mean estimators in two phase samplingyunus.hacettepe.edu.tr/~hcingi/nilgun_ozgul_tez.pdf ·...

İKİ SAFHALI ÖRNEKLEME YÖNTEMİNDE ORTALAMA TAHMİN EDİCİLERİ

MEAN ESTIMATORS IN TWO PHASE SAMPLING

NİLGÜN ÖZGÜL

Hacettepe Üniversitesi

Lisansüstü Eğitim-Öğretim ve Sınav Yönetmeliğinin

İSTATİSTİK Anabilim Dalı İçin Öngördüğü

YÜKSEK LİSANS TEZİ

olarak hazırlanmıştır.

2007

Fen Bilimleri Enstitüsü Müdürlüğü'ne,

Bu çalışma jürimiz tarafından İSTATİSTİK ANABİLİM DALI 'nda YÜKSEK LİSANS TEZİ olarak kabul edilmiştir.

Başkan :…..................................................

Yrd. Doç. Dr. Yaprak Arzu ÖZDEMİR

Üye (Danışman) :.….................................................

Prof. Dr. Hülya ÇINGI

Üye :…..................................................

Doç. Dr. Cem KADILAR

ONAY

Bu tez ...../...../..... tarihinde Enstitü Yönetim Kurulunca kabul edilmiştir.

Prof.Dr. Erdem YAZGAN FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MÜDÜRÜ

i

İKİ SAFHALI ÖRNEKLEME YÖNTEMİNDE ORTALAMA TAHMİN EDİCİLERİ

Nilgün Özgül ÖZ

Bu çalışmada, iki safhalı örnekleme yöntemi tanıtılmış ve bu örnekleme yönteminde

kitle ortalaması tahmini için önerilen çeşitli oransal ve regresyon tahmin ediciler

incelenmiştir. Aynı zamanda bu tahmin edicilerin yan ve hata kareler ortalamaları

elde edilmiştir. Önerilen tahmin ediciler birbirleriyle karşılaştırılmış ve hangi koşullar

altında hangi tahmin edicilerin etkin oldukları araştırılmıştır.

Sayısal örnekte, Milli Eğitim Bakanlığı verileri kullanılmıştır. 2006 yılında ÖSS’ye göre

yerleşen öğrenci sayısı ilgilenilen değişken (y), ortaöğretimdeki okul sayısı ilk

yardımcı değişken (x), ÖSS hazırlık dersane sayısı ikinci yardımcı değişken (z)

olarak alınmıştır. Önerilen tahmin ediciler için yan ve hata kareler ortalaması

hesaplanmıştır.

Çalışmanın son bölümünde ise, sayısal örneklerde elde edilen sonuçlara bağlı olarak

tahmin edicilerin etkinlikleri ile ilgili tartışma ve yorumlar yapılmıştır.

ANAHTAR KELİMELER: İki safhalı örnekleme yöntemi , ortalama, oransal tahmin

edici, regresyon tahmin edicisi, yardımcı bilgi, etkinlik, yan, hata kareler ortalaması.

Danışman: Prof.Dr.Hülya Çıngı, Hacettepe Üniversitesi, İstatistik Bölümü.

ii

MEAN ESTIMATORS IN TWO PHASE SAMPLING

Nilgün Özgül ABSTRACT In this study, two phase sampling is introduced and various mean estimators are

studied. Also bias and mean square error of these estimators are obtained.

Estimators are compared with each other and the efficient conditions are investigated

for these estimators.

In numerical example, the data, which are taken from Ministry of National Education,

are used. y study variable is the number of students who achieved to enter the

university by OSS exam in 2006, x auxiliary variable is the number of high schools

and z auxiliary variable is the number of preparation courses for OSS exam. Bias and

mean square error are calculated for these estimators.

In the last section of the study, discussions and interpretations are given related to

mean square error and efficiencies of the estimators based on the results of the

numerical example.

KEY WORDS: Two phase sampling, mean, ratio estimator, regression estimator,

auxiliary information, efficiency, bias, mean square error.

Advisor: Prof. Dr. Hulya Cıngı, Hacettepe University, Department of Statistics

iii

TEŞEKKÜR Tez çalışmam süresince bilgisini, desteğini, hoşgörüsünü benden esirgemeyen ve

bana tezin her aşamasında görüşleriyle ve eleştirileriyle yol gösteren değerli

danışmanım Sayın Prof. Dr. Hülya ÇINGI’ya, katkılarından dolayı Sayın Doç. Dr.

Cem KADILAR’a, şefkati ve desteğiyle her an yanımda olan Sayın Öğr. Gr. Dr. Serpil

AKTAŞ’a, yardımlarını esirgemeyen Uzman Kemal BİRİNCİ’ye, manevi desteğini

esirgemeyen çalışma arkadaşlarıma, her zaman yanımda olarak bana destek olan

AİLEM’e içtenlikle teşekkür ederim.

iv

İÇİNDEKİLER DİZİNİ Sayfa

ÖZ……………………………………………………………………………………………i

ABSTRACT………………………………………………………………………………...ii

TEŞEKKÜR..………………………………………………………………………………iii

İÇİNDEKİLER DİZİNİ…………………………………………………………………….iv

ÇİZELGELER DİZİNİ...............................................................................................ix

SİMGELER VE KISALTMALAR DİZİNİ……………………………………………..….x

BİRİNCİ BÖLÜM 1.GİRİŞ…………………………………………………………………………….1 İKİNCİ BÖLÜM 2.GENEL BİLGİLER………………………………….…………………….…….3

2.1. Yöntemin Tanımı………………………………………………………….....3

2.2. Bir Örneklemden Çeşitli Tahmin Ediciler………………………………….7

2.2.1.Basit tahmin………………………………………………………………...7

2.2.2.Oransal tahmin.....................................................................................8

2.2.3. Doğrusal regresyon tahmini……...…….……………………………….10

2.3. Tahmin Edicinin İstenen Özellikleri…………..…………………………..11

2.3.1 Tanım.................................................................................................11

2.3.2. Yansızlık……………….………………………………………………....14

2.3.3. Etkinlik………………………………………………………………........14

ÜÇÜNCÜ BÖLÜM

3. İKİ SAFHALI ÖRNEKLEME YÖNTEMİNDE ORANSALTAHMİNEDİCİLER………………………….………………….......16

3.1. Klasik Oransal Tahmin Edici………...…..……………………….…........16

v

3.2. Basit Oransal Tahmin Edici..................................................................16

3.3 Srivastava Tahmin Edicisi…......………………………….….……………22

3.4 Chand Tahmin Edicileri...…………………………………………………..26

3.4 1.Chand tahmin edicisi-1…………………………………………………..26

3.4 2.Chand tahmin edicisi-2………………………………………….…….…30

3.5.Kiregyera Oransal Tahmin Edicisi………..……..…………………..……33

3.6.Upadhyaya tahmin edicisi…...……………………….………….……...…37

3.7. Singh ve Upadhyaya Tahmin Edicileri…….…….....……………………40

3.7.1. Singh ve Upadhyaya tahmin edicisi-1………..……………………..…41

3.7.2. Singh ve Upadhyaya tahmin edicisi-2………..………………..………44

3.7.3. Singh ve Upadhyaya Tahmin Edicisi-3………………………………..47

3.7.4. Singh ve Upadhyaya tahmin edicisi-4…………………………………51

3.8. Singh Genelleştirilmiş Tahmin Edicisi…………………..….....………....53

3.9. Prasad, Singh ve Singh Tahmin Edicileri………………………………..55

3.9.1. Prasad, Singh ve Singh tahmin edicisi-1….…………………………..56

3.9.2. Prasad, Singh ve Singh tahmin edicisi-2……………………….……..61

3.9.3. Prasad, Singh ve Singh tahmin edicisi-3……………………………...65

3.10. Singh ve Espejo Tahmin Edicisi…….……….…………………..………71

DÖRDÜNCÜ BÖLÜM

4. ZİNCİRLEME ÖRNEKLEME YÖNTEMİNDE REGRESYON TAHMİN EDİCİLERİ…...………………………………………..…..………………..…...76

4.1.Klasik Regresyon Tahmin Edici…………………………………………..76

4.2. Mohanty Tahmin Edicileri……………………………………..…..………79

vi

4.2.1. Mohanty tahmin edicisi-1………………………………………………..79

4.2.2. Mohanty tahmin edicisi-2………………………………………………..82

4.3. Kiregyera Regresyon Tahmin Edicileri…………………..…………...….84

4.3.1. Kiregyera regresyon tahmin edicisi-1……………………..…...………85

4.3.2. Kiregyera regresyon tahmin edicisi-2……………………..…...………88

4.4.Roy Tahmin Edicisi……………………………………………..…………..90

BEŞİNCİ BÖLÜM

5. İKİ SAFHALI ÖRNEKLEME YÖNTEMİNDE TAHMİN EDİCİ AİLELERİ.........................…………………..…………....94

5.1. Singh, Singh ve Shukla Tahmin Edici Ailesi…………………………….94

5.2. Singh, Upadhyaya ve Chandra Tahmin Edici Ailesi……………………95

ALTINCI BÖLÜM

6.TAHMİN EDİCİLERİN KARŞILAŞTIRILMASI……………….............…..105

6.1. Oransal Tahmin Edicilerinin Karşılaştırılması…………...………….…105

6.1.1. Basit oransal tahmin edici ile Srivastava tahmin edicisinin karşılaştırılması.........................................................................................105

6.1.2.. Basit oransal tahmin edici ile Chand tahmin edicisi-1’in karşılaştırılması.........................................................................................106

6.1.3. Basit oransal tahmin edici ile Kiregyera oransal tahmin edicisinin karşılaştırılması……………………………………………………….………..106

6.1.4. Chand tahmin edicisi-1 ile Kiregyera oransal tahmin edicisinin karşılaştırılması………………………………………………………...………107

6.1.5. Upadhyaya tahmin edicisi ile Kiregyera oransal tahmin edicisinin karşılaştırılması…………………………...……………………………………107

6.1.6.Singh ve Upadhyaya tahmin edicisi-1 ile Singh ve Upadhyaya-tahmin edicisi-3’ün karşılaştırılması…………………………………………………..108

vii

6.1.7. Singh ve Upadhyaya tahmin edicisi-1 ile Singh ve Upadhyaya tahmin edicisi-4’ün karşılaştırılması……………………………………… ………….108

6.1.8. Singh ve Upadhyaya tahmin edicisi-3 ile Singh ve Upadhyaya tahmin edicisi-4’ün Karşılaştırılması…………………………………….……………109

6.1.9. Singh ve Upadhyaya tahmin edicisi-1 ile Singh genelleştirilmiş tahmin edicisi-1’in karşılaştırılması……………………………………………...……110

6.1.10. Singh ve Upadhyaya tahmin edicisi-3 ile Singh genelleştirilmiş tahmin edicisi-3’ün karşılaştırılması………………………………………….110

6.1.11. Singh genelleştirilmiş tahmin edicisi-1 ile Singh genelleştirilmiş tahmin edicisi-2’nin karşılaştırılması…………………………………………111

6.1.12. Singh genelleştirilmiş tahmin edicisi-2 ile Singh genelleştirilmiş tahmin edicisi-3’ün karşılaştırılması …………………………………...........112

6.1.13. Singh genelleştirilmiş tahmin edicisi-1 ile Singh genelleştirilmiş tahmin edicisi-3’ün karşılaştırılması ………………………………………...112

6.1.14. Kiregyera oransal tahmin edicisi ile Prasad, Singh ve Singh tahmin

edicisi-1’in karşılaştırılması………….………………………………………..113

6.1.15. Chand tahmin edicisi-1 ile Prasad, Singh ve Singh tahmin edicisi-

1’in karşılaştırılması……………………………………………………………114

6.1.16. Upadhyaya tahmin edicisi ile Prasad, Singh ve Singh tahmin edicisi-

1’in karşılaştırılması…………………………………………………………...114

6.1.17. Upadhyaya tahmin edicisi ile Prasad, Singh ve Singh tahmin edicisi

-2’nin karşılaştırılması…………………………………………………………115

6.1.18. Prasad, Singh ve Singh tahmin edicisi-1 ile Prasad, Singh ve Singh

tahminedicisi-2’nin karşılaştırılması………………………………………….115

6.1.19. Prasad, Singh ve Singh tahmin edicisi-2 ile Prasad, Singh ve Singh

tahmin edicisi-3’ün karşılaştırılması………………………………………….116

6.2. Regresyon Tahmin Edicilerinin Karşılaştırılması……………………...116

viii

6.2.1. İki safhalı klasik regresyon tahmin edicisi ile Mohanty tahmin edicisi-

1’in karşılaştırılması……………………………………………………………116

6.2.2. Mohanty tahmin edicisi-2 ile Kiregyera regresyon tahmin edicisi-1’in

karşılaştırılması………………………………………………………………...117

6.2.3. Kiregyera regresyon tahmin edicisi-1 ile Kiregyera regresyon tahmin

edicisi-2’nin karşılaştırılması…………………...……………………………..118

YEDİNCİ BÖLÜM

7.SAYISAL ÖRNEK...................................................................................119

7.1. Teorik Karşılaştırmaların Uygulamadaki Sonuçları…………..……….124

SEKİZİNCİ BÖLÜM 8. SONUÇ VE TARTIŞMA…………………………………….……………...133 KAYNAKLAR…………………………………………………………………...136

ix

ÇİZELGELER DİZİNİ

Sayfa

Çizelge.5.1. Tahmin Edici Ailesinde Elde Edilen Bazı Tahmin Ediciler………….100 Çizelge (7.1) 2006 Yılında ÖSS’ye Göre Yerleşen Öğrenci Sayısı Y,

Ortaöğretimdeki Okul Sayısı X, ÖSS Hazırlık Dersane Sayısı Z Değişkenlerine Ait

Kitle Bilgileri………………………………………...…………………………………..120

Çizelge (7.2) 2006 Yılında ÖSS’ye Göre Yerleşen Öğrenci Sayısı Y,

Ortaöğretimdeki Okul Sayısı X, ÖSS Hazırlık Dersane Sayısı Z Değişkenlerine Ait

Örneklem Bilgileri { ( )765n =′ ,(n=447) }………………………………...…………...121

Çizelge (7.3) Tahmin Edicilerin Tahmin, Yan ve Hata Kareler Ortalaması Değerleri

ve HKO Sıralaması { ( )765n =′ ,(n=447) }……………………….…………………..122

Çizelge(7.4) Ön ve Alt Örneklem Büyüklükleri………………...……………………130

Çizelge (7.5) Farklı Ön ve Alt Örneklem Büyüklükleri İçin Tahmin Edicilerin HKO

Değerleri………………………………………………………………………………...130

x

SİMGELER VE KISALTMALAR DİZİNİ B Kitle Regresyon Katsayısı

HKO Hata Kareler Ortalaması

TE Tahmin Edici

X X Değişkeni için Kitle Ortalaması Tahmini

Oy Oransal Tahmin Edici

Çy Çarpımsal Tahmin Edici

SOy İki Safhalı Oransal Tahmin Edici

SÇy İki Safhalı Çarpımsal Tahmin Edici

BOy Basit Oransal Tahmin Edici

sy Srivastava Tahmini Edicisi

1Cy Chand Tahmin Edicisi-1

2Cy Chand Tahmin Edicisi-2

Ky Kiregyera Oransal Tahmin Edicisi

Uy Upadhyaya Tahmin Edicisi

SDy Sisodia ve Dwivedi Tahmin Edicisi

*x Searl Tahmin Edicisi

1usy Upadhyaya ve Singh Tahmin Edicisi-1

2usy Upadhyaya ve Singh Tahmin Edicisi-2

1suy Singh ve Upadhyaya Tahmin Edicisi-1




( )sg

1y Singh Genelleştirilmiş Tahmin Edicisi-1 ( )

sg2y Singh Genelleştirilmiş Tahmin Edicisi-2 ( )

sg3y Singh Genelleştirilmiş Tahmin Edicisi-3

sgy Singh GenelleştirilmişTahmin Edicisi

PSSy Prasad, Singh ve Singh Tahmin Edicisi-1

xi

( )β,αPSSy Prasad, Singh ve Singh Tahmin Edicisi-2

( )γ,β,αPSSy Prasad, Singh ve Singh Tahmin Edicisi-3

zoçy Singh ve Espejo Tahmin Edicisi

SRy İki Safhalı Klasik Regresyon Tahmin Edicisi

1My Mohanty Tahmin Edicisi-1

2My Mohanty Tahmin Edicisi-2

1Ky Kiregyera Regresyon Tahmin Edicisi-1

2Ky Kiregyera Regresyon Tahmin Edicisi-2

Ry Roy Tahmin Edicisi

SSSy Singh, Singh ve Shukla Tahmin Edici Ailesi

t Singh, Upadhyaya ve Chandra Tahmin Edici Ailesi-1

1t Singh, Upadhyaya ve Chandra Tahmin Edici Ailesi-2

2t Singh, Upadhyaya ve Chandra Tahmin Edici Ailesi-3

1

BİRİNCİ BÖLÜM

1. GİRİŞ

İnsanların mantıkları yardımıyla bir karar vermek amacıyla kullandıkları yöntemlerden

biri örnekleme yöntemidir. Günümüzde, fizik, kimya, biyoloji gibi fen dallarında, çeşitli

mühendislik dallarında, tıp, ecza, diş gibi sağlık bilimleri ve sosyal bilimlerde yapılan

pek çok araştırmada; kamuoyu yoklamalarında ve pazarlama araştırmalarında,

örnekleme yönteminden yararlanılır (Çıngı, 1994).

Araştırma sonuçlarının geçerli, güvenilir ve kullanılabilir olması için verilerin toplandığı

kitlenin özelliği çok önemlidir. En doğru sonuç, aranan bilginin elde edileceği kitlenin

tümünden elde edilen sonuçtur. Ancak her zaman bu olanaklı değildir. Özellikle kitle

çok büyük olduğunda bunu yapmak son derece zordur. Bunun için araştırmacılar

kitlenin tümünü incelemek yerine belirli bir örneklem üzerinde çalışmak zorundadırlar.

Ancak bazı örneklemler kitleyi tümüyle temsil ederken bazı örneklemlerde bu temsil

yoktur. Örneğin bir damla kan vücuttaki bütün kanı temsil edebilir, ancak bir okuldan

seçilen 10 öğrenci tüm okulu temsil etmeyebilir. Bu nedenle kişilerin nasıl seçildiği çok

önemlidir.

Örnekleme süreci, örneklem çekimi ve tahmin olmak üzere iki kesime ayrılmıştır.

Araştırmalarda amaç, iyi bir örneklem ile yansız, tutarlı ve duyarlı tahminler

yapabilmektir. İyi bir örneklem, kitleye en uygun örnekleme yönteminin

belirlenmesinden sonra bu yönteme göre örneklem büyüklüğünün saptanmasıyla elde

edilebilir. Uygun örnekleme yönteminin belirlenmesi parametreye ilişkin örnekleme

varyansının en küçük yapılmasıyla mümkündür. Bu nedenle uygun örnekleme

yönteminin seçimi istatistikte önemli bir yer tutar (Çıngı, 1994).

2

Bu tez çalışmasında amaç, iki safhalı örnekleme yönteminde yapılan çeşitli ortalama

tahmin edicilerini tanıtmak, bu tahmin edicilerin yanlarını ve hata kareler

ortalamalarını (HKO) incelemek, bu tahmin edicileri birbirleriyle karşılaştırmak ve

ayrıca sayısal örnekler vererek konunun daha iyi anlaşılmasını sağlamaktır.

3

İKİNCİ BÖLÜM

2. GENEL BİLGİLER

2.1. Yöntemin Tanımı

N birimden oluşan sonlu bir kitlede kitle ortalaması tahmin edilmek istensin. Kitle

ortalaması birçok tahmin yöntemiyle tahmin edilebilir. Basit tahmin bilinen en klasik

tahmin yöntemidir. İlgilenilen değişken Y ile yüksek ilişkili olan bir yardımcı değişkenin

kullanılmasıyla tahminler daha duyarlı olmaktadır. Yardımcı değişken bilgisi oransal,

regresyon ve çarpımsal tahmin edicilerde kullanılır.

Ancak bazı araştırmalarda, yardımcı değişkene ait kitle bilgisine ulaşılamayabilir. Bu

durumda iki safhalı örnekleme yöntemi kullanılır. Bu yöntem, yardımcı değişkene ait

kitle bilgilerinin elde edilmesinde, hem uygulama bakımdan hem de düşük maliyetli

olması bakımından tercih edilen bir örnekleme yöntemidir.

Bu örnekleme yönteminde amaç, ilk örneklem yardımıyla X yardımcı değişkenine ait

kitle bilgilerinin en etkin şekilde tahminini sağlamak ve ikinci safhada seçilen alt

örneklemde en etkin y tahminini elde etmektir. Bu bakımdan örneklemlerin seçim

yöntemi çok önemli rol oynamaktadır.

Bu örnekleme yöntemi iki safhada gerçekleşir. İlk safhada X değişkenine ait bilgilerin

tahmini için bir örneklem seçilir. Birinci safhada seçilen örnekleme ön örneklem

(primary-sample) denir ve s′ ile ifade edilir. Ön örneklem, N büyüklüğündeki kitleden

uygun bir örnekleme yöntemiyle yerine konularak ya da konulmadan seçilir ve n′

( )Nn <′ birimden oluşur. s′ örneklemi tamamen X değişkeninin bilgilerinin tahmininde

kullanılan örneklemdir. X değişkeninin bilgilerinin tahmininde ikinci bir yardımcı

değişken (Z) kullanılabilir. Ön örneklemde X ve Z değişkenleri gözlenir. Ön örneklem

ne kadar büyük olursa tahminlerin duyarlılığı ve doğruluğu o kadar çok artmaktadır.

Bu yüzden seçim aşamasında ön örneklem büyük tutulmaya çalışılır.

4

X değişkenine ait gerekli bilgilerin tahmin edilmesinden sonra ikinci safhaya geçilir.

İkinci safhada, Y değişkeninin kitle ortalaması, birinci safhada elde edilen X yardımcı

değişkeninin bilgileri yardımıyla tahmin edilir. İkinci safhada Y değişkeninin tahmini

için bir örneklem seçilir. İkinci safhada seçilen örnekleme alt örneklem (sub-sample) denir ve s ile ifade edilir. Alt örneklem, ön örneklemden uygun bir örnekleme

yöntemiyle yerine konularak ya da konulmadan seçilir ve n ( )nn ′< birimden oluşur.

Bu durumda iki örneklem birbirine bağımlı olarak seçilmiş olur. Alt örneklemin

büyüklüğü de tahminlerin duyarlılığı ve doğruluğu bakımından çok önemlidir.

Örneklem seçimlerinde dikkat edilmesi gereken en önemli nokta örneklem

büyüklükleridir. Her iki örneklemin büyüklüğünün ne kadar olması gerektiği kararı

tahminlerin duyarlılıklarında önemli bir etki yaratacaktır. Alt örneklem büyüklüğü ön

örneklem büyüklüğünden fazla olmamalıdır. Ön örneklem ne kadar büyük olursa

tahminlerin duyarlılığı da o kadar fazla olacaktır. Bu yüzden gerek ön örneklemin

gerekse alt örneklemin seçilmesinde örneklemlerin büyüklüğü, örneklemlerin hangi

örnekleme yöntemiyle seçileceği ve hangi tahmin edicilerin kullanılacağı, tahminlerin

duyarlılığı ve doğruluğu açısından çok önemli olmaktadır. Bu çalışmada ön ve alt

örneklemler yerine konmadan basit rasgele örnekleme ile seçilecektir.

İki safhalı örnekleme yönteminde ön ve alt örneklem seçimi Şekil 2.1.’de gösterildiği

gibi olmaktadır.

5

Şekil 2.1. : İki Safhalı Örnekleme Yönteminde Örneklem Seçimi

İki safhalı örnekleme yönteminde, alt örneklemin ön örneklemden bağımsız olarak

seçildiği durum da söz konusudur. Bu durumda, ön örneklem ve alt örneklem kitleden

uygun bir örnekleme yöntemiyle yerine konularak ya da yerine konulmadan seçilir.

Dolayısıyla her iki örneklem de bağımsız olarak seçilir (Diana ve Tommasi, 2004).

Ancak bu durum çok yaygın olmayan bir durum ve ilk duruma göre uygulaması daha

zor ve daha masraflıdır. Bu yüzden iki safhalı örnekleme yönteminde, alt örneklemin

kitleden seçildiği durumda önerilen tahmin ediciler sınırlıdır.

İki safhalı örnekleme yöntemi ilk kez 1938 yılında Neyman tarafından uygulanmıştır

(Singh, 2003).

Mohanty(1967), oransal ve regresyon tahminlerini iç içe kullanarak zincirleme

regresyon tahmin edicileri önermiştir.

Chand(1975), oransal ve çarpımsal tahmin edicileri iç içe kullanarak çeşitli zincirleme

oransal tahmin ediciler önermiştir.

N

X ve Z değişkenleri gözlenir.

n ′ n

X,Y ve Z değişkenleri gözlenir

6

Kiregyera (1980, 1984) ,Chand’ın önermiş olduğu tahmin edicileri geliştirerek iç içe

oransal-regresyon ve regresyon-regresyon zincirleme tahmin ediciler önermiştir.

Singh, Singh ve Shukla (1994), iki safhalı örnekleme yönteminde Y kitle ortalaması

için bir tahmin edici ailesi önermişlerdir. Bu tahmin edici ailesinde iki yardım değişken

kullanılmıştır.

Singh ve Upadhyaya (1995; 2001), çeşitli zincirleme oransal tahmin ediciler

önermişlerdir. Searl (1964), Sisodia ve Dwivedi (1981), Singh ve Kahran (1993),

Upadhyaya ve Singh (1999) tahmin edicilerini geliştirerek iki safhalı örnekleme

yönteminde çeşitli oransal tahmin ediciler önermişlerdir.

Singh (2001), Singh ve Upadhyaya (1995, 2001) tahmin edicilerinde değişim

katsayısı yerine standart sapma bilgisini kullanarak yeni tahmin ediciler önermişlerdir

Prasad, Singh ve Singh (2002), Srivenkataramana ve Tracy (1980, 1981)’nin önerdiği

dönüşümü kullanarak alternatif bir zincirleme oransal tahmin edici önermişlerdir. Aynı

zamanda, Walsh (1970) ve Reddy (1974)’nin önerdikleri tahmin edicileri geliştirerek

yeni bir zincirleme tahmin edici daha önermişlerdir

Roy (2003), iki yardımcı değişken kullanarak yansız bir zincirleme regresyon tahmin

edicisi önermiştir.

Singh, Upadhyaya ve .Chandra (2004), iki safhalı örnekleme yönteminde Y kitle

ortalaması için üç tane tahmin edici ailesi önermişlerdir.

Singh ve Espejo(2007), Singh ve Espejo (2003) oransal-çarpımsal tahmin edicisini

geliştirerek yeni bir tahmin edici önermişlerdir.

Hartley ve Ross (1954), Srivastava, Srivastava ve Khare (1989), Srivenkataramana

ve Tracy (1989), Sahoo ve Sahoo (1993), Ahmed (1998), Upadhyaya ve Srivastava

7

(2001), Chandra ve Singh (2003), Diana ve Tommasi (2003, 2004) iki safhalı

örnekleme yönteminde tahmin ediciler öneren diğer araştırmacılardır.

Tezde, iki safhalı örnekleme yönteminde, kitle ortalamasının tahmininde kullanılan

tahmin ediciler tanıtılmış, bu tahmin edicilerin yanı ve hata kareler ortalamaları

hesaplanmıştır. Ayrıca, tahmin ediciler, uygun tahmin edicilerle karşılaştırılmış ve

hangi koşullar altında bu tahmin edicilerin daha etkin oldukları bulunmuştur.

Bu çalışmada iki safhalı örnekleme yönteminde, ön ve alt örneklemin eşit olasılıklı,

yerine konmadan basit rasgele örnekleme ile seçilmesi durumunda, kitle ortalaması

için geliştirilmiş tahmin ediciler incelenecektir ve bu tahmin ediciler etkinlik yönünden

karşılaştırılacaktır. Ayrıca uygun bir veri kümesi seçilerek, bu tahmin edicilerle ilgili

sayısal bir örnek yapılacaktır. Sayısal örnekte tahmin ediciler, etkinlik açısından

incelenecektir.

