matrices atrices 1 - albéniz 2º de bachillerato -...
TRANSCRIPT
Matrices
1
ACTIVIDADES 1. Página 10
La matriz consta de dos filas que corresponden a los alumnos y cuatro columnas con sus calificaciones. Así:
8 7 9 10
6 8 10 9
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø
2. Página 10
La matriz solución es 1 1 2
1 2 1
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø
.
3. Página 10
La matriz solución es
0 0 1
0 1 0
1 0 1
0 1 0
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø
.
4. Página 11
Como las dos matrices tienen la misma dimensión, los elementos de cada una tienen que ser iguales, es decir:
1 3
22 1 1
42 1
22 2
3 1 3
6 2
a
aa b
bdcc c
a d
b
ì + =ïïïï ì =+ = + ïï ïï ïï ïï == ïïï ïí íï ï ==ï ïï ïï ï=ï ï =ïîïïï = +ïïî
Así pues, las dos matrices son 3 5 2
4 1 6A B
æ ö÷ç ÷= =ç ÷ç ÷çè ø.
5. Página 11
La matriz solución es 0 1 1
1 0 1
1 1 0
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷è ø
.
6. Página 12
La matriz solución es:2 3 4
0 4 5
0 0 6
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷è ø
→ Matriz triangular superior
5
Matrices 1
Matrices
1
7. Página 12
La respuesta es abierta, con la condición de que los elementos de la diagonal principal sumen 7 y el resto de elementos sea 0. Por ejemplo:
1 0 0
0 2 0
0 0 10
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷è ø
8. Página 12
La respuesta es abierta, con la condición de que los elementos de la diagonal principal sean cero, y los demás no.
0 2 3
5 0 7
11 13 0
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷è ø
9. Página 12
La matriz solución es: 0 0 0
1 0 0
2 1 0
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷è ø
→ Matriz triangular inferior
10. Página 13
La matriz solución es
2 4
1 2
3 0
5 1
tA
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷=ç ÷÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø
.
11. Página 13
Para la comprobación usaremos la notación ( )ijA a= . Así pues: ( ) ( ) ( )t ttij ji ijA a a a A= = = =
La igualdad ( ) ( )t t
ij jia a= se verifica por la propiedad conmutativa de la suma.
Una matriz que cumpla estas condiciones puede ser, por ejemplo:2 3 4
3 4 5
4 5 6
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷è ø
.
12. Página 14
3 1 4 2 7 5 1 1 7 5 6 4
2 2 5 8 0 6 7 10 0 6 7 16
1 3 7 4 0 9 6 1 0 9 6 8
= =
æ ö æ ö æ ö æ ö æ ö æ ö- - - -÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷- - -ç ç ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç ç ç- -è ø è ø è ø è ø è ø è ø
+ -
13. Página 14
La matriz traspuesta de A es 3 7
4 4tA
æ ö- ÷ç ÷=ç ÷ç ÷çè ø. Así pues:
3 4 3 7 1 0 6 11 1 0 7 11
7 4 4 4 0 1 11 8 0 1 11 7tA A I
æ ö æ ö æ ö æ ö æ ö æ ö- - - -÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷+ - + = =ç ç ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç ç çè ø è ø è ø è ø è ø è ø
6
Matrices
Matrices
1
14. Página 14
En primer lugar, calculamos B C. Es decir:
2 9 9 4 1 0 0 2 3 9 9 4
2 0 3 6 1 7 3 4 6
a c a b a c bB C
a e d e a d
æ ö æ öæ ö- + - - + +÷ ÷÷ ç çç ÷ ÷÷+ = + =ç çç ÷ ÷÷ ç çç ÷ ÷ ÷ç ç ç- + +è ø è ø è ø
Al tener las mismas dimensiones, hay que igualar los elementos de la matriz A con la matriz anterior. Es decir:
2 3
93
7 99
8 42
35
99
9 4
2 6
a a
ba
cb
d bc
ad
ee
c a
e d
ì =ïïïï =ïï ì =ïï ïï = + ïï ïï =ïï ï+ = +ï ïï ï =í íï ï=ï ïï ï =ï ï=ï ïï ï =ï ïïîï + = +ïïïï + = +ïî
15. Página 15
a) 2 1 3 5 0 1 6 3 3 5 0 2 3 0
3 2 3 21 3 2 1 1 2 3 9 2 1 2 4 3 12
A B Cæ ö æ ö æ ö æ ö æ ö æ ö æ ö- - - - -÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷+ = ⋅ + ⋅ = + =ç ç ç ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç ç ç çè ø è ø è ø è ø è ø è ø è ø
b)0 1 3 5 2 1 0 2 3 5 6 3 3 4
2 3 2 31 2 2 1 1 3 2 4 2 1 3 9 1 4
C B Aæ ö æ ö æ ö æ ö æ ö æ ö æ ö- - - -÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷+ = ⋅ + ⋅ = + =ç ç ç ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç ç ç çè ø è ø è ø è ø è ø è ø è ø
16. Página 15
a) ( )1
1 2 3 2 1 4 9 12
3
A B
æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷⋅ = ⋅ = + + =ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷è ø
c) ( )3
2 3 2 4 6 6 6 24 54 72
9
A B
æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷⋅ = ⋅ = + + =ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷è ø
b) ( )1 1 2 3
2 1 2 3 2 4 6
3 3 6 9
B A
æ ö æ ö- - - -÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷⋅ = ⋅ =ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷ç ç÷ ÷è ø è ø
d) ( ) ( )2 2 4 6
2 4 1 2 3 4 8 12
6 6 12 18
B A
æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷⋅ = - ⋅ =ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷ç ç÷ ÷-è ø è ø
17. Página 16
a) 2 1
2 1 4 5 71 1
1 0 3 2 50 2
A B
æ ö÷çæ ö æ ö÷- ç ÷÷ ÷ç çç ÷÷ ÷⋅ = ⋅ - =ç çç ÷÷ ÷ç çç ÷÷ ÷ç çè ø è øç ÷÷ç ÷-è ø
b) 2 1 5 2 11
2 1 41 1 1 1 1
1 0 30 2 2 0 6
B A
æ ö æ ö÷ ÷ç çæ ö÷ ÷-ç ç÷ ÷÷çç ç÷ ÷÷⋅ = - ⋅ =çç ç÷ ÷÷çç ç÷ ÷÷çè øç ç÷ ÷÷ ÷ç ç÷ ÷-è ø è ø
c) tA B⋅ no se puede realizar, ya que el número de columnas de tA no coincide con el número de filas de B .
18. Página 16
1 42 3 0 1 0 3 8 11 1 0 3 52 55 13
2 11 0 2 4 5 1 3 4 4 5 1 13 20 13
2 0
A B C
æ ö- ÷çæ ö æ ö æ ö æ ö æ ö÷- - -ç ÷÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç çç ÷÷ ÷ ÷ ÷ ÷⋅ ⋅ = ⋅ - ⋅ = ⋅ =ç ç ç ç çç ÷÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç çç ÷÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç ç- - -è ø è ø è ø è ø è øç ÷÷ç ÷-è ø
7
1
Matrices
1
19. Página 17
a) 2 3 7 4 14 26
1 0 0 6 7 4A B
æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷⋅ = ⋅ =ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç-è ø è ø è ø
7 4 2 3 10 21
0 6 1 0 6 0B A
æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷⋅ = ⋅ =ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç-è ø è ø è ø → No son conmutables.
b) 2 3 7 4 3 1 2 3 10 5 23 34( )
1 0 0 6 1 2 1 0 1 8 10 5A B C
æ öæ ö æ ö æ ö æ ö æ ö æ ö÷÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷çç ç ç ç ç ç÷÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷⋅ + = ⋅ç + = ⋅ =ç ç ç ç ç ç÷÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷çç ç ç ç ç ç÷÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç ç ç÷ç- - - -è ø è ø è ø è ø è ø è øè ø
2 3 7 4 2 3 3 1 14 26 9 8 23 34
1 0 0 6 1 0 1 2 7 4 3 1 10 5A B A C
æ ö æ ö æ ö æ ö æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ = + =ç ç ç ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç ç ç ç- - - -è ø è ø è ø è ø è ø è ø è ø
20. Página 17
Deberá comprar al proveedor que le salga más barato. Por ello, hay que calcular el coste total:
El coste comprando al proveedor M asciende a ( )100 000
0,7 0,6 0,56,50 1,50 550 000
0,3 0,4 0,550 000
æ ö÷çæ ö ÷ç ÷÷ç ç ÷÷⋅ ⋅ =ç ç ÷÷ç ç ÷÷çè ø ç ÷÷ç ÷è ø
3 175 000 €.
El coste comprando al proveedor N asciende a ( )100 000
0,7 0,6 0,56,70 1,10 550 000
0,3 0,4 0,550 000
æ ö÷çæ ö ÷ç ÷÷ç ç ÷÷⋅ ⋅ =ç ç ÷÷ç ç ÷÷çè ø ç ÷÷ç ÷è ø
3 150 000 €.
Por tanto, deberá comprar al proveedor N.
21. Página 18
El rango de la matriz A es 2, ya que no existen a, b y c tales que 2 1F a F= ⋅ , 3 1F b F= ⋅ o 3 2F c F= ⋅ y, sin embargo, 3 1 2F F F= + .
El rango de la matriz B es 2, ya que no existen a, b y c tales que 2 1F a F= ⋅ , 3 1F b F= ⋅ o 3 2F c F= ⋅ y sin embargo, 3 1 22F F F= + .
22. Página 18
El rango de A es 2, ya que no existe a tal que 2 1F a F= ⋅ .
El rango de B es 1, ya que 3 13F F= ⋅ y 2 12F F= ⋅ .
El rango de tA B⋅ es 1, ya que 3 2 1 2 3 7 14 21
1 4 2 4 6 7 14 21tA B
æ ö æ ö æ ö- ÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷⋅ = ⋅ =ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç çè ø è ø è ø
y, además, 2 1F F= .
23. Página 19
El rango de la matriz A es 2:
2 2 1
3 1 3 3 2 3
31 2 1 3 1 2 1 3 1 2 1 3
3 1 4 2 0 5 7 7 0 5 7 7
1 3 6 4 0 5 7 7 0 0 0 0
F F FF F F F F F= += + = -
æ ö æ ö æ ö- - -÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷- - ¾¾¾¾ ¾¾¾¾ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷è ø è ø è ø
El rango de la matriz B es 3:
2 2 1
3 3 1 3 3 2
27 2
1 4 3 1 4 3 1 4 3
2 1 0 0 7 6 0 7 6
1 2 2 0 2 5 0 0 23
F F FF F F F F F= += - = +
æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷- - ¾¾¾¾ ¾¾¾¾¾ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷- -è ø è ø è ø
8
Matrices
Matrices
1
24. Página 19
2 1 3 2 4 2 6 1 4 2 2 1
1 0 0 5 1 3 2 1 2 2t tA B C
m m m
æ ö æ ö æ ö æ ö æ ö æ ö-÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷⋅ - = ⋅ = =ç ç ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç ç ç- +è ø è ø è ø è ø è ø è ø
El rango está en función del parámetro m. Por el método de Gauss se tiene que 2 1 2 1
2 2 0 1m m
æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç- + +è ø è ø
.
Así pues, si 1m= , entonces el rango de t tA B C⋅ - es 1, y si 1m¹ , entonces el rango es 2.
25. Página 20
a) Buscamos una matriz B tal que A B I⋅ = y B A I⋅ = . Si a c
Bb d
æ ö÷ç ÷=ç ÷ç ÷çè ø, tenemos que:
3 1 1
3 1 1 0 3 0 23 3
2 1 0 1 12 2 2 0
32 1
a b a
a c c d ba b c dA B I
b d ca b c d a b
dc d
ì ì+ = =ï ïï ïï ïï ïæ öæ ö æ ö æ ö + = =+ + ï ï÷÷ ÷ ÷ ï ïçç ç ç÷÷ ÷ ÷⋅ = ⋅ = = = çç ç ç í í÷÷ ÷ ÷çç ç ç÷ ÷ ÷÷ç ç çç ï ï =+ + + =è ø è ø è øè ø ï ïï ïï ïï ï =+ = ïîïî
→ 1 1
2 3B
æ ö÷ç ÷=ç ÷ç ÷çè ø
Se puede comprobar que: B A I⋅ = → 1 1 1
2 3A-
æ ö÷ç ÷=ç ÷ç ÷çè ø
b) ( )1 1 1 1 2
2 3 1 3
tt
A-æ ö æ ö- -÷ ÷ç ç÷ ÷= =ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç- -è ø è ø
→ ( )1
1 3 2 1 2
1 1 1 3tA
-- æ ö æ ö-÷ ÷ç ç÷ ÷= =ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç-è ø è ø
26. Página 20
Para ver si una matriz es invertible, podemos calcular el rango de dicha matriz.
4 1 4 1
3 1 0 1
æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç- -è ø è ø → Como el rango es 2, entonces la matriz es invertible.
27. Página 20
2 1 2 1 4 3 2 2 1 0
3 2 3 2 6 6 3 4 0 1
æ ö æ ö æ ö æ ö- - - -÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷⋅ = =ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç+ +è ø è ø è ø è ø
28. Página 21
2 5 1 0 1 3 0 1 1 3 0 1 1 0 3 5 1 0 3 5
1 3 0 1 2 5 1 0 0 1 1 2 0 1 1 2 0 1 1 2
æ ö æ ö æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç ç-è ø è ø è ø è ø è ø
→ 1 3 5
1 2A
æ ö÷ç ÷=ç ÷ç ÷çè ø
Para ver que hemos obtenido la inversa, basta con comprobar que 1I A A-= ⋅ :
1 2 5 3 1 1 0
1 3 5 2 0 1A A-
æ ö æ ö æ ö- ÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷⋅ = ⋅ =ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç-è ø è ø è ø
1 0 2 13 2 1 0 3 2 1 0 3 0 6 35 35 4 0 1 0 2 5 3 0 2 5 3 0 1
2 2
æ ö÷çæ ö æ ö æ ö ÷ç÷ ÷ ÷ç ç ç ÷ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ ç ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç ç ÷è ø è ø è ø ç ÷÷çè ø
→ 1
2 1
5 32 2
Bæ ö- ÷ç ÷ç ÷ç= ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø
Para ver que hemos obtenido la inversa, basta con comprobar que 1I B B-= ⋅ :
1
2 13 2 1 05 35 4 0 1
2 2
B B-
æ ö- ÷çæ ö æ ö÷ç÷ ÷ç ç÷ç÷ ÷⋅ = ⋅ =÷ç ç÷ ÷ç ÷ç ç÷ ÷ç çç ÷è ø è øç ÷÷çè ø
9
1
Matrices
1
29. Página 21
1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 2 0 1 1 0 0 2 0 1
2 1 1 0 1 0 0 1 3 2 1 0 0 1 0 5 1 3 0 1 0 5 1 3
1 0 2 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1
æ ö æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ - ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷è ø è ø è ø è ø
→ 1
2 0 1
5 1 3
1 0 1
A
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷=ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷è ø
0 1 2 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0
1 1 1 0 1 0 0 1 2 1 0 0 0 1 2 1 0 0 0 1 2 1 0 0
2 1 0 0 0 1 2 1 0 0 0 1 0 3 2 0 2 1 0 0 8 3 2 1
æ ö æ ö æ ö æ ö- - -÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷- ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷- - - - -è ø è ø è ø è ø
1 1 31 0 01 1 1 0 1 0 8 4 8
1 1 1 1 1 10 1 0 0 1 0
4 2 4 4 2 43 1 1 3 1 1
0 0 1 0 0 18 4 8 8 4 8
æ öæ ö ÷ç÷ç - ÷÷ çç ÷÷- çç ÷÷ çç ÷÷ ç ÷ç ÷ ç ÷ç ÷ ÷ç÷ç ÷÷ ç - -ç ÷÷ çç ÷÷ çç ÷÷ çç ÷÷ ç ÷ç ÷ ÷ç÷ç ÷ç÷ç ÷- -÷ çç ÷÷ç ç ÷çè ø è ø
→ 1
1 1 38 4 81 1 14 2 43 1 18 4 8
B
æ ö÷ç- ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷ç= - ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷ç ÷-ç ÷ç ÷çè ø
30. Página 22
Despejando X en la ecuación, tenemos que 1X A B-= ⋅ . Mediante el procedimiento de Gauss‐Jordan:
1
0 1 1
1 2 3
0 1 2
A-
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷= ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷è ø
Así pues:
1
0 1 1 2 1 0 3
1 2 3 1 1 3 9
0 1 2 1 2 1 5
X A B X X-
æ ö æ ö æ ö-÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷= ⋅ = ⋅ =ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷-è ø è ø è ø
31. Página 22
Despejando X en la ecuación, tenemos que 1X B A-= ⋅ . Mediante el procedimiento de Gauss‐Jordan:
1
0 1 0
2 1 3
1 0 1
A-
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷=ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷è ø
Así pues:
1
0 1 01 2 1 5 3 7
2 1 30 0 1 1 0 1
1 0 1
X B A X X-
æ ö÷çæ ö æ ö÷- -ç ÷÷ ÷ç çç ÷÷ ÷= ⋅ = ⋅ =ç çç ÷÷ ÷ç çç ÷÷ ÷ç çè ø è øç ÷÷ç ÷è ø
32. Página 23
En primer lugar, despejamos X , es decir: ( ) 10t t tA X B A X B X A B⋅ - = ⋅ = = ⋅
En segundo lugar, calculamos ( ) 1tA :
( )
1
10 1 0 0 0 1
0 0 1 1 0 0
1 0 0 0 1 0
tA
é ùæ ö æ ö÷ ÷ç çê ú÷ ÷ç ç÷ ÷ç çê ú÷ ÷ ç ç÷ ÷ê úç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ê ú÷ ÷ç ç÷ ÷è ø è øê úë û
Finalmente, multiplicamos y obtenemos que:
( ) 10 0 1 3 4 1 2
1 0 0 5 6 3 4
0 1 0 1 2 5 6
tX A B X
æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷= ⋅ ⋅ =ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷è ø è ø è ø
10
Matrices
Matrices
1
33. Página 23
Despejamos X, es decir, ( )2 2 2 12 2 2 2X A A A X A A A X A A A X A I-⋅ + = ⋅ = - = - ⋅ = - .
