mechanica van materialenwvpaepeg/ftp/vtk_cursusdienst/... · 2017-08-20 · voorwoord in navolging...
TRANSCRIPT
UNIVERSITEIT GENT
FACULTEIT INGENIEURSWETENSCHAPPEN EN
ARCHITECTUUR
VAKGROEP MATERIALEN, TEXTIEL EN CHEMISCHE
PROCESKUNDE (EA11)
Mechanica
van
Materialen
Theoriecursus
Academiejaar 2017-2018
Verantwoordelijk lesgever en auteur: Prof. dr. ir. Wim VAN PAEPEGEM
Medelesgever: Prof. dr. ir. Wim DE WAELE
Universiteit Gent
Faculteit Ingenieurswetenschappen en Architectuur
Vakgroep Materialen, Textiel en Chemische Proceskunde (EA11)
Technologiepark-Zwijnaarde 903
9052 Zwijnaarde
Tel. : 09/331.04.32
Fax : 09/264.58.33
Voorwoord
In navolging van de Europese Sorbonne-Bologna verklaring is de ingenieursopleiding grondig
hervormd. De kandidaturen en de proeven zijn vervangen door de Bachelor en de Master.
De cursus Mechanica van Materialen is een exponent van deze hervorming. De bedoeling van
dit opleidingsonderdeel is de ingenieursstudenten een basiskennis bij te brengen over het
mechanisch gedrag van materialen. Het mechanisch gedrag kan heel algemeen gedefinieerd
worden als de respons van een materiaal op het aanbrengen van een belasting. De aard van
deze belasting kan zeer uiteenlopend zijn: statische belastingen, stootbelastingen, cyclische
belastingen, thermische belastingen,... Het is duidelijk dat de respons van het materiaal ook
afhangt van het materiaal zelf. Staal, beton, kunststoffen, keramieken,... hebben elk hun sterke
en zwakke punten en kunnen dan ook niet voor om het even welke toepassing worden ingezet.
Uiteraard zal deze cursus nog talrijke vervolgcursussen krijgen voor de studenten bouwkunde
en werktuigkunde, maar ook voor de andere toekomstige ingenieurs is het belangrijk dat zij
een overzicht hebben van de beginselen van de mechanica van materialen. Ook in hun domein
is de mechanica soms niet veraf. Zo zijn thermische spanningen in chips (Multilayer Circuit
Boards) een mechanisch probleem, net als de maximale lengte van de elektriciteitskabels
tussen twee pylonen.
De cursus bevat vijf grote hoofdstukken:
hoofdstuk 1 introduceert de basisbegrippen van de mechanica: krachten, momenten,
spanningen en rekken. Dit hoofdstuk is een van de meest theoretische en bevat de meeste
formules. Toch is dit hoofdstuk van zeer groot belang voor alles wat volgt,
hoofdstuk 2 legt de fundamenten uit van de balkentheorie. Deze theorie wordt nog steeds
heel vaak gebruikt voor de berekening en het ontwerp van balken en kolommen uit staal en
beton,
hoofdstuk 3 onderzoekt hoe een belastingsprobleem van een constructie kan worden
opgelost, hetzij langs experimentele, hetzij langs numerieke weg. De numerieke methode
die bijzondere aandacht verdient, is de eindige-elementenmethode. Aan de hand van een
aantal voorbeelden wordt duidelijk gemaakt welke de mogelijkheden (en beperkingen) zijn
van deze numerieke techniek,
hoofdstuk 4 bespreekt een aantal elastische problemen, waarbij de driedimensionale
theorie kan vereenvoudigd worden tot haar tweedimensionale variant, maar die zeer veel
toepassing vinden in de industriële praktijk,
hoofdstuk 5 bespreekt de gangbare beproevingsmethodes voor materialen en hun
belangrijkste mechanische eigenschappen. Daarnaast wordt een overzicht gegeven van de
belangrijkste klassen materiaalmodellen die het mechanisch gedrag van materialen
beschrijven onder uiteenlopende belastingscondities.
Achteraan elk hoofdstuk zijn een aantal referenties opgenomen die gebruikt zijn bij de
samenstelling van deze cursus. Hoewel de cursus vrij lijvig lijkt, zijn er haast evenveel
figuren als pagina’s en zijn sommige paragrafen enkel bedoeld als naslagwerk. Inspiratie voor
de opbouw werd gevonden in de cursus Elasticiteit en Sterkteleer van Prof. Verhegghe en een
aantal standaardwerken uit de internationale literatuur.
Wim Van Paepegem
Gent, september 2017
Mechanica van Materialen Inhoudstafel
i
Hoofdstuk 1
KRACHTEN, MOMENTEN, SPANNINGEN EN REKKEN ............................................. 1
1.1. STATICA EN EVENWICHT VAN CONSTRUCTIES ............................................................. 1 1.1.1. Uitwendige belastingen ...................................................................................... 1
1.1.1.a. Krachten ......................................................................................................... 1 1.1.1.b. Momenten ....................................................................................................... 3
1.1.2. Types ondersteuningen ....................................................................................... 9
1.1.3. Evenwicht van een constructie ......................................................................... 10 1.1.4. Inwendige krachtswerking ............................................................................... 11 1.1.5. Scharnierende verbindingen ............................................................................. 16
1.1.6. Besluit ............................................................................................................... 18 1.2. INTUÏTIEF BEGRIP VAN SPANNINGEN EN REKKEN ....................................................... 19 1.3. SPANNINGEN ............................................................................................................. 24
1.3.1. Definitie ............................................................................................................ 24
1.3.2. Verband tussen spanningsvector )n(
en spanningsmatrix [] ........................ 30
1.3.3. Vergelijkingen van het evenwicht .................................................................... 32
1.3.4. Transformatie van coördinaten en hoofdrichtingen ......................................... 35 1.3.5. Kromlijnige coördinaten .................................................................................. 38
1.3.5.a. Cilindercoördinaten ..................................................................................... 38
1.3.5.b. Bolcoördinaten ............................................................................................. 39 1.4. REKKEN..................................................................................................................... 41
1.4.1. Eendimensionale lengteverandering ................................................................ 41 1.4.2. Veralgemeende vervormingstoestand .............................................................. 42
1.4.3. Transformatie van coördinaten en hoofdrichtingen ......................................... 43 1.4.4. Compatibiliteitsvoorwaarden ........................................................................... 45
1.4.5. Kromlijnige coördinaten .................................................................................. 46 1.4.5.a. Cilindercoördinaten ..................................................................................... 46 1.4.5.b. Bolcoördinaten ............................................................................................. 47
1.4.6. Eindige vervormingen en rekken ..................................................................... 47
1.5. LINEAIR ELASTISCH MATERIAALGEDRAG .................................................................. 49 1.5.1. Wet van Hooke ................................................................................................. 50 1.5.2. Bijzondere belastingsgevallen .......................................................................... 54
1.5.2.a. Zuivere trek .................................................................................................. 54
1.5.2.b. Zuivere afschuiving ...................................................................................... 55 1.5.2.c. Hydrostatische belasting .............................................................................. 56 1.5.2.d. Torsie of wringing ........................................................................................ 56
1.5.3. Relaties tussen de elastische constanten ........................................................... 57
1.5.3.a. Verband tussen E, en G ............................................................................. 57 1.5.3.b. Volumeverandering en compressiemodulus ................................................. 59
1.5.4. Kromlijnige coördinaten .................................................................................. 61 1.6. OPLOSSING VAN HET LINEAIR ELASTISCH PROBLEEM ................................................ 63
1.6.1. Randvoorwaarden ............................................................................................. 64 1.6.2. Superpositieprincipe ......................................................................................... 65 1.6.3. Statisch onbepaalde systemen .......................................................................... 66
1.7. THERMISCHE SPANNINGEN ........................................................................................ 69
1.7.1. Vergelijkingen .................................................................................................. 69
1.7.2. Statisch onbepaalde problemen ........................................................................ 71
Mechanica van Materialen Inhoudstafel
ii
1.8. ARBEID EN ELASTISCHE ENERGIE .............................................................................. 73
1.8.1. Arbeid van een kracht ...................................................................................... 73 1.8.2. Arbeid van een moment ................................................................................... 75 1.8.3. Wet van behoud van mechanische energie....................................................... 76
1.9. VERALGEMEENDE WET VAN HOOKE VOOR ANISOTROPE MATERIALEN ...................... 79 1.9.1. Orthotrope materialen ...................................................................................... 80 1.9.2. Transversaal isotrope materialen ...................................................................... 83
1.10. REFERENTIES ............................................................................................................. 85
Mechanica van Materialen Inhoudstafel
iii
Hoofdstuk 2
STRUCTUREEL GEDRAG ................................................................................................. 86
2.1. INLEIDING ................................................................................................................. 86 2.2. GEOMETRISCHE EIGENSCHAPPEN VAN DE DWARSDOORSNEDE .................................. 88
2.2.1. Opstellen vergelijkingen .................................................................................. 88 2.2.2. Praktische berekening ...................................................................................... 90
2.3. NORMAALKRACHT, BUIGEND MOMENT EN DWARSKRACHT ....................................... 95
2.3.1. Globaal evenwicht ............................................................................................ 95 2.3.2. Evenwicht van een deel van de balk – Snedekrachten ..................................... 96 2.3.3. Verband tussen q, V en M ................................................................................ 96
2.3.4. Enkele referentiegevallen ................................................................................. 97 2.3.4.a. Ingeklemde balk met puntlast ....................................................................... 97 2.3.4.b. Ingeklemde balk met verdeelde belasting ................................................... 100 2.3.4.c. Balk op twee steunpunten met puntlast ...................................................... 102 2.3.4.d. Balk op twee steunpunten met verdeelde belasting .................................... 106
2.4. VERBAND TUSSEN SNEDEKRACHTEN EN SPANNINGEN ............................................. 110 2.4.1. Spanningen t.g.v. normaalkracht N ................................................................ 110 2.4.2. Spanningen t.g.v. buigend moment M ........................................................... 110 2.4.3. Spanningen t.g.v. dwarskracht V ................................................................... 114
2.5. VERPLAATSINGEN ................................................................................................... 119 2.5.1. Verplaatsingen t.g.v. de normaalkracht N ...................................................... 119
2.5.2. Verplaatsingen t.g.v. het buigend moment M ................................................ 119
2.5.2.a. Ingeklemde balk met puntlast ..................................................................... 121
2.5.2.b. Ingeklemde balk met verdeelde belasting ................................................... 122 2.5.2.c. Balk op twee steunpunten met puntlast ...................................................... 122 2.5.2.d. Balk op twee steunpunten met verdeelde belasting .................................... 124
2.5.3. Verplaatsingen t.g.v. de dwarskracht V ......................................................... 124 2.6. SINGULARITEITSFUNCTIES ....................................................................................... 126
2.7. INVLOED VAN DE KEUZE VAN HET ASSENSTELSEL ................................................... 130 2.8. REFERENTIES ........................................................................................................... 132
Mechanica van Materialen Inhoudstafel
iv
Hoofdstuk 3
OPLOSSINGSMETHODES ............................................................................................... 133
3.1. INLEIDING ............................................................................................................... 133 3.2. ANALYTISCHE OPLOSSINGEN ................................................................................... 135 3.3. EXPERIMENTELE METHODES.................................................................................... 136 3.4. NUMERIEKE METHODES – EINDIGE ELEMENTEN ...................................................... 139
3.4.1. Structuur van het eindige elementenprogramma ............................................ 141
3.4.1.a. Pre-processing ........................................................................................... 141 3.4.1.b. Analyse ....................................................................................................... 144 3.4.1.c. Post-processing .......................................................................................... 145
3.4.2. Praktijkvoorbeelden ....................................................................................... 146 3.4.2.a. Plastische vervorming van een koppeling voor perslucht .......................... 146 3.4.2.b. Inlaat van een composiet drukvat ............................................................... 151 3.4.2.c. Maximale kromming van een connectorblok met optische vezels .............. 155 3.4.2.d. Thermische spanningen in een dikwandige composietbuis ........................ 156
3.5. REFERENTIES ........................................................................................................... 160
Mechanica van Materialen Inhoudstafel
v
Hoofdstuk 4
TWEEDIMENSIONALE ELASTISCHE PROBLEMEN ............................................... 161
4.1. VLAKSPANNING EN VLAKVERVORMING .................................................................. 161 4.1.1. Vlakspanning .................................................................................................. 161
4.1.1.a. Algemeen .................................................................................................... 161 4.1.1.b. Cirkel van Mohr ......................................................................................... 164 4.1.1.c. Vlakspanning met thermische effecten ....................................................... 166
4.1.2. Vlakvervorming ............................................................................................. 167 4.1.2.a. Algemeen .................................................................................................... 167 4.1.2.b. Cirkel van Mohr ......................................................................................... 169
4.1.2.c. Vlakvervorming met thermische effecten ................................................... 171 4.1.3. Hoofdrichtingen vlakspanning en vlakvervorming ........................................ 172
4.2. AXIAALSYMMETRISCHE BELASTINGSGEVALLEN ..................................................... 173 4.2.1. Basisformules voor axiaalsymmetrie ............................................................. 173 4.2.2. Opstellen algemene vergelijkingen voor radiale belastingen ......................... 176
4.2.3. Trek- of drukspanningen op de binnen- en buitenrand .................................. 177 4.2.3.a. Schijf in vlakspanning ................................................................................ 177 4.2.3.b. Schijf in vlakvervorming ............................................................................. 179 4.2.3.c. Verband vlakspanning en vlakvervorming ................................................. 181
4.2.3.d. Lange buis met vrije uiteinden ................................................................... 185 4.2.4. Radiaal temperatuurveld ................................................................................ 186
4.2.4.a. Schijf in vlakspanning ................................................................................ 186
4.2.4.b. Schijf in vlakvervorming ............................................................................. 191
4.2.4.c. Verband vlakspanning en vlakvervorming ................................................. 193 4.2.4.d. Lange buis met vrije uiteinden ................................................................... 194
4.3. SPANNINGSCONCENTRATIES IN VLAKKE PLATEN ..................................................... 197
4.4. REFERENTIES ........................................................................................................... 201
Mechanica van Materialen Inhoudstafel
vi
Hoofdstuk 5
MECHANISCHE EIGENSCHAPPEN EN MATERIAALMODELLEN ...................... 202
5.1. MECHANISCHE EIGENSCHAPPEN EN BEPROEVINGSMETHODES ................................. 203 5.1.1. Trek- en drukproeven ......................................................................................... 204
5.1.1.a. Ductiele materialen .................................................................................... 206 5.1.1.b. Brosse materialen ....................................................................................... 211
5.1.1.c. Overgangen van bros naar ductiel gedrag en vice versa ........................... 213 5.1.1.d. Mechanische eigenschappen van enkele ingenieursmaterialen ................. 214
5.1.2. Buigproeven ....................................................................................................... 215
5.1.3. Afschuifproeven ................................................................................................. 215 5.1.4. Hardheidsproeven ............................................................................................... 216
5.1.4.a. Hardheidsmeting volgens Brinell ............................................................... 217 5.1.4.b. Hardheidsmeting volgens Vickers .............................................................. 218 5.1.4.c. Hardheidsmeting volgens Rockwell ........................................................... 218
5.1.5. Kruipproeven ...................................................................................................... 219 5.1.6. Vermoeiingsproeven .......................................................................................... 221
5.1.6.a. Proeven op foutvrije, glad gepolijste proefstaven ...................................... 223 5.1.6.b. Proeven op proefstaven met boringen, doorsnedeveranderingen, ... ......... 226
5.1.6.c. Proeven op afzonderlijke of gecombineerde constructie-onderdelen ........ 227 5.1.7. Impactproeven .................................................................................................... 229
5.1.7.a. Valproeven ................................................................................................. 231
5.1.7.b. Pneumatische en mechanische impacttesten .............................................. 232
5.1.7.c. Hopkinson-proeven .................................................................................... 233 5.1.7.d. Impactproeven op volledige constructies ................................................... 235
5.1.8. Kerfslagproeven ................................................................................................. 236
5.2. CRITERIA VOOR COMPLEXE SPANNINGSTOESTANDEN .............................................. 238 5.2.1. Vloeicriteria voor ductiele materialen ................................................................ 238
5.2.1.a. Criterium van Tresca ................................................................................. 241 5.2.1.b. Criterium van von Mises ............................................................................ 241
5.2.2. Breukcriteria voor brosse materialen ................................................................. 242 5.2.2.a. Isotrope brosse materialen ......................................................................... 242
5.2.2.b. Anisotrope brosse materialen ..................................................................... 244 5.3. INSTRUMENTATIE VAN DE PROEVEN ........................................................................ 245
5.3.1. Rekstrookjes ....................................................................................................... 245 5.3.1.a. Technologie van het rekstrookje ................................................................ 245 5.3.1.b. Meervoudige rekstrookjes .......................................................................... 247
5.3.2. Moiré-technieken ............................................................................................... 251 5.3.3. Digitale beeldcorrelatie ...................................................................................... 256
5.3.4. Optische vezelsensoren ...................................................................................... 260 5.4. SCHADEMECHANISMEN ........................................................................................... 263
5.4.1. Schadetypes ........................................................................................................ 264 5.4.1.a. Metalen ....................................................................................................... 264 5.4.1.b. Gewapend beton ......................................................................................... 265
5.4.1.c. Kunststoffen ................................................................................................ 266 5.4.1.d. Composietmaterialen ................................................................................. 266
5.4.2. Schadedetectie en -diagnose ............................................................................... 270 5.4.2.a. Visuele inspectie ......................................................................................... 270
Mechanica van Materialen Inhoudstafel
vii
5.4.2.b. Ultrasoon onderzoek .................................................................................. 271
5.4.2.c. Radiografie ................................................................................................. 278 5.4.2.d. Thermografie .............................................................................................. 279
5.5. MATERIAALMODELLEN ........................................................................................... 281
5.5.1. Tijdsonafhankelijk materiaalgedrag ................................................................... 283 5.5.1.a. Elastisch materiaalgedrag ......................................................................... 283 5.5.1.b. Plastisch materiaalgedrag ......................................................................... 283
5.5.2. Tijdsafhankelijk materiaalgedrag ....................................................................... 285 5.5.3. Scheurgroei ......................................................................................................... 291
5.5.3.a. Elastische breukmechanica ........................................................................ 292 5.5.3.b. Elastisch-plastische breukmechanica ........................................................ 297
5.5.4. Degradatie .......................................................................................................... 298 5.6. BESLUIT .................................................................................................................. 303
5.7. REFERENTIES ........................................................................................................... 305
1
Hoofdstuk 1
Krachten, momenten,
spanningen en rekken
1.1. STATICA EN EVENWICHT VAN CONSTRUCTIES
In het ontwerp van een constructie of machine is het allereerst noodzakelijk met behulp van
de grondbeginselen van de statica vast te stellen, welke krachten op de verschillende
onderdelen werken. Vandaar wordt in deze paragraaf eerst ingegaan op de begrippen kracht,
moment en evenwicht.
Alle grootheden zullen voorgesteld worden in een rechtshandig cartesiaans assenstelsel
(x,y,z). Voor de meeste constructies (balken, platen, schalen, raamwerken,...) wordt daarbij
aangenomen dat de z-richting de hoogte weergeeft, terwijl de x-as de lengte weergeeft. De
ligging van de y-as volgt dan onmiddellijk uit de voorwaarde van een rechtshandig
assenstelsel.
1.1.1. Uitwendige belastingen
De uitwendige belastingen op een constructie kunnen verdeeld worden in twee grote klassen:
(i) de krachten, en (ii) de momenten.
1.1.1.a. Krachten
Opnieuw kan men onderscheid maken tussen twee types krachten: (i) de oppervlaktekrachten,
en (ii) de volumekrachten.
Oppervlaktekrachten
Zoals de naam al aangeeft, worden oppervlaktekrachten veroorzaakt door het directe contact
van een object met het oppervlak van een ander object. In alle gevallen worden deze krachten
verdeeld over de contactoppervlakte tussen de objecten (zie Figuur 1.1(a)). Met name als deze
oppervlakte klein is t.o.v. de totale oppervlakte van het object, kan de oppervlaktekracht
geïdealiseerd worden als één geconcentreerde kracht [Newton], die op een punt van het
lichaam wordt uitgeoefend (zie Figuur 1.1(a)).
Als de oppervlaktebelasting op een smal langwerpig oppervlak wordt uitgeoefend, kan de
belasting worden geïdealiseerd als een lijnbelasting, q(s). Hier wordt de belasting gemeten
per lengte-eenheid langs het oppervlak [Newton/meter] en grafisch weergegeven als een reeks
pijlen over de lijn s (zie Figuur 1.1(a)). De belasting over de lengte van een balk is een typisch
voorbeeld van een structuur waar deze idealisering vaak wordt toegepast (zie Figuur 1.1(b)).
De resulterende kracht FR van q(s) is gelijk aan de oppervlakte onder de kromme van de
verdeelde belasting en deze resultante grijpt aan in het zwaartepunt C van deze oppervlakte.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 1: Krachten, momenten, spanningen en rekken
2
Figuur 1.1 Puntbelasting, lijnbelasting en verdeelde belasting [1].
Volumekrachten
Een volumekracht treedt op wanneer een object een kracht uitoefent op een ander object
zonder dat er van direct fysiek contact tussen de objecten sprake is. Het meest directe
voorbeeld is de zwaartekracht die aangrijpt op elk object hier op aarde. Hoewel
volumekrachten alle deeltjes van het object beïnvloeden, worden deze krachten gewoonlijk
voorgesteld door één enkele geconcentreerde kracht die op het object werkt. In het geval van
de zwaartekracht wordt deze kracht het gewicht van het lichaam genoemd en grijpt ze aan in
het zwaartepunt van het lichaam. De grootte ervan is dan:
gmF (1.1)
waarbij m de massa is van het lichaam en g de valversnelling (g = 9,81 m/s2).
Als men nu een rechtshandig cartesiaans assenstelsel (x,y,z) invoert, kunnen alle types
krachten ontbonden worden in hun componenten volgens de coördinaatassen xe
, y
e
en z
e
,
zoals weergegeven in Figuur 1.2.
O
x
y
z
F > 0y
F > 0z
F > 0x
Figuur 1.2 Tekenconventies voor krachten in een rechtshandig assenstelsel (x,y,z).
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 1: Krachten, spanningen en rekken
3
1.1.1.b. Momenten
Krachten kunnen niet alleen een translatie-effect uitoefenen op een object, maar ook een
rotatie-effect. Dit laatste wordt veroorzaakt door het moment dat door de kracht op het object
wordt uitgeoefend. Het moment wordt berekend als kracht vermenigvuldigd met lastarm en
heeft dus de dimensie [Newton meter].
Figuur 1.3 geeft een voorbeeld. De drie schetsen (a), (b) en (c) tonen het bovenaanzicht van
een deur, die via een hengsel verbonden is met de muur. Als de werklijn van de kracht
doorheen het scharnier gaat, treedt er geen rotatie op (zie Figuur 1.3(a)). Treedt de kracht F op
op een zekere afstand van het scharnier, dan treedt een rotatie op van de deur (zie Figuur
1.3(b)). Het is evident dat deze rotatie zal vergroten als (i) de kracht F groter is, en/of (ii) de
afstand van F tot het scharnier groter is. In geval (c) treedt geen rotatie op, omdat de werklijn
van de kracht opnieuw door het scharnier gaat.
Figuur 1.3 Moment uitgeoefend door een kracht [2].
Een koppel is een bijzonder geval van een moment, uitgeoefend door twee even grote,
evenwijdige en tegengestelde krachten (zie Figuur 1.4).
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 1: Krachten, momenten, spanningen en rekken
4
Figuur 1.4 Voorbeeld van een krachtenkoppel [2].
Als men opnieuw een rechtshandig cartesiaans assenstelsel (x,y,z) invoert, kunnen alle
momenten ontbonden worden in hun componenten volgens de coördinaatassen xe
, y
e
en
ze
, zoals weergegeven in Figuur 1.5. De vectoren van de positieve momenten Mx, My en Mz
zijn gericht volgens de positieve zin van de respectieve assen xe
, y
e
en z
e
. Om het
onderscheid te maken met de componenten van de krachtvector, worden de componenten van
de momentvector getekend met een dubbele pijlpunt. De rotatiezin van het moment wordt
bepaald met de rechterhandregel : de duim wijst de richting van de (dubbele) pijlpunt aan en
de vingers van de rechterhand geven de draairichting aan.
O
x
y
z
M > 0y
Mx
> 0
M > 0z
M > 0x
My> 0
Mz
> 0
Figuur 1.5 Tekenconventies voor momenten in een rechtshandig assenstelsel (x,y,z).
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 1: Krachten, spanningen en rekken
5
De meest algemene wiskundige uitdrukking voor de momentvector OM (Mx, My, Mz) is:
FrM O (1.2)
In het ingevoerde assenstelsel (x, y, z) kan deze vector als volgt berekend worden:
zzyyxx
zxyyxyxzzxxyzzy
zyx
zyx
zyx
eMeMeM
eFrFreFrFreFrFr
FFF
rrr
eee
OM
(1.3)
Men bekomt dus een momentvector OM met componenten (Mx, My, Mz).
In vele praktijkgevallen zijn sommige componenten van r en/of F gelijk aan nul. Dan is het
vaak eenvoudiger om de momenten Mx, My en Mz om de respectievelijke coördinaatassen
xe
, y
e
en z
e
afzonderlijk uit te schrijven, gebruik makend van de fysische betekenis van de
momentbijdrage van de krachtcomponenten Fx, Fy en Fz om de respectievelijke
coördinaatassen xe
, y
e
en z
e
. Dit wordt duidelijk geïllustreerd door Figuur 1.6.
x
y
z
60
F = 100 N
5 m
2 m
r
Figuur 1.6 Momenten uitgeoefend op een stuk pijpleiding door de krachtvector F met grootte 100 N en in
een vlak evenwijdig met het x-z vlak.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 1: Krachten, momenten, spanningen en rekken
6
Een kracht met grootte 100 N en in een vlak evenwijdig met het x-z vlak grijpt aan op een
stuk pijpleiding. Als men de momentvector OM wil berekenen, kan men uitgaan van de
algemene definitie en schrijven:
zzyyxx
zyx
zyx
eMeMeM
eNm100eNm1002
35eNm1003
60sinN100060cosN100
025
eee
OM
(1.4)
Men kan ook de kracht F ontbinden in zijn componenten (Fx, Fy, Fz) en nakijken welke
componenten bijdragen tot het moment om een bepaalde coördinaatas.
x
y
z
5 m
2 m
60
rx
ry
Fx
Fz
F = 100 N
Figuur 1.7 Momenten uitschrijven op basis van fysische interpretatie.
Als men de afzonderlijke momenten Mx, My en Mz rechtstreeks opschrijft, kijkt men welke
krachtcomponenten bijdragen tot dat moment en berekent deze bijdragen als
{krachtcomponent} maal {loodrechte hefboomsarm tot de as i
e
}. Het teken van de
momentbijdrage wordt bepaald door de rechterhandregel rond de as i
e
, zoals aangeduid in
Figuur 1.7.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 1: Krachten, spanningen en rekken
7
yxz
xzy
yzx
rFM
rFM
rFM
(1.5)
Voor vlakke problemen is deze laatste methode nog veel meer aangewezen. Stel dat men
bovenstaand probleem vereenvoudigt tot een tweedimensionaal probleem in het x-z vlak,
zoals aangegeven in Figuur 1.8.
x
z
60
F = 100 N
y
5 m
Figuur 1.8 Tweedimensionaal probleem, waarbij de constructie en belastingen allen in één vlak liggen.
Als men het probleem beschrijft in het x-z vlak, zijn de y-component van r en F gelijk aan
nul, zodat My de enige niet-nul component is van de momentvector OM . Dan is het veel
eenvoudiger om de momentbijdrage van de twee krachtcomponenten Fx en Fz rechtstreeks op
te schrijven. Dit wordt aangetoond in Figuur 1.9.
x
z
60
F = 100 N
y
5 mFx
Fz
Figuur 1.9 Berekenen van momentbijdragen bij vlakke problemen.
De enige momentbijdrage wordt geleverd door Fz:
Nm1002
35
rFM xzy
(1.6)
Bij vlakke problemen kan men zelfs nog een derde berekeningswijze aanwenden. Het
moment kan namelijk ook berekend worden als de volledige kracht maal de loodrechte
hefboomsarm, zoals aangegeven in Figuur 1.10.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 1: Krachten, momenten, spanningen en rekken
8
x
z
60
F = 100 N
y
5 mFx
Fz
rF
rF
Figuur 1.10 Berekenen van momentbijdragen als kracht maal loodrechte hefboomsarm.
Dit kan men eenvoudig aantonen als volgt:
0Fr
FrFr
Frr
FrM
F
//FF
//FF
ye
O
(1.7)
waarbij het teken van het moment nog steeds bepaald wordt door de rechterhandregel, ditmaal
rond de coördinaatas y
e
.
Het moment My wordt dan:
Nm1002
35
N10060sinm5
M y
Fr F
(1.8)
Opmerking Bij vlakke problemen staan alle momentenvectoren loodrecht op het
beschouwde vlak. Immers, alleen momentvectoren loodrecht op dat vlak geven aanleiding tot
rotaties in dat vlak. Omdat de momentvectoren in die 2-D voorstelling moeilijk te tekenen
zijn, tekent men enkel de rotatiezin die ze veroorzaken. Als men bv. een vlak probleem
bestudeert in het x-z vlak, liggen alle momentvectoren volgens de coördinaatas y
e
. De
momentvectoren worden dan voorgesteld door een kromme pijl die de rotatiezin aangeeft: in
uurwijzerzin voor een positief moment My, in tegenuurwijzerzin voor een negatief moment
My. Dit wordt schematisch weergegeven in Figuur 1.11.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 1: Krachten, spanningen en rekken
9
x
z
y
M < 0yM > 0y
Figuur 1.11 Voorstelling van momentvectoren My in het vlak x-z.
1.1.2. Types ondersteuningen
In vele gevallen zijn constructies ondersteund of bevestigd aan steunpunten. De krachten in
deze ondersteuningen of steunpunten noemt men de reacties. In Figuur 1.12 zijn de meest
voorkomende types ondersteuningen getoond voor belastingen in eenzelfde vlak.
Figuur 1.12 Meest voorkomende types ondersteuningen [1].
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 1: Krachten, momenten, spanningen en rekken
10
Als de ondersteuning de translatie in een bepaalde richting verhindert, dan moet er in die
richting een reactiekracht [Newton] op het onderdeel worden uitgeoefend. Evenzo geldt dat,
wanneer rotatie wordt verhinderd, er een reactiemoment [Newton meter] op het onderdeel
wordt uitgeoefend. Zo verhindert bijvoorbeeld een roloplegging (Figuur 1.12(b)) alleen
translatie in de verticale richting. De rol oefent daardoor op het punt van contact een
reactiekracht F uit op het onderdeel. Aangezien het onderdeel vrij om de rol kan roteren, kan
er door de rol op het punt van contact geen moment op het onderdeel worden uitgeoefend.
De reacties worden gewoonlijk aangeduid met het symbool R voor reactiekrachten en RM
voor reactiemomenten.
1.1.3. Evenwicht van een constructie
Evenwicht van een object vereist zowel een evenwicht van krachten als een evenwicht van
momenten. Deze voorwaarden kunnen wiskundig worden uitgedrukt met de volgende twee
vectorvergelijkingen:
0M
0F
O
(1.9)
Hier vertegenwoordigt F de som van alle krachten die op het lichaam werken en is OM
de som van de momenten van alle krachten rond een punt O, waarbij het punt O al dan niet op
het object zelf gelegen is.
Als men het evenwicht uitschrijft van de volledige constructie, worden ook de reacties in de
ondersteuningen meegeteld als uitwendige krachten/momenten op de constructie.
Als er een rechtshandig cartesiaans assenstelsel (x,y,z) is ingesteld met de oorsprong in het
punt O, kunnen de kracht- en momentenvectoren worden ontbonden in hun componenten
langs de coördinaatassen xe
, y
e
en z
e
. De twee bovenstaande vergelijkingen (1.9) kunnen
dan in scalaire vorm worden geschreven als zes vergelijkingen:
0M0M0M
0F0F0F
zyx
zyx
(1.10)
Hierbij is het belangrijk in te zien dat de gekozen positieve rotatierichting voor het
uitschrijven van het momentenevenwicht geen belang heeft. Een omkering van de gekozen
positieve rotatierichting impliceert enkel dat de evenwichtsvergelijkingen worden
vermenigvuldigd met –1, maar dat maakt uiteraard geen enkel verschil:
0M0M0M zyx (1.11)
In vele gevallen werken alle belastingen in één vlak (onderstel het x-y vlak) en kunnen de
evenwichtsvergelijkingen gereduceerd worden tot:
0M
0F0F
z
yx
(1.12)
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 1: Krachten, spanningen en rekken
11
Met behulp van deze evenwichtsvergelijkingen kunnen de reactiekrachten in de
ondersteuningen van een constructie berekend worden.
Voorbeeld 1.1
Gegeven is een vakwerk met twee steunpunten A en B. Bereken de reactiekrachten/momenten
in A en B.
1.1.4. Inwendige krachtswerking
Eén van de belangrijkste toepassingen van de statica bij het analyseren en ontwerpen van
constructies, is het kunnen bepalen van de resulterende kracht en het resulterende moment
die in een doorsnede van de constructie werken en die noodzakelijk zijn om de constructie-
onderdelen bij elkaar te houden wanneer er uitwendige krachten (en reactiekrachten) op
worden uitgeoefend.
Deze inwendige krachten noemt men ook wel “snedekrachten”, omdat deze krachten
berekend worden door een “snede” te maken in de constructie en het evenwicht uit te drukken
van een geïsoleerd deel van de constructie.
Figuur 1.13 toont het voorbeeld van een tweedimensionale constructie met een dergelijke
doorsnijding.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 1: Krachten, momenten, spanningen en rekken
12
Figuur 1.13 Doorsnijding van een constructie en bepaling van de inwendige krachtswerking [1].
Voor de berekening van de snedekrachten in
Figuur 1.13 gaat men als volgt te werk:
op de plaats waar men de snedekrachten wil kennen, snijdt men (uiteraard
denkbeeldig) de constructie volledig door. Men heeft nu twee geïsoleerde delen. Het deel
waar de buitennormale van de doorsnijding samenvalt met de positieve coördinaatas, noemt
men de positieve doorsnijding. Het andere deel, waar de positieve buitennormale tegengesteld
gericht is aan de positieve coördinaatas, noemt men de negatieve doorsnijding. In het
voorbeeld van
Figuur 1.13 is het linkerdeel de positieve doorsnijding (buitennormale volgens positieve as
xe
) en het rechterdeel de negatieve doorsnijding (buitennormale volgens negatieve as
xe
),
als men nu enkel het evenwicht van het linkerdeel van de constructie beschouwt, moet men
de krachtswerking van het weggesneden rechterdeel op het linkerdeel herstellen door de
invoering van de snedekrachten. Zoals blijkt uit vergelijking (1.12), zijn er voor een
tweedimensionale doorsnijding drie onbekende snedekrachten: Fx, Fy en Mz (merk op dat
de momentvector Mz hier opnieuw wordt voorgesteld door zijn teweeggebrachte rotatie in
het x-y vlak).
De tekenconventie voor de snedekrachten hangt af van de doorsnijding: voor een positieve
doorsnijding gelden de tekenconventies van Figuur 1.5, voor een negatieve doorsnijding
zijn de tekenconventies net omgekeerd. Dit moet zo zijn, want de krachtswerking van het
rechterdeel op het linkerdeel is gelijk en tegengesteld aan de krachtswerking van het
linkerdeel op het rechterdeel (derde wet van Newton: actie en reactie),
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 1: Krachten, spanningen en rekken
13
tenslotte schrijft men het krachten- en momentenevenwicht uit voor het linkerdeel
afzonderlijk of voor het rechterdeel afzonderlijk. Vermits alle reactiekrachten én de
uitwendige belastingen gekend zijn, kan men voor elk geïsoleerd deel van de constructie de
evenwichtsvergelijkingen (1.12) uitschrijven. Vermits de snedekrachten de krachtswerking
vertegenwoordigen van het rechterdeel van de constructie op het aangrenzende linkerdeel
van de constructie, en vice versa, moet men in beide gevallen dezelfde waarden bekomen
voor de snedekrachten Fx, Fy en Mz. De snedekrachten worden hierbij altijd gerefereerd
t.o.v. het zwaartepunt van de beschouwde dwarsdoorsnede.
De fysische betekenis van de snedekrachten kan best aangetoond worden met een voorbeeld.
Figuur 1.14 toont een links ingeklemde balk met een verdeelde belasting van 270 N/m. De
onbekende reactiekrachten en –momenten zijn Rx, Rz en RMy.
x
z
y
RzRMy
Rx
Figuur 1.14 Vlak probleem van ingeklemde balk met verdeelde belasting.
Allereerst moet men deze uitwendige reactiekrachten en –momenten bepalen voor de
volledige constructie. Uitschrijven van het horizontaal, verticaal en momentenevenwicht
levert de volgende drie vergelijkingen:
Nm3645RM
N1215R
0R
093
1
2
9m/N270RM
02
9m/N270R
0R
y
z
x
y
z
x
(1.13)
Om nu de onbekende snedekrachten in de doorsnede C te berekenen, kan men kiezen voor
een positieve doorsnijding (deel links van C isoleren) of een negatieve doorsnijding (deel
rechts van C isoleren). Figuur 1.15 toont beide opties, met de tekenconventie van de
snedekrachten voor een positieve doorsnijding (boven) en een negatieve doorsnijding (onder).
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 1: Krachten, momenten, spanningen en rekken
14
x
z
y
x
z
y
Fz
My
Fx
Fx
MyFz
RzRMy
Rx
Figuur 1.15 Equivalentie van linker- en rechterdoorsnijding van de balk.
Omdat de onbekende snedekrachten Fx, Fz en My een unieke waarde hebben in de doorsnede
C, moeten beide doorsnijdingen hetzelfde resultaat leveren.
Evenwicht van het geïsoleerde linkerdeel geeft:
Nm1080M
N540F
0F
0Mdx)x3(9
x1m/N270m3RRM
0Fdx9
x1m/N270R
0FR
y
z
x
3
0
yzy
3
0
zz
xx
(1.14)
Dit betekent dat het weggesneden rechterdeel van de constructie een neerwaartse kracht van
540 N uitoefent op het linkerdeel, alsook een buigmoment in uurwijzerzin.
Evenwicht van het geïsoleerde rechterdeel geeft:
Nm1080M
N540F
0F
063
1
2
6m/N180M
02
6m/N180F
0F
y
z
x
y
z
x
(1.15)
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 1: Krachten, spanningen en rekken
15
De waarde voor de snedekrachten is inderdaad dezelfde, maar de tekenconventie voor de
snedekrachten is tegengesteld aan deze voor de positieve doorsnijding, precies omwille van
de wet van actie en reactie.
Stappenplan voor de berekening van het evenwicht van constructies en doorsnijdingen:
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 1: Krachten, momenten, spanningen en rekken
16
Voorbeeld 1.2
Bepaal de resulterende inwendige belastingen die in het punt B op de dwarsdoorsnede van de
pijp werken. De pijp heeft een massa van 2 kg/m en wordt aan het uiteinde A belast door een
verticale kracht van 50 N en een koppel van 70 Nm. De pijp is bij C vast aan de muur
bevestigd.
1.1.5. Scharnierende verbindingen
De inwendige krachtswerking wordt aanzienlijk vereenvoudigd als de constructie is
samengebouwd uit scharnierende onderdelen. Dit is vaak het geval bij vakwerkbruggen en
portieken. Figuur 1.16 toont een schematisch voorbeeld van een constructie met
scharnierende verbindingen.
Figuur 1.16 Voorbeeld van constructie met scharnierende verbindingen [13].
Men kan eenvoudig aantonen dat er in deze gevallen enkel een snedekracht in de richting van
de staven bestaat. Door het bestaan van de scharnieren wordt er immers geen moment
overgedragen van de ene staaf naar de andere. Beschouwt men nu het evenwicht van een
geïsoleerde staaf, zoals weergegeven in Figuur 1.17. De overblijvende snedekrachten worden
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 1: Krachten, spanningen en rekken
17
getekend in overeenstemming met de tekenconventies voor een positieve (rechts) en negatieve
(links) doorsnijding.
Fz
Fx
Fx
Fz
L
Figuur 1.17 Evenwicht van een vakwerkstaaf tussen twee scharnieren.
Als men het momentevenwicht uitschrijft om het linkse scharnier (bv. met positieve draaizin
in de tegenuurwijzerzin):
0F0LF0M zzy (1.16)
Dit betekent dat er enkel een langskracht Fx bestaat in de staaf.
Deze conclusie is algemeen geldig voor constructies met scharnierende verbindingen als en
slechts als:
de staaf aan zijn beide uiteinden verbonden is met scharnieren,
er geen belasting aangrijpt tussen de scharnieren.
Dit betekent ook meteen dat de reactiekrachten gericht zijn volgens de richting van de staven,
als en slechts als er maar één staaf aankomt in het steunpunt (zoals het geval is in Figuur
1.16).
Voorbeeld 1.3
Alle staven in onderstaand vakwerk zijn scharnierend met elkaar verbonden. In twee knopen
grijpt een neerwaarts gerichte puntlast aan van respectievelijk 0,75 P en P. Bepaal de positie
van de staaf die de grootste kracht moet dragen.
P0,75 P
1,2 m 1,2 m
0,9 m
(Examen 1ste zittijd AJ 2002-2003. Voorziene tijd: 35 minuten)
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 1: Krachten, momenten, spanningen en rekken
18
1.1.6. Besluit
Bij deze berekening van de inwendige krachtswerking wordt ondersteld dat de snedekrachten
aangrijpen in het zwaartepunt van de doorsnijding, maar het is nogal evident dat deze
snedekrachten in werkelijkheid niet geconcentreerd kunnen zijn in dat ene punt, anders
zouden alle punten van de doorsnede volledig onbelast zijn, uitgezonderd het zwaartepunt.
Deze snedekrachten stellen dus in feite het resulterend effect voor van de feitelijke
krachtenverdeling over het volledige oppervlak van de beschouwde doorsnede.
De berekening van de snedekrachten m.b.v. de vergelijkingen van het evenwicht is dan ook
maar een eerste stap naar het volledig begrip van de inwendige krachtswerking in de
constructie. De volgende stap bestaat er nu in te onderzoeken hoe de snedekrachten in
werkelijkheid worden vertaald naar een verdeelde krachtswerking over de volledige
doorsnijding. Daartoe worden twee nieuwe begrippen ingevoerd: spanning en rek. De
volgende paragraaf tracht een intuïtief begrip van deze grootheden aan te leren. Daarna volgt
een meer rigoureuze bespreking van beide begrippen.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 1: Krachten, spanningen en rekken
19
1.2. INTUÏTIEF BEGRIP VAN SPANNINGEN EN REKKEN
Om de begrippen “spanning” en “rek” te introduceren, beschouwt men een eenvoudige
trekproef op zacht staal. Een typische proefopstelling is getoond in Figuur 1.18. Het stalen
proefstuk is een prismatische staaf met cirkelvormige dwarsdoorsnede en is ingeklemd aan
het boven- en onderuiteinde. Bovenaan wordt een trekkracht F uitgeoefend door de zware
dwarsbalk. Een extensometer (aan de zijkant van het proefstuk) meet de relatieve verplaatsing
tussen twee referentiepunten.
Figuur 1.18 Experimentele opstelling voor trekproeven op metalen [5].
Bij een schematische voorstelling van deze trekproef zijn de evenwichtsvergelijkingen heel
eenvoudig : in elke cirkelvormige dwarsdoorsnede van het proefstuk werkt de kracht F in het
zwaartepunt van de doorsnede. In dat geval is het redelijk te veronderstellen dat de kracht F in
de doorsnede wordt opgenomen door een constante, gelijkmatige trekspanning , die
gelijkmatig verdeeld wordt over de oppervlakte A0 [meter2] van de dwarsdoorsnede. De
grootte van deze trekspanning is dan:
]meter/Newton[A
F 2
0
(1.17)
Het is belangrijk te onthouden dat spanningen steeds als dimensie [Newton/meter2] hebben.
Omdat spanningen echter steeds betrekking hebben op een kleine oppervlakte, worden ze
vaak uitgedrukt in MPa, waarbij:
2266 mm/N1m/N10Pa10MPa1 (1.18)
Figuur 1.19 toont de schematische verdeling van de spanningen en de bijhorende verlenging
L van de stalen staaf.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 1: Krachten, momenten, spanningen en rekken
20
Figuur 1.19 Verdeling van de spanningen en verlenging van de stalen staaf [6].
Inderdaad, het is evident dat onder invloed van de trekkracht F (en de trekspanningen ) ook
een verlenging van de staaf zal optreden. Als men deze verlenging L (zie Figuur 1.19) deelt
door de oorspronkelijke lengte L0, dan bekomt men de rek :
0L
L (1.19)
De rek is dimensieloos [-] en geeft de relatieve verlenging weer van de proefstaaf.
Als men nu voor deze trekproef de experimenteel opgemeten spanning en rek ten opzichte
van elkaar uitzet, bekomt men een typische grafiek zoals afgebeeld in Figuur 1.20.
Figuur 1.20 Typisch spanning-rek diagram voor een trekproef op zacht staal [5].
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 1: Krachten, spanningen en rekken
21
In de abscis staat de rek [-] en in de ordinaat staat de spanning [GPa (= 109 N/m2)].
Vooraleer de trekproef start, ondervindt het materiaal geen enkele spanning of vervorming
( = 0 en = 0). Als de trekkracht op het proefstuk opgevoerd wordt, tekent zich eerst een
zone af waar de spanning en rek proportioneel toenemen. In deze (beperkte) zone vertoont het
materiaal een lineair elastisch gedrag.
Het gedrag wordt elastisch genoemd, omdat in deze zone geen blijvende vervorming optreedt.
Wordt de belasting weggenomen, dan verdwijnt ook de vervorming en bevindt het materiaal
zich in zijn oorspronkelijke, onbelaste toestand. De - curve wordt dan in tegengestelde zin
doorlopen en de vervorming is dus omkeerbaar.
Het gedrag is bovendien lineair omdat spanning en vervorming evenredig toenemen, en de
evenredigheidsconstante noemt men de elasticiteitsmodulus E [N/m2]:
E (1.20)
Deze betrekking tussen spanning en rek is de wet van Hooke. De elasticiteitsmodulus E is dus
een materiaaleigenschap die de stijfheid van het materiaal weergeeft.
Eens de elasticiteitsgrens 0 wordt bereikt, gedraagt het materiaal zich niet langer lineair
elastisch. Inderdaad, de spanning neemt niet langer evenredig toe met de rek en er treedt ook
permanente vervorming op. Bij het ontlasten verdwijnt de elastische rek, maar een deel van de
totale rek blijft over als permanente rek. In deze zone gedraagt het materiaal zich plastisch.
Wanneer men de kracht blijft opvoeren, bereikt men uiteindelijk de treksterkte UTS (Eng:
Ultimate Tensile Strength). Toch treedt breuk pas op bij een nog grotere vervorming, maar bij
een lagere spanning. Hoe komt dit ? De spanning wordt gedefinieerd als de kracht F,
gedeeld door de oorspronkelijke oppervlakte A0. Eens de treksterkte UTS bereikt wordt,
begint het materiaal lokaal in te snoeren (Eng: necking), zodat de werkelijke oppervlakte A
verkleint. De werkelijke spanning F/A blijft dus toenemen, hoewel de spanning F/A0 afneemt.
Een voorbeeld van insnoering is duidelijk te zien in Figuur 1.21.
Figuur 1.21 Lokale insnoering van het stalen proefstuk bij breuk [5].
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 1: Krachten, momenten, spanningen en rekken
22
Deze insnoering in het plastisch gebied is met het blote oog waarneembaar, maar ook in het
elastisch gebied zal de diameter van de proefstaaf lichtjes afnemen, wanneer aan de staaf
getrokken wordt. De staaf wordt dus niet alleen langer, maar ook dunner. In het elastisch
gebied gebeurt deze vermindering van de dwarsafmetingen gelijkmatig over de volledige
lengte van de staaf, in tegenstelling tot de zeer lokale insnoering in het plastisch gebied. Deze
gelijkmatige vermindering van de dwarse afmetingen in het elastisch gebied noemt men de
dwarscontractie. Het blijkt uit experimentele metingen dat de relatieve vermindering d/d0
van de oorspronkelijke diameter d0 van de ronde proefstaaf een constante fractie is van de
relatieve lengteverandering L/L0 in het elastisch gebied:
000
0
L
L
d
dconstante
L/L
d/d
(1.21)
Het getal noemt men de dwarscontractiecoëfficiënt of de coëfficiënt van Poisson. Deze
coëfficiënt is dimensieloos en strikt positief. Het min-teken in de vergelijking (1.21) is nodig,
omdat een uitrekking van de staaf (L/L0 > 0) gepaard gaat met een vermindering van de
diameter (d/d0 < 0), terwijl een indrukking van de staaf gepaard gaat met een vermeerdering
van de diameter.
Dit verband is schematisch voorgesteld in Figuur 1.22.
Figuur 1.22 Verband tussen lengteverandering en verandering van dwarse afmetingen [2].
De maximale waarde van de coëfficiënt van Poisson is 0,5 omdat de proefstaaf anders zou
toenemen in volume als men hem indrukt. Dit volgt onmiddellijk uit de berekening van het
volume van de proefstaaf in belaste toestand. De nieuwe lengte L en diameter d zijn
respectievelijk:
ddd
LLL
0
0
(1.22)
Het volume van de belaste proefstaaf wordt dan:
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 1: Krachten, spanningen en rekken
23
)21(1V
)2()21(1V
1d4
1L
L
L1d
4L
L1L
d
d1d
4L
L1L
dd4
LL
d4
LV
0
2322
0
22
00
2
0
2
0
0
0
2
0
2
0
0
0
2
00
2
(1.23)
Als de proefstaaf wordt ingedrukt ( < 0), dan zou, indien groter zou zijn dan 0,5, het
volume van de proefstaaf V in druk groter zijn dan het oorspronkelijk volume V0. Dit is
fysisch niet mogelijk. Een eenvoudig voorbeeld is een alzijdige waterdruk op een lichaam.
Indien groter zou zijn dan 0,5, zou onder deze alzijdige waterdruk het volume van het
lichaam toenemen.
Voor metalen ligt de Poisson-coëfficiënt in de buurt van 1/3. Als vuistregel onthoudt men:
gesteenten, glas: = 1/4
metalen: = 1/3
rubbers: = 1/2
Hoewel het gebied waarin het materiaal zich lineair elastisch gedraagt, zeer klein is in het
totale spanning-rek diagramma, worden bijna alle constructies zodanig ontworpen dat ze in
de gebruikstoestand een lineair elastisch materiaalgedrag vertonen. In het lineair elastisch
gebied zijn de vervormingen immers klein én omkeerbaar, wat voor de meeste constructies
(bv. bruggen voor wegverkeer, stalen liggers in gebouwen, motoren,...) wel heel wenselijk is.
Het plastisch materiaalgedrag wordt wel vaak doelbewust aangewend tijdens het
productieproces (bv. walsen, draadtrekken), zodat een nieuwe, blijvende vervorming aan het
materiaal kan worden opgelegd.
In de volgende paragrafen worden de begrippen “spanning” en “rek” uitgebreid naar een meer
algemene definitie en wordt verder ingegaan op de wet van Hooke.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 1: Krachten, momenten, spanningen en rekken
24
1.3. SPANNINGEN
1.3.1. Definitie
In Figuur 1.23 is een object voorgesteld dat belast is met een stel uitwendige krachten F1 en
F2. Ter hoogte van de doorsnijding werken een kracht FR en een moment oRM (om het
zwaartepunt O). Beide kunnen berekend worden uit de evenwichtsvergelijkingen (1.10). Deze
twee belastingen FR en oRM stellen het resulterend effect voor van de feitelijke
krachtenverdeling over het oppervlak van de doorsnede.
Figuur 1.23 Evenwicht van een deel van het object [1].
Om de verdeling van deze inwendige snedekrachten over elk punt van de doorsnede te
beschrijven, kan men het oppervlak van de doorsnijding onderverdelen in kleine
oppervlakken A, waarop een eindige, maar toch heel kleine kracht F werkt, zoals afgebeeld
in Figuur 1.24(a). Daarbij wordt ondersteld dat de krachten F zo gekozen zijn, dat hun
resulterende kracht en moment om het zwaartepunt overeenkomen met de snedekrachten FR
en oRM .
Voor de verdere bespreking wordt de kracht F ontbonden in twee componenten: (i) de
component Fn normaal op het oppervlak, en (ii) de component Ft rakend aan het oppervlak
(tangentieel), zoals aangegeven in Figuur 1.24(b).
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 1: Krachten, spanningen en rekken
25
Figuur 1.24 Verdeling van het oppervlak [1].
Als het oppervlak A naar nul nadert, doen de kracht F en zijn componenten Fn en Ft dat
ook. Het quotiënt van de kracht en de oppervlakte zal echter in het algemeen naar een eindige
grens naderen. Dit quotiënt wordt de spanningsvector )n(
genoemd en zoals aangegeven,
beschrijft het de dichtheid van de inwendige kracht op een bepaald vlak door een punt:
A
Flim
0A
)n(
(1.24)
De superscript (n) vestigt de aandacht op het feit dat de definitie van de spanningsvector )n(
onlosmakelijk verbonden is met de keuze van het doorsnijdingsoppervlak in het beschouwde
punt en dus met haar normale ne
.
De dichtheid van kracht, of kracht per oppervlakte-eenheid, die loodrecht op A werkt, wordt
gedefinieerd als de normaalspanning . Wiskundig kan deze als volgt worden uitgedrukt:
A
Flim n
0A
(1.25)
Als de normaalkracht Fn aan het oppervlakte-element A “trekt”, dan is de normaalspanning
een trekspanning, terwijl als Fn op het oppervlakte-element A “drukt”, de
normaalspanning een drukspanning is.
Op analoge manier wordt de dichtheid van kracht die rakend aan A werkt, de
schuifspanning (tau) genoemd. Deze component wordt wiskundig op de volgende manier
geformuleerd:
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 1: Krachten, momenten, spanningen en rekken
26
A
Flim t
0A
(1.26)
Als men nu een rechtshandig cartesiaans assenstelsel (x,y,z) invoert, zoals aangegeven in
Figuur 1.25(a), kan men de normaalspanning en de schuifspanning gaan ontbinden
volgens de loodrecht op elkaar staande assen xe
,
ye
en z
e
, zoals aangegeven in Figuur
1.25(b).
Figuur 1.25 Invoering van een cartesiaans assenstelsel (x,y,z) [1].
In dit cartesiaans assenstelsel worden de normaal- en schuifspanningen aangeduid met een
subscript ij (i, j = x, y, z), waarbij de eerste index staat voor de richting van de
buitennormale van de beschouwde doorsnijding en de tweede index staat voor de
beschouwde richting van de spanning.
Voor het voorbeeld van Figuur 1.25(b) wordt de normaalspanning genoteerd als zz. De
buitennormale van de beschouwde doorsnijding is immers z
e
(eerste index) en de richting
van de normaalspanning is ook volgens z
e
(tweede index).
De beide schuifspanningscomponenten worden genoteerd als zx en zy. De beschouwde
doorsnijding heeft immers in beide gevallen als buitennormale z
e
(eerste index), terwijl de
ene schuifspanningscomponent volgens de xe
richting ligt en de andere volgens de y
e
richting.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 1: Krachten, spanningen en rekken
27
De spanningen zz, zx en zy hebben dus allen als eerste index z, omdat de buitennormale van
de gekozen doorsnijding volgens z
e
ligt. De spanningen zijn positief als ze respectievelijk
volgens de positieve assen z
e
, xe
en y
e
liggen.
Geheel analoog kan men nu een nieuwe doorsnijding maken volgens het x-z vlak, met
buitennormale volgens de positieve y
e
as. Gebruik makend van de evenwichtsvergelijkingen
(1.10), kunnen opnieuw de resulterende inwendige kracht en het resulterende inwendige
moment bepaald worden, en dus de inwendige kracht F op elk oppervlakje A van deze
nieuwe doorsnijding (zie Figuur 1.26(a)). De normaalspanning yy staat dan loodrecht op de
beschouwde doorsnijding, terwijl yx en yz de schuifspanningscomponenten zijn volgens de
respectieve assen xe
en z
e
(zie Figuur 1.26(b)). Opnieuw hebben de spanningen yy, yx en
yz allen als eerste index y, omdat de buitennormale van de gekozen doorsnijding volgens y
e
ligt.
Figuur 1.26 Doorsnijding volgens de positieve y
e
as [1].
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 1: Krachten, momenten, spanningen en rekken
28
Tenslotte kan men een doorsnijding maken volgens het y-z vlak, met buitennormale volgens
de positieve xe
as, zoals aangeduid in Figuur 1.27(a). De normaalspanning is dan xx en de
schuifspanningen xy en xz (Figuur 1.27(b)).
Figuur 1.27 Doorsnijding volgens de positieve x
e
as [1].
De hierboven beschreven doorsnijdingen waren zodanig gekozen dat de buitennormale ervan
telkens samenviel met de positieve zin van de coördinaatas xe
, y
e
of z
e
. Deze worden dan
ook positieve oppervlakken genoemd. In geval van een negatief oppervlak is de
buitennormale tegengesteld gericht aan de positieve zin van de coördinaatas xe
, y
e
of z
e
.
Dit wordt geïllustreerd door Figuur 1.28(a). In dat geval keren ook de tekenconventies voor
de spanningen om. Een spanning op een negatief oppervlak heeft een positief teken als zij
tegengesteld gericht is aan de positieve zin van de coördinaatas xe
, y
e
of z
e
. Dit wordt
geïllustreerd in Figuur 1.28(b).
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 1: Krachten, spanningen en rekken
29
Figuur 1.28 Positieve en negatieve oppervlakken en bijhorende tekenconventies [7].
