ÁLGEBRAS DE BOOLEpara Computación

By Miguel Pérez Fontenla, January 2012

By Miguel Pérez Fontenla, January 2012

ALGEBRAS DE BOOLE

Álgebra de Boole en informática y matemáticas, es una estructura algebraica que esquematiza las operaciones lógicas Y, O , NO y Si (AND, OR, NOT, IF)

Definición: Álgebra de Boole

ALGEBRAS DE BOOLE

Sea un conjunto B, con dos operaciones binarias suma +, y producto *, y otra operación unitaria llamada complemento ‘,

y, al menos, dos elementos neutros llamados cero 0 y unidad 1,

Se dice pues que la séxtupla {B, +, *, ‘, 0, 1} es un álgebra de Boole si verifica las propiedades:

i.Conmutativa,

ii.Distributiva,

iii.Identidad,

iv.Complemento,

Definición: Álgebra de Boole

,* *

a b b aa b B

a b b a

* *, ,

* * *

a b c a b a ca b c B

a b c a b a c

0

*1

a aa B

a a

' 0

* ' 1

a aa B

a a

ALGEBRAS DE BOOLE

Definición: Enunciado dualA los enunciados obtenidos de cambiar

•la operación + por la * y •los 1 por 0

( y viceversa) se le denomina enunciado dual del enunciado dado.

Teorema o principio de dualidadCualquier dual de un teorema de un álgebra de Boole es también un teorema.

EjemploSi demostramos que es cierta la ley Distributiva: a *(b + c) ≡ (a *b) + (a *c)También quedará demostrada su dual: a + (b *c) ≡ (a + b) *(a + c)

PRINCIPIO DE DUALIDAD

ALGEBRAS DE BOOLE

Definición: Enunciado dualA los enunciados obtenidos de cambiar

•la operación + por la * y •los 1 por 0

( y viceversa) se le denomina enunciado dual del enunciado dado.

Teorema o principio de dualidadCualquier dual de un teorema de un álgebra de Boole es también un teorema.

EjemploSi demostramos que es cierta la ley Distributiva: a *(b + c) ≡ (a *b) + (a *c)También quedará demostrada su dual: a + (b *c) ≡ (a + b) *(a + c)

PRINCIPIO DE DUALIDAD

ALGEBRAS DE BOOLE

Conjuntos una colección de conjuntos cerrados. Entonces {, , , ⋃ ⋂ c, , ∅ } es un álgebra de Boole.

Las proposiciones lógicas Sea el conjunto de las proposiciones lógicas. La séxtupla formada por {, , , , ∧ ∨ ∼ f, τ } es un álgebra de Boole.

Las clase de las congruencias módulo m.Sea D = { 1, 2, 5, 7, 10, 14, 35, 70 } de todos los divisores de 70. {D, +, *, ‘, 1, 70} es un álgebra de Boole donde

•a + b = MCM(a,b) (mínimo común múltiplo de a y b)•a * b = MCD(a,b) (máximo común divisor de a y b) •a’ = 70/a•1 es el elemento cero•70 es el elemento unidad

EJEMPLOS DE ALGEBRAS DE BOOLE

ALGEBRAS DE BOOLE

TEOREMAS BASICOS

Propiedad Ley Ley dual

1.- Ley Conmutativa a + b = b + a a * b = b * a

2.- Ley Asociativa (a + b) + c ≡ a + (b + c) (a * b) * c ≡ a * (b * c)3.- Ley Distributiva a *(b + c) ≡ (a *b) + (a *c) a + (b *c) ≡ (a + b) *(a + c)4.- Ley de Idempotencia a + a ≡ a a * a ≡ a

5.- Ley de Identidad a + 1 ≡ 1 a + 0 ≡ a

a * 0 ≡ 0 a * 1 ≡ a

6.- Ley de Complemento a + a’ ≡ 10’ ≡ 1

a * a’ ≡ 01’ ≡ 0

7.- Ley de involución (a’)’ ≡ a (a’)’ ≡ a

8.- Ley de Morgan ∼(a + b) ≡ ∼a * ∼b ∼(a * b) ≡ ∼a + ∼b

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Teorema: Unicidad del complementoSea B un álgebra de Boole y sean a, x ∊ B, se verifica que sia + x = 1a * x = 0 (dual) entonces x = a’

Teorema: Leyes de redundanciaSea B un álgebra de Boole y sean a, b ∊ B, entonces se verifica:

Propiedad Ley Ley dual

1ª Ley de redundancia a + (a * b) = a a * (a + b) = a

2ª Ley de redundancia a * (a’ + b) = a * b a + (a’ * b) = a + b

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EQUIVALENCIAS

Algebra de Conjuntos Algebra de proposiciones Algebras de Boole

Unión ⋃ Disyunción ∨ Suma +

Intersección ⋂ Conjunción ∧ Producto ·

Complementario c Negación ∼ Complemento ‘

Conjunto vacío ∅ Falsedad f Elemento 0 0

Conjunto universal U Tautología τ Elemento 1 1

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EXPRESIONES DE BOOLE: SUMAS DE PRODUCTOS

Definición: Expresión o función Booleana Sean x1, x2, ..., xn B. Se denomina expresión booleana (o función ∊booleana) de esas variables a cualquier expresión construida con ellas y las operaciones booleanas +, * y ‘.

