matrices

C.E.Te.CCarrera: Técnico Superior En Análisis De SistemasAsignatura: Matemática I Unidad 4 (Segunda Parte): Matrices

Prof. Alfonso Página 1 de 8

UNIDAD IV: VECTORES Y MATRICESParte II: Matrices

Definición: Una matriz es un arreglo rectangular de números. Es decir, matriz es un conjuntoordenado de números dispuestos en m filas y n columnas.

Ejemplo: 2 2 2 4 3 2

0 12 1 2 2 0 1

2 14 0 3 2 6 0

4 3

A B C× × ×

− − = = = − − −

Donde: 2x2 indica que la matriz A tiene 2 filas y 2 columnas.2x4 indica que la matriz B tiene 2 filas y 4 columnas.3x2 indica que la matriz C tiene 3 filas y 2 columnas.

Los números que forman la matriz se llaman elementos de la matriz y los indicamos con letrasminúsculas, mientras que los nombres de las matrices se indican con letras mayúsculas.Las matrices varían en tamaño u orden. El tamaño u orden de una matriz se describe especificandoel número de filas o renglones (líneas horizontales) y columnas (líneas verticales) que aparecen enla matriz. Por lo tanto, una matriz de orden m x n tiene m filas y n columnas.Si A es una matriz de orden m x n, entonces se denotará ija para indicar el elemento que está en la

i-ésima fila y j-ésima columna.

11 12 13 1

21 22 23 2

1 2 3

En donde: 1

n

nm n

m m m mn

a a a a

a a a aA

a a a a

i m

×

=

≤ ≤ 1

ij

j n

a

≤ ≤∈

Ejemplo:

3 3 12 23

3 2 0

1 2 5 En donde: 2 , 5

7 8 9

A a a×

− = = − =

Definición: Se define como matriz fila a aquella matriz de orden 1 x n.

Ejemplo: [ ]1 4 1 3 1 2B × = −

Definición: Se define como matriz columna o una matriz de orden m x 1

Ejemplo: 3 1

4

6

3

C ×

= −



Matriz Cuadrada: Es aquella matriz en la que el número de filas es igual al número decolumnas. Es decir, una matriz A de orden n x m donde n = m se denomina matriz cuadrada deorden n.Ejemplo:

[ ]1 1 1

2 2 2

11 1

1

7 es una matriz cuadrada de orden 1

3 1 es una matriz cuadrada de orden 2

2 1

es una matriz cuadrada de ordn

n n n

m mn

R R R

B B B

a a

A A A

a a

×

×

×

= =

= = −

= =

…en n

Diagonal Principal: En una matriz cuadrada A de orden n, la diagonal principal es el conjuntode elementos ija tal que i = j.

Ejemplo: 11 22 33

2 0 -3

2 1 -1 2 , 1 , 5

1 -1 5

A a a a

= ⇒ = = =

Tipo De Matrices:Matriz Diagonal: Es una matriz cuadrada en la que los elementos ija son nulos si i ≠ j.

Ejemplo:

3 0 0

0 -1 0 0 ,

0 0 4ijF a i j

= = ∀ ≠

Matriz Escalar: Es una matriz diagonal en la que todos los elementos de la diagonal principalson iguales.Ejemplo:

11 22

1 0 0 para

0 1 0 Donde: Es decir: 0 para

0 0 1ij nn

i jA a a a a

i j

α−

= = − = = = = ≠−

……

Matriz Identidad O Unidad: Es una matriz cuadrada en la que todos los elementos de ladiagonal principal son iguales a 1 y todos los demás elementos iguales a cero (0). Se la simbolizacon la letra I. Si es importante hacer énfasis en el orden, se escribirá In para denotar la matrizidentidad de orden n x n

1 si

0 si

1 0

1

0 1

1 0Ejemplo:

0 1

ij ij

i jI a a

i j

I

I

= = = ≠ =

=



Matriz Nula: Es aquella en la que todos sus elementos son nulos.

2 3

es una Matriz Nula si 0 ,

Normalmente se la denota con la letra O.

0 0 0Por ejemplo O

0 0 0

m n ij ijA a a i j×

×

= = ∀ ∀

=

Nota: Una matriz nula no necesariamente deben ser matrices cuadradas.

Matriz Triangular Superior: Es una matriz cuadrada en la que todos los elementos bajo ladiagonal principal son nulos.

es Triangular Superior si 0 ,

2 0 2

Ejemplo: 0 1 0

0 0 3

ij ijA a a i j

A

= = ∀ >

− =

−

Matriz Triangular Inferior: Es una matriz cuadrada en la que todos los elementos sobre ladiagonal principal son nulos.

es Triangular Inferior si 0 ,

22 0 0

Ejemplo: 2 1 0

1 1 0

n n ij ijA a a i j

C

× = = ∀ <

− =

−

Traza De Una Matriz: Se llama traza de una matriz cuadrada A de orden n x n a la suma de loselementos de la diagonal principal.

