mecanica estadistica

Apuntes de Mecánica Estadística del grupo 4CM13

“Dios no juega a los dados, con el universo”. Albert Einstein

Apuntes de Mecánica Estadística del grupo 4CM13 2012

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ÍNDICE

Contenido Página

Introducción a la mecánica estadística 2

1 Estados degenerados 3

2 Función de estados 6

3 La probabilidad de una distribución 8

4 La distribución más probable 12

5 Estadística de Maxwell-Boltzmann 19

6 Radiación del cuerpo negro 22

7 Fórmula de Rayleigh & Jeans y fórmula de Planck 26

8 Estadística de Bose-Einstein 29

9 Estadística de Fermi-Dirac 34

Apéndice A 37


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INTRODUCCIÓN A LA MÉCANICA ESTADÍSTICA DOMÍNGUEZ RESÉNDIZ DANIEL, LOPEZ LEON LUIS MANUEL y SANCHEZ GONZALEZ SANDRA L. Se define a esta disciplina como la ciencia de predecir propiedades observables de un sistema formado por muchas partículas, ya sean átomos, moléculas, fotones, etc., a través de su estudio estadístico. Esto significa de manera natural, la mecánica estadística aparece como eslabón entre las ciencias que se ocupan del mundo macroscópico y que lo tratan como continuo –como es el caso de la termodinámica- y las ciencias que se ocupan del mundo microscópico y reconocen a la naturaleza como compuesta de partículas discretas. El desarrollo de esta disciplina constituyó un gran triunfo de científicos del siglo XIX como Rudolf Clausius (1822 - 1888), James Clerk Maxwell (1831 – 1879), de manera muy especial Ludwig Boltzman (1844 - 1906) y el físico matemático estadounidense J. Willard Gibbs. Estos científicos creían que la materia se compone de muchas partículas en movimiento constante. Sabían que era imposible determinar los movimientos de las partículas suponiendo que cada partícula individual se comporta según la mecánica newtoniana, ya que cualquier muestra de materia contiene un número de partículas como el de Avogadro. Maxwell, Boltzmann y Gibbs desarrollaron técnicas estadísticas para promediar la dinámica microscópica de las partículas individuales y hallar sus propiedades termodinámicas macroscópicas (a gran escala). A través de sus cálculos descubrieron que la temperatura es una medida de la energía cinética media o promedio de las partículas microscópicas. También hallaron que la entropía es proporcional al logaritmo del número de formas en que se puede ordenar microscópicamente un sistema macroscópico dado. En la década de 1920 hubo que ampliar la mecánica estadística para incorporar los nuevos principios de la teoría cuántica. En esta teoría, la naturaleza de las partículas es diferente a la de la física clásica, que se basa en las leyes del movimiento de Newton. En particular, dos partículas clásicas son distinguibles en principio; igual que pueden distinguirse dos bolas de billar colocando una marca en una de ellas, con las partículas clásicas puede hacerse lo mismo. En cambio, dos partículas cuánticas idénticas son indistinguibles, incluso en principio, y eso exige una nueva formulación de la mecánica estadística. Además, existen dos formulaciones mecanocuánticas de la mecánica estadística, que corresponden a los dos tipos de partículas cuánticas conocidos como fermiones y bosones. La formulación empleada para describir el comportamiento de un grupo de partículas clásicas se denomina estadística de Maxwell-Boltzmann. Las dos formulaciones de la mecánica estadística empleadas para describir las partículas cuánticas son la estadística de Fermi-Dirac, que se aplica a los fermiones, y la estadística de Bose-Einstein, que se aplica a los bosones. Las teorías de Bose-Einstein hacen una predicción de un nuevo estudio de la materia y con la demostración que hace posible acercar los fenómenos cuánticos de la teoría a la realidad práctica, como lo fue con enfriar miles de átomos de rubidio a menos de una millonésima de grado sobre el cero absoluto y obtener dicho condensado, todo esto gracias al avance tecnológico del siglo XX. Fermi-Dirac, según su estadística, da el entendimiento o propiedad de la conductividad a partir de la gran diferencia de energías entre un estado fundamental y el primer estado excitado de los electrones, haciendo que cualquier corriente fluya sin resistencia. Bibliografía La mecánica estadística: sus orígenes y sus paradojas a la luz de los escritos de Paul y Tatiana Ehrenfest; Ricardo Guzmán, José Antonio Cervera; Instituto Tecnológico de Monterrey; Vol. 29, 2006, 331 - 356


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1. ESTADOS DEGENERADOS BALDERAS LIMA CHRISTIAN R., GONZÁLEZ JARAMILLO ALEJANDRO, GUTIÉRREZ REYNA ISIS M., VILLAGÓMEZ BRISEÑO RAÚL

Poco después de que Schrödinger diera su propuesta de la interpretación de la función de onda

del electrón, Max Born indicó que podría darse un significado físico a 2. Si el volumen de 2 es grande, la probabilidad de encontrar un electrón en ese volumen es igual muy grande a la cual se le conoce como densidad de probabilidad. Por otro lado, para un volumen pequeño, la densidad

de probabilidad es baja. Las gráficas de 2 en tres dimensiones generan las formas conocidas de los orbitales atómicos s, p, d y f. Un orbital es una región del espacio en donde la probabilidad de encontrar a un electrón es alta. Las formas de los orbitales s y p se muestran en las figuras siguientes (Fig. 1):

Fig.1 Orbitales s y p

La probabilidad de encontrar un electrón lejos del núcleo es extremadamente pequeña por lo cual sólo estudiaremos los niveles energéticos s y p. La forma de los orbitales s es esférica; en 1s el signo de la función

es positivo ya que si fuese

negativo, repelería a los electrones. En cambio en el nivel 2s hay un área donde =0 llamado plano nodal y dentro del orbital,

es negativo.

Los orbitales 2p tienen la forma de dos esferas casi unidas las cuales según su localización se dividen en , , y .

El signo de la función de onda

en una de las esferas (o lóbulos) es positiva y negativa que para

diferenciarlos y no confundirlos con las cargas eléctricas usamos diferentes colores. Existe un plano nodal que separa a los dos lóbulos del orbital p.

Fig.2 Esquemas del orbital p


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Mientras mayor sea el número de nodos en los orbitales, mayor será la energía. Las energías relativas de los orbitales de menor energía son las siguientes:

a) Los electrones de los orbitales 1s tienen menor energía debido a su cercanía con el núcleo positivo.

b) Los electrones de los orbitales 2s son los del siguiente nivel más bajo de energía. c) Los electrones de los orbitales 2p son iguales pero tienen una energía más alta. Se dice

que los orbitales de igual energía son orbitales o estados degenerados.