Así pues: 1 1 1 1 0 0 1 2 2
2 2 0 2 1 0 1 0 0 3 2
1 2 2 0 0 1 2 4 5
X A I X X
æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷= - = ⋅ - =ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷- - - - - -è ø è ø è ø
SABER HACER 34. Página 24
1 0
0 1A B
æ ö÷ç ÷+ =ç ÷ç ÷çè ø 1 2 1 3
3 4 2 4
t
A Bæ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷- = =ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø
Sumando las dos ecuaciones, se obtiene: 3
12 3 222 5 5
12
A A
æ ö÷ç ÷ç ÷æ ö ç ÷÷ç ç ÷÷= =ç ç ÷÷ç ç ÷÷çè ø ÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø
Despejando en la primera ecuación: 3 3
1 01 0 2 20 1 5 3
1 12 2
B
æ ö æ ö÷ ÷ç ç -÷ ÷ç ç÷ ÷æ ö ç ç÷ ÷÷ç ç ç÷ ÷÷= - =ç ç ç÷ ÷÷ç ç ç÷ ÷÷çè ø ÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç- -÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø
35. Página 24
2
1 0 0 1 0 0 1 0 0
0 4 10 0 4 10 0 14 30
0 3 7 0 3 7 0 9 19
A
æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷= - ⋅ - = -ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷- - -è ø è ø è ø
3
1 0 0 1 0 0 1 0 0
0 14 30 0 4 10 0 34 70
0 9 19 0 3 7 0 21 43
A
æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷= - ⋅ - = -ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷- - -è ø è ø è ø
1 0 0 1 0 0 1 0 0
0 34 70 0 4 10 0 1 0 7, 6
0 21 43 0 3 7 0 0 1
æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷- =a - +b a = b=-ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷- -è ø è ø è ø
36. Página 25
2
1 1 1 1 1 1 1 2 2
0 1 0 0 1 0 0 1 0
0 0 1 0 0 1 0 0 1
A
æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷= ⋅ =ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷è ø è ø è ø
3
1 2 2 1 1 1 1 3 3
0 1 0 0 1 0 0 1 0
0 0 1 0 0 1 0 0 1
A
æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷= ⋅ =ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷è ø è ø è ø
101
1 101 101
0 1 0
0 0 1
A
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷= ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷è ø
37. Página 25
PM (I M) ∙ M IM M2 M M 0
MP M ∙ (I M) MI M2 M M 0
Así, resulta: PM MP 0.
11
1
Matrices
1
38. Página 26
La matriz resultado es de dimensión 13, donde cada elemento representa lo que cuestan en total todos los productos en cada fábrica.
( ) ( )
34 40 46
11 8 1225 30 60 75 4435 4435 5680
23 27 32
25 21 30
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷⋅ =ç ÷÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø
La primera y la segunda fábricas ofrecen el mismo precio por este pedido.
39. Página 26
2
2
1 2 210 1 0 2 4
t x x y x xyA A
y yx y
æ öæ ö æ ö æ ö-+ ÷÷ ÷ ÷çç ç ç÷÷ ÷ ÷⋅ = ⋅ = =çç ç ç÷÷ ÷ ÷çç ç ç÷÷ ÷ ÷ç ç ç÷ç -è ø è ø è øè ø →
2
2
1 2
2
4
x
xy
y
ìï + =ïïï =-íïïï =ïî
• Si y 2, entonces x 1 → 1 1
2 0A
æ ö- ÷ç ÷=ç ÷ç ÷çè ø • Si y 2, entonces x 1 →
1 1
2 0A
æ ö÷ç ÷=ç ÷ç ÷ç-è ø
40. Página 27
2 2 1
3 3 1 3 2 3
24 3
4 1 2 1 4 1 2 1 4 1 2 1
2 3 8 7 0 7 18 13 0 7 18 13
3 2 3 3 0 11 4 18 9 4 0 4 4 0 4 4
F F FF F F F F F
a a a a a a
= += - = +
æ ö æ ö æ ö- - - - - -÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷- - - - ¾¾¾¾ - - - ¾¾¾¾ - - -ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷- + - + - - +è ø è ø è ø
• Si 1a= , entonces Rango (A) 2. • Si 1a¹ , entonces Rango (A) 3.
41. Página 27
Para que la matriz sea invertible, es necesario que su rango sea máximo (en este caso 3).
1 1 1 1 1 1
0 2 1 0 2 1
0 0 10 2
k k
k k
kk k
æ ö æ ö+ +÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷- ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ÷ ç ÷÷ ÷ç ç ÷÷ çç - - è øè ø
Entonces, para los valores que anulan la diagonal principal (1 y 2) la matriz M no tiene rango 3. Por tanto, estos son los valores para los que M no tiene inversa.
42. Página 27
2
1
1
1 3 1 3 7 182
2 5 2 5 12 31
1 3 5 3
2 5 2 1
X Y A
X Y A-
-
üæ ö æ ö æ öï÷ ÷ ÷ïç ç ç÷ ÷ ÷+ = ⋅ = ïç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç ï÷ ÷ ÷ç ç çè ø è ø è øïïýïæ ö æ ö- ï÷ ÷ç ç ï÷ ÷- = =ç ç ï÷ ÷ç ç÷ ÷ ïç ç -è ø è ø ïþ
Sumando las dos ecuaciones, obtenemos:
2 21 2 / 3 73
14 30 14 / 3 10X X
æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷= =ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø
Sustituyendo en la segunda ecuación: 2 / 3 7 5 3 17 / 3 4
14 / 3 10 2 1 8 / 3 11Y
æ ö æ ö æ ö-÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷= - =ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç-è ø è ø è ø
12
Matrices
Matrices
1
ACTIVIDADES FINALES 43. Página 28
Respuesta abierta. Por ejemplo:
a) ( )1 3 ( )4 15 14 d) 1 0
0 1
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø
1 0 0
0 1 0
0 0 1
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷è ø
b) 4
2
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø
9
2
1
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷è ø
e) 1 2
0 3
æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç -è ø
1 2 5
0 1 3
0 0 1
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷è ø
c) 1 0 0
0 5 0
0 0 3
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷è ø
2 0 0 0
0 4 0 0
0 0 6 0
0 0 0 8
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø
f) 1 0 0
4 2 0
6 5 3
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷è ø
1 0 0 0
2 1 0 0
0 4 1 0
1 3 5 1
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø
44. Página 28
La matriz solución es1 4
0 1
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø.
45. Página 28
Al tener las mismas dimensiones, hay que igualar los elementos de la matriz A con los de la matriz B:
1 1
2 2
3 1
3 3 2
2 5
4 4
x y x
y
x y
ì =ïïïï =ïïï ìï + = =ïï ïí íï ï= =ï ïîïï =ïïïï =ïî
46. Página 28
a) 1 1 3 3 1 0 4 2 3
2 1 1 4 2 3 6 3 2A B
æ ö æ ö æ ö- -÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷+ = + =ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç-è ø è ø è ø
b) 1 1 3 3 1 0 2 0 3
2 1 1 4 2 3 2 1 4A B
æ ö æ ö æ ö- -÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷= =ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç-è ø è ø è ø
c) 1 1 3 6 2 0 5 1 3
22 1 1 8 4 6 6 3 7
A Bæ ö æ ö æ ö- ÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷= =ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç çè ø è ø è ø
d) 2 2 6 9 3 0 11 5 6
2 34 2 2 12 6 9 16 8 7
A Bæ ö æ ö æ ö- - -÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷+ = + =ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç- -è ø è ø è ø
47. Página 28
a) ( ) ( ) ( )n m m p n p´ ⋅ ´ ´ d) ( ) ( ) ( )p n n m p m´ ⋅ ´ ´
b) ( ) ( ) ( )m n n p m p´ ⋅ ´ ´ e) ( ) ( ) ( ) ( )m p p n m n m n´ ⋅ ´ + ´ ´
c) ( ) ( ) ( )m p p n m n´ ⋅ ´ ´ f) ( ) ( ) ( ) ( )p m m n p n p n´ ⋅ ´ - ´ ´
13
1
Matrices
1
48. Página 28
a) 24 b) 36 c) 33 d) 63 e) 46 f) 42
49. Página 28
a) 1 0 3
2 1 1A B
æ ö÷ç ÷⋅ =ç ÷ç ÷çè ø
b) 7 2
4 1
1 1
tB A
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷⋅ = ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷è ø
c) 2 3 2
2 1A
æ ö÷ç ÷=ç ÷ç ÷çè ø
50. Página 28
Para la comprobación usaremos la notación ( )ijA a= . Así pues: ( ) ( ) ( ) ( )tt ttt
ij ji ijA a a a Aé ù= = = =ê úë û.
51. Página 28
Para la comprobación usaremos la notación ( )ijA a= . Así pues: ( ) ( ) ( ) ( )t t ttij ji ji ijA a a a a A= = = = = .
La igualdad ( ) ( )t t
ij jia a= se verifica porque ( )i j j i= .
52. Página 28
a) 2 4 2 1 5 16 2 26
3 1 3 1 4 3 4 11AB
æ ö æ ö æ ö- - - -÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷= ⋅ =ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç- -è ø è ø è ø c)
1 1 52 1 5 9 16 19
2 1 13 1 4 5 16 24
1 3 2
BC
æ ö- ÷çæ ö æ ö÷- - -ç ÷÷ ÷ç çç ÷÷ ÷= ⋅ =ç çç ÷÷ ÷ç çç ÷÷ ÷ç ç- -è ø è øç ÷÷ç ÷- -è ø
b) No es posible. d) 1 1 5 2 3 28 22
2 1 1 1 1 2 3
1 3 2 5 4 15 8
tCB
æ ö æ ö æ ö- - -÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷= ⋅ =ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷- - - -è ø è ø è ø
53. Página 28
a) 8 1 8 1
1 3 2 3 1 5 3 4 60 140 3 0 3
3 1 1 0 1 7 9 4 76 345 0 5 0
A B C
æ ö æ ö- -÷ ÷ç çæ ö æ ö æ ö æ ö÷ ÷- - - ç ç÷ ÷÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç çç ç÷ ÷÷ ÷ ÷ ÷⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ =ç ç ç çç ç÷ ÷÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç çç ç÷ ÷÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç çè ø è ø è ø è øç ç÷ ÷÷ ÷ç ç÷ ÷è ø è ø
b) 1 3 8 0 5 2 3 1 5 9 5 2 3 1 3 12 4
3 1 1 3 0 1 0 1 23 3 15 1 0 1 24 3 16tA C B
æ ö æ ö æ ö æ ö æ ö æ ö- - - -÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷⋅ + = ⋅ + = + =ç ç ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç ç ç-è ø è ø è ø è ø è ø è ø
c) 2 1 8 1 1 5 8 1 7 4
1 33 0 0 3 3 9 0 3 3 6
3 11 1 5 0 2 2 5 0 3 2
tB A C
æ ö æ ö æ ö æ ö æ ö- - - - -÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç çæ ö÷ ÷ ÷ ÷ ÷- -ç ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ ÷÷çç ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ ÷÷⋅ - = - ⋅ - = - =çç ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ ÷÷çç ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ ÷÷çè øç ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ ÷÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ ÷- - -è ø è ø è ø è ø è ø
d) 8 1
2 3 1 1 3 21 11 1 3 54 740 3
1 0 1 3 1 13 1 3 1 16 405 0
B C A
æ ö- ÷çæ ö æ ö æ ö æ ö æ ö÷- - - - - - - -ç ÷÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç çç ÷÷ ÷ ÷ ÷ ÷⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ =ç ç ç ç çç ÷÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç çç ÷÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç ç- - -è ø è ø è ø è ø è øç ÷÷ç ÷è ø
e) 1 3 8 0 5 11 9 5
3 1 1 3 0 25 3 15t tA C
æ ö æ ö æ ö- - -÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷⋅ = ⋅ =ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç- - - -è ø è ø è ø
f) 2 1 15 3 10
8 0 53 0 24 0 15
1 3 01 1 7 3 5
t tB C
æ ö æ ö÷ ÷ç çæ ö÷ ÷ç ç÷ ÷÷çç ç÷ ÷÷⋅ = - ⋅ = - -çç ç÷ ÷÷çç ç÷ ÷÷ç-è øç ç÷ ÷÷ ÷ç ç÷ ÷è ø è ø
14
Matrices
Matrices
1
54. Página 28
2 1 2 3 1 2
1 0 3 4 2 3A B
æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷⋅ = ⋅ =ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç- - -è ø è ø è ø
2 3 2 1 1 2
3 4 1 0 2 3B A
æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷⋅ = ⋅ =ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç- - -è ø è ø è ø
55. Página 28
Se quieren encontrar las matrices a bX
c d
æ ö÷ç ÷=ç ÷ç ÷çè ø tales que A X X A⋅ = ⋅ .
1 1
0 1a b a c b d
A Xc d c d
æ ö æ öæ ö + +÷ ÷÷ ç çç ÷ ÷÷⋅ = ⋅ =ç çç ÷ ÷÷ ç çç ÷ ÷ ÷ç ç çè ø è ø è ø
1 1
0 1a b a a b
X Ac d c c d
æ ö æ öæ ö +÷ ÷÷ç çç÷ ÷÷⋅ = ⋅ =ç çç÷ ÷÷ç çç ÷÷ ÷çç ç +è øè ø è ø
Igualando cada término, obtenemos que: 0
a c a a
b d a b b
c c c
c d d d
ì ì+ = =aï ïï ïï ïï ï+ = + =lï ïï ïí íï ï= =ï ïï ïï ïï + = ï =aï ïî î
→ 0
Xæ öa l÷ç ÷=ç ÷ç ÷ç aè ø
56. Página 28
Para que la matriz B conmute con la matriz A es necesario que dicha matriz sea cuadrada de dimensión 2.
a bB
c d
æ ö÷ç ÷=ç ÷ç ÷çè ø
Como la matriz B tiene que ser triangular superior, entonces c 0. Así pues, 0
a bB
d
æ ö÷ç ÷=ç ÷ç ÷çè ø.
1 3 31 2 0 2
a b a b dA B
d a b d
æ ö æ öæ ö +÷ ÷÷ ç çç ÷ ÷÷⋅ = ⋅ =ç çç ÷ ÷÷ ç çç ÷ ÷ ÷ç ç ç +è ø è ø è ø
1 3 3 21 20 2
a b a b a bB A
d d d
æ ö æ öæ ö +÷ ÷÷ç çç÷ ÷÷⋅ = ⋅ =ç çç÷ ÷÷ç çç ÷÷ ÷çç çè øè ø è ø
Igualando cada término, se tiene que: 0
03 3 2
2 2
a a b a
a d b
cb d a b
db d d
ì ì= = lï ïï ïï ïï ï= =ï ïï ïí íï ï =+ = +ï ïï ïï ïï ï = l+ = ïîïî
Como 2 2 1a d+ = l+l= l= .
Por tanto, la matriz buscada es1 0
0 1B
æ ö÷ç ÷=ç ÷ç ÷çè ø.
