maturski radmatematiqka gimnazija maturski rad-iz predmeta fizike-elektromagnetizam u n dimenzija sa...

Matematiqka gimnazija

MATURSKI RAD-iz predmeta fizike-

Elektromagnetizam u N dimenzija sanaglaskom na N = 2

UqenikDuxan �or�evi�, 4d

Mentordr Branislav Cvetkovi�

Beograd, jun 2017.

proba

Садржаj

1 Uvod 1

2 Diferencijalne forme 4

2.1 Diferencijalna 1-forma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2 Pokuxaj matematiqke formalizacije 1-forme . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.3 p-forme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.4 Hoov operator dualnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3 Maksvelove jednaqine 11

3.1 Diferencijalni oblik Maksvelovih jednaqina . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.2 Energija EM poa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4 Elektromagnetizam u razliqitim dimenzijama 14

4.1 Elektromagnetizam u jednoj dimenziji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4.1.1 Elektriqno poe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4.2 Elektromagnetizam u dve dimenzije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4.2.1 Hoov operator dualnosti u dve dimenzije . . . . . . . . . . . . . 15

4.2.2 Maksvelove jednaqine u dve dimenzije . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4.2.3 Protok energije u 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.2.4 Tlasna jednaqina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.2.5 Potencijal i kreta�e u dvodimenzionalnoj elektrodinamici . . 18

4.2.6 Kvantni Holov efekat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.3 Elektromagnetizam u qetiri dimenzije pri qemu se vreme ne tretira

odvojeno od prostornih koordinata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4.4 Uopxte�e na n+ 1 prostorvreme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.4.1 Potencijal i kreta�e u n-dimenzionalnoj elektrodinamici . . . 23

5 Zakuqak 25

6 Zahvalnost 26

Literatura 27

1

Увод

Човек jе кроз своjу историjу тежио што бољем разумевању поjава око себе. Про-цесом разумевања тих поjава он jе интектуално напредовао и ширио своjе знање. Но,човек jе у своjим размишљањима неретко ишао и иза граница света коjи познаjе иразмишљао о стварима изван њега. Старогрчки математичари Диофант и Херодотиз Александиjе су разматрали обjекат назван „динамокоцка”, квадрат помножен коц-ком. Овакав обjект се може разматрати jедино као плод маште, и ниjе имао применау пракси, те размишљање о њему и њему сличним стварима ниjе наишло на одо-бравање целокупне jавности. Старогрчки математичар Папус из Александриjе (300година п.н.е) сматра да jе дискусиjа оваквих обjеката беспотребна и да не треба тро-шити време на непостоjеће. Иако су многи научници кроз векове заступали оваквомишљење, немачки филозоф Имануел Кант (Immanuel Kant)разматра природу све-та и његове димензиjе. Кант у свом раду Thoughts on the True Estimations of LivingForces спекулише да jе димензиjа света у коjем живимо одређена законом гравитаци-jе, то jест чињеницом да гравитациона сила опада са квадратом растоjања. Иако jедоста тога рекао о димензиjама у своjим делима, Кант никада ниjе до краjа обjаснионачин помоћу коjег jе дошао до овог закључка. Но, можемо претпоставити да jе ондо оваквог закључка дошао помоћу размишљања о нечему што jе постављено наконњегове смрти, о Гаусовом закону. Наиме, користећи њега нама ниjе тешко закључитиследеће: посматраjући тачкасти обjекат масе m и описавши две сфере око њега ра-диjуса r1 и радиjуса r2, при чему vaжи r1 < r2, користећи чињеницу да jе флукс крозсферу полупречника r дат са

Φ =

∫SgdS,

где g представља гравитациону силу по jединици масе, као и претпоставку да jе гра-витационо поље радиjално, добиjамо да jе Φ1 =

∫S gdS = g1 ·S1 и Φ2 =

∫S gdS = g2 ·S2

где jе S површина сфере у димензиjи у коjоj се налазимо(S1 = 4πr21 ∧ S2 = 4πr22, подпретпоставком да jе димензиjа нашег простора 3). Флукс по Гаусовом закону зависиод укупне масе обухваћене посматраном површином, те можемо тврдити да jе флуксисти кроз сферу са полупречником r1 и кроз сферу са полупречником r2. Одавде,користећи закон гравитациjе лако налазимо да jе површина сфере у нашем просто-

1

1. Uvod 2

ру сразмерна квадрату полупречник исте. Дакле, оваква ситуациjа одговара свету са3 димензиjе, jер би другачиjи броj димензиjа захтевао сразмерност површине сференеком другом степену, а то према закону гравитациjе ниjе могуће.Наравно, оваj упрошћен класични модел стварности даjе недовољан доказ тродимен-зионалности света у коjем живимо. Пре свега, разматрање би се у многоме закомпли-ковало када бисмо анализирали ситуациjу са становништва закривљених координатаи нетривиjалних топологиjа дозвољених у општоj теориjи релативности. Ту не мо-жемо увести претпоставку хомогености и изотропности просора, нити да jе метрикапростора Еуклидска. Такође, Гаусов закон не би било могуће применити у уопштеноjситуациjи. Чак и без ових тврдњи налазимо непотпуност доказа да jе свет тродимен-зионалак, коjи лежи у томе да смо кренули од познатих физичких закона и на основуњих одредили димензиjу света, а не обрнуто. Образложење тврдње лежи вероватноу томе што jе Кант веровао у то да су закони природе примарни и да они као таквиодређуjу димензиjу света.Jасно jе, не улазећи чак ни у принцип деловања сила, да jе наш доживљаj свтеа троди-мензионалан (Едвин Абот Абот jе 1884. године обjавио новелу Flatland: A Romance ofMany Dimensions, где jе описао живот у дводимензионалном свету. Касниjе се jављаjумноге књиге и филмови испирисани овом идеjом). Но ипак се у науци двадесетог векаjављаjу значаjни напреци у развоjу топологиjа више димензиjа, пре свега од странематематичара Менгера и Урисона, као и теориjе коjе користе више од три димензиjа(Калуца и Клаjн формулишу jединствену теориjу гравитациjе и електромагнетизмакористећи пету димензиjу, вишедимензионални простори се користе у теориjи стру-на...).Но све теориjе коjе почиваjу на тоj идеjи у многоме превазилазе намене овограда. Наше интересовање пре свега ћемо фокусирати на електромагнетизму, и анали-зираћемо електромагнетне поjаве коjе се jављаjу у различитим димензиjама.

Шкотски физичар и математичар Џеjмс Клерк Максвел (James Clerk Maxwell) jеу свом чувеном раду из 1865. године споjио два засебна, и до тад неспоjива феномена,електрицитет и магнетизам. Његова теориjа описуjе поашање два поља, електричногE и магнетног поља B, коjи зависе од густине наелектрисања ρ и густине електричнеструjе J. Када jе обjавио своj рад, Максвел ниjе користио данас стандардну векторскунотациjу, већ jе своjе jедначине обjавио у облику следећих 20 jедначина:

