matrices de toeplitz autoadjuntas y el teorema limite de...
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Matrices de Toeplitz autoadjuntasy el teorema lımite de Szego
Egor Maximenko
para un proyecto conjunto conVıctor Hugo Ibarra Mercado,
Eliseo Sarmiento Rosales y Jose Eliud Silva Urrutia
Instituto Politecnico Nacional, ESFM, Mexico
31 de Julio de 2015
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Matricesde Toeplitz
Trazageneralizada
Distribucionde autovalores
Aproximacionde autovalores
Aplicacion a unatraza misteriosa
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La circunferencia unitaria y el intervalo [0, 2π]
Denotamos por T a la circunferencia unitaria en C:
T := {t ∈ C : |t| = 1}.
La dotamos con la medida invariante normalizada µT.Dada una funcion a ∈ L∞(T), definimos g ∈ L∞([0, 2π]) como
g(θ) = a(ei θ).
Entonces ∫T
a dµT =1
2π
∫ 2π
0g(θ) dθ.
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Matrices de Toeplitz
T5(a) =
a0 a−1 a−2 a−3 a−4a1 a0 a−1 a−2 a−3a2 a1 a0 a−1 a−2a3 a2 a1 a0 a−1a4 a3 a2 a1 a0
.
Suponemos que ak (k ∈ Z) son los coeficientes de Fourierde una funcion a ∈ L∞(T):
ak =
∫T
a(t) t−k dµT(t) =1
2π
∫ 2π
0g(θ) e−k i θ dθ.
La funcion a se llama el sımbolo generador de las matrices
Tn(a) =[aj−k
]nj,k=1.
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Matriz de Toeplitz = operador de convolucion truncado
Dado n ∈ {1, 2, 3, . . .}, denotemos por Jn al encaje de Cn en `2(Z):
Jn : (x0, . . . , xn−1) 7→ (. . . , 0, 0,
0↓
x0, x1, . . . , xn−1, 0, 0, . . .).
Ademas denotemos por Pn a la siguiente proyeccion de `2(Z) sobre Cn:
Pn : (. . . , x−1,
0↓
x0, x1, . . . , xn−1, xn, . . .) 7→ (x0, x1, . . . , xn−1).
EntoncesTn(a) = PnC(a)Jn.
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Matriz de Toeplitz = operador de convolucion truncado
Dado n ∈ {1, 2, 3, . . .}, denotemos por Jn al encaje de Cn en `2(Z):
Jn : (x0, . . . , xn−1) 7→ (. . . , 0, 0,
0↓
x0, x1, . . . , xn−1, 0, 0, . . .).
Ademas denotemos por Pn a la siguiente proyeccion de `2(Z) sobre Cn:
Pn : (. . . , x−1,
0↓
x0, x1, . . . , xn−1, xn, . . .) 7→ (x0, x1, . . . , xn−1).
EntoncesTn(a) = PnC(a)Jn.
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Matriz de Toeplitz = operador de convolucion truncado
Dado n ∈ {1, 2, 3, . . .}, denotemos por Jn al encaje de Cn en `2(Z):
Jn : (x0, . . . , xn−1) 7→ (. . . , 0, 0,
0↓
x0, x1, . . . , xn−1, 0, 0, . . .).
Ademas denotemos por Pn a la siguiente proyeccion de `2(Z) sobre Cn:
Pn : (. . . , x−1,
0↓
x0, x1, . . . , xn−1, xn, . . .) 7→ (x0, x1, . . . , xn−1).
EntoncesTn(a) = PnC(a)Jn.
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La matriz Tn(a) es un corte finito de la matriz infinita C(a)
C(a) =
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . a0 a−1 a−2 a−3 a−4. . .
. . . a1 a0 a−1 a−2 a−3. . .
. . . a2 a1 a0 a−1 a−2. . .
. . . a3 a2 a1 a0 a−1. . .
. . . a4 a3 a2 a1 a0. . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
T3(a) =
a0 a−1 a−2a1 a0 a−1a2 a1 a0
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Matrices de Toeplitz autoadjuntas (hermitianas)
Suponemos que el sımbolo generador es real:
a ∈ L∞(T,R).