Samenvattend kan men een infinitesimaal klein kubisch volume-element uitsnijden dat de
spanningen in het gekozen punt van het lichaam voorstelt. Figuur 1.29 stelt deze
spanningstoestand voor, waarbij alle spanningen getekend zijn met een positief teken.
Figuur 1.29 Volledige spanningstoestand in een punt [7].
De spanningstoestand wordt vaak geschreven in matrixvorm:
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 1: Krachten, momenten, spanningen en rekken
30
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
][ (1.27)
De normaalspanningen xx, yy en zz bevinden zich op de hoofddiagonaal van de matrix. De
drie rijen stellen de normaal- en schuifspanningen voor op een doorsnede met buitennormale
volgens de positieve zin van de respectieve coördinaatassen xe
, y
e
en z
e
.
Voorbeeld 1.4
De houten steun in onderstaande figuur hangt aan een stalen staaf van 10 mm diameter, die
aan de muur is bevestigd. De steun draagt een verticale belasting van 5 kN. Bereken de
gemiddelde schuifspanning in de staaf bij de muur en langs de twee gearceerde vlakken van
de steun, waarvan er één met abcd is gemarkeerd.
1.3.2. Verband tussen spanningsvector )n(
en spanningsmatrix []
Zoals reeds hoger vermeld, is de spanningsvector )n(
altijd gedefinieerd in relatie tot de
keuze van het doorsnijdingsoppervlak en haar positieve buitennormale ne
. Definieer nu
(nx, ny, nz) als de richtingscosinussen van de normale ne
, zodat geldt:
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 1: Krachten, spanningen en rekken
31
)z,y,xi(een ini
(1.28)
Om het verband aan te tonen tussen de spanningsvector )n(
en de spanningsmatrix [] in een
bepaald punt P(x,y,z), beschouwt men rond dit punt P een infinitesimaal kleine tetraëder,
zoals afgebeeld in Figuur 1.30. Drie vlakken van de tetraëder zijn evenwijdig met de
respectieve coördinaatvlakken x-y, x-z en y-z en hebben respectieve oppervlakken dSxy, dSxz
en dSyz. De drie ribben van de tetraëder, evenwijdig met de coördinaatassen xe
,
ye
en z
e
,
hebben respectieve lengtes dx, dy en dz. Het vierde vlak van de tetraëder heeft een
oppervlakte dS en een positieve buitennormale ne
met richtingscosinussen (nx, ny, nz). Op dit
vierde vlak werkt de spanningsvector )n(
.
ne
yy
xx
zz
yx
yz zxzy
xy
xzP
dx
dy
dzx
y
z
)n(
Figuur 1.30 Infinitesimaal kleine tetraëder in het beschouwde punt P.
Vermits deze infinitesimaal kleine tetraëder in het beschouwde punt P in evenwicht moet zijn,
moet het krachtenevenwicht gelden in de drie richtingen xe
, y
e
en z
e
[8]. Schrijft men
bijvoorbeeld het krachtenevenwicht voor de richting xe
, dan geldt:
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 1: Krachten, momenten, spanningen en rekken
32
)n(
xzzxyyxxxx
)n(
xzzxyyxxxx
)n(
xxyzxxzyxyzxx
nnn
dSndSndSndS
dSdSdSdS
(1.29)
Als men ook het krachtenevenwicht uitschrijft in de richtingen y
e
en z
e
, bekomt men
tenslotte de volgende betrekkingen tussen de spanningsvector )n(
en de spanningsmatrix []:
)n(
zzzzyyzxxz
)n(
yzzyyyyxxy
)n(
xzzxyyxxxx
nnn
nnn
nnn
(1.30)
De formules zijn gemakkelijker te onthouden in verkorte notatie:
)z,y,xj,i(n )n(
jiij (1.31)
Deze vergelijkingen gelden voor elk punt van het beschouwde lichaam en voor elke richting
van ne
, zowel in de inwendige punten als in de punten gelegen aan het oppervlak van het
lichaam.
Toegepast in een inwendig punt tonen deze vergelijkingen aan dat het volstaat de negen
componenten van de spanningsmatrix te kennen, om de spanningsvector op om het even welk
vlakje in dit punt te kunnen berekenen. De spanningsmatrix [] bepaalt dus volledig de
spanningstoestand in een punt.
Toegepast in een punt aan het buitenoppervlak met buitennormale ne
, is )n(
de uitwendige
kracht per eenheid van oppervlakte, uitgeoefend in dit punt op dit buitenoppervlak. In veel
gevallen is dit een gegeven grootheid (bv. de luchtdruk).
1.3.3. Vergelijkingen van het evenwicht
Beschouwt men opnieuw de infinitesimaal kleine kubus met lengte van de zijden dx, dy en
dz. Als het volledige lichaam in evenwicht is, dan moet ook dit kleine element in evenwicht
zijn. Figuur 1.31 toont een algemene spanningstoestand op het element.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 1: Krachten, spanningen en rekken
33
Figuur 1.31 Statisch evenwicht van een infinitesimaal klein volume-element onder een algemene
spanningstoestand [6].
Op het element werken volgende spanningen en krachten:
de lichaamskrachten per eenheid van volume Fx, Fy en Fz
op het oppervlak met buitennormale - xe
:
xzxyxx ,, (1.32)
op het oppervlak met buitennormale + xe
:
dx
x,dx
x,dx
x
xzxz
xy
xyxx
xx (1.33)
op het oppervlak met buitennormale -y
e
:
yzyxyy ,, (1.34)
op het oppervlak met buitennormale +y
e
:
dy
y,dy
y,dy
y
yz
yz
yx
yx
yy
yy (1.35)
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 1: Krachten, momenten, spanningen en rekken
34
op het oppervlak met buitennormale -z
e
:
zyzxzz ,, (1.36)
op het oppervlak met buitennormale +z
e
:
dz
z,dz
z,dz
z
zy
zyzx
zxzz
zz (1.37)
Overeenkomstig (1.10) wordt het krachten- en momentenevenwicht uitgedrukt volgens de
drie coördinaatassen.
Beschouwt men eerst het krachtenevenwicht in de x-richting :
0dxdydzFdxdydxdydzz
dxdzdxdzdyy
dydzdydzdxx
xzxzx
zx
yx
yx
yxxxxx
xx
(1.38)
Vereenvoudigd wordt dit:
0Fzyx
xzxyxxx
(1.39)
Volledig analoog, door het evenwicht uit te drukken in de y-richting, komt men tot:
0Fzyx
y
zyyyxy
(1.40)
En tenslotte voor de z-richting:
0Fzyx
zzzyzxz
(1.41)
De vergelijkingen (1.39), (1.40) en (1.41) vormen samen de vergelijkingen van het
evenwicht.
Drukt men nu het momentenevenwicht uit rond de x-, y- en z-as.
Voor het resulterend moment om de z-as geldt:
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 1: Krachten, spanningen en rekken
35
02
dx)dxdy(dz
z2
dy)dxdy(dz
z
dx)dydz(dxx2
dx)dxdz(dy
y
dy)dxdz(dyy2
dy)dydz(dx
x
zy
zy
zyzxzx
zx
xy
xyyy
yy
yy
yx
yxxxxx
xx
(1.42)
Als men deze uitdrukking vereenvoudigt en tweede-orde termen verwaarloost, komt men tot
de eenvoudige uitdrukking:
yxxy (1.43)
Volledig analoog vindt men voor het resulterend moment om de y-as:
zxxz (1.44)
En voor het resulterend moment om de x-as:
zyyz (1.45)
De vergelijkingen (1.43), (1.44) en (1.45) vormen samen de wet van de wederkerigheid der
schuifspanningen. Dit wil zeggen dat de spanningsmatrix [] (zie vgl. (1.27)) symmetrisch is
en dus slechts zes onafhankelijke elementen telt: 3 normaalspanningen en 3 schuifspanningen.
zzyzxz
yzyyxy
xzxyxx
][ (1.46)
Een notatie die men ook vaak terugvindt in de internationale literatuur, is de volgende:
zzyzxz
yzyyxy
xzxyxx
][ (1.47)
1.3.4. Transformatie van coördinaten en hoofdrichtingen
De spanningsmatrix in het beschouwde punt wordt bepaald t.o.v. een gekozen cartesiaans
assenstelsel (x,y,z). Als men een ander assenstelsel (x’,y’,z’) kiest, dan transformeert de
spanningsmatrix volgens de volgende wet:
T]a[][]a[]'[ (1.48)
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 1: Krachten, momenten, spanningen en rekken
36
Hierbij is [] de spanningsmatrix in het oorspronkelijk assenstelsel (x,y,z), [’] de
spanningsmatrix in het nieuwe assenstelsel (x’,y’,z’) en [a] is de transformatiematrix tussen
beide assenstelsels. Hierbij geldt voor het element ark op rij r en kolom k:
z,y,xk,rmete'eakrrk
(1.49)
Elk element ark is dus de richtingscoëfficiënt van de nieuwe as 'e r
t.o.v. de oude as k
e
.
Het begrip “spanning” hangt dus niet af van de keuze van het assenstelsel. Uiteraard zullen de
componenten van de spanningsmatrix een andere waarde hebben bij keuze van een nieuw
assenstelsel, maar de fysische voorstelling van de spanning blijft dezelfde en bij de overgang
van het ene assenstelsel naar het andere, gelden de vaste transformatieregels (1.48) en (1.49)
voor de spanningsmatrix. Een matrix met deze bijzondere eigenschap noemt men een tensor.
Naargelang de complexiteit van deze transformatieregels krijgt de tensor een bepaalde orde,
in dit geval orde twee. Vandaar wordt [] voortaan altijd aangeduid als de spanningstensor
i.p.v. de spanningsmatrix.
Nu is het bekend uit de algebra dat elke matrix door een transformatie van de vorm (1.48) kan
omgezet worden in een diagonale matrix (met alle niet-diagonaalelementen nul). In dit geval
betekent dit dat er drie onderling orthogonale richtingen kunnen gevonden worden, waarin de
spanningstensor zich herleidt tot een diagonale matrix:
'00
0'0
00'
]'[
zz
yy
xx
(1.50)
De aldus bekomen diagonaalelementen noemt men de eigenwaarden van [], en de rijen van
de transformatiematrix [a] noemt men dan de eigenvectoren van []. Dit betekent hier dat er
voor elke spanningstoestand [] één (of tenminste één) assenstelsel (x’,y’,z’) kan gevonden
worden waarin de zes schuifspanningen nul zijn en dus alleen normaalspanningen bestaan.
Deze normaalspanningen, die de eigenwaarden van [] zijn, noemt men de hoofdspanningen
(Eng: principal stresses). De drie richtingen van de assen 'e x
, 'e y
en 'e z
, waarvan de
richtingscoëfficiënten eigenvectoren van [] zijn, noemt men de hoofdrichtingen.
Steunend op de cursus algebra vindt men de oplossing van dit eigenwaardenprobleem voor
een 3 x 3 matrix als volgt: de eigenwaarden zijn de oplossingen van de seculaire vergelijking:
0
s
s
s
zzyzxz
yzyyxy
xzxyxx
(1.51)
Als men deze determinant uitwerkt, vindt men volgende derde-graadsvergelijking:
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 1: Krachten, spanningen en rekken
37
)2(
)(s
)(s
s0
yzxzxy
2
xyzz
2
xzyy
2
yzxxzzyyxx
2
yz
2
xz
2
xyzzyyzzxxyyxx
zzyyxx
2
3
(1.52)
Het is bekend dat, als [] symmetrisch is, deze vergelijking drie reële wortels heeft.
Bovendien veranderen deze eigenwaarden niet door een lineaire transformatie zoals (1.48),
zodat de coëfficiënten van de seculaire vergelijking (1.52) niet kunnen afhangen van het
gekozen referentiestelsel (x,y,z). De coëfficiënten van s2, s1 en s0 zijn dan ook invarianten met
betrekking tot de keuze van het assenstelsel:
][ t vandeterminan
2
][ vanenhoofdminor de vansom
][ vanomdiagonaals
yzxzxy
2
xyzz
2
xzyy
2
yzxxzzyyxx3
2
yz
2
xz
2
xyzzyyzzxxyyxx2
zzyyxx1
(1.53)
De drie wortels van de vergelijking (1.52) noteert men I, II en III, waarbij I > II > III.
Met aanname van deze conventie kan men aantonen dat I de grootste en III de kleinste
normaalspanning zijn van alle normaalspanningen in het beschouwde punt [9].
De drie bijhorende eigenvectoren zijn de oplossingen van het lineair homogeen stelsel:
III,II,Ii
0
0
0
a
a
a
3i
2i
1i
izzyzxz
yziyyxy
xzxyixx
(1.54)
Elk van de drie eigenvectoren wordt genormeerd, zodat voor elke eigenvector geldt:
III,II,Ii1aaa2
3i
2
2i
2
1i (1.55)
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 1: Krachten, momenten, spanningen en rekken
38
1.3.5. Kromlijnige coördinaten
Een behandeling van de spanningstensor in willekeurige coördinaten valt buiten het bestek
van deze cursus. De bespreking wordt hier beperkt tot de twee belangrijkste gevallen voor de
praktijk: (i) de cilindercoördinaten, en (ii) de bolcoördinaten.
1.3.5.a. Cilindercoördinaten
Aangezien de cilindercoördinaten orthogonaal zijn, vormen re
,
e en z
e
een rechtshandig
referentiestelsel, waarin men de spanningstensor als volgt definieert:
zzzrz
zr
rzrrr
][ (1.56)
Een schematische voorstelling van de spanningen is getoond in Figuur 1.32.
Figuur 1.32 Cilindercoördinaten [9].
De symmetrie van de spanningstensor blijft behouden, maar de partiële differentiaal-
vergelijkingen voor het evenwicht kan men niet zomaar overnemen. Men kan aantonen dat
deze vergelijkingen in cilindercoördinaten de volgende gedaante aannemen:
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 1: Krachten, spanningen en rekken
39
0Fzr
1
rr
0Fzr
1
r
2
r
0Fzr
1
rr
zzzzrzrz
zrr
rrzrrrrr
(1.57)
1.3.5.b. Bolcoördinaten
De bolcoördinaten r, en zijn eveneens orthogonaal en het stelsel van eenheidsvectoren re
,
e en
e is rechtshandig. De eenheidsvectoren zijn voorgesteld in Figuur 1.33.
Figuur 1.33 Bolcoördinaten [9].
De spanningstensor wordt dan geschreven als:
r
r
rrrr
][ (1.58)
Een schematische voorstelling van de spanningen is getoond in Figuur 1.34.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 1: Krachten, momenten, spanningen en rekken
40
Figuur 1.34 Spanningstensor in bolcoördinaten [8].
Men kan aantonen dat de vergelijkingen van het evenwicht volgende vorm aannemen:
0Fcotan23r
1
sinr
1
r
1
r
0Fcotancotan3r
1
sinr
1
r
1
r
0Fcotan2r
1
sinr
1
r
1
r
r
r
rr
rrrrrrr
(1.59)
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 1: Krachten, spanningen en rekken
41
1.4. REKKEN
In paragraaf 1.2 werd het voorbeeld van de trekproef op een stalen proefstaaf gebruikt om aan
te tonen dat spanning en vervorming onlosmakelijk met elkaar verbonden zijn. Voor dit geval
van eenvoudige geometrie en belasting werd de rek gedefinieerd als de verhouding van de
verlenging L tot de oorspronkelijke lengte L0 van de staaf (zie vgl. (1.19)). De rek wordt dus
gedefinieerd in relatie met de onvervormde en vervormde geometrie van het object.
Op dezelfde wijze als voor de spanning, wordt nu het concept van rek uitgebreid tot het
algemeen geval van een vervormbaar lichaam.
1.4.1. Eendimensionale lengteverandering
Voor de eenvoud wordt eerst een eendimensionaal geval beschouwd. Figuur 1.35 toont een
eendimensionale staaf, die aan de linkerzijde is ingeklemd en aan de rechterzijde wordt
uitgerokken.
Figuur 1.35 Definitie van de eendimensionale rek [6].
Twee punten A en B, op een infinitesimale afstand dx van elkaar, zullen bij vervorming de
nieuwe posities A’ en B’ aannemen. Meer algemeen zal de verplaatsing u(x) van elk deeltje
van deze staaf een functie zijn van zijn positie x, waarbij x gemeten wordt vanaf de
ingeklemde zijde waar de verplaatsing nul is. De verplaatsing van het punt B t.o.v. deze van
het punt A kan men definiëren m.b.v. een Taylor-reeks:
...)dx(dx
ud
!3
1)dx(
dx
ud
!2
1dx
dx
duuu 3
A
3
32
A
2
2
A
AB
(1.60)
Voor kleine vervormingen kan men de hogere-orde termen in dx verwaarlozen, zodat:
dxdx
duuu
A
AB
(1.61)
De nieuwe afstand A’B’ na vervorming wordt dus:
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 1: Krachten, momenten, spanningen en rekken
42
AA
ABdx
du1dxdx
dx
dudxuudx'B'A (1.62)
Past men opnieuw de definitie (1.19) van de rek toe, rekening houdend met (1.62), dan
bekomt men:
A
A
xxdx
du
dx
dxdx
du1dx
AB
AB'B'A
(1.63)
1.4.2. Veralgemeende vervormingstoestand
De bovenstaande redenering is eenvoudig uit te breiden naar twee- en driedimensionale
vervormingstoestanden. Wel valt op te merken dat bij een algemene vervormingstoestand niet
alleen lengteveranderingen optreden, maar ook hoekveranderingen. Beschouwt men nu een
punt A(x,y,z) en vanuit A een infinitesimaal kubuselement met zijden dx, dy en dz. In Figuur
1.36 is voor de eenvoud enkel het x-y vlak getekend.
Figuur 1.36 Tweedimensionale vervormingstoestand [6].
In overeenstemming met (1.63) wordt de lengteverandering xx opnieuw gedefinieerd als:
A
AABxx
x
u
dx
dxx
u1dx
AB
ABuuAB
(1.64)
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 1: Krachten, spanningen en rekken
43
Analoog wordt de lengteverandering yy gedefinieerd als:
A
AACyy
y
v
dy
dyy
v1dy
AC
ACvvAC
(1.65)
De hoekverandering xy wordt als volgt berekend:
y
u
x
v
dy
uuarctan
dx
vvarctan
22
'C'A'BBAC
ACAB
xy
(1.66)
Past men dezelfde afleidingen toe voor het x-z en het y-z vlak, dan komt men tenslotte tot de
volgende zes vergelijkingen voor het verband tussen rek en verplaatsing:
z
v
y
w
z
u
x
w
y
u
x
v
z
w
y
v
x
u
yz
xz
xy
zz
yy
xx
(1.67)
De hoekveranderingen xy, xz en yz worden ook wel de glijdingen genoemd.
1.4.3. Transformatie van coördinaten en hoofdrichtingen
Geheel analoog met paragraaf 1.3.4, kan men opnieuw de transformatieregels opstellen voor
de rekmatrix []. Opdat de rekmatrix [] eveneens een tensor van tweede orde zou zijn en zou
voldoen aan de transformatieregels:
krrk
T e'eamet]a[][]a[]'[
(1.68)
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 1: Krachten, momenten, spanningen en rekken
44
moet men echter de glijdingen xy, xz en yz vervangen door xy2
1 , xz
2
1 en yz
2
1 , zodat de
rektensor [] er als volgt uitziet:
zzyzxz
yzyyxy
xzxyxx
2
1
2
12
1
2
12
1
2
1
][ (1.69)
De oorzaak van deze factor 1/2 volgt uit het feit dat de afgeleiden u/y, v/x, etc. effecten
bevatten van starre rotatie, waarmee geen vervorming gepaard gaat [10]. Historisch werd de
elasticiteitstheorie ontwikkeld op basis van eenvoudige relaties tussen spanning en
vervorming en pas later werd de tensortheorie ingevoerd.
Deze rektensor (1.69) wordt ook vaak genoteerd als:
zzyzxz
yzyyxy
xzxyxx
][ (1.70)
waarbij:
yzyz
xzxz
xyxy
2
2
2
(1.71)
In analogie met paragraaf 1.3.4 bestaat er voor de rektensor [] één (of tenminste één)
assenstelsel (x’,y’,z’) waarin alle glijdingen nul zijn. Dit betekent dat de rechte hoeken tussen
deze drie richtingen na vervorming onveranderd blijven. De relatieve verlengingen in deze
drie richtingen, die de eigenwaarden van de matrix [] zijn, noemt men de hoofdrekken. Men
noteert ze I, II en III, waarbij I > II > III. Men kan ze, geheel analoog aan (1.52),
berekenen uit de seculaire vergelijking:
)2(
)(s
)(s
s0
yzxzxy
2
xyzz
2
xzyy
2
yzxxzzyyxx
2
yz
2
xz
2
xyzzyyzzxxyyxx
zzyyxx
2
3
(1.72)
Ook zijn er opnieuw drie invarianten:
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 1: Krachten, spanningen en rekken
45
][ t vandeterminan
2I
][ vanenhoofdminor de vansom
I
][ vanomdiagonaals
I
yzxzxy
2
xyzz
2
xzyy
2
yzxxzzyyxx3
2
yz
2
xz
2
xyzzyyzzxxyyxx2
zzyyxx1
(1.73)
1.4.4. Compatibiliteitsvoorwaarden
De relaties tussen rek en verplaatsing bevatten drie verplaatsingsfuncties u(x,y,z), v(x,y,z) en
w(x,y,z). Als deze functies gekend zijn, kunnen de zes onafhankelijke rekcomponenten
daaruit afgeleid worden, zoals in (1.67) is aangegeven.
In sommige gevallen heeft men echter informatie over de rekken en moet men de
verplaatsingsfuncties bepalen door integratie van de vergelijkingen in (1.67). In dat geval
heeft men zes vergelijkingen voor het bepalen van drie onbekende verplaatsingsfuncties. Het
is duidelijk dat een willekeurige set van rekken geen unieke waarde voor de onbekenden u, v
en w zal opleveren. Er zijn dus compatibiliteitsvoorwaarden nodig waaraan de rekken moeten
voldoen, opdat ze een uniek verplaatsingsveld (u,v,w) zouden opleveren. Figuur 1.37
illustreert een aantal onmogelijke vervormingstoestanden ten gevolge van een stel opgelegde
rekken dat niet aan de compatibiliteitsvoorwaarden voldoet.
Figuur 1.37 Illustratie van de noodzaak van compatibiliteitsvoorwaarden: (a) geen volledige aansluiting van
het materiaal, (b) overlappend materiaal na vervorming, (c) volledig discontinu materiaal.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 1: Krachten, momenten, spanningen en rekken
46
Deze compatibiliteitsvoorwaarden worden afgeleid uit (1.67), maar deze afleiding valt buiten
het bestek van deze cursus. Voor de volledigheid zijn de compatibiliteitsvoorwaarden
hieronder weergegeven:
2
zz
2
2
yy
2
yz
2
2
xx
2
2
zz
2
xz
2
2
yy
2
2
xx
2xy
2
xyxzyzzz
2
xzyzxyyy
2
yzxyxzxx
2
yz2
1
zy
zx2
1
zx
xy2
1
yx
zyxzyx
yxzyzx
xzyxzy
(1.74)
Deze vergelijkingen zijn niet eenvoudig en worden in de praktijk zelden gebruikt. Men zal:
ofwel de verplaatsingsfuncties u(x,y,z), v(x,y,z) en w(x,y,z) als onbekenden nemen en de
rekken daaruit afleiden. Dan is uiteraard aan de compatibiliteitsvoorwaarden voldaan,
ofwel de aansluitingsvoorwaarden op een andere wijze uitdrukken (bv. met behulp van
energiemethodes).
1.4.5. Kromlijnige coördinaten
Een behandeling van de rektensor in willekeurige coördinaten valt buiten het bestek van deze
cursus. De bespreking wordt hier beperkt tot het belangrijkste gevallen voor de praktijk: (i) de
cilindercoördinaten, en (ii) de bolcoördinaten.
1.4.5.a. Cilindercoördinaten
Aangezien de cilindercoördinaten orthogonaal zijn, vormen re
,
e en z
e
een rechtshandig
referentiestelsel, waarin men de rektensor als volgt definieert:
z
uu
r
1
z
u
2
1
r
u
z
u
2
1
u
r
1
z
u
2
1u
r
1
r
u
r
u
r
uu
r
1
2
1
r
u
z
u
2
1
r
u
r
uu
r
1
2
1
r
u
22
22
22
][
zzzr
zrr
zrrr
zzzrz
zr
rzrrr
(1.75)
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 1: Krachten, spanningen en rekken
47
1.4.5.b. Bolcoördinaten
De bolcoördinaten r, en zijn eveneens orthogonaal en het stelsel van eenheidsvectoren re
,
e en
e is rechtshandig. De rektensor wordt dan geschreven als:
cotanr
u
r
uu
sinr
1cotan
r
uu
r
1u
sinr
1
2
1
r
u
r
uu
sinr
1
2
1
cotanr
uu
r
1u
sinr
1
2
1u
r
1
r
u
r
u
r
uu
r
1
2
1
r
u
r
uu
sinr
1
2
1
r
u
r
uu
r
1
2
1
r
u
22
22
22
][
rr
rr
rrr
r
r
rrrr
(1.76)
1.4.6. Eindige vervormingen en rekken
In de bovenstaande afleidingen werd telkens verondersteld dat de vervormingen zeer klein
zijn, zowel wat de lengteveranderingen betreft (zie vgl. (1.60)) als wat de hoekveranderingen
betreft (zie vgl. (1.66)). In de meeste gevallen die in de praktijk van de bouwkunde en de
werktuigkunde voorkomen, is dat ook zo. De afgeleiden zijn meestal in de grootte-orde van
10-3, zodat de tweede-orde termen reeds van de orde 10-6 zijn en zonder noemenswaardige
fout mogen verwaarloosd worden.
Er zijn echter toepassingen, zoals het elastisch gedrag van rubber, de doorbuiging van dunne
platen en schalen of het uitknikken van slanke kolommen, waar de vervormingen veel groter
zijn. In dat geval is het niet toegelaten de tweede-orde termen te verwaarlozen en rekent men
met de eindige rekken (ook rekken van Green genoemd):
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 1: Krachten, momenten, spanningen en rekken
48
z
w
y
w
z
v
y
v
z
u
y
u
z
v
y
w
z
w
x
w
z
v
x
v
z
u
x
u
z
u
x
w
y
w
x
w
y
v
x
v
y
u
x
u
y
u
x
v
z
w
z
v
z
u
2
1
z
w
y
w
y
v
y
u
2
1
y
v
x
w
x
v
x
u
2
1
x
u
yz
xz
xy
222
zz
222
yy
222
xx
(1.77)
Voor het vervolg worden echter altijd de infinitesimale rekken (1.67) gebruikt.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 1: Krachten, spanningen en rekken
49
1.5. LINEAIR ELASTISCH MATERIAALGEDRAG
In de voorgaande paragrafen werden de begrippen spanning en rek gedefinieerd,
onafhankelijk van elkaar en zonder enige veronderstelling over de aard van het materiaal. Dit
betekent dat de definities van spanning en rek geldig zijn voor elk materiaal met om het
even welke geometrie en onder elke vorm van belasting.
Zoals reeds aangegeven m.b.v. de trekproef in paragraaf 1.2, bestaat er echter wel degelijk een
verband tussen de belasting waaraan een materiaal onderworpen wordt en de teweeggebrachte
vervorming. Maar dit verband tussen spanning en rek hangt wél af van het soort materiaal en
de belastingscondities. Men noemt dit verband tussen spanning en rek vaak de constitutieve
wet van het materiaal.
In deze paragraaf wordt ingegaan op het verband tussen spanning en rek in het lineair
elastisch gebied. Zoals reeds vermeld in paragraaf 1.2, is dit het gebied waar spanning en rek
recht evenredig zijn en waar bij ontlasting geen permanente vervorming overblijft.
Om dit verband op te stellen, worden twee bijkomende veronderstellingen gemaakt:
het materiaal is isotroop, d.w.z. de materiaaleigenschappen in een bepaald punt zijn
dezelfde in alle richtingen,
het materiaal is homogeen, d.w.z. de materiaaleigenschappen, gemeten in een bepaald
punt, zijn dezelfde als deze, gemeten in een ander punt van het materiaal volgens dezelfde
richting.
Het is belangrijk te vermelden dat deze definities gelden op een voldoend grote schaal. Figuur
1.38 toont een microscopische opname van zuiver roestvast staal. De kristalstructuur van het
staal en de korrelgrenzen zijn duidelijk zichtbaar. Op dit microscopisch niveau (kristallen van
0,1 mm) is het materiaal uiteraard niet homogeen en isotroop, maar deze schaal is
verwaarloosbaar klein t.o.v. de schaal waarop constructies, kolommen en balken uit staal
worden vervaardigd. De kristalgrootte in technische metalen varieert tussen 10 m en 1000
m [11].
Figuur 1.38 Lichtmicroscopische opname van zuiver roestvast staal type 302 (190 vergroting) [12].
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 1: Krachten, momenten, spanningen en rekken
50
Deze opmerking geldt ook voor de definitie van de spanning. Aangezien men staal beschouwt
als een isotroop en homogeen materiaal, wordt met “de spanning in het staal” dan ook de
gemiddelde spanning over een voldoend groot oppervlak bedoeld. Zoals aangegeven in
Figuur 1.39, kan de lokale spanning in de kristallen immers aanzienlijk afwijken van de
gemiddelde spanning.
Figuur 1.39 De spanning in een polykristallijn metaal varieert van kristal tot kristal [11].
1.5.1. Wet van Hooke
Beschouwt men nu zo’n homogeen en isotroop materiaal, belast met een constante spanning
xx, zoals aangeduid in Figuur 1.40(i).
Figuur 1.40 Rekken in een tweedimensionale spanningstoestand [13].
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 1: Krachten, spanningen en rekken
51
Zoals reeds aangegeven bij de bespreking van de trekproef in paragraaf 1.2 (zie vergelijking
(1.20)), is de bijhorende vervorming xx in de richting xe
evenredig met de aangelegde
spanning xx en bedraagt:
E
xxxx
(1.78)
De evenredigheidsconstante E is de elasticiteitsmodulus [N/m2] (of Young’s modulus).
Net zoals bij de stalen proefstaaf in de besproken trekproef (zie vergelijking (1.21)), stelt men
vast dat het materiaal tegelijk krimpt in de dwarse richtingen y
e
en z
e
. Wegens het isotroop
karakter van het materiaal is deze dwarscontractie bovendien dezelfde in de richtingen y
e
en
ze
. Het verband tussen deze dwarse rekken yy en zz en de aangelegde spanning xx is:
E
E
xxxxzz
xxxxyy
(1.79)
De constante is de coëfficiënt van Poisson en is dimensieloos [-].
Tenslotte stelt men vast dat de rechte hoek tussen de ribben behouden blijft, zodat alle
glijdingen nul zijn.
Beschouwt men nu het geval van Figuur 1.40(ii), waarbij een spanning yy wordt aangelegd,
dan treden de volgende vervormingen op:
E
E
E
yy
yyzz
yy
yyxx
yy
yy
(1.80)
Beschouwt men tenslotte het geval van een aangelegde spanning zz, dan zijn de bijhorende
vervormingen:
E
E
E
zzzzyy
zzzzxx
zzzz
(1.81)
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 1: Krachten, momenten, spanningen en rekken
52
Legt men de normaalspanningen xx, yy en zz simultaan aan, dan bekomt men door
superpositie de volgende vervormingen:
yyxxzzzz
zzxxyyyy
zzyyxxxx
E
1
E
1
E
1
(1.82)
Legt men tenslotte een schuifspanning xy aan, zoals weergegeven op Figuur 1.41, dan neemt
men geen lengteveranderingen waar, maar enkel een hoekverandering xy.
Figuur 1.41 Schuifspanning xy en bijhorende vervorming [13].
Het verband tussen de aangelegde schuifspanning xy en de bijhorende glijding xy is als volgt:
G
xy
xy
(1.83)
De evenredigheidsconstante G is de glijdingsmodulus [N/m2].
Voor de andere richtingen vindt men analoog:
G
G
yz
yz
xzxz
(1.84)
Voor een willekeurige spanningstoestand vindt men dan volgende betrekkingen tussen
spanning en rek:
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 1: Krachten, spanningen en rekken
53
G
G
G
E
1E
1E
1
yz
yz
xzxz
xy
xy
yyxxzzzz
zzxxyyyy
zzyyxxxx
(1.85)*
Deze betrekkingen vormen de wet van Hooke voor een homogeen en isotroop materiaal in het
lineair elastisch gebied. Voor numerieke bewerkingen worden de vergelijkingen vaak in
matrixvorm genoteerd:
yz
xz
xy
zz
yy
xx
yz
xz
xy
zz
yy
xx
G
100000
0G
10000
00G
1000
000E
1
EE
000EE
1
E
000EEE
1
(1.86)
Men kan narekenen dat de inverse relaties zijn:
* De formules, die met een kader errond zijn gemarkeerd, dient men van buiten te kennen. Deze afspraak geldt
voor de volledige cursus.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 1: Krachten, momenten, spanningen en rekken
54
yzyz
xzxz
xyxy
yyxxzzzz
zzxxyyyy
zzyyxxxx
G
G
G
)1()21)(1(
E
)1()21)(1(
E
)1()21)(1(
E
(1.87)
Het is zeer belangrijk te vermelden dat in geval van lineair elastisch materiaalgedrag de
hoofdrichtingen voor spanning en rek samenvallen. Dit volgt direct uit de wet van Hooke:
als de schuifspanningen allemaal nul zijn (hoofdrichtingen van de spanningen), dan zijn ook
de glijdingen allemaal nul (hoofdrichtingen van de rekken).
Voorbeeld 1.5
Een koperen staaf ondervindt een constante druk langs de randen, zoals aangegeven in
onderstaande figuur. Als de staaf een lengte a = 300 mm, breedte b = 50 mm en dikte t = 20
mm heeft vóórdat de belasting wordt aangebracht, bepaal dan de nieuwe lengte, breedte en
dikte bij belasting. Neem Ecu = 120 GPa en cu = 0,34.
1.5.2. Bijzondere belastingsgevallen
In deze paragraaf worden kort een aantal bijzondere belastingsgevallen besproken, waarbij de
spanningstensor een zeer eenvoudige gedaante aanneemt. De voor de praktijk interessante
belastingsgevallen zijn: (i) zuivere trek, (ii) zuivere afschuiving, (iii) hydrostatische belasting
en (iv) torsie of wringing.
1.5.2.a. Zuivere trek
Het geval van zuivere trek werd in feite reeds besproken in paragraaf 1.2. In Figuur 1.42
wordt een schematische voorstelling gegeven van zuivere trek.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 1: Krachten, spanningen en rekken
55
Figuur 1.42 Staaf belast op zuivere trek [1].
In de spanningstensor is slechts één spanningscomponent verschillend van nul, namelijk xx
(als de x-as volgens de trekrichting wordt gekozen):
000
000
00
][
xx
(1.88)
Het is belangrijk te onthouden dat, hoewel er enkel een spanningscomponent xx wordt
aangelegd, er vervormingen zijn in de drie richtingen: xx, yy en zz.
1.5.2.b. Zuivere afschuiving
In geval van zuivere afschuiving zijn alle normaalspanningen nul en treedt er slechts één
schuifspanningscomponent op. Een typisch voorbeeld is de afschuifkracht in de steel van een
boutverbinding tussen twee platen, zoals geïllustreerd door Figuur 1.43.
Figuur 1.43 Zuivere afschuiving in een dwarsdoorsnede van de bout [1].
Als men de x-as kiest in de richting van de trekkracht op de platen en de z-as volgens de
hoogte van de bout, dan wordt de spanningstensor:
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 1: Krachten, momenten, spanningen en rekken
56
00
000
00
][
xz
xz
(1.89)
1.5.2.c. Hydrostatische belasting
Het is bekend dat de hydrostatische waterdruk een alzijdige druk is die in het beschouwde
punt dezelfde waarde heeft in alle richtingen. Figuur 1.44 stelt de bijhorende
spanningstoestand op een infinitesimaal klein volume-element voor.
Figuur 1.44 Alzijdige hydrostatische druk op een infinitesimaal klein volume-element [1].
De bijhorende spanningstensor is:
p00
0p0
00p
00
00
00
][
zz
yy
xx
(1.90)
waarbij p de waterdruk is. Aangezien de waterdruk een drukkracht is, zijn de
spanningscomponenten xx, yy en zz strikt negatief.
1.5.2.d. Torsie of wringing
Torsie of wringing is een vaak voorkomend probleem in de werktuigkunde, waar assen van
motoren en turbines belast worden met een wringmoment. Bij wringing worden de
opeenvolgende dwarsdoorsnedes t.o.v. elkaar verdraaid. Er treden geen lengteveranderingen
op, enkel hoekverdraaiingen. Elke dwarsdoorsnede wordt dus belast met zuivere
schuifspanningen. Figuur 1.45 toont een schematische voorstelling van de spanningstoestand.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 1: Krachten, spanningen en rekken
57
Figuur 1.45 Wringing van een cirkelvormige as en aanduiding van de spanningstoestand [13].
Als men de x-as kiest volgens de langsrichting van de staaf, is de spanningstensor in elke
dwarsdoorsnede van de staaf:
00
00
0
][
xz
xy
xzxy
(1.91)
De spanningstoestand in elke dwarsdoorsnede van de as kan men ook noteren in polaire
coördinaten. De enige bestaande spanning is dan de schuifspanning z:
00
00
000
][
z
z (1.92)
1.5.3. Relaties tussen de elastische constanten
1.5.3.a. Verband tussen E, en G
In de wet van Hooke komen drie elastische constanten voor: (i) de elasticiteitsmodulus of
Young’s modulus E, (ii) de Poisson-coëfficiënt , en (iii) de glijdingsmodulus G. Deze drie
constanten zijn verschillend voor elk materiaal en worden bepaald uit experimentele proeven.
Van deze drie elasticiteitsconstanten E, en G zijn er echter slechts twee onafhankelijk. De
derde kan altijd berekend worden uit de betrekking:
)1(2
EG
(1.93)
Een manier om dit verband af te leiden, is een element van het materiaal te beschouwen dat
wordt belast op zuivere afschuiving xy (alle andere spanningscomponenten gelijk aan nul),
zoals afgebeeld in Figuur 1.46.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 1: Krachten, momenten, spanningen en rekken
58
Figuur 1.46 Element belast op zuivere afschuiving [1].
Als men de vergelijking (1.52) toepast om de hoofdspanningen te verkrijgen, vindt men dat
I = +xy, II = 0 en III = -xy. De drie onderling loodrechte hoofdrichtingen vindt men door
toepassing van vergelijking (1.54). De bijhorende (genormeerde) eigenvectoren, die samen de
drie onderling loodrechte hoofdrichtingen vormen, zijn respectievelijk:
0
2
2
2
2
en
1
0
0
,
0
2
2
2
2
(1.94)
Deze hoofdspanningen en hun richting en zin zijn afgebeeld in Figuur 1.47. Het is belangrijk
te vermelden dat de spanningstoestand nog steeds wordt beschouwd in hetzelfde punt. Alleen
werd in dat punt een bijzonder stel vlakjes geselecteerd waarop enkel de hoofdspanningen
I = +xy en III = -xy werken en alle schuifspanningen nul zijn.
Figuur 1.47 Hoofdspanningen en hoofdrichtingen van het element belast op zuivere afschuiving [1].
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 1: Krachten, spanningen en rekken
59
De bijhorende hoofdrek I is volgens (1.85):
xyxyxyIIIIIIIE
1
E
1
E
1
(1.95)
Anderzijds kan de hoofdrek I berekend worden door de rotatie van de rektensor [] over 45
m.b.v. de vergelijking (1.68):
000
02
0
002
000
0cossin2cos2
02cos2
cossin
100
0cossin
0sincos
000
002
02
0
100
0cossin
0sincos
00
00
00
xy
xy
45
xy
xy
xy
xy
xy
xy
III
II
I
(1.96)
Uit de gelijkstelling van (1.95) en (1.96) voor de hoofdrek I volgt:
)1(2
EG
G22E
1 xyxy
xyI
(1.97)
1.5.3.b. Volumeverandering en compressiemodulus
Een andere betrekking die men uit de wet van Hooke kan afleiden, bekomt men rechtstreeks
door de eerste drie vergelijkingen van de wet van Hooke (1.85) lid aan lid op te tellen:
zzyyxxzzyyxxE
21
(1.98)
Het is belangrijk op te merken dat de vergelijking (1.98) geldig is in elk assenstelsel, omdat
zowel de som van de rekken als de som van de spanningen een invariant is en dus geldt in elk
assenstelsel (zie (1.53) en (1.73)).
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 1: Krachten, momenten, spanningen en rekken
60
Men kan eenvoudig aantonen dat de eerste term van de vergelijking (1.98) de relatieve
volumeverandering weergeeft van het materiaal. Beschouwt men daartoe een volume-element
met zijden dx, dy en dz, onderworpen aan de normaalspanningen xx, yy en zz, zoals
afgebeeld in Figuur 1.48.
Figuur 1.48 Volumeverandering van een elastisch materiaal [1].
De volumeverandering van het element is daardoor, met verwaarlozing van de tweede-orde
termen:
dxdydz)(
dxdydzdxdydz)1)(1)(1(V
zzyyxx
zzyyxx
(1.99)
De volumeverandering per volume-eenheid wordt de volumerek of dilatatie vol genoemd en
kan geschreven worden als:
zzyyxxvoldV
V
(1.100)
Onderstel nu dat ditzelfde volume-element wordt onderworpen aan een uniforme druk p, die
in alle richtingen gelijk is en altijd loodrecht werkt op elk oppervlak. Deze toestand van
hydrostatische belasting vereist dat de normaalspanningen in alle mogelijke richtingen gelijk
zijn en dat alle schuifspanningen nul zijn. Het volume-element wordt dus belast door de
hoofdspanningen xx = yy = zz = p , zoals afgebeeld in Figuur 1.49.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 1: Krachten, spanningen en rekken
61
Figuur 1.49 Hydrostatische spanning op een volume-element [1].
De som van de normaalspanningen is dus p3 , zodat de vergelijking (1.98) kan
herschreven worden als:
213
E
dV
V
pKp3
E
21
dV
Vvol (1.101)
De constante K noemt men de compressiemodulus of volume-elasticiteitsmodulus [N/m2].
Zij drukt de verhouding uit tussen de hydrostatische spanning en de relatieve
volumeverandering.
Hieruit kan men ook onmiddellijk een bovengrens afleiden voor de coëfficiënt van Poisson.
Bij samendrukking (som spanningen < 0) moet ook het volume afnemen (som rekken < 0),
zodat de term (1-2) altijd strikt positief moet zijn, en dus:
2
1 (1.102)
Dit resultaat was reeds op een meer intuïtieve manier afgeleid bij de bespreking van de
trekproef op de stalen proefstaaf in paragraaf 1.2.
1.5.4. Kromlijnige coördinaten
De wet van Hooke, in de verschillende gedaanten waarin hij beschreven werd, geldt ook voor
de spanningen en in een kromlijnig referentiestelstel, als deze en dezelfde
fysische betekenis hebben als ij en ij in een cartesiaans assenstelsel waarvan de
eenheidsvectoren ie
samenvallen met e
in het beschouwde punt. Zo kunnen de formules in
cartesiaanse coördinaten eenvoudig toegepast worden in cilindercoördinaten en
bolcoördinaten. Bijvoorbeeld wordt (1.85) in cilindercoördinaten:
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 1: Krachten, momenten, spanningen en rekken
62
G
G
G
E
1
E
1
E
1
zz
rzrz
rr
rrzzzz
zzrr
zzrrrr
(1.103)
Voor bepaalde geometrieën (axiaalsymmetrische buizen, bolvormige drukvaten) is het heel
wat eenvoudiger om de wet van Hooke uit te drukken in cilindercoördinaten of
bolcoördinaten dan in cartesische coördinaten.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 1: Krachten, spanningen en rekken
63
1.6. OPLOSSING VAN HET LINEAIR ELASTISCH PROBLEEM
In de voorgaande paragrafen zijn in feite alle definities aangereikt om elke lineair elastische
belastingstoestand van een materiaal te berekenen:
de spanningstensor [] definieert de belastingstoestand in elk punt van het lichaam,
de rektensor [] definieert de vervormingstoestand in elk punt van het lichaam,
spanning en rek zijn niet onafhankelijk, maar verbonden door de wet van Hooke. In deze
wet van Hooke komen drie elastische constanten E, en G voor die het isotroop en
homogeen materiaal karakteriseren.
In deze paragraaf wordt algemeen besproken hoe men bovenstaande kennis kan aanwenden
om een lineair elastisch probleem op te lossen.
Voor een algemene belastingstoestand van een lichaam telt men 15 onbekenden in elk punt
van het materiaal:
3 verplaatsingen wvu
6 spanningscomponenten yzxzxyzzyyxx
6 rekcomponenten yzxzxyzzyyxx
Anderzijds beschikt men voor elk punt van het lichaam over 15 vergelijkingen:
3 partiële differentiaalvergelijkingen van het evenwicht:
0Fzyx
0Fzyx
0Fzyx
zzzyzxz
y
zyyyxy
xzxyxxx
(1.104)
6 vergelijkingen voor het verband tussen rek en verplaatsing:
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 1: Krachten, momenten, spanningen en rekken
64
z
v
y
w
z
u
x
w
y
u
x
v
z
w
y
v
x
u
yz
xz
xy
zz
yy
xx
(1.105)
6 vergelijkingen voor het verband tussen rek en spanning (wet van Hooke):
G
G
G
E
1E
1E
1
yz
yz
xzxz
xy
xy
yyxxzzzz
zzxxyyyy
zzyyxxxx
(1.106)
Men heeft precies evenveel vergelijkingen als onbekenden en het lineair elastisch probleem is
dus oplosbaar. Aan deze oplossing worden uiteraard een aantal randvoorwaarden opgelegd,
die in de volgende paragraaf besproken worden.
1.6.1. Randvoorwaarden
De oplossing van een stelsel partiële differentiaalvergelijkingen is slechts bepaald indien men
een gepast aantal randvoorwaarden (Eng: boundary conditions) invoert. Men beperkt zich
meestal tot de volgende twee soorten:
op een deel SU van het oppervlak S van het lichaam is de verplaatsing (u,v,w) gegeven,
op een deel ST van het oppervlak S van het lichaam is de spanningsvector )n(
gegeven,
waarbij SSS TU .
In vele gevallen is een exacte beschrijving van de randvoorwaarden haast onmogelijk (bv. de
klemkracht of het koppel van een tang, zie Figuur 1.50).
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 1: Krachten, spanningen en rekken
65
Figuur 1.50 Randvoorwaarden van het lineair elastisch probleem [14].
Vaak neemt men dan ook zijn toevlucht tot een vereenvoudigde beschrijving van de
randvoorwaarden en past dan het principe van Barré de Saint-Venant toe. Dit principe stelt:
“Wanneer men op een behoorlijk klein deel S0 van het oppervlak van een lichaam de
uitwendige belasting )n(
vervangt door een andere, die over S0 dezelfde resultante en
hetzelfde resulterend moment heeft, dan zijn de spanningen voor deze twee belastingsgevallen
nagenoeg gelijk in alle punten die voldoende ver van S0 liggen”.
Hoewel dit principe vaak wordt toegepast, is enige omzichtigheid geboden. De twee
oplossingen verschillen immers niet noemenswaardig van elkaar, behalve in de nabijheid van
de zones waar men )n(
heeft aangepast. Dit is een voordeel omdat men aldus een oplossing
kan vinden die voor 80 % of 90 % van het volume van het lichaam goed is, maar dit voordeel
wordt sterk gerelativeerd door de overweging dat de hoogste spanningen meestal in de
overige 20 % of 10 % van het volume te vinden zijn. Men weet aldus veel over de
ongevaarlijke spanningen, maar bitter weinig over de gevaarlijke.
1.6.2. Superpositieprincipe
Een zeer belangrijk principe bij het oplossen van lineair elastische problemen is het principe
van superpositie. Dit principe stelt dat de resulterende spanning in een lichaam met een
gecompliceerde belasting kan worden berekend door eerst de spanning te vinden die door elke
belastingscomponent afzonderlijk wordt veroorzaakt. Daarna kan de resulterende spanning
worden bepaald door de bijdragen van alle afzonderlijke componenten vectorieel bij elkaar op
te tellen.
Voor toepassing van het superpositieprincipe moeten twee voorwaarden voldaan zijn:
de belasting moet lineair gerelateerd zijn aan de spanning die moet worden bepaald. Zo
betekent de vergelijking A
F dat er inderdaad een lineair verband bestaat tussen kracht
en spanning,
de belasting mag geen belangrijke veranderingen aanbrengen in de oorspronkelijke
geometrie of gedaante van de constructie. Als er bv. belangrijke doorbuigingen optreden
t.g.v. de belasting, dan veranderen de richting, de plaats en de hefboomsarm van de
uitgeoefende krachten en geldt het superpositiebeginsel niet langer.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 1: Krachten, momenten, spanningen en rekken
66
Beschouwt men bijvoorbeeld de dunne staaf in Figuur 1.51(a), waarop de belasting P
wordt uitgeoefend. In Figuur 1.51(b) wordt P vervangen door twee van zijn componenten:
P = P1 + P2. Als P ervoor zorgt dat de staaf aanzienlijk doorbuigt, zoals afgebeeld in Figuur
1.51(a), is het moment van de belasting t.o.v. de ondersteuning, Pd, niet gelijk aan de som
van de momenten P1d1 en P2d2, omdat d d1 d2.
Figuur 1.51 Illustratie van de ongeldigheid van het superpositieprincipe [1].
In de lineair elastische theorie is het superpositieprincipe haast altijd geldig, omdat de
vervormingen klein zijn.
1.6.3. Statisch onbepaalde systemen
Een systeem heet statisch onbepaald als de vergelijkingen van het evenwicht niet volstaan
om de reacties te bepalen. In dat geval moet men bijkomende aansluitingsvoorwaarden of
compatibiliteitsvoorwaarden uitdrukken.
Figuur 1.52 toont het eenvoudige voorbeeld van een staaf die aan beide zijden is ingeklemd
en ter hoogte van het punt C is belast met een axiale kracht P.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 1: Krachten, spanningen en rekken
67
Figuur 1.52 Voorbeeld van een statisch onbepaald systeem [1].
Er zijn twee onbekende reactiekrachten FA en FB, maar er is maar één vergelijking voor het
evenwicht:
0PFF AB (1.107)
Voor de oplossing moet een extra vergelijking worden opgesteld, en daarvoor is het nodig de
vervorming te bekijken. Een vergelijking die de voorwaarden voor verplaatsing omschrijft,
wordt een compatibiliteitsvoorwaarde genoemd. Een geschikte compatibiliteitseis in dit geval
is dat de verplaatsing van het ene uiteinde van de balk t.o.v. het andere uiteinde gelijk is aan
nul, omdat de balk aan beide zijden is ingeklemd:
0uAB (1.108)
Deze vergelijking kan worden weergegeven in termen van de aangebrachte belastingen door
een kracht-verplaatsing-relatie te gebruiken die afhankelijk is van het materiaalgedrag.
Bepaling van de snedekrachten leert dat in segment AC van de balk de inwendige kracht +FA
heerst, en in het segment CB de inwendige kracht –FB. Als men lineair elastisch
materiaalgedrag onderstelt, wordt vergelijking (1.108) herschreven als:
0EA
LF
EA
LF CBBACA
(1.109)
met A de oppervlakte van de dwarsdoorsnede van de staaf en E de elasticiteitsmodulus van de
staaf.
Combinatie van vergelijking (1.107) en (1.109) leidt tot de oplossing:
L
LPF
L
LPF
ACB
CBA
(1.110)
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 1: Krachten, momenten, spanningen en rekken
68
Voorbeeld 1.6
Een betonnen kolom met een vierkante dwarsdoorsnede van 50 cm bij 50 cm, is gewapend
met vier stalen staven, elk met een diameter van 2,5 cm. De staven zijn ingebetonneerd bij de
vier hoeken van de kolom. Als de E-modulus van staal 200 GPa bedraagt en deze van beton
14 GPa, bereken dan de drukspanningen in het staal en het beton als de totale drukkracht op
de kolom 1 MN bedraagt.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 1: Krachten, spanningen en rekken
69
1.7. THERMISCHE SPANNINGEN
1.7.1. Vergelijkingen
Naast de spanningen die ontstaan t.g.v. mechanische belasting, bestaan er ook spanningen die
ontstaan t.g.v. thermische belasting. Deze laatste noemt men de thermische spanningen.
Wanneer een homogeen en isotroop lichaam dat vrij kan vervormen, een gelijkmatige
temperatuursverandering ondergaat van 0 C tot T C, dan is de thermische uitzetting
gelijkmatig:
0
0
0
T
T
T
yz
xz
xy
zz
yy
xx
(1.111)
waarbij [m/(mC)] de thermische uitzettingscoëfficiënt van het materiaal voorstelt.
Hierbij treedt er in het lichaam geen enkele spanning op !
Aangezien de compatibiliteitsvoorwaarden of aansluitingsvoorwaarden (1.74) moeten voldaan
zijn voor elke vervormingstoestand, moeten deze ook gelden voor de thermische uitzettingen
(1.111). Uit deze voorwaarden kan men de volgende beperking afleiden voor het
temperatuurveld T(x,y,z):
zayaxaa)z,y,x(T 3210 (1.112)
met a0, a1, a2 en a3 constanten. Dit wil zeggen dat het temperatuurveld een lineaire functie
moet zijn van x, y en z, opdat de thermische rekken zouden voldoen aan de
compatibiliteitsvoorwaarden. Is dit niet het geval, dan zullen bijkomende rekken (én dus
spanningen) ontstaan, zodat de totale rekken opnieuw voldoen aan de
compatibiliteitsvoorwaarden. De totale rekken zijn dan de som van de geïnduceerde rekken en
de thermische rekken:
G
G
G
TE
1
TE
1
TE
1
yz
yz
xzxz
xy
xy
yyxxzzzz
zzxxyyyy
zzyyxxxx
(1.113)
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 1: Krachten, momenten, spanningen en rekken
70
De thermische spanningen die op die manier geïnduceerd worden, voldoen aan de volgende
vergelijkingen:
yzyz
xzxz
xyxy
yyxxzzzz
zzxxyyyy
zzyyxxxx
G
G
G
T21
E)1(
)21)(1(
E
T21
E)1(
)21)(1(
E
T21
E)1(
)21)(1(
E
(1.114)
Thermische spanningen kunnen aanzienlijke waarden bereiken en zelfs tot schade leiden. Zo
kan een stuk glas, dat ongelijkmatig wordt opgewarmd, gaan barsten. In ruimtetuigen treden
thermische spanningen op door de ongelijkmatige zonnestraling op één kant van het tuig, en
ook door de wrijving met de atmosfeer, wanneer het tuig terugkeert naar de aarde.
Ook als het temperatuurveld T(x,y,z) wel voldoet aan de voorwaarde (1.112), kunnen
thermische spanningen optreden als het lichaam niet vrij kan vervormen. Dit kan men
gemakkelijk inzien aan de hand van de vergelijkingen (1.114). Als de vervorming totaal
belemmerd wordt (totale rekken = 0), dan zijn de thermische spanningen:
T21
Ezzyyxx
(1.115)
Vaak worden ook spanningen geïnduceerd door het productieproces. Bij lassen bv. worden
vaak hoge en ongelijkmatige temperaturen bereikt. Tijdens de afkoeling zal het materiaal van
de las meer krimpen dan het materiaal dat verder van de las verwijderd ligt. Door de
ongelijkmatige en belemmerde vervorming ontstaan bijkomende rekken en spanningen. Ook
bij de uitharding van dikwandige buizen zal het materiaal aan de binnen- en buitenwand
sneller afkoelen dan het materiaal binnenin. Aldus ontstaat een ongelijkmatige vervorming en
treden bijkomende spanningen op in het materiaal, die ook na de uitharding blijven bestaan.
Deze resulterende spanningen en rekken kan men niet beschouwen als “thermische”
spanningen, omdat zij blijven bestaan in een homogeen materiaal bij een homogene
temperatuur. Zij zijn echter wel vaak het gevolg van thermische behandelingen.
Dergelijke spanningen, die bestaan zonder dat er enige uitwendige (mechanische of
thermische) belasting op het lichaam aangrijpt, noemt men eigenspanningen (Eng: residual
stresses, initial stresses).
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 1: Krachten, spanningen en rekken
71
1.7.2. Statisch onbepaalde problemen
Zoals besproken in paragraaf 1.6.3, is een probleem statisch onbepaald als de
evenwichtsvergelijkingen niet volstaan om de reactiekrachten te bepalen. Ook in geval van
thermische problemen dient men vaak bijkomende compatibiliteitsvoorwaarden te formuleren
voor statisch onbepaalde systemen.
Figuur 1.53 toont dezelfde ingeklemde staaf als in Figuur 1.52, maar ditmaal belast met een
temperatuurstijging T, i.p.v. een axiale kracht P. Ten gevolge van de temperatuurstijging wil
de staaf uitzetten, maar deze uitzetting wordt belemmerd door de inklemming.
Figuur 1.53 Voorbeeld van een statisch onbepaald systeem met thermische belasting [1].
De evenwichtsvoorwaarde levert dat de twee reactiekrachten even groot zijn, en gelijk aan F.
De bijkomende compatibiliteitsvoorwaarde is opnieuw dat de totale lengteverandering moet
nul zijn:
0uuu FTAB (1.116)
waarbij uT de verplaatsing is t.g.v. de opgelegde temperatuurstijging en uF de verplaatsing
t.g.v. de reactiekrachten. Uitwerking van de vergelijking levert dan:
0EA
LFLT
(1.117)
waarbij [m/mC] de thermische uitzettingscoëfficiënt is, E de elasticiteitsmodulus en A de
oppervlakte van de dwarsdoorsnede van de staaf.