( )

( )

11 221

Si entonces la traza de es:

1 2 3

Ejemplo: 1 2 0 =(-1) (-2) 2 -1

2 0 2

n

n n ij nn iii

A a A Tr A a a a a

A Tr A

×=

= = + + + =

− = − − ⇒ + + =

∑…

Igualdad De Matrices: Dos matrices son iguales si son del mismo orden y sus elementos sonrespectivamente iguales.

y

, ,

5 2 5 2Ejemplo:

3 1 3 1

m n r sij ij

m r n sA B

a b i j

A B

× ×

= == ⇔ = ∀

= = = − −



Algebra De Matrices

1) Suma De Matrices: Dadas dos matrices del mismo orden m n× , la suma A+B, es otramatriz C de orden m n× en que sus elementos son de la forma ij ij ijc a b= + .

m n m n m nA B C× × ×+ =2 0 3 5 0 7

Ejemplo: Sean y 1 4 2 1 2 3

2 0 3 5 0 7 (-2) 5 0 0 3 7

1 4 2 1 2 3 1 1 4 2 2 (-3)

A B

C A B

− = = −

− + + + ⇒ = + = + = = − + + +

3 0 10

2 6 -1

2) Producto De Una Matriz Por Escalar: Dada una matriz A de orden m n× , el productode un número k ∈ R por A es otra matriz B de orden m n× en que el elemento .ij ijb k a= .

. Entonces .

1 0Ejemplo: Sea A y ( 3)

7 3

1 0 ( 3).1 ( 3).0 Entonces . ( 3).

7 3 ( 3).( 7) ( 3).3

ij ijB k A b k a

k

B k A

= =

= = − −

− − = = − = = − − − −

-3 0

21 -9

3) Diferencia De Matrices: Si A y B son dos matrices que tienen el mismo orden entonces sedefine la diferencia de A y B como:

( ) ( ) ( 1).

1 3 2 2Ejemplo: Sean y

4 5 3 1

2 2entonces

3 1

1 3 2 2 1 5Luego ( )

4 5 3 1 1

ij ij ijC A B A B A B c a b

A B

B

C A B A B

= − = + − = + − ⇒ = + −

− = = − − −

− = − − −

= − = + − = + = − − − 4

4) Producto De Matrices: Dados y m n ij n p ijA a B b× × = = , el producto A⋅B es otra matriz

m pC × en la que cada ijc es el producto de la fila i-ésima de A por la columna j-ésima de B, o sea,

el elemento 1

.n

ij ik kjk

c a b=

= ∑ .

Observamos que para poder definir A⋅B es necesario que el número de columnas de la primermatriz coincida con el número de filas de la segunda matriz. El orden del producto está dadopor la cantidad de filas de la primer matriz por la cantidad de columnas de la segunda matriz.Es decir que sea A de orden m n× y B de orden n p× entonces C = A⋅B será de orden m p× .



Ejemplo:

3 2 2 3

11

21

313 3 3 2 2 3

12

22

2 11 3 0

0 3 y 4 5 1

1 4

2.( 1) 1.4 2

0.( 1) 3.4 122 11 1

( 1).( 1) 4.4 17. 12 15 3 Donde:

2.3 1.5 1117 17 4

0.3 3.5 15

A B

c

c

cC A B

c

c

et

× ×

× × ×

− = = − −

= − + == − + =

− = − − + = = = − = + =

− = + =

2 2 2 3 3 2

.

2 8.

9 15

c

D B A× × ×

− = =

Nota: Dado el ejemplo anterior se tiene que C = A⋅B es una matriz distinta de D = B⋅A.. Es decirque el producto de matrices no es conmutativo.

Simbólicamente: A⋅B ≠ B⋅A

Propiedades De Las Operaciones Con Matrices: (Se cumplen siempre que sea posibleresolver las operaciones)

( ) ( )1) Conmutativa para la suma:

2) Asociativa para la suma:

3) Existencia del neutro para la suma:

(donde es la

A B B A

A B C A B C

A O O A A

O

+ = +

+ + = + +

+ = + =

( ) ( )( ) ( )

matriz nula con el mismo orden que )

4) Existencia de elemento inverso para la suma:

5) Asociativa del producto:

6) Existencia de elemento neutro para el producto: n m

A

A A A A O

A B C A B C

A I I A A

+ − = − + =

⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

⋅ = ⋅ =

( )( )

( )

(donde es de orden )

7) Distributiva de matrices:

8) Distributiva por un escalar: ,

9) Distributiva de es

A m n

A B C A B A C

B C A B A C A

k B C k B k C k

×

⋅ ± = ⋅ ± ⋅

± ⋅ = ⋅ ± ⋅

⋅ ± = ⋅ ± ⋅ ∈

( )( ) ( )