57. Página 28
a) 3 0 1 0 3 0
1 2 3 4 5 8A B
æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷⋅ = ⋅ =ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç-è ø è ø è ø
1 0 3 0 3 0
3 4 1 2 5 8B A
æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷⋅ = ⋅ =ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç-è ø è ø è ø
b) Sea a bX
c d
æ ö÷ç ÷=ç ÷ç ÷çè ø. La matriz X tiene que verificar A X X A⋅ = ⋅ . Entonces:
3 0 3 31 2 2 2
a b a bA X
c d a c b d
æ ö æ öæ ö ÷ ÷÷ ç çç ÷ ÷÷⋅ = ⋅ =ç çç ÷ ÷÷ ç çç ÷ ÷ ÷ç ç ç- + +è ø è ø è ø
3 0 3 21 2 3 2
a b a b bX A
c d c d d
æ ö æ öæ ö÷ ÷÷ç çç÷ ÷÷⋅ = ⋅ =ç çç÷ ÷÷ç çç ÷÷ ÷çç ç-è øè ø è ø
Por tanto, igualando cada término, se tiene que:
3 3
3 2 0
2 3
2 2
a a b a
b b b
ca c c d
db d d
ì ì= = lï ïï ïï ïï ï= =ï ïï ïí íï ï =a l+ =ï ïï ïï ïï ï =a+ = ïîïî
→ 0
Xæ öl ÷ç ÷=ç ÷ç ÷ça l aè ø
15
1
Matrices
1
58. Página 28
Sea x y
Py x
æ ö÷ç ÷=ç ÷ç ÷çè ø:
x y a b xa yb xb ayP C
y x b a ya xb yb xa
æ ö æ öæ ö +÷ ÷÷ ç çç ÷ ÷÷⋅ = ⋅ =ç çç ÷ ÷÷ ç çç ÷ ÷ ÷ç ç ç- +è ø è ø è ø
x ya b ax by ay bx
C Py xb a bx ay by ax
æ ö æ öæ ö +÷ ÷÷ç çç÷ ÷÷⋅ = ⋅ =ç çç÷ ÷÷ç çç ÷÷ ÷çç ç- +è øè ø è ø
Así pues, las matrices C y P son siempre conmutables.
59. Página 28
Sean A MÎ y B MÎ : ( )a b c d ac bd ad bc ac bd ad bc
A Bb a d c bc ad bd ac ad bc ac bd
æ öæ ö æ ö æ ö + ÷÷ ÷ ÷ çç ç ç ÷÷ ÷ ÷⋅ = ⋅ = =çç ç ç ÷÷ ÷ ÷ çç ç ç ÷÷ ÷ ÷ç ç ç ç+ + +è ø è ø è ø è ø
Por otro lado: ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2ac bd ad bc a c b d acbd a d b c adbc+ + = + + + + =
( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 1a c d b c d a b= + + + = + =
60. Página 28 23 1 1 1 4 4 7 7 1 1 4 4 3 3
2 4 2 3 8 5 14 14 2 3 8 5 2 3 6 9
t tt t
t t
æ ö æ ö æ ö æ ö æ ö æ ö æ ö æ ö- - - - -÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷+ ⋅ = + ⋅ = =ç ç ç ç ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç ç ç ç ç -è ø è ø è ø è ø è ø è ø è ø è ø
Igualando los términos, se obtiene que t 3.
61. Página 28 2
2 2
1 1 1 0 5 015
0 1 0 5
y x y x yzx z y z x yz x z
æ öæ ö æ ö æ ö æ ö+ + ÷÷ ÷ ÷ ÷çç ç ç ç÷÷ ÷ ÷ ÷⋅ = ⋅ =çç ç ç ç÷÷ ÷ ÷ ÷çç ç ç ç÷÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ç + +è ø è ø è ø è øè ø
Igualando cada término, tenemos que:
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )
1 1 12
2 2 2
3 3 32 2
4 4 4
, , 2, 2, 11 5
, , 2, 2, 10
, , 2, 2, 15
, , 2, 2, 1
x y zy
x y zx yz
x y zx z
x y z
ì =ïïì ïï + = ïï ï =ï ïï ï+ = í íï ï =ï ïï ï+ =ï ïî ï =ïïî
62. Página 28
Realizando las operaciones e igualando cada término, tenemos que: 2 23 2 2 2 1 0 1x x x x x+ = + + = =
Como observación, el resto de ecuaciones no aporta información sobre la variable x.
Por consiguiente, si x 1, se cumple la igualdad pedida.
63. Página 28 21 2 1 8 2 5 8 2 51 2 1 2
1 0 1 0 1 2 1 2 12 1
x x x xx x xx x xx
æ öæ ö æ ö æ ö æ ö- - - -- - ÷÷ ÷ ÷ ÷çç ç ç ç÷÷ ÷ ÷ ÷⋅ = =çç ç ç ç÷÷ ÷ ÷ ÷çç ç ç ç÷÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ç- - --è ø è ø è ø è øè ø → 3x =
Matrices
1
Como observación, la solución x 3 no es válida ya que no se verificaría para el tercer elemento de la primera fila.
Matrices
16
1
58. Página 28
Sea x y
Py x
æ ö÷ç ÷=ç ÷ç ÷çè ø:
x y a b xa yb xb ayP C
y x b a ya xb yb xa
æ ö æ öæ ö +÷ ÷÷ ç çç ÷ ÷÷⋅ = ⋅ =ç çç ÷ ÷÷ ç çç ÷ ÷ ÷ç ç ç- +è ø è ø è ø
x ya b ax by ay bx
C Py xb a bx ay by ax
æ ö æ öæ ö +÷ ÷÷ç çç÷ ÷÷⋅ = ⋅ =ç çç÷ ÷÷ç çç ÷÷ ÷çç ç- +è øè ø è ø
Así pues, las matrices C y P son siempre conmutables.
59. Página 28
Sean A MÎ y B MÎ : ( )a b c d ac bd ad bc ac bd ad bc
A Bb a d c bc ad bd ac ad bc ac bd
æ öæ ö æ ö æ ö + ÷÷ ÷ ÷ çç ç ç ÷÷ ÷ ÷⋅ = ⋅ = =çç ç ç ÷÷ ÷ ÷ çç ç ç ÷÷ ÷ ÷ç ç ç ç+ + +è ø è ø è ø è ø
Por otro lado: ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2ac bd ad bc a c b d acbd a d b c adbc+ + = + + + + =
( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 1a c d b c d a b= + + + = + =
60. Página 28 23 1 1 1 4 4 7 7 1 1 4 4 3 3
2 4 2 3 8 5 14 14 2 3 8 5 2 3 6 9
t tt t
t t
æ ö æ ö æ ö æ ö æ ö æ ö æ ö æ ö- - - - -÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷+ ⋅ = + ⋅ = =ç ç ç ç ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç ç ç ç ç -è ø è ø è ø è ø è ø è ø è ø è ø
Igualando los términos, se obtiene que t 3.
61. Página 28 2
2 2
1 1 1 0 5 015
0 1 0 5
y x y x yzx z y z x yz x z
æ öæ ö æ ö æ ö æ ö+ + ÷÷ ÷ ÷ ÷çç ç ç ç÷÷ ÷ ÷ ÷⋅ = ⋅ =çç ç ç ç÷÷ ÷ ÷ ÷çç ç ç ç÷÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ç + +è ø è ø è ø è øè ø
Igualando cada término, tenemos que:
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )
1 1 12
2 2 2
3 3 32 2
4 4 4
, , 2, 2, 11 5
, , 2, 2, 10
, , 2, 2, 15
, , 2, 2, 1
x y zy
x y zx yz
x y zx z
x y z
ì =ïïì ïï + = ïï ï =ï ïï ï+ = í íï ï =ï ïï ï+ =ï ïî ï =ïïî
62. Página 28
Realizando las operaciones e igualando cada término, tenemos que: 2 23 2 2 2 1 0 1x x x x x+ = + + = =
Como observación, el resto de ecuaciones no aporta información sobre la variable x.
Por consiguiente, si x 1, se cumple la igualdad pedida.
63. Página 28 21 2 1 8 2 5 8 2 51 2 1 2
1 0 1 0 1 2 1 2 12 1
x x x xx x xx x xx
æ öæ ö æ ö æ ö æ ö- - - -- - ÷÷ ÷ ÷ ÷çç ç ç ç÷÷ ÷ ÷ ÷⋅ = =çç ç ç ç÷÷ ÷ ÷ ÷çç ç ç ç÷÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ç- - --è ø è ø è ø è øè ø → 3x =
16
Matrices
Matrices
1
64. Página 28
0 3 0 0 3 0 0 0 0 3 0 0 0
3 1 9 3 3 1 9 3 0 0 3 1 9 3 0 0B B B B B
é ùæ ö æ ö æ ö æ ö æ ö æ ö æ ö æ öl l l÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç ç ç ç çê ú÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ =ç ç ç ç ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç ç ç ç çê ú÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç ç ç ç çè ø è ø è ø è ø è ø è ø è ø è øë û
Si a bB
c d
æ ö÷ç ÷=ç ÷ç ÷çè ø →
3 0 0 0
6 2 0 0a b
c d
æ ö æ ö æ öl-÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷⋅ =ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷÷ ç çç - -è ø è øè ø
( )
( )
( )
( )
3 6 0 3 0
2 0 03
3 6 0 3 0
2 0 0
a b a
b b
c d c
d d
ì ìl- - = l- =ï ïï ïï ïï ï- = =ï ïï ï l=í íï ïl- - = l- =ï ïï ïï ïï ï- = =ï ïî î
Así pues, 0
0
aB
c
æ ö÷ç ÷=ç ÷ç ÷çè ø.
65. Página 29
Una matriz antisimétrica de orden 2 verifica que 0
0
aA
a
æ ö÷ç ÷=ç ÷ç ÷çè ø. Así:
2 42 4
2 4
0 0 00 0 0
a a aA A A
a a a
æ ö æ öæ ö - ÷ ÷÷ ç çç ÷ ÷÷= = =ç çç ÷ ÷÷ ç çç ÷ ÷÷ç ÷ ÷ç ç- -è ø è ø è ø
Por tanto: 4 416 16 2a a a= = =
66. Página 29
No se puede asegurar. Por ejemplo, si tomamos las siguientes matrices, su producto no es conmutativo:
2 0 0
0 3 0
0 0 1
A
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷=ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷è ø
1 0 1
0 1 0
1 0 1
B
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷= ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷è ø
Para que conmute el producto es necesario y suficiente que la matriz A tenga su diagonal formada por el mismo número:
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
aA a a a I
a
æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷= = ⋅ = ⋅ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷ç ç÷ ÷è ø è ø
Así, el producto de esta matriz A con otra matriz B será conmutativo.
67. Página 29
Sea a bB
c d
æ ö÷ç ÷=ç ÷ç ÷çè ø:
1 1
2 1 2 2
a b a c b dA B
c d a c b d
æ ö æ öæ ö + +÷ ÷÷ ç çç ÷ ÷÷⋅ = ⋅ =ç çç ÷ ÷÷ ç çç ÷ ÷ ÷ç ç ç + +è ø è ø è ø
1 2 21 1 2
t a b a b a bB A
c d c d c d
æ ö æ öæ ö + +÷ ÷÷ç çç÷ ÷÷⋅ = ⋅ =ç çç÷ ÷÷ç çç ÷÷ ÷çç ç + +è øè ø è ø
Igualando cada término, se tiene que:
2
2
22 2
a c a b a
b d a b b
ca c c d
db d c d
ì ì+ = + =aï ïï ïï ïï ï+ = + =lï ïï ïí íï ï =l+ = +ï ïï ïï ïï ï = a+ = + ïîïî
→ 2
Bæ öa l ÷ç ÷=ç ÷ç ÷çl aè ø
17
1
Matrices
1
68. Página 29 2 2
2
2 2
1 0 2 2 2 3 02 3 2 3
0 1 0 32 22
a b a b a b a b ab a bM M I
b a b a b a b aab a b
æ öæ ö æ ö æ ö æ öæ ö æ ö+ ÷ç÷ ÷ ÷ ÷÷ ÷ç ç ç çç ç÷÷ ÷ ÷ ÷÷ ÷ç- = ⋅ - ⋅ = - =ç ç ç çç ç÷÷ ÷ ÷ ÷÷ ÷çç ç ç çç ç÷÷ ÷÷ ÷ ÷ ÷ç çç ç ç ç÷çè ø è øè ø è ø è ø è ø+è ø
Así, igualando los términos correspondientes, se tiene que:
( )
2 2 2 3
2 2 0 2 1 0
a b a
ab b b a
ìï + - =ïíï - = - =ïî
• Si 0b= → 2 2 21 22 3 2 3 0 3, 1a b a a a a a+ - = - - = = =-
• Si 1a= → 2 2 21 22 3 1 2 3 2, 2a b a b b b+ - = + - = = =-
3 0 1 0 1 2 1 2, , ,
0 3 0 1 2 1 2 1M
ì üæ ö æ ö æ ö æ ö- -ï ï÷ ÷ ÷ ÷ï ïç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷= ç ç ç çí ý÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç çï ï- -è ø è ø è ø è øï ïî þ
69. Página 29 2
2 1 0 0 1 0 1 004 4
0 3 0 2 0 1 0 30 4
mmX X I
æ öæ ö æ ö æ ö æ ö÷÷ ÷ ÷ ÷çç ç ç ç÷÷ ÷ ÷ ÷- + = - ⋅ + =çç ç ç ç÷÷ ÷ ÷ ÷çç ç ç ç÷÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ç- -è ø è ø è ø è øè ø
221 0 04 1 0
4 1 10 3 40 3
mm mm m
m
æ ö æ ö ì =- + ï÷ ÷ç ïç÷ ÷ = - + = ç ç í÷ ÷ç ç÷ ÷ç ï÷ç - =- è øè ø ïî
70. Página 29
2 2 8 8
6 12A B
æ ö÷ç ÷+ =ç ÷ç ÷çè ø →
2 2
2 2 1 0 1 1 2 2 1 2 2 2 2 2
2 1 1 2 4 2 1 2 5 6 2 6
x x x x xA B
x x
é ù é ùæ ö æ ö æ ö æ ö æ ö+ + +÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç çê ú ê ú÷ ÷ ÷ ÷ ÷+ = + = + =ç ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç çê ú ê ú÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç ç+ +è ø è ø è ø è ø è øë û ë û → x 3.
71. Página 29
( )2 1 1 1 6
1 1 2 1 1 13 2 0 1 8
3 0 5 6 8 80 1 1 1 8
tt
tA B
é ùæ ö æ ö- ÷ ÷ç çê ú é ùæ ö æ ö÷ ÷- ç ç÷ ÷÷ ÷ç çç çê ú ê ú÷ ÷÷ ÷⋅ = ⋅ - = =ç çç ç÷ ÷÷ ÷ê úç çê úç ç÷ ÷÷ ÷ç ç- -è ø è øç ç÷ ÷ê ú ë û÷ ÷ç ç÷ ÷- -è ø è øê úë û
2 1 1 2 3 0 1 3 1 61 1 2
3 2 0 1 2 1 1 0 1 83 0 5
0 1 1 1 0 1 2 5 1 8
tt
t tB A
é ùæ ö æ ö æ ö æ ö- ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç çê ú é ùæ ö÷ ÷ ÷ ÷-ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷÷çç ç ç çê ú ê ú÷ ÷ ÷ ÷÷⋅ = - ⋅ = - ⋅ =çç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷÷ê ú çê úç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷÷ç -è øç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ê ú ë û÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷- -è ø è ø è ø è øê úë û
72. Página 29
( )3
3 1 0 17 29 1 0 17 29
0 1 10 17 0 1 10 17I A mI nA m n
é ùæ ö æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç çê ú÷ ÷ ÷ ÷+ = + + = +ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç çê ú÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç- - - -è ø è ø è ø è øë û
318 29 1 0 17 29 32 58 17 29
10 16 0 1 10 17 20 36 10 17
n m nm n
n n m
é ùæ ö æ ö æ ö æ ö æ ö+÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç çê ú÷ ÷ ÷ ÷ ÷ = + =ç ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç çê ú÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç ç- - - - - - - - +è ø è ø è ø è ø è øë û
Igualando término a término, se tiene que m 2 y n 2.
73. Página 29
2 5 4 2 1 1 0 0 0 5 2 4 0 0 40
4 5 1 2 0 1 0 0 4 5 2 0 0 3A A I
æ ö æ ö æ ö æ ö æ ö æ ö ì+ a+b +a a=-ï÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ïç ç ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷+a⋅ +b⋅ = +a⋅ +b⋅ = = ç ç ç ç ç ç í÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç ç ç ï+a + a+b b=è ø è ø è ø è ø è ø è ø ïî
18
Matrices
Matrices
1
74. Página 29
La matriz B debe tener dimensión 32 para que se pueda multiplicar con A y, además, para que tengamos como resultado una matriz 22.
Como la primera fila es ( )2 0 , entonces 2 0
B c d
e f
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷=ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷çè ø
.