2.2. Bir Örneklemden Çeşitli Tahmin Ediciler

2.2.1. Basit tahmin

Sonlu büyüklükteki kitleden n büyüklüğünde herhangi yöntemle bir örneklem seçilsin.

N birimden oluşan sonlu bir kitledeki y kitle ortalaması tahmin edilmek istensin. y kitle

ortalaması için bilinen en klasik tahmin basit tahmin yöntemidir. Basit tahmin, tahmin

edilmek istenen değişkenin örneklem ortalaması şeklinde verilmektedir.

Y kitle ortalaması için basit tahmin,

n

yy

n

1ii∑

== (2.1)

şeklindedir.

8

2.2.2. Oransal tahmin

Sonlu büyüklükteki kitleden n büyüklüğünde herhangi yöntemle bir örneklem seçilsin.

Örneklem birimlerinin iki ölçümü xi ve yi ile gösterilebilir. Eğer i

iy

x oranı örneklem

biriminden örneklem birimine fazla değişkenlik göstermiyorsa, bunların örneklem

toplamları oranı da örneklem uzayının her bir noktasından diğer noktasına fazla bir

değişkenlik göstermez. İki değişken arasındaki ilişki başlangıç noktasından geçen bir

doğru denklemiyle gösterilebilir ise, bu durumda bu değişkenlerden biri yardımıyla

diğeri tahmin edilebilir. Böyle bir tahmin oransal tahmin adını alır. Burada, ortalaması

tahmin edilecek değişken Y, yardımcı değişken X olsun. Oransal tahminin

yapılabilmesi için yardımcı değişkene ait kitle ortalamasının bilinmesi gerekir. Eğer

bilinmiyor ise, kitle ortalaması iki safhalı örnekleme ile tahmin edilebilir. Oransal

tahmin iki değişken arasındaki ilişkinin pozitif olduğu durumda kullanılan bir tahmindir.

Eğer iki değişken arasındaki ilişki negatif ise çarpımsal tahmin kullanılır (Çıngı,1994).

Yardımcı değişken kitle ortalamasının bilindiği durumda, iki değişken arasındaki

ilişkinin pozitif ve negatif olduğu durumlarda oransal ve çarpımsal tahminler sırasıyla,

xXyyO = , (2.2)

XxyyÇ = (2.3)

şeklindedir.

Yardımcı değişken kitle ortalamasının bilinmediği, iki değişken arasındaki ilişkinin

pozitif ve negatif olduğu durumlarda oransal ve çarpımsal tahminler sırasıyla,

9

xXyySO = (2.4)

X

xyySÇ = (2.5)

şeklindedir.

Burada,

∑=

=n

1iiy

n1y Y değişkeninin örneklem ortalaması, (2.6)

∑=

=n

1iix

n1x X yardımcı değişkeninin örneklem ortalaması, (2.7)

∑=

=N

1iix

N1X X yardımcı değişkeninin kitle ortalaması, (2.8)

∑′

=′=

n

1iix

n1X X yardımcı değişkeninin kitle ortalamasının tahminidir. (2.9)

X tahmini, çeşitli tahmin ediciler ve çeşitli örnekleme yöntemleri kullanılarak en etkin

şekilde elde edilmeye çalışılır. Bu nedenle bu tahminin elde edileceği ön örneklemin

seçim yöntemi ve kullanılan tahmin edici çok önemlidir. Ön örneklemin seçimi basit

rastgele örnekleme, genişliğe orantılı olasılıklarla küme örneklemesi gibi çeşitli

örnekleme yöntemleri kullanılarak gerçekleştirilebilir. X tahmini, oransal, çarpımsal,

ve aşağıdaki bölümde anlatılacak olan regresyon tahmin edicilerle ve bu tahmin

edicilerin iç içe kullanıldığı tahmin edicilerle elde edilebilir.

10

X tahmini izleyen bölümlerde daha ayrıntılı şekilde verilecektir.

2.2.3. Doğrusal regresyon tahmini

Regresyon tahmin, xi ve yi arasındaki ilişki herhangi bir doğru denklemiyle

gösterilebilir ise, duyarlılığı artırabilmek için başvurulan bir yöntemdir. Yalnızca iki

değişkenin ilişkisinden yararlanılarak bir tahmin yapılırsa, bu tahmine doğrusal

regresyon tahmin; ikiden fazla değişkenin ilişkisinden yararlanılarak yapılan tahmine

de çoklu regresyon tahmin denilir.

N büyüklüğünde bir kitleden n büyüklüğündeki bir örneklem basit rastgele örnekleme

ile seçilsin. xi ve yi ile gösterilen iki değişken arasındaki ilişki, düzlem üzerinde bir

doğru ile temsil edilebiliyor ise, i-inci örneklem birimine göre bu doğrunun eğimi,

xxyyb

i

iyx −

−= (2.10)

olur. Burada, yi bağımlı, xi bağımsız değişken olarak alınmaktadır. Buna göre

doğrunun denklemi,

( )xxbyy iyxi −+= (2.11)

şeklinde elde edilir. Benzer şekilde yi ‘nin kitle ortalaması Y ’nin doğrusal regresyon

tahmini,

( )xXbyy yxdr −+= (2.12)

yapılabilir. Bu eşitlikte yxb , örneklemden en küçük kareler yöntemiyle tahmin edilen

regresyon katsayısı olup,

11

( )

( )( )∑

∑

=

=

−−

−= n

1iii

n

1i

2i

yx

yyxx

xxb (2.13)

şeklindedir (Çıngı, 1994).

2.3. Tahmin Edicinin İstenen Özellikleri

2.3.1 Tanım

N birimli bir kitleden n birimli k sayıda örneklem seçilsin. Seçilen örneklem ile tahmin

edilecek kitle parametresi θ olsun; kullanılacak tahmin edici θ ise, seçilecek

örnekleme bağlı olarak k adet farklı tahmin yapılabilecektir.

Örnek No Tahmin

1 1θ

2 2θ

3 3θ

. .

. .

k kθ

12

θ ’ ların beklenen değeri kitle parametresi θ ’ nın değerine eşit olacaktır.

( ) θθE = (2.14)

θ ’ ların varyansı,

( ) ( )[ ]2θEθEθVar −= (2.15)

şeklindedir.

Kitle parametresi θ ile θ ’ ların beklenen değeri birbirine eşit olmayabilir. Bu durumda

aradaki fark yan (bias) olarak adlandırılır.

Yan = ( ) θθE − (2.16)

şeklindedir.

Örnekleme hatası ise yandan farklı bir kavramdır ve tahmin edici ile kitle

parametresinin gerçek değeri arasındaki farktır.

Örnekleme Hatası = θθ − (2.17)

şeklindedir.

Farklı örneklemlerden tahmin edilebilecek θ ’ lar bir dağılım oluştururlar. Bu dağılım

için varyansa benzer bir ölçü kullanılmaktadır. Hata kareler ortalaması olarak

adlandırılan bu ölçü, θ ’ lar ile θ arasındaki farkların karelerinin beklenen değeridir.

Bu tanıma göre hata kareler ortalaması,

13

( ) ( )2θθEθHKO −= (2.18)

olarak ifade edilir. Eşitlik (2.18)’deki ifadeye ( )θE± eklenerek açılırsa,

( )[ ] ( )[ ]22θθEθEθEHKO −+−= (2.19)

bulunur. Eşitlik (2.19)’un sağ tarafındaki ilk ifade θ ’nın varyansına, ikinci ifade ise

yanın karesine eşittir.

( ) 2)yan(θVarHKO += (2.20)

Varyans aritmetik ortalama etrafındaki dağılımın, hata kareler ortalaması ise, kitle

parametresinin gerçek değeri etrafındaki dağılımının ölçüsüdür. Ancak yanın sıfır

olması durumunda,

( ) ( )θHKOθVar =

olacaktır.

Kitle parametresi θ ’nın tahmini için seçilecek n birimli örneklemden farklı tahmin

ediciler kullanılarak farklı tahminler yapılabilir. Burada önemli olan en iyi sonucu

verecek tahmin edicinin kullanılmasıdır.

En iyi tahmini sağlayacak tahmin edicinin bazı özellikleri taşıması gerekmektedir. Bu

özellikler şunlardır.

14

2.3.2. Yansızlık (Unbias )

Yan θ ’ nın beklenen değeri ile θ arasındaki fark olarak tanımlanmıştı. Buna göre

θ ’nın θ ’nın yansız tahmin edicisi olabilmesi için ( )θE ile θ arasındaki fark sıfır

olmalıdır. Diğer bir ifade ile

( ) θθE =

olmalıdır.

2.3.3. Etkinlik ( Efficiency )

Kitle parametresinin tahmini için birden fazla yansız tahmin edici belirlenebilir. Bu

durumda, bu tahmin edicilerden hangisinin kullanılması ile daha iyi tahmin

yapılabileceğini belirlemek için tahmin edicilerin varyansları belirlenir. Etkinlik, yansız

tahmin edicilerin varyansları ile ilgili bir kavramdır.

Bilindiği gibi, birden fazla serinin ortalamaları birbirine yakın veya eşitse dağılımların

birbirinden farkını ortaya koymak için bazı ölçüler hesaplanır. Bu ölçülerden en çok

kullanılanı varyanstır. Varyansı küçük olan seride aritmetik ortalama etrafında daha

yoğun bir dağılım olduğu anlaşılır. Burada, konu kitle parametresinin gerçek değerine

daha yakın tahminler elde etmek olduğuna göre, etkinliğin ölçüsü hata kareler

ortalamasıdır. Birden fazla yansız tahmin sözkonusu olduğunda, bunlardan hata

kareler ortalaması küçük olan tahmin edici kitle parametresinin gerçek değeri

etrafında daha yoğun bir dağılım gösterdiğinden, bu tahmin edicinin tercih edilmesini

gerektirmektedir. Hata kareler ortalamasının varyans ile yanın karesi toplamına eşit

olduğu hatırlanırsa, yansız tahmin ediciler söz konusu olduğundan hata kareler

ortalaması varyansa eşit olacaktır. Bu nedenle varyansı küçük olan tahmin edicinin

tercih edilmesi ile hata kareler ortalaması küçük olan tahmin edici tercih edilmiş olur.

15

Yapılan bu açıklamalar etkinlik için iki şart aranması gerektiğini ortaya koymaktadır.

1) θ , θ ’nın yansız tahmin edicisi ise,

2) ( ) ( )θVarθVar ≤ ise

θ , θ ’nın etkin tahmin edicisidir. Burada θ , kitle parametresi θ ’nın θ ’ten farklı diğer

yansız tahmin edicilerini ifade etmektedir.

Etkinlik ile ilgili olarak buraya kadar yapılan açıklamalar, etkinliğin göreli bir kavram

olduğunu ortaya koymaktadır. Ancak birden fazla tahmin edici olması durumunda

etkinlikten söz edilebilir ve varyansı küçük olan tahmin edicinin daha etkin olduğu

söylenebilir (Turanlı ve Güriş, 2000).

16

ÜÇÜNCÜ BÖLÜM

3. İKİ SAFHALI ÖRNEKLEME YÖNTEMİNDE ORANSAL TAHMİN EDİCİLER

3.1. İki Safhalı Klasik Oransal Tahmin Edici

N birimli sonlu bir kitleden yerine konmadan basit rastgele örnekleme ile n′ birimli

bir ön örneklem seçilsin. Bu ön örneklemde x değişkeninin kitle ortalaması tahmin

edilsin ( X ). Ön örneklemde x değişkeninin kitle ortalamasının tahmininde X

değişkeni ile ilişkili olan ikinci bir Z yardımcı değişkeni kullanılabilir. X ile Z

değişkeni arasındaki korelasyon katsayısı, X ile Y değişkeni arasındaki korelasyon

katsayısından küçük olacak şekilde Z ikinci yardımcı değişkeninin seçilmesi

gerekir. Daha sonra Y değişkenin kitle ortalamasının tahmini için ön

örneklemden n birimli bir alt örneklem daha seçilsin. Bu alt örneklemde Y, X ve Z

değişkenleri tahmin edilerek oransal tahmin yapılabilir.

Buna göre Y kitle ortalaması tahmini için iki safhalı klasik oransal tahmin edicisi

şu şekilde verilir:

xXyySO = ( 3.1 )

X tahmini ön örneklemden Bölüm (2.2)’de anlatılan yollarla tahmin edilerek çeşitli

zincirleme oransal tahminler elde edilebilir.

3.2. Basit Oransal Tahmin Edici

Ön örneklemde X değişkeninin kitle ortalaması basit yolla tahmin edilerek ( X )

Eşitlik (3.1) yerine konulur. Bu tahmin ediciye basit oransal tahmin edici adı verilir

ve BOy olarak gösterilir. Y kitle ortalaması tahmini için basit oransal tahmin edici,

xxyyBO′

= (3.2)

17

olarak verilir (Roy, 2003). Burada,

∑′

=′=′

n

1iix

n1x , X yardımcı değişkeninin ön örneklem ortalaması, (3.3)

x ve y sırasıyla x ve y değişkeni için alt örneklem ortalamalarıdır.

BOy tahmin edicisinin yanını ve hata kareler ortalamasını elde etmek için fark

yönteminden yararlanılır.

Fark Yöntemi

Fark yöntemi, doğrusal olmayan tahmin edicilerin yan ve hata karelerini bulmada

kullanılan bir yöntemdir. Bu yöntemde tahmin edici, örneklem değeri ile parametre

değerleri arasındaki farklardan yararlanarak yeniden oluşturulur.

Klasik basit oransal tahmini için fark yönteminde,

Y

Yye0−

= → ( )0e1Yy += ,

X

Xxe1−

= → ( )1e1Xx += ;

X

Xxe1−′

=′ → ( )1e1Xx ′+=′ (3.4)

şeklinde değerler tanımlanır. Tahmin edicideki değişken sayısı kadar fark terimleri

tanımlanır.

Bu değişkenlerin beklenen değerleri ( ){ }ieE , karelerinin beklenen değerleri ( ){ }i2eE

ve kovaryansları ( ){ }jieeE aşağıdaki şekildedir:

( ) ( ) ( ) 0eEeEeE 110 =′== (3.5)

18

( ) 2y1

2y12

220 CfSf

Y1

YYyEeE ==

−=

( ) 2x1

2x1

221 CfSf

X1

XXxEeE ==

−=

( ) 2x2

2x2

22

1 CfSfX1

XXxEeE ==

−′=′ (3.6)

( ) xyyx1yx110 CCρfSfXY1

XXx

YYyEeeE ==

−

−=

( ) xyyx2yx210 CCρfSfXY1

XXx

YYyEeeE ==

−′

−=′

( ) 2x2

2x211 CfSf

XX1

XXx

XXxEeeE ==

−′

−=′ . (3.7)

−=

N1

n1f1 : alt örneklem için örnekleme oranı

−

′=

N1

n1f2 : ön örneklem için örnekleme oranı (3.8)

( )( )

( ) ( )∑ ∑

∑

= =

=

−−

−−=

N

1i

N

1i

2i

2i

N

1iii

yx

YyXx

XxYyρ :X ile Y arasındaki kitle korelasyon katsayısı (3.9)

xyyxyx

yx CCρXY

SC == : X ile Y arasındaki kitle değişim katsayısı

YS

C yy = : Y değişkeni için değişim katsayısı,

19

X

SC xx = : X değişkeni için değişim katsayısı, (3.10)

BOy tahmin edicisi Eşitlik (3.4)’teki e’li terimler cinsinden yazılarak yeniden ifade

edilirse,

( ) ( )( )1

10BO e1X

e1Xe1Yy+

′++=

( )( )( ) 1110BO e1e1e1Yy −+′++= (3.11)

şeklinde elde edilir (Çıngı, 2004 Ders Notları) .

( ) 11e1 −+ İfadesi binom serisi açılımından bulunur. 1e1 < koşulu altında binom

serisi

( ) ∑=

−

=+

n

0i

iinn yxin

yx = n1n1nn ynn

xy1n

n...yx

1n

x0n

+

−

++

+

−− (3.12)

( )( )( ) ( ){ }

!i1in...2n1nn

!i!in!n

in −−−−

=−

=

(3.13)

olarak elde edilir (İnal ve Günay, 1978 ).

Eşitlik (3.14)’te x yerine 1, y yerine e, n yerine -1 yazılırsa ( ) 11e1 −+ terimi, 1e1 <

koşulu altında aşağıdaki gibi açılır :

( ) ...e41

e31

e21

e11

e01

ei1

e1 4320

0i

i1 +

−+

−+

−+

−+

−=

−=+ ∑

∞

=

−

( ) ...eeee1e1 4321 ++−+−=+ − (3.14)

Bu eşitlikte 2.dereceden sonraki e’li terimler ihmal edilirse,

20

( ) 211

11 ee1e1 +−≅+ − (3.15)

olarak elde edilir.

Eşitlik (3.15), Eşitlik (3.11)’te yerine konulup çarpımlar yapılırsa,

( )( )( )21110BO ee1e1e1Yy +−′++≅

[

]2110

110211

210

21111010110BO

eee

eeeeeeeeeeeeeeeee1Yy′+

′−′+++′−′+−′+−+= (3.16)

olarak bulunur.

Eşitlik (3.16)’da 2.dereceden sonraki e’li terimler ihmal edilirse,

[ ]21111010110BO eeeeeeeeee1Yy +′−′+−′+−+≅ (3.17)

olarak elde edilir.

BOy tahmin edicisinin yanı,

( ) ( )YyEyYan BOBO −=

( ) [ ]21111010110BO eeeeeeeeeeEYYyE +′−′+−′+−≅− (3.18)

olarak bulunur.

Eşitlik (3.18)’de; Eşitlik (3.5), Eşitlik (3.6), Eşitlik (3.7) yerine konulursa, BOy tahmin

edicisinin yanı,

( ) [ ]2x1

2x2xyyx2xyyx1BO CfCfCCρfCCρfYyYan +−+−≅

( ) ( )[ ( ) ]2x21xyyx21BO CffCCρffYyYan −+−−=

21

( ) [ ]2x3xyyx3BO CfCCρfYyYan +−=

( )

−=

x

yyx

2x3BO C

Cρ1CfYyYan

( ) ( )yx2x3BO K1CfYyYan −≅ (3.19)

olarak elde edilir. Burada, ( )213 fff −= , x

yyxyx C

CρK = ‘ dir.

BOy tahmin edicisinin hata kareler ortalaması,

( ) ( )2BOBO YyEyHKO −=

( ) [ ]221111010110

2BO eeeeeeeeeeEYyHKO +′−′+−′+−= (3.20)

şeklindedir.

Beklenen değerde kare alınıp, 2.dereceden sonraki e’li terimler ihmal edilirse hata

kareler ortalaması,

( ) [ ( )]1110102

121

20

2BO eeeeee2eeeEYyHKO ′−′+−+′++≅ (3.21)

olarak elde edilir.

Eşitlik (3.21)’de; Eşitlik (3.6) ve Eşitlik (3.7) yerine konulursa, BOy tahmin

edicisinin hata kareler ortalaması,

( ) [ ( )]2x2xyyx2xyyx1

2x2

2x1

2y1

2BO CfCCρfCCρf2CfCfCfYyHKO −+−+++≅

( ) [ ( ) ( ) ]xyyx212x21

2y1

2BO CCρff2CffCfYyHKO −−−+=

22

( )

−+=

x

yyx

2x3

2y1

2BO C

Cρ21CfCfYyHKO

( ) ( )[ ]yx2x3

2y1

2BO K21CfCfYyHKO −+≅ (3.22)

olarak elde edilir.

3.3. Srivastava Tahmin Edicisi

Srivastava (1970), klasik basit oransal tahmin ediciyi geliştirerek yeni bir tahmin

edici önermiştir . Y kitle ortalaması için önerilen tahmin edici:

α

s xxyy

′

= (3.23)

şeklindedir. Burada, α sabit bir katsayıdır.

sy tahmin edicisi Eşitlik (3.4)’teki e’li terimler cinsinden yazılarak yeniden ifade

edilirse,

( ) ( )( )

α

1

10s e1X

e1Xe1Yy

+′+

+=

( )( ) ( ) α1

α10s e1e1e1Yy −+′++= (3.24)

şeklinde elde edilir.

Bu eşitlikteki ifadeler Eşitlik (3.12)’den yararlanarak açılırsa,

( ) ( ) α1

211

α1 e...e

21ααeα1e1 ′++′−

+′+=′+ (3.25)

( ) ( ) α1

211

α1 e...e

21ααeα1e1 −− ++

−+−=+ (3.26)

23

olarak bulunur.

Eşitlik (3.25) ve Eşitlik (3.26)’da 2.dereceden sonraki e’li terimler ihmal edilirse

( ) ( ) 211

α1 e

21ααeα1e1 ′−

+′+≅′+ (3.27)

( ) ( ) 211

α1 e

21ααeα1e1 −

+−=+ − (3.28)

olarak elde edilir.

Eşitlik (3.27) ve Eşitlik (3.28), Eşitlik (3.24)’de yerine konulup çarpımlar yapılırsa

ve 2.dereceden e’li terimler ihmal edilirse,

( ) ( ) ( )

−

+−

′−

+′++≅ 211

2110s e

21ααeα1e

21ααeα1e1Yy

[

( ) ( )′−

+−

+

′−′+−′+−+≅

21

21

112

1010110s

e2

1ααe2

1ααeeαeeαeeαeαeαe1Yy

(3.29)

olarak elde edilir.

sy tahmin edicisinin yanı,

( ) ( )YyEyYan ss −=

( ) [

( ) ( )′−

+−

+

′−′+−′+−≅−

21

21

112

1010110s

e2

1ααe2

1ααeeαeeαeeαeαeαeEYYyE

(3.30)

olarak bulunur.

24

Eşitlik (3.30)’da; Eşitlik (3.5), Eşitlik (3.6), Eşitlik (3.7) yerine konulursa, sy tahmin

edicisinin yanı,

( ) [

( ) ( )−

+−

+

+−+−≅

2x2

2x1

2x2

2xyyx2xyyx1s

Cf2

1ααCf2

1αα

CfαCCρfαCCρfαYyYan

( ) ( )[ ( ) ( )

+−−+−−= 2

x212x

2

21xyyx21s C2αffC

2αffCCρffαYyYan

( ) ( ) +−

−= 2

x21x

yyx

2x3s C

2αff

CC

ρ2αCfαYyYan

( ) ( ) +−

−≅ 2

x21yx2x3s C

2αffK

2αCfαYyYan (3.31)

olarak elde edilir.

sy tahmin edicisinin hata kareler ortalaması,

( ) ( )2ss YyEyHKO −=

( ) [

( ) ( ) 22

121

112

1010110s

e2

1ααe2

1αα

eeαeeαeeαeαeαeEYyHKO

′−

+−

+

′−′+−′+−= (3.32)

şeklindedir.



( ) [ ( )]112

10102

122

122

02

s eeαeeαeeα2eαeαeEYyHKO ′−′+−+′++≅ (3.33)

25

olarak elde edilir.

Eşitlik (3.33)’de; Eşitlik (3.6) ve Eşitlik (3.7) yerine konulursa, sy tahmin edicisinin

hata kareler ortalaması,

( ) [ ( )]2x

22xyyx2xyyx1

2x

22

2x

21

2y1

2s CαfCCαρfCCαρf2CαfCαfCfYyHKO −+−+++=

( ) [ ( ) ( ) ]xyyx212x

221

2y1

2s CCραff2CαffCfYyHKO −−−+=

( )

−+=

x

yyx

2x3

2y1

2s C

Cρ2αCαfCfYyHKO

( ) ( )[ ]yx2x3

2y1

2s K2αCαfCfYyHKO −+≅ (3.34)

olarak elde edilir.

Önerilen tahmin edicide, α değerinin optimum değerinin bulunmasıyla hata kareler

ortalamasının minimum değeri bulunabilir. Bu minimum değer, HKO’sının optimum

değeri bulunmak istenen değere göre türevinin alınıp sıfıra eşitlenmesiyle bulunur.

( )[ ] ( ){ }[ ]0

αK2αCαfCfY

αyHKO yx

2x3

2y1

2s =

∂

−+∂=

∂∂

( )[ ]0CKf2Cαf2

αyHKO 2

xyx32x3

s =−=∂

∂ (3.35)

Eşitlik (3.35)’den,

0yx αKα == (3.36)

26

olarak bulunur.

0α değeri, Eşitlik (3.31)’de yerine konulursa sy tahmin edicisinin yanı,

( ) ( ) ( )[ ]1Kf1KfCKY21yYan yx1yx2

2xyxsmin +−−≅ (3.37)

olarak bulunur.

0α değeri, Eşitlik (3.34)’te yerine konulursa sy tahmin edicisinin hata kareler

ortalaması,

( ) [ ]2xyx

23

2y1

2smin CKfCfYyHKO −≅ (3.38)

olarak elde edilir.

3.4 Chand Tahmin Edicileri

Chand (1975), iki safhalı örnekleme yönteminde iki tahmin edici önermiştir.

Bunlardan biri zincirleme oransal tahmin edici ve diğeri zincirleme çarpımsal

tahmin edicidir

3.4 1. Chand tahmin edicisi-1

Chand (1975), iki yardımcı değişken kullanarak zincirleme oransal tahmin edici

önermiştir. Y kitle ortalaması için önerilen tahmin edici,

′′

= Zzx

xyy 1C (3.39)

şeklindedir.

Önerdiği tahmin edicide kitle ortalaması X ön örneklemden ikinci bir değişken

yardımıyla oransal yolla tahmin edilmiştir. x′ve z′ ön örneklem ortalamaları; y ve

27

x alt örneklem ortalamalarıdır. Z, ikinci yardımcı değişkenine ait kitle ortalaması

bilinmektedir.

1Cy tahmin edicisinde ikinci bir yardımcı değişken kullanıldığı için fark

yönteminden yararlanılarak Z değişkeni için yeni bir değer tanımlanır :

ZZze2

−′=′ → ( )2e1Zz ′+=′ (3.40)

( ) 0eE 2 =′ (3.41)

( ) 2z2

2z22

22

2 CfSfZ1

ZZzEeE ==

−′=′ (3.42)

( ) zyyz2yz220 CCρfSfZY

1Z

ZzY

YyEeeE ==

−′

−=′

( ) ( ) zxxz2xz22121 CCρfSfZX

1Z

ZzX

XxEeeEeeE ==

−′

−=′′=′ (3.43)

( )( )

( ) ( )∑ ∑

∑

= =

=

−−

−−=

N

1i

N

1i

2i

2i

N

1iii

yz

ZzYy

ZzYyρ :Y ile Z arasındaki kitle korelasyon katsayısı

( )( )

( ) ( )∑ ∑

∑

= =

=

−−

−−=

N

1i

N

1i

2i

2i

N

1iii

xz

ZzXx

ZzXxρ :X ile Z arasındaki kitle korelasyon katsayısı (3.44)

zxxzxz

xz CCρZX

SC == : X ile Z arasındaki kitle değişim katsayısı

Z

SC zz = : Z değişkeni için değişim katsayısı, (3.45)

28

1Cy tahmin edicisi, Eşitlik (3.4) ve Eşitlik (3.40)’daki e’li terimler cinsinden yazılarak

yeniden ifade edilirse,

( )( )

( )( )

′+′+

++

= Ze1Ze1X

e1Xe1Y

y2

1

1

01C

( )( ) ( )( ) 121

1101C e1e1e1e1Yy −− ′+′+++= (3.46)


Bu eşitlikteki ifadeler Eşitlik (3.14)’ten yararlanarak açılırsa,

( ) ...eee1e1 32

222

12 +′−′+′−=′+ − (3.47)

olarak bulunur.

Eşitlik (3.47)’de 2.dereceden sonraki e’li terimler ihmal edilirse,

( ) .ee1e1 222

12 ′+′−≅′+ − (3.48)

olarak elde edilir.

Eşitlik (3.15) ve Eşitlik (3.48), Eşitlik (3.46)’da yerine konulup çarpımlar yapılırsa


( )( )( )( )2221

21101C ee1e1ee1e1Yy ′+′−′++−+=

[

]22

21211121

20101021101C

eeeeeeeeeeeeeeeeee1Yy

′++′′−′−′+

′−′+−′−′+−+≅ (3.49)

olarak elde edilir.