Las energías relativas se utilizan para obtener la configuración electrónica de cualquier átomo. Esto se puede realizar mediante unas cuantas reglas:

a) El principio de aufbau o principio de construcción: Los orbitales se llenan de manera que primero se completan los de menor energía.

b) El principio de exclusión de Pauli: En todo orbital se pueden colocar un máximo de dos electrones pero sólo cuando los spins de los electrones están apareados. Un electrón gira sobre su propio eje. A un electrón sólo se le permite una u otra de las dos únicas orientaciones posibles de rotación (spin). Por lo general estas orientaciones se muestran

como flechas, ya sea o . Por lo tanto, dos electrones de espín apareado se

representarán como . Los electrones no apareados, que no pueden coexistir en el

mismo orbital, se representan como (o ).

c) La regla de Hund: Cuando se trata con orbitales degenerados como los tres orbitales p, se agrega un electrón a cada uno, teniendo sus direcciones de rotación (spins) no apareadas, hasta que cada uno de los orbitales degenerados contenga un electrón. Después se empieza a agregar un segundo electrón a cada orbital degenerado, de tal manera que quedan apareados los sentidos de rotación.

Un ejemplo de esto es aplicando estas tres reglas a los elementos de la segunda fila de la tabla periódica (Fig.3):

Fig.3 Configuración electrónica de los elementos de la segunda fila de la tabla periódica.


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Puesto que los tres números cuánticos son independientes entre sí, existen combinaciones entre ellos que dan lugar a estados de la misma energía. Estos estados distintos, pero de la misma energía se denominan estados degenerados. Para encontrar dichas combinaciones utilizamos la siguiente fórmula (Ec. 1):

Donde: N es el número de espacios que se tienen en ese estado. n es el número de electrones que se tienen en ese estado. A continuación se verán algunos ejemplos [Fig.4, 5 ,6 ] :

En el caso de los gases nobles no existen estados degenerados.

Combinaciones:

Combinaciones:

Combinaciones:

[ Ec. 1 ]

Fig.4 Configuración Electrónica del Boro

Fig.5 Configuración Electrónica del Carbono

Fig.6 Configuración Electrónica del Nitrógeno


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2. FUNCIÓN DE DENSIDAD DE ESTADOS ESPINOZA ESPINOSA JESÚS, GARCÍA GONZALEZ GILBERTO y GARCÍA YAÑEZ ANA LUCIA

En el capítulo anterior se conoció el concepto de estado degenerado, dicha degeneración fue estudiada para un solo átomo de un compuesto de cualquier tipo, para nuestro caso, aplicaremos este mismo concepto con la pequeña diferencia de que será para un volumen determinado, partiendo de esto y sabiendo que la densidad esta definida como cualquier propiedad sobre un volumen consideraremos la densidad de estados degenerados como:

1

Donde definiremos a “g” como la función y “ε” el estado de energía libre que se encuentran en un átomo en el que nos encontramos por lo que estaremos definiendo a g(ε) como la función de estados degenerados. Para ejemplificar esto tenemos la figura 1 donde los diferentes estados de energía se representan por medio de líneas horizontales cuya energía aumenta de abajo hacia arriba de modo que se llenen dichos estados energéticos.

En general la función de estados degenerados g(ε) se denota de la siguiente manera: Si graficamos la función de densidad de estados degenerados, obtendremos una tendencia como la mostrada en la figura 2. Para ésta grafica (figura 2) se puede observar que mientras el estado energético del átomo sea menor (E), la densidad de degeneración (g(E)) es pequeña y que conforme este avanza el estado de energía en el que se encuentran los electrones, la degeneración d, ahora en comparación con los ejemplos de degeneración del capítulo anterior podemos darnos cuenta de que dicha relación entre la degeneración y el estado energético es consistente ya que respetan la proporcionalidad entre dichos parámetros. Si consideramos la degeneración de estados para un solo tipo de partículas, intuitivamente nos damos cuanta de que para ésta su nivel energético y por tanto su energía esta limitada a un cierto punto, a esta energía se le conoce como energía de Fermi (sombra de la figura 2).

Figura 1. Níveles energéticos donde estos son llenados del menor al mayor por los electrones (bolas azules).


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Figura 2 Gráfica descriptiva de la tendencia de la función de densidad de estados degenerados

y energía de Fermin Donde la parte sombreada representa los niveles que están ocupados por los electrones. La tendencia de la función continúa pero con espacios energéticos vacíos. Bibliografía: [1] McKelvey; “Física del estado solido y semiconductores”; Limusa; México, 1976; pp. 148-152 [2] M. Sachs; “Solid state theory”; McGraw-Hill; New York, 1963; pp. 443-448 [3] http://la-mecanica-cuantica.blogspot.mx/2009/08/bibliografia.html

http://la-mecanica-cuantica.blogspot.mx/2009/08/bibliografia.html


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3. LA PROBABILIDAD DE UNA DISTRIBUCIÓN GARCÍA PEÑA JUAN CARLOS, JIMÉNEZ TORRES MONSERRAT y PIMENTEL GARCÍA ERIKA

Al hacer el análisis estadístico de un sistema conformado con muchas partículas se puede hacer

una predicción de su comportamiento en base a la propiedad energética de cada partícula.

Tomando como referencia esto tendremos el concepto de probabilidad de una distribución en lo

que se refiere a la probabilidad del comportamiento de las partículas en el sistema, mas no en el

mecanismo por lo cual las partículas del sistema se distribuyen en la naturaleza entre los posibles

estados dinámicos debidos a sus iteraciones.

Considerando un sistema aislado compuesto de un gran número de partículas N, el cual tiene a

disposición N estados de energía, y suponiendo que las partículas no están interactuando, es decir

que se encuentran en condiciones ideales, se tiene lo siguiente:

∑

Las partículas pueden ir cambiando de nivel de energía debido a las interacciones entre ellas, lo

que determina un cambio de distribución de las partículas.

El postulado básico de la mecánica estadística (también conocido como probabilidad a priori)

menciona lo siguiente:

Es posible asignar una probabilidad a un suceso antes de que esté ocurra

Ahora bien, tomando en consideración la probabilidad a priori de que un sistema esté en un

estado cuántico, es la misma para todos los estados cuánticos del sistema. Es decir una partícula

tiene la misma probabilidad de encontrarse en el nivel 1 o el nivel 2 o cualquier nivel energético.

Dadas las condiciones físicas del sistema de partícula (el número de partículas, la energía total y la

estructura de cada partícula) hay una distribución más probable.

Una vez encontrada la distribución más probable se llega a un equilibrio estadístico

La probabilidad termodinámica indica que la distribución más probable es consecuencia de la

existencia de un número mayor de combinaciones que permiten obtener la distribución.

Con lo que se determina que:

“La probabilidad de una distribución determinada es proporcional al número de maneras

diferentes en que las partículas pueden distribuirse entre las estados disponibles de energía para

(1)


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producir una distribución por lo tanto la distribución más probable corresponde a la distribución

que mas combinaciones tiene.”

De acuerdo a lo anterior se concluye que la probabilidad de una distribución dependerá de la

probabilidad a priori y la probabilidad termodinámica.

Supongamos que tenemos una caja dividida en celdas cuyas áreas son como en la

figura 1. Arrojando al azar N bolas y anotamos como han caído las bolas dentro de las celdas y

repetimos el experimento un gran número de veces y veremos que cierta distribución en las

celdas es as frecuente que las otras, esta es la distribución más probable.

