l

E

,

....

.. ..

E

Szerkesztette

l l

l

l

Felsoktatsi

tanknyv

Szerzk:

DR. M. CSIZMADIA BLA egyetemi tanr: 1.; 2.; 3.1.- 3.5. fejezet DR. FEKETE TIBOR egyetemi docens: 5.3; 6. fejezet DR. GELENCSI~R ENDRE egyetemi adjunktus: 3.6.; 5.1.; 5.2 fejezet DR. KISCELLI LSZL fiskolai tanr: 3.4.3.; 4.7.2. fejezet DR. NNDORI ERN tanszkvezet egyetemi docens: 4.1.- 4. 7.l. fejezet t DR. TERPLN ZN akadmikus: A mechanika rvid trtneteAlkot szerkesztk:

DR. M. CSIZMADIA BLA egyetemi tanr DR. NNDORI ERN tanszkvezet egyetemi docens

Szmtgpes programrendszer:

DR. MLLER ZOL TN egyetemi adjunktus

Brlk:

DR. MICHELBERGER PL akadmikus DR. TMR IMRE tanszkvezet egyetemi docens

ISBN 963 19 2850 O ISSN 1416-535X

A m ms kiadvnyban val rszleges vagy teljes felhasznlsa, utnkzlse, illetve sokszorostsa a Kiad engedlye nlkl tilos!

Dr. M. Csizmadia Bla, Dr. Fekete Tibor, Dr. Gelencsr Endre, Dr. Kiscelli Lszl, Dr. Nndori Ern, Dr. Terpln Zn jogutdja, Dr. Mller Zoltn, Nemzeti Tanknyvkiad Rt., Gdll - Budapest, 1996

ELSZ .................................................................................................. ll TRTNETI TTEKINTS .................................................................... l3 BEVEZETS ............................................................................................ 21l. MODELLALKOTS, ALAPFOGALMAK, AXIMK ...................... 23

1.1. Modellalkots ............................................................................... 23 l. 1.1. Anyagmodellek. ....................................................................... 24 1.1.2. Geometnm modellek. ............................................................... 27 l. l. 3. Kapcsolatrendszert meghatroz modellek. .............................. 28 1.1. 3. l. A terhelsek modellezse ................................................ 29 1.1. 3 .2. A knyszerek modellezse .............................................. 3 O 1.1.4. Szerkezeti modellek ................................................................. 32 1.2. A mechamka nhny alapfogalma ................................................. 33 1.2.1. Mozgs, tr, Id ....................................................................... 33 1.2.2. Helyzet, szabadsgfok .............................................................. 34 1.2.3.Helyzet, sebessg, gyorsuls ..................................................... 35 1.2.4. Tmeg, er .............................................................................. 37 1.3. A statikban hasznltaximk s mdszerek ................................ 38

2. ANYAGI PONT STATIKJA. ............................................................. 432.1. Errendszer eredjnek meghatrozsi mdszerei ........................ 45 2.1.1. Anyagi pontra hat skbeh errendszer eredjnek meghatrozsa szerkesztssel ................................................... 46 2.1.2. Az er megadsnak lehetsgei .............................................. 49 2.1.3. Anyagi pontra hat erk eredjnek meghatrozsa szmtssal. .............................................................................. 52 2.2. Egyenslyi errendszer s meghatrozsa ..................................... 58 2.2.1. Kt er egyenslya .................................................................. 59 2.2.2.Hrom er egyenslya ............................................................. 60 2. 2. 3. N gy trbeli er egyenslya ..................................................... 71

6

Tartalom

3. rviEREV TEST STATII az anyabrtulajdonsgok ismerettl, => a szerkezet rendeltetstl, => a szerkezet felptstl (szimmetria stb.).Ennek rszletezsvel ksbb, az 5. fejezetben foglalkozunk. A mechanika egyes terletein alkalmazott absztrakcik, kzeltsek eredmnyeknt ltrejv, a statikban hasznlt nhny alapfogalmat a tovbbiakban foglaljuk ssze.

1.2. A mechanika nhny alapfogalma1.2.1. MOZGS, TR (KOORDINTA-RENDSZEREK), ID

Az anyagi testek mechanikai mozgst (nyugalmt) csak egy msik anyagitesthez - vonatkoztatsi rendszerhez - viszonytva tudjuk lerni. A mszaki mechanika az anyagra pl tr leegyszerstett, de matematikai eszkzkkel knnyen lerhat modelljt, az euklideszi teret hasznlja. A tr lersra - anyagi testhez kttt - koordinta-rendszer szolgl. A testek mozgst (nyugalmt) leggyakrabban Descartes-fle, derkszg xyz koordinta-rendszerben vizsgljuk. A valsgban a jelensgek objektv sorrendben, idben zajlanak le, amelyet a mszaki mechanikban - a trbeli vonatkoztatsi rendszertl fuggetlennek tekintnk. Egyidej jelensgek azonos "Idpontban" kvetkeznek be. Az idpon tok s a vals szmok kztt klcsnsen egyrtelm megfeleltetst hozunk ltre, korbbi idpontnak kisebb, ksbbi idpontnak nagyobb szm felel meg. Ezt egy idbeli vonatkoztatsi rendszernek tekintjk. Valamennyi idin tervallumhoz a kezdeti s vgs idpontnak megfelel vals szmok klnbsge- mint mrszm- rendelhet. Teht sszefoglalva: az anyagi testek mechanikai mozgst (nyugalmt) egy egymstl fggetlen trbeli s egy idbeli vonatkoztatsi rendszerben hatrozzuk meg.

34

J. Modellalkots, alapfogalmak, aximk

1.2.2. HELYZET, SZABADSGFOK Egy anyagi pont helyzett a trben hrom koordintjval, azaz egy helyvektorral adhatjuk meg (1. 6. a. bra): r

= xi + yj + zk .

Egy anyagi test helyzetnek meghatrozshoz mr tbb skalr adatra van szksgnk (1. 6. b. bra). Az anyagi test egyik (tetszleges) A pontjt az elzekhez hasonlan hrom adattal, az r A helyvektorral hatrozhatjuk meg. Ennek rgztse utn, e krl a test tetszleges B pontja egy gmbfelleten mozoghat el. Helyzett ezen a gmbfelleten jabb kt adattal (lsd Fld hosszsgi s szlessgi krei) llapthatjuk meg. Az A s B pont rgztse utn a test tetszleges, (nem A s B egyenesbe es) C pontja mr csak egy krplyn mozdulhat el, ahol helyzett egyetlen szggel hatrozhatjuk meg. Azaz sszessgben a merev test helyzett 3 + 2 + l = 6 skalris adattal ad-, hatjuk meg a trben. Ezt a helyzetmeghatrozst mskppen is megfogalmazhatjuk. Egy testet egy meghatrozott helyzetbl egy tetszleges msik helyzetbe gy is eljuttathatunk, hogy x, y, z tengelyek mentn elmozdtjuk (transzlci) s az x, y, z tengelyek krl elfordtjuk (rotci) (1. 6. c bra). Ez kln-kln hrom adatot jelent, azaz gy is hat skalr adattal hatrozhatjuk meg a test j helyzett

/Definci: Azonfggetlen skalr adatok szmt, amelyek egy test vagy szerkezet helyzett egyrtelmen meghatrozzk szabadsgfoknak nevezzk.Az albbi tblzat foglalja ssze az Sk Anyagi pont Anyagi test 2 33 6egyszer

alakzatok szabadsgfokt.

Ha az anyagi test csak egy skkal prhuzamosan mozdulhat el, helyzett egy pontjnak kt (x, y) koordintjval s a test z tengely krli szgelfordulsval hatrozhatjuk meg (1. 6. d bra).

1.2. A mechanika nhny alapjogalma

35

x

---. ia.

x

z

b.

z c.1.6. bra

d.

x

1.2.3. HELYZET, SEBESSG, GYORSULS

A test helyzetnek meghatrozsa utn helyzetnek megvltozst IS defimlni kell. Erre tallta ki a gondolkod ember a sebessg s a gyorsuls fogaimt. Ezeket egyetlen pont mozgsra hatrozzuk meg. Sebessg az egysgnyi idhz tartoz helyzetmegvltozas (1. 7.a. bra). Az anyagi pont helyzett az r(to) adta meg egy to idpillanatban, akkor a helyzetmegvltozs

L1r = r(t) - r(to).

36

l. Modellalkots, alapfogalmak, aximk

~vxa.1.7. bra

~~v(t)

z

b.

