MATHÉMATIQUES ET MUSIQUE

Nicolas Jacquet - Mathématicien

Constantin Rouits - Chef d’Orchestre

1. LA GAMME

Histoire et principe de construction

Vase grec en terre cuite, vers 475-465 avant J.-C. Le

dessin illustre un homme offrant une lyre et un ballon

à un jeune garçon. MET Museum/CC0

PRINCIPE DE LA CORDE VIBRANTE

Note Fondamentale La2 F0 = 110 Hz

Octave La3 F1 = 220 Hz

Octave + Quinte Mi4 F2 = 330 Hz

Double Octave La4 F3 = 440 Hz

Double octave + Tierce Do#5 F4 = 550 Hz

Double octave + Quinte Mi5 F5 = 660 Hz

Double octave + Septième Sol5 F6 = 770 Hz

LE CYCLE DES QUINTES -

CONSTRUCTION

CONSTRUISONS NOS 12 DEGRÉS DE PROCHE EN

PROCHE

(EN PARTANT D’UN DO, DE FRÉQUENCE F)

LA QUINTE DU LOUP

Après une construction du cycle des

quintes, le reste inhérent à la méthode

de calcul est rattrapé en raccourcissant

artificiellement la dernière quinte du

cycle, créant une irrégularité.

SOLUTIONS NON-ÉGALES

1726 1752 1722

SOLUTION MODERNE – LE TEMPÉRAMENT ÉGAL

S’affranchir de la notion de rapports

de longueurs (ensemble des rationnels)

Comment trouver une solution pour

calculer la fréquence de ½ tons égaux

sur toute la gamme ? Quel coefficient

(c) appliquer à une fréquence f0 pour

obtenir f1, fréquence d’un ½ ton

supérieur, et qu’après 12 étapes identiques, on retrouve l’octave pure ?

2. MUSIQUE ET SYMÉTRIES

GUSTAVE MAHLER

PREMIÈRE SYMPHONIE - 3ÈMEMOUVEMENT 1888

PLAN D’UNE FUGUE

Début d’une fugue

Sujet……………….

Réponse………… ……………………….

Sujet………… ……………………… Contre-sujet…..

JEAN-SÉBASTIEN BACHL’OFFRANDE MUSICALE - RICERCAR À 3 VOIX (1747)

NUMÉROTATION DES NOTES

TRANSPOSITION/TRANSLATION

RENVERSEMENT/SYMÉTRIE HORIZONTALE

SYMÉTRIE S

JEAN-SÉBASTIEN BACHL’OFFRANDE MUSICALE - CANON À DEUX - QUARENDO INVENIETIS

MOUVEMENT RÉTROGRADE/SYMÉTRIE

VERTICALE

JEAN-SÉBASTIEN BACHL’OFFRANDE MUSICALE - CANON DIVERS À DEUX

TRANSFORMATIONS FONDAMENTALES

Id : transformation qui ne change rien

s : renversement (symétrie horizontale)

r : mouvement rétrograde (symétrie verticale)

rs : s suivie de r

LIEN AVEC LE RECTANGLE

MUSIQUE DODÉCAPHONIQUE/SÉRIE

S : 10 . 4 . 6 . 3 . 5 . 9 . 2 . 1 . 7 . 8 . 11 . 0

Nombre de séries :

1211 10 … 1= 479 001 600

TECHNIQUE DE COMPOSITION

ARNOLD SCHÖNBERGVARIATIONS POUR ORCHESTRE OP.31(1928)

Phrase 1 Phrase 2 Phrase 3 Phrase 4

Mélodie S s-5(r(S)) r(S) s-5(S)

Harmonie s-5(S) r(S) s-5(r(S)) S

3. LA COMPOSITION

AUTOMATIQUE

UN CHORAL DE BACH?

Un choral (des chorals au pluriel) est un genre musical liturgique,

créé au XVIe siècle dans le cadre de la réforme protestante

luthérienne, pour être chanté en chœur par les fidèles pendant

le culte. La particularité est que les paroles sont uniquement en

langue vernaculaire. Il se veut simple afin d'être chanté et

retenu par les fidèles (Wikipédia)

CHORAL :ACH BLEIB BEI UNS HERR JESU CHRIST (1725)

POURQUOI LE CHORAL EST-IL UN BON

MODEL D’ÉTUDE

Une mélodie donnée

Une harmonisation à 4 voix strictes

Des rythmes très simples

Un fonctionnement cadentiel par sections

Un corpus témoin représentatif (300 chorals) -> Beaucoup de

modèles

LE PRINCIPE DU MACHINE-LEARNING

Un programme qui analyse des données

Des données dans un volume suffisant

Des données organisées

COMMENT CA MARCHE?

DEUX EXEMPLES : SAUREZ-VOUS

TROUVER L’IMPOSTEUR?

CONCLUSIONS