e+∂f

∂x+∂g

∂y+∂h

∂z= 0

µα =∂H

∂y− ∂G

∂z

µβ =∂F

∂z− ∂H

∂x

µγ =∂G

∂x− ∂F

∂y

P = µ(γ∂y

∂t− β∂z

∂t)− ∂F

∂t− ∂Ψ

∂z

1. Uvod 3

Q = µ(α∂z

∂t− γ ∂x

∂t)− ∂G

∂t− ∂Ψ

∂y

R = µ(β∂x

∂t− α∂y

∂t)− ∂H

∂t− ∂Ψ

∂z

∂γ

∂y− ∂β

∂z= 4πp′ p′ = p+

∂f

∂t

∂α

∂z− ∂γ

∂x= 4πq′ q′ = q +

∂g

∂t

∂β

∂x− ∂α

∂y= 4πr′ r′ = r +

∂r

∂t

P = −ξp Q = −ξq R = −ξr

P = kf Q = kg R = kh

∂e

∂t+∂p

∂x+∂q

∂y+∂r

∂z= 0,

где важи веза између оригиналних и модерних промењивих E ↔ (P,Q,R); D ↔(f, g, h); H ↔ (α, β, γ); B ↔ µ(α, β, γ); J ↔ (p, q, r); ρ ↔ e; Ψ jе електростатички по-тенциjал; (F,G,H) jе магнетни потенциjал.Примећуjемо да jе у првобитноj верзиjи у Максвелове jедначине био укључен Омовзакон, као и Лоренцова сила и закон одржања наелектрисања. Тек jе касниjе ОливерХедваjс (Oliver Heaviside), самоуки енглески инжињер, математичар и физичар увео уупотребу записе преко векторске анализе. Облици Максвелових jедначина математич-ки еквивалентни векторским су диференциjални и интегрални облици. У овом матур-ском раду наjчешће ће бити коришћен диференциjални облик Максвелових jедначина,о ком ће бити више речи у наредним поглављима. Надаље, биће речи о електромаг-нетним поjавама у jедноj димензиjи, те у две, на коjоj се и наjвише задржавамо збогтога што се у њоj jављаjу први нетривиjални примери електромагнетних поjава, тезавршавамо оваj део матурског рада дискусиjом о четвородимензионалном просторуи уопштењем на N > 4 диментиjа. Но пре него што кренемо у истраживање овихфеномена, потребно jе дефинисати одређене математичке поjмове коjи нису по плануи програму Математичке гимназиjе.

2

Диференциjалне форме

Грубо речено, диференциjална форма представља било коjу величину коjа се можеинтегралити, укључуjући диференциjале. Идеjа о диференциjалним формама проис-текла jе из радова два математичара. Први jе немачки полимат Херман Грасман (Hermann Gunther Grassmann) коjи jе 1844. године у своjоj књизи Die lineale Ausdehnu-ngslehre, ein neuer Zweig der Mathematik развио идеjу алгебре где симболи пред-стављаjу геометриjске обjекте. Он jе овим увео у математику спољашњу алгебру,коjа се заснива на спољашем производу. Почетком двадесетог века Ели Картан (ElieCartan) на основу Грасманове алгебре заснива спољашњу анализу. Спољашња анали-за се показао као природан jезик теориjе поља, jер поjедностављуjе решења проблемаиз ове области, а уjедно даjе jедноставне и компактне математичарске формуле. На-равно, математички jе могуће потпуно формално увести диференциjалне облике испољашљу анализу, но то jе пре свега обиман посао и захтевао би пре свега увођењемногих других математичких поjмова из линеарне алгебре те такав математички фор-мализам неће бити предмет овог рада. Дакле, овде ће пре свега бити дат покушаjобjашњења диференциjалних форми не улазећи превише у математику коjа стоjи изањих.

2.1 Диференциjална 1-форма

Електрично и магнетно поље су примери диференциjлних форми. Градиjент, ротори дивергенциjа се могу протумачити као различити аспекти деловања jедног опера-тора d на диференциjалну форму. Основна теорема анализе, Стоксова теорема као иГаусова теорема само су специjални случаjеви jедне теореме о диференциjалним обли-цима. Но, поред тога што су очигледно корисне, никада се током средње школе нисмосусрели са поjмом диференциjалних форми. Разлог томе jе пре свега недовољно позна-вање математике да би успели да их разумемо. Ипак, понекад jе могуће приступитипроучавању теориjе без удубљивања у њену математичку позадину.

Посматраjмо вектор електричног поља E = E1ex + E2ey + E3ez. Jедна од интер-претациjа електричног поља коjа jе општеприхваћена jесте да оно представља силукоjа делуjе на пробно наелектрисање. Са друге стране, електрично поље можемо пост-

4

2. Diferencijalne forme 5

матрати са енергетског аспекта; енергиjа коjа jе потребна да се у електричном пољунаелектрисање q пренело са позициjе r1 на позициjу r2 jе дата са

W (t) = −q∫ r2

r1

E · dl.

Ако у ову jеднакост уведемо смену E = Ex(x, y, z, t)dx+Ey(x, y, z, t)dy+Ez(x, y, z, t)dzдолазимо до jедначине

W (t) = −q∫ r2

r1

E .

Величина E представља линеарну комбинациjу диференциjала и има три независнекомпоненте, налик на вектор. Ова величина се назива 1-форма. Кључна разлика из-међу ове величине и вектора jе у томе што су ортови оса замењени диференциjали-ма dx,dy и dz. Генерлно, било коjа величина коjа се може написати као линеарнакомбинациjа ових доференциjала представља 1-форму. Сабирање две 1-форме нали-куjе на сабирање вектора, то jест за дате две 1-форме A = A1dx + A2dy + A3dz иB = B1dx+B2dy +B3dz имамо да важи

A+B = (A1 +B1)dx+ (A2 +B2)dy + (A3 +B3)dz.

Када радимо са векторском репрезентациjом електричног поља често нам jе одпомоћи да имамо замишљену слику линиjа поља, то jест линиjа коjе имаjу особинуда тангента на њих у свакоj тачки простора има правац електричног поља у тоj тач-ки. Слично и при раду са диференциjлним формама корисно jе имати на уму њиховувизуелну репрезентациjу. Шта представља та визуелна интерпретациjа диференциjал-них форми можда jе наjлакше утврдити на горепоменутом примеру електричог поља.Интеграл електричног поља по некоj контури између две тачке одређуjе разлику по-тенциjала између њих. Тачке између коjих jе оваj интеграл 0 одговараjу тачкама наеквипотенциjалноj површи. Заправо, вредност интеграла биће пропорционална броjуеквипотенциjалних равни коjе линиjа коjа повезуjе две тачке пресеца.

Слика 2.1: 1-форма се графички може представиди површинама.

Дакле, 1-форму можемо наjлакше замислити као површи. 1-форма dx се може гра-фички представити као површи нормалне на x осу и удаљене за jединично растоjање.Приметимо да овако дефинисане површине задовољаваjу тврдњу да jе интеграл по


путањи коjа пресеца 4 диференцаjлне форме баш 4, или∫ 40 dx = 4. Hаравно, ово jе

само делимично тачно, jер би са променом горње границе интеграла на 4.25 интегралдобио вредност од 4.25, док би идаље путања пресекла само 4 површи. У овом слу-чаjу морамо рећи да jе могуће да путања не пресеца цео броj површи, него четириповрши са коjима су пресеци очигледни и jедну површ са уделом 1

4 . Важно jе такођенапоменути да jе битна орjентациjа површи при продору замишљене линиjе кроз њу.Приметимо да у случаjу да два пута пресечемо исту раван она се неће броjати двапута, него ће се ова два продора поништавати, због очигледне разлике у орjентациjамаравни при продорима. Орjентациjа површи се може означити стрелицама на цртежу.

Управо описана ситуациjама са еквипотенциjалним равнима одговара електроста-тичком случаjу. Када електрично поље ниjе константно, него промењиво у временуове равни могу бити коначне, или се могу сретати (узмимо за пример електрично пољеу кондензатору где оно варира са временом; у том случаjу електрично поље jе jачешто смо ближе центру кондензатора, те се са приближавањем центру „додаjу” новеповрши).

Наравно, као што jе напоменуто, овде ниjе дата математичка дефинициjа 1-форми.Покушаj формалног увођења 1-форме биће детаљно анализиран у следећем подпо-глављу.

2.2 Покушаj математичке формализациjе 1-форме

Да бисмо успели да формално уведемо диференциjалну 1-форму, потребно jе де-финисати пар математичких поjмова. Прва ствар коjу требамо дефинисати су много-струкости. Многострукости представљаjу апстрактне тополошке просторе у коjимасвака тачка има околину коjа подсећа на еуклидски простор.