La probabilidad w, de que las bolas se distribuyan de una manera determinada entre las celdas

depende de dos factores:

1.- La probabilidad a priori.

2.- La probabilidad termodinámica

La probabilidad a priori de que una bola caiga en la celda i es la relación entre el área de la

celda al área A de toda la caja:

--------------- (2)

Donde el área de la caja será la suma del área de todas las celdas:

--------------- (3)

La suma de las probabilidades a priori de todas las celdas debe ser 1, es decir:

∑ --------------- (4)

La probabilidad a priori de que bolas caigan en la celda i es:

La probabilidad a priori G de una distribución particular de N bolas entre k celdas es el producto

de las k probabilidades de la forma de tal manera que:

--------------- (5)


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La probabilidad a priori de una distribución con la condición de que el número total de bolas sea

igual a N:

∑ --------------- (6)

Las N bolas pueden distribuirse de formas diferentes

Como las bolas son iguales, la permutación entre ellas no tiene ningún sentido. Es decir

permutaciones sin sentido. De esta manera la probabilidad termodinámica de la distribución es el

número total de permutaciones posibles dividiendo por el número total de permutaciones sin

sentido:

--------------- (7)

W es el producto de la probabilidad a (5) por la probabilidad termodinámica (M x G):

--------------- (8)

Y suponiendo las posibles distribuciones se obtiene con ayuda del teorema del polinomio de

probabilidad lo siguiente:

∑ ∑

Ejemplo:

En el salón de clases se realizó un experimento donde los alumnos entraban en pequeños grupos

y elegían al azar el lugar que más les agradaba, el experimento se realizo 3 veces cada una con

diferentes características.


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A través de este ejemplo se puede observar en la fig. 2.a) que debido a que se tiene un mayor

espacio la distribución es más aleatoria, mientras que en la fig. 2.b) reduciendo el espacio a la

mitad disminuye la probabilidad del azar.

Cuando el espacio se reduce se puede ver que la distribución se vuelve más estrecha fig. 2.c), es

decir que la posición está ahora más limitada por el espacio que por el azar (probabilidad

termodinámica). Entonces retomando el concepto de degeneración que es la misma energía para

posiciones equivalentes, se puede observar que no es la misma degeneración cuando se tenía la

posibilidad de ocupar seis filas a la degeneración observada cuando se ocupa solo una fila. Por lo

que se puede decir que conforme se reduce el espacio la degeneración va creciendo.

Aprendizaje

En base en los resultados obtenidos, la probabilidad de que una distribución ocurra depende del

azar y el espacio.


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4. LA DISTRIBUCIÓN MÁS PROBABLE ÁVILA PAEZ JORGE ALBINO, DESACHY PRATT RICARDO y HUERTA GRANADOS VIVIANA

Para entender a que se refiere con distribución más probable; suponga se considera nuevamente,

la que en una caja dividida en celdas cuyas áreas son α1, α2, α3,……. αn, donde se arrojan N bolas al

azar. Si se realizan anotaciones del número de bolas que han caído dentro de las celdas se

observa que en cierta distribución en las celdas es más concurrente que en otras.

Para determinar cuál es la distribución más probable o bien buscar cual distribución da el mayor

número de W (probabilidad total de la distribución).

Lo primero será obtener una aproximación adecuada para el factorial de un número grande.

Tomando en cuenta que:

n!= n(n-1)(n-2)….(4)(3)(1)

Cuyo logaritmo natural de n! será:

ln n!= ln 2 +ln 3+ln 4+ln(n-1) +ln n

Figura 1. Representación gráfica de In con n

En la figura se representa el ln n contra n. El área bajo la curva escalonada es el n!. Cuando n es

muy grande entonces la curva escalonada y la curva continua no se distinguen, por lo que

podemos encontrar a n! si integramos ln n entre n=1 y n=k:

∫

=n (ln n) – n+1

Como esta, suponiendo que n»1, entonces se puede despreciar el 1 y por lo tanto quedara:

ln n! = n (ln n)- n

A esta ecuación se le conoce como fórmula de Stirling, el cual como se observa facilita el cálculo

de un factorial de enorme magnitud.

Del apunte de la probabilidad de una distribución, se encontró que en la probabilidad total de la

distribución W es:


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Entonces, su logaritmo natural será:

ln W= ln N! -∑ ln ni! +∑ ni ln gi

y teniendo en cuenta la fórmula de Stirling, se puede escribir entonces:

ln W= N ln N – N - ∑ ni (ln ni) +∑ ni + ∑ ni (ln gi )

De igual manera se sabe que ∑ ni = N, entonces:

ln W= N(ln N) - ∑ ni (ln ni) +∑ ni (ln gi) …………….( 1)

Existe una condición para que una distribución sea la más probable, la cual indica que un cambio

pequeño en cualquiera de los valores de ni no afecte el valor de W. Si la variación de ln W

corresponde a un cambio de en ni es δ ln, entonces según la ecuación anterior:

- ∑ ni ( ln ni) -∑ ln (ni ni ) + ∑ ln( gi δni)= 0 ………………(2)

y ya que N ln N es una constante:

Y por lo tanto

∑ ni (δ ln ni) = ∑ δni

Puesto que el número total de bolas es constante, la suma ∑ δni de todos los cambios en el

numero de bolas, en cada celda, debe ser =0. Lo que implica que:

∑ ni (δ ln ni) = 0

Por lo que entonces se tiene que la ecuación (2) ahora se puede escribir como:

-∑ ln (ni ni ) + ∑ ln( gi δni)= 0 …………………….(3)

La distribución más probable debe cumplir con esta ecuación, aunque la distribución no esté

especificada. Tenemos que tomar en cuenta que las variaciones: δn1 …δn2 …δn3 del número total

de bolas en cada una de las celdas no son independiente. Ya que el número total de bolas es fijo,

pero obedece a la siguiente relación:

∑ δni = δn1 + δn2 + δn3 + … +δnk = 0

Ahora se tiene que hacer uso del método de los multiplicadores indeterminados de Lagrange (Ver

apéndice A). Sea α una cantidad que no depende de los valores de ni y se multiplica por la

ecuación anterior:

∑ α δni = 0


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Si esta ecuación se suma con la ecuación (3):

-∑ ln (ni ni ) + ∑ ln( gi δni) + ∑ α δni = ∑(- ln ni + ln gi + α) δni = 0 …….(4)

Al hacer la sumatoria se debe tomar en cuenta que cada una de las ecuaciones sumadas para

obtener los valores de esta ecuación, el término δni es una variable independiente, entonces, para

que esta ecuación sea cierta el término entre paréntesis debe valer 0:

ln ni + ln gi + α = 0

ni =gi eα ……………..(5)

Sumando los valores de ni y teniendo en cuenta que α no depende de i

∑ ni = eα∑gi

Sabiendo que gi es la probabilidad a priori de que la bola caiga en la celda i, pero como se observo

anteriormente:

∑gi = 1

Por lo tanto:

∑ ni = eα

Y puesto que el número total de bolas ∑ ni es, entonces resulta que:

eα = N

Así la ecuación 5 se transforma en:

ni = Ngi

Esta ecuación nos indica que el número más probable de bolas en una celda es proporcional al

número total de bolas multiplicado por la probabilidad a priori. Pero teníamos que:

Número más probable de bolas en una celda.

