meca´nica cla´sica -...

Mecanica Clasica

M. Antonella CidDepartamento de Fısica - Facultad de Ciencias

Universidad del Bıo-Bıo

23 de junio de 2012

Introduccion

El fısico ruso George Gamow establece quefue el pueblo griego el que dio origen a laFısica como ciencia. En su libro “Biografıade la Fısica” menciona, es interesante notarque mientras las culturas mas antiguas comoBabilonia y Egipto contribuyeron en gran me-dida al desarrollo de las matematicas y la as-tronomıa fueron completamente esteriles enel desarrollo de la fısica. La explicacion po-sible de esta deficiencia, en comparacion conla ciencia griega, es que los dioses de Babilo-nia y Egipto vivıan arriba, entre las estrellas,mientras que los dioses de los antiguos griegosvivıan a unos 10000 pies (3000 m) de alturaen el monte Olimpo.La mecanica es una rama de la Fısica

que analiza el movimiento de los cuerpos.La mecanica clasica es una formulacion de lamecanica que describe el movimiento de cuer-pos que se mueven a velocidades pequenascomparadas con la velocidad de la luz. Otroscampos de estudio de la mecanica son lamecanica cuantica (descripcion de partıculassubatomicas) y la mecanica relativista (des-cripcion de partıculas que se mueven a velo-cidades cercanas a la de la luz).

Gamow menciona a Arquımedes (287-212a.C) como el padre de la mecanica. Arquıme-des fue un matematico, fısico, ingeniero, in-ventor y astronomo nacido en Siracusa capi-tal de Sicilia, entre los avances de Arquıme-des en fısica se encuentran estudios en hi-drostatica (principio de flotacion de Arquıme-des), estatica (principio de la palanca, centrode gravedad), entre otros.

Figura 1: Arriba: de izquierda a derecha,el fısico ruso George Gamow (1904-1968) yel matematico, fısico, astronomo e ingenie-ro griego Arquımedes. Abajo: caricatura delprincipio de flotacion y caricatura del princi-pio de palanca.

La mecanica clasica considera la aplicacionde las leyes de Newton para explicar y prede-cir el movimiento dinamico de partıculas pun-tuales y medios contınuos. Como tal, se refie-re al comportamiento de objetos macroscopi-

1

Departamento de Fısica. Universidad del Bıo-Bıo

cos familiares como satelites (naturales y ar-tificiales), la atmosfera, los oceanos, solidosy la Tierra misma. Ademas, el estudio de lamecanica clasica es basico para derivar la des-cripcion cuantica de la materia subatomica.

Conceptos Basicos

Sistema coordenado (SC)

Un sistema coordenado es una construccionpuramente matematica para la presentacionde relaciones matematicas. Los valores medi-dos de las cantidades fısicas son independien-tes de la eleccion del sistema coordenado.

Ejemplo

Cuando calculamos el perımetro de una cir-cunferencia podemos usar un sistema de coor-denadas polares o un sistema de coordenadascartesiano, el resultado sera siempre dos π ve-ces el radio de la circunferencia. Este valorcoincide con el valor medido por una huinchacalibrada.

Sistema de referencia (SR)

Son fısicamente reales y corresponden aun conjunto de instrumentos de medida di-senados para la determinacion de cantidadesfısicas. En el caso mas simple, las medidaspueden ser realizadas con la ayuda de tresvarillas metricas y un reloj. En general, nosreferimos a un observador cuando hablamosde un sistema de referencia particular.

Suceso

Cualquier cosa que ocurre en un punto delespacio en un instante dado.

Posicion

La posicion de un suceso queda operacio-nalmente definida (por medio de trabajo de

laboratorio o trabajo teorico) por cuatro da-tos obtenidos a partir de mediciones:

(~r, t) = xi, t3i=1

Movimiento

El movimiento de un cuerpo (o partıcula)es definido como un contınuo de sucesos de-finidos con respecto a un sistema de refe-rencia inercial (SRI).

Sistema de referencia inercial

Newton lo definio como un sistema de re-ferencia que se encuentra en reposo respectode las estrellas fijas.

Cinematica de la partıcula

Su funcion es describir el movimiento deuna partıcula newtoniana en funcion de suvelocidad y aceleracion. Su objetivo es encon-trar la ecuacion del movimiento que permitadeterminar la posicion y la velocidad de lapartıcula en cualquier instante de tiempo.

Dinamica de la partıcula

Su funcion es describir el movimiento deuna partıcula newtoniana en funcion de lafuerza, la masa y la aceleracion. Si ~r es elvector de posicion de una partıcula y ~v es lavelocidad de la partıcula, entonces:

~v ≡ d~r

dty ~a ≡ d~v

dt

es la aceleracion.

Primera ley de Newton

En un sistema de referencia inercial, loscuerpos permanecen en reposo o se muevencon velocidad constante a menos que unafuerza neta actue sobre ellos.

2


Segunda ley de Newton

La mecanica de la partıcula esta contenidaen la segunda ley del movimiento de Newton,la cual establece que existen sistemas de refe-rencia (inerciales) en los cuales el movimientose describe por la ecuacion diferencial:

∑

~F =d~p

dt= m

d~v

dt= m~a (1)

donde ~p ≡ m~v es el momentum lineal y~a = d~v

dt= d2~r

dt2es la aceleracion. La segun-

da igualdad en (1) es valida solo para masasconstantes.La segunda ley de Newton expresa que la

suma de todas las fuerzas (externas e inter-nas) actuando sobre el cuerpo es proporcionala la aceleracion que experimenta el cuerpo:

∑

~Fi =∑

~F(ext)i +

∑

~F(int)i = m~a (2)

Tercera ley de Newton

A cada accion se corresponde una reaccionigual y opuesta. Esto es, si ~F21 es la fuerzaque ejerce la partıcula 1 sobre la partıcula 2,entonces:

~F21 = −~F12

donde ~F12 es la fuerza que ejerce la partıcula2 sobre la partıcula 1 y las fuerzas actuan alo largo de la lınea que separa las partıculas.

Relatividad de Galileo

Cualquier SR moviendose con velocidadconstante en relacion a un SRI es inercial. Deesta manera, dos observadores que se muevenentre ellos con velocidad constante inferiranlas mismas leyes del movimiento.Si ~r y ~r′ son las coordenadas del objeto

vistas desde dos sistemas de referencia que semueven con velocidad constante ~V uno res-pecto del otro (ver Fig. 2) tendremos que~r′ = ~r − ~V t (dado que el tiempo es absolu-to en la mecanica newtoniana, es decir, todoslos observadores miden el mismo tiempo) de

manera que ~v′ = ~v − ~V y ~a′ = ~a, luego natu-ralmente ~F ′ = ~F debido a la segunda ley deNewton.

Figura 2: Principio de relatividad de Galileo

Teoremas de conservacion

Momentum lineal

Si la suma de todas las fuerzas es cero, en-tonces el momentum lineal se conserva. Laderivacion es directa a partir de la Eq.(1).

∑

~F = 0 ⇒ ~p es constante

Momentum angular

El momentum angular se define como:

~L = ~r × ~p = m~r × ~v

Si ahora calculamos la tasa de cambio del mo-mentum angular para m constante tenemos:

~L =d~L

dt= m~r × ~v +m~r × ~v =

∑

~r × ~F

donde en la ultima igualdad hemos usado lasegunda ley de Newton y el hecho de que ~r =~v, ademas ~v × ~v = 0.

El producto ~r× ~F se denomina torque, lue-go podemos ver que existe una ley de conser-vacion que establece que si la suma de todoslos torques es cero, entonces el momentumangular se conserva.TAREA: A diferencia del momentum li-

neal ~p, el momentum angular ~L depende dela eleccion del sistema coordenado.

3


Trabajo y energıa

Sea ~F una fuerza estatica aplicada sobreuna partıcula durante un intervalo de tiempodt, en el cual esta experimenta un desplaza-miento d~r. Se llama trabajo de una fuerza ~F

a la magnitud fısica escalar dW definida por:

dW = ~F · d~rConsecuentemente, el trabajo hecho para mo-ver la partıcula de prueba una distancia finitadesde el punto 1 al punto 2 a lo largo de alguncamino sera:

W1→2 =

∫ 2

1

~F · d~r

Reescribiendo convenientemente tenemos:

W1→2 =

∫ 2

1

md~v

dt· ~vdt = m

∫ 2

1

~v · d~v

W1→2 =1

2mv22 −

1

2mv21

lo cual es independiente del camino escogido.El termino K = 1

2mv2 se denomina

energıa cinetica, luego podemos decir que,el trabajo hecho al mover la partıcula desdeel punto 1 al punto 2 es precisamente el in-cremento de energıa cinetica.

Fuerzas conservativas

Si el trabajo de una fuerza a lo largo de uncamino cerrado es cero, entonces la fuerza sedenomina conservativa:

W =

∮

c

~F · d~r = 0

Esto significa que el trabajo hecho por unafuerza conservativa no depende del camino.

Teorema

Si ~F es un campo de fuerzas conservativas,entonces existe un campo escalar U(~r) talque:

~F = −∇U(~r)U(~r) se denomina campo potencial y las su-perficies U(~r) = constante se llaman superfi-cies equipotenciales.

Verificacion

Sabemos que si una fuerza es conservativa,entonces:

W =

∮

c

~F · d~r = 0

Del teorema de Stokes deducimos que si:

∮

c

~F · d~r = 0 entonces

∮

S

(∇× ~F ) · d~S = 0

dado que la superficie S es arbitraria tenemosque ∇ × ~F = 0. Por otra parte, de un cono-cido resultado del calculo diferencial sabemosque ∇ × (∇U) = 0, luego si ∇ × ~F = 0 en-tonces debe existir una funcion escalar U talque ~F = −∇U .Como consecuencia, para fuerzas conserva-

tivas, tenemos la ley de conservacion de laenergıa mecanica:

∆K = −∆U o Ki + Ui = Kf + Uf

donde los subındices i y f denotan valoresincial y final respectivamente.TAREA: Escriba tres propiedades que de-

be satisfacer una fuerza conservativa.

Sistemas de Partıculas

Consideremos un sistema de N partıculasen el cual las masas individuales mi sonconstantes en el tiempo y para el cual las leyesde Newton son validas, las posiciones de laspartıculas son dadas por los vectores ~ri enun SRI.Definimos el vector centro de masa ~R me-

diante:

∑

mi~ri =∑

mi~R o ~R =M−1

∑

i

mi~ri

(3)donde M ≡∑N

i=1mi es la masa total del sis-tema.TAREA: Considere un sistema de 3

partıculas identicas (de masa 1) que se situanen un plano cartesiano (x,y) formando un

4


triangulo equilatero en el primer cuadrante.Dos partıculas se encuentran en las posicio-nes (0,0) y (3,0). Encuentre la ubicacion dela tercera partıcula y la ubicacion del centrode masa.

Movimiento del centro de masa

Es conveniente separar la fuerza que actuasobre la i-esima partıcula ~Fi en una contribu-cion externa y una contribucion interna, ~F

(e)i

y ~Fij para i 6= j respectivamente, de modoque:

~Fi = ~F(e)i +

∑

j

~Fij para i 6= j

Por ejemplo, para un sistema de 3 partıculas,la fuerza que actua sobre la partıcula 1 debidoa la accion de una fuerza externa y la accionde las partıculas 2 y 3 sera: ~F1 = ~F

(e)1 + ~F12+

~F13. ~Fii es cero puesto que un cuerpo no puedeejercer una fuerza sobre sı mismo.

Momentum Lineal

La segunda ley de Newton para la i-esimapartıcula queda entonces:

d~pi

dt= ~Fi = ~F

(e)i +

∑

j

~Fij para i 6= j

Evidentemente el sistema experimentara unmovimiento complicado debido a la accion detodas las fuerzas presentes. Aun ası, existenciertas cantidades conservadas que ayudan asimplificar la descripcion. En particular, con-sideremos la aceleracion del centro de masaderivando la Eq.(3):

M ~R =∑

mi~ri =∑

~pi =∑

~F(e)i +

∑

ij

~Fij

Ahora, notamos que debido a la tercera leyde Newton

∑

ij~Fij = 0 para i 6= j. Pode-

mos ver esto facilmente para un sistema de 3partıculas,∑

ij

~Fij = ~F12 + ~F13 + ~F21 + ~F23 + ~F31 + ~F32

lo cual se anula debido a que ~Fij = −~Fji porla tercera ley de Newton.Luego tenemos que:

M ~R =M~V =∑

~F(e)i ≡ ~F (e), (4)

es decir, el centro de masa ~R se mueve comosi la fuerza externa total ~F (e) actuara en lamasa total M concentrada en la posicion ~R.Como consecuencia, el momentum total delsistema:

~P =∑

~pi =∑

mi~ri =∑

mi~vi =M ~R =M~V

es un vector constante si ~F (e) es nulo.

Momentum angular

El momentum angular total para un siste-ma de partıculas se define como:

~L =∑

~ri × ~pi,

luego su derivada temporal queda:

~L =∑

~ri × ~pi +∑

~ri × ~pi =∑

~ri × ~pi

donde el primer termino se anula porque losvectores ~ri y ~pi son paralelos, luego tenemos:

~L =∑

~ri × (~F(e)i +

∑

j

~Fij) para i 6= j

donde podemos hacer la siguiente descompo-sicion:∑

ij

~ri × ~Fij =1

2

∑

ij

(~ri × ~Fij + ~rj × ~Fji)

=1

2

∑

ij

(~ri − ~rj)× ~Fij = 0

el ultimo termino se anula puesto que el vec-tor ~ri − ~rj es paralelo al vector ~Fij .Finalmente tenemos:

~L =∑

~ri × ~F(e)i

lo cual indica que si el producto de la derechaes cero (el torque externo total) entonces elmomentum angular sera una constante. No-te que los cambios en ~L solo se deben a lasaccion de fuerzas externas.TAREA: Revisar los capıtulos 1-3 del li-

bro “Mechanics” del autor Symon.

5


Energıa

La energıa cinetica total se define como lasuma de las contribuciones individuales,

K =1

2

∑

miv2i (5)

Podemos separar esta expresion considerandola energıa asociada al movimiento del centrode masa y la energıa asociada al movimientointerno en relacion al centro de masa ~R,

K = Kcm +K ′ (6)

donde Kcm = 12MV 2 y K ′ = 1

2

∑

miv′2i , don-

de v′i es la velocidad de la i-esima partıculadel sistema medida en relacion al centro demasa.

TAREA: Obtenga la Ec.(6) a partir dela Ec.(5) cambiando el sistema de referencia,desde uno general a uno que tiene su origenen el centro de masa.

Ahora, cuando consideramos fuerzas con-servativas podemos tener dos contribuciones:

~Fi = ~F(e)i +

∑

j

~Fij para

~F(e)i = −∇iU

(e)(~ri)

~Fij = −∇ijU(~rij)

donde ∇ij denota el gradiente respecto de la

direccion ~rij = ~ri − ~rj. Recuerde que ~Fij esla fuerza que siente la partıcula i debido a laaccion de la partıcula j.

