

Λύση


261


0

1 2Ι f x dx

1

2 2Ι f x dx

3

3 1Ι f x dx

5

4 3Ι f x dx

Λύση


2

2

2 2α 4 6α

6α α 4


Λύση2

2

2 24 6

6 4

x xdx dx 81 x 1 x

2 22 24 4

6 6

x xdx dx 81 x 1 x

2 2 24

6

x x dx 81 x 1 x

2 4 2

6

1 x 1 xx dx 81 x 1 x

2 4 2

26

2x dx 81 x

2 4 2

26

2x dx 8x

2 4

62dx 8

22 4 6 8 2 6 4 4 2 6 8 0 2 ή 4


2

2

2 2λ 1 λ 3 1

2 2λ 3 λ 1 1

4x 3x 5 3x 3x 9dx dx 2dxx 4 x 4


Λύση


261


0

1 2Ι f x dx

1

2 2Ι f x dx

3

3 1Ι f x dx

5

4 3Ι f x dx

Λύση


2

2

2 2α 4 6α

6α α 4


Λύση2

2

2 24 6

6 4

x xdx dx 81 x 1 x

2 22 24 4

6 6

x xdx dx 81 x 1 x

2 2 24

6

x x dx 81 x 1 x

2 4 2

6

1 x 1 xx dx 81 x 1 x

2 4 2

26

2x dx 81 x

2 4 2

26

2x dx 8x

2 4

62dx 8

22 4 6 8 2 6 4 4 2 6 8 0 2 ή 4


2

2

2 2λ 1 λ 3 1

2 2λ 3 λ 1 1

4x 3x 5 3x 3x 9dx dx 2dxx 4 x 4


Λύση


262

22. Αν είναι 5

3f x dx 4 ,

9

7f x dx 6 και

9

5f x dx 13 , να βρείτε τα ολοκληρώματα:

α) 9

3f x dx β)

7

5f x dx γ)

3

7f x dx

Λύσηα)

9 5 9

3 3 5f x dx f x dx f x dx 4 13 17

β) 7

5f x dx

9 7

5 9f x dx f x dx

9 9

5 7f x dx f x dx 13 6 7

γ) 3 7

7 3f x dx f x dx

5 7

3 5f x dx f x dx 4 7 11

23. Αν είναι 4

3f x dx 4 ,

8

7f x dx 6 και

8

4f x dx 14 , να βρείτε τα ολοκληρώματα:

α) 8

3f x dx β)

7

4f x dx γ)

3

7f x dx

Λύση

24. Δίνεται συνάρτηση f συνεχής στο . Να αποδείξετε ότι:

2 3 3 2 1 3

0 1 0 1 0 2f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx .

ΛύσηΕπειδή η f είναι συνεχής στο , ορίζεται η αρχική της F. Τότε:

2 2

00f x dx F x F 2 F 0 ,

3 3

11f x dx F x F 3 F 1 ,

3 3

00f x dx F x F 3 F 0 ,

2 2

11f x dx F x F 2 F 1

1 1

00f x dx F x F 1 F 0 ,

3 3

22f x dx F x F 3 F 2 .

2 3 3 2

0 1 0 1f x dx f x dx f x dx f x dx F 2 F 0 F 3 F 1 F 3 F 0 F 2 F 1

F 2 F 3 F 2 F 1 F 0 F 3 F 0 F 1 F 3 F 2 F 3 F 1


263

F 0 F 2 F 0 F 1 F 0 F 2 F 2 F 1 F 0 F 3 F 3 F 1

F 1 F 3 F 2 F 0 F 3 F 2

1 3

0 2F 3 F 2 F 1 F 0 f x dx f x dx

25. Δίνεται συνάρτηση f συνεχής στο . Να αποδείξετε ότι:

5 6 6 5 3 6

1 3 1 3 1 5f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx .

Λύση


2β x

α α

1 t β α1 t dz dx

2.

Λύση


264

27. Να βρείτε το λ για το οποίο ισχύει:

2 29 5 3 3

2 23 4 1 9

ln x 2x 5 3x x ln x 2dx xdt λdx dx xx x 3 x x 3

Λύση

2η ΚατηγορίαΥπολογισμός στοιχειωδών ολοκληρωμάτων

Τα βασικά ορισμένα ολοκληρώματα τα υπολογίζουμε χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες των ολοκληρωμάτωνκαι το θεμελιώδες θεώρημα του ολοκληρωτικού λογισμού:

f x dx

G x G G

όπου G μια αρχική συνάρτηση της f .

Ολοκλήρωμα συνάρτησης πολλαπλού τύπουΕξετάζουμε αρχικά την f ως προς τη συνέχεια στο διάστημα ολοκλήρωσης.

Στο σημείο 0x , που η f αλλάζει τύπο ισχύει: 0

0

x

1 2xf x dx f x dx f x dx

28. Να υπολογίσετε τα παρακάτω ολοκληρώματα:α)

2 31

12x 4x 2 dx β) 4

1x 1 dx

γ)

2

1

1 2 dxx 2x 1

δ)

π4

20

1 ημ2x dxσυν x

Λύση

α) 2 3

112x 4x 2 dx 12

43 x

44

22 x

2

2

1

2x 48 8 4 3 2 2 48


265

β) 4

3 4 41 24 4 32

1 1 1 1

1

x 2 2 5x 1 dx x 1 dx x x x x x x3 3 3 32

γ) 2 2 2

11 1

2x 11 2 1dx dx ln x ln 2x 1x 2x 1 x 2x 1

6ln 2 ln 5 ln 3 ln 6 ln 5 ln5

δ)4

420

0

1 2x 12x dx xx 2 2

29. Να υπολογίσετε τα παρακάτω ολοκληρώματα:

α) 1 3 20

x 6x 4 dx β)

1 31

4x 2x 1 dx γ) π2

02ημx 3συνx dx

δ) π x0

4e 3συνx 1 dx ε) π2

0ημ2x συν4x dx στ)

π4

20

1 ημx dxσυν x

ζ)

π3π 2 24

3 1 dxημ x συν x

η)

π 2 24π 2 2π6

ημ x συν x dxημ xσυν x

θ)

x2

1

xe 2 dxx

ι) π

04ημ2x 2συν2x dx κ)

3 22

1

6x 8x 5x 2 dxx

λ) 4

1x xdx

Λύση


266


α)

30

1

x 1 dxx 1

β)

3 23

2

2x x x 2 dxx 1

γ) 9

4x 2 dx

δ) 29

15 x 1 x dx ε)

16 30

4 x 5 x dx στ)

364

38

x x dxx

ζ) 4

0x 1 x 2 dx η)

2

1

1x dxx

θ) 1 30

x x dx

ι)

2

1

3 2 dx3x 4 2x 1

κ) π

240

1 εφ x dx λ) π2

01 2ημxσυνxdx

Λύση


267

31. Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα:

α) π21f x dx με

22x 4x, x 0f xημx, x 0

β)

2

3x 2 x 1 dx


x 0 x 0lim f x lim 2x 4x 0 f 0

και

x 0 x 0lim f x lim x 0 0

.

Άρα η f είναι συνεχής στο 1,2

οπότε: 0 22 21 1 0f x dx 2x 4x dx xdx

0 03 2

20

1 1

x x2 4 x3 2

2 112 13 3

β) Έστω: g x x 2 x 1 .Αν x 3, 2 , τότε g x x 2 x 1 2x 1

Αν x 2,1 , τότε g x x 2 x 1 3 καιαν x 1,2 , τότε g x x 2 x 1 2x 1 .

Δηλαδή:

2x 1 , x 3, 2g x 3 , x 2,1

2x 1 , x 1,2

Η g x x 2 x 1 είναι συνεχής στο ως πράξη συνεχών συναρτήσεων άρα είναι συνεχής και

στο 3,2 , οπότε: 2

3g x dx

2 1 2

3 2 12x 1 dx 3dx 2x 1 dx

2 212 223 1

x x 3 x x x 17

x -3 -2 1 2x+2x-1


268


α) 2

2f x dx , αν

3 2

x

4x 2x 1, x 0f x2e 1 , x 0

β) 1

2

0

x 8x 16 dx

Λύση


α) 52 2

06 x x 2x 1 dx β)

21 x02xe dx γ)

4

0 2

x dxx 9

δ) π

220

3ημ xσυνxdx ε)

0

x1

1 dx1 e

στ) π 22

0ημx συνx dx

Λύση

α) 2 2 25 5 62 2 2 2

0 0 06 x x 2x 1 dx 6 x x x x dx x x dx

262

0x x 64

β) 2 2 2 2 11 1 1x x 2 x x

0 0 0 02xe dx e x dx e dx e e 1

γ)

424 4 4 2 2

0 2 0 2 0 0

x 9x dx dx x 9 dx x 9 5 3 2x 9 2 x 9

δ) 2 2 3 32 2 2 2 00 0 0

3 x xdx 3 x x dx x dx x 1


269

ε) xx1 1 1 1 1

xx x x0 0 0 0 0

x x

e 11 1 1 edx dx dx dx dx1 e 11 e e 1 e 11e e

1x

0

e 1ln e 1 ln e 1 ln 2 ln2

στ) 2 2 22 20 0

x x dx x x 2 x x dx

20

1 2 x x dx

22 20 0

dx x dx

2 2 0

x 12 2


α) 2e

e

1 dxxln x

β) π ημx0

e συνxdx γ) 1

03x 1dx δ)

π2

03συνx ημxdx

Λύση

α) 2 2 2 2e e e e

e e e e

1 1 1 1dx dx ln x dx ln ln x dxx ln x ln x x ln x

2 e

eln ln x ln 2

β) x x x x 00 0 0

e xdx e x dx e dx e 1 1 0

γ) 1 11 1 12 2

0 0 0

1 13x 1dx 3x 1 3x 1 dx 3x 1 dx3 3

1

3 12 3

0

0

3x 11 2 2 143x 1 64 133 9 9 92

δ)3

1 22 2 2 2

0 0 0

( x)3 x xdx 3 ( x) ( x) dx 3 dx32

3 22

0

2 ( x) 2(1 0) 2


α) e

1

2ln x dxx

β) 2e

e

1 dxxln x

γ)

3 20 2 x x1

3x 2x e dx δ) π

220

3ημ xσυνxdx

ε) π

320

4συν xημxdx στ)

x1

x 20

e 2x dxe x

ζ)

π2π 24

ημ σφxdx

ημ xη)

1 4

010 2x 1 dx

θ)

2

41 2

2x 1 dxx x 1

ι) 41 2 3

03x 2 x 2x dx κ)

x1

x0

e dxe 1

λ) π

ημx20

συνxe dx

Λύση


270

36. Να βρείτε πολυωνυμική περιττή συνάρτηση f 3ου βαθμού για την οποία γνωρίζουμε ότι:

1

0f x dx 3 και f 1 4 .

Λύση


271

37. Να βρείτε πολυωνυμική συνάρτηση f 2ου βαθμού για την οποία ισχύει: 1

0f x dx 0 και η

γραφική της παράσταση παρουσιάζει ελάχιστο στο σημείο

2 1Μ ,3 3

.