Дефинициjа 1. Тополошки простор jе уређени пар (X, T ) скупа X и подскупа Tпартитивног скупа скупа X са особинама:

1. ∅, X ∈ T

2. свака униjа скупова из T jе скуп из T

3. пресек коначно много скупова из T jе скуп из T .

Ако желимо многострукости прецизниjе дефинисати морамо увести поjам глат-ког мапирања. Мапирање f отвореног скупа U ⊂ Rn у Rm се назива глатко ако имаконтинуалне парциjалне изводе свих редова. Међутим, ако jе домен мапирања f ниjеотворен скуп, ниjе увек могуће говорити о парциjалним изводима, те морамо устано-вити општиjу дефинициjу.

Дефинициjа 2. Мапирање f : X → Rm дефинисано на произвољном подскупу Xиз Rn се назива глатким ако се може локално проширити на глатко пресликавање наотвореном скупу; тачниjе, ако око сваке тачке x ∈ X постоjи отворен скуп U ⊂ Rn иглатко мапирање F : U → Rm такво да вdefажи да jе F jеднако f на скупу U ∩X.


Дефинициjа 3. Глатко мапирање f : X → Y два подскупа Еуклидских простораjе дифеоморфизам ако jе биjективно, и ако jе инверзно мапирање f−1 : Y → X та-кође глатко. X и Y су дифеоморфни ако постоjи пресликавање такво пресликавањеf између њих.

Сада смо у могућности да дефинишемо многострукост.

Дефинициjа 4. Претпоставимо да jеX посдкуп неког Еуклидовог простора Rn. Ондаjе X к-димензионлна многострукост ако jе локално дифеоморфна са Rk, одностноако свака тачка x поседуjе околину V у X коjа jе дифеоморфна са отвореним скупомU из Rk. Скуп свих глатких мапирања на многострукости означаваћемо са C∞(M).

Са овим сетом дефинициjа увели смо поjам многострукости. Следећи поjам коjитребамо изучити пре увођења 1-форме jесу векторска поља на многострукостима. Оп-ште jе позната нотациjа вектора у коjоj се вектори изражаваjу преко своjих координата(v1, ..., vn). Међутим, представљање вектора на многострукостима у оваквом обликуниjе тако jедноставно. Ако посматрамо два вектора на сфери, покушаj изражавањањих преко истог базиса довео би до неприjатности. Трик у дефинисању вектора намногострукостима jесте у томе што за дато поље стрела (векторе можемо визуелиза-ти као стреле) можемо наћи изводе неке функциjе f у правцу тих стрела. Ако jе vвекторско поље, а f функциjа у Rn, извод функциjе f у правцу вектора v jе

v(f) =∑j

vj∂jf.

Како ово важи за било коjу функциjу f , можемо закључити да jе v =∑

j vj∂j . Дакле,вектоско поље v не треба поистовећивати са његовим компонентама vj , већ са опе-ратором vj∂j . Комбинациjа векторског поља и функциjе jе друга функциjа на много-струкости коjа jе повезана са изводом почетне функциjе. Овим смо постигли да намjе векторско поље независно од избора координата.

Дефинициjа 5. Векторско поље v на многострукостиM jе дефинисано као функциjаиз C∞(M) у C∞(M) коjа задовољава следеће аксиоме:

1. v(αf + βg) = αv(f) + βv(g)

2. v(fg) = gv(f) + fv(g)

за све f, g ∈ C∞(M) и α, β ∈ R

Скуп свих вектора на многострукости M означаваћемо са F(M). Приметимо да jеизвод функциjе у правцу вектора v дат са ∇f · v, где ∇ представља генерализациjуоператора градиjента на многострукостима. На њима можемо дефинисати функциjуdf , коjа jе веома слична ∇f на било коjоj многострукости.

Дефинициjа 6. Нека jе f : M → R функциjа реалних промењивих из скупа C∞.Дефинишемо диференциjал или 1-форму као линеарно мапирање df : (M)→ C∞(M)дефинисано са

df(v) = v(f),

за све v ∈ F(M)


Како jе df линеарно мапирање, оно мора да задовољава следећа своjства:

1. df(v + w) = (v + w)f = (v)f + (w)f = df(v) + df(w)

2. df(gv) = gv(f) = gdf(v).

Сада смо у могућности да користимо диференциjалне форме са математичког ас-пекта. Помоћу наведених дефинициjа ниjе тешко добити да су 1-фоме линерано неза-висне, што показуjе да се било коjа 1-форма може написати као линеарна комбинациjаdx1, dx2, ...,dxi.

2.3 p-форме

Иако jе могуће формално увести принцип p−форме, то ће у овом раду бити изо-стављено, те ћемо исте увести кроз познате примере у физици. Сагласно са дефини-сањем 1-форми, jачина мангетног поља предтсвља 1-форму. Извор магнетног пољаjесте наелектрисање у покрету, то jест струjе. Претпоставимо да имамо струjу i коjатече у потизивном смеру x осе. Ову струjу налатимо као

∫A Jxdydz, где jе A површина

у yz равни кроз коjу тече струjа. Оваквим интеграљењем струjа ће очигледно битипозитивна ако jе густина струjе такође позитивна. Но, обртањем координата на такавначин да сада струjа продире површину A са друге стране очигледно требамо доби-ти негативну вредност струjе. Да бисмо ово постигли, морамо увести ориjентациjуповрши A.

Спољашње диференциjалне форме нам омогућаваjу да дефинишемо орjентациjукоординатног система. Према тoме, уводимо спољашњи производ dy∧dz са особином

dy ∧ dz = −dz ∧ dy.

Спољашња диференциjална форма представља спољашњи производ диференциjалнихформи. Спољашње диференциjалне форме коjе се састоjе од спољашњег производа двадиференциjала или од суме таквих производа називаjу се 2-форме. Можемо одлучитида ли узимамо dy∧dz = ydz или dy∧dz = −dydz. Ако се одлучимо за dy∧dz = dydz,можемо писати i =

∫A Jxdy ∧ dz.

Посматрано са становништва физике, 2-форме представљаjу величине коjе инте-гралимо по површини. Ток флуида, флукс електричног поља, флукс магнетног пољасамо су неке величине коjе представљаjу 2-форму. Општи облик 2-фоме jе :

C = C1dy ∧ dz + C2dz ∧ dx+ C3dx ∧ dy.

Коришћењем спољашњег производа можемо формирати диференциjалне форме редавећег од два. У n−димензионалном простору можемо имати диференциjалне формереда од 1 до n. Спољашњи производ има и следећу особину

dx ∧ dx = 0.

2-форме су графички представљене као фамилиjа цеви. На пример 2-форма dx ∧ dyсе може визуелизовати као скуп паралелних равних, нормалних на x и y осу коjе


Слика 2.2: Графички приказ 1-форме, 2-форме и 3-форме

се пресецаjу и тиме граде тубе коjе се простиру дуж z осе. 3-форме се састоjе одкоцкастих „кутиjица” чиjе странице одговараjу 1-формам dx,dy и dz. На слици 2.2 датjе графички приказ jачине електричног поља E kao 1-форме, флукса електростатичкеиндукциjе Q као 2-форме и енергиjе електричног поља We као 3-форме. Густинанаелектрисања jе уобичаjан пример 3-форме. Њу у овом облику можемо написатикао Q = ρdx ∧ dy ∧ dz. Сходно томе, укупно наелектрисање унутар неке запреминеналазимо интеграциjом

q =

∫VQ.

При визуализациjи 3-форме као на слици 2.2c треба имати на уму да jе запремина„кутиjице” инверзно пропорциjална густини наелектрисања.

Случаj када 1-форма представља неконзервативно поље већ jе био анализиран ураду. У том случаjу се додаjу нове површи. Ова особина се може локално анализиратиуз помоћ оператора спољашњег извода дефинисаног на следећи начин

d =

[∂

∂xdx+

∂

∂ydy +

∂

∂zdz

]∧ .