Supongamos que el sistema cambia de al-guna manera pasando de la configuracion 1a la configuracion 2, moviendo cada partıcu-la a traves de una trayectoria establecida. Eltrabajo hecho por el sistema en este caso sera:

W1→2 =∑

∫ 2

1

~Fi · d~ri

=∑

∫ 2

1

~F(e)i · d~ri +

∑

ij

∫ 2

1

~Fij · d~ri

No es difıcil notar que:

∑

ij

∫ 2

1

~Fij · d~ri =1

2

∑

ij

∫ 2

1

~Fij · (d~ri − d~rj)

= −1

2

∑

ij

∫ 2

1

∇ijU(~rij) · (d~ri − d~rj)

= −1

2

∑

ij

[U(~rij)]21

Al calcular el trabajo hecho por las fuerzasexternas notamos que, al igual que en caso deuna partıcula, encontramos la forma de unaley de conservacion:

K+∑

U (e)(~ri)+1

2

∑

ij

U(~rij) = K+U = constante

(7)TAREA: Utilizando un procedimiento

analogo al que se utiliza en el caso de unapartıcula, muestre que es posible escribir unaley de conservacion de la energıa para un sis-tema de partıculas (en terminos de la energıacinetica total y la energıa potencial total), talcomo se plantea en la Ec.(7).

Movimientos generados

por fuerzas centrales

Para estudiar movimientos generados porfuerzas centrales es conveniente usar coorde-nadas polares.

Coordenadas polares

El sistema de coordenadas polares es unsistema de coordenadas bidimensional en elcual cada punto en el plano esta determinadopor la distancia a un punto fijo y un angulorespecto de una direccion fija (ver Fig. 3).

Vectores unitarios

Podemos relacionar los vectores unitariosen coordenadas cartesianas, ı y , con los vec-tores unitarios en coordenadas polares, r y θ,

6


Figura 3: Los vectores denotados con un gorroson vectores unitarios (vectores de modulo 1).El vector ~r es el vector posicion de un cuerpoen el plano coordenado xy. Notamos que ~r =rr donde r = |~r| denota el modulo del vector~r y r es la direccion radial.

a partir de la geometrıa de la Fig. 3 de lasiguiente manera:

r = |r| cos θı+ |r| sin θ = cos θı+ sin θ

θ = |θ| cos(90− θ)(−ı) + |θ| sin(90− θ)

= − sin θı+ cos θ

Note que dado que los vectores unitarios r yθ cambian de direccion mientras transcurre eltiempo.

Velocidad

~v =d~r

dt=d(rr)

dt=dr

dtr + r

dr

dt= rr + r ˙r

= rr + rθθ (8)

TAREA: Mostrar que ˙r = θθ.

Aceleracion

~a =d~v

dt=d2~r

dt=

d

dt

(

rr + rθθ)

= rr + r ˙r + rθθ + rθθ + rθ˙θ

= (r − rθ2)r + (2rθ + rθ)θ

TAREA: Mostrar que˙θ = −θr.

Rapidez Areolar

Figura 4: Esquema rapidez areolar

En la Fig. 4 consideremos dos posiciones deuna partıcula, en el instante t y en el instantet+∆t. ∆A es el area que barre el vector po-sicion cuando se mueve desde la posicion Q

hasta la posicion Q′.La rapidez areolar se define como:

vA =dA

dt= lım

∆t→0

∆A

∆t

Calculamos ∆A a partir de la Fig. 4 como:

∆A =1

2(r +∆r)∆h =

1

2(r +∆r)r sin∆θ

=1

2(r2 sin∆θ + r∆r sin∆θ)

Dado que nos interesa la situacion cuan-do ∆t es muy pequeno (en ese caso ∆θ tam-bien es pequeno) utilizamos la aproxima-cion de angulos pequenos, la cual indicaque sin θ ≈ θ, luego:

∆A =1

2(r2∆θ + r∆r∆θ)

Dado que ∆r y ∆θ son pequenos, el termino∆r∆θ es mucho mas pequeno que los termi-nos por separado, por lo cual es consideradoun termino de segundo orden y es despreciadoen el analisis. Finalmente, tenemos que:

vA =dA

dt= lım

∆t→0

∆A

∆t

= lım∆t→0

(

r2∆θ

2∆t

)

=1

2r2dθ

dt

=1

2r2θ

7


Fuerza central

Figura 5: Esquema de una fuerza central encoordenadas polares

Un fuerza central es un tipo de fuerza cuyadireccion pasa siempre por un punto fijo O ycuya magnitud es funcion unicamente de ladistancia r al punto O (ver Fig. 5):

~F = f(r)r

Fısicamente, tal fuerza representa una atrac-cion si f(r) < 0 o una repulsion si f(r) > 0.

Teorema

Las fuerzas centrales son conservativas.

TAREA: Demuestre que si ~F = f(r)r en-

tonces ∇ × ~F = 0, luego es posible escribir~F = −∇U y ~F serıa una fuerza conservativa.

Teorema

En un movimiento central la energıamecanica se conserva, es decir,

K + U = constante

TAREA: Mostrar que la energıa se con-serva en un movimiento central.

Teorema

Un movimiento central es un movimientoque ocurre en un plano.

Verificacion

Sea ~L0 el momentum angular con respectoa un eje que pasa por O (ver Fig. 5), entonces,

~τ0 = d~L0

dtes el torque respecto a este eje que

pasa por O. Dado que ~τ0 = ~r × ~F = rr ×f(r)r = rf(r)(r × r) = 0 entonces, d~L0

dt= 0,

es decir, ~L0 es una constante.

Por otra parte, dado que ~L0 = ~r × ~p =m~r × ~v tenemos que ~L0 es perpendicular alplano generado por ~r y ~v luego, para ~L0 cons-tante el movimiento siempre ocurrira en elplano definido por ~r y ~v, por lo tanto, un mo-vimiento central ocurre en un plano.

Ecuacion de Binet

En un movimiento central la fuerza tienesolo una componente radial, por consiguien-te, la aceleracion tambien tiene solo una com-ponente radial, es decir,

~a = arr y ~aθ = aθθ = 0

luego,

aθ = 2rθ + rθ =1

r

d

dt

(

r2θ)

=2

r

d

dt

(

r2θ

2

)

= 0

=2

r

dvA

dt= 0

Lo cual muestra que en un movimiento cen-tral la rapidez areolar vA es constante. Luegoes valido postular que θ = C

r2donde C es una

constante arbitraria.

Por otra parte, dado que r(θ) es la trayec-toria del movimiento tenemos que:

r =dr

dt=dr

dθ

dθ

dt=dr

dθθ

=dr

dθ

C

r2= −C d

dθ

(

1

r

)

(9)

r =dr

dt=dr

dθ

dθ

dt= θ

dr

dθ

= −Cθ d2

dθ2

(

1

r

)

= −C2

r2d2

dθ2

(

1

r

)

8


Ahora, la ecuacion de Binet, la cual determi-na la aceleracion radial de un objeto bajo laaccion de una fuerza central queda:

ar = r − rθ2 = −C2

r2

[

d2

dθ2

(

1

r

)

+1

r

]

Por otra parte, para el momentum angularconstante ~L0 tenemos: L0 = m|~r × ~v| =|mrr × (rr + rθθ)| = mr2θ|r × θ| de dondepodemos ver que C = r2θ = L0

m, finalmente:

ar = − L20

(mr)2

[

d2

dθ2

(

1

r

)

+1

r

]

Puesto que ~F = f(r)r = marr, tenemos:

f(r) = − L20

mr2

[

d2

dθ2

(

1

r

)

+1

r

]

(10)

EJERCICIO: Muestre que la fuerza ne-cesaria para que una masa m se mueva en latrayectoria mostrada en la Fig. 6, con el cen-tro de fuerzas ubicado en el origen del sistemacoordenado xy, es dada por f(r) ∝ 1

r5

Figura 6: Ejercicio fuerzas centrales

Gravitacion Universal

En 1609 Kepler publica sus dos primerasleyes basadas en el analisis del trabajo delastronomo danes Tycho Brahe. La tercera leyfue publicada en 1619. El trabajo de Kepler

fue revolucionario puesto que va contra elpensamiento de la epoca que establecıa quelas orbitas planetarias deberıan ser cırculosperfectos con el Sol en el centro.Las leyes de Kepler establecen que:

La orbita de cada planeta es una elipse,con el Sol en uno de los focos

El radio vector que une un planeta y elSol barre areas iguales en tiempos igualeso, la velocidad areolar es constante

El cuadrado del perıodo orbital de unplaneta es directamente proporcional alcubo de la longitud del semieje mayor

En 1687 Newton publico los “PhilosophiaeNaturalis Principia Mathematica” donde seplantea por primera vez la Ley de Gravita-cion Universal. Esta ley establece que la fuer-za atractiva entre dos masas, debido a la ac-cion de la gravedad, es proporcional a las ma-sas (m1 y m2) e inversamente proporcional alcuadrado de la distancia (r) que separa estasmasas:

F = Gm1m2

r2

La constante de gravitacion universal G esuna constante fundamental, su valor fue es-timado por primera vez un siglo despues deltrabajo de Newton. El valor actual de la cons-tante G es:

G = (6,67428± 0,00067)× 10−11[Nm2kg2]

En la Ley de Gravitacion Universal las masasson consideradas puntuales. Por otra parte,esta ley es valida unicamente cuando las ma-sas son suficientemente pequenas (o el campogravitacional no es muy intenso). En el ca-so mas general se debe utilizar la RelatividadGeneral, postulada por Einstein en 1915.La Ley de Gravitacion Universal tiene la

misma forma que la ley de Coulomb, la cualestablece el valor de la fuerza electrica entredos partıculas cargadas electricamente, am-bas fuerzas decaen con el cuadrado de la dis-tancia. La diferencia parece ser que la fuer-za electrica puede ser atractiva o repulsiva,

9


mientras que la fuerza de gravedad es soloatractiva.

Figura 7: Tycho Brahe. Johannes Kepler.Isaac Newton

Esta seccion busca mostrar que es posiblededucir las leyes de Kepler (empıricas) a par-tir de las leyes de Newton (teoricas) y el anali-sis de fuerzas centrales que hemos desarrolla-do hasta ahora.

Las leyes de Kepler

Estudiamos el movimiento de un objeto so-metido a la accion de una fuerza central atrac-tiva dependiente del inverso del cuadrado dela distancia. De acuerdo a la Ley de Gravita-cion Universal esta fuerza es dada por:

~F = − k

r2r

donde k es una constante positiva. Dada laforma simple que toma la fuerza es conve-niente usar la ecuacion de Binet en la formade la Ec.(10):

f(r) = − L20

mr2

[

d2

dθ2

(

1

r

)

+1

r

]

= − k

r2

de donde obtenemos la siguiente ecuaciondiferencial lineal ordinaria con coeficientesconstantes:

d2

dθ2

(

1

r

)

+1

r=km

L20

Por conveniencia, para resolver la ecuaciondiferencial, utilizamos el cambio de variables1r

→ u:

d2u

dθ2+ u =

km

L20

Sabemos que la solucion mas general de estaecuacion diferencial es de la forma u =uh + up donde uh denota la solucion ho-mogenea y up la solucion particular. Es facilnotar que la solucion homogenea correspondea un oscilador armonico simple, mientras queuna solucion particular serıa up = km

L2

0

(cons-

tante), luego la solucion queda:

u = A cos(θ − θ0) +km

L20

Volviendo a la variable original r, obtenemos:

r =

L2

0

km

1 +AL2

0

kmcos(θ − θ0)

Finalmente, definiendo p =L2

0

km, ε =

AL2

0

kmy

eligiendo θ0 = 0 queda:

r =p

1 + ε cos θ(11)

Esta forma para r es conocida en la literatura,representa las denominadas secciones conicas,las cuales dependen del valor del parametroε, que en este contexto se denomina excentri-cidad.

Figura 8: Secciones conicas

Ahora buscamos relacionar la excentrici-dad con las diferentes constantes de movi-miento del sistema para ver que tipo de sec-cion conica nos entregan diferentes condicio-nes.

10


Recordamos que en un movimiento centralla energıa total se conserva (al igual que elmomentum angular):

E = K + U = constante

Para la energıa cinetica tenemos:

K =1

2mv2 =

1

2m(~v · ~v) = 1

2m(

r2 + r2θ2)

donde hemos usado la Ec.(8). Usando laEc.(9) y dado que L0 = mr2θ tenemos: !!

K =1

2

L20

m2

(

[

du

dθ

]2

+ u2

)

Por otra parte, podemos obtener la energıapotencial integrando la fuerza de la siguientemanera:

U =

∫

−~F · d~r = −∫

f(r)dr(r · r)

= −∫

− k

r2dr = −k

r

luego, U = −ku. Sumando K y U , ademas

de utilizar el hecho de queL2

0

mp2= k

p= mk2

L2

0

: !!

E = K + U =1

2

L20

m2

(

[

du

dθ

]2

+ u2

)

− ku

=mk2

L20

(

1

2(1 + ε2 + 2ε cos θ)− 1− ε cos θ

)

=mk2

2L20

(

ε2 − 1)

de donde obtenemos:

ε =

√

2L20E

mk2+ 1 (12)

Entonces, el movimiento de una partıcula so-metida a la accion de una fuerza central de-pendiente del inverso del cuadrado es descritopor la Ec.(11) donde la excentricidad quedadefinida por la Ec.(12).TAREA: Derive la tercera ley de Kepler

utilizando el analisis anterior.

ε Trayectoria Energıaε = 1 parabola E = 0ε > 1 hiperbola E > 0ε < 1 elipse E < 0

ε = 0 circunferencia E = −mk2

2L2

0

Cuadro 1: Clasificacion de las trayectorias (ensecciones conicas) en relacion a la energıa

Figura 9: Elipse. La suma a + b se mantieneconstante.

Ecuaciones parametricas de latrayectoria

Hasta ahora sabemos que las ecuaciones:

ar =f(r)

my aθ = 0

describen el movimiento de un cuerpo some-tido a la accion de una fuerza central. Estasecuaciones pueden reescribirse de la siguientemanera:

L0 = mr2θ (13)

E =1

2mr2 +

L20

2mr2+ U(r) (14)

Para conocer la fenomenologıa involucradacuando un sistema es sometido a una fuerzacentral debemos resolver las ecuaciones an-teriores. En principio, integrando la Ec.(13)podemos conocer el angulo θ:

θ(t) = θ0 +L0

m

∫ t

0

dt

r(t)2(15)

y considerando la Ec.(14) obtenemos:

t =

∫ r

r0

√

2

m(E − U(r))− L2

0

m2r2dr (16)

11


A partir de las Ecs.(15)-(16) podemos, enprincipio, obtener r(t) y r(θ).

Problema unidimensional equivalente

Aunque en la practica el problema que-da resuelto, las integrales (15) y (16) no sonfaciles de manejar. Generalmente, en un casoconcreto resulta mas sencillo realizar la inte-gracion de otra manera. Estudiemos el casogeneral sin hacer uso de una determinada leyde fuerza.Consideremos un movimiento unidimensio-

nal a lo largo del eje x debido a la accion deuna fuerza ~F = ~F (x). Si ~F es conservativa,entonces:

x =

√

2

m(E − U)

de donde vemos que:

t =

∫ x

x0

√

2

m(E − U)dx (17)

Comparando las Ecs.(16) y (17) notamosla gran similitud entre el problema de fuerzascentrales y el problema unidimensional. Estasimilitud motiva la siguiente definicion de unpotencial efectivo Uef como:

Uef = U(r) +L20

2mr2

de modo que ahora tenemos:

E =1

2mr2 + Uef (18)

El termino Uc =L2

0

2mr2es parte de la energıa

cinetica y no es potencial en el sentido usual,pero podemos asociarlo a una energıa po-tencial debido a que es un termino que nodepende de la velocidad (L0 es constanteen un movimiento central). El termino Uc

es la energıa potencial asociada a la fuerzacentrıfuga (fuerza aparente que percibe unobservador en un sistema de referencia noinercial) y se denomina potencial centrıfugo.Notamos que la fuerza asociada a este poten-cial es de la forma Fc = mrθ2 !!.