1Cy tahmin edicisinin yanı,

29

( ) ( )YyEyYan 1C1C −=

( ) [

]22

21211121

20101021101C

eeeeeeeeeeeeeeeeeeEYYyE

′++′′−′−′+

′−′+−′−′+−≅− (3.50)

olarak bulunur.

Eşitlik (3.50)’de; Eşitlik (3.5), Eşitlik (3.6), Eşitlik (3.7), Eşitlik (3.41), Eşitlik (3.42),

Eşitlik (3.43) yerine konulursa, 1Cy tahmin edicisinin yanı,

( ) []2

z22x1

zxxz22x2zxxz2zyyz2xyyx2xyyx11C

CfCf

CCρfCfCCρfCCρfCCρfCCρfYyYan

++

−−+−+−≅

( ) ( )( )[ ( )]zyyz2z2xyyx

2x211C CCρCfCCρCffYyYan −+−−=

( )

−+

−=

z

yyz

2z2

x

yyx

2x31C C

Cρ1Cf

CC

ρ1CfYyYan

( ) ( ) ( )[ ]yz2z2yx

2x31C K1CfK1CfYyYan −+−≅ (3.51)

olarak elde edilir. Burada x

yyxyx C

CρK = ,

z

yyzyz C

CρK = ‘dir.

1Cy tahmin edicisinin hata kareler ortalaması,

( ) ( )21C1C YyEyHKO −=

( ) []22

22121

112120101021102

1C

eeee

eeeeeeeeeeeeeeEYyHKO

′++′′−

′−′+′−′+−′−′+−≅ (3.52)

şeklindedir. Beklenen değerde kare alınıp, 2.dereceden sonraki e’li terimler ihmal

edilirse hata kareler ortalaması,

30

( ) []212111

2010102

22

121

20

21C

ee2ee2ee2ee2ee2ee2eeeeEYyHKO

′′−′+′−

′−′+−′+′++≅ (3.53)

olarak elde edilir.

Eşitlik (3.53)’te; Eşitlik (3.6), Eşitlik (3.7), Eşitlik (3.42), Eşitlik (3.43) yerine

konulursa, 1Cy tahmin edicisinin hata kareler ortalaması,

( ) [

]x2

2zyyz2

xyyx2xyyx12z2

2x2

2x1

2y1

21C

Cf2CCρf2

CCρf2CCρf2CfCfCfCfYyHKO

−−

+−+++≅

( ) ( )( ) ( )[ ]zyyz2z2xyyx

2x21

2y1

21C CCρ2CfCCρ2CffCfYyHKO −+−−+=

( )

−+

−+=

z

yyz

2z2

x

yyx

2x3

2y1

21C C

Cρ21Cf

CC

ρ21CfCfYyHKO

( ) ( ) ( )[ ]yz2z2yx

2x3

2y1

21C K21CfK21CfCfYyHKO −+−+≅ (3.54)

olarak elde edilir.

( ) ( )[ ]yx2x3

2y1

2BO K21CfCfYyHKO −+≅ olduğuna göre,

( ) ( ) ( )[ ]yz2z2

2BO1C K21CfYyHKOyHKO −+≅ (3.55)

olarak da ifade edilebilir.

3.4 2. Chand tahmin edicisi-2

Chand (1975), iki yardımcı değişken kullanarak zincirleme çarpımsal tahmin edici

önermiştir. Y kitle ortalaması için önerilen tahmin edici,

Zxzxy

Zzxxyy 2C ′

′=

′′

= (3.56)

31

şeklindedir. Önerdiği tahmin edicide X kitle ortalaması ön örneklemden ikinci bir

değişken yardımıyla çarpımsal yolla tahmin edilmiştir. x′ve z′ ön örneklem

ortalamaları; y ve x alt örneklem ortalamalarıdır. Z ikinci yardımcı değişkenine ait

kitle ortalaması bilinmektedir.

2Cy tahmin edicisi, Eşitlik (3.4) ve Eşitlik (3.40)’daki e’li terimler cinsinden yazılarak


( ) ( ) ( )( ) Z

1e1X

e1Ze1Xe1Yy1

2102C

′+

′+++=

( )( )( ) ( )21

1102C e1e1e1e1Yy ′+′+++= − (3.57)


Bu eşitlikteki ( ) 11e1 −′+ ifadesi eşitlik (3.14)’ten yararlanarak açılırsa,

( ) ...eee1e1 31

211

11 +′−′+′−=′+ − (3.58)

olarak bulunur.

Eşitlik (3.58)’de 2.dereceden sonraki e’li terimler ihmal edilirse

( ) 211

11 ee1e1 ′+′−=′+ − (3.59)

olarak elde edilir.

Eşitlik (3,59), Eşitlik (3.57)’de yerine konulup çarpımlar yapılırsa ve 2.dereceden

e’li terimler ihmal edilirse,

( )( )( )( )212

1102C e1e1ee1e1Yy ′++′+′−+=

[ ]21112021102C eeeeeeeee1Yy ′+′−′+′+′−++≅ (3.60)

32

olarak elde edilir.

2Cy tahmin edicisinin yanı,

( ) ( )YyEyYan 2C2C −=

( ) [ ]21112021102C eeeeeeeeeEYyYan ′+′−′+′+′−+≅ (3.61)

olarak bulunur.


Eşitlik (3.43) yerine konulursa, 2Cy tahmin edicisinin yanı,

( ) [ ]2x1

2x2zyyz22C CfCfCCρfYyYan +−−≅

( )

−=

z

yyz

2z22C C

CρCfYyYan

( ) yz2z22C KCfYyYan −≅ (3.62)

olarak elde edilir. Burada, z

yyzyz C

CρK = ‘dir.

2Cy tahmin edicisinin hata kareler ortalaması,

( ) ( )22C2C YyEyHKO −=

( ) [ ]221112021102C eeeeeeeeeEYyHKO ′+′−′+′+′−+≅ (3.63)



33

( ) []212111

2010102

22

121

20

22C

ee2ee2ee2ee2ee2ee2eeeeEYyHKO

′′−′+′−

′+′−+′+′++≅ (3.64)

olarak elde edilir.


konulursa, 2Cy tahmin edicisinin hata kareler ortalaması,

( ) [

]x2

2zyyz2

xyyx2xyyx12z2

2x2

2x1

2y1

22C

Cf2CCρf2

CCρf2CCρf2CfCfCfCfYyHKO

−+

−++++≅

( ) ( )( ) ( )[ ]zyyz2z2xyyx

2x21

2y1

22C CCρ2CfCCρ2CffCfYyHKO +++−+=

( )

++

++=

z

yyz

2z2

x

yyx

2x3

2y1

22C C

Cρ21Cf

CC

ρ21CfCfYyHKO

( ) ( ) ( )[ ]yz2z2yx

2x3

2y1

22C K21CfK21CfCfYyHKO ++++≅ (3.65)

olarak elde edilir.

3.5. Kiregyera Oransal Tahmin Edicisi

Kiregyera (1980), iki yardımcı değişken kullanarak zincirleme oransal tahmin edici

önermiştir.

Y kitle ortalaması için önerilen Kiregyera tahmin edicisi,

( )[ ]zZbxxyy xzK ′−+′= (3.66)

şeklindedir. Önerdiği bu tahmin edicide Y kitle ortalaması, X kitle ortalaması

tahmini yerine konularak oransal yolla tahmin edilmiştir. X kitle ortalaması ön

örneklemden ikinci bir değişken yardımıyla regresyon yolla tahmin edilmiştir.

34

x′ve z′ ,ön örneklem ortalamaları; y ve x alt örneklem ortalamalarıdır. xzb , X ile Z

arasındaki örneklem regresyon katsayısıdır Z ikinci yardımcı değişkenine ait kitle

ortalaması bilinmektedir.

Tahmin edicinin yan ve hata kareler ortalaması hesaplanırken örneklem regresyon

katsayısı xzb , kitle regresyon katsayısı xzβ olarak alınır.

( )( )

( )∑

∑

=

=

−

−−= N

1i

2i

N

1iii

xz

Zz

ZzXxβ , X ile Z arasındaki kitle regresyon katsayısı (3.67)

Ky tahmin edicisi, Eşitlik (3.4) ve Eşitlik (3.40)’daki e’li terimler cinsinden yazılarak


( )( ) ( ) ( )}{[ ]2xz1

1

0K e1ZZβe1X

e1Xe1Yy ′+−+′+

++

= (3.68)


xzβ tahmin edicide xzρ cinsinden yazılmak istenirse:

2z

xzxz S

Sβ = , zx

xzxz SS

Sρ =

zxxz2xxz SSρSβ = →

z

xxzxz S

Sρβ = (3.69)

şeklindedir. Burada; xzβ , xzK cinsinden yazılırsa,

z

xxzxz C

CρK = ⇒ZXKβ xzxz = (3.70)


35

xzβ , Eşitlik (3.68)‘de yerine konulursa,

( )( )

′−′+++= −2xz1

110K e

ZXKe1e1e1Yy

Eşitlik (3.15), Eşitlik (3.68)’de yerine konulup çarpımlar yapılırsa ve 2.dereceden


[ ]2121xz20xz1110102xz110K eeeKeeKeeeeeeeKeee1Yy +′−′−′−−′+′−′+−+≅ (3.71)

olarak elde edilir.

Ky tahmin edicisinin yanı,

( ) ( )YyEyYan KK −=

( ) []2

121xz20xz

1110102xz110K

eeeKeeK

eeeeeeeKeeeEYyYan

+′−′−

′−−′+′−′+−≅ (3.72)

olarak bulunur.

Eşitlik (3.72)’de; Eşitlik (3.5), Eşitlik (3.6), Eşitlik (3.7), Eşitlik (3.41), Eşitlik (3.42)

ve Eşitlik (3.43) yerine konulursa, 1Ky tahmin edicisinin yanı,

( ) []x

21zxxz2xz

zyyz2xzx2

2xyyx1xyyx2K

CfCCρfK

CCρfKCfCCρfCCρfYyYan

++

−−−≅

( ) ( )( )

+−−−=

z

xxz

z

yyzxz

2z2xyyx

2x21K C

CρCC

ρKCfCCρCffYyYan

( )

+−

−=

z

xxz

z

yyzxz

2z2

x

yyx

2x3K C

CρCC

ρKCfCC

ρ1CfYyYan

36

( ) ( ) ( )][ yzxzxz2z2yxx

23K KKKCfK1CfYyYan −−−≅ (3.73)

olarak elde edilir.

Burada, x

yyxyx C

CρK = ,

z

yyzyz C

CρK = ,

z

xxzxz C

CρK = ’ dir.

Ky tahmin edicisinin hata kareler ortalaması,

( ) ( )2KK YyEyHKO −=

( ) []22

121xz20xz

1110102xz1102

K

eeeKeeK

eeeeeeeKeeeEYyHKO

+′−′−

′−−′+′−′+−≅ (3.74)



( ) [( )]21xz21xz20xz

11101022

2xz

21

21

20

2K

eeKeeKeeK2ee2ee2ee2eKeeeEYyHKO

′′−′+′−+

′−′+−+′++≅ (3.75)

olarak bulunur.


konulursa, Ky tahmin edicisinin hata kareler ortalaması,

( ) []x

22zyyzxz2xyyx2

xyyx12z

2xz2

2x2

2x1

2y1

2K

Cf2CCρKf2CCρf2

CCρf2CKfCfCfCfYyHKO

−−+

−+++≅

( ) ( )( ) ( )][ zyyz2zxzxz2xyyx

2x21

2y1

2K CCρ2CKKfCCρ2CffCfYyHKO −+−−+=

( )

−+

−+=

z

yyzxz

2zxz2

x

yyx

2x3

2y1

2K C

Cρ2KCKf

CC

ρ21CfCfYyHKO

37

( ) ( ) ( )[ ]yzxz2zxz2yx

2x3

2y1

2K K2KCKfK21CfCfYyHKO −+−+= (3.76)

olarak elde edilir.

( ) ( )[ ]yx2x3

2y1

2BO K21CfCfYyHKO −+≅ olduğuna göre,

( ) ( ) ( )yzxzxz2z2

2BOK K2KKCfYyHKOyHKO −+≅ (3.77)


3.6. Upadhyaya tahmin edicisi

Upadhyaya (1990), iki yardımcı değişken kullanarak zincirleme oransal tahmin

edici önermiştir. Y kitle ortalaması için önerilen Upadhyaya tahmin edicisi,

( )[ ]( )

′−+′

′−+′=

xxbyxx

zZbxyy

yx

xzU (3.78)

şeklindedir. Önerdiği tahmin edicide, X kitle ortalaması ön örneklemden ikinci bir

değişken yardımıyla regresyon yoluyla tahmin edilmiştir. Z ikinci yardımcı

değişkenine ait kitle ortalaması bilinmektedir. xzb ve yxb örneklem regresyon

katsayılarıdır.

Tahmin edicinin yan ve hata kareler ortalamasını hesaplarken örneklem regresyon

katsayısı xzb ve yxb , sırasıyla kitle regresyon katsayısı xzβ ve yxβ olarak alınır.

Uy tahmin edicisi, Eşitlik (3.4) ve Eşitlik (3.40)’daki e’li terimler cinsinden yazılarak


( ) ( )[ ]( ) ( )

( ) ( )

′−

++

+′+

′−′++=

11yx0

11

2xz10U

eeXβe1Ye1Xe1X

eZβe1Xe1Yy

38

XYKβ yxyx = ,

ZXKβ xzxz = olmak üzere,

( )( )

( ) ( )( ) ( )

′−

++

+′+

′−′+

+=

11yx0

11

2xz1

0U

eeXXYK

e1Ye1Xe1X

eZZXKe1X

e1Yy

( ) ( )( )( ) ( )[ ]111

1011

2310U eeKe1e1e1X

eKe1Xe1Yy′−+++′+

′−′++=

−

( )( )( )( ) ( )[ ]11yx

1011

2xz10U eeKe1e1e1

eKe1e1Yy

′−+++′+

′−′++=

−

( )( ) ( )( ) ( )[ ] 1

111

01yx12xz10U eee1e1Ke1eKe1e1Yy−− ′−+++′+′−′+−= (3.79)


Eşitlik (3.79)’daki köşeli parantezdeki ifade, Eşitlik (3.14)’ten yararlanarak

açılırsa ve 2.dereceden sonraki e’li terimler ihmal edilirse,

( )( ) ( )[ ] ([)

( )]112

121

2yx

21

2111101

21101yx1

1

111

01yx1

ee2eeKee2ee3eee

eeeeKe1eee1e1Ke1

′−′++′+

′+′−′+′−

+−−′−≅′−+++′+−−

(3.80)

olarak elde edilir.

Eşitlik (3.79)’da Eşitlik (3.80) konulup çarpımlar yapılırsa ve 2.dereceden e’li

terimler ihmal edilirse,

( )( ){ ([ )( )}]11

21

21

2yx

21

2111101

21101yx12xz10U

ee2eeKe

e2ee3eeeeeeeKe1eKe1e1Yy

′−′++′+

′+′−′+′−+−−′−′−′+−=

39

( )[( ) ( )]2

121yx

21

21

2yx

20xz21xz2xz11yx0U

eeKeeK

eeKeeKeKeeKe1Yy

′−−′−+

′−′′+′−′−−+≅ (3.81)

olarak elde edilir.

Uy tahmin edicisinin yanı,

( ) ( )YyEyYan UU −=

( ) ( )[( ) ( )]2

121yx

21

21

2yx

20xz21xz2xz11yx0U

eeKeeK

eeKeeKeKeeKeEYyYan

′−−′−+

′−′′+′−′−−≅ (3.82)

olarak bulunur.


Eşitlik (3.43) yerine konulursa, Uy tahmin edicisinin yanı,

( ) ( ) ( )[ ]2x2

2x1yx

2x2

2x1

2yxzyyz2xzzxxz2xzU CfCfKCfCfKCCρfKCCρfKYyYan −−−+−≅

( ) ( ) ( )[ ]yzxzxz2z2yxyx

2x3U KKKCf1KKCfYyYan −+−≅ (3.83)

olarak bulunur.

Uy tahmin edicisinin hata kareler ortalaması,

( ) ( )2UU YyEyHKO −=

( ) ( )[( ) ( )]22

121yx

21

21

2yx20xz

21xz2xz11yx02

U

eeKeeKeeK

eeKeKeeKeEYyHKO

′−−′−+′−

′′+′−′−−≅ (3.84)

40



( ) ( )[ ( )( ) ( )]2121xzyx20

22xzxz

1010yx112

121

2yx

20

2U

eeeeKK2ee2eKK

eeeeK2ee2eeKeEYyHKO

′′−′+′−′+

′−−′−′++≅ (3.85)

olarak elde edilir.

Eşitlik (3.85)’te; Eşitlik (3.6), Eşitlik (3.7), Eşitlik (3.8), Eşitlik (3.42), Eşitlik (3.43)

yerine konulursa, Uy tahmin edicisinin hata kareler ortalaması,

( ) ( ) ( )[( ) )( ]zxxz2zxxz2xzyxzyyz2

2z2xzxz

xyyx2xyyx1yx2x2

2x2

2x1

2yx

2y1

2U

CCρfCCρfKK2CCρf2CfKK

CCρfCCρfK2Cf2CfCfKCfYyHKO

−+−+

−−−++≅

( ) ( ) ( )

−+

−−−+≅

z

yyzxz

2z2xz

x

yyx21yx

2x21

2yx

2y1

2U

CC

ρ2KCfK

CC

ρffK2CffKCfYyHKO

( ) [ ( )]yzxz2z2xzyx3yx

2x3

2yx

2y1

2U K2KCfKKfK2CfKCfYyHKO −+−+≅

( ) [ ( )]yzxz2zxz2

2x

2yx3

2y1

2U K2KCKfCKfCfYyHKO −+−≅ (3.86)

olarak elde edilir.

3.7. Singh ve Upadhyaya Tahmin Edicileri

Singh ve Upadhyaya (1995, 2001), çeşitli zincirleme oransal tahmin ediciler

önermişlerdir. Searl(1964), Sisodia ve Dwivedi(1981), Singh ve Kahran(1993),

Upadhyaya ve Singh (1999) tahmin edicilerini geliştirerek zincirleme örnekleme

yönteminde çeşitli oransal tahmin ediciler önermişlerdir (Singh, 2001).

41

3.7.1. Singh ve Upadhyaya tahmin edicisi-1

Singh ve Upadhyaya (1995), Sisodia ve Dwivedi(1981) tahmin edicisini geliştirerek

yeni bir tahmin edici önermişlerdir.

Sisodia ve Dwivedi (1981) tahmin edicisi,

++

=x

xSD Cx

CXyy (3.87)

şeklindedir

Y kitle ortalaması için önerilen tahmin edici,

+′+′=

z

z1su Cz

CZxxyy (3.88)

şeklindedir .

Önerdikleri bu tahmin edicide, X kitle ortalaması, Z yardımcı değişkeni yardımıyla

Eşitlik (3.87) kullanılarak tahmin edilmiştir. Y kitle ortalaması kitle ortalaması

tahmini X yerine konularak oransal yolla tahmin edilmiştir. Z ikinci yardımcı

değişkenine ait kitle ortalaması bilinmektedir. zC , Z değişkeninin değişim

katsayısıdır.

1suy tahmin edicisi, Eşitlik (3.4) ve Eşitlik (3.40)’daki e’li terimler cinsinden

yazılarak yeniden ifade edilirse,

( ) ( )( ) ( )

+′++

+

′++=

z2

z

1

101su Ce1Z

CZe1X

e1Xe1Yy

( )( )( )

+′++

+′++= −

z2

z11101su CeZZ

CZe1e1e1Yy

42

( )( )( )1

z

z211101su CZ

CeZZe1e1e1Yy−

−

++′+

+′++=

( )( )( )1

z

2

z

z11101su CZ

eZCZCZe1e1e1Yy

−−

+′

+++

+′++=


zCZZθ+

= olmak üzere,

( )( )( ) ( ) 12

11101us eθ1e1e1e1Yy −− ′++′++= (3.89)

olarak bulunur.

Bu eşitlikteki ( ) 12eθ1 −′+ ifadesi, eşitlik (3.14)’ten yararlanarak açılırsa ve

2.dereceden sonraki e’li terimler ihmal edilirse,

( ) 222

12 eθeθ1eθ1 ′+′−=′+ − (3.90)

olarak bulunur.

Eşitlik (3.89)’da, Eşitlik (3.15) ve Eşitlik (3.90) yerine konulup çarpımlar yapılırsa


( )( )( )( )22

22

211101su eθeθ1ee1e1e1Yy ′+′−+−′++≅

[( )]2

22121202

211110110101su

eeeeeeeeθeeeeeeeeee1Yy

′−′′+′−′+′−

+′−−−′+′++≅ (3.91)

olarak elde edilir.

1suy tahmin edicisinin yanı,

43

( ) ( )YyEyYan 1su1su −=

( ) [( )]2

22121202

211110110101su

eeeeeeeeθeeeeeeeeeeEYyYan

′−′′+′−′+′−

+′−−−′+′+≅ (3.92)

olarak bulunur.


Eşitlik (3.43) yerine konulursa, 1suy tahmin edicisinin yanı,

( ) [( )]2

z2zxxz2zxxz2zyyz2

2x1

2x2xyyx1xyyx21su

CfCCρfCCρfCCρfθ

CfCfCCρfCCρfYyYan

−+−−

+−−≅

( ) ( )( ) ( )[ ]zyyz2z2xyyx

2x211su CCρCfθCCρCffYyYan +−−−=

( )

+−

−=

z

yyz

2z2

x

yyx

2x31su C

Cρ1Cfθ

CC

ρ1CfYyYan

( ) ( ) ( )[ ]yz2z2yx

2x31su K1CfθK1CfYyYan +−−≅ (3.93)

olarak elde edilir.

1suy tahmin edicisinin hata kareler ortalaması,

( ) ( )21su1su YyEyHKO −=

( ) [( )]22

22121202

211110110101su

eeeeeeeeθ

eeeeeeeeeeEYyHKO

′−′′+′−′+′−

+′−−−′+′+≅ (3.94)

44



( ) [ ( ){ ( )]212120

22

11101021

21

20

21su

eeeeee2eθθeeeeee2eeeEYyHKO

′−′′+′−′+

′−−′++′+≅ (3.95)

olarak bulunur.


yerine konulursa, 1suy tahmin edicisinin hata kareler ortalaması,

( ) [ ( ){ ( )]zxxz2zxxz2zyyz2

2z2

2x2xyyx1xyyx2

2x1

2x2

2y1

21su

CCρfCCρfCCρf2Cfθθ

CfCCρfCCρf2CfCfCfYyHKO

−+−+

−−+++≅

( ) ( ) ( )

−+

−−−+=

z

yyz

2z2

x

yyx

2x21

2x21

2y1

21su C

Cρ2θCfθ

CC

ρCff2CffCfYyHKO

( ) ( ) ( )[ ]yz2z2yx

2x3

2y1

21su K2θCfθK21CfCfYyHKO −+−+≅ (3.96)

olarak elde edilir.


Singh ve Upadhyaya (2001), Searl (1964)’ün yöntemini kullanarak yeni bir

zincirleme oransal tahmin edici önermiştir.

Searl(1964) Tahmin Edicisi,

xkx* ′= (3.97)

şeklindedir.

Burada, ( )2x2Cf1

1k+

= ’dir

45


*2su x

xyy =

x1Cf

1xyy 2

x22us ′

+

= (3.98)

şeklindedir

Önerdikleri bu tahmin edicide, X kitle ortalaması, Eşitlik(3.97) kullanılarak tahmin

edilmiştir. Y kitle ortalaması, kitle ortalaması tahmini X yerine konularak oransal

yolla tahmin edilmiştir. xC , X değişkeninin değişim katsayısıdır.



( )( ) ( )11

102su e1e1e1kYy ′+++= − (3.99)

şeklinde olur.

Eşitlik (3.99)’da, Eşitlik (3.15) yerine konulup çarpımlar yapılırsa ve 2.dereceden


( )211110101102su eeeeeeeeeekYkYy +′−−+′+−+≅ (3.100)

olarak elde edilir.

2usy tahmin edicisinin yanı,


( ) ( ) ( )[ ]1keeeeeeeeeekEYyYan 211110101102su −++′−−+′+−≅ (3.101)

46

olarak bulunur.


Eşitlik (3.43) yerine konulursa, 2suy tahmin edicisinin yanı,

( ) ( )[ ]1kCCρfCCρfCfCfYyYan xyyx2xyyx12x2

2x12su −+−+−≅

( ) ( ) ( )[ ]1kCCρCkfYyYan xyyx2x32su −+−=

( ) ( )

−+

−= 1k

CC

ρ21CkfYyYanx

yyx

2x32su

( ) ( ) ( )[ ]1kK21CkfYyYan yx2x32su −+−≅ (3.102)

olarak elde edilir.

2suy tahmin edicisinin hata kareler ortalaması,


( ) ( ) ( )[ ]221111010110

22su 1keeeeeeeeeekYyHKO −++′−−+′+−≅ (3.103)



( ) ( ) ( )[( )( )]2

1111010110

2111010

21

21

20

222su

eeeeeeeeee1kk21kee2ee2ee2eeekEYyHKO

+′−′+−′+−−+

−+′−′+−′++≅ (3.104)

olarak bulunur.



47

( ) ( )[( ) ( )( )]2

x12x2xyyx2xyyx1

2

2x2xyyx2xyyx1

2x2

2x1

2y1

222su

CfCfCCρfCCρf1kk21k

Cf2CCρf2CCρf2CfCfCfkYyHKO

+−+−−+−+

−+−++≅

( ) ( )( ){ } ( )[( )( )( )]xyyx

2x21

22y1xyyx

2x21

222su

CCρCff1kk2

1kCfCCρ2CffkYyHKO

−−−+

−++−−=

( ) ( ) ( )

−−+−+

+

−=

x

yyx

2x3

22y1

x

yyx

2x3

222su C

Cρ1Cf1kk21kCf

CC

ρ21CfkYyHKO

( ) ( ){ } ( ) ( ) ( )[ ]yx2x3

22y1yx

2x3

222su K1Cf1kk21kCfK21CfkYyHKO −−+−++−≅ (3.105)

olarak elde edilir.


Singh ve Upadhyaya (2001), kendi önerdikleri tahmin edicileri geliştirerek yeni bir

karışık zincirleme oransal tahmin edici önermişlerdir.

Upadhyaya ve Singh (1999) tahmin edicisi,

( )( )

++

=x2

x21us Cxxβ

CXxβyy (3.106)

şeklindedir


( )( )

+′+′=

z2

z23su Czzβ

CZzβxxyy (3.107)

şeklindedir .

48


Eşitlik (3.106) kullanılarak tahmin edilmiştir. Z ikinci yardımcı değişkenine ait kitle

ortalaması bilinmektedir. Y kitle ortalaması X kitle ortalaması tahmini yerine

konularak oransal yolla tahmin edilmiştir. zC , Z eğişkeninin değişim katsayısıdır,

( )zβ2 Z değişkeninin basıklık katsayısıdır.



( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

+′++′+

++

=z22

z21

1

03su Ce1Zzβ

CZzβe1Xe1Xe1Yy

( )( ) ( ) ( ) ( )( )

1

z2

z221

1103su CZzβ

Ce1Zzβe1e1e1Yy−

−

++′+′+++=

( )( ) ( ) ( )( )

( )( )

1

z2

22

z2

z21

1103su CZzβ

eZzβCZzβCZzβe1e1e1Yy

−−

+′

+++′+++=

( )( ) ( ) ( )( )

1

z2

221

1103su CZzβ

eZzβ1e1e1e1Yy−

−

+′

+′+++=

şeklinde bulunur.

( )( ) 1

z2

2 θCZzβ

Zzβ=

+ olmak üzere,

( )( ) ( )( ) 1211

1103su eθ1e1e1e1Yy −− ′+′+++= (3.108)

olarak elde edilir.

Bu eşitlikteki ( ) 121eθ1 −′+ ifadesi, Eşitlik (3.14)’ten yararlanarak açılırsa ve


49

( ) 22121

121 eθeθ1eθ1 ′+′−=′+ − (3.109)

olarak bulunur.