Compatibiliteitsvoorwaarden zijn ook vaak vereist bij de thermische opwarming (of
afkoeling) van heterogene lichamen. Figuur 1.54 toont het voorbeeld van de gelijkmatige
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 1: Krachten, momenten, spanningen en rekken
72
opwarming van een stuk dat bestaat uit twee materialen met verschillende thermische
uitzettingscoëfficiënt (1 > 2). Wanneer de twee delen, los van elkaar, vrij zouden kunnen
uitzetten, dan zouden deze delen niet meer in elkaar passen. In de werkelijkheid blijft de
samenhang van het geheel uiteraard behouden, hetgeen vergt dat de twee delen op elkaar
krachten uitoefenen. Die krachten veroorzaken een bijkomende vervorming zodat de som van
de thermische uitzetting en de bijkomende rek voldoet aan de compatibiliteitsvoorwaarden.
Figuur 1.54 Thermische spanningen in heterogene lichamen [9].
Voorbeeld 1.7
Een starre, onvervormbare balk is bevestigd op de bovenzijde van drie kolommen. De
middelste kolom bestaat uit aluminium (Ealu = 70 GPa, alu = 2310-6 m/mC), de twee
buitenste kolommen uit staal (Est = 200 GPa, st = 1210-6 m/mC). De kolommen hebben elk
een onbelaste lengte van 250 mm en de temperatuur is T1 = 20 C. Bepaal de kracht in elke
kolom als de balk wordt onderworpen aan een constant verdeelde belasting van 150 kN/m en
de temperatuur tot T2 = 80 C wordt verhoogd.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 1: Krachten, spanningen en rekken
73
1.8. ARBEID EN ELASTISCHE ENERGIE
1.8.1. Arbeid van een kracht
Volgens de mechanica verricht een kracht arbeid wanneer deze kracht een verplaatsing dx
veroorzaakt in dezelfde richting als de kracht. De verrichte arbeid is een scalaire grootheid,
gedefinieerd als:
]mN[dxFdUuitw (1.118)
Als de totale verplaatsing x bedraagt, wordt de arbeid:
x
0
uitw dx)x(FU (1.119)
Het is belangrijk op te merken dat de kracht F niet constant is, maar afhangt van x. Immers,
als men de verplaatsing wil doen toenemen van nul naar x, dan moet ook de kracht F
toenemen.
Als toepassingsvoorbeeld wordt de arbeid berekend, uitgeoefend door een axiale trekkracht P
op een stalen staaf, zoals afgebeeld in Figuur 1.55.
Figuur 1.55 Axiale belasting van een stalen staaf [1].
De trekkracht F wordt daarbij geleidelijk opgevoerd van nul naar de eindwaarde P. Bij deze
eindwaarde P wordt de uiteindelijke verplaatsing van het uiteinde van de staaf bereikt. Als
het materiaal zich lineair elastisch gedraagt, is de kracht evenredig met de verlenging x, zodat:
Px
)x(F
(1.120)
M.b.v. vergelijking (1.119) wordt de totale uitwendige arbeid:
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 1: Krachten, momenten, spanningen en rekken
74
P2
1dxP
xdx)x(FU
00
uitw (1.121)
Onderstel nu dat P al op de staaf was aangebracht en dat nu een andere, bijkomende kracht P’
wordt uitgeoefend. zodanig dat het uiteinde van de staaf over een bijkomende afstand ’
verder verplaatst wordt. Dit is afgebeeld in Figuur 1.56.
Figuur 1.56 Axiale belasting van een stalen staaf met bijkomende kracht P’ [1].
De arbeid, verricht door de axiale kracht P (niet door P’), is:
'P'U P,uitw (1.122)
De kracht P blijft immers gewoon op de staaf aanwezig en is dus constant. De bijdrage van P’
is dan:
''P2
1'U 'P,uitw (1.123)
De totale arbeid van beide krachten P en P’ voor de totale verlenging +’ is grafisch
weergegeven in Figuur 1.57.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 1: Krachten, spanningen en rekken
75
Figuur 1.57 Arbeid verricht door axiale belasting van een stalen staaf [1].
De kleine driehoek met hoekpunt in de oorsprong stelt de arbeid P2
1 voor van de kracht P
bij de eerste verlenging van de staaf. De rechthoek stelt de verrichte arbeid 'P voor van
P bij de verlenging ’ en de kleine driehoek erboven de arbeid ''P2
1 van de kracht P’ bij de
verlenging ’.
1.8.2. Arbeid van een moment
Volledig analoog met de arbeid van een kracht, verricht een moment M arbeid wanneer het
een hoekverdraaiing d veroorzaakt langs zijn werklijn. De verrichte arbeid is dan:
]mN[dMdUuitw (1.124)
Als de totale hoekverdraaiing radialen bedraagt, wordt de arbeid:
0
uitw d)(MU (1.125)
Als men opnieuw onderstelt dat het materiaal zich lineair elastisch gedraagt, en dus de
hoekverdraaiing evenredig toeneemt met het aangelegde moment, dan is de arbeid:
M2
1Uuitw (1.126)
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 1: Krachten, momenten, spanningen en rekken
76
Is het moment M echter al op het lichaam aangebracht en draait een bijkomend moment M’
het lichaam verder over een hoek ’, dan is de arbeid verricht door M:
'M'U uitw (1.127)
1.8.3. Wet van behoud van mechanische energie
De arbeid, verricht door een axiale kracht P of een moment M, kan niet zomaar verloren gaan
bij het aanbrengen op de constructie. Wegens de wet van behoud van mechanische energie
moet de energie dus opgeslagen worden in de constructie:
inwuitw UU (1.128)
De uitwendige arbeid, verricht door de uitwendige belastingen op de constructie, wordt dus in
het lichaam omgezet naar een inwendige energie Uinw. Deze energie noemt men de elastische
energie of vormveranderingsenergie. Wanneer de belastingen worden weggenomen, herstelt
de elastische energie het lichaam in zijn oorspronkelijke onvervormde toestand, aangenomen
dat de elasticiteitsgrens van het lichaam niet overschreden werd.
Aangezien deze elastische energie in het lichaam wordt opgeslagen, moet het ook mogelijk
zijn deze energie uit te drukken in functie van de inwendige spanningen en rekken in het
lichaam. Deze uitdrukking wordt hierna afgeleid.
Onderstel een infinitesimaal klein volume-element met zijden dx, dy en dz, belast met een
normaalspanning zz, die werkt op de boven- en onderzijde van het volume-element, zoals
afgebeeld in Figuur 1.58.
Figuur 1.58 Volume-element belast met een normaalspanning zz [1].
Als nu op dit volume-element de normaalspanning zz werkt, dan is de totale kracht die op de
boven- en onderzijde wordt uitgeoefend:
dydxdAdF zzzzz (1.129)
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 1: Krachten, spanningen en rekken
77
Als deze kracht dFz geleidelijk op het volume-element wordt aangebracht, net als de eerder
besproken kracht P, neemt zijn grootte toe van nul tot dFz. De bijhorende verplaatsing neemt
dan toe van nul tot de eindwaarde dz, die gelijk is aan:
dzd zzz (1.130)
De door dFz verrichte arbeid dUinw is dan:
dV2
1dzdydx
2
1ddF
2
1dU zzzzzzzzzzinw (1.131)
Het is belangrijk op te merken dat deze elastische energie of vormveranderingsenergie dUinw
altijd positief is, want zz en zz hebben altijd hetzelfde teken.
Ook wanneer schuifspanningen werken, kan een vergelijkbare uitdrukking voor de elastische
energie of vormveranderingsenergie worden opgesteld. Beschouw opnieuw het infinitesimaal
volume-element dat is afgebeeld in Figuur 1.59.
Figuur 1.59 Volume-element belast met een schuifspanning [1].
Ditmaal is het volume-element belast met een schuifspanning . De schuifkracht dF is:
dydxdF (1.132)
Deze kracht verricht enkel arbeid in een verplaatsing die dezelfde richting heeft als de
werkingslijn van de kracht. De verplaatsing van het bovenvlak t.o.v. het ondervlak is:
dzd (1.133)
De verrichte arbeid door de schuifkracht wordt dan:
dV2
1dzdydx
2
1ddF
2
1dUinw (1.134)
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 1: Krachten, momenten, spanningen en rekken
78
De bovenstaande uiteenzetting kan makkelijk worden uitgebreid om de
vormveranderingsenergie te bepalen in een lichaam wanneer dit verkeert in een algemene
spanningstoestand, zoals afgebeeld in Figuur 1.60.
Figuur 1.60 Volume-element belast met een algemene spanningstoestand [1].
Omdat de elastische energie een scalaire grootheid is, mogen de bijdragen van elke normaal-
en schuifspanning worden opgeteld, zodat de totale elastische energie voor het hele lichaam
wordt:
Vyzyzxzxzxyxyzzzzyyyyxxxxinw dV
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1U (1.135)
M.b.v. de wet van Hooke kan men de elastische energie ook herschrijven, enkel in functie van
de spanningen:
V
2
zzyyxx
2
yz
2
xz
2
xy
2
zz
2
yy
2
xxinw dVE2
2E2
1U (1.136)
Of enkel in functie van de vervormingen:
V
2
zzyyxx
2
yz
2
xz
2
xy
2
zz
2
yy
2
xxinw dV212
1
)1(2
EU (1.137)
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 1: Krachten, spanningen en rekken
79
1.9. VERALGEMEENDE WET VAN HOOKE VOOR ANISOTROPE
MATERIALEN
In alle voorgaande paragrafen werd de discussie beperkt tot homogene en isotrope materialen,
met een elasticiteitsmodulus E, een glijdingsmodulus G en een Poisson-coëfficiënt . Deze
mechanische eigenschappen (E, G, ) zijn dezelfde in elk punt van het materiaal (homogeen)
en zijn in elk punt dezelfde in alle richtingen (isotroop).
Staal wordt vaak gebruikt als het prototype van deze klasse van homogene en isotrope
materialen, maar er zijn ook heel wat materialen die niet homogeen en isotroop zijn en toch
frequent gebruikt worden in de bouwkunde en werktuigkunde. Voor deze laatste materialen
kan men de veralgemeende wet van Hooke voor anisotrope materialen toepassen, op
voorwaarde dat het niet-homogeen karakter speelt op een voldoend kleine schaal. Daarmee
wordt bedoeld dat een voldoend groot volume van dit heterogeen materiaal zich toch als een
homogene massa moet gedragen. Men spreekt dan van een gehomogeniseerd materiaal.
Gewapend beton kan men niet catalogeren onder de gehomogeniseerde materialen, omdat het
heterogeen karakter (door de versterking met wapeningsstaal) zich manifesteert op een te
grote schaal. De veralgemeende wet van Hooke is dan ook niet van toepassing.
Vezelversterkte composieten (Eng: fibre-reinforced composites) zijn daarentegen wel een
goed voorbeeld van gehomogeniseerde materialen en worden in vele domeinen van de
bouwkunde en werktuigkunde toegepast. Hierbij worden versterkingsvezels (van glas,
koolstof, staal, aramide,...) ingebed in een ander materiaal (veelal kunststoffen, maar ook
metaal, keramiek, cement,...). Het materiaal waarin de vezels worden ingebed, noemt men de
matrix. Hoewel het in wezen ook heterogene materialen zijn, speelt de heterogeniteit op
microniveau: de matrix wordt versterkt met vezelbundels van 10 tot 100 m diameter. Voor
mechanische toepassingen gedraagt het composietmateriaal zich dus voldoende homogeen.
De bedoeling van deze kunstmatig vervaardigde composieten is veelal het bekomen van
verbeterde mechanische eigenschappen. In het bijzonder de zeer hoge verhouding tussen
sterkte en stijfheid enerzijds en soortelijk gewicht anderzijds speelt in het voordeel van deze
materialen, zoals geïllustreerd door Figuur 1.61.
Figuur 1.61 Chronologische vooruitgang in de sterkte/dichtheid verhouding van materialen [5].
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 1: Krachten, momenten, spanningen en rekken
80
Samenvattend kan men volgende indeling maken voor de toepassing van (i) de (klassieke)
wet van Hooke voor homogene en isotrope materialen, en (ii) de veralgemeende wet van
Hooke voor anisotrope materialen:
homogene materialen gehomogeniseerde materialen
isotroop
anisotroop
isotroop
anisotroop
wet van Hooke
veralgemeende wet van Hooke
(bv. staal, aluminium,...)
(bv. gewalst staal,...) (bv. composieten)
(bv. kunststoffen met random verdeelde verkapte vezeltjes)
Figuur 1.62 Classificatie van homogene en gehomogeniseerde materialen.
Voor een compleet anisotroop materiaal, waarbij de eigenschappen in alle richtingen
verschillend zijn, geldt de veralgemeende wet van Hooke:
xy
xz
yz
zz
yy
xx
665646362616
565545352515
464544342414
363534332313
262524232212
161514131211
xy
xz
yz
zz
yy
xx
CCCCCC
CCCCCC
CCCCCC
CCCCCC
CCCCCC
CCCCCC
(1.138)
De matrix [C] wordt de stijfheidsmatrix genoemd, naar analogie met het eendimensionaal
verband = E, waarbij E de stijfheid van het materiaal voorstelt. De stijfheidsmatrix [C] telt
21 onafhankelijke constanten, vermits de matrix symmetrisch is.
In vele gevallen zijn er echter één of meerdere symmetrievlakken in de materiaalstructuur,
zodat het aantal elastische constanten kan teruggebracht worden. De belangrijkste gevallen
zijn (i) orthotrope materialen, en (ii) transversaal isotrope materialen. De bespreking wordt
hier beperkt tot vezelversterkte kunststoffen, omdat deze technische composieten veruit de
belangrijkste klasse vormen binnen de anisotrope materialen in de ingenieurswereld.
1.9.1. Orthotrope materialen
Orthotrope materialen zijn materialen waar men drie onderling loodrechte symmetrievlakken
kan vinden in de materiaalstructuur. Naargelang de structuur van de matrix en de
vezelversterking kan men verschillende symmetrievlakken in de structuur van het
composietmateriaal onderscheiden, en wanneer dus drie orthogonale symmetrievlakken
bestaan, noemt men het materiaal orthotroop. Een typisch voorbeeld is getoond in Figuur
1.63. Dit weefsel wordt als vezelversterking gebruikt in het composiet en telt drie onderling
loodrechte symmetrievlakken.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 1: Krachten, spanningen en rekken
81
Figuur 1.63 Eenheidscel van een weefsel als vezelversterking [16].
De elastische eigenschappen zijn niet langer dezelfde in alle richtingen, maar verschillen
naargelang men beproeft in de richting van de langsvezels, de inslagvezels of in de
dikterichting van de vezels. Om deze verschillende elastische eigenschappen te
onderscheiden, heeft men een nieuw referentie-assenstelsel ingevoerd: de hoofdrichtingen
van orthotropie. Dit is een rechtshandig cartesiaans assenstelsel (1
e
, 2
e
, 3
e
), waarbij 1
e
de
richting van de langsvezel aanduidt, 2
e
de richting van de inslagvezel en 3
e
de dikterichting.
Het is belangrijk op te merken dat de hoofdrichtingen van orthotropie niet verward mogen
worden met de hoofdrichtingen van de spanningstensor (het assenstelsel waarin alle
schuifspanningen nul zijn), noch met de hoofdrichtingen van de vervormingstensor (het
assenstelsel waarin alle glijdingen nul zijn). De hoofdrichtingen van orthotropie zijn immers
gebonden aan de geometrische opbouw van het composietmateriaal, maar hebben niets te
maken met de werkelijke spanningstoestand van het composiet die in elk belastingsgeval
anders kan zijn. De hoofdrichtingen van orthotropie worden vaak aangeduid als (1
e
, 2
e
, 3
e
)
i.p.v. ( xe
, y
e
, z
e
). Het assenstelsel (1
e
, 2
e
, 3
e
) noemt men het lokaal assenstelsel, terwijl
de notatie ( xe
, y
e
, z
e
) geldt voor het globaal of structureel assenstelsel.
Als men het verband tussen spanning en rek uitdrukt in dit lokaal assenstelsel, dan bekomt
men:
12
13
23
33
22
11
66
55
44
332313
232212
131211
12
13
23
33
22
11
C00000
0C0000
00C000
000CCC
000CCC
000CCC
(1.139)
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 1: Krachten, momenten, spanningen en rekken
82
De coëfficiënten Cij worden geschreven in functie van de 9 onafhankelijke elastische
constanten van het orthotroop materiaal: 6 stijfheden E11, E22, E33, G12, G13 en G23 en
3 Poisson-coëfficiënten 12, 13 en 23. De betekenis van de 6 verschillende stijfheden is
weergegeven in Figuur 1.64.
Figuur 1.64 Schematische voorstelling van de stijfheidseigenschappen voor een orthotroop materiaal [16].
Men kan aantonen dat het verband tussen spanning en rek als volgt geschreven wordt:
133221133132232112
12
13
23
33
22
11
12
13
23
211233
31123222
32213111
31123222
311322
23312111
32213111
23312111
322311
12
13
23
33
22
11
21met
G00000
0G0000
00G000
0001
EEE
000E1
EE
000EE1
E
(1.140)
Omdat het invers verband tussen rek en spanning in het lokaal assenstelsel (1
e
, 2
e
, 3
e
) een
veel eenvoudiger gedaante aanneemt, zal men in de literatuur de veralgemeende wet van
Hooke voor orthotrope materialen nagenoeg altijd terugvinden in deze vorm:
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 1: Krachten, spanningen en rekken
83
12
13
23
33
22
11
12
13
23
3333
32
33
31
22
23
2222
21
11
13
11
12
11
12
13
23
33
22
11
G
100000
0G
10000
00G
1000
000E
1
EE
000EE
1
E
000EEE
1
(1.141)
Deze 66 matrix noemt men de compliantiematrix [S].
1.9.2. Transversaal isotrope materialen
Een bijzondere klasse van orthotrope materialen zijn deze waarbij in één symmetrievlak de
materiaaleigenschappen dezelfde zijn in alle richtingen. Een voorbeeld is getoond in Figuur
1.65.
Figuur 1.65 Transversale isotropie in een unidirectioneel vezelversterkt composiet [17]:
(a) definitie van de assen 1
e
,2
e
en 3
e
,
(b) micrografische opname van de pakking van koolstofvezels in een koolstof/epoxy composiet
(vergroting 400 ).
Dit composiet is versterkt met lange vezels die allemaal in dezelfde richting liggen. De
typische diameter van dergelijke versterkingsvezels is 3 tot 20 m, terwijl de laagdikte van
een dergelijk composiet varieert van 0.1 mm tot 0.3 mm. Het aantal vezels binnen zo’n laag is
dus heel groot en de eigenschappen in een vlak loodrecht op de vezels, kunnen dan ook
dezelfde verondersteld worden in alle richtingen.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 1: Krachten, momenten, spanningen en rekken
84
Er blijven slechts vijf onafhankelijke elasticiteitsconstanten over: E11, E22, 12, 23 en G12,
want voor transversaal isotrope materialen zijn de subscripts 2 en 3 (corresponderend met de
richtingen 2
e
en 3
e
) onderling verwisselbaar, en dus:
)1(2
EG
GG
EE
23
2223
3223
1312
1312
3322
(1.142)
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 1: Krachten, spanningen en rekken
85
1.10. REFERENTIES
[1] Hibbeler, R.C. (1997). Mechanics of materials. New Jersey, Prentice Hall
International, Inc., 855 pp.
[2] Megson, T.H.G. (1996). Structural and stress analysis. London, Arnold Publishers,
641 pp.
[3] Sierakowski, R.L. and Chaturvedi,S.K. (1997). Dynamic loading and characterization
of fiber-reinforced composites. New York, John Wiley & Sons, 252 pp.
[4] Verheest, F. (1993). Theoretische mechanica. Gent, Universiteit Gent, Vakgroep
wiskundige natuurkunde en sterrenkunde, 295 pp.
[5] Ohring, M. (1995). Engineering materials science. San Diego, Academic Press, 827
pp.
[6] Ragab, A.-R. and Bayoumi, S.E. (1999). Engineering solid mechanics. Fundamentals
and applications. Boca Raton, CRC Press, 921 pp.
[7] Baxter Brown, J. McD. (1973). Introductory solid mechanics. London, John Wiley &
Sons Ltd, 434 pp.
[8] Karasudhi, P. (1991). Foundations of solid mechanics. Dordrecht, Kluwer Academic
Publishers, 493 pp.
[9] Verhegghe, B. (2001). Elasticiteit en Sterkteleer. Cursus academiejaar 2001-2002.
Gent, Universiteit Gent.
[10] Ford, H. (1963). Advanced mechanics of materials. London, Longman Group Ltd.,
672 pp.
[11] Zaat, J.H. (1974). Technische metaalkunde. Deel 2: Algemene metaalkunde.
Amsterdam, Elsevier, 272 pp.
[12] Zaat, J.H. (1975). Technische metaalkunde. Deel 3: Staal en gietijzer. Amsterdam,
Elsevier, 226 pp.
[13] Case, J., Chilver, L. and Ross, C.T.F. (1999). Strength of materials and structures.
London, Arnold Publishers, 706 pp.
[14] Filonenko-Borodich, M. (1963). Theory of elasticity. Moscow, Peace Publishers, 394
pp.
[15] Boresi, A.P. and Sidebottom, O.M. (1985). Advanced mechanics of materials. Fourth
edition. New York, John Wiley & Sons, 763 pp.
[16] Mallick, P.K. (1997). Composites Engineering Handbook. New York, Marcel Dekker
Inc.
[17] Degrieck, J. (1997). Mechanica van met vezels versterkte materialen. Cursus, Gent,
Faculteit Toegepaste Wetenschappen, 157 p.
86
Hoofdstuk 2
Structureel gedrag
2.1. INLEIDING
In het vorige hoofdstuk werd het materiaalgedrag bestudeerd als een afzonderlijk gegeven. De
relatie tussen spanning en rek in één enkel punt van het materiaal werd opgesteld voor het
lineair elastisch gedrag van een materiaal. Wanneer men datzelfde materiaal gebruikt voor het
ontwerp van een constructie, blijft het natuurlijk zeer belangrijk om te begrijpen hoe het
materiaal zich gedraagt. Toch zijn bijkomende analysemethodes nodig om het gedrag van de
volledige constructie te berekenen. Deze analysemethodes zijn het voorwerp van dit
hoofdstuk.
In dit hoofdstuk wordt de structurele analyse van materialen vooral beperkt tot de
balkentheorie. Dit is in feite een heel vereenvoudigde eendimensionale theorie die toepasbaar
is in het gebied van lineair elastisch materiaalgedrag met kleine vervormingen.
Bij de studie van de balkentheorie gebruikt men, in overeenstemming met de internationale
conventie, het rechtshandig assenstelsel in Figuur 2.1:
O
x
y
z
F > 0y
M > 0y
Mx
> 0
M > 0z
M > 0x
F > 0z
F > 0x
My> 0
Mz
> 0
Figuur 2.1 Rechtshandig assenstelsel met positieve krachten en momenten.
De z-as duidt de verticale richting aan en ligt volgens de hoogte van de balk. Verder wordt
aangenomen dat de lengte-as van de bestudeerde balk volgens de x-as ligt. Meestal kiest men
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 2: Structureel gedrag
87
de oorsprong van de x-as aan het linkeruiteinde van de balk. Het structureel assenstelsel voor
de balkentheorie ziet er dan uit als in Figuur 2.2.
O
z
xx y
z
Figuur 2.2 Structureel assenstelsel voor balkentheorie.
Omdat heel wat formules in de balkentheorie gebruik maken van de geometrische
eigenschappen van de dwarsdoorsnede van de balk, zullen deze eigenschappen eerst
besproken worden.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 2: Structureel gedrag
88
2.2. GEOMETRISCHE EIGENSCHAPPEN VAN DE DWARSDOORSNEDE
2.2.1. Opstellen vergelijkingen
Beschouwt men een vlakke dwarsdoorsnede, gerefereerd t.o.v. het willekeurig gelegen
assenstelsel (y’,z’). Het is nu de bedoeling op zoek te gaan naar de ligging van het
zwaartepunt en het daarbijhorende assenstelsel (y,z), zoals aangegeven in Figuur 2.3.
Figuur 2.3 Ligging van het zwaartepunt van een vlakke doorsnede [1].
De oppervlakte A van de dwarsdoorsnede wordt gegeven door:
'dz'dyA (2.1)
Het statisch moment Sy’ om de y’-as [meter3] definieert men als:
'dz'dy'zS 'y (2.2)
Het statisch moment om de y’-as omvat dus voor elk infinitesimaal oppervlak dy’dz’ het
product van het oppervlak dy’dz’ met zijn loodrechte afstand tot de y’-as.
Analoog definieert men het statisch moment Sz’ om de z’-as als:
'dz'dy'yS 'z (2.3)
Het statisch moment om de z’-as [meter3] omvat dus voor elk infinitesimaal oppervlak dy’dz’
het product van het oppervlak dy’dz’ met zijn loodrechte afstand tot de z’-as. De afstand tot
de y'- of z'-as wordt ingevoerd met het teken, dat wil zeggen dat het statisch moment zowel
positief als negatief kan zijn ! De ligging van het zwaartepunt met coördinaten (y0’, z0’) wordt berekend als volgt:
A
S'z
A
S'y
'y
0
'z0
(2.4)
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 2: Structureel gedrag
89
Eens de ligging van het zwaartepunt en dus van het assenstelsel (y,z) gekend, berekent men
alle geometrische grootheden in dat assenstelsel. Bemerk dat de statische momenten Sy en Sz
nul zijn, als de assen y en z door het zwaartepunt gaan.
Voor een groot aantal dwarsdoorsneden die in de ingenieurspraktijk worden gebruikt, kan
men de ligging van het zwaartepunt vaak onmiddellijk bepalen. Wanneer de dwarsdoorsnede
een symmetrie-as heeft, ligt het zwaartepunt immers zeker op die symmetrie-as, omdat het
statisch moment van de dwarsdoorsnede om haar symmetrie-as altijd nul is. In gevallen
waarin een oppervlak twee symmetrie-assen heeft, volgt daaruit dat het zwaartepunt op het
snijpunt van deze assen ligt.
De traagheidsmomenten Iyy, Izz en Iyz van de doorsnede t.o.v. het assenstelsel (y,z) door het
zwaartepunt worden als volgt gedefinieerd:
dzdyzyI
dzdyyI
dzdyzI
yz
2
zz
2
yy
(2.5)
Het traagheidsmoment Iyy [meter4] is het traagheidsmoment om de y-as, het
traagheidsmoment Izz [meter4] is het traagheidsmoment om de z-as en Iyz [meter4] noemt men
het traagheidsproduct. Deze traagheidsmomenten van een doorsnede mag men niet verwarren
met de traagheidsmomenten van een star lichaam.
Als men het traagheidsmoment wil berekenen om een evenwijdige as die niet door het
zwaartepunt gaat, dan gebruikt men de stelling van Steiner:
00yz'z'y
2
0zz'z'z
2
0yy'y'y
zyAII
yAII
zAII
(2.6)
Als geen van beide assenstelsels (y’,z’) en (y,z) door het zwaartepunt gaat, mag men de
stelling van Steiner niet rechtstreeks toepassen. Men moet dan de stelling twee maal
toepassen, met een tussenstap via een evenwijdig assenstelsel door het zwaartepunt.
Beschouwt men nu het geval waarbij een assenstelsel (y’,z’) over een hoek is verdraaid
t.o.v. het assenstelsel (y,z) door het zwaartepunt O, zoals weergegeven in Figuur 2.4.
Overeenkomstig de rechterhandregel om de x-as, is de hoek van (y,z) naar (y’,z’) positief in
tegenuurwijzerzin.
Figuur 2.4 Rotatie van het assenstelsel van een vlakke doorsnede [1].
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 2: Structureel gedrag
90
Dan transformeren de traagheidsmomenten zoals de componenten van een symmetrische
tensor van tweede orde:
yz
22
zzyy'z'y
yzzz
2
yy
2
'z'z
yzzz
2
yy
2
'y'y
IsincosIcossinIcossinI
Icossin2IcosIsinI
Icossin2IsinIcosI
(2.7)
Volledig analoog met de bepaling van de hoofdrichtingen voor spanningen en rekken bij
vlakspanning en vlakvervorming, kan men de hoek zoeken waarvoor Iy’z’ = 0:
zzyy
yz
II
I22tan
(2.8)
Als men de waarde van de hoek invult in de twee eerste vergelijkingen van (2.7), dan
bekomt men de bijhorende traagheidsmomenten IYY en IZZ. Deze noemt men de
hoofdtraagheidsmomenten. De bijhorende richtingen van de Y- en Z-as noemt men de
hoofdtraagheidsassen van de dwarsdoorsnede.
De balkentheorie wordt opgesteld in de veronderstelling dat de dwarsdoorsnede gerefereerd
wordt aan haar hoofdtraagheidsassenstelsel door het zwaartepunt. Het is dus zeer belangrijk
voor elk type dwarsdoorsnede de ligging van het zwaartepunt en van de hoofdtraagheidsassen
te kennen. Net zoals voor de ligging van het zwaartepunt, kan men voor de ligging van de
hoofdtraagheidsassen gebruik maken van de eventuele symmetrie in de dwarsdoorsnede. Het
traagheidsproduct Iyz is immers altijd nul als óf de y-as óf de z-as een symmetrie-as is voor
het oppervlak.
2.2.2. Praktische berekening
Voor de praktische berekening van oppervlakte, statisch moment en traagheidsmoment kan
men op een van de volgende manieren te werk gaan:
voor een aantal eenvoudige figuren zijn er kant-en-klare formules om A, Si en Iij te
berekenen. Enkele van deze formules vindt men in onderstaande Tabel 2.1.
Tabel 2.1 Geometrische kenmerken van eenvoudige doorsneden [1].
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 2: Structureel gedrag
91
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 2: Structureel gedrag
92
voor een aantal producten, waarvan de afmetingen genormaliseerd zijn, zijn er tabellen
gepubliceerd. Dit is het geval voor I-profielen, hoekprofielen, T-profielen, kanaalprofielen,
rechthoekige kokers,... Tabel 2.2 is een voorbeeld hiervan. De weerstandsmomenten Wy en
Wz in deze tabel zijn gedefinieerd als:
b
I2W
h
I2W
zzz
yy
y
(2.9)
Tabel 2.2 Kenmerken van warmgewalste IPE-profielen (Euronorm 19-57) [1].
veel andere profielen kunnen berekend worden door de doorsnede op te delen in
eenvoudige figuren waarvan de grootheden bekend zijn, en gebruik te maken van de
stelling van Steiner,
voor dunwandige profielen kan men de massa geconcentreerd denken op de hartlijn van de
doorsnede. De oppervlakte-integralen herleiden zich dan tot lijnintegralen langs de hartlijn.
Men noemt dit vaak het draadmodel. Wanneer de lengte/dikte-verhoudingen van de
onderdelen van de doorsnede zowat 10 (of meer) bedragen, is het verschil met de juiste
oplossing onbelangrijk klein,
voor de echt moeilijke gevallen kan men een benadering berekenen met numerieke
integratie.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 2: Structureel gedrag
93
Stappenplan voor de bepaling van de geometrische kenmerken van de dwarsdoorsnede:
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 2: Structureel gedrag
94
Voorbeeld 2.1
Bepaal de hoofdtraagheidsassen voor het volgend profiel:
Bereken de traagheidsmomenten opnieuw m.b.v. het draadmodel:
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 2: Structureel gedrag
95
2.3. NORMAALKRACHT, BUIGEND MOMENT EN DWARSKRACHT
In paragraaf 1.1.3 werden de vergelijkingen van het evenwicht opgesteld voor een willekeurig
lichaam. Het evenwicht van het lichaam is voldaan als zowel het krachtenevenwicht als het
momentenevenwicht voldaan zijn:
0M
0F
O
(2.10)
De x-as is gelegen volgens de lengterichting van de balk en gaat door het zwaartepunt van
elke dwarsdoorsnede. Het assenstelsel (x,y,z) vormt een rechtshandig assenstelsel. In de
balkentheorie wordt vaak ondersteld dat alle belastingen werken in één vlak (onderstel het x-z
vlak, zie Figuur 2.2). Zoals reeds aangetoond in paragraaf 1.1.3, kunnen de
evenwichtsvergelijkingen dan gereduceerd worden tot:
0M
0F0F
y
zx
(2.11)
Deze evenwichtsvergelijkingen blijven dus onverminderd geldig in de balkentheorie. Daarbij
maakt men wel het onderscheid tussen (i) het globaal evenwicht van de balk, en (ii) het
evenwicht van een deel van de balk. Deze evenwichten worden in de volgende paragrafen
besproken.
2.3.1. Globaal evenwicht
Uit het globaal evenwicht van de balk in zijn geheel berekent men de reacties. Aangezien er in
het x-z vlak slechts drie onafhankelijke evenwichtsvergelijkingen kunnen geschreven worden
(zie vgl. (2.11)), kan men ook maar drie onafhankelijke reactiecomponenten bepalen.
De reactiekrachten en –momenten worden in de balkentheorie als volgt benoemd: de
(horizontale) reactiecomponent volgens de x-as duidt men aan met RH of RX. De (verticale)
reactiecomponent volgens de z-as noteert men als R. Het reactiemoment tenslotte wordt
genoteerd als RM. Vaak voegt men een subscript toe die verwijst naar het punt waar men de
reacties beschouwt (bv. RA, RB, RMC). Reacties moet men beschouwen als uitwendige
krachtswerkingen op de balk. Ze zijn dan ook steeds positief te rekenen in overeenstemming
met het gekozen assenstelsel (x,y,z). Figuur 2.5 toont de positieve richting en zin van de
verticale reactie R, de horizontale reactie RH en het reactiemoment RM voor een ingeklemde
balk, belast met de uitwendige krachten qz(x), Qz en Qx.
xy
zq (x)z
Qz
Qx
RM R
RH
Figuur 2.5 Positieve reactiecomponenten R, RH en RM.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 2: Structureel gedrag
96
2.3.2. Evenwicht van een deel van de balk – Snedekrachten
Uit het evenwicht van een moot van de balk kan men de spanningsresultanten of
snedekrachten in die doorsnede bepalen. Volgens de evenwichtsvergelijkingen (2.11) zijn er
opnieuw drie onafhankelijke snedekrachten Fx, Fz en My. In de balkentheorie krijgen deze
snedekrachten echter ook een andere notatie. De kracht Fx, werkend in de langsrichting van de
balk, noemt men de normaalkracht N. De kracht Fz, werkend in de dwarsdoorsnede van de
balk, noemt men de dwarskracht V. Het moment My tenslotte duidt men aan als het buigend
moment M.
Figuur 2.6 toont de positieve richting en zin van de snedekrachten voor een positieve
dwarsdoorsnede (buitennormale volgens de positieve x-as) en een negatieve dwarsdoorsnede
(buitennormale volgens de negatieve x-as), alsook de positieve richting en zin van de
verdeelde belasting qz(x) en de puntkracht Qz.
xy
z
V (=F )z
M (=M )y
N (=F )x
V
N
M
q (x)z
Qz
Figuur 2.6 Positieve snedekrachten N, M en V.
Als men nu een moot van de balk beschouwt, begrepen tussen één van beide uiteinden van de
balk en de dwarsdoorsnede met abscis x, dan kan men de waarde van de normaalkracht N(x),
de dwarskracht V(x) en het buigend moment M(x) bepalen aan de hand van de vergelijkingen
voor het horizontaal evenwicht, het verticaal evenwicht en het momentenevenwicht. Hierna
worden een aantal eenvoudige gevallen behandeld, die niettemin zeer vaak voorkomen in de
praktijk.
2.3.3. Verband tussen q, V en M
Tussen de verdeelde belasting q(x), de dwarskracht V en het buigend moment M bestaat er
bovendien een eenvoudig verband. Om dit verband af te leiden, beschouwt men het evenwicht
van een heel klein mootje van de balk, begrepen tussen de dwarsdoorsneden met abscis x en
abscis x + dx, zoals aangeduid in Figuur 2.7.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 2: Structureel gedrag
97
V + dV
M + dM
V
M
q(x)
xy
z
dx
Figuur 2.7 Evenwichtsvergelijkingen voor een balkmootje begrepen tussen x en x + dx.
De vergelijkingen voor het verticaal evenwicht en momentenevenwicht leiden respectievelijk
tot:
0dxVMdMM
0dx)x(qVdVV
(2.12)
waaruit volgt:
2
2
dx
Mdq
dx
dMV
dx
dVq
(2.13)
2.3.4. Enkele referentiegevallen
2.3.4.a. Ingeklemde balk met puntlast
Het eerste geval is dat van een ingeklemde balk, belast met een puntlast. Zoals weergegeven
in Figuur 2.8(a), bevindt de oorsprong van het assenstelsel zich aan de ingeklemde zijde,
terwijl aan het vrije uiteinde een puntlast F aangrijpt. De totale lengte van de balk is L.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 2: Structureel gedrag
98
xy
z F
RMA RA
A B
C
RMA
RA
F
V
M
BA
CB
x
MV
L
(a)
(b)
(c)
Figuur 2.8 Ingeklemde balk met puntlast.
De tot nog toe onbekende reactiekracht RA en het reactiemoment RMA zijn in Figuur 2.8(a)
aangegeven met hun positieve richting en zin. Door het uitschrijven van het globaal krachten-
en momentenevenwicht voor de volledige balk, kan men nu eerst de onbekende reactiekracht
RA en het onbekende reactiemoment RMA berekenen:
LFRM
FR
0LFRM
0FR
A
A
A
A
(2.14)
Om de dwarskracht V en het moment M in elke doorsnede met abscis x te bepalen, kan men
het evenwicht uitdrukken van het linkerdeel AB van de balk (Figuur 2.8(b)) of van het
rechterdeel BC van de balk (Figuur 2.8(c)).
Het lijkt het eenvoudigst om het evenwicht uit te drukken van het rechterdeel BC van de balk
(Figuur 2.8(c)), zodat volgende vergelijkingen gelden:
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 2: Structureel gedrag
99
xLFM
FV
0xLFM
0FV
(2.15)
Op die manier kan men het evenwicht uitdrukken voor elke dwarsdoorsnede en zo de
dwarskracht V(x) en het buigend moment M(x) bepalen voor elke waarde van de abscis x.
Men kan dan de dwarskrachtenlijn en momentenlijn tekenen in functie van de abscis x, zoals
afgebeeld in respectievelijk Figuur 2.9(b) en Figuur 2.9(c).
xy
z F
RMA RA
CBA
x
L
(a)
(b)
(c)
x
V
L
x
M
L
V = F
M = -F (L-x)
Figuur 2.9 Dwarskracht- en momentenlijn voor een ingeklemde balk met puntlast.
Uit Figuur 2.9(b) blijkt dat V(x=0) = -RA en uit Figuur 2.9(c) dat M(x=0) = -RMA. Dit is geen
toeval, maar een belangrijke controle op de berekeningen. Inderdaad, beschouwt men het
evenwicht van een infinitesimaal klein deeltje van de balk aan het linkeruiteinde, zoals
aangegeven in Figuur 2.10.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 2: Structureel gedrag
100
A
RMA
RA
M(x=0)
V(x=0)
Figuur 2.10 Verband tussen uitwendige reacties en snedekrachten.
Daaruit volgt onmiddellijk dat:
A
A
RM)0x(M
R)0x(V
(2.16)
2.3.4.b. Ingeklemde balk met verdeelde belasting
Het tweede geval is dat van een ingeklemde balk, belast met een verdeelde belasting q(x).
Hoewel de verdeelde belasting q(x) best een functie kan zijn van x, heeft ze in dit geval een
constante waarde: q(x) = q. Zoals weergegeven in Figuur 2.11(a), bevindt de oorsprong van
het assenstelsel zich opnieuw aan de ingeklemde zijde, terwijl de balk over zijn volledige
lengte belast is met een gelijkmatig verdeelde belasting q(x). De totale lengte van de balk is L.
xy
z
RMA RA
A B
C
RMARA
V
M
BA
CB
x
MV
L
(a)
(b)
(c)
q(x)
q(x)
q(x)
Figuur 2.11 Ingeklemde balk met verdeelde belasting.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 2: Structureel gedrag
101
De tot nog toe onbekende reactiekracht RA en het reactiemoment RMA zijn in Figuur 2.11(a)
aangegeven met hun positieve richting en zin. Door het uitschrijven van het globaal krachten-
en momentenevenwicht voor de volledige balk, kan men opnieuw de onbekende reactiekracht
RA en het onbekende reactiemoment RMA berekenen:
2
LqRM
LqR
0xdx)x(qRM
0dx)x(qR2
A
A
L
0
A
L
0
A
(2.17)
Om de dwarskracht V en het moment M in elke doorsnede met abscis x te bepalen, kan men
het evenwicht uitdrukken van het linkerdeel AB van de balk (Figuur 2.11(b)) of van het
rechterdeel BC van de balk (Figuur 2.11(c)).
Het lijkt het eenvoudigst om het evenwicht uit te drukken van het rechterdeel BC van de balk
(Figuur 2.11(c)), zodat volgende vergelijkingen gelden:
2
xLqM
xLqV
0'dxx'x)'x(qM
0'dx)'x(qV2
L
x
L
x
(2.18)
Op die manier kan men het evenwicht uitdrukken voor elke dwarsdoorsnede en zo de
dwarskracht V(x) en het buigend moment M(x) bepalen voor elke waarde van de abscis x.
Men kan dan de dwarskrachtenlijn en momentenlijn tekenen in functie van de abscis x, zoals
afgebeeld in respectievelijk Figuur 2.12(b) en Figuur 2.12(c).
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 2: Structureel gedrag
102
xy
z
RMARA
CBA
x
L
(a)
(b)
(c)
q(x)
x
V
L
x
M
L
-q (L-x)2
2M =
V = q (L-x)
Figuur 2.12 Dwarskracht- en momentenlijn voor een ingeklemde balk met verdeelde belasting q(x).
2.3.4.c. Balk op twee steunpunten met puntlast
Het derde geval is dat van een balk op twee steunpunten, belast met een puntlast F. Zoals
weergegeven in Figuur 2.13(a), bevindt de oorsprong van het assenstelsel zich opnieuw aan
het linkeruiteinde van de balk. De puntlast F bevindt zich op een afstand a van het
linkeruiteinde van de balk. Het linkeruiteinde van de balk is opgelegd op een vast steunpunt,
terwijl het rechteruiteinde van de balk is opgelegd op een roloplegging. Beide opleggingen
nemen enkel een verticale reactie op.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 2: Structureel gedrag
103
xy
z F
RA
A B
C
F
V
M
BA
CB
x
MV
L
(a)
(b)
(c)
a
D
RD
RA
D
RD
Figuur 2.13 Balk op twee steunpunten met puntlast.
Voor de berekening van de onbekende verticale reacties RA en RD drukt men het verticaal
evenwicht en het momentenevenwicht uit van de volledige balk:
L
aFR
L
aLFR
0aFLR
0FRR
D
A
D
DA
(2.19)
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 2: Structureel gedrag
104
Om de dwarskracht V en het moment M in elke doorsnede met abscis x te bepalen, kan men
het evenwicht uitdrukken van het linkerdeel van de balk (Figuur 2.13b) of van het rechterdeel
van de balk (Figuur 2.13c).
Het lijkt het eenvoudigst om het evenwicht uit te drukken van het linkerdeel AB van de balk
(Figuur 2.13b), zodat volgende vergelijkingen gelden:
L
aLxFM
L
aLFV
0xL
aLFM
0L
aLFV
(2.20)
Het is belangrijk op te merken dat de evenwichtsvergelijkingen (2.20) voor de moot AB enkel
gelden voor x < a. Voor x > a moet ook de puntlast F in rekening worden gebracht, zoals
aangeduid in Figuur 2.14(b).
xy
z F
RA
A B
C BA
x
M
V
L
(a)
(b)
a
D
RD
RA
F
C
x
z
y
Figuur 2.14 Evenwicht van moot AB voor x > a voor een balk op twee steunpunten met puntlast.
De evenwichtsvergelijkingen voor het linkerdeel AB van de balk worden dan voor x > a:
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 2: Structureel gedrag
105
L
xLaFM
L
aFV
0)ax(FxL
aLFM
0FL
aLFV
(2.21)
Op die manier kan men het evenwicht uitdrukken voor elke dwarsdoorsnede en zo de
dwarskracht V(x) en het buigend moment M(x) bepalen voor elke waarde van de abscis x.
Uiteraard was het in dit geval ook mogelijk (en eenvoudiger) voor x > a het evenwicht uit te
drukken van het rechterdeel van de balk.
Men kan dan de dwarskrachtenlijn en momentenlijn tekenen in functie van de abscis x, zoals
afgebeeld in respectievelijk Figuur 2.15(b) en Figuur 2.15(c).
xy
z F
RA
CBA
x
L
(a)
(b)
(c)
a
D
RD
x
V
L
x
M
L
V =
V =
M =
L-aL
F
aL
-F
x (L-a)
LF
M =a (L-x)
LF
Figuur 2.15 Dwarskracht- en momentenlijn voor een balk op twee steunpunten met puntlast.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 2: Structureel gedrag
106
2.3.4.d. Balk op twee steunpunten met verdeelde belasting
Het vierde geval is dat van een balk op twee steunpunten, belast met een verdeelde belasting
q(x). Zoals weergegeven in Figuur 2.16(a), bevindt de oorsprong van het assenstelsel zich
opnieuw aan het linkeruiteinde van de balk. Het linkeruiteinde van de balk is opgelegd op een
vast steunpunt, terwijl het rechteruiteinde van de balk is opgelegd op een roloplegging. Beide
opleggingen nemen enkel een verticale reactie op.
xy
z
RA
A B
VM
BA
B
x
M
V
L
(a)
(b)
(c)
C
RC
RA
C
RC
q(x)
q(x)
q(x)
Figuur 2.16 Balk op twee steunpunten met verdeelde belasting.
De tot nog toe onbekende reactiekrachten RA en RC zijn in Figuur 2.16(a) aangegeven met
hun positieve richting en zin. Door het uitschrijven van het globaal krachten- en
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 2: Structureel gedrag
107
momentenevenwicht voor de volledige balk, kan men opnieuw de onbekende reactiekrachten
berekenen:
2
LqR
2
LqR
0dxx)x(qLR
0dx)x(qRR
C
A
L
0
C
L
0
CA
(2.22)
Dit resultaat kan men ook gemakkelijk inzien zonder berekeningen. De resultante van de
verdeelde belasting q(x) bedraagt qL en grijpt aan in het midden van de balk. Omwille van
symmetrie moeten beide steunpunten elk de helft van deze resultante opnemen, zodat de
waarde van elke reactie gelijk is aan (-qL)/2.
Om de dwarskracht V en het moment M in elke doorsnede met abscis x te bepalen, kan men
het evenwicht uitdrukken van het linkerdeel AB van de balk (Figuur 2.16(b)) of van het
rechterdeel BC van de balk (Figuur 2.16(c)).
In dit geval maakt het niet uit of men het linker- of rechterdeel van de balk bekijkt.
Beschouwt men bijvoorbeeld het evenwicht van het linkerdeel AB van de balk (Figuur
2.16(b)), dan gelden volgende vergelijkingen:
2
xLxqM
x2
LqV
0x2
Lq'dx'xx)'x(qM
0'dx)'x(q2
LqV
x
0
x
0
(2.23)
Op die manier kan men het evenwicht uitdrukken voor elke dwarsdoorsnede en zo de
dwarskracht V(x) en het buigend moment M(x) bepalen voor elke waarde van de abscis x.
Men kan dan de dwarskrachtenlijn en momentenlijn tekenen in functie van de abscis x, zoals
afgebeeld in respectievelijk Figuur 2.17(b) en Figuur 2.17(c).
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 2: Structureel gedrag
108
xy
z
RA
BA
x
L
(a)
(b)
(c)
C
RC
q(x)
x
V
L
x
M
L
x
2
LqV
q x (L-x)
2M =
Figuur 2.17 Dwarskracht- en momentenlijn voor een balk op twee steunpunten met verdeelde belasting q(x).
Voorbeeld 2.2
Gegeven is de volgende balk:
x
y
z
BA
10 kN15 kN/m
1 m 1 m 1 m 1 m 1 m
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 2: Structureel gedrag
109
Op x = 2 m bevindt zich een neerwaarste puntlast van 10 kN, en tussen x = 4 m en x = 5 m
bevindt zich een gelijkmatig verdeelde belasting van 15 kN/meter. Teken de dwarskracht- en
momentenlijn.
(Examen 1ste zittijd AJ 2002-2003. Voorziene tijd: 35 minuten)
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 2: Structureel gedrag
110
2.4. VERBAND TUSSEN SNEDEKRACHTEN EN SPANNINGEN
Met de kennis van de voorgaande paragraaf kan men in elke doorsnede van de balk de
normaalkracht N, het buigend moment M en de dwarskracht V bepalen. Deze snedekrachten
zijn elk de resultante van een bepaalde spanningsverdeling in de dwarsdoorsnede. In deze
paragraaf wordt nagegaan welke spanningen en welke spanningsverdeling overeenkomen met
elk van deze snedekrachten N, M en V.
2.4.1. Spanningen t.g.v. normaalkracht N
De normaalkracht N, die aangrijpt op een dwarsdoorsnede van de balk, wordt door deze
dwarsdoorsnede opgenomen in de vorm van een normaalspanning xx, waarbij:
A
Nxx (2.24)
N is de normaalkracht, A is de oppervlakte van de dwarsdoorsnede en xx is de
normaalspanning. Overeenkomstig de definities van hoofdstuk 1, is xx een spanning die
werkt in de x-richting op een oppervlak met buitennormale + xe
. Deze normaalspanning is
constant over de volledige dwarsdoorsnede.
De normaalkracht N is dan de resultante van deze normaalspanningen:
AdAN xxxx (2.25)
De bijhorende rek van de dwarsdoorsnede is dan:
AE
N
E
xxxx
(2.26)
2.4.2. Spanningen t.g.v. buigend moment M
Om de spanningen in een balk, belast met een buigend moment M, te berekenen, worden eerst
een aantal aannames gedaan i.v.m. de vervorming van de balk. Figuur 2.18 toont een balk
voor en na vervorming t.g.v. een buigend moment M.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 2: Structureel gedrag
111
Figuur 2.18 Balk belast met buigend moment M [2].
Op de balk met vierkante dwarsdoorsnede zijn rasterlijnen aangebracht in de lengte- en
dwarsrichting. Wanneer een buigend moment M wordt aangebracht, vervormen deze lijnen
tot het patroon dat in Figuur 2.18(b) is afgebeeld. Daar is te zien dat de langslijnen gebogen
worden en de verticale lijnen recht blijven, maar wel een rotatie ondergaan.
Ten gevolge van het buigend moment wordt het materiaal in het onderste deel van de balk dus
getrokken, terwijl het materiaal in het bovenste gedeelte van de balk wordt gedrukt.
Natuurlijk moet er tussen deze twee gebieden een vlak zijn, het neutrale vlak genoemd,
waarin het materiaal geen lengteverandering ondergaat.
Op basis van deze waarnemingen worden drie veronderstellingen gemaakt:
de x-as ligt in het neutrale vlak van de balk en ondervindt geen lengte-verandering. Ten
gevolge van het buigend moment M neemt de x-as de vorm aan van een cirkelboog met
constante kromtestraal R,
alle dwarsdoorsneden van de balk blijven tijdens de vervorming (i) vlak, en (ii) loodrecht
op de x-as. Deze hypothese noemt men de hypothese van Bernoulli,
elke vervorming van de dwarsdoorsnede in haar eigen vlak wordt verwaarloosd.
Om nu de vervorming van de balk te berekenen, wordt een segment dx van de balk
geïsoleerd, zoals aangeduid in Figuur 2.19.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 2: Structureel gedrag
112
xy
R d
dx
z
z
z h1
h2
A
A’
B
B’
M (< 0)
Figuur 2.19 Vervorming van een balk onder invloed van een buigend moment M [1].
Beschouwt men nu de vezel AB van de onvervormde balk, parallel met de onvervormde x-as
en op een hoogte z t.o.v. deze x-as. In onvervormde toestand heeft de vezel een lengte dx.
Onder invloed van het buigend moment verkort de vezel AB tot de vezel A’B’, waarbij de
nieuwe lengte is:
R
dxzRdzR'B'A (2.27)
De rek van deze vezel is niets anders dan zijn relatieve lengteverandering, dus de uitdrukking
voor xx wordt:
R
z
dx
dxR
dxzR
AB
AB'B'Axx
(2.28)
Volgens de wet van Hooke volgt daar onmiddellijk uit:
R
zEE xxxx
(2.29)
Vermits de elasticiteitsmodulus E en de kromtestraal R constant zijn, vertonen de
normaalspanningen xx een lineair verloop over de hoogte, recht evenredig met de z-
coördinaat.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 2: Structureel gedrag
113
Anderzijds moet het buigend moment M precies de resultante zijn van de spanningsverdeling
xx over de dwarsdoorsnede:
yy
2
xx IR
EdAz
R
EdAz
R
zEdAzM
(2.30)
Voor de laatste overgang in vergelijking (2.30) werd gebruik gemaakt van de definitie van het
traagheidsmoment, zoals gedefinieerd in paragraaf 2.2.1.
Vergelijking (2.30) wordt vaak herschreven in volgende vorm:
yyIE
M
R
1
(2.31)
Deze vergelijking geeft het verband weer tussen kromming en buigend moment. Het product
van de elasticiteitsmodulus E en het traagheidsmoment Iyy noemt men de buigstijfheid EIyy.
Door eliminatie van de kromtestraal R uit de vergelijkingen (2.29) en (2.31) bekomt men een
rechtstreeks verband tussen het buigend moment M en de normaalspanning xx:
yy
xxI
zM (2.32)
Daarbij is 'z' de afstand (met teken) tot de hoofdtraagheidsas door het zwaartepunt. Dus
deze formule geldt ook weer alleen maar in het hoofdtraagheidsassenstelsel van de
doorsnede, en Iyy is het hoofdtraagheidsmoment om de y-as door het zwaartepunt.
Het spanningsverloop is schematisch voorgesteld in Figuur 2.20.
xy
z
xx
M M
y
z
xx
x
(a) (b)
dx
h2
-h2
-b2
b2
M h2 Iyy
+M h2 Iyy
+
M h2 Iyy
- M h2 Iyy
-
Figuur 2.20 Verdeling van de spanningen over de hoogte van de dwarsdoorsnede [3].
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 2: Structureel gedrag
114
In het geval dat er enkel een buigend moment M aangrijpt, hebben de normaalspanningen xx
geen resulterende normaalkracht N, dus:
0SdAz0dAR
zEdAN yxx (2.33)
Uit de noodzakelijke voorwaarde dat de resulterende normaalkracht N moet nul zijn, volgt dat
het statisch moment Sy (zoals gedefinieerd in paragraaf 2.2.1) moet nul zijn. Dit is enkel het
geval als de oorsprong van het assenstelsel door het zwaartepunt van de doorsnede gaat.
Vandaar dat de betrekking (2.32) enkel geldig is als de oorsprong van het assenstelsel (x,y,z)
samenvalt met het zwaartepunt van de dwarsdoorsnede van de balk.
Voorbeeld 2.3
Een balk heeft het volgende trapeziumvormig profiel in het y-z vlak:
80 mm
30 mm
110 mm
y
z
Als deze doorsnede belast wordt met een moment M = 22,5 kNm, bereken dan de plaats en de
waarde van de maximale normaalspanning.
(Examen 1ste zittijd AJ 2002-2003. Voorziene tijd: 15 minuten)
2.4.3. Spanningen t.g.v. dwarskracht V
De dwarskracht werkt evenwijdig met de dwarsdoorsnede en zal dan ook door de
dwarsdoorsnede worden opgenomen in de vorm van schuifspanningen. Deze
schuifspanningen noteert men als xz, omdat zij werken in de z-richting op een vlak met
buitennormale xe
. Wegens de wederkerigheid der schuifspanningen werkt op een
horizontale doorsnede van de balk dan de schuifspanning zx, in de x-richting op een vlak met
buitennormale ze
.
Dat deze schuifspanningen inderdaad aanwezig zijn in de balk, kan men ook eenvoudig als
volgt inzien. Beschouwt men een balk die opgelegd is op twee steunpunten en in het midden
belast is met een puntlast P, zoals weergegeven in Figuur 2.21.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 2: Structureel gedrag
115
Figuur 2.21 Aantonen van het bestaan van schuifspanningen [2].
Onderstelt men nu dat de balk zou opgebouwd zijn uit drie planken. Als het boven- en
ondervlak van elk van de planken glad is en de planken niet verlijmd zijn, zal de puntlast P de
planken ten opzichte van elkaar doen verschuiven, zoals afgebeeld in Figuur 2.21(a). Zijn de
planken daarentegen wel verlijmd (Figuur 2.21(b)), dan treden schuifspanningen zx op die
voorkomen dat de planken onderling verschuiven en ervoor zorgen dat de balk zich als één
geheel gedraagt. Wegens de wederkerigheid van schuifspanningen bestaan er dan ook
schuifspanningen xz in elke verticale dwarsdoorsnede.
Om de verdeling van deze schuifspanningen te berekenen, wordt het horizontaal evenwicht
van een deel van de balk uitgedrukt. Beschouwt men een balk met rechthoekige doorsnede,
belast met een aantal krachten q(x) en F, zoals afgebeeld in Figuur 2.22.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 2: Structureel gedrag
116
xy
z q(x)F
zx
xx
M M+dM
x y
z
xx+dxx
xzxz
z = z0
y (z)2y (z)1
x
(a) (b)
dx
A’
Figuur 2.22 Bepaling van de schuifspanningen in een balk.
Uit deze balk wordt een infinitesimaal klein mootje geïsoleerd met breedte dx (zie Figuur
2.22(a)). Het verhaal indachtig van de balk met losse en verlijmde planken, werken er dus op
elk horizontaal vlak van dit mootje schuifspanningen zx, en t.g.v. de wederkerigheid van de
schuifspanningen, ook schuifspanningen xz op beide verticale eindvlakken van het mootje.