( ) ( )

calares por una matriz: , ,

10) Asociativa con escalares: , ,

11) Asociativa de un escalar y matrices: ,

k t A k A t A k t

k t A k t A k t

k B C k B C k

± ⋅ = ⋅ ± ⋅ ∈

⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ∈

⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ∈

Matriz Transpuesta: Dada una matriz A de orden m n× de elementos (aij) , se llama matriztranspuesta de A y escribiremos tA , a la matriz de orden n m× de elementos (bij) tal que bij = aji .Es decir, la transpuesta de A es la matriz que se obtiene intercambiando filas por columnas.

tal que , ,tm n ij n m ij ji ijA a A b b a i j× × = ⇒ = = ∀



[ ]

2 3 3 2

1 2 2 1

1 01 2 2

Ejemplo: 2 40 4 3

2 3

2 2 9

9

t

t

A A

B B

× ×

× ×

− = ⇒ = − − −

= − ⇒ = −

Propiedades De La Matriz Transpuesta:

( )( )( )( )

1)

2)

3)

4) . ,

tt

t t t

t t t

t t

A A

A B A B

A B B A

k A k A k

=

+ = +

⋅ = ⋅

= ⋅ ∈

Matriz Simétrica: Es una matriz cuadrada en la que los elementos son simétricos respecto de ladiagonal.

es una Matriz Simétrica si , ,

4 5

Ejemplo: 4 6

5 6

1

9

3

n n ij ij jiA a a a i j

A

× = = ∀

=

−

Nota: Las matrices escalares, diagonales e identidad son matrices simétricas.

Observación: Una matriz cuadrada A de orden n es simétrica si tA A=

*Si A es una matriz simétrica, entonces:a) El producto tA A⋅ está definido y es una matriz simétrica.b) La suma de matrices simétricas es una matriz simétrica.c) El producto de dos matrices simétricas es una matriz simétrica, si las matrices conmutan.

Matriz Ortogonal:Dada una matriz A, cuadrada de orden n, se dice que A es ortogonal si se verifica que:

t tnA A A A I⋅ = ⋅ =



Trabajo Práctico Nº5: Matrices.

1) Escribir explícitamente las matrices que se describen:

( )3 4

4 4

4 4

a) tal que

b) tal que 1

1 si es primoc) tal que

0 si no es primo

ij

i j

ij

ij

ij

A a i j

A a

a i jA

a i j

×

+×

×

= +

= −

= + = +

2) Dadas las matrices 2 2 2 3 3 2 2 3, , y A B C D× × × × , indicar sin realizar las operaciones el orden de:2a) c)

b) d) ( 3)

A B D

A B C D

×× − ⋅ ×

3) Dadas las siguientes matrices:

[ ]

2 -1

3 0

4 -5

0 2

1-1 0 2 1 5 0 -3

43 -21

3 4 -1 , -2 -1 1 0 , , 5 -12

5 2 0 3 6 0 -3 1

2-1 0 7 -5

3 1 02 -3 0 1 , , 7 -1 0 4 ,

-1 -1 30 0 1 1

1

A B C D

E F G H

= = = =

= = = =

a) Resolver las siguientes operaciones siempre que sean posibles:

( )

2

2

i) iv)

ii) v)

iii) 4

B A D

C H B D G

B E

×

+ + ×

⋅ −b) Verificar cuáles de las siguientes igualdades se satisfacen:

( ) ( ) i)

ii)

G F F G

A D C A D C

× = ×

× × = × ×

4) Si [ ]? ?ts t ijC c C× = ⇒ =

5) Hallar la transpuesta de:

11 12 13 14

21 22 23 24

b b b bB

b b b b

=

6) Dadas las matrices D, F y H del punto 3, verificar las siguientes propiedades:

( )

( )

a)

b )

tt

t t t

D D

D H D H

=

× = ×



7) Dada la matriz A, encontrar la forma general de nA , cualquiera sea n∈ :2 -1

3 -2A

=

8) El ingreso semanal de un pequeño negocio se registra en una matriz unidimensional (vector) Ede 7 elementos, cada uno de los cuales corresponde a un día de la semana, de Lunes a Domingo.

a) ¿Cómo se localiza el ingreso del martes?b) ¿Qué significa el contenido E5?c) ¿Qué operaciones son necesarias para determinar el ingreso semanal total?

9) En una matriz S se almacena información referida a las cantidades de distintos artículosvendidos por un agente, en la modalidad de ventas a domicilio, durante toda una semana laboral(lunes a sábado). Cada fila corresponde a un día de la semana, y cada columna a un artículo (son9 perfumes).

a) ¿Qué significa el contenido de S3,7?b) ¿Cómo se localiza la cantidad de frascos del 5º perfume vendidos el viernes?c) ¿Qué operaciones son necesarias para conocer el total vendido el martes?

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