2 00 2 1 0 2 0 2 0 22 2 2
3 1 2 1 0 3 1 3 14
e fA B c d
c de f
æ ö÷ç æ ö÷æ ö æ ö æ ö æ ö- +ç ÷ ÷÷ ÷ ÷ ÷çç ç ç çç ÷ ÷÷ ÷ ÷ ÷⋅ = ⋅ = =çç ç ç çç ÷ ÷÷ ÷ ÷ ÷çç ç ç çç ÷÷ ÷ ÷ ÷÷ç ç ç çç +è ø è ø è ø è øè øç ÷÷ç ÷çè ø
Igualando términos, se tiene que: 2 2 0 1
2 2 1
4 3 1
1 1
e c
f d
c e
d f
ì ì+ = =ï ïï ïï ïï ï= =ï ïï ïí íï ï+ = =ï ïï ïï ïï = ï =ï ïî î
→ 2 0
1 1
1 1
B
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷= -ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷è ø
75. Página 29
1 1 1 1 1 0 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 1 1 0 2 2 2
A B
æ ö æ ö æ ö- - -÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷⋅ = - ⋅ - = -ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷- -è ø è ø è ø
1 1 0 1 1 1 2 0 2
1 1 1 1 1 1 0 2 4
1 1 0 2 2 2 2 0 2
B A
æ ö æ ö æ ö- - -÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷⋅ = - ⋅ - =ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷- -è ø è ø è ø
Por tanto, A y B no cumplen la propiedad conmutativa para el producto.
76. Página 29
Debido a que la matriz A es antisimétrica, tenemos que 0
0
0
a bA a c
b c
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷= ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷çè ø
.
Así:
( )( )
( )
2 22
2 2
2 2
0 5 6 3 5 6 3
0 6 10 2 6 10 2
0 3 2 13 3 2 13
a b bc aca b
a c bc a c ab
b c ac ab b c
æ ö+ ÷çé ùæ ö æ ö æ ö- - - -÷ç÷ ÷ ÷ç ÷ç çê ú ç÷ ÷ ÷÷ç ç çç÷ ÷ ÷÷çê ú ç ç÷ ç÷ ÷÷= - - - - + - = - - -ç ç ç÷ ÷ ÷ç ÷ê úç ç ç÷ ÷ ÷÷çç ÷ ç ç÷ ÷÷çê ú÷ ÷ ÷ç ç ç÷÷ ÷÷ç ç- - - -è ø è øè ø ÷ê ú ç +ë û ÷çè ø
Igualando cada término, se tiene que:
( )
( )
( )
( ) ( )( ) ( )
2 2
2 2
2 2
5
6
3 , , 1, 2, 3
10 , , 1, 2, 3
2
13
a b
bc
ac a b c
a c a b c
ab
b c
ìï + =-ïïïï =-ïïïï ì= ï =ï ïï ïí íï ï+ = =ï ïïîïïï- =ïïïï + =-ïïî
Por tanto: 0 1 2 0 1 2
1 0 3 , 1 0 3
2 3 0 2 3 0
A
ì üæ ö æ ö- -ï ï÷ ÷ï ïç ç÷ ÷ï ïç ç÷ ÷ï ïç ç÷ ÷= - -í ýç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ï ïç ç÷ ÷ï ï÷ ÷ç ç÷ ÷ï ï- -è ø è øï ïî þ
19
1
Matrices
1
77. Página 29
a) ( )
2
2
3 3 0 3 9 0
2 0 0 6 6 0
1 2 1 0 5 1
A B
é ùæ ö æ ö÷ ÷ç çê ú÷ ÷ç ç÷ ÷ç çê ú÷ ÷+ = - = - -ç ç÷ ÷ê úç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ê ú÷ ÷ç ç÷ ÷è ø è øê úë û
b) 2 2
5 2 1 5 2 2 2 8 2 2 12 3
2 3 0 0 1 5 1 2 2 2 0 3 1
1 1 1 1 5 2 8 4 2 8 0 3
A B A B
æ ö æ ö æ ö æ ö- - - -÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷+ + ⋅ ⋅ = + - - + - - = - -ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷- - - - - -è ø è ø è ø è ø
c) ( ) ( ) ( )
( )
2 2 2
2 2 22
A B A B A B A A B B A BA B B A
A B A A B B
ì üï ï+ = + ⋅ + = + ⋅ + ⋅ +ï ïï ï ⋅ = ⋅í ýï ï+ = + ⋅ ⋅ +ï ïï ïî þ
Para que se verifique la igualdad, las matrices deben cumplir la propiedad conmutativa de la multiplicación.
78. Página 29
0 5 2 0 5 2 2 5 0
0 2 5 0 5 2 2 5 0
0 0 1 0 0 1 0 0 1
a b a b a bc d c d c d
æ ö æ öæ ö + +÷ ÷÷ç çç÷ ÷÷ç çç÷ ÷÷ç çç÷ ÷÷⋅ = + +ç çç÷ ÷÷ç çç÷ ÷÷ç ç÷ ÷ç ÷÷ ÷÷ç çç ÷÷ ÷ç çè øè ø è ø
5 2 0 0 5 2 2 5 0
2 5 0 0 5 2 5 2 0
0 0 1 0 0 1 0 0 1
a b a c d b
c d c a d b
æ ö æ öæ ö + +÷ ÷÷ ç çç ÷ ÷÷ ç çç ÷ ÷÷ ç çç ÷ ÷÷⋅ = + +ç çç ÷ ÷÷ ç çç ÷ ÷÷ ç ç÷ ÷ç ÷ ÷ ÷÷ ç çç ÷ ÷ ÷ç çè ø è ø è ø
Igualando cada término, se tiene que:
5 2 5 2
2 5 2 5
5 2 5 2
5 2 2 5
a c a b a
d b a b b
cc a c d
dd b c d
ì ì+ = + =lï ïï ïï ïï ï+ = + =aï ïï ïí íï ï =a+ = +ï ïï ïï ïï ï = l+ = + ïîïî
Las matrices que conmutan son de la forma 0
0
0 0 1
M
æ öl a ÷ç ÷ç ÷ç ÷= a lç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷è ø
.
Por otro lado: 1 5 1 5 2 4 2a d+ + = l+l+ = l= l=
La matriz que conmuta con la dada, cuyos elementos de la diagonal principal suman 5, y donde a11 a12, está determinada por:
0 2 0 2a b+ = +a= a=- → 1
2 2 0
2 2 0
0 0 1
M
æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷= -ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷è ø
79. Página 29 2
2
2 22
2
2
1 11 0 1 0 0 1 0 0
00 0 0 0 0 0 0 1 0
1 10 0 0 0 0 0 0 0 1
1 1
m mm m m m a
m a m aX a a a
a as s s
s s
ìï = =ïæ öæ ö æ ö æ ö ï+ ÷ç÷ ÷ ÷ ïç ç ç÷ + = =-÷ ÷ ÷ç ïç ç ç÷÷ ÷ ÷ç ïç ç ç÷÷ ÷ ÷ç= ⋅ = = ÷ íç ç ç÷ ÷ ÷ç ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ ïç ÷ = =ç ç ç÷ ÷ ÷ ï÷ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ ï÷çè ø è ø è øè ø ïï = =ïî
Así: 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0
0 1 0 , 0 1 0 , 0 1 0 , 0 1 0
0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1
X
ì üæ ö æ ö æ ö æ ö- -ï ï÷ ÷ ÷ ÷ï ïç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ï ïç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ï ïç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷= - -í ýç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ï ïç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ï ï÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ï ï- -è ø è ø è ø è øï ïî þ
20
Matrices
Matrices
1
80. Página 29
2 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
2 1 2 1 2 2 1 4 1 2 2 1A
æ ö æ ö æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ ÷= ⋅ = = =ç ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç ç+ ⋅è ø è ø è ø è ø è ø 3 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
4 1 2 1 4 2 1 6 1 2 3 1A
æ ö æ ö æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ ÷= ⋅ = = =ç ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç ç+ ⋅è ø è ø è ø è ø è ø
( )1 0 1 0 1 0 1 0
2 1 1 2 1 2 2 2 1 2 1nA
n n n
æ ö æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷= ⋅ = =ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷÷ ç ç çç - - +è ø è ø è øè ø 41 1 0 1 0
2 41 1 82 1A
æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷= =ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç⋅è ø è ø
81. Página 29
1 1
0 1A
æ ö- ÷ç ÷=ç ÷ç ÷çè ø 2 1 1 1 1 1 2
0 1 0 1 0 1A
æ ö æ ö æ ö- - -÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷= ⋅ =ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç çè ø è ø è ø 3 1 2 1 1 1 3
0 1 0 1 0 1A
æ ö æ ö æ ö- - -÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷= ⋅ =ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç çè ø è ø è ø
( ) 1 1 11 10 1 0 10 1
n nnA
æ ö æ ö æ ö- -- - ÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷= ⋅ =ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷÷ ç çç è ø è øè ø
( )2
11 0 1 1 1 2 1 1... 2
0 1 0 1 0 1 0 10 1
nn
n nn nT I A A A
n
æ ö+ ÷çæ ö æ ö æ ö æ ö- - - ÷+ -ç÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ ÷= + + + + = + + + + =ç ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç ç ÷è ø è ø è ø è ø ç ÷÷ç +è ø
82. Página 29 2 2A A I= -
( ) ( )3 22 2 2 2 3 2A A I A A A A I A A I= - = - = - - = -
4 4 3A A I= -
( )1nA nA n I= - -
83. Página 29
a) 1 1 1 1 0 0
1 1 1 1 0 0A B
æ ö æ ö æ ö-÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷⋅ = ⋅ =ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç-è ø è ø è ø
1 1 1 1 0 0
1 1 1 1 0 0B A
æ ö æ ö æ ö- ÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷⋅ = ⋅ =ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç-è ø è ø è ø
b) 2 1 1 1 1 2 2
1 1 1 1 2 2A
æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷= ⋅ =ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç çè ø è ø è ø 3 2 2 1 1 4 4
2 2 1 1 4 4A
æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷= ⋅ =ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç çè ø è ø è ø
1 1
1 1
2 2
2 2
n nn
n nA
- -
- -
æ ö÷ç ÷=ç ÷ç ÷÷çè ø
2 1 1 1 1 2 2
1 1 1 1 2 2B
æ ö æ ö æ ö- - -÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷= ⋅ =ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç- - -è ø è ø è ø 3 2 2 1 1 4 4
2 2 1 1 4 4B
æ ö æ ö æ ö- - -÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷= ⋅ =ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç- - -è ø è ø è ø
1 1
1 1
2 2
2 2
n nn
n nB
- -
- -
æ ö- ÷ç ÷=ç ÷ç ÷÷ç-è ø
84. Página 29
a) 1 0 1 0
1 1 1 1a b a b
A B B Ac d c d
æ ö æ öæ ö æ ö÷ ÷÷ ÷ç çç ç÷ ÷÷ ÷⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ç çç ç÷ ÷÷ ÷ç çç ç÷ ÷÷ ÷ç çç çè ø è øè ø è ø
1 0
1 1a b a b
c d a c b d
æ ö æ öæ ö ÷ ÷÷ ç çç ÷ ÷÷⋅ =ç çç ÷ ÷÷ ç çç ÷ ÷ ÷ç ç ç + +è ø è ø è ø
1 0
1 1a b a b b
c d c d d
æ ö æ öæ ö +÷ ÷÷ç çç÷ ÷÷⋅ =ç çç÷ ÷÷ç çç ÷÷ ÷çç ç +è øè ø è ø
0 0
a a b a
b b bB
ca c c d
db d d
ì ì= + =lï ïï ïï ïï ï æ ö= = lï ï ÷ï ï ç ÷ =çí í ÷ç ÷çï ï =a a l+ = + è øï ïï ïï ïï ï = l+ = ïîïî
b) 2 1 0 1 0 1 0
1 1 1 1 2 1A
æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷= ⋅ =ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç çè ø è ø è ø 3 1 0 1 0 1 0
2 1 1 1 3 1A
æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷= ⋅ =ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç çè ø è ø è ø
1 0
1nA
n
æ ö÷ç ÷=ç ÷ç ÷çè ø
21
1
Matrices
1
85. Página 29
2
1 0 1 1 0 1 2 0 2
0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 1 0 1 2 0 2
A
æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷= ⋅ =ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷è ø è ø è ø
2 2
3
2 2
2 0 2 1 0 1 4 0 4 2 0 2
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
2 0 2 1 0 1 4 0 4 2 0 2
A
æ öæ ö æ ö æ ö ÷ç÷ ÷ ÷ç ç ç ÷÷ ÷ ÷ çç ç ç ÷÷ ÷ ÷ çç ç ç ÷÷ ÷ ÷ ç= ⋅ = = ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ ç ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ ç ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷çè ø è ø è ø è ø
3 3
4
3 3
4 0 4 1 0 1 8 0 8 2 0 2
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
4 0 4 1 0 1 8 0 8 2 0 2
A
æ öæ ö æ ö æ ö ÷ç÷ ÷ ÷ç ç ç ÷÷ ÷ ÷ çç ç ç ÷÷ ÷ ÷ çç ç ç ÷÷ ÷ ÷ ç= ⋅ = = ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ ç ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ ç ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷çè ø è ø è ø è ø
4 4
5
4 4
8 0 8 1 0 1 16 0 16 2 0 2
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
8 0 8 1 0 1 16 0 16 2 0 2
A
æ öæ ö æ ö æ ö ÷ç÷ ÷ ÷ç ç ç ÷÷ ÷ ÷ çç ç ç ÷÷ ÷ ÷ çç ç ç ÷÷ ÷ ÷ ç= ⋅ = = ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ ç ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ ç ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷çè ø è ø è ø è ø
1 1
1 1
2 0 2
0 0 0
2 0 2
n n
n
n n
A
- -
- -
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç= ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷çè ø
86. Página 29
a) 1 3 3 3
0 2 2 2
a b a c b dA M
c d c d
æ ö æ öæ ö + +÷ ÷÷ ç çç ÷ ÷÷⋅ = ⋅ =ç çç ÷ ÷÷ ç çç ÷ ÷ ÷ç ç çè ø è ø è ø
1 3 3 2
0 2 3 2
a b a a bM A
c d c c d
æ ö æ öæ ö +÷ ÷÷ç çç÷ ÷÷⋅ = ⋅ =ç çç÷ ÷÷ç çç ÷÷ ÷çç ç +è øè ø è ø
( ) ( )3
33 3 2 32 002 3 2
aa c a
bb d a bM
c c cd c d d
ìì = l+ = ïï ïï ïï ïï æ ö= a-l+ = + l a-lïï ÷ï ï ç ÷ =çí í ÷ç ÷ï ï ç= a= è øï ïï ïï ïï = + ï =aïî ïî
b) 222
1 3 1 3 1 9 10 2 0 2 0 4 0 2
bA
æ öæ ö æ ö æ ö ÷÷ ÷ ÷ çç ç ç ÷÷ ÷ ÷= ⋅ = =çç ç ç ÷÷ ÷ ÷ çç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç çè ø è ø è ø è ø, donde b2 2 ∙ 3 3 2 ∙ b1 3
333
1 9 1 3 1 21 10 4 0 2 0 8 0 2
bA
æ öæ ö æ ö æ ö ÷÷ ÷ ÷ çç ç ç ÷÷ ÷ ÷= ⋅ = =çç ç ç ÷÷ ÷ ÷ çç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç çè ø è ø è ø è ø, donde b3 2 ∙ 9 3 2 ∙ b2 3
444
1 21 1 3 1 45 10 8 0 2 0 16 0 2
bA
æ öæ ö æ ö æ ö ÷÷ ÷ ÷ çç ç ç ÷÷ ÷ ÷= ⋅ = =çç ç ç ÷÷ ÷ ÷ çç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç çè ø è ø è ø è ø, donde b4 2 ∙ 21 3 2 ∙ b3 3
1
0 2nnn
bA
æ ö÷ç ÷=ç ÷ç ÷çè ø, donde bn 2 ∙ bn1 3
Además de expresar nA recurrentemente, se puede escribir de la siguiente forma:
1
1
1 3 2
0 2
ni
ni
n
A-
=
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷= ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø
å
87. Página 29
a) 2
22
20 0 0
a b a b a abM
a a a
æ öæ ö æ ö ÷÷ ÷ çç ç ÷÷ ÷= ⋅ =çç ç ÷÷ ÷ çç ç ÷÷ ÷ç ç ÷çè ø è ø è ø
2 3 23
2 3
2 300 0
a ba ab a a bM
aa a
æ ö æ öæ ö÷ ÷÷ç çç÷ ÷÷= ⋅ =ç çç÷ ÷÷ç çç÷ ÷÷ç÷ ÷ç çè øè ø è ø
3 2 4 34
3 4
3 400 0
a ba a b a a bM
aa a
æ ö æ öæ ö÷ ÷÷ç çç÷ ÷÷= ⋅ =ç çç÷ ÷÷ç çç÷ ÷÷ç÷ ÷ç çè øè ø è ø
1
0
n nn
n
a na bM
a
-æ ö÷ç ÷=ç ÷ç ÷÷çè ø
b) 100 99
100100
1 11001
0 10
a a bM a
a
æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷= = =ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç÷ç è øè ø
• Si 1a= → 1100
b= → 1
11
1000 1
Mæ ö÷ç ÷ç ÷ç= ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø
• Si 1a=- → 1100
b=- → 2
11
1000 1
Mæ ö÷ç- - ÷ç ÷ç= ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç -è ø
22
Matrices
Matrices
1
88. Página 30
a) 2 1 1 1 1 2 1
1 2 1 2 1 5A
æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷= ⋅ =ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç- -è ø è ø è ø
2 1 1 1 1 0 0
1 5 1 2 0 1 2 0 2
m m n m n mm n
m m n m m n
æ ö æ ö æ ö æ ö æ ö æ ö+÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷= + = + =ç ç ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç ç ç- - - +è ø è ø è ø è ø è ø è ø
Así, igualando los términos: 2
1 1
1 3
5 2
m nm mm n
m n
ì = +ïïïï ì- = =-ïïï ïí íï ï- = =ï ïîïï =- +ïïî
b) ( ) ( )( ) ( )22 5 2 23 3 3 3 3 9A A I A A A A I A I A A A A I A=- + = ⋅ = - + - + = - - + = ( )( ) ( ) ( )23 3 3 9 7 12 7 12 7 3 12 19 21A I A A I A A I A A A A I A A I= - + - - + = - + =- + =- - + + = -
Por tanto: 5 1 1 1 0 2 19
19 212 1 0 1 38 2
Aæ ö æ ö æ ö-÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷= ⋅ - ⋅ =ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç- - -è ø è ø è ø
89. Página 30
a) Respuesta abierta. Por ejemplo:
1 0 0
0 0 0
0 0 0
A
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷=ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷è ø
2
1 0 0 1 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
A
æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷= ⋅ =ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷è ø è ø è ø
b) 2 4 2 4 2 16 2 8 6 16 2 2
3 3 4 3 2 9 2 9
m mA
m m m m m m m
æ ö æ ö æ ö æ ö+ +÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷= ⋅ = =ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç- - + +è ø è ø è ø è ø
4 2 16 2 2
3 2 9
mA
m m m
æ ö æ ö+÷ ÷ç ç÷ ÷= =ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç- +è ø è ø
Así, igualando términos:
4 16 2
62 2
3 2 9
m
m mm
m
ì = +ïïïï =ïï =-íï =ïïï = +ïïî
c) 2
1 10
0
m mn mmn
n n mn
é ùæ ö æ ö+÷ ÷ç çê ú÷ ÷= =ç ç÷ ÷ç çê ú÷ ÷ç çè ø è øë û
Las matrices son del tipo 1 0
0n
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø o bien
1
0 0
mæ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø.