Eşitlik (3.108)’de, Eşitlik (3.15), Eşitlik (3.109) yerine konulup çarpımlar yapılırsa


( )( )( )( )22

21211

21103su eθeθ1e1ee1e1Yy ′+′−′++−+≅

[]201211211

21101111002113su

eeθeeθeeθeθeeeeeeeeeeYy

′−′′+′+

′−′+′−′+−++−≅ (3.110)

olarak elde edilir.

3suy tahmin edicisinin yanı,


( ) []201211211

21101111002113su

eeθeeθeeθeθeeeeeeeeeeEYyYan

′−′′+′+

′−′+′−′+−++−≅ (3.111)

olarak bulunur.


yerine konulursa, 3suy tahmin edicisinin yanı,

( ) []zyyz21zxxz21

zxxz21xyyx22x2xyyx1

2x13su

CCρfθCCρfθCCρfθCCρfCfCCρfCfEYyYan

−−

++−−≅

( ) ( )

−

−−=

z

yyz

2z21

x

yyx

2x213su C

CρCfθ

CC

ρ1CffEYyYan

( ) ( )[ ]yz2z21yx

2x33su KCfθK1CfYyYan −−≅ (3.112)

50

olarak elde edilir.

3usy tahmin edicisinin hata kareler ortalaması,


( ) []220121121121

10111100211

23su

eeθeeθeeθeθ

eeeeeeeeeeYyHKO

′−′′+′+′−

′+′−′+−++−≅ (3.113)



( ) []21120110

21111102

221

21

20

21

23su

eeθ2eeθ2ee2eeθ2ee2ee2eθeeeEYyHKO

′′−′−′+

′+′−−′+′++≅ (3.114)

olarak bulunur.



( ) []zxxz21zyyz21xyyx2

zxxz212x2xyyx1

2z2

21

2x2

2y1

2x1

23su

CCρfθ2CCρfθ2CCρf2CCρfθ2Cf2CCρf2CfθCfCfCfYyHKO

−−+

+−−+++≅

( ) ( )

−+

−−+≅

z

yyz1

2z21

x

yyx

2x21

2y1

23su C

Cρ2θCfθ

CC

ρ21CffCfYyHKO

( ) ( ) ( )[ ]yz12z21yx

2x3

2y1


olarak elde edilir.

51


Upadhyaya ve Singh (1999) diğer tahmin edicisi,

( )( )

++

=xβCxxβCXyy

2x

2x2us (3.116)

şeklindedir .


( )( )

+′+′=

zβzCzβZCx

xyy

2z

2z4su (3.117)

şeklindedir


Eşitlik (3.116) kullanılarak tahmin edilmiştir. Y kitle ortalaması, X kitle ortalaması

tahmini yerine konularak oransal yolla tahmin edilmiştir. Z ikinci yardımcı

değişkenine ait kitle ortalaması bilinmektedir. zC , z değişkeninin değişim

katsayısıdır, ( )zβ2 z değişkeninin basıklık katsayısıdır.



( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

+′++′+

++

=zβe1ZC

zβZCe1Xe1Xe1Y

y22z

2z1

1

04su

( )( ) ( ) ( ) ( )( )

1

2z

22z1

1104su zβZC

zβe1ZCe1e1e1Yy−

−

++′+′+++=

( )( ) ( ) ( )( ) ( )

1

2z

2z

2z

2z1

1104su zβZC

eZCzβZCzβZCe1e1e1Yy

−−

+′

+++′+++=

52

( )( ) ( ) ( )

1

2z

2z1

1104su zβZC

eZC1e1e1e1Yy−

−

+′

+′+++= (3.118)

şeklinde bulunur.

( ) 22z

z θzβZC

ZC=

+ olmak üzere,

( )( ) ( )( ) 1221

1104su eθ1e1e1e1Yy −− ′+′+++= (3.119)

olarak bulunur.

Bu eşitlikteki ( ) 122eθ1 −′+ ifadesi, eşitlik (3.14)’ten yararlanarak açılırsa ve


( ) 22222

122 eθeθ1eθ1 ′+′−=′+ − (3.120)

olarak bulunur.

Eşitlik (3.119)’da, Eşitlik(3.15), Eşitlik(3.120) yerine konulup çarpımlar yapılırsa ve

2.dereceden e’li terimler ihmal edilirse,

( )( )( )( )22

22221

21104su eθeθ1e1ee1e1Yy ′+′−′++−+≅

[]202212212

22101111002114su

eeθeeθeeθeθeeeeeeeeeeYy

′−′′+′+

′−′+′−′+−++−≅ (3.121)

olarak ifade edilir.

Buradan sadece iθ değerlerine bağlı olarak 4suy tahmin edicisinin yan ve hata

kareler ortalaması aynı şekilde elde edilir.

( ) ( )[ ]yz2z22yx

2x34su KCfθK1CfYyYan −−≅ (3.122)

53

( ) ( ) ( )[ ]yz22z22yx

2x3

2y1


3.8. Singh Genelleştirilmiş Tahmin Edicisi

Singh (2001); Singh ve Upadhyaya(1995, 2001) tahmin edicilerine benzer başka

zincirleme oransal tahmin ediciler önermişlerdir. Önerdikleri yeni tahmin edicilerde

zC değişim katsayısı yerine zσ kullanılmışlardır. Eğer ikinci yardımcı değişkenin

kitle ortalaması ve değişim katsayısı biliniyorsa, zσ standart sapması da zaten

biliniyor olacaktır.

Tahmin ediciler bir ikv değerinin tanımlanmasıyla genelleştirilmiş şekilde ifade

edilebilir.

zkiik σzαv += ( i= 1, 2, 3 ve k = 1, 2, …,N ) (3.124)

zii σzαv +′=′ ( n′ örneklemdeki ikv ‘ nın örneklem ortalaması ) (3.125)

zii σZαV += ( Kitle Ortalaması ) (3.126)

i = 1, 2, 3 için 1α1 = , ( )Zβα 12 = , ( )Zβα 23 = olarak ifade edilir.

1α1 = için önerilen tahmin edici:

( ) ,Vvx

xy

σzσZx

xyy 1

1Z

Zsg

1

′′

=

+′+′= i = 1 , 1α1 = için, (3.127)

( )zβα 12 = için önerilen tahmin edici:

( ) ( )( ) 2

2z1

z1sg

2 Vvx

xy

σzzβσZzβx

xyy

′′

=

+′+′= , i = 2 , ( )zβα 12 = için, (3.128)

( )zβα 23 = için önerilen tahmin edici:

54

( ) ( )( ) 3

3z2

z2sg

3 Vvx

xy

σzzβσZzβx

xyy

′′

=

+′+′= , i = 3 , ( )zβα 23 = için verilir. (3.129)

Bu önerilen 3 tahmin edici genelleştirilerek aşağıdaki şekilde ifade edilir:

iizi

zisg V

vx

xy

σzασZαx

xyy

′′

=

+′+′= , (i= 1,2,3) (3.130)

sgy tahmin edicisi, Eşitlik (3.4) ve Eşitlik (3.40)’daki e’li terimler cinsinden yazılarak


( )( ) ( )

+′++′+

++

=z2ii

zi1

1

0sg σeZαZα

σZαe1Xe1Xe1Y

y

( )( ) ( )1

zi

z2ii1

110sg σZα

σeZαZαe1e1e1Yy−

−

+

+′+′+++=

( )( ) ( )1

zi

2i

zi

zi1

110sg σZα

eZασZασZαe1e1e1Yy

−−

+′

+++′+++=

( )( ) ( )1

zi

2i1

110sg σZα

eZα1e1e1e1Yy−

−

+′

+′+++= (3.131)

şeklinde bulunur.

zi

ii σZα

Zαφ+

= olmak üzere,

( )( ) ( )( ) 12i1

110sg eφ1e1e1e1y −− ′+′+++= (3.132)

olarak bulunur.

55

Bu eşitlikteki ( ) 12ieφ1 −′+ ifadesi, Eşitlik (3.14)’ten yararlanarak açılırsa ve


( ) 22i2i

12i eφeφ1eφ1 ′+′−=′+ − (3.133)

olarak bulunur.

Eşitlik (3.132)’de, Eşitlik (3.15), Eşitlik (3.133) yerine konulup çarpımlar yapılırsa


[]20i21i21i

2i10111100211sg

eeφeeφeeφeφeeeeeeeeeeYy

′−′′+′+

′−′+′−′+−++−≅ (3.134)

olarak ifade edilir.

Buradan sadece iφ değerlerine bağlı olarak usgy tahmin edicisinin yan ve hata

kareler ortalaması aynı şekilde elde edilir.

( ) ( )[ ]yz2z2iyx

2x3sg KCfφK1CfYyYan −−≅ (3.135)

( ) ( ) ( )[ ]yzi2z2iyx

2x3

2y1

2sg K2φCfφK21CfCfYyHKO −+−+≅ (3.136)

Burada i = 1, 2, 3 için;

z1 σZ

Zφ+

= , ( )( ) z1

12 σZzβ

Zzβφ+

= , ( )( ) z2

23 σZzβ

Zzβφ+

= ‘ dir.

3.9. Prasad, Singh ve Singh Tahmin Edicileri

Prasad, Singh ve Singh (2002), çeşitli zincirleme örnekleme tahmin edicileri

önermişlerdir. Bu tahmin ediciler sırasıyla aşağıda incelenecektir

56

3.9.1. Prasad, Singh ve Singh tahmin edicisi-1

Prasad (2002), Singh ve Singh, Srivenkataramana ve Tracy (1980,1981)’nin

önerdiği dönüşümü kullanarak alternatif bir zincirleme oransal tahmin edici

önermişlerdir

Srivenkataramana ve Tracy (1980,1981) dönüşümü şu şekildedir:

ii ZAU −= , i=1,2, … ,N (3.137)

Burada, A: sabit bir sayıyı göstermektedir.


( )XxyyKO = →

UuxX′

′=

′′=Uux

xyyPSS (3.138)

olarak verilir. Burada,

zAu ′−=′ (3.139)

( ) ZAUuE −==′ (3.140)

şeklindedir.

Eşitlik (3.139) ve Eşitlik (3.140), Eşitlik (3.138)’de yerine konulursa önerilen

tahmin edici,

−′−′=

ZAzAx

xyyPSS (3.141)

olarak verilir.

57

PSSy tahmin edicisi, Eşitlik (3.4) ve Eşitlik (3.40)’daki e’li terimler cinsinden


−′−′=

ZAzAx

xyyPSS

( )( ) ( ) ( )

−′+−′+

++

=ZA

e1ZAe1Xe1Xe1Y

y 21

1

0PSS

( )( ) ( )

−′−−′+++= −

ZAZeZAe1e1e1Yy 2

11

10PSS

( )( ) ( )

′

−−′+++= −

211

10PSS eZA

Z1e1e1e1Yy (3.142)

olarak bulunur.

Burada, θZA

Z=

− olarak ifade edilirse ve Eşitlik (3.15), Eşitlik (3.142)’de yerine

konulup çarpımlar yapılırsa ve 2.dereceden sonraki e’li terimler ihmal edilirse,

( )( )( )( )212110PSS eθ1e1ee1e1Yy ′−′++−+≅

[( ) ]2

1212120

1110102110PSS

eeeeeeeθeeeeeeeθeee1Yy

+′−′′+′−

′−′+−′−′+−+≅ (3.143)

olarak elde edilir.

PPSy tahmin edicisinin yanı,

( ) ( )YyEyYan PPSPPS −=

58

( ) [

( ) ]21212120

1110102110PPS

eeeeeeeθeeeeeeeθeeeEYyYan

+′−′′+′−

′−′+−′−′+−≅ (3.144)

olarak bulunur.


yerine konulursa, PPSy tahmin edicisinin yanı,

( ) [ ( )]zxxz2zxxz2

zyyz22x1

2x2xyyx1xyyx2PPS

CCρfCCρf

CCρfθCfCfCCρfCCρfYyYan

−+

−+−−≅

( ) [ ]2zyz2

2xyx3

2x3PPS CKfθCKfCfYyYan −−=

( ) ( )[ ]2zyz2yx

2x3PPS CKfθK1CfYyYan −−≅ (3.145)

olarak elde edilir.

PPSy tahmin edicisinin hata kareler ortalaması,

( ) ( )2PPSPPS YyEyHKO −=

( ) [( ) ]22

1212120

11101021102

PPS

eeeeeeeθ

eeeeeeeθeeeEYyHKO

+′−′′+′−

′−′+−′−′+−≅ (3.146)



( ) []212111

2010102

222

121

20

2PPS

eeθ2eeθ2ee2eeθ2ee2ee2eθeeeEYyHKO

′′−′+′−

′−′+−′+′++≅ (3.147)

Eşitlik (3.147)’de; Eşitlik (3.6), Eşitlik (3.7), Eşitlik (3.42), Eşitlik (3.43) yerine

konulursa, PPSy tahmin edicisinin hata kareler ortalaması,

59

( ) [( )]zxxz2zxxz2

2z2zyyz2

xyyx2xyyx12z2

22x2

2x1

2y1

2PPS

CCρfCCρfθ2Cf2CCρfθ2

CCρf2CCρf2CfθCfCfCfYyHKO

−+−−

+−+++≅

( ) ( )[ ]yz2z2

2xyx3

2x3

2y1

2PSS K2θCθfCKf2CfCfYyHKO −+−+≅

( ) ( ) ( )[ ]yz2z2yx

2x3

2y1

2PSS K2θCθfK21CfCfYyHKO −+−+≅

( ) ( ) ( )yz2z2

2BOPSS K2θCθfYyHKOyHKO −+≅ (3.148)

olarak elde edilir.

Önerilen tahmin edicide tanımlanan θ değerinin optimum değerinin bulunmasıyla

hata kareler ortalamasının minimum değeri bulunabilir. Bu minimum değer,

HKO’sının optimumu bulunmak istenen değere göre türevinin alınıp sıfıra

eşitlenmesiyle bulunur.

( ) ( ) ( ){ }[ ]0

θK2θCfθK21CfCfY

θyHKO yz

2z2yx

2x3

2y1

2PSS =

∂

−+−+∂=

∂∂

( ) ( )[ ] 0K2θ2CfθyHKO

yz2z2

PSS =−=∂

∂ (3.149)

Eşitlik (3.149)’dan

0yz θKθ ==

olarak bulunur.

Tahmin edicideki A sabit katsayısının değeri bulunarak tahmin edicide yerine

konulursa,

ZKZAKZA

ZKθ yzyzyz =−⇒−

==

60

0yz

yz AZK

K1A =

+=

olarak bulunur.

0A değeri, Eşitlik(3.141)’de yerine konulduğunda PPSy tahmin edicisi,

−′−′=

ZAzAx

xyyPSS

−

+

′−

+

′=

ZZK

K1

zZK

K1

xxyy

yz

yz

yz

yz

PSS

( )

−+

′−+′=

ZKZKZzZKZ

xxyy

yzyz

yzPSS

( )[ ]Z

zZKZxxyy yz

PSS

′−+

′

= (3.150)

olarak bulunur.

0θ değeri, Eşitlik (3.145)’te yerine konulursa PPSy tahmin edicisinin yanı,

( ) ( )[ ]2z

2yz2yx

2x3PPS CKfK1CfYyYan −−≅ (3.151)

0θ değeri, Eşitlik (3.488)’de yerine konulursa PPSy tahmin edicisinin hata kareler

ortalaması,

( ) ( )[ ]2yz

2z2yx

2x3

2y1

2PSSmin KCfK21CfCfYyHKO −−+= (3.152)

olarak bulunur.

61

3.9.2. Prasad, Singh ve Singh tahmin edicisi-2

Prasad, Singh ve Singh (2002), Walsh(1970) ve Reddy(1974)’nin önerdikleri

tahmin edicileri geliştirerek yeni bir zincirleme tahmin edici daha önermişlerdir.


( )

( )[ ] ( )[ ]Zβ1zβZ

xα1xαxyy β,α

PSS −+′′−+′

= (3.153)

şeklindedir Önerdikleri tahmin edicide, x′ve z′ ön örneklem ortalamaları; y , x , z

alt örneklem ortalamalarıdır. Z ikinci yardımcı değişkenine ait kitle ortalaması

bilinmektedir.

α ,β : sabit katsayıları göstermektedir.

α ve β sabitlerinin aldığı değere göre tahmin ediciler değişmektedir.

( ) ( )0,0β,α = için y ,

( ) ( )0,1β,α = için Oy ,

( ) ( )1,1β,α = için Cy elde edilir.

( )β,αPSSy tahmin edicisi, Eşitlik (3.4) ve Eşitlik (3.40)’daki e’li terimler cinsinden


( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]Zβ1e1Zβ

Ze1Xα1e1Xα

e1Xe1Yy211

10

β,αPSS −+′+′+−++

′++=

( ) ( ) ( )( )[ ]( )2111

10

β,αPSS eβ1eeαe1

e1e1Yy′+′−+′+

′++=

( ) ( )( ) ( )[ ] ( ) 12

111110

β,αPSS eβ1eeαe1e1e1Yy −− ′+′−+′+′++= (3.154)

62

olarak bulunur.

Bu eşitlikteki, ( )[ ] 1111 eeαe1 −′−+′+ ve ( ) 1

2eβ1 −′+ ifadeleri eşitlik (3.14)’ten

yararlanarak açılırsa ve 2.dereceden sonraki terimler ihmal edilirse,

( )[ ] ( )[( ) ( ) ]111

211

2

21111

1111

eeeα2eeα

eeeαe1eeαe1

′′−+′−+

′+′−−′−≅′−+′+ −

(3.155)

( ) ( )22

22

12 eβeβ1eβ1 ′+′−≅′+ − (3.156)

olarak elde edilir.

Eşitlik (3.155) ve Eşitlik (3.156), Eşitlik (3.154)’te yerine konulup çarpımlar

yapılırsa ve 2.dereceden e’li terimler ihmal edilirse,

( ) ( )[( ) ( )]220

22212111

21

21

21111010110

β,αPSS

eeeeββeeβeeβeeα2αeαeαeeeeeeeeeαe1Yy

′−′−′+′′−′+′−+

′++′−′+−′+−′++≅ (3.157)

olarak elde edilir.

( )β,αPSSy tahmin edicisinin yanı,

( )( ) ( )( )YyEyYan β,αPSS

β,αPSS −=

( )( ) ( )[

( ) ( )]2202

2212111

21

21

21111010110

β,αPSS

eeeeββeeβeeβeeα2αeαeαeeeeeeeeeαeEYyYan′−′−′+′′−′+′−+

′++′−′+−′+−′+≅ (3.158)

olarak bulunur.


Eşitlik (3.43) yerine konulursa, ( )β,αPSSy tahmin edicisinin yanı,

63

( )( ) ([( ) ( )]zyyz2

2z2zxxz2zxxz2

2x2

2x2

2x1

2x2

2x2xyyx1xyyx2

β,αPSS

CCρfCfββCCρfCCρfβ

Cfα2CfαCfαCfCfCCρfCCρfαYyYan

−+−+

−++−−−≅

( )( ) ( ) ( )[ ]yz2z2yx

2x3

β,αPSS KββCfKααCfYyYan −+−≅ (3.159)

olarak elde edilir.

( )β,αPSSy tahmin edicisinin hata kareler ortalaması,

( )( ) ( )( )2β,αPSS

β,αPSS YyEyHKO −=

( )( ) ( )[( ) ( )]2220

22212111

21

21

21111010110

β,αPSS

eeeeββeeβeeβeeα2α

eαeαeeeeeeeeeαeEYyHKO

′−′−′+′′−′+′−+

′++′−′+−′+−′+≅ (3.160)



( )( ) []11

2212110

10202

122

122

222

02β,α

PSS

eeα2eeαβ2eeαβ2eeα2

eeα2eeβ2eαeαeβeYyHKO′−′−′+′+

−′−′+++≅ (3.161)

olarak bulunur.


yerine konulursa, ( )β,αPSSy tahmin edicisinin hata kareler ortalaması,

( )( ) [( )]zxxz2zxxz2

2x2

2xyyx2

xyyx1zyyz22x2

22x1

22z1

22y1

2β,αPSS

CCρfCCρfαβ2Cfα2CCρfα2

CCρfα2CCρfβ2CfαCfαCfβCfYyHKO

−+−+

−−+++≅

( )( ) ( )[ ( )]yz2z2yx

2x3

2y1

2β,αPSS K2ββCfK2ααCfCfYyHKO −+−+≅ (3.162)

olarak elde edilir.

64

Önerilen tahmin edicide tanımlanan α ve β sabit katsayılarının optimum değerinin

bulunmasıyla hata kareler ortalamasının minimum değeri bulunabilir. Bu minimum

değer, HKO’sının optimumu bulunmak istenen değere göre türevinin alınıp sıfıra

eşitlenmesiyle bulunur.

( )( )[ ] { ( )[ ( )}]0

αK2ββCfK2ααCfCfY

αyHKO yz

2z2yx

2x3

2y1

2β,αPSS =

∂

−+−+∂=

∂∂

( )( )[ ] ( ) 0K2α2Cf

αyHKO

yx2x3

β,αPSS =−=

∂∂ (3.163)

Eşitlik(3.163)’ten

0yx αKα ==

olarak bulunur.

( )( )[ ] { ( )[ ( )}]0

βK2ββCfK2ααCfCfY

βyHKO yz

2z2yx

2x3

2y1

2β,αPSS =

∂

−+−+∂=

∂∂

( )( )[ ] ( ) 0K2β2CfβyHKO

yz2z2

β,αPSS =−=

∂∂ (3.164)

Eşitlik(3.164)’ten,

0yz βKβ ==

olarak bulunur.

0α ve 0β değerleri ,Eşitlik(3.152)’de yerine konulursa ( )00 β,αPSSy tahmin edicisi,

( )

( )[ ] ( )[ ]ZzKzZ

xxKxxyy

yzyx

β,αPSS

00

−′+′′−+′

= (3.165)

65

şeklinde olur.

0α ve 0β değerleri, Eşitlik (3.108)’de yerine konulursa ( )00 β,αPSSy tahmin edicisinin

yanı,

( )( ) ( ) ( )[ ] 0KKKCfKKKCfYyYan yzyzyz2z2yxyxyx

2x3

β,αPSS

00 =−+−≅ (3.166)

olarak bulunur.

0α ve 0β değerleri, Eşitlik (3.162)’de yerine konulursa ( )00 β,αPSSy tahmin edicisinin


( )( ) ( )[ ( )]yzyzyz2z2yxyxyx

2x3

2y1

2β,αPSSmin K2KKCfK2KKCfCfYyHKO 00 −+−+≅

( )( ) ( )[ ( )]yzyzyz2z2yxyxyx

2x3

2y1

2β,αPSSmin K2KKCfK2KKCfCfYyHKO 00 −+−+≅

( )( ) [ ]2yz

2z2

2yx

2x3

2y1

2β,αPSSmin KCfKCfCfYyHKO 00 −−≅ (3.167)

olarak bulunur.

3.9.3 Prasad, Singh ve Singh tahmin edicisi -3

Prasad, Singh ve Singh (2002), Walsh(1970) ve Reddy(1974)’nin önerdikleri

tahmin edicileri geliştirerek bir başka sabit terim daha ekleyek yeni bir zincirleme

tahmin daha önermişlerdir.

( )

( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]Zγ1zγZ

Zβ1zβZ

xα1xαxyy γ,β,α

PSS −+−+′′−+′

= (3.168)

66

Önerdikleri tahmin edicide, eklenen sabit terimde Z değişkeninin alt örneklemdeki

bilgisi kullanılmıştır. x′ ve z′ ön örneklem ortalamaları; y , x , z alt örneklem

ortalamalarıdır. Z ikinci yardımcı değişkenine ait kitle ortalaması bilinmektedir.

α ,β , γ : sabit değerleri göstermektedir.

Fark yönteminden yararlanılarak Z değişkeninin alt örneklemdeki ortalaması için

yeni bir değer tanımlanır :

ZZze2

−= → ( )2e1Zz += (3.169)

( ) 0eE 2 = (3.170)

( ) 2z1

2z12

222 CfSf

Z1

ZZzEeE ==

−= (3.171)

( ) zyyz1yz120 CCρfSfZY

1Z

ZzY

YyEeeE ==

−

−=

( ) zxxz1xz121 CCρfSfZX

1Z

ZzX

XxEeeE ==

−

−=

( ) zxxz2xz221 CCρfSfZX

1Z

ZzX

XxEeeE ==

−

−′=′

( ) 2z2

2z2222 CfSf

Z1

ZZz

ZZzEeeE ==

−′

−=′ (3.172)

( )γ,β,αPSSy tahmin edicisi, Eşitlik (3.4), Eşitlik (3.40) ve Eşitlik (3.169)’daki e’li terimler

cinsinden yazılarak yeniden ifade edilirse,

67

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]Zγ1e1Zγ

ZZβ1e1Zβ

Ze1Xα1e1Xα

e1Xe1Yy2211

10

γ,β,αPSS −++−+′+′+−++

′++=

( ) ( ) ( )( )[ ]( )( )22111

10

γ,β,αPSS eγ1eβ1eeαe1

e1e1Yy+′+′−+′+

′++=

( ) ( )( ) ( )[ ] ( ) ( ) 12

12

111110

γ,β,αPSS eγ1eβ1eeαe1e1e1Yy −−− +′+′−+′+′++= (3.173)

Bu eşitlikteki ( ) 11eγ1 −′+ ifadesi, eşitlik (3.14)’ten yararlanarak açılırsa ve


( ) 211

11 eγeγ1eγ1 ′+′−=′+ − (3.174)

olarak bulunur.

Eşitlik (3.173)’te, Eşitlik (3.155), Eşitlik (3.156) ve Eşitlik (3.174) yerine konulup

çarpımlar yapılırsa ve 2.dereceden e’li terimler ihmal edilirse,

( ) ( ) {[( )} ( ){ }

( ){ }]2022212122

2121202

2112

121

2111101011220

γ,β,αPSS

eeeγeeeeαeeβγeeeeαeeeββee2eeαeeeeeeeαeeαeβeγe1Yy

−+′−+′+

′′−′+′−′+′−′−+

′+′−′+−+′−−′−−+≅

(3.175)

olarak elde edilir.

( )γ,β,αPSSy tahmin edicisinin yanı,

( )( ) ( )( )YyEyYan γ,β,αPSS

γ,β,αPSS −=

( )( ) ( ) {[( )} ( ){ }

( ){ }]2022212122

2121202

2112

121

2111101011220

γ,β,αPSS

eeeγeeeeαeeβγeeeeαeeeββee2eeα

eeeeeeeαeeαeβeγeEYyYan

−+′−+′+

′′−′+′−′+′−′−+

′+′−′+−+′−−′−−≅

(3.176)

olarak bulunur.

68

Eşitlik (3.176)’da; Eşitlik (3.5), Eşitlik (3.6), Eşitlik (3.7), Eşitlik (3.41), Eşitlik (3.42),

Eşitlik (3.43), Eşitlik (3.170), Eşitlik (3.171) ve Eşitlik (3.172) yerine konulursa, ( )β,αPSSy tahmin edicisinin yanı,

( )( ) ( ){ }[( ){ }

( ){ }]zyyz12z1zxxz2zxxz1

2z2

zxxz2zxxz2zyyz22z2

2x2xyyx2

2x2xyyx1

2x2

2x2

2x1

γ,β,αPSS

CCρfCfγCCρfCCρfαCfβγ

CCρfCCρfαCCρfCfββ

CfCCρfCfCCρfCf2CfCfααYyYan

−+−++

−+−+

++−−−+≅

( )( ) ( )[ ( )( ) ( ){ }]xz32

2zyz

2z1

yz2z2yx

2x3

γ,β,αPSS

KfαβfCKγCfγ

KββCfKααCfYyYan

++−+

−+−≅ (3.177)

olarak elde edilir.

