Matrix Pencil for Positioning in Wireless Ad-hoc Sensor Network

无线 Ad-hoc 传感器网络中的矩阵束定位Lecture Notes in Computer Science

Liang Song1, Raviraj Adve1 and Dimitrios Hatzinakos1

Abstract• Abstract. Wireless ad-hoc sensor networks(WASN)are attracting rese

arch interest recently because of their various applications in distributed monitoring,communication,and computing.In this paper,we concentrate on the range error problem of WASN positioning algorithms.A new matrix pencil based time of arrival(TOA)positioning method(MPP)is proposed for WASN.The new scheme employs matrix pencil for multipath time-delay estimation,and triangulation for absolute positioning.Simulations in a square-room scenario show that the positioning performance is generally robust to multipath effect and the positioning error is limited to around one meter

• 无线 Ad-hoc 传感器网络（ wasn ）引起广泛的研究兴趣，因为他们在分布式监控，通信和计算的各种应用。文章中，我们集中于 wasn定位算法的距离误差的问题，提出了一种新的基于时间到达（ TOA ）矩阵束定位方法（ MPP ）。使用矩阵束多重路径时延的估计，采用三角测量法实现完全定位。一方形空间内的仿真显示对多重路径，定位性能一般具有鲁棒性，定位误差在一米内。

1 Introduction• 在 WASN 中最富挑战性的是开发一种实际的分布式定位算

法。“实际的”是指算法应能适应不同的环境，快速配置，低功耗，低成本。

• WASN 定位中一个最基本问题是误差范围，在不同的测量方法中有不同的定义。然而不同的测量方法，如 In RSSI[5](Received Signal Strength Indicator)and TOA or TDOA(Time of Arrival/Time Difference of Arrival)[3], AOA(angle of arrival) 等都有这样和那样的不足。

• 本文提出一种基于矩阵束的定位算法，且假设在接收端可知射频信号的发送时间（ TTR ）（通过介质访问控制 MAC 层实现射频信号定时发送）。仿真可知， MPP 的测量误差低于 RSSI 。通过最小二乘法，定位误差可以在一米内。当仿真中考虑到发送范围，定位误差约为 5 ％。

2 Channel Model and Estimation• 射频信号通过一个准衰减信道传播，信道内有复杂的高斯白噪声和一个传播时

延 D 的多重路径效应。信道响应函数：

• 频域内：• M 是多重路径数， 是相关的时延和增益

• 假设 X(ω) 和 Y(ω) 是发送和接收信号的频域表示， N(ω) 表示高斯白噪声。

• WASN 中，多数多径时延 τm 小于一个信号 / 芯片时间 Ts ，通常最大传播时延是 Ts 的序列（ order ）。例如 IEEE802.11 无线局域网的典型带宽是 FB=11MHz,TS=1/FB=0.09μs 。 WASN 中两个节点间的距离一般是 10 米左右，相关的LOS(Line of Sight) 视距时延 τLOS=0.03μs 。。多径最大时延 D≈TS 。这就提议了一种基于快速傅氏变换 FFT-based 的信道估计设计。

• 考虑发送一个训令序列 T r(n) （长度 K·L ）：

• 在接收节点， RF 训练信号分为 L 段，包含 1 个“ 1” 和 K － 1 个“ 0” 。K 的选择应使得 (K － 1)·TS>D 。 K 实际上很小，可设为 2. Yl(ωn) 表示 FFT 第 l 段 G(ω) 表示发送滤波响应，由方程 3 得。

• N 是 FFT 点的数目， C 是常数，信道估计为：

• Vn 表示信道估计的噪声部分并可通过增大训练长度 L 来抑制。由方程2.5.6 得：

3 MPP Algorithm• 一旦信道估计可通过方程 6 获得， MPP 可执行定位。定义一组 L2×L1 矩阵 X

n

• 无噪声环境中， Xn 的秩为 M ，也就是 vn=0 ，然而当考虑噪声时，秩大于 M 。为了降低噪声的影响， M-truncated SVD (Singular Value Decomposition) of Xn 。 Xn 奇异值分解：

• Σn 是 M 主奇异值的 M×M 维对角线矩阵。 Un 由 Xn 的 M 个主要左奇异向量组成， Vn 由 Xn 的 M 个主要右奇异向量组成。基于方程 7 ，文献 16 显示 M 多重路径时延可由任何M×M 个 Q 矩阵的特征值估计。