Entonces∀k ∈ Z a−k = ak ,
y las matrices de Toeplitz Tn(a) son autoadjuntas.
T5(a) =
a0 a1 a2 a3 a4a1 a0 a1 a2 a3a2 a1 a0 a1 a2a3 a2 a1 a0 a1a4 a3 a2 a1 a0
.
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Valores propios de matrices de Toeplitz hermitianas
0
1
π 2π
Grafica de g
α=0.1
β=0.4
¿cuantos? λ(32)20 ≈ ?
0
1
Valores propios de T8(a)
Valores propios de T16(a)Valores propios de T32(a)
Primera pregunta: #{j : λ(n)j ∈ [α, β]} ≈ ? (Szego, 1915)
Segunda pregunta:n∑
j=1ϕ(λ
(n)j ) ≈ ?, donde ϕ ∈ C(R)
Tercera pregunta: λ(n)j ≈ ?
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Valores propios de matrices de Toeplitz hermitianas
0
1
π 2π
Grafica de g
α=0.1
β=0.4
¿cuantos? λ(32)20 ≈ ?
0
1
Valores propios de T8(a)
Valores propios de T16(a)
Valores propios de T32(a)
Primera pregunta: #{j : λ(n)j ∈ [α, β]} ≈ ? (Szego, 1915)
Segunda pregunta:n∑
j=1ϕ(λ
(n)j ) ≈ ?, donde ϕ ∈ C(R)
Tercera pregunta: λ(n)j ≈ ?
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Valores propios de matrices de Toeplitz hermitianas
0
1
π 2π
Grafica de g
α=0.1
β=0.4
¿cuantos? λ(32)20 ≈ ?
0
1
Valores propios de T8(a)Valores propios de T16(a)
Valores propios de T32(a)
Primera pregunta: #{j : λ(n)j ∈ [α, β]} ≈ ? (Szego, 1915)
Segunda pregunta:n∑
j=1ϕ(λ
(n)j ) ≈ ?, donde ϕ ∈ C(R)
Tercera pregunta: λ(n)j ≈ ?
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Valores propios de matrices de Toeplitz hermitianas
0
1
π 2π
Grafica de g
α=0.1
β=0.4
¿cuantos?
λ(32)20 ≈ ?
0
1
Valores propios de T8(a)Valores propios de T16(a)
Valores propios de T32(a)
Primera pregunta: #{j : λ(n)j ∈ [α, β]} ≈ ? (Szego, 1915)
Segunda pregunta:n∑
j=1ϕ(λ
(n)j ) ≈ ?, donde ϕ ∈ C(R)
Tercera pregunta: λ(n)j ≈ ?
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Valores propios de matrices de Toeplitz hermitianas
0
1
π 2π
Grafica de g
α=0.1
β=0.4
¿cuantos? λ(32)20 ≈ ?
0
1
Valores propios de T8(a)Valores propios de T16(a)
Valores propios de T32(a)
Primera pregunta: #{j : λ(n)j ∈ [α, β]} ≈ ? (Szego, 1915)
Segunda pregunta:n∑
j=1ϕ(λ
(n)j ) ≈ ?, donde ϕ ∈ C(R)
Tercera pregunta: λ(n)j ≈ ?
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Valores propios de matrices de Toeplitz hermitianas
0
1
π 2π
Grafica de g
α=0.1
β=0.4
¿cuantos?
λ(32)20 ≈ ?
0
1
Valores propios de T8(a)Valores propios de T16(a)
Valores propios de T32(a)
Primera pregunta: #{j : λ(n)j ∈ [α, β]} ≈ ? (Szego, 1915)
Segunda pregunta:n∑
j=1ϕ(λ
(n)j ) ≈ ?, donde ϕ ∈ C(R)
Tercera pregunta: λ(n)j ≈ ?
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Matricesde Toeplitz
Trazageneralizada
Distribucionde autovalores
Aproximacionde autovalores
Aplicacion a unatraza misteriosa
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Formula para la traza de una matriz de Toeplitz
ObservacionSea a ∈ L∞(T) y sea n ∈ {1, 2, . . .}. Entonces
tr(Tn(a)) = na0 = n∫T
a dµT =n
2π
∫ 2π
0a(ei θ) dθ.
