vonneumann algebras

8/23/2019 VonNeumann Algebras

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V o n N e u m a n n A l g e b r a s .

V a u g h a n F . R . J o n e s

1

1 3 t h M a y 2 0 0 3

1

S u p p o r t e d i n p a r t b y N S F G r a n t D M S 9 3 2 2 6 7 5 , t h e M a r s d e n f u n d U O A 5 2 0 ,

a n d t h e S w i s s N a t i o n a l S c i e n c e F o u n d a t i o n .



2



C h a p t e r 1

I n t r o d u c t i o n .

3



4



C h a p t e r 2

B a c k g r o u n d a n d P r e r e q u i s i t e s

2 . 1 H i l b e r t S p a c e

A H i l b e r t S p a c e i s a c o m p l e x v e c t o r s p a c e H

w i t h i n n e r p r o d u c t, : HxH →

Cw h i c h i s l i n e a r i n t h e s e c o n d v a r i a b l e , s a t i s e s

ξ, η = η, ξ , i s p o s i t i v e

d e n i t e , i . e .ξ, ξ > 0

f o rξ = 0

, a n d i s c o m p l e t e f o r t h e n o r m d e n e d b y t e s t

||ξ || = ξ, ξ

.

E x e r c i s e 2 . 1 . 1 P r o v e t h e p a r a l l e l o g r a m i d e n t i t y :

||ξ − η||2

+ ||ξ + η||2

= 2(||ξ ||2

+ ||η||2

)a n d t h e C a u c h y - S c h w a r t z i n e q u a l i t y :

|ξ, η |≤ | |ξ ||||η||.T h e o r e m 2 . 1 . 2

I f C

i s a c l o s e d c o n v e x s u b s e t o f H

a n d ξ

i s a n y v e c t o r i n

H, t h e r e i s a u n i q u e

η ∈ C w h i c h m i n i m i z e s t h e d i s t a n c e f r o m

ξ t o

C , i . e .

||ξ − η| |≤ | |ξ − η|| ∀η ∈ C .

P r o o f . T h i s i s b a s i c a l l y a r e s u l t i n p l a n e g e o m e t r y .

U n i q u e n e s s i s c l e a r i f t w o v e c t o r sη

a n d η

i n C

m i n i m i z e d t h e d i s t a n c e ,

ξ a n d t h e s e t w o v e c t o r s d e n e a p l a n e a n d a n y v e c t o r o n t h e l i n e s e g m e n t

b e t w e e n η

a n d η

w o u l d b e s t r i c t l y c l o s e r t o ξ

.

T o p r o v e e x i s t e n c e , l e td

b e t h e d i s t a n c e f r o m C

t o ξ

a n d c h o o s e a s e q u e n c e

ηn ∈ C w i t h

||ηn − ξ || < d + 1/2n. F o r e a c h

n, t h e v e c t o r s

ξ ,

ηn a n d ηn+1

d e n e a p l a n e . G e o m e t r i c a l l y i t i s c l e a r t h a t , i fηn a n d

ηn+1 w e r e n o t c l o s e ,

s o m e p o i n t o n t h e l i n e s e g m e n t b e t w e e n t h e m w o u l d b e c l o s e r t h a n d

t o ξ

.

F o r m a l l y , u s e t h e p a r a l l e l o g r a m i d e n t i t y :

||ξ − ηn + ηn+12

||2 = ||ξ − ηn2

+ξ − ηn+1

2||2

5



= 2(||

ξ − ηn

2 ||2 +

||ξ − ηn+1

2 ||2

−1/8

||ηn

−ηn+1

||2)

≤ (d + 1/2n)2 − 1/4||ηn − ηn+1||2T h u s t h e r e i s a c o n s t a n t

K s u c h t h a t

||ηn−ηn+1||2 < K/2no r

||ξ − ηn+ηn+1

2||2

w o u l d b e l e s s t h a n d2

.

T h u s

(ηn)i s C a u c h y , i t s l i m i t i s i n

C a n d h a s d i s t a n c e

df r o m

ξ .

E x e r c i s e 2 . 1 . 3 I f

φ ∈ H∗( t h e B a n a c h - s p a c e d u a l o f

Hc o n s i s t i n g o f a l l

c o n t i n u o u s l i n e a r f u n c t i o n a l s f r o m H

t o C) ,kerφ

i s a c l o s e d c o n v e x s u b s e t

o f

H. S h o w h o w t o c h o o s e a v e c t o r

ξ φ o r t h o g o n a l t o ker φ

w i t h φ(η) =

ξ φ, η

a n d t h a t φ → ξ φ i s a c o n j u g a t e - l i n e a r i s o m o r p h i s m f r o m H∗o n t o H .

W e w i l l b e e s p e c i a l l y c o n c e r n e d w i t h s e p a r a b l e H i l b e r t S p a c e s w h e r e t h e r e

i s a n o r t h o n o r m a l b a s i s , i . e . a s e q u e n c e ξ 1, ξ 2, ξ 3,...

o f u n i t v e c t o r s w i t h

ξ i, ξ j = 0f o r

i = ja n d s u c h t h a t

0i s t h e o n l y e l e m e n t o f

Ho r t h o g o n a l t o

a l l t h e ξ i .

E x e r c i s e 2 . 1 . 4 S h o w t h a t i s

ξ i i s a n o r t h o n o r m a l b a s i s f o r H

t h e n t h e

l i n e a r s p a n o f t h e ξ i i s d e n s e i n

H.

A l i n e a r m a p ( o p e r a t o r )

a : H → Ki s s a i d t o b e b o u n d e d i f t h e r e i s a

n u m b e rK

w i t h ||aξ || ≤ K ||ξ || ∀ξ ∈ H

. T h e i n m u m o f a l l s u c h K

i s c a l l e d

t h e n o r m o fa

, w r i t t e n ||a||

. T h e s e t o f a l l b o u n d e d o p e r a t o r s o n H

i s w r i t t e n

B(H). B o u n d e d n e s s o f a n o p e r a t o r i s e q u i v a l e n t t o c o n t i n u i t y .

T o e v e r y b o u n d e d o p e r a t o ra

b e t w e e n H i l b e r t s p a c e sH

a n d K

, b y e x e r c i s e

2 . 1 . 3 t h e r e i s a n o t h e r ,a∗

, b e t w e e n K

a n d H

, c a l l e d t h e a d j o i n t o fa

w h i c h i s

d e n e d b y t h e f o r m u l a

aξ,η = ξ, a∗η.

E x e r c i s e 2 . 1 . 5 P r o v e t h a t

||a|| = sup||ξ||≤1,||η||≤1

|aξ,η| = ||a∗|| = ||a∗a||1/2.

T h e i d e n t i t y m a p o n H i s a b o u n d e d o p e r a t o r d e n o t e d 1

.

A n o p e r a t o r a ∈ B(H) i s c a l l e d s e l f - a d j o i n t i f a = a∗ .

A n o p e r a t o r p ∈ B(H)

i s c a l l e d a p r o j e c t i o n i fp = p2 = p∗

.

A n o p e r a t o r

a ∈ B(H)i s c a l l e d p o s i t i v e i f

aξ,ξ ≥ 0 ∀ξ ∈ B(H). W e

s a y a ≥ b

i fa − b

i s p o s i t i v e .

A n o p e r a t o r

u ∈ B(H)i s c a l l e d a n i s o m e t r y i f

u∗u = 1.

A n o p e r a t o rv ∈ B(H)

i s c a l l e d a u n i t a r y i fuu∗ = u∗u = 1

.

A n o p e r a t o ru ∈ B(H)

i s c a l l e d a p a r t i a l i s o m e t r y i fu∗u

i s a p r o j e c t i o n .

T h e l a s t t h r e e d e n i t i o n s e x t e n d t o b o u n d e d l i n e a r o p e r a t o r s b e t w e e n

d i e r e n t H i l b e r t s p a c e s .

6



E x e r c i s e 2 . 1 . 6 S h o w t h a t e v e r y

a

∈ B(

H)

i s a l i n e a r c o m b i n a t i o n o f t w o

s e l f - a d j o i n t o p e r a t o r s .

E x e r c i s e 2 . 1 . 7 A p o s i t i v e o p e r a t o r i s s e l f - a d j o i n t .

E x e r c i s e 2 . 1 . 8 F i n d a n i s o m e t r y f r o m o n e H i l b e r t s p a c e t o i t s e l f t h a t i s n o t

u n i t a r y . T h e u n i l a t e r a l s h i f t o n H = 2(N)

i s a n e e x a m p l e . T h e r e i s a n

o b v i o u s o r t h o n o r m a l b a s i s o f H

i n d e x e d b y t h e n a t u r a l n u m b e r s a n d t h e s h i f t

j u s t s e n d s t h e nth.

b a s i s e l e m e n t t o t h e

(n + 1)th.

E x e r c i s e 2 . 1 . 9 I f

Ki s a c l o s e d s u b s p a c e o f

Hs h o w t h a t t h e m a p

P K : H →

Kw h i c h a s s i g n s t o a n y p o i n t i n

Ht h e n e a r e s t p o i n t i n

Ki s l i n e a r a n d a

p r o j e c t i o n .

E x e r c i s e 2 . 1 . 1 0 S h o w t h a t t h e c o r r e s p o n d e n c e

K → P K o f t h e p r e v i o u s e x -

e r c i s e i s a b i j e c t i o n b e t w e e n c l o s e d s u b s p a c e s o f H

a n d p r o j e c t i o n s i n B(H)

.

I f

S i s a s u b s e t o f

H,

S ⊥i s b y d e n i t i o n

ξ ∈ H : ξ, η = 0 ∀η ∈ S .N o t e t h a t

S ⊥i s a l w a y s a c l o s e d s u b s p a c e .

E x e r c i s e 2 . 1 . 1 1 I f

Ki s a c l o s e d s u b s p a c e t h e n

K⊥⊥ = Ka n d

P K⊥ = 1−P K .

E x e r c i s e 2 . 1 . 1 2 I f

ui s a p a r t i a l i s o m e t r y t h e n s o i s

u∗. T h e s u b s p a c e

u∗

Hi s t h e n c l o s e d a n d c a l l e d t h e i n i t i a l d o m a i n o f u , t h e s u b s p a c e uH i s a l s o

c l o s e d a n d c a l l e d t h e n a l d o m a i n o f u

. S h o w t h a t a p a r t i a l i s o m e t r y i s t h e

c o m p o s i t i o n o f t h e p r o j e c t i o n o n t o i t s i n i t i a l d o m a i n a n d a u n i t a r y b e t w e e n

t h e i n i t i a l a n d n a l d o m a i n s .

T h e c o m m u t a t o r[a, b]

o f t w o e l e m e n t s o fB(H)

i s t h e o p e r a t o rab − ba

.

E x e r c i s e 2 . 1 . 1 3 I f

Ki s a c l o s e d s u b s p a c e a n d

a = a∗t h e n

aK ⊆ K if f [a, P K] = 0.

I n g e n e r a l (aK ⊆ K and a∗

K ⊆ K) ⇐⇒ [a, P K] = 0.

2 . 2 T h e S p e c t r a l T h e o r e m

T h e s p e c t r u m σ(a)

o fa ∈ B(H)

i sλ ∈ C : a − λ1

i s n o t i n v e r t i b l e

.

E x e r c i s e 2 . 2 . 1 ( L o o k u p p r o o f s i f n e c e s s a r y . ) S h o w t h a t

σ(a)i s a n o n -

e m p t y c l o s e d b o u n d e d s u b s e t o f C a n d t h a t i f a = a∗

,σ(a) ⊆ [−||a||, ||a||]

w i t h e i t h e r ||a||

o r −||a||

i n σ(a)

.

7



T h e s p e c t r a l t h e o r e m t a k e s a b i t o f g e t t i n g u s e d t o a n d k n o w i n g h o w

t o p r o v e i t d o e s n o t n e c e s s a r i l y h e l p m u c h . I f o n e c a n n o t s e e t h e s p e c t r a l

d e c o m p o s i t i o n o f a n o p e r a t o r i t m a y b e e x t r e m e l y d i c u l t t o o b t a i n e x c e p t

i n a s m a l l n i t e n u m b e r o f d i m e n s i o n s w h e r e i t i s j u s t d i a g o n a l i s a t i o n . B u t

f o r t u n a t e l y t h e r e i s n o t h i n g l i k e a c o u r s e i n o p e r a t o r a l g e b r a s , e i t h e rC ∗

o r

v o n N e u m a n n , t o h e l p m a s t e r t h e u s e o f t h i s t h e o r e m w h i c h i s t h e h e a r t o f

l i n e a r a l g e b r a o n H i l b e r t s p a c e . T h e b o o k b y R e e d a n d S i m o n , M e t h o d s o f

m a t h e m a t i c a l p h y s i c s v o l . 1 , F u n c t i o n a l A n a l y s i s , c o n t a i n s a t r e a t m e n t o f

t h e s p e c t r a l t h e o r e m w h i c h i s p e r f e c t b a c k g r o u n d f o r t h i s c o u r s e . W e w i l l

m a k e n o a t t e m p t t o p r o v e i t h e r e j u s t g i v e a v a g u e s t a t e m e n t w h i c h w i l l

e s t a b l i s h t e r m i n o l o g y .

T h e s p e c t r a l t h e o r e m a s s e r t s t h e e x i s t e n c e o f a p r o j e c t i o n v a l u e d m e a s u r e

f r o m t h e B o r e l s u b s e t s o f t h σ(a)

( w h e n a = a∗

o r m o r e g e n e r a l l y w h e n

ai s n o r m a l i . e .

[a, a∗] = 0) t o p r o j e c t i o n s i n

B(H), w r i t t e n s y m b o l i c a l l y

λ → E (λ), s u c h t h a t

a =

λdE (λ).

T h i s i n t e g r a l m a y b e i n t e r p r e t e d a s a l i m i t o f s u m s o f o p e r a t o r s ( n e c e s s i t a t i n g

a t o p o l o g y o n B(H)

) , a s a l i m i t o f s u m s o f v e c t o r saξ =

λdE (λ)ξ

o r s i m p l y

i n t e r m s o f m e a s u r a b l e f u n c t i o n sξ,aη =

λdξ, E (λ)η

. T h e p r o j e c t i o n s

E (B)a r e c a l l e d t h e s p e c t r a l p r o j e c t i o n s o f

aa n d t h e i r i m a g e s a r e c a l l e d t h e

s p e c t r a l s u b s p a c e s o f

a.

G i v e n a n y b o u n d e d B o r e l c o m p l e x - v a l u e d f u n c t i o n

f o n

σ(a)o n e m a y

f o r m f (a)

b y f (a) =

f (λ)dE (λ)

.

E x e r c i s e 2 . 2 . 2 I f

µi s a s i g m a - n i t e m e a s u r e o n

X a n d

f ∈ L∞(X, µ),

t h e o p e r a t o r

M f : L2(X, µ) → L2(X, µ), M f g(x) = f (x)g(x), i s a b o u n d e d

o p e r a t o r w i t h ||M f || = ess−sup

x∈X (|f (x)|)

. I f f

i s r e a l v a l u e d t h e n M f i s s e l f

a d j o i n t . F i n d

σ(f )a n d t h e p r o j e c t i o n - v a l u e d m e a s u r e

E (λ).

E x e r c i s e 2 . 2 . 3 I f

dim(H

) <∞

n d t h e s p e c t r u m a n d p r o j e c t i o n - v a l u e d

m e a s u r e o r a

( w h i c h i s a H e r m i t i a n m a t r i x ) .

T h e e x a m p l e o f e x e r c i s e 2 . 2 . 2 i s g e n e r i c i n t h e s e n s e t h a t t h e r e i s a v e r s i o n

o f t h e s p e c t r a l t h e o r e m w h i c h a s s e r t s t h e f o l l o w i n g . I f

ξ ∈ Hi s a n y v e c t o r

a n d a = a∗ ∈ B(H)

, l e tK

b e t h e c l o s e d l i n e a r s p a n o f t h e anξ : n =

0, 1, 2, 3,..., t h e n

ad e n e s a s e l f - a d j o i n t o p e r a t o r o n

Ka n d t h e r e i s a n i t e

m e a s u r e µ

o n t h e s p e c t r u m σ(a)

s u c h t h a t(K, a)

i s i s o m o r p h i c i n t h e o b v i o u s

s e n s e t o (L2(σ(a), µ),

m u l t i p l i c a t i o n b y x )

. C o n t i n u i n g s u c h a n a r g u m e n t b y

r e s t r i c t i n g t o K⊥

o n e o b t a i n s a f u l l s p e c t r a l t h e o r e m .

8



E x e r c i s e 2 . 2 . 4 S h o w t h a t a s e l f - a d j o i n t o p e r a t o r

ai s t h e d i e r e n c e

a+

−a−

o f t w o p o s i t i v e o p e r a t o r s c a l l e d t h e p o s i t i v e a n d n e g a t i v e p a r t s o f a, o b t a i n e d

a s f u n c t i o n s o f a

a s a b o v e .

2 . 3 P o l a r d e c o m p o s i t i o n

E x e r c i s e 2 . 3 . 1 S h o w t h a t e v e r y p o s i t i v e o p e r a t o r

ah a s a u n i q u e p o s i t i v e

s q u a r e r o o ta1/2

.

G i v e n a n a r b i t r a r y

a ∈ B(H)w e d e n e

|a| = (a∗a)1/2.

E x e r c i s e 2 . 3 . 2 S h o w t h a t t h e r e i s a p a r t i a l i s o m e t r y u s u c h t h a t a = u|a|,

a n d t h a t

ui s u n i q u e s u b j e c t t o t h e c o n d i t i o n t h a t i t s d o m a i n s u b s p a c e i s

ker(a)⊥. T h e n a l d o m a i n o f t h i s

ui s

Im(a) = ker(a∗)⊥.

2 . 4 T e n s o r p r o d u c t o f H i l b e r t S p a c e s .

I f

Ha n d

Ka r e H i l b e r t s p a c e s o n e m a y f o r m t h e i r a l g e b r a i c t e n s o r p r o d u c t

H ⊗alg K( i n t h e c a t e g o r y o f c o m p l e x v e c t o r s p a c e s ) . O n t h i s v e c t o r s p a c e

o n e d e n e s t h e s e s q u i l i n e a r f o r m

ξ ⊗ η, ξ ⊗ η = ξ, ξ η, ηa n d o b s e r v e s t h a t t h i s f o r m i s p o s i t i v e d e n i t e . T h e H i l b e r t s p a c e t e n s o r

p r o d u c tH ⊗ K

i s t h e n t h e c o m p l e t i o n o fH ⊗alg K

. I t i s e a s y t o s e e t h a t i f

a ∈ B(H), b ∈ B(K), t h e r e i s a b o u n d e d o p e r a t o r

a ⊗ bo n

H ⊗ Kd e n e d b y

a ⊗ b(ξ ⊗ η) = aξ ⊗ bη.

E x e r c i s e 2 . 4 . 1 L e t

L2(X, H, µ)b e t h e H i l b e r t s p a c e o f m e a s u r a b l e s q u a r e

i n t e g r a b l e f u n c t i o n s ( u p t o n u l l s e t s )f : X → H

. F o r e a c h ξ ∈ H

a n d

f ∈ L2(X, µ)l e t

f ξ ∈ L2(X, H, µ)b e d e n e d b y

f ξ(x) = f (x)ξ . S h o w t h a t

t h e m a p

ξ ⊗ f → f ξd e n e s a u n i t a r y f r o m H ⊗ L

2

(X, µ)o n t o

L2

(X, H, µ).

9



1 0



C h a p t e r 3

T h e d e n i t i o n o f a v o n N e u m a n n

a l g e b r a a n d s o m e b a s i c e x a m p l e s .

3 . 1 T o p o l o g i e s o n B(H)

( i ) T h e n o r m o r u n i f o r m t o p o l o g y i s g i v e n b y t h e n o r m ||a||

d e n e d i n t h e

p r e v i o u s c h a p t e r .

( i i ) T h e t o p o l o g y o n B(H)

o f p o i n t w i s e c o n v e r g e n c e o n H

i s c a l l e d t h e

s t r o n g o p e r a t o r t o p o l o g y . A b a s i s o f n e i g h b o u r h o o d s o fa

∈ B(

H)

i s f o r m e d

b y t h e

N (a, ξ 1, ξ 2,...,ξ n, ) = b : ||(b − a)ξ i|| < ∀i = 1, · · · , n

( i i i ) T h e w e a k o p e r a t o r t o p o l o g y i s f o r m e d b y t h e b a s i c n e i g h b o u r h o o d s

N (a, ξ 1, ξ 2,...,ξ n, η1, η2,..,ηn, ) = b : |(b − a)ξ i, ηi| < ∀i = 1, · · · , n

N o t e t h a t t h i s w e a k t o p o l o g y i s t h e t o p o l o g y o f p o i n t w i s e c o n v e r g e n c e

o n H i n t h e w e a k t o p o l o g y o n H d e n e d i n t h e o b v i o u s w a y b y t h e i n n e r

p r o d u c t .

T h e u n i t b a l l o f

Hi s c o m p a c t i n t h e w e a k t o p o l o g y a n d t h e u n i t b a l l

o fB(H)

i s c o m p a c t i n t h e w e a k o p e r a t o r t o p o l o g y . T h e s e a s s e r t i o n s f o l l o w

e a s i l y f r o m T y c h o n o ' s t h e o r e m .

E x e r c i s e 3 . 1 . 1 S h o w t h a t w e h a v e t h e f o l l o w i n g o r d e r i n g o f t h e t o p o l o g i e s

( s t r i c t i n i n n i t e d i m e n s i o n s ) .

( w e a k o p e r a t o r t o p o l o g y ) < ( s t r o n g o p e r a t o r t o p o l o g y ) < ( n o r m t o p o l o g y )

1 1



N o t e t h a t a w e a k e r t o p o l o g y h a s l e s s o p e n s e t s s o t h a t i s a s e t i s c l o s e d i n

t h e w e a k t o p o l o g y i t i s n e c e s s a r i l y c l o s e d i n t h e s t r o n g a n d n o r m t o p o l o g i e s .

W e w i l l n o w p r o v e t h e v o n N e u m a n n d e n s i t y o r b i c o m m u t a n t t h e o r e m

w h i c h i s t h e r s t r e s u l t i n t h e s u b j e c t . W e p r o v e i t r s t i n t h e n i t e d i m e n -

s i o n a l c a s e w h e r e t h e p r o o f i s t r a n s p a r e n t t h e n m a k e t h e s l i g h t a d j u s t m e n t s

f o r t h e g e n e r a l c a s e .

T h e o r e m 3 . 1 . 2 L e t

M b e a s e l f - a d j o i n t s u b a l g e b r a o f

B(H)c o n t a i n i n g

1,

w i t h dim(H) = n < ∞

. T h e n M = M

.

P r o o f . I t i s t a u t o l o g i c a l t h a t

M ⊆ M .

S o w e m u s t s h o w t h a t i fy

∈M

t h e n y

∈M

. T o t h i s e n d w e w i l l a m p l i f y

t h e a c t i o n o f M o n H t o a n a c t i o n o n H⊗H d e n e d b y x(ξ ⊗η) = xξ ⊗η . I f w e

c h o o s e a n o r t h o n o r m a l b a s i svi o f

Ht h e n

H⊗H = ⊕ni=1H a n d i n t e r m s o f

m a t r i c e s w e a r e c o n s i d e r i n g t h e n x n

m a t r i c e s o v e rB(H)

a n d e m b e d d i n g M

i n i t a s m a t r i c e s c o n s t a n t d o w n t h e d i a g o n a l . C l e a r l y e n o u g h t h e c o m m u t a n t

o fM

o n H⊗H

i s t h e a l g e b r a o f a l ln x n

m a t r i c e s w i t h e n t r i e s i n M

a n d t h e

s e c o n d c o m m u t a n t c o n s i s t s o f m a t r i c e s h a v i n g a x e d e l e m e n t o f

M d o w n

t h e d i a g o n a l .

L e t

vb e t h e v e c t o r

⊕ni=1vi ∈ ⊕ni=1H a n d l e t

V = Mv ⊆ H ⊗ H. T h e n

M V ⊆ V a n d s i n c e

M = M ∗,

P V ∈ M ( o n

H ⊗ H) b y e x e r c i s e 2 . 1 . 1 3 . S o i f

y ∈ M ( o n

H⊗H) , t h e n

yc o m m u t e s w i t h

P V a n d yM v ⊆ M v

. I n p a r t i c u l a r

y(1v) = xv f o r s o m e x ∈ M s o t h a t yvi = xvi f o r a l l i, a n d y = x ∈ M .

T h e o r e m 3 . 1 . 3 ( v o n N e u m a n n ) L e t

M b e a s e l f - a d j o i n t s u b a l g e b r a o f


1. T h e n

M = M ( c l o s u r e i n t h e s t r o n g o p e r a t o r t o p o l o g y ) .

P r o o f . C o m m u t a n t s a r e a l w a y s c l o s e d s o M ⊆ M

.

S o l e t

a ∈ M a n d

N (a, ξ 1, ξ 2,...,ξ n, )b e a s t r o n g n e i g h b o u r h o o d o f

a.

W e w a n t t o n d a n x ∈ M

i n t h i s n e i g h b o u r h o o d . S o l e tv ∈ ⊕ni=1H b e

⊕ni=1ξ ia n d l e t

B(H)a c t d i a g o n a l l y o n

⊕ni=1H a s i n t h e p r e v i o u s t h e o r e m . T h e n t h e

s a m e o b s e r v a t i o n s c o n c e r n i n g m a t r i x f o r m s o f c o m m u t a n t s a r e t r u e . A l s o M

c o m m u t e s w i t h P Mv w h i c h t h u s c o m m u t e s w i t h

a( o n

⊕ni=1H ) . A n d s i n c e

1 ∈ M ,

av = ⊕aξ i i s i n t h e c l o s u r e o f Mv s o t h e r e i s a n x ∈ M w i t h

||xξ i − axii|| < f o r a l l

i.

C o r o l l a r y 3 . 1 . 4 I f

M = M ∗i s a s u b a l g e b r a o f

B(H)w i t h

1 ∈ M , T F A E :

1 )M = M

2 )

M i s s t r o n g l y c l o s e d .

3 )M

i s w e a k l y c l o s e d .

D e n i t i o n 3 . 1 . 5 A s u b a l g e b r a o f

B(H)s a t i s f y i n g t h e c o n d i t i o n s o f c o r o l l a r y

3 . 1 . 4 i s c a l l e d a v o n N e u m a n n a l g e b r a .

1 2



( A s e l f - a d j o i n t s u b a l g e b r a o f

B(

H)

w h i c h i s c l o s e d i n t h e n o r m t o p o l o g y

i s c a l l e d a C ∗ - a l g e b r a . )

E x a m p l e 3 . 1 . 6 1 ) A n y n i t e d i m e n s i o n a l * - s u b a l g e b r a o f


1.

E x a m p l e 3 . 1 . 7 B(H)i t s e l f .

E x a m p l e 3 . 1 . 8 E x e r c i s e 3 . 1 . 9

L e t(X, µ)

b e a n i t e m e a s u r e s p a c e a n d

c o n s i d e r A = L∞(X, µ)

a s a * - s u b a l g e b r a o f B(L2(X, µ))

a s m u l t i p l i c a t i o n

o p e r a t o r s a s i n e x e r c i s e 2 . 2 . 2 . S h o w t h a tA = A

, i . e .A

i s m a x i m a l a b e l i a n

a n d h e n c e a v o n N e u m a n n a l g e b r a . ( H i n t : i f

x ∈ Al e t

f = x(1). S h o w t h a t

f ∈ L∞a n d t h a t

x = M f . )

E x a m p l e 3 . 1 . 1 0 I f

S ⊆ B(H), w e c a l l

(S ∪ S ∗)t h e v o n N e u m a n n a l g e b r a

g e n e r a t e d b y S . I t i s , b y t h e o r e m 3 . 1 . 3 t h e w e a k o r s t r o n g c l o s u r e o f t h e * -

a l g e b r a g e n e r a t e d b y

1a n d

S . M o s t c o n s t r u c t i o n s o f v o n N e u m a n n a l g e b r a s

b e g i n b y c o n s i d e r i n g s o m e f a m i l y o f o p e r a t o r s w i t h d e s i r a b l e p r o p e r t i e s a n d

t h e n t a k i n g t h e v o n N e u m a n n a l g e b r a t h e y g e n e r a t e . B u t i s i s q u i t e h a r d , i n

g e n e r a l , t o g e t m u c h c o n t r o l o v e r t h e o p e r a t o r s a d d e d w h e n t a k i n g t h e w e a k

c l o s u r e a n d a l l t h e d e s i r a b l e p r o p e r t i e s o f t h e g e n e r a t i n g a l g e b r a m a y b e

l o s t . ( F o r i n s t a n c e a n y p o s i t i v e s e l f - a d j o i n t o p e r a t o r a w i t h ||a|| ≤ 1 i s a w e a k

l i m i t o f p r o j e c t i o n s . ) H o w e v e r , i f t h e d e s i r a b l e p r o p e r t i e s c a n b e e x p r e s s e d

i n t e r m s o f m a t r i x c o e c i e n t s t h e n t h e s e p r o p e r t i e s w i l l b e p r e s e r v e d u n d e r

w e a k l i m i t s s i n c e t h e m a t r i x c o e c i e n t s o fa

a r e j u s t s p e c i a l e l e m e n t s o f t h e

f o r m

ξ,aη. W e s h a l l n o w t r e a t a n e x a m p l e o f t h i s k i n d o f p r o p e r t y w h i c h i s

a t t h e h e a r t o f t h e s u b j e c t a n d w i l l p r o v i d e u s w i t h a v a s t s u p p l y o f i n t e r e s t i n g

v o n N e u m a n n a l g e b r a s q u i t e d i e r e n t f r o m t h e r s t 3 e x a m p l e s .

L e t

Γb e a d i s c r e t e g r o u p a n d l e t

2(Γ)b e t h e H i l b e r t s p a c e o f a l l f u n c t i o n s

f : Γ → Cw i t h

γ ∈Γ|f (γ )|2 < ∞

a n d i n n e r p r o d u c tf, g =

γ ∈Γf (γ )g(γ )

. A n

o r t h o n o r m a l b a s i s o f 2(Γ) i s g i v e n b y t h e εγ w h e r e εγ (γ ) = δ γ,γ s o t h a t

f =γ ∈Γ

f (γ )εγ i n t h e 2

s e n s e . F o r e a c h γ ∈ Γ

d e n e t h e u n i t a r y o p e r a t o ruγ

b y

(uγ f )(γ ) = f (γ −1). N o t e t h a t

uγ uρ = uγρ a n d t h a t

uγ (ερ) = εγρ . T h u s

γ → uγ i s a u n i t a r y g r o u p r e p r e s e n t a t i o n c a l l e d t h e l e f t r e g u l a r r e p r e s e n t a t i o n .

T h e

uγ a r e l i n e a r l y i n d e p e n d e n t s o t h e a l g e b r a t h e y g e n e r a t e i s i s o m o r p h i c

t o t h e g r o u p a l g e b r a CΓ

. T h e v o n N e u m a n n a l g e b r a g e n e r a t e d b y t h e uγ

g o e s u n d e r v a r i o u s n a m e s ,U (Γ)

,λ(Γ)

a n d L(Γ)

b u t w e w i l l c a l l i tvN (Γ)

a s

i t i s t h e g r o u p v o n N e u m a n n a l g e b r a o fΓ

.

1 3



T o s e e t h a t o n e c a n c o n t r o l w e a k l i m i t s o f l i n e a r c o m b i n a t i o n s o f t h e

uγ , c o n s i d e r r s t t h e c a s e Γ = Z/nZ. W i t h b a s i s u0, u1, u2, · · · , un−1 , u1 i s

r e p r e s e n t e d b y t h e m a t r i x :

0 1 0 0 . .0 0 1 0 0 .0 . 0 1 0 00 . . 0 1 00 0 . . 0 11 0 0 . . 0

w h i c h i s a m a t r i x c o n s t a n t a l o n g t h e d i a g o n a l s . C l e a r l y a l l p o w e r s o fu1 a n d

a l l l i n e a r c o m b i n a t i o n s o f t h e m h a v e t h i s p r o p e r t y a l s o s o t h a t a n a r b i t r a r y

e l e m e n t o f t h e a l g e b r a t h e y g e n e r a t e w i l l h a v e t h e m a t r i x f o r m ( w h e n n = 6

) :

a b c d e f f a b c d ee f a b c dd e f a b cc d e f a bb c d e f a

( S u c h m a t r i c e s a r e k n o w n a s c i r c u l a n t m a t r i c e s b u t t o t h e b e s t o f o u r k n o w l -

e d g e t h i s t e r m o n l y a p p l i e s w h e n t h e g r o u p i s c y c l i c . ) I f

Z/nZw e r e r e p l a c e d

b y a n o t h e r n i t e g r o u p t h e s a m e s o r t o f s t r u c t u r e w o u l d p r e v a i l e x c e p t t h a t

t h e d i a g o n a l s w o u l d b e m o r e c o m p l i c a t e d , a c c o r d i n g t o t h e m u l t i p l i c a t i o n

t a b l e o f t h e g r o u p .

N o w l e tΓ

b e a n i n n i t e g r o u p . I t i s s t i l l t r u e t h a t t h e (γ, ρ)

m a t r i x e n t r y o f

a n i t e l i n e a r c o m b i n a t i o n o f t h e

uγ ' s w i l l d e p e n d o n l y o n

γ −1ρ. A s o b s e r v e d

a b o v e , t h e s a m e m u s t b e t r u e o f w e a k l i m i t s o f t h e s e l i n e a r c o m b i n a t i o n s ,

h e n c e a n y e l e m e n t o f

vN (Γ).

W e s e e t h a t t h e e l e m e n t s o fvN (Γ)

h a v e m a t r i c e s ( w . r . t . t h e b a s i sεγ )

w h i c h a r e c o n s t a n t a l o n g t h e d i a g o n a l s :(γ, ρ) : γ −1ρ

i s c o n s t a n t

.

E x e r c i s e 3 . 1 . 1 1 C h e c k w h e t h e r i t s h o u l d b e

γ −1ρo r

γρ−1o r s o m e o t h e r

s i m i l a r e x p r e s s i o n . . . . .

U s i n g t h e n u m b e rcγ o n t h e d i a g o n a l i n d e x e d b y

γ w e c a n w r i t e , f o r m a l l y

a t l e a s t , a n y e l e m e n t o fvN (Γ)

a s a s u m

γ ∈Γ

cγ uγ . I t i s n o t c l e a r i n w h a t

s e n s e t h i s s u m c o n v e r g e s b u t c e r t a i n l y

γ ∈Γ

cγ uγ m u s t d e n e a b o u n d e d l i n e a r

o p e r a t o r . F r o m t h i s w e d e d u c e i m m e d i a t e l y t h e f o l l o w i n g :

1 4



( i ) T h e f u n c t i o n

γ

→cγ i s i n

2. ( A p p l y

γ ∈Γ

cγ uγ t o

εid . )

( i i )(γ ∈Γ

cγ uγ )(γ ∈Γ

dγ uγ ) =γ ∈Γ

(ρ∈Γ

cρdρ−1γ )uγ

w h e r e t h e s u m d e n i n g t h e c o e c i e n t o fuγ o n t h e r i g h t h a n d s i d e c o n -

v e r g e s s i n c e

ρ → cρ a n d

ρ → dρ−1γ a r e i n

2.

E x a c t l y w h a t f u n c t i o n sγ → cγ d e n e e l e m e n t s o f

vN (Γ)i s u n c l e a r b u t

a n i m p o r t a n t s p e c i a l c a s e g i v e s s o m e i n t u i t i o n .

C a s e 1 .Γ = Z.

I t i s w e l l k n o w n t h a t t h e m a p

cnεn →

cneinθ

d e n e s a u n i t a r y V

f r o m 2(Γ)

t o L2(T)

. M o r e o v e rV unV −1(eikθ = V un(εk) = V ε(k + n) =

einθeikθ s o t h a t V unV −1 i s t h e m u l t i p l i c a t i o n o p e r a t o r M einθ . S t a n d a r d s p e c -

t r a l t h e o r y s h o w s t h a tM einθ g e n e r a t e s

L∞(T)a s a v o n N e u m a n n a l g e b r a ,

a n d c l e a r l y i fM f ∈ L∞(T), V −1M f V =

cnεn w h e r e

cneinθ

i s t h e

F o u r i e r s e r i e s o f

f . W e s e e t h a t , i n t h i s c a s e , t h e f u n c t i o n s

γ → cγ w h i c h

d e n e e l e m e n t s o fvN (Z)

a r e p r e c i s e l y t h e F o u r i e r s e r i e s o fL∞

f u n c t i o n s .

I n c a s e w e f o r g e t t o p o i n t i t o u t l a t e r o n w h e n w e a r e i n a b e t t e r p o s i t i o n

t o p r o v e i t , o n e w a y t o c h a r a c t e r i s e t h e f u n c t i o n s w h i c h d e n e e l e m e n t s o n

vN (Γ)i s a s a l l f u n c t i o n s w h i c h d e n e b o u n d e d o p e r a t o r s o n

2(Γ). T h i s i s

n o t p a r t i c u l a r l y i l l u m i n a t i n g b u t c a n b e u s e f u l a t m a t h p a r t i e s .

A t t h e o t h e r e x t r e m e w e c o n s i d e r a h i g h l y n o n - c o m m u t a t i v e g r o u p , t h e

f r e e g r o u p o n n g e n e r a t o r s , n ≥ 2.

C a s e 2 .

Γ = F n .

J u s t f o r f u n l e t u s c o m p u t e t h e c e n t r e Z (vN (Γ))

o fvN (F n)

, i . e . t h o s e cγ uγ t h a t c o m m u t e w i t h a l l

x ∈ vN (Γ). B y w e a k l i m i t s , f o r

cγ uγ t o

b e i n

Z (vN (Γ))i t i s n e c e s s a r y a n d s u c i e n t t h a t i t c o m m u t e w i t h e v e r y

uγ .T h i s c l e a r l y i s t h e s a m e a s s a y i n g

cγργ −1 = cρ ∀γ, ρ, i . e . t h e f u n c t i o n

ci s

c o n s t a n t o n c o n j u g a c y c l a s s e s . B u t i n

F n a l l c o n j u g a c y c l a s s e s e x c e p t t h a t

o f t h e i d e n t i t y a r e i n n i t e . N o w r e c a l l t h a tγ → cγ i s i n

2! ! W e c o n c l u d e

t h a tcγ = 0 ∀γ = 1

, i . e .Z (vN (Γ)) = C1.

N o t e t h a t t h e o n l y p r o p e r t y w e u s e d o f

F ∞ t o r e a c h t h i s c o n c l u s i o n w a s

t h a t e v e r y n o n - t r i v i a l c o n j u g a c y c l a s s i s i n n i t e ( a n d i n g e n e r a l i t i s c l e a r

t h a tZ (vN (Γ))

i s i n t h e l i n e a r s p a n o f t h e uγ w i t h

γ i n a n i t e c o n j u g a c y

c l a s s . ) S u c h g r o u p s a r e c a l l e d i . c . c . g r o u p s a n d t h e y a b o u n d . O t h e r e x a m p l e s

i n c l u d e S ∞ ( t h e g r o u p o f n i t e l y s u p p o r t e d p e r m u t a t i o n s o f a n i n n i t e s e t ) ,

P SL(n,Z)a n d

Q×Q∗.

U n s o l v e d p r o b l e m i n v o n N e u m a n n a l g e b r a s :

I s vN (F n) ∼= vN (F m)

f o r n = m (≥ 2)?

N o t e t h a t i t i s o b v i o u s t h a t t h e g r o u p a l g e b r a sCF n a n d

CF m a r e n o t i s o -

1 5



m o r p h i c , j u s t c o n s i d e r a l g e b r a h o m o m o r p h i s m s t o C

- b u t t h e y w i l l n o t e x t e n d

t o vN (Γ) .

D e n i t i o n 3 . 1 . 1 2 A v o n N e u m a n n a l g e b r a w h o s e c e n t r e i s

C1i s c a l l e d a

f a c t o r .

E x e r c i s e 3 . 1 . 1 3 S h o w t h a t

B(H)i s a f a c t o r .

E x e r c i s e 3 . 1 . 1 4 S u p p o s e

H = K1 ⊗ K2 a n d l e tM = B(K1) ⊗ 1

S h o w t h a t

M = 1 ⊗ B(K2)s o t h a t

M a n d

M a r e f a c t o r s .

T h i s e x e r c i s e i s s u p p o s e d t o e x p l a i n t h e o r i g i n o f t h e t e r m f a c t o r a sM

a n d

M c o m e f r o m a t e n s o r p r o d u c t f a c t o r i s a t i o n o f

H.

T h e f a c t o r w e h a v e c o n s t r u c t e d a s vN (Γ) i s o f a n e n t i r e l y d i e r e n t n a t u r e

f r o m B(H)

. T o s e e t h i s c o n s i d e r t h e f u n c t i o n tr : vN (Γ) → C

d e n e d b y

tr(a) = aε1, ε1, o r

tr(

cγ uγ ) = c1 . T h i s m a y i s c l e a r l y l i n e a r , w e a k l y

c o n t i n u o u s , s a t i s e str(ab) = tr(ba)

a n d tr(x∗x) =

γ |cγ |2 ≥ 0

( w h e n

x =γ cγ uγ ) . I t i s c a l l e d a t r a c e o n

vN (Γ). I f

Γ = Zi t o b v i o u s l y e q u a l s 2π

0f (θ)dθ

u n d e r t h e i s o m o r p h i s m b e t w e e n vN (Z)

a n d L∞(T)

.

E x e r c i s e 3 . 1 . 1 5 ( i ) I f

tr : B(H) → Ci s a l i n e a r m a p w i t h

tr(ab) = tr(ba),

dim H < ∞s h o w t h a t t h e r e i s a c o n s t a n t

K w i t h

tr(x) = Ktrace(x).

( i i ) T h e r e i s n o n o n - z e r o w e a k l y c o n t i n u o u s l i n e a r m a p tr : B(H) → C

s a t i s f y i n g tr(ab) = tr(ba) w h e n dim(H) = ∞.

( i i i ) T h e r e i s n o n o n - z e r o l i n e a r m a p tr : B(H) → C s a t i s f y i n g

tr(ab) =tr(ba)

a n d tr(x∗x) ≥ 0

w h e n dim(H) = ∞

.

( i v ) ( h a r d e r ) T h e r e i s n o n o n - z e r o l i n e a r m a p tr : B(H) → C

s a t i s f y i n g

tr(ab) = tr(ba)w h e n

dim(H) = ∞.

T h u s o u r f a c t o r svN (Γ)

w h e n Γ

i s i . c . c . a r e i n n i t e d i m e n s i o n a l b u t

s e e m t o h a v e m o r e i n c o m m o n w i t h

B(H)w h e n

dim H < ∞t h a n w h e n

dim H = ∞! T h e y c e r t a i n l y d o n o t c o m e f r o m t e n s o r p r o d u c t f a c t o r i s a t i o n s

o fH

i n t h i s c a s e .

L e t u s m a k e a c o u p l e o f o b s e r v a t i o n s a b o u t t h e s e f a c t o r s .

1 ) T h e y c o n t a i n n o n o n - z e r o n i t e r a n k o p e r a t o r s f o r s u c h a n o p e r a t o r

c a n n o t b e c o n s t a n t a n d n o n - z e r o d o w n t h e d i a g o n a l . ( T a k e x∗x

o f n e c e s s a r y . )

2 ) T h e y h a v e t h e p r o p e r t y t h a ttr(a) = 0 ⇒ a = 0

f o r a p o s i t i v e e l e m e n t

a(

a = |a|2b y t h e s p e c t r a l t h e o r e m a n d a l l s p e c t r a l p r o j e c t i o n s o f

a, h e n c e

|a|, a r e i n t h e v o n N e u m a n n a l g e b r a g e n e r a t e d b y

a. )

3 ) T h e y h a v e t h e p r o p e r t y t h a t

uu∗ = 1 ⇒ u∗u = 1( i . e . t h e y c o n t a i n n o

n o n - u n i t a r y i s o m e t r i e s ) .

P r o o f . I fu∗u = 1

,uu∗

i s a p r o j e c t i o n s o 1 − uu∗

i s t o o a n d tr(1 − uu∗) =

1 − tr(u∗u) = 0.

1 6



E x e r c i s e 3 . 1 . 1 6 S h o w t h a t i n

vN (Γ),

ab = 1

⇒ba = 1

. S h o w t h a t i f F

i s

a n y e l d o f c h a r a c t e r i s t i c 0, ab = 1 ⇒ ba = 1 i n F Γ.

A s f a r a s I k n o w t h i s a s s e r t i o n i s s t i l l o p e n i n n o n - z e r o c h a r a c t e r i s t i c . T h e

a b o v e e x e r c i s e i s a r e s u l t o f K a p l a n s k y .

T h e n e x t o b s e r v a t i o n i s a r e m a r k a b l e p r o p e r t y o f t h e s e t o f p r o j e c t i o n s .