A sebessg teht (tlagsebessg): v(t):::: r(t) -r(t 0 ) = .6.r. t- t0 .6.t Ez akkor is igaz kell legyen, ha .6.t brmilyen kis mennyisg:v(ta)

M->O

lim .6.r =dr Llf dt '

ahol lim (limesz) azt a hatrrtket jelenti, amikor .6.t minden hatron tlM->0

tart a nullhoz. Ez a differencilhnyados defincija. Teht a sebessg a helyvektor id szerinti els differencilhnyadosa. A defincibl kvetkez en a v irnya a P 0 pontban a plyhoz hzott rint, mivel ha t -7 t0-hoz P tart a P 0-hoz s a hr a grbe P 0-beli rintjbe megy t. A gyorsuls az egysgnyi idhz tartoz sebessgvltozs. Az elzhz hasonl gondolatmenet alapjn (J. 7. b. bra):a(t0 ) =Inn-=-. M->0 Llf dt

.

.6.v

dv

Teht a sebessg s a gyorsuls is vektormennyisg.

1.2. A mechanika nhny alapjogalma

37

1.2.4. TMEG, ER Ezt a kt fogalmat egytt kell definilnunk, ugyanis szoros sszefuggsben vannak egymssal. Az elzekben mondottak szerint az er testek mechanikai klcsnhatsnak mrtke. Ezt a mrtket szmszeren Newton II. aximja adja meg.

/Definci: Egysgnyi (l N) az az er, mely az l kg (anyagi pontot) l m/s2 gyorsulssal mozgatja:

tmeg testet

F=ma.A Newton-axima mskppen azt llaptja meg, hogy a test slypontjnak (anyagi pont) gyorsulsa s a testre hat er egymssal arnyos mennyisgek. Ebbl kvetkezen az er is - mivel a gyorsuls ponthoz kttt vektormennyisg - helyhez kttt, vektormennyisg, melyet tmadspontJa s vektora (nagysga, irnya, rtelme) hatroz meg. A koncentrlt er tmad~pontja s irnya egytt az er hatsvonalt hatrozza meg.

/Definci: A testre hat er s az ltala a testen ltrehozott gyorsuls kztti arnyossgi tnyez a test anyagtl fgg mennyisg, melyet tmegnek vagy mskppen a tehetetlensg mrtknek neveznk. Egysgnyi ez az arnyossgi tnyez 106 mm3 (l liter) 4 oc hmrsklet vz esetn.Mindebbl kvetkezen mr a kzpiskolbl megismert Newton II. aximja nem csak trvny, hanem a benne szerepl mennyisgek (er, tmeg) defincija is.

*A tovbbiakban mg szmos alapfogalommal kell megismerkednnk, amit az anyag trgyalsa sorn fogunk definilni. Az egyes fogalmakat, azok jellst s alapdimenzijt a iggelkben foglaltuk ssze.

38

l. Modellalkots, alapjogalmak, aximk

1.3. A statikban hasznlt aximk s mdszerekAz elzekben felsorolt nhny alapmodell s alapfogalom meghatrozsa utn ismteljk meg a kzpiskolbl ismert azon aximkat, melyekre minden tovbbi eredmnynket pteni fogjuk. Axima alapigazsgot jelent, olyan trvnyt, melyet bizonytani nem tudunk. Igazsga a mindennapi tapasztalatbl, a termszet megfigyelsbl addik. Ezekre a kzpiskolban mr megismert Newton-aximkra ptjk a statika minden tovbbi ttelt. Newton (1642-1727) a "Principia" cm munkjban rta le zsenilis eredmnyeit kornak stlusban s annak ismeretei szerint. Truesdell azt mondta, hogy a "Principia" nem Biblia: csodlni kell, de nem eskdni r. Ezrt mi sem a newtoni megfogalmazsban, hanem a ksbbi korok tfogalmazsban s elssorban az eredmnyeit figyelembe veven adjuk kzre az aximkat. Az utdok feladata volt ugyanis "olyan formba nteni a newtoni egyenleteket, pontosabban olyan' egyenletekbe nteni a newtoni gondolatokat, hogy az analzis megtanulhat mdszereivel brki ltal kezelhetk legyenek" (Simonyi). Euler (1707-1783) volt az, aki tbb-kevsb a ma is hasznlatos formban fogalmazta meg az aximkat. Newton testrl beszl, Euler anyagi pontrl. mr tudja, hogy az aximk brmely anyagi rszecskre, vagy az anyagi test slypontjra igazak. I. Axima (Newton I. aximja, a tehetetlensg elve): Az anyagi pont termszetes llapota az egyenes vonal egyenletes mozgs. Amg r er nem hat megtar~ja ezt a mozgsllapott. Erlf teht a mozgsllapot megvltoztatshoz, nem pedig annak fenntartshoz kell.

Mint ahogy azonban az 1.2.1. pontban megllaptottuk, a mozgst csak valamilyen testekhez kttt vonatkoztatsi rendszerben tudjuk rtelmezni. ppen ezrt az els axima pontos megfogalmazshoz meg kell adnunk azokat a vonatkoztatsi rendszereket, melyekben ez az elv igaz. A tapasztalat szerint vannak ilyen rendszerek. Pldul a Naphoz s az llcsillagokhoz kttt koordinta-rendszerek ilyenek, mivel tvol vannak minden ms testtl, gy er nem hat rjuk.

1.3. A statikban hasznltaximk s mdszerek

39

/Definci: Inerciarendszernek never.zk azt, amelyben n,nyesek az aximk. A Naphoz s az llcsillagokhoz kttt vonatkoztatsi rendszereket mrsek alapjn inerciarendszereknek tekinthe~jk. Ezekben rvnyesek az aximk. A mszaki gyakorlat szmra bizonyos kzeltssel a Fldhz kttt vonatkoztatsi rendszereket is inerciarendszereknek tekinthetjk. Ez utbbi llts magyarzatra azonban a kinetika trgyalsnl trnk ki. Az els axima pontos megfogalmazsa gy hangzik: Vannak olyan vonatkoztatsi rendszerek, melyekben az anyagi pontok mindaddig megtartjk nyugalmi, vagy egyenesvonal egyenletes mozgsi llapotukat, mg kls er nem hat rjuk. A mechanika alapfeladata annak megllaptsa, hogyan vltozik meg a testek mozgsllapota kls er hatsra. Ezt fogalmazza meg Newton II. aximja. II Axima (Newton II. axwmja, a mozgstrvny): Minden anyagi rsz gyorsulsa egyenesen arnyos a r hat ervel, ahol az arnyossgi tnyez a test tmege:F=ma.

(l. l)

Ez az axima olyan anyagi pontnak modellezhet testre igaz, melynek gyorsulsa egyetlen adattal megadhat. Ez az axima csak olyan mozgsoknl ll fenn, melyek sebessge a fnysebessghez kpest kicsiny. A mszaki gyakorlat szmra ezrt ez az axima valban alapigazsgot jelent. III. Axima (Newton III. aximja, a hats s ellenhats trvnye): A klcsnhatsba kerlt testek ert gyakorolnak egymsreL Ezen testek brmely klcsnhatsba kerlt pon~jn fellp er'k egyenl nagyok, hatsvonaluk egy egyenesbe esik, rtelmk ellenttes (1.8.a. b. bra): (1.2)

40

l. lvfodellalkots, alapjogalmak, aximk

IV. Axima: (Newton IV. aximJa, az erk fggetlensgnek elve): A merev ill. rugalmas anyag testek klcsnitatsa sorn fellp er'k ItatsuL 3. kat egymstl fggetlenl fejtik ki.2.

a.

Mskppen megfogalmazva: valamely errendszerbl szrmaz hatsok szmthatk gy, mint az errend szert alkot erkbl szrmaz hatsok sszege. Ezt a szuperpozci elvnek is szoktk nevezni. V. Axima (az ltalnos tmegvonzs elve): Minden tmeg minden tmegre Itatssal van, vonzert fejt ki. Ez az er a kt tmegkzppontot sszekt egyenes irnyba mutat, nagysga egyenesen arnyos a tmegek nagysgval s fordtottan a tmegek tvolsgnak ngyzetvel

A mszaki gyakorlatban elfordul testek tmegei kicsik. Ezrt az egymsra kifejtett tmegvonzsuk nagysga elhanyagolhat a testek kztt fellp egyb erhatsok, a Fld hatsa mellett. A Fld kzel gmb alak, ezrt a testekre gyakorolt tmegvonzsa kzel lland. A Fld tmegvonzsa ltal ltrehozott gyorsulst, a gravitcis gyorsulst g = 9,81 m/s2 nagysgnak vesszk s irnyt a Fld kzppontja fel mutatnak. Ezt mrssel hatroztk meg. A Nap s a Hold hatst a nagy tvolsguk miatt a berendezseinkben lv anyagi testekre szintn elhanyagoljuk. Az ltalnos tmegvonzs ltezsnek felismerse szmtn Newton nevhez fzdik. Br ezt nem szoktk az rodalomban gy emlegetm, mint Newton tdik aximjt vagy trvnyt. A tovbbiakban egy mdszert emltnk mg meg, melyet a mechanikban gyakran alkalmazunk. tmetszs mdszere: A III. axima, a klcsnhats trvnye rtelmben az erk kt test kztt prosvallpnek fel (1.8.b. bra). Az (1.2.) sszefggst trendezve:

1.3. A statikban hasznalt aximk s mdszerek

41

Figyelembe vve a IV. aximt, az erk filggetlensgnek elvt, ez a kt er a kt testre egytt nem fejt ki hatst. Azaz, ha a kt testet egytt vizsgljuk ezen erkrl nem vesznk tudomst, hatsukat nem tapasztaljuk. Ezt a kt ert a kt test szempontjbl vizsglva n. bels erknek nevezzk. Ezrt csak akkor tudunk meg valamit egy testre, vagy egy szerkezetre hat erkrl, ha a testet (szerkezetet) a krnyezetkbl kivesszk, mgpedig oly mdon, hogy ezt a prosval fellp ert sztvlasztjuk (1.8.a. s c. bra). Ms szval ez azt jelenti, hogy a krnyezet testre (szerkezetre) gyakorolt hatst erkkel helyettestjk, melyet a vizsglt testre (szerkezetre) hat kls erk nek nevezzk. Ezt az eljrst az tmetszs mdszernek nevezzk s voltakppen ez a mechanika egyik legfontosabb vizsglati eljrsa.

*A dinamika teljes trgyalsa sorn a tovbbiakban mindig gy ptjk fel az anyagot, hogy elszr - az anyagi pont, majd - az anyagi test s vgl -a szerkezet (elssorban rudakbl felptett szerkezet) viselkedst vizsgljuk. Vgs clunk a szerkezetek modellezse s mechanikai szmtsa. Amg azonban addig eljutunk, a szerkezeteket felpt elemek mechanikjt kell megismernnk. Ezrt a kvetkezkben elszr az anyagi pont statikjval foglalkozunk.

2. ANYAGI PONT STATIKJA

Az anyagi pontra hat erk mindegyiknek a tmadspontja termszetesen

megegyezik, azonos az anyagi pont helyt meghatroz geometriai ponttal. gy az anyagi pont statikja - matematikai megfogalmazsban - kzs tmadspont errendszerek vizsglatval foglalkozik. Ennek megfelelen tgabb rtelemben akkor is anyagi pontra hat er rendszerrl beszlhetnk, a feladatokat az anyagi pont statikjban tanultak szerint oldhatjuk meg, ha a vizsglt errendszer minden eleme egy test egyetlen (valsgos vagy fiktv) pontjban hat. Egy anyagi pontra vgtelen sokfle errendszer hathat. Ezek hatsa sokfle lehet. Valamennyi hats azonban az anyagi pont elmozdtsi szndkval jellemezhet. Ezt pedig az ervektorokkal rhatjuk le.

/Definci: Az errendszerek egyenrtkek, ha hatsaik azonosak.

/{j}j Ttel: Anyagi pontra hat errendszerek egyenrtksgeAz anyagi pontra hat errendszerek hatsai akkor azonosak, ha az anyagi pontra hat errendszerek ervektorainak sszege megegyezik.lljon az anyagi pontra hat egyik errendszer F 1i (i = l, ... , n) ervekto rokbl, a msik F2j G= l, ... , m) ervektorokbL (2.1. bra) E kt errend szer egyenrtk, ha (2.1)

Bizonyts: A msodik axima rtelmben egy ernek az anyagi pontra elmozdt hatsa van, mely arnyos az ervel. A negyedik axima alapjn ezek a hatsok szszegzdnek ugyanarra az anyagi pontra, melyek az er'k vektoros sszegvel fejezhet'k ki. Az egyik erifrendszer hatsa:

W"

44

2. Anyagi pont statikjan

mai = LFii.i=!

(2.2)

x

z

a.2.1. bram

z

b.

A msik errendszer hatsa:

ma? = L..! -J - ~F?.j= l

Ha a hatsok megegyeznek, az erk sszegei is meg kell egyezzenek:

Ezzel az lltst bizonytottuk (Quod erat demonstrandum: Ami volt bizonyttatott: Q. e. d.)

/Definci: Az errendszerrel egyenrtk errendszerek kzl a legegyszerbbet az errendszer eredjnek nevezzk.Az elbbiek szerint ez az (2.l.b. bra)erk

sszege ltal meghatrozott egyetlen

er

(2 .3)Az anyagi pontra haterrendszer eredje

egy

er,

aminek rtke zrus

IS

lehet.

2.1.

Errendszer eredjnek

meghatrozsi mdszerei

45

/Definci: Azt az errendszert, melynek hatsra az anyagi pont nyugalomban van, egyenslyi errendszemek nevezzk.Feladatunk annak meghatrozsa, hogy az egyenslyi lyen tulajdonsgokkal rendelkezik.errendszer

mi-

1/[J}J Ttel: Statika alaptrvnye anyagi pontraEgy egyenslyi errendszerre fennll a(2 .4)

egyenlet, melyet egyenslyi egyenletnek neveznk.

6b/' Bizonyts: Egy er egy anyagi pontra elmozdt hatst fejt ki. Amennyiben az anyagi pont nyugalomban van az elmozdt hatsok sszege zrus. (Q.e.d.) Ezen logikai bizonyts utn matematikailag is egyszeren belthat a (2.4) egyenlet helyessge. Ha az anyagi pont egy adott inerciarendszerben nyugalomban van, a gyorsulsa zrus. Ebb1 a (2.2) (msodik s negyedik aximbl szrmaz) egyenlet alapjn kvetkezik a fenti lltsunk. Q. e. d.

*sszefoglalva teht lthat, hogy az anyagi pontra hat errendszer eredje vagy egy er vagy egyenslyi errendszer. A msodik az elsnek specilis esete, mgis kln foglalkozunk vele, hiszen a statika a nyugalom feltteleit s okait vizsglja. A tovbbiakban ezrt az ered meghatrozsval, majd az egyensly felttelvel foglalkozunk.

2.1.

Errendszer eredjnek

meghatrozsi mdszerei

Vizsglataink sorn - nem csak itt, hanem a ksbbiekben is - a megoldst szerkesztssel, szmtssal vagy n. grafoanaltikus mdszerrel kereshetjk. A szerkeszts elnye a szemlletessg, a gyorsasg, htrnya viszont a pontatlan eredmny. A szmts elnyei s htrnyai fordtottak. A grafoanaliti-

46

2. Anyagi pont statikja

kus eljrsnl vzlatosan vgrehajtjuk a szerkesztst s a szerkesztett bra alapjn szmolunk. Ezltal a szemlletessg megtarthat s a pontossg sem szenved csorbt. Mgis nem mindig csak ezek a szempontok hatrozzk meg, hogy melyik eljrst alkalmazzuk a megolds sorn. A megoldand mszaki feladat clja s a rendelkezsre ll eszkzk alapveten meghatrozzk a kivlasztand mdszert. Ez mr csak azrt is igaz, mert nem mindig ugyanaz a mdszer vezet a leggyorsabb s legbiztonsgosabb eredmnyre. Ezrt a tovbbiakban tbbfle mdszert ismertetnk a feladatok megoldsra, aminek az is clja, hogy ha az ember nem biztos a megoldsa helyessgben, msik mdszerrel megoldva ellenrizheti azt. Mint az elbbiekben megfogalmaztuk, az anyagi ponton tmad er rendszer eredje (2.l.b. bra):

Vizsgljuk most ennek meghatrozsi mdjait !2.1.1. ANYAGI PONTRA HAT SKBELI ERRENDSZER EREDJNEK MEGHATROZSA SZERKESZTSSEL

Kt er sszegt a kzpiskolban tanultak szennt az n. parallelogrammaszably felhasznlsval kapjuk meg (2.2.a. bra). (Egy-egy ervektort megfelel lptk felvtele utn -egy szakasszal clszer jellemezni, mely annak irnyt s nagysgt adja, s a szakasz kzepre helyezett nyllal hatrozhatjuk meg annak rtelmt.) Hrom er sszegzsnl is ezt az eljrst kvethetjk lpsenknt ktkt ert sszeadva.

ahol

2.1.