Verder weet men volgende zaken:
aangezien ondersteld werd dat er schuifspanningen zx en xz bestaan, en dus ook een
resulterende dwarskracht V, kan het buigend moment M niet constant zijn. Immers, uit
vergelijking (2.13) is gebleken dat V = dM/dx, zodat dM/dx verschillend van nul is.
Onderstel daarom op het linker-eindvlak van het mootje een buigend moment M en op het
rechter-eindvlak van het mootje een buigend moment M + dM. Wanneer de momenten M
en M + dM positief worden getekend, is ook de normaalspanningsverdeling over de hoogte
gekend,
op het bovenvlak van het mootje is de schuifspanning zx nul, vermits er geen uitwendige
schuifspanning werkt op de balk. Wegens de wederkerigheid der schuifspanningen moet
xz dus op beide verticale eindvlakken van de moot nul worden aan de bovenzijde. Op de
horizontale doorsnijding onderaan werkt de schuifspanning zx positief naar links, omdat
de buitennormale van de horizontale doorsnijding gericht is volgens - ze
. Verder wordt
ondersteld dat deze schuifspanning zx constant is over de breedte van de balk,
zoals te zien is op Figuur 2.22(b), is het grijs gekleurde deel van de moot begrepen tussen
de coördinaten z = z0 en z = +h/2. De breedte van de balk is in dit geval constant, maar in
geval van veranderlijke breedte van de balk kan deze meer algemeen geschreven worden
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 2: Structureel gedrag
117
als y2(z) – y1(z). De oppervlakte van de dwarsdoorsnede, begrepen tussen z = z0 en het
bovenvlak van de moot, is A’.
Drukt men nu het horizontaal evenwicht uit van het grijs gekleurde deel van de balk, dan
vindt men:
)z(y)z(y
dAz
I
V)z(
)z(y)z(yI
dAz
dx
dM)z(
0dx)z(y)z(y)z(dAzI
dM
0dx)z(y)z(y)z(dAI
zdMMdA
I
zM
0dx)z(y)z(y)z(dAddA
0102
'A
yy
0zx
0102yy
'A
0zx
01020zx'A
yy
01020zx'A
yy'A
yy
01020zx'A
xxxx'A
xx
(2.34)
De integraal in de teller van het rechterlid stelt niets anders voor dan het statisch moment van
de dwarsdoorsnede A’, begrepen tussen z = z0 en het bovenvlak van de moot, om de y-as. Dit
statisch moment wordt genoteerd als Sy(z0) en kan voluit geschreven worden als volgt:
2
h
z
12'A
0y
0
dz)z(y)z(yzdAz)z(S (2.35)
Het is zeer belangrijk op te merken dat het statisch moment Sy(z0) het statisch moment
voorstelt van de oppervlakte A’, en niet van de volledige dwarsdoorsnede A, terwijl Iyy het
traagheidsmoment voorstelt van de volledige dwarsdoorsnede A om de y-as.
Door z0 te vervangen door z en de wederkerigheid der schuifspanningen toe te passen, kan de
verdeling van de schuifspanning xz over de hoogte van de dwarsdoorsnede berekend worden:
)z(y)z(y
)z(S
I
V)z(
12
y
yy
xz
(2.36)
Deze formule noemt men de formule van Jourawski en zij berekent de verdeling van de
schuifspanning xz over de hoogte van de balk.
De formule van Jourawski dient met de nodige voorzichtigheid gebruikt, want zij is slechts
geldig voor massieve doorsneden, waarbij de breedte voldoende klein is t.o.v. de hoogte.
Voor platte profielen met een veel grotere breedte dan hoogte en voor dunwandige I-
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 2: Structureel gedrag
118
profielen, T-profielen, U-profielen, ... is de formule niet geldig. De voornaamste oorzaak is de
hierboven gemaakte onderstelling dat de schuifspanning zx in een horizontale doorsnijding
constant is over de breedte van de balk. Bij zeer brede doorsnedes is dit niet langer het geval.
Een uitgebreide bespreking van de berekening van schuifspanningen in deze profielen valt
echter buiten het bestek van deze cursus.
Het is belangrijk te onthouden dat een dwarskracht V aanleiding geeft tot schuifspanningen
xz over de hoogte van de balk, en dat deze in geval van massieve doorsneden met kleine
breedte/hoogte-verhouding kunnen berekend worden met de formule van Jourawski.
Voorbeeld 2.4
Bepaal de verdeling van de schuifspanningen xz in het rechthoekig profiel:
x y
z
h
b
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 2: Structureel gedrag
119
2.5. VERPLAATSINGEN
Uiteraard veroorzaken de snedekrachten N, M en V niet alleen spanningen in de balk, maar
ook vervormingen en dus verplaatsingen. In deze paragraaf wordt dieper ingegaan op de aard
van de verplaatsingen die een balk kan ondergaan.
2.5.1. Verplaatsingen t.g.v. de normaalkracht N
De normaalkracht N veroorzaakt een rek xx van de dwarsdoorsnede. Geïntegreerd over de
volledige lengte van de balk vindt men dan de totale verlenging L:
dxEA
NdxL
L
0
L
0
xx (2.37)
2.5.2. Verplaatsingen t.g.v. het buigend moment M
In vergelijking (2.31) werd reeds een verband afgeleid tussen de kromming 1/R en het
buigend moment M. Om nu de verplaatsingen van een verbogen balk te berekenen, wordt een
bijkomend verband gezocht tussen de kromming 1/R en de verticale verplaatsing u(x) van de
balk. Uit beide vergelijkingen kan dan een verband worden afgeleid tussen de verticale
verplaatsing u(x) en het buigend moment M.
De tekenconventie voor de hellingshoek van de vervormde balk hangt opnieuw samen met
de rechterhandregel voor het gekozen assenstelsel. De tekenconventie wordt weergegeven in
Figuur 2.23 voor het voorbeeld van een balk belast met een puntlast in het midden van zijn
overspanning.
xy
z
F
0
0
0
Figuur 2.23 Tekenconventie voor de helling van een doorgebogen balk.
In Figuur 2.24 wordt de verplaatsingslijn van een doorgebogen balk getekend, waarbij u(x) de
verticale verplaatsing voorstelt van elke positie x van de balk. De x-as valt samen met de
onvervormde aslijn van de balk. Beschouwt men nu het gekromde segment A’B’. Het
verband tussen de booglengte ds, de kromtestraal R en de openingshoek van het segment
A’B’ is als volgt:
dRds (2.38)
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 2: Structureel gedrag
120
xy
+ dR
u u + du
d
x
x + dx
ds
z
A’
B’
Figuur 2.24 Verband tussen kromming en doorbuiging [4].
Verder zijn de verticale verplaatsingen en hellingen van balken in de praktijk altijd heel klein,
zodat volgende benaderingen gelden:
tandx
du
dscosdsdx
(2.39)
De kromming 1/R kan dan als volgt worden geschreven:
2
2
dx
ud
dx
du
dx
d
ds
d
R
1
(2.40)
Dit verband kan ook rechtstreeks afgeleid worden als volgt: uit de cursus Analyse weet men
dat het verband tussen kromming 1/R en verticale verplaatsing u(x) de volgende is:
2
32
2
2
dx
du1
dx
ud
R
1
(2.41)
Gezien de geringe verticale verplaatsingen van de balken in de praktijk, is de helling du/dx
meestal kleiner dan 0,01 zodat de noemer van de breuk nagenoeg één wordt.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 2: Structureel gedrag
121
Gebruik makend van de vergelijkingen (2.31) en (2.40), komt men dan eenvoudig tot de
betrekking tussen buigend moment M en verticale verplaatsing u(x):
yy
2
2
IE
M
dx
ud
(2.42)
Opgelet: M is in bovenstaande formule geen constante, maar het verloop van het
buigend moment M(x) langs de lengte van de balk ! De doorbuiging in een punt x0 mag
dus ook niet geëvalueerd worden door het invullen van het buigend moment M(x=x0) in
vergelijking (2.42). Eerst moet M(x) ingevuld worden in vergelijking (2.42), deze
vergelijking wordt dan tweemaal geïntegreerd (met integratieconstanten !) en pas op het
einde wordt deze functie u(x) ge geëvalueerd in het punt x=x0.
De helling van de balk was gedefinieerd door de hoek , waarbij = – du/dx. Gebruik
makend van de vergelijkingen (2.13), komt men tenslotte tot de volgende formules:
4
4
yy3
3
yy2
2
dx
udEI
dx
dEI
dx
Md
dx
dVq
(2.43)
Nu kan men terug de vier basisgevallen beschouwen van een ingeklemde en opgelegde balk
met een puntlast F of een verdeelde belasting q(x), en voor deze vier gevallen de verticale
verplaatsingen u(x) berekenen.
2.5.2.a. Ingeklemde balk met puntlast
Het buigend moment M(x) voor een balk, ingeklemd aan het linkereinde en belast met een
puntlast F aan het rechtereinde, was:
xLFM (2.44)
M.b.v. vergelijking (2.43) volgt hieruit:
21
32
yy
1
2
yy
CxC6
x
2
xLF)x(uIE
C2
xxLF)x(IE
(2.45)
De randvoorwaarden voor de ingeklemde balk zijn:
0C0)0x(uIE
0C0)0x(IE
2yy
1yy
(2.46)
Daaruit volgt de verplaatsingslijn u(x) van de ingeklemde balk:
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 2: Structureel gedrag
122
6
x
2
xL
IE
F)x(u
32
yy
(2.47)
2.5.2.b. Ingeklemde balk met verdeelde belasting
Het buigend moment M(x) voor een balk, ingeklemd aan het linkereinde en belast met een
verdeelde belasting q(x), was:
2
xLqM
2
(2.48)
M.b.v. vergelijking (2.43) volgt hieruit:
21
4
yy
1
3
yy
CxC24
xLq)x(uIE
C6
xLq)x(IE
(2.49)
De randvoorwaarden voor de ingeklemde balk zijn:
24
LqC0)0x(uIE
6
LqC0)0x(IE
4
2yy
3
1yy
(2.50)
Daaruit volgt de verplaatsingslijn u(x) van de ingeklemde balk:
24
Lx
6
L
24
xL
IE
q)x(u
434
yy
(2.51)
2.5.2.c. Balk op twee steunpunten met puntlast
Het buigend moment M(x) voor een balk, opgelegd op twee steunpunten en belast met een
puntlast F in x = a, was:
axals
L
xLaFM
axalsL
aLxFM
(2.52)
Vermits de momentenlijn M(x) een knik vertoont ter hoogte van de puntlast F, moet men de
integratie opsplitsen voor x < a en voor x > a.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 2: Structureel gedrag
123
x < a
M.b.v. vergelijking (2.43) wordt de momentenlijn M(x) voor x < a geïntegreerd:
21
3
yy
1
2
yy
CxC6
x
L
aLF)x(uIE
C2
x
L
aLF)x(IE
(2.53)
x > a
M.b.v. vergelijking (2.43) wordt de momentenlijn M(x) voor x > a geïntegreerd:
43
3
yy
3
2
yy
CxCL6
xLaF)x(uIE
CL2
xLaF)x(IE
(2.54)
Om de vier integratieconstanten C1, C2, C3 en C4 te bepalen, beschikt men over twee
randvoorwaarden en twee aansluitingsvoorwaarden:
de verplaatsing u(x) moet nul zijn op de twee steunpunten, dus voor x = 0 en voor x = L,
hoewel de momentenlijn een knik vertoont ter hoogte van de puntlast, zal de balk
vervormen als een continu lichaam en dus kan er maar één waarde zijn voor de helling
en de verticale verplaatsing u in het punt x = a.
De vier voorwaarden voor de balk zijn dan:
6
)aL()aL(aFC
L6
)aL()aL(aFC
0C
L6
)aL2()aL(aFC
)ax(uIE)ax(uIE
)ax(IE)ax(IE
0)Lx(uIE
0)0x(uIE
4
3
2
1
yyyy
yyyy
yy
yy
(2.55)
Daaruit volgt de verplaatsingslijn u(x) van de opgelegde balk:
axals
6
)aL()aL(ax
L6
)aL()aL(a
L6
xLa
IE
F)x(u
axalsxL6
)aL2()aL(a
6
x
L
aL
IE
F)x(u
3
yy
3
yy
(2.56)
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 2: Structureel gedrag
124
2.5.2.d. Balk op twee steunpunten met verdeelde belasting
Het buigend moment M(x) voor een balk, opgelegd op twee steunpunten en belast met een
verdeelde belasting q(x), was:
2
xLxqM
(2.57)
M.b.v. vergelijking (2.43) volgt hieruit:
21
34
yy
1
23
yy
CxC12
xLq
24
xq)x(uIE
C4
xLq
6
xq)x(IE
(2.58)
De randvoorwaarden voor de opgelegde balk zijn:
24
LqC0)Lx(uIE
0C0)0x(uIE
3
1yy
2yy
(2.59)
Daaruit volgt de verplaatsingslijn u(x) van de opgelegde balk:
x
24
Lx
12
Lx
24
1
IE
q)x(u
334
yy
(2.60)
2.5.3. Verplaatsingen t.g.v. de dwarskracht V
Als de dwarskracht V aanzienlijk is, kunnen ook de schuifspanningen xz over de hoogte van
de dwarsdoorsnede een bijkomende verticale verplaatsing veroorzaken. De berekening van
deze verplaatsingen valt echter buiten het bestek van deze cursus.
Anderzijds is het zo dat in vele gevallen de doorbuiging t.g.v. de dwarskracht V
verwaarloosbaar is t.o.v. de verplaatsing t.g.v. het buigend moment M.
Voorbeeld 2.5
Een balk is onderaan ingeklemd en op de twee dwarsbalken grijpt links een kracht 2F aan, en
rechts een kracht F. De richting en zin van de krachten is zoals getekend op de figuur. De
dwarsdoorsnede van de balk is een regelmatige zeshoek en is in elke sectie van de verticale en
horizontale balken constant:
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 2: Structureel gedrag
125
F
2F
C
L
2a
x
yz
y100 mm
z of x
Als volgende waarden gegeven zijn:
F = 1 kN
L = 1 m
a = 30 cm
E = 200 GPa
bereken dan de totale verticale en horizontale verplaatsing van het punt C.
(Examen 1ste zittijd AJ 2002-2003. Voorziene tijd: 50 minuten)
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 2: Structureel gedrag
126
2.6. SINGULARITEITSFUNCTIES
In paragraaf 2.5.2.c werd de doorbuigingslijn berekend voor een balk op twee steunpunten
met een puntlast F in x = a. Daaruit bleek dat de integratie al snel bewerkelijk wordt als de
momentenlijn geen continue functie is, met invoering van randvoorwaarden en
aansluitingsvoorwaarden tot gevolg.
In deze paragraaf wordt de methode van de singulariteitsfuncties besproken, die de
doorbuigingslijn van een meervoudig belaste balk afleidt uit één enkele vergelijking. Deze
methode leent zich uitstekend tot implementatie in numerieke codes. De basisidee is om
zowel verdeelde belastingen q(x) als puntkrachten F en buigende momenten M te schrijven
als een soort continue belastingen, zodat alle belastingen tesamen kunnen geïntegreerd
worden.
Voor de verdeelde belastingen q(x) is deze transformatie zeer eenvoudig. Deze functies
kunnen worden geschreven in de algemene vorm:
n ℕ: axalsax
axals0ax n
n
(2.61)
Zoals weergegeven in Figuur 2.25, vertegenwoordigt x de coördinaatpositie van een punt
langs de balk en is a de plaats op de balk waar de discontinuïteit optreedt, namelijk het punt
waar een verdeelde belasting begint.
Figuur 2.25 Verdeelde belastingen met verschillende exponent n 0.
Dit type beschrijving kan natuurlijk worden uitgebreid naar verdeelde belastingen met een
andere vorm (trapezium, parabool,...) door superpositie van deze basisvormen.
De rekenregels zijn uiteraard zeer eenvoudig:
n ℕ:
C1n
axdxax
axnaxdx
d
1n
n
1nn
(2.62)
Voor de beschrijving van geconcentreerde krachten of koppels die op de balk werken,
gebruikt men de singulariteitsfuncties.
Zo kan men een geconcentreerde puntlast F in het punt x = a beschouwen als een verdeelde
belasting q die alleen in het interval 2/a,2/ax verschilt van nul. De dichtheid van
de belasting is dan q = F/ en de breedte , waarbij 0 . Dit wordt geïllustreerd door Figuur
2.26.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 2: Structureel gedrag
127
Figuur 2.26 Voorstelling van een geconcentreerde puntlast F als een verdeelde belasting [2].
De wiskundige uitdrukking wordt dan:
axvoorF
axvoor0axFq
1
(2.63)
Op analoge manier kan men een uitwendig koppel K definiëren als de limiet van twee
verdeelde belastingen, op een afstand van elkaar, zoals weergegeven in Figuur 2.27.
Figuur 2.27 Voorstelling van een positief moment K als een verdeelde belasting [2].
De wiskundige uitdrukking hiervan is:
axvoorK
axvoor0axKq
2
(2.64)
De rekenregels voor afleiding en integratie van deze singulariteitsfuncties zijn verschillend.
Men kan aantonen dat geldt:
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 2: Structureel gedrag
128
n ℕ: 1nn
1nn
axdxax
axaxdx
d
(2.65)
Met behulp van voorgaande functies kan men de belasting op een meervoudig belaste balk
schrijven in één verdeelde belasting q(x).
Figuur 2.28 toont het voorbeeld van een balk op twee steunpunten, belast met een puntkracht
F, een uitwendig koppel K en een verdeelde belasting q0.
Figuur 2.28 Balk met meervoudige belasting [2].
Men kan de totale belasting onmiddellijk schrijven als volgt (met inachtneming van de
tekenconventies voor positieve krachten en momenten):
0
0
211
A cxqbxKaxF0xRq
(2.66)
Tweemaal integreren volgens de formule (2.43) levert de momentenlijn M(x):
20011
A2
2
cx2
qbxKaxF0xR)x(M
dx
Mdq
(2.67)
Men kan dan nog tweemaal integreren om de doorbuigingslijn te bepalen.
Bij de eerste twee integraties van q(x) naar V(x) en van V(x) naar M(x) worden geen
integratieconstanten ingevoerd. Dat komt omdat de reactiekrachten en
reactiemomenten in deze cursus reeds als uitwendige belastingen worden meegenomen
in de uitdrukking voor q(x). De reactiekrachten zijn immers een soort
integratieconstanten voor V(x), en de reactiemomenten een soort integratieconstanten
voor M(x).
Bij de laatste twee integraties van M(x) naar (x) en van (x) naar u(x) dient men wel
rekening te houden met de randvoorwaarden voor hellingen en verplaatsingen, en daar
worden dus wel integratieconstanten ingevoerd bij het integreren.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 2: Structureel gedrag
129
Voorbeeld 2.6
Bepaal de helling en de doorbuiging van de as bij elk van de poelies C, D en E. De as is
gemaakt van staal en heeft een diameter van 30 mm. De lagers bij A en B oefenen slechts
verticale reacties op de as uit. Est = 200 GPa.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 2: Structureel gedrag
130
2.7. INVLOED VAN DE KEUZE VAN HET ASSENSTELSEL
Een belangrijke opmerking betreft de keuze van het assenstelsel. In deze cursus werd de
lengte-richting van de balk volgens de x-as geplaatst en werd de z-as volgens de hoogte van
de balk gelegd.
Helaas is dit niet het enige assenstelsel dat gangbaar is voor de beschrijving van de
balkentheorie. Men kan een ander rechtshandig assenstelsel kiezen met de y-as naar boven en
de z-as naar links. Deze keuze heeft zeer belangrijke implicaties voor de positieve richting en
zin van de momenten en de betrekkingen tussen q, V en M. Dit is samengevat in onderstaande
Figuur 2.29.
Keuze in deze cursus Alternatieve keuze
O
z
xx y
z
O
y
zxx
y
xy
z
V (=F )z
M (=M )y
N (=F )x
V
NM
q (x)zQz
x
y
z
V (=F )y
M (=M )z
N (=F )x
V
NM
q (x)yQy
V + dV
M + dM
V
M
q(x)
xy
z
dx
V + dV
M + dM
V
M
q(x)
x
y
z
dx
2
2
dx
Mdq
dx
dMV
dx
dVq
2
2
dx
Mdq
dx
dMV
dx
dVq
Positief koppel K: 2
axKq
Positief koppel K: 2
axKq
Figuur 2.29 Vergelijking tussen twee verschillende rechtshandige assenstelsels voor de balkentheorie.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 2: Structureel gedrag
131
Ook internationaal is er geen algemeen aanvaarde conventie voor de keuze van het structureel
assenstelsel. In de bouwkunde wordt het assenstelsel met de y-as als verticale as nog vaak
gebruikt. In de werktuigkunde en de mechanica van starre lichamen kiest men daarentegen de
z-as steeds als de verticale as. Ook in numerieke rekenpakketten stelt de z-as doorgaans de
verticale richting voor.
Sommige auteurs gaan zelfs verder en koppelen de tekenconventie voor buigende momenten
los van de keuze van het structureel assenstelsel. Zij definiëren een positief buigend moment
als een moment dat positieve (trek)spanningen veroorzaakt in dat deel van de balk dat een
positieve verticale coördinaat heeft.
Ook al zal men elders andere conventies terugvinden, het is steeds zo dat het fysisch gedrag
van een constructie onafhankelijk is van de keuze van het structureel assenstelsel. Als men
een balk op twee steunpunten in het midden belast met een neerwaarts gerichte puntkracht,
dan zal de doorbuiging u(x) steeds naar beneden zijn, ongeacht of men nu de z-as, dan wel de
y-as als verticale as kiest. Zelfs de positieve zin van de verticale as mag het resultaat niet
beïnvloeden. Dit lijkt triviaal, maar toch wordt vaak gezondigd tegen deze evidentie.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 2: Structureel gedrag
132
2.8. REFERENTIES
[1] Verhegghe, B. (2001). Elasticiteit en Sterkteleer. Cursus academiejaar 2001-2002.
Gent, Universiteit Gent.
[2] Hibbeler, R.C. (1997). Mechanics of materials. New Jersey, Prentice Hall
International, Inc., 855 pp.
[3] Case, J., Chilver, L. and Ross, C.T.F. (1999). Strength of materials and structures.
London, Arnold Publishers, 706 pp.
[4] Baxter Brown, J. McD. (1973). Introductory solid mechanics. London, John Wiley &
Sons Ltd, 434 pp.
133
Hoofdstuk 3
Oplossingsmethodes
3.1. INLEIDING
Zoals besproken in paragraaf 1.6, telt de algemene lineair elastische belastingstoestand van
een lichaam 15 onbekenden in elk punt van dat lichaam:
3 verplaatsingen wvu
6 spanningscomponenten yzxzxyzzyyxx
6 rekcomponenten yzxzxyzzyyxx
Anderzijds beschikt men over 15 vergelijkingen:
3 partiële differentiaalvergelijkingen voor het evenwicht:
0Fzyx
0Fzyx
0Fzyx
zzzyzxz
y
zyyyxy
xzxyxxx
(3.1)
6 vergelijkingen voor het verband tussen rek en verplaatsing:
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 3: Oplossingsmethodes
134
z
v
y
w
z
u
x
w
y
u
x
v
z
w
y
v
x
u
yz
xz
xy
zz
yy
xx
(3.2)
6 vergelijkingen voor het verband tussen rek en spanning (wet van Hooke):
G
G
G
E
1E
1E
1
yz
yz
xzxz
xy
xy
yyxxzzzz
zzxxyyyy
zzyyxxxx
(3.3)
Voor het oplossen van lineair elastische problemen kan men in feite drie wegen bewandelen:
analytische oplossingen, die een gesloten uitdrukking verschaffen voor het probleem en
nog van heel veel nut zijn voor de praktijk,
experimentele methodes, die het lineair elastisch probleem trachten op te lossen m.b.v.
experimenten,
numerieke methodes, die voor complexe belastingstoestanden en geometrieën van het
lichaam een zeer belangrijk instrument vormen.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 3: Oplossingsmethodes
135
3.2. ANALYTISCHE OPLOSSINGEN
In hoofdstuk 1 werd het lineair elastisch probleem analytisch opgelost voor een aantal
vereenvoudigde belastingsgevallen (bv. vlakspanning, vlakvervorming).
Dankzij de belangstelling van een groot aantal bekwame wiskundigen en natuurkundigen,
bestaan er heel wat analytische oplossingen voor lineair elastische problemen. Uiteraard zijn
dit problemen waarvan de geometrie en de randvoorwaarden wiskundig handelbaar zijn:
oneindig of half oneindig uitgestrekte gebieden, of gebieden begrensd door rechten,
cirkelbogen of kegelsneden, belast met één kracht, gelijkmatig verdeelde krachten, enz.
Alhoewel het heel moeilijk zou zijn om met deze methodes de spanningen in het onderstel
van een treinwagon of in een turbineschoep exact te berekenen, zijn deze analytische
oplossingen daarom niet waardeloos. Zij bieden ten opzichte van experimentele en numerieke
methodes het voordeel de oplossing in de gedaante van een analytische uitdrukking te
verschaffen, geldig voor alle waarden van de parameters die erin voorkomen. Zij worden
trouwens nog veelvuldig gebruikt als standaard om de nauwkeurigheid van numerieke
methodes te testen.
Tot slot bestaan er heel wat praktische problemen die qua geometrie en randvoorwaarden
weinig afwijken van deze analytische oplossingen, zodat zij als goede benadering voor het
praktische geval kunnen doorgaan.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 3: Oplossingsmethodes
136
3.3. EXPERIMENTELE METHODES
In paragraaf 5.2 over instrumentatie van de beproevingsmethodes en paragraaf 5.3 over
schadedetectie en –diagnose worden een aantal experimentele methodes besproken die de
vervorming van een constructie kunnen opvolgen: (i) rekstrookjes, (ii) moiré-technieken en
(iii) optische vezelsensoren. Deze technieken meten de vervormingen van de constructie, en
de spanningen worden via de wet van Hooke uit de rekken berekend.
Een experimentele methode die rechtstreekse informatie geeft over de spanningen, is de foto-
elastische methode. Deze methode heeft een grote bloei gekend in het begin van de twintigste
eeuw, maar wordt nu nog maar zelden gebruikt. Ze is in de eerste plaats geschikt voor
onderzoek van vlakspanningstoestanden, omdat de methode steunt op de vaststelling dat
bepaalde doorschijnende materialen onder invloed van spanningen optisch dubbel brekend
worden. De hoofdrichtingen van deze dubbele breking vallen samen met de hoofdrichtingen
van de spanningstensor en de faseverschuiving is evenredig met het verschil I – II tussen de
hoofdspanningen.
De belangrijkste foto-elastische materialen zijn kunstharsen (Columbia hars, epoxyharsen),
polyurethaan en polymethylmetacrylaat (plexiglas). Zij worden gegoten en bewerkt in
dezelfde vorm als de werkelijke constructie. Nadien worden gelijkaardige belastingen
aangebracht en wordt het onder spanning staande foto-elastische materiaal belicht met
gepolariseerd licht. Door het effect van dubbele breking krijgt men twee types krommen:
(i) isoclinen, en (ii) isochromaten. De isoclinen zijn de meetkundige plaats der punten
waarvoor de hoofdrichtingen een constante helling hebben t.o.v. een referentierichting. De
isochromaten zijn de meetkundige plaats der punten waarvoor het verschil tussen de twee
hoofdspanningen een constante waarde bedraagt.
Door een gepaste keuze van de polarisatie van het licht en de experimentele opstelling, kan
men de isoclinen en isochromaten afzonderlijk bestuderen.
Figuur 3.1 toont de isochromaten in een balk op twee steunpunten. De witte franje op halve
hoogte is de neutrale lijn waar I – II = 0. Daarboven en daaronder neemt het verschil toe,
min of meer in overeenkomst met de resultaten van de balkentheorie. Men bemerkt echter
sterke concentraties van franjes nabij de aangrijpingspunten van de kracht en van de reacties.
Dit wijst op spanningsconcentraties die niet in de balkentheorie worden meegerekend.
Figuur 3.1 Isochromaten voor een balk op twee steunpunten [1].
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 3: Oplossingsmethodes
137
Figuur 3.2 toont de isochromaten in een dunne vlakke plaat met een ronde opening, belast met
een gelijkmatig verdeelde trekspanning op voldoende afstand van de ronde opening. Opnieuw
wordt bevestigd dat er spanningsconcentraties optreden rond de opening in de plaat.
Figuur 3.2 Isochromaten in een dunne plaat met een ronde opening [1].
Meer in het algemeen, zoals besproken in paragraaf 1.11, treden spanningsconcentraties altijd
op aan doorsnedeveranderingen en plotse veranderingen van geometrie. Dit wordt bevestigd
door Figuur 3.3 die de isochromaten toont aan een sectieverandering, die belast wordt met
twee tegengestelde koppels.
Figuur 3.3 Spanningsconcentratie bij een doorsnedeverandering [1].
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 3: Oplossingsmethodes
138
Figuur 3.4 geeft een laatste voorbeeld van een balk met twee uitsparingen, die met twee
tegengestelde koppels wordt belast (boven). Een detail van de isochromaten rond de
uitsparingen (onder) toont duidelijk dat het lineair spanningsverloop uit de balkentheorie sterk
wordt verstoord door de aanwezigheid van de uitsparingen.
Figuur 3.4 Isochromaten in een balk met twee uitsparingen [1].
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 3: Oplossingsmethodes
139
3.4. NUMERIEKE METHODES – EINDIGE ELEMENTEN
In de tweede helft van de twintigste eeuw heeft de computer een reeks mogelijkheden
gecreëerd, die in de toepassing van de elasticiteitsleer, zoals in vele andere wetenschappen en
technieken, een ware revolutie hebben toegelaten. De meest gebruikte numerieke techniek is
tegenwoordig deze van de eindige elementen. Men kan de eindige elementenmethode
eenvoudig definiëren als een numerieke techniek die de complexe geometrie van de te
berekenen constructie opdeelt in een groot aantal eenvoudige bouwstenen (bv. driehoeken,
rechthoeken, kubussen,...), eindige elementen genaamd (Eng: finite elements). Figuur 3.5
toont bijvoorbeeld het eindige elementenmodel van een stalen as. Het volume van de as is
opgedeeld in honderden kleine elementen.
Figuur 3.5 Eindige elementenmodel van een stalen as.
De hoekpunten van elk van deze eindige elementen noemt men knopen (Eng: nodes). Aan
elke knoop kent men een aantal vrijheidsgraden toe, bv. de onbekende verplaatsingen (u,v,w)
in x-, y- en z-richting. De belasting wordt eveneens aangebracht in de knopen. De hele
constructie wordt in feite gediscretiseerd in een netwerk van knopen, zoals afgebeeld in
Figuur 3.6.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 3: Oplossingsmethodes
140
Figuur 3.6 Knopennet van de stalen as.
Door het uitdrukken van het evenwicht van de constructie en het opleggen van een groot
aantal aansluitingsvoorwaarden tussen alle knopen, wordt het lineair elastisch probleem
herleid tot het oplossen van een zeer groot stelsel lineair algebraïsche vergelijkingen.
Met de elementenmethode kan er voor bijna elk probleem van de elasticiteitsleer een
voldoend nauwkeurige oplossing gevonden worden. De programma’s voor de eindige
elementenmethode zijn echter uitgebreid, vergen veel geheugen en soms een lange rekentijd.
Hun toepassing was daarom lange tijd beperkt tot het ontwerp van belangrijke, dure en
technologisch geavanceerde producten (bv. kernreactoren, vliegtuigen, raketten). De
algemene doorbraak van zeer performante werkstations en zelfs PC’s heeft de laatste jaren
geleid tot een ruime verspreiding van de eindige elementenmethode. In alle grote
ontwerpbureaus is de elementenmethode nu een bijna alledaagse rekentechniek geworden.
Zoals elke numerieke methode geeft de eindige elementenmethode het resultaat in numerieke
vorm: men geeft de maten en geometrie op, de materiaaleigenschappen en de
randvoorwaarden, en krijgt getalwaarden voor spanningen, verplaatsingen,... terug.
Bovendien is de toepassing van de eindige elementenmethode niet beperkt tot lineair
elastische problemen. Ze wordt evenzeer aangewend voor niet-lineaire elasticiteit, plasticiteit,
warmtegeleiding, stromingsleer, trillingen en golven, elektromagnetisme,...
Niettegenstaande de grote kracht van deze eindige elementenpakketten, is een degelijke
kennis van elasticiteit en sterkteleer voor de ingenieur nog steeds een noodzaak. De nadruk
wordt echter verlegd: de ingenieur moet een goed inzicht hebben in de kenmerken van de
oplossing die hij verwacht en in de benaderingen en veronderstellingen die zij bevat. Zoniet
kan hij de programma’s niet efficiënt gebruiken en de resultaten niet rationeel beoordelen.
De eigenlijke behandeling van de eindige elementenmethode valt buiten het bestek van deze
cursus. In deze paragraaf wordt de globale structuur van een eindige elementenpakket
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 3: Oplossingsmethodes
141
uiteengezet en worden een aantal berekeningsvoorbeelden uit de praktijk besproken, zodat
men enige voeling krijgt met de sterktes (en zwaktes) van de eindige elementenmethode.
3.4.1. Structuur van het eindige elementenprogramma
Zoals reeds hoger vermeld, is de eindige elementenmethode toepasbaar op een zeer groot
aantal problemen, van lineaire elasticiteit over plasticiteit tot elektromagnetisme. Er zijn in de
loop der jaren dan ook heel wat commerciële eindige elementenpakketten ontwikkeld, elk met
hun eigen sterktes en zwaktes. Voor berekeningen in de klassieke mechanica worden
ABAQUS, Ansys, Nastran, Dyna en SAMCEF heel veel gebruikt.
Ondanks deze verscheidenheid kan men toch in alle commercieel en academisch ontwikkelde
eindige elementenpakketten drie grote delen onderscheiden:
pre-processing: invoer van het eindige elementenmodel
analyse: berekening van de spanningen en rekken in het model
post-processing: verwerking en visualisering van de resultaten
Elk van deze delen wordt nu meer in detail besproken. Het eindige elementenmodel van een
stalen drijfstang wordt gebruikt als leidraad voor de drie delen.
3.4.1.a. Pre-processing
De belangrijkste taak van de pre-processor is het “vertalen” van de reële constructie (inclusief
haar belasting, randvoorwaarden en materiaalkarakteristieken) naar een eindige elementen-
model. Deze “vertaling” gebeurt meestal in twee stappen:
opstellen van het geometrisch model,
opstellen van het daarmee overeenstemmend eindige elementenmodel.
Voor het opstellen van het geometrisch model beschikt de pre-processor over een aantal
typische tekenfuncties: het tekenen van punten, lijnen, oppervlakken, cirkelbogen,... Sommige
eindige elementenpakketten bieden ook de mogelijkheid om geometrische modellen te
importeren uit klassieke tekenpakketten zoals AutoCAD en SolidWorks.
Figuur 3.7 toont het geometrisch model voor een stalen drijfstang van een
vermoeiingsmachine [2]. In de grootste holte (links boven) komt een grote as, die heen en
weer beweegt en d.m.v. de drijfstang dezelfde verplaatsing oplegt aan een tweede, kleinere as.
Omdat de drijfstang in vermoeiing belast wordt, moet de maximale spanning in de drijfstang
voldoende ver beneden de vloeigrens blijven. Het is dan ook de bedoeling de
spanningstoestand in de volledige drijfstang te berekenen voor de meest nadelige belasting
door de twee doorgaande assen in de openingen.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 3: Oplossingsmethodes
142
Figuur 4-37 3D- beeld van de drijfstang
Figuur 3.7 Geometrisch model van een stalen drijfstang.
Voor het voorbeeld van Figuur 3.7 kan men het geometrisch model eerst nog vereenvoudigen,
aangezien er twee onderling loodrechte symmetrievlakken zijn. Het volstaat dus slechts een
kwart van het geometrisch model om te zetten naar eindige elementen (nadien zal men de
correcte randvoorwaarden aanbrengen op de symmetrievlakken).
In een tweede stap wordt dit geometrisch model omgezet naar het eindige elementenmodel.
Dit proces noemt men “meshing” en gebeurt door de “mesher”. Doorgaans begint de mesher
met een verdeling te maken van de rand(en) van het geometrisch model. Dat gebeurt door
hetzij het aantal verdelingen, hetzij de (gemiddelde) afmeting van de elementen op te geven.
Op basis van de door de gebruiker opgegeven randverdelingen kan de mesher dan een
elementennet opbouwen m.b.v. eenvoudige bouwstenen (kubussen, tetraëders). Het volledige
volume van het model wordt gediscretiseerd in honderden of duizenden van deze eindige
elementen. Het resultaat na meshing is weergegeven in Figuur 3.8.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 3: Oplossingsmethodes
143
Figuur 3.8 Eindige elementennet voor de stalen drijfstang.
Tot dusver werd geen enkele veronderstelling gemaakt over de materiaalkarakteristieken,
belastingen en randvoorwaarden. De opgave van deze gegevens vormt dan ook de laatste stap
naar het voltooide eindige elementenmodel.
In dit voorbeeld is het materiaal staal en gedraagt het materiaal zich lineair elastisch. De
benodigde gegevens voor het eindige elementenmodel zijn dan de elasticiteitsmodulus E en
de Poisson-coëfficiënt van het staal.
De meest nadelige belasting voor de drijfstang is deze, waarbij de doorgaande assen in de
twee openingen een tegengestelde trekkracht uitoefenen op de drijfstang. Deze belasting
wordt gemodelleerd door een radiale druk op de binnenste cilinderwand van beide
asopeningen (zie Figuur 3.9).
Figuur 4-29 opgelegde belasting voor de drijfstang
60°
Z
Y
60° 12.5 KN 12.5 KN
p1 p2
Figuur 3.9 Schematische voorstelling van de belasting op de drijfstang.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 3: Oplossingsmethodes
144
Figuur 3.10 toont de belastingsoppervlakken zoals ze in het eindige elementenpakket werden
aangebracht. Hoewel de belasting hier wordt aangebracht op de oppervlakte van de eindige
elementen, zal de pre-processor deze verdeelde belastingen toch omrekenen naar discrete
belastingen in de knopen. Het is echter nogal omslachtig om de gebruiker zelf deze
discretisatie te laten uitvoeren, vandaar dat de gebruiker de belasting ook als een verdeelde
belasting mag ingeven.
Figuur 4-30 opgelegde belasting op de drijfstang in Samcef
Figuur 3.10 Aanbrengen van de belastingen op de twee binnenste cilinderwanden van de drijfstang.
Tenslotte moeten de randvoorwaarden gedefinieerd worden. Wegens de onderstelling van
dubbele symmetrie moet men dus bijkomende randvoorwaarden opleggen aan de
symmetrievlakken, zodat de verplaatsingen daar voldoen aan de aansluitingsvoorwaarden.
3.4.1.b. Analyse
Het tweede deel van het eindige elementenprogramma omvat het eigenlijke rekenwerk. In dit
gedeelte worden voor alle knopen de onbekende verplaatsingen en de (eventuele)
knooppuntskrachten uitgeschreven. Nadien worden de evenwichtsvergelijkingen voor de hele
constructie en de aansluitingsvoorwaarden voor alle knopen opgesteld. Men kan aantonen dat
men uiteindelijk een reusachtig stelsel bekomt van lineaire algebraïsche vergelijkingen,
waaruit men de onbekende verplaatsingen in elke knoop kan oplossen.
Naast analyse-modules voor lineaire elasticiteit bestaan er ook tal van andere analyse-modules
voor plasticiteit, thermische berekeningen, elektromagnetisme, stromingsleer,... Niet alleen
moeten dus tientallen verschillende materiaalmodellen geïmplementeerd worden in de
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 3: Oplossingsmethodes
145
analyse-modules, maar ook zuiver numeriek stellen zich heel wat problemen. Sommige
stelsels bevatten miljoenen vergelijkingen, convergeren traag en moeilijk naar een oplossing
of moeten iteratief opgelost worden. Er zijn dan ook heel wat gespecialiseerde algoritmes
ontwikkeld voor de oplossing van deze stelsels vergelijkingen.
Eens men in elke knoop de verplaatsingen kent, kan men door afleiding de rekken berekenen.
M.b.v. de wet van Hooke kan men tenslotte de spanningen berekenen. Deze oplossing is
natuurlijk, net als het knopennet zelf, discreet en is enkel bekend voor de knopen zelf. Door
middel van een gepaste interpolatie kan men dan de verplaatsingen, rekken en spanningen
berekenen in alle tussenliggende punten.
De voorstelling van deze resultaten gebeurt in de derde stap, de post-processing.
3.4.1.c. Post-processing
De post-processor helpt de gebruiker bij de visualisatie en interpretatie van de bekomen
resultaten. De grootheden die men kan visualiseren, zijn van verschillende aard:
scalairen: temperatuur, energiedichtheid, von Mises spanning
vectoren: verplaatsing
tensoren: spanningen en vervormingen
Door hun geavanceerde grafische mogelijkheden bieden de hedendaagse post-processors heel
wat voordelen t.o.v. hun voorgangers die zich vaak beperkten tot het afdrukken van ellenlange
lijsten met resultaten.
Figuur 3.11 toont een plot van de berekende von Mises spanning in de stalen drijfstang. De
kleuren in de linkerbalk geven het bereik aan van de waarde van de von Mises spanning. De
laagste waarde is 0,86 MPa, terwijl de hoogste waarde 69,94 MPa bedraagt. Vergeleken met
een typische vloeigrens van 210 MPa voor staal, zijn de spanningen dus voldoende laag om
geen problemen in vermoeiing te veroorzaken.
Het is ook interessant te vermelden dat alle veranderingen in doorsnede en geometrie van
deze drijfstang zo geleidelijk mogelijk zijn uitgevoerd, met grote kromtestralen en
overgangsbogen, en dit om de spanningsconcentraties zo laag mogelijk te houden. In
vermoeiing zijn deze spanningsconcentraties immers net de plaatsen waar
vermoeiingsscheurtjes ontstaan.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 3: Oplossingsmethodes
146
Figuur 3.11 von Mises spanning in de drijfstang.
In de volgende paragraaf worden nog een aantal praktijkvoorbeelden besproken, waarbij het
vooral de bedoeling is de mogelijkheden en beperkingen van de eindige elementenmethode
weer te geven.
3.4.2. Praktijkvoorbeelden
3.4.2.a. Plastische vervorming van een koppeling voor perslucht
Het betreft een schadegeval van een koppeling voor een persluchtleiding bij 320 bar. Een
dwarsdoorsnede van de koppeling is afgebeeld in Figuur 3.12. Het linkergedeelte bevat de
moer waarmee de koppeling op een andere leiding wordt geschroefd. Het rechtergedeelte
bevat de persluchtleiding, waarvan de rubberen dichting ingeregen is met stalen
versterkingsvezels om de grote drukken te weerstaan.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 3: Oplossingsmethodes
147
Figuur 3.12 Dwarsdoorsnede van de persluchtkoppeling.
Er moest via numerieke simulaties aangetoond worden dat het hoekje, waartegen de moer
wordt aangetrokken, te klein was. Daardoor zou de bovenrand van de moer plastisch
vervormen bij het aanhalen van de moer en zou de persleiding gaan lekken. Dit kon inderdaad
experimenteel worden vastgesteld, zoals getoond in Figuur 3.13. De bovenrand van de moer
(links) is helemaal plastisch vervormd.
Figuur 3.13 Plastische vervorming van de rand van de moer.
Het eerste probleem bij de numerieke simulatie betreft altijd de vertaling van de werkelijke
geometrie en belastingstoestand naar een fysisch model. Het is duidelijk dat de modellering
van de volledige schroefdraad van de moer en het aandraaiproces van de moer te complex is.
Daarom werd de werkelijke situatie vereenvoudigd tot het model in Figuur 3.14.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 3: Oplossingsmethodes
148
moer
contactvlakken
interne druk
schuifkracht
Figuur 3.14 Tekening van de koppeling van de persluchtleiding.
Het verbindingsstuk onderaan waar de moer wordt opgeschroefd, wordt ingeklemd
verondersteld, zodat dit stuk geen verplaatsing ondergaat. De schroefdraad van de moer is
vervangen door een plat vlak en het aanschroeven van de moer wordt gemodelleerd door een
schuifkracht die de moer naar beneden trekt langs het vaste verbindingsstuk. Verder worden
nog een aantal bijkomende veronderstellingen gemaakt:
het probleem is axiaal-symmetrisch. Het volstaat dus één helft van de dwarsdoorsnede te
modelleren,
gezien het mogelijk optreden van plastische vervorming, werd een materiaalmodel voor
plasticiteit opgelegd met versteviging in de plastische fase,
langs de contactvlakken kan het materiaal glijden zonder wrijving,
de druk op de einddoorsnede bovenaan wordt vervangen door een langskracht op de rand
van de buis.
Figuur 3.15 toont een detail van het definitieve eindige elementenmodel in de zone van de
koppeling.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 3: Oplossingsmethodes
149
Figuur 3.15 Modellering van het aandraaien van de moer en krachtswerking op de koppeling.
Figuur 3.16 toont de vervormingen van de koppeling na het aandraaien van de moer.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 3: Oplossingsmethodes
150
Figuur 3.16 Verplaatsingen na aandraaien van de moer.
Zoals blijkt uit Figuur 3.17, is er een grote zone van plastische vervorming in de koppeling.
De von Mises spanning ligt ver boven de vloeigrens van 210 MPa.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 3: Oplossingsmethodes
151
Figuur 3.17 von Mises spanning in de zone van de koppeling.
3.4.2.b. Inlaat van een composiet drukvat
Het tweede praktijkgeval betreft een gewikkeld drukvat uit glasvezelversterkt epoxyhars.
Figuur 3.18 toont een voorbeeld van een dergelijk drukvat in kleine uitvoering. Bij een
grotere uitvoering van het drukvat werden problemen vastgesteld aan de inlaat van het
drukvat. Dergelijke drukvaten worden cyclisch belast tussen 0 en 10 bar en na een aantal
belastingscycli ontstond telkens een scheur aan de inlaat van het drukvat. De bedoeling van de
numerieke simulatie was na te gaan waar de hoogste spanningen optreden in het drukvat en
eventueel de geometrie van de inlaat te wijzigen.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 3: Oplossingsmethodes
152
Figuur 3.18 Gewikkeld drukvat uit glas/epoxy composiet.
Figuur 3.19 toont een dwarsdoorsnede van het bovenste gedeelte van het composiet drukvat.
polyethyleen inlaatafdichting
interne druk
glasvezelversterkt epoxy
polyethyleenbeschermingslaag
Figuur 3.19 Dwarsdoorsnede van het bovengedeelte van het composiet drukvat.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 3: Oplossingsmethodes
153
Binnenin het drukvat is een polyethyleen beschermingslaag aangebracht (tegen aantasting van
het composiet door afvalwater of chemische stoffen in het drukvat). De inlaat is gemaakt van
polyethyleen met 30 % verkapte glasvezels.
De polyethyleen beschermingslaag wordt gemodelleerd als een isotroop materiaal met
E = 0,7 GPa. De polyethyleen inlaat wordt ook gemodelleerd als isotroop, aangezien de
verkapte glasvezeltjes random verdeeld zijn in het materiaal, maar door de
glasvezelversterking bedraagt de elasticiteitsmodulus 4,8 GPa i.p.v. 0,7 GPa.
Het glas/epoxy-materiaal van het drukvat zelf is orthotroop en heeft verschillende
elasticiteitsmoduli volgens de vezels (44 GPa) en loodrecht op de vezels (5 GPa). Bovendien
is de hellingshoek van de vezels op elke hoogte verschillend t.g.v. het wikkelprocédé.
Opnieuw worden een aantal bijkomende veronderstellingen gemaakt voor de modellering van
het eindige elementennet:
het probleem is axiaal-symmetrisch. Het volstaat dus één helft van de dwarsdoorsnede te
modelleren,
de druk op het afdichtingsdeksel wordt vervangen door een stel opwaartse krachten op de
vertanding van de polyethyleen inlaat, zoals afgebeeld in Figuur 3.20. De opsplitsing in
een stel kleine krachtjes op elk van de tanden is noodzakelijk om een gelijkmatige
verdeling van de belasting te krijgen. Als men de totale kracht zou aanbrengen op één
enkele tand, zou men een zeer grote spanningsconcentratie introduceren in het materiaal.
Figuur 3.20 Detail van de verdeling van de belasting over de vertanding van de polyethyleen inlaat.
Tenslotte ziet het eindige elementennet eruit zoals afgebeeld in Figuur 3.21.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 3: Oplossingsmethodes
154
Figuur 3.21 Volledig eindige elementennet voor het composiet drukvat.
Aangezien de polyethyleen inlaat isotroop werd verondersteld, kan de von Mises spanning
berekend worden voor dit materiaal. Een detail is afgebeeld in Figuur 3.22.
Figuur 3.22 Spanningen in de isotroop veronderstelde polyethyleen inlaat.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 3: Oplossingsmethodes
155
De von Mises spanning bedraagt 21,76 MPa voor de zeer dunne rechterrand van de inlaat en
deze spanning bleek te hoog, zeker onder cyclische belasting van het drukvat.
3.4.2.c. Maximale kromming van een connectorblok met optische vezels
Het derde praktijkgeval stamt uit het domein van de elektronica. Twee connectorblokken zijn
met elkaar verbonden door een datalijn van acht optische vezels met een diameter van 125
m. De lengte van de optische vezels is 16 mm en de tussenafstand tussen de hartlijn van de
optische vezels is 250 m. Een schematische figuur is getoond in Figuur 3.23. De onderlinge
verhoudingen op de figuur zijn uiteraard niet correct.
= 125 m
d = 250 m
L = 2 mm
verplaatsing ?
(a) (b)
Figuur 3.23 Schematische voorstelling van de connectorblokken.
Deze connectorblokken en hun datalijn moesten ingebouwd worden in een sturing en mochten
zo weinig mogelijk ruimte innemen. Wel moest de ene connector over 90 gedraaid worden
t.o.v. de andere (zie Figuur 3.23(b)). Gevraagd werd de meest compacte configuratie te
bepalen, zonder dat de optische vezels elkaar gaan overlappen of gaan breken door een te
sterke kromming.
Dit is een zeer sterk niet-lineair probleem omdat de verplaatsingen reusachtig zijn in
vergelijking met de afmetingen van het object. Bovendien is de buigstijfheid EIyy van een
dergelijke optische vezel bijzonder klein. Inderdaad de E-modulus van glas is ongeveer 3 GPa
en het traagheidsmoment Iyy van een cirkelvormige doorsnede is 4r4
. De buigstijfheid
bedraagt dus 0,036 Nmm2 (ter vergelijking: een stalen staaf met diameter 20 mm heeft een
buigstijfheid van 1,03108 Nmm2). Dergelijke miniscule waarden zorgen voor een bijzonder
moeilijke convergentie van het numeriek probleem.
De optische vezel werd gemodelleerd als een balk. Het linkeruiteinde werd vastgehouden
terwijl aan het rechteruiteinde een grote verplaatsing naar links en naar beneden werd
opgelegd, om de verplaatsing van het tweede connectorblok te simuleren. De vervorming van
de optische vezel, zoals die werd berekend na de opgelegde verplaatsing, is getoond in Figuur
3.24.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 3: Oplossingsmethodes
156
Figuur 3.24 Berekende vervorming van de optische vezel na verplaatsing.
De modellering van alle acht optische vezels tegelijk bleek te ingewikkeld, omdat het
probleem tweedimensionaal werd opgevat. Bij de verplaatsing van de acht vezels zou het
eindige elementenpakket een mogelijk contact tussen twee optische vezels moeten controleren
en een glijding toelaten van de ene vezel t.o.v. de andere. Dit vraagt de introductie van
speciale eindige elementen (nl. contactelementen) en bemoeilijkt de convergentie nog meer.
Daarom werd de positie voor één enkele vezel berekend en werd iteratief naar een optimale
oplossing gezocht.
3.4.2.d. Thermische spanningen in een dikwandige composietbuis
Bij de productie van gewikkelde composietbuizen worden de vezels door een harsbad
getrokken en nadien gewikkeld op een matrijs. Dit gebeurt bij verhoogde temperatuur om het
hars voldoende vloeibaar te maken. Nadien gebeurt de uitharding bij kamertemperatuur.
Daarbij koelt de buis in haar geheel af van ongeveer 100 C tot 20 C.
De composietbuis in dit voorbeeld wordt gebruikt voor afvalwaterzuivering. Daarbij wordt
het afvalwater onder hoge druk door een aantal filters gepompt. De composietbuis moet dan
ook bestand zijn tegen drukken van 80 bar en is dus zeer dikwandig.
Figuur 3.25 toont een typisch voorbeeld van een dergelijke composietbuis uit
glasvezelversterkt epoxyhars.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 3: Oplossingsmethodes
157
Figuur 3.25 Dikwandige glas/epoxy composietbuis voor afvalwaterzuivering.
De stapeling van de buiswand bestaat uit 26 lagen van 54 en twee buitenste lagen onder
90. Figuur 3.26 toont een gepolijste dwarsdoorsnede van de buiswand (dikte 16,55 mm).
Figuur 3.26 Gepolijste dwarsdoorsnede van de wand: 26 lagen van 54 en twee buitenste lagen onder 90.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 3: Oplossingsmethodes
158
Het is duidelijk dat de thermische uitzettingscoëfficiënt [m/(mC)] van dit orthotroop
materiaal zeker niet dezelfde is in alle richtingen. Uit experimenten werd bepaald dat de
thermische uitzettingscoëfficiënten volgens de richtingen van orthotropie zijn:
]Cm/m[
102,23
102,23
108,5
6
6
6
33
22
11
(3.4)
Hieruit blijkt duidelijk dat de thermische uitzetting in de richtingen dwars op de
versterkingsvezels veel groter is dan in de vezelrichting.
De eindige elementensimulatie bestaat er nu in een thermische afkoeling van 100 C naar
20 C te simuleren. Hoewel de buis tijdens de uitharding volledig vrij kan uitzetten, zullen
toch thermische spanningen ontstaan, en wel om twee redenen:
het materiaal is niet isotroop en de thermische krimp is dus niet dezelfde in alle richtingen,
de buis is zeer dikwandig en de individuele lagen belemmeren elkaar in hun vrije krimp.
Omwille van de symmetrie volstaat het opnieuw de helft van de buis te simuleren. Bovendien
wordt de randvoorwaarde opgelegd dat de buis in de langsrichting vrij kan uitzetten. Figuur
3.27 toont het gebruikte eindige elementennet. Links is de globale mesh getoond, terwijl
rechts een detail van de volledige wanddikte is getoond. Alle lagen van de composietbuis
worden dus afzonderlijk gemodelleerd.
Figuur 3.27 Globale eindige-elementenmesh (links) en detail van de elementennet in de dwarsdoorsnede
(rechts).
Uit de simulaties blijkt dat de spanningen 11 in de vezelrichting zeer klein zijn (de
thermische uitzettingscoëfficiënt is ook kleiner in de vezelrichting). De spanningen 33
blijken bijna onbestaande te zijn. De spanningen 22 loodrecht op de vezelrichting blijken
echter veel groter dan verwacht. Figuur 3.28 toont een detail van de thermische spanningen
22 in elke laag doorheen de buiswand.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 3: Oplossingsmethodes
159
Figuur 3.28 Thermische spanningen loodrecht op de vezelrichting in elke individuele laag.
De hoogste spanningen 22 bedragen 20,14 MPa en deze zijn zeer hoog vergeleken met de
treksterkte YT loodrecht op de vezelrichting die 35,0 MPa bedraagt. Op dat moment is er
immers nog geen enkele gebruiksbelasting op de buis aangebracht.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 3: Oplossingsmethodes
160
3.5. REFERENTIES
[1] Verhegghe, B. (2001). Elasticiteit en Sterkteleer. Cursus academiejaar 2001-2002.
Gent, Universiteit Gent.
[2] Berthels, K. and Van Peteghem, J. (2000). Design of an advanced fatigue testing
device for fibre-reinforced composites. Graduate Thesis (in Dutch). Ghent, Ghent
University, 119 pp.
161
Hoofdstuk 4
Tweedimensionale elastische problemen
4.1. VLAKSPANNING EN VLAKVERVORMING
In vele praktijkgevallen in de bouwkunde en de werktuigkunde kan men aannemen dat de
hele belastingstoestand zich afspeelt in één enkel vlak x-y, zodat het probleem zich herleidt
tot een tweedimensionaal probleem. Deze problemen vallen uiteen in twee grote klassen: (i)
vlakspanning, en (ii) vlakvervorming.
4.1.1. Vlakspanning
4.1.1.a. Algemeen
Onderstel een dunne plaat of schijf die belast wordt in haar eigen vlak, zoals aangegeven in
Figuur 4.1. De x- en y-as liggen in het vlak van de plaat, terwijl de z-as gelegen is volgens de
dikterichting van de plaat.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 4: Tweedimensionale elastische problemen
162
Figuur 4.1 Voorbeelden van vlakspanningstoestand [6].
Als de vrije plaatoppervlakken niet belast zijn, is de spanningsvector )n(
in elk punt van
deze vrije plaatoppervlakken nul en dus ook de spanningscomponenten zz, zx en zy die
aangrijpen op deze vrije plaatoppervlakken. Omdat bovendien de dikte van de plaat of schijf
klein is, neemt men aan dat deze spanningscomponenten ook nul zijn binnenin de plaat.
Vandaar onderstelt men in elk punt van de plaat de volgende spanningstoestand:
000
0
0
][ yyxy
xyxx
(4.1)
waarbij men aanneemt dat óók deze spanningen constant zijn doorheen de dikte. Een
dergelijke spanningstoestand noemt men een vlakspanningstoestand (Eng: plane stress).