4 ) I fΓ = F n ,

tr( p) :p a p r o j e c t i o n i n

vN (Γ) = [0, 1].

P r o o f . I t i s c l e a r t h a t t h e t r a c e o f a p r o j e c t i o n i s b e t w e e n 0

a n d 1

. T o s e e

t h a t o n e m a y o b t a i n e v e r y r e a l n u m b e r i n t h i s i n t e r v a l , c o n s i d e r t h e s u b g r o u p

ag e n e r a t e d b y a s i n g l e n o n - z e r o e l e m e n t . B y t h e c o s e t d e c o m p o s i t i o n o f

F nt h e r e p r e s e n t a t i o n o f

ao n

2(F n)i s t h e d i r e c t s u m o f c o u n t a b l y m a n y c o p i e s

o f t h e r e g u l a r r e p r e s e n t a t i o n . T h e b i c o m m u t a n t o f

uai s t h e n , b y a m a t r i x

a r g u m e n t ,vN (Z)

a c t i n g i n a n a m p l i e d w a y a s b l o c k d i a g o n a l m a t r i c e s

w i t h c o n s t a n t b l o c k s s o w e m a y i d e n t i f y

vN (Z)w i t h a s u b a l g e b r a o f

vN (Γ).

U n d e r t h i s i d e n t i c a t i o n t h e t r a c e s o n t h e t w o g r o u p a l g e b r a s a g r e e . B u t a s

w e h a v e a l r e a d y o b s e r v e d , a n y e l e m e n tf ∈ L∞(0, 2π)

d e n e s a n e l e m e n t o f

vN (Z)w h o s e i n t e g r a l i s i t s t r a c e . T h e c h a r a c t e r i s t i c f u n c t i o n o f a n i n t e r v a l

i s a p r o j e c t i o n s o b y c h o o s i n g i n t e r v a l s o f a p p r o p r i a t e l e n g t h s w e m a y r e a l i s e

p r o j e c t i o n s o f a n y t r a c e .

W e u s e d t h e b i c o m m u t a n t t o i d e n t i f y

vN (Z)w i t h a s u b a l g e b r a o f

vN (Γ).

I t i s i n s t r u c t i v e t o p o i n t o u t a p r o b l e m t h a t w o u l d h a v e a r i s e n h a d w e t r i e d

t o u s e t h e w e a k o r s t r o n g t o p o l o g i e s . A v e c t o r i n 2(Γ) i s a s q u a r e s u m m a b l e

s e q u e n c e o f v e c t o r s i n 2(Z)

s o t h a t a b a s i c s t r o n g n e i g h b o u r h o o d o fa

o n 2(Γ)

w o u l d c o r r e s p o n d t o a n e i g h b o u r h o o d o f t h e f o r m b :

∞i=1 ||(a−b)ξ i||2 <

f o r a s e q u e n c e (ξ i) i n

2(Z)w i t h

∞i=1 ||ξ i||2 < ∞

. T h u s s t r o n g c o n v e r g e n c e

o n 2(Z)

w o u l d n o t i m p l y s t r o n g c o n v e r g e n c e o n (Γ)

! T h i s l e a d s u s n a t u r a l l y

t o d e n e t w o m o r e t o p o l o g i e s o n B(H)

.

D e n i t i o n 3 . 1 . 1 7 T h e t o p o l o g y d e n e d b y t h e b a s i c n e i g h b o u r h o o d s o f

a,

b :∞i=1 ||(a − b)ξ i||2 <

f o r a n y

a n d a n y s e q u e n c e (ξ i) i n

2(Z)w i t h

∞i=1 ||ξ i||2 < ∞

, i s c a l l e d t h e u l t r a s t r o n g t o p o l o g y o n B(H)

.

T h e t o p o l o g y d e n e d b y t h e b a s i c n e i g h b o u r h o o d s

b :∞i=1

|(a − b)ξ i, ηi| <

f o r a n y > 0

a n d a n y s e q u e n c e s

(ξ i),ηi i n

2(Z)w i t h

∞i=1

||ξ i||2 + ||ηi||2 < ∞

i s c a l l e d t h e u l t r a w e a k t o p o l o g y o n B(H)

.

1 7



N o t e t h a t t h e s e t o p o l o g i e s a r e p r e c i s e l y t h e t o p o l o g i e s i n h e r i t e d o n

B(

H)

i f i t i s a m p l i e d i n n i t e l y m a n y t i m e s a s B(H) ⊗ 1K w i t h dim K = ∞.

E x e r c i s e 3 . 1 . 1 8 S h o w t h a t t h e u l t r a s t r o n g t o p o l o g y a n d t h e u l t r a w e a k t o p o l -

o g y a r e s t r o n g e r t h a n t h e s t r o n g t o p o l o g y a n d w e a k t o p o l o g y r e s p e c t i v e l y . S h o w

t h a t t h e u l t r a s t r o n g a n d s t r o n g t o p o l o g i e s c o i n c i d e o n a b o u n d e d s u b s e t o f

B(H)a s d o t h e w e a k a n d u l t r a w e a k t o p o l o g i e s .

E x e r c i s e 3 . 1 . 1 9 R e p e a t t h e a r g u m e n t o f t h e v o n N e u m a n n d e n s i t y t h e o r e m

( 3 . 1 . 3 ) w i t h t h e u l t r a s t r o n g t o p o l o g y r e p l a c i n g t h e s t r o n g t o p o l o g y .

H e r e a r e s o m e q u e s t i o n s t h a t t h e i n q u i s i t i v e m i n d m i g h t w e l l a s k a t t h i s

s t a g e . A l l w i l l b e a n s w e r e d i n s u c c e e d i n g c h a p t e r s .

Q u e s t i o n 1 ) I f t h e r e i s a w e a k l y c o n t i n u o u s t r a c e o n a f a c t o r , i s i t u n i q u e

( u p t o a s c a l a r m u l t i p l e ) ?

Q u e s t i o n 2 ) I f t h e r e i s a t r a c e o n a f a c t o rM

i s i t t r u e t h a ttr( p) :

p a p r o j e c t i o n i n

M = [0, 1]?

Q u e s t i o n 3 ) I s t h e r e a t r a c e o n a n y f a c t o r n o t i s o m o r p h i c t o B(H)

?

Q u e s t i o n 4 ) A r e a l l ( i n n i t e d i m e n s i o n a l ) f a c t o r s w i t h t r a c e s i s o m o r p h i c ?

Q u e s t i o n 5 ) I fM

i s a f a c t o r w i t h a t r a c e , i sM

a l s o o n e ? ( O b s e r v e t h a t

t h e c o m m u t a n t o f a f a c t o r i s o b v i o u s l y a f a c t o r . )

Q u e s t i o n 6 ) I svN (Γ)

t h e v o n N e u m a n n a l g e b r a g e n e r a t e d b y t h e r i g h t

r e g u l a r r e p r e s e n t a t i o n ?

Q u e s t i o n 7 ) I fφ : M → N

i s a

∗- a l g e b r a i s o m o r p h i s m b e t w e e n v o n

N e u m a n n a l g e b r a s o n H i l b e r t s p a c e sH

a n d K

i s t h e r e a u n i t a r y u : H → K

s o t h a tφ(a) = uau∗

f o ra ∈ M

?

1 8



C h a p t e r 4

E l e m e n t a r y p r o p e r t i e s o f v o n

N e u m a n n a l g e b r a s .

T h r o u g h o u t t h i s c h a p t e r

M w i l l b e a v o n N e u m a n n a l g e b r a o n a H i l b e r t

s p a c e H

.

E P 1 ) I fa = a∗

i s a n e l e m e n t o fM

, a l l t h e s p e c t r a l p r o j e c t i o n s a n d a l l

b o u n d e d B o r e l f u n c t i o n s o fa

a r e i n M

. C o n s e q u e n t l y M

i s g e n e r a t e d b y i t s

p r o j e c t i o n s .

A c c o r d i n g t o o n e ' s p r o o f o f t h e s p e c t r a l t h e o r e m , t h e s p e c t r a l p r o j e c t i o n s

E (λ) o f a a r e c o n s t r u c t e d a s s t r o n g l i m i t s o f p o l y n o m i a l s i n a . O r t h e p r o p -

e r t y t h a t t h e s p e c t r a l p r o j e c t i o n s o fa

a r e i n t h e b i c o m m u t a n t o fa

m a y b e

a n e x p l i c i t p a r t o f t h e t h e o r e m . B o r e l f u n c t i o n s w i l l b e i n t h e b i c o m m u t a n t .

E P 2 ) A n y e l e m e n t i n M

i s a l i n e a r c o m b i n a t i o n o f4

u n i t a r i e s i n M

.

P r o o f . W e h a v e s e e n t h a t a n y x

i s a l i n e a r c o m b i n a t i o n o f 2 s e l f - a d j o i n t s ,

a n d i f

ai s s e l f - a d j o i n t ,

||a|| ≤ 1, l e t

u = a + i√

1 − a2. T h e n

ui s u n i t a r y a n d

a = u+u∗

2.

E P 3 )

M i s t h e c o m m u t a n t o f t h e u n i t a r y g r o u p o f

M s o t h a t a n a l t e r n a t i v e

d e n i t i o n o f a v o n N e u m a n n a l g e b r a i s t h e c o m m u t a n t o f a u n i t a r y g r o u p

r e p r e s e n t a t i o n .

T h i s f o l l o w s f r o m E P 2 )

E x e r c i s e 4 . 0 . 2 0 S h o w t h a t m u l t i p l i c a t i o n o f o p e r a t o r s i s j o i n t l y s t r o n g l y

c o n t i n u o u s o n b o u n d e d s u b s e t s b u t n o t o n a l l o f B(H)

.

S h o w t h a t∗ : B(H) → B(H)

i s w e a k l y c o n t i n u o u s b u t n o t s t r o n g l y c o n -

t i n u o u s e v e n o n b o u n d e d s e t s .

T h e f o l l o w i n g r e s u l t i s w e l l k n o w n .

1 9



T h e o r e m 4 . 0 . 2 1 I f

aα

i s a n e t o f s e l f - a d j o i n t o p e r a t o r s w i t h

aα

≤aβ

f o r α ≤ β a n d ||aα|| ≤ K f o r s o m e K ∈ R, t h e n t h e r e i s a s e l f - a d j o i n t

aw i t h

a = limαaα , c o n v e r g e n c e b e i n g i n t h e s t r o n g t o p o l o g y . F u r t h e r m o r e

a = lub(aα) f o r t h e p o s e t o f s e l f - a d j o i n t o p e r a t o r s .

P r o f . A c a n d i d a t e a

f o r t h e l i m i t c a n b e f o u n d b y w e a k c o m p a c t n e s s o f

t h e u n i t b a l l . T h e n

aαξ, ξ i s i n c r e a s i n g w i t h l i m i t

aξ,ξ f o r a l l

ξ ∈ Ha n d

a ≥ aα ∀α. S o

limα

√ a − aα = 0

i n t h e s t r o n g t o p o l o g y . N o w m u l t i p l i c a t i o n

i s j o i n t l y s t r o n g l y c o n t i n u o u s o n b o u n d e d s e t s s o s−limaα = a

.

N o t e t h a t w e h a v e s l i p p e d i n t h e n o t a t i o n s−lim

f o r a l i m i t i n t h e s t r o n g

t o p o l o g y ( a n d o b v i o u s l y w−lim

f o r t h e w e a k t o p o l o g y ) .

I fa

a n d (aα

)a r e a s i n 4 . 0 . 2 1 w e s a y t h e n e t

(aα

)i s m o n o t o n e c o n v e r g e n t

t o

a.

E P 4 )M

i s c l o s e d u n d e r m o n o t o n e c o n v e r g e n c e o f s e l f - a d j o i n t o p e r a t o r s .

T h e p r o j e c t i o n s o n B(H)

f o r m a n o r t h o l a t t i c e w i t h t h e f o l l o w i n g p r o p e r -

t i e s :

p ≤ q ⇐⇒ pH ⊆ q H p ∧ q =

o r t h o g o n a l p r o j e c t i o n o n t o pH ∩ q H

p⊥ = 1−

p

p ∨ q = ( p⊥ ∧ q ⊥)⊥ =o r t h o g o n a l p r o j e c t i o n o n t o

pH + q H.


p ∧ q = s−lim n→∞( pq )n.

T h e l a t t i c e o f p r o j e c t i o n s i n B(H)

i s c o m p l e t e ( i . e . c l o s e d u n d e r a r b i t r a r y

s u p s a n d i n f s ) s i n c e t h e i n t e r s e c t i o n o f c l o s e d s u b s p a c e s i s c l o s e d .

E P 5 ) T h e p r o j e c t i o n s i n M

g e n e r a t e M

a s a v o n N e u m a n n a l g e b r a , a n d

t h e y f o r m a c o m p l e t e s u b l a t t i c e o f t h e p r o j e c t i o n l a t t i c e o fB(H)

.

P r o o f . I f

S i s a s e t o f p r o j e c t i o n s i n

M t h e n n i t e s u b s e t s o f

S a r e a

d i r e c t e d s e t a n d F → W

p∈F p

i s a n e t i n M

s a t i s f y i n g t h e c o n d i t i o n s o f 4 . 0 . 2 1 .

T h u s t h e s t r o n g l i m i t o f t h i s n e t e x i s t s a n d i s i n M

. I t i s o b v i o u s t h a t t h i s

s t r o n g l i m i t i s

W

p∈S p

, t h e s u p b e i n g i n B(H)

.

E a s i e r p r o o f . F o r e a c h p r o j e c t i o n p ∈ M

,pH

i s i n v a r i a n t u n d e r e a c h

e l e m e n t o f

M . T h u s t h e i n t e r s e c t i o n o f t h e s e s u b s p a c e s i s a l s o .

E P 6 ) L e tA

b e a * - s u b a l g e b r a o fB(H)

. L e tW

b e

T

a∈Aker(a)

a n d K =

W ⊥. T h e n

Ki s i n v a r i a n t u n d e r

Aa n d i f w e l e t

B = a|K : a ∈ A, t h e n

1Ki s i n t h e s t r o n g c l o s u r e o f

Bw h i c h i s t h u s a v o n N e u m a n n a l g e b r a .

2 0



P r o o f . B y t h e a b o v e , i f p

a n d q

a r e p r o j e c t i o n sp

∨q = 1

−(1

− p)

∧(1

−q )

i s i n t h e s t r o n g c l o s u r e o f t h e a l g e b r a g e n e r a t e d b y p a n d q . B y s p e c t r a l

t h e o r y , i fa = a∗

t h e r a n g e p r o j e c t i o n P ker(a)⊥ i s i n t h e s t r o n g c l o s u r e o f t h e

a l g e b r a g e n e r a t e d b y a

s o w e m a y a p p l y t h e a r g u m e n t o f t h e p r o o f o f E P 5 )

t o c o n c l u d e t h a t

W

a∈AP ker(a)⊥ i s i n t h e s t r o n g c l o s u r e o f

A. B u t t h i s i s

1K .

T h u s i f w e w e r e t o d e n e a v o n N e u m a n n a l g e b r a a s a w e a k l y o r s t r o n g l y

c l o s e d s u b a l g e b r a o fB(H)

, i t w o u l d b e u n i t a l a s a n a b s t r a c t a l g e b r a b u t i t s

i d e n t i t y m i g h t n o t b e t h a t o fB(H)

s o i t w o u l d n o t b e e q u a l t o i t s b i c o m m u -

t a n t . H o w e v e r o n t h e o r t h o g o n a l c o m p l e m e n t o f a l l t h e i r r e l e v a n t v e c t o r s i t

w o u l d b e a v o n N e u m a n n a l g e b r a i n t h e u s u a l s e n s e .

E P 7 ) I fM

i s a v o n N e u m a n n a l g e b r a a n d p

∈M

i s a p r o j e c t i o n ,pMp =

(M p)a n d

pMp = M pa s a l g e b r a s o f o p e r a t o r s o n

pH. T h u s

pMpa n d

M pa r e v o n N e u m a n n a l g e b r a s .

P r o o f . O b v i o u s l y pMp

a n d M p

c o m m u t e w i t h e a c h o t h e r o n pH

. N o w

s u p p o s e x ∈ (M p) ⊆ B( pH)

a n d d e n e x = xp(= pxp) ∈ B(H)

. T h e n i f

y ∈ M ,

yx = yxp = ypxp = (xp)(yp) = xpy = xy, s o

x ∈ M a n d

x = pxp.

T h u s

( pM ) = pMpw h i c h i s t h u s a v o n N e u m a n n a l g e b r a .

I f w e k n e w t h a tM p

w e r e a v o n N e u m a n n a l g e b r a o n pH

w e w o u l d b e

d o n e b u t a d i r e c t a t t e m p t t o p r o v e i t s t r o n g l y o r w e a k l y c l o s e d f a i l s a s w e

w o u l d h a v e t o t r y t o e x t e n d t h e l i m i t o f a n e t i n M p

o n pH

t o b e i n M

.

S o i n s t e a d w e w i l l s h o w d i r e c t l y t h a t( pMp)

⊆M p

b y a c l e v e r e x t e n s i o n

o f i t s e l e m e n t s t o H . B y E P 2 i t s u c e s t o t a k e a u n i t a r y u ∈ ( pMp) . L e t

K ⊆ Hb e t h e c l o s u r e o f

M pHa n d l e t

q b e p r o j e c t i o n o n t o i t . T h e n

Ki s

c l e a r l y i n v a r i a n t u n d e rM

a n d M

s o q ∈ Z (M )

. W e r s t e x t e n d u

t o K

b y

u

xiξ i =

xiuξ i

f o rxi ∈ M

a n d ξ i ∈ H

. W e c l a i m t h a tu

i s a n i s o m e t r y :

||u

xiξ i||2 =i,j

xiuξ i, x juξ j

=i,j px

∗

jxi puξ i, uξ j=i,j

upx∗ jxi pξ i, uξ j

= ... = ||

xiξ i||2T h i s c a l c u l a t i o n a c t u a l l y s h o w s t h a t

ui s w e l l d e n e d a n d e x t e n d s t o a n

i s o m e t r y o fK

. B y c o n s t r u c t i o n u

c o m m u t e s w i t h M

o n M pH

, h e n c e o n K

.

S o uq ∈ M

a n d u = uqp

. H e n c e ( pMp) = M p

.

2 1



C o r o l l a r y 4 . 0 . 2 3 I f

M i s a f a c t o r ,

pMpi s a f a c t o r o n

p

H, a s i s

pM . M o r e -

o v e r t h e m a p x → xp f r o m M t o M p i s a w e a k l y c o n t i n u o u s * - a l g e b r a

i s o m o r p h i s m .

P r o o f . F a c t o r i a l i t y f o l l o w s i m m e d i a t e l y f r o m E P 7 . C o n t i n u i t y a n d t h e

* - a l g e b r a h o m o m o r p h i s m p r o p e r t y a r e o b v i o u s s o a l l w e h a v e t o s h o w i s

i n j e c t i v i t y . B u t i fx ∈ M

a n d xp = 0

t h e n x = 0

o n M pH

. B u t a s b e f o r e

t h e p r o j e c t i o n o n t o MpH

i s i n Z (M )

, h e n c e e q u a l t o 1

. S o x = 0

.

C o r o l l a r y 4 . 0 . 2 4 I f

M i s a f a c t o r a n d

a ∈ M a n d

b ∈ M t h e n

ab = 0i m p l i e s e i t h e r

a = 0o r

b = 0.

P r o o f . L e t p b e t h e r a n g e p r o j e c t i o n o f b a n d a p p l y t h e p r e v i o u s c o r o l l a r y .

E x e r c i s e 4 . 0 . 2 5 S h o w t h a t i f

M i s a v o n N e u m a n n a l g e b r a g e n e r a t e d b y t h e

s e l f - a d j o i n t , m u l t i p l i c a t i v e l y c l o s e d s u b s e t

S , t h e n

pSpg e n e r a t e s

pMp( i f

pi s

a p r o j e c t i o n i n M

o r M

) . S h o w f u r t h e r t h a t t h e r e s u l t f a i l s i f S

i s n o t c l o s e d

u n d e r m u l t i p l i c a t i o n .

E x e r c i s e 4 . 0 . 2 6 S h o w t h a t i f


V a n d

W a r e n i t e d i m e n -

s i o n a l s u b s p a c e s o f M

a n d M

r e s p e c t i v e l y t h e n t h e m a p a ⊗ b → ab

d e n e s

a l i n e a r i s o m o r p h i s m b e t w e e n V

⊗W

a n d t h e s p a c e V W

s p a n n e d b y a l lvw

w i t h v ∈ V a n d w ∈ W .

E P 8 ) I fa ∈ M

a n d a = u|a|

i s t h e p o l a r d e c o m p o s i t i o n o fa

t h e n u ∈ M

a n d |a| ∈ M

. P r o o f . B y t h e u n i q u e n e s s o f t h e p o l a r d e c o m p o s i t i o n b o t h |a|

a n d

uc o m m u t e w i t h e v e r y u n i t a r y i n

M .

E P 9 ) N o n e o f t h e t o p o l o g i e s ( e x c e p t| |− | |

) i s m e t r i z a b l e o n B(H)

b u t

t h e y a l l a r e o n t h e u n i t b a l l ( w h e n H

i s s e p a r a b l e ) a n d H

i s s e p a r a b l e f o r a l l

e x c e p t t h e n o r m t o p o l o g y .

P r o o f . F i r s t o b s e r v e t h a t a w e a k l y c o n v e r g e n t s e q u e n c e o f o p e r a t o r s i s

b o u n d e d . T h i s f o l l o w s f r o m t h e u n i f o r m b o u n d e d n e s s p r i n c i p l e a n d 2 . 1 . 5

w h i c h s h o w s h o w t o g e t t h e n o r m f r o m i n n e r p r o d u c t s .

H e r e i s t h e c u n n i n g t r i c k . L e tηi, i = 1, · · ·∞

b e a n o r t h o n o r m a l b a s i s o f

Ha n d l e t

ei b e p r o j e c t i o n o n t o Cηi . C o n s i d e r t h e f a m i l y

em+ men : m, n =1, · · ·∞

. L e tV

a b a s i c u l t r a s t r o n g n e i g h b o u r h o o d o f0

d e n e d b y

a n d ξ i : ||ξ i||2 < ∞

a n d l e t

| − |V b e t h e c o r r e s p o n d i n g s e m i n o r m , t h e n w r i t i n g

ξ i = j ξ i jη j w e h a v e

i,j |ξ i j|2 < ∞

. N o w c h o o s e m

s o t h a t

i |ξ im|2 < 2/4

a n d n

s o t h a t

i |ξ in|2 < 2/4m2

. O b s e r v i n g t h a t||en(ξ i)||2 = |ξ ni |2 w e h a v e

|em + men|V ≤ |em|V + m|en|V

2 2



= i ||

em

ξ ||2 + m

i ||en

ξ ||2

≤ /2 + /2

s o t h a ten + men ∈ V

.

O n t h e o t h e r h a n d n o s u b s e q u e n c e o fem + men : m, n = 1, · · ·∞

c a n

t e n d e v e n w e a k l y t o

0s i n c e i t w o u l d h a v e

t o b e b o u n d e d i n n o r m w h i c h w o u l d f o r c e s o m e x e d m

t o o c c u r i n n i t e l y

o f t e n i n t h e s e q u e n c e , p r e v e n t i n g w e a k c o n v e r g e n c e ! S o b y t h e f r e e d o m i n

c h o o s i n g m

a n d n

t o f o r c e em + men t o b e i n

V , t h e r e c a n b e n o c o u n t a b l e

b a s i s o f z e r o f o r a n y o f t h e t o p o l o g i e s ( e x c e p t o f c o u r s e t h e n o r m ) .

I f w e c o n s i d e r t h e u n i t b a l l , h o w e v e r , w e m a y c h o o s e a d e n s e s e q u e n c e ξ i o f

u n i t v e c t o r s a n d d e n e d(a, b) = [

i 2−i||(a − b)ξ i||2]1/2

w h i c h i s a m e t r i c o n

t h e u n i t b a l l d e n i n g t h e s t r o n g t o p o l o g y . ( S i m i l a r l y f o r t h e w e a k t o p o l o g y . )

W e l e a v e n o n - s e p a r a b i l i t y o fB(H)

i n t h e n o r m t o p o l o g y a s a n e x e r c i s e .

E P 1 0 ) A n a b e l i a n v o n N e u m a n n a l g e b r a o n a s e p a r a b l e H i l b e r t s p a c e i s

g e n e r a t e d b y a s i n g l e s e l f - a d j o i n t o p e r a t o r .

P r o o f . L e t

e0, e1, e2, · · ·b e a s e q u e n c e o f p r o j e c t i o n s t h a t i s s t r o n g l y

d e n s e i n t h e s e t o f a l l p r o j e c t i o n s i n t h e A b e l i a n v o n N e u m a n n a l g e b r a A

.

L e ta = ∞

n=0

1

3n en . T h e s u m c o n v e r g e s i n t h e n o r m t o p o l o g y s o

a∈

A. T h e

n o r m o f t h e s e l f - a d j o i n t o p e r a t o ra1 =

∞n=1 i s o b v i o u s l y a t m o s t

1/2s o t h a t

t h e s p e c t r a l p r o j e c t i o n f o r t h e i n t e r v a l[3/4, 2]

f o ra

i se0 . C o n t i n u i n g i n t h i s

w a y w e s e e t h a t a l l t h e ens

a r e i n a

.

T h i s r e l e g a t e s t h e s t u d y o f A b e l i a n v o n N e u m a n n a l g e b r a s t o t h e s p e c t r a l

t h e o r e m . O n e c a n s h o w t h a t a n y A b e l i a n v o n N e u m a n n a l g e b r a o n a s e p a -

r a b l e H i l b e r t s p a c e i s i s o m o r p h i c t o e i t h e r∞(0, 1, · · · , n)

( w h e r e n = ∞

i s a l l o w e d ) o r

L∞([0, 1], dx)o r a d i r e c t s u m o f t h e t w o . T h i s i s u p t o a b -

s t r a c t a l g e b r a i s o m o r p h i s m . T o u n d e r s t a n d t h e a c t i o n o n a H i l b e r t s p a c e ,

m u l t i p l i c i t y m u s t b e t a k e n i n t o a c c o u n t .

2 3



2 4



C h a p t e r 5

F i n i t e d i m e n s i o n a l v o n N e u m a n n

a l g e b r a s a n d t y p e I f a c t o r s .

5 . 1 D e n i t i o n o f t y p e I f a c t o r .

T h e r s t c r u c i a l r e s u l t a b o u t f a c t o r s ( r e m e m b e r a f a c t o r i s a v o n N e u m a n n

a l g e b r a w i t h t r i v i a l c e n t r e ) w i l l b e t h e f o l l o w i n g e r g o d i c p r o p e r t y .

T h e o r e m 5 . 1 . 1 I f


pa n d

q a r e n o n - z e r o p r o j e c t i o n s i n

M t h e r e i s a n

x

∈M

w i t h pxq

= 0

. M o r e o v e r x

c a n b e c h o s e n t o b e u n i t a r y .

P r o o f . S u p p o s e t h a t f o r a n y u n i t a r y u ∈ M

,puq = 0

. T h e n u∗ puq = 0

a n d W

u∈M u∗ pu

q = 0

. B u t c l e a r l y

W

u∈M u∗ pu

c o m m u t e s w i t h a l l u n i t a r i e su ∈ M

s o i s t h e i d e n t i t y .

T h e r e a s o n w e h a v e c a l l e d t h i s a n e r g o d i c p r o p e r t y i s b e c a u s e o f a p e r -

v a s i v e a n a l o g y w i t h m e a s u r e - t h e o r e t i c d y n a m i c a l s y s t e m s ( a n d i t w i l l b e c o m e

m u c h m o r e t h a n a n a n a l o g y ) . A t r a n s f o r m a t i o n T : (X, µ) → (X, µ)

p r e -

s e r v i n g t h e m e a s u r e µ

i s c a l l e d e r g o d i c i fT −1(A) ⊆ A

i m p l i e sµ(A) = 0

o r

µ(X \ A) = 0f o r a m e a s u r a b l e

A ⊆ X . I f

T i s i n v e r t i b l e o n e c a n t h e n s h o w

t h a t t h e r e i s , f o r a n y p a i rA

⊂X

a n d B

⊂X

o f n o n - n u l l s e t s , a p o w e rT n

o f T s u c h t h a t µ(T n(A) ∩ B) = 0 . O r , a s o p e r a t o r s o n L2(X, µ) , AT N B = 0w h e r e w e i d e n t i f y

Aa n d

Bw i t h t h e m u l t i p l i c a t i o n o p e r a t o r s b y t h e i r c h a r -

a c t e r i s t i c f u n c t i o n s . T h e p r o o f i s t h e s a m e t h e u n i o n o f a l lT n(A)

i s c l e a r l y

i n v a r i a n t , t h u s m u s t d i e r f r o m a l l o fX

b y a s e t o f m e a s u r e 0

.

C o r o l l a r y 5 . 1 . 2 L e t

pa n d

q b e n o n - z e r o p r o j e c t i o n s i n a f a c t o r

M . T h e n

t h e r e i s a p a r t i a l i s o m e t r y

u( = 0

) i n

M w i t h

uu∗ ≤ pa n d

u∗u ≤ q .

pa n d

qh a d b e e n s w a p p e d

a r o u n d i n t h e p r o o f , s o w e

i n t e r c h a n g e d uu∗ a n d u∗ui n t h e s t a t e m e n t .

P r o o f . L e tu

b e t h e p a r t i a l i s o m e t r y o f t h e p o l a r d e c o m p o s i t i o n o fpxq

f o rx

s u c h t h a t pxq = 0

.

2 5



D e n i t i o n 5 . 1 . 3 I f

M i s a v o n N e u m a n n a l g e b r a , a n o n - z e r o p r o j e c t i o n

p ∈ M i s c a l l e d m i n i m a l , o r a n a t o m , i f (q ≤ p) ⇒ (q = 0 or q = p).

E x e r c i s e 5 . 1 . 4 S h o w t h a t

pi s m i n i m a l i n

M i

pMp = C p.

D e n i t i o n 5 . 1 . 5 A f a c t o r w i t h a m i n i m a l p r o j e c t i o n i s c a l l e d a t y p e I f a c -

t o r .

5 . 2 C l a s s i c a t i o n o f a l l t y p e I f a c t o r s

W e w i l l c l a s s i f y a l l t y p e I f a c t o r s q u i t e e a s i l y . W e b e g i n w i t h t h e m o d e l ,

w h i c h w e h a v e a l r e a d y s e e n .

L e t

B(H)⊗1b e t h e c o n s t a n t d i a g o n a l m a t r i c e s o n

H⊗K. I t s c o m m u t a n t

1⊗B(K)w i l l b e o u r m o d e l . I t i s t h e a l g e b r a o f a l l m a t r i c e s d e n i n g b o u n d e d

o p e r a t o r s w i t h e v e r y m a t r i x e n t r y b e i n g a s c a l a r m u l t i p l e o f t h e i d e n t i t y

m a t r i x o n H

. A m a t r i x w i t h a s i n g l e 1

o n t h e d i a g o n a l a n d z e r o s e l s e w h e r e

i s o b v i o u s l y a m i n i m a l p r o j e c t i o n .

T h e o r e m 5 . 2 . 1 I f

M i s a t y p e I f a c t o r o f a H i l b e r t s p a c e

L, t h e r e a r e H i l b e r t

s p a c e s H

a n d K

a n d a u n i t a r y u : L → H ⊗ K

w i t h uMu∗ = B(H) ⊗ 1

.

P r o o f . L e t p1, p2,... b e a m a x i m a l f a m i l y o f m i n i m a l p r o j e c t i o n s i n M s u c h t h a t

pi p j = 0f o r

i = j. ( W e a s s u m e f o r c o n v e n i e n c e t h a t

Li s s e p a r a b l e .

O u r r s t c l a i m i s t h a t

i pi = 1

s o t h a tL = ⊕i piL. F o r i f

1 − i pi w e r e

n o n z e r o , b y c o r o l l a r y 5 . 1 . 2 t h e r e w o u l d b e a u = 0

w i t h uu∗ ≤ p1 a n d

u∗u ≤1 −

i pi . B y m i n i m a l i t y uu∗

i s m i n i m a l a n d h e n c e s o i su∗u

c o n t r a d i c t i n g

m a x i m a l i t y o f t h e

pi . N o w f o r e a c h

ic h o o s e a n o n - z e r o p a r t i a l i s o m e t r y

e1iw i t h

e1ie∗1i ≤ p1 a n d

e∗1ie1i ≤ pi . B y m i n i m a l i t y e1ie

∗1i = p1 a n d

e∗1ie1i = pi .

T h e n M

i s g e n e r a t e d b y t h e e1i ' s , f o r i f

a ∈ M w e h a v e

a =i,j piap j t h e s u m

c o n v e r g i n g i n t h e s t r o n g t o p o l o g y , a n d piap j = e∗1ie1iae∗1 je1 j ∈ p1Mp1 = C p1 .

T h u s t h e r e a r e s c a l a r sλij s o t h a t

a = i,j λije∗1ie1 j . ( T h e d e t a i l s o f t h e

c o n v e r g e n c e o f t h e s u m a r e u n i m p o r t a n t w e j u s t n e e d t h a t a b e i n t h e

s t r o n g c l o s u r e o f n i t e s u m s . )

I fn

i s t h e c a r d i n a l i t y o f pi, l e t

X = 1, 2,...,na n d d e n e t h e m a p

u : 2(X, p1L) → Lb y

uf =i

e∗1if (i).

O b s e r v e t h a tu

i s u n i t a r y a n d u∗e1iu i s a m a t r i x o n

2(X, p1L)w i t h a n i d e n t i t y

o p e r a t o r i n t h e (1, i)

p o s i t i o n a n d z e r o s e l s e w h e r e . T h e a l g e b r a g e n e r a t e d b y

t h e s e m a t r i c e s i sB(2(X )) ⊗ 1

o n 2(X ) ⊗ p1L a n d w e a r e d o n e .

2 6



R e m a r k 5 . 2 . 2 T h e i m p o r t a n c e o f b e i n g s p a t i a l .

W e a v o i d e d a l l k i n d s o f p r o b l e m s i n t h e p r e v i o u s t h e o r e m b y c o n s t r u c t i n g

o u r i s o m o r p h i s m u s i n g a u n i t a r y b e t w e e n t h e u n d e r l y i n g H i l b e r t s p a c e s . I n

g e n e r a l g i v e n v o n N e u m a n n a l g e b r a s M

a n d N

g e n e r a t e d b y S

a n d T

r e s p e c -

t i v e l y , t o c o n s t r u c t a n i s o m o r p h i s m b e t w e e n

M a n d

N i t s u c e s t o c o n s t r u c t

( i f p o s s i b l e ! ! ! ) a u n i t a r y u

b e t w e e n t h e i r H i l b e r t s p a c e s s o t h a tT

i s c o n t a i n e d

i n

uSu∗. T o t r y t o c o n s t r u c t a n i s o m o r p h i s m d i r e c t l y o n

S c o u l d b e a r d u o u s

a t b e s t .

5 . 3 T e n s o r p r o d u c t o f v o n N e u m a n n a l g e b r a s .

I fM

i s a v o n N e u m a n n a l g e b r a o n H

a n d N

i s a v o n N e u m a n n a l g e b r a o n

Kw e d e n e

M ⊗ N t o b e t h e v o n N e u m a n n a l g e b r a o n

H ⊗ Kg e n e r a t e d b y

w h e n y o u u s e \h, m a k e s u r e

i t ' s e n c l o s e d i n $ s i g n sx ⊗ y : x ∈ M, y ∈ N .


M ⊗ N c o n t a i n s t h e a l g e b r a i c t e n s o r p r o d u c t

M ⊗alg N a s a s t r o n g l y d e n s e * - s u b a l g e b r a .

D e n i t i o n 5 . 3 . 2 L e t

M b e a v o n N e u m a n n a l g e b r a . A s y s t e m o f m a t r i x

u n i t s ( s . m . u . ) o f s i z e n

i n M

i s a f a m i l y eij : i, j = 1, 2,...,n

( n = ∞

a l l o w e d ) s u c h t h a t

( i )

e∗ij = e ji .

( i i )eijekl = δ j,leil

( i i i )

i eii = 1

.

E x e r c i s e 5 . 3 . 3 S h o w t h a t i f

eij; i, j = 1,...,ni s a n s . m . u . i n a v o n

N e u m a n n a l g e b r a

M , t h e n t h e

eij g e n e r a t e a t y p e I f a c t o r i s o m o r p h i c t o

B(2(1, 2,...,n))a n d t h a t

M i s i s o m o r p h i c ( u n i t a r i l y e q u i v a l e n t t o i n t h i s

i n s t a n c e ) T h e v o n N e u m a n n a l g e b r a e11Me11 ⊗ B(2(1, 2,...,n))

.

5 . 4 M u l t i p l i c i t y a n d n i t e d i m e n s i o n a l v o n N e u -

m a n n a l g e b r a s .

T h e o r e m 5 . 2 . 1 s h o w s t h a t t y p e I f a c t o r s o n H i l b e r t s p a c e a r e c o m p l e t e l y

c l a s s i e d b y t w o c a r d i n a l i t i e s(n1, n2)

a c c o r d i n g t o :

n1 =r a n k o f a m i n i m a l p r o j e c t i o n i n

M , a n d

n2 =r a n k o f a m i n i m a l p r o j e c t i o n i n

M .

2 7



W e s e e t h a t t h e i s o m o r p h i s m p r o b l e m s p l i t s i n t o a b s t r a c t i s o m o r p h i s m

( d e t e r m i n e d b y n2 a l o n e ) , a n d s p a t i a l i s o m o r p h i s m , i . e . u n i t a r y e q u i v a l e n c e .

A t y p e I n f a c t o r i s b y d e n i t i o n o n e f o r w h i c h n = n2 . I t i s a b s t r a c t l y

i s o m o r p h i c t o B(H)

w i t h dim H = n

. T h e i n t e g e rn1 i s o f t e n c a l l e d t h e

m u l t i p l i c i t y o f t h e t y p e I f a c t o r .

W e w i l l n o w d e t e r m i n e t h e s t r u c t u r e o f a l l n i t e d i m e n s i o n a l v o n N e u -

m a n n a l g e b r a s q u i t e e a s i l y . N o t e t h a t i n t h e f o l l o w i n g t h e r e i s n o r e q u i r e m e n t

t h a tH

b e n i t e d i m e n s i o n a l .

T h e o r e m 5 . 4 . 1 L e t

M b e a n i t e d i m e n s i o n a l v o n N e u m a n n a l g e b r a o n

t h e H i l b e r t s p a c e H

. T h e n M

i s a b s t r a c t l y i s o m o r p h i c t o ⊕ki=1M ni(C)

f o r

s o m e p o s i t i v e i n t e g e r s k, n1, n2,...,nk . ( M n(C) i s t h e v o n N e u m a n n a l g e b r a

o f a l ln × n

m a t r i c e s o n n

- d i m e n s i o n a l H i l b e r t s p a c e . ) M o r e o v e r t h e r e a r e

H i l b e r t s p a c e s Ki a n d a u n i t a r y

u : ⊕i2(X i, Ki) → H( w i t h

|X i| = ni ) w i t h

u∗Mu = ⊕iB(2(X i)) ⊗ 1.

P r o o f . T h e c e n t r e Z (M )

i s a n i t e d i m e n s i o n a l a b e l i a n v o n N e u m a n n a l g e b r a

. I f p

i s a m i n i m a l p r o j e c t i o n i n Z (M )

,pMp

i s a f a c t o r o n pH

. T h e t h e o r e m

f o l l o w s i m m e d i a t e l y f r o m t h e o r e m 5 . 2 . 1 a n d t h e s i m p l e f a c t s t h a tZ (M ) =

⊕ki=1 piC w h e r e t h e

pi a r e t h e m i n i m a l p r o j e c t i o n s i n

Z (M )( T w o d i s t i n c t

m i n i m a l p r o j e c t i o n s p

a n d q

i n Z (M )

s a t i s f y pq = 0

) , a n d M = ⊕i piMpi .

T h e s u b j e c t o f n i t e d i m e n s i o n a l v o n N e u m a n n a l g e b r a s i s t h u s r a t h e r

s i m p l e . I t b e c o m e s s l i g h t l y m o r e i n t e r e s t i n g i f o n e c o n s i d e r s s u b a l g e b r a s N ⊆M

. L e t u s d e a l r s t w i t h t h e f a c t o r c a s e o f t h i s . L e t u s p o i n t o u t t h a t t h e

i d e n t i t y o fM

i s t h e s a m e a s t h a t o fN

.

T h e o r e m 5 . 4 . 2 I f

M i s a t y p e I n f a c t o r , i t s t y p e

I m f a c t o r s a r e a l l u n i q u e l y

d e t e r m i n e d , u p t o c o n j u g a t i o n b y u n i t a r i e s i n M

, b y t h e i n t e g e r ( o r ∞

)

k > 0s u c h t h a t

pMpi s a t y p e I k f a c t o r ,

pb e i n g a m i n i m a l p r o j e c t i o n i n

t h e s u b f a c t o r N

a n d mk = n

.

P r o o f . L e tN 1 a n d

N 2 b e t y p e I m s u b f a c t o r s w i t h g e n e r a t i n g s . m . u . ' seij

a n d

f ij

r e s p e c t i v e l y . I fk

i s t h e i n t e g e r ( i n t h e s t a t e m e n t o f t h e t h e o r e m )

f o rN − 1

t h e n 1 =

m1 eii a n d e a c h

eii i s t h e s u m o fk

m u t u a l l y o r t h o g o n a l

m i n i m a l p r o j e c t i o n s o fM

, h e n c e n = mk

. T h e s a m e a r g u m e n t a p p l i e s t o

N 2 . B u i l d a p a r t i a l i s o m e t r y u

w i t h uu∗ = e11 a n d

u∗u = f 11 b y a d d i n g

t o g e t h e r p a r t i a l i s o m e t r i e s b e t w e e n m a x i m a l f a m i l i e s o f m u t u a l l y o r t h o g o n a l

p r o j e c t i o n s l e s s t h a n e11 a n d

f 11 r e s p e c t i v e l y . T h e n i t i s e a s y t o c h e c k t h a t

w =i e j1uf 1 j i s a u n i t a r y w i t h

wf klw∗ = ekl . S o

wN 2w∗ = N 1 .

N o w w e c a n d o t h e g e n e r a l ( n o n - f a c t o r ) c a s e . I fN = ⊕ni=1M ki(C)

a n d

M = ⊕m j=1M rj (C)a n d

N ⊆ M a s v o n N e u m a n n a l g e b r a s , l e t

p j b e m i n i m a l

2 8



c e n t r a l p r o j e c t i o n s i n M

a n d q i b e t h o s e o f

N . T h e n f o r e a c h

(i, j),

p jq iM q i p ji s a f a c t o r a n d p jq iN i s a s u b f a c t o r s o w e m a y f o r m t h e m a t r i x Λ = (λij)w h e r e

λij i s t h e i n t e g e r a s s o c i a t e d w i t h p jq iN ⊆ p jq iMq i p j b y t h e o r e m 5 . 4 . 2 .

E x e r c i s e 5 . 4 . 3 S h o w t h a t t h e i n t e g e r

λij d e n e d a b o v e i s t h e f o l l o w i n g : i f

ei i s a m i n i m a l p r o j e c t i o n i n t h e f a c t o r q iN

,λij =

t r a c e o f t h e m a t r i x p jei ∈

M rjC.

E x a m p l e . L e t

M = M 5(C) ⊕ M 3(C)a n d

N b e t h e s u b a l g e b r a o f m a t r i c e s o f

t h e f o r m :

X 0 00 X 00 0 z

⊕ X 00 z

w h e r e z ∈ C a n d

X i s a

2×2m a t r i x . T h e n

N i s i s o m o r p h i c t o

M 2(C)⊕Ca n d i f

p1 = 1 ⊕ 0,

q 1 = 1 ⊕ 0, e t c . , w e h a v e

Λ =

2 11 1

.

T h e m a t r i x Λ

i s o f t e n r e p r e s e n t e d b y a b i p a r t i t e g r a p h w i t h t h e n u m b e r

o f e d g e s b e t w e e n i a n d j b e i n g λij . T h e v e r t i c e s o f t h e g r a p h a r e l a b e l l e d b y

t h e s i z e o f t h e c o r r e s p o n d i n g m a t r i x a l g e b r a s . T h u s i n t h e a b o v e e x a m p l e

t h e p i c t u r e w o u l d b e :

T h i s d i a g r a m i s c a l l e d t h e B r a t t e l i d i a g r a m f o rN ⊆ M

.

E x e r c i s e 5 . 4 . 4 G e n e r a l i s e t h e a b o v e e x a m p l e t o s h o w t h a t t h e r e i s a n i n c l u -

s i o n N ⊆ M

c o r r e s p o n d i n g t o a n y B r a t t e l i d i a g r a m w i t h a n y s e t o f d i m e n -

s i o n s f o r t h e s i m p l e c o m p o n e n t s o f N

.