Por lo tanto:

Donde:

N: Es el numero de bolas.

A: Área total de la caja.

α1 : Área de la celda.


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La cual expresa que el número más probable de bolas en la celda es igual a la densidad de bolas

(N/A) multiplicado por el área de la celda.

De esta manera se puede observar que la forma de saber el número más probable de bolas en

una celda, no solo implica la dimensión de la caja, si no que también las dimensiones que tienen

cada una de las celdas, de esta manera se puede determinar en que celda se encontrara la mayor

cantidad de bolas, y deduciendo se podrá decir que la celda con mayor dimensión tiene mayor

probabilidad de que mas números de bolas caigan en ella. Esto se deduce mediante la ecuación

obtenida.

Ejemplo:

En un juego de tiro al blanco, donde el objetivo del juego es que los dardos caigan en el centro,

por lo que el jugador intentara su acercamiento a la región 11.

Fig.1. Diana donde se realizaron las pruebas.

Para calcular la distribución más probable, se realizan 5 series de 10 tiros, con los cuales se

sacaran las distintas probabilidades, según los resultados.

Tabla.1 Resultados en el juego tiro al blanco

Número de tirada

Primera distribución

Segunda distribución

Tercera distribución

Cuarta distribución

Quinta distribución

1 7 5 7 3 5 6 9 5 9 7

8 6 5 6 8 7 8 7

10 5

8 6 5 6 8 7 8 7

10 5

7 9 8 8 8 6 7 8 8 8

8 8 4 6 8 4 9 8 9

10

2

3

4

5

6

7

8

9

10


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Calculando las dimensiones de la Diana donde se realizó el juego se obtiene lo siguiente:

Tabla.2 Dimensiones de la Diana.

Región Área de cada Región [=]cm2

11 11.34 10 3.26 9 42.88 8 70.59 7 98.31 6 126.00 5 177.94 4 166.54 3 215.80 2 232.82

1 515.82

Analizando los resultados de la tabla 1 se calcula la distribución más probable con la siguiente

ecuación:

Donde:

ni =Probabilidad

Ni=Numero de veces que cayó en la región

A=Suma de las regiones donde cayeron los dardos.

ai=Área de la región en donde cayó el dardo.

Para la primera distribución:

A=660.93

N3=1 a3=215.80

N5=3 a5=177.94

N6=1 a6=126.00

N7=3 a7=98.31

N9=2 a9=42.88

Tabla.3 Distribución más probable de dardos en primer experimento.

Región 𝑛𝑖 3 .3265 5 .8076 6 .1906 7 .4462 9 .1297


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Para la segunda distribución:

A=476.10

N5=2 a5=177.94

N6=2 a6=126.00

N7=2 a7=98.31

N8=3 a8=70.59

N10=1 a10=3.26

Para la tercera distribución:

A=639.38

N4=1 a4=166.54

N5=1 a5=177.94

N6=2 a6=126.00

N7=3 a7=98.31

N8=3 a8=70.59

Para la cuarta distribución:

A=337.78

N6=1 a6=126.00

N7=2 a7=98.31

N8=6 a8=70.59

N9=1 a9=42.88

Para la quinta distribución:

A=409.27

N4=2 a4=166.54

N6=1 a6=126.00

N8=4 a8=70.59

N9=2 a9=42.88

N10=1 a10=3.26

Tabla.4 Distribución más probable de dardos en la segunda distribución.

Región 𝑛𝑖

5 .7474 6 .5293 7 8

.4129

.4448 10 .0068

Tabla.5 Distribución más probable de dardos en la tercera distribución.

Región 𝑛𝑖 4 5

.2604

.2783 6 .3941 7 .4612 9 .3312

Tabla.6 Distribución más probable de dardos en la cuarta distribución.

Región 𝑛𝑖 6 .3730 7 8

.5820 1.2538

9 .1269

Tabla.7 Distribución más probable de dardos en la quinta distribución.

Región 𝑛𝑖

4 6

.8138

.3078 8 .6899 9

10 .2095 .0079


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Con los resultados de las probabilidades, se observa que cuando mayor sea el área de las

regiones existe una mayor distribución en ella, mientras que en el centro al ser el del área más

pequeña su probabilidad es mínima, independientemente de otros factores.

Retomando que el objetivo es acercarse a la región 11, en los resultados experimentales se

observa que las distribuciones más concurrentes son las de áreas medias en relación de las 11

regiones, coincidiendo en algunos casos con lo calculado teóricamente.


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5. ESTADÍSTICA DE MAXWELL-BOLTZMANN ESCOBAR MIRANDA KARLA Y., GARCIA GONZALEZ GILBERTO y LEYVA PEREZ GUILLERMO T.

Desde el punto de vista microscópico, un gas ideal se define sobre la base de las siguientes

hipótesis:

1. Todo volumen macroscópico de gas está constituido por un gran número de moléculas. Todas

sus moléculas son idénticas si el gas es un elemento o compuesto estable.

2. Las moléculas se encuentran separadas por distancias grandes, comparadas con sus propias

dimensiones y están en estado de continuo movimiento. Esto significa que el volumen ocupado

por las moléculas es una fracción sumamente pequeña del volumen ocupado por el gas.

A lo que se concluye que las moléculas son indistinguibles, por lo tanto se llega a que la única

forma de distinguirlas entre si es mediante la distancia que se presenta entre estas, donde cada

molécula presenta sus coordenadas especificas.

Ahora con el tema anterior sobre distribución más probable nos basaremos de las fórmulas

obtenidas para la distribución de Maxwell-Boltzmann, para lo cual consideraremos un gas

compuesto de N moléculas combinadas en un volumen determinado V y en equilibrio térmico a la

temperatura T.

Se desea saber cuántas moléculas tienen su componente x de velocidad comprendida entre vx y

vx+dv, y su componente z entre vz y vz+dv. se escribe de esta forma NF(vx,vy,vz) . El

problema radica entonces en hallar la forma de la función de distribución F(vx,vy,vz).

Cuando se agrega energía (en forma de calor) a un recipiente lleno de moléculas de gas, la

ecuación de la distribución de energías cinéticas entre las moléculas individuales, la cual dice, en

efecto, que la probabilidad de encontrar cualquier valor particular de la energía cinética es

proporcional a . Convertiremos la ecuación de la energía a una distribución de energías y

se obtiene la función de distribución de Maxwell-Boltzmann:

(

)

⁄

√

esta ecuación se puede llevar a la distribución de velocidades de Maxwell para moléculas de un

gas en equilibrio térmico la cual es:

(

)

⁄

⁄

que para encontrar la densidad de estados, g(E) se introduce el concepto de espacio de velocidad.