Definición: LiteralUn literal es una variable o una variable complementada, es decir ó x ó x’ (o cualquier otra letra y, y’,z’,..)

Definición: Producto fundamentalUn producto fundamental es un producto de dos o más literales donde ninguno tiene la misma variableEjemploSon productos fundamentales xy’z, x’y’, zx’t’No son productos fundamentales x’x, y’, zx’yx

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ProposiciónTodo producto de Boole se puede reducir a 0 o a un producto fundamental

Definición: InclusiónUn producto fundamental P1 se dice incluído en otro P2, si todos los literales que conforman P1 son también literales de P2.

ProposiciónSi un producto fundamental P1 está incluído en otro P2 entonces P1 + P2 = P1.

Ejemploxy’ + xy’z’ = xy’ + (xy’) z’ = xy’

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Definición: Suma de Productos o minterm Una expresión de Boole E se dice que está en forma de suma de productos (o también denominada minterm que viene de mínimo término) si E es la suma de uno o varios productos fundamentales, donde ninguno de ellos está contenido en otro.EjemploE1 = xyz + xy’ + xy’z’ (no!)E2 = xyz + x’y’ + xy’z’ (Si!)

Definición: producto de sumas o maxtermUna expresión de Boole E se dice que está en forma de producto de sumas (o también denominada maxterm que viene de término máximo) si E es producto de sumas donde en cada una de los multiplicandos están sumadas todas las variables, complementadas o no..EjemploE1 = (x+y+z)(x+y’+z’)(x’+y+z’) (si!)E2 = (x+y+z)(x+z+z’)(x’+y+z’)’ (no!)

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ProposiciónToda expresión de Boole se puede poner en forma de suma de productos

DemostraciónUsamos, por este orden, las siguientes leyes:

1º) Aplicamos las Leyes de Morgan y leyes de involución.Así suprimimos los complementos de los paréntesis existentes y los dobles complementos que aparezcan.2º) Aplicamos la ley distributiva Así eliminamos cuantos paréntesis nos queden, quedando la expresión en suma de productos3º) Aplicamos las leyes conmutativa, idempotencia, identidad y complemento Así transformamos cada producto en 0 o en un producto fundamental.4º) Aplicamos la ley de absorción Dejando la expresión en forma de suma de productos

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Ejemplo

Transformar en suma de productos la expresión E = ((ab’)’ + c)((a + b’)c’ + (b’ + c)’) =...

Solución

Por la ley de Morgan ...= ((a’ + b’’) + c)((a + b’)c’ + b’’c’) = ...Por el complemento ...= ((a’ + b) + c)((a + b’)c’ + bc’) = ...Por la distributiva ...= (a’ + b + c)(ac’ + b’c’ + bc’) = ...Por la distributiva ...= a’ac’ + a’b’c’ +a’bc’ + bac’ + bb’c’ + bbc’ + cac’ + cb’c’ + cbc’ = ...Por la conmutativa ...= aa’c’ + a’b’c’ +a’bc’ + abc’ + bb’c’ + bbc’ + acc’ + b’cc’ + bcc’ = ...Por el complemento ...= 0c’ + a’b’c’ +a’bc’ + abc’ + 0c’ + bbc’ + a0 + b’0 + b0 = ...Por la identidad ...= 0 + a’b’c’ + a’bc’ + abc’ + 0 + bbc’ + 0 + 0 + 0 = ...Por la idempotencia ...= a’b’c’ + a’bc’ + abc’ + bc’ = ...Por la absorción ...= a’b’c’ + bc’

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Definición: Forma completa o canónica de suma de productosUna expresión de Boole E no nula se dice que está en forma completa (también le podemos llamar canónica disyuntiva) de suma de productos cuando está en forma de suma de productos y en cada producto se usan todas las variables que componen E EjemploEn el ejemplo previo la expresión resultante E = a’b’c’ + bc’ no está en forma completa de suma de productos pues el segundo sumando no contiene la variable c. TeoremaToda expresión de Boole E no nula se puede escribir como forma completa de suma de productos y dicha expresión es única. EjemploLa expresión anterior E = a’b’c’ + bc’ se consigue escribir en forma completa de suma de productos con solo realizar el proceso siguiente E = a’b’c’ + bc’ = ...Por la identidad ...= a’b’c’ + bc’1 = ...Por el complemento ...= a’b’c’ + (a + a’)bc’ = ...Por la distributiva ...= a’b’c’ + abc’ + a’bc’ Resultando finalmente E = a’b’c’ + abc’ + a’bc’

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