Lımites de la region de movimiento

Los lımites de la region de movimiento sonlos valores de r para los cuales se cumple que:

E = Uef o r = 0

r = 0 define un punto de retorno de la trayec-toria. Si existe un valor mınimo de r tal quer > rmin entonces el movimiento es infinito,es decir, la trayectoria comienza y termina enel infinito.Si existe rmin y rmax, entonces el movimien-

to es finito, lo cual no necesariamente significaque la trayectoria sea cerrada.Ejercicio: Muetre que la rapidez de una

partıcula en cualquier punto de una trayecto-ria parbolica es

√2 veces la rapidez en alguna

orbita circular que pasa por el mismo punto.

Metodo del potencial efectivo

Examinemos el caso de una fuerza del ti-po f(r) = − k

r2(el potencial correspondiente

sera U = −kr). El analisis cualitativo se lleva

a cabo en un grafico Uef versus r.La barrera centrıfuga impide que la

partıcula caiga al centro de fuerzas, cualquie-ra que sea la energıa que ella tenga. Esta ba-rrera es repulsiva siempre que L0 6= 0.La region permitida para el movimiento

queda delimitada por la condicion E > Uef ,la cual proviene de la Eq.(18).Estudiemos las diferentes situaciones que

se presentan cuando estudiamos un potencialefectivo del tipo:

Uef = −kr+

L20

2mr2

Caso k = 0 y L0 6= 0: corresponde al ca-so 1 en la Fig. 10, en el cual el potencialefectivo coincide con el potencia centrıfu-go. Solo se presenta cuando L0 6= 0. Unapartıcula se acerca al origen desde el in-finito y se encuentra con una barrera enr = r3, de modo que r > r3. En este casola partıcula se mueve en lınea recta pues-to que no hay una fuerza neta. Recuerde

12


que el momentum angular depende de laeleccion de sistema coordenado.

Caso k < 0 y L0 = 0: corresponde alcaso 2 en la Fig. 10. La partıcula prove-niente del infinito se encuentra con unabarrera en r = r5 debido a un potencialrepulsivo.

Caso k > 0 y L0 = 0: corresponde al caso3 en la Fig. 10. En este caso la partıculaesta confinada a moverse en una regiondonde r < r5. Se trata de orbitas acota-das en un potencial atractivo.

Caso k > 0 y L0 6= 0: corresponde al caso4 en la Fig. 10. En este caso existen tresposibilidades:

• Orbitas abiertas con energıas del ti-po E1, donde se presenta una barre-ra para un valor de r.

• Orbitas acotadas con energıas deltipo E2 donde el objeto puede mo-verse en la region r1 < r < r4. No-te que en este caso particular lasorbitas son cerradas pero en gene-ral podrıan ser solo acotadas y nocerradas.

• Orbitas con r constante (cırculos)para la energıa E3.

Los puntos de retorno de la trayectoria co-rresponden a puntos donde r = 0, es decir,puntos donde E = Uef o los puntos de inter-seccion entre las lıneas horizontales represen-tando las energıas y las curvas representandoel potencial efectivo.

Movimiento de dos cuerpos enun potencial central

Hasta ahora hemos asumido que unapartıcula de masa m se mueve debido a lapresencia de un potencial central. Sin embar-go, este tipo de movimiento generalmente in-volucra dos masas, m1 y m2, que interactuanmutuamente en ausencia de fuerzas externas.

Figura 10: Metodo del potencial efectivo

Para analizar la dinamica de este sistema departıculas estudiamos las relaciones entre losvectores definidos en la Fig. 11.Respecto de un SR O el vector centro de

masa es dado por ~R (Fig. 11), mientras quelos vectores ~r1 y ~r2 se relacionan mediante:~r = ~r1 − ~r2.

De la definicion de centro de masa (Eq.(3))podemos facilmente notar que:

~r1 = ~R +m2~r

My ~r2 = ~R− m1~r

M

donde M = m1 +m2.Por otra parte, para un sistema de partıcu-

las la aceleracion del sistema se debe uni-camente a la presencia de fuerzas externas,

si estas no estan presentes ~R = 0, Eq.(4).Ademas, en ausencia de fuerzas externas:

m1~r1 = −∇1U(r) = −dUdr

(

~r1 − ~r2

r

)

m2~r2 = −∇2U(r) = −dUdr

(

~r2 − ~r1

r

)

Combinando las relaciones anteriores final-mente obtenemos:

µ~r = −dUdrr

donde µ = m1m2

M. Esta ultima ecuacion reduce

la dinamica del sistema de dos partıculas aun sistema de una partıcula equivalente, pero

13


Figura 11: Movimiento de dos cuerpos en unpotencial central

reemplazando la masa de la partıcula por lamasa reducida µ del sistema .La energıa cinetica en torno al centro de

masa K ′ en la Eq.(6) sera:

K ′ =1

2m1r

′21 +

1

2m2r

′22

donde prima denota una cantidad medida enun SR que tiene su origen en el centro de masa(cm). Dado que:

~r′1 = ~r1 − ~R y ~r′2 = ~r2 − ~R

tenemos:

~r′1 = ~r1 −m1~r1

m1 +m2

− m2~r2

m1 +m2

=m2(~r1 − ~r2)

m1 +m2

=µ~r

m1

y ~r′2 = − µ~rm2

. Finalmente obtenemos,

K ′ =1

2µr2

Scattering

Consideremos orbitas abiertas donde laenergıa es positiva, en particular, orbitas hi-perbolicas. Una hiperbola se define matemati-camente como la figura geometrica que cum-ple con d′ − d = ±2a (ver Fig. 12), donde

Figura 12: Trayectorias hiperbolicas

el signo positivo es para la rama derecha enla figura y el signo negativo es para la ramaizquierda. Las distancias d′ y d son las distan-cias entre un punto en la hiperbola y cada unode los focos F y F ′ en la figura. La suma deestas distancias debe ser igual a la separacionmınima entre las dos ramas de la hiperbola.De la geometrıa de la Fig. 12 notamos que:

d sin θ = d′ sin β

d cos θ = d′ cos β − 2f

Ejercicio: Combinando estas relaciones en-contramos que:

f 2 + rf cos θ = ar + a2

donde hemos escogido un SR centrado en F ,luego r = d.Por otra parte, geometricamente, para las

secciones conicas tenemos que la excentrici-dad ε se define a partir de la relacion f = aε.Luego, en terminos de la excentricidad, la re-lacion que define la elipse queda:

r =a(ε2 − 1)

1− ε cos θ

Reduerde que el caso de una hiperbola co-rresponde a ε > 1. Comparando esta ultimaexpresion con la que habıamos obtenido pa-ra el caso de una seccion conica en general

(Eq.(11)) tenemos que a(ε2 − 1) = p =L2

0

kµ.

14


De esta relacion notamos que, dado que ε > 1,k > 0 (potenciales atractivos) corresponden ala rama derecha de la hiperbola, mientras quek < 0 (potenciales repulsivos) correspondena la rama izquierda de la hiperbola.Para calcular la energıa asociada al sistema

(constante), podemos considerar el caso par-ticular de la energıa asociada a una partıculaque se encuentra en infinito !!:

E =1

2µr2 +

L20

2µr2− k

r≈ 1

2µr2

=1

2µ

(

pε sin θ

(1− ε cos θ)2L0

µr2

)2

=1

2µ

(

ε sin θL0

pµ

)2

=ε2 sin2 θk2µ

2L20

= · · · = k2µ

2L20

(ε2 − 1)

De aquı notamos que es posible escribir laexcentricidad en terminos de la energıa como:

ε =

(

1 +2L2

0E

k2µ

)1/2

Ademas, considerando que la energıa en elinfinito y el momentum angular en el infini-to son dados por: E = 1

2µv2

∞y L0 = µv∞b

respectivamente TAREA, encontramos que:

ε =

√

1 +

(

µv2∞b

k

)2

Por otra parte, la mınima distancia de acer-camiento es dada por:

rmin = f − a = (ε− 1)a =

√

ε− 1

ε+ 1b

Entonces, de acuerdo a los esperado, rmin seincrementa cuando v∞ se incrementa, esto es,los objetos que se mueven mas rapido se de-flectan menos.Para algunas aplicaciones es muy impor-

tante poder determinar el angulo de deflexionξ en la Fig. 12, el cual corresponde a la dife-rencia angular entre la direccion inicial y ladireccion final.

De la Fig. 12 notamos que ξ = π−2α, luegotenemos:

cotξ

2= tanα =

√ε2 − 1 (19)

donde hemos usado: cosα = 1ε, TAREA.

Notamos que:

v2∞b → ∞ indica ξ → 0

v2∞b → 0 indica ξ → π

Seccion eficaz de scattering

El analisis anterior es valido para un poten-cial gravitacional, es decir, para el comporta-miento de objetos macroscopicos. Es intere-sante notar que en el mundo microscopico losmismos conceptos son validos para partıculasdeflectadas por un potencial.En el caso microscopico, generalmente te-

nemos un haz de partıculas incidente. Carac-terizamos este haz con el flujo F el cual co-rresponde al numero de partıculas que atra-viesa una area transversal unitaria en unaunidad de tiempo.La cantidad experimental realmente im-

portante es el numero de eventos por unidadde tiempo que se describe mejor mediante laseccion eficaz diferencial dσ,

N partıculas

dt= Fdσ

Consideremos como ejemplo la deflexionelastica de un flujo de partıculas que atraviesael area que se muestra tachada a la izquier-da en la Fig. 13. El numero de partıculas porunidad de tiempo que pasa a traves del areatransversal asociada 2πbdb es 2πbdbF . La si-metrıa axial indica que todas las partıculasdeflectadas atravesaran la region que se mues-tra tachada del lado derecho. Note que b y θestan relacionados por una funcion del tipode la Ec.(19).La seccion eficaz de scattering es por defi-

nicion:

F 2πbdb = Fdσ

15


El area de la porcion de esfera a la derecha esdada por dA = 2πR2 sin θdθ. El angulo solidocorrespondiente en el cual las partıculas sondefectadas sera:

dΩ =dA

R2= 2π sin θdθ

Notamos que:

dσ

dΩ=

b

sin θ|dbdθ

|

la cual se conoce como seccion eficaz de scat-tering diferencial. La seccion eficaz de scatte-ring total se obtiene integrando:

σT =

∫

dΩdσ

dΩ

Figura 13: Seccion eficaz de scattering

Finalmente note que σ tiene unidades dearea y Ω es adimensional, mide angulos bidi-mensionales en espacios tridimensionales. Susunidades en el SI son estereorradian.

Sistemas de coordenadas

aceleradas

El analisis de dos partıculas interactuan-tes se vuelve particularmente simple para unobservador que se mueve con el centro de ma-sa, debido a que en ese sistema de referencia

(SR) el movimiento se reduce al movimientoequivalente de un cuerpo.

En otros SR la descripcion es mas compli-cada, aunque a veces es preferible trabajar enel SR del observador. Por ejemplo, al estudiaralgun fenomeno donde la rotacion de la Tie-rra no puede ser despreciada.

Coordenadas rotantes

Considere dos sistemas coordenados (SC)ortonormales, e0i y ei, con origen comunrotando uno respecto del otro. Un observadoren el SC e0i ve que los vectores e0i son fijos,mientras que los vectores ei se mueven. Delmismo modo, un observador en el SC ei veque los vectores ei son fijos mientras que losvectores e0i se mueven. Note que los vectoresei y e0i denotan dos trıadas de vectores,unitarios y ortogonales entre sı. Ambos con-juntos de vectores ortonormales definen unabase para expandir vectores.

Escojamos el SC e0i como un SC inercial(SCI), luego ei describira un SC no inercial(SCNI), puesto que rota respecto del primero.

Un vector general ~X puede describirse me-diante sus componentes en cada uno de lossistemas coordenados,

~X =3∑

i=1

X0i e

0i donde X0

i = ~X · e0i

~X =3∑

i=1

Xiei donde Xi = ~X · ei

Al considerar la tasa de cambio temporalde este vector en uno u otro sistema coorde-nado se debe tener en cuenta que un vectorconstante en el tiempo en un SC girara enel otro sistema coordenado. Como consecuen-cia, la derivada temporal de un vector dadosera diferente en los dos sistemas. Supongaque un observador en el SCI ve como ~X cam-

16


bia en el tiempo:(

d ~X

dt

)

SCI

=3∑

i=1

dX0i

dte0i

(

d ~X

dt

)

SCI

=3∑

i=1

dXi

dtei +

3∑

i=1

Xidei

dt

Las expresiones anteriores dejan de manifies-to el hecho de que el observador inercial veque los vectores e0i son fijos, mientras que losvectores ei varıan en el tiempo. Note que eltermino

∑3i=1

dXi

dtei es lo que medirıa, para el

cambio en el tiempo del vector ~X, un obser-vador que se mueve con el SCNI, luego:(

d ~X

dt

)

SCI

=

(

d ~X

dt

)

SCNI

+3∑

i=1

Xidei

dt(20)

Rotaciones infinitesimales

Para analizar con mas detalle el terminodeidt

en la Ec.(20) evaluamos lo que ocurre conuna rotacion cuando consideramos intervalosde tiempo infinitesimales:

ei(t+ dt) = ei(t) + dei

Dado que los vectores ei son vectores ortonor-males tenemos que ei · ej = δij , donde δij es lafuncion delta de Kronecker. Luego, podemosnotar que :

ei · dei = 0 (21)

dei · ej = dej · ei (22)

Por otra parte, dado que ei constituyeuna base para expandir vectores tenemos:

dei =3∑

i=1

dΩij ej

donde dΩij son coeficientes infinitesimales.De las Eqs.(21) y (22) notamos que: dΩii =

0 y dΩij = −dΩji luego podemos redefinir loscoeficientes dΩij de la siguiente manera:

dΩ1 = dΩ23 = −dΩ32

dΩ2 = dΩ31 = −dΩ13

dΩ3 = dΩ12 = −dΩ21

Con esta nueva notacion es posible escribirdei de manera mas compacta como:

dei = d~Ω× ei

El vector d~Ω =∑

i d~Ωi =

∑

i dΩiei se in-terpreta como una rotacion infinitesimal ob-tenida combinando rotaciones infinitesimalesd~Ωi = dΩiei en torno a cada uno de los 3 ejes.A estas rotaciones infinitesimales puede

asignarseles una direccion a lo largo del ejede rotacion y una magnitud igual a la canti-dad infinitesimal de rotacion en torno a eseeje.Ejemplo: Consideremos una rotacion en

torno al eje definido por el vector e1, d~Ω =d~Ω1 = dΩ1e1 (Fig. 14). En este caso tenemos:

de1 = d~Ω1 × e1 = 0

de2 = d~Ω1 × e2 = dΩ1e3

de3 = d~Ω1 × e3 = −dΩ1e2

Figura 14: Rotaciones infinitesimales

Dado que dei = d~Ω× ei, en un elemento detiempo dt el cambio en ei es dado por:

dei =dei

dtdt =

d~Ω

dt× eidt = (~ω × ei) dt

donde ~ω = d~Ωdt

es el vector velocidad angularinstantanea del SCNI (rotante) vista desde elSCI. La direccion de este vector es a lo largodel eje de rotacion d~Ω y su magnitud es larapidez angular.

17


Finalmente, la Ec.(20), que relaciona la va-

riacion temporal de un vector ~X en ambossistemas coordenados, queda:(

d ~X

dt

)

SCI

=

(

d ~X

dt

)

SCNI

+3∑

i=1

Xi (~ω × ei)

(

d ~X

dt

)

SCI

=

(

d ~X

dt

)

SCNI

+ ~ω × ~X (23)

Dado que la ecuacion (23) es valida paracualquier vector, podemos aplicarla para de-terminar la variacion temporal del vector ω,para lo cual obtenemos:

(

d~ω

dt

)

SCI

=

(

d~ω

dt

)

SCNI

luego, dos observadores, uno fijo en el SCI yel otro en el SCNI coinciden al determinar lavariacion temporal de ω.