El número de estados con velocidad entre v y v+dv es proporcional al volumen del

cascaron esférico entre v y v+dv como se muestra en la figura 1.

Donde es el número de moléculas de gas por unidad de volumen con velocidad entre v y

v+dv, N/V es el número total de moléculas por unidad de volumen, m es la masa de una molécula

de gas, es la constante de Boltzmann y T la temperatura absoluta.


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El término determina el comportamiento de la distribución cuando , y el término

exponencial determina lo que ocurre cuando .

Figura 1. Espacio de velocidad

Se presenta una distribución de velocidades de moléculas de un gas a cierta temperatura, donde

el número de moléculas en el intervalo Δv es igual al área del rectángulo sombreado figura 2,

Se indican la velocidad mas probable, , la velocidad promedio, y la raíz cuadrática

media de la velocidad

Figura 2. Distribución de velocidades

Se pueden calcular dichas como a continuación se muestra:

La velocidad más probable es aquella velocidad que corresponde al máximo de f(v):

√

√

Donde M= masa molar, R=constante del gas.

La velocidad cuadrática media :

√

√


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La velocidad promedio:

√

Conclusión

La ley de las distribuciones de Maxwell-Boltzmann muestra que la distribución de las velocidades

moleculares depende tanto de la masa como de la temperatura. Entonces se observa que a un

valor constante de la masa, el número de partículas con velocidades que sobre pasan un valor fijo

aumentara a medida que aumente la temperatura, aumentando a su vez la probabilidad de

obtener velocidades más altas pero disminuyendo la probabilidad de encontrar un mayor número

de en rangos más pequeños de velocidad (velocidad más probable).

La ley de Maxwell-Boltzmann también nos deja ver que la temperatura es inversamente

proporcional a la masa de la partícula por lo cual el número de partículas con velocidades que

sobrepasan un valor fijo aumentan a medida que la masa disminuye. Es decir cuanta más masa

tenga una molécula, menor será la velocidad media y toda la distribución en general.

Entre más grande la masa, menor velocidad para una misma energía.

Como se sabe, el área bajo la curva de las graficas es proporcional al número de moléculas,

entonces a una mayor temperatura, una fracción mayor de moléculas poseerán la energía

necesaria realizando la reacción a una mayor velocidad.

Ejemplo

¿Cuándo es posible utilizar la estadística de Maxwell-Boltzmann?

a)¿Es válida la estadística de Maxwell-Boltzmann para hidrógeno gaseoso a temperatura y presión

normales (STP, por sus siglas en inglés)?

Solución En condiciones normales de 273 K y 1 atmósfera, i mol de H2 gaseoso (6.02x1023

moléculas) ocupan un volumen de 22.4x10-3 m3. Al usar mH2=3.34x10-27 kg y kBT=3.77x10-21 J, se

encuentra

(

)

⁄ (

) (( )

[ ]

⁄)

Esto es mucho menor que 1 y, de acuerdo con la condición proporcionada por la ecuación 10.18,

se concluye que incluso el hidrógeno, el gas más ligero, se describe utilizando la estadística de

Maxwell-Boltzmann.

b) ¿Es válida la estadística de Maxwell-Boltzmann para los electrones de conducción en plata a

300 K?


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Solución La densidad de la plata es 10.5 g/cm3, y su peso molar es de 107.9 g. Si se supone que

se tiene un electrón libre por cada átomo de plata, se encuentra que la densidad de electrones

libres es:

⁄

⁄(

)

⁄⁄

Observe que la densidad de electrones libres en la plata es aproximadamente a 2000 veces mayor

que la densidad de moléculas de hidrógeno gaseoso a temperatura y presión normales; es decir,

⁄

⁄

Al usar

(

)

⁄

Cuando este resultado se compara con la condición establecida en la ecuación 10.18, se concluye

que la distribución de Maxwell-Boltzmann no se cumple para los electrones en la plata debido a la

pequeña masa de los electrones y la alta densidad de electrones libres. Se verá que la distribución

cuántica correcta para los electrones es la Fermi-Dirac.

Bibliografía

[ ]Paul A. Tipler, Gene Mosca; “Física moderna” Volumen 1; Reverté; España, 2005; pp. 510. [ ]Paul Allen Tipler; ” Física moderna”; Reverté; España 2003; pp. 74-77 [ ]R. A. Serway; “Física moderna” 3era edición; Thomson; México, 2005; pp. 335-345. [ ]Kenneth Krane; “Física moderna” ; Limusa; México, 1991; pp. 396-397.

https://www.google.com.mx/search?hl=es&tbm=bks&tbm=bks&q=inauthor:%22Paul+A.+Tipler%22&sa=X&ei=nnOsT5CsDMPYgQf03cCvBA&ved=0CFwQ9Ag

https://www.google.com.mx/search?hl=es&tbm=bks&tbm=bks&q=inauthor:%22Paul+A.+Tipler%22&q=inauthor:%22Gene+Mosca%22&sa=X&ei=nnOsT5CsDMPYgQf03cCvBA&ved=0CF0Q9Ag


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6. RADIACIÓN DE CUERPO NEGRO LIRA MARTÍNEZ OMAR EDUARDO, NERI GODOY DULCE ADRIANA y VAZQUEZ CARRILLO GUADALUPE N.

La materia en un estado condensado sea líquido o sólido emite un espectro de radiación continuo

es decir donde están presentes todas las frecuencias, el cuerpo emite radiación térmica

consecuencia de su temperatura y la frecuencia de la radiación más intensa se vuelve cada vez

mayor.

La facultad de un cuerpo para emitir radiación está estrechamente relacionada con su capacidad

para absorberla, pues teniendo un cuerpo con extensión limitada, perceptibles a los sentidos, con

ausencia de luz, pero con la capacidad de aceptar un rayo de alguna fuente que incide sobre este,

son los llamados cuerpos negros, al mismo nivel de calor emiten radiación térmica con el mismo

espectro.

En 1899 Lummer y Pringsheim realizaron medidas de la radiancia espectral, para lo cual se

basaron en un espectroscopio de prisma (Ver figura 1).

Radiancia espectral o poder emisivo RT(v): es una función de distribución respecto a la frecuencia

lineal, =

ya que RT(v) es igual a la energía emitida en forma de radiación con frecuencias en

el intervalo entre v y v+dt de un área unitaria de la superficie a una temperatura absoluta T y por

unidad de tiempo.

Matemáticamente la radiancia espectral esta descrito como:

RT = ∫

(v) dv

Obteniendo que la radiancia RT aumenta rápidamente a medida que la temperatura aumenta, la

dependencia de la radiancia con la temperatura se conoce como: Ley de Stefan, que en 1879 de

manera empírica se enuncia como:

RT = T4

Donde:

= 5.67x10-8 W/m2-K4

Esta se conoce como la constante de Stefan-Boltzmann.