5 . 5 A d i g r e s s i o n o n i n d e x .

I fN ⊆ M

a r e t y p e I f a c t o r s w e h a v e s e e n t h a t t h e r e i s a n i n t e g e rk

( p o s s i b l y

∞) s u c h t h a t

M i s t h e a l g e b r a o f

k × km a t r i c e s o v e r

N . I f

k < ∞,

M i s

t h u s a f r e e l e f t N - m o d u l e o f r a n k k2

. I t s e e m s r e a s o n a b l e t o c a l l t h e n u m b e r

k2t h e i n d e x o f

N i n

M a n d w r i t e i t

[M : N ]. T h i s i s b e c a u s e , i f

H < Ga r e g r o u p s a n d

CH ⊆ CGt h e i r g r o u p a l g e b r a s , t h e c o s e t d e c o m p o s i t i o n o f

Gs h o w s t h a t

CGi s a f r e e l e f t

CH - m o d u l e o f r a n k

[G : H ].

2 9



3 0



C h a p t e r 6

K a p l a n s k y D e n s i t y T h e o r e m .

6 . 1 S o m e s i m p l e b u t t e l l i n g r e s u l t s o n l i n e a r

f u n c t i o n a l s .

W e b e g i n w i t h a r e s u l t a b o u t l i n e a r f u n c t i o n a l s o f i n d e p e n d e n t i n t e r e s t .

T h e o r e m 6 . 1 . 1 L e t

V b e a s u b s p a c e o f

B(H)a n d l e t

φ : V → Cb e a l i n e a r

f u n c t i o n a l . T . F . A . E .

( i ) T h e r e a r e v e c t o r s i n

H,

ξ 1, ξ 2,...,ξ n a n d

η1, η2,...,ηn w i t h

φ(x) =ni=1

xξ i, ηi

( i i )φ

i s w e a k l y c o n t i n u o u s .

( i i i )φ

i s s t r o n g l y c o n t i n u o u s .

P r o o f . ( i )⇒

( i i )⇒

( i i i ) a r e o b v i o u s , s o s u p p o s e φ

i s s t r o n g l y c o n t i n u o u s .

T h e n l e tν 1,...,ν n b e v e c t o r s s u c h t h a t

||xν i|| < 1 ∀i ⇒ |φ(x)| < 1f o r

x ∈ V . T h e n t h e r e i s a c o n s t a n t

K > 0s o t h a t

|φ(x)| < K

i ||xν i||2 . L e t

ν = ν 1⊕

...ν n∈ ⊕

i

Ha n d l e t

K= (V

⊗1)(ν )

. T h e n d e n e φ

o n V

⊗1(ν )

b y

φ(⊕ixν i) = φ(x). O b s e r v e t h a t

φi s w e l l - d e n e d a n d c o n t i n u o u s s o e x t e n d s t o

Ka n d t h e r e i s a v e c t o r

ξ = ⊕ξ i ∈ Kw i t h

φ(x) = φ(x⊗1)(ν ) = (x⊗1)(ν ), ξ .

E x e r c i s e 6 . 1 . 2 R e p l a c e w e a k a n d s t r o n g b y u l t r a w e a k a n d u l t r a s t r o n g , a n d

t h e n i t e s e q u e n c e s o f v e c t o r s b y 2

- c o n v e r g e n t o n e s i n t h e p r e v i o u s t h e o r e m .

C o r o l l a r y 6 . 1 . 3 I f

C i s a c o n v e x s u b s e t o f

B(H), i t s w e a k a n d s t r o n g c l o -

s u r e s c o i n c i d e .

3 1



P r o o f . T w o l o c a l l y c o n v e x v e c t o r s p a c e s w i t h t h e s a m e c o n t i n u o u s l i n e a r

f u n c t i o n a l s h a v e t h e s a m e c l o s e d c o n v e x s e t s . T h i s i s a c o n s e q u e n c e o f t h e

H a h n - B a n a c h t h e o r e m t o b e f o u n d i n a n y t e x t o n f u n c t i o n a l a n a l y s i s .

.

C o r o l l a r y 6 . 1 . 4 I f

dim H = ∞t h e s t r o n g a n d u l t r a s t r o n g t o p o l o g i e s d i e r

o n B(H)

.t h e p r o o f h e r e a c t u a l l y

p r o v e s t h a t t h e w e a k a n d

u l t r a w e a k t o p o l o g i e s d i e r ,

a n d t o g e t t h e r e s u l t h e r e

w e n e e d t o u s e t h e p r e v i o u s

e x e r c i s e

P r o o f . L e t(ξ i) b e a n o r t h o n o r m a l b a s i s o f

Ha n d l e t

ω(x) =i

1n2

xξ i, ξ i .

T h e n

ωi s u l t r a w e a k l y c o n t i n u o u s b u t n o t s t r o n g l y c o n t i n u o u s . F o r i f i t w e r e

w e a k l y c o n t i n u o u s i t w o u l d b e o f t h e f o r m

ni=1xν i, ηi a n d

ω( p) = 0w h e r e

pi s t h e p r o j e c t i o n o n t o t h e o r t h o g o n a l c o m p l e m e n t o f t h e v e c t o r s p a c e s p a n n e d

b y t h e ν i . B u t b y p o s i t i v i t y

ω( p) = 0f o r c e s

p(ξ i) = 0f o r a l l

i.

6 . 2 T h e t h e o r e m

I n o u r d i s c u s s i o n o fvN (Γ)

w e a l r e a d y m e t t h e d e s i r a b i l i t y o f h a v i n g a n o r m -

b o u n d e d s e q u e n c e o f o p e r a t o r s c o n v e r g i n g t o a n e l e m e n t i n t h e w e a k c l o s u r e

o f a * - a l g e b r a o f o p e r a t o r s . T h i s i s n o t g u a r a n t e e d b y t h e v o n N e u m a n n

d e n s i t y t h e o r e m . T h e K a p l a n s k y d e n s i t y t h e o r e m l l s t h i s g a p .

T h e o r e m 6 . 2 . 1 L e t

Ab e a * - s u b a l g e b r a o f

B(H). T h e n t h e u n i t b a l l o f

Ai s s t r o n g l y d e n s e i n t h e u n i t b a l l o f t h e w e a k c l o s u r e

M o f

A, a n d t h e s e l f -

a d j o i n t p a r t o f t h e u n i t b a l l o f A

i s s t r o n g l y d e n s e i n t h e s e l f - a d j o i n t p a r t o f

t h e u n i t b a l l o f M

.

P r o o f . B y E P 6 ) w e m a y a s s u m e

1 ∈ M a n d t h e w o r r i e d r e a d e r m a y c h e c k

t h a t w e n e v e r i n f a c t s u p p o s e 1 ∈ A

. W e m a y f u r t h e r s u p p o s e t h a tA

i s

n o r m - c l o s e d , i . e . a C

∗- a l g e b r a . C o n s i d e r t h e c l o s u r e o f

Asa , t h e s e l f - a d j o i n t

p a r t o fA

. T h e * o p e r a t i o n i s w e a k l y c o n t i n u o u s s o i fxα i s a n e t c o n v e r g i n g

t o t h e s e l f - a d j o i n t e l e m e n t

x ∈ M ,

xα+x∗α2 c o n v e r g e s t o

xs o t h e w e a k c l o s u r e

o fAsa i s e q u a l t o

M sa .

L e t u s n o w p r o v e t h e s e c o n d a s s e r t i o n o f t h e t h e o r e m . L e tx = x∗

∈M

,

||x|| < 1 , a n d ξ 1,...,ξ n, > 0 d e n e a s t r o n g n e i g h b o u r h o o d o f x. W e m u s t

c o m e u p w i t h a y ∈ Asa ,

||y|| < 1, w i t h

||(x−y)ξ i|| < . T h e f u n c t i o n

t → 2t1+t2

i s a h o m e o m o r p h i s m o f[−1, 1]

o n t o i t s e l f . S o b y t h e s p e c t r a l t h e o r e m w e m a y

c h o o s e a n X ∈ M sa w i t h

||X || ≤ 1, s o t h a t

2X 1+X 2

= x. N o w b y s t r o n g d e n s i t y

c h o o s e

Y ∈ Asa w i t h

||Y xξ i − Xxξ i|| < ,a n d

|| Y

1 + X 2ξ i − X

1 + X 2ξ i|| < /4.

P u ty = 2Y

1+Y 2a n d n o t e t h a t

||y|| ≤ 1.

3 2



N o w c o n s i d e r t h e f o l l o w i n g e q u a l i t i e s :

y − x =2Y

1 + Y 2− 2X

1 + X 2

= 2(1

1 + Y 2(Y (1 + X 2) − (1 + Y 2)X )

1

1 + X 2)

= 2(1

1 + Y 2(Y − X )

1

1 + X 2+

Y

1 + Y 2(X − Y )

X

1 + X 2)

=2

1 + Y 2(Y − X )

1

1 + X 2+

1

2y(X − Y )x.

B y t h e c h o i c e o f Y , w e s e e t h a t ||(y − x)ξ i|| < . T h i s p r o v e s d e n s i t y f o r

t h e s e l f - a d j o i n t p a r t o f t h e u n i t b a l l .

N o w c o n s i d e r a g e n e r a lx ∈ M

w i t h ||x|| ≤ 1

. T h e t r i c k i s t o f o r m 0 x

x∗ 0

∈ M ⊗M 2(C).

S t r o n g c o n v e r g e n c e o f a n e t

aα bαcα dα

t o

a bc d

i s e q u i v a l e n t t o s t r o n g c o n v e r g e n c e o f t h e m a t r i x e n t r i e s s o

A ⊗ M 2(C)i s

s t r o n g l y d e n s e i n

M ⊗M 2(C). M o r e o v e r i f

aα bαcα dα

→

0 x

x∗ 0

s t r o n g l y

t h e n

bα t e n d s s t r o n g l y t o

x. A n d

||bα|| ≤ 1f o l l o w s f r o m | |

aα bαcα dα

|| ≤ 1

a n d

bαξ, η = aα bαcα dα

0ξ

,

η0

.

C o r o l l a r y 6 . 2 . 2 I f

M i s a * - s u b a l g e b r a o f


1t h e n

M i s a

v o n N e u m a n n a l g e b r a i t h e u n i t b a l l o f

M i s w e a k l y c o m p a c t .

P r o o f . T h e u n i t b a l l o fM

i s w e a k l y c l o s e d s i n c e t h e n o r m t o p o l o g y i s s t r o n g e r

t h a n t h e w e a k t o p o l o g y , a n d a c l o s e d s u b s e t o f a c o m p a c t s e t i s c o m p a c t .t h i s p r o o f i s w r o n g !

C o n v e r s e l y , i f t h e u n i t b a l l o fM

i s w e a k l y c o m p a c t , t h e n i t i s w e a k l y

c l o s e d . L e t

xb e i n t h e w e a k c l o s u r e o f

M . B y K a p l a n s k y d e n s i t y t h e r e i s a

n e txα w e a k l y c o n v e r g i n g t o

xw i t h

||xα

|| ≤1

. H e n c e x

∈M

.

3 3



3 4



C h a p t e r 7

C o m p a r i s o n o f P r o j e c t i o n s a n d

T y p e I I 1 F a c t o r s .

7 . 1 O r d e r o n p r o j e c t i o n s

D e n i t i o n 7 . 1 . 1 I f

pa n d

q a r e p r o j e c t i o n s i n a v o n N e u m a n n a l g e b r a M

w e s a y t h a t p q

i f t h e r e i s a p a r t i a l i s o m e t r y u ∈ M

w i t h uu∗ = p

a n d

u∗u ≤ q . W e s a y t h a t

pa n d

q a r e e q u i v a l e n t ,

p ≈ q i f t h e r e i s a p a r t i a l

i s o m e t r y u ∈ M

w i t h uu∗ = p

a n d u∗u = q

.

O b s e r v e t h a t≈

i s a n e q u i v a l e n c e r e l a t i o n .

T h e o r e m 7 . 1 . 2 T h e r e l a t i o n

i s a p a r t i a l o r d e r o n t h e e q u i v a l e n c e c l a s s e s

o f p r o j e c t i o n s i n a v o n N e u m a n n a l g e b r a .

P r o o f . T r a n s i t i v i t y f o l l o w s b y c o m p o s i n g p a r t i a l i s o m e t r i e s . T h e i s s u e i s t o

s h o w t h a t

e f a n d

f ei m p l y

e ≈ f . C o m p a r e t h i s s i t u a t i o n w i t h s e t s

a n d t h e i r c a r d i n a l i t i e s .

L e t

ua n d

vs a t i s f y

uu∗ = e, u∗u ≤ f a n d

vv∗ = f, v∗v ≤ e. N o t e t h e

p i c t u r e :

W e d e n e t h e t w o d e c r e a s i n g s e q u e n c e s o f p r o j e c t i o n s e0 = e, en+1 =v∗f nv

a n d f 0 = f, f n+1 = u∗enu

. T h e d e c r e a s i n g p r o p e r t y f o l l o w s b y i n d u c -

t i o n s i n c e

p → v∗ pvg i v e s a n o r d e r p r e s e r v i n g m a p f r o m p r o j e c t i o n s i n

M l e s s t h a n

f t o - .

p r o j e c t i o n s i n

M l e s s t h a n

ea n d s i m i l a r l y i n t e r c h a n g i n g t h e r o l e s o f

e

a n d f

,v

a n d u

. L e te∞ =

∞i=0

ei a n d f ∞ =

∞i=0

f i . N o t e t h a tv∗f ∞v = e∞ a n d

f ∞vv∗f ∞ = f ∞ s o t h a te∞ ≈ f ∞ . A l s o

e = (e − e1) + (e1 − e2) + · · · + e∞ a n d

f = (f −f 0)+(f 1−f 2)+ · · ·+f ∞ a r e s u m s o f m u t u a l l y o r t h o g o n a l p r o j e c t i o n s .

3 5



B u t f o r e a c h e v e n i

,u∗(ei

−ei+1)u = f i+1

−f i+2 s o

ei

−ei+1

≈f i+1

−f i+2 ,

a n d v∗(f i − f i+1)v = ei+1 − ei+2 s o o n e m a y a d d u p , i n t h e s t r o n g t o p o l o g y ,

a l l t h e r e l e v a n t p a r t i a l i s o m e t r i e s t o o b t a i n a n e q u i v a l e n c e b e t w e e n e

a n d f

.

N o t e t h a t i f w e h a d b e e n d e a l i n g w i t h vN (Γ)

t h i s a r g u m e n t w o u l d h a v e

b e e n u n n e c e s s a r y a s w e c o u l d h a v e u s e d t h e t r a c e :

tr(v∗v) ≤ tr(e) = tr(uu∗) = tr(u∗u) ≤ tr(f ) = tr(vv∗) = tr(v∗v)

s o t h a ttr(e − v∗v) = 0

w h i c h i m p l i e se = v∗v

. H o w e v e r i n g e n e r a l i t i s

c e r t a i n l y p o s s i b l e t o g e t a p r o j e c t i o n e q u i v a l e n t t o a p r o p e r s u b p r o j e c t i o n o f

i t s e l f . J u s t t a k e t h e u n i l a t e r a l s h i f t o n B(2(N)) w h i c h e x h i b i t s a n e q u i v a l e n c e

b e t w e e n 1

a n d t h e p r o j e c t i o n o n t o t h e o r t h o g o n a l c o m p l e m e n t o f t h e r s t

b a s i s v e c t o r . T h i s i s a n a l o g o u s t o t h e n o t i o n o f a n i n n i t e s e t o n e w h i c h i s

i n b i j e c t i o n w i t h a p r o p e r s u b s e t o f i t s e l f .

D e n i t i o n 7 . 1 . 3 A p r o j e c t i o n

pi n a v o n N e u m a n n a l g e b r a

M i s c a l l e d i n -

n i t e i f

p ≈ q f o r s o m e

q < p,

p = q . O t h e r w i s e

pi s c a l l e d n i t e . A v o n

N e u m a n n a l g e b r a i s c a l l e d n i t e i f i t s i d e n t i t y i s n i t e , a n d i t i s c a l l e d p u r e l y

i n n i t e i f i t h a s n o n i t e p r o j e c t i o n s o t h e r t h a n

0. A f a c t o r i s c a l l e d i n n i t e

i f i t s i d e n t i t y i s i n n i t e .

W e w i l l s h o w t h a t p u r e l y i n n i t e v o n N e u m a n n a l g e b r a s e x i s t t h o u g h i t w i l l

n o t b e e a s y .

R e m a r k 7 . 1 . 4 I f

dim H = ∞t h e n

B(H)i s i n n i t e .

R e m a r k 7 . 1 . 5 A f a c t o r w i t h a t r a c e l i k e

vN (Γ)i s n i t e .

R e m a r k 7 . 1 . 6 E v e r y p r o j e c t i o n i n a n i t e v o n N e u m a n n a l g e b r a i s n i t e .

O r , m o r e s t r o n g l y , i f

p ≤ q a n d

q i s n i t e t h e n

pi s n i t e .

F o r i f p ≈ p, p < p, p = p

t h e n p + (q − p) ≈ p + (q − p) = q

.

R e m a r k 7 . 1 . 7 I f

M i s a n y v o n N e u m a n n a l g e b r a ,

1i s a n i n n i t e p r o j e c t i o n

i n M ⊗ B(H)

i f dim H = ∞

.

T h e o r e m 7 . 1 . 8 I f


p, q a r e p r o j e c t i o n s i n

M , e i t h e r

p q o r

q p.

3 6



P r o o f . C o n s i d e r t h e f a m i l y o f p a r t i a l i s o m e t r i e su

w i t h uu∗

≤p, u∗u

≤q

.

T h i s s e t i s p a r t i a l l y o r d e r e d b y u ≤ v i f u∗u ≤ v∗v a n d v = u o n t h e i n i t i a l

d o m a i n u∗uH

o fu

. T h i s p a r t i a l l y o r d e r e d s e t s a t i s e s t h e r e q u i r e m e n t s f o r

Z o r n ' s l e m m a s o l e tu

b e a m a x i m a l e l e m e n t i n i t . I fu∗u = q

o ruu∗ = p

w e

a r e d o n e s o s u p p o s e q − u∗u

a n d p − uu∗

a r e b o t h n o n - z e r o . T h e n b y 5 . 1 . 1

t h e r e i s a v = 0

w i t h v∗v ≤ q − u∗u

a n d vv∗ ≤ p − uu∗

. B u t t h e n u + v

i s

l a r g e r t h a n u

w h i c h w a s s u p p o s e d m a x i m a l .

E x e r c i s e 7 . 1 . 9 S h o w t h a t t w o e q u i v a l e n t p r o j e c t i o n s

pa n d

q i n a n i t e f a c -

t o r

M a r e u n i t a r i l y e q u i v a l e n t , i . e . t h e r e i s a u n i t a r y

u ∈ M w i t h

upu∗ = q .

W e s e e t h a t t h e e q u i v a l e n c e c l a s s e s o f p r o j e c t i o n s i n a f a c t o r f o r m a t o t a l l y

o r d e r e d s e t . I t i s k n o w n t h a t , o n a s e p a r a b l e H i l b e r t s p a c e , t h e p o s s i b l e

i s o m o r p h i s m t y p e s f o r t h i s s e t

a r e :W e a d d e d 0 t o t h e l i s t f o r

t y p e I n

, s o t h e c o m m e n t

b e l o w a b o u t t y p e III a n d

t y p e I 1 m a k e s s e n s e

1 )0, 1, 2,...,n

w h e r e n = ∞

i s a l l o w e d . t y p e I n

2 )[0, 1]

t y p e I I 1

3 )

[0, ∞] t y p e I I ∞

4 )0, ∞

t y p e I I I

S t r i c t l y s p e a k i n g t h i s i s n o n s e n s e a s t y p e I I I i s t h e s a m e a s t y p e I 1 a n d

I I 1 i s t h e s a m e a s I I ∞ . W e m e a n n o t o n l y t h e o r d e r t y p e b u t w h e t h e r1

i s

i n n i t e o r n o t .

O b s e r v e t h a t t h e t y p e I I 1 c a s e c e r t a i n l y e x i s t s . W e s a w t h a t vN (F 2)h a s p r o j e c t i o n s o f a n y t r a c e b e t w e e n

0a n d

1. B y t h e p r e v i o u s t h e o r e m

i t i s c l e a r t h a t t h e t r a c e g i v e s a n i s o m o r p h i s m b e t w e e n t h e o r d e r e d s e t o f

e q u i v a l e n c e c l a s s e s o f p r o j e c t i o n s a n t t h e u n i t i n t e r v a l . W e w i l l p r o c e e d t o

p r o v e a s t a t e m e n t g e n e r a l i s i n g t h i s c o n s i d e r a b l y .

D e n i t i o n 7 . 1 . 1 0 A t y p e I I 1 f a c t o r i s a n i n n i t e d i m e n s i o n a l f a c t o r

M o n

Ha d m i t t i n g a n o n - z e r o l i n e a r f u n c t i o n

tr : M → Cs a t i s f y i n g

( i )tr(ab) = tr(ba)

( i i )

tr(a

∗

a) ≥ 0( i i i )

tri s u l t r a w e a k l y c o n t i n u o u s .

T h e t r a c e i s s a i d t o b e n o r m a l i s e d i f tr(1) = 1

.

D e n i t i o n 7 . 1 . 1 1 I n g e n e r a l a l i n e a r f u n c t i o n a l

φo n a * - a l g e b r a

Ai s c a l l e d

p o s i t i v e i f

φ(a∗a) ≥ 0( a n d

φ(a∗) = φ(a)t h o u g h t h i s i s r e d u n d a n t i f

Ai s a

C ∗- a l g e b r a ) , a n d f a i t h f u l i f

φ(a∗a) = 0 ⇒ a = 0. A p o s i t i v e

φi s c a l l e d a

s t a t e i f 1 ∈ A

a n d φ(1) = 1

. A l i n e a r f u n c t i o n a lφ

i s c a l l e d t r a c i a l ( o r a

t r a c e ) i f φ(ab) = φ(ba)

.

3 7



I t i s o u r j o b n o w t o s h o w t h a t a I I 1 f a c t o r h a s a u n i q u e u l t r a w e a k l y

c o n t i n u o u s t r a c i a l s t a t e , w h i c h i s f a i t h f u l . F i r s t a p r e l i m i n a r y r e s u l t o n i d e a l s .

T h e o r e m 7 . 1 . 1 2 L e t

Mb e a n u l t r a w e a k l y c l o s e d l e f t i d e a l i n a v o n N e u -

m a n n a l g e b r a M

. T h e n t h e r e i s a u n i q u e p r o j e c t i o n e ∈ M

s u c h t h a t

M = Me. I f

Mi s 2 - s i d e d ,

ei s i n

Z (M ).

P r o o f .M ∩ M∗

i s a n u l t r a w e a k l y c l o s e d * - s u b a l g e b r a s o i t h a s a l a r g e s t

p r o j e c t i o n e

. S i n c e e ∈ M

,Me ⊆ M

. O n t h e o t h e r h a n d i fx ∈ M

l e t

x = u|x|b e i t s p o l a r d e c o m p o s i t i o n . S i n c e

u∗x = |x|,|x| ∈ M ∩ M∗

. H e n c e

|x|e = |x|a n d

x = u|x| = u|x|e ∈ M e. S o

M = Me.

U n i q u e n e s s f o l l o w s e a s i l y s i n c e f = xe

⇒f

≤e

.

M o r e o v e r i f

Mi s 2 - s i d e d , f o r a n y u n i t a r y

u ∈ M ,

uM = M = uMu∗ =M e = Mueu∗

s o ueu∗ = e

b y u n i q u e n e s s . H e n c e e ∈ Z (M )

.

C o r o l l a r y 7 . 1 . 1 3 A n u l t r a w e a k l y c o n t i n u o u s p o s i t i v e n o n - z e r o t r a c e

T ro n

a I I 1 f a c t o r i s f a i t h f u l .

P r o o f . L e tM = x ∈ M : T r(x∗x) = 0

. T h e n s i n c e x∗a∗ax ≤ ||a||2x∗x

,M

i s a l e f t i d e a l a n d s i n c e T r(ab) = T r(ba)

,M

i s a 2 - s i d e d i d e a l . M o r e o v e r b y

t h e C a u c h y S c h w a r z i n e q u a l i t y T r(x∗x) = 0

i T r(xy) = 0 ∀y ∈ M

. T h u s

Mi s u l t r a w e a k l y c l o s e d , b e i n g t h e i n t e r s e c t i o n o f t h e k e r n e l s o f u l t r a w e a k l y

c o n t i n u o u s f u n c t i o n a l s . T h u s M = Me f o r s o m e c e n t r a l p r o j e c t i o n . A n d em u s t b e z e r o s i n c e

M i s a f a c t o r .

C o r o l l a r y 7 . 1 . 1 4 I f

M i s a t y p e I I 1 f a c t o r o n

Ha n d

p ∈ M i s a n o n - z e r o

p r o j e c t i o n ,

pMpi s a t y p e I I 1 f a c t o r o n

pH.

P r o o f . T h i s i s c l e a r a t r a c e o n M

r e s t r i c t s t o a t r a c e o n pMp

w h i c h i s n o n -

z e r o b y f a i t h f u l n e s s a n d a l l t h e o t h e r p r o p e r t i e s a r e i m m e d i a t e . S i n c e a m i n i -

m a l p r o j e c t i o n i n pMp

w o u l d b e m i n i m a l i n M

,pMp

i s i n n i t e d i m e n s i o n a l .

T h e u n i q u e n e s s o ftr

w i l l f o l l o w e a s i l y o n c e w e h a v e g a t h e r e d s o m e f a c t s

a b o u t p r o j e c t i o n s i n a I I

1f a c t o r .

T h e o r e m 7 . 1 . 1 5 T h e r e a r e n o n - z e r o p r o j e c t i o n s i n a t y p e I I 1 f a c t o r o f a r -

b i t r a r i l y s m a l l t r a c e .

P r o o f . L e td = inf tr( p) : p ∈ M, p2 = p∗ = p = 0

. S u p p o s e d > 0

. L e t

pb e a p r o j e c t i o n w i t h

tr( p) − d < d. T h e n

pi s n o t m i n i m a l s i n c e w e h a v e

s e e n t h a tM

i s n o t i s o m o r p h i c t o B(H)

. S o t h e r e i s a n o n - z e r o p r o j e c t i o n

q < p. B u t t h e n w e h a v e

tr( p − q ) = tr( p) − tr(q ) ≤ tr( p) − d < d. T h i s i s a

c o n t r a d i c t i o n . S o d = 0

.

3 8



T h e o r e m 7 . 1 . 1 6 L e t

M b e a t y p e I I 1 f a c t o r w i t h a n u l t r a w e a k l y c o n t i n u o u s

p o s i t i v e n o n - z e r o t r a c e tr . T h e n tr( p) : p ∈ M, p2 = p∗ = p = [0, tr(1)] .

P r o o f . F o r

r ∈ [0, tr(1)]c o n s i d e r

S = p : pa p r o j e c t i o n i n M a n d

tr( p) ≤r

. T h e n S

i s a p a r t i a l l y o r d e r e d s e t a n d i fpα i s a c h a i n i n

S ,

p =α pα ∈ M

a n d

pi s i n t h e s t r o n g c l o s u r e o f t h e

pα s o

pi s i n

S . S o b y Z o r n ,

S h a s a

m a x i m a l e l e m e n t , s a y q

. I ftr(q )

w e r e l e s s t h a n r

, t h e n b y 7 . 1 . 8 ,q ≺ p

. S o

c h o o s e q ∼= q, q < p

. A p p l y i n g 7 . 1 . 1 4 t o p−q

w e n d a p r o j e c t i o n s t r i c t l y

b e t w e e n q

a n d p

.

C o r o l l a r y 7 . 1 . 1 7 T h e m a p

trg i v e s a n i s o m o r p h i s m b e t w e e n t h e t o t a l l y o r -

d e r e d s e t o f e q u i v a l e n c e c l a s s e s o f p r o j e c t i o n s o n a t y p e I I

1 f a c t o r a n d t h e

i n t e r v a l

[0, tr(1)].

P r o o f . B y 7 . 1 . 1 6 i t s u c e s t o s h o w t h a t t h e e q u i v a l e n c e c l a s s o f a p r o -

j e c t i o n i s d e t e r m i n e d b y i t s t r a c e . T h i s i s i m m e d i a t e f r o m 7 . 1 . 8 .

E x e r c i s e 7 . 1 . 1 8 L e t

M b e a t y p e I I 1 f a c t o r . T h e n f o r e a c h

n ∈ Nt h e r e i s

a s u b f a c t o r N ⊆ M

w i t h N ∼= M n(C)

.

C o r o l l a r y 7 . 1 . 1 9 A n y t w o n o n - z e r o u l t r a w e a k l y c o n t i n u o u s n o r m a l i s e d t r a c e s

o n a t y p e I I 1 f a c t o r a r e e q u a l .

P r o o f . B y t h e e l e m e n t a r y f a c t s i t s u c e s t o p r o v e t h a t t w o s u c h t r a c e sT r

a n d

tra g r e e o n p r o j e c t i o n s . W e m a y a s s u m e o n e o f t h e m , s a y

tr, i s p o s i t i v e .

B y t h e p r e v i o u s e x e r c i s e , 7 . 1 . 1 7 , a n d t h e u n i q u e n e s s o f t h e t r a c e o n a m a t r i x

a l g e b r a ,

tra n d

T ra r e e q u a l o n p r o j e c t i o n s f o r w h i c h

tri s r a t i o n a l . G i v e n

a p r o j e c t i o n f o r w h i c h tr( p)

i s i r r a t i o n a l b u i l d a n i n c r e a s i n g s e q u e n c e ei o f

s u b p r o j e c t i o n s a s f o l l o w s :

S u p p o s e w e h a v e a l r e a d y c o n s t r u c t e d ei w i t h

tr(ei) = T r(ei) a n d tr( p) −

tr(ei) < 1/i. T h e n

( p − ei)M ( p − ei) i s a t y p e I I 1 f a c t o r s o tr

a n d T r

a g r e e

o n p r o j e c t i o n s i n i t w h o s e tr

i s a r b i t r a r i l y c l o s e t o tr( p

−ei) . S o c h o o s e i n

i t a p r o j e c t i o n ei+1 b e t w e e n ei a n d p , o n w h i c h tr a n d T r a g r e e a n d w i t h

tr( p) − tr(ei+1) < 1i+1

. T h e n tr

a n d T r

a g r e e o n

i ei w h i c h i s e q u a l t o

pb y

t h e f a i t h f u l n e s s o f

tr.

W e s h a l l s e e t h a t a p o s i t i v e t r a c e o n a t y p e I I 1 f a c t o r i s n o r m - c o n t i n u o u s

a n d a s e l f - a d j o i n t o p e r a t o r i s a c t u a l l y a n o r m - l i m i t o f l i n e a r c o m b i n a t i o n s

o f i t s s p e c t r a l p r o j e c t i o n s s o i n f a c t a n a p p a r e n t l y w e a k e r p r o p e r t y t h a n

u l t r a w e a k c o n t i n u i t y i s a l l w e u s e d i n t h e p r e v i o u s c o r o l l a r y n a m e l y t h a t

t h e t r a c e o f t h e s u p r e m u m o f a n i n c r e a s i n g n e t o f p r o j e c t i o n s i s t h e s u p r e m u m

o f t h e t r a c e s .

3 9



C o r o l l a r y 7 . 1 . 2 0 L e t

M b e a v o n N e u m a n n a l g e b r a w i t h a p o s i t i v e u l t r a -

w e a k l y c o n t i n u o u s f a i t h f u l n o r m a l i s e d t r a c e tr . T h e n M i s a t y p e I I 1 f a c t o r

i T r = tr

f o r a l l u l t r a w e a k l y c o n t i n u o u s n o r m a l i s e d t r a c e s T r

.

P r o o f . W e j u s t h a v e t o s h o w t h a tZ (M )

i s t r i v i a l . B u t i f i t w e r e n o t ,

c h o o s e b y f a i t h f u l n e s s a p r o j e c t i o n p ∈ Z (M )

w i t h 0 < tr( p) < 1

. D e n e

T r(x) = ( 1tr( p)

)tr(xp). T h e n

T ri s a n u l t r a w e a k l y c o n t i n u o u s n o r m a l i z e d

t r a c e d i e r e n t f r o m tr

o n 1 − p

.

E x e r c i s e 7 . 1 . 2 1 L e t

ab e a n o n - z e r o p o s i t i v e s e l f a d j o i n t o p e r a t o r . S h o w

t h a t t h e r e i s a b o u n d e d p i e c e w i s e s m o o t h f u n c t i o n f : R+ → R+

s u c h t h a t

af (a)i s a n o n - z e r o p r o j e c t i o n .

E x e r c i s e 7 . 1 . 2 2 A t y p e I I 1 f a c t o r i s a l g e b r a i c a l l y s i m p l e . ( H i n t u s e t h e

p r e v i o u s e x e r c i s e t o s h o w t h a t a 2 - s i d e d i d e a l c o n t a i n s a p r o j e c t i o n , t h e n a d d

p r o j e c t i o n s t o o b t a i n t h e i d e n t i t y . )

7 . 2 T h e G N S c o n s t r u c t i o n

T h u s u n i q u e n e s s o f t h e t r a c e i m p l i e s f a c t o r i a l i t y . T h i s s u g g e s t s a n o t h e r i n -

t e r e s t i n g w a y t o c o n s t r u c t a t y p e I I 1 f a c t o r . I fA = M 2(C)

,A

i s e m b e d d e d

i n

A

⊗A

a s d i a g o n a l m a t r i c e s :

a

→a

⊗1

. I t e r a t e t h i s p r o c e d u r e t o f o r m a n

i n c r e a s i n g s e q u e n c e An o f * - a l g e b r a s w i t h A1 = A a n d An+1 = An ⊗ A , a n d

c o n s i d e r t h e * - a l g e b r a

A∞ = ∪nAn w h i c h c o u l d a l s o b e c a l l e d

⊗∞alg,n=1An . I f

w e n o r m a l i s e t h e m a t r i x t r a c e o n a l l m a t r i x a l g e b r a s s o t h a ttr(1) = 1

t h e n

tr(a ⊗ 1) = tr(a)s o t h a t

trd e n e s a p o s i t i v e f a i t h f u l n o r m a l i s e d t r a c e o n

A∞ . E l e m e n t s o fA∞ c a n b e t h o u g h t o f a s l i n e a r c o m b i n a t i o n s o f t e n s o r s

o f t h e f o r m a1 ⊗ a2 ⊗ a3 ⊗ · · · ⊗ 1 ⊗ 1 ⊗ 1 ⊗ · · ·

, o n w h i c h t h e t r a c e i s j u s t

t h e p r o d u c t o f t h e t r a c e s o f t h e ais. W e n o w t u r n

A∞ i n t o a v o n N e u m a n n

a l g e b r a .

D e n e a n i n n e r p r o d u c t o n

A∞ b y

x, y = tr(y∗x). T h e n

A∞ i s a p r e -

H i l b e r t s p a c e a n d l e tH

b e i t s c o m p l e t i o n . N o t e t h a tM n(C)

i s a v o n N e u -

m a n n a l g e b r a s o tr(y∗

x∗

xy) ≤ ||x||2

tr(y∗

y) . T h i s m e a n s t h a t t h e o p e r a t o r

Lx o n A∞ ,

Lx(y) = xy, s a t i s e s

||Lx(ξ )|| ≤ ||x||||ξ ||( w h e r e

||x||i s t h e o p e r -

a t o r n o r m o f t h e m a t r i x x

a n d ||ξ ||

i s t h e H i l b e r t s p a c e n o r m o fξ

) a n d s o

e x t e n d s u n i q u e l y t o a b o u n d e d o p e r a t o r a l s o w r i t t e n Lx o n

H. O n e c h e c k s

t h a t(Lx)∗ = Lx∗ s o

x → Lx d e n e s a f a i t h f u l ( = i n j e c t i v e ) r e p r e s e n t a t i o n o f

t h e * - a l g e b r a A∞ o n

H. L e t

M b e t h e v o n N e u m a n n a l g e b r a o n

Hg e n e r a t e d

b y t h e Lx a n d i d e n t i f y

A∞ w i t h a s u b a l g e b r a o fM

.

T h e t r a c e o n A∞ i s d e n e d b y

tr(a) = aξ,ξ w h e r e

ξ i s t h e e l e m e n t

1 ∈ A∞ c o n s i d e r e d a s a v e c t o r i n H

. S o tr

e x t e n d s t o a t r a c e o n M

w h i c h i s

4 0



u l t r a w e a k l y c o n t i n u o u s , p o s i t i v e a n d n o r m a l i s e d . I t i s a l s o u n i q u e w i t h t h e s e

p r o p e r t i e s b y t h e u n i q u e n e s s o f t h e t r a c e o n t h e u l t r a w e a k l y d e n s e s u b a l g e b r a

A∞ o fM

. I f w e c a n s h o w t h a ttr

i s f a i t h f u l o n M

t h e n i t f o l l o w s t h a tM

i s a

t y p e I I 1 f a c t o r . I t i s i m p o r t a n t t o n o t e t h a t t h i s d o e s n o t f o l l o w s i m p l y f r o m

t h e f a i t h f u l n e s s o ftr

o n A

. I n f a c t i t i s t r u e b u t w e n e e d t o d o s o m e t h i n g t o

p r o v e i t .

W h e n w e s h o w e d t h a t

Lx w a s b o u n d e d , t h e s a m e c a l c u l a t i o n , w i t h

tr(ab) =tr(ba)

, w o u l d h a v e s h o w n t h a tRx , r i g h t m u l t i p l i c a t i o n b y

x, i s a l s o b o u n d e d .

A s s o c i a t i v i t y s h o w s t h a tLx a n d

Ry c o m m u t e o n A∞ , h e n c e o n

H. T h u s

M c o m m u t e s w i t h

Ry f o r e a c h y ∈ A∞ . N o w w e c a n s h o w f a i t h f u l n e s s : i f

tr(x∗x) = 0f o r

x

∈M

t h e n f o r e a c h a

∈A∞ w e h a v e

||x(a)||2 = ||xRa(ξ )||2 = ||Rax(ξ )||2 ≤ ||Ra||2||xξ ||2 = ||Ra||2tr(x∗x) = 0.

S i n c e A∞ i s d e n s e , t h i s m e a n s

x = 0. S o

tri s f a i t h f u l o n

M w h i c h i s t h u s a

t y p e I I 1 f a c t o r .

M a n y p o i n t s a r e r a i s e d b y t h i s e x a m p l e . T h e e a s i e s t t o d e a l w i t h a r e

t h e p r o p e r t i e s o f t h e v e c t o r

ξ w h i c h p l a y e d a p r o m i n e n t r o l e . W e u s e d b o t h

M ξ = Ha n d

M ξ = H.

D e n i t i o n 7 . 2 . 1 L e t

M b e a v o n N e u m a n n a l g e b r a o n

H. A v e c t o r

ξ ∈ Hi s

c a l l e d c y c l i c f o r

M i f

Mξ = H a n d s e p a r a t i n g f o r

M i f

(xξ = 0) ⇒ (x = 0) f o r a l l

x ∈ M .

P r o p o s i t i o n 7 . 2 . 2 W i t h n o t a t i o n a s a b o v e ,

ξ i s c y c l i c f o r

M i

ξ i s s e p a -

r a t i n g f o r M

.

P r o o f . (⇒

) E x e r c i s e i n f a c t d o n e i n t h e d i s c u s s i o n o fA∞ a b o v e .

(⇐

) L e tp

b e t h e p r o j e c t i o n o n t o t h e c l o s u r e o fM ξ

. T h e n p ∈ M

. B u t

(1 − p)ξ = 0s o

p = 1.

T h e c o n s t r u c t i o n o fM

f r o m A∞ i s a s p e c i a l c a s e o f w h a t i s k n o w n

a s t h e G N S c o n s t r u c t i o n ( G e l f a n d - N a i m a r k - S e g a l ) . G i v e n a p o s i t i v e l i n -

e a r f u n c t i o n a lφ

s a t i s f y i n g φ(a∗) = φ(a)

o n a * - a l g e b r a A

w e l e tN φ b e

x ∈ A : φ(x∗x) = 0. W e a l s o d e n e a s e s q u i l i n e a r f o r m

, φ o n A

b y

x, yφ = φ(y∗x). T h i s f o r m i s p o s i t i v e s e m i d e n i t e b u t t h i s i s e n o u g h f o r t h e

C a u c h y - S c h w a r t z i n e q u a l i t y t o h o l d s o t h a tN

i s t h e s a m e a sx : x, yφ =

0 ∀y ∈ As o t h a t

N i s a s u b s p a c e a n d

, φ d e n e s a p r e - H i l b e r t s p a c e

s t r u c t u r e o n t h e q u o t i e n tA/N

. U n d e r f a v o u r a b l e c i r c u m s t a n c e s , l e f t m u l -

t i p l i c a t i o n b y x

,Lx d e n e s a b o u n d e d l i n e a r o p e r a t o r o n i t . F a v o u r a b l e

c i r c u m s t a n c e s a r e p r o v i d e d b y C ∗

- a l g e b r a s .

4 1



E x e r c i s e 7 . 2 . 3 I f

φi s a l i n e a r f u n c t i o n a l o n a

C ∗- a l g e b r a s a t i s f y i n g

φ(a∗a)

≥0 s h o w t h a t φ(a∗) = φ(a). M o r e o v e r i f A i s u n i t a l s h o w t h a t φ i s n o r m -

c o n t i n u o u s a n d i n f a c t||φ|| = φ(1)

.

R e m a r k 7 . 2 . 4 I t i s a s t a n d a r d e l e m e n t a r y f a c t i n

C ∗- a l g e b r a s t h a t o n e m a y

a l w a y s a d j o i n a n i d e n t i t y t o a C ∗

- a l g e b r a .

P r o p o s i t i o n 7 . 2 . 5 I f

Ai s a u n i t a l

C ∗- a l g e b r a a n d

φ : A → Ci s a p o s i t i v e

l i n e a r f u n c t i o n a l t h e n

φ(y∗x∗xy) ≤ ||x||2φ(y∗y)

P r o o f . L e tφ(a) = φ(y∗ay)

. T h e n φ

i s p o s i t i v e s o b y t h e e x e r c i s e φ(x∗x)

≤||x||2φ(1) .

I t f o l l o w s i m m e d i a t e l y t h a t , g i v e n a p o s i t i v e l i n e a r f u n c t i o n a lφ

o n a u n i t a l

C ∗- a l g e b r a , e a c h

x ∈ Ad e t e r m i n e s a b o u n d e d l i n e a r o p e r a t o r

πφ(x)o n t h e

H i l b e r t s p a c e Hφ o f t h e G N S c o n s t r u c t i o n v i a l e f t m u l t i p l i c a t i o n :

πφ(x)(y) =xy

. M o r e o v e r

||πφ(x)|| ≤ ||x||a n d

πφ(x∗) = πφ(x)∗s i n c e

πφ(x)y, z =φ(z ∗xy) = y, πφ(x∗)z

. N o t e t h a tφ(x) = πφ(x)1, 1

.

T o s u m u p w e h a v e t h e f o l l o w i n g :

D e n i t i o n 7 . 2 . 6 I f

Ai s a

C ∗- a l g e b r a a n d

φi s a p o s i t i v e l i n e a r f u n c t i o n a l

o n

A, t h e H i l b e r t s p a c e o f t h e G N S c o n s t r u c t i o n i s w r i t t e n

Hφ a n d t h e r e p -

r e s e n t a t i o n πφ

b y l e f t m u l t i p l i c a t i o n i s c a l l e d t h e G N S r e p r e s e n t a t i o n .

P r o p o s i t i o n 7 . 2 . 7 I f

Ai s a

C ∗- a l g e b r a o n

Ha n d

ξ ∈ H, d e n e

φξ(a) =aξ,ξ

. T h e n φξ i s a p o s i t i v e l i n e a r f u n c t i o n a l a n d

a → aξ d e n e s a u n i t a r y

u : Hφξ → Aξ s u c h t h a t

uπφξ(a)u∗ = a.

P r o o f . O b v i o u s .

I fA

i s a c t u a l l y a v o n N e u m a n n a l g e b r a ,πφ(A)

w i l l n o t i n g e n e r a l b e o n e

o n Hφ . H o w e v e r w e w i l l s e e t h a t i f

φi s u l t r a w e a k l y c o n t i n u o u s t h e n

πφ(A)w i l l b e a v o n N e u m a n n a l g e b r a . F o r t h i s w e n e e d a l i t t l e p r e p a r a t i o n .

L e m m a 7 . 2 . 8 L e t

Ab e a

C ∗- a l g e b r a o n

Hc o n t a i n i n g

1. I f

ψi s a p o s i t i v e

l i n e a r f u n c t i o n a l o n A

a n d ξ ∈ H

i s a v e c t o r w i t h ψ ≤ φξ ( i . e .