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La traza generalizada de una matriz de Toeplitz
Sean a ∈ L∞(T,R), n ∈ {1, 2, . . .} y ϕ ∈ C(R).Entonces la matriz ϕ(Tn(a)) esta bien definida y
tr(ϕ(Tn(a))) =n∑
j=1ϕ(λ
(n)j ).
Consideremos el comportamiento asintotico de esta expresion,cuando n→∞.
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Norma de Frobenius (de Hilbert y Schmidt)
En el espacio de matrices Mn×n(C) se define el producto interno
〈A,B〉 = tr(A∗B) =n∑
j=1
n∑k=1
Aj,kBj,k .
La norma correspondiente se llama la norma de Frobenius :
‖A‖F =√〈A,A〉 =
n∑j=1
n∑k=1|Aj,k |2
1/2
.
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Tn(a)Tn(b) ≈ Tn(ab) en cierto sentido
LemaSean a, b ∈ C∞(T). Entonces
limn→∞
(1n‖Tn(a)Tn(b)− Tn(ab)‖F
)= 0.
Este lema permite demostrar que
1n (tr(T p
n (a))− tr(Tn(ap)))→ 0,
luego1n (tr(ϕ(Tn(a)))− tr(Tn(ϕ ◦ a)))→ 0
para cualquier polinomio ϕ.
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Tn(a)Tn(b) ≈ Tn(ab) en cierto sentido
LemaSean a, b ∈ C∞(T). Entonces
limn→∞
(1n‖Tn(a)Tn(b)− Tn(ab)‖F
)= 0.
Este lema permite demostrar que
1n (tr(T p
n (a))− tr(Tn(ap)))→ 0,
luego1n (tr(ϕ(Tn(a)))− tr(Tn(ϕ ◦ a)))→ 0
para cualquier polinomio ϕ.
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Teorema lımite de Szego (1915)
sımbolo generadora ∈ L∞(T,R)
funcion de pruebaϕ ∈ C(R)
1n
n∑j=1
ϕ(λ(n)j ) −−−→
∫Tϕ ◦ a dµT
limn→∞
(1n
n∑j=1
ϕ(λ(n)j )
)=
12π
∫ 2π
0ϕ(g(θ)) dθ.
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Matricesde Toeplitz
Trazageneralizada
Distribucionde autovalores
Aproximacionde autovalores
Aplicacion a unatraza misteriosa
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Corolario del teorema lımite de Szegodistribucion de los valores propios de matrices de Toeplitz autoadjuntas
sımbolo generadora ∈ L∞(T,R)
α < βµT(a−1({α, β})) = 0
#{j : α ≤ λ(n)j ≤ β}n −−−→ µ {θ ∈ [0, 2π] : α ≤ a(ei θ) ≤ β}
2π
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Ejemplo para ilustrar el corolario
0 2π
1
Grafica de g
µ {θ : 0.1≤ a(θ)≤ 0.4}2π = 0.325
0.1
0.4
0
1
Eigenvalues of T32(a)
11 eigenvalues
1132 ≈ 0.344
17 / 35
Ejemplo para ilustrar el corolario
0 2π
1
Grafica de g
µ {θ : 0.1≤ a(θ)≤ 0.4}2π = 0.325
0.1
0.4
0
1
Eigenvalues of T32(a)
11 eigenvalues
1132 ≈ 0.344
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Ejemplo para ilustrar el corolario
0 2π
1
Grafica de g
µ {θ : 0.1≤ a(θ)≤ 0.4}2π = 0.325
0.1
0.4
0
1
Eigenvalues of T32(a)
11 eigenvalues
1132 ≈ 0.344
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Ejemplo para ilustrar el corolario
0 2π
1
Grafica de g
µ {θ : 0.1≤ a(θ)≤ 0.4}2π = 0.325
0.1
0.4
0
1
Eigenvalues of T32(a)
11 eigenvalues
1132 ≈ 0.344
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Ejemplo para ilustrar el corolario
0 2π
1
Grafica de g
µ {θ : 0.1≤ a(θ)≤ 0.4}2π = 0.325
0.1
0.4
0
1
Eigenvalues of T32(a)
11 eigenvalues
1132 ≈ 0.344
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Szego encontro una formula aproximada para la traza generalizaday describio la distribucion asintotica de los valores propios.