Λύση


α) π

220

2xημx x συνx dx β) 1 2 x0x e 3 x dx γ)

e

12xln x x dx

δ) e

11 ln x dx ε)

x2

21

x 1 edx

xστ)

e

21

1 lnx dxx

ζ)

ππ 22

xσυνx ημx dxx

η)

xπ

2π 26

e ημx συνxdx

ημ xθ)

π3

20

συνx xημx dxσυν x

Λύση


272

39. Να υπολογίσετε τα παρακάτω ολοκλήρωμα:α)

1 x1e x dx β)

e

1x ln x dx γ)

1 x0

e xedx

Λύση


273

3η Κατηγορία: Μέθοδος ρητής συνάρτησης x

dxQ x

βαθμός x βαθμό Q xA. Αν στον αριθμητή με κατάλληλο μετασχηματισμό εμφανίζεται η παράγωγος του παρονομαστή,

δηλαδή P x Q x

τότε

Q x

I dxQ x

Q xdx

Q x

ln Q x c

B. Αν το P x δεν παίρνει τη μορφή Q x τότε αναλύουμε το Q x σε γινόμενο παραγόντων.

Έστω: 3 21 2Q x x x x x , τότε:

3 2

1 2

P xx x x x

2 3 21 2 2 2

xx x x xx x

Κάνουμε ομώνυμα στο δεύτερο μέλος και απαιτούμε οι αριθμητές των δύο κλασμάτων να είναιίσα πολυώνυμα. Έτσι δημιουργείται σύστημα, απ΄ όπου βρίσκουμε τα Α,Β,Γ,Δ,Ε,Ζ,… Στη

συνέχεια υπολογίζουμε το ολοκλήρωμα με βάση τον τύπο dx ln xx

βαθμός P x βαθμό Q xΚάνουμε την διαίρεση των πολυωνύμων P x : Q x και έστω x το πηλίκο και x τουπόλοιπο. Από την ταυτότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης είναι

P x Q x x x

P x x

xQ x Q x

, τότε:

P x xdx x dx

Q x Q x


α)

1

20

2x 1 dxx x 3

β)

1

0

4x 5dxx 2

γ)

1

20

x 7 dxx x 6

Λύση

α) 2

11 1 22 20 0 0

x x 32x 1 5dx dx ln x x 3 ln 5 ln 3 lnx x 3 x x 3 3

β) 1 1 1 1

0 0 0 0

4 x 24x 5 4x 8 3 3 3dx dx dx 4 dxx 2 x 2 x 2 x 2 x 2

1

0

34x 3ln x 2 4 3ln2

γ)

2 2

x 2 x 3 A B x 3B 2Ax 7x x 6 x 3 x 2 x 3 x 2 x x 6


274

ΕίναιA B 1

A 22A 3B 7

και B 1 ,οπότε:

1 1 1

2 00 0

x 7 2 1dx dx 2ln x 3 ln x 2x x 6 x 3 x 2

322ln 4 2ln3 ln 2 ln16 ln9 ln 2 ln9


α)

1

20

4x 1 dx2x x 3

β)

1

0

6x 7dx3x 2

γ)

0

21

2x 1 dxx 4x 3

Λύση

42. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα3 20

21

2x 7x 6x 1 dxx 4x 3

Λύση


275

Είναι 3 22x 7x 6x 1 22x 1 x 4x 3 4x 2

άρα

3 20

21

2x 7x 6x 1dxx 4x 3

2

0

21

2x 1 x 4x 3 4x 2dx

x 4x 3

0

21

4x 22x 1 dxx 4x 3

2 2

A B x 3A B4x 2 4x 2 A B Ax 3A Bx Bx 4x 3 x 1 x 3 x 1 x 3 x 1 x 3 x 4x 3

ΠρέπειA B 43A B 2

A 1 και B 5 . Τότε

0 0

21 1

4x 2 1 52x 1 dx 2x 1 dxx 4x 3 x 1 x 3

02

1x x ln x 1 5ln x 3

35ln ln 24

43. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα

3 21

20

4x 7x 5x 2 dxx x 1

Λύση


α)

23

32

6x 2x 2 dxx x

β)

23

3 22

x 2x 2 dxx 2x x

Λύση

3 22x 7x 6x 1 2x 4x 3

2x 13 22x 8x 6x

2x 12x 4x 3

4x 2


276

α)

2 2

36x 2x 2 6x 2x 2 A B

x x x x 1 x 1 x x 1 x 1

2 2 2 2

3

A x 1 B x x x x A B x B x Ax x 1 x 1 x x

ΠρέπειA B 6 3

B 2 B 1A 2 A 2

. Άρα

23 3

32 2

6x 2x 2 2 1 3dx dxx x x x 1 x 1

3

22ln x ln x 1 3ln x 1 ln3 3ln 4 ln 2

β)

2 2 2

2 23 2 2

x 2x 2 x 2x 2 x 2x 2 A Bx 2x x x x 1x x 2x 1 x x 1 x 1

2

2

A B x 2A B x Ax x 1

ΠρέπειA B 1 B 3

2A B 2 1A 2 A 2

. Άρα

23 3

23 22 2

x 2x 2 2 3 1dx dxx 2x x x x 1 x 1

3

2

1 32 12ln x 3ln x 1 lnx 1 9 2


23

22

4x 7x 20dxx 2 x 1

Λύση


277

4η Κατηγορία: Παραγοντική ολοκλήρωση

Χρησιμοποιούμε τον τύπο f x g x dx f x g x f x g x dx

Συνήθως τα ολοκληρώματα που εφαρμόζουμε παραγοντική ολοκλήρωση περιέχουν γινόμενασυναρτήσεων μέσα στις οποίες υπάρχουν xe , x , x , ln h x .Η συνάρτηση η οποία επιλέγουμε για να αντικαταστήσουμε με την αρχική της για ναεφαρμόσουμε τον τύπο, με σειρά επιλογής είναι:

xe

x , x

g x πολυώνυμο

1 (αν υπάρχει ολοκλήρωμα ln g x dx

)


α) 1 2x0

x 1 e dx β)

21

x0

x 2xdxe

Λύση

α) 12x 2x 2x1 1 12x

0 0 0 0

e e ex 1 e dx x 1 dx x 1 x 1 dx2 2 2

12 2x

0

1 1e e dx2 2

12x 2

2

0

1 1 e 3e 1e2 2 2 4

β) 21 1 12 x 2 x

x0 0 0

x 2xdx x 2x e dx x 2x e dxe

1 1x 2 x

00e x 2x 2x 2 e dx

11 x

0e 1 2 0 2x 2 e dx

2 1x x 0 0

1 2x 2 e 2x 2 e dxe

1

1x x0

0

1 12 2 e dx 2 2 ee e

1 12 2 1e e

1 2 12 2e e e


α) 1 2 2x0

x 1 e dx β)

1

x0

x 2dxe

Λύση


278


α) π2

0xσυνxdx β)

e

21

lnxdxx

γ) e

1ln xdx δ)

π3

20

x dxσυν x

Λύση

α) 2 2 22 00 0 0

x xdx x x dx x x x xdx

2 2 00

xdx x 12 2 2

β) e

e e e e

21 1 1 1 1

ln x 1 1 1 1 1 1dx ln x dx ln x ln x dx dxx x x x e x x

ee

21 1

1 1 1 1 2dx 1e x e x e

γ) e e e e

11 1 1ln xdx x ln xdx x ln x x ln x dx e x

1x

e

1dx e e 1 1

δ) 3 3 3 332 00 0 0 0

x 3 xdx x x dx x x x xdx dxx 3 x

3 3 00

x3 3dx ln x3 x 3

3 1 3ln ln 23 2 3

49. Να υπολογίσετε τα παρακάτω ολοκληρώματα: α) π2

0xημxdx β)

e 31

x ln xdx

Λύση


279

50. Να υπολογίσετε τα παρακάτω ολοκληρώματα: α) π

x20

e ημxdx β) π x0

e συν2xdx

Λύση

α) x x x x x2 2 2 2 22 00 0 0 0

e xdx e xdx e x e x dx e e xdx

x x x2 2 2 22 00 0

e e xdx e e x e x dx x2 2

0e 1 e xdx

Αν x2

0e xdx I

, τότε η προηγούμενη σχέση γίνεται:

2 2 21I e 1 I 2I e 1 I e 12

β) x x x x 00 0 0

e 2xdx e 2xdx e 2x e 2x dx

x x

0 0e 1 e 2 2x dx e 1 2 e 2xdx

x x

0 0e 1 2 e 2x 2 e 2x dx

x

0e 1 2 e 2 2xdx

= x

0e 1 4 e 2xdx

Αν x

0e 2xdx I ,τότε η προηγούμενη σχέση γίνεται:

1I e 1 4I 5I e 1 I e 15

51. Να υπολογίσετε τα παρακάτω ολοκληρώματα: α) 1 x0e συνxdx β)

π2x2

0e συν2xdx

Λύση


280

52. Δίνονται οι συναρτήσεις f , g με f , g συνεχής στο α,β . Αν f β g β 0 και

f α g α , να αποδείξετε ότι: β

αI f x g x f x g x dx f α f α g α

Λύση I f x g x dx f x g x dx

f x g x dx f x g x dx

I f x g x f x g x dx f x g x f x g x dx

I f g

0f g f

0g f g f g f g

I f f f g f f g

53. Δίνεται συνάρτηση f με συνεχή δεύτερη παράγωγο στο 0,π , για την οποία ισχύει:

π

0f x f x ημxdx 0 . Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f x 0 έχει τουλάχιστον μία ρίζα

στο 0,π .

Λύση

54. Δίνεται το ολοκλήρωμα π

ν2ν 0

I συν xdx , ν .

α) Να αποδείξετε ότι

ν ν 2

ν 1I Iν

, ν 2 . β) Να υπολογίσετε το 4I .

Λύση

α) 1 12 2 20 0 0

I xdx x xdx x x dx

1 1 2 22 22 0 0 0

I x x x xdx 1 x xdx


281

2 2 22 2 20 0 0

I 1 x 1 x dx 1 xdx 1 xdx

2 2I 1 I 1 I I 1 I 1 I 1 1 2I 1 I

2 21I 1 I I I

β) Για 4 είναι 02 24 2 2 0 0 0

4 1 3 3 2 1 3 3 3 3I I I I xdx dx4 4 4 2 8 8 8 2 16

55. Δίνεται το ολοκλήρωμα e ν

ν 1Ι ln xdx , ν Ν * .

α) Να αποδείξετε ότι: ν ν 1Ι e νΙ για κάθε ν 1 β) Να υπολογίσετε το 3Ι .Λύση

56. Δίνεται το ολοκλήρωμα

νx2

ν x0

eΙ dx1 e

, ν Ν * .

α) Να αποδείξετε ότι: 2νν ν 1

1Ι Ι e 1ν

β) Να υπολογίσετε το 2Ι .

Λύση


282

57. Δίνεται άρτια συνάρτηση f με συνεχή δεύτερη παράγωγο στο 3,3 . Να αποδείξετε ότι

3

3xf x f x dx 0 .

Λύση

58. Δίνεται συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο , για την οποία ισχύει:

2x

3 2

ef xx 16

για κάθε

x . Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα 3

0I f x f x dx .

Λύση


283

59. Δίνεται συνάρτηση f με συνεχή δεύτερη παράγωγο στο 0,1 , που ικανοποιεί τις

προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο διάστημα αυτό. Να αποδείξετε ότι:

1

0xf x dx f 1 .

Λύση

5η Κατηγορία: Μέθοδος αντικατάστασηςΓια να υπολογίσουμε ολοκληρώματα της μορφής f g x g x dx

κάνουμε τα εξής:

Θέτουμε u g x οπότε du g x dx

Αλλάζουμε τα όρια ολοκλήρωσης: Για x είναι 1u g , ενώ για x είναι 2u g .Τότε

g

gf u du

και το υπολογίζουμε ανάλογα.


α) 1 3

02x 1 dx β)

π εφx4

20

e dxσυν x

γ) 2e

1

ln xdxx

δ)

1

41 2

4x 2 dxx x 1

Λύση

α) Θέτουμε 12x 1 u 2x u 1 x u 12

. Τότε 1dx du2 .


284

Για x 0 είναι u 1 και για x 1 είναι u 3 . Είναι 341 33 3

0 1 1

1 1 u2x 1 dx u du 102 2 4

β) Θέτουμε x u , τότε 21 dx du

x

.Για x 0 είναι u 0 0 και για x

4 είναι u 1

4

.

Είναιx 1 1x u u4 42 2 00 0 0

e 1dx e dx e du e e 1x x

γ)Θέτουμε ln x u , τότε 1 dx dux . Για x 1 είναι u 0 και για x e είναι

u 1 . Είναι 12 3e e 12 2

1 1 0 0

ln x 1 u 1dx ln x dx u dux x 3 3

δ) Θέτουμε 2x x 1 u , τότε 2x 1 dx du . Για x 1 είναι u 1 και για x 1 είναι u 3 . Είναι

1 1 1 3

4 4 4 41 1 1 12 2 2

2 2x 14x 2 2 2dx dx 2x 1 dx duux x 1 x x 1 x x 1

333 4

1 1

u 522u du 23 81


α) x4

1

e dxx

β) π 42

01 ημx συνxdx γ)

πημx2

0συνx 2 dx

Λύση


285

62. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα πe

1I συν ln x dx

ΛύσηΈστω uln x u x e . Τότε udx e du .Για x 1 είναι u ln1 0 και για x e είναι u ln e . Τότε

u u u u 00 0 0

I u e du e udu e u e u du

u u

0 0e 1 e udu e 1 e udu

u u 0 0

e 1 e u e u du

u

0I e 1 e udu

1I e 1 I 2I e 1 I e 12

.