Aceleracion

Al considerar la variacion temporal del vec-tor posicion en ambos sistemas coordenadostenemos:

~vSCI =

(

d~r

dt

)

SCI

=

(

d~r

dt

)

SCNI

+~ω×~r (24)

Si derivamos la ecuacion anterior respecto deltiempo obtenemos la relacion entre las acele-raciones de ambos sistemas,(

d2~r

dt2

)

SCI

=d

dt

(

d~r

dt

)

SCI

=

(

d~vSCI

dt

)

SCI

=

[(

d

dt

)

SCNI

+ ~ω×]

~vSCI

=

(

d2~r

dt2

)

SCNI

+ 2~ω ×(

d~r

dt

)

SCNI

+d~ω

dt× ~r + ~ω × (~ω × ~r) (25)

Traslaciones

Hasta ahora hemos considerado dos siste-mas coordenados con el origen comun, gene-ralicemos la descripcion para incluir trasla-ciones del origen. Consideremos un SCI con

ejes (x0, y0, z0) y un sistema de coordenadasmoviles (en general rotante) con ejes (x, y, z)y el origen de este sistema ubicado en el pun-to ~A, ver Fig.(15). La aceleracion traslacionalde los ejes moviles queda:

(

d2~r0

dt2

)

SCI

=

(

d2~r

dt2

)

SCI

+

(

d2 ~A

dt2

)

SCI

donde ~r0 = ~r + ~A. El primer termino de laderecha en la expresion anterior correspondeal termino calculado en la seccion anterior,esto es, el cambio en el vector ~r observadoen el SCI y en el SCNI difiere solo debido ala rotacion del SCNI, aun cuando este puntoeste acelerando.

Figura 15: Traslacion y rotacion de dos SC.

~ω es el vector velocidad instantanea delSCNI respecto del sistema coordenado conorigen en ~A y cuyos ejes son paralelos a losejes del SCI, (x0, y0, z0).

Leyes de Newton

Sabemos que la segunda ley de Newton esvalida en sistemas de referencia inerciales, es-to es:

m

(

d2~r0

dt2

)

SCI

= ~F (e)

18


luego al comparar ambos sistemas coordena-dos tenemos:

m

(

d2~r

dt2

)

SCNI

= ~F (e) −m

(

d2 ~A

dt2

)

SCI

−2m~ω ×(

d~r

dt

)

SCNI

−m~ω × (~ω × ~r)−md~ω

dt× ~r

Ejemplo: Consideremos una partıcula quese mueve en una trayectoria circular. Descri-bamos el movimiento de esta partıcula condos sistemas coordenados con origen comun,uno cartesiano y uno polar. El sistema decoordenadas polar esta fijo a la partıcula querota de modo que, en este sistema el valordel radio de la partıcula es fijo, ası como suposicion angular.

Figura 16: Ejemplo

Hemos visto que las relaciones entre losvectores unitarrios son dadas por:

r = cos θx+ sin θy

θ = − sin θx+ cos θy

luego es facil notar que en un sistema de refe-rencia inercial el vector posicion es dado por:

~r = r cos θx+ r sin θy = rr

~v = (−r sin θx+ r cos θy)θ = rωθ

~a = −r(cos θx+ sin θy)θ

−r(sin θx− cos θy)θ

= −rω2r + rωθ

En el SCNI (que rota con la partıcula con lamisma rapidez angular ω = θ) la posicion dela partıcula es fija y los vectores unitarios r yθ tambien, luego en ese sistema, la velocidady aceleracion son nulas.Al comparar estas relaciones con las

Eqs.(24) y (25) notamos que hay consisten-cia entre ellas puesto que

(

d~rdt

)

SCNI= 0 y

(

d2~rdt2

)

SCNI= 0 donde ~ω es un vector con

modulo ω y que apunta hacia afuera del planosi el sentido de giro es contrario al de las agu-jas del reloj y hacia adentro del plano si elsentido de giro es en el sentido de las agujasdel reloj.

Movimiento en la superficie de laTierra

El movimiento de la Tierra tiene dos com-ponentes principales, la rotacion en torno a sueje y la traslacion en torno al Sol. Considera-mos que estos movimientos tienen un perıodoaproximadamente constante y determinamossu rapidez angular como:

ωr =2π

1 dıa≈ 7,27× 10−5 [s]−1

ωt =2π

1 ano≈ 1,99× 10−7 [s]−1

Consideremos un SCI fijo en el centro delSol y un SCNI fijo en el centro de la Tierra,luego tenemos:

m

(

d2~r

dt2

)

SCNI

= ~F (e) −m

(

d2 ~A

dt2

)

SCI

−2m~ω ×(

d~r

dt

)

SCNI

−m~ω × (~ω × ~r)

donde ~A es el radio de la trayectoria aproxi-madamente circular que sigue el Sol en tornoa la Tierra y ~ω = ~ωt+~ωr es la velocidad angu-lar asociada al SC fijo a la Tierra (asumida

constante). La fuerza ~F (e) incluye la fuerzagravitacional que ejerce el Sol, la fuerza gra-vitacional que ejerce la Tierra y en general,cualquier otra fuerza externa involucrada.

19


El campo gravitacional del Sol es muchomenos intenso que el campo gravitacional dela Tierra sobre la superficie de la Tierra (porun factor del orden de 103). Por otra parte,la aceleracion del centro de la Tierra respecto

del centro del Sol (d2 ~Adt2

) es aproximadamenteigual a la fuerza gravitacional que ejerce elSol sobre la Tierra, luego estos terminos secancelan entre sı. Por otra parte, la contri-bucion a la rapidez angular del termino ωr esaproximadamente 103 veces mayor que ωt. Fi-nalmente, la ecuacion aproximada para des-cribir el movimiento de una partıcula sobre lasuperficie de la Tierra respecto de un SCNIubicado en el centro de la Tierra sera:

m

(

d2~r

dt2

)

T

= ~Fg + ~F ′

−2m~ω ×(

d~r

dt

)

T

−m~ω × (~ω × ~r)(26)

donde hemos separado las contribuciones delas fuerzas externas en la fuerza de gravedad~Fg y otras contribuciones ~F ′. Recuerde que elvector ~r es medido respecto del centro de laTierra, ver Fig. 15. Note que hemos cambia-do el subındice SCNI por T para denotar elSCNI fijo al centro de la Tierra.

Partıcula estacionaria en la su-perficie de la Tierra

En este caso la Ec.(26) queda:

~Fg + ~F ′ −m~ω × (~ω × ~r) = 0

~F ′ +m~g = 0

donde hemos definido una aceleracion de gra-vedad corregida ~g:

~g = −GMT

r2r − ~ω × ~ω × ~r

Notamos que en general, ~g no se dirige exacta-mente al centro de la Tierra, esto solo ocurreen los polos (donde el vector ~ω es paralelo alvector ~r).En el ecuador, donde ~ω es perpendicular a

~r tenemos: ~g = (−g0 + ω2Re)r

Note que hemos asumido que la Tierra tie-ne una forma esferica y que su orbita en tornoal Sol es aproximadamente circular. Estas su-posiciones no son del todo ciertas, luego loscalculos aquı desarrollados constituyen apro-ximaciones a la descripcion real.Tarea: Encuentre un a expresion para el

termino ~ω×~ω×~r. Utilice la relacion que existeentre los vectores unitarios en coordenadascartesianas y coordenadas esfericas.

Caıda libre

Consideremos una partıcula que cae libre-mente sobre la superficie de la Tierra con ve-locidad ~v:

m~v = −2m~ω × ~v +m~g (27)

donde ~F ′ = 0 porque solo actua la grave-dad para una partıcula que cae libremente.Si la Tierra fuera estacionaria la partıculacaerıa directamente hacia abajo (si desprecia-mos las correcciones presentes en ~g). Debido ala fuerza de Coriolis, el punto donde terminala partıcula esta desplazado por una cantidadproporcional a ω. Note que solo estamos con-siderando terminos que son lineales en ω.Dado que la Ec.(27) solo contiene termi-

nos r y r podemos cambiarnos a un sistemacon origen sobre la superficie de la Tierra. Es-cogemos un sistema x, y, z donde estos ejesapuntan al sur, al este y verticalmente haciaarriba, respectivamente.Supongamos que la partıcula es soltada

desde una altura ~r(0) = hz RT z con ve-locidad inicial cero, ~v0 = 0. Es convenienteutilizar un analisis perturbativo,

~r(t) = ~r0(t) + ~r1(t)

donde ~r0(t) describe la trayectoria en una Tie-rra que no rota y ~r1 incorpora pequenas co-rrecciones proporcionales a ω. Considerandoesto en la Ec.(27) obtenemos que:

~r0 + ~r1 = ~g − 2~ω × ~r0

20


Figura 17: Cambio a un SR sobre la superficie

de donde notamos que ~r1 = −2~ω × ~gt, dadoque ~r0 = ~g.Finalmente tenemos Tarea:

~r1(t) =1

3ωgt3 sin θy

~r(t) = (h− 1

2gt2)z +

1

3ωgt3 sin θy

De este resultado notamos que,

El movimiento vertical es independientede ~ω a primer orden

La partıcula se deflecta hacia el este

El efecto es el mismo en el hemisferionorte y en el hemisferio sur

El efecto es nulo en los polos.

Tarea: Discuta como se compara estadesviacion con el sentido de rotacion dela Tierra

Movimiento horizontal

Al considerar una partıcula con el angulo θfijo (Fig. 17) que se mueve con una velocidadhorizontal ~v dirigida en un angulo φ en el sen-tido positivo desde la direccion sur, tenemos:

~ω = ω cos θz − sin θx

~v = v(cosφx+ sinφy)

Luego, al calcular la contribucion de la fuerzade Coriolis tenemos:

~FCor = −2m~ω × ~v

= 2mωv(cos θ(sinφx− cosφy) + sin θ sinφz)

Para una partıcula en el hemisferio norte(cos θ > 0) tenemos los siguientes resultados:

Para una partıcula que se mueve al norte(φ = π) entonces la fuerza ~FCor = FCory

Para una partıcula que se mueve al sur(φ = 0) entonces la fuerza ~FCor =−FCory

Luego, de acuerdo con la Fig. 17, en el he-misferio norte, una partıcula que se mueveal norte se desvıa al este mientras que unapartıcula que se mueve al sur se desvıa la oes-te.Dado que en el hemisferio sur (cos θ < 0)

los efectos se revierten.

Pendulo de Focault

Una de las demostraciones mas interesan-tes de la rotacion de la Tierra es lo que leocurre al pendulo de Focault. El plano de os-cilacion del pendulo rota lentamente con unperıodo comparable a un dıa. Tarea:Mostrarmatematicamente que el plano de oscilaciondel pendulo de Focault cambia en el tiempodebido a la rotacion de la Tierra.

Dinamica Lagrangiana

El objetivo de esta seccion es suministraruna tecnica alternativa a las ecuaciones deNewton para resolver problemas de mecanica.En muchos casos, el movimiento de una

partıcula esta restringido por uno o masvınculos que reducen el numero de grados delibertad del movimiento. Los vınculos ejercenfuerzas sobre la partıcula para mantener sumovimiento restringido. Estas fuerzas vincu-lares pueden ser complicadas debido a que de-penden de la trayectoria de la partıcula. Es

21


util formular la mecanica clasica eliminandolas fuerzas vinculares completamente.

Definiciones

Ligaduras y fuerzas vinculares

Las ligaduras o vınculos son modelos (lıneasy superficies) que representan cualquier obje-to que restringe o limita el movimiento de unsistema bajo estudio.

Las fuerzas vinculares son fuerzas quereemplazan al vınculo con su mismo efecto,por ejemplo, la fuerza normal.

Ejemplos:

Pendulo simple: la partıcula es un siste-ma vinculado por los objetos cuerda yplano. Ambos restringen el movimiento,luego son vınculos para el sistema.

Las moleculas de un gas en un deposi-to rıgido es un sistema vinculado. El re-cipiente obliga a las moleculas de gas amoverse en el interior, luego el recipientees un vınculo.

Clasificacion de vınculos

1. Vınculos holonomos: son vınculos sus-ceptibles a expresarse de la formaf(x1, x2, x3, t) = c.

2. Vınculos anholonomos: son vınculos NOsusceptibles a expresarse de la formaf(x1, x2, x3, t) = c.

3. Vınculos escleronomos: son vınculos queno dependen del tiempo

4. Vınculos reonomos: son vınculos que de-penden explıcitamente del tiempo.

Ejemplo:

Un vınculo holonomo y escleronomo estarıapresente para una partıcula que se mueve enuna circunferencia de radio L: x2 + y2 = L2.

Grados de libertad

Los grados de libertad corresponden alnumero de coordenadas independientes.

Ejemplos:

Para una partıcula libre, no vinculada osin restricciones en su movimiento exis-ten 3 grados de libertad asociados.

En el caso de una partıcula que se muevesobre una superficie tenemos 2 grados delibertad y 1 vınculo.

Si tenemos una partıcula confinada a mo-verse en la interseccion de dos planos,tendremos 1 grado de libertad y 2 vıncu-los.

Consideremos un sistema de N partıculassometida a m vınculos holonomos descritospor f(~xi) = 0. Para definir la configuraciondel sistema necesitamos en principio 3Ncoordenadas (3 por cada partıcula). Porotra parte, tenemos vınculos holonomosexpresados por m ecuaciones, las cualespueden ser utilizadas para eliminar m de las3N coordenadas, esto es, quedaran 3N − m

coordenadas independientes. En este casopodemos decir que el sistema tiene 3N − m

grados de libertad, es decir, de las 3N coorde-nadas existen 3N−m que son independientes.

Ejemplo:Una partıcula que se mueve en un plano

Ax+By + Cz +D = 0 puede moverse libre-mente en y y z puesto que x = −By−Cz−D

A.

Esto es, la partıcula tiene dos grados de li-bertad.Ejemplo:Un solido rıgido siempre tiene 6 grados de

libertad asociados (3 para traslacion y 3 pa-ra rotacion), independiente del numero departıculas que compongan el solido.

Fuerzas activas

Son fuerzas externas conocidas, es decir, sesabe quien las ejerce.

22


Desplazamientos virtuales

La posicion de una partıcula en mecanicade Newton esta definida con respecto a unsistema de referencia inercial de 4 variables, 3coordenadas espaciales, x1, x2, x3, y el tiempot.Los mecanicistas encontraron conveniente

imaginar, y por tanto definir desplazamien-tos puramente geometricos que se producenfuera del tiempo y son conocidos como des-plazamientos virtuales.La notacion que utilizaremos sera: d~x pa-

ra desplazamientos reales y δ~x para desplaza-mientos virtuales.

Figura 18: Ejemplo de desplazamientos vir-tuales

Ejemplo:En la Fig. 18 el tornillo esta en equilibrio, es

decir, no tiene grados de libertad. Esto impli-ca que no puede tener ningun desplazamientofısico d~x.Nada me impide “imaginar” que el tornillo

se puede mover, por ejemplo, a las posicionesA o B. Estos desplazamientos, δ~x(O → A)o δ~x(O → B) son ejemplos de desplazamien-tos virtuales.Los desplazamientos virtuales siempre son

infinitesimales e instantaneos.En la Fig. 19 supongamos que el objeto A

esta en reposo sobre la mesa H. Imaginemosdos desplazamientos virtuales para el objetoA segun la direccion de la recta L, sean ellosδ~x(A → B) y δ~x(A → C). Estos desplaza-mientos virtuales pueden tambien ser imagi-nados en el sentido inverso: δ~x(B → A) yδ~x(C → A).Ademas de estos desplazamientos podemos

imaginar otros, por ejemplo el desplazamien-to virtual δ~x(A → P ), el cual eleva el objetoA por encima de la mesa o el desplazamiento

Figura 19: Ejemplo de desplazamientos vir-tuales

δ~x(A→ Q) que baja el objeto por debajo dela mesa (en la practica deberıamos destruir lamesa).