Otra pregunta se quedo sin respuesta para 100 anos:
λ(n)j ≈ ?
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Matricesde Toeplitz
Trazageneralizada
Distribucionde autovalores
Aproximacionde autovalores
Aplicacion a unatraza misteriosa
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Esta parte esta basada en un trabajo conjunto conJ. M. Bogoya Ramırez, A. Bottcher y S. M. Grudsky.http://dx.doi.org/10.1016/j.jat.2015.03.003
La idea es “hacer al reves” el teorema de Szego.
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Funcion cuantil de una lista de numeros
118 100 195 166 164 123 102 172 164 117
Los mismos numeros en el orden ascendiente:100 102 117 118 123 164 164 166 172 195
QuantileFunction(1/3) = 118porque 118 es el numero mas pequeno v
tal que al menos 1/3 de los elementos son menores o iguales a v .
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Funcion cuantil asociada a una funcion a ∈ L∞(T,R)
Fa := la funcion de distribucion acumulada de a :
Fa(v) := µT {t ∈ T : a(t) ≤ v}, v ∈ R.
Qa := la funcion cuantil correspondiente:
Qa(p) := inf{v ∈ R : Fa(v) ≥ p}, p ∈ (0, 1].
Qa crece y tiene la misma distribucion que a.
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Construccion de la funcion cuantilasociada a un sımbolo generador lineal a trozos
v
0 π
2π 3π
22π
34
1
14
Grafica de g
34
1
0
14
1948
1116
1
v
34
1
0
14
1948
1116
1
Graph of Qa
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Construccion de la funcion cuantilasociada a un sımbolo generador lineal a trozos
v
0 π
2π 3π
22π
34
1
14
Grafica de g
34
1
0
14
1948
1116
1
v
34
1
0
14
1948
1116
1
Graph of Qa
a y Qa son identicamente distribuidas:µT{t ∈ T : a(t) ≤ v} = µ{p ∈ (0, 1] : Qa(p) ≤ v}
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Construccion de la funcion cuantilasociada a un sımbolo generador lineal a trozos
v
0 π
2π 3π
22π
34
1
14
Grafica de g
34
1
0
14
1948
1116
1
v
34
1
0
14
1948
1116
1
Graph of Qa
a reordenamiento en el estilo de Lebesgue−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→ Qa
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Convergencia uniforme de los valores propios
a ∈ L∞(T,R) R(a) es conexo
max1≤j≤n
∣∣∣λ(n)j − Qa( j/n)∣∣∣ −−−→ 0
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Ejemplo
0 π/2 π 3π/2 2π
1/4
3/4
1
Grafica de g
0 19/48 11/16 1
1/4
3/4
1
Grafica de Qa
1 64
1
Valores propios de T64(a)
Cada valor propio λ(n)j se muestra como el punto(
jn , λ
(n)j
).
Se ve que el tercer dibujo parece mucho al segundo.
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Ejemplo
0 π/2 π 3π/2 2π
1/4
3/4
1
Grafica de g
0 19/48 11/16 1
1/4
3/4
1
Grafica de Qa
y los puntos ( j/n, λ(n)j )
(1364 , Qa
(1364
))
(1364 , λ
(64)13
)
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Ejemplo
0 π/2 π 3π/2 2π
1/4
3/4
1
Grafica de g
0 19/48 11/16 1
1/4
3/4
1
Grafica de Qa
y los puntos ( j/n, λ(n)j )
(1364 , Qa
(1364
))
(1364 , λ
(64)13
)
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Ejemplo
0 π/2 π 3π/2 2π
1/4
3/4
1
Grafica de g
0 19/48 11/16 1
1/4
3/4
1
Grafica de Qa
y los puntos ( j/n, λ(n)j )
(1364 , Qa
(1364
))
(1364 , λ
(64)13
)
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Ejemplo
0 π/2 π 3π/2 2π
1/4
3/4
1
Grafica de g
0 19/48 11/16 1
1/4
3/4
1
Grafica de Qa
y los puntos ( j/n, λ(n)j )
(1364 , Qa
(1364
))
(1364 , λ
(64)13
)
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El teorema lımite de Szego combinado con el concepto de funcion cuantilproporciona el termino principal de la asintotica de los valores propios:
λ(n)j ≈ Qa
( jn)
suponiendo que a ∈ L∞(T,R) y la imagen esencial R(a) es conexa.