Оваj оператор пресликава p-форму у (p + 1)-форму. Ако jе E неконзервативно поље,онда je 2-форма dE различита од 0. Две важне особине спољашњег извода су:

1. d(U + V) = dU + dV

2. d(U ∧ V) = dU ∧ V + (−1)stepen(U)U ∧ dV

При повезивању интеграла диференциjалних форми и спољашњег извода користи сеСтоксова теорема: ∫

Mdw =

∮∂M

w,

где jе M нека област у простору,а ∂M њена граница. Димензиjа ∂M треба да се под-удара са степеном форме w. Ако jе w скалар или такозвана 0-форма онда се стоксоватеорема своди на основну теорему анализе. Ако jе w 1-форма, Стоксова теорема семоже графички протумачити чињеницом да нове површи w настаjу од туба dw. Кадаjе w 2-форма, ова теорма говори да нове тубе настаjу и шире се од 3-форме.


2.4 Хоџов оператор дуалности

У тродимензионалном простору , 1-форме и 2-форме имаjу по три независна ди-ференциjал, тако да су простори 1-форми и 2-форми изоморфни. Хоџов оператор ду-алности (?) jе пресликавање између два изоморфна простора. У Еуклидскоj метрициимамо:

?dx = dy ∧ dz ? dy ∧ dz = dx

?dy = dz ∧ dx ? dz ∧ dx = dy

?dz = dx ∧ dy ? dx ∧ dy = dz.

Векторска величина коjа jе дуална са 1-формом α дуална jе и са 2-формом ?α. Између0-форми (скалара) и 3-форми оваj оператор делуjе тако што од функциjе f прави 3-форму ?f = fdx∧dy∧dz. У тродимензионалном простору важи да jе ??α = α, за билокоjу форму α. Графички деjство овог оператора можемо приказати на следећи начин:посматраjмо 1-форму dx, површи коjе она образуjе су нормалне на x осу. ПрименомХоџовог оператор дуалности добиjамо dy ∧ dz, односно тубе коjе се простиру дуж xосе, тако да су површи 1-форме dx нормалне на ове тубе. У општем случаjу, Хоџовоператор дуалности делуjе на 1-форму и 2-форму тако што претвара површи у на њунормалне тубе и тубе у на њу нормалне површи, као што jе илустровано на слици 2.3.

Слика 2.3: Графички приказ деловања Хоџовог оператора дуалности на 1-форму

Стриктно говорећи, за произвољну p-форму α, ?α jе jединствена (n − p)-форматаква да jедначина

α ∧ β = 〈?α, β〉σ

важи за било коjу (n−p)-форму β. У овоj jеднакости, σ jе jединични део запремине , а〈·, ·〉 означава унутрашњи (скаларни) производ увден уз помоћ одговараjуће метрике,коjа jе у нашем случаjу еуклидска.

3

Максвелове jедначине

Наjпознатиjи облик Максвелових jедначина jе њихов векторски облик

∇ ·D = ρ

∇ ·B = 0

∇×E = −∂B∂t

∇×H = J +∂D

∂t,

где jе D електростатичка индукциjа, H jачина магнетног поља, E jачина електричногпоља и B магнетна индукциjа. Оваj систем jедначина се показао одличним при испи-тивању електромагнетних поjава у три димензиjе у одсуству везаних наелектрисања,но проблем настаjе у интуициjи његове примене у другим димензиjама. На основуових jедначина не можемо лако доћи до поjава коjе се дешаваjу у дводимензионалномелектромагнетизму пре свега jер нам jе поjам векторског производа у две димензиjенеjасан. Да би смо то превазишли, користићемо већ разрађен материjал диферен-циjалних форми и спољашњег произода коjи нам служи као уопштење векторскогпроизвода.

3.1 Диференциjални облик Максвелових jедначина

Коришћењем Стоксовог идентитета и Максвелових jедначина у интегралном об-лику могуће jе добити следећи сет jедначина:

dD = Q

dB = 0

dE = −∂B∂t

dH = J +∂D∂t.

11

3. Maksvelove jednaqine 12

Приметимо наjпре предности оваквог записа. У векторскоj нотациjи Гаусов закон jезаписан преко оператора дивергенциjе. Оваj оперaтор можемо лако визеализовати.Када векторско поље има ненулту дивергенциjу мора постоjати или извор поља илињегово потонуће. Одговараjућа слика при раду са диференциjалним обликом Гаусовогзакона подjеднако jе интуитивна. Кутиjице 3-форме производе тубе 2-форме коjе суорjентисане или од нелектрисања или ка наелектрисању.

Са друге стране, при векторскоj нотациjи оператор ротора jе мање интуитиван.Магнетно поље бесконачно дугог проводника су концентричне кружнице, и лако бисе могло погрешно закључити да jе ротор тог поља у свакоj тачки ненулти (заправо jе 0у свакоj тачки ван проводника). При раду са диференциjалним обликом Маквеловихjедначина коришћењем оператора спољашњег изводад можемо закључити да тубе2-форме J формираjу површи 1-форме E . Ван изора магнетног поља (жице) немадодавања нових површи, те jе ротор 0.

Иако смо са ове четири jедначине већински покрили 20 оригиналних jедначина,остаjу нам jош неке. Закон одржања наелектрисања, Омов закон и Лоренцову силуизостављамо jер нису у директном контакту са електричним и магнетним пољем, алинам зато требаjу jедначине везе између E и D, као и измеђуH и B. Вектор електричногпоља E дуалан jе и 1-форми E и 2-форми D. Одавде можемо закључити да су Eи D повезани преко Хоџовог оператора дуалности. Користећи везу између вектораелектричног поља и вектора електростатичке индукциjе можемо писати

D = ε0 ? E

као и аналогну везуB = µ0 ?H.

Наравно, у случаjу да jе посматрана средина линерни диелектрик морали би да заме-нимо ε0 са ε и µ0 са µ, но како радимо са вакуумом, можемо оставити ове jедначинеу датом облику.

3.2 Енергиjа ЕМ поља

Опште jе познат поjам густинске енергиjе електричног и магнетног поља, односноенергиjи по jединици запремине. У диференциjалном облику ове енергиjе су:

We =1

2E ∧ D =

1

2(ExDx + EyDy + EzDz)dx ∧ dy ∧ dz

Wm =1

2H ∧ B =

1

2(HxBx +HyBy +HzBz)dx ∧ dy ∧ dz.

Помножимо (у смислу спољашњег производа) са леве стране Амперов закон (четвртуМаксвелову jедначину) са E , а Фарадеjев закон (трећу Максвелову jедначину) са левестране са H.Добиjамо

−E ∧ dH = −E ∧ (∂D∂t

+ J )

3. Maksvelove jednaqine 13

dE ∧ H = −∂B∂t∧H.

Сабирањем ове две jедначине, њиховим сређивањем и коришћењем друге особинеспољашњег извода добиjа се

d(E ∧ H) = − ∂

∂t(1

2E ∧ D +

1

2H ∧ B)− E ∧ J .

Након увођења сменe S = E ∧ H добиjени израз се може записати као

dS = −∂We

∂t− Wm

∂t− E ∧ J .

Величина S одговара диференциjалноj Поинтиговоj форми. Интеграљењем последњеjедначине по запремини V добиjамо интегрални облик Поинтигове теореме∮

∂VS = − d

dt

∫VWe −

d

dt

∫VWm −

∫VE ∧ J .

Овим смо издискутовали сву потребну тематику пре анализе конкретног пред-мета овог рада. До сада jе било речи, сем ако то ниjе било директно наглашено, отродимензионалном случаjу. У наставку бавићемо се случаjевима у коjима димензиjапростора ниjе три. Посебно морамо обратити пажњу да анализираjући ситуациjе удругим димениjама ми не анализирамо случаjеве где се у систему из симетриjе можеу разматрању искључити jедна од оса, већ посамтрамо случаjеве где се целокупанфеномен, заjедно са свим изворима налази у тоj димензиjи. Дакле, ући ћемо у jеданкраjње неинтуитиван свет и потрудићемо се да откриjемо законе електромгнетизма уњему.