α)

π3

0

1 dx1 ημx β)

πe

1ημ ln x dx γ)

2π

0συν xdx

Λύση


286


α)

2e

e

ln x 1 dxxln x

β )

52

6 61

6x dxx 1 ln x 1

γ)

x1

x x0

e dxe 2 ln e 2

δ) π2π6

σφxln ημx dx

Λύση


α)

3x 2x x1

x0

e 2e 5e 6 dxe 2

β)

π2

20

3συνx dxημ x 7ημx 10

γ)

ln12

ln 5 x

dxe 4

Λύση


287

6η Κατηγορία: Ολοκληρώματα με ρίζες

x, x dx

, ,

1ος τρόπος: Θέτουμε και 1x u x u

και 1dx du

.

2ος τρόπος: Θέτουμε x u x u 1x u

1 άρα

1dx u du

Σε ασκήσεις που εμφανίζονται ριζικά διαφορετικής τάξεως αλλά με το ίδιο υπόριζο x ,κάνουμε τα εξής:Βρίσκουμε το Ε.Κ.Π. των τάξεων των ριζικών και έστω αυτό είναι .

Θέτουμε x u x u και 1dx u du


288

Ολοκληρώματα της μορφής 2 21I x dx

, 2

2 0I 2 x x dx

Επειδή 2 2x 0 και 22 x x 0 τα 1 2I , I μπορούννα αντιμετωπιστούν ως εμβαδά. Έστω

2 2 2 2 2 2 2 2y x y x x y Το 1I είναιτο εμβαδόν του ημικυκλικού δίσκου του διπλανούσχήματος. Επειδή για το εμβαδό του κύκλου ισχύει ότι

2E , είναι2

1EI2 2

Για το 2I έχουμε: 2 2 2y 2 x x y 2 x x

22 2 2 2x 2 x y 0 x y

Δηλαδή το το 2I είναι το εμβαδόν του τεταρτοκυκλίου πουέχει κέντρο K ,0 και ακτίνα ρ του διπλανού σχήματος.

Άρα 2

K,22 0

EI 2 x x dx

4 4

.


1 21

1 x dx β) 2 20

4x x dx

Λύσηα) 2 2 2 2 2y 1 x 0 y 1 x x y 1

Το ζητούμενο ολοκλήρωμα αντιπροσωπεύει το εμβαδόν του ημικυκλίου πουορίζει ο μοναδιαίος κύκλος πάνω από τον άξονα x΄x. Επειδή το συνολικόεμβαδό είναι 2 2E 1 , για το ολοκλήρωμα ισχύει

1 2

1

E1 x dx2 2

β) 2 2 2y 4x x 0 y 4x x 2 2x 4x y 0

2 2x 2 y 4 .Το ζητούμενο ολοκλήρωμα αντιπροσωπεύει τοεμβαδόν του τεταρτοκυκλίου που ορίζει ο κύκλος κέντρου K 2,0 καιακτίνας 2 και οι ευθείες x 0 και x 2 .Επειδή το εμβαδόν του κύκλου είναι 2 2E 2 4 ,

για το ολοκλήρωμα ισχύει:2 2

0

E4x x dx4


α)

α 2 2α

α x dx , α 0 β) 1 20

2x x dx γ) 3 2

1x 4xdx

Λύση


288


, 2

2 0I 2 x x dx



2E , είναι2

1EI2 2


22 2 2 2x 2 x y 0 x y


Άρα 2

K,22 0

EI 2 x x dx

4 4

.


1 21

1 x dx β) 2 20

4x x dx

Λύσηα) 2 2 2 2 2y 1 x 0 y 1 x x y 1


1 2

1

E1 x dx2 2

β) 2 2 2y 4x x 0 y 4x x 2 2x 4x y 0



0

E4x x dx4


α)

α 2 2α

α x dx , α 0 β) 1 20

2x x dx γ) 3 2

1x 4xdx

Λύση


288


, 2

2 0I 2 x x dx



2E , είναι2

1EI2 2


22 2 2 2x 2 x y 0 x y


Άρα 2

K,22 0

EI 2 x x dx

4 4

.


1 21

1 x dx β) 2 20

4x x dx

Λύσηα) 2 2 2 2 2y 1 x 0 y 1 x x y 1


1 2

1

E1 x dx2 2

β) 2 2 2y 4x x 0 y 4x x 2 2x 4x y 0



0

E4x x dx4


α)

α 2 2α

α x dx , α 0 β) 1 20

2x x dx γ) 3 2

1x 4xdx

Λύση


289


α) 4 20

x x 9dx β)

1 32

4 31

1 x 1dxx x

γ) 1 33 20x x 1dx

Λύσηα)1ος τρόπος: Θέτουμε 2x 9 u , τότε 2xdx du . Για x 0 είναι u 9 και για x 4 είναι u 25 .

Είναι14 4 25 252 2 2

0 0 9 9

1 1 1x x 9dx x 9 2xdx udu u du2 2 2

25

3 252 253

9 9

9

1 u 1 1 98u u u32 3 3 32

2ος τρόποςΘέτουμε 2 2 2 2 2x 9 u x 9 u x u 9 . Τότε 2xdx 2udu .Για x 0 είναι u 3 και για x 4 είναι u 5 . Είναι

4 42 2

0 0

1 1x x 9dx x 9 2xdx2 2

u 2 535 5 2

3 3 3

u 98udu u du3 3

β) Θέτουμε3

3 3x 1 1u 1 u

x x , τότε 4

3 dx dux .Για x 1 είναι u 2 και για 1x

2 είναι u 9 .

Είναι

93

1 1 13 3 29 92 2 2

4 3 3 41 1 2 2

2

1 x 1 x 1 3 udx 3 dx 3 udu 3 u du 3 3x x x x2


290

9 93

2 2

1 1 2 2 27u u u2 2 2

γ) Θέτουμε 2 2x 1 u x u 1 , τότε 2xdx du .Για x 0 είναι u 1 και για x 1 είναι u 2 .

Είναι 4 11 1 2 23 33 2 2 2 3 3 3

0 0 1 1

1 1 1x x 1dx x x 1 2xdx u 1 udu u u du2 2 2

2

7 43

3 3

1

3 2 2 91 u u7 42 563 3

69. Να υπολογίσετε τα παρακάτω ολοκληρώματα: α) 2 20

x 4 x dx β) 5 22

x x 1dx

Λύση


362

31

5 x 2 1Ι dx

x 2 x 2Λύση

Το Ε.Κ.Π. του 2 και του 3 είναι το 6. Θέτουμε 6 x 2 u 1 οπότε23 x 2 u και 3x 2 u . Από την 1 είναι 6x 2 u άρα 5dx 6u du .

Για x 1 είναι u 1 και για x 62 είναι u 2 . Άρα το ολοκλήρωμα γίνεται:

3 264 2 5

2 331 1

5 x 2 1 5 u 1dx 6u du

u ux 2 x 2

5 u 1 u 1

2u 1 u

2 5

16u 3du

2 23 4 3

1 130u u 1 du 30u 30u du 6 30

5u5

304

15 u4

2

2

1

1472

. Άρα 147

2


291

71. Να υπολογίσετε τα παρακάτω ολοκληρώματα: α)

4

0

x 2 x 2 dxx 1

β)

4

0

x 2 x 2 dxx 1

Λύση

7η Κατηγορία: Τριγωνομετρικά ολοκληρώματαΟλοκληρώματα της μορφής x xdx

, ,

Αν ο ν ή ο μ είναι περιττός ακέραιος. Έστω 2 1 , τότε:2 1 2x xdx x xdx x x xdx

2x 1 x xdx

Στη συνέχεια θέτουμε x u και υπολογίζουμε το ολοκλήρωμα που προκύπτει.Αν οι ν,μ είναι άρτιοι, τότε χρησιμοποιώντας τους τύπους αποτετραγωνισμού:

2 1 2xx2

, 2 1 2xx

2

και2xx x

2

το ολοκλήρωμα μετατρέπεται σε άθροισμα ολοκληρωμάτων που υπολογίζονται ευκολότερα.


292


α) π 5π12

I ημ xdx β) π

3 722 0

Ι ημ xσυν xdx

Λύση

α) 225 4 2 2

12 2 2 2

I xdx x xdx x xdx 1 x xdx

Θέτουμε x u ,τότε xdx du .Για x2 είναι u 0 , ενώ για x είναι u 1

15 321 12 4 2

1 0 0 0

u u 21 u du u 2u 1 du 2 u5 3 15

β) 3 7 2 7 2 72 2 22 0 0 0

x xdx x x xdx 1 x x xdx

Θέτουμε x u , τότε xdx du .Για x 0 είναι u 1 , ενώ για x

2 είναι u 0 . Είναι

08 100 02 7 7 9

2 1 1 1

u u 11 u u du u u du8 10 40


α) π

320

ημ xdx β) π

320

συν xημxdx γ) π

3 220

ημ xσυν xdx

Λύση


293

74. Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα: α) π

420

I συν xdx β) π4

40

1I dxσυν x

Λύση

α) 2

24 22 2 20 0 0

1 2xxdx x dx dx2

222 2 2 2

0 0 0 0

1 2 2x 2x 1 1 1I dx dx 2xdx 2xdx4 4 2 4

22 2 2

0 0 0 0

1 1 2x 1 1 4x 1 1I dx dx 4xdx4 2 2 2 4 2 8 8 8

2

0

1 1 4x 3I8 8 2 8 4 8

β) 2 2

24 4 42 2 2 2 20 0 0

1 1 x x 1 1I dx dx x 1 dxx x x x x

Θέτουμε x u , τότε 21 dx du

x

. Για x 0 είναι u 0 και για x

4 είναι u 1 .

Είναι: 131 2

00

u 1 4I u 1 du u 13 3 3

.

75. Να υπολογίσετε τα παρακάτω ολοκληρώματα: α) π

220

συν xdx β) π

420

ημ xdx

Λύση


294

76. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα π2π3

1I dxημx

Λύση2 2 2

2 23 3 3

1 x xI dx dx dxx x 1 x

. Θέτουμε x u , τότε xdx du .

Για x3 είναι 1u

3 2

και για x2 είναι u 0

2

. Είναι

0

212 223

1 1I x dx du1 x 1 u

2

A B u A B1 1 A B A Au B Bu1 u 1 u 1 u 1 u 1 u 1 u 1 u 1 u 1 u

ΠρέπειA B 0 1A BA B 1 2

. Τότε

0 0

21 122 23

1 11 1 1 12 2I x dx du du

1 x 1 u 1 u 2 1 u 1 u

012

1 1 1 3 1 3ln 1 u ln 1 u ln ln ln2 2 2 2 2 4

77. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα : π3

0

1 dxσυνx

Λύση


295

78. Με τη βοήθεια του τύπου 2ημασυνβ ημ α β ημ α β , να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα

π2

0ημ2xσυνxdx .

Λύση

2 2 20 0 0

2x xdx 2x x 2x x dx x 3x dx

2

0

3x 4x3 3

79. Με τη βοήθεια των τύπων 2ημαημβ συν α β συν α β και

2συνασυνβ συν α β συν α β , να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα

α) π2

0ημ2xημxdx β)

π2

0συν2xσυνxdx

Λύση

www.askisopolis.gr Ιδιότητες ορισμένου ολοκληρώματος

296

Ιδιότητες ορισμένου ολοκληρώματος

8η Κατηγορία: Ολοκλήρωμα αντίστροφης συνάρτησηςΌταν θέλουμε να βρούμε το ολοκλήρωμα της αντίστροφης συνάρτησης 1f μιας συνάρτησης f και δενμπορούμε να βρούμε τον τύπο της 1f τότε:Θέτουμε 1f x u 1 οπότε 1f f x f u δηλαδή x f u 1 άρα dx f u du .Στην 1 για

x α έχουμε f u α .

Βρίσκουμε από τον τύπο της f την τιμή u1 για την οποία 1f u α άρα 1u u , Όμοια για x β θα είναι

2f u β f u , δηλαδή 2u u

Άρα β 1α

Ι f x dx 2

1

παραγοντικήu

uuf u du 2 2

11

u u

uuuf u f u du

80. Δίνεται η συνάρτηση xf x e 3x 4 , x

α) Να αποδείξετε ότι η fαντιστρέφεται.β) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα e 1 1

3f x dx

.

γ) Να υπολογίσετε το όριο 1

x 3

f xlim

x 3

.

Λύσηα) Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο με xf x e 3 0 .

Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο οπότε είναι και ''1 1'' και ορίζεται η 1f .