Errendszer eredjnek

meghatrozsi mdszerei

47

Elszr teht az F 1 s F 2 ervektorok sszegt kpezzk (helyettestjk azokat a velk egyenrtk F 12 ervel), majd ehhez hozzadjuk az F 3 er-

Y

y

c c

xa.b.i2 redukljuk az errendszert egy clszeren vlasztott pontba; => a reduklt errendszer alapjn meghatrozzuk az eredt.3.2. Plda: Adott az a, b oldalhosszsg tglatest (3.13. bra), melyet Fi skbeli errendszer terhel. Hatrozzuk meg az eredt! Adatok: a 6 m, b = 3 m; JF1j = JF3 J=2 kN; JF2 J= JF4 J=3 kN; a1 = 60; a2100; a3 =45; JM 1 J=5 kNm.

a/4b

a/2

a/2

l b/2x

J

o3.13. bra

Megolds szmtssal: Redukljuk az errendszert a felvett .xy koordintarendszer kezdpontjba. Elszr az erk sszegt szmtjuk ki:}: =

.IFix = -JF Jcosa1

1

+JF2 Jcosa 2 +JF3 J+JF4 Jcosa 3 =

=-2 cos60 + 3cos100 +2+ 3cos45 = 2,600 kN,

3.2. Skbeli erarendszer eredoje

97

FY = }2F;Y = -IF1Isina 1 +IF2 Isina 2 -IF4 Isina 3 == -2sn60 + 3sin100 -3sm45 =- 0,899 kN.Azerk

sszege nem zrus, gy az

ered

egy er lesz. Ennek nagysga:

F = ~Fx + F/ = ~2,6 + (-0,899irnyszge az x tengelyhez:

-

2

2

f = 2,751kN,

F, -O 899 ' = -19 . Fx 2,600 Mg a hatsvonalnak a helyt, pldul az x tengellyel val metszspontjt kell meghatrozni. Az errendszer O pontra vonatkoz nyomatknak nagysga s rtelme:

a = arctan-> = arctan

M 0 = M 1 - : IF1 Isina 1 +biF11cosa 1 -biF2 1cosa 2

+aiF2 Isina 2

~ IF 1 ~ IF 1sma3 4

3

=

6 . " = - 5 --2 sm 600 +_,2 cos 60o 33cos100 + 4 3 +6 3sin100- 2 -~3sin45 = 5,327 kNm. 2 2

Teht az O pontba reduklt errendszer (3.14. bra): F=2,6i-0,899j (kN], M 0 = 5,327k [kNm].Azered

Fexx

3.14. bra

az eredeti illetve a reduklt errendszerrel egyenrtk egyetlen Fe=Fo er. Ennek teht az O pontra a nyomatka az eredeti errendszer O pontra vonatkoztatott M 0 nyomatkval kell egyezzen. A 3.14. bra szerint:

amibl:

x0

-

_ M0 Fey

_ -

M0 Fy

_ -

5,327 __ ? 5, 9~ 5 m. -0,899

Ellenrzs

szerkesztssel: Clszersgi okokbl elszr az M 1 nyomatkvektort helyettestsk egy F 3 = F 3, -F3* er prral, a -F3 hatsvonalt az F 3 er hatsvonalba helyezve. Ekkor az erpr k karja (3.15. bra):

Ay

b.3.15. bra

Az F 3, -F3 erk egyenslyi errendszert alkotnak, gy a tovbbi szmtsbl kiesnek. Ezzel az t elembl ll errendszer ngy elemv (F 1, F 2, F 3*, F 4) cskkent. Most helyettestsk az F 2 s F 3* erket azok eredjveL A 3.15.b. bra szennt ennek nagysgt, irnyt rtelmt az F 23 adja, hatsvonala pedig tmegy az F 2 s F 3* erk hatsvonalnak A metszspontjn. Az errend szer most mr csak az F 1 F 23 s F 4 erkbl ll. Az F23 s F4 erk eredjt , szerkesszk most meg. Az F 234 rszered vektort a vektorbra megadja, hatsvonala pedig tmegy a szerkezeti bra B pontjn. Vgl az F234 s F1 erk

3.2. Skbeli

errendszer eredje

99

eredje az egsz errendszer eredjt szolgltatja. Ennek nagysgt, irnyt s rtelmt a vektorbrbl olvashatjuk le:

Az ered hatsvonalnak s az x tengelynek az xo metszspontjt pedig a szerkezeti bra adja: x 0 5,8 m.

3.3. Plda: Adott egy ngy erbl ll errendszer (3.16. bra). Adatok: a = 2 m, IF1 1 = 3 kN;

IF21 = 3 kN ; IF31 = 4 kN ; IF41 = 7 kN; a1 = 60 ; a 2 = 60 . Hatrozzuk meg azerrendszer eredjt!

x3.16. bra

...

Megolds szmtssal: Az O pontba redukljuk az errendszert:

Mivel az erk sszege zrus, az ered vagy egy erpr vagy egyenslyi rendszer. Az errendszer O pontra vonatkoz nyomatka:

er

M0

= -aiF1 icosa 1 -aiF2icosa 2

aiF2Isina 2 + ~ IF41=

2 =-2 3 cos60 -2 3cos60- 2 3sin60 + 7= -4,196 kNm. 2

Az errendszer eredje teht egy erpr:M 0 = -4,196 k [kNm].

100Ellenrzs

3. lvferev test statikja

szerkesztssel: A 3.17. b. bra szerint

elszr

az F 2 s F 3 vektor

k

-4

Fl23

Ab.3.17. braeredjt hatrozzuk meg, melynek hatsvonala tmegy az F2 s F3 hatsvonalainak A metszspontjn (3.17.a. bra). Az F 23 rszered s az F2 s F1 er eredjt szerkeszthetjk meg ez utn. Az F123 rszered er azonos nagysgra, megegyez irnyra s ellenkez rtelmre addott, mint az F 4 er, gy ezek egy erprt alkotnak, mely hatsvonalainak k tvolsga a 3.17.a. szerkezeti brbl:

k= 0,6 m.

gy az ered erpr a szerkesztsbl:

FELADATOK:3.4. Egy G = 185 N sly hajtmre kt nyomatk hat: 11=10Nm, 2 1=5Nm.

IM

IM

Hatrozza meg a hrom elembl ll rendszer eredjt! (d1 = 180 mm, d2 = 150 mm)d,

er

x

F3.4. bra

3.5. Egy lemezre skbeli errendszer hat az F.3.5. bra szerint: IF1 1=250N; IF2 1=120N; IF3 1=150N;

3.2. S'kbeli

errendszer eredje

101

IMa1

1

1

= 12 Nm; a= 50 mm; b = l 00 mm; c = 8 mm; d= 25 mm; l= 136 mm;eredjt,

35; a 2 = 65. Hatrozza meg az errendszer az xy koordinta-rendszerhez viszonytva!

s adja azt meg

a

F.3.5. bra

xd F.3.6. bra ..1

3.6. Egy oszlopra (F.3.6. bra) skbeh errend szer hat. a = 3 m ' d = 5 m' IFl l= 3' 75 kN ' IF2 1= IF3 1= 4,25 kN;errendszer eredjt!

F4x =

-3,70 kN;

F4y

= -2,38 kN. Hatrozza meg az

3. 7. Egy trapz alak lemezre skbeh rendszer hat az F. 3. 7. bra szerint:IF[ l = 400 N ; IF21 = 500 N ; IF31 =700 N; IF41 =300 N; IFsl =200 N; a1 30; a 2 45;

er

b

a3 60 ; a = 450 mm; b = 350 mm; c = 250 mm. Hatrozza meg az errend szer eredjt, s adja azt meg az xy koordinta-rendszerben!

xr-----=a----.F4F.3. 7. bra

L.3. Tovbbi gyakorlshoz rendelkezsre ll a mellkelt lemezen lv kt programcsomag is. A harmadik menpont szerinti, "Skban sztszrt errendszer eredje" cm programban klnbz skbeli testekre hat, klnbz szm erk eredjnek meghatrozst gya-

102

korolhatja. A program kvnsgra bemutatja a megoldst szerkesztssel s a numerikus eredmnyeket is megadja. Negyven klnbz bra mindegyikn ezer klnbz szmadattal lehetsges feladatokat krni. L.5. Az tdik menpont szerinti "Skban terhelt trtvonal tartk tmaszteri" cm program ugyancsak meghatrozza a tartra hat errendszer eredjt is. Ezekben az errendszerekben erprok is szerepelnek, egybknt a harmadik menpont szerinti eredmnyek ellenrizhetk itt is. 3.2.5. SKBELI PRHUZAMOS ERRENDSZEREREDJE 3.2.5.1. Azered

szmtsa

A skban sztszrt errendszernl meghatrozott mdszert itt is igen egyszeren alkalmazhatjuk. St mg egyszerbben, mivel az ered irnya prhuzamos az errendszert alkot erk hatsvonalvaL gy az errendszer eredjt nagysgval s hatsvonalnak helyt kijell egyetlen koordintval megadhatjuk y~ Legyen adott a 3.18.a. bra szerinti n elembl ll pr.. huzamos errendx x szer. A clszeren felvett koordinta3.18.a. bra 3.18.b. bra rendszerben az erk

alakban adhatk meg, ahol F,-ok eljeles mennyisgek, az erk nagysgt s rtelmt adjk meg. Az ered szmtshoz elszr az erk sszegt hatrozzuk meg:n

Fe

F"j =i=!