Clasificacion

Desplazamientos virtuales compatiblescon los vınculos: son aquellos que res-petan la condicion de vınculo. Por ej:δ~x(A→ B) y δ~x(A→ C).

Desplazamientos virtuales incompatiblescon los vınculos: son aquellos que no res-petan la condicion de vınculo. Por ej:δ~x(A→ P ) y δ~x(A→ Q).

Desplazamientos virtuales invertibles:son aquellos que se pueden realizar enuno u otro sentido y son compatibles conlos vınculos.

Desplazamientos virtuales no invertibles.

Matematicamente el elemento δ opera igualque un diferencial, por ejemplo:

δ sin x = cos xδx

Trabajo Virtual

Sabemos que el trabajo realizado por unafuerza ~F en un desplazamiento d~x es dadopor dW = ~F · d~x. Analogamente, el trabajovirtual δW realizado por una fuerza ~F en undesplazamiento virtual δ~x serıa:

δW = ~F · δ~x

23


Partıcula libre en equilibrio

Consideremos una partıcula libre en equi-librio, luego se tiene ~F = 0, donde ~F es lafuerza neta sobre la partıcula. Si δ~x es un des-plazamiento virtual de la partıcula, entonces,δW = ~F · δ~x = 0.El trabajo virtual de las fuerzas externas

aplicadas sobre una partıcula libre (no vin-culada) en equilibrio es cero, cualquiera seael desplazamiento virtual de la partıcula.

Figura 20: Partıcula libre en equilibrio

Partıcula vinculada en equilibrio

En la Fig. 21 hemos reemplazado los vıncu-los (σi) por sus reacciones vinculares, ~φi.Consideremos una partıcula en equilibrio,

sometida a la accion de N fuerzas activas ~Fa

y M reacciones vinculares ~φp, en ausencia deroce.

Figura 21: Partıcula vinculada en equilibrio

De la segunda ley de Newton aplicada alequilibrio tenemos: ~Fa + ~φp = 0 (donde ~Fa es

la suma de las fuerzas activas y ~φp la sumade las reacciones vinculares). Si aplicamos ala partıcula un desplazamiento virtual δ~x en-tonces el trabajo virtual sera:

δW =(

~Fa + ~φp

)

· δ~x = 0

Si definimos:

δW (a) = ~Fa · δ~xδW (φ) = ~φp · δ~x

donde δW (a) es el trabajo virtual realizadopor las fuerzas activas y δW (φ) es el trabajovirtual realizado por las reacciones vincula-res, tenemos:

δW = δW (a) + δW (φ) = 0

⇒ δW (a) = −δW (φ)

Figura 22: Ejemplo

Consideremos como ejemplo, el caso en elque el trabajo virtual realizado por las reac-ciones vinculares se hace cero. En la Fig. (22)

tenemos que ~φp = ~N , donde ~N representa lafuerza normal. Notamos que:

δ~x1: es compatible con el vınculo H

δ~x2: es incompatible con el vınculo H



Luego, el trabajo virtual debido a cada unode estos desplazamientos queda:

δ~x1 : δW = ~φp · δ~x1 = 0

δ~x2 : δW = ~φp · δ~x2 > 0

δ~x3 : δW = ~φp · δ~x3 > 0

δ~x4 : δW = ~φp · δ~x4 < 0

Por lo tanto, el trabajo virtual realizado porlas reacciones vinculares, en ausencia de roce,puede ser positivo, negativo o nulo.

24


Tambien podemos observar que el trabajovirtual es diferente de cero cuando los des-plazamientos virtuales son incompatibles conlos vınculos, mientras que, el trabajo virtualde las reacciones vinculares, en ausencia deroce, es cero para desplazamientos virtualescompatibles con los vınculos.Ası, para desplazamientos virtuales compa-

tibles con los vınculos tenemos:

δW (φ) = −δW (a) = 0

Principio de trabajos virtuales

El trabajo virtual de las fuerzas activasaplicadas a una partıcula vinculada es igual acero, para desplazamientos virtuales compa-tibles con los vınculos y en ausencia de roce.En adelante nos restringiremos al es-

tudio de sistemas para los cuales el tra-bajo realizado por las reacciones vincu-lares es nulo, esto es, nos restringire-mos al caso de desplazamientos virtua-les compatibles con los vınculos.En muchos casos las reacciones vinculares

son perpendiculares a la direccion de movi-miento. Sin embargo, existen ejemplos dondelas reacciones vinculares individuales realizantrabajo, mientras que la suma de todos lostrabajos virtuales en el sistema es nula.El principio de trabajos virtuales establece

que un sistema esta en equilibrio si el trabajovirtual total de las fuerzas externas es nulo,

δW (a) =∑

i

~F ia · δ~xi = 0

donde el ındice i cuenta las partıculas presen-tes en el sistema.El principio de D’Alembert establece que el

trabajo virtual total de las reacciones vincu-lares es nulo bajo un desplazamiento virtualcompatible con los vınculos. Esto constituyeuns caracterıstica fundamental de las reaccio-nes vinculares.

δW (φ) =∑

i

~φip · δ~xi = 0 (28)

Para vınculos holonomos, la reaccion vin-cular ~φp es siempre perpendicular a la super-

ficie de contacto, luego ~φp es perpendiculara desplazamientos virtuales compatibles conlos vınculos, por consiguiente, el trabajo vir-tual de estas reacciones vinculares es siemprenulo.El principio de trabajos virtuales constitu-

ye una tecnica alternativa a las ecuaciones deNewton para resolver problemas de estatica.

Ejemplo:

Figura 23: Aplicacion del principio deD’Alembert para un sistema en equilibrio

Considere dos discos concentricos de radiosR1 y R2 que se encuentran en equilibrio condos masas m1 y m2 suspendidas de ellos, Fig.23.De la mecanica sabemos que la suma de

fuerzas para un sistema en equilibrio es cero,ası como tambien la sumatoria de torques.Aplicando esto al problema en cuestion:

Ti = mig

R1T1 = R2T2

obtenemos como condicion para que existaequilibrio: m1R1 = m2R2, lo cual resulta serconsistente con el hecho de que si los radiosde los discos son iguales, entonces las masasdeberıan ser iguales.Ahora, al aplicar el principio de

D’Alembert al problema en cuestion te-nemos que:

~φ1 · δ~r1 + ~φ2 · δ~r2 = 0

donde las reacciones vinculares ~φi correspon-den a las tensiones Ti en este caso, mientras

25


que los desplazamientos virtuales considera-dos δ~ri deben ser compatibles con los vıncu-los, luego tenemos:

T1δz1 + T2δz2 = (T1R1 − T2R2)δψ = 0

donde hemos usado el hecho que δz1 = −δz2y ademas δzi = Riδψ.Por otra parte, el principio de trabajos vir-

tuales indica que:

~F 1a · δ~r1 + ~F 2

a · δ~r2 = 0

donde las fuerzas activas ~F ia corresponden en

este caso a la fuerza de gravedad sobre cadapartıcula. Luego tenemos que:

m1gδz1 −m2gδz2 = (m1R1 −m2R2)gδψ = 0

de donde obtenemos la misma condicion deequilibrio que obtuvimos antes utilizando lasleyes de Newton y la conservacion del mo-mentum angular (la suma de torques debe sernula).

El principio de D’ Alembert

Consideremos un sistema de N partıculassometidas a vınculos holonomos, el cual noesta en equilibrio debido a la accion de fuerzasexternas ~Fi.Si el sistema no esta en equilibrio, entonces

este es descrito por la segunda ley de Newton,por ejemplo, para la i-esima partıcula tene-mos:

~Fi + ~φi = mi~xi (29)

Surge naturalmente la pregunta, ¿comoaplicar el principio de los trabajos virtuales,el cual es valido para sistemas en equilibrio,a un sistema que no esta en equilibrio?. Lasolucion a este problema fue ideada inicial-mente por Bernoulli y perfeccionada despuespor D’Alembert. La idea radica en definir lasllamadas fuerzas inerciales o fuerzas ficticias~ψ como:

~ψi = −mi~xi

Luego, la segunda ley de Newton en (29) to-ma la forma:

~Fi + ~φi + ~ψi = 0,

es decir, hemos cambiado el sistema de refe-rencia, pasamos a un sistema no inercial don-de la partıcula i esta en equilibrio. ~ψi es ahorauna fuerza aplicada y el principio de trabajosvirtuales es aplicable.Si damos al sistema un desplazamiento vir-

tual δ~xi el trabajo virtual correspondiente ala i-esima partıcula sera:

δW (i) = (~Fi + ~φi + ~ψi) · δ~xi = 0

Mientras que para el sistema completosera valido:

δW =∑

i

(~Fi + ~φi + ~ψi) · δ~xi = 0

El principio de D’Alembert (28) establece queδW (φ) = δW (a) = 0, luego:

δW (a) =N∑

i=1

(~Fi + ~ψi) · δ~xi = 0

Para sistemas que no estan en equilibrio, elprincipio de D’Alembert toma la forma:

N∑

i=1

(~Fi −mi~xi) · δ~xi = 0 (30)

Note que en este caso ~Fi −mi~xi 6= 0.Lo que resulta notable de este resultado

es que ahora podemos resolver problemas demecanica donde las reacciones vinculares yano estan presentes en las ecuaciones.

EjemploConsidere dos masas conectadas por una

cuerda que se mueven en planos sin friccioncomo se muestra en la Fig. 24. Encuentre laaceleracion de las masas utilizando el princi-pio de D’Alembert.Al aplicar las leyes de Newton para este

caso,

T1 −m1g senα = m1a1

m2g sen β − T2 = m2a2

T1 = T2 y a1 = a2

26


Figura 24: Aplicacion del principio deD’Alembert para un sistema que no esta enequilibrio

encontramos que:

a2 = a1 =m2g sen β −m1g senα

m1 +m2

Por otra parte, utilizando el principio deD’Alembert para un sistema de dos partıculasvinculado tenemos:

0 = (F1 −m1x1)δx1 + (F2 −m2x2)δx2

= [m2(g sen β − x2)−m1(g senα + x2)] δx2

donde hemos considerado que x1+x2 = largocuerda (constante). Finalmente obtenemos:

a2 = −a1 =m2g sen β −m1g senα

m1 +m2

Note que en ambos casos el resultado estarelacionado con la eleccion del SR, por ello enel caso de las leyes de Newton a1 = a2, mien-tras que al utilizar el principio de D’Alemberta1 = −a2.

Coordenadas generalizadas

Si xi (i = 1, 2, ..., 3N) son las coordenadascartesiandas de N partıculas, las cuales estansometidas a m vınculos holonomos φλ:

φλ(xi, t) = 0, λ = 1, 2, ...,m

entonces solo 3N − m de las 3N coordena-das xi son independientes. Esto implica quepodemos elegir 3N−m funciones xi indepen-dientes.

La eliminacion de las coordenadas depen-dientes puede ser llevada a cabo introducien-do f = 3N −m variables independientes de-notadas por q1, q2, ..., qf llamadas coordena-das generalizadas, las cuales especifican com-pletamente la configuracion del sistema. Ası:

qj = qj(xi, t), j = 1, 2, ..., f (31)

xi = xi(qj, t)

En otras palabras, usando (31), los vınculosφλ son obedecidos identicamente.Es importante notar que las coordenadas

generalizadas no necesariamente correspon-den a coordenadas espaciales, estas podrıancorresponder a angulos por ejemplo.Notamos que, debido a la definicion de des-

plazamientos reales y virtuales tenemos res-pectivamente:

dxi =∂xi

∂t+

3N−m∑

j=1

∂xi

∂qjdqj

δxi =3N−m∑

j=1

∂xi

∂qjδqj (32)

para i = 1, ..,3N , aquı δqj representa undesplazamiento virtual generalizado

Ejemplos: existe una coordenada generali-zada para describir el movimiento del pendulosimple y una coordenada generalizada paradescribir el movimiento de una partıcula enuna trayectoria elıptica.

Ecuaciones de Lagrange

Es complicado utilizar el principio deD’Alembert (30) directamente para siste-mas sometidos a vınculos puesto que no to-dos los desplazamientos virtuales δ~xi son in-dependientes. Para eliminar esta complica-cion es conveniente escribir el principio deD’Alembert en terminos de las coordenadasgeneralizadas qj.Consideremos el movimiento de un siste-

ma de N partıculas sometidas a m vıncu-los holonomos. El sistema es descrito por las

27


ecuaciones del principio de D’Alembert:

N∑

i=1

3∑

s=1

(F si −mix

si )δx

si = 0

Esta ecuacion puede reescribirse en la forma:

(Fk −mkxk)δxk = 0 (33)

para k = 1, 2, ..., 3N donde los ındices quese repiten son considerados como una sumasobre ellos, es decir,

Fkδxk =3N∑

k=1

Fkδxk.

Dado que tenemos f grados de libertad,debemos tener f coordenadas generalizadasqj = qj(xi, t). A partir de la Ec.(32) obtene-mos para la Ec.(33):

Fi∂xi

∂qkδqk −mixi

∂xi

∂qkδqk = 0

Por otra parte, dado que el trabajo virtualpara la fuerza Fi es dado por:

δW = Fiδxi = Fi∂xi

∂qkδqk

podemos definir la una fuerza generalizada:

Qk = Fi∂xi

∂qk

de modo que:

δW = Qkδqk = Fiδxi

Consideremos ahora el termino mixi∂xi

∂qkδqk:

xi∂xi

∂qk=dxi

dt

∂xi

∂qk=

d

dt

(

xi∂xi

∂qk

)

− xid

dt

(

∂xi

∂qk

)

Por otra parte, dado que xi = xi(qk, t) tene-mos:

xi =∂xi

∂qkqk +

∂xi

∂t(34)

luego:

∂xi

∂qk=∂xi

∂qk(qj, t)

Ademas:

d

dt

(

∂xi

∂qk

)

=∂2xi

∂qj∂qkqj +

∂2xi

∂t∂qk

Derivando la Ec.(34) respecto de la coor-denada generalizada qk obtenemos:

∂xi

∂qk=

∂2xi

∂qk∂qjqj +

∂2xi

∂qk∂t

luego notamos que:

∂xi

∂qk=

d

dt

(

∂xi

∂qk

)

Finalmente,

xi∂xi

∂qk=

d

dt

(

xi∂xi

∂qk

)

− xi∂xi

∂qk

Por otra parte, tenemos las relaciones:

∂

∂qk(xixi) = 2xi

∂xi

∂qk∂

∂qk(xixi) = 2xi

∂xi

∂qk

luego:

mixi∂xi

∂qk

=d

dt

(

∂

∂qk

(

1

2mixixi

))

− ∂

∂qk

(

1

2mixixi

)

=d

dt

∂K

∂qk− ∂K

∂qk

donde K = 12mixixi corresponde a la energıa

cinetica de la partıcula.La ecuacion de D’Alembert en coordenadas

generalizadas toma la forma:

Qkδqk −(

d

dt

∂K

∂qk− ∂K

∂qk

)

δqk = 0

Finalmente tenemos:

Qk =d

dt

∂K

∂qk− ∂K

∂qk(35)

ecuacion que se denomina ecuacion de La-grange.