β) Θέτουμε 1f x u , οπότε 1f f x f u δηλαδή x f u και dx f u du . Για x 3 είναι

f u 3 f 0 u 0 και για x e 1 είναι f u e 1 f 1 u 1 . Οπότε

e 1 1 1 111 u03 0 0 0

f x dx uf u du uf u f u du f 1 0 e 3u 4 du

121 1u

000

u 3 5e 1 e 3 4 u e 1 e 1 42 2 2

γ) Θέτουμε 1f x u x f u .Για x 3 είναι f u 3 f 0 u 0 , οπότε όταν x 3 , τότε u 0 . Άρα

1

ux 3 u 0 u 0

f x u ulim lim limx 3 f u 3 e 3u 4 3

00

u uu 0 DLH u 0 u 0u

uu 1 1lim lim lime 3u 1 e 3 4e 3u 1

81. Δίνεται η συνάρτηση x 2xf x e e 3x 2 , x .

α) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται


297

β) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα 3 2

2e e 1

1e2

Ι f x dx

Λύση

82. Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f η οποία ορίζεται στο α,β και για την οποία ισχύει

3f x 3f x x για κάθε x α,β .

α) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσαβ) Να βρείτε την 1f .

γ) Να αποδείξετε ότι β f β 1

α f αf x dx f x dx βf β αf α .

δ) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα 4

4f x dx

.

Λύσηα) Παραγωγίζοντας τη σχέση 3f x 3f x x 1 , έχουμε

23f x f x 3f x 1 2f x 3f x 3 1 21f x 0

3f x 3

οπότε η f είναι γνησίως

αύξουσα στο .

β) Επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο , είναι και ''1 1'' οπότε ορίζεται η αντίστροφη συνάρτηση1f . Αν θέσουμε στην 1 f x y και 1x f y έχουμε: 3 1y 3y f y οπότε

1 3f x x 3x , x .

γ) Έστω 1f x u οπότε 1f f x f u x f u και dx f u du .


298

Για x f είναι f 1 1

f f u u

ενώ για x f είναι f 1 1

f f u u

. Άρα

έχουμε:

f 1

ff x dx f x dx

f x dx uf u du

f x dx uf u f u du

f f

δ)Είναι:

4 f 4 1

4 f 4f x dx f x dx 4f 4 4f 4

4 f 4 1

4 f 4f x dx 4f 4 4f 4 f x dx

.

1 1 1 1f 4 k f f 4 f k f k 4 f 1 k 1 και

1 1 1 1f 4 f f 4 f f 4 f 1 1 . Άρα

4 1 3

4 1f x dx 4 1 4 1 x 3x dx

1 14 2

1 1

x x3 04 2

83. Δίνεται συνεχής συνάρτηση f: 0,1 με σύνολο τιμών το , για την οποία ισχύει:

5f x 4f x 5x για κάθε x 0,1 . Να αποδείξετε ότι:

α) η f αντιστρέφεται και να βρείτε την 1f β) f 0 0 και f 1 1 .

γ) 1 10

f x f x dx 1 . δ) f x x για κάθε x 0,1 .

Λύση


299

84. Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : 0, για την οποία ισχύει: f xln f x e x

για κάθε x .α) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται.

β) Να υπολογίσετε το άθροισμα ee e 11 1

1 eΙ f x dx f x dx

Λύση

85. Δίνεται αντιστρέψιμη και παραγωγίσιμη συνάρτηση f : 2,3 , για την οποία ισχύει

f x 0 για κάθε x 2,3 και η γραφική της παράσταση διέρχεται από τα σημεία A 2,4

και B 3,6 . Να αποδείξετε ότι:

α) 6 3

14 2

x dx f x dxf f x

β) η f είναι γνησίως μονότονη.

γ) Αν 3

2f x dx 1 , να αποδείξετε ότι 6 1

4f x dx 9 .

Λύση


300

9η Κατηγορία: Ολοκληρώματα της μορφής f x dx

, f άγνωστη

Σε ασκήσεις που υπάρχουν ολοκληρώματα που περιέχουν συναρτήσεις της παραπάνω μορφής, θέτουμε

1x u x u

και1dx du

. Τότε 1f x dx f u du

86. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 2,2 και για κάθε x 2,2 είναι

3f x 2f x 3x 5 να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα 2

2Ι f x dx

.

ΛύσηΕίναι 3f x 2f x 3x 5 3f x 3x 5 2f x

Οπότε 2 2 2

2 2 23 f x dx 3x 5 dx 2 f x dx

1 . Για το ολοκλήρωμα 2

1 2f x dx

θέτουμε:

x u οπότε dx du ενώ για x 2 είναι u 2 και για x 2 είναι u 2 .

Άρα 2

1 2f u d u

2

2f u du

2

2f x dx

.Οπότε η 1 γίνεται: 2

23 f x dx

2 2

2 23x 5 dx 2 f x dx

222

22

x3 3 5 x 22

2233 2 2 2 5 42 20

87. Δίνεται συνάρτηση f συνεχής στο , για την οποία ισχύει: 22f x 3f x 30x για κάθε

x . Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα 1

1I f x dx

.

Λύση


301

88. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση g : 0,2 . Θεωρούμε και τη συνάρτηση f : 0,2

τέτοια ώστε να ισχύει 2f x 3f 2 x g x για κάθε x 0,2 . Να αποδείξετε ότι:

α) Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 0,2 β) 2 2

0 05 f x dx g x dx .

Λύσηα) Στη σχέση 2f x 3f 2 x g x 1 θέτουμε όπου x το 2 x και γίνεται

2f 2 x 3f x g 2 x 2 .Θεωρώντας το σύστημα των σχέσεων 1 και 2 έχουμε:

2f x 3f 2 x g x 23f x 2f 2 x g 2 x 3

4f x 6f 2 x 2g x9f x 6f 2 x 3g 2 x

Με πρόσθεση κατά μέλη προκύπτει ότι: 5f x 3g 2 x 2g x 3 2f x g 2 x g x5 5

Άρα αφού η g είναι συνεχής στο 0,2 και η f x είναι συνεχής στο 0,2 ως άθροισμα συνεχώνσυναρτήσεων.

β)Αφού οι συναρτήσεις f , g είναι συνεχής στο 0,2 τότε ολοκληρώνοντας στη σχέση 1 έχουμε:

2 2 2

0 0 02 f x dx 3 f 2 x dx g x dx 3

Όμως στο 2

1 0f 2 x dx θέτουμε 2 x u οπότε dx du , για x 0 είναι u 2 , ενώ για x 2

είναι u 0 , οπότε: 0 2 2

1 2 0 0f u du f u du f x dx Άρα η σχέση 3 γίνεται:

2 2 2

0 0 02 f x dx 3 f x dx g x dx

2 2

0 05 f x dx g x dx

89. Δίνεται συνάρτηση f συνεχής στο α,β , για την οποία ισχύει: f x f α β x c , c ,

x α,β . Να αποδείξετε ότι: β

α

β α α βf x dx f α f β f β α2 2

.

Λύση


302

90. Δίνονται οι συνεχείς στο συναρτήσεις f,g όπου η f είναι άρτια και ισχύει f x k f x

για κάθε x ,k . Να αποδείξετε ότι k k

0 0

kxg f x dx g f x dx2 .

ΛύσηΕπειδή η σχέση f x k f x ισχύει για κάθε x , αντικαθιστώντας όπου x το x k προκύπτει:

f x k k f x k f x f x k .Επειδή η f άρτια έχουμε f x k f k x . Θέτουμεx k u , τότε dx du . Για x 0 είναι u k και για x k είναι u 0 . Τότε:

k 0 k

0 k 0xg f x dx k u g f k u du k u g f u du k

0x k g f x dx k k

0 0xg f x dx kg f x dx k k

0 02 xg f x dx k g f x dx

k k

0 0

kxg f x dx g f x dx2

91. Δίνεται συνάρτηση f άρτια και συνεχής στο α,α , α 0 .Να αποδείξετε ότι:

α α

xα 0

f xdx f x dx

e 1

.

Λύση


303

92. α) Να αποδείξετε ότι β β

α αf α β x dx f x dx , όπου f συνεχής στο α,β .

β) Να αποδείξετε ότι π π

0 0

πI xσυν συνx dx συν συνx dx2

γ) Να αποδείξετε ότιπ π

2 22 20 0

πημ xdx συν xdx4

Λύση

α) Θέτουμε x u x u (1) και dx du .Για x είναι u και για x είναι

u . Είναι f x dx f u du f x dx f x dx

β) Θέτουμε x 0 u (βλέπε (1)), τότε dx du .Για x 0 είναι u και για x είναι u 0 ,

οπότε: 0

0I x x dx u u du

0

0I u u du u u du

0 0 0

I u du u u du u du I

0 02I x dx I x dx

2

γ) Θέτουμε x 0 u

2 (βλέπε (1)), τότε dx du .

Για x 0 είναι u2 και για x

2 είναι u 0 , οπότε:

0 02 2 2 22 2

0 02 2

xdx u du udu xdx2

Είναι 2 2x x 1 , άρα 2 2 2 22 2 2 20 0 0 0

x x dx 1dx xdx xdx2

2 22 20 0

2 xdx xdx2 4

93. α) Δίνεται συνάρτηση f συνεχής στο α,β με f x f α β x για κάθε x α,β .Να

αποδείξετε ότι β β

α α

α βxf x dx f x dx2


304

β) Να αποδείξετε ότι π π

0 0

πf ημx dx f ημx dx2 και να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα

π

20

xημx dx3 ημ x .

Λύση

94. Αν f συνεχής στο , να αποδείξετε ότι: 2 03 20 42x f x 4 dx x 4 f x dx

.

Λύση


305

95. Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f : β,α για την οποία ισχύει f β x f α x για

κάθε x 0,α β . Να αποδείξετε ότι:

α) f α f β β) α β α2

α ββ2

f x dx f x dx

Λύση

96. Δίνεται συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο με f x 4f 2x 1 για κάθε

x , f 1 0 και 1f 12 . Να αποδείξετε ότι:

α) 1 1

1 0f x dx 2 f x dx 2

.

β) υπάρχει ξ 0,1 τέτοιο, ώστε f ξ f 2ξ 1 e 2ξ .

Λύση


306

97. Δίνεται συνάρτηση f συνεχής στο για την οποία ισχύει ότι 23f 1 x f x 1 2x x

για κάθε x .α) Να αποδείξετε ότι 1 3

1 19 f x dx 3 f x dx 10

.

β) Να βρείτε τη συνάρτηση f.Λύση

10η Κατηγορία: Ανισοτικές σχέσειςΑνισοτική σχέση της μορφής f x dx g x dx

Αν f x g x για κάθε x , , τότε: f x g x 0 και

f x g x dx 0 f x dx g x dx 0 f x dx g x dx

Ανισοτική σχέση της μορφής f x dx

Μελετούμε την συνάρτηση f ως προς τα ακρότατα στο διάστημα , . Αν m η ελάχιστη τιμή της

f και M η μέγιστη τιμή της f τότε: m f x M , οπότε και mdx f x dx Mdx

m f x dx M

98. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο α,β και ισχύει: f x 0 για κάθε x α,β , να

αποδείξετε ότι: β β

α αf x dx f x dx .

Λύση


307

Επειδή f x 0 για κάθε x , και η f είναι συνεχής τότε η f θα διατηρεί σταθερό πρόσημο στο

, .

Έστω f x 0 για κάθε x , , τότε f x dx 0

και επίσης f x f x . Οπότε η ισότητα

γίνεται: f x dx f x dx

f x dx f x dx

που ισχύει.

Έστω f x 0 για κάθε x , , τότε f x dx 0

και f x f x , οπότε:

f x dx f x dx

f x dx f x dx

f x dx f x dx

που ισχύει.

99. Έστω συνάρτηση f συνεχής και γνησίως αύξουσα στο α,β . Να αποδείξετε ότι:

β

αβ α f α f x dx .

Λύση

100. Να αποδείξετε ότι: α)e e2 2

1 1ln x dx ln xdx β)

5 5e x1 1

x dx e dx

Λύσηα) Έστω 2 2f x ln x ln x 22ln x ln x ln x 2 ln x .

Είναι f x 0 για κάθε x 1,e , άρα 22ln x ln x 0 2 2ln x ln x 0 οπότε και

e 2 2

1ln x ln x dx 0

e e2 2

1 1ln x dx ln xdx 0

e e2 2

1 1ln x dx ln xdx

β) Αρκεί να δείξουμε ότι e xx e e xln x ln e

e ln x x ln x 1x e , x 1,5 .

Θεωρούμε την ln xh xx

, x 0 .

x 0 e h + –

h O.M.