φξ − ψi s

p o s i t i v e ) , t h e n t h e r e i s a t ∈ A

w i t h ψ = φtξ .

P r o o f . D e n e a s e s q u i l i n e a r f o r m

(, )o n

Aξ b y

(aξ,bξ ) = ψ(b∗a). C a u c h y -

S c h w a r z a n d ψ ≤ φξ g i v e t h a t

|(aξ,bξ )| ≤ | |aξ ||||bξ ||s o

(, )i s w e l l - d e n e d a n d

t h e r e i s a b o u n d e d p o s i t i v e o p e r a t o r

to n

Aξ w i t h

aξ, tbξ = ψ(b∗a). B u t

aξ, tbcξ = ψ(c∗b∗a) = b∗aξ, tcξ = aξ,btcξ s o t h a t

t ∈ Ao n

Aξ . I f

p = pAξ ,

tpi s a p o s i t i v e o p e r a t o r i n

Aa n d i f

s =√

t,

ψ(a) = aξ,tξ = asξ,sξ .

.

4 2



C o r o l l a r y 7 . 2 . 9 I f

ξ a n d

ηa r e v e c t o r s s u c h t h a t

ω(a) =

aξ,η

i s p o s i t i v e

( o n a C ∗ - a l g e b r a A o n H ) t h e n t h e r e i s a v e c t o r ν w i t h ω = φν .

P r o o f . F o ra ≥ 0

,

aξ,η = 1/4(a(ξ + η), ξ + η − a(ξ − η), ξ − η)

≤ 1/4φξ+η(a).

T h e o r e m 7 . 2 . 1 0 I f

M i s a v o n N e u m a n n a l g e b r a o n

Ha n d

φi s a p o s i t i v e

u l t r a w e a k l y c o n t i n u o u s l i n e a r f u n c t i o n a l o n M t h e n t h e r e a r e v e c t o r s ν i ∈ Hw i t h

||ν i||2 < ∞s o t h a t

φ(x) =xν i, ν i f o r

x ∈ M .

P r o o f . L e tξ i, ηi b e a s s u p p l i e d b y 6 . 1 . 2 . T h e n f o r

M o n

H ⊗ 2(N),

φ(x) =xξ,η

s o b y t h e p r e v i o u s c o r o l l a r y w e a r e d o n e .

C o r o l l a r y 7 . 2 . 1 1 I f

φi s a n u l t r a w e a k l y c o n t i n u o u s p o s i t i v e l i n e a r f u n c t i o n a l

o n t h e v o n N e u m a n n a l g e b r a

M t h e n t h e G N S r e p r e s e n t a t i o n

πφ i s u l t r a w e a k l y

c o n t i n u o u s o n t o a v o n N e u m a n n a l g e b r a o n Hφ .

P r o o f . W e s a w i n t h e l a s t t h e o r e m t h a t

φ(x) = x⊗1(ν ), ν o n

H⊗

2

(N

).

T h e m a p x → x ⊗ 1

i s u l t r a w e a k l y c o n t i n u o u s . B y 7 . 2 . 7 w e h a v e t h a tπφ

i s u l t r a w e a k l y c o n t i n u o u s s i n c e t h e r e d u c t i o n t o M ⊗ 1(ν )

i s u l t r a w e a k l y

c o n t i n u o u s . S o t h e k e r n e l o fπφ i s a n u l t r a w e a k l y c l o s e d 2 - s i d e d i d e a l , h e n c e

o f t h e f o r m Me

f o r s o m e e

i n t h e c e n t r e o fM

. I t f o l l o w s t h a tπφ i s i n j e c t i v e o n

M (1 −e)a n d s i n c e t h e n o r m o f a n o p e r a t o r

xi s d e t e r m i n e d b y t h e s p e c t r u m

o f

x∗x, t h e u n i t b a l l o f t h e i m a g e o f

M i s t h e i m a g e o f t h e u n i t b a l l w h i c h i s

w e a k l y c o m p a c t s o b y 6 . 2 . 2 w e a r e d o n e .

7 . 3 E x e r c i s e s o n t w o p r o j e c t i o n s .

L e t p

a n d q

b e p r o j e c t i o n s o n t o c l o s e d s u b s p a c e sH

a n d K

o f t h e H i l b e r t

s p a c e U

r e s p e c t i v e l y . L e tM = p, q

.


U = (H∩K)⊕(H⊥∩K⊥)⊕(H∩K⊥)⊕(H⊥∩K)⊕W a n d t h i s d e c o m p o s i t i o n i s i n v a r i a n t u n d e r

pa n d

q .

E x e r c i s e 7 . 3 . 2 S h o w t h a t , o n

W ,

pa n d

q a r e i n g e n e r a l p o s i t i o n , i . e .

p ∧ q = 0,

p ∨ q = 1,

(1 − p) ∧ q = 0a n d

(1 − p) ∨ q = 1.

4 3



E x e r c i s e 7 . 3 . 3 S h o w t h a t i f

a∈ B

(H

),

0≤

a≤

1, a a(1 − a)

a(1 − a) 1 − a

i s a p r o j e c t i o n o n H ⊕ H

. W h e n i s i t i n g e n e r a l p o s i t i o n w i t h

1 00 0

?

E x e r c i s e 7 . 3 . 4 L e t

a = ( p − q )2a n d

A = a. S h o w t h a t

a ∈ Z (M )a n d

t h a t

a0+a1 p+a2q +a3 pq +a4qp : ai ∈ Ai s a * - a l g e b r a ( w h i c h i s n e c e s s a r i l y

w e a k l y d e n s e i n M

) .


pMpi s a b e l i a n , g e n e r a t e d b y

pqp.

> F r o m n o w o n s u p p o s e p

a n d q

a r e i n g e n e r a l p o s i t i o n .


p ∼= q i n

M . ( H i n t , c o n s i d e r t h e p o l a r d e c o m p o s i -

t i o n o f pq

. )

E x e r c i s e 7 . 3 . 7 S h o w t h e r e i s a

2 × 2s y s t e m o f m a t r i x u n i t s

(eij) ∈ M w i t h

p = e11 .


M i s s p a t i a l l y i s o m o r p h i c t o

B ⊗M 2(C) f o r s o m e

a b e l i a n v o n N e u m a n n a l g e b r a B

g e n e r a t e d b y b, 0 ≤ b ≤ 1

, w i t h p

c o r r e s p o n d -

i n g t o 1 0

0 0 a n d

q c o r r e s p o n d i n g t o b b(1 − b)

b(1 − b) 1 − b

N o w d r o p t h e h y p o t h e s i s t h a t p

a n d q

a r e i n g e n e r a l p o s i t i o n .


p ∨ q − p ∼= q − p ∧ q i n

M

A l t e r n a t i v e a p p r o a c h u s i n g g r o u p r e p r e s e n t a t i o n s .


(Z/2Z) ∗ (Z/2Z) ∼= Z(Z/2Z)( i n n i t e d i h e d r a l

g r o u p ) .

E x e r c i s e 7 . 3 . 1 1 C l a s s i f y a l l u n i t a r y r e p r e s e n t a t i o n s o f

Z(Z/2Z). ( H i n t

u s e t h e s p e c t r a l t h e o r e m f o r u n i t a r i e s . )

E x e r c i s e 7 . 3 . 1 2 O b s e r v e t h a t

2 p − 1a n d

2q − 1a r e s e l f - a d j o i n t u n i t a r i e s .

E x e r c i s e 7 . 3 . 1 3 O b t a i n t h e s t r u c t u r e o f 7 . 3 . 8 u s i n g t h e l a s t 3 e x e r c i s e s .

4 4



C h a p t e r 8

T h e P r e d u a l

A n u l t r a w e a k l y c o n t i n u o u s l i n e a r f u n c t i o n a lφ

o n a v o n N e u m a n n a l g e b r a M

i s n o r m c o n t i n u o u s s o d e n e s a n e l e m e n t o fM ∗

. O u r g o a l i n t h i s c h a p t e r i s

t o s h o w t h a t t h e s e t o f a l l s u c h φ

i s a c l o s e d s u b s p a c e M ∗ o f

M ∗a n d t h a t

t h e d u a l i t y b e t w e e n M ∗ a n d

M m a k e s

M e q u a l t o t h e B a n a c h s p a c e d u a l o f

M ∗ . W e w i l l r s t e s t a b l i s h t h i s i n t h e s p e c i a l c a s e M = B(H)

.

8 . 1 T r a c e c l a s s a n d H i l b e r t S c h m i d t o p e r a t o r s .

T h e m a t e r i a l i n t h i s s e c t i o n i s s t a n d a r d s o w e w i l l o n l y p r o v e r e s u l t s a s i t

s u i t s u s , o t h e r w i s e r e f e r r i n g a n y u n p r o v e d a s s e r t i o n s t o R e e d a n d S i m o n .

L e m m a 8 . 1 . 1 I f

a ∈ B(H)i s p o s i t i v e a n d

(ξ i) a n d

(ηi) a r e t w o o r t h o n o r m a l

b a s e s o f H

, t h e n i

aξ i, ξ i =i

aηi, ηi

( w h e r e

∞i s a p o s s i b l e v a l u e f o r t h e s u m ) .

P r o o f . W e h a v e i

aξ i, ξ i =i

||√ aξ i||2

=i

( j

|√ aξ i, η j|2)

= j

(i

|√ aη j, ξ i|2)

= j

||√ aη j||2

4 5



= j

aη j, η j

w h e r e e v e r y n u m b e r i s p o s i t i v e s o t h e o r d e r o f t h e s u m i s i m m a t e r i a l .

T h e n u m b e r

iaξ i, ξ i o f t h e p r e v i o u s t h e o r e m i s c a l l e d t h e t r a c e o f

a,

w r i t t e n Trace(a)

.

D e n i t i o n 8 . 1 . 2 A n e l e m e n t

a ∈ B(H)i s s a i d t o b e o f t r a c e c l a s s i f

Trace(|a|) <∞

.

I fa

i s t r a c e c l a s s a n d (ξ i) i s a n o r t h o n o r m a l b a s i s , t h e s u m

i aξ i, ξ i

c o n v e r g e s a b s o l u t e l y a n d i s c a l l e d t h e t r a c e ,Trace(a)

, o fa

.

T h e o r e m 8 . 1 . 3 T h e t r a c e c l a s s o p e r a t o r s o n

H f o r m a s e l f - a d j o i n t i d e a l

o f c o m p a c t o p e r a t o r s ,I 1 , i n

B(H). T h e f u n c t i o n

|a|1 d e n e d b y |a|1 =

Trace(|a|)d e n e s a n o r m o n

I 1 f o r w h i c h i t i s c o m p l e t e . M o r e o v e r ||a|| ≤

|a|1 .

P r o o f . T h e o n l y t h i n g n o t p r o v e d i n R e e d a n d S i m o n i s c o m p l e t e n e s s . F o r

t h i s o b s e r v e t h a t i f

ani s a C a u c h y s e q u e n c e i n | − |1 , i t i s C a u c h y i n | |−|| s o

w h a t w e h a v e t o d o i s s h o w t h a t t h e n o r m l i m i t o f a | − |1 - C a u c h y s e q u e n c e

(an)i s t r a c e c l a s s a n d t h a t t h e s e q u e n c e t e n d s t o t h a t l i m i t i n

| − |1 . S o

s u p p o s e > 0

i s g i v e n . T h e n f o rm

a n d n

l a r g e e n o u g h

∞i=1

|an − am|ξ i, ξ i < .

S o f o r a n y N

,

N

i=1 |

an

−am

|ξ i, ξ i

< .

N o w i fbn t e n d s i n n o r m t o

b, t h e n

|bn| t e n d s i n n o r m t o |b|

( o b v i o u s l y

b∗nbn → b∗b, a n d a p p r o x i m a t e t h e s q u a r e r o o t f u n c t i o n b y p o l y n o m i a l s o n a n

i n t e r v a l ) s o f o r e a c h x e d i

,

limn→∞

|an − am|ξ i = |a − am|ξ i.

S o

N i=1|a − am|ξ i, ξ i <

a n d l e t t i n g N

t e n d t o ∞

w e s e e t h a ta ∈ I 1 s i n c e

I 1 i s a v e c t o r s p a c e , a n d a l s o t h a tan → a

i n | − |1 .

4 6



T h e t r a c e i s i n d e p e n d e n t o f t h e o r t h o n o r m a l b a s i s a n d i fa

i s t r a c e c l a s s

a n d b ∈ B(H) , T r(ab) = T r(ba).

W e s e e t h a t e a c h

h ∈ I 1 d e t e r m i n e s a l i n e a r f u n c t i o n a l

φh o n

B(H)b y

φh(x) = Trace(xh).

D e n i t i o n 8 . 1 . 4 T h e t r a c e - c l a s s m a t r i x a s a b o v e i s c a l l e d t h e d e n s i t y m a t r i x

f o r t h e s t a t e

φh .

P r o p o s i t i o n 8 . 1 . 5 E a c h

φh i s u l t r a w e a k l y c o n t i n u o u s a n d i t s n o r m a s a n

e l e m e n t o f B(H)∗

i s |h|1 .

P r o o f . S i n c e h

i s c o m p a c t , c h o o s e a n o r t h o n o r m a l b a s i s(ξ i) o f e i g e n v e c t o r s

o f|h|

w i t h e i g e n v a l u e sλi a n d l e t

h = u|h|b e t h e p o l a r d e c o m p o s i t i o n . T h e n

φh(x) =∞i=1

xu|h|ξ i, ξ i

s o u l t r a w e a k c o n t i n u i t y i s a p p a r e n t , a n d

φh(x) ≤∞i=1

||x| | | | |h|ξ i||

= ||x||∞i=1

λi

= ||x|| |h|1.

M o r e o v e r e v a l u a t i n g φh o n

u∗g i v e s

||φh|| = |h|1 .

I fH

a n d K

a r e H i l b e r t s p a c e s , a b o u n d e d o p e r a t o rx : H → K

i s c a l l e d

H i l b e r t - S c h m i d t i fx∗x

i s t r a c e c l a s s , i . e .

∞i=1 ||xξ i||2 < ∞

f o r s o m e ( h e n c e

a n y ) o r t h o n o r m a l b a s i s(ξ i) o f

H. T h e s e t o f a l l H i l b e r t - S c h m i d t o p e r a t o r s

f r o m

Ht o

Ki s w r i t t e n

2(H, K)a n d i f

xi s H i l b e r t - S c h m i d t , s o i s

x∗, a n d

xi s c o m p a c t .

T h e o r e m 8 . 1 . 6 I f

a ∈ B(H),

b ∈ B(K)a n d

x ∈ 2(H, K)t h e n

bxa ∈2(H, K)

. I f

x ∈ 2(H, K)a n d

y ∈ 2(K, H)t h e n

yxi s t r a c e c l a s s . W i t h t h e

i n n e r p r o d u c tx, y = Trace(y∗x)

,2(H, K)

i s a H i l b e r t s p a c e i n w h i c h t h e

n i t e r a n k o p e r a t o r s a r e d e n s e .

P r o o f . S e e R e e d a n d S i m o n .

E x e r c i s e 8 . 1 . 7 P r o v e a l l t h e a s s e r t i o n s m a d e a b o v e a b o u t t r a c e - c l a s s a n d

H i l b e r t - S c h m i d t o p e r a t o r s .

4 7



E x e r c i s e 8 . 1 . 8 I f

Ha n d

Ka r e H i l b e r t s p a c e s c o n s t r u c t a n a t u r a l m a p f r o m

K∗ ⊗ H t o 2(H, K) a n d s h o w t h a t i t i s u n i t a r y .

L e t|x|2 b e t h e H i l b e r t s p a c e n o r m o n H i l b e r t - S c h m i d t o p e r a t o r s .

L e m m a 8 . 1 . 9 I f

x ∈ 2(H, K)a n d

y ∈ 2(K, H)t h e n

Trace(xy) = Trace(yx).

P r o o f . F i r s t n o t e t h a t t h e r e s u l t i s t r u e i f w e s u p p o s e t h a t|x|

i s t r a c e c l a s s .

F o r t h e n l e tx = u|x|

b e t h e p o l a r d e c o m p o s i t i o n , c h o o s e a n o r t h o n o r m a l

b a s i s(ξ i) o f t h e n a l d o m a i n o f

ua n d e x t e n d i t t o a n o r t h o n o r m a l b a s i s o f

K. A l s o e x t e n d

(u∗ξ i) t o a n o r t h o n o r m a l b a s i s o fH

b y v e c t o r s i n ker(|x|)

.

T h e n

Trace(xy) =i

u|x|yξ i, ξ i

=i

|x|yuu∗ξ i, u∗ξ i

= Trace(|x|(yu))

= Trace((yu)|x|)= Trace(yx.)

N o w s u p p o s e o n l y t h a tx

i s H i l b e r t - S c h m i d t . L e t > 0

b e g i v e n a n d c h o o s e

x o f n i t e r a n k w i t h |x − x|2 < . T h e n

|Trace(xy) − Trace(yx)| = |Trace((x − x)y) − Trace(y(x − x))|

w h i c h b y C a u c h y - S c h w a r t z i s

≤ 2|y|2 .

C o r o l l a r y 8 . 1 . 1 0 I f

ωi s a n u l t r a w e a k l y c o n t i n u o u s l i n e a r f u n c t i o n a l o n

B(H), t h e r e i s a t r a c e c l a s s

hs o t h a t

ω = φh .

P r o o f . B y 6 . 1 . 2 t h e r e a r e

(ξ i) a n d

(ηi) i n 2(N, H)

s o t h a tω(x) =

ixξ i, ηi .

T h e n i f w e d e n e a

a n d b

f r o m 2(N)

t o

Hb y

a(f ) = i f (i)ξ i a n d b(f ) =

i f (i)ηi , a a n d b a r e H i l b e r t S c h m i d t a n d ω(x) = Trace(b∗xa) w h i c h i s

Trace(xab∗)b y t h e p r e v i o u s r e s u l t .

P u t t i n g e v e r y t h i n g t o g e t h e r s o f a r , w e h a v e i d e n t i e d t h e i m a g e o f t h e

B a n a c h s p a c e I 1 u n d e r t h e m a p

h → φh w i t h t h e c l o s e d s u b s p a c e o fB(H)∗

c o n s i s t i n g o f u l t r a w e a k l y c o n t i n u o u s l i n e a r f u n c t i o n a l s . T o c l o s e t h e l o o p w e

o n l y n e e d t o s h o w t h a t t h e B a n a c h s p a c e d u a l o f

I 1 i s

B(H).

T h e o r e m 8 . 1 . 1 1 I f

α : I 1 → C i s l i n e a r a n d b o u n d e d f o r | − |1 , t h e r e i s a n

x ∈ B(H)s o t h a t

α(a) = φa(x), a n d

||α|| = ||x||.

4 8



P r o o f . T h i s i s r a t h e r r o u t i n e . T w o v e c t o r sξ

a n d η

d e n e a n e l e m e n tx

o fI 1

b y x(v) = v, ξ η s o o n e m a y d e n e a s e s q u i l i n e a r f o r m o n H b y (ξ, η) = α(x) .

B o u n d e d n e s s o fx

f o l l o w s f r o m t h a t o fα

s o t h e r e i s a n a p p r o p r i a t e x ∈ B(H)

.

T o s h o w t h a t t h e n o r m o fx

a s a n e l e m e n t o f t h e d u a l o fI 1 i s a c t u a l l y

||x||,

s u p p o s e ||x|| = 1

a n d c h o o s e a u n i t v e c t o rξ

w i t h ||xξ ||

a l m o s t e q u a l t o 1

.

T h e n T r(hx)

i s a l m o s t1

i fh

i s t h e p a r t i a l i s o m e t r y w h i c h s e n d sv ∈ H

t o

v,xξ ξ||xξ|| .

E x e r c i s e 8 . 1 . 1 2 F i l l i n t h e m i s s i n g d e t a i l s i n t h e p r e v i o u s p r o o f .

N o w w e p a s s t o v o n N e u m a n n a l g e b r a s t h o u g h i n f a c t t h e s e r e s u l t s w o r k

f o r a n y u l t r a w e a k l y c l o s e d s u b s p a c e o fB(H)

.

T h e o r e m 8 . 1 . 1 3 I f

V i s a n u l t r a w e a k l y c l o s e d s u b s p a c e o f

B(H)t h e n

V =V ⊥⊥

i n t h e s e n s e t h a t i f φ(x) = 0

f o r e v e r y u l t r a w e a k l y c o n t i n u o u s φ

f o r

w h i c h φ(V ) = 0

t h e n x ∈ V

.

P r o o f . T h i s i s a s i m p l e a p p l i c a t i o n o f t h e H a h n - B a n a c h t h e o r e m i fx /∈

V c o n s t r u c t a n u l t r a w e a k l y c o n t i n u o u s f u n c t i o n a l w h i c h i s z e r o o n

V a n d

n o n - z e r o o n x

.

E x e r c i s e 8 . 1 . 1 4 E x h i b i t a n o n - z e r o t r a c e c l a s s o p e r a t o r o n

2(Γ)w h i c h i s

o r t h o g o n a l t o vN (Γ)

.

T h e o r e m 8 . 1 . 1 5 I f


B(H)t h e n i t

i s c a n o n i c a l l y t h e d u a l B a n a c h s p a c e o f V ∗ w h i c h i s d e n e d a s t h e s p a c e

o f u l t r a w e a k l y c o n t i n u o u s l i n e a r f u n c t i o n a l s o n V

. M o r e o v e r t h e u l t r a w e a k

t o p o l o g y o n V

i s t h e w e a k - * t o p o l o g y o n V

a s t h e d u a l o f V ∗ .

P r o o f . I f

Bi s a B a n a c h s p a c e w i t h d u a l

B

∗a n d

V i s a

w e a k - * c l o s e d s u b s p a c e o fB∗

t h e n V

i s t h e d u a l o fB/V ⊥

( s u r j e c t i v i t y

o f t h e n a t u r a l m a p f r o m V

t o t h e d u a l o fV /B⊥

i s a r e s u l t o f t h e p r e v i o u s

t h e o r e m ) , s o V

i s a d u a l s p a c e . S o w e j u s t h a v e t o i d e n t i f y t h e B a n a c h

s p a c e B/V ⊥

w i t h t h e s p a c e o f w e a k - * c o n t i n u o u s ( a s e l e m e n t s o fB∗∗

) l i n e a r

f u n c t i o n a l s o n V

. T h i s i s a s i m p l e e x e r c i s e . P u t t i n g B = I 1 w e a r e d o n e .

E x e r c i s e 8 . 1 . 1 6 I f


B(H), s h o w t h a t

V ∗ i s a s e p a r a b l e B a n a c h s p a c e i f H

i s a s e p a r a b l e H i l b e r t s p a c e .

4 9



8 . 2 N o r m a l m a p s

T h e r e i s s t i l l a v e r y u n s a t i s f a c t o r y f e a t u r e a b o u t t h e p r e v i o u s s e c t i o n i n t h a t

u l t r a w e a k c o n t i n u i t y a n d t h e p r e d u a l d e p e n d o n t h e H i l b e r t s p a c e r e p r e s e n -

t a t i o n o n w h i c h a v o n N e u m a n n a l g e b r a a c t s . I n t h i s s e c t i o n w e s h a l l s h o w

t h a t u l t r a w e a k c o n t i n u i t y i s a c t u a l l y e q u i v a l e n t t o a p r o p e r t y c a l l e d n o r m a l -

i t y w h i c h i s d e t e r m i n e d b y t h e p u r e l y a l g e b r a i c s t r u c t u r e o f a v o n N e u m a n n

a l g e b r a .

D e n i t i o n 8 . 2 . 1 A p o s i t i v e l i n e a r m a p

Φ : A → Bb e t w e e n v o n N e u m a n n

a l g e b r a s i s c a l l e d n o r m a l i f

Φ(α

aα) =α

Φ(aα)

f o r a n y i n c r e a s i n g n e t

(aα)o f s e l f - a d j o i n t o p e r a t o r s i n

A.

T h e o r e m 8 . 2 . 2 A p o s i t i v e l i n e a r f u n c t i o n a l o n a v o n N e u m a n n a l g e b r a i s

n o r m a l i i t i s u l t r a w e a k l y c o n t i n u o u s .

P r o o f . T h a t u l t r a w e a k i m p l i e s n o r m a l i s o b v i o u s . F o r t h e m o m e n t w e r e f e r

t o D i x m i e r f o r t h e o t h e r d i r e c t i o n a n d c o n t e n t o u r s e l v e s t o r e m a r k t h a t o u r

p r o o f o f t h e u n i q u e n e s s o f t h e t r a c e o n a I I 1 f a c t o r u s e d o n l y n o r m a l i t y ( a

s e l f - a d j o i n t o p e r a t o r i s a n o r m l i m i t o f l i n e a r c o m b i n a t i o n s o f i t s s p e c t r a l

p r o j e c t i o n s ) s o t h a t a n o r m a l t r a c e i s a t t a c h e d t o i t b y i t s a l g e b r a i c s t r u c t u r e

a l o n e .

O b s e r v e t h a t b y 6 . 1 . 2 a n y u l t r a w e a k l y c o n t i n u o u s l i n e a r f u n c t i o n a l i s a

l i n e a r c o m b i n a t i o n o f p o s i t i v e o n e s ( b y p o l a r i s a t i o n ) s o t h e p r e d u a l o f a v o n

N e u m a n n a l g e b r a i s d e n e d e n t i r e l y b y t h e a l g e b r a i c s t r u c t u r e . I n f a c t t h e

p r e d u a l i s u n i q u e u p t o i s o m e t r y .

T h e r e i s a n o t h e r i m p o r t a n t s t r u c t u r e t h e o r e m f o r w h o s e p r o o f w e w i l l

a l s o p r o v i s i o n a l l y s i m p l y r e f e r t o D i x m i e r :

T h e o r e m 8 . 2 . 3 A

Φb e a n o r m a l h o m o m o r p h i s m o f v o n N e u m a n n a l g e b r a s

i s t h e c o m p o s i t i o n o f a n a m p l i c a t i o n x → x ⊗ id

, a r e d u c t i o n t o a c l o s e d

i n v a r i a n t s u b s p a c e , a n d a u n i t a r y e q u i v a l e n c e .

P r o o f . D i x m i e r .

A u n i t a r y e q u i v a l e n c e i s a l s o c a l l e d a s p a t i a l i s o m o r p h i s m .

5 0



8 . 3 A t e c h n i c a l l e m m a .

L e t u s p r o v e a l e m m a w h i c h s h o w s w h a t t h e t e c h n i q u e s d e v e l o p e d s o f a r c a n

b e g o o d f o r . I t w i l l b e c r u c i a l i n o u r t r e a t m e n t o f T o m i t a - T a k e s a k i t h e o r y .

I t i s a R a d o n - N i k o d y m t y p e t h e o r e m i n s p i r e d b y o n e d u e t o S a k a i ( [ ] ) .

L e m m a 8 . 3 . 1 L e t

λ ∈ R+b e g i v e n a n d l e t

φb e a f a i t h f u l u l t r a w e a k l y c o n -

t i n u o u s s t a t e o n a v o n N e u m a n n a l g e b r a M

. L e tψ ∈ M ∗ b e s u c h t h a t

|ψ(y∗x)| ≤

φ(x∗x)

φ(y∗y). T h e n t h e r e i s a n

a ∈ M 1/2 ( e l e m e n t s o f n o r m

≤ 1/2) s o t h a t

ψ(x) = λφ(ax) + λ−1φ(xa).

P r o o f . F o ra ∈ M

l e tθa(x) = φ(λax + λ−1xa)

. T h e n t h e m a p α : M → M ∗ ,

α(a) = θa , i s c o n t i n u o u s f o r t h e t o p o l o g i e s o f d u a l i t y b e t w e e n M

a n d M ∗ .

B u t w e k n o w t h a t t h i s t o p o l o g y o n M

i s t h e u l t r a w e a k t o p o l o g y s o t h a t

α(M 1)i s a c o m p a c t c o n v e x s e t . B y c o n t r a d i c t i o n s u p p o s e t h a t

ψi s n o t i n

α(M ).

T h e n b y H a h n - B a n a c h t h e r e i s a n h ∈ M

w i t h (ψ(h)) > D

w h e r e

D = supa∈M 1/2 (θa(h)). B u t i f

h = u|h| = |h∗|ui s t h e p o l a r d e c o m p o s i t i o n

o fh

, w e h a v e

θu∗/2(h) = 1/2(λφ(|h|) + λ−1φ(|h∗|))

s o t h a t

2D ≥ λφ(|h|) + 1λ

φ(|h∗|) ≥ 2

φ(|h|)

φ(|h∗|).

B u t a l s o

D < |ψ(h)| = |ψ(u|h|1/2|h|1/2)| ≤ φ(|h|)

φ(u|h|u∗), a c o n t r a d i c -

t i o n .

5 1



5 2



C h a p t e r 9

S t a n d a r d f o r m o f a I I 1 f a c t o r a n d

I I ∞ f a c t o r s .

9 . 1 S t a n d a r d f o r m .

I n t h i s s e c t i o n M

w i l l b e a v o n N e u m a n n a l g e b r a w i t h a n u l t r a w e a k l y c o n -

t i n u o u s f a i t h f u l n o r m a l i z e d t r a c e tr

a n d L2(M,tr)

w i l l b e a b b r e v i a t e d t o

L2(M ).

I n s e c t i o n 7 . 2 w e l e a r n e d h o w t o c o n s t r u c t a v o n N e u m a n n a l g e b r a f r o m a

C ∗

- a l g e b r a a n d a p o s i t i v e l i n e a r f u n c t i o n a l o n i t . I f w e a p p l y t h i s c o n s t r u c t i o n

t o L∞(X, µ)

w i t h t r a c e g i v e n b y

f dµ

, t h e H i l b e r t s p a c e w o u l d b e L2(X,dµ)

.

F o r t h i s r e a s o n , i fM

i s a t y p e I I 1 f a c t o r w e w r i t e L2(M,tr)

f o r t h e G N S

H i l b e r t s p a c e o b t a i n e d f r o m t h e t r a c e . I n f a c t o n e c a n d e n e L p

s p a c e s

f o r1 ≤ p ≤ ∞

u s i n g t h e L p

n o r m ||x|| p = tr(|x|)1/p

. A n o n c o m m u t a t i v e

v e r s i o n o f t h e H o l d e r i n e q u a l i t y s h o w s t h a t| |− | | p i s a n o r m a n d

L p(M )i s

t h e c o m p l e t i o n . W e s e tL∞(M ) = M

a n d w e s h a l l s e e t h a tL1(M )

i s t h e

p r e d u a l

M ∗ .

L e t u s x o n t h e n o t a t i o n Ω

f o r t h e v e c t o r i n L2(M )

w h i c h i s t h e i d e n t i t y

o f

M .

P r o p o s i t i o n 9 . 1 . 1 I f M i s a t y p e I I 1 f a c t o r t h e | |− | |- u n i t b a l l o f M i s a

c o m p l e t e m e t r i c s p a c e f o r | |− | |2 a n d t h e t o p o l o g y d e n e d b y

| |− | |2 o n t h e

u n i t b a l l i s t h e s a m e a s t h e s t r o n g ( a n d u l t r a s t r o n g a n d * - s t r o n g ) t o p o l o g y .

P r o o f . I fxn i s C a u c h y i n

| |− | |2 t h e n f o r e a c h a ∈ M

,xna

i s a l s o s i n c e

||xa||2 ≤ ||a||||xn||2 . S o w e c a n d e n e

xo n t h e d e n s e s u b s p a c e

M Ωo f

L2(M )b y

x(aΩ) = limn→∞xanΩ. S i n c e

||x|| ≤ 1, w e h a v e

||xξ || ≤ ||ξ ||f o r

ξ ∈ M Ωs o

xe x t e n d s t o a b o u n d e d o p e r a t o r o n

L2(M )w h i c h i s o b v i o u s l y i n

M , a n d

xΩ = x = limn→∞ = limn→∞ xn i n | |−| |2 .

5 3



T h e s t r o n g t o p o l o g y i s o b v i o u s l y n o s t r o n g e r t h a n

| |−||2 s i n c e t h e s i n g l e

s e m i n o r m a → ||aΩ|| d e n e s t h e

| |−||2 t o p o l o g y . M o r e o v e r||xaΩ| |≤ | |x||2||a||

s h o w s t h a t| |−||2 c o n t r o l s

t h e s t r o n g t o p o l o g y o n t h e u n i t b a l l .

F i n a l l y n o t e t h a t i n t h e s t a t e m e n t o f t h e t h e o r e m i t d o e s n o t m a t t e r w h a t

r e p r e s e n t a t i o n o fM

i s u s e d t o d e n e t h e s t r o n g t o p o l o g y o n t h e u n i t b a l l a s

t h e u l t r a s t r o n g t o p o l o g y d o e s n o t c h a n g e u n d e r t h e m a n i p u l a t i o n s t h a t w e

u s e d t o g e t t h e G N S c o n s t r u c t i o n f r o m a I I 1 f a c t o r o n a n a r b i t r a r y H i l b e r t

s p a c e .

T h e a c t i o n o f

M o n

L2(M,tr)i s c a l l e d t h e s t a n d a r d f o r m o f

M . N o t e

t h a tvN (Γ)

o n 2(Γ)

i s a l r e a d y i n s t a n d a r d f o r m . ( W e s e e t h a t w e c o u l d h a v e

o b t a i n e d o u r r s t e x a m p l e o f a I I 1 f a c t o r b y a p p l y i n g t h e G N S c o n s t r u c t i o n

t o t h e g r o u p a l g e b r a CΓ

w i t h t h e t r a c e tr(γ cγ uγ = cid. )

W e n o w w a n t t o d e t e r m i n e t h e c o m m u t a n tM

w h e n M

i s i n s t a n d a r d

f o r m .

D e n i t i o n 9 . 1 . 2 L e t

J : L2(M ) → L2(M )b e t h e a n t i l i n e a r u n i t a r y i n v o l u -

t i o n w h i c h i s t h e e x t e n s i o n t o L2(M )

o f t h e m a p x → x∗

f r o m M

t o M

.

L e m m a 9 . 1 . 3 F o r

x, ai n

M , a n d

ξ, ηi n

L2(M )

( i )

Jξ , Jη

=

η, ξ

( i i )

JxJ (aξ Ω) = ax∗Ω

P r o o f .

( i ) I fξ = aΩ

a n d η = bΩ

,Jξ , Jη = tr(ba∗) = η, ξ

.

( i i )JxJ (aΩ) = J (xa∗Ω) = ax∗Ω

.

C o r o l l a r y 9 . 1 . 4 F o r

M o n

L2(M ),

JMJ ⊆ M .

P r o o f . L e f t a n d r i g h t m u l t i p l i c a t i o n c o m m u t e .

L e m m a 9 . 1 . 5 F o r

M o n

L2(M ), i f

x∈

M ,

JxΩ = x∗Ω.

P r o o f . T a k e a ∈ M

, t h e n

JxΩ, aΩ = Jaω,xΩ= a∗Ω, xΩ= Ω, xaΩ

= x∗Ω, aΩ.

5 4



T h e o r e m 9 . 1 . 6 F o r

M o n

L2(M ),

JMJ = M .

P r o o f . I f w e c a n s h o w t h a tx → xΩ, Ω

i s a t r a c e o n M

w e a r e d o n e s i n c e

b y t h e a b o v e r e s u l t sL2(M )

c a n b e c a n o n i c a l l y i d e n t i e d w i t h L2(M )

s o t h a t

t h e t w o J

m a p s c o i n c i d e . ( N o t e t h a tΩ

i s c y c l i c a n d s e p a r a t i n g f o rM

h e n c e

a l s o f o rM

. ) S o w e w o u l d h a v e JM J ⊆ M

.

B u t f o rx, y ∈ M

,

xyΩ, Ω = yΩ, x∗Ω= yΩ, JxΩ= xΩ, JyΩ

= xΩ, y∗

Ω= yxΩ, Ω.

W e s e e t h a t t h e c o m m u t a n t o f t h e l e f t r e g u l a r r e p r e s e n t a t i o n o fΓ

o n 2(Γ)

i s t h e v o n N e u m a n n a l g e b r a g e n e r a t e d b y t h e r i g h t r e g u l a r r e p r e s e n t a t i o n

s i n c e Juγ Jεγ = εγ γ −1 . A n d m o r e g e n e r a l l y t h e c o m m u t a n t o f t h e l e f t a c t i o n

o f

M o n

L2(M )i s t h e

∗ − algebrao f r i g h t m u l t i p l i c a t i o n o p e r a t o r s . I n

p a r t i c u l a r t h e c o m m u t a n t o f a t y p e I I 1 f a c t o rM

o n L2(M )

i s a l s o a t y p e

I I 1 f a c t o r . T h i s i s n o t t h e c a s e f o r

M o n a n a r b i t r a r y H i l b e r t s p a c e . F o r

i n s t a n c e w e c o u l d c o n s i d e r M ⊗1 o n L2

(M )⊗H f o r s o m e i n n i t e d i m e n s i o n a l

H. T h e n t h e c o m m u t a n t o f

M ⊗1w o u l d b e

JMJ ⊗B(H) i n n i t e m a t r i c e s

o v e rJMJ

.

D e n i t i o n 9 . 1 . 7 A I I ∞ f a c t o r i s a f a c t o r o n t h e f o r m

M ⊗B(H)w i t h

M a

t y p e I I 1 f a c t o r a n d

dim H = ∞.

P r o p o s i t i o n 9 . 1 . 8 L e t

M b e a n i n n i t e f a c t o r w i t h a p r o j e c t i o n

p ∈ M s o

t h a t pMp

i s a t y p e I I 1 f a c t o r . T h e n M

i s a I I ∞ f a c t o r .

P r o o f . C h o o s e a m a x i m a l f a m i l y

pα

o f m u t u a l l y o r t h o g o n a l p r o j e c t i o n s i n

M w i t h pα ∼= p ∀α . P u t q =α pα . I f 1 −

α pα w e r e ≥ p t h e n w e c o u l d

c o n t r a d i c t t h e m a x i m a l i t y o f t h e f a m i l y pα. S o w r i t e

1 = q +α pα w i t h

q ≤ p. S i n c e

M i s i n n i t e t h e s e t o f i n d i c e s

αi s i n n i t e s o w e m a y c h o o s e

a b i j e c t i o n w i t h i t s e l f m i n u s

α0 a n d w r i t e

q +α pα pα0 +

α=α0

pα =1

. W e c o n c l u d e t h a t

α pα i s e q u i v a l e n t t o

1s o w e m a y s u p p o s e i t e q u a l

t o

1. W e m a y t h e n c o n s t r u c t a s y s t e m o f m a t r i x u n i t s b y u s i n g p a r t i a l

i s o m e t r i e s i m p l e m e n t i n g t h e e q u i v a l e n c e s b e t w e e n t h e pα t o o b t a i n t h e r e s u l t

f r o m e x e r c i s e 5 . 3 . 3 .

5 5



N o t e t h a t w e u s e d i m p l i c i t l y i n t h e a b o v e p r o o f t h e f a c t t h a t t h e s u p r e -

m u m o f n i t e l y m a n y n i t e p r o j e c t i o n s i s n i t e . T h i s w i l l b e c o v e r e d i n a

s e r i e s o f e x e r c i s e s o n p r o j e c t i o n s .

I t c o u l d c o n c e i v a b l y h a p p e n t h a t , g i v e n a I I ∞ f a c t o rM

, t h e t y p e I I 1 f a c t o r

o f t h e f o r m pMp

d e p e n d s o n p

( o b v i o u s l y o n l y u p t o e q u i v a l e n c e ) . W e n o w

i n t r o d u c e t h e t r a c e o n a I I ∞ f a c t o r w h i c h w i l l m a k e t h i s i s s u e m o r e c l e a r .

I fM

i s a t y p e I I 1 f a c t o r , d e n e t h e m a p tr

f r o m

(M ⊗ B(H))+ ( t h e s e t

o f p o s i t i v e e l e m e n t s o fM ⊗ B(H)

) , t o [0, ∞]

b y

tr((xij)) =∞

i=1

tr(xii)

w h e r e w e h a v e c h o s e n a b a s i s o f t h e i n n i t e d i m e n s i o n a l H i l b e r t s p a c e H

t o

i d e n t i f y M ⊗ B(H)

w i t h c e r t a i n m a t r i c e s o v e rM

.

T h e o r e m 9 . 1 . 9 L e t

M b e a s a b o v e .

( i )tr(λx) = λtr(x)

f o r λ ≥ 0

.

( i i )tr(x + y) = tr(x) + tr(y)

.

( i i i ) I f

(aα)i s a n i n c r e a s i n g n e t o f p o s i t i v e o p e r a t o r s w i t h

α aα = a

t h e n

tr(

αaα) = limα tr(aα).

( i v )

tr(x∗x) = tr(xx∗)∀

x∈

M .

( v )tr(uxu∗) = tr(x)

f o r a n y u n i t a r y u ∈ M

a n d a n y x ≥ 0

i n M

.

( v i ) I f

pi s a p r o j e c t i o n i n

M t h e n

pi s n i t e i

tr( p) < ∞.

( v i i ) I f p

a n d q

a r e p r o j e c t i o n s w i t h p

n i t e t h e n p q

i tr( p) ≤ tr(q )

.

( v i i i ) pMp

i s a t y p e I I 1 f a c t o r f o r a n y n i t e p r o j e c t i o n p .

P r o o f . T h e r s t t w o a s s e r t i o n s a r e i m m e d i a t e . F o r ( i i i ) , n o t e t h a t t h e

d i a g o n a l e n t r i e s o f p o s i t i v e m a t r i c e s a r e o r d e r e d a s t h e m a t r i c e s , a n d a l l

n u m b e r s a r e p o s i t i v e i n t h e s u m s . ( i v ) I s o b v i o u s u s i n g m a t r i x m u l t i p l i c a t i o n .

( v ) f o l l o w s f r o m ( i v ) v i a uxu∗ = (u

√ x)(

√ xu∗).

F o r ( v i ) , i ftr( p) < ∞

b u tp

i s

i n n i t e , t h e r e i s a p r o p e r s u b p r o j e c t i o n o f

ph a v i n g t h e s a m e t r a c e a s

p. T h e

d i e r e n c e w o u l d b e a p r o j e c t i o n o f t r a c e z e r o w h i c h i s c l e a r l y i m p o s s i b l e .

I ftr( p) = ∞

t h e n i fq

i s a p r o j e c t i o n o f n i t e t r a c e ,q p

a n d i fq ≤ p

t h e n tr( p − q ) = ∞

s o o n e m a y c o n s t r u c t a n i n n i t e s e q u e n c e o f m u t u a l l y

o r t h o g o n a l e q u i v a l e n t p r o j e c t i o n s l e s s t h a n p

. U s i n g a b i j e c t i o n w i t h a p r o p e r

s u b s e q u e n c e , p

d o m i n a t e s

a n i n n i t e p r o j e c t i o n s o i s i n n i t e i t s e l f . ( v i i ) f o l l o w s e a s i l y a s i n t h e c a s e

o f a t y p e I I 1 f a c t o r . F o r ( v i i i ) s i m p l y o b s e r v e t h a ttr( p) < ∞

m e a n s t h a t

p q f o r s o m e

q w h o s e m a t r i x i s z e r o e x c e p t f o r n i t e l y m a n y

1' s o n t h e

d i a g o n a l . A n d o b v i o u s l y qM q

i s a t y p e I I 1 f a c t o r f o r s u c h a q

.

5 6



C o r o l l a r y 9 . 1 . 1 0 L e t

M b e a I I ∞ f a c t o r o n a s e p a r a b l e H i l b e r t s p a c e a n d

tr b e t h e t r a c e s u p p l i e d b y a d e c o m p o s i t i o n I I 1 ⊗ B(H) . T h e n tr d e n e s a n

i s o m o r p h i s m o f t h e t o t a l l y o r d e r e d s e t o f e q u i v a l e n c e c l a s s e s o f p r o j e c t i o n s i n

M t o t h e i n t e r v a l

[0, ∞].

P r o o f . G i v e n t h e p r e v i o u s t h e o r e m , w e o n l y h a v e t o p r o v e t h a t a n y i n n i t e

p r o j e c t i o n i s e q u i v a l e n t t o t h e i d e n t i t y . B u t i f p

i s i n n i t e c h o o s e u

w i t h

uu∗ = pa n d

u∗us t r i c t l y l e s s t h a n

p. T h e n

(u∗)nua r e a s t r i c t l y d e c r e a s i n g

s e q u e n c e o f e q u i v a l e n t p r o j e c t i o n s s o w e m a y w r i t e p

a s a n o r t h o g o n a l s u m

p = p∞+∞i=1 pi w i t h a l l t h e

pi e q u i v a l e n t f o ri ≥ 1

. N o w w r i t e t h e i d e n t i t y a s

a c o u n t a b l e o r t h o g o n a l s u m o f p r o j e c t i o n s a l l p1 ( u s i n g t h e d e c o m p o s i t i o n

I I

1 ⊗ B(H)i f n e c e s s a r y ) . W e s e e t h a t

1 ≤ p.