23
1
Matrices
1
90. Página 30
a)
11 12 1 11 12 1
21 22 2 21 22 2
1 2 1 2
... ...
... ...
... ... ... ... ... ... ... ...
... ...
n n
n n
n n nn n n nn
a a a b b ba a a b b b
A B
a a a b b b
æ öæ ö ÷÷ çç ÷÷ çç ÷÷ çç ÷÷ çç ÷÷ çç ÷÷⋅ = ⋅ =ç ÷ç ÷ ÷÷ çç ÷÷ çç ÷÷ çç ÷÷ çç ÷÷÷ ÷ç çè ø è ø
11 11 12 21 1 1
21 12 22 22 2 2
1 1 2 2
... ... ... ...
... ... ... ...
... ... ... ...
... ... ... ...
n n
n n
n n n n nn nn
a b a b a ba b a b a b
a b a b a b
æ ö+ + + ÷ç ÷ç ÷ç ÷+ + +ç ÷ç ÷=ç ÷÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç + + +è ø
11 12 111 12 1
21 22 221 22 2
1 21 2
......
......
... ... ... ...... ... ... ...
......
nn
nn
n n nnn n nn
a a ab b ba a ab b b
B A
a a ab b b
æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷⋅ = ⋅ =ç ÷ ç ÷÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷÷÷ çç è øè ø
11 11 12 21 1 1
21 12 22 22 2 2
1 1 2 2
... ... ... ...
... ... ... ...
... ... ... ...
... ... ... ...
n n
n n
n n n n nn nn
b a b a b ab a b a b a
b a b a b a
æ ö+ + + ÷ç ÷ç ÷ç ÷+ + +ç ÷ç ÷=ç ÷÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç + + +è ø
El primer elemento de la diagonal de la matriz BA se compone de todos los primeros sumandos de los elementos de la diagonal de la matriz AB.
El segundo elemento de la diagonal de la matriz BA se compone de todos los segundos sumandos de los elementos de la diagonal de la matriz AB, y así sucesivamente.
b) ( )7 5
7 15 225 15
Tr AB Træ ö÷ç ÷= = + =ç ÷ç ÷çè ø
( )8
12 1
aTr BA Tr a
æ ö÷ç ÷= =ç ÷ç ÷ç -è ø
1 22 23a a- = =
91. Página 30
a) 2
1 1 3 1 1 3 0 0 0
5 2 6 5 2 6 3 3 9
2 1 3 2 1 3 1 1 3
A
æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷= ⋅ =ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷- - - - - - - - -è ø è ø è ø
3
0 0 0 1 1 3 0 0 0
3 3 9 5 2 6 0 0 0
1 1 3 2 1 3 0 0 0
A
æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷= ⋅ =ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷- - - - - -è ø è ø è ø
b) 2 0 0 00 0 0
a a abB
b b ab
æ öæ ö æ ö ÷÷ ÷ çç ç ÷÷ ÷= ⋅ =çç ç ÷÷ ÷ çç ç÷ ÷ ÷ç ç çè ø è ø è ø → Las matrices son del tipo
0
0 0
aB
æ ö÷ç ÷=ç ÷ç ÷çè ø o bien
0 0
0B
b
æ ö÷ç ÷=ç ÷ç ÷çè ø.
92. Página 30
a) 2 2 121 5 1 5
2 1 0 11F F F= -æ ö æ ö- -÷ ÷ç ç÷ ÷¾¾¾¾ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø
→ El rango es 2.
b) 2 2 13 29 6 9 6
6 4 0 0F F F= -æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷¾¾¾¾ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø
→ El rango es 1.
c) 3 3 1 3 3 2
1 0 1 1 0 1 1 0 1
0 1 0 0 1 0 0 1 0
1 1 0 0 1 1 0 0 1
F F F F F F= - = -
æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷¾¾¾¾ ¾¾¾¾ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷- -è ø è ø è ø
→ El rango es 3.
d) 2 2 3 1 1 22 4
0 0 1 0 0 1 0 0 0
2 4 0 0 0 4 0 0 4
1 2 2 1 2 2 1 2 2
F F F F F F= - = +
æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷¾¾¾¾ - ¾¾¾¾ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷è ø è ø è ø
→ El rango es 2.
24
Matrices
Matrices
1
93. Página 30
a) 2 2 121 2 3 1 2 3
2 4 2 0 0 8F F F= +æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷¾¾¾¾ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç- -è ø è ø
→ El rango es 2.
b) 2 2 1
3 3 1 3 3 2
42 7 9
4 1 4 1 4 1
1 2 0 7 0 7
2 5 0 9 0 0
F F FF F F F F F= += - = +
æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷- - ¾¾¾¾ - ¾¾¾¾¾ -ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷è ø è ø è ø
→ El rango es 2.
c) 2 2 1
3 3 1 3 3 2
31 2 1 3 1 2 1 3 1 2 1 3
3 1 2 2 0 5 5 7 0 5 5 7
1 3 4 4 0 5 5 7 0 0 0 0
F F FF F F F F F= += + = -
æ ö æ ö æ ö- - -÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷- - ¾¾¾¾ ¾¾¾¾ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷è ø è ø è ø
→ El rango es 2.
94. Página 30
2 2 1
3 3 1
4 4 34 4 1
4
3
5
1 2 4 5 1 2 4 5 1 2 4 5
4 5 6 7 0 3 10 13 0 3 10 13
3 1 2 3 0 7 14 18 0 7 14 18
5 3 6 7 0 7 14 18 0 0 0 0
F F FF F F
F F FF F F
= += +
== +
æ ö æ ö æ- - - - - - - - - - - -÷ ÷ç ç ç÷ ÷ç ç ç÷ ÷ç ç ç÷ ÷ç ç ç÷ ÷ç ç ç÷ ÷¾¾¾¾ ¾¾¾¾ç ç ç÷ ÷÷ ÷ç ç ç- - - ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ç ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷ç çè ø è ø è
ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ç ÷÷ç ø
3 3 23 7
1 2 4 5
0 3 10 13
0 0 28 37
0 0 0 0
F F F= -
æ ö- - - - ÷ç ÷ç ÷ç ÷- - -ç ÷ç ÷¾¾¾¾ç ÷÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø
→ El rango es 3.
95. Página 30
1 3 3 3 1
1 3 1 3 1 1 3 1
0 3 0 0 3 0 0 3 0 3 0 3
1 3 1 1 3 0 1 3 3
F F F F aF
aa a
a a a
« = -
æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷¾¾¾ ¾¾¾¾ = =ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷è ø è ø è ø
Si 3,a= el rango de la matriz es 2.
96. Página 30
2 1 2
3 3 23 1 3
37 23
3 1 3 1 3 1
1 2 0 0 7 0 7
1 1 6 0 2 18 0 0 9 126
F F FF F FF F F
m m mm m
m m
= += +=
æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷- ¾¾¾¾ ¾¾¾¾¾ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷è ø è ø è ø
9m 126 0 → m 14
• Si m 14, entonces Rango (A) 2.
• Si m ¹14, entonces Rango (A) 3.
97. Página 30
2 2 12 2 13 3 1 3 3 1 3 3 22
3 4 3 4 3 4 3 4
5 6 5 6 0 2 2 0 2 2
7 8 7 8 0 4 4 0 0 0
F F FC C CC C C F F F F F F
a a a a a aa a a a
a a a a
=== = =
æ ö æ ö æ ö æ ö+ + ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷+ + ¾¾¾¾ ¾¾¾¾ ¾¾¾¾ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷+ +è ø è ø è ø è ø
→ Rango (M) 2
Es decir, el rango de la matriz siempre es 2, independientemente del valor del parámetro a .
25
1
Matrices
1
98. Página 30
12 1 4
2
4 2 1 8
36 3
2
A
m
æ ö÷ç- - - ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷ç= - ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷ç ÷-ç ÷ç ÷è ø
Las columnas 2 y 3 son linealmente dependientes con la columna 1:
2 1
12
C C=- 3 1
14
C C=
Si C4, linealmente dependiente con C1 → Rango 1
En caso contrario → Rango 2
Esto es:
• 12m= → 4 12C C= → Todas las columnas son linealmente dependientes → Rango 1
• 12m¹ → La primera y la segunda columna son linealmente independientes → Rango 2
99. Página 30
1 1 1
0 1 1
0 0 1
A
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷=ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷è ø
2
1 2 1 2
0 1 2
0 0 1
A
æ ö+ ÷ç ÷ç ÷ç ÷= ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷è ø
3
1 3 1 2 3
0 1 3
0 0 1
A
æ ö+ + ÷ç ÷ç ÷ç ÷=ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷è ø
Entonces: ( 1)
12
0 1
0 0 1
n
n nn
A n
æ ö+ ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷ç= ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø
Su rango es independiente de n y siempre es 3.
100. Página 30
a) Para que 3
4
d a aA b d
c c d
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷=ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷ç -è ø
sea antisimétrica, se debe cumplir que:
( 4) 7, 7, 3, 0
3
a b
a c a b c dc
ü=- ïïïï=- - = =- =- =ýïïï=- ïþ
. Así, 0 7 7
7 0 3
7 3 0
A
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷= -ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷- -è ø
.
b) 1 34
2
0 0 0 0
0 3 0 3
4 0 0 0
F dF
d dA d d
d d
+
æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷= ¾¾¾¾ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç-è ø è ø
• Si 0d= → Rango (A) 1
• Si 0d¹ → Rango (A) 3
26
Matrices
Matrices
1
101. Página 30
( )4 4 31 2 2 1 223
2
1 1 1 1 1 1 1 1
1 3 2 3 1 2 0 4 2 3 0 4 2 3
2 0 0 2 0 2 0 2
0 2 0 2 0 2 0 0
F a F aFC C F F F
a a a a
a a
a a a a a a a a
a a a a a a a
= + -« = -
æ ö æ ö æ ö- - - -÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷- - - + - +ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷¾¾¾ ¾¾¾¾ ¾¾¾¾¾¾ç ç ç÷ ÷ ÷÷ ÷ ÷ç ç ç+ + + +÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷÷ ÷ ÷ç ç çè ø è ø è ø 4a
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç +è ø
21 24 0 0, 4a a a a+ = = =- . Así, distinguimos dos casos:
• Si 0a¹ y 4a¹- → Rango (A) 3
• Si 0a= →
1 1 0
0 4 2
0 2 0
0 0 0
æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷-ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø
→ Rango (A) 3
• Si 4a=- → 3 2 32
1 1 4 1 1 4
0 4 10 0 4 10
0 2 4 0 0 2
0 0 0 0 0 0
F F F= -
æ ö æ ö- - - -÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷- - - -ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷¾¾¾¾ç ç÷ ÷÷ ÷ç ç- - -÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷ç çè ø è ø
→ Rango (A) 3
El rango de A es 3 independientemente del valor de a .