Het is belangrijk op te merken dat, hoewel de spanning zz nul is, de rek zz niet nul is, en dit
ten gevolge van het Poisson-effect. Dit volgt ook onmiddellijk uit de wet van Hooke (1.87):
yyxxzzyyxxzzzz1
0)1()21)(1(
E
(4.2)
De algemene wet van Hooke (1.85) wordt in geval van vlakspanning (zz = 0) herleid tot:
G
E
E
1E
1
xy
xy
yyxxzz
xxyyyy
yyxxxx
(4.3)
Gebruikmakend van (4.2), wordt het inverse verband tussen spanning en rek (1.87) in geval
van vlakspanning dan herleid tot:
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 4: Tweedimensionale elastische problemen
163
xyxy
xxyy2yy
yyxx2xx
G
)1(
E)1(
E
(4.4)
Ook in dit tweedimensionaal belastingsgeval kan men de hoofdspanningen bepalen.
Aangezien de spanningen zz, xz en yz in alle gevallen nul zijn, worden de hoofdspanningen
I en II gevonden door een geschikte rotatie van het assenstelsel (x,y,z) om de z-as.
Definieert men de hoek als de hoek tussen de x-as en de x’-as (positief in tegenwijzerzin
wegens de rechterhandregel om de as z
e
), dan worden de transformatieformules
vereenvoudigd tot:
100
0cossin
0sincos
000
0
0
100
0cossin
0sincos
000
0''
0''
yyxy
xyxx
yyxy
xyxx
(4.5)
Uitgewerkt wordt dit:
22
xyxxyyxy
xy
2
yy
2
xxyy
xy
2
yy
2
xxxx
sincoscossin)('
cossin2cossin'
cossin2sincos'
(4.6)
Om de twee onbekende hoofdrichtingen te vinden, stelt men ’xy = 0, waaruit:
xxyy
xy22tan
(4.7)
Dit geeft twee waarden van , met een verschil van 90. Men vindt dan de twee
hoofdspanningen I en II door één van de twee gevonden waarden voor de hoek in de
eerste twee vergelijkingen van (4.6) te substitueren. Een andere mogelijkheid bestaat erin de
seculaire vergelijking (1.52) uit te schrijven en de twee wortels I en II te bepalen. Deze zijn:
2
4
2
4
2
xy
2
yyxxyyxx
II
2
xy
2
yyxxyyxx
I
(4.8)
Via deze weg kan men echter niet uitmaken of de hoofdspanning I correspondeert met , dan
wel met + 90.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 4: Tweedimensionale elastische problemen
164
4.1.1.b. Cirkel van Mohr
De cirkel van Mohr is een grafische techniek die toelaat om de vlakspanningstoestand op een
eenvoudige wijze te visualiseren. Om dit aan te tonen, herschrijft men de eerste en de derde
vergelijking van (4.6) als volgt:
2cos2sin2
'
2sin2cos22
'
xy
yyxx
xy
xy
yyxxyyxx
xx
(4.9)
Vervolgens kwadrateert men deze vergelijkingen en telt ze op. Dan bekomt men:
2xy
2
yyxx2
xy
2
yyxx
xx2
'2
'
(4.10)
Dit is de vergelijking van een cirkel met middelpunt
0,
2
yyxx en straal
2xy
2
yyxx
2
. Legt men nu de coördinaatassen vast, positief naar rechts en
positief omlaag, dan kan men de cirkel van Mohr construeren. Het is belangrijk dat de -as
positief naar beneden gekozen wordt, want dan blijft de hoek positief in tegenuurwijzerzin,
zoals die ook in tegenuurwijzerzin positief is van xe
naar y
e
.
De constructie van de cirkel van Mohr is getoond in Figuur 4.2.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 4: Tweedimensionale elastische problemen
165
Figuur 4.2 Constructie van de cirkel van Mohr [1].
Men zet eerst de gekende spanningstoestand xyyyxx uit in de twee punten (xx, xy)
en (yy, -xy) (de respectieve punten A en G op de cirkel in Figuur 4.2(a)). Deze twee punten
vormen samen een middellijn van de cirkel van Mohr. De straal die het punt (xx, xy) met het
middelpunt van de cirkel verbindt, geeft de richting = 0 aan. Deze richting valt echter niet
noodzakelijk samen met de horizontale middellijn van de cirkel, want de horizontale
middellijn geeft de richting aan van de hoofdspanningen. Voor de horizontale middellijn
zijn de schuifspanningen immers nul.
Als men nu de spanningstoestand xyyyxx ''' wil kennen op een ander vlak, waarbij
de hoek de hoek is tussen het oorspronkelijke vlak en het nieuwe vlak ( positief in
tegenuurwijzerzin), dan zet men op de cirkel van Mohr een middellijn uit die over een hoek
2 gedraaid is t.o.v. de middellijn van de oorspronkelijke spanningstoestand (opnieuw 2
positief in tegenuurwijzerzin). Op de cirkel van Mohr wordt niet de hoek uitgezet, maar wel
de hoek 2. Dit volgt onmiddellijk uit de herwerkte vergelijkingen (4.9).
De snijpunten (’xx, ’xy) en (’yy, -’xy) van deze nieuwe middellijn met de cirkel geven de
nieuwe spanningstoestand xyyyxx ''' aan. Het is zeer belangrijk op te merken dat de
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 4: Tweedimensionale elastische problemen
166
cirkel van Mohr geldt voor de spanningstoestanden op verschillend geöriënteerde vlakjes in
één en hetzelfde punt, zoals geïllustreerd door Figuur 4.2(b).
Voorbeeld 4.1
In het punt P bestaat de volgende spanningstoestand in het assenstelsel (x,y,z):
MPa
000
07648
048105
ij
Op welk vlakje door P zal men de grootste schuifspanning vinden ?
4.1.1.c. Vlakspanning met thermische effecten
Legt men opnieuw de voorwaarde op dat zz nul is, dan volgt ditmaal uit de wet van Hooke
(1.114):
T1
1
1
0T21
E)1(
)21)(1(
E
yyxxzz
yyxxzzzz
(4.11)
De algemene wet van Hooke met inbegrip van thermische effecten (1.113) wordt in geval van
vlakspanning (zz = 0) dan herleid tot:
G
TE
TE
1
TE
1
xy
xy
yyxxzz
xxyyyy
yyxxxx
(4.12)
Het inverse verband tussen spanning en rek met inbegrip van thermische effecten (1.114)
wordt dan voor vlakspanning:
xyxy
xxyy2yy
yyxx2xx
G
T1
E
)1(
E
T1
E
)1(
E
(4.13)
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 4: Tweedimensionale elastische problemen
167
4.1.2. Vlakvervorming
4.1.2.a. Algemeen
De tweede vervormingstoestand die als tweedimensionaal kan behandeld worden, is
vlakvervorming (Eng: plane strain). Hierbij neemt men aan dat er geen verplaatsing is in de z-
richting, en er dus ook geen rekken zz, xz en yz zijn. Een typisch voorbeeld is getoond in
Figuur 4.3, waar een buis is ingeklemd aan haar beide uiteinden en dus onmogelijk kan
vervormen in de langsrichting. Een dergelijk probleem kan men dan vereenvoudigen tot een
tweedimensionaal geval, zoals getoond in het rechterdeel van de figuur.
Figuur 4.3 Voorbeeld van vlakvervorming [6].
In geval van vlakvervorming is de rektensor dus:
000
02
1
02
1
][ yyxy
xyxx
(4.14)
Hoewel de rek zz nul is, is de spanning zz niet nul. Precies door de verhindering van vrije
vervorming in de z-richting treden bijkomende spanningen zz op. Dit volgt ook onmiddellijk
uit de wet van Hooke (1.85):
yyxxzzyyxxzzzz 0E
1 (4.15)
Gebruikmakend van (4.15) wordt het verband tussen rek en spanning (1.85) voor
vlakvervorming vereenvoudigd tot:
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 4: Tweedimensionale elastische problemen
168
G
)1(E
1
)1(E
1
xy
xy
xxyyyy
yyxxxx
(4.16)
Het inverse verband tussen spanning en rek (1.87) wordt in geval van vlakvervorming (zz =
0):
xyxy
yyxxzz
xxyyyy
yyxxxx
G
)21)(1(
E
)1()21)(1(
E
)1()21)(1(
E
(4.17)
Ook in geval van vlakvervorming kan men de hoofdrekken bepalen. Aangezien de rekken zz,
xz en yz in alle gevallen nul zijn, worden de hoofdrekken I en II gevonden door een
geschikte rotatie van het assenstelsel (x,y,z) om de z-as. Definieert men de hoek opnieuw
als de hoek tussen de x-as en de x’-as (positief in tegenwijzerzin wegens de rechterhandregel
om de as z
e
), dan worden de transformatieformules vereenvoudigd tot:
100
0cossin
0sincos
000
02
02
100
0cossin
0sincos
000
0'2
'
02
''
yy
xy
xy
xx
yy
xy
xy
xx
(4.18)
Uitgewerkt wordt dit:
22xy
xxyy
xy
xy
2
yy
2
xxyy
xy
2
yy
2
xxxx
sincos2
cossin)(2
'
cossincossin'
cossinsincos'
(4.19)
Om de twee onbekende hoofdrichtingen te vinden, stelt men ditmaal ’xy = 0, waaruit:
yyxx
xy2tan
(4.20)
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 4: Tweedimensionale elastische problemen
169
Dit geeft twee waarden van , met een verschil van 90. Men vindt dan de twee hoofdrekken
I en II door één van de twee gevonden waarden voor de hoek in de eerste twee
vergelijkingen van (4.19) te substitueren. Een andere mogelijkheid bestaat erin de seculaire
vergelijking (1.72) uit te schrijven en de twee wortels I en II te bepalen. Deze zijn:
2
22
xy
2
yyxxyyxx
II
2
xy
2
yyxxyyxx
I
(4.21)
Via deze weg kan men echter niet uitmaken of de hoofdrek I correspondeert met , dan wel
met + 90.
4.1.2.b. Cirkel van Mohr
Vermits de transformatieformules (4.19) voor vlakvervorming net dezelfde structuur hebben
als de transformatieformules (4.6) voor vlakspanning, kan men ook een cirkel van Mohr
construeren voor vlakvervorming.
Geheel analoog aan (4.9) worden de eerste en derde vergelijking van (4.19) herwerkt als
volgt:
2cos2
2sin22
'
2sin2
2cos22
'
xyyyxxxy
xyyyxxyyxx
xx
(4.22)
Vervolgens kwadrateert men deze vergelijkingen en telt ze op. Dan bekomt men:
2
xy
2
yyxx
2
xy
2
yyxx
xx222
'
2'
(4.23)
Dit is de vergelijking van een cirkel met middelpunt
0,
2
yyxx en straal
2
xy
2
yyxx
22
. Legt men nu de coördinaatassen vast, positief naar rechts en /2
positief omlaag, dan kan men de cirkel van Mohr construeren. Het is belangrijk dat de /2-as
opnieuw positief naar beneden gekozen wordt, want dan blijft de hoek positief in
tegenuurwijzerzin, zoals die ook in tegenuurwijzerzin positief is van xe
naar y
e
.
De constructie van de cirkel van Mohr is getoond in Figuur 4.4.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 4: Tweedimensionale elastische problemen
170
Figuur 4.4 Constructie van de cirkel van Mohr [1].
Men zet eerst de gekende rektoestand
2
xy
yyxx uit in de twee punten
2,
xy
xx en
2,
xy
yy . Deze twee punten vormen samen een middellijn van de cirkel van Mohr. De
straal die het punt
2,
xy
xx met het middelpunt van de cirkel verbindt, geeft de richting
= 0 aan. Deze richting valt echter niet noodzakelijk samen met de horizontale middellijn
van de cirkel, want de horizontale middellijn geeft de richting aan van de hoofdrekken.
Voor de horizontale middellijn zijn de glijdingen immers nul.
Als men nu de vervormingstoestand
2
'''
xy
yyxx wil kennen op een ander vlak,
waarbij de hoek de hoek is tussen het oorspronkelijke vlak en het nieuwe vlak ( positief in
tegenuurwijzerzin), dan zet men op de cirkel van Mohr een middellijn uit die over een hoek
2 gedraaid is t.o.v. de middellijn van de oorspronkelijke vervormingstoestand (opnieuw 2
positief in tegenuurwijzerzin). Op de cirkel van Mohr wordt niet de hoek uitgezet, maar wel
de hoek 2. Dit volgt onmiddellijk uit de herwerkte vergelijkingen (4.22).
De snijpunten
2
','
xy
xx en
2
','
xy
yy van deze nieuwe middellijn met de cirkel geven
de nieuwe vervormingstoestand
2
'''
xy
yyxx aan. Het is zeer belangrijk op te merken
dat de cirkel van Mohr geldt voor de vervormingstoestanden op verschillend geöriënteerde
vlakjes in één en hetzelfde punt.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 4: Tweedimensionale elastische problemen
171
Voorbeeld 4.2
Gegeven is de volgende vervormingstoestand:
6
xy
6
yy
6
xx
1080
1050
1090
De overige rekcomponenten zijn nul.
a) welke bijzondere toestand is dit ?
b) bepaal de hoofdrekken m.b.v. de cirkel van Mohr. De berekende waarden moeten exact
zijn.
c) als E = 200 GPa en = 0,3 bepaal dan de hoofdspanningen. Teken twee vierkantjes
waarop u de oriëntatie aanduidt van het oude x-y assenstelsel en van het nieuwe
assenstelsel van de hoofdspanningen. Teken ook de richting en zin van de
hoofdspanningen. De spanningen in het x-y assenstelsel hoeft U niet te berekenen.
(Examen 1ste zittijd AJ 2002-2003. Voorziene tijd: 20 minuten)
4.1.2.c. Vlakvervorming met thermische effecten
Legt men opnieuw de voorwaarde op dat zz nul is, dan volgt ditmaal uit de wet van Hooke
(1.113):
TE0TE
1yyxxzzyyxxzzzz (4.24)
De algemene wet van Hooke met inbegrip van thermische effecten (1.113) wordt in geval van
vlakvervorming (zz = 0) dan herleid tot:
G
T)1()1(E
1
T)1()1(E
1
xy
xy
xxyyyy
yyxxxx
(4.25)
Het inverse verband tussen spanning en rek met inbegrip van thermische effecten (1.114)
wordt dan voor vlakvervorming:
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 4: Tweedimensionale elastische problemen
172
xyxy
yyxxzz
xxyyyy
yyxxxx
G
T21
E
)21)(1(
E
T21
E)1(
)21)(1(
E
T21
E)1(
)21)(1(
E
(4.26)
4.1.3. Hoofdrichtingen vlakspanning en vlakvervorming
Voor een isotroop materiaal zijn de hoofdrichtingen voor vlakspanning en vlakvervorming
dezelfde. Dit volgt ook onmiddellijk uit de algemene wet van Hooke (1.85): als de
schuifspanningen xy, xz en yz nul zijn, dan zijn ook de corresponderende glijdingen xy, xz
en yz nul.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 4: Tweedimensionale elastische problemen
173
4.2. AXIAALSYMMETRISCHE BELASTINGSGEVALLEN
4.2.1. Basisformules voor axiaalsymmetrie
Axiaalsymmetrische belastingen komen heel vaak voor in geval van buizen, staven en
schijven, waarbij bv. een vloeistofdruk aangrijpt in de radiale richting, of een verwarmde
vloeistof/gas doorheen een pijpleiding stroomt en zo een radiale temperatuurgradiënt
veroorzaakt over de wanddikte van de pijp.
Onafhankelijk van de bovenstaande belastingsgevallen, blijven heel wat begrippen en
formules uit de voorgaande hoofdstukken onverminderd geldig. Alleen is het bij een
axiaalsymmetrische geometrie wel aangewezen om eerst over te gaan op cilindercoördinaten
( re
,
e , z
e
). De z-as is altijd de as van axiaalsymmetrie en ligt dus in de lengterichting van
de buis/staaf/schijf.
Aangezien de cilindercoördinaten orthogonaal zijn, vormen re
,
e en z
e
een rechtshandig
referentiestelsel, waarin men de spanningstensor als volgt definieert:
zzzrz
zr
rzrrr
][ (4.27)
Dus de ‘x’-index wordt vervangen door ‘r’ en de ‘y’-index door ‘’. De ‘z’-index blijft
uiteraard dezelfde.
De onderstaande figuur herhaalt nog eens de definitie van de spanningscomponenten in
cylindercoördinaten.
Figuur 4.5 Definitie van de spanningstensor in cylindercoördinaten.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 4: Tweedimensionale elastische problemen
174
Verder, vermits de vorm van de buis/staaf/schijf, net als de belastingen, axiaalsymmetrisch is
en de belasting gelijkmatig ondersteld wordt in de z-richting, is het duidelijk dat de
spanningen, rekken en verplaatsingen alleen van r zullen afhangen, en niet van . Dit brengt
een aanzienlijke vereenvoudiging van de rektensor met zich mee. Inderdaad, aangezien alle
afgeleiden naar nul zijn en ook u nul is, wordt de rektensor in cylindercoördinaten uit
hoofdstuk 1 vereenvoudigd tot:
dz
du00
0r
u0
00dr
du
22
22
22
][
z
r
r
zzzrz
zr
rzrrr
(4.28)
Merk op dat hoewel u = 0 (per definitie voor axiaalsymmetrie), de rek (en ook de
spanning ) helemaal niet nul hoeft te zijn !
Uit bovenstaande vergelijkingen volgt ook onmiddellijk dat de radiale verplaatsing ur
eenvoudig kan berekend worden uit de tangentiële rek als:
ru r (4.29)1
Hoewel het intuïtief logisch lijkt om te schrijven dat ur = rrr, is dit foutief. Als men van
rr wil vertrekken voor de berekening van ur, moet men de functie rr(r) integreren.
In dit rechtshandig cylindrisch assenstelsel blijft ook de wet van Hooke onverminderd geldig,
alleen wordt de ‘x’-index opnieuw vervangen door ‘r’ en de ‘y’-index door ‘’. De ‘z’-index
blijft uiteraard dezelfde:
rrzzzz
zzrr
zzrrrr
E
1E
1E
1
(4.30)
Merk op dat alle glijdingen en schuifspanningen bij definitie nul zijn, als gevolg van de
onderstellingen van axiaalsymmetrie.
Voor het geval van een axiale drukbelasting op de buis (zz < 0), zijn de radiale
verplaatsingen ur van de binnenrand én de buitenrand positief, dus de buis verplaatst globaal
naar buiten in de radiale richting:
E
ru zzr
(4.31)
1 De formules, die met een kader errond zijn gemarkeerd, dient men van buiten te kennen. Deze afspraak geldt
voor de volledige cursus.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 4: Tweedimensionale elastische problemen
175
Net zo goed blijven de uitdrukkingen voor thermische rekken geldig:
0
0
0
T
T
T
z
rz
r
zz
rr
(4.32)
En dus ook de wet van Hooke met thermische belasting:
TE
1
TE
1
TE
1
rrzzzz
zzrr
zzrrrr
(4.33)
Alle bovenstaande vergelijkingen zijn onverminderd geldig, ongeacht of het gaat om een
volle staaf, een holle buis of een dunne schijf.
Een laatste vraag, die men zich in geval van axiaalsymmetrie altijd moet stellen, is of men een
vereenvoudigende veronderstelling kan maken over de spanning of vervorming in de z-
richting (de as van axiaalsymmetrie). Dit is analoog met de onderstellingen van vlakspanning
of vlakvervorming in sectie 4.1. Er zijn drie basisgevallen:
vlakspanning: zz = 0
vlakvervorming: zz = 0
lange buis met vrije uiteinden: de buis kan vrij uitzetten in de z-richting, maar de
spanning in de z-richting is niet noodzakelijk nul, behalve op de eindvlakken (op een
vrij uiteinde is de spanning zz per definitie gelijk aan nul).
Het is duidelijk dat de vereenvoudigende veronderstelling alleen opgaat voor de as van
axiaalsymmetrie. Als bv. verplaatsingen verhinderd worden in het (r,) vlak, is dat zeker geen
vlakvervorming. Zo kan bijvoorbeeld de verplaatsing ur aan de binnen- of buitenrand van een
buis nul zijn, maar de rekken rr of zijn daarom zeker niet nul in het volledige (r,) vlak.
In deze cursus worden vier basisgevallen van axiaalsymmetrische belasting beschouwd:
axiale belastingen (in de z-richting)
een constant temperatuurveld T
inwendige en/of uitwendige radiale trek- of drukspanningen
een radiaal variërend temperatuurveld T(r)
In vele gevallen is de werkelijke belasting een superpositie van twee of meer basisgevallen.
Voor de eerste twee basisgevallen (axiale belasting en constant temperatuurveld) volstaan de
basisformules die hierboven zijn opgelijst.
De laatste twee basisgevallen omvatten een radiale belasting (mechanisch of thermisch). Voor
deze basisgevallen worden de algemene vergelijkingen afgeleid in de volgende paragraaf.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 4: Tweedimensionale elastische problemen
176
4.2.2. Opstellen algemene vergelijkingen voor radiale belastingen
Beschouwt men het evenwicht van een mootje uit een axiaalsymmetrische schijf, zoals
afgebeeld in Figuur 4.6.
Figuur 4.6 Axiaalsymmetrische schijf [9].
De axiaalsymmetrische schijf is begrepen tussen r = a en r = b. De beschouwde belastingen
zijn:
een gegeven normaalspanning op r = a: rr = a
een gegeven normaalspanning op r = b: rr = b
Zoals eerder gesteld, zijn alle spanningen, rekken en verplaatsingen enkel functie van r.
Bovendien kunnen alle onbekenden afgeleid worden uit het verplaatsingsveld ur(r) in radiale
richting, zodat men slechts één differentiaalvergelijking nodig heeft in functie van de
onbekende ur(r). Deze differentiaalvergelijking kan men bekomen door uitdrukking van het
evenwicht van de beschouwde moot in de richting van re
:
02
ddrh2drhddr)rh(
dr
ddrh rrrrrr
(4.34)
waaruit, na vereenvoudiging:
0h)rh(dr
drr (4.35)
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 4: Tweedimensionale elastische problemen
177
In het bijzonder geval dat de dikte van de schijf constant is, komt men tot de
differentiaalvergelijking:
0)r(dr
drr (4.36)
Er worden nu twee belastingsgevallen beschouwd:
op de binnen- en buitenrand wordt de schijf belast met een trek- of drukspanning,
de schijf wordt belast met een radiaal temperatuurveld T(r).
Voor de eenvoud van de vergelijkingen wordt verder ondersteld dat de dikte h van de schijf
inderdaad constant is en dus h(r) = h.
Bij het opstellen van de algemene evenwichtsvergelijkingen voor de schijf werd echter geen
onderstelling gemaakt over de aard van de spanningen in de z-richting. Er werd enkel
verondersteld dat de belasting gelijkmatig is in de z-richting. Daarom moet opnieuw
onderscheid gemaakt worden tussen de drie basisgevallen:
vlakspanning
vlakvervorming
lange buis met vrije uiteinden
4.2.3. Trek- of drukspanningen op de binnen- en buitenrand
4.2.3.a. Schijf in vlakspanning
Zoals hierboven vermeld, blijft de wet van Hooke geldig in een cylindrisch assenstelsel, zodat
in geval van vlakspanning het verband tussen rek en spanning, analoog met (4.3), wordt:
0
E
E
1E
1
r
rrzz
rr
rrrr
(4.37)
Analoog met (4.4) wordt het inverse verband tussen spanning en rek:
0
)1(
E)1(
E
r
rr2
rr2rr
(4.38)
Om nu de algemene evenwichtsvergelijking (4.36) volledig in functie van ur(r) te schrijven,
worden eerst de spanningen geschreven in functie van de rekken m.b.v. vergelijking (4.38).
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 4: Tweedimensionale elastische problemen
178
Vervolgens moeten de rekken uitgedrukt worden in functie van de verplaatsing ur(r). Gebruik
makend van vergelijking (4.28), wordt uitdrukking (4.38) voor de spanningen:
dr
du
r
u
)1(
E
r
u
dr
du
)1(
E
2
2rr
(4.39)
Substitueert men deze uitdrukkingen in de evenwichtsvergelijking (4.36), dan bekomt men:
0r
u
dr
du
dr
udr
2
2
(4.40)
Deze vergelijking blijkt een gewone differentiaalvergelijking te zijn met één onbekende ur(r).
Men kan eenvoudig aantonen dat volgende functie ur(r) een oplossing is van deze
differentiaalvergelijking:
r
CrC)r(u 2
1 (4.41)
met C1 en C2 twee constanten.
De spanningen rr en kunnen dan met behulp van (4.39) geschreven worden als:
221
221
221
221rr
r
1'C'C
r
1
1
EC
1
EC
r
1'C'C
r
1
1
EC
1
EC
(4.42)
De twee integratieconstanten kan men nu bepalen aan de hand van de randvoorwaarden:
r = a: rr = a
r = b: rr = b
Daaruit volgt:
22
ba
22
2
22
b
2
a
2
1
ba
ba'C
ba
ba'C
(4.43)
waarmee (4.42) wordt:
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 4: Tweedimensionale elastische problemen
179
2
2
22
2
b2
2
22
2
a
2
2
22
2
b2
2
22
2
arr
r
a1
ba
b
r
b1
ba
a
r
a1
ba
b
r
b1
ba
a
(4.44)
Deze formules staan ook bekend als de formules van Lamé.
Met het gekende verband tussen de integratieconstanten (C’1, C’2) en (C1, C2) kan de
verplaatsing ur(r) (4.41) uiteindelijk geschreven worden als:
r
a)1(r)1(
ba
b
Er
b)1(r)1(
ba
a
E)r(u
2
22
2
b
2
22
2
ar (4.45)
Hoewel in vlakspanning zz = 0, is de rek zz niet nul. Deze kan eenvoudig berekend worden
als volgt:
22
b
2
a
2
rrzzba
ba
E
2)(
E
(4.46)
Volle schijf Als de schijf geen opening bezit in het midden (a = 0), moet de verplaatsing
ur(r = 0) = 0 zijn. Daaruit volgt dat de integratieconstante C2 = 0 en bijgevolg:
brr (4.47)
De verplaatsing ur(r) wordt in dat geval:
rE
1)r(u br
(4.48)
4.2.3.b. Schijf in vlakvervorming
Men vertrekt opnieuw van de algemene differentiaalvergelijking van het evenwicht (4.36).
Ditmaal gelden de uitdrukkingen voor de spanningen rr en in geval van vlakvervorming.
Zoals vermeld in paragraaf 1.5.4., blijft de wet van Hooke geldig in een kromlijnig
assenstelsel, zodat in geval van vlakvervorming het verband tussen rek en spanning, analoog
met (4.16), wordt:
0
)1(E
1
)1(E
1
r
rr
rrrr
(4.49)
Analoog met (4.17) wordt het inverse verband tussen spanning en rek:
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 4: Tweedimensionale elastische problemen
180
0)21)(1(
E
)1()21)(1(
E
)1()21)(1(
E
r
rrzz
rr
rrrr
(4.50)
Om opnieuw de algemene evenwichtsvergelijking (4.36) volledig in functie van ur(r) te
schrijven, worden eerst de spanningen geschreven in functie van de rekken m.b.v.
vergelijking (4.50). Vervolgens moeten de rekken uitgedrukt worden in functie van de
verplaatsing ur(r). Dit is opnieuw mogelijk door toepassing van vergelijking (4.28):
r
udr
du
r
rrr
(4.51)
Uitdrukking (4.50) voor de spanningen wordt dan:
0
r
u
dr
du
)21)(1(
E
dr
du
r
u)1(
)21)(1(
E
r
u
dr
du)1(
)21)(1(
E
r
zz
rr
(4.52)
Substitueert men deze uitdrukkingen in de evenwichtsvergelijking (4.36), dan bekomt men:
0r
u
dr
du
dr
udr
2
2
(4.53)
Deze vergelijking is opnieuw een gewone differentiaalvergelijking met één onbekende ur(r).
Het is belangrijk op te merken dat deze oplossing net dezelfde is als voor vlakspanning.
Men kan eenvoudig aantonen dat volgende functie ur(r) een oplossing is van deze
differentiaalvergelijking:
r
CrC)r(u 2
1 (4.54)
met C1 en C2 twee constanten.
De spanningen rr en kunnen dan met behulp van (4.52) geschreven worden als:
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 4: Tweedimensionale elastische problemen
181
221
221
221
221rr
r
1'C'C
r
1
1
EC
)21)(1(
EC
r
1'C'C
r
1
1
EC
)21)(1(
EC
(4.55)
Vermits de randvoorwaarden dezelfde zijn als voor vlakspanning, bekomt men voor
vlakvervorming dezelfde waarden voor C’1 en C’2 (zie (4.43)). Bijgevolg zijn de spanningen
rr en ook dezelfde als voor vlakspanning:
2
2
22
2
b2
2
22
2
a
2
2
22
2
b2
2
22
2
arr
r
a1
ba
b
r
b1
ba
a
r
a1
ba
b
r
b1
ba
a
(4.56)
Omdat het verband tussen de integratieconstanten (C’1, C’2) en (C1, C2) echter voor
vlakvervorming anders is dan voor vlakspanning, is de verplaatsing ur(r) niet dezelfde !
r
ar)21(
ba
b)1(
Er
br)21(
ba
a)1(
E)r(u
2
22
2
b
2
22
2
ar (4.57)
Hoewel in vlakvervorming zz = 0, is de spanning zz niet nul. Deze kan eenvoudig berekend
worden als volgt:
22
b
2
a
2
rrzzba
ba2)(
(4.58)
Volle schijf Als de schijf geen opening bezit in het midden (a = 0), moet de verplaatsing
ur(r = 0) = 0 zijn. Daaruit volgt dat de integratieconstante C2 = 0 en bijgevolg:
brr (4.59)
De verplaatsing ur(r) wordt in dit geval:
rE
211)r(u br
(4.60)
4.2.3.c. Verband vlakspanning en vlakvervorming
Het is niet toevallig dat de spanningen rr en dezelfde waarde hebben in vlakspanning en
vlakvervorming voor de axiaalsymmetrische schijf met constante dikte. Men kan algemeen
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 4: Tweedimensionale elastische problemen
182
aantonen dat de spanningen rr en dezelfde waarde hebben voor vlakspanning en
vlakvervorming, als en alleen maar als [6]:
de volumekrachten afleidbaar zijn van een potentiaal V waarvoor de laplaciaan 0V2 .
Aangezien het gaat om een statische schijf en de traagheidskrachten dus nul ondersteld
werden, is de potentiaal constant en is de voorwaarde van de laplaciaan voldaan. Men kan
inderdaad aantonen dat als men de traagheidskrachten wél in rekening brengt, de
differentiaalvergelijking in ur(r) er anders uitziet in vlakspanning dan in vlakvervorming,
zodat ook de spanningen rr en niet dezelfde zullen zijn,
de randvoorwaarden op ST (spanningsvector )n(
) en SU (voorgeschreven verplaatsingen)
dezelfde zijn in beide gevallen.
Het is zeer belangrijk te onthouden dat dit verband tussen vlakspanning en vlakvervorming
enkel geldt onder de hierboven vermelde voorwaarden en bovendien enkel geldt voor de
spanningen. Bij gelijke spanningen zijn de rekken en verplaatsingen in vlakspanning en
vlakvervorming immers niet gelijk !
Men kan nu voor verschillende waarden van de verhouding a/b (verhouding
binnenstraal/buitenstraal) de spanningen rr en grafisch voorstellen als functie van (i) de
straal r, (ii) de trek- of drukspanning a op de binnenrand, en (iii) de trek- of drukspanning b
op de buitenrand. Vermits in dit geval de spanningen rr en precies dezelfde zijn in
vlakspanning en vlakvervorming, hoeft men de grafieken maar één keer op te stellen.
Figuur 4.7 stelt de spanningen rr en voor als er enkel een belasting a op de binnenrand
aangrijpt, terwijl Figuur 4.8 de spanningen rr en voorstelt als er enkel een belasting b op
de buitenrand aangrijpt. Zoals uiteengezet in paragraaf 1.6.2., kan men voor een
gecombineerde belasting van a op de binnenrand en b op de buitenrand het
superpositieprincipe toepassen en de spanningen van beide afzonderlijke belastingsgevallen
optellen.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 4: Tweedimensionale elastische problemen
183
Figuur 4.7 Spanningen rr en voor een schijf met enkel belasting op de binnenrand [9].
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 4: Tweedimensionale elastische problemen
184
Figuur 4.8 Spanningen rr en voor een schijf met enkel belasting op de buitenrand [9].
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 4: Tweedimensionale elastische problemen
185
4.2.3.d. Lange buis met vrije uiteinden
Tot hier toe werden twee gevallen beschouwd: (i) vlakspanning, en (ii) vlakvervorming. In
geval van een lange buis met vrij beweegbare uiteinden gaat geen van de twee onderstellingen
op. Om in dit laatste geval de spanningen en vervormingen te bepalen, kan men echter een
superpositie toepassen van twee afzonderlijke belastingsgevallen:
vlakvervorming, waarbij zz = 0 en zz wordt gegeven door uitdrukking (4.58). De
spanningen rr en , de vervormingen rr en en de verplaatsing ur(r) worden berekend
met de formules van vlakvervorming,
een axiale belasting van de buis, waarbij de spanning -zz in alle punten van de twee
eindvlakken wordt opgelegd als een uitwendige belasting. De bijhorende vervormingen
van dit belastingsgeval zijn:
E
E
E
zzzz
zz
zzrr
(4.61)
De bijhorende radiale verplaatsing ur(r) kan dan eenvoudig berekend worden:
rba
ba
E
2dr)r(u
22
b
2
a
22
rrr
(4.62)
Superpositie van beide belastingsgevallen leidt dan tot zz = 0 in de langsrichting van de buis,
terwijl de vervormingen van beide belastingsgevallen worden opgeteld.
Het is belangrijk op te merken dat de superpositie van beide belastingsgevallen dezelfde
waarde oplevert voor de spanningen rr en , de verplaatsing ur(r) en de rek zz als in het
geval van vlakspanning. Omdat de rek zz voor vlakspanning constant is in elke
dwarsdoorsnede en dus elke dwarsdoorsnede vlak blijft, kunnen de verschillende
dwarsdoorsnedes van een lange buis inderdaad spanningsloos aan elkaar worden gezet.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 4: Tweedimensionale elastische problemen
186
Voorbeeld 4.3
Gegeven zijn twee dunne schijven met volgende afmetingen:
Aluminium
Staal
70 mm
150 mm
200 mm
De materiaalparameters zijn:
aluminium:
C/100,32
0,3
GPa 72E
6-
1
1
1
staal:
C/1011,0
0,3
GPa 200E
6-
2
2
2
Gevraagd:
a) als men de temperatuur verhoogt van 20 C naar 80 C, wat is dan de contactspanning
tussen de aluminium schijf en de stalen schijf ?
b) als de temperatuur gehandhaafd blijft op 80 C, welke bijkomende radiale drukspanning
moet men opleggen aan de buitenrand van de stalen schijf opdat de contactdruk tussen de
aluminium schijf en de stalen schijf precies -100 MPa zou bedragen ?
(Examen 1ste zittijd AJ 2002-2003. Voorziene tijd: 50 minuten)
4.2.4. Radiaal temperatuurveld
Het tweede beschouwde belastingsgeval voor de axiaalsymmetrische schijf met constante
dikte h is een thermische belasting T(r). Opnieuw kan men onderscheid maken tussen (i)
vlakspanning, en (ii) vlakvervorming.
4.2.4.a. Schijf in vlakspanning
Onderstel opnieuw een schijf met constante dikte. Ditmaal wordt enkel een radiaal variërend
temperatuursveld T(r) opgelegd. Het is duidelijk dat de differentiaalvergelijking (4.36) voor
het evenwicht van een moot van deze schijf geldig blijft, maar het thermisch effect zit nu
vervat in de uitdrukking voor de spanningen.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 4: Tweedimensionale elastische problemen
187
Met behulp van vergelijkingen (4.13) en (4.28) voor vlakspanning vindt men onmiddellijk dat
de spanningen rr en worden:
T1
E
dr
du
r
u
)1(
E
T1
E
r
u
dr
du
)1(
E
2
2rr
(4.63)
De differentiaalvergelijking (4.36) voor het evenwicht van een moot van de schijf kan dan
geschreven worden in functie van de radiale verplaatsing ur(r):
dr
dTr)1(
r
u
dr
du
dr
udr
2
2
(4.64)
Men kan nagaan dat een algemene oplossing van deze differentiaalvergelijking is:
r
a
21 drrT
r
1)1(
r
CrC)r(u (4.65)
De spanningen rr en kunnen dan geschreven worden als:
TEdrrTr
1E
r
1'C'C
TEdrrTr
1E
r
1
1
EC
1
EC
drrTr
1E
r
1'C'C
drrTr
1E
r
1
1
EC
1
EC
r
a
2221
r
a
2221
r
a
2221
r
a
2221rr
(4.66)
De randvoorwaarden zijn ditmaal dat de binnenrand en de buitenrand vrij zijn van spanning
rr, zodat:
voor r = a: rr = 0
voor r = b: rr = 0
Hiermee berekent men de waarden van de integratieconstanten:
b
a
22
2
2
b
a
221
drrTab
aE'C
drrTab
1E'C
(4.67)
Na enig rekenwerk vindt men voor de spanningen rr en volgende waarden:
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 4: Tweedimensionale elastische problemen
188
TEdrrTr
1EdrrT
r
1
ab
arE
drrTr
1EdrrT
r
1
ab
arE
r
a
2
b
a
222
22
r
a
2
b
a
222
22
rr
(4.68)
Voor de radiale verplaatsing vindt men:
r
a
b
a
2
22r drrTr
)1(drrT
r
a)1(r)1(
ab
1)r(u (4.69)
Hoewel in vlakspanning zz = 0, is de rek zz niet nul. Deze kan berekend worden als volgt:
T1drrTab
2T)(
E
b
a
22rrzz
(4.70)
Volle schijf Als de schijf geen opening bezit in het midden (a = 0), moet de verplaatsing
ur(r = 0) = 0 zijn. In de uitdrukkingen voor rr en en ur(r) volstaat het a = 0 te stellen.
Een voor de praktijk belangrijke toepassing van deze theorie is de berekening van de
thermische spanningen in een schijf waarbij de temperatuur van de binnenwand Ta – T0
bedraagt en de temperatuur van de buitenwand Tb – T0. Hierbij is T0 de referentietemperatuur
waarbij de schijf volledig spanningsloos is (kan verschillend zijn van 0 °C, bv.
kamertemperatuur).
Als men deze temperaturen oplegt aan de binnen- en buitenwand, zal zich na enige tijd een
stationaire toestand instellen, waarbij de temperatuur T(r) een bepaalde verdeling volgt
doorheen de dikte van de schijf. Deze verdeling kan men berekenen uit de warmtevergelijking
voor een homogeen en isotroop lichaam [9]:
c
QT
ct
T 2 (4.71)
waarbij T de temperatuur voorstelt, t de tijd, de warmtegeleidingscoëfficiënt, c de
soortelijke warmte, de soortelijke massa en Q de toegevoerde warmte per eenheid van tijd
en per eenheid van volume.
Als de stationaire toestand is bereikt (T/t = 0) en er geen warmte-toevoer of –afvoer gebeurt
(Q = 0), dan moet 0T2 . In cilindercoördinaten wil dit zeggen dat:
0r
T
r
1
r
T
0z
TT
r
1
r
T
r
1
r
T
2
2
2
2
2
2
22
2
(4.72)
De oplossing van deze differentiaalvergelijking is:
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 4: Tweedimensionale elastische problemen
189
21 CrlnC)r(T (4.73)
De randvoorwaarden zijn:
r = a: T = Ta – T0
r = b: T = Tb – T0
De oplossing T(r) wordt dan:
a
bln
a
rln
TTTT)r(T ab0a (4.74)
waarbij ondersteld wordt dat de schijf volledig spanningsloos is op de referentietemperatuur
T0. Hiermee is:
22
0a
22
ab
r
a
arTT2
111
a
rln2
a
r
a
bln
aTT
4
1drr)r(T
(4.75)
Uitgewerkt worden de vergelijkingen (4.68) dan:
1a
rln
a
bln
ab
b
r
ar
a
bln2
TTE
a
rln
a
bln
ab
b
r
ar
a
bln2
TTE
22
2
2
22
ab
22
2
2
22
abrr
(4.76)
De term (Ta – T0) komt niet langer voor in de uitdrukking voor de spanningen. Vermits de
axiaalsymmetrische schijf in vlakspanning vrij kan uitzetten in alle richtingen, induceert de
constante term (Ta – T0) immers geen bijkomende thermische spanningen, zodat men voor de
berekening van de spanningen (niet voor de verplaatsingen !) mag rekenen met het
temperatuurveld:
a
bln
a
rln
TT)r(T ab (4.77)
Men kan nu opnieuw voor verschillende waarden van de verhouding a/b (verhouding
binnenstraal/buitenstraal) de spanningen rr en grafisch voorstellen als functie van (i) de
straal r, en (ii) het temperatuurverschil Tb – Ta. Figuur 4.9 stelt de spanningen rr en voor
een axiaalsymmetrische schijf in vlakspanning.
In de volgende paragraaf wordt de thermische belasting van een axiaalsymmetrische schijf in
vlakvervorming behandeld. Daaruit zal blijken dat de spanningen rr en niet langer
dezelfde zijn in vlakspanning en vlakvervorming.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 4: Tweedimensionale elastische problemen
190
Figuur 4.9 Spanningen rr en voor een schijf in vlakspanning met T = Ta aan de binnenwand en T = Tb
aan de buitenwand [9].
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 4: Tweedimensionale elastische problemen
191
4.2.4.b. Schijf in vlakvervorming
Onderstel opnieuw een schijf met constante dikte. Opnieuw wordt enkel een radiaal variërend
temperatuurveld T(r) opgelegd. Het is duidelijk dat de differentiaalvergelijking (4.36) voor
het evenwicht van een moot van deze schijf geldig blijft, maar het thermisch effect zit
opnieuw vervat in de uitdrukking voor de spanningen.
Met behulp van vergelijkingen (4.26) en (4.51) voor vlakvervorming vindt men onmiddellijk
dat de spanningen rr en worden:
T21
E
dr
du
r
u)1(
)21)(1(
E
T21
E
r
u
dr
du)1(
)21)(1(
Err
(4.78)
De differentiaalvergelijking (4.36) voor het evenwicht van een moot van de schijf kan dan
geschreven worden in functie van de radiale verplaatsing ur(r):
dr
dTr
1
1
r
u
dr
du
dr
udr
2
2
(4.79)
Men kan nagaan dat een algemene oplossing van deze differentiaalvergelijking is:
r
a
21 drrT
r
1
1
1
r
CrC)r(u (4.80)
De spanningen rr en kunnen dan m.b.v. (4.78) geschreven worden als:
T1
EdrrT
r
1
1
E
r
1'C'C
T1
EdrrT
r
1
1
E
r
1
1
EC
)21)(1(
EC
drrTr
1
1
E
r
1'C'C
drrTr
1
1
E
r
1
1
EC
)21)(1(
EC
r
a
2221
r
a
2221
r
a
2221
r
a
2221rr
(4.81)
De randvoorwaarden zijn ook hier dat de binnenrand en de buitenrand vrij zijn van spanning
rr, zodat:
voor r = a: rr = 0
voor r = b: rr = 0
Hiermee berekent men de waarden van de integratieconstanten:
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 4: Tweedimensionale elastische problemen
192
b
a
22
2
2
b
a
221
drrTab
a
1
E'C
drrTab
1
1
E'C
(4.82)
Na enig rekenwerk vindt men voor de spanningen rr en volgende waarden:
T1
EdrrT
r
1
1
EdrrT
r
1
ab
ar
1
E
drrTr
1
1
EdrrT
r
1
ab
ar
1
E
r
a
2
b
a
222
22
r
a
2
b
a
222
22
rr
(4.83)
Voor de radiale verplaatsing vindt men:
r
a
b
a
2
22r drrTr
1
1
1drrT
r
ar)21(
ab
1
1
1)r(u (4.84)
In geval van vlakvervorming bestaat er ook een normaalspanning zz. Met behulp van
vergelijking (4.24) kan deze spanning berekend worden als:
TErrzz (4.85)
Met de gekende waarden voor rr en wordt deze uitdrukking:
T1
EdrrT
ab
1
1
E2b
a
22zz
(4.86)
Volle schijf Als de schijf geen opening bezit in het midden (a = 0), moet de verplaatsing
ur(r = 0) = 0 zijn. In de uitdrukkingen voor rr en en ur(r) volstaat het a = 0 te stellen.
Een voor de praktijk belangrijke toepassing van deze theorie is de berekening van de
thermische spanningen in een dikwandige schijf waarbij de temperatuur van de binnenwand
Ta – T0 bedraagt en de temperatuur van de buitenwand Tb – T0. Hierbij is T0 opnieuw de
referentietemperatuur waarbij de schijf volledig spanningsloos is (kan verschillend zijn van 0
°C, bv. kamertemperatuur). Zoals berekend in het geval van vlakspanning, beantwoordt de
temperatuursverdeling T(r) in stationaire toestand aan de volgende vergelijking:
a
bln
a
rln
TTTT)r(T ab0a (4.87)
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 4: Tweedimensionale elastische problemen
193
Ditmaal moet men de constante temperatuur (Ta – T0) ook in rekening brengen voor de
spanningen, omdat de de thermische uitzetting in de langsrichting van de buis verhinderd
wordt en dus ook een constante temperatuurstijging aanleiding zal geven tot een spanning zz.
De integraal van het temperatuurveld wordt dan opnieuw:
22
0a
22
ab
r
a
arTT2
111
a
rln2
a
r
a
bln
aTT
4
1drr)r(T
(4.88)
Uitgewerkt worden de vergelijkingen (4.83) dan:
1a
rln
a
bln
ab
b
r
ar
a
bln12
TTE
a
rln
a
bln
ab
b
r
ar
a
bln12
TTE
22
2
2
22
ab
22
2
2
22
abrr
(4.89)
Gebruik makend van vergelijking (4.86) wordt de normaalspanning zz:
0a22
2
abzz TTE
2a
rln
a
bln
ab
b
a
bln1
TTE
(4.90)
4.2.4.c. Verband vlakspanning en vlakvervorming
In het geval van een radiaal temperatuurveld T(r) hebben de spanningen rr en niet
dezelfde waarde in vlakspanning en vlakvervorming voor de stilstaande schijf met constante
dikte. Vergelijk daartoe de uitdrukkingen (4.68) en (4.83). Zoals reeds vermeld in paragraaf
4.2.3.c, moeten twee voorwaarden voldaan zijn opdat de spanningen in vlakvervorming en
vlakspanning dezelfde zouden zijn:
de volumekrachten moeten afleidbaar zijn van een potentiaal V waarvoor de laplaciaan
0V2 ,
de randvoorwaarden op ST (spanningsvector )n(
) en SU (voorgeschreven verplaatsingen)
moeten dezelfde zijn in beide gevallen.
Men kan aantonen dat het beschouwen van een temperatuurveld mathematisch equivalent is
met het in rekening brengen van de potentiaal van de volumekrachten [6,9]. De spanningen
rr en voor vlakspanning en vlakvervorming zouden dus dezelfde zijn als geldt dat:
0z
TT
r
1
r
T
r
1
r
T0T
2
2
2
2
22
22
(4.91)
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 4: Tweedimensionale elastische problemen
194
Zoals aangetoond in paragraaf 4.2.4.a, is deze voorwaarde nochtans voldaan voor het speciaal
geval van een stationair temperatuurveld T(r) met T(r = a) = Ta en T(r = b) = Tb. Toch zijn de
spanningen rr en voor vlakspanning en vlakvervorming zelfs in dit speciale geval niet
dezelfde, omdat de tweede voorwaarde (nl. dezelfde randvoorwaarden) niet vervuld is.
Inderdaad, op het eerste zicht lijken de randvoorwaarden dezelfde: T(r = a) = Ta en T(r = b) =
Tb. De randvoorwaarden op ST moeten echter uitgedrukt worden in functie van de
spanningsvector )n(
, zodat geldt: rr(r = a) = 0 en rr(r = b) = 0. Deze randvoorwaarde is
echter niet dezelfde, omdat precies de term die de temperatuur bevat, verschilt voor rr in
vlakspanning (zie vergelijking (4.13)) en vlakvervorming (zie vergelijking (4.26)).
4.2.4.d. Lange buis met vrije uiteinden
In geval van een lange buis met vrije uiteinden moet de axiale kracht Nz verdwijnen op de
uiteinden, zodat dit geval kan beschouwd worden als een superpositie van twee
belastingsgevallen:
vlakvervorming, waarbij zz = 0 en zz wordt gegeven door uitdrukking (4.86). De
spanningen rr en en de vervormingen rr en worden berekend met de formules van
vlakvervorming. De axiale resulterende kracht Nz van de spanningen zz wordt gegeven
door:
b
a
b
a
2
0
b
a
2
0
b
a
22
b
a
zz
2
0
z
drrTE2
drrTd1
EdrrddrrT
ab
1
1
E2
drrdN
(4.92)
een axiale belasting van de buis, waarbij de kracht -Nz in alle punten van de twee
eindvlakken wordt opgelegd als een uitwendige belasting. De bijhorende spanning zz van
dit belastingsgeval is:
b
a
2222
zzz drrT
ab
1E2
ab
N (4.93)
Voor de lange buis met vrije uiteinden is de totale spanning zz dus:
T1
EdrrT
ab
1
1
E2b
a
22zz
(4.94)
Het is belangrijk op te merken dat deze formule enkel geldt op voldoende afstand van de
eindvlakken van de buis, want op de vrije eindvlakken van de buis moet gelden: zz = 0.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 4: Tweedimensionale elastische problemen
195
Ditmaal vindt men bij superpositie van beide belastingsgevallen niet de oplossing van
vlakspanning terug. Bij schijven in vlakspanning, belast met een radiaal temperatuurveld, is
de rek zz immers niet langer constant over de dwarsdoorsnede, maar wel een functie van r.
Bij lange buizen ontstaat dus een spanning zz ten gevolge van de verhinderde welving van de
dwarsdoorsnedes.
Voorbeeld 4.4
Gegeven is een dunne stalen schijf, langs zijn buitenrand geklemd in een starre wand:
100 mm
200 mm
De binnenstraal van de schijf is 100 mm, de buitenstraal 200 mm. De eigenschappen van het
staal zijn:
E = 200 GPa
= 0,3
= 11,0 × 10-6 /°C
Bij een omgevingstemperatuur van 20 °C is de stalen schijf spanningsloos.
Als men aan de binnenrand van de schijf een temperatuur oplegt van 50 °C en aan de
buitenrand een temperatuur van 100 °C, wat is dan de contactspanning tussen de stalen schijf
en de starre wand (die niet vervormt bij de verhoogde temperatuur) ?
(Examen 1ste zittijd AJ 2002-2003. Voorziene tijd: 35 minuten)
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 4: Tweedimensionale elastische problemen
196
Stappenplan voor de berekening van axiaalsymmetrische schijven:
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 4: Tweedimensionale elastische problemen
197
4.3. SPANNINGSCONCENTRATIES IN VLAKKE PLATEN
Spanningsconcentraties kunnen velerlei oorzaken hebben:
plotse veranderingen in dwarsdoorsnede, zoals in de draad van een bout, aan de tanden van
een tandwiel, bij gaten in platen en balken...,
contactdrukken op de plaats waar belastingen worden ingeleid in het materiaal, zoals bij de
oplegpunten van een balk, de contactpunten van de treinwielen met de rails, de
contactpunten van tandwielen of kogellagers,
discontinuïteiten in het materiaal zelf, zoals luchtporositeiten in beton, knoesten in houten
planken,...,
initiële, ongelijkmatig verdeelde spanningen in het materiaal t.g.v. koudwalsen,
dieptrekken of warmtebehandeling van metalen, krimp in gietijzer of beton,
lasbewerkingen,...,
Een belangrijk probleem is dit van de spanningsconcentratie rond een opening in een plaat.
Dergelijk geval komt zeer veel voor in de praktijk en is afgebeeld in Figuur 4.10. Een dunne,
vlakke plaat heeft een ronde opening met straal a. Voldoende ver van de opening wordt een
gelijkmatige trekspanning xx aangelegd. In de buurt van de opening wil men nu de
spanningsverdeling kennen. Als het een dunne, vlakke plaat betreft, kan men de plaat
berekenen in vlakspanning. Bovendien kan men overgaan op polaire coördinaten (re
,
e ).
Figuur 4.10 Spanningsconcentratie aan een ronde opening in een plaat [9].
Opnieuw gebruik makend van de elasticiteitsleer, kan men aantonen dat de spanningen rr,
en r in de buurt van de ronde opening volgende waarden aannemen [9]:
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 4: Tweedimensionale elastische problemen
198
4
4
2
2
xxr
4
4
2
2
xx
4
4
2
2
2
2
xxrr
r
a3
r
a212sin
2
r
a312cos
r
a1
2
r
a3
r
a412cos
r
a1
2
(4.95)
Het verloop van de spanning in het vlak = 2
is afgebeeld op Figuur 4.11.
Figuur 4.11 Verloop van de spanning in het vlak = 2
[9].
In het punt r = a, = 2
neemt de grootste waarde aan die één van de
spanningscomponenten ergens aanneemt, namelijk xx3 . De aanwezigheid van de opening
leidt dus tot een plaatselijke verhoging van de spanning met een factor drie. De spanning
neemt zeer snel af wanneer men zich van de rand van de opening verwijdert. Voor r = 2a is
nog slechts xx22,1 , en voor r = 3,525a is nog slechts xx05,1 . De verhoging van
de spanning is dus beperkt tot een vrij klein gebied.
Op de rand van de opening (r = a) worden de formules (4.95) herleid tot:
0
2cos21
0
r
xx
rr
(4.96)
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 4: Tweedimensionale elastische problemen
199
Het verloop van over de omtrek van de ronde opening is afgebeeld in Figuur 4.12. In
= 0 en = vindt men de drukspanning = -xx, terwijl men in = 2
een
trekspanning = xx3 aantreft.
Figuur 4.12 Spanning op de rand van de ronde opening [9].
Dergelijke spanningsconcentraties treden op bij allerhande dwarsdoorsnedeveranderingen of
plotse veranderingen van geometrie. Voor vele praktijkgevallen zijn deze
spanningsconcentraties berekend en getabelleerd. Figuur 4.13 toont het voorbeeld van een
diagram, waar men voor bepaalde dwarsdoorsnedeveranderingen van een stalen as de
spanningsconcentratiefactor kan aflezen.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 4: Tweedimensionale elastische problemen
200
Figuur 4.13 Voorbeeld van berekende spanningsconcentratiefactoren voor een stalen as met een
dwarsdoorsnedeverandering [15].
Het is belangrijk op te merken dat, hoe kleiner de kromtestraal van de uitsparing in de as,
hoe groter de spanningsconcentratiefactor is.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 4: Tweedimensionale elastische problemen
201
4.4. REFERENTIES
[1] Hibbeler, R.C. (1997). Mechanics of materials. New Jersey, Prentice Hall
International, Inc., 855 pp.
[2] Megson, T.H.G. (1996). Structural and stress analysis. London, Arnold Publishers,
641 pp.
[3] Sierakowski, R.L. and Chaturvedi,S.K. (1997). Dynamic loading and characterization
of fiber-reinforced composites. New York, John Wiley & Sons, 252 pp.
[4] Verheest, F. (1993). Theoretische mechanica. Gent, Universiteit Gent, Vakgroep
wiskundige natuurkunde en sterrenkunde, 295 pp.
[5] Ohring, M. (1995). Engineering materials science. San Diego, Academic Press, 827
pp.
[6] Ragab, A.-R. and Bayoumi, S.E. (1999). Engineering solid mechanics. Fundamentals
and applications. Boca Raton, CRC Press, 921 pp.
[7] Baxter Brown, J. McD. (1973). Introductory solid mechanics. London, John Wiley &
Sons Ltd, 434 pp.
[8] Karasudhi, P. (1991). Foundations of solid mechanics. Dordrecht, Kluwer Academic
Publishers, 493 pp.
[9] Verhegghe, B. (2001). Elasticiteit en Sterkteleer. Cursus academiejaar 2001-2002.
Gent, Universiteit Gent.
[10] Ford, H. (1963). Advanced mechanics of materials. London, Longman Group Ltd.,
672 pp.
[11] Zaat, J.H. (1974). Technische metaalkunde. Deel 2: Algemene metaalkunde.
Amsterdam, Elsevier, 272 pp.
[12] Zaat, J.H. (1975). Technische metaalkunde. Deel 3: Staal en gietijzer. Amsterdam,
Elsevier, 226 pp.
[13] Case, J., Chilver, L. and Ross, C.T.F. (1999). Strength of materials and structures.
London, Arnold Publishers, 706 pp.
[14] Filonenko-Borodich, M. (1963). Theory of elasticity. Moscow, Peace Publishers, 394
pp.
[15] Boresi, A.P. and Sidebottom, O.M. (1985). Advanced mechanics of materials. Fourth
edition. New York, John Wiley & Sons, 763 pp.
[16] Mallick, P.K. (1997). Composites Engineering Handbook. New York, Marcel Dekker
Inc.
[17] Degrieck, J. (1997). Mechanica van met vezels versterkte materialen. Cursus, Gent,
Faculteit Toegepaste Wetenschappen, 157 p.
202
Hoofdstuk 5
Mechanische eigenschappen en
Materiaalmodellen
In hoofdstuk 1 werd het lineair elastisch gedrag van (i) homogene isotrope en van
(ii) gehomogeniseerde anisotrope materialen besproken. Er werd duidelijk aangetoond dat de
definities van spanning en rek niet afhangen van de materiaaleigenschappen en algemeen
geldig zijn. De wet van Hooke daarentegen stelt een verband voor tussen spanning en rek, en
dit verband is wel degelijk afhankelijk van de materiaaleigenschappen. Voor een homogeen
en isotroop materiaal zijn dit de elasticiteitsmodulus E, de glijdingsmodulus G en de Poisson-
coëfficiënt . Voor anisotrope materialen daarentegen zijn deze elastische eigenschappen
verschillend in diverse richtingen.
