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RESUMO TEÓRICO SOBRE MATRIZTRANSCRIPT
PROF.: LIMA
Matrizes Definição
Mat Fis Qui
João 7 5 6
Maria 9 4 5
549
657A
Denomina-se matriz m x n a uma tabela formada por m . n elemen-tos dispostos em m LINHAS e n COLUNAS.
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Matrizes Notação
Dada uma matriz A denotaremos cada elemento da matriz A por aiijj onde i é o número da linha e j é o número da coluna desse elemento.
Observação: As linhas são numeradas de cima para baixo e as colunas da esquerda para a direita.
A =
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Matrizes Representação de Matrizes
A representação de matrizes é feita de três formas diferentes:
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Matrizes Tipos de Matrizes
A = (1 3 7)
Matriz Coluna
É formada por uma única coluna.
Matriz Linha
Toda matriz que possui só uma linha.
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Matrizes Tipos de Matrizes
Matriz Nula
000
0000
Matriz Quadrada
04
12
Possui todos os elementos iguais a zero.
Possui todos os elementos iguais a zero.
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Matrizes Tipos de Matrizes
Diagonal Principal
Diagonal Secundária
Diagonal de uma matriz quadrada formada pelos elementos aij, sendo i = j.
Diagonal de uma matriz quadrada formada pelos elementos aij, sendo i + j = n + 1.
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Matrizes Tipos de Matrizes
Matriz Diagonal
Toda matriz quadrada nula é matriz diagonal
É a matriz quadrada na qual todos os elementos que não pertencem a diagonal principal são iguais a zero.
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Matrizes Tipos de Matrizes
Matriz Identidade ou Matriz Unidade
É a matriz quadrada em que os elementos da diagonal principal são todos iguais a 1 e os demais elementos são iguais a zero.
Obs: A matriz identidade é o elemento neutro da multiplicação ou seja: A . I = I . A = A
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Matrizes Tipos de Matrizes
É matriz obtida invertendo-se o sinal de cada elemento de uma matriz dada.
Matriz Oposta ( - A)
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Matrizes Tipos de Matrizes
Dada uma matriz A do tipo m x n chama-se transposta de A, a matriz At obtida a partir de A, onde as linhas de A serão as colunas de At e vice-versa
201
435A
24
03
15tA
Observe que A é uma matriz do tipo 2 x 3, enquanto que At é do tipo 3 x 2. Observe também que todo elemento aij de A será o elemento aji de At .
Matriz Transposta
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Matrizes Operações com Matrizes
Dadas duas matrizes A e B do mesmo tipo, dizemos que A = B se e somente se os seus elementos são respectivamente iguais.
Igualdade de Matrizes
A = B <=> aij = bij
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Matrizes Operações com Matrizes
Para adicionarmos duas matrizes A e B basta que elas sejam do mesmo tipo. Isto é, elas devem ter o mesmo número de linhas e o mesmo número de colunas.
Define-se a adição A + B = C como sendo formada pelos elementos aij + bij = cij
Adição
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Matrizes Operações com Matrizes
Para subtrairmos duas matrizes A e B basta que elas sejam do mesmo tipo. Isto é, elas devem ter o mesmo número de linhas e o mesmo número de colunas.
Define-se a subtração A - B = C como sendo formada pelos elementos aij - bij = cij
Subtração
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Matrizes Operações com Matrizes
Multiplicação
Dada duas matrizes A do tipo m x n e B do tipo n x p, chama-se produto da matriz A pela matriz B que se indica C = A . B a matriz m x p definida por Cij = ai1 . b1j + ai2 . b2j + ai3 . b3j + ... + ain . bnj Observações:
1. O produto de duas matrizes existe se e somente se o número de colunas da matriz A for igual ao número de linhas da matriz B.
2. Se as matrizes A e B são do tipo m x n e n x p respectivamente, então o produto C = A . B existe e é uma matriz do tipo m x p.
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Matrizes Operações com Matrizes
Multiplicação
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Matrizes Operações com Matrizes
Multiplicação (continuação)
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Matrizes Operações com Matrizes
Multiplicação (outra explicação)
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Matrizes Lei de formação de uma matriz
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Matrizes Lei de formação de uma matriz
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Matrizes Lei de formação de uma matriz
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Matrizes Lei de formação de uma matriz
Após efetuar a multiplicação sua matriz terá o número de linhas da primeira matriz e o número de colunas da segunda. No caso de duas matrizes quadradas, o resultado também será uma matriz quadrada.
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Matrizes Lei de formação de uma matriz
Dada a matriz A = (aij) 3x2 e B = (bij) 2x2 efetue o produto A x B.
2422
13
1412
4.51.42.53.4
4.01.12.03.1
4.31.22.33.2
.
42
13
54
01
32
BAC
BeA
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Matrizes Observações
O produto de duas matrizes não é comutativo, mas há casos em
que A . B = B . A e quando isso acontece dizemos que A e B se
comutam.
Quando A . B for diferente de B . A temos que
(A + B)2 = A2 + A . B + B . A + B2
Quando A e B se comutam temos (A + B)2 = A2 + 2AB + B2
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Matrizes Lei de formação de uma matriz
Dada a matriz A = (aij) 3x2 tal que:
jisejib
jisejia
ij
ij
3
2
927
651
32.32.2212.3
31.321.31.21
232221
131211
A
aaa
aaaA
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Matrizes Exercício Resolvido
Quantas matrizes existem de ordem 2 com elementos de números naturais tais que:
85
56tXX
Solução:
85
56
2
2
85
56
dcb
cba
db
ca
dc
batemosdoSubstituín
db
caXe
dc
baXdeChamaremos t
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Matrizes Operações com matrizes
Produto de número por uma Matriz
O produto de um número por uma matriz m x n resulta uma matriz m x n formada pelos produtos do número dado por cada um dos elementos da matriz dada.
=
=
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Matrizes
Matriz Inversa (A-1)
Seja A uma matriz quadrada. Dizemos que A é matriz inversível se existir uma matriz B tal que A . B = B . A = I.
nIAA 1.Dada a matriz A = e matriz B = , verifique se elas são inversas.
.
Multiplicar as duas matrizes se o produto encontrado for uma matriz identidade de ordem dois, elas serão inversas entre si.