Од сада па надаље реч ће бити о поjавама из електромагнетизма у димензиjамаразличитим од три. Иако наизглед бескорисна анализа, због очигледног мањка при-мене, њом стичемо интуициjу о електромангнетизму генерално. Могућност потпуногразумевања електромагнетизма у jедноj или у две димензиjе свакако нам отвара мо-гућности у разумевање истог у три. Но, морамо видети у коликоj мери се концептелектромагнетизма мења са променом димензиjе простора. При будућим анализи-рањима ће се сматрати, ако другачиjе наглашено, да се ради о n-димензионалномпростору где се време посматра одвоjено од просторних координата. Такође, као штосе и до сада могло приметити, ако то ниjе другачиjе наглашено, постоjање магнетнихмонопола неће бити узимано у разматрање.

4

Електромагнетизам у различитимдимензиjама

4.1 Електромагнетизам у jедноj димензиjи

Почнимо са разматрањем електромагнетних поjава у jедноj димензиjи. Као штосмо већ напоменули, максимална димензиjа диференциjалне форме не може да пређедимензиjу простора, те у овом случаjу постоjе само 1-форме. Дакле, величина Q пред-ставља 1-форму и одговара наелектрисању по jединици дужине. Такође, у случаjуелектромагнетизма у jедноj димензиjи нема магнетног поља (ако искључимо претпо-ставку о магнетним монополима), што природно проистиче из чињенице да не постоjе2-форме B и D и 1-форма H. Но, иако D не постоjи као 2-форма, морамо имати везукоjа ће нам помоћи да повежемо електрично поље са наелектрисањима.

4.1.1 Електрично поље

И без удубљивања у било какву математику можемо стећи увид у поjаве и зако-нитости коjе важе у овом свету. Оваj свет би одговарао ситуациjи када би целокупнинаш тродимензионални простор сместили у уску цев. У оваквоj ситуациjи можеморећи да jе електрично поље константно, jер jе густина линиjа поља коjе потичу одjедног тачкастог наелектрисања константна за све тачке у протору. Како магнетнопоље не утиче на наелекрисања коjа се крећу дуж исте осе у овоj ситуациjи оно непостоjи. Сет jедначина коjи би описао посматрану ситуациjу jе

dE = 0

dD = Q

где D представља 0-форму. Из друге jедначине применом Стоксовог закона, где областM представља праву, а њену границу представљаjу њене краjње тачке добиjамо да jепоље тачкастог наелектрисања

E =q

2ε0.

14

4. Elektromagnetizam u razliqitim dimenzijama 15

Како нема магнетног поља нема ни зрачења, те брзина светлости не игра никаквуулогу у оваквом свету. Сила између два тачкаста наелектрисања jе очигледно F = q1q2

2ε0.

Jачина поља у тачки са координатом x jе E = q+−q−2ε0

, где jе q+ укупно наелектрисањекоjе има x координату већу него посматрана тачка, а q− укупно наелектрисање коjеима x координату мању него она, и оно jе независно од кретања наелектрисања (доклегод она не прелазе тачку са координатом x).

4.2 Електромагнетизам у две димензиjе

Да бисмо могли приступити анализи проблема морамо развити прво спољашњуанлизу у R2. У две димензиjе 0-форма представља тачку и њен основни облик jе 1, 1-форма представља линиjу и основни облици су dx и dy, а 2-форма представља површса основним обликом dx ∧ dy. Оператор спољашњег извода jе

d =

[∂

∂xdx+

∂

∂ydy

]∧

4.2.1 Хоџов оператор дуалности у две димензиjе

Начин на коjи оператор звезде делуjе на 0-форму се може наслутити на основутродимензионалног случаjа. Он шаље 0-форму у 2-форму тако да jе

?21 = dx ∧ dy

?2dx ∧ dy = 1,

где двоjка у индексу означава да се ради о оператору у две димензиjе. При деловањуовог оператора на 1-форму морамо кренути од дефинициjе Хоџовог оператора дуал-ности. Како jе димензиjа нашег простора n = 2, видимо да оператор звезде сликапростор 1-форми у 1-форме. Посматраjмо 1-форму α = dx. Морамо имати да важи

dx ∧ β = 〈?2dx, β〉dx ∧ dy,

где jе β произвољна 1-форма. У Еуклидскоj метрици имамo да jе 〈dx,dx〉 = 〈dy,dy〉 =1 и 〈dx,dy〉 = 0. Ако у последњоj jедначини заменимо β = dx имамо

dx ∧ dx = 0 = 〈?2dx,dx〉dx ∧ dy,

што показуjе да ?2dx не може имати dx компоненту, jер jе вредност унутрашњегпроизвода 〈?2dx,dx〉 нула, док би вредност унутрашњег производа dx са неком ди-ференциjалном формом коjа садржи dx била ненулта. Као последицу овога морамоимати да важи ?2dx = ady, где jе a нека константа. Узимаjући да jе β = dy имамо даjе

dx ∧ dy = a〈dy,dy〉dx ∧ dy,

одакле следи да jе a = 1. Сличним поступком добиjмо да важи да jе ?2dy = −dx. Запроизвољну 1-форму α важи ?2?2α = −α. У две димензиjе 1-форма се може графичкипредставити као фамилиjа линиjа. Из претходних jедначина видимо да оваj операторпресликава 1-форму у 1-форму нормалну на њу.


4.2.2 Максвелове jедначине у две димензиjе

Максвелове jедначине у две димензиjе су веома сличне онима у три димензиjе,jедина разлика jе у томе што jе Хоџов оператор дуалности дефинисан на малопрепоменут начин. Сет ових jедначина jе следећи:

dD = Q

dB = 0

dE = −∂B∂t

dH = J +∂D∂t

са додатним jедначинама:D = ε0 ?2 E

B = µ0 ?2 H.

Максвелове jедначине у две димензиjе се могу извести из аналогних у три димензиjерасписавши jедначине по компонентама, те онда формирањем унутрашњег производаса z да би се уклонио dz диференциjал и применом дефинициjе спољашњег извода удве димензиjе и Хоџовог оператора дуалности.

При раду у две димензиjе интезитет електричног поља E остаjе 1-форма, jер морапредстављати потенциjално поље за наелектрисање коjе jе слободно кретати се у xyравни. H и B представљаjу скаларна поља коjа одговараjу z компоненти тродимензи-оналне величине. Из Фарадеjевог закона, пошто jе E 1-форма,следи да jе B 2-форма,а онда jе самим тим због везе са B, H jе 0-форма.

Посматраjмо густину електричног флукса. Из деjства Хоџовог оператора дуално-сти можемо закључити да су линиjе 1-форме D нормалне на линиjе 1-форме E . Ако суDx и Dy компоненте 2-форме у три димензиjе онда jе D = −Dydx + Dzdy. Зато штоjе физички смер флукса дуж линиjа 1-форме D а не нормалан на њу, D jе такозванаиспреплетена форма (eng. Twisted forms). 1-форма J jе ткође испреплетана форма ињене компоненте су повезане са 3D случаjем на исти начин као и код D.

Иако jе у тродимензионалном случаjу могућа анализа проблема без увода поjмаtwisted form, форме овог типа постоjе и у 3D случаjу. 3-форма Q jе пример twisted formкоjа jе ориjентисана помоћу знака наелектрисања. Уз њу, twisted form представљаjуи H,D и J .

Анализираjмо сада проблем силе у 2D електромагнетизму. При овоj анализи jављаjусе два круциjална проблема. Jедан jе одређивање електричног и магнетног поља унекоj тачки простора, а други jе одређивање зависности силе од ових вектора. Пр-ви проблем решавамо аналогно случаjу у 1D. Коришћењем Максвелових jедначинаможемо добити jедначину електричног поља тачкастог наелектрисања. Користећичињеницу да jе dD = Q коришћењем Стоксове теореме добиjамо да jе E(r) = q

2rπε0r.