Fi

= J~: F;y .i=!

(3.12)

3.2. Skbeli

errendszer eredje

103

Amennyiben ez zrus vektort ad, az ered vagy egy erpr, vagy egy egyenslyi errendszer. Ezutn brmely pontra kiszmtva az errendszer nyomatkt:11

Mo

kLx;F;y'i=2

(3.13)

ha nulla vektort kapunk egyenslyi errendszer az ered, egybknt az gy kapott Mo erpr. Ha a (3.12) sszefggssei zrustl klnbz vektort kapunk, az ered - az elzekben bizonytottak szerint - biztosan egy er a 3.18. b. bra szennt. Nagysgt s rtelmt a (3 .12) sszefggssei meghatrozott Fe adja, irnya termszetesen j irny. A hatsvonal x0 koordintval meghatrozott helyt az errendszerek egyenrtksgt meghatroz msik, (3.13) sszefggsbl hatrozhatjuk meg. Akkor egyenrtk az eredeti errendszer s az ered, ha mg egy tetszleges, pl. O pontra szmtott nyomatkuk megegyezik, azaz

Ebbl,

figyelembe vve (3.12)-t az

ered

helye: (3.14)

3.4. Plda: Adott a 3.19. bra szerinti errend szer. a = 2 m' b = 3 m' c = l m' F ly = -400 N' F2y = - 800 N; F 3y = 600 N; F4y = - 1000 N; Fsy =400 N. Hatrozza meg az errendszer eredjt! Megolds: A szmtst tblzatos formban clszer elvgezni.

r r rrrl 1 1

l"" "'l"'"

a

'l

l

b

,c ic l "'10!111 "'l'/ l

l

;

i

3.19. bra

104

3. lvferev test statikja

A tblzat alapjn

i

Fiv

[N]

xi [m]

xl'iv[Nml

F =-l 200j [N] s

l

:Lx;F; -===--- = -1800 = l ,5 m :LF: -12oo

2,.,.)

4522

-400 -800 600 -1000 400 -1200

o25

o-1600 3000 -600 0 280 0 -1800

67

3 .2. 5 .2. Ktlsokszg-szerkeszts Mint lttuk, a prhuzamos errendszer eredjnek szmtsa a skban sztszrt errendszernl alkalmazottak egy specilis esete. A szerkesztsnl azonban nem lehet kzvetlenl alkalmazni az ott lert mdszereket, hiszen rszeredket nem tudunk meghatrozni, mivel a hatsvonalaknak a vgesben nincs metszspontjuk. Ahhoz, hogy a feladatot visszavezessk a rszered sokszg szerkesztsre egy egyenslyi errendszert adunk a vizsglt prhuzamos errendszerhez. Ekkor az egyenrtk errendszereknl kimondott ttel szerint, az errendszer az eredetivel egyenrtk marad. Evvel a specilis esetet ltalnos esett alaktjuk. (3.20. bra). A konkrt megoldsi mdszert egy plda keretben mutatjuk be, majd ebbllevonjuk az ltalnosthat kvetkeztetseket. 3.5. Plda: Vizsgljuk a 3.4. pldban megadott errendszert! Hatrozzuk meg az eredt szerkesztssel! Megolds: A 3.20. brn bemutatottak szennt kiegsztettk az eredeti errendszert egy Ko, -Ko erkbl ll egyenslyi errendszerret Ezzel az ered nem vltozik, de az errendszer ltalnoss vlik. gy mr kpezhet a Ko s F1 erk K 1 rszeredje, amit a vektorbrn megszerkesztnk s a szerkezeti brn a kt er hatsvonalnak metszspontjba felrajzolunk Ezek utn rendre megszerkeszthetjk a K 1 s F 2 rszeredjt (K2), majd a tbbi rszeredt A szerkesztsnl a vektorbrt az "e" egyenes hatsvonalba rajzoltuk, teht a rszeredk vgpontjai is ide mutatnak. A vektorok nagysgnak s egymsutnisgnak a szemlltetse rdekben azonban nhny egybees vektort az egyenes mell rajzoltunk be. A szerkesztst lpsrl lpsre

3.2. Skbeli

errendszer eredje

105

kvetve lthatjuk, hogy a K 0, F 1, F2, F 3, F 4, F 5 erk sszege a K 5 rszeredt szolgltatja. A teljes errendszerbl mr csaka-K0-t nem vettk figyelembe.

e\

\c ol

yt

am=;:Q

b

i

e

3.20. bra

A Ks erhz a -Ko-t hozzadva megkapjuk az Fe ered t. Ez geometriailag a vektorbrn a kzvetlenl megraJzolt erk sszegnek -Ko irnyba nmagval prhuzamosan eltolt vektoraknt addik. A szerkezeti brn pedig a Ks s a -K0 (illetve a vele azonos hatsvonal Ko) hatsvonalainak metszspontjba rajzolhat be az Fe ered. Ezzel az ered vektort s hatsvonalt is megszerkesztettk.

*Foglaljuk ssze a pldamegolds tanulsgait! Elszr is nhny elnevezst rgztsnk! Az egsz szerkesztsi eljrst ktlsokszg-szerkesztsnek nevezzk. Ez onnan ered, hogy a koncentrlt erkkel terhelt ktl egy lehetsges alakjt a rszeredk hatsvonalainak sokszge adja. Ezt majd a ktl trgyalsnl a 4. fejezetben bizonytjuk ppen ezrt ezeket az er hatsvonalakat ktloldalaknak, a vektorbra Ko, K 1, ... , erit pedig

106ktlerknek rszered

3. lvferev test statikja

nevezzk. A hatsvonala az els, az utols ert kvet hatsvonala (esetnkben K 5) az utols ktloldaL A ktlsokszgszerkeszts lpsei - az elz logika alapjn - a kvetkezkben foglalhatk ssze: =:). a vektorsokszg megrajzolsval megszerkesztjk az Fe ered vektort; =:). a vektorbra mell felvesznk egy tetszleges C pluspontot (ezzel jelljk ki a Ko vektort); =:). rendre az erk vgpontjaihoz a plusbl megrajzoljuk a ktlerket s jellelltjuk el azokat (Ki), de a ksbbiekben K el is hagyhat s csak egy szmmal jelljk a megfelel ktlerket s ktloldalakat); =:). a ktlerkkel prhuzamosan a szerkezeti brba megrajzoljuk a ktloldalakat gy, hogy a vektorbrn kt er kztti ktlerhz tartoz ktloldal a szerkezeti brban ugyanazon kt er kztt helyezkedjen el, s a ktloldalak egy szakadsmentes sokszget alkossanak; =:). az els s utols ktloldal metszspontja kijelli az ered hatsvonalnak egy pontjt, azaz ezen t az ered vektora megrajzolhat. Amennyiben a vektorbra az els lpsben zrt vektorsokszget alkot (teht az errendszer eredje erpr vagy egyenslyi errendszer), az els s utols ktler egybeesik, gy az els s utols ktloldal prhuzamos vagy az is egybeesik. Vizsgljuk meg ezt a kt esetet a kvetkez kt pldn!