308

Είναι 21 ln xh x 0

x ln x 1 x e .

Για κάθε x 0,e είναι h x 0 άρα η h είναι γνησίως αύξουσα στο 0,e και για κάθε x e είναι

h x 0 άρα η h είναι γνησίως φθίνουσα στο e, .

Η h έχει ολικό μέγιστο στο 0x e ,άρα h x h e ln x 1x e e xx e e xx e 0 .

Οπότε 5 e x

1x e dx 0

5 5e x

1 1x dx e dx 0

5 5e x

1 1x dx e dx


α) x 1ln xx

για κάθε x 1 β) β x β αα

1x dx e ee με 1 α β .

Λύση

102. Να αποδείξετε ότι:2

2 2 νxν1ν

2 e ν xe dx e .

Λύση


309

Έστω xf x xe , 1 2x , . Είναι x xf x e xe xe 1 x .Για κάθε 1 2x ,

είναι

f x 0 και fγνησίως φθίνουσα στο 1 2,

.Η f παρουσιάζει ολικό μέγιστο στο 11x

το

11 1 1f ee

και ολικό ελάχιστο στο 22x

το 22 2f

e

, επομένως για κάθε 1 2x ,

ισχύει: 22 1f xe e

.Οπότε και

2 2 2

1 1 122 1dx f x dx dxe e

2x

122 2 1 1 2 1xe dxe e

2

x12 2 2

2 1xe dxe e

22 2 x

12 e xe dx e

.

103. Να αποδείξετε ότι:2 x2

x1

e e dx e4 x .

Λύση

104. Δίνεται η συνάρτηση xf x 2 αx 1 , α , x .

α) Να βρείτε τη τιμή της παραμέτρου α , αν είναι γνωστό ότι f x 0 για κάθε x .

β) Να αποδείξετε ότι 21 x0

ln22 13

.

Λύσηα) Παρατηρούμε ότι 0f 0 2 0 1 , οπότε: f x 0 f x f 0 .Δηλαδή η f παρουσιάζει ολικό

ελάχιστο στο 0x 0 .Επειδή η f είναι παραγωγίσιμη στο με xf x 2 ln 2 , λόγω τουθεωρήματος Fermat, ισχύει: f 0 0 ln 2 0 ln 2 .


310

β) Για ln 2 είναι: xf x 0 2 x ln 2 1 0 x2 x ln 2 1 , x Αντικαθιστώντας όπου x το2x προκύπτει:

2x 22 x ln 2 1 οπότε και 21 1x 2

0 02 dx x ln 2 1 dx

2131 1 1x 2

0 0 00

x 12 dx ln 2 x dx dx ln 2 1 ln 2 13 3

.

105. Δίνεται συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο 0,1 , για την οποία ισχύει: xf x f x 2xe

για κάθε x 0,1 , f 0 0 και 2f 1e . Να αποδείξετε ότι 1

0

5 62 f x dx 3e e .

Λύση

106. Να αποδείξετε ότι: α) ln 1 x x για κάθε x 1 β) 1 20

1x ln 1 x dx4

Λύση

α) Έστω f x ln 1 x x , x 1 . Η f είναι παραγωγίσιμη

στο 0, με 1 xf x 11 x x 1

.

Είναι x 1

f x 0 x 0

. Για κάθε x 1,0 είναι f x 0 και ηf είναι γνησίως αύξουσα στο 1,0 , ενώ για κάθε x 0, είναι

f x 0 και η f είναι γνησίως φθίνουσα στο 0, . Η f έχει ολικό μέγιστο το f 0 0 , οπότε

f x f 0 0 για κάθε x 1 , δηλαδή: ln 1 x x 0 ln 1 x x .

β)Είναι: ln 1 x x και 2x 0 οπότε: 2 3x ln 1 x x 3 2x x ln 1 x 0

x -1 0 f + –

f O.M.


311

άρα και 1 3 2

0x x ln 1 x dx 0

1 13 2

0 0x dx x ln 1 x dx

141 2

00

x 1x ln 1 x dx4 4

.

107. Δίνεται η συνάρτηση f x xlnx x 1 , x 0 .

α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.β) Να αποδείξετε ότι:

2 2x x 11 1

x dx e dx .

Λύση

108. Δίνεται συνεχής συνάρτηση f ορισμένη στο 1,5 με σύνολο τιμών το 3,10 .

α) Να αποδείξετε ότι 4 5

2 1f x dx f x dx .

β) Αν γνωρίζουμε ότι 5

1f x dx 20 να αποδείξετε ότι 5 2

1f x dx 140 .

Λύσηα) Επειδή η f έχει σύνολο τιμών το 3,10 θα είναι 3 f x 10 οπότε f x 0 για κάθε x 1,5 .

Είναι 5 2 4 5 4

1 1 2 4 2f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx γιατί αφού f x 0 είναι και

2

1f x dx 0 ,

5

4f x dx 0

β)Επειδή 3 f x 10 τότε

f x 3 0f x 10 0

f x 3 f x 10 0 2f x 13f x 30 0 άρα

και 5 5 52

1 1 1f x dx 13 f x dx 30 dx 0

5 2

1f x dx 13 20 30 4 0

5

1f x dx 140 .


312

109. Δίνεται συνάρτηση f, συνεχής στο διάστημα 4,4 , με σύνολο τιμών το διάστημα 2,4 .

Αν 4

2f x dx 0 , να αποδείξετε ότι: 4 2

2f x dx 16 .

Λύση

110. Αν για τις συνεχείς συναρτήσεις f,g, ισχύει ότι 4 23

f x dx 9 και 4 23

g x dx 16 , να

αποδείξετε ότι: 4

3f x g x dx 12 .

ΛύσηΙσχύει ότι 24f x 3g x 0 2 216f x 24f x g x 9g x 0 . Άρα

4 2 2

316f x 24f x g x 9g x dx 0

4 4 42 2

3 3 316 f x dx 24 f x g x dx 9 g x dx 0

4

316 9 24 f x g x dx 9 16 0

4

3288 24 f x g x dx

4

3f x g x dx 12 .

111. Δίνονται οι συνεχείς συναρτήσεις g,h, για τις οποίες ισχύει: 5 23

g x dx 9 και

5 23

h x dx 25 . Να αποδείξετε ότι: 5

3h x g x dx 15 .

Λύση


313

112. Δίνεται συνάρτηση f, δύο φορές παραγωγίσιμη στο α,β , με f x 0 για κάθε x α,β .

Να αποδείξετε ότι:α) f x f α f β x α για κάθε x α,β .

β) β 2

α2 f x dx f β β α 2f α β α

Λύση

113. Δίνεται συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο 0,2 με f x 1 για κάθε x 0,2 και

f 0 f 2 1 . Να αποδείξετε ότι 2

0f x dx 1 .

Λύση


314

114. Δίνεται συνάρτηση f : 0,2 παραγωγίσιμη και κοίλη στο 0,2 με συνεχή παράγωγο

στο διάστημα αυτό. Να αποδείξετε ότι: 2

0f x dx f 2 f 0 .

Λύση

\

115. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : α,β για την οποία γνωρίζουμε ότι είναι f x 0

για κάθε x α,β . Να αποδείξετε ότι:

α) 2 1λ f x 2λ 0

f x για κάθε λ β) β β 2

α α

1f x dx dx β αf x

.

γ) β β

α αf α β x dx f x dx .

Λύση


315

116. Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f : 0,2 0, με συνεχή πρώτη παράγωγο, για την

οποία ισχύει ότι f x x για κάθε x 0,2 . Να αποδείξετε ότι 2

0

f xdx ln3

x 1

.

Λύση


316

11η Κατηγορία: Το ορισμένο ολοκλήρωμα ως αριθμόςΌταν σε σχέση εμφανίζεται πολλές φορές ένα ορισμένο ολοκλήρωμα, τότε μπορούμε να το θέσουμείσο με έναν αριθμό λ και να υπολογίσουμε το λ από τη δοθείσα σχέση.Όταν δίνεται μια σχέση της μορφής g x f x dx f x h x

1

όπου g , h γνωστές συναρτήσεις και ζητείται ο τύπος της f τότε:

Θα θεωρούμε g x f x dx c

και αντικαθιστώντας στην (1) θα υπολογίζουμε το c.

117. Να βρεθεί το β

αf x dx όταν είναι f x 0 για κάθε x α,β , η f είναι συνεχής στο

α,β και ισχύει: β β β

α α αf x f x dx dx f x dx 6

ΛύσηΈστω f x dx

, τότε: f x f x dx dx f x dx 6

f x dx 6

6 2 6 0 3 2 0

3 ή 2 .Επειδή f x 0 τότε f x dx 0

δηλαδή 0 . Οπότε 3 .

118. Δίνεται συνάρτηση f συνεχής στο 0,3 , για την οποία ισχύει: 3 3

2 2f x f x dx dx 16

και f x 0 για κάθε x 2,3 . Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα 3

2f x dx .

Λύση


317

119. Να βρείτε τη συνεχή στο συνάρτηση f για την οποία ισχύει:

π3

0ημxf x dx f x 2συνx

Λύση

Θέτουμε 30

xf x dx c

, c 2 , οπότε η σχέση 1 γίνεται:

c f x 2 x f x c 2 x και με αντικατάσταση στη σχέση (2), έχουμε:

30

x c 2 x dx c

3 30 0

c xdx 2 x xdx c

3 30 0

c x 2xdx c

301c 0 2x c

3 2

1 1 2c 1 0 c2 2 3

c 1 1 1 c2 2 2

3 c4 2

3c2

Άρα από την 2 είναι: 3f x 2 x2

, x

120. Να βρείτε συνεχή συνάρτηση f : , για την οποία ισχύει:

1 1 x x0e f x dx f x e , x .

Λύση

www.askisopolis.gr Εμβαδά

318

Εμβαδό επίπεδου χωρίου1. Έστω, δυο συναρτήσεις f και g, συνεχείς στο διάστημα [ , ] με f (x) g(x) 0 για

κάθε x [ , ] . Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τις

γραφικές παραστάσεις των f,g, και τις ευθείες x = α και x = β είναι: E( ) (f (x) g(x))dx

Απόδειξη

Παρατηρούμε ότι 1 2( ) ( ) ( ) f (x)dx g(x)dx (f (x) g(x))dx

. Επομένως,

E( ) (f (x) g(x))dx

.

2. Έστω, δυο συναρτήσεις f και g, συνεχείς στο διάστημα [ , ] με g x f x 0 γιακάθε x [ , ] . Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τις γραφικές

παραστάσεις των f,g, και τις ευθείες x = α και x = β είναι: E( ) (f (x) g(x))dx

Απόδειξη

Επειδή οι συναρτήσεις f ,g είναι συνεχείς στο [ , ] , θα υπάρχει αριθμό c τέτοιος ώστεf (x) c g(x) c 0 , για κάθε x [ , ] . Είναι φανερό ότι το χωρίο Ω έχει το ίδιο εμβαδόν με τοχωρίο

Επομένως, έχουμε

( ) ( ) [(f (x) c) (g(x) c)]dx (f (x) g(x))dx

.Άρα

E( ) (f (x) g(x))dx

.

3. Έστω, μια συνάρτηση g συνεχής στο διάστημα [ , ] με g x 0 για κάθε x [ , ] Νααποδείξετε ότι το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τη γραφική παράσταση

της g, του άξονα x΄x και τις ευθείες x = α και x = β είναι: E( ) g(x)dx

Ω2

(γ)O x

y=g(x)

y

Ω1

(β)O x

y=f (x)y

Ω

(α)O x

y=g(x)

y=f(x)y

βα

(α)

Ω

O x

y

y=g (x)

y= f (x)

βα

(β)

Ω΄

O x

yy=f (x)+c

y=g (x)+c


319

Απόδειξη

Επειδή ο άξονας x x είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησηςf (x) 0 , έχουμε

E( ) (f (x) g(x))dx [ g(x)]dx g(x)dx

.

Επομένως, αν για μια συνάρτηση g ισχύει g(x) 0 για κάθε

x [ , ] , τότε E( ) g(x)dx

.