Сила коjа потиче од електричног поља ће очигледно бити F = qE. Но, као што jевећ напоменуто, магнетно поље у 2D jе скаларно поље и уобичаjна тродимензионална


дефинициjа силе преко векторског производа у 2D пада у воду из више разлога. Уовом случаjу, Лоренцова сила коjа делуjе на наелектрисање q коjе се креће брзиномv у електричном пољу E и магнетном пољу B има облик

F = q(E +

v⊥cB).

4.2.3 Проток енергиjе у 2D

У дводимензионалном случjу имамо постоjање промењивог и електричног и маг-нетног поља, те самим тим имамо могућност постоjања електромагнетног зрачења.Поинтонгов вектор у 2D представљен jе 1-формом S = E ∧ H. Као и код D пра-вац простирања jе дуж линиjа 1-форме S. Дакле, математички, Поинтингова формаjе twisted form. Зато што jе H испреплетена форма, она проузрукуjе да и E ∧ H будеtwisted form. Jасно jе да jе овим постигнуто да jе физичка орjентациjа флукса енергиjедуж линиjа 1-форме уместо нормална на њих, као што jе случаj при неиспреплетанимформама. Због ове разлике у формулациjи 2D Поинтигове теореме интеграл векторакоjи jе дуалан S ниjе уобичаjан интеграл по контури са диференциjалним тангентнимвектором, већ укључуjе дифернциjални вектор коjи jе нормалан на путању. Са другестране , у случаjу да се изрзи преко диференциjалних форми∮

∂PS = −1

2

d

dt

∫AH ∧ B − 1

2

d

dt

∫AE ∧ D −

∫AE ∧ J ,

где jе P контура коjа ограничава површину .

4.2.4 Таласна jеднчина

Као што смо видели у претеходном одељку, проток енергиjе у две димензиjе jемогућ (присетимо се да то ниjе био случаj у jедноj димензиjи). Стога, покушаjмодобити таласну jедначину електричног поља. Оваква jедначина описуjе простирањеелектричног поља и извешћемо jе из Максвелових jедначина. За почетак, делуjмо наобе стране Фарадеевог закона оператором d?2 добиjамо

d ?2 dE = − ∂

∂td ?2 B = −µ0

∂

∂tdH.

Коришћењем Амперовог закона изражавамо H, и заменом у претходну jедначинудобиjамо

d ?2 dE = −µ0∂2

∂2tD − µ0

∂

∂tJ .

Применом Хоџовог оператора дуалности на обе стране jеднакости и коришћењем везеизмеђу D и E (?2D = −ε0E)добиjамо

?2d ?2 dE =1

c2∂2E∂t2− µ0 ?2

∂J∂t

.


Оператор Лаплас-де Рама дефинисан jе на следећи начин:

∆α = (−1)n(p+1)[(−1)n ?2 d ?2 d + d ?2 d?2]α.

Заменом n = 2 добиjамо да су сви степени парни, те важи да jе

∆α = [?2d ?2 d + d ?2 d?2]α.

Рачунањем компонената овог оператора (посматравши његово деjство на произвољ-ну форму чиjи jе степен мањи од три и применом дефинициjе спољашњег изводаи Хоџовог оператора дуалности) добиjамо да оваj оператор делуjе на добро познатначин

∆ =∂2

∂x2+

∂2

∂y2

на компоненте диференциjалне форме. Коришћењем оператора Лаплас-де Рама, ве-зе 1√

µ0ε0= c и под претпоставком да jе густина наелектрисања 0 добиjамо таласну

jедначину [∆− 1

c2∂2

∂t2

]E = −µ0 ?2

∂J∂t

.

Добиjена таласна jедначина веома подсећа на таласну jедначину у 3D случаjу. Наиме,таласна jедначина електричног поља у три димензиjе има леву страну jеднакостиисту, док десна страна у 3D случаjу има предзнак + уместо −.

4.2.5 Потенциjал и кретање у дводимензионалноj електродинамици

Са датим обиком електричног поља интеграциjом можемо добити изглед електро-статичке потенциjалне енергиjе наелектрисања у том пољу. Она jеW = − q1q2

2πε0ln(r)+C.

Размотримо сада кретање наелектрисане честице наелектрисања q1 у пољу тачкастогнаелектрисања −q2 (супротног знака) коjе мируjе (при овоj анализи занемарићемоефекте зрачења). Ако се честица креће по кружноj путањи изjедначавањем њеног цен-трипеталног убрзања са силом интеракциjе са статичним тачкстим наелектрисањемдобиjамо

mv2

R=

q1q22πε0R

⇒ mv2 =q1q22πε0

Овим увиђамо да jе услов за кретање по кружници независтан од радиjуса исте. Раз-мотримо сада ситуациjу у коjоj се наелектрисање q1 креће не по кружници него понекоj другоj путањи. Приметимо наjпре да jе облик електростатичког потенциjалатакав да jе бесконачан за r → +∞. Одавде следи да jе кретаље наелектрисања у бес-коначност немогуће у две димензиjе. За овакво кретање важи закон одржања енергиjе(губици услед зрачења се занемаруjу) и закон одржања момента импулса (сила еле-креостатичке интеракциjе jе централна). Ова два закона записана преко jедначина уполарним координатама су:

m

2(r2 + r2ϕ2) +W (r) = E = const


mr2ϕ = L = const.

Изражаваjући ϕ из друге jедначине и заменом у прву добиjамо

mr2

2+

L2

2mr2+ V (r) = E.

Одавде, изражавањем r, добиjамо

r =

√2E

m− 2V (r)

m− L2

m2r2.

Заменом израза за потенциjал при чему узимамо да jе константа C = 0, добиjамо

r =1

r

√2E

mr2 − q1q2 ln(r)

πε0mr2 − L2

m2=

1

r

√αr2 − β ln(r)r2 − γ,

где су α, β и γ > 0 одговараjуће смене. Анализираjмо функциjу под кореном. Да бипостоjала орбита у коjоj се вредност r креће између неке две вредности потребно jеда она има две реалне позитивне нуле такве да jе вредност те функциjе у тачкамаизмеђу њих позитивна. То значи да jе потребно да графици функциjа y = αr2 −β ln(r)r2 и y = γ имаjу две пресечне тачке, при чему jе у области између те две тачкезадовољен услов да jе график прве функциjе изнад графика друге. Цртањем графикаових двеjу функциjа за различите вредности параметра α и β примећиjемо да jе тослучаj, односто да су у 2D електростатици дозвољене орбите између две вредностирастоjања r. Но, испоставља се да такве орбите нису затворене.

Слика 4.1: Графици функциjа y = αr2 − β ln(r)r2 и y = γ у случаjевима када jе а) α > 0 иб) α < 0

4.2.6 Квантни Холов ефекат

Холов ефекат jе поjава када у материjалу чврстог агрегатног стања кроз коjи jепропуштена струjа и коjи jе постављен у спољашње попречно магнетно поље, долазидо поjаве попречног напона. Вредност овог напона лако се може добити коришћењемчињенице да се наелектрисања не крећу у попречном смеру, то jест да jе Лоренцова


сила коjа потиче од магнетног поља изjедначена са електричном силом коjа се jављаусред Холовог напона. Холов напон одавде износи

U =jlB

ne=

B

nedI = RHI,

где jе j густина струjе, I jачина струjе, l димензиjа проводника у правцу поjаве Холо-вог напона,d његова димнзиjа у правцу нормалном на правац простирања струjе и направац поjаве Холовог напона, B jачина вектора магнетне индукциjе, n концентраци-jа електрона у проводнику а e наелектрисање електрона. Холов ефекат jе поjава коjасе jавља у 3D свету и откривена jе 1879.