3.6. Plda: A 3.2l.a. brn bemutatott errendszer adatai: a = l m; b= 4,1 m; F1y =5 kN; F2y =-4 kN; F3y =-6 kN; F4y =-2 kN; Fsy =7 kN. Szerkesszk meg az eredt! Megolds: A szerkezeti brba megfelelen megvlasztott hosszlptk alkalmazsval megrajzoljuk az errendszert. Egy clszeren megvlasztott erlptk felhasznlsval megraJzoljuk a vektorbrt (3. 21. b. bra). A vektorbra megrajzolsnl most jrjunk gy el, hogy egymst kveten elszr egyik rtelemben mutat erket, majd az ezzel ellenttes rtelm erket sszegezzk (F2+F3+F4+F 5+F 1). A vektorok sszeadsnak kommutativitsa miatt ez megtehet s gy a vektorbra s a szerkezeti bra is ttekinthetbb lesz. Termszetesen a vektorokat ms sorrendben is sszegezhetjk. A plusbl felvett ktlerk kzl most az els, az F2 eltti (Ko) s az

3.2. Sikbelia

errendszer eredje

107

1-

o

. l" ai a l F, F, F.

b

Fttt! :l\ =i1 8

F,

\q

e

1 4

1

3.21. bra

utols, az F 1 utni (K5) egybeesik. Az elzeknek megfelel mdon megrajzolt ktloldalak kzl a K 4 az F 5 s az F 1 erk kztt van, ezrt az ersz szegzs sorrendjben jobbrl balra kell megrajzolni, s ezutn az F 1 utni utols ktloldalt Ez termszetesen prhuzamos a rszered szmtsban mg figyelembe nem vett -K0 hatsvonalval, azzal azonos nagysg, de ellenttes rtelm. Ennek megfelelen az ered a K 5 s -K0-bl ll erpr. Ennek nagysgt az erlptkben leolvasott Ko er nagysgbl s a szerkezeti brban hosszlptkben leolvasott k erkar szorzatbl szmtjuk: k = 5,8 m; Ko= 4,8 kN; Me= 27,8 kNm. Az ered nyomatkvektor irnya a rajz skjra merleges s kifel mutat.3. 7. Plda: A 3.22. brn bemutatott errendszer adatai: a= 2m; b= 3 m; c= l m, F ly = -5 kN, F 2y = 9 kN-, p, = -6 kN, F 4y =2 kN S7erkess-k meg JY ;,:, az eredt! Megolds: Itt is hasonlkppen jrunk el, mint az elz pldban. A ktloldalak megrajzolsnl vigyzni kell arra, hogy pldul a K1-es ktloldal az F 1 s F 3 er hatsvonalakztt van. Az utols, ~ ktloldal az F2 er utn van s egybeesik Ko ktloldallaL Az ilyen ktlsokszget zrtnak nevezzk, mivel az els s utols ktloldal egybeesik. Ez azt jelenti, hogy az utols, ~ rszered, s a -Ko vektor eredje adja. Ezek pedig azonos nagysg, ellenttes rtelm, azonos hatsvonal erk, azaz egyenslyi errendszert alkotnak. T eht az errendszer egyenslyi.

108

3. lvferev test statikja

ej

3.22. bra

*sszefoglalva megllapthatjuk, hogy az ersokszg s a ktlsokszg egyrtelmen meghatrozza az eredt az albbiak szerint:Ersokszg

nyitott zrt zrt

Ktlsokszg nyitott nyitott zrt

Ered er

erpr

egyensly

Megjegyezzk mg, hogy ha egy feladatot szerkesztssel kvnunk megoldani, a ktlsokszg-szerkeszts mdszert clszer minden olyan esetben alkalmazni, amikor az errendszer hatsvonalai a raJzon nem vagy csak kis szgben metszdnek.

FELADATOK 3.8. Hatrozza meg szmtssal s szerkesztssel az brn lthat errendszer ereg_it! Adja meg az eredt az xy kordinta-rendszerben!

xF.3.8. bra

3.2. Skbeli

errendszer eredje

109

Adatok: F 1 =-70 N; F 2 = 10 N; F 3y y y 3.9. Mi lesz az brn megadott

-30 N; a= l m.

~~;i;~fR t~:: 6~~:~3.10. Hatrozza meg az brn megadott skbeli prhuzamos errendszer eredjt! Adatok: F1y = 4 kN; F2y = -4 kN; F3y = 6 kN; F 4y = -2 kN; F Sy = 8 kN-' a = l m, b = 4 m' c= 2,5 m. 3.11. Az F.3.11. brn az ismert Fb F2, F3, F4, Fs erkbl ll skbeli prhuzamos er rendszert tntettnk fel. Hatrozza meg az errendszer eredjt!

Adatok:

errendszer eredje? F 1y = -90 N;

Yl\

a

1 t tb

Ft\

F2

F,

b

F.3.9. bra

+F4

c

x

Y!

rr r r cll x

b

c

l

""'l

F.3.10. bra

rb

F,lbl

F,Llx

Adatok: F2y =

-1200 N; F1y=F5y= 600 N; F3y = 1200 N; a= 2m; b=4m.F4y =

""i"""F.3.1J. bra

""l""' a.,.b

lYl

aF2

b

3.12. Adott az F 3.12. brn megadott merev testre hat skbeli prhuzamos er rendszer. Hatrozza meg az F er nagysgt, rtelmt s helyt, hogy az errendszer egyenslyban legyen! Ft Adatok: F 1y = F 4y = 3 kN; F2y = F3y = -8 kN; a= 3 m; b = 2 m.

F3

x

x

FF. 3.12. bra

F,

110

3. Nierev test statikja

3.2.6. VONAL MENTN MEGOSZL ERRENDSZER EREDJEA skbeli prhuzamos errendszerek msik esete a vonal mentn megoszl errendszer (3.23. bra). Itt a vonal mentn az er q [N/m] intenzitsa vltozhat, de irnya nem. Ugyanakkor az irny az x tengellyel tetszleges szget is bezrhat (3. 23. b. bra). A dx szakaszon hat errendszer eredje: dFq

=q( x)dx.

a.

gy kpzelhet el ez a prhuzax mos errendszer, mint a dFq koncentrlt erk rendszere. Az el zek szerint az ered vektora az erk sszegbl hatrozhat meg:Fqx ahol

=J q(x)dx,o

l

(3.15)

q(x)= iq(x )cosa + jq(x )sina.Az ered hatsvonalnak helye pedig az O pontra szmtott nyomatkok azonossgbl addik. A megoszl errendszer dFq = id.Fqx + jd.Fqy3. . a ra 23 'b

elemnek nyomatka az O pontra:

dM 0

= kxd.Fqy .

Az errendszer nyomatka a nyomatkok sszegzsbL

M 0 = k xq(x )sina dx.o

J

l

Az

ered

F q er nyomatka pedig

lll

Az azonossgbl az

ered

hatsvonalnak helye:l

x

Jxq(x )sina dx=....::._ _ _ __

o

Fqy

(3.16)

Nhny specilis esetre elvgezve az integrlst az eredmnyeket a tloldali tblzatban foglaltuk ssze. Megjegyezzk, hogy sokszor clszer a terhelsi :fuggvnyt rszekre bontani s ezek eredjt meghatrozni. Ezt tettk a harmadik (nem orign tmen egyenes) s a hatodik (nem x tengellyel prhuzamos rintj parabola) esetben. ~~ 3.8. Plda: A 3.24. bra szerinti rdo nak modellezett b szlessg zsilipka\J pura kt oldalrl ms-ms vzmagas~ sgbl add terhels mkdik. Adap \J tok: l= 1,5 m; h 1 = l m; h 2 = 0,8 m; l b= 1,5 m, p= 103 kg/m3 . Hatrozzuk p hl meg a zsilipkapura hat vznyomsbl h, add erk eredjt! A p.,.. Megolds: A hidrosztatikus nyo:0 ms3.24. bra

1121 .. .

3. lvferev test statikja

terhelsi fggvnyl!

Fq

xo l -

y'!loml

F,il q.t lx.

-rl

xi

-qol

2

'!~x.l!l

ql __o_x

2! 3

2

YA

~ ~l tq, F~i ~!~l

F,~

_ _l_

ql

Y

!: iil

!

~ x,

r "'l

! ll

x_

2 ql _L 2

l x=l3

Jll

x2 = -

2!3

l

y

--* 'x.ll

ql __o_x

3! 4

3

l

~tq.:F ~ lq

J

_2qo_ _lx

3! 8

~l

3

ll

q,t

\t~?! q.!x,

F~~F,,

ql __o_.2 ' 2q/3

2! x2 = l x=l 2

3 '

lt

x,l

3.2. Skbeli

errendszer

113

ahol Y i a vzfelszntl mrt fuggleges koordinta (3. 25. bra). Ezen koordinta menti, egysgnyi hosszra vonatkoz, vonal mentn megoszl terhelst a "b" kapuszlessggel val szorzssal kapjuk:

Az egyes megoszl terhelsek bra):

eredjnek

nagysga (lsd tblzat s 3.25.

hatsvonaluk tvolsga az x

tengelytl

pedig:

Ys2

--=-m

h?3

0,8 3

.

Az

errendszer eredj nek

nagysga:

Fe= Fql- Fq 2 = 2648,7 N.Tmadspontjnak Ye tvolsga az x tengelytl a nyomatkok azonossgbL3.25. bra

x

114

3. Merev test statikja

Ye

= 0,334 7 357,5-0,267 4708,8 = 0 452 m.2648 ,7 '

3.9. Plda: A 3.26. brn bemutatott OA prizmatik:us tarthoz egy tglalap alap, homogn anyag, p srsg glt rgztettek a h hossz mentn. A gla nslyt (pl. vzzel telt edny) mint terhelst az OA tart hordozza. y

x

b.