28


Aunque todas las relaciones han sido deri-vadas para un movimiento sometido a vıncu-los, el principio de D’Alembert (30) y lasecuaciones de Lagrange (35) son igualmentevalidas para un movimiento que no esta so-metido a vınculos. En ese caso podemos in-terpretar las transformaciones anteriores co-mo la transformacion de las leyes de Newtonen coordenadas cartesianas a cualquier otroconjunto de coordenadas generalizadas.

Fuerzas Conservativas

Si las fuerzas involucradas son conserva-tivas, entonces existe una funcion escalar lacual hemos denominado potencial V (xi), talque la fuerza:

Fi = −∂V∂xi

tal que ~F = −∇V

Con esto, la fuerza generalizada que hemosdefinido antes toma la forma:

Qk = Fi∂xi

∂qk= −∂V

∂xi

∂xi

∂qk= −∂V

∂qk

esto es, ahora V = V (qk) y:

Qk = −∂V∂qk

Entonces, para la ecuacion de D’Alembert es-crita en coordenadas generalizadas o la deno-minada ecuacion de Lagrange tenemos:

d

dt

(

∂K

∂qk− ∂V

∂qk

)

− ∂

∂qk(K − V ) = 0

donde hemos usado el hecho de que ∂V∂qk

= 0

puesto que V = V (qk).La funcion lagrangiana del sistema, cono-

cida tambien como potencial cinetico o sim-plemente lagrangiano se define como:

L = K − V

Finalmente, la ecuacion de Lagrange, la cualdescribe la dinamica del sistema en coordenasgeneralizadas, toma la forma:

d

dt

∂L∂qk

− ∂L∂qk

= 0 (36)

donde k = 1, ..., 3N − m. Note que existentantas ecuaciones independientes comocoordenadas generalizadas.

Ejemplo:

Figura 25: Ecuaciones de Lagrange para elpenduo simple

Encuentre las ecuaciones que describen ladinamica de un pendulo simple utilizando lasecucaciones de Lagrange.Para describir el movimiento del pendulo

simple utilizamos los ejes coordenados que semuestran en la Fig. 25, las coordenadas x e yson dadas por:

x = l sin θ

y = l + h− l cos θ

La energıa cinetica en este caso queda:

K =1

2mv2 =

1

2m(x2 + y2) =

1

2ml2θ2

Por otra parte, para la energıa potencialasociada a la fuerza gravitatoria tenemosm~g = −∇V , luego:

V = mgy = mg(l + h− l cos θ)

El lagrangiano para el sistema queda:

L = K − V =1

2ml2θ2 −mg(l + h− l cos θ)

Finalmente, las ecuaciones de movimientoque describen el sistema, Ecs.(36), son dadaspor:

ml2θ +mgl sin θ = 0

29


donde reconocemos a θ como la coordenadageneralizada. Note que la constante h, aso-ciada a la eleccion del sistema coordenado,no aparece en las ecuaciones finales.

Tarea: Determine, utilizando las ecuacio-nes de Lagrange, las ecuaciones de movimien-to en el caso de un pendulo planar doble.

Potenciales Generalizados

Hemos visto que las ecuaciones de Lagran-ge (36) son validas para sistemas conservati-vos, es decir, para el caso en el cual la fuerzageneralizada es dada por:

Qj = −∂V∂qj

Sin embargo, las ecuaciones pueden ser apli-cadas a sistemas no conservativos, siempreque sea posible encontrar la funcion V llama-da potencial generalizado tal que se cumplala condicion:

Qj =d

dt

∂V∂qj

− ∂V∂qj

(37)

Para un sistema no conservativo tenemos:

d

dt

∂K

∂qj− ∂K

∂qj= Qj

luego, si Qj es dado por (37) entoncessera valida la ecuacion de Lagrange dada en(36), donde ahora el potencial conservativo Ves reemplazado por el potencial generalizadoV .Ejemplo:

Considere una carga electrica q en presen-cia de un campo electromagnetico. Del elec-tromagnetismo sabemos que la fuerza a lacual esta sometida la carga q se denominafuerza de Lorentz,

~FL = q( ~E + ~v × ~B)

donde ~E es el campo electrico, ~v es la veloci-dad de la carga y ~B es el campo magnetico.

Por otra parte, el electromagnetismo puedeser resumido en cuatro ecuaciones fundamen-tales conocidas como las ecuaciones de Max-well,

∇ · ~E =q

ε0(38)

∇ · ~B = 0 (39)

∇× ~E = −∂~B

∂t(40)

∇× ~B = µ0~j + ε0µ0

∂ ~E

∂t(41)

Las cuales se corresponden a las ecuacionesde Gauss para el campo electrico y magneti-co, la ecuacion de Faraday y la ecuacion deAmpere-Maxwell, respectivamente. Las cons-tantes ε0 y µ0 son constantes asociadas alelectromagnetismo y ~j es la densidad de co-rriente electrica.Podemos escribir la fuerza de Lorentz en

terminos de un potencial generalizado depen-diente de la velocidad.De las propiedades de los operadores dife-

renciales notamos que ~B = ∇× ~A (consistentecon la Ec.(39)). Considerando este resultado

en la Ec.(40) obtenemos: ~E = −∇φ − ∂ ~A∂t.

Reescribimos la fuerza de Lorentz como:

~FL = q

(

−∇φ− ∂ ~A

∂t+ ~v ×∇× ~A

)

Por otra parte, dado que:

~v ×∇× ~A = ∇(~v · ~A)− (~v · ∇) ~A

= ∇(~v · ~A)− d ~A

dt+∂ ~A

∂t

y ~A = ∇v(~v · ~A) junto con ∇vφ = 0, obtene-mos finalmente:

~F = −∇V +d

dt∇vV

Fi = − ∂V∂xi

+d

dt

∂V∂vi

donde V = q(φ− ~v · ~A).

30


Las coordenadas qi permiten determinar laconfiguracion del sistema en un instante t. Laevolucion del sistema es descrita por el mo-vimiento de un punto M en un espacio linealf -dimensional denominado espacio de confi-guracion del sistema, con ejes q1, q2, ..., qf .La configuracion instantanea del sistema

esta determinada por los valores de las f coor-denadas generalizadas q1, q2, ..., qf y corres-ponde a un punto particular de un hiperes-pacio cartesiano en el que las qi coordenadasforman los f ejes coordenados.Debemos notar que no necesariamente exis-

te alguna relacion entre el espacio de con-figuracion y el espacio fısico tridimensional.Ademas, la trayectoria en el espacio de confi-guracion no tiene por que parecerse a la tra-yectoria espacial de una partıcula real.

Momentum canonico conjugadode una coordenada generalizada

Las variables dinamicas que definen el es-tado del sistema son f coordenadas qi y f

“velocidades” qi.Es conveniente definir el momentum

canonico conjugado pi para la coordenada qi:

pi =∂L∂qi

Note que la denominacion proviene de la si-guiente relacion:

d

dt

∂L∂qi

=dpi

dt=∂L∂qi

= Qi

valido cuando ∂K∂qi

∂V∂qi

= 0, donde la fuerza ge-neralizadas Qi corresponde a la derivada tem-poral del momentum canonico conjugado, enanalogıa con la segunda ley de Newton.De acuerdo con Newton, pi = mvi. Sin

embargo, no es posible generalizar esto ha-ciendo vi = qi. En general, esto solo es ciertocuando las coordenadas qi corresponden acoordenadas cartesianas.

Ejemplo:

Para una partıcula con una cierta energıacinetica en un potencial nulo y en coordena-das polares tenemos: L = K = 1

2m(r2+r2θ2),

luego pθ =∂L∂θ

= mr2θ 6= mθ.

Coordenadas cıclicas

Consideremos un sistema de f grados delibertad, cuya configuracion es dada por:

L = L(q1, q2, ...qf , q1, q2, ..., qf , t)Supongamos que en la expresion calculada

del lagrangiano no aparece la coordenada qk.Cuando ocurre esta situacion, la coordenadaqk se denominada coordenada cıclica.Teorema: El momentum canonico conju-

gado pk, asociado a la coordenada qk, se con-serva si qk es una coordenada cıclica.Demostracion: Si qk es una coordenada

cıclica, entonces ∂L∂qk

= 0. Luego, de la

ecuacion de Lagrange tenemos que ddt

∂L∂qk

= 0,

lo cual indica que pk =∂L∂qk

es constante.

Hasta ahora, la obtencion de las ecuacionesde Lagrange proviene de considerar un pe-queno desplazamiento virtual del estado ins-tantaneo del sistema, es decir, proviene de unprincipio diferencial como lo es el principio deD’Alembert.Tambien es posible obtener las ecuaciones

de Lagrange a partir de un principio que con-sidere el movimiento del sistema entre lostiempos t1 y t2 y que considere pequenas va-riaciones virtuales del movimiento respectodel movimiento real. Un principio de esta na-turaleza es conocido como un principio inte-gral.

Calculo de variaciones

Este formalismo provee una nueva formu-lacion de las leyes de la mecanica, en la cualpodremos deducir las ecuaciones de Lagrangea partir de un principio variacional.A modo de introduccion consideremos el

siguiente problema. Sea x una variable in-dependiente definida en el intervalo cerrado

31


[x1, x2] y sea y(x) alguna funcion diferencia-ble de x definida en este intervalo. Denotare-mos y′(x) = dy

dx.

Supongamos ademas que conocemos la re-lacion φ = φ[y(x), y′(x), x], la cual nos en-trega el numero φ para valores dados de x,y(x) e y′(x). Esta funcion de una funcion sedenomina funcional.El problema basico del calculo de variacio-

nes es el siguiente: encontrar la funcion y(x)tal que:

I =

∫ x2

x1

φ[y, y′, x]dx

sea un extremo (generalmente un mınimo).

Ejemplo 1: Considere dos puntos en unplano, ¿que funcion y(x) minimiza la distan-cia entre los puntos?Un elemento diferencial de distancia es da-

do por:

ds = (dx2 + dy2)1/2 = [1 + (y′)2]1/2dx

Luego, el funcional que define este problematoma la forma φ = [1+(y′)2]1/2 donde la inte-gral I en este caso corresponde a la distanciatotal entre los puntos 1 y 2, es decir I =

∫ 2

1ds.

Ejemplo 2: El problema que dio origen alcalculo de variaciones considera una cuentaque de desliza sin friccion por un alambre(desde el punto 1 al punto 2) y se encuen-tra sometida a la accion de un campo gra-vitacional uniforme, ¿que forma del alambreminimiza el tiempo de viaje?Sabemos que el tiempo total es dado por:

t12 =

∫ 2

1

dt =

∫ 2

1

ds

v=

∫ x2

x1

[1 + (y′)2]1/2

[2gy]1/2dx

donde en el ultimo paso hemos utilizado laconservacion de la energıa para una partıculacuya velocidad inicial es nula y la forma delelemento diferencial de distancia.Notamos que el diferencial asociado al pro-

blema queda definido como: φ = [1+(y′)2]1/2

[2gy]1/2.

La curva resultante se denomina braquisto-crona.

Para resolver el problema basico del calculode variaciones consideramos dos caminos in-finitesimalmente diferentes con extremos co-munes. Sea y(x) el camino que resuelve el pro-blema e Y (x) un camino proximo tal que,

Y (x) = y(x) + εη(x)

donde ε es una cantidad infinitesimalmentepequena y η(x) es una funcion arbitraria dex, tal que η(x1) = η(x2) = 0 de modo queY (x1) = y(x1) e Y (x2) = y(x2).Calculemos el valor de la integral I para la

funcion Y (x):

I =

∫ x2

x1

φ[Y (x), Y ′(x), x]dx

I =

∫ x2

x1

φ[y(x) + εη(x), y′(x) + εη′(x), x]dx

Dado que Y (x) es infinitesimalmente cerca-na a la curva y(x) la cual resuelve el problema(logra que I sea un extremo), es natural ex-pandir el integrando anterior en una serie deTaylor en torno a ε = 0:

I =

∫ x2

x1

(

φ[y, y′, x] + ε

(

∂φ

∂yη +

∂φ

∂y′η′))

dx+O(ε2)

(42)Si I es un extremo (maximo, mınimo o pun-

to de inflexion) para la funcion y(x), la in-tegral puede crecer o decrecer cuando algunaotra funcion se suma a y(x). Esta observacionindica que I, considerada como una funcionde ε, debe tener una derivada nula en el puntoε = 0:

[

dI

dε

]

ε=0

= 0 (43)

Para estar seguros de que se trata de unmınimo deberıamos considerar la segunda de-rivada, pero ello generalmente complica elproblema. En la practica, es posible inferira partir de la fısica del problema si se tratade un maximo o mınimo.

32


Considerando la Ec.(43) en la Ec.(42) te-nemos:

∫ x2

x1

[

∂φ

∂yη +

∂φ

∂y′η′]

dx = 0 (44)

Por otra parte, para el segundo termino enla integral anterior tenemos:

∫ x2

x1

∂φ

∂y′η′dx =

∫ x2

x1

*0d

dx

[

∂φ

∂y′η

]

− ηd

dx

∂φ

∂y′

dx

= −∫ x2

x1

ηd

dx

(

∂φ

∂y′

)

dx (45)

donde hemos considerado η(x1) = η(x2) = 0al evaluar el primer termino de la integral enlos extremos x1 y x2.Con esto, la Ec.(44) queda:∫ x2

x1

η

(

∂φ

∂y+

d

dx

∂φ

∂y′

)

dx = 0

Dado que la funcion η es arbitraria, esto in-dica que:

∂φ

∂y+

d

dx

∂φ

∂y′= 0 (46)

Este resultado se conoce como la ecuacion deEuler-Lagrange para el problema variacional.Si I es un extremo, entonces la funcion y(x)satsiface (46). Del mismo modo, si y(x) satis-face (46) entonces I es un extremo.Utilizando la ecuacion de Euler-Lagrange

en los ejemplos anteriores para el funcionalcorrespondiente encontramos que, en el ejem-plo 1 obtenemos la ecuacion y′′(x) = 0 la cualtiene como solucion una recta. Mientras queen el ejemplo 2, la ecuacion diferencial corres-pondiente sera:

1 + (y′)2 =1

2gyC2

donde C es una constante arbitraria. La curvasolucion de esta ecuacion diferencial se conocecomo braquistocrona y es dada parametrica-mente por:

x =1

4gC2(θ − sin θ)

y =1

4gC2(1− cos θ)

Es util reformular el analisis anterior en unlenguaje levemente diferente, con el cual loscalculos variacionales se vuelven mas conci-sos.Definamos:

Y (x)− y(x) = εη(x) = δy(x)

donde y(x) es, como antes, la solucion al pro-blema varaiacional e Y (x) es una pequenadesviacion de esta solucion, luego:

Y ′(x)− y′(x) = εη′(x) = δy′(x)

lo cual indica que:

δy′(x) =dδy

dx

Por otra parte, llamaremos δφ =φ[Y, Y ′, x] − φ[y, y′, x] de modo que, enconsistencia con (42),

δφ =∂φ

∂yδy +

∂φ

∂y′δy′

lo cual es valido a primer orden.Ademas,

δI =

∫ x2

x1

φ[Y, Y ′, x]dx−∫ x2

x1

φ[y, y′, x]dx

=

∫ x2

x1

δφdx =

∫ x2

x1

(

∂φ

∂yδy +

∂φ

∂y′δy′)

dx

Ahora podemos hacer la misma integracionpor partes que hicimos antes (Ver Ec.(45)):

δI =

∫ x2

x1

[

∂φ

∂yδy +

∂φ

∂y′d

dx(δy)

]

dx

=

∫ x2

x1

∂φ

∂yδy +

*0d

dx

(

∂φ

∂y′δy

)

− d

dx

(

∂φ

∂y′

)

δy

dx

=

∫ x2

x1

[

∂φ

∂y− d

dx

∂φ

∂y′

]

δydx

Finalmente, para que I sea un extremo, de-bemos tener δI = 0. Dado que la variacion δyes arbitraria, entonces:

δI = 0 ⇔ ∂φ

∂y− d

dx

∂φ

∂y′= 0

33


Principio de Hamilton

La similitud entre las ecuaciones de La-grange (36) y la ecuacion de Euler-Lagrange(46) sugiere que la primera tiene una base va-riacional.