Иако jе дискусиjа око 2D света вођена до сада изгледала као чисто теориjска,без практичне примене, показало се као нетачним то тврдити. 1960-их су научнициуспели формирати дводимензионални електронски гас. Слоjеви овог гаса формиранису у одређеним врстама транзистора (Мосфет). Слоj електрона jе свега 50nm танак,док његова друга димензиjа може ићи до реда величине милиметра. Ово jе у много-ме допринело открићу квантног Холовог ефекта (1980. година). При успостављањуКХЕ температура се снижава до jако ниских температура (између 25mK и 500mK),амагнетно поље коjе се укључуjе jе jако велико (између 5T и 15T ). Тада проводниелектрони због (квантномеханичког) процепа екстинкциjе не могу да се крећу дужz осе, те су везани за xy раван. Овим jе постигнут скоро идеалан дводимензионалниелектронски гас. Холова проводност (= 1/отпорност) у овом случаjу jе целоброjниумножак елементарне проводности e2

h .

4.3 Електромагнетизам у четири димензиjе при чему севреме не третира одвоjено од просторних координата

Следећа анлиза покриће Максвелове jедначине при чему време третирамо не каодо сада одвоjену димензиjу, већ као компоненту четворовектора у простору Минков-ског. У четвородимензионалном простору Минковског Максвелове jедначине попри-маjу веома компактан облик. Да бисмо утврдили њихов облик почнимо од разматрањаинтегралне верзиjе Фарадеjевог закона у три димензиjе. Оваj закон jе

d

dt

∫AB = −

∫∂AE .

Интеграљењем ове jедначине по времену у временсном интервалу T = [t1, t2], и по-сматрањем времена као четврте координане у додатку са три просторне добиjамо∫

AB∣∣∣∣t2

−∫AB∣∣∣∣t1

+

∫∂A×T

E ∧ dt = 0.

Домен интеграциjе у четвородимензионалном простору коjи jе формиран помоћу x, y,z и t jе дводимензионална површина тродимензионалног цилиндра генерисана транс-лирањем површи A дуж временске осе од координате t1 до координате t2. У првом и


другом члану последње jедначине интеграциjа се врши по базама цилиндра, док секод трећег члана интеграциjа врши по омотачу цилиндра.

Уведимо сада Фарадеjеву 2-форму F у четвородимензионалном простору дефини-сану на следећи начин

F = Exdx ∧ dt+ Eydy ∧ dt+ Ezdz ∧ dt+Bxdy ∧ dz +Bydz ∧ dx+Bzdx ∧ dy.

За ову форму важи ∫∂VF = 0,

где jе површина цилиндра ∂V одређена са ∂A× t1∪∂A× t2∪A× [t1, t2]. Дакле, флуксФарадеjеве форме увек нула. При интеграљењу исте чланови коjи садрже електричнопоље доприносе интегралу по омотачу цилиндра, док чланови коjе садрже магнетнодоприносе интегралу по базама. Ако за простор интеграциjе изаберемо површину за-премине коjа се креће дуж временске осе добићемо Фарадеjев закон. Ако, са другестране, изаберемо запремину коjа се простире кроз све три просторне али не и крозвременку координату добићемо да jе флукс магнетног поља нула. На сличан начинможемо конструисати Максвелову форму

G = Dxdy ∧ dz +Dydz ∧ dx+Dzdx ∧ dy −Hxdx ∧ dt−Hydy ∧ dt−Hzdz ∧ dt.

Но, пре него што наставимо са формулациjом четвородимензионалног електромагне-тизма у простору Минковског морамо се позабавити са jош пар математичких поjмо-ва. Наjпре, простор Минковског нема Еуклидску метрику. У овом простору растоjањеизмеђу две 1-форме A и B je

〈A,B〉 = ?4(A ∧ ?4B) = AxBx +AyBy +AzBz −AtBtc2

,

где jе c брзина простирања електромагнетних таласа у вакууму. Са овом метрикомможемо лако увидети на коjи начин Хоџов оператор дуалности делуjе на форме учетвородимензионалном простору. Тако, деловање овог оператора на 0-форму описаноjе jедначином ?41 = dx ∧ dy ∧ dz ∧ cdt, на 1-форму ?4dx = −cdt ∧ dy ∧ dz, на 2-форму ?4(dx ∧ dy) = −dz ∧ cdt, на 3-форму ?4(dx ∧ dy ∧ dz) = −cdt и на 4-форму?4(dx ∧ dy ∧ dz ∧ cdt) = −1. Такође, битно jе напоменути и следећа своjства Хоџовогоператора дуалности :?4?4 = 1, ?4 ?4 ?4?4 = 1, ?−14 = ?4 ?4 ?4. Oператор спољашњегизвода jе

d =

[∂

∂xdx+

∂

∂ydy +

∂

∂zdz +

∂

∂tdt

]∧ .

Применом Стоксове теореме на Фарадеjеву форму имамо да важи

dF = 0.

У четворо димензионалном простору важи релациjа G =√

ε0µ0?4F , при чему величина√

ε0µ0

нема никаквог физичког смисла (овде се налази само због изабраног систеемаjединица).


Поенкареова лема нам говори да ако jе спољашњи извод неке p-форме 0, ондасе у simply conected space може представити као спољашњи извод неке (p+1)-форме.Користећи ово, имамо

F = dA,

где jе A = Axdx + Aydy + Azdz + cΦdt, где су Ax, Ay, Az компоненте магнетногвекторског потенциjала,а Φ представља скаларни електрични потенциjал. Уведимодаље диференциjалну форму

J4 = −Jxdy ∧ dz ∧ dt− Jydz ∧ dx ∧ dt− Jzdx ∧ dy ∧ dt+ dx ∧ dy ∧ dz,

где су Jx, Jy, Jz компоненте густина струjе, а ρ jе густина наелектрисања. Четворо-димензионална вариjанта Амперовог закона гласи

dG = J4.

Коришћењем претходних релациjа добиjамо√ε0µ0

d ?4 dA = J4,

одакле видимо да у четвородимензионалном простору J4 извор Максвелових форми.Ако уведемо оператор

_d на следећи начин

_d = (−1)k ?−14 d?4, где jе k степен фомре

на коjу оператор делуjе, можемо увести таласни оператор као

♦ = d_d +

_dd.

Са слободом избора геjџа за A у коjем радимо узећемо да jе d ?4 A = 0 (Лоренцовгеjџ). Сада можемо записати таласну jедначину као

♦A =

√ε0µ0

?4 J4.

У четвородимензионалном просторвремену са координатама x, y, z и t имамо да опе-ратор ♦ испуњава услов

♦f =1

c2∂2f

∂t2− ∂2f

∂x2− ∂2f

∂y2− ∂2f

∂z2.

4.4 Уопштење на n+ 1 просторвреме

Приметили смо jош раниjе да jедан те исти сет Максвелових jедначина описуjуелектромагнетне поjаве у различитим димензиjама. Стога, таj сет можемо употребитиу описивању генералног случаjа када се ради о n-димензионалном простору. У n-димензионалноj електродинамици постоjи и електрично и магнетно поље, она могубити промењива у времену, те стога постоjи ефекат електромагнетног зрачења.


Процес налажења jедначине поља тачкастог наелектрисања на растоjању r од његасличан jе истом поступку у две или у jедноj димензиjи. Добиjени облик зависностиjачине поља од растоjања jе

E(r) =q

Snε0rn−1,

где jе Sn фактор коjи зависи од површине n-димензионе сфере. При томе важи следећарелациjа:

Sn =nπ

n2

Γ(n2 + 1),

при чему jе Γ(x) гама функциjа дефинисана рекурентном везом Γ(t) = Γ(t−1) ·(t−1),а важи да jе Γ(12) =

√π и Γ(1) = 1. Примећуjемо да важи S1 = 2, S2 = 2π, S3 = 4π,

S4 = 2π2...