3.26. bra

Hatrozzuk meg a tartra hat vonal menti terhels fggvnyt s eredjt! Megolds: A 3.26.b. brn bemutatott test dx hosszsg elemi darabja nslynak nagysga:

dG = pg(rydx .A ?; s 1] hasonl hromszgekbl knnyen felrhat(=a-h-;

h-x

ry=b--. h

h-x

Ezeket a dG-be helyettestve:ab dG= pg- (h-x )2 dx. h2

(3.17)

3. 3. Skbeli

errendszer

egyenslya

115

Az x tengely mentn rtelmezett, vonal mentn megoszl terhels intenzitsa

az egysgnyi hosszra jut

er:2

dF (h-x) q(x)=-G =pgab dx h2

(3 .18)

Ezzel az els krdsre vlaszt kaptunk. Ez egy parabola egyenlete, melynek x=h helyen van szls rtke (3.27.). Ezzel a teljes sly a parabola alatti terlet vagy mskppen a (3.17) integrlja, azaz az elemi erk sszege nulltl h-ig. Elvgezve az integrlstq

l G=- pgabh. = mg,

3

Az ered hatsvonalnak helye pedig azelzekben lertak szerint hatrozhat meg, vagy a tblzati adatot figyelembe vve (3.27. bra):

h/4

xh3.27. bra

3.3. Skbeli

errendszer

egyenslya

A statika elsdleges clja - mint tudjuk - a nyugalomban lv testek vizsglata. A statika alapttele szerint a nyugalomban lv testekre hat errend szerek kielgtik a (3. 6) (3. 7) egyenslyi egyenleteket. Skbeli errendszer esetn ezek sszesen hrom skalr egyenletnek felelnek meg:

IFix =O,i= l

"

n

'\:"'p =0.,L.;i= l

iy

'i=l

(3.19)

miutn a skbeli errendszer nyomatka mindig a skra merleges, ezrt a nyomatki egyenlet egy A ponton tmen, skra merleges tengelyre vonat-

116

3. Nierev test

koz nyomatdei skalregyenlett egyszersdik. Ezek felhasznlsval tudjuk vtzsglm a testekre hat errendszer egyenslyt. Mieltt azonban erre rtrnnk azt elemezzk, hogy egy merev test nyugalmt hogyan tudjuk biztostan. Termszetesen itt a test nyugalmt valamifle - a mszaki gyakorlatban a Fldhz kttt- koordinta-rendszerhez viszonytva rtelmezzk Nyugv krnyezetnek pedig a Fldet nevezzk.

3.3.1. STATIKAILAG HATROZOTT MEGTMASZTS LEHETSGES ESETElAz 1.1.3.2. pontban megismertk az idelis knyszereket Az 1.2.2. pontban pedig a testek szabadsgfokt definiltuk. Ksbb az 1.2.4. pontban az ert, majd az erprt (3 .l. s 3.2 .2.) is meghatroztuk. A kvetkezkben ezeket egytt vizsgljuk, s hatrozzuk meg, hogy az egyes idelis knyszerek hny szabadsgfcket ktnek le s milyen erhatsok jnnek ltre hatsukra! A grgs vagy stma tmasz s az egyrudas vagy ktllel val megtmaszts egyetlen irny elmozdulst akadlyoz meg, azaz egy szabadsgfoket kt le. Ennek megfelelen abban az irnyban, melyben az elmozdulst a knyszer akadlyozza klcsnhats jn ltre a test s a krnyezet kztt, azaz ilyen irny er hat a testre (3.28.a. bra). A csukl skban kt-, trben hromirny elmozdulst akadlyoz, azaz kt illetve hrom szabadsgfcket kt le. A csukl minden irny elmozdulst megakadlyoz, azaz itt egy a csuklponton tmen, tetszleges irny er keletkezik. Ezt skban kt, trben hrom koordintjval adhatjuk meg (3.28.b. bra). A befogs minden irny elmozdulst s minden irny elfordulst megakadlyoz, azaz skban

~

~

y~FTAr \AF,~y

x

F..,_" MAr

/t1YF,~y

x

4'

l ~F"'L_Aa.

~xzAy

y&

-x

b. 3.28. bra

c.

F,~y

3.3. Skbeli

errendszer

egyenslya

117

hrom, trben hat szabadsgfokot kt le. Ennek megfelelen egy, az elmozdulst akadlyoz er s egy, az elfordulst akadlyoz erpr hat a testre (3.28.c. bra). sszefoglalva a klnbz idelis knyszerekkel lekthet szabadsgfokok szma:Grgs

Knyszer Lekttt szabadsgfok Ismeretlen erkomponens szma Skban Trben Skban Trben Egyrudas l l l l

tmasz

Csukl 2 .) '"' 2,..,.)

Befogs 3 6,..,.)

6

rtelmezzk teht a test szabadsgfokt s a knyszerekkellekttt szabadsgfokok szmt.

/Definci: Statikailag hatrozott megtmaszts az a test, mely knyszerekkel gy van a krnyezethez ktve, hogy a knyszerekkel lekttt "nk'' szabadsgfokok szma megegyezik a test "s" szabadsgfokainak szmval: s a test tetsz1eges errendszer hatsra nyugalomban marad. A nyugalom felttele: Az nk= s fennllta esetn is csak akkor statikailag hatrozott megtmaszts a test, ha a knyszerek a test klnbz elmozdulsi lehetsgeit ktik le. Pldul ugyanazon rny elmozdulst, elfordulst csak egyetlen knyszer kt le. Ekkor egyrtelmen meghatrozott a merev test helyzete, az "elmozduls szabadsga zrus". Amennyiben s > nk labilis megtmaszts, ha pedig nk > s statikailag hatrozatlan megtmaszts merev testrl beszlnk. A megtmaszts statikm hatrozatlansgi foka: n = nk - s. A kvetkezkben csak statikailag hatrozott tmaszts testekkel foglalkozunk. Vizsgljuk meg, hogy egy skbeli merev test esetn hogy lehet statikailag hatrozott megtmasztst bztostani. A merev test szabadsgfokainak szma skban hrom, teht a knyszerekkel hrom szabadsgfokot kell lektni. Erre hrom lehetsg van (3.29. bra):

118

3. i\!Jerev test statikja

=> Befogott tart (egy hrom szabadsgfokot lekt befogs).grgs, sima vagy egyrudas tmasz). Felttel: Az egyrudas tmasz irnya nem mehet t a csukln, m1vel a tmasz a test csuklval mr meghatrozott pontjnak elmozdulst akadlyozn meg. => Hromrudas tmaszts tart (hrom, egy szabadsgfokot lekt knyszer). Felttel: Az egyrudas tmaszok hatsvonalai nem metszdhetnek egy pontban sem a vgesben, sem a vgtelenben. Magyarzata hasonl az elzhz. Az brkon mindenhol egyetlen rudat rajzoltunk merev testknt, de termszetesen brmilyen alak merevnek madeilezhet test vagy szerkezet is lehet a rd helyett, ez a tovbbi mdszerek alkalmazhatsgt nem mdostja.

=> Kttroasz tart (egy csukl + egy

FELADAT 3.13. llaptsa meg a felrajzolt tartkrl, hogy statikailag hatrozottak, hatrozatianak vagy labilisak! Mely tartk tmaszter-rendszere hatrozhat meg egyrtelmen statikai mdszerekkel?a.b.

e.

c.

d.

F.3.13. bra

3.3.2. KNYSZERER-RENDSZER MEGHATROZSA

A knyszereknl keletkez errendszert tmaszt- vagy knyszerer-rend szernek nevezzk. Hogy ezeket egy-egy test esetn megklnbztessk a

3.3. Skbeliterhel errendszertl

errendszer

119

a knyszert is meghagyva raJzoljuk be a knyszerer rendszert (3.29. bra), br a knyszerer a knyszer hatst helyettest er. Ezek meghatrozsnak mdszereivel foglalkozunk a tovbbiakban.

c

3.29. bra

Az elz pontban kzlt tblzatbl ltszik, hogy az ismeretlen er komponensek szma megegyezik a lekttt szabadsgfokok szmvaL Statikailag hatrozott megtmaszts esetn pedig a test szabadsgfokainak szmval egyez ismeretlen knyszerer-komponens keletkezik. Ezek az ismeretlenek a 3.29. brn berajzolt, adott irny erk s nyomatk. A statikailag hatrozott tmaszts merev test nyugalomban van, teht a r hat errendszer egyenslyi. gy az errendszerre fennllnak az egyenslyi egyenletek. Skbeli errendszerre a (3.19) szerint hrom egymstl fuggetlen skalr egyenslyi egyenlet rhat fel. Ebbl a hrom ismeretlen meghatrozhat. A tovbbiakban pldkon s gyakorlfeladatokon keresztl mutatjuk be a hrom esetben alkalmazhat mdszereket.3. 3. 2. l. Ktlmasz tart Szmts esetn az egyenslyi egyenleteket gy clszer felrm, hogy lehet sghez viszonytva ne egy hromismeretlenes egyenletrendszert, hanem hrom egyismeretlenes egyenletet oldhassunk meg. Ennek megfelelen sokszor vezet j eredmnyre, ha elszr kt ismeretlen er vagy erkoordinta metszspontjn tmen, skra merleges tengelyre rjuk fel a nyomatki egyenletet Utna pedig kt vetleti egyenletbl kln-kln a msik kt ismeretlen is meghatrozhat.