102. Página 31
a) 2 2 1 1 1 251 5 1 0 1 5 1 0 1 0 6 5
1 6 0 1 0 11 1 0 1 1 1F F F F F F= + = +æ ö æ ö æ ö- -÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷¾¾¾¾ ¾¾¾¾ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç-è ø è ø è ø
→ 1 6 5
1 1A-
æ ö÷ç ÷=ç ÷ç ÷çè ø
b) 2
22 1 1 2 143
41 4 0 1 1 0 10 3 1 0 1 4 0 1 3
1 4 0 1 0 3 1 0 1 10 1 0 0 1 0
3 3
FFF F F F F=« = -
æ ö æ ö÷ ÷ç ç- -÷ ÷ç ç÷ ÷æ ö æ ö- ç ç÷ ÷÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷÷ ÷¾¾¾ ¾¾¾ ¾¾¾¾ç ç ç ç÷ ÷÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷÷ ÷ç ç-è ø è ø ÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø
→ 1
41
31
03
B-
æ ö÷ç - ÷ç ÷ç ÷ç ÷=ç ÷ç ÷÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø
c) 3 3 1 2 3 3
1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0
0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0
1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1
F F F F F F= - - =-
æ æ æö ö ö÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷¾¾¾¾¾ ¾¾¾ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷÷ ÷ ÷ç ç ç- - - -ø ø øè è è
1 1 3
1 0 0 0 1 1
0 1 0 0 1 0
0 0 1 1 1 1
F F F= -
æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷¾¾¾¾ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç - øè
→ 1
0 1 1
0 1 0
1 1 1
C-
æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷=ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷-è ø
d) 1 3 2 2 1
0 0 1 1 0 0 1 0 2 0 0 1 1 0 2 0 0 1
1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 2 0 1 1
1 0 2 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0
F F F F F« = +
æ æ æö ö ö- -÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷¾¾¾ ¾¾¾¾ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷÷ ÷ ÷ç ç ç- ø ø øè è è
2 2 3 1 3 12 2
1 0 2 0 0 1 1 0 0 2 0 1
0 1 0 2 1 1 0 1 0 2 1 1
0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0
F F F F F F= - = -
æ æö ö- -÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷¾¾¾¾ - ¾¾¾¾ -ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷ç çø øè è
→ 1
2 0 1
2 1 1
1 0 0
D-
æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷= -ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷è ø
103. Página 31
a) 1 1 231 3 1 0 1 0 1 3
0 1 0 1 0 1 0 1F F F= +æ ö æ ö- ÷ ÷ç ç÷ ÷¾¾¾¾ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø
→ 1 1 3
0 1A-
æ ö÷ç ÷=ç ÷ç ÷çè ø
221 2 2 1 23 4
1 0 0 13 4 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1
1 0 0 1 3 4 1 0 0 4 1 3 1 30 1
4 4
FFF F F F F =« = +
æ ö÷ç ÷ç ÷æ ö æ ö æ ö- ç ÷÷ ÷ ÷ç ç ç ç ÷÷ ÷ ÷¾¾¾ ¾¾¾¾ ¾¾¾ç ç ç ç ÷÷ ÷ ÷ç ç ç ç ÷÷ ÷ ÷ç ç ç-è ø è ø è ø ÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø
→ 10 1
1 34 4
B-
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷=ç ÷ç ÷÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø
27
1
Matrices
1
b) ( ) 1A B -⋅
1 3 3 4 6 4
0 1 1 0 1 0AB
æ ö æ ö æ ö- - -÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷= ⋅ =ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç çè ø è ø è ø
22
1 2 2 1 26 4
1 0 0 16 4 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1
1 0 0 1 6 4 1 0 0 4 1 6 1 30 1
4 2
FFF F F F F =« = +
æ ö÷ç ÷ç ÷æ ö æ ö æ ö- ç ÷÷ ÷ ÷ç ç ç ç ÷÷ ÷ ÷¾¾¾ ¾¾¾¾ ¾¾¾ç ç ç ç ÷÷ ÷ ÷ç ç ç ç ÷÷ ÷ ÷ç ç ç-è ø è ø è ø ÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø
( ) 10 1
1 34 2
AB -æ ö÷ç ÷ç ÷ç= ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø
Se cumple que ( ) 1 1 1A B B A- - -⋅ = ⋅ :
0 1 0 1 1 31 3 1 3 0 14 2 4 4
æ ö÷çæ ö ÷ç÷ç ÷ æ öç÷ ÷ç ÷ç÷ ç ÷ç ÷= ⋅÷ çç ÷ ÷ç ÷ çç ÷ ÷çç ÷ è ø÷çç ÷÷ç ÷çè ø ÷ç ÷çè ø
104. Página 31
a) 1 12 1 2 1 1 2
12 3 4 3
3 4 1 0 3 4 1 0 3 0 9 12 1 0 3 4
2 3 0 1 0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 3
F FF F F F F F =-= + = +æ æ æ æö ö ö ö- - - - - - -ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷¾¾¾¾ ¾¾¾¾ ¾¾¾¾÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç çø ø ø øè è è è
b) 1 12 2 1 1 1 2
13 4 2 3
3 2 1 0 3 2 1 0 3 0 9 6 1 0 3 2
4 3 0 1 0 1 4 3 0 1 4 3 0 1 4 3
F FF F F F F F =-= - = -æ æ æ æö ö ö ö- - - - -ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷¾¾¾¾ ¾¾¾¾ ¾¾¾¾÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç- - - -ø ø ø øè è è è
Se puede comprobar que:
( ) ( ) 11 3 4 3 2
2 3 4 3
tt tA A
--æ ö æ ö- - -÷ ÷ç ç÷ ÷= = =ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç-è ø è ø
105. Página 31
a) 2
22 1 2 1 2 2
1 2 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1
1 0 0 1 1 2 1 0 0 2 1 1 0 1 1/ 2 1/ 2
FFF F F F F =« = +
æ æ æ æö ö ö ö-ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷¾¾¾ ¾¾¾¾ ¾¾¾÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç-ø ø ø øè è è è
1 0 1
1/ 2 1/ 2A-
æ ö÷ç ÷=ç ÷ç ÷çè ø
2 1 1 1 220 1 1 0 1/ 2 1/ 2 0 1 1 0 1 2
1/ 2 1/ 2 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0F F F F F« = -
æ æ æö ö ö-ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷¾¾¾ ¾¾¾¾÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç çø ø øè è è
( ) 11 1 2
1 0A A
--æ ö- ÷ç ÷= =ç ÷ç ÷çè ø
b) 2
22 1 1 2 132
0 2 1 0 1 3 0 1 1 3 0 1 1 0 3 / 2 1
1 3 0 1 0 2 1 0 0 1 1/ 2 0 0 1 1/ 2 0
FFF F F F F=-« = -
æ æ æ æö ö ö ö- - - - -ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷¾¾¾ ¾¾¾ ¾¾¾¾÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç- - - -ø ø ø øè è è è
1 3 / 2 1
1/ 2 0B-
æ ö- - ÷ç ÷=ç ÷ç ÷ç-è ø
3 / 2 1 0 2 1 0
1/ 2 0 1 3 0 1
æ ö æ ö æ ö- - -÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷⋅ =ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç- -è ø è ø è ø
Estos resultados se cumplen para cualquier matriz invertible.
28
Matrices
Matrices
1
106. Página 31
( )1 1 22 2 2A I A AA A I A A A I- -= - = - = - =
2
2 2 2 4 2 4 22
2 2 2
a a a a ab a acb c b c b c b c b cb ab c
æ öæ ö æ ö æ ö æ ö + + ÷÷ ÷ ÷ ÷ çç ç ç ç ÷÷ ÷ ÷ ÷- ⋅ = -çç ç ç ç ÷÷ ÷ ÷ ÷ çç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç ç + +è ø è ø è ø è ø è ø
2
1 0 10,
0 12
ab acc b
cb c ab c a
æ ö æ ö- - ÷ ÷ç ç÷ ÷= = =-ç ç÷ ÷ç ç ÷÷ çç- - - è øè ø
Por tanto: 2
10
aA
a
æ ö÷ç ÷ç ÷ç= ÷ç ÷ç ÷-ç ÷÷çè ø
107. Página 31
Buscamos una matriz de la forma: a c
Mb d
æ ö÷ç ÷=ç ÷ç ÷çè ø
1 2 1 0
0 1 0 1
a c a cb d b d
æ ö æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷⋅ = ⋅ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç-è ø è ø è ø è ø
2
2
a a c a cb b d b d
æ ö æ ö+ ÷ ÷ç ç÷ ÷=ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç+ - -è ø è ø
Así, 0
0 0
cM
æ ö÷ç ÷=ç ÷ç ÷çè ø, pero M no es invertible.
Por tanto, no son semejantes.
108. Página 31
a) ( ) ( )2 2 13 2 2 3 2 3 2
3A I A A A I A A I I A A I I
æ ö÷ç- = - = - = ⋅ - =÷ç ÷çè ø → ( )1 1
23
A A I- = -
b) 3 0 2 2
0 3 2 2
x y x y x yy x y x y x
æ ö æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷⋅ - =ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç çè ø è ø è ø è ø →
2 2
2 2
2 23 22 22 3
x yx y xyy xxy x y
æ ö æ ö+ - ÷ ÷ç ç÷ ÷=ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç÷ç + - è øè ø
2 2 1xy y x= = o bien 0y =
• Si 1x = → 2 2 23 2 1 3 2 2x y x y y+ - = + - = = . Entonces:
1 2
2 1A
æ ö÷ç ÷=ç ÷ç ÷çè ø o bien
1 2
2 1A
æ ö- ÷ç ÷=ç ÷ç ÷ç-è ø
• Si 0y = → 2 2 23 2 2 3 0x y x x x+ - = - - = 1x =- , 3x = . Entonces:
1 0
0 1A
æ ö- ÷ç ÷=ç ÷ç ÷ç -è ø o bien
3 0
0 3A
æ ö÷ç ÷=ç ÷ç ÷çè ø
109. Página 31
( ) 1 1 1AB B A- - -=
1 12 4 1 2 2 4 1 2 1 2
5 3 2 1 5 3 2 1 2 1B B BB- -
æ ö æ ö æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ ÷= ⋅ = =ç ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç çè ø è ø è ø è ø è ø →
13 2 1
01 2 2 4 1 2 14 7 22 1 5 3 2 1 5 1 1 3
14 7 14 7
B-
æ ö æ ö÷ ÷ç ç- ÷ ÷ç ç÷ ÷æ ö æ ö æ ö ç ç÷ ÷÷ ÷ ÷ç ç ç ç ç÷ ÷÷ ÷ ÷= ⋅ = ⋅ =ç ç ç ç ç÷ ÷÷ ÷ ÷ç ç ç ç ç÷ ÷÷ ÷ ÷ç ç çè ø è ø è ø ÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç- -÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø
29
1
Matrices
1
110. Página 31
a) 2 1 2 1
1 0 1 0
a c a cb d b d
æ ö æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷⋅ = ⋅ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç- -è ø è ø è ø è ø →
2 2 22
a c a a b c db d b a c
æ öæ ö- + + ÷÷ çç ÷÷=çç ÷÷ çç ÷ ÷ç ç- - -è ø è ø →
2 2
2
2
a c a b
a c d
b d a
b c
ì - = +ïïïï = +ïïíï - =-ïïïï =-ïî
→
2a
b
c
d
ì =- l+aïïïï = lïïíï =-lïïïï =aïî
Las matrices que conmutan con A son de la forma 2æ ö- l+a -l÷ç ÷ç ÷ç ÷ç l aè ø
.
b) 2 2 1 2 1 3 2
1 0 1 0 2 1A
æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷= ⋅ =ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç- - - -è ø è ø è ø 3 3 2 2 1 4 3
2 1 1 0 3 2A
æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷= ⋅ =ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç- - - - -è ø è ø è ø
( )1
1n n n
An n
æ ö+ ÷ç ÷=ç ÷ç ÷ç - - -è ø
( ) ( )1 1 1 1 0 1
1 1 1 1 2A-
æ ö æ ö- + - -÷ ÷ç ç÷ ÷= =ç ç÷ ÷ç ç ÷÷ çç- - - - - è øè ø
111. Página 31
1 21 0 1 0
0 1 0cF aFa b a b
c ac d cb ad-
æ æö öç ç÷ ÷ç ç÷ ÷¾¾¾÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç --ø øè è
22
2 1 2
1 01 0 1 0
0 1 00 1
FFF cF aF cb ad
a ba b a bc a c ac d cb ad
cb ad cb ad
== - -
æ ö÷ç ÷çæ æ ÷ö ö ç ÷ç ç÷ ÷ ç ÷ç ç÷ ÷¾¾¾¾ ¾¾¾¾ç ÷÷ ÷ç ç ç ÷÷ ÷ç ç - --ø ø ÷çè è ÷ç ÷ç ÷çè ø- -
( ) ( )11
1 1 2
1 00 1
0 1 0 1
FFF F bF a
cb ad bc abbc aba a cb ad a cb adcb ad cb ad
c a c acb ad cb ad cb ad cb ad
== -
æ ö- -æ ö ÷ç÷ ÷ç ç- ÷ ÷ç ç÷ ÷- -ç ç÷ ÷- -ç ç÷ ÷¾¾¾¾ ¾¾¾ç ÷ ç ÷ç ÷ ÷ç- -÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ç ÷è ø ç ÷- - - -è ø
1 1d b d b
d bcb ad cb ad ad cb ad cbAc a c a c aad cb
cb ad cb ad ad cb ad cb
-
æ ö æ ö- -÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ æ ö-ç ç÷ ÷- - - - ÷çç ç÷ ÷ ÷= = = ⋅çç ç÷ ÷ ÷çç ç÷ ÷ ÷ç- - --÷ ÷ è øç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø- - - -
Para que sea invertible se debe cumplir que 0cb da- ¹ .
112. Página 31
1/ 5 0 0
0 0 1/ 5
0 1/ 5 0
A
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷= ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷è ø
1
5 0 0
0 0 5
0 5 0
A-
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷= ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷è ø
2
2 2
2
1/ 5 0 0 1/ 5 0 0 1/ 5 0 0
0 0 1/ 5 0 0 1/ 5 0 1/ 5 0
0 1/ 5 0 0 1/ 5 0 0 0 1/ 5
A
æ öæ ö æ ö ÷ç÷ ÷ç ç ÷÷ ÷ çç ç ÷÷ ÷ çç ç ÷÷ ÷ ç= ⋅ = ÷ç ç÷ ÷ ç ÷ç ç÷ ÷ ç ÷ç ç÷ ÷ ÷ç÷ ÷ç ç÷ ÷ ÷çè ø è ø è ø
2 3
3 2 3
2 3
1/ 5 0 0 1/ 5 0 0 1/ 5 0 0
0 1/ 5 0 0 0 1/ 5 0 0 1/ 5
0 0 1/ 5 0 1/ 5 0 0 1/ 5 0
A
æ ö æ öæ ö÷ ÷ç ç÷ç÷ ÷÷ç çç÷ ÷÷ç çç÷ ÷÷ç ç= ⋅ =÷ ÷ç ÷ç ç÷ ÷ç ÷ç ç÷ ÷ç ÷÷ ÷ç ç÷ç ÷÷ ÷ç çè øè ø è ø
Por tanto: 1/ 5 0 0
0 1/ 5 0 si es par.
0 0 1/ 5
1/ 5 0 0
0 0 1/ 5 si es impar.
0 1/ 5 0
n
n
n
n
n
n
n
n
A
n
ìæ öï ÷ïç ÷ïç ÷çï ÷çï ÷çï ÷ç ÷ï ÷çï ÷çïè øï=íïæ öï ÷çï ÷ç ÷ïç ÷ïç ÷ïç ÷ïç ÷ï ÷çï ÷çè øïî
30
Matrices
Matrices
1
113. Página 31
( )2 7 7A A I A A I I+ = + = 1 7A A I- = +
114. Página 31
a)
2
1 2
2
1 0 1 0 0 11 0 0
1 1 1 1 10 0 0 1 0
2 22 2 20 0 11 11
02 22
t t
a a ab ac
A A A A I b ab b bc
a b c ca bc cc
-
æ ö æ ö÷ç ÷ç÷ç ÷÷ çæ öç ÷+÷ çç ÷ ÷ç÷ æ öç÷ ÷ç ÷ç ç ÷÷ ÷ çç ÷ç ÷ç÷ ÷ ç÷ç ç ÷÷ ÷ç÷ çç ç ÷÷ ÷= = = + + =ç÷ çç ÷ç ÷ ÷÷ ç çç ÷ ÷ç÷ ç ç÷ ÷ç ç÷ ç÷ ÷ çç ÷ç è øç÷ ÷÷ç ç ÷ ÷çç÷ç è ø ÷ç÷ç + + ÷÷ çç ÷ç÷ è ø÷çè ø
÷÷÷÷ →
0
1212
a
b
c
ìïïï =ïïïïïï =íïïïïïï =-ïïïî
o
0
12
12
a
b
c
ìïïï =ïïïïïï =-íïïïïïï =ïïïî
b) Si 12
b= y 12
c=- , entonces ( )22 4 2
1 0 01 0 0
1 10 0 1 0
2 20 0 1
1 10
2 2
A A A A I
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ æ öç ÷ ÷çç ÷ ÷ç÷ç ÷÷ çç ÷= = = =÷ çç ÷÷ çç ÷÷ ç ÷ç ÷ ÷ç ÷ç ÷ è ø÷ç ÷ç ÷ç - ÷ç ÷÷çè ø
.
Si 12
b=- y 12
c= , entonces ( )22 4 2
1 0 01 0 0 1 0 0
1 10 0 0 1 0 1 0
2 20 1 0 0 0 1
1 10
2 2
A A A A
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ æ ö æ öç ÷ ÷ ÷ç çç ÷ ÷ ÷ç ç÷ç ÷ ÷÷ ç çç ÷ ÷= = = = -÷ ç çç ÷ ÷÷ ç çç ÷ ÷÷ ç ç÷ ÷ç ÷ ÷ ÷ç ç÷ ÷ç ÷ - -è ø è ø÷ç ÷ç ÷ç - ÷ç ÷÷çè ø
.
115. Página 31
a) 2 1 1 1 1 2 0 1 02 2
1 1 1 1 0 2 0 1A I
æ ö æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷= ⋅ = = ⋅ =ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç- -è ø è ø è ø è ø
b) 1 1 1 1
1 11 2 22 2
1 122 2
I
A A I A A A A I A A A A- - - -
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷⋅ = ⋅ ⋅ = = = =ç ÷ç ÷÷ç ÷ç - ÷ç ÷çè ø
c) ( ) ( )6 62 12 2 62 2 2A I A A I I= = = = ( )
12 6 6121 12 1 2
2 2 6
1 1 1 1 12
2 2 2 2 2A A A A A A I I- - - æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ç ç ç= = = = = =÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç çè ø è ø è ø
116. Página 31
a) AX B= → 1 1X A AX A B- -= =
b) XA B= → 1 1X XAA BA- -= =
c) AX B C+ = → AX C B= - → ( )1 1X A AX A C B- -= = -
d) AX A B+ = → AX B A= - → ( )1 1 1X A AX A B A A B I- - -= = - = -
e) 1A X B- = → 1X AA X AB-= =
f) AXB C= → 1 1 1 1X A AXBB A CB- - - -= =
g) tA X B= → ( ) ( )1 1t t tX A A X A B- -
= =
h) 2AXA A I= + → ( ) ( ) ( ) ( )21 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1X A AXAA A A I A A A A A A A A I A- - - - - - - - - -= = + = + = + = +
31
1
Matrices
1
117. Página 31
Sia c
Xb d
æ ö÷ç ÷=ç ÷ç ÷çè ø, se tiene que:
3 1 1 1
2 5 2 7
a cb d
æ ö æ ö æ ö- -÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷+ =ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç-è ø è ø è ø →
3 1 1 1
2 5 2 7
a cb d
æ ö æ ö+ - -÷ ÷ç ç÷ ÷=ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç+ -è ø è ø
3 1 2
2 2 0
1 1 0
5 7 12
a a
b b
c c
d d
ì ì+ = =-ï ïï ïï ïï ï+ = =ï ïï ïí íï ï- =- =ï ïï ïï ïï - = ï =ï ïî î
→ 2 0
0 12
a cX
b d
æ ö æ ö-÷ ÷ç ç÷ ÷= =ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø → Es una matriz diagonal.