U n l i k e t h e I I 1 c a s e , o r f o r t h a t m a t t e r t h e B(H)

c a s e , t h e t r a c e c a n n o t b e

n o r m a l i s e d ( b y tr(1) = 1

i n t h e t y p e I I 1 f a c t o r c a s e o rtr(minimalprojection) =

1i n t h e

B(H)c a s e ) . T h i s a l l o w s f o r t h e p o s s i b i l i t y o f a n a u t o m o r p h i s m

αo f

M w i t h

tr(α(x)) = λtr(x)f o r

x ≥ 0a n d

λ > 0,

λ = 1.

E x e r c i s e 9 . 1 . 1 1 S h o w t h a t t h e t r a c e o n a I I ∞ f a c t o r i s u n i q u e w i t h p r o p e r -

t i e s ( i ) t o ( v i ) , u p t o a s c a l a r .

E x e r c i s e 9 . 1 . 1 2 I f

α : M

→N

i s a * - h o m o m o r p h i s m f r o m a t y p e I I 1 f a c t o r

o n t o a n o t h e r , t h e n α i s a n i s o m o r p h i s m , s t r o n g l y c o n t i n u o u s o n t h e u n i t b a l l .

5 7



5 8



C h a p t e r 1 0

T h e C o u p l i n g C o n s t a n t

W e w a n t t o c o m p a r e a c t i o n s o f a g i v e n I I 1 f a c t o r o n ( s e p a r a b l e ) H i l b e r t

s p a c e s . W e w i l l s h o w t h a t t h e y a r e p a r a m e t e r i z e d b y a s i n g l e n u m b e r i n

[0, ∞].

D e n i t i o n 1 0 . 0 . 1 3 I f

M i s a t y p e I I 1 f a c t o r , b y

M - m o d u l e w e w i l l m e a n a

H i l b e r t s p a c e

Ht o g e t h e r w i t h a n u l t r a w e a k l y c o n t i n u o u s u n i t a l * - h o m o m o r p h i s m

f r o m M

t o a t y p e I I 1 f a c t o r a c t i n g o n H

. T h u s M

a c t s o n H

a n d w e w i l l

w r i t e t h a t a c t i o n s i m p l y a s

xξ f o r

x ∈ M a n d

ξ i n

H.

I n f a c t t h e u l t r a w e a k c o n t i n u i t y c o n d i t i o n i s s u p e r u o u s . T h e i d e n t i t y

m a p m a k e s t h e H i l b e r t s p a c e o n w h i c h

M i s d e n e d i n t o a n

M - m o d u l e .

G i v e n M

o n H

a n d a n o t h e r H i l b e r t s p a c e K

,x → x ⊗ id

m a k e sH ⊗ K

i n t o

a n

M - m o d u l e . T h e G N S r e p r e s e n t a t i o n m a k e s

L2(M )i n t o a n

M - m o d u l e .

( T h e n o t i o n o fM −M

b i m o d u l e i s d e n e d s i m i l a r l y a s t w o c o m m u t i n g a c t i o n s

o fM

o n s o m e H i l b e r t s p a c e ,L2(M )

b e i n g t h e r s t e x a m p l e . ) T h e r e i s a n

o b v i o u s n o t i o n o f d i r e c t s u m o fM

- m o d u l e s . W e w i l l c o m p a r e a g i v e n M

-

m o d u l e H

w i t h L2(M )

b y f o r m i n g t h e d i r e c t s u m o f i tH

a n d i n n i t e l y m a n y

c o p i e s o fL2(M )

.

1 0 . 1 D e n i t i o n o f dimM HT h e o r e m 1 0 . 1 . 1

L e tM

b e a t y p e I I 1 f a c t o r a n d H

a s e p a r a b l e M

- m o d u l e .

T h e n t h e r e i s a n i s o m e t r y u : H → L2(M ) ⊗ 2(N)

s u c h t h a tux = (x ⊗ 1)u

( i . e .u

i s M

- l i n e a r ) .

P r o o f . F o r m t h e M

- m o d u l e K = L2(M ) ⊗ 2(N)

. L e tp = id ⊕ 0 ∈ B(K)

b e t h e p r o j e c t i o n o n t o H

a n d q = 0⊕id

b e t h e p r o j e c t i o n o n t o L2(M )⊗2(N)

.

B o t h p

a n d q

a r e i n M

( o n K

) w h i c h i s a I I ∞ f a c t o r s i n c e q

i s c l e a r l y i n n i t e i n

5 9



M a n d i f

ei s a r a n k o n e p r o j e c t i o n i n

B(2(N))

t h e n (0

⊕(1

⊗e))M (0

⊕(1

⊗e))

i s a t y p e I I 1 f a c t o r , b e i n g t h e c o m m u t a n t o f M o n L2(M ) .

S i n c e q

i s a n i n n i t e p r o j e c t i o n i n M

, b y 9 . 1 . 1 0 t h e r e i s a p a r t i a l i s o m e t r y

i n

M w i t h

u∗u = pa n d

uu∗ ≤ q . U s i n g t h e o b v i o u s m a t r i x n o t a t i o n f o r

o p e r a t o r s o n K

, l e tu

b e r e p r e s e n t e d b y a bc d

.

T h e n c a l c u l a t i n g u∗u = p

a n d uu∗ ≤ q

g i v e sb∗b+d∗d = 0

a n d aa∗+bb∗ = 0

s o t h a t

u =

0 0w 0

f o r s o m e i s o m e t r y w : H → L2(M ) ⊗ 2(N)

.

M o r e o v e r t h e f a c t t h a tu


i s e q u i v a l e n t t o wx = (x ⊗ 1)w

∀x ∈ M .

C o r o l l a r y 1 0 . 1 . 2 T h e c o m m u t a n t o f a t y p e I I 1 f a c t o r i s e i t h e r a t y p e I I 1

f a c t o r o r a t y p e I I ∞ f a c t o r .

P r o o f . W e l e a v e t h e p r o o f a s a n e x e r c i s e .

P r o p o s i t i o n 1 0 . 1 . 3 I f

u : H → L2(M ) ⊗ 2(N)i s a n

M - l i n e a r i s o m e t r y

t h e n uu∗ ∈ M

o n L2(M ) ⊗ 2(N)

a n d tr(uu∗)

i s i n d e p e n d e n t o f u

.

P r o o f . I fv

w e r e a n o t h e rM

- l i n e a r i s o m e t r y t h e n uu∗ = uv∗vu∗

s o b y 9 . 1 . 9

tr(uu∗) = tr((vu∗)(uv∗)) = tr(vv∗).

O b s e r v e t h a t i fM

w e r e r e p l a c e d b y C

i n t h e a b o v e c o n s t r u c t i o n t h e

n u m b e r

tr(uu∗)w o u l d b e t h e d i m e n s i o n o f

H.

D e n i t i o n 1 0 . 1 . 4 F o r a t y p e I I 1 f a c t o r ( o r t h e n × n m a t r i c e s ) a n d a n M

-

m o d u l e

H, t h e n u m b e r

tr(u∗u)d e n e d b y t h e t w o p r e v i o u s r e s u l t s i s c a l l e d

dimM H , o r t h e c o u p l i n g c o n s t a n t o r t h e M

- d i m e n s i o n o fH

.

S i m p l y b y r e d u c i n g b y p r o j e c t i o n s i n (M ⊗ 1)

o n e o b t a i n s H i l b e r t s p a c e s

w h o s e M

- d i m e n s i o n i s a n y n u m b e r i n [0, ∞]

.

T r i v i a l e x a m p l e s

( i )

dimM L2(M ) = 1

.

( i i )dimM (L2(M ) ⊗ 2(N)) = ∞

6 0



1 0 . 2 E l e m e n t a r y p r o p e r t i e s o f dimM

HT h e o r e m 1 0 . 2 . 1

W i t h n o t a t i o n a s a b o v e ,

( i )

dimM (H) < ∞i

M i s a t y p e I I 1 f a c t o r .

( i i )dimM H = dimM K i

M o n

Ha n d

M o n

Ka r e u n i t a r i l y e q u i v a l e n t ( =

s p a t i a l l y i s o m o r p h i c ) .

( i i i ) I f Hi a r e ( c o u n t a b l y m a n y )

M - m o d u l e s ,

dimM (⊕iHi) =i

dimM Hi.

( i v ) dimM (L2(M )q ) = tr(q ) f o r a n y p r o j e c t i o n q ∈ M .

( v ) I f p

i s a p r o j e c t i o n i n M

,dim pMp( pH) = trM ( p)−1 dimM (H)

.

F o r t h e n e x t t w o p r o p e r t i e s w e s u p p o s e M

i s n i t e , h e n c e a t y p e I I 1 f a c t o r

w i t h t r a c e trM .

( v i ) I f

pi s a p r o j e c t i o n i n

M ,

dimMp( pH) = trM ( p)dimM H .

( v i i )(dimM H)(dimM H) = 1

.

P r o o f . U s i n g a n M

- l i n e a r i s o m e t r y u

w e s e e t h a tM

o n H

i s u n i t a r i l y

e q u i v a l e n t t o M

o n uu∗L2(M ) ⊗ 2(N)

. T h i s m a k e s ( i ) a n d ( i i ) o b v i o u s .

T o s e e ( i i i ) , c h o o s e

M - l i n e a r i s o m e t r i e s

ui f r o m

Hi t o

L2(M )⊗

2(N)a n d

c o m p o s e t h e m w i t h i s o m e t r i e s s o t h a t t h e i r r a n g e s a r e a l l o r t h o g o n a l . A d d i n g

w e g e t a n

M - l i n e a r i s o m e t r y

uw i t h

uu∗ =

uiu∗i . T a k i n g t h e t r a c e w e a r e

d o n e .

F o r ( i v ) , c h o o s e a u n i t v e c t o rξ ∈ 2(N)

a n d d e n e u(v) = v ⊗ ξ

. T h e n

uu∗i s

JqJ ⊗ ew h e r e

ei s a r a n k o n e p r o j e c t i o n .

( v ) L e t u s r s t p r o v e t h e r e l a t i o n i n t h e c a s e H = L2(M )q

w h e r e q

i s a

p r o j e c t i o n i n M

w i t h q ≤ p

.

T h e n

pxpΩ → p(xΩ) pi s a u n i t a r y f r o m

L2( pMp)t o

pL2(M ) pw h i c h i n t e r -

t w i n e s t h e l e f t a n r i g h t a c t i o n s o f pMp

. H e n c e pMp

o n pL2(M )q

i s u n i t a r i l y

e q u i v a l e n t t o pMp o n L2

( pMp)q . S o b y ( i v ) , dim pMp( pH) = tr pMp(q ) =trM ( p)−1trM (q ) = trM ( p)−1 dimM H .

N o w i fH

i s a r b i t r a r y , i t i s o f t h e f o r m e(L2(M )⊗2(N))

f o re ∈ (M ⊗1)

/

B u te

i s t h e o r t h o g o n a l s u m o f p r o j e c t i o n s a l l e q u i v a l e n t t o o n e s a s i n ( i v )

w i t h q ≤ p

.

( v i ) W e m a y s u p p o s e

H = e(L2(M )⊗2(N))s o

M = e(JMJ ⊗B(2(N))ea n d

pd e n e s t h e i s o m e t r y i n t h e d e n i t i o n o f

dimM ( pH). B u t

pi s a p r o j e c -

t i o n l e s s t h a n e

i n a I I∞

f a c t o r s o b y u n i q u e n e s s o f t h e t r a c e ,dimM ( pH) =

tr(M ⊗1)( p) = tr(M ⊗1)( p)/tr(M ⊗1)(e)dimM (H) = trM ( p)dimM (H).

6 1



( v i i ) O b s e r v e t h a t , o n L2(M )

,dimM (

H)dimM (

H) = 1

s o b y ( v ) a n d

( v i ) t h e r e s u l t i s t r u e f o r M - m o d u l e s o f t h e f o r m L2(M ) p . A l s o i f o n e f o r m s

K = ⊕ki=1H t h e n dimM ⊗1(K) = k dim H

a n d dim(M ⊗1) K = k−1 dimM b y

( v ) . B u t a n y H

c a n b e o b t a i n e d f r o m L2(M )

a s⊕ki=1L2(M ) p

f o r s u i t a b l e k

a n d p

.

E x a m p l e 1 0 . 2 . 2 I f

Γ0 < Γa r e i c c g r o u p s ,

vN (Γ0)a c t s o n

2(Γ). A n d i f

γ ∈Γ

t h e u n i t a r y ρ(γ )

o f t h e r i g h t r e g u l a r r e p r e s e n t a t i o n g i v e s a vN (Γ0)

- l i n e a r

u n i t a r y b e t w e e n 2(Γ0)

a n d 2(Γ0γ −1)

. H e n c e b y t h e c o s e t d e c o m p o s i t i o n ,

dimvN (Γ0)(2(Γ)) = [Γ : Γ0].

T h i s i n s p i r e s t h e f o l l o w i n g d e n i t i o n : I f N ⊆ M a r e I I 1 f a c t o r s , t h e i n d e x

[M : N ]o f

N i n

M i s t h e r e a l n u m b e r

dimN L2(M )

.

E x e r c i s e 1 0 . 2 . 3 S h o w t h a t

[M : N ] = 1i m p l i e s

N = M .

E x a m p l e 1 0 . 2 . 4 ( D u e t o A t i y a h a n d S c h m i d t . )

D i s c r e t e s e r i e s r e p r e s e n t a t i o n s o f l o c a l l y c o m p a c t g r o u p s .

R e d u c t i o n b y a n i t e p r o j e c t i o n i n t h e c o m m u t a n t o f a t y p e I I 1 f a c t o r

o c c u r s i n t h e r e p r e s e n t a t i o n t h e o r y o f l o c a l l y c o m p a c t g r o u p s . I f a d i s c r e t e

s e r i e s r e p r e s e n t a t i o n i s r e s t r i c t e d t o a n i c c l a t t i c e i t g e n e r a t e s a t y p e I I 1 f a c t o r

. T h e c o u p l i n g c o n s t a n t i s g i v e n b y t h e r a t i o o f t h e f o r m a l d i m e n s i o n a n d

t h e c o v o l u m e o f t h e l a t t i c e .

W e i l l u s t r a t e i n t h e c a s e o fP SL(2,R)

w h i c h i s t h e g r o u p o f t r a n s f o r -

m a t i o n s o f t h e u p p e r h a l f p l a n e H = z ∈ C : Im(z ) > 0

,z → az + b

cz + d

d e n e d b y i n v e r t i b l e r e a l

2 × 2m a t r i c e s

a bc d

I t i s w e l l k n o w n t h a t t h e r e

i s a f u n d a m e n t a l d o m a i n D

f o r t h e a c t i o n o f t h e s u b g r o u p Γ = P SL(2,Z)

i l l u s t r a t e d b e l o w :

D O F I G U R E

T h e s e tD

a n d a l l i t s t r a n s l a t e s u n d e rP SL(2,Z)

c o v e r H a n d a r e d i s j o i n t

a p a r t f r o m b o u n d a r i e s w h i c h a r e o f L e b e s g u e m e a s u r e 0

. T h u s i fµ

i s a n

i n v a r i a n t m e a s u r e e q u i v a l e n t t o L e b e s g u e m e a s u r e ,L2(H, dµ)

g i v e s a u n i t a r y

r e p r e s e n t a t i o n o f

Γw h i c h i s u n i t a r i l y e q u i v a l e n t t o t h e l e f t r e g u l a r r e p r e -

s e n t a t i o n t e n s o r e d w i t h t h e i d e n t i t y o n L2(D,dµ)

, m a k i n g L2(H, dµ)

i n t o a

vN (Γ)- m o d u l e w h o s e

vN (Γ)d i m e n s i o n i s i n n i t e .

T h e m e a s u r e

dxdy

y2i s

Γ- i n v a r i a n t b u t w e w a n t t o v a r y t h i s p r o c e d u r e

s l i g h t l y . F o r e a c h n ∈ N c o n s i d e r

dxdy

y2−n. T h i s m e a s u r e i s n o t i n v a r i a n t b u t

6 2



w e c a n m a k e t h e a c t i o n o f

P SL(2,R)u n i t a r y o n

L2(H,dxdy

y2−n)

b y t h e f o r m u l a

a bc d

f (z ) =

1

(cz + d)nf (

az + b

cz + d)

( w i t h p e r h a p s a n i n v e r s e m a t r i x . . . e x e r c i s e a s u s u a l ) . T h i s c h a n g e s n o t h -

i n g a s f a r a s h o w t h e r e p r e s e n t a t i o n l o o k s t o P SL(2,Z)

s o w e o b t a i n ( u n i t a r i l y

e q u i v a l e n t )

vN (Γ)- m o d u l e s

Hn = L2(H,dxdy

y2−n)

f o r e a c h

n.

T h e c o m m u t a n t o fvN (Γ)

o n Hn i s a I I ∞ f a c t o r . B u t a s i s w e l l k n o w n ,

h o l o m o r p h i c f u n c t i o n s f o r m a c l o s e d s u b s p a c e o fL2

f u n c t i o n s w h i c h i s m a n i -

f e s t l y i n v a r i a n t u n d e r

P SL2(R

). T h e e n s u i n g u n i t a r y r e p r e s e n t a t i o n i s k n o w n

t o b e i r r e d u c i b l e a n d i n t h e d i s c r e t e s e r i e s o fP SL2(R)

. I t c a n b e s h o w n t o b e

a n i t e p r o j e c t i o n i n

Γ. T h u s w e h a v e a c o n c r e t e e x a m p l e o f a

vN (Γ)- m o d u l e

w i t h n i t e vN (Γ)

- d i m e n s i o n o r c o u p l i n g c o n s t a n t .

I n g e n e r a l , i fG

i s a l o c a l l y c o m p a c t g r o u p w i t h H a a r m e a s u r e dg

, t h e

d i s c r e t e s e r i e s r e p r e s e n t a t i o n s a r e p r e c i s e l y t h o s e i r r e d u c i b l e u n i t a r y r e p r e -

s e n t a t i o n sπ

t h a t a r e d i r e c t s u m m a n d s o f t h e l e f t r e g u l a r r e p r e s e n t a t i o n o n

L2(G,dg). S o i f

Γi s a d i s c r e t e s u b g r o u p w i t h a f u n d a m e n t a l d o m a i n

Ds o

t h a tG

i s c o v e r e d b y t h e γ (D)

w h i c h a r e d i s j o i n t u p t o m e a s u r e z e r o s e t s ,

w e m a y a p p l y t h e s a m e a n a l y s i s a s a b o v e t o o b t a i n a vN (Γ)

m o d u l e . T h e

o b v i o u s q u e s t i o n i s t o c a l c u l a t e i t s c o u p l i n g c o n s t a n t . T h i s t u r n s o u t t o b e

q u i t e s i m p l e b e c a u s e o f a k e y p r o p e r t y o f d i s c r e t e s e r i e s r e p r e s e n t a t i o n s .

S e e [ r e f r o b e r t ] f o r t h e p r o o f t h a t i fH

i s a H i l b e r t s p a c e a o r d i n g a d i s c r e t e

s e r i e s r e p r e s e n t a t i o n π

o fG

, t h e n t h e f u n c t i o n sg → πgξ, η

, t h e s o - c a l l e d

c o e c i e n t s o fπ

a r e i n L2(G,dg)

. W e m a y t h e n i m i t a t e t h e u s u a l p r o c e d u r e

f o r n i t e o r c o m p a c t g r o u p s e m b e d d i n g H

i n L2(G,dg)

. A n d t h e u s u a l S c h u r

o r t h o g o n a l i t y o f t h e c o e c i e n t s o f a r e p r e s e n t a t i o n y i e l d s a n u m b e rdπ s u c h

t h a t

dπ

G

πgξ, ηη, πgξ dg = ξ, ξ η, η.

I fG

i s c o m p a c t a n d H a a r m e a s u r e i s n o r m a l i z e d s o t h a tG

h a s m e a s u r e 1

,dπ

i s t h e d i m e n s i o n o f t h e v e c t o r s p a c e H . I n g e n e r a l dπ d e p e n d s o n t h e c h o i c e

o f H a a r m e a s u r e b u t o b v i o u s l y t h e p r o d u c t o fdπ w i t h t h e c o v o l u m e

D

dgd o e s n o t . T h e c o e c i e n t s g i v e a n e x p l i c i t e m b e d d i n g o f

Hi n

L2(G,dg)a n d

a s t r a i g h t f o r w a r d c a l c u l a t i o n o f t h e t r a c e o f t h e p r o j e c t i o n o n t o t h e i m a g e o f

Hi n

vN (Γ)y i e l d s i m m e d i a t e l y t h e f o r m u l a

dimvN (Γ)(H) = dπ covolume(Γ).

T h e d e t a i l e d c a l c u l a t i o n f r o m t h i s p o i n t o f v i e w c a n b e f o u n d i n [ 1 ] p p . 1 4 2 -

1 4 8 .

6 3



E x a m p l e 1 0 . 2 . 5 C o n s i d e r t h e s u b f a c t o r

N

⊆N

⊗M n(C)

( d i a g o n a l e m -

b e d d i n g ) . E a c h m a t r i x u n i t eij g i v e s a n N - l i n e a r i s o m e t r y o f L2(N ) o n t o

a s u b s p a c e o fL2(N ⊗ M n(C))

w h i c h i s a n o r t h o g o n a l d i r e c t s u m o f t h e s e

e q u i v a l e n t s u b s p a c e s . H e n c e [N ⊗ M n(C) : N ] = n2

.

P r o p o s i t i o n 1 0 . 2 . 6 I f

M i s a t y p e I I 1 f a c t o r o n

Ht h e n

( a )M

h a s a s e p a r a t i n g v e c t o r i f dimM (H) ≥ 1

.

( b )M

h a s a c y c l i c v e c t o r i f dimM (H) ≤ 1

.

P r o o f . B o t h a s s e r t i o n s f o l l o w i m m e d i a t e l y b y c o m p a r i n g H

t o L2(M ) p

o r a

d i r e c t s u m o f c o p i e s o f i t .

I n f a c t b o t h c o n d i t i o n s i n t h e l a s t p r o p o s i t i o n a r e i . F o r t h a t o n e n e e d s

t o c o n t r o l a r b i t r a r y v e c t o r s i n L2(M )

. I n f a c t t h e o r i g i n a l d e n i t i o n o f t h e

c o u p l i n g c o n s t a n t b y M u r r a y a n d v o n N e u m a n n w a s a s f o l l o w s . L e tM

o n H

b e a t y p e I I 1 f a c t o r w h o s e c o m m u t a n t i s a t y p e I I 1 f a c t o r . C h o o s e

a n y n o n z e r o v e c t o rξ ∈ H

a n d l e tp

a n d q

b e p r o j e c t i o n s o n t o t h e c l o s u r e s

o fM ξ

a n d M ξ

r e s p e c t i v e l y . T h e n p ∈ M

a n d q ∈ M

a n d u s i n g t h e

n o r m a l i s e d t r a c e s t h e c o u p l i n g c o n s t a n t w a s d e n e d a s t h e r a t i o

trM (q )

trM ( p),

t h e h a r d p a r t b e i n g t o s h o w t h a t t h i s r a t i o i s i n d e p e n d e n t o fξ

. A s s u m i n g

t h i s l a s t s t a t e m e n t i t i s t r i v i a l t o i d e n t i f y t h e M u r r a y - v o n N e u m a n n c o u p l i n g

c o n s t a n t w i t h o u r dimM (H) b u t a t t h i s s t a g e w e h a v e n o t h i n g t o o e r i n t h e

w a y o f a s i m p l i e d p r o o f o f w h y t h i s

n u m b e r d o e s n o t d e p e n d o n ξ

.

E x a m p l e 1 0 . 2 . 7 ( d u e t o M . R i e e l ) I f

(X, µ)i s a m e a s u r e s p a c e a n d

Γi s

a c o u n t a b l e g r o u p a c t i n g b y m e a s u r e p r e s e r v i n g t r a n s f o r m a t i o n s o n (X, µ)

s o t h a tΓ

a c t s b y u n i t a r i e suγ o n

L2(X, µ)i n t h e o b v i o u s w a y . W e s a y t h a t

a m e a s u r a b l e s u b s e tD ⊆ X

i s a f u n d a m e n t a l d o m a i n f o rΓ

i fX = ∪γ γ (D)

a n d µ(Dγ (D)) = 0

f o r a l lγ ∈ Γ

,γ = id

. ( O n e m a y c l e a r l y s u p p o s e t h e

γ (D)a r e d i s j o i n t b y r e m o v i n g a s e t o f m e a s u r e z e r o . ) I n t h i s s i t u a t i o n t h e

a b e l i a n v o n N e u m a n n a l g e b r a L∞

(X )Γ

o f Γ - i n v a r i a n t L∞

f u n c t i o n s m a y b e

i d e n t i e d w i t h t h e s p a c e L∞(D)

.

N o w s u p p o s e Γ

a n d Λ

a r e t w o g r o u p s a c t i n g o n X

a s a b o v e w i t h f u n d a -

m e n t a l d o m a i n s

Da n d

E r e s p e c t i v e l y . W e m a y c o n s i d e r t h e v o n N e u m a n n

a l g e b r a M Γ,Λ o n

L2(X, µ)d e n e d a s

uγ : γ ∈ Γ ∪ L∞(X )Λ.

6 4



C h a p t e r 1 1

T h e C r o s s e d P r o d u c t

c o n s t r u c t i o n .

P e r h a p s t h e m o s t u s e f u l w a y o f p r o d u c i n g v o n N e u m a n n a l g e b r a s f r o m o t h e r s

i s t h e c r o s s e d p r o d u c t . W e b e g i n b y d e n i n g a v e r y g e n e r a l n o t i o n a b o u t

w h i c h t h e r e i s n o t a l o t t o s a y , b u t t h e n e x a m i n e i t c a r e f u l l y i n s p e c i a l c a s e s .

1 1 . 1 G r o u p a c t i o n s .

L e t M b e a v o n N e u m a n n a l g e b r a a n d G a g r o u p . A n a c t i o n o f G o n M i s a h o m o m o r p h i s m

g → αg f r o m G

t o t h e a u t o m o r p h i s m g r o u p AutM

o f

M ( w h e r e a u t o m o r p h i s m s m a y b e a s s u m e d u l t r a w e a k l y c o n t i n u o u s i f n e c -

e s s a r y ) . T h e a l g e b r a o f x e d p o i n t s f o r t h e a c t i o n i s d e n o t e d M G

a n d i s a

v o n N e u m a n n a l g e b r a . A s p e c i a l c a s e o f s o m e i m p o r t a n c e i s w h e n t h e i s a

u n i t a r y g r o u p r e p r e s e n t a t i o n g → ug w i t h

ugMu∗g = M ∀g ∈ G. I n t h a t c a s e

s e t t i n g

αg(x) = ugxu∗g d e n e s a n a c t i o n o f

Go n

M ( a n d

M ) . W e s a y t h a t

t h e a c t i o n α

i s i m p l e m e n t e d b y t h e u n i t a r y r e p r e s e n t a t i o n ug . I f t h e

ug a r e

a c t u a l l y i n M

, w e s a y t h a t t h e a c t i o n i s i n n e r a s a n i n n e r a u t o m o r p h i s m o f

M i s b y d e n i t i o n o n e o f t h e f o r m A d

u(x) = uxu∗f o r

ua u n i t a r y i n

M . A n

a u t o m o r p h i s m i s c a l l e d o u t e r i f i t i s n o t i n n e r .

A c t i o n s a r e n o t a l w a y s i m p l e m e n t a b l e t h o u g h t h e n o t i o n d e p e n d s o n t h e

H i l b e r t s p a c e o n w h i c h M

a c t s .

E x e r c i s e 1 1 . 1 . 1 I f

(X, µ)i s a m e a s u r e s p a c e a n d

T i s a b i j e c t i o n o f

X w h i c h p r e s e r v e s t h e m e a s u r e c l a s s o f

µ( i . e .

µ(A) = 0 ⇔ µ(T −1(A)) = 0. )

s h o w h o w

T d e n e s a n a u t o m o r p h i s m

αT o f

L∞(X, µ). S h o w f u r t h e r t h a t

t h i s a u t o m o r p h i s m i s i m p l e m e n t e d b y a u n i t a r y u

o n L2(X, µ)

.

A b i j e c t i o n T

a s a b o v e i s c a l l e d e r g o d i c i fT (A) = A

f o r a m e a s u r a b l e

s u b s e tA ⊆ X

i m p l i e s e i t h e rµ(A) = 0

o rµ(X \ A) = 0

.

6 5



P r o p o s i t i o n 1 1 . 1 . 2 W i t h n o t a t i o n a s a b o v e

T i s e r g o d i c i t h e o n l y x e d

p o i n t s f o r αT a r e c o n s t a n t f u n c t i o n s .

P r o o f . (⇒

) L e tf ∈ L∞

a n d αT (f ) = f

. A f t e r t h r o w i n g a w a y a n u l l s e t w e

m a y a s s u m e t h a t

f (x) = f (T (x))f o r a l l

x ∈ X . T h e n f o r e v e r y

> 0, b y

t h e d e n i t i o n o f t h e e s s e n t i a l s u p r e m u m ,µ(x : ||f | |− |f (x)| < = 0

. B u t

t h i s s e t i s i n v a r i a n t u n d e rT

s o i t i s e q u a l t o X

u p t o a s e t o f m e a s u r e 0

.

L e t t i n g

t e n d t o 0

w e s e e t h a tµ(x : |f (x)| = ||f ||) = 0

. S o w e m a y a s s u m e

f (x) = eig(x)f o r s o m e m e a s u r a b l e

gt a k i n g v a l u e s i n

[0, 2π). R e p e a t i n g t h e

a r g u m e n t f o rg

g i v e sf

c o n s t a n t a l m o s t e v e r y w h e r e .

(⇐

) I fA

i s a m e a s u r a b l e i n v a r i a n t s e t t h e n i t s c h a r a c t e r i s t i c f u n c t i o n i s

x e d b y α

i n L∞

i A

i s i n v a r i a n t .

E x e r c i s e 1 1 . 1 . 3 L e t

σx =

0 11 0

,

σy =

0 −ii 0

a n d

σz =

1 00 −1

b e t h e P a u l i s p i n m a t r i c e s . S h o w t h a t A d

ux , A d uy a n d A d

uz d e n e a n

a c t i o n o f t h e g r o u p Z/2Z ⊕ Z/2Z

o n t h e t w o b y t w o m a t r i c e s w h i c h i s n o t

i m p l e m e n t a b l e f o r M 2(C)

o n C2

.

E x e r c i s e 1 1 . 1 . 4 S h o w t h a t a n y g r o u p a c t i o n i s i m p l e m e n t a b l e f o r a t y p e

I I 1 f a c t o r i n s t a n d a r d f o r m a n d m o r e g e n e r a l l y a n y a u t o m o r p h i s m g r o u p p r e -

s e r v i n g a f a i t h f u l n o r m a l s t a t e i s i m p l e m e n t a b l e i n t h e G N S r e p r e s e n t a t i o n .

E x e r c i s e 1 1 . 1 . 5 S h o w t h a t e v e r y a u t o m o r p h i s m o f

B(H)i s i n n e r .

E x e r c i s e 1 1 . 1 . 6 S h o w t h a t t h e a u t o m o r p h i s m o f

vN (F 2)c o m i n g f r o m t h e

g r o u p a u t o m o r p h i s m w h i c h e x c h a n g e s t h e 2 g e n e r a t o r s i s o u t e r .

I fG

i s a t o p o l o g i c a l g r o u p t h e r e a r e m a n y p o s s i b l e n o t i o n s o f c o n t i n u i t y .

T h e m o s t u s e f u l i s t h a t o f p o i n t w i s e * - s t r o n g c o n v e r g e n c e , i . e . w e a s s u m e t h a t

t h e m a p g → α(g)(x)

i s * - s t r o n g c o n t i n u o u s f o r a n y x ∈ M

. T y p i c a l l y m a n y

o t h e r n o t i o n s o f c o n t i n u i t y w i l l b e e q u i v a l e n t t o t h a t a n d e v e n a m e a s u r a b i l i t y

a s s u m p t i o n c a n b e e n o u g h t o e n s u r e t h i s c o n t i n u i t y .

W e w i l l a l w a y s a s s u m e p o i n t w i s e * - s t r o n g c o n t i n u i t y w h e n r e f e r r i n g t o a n

a c t i o n o f a t o p o l o g i c a l g r o u p .

E x e r c i s e 1 1 . 1 . 7 I s t h e a c t i o n b y t r a n s l a t i o n o f

Ro n

L∞(R)p o i n t w i s e n o r m

c o n t i n u o u s ? p o i n t w i s e s t r o n g l y c o n t i n u o u s ? p o i n t w i s e * - s t r o n g c o n t i n u o u s ?

A c t i o n s o f a g i v e n g r o u p o n v o n N e u m a n n a l g e b r a s a r e e a s y t o c o n s t r u c t

b u t a c t i o n s o f a g r o u p o n a g i v e n v o n N e u m a n n a l g e b r a m a y b e h a r d t o c o m e

b y .

6 6



D e n i t i o n 1 1 . 1 . 8 A n a c t i o n o f

Go n

M i s s a i d t o b e e r g o d i c i f

M G = Cid.

E x e r c i s e 1 1 . 1 . 9 S h o w t h a t i f

Ga c t s p r e s e r v i n g

µo n

(X, µ)t h e n t h e r e -

s u l t i n g a c t i o n o f G

o n L∞(X, µ)

i s e r g o d i c i t h e o n l y m e a s u r a b l e s u b s e t s

A ⊆ X w h i c h s a t i s f y

µ(g(A)∆A) = 0 ∀g ∈ Gs a t i s f y e i t h e r

µ(A) = 0o r

µ(X \ A) = 0.

( H e r e A∆B

m e a n sA \ B ∪ B \ A

. )

T h e f o l l o w i n g q u e s t i o n i s a n i n t r i g u i n g o p e n p r o b l e m :

D o e sSU (3)

h a v e a n y e r g o d i c a c t i o n o n a t y p e I I 1 f a c t o r ?

I t i s s h o w n i n [ ] t h a t

SU (2)h a s n o s u c h a c t i o n a n d i t i s s h o w n i n [ ] t h a t

i f a c o m p a c t g r o u p a c t s e r g o d i c a l l y o n a v o n N e u m a n n a l g e b r a t h e n t h a t v o n

N e u m a n n a l g e b r a h a s a f a i t h f u l n o r m a l t r a c e .

1 1 . 2 T h e c r o s s e d p r o d u c t

I fα

i s a n a c t i o n o f t h e l o c a l l y c o m p a c t g r o u p G

w i t h H a a r m e a s u r e dg

o n t h e

v o n N e u m a n n a l g e b r a M

o n t h e H i l b e r t s p a c e H

. F o r m t h e H i l b e r t s p a c e

K = L2(G, H) = L2(X ) ⊗ Ha n d l e t

Ga c t o n

Kb y

ug = λg ⊗ 1,

λb e i n g t h e

l e f t r e g u l a r r e p r e s e n t a t i o n . F u r t h e r , l e tM

a c t o n K

b y

(xf )(g) = αg−1(f (g))

.


x → xi s a n u l t r a w e a k l y c o n t i n u o u s * - i s o m o r p h i s m

o f M

o n t o a v o n N e u m a n n s u b a l g e b r a o f B(K)

.


ugxu∗g =αg(x).

N o t e t h a t t h i s g i v e s a n o t h e r w a y o f m a k i n g a g r o u p a c t i o n i m p l e m e n t a b l e ,

a t l e a s t w h e n i t i s l o c a l l y c o m p a c t .

D e n i t i o n 1 1 . 2 . 3 I f

M ,

H,

Ga n d

αa r e a s a b o v e , t h e c r o s s e d p r o d u c t

M αGi s t h e v o n N e u m a n n a l g e b r a o n

Kg e n e r a t e d b y

ug : g ∈ Ga n d

x : x ∈ M .

> F r o m n o w o n w e w i l l d r o p t h e ˜

a n d i d e n t i f y M

w i t h M

. N o t e

t h a t n i t e l i n e a r c o m b i n a t i o n s

g xgug f o r m a d e n s e * - s u b a l g e b r a o f

M αG.

M o r e o v e r t h e ug a r e l i n e a r l y i n d e p e n d e n t o v e r

M i n t h e s e n s e t h a t

g xgug =

0 ⇒ xg = 0f o r e a c h

gi n t h e s u m . T h i s d e n s e s u b a l g e b r a c o u l d b e c a l l e d t h e

a l g e b r a i c c r o s s e d p r o d u c t .

6 7



T h e r e i s a w e l l - d e v e l o p e d t h e o r y o fM αG

w h e n G

i s c o m p a c t o r a b e l i a n ,

b u t w e s h a l l b e m o s t l y i n t e r e s t e d i n t h e c a s e w h e r e G i s d i s c r e t e a s t h e n w e

m a y r e p l a y t h e m a t r i x e l e m e n t g a m e t h a t w e p l a y e d f o rvN (Γ)

t o g a i n c o n t r o l

o f w e a k l i m i t s o f e l e m e n t s i n t h e a l g e b r a i c c r o s s e d p r o d u c t . ( I n f a c t o f c o u r s e

vN (Γ)i s t h e s p e c i a l c a s e o f t h e c r o s s e d p r o d u c t w h e n

M = Ca n d t h e a c t i o n

i s t r i v i a l . ) I n d e e d w e s e e

i m m e d i a t e l y a s i n 3 . 1 . 1 0 t h a t i fG

i s d i s c r e t e , a n y e l e m e n t o fM αG

d e n e s a f u n c t i o n g → xg s o t h a t t h e s u m

g xgug s t a n d s f o r a c e r t a i n

m a t r i x o f o p e r a t o r s o n

K = H ⊗ 2(G). M o r e o v e r a n y m a t r i x o f t h i s f o r m

w h i c h d e n e s a b o u n d e d o p e r a t o r o n K

i s i n

M αG. T h i s i s b e c a u s e t h e s u m c o n v e r g e s p o i n t w i s e a t l e a s t o n t h e

d e n s e s e t o f f u n c t i o n s o f n i t e s u p p o r t f r o m G t o H . I n t h e c a s e w h e r e t h e

c r o s s e d p r o d u c t i s a I I 1 f a c t o r w e k n o w t h a t t h e c o m m u t a n t c o n s i s t s o f r i g h t

m u l t i p l i c a t i o n b y e l e m e n t s o fM αG

s o a w e a l y d e n s e s u b a l g e r a o f(M αG)

p r e s e r v e s t h i s d e n s e s u b s p a c e o f v e c t o r s a n d o n t h a t s u b s p a c e

g xgug a n d

r i g h t m u l t i p l i c a t i o n b y ug a n d

x ∈ M c o m m u t e . W e w i l l r e t u r n t o t h e g e n e r a l

c a s e l a t e r o n .

M o r e o v e r t h e f o r m u l a e

(

xgug)∗ =

αg(xg−1)ug

a n d

(

xgug)(

ygug) =g h xhαh(yh

−1

g)ug

a r e j u s t i e d b y m a t r i x m u l t i p l i c a t i o n .

W e s h a l l n o w p r o v i d e s o m e s u c i e n t c o n d i t i o n s f o r

M αGt o b e a f a c t o r

a l w a y s a s s u m i n g G

i s d i s c r e t e .

D e n i t i o n 1 1 . 2 . 4 A n a c t i o n

αo f

Go n

M i s c a l l e d o u t e r i f t h e o n l y

gi n

G f o r w h i c h

αg i s i n n e r i s t h e i d e n t i t y .

P r o p o s i t i o n 1 1 . 2 . 5 I f

Gi s a d i s c r e t e g r o u p a n d

αi s a n o u t e r a c t i o n o f

Go n t h e f a c t o r

M t h e n

M αGi s a f a c t o r .

P r o o f . I f x =

xgug ∈ Z (M ) t h e n e q u a t i n g c o e c i e n t s i n t h e e x p r e s s i o n

t h a tx


g i v e s u syxg = xgαg(y) ∀y ∈ M

,g ∈ G

. B y t h e

n e x t l e m m a t h i s i m p l i e sxg = 0

f o r a n y g = 1

. T h u sx ∈ M

a n d s i n c e M

i s

a f a c t o r w e a r e d o n e .

L e m m a 1 1 . 2 . 6 L e t

α ∈ AutM f o r a f a c t o r

M . S u p p o s e t h e r e i s a n

x ∈ M ,

x = 0, w i t h

yx = xα(y) ∀ y ∈ M.

T h e n α

i s i n n e r .

6 8



P r o o f . I fx

w e r e u n i t a r y t h i s w o u l d b e o b v i o u s . S o t a k e t h e a d j o i n t o f t h e

r e l a t i o n t o o b t a i n x∗y = α(y)x∗ ∀y ∈ M . T h u s yxx∗ = xα(y)x∗ = xx∗ya n d

xx∗ ∈ Z (M ). S i m i l a r l y

x∗x ∈ Z (M ). B u t

xx∗a n d

x∗xa l w a y s h a v e

t h e s a m e s p e c t r u m s o s i n c e M

i s a f a c t o r b o t h xx∗

a n d x∗x

a r e e q u a l t o t h e

s a m e p o s i t i v e n u m b e rλ

. D i v i d i n g b y

√ λ

c o n v e r t sx

i n t o a u n i t a r y a n d w e

a r e d o n e .

T h e s e t w o r e s u l t s p r o m p t t h e f o l l o w i n g d e n i t i o n .

D e n i t i o n 1 1 . 2 . 7 A n a u t o m o r p h i s m

αo f a v o n N e u m a n n a l g e b r a

M i s

c a l l e d f r e e i f

yx = xα(y) ∀ y ∈ M ⇒ x = 0.

A n a c t i o n α i s c a l l e d f r e e i f αg i s f r e e f o r e v e r y g = id.

T h e a r g u m e n t o f p r o p o s i t i o n 1 1 . 2 . 5 s h o w s i n f a c t t h a t i f

αi s a f r e e a c t i o n

o n a v o n N e u m a n n a l g e b r a M

t h e n Z (M αG) ⊆ M

, i n f a c t t h a tM ∩

M αG ⊆ M .

T h e o r e m 1 1 . 2 . 8 I f

αi s a f r e e e r g o d i c a c t i o n o f

Go n a v o n N e u m a n n a l -

g e b r a

M , t h e n

M αGi s a f a c t o r .

P r o o f . T h i s f o l l o w s i m m e d i a t e l y f r o m t h e p r e c e d i n g r e m a r k .

T o u n d e r s t a n d t h e m e a n i n g o f f r e e n e s s f o r a u t o m o r p h i s m s o f t h e f o r m

αT w e n e e d t o m a k e a h y p o t h e s i s o n (X, µ) a s o t h e r w i s e o n e c o u l d e n v i s a g e

a

T w h i c h i s n o n - t r i v i a l o n

X b u t f o r w h i c h

αT i s t h e i d e n t i t y . S o w e w i l l

s u p p o s e f r o m n o w o n t h a t(X, µ)

i s c o u n t a b l y s e p a r a t e d . T h i s m e a n s t h e r e

i s a s e q u e n c e

Bn o f m e a s u r a b l e s e t s w i t h

µ(Bn) > 0f o r w h i c h , i f

x = y, t h e r e

i s a n n

w i t h x ∈ Bn b u t

y /∈ Bn . O b v i o u s l y Rn

i s c o u n t a b l y s e p a r a t e d .


αT = idm e a n s t h a t

T x = xa l m o s t e v e r y w h e r e .

H i n t - l o o k a t t h e p r o o f o f t h e n e x t r e s u l t .

P r o p o s i t i o n 1 1 . 2 . 1 0 I f

T i s a t r a n s f o r m a t i o n o f

(X, µ)t h e n

αT i s f r e e i

µ(x : T (x) = x) = 0 .

P r o o f . (⇒

) I fA

i s a n y m e a s u r a b l e s e t o n w h i c h T = id

t h e n χAf = αT (f )χA

f o r a l l

f ∈ L∞.

(⇐

) F i r s t t h r o w a w a y a n y x e d p o i n t s o fT

. T h e n s u p p o s e f 1αT (f 2) =

f 2f 1 ∀ f 2 ∈ L∞. L e t

Ab e t h e s u p p o r t o f

f 1 . T h e n s i n c e

T h a s n o x e d

p o i n t s ,A = ∪n(A ∩ Bn \ T −1(Bn))

.

I ff 1 w e r e n o n - z e r o i n

L∞, w e c o u l d t h u s c h o o s e a n

nf o r w h i c h

µ(A∩Bn\T −1(Bn)) > 0

. S e tf 2 = χBn . T h e n f o r a n y

x ∈ A ∩ Bn \ T −1(Bn)w e h a v e

6 9



f 1(x)f 2(x)

= 0

b u tf 1(x)f 2(T x) = f 1(x)χBn(T x) = 0

s i n c e x /

∈T −1(Bn)

.