La formulacion variacional de la mecanicaes conocida como principio de Hamilton.

Consideremos primero el principio de Ha-milton para un sistema con una unica coor-denada generalizada q sujeta a fuerzas con-servativas, donde las ecuaciones de Lagrangepueden construirse en analogıa directa con lasecuaciones de Euler-Lagrange.

Para un unico grado de libertad, el princi-pio de Hamilton toma la forma:

δ

∫ t2

t1

L[q(t), q(t), t]dt = 0 para extremos fijos

donde la integral temporal del lagrangiano sedenomina accion.

El principio de Hamilton establece que detodos los caminos posibles entre los extremosfijos q(t1) y q(t2), la trayectoria dinamica reales aquella que extrema la accion.

Note que la variacion considerada aquı esprecisamente el desplazamiento virtual intro-ducido antes.

La ecuacion de Euler-Lagrange para el pro-blema variacional planteado por el principiode Hamilton queda:

∂L∂q

− d

dt

(

∂L∂q

)

= 0

que es la ecuacion de Lagrange.

En resumen: el valor de la accion dependedel camino considerado para el movimiento.El camino real es aquel que minimiza la ac-cion, en realidad, el que hace que la accionsea un extremo.

Dado que el lagrangiano es la diferencia en-tre la energıa cinetica y potencial, el principiode Hamilton establece que la partıcula tomael camino que minimiza la diferencia integra-da entre estas cantidades.

Para extender este resultado a n grados delibertad arbitrarios consideramos:

δI = δ

∫ t2

t1

L(q1, ..., qn, q1, ..., qn, t)dt

=

∫ t2

t1

n∑

i=1

(

∂L∂qi

δqi +∂L∂qi

δqi

)

dt

0 =

∫ t2

t1

n∑

i=1

δqi

(

∂L∂qi

− d

dt

∂L∂qi

)

dt(47)

Si las coordenadas qi son coordenadasgeneralizadas apropiadas entonces los δqi sonvariaciones independientes y las ecuacionesde Lagrange son validas.

Ejercicio: Utilice el principio de Hamiltonpara encontrar las ecuaciones de movimien-to de un sistema descrito por el lagrangianoL(qi, qi, qi, t). Considere que δqi(extremos) =δqi(extremos) = 0

Fuerzas vinculares

A menudo es preferible incorporar losvınculos en el principio de Hamilton usandoel metodo de los multiplicadores de Lagrange.Note que la Ec.(47) es valida incluso cuandolas variaciones δqi no son todas independien-tes.Consideremos las variaciones de la ecuacio-

nes que definen k vınculos holonomos fj(qi) =cj,

δfj =n∑

i=1

∂fj

∂qiδqi = 0 para j = 1, ..., k

Estas ecuaciones proveen k relaciones vincu-lares entre las variaciones δqi. Multiplicamoscada una de estas ecuaciones por un multi-plicador de Lagrange λj, sumamos sobre j,integramos sobre el tiempo y sumamos esto ala Ec.(47):

∫ t2

t1

n∑

i=1

δqi

(

∂L∂qi

− d

dt

∂L∂qi

+k∑

j=1

λj∂fj

∂qi

)

dt = 0

(48)

34


Ahora tenemos n−k variaciones independien-tes δqi y escogemos arbitrariamente etiquetarestas variaciones con i = 1, ..., n− k. Las va-riaciones resultantes δqn−k+1, ..., δqn no seranindependientes. Sin embargo, podemos esco-ger k funciones independientes λ1, ..., λk demodo que los coeficientes de δqn−k+1, ..., δqnsean nulos identicamente en la expresion (48).Como resultado tenemos:

d

dt

∂L∂qi

− ∂L∂qi

=k∑

j=1

λj∂fj

∂qi(49)

fj(q1, ..., qn, t) = cj (50)

donde i = 1, ..., n y j = 1, ..., k. Tenemos en-tonces, n+k ecuaciones independientes y n+kincognitas, q1, ..., qn, λ1, ..., λn.

Note que si escribimos las ecuacionesde Lagrange en coordenadas generalizadastendrıamos n− k ecuaciones independientes.Aumentar el numero a n + k parece compli-car el problema en lugar de simplificarlo. Sinembargo, la introduccion de los multiplicado-res de Lagrange nos permite determinar lasreacciones vinculares, las cuales no estabanpresentes en las ecuaciones de Lagrange.

Para relacionar los multiplicadores de La-grange con las reacciones vinculares conside-remos la forma original de las ecuaciones deLagrange en (35):

d

dt

∂K

∂qi− ∂K

∂qi= Qi

donde i = 1, ..., n son grados de libertad y Qi

es la fuerza generalizada definidida mediantela relacion:

δW =∑

i

Qiδqi

Dado que L = K − V y V = V (qi, t), com-parando (49) con (35) notamos que:

Qi = −∂V∂qi

+k∑

j=1

λj∂fj

qi= −∂V

∂qi+Q

fvi

donde asociamos las funciones Qfvi con las

fuerzas vinculares. Note que, en general la in-terpretacion de Qfv

i requiere considerar des-plazamientos virtuales no compatibles con losvınculos.En resumen, podemos omitir las fuerzas

vinculares considerando n − k coordenadasgeneralizadas independientes, tal como sehizo para derivar las ecuaciones de La-grange. Pero, si deseamos encontrar lasfuerzas vinculares, dejamos las coordena-das libres e incorporamos los vınculos conel metodo de los multiplicadores de Lagrange.

Ejemplo 1: Pendulo SimpleLa energıa cinetica y el potencial son dados

respectivamente por:

K =1

2m(x2 + y2) =

1

2m(r2 + r2θ2)

V = −mgy = −mgrcosθdonde hemos escogido el eje y apuntando ha-cia abajo. El lagrangiano correspondiente es:

L =m

2(r2 + r2θ2) +mgr cos θ

Note que, a pesar de que sabemos que lacoordenada r es constante (debido al vıncu-lo), consideramos su derivada temporal pues-to que queremos determinar la reaccion vin-cular asociada al problema. Debemos consi-derar los vınculos al final, en las ecuacionesde movimiento.Las ecuaciones de movimiento asociadas

(usando el metodo de los multiplicadores deLagrange) son:

∂L∂r

− d

dt

∂L∂r

+ λ∂f

∂r= 0

∂L∂θ

− d

dt

∂L∂θ

+ λ∂f

∂θ= 0

Dado que el vınculo es definido por r = l

(donde l es el largo constante de la cuerda),tenemos ∂f

∂r= 1 y ∂f

∂θ= 0.

Al reemplazar el lagrangiano y considerarlos vınculos tenemos:

mrθ +mg cos θ −*0mr + λ = 0

−mgr sin θ −mr2θ = 0

35


Por otra parte, el trabajo virtual es dado

por: δW =∑

Qiδqi = Qrδr +* 0

Qθδθ = −Tδr,donde T es la tension en la cuerda o la reac-cion vincular. Comparando esto con:

Qfvj =

k∑

i=1

λj∂fj

∂qi

donde k es el numero de vınculos encontra-mos λ = −T .Finalmente, las ecuaciones de movimiento

quedan:

T = mlθ2 +mg cos θ (51)

lθ = −gl sin θ (52)

La ecuacion de Lagrange solo nos permiteobtener la Ec.(52), la otra ecuacion, la cualdetermina la tension T en terminos de lacoordenada θ, solo es posible obtenerla conel metodo de los multiplicadores de Lagrange.

Ejemplo 2: Maquina de AtwoodSin considerar el vınculo a priori el lagran-

giano correspondiente es:

L =1

2m1x1 +

1

2+m2x2 +m1gx1 +m2gx2

donde los ejes x1 y x2 apuntan ambos haciaabajo.Dado que hay solo un vınculo para el sis-

tema, x1 + x2 = l (l es la longitud constan-te de la cuerda), existe solo un multiplicadorde Lagrange asociado. Las correspondientesecuaciones de movimiento quedan:

m1x−m1g = λ (53)

m1x2 −m2g = λ (54)

Considerando ahora el vınculo tenemos que:x1 = −x2. Combinando las ecs.(53) y (54)encontramos:

x1 =m1 −m2

m1 +m2

g

λ = − 2m1m2

m1 +m2

g = −T1 = −T2

Principios de simetrıa y

cantidades conservadas

La existencia de cantidades conservadastiene una importante relacion con las si-metrıas del problema. Recuerde que siuna coordenada generalizada qi no apareceexplıcitamente en el lagrangiano (coordena-da cıclica) el momentum canonico conjugadoasociado a esa coordenada pi = ∂L

∂qies una

cantidad conservada.Tarea: Determine cual es el momentum

canonico conjugado en los siguientes casos:

(a) movimiento tridimensional en un poten-cial 1-dimensional

(b) movimiento planar en un potencial cen-tral

En estos casos, ¿es el momentum canonicoconjugado una cantidad conservada? si esası, ¿a que magnitud fısica se asocia?

En el caso (a) el sistema es invariante ba-jo un corrimiento de los ejes coordenados enel plano xy puesto que x e y no aparecenexplıcitamente en el lagrangiano. En el caso(b) el sistema es invariante bajo rotacionesdel angulo θ puesto que este no aparece en ellagrangiano.

El Hamiltoniano

La discusion anterior se centra en la inva-riancia bajo transformaciones espaciales. Pa-ra estudiar la invariancia bajo transformacio-nes temporales es conveniente introducir lafuncion hamiltoniano:

H =∑

i

piqi − L

Podemos observar que si el lagrangiano nodepende explıcitamente del tiempo (∂L

∂t= 0),

entonces el hamiltoniano es una constante demovimiento. En efecto,

dH = pidqi + qidpi −(

∂L∂qi

dqi +∂L∂qi

dqi

)

−70

∂L∂tdt

36


donde los ındices repetidos indican suma.Luego,

dH

dt=

∑

i

(

piqi + qipi −(

∂L∂qi

qi +∂L

∂qiqi

))

=∑

i

qi

(

pi −∂L∂qi

)

= 0

donde el ultimo termino es igual a cerodebido a las ecuaciones de Lagrange.

Por otra parte, si solo tenemos potencialesconservativos que no dependen del tiempo yen las relaciones entre coordenadas cartesia-nas y coordenadas generalizadas no apareceexplıcitamente el tiempo, es decir,

xi =∑ ∂xi

∂qjqj +

70

∂xi

∂t

Esto indica que los vınculos son escleronomos.Al calcular K encontramos:

K =1

2

∑

i

mix2i =

1

2

∑

l,k,i

mi∂xi

∂ql

∂xi

∂qkqlqk

Notamos que la energıa cinetica es una formacuadratica de las velocidades generalizadas.Por otra parte,

∑

i piqi =∑

i∂L∂qiqi =

∑

i∂K∂qiqi, luego:

pj =∂K

∂qj=

1

2

∑

l,k,i

mi∂xi

∂ql

∂xi

∂qkqlδkj

+1

2

∑

l,k,i

mi∂xi

∂ql

∂xi

∂qkqkδlj

=∑

l,i

mi∂xi

∂ql

∂xi

∂qjql

luego:

∑

j

pj qj =∑

j,l,i

mi∂xi

∂ql

∂xi

∂qjqlqj = 2K

Finalmente,

H =∑

j

pj qj − L = 2K − (K − V )

= K + V = E

La derivacion anterior muestra que si laenergıa cinetica es una forma cuadratica enlas velocidades generalizadas, entonces, el ha-miltoniano representa la energıa total del sis-tema.Note que para que H sea una constante

de movimiento se debe cumplir tambien quedHdt

= 0.

Considerando un sistema conservativo convınculos independientes del tiempo, en cuyocaso el lagrangiano no dependera explıcita-mente del tiempo,

dLdt

=∑

i

∂L∂qi

qi +∂L∂qi

qi +70

∂L∂t

=∑

i

d

dt

(

qi∂L∂qi

)

donde hemos usado la ecuacion de Lagrange,∂L∂qi

= ddt

∂L∂qi

Podemos reescribir la ecuacion anterior co-mo:

d

dt

(

L −∑

i

qipi

)

= 0

esto es, el termino L −∑

i qipi resultaser una constante, el cual corresponde alhamiltoniano del sistema.

Ejercicio: Considere una cuenta que sedesliza sin friccion por un aro de radio a. Asu vez el aro se encuentra girando con rapi-dez angular constante ω en el plano xy, dondeel borde del aro pasa por el origen del siste-ma coordenado. Considere que el sistema seencuentra en una region libre de fuerzas ex-ternas.Determine el lagrangiano del sistema, los

momenta generalizados y el hamiltoniano.¿Representa el hamiltoniano la energıa delsistema?

Ejercicio: Encuentre el hamiltoniano co-rrespondiente al pendulo simple, ¿representaeste la energıa del sistema?

37


Formulacion de Hamilton

de la mecanica clasica

La mecanica clasica formulada a partir deun principio integral es conocida como forma-lismo hamiltoniano. Desde el punto de vistafısico, nada nuevo es anadido, simplementese gana un metodo mas poderoso para traba-jar con principios conocidos. La utilidad delformalismo hamiltoniano esta en que propor-ciona una estructura que permite extensionesteoricas en muchas areas de la fısica.Fuera del contexto de la mecanica clasi-

ca, la formulacion de Hamilton proporciona ellenguaje para la construccion de la mecanicacuantica, la mecanica estadıstica, las teorıasclasicas y cuanticas de campo.Asumimos que los sistemas consideran

vınculos holonomos y que las fuerzas se deri-van, ya sea de un potencial que solo dependede la posicion o de potenciales generalizadosdependientes de la velocidad.En la formulacion de Lagrange, un sistema

con f grados de libertad posee f ecuacionesde movimiento:

d

dt

∂L∂qi

− ∂L∂qi

= 0

Como las ecuaciones son de segundo orden,el movimiento del sistema es determinado pa-ra todo tiempo solo cuando 2f valores inicia-les son especificados, los f valores de los qi ylos f valores de los qi.La formulacion de Hamilton se basa en un

cuadro distinto, donde el movimiento se des-cribe en terminos de ecuaciones de movimien-to de primer orden. Dado que el numero de

condiciones iniciales que determinan el mo-vimiento es 2f , deben existir 2f ecuacionesde primer orden expresadas en terminos de2f variables independientes. Las 2f ecuacio-nes del movimiento describen la conducta deun punto del sistema en un espacio de fasecuyas coordenadas son las 2f variables inde-pendientes.La formulacion se basa en la eleccion de

f coordenadas generalizadas qi y f momentageneralizada pi.Desde el punto de vista matematico, la

transicion desde el formalismo de Lagrange alformalismo de Hamilton corresponde al cam-bio de variables (qi, qi, t) → (qi, pi, t), dondepi esta relacionado con qi y qi.El procedimiento para el cambio de varia-

bles es proporcionado por las transformacio-nes de Legendre.

Transformaciones de Legendre

Consideremos el caso de una funcion deuna sola variable f = f(x). Supongamos quedeseamos cambiar la variable independiente xa una nueva variable u definida como u = df

dx.

