MATRIKS (Serta Penerapan Dalam Ekonomi)

DWIANTI PRABAWATI3053052

AKUNTANSI (3B)

POLITEKNIK POS INDONESIA2008

Pengertian Matriks dan Vektor

Matriks ialah kumpulan bilangan yang disajikan secara teratur dalam baris dan kolom yang membentuk suatu persegi panjang, serta termuat diantara sepasang tanda kurung.

Vektor ialah bentuk matriks khusus yang hanya mempunyai satu baris atau satu kolom.1. Vektor-baris : matriks sebaris atau matriks berbaris

tunggal.2. Vekor-kolom : matriks sekolom atau matriks

berkolom tunggal.

Kesamaan Matriks dan Kesamaan Vektor

Dua buah matriks A dan B dikatakan sama – dan dituliskan A=B – apabila keduanya berorde sama dan semua unsur yang terkandung di dalamnya sama ( untuk setiap i dan j). Jika matriks A tidak sama dengan matriks B, ditulis .

Dua buah vektor dikatakan sama apabila keduanya sejenis, sedimensi dan semua unsur yang terkandung di dalamnya sama.

ijij ba

BA

Pengoperasian Matriks dan Vektor

Penjumlahan dan Pengurangan Matriks

Kaidah komulatif :

Kaidah Asosiatif :

INGAT!! matriks &

vektor tidak dapat dibagi.

CBA dimana ijijij bac

ABBA

CBACBACBA )()(

Perkalian Matriks dengan Skalar

Kidah Komutatif :Kaidah Distributif :

Perkalian Antarmatriks

Kaidah Asosiatif :Kaidah Distributif :

BA dimana ijij ab AA

pmpnnm CBA

BABA )(

ABCCABBCA )()(ACABCBA )(BCACCBA )(

Pengoperasian VektorSyarat-syarat dan cara pengoperasian matriks berlaku pula untuk pengoperasian vektor, begitu juga dengan kaidah-kaidah yang menyertainya.Dua buah vektor hanya dapat dijumlahkan atau dikurangkan apabila keduanya sejenis dan sedimensi. Dua buah vektor hanya dapat dikalikan apabila keduanya berlainan jenis tetapi berdimensi sama.

Perkalian matriks dengan Vektor

11 mnnm cbA

Bentuk-Bentuk Khas Matriks

Matriks Satuan

Atau matriks identitas ialah matriks bujur sangkar yang semua unsur pada diagonal utama adalah angka-angka 1 sedangkan unsur-unsur lainnya adalah nol.

Matriks Diagonal

Ialah matriks bujur sangkar yang semua unsurnya nol kecuali pada diagonal utama.Contoh :

10

012I

100

010

001

3I

50

03

Matriks Nol

Ialah matriks yang semua unsurnya nol, lazim dilambangkan dengan angka nol.Contoh :

700

020

003

200

020

002

10

01

00

000 22

000

0000 32

Matriks UbahanTranspose matriks ialah matriks yang merupakan hasil pengubahan matriks lain yang sudah ada sebelumnya, diaman unsur-unsur barisnya menjadi unsur-unsur kolom dan unsur-unsur kolomnya menjadi unsur-unsur baris.Contoh :

Matriks SimetriksIalah matriks bujur sangkar yang sama dengan ubahannya. Matriks A dikatakan simetriks apabilaContoh :

'AA

41

32A

43

12'A

73

31A

73

31'A

Matriks Simetriks MiringMatriks bujur sangkar yang sama dengan negatif ubahannya. Matriks A dikatakan simetrik miring (skew symmetric) apabila atauContoh :

Matriks Balikan

Inverse matrix ialah matriks yang apabila dikalikan dengan suatu matriks bujursangkar menghasilkan sebuah matriks satuan.

Contoh :

'AA .' AA

024

205

450

A

024

205

450'A

024

205

450'A

34

61A

271

274

92

91

1A

10

011AA

Matriks Skalar, Ortogonal, Singular dan Nonsingular

1. Matriks skalar : matriks diagonal yang unsur-unsurnya sama atau seragam .

2. Matriks ortogonal : matriks yang apabila dikalikan dengan matriks ubahannya menghasilkan matriks satuan, .

3. Matriks singular : matriks bujursangkar yang determinannya sama dengan nol, matriks semacam ini tidak mempunyai balikan.