T h u s f 1αT (f 2) = f 2f 1 i n L∞ . S o t h e m e a s u r e o f A m u s t b e z e r o . W e c o n c l u d e t h a t i f

Γi s a c o u n t a b l e g r o u p a c t i n g f r e e l y a n d e r g o d i c a l l y

o n a m e a s u r e s p a c e (X, µ)

, p r e s e r v i n g t h e c l a s s o fµ

, t h e n t h e c r o s s e d p r o d u c t

L∞(X, µ)Γi s a f a c t o r .

N o t e t h a t i fΓ

i s a b e l i a n , e r g o d i c i m p l i e s f r e e .

E x e r c i s e 1 1 . 2 . 1 1 S h o w t h a t f r e e n e s s o f t h e a c t i o n a c t u a l l y p r o v e s t h a t

L∞(X, µ)i s m a x i m a l a b e l i a n i n t h e c r o s s e d p r o d u c t .

T h e c r o s s e d p r o d u c t

M Γw h e n

M i s a b e l i a n a n d

Γi s d i s c r e t e i s c a l l e d

t h e g r o u p m e a s u r e s p a c e c o n s t r u c t i o n . H e r e a r e s e v e r a l e x a m p l e s .

E x a m p l e 1 1 . 2 . 1 2 X = Z,Γ = Z a c t i n g b y t r a n s l a t i o n ,

µ =c o u n t i n g

m e a s u r e .

T h e a c t i o n i s f r e e a n d e r g o d i c a n d L∞(X, µ)Γ = B(2(Z))

.

E x a m p l e 1 1 . 2 . 1 3 T h e i r r a t i o n a l r o t a t i o n a l g e b r a - v o n N e u m a n n a l g e b r a v e r -

s i o n .

(X, µ) = (T1, dθ),

Γ = Zg e n e r a t e d b y t h e t r a n s f o r m a t i o n

T w h e r e

T (z ) =eiαz

a n d

α/2πi s i r r a t i o n a l .

E x e r c i s e 1 1 . 2 . 1 4 U s e F o u r i e r s e r i e s t o s h o w t h a t t h i s

T i s e r g o d i c .

E x a m p l e 1 1 . 2 . 1 5 L e t

H b e a n i t e a b e l i a n g r o u p a n d

Γ =n∈N H

b e

t h e c o u n t a b l e g r o u p o f s e q u e n c e s(hn)

w i t h hn e v e n t u a l l y t h e i d e n t i t y . P u t

X = G =n∈N H

( t h e s e t o f a l l s e q u e n c e s ) w i t h t h e p r o d u c t t o p o l o g y .

T h e n G

i s a c o m p a c t g r o u p s o h a s a H a a r m e a s u r e µ

.

Γa c t s o n

X b y l e f t

t r a n s l a t i o n . T h e a c t i o n i s c l e a r l y f r e e a n d e r g o d i c a s w e s h a l l n o w a r g u e .

T h e r e i s a p a r t i c u l a r l y v o n N e u m a n n a l g e b r a i c w a y t o v i e w t h i s e x a m p l e

w i t h o u t e v e n c o n s t r u c t i n g t h e s p a c e (X, µ)

!

L e t

A = L∞(H ) = CH b e t h e g r o u p a l g e b r a o f t h e d u a l g r o u p

H , w i t h i t s

u s u a l t r a c e . A s i n s e c t i o n 7 . 2 , f o r m t h e a l g e b r a i c t e n s o r p r o d u c t⊗alg,n∈NA

w i t h p r o d u c t t r a c e

tr. T h e n p e r f o r m t h e G N S c o n s t r u c t i o n w i t h r e s p e c t t o

trt o o b t a i n a n a b e l i a n v o n N e u m a n n a l g e b r a . I t m a y b e i d e n t i e d w i t h

L∞(G, µ)s o t h e H i l b e r t s p a c e

Ho f t h e G N S c o n s t r u c t i o n i s

L2(X, µ). B u t i t

i s c l e a r t h a t a n o r t h o r n o r m a l b a s i s o fH

i s g i v e n b y n i t e s e q u e n c e s(χn)

o f

e l e m e n t s o fH

w h i c h d e n e e l e m e n t sχ1⊗χ2⊗· · ·⊗1⊗1⊗1 · · ·

i n ⊗alg,n∈NA

.

T h e p o i n t i s t h a t t h e s e b a s i s v e c t o r s a r e e i g e n v e c t o r s f o r t h e a c t i o n o f

Γo n

L2(X, µ):

(hn)(χ1 ⊗ χ2 ⊗ · · · ⊗ 1 · · ·) = (n

χn(hn)) χ1 ⊗ χ2 ⊗ · · · ⊗ 1 · · · .

7 0



E r g o d i c i t y f o l l o w s e a s i l y s i n c e t h e o n l y b a s i s e l e m e n t w h i c h i s x e d b y a l l t h e

(hn) i s t h e o n e w i t h a l l χn e q u a l t o 1 .

E x e r c i s e 1 1 . 2 . 1 6 S h o w t h a t i f

H = Z/2Zi n t h i s e x a m p l e t h e n t h e s u b a l -

g e b r a o f t h e c r o s s e d p r o d u c t g e n e r a t e d b y ⊗alg,n∈NA

a n d Γ

i s t h e a l g e b r a i c

i n n i t e t e n s o r p r o d u c t o f

M 2(C).

B o t h o f t h e l a s t t w o e x a m p l e s a r e s p e c i a l c a s e s o f a m o r e g e n e r a l o n e :

X i s a c o m p a c t g r o u p w i t h i t s H a a r m e a s u r e a n d

Γi s a c o u n t a b l e d e n s e

s u b g r o u p a c t i n g ( f r e e l y ) b y l e f t t r a n s l a t i o n . T h e P e t e r W e y l t h e o r e m s h o w s

t h a t t h i s a c t i o n i s e r g o d i c .

E x a m p l e 1 1 . 2 . 1 7 B e r n o u l l i S h i f t .

I fΓ

i s a n y i n n i t e g r o u p a n d A = CZ/2Z

w e m a y f o r m t h e t e n s o r p r o d u c t

i n d e x e d b y Γ

o f a c o p y o fA

f o r e a c h γ ∈ Γ

. T h e v o n N e u m a n n a l g e b r a t h u s

o b t a i n e d i s o n c e a g a i n t h e L∞

s p a c e o f t h e i n n i t e p r o d u c t m e a s u r e s p a c e ,

t h i s t i m e w i t h t h e s e t i n d e x i n g t h e p r o d u c t b e i n g Γ

. A s i n t h e p r e v i o u s

e x a m p l e w e c a n o b t a i n a b a s i s o f

L2i n d e x e d b y f u n c i o n s f r o m

Γt o t h e s e t

0, 1w h i c h a r e a l m o s t a l w a y s

0. T h e s e f u n c t i o n s a r e t h e s a m e a s n i t e

s u b s e t s o f

Γa n d t h e a c t i o n o f

Γo n t h e H i l b e r t s p a c e i s b y p e r m u t i n g t h e

b a s i s i n t h e o b v i o u s w a y . E r g o d i c i t y f o l l o w s f r o m t h e f a c t t h a t t h e o r b i t o f

a n y n o n - e m p t y s u b s e t i s i n n i t e .

O n e c o u l d a l s o c h o s e a n o t h e r t r a c e t h a n t h e u s u a l o n e a n d m o d i f y t h e

o r t h o n o r m a l b a s i s o fA

a c c o r d i n g l y . T h e m e a s u r e s a r e t h e o b v i o u s o n e s u n l e s s

s p e c i e d .

W e g i v e a f e w m o r e e x a m p l e s o f f r e e e r g o d i c a c t i o n s w i t h o u t s u p p l y i n g

p r o o f s o f e r g o d i c i t y .

E x a m p l e 1 1 . 2 . 1 8 SL(2,Z)a c t s o n T2 = R2/Z2 v i a t h e l i n e a r a c t i o n o n R2

.

E x a m p l e 1 1 . 2 . 1 9 P SL(2,Z)a c t s o n

R∪∞b y l i n e a r f r a c t i o n a l t r a n s f o r -

m a t i o n s .

E x a m p l e 1 1 . 2 . 2 0 SL(2,Z)

a c t s o n R2

b y l i n e a r t r a n s f o r m a t i o n s .

E x a m p l e 1 1 . 2 . 2 1 Qa c t s o n

Rb y t r a n s l a t i o n .

T h e r e a r e t w o f a i r l y e a s y w a y s t o s e e t h a t t h i s a c t i o n i s e r g o d i c . T h e r s t

i s t o r e d u c e i t t o a d e n s e s u b g r o u p o f a c o m p a c t g r o u p b y o b s e r v i n g t h a t a n

L∞f u n c t i o n o n

Rw h i c h i s i n v a r i a n t u n d e r t r a n s l a t i o n b y

Zd e n e s a n

L∞

f u n c t i o n o n t h e q u o t i e n tT

. T h e n u s e F o u r i e r s e r i e s .

T h e s e c o n d w a y i s a d i r e c t a t t a c k w h i c h s h o u l d g e n e r a l i s e t o s h o w t h a tb u l l s h i t

7 1



t r a n s l a t i o n b y a n y c o u n t a b l e d e n s e s u b g r o u p o f a l o c a l l y c o m p a c t g r o u p i s

e r g o d i c . I f f ∈ L∞(R) i s i n v a r i a n t u n d e r Q, s e t t h i n g s u p s o t h a t t h e r e a r e

s e t sA

a n d B

b o t h o f n o n z e r o m e a s u r e , s o t h a tg(A) ∩ g(B) = ∅

. C o v e rA

a n d B

w i t h i n t e r v a l s o f t h e s a m e w i d t h w i t h r a t i o n a l e n d p o i n t s . S o m e o f

t h e s e m u s t i n t e r s e c tA

a n d B

i n n o n - n u l s e t s . B u t a l l t h e s e i n t e r v a l s a r e a l l

t r a n s l a t e s o f e a c h o t h e r s o g

c a n n o t b e i n v a r i a n t u p t o s e t s o f m e a s u r e z e r o .

E x a m p l e 1 1 . 2 . 2 2 T h e a x + b " g r o u p

QQ∗a c t s o n

R

E x a m p l e 1 1 . 2 . 2 3 S a m e a s e x a m p l e 1 1 . 2 . 1 3 w i t h

H = Z/2Zb u t u s i n g a

n o r m a l i s e d t r a c e o n CH

w h i c h i s d i e r e n t f r o m t h e u s u a l o n e . S u c h a t r a c e

i s s p e c i e d b y i t s v a l u e s o n t h e m i n i m a l p r o j e c t i o n s o fC

H w h i c h w e c o u l d c a l l

pa n d

1 − pf o r

0 < p < 1. T h e p r o d u c t m e a s u r e i s n o t a b s o l u t e l y c o n t i n o u s

w i t h r e s p e c t t o H a a r m e a s u r e , a n d i t i s n o t p r e s e r v e d b y g r o u p t r a n s l a t i o n

s o t h i s e x a m p l e i s p e r h a p s m o s t e a s i l y a p p r o a c h e d b y t h e v o n N e u m a n n

a l g e b r a c o n s t r u c t i o n w h e r e o n e c a n i m p l e m e n t t h e a c t i o n o f

n∈N Z/2Z

b y

u n i t a r i e s . T h e s e u n i t a r i e s c o m e f r o m o n e s o n L2(H )

w h i c h e x c h a n g e t w o

p o i n t s o f u n e q u a l w e i g h t s o t h e y m u s t b e c o r r e c t l y s c a l e d .

E x e r c i s e 1 1 . 2 . 2 4 W o r k o u t t h e d e t a i l s o f e x a m p l e 1 1 . 2 . 2 3

I n t h e e x a m p l e s w e s e e f o u r d i e r e n t k i n d s o f f r e e e r g o d i c a c t i o n s :

T y p e I : Γ a c t s t r a n s i t i v e l y . 1 1 . 2 . 1 2

T y p e I I 1 :Γ

p r e s e r v e s a n i t e m e a s u r e . 1 1 . 2 . 1 3 , 1 1 . 2 . 1 5 , 1 1 . 2 . 1 7 , 1 1 . 2 . 1 8

T y p e I I ∞ :

Γp r e s e r v e s a n i n n i t e m e a s u r e . 1 1 . 2 . 2 0 , 1 1 . 2 . 2 1

T y p e I I I :

Γp r e s e r v e s n o m e a s u r e e q u i v a l e n t t o

µ. 1 1 . 2 . 1 9 , 1 1 . 2 . 2 2 , 1 1 . 2 . 2 3

1 1 . 3 T h e t y p e o f t h e c r o s s e d p r o d u c t .

W e a d o p t t h e n o t a t i o n s a n d c o n v e n t i o n s o f t h e p r e v i o u s s e c t i o n . T h e m a p

E m : M αΓ → M w h i c h a s s i g n s

aid t o t h e e l e m e n t

γ ∈Γ i s d e s t i n e d t o p l a y

a b i g r o l e i n t h e t h e o r y . I t i s c a l l e d t h e c o n d i t i o n a l e x p e c t a t i o n o n t o M

a n d

o b v i o u s l y s a t i s e s t h e f o l l o w i n g c o n t i t i o n s :

( i )E 2M = E M .

( i i )

E M (x)∗ = E M (x∗),

E M (1) = 1,

E M (x∗x) = 0iffx = 0.

( i i i )E M (x∗x) ≥ E M (x∗)E M (x)

,||E (x)| |≤ | |x||

.

( i v )E M (axb) = aE M (x)b

f o ra, b ∈ M

.

( v )E M i s u l t r a w e a k l y c o n t i n u o u s .

S o E M i s a p r o j e c t i o n o f n o r m o n e i n t h e B a n a c h s p a c e s e n s e . T h e

c o n d i t i o n ( i v ) s a y s t h a tE M i s a n

M − M - b i m o d u l e m a p .

7 2



T h e o r e m 1 1 . 3 . 1 I f

Γa c t s n o n - t r a n s i t i v e l y , f r e e l y a n d e r g o d i c a l l y , p r e s e r v i n g

t h e n i t e m e a s u r e µ t h e n L∞(X, µ)Γ i s a I I 1 f a c t o r . I f Γ p r e s e r v e s t h e

i n n i t e σ

- n i t e m e a s u r e µ

t h e n L∞(X, µ)Γ

i s a I I ∞ f a c t o r u n l e s s Γ

a c t s

t r a n s i t i v e l y i n w h i c h c a s e L∞(X, µ)Γ

i s t y p e I .

P r o o f .

( i ) I t i s c l e a r e r t o p r o v e a m o r e g e n e r a l s t a t e m e n t ( i n t h e c a s e w h e r e Γ

p r e s e r v e sµ

a n d µ(X ) = 1

) . S o s u p p o s e Γ

p r e s e r v e s t h e f a i t h f u l p o s i t i v e

u l t r a w e a k l y c o n t i n u o u s t r a c e tr

o n t h e v o n N e u m a n n a l g e b r a A

a n d t h a t i t s

a c t i o n i s f r e e a n d e r g o d i c . T h e n w e c l a i m M = AΓ

i s a t y p e I I 1 f a c t o r

( o r a n i t e d i m e n s i o n a l f a c t o r ) . B y p r e v i o u s r e s u l t s w e n e e d o n l y s h o w t h a t

i t h a s a n u l t r a w e a k l y c o n t i n o u s p o s i t i v e t r a c e . S o d e n e T r = tr E A o n

M . U l t r a w e a k c o n t i n u i t y a n d p o s i t i v i t y a r e o b v i o u s s o b y c o n t i n u i t y a n d

l i n e a r i t y i t s u c e s t o p r o v e

T r(auγ buη) = T r(buηauγ ) . F o r e i t h e r s i d e o f

t h e e q u a t i o n t o b e n o n - z e r o m e a n sη = γ −1

a m d t h e n t h e l e f t h a n d s i d e i s

tr(aαγ (b)) = tr(α−1γ (aαγ (b))) = tr(bα−1(a)) w h i c h i s e q u a l t o

T r(buηauγ ) .

( i i ) I fµ

i s i n n i t e a n d Γ

d o e s n o t a c t t r a n s i t i v e l y t h e n t h e r e a r e n o a t o m s

h e n c e t h e r e a r e s u b s e t sY

o fX

o f a r b i t r a r y p o s i t i v e m e a s u r e . L e tY

h a v e

n i t e n o n - z e r o m e a s u r e a n d l e tξ

b e t h e f u n c t i o n ξ (γ ) = δ γ,id χY . T h e n

auγ ξ, ξ = ωξ(auγ ) = δ id,γ Y

a(x)dµ(x).

O n e e a s i l y c h e c k s t h a tωξ(( pauγ p)( pbuη p)) = ωξ(( pbuη p)( pauγ p))

s o b y

4 . 0 . 2 5 ωξ d e n e s a p o s i t i v e u l t r a w e a k l y c o n t i n u o u s t r a c e o n p(AΓ) p w h i c h

i s a t y p e I I 1 f a c t o r . B u t

AΓi s n o t i t s e l f a t y p e I I 1 f a c t o r s i n c e

Ac o n t a i n s

a n i n n i t e f a m i l y o f e q u i v a l e n t m u t u a l l y o r t h o g o n a l p r o j e c t i o n s . B y 9 . 1 . 8 w e

a r e d o n e .

( i i i ) I f

Γa c t s t r a n s i t i v e l y t h e n

(X, µ) = (Γ,c o u n t i n g m e a s u r e

)a n d t h e

c h a r a c t e r i s t i c f u n c t i o n o f a s e t w i t h o n e e l e m e n t i s a m i n i m a l p r o j e c t i o n i n

L∞(X, µ)Γ.

E x e r c i s e 1 1 . 3 . 2 I f

Γa c t s e r g o d i c a l l y o n

(X, µ)p r e s e r v i n g t h e

σ- n i t e m e a -

s u r e

µt h e n a n y o t h e r i n v a r i a n t e q u i v a l e n t m e a s u r e i s p r o p o r t i o n a l t o

µ.

W e n o w w a n t t o s h o w t h a t t h e r e a r e f a c t o r s t h a t a r e n e i t h e r o f t y p e I

n o r

t y p e II

. S u p p o s e t h a tM = L∞(X, µ)Γ

i s a t y p e I o r I I f a c t o r . T h e n i t h a s

a t r a c e

tr : M + → [0, ∞]. W e w o u l d l i k e t o d e n e a n i n v a r i a n t m e a s u r e o n

X ,

a b s o l u t e l y c o n t i n o u s w i t h r e s p e c t t o µ

, b y r e v e r s i n g t h e p r o c e d u r e o f t h e o r e m

1 1 . 3 . 1 a n d d e n i n g t h e m e a s u r e

σ(A)t o b e

tr(ξ A)(

ξ A ∈ L∞(X, µ) ⊆ M ) .

I n v a r i a n c e o f t h e m e a s u r e σ

i s n o p r o b l e m . T h e s n a g i s t h a ttr(χA)

c o u l d b e

i n n i t e f o r e v e r y n o n - n u l s e tA

. W e w i l l s h o w t h a t t h i s i s n o t t h e c a s e . T o

t h i s e n d t h e c o n c e p t o f l o w e r s e m i c o n t i n u i t y w i l l b e u s e f u l .

7 3



D e n i t i o n 1 1 . 3 . 3 I f

X i s a t o p o l o g i c a l s p a c e w e s a y t h a t

f : X

→R

i s

l o w e r s e m i c o n t i n o u s i f f o r e v e r y x ∈ X a n d > 0 t h e r e i s a n o p e n s e t U ⊆ X s u c h t h a t

f (u) > f (x) − f o r a l l

u ∈ U .

E x e r c i s e 1 1 . 3 . 4 P r o v e t h a t i f

f i s l o w e r s e m i c o n t i n o u s t h e n

( a )

f −1((−∞, K ]))i s c l o s e d f o r e v e r y

K ∈ R.

( b )f

a t t a i n s i t s m i n i m u m o n a n y c o m p a c t s u b s e t o f X

.

E x e r c i s e 1 1 . 3 . 5 I f

Hi s a H i l b e r t s p a c e a n d

ξ ∈ H, t h e f u n c t i o n

a → ||aξ || f r o m

B(H)t o R

i s w e a k l y l o w e r s e m i c o n t i n u o u s .

E x e r c i s e 1 1 . 3 . 6 I f

f α a r e l o w e r s e m i c o n t i n o u s t h e n ∨αf α i s l o w e r s e m i c o n -

t i n o u s i f i t e x i s t s .

L e m m a 1 1 . 3 . 7 L e t

M b e a t y p e I o r I I f a c t o r a n d

tr : M + → [0, ∞]b e

Tracei n t y p e I , a s i n 9 . 1 . 9 i n t y p e I I ∞ a n d t h e t r a c e i n t y p e I I 1 . T h e n f o r

e a c h

K ≥ 0,

M 1,K = x : tr(x∗x) ≤ K i s w e a k l y c o m p a c t .

P r o o f . C l e a r i n t h e I I 1 c a s e . I n a d e c o m p o s i t i o n M ∼= N ⊗ B(2(N))

o n H

w i t h N

a t y p e I I 1 f a c t o r o rC

w e m a y a s s u m e b y 1 0 . 2 . 6 t h a t t h e r e i s a v e c t o r

ξ ∈ e11H w i t h

ωξ a t r a c e o n

e11Me11 . S o i f

ξ i = ei1ξ w e h a v e , u p t o a s c a l a r ,

t h a t

tr(x) =∞

i=1xξ i, ξ i.

B y t h e p r e v i o u s e x e r c i s e s a n d w e a k c o m p a c t n e s s o f t h e u n i t b a l l , w e a r e d o n e .

P r o p o s i t i o n 1 1 . 3 . 8 W i t h n o t a t i o n a s a b o v e , f o r

x ∈ M 1,K l e tW (x)

b e t h e

w e a k c l o s u r e o f t h e c o n v e x s e t o f n i t e s u m s i λiuixu∗i :

i λi = 1, λi >

0, ui u n i t a r y i n

L∞(X, µ). T h e n

W (x) ⊆ M 1,K a n d i f

φ(y) = tr(y∗y) f o r

y ∈ W (x)t h e n

φa t t a i n s i t s m i n i m u m a t a u n i q u e p o i n t

E (x)o f

W (x).

P r o o f . N o t e r s t t h a tz ∈ M : tr(z ∗z ) < ∞

i s a v e c t o r s p a c e o n w h i c h

||z || = tr(z ∗z )d e n e s a p r e h i l b e r t s p a c e s t r u c t u r e . ( S i n c e

(a + b)∗(a + b) ≤2(a∗a + b∗b)

a s o p e r a t o r s , a n d t h e p a r a l l e l o g r a m i d e n t i t y p a s s e s t o t h e p o t e n -

t i a l l y i n n i t e s u m d e n i n g tr . ) M o r e o v e r W (x) i s a w e a k l y c o m p a c t s u b s e t

o fM

s o b y l o w e r s e m i c o n t i n u i t y φ

a t t a i n s i t s m i n i m u m a t a p o i n t w h i c h i s

u n i q u e b y t w o d i m e n s i o n a l E u c l i d e a n g e o m e t r y a s i n 2 . 1 . 2 .

P r o p o s i t i o n 1 1 . 3 . 9 S u p p o s e t h a t

M = L∞(X, µ)Γi s a t y p e I o r I I f a c t o r

f o r a f r e e e r g o d i c a c t i o n o f Γ

o n L∞(X, µ)

. L e ttr

b e a s a b o v e a n d p

b e a

p r o j e c t i o n i n

M w i t h

tr( p) < ∞. T h e n

E ( p) = E L∞(X,µ)( p)

a n d 0 < tr(E ( p)2) ≤ tr( p)

.

7 4



P r o o f . L e tE = E L∞(X,µ) . B y t h e u n i q u e n e s s o f

E ( p)

i t c o m m u t e s w i t h e v e r y

u n i t a r y i n L∞ s o i t i s i n L∞ b y 1 1 . 2 . 1 1 . O n t h e o t h e r h a n d E (y) = E ( p)f o r a l l

y ∈ W ( p)b y t h e b i m o d u l e l i n e a r i t y o f t h e c o n d i t i o n a l e x p e c t a t i o n

a n d i t s u l t r a w e a k c o n t i n u i t y . S o E (E ( p)) = E ( p) = E ( p)

. B u tφ(E ( p) ≤

φ( p) = tr( p)∞. F i n a l l y

E ( p) = E ( p2)w h i c h i s a p o s i t i v e n o n - z e r o s e l f -

a d j o i n t o p e r a t o r a n d h e n c e h a s n o n - z e r o t r a c e .

T h e o r e m 1 1 . 3 . 1 0 L e t

Γa c t f r e e l y a n d e r g o d i c a l l y o n t h e c o u n t a b l y s e p a -

r a t e d σ

- n i t e m e a s u r e s p a c e (X, µ)

s o t h a t t h e r e i s n o σ

- n i t e Γ

- i n v a r i a n t

m e a s u r e o n X

a b s o l u t e l y c o n t i n u o u s w i t h r e s p e c t t o µ

. T h e n L∞(X, µ)Γ

i s

a f a c t o r n o t o f t y p e I o r I I .

P r o o f . I f t h e c r o s s e d p r o d u c t w e r e o f t y p e I o r I I , d e n e t h e m e a s u r e ρ

o n

X b y

ρ(A) = tr(χA). B y t h e p r e v i o u s r e s u l t

ρ(A)w o u l d h a v e t o b e n i t e

a n d n o n - z e r o f o r s o m e

As i n c e t h e

L∞f u n c t i o n

f = E ( p)2m u s t d o m i n a t e a

m u l t i p l e o fχA f o r s o m e

A( e . g . l e t

Ab e t h o s e

xw i t h

f (x)s u c i e n t l y c l o s e

t o

||f ||) . B u t t h e n b y e r g o d i c i t y

X = ∪γ ∈Γγ (A)( u p t o n u l l s e t s ) s o t h a t

ρi s

σ- n i t e . I t i s a u t o m a t i c a l l y a b s o l u t e l y c o n t i n u o u s w r t

µ. I n v a r i a n c e o f

ρu n d e r

Γf o l l o w s f r o m

tr(uγ xu−1γ ) = tr(x)f o r

x ≥ 0.

D e n i t i o n 1 1 . 3 . 1 1 A f a c t o r n o t o f t y p e I o r I I i s c a l l e d a t y p e I I I f a c t o r .

E x a m p l e 1 1 . 2 . 2 2 p r o v i d e s a t y p e I I I f a c t o r s i n c e t h e s u b g r o u p Q a c t s

e r g o d i c a l l y s o t h e o n l y p o s s i b l e i n v a r i a n t m e a s u r e i s a m u l t i p l e o fdx

b y

e x e r c i s e 1 1 . 3 . 2 a n d t h i s i s n o t i n v a r i a n t u n d e r m u l t i p l i c a t i o n !

N o t e t h a t t h e a b o v e t e c h n i q u e w o r k s i n s o m e w h a t g r e a t e r g e n e r a l i t y t h a n

a c t i o n s o f g r o u p s o n m e a s u r e s p a c e s .

E x e r c i s e 1 1 . 3 . 1 2 A d a p t t h e p r o o f s o f t h e r e s u l t s j u s t o b t a i n e d t o s h o w t h a t

M αZ i s a t y p e I I I f a c t o r i f t h e a c t i o n α

i s g e n e r a t e d b y a s i n g l e a u t o m o r -

p h i s m o f t h e I I ∞ f a c t o r s c a l i n g t h e t r a c e b y a f a c t o r λ = 1

.

7 5



7 6



C h a p t e r 1 2

U n b o u n d e d O p e r a t o r s a n d

S p e c t r a l T h e o r y

T h e r e a r e m a n y n a t u r a l l y a r i s i n g e x a m p l e s o f u n b o u n d e d o p e r a t o r s , s o m e

o f t h e m o s t f u n d a m e n t a l b e i n g m u l t i p l i c a t i o n b y x

a n d d i e r e n t i a t i o n , t h e

p o s i t i o n a n d m o m e n t u m o p e r a t o r s o f q u a n t u m m e c h a n i c s . O u r i m m e d i a t e

m o t i v a t i o n f o r s t u d y i n g u n b o u n d e d o p e r a t o r s h e r e i s t o f a c i l i t a t e t h e s t u d y

o f a r b i t r a r y v o n N e u m a n n a l g e b r a s a c t i n g o n G N S H i l b e r t s p a c e s . H e r e w e

e s t a b l i s h t h e n e c e s s a r y p r e l i m i n a r i e s o n u n b o u n d e d o p e r a t o r s . T h e m a t e r i a l

c l o s e l y f o l l o w s R e e d a n d S i m o n [ 2 ] .

1 2 . 1 U n b o u n d e d O p e r a t o r s

D e n i t i o n 1 2 . 1 . 1 A n o p e r a t o r

T o n a H i l b e r t s p a c e

Hc o n s i s t s o f a l i n e a r

s u b s p a c e D(T )

, t h e d o m a i n o f T

, a n d a l i n e a r m a p f r o m D(T )

t o H

.

E x a m p l e 1 2 . 1 . 2

( i )M x , m u l t i p l i c a t i o n b y

xo n

L2(R).

D(M x) =

f ∈ L2(R) :

R

x2|f (x)|2d x < ∞

.

( i i )T = d

dxo n

L2([0, 1]).

D(T ) = C 1[0, 1].

I n o r d e r t o d o s o m e a n a l y s i s w e w a n t t o r e s t r i c t o u r a t t e n t i o n a l i t t l e s o

a s n o t t o c o n s i d e r c o m p l e t e l y a r b i t r a r y l i n e a r m a p s .

7 7



D e n i t i o n 1 2 . 1 . 3 L e t

T b e a n o p e r a t o r o n

H. T h e g r a p h o f

T i s

Γ(T ) = (ξ , T ξ ) : ξ ∈ D(T ) ⊂ H ⊕ H.

T i s c l o s e d i f

Γ(T )i s c l o s e d i n

H ⊕ H.

R e m a r k 1 2 . 1 . 4 N o t e t h a t i f

T i s c l o s e d a n d

D(T ) = Ht h e n

T i s b o u n d e d

b y t h e C l o s e d G r a p h T h e o r e m .

L e m m a 1 2 . 1 . 5 A l i n e a r s u b s p a c e

Γ ⊂ H ⊕ Hi s t h e g r a p h o f a n o p e r a t o r i

(0, η) ∈ Γi m p l i e s

η = 0.

P r o o f . S t r a i g h t f o r w a r d .

M a n y o p e r a t o r s a r e n o t c l o s e d , b u t c a n b e e x t e n d e d t o a c l o s e d o p e r a t o r .

D e n i t i o n 1 2 . 1 . 6 L e t

S, T b e o p e r a t o r s o n

H.

T i s a n e x t e n s i o n o f

S ,

d e n o t e d

S ⊂ T , i f

Γ(S ) ⊂ Γ(T ). E q u i v a l e n t l y

D(S ) ⊂ D(T )a n d

T |D(S ) = S .

D e n i t i o n 1 2 . 1 . 7 A n o p e r a t o r

T i s p r e c l o s e d ( o r c l o s a b l e ) i f i t h a s a c l o s e d

e x t e n s i o n .

L e m m a 1 2 . 1 . 8 S u p p o s e

T i s p r e c l o s e d . T h e n

T h a s a s m a l l e s t c l o s e d e x -

t e n s i o n T

.Γ(T ) = Γ(T )

.

D e n i t i o n 1 2 . 1 . 9 T i s c a l l e d t h e c l o s u r e o f

T .

P r o o f o f L e m m a . T a k e a c l o s e d e x t e n s i o n

Ao f

T .

Γ(A)i s c l o s e d a n d

c o n t a i n sΓ(T )

s o Γ(T ) ⊂ Γ(A)

.Γ(T )

i s t h e g r a p h o f a n o p e r a t o r ( c a l l i tT

)

b e c a u s e :

(0, η) ∈ Γ(T ) ⊂ Γ(A) ⇒ η = A(0) = 0.

T i s t h e s m a l l e s t c l o s e d e x t e n s i o n b e c a u s e f o r a l l c l o s e d e x t e n s i o n s

A,

Γ(T ) =Γ(T ) ⊂ Γ(A)

.

R e m a r k 1 2 . 1 . 1 0 W e t h u s o b t a i n t w o e q u i v a l e n t d e n i t i o n s o f a p r e c l o s e d

o p e r a t o r :

( i )(0, η) ∈ Γ(T ) ⇒ η = 0

.

( i i ) (

ξ n ∈ D(T ),

ξ n → 0a n d

T ξ n c o n v e r g e s )

⇒ T ξ n → 0.

E x e r c i s e 1 2 . 1 . 1 1

( i ) D e n e S

o n L2(R)

b y D(S ) = C ∞0 (R)

( i n n i t e l y d i e r e n t i a b l e f u n c t i o n s

w i t h c o m p a c t s u p p o r t ) ,Sf = f

. S h o w t h a tS

i s p r e c l o s e d .

7 8



( i i ) D e n e T

f r o m L2(R)

t o C

b y D(T ) = L1(R)

∩L2(R)

,T (f ) = R f

.

S h o w t h a t T i s n o t p r e c l o s e d .

D e n i t i o n 1 2 . 1 . 1 2 S u p p o s e

T i s a c l o s e d o p e r a t o r . A c o r e f o r

T i s a l i n e a r

s u b s p a c e D0 ⊂ D(T )

s u c h t h a tT |D0

= T .

W e c a n p e r f o r m b a s i c a r i t h m e t i c o p e r a t i o n s w i t h ( u n b o u n d e d ) o p e r a t o r s

a s f o l l o w s :S + T

i s t h e o p e r a t o r w i t h d o m a i n D(S + T ) = D(S ) ∩ D(T )

a n d

(S + T )ξ = Sξ + T ξ .

ST i s t h e o p e r a t o r w i t h d o m a i n

D(ST ) = ξ ∈ D(T ) :T ξ ∈ D(S )

a n d (ST )ξ = S (T ξ )

. O f p a r t i c u l a r i m p o r t a n c e i s t h e a d j o i n t .

D e n i t i o n 1 2 . 1 . 1 3 L e t

T b e a d e n s e l y d e n e d o p e r a t o r o n H . L e t

D(T ∗) = η ∈ H : ∃σ ∈ Hs u c h t h a t

< Tξ,η >=< ξ, σ > ∀ξ ∈ D(T )= η ∈ H : ∃C > 0

s u c h t h a t| < Tξ,η > | ≤ C ||ξ || ∀ξ ∈ D(T ).

F o r ξ ∈ D(T ∗)

n o t e t h a t t h e e l e m e n tσ

i s u n i q u e ( b y t h e d e n s i t y o f D(T )

)

a n d d e n e T ∗ξ = η

.

R e m a r k 1 2 . 1 . 1 4 N o t e t h a t i f

S ⊂ T t h e n

T ∗ ⊂ S ∗.

E x e r c i s e 1 2 . 1 . 1 5 G i v e a n e x a m p l e t o s h o w t h a t t h e d o m a i n o f t h e a d j o i n t

n e e d n o t b e d e n s e . [ I n f a c t i t c a n b e 0

] .

P r o p o s i t i o n 1 2 . 1 . 1 6 L e t

T b e a d e n s e l y d e n e d o p e r a t o r . T h e n

1 .T ∗

i s c l o s e d .

2 .D(T ∗)

i s d e n s e i T

i s p r e c l o s e d . I n t h a t c a s e T = T ∗∗

.

3 . I f T

i s p r e c l o s e d t h e n (T )∗ = T ∗

.

P r o o f . N o t e t h a t(η, σ) ∈ Γ(T ∗)

i < Tξ , η >=< ξ, σ >

f o r a l lξ ∈ D(T )

i

< (−T ξ , ξ ), (η, σ) >= 0. H e n c e

Γ(T ∗) = (−T ξ , ξ ) : ξ ∈ D(T )⊥ = (uΓ(T ))⊥ = uΓ(T )⊥,

w h e r e u : H ⊕ H → H ⊕ H

i s t h e u n i t a r y o p e r a t o ru(ξ, η) = (−η, ξ )

. N o w :

1 . O r t h o g o n a l c o m p l e m e n t s a r e c l o s e d , h e n c e Γ(T ∗)

i s c l o s e d .

7 9



2 .Γ(T ) = (Γ(T )⊥)⊥ = u∗Γ(T ∗)⊥

, s o

(0, ξ ) ∈ Γ(T ) ⇔ (−ξ, 0) ∈ Γ(T ∗)⊥

⇔ 0 =< (−ξ, 0), (η, T ∗η) >= − < ξ, η >f o r a l l

η ∈ D(T ∗)

⇔ ξ ∈ D(T ∗)⊥.

H e n c e T

i s p r e c l o s e d i D(T ∗)⊥ = 0

i D(T ∗)

i s d e n s e .

I n t h a t c a s e

Γ(T ∗∗) = uΓ(T ∗)⊥ = u2Γ(T )⊥⊥ = −Γ(T ) = Γ(T ), s o

T ∗∗ = T .

3 .

T ∗ = T ∗ = T ∗∗∗ = (T )∗.

D e n i t i o n 1 2 . 1 . 1 7 A n o p e r a t o r

T i s s y m m e t r i c i f

T ⊂ T ∗. E q u i v a l e n t l y

< T ξ , η >=< ξ, T η > f o r a l l

ξ, η ∈ D(T ).

T i s s e l f - a d j o i n t i f

T = T ∗. A

s e l f - a d j o i n t o p e r a t o r T

i s p o s i t i v e i f < Tξ, ξ >≥ 0

f o r a l lξ ∈ D(T )

.

1 2 . 2 S p e c t r a l T h e o r y f o r U n b o u n d e d O p e r a -

t o r s

D e n i t i o n 1 2 . 2 . 1 L e t

T b e a c l o s e d o p e r a t o r o n

H. T h e r e s o l v e n t o f

T i s

ρ(T ) = λ|λ1 − T : D(T ) → H i s a b i j e c t i o n .

T h e s p e c t r u m o f T

i s σ(T ) = C\ρ(T )

.

R e m a r k 1 2 . 2 . 2 N o t e t h a t i f

λ1 − T : D(T ) → Hi s a b i j e c t i o n t h e n

(λ1 −T )−1

i s b o u n d e d b y t h e C l o s e d G r a p h T h e o r e m .

E x e r c i s e 1 2 . 2 . 3 T h e s p e c t r u m i s h i g h l y d e p e n d e n t o n t h e d o m a i n . L e t

AC [0, 1]d e n o t e t h e s e t o f a b s o l u t e l y c o n t i n u o u s f u n c t i o n s o n

[0.1]. L e t

T 1 =ddx

,T 2 = d

dx, w i t h

D(T 1) = f ∈ AC [0, 1] : f ∈ L2([0, 1])D(T 2) = f ∈ AC [0, 1] : f ∈ L2([0, 1]), f (0) = 0.

S h o w t h a tT 1 a n d

T 2 a r e c l o s e d . S h o w t h a tσ(T 1) = C

w h i l e σ(T 2) = ∅

.

P r o p o s i t i o n 1 2 . 2 . 4 L e t

(X, µ)b e a n i t e m e a s u r e s p a c e a n d

F a m e a s u r e -

a b l e , r e a l - v a l u e d , a . e . n i t e f u n c t i o n o n X

. L e tD(M f ) = g ∈ L2(X, µ) :

f g ∈ L2(X, µ)a n d l e t

M f g = f g. T h e n

M f i s s e l f - a d j o i n t a n d σ(M f ) =

ess.range(f ) = λ ∈ C : µ(x : |λ − f (x)| < ) > 0 ∀ > 0.

8 0



E x e r c i s e 1 2 . 2 . 5 P r o v e P r o p 1 2 . 2 . 4 .

T h e o r e m 1 2 . 2 . 6 ( S p e c t r a l T h e o r e m - M u l t i p l i e r F o r m )L e t

Ab e a s e l f -

a d f o i n t o p e r a t o r o n H

w i t h d e n s e d o m a i n . T h e n t h e r e e x i s t s a n i t e m e a s u r e

s p a c e

(X, µ), a r e a l - v a l u e d a . e . n i t e f u n c t i o n

f o n

X a n d a u n i t a r y o p e r a t o r

u : H → L2(X, µ)s u c h t h a t

uAu∗ = M f

P r o o f . S e e [ 2 ]

R e m a r k 1 2 . 2 . 7 ( B o r e l F u n c t i o n a l C a l c u l u s )N o t e t h a t t h e S p e c t r a l T h e -

o r e m a l l o w s u s t o d e n e a B o r e l f u n c t i o n a l c a l c u l u s f o r s e l f a d j o i n t o p e r a t o r s .

G i v e n a B o r e l f u n c t i o n

ho n t h e s p e c t r u m o f

A, d e n e

h(A) = u

∗

M hf u.

1 2 . 3 P o l a r D e c o m p o s i t i o n

T h e o r e m 1 2 . 3 . 1 L e t

A : H → Kb e a c l o s e d , d e n s e l y d e n e d o p e r a t o r .

T h e n :

( i )A∗A

a n d AA∗

a r e p o s i t i v e s e l f - a d j o i n t o p e r a t o r s ( h e n c e (A∗A)1/2

a n d

(AA∗)1/2e x i s t ) .

( i i ) T h e r e e x i s t s a p a r t i a l i s o m e t r y w i t h i n i t i a l s p a c e Range(A∗A)1/2

a n d

n a l s p a c e Range(A)

a n d

A = v(A∗A)1/2.

( i i i ) I f A = uB

f o r s o m e p o s i t i v e B

a n d p a r t i a l i s o m e t r y v

w i t h i n i t i a l s p a c e

Range(B)t h e n

u = va n d

B = (A∗A)1/2.

( i v ) I n a d d i t i o n A = (AA∗)1/2v

.

P r o o f .

( i ) S i n c e Γ(A)

i s c l o s e d , i t i s a H i l b e r t s p a c e . L e tP : Γ(A) → H

b e

p r o j e c t i o n o n t o t h e r s t c o m p o n e n t . S i n c e A

i s a n o p e r a t o rKer(P ) =

0a n d h e n c e

Range(P ∗)i s d e n s e i n

Γ(A)( s o

P P ∗Hi s a c o r e

f o rA

) . L e tξ ∈ H

,P ∗ξ = (η,Aη)

. T h e n , f o r a l lσ ∈ D(A)

,

< ξ, σ >=< P ∗ξ, (σ,Aσ) >=< η, σ > + < Aη,Aσ >

⇒ < ξ − η,σ >=< Aη, Aσ >

⇒ Aη ∈ D(A∗)a n d

A∗Aη = ξ − η.

8 1



T h u sD(A∗A)

⊃P P ∗

Hw h i c h i s a c o r e f o r

A. I n a d d i t i o n

Range(A∗A+

1) = H .

I t i s e a s y t o s e e t h a tA∗A

i s s y m m e t r i c , s o A∗A + 1 ⊂ (A∗A + 1)∗

.

L e t

ξ ∈ D((A∗A + 1)∗). S i n c e

Range(A∗A + 1) = Ht h e r e e x i s t s

ξ ∈ D(A∗A + 1)w i t h

(A∗A + 1)∗ξ = (A∗A + 1)ξ (= (A∗A + 1)∗ξ ).

Ker((A∗A + 1)∗) = 0b e c a u s e

Range(A∗A + 1) = H, a n d h e n c e

ξ = ξ ∈ D(A∗A+1). T h u s

(A∗A+1)∗ = A∗A+1a n d s o

(A∗A)∗ = A∗A.

F i n a l l y , f o r

ξ ∈ D(A∗A),

< A∗A ξ , ξ >=< Aξ,Aξ >≥ 0s o

A∗Ai s

p o s i t i v e , i . e .σ(A∗A) ⊂ [0, ∞)

( j u s t u s e t h e S p e c t r a l T h e o r e m ) .

( i i ) A s w e n o t e d a b o v e ,D(A∗A)

i s a c o r e f o rA

.D(A∗A)

i s a l s o a c o r e f o r

|A| = (A∗

A)1/2

( u s e s p e c t r a l t h e o r y ) . T h u s AD(A∗A) = RangeA a n d

|A|D(A∗A) = Range|A|. N o t e t h a t f o r

ξ ∈ D(A∗A),

|||A|ξ ||2 =< A∗Aξ, ξ >=< Aξ, Aξ >= ||Aξ ||2,

s o t h a t t h e m a p v : |A|ξ → Aξ

,ξ ∈ D(A∗A)

, e x t e n d s t o a p a r t i a l

i s o m e t r y w i t h i n i t i a l s p a c e

|A|D(A∗A) = Range|A|a n d n a l s p a c e

AD(A∗A) = RangeA.

F o r

ξ ∈ D(|A|)t a k e

ξ n ∈ D(A∗A)w i t h

(ξ n, |A|ξ n) → (ξ, |A|ξ ). T h e n

Aξ n = v|A|ξ n → v|A|ξ a n d , a s

Ai s c l o s e d ,

ξ ∈ D(A)a n d

Aξ = v|A|ξ .

F o rξ ∈ D(A)

t a k e ξ n ∈ D(A∗A)

w i t h

(ξ n, Aξ n) → (ξ,Aξ ). T h e n

|A|ξ n = v∗v|A|ξ n = v∗Aξ n → v∗Aξ.