( )γ,β,αPSSy tahmin edicisinin hata kareler ortalaması,

( )( ) ( )( )2γ,β,αPSS

γ,β,αPSS YyEyHKO −=

( )( ) ( ) {[( )} ( ){ }

( ){ }]22022212122

2121202

2112

121

2111101011220

2γ,β,αA

eeeγeeeeαeeβγ

eeeeαeeeββee2eeαeeeeeeeαeeαeβeγeEYyHKO

−+′−+′+

′′−′+′−′+′−′−+

′+′−′+−+′−−′−−≅

(3.178)



( )( ) [ ( ){ }( ){ }( ) ( )]2220

221121

1010112

121

2121202

220

2γ,β,αPSS

eeβ2ee2eγγee2ee2αγee2ee2ee2eeαα

eeeeαee2eββeEYyHKO

′+−+′−+

′+−′−′++

′−′+′−′+≅

(3.179)

olarak bulunur. Eşitlik (3.179)’da; Eşitlik (3.6), Eşitlik (3.7), Eşitlik (3.8), Eşitlik

(3.42), Eşitlik (3.43), Eşitlik (3.171) ve Eşitlik (3.172) yerine konulursa, ( )γ,β,αPSSy

tahmin edicisinin hata kareler ortalaması,

69

( )( ) ( ){ }[( ) {( )} { }]2

z2zyyz12z1zxxz2zxxz2

zyyz22z2zxxz2zxxz1

xyyx2xyyx12x2

2x2

2x1

2y1

2γ,β,αPSS

Cfβ2CCρf2CfγγCCρf2CCρf2α

CCρf2CfββCCρf2CCρf2γ

CCρf2CCρf2Cf2CfCfααCfYyHKO

+−+−

−+−

+−−++≅

( )( ) ( )[ ( ){ }]2

z22zyz1

2z1

yz2z2

2z3xz

2x3yx

2x3

2y1

2γ,β,αPSS

Cfβ2CKf2Cfγγ

K2ββCfCfγK2CfK2CfααCfYyHKO

+−+

−++−+≅

( )( ) ( ){ } ( ){[ }( )]yz

2z2

2zxz

2xyx3

2yyz

2z1

2γ,β,αPSS

K2γ2ββCf

CKγ2CK2ααfCK2γCγfYyHKO

−++

+−++−≅ (3.180)

olarak elde edilir. Önerilen tahmin edicide tanımlanan α , β ve γ sabit

katsayılarının optimum değerinin bulunmasıyla hata kareler ortalamasının

minimum değeri bulunabilir. Bu minimum değer, HKO’sının optimumu bulunmak

istenen değere göre türevinin alınıp sıfıra eşitlenmesiyle bulunur.

( )( )[ ]{ ( ){ } ( ){[ }

( )}]α

K2γ2ββCf

CKγ2CK2ααfCK2γCγfY

αyHKO yz

2z2

2zxz

2xyx3

2yyz

2z1

2

γ,β,αPSS

∂

−++

+−++−∂

≅∂

∂

( )( )[ ] ( ) 0CKγ2K2α2CαyHKO 2

zxzyx2x

γ,β,αPSS =+−=

∂∂ (3.181)


x

zzxyx C

CγρKα −= ,x

zzxzx C

CρK = (3.182)

olarak bulunur.

( )( )[ ]{ ( ){ } ( ){[ }

( )}]β

K2γ2ββCf


βyHKO yz

2z2

2zxz

2xyx3

2yyz

2z1

2

γ,β,αPSS

∂

−++

+−++−∂

≅∂

∂

70

( )( )[ ]0K2γ2β2

βyHKO

yz

γ,β,αPSS =−+=

∂∂ (3.183)


γKβ yz −= (3.184)

olarak bulunur.

( )( )[ ]{ ( ){ } ( ){[ }

( )}]γ

K2γ2ββCf


γyHKO yz

2z2

2zxz

2xyx3

2yyz

2z1

2

γ,β,αPSS

∂

−++

+−++−∂

≅∂

∂

( )( )[ ]0KαKγ

γyHKO

xzyz

γ,β,αPSS =+−=

∂∂ (3.185)

Eşitlik(3.185)’ten,

xzyz KαKγ −= (3.186)

olarak bulunur.

Eşitlik (3.182), Eşitlik (3.184) ve Eşitlik (3.186) birlikte çözülürse,

0zxxz

zxyzyx αKK1

KKKα =

−

−= (3.187)

( )0

zxxz

zxyzyxxz βKK1

KKKKβ =

−

−= (3.188)

0zxxz

xzyxyz γKK1

KKKγ =

−

−= (3.189)

olarak elde edilir.

71

Bulunan değerler ( )( )γ,β,αPSSyHKO ’da yerine konulur.

( )( ) ( )[ ( )( )]xzyx

23

yz2

2yz2

12y

2γ,β,αPSS

Kγα2Kα2αf

Kβ2γβ2βf1Kγ2γfCYyHKO

+−+

−+++−≅ (3.190)

Burada,

231 fff += ve 2y

2y

2 SCY = olmak üzere

( )( ) [ ( )( )]yz

2xzyx

23

yz2

yz2

212y

γ,β,αPSS

Kγ2γKγα2Kα2αf

Kγ2γKβ2γβ2βffSyHKO

−++−+

−+−++≅ (3.191)

olarak elde edilir.

0α , 0β , 0γ optimum değerleri Eşitlik(3.190)’da yerine konularak ( )( )γ,β,αPSSyHKO ’nın en

küçük değeri bulunur.

( )( ) [ ]yz2

22

xz.y312y

γ,β,αPSSmin ρfRffSyHKO −−≅

( )( )

−

−

−+−≅ yz

222

xz

xzyxyz2yx

2yz

312y

γ,β,αPSSmin ρf

ρ1ρρρ2ρρ

ffSyHKO (3.192)

olarak elde edilir.

=2xz.yR Çoklu korelasyon katsayısı

3.10. Singh ve Espejo Tahmin Edicisi

Singh ve Espejo (2007), 2003’te kendi önerdikleri oransal-çarpımsal tahmin ediciyi

geliştirerek yeni bir zincirleme oransal tahmin edici önermişlerdir().

Singh ve Espejo (2003) tahmin edicisi,

72

( )

−+=Xxk1

xXkyyoç (3.193)

Burada, ( )

2K1

k yx+= ‘dir.

Singh ve Espejo (2007) tahmin edicisi,

( )

′−+

′=

xxk1

xxkyyzoç (3.194)

Önerdikleri bu tahmin edicide, Y kitle ortalaması X kitle ortalaması tahmini Eşitlik

(3.193)’te yerine konularak oransal-çarpımsal tahminin birlikte kullanmasıyla

tahmin edilmiştir. X kitle ortalaması basit yolla ön örneklemden tahmin edilmiştir.

zoçy tahmin edicisi Eşitlik(3.4)’deki e’li terimler cinsinden yazılarak yeniden ifade

edilirse,

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )

′++

−++

′++=

1

1

1

10zoç e1X

e1Xk1e1Xe1Xke1Yy

( ) ( )( ) ( )( )( ){ }111

1110zoç e1e1k1e1e1ke1Yy −− ′++−++′++= (3.195)

olarak bulunur.

Eşitlik (3.195)’te, Eşitlik (3.15), Eşitlik (3.58) yerine konulup çarpımlar yapılırsa ve

2.dereceden e’li terimler ihmal edilirse,

[ ( )( )( )]+′+′−′−+′−++−+

+′−′−−′+−+≅2

1111010110

21111010110zoç

eeeeeeeeee1k1

eeeeeeeeee1kYy

[

( ){ }]21

21101011

21111010110zoç

eeeeeeee2k

eeeeeeeeee1Yy

′−+−′+−′+

′+′−′−+′−++≅ (3.196)

73

olarak yeniden yazılır.

zoçy tahmin edicisinin yanı,

( ) ( )YyEyYan zoçzoç −=

( ) [( ){ }]2

121101011

21111010110zoç

eeeeeeee2k

eeeeeeeeeeEYyYan

′−+−′+−′+

′+′−′−+′−+≅ (3.197)

olarak bulunur.

Eşitlik (3.197)’de; Eşitlik (3.5), Eşitlik (3.6), Eşitlik (3.7) yerine konulursa, zoçy

tahmin edicisinin yanı,

( ) [

( ){ }]2x2

2x1xyyx1xyyx2

2x2

2x2xyyx2xyyx1zoç

CfCfCCρfCCρf2k

CfCfCCρfCCρfYyYan

−+−+

++−−=

( ) ( )( )[ ( )( ){ }]2xxyyx21xyyx21zoç CCCρffkCCρffYyYan −−−−=

( )

−−

= 1

CC

ρCkfCC

ρCfYyYanx

yyx

2x3

x

yyx

2x3zoç

( ) [ { ( )}]1KkKCfYyYan yxyx2x3zoç −−= (3.198)

olarak elde edilir.

( )2K1

k yx+= yerine konulursa zoçy tahmin edicisinin yanı,

( ) [ ( )]yxyx2x3zoç K21K1CYfyYan −+= (3.199)

olarak verilir.

74

1K2

Kk

yx

yx

−= için, zoçY yansız bir tahmin edicidir.

zoçy tahmin edicisinin hata kareler ortalaması,

( ) ( )2zoçzoç YyEyHKO −=

( ) [( ){ }]22

121101011

21111010110zoç

eeeeeeee2k

eeeeeeeeeeEYyHKO

′−+−′+−′+

′+′−′−+′−+≅ (3.200)



( ) [ ( )( ) ( )]11

21

21

2111010

21111010

21

21

20

2zoç

ee2eek4eeeeee2

eeeee2eek2eeeYyHKO

′−+′+′−′−+

′+′−−′+′++≅ (3.201)

olarak bulunur.

Eşitlik (3.201)’de; Eşitlik (3.6), Eşitlik (3.7) yerine konulursa, zoçy tahmin edicisinin


( ) ( )[( )( )]2

x22x1

2x2

2

2x2

2x2

2x1

2x2xyyx1xyyx2

x2

2xyyx2xyyx12x2

2x1

2y1

2zoç

Cf2CfCfk4

CfCfCfCfCCρfCCρfk4

CfCCρfCCρf2CfCfCfYyHKO

−++

+−−+−+

−−+++≅

( ) [ ( )( ) ( )( )]2x

2xxyyx21xyyx

2x21

2y1

2zoç kCCCCρffk4CCρ2CffCfYyHKO −+−−+−+=

( )

−+−

++= k1

CC

ρkCf4CC

ρ21CfCfYyHKOx

yyx

2x3

x

yyx

2x3

2y1

2zoç

( ) [ ( ) ( )]k1KkCf4K21CfCfYyHKO yx2x3yx

2x3

2y1

2zoç −+−++=

( ) [ ( ){ }]k1Kk4K21CfCfYyHKO yxyx2x3

2y1

2zoç −+−++≅

75

( ) [ ( )( )]yx2x3

2y1

2zoç K2k21k21CfCfYyHKO +−−+≅ (3.202)

olarak elde edilir.

( )2K1

k yx+= yerine konulursa zoçy tahmin edicisinin hata kareler ortalaması,

( ) [ ( )( )]yxyx2x3

2y1

2zoç K1K1CfCfYyHKO +−+≅

( ) [ ( )]yx22

x32y1

2zoç K1CfCfYyHKO −+≅ (3.203)

olarak elde edilir.

( ) ( )[ ]yx2x3

2y1

2BO K21CfCfYYHKO −+≅ olduğuna göre,

( ) ( ) ( )[ ]yxyx2x3

2BOzoç K2KCfYyHKOyHKO −+≅ (3.204)


76

DÖRDÜNCÜ BÖLÜM

4. İKİ SAFHALI ÖRNEKLEME YÖNTEMİNDE REGRESYON TAHMİN EDİCİLERİ

4.1. İki Safhalı Klasik Regresyon Tahmin Edici

N birimli sonlu bir kitleden basit rastgele örnekleme ile n′ birimli bir ön örneklem

seçilsin. Bu ön örneklemde X değişkeninin kitle ortalaması basit tahmin yoluyla

tahmin edilsin. Daha sonra Y değişkenin kitle ortalamasının tahmini için ön

örneklemden n birimli bir alt örneklem daha seçilsin. Bu örneklemde Y değişkeni

regresyon yoluyla tahmin edilebilir.

Buna göre iki safhalı örnekleme yönteminde Y kitle ortalaması tahmini iki safhalı

klasik regresyon tahminiyle şu şekilde verilir:

)xX(byy yxSR −+= (4.1)

X yerine ön örneklemden basit yolla tahmin edilen değer yerine konulursa iki

safhalı klasik regresyon tahmin edicisi,

)xx(byy yxSR −′+= (4.2)

şeklinde olur.

Burada, x′ yardımcı değişkenin ön örneklem ortalaması, yxb X ile Y arasındaki

örneklem regresyon katsayısıdır.


katsayısı yxb , kitle regresyon katsayısı yxβ olarak alınır.

( )( )

( )∑

∑

=

=

−

−−= N

1i

2i

N

1iii

yx

Xx

YyXxβ , X ile Y arasındaki kitle regresyon katsayısı (4.3)

77

SRy tahmin edicisi, Eşitlik (3.4)’deki e’ li terimler cinsinden yazılarak yeniden ifade

edilirse,

( ) ( ) ( )[ ]11yx0SR e1Xe1Xβe1Yy +−′+++=

( )

−′++= 11yx0SR ee

YXβe1Yy (4.4)

şeklinde yazılabilir.

Eşitlik (4.4)’de yxβ yeniden tanımlanır:

2x

yxyx S

Sβ = ⇒

xy

yxyx SS

Sρ =

xyyx2xyx SSρSβ = ⇒

x

yyxyx S

Sρβ =

x

yyxyx C

CρK = ⇒

XYKβ yxyx = (4.5)

yxρ , X ile Y arasındaki korelasyon katsayısı

yxβ Eşitlik (208)’de yerine konulursa,

( )[ ]11yx0SR eeKe1Yy −′++= (4.6)

olarak bulunur.

Tahmin edicisinin yanı,

( ) ( )YyEyYan SRSR −=

78

( ) ( )[ ]11yx0SR eeKeEYyYan −′+= (4.7)

Eşitlik (4.7)’de; Eşitlik (3.5) yerine konulursa, SRy tahmin edicisinin yanı,

( ) 0yYan SR = (4.8)

SRy tahmin edicisinin yanı sıfır olduğu için SRy tahmin edicisi yansızdır.

SRy tahmin edicisinin hata kareler ortalaması,

( ) ( )2SRSR YyEyHKO −=

( ) ( )[ ]211yx0SR eeKeEYyHKO −′+= (4.9)

şeklindedir. Beklenen değerde kare alınırsa, hata kareler ortalaması,

( ) ( ) ( )[ ]2111

21

2yx1010yx

20

2SR eee2eKeeeeK2eYyHKO +′−′+−′+= (4.10)

olarak bulunur.

Eşitlik (4.10)’da; Eşitlik (3.6) ve Eşitlik (3.7) yerine konulursa, SRy tahmin edicisinin


( ) }{ ( )[ ]2x1

2x2

2x2

2yxxyyx1xyyx2yx

2y1

2SR CfCf2CfKCCρfCCρfK2CfYyHKO +−+−+=

( ) ( ) ( )

−+

−−= 2

x2yx21

x

yyx

2xyx21

2y1

2SR CKff

CC

ρCKff2CfYyHKO

( ) [ ]2x

2yx3

2y1

2SR CKfCfYyHKO −= (4.11)


79

4.2. Mohanty Tahmin Edicileri

Mohanty (1967), iki yardımcı değişken kullanarak iki tahmin edici önermiştir.

4.2.1. Mohanty tahmin edicisi-1

Y kitle ortalaması için önerilen ilk Mohanty tahmin edicisi,

( )[ ]zZxxbyy yx1M −′+= (4.12)

şeklindedir. Önerilen tahmin edicide X kitle ortalaması ön örneklemden basit yolla

tahmin edilmiştir. y , x , z alt örneklem ortalamaları; x′ ön örneklem ortalaması,

yxb , X ile Y arasındaki örneklem regresyon katsayısıdır. Z ikinci yardımcı

değişkenine ait kitle ortalaması bilinmektedir.



1My tahmin edicisi Eşitlik (3.4) ve Eşitlik (3.170)’deki e’ li terimler cinsinden


( ) ( ) ( )}{[ ] ( )211yx01M e1Z

Ze1Xe1Xβe1Yy+

+−′+++=

( ) ( )[ ]( ) 1211yx01M e1eeXβe1Yy −+−′++= (4.13)

Bu eşitlikteki ( ) 12e1 −+ ifadesi, Eşitlik (3.14)’ten yararlanarak açılırsa ve

2.dereceden sonraki e’ li terimler ihmal edilirse,

( ) 222

12 ee1e1 +−=+ − (4.14)

olarak bulunur.

80

Eşitlik (4.14)’te, Eşitlik (3.209), Eşitlik (3.218) yerine konulup çarpımlar yapılırsa ve

2.dereceden e’ li terimler ihmal edilirse,

( )[ ]( )22211yx01M ee1eeKe1Yy +−−′++≅

( )[ ]212111yx2220201M eeeeeeKeeeee1Yy ′−+−′++−−+= (4.15)

olarak elde edilir

1My tahmin edicisinin yanı,

( ) ( )YyEyYan 1M1M −=

( ) ( )[ ]212111yx2220201M eeeeeeKeeeeeEYyYan ′−+−′++−−≅ (4.16)

olarak bulunur.

Eşitlik (4.16)’da; Eşitlik (3.5), Eşitlik (3.6), Eşitlik (3.7), Eşitlik (3.170), Eşitlik

(3.171), yerine konulursa, 1My tahmin edicisinin yanı,

( ) ( )[ ]zxxz2zxxz1yxzyyz12z11M CCρfCCρfKCCρfCfYyYan −+−≅

( ) ( )[ ]zyxzyx3zyyz2z11M CCρρfCCρCfYyYan +−≅

( ) ( )[ ]2zxzyx3yz

2z11M CKKfK1CfYyYan −−≅ (4.17)

şeklinde bulunur.

1My tahmin edicisinin hata kareler ortalaması,

( ) ( )21M1M YyEyHKO −=

81

( ) ( )[ ]2212111yx222020

21M eeeeeeKeeeeeYyHKO ′−+−′++−−= (4.18)

şeklinde elde edilir. Beklenen değerde kare alınıp, 2.dereceden sonraki e’li terimler

ihmal edilirse hata kareler ortalaması,

( ) ( )[( )]21211010yx

1121

21

2yx20

22

20

21M

eeeeeeeeK2ee2eeKee2eeYyHKO

+′−−′+

′−+′+−+≅ (4.19)

olarak bulunur.

Eşitlik (4.19)’da; Eşitlik (3.6), Eşitlik (3.7), Eşitlik (3.171), Eşitlik (3.172), yerine

konulursa, 1My tahmin edicisinin hata kareler ortalaması,

( ) ( )[( )]zxxz1zxxz2xyyx1xyyx2yx

2x2

2x1

2x2

2yxzyyz1

2z1

2y1

21M

CCρfCCρfCCρfCCρfK2Cf2CfCfKCCρf2CfCfYyHKO

+−−+

−++−+≅

( ) ( )

( )

−−−

−+

−+=

x

zxz

x

yyx

2xyx21

2x

2yx21

z

yyz

2z1

2y1

21M

CCρ

CC

ρCKff2

CKffCC

ρ21CfCfYyHKO

( ) ( )[ ( )]zxyx2xyx3

2x

2yx3yz

2z1

2y1

21M KKCKf2CKfK21CfCfYyHKO −−+−+≅

( ) ( ){ }[ ( )]yxzx2xyx3yz

2z

2y1

21M KK2CKfK21CCfYyHKO −+−+≅ (4.20)

olarak elde edilir.

Burada, x

zxzzx C

CρK = ’dir.

82

4.2.2. Mohanty tahmin edicisi-2

Mohanty’nin diğer tahmin edicisi,

( )[ ]zzxxbyy yx2M′

−′+= (4.21)

şeklindedir. Önerdiği ikinci tahmin edicide, ikinci yardımcı değişken Z ‘ye ilişkin ön

ve alt örneklem ortalamaları kullanılmıştır. İlk tahmin edicideki kitle ortalaması Z

yerine, Z değişkenin ön örneklemden elde edilen örneklem ortalaması z′

konulmuştur.



2My tahmin edicisi, Eşitlik (3.4), Eşitlik (3.40) ve Eşitlik (3.169)’ daki e’ li terimler


( ) ( ) ( )}{[ ]( )( ) 12211yx02M e1e1e1Xe1Xβe1Yy −+′++−′+++= (4.22)

olarak bulunur.

Eşitlik (4.22)’de, Eşitlik (3.158) ve Eşitlik (3.209) yerine konulup çarpımlar yapılırsa


[( )]2121212111yx

222220202202M

eeeeeeeeeeKeeeeeeeeee1Yy′′+′−′−+−′+

+′−′+−′+−+≅ (4.23)

olarak elde edilir.

2My tahmin edicisinin yanı,

( ) ( )YyEyYan 2M2M −=

83

( ) [( )]2121212111yx

222220202202M

eeeeeeeeeeKeeeeeeeeeeEYyYan

′′+′−′−+−′+

+′−′+−′+−≅ (4.24)

olarak bulunur.

Eşitlik (4.24)’te; Eşitlik (3.5), Eşitlik (3.6), Eşitlik (3.7), Eşitlik (3.41), Eşitlik (3.42),

Eşitlik (3.43), Eşitlik (3.170), Eşitlik (3.171), Eşitlik (3.172) yerine konulursa, 2My


( ) [( )]zxxz2zxxz1yx

2z1

2z2zyyz2zyyz12M

CCρfCCρfKCfCfCCρfCCρfEYyYan

−+

+−+−≅

( ) ( )( ) ( ) ( )[ ]zxxzyx21zyyz2z212M CCρKffCCρCffYyYan −+−−≅

( )

+

−≅

z

xxz

2zyx3

z

yyz

2z32M C

CρCKf

CC

ρ1CfYyYan

( ) ( )[ ]xzyxyz2z32M KKK1CfYyYan +−≅ (4.25)


2My tahmin edicisinin hata kareler ortalaması,

( ) ( )22M2M YyEyHKO −=

( ) [( )]22121212111yx

22222020220

22M

eeeeeeeeeeK

eeeeeeeeeeYyHKO

′′+′−′−+−′+

+′−′+−′+−≅ (4.26)

şeklindedir.



84

( ) [( ) (

)]212121

211010yx1121

21

2yx

2020222

222

20

22M

eeeeeeeeeeeeK2ee2eeK

ee2ee2ee2eeeEYyHKO

′−′′++

′−−′+′−+′

+′+−′−′++≅ (4.27)

olarak bulunur.

Eşitlik (4.27)’de; Eşitlik (3.6), Eşitlik (3.7), Eşitlik (3.42), Eşitlik (3.43), Eşitlik

(3.171), Eşitlik (3.172) yerine konulursa, 2My tahmin edicisinin hata kareler

ortalaması,

( ) [( )

( )]zxxz1zxxz2xyyx1xyyx2yx

2x2

2x1

2x2

2yxzyyz2

zyyz12z2

2z2

2z1

2y1

22M

CCρfCCρfCCρfCCρfK2Cf2CfCfKCCρf2

CCρf2Cf2CfCfCfYyHKO

+−−+

−+++

−−++≅

( ) ( )

( )

−−−

−+

−+≅

x

zxz

x

yyx

2xyx21

2x

2yx21

z

yyz

2z3

2y1

22M

CCρ

CC

ρCKff2

CKffCC

ρ21CfCfYyHKO

( ) ( )[ ( )]zxyx2xyx3

2x

2yx3yz

2z3

2y1

22M KKCKf2CKfK21CfCfYyHKO −−+−+≅

( ) ( ) ( )[ yxzx2xyx3yz

2z3

2y1

22M KK2CKfK21CfCfYyHKO −+−+≅ (4.28)

olarak elde edilir.

4.3. Kiregyera Regresyon Tahmin Edicileri

Kiregyera (1984), iki yardımcı değişken kullanarak iki zincirleme regresyon tahmin

edici önermiştir.

85

4.3.1. Kiregyera regresyon tahmin edicisi-1

Y kitle ortalaması için önerilen ilk Kiregyera regresyon tahmin edicisi,

−′′

+= xZzxbyy yx1K (4.29)

şeklindedir. Önerilen tahmin edicide, Y kitle ortalaması, X kitle ortalaması tahmini

yerine konularak regresyon yoluyla tahmin edilmiştir. X kitle ortalaması ön

örneklemden ikinci bir değişken yardımıyla oransal yolla tahmin edilmiştir. Z ikinci

yardımcı değişkenine ait kitle ortalaması bilinmektedir.



1Ky tahmin edicisi, Eşitlik (3.4) ve Eşitlik (3.40)’ daki e’li terimler cinsinden yazılarak


( ) ( )( ) ( )

+−

′+′+

++= 12

1yx01K e1XZ

e1Ze1Xβe1Yy

( ) ( )( ) ( )[ ]11

21yx01K e1e1e1Xβe1Yy +−′+′+++= − (4.30)

olarak bulunur.

Bu eşitlikteki ( ) 12e1 −′+ ifadesi, eşitlik (3.14)’ten yararlanarak açılırsa ve

2. dereceden sonraki e’ li terimler ihmal edilirse,

( ) 222

12 ee1e1 ′+′−=′+ − (4.31)

olarak bulunur.

86

Eşitlik (4.30)’da, Eşitlik (3.209) ve Eşitlik (3.235) yerine konulup çarpımlar yapılırsa


( ) ( )( ) ( )[ ]11

21yx01K e1e1e1XXYKe1Yy +−′+′+

++= −

[ ( )( ) ( ){ }11

21yx01K e1e1e1Ke1Yy +−′+′+++= −

[ ( )]2221211yx01K eeeeeeKe1Yy ′+′′−′−−′++≅ (4.32)

olarak elde edilir.

1Ky tahmin edicisinin yanı,

( ) ( )YyEyYan 1K1K −=

( ) [ ( )]2221211yx01K eeeeeeKeEYyYan ′+′′−′−−′+≅ (4.33)

olarak bulunur.


konulursa, 1Ky tahmin edicisinin yanı,

( ) ( )[ ]zxxz22z2yx1K CCρfCfKYyYan −=

( )

−=

z

xxz

2zyx21K C

Cρ1CKfYyYan

( ) ( )xz2zyx21K K1CKfYyYan −= (4.34)

olarak elde edilir.

87

1Ky tahmin edicisinin hata kareler ortalaması,

( ) ( )21K1K YyEyHKO −=

( ) [ ( )]22221211yx01K eeeeeeKeEYyHKO ′+′′−′−−′+≅ (4.35)

şeklindedir. Beklenen değerde kare alınıp, 2.dereceden sonraki e’ li terimler ihmal


( ) {[ ()( ]201010yx

2121112

221

21

2yx

20

21K

eeeeeeK2eeeeee2eeeKeEYyHKO

′−−′+

′−′′+′−′++′+= (4.36)

olarak bulunur.

Eşitlik (4.36)’da; Eşitlik (3.6), Eşitlik (3.7), Eşitlik (3.8), Eşitlik (3.42), Eşitlik (3.43)

yerine konulursa, 1Ky tahmin edicisinin hata kareler ortalaması,

( ) ([( )]zyyz2xyyx1xyyx2yx

zxxz2zxxz2x2

22z2

2x1

2x2

2yx

2y1

21K

CCρfCCρfCCρfK2CCρf2CCρf2Cf2CfCfCfKCfYyHKO

−−+

+−−+++=

( ) ( ){ } ( ){ }[ ]zyyz2xyyx21yx2z2

2x21

2yx

2y1

21K CCρfCCρffK2CfCffKCfYyHKO +−−+−+=

( ) ( )[ ( )]2zyz2

2xyx3yx

2z2

2x3

2yx

2y1

21K CKfCKfK2CfCfKCfYyHKO +−++=

( ) [ ( )]yzyx2zyx2

2x

2yx3

2y1

21K K2KCKfCKfCfYyHKO ++−≅ (4.37)

olarak elde edilir.

88

4.3.2. Kiregyera regresyon tahmin edicisi-2

Kiregyera (1984), iki yardımcı değişken kullanarak zincirleme oransal tahmin edici

önermiştir.

Y kitle ortalaması için önerilen diğer Kiregyera regresyon tahmin edicisi,

( ) ( )[ ]Zzbxxbyy xzyx2K −′−−′+= (4.38)

şeklindedir.