118. Página 31
Despejamos X , es decir, 2 2A X B X B A+ = = .
Entonces: 2 2 2 1 4 1
2 2 2 3 2 1 4
0 4 1 5 1 1
X B A X X
æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷= = =ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷-è ø è ø è ø
119. Página 31
2 3 1 22 5 2 5
1 4 3 6
a cA X B
b d
æ ö æ ö æ ö- -÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷- = ⋅ - ⋅ =ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç- - -è ø è ø è ø
4 6 1 2 4 6 1 2 5 85 5
2 8 3 6 2 8 3 6 1 14
a c a c
b d b d
æ ö æ ö æ ö æ ö æ ö æ ö æ ö- - - -÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷- ⋅ = ⋅ = - =ç ç ç ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç ç ç ç- - - - - -è ø è ø è ø è ø è ø è ø è ø →
5 8 1 8 / 511 14 1/ 5 14 / 55
a cX
b d
æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷= = ⋅ =ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç çè ø è ø è ø
120. Página 32
Despejamos la matriz X.
( )2 2 2A A A B X X A A A B X A A A B X A A I B- = ⋅ - = - ⋅ = + ⋅ = ⋅ +
Operamos la matriz para obtener la matriz pedida. En efecto:
1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 2 1
0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0
1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0
X
é ùæ ö æ ö æ ö æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç ç çê ú÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç ç çê ú÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷= ⋅ + = ⋅ =ç ç ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ê úç ç ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ê ú÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷è ø è ø è ø è ø è ø è øê úë û
0 0
1 2 1
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷è ø
121. Página 32
La matriz debe ser de orden 24 para que se puedan realizar el producto y la suma correspondientes.
Seaa c e g
b d f hX
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø= .
4 1 0 1 2 1 1 2 0 1
1 0 1 0 3 0 2 1 0 1
a c e gb d f h
æ ö æ ö æ ö æ ö- -÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷⋅ = +ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç- - -è ø è ø è ø è ø
14 1 1 1 2 0 4 1 1 1 2 0
1 0 3 1 3 1 1 0 3 1 3 1
a c e g a c e g
b d f h b d f h
-æ ö æ ö æ ö æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷⋅ = = ⋅ç ç ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç ç ç- - - - - -è ø è ø è ø è ø è ø è ø
0 1 1 1 2 0 3 1 3 1
1 4 3 1 3 1 13 3 10 4
a c e g a c e g
b d f h b d f h
æ ö æ ö æ ö æ ö æ ö- - -÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ ÷= ⋅ =ç ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç ç- - - -è ø è ø è ø è ø è ø
Así, 3 1 3 1
13 3 10 4X
æ ö- - ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç - -è ø= .
32
Matrices
Matrices
1
122. Página 32
Sea a c
b dX
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø= .
0 1 0 1 0 1
1 0 1 0 1 0
a c a c a cb d b d b d
æ ö æ ö æ ö æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷+ = ⋅ + ⋅ç ç ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç ç çè ø è ø è ø è ø è ø è ø
1
1
a c c ab db d d ba c
æ öæ ö æ ö+ ÷÷ ÷çç ç÷÷ ÷= +çç ç÷÷ ÷çç ç÷ ÷÷ç çç+è ø è øè ø
231
1 311323
a
a b cbb a d
c d a cd c b
d
ìïï =ïïïïì = +ï ïï ïï =ïï ï+ = +ï ïï í íï ï+ = +ï ï =ï ïï ïï ï= +ïî ïïïï =ïïî
→
2 13 3
1 23 3
X
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø
=
123. Página 32
1 1 1 1 0 2
0 2 0 2 1 1
a c a cb d b d
æ ö æ ö æ ö æ ö æ ö- - -÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ ÷⋅ + ⋅ =ç ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç çè ø è ø è ø è ø è ø →
2 0 2
2 1 12 2
a a c a b c db b d b d
æ öæ ö æ ö- + -- - ÷÷ ÷çç ç÷÷ ÷+ =çç ç÷÷ ÷çç ç÷ ÷÷ç çç- +è ø è øè ø
0 22 31 13 4
a b a c d
b b d
æ ö æ ö-- - + - ÷ ÷ç ç÷ ÷=ç ç÷ ÷ç ç ÷÷ çç - + è øè ø →
16
2 0 13 1 3
13 224 1
13
a
a bbb
a c dc
b d
d
ìïï =ïïïïì - =ï ïï ïï =ïï ï=ï ïï í íï ï- + - =-ï ï =-ï ïï ïï ï- + =ïî ïïïï =ïïî
→ 1 16 21 13 3
X
æ ö÷ç - ÷ç ÷ç ÷ç ÷=ç ÷ç ÷÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø
124. Página 32 1 1 1 12 1 2 1 1 1 1 1 2 1 3 3 1 1
1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 3 3 0 1D D
- - - -æ ö æ ö æ ö æ ö æ ö æ ö æ ö- - - - -÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ç ç ç ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç ç ç çè ø è ø è ø è ø è ø è ø è ø
1 1 3 3 1 1 6 6 1 1 6 12
1 2 3 3 0 1 9 9 0 1 9 18D
æ ö æ ö æ ö æ ö æ ö æ ö- - - - - - -÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷= ⋅ ⋅ = ⋅ =ç ç ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç ç ç-è ø è ø è ø è ø è ø è ø
125. Página 32
2 0 0 8 2 6
1 1 0 0 1 5
3 2 1 0 0 6
X
æ ö æ ö- ÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷- ⋅ = -ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷ç ç÷ ÷- -è ø è ø
→
10 0
1 22 0 0 8 2 6 8 2 6 4 1 31
1 1 0 0 1 5 1 0 0 1 5 4 2 22
3 2 1 0 0 6 0 0 6 20 7 152 1
2
X
æ ö÷ç- ÷ç ÷ç- ÷çæ ö æ ö æ ö æ ö÷- - - -ç ÷÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç çç ÷÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷÷ ÷ ÷ ÷ç= - ⋅ - = - ⋅ - = - -ç ç ç ç÷÷ ÷ ÷ ÷çç ç ç ç÷÷ ÷ ÷ ÷ç ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ÷÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷- - - - -ç ÷è ø è ø è ø è ø÷ç ÷ç ÷- -ç ÷ç ÷è ø
126. Página 32
( )X I B A- = → ( ) 1 1X I BB AB- -- = → 1X I AB-- = → 1X AB I-= + → 1
0 1 0
1 2 0
1 2 1
B-
æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷= ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷è ø
2 3 3 0 1 0 1 0 0
4 2 4 1 2 0 0 1 0
10 3 0 1 2 1 0 0 1
X
æ ö æ ö æ ö- -÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷= - - ⋅ +ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷è ø è ø è ø
→ 0 2 3 1 0 0 1 2 3
2 0 4 0 1 0 2 1 4
3 4 0 0 0 1 3 4 1
X
æ ö æ ö æ ö- -÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷= - - + = - -ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷- -è ø è ø è ø
33
1
Matrices
1
127. Página 32
a) tAX A A- = → tAX A A= + → ( )1 1 tA AX A A A- -= + → 1 tX I A A-= +
A debe tener inversa. Para ello, el rango de la matriz debe ser 3.
2 2 1
3 3 3 3 21
54 12 11
1 2 1 2 1 2
5 2 1 0 12 1 5 0 12 1 5
4 3 1 0 11 1 4 0 0 1 7
F F FF F F F F F
m m m
m m
m m
= += + = -
æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷- ¾¾¾¾ + ¾¾¾¾¾ +ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷- + -è ø è ø è ø
Si 1 7m 0, la matriz no tiene inversa. Es decir, para 17
m¹ la ecuación sí tiene solución.
b)
11 0 0 1 2 0 1 5 4
0 1 0 5 2 1 2 2 3
0 0 1 4 3 1 0 1 1
X
-æ ö æ ö æ ö- -÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷= + - ⋅ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷-è ø è ø è ø
→ 1 0 0 1 2 2 1 5 4
0 1 0 1 1 1 2 2 3
0 0 1 7 11 12 0 1 1
X
æ ö æ ö æ ö- - - -÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷= + - ⋅ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷- -è ø è ø è ø
→
→ 1 0 0 5 3 0 4 3 0
0 1 0 3 4 2 3 3 2
0 0 1 29 25 7 29 25 8
X
æ ö æ ö æ ö- -÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷= + - - = - -ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷- -è ø è ø è ø
128. Página 32
( ) ( ) 1t t tX XA B X I A B X B I A -+ = + = = +
4 3 4 31 0 1 3 2 3
2 3 2 30 1 0 2 0 3
2 3 2 3
X X
æ ö æ ö- -÷ ÷ç çæ öæ ö æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷ ÷÷ ÷ ÷çç ç çç ç÷ ÷ ÷÷ ÷ ÷⋅ç + = ⋅ =ç ç çç ç÷ ÷ ÷÷ ÷ ÷çç ç çç ç÷ ÷ ÷÷ ÷ ÷ç ç ç÷çè ø è ø è øè ø ç ç÷ ÷÷ ÷ç ç÷ ÷- -è ø è ø
→ 14 3 4 3 2 3
2 3 1/ 2 1/ 22 3 2 3 1 0
0 3 0 1/ 32 3 2 3 1 2
X-æ ö æ ö æ ö- - -÷ ÷ ÷ç ç çæ ö æ ö÷ ÷ ÷-ç ç ç÷ ÷ ÷÷ ÷ç çç ç ç÷ ÷ ÷÷ ÷= ⋅ = ⋅ =ç çç ç ç÷ ÷ ÷÷ ÷ç çç ç ç÷ ÷ ÷÷ ÷ç çè ø è øç ç ç÷ ÷ ÷÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷- - -è ø è ø è ø
129. Página 32
a) 1 2 1 1 2 2 177 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1
1 0 0 1 7 1 1 0 7 1 1 0 0 1 1 7F F F F F F F« =- = -
æ æ æ æö ö ö ö- - -ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷¾¾¾ ¾¾¾ ¾¾¾¾÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç- ø ø ø øè è è è
b) 2 1 2 1 1 1 1 1( ) ( ) ( )AXA A A X A A A A A A A I A A I A I A- - - - - -= + = + = + = + = +
1 0 1
1 7A-
æ ö- ÷ç ÷=ç ÷ç ÷çè ø
1 1 0 0 1 1 1
0 1 1 7 1 8I A-
æ ö æ ö æ ö- -÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷+ = + =ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç çè ø è ø è ø →
1 1
1 8X
æ ö- ÷ç ÷=ç ÷ç ÷çè ø
130. Página 32 2XB A B A+ = + → 2XB B A A= + - → ( )1 2 1XBB B A A B- -= + - → ( )2 1X I A A B-= + -
2 11 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0
0 1 0 1 0 0 1 0 0 2 1 0
0 0 1 1 0 0 1 0 0 3 2 2
X
-æ öæ ö æ ö æ ö æ ö÷ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ÷ çç÷ ÷ ÷ ÷÷ç ç ç çç÷ ÷ ÷ ÷÷ç ç ç çç÷ ÷ ÷ ÷÷= + - ⋅ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷÷ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷÷çè ø è ø è ø è ø÷çè ø
→
11 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0
0 1 0 1 0 0 1 0 0 2 1 0
0 0 1 1 0 0 1 0 0 3 2 2
X
-æ öæ ö æ ö æ ö æ ö÷÷ ÷ ÷ ÷çç ç ç ç÷÷ ÷ ÷ ÷çç ç ç ç÷÷ ÷ ÷ ÷çç ç ç ç÷÷ ÷ ÷ ÷= + - ⋅çç ç ç ç÷÷ ÷ ÷ ÷ç ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷÷ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷÷çè ø è ø è ø è øè ø
11 0 0 0 0 0 1 0 0
0 1 0 0 0 0 2 1 0
0 0 1 0 0 0 3 2 2
X
-æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷= + ⋅ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷è ø è ø è ø
→ 1 0 0
0 1 0
0 0 1
X
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷=ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷è ø
34
Matrices
Matrices
1
131. Página 32
a) Sumando a la segunda ecuación la primera, resulta: 3 3
33 3
Xæ ö- ÷ç ÷=ç ÷ç ÷çè ø
→ 1 1
1 1X
æ ö- ÷ç ÷=ç ÷ç ÷çè ø
Despejando en la segunda ecuación, obtenemos Y. 1 4
3 0X Y
æ ö- ÷ç ÷- =ç ÷ç ÷çè ø →
1 1 1 4 0 3
1 1 3 0 2 1Y
æ ö æ ö æ ö- -÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷= - =ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç-è ø è ø è ø
b) Restando a la primera ecuación la segunda, resulta: 2 6
24 8
Yæ ö÷ç ÷=ç ÷ç ÷çè ø
→ 1 3
2 4Y
æ ö÷ç ÷=ç ÷ç ÷çè ø
Despejando en la segunda ecuación, obtenemos X. 1 1 1 1 1 3 0 4
3 1 3 1 2 4 1 3X Y
æ ö æ ö æ ö æ ö- - -÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷= - = - =ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç -è ø è ø è ø è ø
c) Sumando a la segunda ecuación dos veces la primera, resulta: 14 7
77 0
Xæ ö- ÷ç ÷=ç ÷ç ÷çè ø
→ 2 1
1 0X
æ ö- ÷ç ÷=ç ÷ç ÷çè ø
Despejando en la primera ecuación, obtenemos Y. 5 1
32 3
X Yæ ö- ÷ç ÷+ =ç ÷ç ÷çè ø
→ 5 1 2 1 1 2
32 3 1 0 1 3
Yæ ö æ ö æ ö- - -÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷= - =ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç-è ø è ø è ø
d) Multiplicamos la primera ecuación por 3 y le restamos dos veces la segunda.
1 52 3
2 0
1 03 2
4 2
X Y
X Y
üæ ö- ï÷ïç ÷+ = ïç ÷ç ï÷çè øïïýïæ öï÷ç ï÷- =ç ÷ïç ÷ç ï-è øïþ
→
3 156 9
6 0
2 06 4
8 4
X Y
X Y
üæ ö- ï÷ïç ÷+ = ïç ÷ç ï÷çè øïïýïæ ö ï÷ç ï÷- =ç ÷ ïç ÷ç ï-è ø ïþ
→ 5 15
132 4
Yæ ö- ÷ç ÷=ç ÷ç ÷ç-è ø
→ 5 15
13 132 4
13 13
Y
æ ö÷ç- ÷ç ÷ç ÷ç ÷=ç ÷ç ÷÷ç ÷ç- ÷ç ÷çè ø
Despejando en la primera ecuación, obtenemos X:
5 15 2 201 5 1 5 13 13 13 132 3 32 0 2 0 2 4 32 12
13 13 13 13
X Y
æ ö æ ö÷ ÷ç ç- ÷ ÷ç ç÷ ÷æ ö æ ö- - ç ç÷ ÷÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷÷ ÷= - = - ⋅ =ç ç ç ç÷ ÷÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷÷ ÷ç çè ø è ø ÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç- -÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø
→ 1 10
13 1316 613 13
X
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷=ç ÷ç ÷÷ç ÷ç - ÷ç ÷çè ø
132. Página 32
( ) ( ) ( )( )2 2A AB BA B A B A A B B A B A B- + - = + - + = + -
( ) ( )( ) ( )
1
1
2 1 0 2 0 0
2 0 0 0 2 0
1 0 2 2 1 0
A B A B A B A B
-
-
æ ö æ ö-÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷+ + - = - = ⋅ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷ç ç÷ ÷- -è ø è ø
10 0 2 0 0 0 1 021 1 0 0 2 0 2 2 0
1 1 2 1 0 1 0 00
4 2
A B
æ ö÷ç ÷ç ÷ æ ö æ ö-ç ÷ ÷ ÷ç çç ÷ ÷ ÷ç çç ÷ ÷ ÷ç çç ÷ ÷ ÷- = - ⋅ = - -÷ ç çç ÷ ÷÷ ç çç ÷ ÷÷ ç ç÷ ÷ç ÷ ÷ ÷ç ç÷ ÷ç ÷ -è ø è øç ÷ç ÷÷çè ø
2 1 0
2 0 0
1 0 2
0 1 0
2 2 0
1 0 0
A B
A B
üæ ö ï÷ ïç ÷ ïç ÷ç ï÷+ =ç ï÷ç ï÷ç ÷ ï÷ç ÷ ï-è ø ïïýïæ öï÷ç ï÷ç ÷ïç ÷ï- = - -ç ÷ïç ÷ïç ÷ï÷ç ÷è øïïþ
Sumando las dos ecuaciones, resulta: 2 2 0
2 0 2 0
0 0 2
A
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷= -ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷è ø
→ 1 1 0
0 1 0
0 0 1
A
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷= -ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷è ø
Sustituyendo en la primera ecuación, obtenemos B.