• 所以， N － L1 － L2+1 个 Q 矩阵可以均分以降低噪声干扰。时延估计：

• {zm|m=1...M} 是以下矩阵的 M 维特征值。

• 因为 LOS （ line of sight ）与最短时延相关，两个节点间距离估计

• C 是光速，一旦得到超过三个固定节点的距离，就可以通过最小二乘法的三角测量定位方法估计其位置 [6] 。

• 一个重要的问题是怎样确定传感器节点的系数 M, 和 L1,L2 。假设矩阵 Xn 的最大奇异值是 n ， Mn 表示大于 奇异值的数目， 表示与信道条件相关的最低系数。 M 是 Mn 的平均数， n=0...N － L1 － L2+1 。

• L1L2满足条件 9. 然而分析 L1L2 的最优选择比较困难。基本上，同时选择较小的 L1L2会增加矩 Q 数目和抑制噪声。然而这将导致 Xn 难以求解（ more ill-conditioned ）。现在指出该矛盾并将在以后研究。

4 Simulations and Results• 为获得方程 2 中的信道模型系数，仿真环境模型为一方形空间。统一任一的分布

（ M － 1 ）个传感器。所以在一个信道内总共有 M 个路径。假设 {pm|m=1...M－ 1} 表示（ M － 1 ）个节点的坐标， rx 和 tx 表示接收和发送节点的坐标。相关 M － 1 路径时延

• LOS 时延

• 系数 如下{um|m=1...M} 是独立的零平均值单位变化的复杂的高斯随机变量。系统带宽 IEEE 802.11,FB=11MHz 。发送滤波使用上升的余弦波。方程 5 的训练长

度 L 设为 1000 ， K根据不同的房间大小变化。 K≤4 ，所以训练序列的长度小于4000 。在接收端不同的 高斯白噪声掺杂进射频信号。最高信噪比：

• FFT 点的数目设为 N＝ 25 ，为简化， L1=M+2 ， L2=N-L1 。所以得到一个可以进一步提高仿真结果的矩阵 Q 。 δ 设为 0.01 不同的空间的范围测量误差（ M

或 SNR ）变化：

• 图 1 ， M 为 3 ， SNR从－ 4dB 到 20dB 。图 2 ， SNR 是 10dB ， M从 1到 7 变化。两图中，更大空间仿真有更好的性能。更大空间很可能有普遍的多径时延，这将防止 Q 矩阵条件变差。另一个观察结果，更小的 M意味着更好的性能，尤其是 M＝ 1 有更低误差。其原因在 [14] Cramer-Rao限制分析中可找到。增加M ，并未急速衰减。 10dB 信噪比，范围误差仍在30 ％内，甚至M＝ 8 。曲线的波动可归咎于 L1L2 的非优化选择。相比RSSI 的范围误差大至 50 ％，结果有明显的提高

• 此外，在不同大小空间和不同路径数 M下仿真定位误差。信噪比为 10dB 。与文献[11] 相似的策略，发现和摒弃非视距测量（ NLOS ）， 10 个 MPP迭代平均实现每个定位。不同大小空间， 200 个 Monte-Carlo运行结果平均和描绘在图 3 到图 5. 当M>1 ，结果显示对多径数 M 的鲁棒性。然而当 M＝ 1 ，由于更小的误差范围，得到更好的性能。当有足够的固定点，定位误差约为 1 米。考虑不同空间的不同发送范围，定位误差 5 ％内。在只有三个固定点的极端环境，约为 10 ％。与范围误差原因类似，当考虑定位误差时，更大的空间依然具有很好的性能。

5 Conclusions and Future work

• 本文提出了一种 WASN 的新的定位算法 MPP 。依靠矩阵束方法执行 TOA 估计和依靠三角测量法获得定位。相比 RSSI ， MPP更准确且避免了复杂的补偿算法。相比 AHLos ，MPP避免了声波信号的缺点且对不同环境更具鲁棒性。

• 将来的工作将考虑系数 L1L2 的最优选择理论。 MPP 的实现依赖于发送时间已知的重要假设。在其可以实际实现前，TTR 假设还需要更多的研究工作。