Figura 1. Espectroscopio de prisma


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Se ilustra el principio de un espectroscopio de prisma y consiste en: - Una rendija vertical de abertura variable posicionada en el foco de un lente convergente. Su función es dejar pasar una cantidad adecuada de la luz a estudiar. - Posteriormente para por un prisma de alta calidad. Su finalidad es descomponer la luz que lo atraviesa. -Finalmente en un ocular-telescopio formado por dos lentes convergentes que permite observar la imagen de la ranura; su montaje es rotatorio independiente de otros componentes y tiene asociado un Vernier circular. Estudios e investigaciones han establecido que el color está asociado a la longitud de onda y a la frecuencia de la onda luminosa. También se ha determinado que la materia condensada incandescente, por ejemplo, el filamento de una ampolleta, emite luz que contiene todas las longitudes de onda del espectro visible, de modo que al hacer pasar esta luz por un prisma, se obtiene un espectro continuo. Por otro lado, los gases incandescentes emiten luz que contiene solo algunas longitudes de onda, y su espectro es discontinuo o discreto (esto se debe a que los electrones en los átomos o moléculas de un gas, solo pueden ocupar determinados niveles de energía; la luz se origina en las transiciones entre los niveles de energía, con la emisión de un fotón). Cada elemento químico posee un espectro de emisión que le es característico, con líneas e intensidades de colores invariables, que permiten identificarlo.

Figura 2. Muestra la gráfica del comportamiento de un cuerpo cuando es irradiado Así que la ley de Rayleigh-Jeans busca explicar el proceso que describe la interacción entre la materia y la radiación, el modo en que la materia intercambia energía, emitiéndola o absorbiéndola, con una fuente de radiación. Para poder explicar el comportamiento de la radiación emitida por un cuerpo negro los científicos ingleses Rayleigh y Jeans partieron de unas consideraciones basadas en sus experiencias, aunque sin unas técnicas precisas en sus mediciones: De acuerdo con las predicciones del electromagnetismo clásico, un cuerpo negro ideal en equilibrio térmico debía emitir energía en todos los rangos de frecuencia; de manera que a mayor frecuencia, mayor energía.

Den

sid

ad d

e P

ote

nci

a


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La anterior es la formulación Matemática de la Ley de Rayleigh y Jeans, en donde KB es la constante de Boltzmann, T es la temperatura, y c es la velocidad de la luz. Es indiscutible que es lógico pensar que la densidad de energía es proporcional a la temperatura y a la frecuencia de la radiación emitida por el cuerpo. Ya que aumentar la temperatura de un cuerpo implica aumentar la movilidad de las partículas que lo componen y por consiguiente aumentar la intensidad de las ondas electromagnéticas producidas por dichas partículas. Entonces hasta el momento todo iba bien, el modelo se ajustaba a la realidad, pero al intentar comprobarlo experimentalmente notaron que había cierto desacuerdo con la realidad, resulta que este modelo matemático solo estaba de acuerdo con la realidad cuando se trataba de bajas frecuencias, ya que a altas frecuencias la densidad de energía tendía a un valor de 0. Este problema se conoció como la “catástrofe ultravioleta”. No debió ser fácil para Rayleigh y Jeans como para la ciencia enfrentar esta problema, ya que durante el desarrollo del modelo no se habían presentado problemas o discrepancias con la realidad, todos estaban de acuerdo con él, y de un momento a otro descubrir que contradecía la teoría clásica ondulatoria convertía en un fracaso aunque grande no total en el intento de solucionar el problema de la radiación del cuerpo negro. Pero la catástrofe ultravioleta no llego de la mano con un fracaso rotundo ya que poco tiempo después aparecería Max Planck no solo con una solución a este problema si no con una teoría que revolucionaria por completo el estudio de la física y daría bases para la hoy conocida “física cuántica”. Entonces podemos concluir que aunque la ley de Wien daba una explicación experimental correcta si la frecuencia de la radiación es alta, pero fallaba para frecuencias bajas, y, por su parte, la Ley de Rayleigh-Jeans daba una explicación experimental correcta si la frecuencia de la radiación es baja, pero fallaba para frecuencias altas, estos fueron pasos importantes en el análisis del problema de la radiación del cuerpo negro, pasos que finalmente llevaron a un planteamiento que rompió con un paradigma que conllevo a una gran revolución en el estudio de la física.


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7. FÓRMULA DE RAYLEIGH–JEANS y FÓRMULA DE PLANCK ALMANZA CORTEZ ENRIQUE, VASQUEZ PEREZ MAYRA y VEGA CORONA DANIEL ALBERTO.

Como ya se explico anteriormente el cuerpo negro es un fenómeno muy particular, y los

espectros de radiación de energía que emite son un hecho que la física clásica no puede explicar.

Muchos científicos destacados intentaron solucionar este problema del espectro del cuerpo negro

pero no pudieron los que estuvieron más cerca fueron Rayleigh–Jeans que a principios del siglo XX

se enfocaron en calcular la energía de radiación del cuerpo negro, teniendo en cuenta

consideraciones clásicas, dedujeron un modelo matemático (Ec. 1), y observaron que para

frecuencias bajas la fórmula era muy cercana podría decirse que exacta, pero al aumentar de

frecuencia para ser preciso al llegar al ultravioleta y más arriba en frecuencia todo fallaba porque

la energía tendía hacia el infinito, lo cual era incorrecto, entonces ¿qué había pasado?, bueno

pues a este conflicto se le llamo la catástrofe del ultravioleta ya que no se podía explicar que

estaba pasando con la energía al llegar a la frecuencia del ultravioleta. Como se muestra en la

figura 1.

Figura 1. Gráfica de la intensidad vs longitud de onda muestra la discrepancia entre lo

experimental (En verde) y la ley de R-J (En morado)

La física en este gran conflicto, necesitaba algo realmente revolucionario para salir de este bache

en que acababa de entrar, Planck por su parte estaba listo para adentrarse en fenómenos físicos,

y después de un par de estudios la vida decidió enfrentarlo al cuerpo negro y sus enigmas, esto


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le llevo mucho razonamiento, primero lo miro desde el punto de vista clásico, luego lo miro desde

su especialidad, la termodinámica, y desde este punto de vista derivo la fórmula de corrimiento

de Wien (Ec. 2) y la relaciono con la entropía, y obtuvo distintas fórmulas hasta llegar a Ec. 3

(

)

(

)

En donde A y B son constantes arbitrarias

Y su formula resulto ser correcta pero no estaba bien fundamentada llego a el punto de utilizar

ideas de Boltzmann, cabe mencionar que Planck estaba fuertemente en contra de estas ideas

pero parecía ser la única opción para comprobar su ley, Boltzmann decía que la energía debía de

manifestarse en partes muy pequeñas pero finitas y que una cantidad tenía que tender a 0 y por

eso las rebanadas se hacían infinitas. Y Planck postulo brillantemente que si la energía es finita en

otras palabras que h= en otras palabras h≠0, su formula ya comprobada obtenía

validez, por lo tanto un oscilador no puede absorber ni emitir energía de manera continua, solo

puede hacerlo de manera discreta en pequeños “paquetes de energía” a los que llamo “quanto”.