15η Κατηγορία: Εμβαδό χωρίου που σχηματίζεται από τη γραφικήπαράσταση μόνο μίας συνάρτησης

Εμβαδό που ορίζεται από fC , x x, x α, x

Αρχικά αποδεικνύουμε ότι η f είναι συνεχής στο α,β .Βρίσκουμε τις ρίζες και το πρόσημο της f. Αν 1 2, , ..., ρίζες της f στο διάστημα α,β , τότε

1 2

1

ρ ρ β

α ρE Ω f x dx f x dx ... f x dx

Εμβαδό που ορίζεται από fC , x xΒρίσκουμε τις ρίζες 1 2, , ..., και το πρόσημο της f. Είναι

2 3

1 2 1

ρ ρ ρ

ρ ρE Ω f x dx f x dx ... f x dx

Όριο εμβαδούΑν ζητείται το εμβαδό που περικλείεται από τη fC και τις ασύμπτωτες αυτής, τότε:Βρίσκουμε τις ασύμπτωτες και τη σχετική θέση της fC ως προς τις ασύμπτωτες. Θέτουμεκατακόρυφη ευθεία x t για να οριοθετηθεί το χωρίο.Βρίσκουμε το E t και το

0t tlimE t

ή tlim E t

.

121. Να υπολογίσετε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση τηςσυνάρτησης 3f x x 4x , τον άξονα x'x και τις ευθείες x 1 και x 3 .

Λύση 3 2f x 0 x 4x 0 x x 4 0

x x 2 x 2 0 x 0 2 x 2 ή x ή 0 2 33 3 3

1 0 2E Ω x 4x dx x 4x dx x 4x dx

0 2 34 4 40 2 32 2 2

1 0 21 0 2

x x xE Ω 2 x 2 x 2 x 12 .4 4 4

122. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράστασητης συνάρτησης 2f x x 8x 12 , τον άξονα y y και την ευθεία x 4 .

β

Ω

αO

x

y=g (x)

y

x - -2 -1 0 2 3 +

f – – + – + +


320

Λύση

123. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση τηςσυνάρτησης f x 3x 6 lnx και τον άξονα x'x .

ΛύσηΕίναι f x 0 3x 6 ln x 0 3x 6 0 ήln x 0 x 2 ή x 1 Άρα το εμβαδό του χωρίου είναι:

2 2

1 1E Ω f x dx 3x 6 ln xdx

22

1

xE Ω 3 6x ln xdx2

22 22

11

3x 3x 16x ln x 6x dx2 2 x

2

1

3E Ω 6ln 2 x 6 dx2 2 22

11

36ln 2 x 6 x4

9 156ln 2 6 6ln 2 τ.μ.4 4

124. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράστασητης συνάρτησης f x xημx , τους άξονες και την ευθεία x 2π .

Λύση

x 0 1 2 3x 6 – – +ln x – + +

f x + – +


321

125. Να βρείτε το εμβαδό που περικλείεται από την γραφική παράσταση της συνάρτησης:

22 2x , x 1f x

ln x, x 1

τον άξονα x'x και την ευθεία x e .

ΛύσηΓια x 1 είναι: f x 0 22 2x 0 x 1ή x 1 και για x 1 είναι: ln x 0 x 1

Άρα η fC τέμνει τον άξονα x΄x στα 1,1 . Επίσης 2

x 1 x 1lim 2 2x 0 lim ln x ln1 0 f 1

Άρα η f είναι συνεχής στο 0x 1 .Οπότε το ζητούμενο εμβαδό είναι:

1 e2

1 1E Ω 2 2x dx ln xdx

e11 e31 11 1

2 12 x x x ln x x dx3 x

e12E 2 2 2 eln e x3

4 114 e e 1 τ.μ.3 3

126. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση

της συνάρτησης 2x x, x 1f x

3ln x 2, x 1

, τον άξονα x x και τις ευθείες x 1 και x e .

Λύση

127. Δίνεται η συνάρτηση: x 1

2

e , x 1f x 1 , x 1

x

. Να βρείτε το εμβαδό που καθορίζεται από τη

fC και τις ασύμπτωτες αυτής.

ΛύσηΕίναι x 1 0

x 1 x 1lim f x lim e e 1

, 2x 1 x 1

1lim f x lim 1x

και f 0 1 . Άρα η f είναι συνεχής στο , δεν έχεικατακόρυφες ασύμπτωτες ενώ x 1

x xlim f x lim e 0

και 2x x

1lim lim 0x

οπότε η fC έχει οριζόντια

x -1 1 22 2x - +

ln x +f + +


321


22 2x , x 1f x

ln x, x 1






1 e2


e11 e31 11 1


e12E 2 2 2 eln e x3

4 114 e e 1 τ.μ.3 3



3ln x 2, x 1


Λύση


2

e , x 1f x 1 , x 1

x





, 2x 1 x 1

1lim f x lim 1x


x xlim f x lim e 0

και 2x x

1lim lim 0x


x -1 1 22 2x - +

ln x +f + +


321


22 2x , x 1f x

ln x, x 1






1 e2


e11 e31 11 1


e12E 2 2 2 eln e x3

4 114 e e 1 τ.μ.3 3



3ln x 2, x 1


Λύση


2

e , x 1f x 1 , x 1

x





, 2x 1 x 1

1lim f x lim 1x


x xlim f x lim e 0

και 2x x

1lim lim 0x


x -1 1 22 2x - +

ln x +f + +


322

ασύμπτωτη στο και στο τον άξονα x 'x .Θεωρούμε κατακόρυφη ευθεία x α με α 1 και βρίσκουμε το εμβαδό του χωρίου που ορίζεται από

τη fC της ευθείας x α και x 1 . Είναι 11 1 x 1 0 α 1 α 1

α αE α dx e e e 1 e xe Οπότε

α 11 α α

E lim E α lim 1 e 1 0 1

.

Επίσης θεωρώντας κατακόρυφη ευθεία x t με t 1 είναι

t

t

211

1 1 1 1E t dx 1 1x x t t

.Άρα 2 t t

1E lim E t lim 1 1 0 1t

.

Οπότε το ζητούμενο εμβαδό είναι: 1 2E E E 1 1 2τ.μ.

128. Να υπολογίστε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της

συνάρτησης x

x

xe , x 0f xxe , x 0

και την οριζόντιά της ασύμπτωτη.

Λύση

129. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την καμπύλη 2C : y 4x καιτην ευθεία x 4 .

ΛύσηΕίναι 2y 4x y 2 x .Η καμπύλη C είναι παραβολή, που αποτελείται από δύο τμήματα. Το τμήμα

1C που βρίσκεται πάνω από τον άξονα x 'x έχει y 0 , οπότεπεριγράφεται από τον τύπο y 2 x , ενώ το τμήμα 2C που βρίσκεται κάτωαπό τον x 'x έχει y 0 και περιγράφεται από τον τύπο y 2 x .Έστω 1E το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από την 1C , τον x 'x καιτην ευθεία x 4 και 2E το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από την

2C , τον x 'x και την ευθεία x 4 . Επειδή ο άξονας x 'x είναι άξοναςσυμμετρίας της παραβολής, ισχύει: 1 2E E . Οπότε για το ζητούμενο εμβαδό,


322




α 11 α α


.


t

t

211

1 1 1 1E t dx 1 1x x t t

.Άρα 2 t t


.




x

xe , x 0f xxe , x 0


Λύση






322




α 11 α α


.


t

t

211

1 1 1 1E t dx 1 1x x t t

.Άρα 2 t t


.




x

xe , x 0f xxe , x 0


Λύση






323

έχουμε:

43

1 2 44 42

1 0 0 0

0

x 8 64E Ω 2E 2 2 xdx 4 x dx 4 x x τ.μ.3 3 32

130. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την παραβολή 2y 9x

και την ευθεία x 1 .Λύση

131. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της

συνάρτησης 3f x 6x x 6ημx ,τον άξονα χ΄χ και τις ευθείες x 0 και πx2 .

ΛύσηΑρχικά πρέπει να βρούμε το πρόσημο της f.Είναι 2f x 6 3x 6 x και f x 6x 6 x 6 x x .

Όμως για κάθε x 0 είναι x x , άρα f x 0 και η f είναι γνησίως φθίνουσα στο π0,2

. Για

κάθε x 0 είναι f x f 0 0 , άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο π0,2

. Για κάθε x 0 είναι

f x f 0 0 . Οπότε για το ζητούμενο εμβαδό, ισχύει:

π π

32 20 0

E Ω f x dx 6x x 6ημx dx π

π 4 2π22 2 2

000

x 47πE Ω 3 x 6 συνx 6 τ.μ

4 64

132. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση τηςσυνάρτησης f x x 1 xlnx , τον άξονα x΄x , και τις ευθείες x 1 και x e .

Λύση


324

133. Δίνεται συνάρτηση f : 0, δύο φορές παραγωγίσιμη στο με

f x f 2 x 6x για κάθε x και f 1 5 . Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου

που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, τους άξονες x΄x, y΄y και την ευθείαx 2 .

Λύση

Είναι f x f 2 x 12x , άρα 2f x f 2 x 6x 2f x f 2 x 6x c, c

Για x 1 , είναι f 1 f 1 6 c c 6 , άρα 2f x f 2 x 6x 6 .

Είναι 3 31 1f x f 2 x 2x 6x f x f 2 x 2x 6x c , c .

Για x 1 , είναι 1 1f 1 f 1 2 6 c c 14 , άρα 3f x f 2 x 2x 6x 14 , x

Επειδή η f είναι συνεχής και f x 0 για κάθε x 0,2 , το ζητούμενο εμβαδό είναι: 2

0E f x dx

.Είναι 2 2 3

0 0f x f 2 x dx 2x 6x 14 dx

242 2 2

0 0 0

xf x dx f 2 x dx 3x 14x 242

(1)

Θέτουμε 2 x u x 2 u και dx du . Για x 0 είναι u 2 και για x 2 είναι u 0 , οπότε

2 0 2

0 2 0f 2 x dx f u du f x dx .

Η σχέση (1) γίνεται: 2 2

0 0f x dx f x dx 24 2E 24 E 12 τ.μ

134. Δίνεται συνάρτηση f : 0, δύο φορές παραγωγίσιμη με f x f 4 x 2

για κάθε x , f 2 1 . Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη

γραφική παράσταση της f, τον άξονα x΄xκαι τις ευθείες x 1 και x 3 .Λύση


325

135. Έστω παραγωγίσιμη συνάρτηση f : 0,4 0, για την οποία ισχύει:

4

0f (x)dx 6 2f 0 και f x λ f 4 x για κάθε x 0,4 .

α) Να υπολογίσετε την τιμή του λ .β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της

f, τους άξονες x΄x, y΄y και την ευθεία x 4 .Λύση


326

136. Δίνεται συνεχής συνάρτηση f : 0, για την οποία ισχύει ότι

1 1 1

0 0 0f x f t dx dt f u du . Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από

τη fC τους άξονες x΄x, y΄y και την ευθεία x 1 .

Λύση

137. Δίνεται συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο π0,2

για την οποία ισχύει:

f x συνx f x ημx f x συνx για κάθε πx 0,2

, καιπ3πf e

3

.

α) Να βρείτε τον τύπο της f.β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη fC , τους άξονες

x΄xκαι y΄y και την ευθεία πx3 .

Λύση


327

138. Δίνεται συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο με f x 2 για κάθεx ,

f 0 0 και f 0 1 .

α) Αν Ε είναι το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την fC , τους άξονες x΄x, y΄y

και την ευθεία x 1 , να αποδείξετε ότι 4E3 τ.μ.

β) Αν E λ είναι το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την fC , τους άξονες x΄x,

y΄y και την ευθεία x λ , να αποδείξετε ότι λlim E λ

γ) Αν 1E είναι το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση τηςσυνάρτησης g x xf x , τους άξονες x΄x, y΄y και την ευθεία x 2 , να αποδείξετε ότι

1E 6 τ.μ.Λύση


328

139. Δίνεται συνάρτηση f : παραγωγίσιμη και κοίλη στο 0,3 με συνεχή πρώτη

παράγωγο στο διάστημα αυτό. Αν f 0 1 , f 3 7 και Ε είναι το εμβαδόν του χωρίου

που περικλείεται από την fC , τον άξονα x΄xκαι τις ευθείες x 1 και x 2 , νααποδείξετε ότι E 4 .

Λύση

140. Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f : 0, για την οποία ισχύει ότι

f x 2f x 2 για κάθε x και f 0 1 .

α) Να αποδείξετε ότι 2xf x 2e 1 για κάθε x 0 .

β) Αν E λ είναι το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την fC , τους άξονες x΄x,

y΄y και την ευθεία x λ , λ 0 , να αποδείξετε ότι λlim E λ

.

Λύση


329

141. Δίνεται η συνάρτηση 2xf x xe .

α) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται.β) Να βρείτε το πρόσημο της 1f .γ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου, που περικλείεται μεταξύ της 1f

C ,του άξονα

x´x και των ευθειών με εξισώσεις x 0 και x e .Λύση

142. Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f : για την οποία ισχύει ότι 34f x 2f x 6 x 0 για κάθε x .

α) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται.β) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f,

τους άξονες x΄x, y΄y και την ευθεία x 6 .Λύση


330

143. Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f : 0, και συνεχής συνάρτηση

g : 0, για τις οποίες ισχύει ότι: 26f x g x f x 0 για κάθε x . Αν

f 0 1 και f 2 3 , να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη

γραφική παράσταση της g, τους άξονες x΄x, y΄y και την ευθεία x 2 .Λύση


331

16η Κατηγορία: Εμβαδό χωρίου που σχηματίζεται από τη γραφική παράστασηδύο ή περισσοτέρων συναρτήσεων.

Εμβαδό που ορίζεται από f gC , C , x και x

Ορίζουμε τη συνάρτηση h x f x g x , x , .Αποδεικνύουμε ότι η hείναι συνεχής στο α,β .Βρίσκουμε τις ρίζες και το πρόσημο της h. Αν 1 2, , ..., ρίζες της h στο διάστημα α,β , τότε

1 2

1

ρ ρ β

α ρE Ω h x dx h x dx ... h x dx

Εμβαδό που ορίζεται από f gC ,C

Ορίζουμε τη συνάρτηση h x f x g x . Βρίσκουμε τις ρίζες 1 2, , ..., και το πρόσημο

της h. Είναι 2 3

1 2 1

ρ ρ ρ

ρ ρE Ω h x dx h x dx ... h x dx

Εμβαδό που περικλείεται από 3 ή περισσότερες γραφικές παραστάσειςΌταν θέλουμε να βρούμε το εμβαδό που σχηματίζεται από τις γραφικές παραστάσεις τριών ήπερισσοτέρων συναρτήσεων τότε: Θα βρίσκουμε τα σημεία που τέμνονται ανά δύο οι γραφικές παραστάσεις, λύνοντας τα

αντίστοιχα συστήματα. Θα σχεδιάζουμε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις γραφικές παραστάσεις όλων των συναρτήσεων

σημειώνοντας και τα αντίστοιχα σημεία τομής μεταξύ τους. Από κάθε σημείο τομής δύο γραφικών παραστάσεων θα φέρνουμε κάθετες στον xx' και έτσι

το αρχικό χωρίο θα χωρίζεται σε επιμέρους χωρία που θα δημιουργούνται από τις γραφικέςπαραστάσεις δύο μόνο συναρτήσεων.

Το συνολικό εμβαδό θα προκύπτει αθροίζοντας τα εμβαδά των επιμέρους χωρίων.

144. Να βρείτε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις τωνσυναρτήσεων 2f x x 4 , g x 5x και τις ευθείες x 0 και x 2 .

ΛύσηΕίναι 2 2h x f x g x x 4 5x x 5x 4

2h x 0 x 5x 4 0 x 1 4 ή xΤο εμβαδό του χωρίου είναι:

1 2

0 1E Ω h x dx h x dx 1 22 2

0 1x 5x 4 dx x 5x 4 dx

1 1 2 23 2 3 2

1 2

0 10 0 1 1

x x x x5 4 x 5 4 x3 2 3 2

1 5 7 154 4 3τ.μ.3 2 3 2

145. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικέςπαραστάσεις των συναρτήσεων:

α) 3 2f x x 2x 3x 1 , 2g x 2x 4x 3 και τις ευθείες x 1 και x 2 .

β) 2 xf x x 4 e και xg x x 4 e .

Λύση

x 0 1 2 4 h x + + – – +


332

146. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των

συναρτήσεων 2f x x , 21g x x2 και της ευθείας y 2x .

ΛύσηΈστω h x 2x . Επιλύοντας ανά δύο τα συστήματα των εξισώσεων των αντίστοιχων συναρτήσεων θαβρούμε τα σημεία τομής τους.

2

2 22

f x x1x x x 01 2g x x

2

, σημείο τομής O 0,0 .

22f x x

x 2x x 0 x 2h x 2x

ή , άρα σημεία τομής τα

O 0,0 , A 2,4 .

22

1g x x 12 x 2x2h x 2x

x 0 4 ή x , άρα σημεία τομής

τα O 0,0 , B 4,8 .Το συνολικό εμβαδό είναι το άθροισμα των εμβαδών των 1 2E , E , όπου

22 2 22 2 31 00 0

x 1 1E x dx x dx x2 2 6

8 46 3 και

4 4 42 2 32 2 22

1 1E 2x x dx x x2 6

56 8126 3

. Οπότε 1 24 8 12E E E 4 . .3 3 3

147. Να υπολογιστεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσειςτων συναρτήσεων xf x e , xg x e και την ευθεία y e .

Λύση


332




2

2 22


2


22f x x

x 2x x 0 x 2h x 2x


O 0,0 , A 2,4 .

22

1g x x 12 x 2x2h x 2x



22 2 22 2 31 00 0

x 1 1E x dx x dx x2 2 6

8 46 3 και

4 4 42 2 32 2 22

1 1E 2x x dx x x2 6

56 8126 3

. Οπότε 1 24 8 12E E E 4 . .3 3 3


Λύση


332




2

2 22


2


22f x x

x 2x x 0 x 2h x 2x


O 0,0 , A 2,4 .

22

1g x x 12 x 2x2h x 2x



22 2 22 2 31 00 0

x 1 1E x dx x dx x2 2 6

8 46 3 και

4 4 42 2 32 2 22

1 1E 2x x dx x x2 6

56 8126 3

. Οπότε 1 24 8 12E E E 4 . .3 3 3


Λύση


333

148. Από το σημείο A 1,1 φέρνουμε τις εφαπτόμενες ευθείες 1 2ε ,ε προς τη γραφική

παράσταση της συνάρτησης 2f x 1 x . Να βρείτε το εμβαδόν του καμπυλόγραμμου

τριγώνου που περικλείεται από τις 1 2ε ,ε και τη fC .

ΛύσηΤο σημείο A 1,1 δεν ανήκει στη fC . Έστω 0 0M x ,f x το σημείοεπαφής. Η εξίσωση εφαπτόμενης είναι επειδή η ε διέρχεται από το σημείοθα είναι: 2

0 0 01 1 x 2x 1 x 2 2 20 0 0 0 01 1 x 2x 2x x 2x 0 0 0 0 0x x 2 0 x 0 2 ή x

Άρα οι εξισώσεις των εφαπτομένων είναι y f 0 f ' 0 x 0 y 1 και

y f 2 f ' 2 x 2 y 4x 3 Το ζητούμενο εμβαδό είναι το άθροισμα των εμβαδών 1 2E ,E .

131 2

1 00

x 1E 1 x 1 dx3 3

και 2 22 1

E 1 x 4x 3 dx

2 22 1

E x 4x 4 dx 23 2 22

2 111

xE 2 x 4 x3

27 7 1E 6 4 23 3 3 .

1 21 1 2E E E τ.μ.3 3 3

149. Να υπολογιστεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις καμπύλες μεεξισώσεις 2y x , y x 2 και y 0 .

Λύση


333





0 0 01 1 x 2x 1 x 2 2 20 0 0 0 01 1 x 2x 2x x 2x 0 0 0 0 0x x 2 0 x 0 2 ή x



131 2

1 00

x 1E 1 x 1 dx3 3

και 2 22 1

E 1 x 4x 3 dx

2 22 1

E x 4x 4 dx 23 2 22

2 111

xE 2 x 4 x3

27 7 1E 6 4 23 3 3 .

1 21 1 2E E E τ.μ.3 3 3


Λύση


333





0 0 01 1 x 2x 1 x 2 2 20 0 0 0 01 1 x 2x 2x x 2x 0 0 0 0 0x x 2 0 x 0 2 ή x



131 2

1 00

x 1E 1 x 1 dx3 3

και 2 22 1

E 1 x 4x 3 dx

2 22 1

E x 4x 4 dx 23 2 22

2 111

xE 2 x 4 x3

27 7 1E 6 4 23 3 3 .

1 21 1 2E E E τ.μ.3 3 3


Λύση


334

150. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση τηςσυνάρτησης 2xf x e x 2 και τις ευθείες 1ε : y x 3 και 2ε : x 1

ΛύσηΈστω 2x 2xx f x y e x 2 x 3 e 2x 1 h .Είναι: 2xh x 2e 2 και 2x 2xh x 0 2e 2 e 1 x 0 .Για κάθε x 0 είναι h x 0 , άρα η h είναι γνησίως φθίνουσα στο

,0 . Για κάθε x 0 είναι h x 0 , άρα η h είναι γνησίως αύξουσαστο 0, . H h παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο 0x 0 το h 0 0 .Αφού h 0 0 η fC και 1 τέμνονται στο 0x 0 .Για κάθε x 0 είναι h x h 0 0 . Για το ζητούμενο εμβαδόν, ισχύει:

1 1 1 2x

0 0 0E Ω h x dx h x dx e 2x 1 dx

21 12x 2 2

0 0

1 1 e 5e x 1 e 1 1 1 τ.μ.2 2 2

151. Να υπολογίσετε το εμβαδόν που περικλείεται από τη γραφική παράσταση τηςσυνάρτησης 2f x x 2x , τον άξονα y y και την εφαπτόμενη της fC στην κορυφή της.

Λύση

x 0 h – +

h Ο.E


335

152. Δίνεται η συνάρτηση 2f x x 2x . Να βρείτε ευθεία ε που διέρχεται από το σημείο

A 1,0 τέτοια ώστε, το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την fC και την ε να

είναι ελάχιστο, καθώς και το εμβαδό στη περίπτωση αυτή.Λύση

Η ε έχει εξίσωση: y x 1 y x . Για τα σημεία τομής των ε, fC , ισχύει:

2f x x x 2x x 2x λ 2 x λ 0 .

Είναι 2 2Δ λ 2 4λ λ 4 0 και2 2

1,2 1λ 2 λ 4 λ 2 λ 4x x

2 2

και2

2λ 2 λ 4x

2

Για το ζητούμενο εμβαδό, ισχύει: 2 2

1 1

x x 2

x xE λ x f x dx x x 2x dx

2

2

11

x3x22 1x

x

2 xE λ x x x2 3

3 3

2 2 2 12 1 2 1

x x2E λ x x x x2 3

2 2

2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 13 2 x x x x 6 x x 2 x x x x x xE

6

2 22 1 2 1 2 1 2 1

1E x x 3 2 x x 6 2 x x x x6

Είναι 1 2x x 2 , 1 2x x και 22 1x x 4 . Επίσης

2 2 2 2 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2x x 2 x x 2x x 4 4 x x 2 4 .

Οπότε: 2 21E 4 3 2 2 6 2 2 46

3

2 2 2 21 1E 4 4 46 6

. Είναι 1

2 212 2

41 3E 4 26 2 2

και

1

2 24E 0 0 0

2

.

Για κάθε 0 είναι E 0 , άρα η Ε είναι γνησίως φθίνουσαστο ,0 . Για κάθε 0 είναι E 0 , άρα η Ε είναιγνησίως αύξουσα στο 0, . Το εμβαδό Ε γίνεται ελάχιστο

για 0 . Τότε 321 4E 0 4 . .

6 3 και η ευθεία ε έχει εξίσωση: y 0 .

153. Δίνεται η συνάρτηση 2f x x 4x 3, x .Να βρείτε ευθεία ε που διέρχεται από το

σημείο A 2,0 τέτοια, ώστε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από την fC και την

ευθεία ε να είναι ελάχιστο, καθώς και το εμβαδό στη περίπτωση αυτή.Λύση

λ 0 Ε΄ – +

Ε Ο.Ε


336

154. Δίνονται οι συναρτήσεις f,g : 0, με 120

f x 6x 2x g x dx 10 , x . Να

υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις fC , gC , τον άξονα y΄y και

την ευθεία x 1 .Λύση

155. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράστασητης συνάρτησης f x 2lnx 3 , την εφαπτόμενη της fC στο σημείο A 1,3 και τον

άξονα x x .Λύση


337

17η Κατηγορία: Εμβαδό που ορίζεται από τις, 1f fC , C , x α, x

Αρχικά αποδεικνύουμε ότι η f αντιστρέφεται. Αν έχουμε τη δυνατότητα βρίσκουμε την f 1 και τότε το ζητούμενο εμβαδό είναι:

β 1

αE Ω f x f x dx

Αν ο τύπος της 1f δεν μπορεί να βρεθεί, τότε σχηματίζουμε τη διαφορά f x x . Αν f x x 0 f x x τότε η fC βρίσκεται πάνω από την ευθεία y x και λόγω

συμμετρίας η 1fC βρίσκεται κάτω από την y x , δηλαδή 1f x f x .