La pregunta natural es ¿se pierde alguna in-formacion contenida en f(x) al cambiar af(u)?Si la variable independiente es u = df

dxy la

variable dependiente es f entonces la funcionf(u) no incluye toda la informacion en f(x).En efecto, si deseamos obtener f(x) a partirde f(u), la reconstruccion no puede hacerseunıvocamente. Esto indica que parte de la in-formacion se perdio, lo cual nos conduce a lapregunta ¿que variable dependiente debemoselegir para que, al ser u la variable indepen-diente, no se pierda informacion?Consideremos una recta tangente a la curva

f(x), la cual es dada por: f = xu−g donde ucorresponde a la pendiente a la curva en cadapunto y g es el punto de interseccion con eleje f .Si u es la variable independiente, enton-

ces g(u) serıa una variable dependiente conve-niente: g(u) = xu−f . Si conocemos la funcion

38


g(u), entonces podemos reconstruir la funcionf(x) por medio de una envolvente de tangen-tes. La ecuacion g(u) = xu− f(x) constituyeuna transformacion de Legendre.

Para poder aplicar la transformada de Le-gendre a una funcion f(x), la funcion f debeser convexa, esto es, f ′′(x) > 0.

Si f es una funcion convexa de mas deuna variable, por ejemplo, f(~x, y) donde ~x =(x1, x2, ..., xn), entonces, la transformada deLegendre es la funcion g(~u, y) donde ~u =(u1, u2, ..., un) sera:

g(~u, y) = ~x · ~u− f(~x, y)

Ejemplos: Encuentre la transformada deLegendre en cada caso

f(x) = x2

f(x) = mx2

2

f(x) = xα

α

Ecuaciones canonicas de Hamil-ton

Consideremos la formulacion donde las va-riables independientes son las coordenadasgeneralizadas y los momenta generalizados.El cambio de base del sistema (q, q, t) al sis-tema (q, p, t) se lleva a cabo mediante unatransformacion de Legendre:

H(qi, pi, t) =

f∑

i=1

qipi − L(qi, qi, t)

donde H se conoce como el hamiltoniano delsistema.

En el formalismo hamiltoniano, las f coor-denadas qi y los f momenta pi son las 2fvariables independientes. El hamiltoniano delsistema quedara bien definido cuando se co-nocen los f qi y los f pi en cualquier instante.

Para encontrar las ecuaciones de movi-miento correspondientes calculamos dH:

dH =∑

i

∂H

∂qidqi +

∂H

∂pidpi +

∂H

∂tdt

=∑

i

pidqi + qidpi −∂L∂tdt

−∑

i

(

∂L∂qi

dqi +

∂L∂qi

dqi

)

luego notamos que:

∑

i

(

∂H

∂qi+∂L∂qi

)

dqi +

(

∂H

∂pi− qi

)

dpi

+

(

∂H

∂t+∂L∂t

)

dt = 0

Dado que dqi, dpi y dt son independientes,tenemos que:

∂H

∂qi+∂L∂qi

= 0

∂H

∂pi− qi = 0

∂H

∂t+∂L∂t

= 0

Las dos primeras ecuaciones del conjuntoanterior son conocidas como las ecuacionescanonicas de Hamilton. Note que si las fuer-zas son conservativas, entonces pi =

∂L∂qi

.Las ecuaciones canonicas de Hamilton

constituyen un sistema de 2f ecuaciones deprimer orden que reemplazan a las f ecuacio-nes de Lagrange.

Coordenadas cıclicas

Recuerde que una coordenada cıclica esaquella que no aparece explıcitamente en ellagrangiano, siendo el momentum canonicoasociado una constante. De las ecuacionescanonicas de Hamilton notamos que:

pi = −∂H∂qi

39


luego, si pi = 0 entonces ∂H∂qi

= 0, por consi-guiente, una coordenada cıclica tampoco apa-rece en el hamiltoniano.De esta manera, podemos definir una coor-

denada cıclica como aquella que no apareceen el lagrangiano ni en el hamiltoniano.

Dependencia temporal del hamilto-niano

Sabemos que:

dH

dt=∑

i

∂H

∂qiqi +

∂H

∂pipi +

∂H

∂t

Utilizando las ecuaciones canonicas de Hamil-ton tenemos:

dH

dt=∑

i

∂H

∂qi

∂H

∂pi+∂H

∂pi

(

−∂H∂qi

)

+∂H

∂t

lo cual muestra que:

dH

dt=∂H

∂t

Esto indica que si el tiempo no apareceexplıcitamente en el hamiltoniano, entoncesH es una constante de movimiento.La identificacion de H como una constante

de movimiento y como la energıa son dos co-sas diferentes. Las condiciones suficientes pa-ra una no bastan para la otra. Por ejemplo,puede ocurrir simultaneamente que:

a) el tiempo aparezca explıcitamente en lasecuaciones de tranformacion, lo cual in-dicarıa que la energıa cinetica dependeexplıcitamente del tiempo y en ese casoH no representa la energıa.

b) el tiempo no aparezca explıcitamente en elhamiltoniano y entonces H sea una cons-tante del movimiento.

El hamiltoniano representa la energıa delsistema solo si se cumple simultaneamente:

H no depende explıcitamente del tiempo

las fuerzas activas son estrıctamente con-servativas

la transformacion entre coordenadas car-tesianas y coordenadas generalizadas nodepende explıcitamente del tiempo

Tarea: A partir del principio de Hamilton,escribiendo el lagrangiano en terminos del ha-miltoniano, encuentre las ecuaciones canoni-cas de Hamilton:

qi =∂H

∂pi

pi = −∂H∂qi

Transformaciones Canonicas

Las ecuaciones canonicas de Hamilton sondadas por:

qi =∂H

∂p i

pi = −∂H∂q i

Existe un tipo de problema para el cual lasolucion de las ecuaciones canonicas de Ha-milton es trivial. Consideremos el caso donde

H es una constante de movimiento, esdecir, dH

dt= ∂H

∂t= 0

Las coordenadas generalizadas son todascıclicas, esto es, no aparecen explıcita-mente en el lagrangiano ni en el hamil-toniano

Si las coordenadas son cıclicas, entonces∂H∂qi

= 0. De acuerdo con las ecuaciones

canonicas de Hamilton, pi = −∂H∂qi

= 0, esdecir, pi es una constante.Llamaremos αi a dichas constantes, de mo-

do que:

pi = αi

Dado que H = H(qi, pi), si qi son cıclicas,entonces H = H(pi) = H(αi). Luego,

dqi

dt=∂H

∂pi=∂H

∂αi

= ωi

40


donde ωi no depende del tiempo puesto queHno depende del tiempo. Finalmente tenemosque:

qi(t) = ωit+ βi

donde los βi son constantes de integracion de-terminadas por las condiciones iniciales.Puede parecer que la solucion de este pro-

blema es de poca importancia debido a quetodas las coordenadas son cıclicas. Sin em-bargo, un sistema puede ser descrito por masde un conjunto de coordenadas generalizadas.

Ejemplo: el movimiento de una partıculaen un plano puede ser descrito en coordena-das cartesianas o en coordenadas polares. Deeste modo tenemos:

q1 = x y q2 = y o

q1 = r y q2 = θ

Ambos sistemas de coordenadas son validos,sin embargo, uno de ellos es mas apropiado.Por ejemplo, en el caso de las fuerzas centra-les, cuando elegimos el sistema (r, θ) se ob-tiene que la coordenada θ es cıclica (en el ca-so cartesiano ninguna de las coordenadas escıclica). Esto indicarıa que el numero de coor-denadas cıclicas depende del sistema coorde-nado que se elija, por consiguiente, deberıaexistir un sistema de coordenadas donde to-das las coordenadas son cıclicas. Es necesarioelaborar un procedimiento para encontrar es-te sistema coordenado.Para pasar de un sistema de coordenadas

(qi, t) a otro (Qi, t) es necesario conocer la leyde transformacion Qi = Qi(qj, t). Esta ley detransformacion debe ser generalizada cuandotrabajamos en Mecanica de Hamilton, ya queaquı tanto los qi como los pi son coordenadasgeneralizadas. De este modo, la ley de trans-formacion sera:

Qi = Qi(qj, pj , t)

Pi = Pi(qj, pj , t)

Por otra parte, en mecanica de Hamiltonsolo nos interesan las coordenadas que son

canonicas, es decir, coordenadas que cumplancon las ecuaciones canonicas de Hamilton.Las nuevas coordenadas (Qi,Pi) seran canoni-cas si existe una funcion H = H(Qi, Pi, t) talque:

Qi =∂H

∂Pi

Pi = − ∂H

∂Qi

Definicion: Una transformacion canonicaes aquella que deja invariantes las ecuacionescanonicas de Hamilton.Si K : (qi, pi) → (Qi, Pi) y

qi =∂H

∂pi; pi = −∂H

∂qi

Qi =∂H

∂Pi

; Pi = − ∂H

∂Qi

entonces K es una transformacion canonica yH serıa el nuevo hamiltoniano.Si las Qi y Pi con coordenadas canonicas,

entonces ellas deben satisfacer las ecuacionescanonicas de Hamilton y deben cumplir unprincipio de Hamilton modificado.

Recuerde:Para un sistema descrito por las coordenadasgeneralizadas qi (i = 1, ..., f) el principio deHamilton establece que la accion debe serestacionaria bajo desplazamientos pequenosen torno al movimiento real del sistema, estoes, δ

∫ t2t1

L(qi; qi)dt = 0.

Construimos la accion:

I =

∫ t2

t1

L(Qi, Qi)dt

I =

∫ t2

t1

(

QiPi − H(Qi, Pi, t))

dt

y aplicamos el principio de Hamilton:

δI = δ

∫ t2

t1

(

QiPi − H(Qi, Pi, t))

dt = 0

(55)

41


Obviamente las (qi, pi) cumplen con:

δI = δ

∫ t2

t1

(qipi −H(qi, pi, t)) dt = 0 (56)

La validez de las Ecs.(56) y (57) no aseguraque los integrandos sean iguales. Sin embar-go, el hecho de que ambas expresiones seaniguales a cero indica que ellas difieren en laderivada total de una funcion arbitraria F .En efecto, dado que la operacion δ es nula

en los extremos,

δ

∫ t2

t1

dF

dtdt = δ

∫ t2

t1

dF = δF (t2)−δF (t1) = 0

(57)luego,

δI = δ

∫ t2

t1

(

QiPi − H(Qi, Pi, t) +dF

dt

)

dt = 0

(58)Puesto que F es arbitrario siempre puedo en-contrar esta funcion tal que los integrandosde (57) y (58) sean iguales:

∑

i

qipi −H =∑

i

QiPi − H +dF

dt

La funcion F se denomina funcion generatrizde la transformacion (qi, pi) → (Qi, Pi), demanera tal que las ecuaciones canonicas deHamilton permanezcan invariantes en forma.Para efectuar la transformacion (qi, pi) →

(Qi, Pi) la funcion F debe depender de 4fvariables, es decir, F = F (qi, pi, Qi, Pi). Sinembargo, de las 4f variables, solo 2f son in-dependientes debido a que:

Qi = Qi(qj, pj , t)

Pi = Pi(qj, pj , t)

Notamos que la funcion generatriz puede ex-presarse en cuatro formas diferentes:

F1(qi, Qi, t); F2(qi, Pi, t);

F3(pi, Qi, t); F4(pi, Pi, t)

Las caracterısticas del problema indican cualdebe elegirse. Por ejemplo, si se trata de una

transformacion de la forma Qi = Qi(qj, t),enonces las qi y las Qi no son independien-tes, luego las transformaciones F1 deben serexcluıdas.En el caso en que F1 sea la funcion genera-

triz apropiada, tenemos que:

∑

i

qipi −H =∑

i

QiPi − H +dF1

dt

∑

i

qi

(

pi −∂F1

∂qi

)

−∑

i

Qi

(

Pi +∂F1

∂Qi

)

−H + H − ∂F1

∂t= 0

Dado que qi y Qi son independientes al con-siderar F1:

pi =∂F1

∂qi; Pi = −∂F1

∂Qi

; H = H+∂F1

∂t(59)

Notemos que para pasar de F1 a F2 debe-mos pasar de Qi a Pi = − ∂F1

∂Qi. Usamos una

transformacion de Legendre:

F1 → F2

Qi → Pi = −∂F1

∂Qi

luego:

F2 =∑

i

Qi∂F1

∂Qi

− F1

F2 = −∑

i

QiPi − F1

Si absorbemos el signo negativo en F2 obte-nemos:

F1 = −∑

QiPi + F2

Con esta relacion obtenemos:

∑

qipi −H =∑

QiPi − H +d

dt

(

−∑

QiPi + F2

)

∑

qipi −H = −H −∑

QiPi +dF2

dt

Finalmente, dado que qi y Pi son indepen-dientes al considerar F2:

pi =∂F2

∂qi; Qi =

∂F2

∂Pi

; H = H +∂F2

∂t(60)

42


Tarea:Muestre que al pasar de F1 a F3, usando latransformada de Legendre:

F1 → F3

qi → pi =∂F1

∂qi

obtenemos:

Pi = −∂F3

∂Qi

; qi = −∂F3

∂pi; H = H +

∂F3

∂t

Tarea: Muestre que al pasar de F1 a F4,usando la transformada de Legendre:

F1 → F4

qi → pi =∂F1

∂qi

Qi → Pi =∂F1

∂Qi

obtenemos:

qi = −∂F4

∂pi; Qi =

∂F4

∂Pi

; H = H +∂F4

∂t

Ejemplo: Considere una funcion genera-triz del tipo F2 = F2(qi, Pi):

F2 =∑

j

qjPj

Para F2 son validas las Ecs.(60). Muestreque F2 en este caso genera la transformacionidentidad.

Ejemplo: Considere una funcion genera-triz del tipo F1 = F1(qi, Qi):

F1 =∑

k

qkQk

Para F1 son validas las Ecs.(59). Muestre queesta transformacion permuta coordenas y mo-menta.Este ultimo ejemplo pone de manifiesto

la independencia entre coordenadas y mo-menta. En la formulacion de Hamilton, ladistincion entre coordenadas y momenta escuestion de nomenclatura. Ha desaparecido

de la teorıa todo vestigio del concepto de losqi como coordenadas espaciales y de los picomo producto de masa por velocidad.

Ejemplo: Considere la funcion generatriz

F =1

2mωq2 cotgQ

Encuentre las relaciones q(Q,P ), p(Q,P ) yuna expresion para H.Aplique esta funcion generatriz al proble-

ma del oscilador armonico simple, cuyo ha-miltoniano es dado por:

H =p2

2m+mω2

2q2

y encuentre la funcion q(t).

Ejemplo:

Derive las ecuaciones que describen ladinamicas de una partıcula de carga e

en un campo electromagnetico a partirdel lagrangiano:

L =1

2m~r2 − eΦ(~r, t) +

e

c~r · ~A(~r, t)

donde c es la rapidez de la luz en el vacıo,~A y Φ son los poteciales vectorial y es-calar respectivamente, definidos a partirde (ver pag.30):

~E(~r, t) = −∇Φ(~r, t)− 1

c

∂

∂t~A(~r, t)

~B(~r, t) = ∇× ~A(~r, t)

~E y ~B son los campos electricos ymagneticos respectivamente.

Encuentre el hamiltoniano del sistema,¿el hamiltoniano representa la energıa?,¿es constante en el tiempo?.

A partir de las ecuaciones canonicas deHamilton, derive la ecuacion de movi-miento para la partıcula cargada, ¿coin-ciden con las ecuaciones que encontro apartir del lagrangiano?

43

meca´nica cla´sica -...

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