4. Matriks Nonsingular : matriks bujursangkar yang determinannya tidak nol, matriks semacam ini mempunyai balikan.

Pengubahan Matriks

Ubahan Penjumlahan dan Pengurangan

ataukomulatif

asosiatif

Ubahan Perkalian

mnmnmnnmnmnm CBACBA '''')(

'' )()( ABBA '''' ABBA ''''' }){()}({ CBACBACBA

'')( AA

mnnppqqppnnm ABCCBA '''')(

atau komutatif

distributif

asosiatif

distributif

'' )()( AA '' AA

'''' )()}({ BABAA

'''''' )(}){()}({ ABCABCCABBCA

'''''' )()}({ ACABACABCBA

''''' )'(}){( BCACBCACCBA

Matriks Bersekat

Penyekatan sebuah matriks ditunjukan oleh garis-garis horizontal dan vertikal diantara baris-baris dan kolom-kolomnya. Gunanya, untuk memudahkan pengoperasian khususnya pengoperasian matriks-matriks berorde tinggi,dan juga untuk memudahkan operasi perkalian antarmatriks.

Determinan Matriks Penulisan unsur-unsur sebuah matriks bujursangkar

dalam bentuk determinan, yaitu diantara sepasang garis tegak.

Minor dan Kofaktor

Sifat-Sifat Determinan1. Nilai determinan nol jika semua unsurnya sama.2. Nilai determinan nol jika terdapat dua baris / dua

kolom yang unsur-unsurnya sama.3. Nilai determinan nol jika terdapat dua baris / dua

kolom yang unsur-unsurnya sebanding.

ijji

ij MA )1(

4. Nilai determinan nol jika unsur-unsur pada salah satu baris atau kolom semuanya nol.

5. Nilai determinan tidak berubah jika semua baris dan kolomnya saling bertukar letak, dengan kata lain determinan dari matriks A sama dengan dari matriks ubahannya

6. Nilai determinan berubah tanda (tetapi harga mutlaknya tetap) jika dua baris / dua kolomnya bertukar letak.

7. Determinan dari suatu matriks diagonal adalah hasil kali unsur-unsur diagonalnya.

8. Jika setiap unsur pada salah satu baris / kolom dikalikan dengan suatu bilangan, nilai determinannya adalah sama dengan hasil kalinya dengan bilangan tersebut.

9. Jika semua unsur merupakan penjumlahan dari dua bilangan / lebih, determinannya dapat dituliskan sebagai penjumlahan dari dua determinan / lebih.

''; AAA

10. Jika nilai determinan dari suatu matriks sama dengan nol, matriksnya dikatakan singular dan tidak mempunyai balikan (inverse); jadi bila merupakan matriks singular dan tidak ada.

11. Jika nilai determinan dari suatu matriks tidak sama dengan nol, matriknya dikatakan nonsingular dan mempunyai balikan; jadi bila merupakan matriks nonsingular dan ada.

12. Pada penguraian determinan (ekspansi laplace), nilai determinan sama dengan nol jika unsur baris / kolom dikalikan dengan kofaktor unsur baris / kolom yang lain, tetapi tidak sama dengan noljika unsur suatu baris / kolom dikalikan dengan kofaktor unsur baris / kolom itu sendiri.

AA ,01A

AA ,01A

Adjoin Matriks

Pembalikan Matriks

Balikan dari matriks adalah matriks balikanyakni jika dan hanya jika .

'][. ijAAadj

A )(1 atauBA

)(1 IatauABIAA

Pembalikan Matriks Berorde 2 x 2Andaikan B adalah balikan dari A, maka untuk dapat membentuk B haruslah diperoleh lebih dahulu unsur-unsurnya atau .

Pembalikan Matriks Berorde Lebih TinggiJika misalnya matriks yang hendak dibalik berorde 4 x 4, berarti terdapat unsur matriks balikan yang sama harus dicari; untuk itu terdapat persamaan (yang mengandung unsur-unsur matriks balikan) yang harus diselesaikan.

ijb

2424

Pembalikan Matriks dengan Adjoin dan Determinan

Sifat-Sifat Balikan1. Balikan dari suatu matriks balikan adalah matriks

aslinya2. Determinan dari suatu matriks balikan sama dengan

kebalikan dari determinan matriks aslinya;3. Balikan dari suatu matriks ubahan sama dengan ubahan

matriks balikannya;4. Balikan dari perkalian dua buah matriks sama dengan

perkalian matriks-matriks balikannya dengan urutan yang terbalik;

5. Balikan dari matriks satuan adalah matriks satuan itu sendiri;

A

AadjA

.1

.][ 11 AA

./11 AA

].[][ 11' AA

.][ 111 ABAB.1 II

Penyelasaian Sistem Persamaan Linear

11 nnnn cXA

Penyelesaian sistem persamaan linear secara serempak, berdasarkan teori matriks, dapat pula dikerjakan dengan menggunakan kaidah Crammer.Penyelesaian atas

untuk menghitung nilai variabel x dapat dilakukan dengan cara membagi determinan-determinnnya, cara ini disebut pula dengan “cara determinan”.

Terima Kasih ………