Y kitle ortalaması, X kitle ortalaması tahmini yerine konularak regresyon yoluyla

tahmin edilmiştir. X kitle ortalaması ön örneklemden ikinci bir değişken yardımıyla

regresyon yolla tahmin edilmiştir. Z ikinci yardımcı değişkenine ait kitle ortalaması

bilinmektedir.

2Ky tahmin edicisi, Eşitlik (3.4) ve Eşitlik (3.40)’daki e’li terimler cinsinden yazılarak


( ) ( ) ( ){ } ( ){ }[ ]Ze1Zβe1Xe1Xβe1Yy 2xz11yx02K −′+−+−′+++= (4.38)

olarak bulunur.

Eşitlik (4,38)’de, Eşitlik (3.70), Eşitlik (3.209), Eşitlik (4.39) yerine konulup

çarpımlar yapılırsa,

( ) ( ) ( ){ } ( ){ }

−′+

−+−′+

++= Ze1Z

ZXKe1Xe1X

XYKe1Yy 2xz11yx02K

( ) ( )[ ]2xz11yx02K eKeeYKe1Yy ′−−′++=

( ){ }[ ]2xz11yx02K eKeeKe1Yy ′−−′++=

89

( ){ }[ ]2xz11yx02K eKeeKe1Yy ′−−′++= (4.39)

olarak elde edilir.

2Ky tahmin edicisinin yanı,

( ) ( )YyEyYan 2K2K −=

( ) ( ){ }[ ]2xz11yx02K eKeeKeEYyYan ′−−′+≅ (4.40)

olarak bulunur.

Eşitlik (4.40)’da; Eşitlik (3.5) ve Eşitlik (3.41) konulursa, 2Ky tahmin edicisinin yanı,

( ) 0yYan 2K ≅ (4.41)

olarak elde edilir.

2Ky tahmin edicisinin yanı sıfır olduğu için 2Ky tahmin edicisi yansızdır.

2Ky tahmin edicisinin hata kareler ortalaması,

( ) ( )22K2K YyEyHKO −=

( ) ( ){ }[ ]22xz11yx02

2K eKeeKeYyHKO ′−−′+= (4.42)



( ) [ ( )( ){ }]21xz21xz11

22

2xz

21

21

2yx

20xz1010yx20

22K

eeKeeKee2eKeeK

eeKeeeeK2eEYyHKO

′−′′+′−′++′+

′−−′+= (4.43)

olarak bulunur.

90

Eşitlik (4.43)’de; Eşitlik (3.6), Eşitlik (3.7), Eşitlik (3.42), Eşitlik (3.43) yerine

konulursa, 2Ky tahmin edicisinin hata kareler ortalaması,

( ) [ ( ){

( )}]zxxz2xzzxxz2xz2x2

2z2

2xz

2x1

2x2

2yx

zyyz2xzxyyx1xyyx2yx2y1

22K

CCρfKCCρfKCf2

CfKCfCfK

CCρfKCCρfCCρfK2CfYyHKO

−+−

+++

−−+=

( ) ( )

−+

−−+=

z

yyzxz

2z2xz

x

yyxyx

2xyx21

2y1

22K C

CρKCfK

CC

ρ2KCKffCfYyHKO

( ) ( )[ ( )]yzxz2z2xzyxyx

2xyx3

2y1

22K KKCfKK2KCKfCfYyHKO −+−+=

( ) [ ( )]yzxz2z2xz

2x

2yx3

2y1

22K KKCfKCKfCfYyHKO −+−= (4.44)

olarak elde edilir.

4.4. Roy Tahmin Edicisi

Roy (2003), iki yardımcı değişken kullanarak yansız bir zincirleme regresyon

tahmin edicisi önermiştir.

Y kitle ortalaması için önerilen Roy tahmin edicisi,

( ) ( ){ }[ ]zZkxzZkxkyy 321R −+−′−+′+= (4.45)

şeklindedir.

1k , 2k , 3k : sabit değerleri göstermektedir.

Ry tahmin edicisi, Eşitlik (3.4), Eşitlik (3.40) ve Eşitlik (3.169)’ daki e’ li terimler


( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ){ }{ }[ ]23122110R e1ZZke1Xe1ZZke1Xke1Yy +−++−′+−+′+++=

91

( ) ( ){ }23221110R eZkeZkeeXke1Yy −′−−′++= (4.46)

olarak elde edilir.

Ry tahmin edicisinin yanı,

( ) ( )YyEyYan RR −=

( ) ( ) ( ){ }23221110R eZkeZkeeXEkeEYyYan −′−−′+= (4.47)

olarak bulunur.

Eşitlik (4.47)’de; Eşitlik (3.5), Eşitlik (3.41), Eşitlik (3.170) yerine konulursa, Ry


( ) 0YYan R = (4.48)

olarak elde edilir.

Ry için yanı sıfır olduğu için Ry tahmin edicisi yansızdır.

Ry tahmin edicisinin hata kareler ortalaması,

( ) ( )2RR YyEyHKO −=

( ) ( ){ }[ ]223221110R eZkeZkeeXkeYEyHKO −′−−′+= (4.49)

şeklindedir. Beklenen değerde kare alınıp, 2.dereceden sonraki e’ li terimler ihmal


( ) ( ){[( ) ( )}( ){ }]20320210101

2121321212

22

223

22

22211

21

21

221

20

2R

eeZkeeZkeeeeXk2

eeZXeeZXk2eeZXeeZXk2

eZkeZkee2eeXkeYEyHKO

−′−−′+

−′−′−′′−

+′+′−+′+=

(4.50)

92

olarak bulunur.

Eşitlik (4.50)’de; Eşitlik (3.6), Eşitlik (3.7), Eşitlik (3.42), Eşitlik (3.43), Eşitlik

(3.171), Eşitlik (3.172) yerine konulursa, Ry tahmin edicisinin hata kareler

ortalaması,

( ) ( ){[( )( ){ }]zyyz13zyyz22xyyx1xyyx21

zxxz1zxxz23

2z1

23

2z2

22

2x2

2x1

2x2

221

2y1R

CCρfZkCCρfZkCCρfCCρfXk2

CCρfZXCCρfZXk2

SfkSfkCf2CfCfXkSfyHKO

−−−+

−−

++−++=

( ) ( )(

)2z32

21xz3

21

yz21yx12x

21

2z

22

212

xz321yz31yx1

2z

23

21

2x

21

2y1R

Skkk2Skk2

Skk2Sk2SkSkkf

Skk2Skk2Sk2SkkSkSfyHKO

−+

−+−+

−+−++=

(4.51)

olarak elde edilir.

Önerilen tahmin edicide tanımlanan 1k , 2k , 3k sabit katsayılarının optimal

değerinin bulunmasıyla hata kareler ortalamasının en küçük değeri bulunabilir. Bu

minimum değer, HKO’sının optimumu bulunmak istenen değere göre türevinin

alınıp sıfıra eşitlenmesiyle bulunur.

Buna göre 1k , 2k , 3k sabit katsayılarının optimum değerleri şu şekilde

bulunmustur,

z.yxx

y2

2xz

xzyzyx1 β

SS

ρ1ρρρ

k =

−

−= (4.52)

xz2 βk = (4.53)

z.yx

yzxz3 β

ββk −= (4.54)

93

Eşitlik (4.52), Eşitlik (4.53) ve Eşitlik (4.54), Eşitlik (4.51)’de yerine konulursa Ry

tahmin edicisinin hata kareler ortalamasının en küçük değeri,

( ) ( ) ( )[ ]2z,xy

2yz2

2xz,y1

2y

2Rmin ρρ1fρ1fCYyHKO −+−=

(4.55)

olarak elde edilir.

Burada,

( )2xz

xzyzyx2yz

2yx2

xz,y ρ1ρρρ2ρρ

ρ−

−+= (4.56)

( )( )( )2

xz2yz

2xzyzyx2

z.xy ρ1ρ1ρρρ

ρ−−

−= (4.57)

olmaktadır.

94

BEŞİNCİ BÖLÜM 5. İKİ SAFHALI ÖRNEKLEME YÖNTEMİNDE TAHMİN EDİCİ AİLELERİ 5.1. Singh, Singh ve Shukla Tahmin Edici Ailesi

Singh, Singh ve Shukla (1994), Y kitle ortalaması için bir tahmin edici ailesi

önermiştir. Bu tahmin edici ailesinde iki yardımcı değişken kullanılmıştır.

Y kitle ortalaması için önerilen tahmin edici ailesi

( )( )( )( )

′

=dφψdφψ

xxyy

2

1SSS (5.1)

şeklindedir. Burada,

( ){ } ( ) ( ){ }zZdφ1dφdφψ iii ′

−+= (i=1,2) (5.2)

( )CBfA

Bfdφ1

11 ++= (5.3)

( )CBfA

Cfdφ1

12 ++= (5.4)

( )( )2d1dA −−= , ( )( )4d1dB −−= , ( )( )( )4d3d2dC −−−= (5.5)

( )0d > sabit bir değeri göstermektedir. d’nin aldığı değerlere göre çeşitli zincirleme

oransal tahmin ediciler elde edilebilir.

d=1 için SSSy ⇒ 1Cy , Chand tahmin edicisi-1


d=4 için SSSy ⇒ 0By ., basit oransal tahmin edici

95

SSSy tahmin edicisinin yanı,

( ) ( ) ( )[ ]yz22z2yx

2x3SSS KφCφfK1CfYyYan −−−≅ (5.6)

olarak bulunur. SSSy tahmin edicisinin hata kareler ortalaması ise,

( ) ( ) ( )[ ]yx2x3yz2

2z2

2y1

2SSS K21CfK2φCφfCfYyHKO −+++≅ (5.7)

olarak bulunur. Burada,

( )21 φφφ −=

olmaktadır. Singh ve diğerlerinin önerdiği bu genelleştirilmiş oransal tahmin edici

yardımıyla çeşitli tahmin ediciler ve bu tahmin edicilerin yan ve hata kareler

ortalaması kolayca bulunabilir. Örneğin,


olmaktadır. d=1 değeri Eşitlik (5.3), Eşitlik (5.4) ve Eşitlik (5.5)’te yerine konulursa,

0φ1 = ve 1φ2 = olarak bulunur. Bu değerler Eşitlik (5.6) ve Eşitlik (5.7)’de yerine

konulursa Chand tahmin edicisi-1’in yanı ve hata kareler ortalaması bulunur.

Burada, ( ) ( ) 110φφφ 21 −=−=−= olarak bulunur.

5.2. Singh, Upadhyaya ve Chandra Tahmin Edici Ailesi

Singh, Upadhyaya ve Chandra (2004), iki safhalı örnekleme yönteminde Y kitle

ortalaması için bir tahmin edici ailesi önermişlerdir.

Y kitle ortalaması için önerilen tahmin edici ailesi

321 ααα

bzabZa

bzabZa

xxyt

++

+′+

′

= (5.8)

96

şeklindedir.

321 α,α,α sabit katsayılar, ( )0a ≠ ve b z ikinci yardımcı değişkenine ait parametreler

, ( ) ( )( )zβ,zβ,C,σ 21zz , x′ve z′ ön örneklem ortalamaları; y , x , z alt örneklem

ortalamalarıdır. Z, ikinci yardımcı değişkenine ait kitle ortalaması bilinmektedir.

t tahmin edicisi, Eşitlik (3.4) ve Eşitlik (3.40) ve Eşitlik (3.170)’deki e’li terimler


( ) ( )( ) ( ) ( )

321 α

2

α

2

α

1

10 be1Za

bZabe1Za

bZae1Xe1Xe1Yt

+++

+′++

+′+

+=

( )( ) ( ) ( ) ( ) 32

11

α

2

α

2α1

α10 bZa

be1ZabZa

be1Zae1e1e1Yt−−

−

+++

++′+′+++= (5.9)

olarak bulunur. bZa

Zaφ+

= olmak üzere t tahmin edicisi,

( )( ) ( ) ( ) ( ) 3211 α2

α2

α1

α10 eφ1eφ1e1e1e1Yt −−− +′+′+++= (5.10)

olarak ifade edilir. Bu eşitlikteki ( ) 2α2eφ1 −′+ ve ( ) 3α

2eφ1 −+ ifadeleri, Eşitlik

(3.14)’ten yararlanarak açılırsa ve 2.dereceden sonraki e’li terimler ihmal edilirse,

( ) ( ) 22

2222

α2 eφ

21ααeφα1eφ1 2 ′−

+′−=′+ − (5.11)

( ) ( ) 22

3323

α2 eφ

21αα

eφα1eφ1 3 −+−=+ − (5.12)

olarak bulunur.

Eşitlik (5.10)’da, Eşitlik (3.25) , Eşitlik (3.26), Eşitlik (5.12) ve Eşitlik (5.11) yerine

konulup çarpımlar yapılırsa ve 2.dereceden e’li terimler ihmal edilirse,

97

( ) ( )[ ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ){ }

++′++

′−

++′−

+

′+′−′+′′−′+

+′−−′++′−−′++=

2233

2222

2

11121

121

11

222

32212131212121

2032021010123221110

e1ααe1αα2φeeαe

21αe

21αα

eeφααeeeeφααeeeeφααeeαeeαφeeeeαeαeαφeeαe1t

(5.13)

olarak elde edilir. t tahmin edicisinin yanı,

( ) ( )YtEtYan −=

( ) ( ) ( )[ ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ){ }

++′++

′−

++′−

+

′+′−′+′′−′+

+′−−′++′−−′+≅

2233

2222

2

11121

121

11

222

32212131212121

2032021010123221110

e1ααe1αα2φeeαe

21αe

21αα

eeφααeeeeφααeeeeφαα

eeαeeαφeeeeαeαeαφeeαeEtYan

(5.14)

olarak bulunur.

Eşitlik (5.14)’te; Eşitlik (3.5), Eşitlik (3.6), Eşitlik (3.7), Eşitlik (3.42), Eşitlik (3.43),

Eşitlik (3.170), Eşitlik (3.171) ve Eşitlik (3.172) yerine konulursa, t tahmin edicisinin

yanı,

( ) [ ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ){ }

++++

−

++

−+

+−+−+

+−−≅

2z133

2z222

22x21

21

12x2

11

2z2

232zxxz2zxxz131zxxz2zxxz221

zyyz13zyy22xyyx,1xyyx21

Cf1ααCf1αα2φCfαe

21αCf

21αα

CfφααCCρfCCρfφααCCρfCCρfφαα

CCρfαCCρfαφCCρfCCρfαtYan

98

( ) ( )[ ( )

( )

{ ( )

−−+++

+−+

+

−

+−≅

z

xxz31

z

yyz222

22

322z2

z

xxz3

z

yy333

22z1

x

yyx1

112x21

CCφραα

CC

ρφα1αα2φφααCf

CCφρα

CC

ρφα1αα2φCf

CC

ρα2

1ααCfftYan

( ) [ ( ) { ( ) }( ){ ( )]φαKαφαφK2φαφαCf

K2Kα21αφCφαf1K2αCαf2YtYan

2xz13yz222z2

yzxz132z31yx1

2x13

−−+−+

−++++−≅ (5.15)

olarak elde edilir. t tahmin edicisinin hata kareler ortalaması ise,

( ) ( )2YtEtHKO −=

( ) ( ) ( )[ ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ){ }2

2233

2222

2

11121

121

1122

232

212131212121203202

1010123221110

e1ααe1αα2φ

eeαe2

1αe2

1ααeeφαα

eeeeφααeeeeφααeeαeeαφeeeeαeαeαφeeαeEtHKO

++′++

′−

++′−

+′+

′−′+′′−′++′−

−′++′−−′+≅

(5.16)



( ) ( ) ( )[( ) ( )

( ) ( ){ }]21213212121

20320210101

223222

23

22

22

211

21

21

21

20

eeeeαeeeeαφα2eeαeeαφ2eeeeα2

eeαα2eαeαφee2eeαeEtHKO

−′+′−′′−

+′−−′+

′++′+′−+′+≅

(5.17)

olarak bulunur. Eşitlik (5.17)’de, Eşitlik (3.6), Eşitlik (3.7), Eşitlik (3.42), Eşitlik

(3.43), Eşitlik (3.171) ve Eşitlik (3.172) yerine konulursa, t tahmin edicisinin hata


99

( ) ( )[ ( )( ) ( )

( ) ( ){ }]zxxz2zxxz13zxxz2zxxz221

zyyz13zyy22xyyx,1xyyx21

2z2

232

2z1

23

2z2

22

22x2

2x1

2x2

21

2y1

CCρfCCρfαCCρfCCρfαφα2CCρfαCCρfαφ2CCρfCCρfα2

Cfφαα2CfαCfαφCf2CfCfαCftHKO

−+−−

+−−+

+++−++≅

( )

( )

−−+

−+

−+

−

++≅

x

yyx1

2x121

z

xxz123

z

yyz22

2z2

z

yyz

z

xxz13

2z3

2y1

CC

ρ2αCαff

CCραφαα2

CC

ρ2φααφCf

CC

ρ2CCρα2φαCφαCftHKO

( ) ( ){ }[( ) ( ){ }

( )]yx12x13

xz123yz222z2

yzxz132z3

2y1

K2αCαf

Kαφαα2K2φααφCf

K2Kα2φαCφαCftHKO

−+

−+−+

−++≅

(5.18)

olarak bulunur. Önerilen tahmin edicide tanımlanan 1α 2α , 3α katsayılarının

optimum değerinin bulunmasıyla hata kareler ortalamasının minimum değeri

bulunabilir. Bu minimum değer, HKO’sının optimumu bulunmak istenen değere

göre türevinin alınıp sıfıra eşitlenmesiyle bulunur. Buradan 1α 2α , 3α ’ün optimum

değerleri bulunur: Buna göre,

( )( ) 10

zxxz

yzzxyx1 α

KK1KKK

α =−

−= (5.19)

( )( ) 20

zxxz

yzzxyxxz2 α

KK1φKKKK

α =−

−= (5.20)

( )( ) 30

zxxz

xzyxyz3 α

KK1φKKK

α =−

−= (5.21)

olarak elde edilir.

100

Eşitlik (5.19), Eşitlik (5.20) ve Eşitlik (5.21), Eşitlik (5.18)’de yerine konulursa hata

kareler ortalamasının minimum değeri,

( ) [ ]2xz.y3

2yz21

2ymin RfρffStHKO −−= (5.22)

olarak elde edilir. Burada, ( )( )2

xz

xzyzxy2yz

2xy2

xz.y ρ1ρρρ2ρρR

−−+

= ’dir.

321 α,α,α , ( )0a ≠ ve b yerine uygun değerler konularak çeşitli oransal ve çarpımsal

tahmin ediciler elde edilebilir. Ancak bu tahmin edici ailesiyle tüm tahmin edicilere

ulaşmak imkansızdır.Tezde verilen bir takım tahmin edicilere bu tahmin edici

ailesiyle ulaşılabilir ama hepsine ulaşılamaz. Bu tahmin edicilerin bazıları çizelge

(5.1)’de gösterilmiştir.

Çizelge.5.1. Tahmin Edici Ailesinde Elde Edilen Bazı Tahmin Ediciler

Tahmin edici 1α 2α 3α a b 1. yt0 = 0 0 0 - -

2.

′

=xxytR

1

1

0

0

-

-

3.

′=

xxytp

1 -1 0 0 - -

4. 1α

2 xxyt

′

=

Srivastava (1970)

1α

0

0

-

-

5.

′

′

=zZ

xxyt3

Chand(1975)

1

1

0

1

0

6. 21 αα

4 zZ

xxyt

′

′

=

Srivastava(1990)

1α 2α 0 1 0

101

Tahmin edici 1α 2α 3α a b

7.

+′+

′

=z

z5 Cz

CZxxyt

Upadhyaya ve Singh(1995)

1 1 0 1 zC

8. ( )( )

+′+

′

=z2

z26 Czzβ

CZzβxxyt


1 1 0 ( )zβ2 zC

9. ( )( )

+′+

′

=zβzCzβZC

xxyt

2z

2z7


1 1 0 zC ( )zβ2

10. ( )( )

++′

′

=z2

z28 CZzβ

Czzβxxyt


1 -1 0 ( )zβ2 zC

11. ( )( )

++′

′

=zβZCzβzC

xxyt

2z

2z9


1 -1 0 zC ( )zβ2

12. ( )( )

2α

z2

z210 Czzβ

CZzβxxyt

+′+

′

=

1 2α 0 ( )zβ2 zC

13. ( )( )

2α

2z

2z11 zβZC

zβzCxxyt

++′

′

=

1 2α 0 zC ( )zβ2

14. 2α

z

z12 σz

σZxxyt

+′+

′

=

Singh(2001)

1 2α 0 1 zσ

15. ( )( )

2α

z1

z113 σzzβ

σZzβxxyt

+′+

′

=

Singh(2001)

1 2α 0 ( )zβ1 zσ

102

Tahmin edici 1α 2α 3α a b

16. ( )( )

+′+

′

=z2

z214 σzzβ

σZzβxxyt

1 2α 0 ( )zβ2 zσ

Singh, Upadhyaya ve Chandra (2004), Singh, Singh ve Shukla(1994)’nın önerdiği

tahmin edici ailesini geliştirerek yeni bir tahmin edici ailesi önermişlerdir.

Singh, Upadhyaya ve Chandra’nın önerdiği geliştirilmiş tahmin edici ailesi,

( )( )( )( )

21 α

2

1α

1 dφψdφψ

xxyt

′

= (5.23)

1α , 2α : sabit katsayılardır ve ( ){ }dφψ i , Eşitlik (5.2), Eşitlik (5.3), Eşitlik (5.4) ve

Eşitlik (5.5)’te tanımlandığı gibidir. Burada, 1α1 = ve 1α2 = olduğunda Singh,

Singhve Shukla (1994)’nın önerdiği tahmin edici ailesi elde edilmektedir. Bu

tahmin edici ailesinin yanı,

( ) [ ( ) { ( )]21yz22z22yx1

2x131 φφK2*φαC*φαf1K2αCαf

2YtYan +−+++−≅ (5.24)

olarak elde edilir. Bu tahmin edici ailesinin hata kareler ortalaması ise,

( ) [ ( ) ( )]yx12x12yz22

2z3

2y1

2 K2αCαfK2*φαα*φCfCfYtHKO −++++≅ (5.25)

olarak elde edilir. Burada, 21 φφ*φ −= ’dir.

Önerilen tahmin edicide tanımlanan 1α ve 2α katsayılarının optimum değerinin



eşitlenmesiyle bulunur. Buradan 1α , 2α optimum değerleri :

103

yx1 Kα = (5.26)

*φK

α yz2 −= (5.27)

olarak bulunur.

Eşitlik (5.26), Eşitlik (5.27), Eşitlik (5.25)’te yerine konulursa hata kareler

ortalamasının minimum değeri,

( ) [ ]2yx3

2yz21

2ymin ρfρffStHKO −−= (5.28)

olarak elde edilir.

Singh, Upadhyaya ve Chandra (2004), önerdikleri kendi tahmin edici ailesini

geliştirerek yeni bir tahmin edici ailesi daha önermişlerdir.

Singh, Upadhyaya ve Chandra’nın önerdiği diğer geliştirilmiş tahmin edici ailesi,

( )( )( )( )

( )( )( )( )

321 α

2

1α

2

1α

2 dφ*ψdφ*ψ

dφψdφψ

xxyt

′

= (5.29)

şeklindedir.

1α , 2α , 3α sabit katsayılardır ve ( ){ }dφψ i , Eşitlik (5.2), Eşitlik (5.3), Eşitlik (5.4) ve

Eşitlik (5.5)’te tanımlandığı gibidir.

( ){ } ( ) ( ){ }zZdφ1dφdφ*ψ iii −+= (i=1,2) (5.30)

104

Bu tahmin edici ailesinin yanı,

( ) [ ( ){ }{ ( )}

( ){ ( )}]21yz322z22

21yz32z31

zx3yx12x132

φφK2α2α*φCα*φf

φφK2*φαC*φαf

K*φα21K2αCαf2YtYan

+−+++

+−++

−+−≅

(5.31)

olarak bulunur. Bu tahmin edici ailesinin hata kareler ortalaması ise,

( ) ( ){ }[( ) ( ){ }

( )]yx12x13

xz123yz222z2

xz1yz32z3

2y12

K2αCαf

Kα*φαα2K2*φαα*φCf

Kα2K2*φαCα*φCftHKO

−+

++++

−++≅

(5.32)

olarak bulunur. Burada, 21 φφ*φ −= ‘dir.

Önerilen tahmin edicide tanımlanan 1α , 2α , 3α katsayılarının optimum değerinin



eşitlenmesiyle bulunur. Buradan 1α , 2α , 3α optimum değerleri Eşitlik (5.19), Eşitlik

(5.20), Eşitlik (5.21)’ de verildiği gibidir. 1α , 2α , 3α optimum değerleri Eşitlik (5.32)’

de yerine konulursa hata kareler ortalamasının minimum değeri,

( ) [ ]2xz.y3

2yz21

2y2min RfρffStHKO −−= (5.33)

olarak elde edilir. Burada, ( )( )2

xz

xzyzxy2yz

2xy2

xz.y ρ1ρρρ2ρρR

−−+

= ’dir.

Buradan da görüldüğü gibi Eşitlik(5.22) ve Eşitlik(5.33) birbirine eşittir. Yani Singh

Upadhyaya ve Chandra’nın önerdiği ilk t tahmin edici ailesinin minimum HKO’su ile

sonradan önerdikleri 2t tahmin edici ailesinin minimum HKO’su birbirine eşittir.

( ) ( )2minmin tHKOtHKO = (5.34)

105

ALTINCI BÖLÜM 6. TAHMİN EDİCİLERİN KARŞILAŞTIRILMASI İki safhalı örnekleme yönteminde, ilgilenilen değişken Y’nin kitle ortalaması çeşitli

tahmin edicilerle alt örneklemde tahmin edilir. Tahmin edicilerin

karşılaştırılmasında oransal ve regresyon tahmin ediciler ayrı ayrı ele alınmıştır.

Yardımcı değişkenin kitle ortalaması X , ön örneklemde çeşitli tahmin

yöntemleriyle tahmin edilir. Tahmin edicilerin karşılaştırılmasında, yardımcı

değişken kitle ortalaması X ’nın tahmininde kullanılan çeşitli tahmin ediciler dikkate

alınmıştır. Yardımcı değişkenin kitle ortalaması X ’nın tahmininde kullanılan farklı

tahmin edicilerin hangi koşullar altında etkin olduğu incelenmiştir.

6.1. Oransal Tahmin Edicilerinin Karşılaştırılması 6.1.1. Basit oransal tahmin edici ile Srivastava tahmin edicisinin karşılaştırılması

yxKα = olmak üzere, Eşitlik (3.22) ve Eşitlik (3.38) kullanılarak,

( ) ( )BOs yHKOyHKO <

eşitsizliği yazılır.Buradan,

[ ] ( )[ ]yx2x3

2y1

22xyx

23

2y1

2 K21CfCfYCKfCfY −+<−

( )2yx 1K0 −< (6.1)

elde edilir. Eşitlik (6.1)’deki koşul 1K yx ≠ olduğu durumda her zaman sağlandığı

için sy tahmin edicisi BOy tahmin edicisinden her zaman daha etkin olur. 1K yx =

olduğunda etkinlikleri eşit olur.

106

6.1.2. Basit oransal tahmin edici ile Chand tahmin edicisi-1’in karşılaştırılması

Eşitlik (3.22) ve Eşitlik (3.55) kullanılarak,

( ) ( )BO1C yHKOyHKO <

eşitsizliği yazılır. Buradan,

( ) ( )[ ] ( )BOyz2z2

2BO yHKOK21CfYyHKO <−+

yzK21< (6.2)

elde edilir. Eşitlik (6.2)’deki koşulun sağlanması durumunda 1Cy tahmin edicisi BOy

tahmin edicisinden daha etkin olur.

6.1.3. Basit oransal tahmin edicisi ile Kiregyera oransal tahmin edicisinin karşılaştırılması


( ) ( )BOK yHKOyHKO <


( ) ( ) ( )BOyzxzxz2z2

2BO yHKOK2KKCfYyHKO <−+

( ) 0K2KK yzxzxz <−

0KK2 xzyz << (6.3)

ya da

0KK2 xzyz >> (6.4)

107

elde edilir. Eşitlik (6.3) ya da Eşitlik (6.4)’teki koşulların sağlanması durumunda Ky

tahmin edicisi BOy tahmin edicisinden daha etkin olur.