En palabras concretas Planck postulo que:

”Cualquier ente físico con un grado de libertad, cuya “coordenada” es una función senoidal del

tiempo (es decir realiza oscilaciones armónico-simples) solo puede poseer energías totales E,

que satisfacen la relación”

En la Ec. 4 podemos ver la relación que obtuvo Planck finalmente y en la Ec. 5 vemos la relación

de Planck pero ahora en términos de λ

Verdaderamente Planck no tenía idea del gran descubrimiento que había realizado, de hecho en

una carta para R.W. Wood, Planck confesó haber introducido esa idea como “un acto de

desesperación” para poder justificar su fórmula de una manera correcta.

En la figura 2 se muestran los resultados que obtuvo Planck con su ley de manera generalizada,

dicha ley fue comprobada de manera experimental hasta T=1595°K


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Figura 2, Resultados obtenidos por la ley de Planck, donde se ve claramente que se evito la

catástrofe del ultravioleta y también para frecuencias superiores

(

)

[

]

[ ] [ ] [ ]

Bibliografía:

http://www.albaiges.com/fisica/hcuantica02.pdf P. Crespo Col.legi d’enginyers industrials de Catalunya Barcelona, Spain Robert Eisberg-Roberto Resnick “Física Cuántica” 1991 PP.: 25-41 R. A. Serway Mosley “Física Moderna” México 2007 PP.: 307-309

http://www.albaiges.com/fisica/hcuantica02.pdf


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8. ESTADÍSTICA DE BOSE-EINSTEIN AGUSTIN PACHECO AIRANA, MARTÍNEZ SILVA DAVID y VENTURA RAMÍREZ PAMELA

En 1924, todavía en los primeros pasos de la mecánica cuántica, el físico Satyendra Nath Bose

estudiaba la hipótesis (nueva en esa época) de que la luz estaba formada por pequeños paquetes

discretos de energía (cuantos o fotones). Para ello derivó la ecuación de Planck de un cuerpo

negro con la idea de tratar la luz como un gas de partículas idénticas, realizo cálculos estadísticos

sobre estas y describió ciertas reglas para determinar si dos fotones eran idénticos o no.

No obstante, Bose no disponía de prestigio ni de credibilidad entre la comunidad científica, por lo

que sus ideas no fueron difundidas ni tomadas en cuenta. En ese momento, en el cual nadie creía

en su teoría, decidió enviar sus resultados e investigaciones a Albert Einstein. Este se convenció

inmediatamente de la importancia de los estudios realizados por Bose.

Einstein intuyo que la teoría de Bose no era exclusiva de los fotones (partículas sin masa), sino

que se podía extender a partículas con masa. Así él realizo sus propias investigaciones y generalizó

ideas y reglas de Bose a los átomos de un gas y otras moléculas. En condiciones de temperatura

ambiental, el efecto de aplicar esta teoría no introducía ningún cambio apreciable, pero a

temperaturas cercanas a cero absoluto (-273,16°C ,0 Kelvin), el caso era distinto.

Los resultados de estas investigaciones constituyen actualmente la estadística de Bose-Einstein,

que se aplica a partículas llamadas bosones. Estos poseen una función de onda simétrica y

cumpliendo la condición de temperatura antes mencionada; un número de átomos similares

aunque con diferentes estados energéticos entre sí, pierden su individualidad y se condensan en

un gran átomo, sus constituyentes son idénticos e indiferenciables, se mueven al unísono y

manifiestan las mismas propiedades físicas y comportamiento ante interacciones externas.

Características principales de los bosones:

No obedecen el Principio de exclusión de Pauli, el cual exige que dos electrones en un

átomo no puedan tener el mismo conjunto de números cuánticos.

Son partículas idénticas de spin cero o entero.

Retomando el apunte de la Estadística de Boltzmann y aplicando los resultados obtenidos ahora a

una población de bosones se deduce el siguiente procedimiento matemático:

Como caso preliminar, considérese un sistema de partículas clásicas idénticas en equilibrio

térmico. Las partículas intercambian energía, pero actúan independientemente en cuanto que

una no afecta el comportamiento específico de otra. Enfocando la atención en dos estados de

energía particular de estas partículas y sean los números promedio de partículas que

los ocupan. Así mismo, sea la razón promedio a la cual una partícula del sistema, que se

encuentra en el estado 1, realiza una transición al estado 2, y la razón a la cual una partícula

que se encuentra en el estado 2 realiza una transición al estado 1. Tanto como , son

razones por partícula, es decir, probabilidades por segundo por partícula. Por lo tanto, la razón

total a la cual las partículas del sistema realizan transiciones sera ya que es el

numero de partículas que tienen oportunidad de hacerlo, mientras que es la probabilidad

por segundo de que cada una tome esa probabilidad. La razón total a la cual las partículas del

sistema realizaran transiciones sera .


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Si estas razones de transición totales son iguales, es decir, si:

= …. [1]

Y si lo mismo se aplica a razones de transición totales “prospectivas” y “retrospectivas” entre

todos los pares de estados de energía de partículas, entonces, evidentemente a población

promedio de estos estados permanecerá constante en el tiempo. Sin embargo, la condición que

caracteriza el equilibrio térmico son las poblaciones de estado constante en “promedio”. La

ecuación [1] es la condición que garantiza que el equilibrio supuesto en todos los argumentos

anteriores se mantiene. En principio el equilibrio también se mantiene balanceando conjunto

interconectados de ciclos de transición, cada uno de los cuales involucran varios estados de

energía, sin balancear pares individuales de razones totales de transición como en [1]; sin

embargo, no existe ninguna evidencia de que en la práctica, se de esta situación. Describiendo lo

anterior de otra forma, [1] puede tomarse como un postulado, llamado balance detallado, cuya

justificación reside en el hecho de que conduce a resultados que coinciden con en el experimento.

[ ]

Ahora bien, en el equilibrio térmico, el promedio o número más probable de partículas n que se

encontraran en el estado 1 en un sistema clásico, estará dado por la distribución de Boltzmann,

calculada en el estado de energía . Por lo tanto:

[ ]

Y similarmente para . Por lo tanto la razón de población tendrá el valor:

[ ]

En consecuencia, [2] y [4] demuestran que las razones de transición por partícula deberán estar

en la razón:

[ ]

Para partículas clásicas.