S i n c e |A|

i s c l o s e d ,ξ ∈ D(|A|)

.

H e n c e D(A) = D(|A|)

a n d A = v|A|

.

( i i i ) I f

A = uBt h e n

A∗ = B∗u∗ = Bu∗.

A∗A = Bu∗uB = B2s i n c e

u∗ui s

p r o j e c t i o n o n t o Range(B)

. B y u n i q u e n e s s o f t h e p o s i t i v e s q u a r e r o o t

o f a p o s i t i v e o p e r a t o r ( E x e r c i s e 1 2 . 3 . 3 ) ,(A∗A)1/2 = B

. T h u s t h e i n i t i a l

s p a c e o fu

i sRange(|A|)

a n d u|A| = A = v|A|

s o u = v

.

( i v )A = v(A∗A)1/2

s o A∗ = (A∗A)1/2v∗

a n d h e n c e AA∗ = v(A∗A)1/2(A∗A)1/2v∗ =

v(A

∗

A)v

∗( E x e r c i s e 1 2 . 3 . 3 ) . T h u s

vi m p l e m e n t s t h e u n i t a r y e q u i v a l e n c e

o f

AA∗|Range(A) a n d

A∗A|Range(A∗) . H e n c e

(AA∗)1/2 = v(A∗A)1/2v∗a n d

t h e n A = v(A∗A)1/2 = (AA∗)1/2v

.

R e m a r k 1 2 . 3 . 2 N o t e t h a t i t w a s v e r y i m p o r t a n t i n ( i ) t o e s t a b l i s h t h a t

D(A∗A)c o n t a i n e d a c o r e f o r

Aa n d h e n c e w a s d e n s e . I t w a s n o t c l e a r a

p r i o r i t h a tD(A∗A)

c o n t a i n e d a n y e l e m e n t s o t h e r t h a n 0

.

E x e r c i s e 1 2 . 3 . 3 ( i ) L e t

T b e a p o s i t i v e o p e r a t o r . S h o w t h a t

T 1/2T 1/2 = T .

( i i ) S h o w t h a t a p o s i t i v e o p e r a t o r h a s a u n i q u e p o s i t i v e s q u a r e - r o o t .

8 2



1 2 . 4 U n b o u n d e d o p e r a t o r s a l i a t e d w i t h a v o n

N e u m a n n a l g e b r a .

I fM

i s a v o n N e u m a n n a l g e b r a o n H

, a n e l e m e n ta ∈ B(H)

i s i n M

i

au = uaf o r e v e r y u n i t a r y i n

M . T h i s i n s p i r e s t h e f o l l o w i n g .

D e n i t i o n 1 2 . 4 . 1 I f

T : D(T ) → Hi s a l i n e a r o p e r a t o r o n t h e H i l b e r t s p a c e

Ha n d

M i s a v o n N e u m a n n a l g e b r a o n

Hw e s a y t h a t

T i s a l i a t e d w i t h

M , w r i t t e n

T ηM i f , f o r a n y u n i t a r y

u ∈ M ,

uD(T ) = D(T )a n d

uT ξ = T uξ ∀ξ ∈ D(T ).

L e m m a 1 2 . 4 . 2 I f

T i s p r e c l o s e d w i t h c l o s u r e

T t h e n

T ηM i f

T ηM .

P r o o f . I t i s c l e a r t h a t

T ηM i

uΓ(T ) = Γ(T )f o r a l l u n i t a r i e s i n

M . B u t

t h i s p r o p e r t y p a s s e s t o t h e c l o s u r e o f t h e g r a p h .

L e m m a 1 2 . 4 . 3 I f

T i s a c l o s e d o p e r a t o r a l i a t e d w i t h

M t h e n

1 . T h e p r o j e c t i o n o n t o

Γ(T )i s a

2 × 2m a t r i x o f o p e r a t o r s i n

M .

2 . I f T = u|T | i s t h e p o l a r d e c o m p o s i t i o n o f T t h e n u ∈ M a n d f (|T |) ∈ M f o r a n y b o u n d e d B o r e l f u n c t i o n o f

|T |.

P r o o f .

1 . i s o b v i o u s f r o m t h e c h a r a c t e r i s a t i o n o f a l i a t i o n g i v e n i n t h e p r o o f o f

t h e p r e v i o u s l e m m a .

2 . f o l l o w s f r o m u n i q u e n e s s o f t h e p o l a r d e c o m p o s i t i o n a n d t h e b i c o m m u t a n t

t h e o r e m .

8 3



8 4



C h a p t e r 1 3

T o m i t a - T a k e s a k i t h e o r y .

I n c h a p t e r 9 w e s h o w e d t h a t t h e G N S c o n s t r u c t i o n o n

M u s i n g a f a i t h f u l

n o r m a l t r a c e p r o d u c e s a p e r f e c t l y s y m m e t r i c H i l b e r t s p a c e Htr w i t h r e s p e c t

t o

M a n d i t s c o m m u t a n t . T h i s i s b e c a u s e t h e m a p

J , w h i c h i s t h e e x t e n s i o n

t o Htr o f t h e * o p e r a t i o n o n

M , i s a n i s o m e t r y . S o

x → JxJ i s t h e e x t e n s i o n

t o Htr o f r i g h t m u l t i p l i c a t i o n b y

x∗. U n f o r t u n a t e l y i f w e u s e a ( n o r m a l )

n o n - t r a c i a l s t a t e φ

t h e * o p e r a t i o n i s n o l o n g e r a n i s o m e t r y a n d t h e r e i s n o

r e a s o n t o e x p e c t e i t h e r i t o r r i g h t m u l t i p l i c a t i o n b y e l e m e n t s o fM

t o h a v e

b o u n d e d e x t e n s i o n s t o Hφ . B u t a s w e s h a l l s e e , t h e * o p e r a t i o n i s a c t u a l l y

p r e c l o s e d i n t h e s e n s e o f u n b o u n d e d o p e r a t o r s a n d i fS = J ∆1/2

i s t h e p o l a r

d e c o m p o s i t i o n o f i t s

c l o s u r e S

, w e w i l l s h o w t h a tJMJ = M

! Q u i t e r e m a r k a b l y , t h e o p e r a t o r

∆1/2w i l l s a t i s f y

∆itM ∆−it = M s o t h a t a s t a t e a c t u a l l y g i v e s r i s e t o a

d y n a m i c s - a o n e p a r a m e t e r a u t o m o r p h i s m g r o u p o fM

( a n d M

) ! !

W e w i l l p r o v e t h e s e r e s u l t s u s i n g a m e t h o d o f v a n D a e l e f o r w h i c h w e

h a v e f o l l o w e d s o m e n o t e s o f H a a g e r u p ( [ ] , [ ] ) . B u t b e f o r e g e t t i n g s t a r t e d o n

t h i s d i c u l t t h e o r y i t i s e s s e n t i a l t o d o s o m e e l e m e n t a r y c a l c u l a t i o n s t o s e e

h o w i t a l l w o r k s o u t i n t h e

2 × 2m a t r i c e s .

E x e r c i s e 1 3 . 0 . 4 L e t

M b e

M 2(C). S h o w t h a t a n y s t a t e

φo n

M i s o f t h e

f o r m φ(x) = Trace(hx) f o r s o m e p o s i t i v e h o f t r a c e 1. A n d t h a t φ i s f a i t h f u l

i h

i s i n v e r t i b l e . T h u s w i t h r e s p e c t t o t h e r i g h t b a s i s ,

φ(x) = Trace(x

1

1+λ0

0 λ1+λ

)

f o r s o m e λ

,0 ≤ λ ≤ 1

.

E x e r c i s e 1 3 . 0 . 5 W i t h n o t a t i o n a s i n t h e p r e v i o u s e x e r c i s e , s u p p o s e

φi s

f a i t h f u l a n d l e tS

b e t h e * o p e r a t i o n o n t h e G N S H i l b e r t s p a c e Hφ . C a l c u l a t e

8 5



t h e p o l a r d e c o m p o s i t i o n S = J ∆1/2

a n d s h o w t h a tSM S = JMJ = M

.

S h o w t h a t ∆zM ∆−z = M f o r z ∈ C s o t h a t σφz (x) = ∆zx∆−z = M d e n e s a

r e p r e s e n t a t i o n o f C

a s a u t o m o r p h i s m s o f M

w h i c h a r e

∗- a u t o m o r p h i s m s i

z ∈ iR.

E x e r c i s e 1 3 . 0 . 6 G e n e r a l i z e t h e a b o v e t o t h e

n × nm a t r i c e s a n d i n f a c t a n y

n i t e d i m e n s i o n a l v o n N e u m a n n a l g e b r a .

1 3 . 1 S , F a n d t h e i r g r a p h s .

T h r o u g h o u t t h i s s e c t i o n M

w i l l b e a v o n N e u m a n n a l g e b r a o n

Ha n d

Ω

∈ Ha c y c l i c a n d s e p a r a t i n g v e c t o r f o r M a n d h e n c e M . ( T h e s a m e d a t a a s a

f a i t h f u l n o r m a l s t a t e . ) L e tS 0 a n d

F 0 b e t h e c o n j u g a t e l i n e a r o p e r a t o r s w i t h

d o m a i n sM Ω

a n d M Ω

d e n e d b y S 0(xΩ) = x∗Ω

a n d F 0(xΩ) = x∗Ω

f o r

x ∈ M a n d

M r e s p e c t i v e l y .

L e m m a 1 3 . 1 . 1 I n t h e s e n s e o f u n b o u n d e d o p e r a t o r s

F 0 ⊆ S ∗0 a n d S 0 ⊆ F ∗0

s o t h a tS 0 a n d

F 0 h a v e d e n s e l y d e n e d a d j o i n t s a n d h e n c e a r e p r e c l o s e d .

P r o o f . T o s h o w S ∗0(aΩ)

i s d e n e d i fS 0(aΩ), aΩ

e x t e n d s t o a b o u n d e d

c o n j u g a t e l i n e a r m a p o n a l l o fH

. B u tS 0(aΩ), aΩ = (a)∗Ω, aΩ

w h i c h i s b o u n d e d a s a f u n c t i o n o faΩ

b y C a u c h y - S c h w a r t z . H e n c e aΩ

i s

i n t h e d o m a i n o f S ∗0 a n d S

∗0(a

Ω) = (a

)∗

Ω = F 0(a

Ω). I n t e r c h a n g i n g S 0 a n d

F 0 w e g e t t h e o t h e r i n c l u s i o n .

D e n i t i o n 1 3 . 1 . 2 L e t

S a n d

F b e t h e c l o s u r e s o f

S 0 a n d F 0 r e s p e c t i v e l y .

L e t

S = J ∆1/2b e t h e p o l a r d e c o m p o s i t i o n o f

S .

O b s e r v e t h a t

S 0 = S −10 s o

S i s i n j e c t i v e a n d

S 2 = 1i n t h e s e n s e o f

u n b o u n d e d o p e r a t o r s . T h u s∆1/2

h a s z e r o k e r n e lJ 2 = 1

a n d J ∆1/2J =

∆−1/2. T h e s a m e g o e s f o r

F a n d i t s p o l a r d e c o m p o s i t i o n , b u t w e s h a l l n o w

s e e t h a tF = S ∗

.

T h e o r e m 1 3 . 1 . 3 ( T a k e s a k i , [ ] . ) S

∗

= F ,

F ∗

= S a n d t h e g r a p h o f S i s t h e

s e t o f a l l(cΩ, c∗Ω)

w h e r e c

i s a c l o s e d d e n s e l y d e n e d o p e r a t o r a l i a t e d w i t h

M a n d

Ω ∈ D(c) ∩ D(c∗).

P r o o f . L e t

(ξ, F ∗ξ )b e i n t h e g r a p h o f

F ∗. B y t h e d e n i t i o n o f

F w e k n o w

t h a tξ, (a)∗Ω = aΩ, F ∗ξ

. N o w d e n e o p e r a t o r sa

a n d b

w i t h d o m a i n

M Ωb y

axΩ = xξ a n d

bxΩ = xF ∗ξ . T h e n

aa n d

ba r e c l o s a b l e f o r i f

x

a n d y

a r e i n M

w e h a v e

a(xΩ), yΩ = xξ, yΩ = ξ, (x)∗yΩ

8 6



=

(y)∗xΩ, F ∗ξ

=

xΩ, yF ∗ξ

=

xΩ, b(yΩ)

s o t h a t a s b e f o r e

a ⊆ b∗a n d

b ⊆ a∗.

L e t

cb e t h e c l o s u r e o f

a. T h e n

cΩ = aΩ = ξ a n d

c∗ = a∗ ⊇ bs o

c∗Ω = F ∗ξ . N o w b y c o n s t r u c t i o n t h e d o m a i n o f

ai s i n v a r i a n t u n d e r t h e

u n i t a r y g r o u p o fM

a n d o n i ta

c o m m u t e s w i t h t h e u n i t a r i e s i n M

. T h i s

m e a n s t h a tc

i s a l i a t e d w i t h M

. A t t h i s s t a g e w e h a v e s h o w n t h a t t h e g r a p h

o fF ∗

c o n s i s t s o f a l l(cΩ, c∗Ω)

w h e r e c

i s a c l o s e d d e n s e l y d e n e d o p e r a t o r

a l i a t e d w i t h M

a n d Ω ∈ D(c) ∩ D(c∗)

.

W e n o w w a n t t o s h o w t h a t t h e g r a p h o fF ∗

i s c o n t a i n e d i n t h e g r a p h o fS

.

T h i s i s n o t h a r d . L e tc

b e a s a b o v e a n d c =

√ c∗c

b e i t s p o l a r d e c o m p o s i t i o n .

T h e n i ff n(t) = t

f o r

0

≤t

≤n

a n d f n(t) = 0

f o rt > n

w e h a v e t h a t

f n(√ c∗c) → √ c∗c o n a n y v e c t o r i n t h e d o m a i n o f c, a n d s i n c e c i s a l i a t e d

w i t h

M ,

f n(√

c∗c) ∈ M s o t h a t

uf n(√

c∗c)Ωi s i n t h e d o m a i n o f

S a n d t e n d s

t o ξ

. M o r e o v e rf n(

√ c∗c)u∗Ω

t e n d s t o c∗Ω = F ∗ξ

s o (ξ, F ∗ξ )

i s i n t h e g r a p h

o fS

.

T h u s

F ∗ ⊆ S a n d w e h a v e a l r e a d y o b s e r v e d t h a t

S ⊆ F ∗. H e n c e

S = F ∗

a n d S ∗ = F

.

C o r o l l a r y 1 3 . 1 . 4 T h e p o l a r d e c o m p o s i t i o n o f

F i s

J ∆−1/2.

W e n o w p r o v e a c r u c i a l r e s u l t c o n n e c t i n g M

a n d M

.

L e m m a 1 3 . 1 . 5 L e t

λ ∈ R+b e g i v e n . T h e n f o r

a ∈ M t h e r e i s a n

a ∈ M w i t h

aΩi n t h e d o m a i n o f

F a n d

aΩ = (λS + λ−1F )aΩ.

P r o o f . A s s u m i n g ||a|| ≤ 1

w e m a y a p p l y t h e o r e m 8 . 3 . 1 t o t h e ψ

d e n e d b y

ψ(x) = xΩ, aΩa n d

φ(x) = xΩ, Ωt o o b t a i n t h e e x i s t e n c e o f a n

a ∈ M w i t h

xΩ, aΩ = λaxΩ, Ω + λ−1xaΩ, Ω= λxΩ, a∗Ω + λ−1aΩ, x∗Ω.

P r o v i d e d aΩ i s i n t h e d o m a i n o f F t h i s e q u a t i o n r e a d s aΩ = (λS +λ−1F )aΩ.

O n t h e o t h e r h a n d r e a r r a n g i n g t h e e q u a t i o n g i v e s

aΩ, x∗Ω = λxΩ, aΩ − λa∗Ω

s o b y C a u c h y S c h w a r t z aΩ

i s i n t h e d o m a i n o fF = S ∗

.

C o r o l l a r y 1 3 . 1 . 6 F o r e a c h

ξ ∈ D(∆1/2) ∩ D(∆−1/2)t h e r e i s a s e q u e n c e

an ∈ M w i t h

anΩ → ξ ,

∆1/2anΩ → ∆1/2ξ a n d

∆−1/2anΩ → ∆−1/2ξ .

8 7



P r o o f . S e tη = (S + F )ξ

a n d c h o o s e a s e q u e n c e an

∈M

w i t h an

→η

. B y

t h e p r e v i o u s l e m m a t h e r e a r e an ∈ M w i t h (S + F )anΩ = anΩ. B u t S +F = J (∆1/2 + ∆−1/2)

h a s b o u n d e d i n v e r s e ( i n t h e u s u a l s e n s e o f u n b o u n d e d

o p e r a t o r s ) s o p u tξ n = (S + F )−1(anΩ)

. S o anΩ = (S + F )−1anΩ → ξ

.

M o r e o v e r

∆1/2anΩ = ∆1/2(∆1/2 + ∆−1/2)−1JanΩ

a n d

∆1/2(∆1/2 + ∆−1/2)−1i s b o u n d e d b y s p e c t r a l t h e o r y . S o

∆1/2anΩ →∆1/2(S + F )−1(S + F )ξ = ∆1/2ξ

. I n t h e s a m e w a y ∆−1/2anΩ → ∆−1/2ξ

.

W e p u t e v e r y t h i n g t o g e t h e r w i t h a l e m m a l i n k i n g

M a n d

M o n a d e n s e

s u b s p a c e t o w h i c h m a n y f u n c t i o n s o f∆

c a n b e a p p l i e d .

L e m m a 1 3 . 1 . 7 I f

ξ a n d

ηa r e i n

D(S ) ∩ D(F ),

a,

λa n d

aa s i n 1 3 . 1 . 5 ,

t h e n

λSaSξ,η + λ−1FaFξ,η = aξ, η.

P r o o f . B y m o v i n g o n e S

a n d F

t o t h e o t h e r s i d e o f t h e i n n e r p r o d u c t s , w e

s e e b y t h e p r e v i o u s l e m m a t h a t w e m a y a s s u m e ξ

a n d η

a r e xΩ

a n d yΩ

r e s p e c t i v e l y , b o t h i n D(F )

, f o rx

a n d y

i n M

. B u t o n M Ω

,SaS

a c t s b y r i g h t

m u l t i p l i c a t i o n b y a∗

s o SaSξ,η = xa∗Ω, yΩ = SaΩ, x∗yΩ

. O n t h e o t h e r

h a n d , s y s t e m a t i c a l l y u s i n g

F ∗ = S w e o b t a i n

FaFxΩ, yΩ = y∗xΩ, aΩ =

Sx∗

yΩ, aΩ = F aΩ, x∗

yΩ . C o m b i n i n g t h e s e t w o w e s e e

λSaSξ,η + λ−1FaFξ,η = (λSa + λ−1F a)Ω, x∗yΩ.

B u t b y 1 3 . 1 . 5 t h i s i saΩ, x∗yΩ = aξ, η

.

1 3 . 2 P r o o f o f t h e m a i n t h e o r e m .

W e b e g i n w i t h a n e a s y e x e r c i s e i n c o u n t o u r i n t e g r a t i o n .

E x e r c i s e 1 3 . 2 . 1 L e t S b e t h e s t r i p z ∈ C : −1/2 ≤ (z ) ≤ 1/2. S u p p o s e

f i s c o n t i n u o u s a n d b o u n d e d o n

S a n d a n a l y t i c o n t h e i n t e r i o r o f

S . T h e n

f (0) =

∞−∞

f (1/2 + it) + f (−1/2 + it)

2coshπtdt

H i n t : I n t e g r a t e

f (z )

sin πz a r o u n d r e c t a n g u l a r c o n t o u r s i n

S

t e n d i n g t o t h e b o u n d a r y o fS

.

8 8



P r o p o s i t i o n 1 3 . 2 . 2 W i t h n o t a t i o n a s i n t h e p r e v i o u s s e c t i o n

a =

∞

−∞

λ2it ∆itJaJ ∆−it

2coshπtdt

P r o o f . S i n c e

J ∆1/2J = ∆−1/2w e h a v e

J (D(S ) ∩ D(T )) = D(S ) ∩ D(T )s o

a f t e r a l i t t l e r e a r r a n g e m e n t t h e f o r m u l a o f 1 3 . 1 . 7 r e a d s

JaJξ , η = λa∆−1/2ξ, ∆1/2η + λ−1a∆1/2ξ, ∆−1/2η.

N o w l e tH0 b e t h e d e n s e s u b s p a c e o f a l l v e c t o r s i n

Hw h i c h i s t h e u n i o n o f

a l lξ [a,b](∆

f o r0 < a < b < ∞

. C e r t a i n l y H0 ⊆ D(S ) ∩ D(F )

,H0 i s i n v a r i a n t

u n d e rJ

a n d

∆zf o r

z ∈ C, a n d m o r e o v e r f o r

ξ ∈ H0 ,z → ∆zξ

i s a n e n t i r e

f u n c t i o n o f

z .

F o rξ, η ∈ H0 d e n e t h e a n a l y t i c f u n c t i o n

f (z ) = λ2za∆−zξ, ∆zη.

T h e n f

i s b o u n d e d i n t h e s t r i p S

o f t h e p r e v i o u s l e m m a a n d f (0) = aξ,η

.

A l s o

f (1/2 + it) = ∆it∆1/2ξ, ηs o t h a t

f (1/2 + it) + f (−1/2 + it) = λ2it∆itJaJ ∆−itξ, η.

S o b y t h e p r e v i o u s l e m m a w e a r e d o n e .

T h e o r e m 1 3 . 2 . 3 L e t

M b e a v o n N e u m a n n a l g e b r a o n

Ha n d

Ωa c y c l i c

a n d s e p a r a t i n g v e c t o r f o r M . S u p p o s e S i s t h e c l o s u r e o f xΩ → x∗Ω o n M Ω.

L e t∆ = S ∗S

, a n d J

b e t h e a n t i u n i t a r y o f t h e p o l a r d e c o m p o s i t i o n S = J ∆1/2

.

T h e n

( i )JMJ = M

( i i )∆itM ∆−it = M ∀t ∈ R

P r o o f . I fa ∈ M

w e k n o w t h a t ∞−∞

λ2it ∆itJaJ ∆−it

2coshπtdt ∈ M

. C o n j u g a t i n g b y a u n i t a r y u ∈ M a n d w r i t i n g λ = eiθ2

w e s e e t h a t t h e

F o u r i e r t r a n s f o r m s o f t h e s t r o n g l y c o n t i n u o u s r a p i d l y d e c r e a s i n g f u n c t i o n s

∆itJaJ ∆−it

2coshπta n d

u∆itJaJ ∆−it

2coshπtu∗

a r e e q u a l . H e n c e

∆itJaJ ∆−it ∈ M f o r

a l l r e a lt

s i n c e i t c o m m u t e s w i t h e v e r y u n i t a r y u ∈ M

. ( T a k e i n n e r p r o d u c t s

w i t h v e c t o r s i f y o u a r e n o t h a p p y w i t h F o u r i e r t r a n s f o r m s o f o p e r a t o r v a l u e d

f u n c t i o n s . )

P u t t i n g t = 0

w e s e e JM J ⊆ M

a n d b y s y m m e t r y JM J ⊆ M

. H e n c e

JMJ = M a n d w e a r e d o n e .

8 9



D e n i t i o n 1 3 . 2 . 4 T h e o p e r a t o r

J o f t h e p r e v i o u s r e s u l t i s c a l l e d t h e m o d -

u l a r c o n j u g a t i o n a n d t h e s t r o n g l y c o n t i n u o u s o n e - p a r a m e t e r g r o u p o f a u t o -

m o r p h i s m s o f M

d e n e d b y σφt (x) = ∆itx∆−it

i s c a l l e d t h e m o d u l a r a u t o -

m o r p h i s m g r o u p d e n e d b y φ

.

1 3 . 3 E x a m p l e s .

E x a m p l e 1 3 . 3 . 1 I T P F I

T h e a c r o n y m I T P F I s t a n d s f o r i n n i t e t e n s o r p r o d u c t o f n i t e t y p e I .

T h e s e v o n N e u m a n n a l g e b r a s a r e f o r m e d b y t a k i n g t h e * - a l g e b r a A∞ a s t h e

u n i o n A∞ o f t e n s o r p r o d u c t s Am =

mk=1

M nk(C), t h e i n c l u s i o n o f Am i n Am+1

b e i n g d i a g o n a l . T h e s t a t e φ

o n A∞ i s t h e n t h e t e n s o r p r o d u c t o f s t a t e s o n

e a c h

M nk . O n e m a y t h e n p e r f o r m t h e G N S c o n s t r u c t i o n w i t h c y c l i c a n d

s e p a r a t i n g v e c t o rΩ

g i v e n b y 1 ∈ A∞ , t o o b t a i n t h e v o n N e u m a n n a l g e b r a

M =∞k=1

M nk(C)a s t h e w e a k c l o s u r e o f

A∞ a c t i n g o n Hφ . T h e c a s e w h e r e

a l l t h e nk a r e e q u a l t o

2a n d a l l t h e s t a t e s a r e t h e s a m e i s c a l l e d t h e P o w e r s

f a c t o r a n d t h e p r o d u c t s t a t e t h e P o w e r s s t a t e a s i t w a s R . P o w e r s w h o r s t

s h o w e d t h a t t h e y g i v e a c o n t i n u u m o f n o n - i s o m o r p h i c t y p e I I I f a c t o r s .

A s l i g h t s n a g h e r e i s t h a t w e d o n o t k n o w t h a t Ω d e n e s a f a i t h f u l s t a t e

o n M

. B u t i f w e p r o c e e d a n y w a y t o c o n s t r u c t w h a t h a v e t o b e J

a n d ∆

w e

w i l l s o o n s e e t h a t t h e s t a t e i s i n d e e d f a i t h f u l , i . e .Ω

i s c y c l i c f o rM Ω

.

R e c a l l f r o m e x e r c i s e 1 3 . 0 . 6 t h a t , f o rM n(C)

, a n d φh(x) = trace(xh)

w h e r e

hi s t h e d i a g o n a l m a t r i x ( d e n s i t y m a t r i x ) w i t h

hii = µi,

µi = 1, µi > 0,

t h e n J n(eij) =

µjµi

e ji a n d ∆n(eij) = µi

µjeij ( w h e r e d e p e n d e n c e o n

hh a s b e e n

s u p p r e s s e d ) .

T o d i a g o n a l i s e t h e m o d u l a r o p e r a t o r s o n Hφ c o m p l e t e l y i t i s m o s t c o n -

v i n c i n g t o c h o o s e a n o r t h o n o r m a l b a s i sdi o f t h e d i a g o n a l m a t r i c e s , w i t h

d1 = 1. T h e n a b a s i s f o r t h e H i l b e r t s p a c e Hφ i s f o r m e d b y t e n s o r s ⊗∞k=1vkΩw h e r e

vk = 1f o r l a r g e

k, a n d i s o t h e r w i s e a

di o r a n eij w i t h

i = j.

W e c a n g u e s s t h a tJ

i s , o n e a c h b a s i s v e c t o r , t h e t e n s o r p r o d u c t o f t h e J

' s

c o m i n g f r o m t h e m a t r i x a l g e b r a s . D e n i n g i t a s s u c h i t i s c l e a r l y a n i s o m e t r y

o n A∞Ω

a n d t h u s e x t e n d s t o a l l o fHφ . B u t t h e n , f o r a n y

x ∈ A∞ ,JxJ

i s i n

M b y t h e n i t e d i m e n s i o n a l c a l c u l a t i o n ! B u t t h e l i n e a r s p a n o f t h e s e

JxJ Ωi s d e n s e s o

Ωi s c y c l i c f o r

M a n d h e n c e s e p a r a t i n g f o r

M . W e a r e h e n c e i n

a p o s i t i o n t o a p p l y T o m i t a T a k e s a k i t h e o r y . E a c h o f t h e b a s i s e l e m e n t s i s i n

M Ωs o

S (⊗∞k=1vkΩ) = ⊗∞

k=1wkΩw h e r e

wk i svk i f

vk i s d i a g o n a l , a n d e ji i f

9 0



vk = eij . S o JS

i s d i a g o n a l a n d h e n c e e s s e n t i a l l y s e l f - a d j o i n t . W e c o n c l u d e

t h a t

J (xΩ) = J m(x)Ωa n d

∆(xΩ) = ∆m(x)Ωf o r

x ∈ Am,

a n d

σφt =∞k=1

σφhk .

E x a m p l e 1 3 . 3 . 2 G r o u p - m e a s u r e - s p a c e c o n s t r u c t i o n .

L e tΓ

b e a d i s c r e t e g r o u p a c t i n g o n t h e n i t e m e a s u r e s p a c e (X, µ)

p r e -

s e r v i n g t h e c l a s s o f t h e n i t e m e a s u r e

µ. T h e H i l b e r t s p a c e o f t h e c r o s s e d

p r o d u c tL∞(X, µ)

i sL2(X, µ) ⊗ 2(Γ)

a n d a s w e s a w i n c h a p t e r 1 1 t h e v e c t o r

1 ⊗ εid i s a c y l i c a n d s e p a r a t i n g v e c t o r

Ωf o r

M = L∞(X, µ)Γ.

S i n c e t h e c l a s s o fµ

i s p r e s e r v e d b y t h e γ ∈ Γ

t h e R a d o n N i k o d y m t h e o r e m

g u a r a n t e e s p o s i t i v e L1

f u n c t i o n shγ s o t h a t

φ(hγ αγ (y)) = φ(x)w h e r e

φ(y) = X

ydµ. W e k n o w t h a t , i f

x ∈ L∞(X, µ)t h e n

S (uγ x) = x∗uγ −1 . I n g e n e r a l

w e w i l l n o t b e a b l e t o c o m p l e t e l y d i a g o n a l i s e

∆b u t t h e s a m e a r g u m e n t a s

i n t h e p r e v i o u s e x a m p l e g i v e s t h a t t h e d o m a i n o f∆

i s

f : Γ → L

2

(X, µ) :γ

X |hγ (x)f (x)|

2

dµ(x) < ∞

o n w h i c h

(∆f )(γ ) = hγ f (γ ),

a n d

(Jf )(γ ) = h−1/2γ f (γ ).

W e c a n n o w n a l l y a n s w e r t h e q u e s t i o n a s t o w h i c h s u m s

γ xγ uγ d e n e

e l e m e n t s o fM = L∞(X, µ)Γ

.

T h e o r e m 1 3 . 3 . 3 W i t h n o t a t i o n a s a b o v e , i f t h e f u n c t i o n

γ → xγ ∈ L∞(X, µ)i s s u c h t h a t

γ xγ uγ , i n t e r p r e t e d a s a m a t r i x o f o p e r a t o r s a s i n s e c t i o n 1 1 . 2 ,

d e n e s a b o u n d e d o p e r a t o r , t h e n t h a t o p e r a t o r i s i n M = L∞(X, µ)Γ

.

P r o o f . B y 1 3 . 2 . 3 i t s u c e s t o s h o w t h a t

γ xγ uγ c o m m u t e s w i t h

Jxuγ J f o r a l l

x ∈ L∞(X, µ)a n d

γ ∈ Γ. A n d f o r t h i s i t s u c e s t o c h e c k t h a t t h e

c o m m u t a t i o n h o l d s o n f u n c t i o n s o f t h e f o r m f ⊗ εγ f o r

f ∈ L2. T h i s i s j u s t

a r o u t i n e c o m p u t a t i o n .

9 1



E x e r c i s e 1 3 . 3 . 4 S h o w t h a t e x a m p l e 1 3 . 3 . 1 i s i n f a c t a s p e c i a l c a s e o f t h i s

g r o u p - m e a s u r e - s p a c e e x a m p l e i n w h i c h L∞(X, µ) i s p r o v i d e d b y t h e t e n s o r

p r o d u c t s o f t h e d i a g o n a l e l e m e n t s a n d t h e g r o u p Γ

i s a r e s t r i c t e d i n n i t e

C a r t e s i a n p r o d u c t o f c y c l i c g r o u p s , c o n s t r u c t e d f r o m t h e n o n - d i a g o n a leij ' s .

C o n c l u d e b y t h e m e t h o d o f 1 1 . 2 . 1 5 t h a t I T P F I a l g b r a s a r e f a c t o r s .

T h i s e x a m p l e b r i n g s t o l i g h t a s i g n i c a n t i n a d e q u a c y o f o u r t r e a t m e n t o f

T o m i t a - T a k e s a k i t h e o r y . W e w o u l d l i k e t o t r e a t t h e c a s e w h e r e t h e m e a s u r e

o f t h e s p a c e i s i n n i t e . A l t h o u g h o f c o u r s e w e c o u l d c h o o s e a n e q u i v a l e n t

n i t e m e a s u r e , t h i s c h o i c e m a y n o t b e n a t u r a l . T o d o t h i s w e w o u l d h a v e

t o c o n s i d e r t h e t h e o r y o f w e i g h t s w h i c h a r e t o s t a t e s a s t h e t r a c e o n a I I ∞

f a c t o r i s t o t h e t r a c e o n a t y p e II 1 f a c t o r . W e n e e d t h e s a m e n o t i o n i n o r d e r

t o u n d e r s t a n d t h e o r i g i n o f t h e t e r m m o d u l a r u s e d a b o v e a s c o m i n g f r o m

t h e m o d u l a r f u n c t i o n o n a n o n - u n i m o d u l a r l o c a l l y c o m p a c t g r o u p . B u t a

s e r i o u s t r e a t m e n t o f w e i g h t s w o u l d t a k e m a n y p a g e s s o w e s i m p l y r e f e r t h e

r e a d e r t o T a k e s a k i ' s b o o k [ 3 ] .

E x a m p l e 1 3 . 3 . 5 H e c k e a l g e b r a s à l a B o s t - C o n n e s .

I f

Gi s a n i t e g r o u p l e t

ug a n d

vg b e t h e u n i t a r i e s o f t h e l e f t a n d r i g h t

r e g u l a r r e p r e s e n t a t i o n s r e s p e c t i v e l y . I fH

i s a s u b g r o u p , t h e p r o j e c t i o n pH =

1|H |h∈H vh p r o j e c t s f r o m

2(G)o n t o f u n c t i o n s t h a t a r e r i g h t t r a n s l a t i o n

i n v a r i a n t u n d e r H , i . e . f u n c t i o n s o n t h e q u o t i e n t s p a c e G/H . T h u s t h e s o -

c a l l e d q u a s i - r e g u l a r r e p r e s e n t a t i o n o fG

o n G/H

i s a d i r e c t s u m m a n d o f

t h e l e f t r e g u l a r r e p r e s e n t a t i o n a n d w e h a v e f r o m E P 7 o f c h a p t e r 4 t h a t t h e

c o m m u t a n t o f t h e a c t i o n o f

Go n

2(G/H )i s

pH ρ(G) pH w h e r e

ρ(G)i s t h e

a l g e b r a g e n e r a t e d b y t h e r i g h t r e g u l a r r e p r e s e n t a t i o n ( o f c o u r s e i s o m o r p h i c

t o C

) . T h i s c o m m u t a n t i s s p a n n e d b y t h e

pH vg pH w h i c h , t h o u g h t o f a s

f u n c t i o n s o n G

, a r e m u l t i p l e s o f t h e c h a r a c t e r i s t i c f u n c t i o n s o f t h e d o u b l e

c o s e t sHgH

w h i c h f o r m t h e d o u b l e c o s e t s p a c e H \G/H

. T h e s u b a l g e b r a

o fρ(G)

s p a n n e d b y t h e s e d o u b l e c o s e t s i s t h e s p a c e o fH − H

b i - i n v a r i a n t

f u n c t i o n s a n d w e s e e i t i s t h e c o m m u t a n t o fG

o n 2(G/H )

. I t i s k n o w n a s

t h e H e c k e a l g e b r a f o r t h e p a i r (G, H ) a n d h a s a c o n s i d e r a b l e r o l e t o p l a y

i n t h e r e p r e s e n t a t i o n t h e o r y o f n i t e g r o u p s . A f a m o u s e x a m p l e i s t h e c a s e

w h e r e

Gi s t h e g e n e r a l l i n e a r g r o u p o v e r a n i t e e l d a n d

H i s t h e g r o u p o f

u p p e r t r i a n g u l a r m a t r i c e s . T h e c o s e t s p a c e i s t h e n t h e s o - c a l l e d a g v a r i e t y

a n d t h e H e c k e a l g e b r a i n t h i s c a s e l e a d s t o a l o t o f b e a u t i f u l m a t h e m t a t i c s .

S e e B o u r b a k i [ ] .

N o t h i n g c o u l d b e t t e r i n d i c a t e h o w d i e r e n t l y t h i n g s w o r k f o r i n n i t e d i s -

c r e t e g r o u p s t h a n h o w t h e H e c k e a l g e b r a w o r k s . F a r f r o m b e i n g d i r e c t s u m -

m a n d s , t h e q u a s i r e g u l a r r e p r e s e n t a t i o n s c a n b e t o t a l l y d i e r e n t f r o m t h e l e f t

9 2



r e g u l a r r e p r e s e n t a t i o n s a n d c a n e v e n g e n e r a t e t y p e I I I f a c t o r s ! T h e s e H e c k e

a l g e b r a s g i v e n i c e e x a m p l e s w h e r e t h e m o d u l a r o p e r a t o r s c a n b e c a l c u l a t e d

e x p l i c i t l y .

D e n i t i o n 1 3 . 3 . 6 A s u b g r o u p

H o f t h e d i s c r e t e g r o u p

Gi s c a l l e d a l m o s t

n o r m a l i f e i t h e r o f t h e t w o e q u i v a l e n t c o n d i t i o n s b e l o w i s s a t i s e d .

( a )gH g−1 ∩ H

i s o f n i t e i n d e x i n H

f o r a l lg ∈ G

.

( b ) E a c h d o u b l e c o s e t o f

H i s a n i t e u n i o n o f l e f t c o s e t s o f

H ( i . e . t h e

o r b i t s o f H

o n G/H

a r e a l l n i t e ) .

I f H i s a l m o s t n o r m a l i n G o n e m a y c o n s t r u c t o p e r a t o r s i n t h e c o m m u t a n t

o f t h e q u a s i r e g u l a r r e p r e s e n t a t i o n o fG

o n 2(G/H )

a s f o l l o w s :

G i v e n a n e l e m e n t

xo f

G/H l e t

εx b e t h e c h a r a c t e r i s t i c f u n c t i o n o f

x.

T h e s e f u n c t i o n s f o r m a n o r t h o n o r m a l b a s i s o f2(G/H )

. M o r e o v e r e a c h v e c t o r

εx i s c y c l i c f o r t h e a c t i o n o f

Gh e n c e s e p a r a t i n g f o r t h e c o m m u t a n t . I f

Di s

a d o u b l e c o s e t o fH

d e n e T D b y t h e m a t r i x

(T D)x,y =

1

i fy−1x = D

;

0o t h e r w i s e .

C l e a r l y

T D i s b o u n d e d s i n c e

H i s a l m o s t n o r m a l a n d i t o b v i o u s l y c o m -

m u t e s w i t h t h e a c t i o n o f G. F r o m t h e d e n i t i o n w e h a v e

T ∗D = T D−1.

I t i s a l s o e a s y t o c h e c k t h a t

T DT E =F

nF D,E T F

w h e r e t h e s t r u c t u r e c o n s t a n t s a r e d e n e d b y

nF D,E =

#(E/H )i f

F ⊆ ED;

0o t h e r w i s e .

W e w i l l c a l l t h e v o n N e u m a n n a l g e b r a g e n e r a t e d b y t h e T D ' s t h e H e c k e -

v o n N e u m a n n a l g e b r a o f t h e p a i r

H ⊆ Ga n d w r i t e i t

HvN (G, H ). T h e

v e c t o r s t a t e φ

d e n e d o n HvN (G, H )

b y εH i s f a i t h f u l a n d n o r m a l , a n d

T DεH , T DεH = 0u n l e s s

D = Ds o t h a t t h e

T D ' s a r e o r t h o g o n a l . I t i s t h u s

e a s y t o c a l c u l a t e t h e o p e r a t o r s f o r t h e m o d u l a r t h e o r y o n Hφ ( n o t e t h a t t h i s

i s n o t2(G/H )

) . W e g u e s s a s u s u a l t h a tJ (T DΩ) = (constant)T D−1Ω

a n d

b y c o u n t i n g c o s e t s i n d o u b l e c o s e t s ( o r s i z e s o f o r b i t s o fH

o n G/H

) w e n d

9 3



t h a t t h e c o n s t a n t h a s t o b e (#(D/H ))1/2(#(H

\D))−1/2

. T h u s a s b e f o r e JS

i s d i a g o n a l o n t h e b a s i s T DΩ o f H φ s o e s s e n t i a l l y s e l f - a d j o i n t a n d

∆(T DΩ) =#(H \D)

#(D/H )T DΩ

w i t h t h e o b v i o u s d o m a i n . T h u s

σφt (T D) =

#(H \D)

#(D/H )

itT D.

E x a m p l e s o f a l m o s t n o r m a l s u b g r o u p s a r e n o t h a r d t o n d . T h e c l a s s i c a l

e x a m p l e o f H e c k e h i m s e l f i s t h e c a s e w h e r e G = SL(2,Q)

a n d H = SL(2,Z)

.

I n t h i s c a s e t h e H e c k e a l g e b r a i s a b e l i a n . B o s t a n d C o n n e s i n [ 4 ] e x a m i n e d

t h e c a s e o f t h e ax+b

g r o u p o v e r t h e r a t i o n a l s w i t h t h e s u b g r o u p b e i n g i n t e g e r

t r a n s l a t i o n s . T h e y s h o w e d t h a tHvN (G, H )

i n t h i s c a s e i s a t y p e I I I f a c t o r

a n d m a d e a c o n n e c t i o n w i t h p r i m e n u m b e r s .

1 3 . 4 T h e K M S c o n d i t i o n .

I n t h e e x a m p l e s o f t h e p r e v i o u s s e c t i o n t h e o p e r a t o r s o f t h e m o d u l a r g r o u p

w e r e e a s y t o c a l c u l a t e e x p l i c i t l y , i n c l u d i n g t h e d o m a i n o f ∆. O n e c a n i m a g i n e

t h a t t h i s i s n o t a l w a y s s o . I f w e a r e p a r t i c u l a r l y i n t e r e s t e d i n t h e m o d u l a r

g r o u p σφt i t w o u l d b e u s e f u l t o b e a b l e t o g u e s s i t a n d s h o w t h a t t h e g u e s s i s

r i g h t w i t h o u t b o t h e r i n g a b o u t t h e d o m a i n o f∆

. T h e K M S ( K u b o - M a r t i n -

S c h w i n g e r ) c o n d i t i o n f r o m q u a n t u m s t a t i s t i c a l m e c h a n i c s a l l o w s u s t o d o j u s t

t h a t . T h e m o d u l a r g r o u p c a m e f r o m t h e n o n - t r a c e - l i k e p r o p e r t y o f a s t a t e

a n d t h e K M S c o n d i t i o n a l l o w s u s t o c o r r e c t f o r t h a t . L e t u s d o a f o r m a l

c a l c u l a t i o n a s s u m i n g t h a t t h e m o d u l a r g r o u p c a n b e e x t e n d e d t o c o m p l e x

n u m b e r s ( r e m e m b e r t h a t

Ωi s x e d b y

S, J a n d

∆) :

φ(xy) = yΩ, x∗

Ω= yΩ, J ∆−1/2∆x∆−1Ω= ∆x∆−1Ω, SyΩ= y∆x∆−1Ω, Ω.

W e c o n c l u d e t h a t

φ(xy) = φ(yσφi (x)).

T h u s t h e t r a c e i s c o m m u t a t i v e p r o v i d e w e o p e r a t e b y t h e m o d u l a r g r o u p .

9 4



E x e r c i s e 1 3 . 4 . 1 I f

M i s n i t e d i m e n s i o n a l a n d

φi s a f a i t h f u l s t a t e , s h o w

t h a t φ σφt = φ a n d t h a t f o r e a c h x a n d y i n M t h e r e i s a n e n t i r e f u n c t i o n

F (z )w i t h , f o r

t ∈ R,

F (t) = φ(σφt (x)y)a n d

F (t + i) = φ(yαt(x)).

I fM

i s i n n i t e d i m e n s i o n a l w e w o u l d n o t e x p e c t t h e f u n c t i o n F (z )

o f t h e

p r e v i o u s e x e r c i s e t o b e e n t i r e .

D e n i t i o n 1 3 . 4 . 2 L e t

αt b e a s t r o n g l y c o n t i n u o u s o n e p a r a m e t e r a u t o m o r -

p h i s m g r o u p o f a v o n N e u m a n n a l g e b r a

M , a n d

φb e a f a i t h f u l n o r m a l s t a t e

o n M

. W e s a y t h a tα

s a t i s e s t h e K M S c o n d i t i o n f o r φ

i f φ αt = φ

a n d ,

f o r e a c h

xa n d

yi n

M , t h e r e i s a f u n c t i o n

F , c o n t i n u o u s a n d b o u n d e d o n

t h e s t r i p z : 0 ≤ m(z ) ≤ 1

, a n a l y t i c o n t h e i n t e r i o r o f t h e s t r i p a n d s u c h

t h a t f o r t ∈ R,

F (t) = φ(σφt (x)y)a n d

F (t + i) = φ(yαt(x)).