6.1.4. Chand tahmin edicisi-1 ile Kiregyera oransal tahmin edicisinin karşılaştırılması


( ) ( )1CK yHKOyHKO <


( ) ( )yzxzxz2z2

2BO K2KKCfYyHKO −+ ( ) ( )[ ]yz

2z2

2BO K21CfYyHKO −+<

( ) yzyzxzxz K21K2KK −<−

( )1KK21K xzyz2xz −<−

( )( ) ( )1KK21K1K xzyzxzxz −<+−

1K xz > ise 2

1KK xzyz

+> (6.5)

ya da

1K xz < ise 2

1KK xzyz

+< (6.6)

elde edilir. Eşitlik (6.5) ya da Eşitlik (6.6)’daki koşulların sağlanması durumunda

Ky tahmin edicisi 1Cy tahmin edicisinden daha etkin olur.

6.1.5. Upadhyaya tahmin edicisi ile Kiregyera oransal tahmin edicisinin karşılaştırılması


( ) ( )KU yHKOyHKO <

108


( )2yx2x3 1KCf1 −< (6.7)

elde edilir. Eşitlik (6.7)’deki koşul 1K yx ≠ olduğu durumda her zaman sağlandığı

için Uy tahmin edicisi Ky tahmin edicisinden her zaman daha etkin olur. 1K yx =


6.1.6. Singh ve Upadhyaya tahmin edicisi-1 ile Singh ve Upadhyaya-tahmin edicisi-3’ün karşılaştırılması

Eşitlik (3.96) ve Eşitlik (3.115) kullanılarak

( ) ( )1su3su yHKOyHKO <


( ) ( )yzyz11 K2θθK2θθ −<−

( )θθK2θθ 1yz22

1 −<−

( )( ) ( )θθK2θθθθ 1yz11 −<+−

θθ1 > ise ( )2θθK 1

yz+

> (6.8)

ya da

θθ1 < ise ( )2θθK 1

yz+

< (6.9)

elde edilir. Eşitlik (6.8) yada Eşitlik (6.9)’daki koşulların sağlanması durumunda

3suy tahmin edicisi 1suy tahmin edicisinden daha etkin olur.

6.1.7. Singh ve Upadhyaya tahmin edicisi-1 ile Singh ve Upadhyaya tahmin edicisi-4’ün karşılaştırılması


109



( ) ( )yzyz22 K2θθK2θθ −<−

( )θθK2θθ 2yz22

2 −<−

( )( ) ( )θθK2θθθθ 2yz22 −<+−

θθ2 > ise ( )2θθK 2

yz+

> (6.10)

ya da

θθ2 < ise ( )2θθK 2

yz+

< (6.11)



6.1.8. Singh ve Upadhyaya tahmin edicisi-3 ile Singh ve Upadhyaya tahmin edicisi-4’ün karşılaştırılması




( ) ( )yz11yz22 K2θθK2θθ −<−

( )12yz2

122 θθK2θθ −<−

( )( ) ( )12yz1212 θθK2θθθθ −<+−

12 θθ > ise ( )2θθK 12

yz+

> (6.12)

ya da

110

12 θθ < ise ( )2θθK 12

yz+

< (6.13)



6.1.9. Singh ve Upadhyaya tahmin edicisi-1 ile Singh genelleştirilmiş tahmin edicisi-1’in karşılaştırılması

Eşitlik (3.96) ve Eşitlik (3.136) kullanılarak i=1 için,

( )( ) ( )1su1

sg yHKOyHKO <


( ) ( )yzyz11 K2θθK2φφ −<−

( )θφK2θφ 1yz22

1 −<−

( )( ) ( )θφK2θφθφ 1yz11 −<+−

11 θφ > ise ( )2θφK 1

yz+

> (6.12)

ya da

θφ1 < ise ( )2θφK 1

yz+

< (6.13)

elde edilir. Eşitlik (6.12) ya da Eşitlik (6.13)’ekikoşulların sağlanması durumunda

sg)1(y tahmin edicisi 1suy tahmin edicisinden daha etkin olur.

6.1.10. Singh ve Upadhyaya tahmin edicisi-3 ile Singh genelleştirilmiş tahmin edicisi-3’ün karşılaştırılması

Eşitlik (3.115) ve Eşitlik (3.136) kullanılarak i=3 için,

( )( ) ( )3su3

sg yHKOyHKO <

111


( ) ( )yz11yz33 K2θθK2φφ −<−

( )13yz2

123 θφK2θφ −<−

( )( ) ( )13yz1313 θφK2θφθφ −<+−

13 θφ > ise ( )

2θφ

K 13yz

+> (6.14)

ya da

13 θφ < ise ( )

2θφ

K 13yz

+< (6.15)

elde edilir. Eşitlik (6.14) ya da Eşitlik (6.15)’teki koşulların sağlanması durumunda

sg)3(y tahmin edicisi 3suy tahmin edicisinden daha etkin olur.

6.1.11. Singh genelleştirilmiş tahmin edicisi-1 ile Singh genelleştirilmiş tahmin edicisi-2’nin karşılaştırılması

Eşitlik (3.136) kullanılarak i=1 ve i=2 için,

( )( ) ( )( )1sgsg

2 yHKOyHKO <


( ) ( )yz11yz22 K2φφK2φφ −<−

( )12yz2

122 φφK2φφ −<−

( )( ) ( )12yz1212 φφK2φφφφ −<+−

12 φφ > ise ( )2φφK 12

yz+

> (6.16)

ya da

12 φφ < ise ( )2φφK 12

yz+

< (6.17)

elde edilir. Eşitlik (6.16) ya da Eşitlik (6.17)’deki koşulların sağlanması durumunda

112

sg)2(y tahmin edicisi sg

)1(y tahmin edicisinden daha etkin olur.

6.1.12. Singh genelleştirilmiş tahmin edicisi-2 ile Singh genelleştirilmiş tahmin edicisi-3’ün karşılaştırılması


( )( ) ( )( )2sgsg

3 yHKOyHKO <


( ) ( )yz22yz33 K2φφK2φφ −<−

( )23yz2

223 φφK2φφ −<−

( )( ) ( )23yz2323 φφK2φφφφ −<+−

23 φφ > ise ( )

2φφ

K 23yz

+> (6.18)

ya da

23 φφ < ise ( )

2φφ

K 23yz

+< (6.19)




6.1.13. Singh genelleştirilmiş tahmin edicisi-1 ile Singh genelleştirilmiş tahmin edicisi-3’ün karşılaştırılması


( )( ) ( )( )1sgsg

3 yHKOyHKO <


113

( ) ( )yz11yz33 K2φφK2φφ −<−

( )13yz2

123 φφK2φφ −<−

( )( ) ( )13yz1313 φφK2φφφφ −<+−

13 φφ > ise ( )

2φφ

K 13yz

+> (6.20)

ya da

13 φφ < ise ( )

2φφ

K 13yz

+< (6.21)

elde edilir. Eşitlik (6.20) ya da Eşitlik (6.21)’deki koşulların sağlanması durumunda



6.1.14. Kiregyera oransal tahmin edicisi ile Prasad, Singh ve Singh tahmin edicisi-1’in karşılaştırılması

yzKθ = olmak üzere, Eşitlik (3.76) ve Eşitlik (3.152) kullanılarak,

( ) ( )KPSS yHKOyHKO <


( ) ( ) ( )yzxzxz2z2

2BO

2yz

2z2

2BO K2KKCfYyHKOKCfYyHKO −+<−

( )2xzyzxz

2yz

2z2

2 KKK2KCfY0 +−<

( )2xzyz KK0 −< (6.22)

elde edilir. Eşitlik (6.22)’deki koşul xzyz KK ≠ olduğu durumda her zaman

sağlandığı için PSSy tahmin edicisi Ky tahmin edicisinden her zaman daha etkin

olur. xzyz KK = olduğunda etkinlikleri eşit olur.

114

6.1.15. Chand tahmin edicisi-1 ile Prasad, Singh ve Singh tahmin edicisi-1’in karşılaştırılması


( ) ( )1CPSS yHKOyHKO <


( ) ( ) ( )[ ]yz2z2

2BO

2yz

2z2

2BO K21CfYyHKOKCfYyHKO −+<−

( )1K2KCfY0 yz2yz

2z2

2 +−<

( )2yz 1K0 −< (6.23)

elde edilir Eşitlik (6.23)’teki koşul 1K yz ≠ olduğu durumda her zaman sağlandığı

için PSSy tahmin edicisi 1Cy tahmin edicisinden her zaman daha etkin olur. 1K yz =


6.1.16. Upadhyaya tahmin edicisi ile Prasad, Singh ve Singh tahmin edicisi-1’in karşılaştırılması


( ) ( )UPSS yHKOyHKO <

Eşitsizliği yazılır. Buradan,

( )[ ] [ ( )]yzxz2zxz2

2x

2yx3

2y1

22yz

2z2yx

2x3

2y1

2 K2KCKfCKfCfYKCfK21CfCfY −+−<−−+

( ) ( )2xzyz2z2

2yx

2x3 KKCf1KCf −<−

( ) ( )2xzyz

2

yxz

x

2

3 KK1KCC

ff

−<

− (6.24)

115

elde edilir. Eşitlik (6.24)’teki koşul sağlandığı durumda PSSy tahmin edicisi Uy


6.1.17. Upadhyaya tahmin edicisi ile Prasad, Singh ve Singh tahmin edicisi -2’nin karşılaştırılması

yxKα = ve yzKβ = olmak üzere, Eşitlik (3.86) ve Eşitlik (3.167) kullanılarak,

( )( ) ( )Uβ,α

PSS yHKOyHKO <

Eşitsizliği yazılır. Buradan,

[ ] [ ( )]yzxz2zxz2

2x

2yx3

2y1

22yz

2z2

2yx

2x3

2y1

2 K2KCKfCKfCfYKCfKCfCfY −+−<−−

( )2xzyz KK0 −< (6.25)

elde edilir. Eşitlik (6.25)’teki koşul xzyz KK ≠ olduğu durumda her zaman sağlandığı

için ( )β,αPSSy tahmin edicisi Uy tahmin edicisinden her zaman daha etkin olur.

xzyz KK = olduğu durumda etkinlikleri eşit olur.

6.1.18. Prasad, Singh ve Singh tahmin edicisi-1 ile Prasad, Singh ve Singh tahmin edicisi-2’nin karşılaştırılması

yxKα = ve yzKβ = olmak üzere, Eşitlik (3.152) ve Eşitlik (3.167) kullanılarak,

( )( ) ( )PSSβ,α

PSS yHKOyHKO <


[ ] ( )[ ]2yz

2z2yx

2x3

2y1

22yz

2z2

2yx

2x3

2y1

2 KCfK21CfCfYKCfKCfCfY −−+<−−

( )2yx 1K0 −< (6.26)

116

elde edilir. Eşitlik (6.26)’daki koşul 1K yx ≠ olduğu durumda her zaman sağlandığı

için ( )β,αPSSy tahmin edicisi PSSy tahmin edicisinden her zaman daha etkin olur.

1K yx = olduğunda etkinlikleri eşit olur.

6.1.19. Prasad, Singh ve Singh tahmin edicisi-2 ile Prasad, Singh ve Singh tahmin edicisi-3’ün karşılaştırılması


( )( ) ( )( )β,αPSS

γ,β,αPSSmin yHKOyHKO <


[ ]2yz

2z2

2yx

2x3

2y1

2yz

222

xz

xzyxyz2yx

2yz

312y KCfKCfCfYρf

ρ1ρρρ2ρρ

ffS −−<

−

−

−+−

[ ]2yz2

2yx31

2yyz

222

xz

xzyxyz2yx

2yz

312y ρfρffSρf

ρ1ρρρ2ρρ

ffS −−<

−

−

−+−

( )

( )2xz

2yzxzyx2

y3 ρ1ρρρ

Sf0−

−< (6.27)

elde edilir. Eşitlik (6.27)’deki koşul yzxzyx ρρρ ≠ ve 1ρxz ≠ olduğu durumda her

zaman sağlandığı için ( )γ,β,αPSSy tahmin edicisi ( )β,α

PSSy tahmin edicisinden her zaman

daha etkin olur. yzxzyx ρρρ = olduğunda etkinlikleri eşit olur.

6.2. Regresyon Tahmin Edicilerinin Karşılaştırılması

6.2.1. İki safhalı klasik regresyon tahmin edicisi ile Mohanty tahmin edicisi-1’in karşılaştırılması


117

( ) ( )SR1M yHKOyHKO <


[ ] ( ){ }[ ( )]yxzx2xyx3yz

2z

2y1

22xyx

23

2y1

2 KK2CKfK21CCfYCKfCfY −+−+<−

( )1K2CfCKKf2 yz2z1

2xzxyx3 −<

( ) 2x

2z

3

1

yz

zxyx

CC

ff

1K2KK2

>−

(6.28)

elde edilir. Eşitlik (6.28)’deki koşulun sağlandığı durumda 1My tahmin edicisi SRy


6.2.2. Mohanty tahmin edicisi-2 ile Kiregyera regresyon tahmin edicisi-1’in karşılaştırılması


( ) ( )2M1K yHKOyHKO <


( ) 2xzxyx3yz

2z3

2zyzyx2

2yx

2z2 CKKf2K21CfCKKf2KCf +−<+

( ) ( )

+

−<+ zx

yx

yz2zyx3yzyxyx

2z2 K2

KK21

CKfK2KKCf

( ) ( )

+

−<+ zx

yx

yz3yzyx2 K2

KK21

fK2Kf

( ) ( )yzyxzx

yx

yz

3

2 K2KK2K

K21ff

+

+

−> (6.29)

elde edilir. Eşitlik (6.29)’daki koşulun sağlandığı durumda 1Ky tahmin edicisi 2My


118

6.2.3. Kiregyera regresyon tahmin edicisi-1 ile Kiregyera regresyon tahmin edicisi-2’nin karşılaştırılması


( ) ( )1K2K yHKOyHKO <


[ ( )] [ ( )]yzyx2zyx2

2x

2yx3

2y1

2yzxz

2zxz2

2x

2yx3

2y1

2 K2KCKfCKfCfYKKCKfCKfCfY ++−<−+−

( ) ( )]yzyxyzxz K2KKK +<− ( )0K xz >

( ) yzyxxz K3KK <−

( )0K xz > ise ( )

3KK

K yxxzyz

−> (6.30)

ya da

( )0K xz < ise ( )

3KK

K yxxzyz

−< (6.31)

elde edilir. Eşitlik (6.30) ya da Eşitlik (6.31)’deki koşulların sağlandığı durumda 2Ky

tahmin edicisi 1Ky tahmin edicisinden daha etkin olur.

Tahmin edicilerin karşılaştırılması sonucunda, bazı tahmin edicilerin her koşulda

bazı tahmin edicilere göre üstünlükleri teorik olarak gösterilmiştir. Prasad, Singh ve

Singh (2002) üç adet tahmin edici önermiştir. Her önerdikleri tahmin edici bir

önceki önerdikleri tahmin ediciden her koşulda daha etkin bulunmuştur. Ayrıca

önerdikleri üç tahmin edicinin de her koşulda Chand (1975), Kiregyera (1980)

tahmin edicilerinden daha etkin oldukları teorik olarak gösterilmiştir. Önerdikleri ilk

tahmin edici hariç diğer iki tahmin edicilerinin Upadhyaya (1990) tahmin

edicisinden her koşulda etkin olduğu teorik olarak gösterilmiştir. Diğer tahmin

edicilerin birbirine göre etkinlikleri koşullar altında teorik olarak bulunmuştur. Bu

teorik karşılaştırmalar uygulama bölümünde sayısal değerler yardımıyla

gösterilecektir.

119

YEDİNCİ BÖLÜM 7. SAYISAL ÖRNEK Sayısal örnekte, “Türkiye genelinde ilk ve ortaöğretim olanaklarının incelenmesi ve

belirlenen aksaklıklara çözüm önerilerinin getirilmesi” konulu projede kullanılan

Milli Eğitim Bakanlığı verileri kullanılmıştır. Türkiye’de ilk ve ortaöğretim olanakları,

ilçe, il ve coğrafik bölge bazında farklılıklar göstermektedir. Bu çalışmada, bu

farklılıklar Türkiye’deki 923 ilçede ölçülen çeşitli değişkenlere göre incelenmiştir.

Sayısal örnek için bu değişkenlerden üçü seçilmiştir. İlgilenilen değişken Y, 2006

yılında ÖSS’ye göre yerleşen öğrenci sayısı; ilk yardımcı değişken X

ortaöğretimdeki okul sayısı, ikinci yardımcı değişken Z ÖSS hazırlık dersane

sayısı olarak alınmıştır. Bu çalışmada, ilçe başına düşen ortaöğretimdeki okul

sayısı ve ilçe başına düşen ÖSS hazırlık dersane sayısından yararlanarak 2006

yılında ÖSS’ye göre ilçelerde yerleşen ortalama öğrenci sayısı tahmin edilmeye

çalışılacaktır.

İki safhalı örnekleme yönteminde, kitle birimi ilçelerdir. Kitle 923 tane ilçeden

oluşmaktadır. Ön örneklem ve alt örneklem yerine konmadan basit rasgele

örnekleme ile seçilir. Örneklem büyüklüklerinin tahmininde ,

2

2y

2

0 dSt

n = ⇒

Nn1

nn0

0

+= , (7.1)

eşitlikleri kullanılabilir (Çıngı,1994).

Bu eşitliklerden yararlanarak ön ve alt örneklem büyüklükleri tahmin edilir.

Ön örneklem için, hoş görülebilecek hata miktarı (d), yaklaşık olarak 50

alındığında ön örneklem büyüklüğü 765 olarak tahmin edilmiştir.

50d = için ön örneklem büyüklüğü,

( )4493,41

502808381*4

dSt

n 22

2y

2

0 === (7.2)

120

765

92341,44931

41,4493

Nn1

nn0

0 ≅+

=+

=′ (7.3)

olarak tahmin edilir. ( )2808381S2y =

765 birimlik ön örneklemden seçilecek alt örneklem büyüklüğü için hoş

görülebilecek hata miktarı (d), yaklaşık olarak 100 alındığında alt örneklem

büyüklüğü 447 olarak tahmin edilmiştir.

765n =′ ve d=100 için seçilen alt örneklem büyüklüğü,

( )30,0731

1002683257*4

dSt

n 22

2y

2

0 === (7.4)

447

76530,07311

30,0731

Nn1

nn0

0 ≅+

=+

= (7.5)

olarak tahmin edilir ( )2683257S2y = .

N=923 olan kitleden, basit rasgele örnekleme ile yerine konmadan 765n =′

büyüklüğinde ön örneklem seçilmiştir. Bu örneklemde X ve Z değişkenlerine ait

tahminler yapılacaktır. Daha sonra basit rasgele örnekleme ile yerine koymadan

765n =′ olan ön örneklemden 447n = büyüklüğünde bir alt örneklem seçilmiştir.

Bu örneklemde Y, X ve Z değişkenlerine ait tahminler yapılacaktır. Örneklemlere

ve kitleye ait bilgiler Çizelge (7.1) ve Çizelge (7.2)’de gösterilmiştir


Ortaöğretimdeki Okul Sayısı X, ÖSS Hazırlık Dersane Sayısı Z

Değişkenlerine Ait Kitle Bilgileri

46,729Y = 30,8X = 87,2Z =

2808381S2y = 908,148S2

x = 236,113S2z =

2973,2Cy = 4699,1Cx = 7073,3Cz =

93,0ρyx = 733,0ρyz = 667,0ρxz =

1404,3Cyx = 2430,6Cyz = 6347,3Cxz =

121

4535,1K yx = 4542,0K yz = 2645,0K xz =

663,1127βyx = 441,115βyz = 765,0βxz =

( ) 162,399zβ2 = ( ) 26,17zβ1 = N=923


Ortaöğretimdeki Okul Sayısı X, ÖSS Hazırlık Dersane Sayısı Z

Değişkenlerine Ait Örneklem Bilgileri { ( )765n =′ ,(n=447) }

765n =′ 447n = ( ) 0012,0N1

n1f1 =−=

40,8x =′ 66,557y = ( ) 0002,0N1

n1f2 =−′=

92,2z =′ 82,2z = 00010,0

n1

n1f3 =

′−=

57,8x = 498,3byx =

175,4bxz =

Üçüncü ve dördüncü bölümde incelenen tüm tahmin edicilerin, bu örneklemler ve

kitle üzerinden tahminleri, yanları ve hata kareler ortalaması hesaplanmıştır.

Yalnızca Chand (1975)’ın önerdiği çarpımsal-oransal tahmin edici ( )2Cy ve Singh

ve Espejo (2007)’nun önerdiği çarpımsal-oransal tahmin edici ( )zoçy , iki değişken

arasındaki doğrusal ilişkinin negatif olması gerektiğinden hesaplanamamıştır.

Tahmin edicilerin tahmin, yan ve hata kareler ortalaması değerleri ve HKO’ların

küçükten büyüğe doğru sıralanışı Çizelge (7.3)’te gösterilmiştir.

122

Çizelge (7.3) Tahmin Edicilerin Tahmin, Yan ve Hata Kareler Ortalaması Değerleri

ve HKO Sıralaması { ( )765n =′ ,(n=447) }

Tahmin Edici Tahmin Yan HKO HKO

SırasıZincirleme Basit Oransal TE’si

xxyyBO′

= 740,67 -0,66 1201,17

13

Srivastava (1970)’nın TE’si α

s xxyy

′

= 748,81 0,03 981,25

10

Chand (1975) TE’si1

′′

= Zzx

xyy 1C

727,99 0,56 1350,99

16

Kiregyera (1980) Oransal.TE’si

( )[ ]zZbxxyy xzK ′−+′=

722,26 -0,55 922,46

8

Upadhyaya (1990) TE’si ( )[ ]( )

′−+′

′−+′=

xxbyxx

zZbxyy

yx

xzU

736,29 0,85 702,54

4

Singh ve Upadhyaya (1995) TE’si-1

+′+′=

z

z1su Cz

CZxxyy

749,96 -2,09 864,05

6


x1Cf

1xyy 2

x22su ′

+=

716,79 -26,32 1708,51

17


( )( )

+′+′=

z2

z23su Czzβ

CZzβxxyy

728,03 -1,68 1345,25

15


( )( )

+′+′=

zβzCzβZCx

xyy

2z

2z4su

740,34 -0,69 1163,671

12

123

Tahmin Edici Tahmin Yan HKO HKO Sırası

Singh Genelleştirilmiş (2001) TE’si-1

( )

+′+′=

Z

Zsg

1

σzσZx

xyy

737,94 -0,88 959,20

9


( ) ( )( )

+′+′=

z1

z1sg

2

σzzβσZzβx

xyy

730,20 -1,50 1086,31

11


( ) ( )( )

+′+′=

z2

z2sg

3

σzzβσZzβx

xyy

728,10 -1,67 1334,69

14

Prasad,Singh ve Singh (2002) TE’si-1

( )[ ]Z

zZKZxxyy yz

PSS

′−+

′

=

734,81 -1,13 863,52

5

Prasad,Singh ve Singh (2002) TE’si-2

( )

( )[ ] ( )[ ]Zβ1zβZ

xα1xαxyy β,α

PSS −+′′−+′

=

728,30 yansiz 643,61

3

Prasad,Singh ve Singh (2002) -3

( )

( )[ ] ( )[ ] ( )[ γ1zγZ

Zβ1zβZ

xα1xαxyy γ,β,α

PSS −+−+′′−+′

=

756,72 2,92 583,86

2

İki Safhalı Klasik Regresyon TE’si )xx(byy yxSR −′+=

755,07 yansiz 981,25

10

Mohanty (1967) TE’Si-1

( )[ ]zZxxbyy yx1M −′+=

768,45 2,73 6982,33

19

124

Tahmin Edici Tahmin Yan HKO HKO Sırası

Mohanty (1967) TE’Si-2

( )[ ]zzxxbyy yx2M′

−′+=

781,84 4,44 10105,51

20

Kiregyera (1984)Regresyon TE’Si-1

−′′

+= xZzxbyy yx1K

754,56 2,40 6599,76

18

Kiregyera (1984) Regresyon TE’Si-2

( ) ( )[ ]Zzbxxbyy xzyx2K −′−−′+=

754,34 yansiz 899,12

7

Roy (2003) TE’si ( ) ( ){ }[ ]zZkxzZkxkyy 321R −+−′−+′+=

740,05 yansiz 583,80

1

7.1. Teorik Karşılaştırmaların Uygulamadaki Sonuçları Altıncı bölümde verilen teorik karşılaştırmaların uygulamadaki sonuçları şu

şekildedir. Uygulamadaki 765n =′ olan ön örneklem ve n=447 olan alt örneklemin

sonuçları üzerinde karşılaştırmalar verilecektir.

Basit oransal tahmin edici ile Chand tahmin edicisi-1 karşılaştırıldığında, 21K yz>

koşulu altında ( ) ( )BO1C yHKOyHKO < eşitsizliği sağlanmaktadır. Uygulamada

45,0K yz = olarak bulunmuştur. Bu durumda 21K yz> koşulu sağlanmaz.

( ){ } ( ){ }17,1201yHKO99,1350yHKO BO1C =<= olduğu görülmektedir. Koşul

sağlanmadığı için BOy tahmin edicisi 1Cy tahmin edicisinden daha etkindir.

Basit oransal tahmin edici ile Kiregyera oransal tahmin edicisi karşılaştırıldığında,

0KK2 xzyz << ya da 0KK2 xzyz >> koşulu altında ( ) ( )BOK yHKOyHKO < eşitsizliği

sağlanmaktadır. Uygulamada 45,0K yz = ve 27,0K xz = bulunmuştur.

125

Bu durumda { } { } 027,0K90,0K2 xzyz >=>= koşulu sağlanır.

( ){ } ( ){ }17,1201yHKO46,922yHKO BOK =<= olduğu görülmektedir. Koşul sağlandığı

için Ky tahmin edicisi BOy tahmin edicisinden daha etkindir.

Chand tahmin edicisi-1 ile Kiregyera oransal tahmin edicisi karşılaştırıldığında,

1K xz > ise 2

1KK xzyz

+> ya da 1K xz < ise

21KK xz

yz+

< koşulu altında

( ) ( )1CK yHKOyHKO < eşitsizliği sağlanmaktadır. Uygulamada 45,0K yz = ve

27,0K xz = olarak bulunmuştur.

Bu durumda, 127,0K xz <= ’dir ve { }

=

+<= 635,0

2127,045,0K yz koşulu sağlanır.

( ){ } ( ){ }99,1350yHKO46,922yHKO 1CK =<= olduğu görülmektedir. Koşul sağlandığı

için Ky tahmin edicisi 1Cy tahmin edicisinden daha etkindir.

Singh ve Upadhyaya tahmin edicisi-1 ile Singh ve Upadhyaya-tahmin edicisi-3

karşılaştırıldığında, θθ1 > ise ( )2θθK 1

yz+

> ya da θθ1 < ise ( )2θθK 1

yz+

<

koşulunda ( ) ( )1su3su yHKOyHKO < eşitsizliği sağlanmaktadır. Uygulamada

436,0θ = ve 997,0θ1 = olarak bulunmuştur. Bu durumda θθ1 > ‘dir.

Fakat { } ( ) ( )

=

+=

+>= 71,0

2997,0436,0

2θθ45,0K 1

yz koşulu sağlanmaz.

( ){ } ( ){ }05,864yHKO25,1345yHKO 1su3su =>= olduğu görülmektedir. Koşul

sağlanmadığı için 1suy tahmin edicisi 3suy tahmin edicisinden daha etkindir.