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Matricesde Toeplitz
Trazageneralizada
Distribucionde autovalores
Aproximacionde autovalores
Aplicacion a unatraza misteriosa
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Aplicacion a una traza misteriosaEn un problema de suavizamiento de datos surge la expresion
fn(p) = 1− 1n tr
((In + p R>n Rn)
−1),
dondep es un parametro positivo,In es la matriz identidad n × n,Rn es la matriz (n − 2)× n asociada al operador de diferencias desegundo orden.
R7 =
1 −2 1 0 0 0 00 1 −2 1 0 0 00 0 1 −2 1 0 00 0 0 1 −2 1 00 0 0 0 1 −2 1
.
29 / 35
fn escrita a traves de los valores propios
La funcion fn se puede escribir como
fn(p) = 1− 1n
n∑j=1
11 + p λj(R>n Rn)
.
Notamos querank(R>n Rn) = n − 2,
y los valores propios no nulos de R>n Rn son los valores propios de RnR>n .
fn(p) = 1− 2n −
1n
n−2∑j=1
11 + p λj(RnR>n )
.
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fn escrita a traves de los valores propios
La funcion fn se puede escribir como
fn(p) = 1− 1n
n∑j=1
11 + p λj(R>n Rn)
.
Notamos querank(R>n Rn) = n − 2,
y los valores propios no nulos de R>n Rn son los valores propios de RnR>n .
fn(p) = 1− 2n −
1n
n−2∑j=1
11 + p λj(RnR>n )
.
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fn escrita a traves de los valores propios
La funcion fn se puede escribir como
fn(p) = 1− 1n
n∑j=1
11 + p λj(R>n Rn)
.
Notamos querank(R>n Rn) = n − 2,
y los valores propios no nulos de R>n Rn son los valores propios de RnR>n .
fn(p) = 1− 2n −
1n
n−2∑j=1
11 + p λj(RnR>n )
.
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Pasamos a una matriz de Toeplitz pentadiagonalUn calculo directo muestra que
RnR>n = Tn−2(a), donde
a(t) = t−2 − 4t−1 + 6− 4t + t2 =(1− t)4
t2 .
Por ejemplo,
T8(a) =
6 −4 1 0 0 0 0 0−4 6 −4 1 0 0 0 0
1 −4 6 −4 1 0 0 00 1 −4 6 −4 1 0 00 0 1 −4 6 −4 1 00 0 0 1 −4 6 −4 10 0 0 0 1 −4 6 −40 0 0 0 0 1 −4 6
.
31 / 35
El sımbolo generador de estas matrices pentadiagonales
1 2 3 4 5 6
5
10
15
Recientemente S. M. Grudsky y M. A. Barrera Ceballosdedujeron formulas asintoticas para los valores propiosde las matrices de Toeplitz generadas por esta funcion.Nosotros no utilizamos sus formulas.
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Aplicamos el teorema de Szego
fn(p) =n − 2
n · 1n − 2 tr(ϕp(Tn−2(a))),
dondeϕp(u) =
pu1 + pu ,
a(t) = t−2 − 4t−1 + 6− 4t + t2 =(1− t)4
t2 .
Por el teorema de Szego,
limn→∞
fn(p) = g(p),
donde
g(p) =∫T
p a1 + p a dµT =
12π
∫ 2π
0
p(
2 sin θ2
)4
1 + p(
2 sin θ2
)4 dθ.
La ultima integral se puede calcular con la tecnica de residuos.33 / 35
Resultado final: la funcion lımitePara cada p ∈ [0,+∞),
limn→∞
fn(p) = g(p) = 1−√
1 +√
1 + 16p2(1 + 16p) .
0.5 1.0 1.5 2.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
g
f100
34 / 35
¡Gracias!
35 / 35