Anderzijds werd met behulp van de trekproef op staal in paragraaf 1.2 duidelijk aangetoond
dat het lineair elastisch gebied slechts een zeer beperkte zone voorstelt in het volledige
materiaalgedrag tot aan breuk. Toch is dit beperkt gebied van cruciaal belang voor het
ontwerp van de overgrote meerderheid van de ingenieurstoepassingen, vandaar dat het
volledige eerste hoofdstuk werd gewijd aan het lineair elastisch materiaalgedrag.
In dit hoofdstuk wordt de blik verruimd en wordt ook het mechanisch gedrag van materialen
buiten het lineair elastisch gebied besproken. Er wordt een overzicht geboden van de
verschillende beproevingsmethodes en materiaalmodellen om dit vaak complexe
materiaalgedrag te karakteriseren én te simuleren.
Bovendien zal blijken dat het vaak noodzakelijk is om de strategie inzake beproeving en
modellering aan te passen aan het type materiaal. Ingenieursmaterialen zijn immers méér dan
staal en beton. Structurele materialen worden meestal ingedeeld in zes grote categorieën [1]:
ferro-legeringen (ijzer, en alle legeringen op basis van ijzer: staal, gietijzer,...). De
jaarlijkse tonnage van ijzer die door de industrie wordt verbruikt, bedraagt 90 % van de
tonnage van alle metallische elementen. Bovendien is ijzer het vierde meest voorhanden
zijnde chemisch element op aarde. De energiekost voor de ontginning uit ijzerertsen is vrij
laag en de beschikbare reserves zijn nog aanzienlijk. Ferro-legeringen vormen dan ook de
belangrijkste klasse van industriële materialen. De belangrijkste ferro-legeringen zijn de
legeringen van ijzer met koolstof, waarbij men onderscheid maakt tussen gietijzer (meer
dan 2 % koolstof) en staal (koolstofgehalte tussen 0,02 % en 2 %),
non-ferro-legeringen zijn alle metalen en hun legeringen die niet gebaseerd zijn op ijzer
(koper, zilver, goud, aluminium, magnesium, titanium, nikkel, lood). Aangezien ijzer
goedkoper is dan alle overige metallische elementen, worden non-ferro-legeringen slechts
gebruikt voor eigenschappen die een (goedkopere) ijzerlegering niet kan leveren: hoge
elektrische en thermische conductiviteit, goede weerstand tegen corrosie, hoge
sterkte/gewicht verhouding,...
polymeren bevatten alleen niet-metallische elementen en zijn materialen opgebouwd uit
lange ketens van hoofdzakelijk koolstof en waterstof. Het zijn meestal materialen met een
lage dichtheid en lage smeltpunten. Ze zijn gemakkelijk vervormbaar en hebben een
slechte thermische en elektrische geleidbaarheid,
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Materiaalmodellen
203
composieten zijn materialen die bestaan uit twee of meerdere afzonderlijke fasen. Voor
ingenieursdoeleinden gaat het meestal om vezelversterkte kunststoffen, maar ook
vezelversterking van metalen en keramieken wordt steeds meer toegepast. Het grootste
voordeel van deze materialen is hun hoge stijfheid en sterkte t.o.v. hun soortelijke massa.
Eén van de natuurlijke composietmaterialen is hout met vezels van cellulose,
keramische materialen worden meestal gedefinieerd als verbindingen van metallische
elementen met niet-metallische elementen, die zich ofwel in een kristallijne of amorfe
toestand bevinden. De belangrijkste keramische materialen zijn de metaaloxides (Al2O3,
SiO2, Na2O) en –carbides (SiC). Het zijn typisch harde en brosse materialen, die een zeer
hoge temperatuurbestendigheid hebben. Het hardste keramische materiaal is diamant, een
monokristallijne toestand van zuivere koolstof.
De belangrijkste klasse van keramische materialen zijn de glassoorten (SiO2). De twee
meest voorhanden zijnde elementen op aarde zijn immers precies zuurstof en silicium. In
kristallijne vorm spreekt men van kwarts, in amorfe vorm van glas.
steen, beton en gewapend beton bestaan uit mineralen. De laatste jaren zijn beton en
gewapend beton de belangrijkste constructiematerialen geworden, met een grotere
jaarlijkse tonnage dan staal en hout. Beton is een mengsel van cement, granulaten en water.
Deze steenachtige materialen hebben een bijzonder hoge druksterkte, maar hebben een
(zeer) lage treksterkte. Vandaar dat beton vaak versterkt wordt met een staalwapening die
de nodige sterkte in trek levert.
Om het mechanisch gedrag van elk van deze materialen te karakteriseren en de nodige
parameters voor bv. de wet van Hooke te bepalen, zijn tal van beproevingsmethodes
ontworpen, die soms heel specifiek zijn voor de gekozen materiaalklasse. De klassieke
trekproef is uiteraard één van de meest verspreide en gebruikte testmethodes, maar er bestaan
nog tal van andere. In de volgende paragraaf worden deze beproevingsmethodes kort
besproken, alsook de materiaalparameters die men uit deze proeven kan afleiden.
5.1. MECHANISCHE EIGENSCHAPPEN EN BEPROEVINGSMETHODES
Het belang van experimentele karakterisering van het materiaal valt niet te onderschatten.
Hoewel het computertijdperk toelaat om steeds meer materiaaleigenschappen theoretisch te
gaan schatten, zijn experimenten onontbeerlijk. Het belang van experimentele testen kan
overigens zeer verscheiden zijn:
als kwalificatie van constructiematerialen. Voor belangrijke constructies (bv.
vliegtuigbouw) wordt er reeds in de ontwerpfase een uitvoerig onderzoek gevoerd naar een
beperkt aantal “kandidaat-bouwmaterialen”, teneinde het materiaal te kiezen dat het meest
geschikt is voor het beoogde doel,
voor het ontwerp heeft men altijd bepaalde materiaaleigenschappen nodig: stijfheid,
sterkte,... en deze worden bepaald uit mechanische proeven,
de kwaliteitscontrole bij de levering van de materialen (bv. van de aluminiumproducent
aan de vliegtuigbouwer) kan een aantal mechanische proeven omvatten. Meestal kent men
in dit geval reeds de eigenschappen van het materiaal, maar wil men deze opnieuw
controleren,
de kwaliteitscontrole van de productie, waarbij men via een aantal mechanische proeven
nagaat of de mechanische eigenschappen van het geproduceerde materiaal voldoen aan de
minimumnormen.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Materiaalmodellen
204
Voor mechanische proeven bestaan talrijke normen. De meeste bekende organisaties voor
normalisatie zijn:
- ISO = International Standard Organization
- ASTM = American Society for Testing and Materials
- DIN = Deutsche Industrie Norm
- BS = British Standards
- EN = European Norm
- NBN = Norme Belge / Belgische Norm
- AFNOR = Association Française de NORmalisation
Deze paragraaf geeft nu een overzicht van de meest gebruikte testmethodes en de typische
resultaten die zij opleveren.
5.1.1. Trek- en drukproeven
Eén van de belangrijkste proeven is de trek- of drukproef. Hoewel met deze proef vele
belangrijke mechanische eigenschappen van een materiaal kunnen worden vastgesteld, wordt
hij hoofdzakelijk gebruikt om de relatie tussen de spanning en de rek te bepalen in tal van
constructiematerialen, zoals metalen, keramiek, polymeren en composieten. De meeste
hydraulische trekbanken kunnen een maximale trekkracht opleggen van 100 kN. De klauwen,
waarin de uiteinden van het proefstuk worden gevat, zijn dan ook zeer massief uitgevoerd (zie
Figuur 5.1).
Figuur 5.1 Hydraulische trekbank voor trekproeven.
Op basis van de gelijktijdige meting van kracht en verlenging kan de spanning en haar
bijhorende vervorming in de proefstaaf worden berekend en de resultaten vervolgens grafisch
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Materiaalmodellen
205
worden weergegeven. Zoals reeds aangegeven in paragraaf 1.2, heet de kromme die hieruit
ontstaat, het spanning-rek diagramma, waarbij:
0
0
L
L
A
F
(5.1)
met A0 en L0 respectievelijk de oorspronkelijke dwarsdoorsnede en lengte van de proefstaaf,
en F en L de opgelegde kracht en daarbij horende verlenging.
Op basis van dit spanning-rek diagramma kan men materialen gaan onderverdelen in twee
grote klassen: (i) ductiele materialen, en (ii) brosse materialen.
Ductiele materialen kunnen zeer grote vervormingen ondergaan voordat breuk optreedt. Deze
zeer grote rekken gaan uiteraard gepaard met een waarneembare vervorming van de
dwarsdoorsnede en geven dus een zichtbare waarschuwing dat breuk kan optreden. Typische
voorbeelden van ductiele materialen zijn zacht staal, aluminium en sommige van zijn
legeringen, koper en vele polymeren.
Brosse materialen daarentegen vertonen slechts kleine vervormingen vóór breuk, met rekken
die typisch kleiner blijven dan 5 %. Deze materialen kunnen vrij plots bezwijken zonder enige
zichtbare vervorming. Enkele voorbeelden zijn beton, gietijzer, hoge-sterkte stalen, hout en
keramieken.
Figuur 5.2 geeft een schematisch voorbeeld van het spanning-rek diagramma voor ductiele
(links) en brosse (rechts) materialen.
Figuur 5.2 Spanning-rek diagramma voor een ductiel (links) en bros (rechts) materiaal [2].
Een mooi voorbeeld van het verschillend gedrag bij breuk is getoond in Figuur 5.3. De foto’s
in de linkerkolom tonen het ductiel breukgedrag van zacht staal, terwijl de foto’s in de
rechterkolom het brosse breukgedrag van hoge-sterkte staal tonen.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Materiaalmodellen
206
Figuur 5.3 Breukpatroon voor ductiel zacht staal (links) en bros hoge-sterkte staal (rechts) [3].
Het spanning-rek diagramma van ductiele en brosse materialen wordt nu meer in detail
besproken.
5.1.1.a. Ductiele materialen
Het meest bekende en gebruikte ductiel materiaal voor ingenieursconstructies is uiteraard
staal en de onderstaande bespreking geldt dan ook in de eerste plaats voor dit materiaal.
Voor ductiele materialen gebruikt men haast altijd het conventioneel spanning-rek
diagramma, waarbij de spanning en rek gedefinieerd worden door de vergelijkingen (5.1).
Deze spanning en rek noemt men de nominale spanning en nominale rek.
Precies omwille van het ductiel gedrag treedt er echter een aanzienlijke vervorming op van de
oorspronkelijke dwarsdoorsnede A0 tijdens de proef (zie Figuur 5.3 linkerkolom). Men kan
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Materiaalmodellen
207
daarom ook de spanning definiëren als de verhouding van de kracht tot de werkelijke
doorsnede A, en de rek als de ogenblikkelijke verlenging dL t.o.v. de ware lengte L op dat
ogenblik:
)1ln(L
LLln
L
Lln
L
dL
A
F
0
0
0
i
L
L
w
w
i
0
(5.2)
Deze spanning en rek noemt men de ware spanning en ware rek, en het spanning-rek
diagramma heet dan het ware spanning-rek diagramma. Zoals blijkt uit de tweede
vergelijking, is er een rechtstreeks verband tussen de ware rek w en de nominale rek .
Het verschil tussen het conventionele en het ware spanning-rek diagramma voor bv. zacht
staal wordt duidelijk geïllustreerd door Figuur 5.4.
Figuur 5.4 Conventioneel en waar spanning-rek diagramma voor zacht staal [4].
De onderste curve is het conventioneel spanning-rek diagramma, zoals reeds besproken in
paragraaf 1.2. De bovenste curve is het ware spanning-rek diagramma. In feite geeft de
bovenste curve op een meer correcte wijze weer hoe de spanning en rek in het materiaal
evolueren. Het is immers niet erg logisch dat, zoals uit het conventionele spanning-rek
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Materiaalmodellen
208
diagramma blijkt, het materiaal zou breken bij een lagere spanning dan de piekspanning. Dit
is niet het geval voor het ware spanning-rek diagramma, waar de piekspanning inderdaad
samenvalt met de breukspanning.
Hoewel het ware spanning-rek diagramma dus in feite correcter is, wordt het toch zelden
gebruikt in de ingenieurspraktijk. Het conventionele spanning-rek diagramma is algemeen
aanvaard als de standaard-voorstellingswijze voor een trekproef.
Als men nu het conventionele spanning-rek diagramma voor staal van dichterbij bestudeert,
kan men grosso modo vier fasen onderscheiden in het materiaalgedrag: (i) elastisch gedrag,
(ii) vloeien, (iii) versteviging en (iv) insnoering.
Elastisch gedrag
De proefstaaf gedraagt zich elastisch als deze tot zijn oorspronkelijke vorm of lengte
terugkeert wanneer de belasting die erop werkt, wordt weggenomen. In het grootste gedeelte
van het elastisch gebied is de spanning-rek kromme duidelijk een rechte lijn. De spanning is
dus evenredig met de vervorming en het materiaal gedraagt zich lineair elastisch. De bovenste
spanningsgrens voor deze lineaire relatie wordt de evenredigheidsgrens of
proportionaliteitsgrens prop genoemd. Als de spanning de evenredigheidsgrens iets
overschrijdt, gedraagt het materiaal zich nog steeds elastisch, maar de spanning-rek kromme
wordt vlakker. Dit wil zeggen dat bij een toename van de spanning de vervorming relatief
sterker toeneemt. Dit gaat door tot de spanning de elasticiteitsgrens bereikt.
Vloeien
Een lichte toename van de spanning boven de elasticiteitsgrens resulteert in
kwaliteitsvermindering van het materiaal en zorgt voor blijvende vervorming. Dit gedrag
wordt vloeien genoemd en de spanning die vloeien veroorzaakt, wordt de vloeispanning v
genoemd. De blijvende vervorming die optreedt, heet de plastische vervorming. In
tegenstelling tot een elastische belasting zal een belasting die het materiaal doet vloeien, de
eigenschappen van het materiaal permanent veranderen. Het is hierbij belangrijk op te merken
dat Figuur 5.4 niet op ware schaal is getekend. De door het vloeien opgewekte vervormingen
zijn 10 tot 40 keer zo groot als de tot aan de elasticiteitsgrens voorkomende vervormingen.
Tijdens het vloeien wordt het materiaal vaak perfect plastisch genoemd, omdat de vervorming
blijft toenemen onder nagenoeg constante spanning.
Versteviging
Na het vloeien treedt een fase van versteviging op, waarbij de spanning-rek kromme terug
begint te stijgen tot ze uiteindelijk de treksterkte trek bereikt. De stijging in de spanning-rek
kromme wordt versteviging genoemd. Gedurende deze fase neemt de oppervlakte van de
dwarsdoorsnede af bij verlenging van de proefstaaf, máár deze afname van de oppervlakte is
over de hele meetlengte nagenoeg constant !
Insnoering
Bij verdere verhoging van de belasting begint de spanning te dalen en begint de oppervlakte
van de dwarsdoorsnede af te nemen op één plaats in de proefstaaf, niet over de hele lengte.
Hierdoor ontstaat in dit gebied, naarmate de proefstaaf verder wordt verlengd, een
versmalling of insnoering. Omdat de oppervlakte van de dwarsdoorsnede in dit gebied steeds
kleiner wordt, kan de kleinere oppervlakte ook maar een steeds afnemende belasting dragen.
Hierdoor daalt de spanning-rek kromme tot de proefstaaf breekt op het punt van de
breukspanning breuk.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Materiaalmodellen
209
Voor zacht staal worden hieronder een paar waarden gegeven ter illustratie:
%00,3838,0MPa324
%00,2020,0MPa434
%00,3030,0MPa248
%12,00012,0MPa241
breukbreuk
trektrek
vv
propprop
(5.3)
Het zacht staal gedraagt zich lineair elastisch tot de evenredigheidsgrens prop wordt bereikt
bij 241 MPa. De bijhorende vervorming prop bedraagt 0,0012 [-]. Daaruit kan de
elasticiteitsmodulus E berekend worden als / = 200 GPa. Na een kleine toename tot de
elasticiteitsgrens begint het vloeien bij een nagenoeg constante spanning v = 248 MPa. De
fase van het vloeien eindigt bij een rek v = 0,030, of 25 maal meer dan de maximale
vervorming in het lineair elastisch gebied. Na het vloeien treedt de fase van versteviging op
tot de treksterkte trek = 434 MPa wordt bereikt. Intussen is de rek opgelopen tot 0,2 of 20 %.
Uiteindelijk bezwijkt het staal aan een breukspanning breuk = 324 MPa en een verlenging van
38 % !
In de ingenieurspraktijk zal men echter bijna altijd aannemen dat de evenredigheidsgrens, de
elasticiteitsgrens en de vloeigrens samenvallen. Men rekent voor het ontwerp dan met twee
belangrijke waarden: (i) de vloeigrens, en (ii) de treksterkte.
Als een proefstaaf van een ductiel materiaal wordt belast in het plastisch gebied en de
belasting daarna wordt opgeheven, wordt de elastische vervorming ongedaan gemaakt. Dit
wordt geïllustreerd door Figuur 5.5. De proefstaaf wordt eerst belast voorbij de vloeigrens A
tot het punt A’. Aangezien er interatomaire krachten moeten overwonnen worden om de
proefstaaf elastisch te verlengen, trekken deze zelfde krachten de atomen weer naar elkaar toe
wanneer de kracht wordt opgeheven. Bijgevolg is de elasticiteitsmodulus E dezelfde en dus is
de helling van de lijn O’A’ bij ontlasten gelijk aan die van de lijn OA.
Figuur 5.5 Belasten en ontlasten in het plastisch gebied [4].
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Materiaalmodellen
210
Als de belasting opnieuw wordt aangebracht, treedt pas vloeien op voorbij het punt A’. Dit
nieuwe spanning-rek diagramma, gedefinieerd door O’A’B, heeft een hogere vloeigrens als
gevolg van de versteviging. Met andere woorden: het materiaal heeft nu een groter elastisch
gebied, maar is wel minder ductiel dan in zijn oorspronkelijke staat.
Bij sommige metalen, zoals aluminium, kan men geen duidelijke vloeifase en
verstevigingsfase onderscheiden. In dat geval bepaalt men vaak de vloeigrens op een
conventionele manier (zie Figuur 5.6). Meestal wordt een vervorming van 0,2 % ( = 0,002)
gekozen en trekt men vanaf dit punt op de -as een lijn evenwijdig aan het eerste, rechtlijnige
gedeelte van het spanning-rek diagramma. Het punt waar deze lijn de kromme snijdt, geeft bij
conventie de vloeigrens aan. Uit de grafiek in Figuur 5.6 volgt een vloeigrens 0,2 = 352 MPa.
Fysisch betekent dit dat als men het materiaal belast tot 352 MPa en nadien ontlast, er een
permanente rek van 0,2 % overblijft.
Figuur 5.6 Definitie vloeigrens voor aluminiumlegeringen [4].
Bij enkele materialen valt er zelfs geen evenredigheidsgrens te definiëren. Dit is bv. het geval
voor rubber, waar er geen lineair verband bestaat tussen spanning en rek. In plaats hiervan
vertoont het materiaal een niet-lineair elastisch gedrag, zoals de trekproef op rubber in
Figuur 5.7 weergeeft.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Materiaalmodellen
211
Figuur 5.7 Spanning-rek diagramma voor rubber [4].
5.1.1.b. Brosse materialen
Brosse materialen vloeien nauwelijks of niet, alvorens ze bezwijken. De breuk begint vaak bij
een onvolkomenheid of microscopisch scheurtje in het materiaal en verspreidt zich dan snel
doorheen het volledige materiaal. Als gevolg van deze vorm van bezwijken hebben brosse
materialen geen goed gedefinieerde breukspanning bij trekbelasting, omdat scheurtjes in een
proefstaaf heel willekeurig optreden. Daarom bepaalt men de gemiddelde breukspanning in
het algemeen uit een grotere reeks trekproeven.
Vergeleken met hun gedrag in trek, hebben brosse materialen vaak een veel hogere weerstand
in druk. De aanwezige scheurtjes worden dichtgedrukt en de vervorming bij breuk is veel
groter.
Een typisch spanning-rek diagramma voor gietijzer is getoond in Figuur 5.8.
Figuur 5.8 Spanning-rek diagramma voor gietijzer [4].
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Materiaalmodellen
212
Figuur 5.9 toont het spanning-rek diagramma voor beton. Duidelijk is te zien dat de maximale
druksterkte van beton bijna 12,5 keer zo groot is als de treksterkte, druk,max = 34,5 MPa
tegenover trek,max = 2,76 MPa. Om deze reden worden structuren in beton zodanig ontworpen
dat zij vooral in druk belast worden. De zones van het beton die in trek worden belast, worden
vaak verstevigd met stalen wapeningsnetten die de trekspanningen opvangen.
Figuur 5.9 Spanning-rek diagramma voor beton [4].
Het is belangrijk te vermelden dat de beproevingsmethode vaak dient aangepast te worden aan
het type materiaal dat men wenst te beproeven. Zo hebben vezelversterkte composieten vaak
slechts een totale dikte van 1 à 5 millimeter. Door deze kleine dikte en de geringe stijfheid in
de dikterichting, knikt het proefstuk gemakkelijk uit onder drukbelastingen. Vandaar zijn
speciale anti-knikgeleidingen ontworpen voor het bepalen van de druksterkte van
composietmaterialen. Een voorbeeld is weergegeven in Figuur 5.10.
Figuur 5.10 Drukproef voor composietmaterialen [5].
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Materiaalmodellen
213
Voor anisotrope materialen zoals vezelversterkte composieten moet men trouwens de trek- en
drukproeven uitvoeren in verschillende richtingen, omdat de sterkte-eigenschappen
verschillend zijn in de richting van de vezelversterking en loodrecht erop.
5.1.1.c. Overgangen van bros naar ductiel gedrag en vice versa
De classificatie tussen brosse en ductiele materialen moet met de nodige omzichtigheid
gehanteerd worden. Eénzelfde materiaal kan zich immers ductiel of bros gedragen, naargelang
de samenstelling of omgevingsfactoren. Staal bijvoorbeeld, heeft een bros gedrag wanneer het
een hoog koolstofgehalte heeft en wordt ductiel als het weinig koolstof bevat. De
schematische spanning-rek diagramma voor verschillende koolstofgehaltes zijn weergegeven
in Figuur 5.11.
Figuur 5.11 Spanning-rek diagramma voor staal met verschillende koolstofgehaltes [4].
Verder worden materialen bij lagere temperaturen brosser, terwijl ze ductieler worden
wanneer de temperatuur stijgt. Figuur 5.12 toont dit effect voor een methacrylaat-kunststof.
Figuur 5.12 Spanning-rek diagramma voor een methacrylaat-kunststof bij verschillende temperaturen [4].
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Materiaalmodellen
214
5.1.1.d. Mechanische eigenschappen van enkele ingenieursmaterialen
Uit de trek- en drukproeven kan men reeds heel wat belangrijke parameters voor het ontwerp
distilleren: de elasticiteitsmodulus, de vloeigrens, de treksterkte, de breukrek,...
In Tabel 3.1 worden de mechanische eigenschappen opgesomd voor een aantal materialen die
vaak voorkomen in ingenieurstoepassingen.
Tabel 3.1 Mechanische eigenschappen van enkele ingenieursmaterialen [6].
Hieruit kan men reeds een aantal globale conclusies trekken:
de treksterkte van staal ligt veel hoger dan deze van kunststoffen. Anderzijds kan de
breuksterkte van vezelversterkte kunststoffen enkele malen hoger zijn dan deze van staal.
De breukspanning in trek van beton is zeer laag,
de breukrek van zacht staal is groter dan deze van hoge-sterkte stalen, omdat zacht staal
ductieler is. De verlenging van de meeste kunststoffen bij breuk ligt nog een stuk hoger
dan deze van de ductiele staalsoorten,
de stijfheid van staal en andere metaallegeringen is in dezelfde grootte-orde als deze van
vezelversterkte kunststoffen, maar de stijfheid van beton en kunststoffen is vele malen
lager,
zoals reeds hoger vermeld, zijn vezelversterkte kunststoffen vrij licht. De verhouding van
treksterkte en stijfheid tot soortelijke massa is voor deze materialen dan ook de beste,
kunststoffen vertonen een zeer grote thermische uitzetting t.o.v. de andere
ingenieursmaterialen.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Materiaalmodellen
215
5.1.2. Buigproeven
Het testen van brosse materialen (bv. beton) in trek is niet eenvoudig. Zo breekt het proefstuk
soms bij de bevestiging ervan in de klauwen van de proefmachine. Daarom worden brosse
materialen vaak beproefd in buiging, waarbij twee configuraties gebruikt worden: (i) drie-
puntsbuiging, en (ii) vier-puntsbuiging. Figuur 5.13 toont een schematische voorstelling van
beide configuraties.
Figuur 5.13 Drie- en vierpuntsbuiging van brosse materialen [1].
Toch blijft de interpretatie van de resultaten niet altijd eenvoudig. Het materiaal wordt immers
aan de bovenzijde belast in druk en aan de onderzijde belast in trek. Als de
elasticiteitsmodulus E verschillend is in trek en druk, of het materiaal gedraagt zich niet
lineair elastisch, zijn de resultaten van buigproeven moeilijk te interpreteren.
5.1.3. Afschuifproeven
Om het gedrag in afschuiving van het materiaal te onderzoeken en de glijdingsmodulus (of
glijdingsmoduli) te bepalen, worden afschuifproeven uitgevoerd. Figuur 5.14 toont een
schematische voorstelling van een afschuifproef.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Materiaalmodellen
216
Figuur 5.14 Afschuifproef [2].
Een tweede type afschuifproeven gebeurt door torsie van een dunwandige cilinder. Zoals
aangetoond in paragraaf 1.5, bestaat er bij torsie of wringing van een staaf in elke
dwarsdoorsnede een zuivere schuifspanningstoestand. Op die manier kan men het gedrag in
afschuiving bestuderen.
Om de afschuifsterkte S van een composietmateriaal te bepalen, gebruikt men vaak de rail
shear test. Figuur 5.15 toont een praktische uitvoering van deze test, waarbij de linker- en
rechterkolom het proefstuk inklemmen en de middenste kolom in de verticale richting kan
verplaatst worden.
Figuur 5.15 Praktische uitvoering van de rail shear test [7].
5.1.4. Hardheidsproeven
De hardheid van een materiaal wordt gedefinieerd als de weerstand van het materiaal tegen
het indringen van een harder materiaal.
Bij alle metalen, maar in het bijzonder bij staallegeringen, kan de hardheid binnen brede
grenzen variëren, afhankelijk van de samenstelling, productiemethode en nabehandelingen.
Hardheidsmetingen worden zeer vaak uitgevoerd en kunnen aan het werkstuk zelf worden
verricht, zonder dat er een apart proefstuk moet worden vervaardigd.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Materiaalmodellen
217
In het begin van de twintigste eeuw zijn een drietal methodes voor statische hardheidsmeting
ontwikkeld:
hardheidsmeting volgens Brinell,
hardheidsmeting volgens Vickers,
hardheidsmeting volgens Rockwell.
De drie methodes onderscheiden zich van elkaar door de keuze van het indringlichaam, de
beproevingsbelasting en de gekozen meetwaarde. Omdat elke methode zijn eigen
toepassingsgebied heeft, worden de drie methodes ook nu nog naast elkaar toegepast. Het
principe is echter voor de drie methodes dezelfde: een indringlichaam wordt met een bepaalde
kracht in het werkstuk gedrukt. Van die (blijvende) indrukking wordt een meetwaarde
afgelezen die een maat is voor de hardheid.
Aangezien deze blijvende indrukking in feite een plastische vervorming is, is de hardheid
voornamelijk een maat voor de weerstand tegen plastische vervorming. Men verwacht dan
ook een min of meer lineair verband tussen de hardheid en de vloeigrens van het materiaal:
hoe hoger de vloeigrens van het materiaal, hoe kleiner de permanente vervorming en dus hoe
hoger de hardheid. Dit lineair verband bestaat inderdaad, maar gaat enkel op voor metalen.
Dit verband gaat niet op voor keramische materialen, omdat de vloeigrens van keramische
materialen praktisch samenvalt met de treksterkte: zodra het materiaal begint te vervormen,
breekt het.
5.1.4.a. Hardheidsmeting volgens Brinell
Figuur 5.16 toont schematisch het principe van de hardheidsmeting volgens Brinell. Als
indringlichaam wordt gekozen voor een geslepen kogel van gehard staal. De kogeldiameter
hangt af van de plaatdikte, want het is niet toelaatbaar dat de onderzijde van de plaat vervormt
door de indrukking van de kogel. De grootte van de beproevingsbelasting is gestandaardiseerd
en getabelleerd voor verschillende metalen.
Figuur 5.16 Schematisch principe van de hardheidsmeting volgens Brinell.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Materiaalmodellen
218
De meetwaarde, afgeleid uit de hardheidsproef, is de oppervlakte A van de indrukking. Dit is
dus in feite de oppervlakte van een bolsegment. De hardheid HB volgens Brinell wordt dan
gedefinieerd als:
22 dDDD
F204,0
A
F102,0HB
(5.4)
waarbij F wordt uitgedrukt in Newton en A in mm2. De omrekenfactor 0,102 heeft een zuiver
historische reden. Vroeger drukte men de kracht uit in kgf (kilogramforce), terwijl men nu de
internationale eenheid N (Newton) gebruikt (1 kgf = 1 kg 9,81 m/s2 = 9,81 N).
Typische hardheden liggen tussen 100 en 350 HB. De hardheidsmeting volgens Brinell is niet
geschikt voor zeer harde materialen of voor dunne oppervlaktelagen.
5.1.4.b. Hardheidsmeting volgens Vickers
Bij de hardheidsmeting volgens Vickers wordt een stompe, vierzijdige piramide uit diamant
gebruikt als indringlichaam. De diamant is gevoelig voor stoten en daardoor minder geschikt
voor ruwe bedrijfsomstandigheden dan de Brinell kogel. Daarentegen kunnen met de diamant
de hardste materialen worden beproefd.
De definitie van de hardheid volgens Vickers is dezelfde als deze volgens Brinell:
A
F102,0HV
(5.5)
waarbij A ditmaal de manteloppervlakte van de indrukking voorstelt, uitgedrukt in mm2.
De Vickers hardheidsmeting kan worden toegepast op materialen met zeer verschillende
hardheden, ook op zeer harde materialen zoals gesinterde carbiden. Ook zeer dunne en harde
oppervlaktelagen kunnen worden beproefd.
5.1.4.c. Hardheidsmeting volgens Rockwell
De hardheidsmeting volgens Rockwell gebeurt met een diamanten kegel met een stompe
tophoek van 120. In tegenstelling tot de hardheden volgens Brinell en Vickers, wordt de
hardheid volgens Rockwell niet berekend uit het quotiënt van proefbelasting en oppervlakte
van de indrukking, maar wel rechtstreeks uit de gemeten indringdiepte.
De Rockwell hardheid HRC is omgekeerd evenredig met de indringdiepte tb (mm):
bt500100HRC (5.6)
Dit eenvoudig verband is voorgesteld in Figuur 5.17.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Materiaalmodellen
219
Figuur 5.17 Verband tussen indringdiepte tb en Rockwell hardheid HRC.
5.1.5. Kruipproeven
Wanneer een materiaal gedurende lange tijd belast wordt met een constante spanning, kan de
vervorming tijdens de belastingstijd gaan toenemen. Dit verschijnsel noemt men kruip. Een
constante spanning treedt bv. op bij belasting van het materiaal met een bepaald gewicht. Ook
bij verhard beton is kruip zeker een niet te verwaarlozen fenomeen. Onder invloed van kruip
neemt de doorbuiging van betonelementen in de loop van de tijd toe, en neemt de
voorspankracht in voorgespannen betonelementen af.
Het complementaire geval bestaat erin dat de spanning in een materiaal gaat afnemen,
wanneer het lange tijd met dezelfde vervorming wordt belast. Dit laatste verschijnsel heet
relaxatie. Relaxatie treedt vaak op bij machineonderdelen, bv. bouten die onder een
voorspanning staan of onderdelen die ingeperst zijn.
Beide verschijnselen worden geïllustreerd in Figuur 5.18. Links staat het verloop in de tijd
van spanning en rek afgebeeld voor kruip, rechts voor relaxatie.
Figuur 5.18 Verloop van spanning en rek voor (a) een kruipproef en (b) een relaxatieproef.
Bij metalen treedt kruip meestal slechts op bij hoge temperaturen. Een voorbeeld is de
Concorde. Door de supersonische snelheid en het enorme vermogen van de motoren wordt het
aluminium frame van het vliegtuig onderworpen aan temperaturen tot 127 C. De combinatie
van deze hoge temperaturen met werkspanningen van 176 MPa leidt tot kruip tijdens het
vliegen. Voor een ontwerplevensduur van 20 000 uren laten de ontwerpers een kruip toe van
0,1 %.
Kunststoffen en composieten daarentegen vertonen reeds kruipgedrag bij kamertemperatuur.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Materiaalmodellen
220
Het resultaat van kruipproeven wordt op vele manieren voorgesteld. Een eerste
voorstellingswijze zijn de tijd-rekkrommen, voor verschillende waarden van de constante
spanning. Deze zijn afgebeeld in Figuur 5.19(a).
Figuur 5.19 Het kruipgedrag voorgesteld als (a) tijd-rekkrommen, (b) isometrische krommen, en (c) isochrone
krommen.
Met de gegevens van de grafiek in Figuur 5.19(a) kan men de tijd-spanning-lijnen construeren
in Figuur 5.19(b). Daarin leest men af bij welke spanning in een onderdeel na een bepaalde
tijd t een voorgeschreven rek (in %) niet wordt overschreden. De bovenste lijn in de grafiek
geeft de sterkte weer in de tijd, d.w.z. de spanning die na een tijd t tot breuk leidt. Deze tijd-
spanning-lijnen noemt men isometrische krommen.
Nog een andere weergave voor het kruipgedrag zijn de spanning-rek-krommen, zoals
afgebeeld in Figuur 5.19(c). Zij geven het verband tussen spanning en rek voor verschillende
waarden van de belastingstijd. Deze krommen noemt men de isochrone krommen.
Het uitvoeren van dergelijke proeven vergt heel veel tijd. Dit is duidelijk als men bedenkt dat
een tijd van 103 uren overeenkomt met bijna 42 dagen.
Zoals hoger aangegeven, speelt ook de temperatuur een belangrijke rol in het kruipgedrag.
Figuur 5.20 toont de isochrone spanning-rek-krommen met invloed van de temperatuur voor
de glasvezelversterkte kunststof polyamide PA6.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Materiaalmodellen
221
Figuur 5.20 Isochrone spanning-rek-krommen voor PA6 met 30 % glasvezel.
In het rechtergedeelte van de grafiek staan de isochrone spanning-rek-krommen afgebeeld
voor verschillende belastingstijden bij kamertemperatuur. Om de invloed van toenemende
temperatuur weer te geven, worden in het linkergedeelte van de grafiek krommen van
constante spanning voorgesteld in functie van de temperatuur. Bij kamertemperatuur vallen de
eindpunten van deze krommen samen met de ordinaat van de spanning, voor hogere
temperaturen leest men de grafiek als volgt: als het composiet bij 120 C belast wordt met een
constante spanning van 10 MPa, dan zal de rek na 102 uren oplopen tot 0,5 %. Ter
vergelijking: als men diezelfde kruipproef uitvoert bij kamertemperatuur, is de rek na 102 uren
slechts 0,2 %.
5.1.6. Vermoeiingsproeven
Het is een vaststaand feit dat materialen een hogere spanning kunnen verdragen bij een
statische belasting dan bij een cyclische belasting. Onder een periodiek wisselende belasting
kunnen materialen na een langere of kortere tijd breken bij een veel lagere spanning dan de
statische breukspanning. Deze vorm van breuk noemt men een vermoeiingsbreuk.
Cyclische belastingen komen heel vaak voor in de praktijk: windbelasting op wieken van
windmolens, scheepsmasten en hoge staalconstructies, draaiende onderdelen van motoren en
werktuigkundige machines, rotorbladen van helikopters,...
Hoewel tijdens cyclische belasting de spanning in het grootste deel van de constructie ver
beneden de vloeigrens blijft, zijn er vaak lokale spanningsconcentraties aan kerven, scheuren
of defecten in het materiaal. Ook bij lassen worden er vaak fouten geïntroduceerd in het
materiaal. Vaak zijn het deze initiële scheurtjes die onder invloed van de cyclische belasting
langzaam verder aangroeien en uiteindelijk leiden tot breuk van de hele constructie.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Materiaalmodellen
222
De keuze van de opgelegde belasting in een vermoeiingsproef is een moeilijk probleem. De
belastingen op de reële constructie kunnen een heel grillig verloop vertonen in de tijd. Figuur
5.21 toont het experimenteel opgemeten spanningsverloop in de vleugel van een vliegtuig
tijdens een grond-lucht-grond manoeuver.
Figuur 5.21 Normaalspanning in de vleugel bij een grond-lucht-grond manoeuver [8].
Een dergelijke beproeving nabootsen in het laboratorium, wordt zelden gedaan en wel om
volgende redenen:
vele servo-hydraulische vermoeiingsmachines zijn niet in staat dergelijke complexe
spanningsverlopen op te leggen,
dergelijke vermoeiingsproeven zijn zeer duur en tijdrovend,
in vele gevallen kent men zelfs het ware verloop van de spanningen in de belaste
constructie niet.
Daarom wordt de werkelijke belasting vaak vereenvoudigd tot een constante-amplitude
belasting met sinusoïdaal verloop. Een typisch spanningsverloop is getoond in Figuur 5.22.
Figuur 5.22 Cyclische belasting op proefstaaf.
Hierbij zijn volgende spanningen van belang:
de maximale spanning h,
de minimale spanning l,
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Materiaalmodellen
223
de gemiddelde spanning 2
lhm
,
de spanningsamplitude 2
lha
,
de spanningsverhouding h
lR
.
Hierbij kunnen de maximale en minimale spanning hetzelfde teken hebben (trek-trek of druk-
druk), of een verschillend teken (trek-druk).
Men kan een drietal soorten vermoeiingsproeven onderscheiden:
proeven op foutvrije, glad gepolijste proefstaven,
proeven op proefstaven met boringen, doorsnedeveranderingen, ...
proeven op afzonderlijke of gecombineerde constructie-onderdelen.
5.1.6.a. Proeven op foutvrije, glad gepolijste proefstaven
Tijdens deze proeven wordt een foutvrije proefstaaf onderworpen aan een trek-, druk-, buig-
of torsiebelasting. Hoewel de daarmee gepaard gaande spanningen in een reële constructie een
zeer grillig verloop in de tijd kunnen hebben, legt men in het laboratorium vaak zeer
eenvoudige sinusoïdale signalen aan.
Bij de meeste vermoeiingsproeven is men vooral geïnteresseerd in het aantal cycli tot breuk
Nf bij een zekere spanningsamplitude a. Men voert dan vermoeiingsproeven uit bij
verschillende spanningsamplitudes en meet telkens het aantal cycli tot breuk. Het verband
tussen spanningsamplitude en aantal cycli tot breuk wordt uitgezet in de zogeheten Wöhler-
kromme of S-N curve. Figuur 5.23 toont een typische Wöhler-kromme voor een staallegering.
Figuur 5.23 Voorbeeld van een Wöhler-kromme voor een staallegering [9].
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Materiaalmodellen
224
De abscis bevat het aantal cycli tot breuk. Deze waarden worden vaak uitgezet in een
logaritmische schaal. De ordinaat bevat de spanningsamplitude (hier genormaliseerd t.o.v. de
statische treksterkte). Voor een voldoend lage spanningsamplitude is de levensduur in
vermoeiing zéér groot. Deze ondergrens voor de spanning noemt men de vermoeiingsgrens
(Eng: fatigue limit, endurance limit). Men onderstelt dat er beneden deze spanningsamplitude
geen schade door vermoeiing optreedt.
Deze ondergrens bestaat echter niet voor alle materialen, zoals geïllustreerd door Figuur 5.24.
Deze figuur toont de S-N curve voor een aluminium legering. Zelfs voor zeer lage
spanningsamplitudes blijft de S-N curve dalen.
Figuur 5.24 S-N curves voor een aluminiumlegering met aanduiding van de overlevingskans [8].
Op deze figuur valt ook een andere belangrijke eigenschap van vermoeiingsproeven af te
lezen, nl. de spreiding op de proefresultaten. Ondanks alle zorg die men bij het uitvoeren van
de proef aan de dag legt, is spreiding een onvermijdelijk fenomeen bij vermoeiingsproeven.
Daarom worden in Figuur 5.24 drie curves uitgezet, waarbij bv. de 10 % curve aangeeft dat
slechts 10 % van de proefstaven een langere levensduur heeft dan deze die op de curve af te
lezen valt. Voor het ontwerp gebruikt men uiteraard de onderste curve die de meest
conservatieve aannames doet.
Zoals reeds hoger vermeld, zijn de cyclische belastingen die aangrijpen op reële constructies,
veel grilliger dan de sinusoïdale spanning met constante amplitude in labotesten. Om
enigszins tegemoet te komen aan dit probleem, worden soms testen uitgevoerd met
blokbelastingen. Zoals getoond in Figuur 5.25, wordt de gemiddelde spanning en de
spanningsamplitude in elk blok aangepast, maar binnen elk blok blijft de spanning sinusoïdaal
met constante amplitude.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Materiaalmodellen
225
Figuur 5.25 Blokbelastingen [9].
Toch zal men vaak proberen om de levensduur onder blokbelastingen en meer algemeen,
onder variabele-amplitude belastingen, te voorspellen uitgaande van gekende experimentele
resultaten van constante-amplitude testen.
Een zeer eenvoudige voorspellingsregel werd vooropgesteld door Miner. Hij stelt dat er
tijdens een constante-amplitude vermoeiingstest schade ontwikkelt in het materiaal en dat
deze schade D lineair toeneemt met de levensduur. De schade D is nul aan het begin van de
vermoeiingstest en wordt één bij breuk:
fN
ND (5.7)
waarbij N het aantal opgelegde belastingscycli is en Nf het (experimenteel bepaalde) aantal
cycli tot breuk bij een bepaalde spanningsamplitude.
Wanneer nu sequentieel verschillende spanningsniveaus worden aangelegd, is de schade voor
elk spanningsniveau gelijk aan de verhouding N/Nf voor dat spanningsniveau, zodat:
i,f
i
2,f
2
1,f
1i21
N
N...
N
N
N
ND...DDD (5.8)
Volgens de regel van Miner bezwijkt het materiaal als de totale schade gelijk aan één wordt.
Deze regel wordt nog steeds vaak toegepast, maar men moet er heel omzichtig mee
omspringen. Het is reeds vaak gebleken dat de experimenteel bepaalde levensduur onder
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Materiaalmodellen
226
blokbelastingen of variabele-amplitude belastingen korter is dan de levensduur, voorspeld
door de Miner-regel. Dit is uiteraard een onveilige situatie.
Deze onveilige schattingen zijn te wijten aan een aantal simplistische veronderstellingen in de
regel van Miner:
Miner onderstelt een lineaire toename van de schade tijdens de levensduur. Vaak groeit de
schade echter zeer langzaam tijdens het grootste deel van de levensduur en versnelt pas aan
het einde van de levensduur,
in de regel van Miner maakt het niet uit in welke volgorde de verschillende
spanningsniveaus worden aangebracht. Voor vele vezelversterkte composietmaterialen is
de levensduur onder een laag-hoog sequentie van de spanning echter verschillend van de
levensduur onder een hoog-laag sequentie van de spanning,
de regel van Miner onderstelt dat er geen interactie is tussen de teweeggebrachte schade
door de verschillende spanningsniveaus. In praktijk wordt de aangroei van de schade
echter vaak beïnvloed door de reeds aanwezige schade van vorige spanningsniveaus.
5.1.6.b. Proeven op proefstaven met boringen, doorsnedeveranderingen, ...
In hoofdstuk 1 werd aangetoond dat er spanningsconcentraties ontstaan rond een opening in
een plaat, en meer algemeen bij doorsnedeveranderingen, boringen, enz. Wanneer de
constructie belast wordt in vermoeiing, zal de spanningsamplitude in de buurt van de gaten,
boringen of doorsnedeveranderingen in de constructie groter zijn dan de spanningsamplitude
in de andere delen van de constructie, precies omwille van het effect van de
spanningsconcentratie. Daarom zal men ook proefstaven maken met gaten, boringen,
doorsnedeveranderingen,... en de invloed daarvan op de levensduur onderzoeken.
Figuur 5.26 toont een aantal mogelijke configuraties voor vermoeiingsproeven met
spanningsconcentraties. Bewust aangebrachte uitboringen of doorsnedeveranderingen zorgen
voor een verhoogde spanning in deze zones, zodat het vermoeiingsgedrag beïnvloed wordt.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Materiaalmodellen
227
Figuur 5.26 Verschillende vermoeiingsproeven met spanningsconcentraties [10].
In vele constructies zijn bovendien initiële scheurtjes aanwezig, geïnduceerd door lasfouten,
insluitsels in het materiaal, thermische spanningen, productiefouten,... Als deze initiële
scheurtjes gelegen zijn in zwaar belaste zones van de constructie, kunnen zij de levensduur in
vermoeiing drastisch doen dalen. Daarom worden soms ook proefstaven vervaardigd waarin
met een diamantschijf een zaagsnede wordt ingebracht. Nadien wordt opgevolgd hoe de
opzettelijk aangebrachte kerf groeit in vermoeiing.
5.1.6.c. Proeven op afzonderlijke of gecombineerde constructie-onderdelen
Proeven op constructie-onderdelen zijn duur en tijdrovend, en worden dus slechts uitgevoerd
voor belangrijke, kritieke onderdelen van vliegtuigen, auto’s, vrachtwagens,
windmolenwieken,... Figuur 5.27 toont een voorbeeld van een vermoeiingstest op een
volledige wagen.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Materiaalmodellen
228
Figuur 5.27 Schematische voorstelling van een vermoeiingstest van een auto [8].
In metalen constructies zijn de lasverbindingen bijzonder gevoelig aan vermoeiing en daarom
worden vaak gelaste constructie-onderdelen in hun geheel beproefd. Figuur 5.28 en Figuur
5.29 tonen twee voorbeelden van gelaste constructies die in vermoeiing worden belast, alsook
de kritische zones.
Figuur 5.28 Lasverbinding van stalen kokers en probleemzones bij vermoeiing [11].
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Materiaalmodellen
229
Figuur 5.29 Lasverbinding van stalen I-profiel en koker en probleemzones bij vermoeiing [11].
5.1.7. Impactproeven
Bij impactproeven wordt een zeer kortstondige stootbelasting opgelegd aan het proefstuk. De
impactduur is meestal in de grootte-orde van milliseconden en bijgevolg varieert de rek in het
proefstuk heel snel. De variatie van de rek met de tijd noemt men de vervormingssnelheid
of dt
d. Het gebied van deze vervormingssnelheden dat bij studies van impact kan worden
beschouwd, bestrijkt meerdere ordes van grootte. Figuur 5.30 geeft hiervan een idee en
beschrijft tevens het gedrag van metalen onder impactbelasting.
Figuur 5.30 Overzicht van vervormingssnelheden en impactsnelheden, met een beschrijving van het
materiaalgedrag onder impactbelasting [7].
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Materiaalmodellen
230
de dagelijkse toepassingen, beneden 100 m/s (360 km/u) komen het meest voor: steenslag
bij voertuigen en vliegtuigen op landingsbanen, vogels en hagel op wieken van
windmolens en op vliegtuigen, botsing van voertuigen, waterslag op de romp van snelle
vaartuigen, veiligheidshelmen voor gebruik op bouwwerven, valhelmen voor motorrijders,
vallende voorwerpen,
het ballistisch gebied gaat van enkele honderden m/s tot enkele km/s,
snelheden van tientallen en honderden km/s treft men aan in de ruimtevaart (stofdeeltjes,
micro-meteorieten, resten van ruimtetuigen). Deeltjes van enkele gram bezitten daar soms
meer kinetische energie dan een automobiel aan normale snelheid.
De vervormingssnelheid is een belangrijke parameter bij impactproeven en numerieke
simulaties van impact, omdat uit experimenten veelvuldig is gebleken dat de meeste
materialen een hogere spanning kunnen bereiken bij hoge vervormingssnelheden dan bij
statische belasting. Figuur 5.31 toont het verloop van de ware spanning vs. ware rek voor
verschillende vervormingssnelheden van de kunststof PMMA (PolyMethylMethAcrylaat). Dit
is een doorzichtige kunststof die i.p.v. glas wordt gebruikt in beglazing, lichtkoepels,
reclameborden, ... en is vooral bekend onder de handelsnaam Plexiglas. Omdat grote
vervormingen worden bereikt en de initiële dwarsdoorsnede aanzienlijk insnoert, zijn hier de
ware spanning en rek gebruikt i.p.v. de nominale spanning en rek.
Figuur 5.31 Invloed van de vervormingssnelheid op de ware spanning in de kunststof PMMA [12].
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Materiaalmodellen
231
De laagste curve bij een vervormingssnelheid van 210-3 s-1 komt overeen met een statische
trekproef. De hoogste vervormingssnelheid van 760 s-1 komt overeen met een mechanische of
explosieve impact. Zoals duidelijk blijkt uit de grafiek, is de bereikte spanning bij de grootste
vervormingssnelheid vele malen groter dan bij een statische trekproef.
Men kan globaal een viertal types impactproeven onderscheiden:
valproeven (lage ),
pneumatische en mechanische impacttesten (middelgrote ),
Hopkinson-proeven (zeer grote ),
impactproeven op volledige constructies (bv. voertuigen).
5.1.7.a. Valproeven
Figuur 5.32 toont een schematische voorstelling van een valproef (Eng: drop-weight test). Bij
deze proef wordt een massa vanop een zekere hoogte losgelaten en via een geleiding
geïmpacteerd op het proefstuk. Typische valsnelheden zijn 1 tot 10 m/s.
Figuur 5.32 Schematische voorstelling van een valproef [12].
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Materiaalmodellen
232
Figuur 5.33 toont de opgemeten spanning-rek curve voor een glas/epoxy composiet bij
statische belasting en bij een valproef. Opnieuw is de maximum spanning een stuk hoger dan
bij statische belasting.
Figuur 5.33 Spanning-rek curves voor een glas/epoxy composiet [12].
5.1.7.b. Pneumatische en mechanische impacttesten
Pneumatische en mechanische impacttesten worden gebruikt voor hogere vervormings-
snelheden , in een bereik van 1 tot 50 s-1.
In geval van een pneumatische impacttest wordt een zuiger onder druk gebracht met
perslucht. Zodra voldoende druk is bereikt, wordt de zuiger losgelaten en deze versnelt een
impactor die op het proefstuk wordt afgevuurd.
Figuur 5.34 toont een voorbeeld van een pneumatische versneller met impactor.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Materiaalmodellen
233
Figuur 5.34 Voorbeeld van een pneumatische versneller en impactor.
5.1.7.c. Hopkinson-proeven
Eén van de belangrijkste proeven voor zeer hoge vervormingssnelheden is de Hopkinson-
proef. Vervormingssnelheden van 100 s-1 tot 10 000 s-1 zijn haalbaar. Een schematische
voorstelling van een Hopkinson-proef is getoond in Figuur 5.35.
Figuur 5.35 Schematische voorstelling van een Hopkinson-proef [12].
Met behulp van een (meestal pneumatisch) versnellingssysteem wordt een massief blok
geïmpacteerd op twee lange staven. In deze staven wordt een drukgolf opgewekt, die aan de
rechterzijde reflecteert tegen een aambeeld en terugkeert als een trekgolf. Deze trekgolf
doorloopt ook de staven waartussen het proefstuk zit vastgeklemd. Aldus wordt in het
proefstuk een zeer kortstondige trekgolf opgewekt.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Materiaalmodellen
234
In de vakgroep Toegepaste Materiaalwetenschappen van de Universiteit Gent staat één van
de grootste Hopkinson-opstellingen van Europa. Figuur 5.36 toont een globaal beeld van de
opstelling, die ongeveer 11 meter lang is.
Figuur 5.36 Globaal beeld van de Hopkinson-opstelling in de vakgroep Toegepaste Materiaalwetenschappen
van de Universiteit Gent.
Het proefstuk daarentegen is bijzonder klein. Een detailopname van een metalen proefstuk en
de twee uiteinden van de aluminium staven waarin het proefstuk wordt vastgeklemd, is
getoond in Figuur 5.37.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Materiaalmodellen
235
Figuur 5.37 Detail van het metalen proefstuk en zijn inklemming in de aluminium staven.
De gegevens uit dergelijke proeven met zeer hoge vervormingssnelheden worden o.a.
gebruikt voor het ontwerp van metaallegeringen voor de automobielindustrie. Door een
optimalisatie van hun materiaalgedrag onder impactbelasting (bv. bij botsingen tussen auto’s
of autocrashes tegen bomen en brugpijlers) kan men het meest veilige materiaal selecteren.
Ook voor de simulatie van auto-crashes worden de experimentele gegevens ingebracht in het
numeriek rekenpakket.
5.1.7.d. Impactproeven op volledige constructies
Naast de impactproeven op kleine proefstukken, worden ook impactproeven uitgevoerd op
volledige constructies. Het bekendste voorbeeld is uiteraard de crashtest van voertuigen, zoals
afgebeeld in Figuur 5.38.
Figuur 5.38 Crashtest van een wagen.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Materiaalmodellen
236
Daarnaast worden echter ook impacttesten uitgevoerd met bv. helikopters. De kooi en het
onderstel worden met een reusachtige kraan opgehesen en nadien losgelaten. Bij impact op de
grond onderzoekt men of het onderstel van de helikopter de impactenergie kan absorberen,
zodat de kooi waarin de piloot en de passagiers zitten, min of meer intact blijft.
5.1.8. Kerfslagproeven
Bij de bespreking van de trekproef werd reeds het verschil uiteengezet tussen ductiele en
brosse materialen. In de literatuur zal men vaak de term taaiheid vinden als synoniem voor
ductiliteit, en beiden termen worden vaak door elkaar gebruikt. Dit is echter niet correct.
Ductiliteit wordt gebruikt in de context van een scheurvrij of foutvrij materiaal, terwijl
taaiheid altijd samenhangt met de aanwezigheid van scheuren of defecten in het materiaal.
Een foutvrij materiaal is dus ductiel wanneer het een grote vervorming vertoont vóór breuk.
Een materiaal is taai als het ook in aanwezigheid van scheuren voldoende vervormt vóór
breuk.
Koper is een voorbeeld van een taai materiaal. In dit materiaal zal een scheur zeer moeilijk
groeien, omdat er zeer veel energie verbruikt wordt voor plastische vervorming. Glas
daarentegen is een zeer bros materiaal waarin elke scheur quasi onmiddellijk propageert en
leidt tot volledige breuk.
Om experimenteel na te gaan of een materiaal een taai gedrag vertoont, ontwikkelde men een
specifieke mechanische proef, waarvan de proefomstandigheden brosse breuk bevoordelen:
de proef gebeurt met een hoge vervormingssnelheid (het proefstuk wordt geïmpacteerd),
het proefstuk is gekerfd wat een driedimensionale spanningstoestand veroorzaakt aan de
kerftip,
de proef verloopt soms bij verlaagde temperatuur.
Deze proef noemt men de kerfslagproef. De bekendste uitvoering van deze proef is de
Charpy kerfslagproef. Figuur 5.39 toont het belastingsprincipe (boven) en de opstelling
(onder) van deze proef.
Het proefstuk met een vooraf aangebrachte kerf wordt opgelegd op twee steunpunten. Met
een hamer wordt aan de kerfvrije achterzijde van het proefstuk een impactbelasting
aangebracht. Figuur 5.40 toont het experimenteel opgemeten krachtsverloop bij een Charpy
kerfslagproef.
In deze grafiek is ook de energie van de uitwendige kracht berekend. Deze werd opgesplitst in
een deel voor initiatie van de scheur en een deel voor propagatie van de scheur. De
verhouding tussen de initiatie-energie en propagatie-energie is in feite een maat voor de
breuktaaiheid van het materiaal.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Materiaalmodellen
237
Figuur 5.39 Charpy kerfslagproef: principe (boven) en praktische uitvoering (onder) [12].
Figuur 5.40 Opgemeten krachtsverloop bij de Charpy kerfslagproef [12].
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Materiaalmodellen
238
5.2. CRITERIA VOOR COMPLEXE SPANNINGSTOESTANDEN
In nagenoeg alle beproevingsmethodes, die in paragraaf 5.1 aan bod kwamen, wordt de
belasting eendimensionaal aangebracht. In de klassieke trekproef wordt er bv. maar in één
richting aan het materiaal getrokken. Ook in de kruipproeven en vermoeiingsproeven wordt
de belasting vaak slechts in één richting aangebracht. Dergelijke proefomstandigheden zijn
vaak een grove simplificatie van de praktijk, waar dikwijls normaalspanningen en
schuifspanningen gelijktijdig optreden in verschillende richtingen. Een experimentele
simulatie van alle mogelijke belastingscombinaties is echter onmogelijk om verschillende
redenen:
de kostprijs van een dergelijk proefprogramma is te hoog,
het opleggen van verschillende combinaties van normaalspanningen en schuifspanningen
in allerlei verhoudingen zou aangepaste en complexe proefmachines vereisen,
het opmeten van de grootte en richting van de opgelegde vervormingsstoestand zou een
omvangrijke instrumentatie vereisen.
Om bovenstaande redenen is men zogenaamde breukcriteria gaan ontwikkelen: criteria die
op basis van een beperkt aantal experimentele gegevens het moment van breuk kunnen
voorspellen voor een meer complexe spanningstoestand. Deze breukcriteria bekommeren zich
niet om het afgelegde pad naar de uiteindelijke breuk, maar enkel om de voorspelling van het
moment van breuk.