4.4.1 Потенциjал и кретање у n-димензионалноj електродинамици

Сагласно формули за електрично поље тачкастог наелектрисања имамо да jе енер-гиjа електростатичке интеракциjе два наелектрисањаW = q1q2

Snε0rn−2(n−2) . Посматраjмосада ситуациjу у коjоj се тачкасто наелектрисање q1 може слободно кретати у пољустатичног тачкастог наелектрисања супротног знака −q2. Ако занемаримо ефектезрачења, имамо да се закон одржања енергиjе може записати у истом облику као у2D

m

2(r2 + r2ϕ2) +W (r) = E = const.

Уз одговараjуће смене можемо записати

mr2

2+

L2

2mr2+ V (r) = E =

mr2

2+

L2

2mr2− C2

rn−2.

Приметно jе да у случаjу n ≥ 3 електростатичка енергиjа у +∞ кончна (са нашимизбором константи 0), те се наелектрисање може бесконачно удаљити од тачкастог из-вора поља. Надаље можемо поступати аналогно дводимензионалном случаjу, тражећиjедначину за r. Тражена jедначина

r =1

r

√Ar2 +Br4−n − C2,

са одговараjућим сменама. Цртањем графика као у делу 4.2.5 добиjамо да за n =3 постоjи стабилна орбита, то jест орбита у коjоj вредност r осцилуjе између двевредности rmin и rmax, док за n ≥ 4 не постоjи таква орбита. Но, до датог аргументаможемо доћи и на мало другачиjи начин, пратећи рад коjи jе написао немчки научникW.Buchel. Он jе своjе извођење урадио на примеру гравитационог потенциjала у nдимензиjа, но како се облик гравитационог потенциjала поклапа са електростатичкимпотенциjалом можемо применити цео формализам дат у овоj анализи ситуациjе на нашслучаj. Он jе узео апроксимациjу у коjоj jе члан енергиjе коjи садржи r занемарљивомали у односу на остатак енергиjе. Ово jе оправдана апроксимациjа у случаjу када


jе растоjање од извора поља до наелектрисања у покрету jако велико. Дакле, укупнаенергиjа коjа се одржава се може написати као

E =L2

2mr2− C2

rn−2.

Ако се r креће између r1 и r2 iz З.О.Е следи:

L2

2mr21− C2

rn−21

=L2

2mr22− C2

rn−22

.

Центрипетална сила износи Fcp = L2

mr3. Приметимо сада да за ексцентричну орбиту

вредност центрипеталне силе у перихелу мора бити већа од силе електростатичкеинтеракциjе, иначе би се наелектрисања сударила, а вредност центрипеталне силе уафелу мора бити мања од силе електростатичке интеракциjе, иначе би наелектрисањеотишло у бесконачност. Узимаjући ово у обзир долазимо до неjеднакости:( L2

mr2min

)[1

2− (n− 2)−1

]<( L2

mr2max

)[1

2− (n− 2)−1

].

Како jе rmin < rmax, добиjамо да jе претходни услов ниjе испуњен за n ≥ 4. Дакле, уелектромагнетизму са n ≥ 4 нема стабилних орбита. Оваj аргумент примењен на гра-витациони потенциjал служио jе многим ауторима као jош jедан доказ да jе димензиjанашег света мања од 4. Са друге стране да наш свет ниjе дводимензионалан коришћенjе биолошко-тополошки аргумент. Вишећелиjски организам jе, као што и само име ка-же, саграђен од већег броjа ћелиjа и те ћелиjе су нервним влакнима повезане. Када бинаш свет био дводимезионалан та влакна би се међуобно укрштала као што се улицеукрштаjу у градовима. Као последица тога, нервни импулси би међусобно интерфери-рали. Стога, постоjање високо развиjених организма са неинтеферираjучим нервимамогуће jе у световима са димензиjом већом од два.

5

Закључак

У овом раду пре свега смо показали предност коришћења диференциjалних фор-ми у решавању проблема из електромагнетизма. У односу на векторску нотациjу,Максвелове jедначине у диференциjалном облику пружаjу високу интуитивност иомогућаваjу визуелизациjу оператора ротора, што jе много теже у векторскоj нота-циjи. Такође, Максвелове jедначине записане у диференциjабилном облику остаjи ин-вариjантне при промени димензиjа простора, jедино се мењаjу степени форми коjефигуришу у њима и деjство Хоџовог оператора дуалности. Анализирали смо проблемдводимензионалног света и закључили да дата анализа ниjе само узбудљива за наскоjи њу анализирамо, већ се закључци коjе повлачимо из ње користе у неким другимобластима. Такође смо прошли кроз површну анализу електричног поља у n димензиjаи закључили да за n > 3 не постоjе стабилне орбите. Запловили смо и филозофскимводама разматраjући проблем димензионалности света у коjем живимо.

Поставља се питање да ли jе корисно разматрати jеднодимензионални и дводи-мензионални електромагнетизам пре разматрања електромагнетизма у три димезиjе.Такво разматрање jе се очигледно показало корисним у геометриjи, наjпре смо ради-ли са геометриjским обjектима у равни а тек касниjе прешли на геометриjске обjектеу простору. Међутим, разлика у електромагнетним поjавама у jедноj димензиjи и уистим у три димензиjе сувише jе велика да би помогла разумевању ситуациjе у тридимензиjе. Са друге стране, разлика у дводимензионалном електромагнетизму и утродимензионалном jе сувише мала да би довољно олакшала анализу 3D света.

Било како било, анализа физичких феномена, били они од суштинске важностиили маргинални увек представља изузетно задовољство и уживање. Самим тим, фи-зика представља наjлепшу природну науку коjом се човек икада бавио и коjом ће сеикада бавити.

25

6

Захвалност

Овим путем бих се желео захвалити наjпре свом ментору Браниславу Цветковићуна своj помоћи при изради овог матурског рада. Онда бих желео да се захвалим свимпрофесорима коjи су ми икада предавали математику и физику, а пре свега своjоjразредноj Наташи Чалуковић коjа ми jе предавала у Математичкоj гимназиjи и коjами jе у наjвећоj мери усадила љубав према физици и коjа ме jе уверила да jе физикапрелепа.

26

Литература

[1] M. Damnjanovic, Hilbertovi prostori i grupe Fizicki fakultet, Beograd (2015).

[2] Ehrenfest, P. (1917) In What Way Does It Become Manifest in the FundamentalLaws of Physics that Space Has Three Dimensions? Proceedings of the AmsterdamAcademy 20, 200-209.

[3] K.T. McDonald, Electrodynamics in 1 and 2 Spatial Dimensions (September 23, 2014;updated October 16, 2014).

[4] http://ethw.org/Maxwell%27s Equations.

[5] C. Callender, Answers in search of a question: ‘proofs’ of the tri-dimensionality ofspace, Studies Hist. Phil. Mod. Phys. 36, 113 (2005).

[6] Two, Three and Four-Dimensional Electromagnetics Using Diferential Forms,KarlF. WARNICK, Peter RUSSER,Department of Electrical and Computer Engineering,Brigham Young University.

[7] Maxwell’s Equations in Terms of Differential Forms, Solomon Akaraka Owerre,AIMS,20 May 2010.

[8] Differential Forms and Electromagnetic Field Theory,Karl F. Warnick and PeterRusser.

[8] Hehl, F.W. and Obukhov, Yu.N.: Foundations of Classical Electrodynamics: Charge,Flux, and Metric (Birkhauser, Boston, 2003).

[9] Why is Space Three-Dimensional? Based on W. Buchel: “Warum hat der Raum dreiDimensionen?,” Physikalische Blatter 19, 12, pp. 547–549 (December 1963), Ira M.Freeman, American Journal of Physics 37, 1222 (1969).

[10] Differential Topology, Guillemin, Victor, Pollack, Alan,Prentice-Hall Inc. (1974).

27

maturski radmatematiqka gimnazija maturski rad-iz predmeta fizike-elektromagnetizam u n dimenzija sa...

Documents