2 1 0 1 1 0 1 0 0
2 0 0 0 1 0 2 1 0
1 0 2 0 0 1 1 0 1
B
æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷= - - =ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷- -è ø è ø è ø
35
1
Matrices
1
133. Página 32
Hay que resolver este sistema: 5 12 7
24 2 7
11 25 03 2
20 10 35
X Y
X Y
üæ ö ï÷ ïç ÷+ = ïç ÷ç ï÷çè ø ïïýïæ öï÷ç ï÷+ =ç ÷ïç ÷ç ïè øïþ
Multiplicamos la primera ecuación por 2 y le restamos la segunda para obtener X:
10 24 144 2
8 4 14
11 25 03 2
20 10 35
X Y
X Y
üæ öï÷ïç ÷+ = ïç ÷ç ï÷çè øïïýïæ öï÷ç ï÷+ =ç ÷ïç ÷ç ïè øïþ
→ 1 1 14
12 6 21X
æ ö- - ÷ç ÷=ç ÷ç ÷ç- - -è ø
Despejando en la primera ecuación, obtenemos Y:
5 12 7 5 12 7 1 1 14 7 14 212 2
4 2 7 4 2 7 12 6 21 28 14 49Y X
æ ö æ ö æ ö æ ö- - -÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷= - = - =ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç- - -è ø è ø è ø è ø
134. Página 32
Restando a la primera ecuación la segunda, resulta:
BY C Y= - → BY Y C+ = → ( )B I Y C+ = → ( ) 1Y B I C-= +
1 11 5
0 11 4 1 0 6 7 2 4 6 7 6 72 22 1 0 1 2 5 2 0 2 5 1 1 2 5 1
14 4 2
Y- -
æ ö æ ö÷ ÷ç ç- ÷ ÷ç çæ ö ÷ ÷æ ö æ ö æ ö æ ö æ ö æ ö- - ç ç÷ ÷÷÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷çç ç ç ç ç çç ç÷ ÷÷÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷=ç + ⋅ = ⋅ = ⋅ =ç ç ç ç ç çç ç÷ ÷÷÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷çç ç ç ç ç çç ç÷ ÷÷÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç ç ç÷ç - - - - - - - - -è ø è ø è ø è ø è ø è ø÷ ÷è ø ç ç÷ ÷ç ç- - - -÷ ÷ç ç÷ç çè ø è ø÷
Despejando en la segunda ecuación, obtenemos X:
AX Y= → 1
1 1
5 50 1 11 11 2 12 2 21 11 0 1 1 0 11 12 22 2
X A AX A Y-
- -
æ ö æ ö÷ ÷ç çæ ö æ ö-÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷æ ö ç ç÷ ÷÷ ÷ç ç÷ç ÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷= = = ⋅ = ⋅ =÷ ÷ç ç ç÷ ÷÷ ç ç÷ ÷ç ç ç÷ ÷÷ç ç ç- ÷ ÷è ø ÷ ÷ç çç ç÷ ÷÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç- - - -è ø è ø÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø
135. Página 32
5 0 5
2 0 5 0
5 0 5
10 10 10
2 20 0 20
0 30 0
X Y
X Y
üæ ö- ï÷ïç ÷ïç ÷ç ï÷+ =ç ï÷ç ï÷ç ÷ï÷ç ÷ï-è øïïýïæ öï÷ç ï÷ç ÷ïç ÷ï- =ç ÷ïç ÷ïç ÷ï÷ç ÷è øïïþ
→
10 0 10
4 2 0 10 0
10 0 10
10 10 10
2 20 0 20
0 30 0
X Y
X Y
üæ ö- ï÷ïç ÷ïç ÷ç ï÷+ =ç ï÷ç ï÷ç ÷ï÷ç ÷ï-è øïïýïæ ö ï÷ç ï÷ç ÷ ïç ÷ ï- =ç ÷ ïç ÷ ïç ÷ ï÷ç ÷è ø ïïþ
→ 20 10 0
5 20 10 20
10 30 10
X
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷=ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷-è ø
→ 4 2 0
4 2 4
2 6 2
X
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷= ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷-è ø
Despejando en la segunda ecuación, obtenemos Y:
4 2 0 10 10 10 6 8 10
2 4 2 4 20 0 20 16 2 16
2 6 2 0 30 0 2 24 2
Y
æ ö æ ö æ ö- - -÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷= - = - -ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷- - -è ø è ø è ø
→ 3 4 5
8 1 8
1 12 1
Y
æ ö- - - ÷ç ÷ç ÷ç ÷= - -ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷- -è ø
36
Matrices
Matrices
1
136. Página 32
a) 2
22 1 2 1 1 23
2 11 1 0 01 1 0 1 1 0 3 3
2 0 1 0 3 1 1 1 1 1 10 1 0 1
3 3 3 3
FFF F F F F F== + = -
æ ö æ ö÷ ÷ç çm m -÷ ÷ç çæ æ ÷ ÷ö öm m ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷¾¾¾¾ ¾¾¾ ¾¾¾¾ç ç÷ ÷÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷÷ ÷ç ç-m ø ø ÷ ÷ç çè è ÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø
• Si 0m= → No existe inversa de A.
• Si 0m¹1
1
2 11 0
3 31 1
0 13 3
FF=
m
æ ö÷ç - ÷ç ÷ç ÷m mç ÷ç ÷¾¾¾ç ÷÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø
Así: 2 1
11 3 32
26 1 13 3
æ ö÷ç - ÷ç ÷æ ö çm ÷m m÷ çç ÷÷ ç= m =-÷ç ÷ ç ÷ç ÷ç ÷-m çè ø ÷ç ÷ç ÷÷çè ø
b) 1 1 2 1
2 3 0 2
t
Xæ ö æ öm - -÷ ÷ç ç÷ ÷⋅ =ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç-mè ø è ø
→ 1 13 3 1 2 1 3 3 3 3 3 3 1 2 1
1 2 3 0 2 1 2 1 2 1 2 3 0 2X X
- -æ ö æ ö æ ö æ ö æ ö æ ö- - - - - - - -÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ç ç ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç ç çè ø è ø è ø è ø è ø è ø →
→ 2 1 7 4 8
1 2 19 3 9 9 91 1 3 0 2 10 2 59 3 9 9 9
X
æ ö æ ö÷ ÷ç ç- ÷ ÷ç ç÷ ÷æ ö- -ç ç÷ ÷÷çç ç÷ ÷÷= ⋅ =çç ç÷ ÷÷çç ÷ ç ÷÷çè ø÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç -÷ ÷ç ç ÷÷ çç è øè ø
137. Página 32
a) ( )22 1 0 1 0 1 0 1 3 3 0
3 31 1 1 1 1 1 3 2
M Mæ öæ öæ ö æ öa+ a+ a+ a+ + a+ ÷ç÷ ÷ ÷ç ç ç ÷÷ ÷ ÷ ç+ = + =ç ç ç ÷÷ ÷ ÷ çç ç ç ÷÷ ÷ ÷ç ç ç ÷ç- - -è øè ø è ø +a -è ø
( ) ( ) ( )2 11 3 3 0 1 1 3 0
4
ì-ïïé ùa+ + a+ = a+ a+ + = a=íë û ï-ïî
La matriz no es invertible cuando 1a =- o cuando 4a =- .
b) 1 0
1 1M
æ ö÷ç ÷=ç ÷ç ÷ç -è ø
( )1 12 2 2 2MX M I MX I M X M I M M I- -+ = = - = - = - → 1 1 0 1 0 1 02 2
1 1 0 1 2 3X M I-
æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷= - = ⋅ - =ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç- -è ø è ø è ø
138. Página 33
a) 2
0 1 0 0 1 0 0 0 1
0 0 1 0 0 1 1 0 0
1 0 0 1 0 0 0 1 0
A
æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷= ⋅ =ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷è ø è ø è ø
3
0 0 1 0 1 0 1 0 0
1 0 0 0 0 1 0 1 0
0 1 0 1 0 0 0 0 1
A
æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷= ⋅ =ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷è ø è ø è ø
3
3 1
3 2
1 0 0
0 1 0
0 0 1
0 0 1
1 0 0
0 1 0
n
n n
n
A
A A A
A
+
+
ì æ öï ÷ï ç ÷ï ç ÷çï ÷=çï ÷çï ÷ç ÷ï ÷ç ÷ï è øïïïï= =íïïï æ öï ÷ç ÷ï ç ÷ï ç ÷=ï ç ÷ï ç ÷ï ç ÷ï ÷ç ÷è øïïî
37
1
Matrices
1
b) ( ) ( )4 2 2 24 3 2 4 3 2
1 1 1 1 1 1X A A A X A A A X A
æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷⋅ + - = ⋅ + - = ⋅ =ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø
2
0 1 04 3 2 4 3 2 2 4 3
0 0 11 1 1 1 1 1 1 1 1
1 0 0I
X A A A X
æ ö÷çæ ö æ ö æ ö÷ç ÷÷ ÷ ÷ç ç çç ÷÷ ÷ ÷⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ =ç ç çç ÷÷ ÷ ÷ç ç çç ÷÷ ÷ ÷ç ç çè ø è ø è øç ÷÷ç ÷è ø
139. Página 33
a) 2 2 13 3 1
22
4 2 2 4 2 2
2 1 0 2 2 0
2 1 0 0 0 2
F F FF F F
a a= -= +
æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷¾¾¾¾ -ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷ç ç÷ ÷- -è ø è ø
• Si 1a= , entonces Rango (A) 2. • Si 1a¹ , entonces Rango (A) 3.
2 2 13 2 32'
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
2 4 1 2 4 1 0 8 7 8
2 4 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1
F F FF F Fa a a
a a
= += +
æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷- ¾¾¾¾ - ¾¾¾¾ +ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷- - + +è ø è ø è ø
• Si 1a=- , entonces Rango (B) 2. • Si 1a¹- , entonces Rango (B) 3.
b) 1
4 2 2 1 2 3 4 1 2 3 4
2 0 1 2 4 1 0 2 4 1 0
2 1 0 2 4 1 1 2 4 1 1
AX B X X A-
æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷= ⋅ = - = -ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷- - - - - -è ø è ø è ø
1/ 4 1/ 2 1/ 2 1 2 3 4 9 / 4 7 / 2 1/ 4 3 / 2
1/ 2 1 0 2 4 1 0 5 / 2 3 1/ 2 2
1/ 2 0 1 2 4 1 1 5 / 2 3 1/ 2 3
X
æ ö æ ö æ ö- - - -÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷= - ⋅ - = -ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷- - -è ø è ø è ø
140. Página 33
400 120
500 180
350 250
A
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷= ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷è ø
141. Página 33
Colocamos las líneas de autobuses A, B y C por columnas, y los días Lunes, Martes y Miércoles por filas:
5 3 4
2 1 4
1 3 5
M
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷= ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷è ø
Comida Recibos Septiembre 400 € 120 € Octubre 500 € 180 € Noviembre 350 € 250 €
38
b) 1 0
1 1M
æ ö÷ç ÷=ç ÷ç ÷ç -è ø
( )1 12 2 2 2MX M I MX I M X M I M M I- -+ = = - = - = - → 1 1 0 1 0 1 02 2
1 1 0 1 2 3X M I-
æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷= - = ⋅ - =ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç- -è ø è ø è ø
138. Página 33
a) 2
0 1 0 0 1 0 0 0 1
0 0 1 0 0 1 1 0 0
1 0 0 1 0 0 0 1 0
A
æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷= ⋅ =ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷è ø è ø è ø
3
0 0 1 0 1 0 1 0 0
1 0 0 0 0 1 0 1 0
0 1 0 1 0 0 0 0 1
A
æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷= ⋅ =ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷è ø è ø è ø
3
3 1
3 2
1 0 0
0 1 0
0 0 1
0 0 1
1 0 0
0 1 0
n
n n
n
A
A A A
A
+
+
ì æ öï ÷ï ç ÷ï ç ÷çï ÷=çï ÷çï ÷ç ÷ï ÷ç ÷ï è øïïïï= =íïïï æ öï ÷ç ÷ï ç ÷ï ç ÷=ï ç ÷ï ç ÷ï ç ÷ï ÷ç ÷è øïïî
38
Matrices
Matrices
1
143. Página 33
a) Colocamos el tipo de habitación por filas (Lujo, Doble, Individual), y el hotel por columnas (Edén, Paraíso, Spa):
6 4 4
30 50 50
10 10 8
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷è ø
En la segunda matriz colocamos, por filas, el tipo de habitación (Lujo, Doble, Individual), y en la columna, el dinero en euros.
120
80
50
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷è ø
b) ( ) 6 4 4
120 80 50 30 50 50 3620 4980 4880
10 10 8
SpaEdén Paraísoæ ö÷ æ öç ÷ç ÷ç÷ ÷ç ç÷= ÷ç ç÷ ÷ç ÷ ç ÷÷çç ÷ è ø÷ç ÷è ø
144. Página 33
No DD
0,04 0,962 7 4 0,26 12,74
0,02 0,983 5 6 0,28 13,72
0,01 0,99
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷æ ö æ öç ÷÷ ÷ç ÷ç ç÷ ÷=ç ÷ç ç÷ ÷÷çç ç÷ ÷ç ç÷çè ø è ø÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø
El número de tornillos planos no defectuosos es 12 740, y el de tornillos de estrella no defectuosos es 13 720.
145. Página 33
Las columnas representan los productos X e Y, y las filas representan las empresas A, B y C.
Inicialmente, las empresas recibían: 1000 1000
1000 1000
1000 1000
M
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷= ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷è ø
Este mes las empresas han recibido: 600 300
400 800
900 700
N
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷= ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷è ø
39
140. Página 33
400 120
500 180
350 250
A
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷= ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷è ø
141. Página 33
Colocamos las líneas de autobuses A, B y C por columnas, y los días Lunes, Martes y Miércoles por filas:
5 3 4
2 1 4
1 3 5
M
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷= ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷è ø
142. Página 33
Matriz fila de costes por unidad: ( )32 46 71A= Matriz fila de ventas por unidad: ( )53 82 140B=
Matriz fila de beneficios por unidad: ( )21 36 69C B A= =
Matriz columna de unidades vendidas: 2100
1400
900
D
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷= ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷è ø
Beneficio anual: ( ) ( )2100
21 36 69 1400 156600
900
B D A D B A D C D
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ =ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷è ø
Comida Recibos Septiembre 400 € 120 € Octubre 500 € 180 € Noviembre 350 € 250 €
39
1
Matrices
1
2. Página 34
0 1 1 0
1 0 1 1
1 1 0 0
0 1 0 0
M
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷=ç ÷÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø
→ Es una matriz simétrica.
2
2 1 1 1
1 3 1 0
1 1 2 1
1 0 1 1
M
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷=ç ÷÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø
→ Es una matriz simétrica.
3. Página 34
El número máximo de aristas es 4 porque, si se añadiese otra arista, el vértice pasaría por segunda vez por alguno de los vértices, y el camino no sería simple.
4. Página 34
a) b)
5. Página 34
Calculamos la matriz de adyacencia y su potencia tercera:
0 1 0 0
1 0 1 1
0 1 0 1M
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷=ç ÷÷ç 3
0 3 1 1
3 2 4 4
1 4 2 3M
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷=ç ÷÷ç
1 2
4 3
1 2
4 3
40
No DD
0,04 0,962 7 4 0,26 12,74
0,02 0,983 5 6 0,28 13,72
0,01 0,99
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷æ ö æ öç ÷÷ ÷ç ÷ç ç÷ ÷=ç ÷ç ç÷ ÷÷çç ç÷ ÷ç ç÷çè ø è ø÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø
El número de tornillos planos no defectuosos es 12 740, y el de tornillos de estrella no defectuosos es 13 720.
145. Página 33
Las columnas representan los productos X e Y, y las filas representan las empresas A, B y C.
Inicialmente, las empresas recibían: 1000 1000
1000 1000
1000 1000
M
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷= ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷è ø
Este mes las empresas han recibido: 600 300
400 800
900 700
N
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷= ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷è ø
Las disminuciones producidas son: 1000 1000 600 300 400 700
1000 1000 400 800 600 200
1000 1000 900 700 100 300
M N
æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷- = - =ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷è ø è ø è ø
Las disminuciones porcentuales son: 40% 70%
60% 20%
10% 30%
M N
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷- =ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷è ø
MATEMÁTICAS EN TU VIDA 1. Página 34
Solo es necesaria una arista que una los dos vértices, porque la representación en forma de grafo es independiente de la forma real de la carretera.
40
Matrices
41
a) b)
5. Página 34
Calculamos la matriz de adyacencia y su potencia tercera:
0 1 0 0
1 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 0
M
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷=ç ÷÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø
3
0 3 1 1
3 2 4 4
1 4 2 3
1 4 3 2
M
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷=ç ÷÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø
24 4a = → Hay 4 caminos de longitud 3 aristas.
1 2
4 3
1 2
4 3
41
1