Zoals vermeld in paragraaf 5.1.1, hebben ductiele en brosse materialen een zeer verschillend
breukgedrag en bijgevolg werden verschillende breukcriteria ontwikkeld voor ductiele en
brosse materialen.
In geval van ductiele materialen is de term “breukcriterium” niet correct, omdat het criterium
niet het moment van complete breuk aangeeft, maar wel het moment van vloeien. Het
voorspelt dus eigenlijk de limiettoestand waarop het lineair elastisch gebied wordt verlaten en
het vloeien begint. Dit vloeien valt niet noodzakelijk samen met het volledig bezwijken van
de constructie. Daarom wordt in de volgende paragrafen een onderscheid gemaakt tussen
(i) vloeicriteria voor ductiele materialen, en (ii) breukcriteria voor brosse materialen.
5.2.1. Vloeicriteria voor ductiele materialen
Voor de metalen, de grootste klasse van ductiele materialen, werden een aantal vloeicriteria
ontwikkeld op basis van volgende veronderstellingen:
het materiaal wordt homogeen en isotroop ondersteld tot op het moment waarop het
vloeien begint,
de vloeigrens in trek en druk wordt dezelfde ondersteld,
uit experimenten is verder gebleken dat de plastische vervorming gebeurt zonder
volumeverandering en dat de hydrostatische spanning geen invloed heeft op het vloeien.
Op basis van deze vooronderstellingen werden twee vloeicriteria ontwikkeld, die beiden
gebaseerd zijn op de maximaal toelaatbare schuifspanningen. Men had immers experimenteel
reeds heel vroeg vastgesteld dat schuifspanningen een belangrijke rol spelen in het
bezwijkgedrag van ductiele metalen. Inderdaad, wanneer een dunne plaat van zacht staal heel
fijn gepolijst wordt en vervolgens onderworpen aan een trekproef, dan ziet men tijdens het
vloeien een patroon van heel fijne lijnen, allemaal onder een hoek van ongeveer 45 met de
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Materiaalmodellen
239
trekrichting. Deze lijnen werden voor het eerst geobserveerd door Lüder in 1854 en zijn
afgebeeld in Figuur 5.41.
Figuur 5.41 Lüder’s lijnen tijdens het vloeien van een dunne stalen proefplaat in trek [6].
Wanneer men de trekproef van deze dunne staalplaat benadert door een
vlakspanningstoestand, dan kan men m.b.v. de cirkel van Mohr eenvoudig aantonen dat de
maximale schuifspanning inderdaad optreedt onder een hoek van 45 met de
belastingsrichting. Figuur 5.42 toont de cirkel van Mohr voor de vlakspanningstoestand in
geval de trekspanning de vloeigrens v heeft bereikt.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Materiaalmodellen
240
Figuur 5.42 Cirkel van Mohr voor vlakspanningstoestand in zuivere trek [4].
De waarde van de maximale schuifspanning max is dan de helft van de vloeigrens v. De twee
belangrijkste en meest gebruikte vloeicriteria, die op deze waarnemingen zijn gebaseerd, zijn
(i) het criterium van Tresca, en (ii) het criterium van von Mises.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Materiaalmodellen
241
5.2.1.a. Criterium van Tresca
Henri Tresca leidde in 1868 het criterium van maximale schuifspanning (Eng: maximum
shearing stress criterion) af uit de hierboven beschreven experimentele waarnemingen. Het
criterium stelt dat het materiaal onder een willekeurige spanningstoestand plastisch gaat
vervormen wanneer de absolute maximale schuifspanning in het materiaal de schuifspanning
max = v/2 bereikt waarbij dat materiaal gaat vloeien wanneer het uitsluitend axiaal op trek
wordt belast.
Om dit criterium toe te passen, drukt men de absolute waarde van de maximale
schuifspanning uit in functie van de hoofdspanningen I, II en III. Men kan aantonen dat
geldt:
22
vIIIImax
(5.9)
5.2.1.b. Criterium van von Mises
Von Mises beperkt zich niet tot het gebruik van de maximale schuifspanning max, maar
definieert drie schuifspanningswaarden voor zijn criterium. In elk punt kan men namelijk de
hoofdspanningen I, II en III en de bijhorende hoofdrichtingen berekenen. Nu is het zo dat
in datzelfde punt drie andere, onderling loodrechte richtingen bestaan, waar de
schuifspanningen maximaal zijn (vergelijk met de cirkel van Mohr in vlakspanning). Deze
drie schuifspanningen noteert men als:
2
2
2
III3
IIII2
IIIII1
(5.10)
Uit beschouwingen over de energie die bij het vervormingsproces betrokken is, stelde von
Mises dan volgend criterium voor vloeien voorop:
2222
2
v
2
III
2
IIII
2
IIIII
(5.11)
Omdat deze uitdrukking invariant is en niet afhangt van het gekozen assenstelsel, kan het von
Mises criterium ook uitgedrukt worden voor elke spanningstoestand:
2v
2
yz
2
xz
2
xy
2
zzyy
2
zzxx
2
yyxx 26 (5.12)
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Materiaalmodellen
242
5.2.2. Breukcriteria voor brosse materialen
Bij breukcriteria voor brosse materialen moet men vooreerst een duidelijk onderscheid maken
tussen isotrope en anisotrope materialen. Voor isotrope brosse materialen (bv. gietijzer) zien
de breukcriteria er totaal anders uit dan voor anisotrope brosse materialen (bv. composieten).
5.2.2.a. Isotrope brosse materialen
In geval van isotrope materialen verschilt het breukgedrag van brosse materialen grondig van
dat van ductiele materialen. Zo zal het breukvlak bij een eenvoudige trekproef loodrecht staan
op de trekrichting (zie Figuur 5.43).
Figuur 5.43 Bezwijken van een bros materiaal onder trekbelasting [4].
Bij een torsieproef daarentegen maakt het breukvlak van de proefstaaf een hoek van 45 met
de afschuifrichting. Het breukoppervlak is daardoor spiraalvormig, zoals aangegeven in
Figuur 5.44.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Materiaalmodellen
243
Figuur 5.44 Bezwijken van een bros materiaal onder torsiebelasting [4].
Dit breukpatroon geeft aan dat de breuk onder torsiebelasting optreedt onder de maximale
trekspanning. Inderdaad, uit de cirkel van Mohr blijkt immers onmiddellijk dat de maximale
trekspanning bij een torsieproef optreedt onder een hoek van 45 met de afschuifrichting,
zoals afgebeeld in Figuur 5.45.
Figuur 5.45 Cirkel van Mohr voor torsiebelasting [4].
Voor een algemene spanningstoestand stelt men dan dat breuk optreedt wanneer de grootste
hoofdspanning I gelijk wordt aan de breukspanning die werd gemeten in een axiale
trekproef. Dit is een veel gebruikt breukcriterium voor isotrope brosse materialen.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Materiaalmodellen
244
5.2.2.b. Anisotrope brosse materialen
Voor anisotrope brosse materialen heeft men zich vaak geïnspireerd op breukcriteria voor
isotrope ductiele materialen, en meer in het bijzonder op het von Mises breukcriterium.
Een breukcriterium dat heel vaak wordt toegepast op het breukgedrag van
composietmaterialen, is het Tsai-Wu criterium. Net als het von Mises criterium stelt het een
kwadratische uitdrukking van de spanningen voorop, die breuk voorspelt op het moment dat
de uitdrukking gelijk wordt aan één.
In zijn meest algemene vorm geldt het breukcriterium van Tsai-Wu voor een
driedimensionale spanningstoestand, maar het wordt zelden in die vorm gebruikt.
Vezelversterkte kunststoffen worden immers vaak uitgevoerd als dunne platen of schalen en
dan onderstelt men vaak een tweedimensionale vlakspanningstoestand in elke laag van het
composiet.
Het Tsai-Wu criterium wordt dan toegepast op een afzonderlijke laag van het composiet. Het
breukcriterium wordt geschreven in het assenstelsel van orthotropie, dus volgens de lokale
assen (1
e
, 2
e
, 3
e
) (zie ook paragraaf 1.12.1):
1FFF2FFF 222111221112
2
1266
2
2222
2
1111 (5.13)
De coëfficiënten Fij en Fi zijn functie van de trek- en druksterktes in de verschillende
richtingen van orthotropie. De kwadratische termen in 2
11 , 2
22 en 2
12 zijn ongevoelig voor
het teken van de spanning, terwijl de termen in 11 en 22 wel degelijk afhangen van het teken
van de aangelegde spanning. De koppelterm in 1122 geeft de interactie weer tussen twee
onderling loodrechte spanningen, maar vaak wordt deze term nul ondersteld.
In de onderstelling dat F12 = 0, kan men de waarde van alle constanten Fij en Fi bepalen uit
eenvoudige eendimensionale trek- en drukproeven, zodat het Tsai-Wu criterium uiteindelijk
wordt:
1S
1
YY
1
XX
1
Y
1
Y
1
X
1
X
1 2
122
2
22
CT
2
11
CT
22
CT
11
CT
(5.14)
waarbij XT en XC de trek- en druksterkte voorstellen volgens de richting van de
vezelversterking, YT en YC de trek- en druksterkte loodrecht op de vezelrichting, en S de
afschuifsterkte.
Naast het Tsai-Wu criterium bestaan er nog tal van andere criteria om het breukgedrag van
anisotrope brosse materialen te voorspellen, maar die bespreking valt buiten het bestek van
deze cursus (zie [5]).
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Materiaalmodellen
245
5.3. INSTRUMENTATIE VAN DE PROEVEN
In paragraaf 5.1 werden een hele reeks proeven besproken: trek- en drukproeven,
buigproeven, afschuifproeven, kruipproeven, vermoeiingsproeven, impactproeven,... In vele
gevallen is men bijzonder geïnteresseerd in het verloop van de spanningen en vervormingen,
omdat deze informatie belangrijk is voor het ontwerp van de constructie. Om het mechanisch
gedrag van het materiaal tijdens de proef zo correct mogelijk op te meten, is een goede
instrumentatie van de proef dan ook zeer belangrijk.
Het is heel belangrijk te begrijpen dat men spanningen niet rechtstreeks kan meten.
Spanningen treden op in het inwendige van het materiaal en zodra men het materiaal
doorzaagt, is de spanning verdwenen. Ook in de meest eenvoudige trekproef kan men de
nominale spanning slechts berekenen, als men de kracht F en de dwarsdoorsnede A0 kent. De
instrumentatietechnieken zijn dan ook vooral bedoeld om de vervormingen op te meten. Deze
kan men immers volgen aan het oppervlak van het belaste proefstuk. Als men de elastische
eigenschappen van het materiaal kent, kan men dan uit de vervormingen de spanningen gaan
berekenen.
In deze paragraaf worden de twee belangrijkste instrumentatietechnieken voor het meten van
vervormingen besproken: (i) rekstrookjes, en (ii) moiré-technieken.
5.3.1. Rekstrookjes
5.3.1.a. Technologie van het rekstrookje
In de eerste jaren na de tweede wereldoorlog brachten de rekstrookjes een doorbraak teweeg
in de mogelijkheden om rekken te meten op werkelijke constructies en machines, in
industriële omstandigheden. Een rekstrookje bestaat uit een elektrische weerstand, met een
vorm zoals afgebeeld in Figuur 5.46.
Figuur 5.46 Rekstrookjes [13].
De weerstand heeft een zeer kleine dikte en is thans meestal vervaardigd door het etsen uit
een metaalfolie. Hij is ingebed in een drager van kunststof, die op het oppervlak van de
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Materiaalmodellen
246
constructie gekleefd wordt. Het kleefmiddel, de drager en de elektrische weerstand zelf zijn
zo dun dat men mag aannemen dat zij vrij nauwkeurig de vervormingen van dit oppervlak
volgen. De belangrijkste eigenschap van het rekstrookje is zijn evenredigheid tussen
weerstandsverandering en rek in de langsrichting:
xxKR
R
(5.15)
waarbij R [Ohm] de weerstand is van het rekstrookje, K een evenredigheidsconstante en xx
de rek waaraan het rekstrookje in de langsrichting wordt onderworpen. Voor de meest
courante rekstrookjes is R = 120 en K = 2.0. De constante K noemt men vaak de
gevoeligheidsfactor (Eng: gauge factor).
De lengte van de drager is meestal enkele millimeter. Als de rek noemenswaardig verandert in
dit interval, meet men uiteraard de gemiddelde rek. Er zijn rekstrookjes te koop met een
meetbasis van minder dan één millimeter. Allerhande uitvoeringsvormen zijn getoond in
Figuur 5.47.
Figuur 5.47 Verschillende uitvoeringsvormen van rekstrookjes [13].
Rekmetingen met rekstrookjes vereisen de meting van zeer kleine weerstandsveranderingen
met grote nauwkeurigheid. Inderdaad, onderstel dat een rek van 50 (1 microstrain = 1 =
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Materiaalmodellen
247
10-6) moet gemeten worden. Met K = 2.0, volgt daaruit dat R/R = 0,01 %. Voor een typische
weerstandswaarde van 120 bedraagt de weerstandsverandering R dan 12 m.
Om zulke kleine weerstandsvariaties te meten met voldoende nauwkeurigheid, wordt de
brugschakeling van Wheatstone gebruikt. Met behulp van deze schakeling worden
weerstandsvariaties omgezet in elektrische spanningen. Figuur 5.48 toont een typische
schakeling.
Figuur 5.48 Typische Wheatstone-schakeling voor meting van rekstrookjes [14].
De Wheatstone-brug wordt gevoed met wisselstroom en bevat vier weerstanden RA, RB, R1 en
R2. Het “actieve” rekstrookje RA is op de constructie gekleefd en meet de rek aan het
oppervlak van de belaste constructie. Het rekstrookje RB is een zogeheten “passief”
rekstrookje, met dezelfde kenmerken als het actieve, en gekleefd op een onbelast plaatje van
hetzelfde constructiemateriaal en op dezelfde temperatuur gehouden. De bedoeling is de
temperatuursinvloeden te compenseren. In het meettoestel zelf zijn ook twee weerstanden
ingebouwd: een regelbare weerstand R1 en een vaste weerstand R2. Men kan nu de weerstand
R1 zodanig regelen dat de stroom door de galvanometer nul is. Men zegt dan dat de
Wheatstone-brug in evenwicht is en de wijziging van de regelbare weerstand R1 is dan een
maat voor de te meten rek. Immers, bij evenwicht van de Wheatstone-brug kan men aantonen
dat geldt:
B
2
1A1B2A R
R
RRRRRR (5.16)
5.3.1.b. Meervoudige rekstrookjes
Naast het enkelvoudige rekstrookje wordt veelvuldig gebruik gemaakt van meervoudige
rekstrookjes. Deze bevatten twee of drie meetrichtingen om in een punt aan het oppervlak de
spanningstoestand te kunnen bepalen. Een rekstrookje met drie meetrichtingen noemt men
een rekstrookrozet. Figuur 5.49 toont een aantal rekstrookrozetten.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Materiaalmodellen
248
Figuur 5.49 Rekstrookrozetten [4].
Figuur 5.50 toont een commerciële uitvoering van een rekstrookrozet, waarbij de hoek tussen
de rekstrookjes 120 bedraagt.
Figuur 5.50 Voorbeeld van een commerciële uitvoering van een rekstrookrozet [13].
Het is belangrijk op te merken dat deze rekstrookrozetten alleen de rekken in het vlak meten.
Omdat er op het oppervlak van de constructie geen uitwendige belasting aangrijpt, meet de
rekstrookrozet dus een vlakspanningstoestand aan het oppervlak van de constructie, maar
geen vlakvervormingstoestand. In dit opzicht is de normale loodrecht op het vrije oppervlak,
een hoofdrichting van de rek en dus wordt de hoofdrek in deze richting niet door de
rekstrookrozet gemeten. De verplaatsing die door deze hoofdrek wordt veroorzaakt, heeft
echter geen invloed op de meting van de rekstrookjes.
Indien de richting van de hoofdspanningen I en II bekend is, volstaan twee meetrichtingen
onder een hoek van 90 om de vlakspanningstoestand te meten. Als de hoofdrichtingen
onbekend zijn, zijn drie meetrichtingen vereist om de spanningstoestand te meten. In een
algemene situatie zijn de assen van de drie rekstrookjes geplaatst onder de hoeken a, b en c,
zoals aangegeven in Figuur 5.49. De gemeten rekwaarden volgens deze drie richtingen noemt
men a, b en c. In hoofdstuk 1 werd aangetoond dat de transformatieformules voor
vlakvervorming de volgende zijn:
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Materiaalmodellen
249
22xy
xxyy
xy
xy
2
yy
2
xxyy
xy
2
yy
2
xxxx
sincos2
cossin)(2
'
cossincossin'
cossinsincos'
(5.17)
Hoewel het hier gaat om een vlakspanningstoestand, mogen de formules gewoon
overgenomen worden, want het gaat om een rotatie in het vlak, loodrecht op de as z
e
.
Immers, de z-as vormt, zowel in vlakspanning als in vlakvervorming, een hoofdrichting voor
zowel de spanningen als de vervormingen. Men kan dan nagaan dat de transformatieformules
voor de componenten van de rekken in het vlak (xx, yy, xy) dezelfde zijn voor vlakspanning
en vlakvervorming (bij een rotatie rond de z-as weliswaar). Alleen voor zz is het resultaat
verschillend (gelijk aan nul in vlakvervorming, verschillend van nul in vlakspanning). Dus
voor de toepassing van rekstrookjes, waarbij enkel de rekken in het vlak worden gemeten, kan
men de transformatieformules gebruiken die eerder waren opgesteld voor vlakvervorming.
Om nu de twee onderling loodrechte rekken xx en yy en de glijding xy aan het oppervlak van
de constructie te bepalen, past men de eerste transformatieformule voor xx' drie maal toe,
voor respectievelijk a, b en c. Men verkrijgt dan een stelsel van drie vergelijkingen met drie
onbekenden (xx, yy, xy):
ccxyc
2
yyc
2
xxc
bbxyb
2
yyb
2
xxb
aaxya
2
yya
2
xxa
cossinsincos
cossinsincos
cossinsincos
(5.18)
Eens de rektoestand (xx, yy, xy) is berekend, kan men de hoofdrichtingen bepalen en ook de
spanningen berekenen m.b.v. de formules voor een vlakspanningstoestand.
Voorbeeld 5.1
In het punt A op het vrij oppervlak van een machine-onderdeel wordt een rekstrookrozet
gekleefd. Voor de drie rekstroken R1, R2 en R3 geldt de volgende tabel:
6
6
6
101509020110R3
10150452056R2
108020R1
rekas-xmet hoek rekstrook
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Materiaalmodellen
250
a) zoek de componenten (xx, yy, xy) van de rektensor in het punt A. Aanwijzing: zoek eerst
deze rekcomponenten in een gunstig te kiezen assenstelsel (x’, y’),
b) bepaal de rekcomponenten (xz, yz, zz) uit het vlak als de materiaalconstanten E = 210
GPa en = 0,3.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Materiaalmodellen
251
5.3.2. Moiré-technieken
Het moiré-effect is een optisch verschijnsel dat waargenomen wordt als twee fijne rasters
gesuperponeerd worden en waargenomen worden in doorgaand of gereflecteerd licht. Elk van
de twee rasters bestaat uit onderling evenwijdige rasterlijnen op regelmatige tussenafstand.
Als de rasterlijnen van de twee rasters verschillen in (i) tussenafstand, of (ii) oriëntatie ten
opzichte van elkaar, dan treedt interferentie op tussen beide rasters en worden zogenaamde
“moiré-franjes” gevormd.
Figuur 5.51 toont een aantal voorbeelden van moiré-franjes bij superpositie van twee moiré-
rasters. In onvervormde toestand zijn de twee moiré-rasters identiek aan elkaar, maar door
vervorming of rotatie van het ene raster t.o.v. het andere treden moiré-franjes op.
Figuur 5.51(a) toont de moiré-franjes bij rotatie van 6,5 van het ene raster t.o.v. het andere.
Figuur 5.51(b) toont de franjes bij 16 % verlenging van het ene raster t.o.v. het andere en
Figuur 5.51(c) toont de franjes als het ene raster zowel 4 rotatie als 16 % verlenging
ondergaat t.o.v. het onderliggende raster.
Figuur 5.51 Moiré-franjes bij (a) rotatie van het ene raster t.o.v. het andere, (b) verlenging van het ene raster,
en (c) rotatie en verlenging van het ene raster [13].
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Materiaalmodellen
252
Moiré-patronen worden gebruikt voor het meten van verplaatsingen, rotaties, krommingen en
rekken. In de huidige praktijk wordt meestal één raster op het proefstuk aangebracht, terwijl
een identiek raster evenwijdig mét, en in contact met het proefstukraster wordt opgesteld. Als
het proefstuk vervormt, zal het raster dat vast aan het proefstuk bevestigd is, de vervormingen
aan het oppervlak van het proefstuk volgen. Het referentieraster vervormt uiteraard niet. De
interferentie van het vervormde proefstukraster en het onvervormde referentieraster levert
informatie over de vervorming van het proefstuk. De moiré-franjes vormen een soort
uitvergroting van de vervormingen van het onderliggend raster en leveren een visueel beeld
van de vervorming in de beschouwde zone.
Een typisch voorbeeld is de trekproef. Figuur 5.52 toont schematisch de situatie van een
onvervormd referentieraster en een getrokken proefstukraster.
Figuur 5.52 Onvervormd referentieraster en getrokken proefstukraster.
De afstand tussen de rasterlijnen van het onvervormde referentieraster is a. Deze afstand
noemt men de rasterstap of pitch. In geval van het getrokken proefstukraster is deze
rasterafstand vergroot door de vervorming van het onderliggende proefstuk in de trekproef.
De hoeveelheid doorgelaten licht van deze bovenop elkaar liggende rasters is functie van de
relatieve ligging van de rasters. Indien men het registratie-systeem (de camera, het menselijk
oog) zo instelt dat de rasterlijnen zelf niet meer onderscheiden worden, dan blijven de donkere
en heldere franjes nog steeds waar te nemen, met een min of meer continue overgang
ertussen. Bij het opmeten van franjepatronen bekijkt men gewoonlijk slechts het centrum van
de witte of de donkere franje en men noemt dit midden een moiré-lijn.
In geval van de homogene verplaatsingstoestand in Figuur 5.52 (die overeenstemt met het
voorbeeld van Figuur 5.51(b)) is het verband tussen de moiré-franjes en de rek als volgt te
begrijpen:
Uit Figuur 5.52 blijkt dat opeenvolgende heldere (of donkere) moiré franjes (“gemiddelde
intensiteit”) ontstaan, telkens wanneer het raster op het proefstuk (“gerokken raster”) een
bijkomende relatieve verplaatsing krijgt van één rasterlijntje (“rasterstap a”), ten opzichte van
het referentieraster (“oorspronkelijk raster”). Op die plaatsen overlappen de rasterlijnen van
het referentieraster en het proefstukraster elkaar exact en treedt een minimale of maximale
intensiteit op. We meten de afstand tussen twee opeenvolgende heldere (of donkere) moiré-
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Materiaalmodellen
253
franjes (onderste curve “gemiddelde intensiteit” in Figuur 5.52) en noemen die afstand dy.
Deze afstand dy is de oorspronkelijke lengte L0 van een meetsectie van het proefstuk. De rek
in het gerokken raster wordt alsdus:
y0
0
d
a
L
LL
(5.19)
Als men een bepaalde moiré-franje kiest als referentie-franje, dan is de relatieve verplaatsing
uy t.o.v. deze franje:
aNuy (5.20)
waarbij N de orde van de moiré-franje is. Het is belangrijk op te merken dat uy de verplaatsing
is, loodrecht op de richting van de rasterlijnen.
De moiré-rasters (Eng: gratings) worden geëtst, geprint of gegraveerd. De rasterstap a varieert
tussen 10 m (100 lijnen per millimeter) en 1 mm (1 lijn per millimeter). De grovere rasters
(1 tot 5 lijnen per millimeter) zijn gemakkelijk verkrijgbaar, maar de fijnere rasters (5 tot 10
lijnen per millimeter) worden vervaardigd door de gespecialiseerde grafische industrie en zijn
moeilijker verkrijgbaar.
De nog fijnere rasters (10 lijnen per millimeter en meer) worden slechts gebruikt voor zeer
nauwkeurige spanningsanalyse. Figuur 5.53 toont het voorbeeld van een uni-axiale trekproef
op een glas/epoxy composiet met een centrale opening. Zoals reeds besproken in hoofdstuk 1,
zorgt de aanwezigheid van de ronde opening voor spanningsconcentraties rondom het gat. Dit
is duidelijk merkbaar uit de sequentie van vier moiré-patronen, die genomen zijn net vóór
breuk van het proefstuk, waarbij geldt:
(a) xx = 198 MPa,
(b) xx = 206 MPa,
(c) xx = 206 MPa,
(d) xx = 210 MPa,
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Materiaalmodellen
254
Figuur 5.53 Sequentie van moiré-patronen bij een uni-axiale trekproef op glas/epoxy composiet [15].
Op het oppervlak van het proefstuk werd een raster aangebracht met 40 lijnen per millimeter.
Deze rasterlijnen lopen horizontaal in Figuur 5.53, terwijl de verplaatsingen van het proefstuk
in de verticale richting optreden. Uit de richting van de moiré-lijnen blijkt de zeer sterke
verstoring van het spanningsbeeld rond de centrale opening.
In dit verband is het belangrijk op te merken dat het moiré-principe steunt op de relatieve
verplaatsing van twee rasters en dus geen veronderstellingen maakt over het al dan niet
elastisch gedrag van het proefstuk.
Indien men de vervormingstoestand volledig wil kennen, moet men twee loodrecht op elkaar
staande rasters, zogenaamde kruisrasters, gebruiken. Wanneer men nu als referentieraster
eveneens een kruisraster gebruikt, dan verschijnen terzelfdertijd beide families franjes en men
kan ze moeilijk van elkaar onderscheiden. Daarom gebruikt men bij voorkeur een lijnenraster
als referentieraster en probeert dit raster in twee onderling loodrechte posities op het
vervormde kruisraster te plaatsen, waardoor men beide stellen moiré-lijnen afzonderlijk
verkrijgt. Figuur 5.54 toont het voorbeeld van een vervormd lichaam, waarop eerst een
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Materiaalmodellen
255
verticaal referentieraster (links) wordt geplaatst, en nadien een horizontaal referentieraster
(rechts). Als men een welbepaalde franje als referentie kiest, kan men de relatieve
verplaatsing loodrecht op de rasterlijnen bepalen.
Figuur 5.54 Moiré-franjes voor twee onderling loodrechte referentierasters [13].
De procedure voor verwerking is als volgt:
Met een klassiek lijnenraster (zie bijvoorbeeld Figuur 5.51) kan men alleen een verlenging
meten in de richting loodrecht op de rasterlijnen. Indien we de volledige rektensor aan het
oppervlak willen visualiseren, kunnen we gebruik maken van een kruisraster (met lijntjes in
de horizontale én de vertikale richting) dat we aanbrengen op het proefstuk. Vervolgens
gebruiken we als referentieraster wel een klassiek lijnenraster, dat we eerst eens vertikaal
opstellen (zie Figuur 5.54, links boven) waardoor we de verplaatsing in de horizontale (dus de
x-) richting kunnen visualiseren. Uitzetten (Figuur 5.54 links midden) van de horizontale
verplaatsing in functie van de x-as geeft ons (na afleiden) de horizontale rek xx = du/dx.
Daarbij volgt Nx uit het tellen van het aantal moiré-franjes voor deze situatie, en is het
volgens de uitdrukking (5.20) een rechtstreekse maatstaf voor de verplaatsing in de x-richting.
Uitzetten (Figuur 5.54 links onder) van dezelfde horizontale verplaatsing in functie van de y-
as geeft ons (terug na afleiden) een deel van de glijding xy = ½ (du/dy + dv/dx).
Vervolgens doen we eens hetzelfde, maar daarbij plaatsen we het referentieraster nu
horizontaal; er vormt zich een ander stel moiré-franjes waaruit aldus de verplaatsing in de y-
richting kan worden gevisualiseerd (Figuur 5.54 rechterkolom).
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Materiaalmodellen
256
5.3.3. Digitale beeldcorrelatie
De digitale beeldcorrelatietechniek (Eng.: Digital Image Correlation – DIC) werd ontwikkeld
in de vroege jaren ’80 [16]. Deze techniek maakt het mogelijk om contactloos vervormingen
op te meten. Hiertoe dient op het te beproeven materiaal een onregelmatig en contrastrijk
(spikkel) patroon aangebracht te worden. Dit gebeurt in regel door middel van een
verfpatroon maar kan ook op basis van de natuurlijke textuur van het materiaal (bvb. de
microstructuur in een geëtst proefstuk). Tijdens het beproeven wordt dit patroon op geregelde
tijdstippen geregistreerd door één of meerdere camera’s. Wanneer gebruik gemaakt wordt van
meerdere camera’s is het mogelijk om in de driedimensionele ruimte vervormingen te
bepalen. Hiertoe vergelijkt specifieke software de beelden genomen op verschillende
tijdstippen en probeert overeenkomstige zones te identificeren in de verschillende beelden (zie
Figuur 5.55). Deze identificatie gebeurt op basis van de lokale grijswaardenverdeling. Een
contrastrijk, onregelmatig patroon dat voldoende spikkels bevat is hierbij van essentieel
belang. Door identificatie van gebieden met eenzelfde patroon kunnen vervolgens
verplaatsingen bepaald worden. Op basis van deze verplaatsingen kunnen de lokale rekken
bepaald worden. Aldus wordt het mogelijk om de lokale plastische uitputting van het
materiaal te begroten en falen te voorspellen en/of te begrijpen. De mate van detail in
ruimtelijke resolutie hangt hierbij nauw samen met de resolutie van de gebruikte camera’s en
de grootte van het te onderzoeken gebied.
Het laboratorium Soete maakt voor het toepassen van de DIC techniek gebruik van twee
camera’s met een resolutie van vijf megapixels. Voor het verkrijgen van het spikkelpatroon
wordt steeds een homogene witte verflaag aangebracht waarna zwarte verfspikkels met een
spuitbus of compressor (naargelang de beoogde grootte) worden verneveld.
Tijdstip t0 Tijdstip t1 Tijdstip t2
Figuur 5.55 Het lokaal correleren van vervormde gebieden op verschillende tijdstippen door het opvolgen van
onregelmatige spikkels leidt tot de bepaling van verplaatsingsfuncties [17].
Digitale beeldcorrelatie heeft in vergelijking met meer conventionele vervormings- en
rekmetingen (bijvoorbeeld rekstrookje of extensometer) enkele (evidente) voordelen, die
hieronder kort worden uitgelegd.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Materiaalmodellen
257
De vervormingen van een uitgestrekt oppervlak worden in kaart gebracht. Dit
oppervlak kan een groot deel van het proefstuk omvatten, of eerder focussen op een
zeer kleine specifieke zone (bijvoorbeeld de las en de aangrenzende
warmtebeïnvloede zone).
Digitale beeldcorrelatie is een contactloze meettechniek en vereist dus geen montage
van sensoren op het proefstuk.
De vervormingen opgemeten met DIC laten toe om alle rekcomponenten in het
opgemeten vlak te bekomen. Beeldcorrelatie berekent dus simultaan horizontale,
verticale en schuifrekken.
Als het aangebrachte spikkelpatroon hiertegen bestand is, is digitale beeldcorrelatie
in staat om zeer grote rekwaarden op te meten.
Anderzijds heeft het optische meetprincipe enkele onlosmakelijke beperkingen.
Digitale beeldcorrelatie vereist een goede zichtbaarheid van het op te meten
oppervlak. Deze zichtbaarheid kan verhinderd worden door mechanische onderdelen
zoals klemmen van de trekbank en koelpanelen, en door dauw indien beproefd wordt
bij temperaturen onder het vriespunt.
Metingen met digitale beeldcorrelatie zijn in de regel minder nauwkeurig dan met
rekstrookjes of LVDTs. In optimale omstandigheden (belichting, spikkelkwaliteit,
systeemkalibratie) kan hoogstens een nauwkeurigheid van ruwweg 0,01% (of
100.10-6) rek bekomen worden.
Het aanbrengen van een geschikt spikkelpatroon is werkintensief. Dat maakt digitale
beeldcorrelatie minder geschikt voor routine (industriële) toepassingen. Bovendien is
een studie naar de geschikte spikkelgrootte en bijhorende spikkelprocedure vereist
vooraleer nieuwe geometrieën met succes optisch kunnen onderzocht worden.
De digitale beeldcorrelatie techniek kent vele toepassingsgebieden, zoals biomechanica,
grondmechanica, (breuk)mechanica van metalen en composieten, .... In wat volgt, worden
twee specifieke toepassingen uit het gebied van de lasbeproeving verder toegelicht: klassieke
transversale trekproeven op lassen en grootschalige trekproeven op panelen met gekerfde
lassen.
Het uitvoeren van transversale trekproeven is een wezenlijk onderdeel van de kwalificatie van
lasprocessen. Hierbij wordt een genormeerd proefstuk loodrecht op de las uitgenomen en
onderworpen aan een trekbelasting tot falen (Figuur 5.56). De uitkomst bij dergelijke proeven
betreft vaak niet meer dan de kracht bij breuk en/of plaats van falen (binnen of buiten de las).
Echter, het opvolgen van de vervormingen tijdens het beproeven laat toe om heel wat extra
informatie te verwerven over de verbinding.
Bree
dte
(25
mm
)W
andd
ikte
Lengte(150 mm)
Bekeken met DIC
Figuur 5.56 Schematische voorstelling van transversale trekproefstaaf.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Materiaalmodellen
258
Als eerste voorbeeld kan de verzachting in een door warmte beïnvloede zone (WBZ)
aangehaald worden. Dikwijls kan op basis van hardheidsmetingen de aanwezigheid van een al
dan niet verzachte WBZ aangetoond worden (zie Figuur 5.57); dit is een specifiek probleem
bij het lassen van hoogsterkte, laaggelegeerde staalsoorten. Echter blijft de vraag in welke
mate deze verzachting het globale vervormingsgedrag van de gelaste verbinding beïnvloedt.
Door het gebruik van digitale beeldcorrelatie tijdens het beproeven, worden in meerdere of
mindere mate lokaal verhoogde vervormingen waargenomen. In dit geval werd een zone van
15 x 60 mm² gevolgd, waarop spikkels met een grootte van ongeveer 0.1 x 0.1 mm² waren
aangebracht. Het is duidelijk dat de vervormingen zich concentreren volgens de fusielijn in de
WBZ (zie Figuur 5.57). Op die manier wordt duidelijk waar het falen initieert, iets wat vaak
moeilijk post-mortem te bepalen valt.
0
100
200
300
400
-20 -10 0 10 20
Vic
kers
Har
dh
eid
10
kg [
MP
a]
Afstand vanaf midden van de las [mm]
WBZ WBZ
Hardheidsmetingen
Re
k in
lan
gsri
chti
ng
(%)
0,0
8,0
4,0
Figuur 5.57 Hardheidsprofiel en rekverdeling in lasverbinding.
Het laboratorium Soete heeft de laatste decennia wereldwijd faam verworven met de
grootschalige beproeving van omtrekslassen van pijpleidingen (proefstuk ca. 300 mm breed
en 1000 mm lang, trekkracht tot 8000 kN). Met deze zogenaamde CWP (Eng.: ‘Curved Wide
Plate’) trekproeven wordt de invloed onderzocht van een lasfout (gesimuleerd door middel
van een aangebrachte kerf, zie Figuur 6) op het faalgedrag en de vervormingscapaciteit van de
lasverbinding.
Aan de Universiteit Gent werd een grootschalig proefstuk (ca. 150 mm breed en 500 mm
lang, trekkracht tot 2500 kN) ontwikkeld om de invloed te onderzoeken van een lasfout op het
faalgedrag en de vervormingscapaciteit van een lasverbinding (in pijpleidingen) onderworpen
aan een trekbelasting. voor uitgebreid met metingen via beeldcorrelatie. Figuur 5.58 illustreert
de optische analyse van twee zulke trekproeven, waarop spikkels van ruwweg 1 x 1 mm²
waren aangebracht. De contourplots tonen rekdistributies in de langsrichting van het
proefstuk. Beide proefstukken werden uit eenzelfde pijpsectie met omtreklas genomen en
bevatten een kerf van identieke grootte (40 mm x 3 mm). De kerflocatie was echter
verschillend: de ene las was gekerfd in het centrum van de las, de andere in de door warmte
beïnvloede zone.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Materiaalmodellen
259
0,0
11,1
0,0
5,6
0,0
1,0
Proefstuk met kerf in centrum van las
0,0
28,2
0,0
5,3
0,0
0,9
Proefstuk met kerf in warmtebeïnvloede zone
Rek in langsrichting (%)
(a)
(b)
(c)
(a)
(b)
(c)
Basismetaal 1 Basismetaal 2 Basismetaal 1 Basismetaal 2
Rek in langsrichting (%)
Las
Kerf
Las
Kerf150 mm
Trekkracht
Discontinu vloeien
Vervorming concentreertin zwakkere basismetaal 2
Las snoert in rondom kerf Basismetaal 2 snoert in
Figuur 5.58 Optisch gemeten rekdistributies in twee grootschalige trekproeven op gekerfde lasverbindingen
(aangelegde kracht neemt toe van (a) tot (c)).
De optische analyses tonen bijvoorbeeld aan dat:
het pijpleidingstaal een discontinu vloeigedrag (propagatie van Lüdersbanden)
vertoont (figuren (a));
het basismateriaal ‘1’ significant sterker is dan basismateriaal ‘2’, aangezien het veel
minder rekt (figuren (b));
de kerflocatie een grote invloed kan hebben op het faalgedrag. In dit geval leidt de
eerste locatie tot falen ter hoogte van de las. Voor de tweede locatie bleek de las een
sterkere schakel dan het rechter basismateriaal ‘2’ dat uiteindelijk insnoerde.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Materiaalmodellen
260
5.3.4. Optische vezelsensoren
Optische vezels worden reeds geruime tijd gebruikt in de telecommunicatie als
overdrachtmedium voor snelle dataverbindingen. De laatste jaren vinden deze vezels ook
toepassing in de inspectie van constructies en grote bouwwerken.
Optische vezels zijn glasvezels met een diameter van 125 tot 250 m. Voor het gebruik als
detectietechniek, wordt in de glasvezel een zogeheten Bragg-rooster aangebracht. Dit rooster
heeft een typische lengte van een paar millimeter.
De bijzondere eigenschap van dit Bragg-rooster is geïllustreerd in Figuur 5.59: als men licht
met een breed spectrum inleidt in de optische vezel, dan zal slechts een zeer smal spectrum
gereflecteerd worden door het Bragg-rooster, terwijl de rest van het spectrum verder
propageert door de vezel. De centrale golflengte van dit gereflecteerde spectrum noemt men
de Bragg-golflengte B. Het Bragg-rooster is dus een soort spiegel voor een zeer specifieke
golflengte.
Figuur 5.59 Werkingsprincipe optische vezel met Bragg-rooster [18].
Wanneer nu de optische vezel wordt bevestigd aan het oppervlak van óf binnenin een reële
constructie, dan zal de optische vezel en dus het Bragg-rooster mee vervormen met de
constructie. Bij vervorming van het Bragg-rooster (verlenging, verkorting) verschuift echter
de Bragg-golflengte B van het gereflecteerde spectrum. Deze verschuiving is precies lineair
evenredig met de aangelegde rek in de richting van de vezel.
Bragg-sensoren bieden volgende voordelen t.o.v. andere inspectiemethodes:
door hun zeer kleine afmetingen verstoren zij nauwelijks de constructie waarin ze worden
ingebed,
weerstand tegen hoge temperaturen en drukken,
quasi ongevoeligheid voor corrosie en vermoeiing,
immuniteit voor elektromagnetische interferentie.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Materiaalmodellen
261
Bragg-sensoren worden gebruikt om het gedrag van staalwapening in gewapend beton op te
volgen (o.a. in brugdekken), om de krimp van uithardend cement te meten, om de drukcyclus
in drukvaten te volgen,...
Zo werd een betonbrug over de Gentse Ringvaart geïnstrumenteerd met optische vezels (in
een samenwerking van de vakgroep Labo Magnel en de vakgroep Mechanische Constructie
en Productie van de Universiteit Gent en het Ministerie van de Vlaamse Gemeenschap).
Figuur 5.60 toont de werken aan deze betonbrug (boven) en de ligging van de optische vezels
in een dwarsdoorsnede van het betonnen brugdek (onder).
Figuur 5.60 Werken aan de brug over de ringvaart en ligging van de Bragg-sensoren in een dwarsdoorsnede
van de voorgespannen betonligger [18].
Deze optische vezels werden reeds tijdens het gieten van de betonbalk bevestigd op de
staalwapening. Tijdens de voorspanning van de staalkabels kon men het hele voorspanproces
volgen via het signaal van de optische vezels.
Een andere toepassing van optische vezels loopt in een project van de vakgroepen Labo
Magnel en Mechanische Constructie en Productie van de Universiteit Gent met andere
Belgische universiteiten. In dit project wordt de optische vezel gebruikt als meetsensor in een
dynamische vervormingsmeter bij trillingen van de brug. De idee achter het onderzoek is dat
een beschadigde brug anders zal trillen bij bv. de doorgang van een zware vrachtwagen, dan
een onbeschadigde brug. Daarom heeft men proeven gedaan met gewapende betonbalken,
waarop een valgewicht werd geïmpacteerd. De vrije (gedempte) trilling van de balk na impact
werd opgemeten door de optische vezelsensor.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Materiaalmodellen
262
Figuur 5.61 toont de bevestiging van de dynamische vervormingsmeter aan de onderkant van
de gewapende betonbalk (80 cm hoogte), terwijl Figuur 5.62 de opgemeten gedempte trilling
toont voor de intacte betonbalk (boven) en voor de beschadigde balk (onder).
Figuur 5.61 Extensometer met Bragg-sensor bevestig aan de onderkant van een gewapende betonbalk [18].
Figuur 5.62 Gedempte trilling van een onbeschadigde (boven) en beschadigde (onder) betonbalk [18].
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Materiaalmodellen
263
5.4. SCHADEMECHANISMEN
In de voorgaande bespreking van de verschillende types proeven werd vooral gefocusseerd op
het verloop van spanningen en rekken in trekproeven, kruipproeven, impactproeven,... In vele
gevallen wordt tijdens deze proeven blijvende schade veroorzaakt in het proefstuk: plastische
vervorming, scheuren of kerven,...
Deze schade kan echter zeer sterk verschillend zijn naargelang het type materiaal dat wordt
beproefd. Dat wordt treffend geïllustreerd door Figuur 5.63.
Figuur 5.63 Drie types breukpatronen (a), (b) en (c) in compleet verschillende materialen [3,19].
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Materiaalmodellen
264
Deze figuur geeft van boven naar onder drie types breukpatronen (a), (b) en (c) weer in
telkens compleet verschillende materialen. Links vindt men de beeldopname met een kleine
vergrotingsfactor, rechts met een zeer grote vergrotingsfactor. De schalen zijn weergegeven in
de rechterbenedenhoek van elke opname.
(a) gelaagd breukpatroon bij een gelaagd SiC/koolstof composiet,
(b) breukoppervlak in laaggelegeerd staal met “chevrons” (V-vormige merktekens waarvan
de punt naar het begin van de breuk wijst),
(c) vezelbreuk in koolstofvezelversterkte kunststof.
In de volgende paragraaf wordt een kort overzicht gegeven van de schadetypes in een aantal
materialen, m.n. (i) metalen, (ii) gewapend beton, (iii) kunststoffen, en
(iv) composietmaterialen. Verder worden een aantal veel gebruikte methodes voor
schadedetectie en -diagnose besproken.
5.4.1. Schadetypes
5.4.1.a. Metalen
In metalen bestaat de schade vooral uit scheuren die de breuk van het materiaal inleiden.
Globaal onderscheidt men twee types breuken: (i) glijdbreuken, en (ii) splijtbreuken.
Glijdbreuken
Bij glijdbreuken wordt de breuk voorafgegaan door een aanzienlijke plastische vervorming.
Deze breukvorm komt dus overeen met het taai gedrag van metalen. Het metallografisch
uitzicht van een dergelijk breukoppervlak is zeer typisch. Een voorbeeld is getoond in Figuur
5.64.
Figuur 5.64 Breukoppervlak van een 0,2 % C, 1,4 % Mn staal na ductiel scheuren [19].
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Materiaalmodellen
265
Splijtbreuken (Eng: cleavage)
Splijtbreuken treden op zonder noemenswaardige plastische vervorming. Deze brosse breuk is
zeer gevreesd, omdat zij zeer plots optreedt. Figuur 5.65 toont een voorbeeld van een bros
breukoppervlak van een Fe – 1,8 % Si legering. Men herkent nauwelijks enig spoor van
plastische vervorming: de breukvlakjes zijn vlak en bevatten kleine trapjes, die overeenkomen
met sprongen in het breukoppervlak. Metalen die zich onder normale
gebruiksomstandigheden taai gedragen, kunnen toch bros breken bij verlaagde temperaturen
en/of hoge vervormingssnelheden.
Figuur 5.65 Breukoppervlak na brosse breuk [19].
5.4.1.b. Gewapend beton
Zoals reeds bleek uit de trek- en drukproef van beton, is de druksterkte van beton vele malen
groter dan de treksterkte. In de trekzone breekt beton op brosse wijze. Vandaar dat men het
beton in de trekzone vaak versterkt met wapeningsstaal dat de trekspanningen moet opnemen.
In gewapende betonbalken start de schade dan ook meestal met scheuren in het getrokken
beton. Bij zeer zware belasting gaat dan tenslotte het wapeningsstaal vloeien en bezwijkt de
volledige balk. Figuur 5.66 toont een zijaanzicht van een gewapende betonbalk in het midden
van zijn overspanning.
Figuur 5.66 Scheuren in gewapende betonbalk.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Materiaalmodellen
266
5.4.1.c. Kunststoffen
Kunststoffen hebben veelal een vrij bros gedrag. De scheuren vertonen dan ook weer vrij
vlakke breukvlakken. Soms kan men op het breukoppervlak een rivierpatroon ontdekken,
zoals weergegeven in het breukoppervlak van een epoxyhars in Figuur 5.67.
Figuur 5.67 Rivierpatroon op het breukoppervlak van een epoxyhars [19].
5.4.1.d. Composietmaterialen
Wanneer men kunststoffen gaat versterken met vezels, dan gedraagt de vezelversterkte
kunststof zich soms heel wat taaier dan de onversterkte kunststof, en dit niettegenstaande het
feit dat de versterkingsvezels op zich ook vaak een bros breukgedrag vertonen.
Anderzijds is het aantal schademechanismen in een dergelijk composietmateriaal zeer divers.
Men kan drie grote schadetypes onderscheiden: (i) matrixscheuren, (ii) verlies aan hechting
tussen vezel en matrix, (iii) delaminaties, en (iv) vezelbreuk.
Matrixscheuren
Deze scheuren komen voor in de kunststofmatrix waarin de versterkingsvezels zijn ingebed.
Figuur 5.68(a) toont de matrixscheuren in een ± 55 glas/polyester composiet. Voor dit
schadetype is de hechting tussen de kunststof en de ingebedde versterkingsvezel van groot
belang. Figuur 5.68(b) en (c) tonen een sterk vergrote opname van het pad van een
matrixscheur. In geval van een zwakke hechting tussen vezel en matrix (Figuur 5.68(b)) loopt
de scheur volledig in de matrix, terwijl in geval van een sterke hechting tussen vezel en
matrix (Figuur 5.68(c)), de scheur soms ook dwars door de versterkingsvezels loopt.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Materiaalmodellen
267
Figuur 5.68 Matrixscheuren in een ± 55 glas/polyester composiet [19].
Verlies aan hechting tussen vezel en matrix
In dit geval treedt hechtingsverlies op tussen de matrix en de ingebedde vezelbundels. De
hechting (of het gebrek eraan) wordt sterk beïnvloed door het type coating dat op de vezels
wordt aangebracht (bv. silaancoating op glasvezel).
Delaminaties
Delaminaties zijn een typisch schadefenomeen voor gelaagde vezelversterkte composieten.
Vaak bestaan vezelversterkte composieten immers uit verschillende lagen, waarbij de
oriëntatie van de versterkingsvezels kan verschillen van laag tot laag (om voldoende stijfheid
te bekomen in de verschillende belastingsrichtingen). Tussen deze verschillende lagen kan de
hechting verloren gaan, zodat aanpalende lagen los komen van elkaar. Dit schadefenomeen
noemt men een delaminatie.
Figuur 5.69(a) toont een delaminatie tussen de middenste laag en de laag eronder in een
(25/-25/90/-25/25) stapeling van een koolstof/epoxy composiet. Zoals weergegeven in
Figuur 5.69(b), kan een delaminatie samen voorkomen met matrixscheuren. Afhankelijk van
de weerstand die de scheur op haar pad ondervindt, kan zij verder groeien als een
matrixscheur óf afbuigen tussen twee lagen en verder groeien als een delaminatie tussen twee
lagen.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Materiaalmodellen
268
Figuur 5.69 (a) delaminatie tussen de middenste laag en de laag eronder in een (25/-25/90/-25/25)
stapeling van een koolstofvezelversterkt epoxy, (b) combinatie van schade in én tussen de lagen
[20].
Delaminaties zijn zeer geduchte schadefenomeen bij bijvoorbeeld vliegtuigvleugels en wieken
van windmolens. Door impact van vogels of steenslag kan delaminatie ontstaan tussen twee
interne lagen, zonder dat de omvang van de schade zichtbaar is van buitenuit.
Bovendien kunnen delaminaties zich zeer snel voortplanten, omdat zij niet in de laag, maar
tussen de lagen lopen, waar de weerstand tegen scheuruitbreiding meestal veel kleiner is.
Vezelbreuk
Aangezien de versterkingsvezels precies de sterkte leveren van het vezelversterkt composiet,
is vezelbreuk nagenoeg altijd een schadefenomeen dat leidt tot het volledig falen van de
constructie.
Figuur 5.70 toont het bezwijken van een staaf uit koolstofvezelversterkt epoxyhars, waarbij de
volledige versplintering van de vezelbundels een typisch fenomeen is voor koolstofvezels.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Materiaalmodellen
269
Figuur 5.70 Vezelbreuk van een staaf uit koolstof/epoxy materiaal [19].
Figuur 5.71 toont het falen van een composietbuis uit glas/polyester onder inwendige druk.
De versterkingsvezels zijn gewikkeld onder een hoek van ± 55 met de lengteas van de buis.
Figuur 5.71 Vezelbreuk van een composietbuis uit glas/polyester [19].
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Materiaalmodellen
270
5.4.2. Schadedetectie en -diagnose
Detectie en diagnose van schade kan globaal op twee manieren gebeuren: (i) destructief, en
(ii) niet-destructief. Het grote voordeel van niet-destructief onderzoek is dat de
onderzoeksmethode zélf geen bijkomende schade veroorzaakt in de constructie, terwijl i.g.v.
destructief onderzoek het proefstuk bv. moet verzaagd worden om de schade in de
dwarsdoorsnede te bestuderen.
Het is evident dat voor constructies die in gebruik zijn, niet-destructieve methodes moeten
aangewend worden. En de toepassingsvoorbeelden zijn legio: laswerk in booreilanden,
pijpleidingen, scheepssecties en opslagtanks, motoren en landingsgestellen in lucht- en
ruimtevaart, krukassen in voertuigen, stalen bruggen en gewapende betonbruggen,...
In het laboratorium daarentegen kan men destructieve methodes toepassen om de schade-
ontwikkeling in een bepaald materiaal in opeenvolgende stadia te onderzoeken. Ook na het
onverwacht bezwijken van een constructie kan men destructieve technieken aanwenden om de
oorzaak van het falen te achterhalen.
Hieronder worden een aantal destructieve en niet-destructieve technieken voor
schadediagnose en –detectie beschreven.
5.4.2.a. Visuele inspectie
De visuele inspectie is nog altijd van een onschatbare waarde, want heel wat beschadigingen
kan men vaak reeds op het zicht vaststellen: krassen of scheuren aan het oppervlak,
vormfouten,... In doorzichtige materialen zoals glas en sommige kunststoffen kan men zelfs
fouten in het inwendige materiaal detecteren.
Uiteraard wordt het menselijk oog vandaag de dag bijgestaan door heel krachtige
microscopen. Voor een optimale visuele inspectie worden de proefmonsters eerst ingebed in
een hars, dan gepolijst en tenslotte bekeken onder krachtige microscopen. Figuur 5.72 toont
het voorbeeld van een gepolijste dwarsdoorsnede van een met glasweefsel versterkt
epoxyhars. Het monster werd gepolijst tot een oppervlakteruwheid van 3 m en
gefotografeerd met een vergroting van 50 .
Figuur 5.72 Voorbeeld van een gepolijst glas/epoxy composiet [21].
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Materiaalmodellen
271
De meest geavanceerde en meest gebruikte microscoop is wellicht de Scanning Electron
Microscope (SEM) [3]. Dit toestel stuurt een heel fijn gefocusseerde elektronenbundel uit
naar het te bestuderen materiaaloppervlak en ontleedt de teruggekaatste excitatie-energie van
de elektronen in de oppervlaktelagen van het materiaal. Vergrotingen tot 150 000 zijn
mogelijk. Figuur 5.73 illustreert met een voorbeeldje tot wat de SEM-microscoop in staat is:
op de SEM-opname staat een mier afgebeeld met een IC-chip tussen haar kaken.
Figuur 5.73 Voorbeeld van de mogelijkheden van SEM: opname van een mier met een IC-chip tussen haar
kaken [3].
5.4.2.b. Ultrasoon onderzoek
Mechanische trillingen kunnen zich voortplanten in vaste stoffen, vloeistoffen en gassen. Als
de frequentie van deze mechanische trillingen ligt tussen 10 Hz en 20 000 Hz, is de trilling
hoorbaar en spreekt men van geluid. Frequenties boven 20 000 Hz zijn niet hoorbaar voor het
menselijk oor en dergelijke geluidsgolven noemt men ultrasoon. Precies deze ultrasone
golven gebruikt men om op een niet-destructieve manier kerven, lasfouten en andere defecten
in het materiaal op te sporen. Omdat deze methode zeer belangrijk is voor de praktijk, wordt
zij wat meer in detail besproken.
Het is vooreerst belangrijk op te merken dat ultrasone golven mechanische trillingen zijn, en
géén elektromagnetische golven. Verder hangt hun voortplantingssnelheid af van het soort
materiaal waarin de geluidsgolven zich voortplanten. Tabel 3.2 geeft een overzicht van de
ultrasone snelheden in verschillende isotrope materialen. De voortplantingssnelheden
verschillen voor longitudinale golven (linkerkolom) en transversale golven (rechterkolom).
Longitudinale golven kunnen zich in alle stoffen voortplanten, transversale golven alleen in
vaste stoffen met voldoende stijfheid.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Materiaalmodellen
272
Tabel 3.2 Ultrasone snelheden in verschillende materialen [22].
De golflengte van de ultrasone golf kan men dan eenvoudig berekenen uit de formule:
f
V (5.21)
waarbij V [m/s] de voortplantingssnelheid is in het beschouwde materiaal en f [Hz] de
frequentie van de mechanische trilling.
Om het werkingsprincipe van ultrasoon onderzoek te begrijpen, moet men het begrip
akoestische impedantie erbij halen. De akoestische impedantie Z van een materiaal wordt
gedefinieerd als:
VZ (5.22)
waarbij V de voortplantingssnelheid is van de ultrasone golf en de dichtheid van het
materiaal. Als een ultrasone golf invalt op een grensoppervlak tussen twee materialen, dan
bepaalt het verschil in akoestische impedantie van beide materialen of de golf grotendeels
wordt doorgelaten of gereflecteerd. Tabel 3.3 geeft een overzicht van de akoestische
impedantie van verschillende materialen.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Materiaalmodellen
273
Tabel 3.3 Akoestische impedantie van verschillende materialen [13].
Zoals duidelijk blijkt uit deze tabel Tabel 3.2, is de akoestische impedantie van bijvoorbeeld
staal en lucht totaal verschillend. Van deze eigenschap maakt men gebruik in het ultrasoon
onderzoek. Op het materiaaloppervlak wordt een ultrasone taster geplaatst die een
mechanische trilling opwekt in het materiaal, zoals geïllustreerd door Figuur 5.74. Vaak
wordt een trilfrequentie tussen 1 en 15 MHz gebruikt.
Figuur 5.74 Basisprincipe van ultrasoon onderzoek [22].
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Materiaalmodellen
274
Wanneer zich in het materiaal een holte, scheur of vormfout bevindt, zal de voortplanting van
de ultrasone golven verstoord worden. In het bijzonder zal het grensvlak tussen het materiaal
en de holte zorgen voor een gedeeltelijke reflectie en transmissie van de ultrasone golven.
Precies omwille van de sterk verschillende akoestische impedantie van staal en lucht, wordt
een zeer groot gedeelte van de golf gereflecteerd door de holte. Vaak wordt de ultrasone taster
aan het materiaaloppervlak uitgevoerd als een simultane zender (Eng: transmitter) en
ontvanger (Eng: receiver). Een typisch ontvangen signaal is weergegeven in Figuur 5.75. Het
signaal wordt opgepikt door de ultrasone taster en zichtbaar gemaakt op een oscilloscoop. De
horizontale as is de tijdsas en de verticale as bevat de amplitude van de ultrasone golf. Een
dergelijke voorstelling noemt men een A-scan, maar ook andere grafische voorstellingen van
het signaal zijn mogelijk (B-, C- en D-scan). De eerste puls is het gereflecteerde deel van de
ultrasone golf aan het bovenoppervlak van het materiaal, de tweede echo is de reflectie van de
holte en de laatste echo is de reflectie aan de onderkant van de plaat. Het is belangrijk op te
merken dat men uit de tijdsvertraging tussen de reflecties van de golf aan de boven- en
onderkant van de plaat de dikte van de plaat kan berekenen, als men de
voortplantingssnelheid van de ultrasone golf in het materiaal kent.