T h e o r e m 1 3 . 4 . 3 I f

φi s a f a i t h f u l n o r m a l s t a t e o n a v o n N e u m a n n a l g e b r a

M t h e n

σφ

t

i s t h e u n i q u e o n e p a r a m e t e r a u t o m o r p h i s m g r o u p s a t i s f y i n g t h e

K M S c o n d i t i o n f o r φ

.

T h i s c h a p t e r h a s b e e n h e a v i l y t e c h n i c a l s o w e d e f e r t h e p r o o f , w h i c h i s b y

a p p r o x i m a t i o n o n d e n s e s u b s p a c e s o f t h e d o m a i n o f

∆t o w h i c h t h e p r e v i o u s

c a l c u l a t i o n s c a n b e a p p l i e d , t o a n a p p e n d i x . W e c o n t e n t o u r s e l v e s h e r e w i t h

a n i n t e r e s t i n g c o r o l l a r y , i d e n t i f y i n g a p a r t o r

M o n w h i c h

φb e h a v e s a s a

t r a c e .

C o r o l l a r y 1 3 . 4 . 4 F o r

a ∈ M t h e f o l l o w i n g a r e e q u i v a l e n t :

1 .

φ(ax) = φ(xa) f o r a l l

x ∈ M .

2 . σφt (a) = a f o r a l l t ∈ R.

P r o o f . (1 ⇒ 2

) O b s e r v e t h a t f o rx ∈ M

,x∗Ω, aΩ = Ω, xaΩ = Ω, axΩ

( b y 1 ) . S o SxΩ, aΩ = a∗Ω, xΩ

s o t h a taΩ ∈ D(S ∗)

a n d S ∗(aΩ) = Ω∗

. S o

∆(aΩ) = aΩ,

∆itaΩ = aΩa n d n a l l y

σφt (a) = af o r a l l

t ∈ R.

(

2 ⇒ 1)

φ(σφt (x)a) = φ(σφt (xa)) = φ(xa)s o t h a t

F (t)i s c o n s t a n t . U s e t h e

S c h w a r z r e e c t i o n p r i n c i p l e t o c r e a t e a h o l o m o r p h i c f u n c t i o n , c o n s t a n t o n R

,

i n t h e u n i o n o f t h e s t r i p w i t h i t s c o m p l e x c o n j u g a t e . T h u sF

i s c o n s t a n t o n

t h e s t r i p a n d φ(xa) = φ(ax)

.

9 5



D e n i t i o n 1 3 . 4 . 5 T h e v o n N e u m a n n s u b a l g e b r a o f

M d e n e d b y e i t h e r o f

t h e c o n d i t i o n s o f t h e p r e v i o u s c o r o l l a r y i s c a l l e d t h e c e n t r a l i s e r o f t h e s t a t e

φ.

9 6



C h a p t e r 1 4

C o n n e s ' t h e o r y o f t y p e I I I f a c t o r s .

1 4 . 1 T h e C o n n e s u n i t a r y c o c y c l e R a d o n - N i k o d y m

t h e o r e m .

T h i s r e s u l t w i l l a l l o w u s t o e x t r a c t i n f o r m a t i o n f r o m t h e m o d u l a r g r o u p o f a

s t a t e w h i c h i s i n d e p e n d e n t o f t h e s t a t e .

T h e o r e m 1 4 . 1 . 1 L e t

φa n d

ψb e f a i t h f u l n o r m a l s t a t e s o n a v o n N e u m a n n

a l g e b r a

M . T h e n t h e r e i s a s t r o n g l y c o n t i n o u s m a p

t

→ut f r o m

Rt o t h e

u n i t a r y g r o u p o f M s o t h a t

σφt = Adutσψt ∀ t ∈ R.

M o r e v o e r ut s a t i s e s t h e c o c y c l e c o n d i t i o n

utσψt (us) = ut+s .

P r o o f . W e d e n e t h e f a i t h f u l n o r m a l s t a t e Φ

o n M ⊗ M 2(C)

b y Φ((x)ij) =

12

(φ(x11) + ψ(x22)). T h e p r o j e c t i o n

p =

1 00 0

i s x e d b y

σΦb y 1 3 . 4 . 4 .

S o σΦ

d e n e s a o n e p a r a m e t e r a u t o m o r p h i s m g r o u p o f pM ⊗ M 2(C) p

w h i c h

s a t i s e s t h e K M S c o n d i t i o n f o r φ . H e n c e σΦt (x⊗e11) = σφt (x)⊗e11 . S i m i l a r l y

σΦt (x ⊗ e22) = σψt (x) ⊗ e22 . L e t

V t = σΦt (1 ⊗ e21)

. T h e n V tV ∗t =

0 00 1

a n d

V ∗t V t =

1 00 0

. H e n c e

V t =

0 0vt 0

f o r s o m e u n i t a r y

vt ∈ M . R o u t i n e

c o m p u t a t i o n s g i v e t h e r e s t .

C o r o l l a r y 1 4 . 1 . 2 I f


σφt i s o u t e r f o r a n y phi

a n d t

t h e n

M i s o f t y p e I I I .

9 7



P r o o f . B y t h e p r e v i o u s r e s u l t i t s u c e s t o e x h i b i t a s i n g l e f a i t h f u l n o r m a l

s t a t e o n a t y p e I I f a c t o r w i t h i n n e r m o d u l a r g r o u p . I n t h e I I 1 c a s e u s e t h e

t r a c e a n d i n t h e I I ∞ c a s e c h o o s e a f a i t h f u l n o r m a l s t a t e φ

o n B(H)

a n d u s e

tr ⊗ φ, u s i n g t h e K M S c o n d i t i o n ( i f n e c e s s a r y ) t o v e r y t h a t t h e m o d u l a r

g r o u p f o r t h e t e n s o r p r o d u c t i s t h e t e n s o r p r o d u c t o f t h e m o d u l a r g r o u p s .

C o r o l l a r y 1 4 . 1 . 3 T h e s u b g r o u p o f a l l

t ∈ R f o r w h i c h

σφt i s i n n e r i s i n d e -

p e n d e n t o f t h e f a i t h f u l n o r m a l s t a t e φ

.

D e n i t i o n 1 4 . 1 . 4 T h e s u b g r o u p o f t h e p r e v i o u s c o r o l l a r y , w h i c h i s a n i n -

v a r i a n t o f

M , i s c a l l e d

T (M ).

W e s h a l l n o w c a l c u l a t e T (M )

f o r t h e P o w e r s f a c t o rRλ w h e r e t h i s r e f e r s

t o t h e I T P F I f a c t o r w i t h a l lnk = 2

a n d a l l s t a t e s h a v i n g t h e s a m e d e n s i t y

m a t r i x h =

1

1+λ0

0 λ1+λ

.

T h e o r e m 1 4 . 1 . 5

T (Rλ) =2π

log λZ

.

P r o o f . B y t h e f o r m u l a f o r t h e m o d u l a r g r o u p σφ2

πlog λ

= ids o

2π

logλZ

⊆T (R

λ)

.

F o r t h e o t h e r d i r e c t i o n i t s u c e s t o s h o w t h a t a n a u t o m o r p h i s m α

o f t h e

f o r m

α = ⊗∞k=1Adu

i s o u t e r w h e n e v e r t h e u n i t a r y u

i s n o t a s c a l a r .

F o r t h i s r s t d e n e uk = ⊗k1u

a n d o b s e r v e t h a t i fα = Adv

t h e n (uk ⊗

1)−1v = ido n t h e m a t r i x a l g e b r a

Ak = ⊗k1M 2(C). B y e x e r c i s e 5 . 3 . 3 t h i s

m e a n s t h a tv = uk ⊗ w

. N o w i t i s c l e a r f r o m o u r b a s i s t h a t w e c a n c h o o s e

⊗ p j=1xi ⊗ 1Ωw i t h n o n - z e r o i n n e r p r o c u c t w i t h

vΩ. B u t t h e n x i n g

pa n d

l e t t i n g k

t e n d t o i n n i t y w e s e e t h a t

(⊗ p j=1xi ⊗ 1)Ω, vΩ =

p j=1

xi, u1, uk− p1, w.

T h e l e f t h a n d s i d e d o e s n o t d e p e n d o n k

a n d |1, w| ≤ 1

s o w e m u s t h a v e

|1, u| = 1w h i c h m e a n s t h a t

ui s a s c a l a r m u l t i p l e o f

1b y t h e C a u c h y -

S c h w a r z i n e q u a l i t y .

W e c o n c l u d e t h a t t h e P o w e r s f a c t o r sRλ a r e t y p e I I I f a c t o r s , m u t u a l l y

n o n - i s o m o r p h i c f o r d i e r e n t v a l u e s o fλ

.

9 8



1 4 . 2 T y p e I I I λ.

T h e s p e c t r u m o f t h e m o d u l a r o p e r a t o r∆

i s e a s y t o c a l c u l a t e f o r a n I T P F I

f a c t o r . I t i s s i m p l y t h e c l o s u r e o f t h e s e t o f a l l r a t i o s

µiµj

a s

µv a r i e s o v e r

a l l t h e d e n s i t y m a t r i c e s d e n i n g t h e p r o d u c t s t a t e . A p a r t f r o m b e i n g c l o s e d

u n d e r t h e i n v e r s e o p e r a t i o n t h i s s e t o f n o n - n e g a t i v e r e a l n u m b e r s h a s n o

p a r t i c u l a r s t r u c t u r e a n d c a n b e a l t e r e d e a s i l y b y m a k i n g c h a n g e s i n n i t e l y

m a n y d e n s i t y m a t r i c e s w h i c h o f c o u r s e d o n o t c h a n g e t h e f a c t o r .

D e n i t i o n 1 4 . 2 . 1 I f

M i s a v o n N e u m a n n a l g e b r a t h e i n v a r i a n t

S (M )i s

t h e i n t e r s e c t i o n o v e r a l l f a i t h f u l n o r m a l s t a t e s φ

o f t h e s p e c t r a o f t h e i r c o r -

r e s p o n d i n g m o d u l a r o p e r a t o r s ∆φ

.

T h e o r e m 1 4 . 2 . 2 A f a c t o r

M i s o f t y p e I I I i

0 ∈ S (M ).

T h e o r e m 1 4 . 2 . 3 ( C o n n e s - v a n D a e l e )

S (M ) \ 0i s a c l o s e d s u b g r o u p o f

t h e p o s i t i v e r e a l n u m b e r s .

T h e r e a r e o n l y t h r e e k i n d s o f c l o s e d s u b g r o u p s o fR+

.

D e n i t i o n 1 4 . 2 . 4 A f a c t o r

M i s c a l l e d t y p e I I I λ f o r

0 ≤ λ ≤ 1i f

λ = 0 : S (M ) = 0 ∪ 10 < λ < 1 : S (M ) = 0 ∪ λn : n ∈ Z

λ = 1 : S (M ) = 0 ∪R+

T h e o r e m 1 4 . 2 . 5 T h e P o w e r s f a c t o r

Rλ i s o f t y p e I I I λ .

I n h i s t h e s i s , C o n n e s s h o w e d t h a t e v e r y t y p e I I I λ f a c t o r f o r0 < λ < 1

i sC o n n e s t h e s i s

c a n o n i c a l l y i s o m o r p h i c t o t h e c r o s s e d p r o d u c t o f a t y p e I I ∞ f a c t o r w i t h a n

a c t i o n o fZ

w h o s e g e n e r a t o r s c a l e s t h e t r a c e b y λ

.

I fA

i s a l o c a l l y c o m p a c t a b e l i a n g r o u p w i t h a n a c t i o n α

o n a v o n N e u m a n n

a l g e b r a

M , t h e r e i s a n a c t i o n

αo f t h e P o n t r y a g i n d u a l

Ao n t h e c r o s s e d

p r o d u c tM αA

s a t i s f y i n g

αa(x) = xf o r

x ∈ M

αa(ua) = a(a)ua i fua a r e t h e u n i t a r i e s d e n i n g t h e c r o s s e d p r o d u c t .

T h e e x i s t e n c e o f t h e s o - c a l l e d d u a l a c t i o n α

i s t r i v i a l p r o v e d s i n c e i t i s

i m p l e m e n t e d b y t h e o b v i o u s u n i t a r y r e p r e s e n t a t i o n o fA

o n L2(A)

.

9 9



E x e r c i s e 1 4 . 2 . 6 I f

Ai s n i t e c o n s i d e r t h e p r o j e c t i o n

p = a ua

∈M A

.

S h o w t h a t pM Ap = M A p a n d t h u s s h o w t h a t (M αA)αA i s i s o m o r p h i c

t o M ⊗ M |A|(C)

.

O b s e r v e t h a t t h e c r o s s e d p r o d u c t o f a v o n N e u m a n n a l g e b r a M

o n H

b y

t h e m o d u l a r g r o u p σφ

d o e s n o t d e p e n d , u p t o i s o m o r p h i s m , o n t h e f a i t h f u l

n o r m a l s t a t e φ

. T h i s f o l l o w s f r o m t h e o r e m 1 4 . 1 . 1 b y d e n i n g t h e u n i t a r y V

o n L2(R, H)

b y

V f (t) = utf (t)

w h e r e ψ

i s a n o t h e r f a i t h f u l n o r m a l s t a t e w i t h u n i t a r y o n e - c o c y c l e ut . C o n j u -

g a t i n g t h e o p e r a t o r s t h a t g e n e r a t e

M σφR b y

V o n e o b t a i n s t h e g e n e r a t o r s

o f M σψR .

T h e o r e m 1 4 . 2 . 7 T h e c r o s s e d p r o d u c t o f

M b y t h e m o d u l a r g r o u p a d m i t s a

t r a c e s a t i s f y i n g t h e p r o p e r t i e s o f 9 . 1 . 9

D e n i t i o n 1 4 . 2 . 8 T h e a c t i o n o f

Ro n

Z (M σφR)i s c a l l e d t h e o w o f

w e i g h t s o f M

.

T h e o r e m 1 4 . 2 . 9 ( T a k e s a k i d u a l i t y ) T h e c r o s s e d p r o d u c t

(M σφR

)σφR

i s i s o m o r p h i c t o t h e t e n s o r p r o d u c tM ⊗ B(H)

f o r H = L2(R)

.

T h u s i fM

i s a f a c t o r t h e o w o f w e i g h t s i s e r g o d i c .

T h e o r e m 1 4 . 2 . 1 0 I f

M i s a f a c t o r o f t y p e I I I λ t h e o w o f w e i g h t s i s

I I I 1 : T h e t r i v i a l o w o n a o n e p o i n t s e t i f M

i s I I I 1 .

I I I λ : T h e t r a n s i t i v e o w o n t h e c i r c l e w i t h p e r i o d

2πλ

i f M

i s o f t y p e I I I λ ,

0 < λ < 1.

I I I 0 : E r g o d i c n o n - t r a n s i t i v e i f

M i s o f t y p e I I I 0 .

M o r e o v e r a n y e r g o d i c n o n - t r a n s i t i v e o w a r i s e s a s t h e o w o f w e i g h t s f o r

s o m e t y p e I I I 0 f a c t o r .

1 0 0



C h a p t e r 1 5

H y p e r n i t e n e s s

D e n i t i o n 1 5 . 0 . 1 1 A v o n N e u m a n n a l g e b r a

M o n a s e p a r a b l e H i l b e r t s p a c e

i s c a l l e d h y p e r n i t e i f t h e r e i s a n i n c r e a s i n g s e q u e n c e An o f n i t e d i m e n s i o n a l

* - s u b a l g e b r a s o f

M w h i c h g e n e r a t e s

M a s a v o n N e u m a n n a l g e b r a .

1 5 . 1 T h e h y p e r n i t e t y p e I I 1 f a c t o r R

T h e r s t m a i n r e s u l t a b o u t h y p e r n i t e n e s s w a s p r o v e d b y M u r r a y a n d v o n

N e u m a n n i n [ ] . W e w i l l u s e

Rt o d e n o t e t h e h y p e r n i t e I I 1 f a c t o r w h o s e

u n i q u e n e s s t h e y p r o v e d .

T h e o r e m 1 5 . 1 . 1 U p t o a b s t r a c t i s o m o r p h i s m t h e r e i s a u n i q u e h y p e r n i t e

I I 1 f a c t o r .

S k e t c h o f p r o o f . O n e w o r k s w i t h t h e n o r m ||x||2 = tr(x∗x)1/2

o n M

. I t i s

n o t h a r d t o s h o w t h a t a v o n N e u m a n n s u b a l g e b r a N

o fM

i s s t r o n g l y d e n s e

i n M

i i t i s d e n s e i n ||−||2 . G i v e n a s u b a l g e b r a

Ao f

M a n d a s u b s e t

S ⊆ M o n e s a y s

S ⊆ A

ε

i f f o r e a c h x ∈ S

t h e r e i s a y ∈ A

w i t h ||x − y||2 < ε

.

T h e h y p e r n i t e n e s s c o n d i t i o n t h e n i m p l i e s :

F o r e v e r y n i t e s u b s e tS ⊆ M

a n d e v e r y ε > 0

t h e r e i s a n i t e d i m e n -

s i o n a l * - s u b a l g e b r a

Ao f

M w i t h

S ⊆ A.

ε

1 0 1



T h e n e x t s t e p i s t o s h o w t h a t t h e A

i n t h e p r e c e e d i n g c o n d i t i o n c a n b e

c h o s e n t o b e t h e 2n× 2n m a t r i c e s f o r s o m e ( p o s s i b l y v e r y l a r g e ) n. T h i s p a r t

u s e s w h a t m i g h t b e d e s c r i b e d a s I I 1 f a c t o r t e c h n i q u e . O n e b e g i n s w i t h A

a n d a p p r o x i m a t e s a l l i t s m i n i m a l p r o j e c t i o n sei b y o n e s w h o s e t r a c e s a r e

n u m b e r s o f t h e f o r m k/2n

. T h e m a t r i x u n i t s o fA

c a n b e c h a n g e d a l i t t l e b i t

i n | |− | |2 s o t h a t , t o g e t h e r w i t h m a t r i x u n i t s c o n e c t i n g p r o j e c t i o n s o f t r a c e

1/2nl e s s t h a n t h e

ei , t h e y g e n e r a t e a

2n×2nm a t r i x a l g e b r a c o n t a i n i n g , u p t o

ε, t h e m a t i x u n i t s o f

A. P e r t u r b a t i o n o f t h e m a t r i x u n i t s w i l l i n v o l v e r e s u l t s

o f t h e f o r m :

I f u ∈ M

s a t i s e s ||(uu∗)2 − uu∗||2 <

t h e n t h e r e i s a p a r t i a l i s o m e t r y

v ∈ M w i t h

||v − u||2 < F ()

( f o r s o m e n i c e f u n c t i o n f w i t h f (0) = 0) .

o r :

I f p

a n d q

a r e p r o j e c t i o n s w i t h || pq ||2 <

t h e n t h e r e i s a p r o j e c t i o n q

w i t h

pq = 0a n d

||q − q || < F ().

o r :

I f

f ij a r e a l m o s t

n × nm a t r i x u n i t s , i . e .

( a )||f ij − f ji||2 <

( b ) ||f ijf kl − δ j,kf il||2 < ( c )

||1 −ni=1 f ii||2 <

t h e n t h e r e a r e n×n

m a t r i x u n i t s eij w i t h

||eij−f ij|| < F ()w h e r e

F d e p e n d s

o n l y o n n

a n d F (0) = 0

.

S u c h r e s u l t s a r e p r o v e d b y a s k i l f u l u s e o f t h e p o l a r d e c o m p o s i t i o n a n d

s p e c t r a l t h e o r e m .

T h u s o n e s h o w s t h a t i n a h y p e r n i t e t y p e I I 1 f a c t o r o n e h a s :

P r o p e r t y * : F o r e v e r y n i t e s u b s e tS ⊆ M

a n d e v e r y ε > 0

t h e r e i s a

2n

×2n

m a t r i x s u b a l g e b r a o f M

w i t h

S ⊆ A.

ε

O n e m a y n o w p r o c e e d t o p r o v e t h e t h e o r e m b y c h o o s i n g a | |− | |2 - d e n s e

s e q u e n c e xk i n

M a n d i n d u c t i v e l y c o n s t r u c t i n g a n i n c r e a s i n g s e q u e n c e o f

2nk × 2nkm a t r i x a l g e b r a s

Ak w i t h t h e p r o p e r t y t h a t

F o r e a c h k = 1, 2, 3,..., x1, x2,...,xk ⊆ Ak .

1/k

1 0 2



T h e u n i o n o f t h e Ak ' s i s c l e a r l y d e n s e i n

| |−| |2 . T h i s i s e n o u g h t o p r o v e

t h e t h e o r e m s i n c e t h e Ak ' s c a n b e u s e d t o g i v e a n i s o m o r p h i s m o f M w i t h

t h e t y p e I I 1 f a c t o r⊗∞M 2(C)

c o n s t r u c t e d i n s e c t i o n 7 . 2 .

T o c o n s t r u c tAk+1 f r o m

Ak o n e n e e d s t o a r r a n g e f o r t h e n e w a l g e b r a

t o c o n t a i n t h e o n e a l r e a d y c o n s t r u c t e d . S o t o t h e e l e m e n t s

x1, x2,...,xk+1 ,

a d d m a t r i x u n i t seij f o r

Ak+1 . N o w u s e p r o p e r t y * t o o b t a i n a B

a l m o s t

c o n t a i n i n g t h e xi a n d t h e m a t r i x u n i t s , w i t h

s m a l l e n o u g h t o c o n t r o l s u m s

o v e r t h e m a t r i x u n i t seij . I n

Bw e k n o w t h e r e a r e a p p r o x i m a t e m a t r i x u n i t s

c l o s e t o t h e eij s o b y a t e c h n i c a l l e m m a , e x a c t m a t r i x u n i t s

f ij c l o s e t o t h e

eij . N o w c h o o s e a u n i t a r y c l o s e t o t h e i d e n t i t y w h i c h c o n j u g a t e s t h e f ij t o

t h e eij a n d u s e t h i s u n i t a r y t o c o n j u g a t e

Bt o a s u p e r a l g e b r a o f

Ak . T h i s

s u p e r a l g e b r a i s Ak+1 a n d i t c o n t a i n s t h e xi u p t o e p s i l o n s i n c e u i s c l o s e t o

t h e i d e n t i t y .

T h i s c o m p l e t e s t h e s k e t c h o f t h e p r o o f . T h e t e c h n i q u e i n v o l v e d i s c o n -

s i d e r e d s t a n d a r d i n v o n N e u m a n n a l g e b r a s a n d t h e d e t a i l s c a n b e f o u n d i n

.d i x m i e r

C o r o l l a r y 1 5 . 1 . 2 I f

S ∞ i s t h e g r o u p o f n i t e l y s u p p o r t e d p e r m u t a t i o n s o f a

c o u n t a b l y i n n i t e s e t t h e n vN (S ∞) ∼= ⊗∞M 2(C)

.

P r o o f . T h e s u b g r o u p s o fS ∞ p e r m u t i n g a n i n c r e a s i n g s e q u e n c e o f n i t e s e t s

s h o w t h a tvN (S

∞)

i s h y p e r n i t e .

I t i s s u r p r i s i n g a t r s t s i g h t t h a t t h e t y p e I I 1 f a c t o rL∞(X, µ)Z

o b t a i n e d

f r o m a n e r g o d i c m e a s u r e - p r e s e r v i n g t r a n s f o r m a t i o n T

i s h y p e r n i t e . T h i s c a n

b e s h o w n b y R o k h l i n ' s t o w e r t h e o r e m w h i c h a s s e r t s t h a t , f o r e a c h n ∈ N

a n d

e a c h > 0

t h e r e i s a m e a s u r a b l e s u b s e tA ⊆ X

w i t h

( 1 )

T i(A) ∩ T j(A) = ∅f o r

1 ≤ i < j ≤ n, a n d

( 2 )µ(X \ ∪ni=0T i(A)) <

.

T h e u n i t a r y u1 o f t h e c r o s s e d p r o d u c t a n d t h e c h a r a c t e r i s t i c f u n c t i o n o f

Ac a n b e c o m b i n e d , w i t h a l i t t l e p e r t u r b a t i o n t o g e t t h e i d e n t i t y , t o g e t a

n

×n

m a t r i x a l g e b r a . C a r e f u l a p p l i c a t i o n o f t h e t o w e r t h e o r e m w i l l a l l o w o n e t o

g e t a n y e l e m e n t o fL∞(X, µ)

, a n d u1 , i n t h i s m a t r i x a l g e b r a u p t o s o m e

.

T h i s w a s r s t p r o v e d b y H e n r y D y e i n w h o w e n t o n t o p r o v e t h a t i n f a c t a l lD y e

g r o u p s o f p o l y n o m i a l g r o w t h g i v e h y p e r n i t e I I 1 f a c t o r s i n t h i s w a y .

T h e u l t i m a t e r e s u l t i n t h i s d i r e c t i o n i s t h e c e l e b r a t e d I n j e c t i v e f a c t o r s

t h e o r e m o f C o n n e s w h o s h o w e d t h a t h y p e r n i t e n e s s f o r a v o n N e u m a n n a l -

g e b r a M

o n H

i s e q u i v a l e n t t o i n j e c t i v i t y w h i c h m e a n s t h e r e i s a p r o j e c t i o n

i n t h e B a n a c h s p a c e s e n s e o f n o r m o n e f r o m B(H)

o n t o M

. T h i s t h e o r e m ,

w h o s e p r o o f i s a g r e a t , g r e a t t o u r d e f o r c e , h a s a r a f t o f c o r o l l a r i e s , m a n y o f

1 0 3



w h i c h w e r e o p e n q u e s t i o n s . L e t u s j u s t m e n t i o n t h e f a c t t h a t i t f o l l o w s e a s i l y

t h a t a n y s u b f a c t o r o f R w h i c h i s i n n i t e d i m e n s i o n a l i s i n f a c t i s o m o r p h i c t o

R. I t a l s o i m p l i e s t h a t

vN (Γ), a s w e l l a s

L∞(X, µ)Γi s h y p e r n i t e a s s o o n

a sΓ

i s a m e n a b l e .

1 5 . 2 T h e t y p e I I I c a s e .

T h e c o m p l e t e c l a s s i c a t i o n o f i n j e c t i v e ( = h y p e r n i t e ) f a c t o r s i s a t r i u m p h

o f 2 0 t h . c e n t u r y m a t h e m a t i c s . C o n n e s s h o w e d i n t h a t t h e r e i s o n l y o n e C o n n e s a c t i o n s

t r a c e - s c a l i n g a u t o m o r p h i s m o fR ⊗ B(H)

f o r e a c h s c a l i n g f a c t o rλ = 1

u p t o

c o n j u g a c y . T o g e t h e r w i t h t h i s s h o w s t h a t f o r e a c h λ

w i t h 0 < λ < 1

t h e r e i sC o n n e s I n j e c t i v e f a c t o r s

a u n i q u e i n j e c t i v e f a c t o r o f t y p e I I I λ .

U s i n g r e s u l t s o f K r i e g e r i n , h i s t h e s i s a n d , C o n n e s s h o w e d t h a t h y p e r -k r i e g e r

i n j e c t i v e

n i t e t y p e I I I 0 f a c t o r s a r e c l a s s i e d b y t h e i r o w o f w e i g h t s ( u p t o c o n j u g a c y o f

o w s , n o t o r b i t e q u i v a l e n c e ) . T h i s m e a n s t h a t t h e r e i s a r a t h e r l a r g e n u m b e r

o f I I I 0 f a c t o r s b u t t h e i r c l a s s i c a t i o n i s i n t h e r e a l m o f e r g o d i c t h e o r y r a t h e r

t h a n v o n N e u m a n n a l g e b r a s .

T h e r e m a i n i n g c a s e o f i n j e c t i v e t y p e I I I 1 f a c t o r s w a s s o l v e d b y H a a g e r u p

i n . T h e r e i s j u s t o n e s u c h f a c t o r a n d a h y p e r n i t e f a c t o r i s g e n e r i c a l l y o fu e I I I o n e

t y p e I I I 1 .

1 0 4



C h a p t e r 1 6

C e n t r a l S e q u e n c e s .

1 6 . 1 G e n e r a l i t i e s .

D e n i t i o n 1 6 . 1 . 1 I f

M i s a t y p e I I 1 f a c t o r , a c e n t r a l s e q u e n c e i n

M i s a

n o r m b o u n d e d s e q u e n c e (xn)

w i t h limn→∞ ||[xn, a]||2 = 0

. A c e n t r a l s e q u e n c e

i s s a i d t o b e t r i v i a l i f limn→∞ ||xn − tr(xn)id||2 = 0

.M

i s s a i d t o h a v e

p r o p e r t y

Γi f t h e r e i s a c e n t r a l

T h e c o l l e c t i o n o f a l l c e n t r a l s e q u e n c e s i s c l e a r l y a C

∗- s u b a l g e b r a o f

∞(N, M ).

I fω

i s a f r e e u l t r a l t e r o n N

, t h e s u b a l g e b r a

I ω o f

∞(N, M )c o n s i s t i n g o f

s e q u e n c e s w i t h limn→ω ||xn||2 = 0 i s a 2 - s i d e d i d e a l o f ∞(N, M ). N o t e a l s o

t h a tM

i s e m b e d d e d i n ∞(N, M )

a s c o n s t a n t s e q u e n c e s .

D e n i t i o n 1 6 . 1 . 2 W i t h n o t a t i o n a s a b o v e , t h e u l t r a p r o d u c t o f

M a l o n g

ωi s

t h e q u o t i e n t o f

∞(N, M )b y

I ω . I t i s w r i t t e n

M ω. T h e a l g e b r a o f (

ω- ) c e n t r a l

s e q u e n c e s i s t h e c e n t r a l i s e r M ω = M ∩ M ω

o f M

i n ∞(N, M )

.

B y c o m p a c t n e s s , t h e t r a c e o n M

d e n e s a t r a c e o n M ω

b y

tr((xn)) = limn→ω

tr(xn)

a n d b y d e n i t i o n i t i s f a i t h f u l o n M ω.

E x e r c i s e 1 6 . 1 . 3 S h o w t h a t t h e u n i t b a l l ( i n t h e C

∗n o r m ) o f

M ωi s c o m p l e t e

i n | |−| |2 s o t h a t

M ωa n d

M ω a r e v o n N e u m a n n a l g e b r a s .

1 6 . 2 C e n t r a l s e q u e n c e s i n R

A l l m o d e l s f o rR

e x h i b i t c e n t r a l s e q u e n c e s i n a b u n d a n c e . T h e m o s t o b v i o u s

s i t u a t i o n i s t h a t o f⊗∞M 2(C)

. F i x i n g x ∈ M 2(C)

w e c a n d e n e t h e s e q u e n c e

1 0 5



xn = 1

⊗1

⊗1...x

⊗1

⊗1...

w i t h t h e x

i n t h e n

t h . s l o t i n t h e t e n s o r p r o d u c t .

F o r l a r g e e n o u g h n, xn w i l l c o m m u t e w i t h a n y e l e m e n t i n t h e a l g e b r a i c t e n s o r

p r o d u c t s o b y t h e o b v i o u s ( i n t h e I I 1 c a s e ! ) i n e q u a l i t y ||[xn, a]|| ≤ 2||xn||||a||2

w e s e e t h a t(xn)

i s c e n t r a l a n d c l e a r l y n o n - t r i v i a l i fx

i s n o t a s c a l a r . J u s t a s

c l e a r l y t h e c e n t r a l s e q u e n c e a l g e b r a i s n o n - c o m m u t a t i v e a s w e o n l y n e e d t o

c h o o s e x

a n d y

t h a t d o n o t c o m m u t e a n d c o n s t r u c t t h e s e q u e n c e s(xn)

a n d

(yn)a s a b o v e . I n f a c t i t i s n o t h a r d t o s h o w t h a t

Rω i s a f a c t o r .

T h e o r e m 1 6 . 2 . 1 T h e c e n t r a l s e q u e n c e a l g e b r a

Rω i s a t y p e I I 1 f a c t o r .

P r o o f . I f(xn)

r e p r e s e n t s a n e l e m e n tX ∈ Rω ,

1 6 . 3 T y p e I I 1 f a c t o r s w i t h o u t p r o p e r t y Γ.

T h e o r e m 1 6 . 3 . 1 L e t

Γb e a n i c c g r o u p p o s s e s s i n g a s u b s e t

∆n o t c o n t a i n i n g

t h e i d e n t i t y a n d t h r e e e l e m e n t s

α, β a n d

γ s u c h t h a t

( a )

Γ = 1 ∪ ∆ ∪ α∆α−1

( b )

∆, β ∆β −1a n d

γ ∆γ −1a r e m u t u a l l y d i s j o i n t .

t h e n f o r x

∈vN (Γ)

,

||x − tr(x)id||2 ≤ 14max||[x, uα]||2, ||[x, uβ ]||2, ||[x, uγ ]||2.

P r o o f . W r i t e x

a s

ν ∈Γ xν uν . W e w i l l f r e q u e n t l y u s e t h e f o r m u l a

||[x, uρ]||22 = ||uρ−1xuρ − x||2 =ν ∈Γ

|xν − xρνρ−1|2.

B y r e p l a c i n g

xb y

x − tr(x)idi t s u c e s t o p r o v e t h e r e s u l t i f

tr(x) = 0a n d w e m a y s u p p o s e

||x||2 = 1s o t h a t f o r s u c h a n

xw e m u s t s h o w

1 ≤14max

||[x, uα]

||2,

||[x, uβ ]

||2,

||[x, uγ ]

||2

.

W e r s t m a k e a s i m p l e e s t i m a t e . I f

Λi s a n y s u b s e t o f

Γa n d

ρ ∈ Γt h e n

|ν ∈Λ

|xν |2 −ν ∈Λ

|xρνρ−1|2| =ν ∈Λ

(|xν | + |xρνρ−1 |)||xν | − |xρνρ−1 ||

≤ν ∈Λ

(|xν | + |xρνρ−1 |)(|xν − xρνρ−1 |)

≤ 2||x||2(ν ∈Λ

|xν − xρνρ−1|2)1/2

1 0 6



s o t h a t i fρ

∈ α , β, γ

w e h a v e

|ν ∈Λ

|xν |2 −ν ∈Λ

|xρνρ−1|2| ≤ 2

w h e r e = max||[x, uα]||2, ||[x, uβ ]||2, ||[x, uγ ]||2.

L e t u s n o w r s t o v e r e s t i m a t e ||x||2 = 1

:

1 ≤ν ∈∆

|xν |2 +ν ∈∆

|xανα−1|2

≤ 2ν ∈∆

|xν |2 + 2.

N o w u n d e r e s t i m a t e i t :

1 ≥ν ∈∆

|xν |2 +ν ∈∆

|xβνβ −1|2 +ν ∈∆

|xγνγ −1|2

≥ 3ν ∈∆

|xν |2 − 4.

L e ty = ν ∈∆ |xν |2 a n d e l i m i n a t e

yf r o m t h e i n e q u a l i t i e s

1 ≤ 2y + 2a n d

1 ≥ 3y − 4 t o o b t a i n

≥ 1/14

a s d e s i r e d .

I t i s e a s y t o c o m e u p w i t h g r o u p s h a v i n g s u b s e t s a s i n t h e p r e v i o u s t h e -

o r e m . F o r i n s t a n c e i fG = F 2 , f r e e o n g e n e r a t o r s

ga n d

h, l e t

∆b e t h e s e t

o f a l l r e d u c e d w o r d s e n d i n g i n a n o n - z e r o p o w e r o fg

. L e tα = g

,β = h

a n d

γ = h−1. T h e s a m e w o r k s f o r m o r e t h a n t w o g e n e r a t o r s . W e c o n c l u d e :

T h e o r e m 1 6 . 3 . 2 T h e t y p e I I 1 f a c t o r

vN (F n) f o r

n ≥d o e s n o t h a v e p r o p e r t y

Γ.

1 0 7



1 0 8



C h a p t e r 1 7

B i m o d u l e s a n d p r o p e r t y T

1 0 9



1 1 0



C h a p t e r 1 8

S u b f a c t o r s

1 1 1



1 1 2



C h a p t e r 1 9

F r e e p r o b a b i l i t y

1 1 3



1 1 4



A p p e n d i x A

N o r m a l i m p l i e s u l t r a w e a k l y

c o n t i n u o u s .

1 1 5



1 1 6



A p p e n d i x B

P r o o f o f t h e K M S c o n d i t i o n .

T h e o r e m B . 0 . 3 L e t

φb e a f a i t h f u l n o r m a l s t a t e o n a v o n N e u m a n n a l g e b r a

M . T h e n t h e m o d u l a r g r o u p

σφt i s t h e u n i q u e o n e p a r a m e t e r a u t o m o r p h i s m

g r o u p o f

M w h i c h s a t i s e s t h e K M S c o n d i t i o n f o r

φ.

P r o o f . P e r f o r m t h e G N S c o n s t r u c t i o n w i t h c a n o n i c a l c y c l i c a n d s e p a r a t i n g

v e c t o rΩ

a n d m o d u l a r o p e r a t o r sS = J ∆1/2

. R e c a l l t h a tf (∆)Ω = Ω

f o r a n y

f u n c t i o n o f∆

w i t h f (1) = 1

. I n p a r t i c u l a rφ(σφt (x) = (∆itx∆−itΩ, Ω

s o σφt

p r e s e r v e sφ

.

N o w l e t u s c h e c k t h e r e s t o f t h e K M S c o n d i t i o n . W e h a v e

φ(σφt (x)y) = ∆−ityΩ, x∗Ωa n d

φ(yσφt (x)) = yσφt (x)Ω, Ω= J ∆1/2σφt (x∗)Ω, J ∆1/2yΩ= ∆1/2yΩ, ∆1/2∆itx∗Ω= ∆1/2−ityΩ, ∆1/2x∗Ω

S o l e t

ξ = yΩ,

η = x

∗

Ωa n d l e t

pnb e t h e s p e c t r a l p r o j e c t i o n f o r

∆f o r

t h e i n t e r v a l[1/n,n]

s o t h a tpn t e n d s s t r o n g l y t o

1a n d

∆±1a r e b o u n d e d o n

pnHφ . T h e f u n c t i o n s

F n(z ) = ∆−iz pnξ, ηa r e t h e n e n t i r e a n d

|F n(t) − φ(σφt (x)y)| = |∆−it(1 − pn)ξ, η |≤ | |(1 − pn)ξ || ||η|||F n(t + i) − φ(yσφt (x))| = |∆1/2−it(1 − pn)ξ, ∆1/2η |≤ | |(1 − pn)∆1/2ξ || ||∆1/2η||.

1 1 7



H e n c e t h e F n a r e b o u n d e d a n d c o n t i n u o u s o n t h e s t r i p

z : 0 <

mz < 1

a n d c o n v e r g e u n i f o r m l y o n i t s b o u n d a r y . B y t h e P h r a g m e n - L i n d e l o f t h e o r e m

w e a r e d o n e .

N o w l e t u s p r o v e u n i q u e n e s s o f t h e m o d u l a r g r o u p w i t h t h e K M S c o n d i -

t i o n .

L e tαt b e a n o t h e r c o n t i n o u s o n e - p a r a m e t e r a u t o m o r p h i s m g r o u p s a t i s f y -

i n g K M S f o rφ

.

T h e f a c t t h a tαt p r e s e r v e s

φm e a n s w e c a n d e n e a s t r o n g l y c o n t i n o u s

o n e - p a r a m e t e r u n i t a r y g r o u p t → ut b y

utxΩ = αt(x)Ω. B y S t o n e ' s t h e o r e m

i t i s o f t h e f o r m t → Dit

f o r s o m e n o n - s i n g u l a r p o s i t i v e s e l f - a d j o i n t o p e r a t o r

A. T h e g o a l i s t o p r o v e t h a t

D = ∆. A s a r s t s t e p w e c o n s t r u c t a d e n s e

s e t o f a n a l y t i c v e c t o r s i n M Ω b y F o u r i e r t r a n s f o r m . L e t A b e t h e s e t o f a l l

o p e r a t o r s o f t h e f o r m ∞−∞

f (t)αt(x)dx

f o r a l lC ∞

f u n c t i o n sf

o f c o m p a c t s u p p o r t o n R

. T h e i n t e g r a l c o n v e r g e s

s t r o n g l y s o

f (log(D))xΩ =

∞−∞

f (t)Dit(xΩ)dx

i s i n AΩ

. T h u s t h e s p e c t r a l p r o j e c t i o n s o fD

a r e i n t h e s t r o n g c l o s u r e o fA

a n d AΩ

i s d e n s e . M o r e o v e rz

→DzxΩ

i s a n a l y t i c f o rx

∈A

s i n c e xΩ

i s

i n t h e s p e c t r a l s u b s p a c e o f A f o r a b o u n d e d i n t e r v a l . A l s o AΩ i s i n v a r i a n t

u n d e r

Dzb y t h e f u n c t i o n a l c a l c u l u s . T o c o m p a r e w i t h

φd e n e , f o r

xa n d

yi n

A, t h e e n t i r e f u n c t i o n

F 1(z ) = D−izyΩ, x∗Ω.

L e tF

b e t h e f u n c t i o n , a n a l y t i c i n s i d e t h e s t r i p a n d c o n t i n u o u s a n d b o u n d e d

o n i t , g u a r a n t e e d f o rx

a n d y

b y t h e K M S c o n d i t i o n . T h e n i f w e d e n e G(z )

f o r−1 ≤ mz ≤ 1

b y

G(z ) =

F (z ) − F 1(z )i f

mz ≥ 0;

F (z ) − F 1(z ) i f mz ≤ 0.

S i n c e F

a n d F 1 a g r e e o n t h e r e a l l i n e

Gi s a n a l y t i c f o r

−1 < mz < 1, h e n c e

e q u a l t o

0, a n d s i n c e b o t h

F a n d

F 1 a r e c o n t i n o u s o n t h e s t r i p ,φ(yσt(x)) =

F (t + i) = F 1(t + i) = D1−ityΩ, x∗Ω. I n p a r t i c u l a r p u t t i n g

t = 0w e g e t

DyΩ, x∗Ω = φ(yx)

= xΩ, y∗Ω= J ∆1/2x∗Ω, J ∆1/2yΩ= ∆1/2yΩ, ∆1/2x∗Ω

1 1 8



S o ∆1/2yΩ

i s i n t h e d o m a i n o f∆1/2

a n d ∆yΩ = DyΩ

.

T h u sD

a n d ∆

a g r e e o n AΩ

. B u t m u l t i p l i c a t i o n b y t h e f u n c t i o n ez + 1

i s

a l i n e a r i s o m o r p h i s m o f

C ∞c s o b y f u n c t i o n a l c a l c u l u s

(D +1)AΩ = AΩw h i c h

i s t h u s d e n s e . S i n c e D + 1

i s i n v e r t i b l e b y s p e c t r a l t h e o r y , a n y (ξ, (D + 1)ξ )

i n t h e g r a p h o f

D + 1c a n b e a p p r o x i m a t e d b y

(AnΩ, (D + 1)AnΩ). T h u s

Di s

e s s e n t i a l l y s e l f - a d j o i n t o n AΩ

, a n d b o t h ∆

a n d D

a r e s e l f - a d j o i n t e x t e n s i o n s

o f t h e r e s t r i c t i o n o fD

t o t h i s d o m a i n . T h u sD = ∆

.

1 1 9



1 2 0



B i b l i o g r a p h y

[ 1 ] F . M . G o o d m a n , P . d e l a H a r p e , a n d V . F . R . J o n e s , C o x e t e r g r a p h s a n d

t o w e r s o f a l g e b r a s , S p r i n g e r - V e r l a g , 1 9 8 9 .

[ 2 ] M . R e e d a n d B . S i m o n , M e t h o d s o f M o d e r n M a t h e m a t i c a l P h y s i c s I :

F u n c t i o n a l A n a l y s i s , A c a d e m i c P r e s s , 1 9 7 2 .

[ 3 ] M . T a k e s a k i , T h e o r y o f O p e r a t o r A l g e b r a s I I . E M S s e r i e s o n O p e r a t o r

A l g e b r a s , 2 0 0 2 .

[ 4 ] J . - B . B o s t a n d A . C o n n e s , H e c k e a l g b e b r a s , t y p e I I I f a c t o r s a n d p h a s e

t r a n s i t i o n s w i t h s p o n t a n e o u s s y m m e t r y b r e a k i n g i n n u m b e r t h e o r y , S e -

l e c t a M a t h . ( N e w S e r i e s ) , 1 , ( 1 9 9 5 ) , 4 1 1 - 4 5 7 .

vonneumann algebras

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