Enseguida, se aplicara la condición de equilibrio térmico [1], a un sistema de bosones. Y se escribe

como:

…. [6]

Donde son las poblaciones promedio de bosones en dos estados cuánticos, y ,

son las razones de transición por bosón, entre estos estados. Estas razones se pueden

explicar en términos de las razones obtenidas en el caso de partículas clásicas, simplemente

multiplicándolas por el factor de aumento (1+n). A medida que n toma valores desde (para un


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estado que casi nunca es ocupado un bosón) hasta valores grandes (para estados que contienen

cada vez mas bosones), el factor de aumento varia desde ). Por lo tanto se tiene:

[ ]

Y similarmente

[ ]

Sustituyendo [8] & [7] en [6]

O bien,

[ ]

Donde se ha utilizado [5] para calcular las relaciones de las razones de transición clásicas por

partículas en términos de la distribución de Boltzmann. La ecuación [9] se puede escribir como

[ ]

El primer miembro de esta igualdad no implica propiedades del estado 2, y el segundo miembro

no implica propiedades del estado 1. Así es, obviamente, ya que la temperatura de equilibrio

común T se encuentra en ambos miembros. Por lo tanto, se concluye que ambos miembros de

[10] son iguales a una función de T, que en forma más conveniente se escribe como , donde

Igualando el primer miembro al valor común, se tiene

⁄

Pasando las exponenciales al segundo miembro y aplicando propiedades de los exponentes

tenemos que:

Despejando el numerador se obtiene:

Factorizando

[ ]

Por lo tanto


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Si se utiliza el segundo miembro de [10], se obtiene un resultado completamente similar para la

dependencia de . De echo, este resultado se obtiene para el numero de bosones

promedio o probable que ocupe un estado cuántico de energía Así se obtiene

⁄

Esta es la DISTRIBUCION DE BOSE que específica el número probable de bosones, de un sistema

en equilibrio a temperatura T, que se encontraran en un estado de energía .

Donde:

Analizando la ecuación de la Estadística de Bose-Einstein podemos decir que a temperaturas

cercanas al cero absoluto existirá un promedio grande de bosones, en cierto estado de energía.

Gráficamente se esto se observar en la Figura 1.

Figura 1. Comportamiento de bosones con respecto al decremento de la temperatura.

Ahora analizando la gráfica observamos que a temperaturas bajas los bosones tienden a

comportarse como un súper átomo, es decir forman un condensado. Si las funciones de onda de

las partículas individuales se superponen, entonces las partículas se vuelven indistinguibles o

intercambiables, lo cual obliga a que la función de onda del sistema sea par o impar bajo el

intercambio de partículas. Esto hizo posible que este grupo de átomos indistinguibles, formaran

un nuevo estado de agregación de la materia, de ahí su nombre Condensado de Bose-Einstein.


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Sin embargo, tuvieron que pasar 71 años para que dichas predicciones se vieran reflejadas en la

realidad. En 1995, el gran desarrollo tecnológico de finales del siglo XX, fue capaz de enfriar miles

de átomos de rubidio a menos de una millonésima de grado sobre el cero absoluto y obtener

dicho condensado, lo cual supuso la confirmación de las teorías de Bose-Einstein y una

demostración más que es posible acercar los fenómenos cuánticos de la teoría a la realidad

práctica.

Ejemplo

Fotones en una caja

a) Encuentre una expresión para el número total de fotones por unidad de volumen

(considerando todas las energías).

Retomando el resultado del apunte de Distribución más probable en donde debido a que el

número de estados de fotones por unidad de volumen es igual al número de estados de Bosones

por unidad de volumen con energías entre E y E+dE, se tiene:

Entonces:

∫

∫

O bien:

∫

b) Calcule el número de fotones/cm3 en el interior de una cavidad cuyas paredes están a

3000 k. Compare esto con una cavidad cuyas paredes están a 3k.

Con base en tablas:

∫

En consecuencia:

[

(

)

]

Solución 5.47x1011 fotones/cm3

De manera semejante, N/V (a 3K)=5.7x102 fotones/cm3. Por tanto, la densidad de los fotones

decrece por un factor de 109 cuando la temperatura desciende de 3000k a 3k.


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MECANICA ESTADISTICA DE FERMI-DIRAC.

Ahora bien la estadística de FERMI-DIRAC se encarga de en un sistema de fermiones en forma

estadística, es por tal motivo se debe describir que es un fermión.

El fermión es uno de los dos tipos básicos de partículas que existen en la naturaleza, se caracteriza

por tener un spin entero, existen dos tipos de fermiones los quarks y leptones.

Aquí se explica brevemente como está constituido un sistema de dos partículas.

Sistema:

2 partículas {1,2} indistinguibles están en un estado con función de onda:

.

Como son indistinguibles, al intercambiarlas:

.

Es decir, al cambiarlas, como mucho, cambia el signo de la función de onda:

Formando los siguientes estados:

- Estado simétrico:

- Estado anti simétrico:

El fermión es básico para la constitución de la materia, la función de onda de un fermión es anti

simétrico hecho que obedece a la estadística de Fermi-Dirac y a la vez al principio de Exclusión de

Pauli que nos dice que dos fermiones no pueden ocupar el mismo estado cuántico al mismo

tiempo.

De esta manera, cuando un sistema posee varios electrones, estos ocuparán niveles de energía

mayores a medida que los niveles inferiores se van llenando.

Esta estadística permite predecir el comportamiento de sistemas formados por un gran número

de electrones, especialmente en cuerpos sólidos.

La distribución de Fermi-Dirac viene dada por

8. ESTADÍSTICA DE FERMI-DIRAC DELGADO PONCE CRISTIAN J., LARA ALVARADO JOSE EDUARDO y SÁNCHEZ MEJÍA EDUARDO


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Figura 1. El Número medio de ocupación de Fermin-Dirac

L a distribución de Fermin-Dirac ala temperatura cero T=0.dN( e) es el número de electrones

con energía en el intervalo e a e+d. es la energía de Fermi.

Los estados de una sola partícula ordenados de acuerdo con la energía creciente

E1<E2<……………………

Los primeros N mas bajos estados de una partícula se llenan. Los estados por encima de estos

primeros N estados están vacíos.


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La energía de Fermi es la energía del nivel más alto ocupado, a T=0.

El corte brusco en e=Ef refleja el comportamiento (la subida parabólica) el factor de densidad

de los estados e(1/2), Ef como el nivel de energía mas alto ocupado a T=0,inmediatamente

puede encontrarse la energía de Fermi.

Figura 2. La distribución de energía de Fermi.

De lo anterior podemos concluir que la estadística de Fermi-Dirac proporciona cómo se

comporta de sistemas formados de electrones y saber el estado cuántico donde se

encuentran.


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Apéndice A

Multiplicadores indeterminados de Lagrange.

Sea una función de varias variables (1,2,…3), todas ellas independientes. Un cambio

infinitesimal i +i provoca una variación de dicha función + tal que

La condición de extremo para dicha función = 0. Se halla como

Cuando todas las variables no son independientes, aparece entonces el problema de extremo

condicional. Sea la ecuación de ligadura, g = 0 , para las variables, tal que durante la variación de

las mismas i +i la ecuación de ligadura permanezca inalterada, es decir

De esta forma la condición de extremo condicional para, se busca construyendo una nueva

función tal que

Donde λ se conoce como multiplicador indeterminado de Lagrange.

El problema se reduce entonces a elegir un λ apropiado que satisfaga la igualdad, para un, valor

dado de i , tal que sea dependiente del resto, de modo que

mecanica estadistica

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