Singh ve Upadhyaya tahmin edicisi-1 ile Singh ve Upadhyaya-tahmin edicisi-4

karşılaştırıldığında, θθ2 > ise ( )2θθK 2

yz+

> ya da θθ2 < ise ( )2θθK 2

yz+

<

koşulunda ( ) ( )1su4su yHKOyHKO < eşitsizliği sağlanmaktadır. Uygulamada

436.0θ = ve 026,0θ2 = olarak bulunmuştur. Bu durumda θθ2 < ‘dir. Fakat

{ } ( ) ( )

=

+=

+<= 23,0

2026,0436,1

2θθ45,0K 2


126

( ){ } ( ){ }05,864yHKO67,1163yHKO 1su4su =>= olduğu görülmektedir. Koşul

sağlanmadığı için 1suy tahmin edicisi 4suy tahmin edicisinden daha etkindir.

Singh ve Upadhyaya tahmin edicisi-1 ile Singh genelleştirilmiş tahmin edicisi-1

karşılaştırıldığında, θφ1 > ise ( )2θφK 1

yz+

> ya da θφ1 < ise ( )2θφK 1

yz+

<

koşulunda ( )( ) ( )1susg1 yHKOyHKO < eşitsizliği sağlanmaktadır. Uygulamada

436.0θ = ve 212,0φ1 = olarak bulunmuştur. Bu durumda θφ1 < ‘dir. Fakat

{ } ( ) ( )

=

+=

+<= 32,0

2212,0436,0

2θφ45,0K 1


( )( ){ } ( ){ }05,864yHKO2,959yHKO 1susg1 =>= olduğu görülmektedir. Koşul

sağlanmadığı için 1suy tahmin edicisi ( )sg

1y tahmin edicisinden daha etkindir.

Singh ve Upadhyaya tahmin edicisi-3 ile Singh genelleştirilmiş tahmin edicisi-3

karşılaştırıldığında, 13 θφ > ise ( )

2θφK 13

yz+

> ya da 13 θφ < ise ( )

2θφK 13

yz+

<

koşulunda ( )( ) ( )3susg3 yHKOyHKO < eşitsizliği sağlanmaktadır. Uygulamada

997,0θ1 = ve 991,0φ3 = olarak bulunmuştur. Bu durumda 13 θφ < ‘dir ve

( ) ( ) 99,02

997,0991,02θφ45,0K 23

yz =+

=+

<= koşulu sağlanır.

( )( ){ } ( ){ }25,1345yHKO7,1334yHKO 3susg3 =<= olduğu görülmektedir. Koşul

sağlandığı için ( )sg

3y tahmin edicisi 3suy tahmin edicisinden daha etkindir.

Singh genelleştirilmiş tahmin edicisi-1 ile Singh genelleştirilmiş tahmin edicisi-2

karşılaştırıldığında, 12 φφ > ise ( )2φφK 12

yz+

> ya da 12 φφ < ise ( )2φφK 12

yz+

<

koşulunda ( ) ( )sg)1(

sg)2( yHKOyHKO < eşitsizliği sağlanmaktadır. Uygulamada

21,0φ1 = ve 82,0φ2 = olarak bulunmuştur. Bu durumda, 12 φφ > ‘dir.

{ } ( ) ( )

=

+=

+>= 51,0

282,021,0

2φφ45,0K 21

yz koşulu sağlanmamaktadır.

127

( ){ } ( ){ }20,959yHKO31,1086yHKO sg)1(

sg)2( =>= olduğu görülmektedir. Koşul

sağlanmadığı için sg)1(y tahmin edicisi sg

)2(y tahmin edicisinden daha etkindir.


karşılaştırıldığında, 13 φφ > ise ( )

2φφK 31

yz+

> ya da 13 φφ < ise ( )

2φφK 31

yz+

<




{ } ( ) ( )

=

+=

+>= 60,0

2991,021,0

2φφ45,0K 31


( ){ } ( ){ }20,959yHKO7,1334yHKO sg)1(





karşılaştırıldığında, 23 φφ > ise ( )2φφ

K 32yz

+> ya da 23 φφ < ise ( )

2φφ

K 32yz

+<




{ } ( ) ( )

=

+=

+>= 90,0

2991,0823,0

2φφ45,0K 32


( ){ } ( ){ }31,1086yHKO7,1334yHKO sg)2(




Upadhyaya tahmin edicisi ile Prasad. Singh ve Singh tahmin edicisi-1

karşılaştırıldığında, ( ) ( )2xzyz

2

yxz

x

2

3 KK1KCC

ff

−<

− koşulu altında

( ) ( )UPSS yHKOyHKO < eşitsizliği sağlanmaktadır. Uygulamada, 45,0K yz = ,

45,1K yx = ve 026K xz = olarak bulunmuştur. Bu durumda

128

( ) ( ){ }0360,0KK1344,01KCC

ff 2

xzyz

2

yxz

x

2

3 =−<

=

− sağlanmaz.

( ) ( ) 54,702yHKO52,863yHKO UPSS =>= olduğu görülmektedir. Koşul

sağlanmadığı için Uy tahmin edicisi PSSy tahmin edicisinden daha etkindir.

İki safhalı klasik regresyon tahmin edicisi ile Mohanty tahmin edicisi-1

karşılaştırıldığında, ( )1K2KK2

CC

ff

yz

zxyx2x

2z

3

1

−> koşulu altında ( ) ( )SR1M yHKOyHKO <

eşitsizliği sağlanmaktadır. Uygulamada 45,0K yz = , 45,1K yx = , 68,1K zx = ,

74,13C2z = , 16,2C2

x = 0012,0f1 = ve 0010,0f3 = olarak bulunmuştur. Bu durumda

( )

−=−

<

= 41,531K2

KK289,7

CC

ff

yz

zxyx2x

2z

3

1 koşulu sağlanmaz.

( ){ } ( ){ }=>= 1K1M yHKO33,6982yHKO olduğu görülmektedir. Koşul sağlanmadığı

için 1My tahmin edicisi SRy tahmin edicisinden daha etkindir.

Mohanty tahmin edicisi-2 ile Kiregyera regresyon tahmin edicisi-1’in

karşılaştırıldığında, ( ) ( )yzyxzx

yx

yz

3

2 K2KK2K

K21ff

+

+

−> koşulu altında

( ) ( )2M1K yHKOyHKO < eşitsizliği sağlanmaktadır. Uygulamada 45,0K yz = ,

45,1K yx = , 68,1K zx = , 0002,0f2 = ve 0010,0f3 = olarak bulunmuştur. Bu

durumda, ( ) ( )

=+

+

−<

= 45,1K2KK2K

K2124,0

ff

yzyxzxyx

yz

3

2 koşulu sağlanır.

( ){ } ( ){ }51,10105yHKO76,6599yHKO 2M1K =<= olduğu görülmektedir. Koşul

sağlandığı için 1Ky tahmin edicisi 2My tahmin edicisinden daha etkindir.

129

Kiregyera tahmin edicisi-1 ile Kiregyera tahmin edicisi-2 karşılaştırıldığında,

( )0K xz > ise ( )

3KK

K yxxzyz

−> koşulu altında ( ) ( )1K2K yHKOyHKO < eşitsizliği

sağlanmaktadır. Uygulamada 45,0K yz = , 45,1K yx = ve 27,0K xz = olarak

bulunmuştur. Bu durumda, { } 027,0K xz >= ’dır ve

{ } ( )

−=

−>= 39,0

345,127,045,0K yz koşulu sağlanır.

( ){ } ( ){ }76,6599yHKO12,899yHKO 1K2K =<= olduğu görülmektedir. Koşul

sağlandığı için 2Ky tahmin edicisi 1Ky tahmin edicisinden daha etkindir.

Bu uygulama sonuçları altıncı bölümde verilen tahmin edicilerin teorik

karşılaştırılmalardaki sonuçlarına uygun olarak bulunmuştur.

Uygulama sonuçlarına göre HKO sıralaması incelendiğinde en etkin tahmin edici

Roy (2003) zincirleme regresyon tahmin edicisidir. Aynı zamanda yansız bir

tahmin edicidir. En etkin olmayan tahmin edici ise Mohanty (1967)’nin önerdiği

ikinci zincirleme regresyon tahmin edicisidir.

Diğer tahmin ediciler arasında, Prasad, Singh ve Singh (2002)’nın önerdiği tahmin

ediciler ile Upadhyaya (1990) tahmin edicisi etkin olan tahmin edicilerdir. Bu

tahmin edicilerin özelliği ortalamaların ağırlıklandırılarak iç içe oransal tahmin

yoluyla Y kitle ortalamasının tahmininin yapılmasıdır. Etkin olmayan tahmin

ediciler ise, Singh ve Upadhyaya (2001) tahmin edicileri ile Mohanty (1967) ve

Kiregyera (1984) regresyon tahmin edicileridir.

Örneklem büyüklüklerinin etkisini görmek amacıyla farklı büyüklükte iki ön

örneklem ve her örneklemden farklı büyüklükte iki alt örneklem seçilerek tahmin

edicilerin HKO’ları hesaplanmıştır. Örneklem büyüklükleri Eşitlik (7.1) kullanılarak

hesaplanmıştır.

Ön ve alt örneklem büyüklükleri Çizelge(7.4) gösterilmiştir.

130

Çizelge(7.4) Ön ve Alt Örneklem Büyüklükleri

Hata Miktarı

(d1)

Varyans

( )2S

Ön Örneklem Büyüklüğü

Varyans

( )2S

Hata miktarı(d2)

Alt Örneklem Büyüklüğü

50 2808381 765 2683257 100 447

50 2808381 765 2683257 200 200

100 2808381 506 2848052 100 350

100 2808381 506 2848052 200 182

Farklı örneklem büyüklükleri için tahmin edicilerin HKO’ları Çizelge (7.5)’te

gösterilmiştir.

Çizelge (7.5) Farklı Ön ve Alt Örneklem Büyüklükleri İçin Tahmin Edicilerin HKO

Değerleri

HKO

506n =′ 765n =′

TE

n=182 n=350 n=200 n=447

BOy 4674,33

3050,00

2902,80

1201,17

sy 3842,34

2841,69

2029,51

981,25

1Cy 5272,16

3647,83

3052,62

1350,99

Ky 3562,25

1937,92

2624,09

922,46

Uy 2730,26

1729,61

1750,81

702,54

1suy 3329,18

1704,84

2565,68

864,05

2suy 4665,38

3042,01

3392,08

1708,51

3suy 5249,23

3624,90

3046,87

1345,25

4suy 4524,72 2900,38 2865,30 1163,67

131

HKO 506n =′ 765n =′

TE

n=182 n=350 n=200 n=447 ( )

sg1y

3708,84 2084,51 2660,83 959,20 ( )

sg2y

4216,02 2591,69 2787,93 1086,31 ( )

sg3y

5207,12 3582,79 3036,32 1334,69

PSSy 3327,09 1702,76 2565,15 863,52 ( )β,αPSSy

2495,09 1494,45 1691,87 643,61 ( )γ,β,αPSSy 2269,07 1437,86 1454,63 583,86

SRy 3842,34 2841,69 2029,51 981,25

1My 26576,92 8981,91 25414,62 6982,33

2My

39038,89 21443,88 28537,80 10105,51

1Ky 26261,08 25260,43 7648,02 6599,76

2Ky

3514,63 2513,99 1947,38 899,12

Ry

2268,82 1437,86 1454,38 583,80

Örneklem büyüklüğü 765n =′ olan ön örneklemde, örneklem büyüklüğü n=200

olan alt örneklemde tahmin ediciler için hesaplanan HKO değerleri, örneklem

büyüklüğü 506n =′ olan ön örneklemde, örneklem büyüklüğü n=182 olan alt

örneklemde tahmin ediciler için hesaplanan HKO değerlerinden daha küçüktür.

Aynı şekilde örneklem büyüklüğü 765n =′ olan ön örneklemde, örneklem

büyüklüğü n=447 olan alt örneklemde tahmin ediciler için hesaplanan HKO

değerleri, örneklem büyüklüğü 506n =′ olan ön örneklemde, örneklem büyüklüğü

n=350 olan alt örneklemde tahmin ediciler için hesaplanan HKO değerlerinden

daha küçüktür. Bu durumda ön örneklem büyüklüğü büyük olduğunda tahmin

edicilerin etkinlikleri artmaktadır. Ancak her zaman ön örneklem büyüklüğü daha

büyük olması tahmin edicilerin etkinliğinde tek başına katkısı olmaz. Hem ön

132

örneklem büyüklüğünün hem de alt örneklem büyüklüğünün büyük olması tahmin

edicilerin etkinliklerinin artırılmasında önemli rol oynamaktadır.

506n =′ büyüklüğündeki ön örneklemde alt örneklemlerdeki tahmin edicilerin hata

kareler ortalaması incelendiğinde n=350 iken hesaplanan HKO değerleri n = 182

iken hesaplanan HKO değerlerinden daha küçüktür. Aynı şekilde, 765n =′

büyüklüğündeki ön örneklemde alt örneklemlerdeki tahmin edicilerin hata kareler

ortalaması incelendiğinde n=447 iken hesaplanan HKO değerleri n=200 iken

hesaplanan HKO değerlerinden daha küçüktür. Seçilen alt örneklem büyüklükleri

arttıkça tahmin edicilerin HKO değerleri düşmektedir. Yani alt örneklem

büyüklüğünün artırılması durumunda tahmin edicilerin etkinlikleri artmaktadır.

Uygulama sonucunda hem ön örneklem büyüklüğü hem de alt örneklem

büyüklüğü daha büyük olduğunda en küçük HKO değerleri hesaplanmıştır. Yalnız

her zaman bu sonuca ulaşmak imkansızdır. Yapılan uygulama sonucunda bu

sonuçlar elde edilmiştir. Örneklem büyüklükleriyle ilgili genelleme yapmak yanlış

olacaktır. Yukarıda verilen bilgiler sadece uygulama sonuçlarına dayanan

bilgilerdir.

133

SEKİZİNCİ BÖLÜM 8. SONUÇ VE TARTIŞMA Oransal ve regresyon tahmin edicilerle ilgilenilen değişken ile yardımcı değişken

arasındaki korelasyon bilgisini ve regresyon bilgisini kullanarak tahmin edicilerin

duyarlılıkları artırılabilir. Oransal ve regresyon tahmin edicilerin kullanılması için

yardımcı değişkene ait kitle ortalamasının bilinmesi gerekmektedir. Birçok

istatistikçi yardımcı değişkene ait kitle bilgisini maksimum düzeyde kullanarak bu

oransal ve regresyon tahmin edicilerin duyarlılığını artırmak için yeni tahmin

ediciler geliştirmişlerdir. Bu çalışmada yardımcı değişken bilgisinin eksik ya da

elde edilebilir olmadığı durumda kullanılan iki safhalı örnekleme yönteminde

geliştirilen tahmin ediciler ayrıntılı olarak incelenmiş ve bu tahmin edicilere ilişkin

yan ve hata kareler ortalamaları hesaplanarak etkinlikleri araştırılmıştır.

Yardımcı değişken kitle bilgisinin yararlanıldığı bir çok tahmin edici bu çalışmada

incelenmiştir.

Yardımcı değişkene ilişkin kitle değişim katsayısı ve basıklık katsayısı bilindiği

durumda Singh ve Upadhyaya (1995, 2001) tahmin edicileri kullanılabilir. Koşullar

altında tahmin edicilerin birbirine olan etkinlikleri bu parametrelere bağlı olarak

değişmektedir. Uygulamada, yalnızca yardımcı değişkene ait değişim katsayısının

kullanıldığı Singh ve Upadhyaya (1995) tahmin edicisi diğer Singh ve Upadhyaya

(2001) tahmin edicilerine göre daha iyi sonuçlar vermiştir. Singh ve Upadhyaya

(2001) tahmin edicileri arasında en iyi sonucu veren tahmin edici ise değişim

katsayısının çarpım olarak , basıklık katsayısının ise toplam olarak eklendiği Singh

ve Upadhyaya tahmin edicisi-4’tür. En kötü sonucu veren tahmin edici ise Singh ve

Upadhyaya tahmin edicisi-2’dir.

Çarpıklık katsayısı ve standart sapmanın bilindiği durumda Singh (2001) tahmin

edicileri kullanılabilir. Koşullar altında tahmin edicilerin birbirine olan etkinlikleri bu

parametrelere bağlı olarak değişmektedir. Uygulamada, yalnızca yardımcı

değişkene ait standart sapmanın kullanıldığı tahmin edici diğer Singh (2001)

tahmin edicilerine göre daha iyi sonuçlar vermiştir.

134

Singh (2001), Singh ve Upadhyaya (1995, 2001) tahmin edicilerinde değişim

katsayısı yerine standart sapma kullanmıştır. Bu bakımdan bu tahmin ediciler

karşılaştırılarak değişim katsayısı ve standart sapmanın tahmin edicilere etkisi

bulunabilir. Uygulamada değişim katsayısının kullanıldığı Singh ve Upadhyaya

(1995) tahmin edicisi-1, standart sapmanın kullanıldığı Singh (2001) geliştirilmiş

tahmin edicisi-1’e göre daha etkin bulunmuştur. Diğer taraftan basıklık katsayısı ve

standart sapmanın kullanıldığı Singh (2001) geliştirilmiş tahmin edicisi-3, basıklık

katsayısı ve değişim katsayısının kullanıldığı Singh ve Upadhyaya (2001) tahmin

edicisi-3’ten daha etkin bulunmuştur.

Prasad, Singh ve Singh (2002) çeşitli dönüşümlerden yararlanarak iki safhalı

örnekleme yönteminde çeşitli tahmin ediciler önermişlerdir. Kullanılan dönüşüme

ve katsayılara göre tahmin edicilerin etkinlikleri değişmektedir. Bu katsayıları

kullanırken ön örneklem ve alt örneklem ortalamalarını ağırlıklandırarak iç içe

oransal tahmin ediciler önermişlerdir. Bu tahmin ediciler arasında ön örneklem ve

alt örneklem tahminlerinin kullanıldığı tahmin edici en etkin bulunmuştur.

Singh, Singh ve Shukla (1994), bir çok önemli tahmin ediciye ulaşılmasını

sağlayan tahmin edici ailesi önermişlerdir. Aynı şekilde Singh, Upadhyaya ve

Chandra (2004), Singh, Singh ve Shukla (1994) tahmin edici ailesini geliştirerek

çeşitli tahmin edici aileleri önermişlerdir. Yalnız bu tahmin edici aileleri yardımıyla

sadece oransal ve çarpımsal tahmin edicilere ulaşılmaktadır. Regresyon tahmin

edicilere ve diğer bazı ağırlıklandırılarak elde edilen tahmin edicilere

ulaşılamamaktadır. Örneğin tezde ele alınan tüm tahmin edicilere bu aileler yoluyla

ulaşılamamıştır. Tahmin edici aileleri incelendiğinde bir çok tahmin edicinin

minimum hata kareler ortalaması birbirine eşit olmaktadır. Buradan, bu tahmin

edici aileleri yardımıyla birbirine benzer tahmin edicilere ulaşıldığı sonucu

çıkarılabilir.

İki safhalı örneklemede alt ve ön örneklem büyüklükleri tahmin edicilerin

etkinliklerinde önemlidir. Uygulamada örneklem büyüklüklerinin etkisini görmek için

dört örneklem seçilmiştir. Elde edilen sonuçlar sadece dört örneklemle sınırlıdır.

Örneklem büyüklüklerine göre tahmin edicilerin etkinliklerinin değiştiği görülmüştür.

Örneklem büyüklüğü arttıkça tahmin edicilerin de etkinlikleri artmıştır. Fakat bu

135

yorumu sadece dört örneklemle sınırlayıp genel bir sonuç çıkartmak doğru

değildir. Başka koşulların sağlanması durumunda tahmin edicilerin etkinlik

sıralaması değişecektir.

Uygulamada en etkin tahmin edici, HKO sıralamasına göre Roy (2003) zincirleme

regresyon tahmin edicisidir. Fakat, en etkin tahmin edici Roy (2003) zincirleme

regresyon tahmin edicisi olmasına rağmen, HKO sıralamasına göre genel olarak

zincirleme oransal tahmin edicilerin, zincirleme regresyon tahmin edicilerden daha

etkin olduğu görülmektedir. Prasad, Singh ve Singh (2002) tahmin edicisi-3, Roy

(2003) zincirleme regresyon tahmin edicisinden sonra gelen en etkin oransal

tahmin edicidir. Roy (2003) zincirleme regresyon tahmin edicisi hariç diğer

regresyon tahmin ediciler uygulamada HKO sıralamasında en sonda yer alan

tahmin edicilerdir. Tahmin edicilerin önerildiği tarihler de dikkate alınırsa son

zamanlarda iki safhalı örnekleme yönteminde daha çok oransal tahmin edicilerin

önerildiği ve daha iyi sonuçlar verdiği söylenebilir. Dolayısıyla iki safhalı örnekleme

yönteminde oransal tahmin edicilerin geliştirilmesi önerilebilir.

Aynı zamanda bu çalışmada ön ve alt örneklemler, yerine konulmadan basit

rasgele örnekleme yöntemi ile seçilmiştir. Her iki örneklemin seçiminde başka

örnekleme yöntemleri kullanılarak tahmin edicilerin etkinlikleri artırılabilir.

136

Kaynaklar

Ahmed, M.S., 1998, A Note on Regression Type Estimators Using Multiple Auxiliary

Information, Austrilian&New Zealand Journal of Statistics, 40, 373-376.

Chand, L., 1975, Some Ratio-Type Estimators Based on Two or More Auxiliary

Variables, Ph. D. Dissertation, Iowa State University, Ames, Iowa.

Chandra, P., Singh, H.P., 2003, A Family of Unbiased Estimators in Two Phase

Sampling Using Two Auxiliary Variables, Statistics in Transition, 6, No :1, 131-141.

Çıngı, H., 1994, Örnekleme Kuramı, H.Ü.Fen Fakültesi Basımevi, Beytepe.

Çıngı, H., 2004, Hacettepe Üniversitesi İstatistik Bölümü Lisansüstü Eğitimi

Örnekleme Ders Notları.

Diana,G., Tommasi, C., 2004, Optimal Use of Two Auxiliary Variables in Double

Sampling, Statistical Methods and Applications,13, 275-284.

Dulal Chandra Roy, 2003, A Regression Type Estimator in Two Phase Sampling

Using Two Auxiliary Variables, Pak. Journal of Statistics, 19, 281-290.

Hartley, H.O., Ross, A., 1954, Unbiased Ratio Estimators, Nature, 174, 270-271.

İnal, C., Günay, S., 1978, Olasılık ve Matematiksel İstatistik, Hacettepe Üniversitesi

Fen Fakültesi Yayınları.

Johnson, G.K.T., 1969, Some Contributions to The Theory of Two-Phase Sampling,

Ph. D. Dissertation, Iowa State University, Ames, Iowa.

Kiregyera, B.K., 1980, A Chain Ratio Type Estimators in Finite Population Double

Sampling Using Two Auxiliary Variables, Metrika, 27, 217-223.

137

Kiregyera, B.K., 1984, Regression Type Estimators Using Two Auxiliary Variables

and The Model of Double Sampling from Finite Populations, Metrika, 31, 215-226.

Mohanty, S., 1967, Combination of Regression and Ratio Estimate, Journal Indian

Statistics Association, 5, 16-19.

Prasad, B., Singh, R.S., Singh, H. P., 2002, Modified Chain Ratio Estimators for

Finite Population Mean Using Two Auxiliary Variables in Double Sampling, Statistics

in Transition,5 , No:6, 1051-1066.

Reddy, V. N. ,1974, On a Transformed Ratio Method of Estimation, Sankhya, 35, 59-

70.

Sahoo, J., Sahoo, L.N., 1993, A Class of Estimators in Two Phase Sampling Using

Two Auxiliary Variables, Journal of The Indian Statistical Association, 31, 107-114.

Sahoo, J., Sahoo, L.N., Mohanty, S., 1993, A Regression Approach to Estimation in

Two Phase Sampling Using Two Auxiliary Variables, Current Sciences, 65, No:1, 73-

75.

Singh, G.N., Upadhyaya, L.N., 2001, An Emprical Study of Modified Ratio Estimators

in Two Phase Sampling in Presence of Coefficient of Variation of The Auxiliary

Variable, Statistics in Transition,5 , No:2, 319-326.

Singh, G.N., Upadhyaya, L.N., 1995, A Class of Modified Chain Type Estimators

Using Two Auxiliary Variables in Two Phase Sampling, Metron, 53 , 117-125.

Singh G.N., 2001, On The Use of Transformed Auxiliary Variable in The Estimation of

Population Mean in Two Phase Sampling, Statistics in Trasition, 5, No:3, 405-416.

Singh G.N., 2002, Estimation of Population Ratio in Two Phase Sampling, Statistics

in Trasition, 5, No:6, 1067-1079.

138

Singh, H.P., Espejo, M.R., 2007, Double Sampling Ratio-Product Estimator of a

Finite Population Mean in Sample Surveys, Journal of Applied Statistics, 1, 71-85.

Singh, H.P., Kahran, M.S., 1993, A Modified Ratio Estimator Using Known Coeffient

of Kurtosis of an Auxiliary Character, Summitted to Journal of Indian Society of

Agricultural Statistics, New Delphi, India.

Singh, H.P., Espejo, M.R., 2003, on Linear Regression and Ratio-Product Estimation

of a Finite Population Mean, The Statistician, 52, 59-67.

Singh, H.P., Upadhyaya, L.N., Chandra P., 2004, A General Family of Estimators for

Estimating Population Mean Using Two Auxiliary Variables in Two Phase Sampling,

Statistics İn Transition,5 , No:7, 1055-1077.

Singh, S., 2003, Advanced Sampling Theory with Applications, ”How Michael

‘selected’ Amy”, Kluwer Academic Publishers.

Singh, V.K., Singh G.N., Shukla, D., 1994, A Class of Chain Ratio Type Estimators

with Two Auxiliary Variables Under Double Sampling Scheme, The Indian Journal of

Statistics, 56, 209-221.

Sisodia, B.V.S., Dwivedi, V.K., 1981, A Modified Ratio Estimator Using Coefficient of

Variation of Auxiliary Variable, Journal Indian Society Agricultural Statistics, 2, 13-18.

Srivastava, S.K., 1970, A Two Phase Sampling Estimator in Sample Surveys,

Austrilian Journal of Statistics, 12, 23-27.

Srivastava, S.R., Srivastava, S.R., Khare, B.B., 1989, Chain Ratio Type Estimator

For Ratio of Two Populatio Means Using Two Auxiliary Characters, Communication

Statistics, 18, 3917-3926.

Srivenkataramana, T., Tracy, D.S., 1989, The Two Phase Sampling for Selection with

Probability Proportional to Size in Sample Surveys, Biometrika, 76, 818-821.

139

Adams, R.A., 1999, Calculus: A Complete Course, Addison Wesley Longman Ltd.,

Canada.

Srivenkataramana, T., Tracy, D.S., 1981, Extending Product Methods of Estimation

to Positive Correlation Case in Surveys, Australian journal Statistics, 23, 95-100.

Srivenkataramana, T., Tracy, D.S., 1980, An Alternative to Ratio Method in Sample

Survey, Ann.Inst.Statist.Math., 23, 111-120.

Turanlı, M., Güriş, S., 2000, Temel İstatistik, Der Yayınevi, İstanbul.

Upadhyaya, L.N., Singh, H.P., 1999, Use of Transformed Auxiliary Variable in

Estimating The Finite Population Mean, Biometrical Journal, 5, 627-636.

Upadhyaya, L.N., Srivastava, S.R, 2001, The Use of A Known Coefficient of Variation

in The Estimation of Mean of A Normal Distribution from Double Samples, Statistics

in Transition, 5, No:3, 435-442.

Walsh, J.E., 1970, Generalization of Ratio Estimate for Population Total, Sankya, A,

32, 99-106.

ÖZGEÇMİŞ

Adı Soyadı : Nilgün Özgül Doğum Yeri : Ankara

Doğum Yılı : 1982

Medeni Hali : Bekar

Eğitim ve Akademik Durumu:

Lise: 1996-2000 Kurtuluş Lisesi

Lisans: 2000-2004 Hacettepe Üniversitesi İstatistik Bölümü

Yabancı Dil: İngilizce

İş Tecrübesi:

2004-: Hacettepe Üniversitesi İstatistik Bölümü

mean estimators in two phase samplingyunus.hacettepe.edu.tr/~hcingi/nilgun_ozgul_tez.pdf ·...

Documents