Αν f x x 0 f x x , τότε 1f x f x .

156. Δίνεται η συνάρτηση 7f x x x 1, x .

α) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται.β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις

των συναρτήσεων f και 1f και τις ευθείες x 1 και x 1 .Λύση

α) Είναι 6f x 7x 1 0 άρα, η f είναι γνησίως αύξουσα στο , οπότε και 1 1 , άρααντιστρέφεται.

β) Έστω 7g x f x x x 1 . Για κάθε x 1 είναι7 7x 1 x 1 0 g x 0 f x x 0 f x x , οπότε 1f x f x . Το ζητούμενο

εμβαδόν είναι: 1 1

1E Ω f x f x dx

1 11

1 1f x dx f x dx

Είναι: 1 1 7

1 1f x dx x x 1 dx

1 18 21

11 1

x x x 28 2


338

και για το ολοκλήρωμα 1 1

1f x dx

, θέτουμε 1f x u x f u και dx f du u . Για

x 1 είναι: f u 1 f u f 0 u 0 και για x 1 είναι

f u 1 f u f 1 u 1 .Οπότε:

11 1 11

1 0 00f x dx uf ΄ u du uf u f u du

1 7

0f 1 u u 1 du

1 18 2

1

00 0

u u1 u8 2

1 1 3 1 111 18 2 2 8 8

Άρα 11 27E Ω 2 τ.μ.8 8

157. Δίνεται η συνάρτηση 2xf x e 2x 1 , x .


των συναρτήσεων f και 1f , τον άξονα y΄y και την ευθεία 2x e 1 .Λύση

158. Δίνεται η συνάρτηση 3 2f x x 3x 3x, x .

α) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται.β) Να βρείτε τα κοινά σημεία της fC με τη διχοτόμο της πρώτης γωνίας των αξόνων.γ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις

των συναρτήσεων f και 1f .Λύση

α) Είναι 22 2f x 3x 6x 3 3 x 2x 1 3 x 1 0 για κάθε x 1 , άρα η fείναι γνησίωςαύξουσα στο οπότε και 1 1 και αντιστρέφεται.

β) Οι τετμημένες των ζητούμενων σημείων είναι οι λύσεις της εξίσωσης f x x .Είναι:

3 2 3 2f x x x 3x 3x x x 3x 2x 0 ή x 1 ή x 2 .


339

Οπότε τα ζητούμενα σημεία είναι τα 0,0 , 1,1 και 2,2 .

γ)Επειδή οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και 1f είναι συμμετρικές ως προς την ευθείαy x , το ζητούμενο εμβαδό Ε είναι διπλάσιο από το εμβαδό 1E του χωρίου που ορίζεται από την fCκαι την διχοτόμο y x . Έστω

3 2 2h x f x x x 3x 2x x x 3x 2 x x 1 x 2 0

h x 0 x 0 ή x 1 ή x 2 .Είναι

1 2

1 0 1E h x dx h x dx

1 23 2 3 21 0 1

1E x 3x 2x dx x 3x 2x dx τ.μ2

Οπότε 11E 2E 2 1 . .2

159. Δίνεται η συνάρτηση f x x συνx , x 0,2π .


των συναρτήσεων f και 1f .Λύση

22η ΚατηγορίαΚατακόρυφος διαχωρισμός εμβαδού Κάνουμε σχήμα. Υπολογίζουμε το εμβαδό Ε όλου του συνολικού χωρίου.

Αν ζητείται η κατακόρυφη ευθεία x λ που διαμερίζει το χωρίο σε λόγο εμβαδών 1

2

Ε αΕ

,

τότε: 1 1 22

2 2 2

E E Eα α 1 E α 1 E α 1 EE 1 E 1 E

και από την τελευταία σχέση

υπολογίζουμε το λ.

x 0 1 2

h x – + – +


340

Οριζόντιος ή πλάγιος διαχωρισμός εμβαδού Κάνουμε σχήμα. Βρίσκουμε τα σημεία τομής των κορυφών του ζητούμενου χωρίου και καθορίζουμε τις

κατακόρυφες ευθείες που οριοθετούν τα ζητούμενα εμβαδά. Βρίσκουμε το εμβαδόν όλου του χωρίου Ε Υπολογίζουμε τα επιμέρους παραμετρικά εμβαδά 1E ή 2E που καθορίζονται ανάλογα με την

άσκηση. Κάνοντας αντικατάσταση στη σχέση που ισχύει για το διαχωρισμό των εμβαδών και με

υπολογισμούς από αυτή τη σχέση βρίσκουμε την παράμετρο.

160. Να βρείτε τη κατακόρυφη ευθεία x λ που διχοτομεί την επιφάνεια που καθορίζεται

από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης 1f xx , τον άξονα x'x και τις x 1 και 2x e

.Λύση

Αρχικά βρίσκουμε το εμβαδό που καθορίζεται από τη fC , τον άξοναx΄x και τις ευθείες x 1 , 2x e . Είναι

2 2e e

11

1E dx ln xx

2ln e ln1 2ln e 2

Ζητούμενο είναι το χωρίο 1E που καθορίζεται από τη fC τον άξοναx 'x και τις ευθείες x 1 , x λ να είναι το μισό του αρχικού.Δηλαδή

1 11

1 1 1E E dx 2 ln x 12 x 2

ln ln1 1 ln 1 e e ήλ e (απορρίπτεται λ 1 )

161. α) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράστασητης συνάρτησης f x 4 x 1 , την εφαπτομένη της fC στο 0x 5 και του άξονα x x .

β) Να βρείτε ευθεία x λ που χωρίζει το προηγούμενο χωρίο σε δύο ισεμβαδικά χωρία.Λύση


340







.Λύση


2 2e e

11

1E dx ln xx

2ln e ln1 2ln e 2


1 11

1 1 1E E dx 2 ln x 12 x 2





340







.Λύση


2 2e e

11

1E dx ln xx

2ln e ln1 2ln e 2


1 11

1 1 1E E dx 2 ln x 12 x 2





341

162. Δίνεται η συνάρτηση 2f x x 4x και η ευθεία ε : y αx, 0 α 4 . Να

υπολογίσετε το α για το οποίο το χωρίο που ορίζεται από την fC και τον άξονα x'xχωρίζεται από την ε σε δύο ισεμβαδικά χωρία.

ΛύσηΤα σημεία τομής της 2f x x 4x με την ευθεία y αx είναι:

2 2x 4x x x x 4x 0 x x α 4 0 x 0 ή x 4 α .

Το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από την fC και τον άξονα x 'x

είναι: 4 4 2

0 0Ε f x dx x 4x dx

43 420

0

x 64 322 x 32 τ.μ.3 3 3

Πρέπει 1 11 16Ε E E τ.μ.2 3 Όμως

4 21 0

E x 4x x dx

4 43 242

00 0

x x2 x3 2

3 22

1

4 α 4 αE 2 4 α α

3 2

. Άρα 3 224 α 4 α 162 4 α α

3 2 3

Θέτουμε 4 α ω οπότε α 4 ω και η εξίσωση γίνεται:

3 2

2ω ω 162ω 4 ω3 2 3

3 3

2 2ω ω 162ω 2ω3 2 3

3 33ω 32 ω 32 2 4

Άρα 3α 4 2 3 και η ευθεία είναι 3y 4 2 4 x .

163. Δίνεται η συνάρτηση 2f x 2x x , x .

α) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από την fC και τον άξονα x΄x.β) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και χωρίζει

το χωρίο Ω σε δύο ισεμβαδικά χωρία.Λύση


341




2 2x 4x x x x 4x 0 x x α 4 0 x 0 ή x 4 α .


είναι: 4 4 2


43 420

0

x 64 322 x 32 τ.μ.3 3 3


4 21 0

E x 4x x dx

4 43 242

00 0

x x2 x3 2

3 22

1

4 α 4 αE 2 4 α α

3 2

. Άρα 3 224 α 4 α 162 4 α α

3 2 3


3 2

2ω ω 162ω 4 ω3 2 3

3 3

2 2ω ω 162ω 2ω3 2 3

3 33ω 32 ω 32 2 4






341




2 2x 4x x x x 4x 0 x x α 4 0 x 0 ή x 4 α .


είναι: 4 4 2


43 420

0

x 64 322 x 32 τ.μ.3 3 3


4 21 0

E x 4x x dx

4 43 242

00 0

x x2 x3 2

3 22

1

4 α 4 αE 2 4 α α

3 2

. Άρα 3 224 α 4 α 162 4 α α

3 2 3


3 2

2ω ω 162ω 4 ω3 2 3

3 3

2 2ω ω 162ω 2ω3 2 3

3 33ω 32 ω 32 2 4






342

164. α) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράστασητης συνάρτησης f x 4 x , την εφαπτομένη της στο 0x 4 και τον άξονα x x .

β) Να βρείτε ευθεία x λ, λ που χωρίζει το προηγούμενο χωρίο Ω σε δύο άλλα

χωρία 1Ω και 2Ω με εμβαδά 1E και 2E αντίστοιχα, για τα οποία ισχύει: 1

2

E 3E 13 .

Λύση

α)Για κάθε x 0 είναι 4 2f x2 x x

, f 4 1 και f 4 8 .

Η εφαπτόμενη της fC στο 0x 4 έχει εξίσωση: ε: f 4 f 4 x 4 y y x 4 .

Η ε τέμνει τον άξονα x x στο σημείο A 4,0 και τον y y στοσημείο B 0,4 . Για το ζητούμενο εμβαδό ισχύει:

4

0E OAB x 4 4 x dx

43

42 2 4

00

0

OA OB x x 4 4 8 64 32E Ω 4 4 0 4 8 16 x x 32 τ.μ.32 2 2 3 3 32

β) Είναι 1 1 11 1

2 1 2

E E E3 3 3 3 3 32E E E 2 .μE 13 E E 16 E 16 16 16 3

.

Επειδή 1E 2 8 OAB , τότε 4,0 . Οπότε,

λ2 2 2λ

1 44

x λ 16 λ 8λ 16E x 4 dx 4 λ 4 4λ 16 τ.μ.2 2 2

Ισχύει:2

2 21

λ 8λ 16E 2 2 λ 8λ 16 4 λ 8λ 12 02

λ 6 ή λ 2 . Όμως

λ 4,0 , οπότε λ 2 .

165. α) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράστασητης συνάρτησης 2f x x 2x και τον άξονα x x .

β) Να βρείτε ευθεία y λx , λπου ορίζει στο προηγούμενο χωρίο, δύο άλλα χωρία

με λόγο εμβαδών 1

2

Ε 27Ε 37 .

Λύση


342




2

E 3E 13 .

Λύση


, f 4 1 και f 4 8 .



4

0E OAB x 4 4 x dx

43

42 2 4

00

0

OA OB x x 4 4 8 64 32E Ω 4 4 0 4 8 16 x x 32 τ.μ.32 2 2 3 3 32

β) Είναι 1 1 11 1

2 1 2

E E E3 3 3 3 3 32E E E 2 .μE 13 E E 16 E 16 16 16 3

.


λ2 2 2λ

1 44

x λ 16 λ 8λ 16E x 4 dx 4 λ 4 4λ 16 τ.μ.2 2 2

Ισχύει:2

2 21

λ 8λ 16E 2 2 λ 8λ 16 4 λ 8λ 12 02


λ 4,0 , οπότε λ 2 .




2

Ε 27Ε 37 .

Λύση


342




2

E 3E 13 .

Λύση


, f 4 1 και f 4 8 .



4

0E OAB x 4 4 x dx

43

42 2 4

00

0

OA OB x x 4 4 8 64 32E Ω 4 4 0 4 8 16 x x 32 τ.μ.32 2 2 3 3 32

β) Είναι 1 1 11 1

2 1 2

E E E3 3 3 3 3 32E E E 2 .μE 13 E E 16 E 16 16 16 3

.


λ2 2 2λ

1 44

x λ 16 λ 8λ 16E x 4 dx 4 λ 4 4λ 16 τ.μ.2 2 2

Ισχύει:2

2 21

λ 8λ 16E 2 2 λ 8λ 16 4 λ 8λ 12 02


λ 4,0 , οπότε λ 2 .




2

Ε 27Ε 37 .

Λύση


343

mathimatika katefthinsis epanalipsi

Education