Figuur 5.75 Standaard A-scan van het materiaal [22].
Ultrasoon onderzoek is dus een niet-destructieve techniek, die fouten in het materiaalvolume
kan ontdekken zonder het materiaal te beschadigen. Deze techniek wordt dan ook zeer vaak
gebruikt voor de controle van lasfouten en kerven in metalen constructies. Figuur 5.76 toont
een voorbeeld van een dergelijke opstelling. Twee platen zijn aan elkaar gelast, maar er zijn
twee lasfouten geïnduceerd: (i) de las loopt niet door over de volledige dikte van de plaat (L),
en (ii) er is een slak-insluitsel aan de bovenkant van de las (S).
Bovenaan in Figuur 5.76 is de klassieke A-scan afgebeeld, die de reflecties in de loop van de
tijd weergeeft. De B-scan toont de grootte en positie van de lasfouten in een dwarsdoorsnede,
loodrecht op de las. De C-scan toont een tweedimensionaal zicht van het plaatoppervlak met
informatie over de lasfouten in het onderliggend materiaal. Deze scan geeft echter geen
informatie over de precieze diepte van de lasfouten t.o.v. het oppervlak. De D-scan tenslotte
toont een dwarsdoorsnede evenwijdig met de las. Uit de combinatie van deze verschillende
scantypes kan men zeer nauwkeurig de positie, de grootte en de ernst van de lasfouten
inschatten.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Materiaalmodellen
275
Figuur 5.76 A-, B-, C- en D-scan van een las in het materiaal [22].
Figuur 5.77 toont een ander voorbeeld van lasinspectie, waarbij de zender en ontvanger van
de ultrasone taster op een verschillende plaats zijn gepositioneerd. Hier bestaat de lasfout uit
een kerf net naast de las.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Materiaalmodellen
276
Figuur 5.77 Lasinspectie m.b.v. ultrasoon onderzoek [22].
De basistechniek van het ultrasoon onderzoek, zoals die tot hiertoe werd besproken, maakt
gebruik van een ultrasone taster in direct contact met het materiaaloppervlak. Deze techniek is
echter niet geschikt voor proefstukken met een complexe geometrie. Het is immers zeer
moeilijk om de sturing van de ultrasone taster zodanig te automatiseren dat hij altijd in
contact blijft met het materiaaloppervlak. Dit contact tussen ultrasone taster en
materiaaloppervlak is echter net extreem belangrijk, want als er een luchtspleet ontstaat tussen
de taster en het materiaaloppervlak, dringt de ultrasone golf nauwelijks meer binnen in het
proefstuk, opnieuw omwille van de zeer lage akoestische impedantie van lucht.
Om nu het gevaar van contactverlies tussen de ultrasone taster en het proefstuk te omzeilen,
wordt het volledige proefstuk ondergedompeld in water. Zoals blijkt uit Tabel 3.3, is de
akoestische impedantie van water zowat 3700 maal groter dan deze van lucht, zodat bij de
grensovergang van water naar het proefstuk een veel groter deel van de golf wordt
doorgelaten in het proefstuk.
De twee meest gebruikte technieken bij ultrasoon onderzoek met water als koppelingsmedium
zijn weergegeven in Figuur 5.78.
In de eerste methode ( in Figuur 5.78) bevindt de zender zich boven het proefstuk en de
ontvanger eronder. Dit noemt men de transmissie-methode. In de tweede methode ( in
Figuur 5.78) fungeert de ultrasone taster als zender en eveneens als ontvanger voor het
teruggekaatste signaal. Deze laatste methode noemt men de puls-echo methode.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Materiaalmodellen
277
Figuur 5.78 Schematische voorstelling van de twee meest gebruikte technieken voor ultrasoon onderzoek: (1)
transmissie, en (2) weerkaatsing [7].
Deze technieken worden zeer vaak toegepast op vezelversterkte kunststoffen. Vezelversterkte
kunststoffen worden immers toegepast in kritische onderdelen zoals vliegtuigvleugels en
wieken van windmolens. Ultrasoon onderzoek is zeer geschikt voor het detecteren van
delaminaties in composieten, zoals geïllustreerd door Figuur 5.79.
Figuur 5.79 Voorbeeld van C-scan in (a) transmissie, en (b) puls-echo van een gedelamineerde koolstof/epoxy
plaat [7].
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Materiaalmodellen
278
5.4.2.c. Radiografie
Traditioneel wordt onder radiografie verstaan: de verzameling van niet-destructieve
onderzoekstechnieken, waarbij het te onderzoeken werkstuk wordt doorstraald met
elektromagnetische straling van zeer korte golflengten. Op een radiografische opname
ontstaan de verschillen in zwarting door verschillen in absorptie van Röntgenstralen of X-
stralen door de verschillende zones van het proefstuk. Deze elektromagnetische straling
bevindt zich in het hoogfrequent gebied (frequentie > 31017 Hz en golflengte < 1 nm).
Essentieel ziet men dus hetzij verschillen in dikte, hetzij verschillen in absorptie door het
materiaal. Holtes met voldoende afmeting kunnen herkend worden, omdat lucht de straling
bijna niet absorbeert. Volumetrische fouten worden het best gedetecteerd, terwijl de
detectiekans op het aantonen van vlakke fouten afhangt van de aanstraalrichting. Vandaar dat
bij veel toepassingen, zeker als het detecteren van scheuren van belang is, naast radiografisch
onderzoek de ultrasone techniek als complementaire inspectiemethode wordt voorgeschreven.
Om scheuren duidelijker zichtbaar te maken, laat men vaak ook een vloeistof, een penetrant,
indringen in het te onderzoeken oppervlak. Deze penetrant is zodanig gekozen dat zij de
Röntgenstralen sterk absorbeert, zodat een veel beter contrast bekomen wordt tussen het
foutvrij materiaal en de scheuren. Figuur 5.80 toont een radiografie van een
[+25/-25/90/90/-25/+25] koolstof/epoxy composiet dat in trek wordt belast tot breuk.
De penetrant di-iodobutaan werd gebruikt om het contrast te verbeteren. Figuur 5.80(a) toont
de schade bij een trekkracht die 95 % van de breukbelasting bedraagt (xx = 0,64 %). De
delaminaties aan de vrije randen en de matrixscheuren zijn heel duidelijk zichtbaar. Figuur
5.80(b) toont de schade bij breuk (xx = 0,67 %).
Figuur 5.80 Radiografie van een [+25/-25/90/90/-25/+25] koolstof/epoxy composiet onder trekbelasting
[20].
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Materiaalmodellen
279
In Hoofdstuk 1 werd aangetoond dat ronde gaten in een plaat spanningsconcentraties
veroorzaken. Hoewel de bespreking toen werd gevoerd voor een homogeen en isotroop
materiaal, geldt dezelfde conclusie voor vezelversterkte kunststoffen. Figuur 5.81 toont het
schadepatroon in een koolstofvezelversterkt epoxyhars met een ronde opening in het midden
van de plaat. De plaat werd in vermoeiing belast met een wisselende trek-druk belasting. Uit
de radiografie blijkt duidelijk dat de schade zich concentreert rond de opening.
Figuur 5.81 Matrixscheuren en delaminaties rond de opening in een koolstof/epoxy plaat [20].
5.4.2.d. Thermografie
Thermische inspectie omvat die onderzoeksmethoden, waarmee, door middel van
energieoverdracht via warmtegeleiding of infrarode straling, temperatuurverdelingen worden
bepaald. Het transport van warmte wordt immers beïnvloed door de aanwezigheid van fouten
in het materiaal. Ook de warmte die ontwikkeld wordt door wrijving en door de groei van een
fout, kan met thermografie zichtbaar gemaakt worden.
In de meest algemene opstelling voor thermografie wordt een laser gebruikt, die warmte-
pulsen uitzendt naar het proefstuk. Deze thermische golven worden deels gereflecteerd en
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Materiaalmodellen
280
deels doorgelaten door het proefstuk. Met een thermografische camera kan men dan het
patroon van de oppervlaktetemperaturen opmeten.
Met deze techniek is men erin geslaagd om delaminaties en harsrijke zones in
koolstofvezelversterkte kunststoffen te detecteren, alsook fouten in lijmverbindingen tussen
metalen en composietonderdelen. Figuur 5.82 toont de distributie van de
oppervlaktetemperatuur in een glas/epoxy composiet. De plaat werd eerst onderworpen aan
een impact en nadien verder belast in vermoeiing. Hoewel de impactschade met het blote oog
nauwelijks zichtbaar was, blijkt uit de thermografische opnames duidelijk dat er impactschade
aanwezig is en dat deze toeneemt tijdens de vermoeiing.
Figuur 5.82 Distributie van de oppervlaktetemperatuur bij schade-evolutie in een glas/epoxy composiet [23].
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Materiaalmodellen
281
5.5. MATERIAALMODELLEN
Uit bovenstaand overzicht van de beproevingsmethodes blijkt dat materialen zich heel
verschillend kunnen gedragen naargelang de grootte van de belasting, de duur van de
belasting, de variatie van de belasting, de belastingssnelheid, enz. Het is dan ook duidelijk dat
de wet van Hooke, die het lineair elastisch gedrag van materialen beschrijft, vaak niet voldoet
om het complexe gedrag van materialen te beschrijven.
Daarom zijn heel wat modellen ontwikkeld, die de wet van Hooke vervangen door een meer
gecompliceerde betrekking tussen spanningen en rekken. Aangezien precies dit verband
tussen spanning en rek afhangt van het type materiaal, noemt men deze modellen
materiaalmodellen.
Om deze materiaalmodellen enigszins te classificeren, kan men de verschillende types
materiaalgedrag indelen in vier grote categorieën:
tijdsonafhankelijk materiaalgedrag
in deze categorie brengt men de types materiaalgedrag onder die niet afhangen van de tijd.
Deze materiaalmodellen hebben een zeer breed toepassingsbereik omdat heel wat
constructies onderhevig zijn aan statische belastingen en hun spanningen en rekken onder
deze belasting niet afhangen van de tijd.
De belangrijkste materiaalmodellen in deze klasse beschrijven het elastisch en het plastisch
materiaalgedrag,
tijdsafhankelijk materiaalgedrag
de spanningen en rekken in sommige materialen zijn wel degelijk afhankelijk van de tijd.
Hierbij kan de tijdschaal enorm variëren, afhankelijk van de belasting. Zo zal een impact-
of stootbelasting slechts enkele milliseconden duren, terwijl een cyclische
vermoeiingsbelasting dagen of jaren kan aanhouden. Ook onder een constante, statische
belasting kan de vervorming in de loop van de tijd gaan toenemen (kruip), of de spanning
gaan afnemen (relaxatie),
scheurgroei
in de twee voorgaande materiaalklassen werd verondersteld dat het materiaal foutvrij is en
geen scheuren vertoont. De breukmechanica bestudeert de invloed van scheuren op het
globale gedrag van het materiaal en berekent de scheurgroei onder cyclische belastingen.
Men kan onderscheid maken tussen de elastische breukmechanica en de elastisch-
plastische breukmechanica, naargelang men eventuele plastische vervorming aan de
scheurtip al dan niet in rekening brengt,
degradatie
de schademechanica is een vrij recente tak van de mechanica die een alternatief biedt om
complexe schadepatronen te modelleren. Zo vertonen brosse materialen onder cyclische
belasting vaak duizenden kleine microscheurtjes. Het is onbegonnen werk om de
breukmechanica toe te passen op de groei van elk van die scheurtjes. De schademechanica
tracht de gemiddelde degradatie van het materiaal weer te geven t.g.v. al deze scheurtjes.
Figuur 5.83 geeft een overzicht van de classificatie, die nu meer in detail besproken wordt.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Materiaalmodellen
282
Ela
sti
sc
hP
las
tisch
lin
ea
ir e
lasti
sc
h
sta
r
nie
t-li
ne
air
ela
sti
sc
h
ela
sti
sc
h-p
erf
ect
pla
sti
sc
h
sta
r-p
erf
ec
t p
las
tis
ch
sta
r-p
las
tis
ch
met
ve
rste
vig
ing
ela
sti
sc
h-p
las
tis
ch
met
ve
rste
vig
ing
Tijd
so
nafh
an
kelijk
lag
e,
sta
tisch
e b
ela
stin
ge
n in
me
tale
n,
be
ton
, ke
ram
ieke
n,.
..
he
t m
ate
riaa
l ve
rvo
rmt
nie
t,o
na
fha
nke
lijk v
an
de
gro
ott
eva
n d
e s
pa
nn
ing
lag
e,
sta
tisch
e b
ela
stin
ge
n in
rub
be
rs,
po
lym
ere
n,.
..
mo
de
llerin
g v
an
pro
du
ctie-
pro
ce
ssen
vo
or
me
taa
lvo
rm-
ge
vin
g (
wa
lse
n,
die
ptr
ekke
n)
ide
alis
atie
va
n d
uctie
l g
ed
rag
va
nm
eta
len
, w
aa
rbij
ge
en
ve
rste
vig
ing
optr
ee
dt
in d
e p
lastisch
e f
ase
mo
de
llen
vo
or
he
t ve
rvo
rmin
gs-
ge
dra
g v
an
gro
nd
mo
de
llen
vo
or
he
t ve
rvo
rmin
gs-
ge
dra
g v
an
gro
nd
Vis
co
-ela
sti
sc
hV
isc
o-p
lasti
sc
h
kru
ipk
ruip
rela
xati
ere
lax
ati
e
hys
tere
sis
hy
ste
resis
verv
orm
ing
ss
ne
lheid
ve
rvo
rmin
gss
ne
lhe
id
Tijd
safh
an
kelijk
lan
gd
uri
ge
sta
tisch
e b
ela
sting
va
np
oly
me
ren
, b
eto
n,.
..
ge
dra
g v
an
me
tale
n b
ij h
og
eve
rvo
rmin
gssn
elh
ed
en
(im
pa
ct)
ge
dra
g v
an
me
tale
n b
ij h
og
eve
rvo
rmin
gssn
elh
ed
en
en
gro
teve
rvo
rmin
ge
n (
bv.
kre
ukelz
on
e a
uto
)
ge
dra
g v
an
gro
nd
, o
ok v
an
me
tale
n b
ij h
og
e t
em
pe
ratu
ren
bo
utv
erb
ind
ing
en in
pijp
leid
ing
en
en
turb
ine
s b
ij h
og
e t
em
pe
ratu
ren
tijd
tijd
tijd
tijd
lan
gd
uri
ge s
tatisch
e b
ela
stin
g v
an
poly
me
ren
, b
eto
n,.
..
en
erg
ied
issip
atie
bij
me
tale
n e
nku
nsts
toffe
n o
nd
er
cyclische
be
lastin
ge
n
en
erg
ied
issip
atie
bij c
yclis
ch
eb
ela
sting
me
t g
rote
am
plit
ude
va
n m
eta
len
en
po
lym
ere
n
Sc
ha
dem
ech
an
ica
ela
sti
sch
ela
sti
sch
-pla
sti
sc
h
de
gra
da
tie
van
ma
teri
aa
leig
en
-sch
ap
pen
on
de
r kru
ip,
ve
rmo
eiin
g,
imp
act
vo
or
alle
rha
nd
e m
ate
ria
len
de
gra
da
tie
van
ma
teri
aa
leig
en
-sch
ap
pen
on
de
r kru
ip,
ve
rmo
eiin
g,
imp
act
vo
or
alle
rha
nd
e m
ate
ria
len
Deg
rad
ati
e
sch
ad
e
sch
ad
e
Bre
ukm
ech
an
ica
ela
sti
sc
h
ela
sti
sch
-pla
sti
sc
h
sp
an
nin
gsco
nce
ntr
atie
in
de
buu
rt v
an
de
sch
eu
rtip
sch
eu
rgro
ei m
et
pla
stisch
eve
rvo
rmin
g a
an
de
sch
eu
rtip
Sch
eu
rgro
ei
r r
Fo
utv
rij m
ate
riaal
Besc
had
igd
mate
riaal
Figuur 5.83 Overzicht van de verschillende klassen materiaalmodellen.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Materiaalmodellen
283
5.5.1. Tijdsonafhankelijk materiaalgedrag
Zoals blijkt uit Figuur 5.83, zijn er twee grote subklassen binnen de categorie
“Tijdsonafhankelijk materiaalgedrag”: (i) elastisch materiaalgedrag, en (ii) plastisch
materiaalgedrag.
5.5.1.a. Elastisch materiaalgedrag
Lineair elastisch
Het lineair elastisch materiaalgedrag geldt voor een groot aantal materialen bij lage
belastingen. Staal, beton en keramieken zijn typische voorbeelden. In dit domein van het
materiaalgedrag geldt de wet van Hooke, zoals die werd opgesteld in hoofdstuk 1.
Niet-lineair elastisch
Vele rubbers en polymeren vertonen een niet-lineair elastisch gedrag. De spanning neemt niet
recht evenredig toe met de vervorming, maar bij ontlasten wordt de spanning-rek curve wel in
omgekeerde zin doorlopen en keert het materiaal terug naar zijn oorspronkelijke onvervormde
toestand.
Star
Star materiaalgedrag is eigenlijk een idealisering van een zeer stijf materiaalgedrag, waarbij
de elasticiteitsmodulus E zeer groot is. Als gevolg daarvan is voor een bepaalde spanning
de bijhorende vervorming nagenoeg nul. Een dergelijk materiaalmodel vindt men vaak terug
in numerieke simulaties, waarbij voor de eenvoud het gedrag van zeer stijve materialen als
star wordt gemodelleerd.
5.5.1.b. Plastisch materiaalgedrag
Het plastisch materiaalgedrag onderscheidt zich van het elastisch materiaalgedrag doordat na
ontlasting een permanente rek p overblijft. Globaal kan men vier belangrijke types van
plastisch materiaalgedrag onderscheiden (Figuur 5.83).
Elastisch-perfect plastisch
Als het materiaal geen (of nauwelijks geen) versteviging vertoont in de vloeifase, wordt het
materiaal gemodelleerd als elastisch-perfect plastisch. Eens het materiaal vloeit, kan de rek
sterk toenemen onder constante spanning.
Elastisch-plastisch met versteviging
Als het materiaal wel degelijk verstevigt tijdens het vloeien, dan neemt de spanning toe bij
toenemende rek. De helling van deze curve hangt uiteraard af van de staalsoort en wordt
bepaald uit experimentele trekproeven.
Star-perfect plastisch
Dit is een zeer vereenvoudigd model voor het plastisch gedrag van metalen. Het model gaat
uit van de idee dat de elastische rekken zéér klein zijn t.o.v. de mogelijke rekken in het
plastisch gebied. Daarom onderstelt men dat het materiaal niet vervormt zolang de spanning
beneden de vloeigrens blijft. Eens de vloeigrens is bereikt, vloeit het materiaal onder
nagenoeg constante spanning.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Materiaalmodellen
284
Star-plastisch met versteviging
In dit geval neemt men opnieuw aan dat het materiaal niet vervormt in het elastisch gebied. In
het plastisch gebied treedt echter wel versteviging op van het materiaal en stijgt de vloeigrens
bij toenemende rekken.
Er bestaan verschillende modellen voor plasticiteit en een gedetailleerde bespreking valt
buiten het bestek van deze cursus. Hier worden enkel een aantal algemene eigenschappen van
de materiaalmodellen voor plasticiteit samengevat.
De totale rek wordt geschreven als de som van de elastische rek en de permanente rek:
p
ij
e
ijij (5.23)
Voor de elastische rek e
ij geldt nog altijd de wet van Hooke. De permanente rek daarentegen
is onomkeerbaar.
Om te bepalen wanneer er permanente rek ontstaat, gebruikt men een vloeicriterium dat
aangeeft bij welke spanningstoestand het vloeien start. Zoals in paragraaf 5.2.1 uitgelegd, zijn
het criterium van Tresca en von Mises de meest gebruikte criteria. Er zijn echter ook andere
criteria die rekening houden met de versteviging van het materiaal in het plastisch gebied. Dit
wil zeggen dat na ontlasting in het plastisch gebied, het materiaal bij herbelasting pas zal
beginnen vloeien bij een hogere waarde van de spanning dan de oorspronkelijke vloeigrens.
De verzameling van bestaande vloeicriteria kan men schrijven in een algemene vorm:
0),(f:plastisch
0),(f:elastisch
kl
kl
(5.24)
waarbij de verstevigingsparameter voorstelt. Bij de criteria van Tresca en von Mises is de
verstevigingsparameter nul, en wordt geen versteviging ondersteld in het plastisch gebied.
Men vult de waarde van de actuele spanningen in in het vloeicriterium. Zolang de waarde van
het vloeicriterium kleiner is dan nul, bevindt het materiaal zich in het elastisch gebied. Als het
vloeicriterium nul wordt, treedt vloeien op.
Mocht men voor de permanente rekken p
ij betrekkingen opstellen, analoog aan de wetten van
Hooke, dan kan men geen onomkeerbare vervorming modelleren. Inderdaad, als:
)(S klij
p
ij (5.25)
dan zou de permanente rek altijd dezelfde waarde hebben voor een bepaalde spanning. Dat is
hoegenaamd niet het geval, want na elke verdere belasting in het plastisch gebied stijgt de
permanente rek bij ontlasting. Nu blijkt dat men een onomkeerbare vervorming op een veel
eenvoudiger manier kan uitdrukken als volgt:
0),(fals),(S
0),(fals0
klklij
p
ij
kl
p
ij
(5.26)
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Materiaalmodellen
285
Ditmaal worden niet de permanente rekken p
ij gebruikt, maar wel hun vervormingssnelheden
p
ij . Is het vloeicriterium kleiner dan nul, dan treedt geen aangroei op van de permanente rek.
Is het vloeicriterium nul, dan kan de permanente rek aangroeien.
De bespreking van de precieze uitdrukkingen Sij die het verband aangeven tussen de
spanningen kl en de vervormingssnelheden p
ij , valt buiten het bestek van deze cursus.
5.5.2. Tijdsafhankelijk materiaalgedrag
Analoog met het elastisch en plastisch materiaalgedrag in het tijdsonafhankelijk domein,
onderscheidt men in het tijdsafhankelijk domein visco-elastisch en visco-plastisch gedrag.
Globaal kan men zowel in het visco-elastisch als in het visco-plastisch gebied vier typische
fenomenen onderscheiden bij het tijdsafhankelijk materiaalgedrag: (i) kruip, (ii) relaxatie,
(iii) vervormingssnelheid en (iv) hysteresis.
Het woord “visco-elastisch” is ontstaan uit de observatie dat sommige materialen
eigenschappen vertonen van zowel elastische vaste stoffen als van visceuze vloeistoffen. Een
typisch voorbeeld zijn kunststoffen, zoals bv. polycarbonaat. Bij hoge temperaturen gedraagt
deze kunststof zich als een visceuze vloeistof, terwijl het zich bij kamertemperatuur gedraagt
als een vaste stof.
Een belangrijk verschil is dat ideaal lineair elastische materialen bij ontlasting steeds
terugkeren naar hun onvervormde begintoestand. Visceuze vloeistoffen daarentegen hebben
geen vermogen om aangebrachte vervormingen te niet te doen.
Uiteraard vormen ideaal lineair elastische materialen en ideaal visceuze vloeistoffen de twee
uiteinden van het hele spectrum. Tussenin bevinden zich een heleboel materialen, die zich,
afhankelijk van de temperatuur, de vervormingssnelheid, de materiaalstructuur,... in mindere
of meerdere mate “visceus” of “elastisch” gedragen. Dit gedrag noemt men dan ook visco-
elastisch.
De onderstaande discussie wordt beperkt tot visco-elastisch gedrag. Bij visco-plastisch gedrag
zal na ontlasting een permanente vervorming overblijven die veel moeilijker te modelleren
valt, zoals reeds bleek uit het verhaal over de vervormingssnelheden p
ij bij tijdsonafhankelijk
plastisch gedrag.
Kruip en relaxatie
Zoals reeds beschreven in paragraaf 5.1.5 over de kruipproeven, is kruip een toenemende
vervorming onder constante spanning, terwijl relaxatie een afnemende spanning voorstelt
onder constante vervorming. Omdat deze fenomenen analoog zijn, worden zij tesamen
behandeld.
Een eenvoudige klasse van modellen voor visco-elastische materialen zijn de mechanische
modellen. Deze modellen trachten het gedrag van het visco-elastisch materiaal te beschrijven
m.b.v. lineaire veren en visceuze dempers en gebruiken dus in feite een analogie om het
visco-elastisch gedrag te beschrijven. Figuur 5.84 toont de bouwstenen van deze mechanische
modellen: de lineaire veer (Figuur 5.84(a)) en de visceuze demper (Figuur 5.84(b)).
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Materiaalmodellen
286
Figuur 5.84 Lineaire veren en visceuze dempers als basiselementen van de mechanische modellen [24].
Voor de veer met veerconstante E, is de spanning verbonden met de rek door de relatie:
vv E (5.27)
Voor de visceuze demper geldt een lineair verband tussen de spanning en de
vervormingssnelheid :
dd (5.28)
waarbij de viscositeitsconstante is van de demper.
Nu zijn er verschillende combinaties mogelijk van dit veer- en dempersysteem.
Het model van Maxwell bestaat uit een serieschakeling van een lineaire veer en een visceuze
demper, zoals weergegeven in Figuur 5.85.
Figuur 5.85 Model van Maxwell [24].
In dit geval is de spanning, op elk tijdstip t, dezelfde in de veer als in de demper. De totale
verlenging is de som van beide delen, zodat:
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Materiaalmodellen
287
d)(
E
)t()t(
E
t
0
dv
(5.29)
In geval van een kruipproef is de aangelegde spanning (t) = = constante. Invulling in de
bovenstaande vergelijking levert onmiddellijk [25]:
tE
)t(
(5.30)
In geval van een relaxatieproef is de rek constant. Het verband tussen spanning en rek wordt
dan:
tE
exp
0E
0
(5.31)
Figuur 5.86 toont de respons van het veer-demper systeem voor een kruipproef en een
relaxatieproef. De linkercurve is een maat voor de toenemende vervorming onder constante
spanning (kruip), terwijl de rechtercurve een maat is voor de afnemende spanning onder
constante rek (relaxatie).
Figuur 5.86 Maxwell model, met corresponderende kruip- en relaxatiecurves [26].
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Materiaalmodellen
288
Het model van Kelvin-Voigt plaatst een veer en een demper in parallel, zoals weergegeven in
Figuur 5.87.
Figuur 5.87 Model van Kelvin-Voigt [24].
In dat geval is de rek, op elk tijdstip t, dezelfde in de veer en de demper. Dan volgt
onmiddellijk dat:
E (5.32)
In geval van een kruipproef is de aangelegde spanning (t) = = constante. Invulling in de
bovenstaande vergelijking levert onmiddellijk [25]:
t
Eexp1
E)t( (5.33)
In geval van een relaxatieproef is de rek constant. Het verband tussen spanning en rek wordt
dan eenvoudig:
E (5.34)
Figuur 5.88 toont de respons van het veer-demper systeem voor een kruipproef en een
relaxatieproef. De linkercurve is een maat voor de toenemende vervorming onder constante
spanning (kruip), terwijl de rechtercurve een maat is voor de afnemende spanning onder
constante rek (relaxatie).
Figuur 5.88 Kelvin-Voigt model, met corresponderende kruip- en relaxatiecurves [26].
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Materiaalmodellen
289
Dit model is minder realistisch, omdat bij het aanleggen van de spanning i.g.v. de kruipproef,
niet onmiddellijk een vervorming optreedt. En ook bij relaxatie is het niet realistisch dat de
spanning niet afneemt in functie van de tijd.
In vele gevallen voldoen deze modellen dan ook niet. Men kan dan overgaan naar een
uitgebreidere combinatie van veren en dempers in serie en parallel, maar vaak neemt men zijn
toevlucht tot empirische modellen. Deze modellen distilleren een eenvoudige wet die zuiver
gebaseerd is op experimentele waarnemingen.
Voor het kruipgedrag (bij constante spanning ) van composietmaterialen en kunststoffen
gebruikt men bijvoorbeeld vaak de wet [27,28]:
nm
0
tKE
)t,(
(5.35)
Daarbij zijn K, m en n constanten, die worden gefit op basis van experimentele resultaten.
Men moet heel voorzichtig zijn met het gebruik van dergelijke empirische modellen, omdat ze
vaak slechts bruikbaar zijn in een beperkt toepassingsgebied (uni-axiale spanning, constante
temperatuur,...).
Vervormingssnelheid
Zoals vermeld in paragraaf 5.1.7, vertonen vele materialen beduidend andere eigenschappen
bij zeer hoge vervormingssnelheden . Zo is het typisch voor metalen dat de vloeigrens
toeneemt bij hogere vervormingssnelheid.
Een diepgaande inleiding over dit soort materiaalmodellen vindt men in [29], hier worden
enkel een paar (semi-)empirische modellen voorgesteld.
Een semi-empirische betrekking die vaak wordt gebruikt, is de volgende [30]:
0,vv lnA (5.36)
waarbij v,0 de vloeigrens is bij quasi-statische belasting, v de vloeigrens bij verhoogde
vervormingssnelheid en A een constante. Deze betrekking geeft aan dat de toename van de
vloeigrens evenredig is met de natuurlijke logaritme van de vervormingssnelheid.
Voor aluminium, koper en zacht staal gebruikt men ook vaak de empirische wet [30]:
n0,vv (5.37)
waarbij v,0 opnieuw de vloeigrens is bij quasi-statische belasting, v de vloeigrens bij
verhoogde vervormingssnelheid en n een constante.
Hysteresis
Hysteresis stamt van het Griekse werkwoord hysterein wat betekent: te laat komen, niet
beantwoorden aan. Deze term wordt gebruikt voor het verschijnsel waarbij het gevolgde pad
langs de spanning-rek curve bij belasting niet hetzelfde is als bij ontlasting.
Figuur 5.89 toont een voorbeeld van hysteresis bij de cyclische belasting van een glas/epoxy
composiet. In de eerste paar duizend cycli is de spanning-rek lus nagenoeg een rechte lijn,
terwijl de lus verbreedt naarmate het aantal cycli toeneemt.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Materiaalmodellen
290
Figuur 5.89 Spanning-rek respons van een glas/epoxy composiet onder cyclische belasting [31].
Ook bij vermoeiing van metalen treedt hysteresis op. Hysteresis kan zowel voorkomen in het
elastisch gebied als in het plastisch gebied, zoals geïllustreerd door Figuur 5.90.
Figuur 5.90 Hysteresis van metalen in het elastisch (links) en plastisch (rechts) gebied [32].
Een hysteresislus betekent verbruik van energie. In paragraaf 1.11 werden de arbeid en
elastische energie gedefinieerd. Daarbij werd aangetoond dat de arbeid van de uitwendige
krachten als elastische energie wordt opgeslagen in het materiaal. Bij ontlasting zorgt de
elastische energie ervoor dat het materiaal zich “terugplooit” in zijn oorspronkelijke,
onvervormde toestand.
Wanneer nu het materiaal bij belasten en ontlasten niet dezelfde weg volgt langs de spanning-
rek curve, is de oppervlakte van de lus gelijk aan de hoeveelheid energie die per volume-
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Materiaalmodellen
291
eenheid werd verbruikt. Deze energie kan worden omgezet in warmte of worden aangewend
voor de uitbreiding van scheuroppervlak.
Hysteresis wordt vaak op analoge wijze gemodelleerd als kruip en relaxatie. Figuur 5.91 toont
een voorbeeld van mogelijke modellering. In Figuur 5.91(a) staat een gecombineerd veer-
dempersysteem voor modellering van hysteresis afgebeeld. Figuur 5.91(b) toont de respons
van de rek (t) voor een blokbelasting (t) voor dit veer-dempersysteem. Figuur 5.91(c) toont
tenslotte het geïdealiseerde (volle lijn) en realistische verloop (streeplijn) van een
hysteresislus. Met het mechanisch model van veren en demper in het achterhoofd kan men de
geïdealiseerde hysteresislus als volgt uitleggen: bij belasting treedt een onmiddellijke
elastische rek op (werking van de veren). Onder constante spanning neemt de rek dan verder
toe t.g.v. de vertraagde demperwerking. Wanneer men nu gaat ontlasten, valt de elastische rek
onmiddellijk weg (ontlasting van de veren). Hoewel het systeem volledig ontlast is, duurt het
nog een tijd vooraleer ook de vervorming volledig op nul is teruggevallen. Bij een
experimentele opmeting van de hysteresislus (zie bv. Figuur 5.89) zal de lus niet zo
rechthoekig zijn als de geïdealiseerde lus in volle lijn in Figuur 5.91(c), maar wel zoals de
realistische hysteresislus in streeplijn.
Figuur 5.91 Mogelijke modellering van hysteresis [32].
5.5.3. Scheurgroei
De derde grote categorie van materiaalmodellering betreft de mechanica van scheuren en
kerven. In tegenstelling tot de beide voorgaande klassen gaat het hier niet om de belasting van
initieel foutvrij materiaal. Door de aanwezigheid van kerven of scheuren is het materiaal
ongelijkmatig belast en treden spanningsconcentraties op rond de scheuren. De berekening
van deze spanningen rond scheuren en de voorspelling van de scheurgroei is het domein van
de breukmechanica.
Het spanningsveld rond een scheur hangt uiteraard af van de wijze waarop de scheur wordt
belast. In de literatuur beschouwt men drie verschillende modes waarop de scheurvlakken
worden belast. Deze drie modes worden weergegeven in Figuur 5.92 en krijgen de romeinse
letters I, II en III toegewezen.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Materiaalmodellen
292
Figuur 5.92 Verschillende scheurmodes [11].
In de displicine van de breukmechanica kan men twee grote takken onderscheiden: (i) de
elastische breukmechanica, en (ii) de elastisch-plastische breukmechanica.
5.5.3.a. Elastische breukmechanica
Met behulp van de elasticiteitsleer kan men nu de spanningsverdeling rond zo’n scheurtip
gaan berekenen in een aantal voor de praktijk relevante gevallen. Het eenvoudigste geval is
dat van een oneindige plaat met een inwendige scheur, zoals weergegeven in Figuur 5.93. De
oneindige plaat wordt belast met een trekspanning loodrecht op de scheur, zodat de scheur
belast wordt in mode I. De totale scheurlengte is 2a. Men veronderstelt dat de plaat belast
wordt in vlakspanning en dus zijn de relevante spanningen xx, yy en xy.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Materiaalmodellen
293
Figuur 5.93 Inwendige scheur met lengte 2a in een oneindige plaat.
Hecht men aan de scheurtip een polair assenstelsel ( re
,
e ), dan kan men aantonen dat de
spanningen xx, yy en xy rond de scheurtip, berekend volgens de elasticiteitstheorie, de
volgende zijn [14]:
2
3cos
2sin
2cos
r2
a
2
3sin
2sin1
2cos
r2
a
2
3sin
2sin1
2cos
r2
a
xy
yy
xx
(5.38)
Zoals duidelijk blijkt uit de formules, worden deze elastische spanningen oneindig als r 0,
dus aan de scheurtip zelf. Dit is natuurlijk in de praktijk onmogelijk, maar door de
onderstellingen van de elastische theorie worden dergelijke resultaten wel bekomen.
Voor een gegeven uitwendige belasting en scheurlengte 2a is de factor a in de
vergelijkingen (5.38) constant. Deze constante term vormt precies de definitie van de
spanningsintensiteitsfactor KI:
aKI (5.39)
waarbij [MPa] de aangelegde spanning is op de plaat en a [m] de halve scheurlengte. De
spanningsintensiteitsfactor KI heeft dus de dimensie [MPa m ]. De subscript I duidt op de
belasting van de scheurtip in mode I. De spanningscomponenten xx, yy en xy kunnen dus
geschreven worden als het product van KI met een geometrische functie f(r,). Met andere
woorden, KI bepaalt de grootte van de elastische spanningen aan de scheurtip, aangezien KI
alleen functie is van de kerfgeometrie en de aangelegde spanning.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Materiaalmodellen
294
Hoewel de configuratie in Figuur 5.93 een oneindige plaat voorstelt, gaat deze berekening
ook op voor platen waarbij de scheurlengte zeer klein is t.o.v. de breedte van de plaat.
Als de lengte van de scheur niet verwaarloosbaar is t.o.v. de plaatbreedte of als de scheur zich
aan de rand van de plaat bevindt (zie Figuur 5.94), zijn andere spanningsintensiteitsfactoren
KI nodig.
Figuur 5.94 Verschillende scheurgeometrieën [33].
Toch worden deze spanningsintensiteitsfactoren KI steeds geschreven als [33]:
aCCFKI (5.40)
waarbij CCF staat voor “Configuration Correction Factor”. Deze dimensieloze factor hangt af
van de scheurgeometrie en de eindige afmetingen van de plaat.
De waarden van CCF voor allerhande geometrieën en scheurtypes kan men terugvinden in de
literatuur. Figuur 5.95 toont het voorbeeld van een eindige plaat met een scheur aan de
linkerzijde. De plaat is belast met een trekspanning en de totale scheurlengte is ditmaal a.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Materiaalmodellen
295
Figuur 5.95 Spanningen rond een scheurtip belast in mode I [11].
De correctiefactor CCF bedraagt in dit geval:
432
W
a95,30
W
a72,21
W
a55,10
W
a231,012,1CCF
(5.41)
waarbij a de scheurlengte is en W de breedte van de plaat. Voor een voldoend brede plaat
(a/W << 1) is CCF = 1,12.
Wanneer een spanningsanalyse wordt gedaan van een foutvrij en gelijkmatig belast materiaal,
dan worden de spanningen vergeleken met materiaaleigenschappen zoals de vloeigrens of de
treksterkte van het materiaal om te beoordelen of de component veilig is onder statische
belasting. Als daarentegen defecten of scheuren aanwezig zijn, wordt de
spanningsintensiteitsfactor KI vergeleken met een andere materiaaleigenschap om de reserve
tot breuk te beoordelen. Deze materiaaleigenschap is de breuktaaiheid KIc (Eng: fracture
toughness). Beneden deze kritische waarde van de spanningsintensiteitsfactor KI groeit de
scheur niet verder, boven deze kritische waarde zal de scheur verder uitbreiden. De waarde
van de breuktaaiheid omvat een zeer ruim gebied voor de meest brosse materialen zoals ijs en
keramiek, tot de meest taaie materialen zoals metalen.
Keramische materialen en polymeren hebben steeds lage waarden, in het interval 0.2 – 5
MPa m . Composieten hebben typisch een breuktaaiheid tussen 10 en 100 MPa m . De
metalen bereiken breuktaaiheden van 100 tot 200 MPa m .
De spanningsintensiteitsfactor KI kan ook met succes worden toegepast op vermoeiing van
metalen. Inderdaad, in heel wat metalen constructies zijn reeds initiële scheurtjes aanwezig
(door productieprocessen of lasfouten), en onder cyclische belastingen zullen deze scheurtjes
langzaam groeien, omdat de spanningen daar lokaal heel wat hoger zijn dan de spanningen die
in de rest van de constructie optreden.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Materiaalmodellen
296
Om een idee te krijgen van de scheurgroei in metalen onderdelen, heeft men heel wat
vermoeiingsproeven gedaan op metalen proefplaten met een initiële scheur. Een schematische
voorstelling is getekend in Figuur 5.96.
Figuur 5.96 Toepassing van de spanningsintensiteitsfactor voor vermoeiing [11].
Meestal situeert het spanningsbereik zich volledig in de trekzone, omdat de scheuren
hoofdzakelijk groeien onder trekbelasting en bij drukbelasting opnieuw worden dichtgedrukt.
Als men nu de experimenteel opgemeten scheuraangroei per cyclus, da/dN, uitzet t.o.v. het
bereik van de spanningsintensiteitsfactor KI, beiden op een logaritmische schaal, dan blijkt
dat er voor vele metalen een lineair verband bestaat tussen beide, zoals geïllustreerd door
Figuur 5.97.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Materiaalmodellen
297
Figuur 5.97 Typische data voor da/dN vs. KI [11].
Men kan het lineair verband als volgt schrijven:
nIKCdN
da (5.42)
waarbij C en n twee constanten zijn. Deze wet is de wet van Paris-Erdogan en wordt nog
steeds heel veel gebruikt in de studie van vermoeiing van metalen onderdelen.
5.5.3.b. Elastisch-plastische breukmechanica
De elastische breukmechanica is zeer waardevol gebleken voor het ontwerp van materialen
met defecten of scheuren. In vele taaie materialen leiden deze spanningsconcentraties niet
onmiddellijk tot breuk, maar treedt rond de scheurtip een zone op van plastische vervorming.
Daardoor worden de hoge spanningen gemilderd en breidt het probleem zich niet uit naar de
rest van de constructie.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Materiaalmodellen
298
De elastische breukmechanica kan dergelijke fenomenen niet weergeven, zoals ook reeds
bleek uit de vergelijkingen (5.38). Deze vergelijkingen berekenden dat de spanning aan de
scheurtip (r 0) naar oneindig gaat. Uiteraard is dit fysisch onmogelijk, en zal zodra de
vloeigrens is bereikt, het materiaal rond de scheurtip plastisch gaan vervormen. Deze studie is
het domein van de elastisch-plastische breukmechanica.
Figuur 5.98 illustreert dit met een schematisch voorbeeld. In het materiaal is een uitsparing
aanwezig. Deze doorsnedeverandering zorgt voor een spanningsconcentratie en het ontstaan
van een scheur. Aan de scheurtip vervormt het materiaal plastisch, terwijl verderop het
materiaal zich nog elastisch gedraagt.
Figuur 5.98 Elastisch-plastisch spanningsveld rond een scheur [11].
Ook voor deze plastische zone rond de scheurtip zijn een heel aantal modellen ontwikkeld. De
meeste modellen maken een aantal veronderstellingen omtrent de grootte en de vorm van de
plastische zone rond de scheurtip. Het is belangrijk te vermelden dat de elastisch-plastische
breukmechanica maar relevant is voor taaie materialen. In zeer brosse materialen (bv.
keramische materialen) zal de scheur instabiel gaan groeien, zonder enige plastische
vervorming rond de scheurtip.
5.5.4. Degradatie
Degradatie van het materiaal kan veroorzaakt worden door heel uiteenlopende vormen van
belasting. Vermoeiing, impact en kruip kunnen aan de basis liggen van een toenemende
schade in het materiaal. In sommige materialen zoals composieten en beton is deze schade
heel diffuus en bestaat ze uit tal van microscopische scheurtjes of andere defecten. De
breukmechanica is niet geschikt om dergelijke verspreide schade te modelleren. Vandaar
wordt de continuum schademechanica (Eng: continuum damage mechanics) vaak aangewend
als alternatief.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Materiaalmodellen
299
In zijn meest eenvoudige vorm gaat de continuum schademechanica uit van de
basisonderstelling dat een beschadigd materiaal kan vervangen worden door een fictief
schadevrij materiaal dat echter verminderde stijfheids- en sterkte-eigenschappen bezit. Dit
wordt vertaald door het principe van equivalente vervorming (Eng: equivalent strain
principle) dat werd ingevoerd door Lemaitre in 1965 en schematisch is weergegeven in
Figuur 5.99.
Figuur 5.99 Principe van equivalente vervorming.
Het principe van equivalente vervorming stelt dat een beschadigd materiaal met
elasticiteitsmodulus E en schade D, belast met een spanning , dezelfde vervorming
vertoont als een fictief schadevrij materiaal met elasticiteitsmodulus E0, belast met de
effectieve spanning ~
= /(1-D). De vergelijking wordt:
0E
D1
E
(5.43)
Men kan de betrekking ook eenvoudig herschrijven als:
)D1(E0 (5.44)
Dit is de basisvergelijking van de eendimensionale schademechanica. Als men de factor (1-D)
weglaat uit bovenstaande vergelijking, bekomt men onmiddellijk de eendimensionale vorm
van de wet van Hooke. Door de introductie van de term (1-D) geeft men precies aan dat de
stijfheid E0 van het materiaal door de schade is afgenomen tot de stijfheid E0(1-D). De
waarde van de schadevariabele D is begrepen tussen nul (foutvrij materiaal) en één (volledig
bezweken materiaal). In tegenstelling tot de breukmechanica, concentreert de
schademechanica zich niet op het gedrag en de groei van één individuele scheur. De
schadevariabele D vertegenwoordigt het globaal effect van alle miniscule scheurtjes op een
macroscopische grootheid, nl. de stijfheid E.
De continuum schademechanica wordt aangewend in tal van domeinen: impact, vermoeiing,
kruip, en voor tal van materialen: beton, composieten, keramieken,... Een toepassing binnen
de vakgroep Mechanische Constructie en Productie is de modellering van vermoeiingsschade
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Materiaalmodellen
300
in vezelversterkte kunststoffen m.b.v. continuum schademechanica [21]. Dit voorbeeld wordt
kort besproken om de mogelijkheden van de schademechanica te illustreren.
Metalen en vezelversterkte kunststoffen vertonen een sterk verschillend gedrag in vermoeiing.
In metalen gebeurt de scheurgroei zeer traag. Pas op het einde van de levensduur groeit een
macroscopische scheur die uiteindelijk leidt tot bezwijken van de constructie. De groei van
deze scheur kan gemodelleerd worden met de elastische of elastisch-plastische
breukmechanica. Tijdens het overgrote deel van de levensduur blijft de stijfheid van de
constructie nagenoeg intact.
In vezelversterkte kunststoffen daarentegen kunnen reeds scheurtjes ontstaan na een paar
honderden tot duizenden belastingscycli. Deze scheurtjes hebben ook onmiddellijk hun
impact op de waarde van de stijfheid die behoorlijk kan afnemen. Precies deze
stijfheidsdegradatie kan men modelleren met de continuum schademechanica.
Figuur 5.100 toont de proefopstelling die in het onderzoek werd gebruikt. Links staat de
schematische voorstelling van het experiment. Een proefstuk wordt bovenaan ingeklemd en
onderaan heen en weer verbogen door een kruk-drijfstangmechanisme. De frequentie van de
heen-en-weergaande beweging is 2,2 Hz. Het is dus een verplaatsingsgestuurde
vermoeiingsproef in buiging. Rechts staat een foto van een ingeklemd proefstuk in uitbuiging.
Figuur 5.100 Experimentele opstelling voor vermoeiingstest in buiging: schematische voorstelling van de
proefstand (links) en foto van het proefstuk in buiging (rechts) [21].
Deze proeven werden uitgevoerd op een met glasweefsel versterkt epoxyhars. Zoals reeds
hoger vermeld, kunnen vezelversterkte kunststoffen in vermoeiing reeds vrij vlug scheurtjes
vertonen en dat wordt bevestigd door Figuur 5.101. Deze figuur toont een gepolijste
dwarsdoorsnede van de zone van het glas/epoxy proefstuk rond de inklemming. De
inklemplaten en de richting van buiging zijn schematisch weergegeven. Uit de
microscoopopname blijkt inderdaad een veelheid aan scheurtjes in het materiaal. En precies
deze scheurtjes zorgen voor een afname van de stijfheid E van het materiaal.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Materiaalmodellen
301
M(x)
1 mm
Figuur 5.101 Gepolijste dwarsdoorsnede van een met glasweefsel versterkt epoxyhars [21].
Als men onderstelt dat de buiging een eendimensionale belasting is, kan men het verband
(5.44) tussen spanning en rek aanvullen met een materiaalwet die aangeeft hoeveel de schade
D groeit per belastingscyclus N:
...,D,fdN
dD
)D1(E0
(5.45)
Deze materiaalwet voor dD/dN zal uiteraard een functie zijn van de spanning (hoe groter de
spanning, hoe sneller de schade groeit) en van de schade zelf (hoe meer schade er is, hoe
gemakkelijker ze groeit). Figuur 5.102 toont een voorbeeld van experiment en simulatie voor
een aantal proeven op dit glas/epoxy composiet. In de abscis staat het aantal belastingscycli,
terwijl de ordinaat de kracht voorstelt die nodig is om het proefstukje te verbuigen tot zijn
maximale uitbuiging. Precies door de afname van de stijfheid tijdens de levensduur is er
steeds minder kracht nodig om het proefstukje over diezelfde afstand te verbuigen.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Materiaalmodellen
302
0 200000 400000 600000 800000
Aantal cycli [-]
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
Kra
ch
t [N
]
Experimenteel en gesimuleerd krachtsverloop voor [#0]8
proefstukken, enkelzijdige buiging, umax = 30.4, 34.4 en 38.9 mm
Pr05_2, umax = 30.4 mm, experiment
Pr05_2, umax = 30.4 mm, simulatie
Pr10_4, umax = 34.4 mm, experiment
Pr10_4, umax = 34.4 mm, simulatie
Pr08_2, umax = 38.9 mm, experiment
Pr08_2, umax = 38.9 mm, simulatie
Figuur 5.102 Voorbeeld van overeenkomst tussen opgemeten en gesimuleerd krachtsverloop van
vermoeiingsproeven in buiging op glas/epoxy composietmateriaal [21].
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Materiaalmodellen
303
5.6. BESLUIT
In dit hoofdstuk werden een hele reeks beproevingsmethodes besproken, samen met hun
instrumentatie en schadedetectie-technieken. Verder werden vloei- en breukcriteria besproken
voor verschillende klassen van materialen. Tenslotte werd in vrij algemene termen een
overzicht gegeven van de bestaande klassen van materiaalmodellen.
Aan het einde van dit hoofdstuk moet het duidelijk zijn dat één en hetzelfde materiaal zich op
verschillende manieren kan gedragen. Zo kan één en dezelfde staalsoort zich lineair elastisch
gedragen in een statische constructie, plastisch vervormen tijdens het productieproces of zich
visco-plastisch gedragen bij hogere temperatuur. Daarnaast zijn er nog de talloze verschillen
tussen het mechanisch gedrag van verschillende materiaalsoorten onderling die elk hun
typisch mechanisch gedrag hebben. Zo is het visco-plastisch gedrag van staal bij hoge
temperaturen totaal verschillend van het visco-plastisch gedrag van rubbers.
Het is dan ook belangrijk voor de ontwerpingenieur om te onderscheiden welke types
materiaalgedrag in het ontwerp van zijn constructie zullen optreden:
treedt er tijdens het productieproces van de constructie plastische vervorming op ?
kunnen eventuele hoge temperaturen tijdens het productieproces aanleiding geven tot
thermische spanningen in het materiaal die na afkoeling als eigenspanningen aanwezig
blijven ?
is het een statische constructie of wordt ze ook in vermoeiing belast (hysteresis,
vermoeiingsschade) ?
is er kans op verhoogde temperaturen tijdens gebruik van de constructie (thermische
spanningen) ?
is het materiaal gevoelig voor kruip, zodat de vervormingen toenemen in de loop van de
tijd ?
kan de constructie gemakkelijk beschadigd worden door impact van kleine of grotere
voorwerpen ?
als er schade ontstaat, is er gevaar dat die schade verder groeit onder invloed van cyclische
belastingen (breukmechanica) ?
zijn er zones in de constructie waar gevaarlijke spanningsconcentraties te vrezen zijn ?
blijven alle spanningen binnen het lineair elastisch gebied, of is in bepaalde zones van de
constructie plastische vervorming toelaatbaar ?
blijven de vervormingen van de constructie bij normaal gebruik binnen de perken ?
... ?
Bij al deze vragen hangt het antwoord in grote mate af van het gekozen materiaal en zijn
mechanisch gedrag. Hierbij is het belangrijk als ingenieur te beseffen dat niet alle materialen
geschikt zijn voor bepaalde vereisten. Figuur 5.103 illustreert dit met een overzicht van het
bereik van de stijfheid, sterkte, breuktaaiheid en smeltpunt voor keramische materialen,
kunststoffen en metalen. Uit de tabel blijkt dat keramische materialen het sterkst scoren op
stijfheid, sterkte en temperatuurbestendigheid. Toch wordt metaal op veel bredere schaal
gebruikt dan keramiek en één van de redenen is de zeer ondermaatse waarde voor de
breuktaaiheid van keramische materialen. Dit wil zeggen dat scheuren in keramiek zeer
gemakkelijk groeien en het materiaal dus zeer bros breekt. Een dergelijk gedrag is in haast
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Materiaalmodellen
304
alle constructies uiterst ongewenst en het taai gedrag van metalen levert hen dan ook een
groot competitief voordeel t.o.v. keramieken.
Polymeren hebben dan weer een lage stijfheid en temperatuurbestendigheid. Zoals reeds
eerder vermeld worden deze eigenschappen echter aanzienlijk verbeterd door
vezelversterking.
Figuur 5.103 Bereik van verschillende eigenschappen voor metalen, keramieken en kunststoffen [3].
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Materiaalmodellen
305
5.7. REFERENTIES
[1] Weidmann, G., Lewis, P. and Reid, N. (1990). Structural materials. London,
Butterworths, 430 pp.
[2] Megson, T.H.G. (1996). Structural and stress analysis. London, Arnold Publishers,
641 pp.
[3] Ohring, M. (1995). Engineering materials science. San Diego, Academic Press, 827
pp.
[4] Hibbeler, R.C. (1997). Mechanics of materials. New Jersey, Prentice Hall
International, Inc., 855 pp.
[5] Sih, G.C. and Skudra, A.M. (eds.) (1985). Handbook of Composites. Volume 3:
Failure mechanics of composites. New York, North Holland, 441 pp.
[6] Case, J., Chilver, L. and Ross, C.T.F. (1999). Strength of materials and structures.
London, Arnold Publishers, 706 pp.
[7] Degrieck, J. (1997). Mechanica van met vezels versterkte materialen. Cursus, Gent,
Faculteit Toegepaste Wetenschappen, 157 p.
[8] Bunshah, R.F. (1971). Measurement of mechanical properties. New York,
Interscience Publishers, 474 pp.
[9] Burr, A.H. (1981). Mechanical analysis and design. New York, Elsevier, 640 pp.
[10] Boresi, A.P. and Sidebottom, O.M. (1985). Advanced mechanics of materials. Fourth
edition. New York, John Wiley & Sons, 763 pp.
[11] Rice, R.C. (ed.) (1988). Fatigue Design Handbook. Second Edition. Warrendale,
Society of Automotive Engineers, 369 pp.
[12] Sierakowski, R.L. and Chaturvedi,S.K. (1997). Dynamic loading and
characterization of fiber-reinforced composites. New York, John Wiley & Sons, 252
pp.
[13] Kobayashi, A.S. (1993). Handbook on experimental mechanics. Bethel, Society for
Experimental Mechanics, 1074 pp.
[14] Verhegghe, B. (2001). Elasticiteit en Sterkteleer. Cursus academiejaar 2001-2002.
Gent, Universiteit Gent.
[15] Whitney, J.M., Daniel, I.M. and Pipes, R.B. (1984). Experimental mechanics of fiber
reinforced composite materials. Connecticut, The Society for Experimental
Mechanics, 264 pp.
[16] M.A. Sutton, J.J. Orteu, H.W. Schreier, Image correlation for shape, motion and
deformation measurements – basic concepts, theory and applications, Springer
Science+Business Media, 2009, ISBN 978-0-387-78746-6.
[17] VIC3D 2007: testing guide – Limess. www.limess.com.
[18] De Waele, W. (2002). Structural monitoring of composite elements using optical
fibres with Bragg-sensors. Ghent, Ghent University, 316 pp.
[19] Hull, D. (1999). Fractography: observing, measuring and interpreting fracture surface
topography. Cambridge, Cambridge University Press, 366 pp.
[20] Reifsnider, K.L. (ed.) (1980). Damage in composite materials. ASTM STP 775.
Philadelphia, American Society for Testing and Materials, 280 pp.
[21] Van Paepegem, W. (2002). Development and finite element implementation of a
damage model for fatigue of fibre-reinforced polymers. Ph.D. thesis. Ghent, Ghent
University Architectural and Engineering Press (ISBN 90-76714-13-4), 403 p.
Mechanica van Materialen Hoofdstuk 5: Mechanische Eigenschappen en Materiaalmodellen
306
[22] Halmshaw, R. (1991). Non-destructive testing. Second edition. London, Edward
Arnold, 323 pp.
[23] Hansen, U. (1999). Damage development in woven fabric composites during tension-
tension fatigue. Journal of Composite Materials, 33(7), 614-639.
[24] Karasudhi, P. (1991). Foundations of solid mechanics. Dordrecht, Kluwer Academic
Publishers, 493 pp.
[25] Holmes, M. and Just, D.J. (1983). GRP in structural engineering. Chapter 8: Time
and temperature dependent characteristics of glass-reinforced plastics. England,
Applied Science Publishers Ltd., pp. 213-229.
[26] Gibson, R.F. (1994). Principles of composite material mechanics. New York,
McGraw-Hill, Inc., 425 pp.
[27] Petermann, J. and Schulte, K. (2002). Creep prediction and creep-fatigue interaction
in angle-ply laminates. Proceedings of the Tenth European Conference on Composite
Materials (ECCM-10), Brugge, Belgium, 3-7 June 2002.
[28] Scott, D.W., Lai, J.S. and Zureick, A.-H. (1995). Creep behaviour of fiber-reinforced
polymeric composites: a review of the technical literature. Journal of Reinforced
Plastics and Composites, 14, 588-617.
[29] Harding, J. (1989). Mechanical properties of materials at high rates of strain.
Proceedings of the Fourth International Conference on the Mechanical Properties of
Materials at High Rates of Strain. Oxford, 19-22 March 1989, Institute of Physics,
582 pp.
[30] Ford, H. (1963). Advanced mechanics of materials. London, Longman Group Ltd.,
672 pp.
[31] Kujawski, D. and Ellyin, F. (1995). Rate/frequency-dependent behaviour of
fibreglass/epoxy laminates in tensile and cyclic loading. Composites, 26, 719-723.
[32] Zaat, J.H. (1974). Technische metaalkunde. Deel 2: Algemene metaalkunde.
Amsterdam, Elsevier, 272 pp.
[33] Ragab, A.-R. and Bayoumi, S.E. (1999). Engineering solid mechanics. Fundamentals
and applications. Boca Raton, CRC Press, 921 pp.