120

Hatrozzuk meg a 3.30.a. brn lthat ktlmasz tart tAdatok: l = 3 m; a = 1,2 m; b = 1,5 m; c = 2 m; /1 = l m; h = 1,2 m; F1 kN; qly = -1 kN/m; qzy = -1,5 kN/m; f2 = 3,5 kN; a2~ = 60; Mo =2 k.Nm. Megolds: Minden dinamikai feladatot gy kell kezdeni, hogy felraJzolJUk a szerkezetre hat sszes ert. Esetnkben (3.30.b. bra) az A csuklbamaszter-rendszert!

3.10.

! :Ji'F, /l

q, ab

o.. lc

M.

Fx~

. i:

l

l

l ll

"l

.l

t!

[2

l

x

FByb.~~~

.

h,l

:IG

3.30. bra

pozitv x s y irnyba a tmaszter kt ismeretlen koordntjt s a B grgs tmasznl az y rny FB tmaszter t. Ezutn a megoszl errendszerek rszeredjt szmtjuk ki:Fq 1 =aq1 =1,21=1,2 kN,l 2 - l = 2 1,2 1,5 = 0,9 kN,"l

h=-=06m

a 2

'

'

Fq, =-l, q,-

h,=-l=04m

-

l 3

'

.

Most mr a kt ismeretlen erkoordinta metszspontjn az A ponton tmen, a sikra merleges tengelyre felrhatunk egy nyomatki egyen/etet:

3.3. Skbeli

errendszer

121vehet

Az Mo nyomatkvektor szabad vektor, gy kzvetlenl szmtsba nyomatki egyenletben, melybl az Fs kifejezhet:

a

= +[0,61,2 -1 3-2.)

2 3,5sin60 +(3+ 0,4)o,9] = -2,43 kN .

Itt az eredmnyben a negatv eljel azt jelenti, hogy a B pontban keletkez tmaszter, melynek a megtmaszts milyensge miatt csak y irny koordintja van, -y rtelm. Most felrva az y 1rny vetleti egyenletet

az FA tmaszter y irny koordintja szmthat:

=3+ 1,2- 3,5sin60

(-2, 43)+ 0,9 = 4,5 kN.

Az Fs-t mint erkoordintt - mely eljeles mennyisg -pozitv eljellel szerepeltettk, gy a szmszer helyettestskor nagysg s rtelem szerinti rtkt vettk figyelembe. Figyelem!: az eljeleket csak egyszer vegyk tekintetbe! Vgl az x irny vetleti egyenletbL

FAx= -3,5cos60 = -1,75 kN.

*Amennyiben a tart tmaszter-rendszert szerkesztssel akarjuk meghatrozni, ktfle mdszert alkalmazhatunk. Ha viszonylag kevs erbl ll, skban sztszrt errendszer alkotja a tart terhelst elszr meghatrozzuk ennek az eredjt, majd hrom er egyenslynak felttelbl a tmaszter rendszert. Nzznk erre egy konkrt pldt!

122

3. Alerev test statikja

3.11. Plda: Hatrozzuk meg a 3.3l.a. brn bernutatott tart knyszerer rendszert szerkesztssel! Adatok: l= 3,6 rn; 11 = 1,7 rn; h= 2m; F 1 =500 N; F 2 = 170 N; a= 65; fJ= 40.p

a. 3.31. bra

Megolds: az F 1 s F 2 hatsvonalnak P metszspontjba megrajzoljuk a kt er 3.3l.b. brn megszerkesztett vektorsszegt (Fe). Ez lesz a tartt terhel errendszer eredje. Most mr csak ez, s a kt tmasznl keletkez kt er hat a tartra, mely egyenslyi errendszert alkot. Ez a hrom er akkor van egyenslyban, ha hatsvonalaik egy pontban metszdnek. Ezrt az ismert hatsvonal Fe s a grgs tmasztsnl ismt csak ismert hatsvonal FA erk hatsvonalainak metszspontjn kell tmenjen a harmadik, B pontban keletkez FB tmaszter hatsvonala (CB egyenes). Az Fe ismert ert (3.3l.b. bra) kell kegyenslyozn a kt ismert hatsvonal (AC s BC rny) ervel, megrajzolva a zrt vektorhromszget a tmaszterk irnya s nagysga a szerkesztsblleolvashat: FA= 250 N, FB =350 N, 5= 15.

*Ha szerkesztssel akarunk eredmnyt elrni s a terhel errendszer kzel prhuzamos erkbl ll, akkor a ktlsokszg-szerkeszts visz eredmnyre. A terhel- s a knyszerer-rendszer egytt egyenslyi errendszert alkot. Ilyen errendszerre viszont a 3.2.5. pont alapjn tudjuk, hogy az ersokszg s a ktlsokszg is zrt kell legyen. Ezt hasznljuk ki a szerkesztsnl.3.12. Plda: Szerkesszk meg a 3.30.a. brn bemutatott tart a 3.10. pldban mr kiszmtott tmaszter-rendszert!

3.3. Skbeli

errendszer

egyenslya

123

lvfegolds: Itt is elszr az errendszert kell az eredetivel egyenrtk errendszerr talaktani gy, hogy a ktlsokszg-szerkeszts alkalmazhat legyen. A megoszl erl

Fq2

l F,

i

a.b.3.32 brarendszerek eredjt mr meghatroztuk, induljunk ki ezrt ebbl az llapotbl (3.32.a. bra). Msodk lpsben a koncentrlt nyomatkot clszer egy erprral helyettesteni. Az erprt - a mr korbban is alkalmazott mdon - egy mr szerepl ervel azonos nagysg s irny erkbl kpezzk. Esetnkben pl. Mo = hFq2 Az Fq2 terhels hatsvonalban vesszk fel a -Fq2 -t (szaggatott vonal), s a nyomatkvektor forgatsi rtelmnek megfelelen (most pozitv) tle h tvolsgra a Fq2 vektort. gy az l\10 nyomatkvektort szaggatottan rajzolt erprral helyettestettk A -Fq2 s az eredeti terhels Fq2 ervekto rnak eredje null vektor (egyenslyi errendszer). Az errendszernk most mr csak az F1, F2, Fql s az eltolt hatsvonal (szaggatottal rajzolt) Fq2 erkbl ll. Ezt kell az A ponton tmen s a B pontban ismert hatsvonal tmaszter-rendszerrel kiegyenslyozni. Az ersszegzs sorrendjt gy vlasztjuk meg, hogy az utols kett legyen a kt ismeretlen er. Esetnkben:

sszegzs alapjn kpezzk a vektorsokszget. Els lpsben ennek els ngy tagjt sszegezhetjk s megrajzolhatjuk hozz a ktlsokszget (Ko, K1, K2, K3, ~). A Ko, :F1 eltti ktloldalt gy kezdjk megrajzolni, hogy ennek hatsvonala tmenjen az A ponton, mert az ismeretlen FA tmaszter is tmegy ezen a ponton. gy megrajzolva a 3.2.5.-ben tanultak szerint a ktloldalakat, az utols (F2) er utni ktloldalt meghosszabbtjuk az FB er ismert hatsvonalig. Ez lesz az F2 s l?B erk kztti ktloldal. Ezt kveti valahol az l?A s FB erk kztti majd az FA utni ktloldaL Azt tudjuk, hogy az FA utni, azaz az utols ktloldal egybe kell essen az elsvel, a Ko-lal, azaz t kell menjen az A ponton s Ko irny kelllegyen (AC1 egyenese, azaz K7). Az FA s FB kztti ktloldal nem lehet ms, m1t az A Cs egyenese, hiszen az FB eltti ktloldal Cs-ben metszi az FB

124

hatsvonalt (Ezrt vezettk t az els ktloldalt az A ponton). A most mr ismertt vlt ktloldalt ktlerknt berajzoljuk a vektorbrba, ez kimetszi az FB hatsvonalbl az FB vgpontjt. Ezt sszektve az Fr kezdpontjval a vektorbrt zr FA ervektort kapjuk. Nagysguk s irnyuk leolvashat: Fsy = -2,3 kN; FAy = 4,45 kN, FAx= -1,8 kN. sszevetve a szmtott rtkekkel j egyezs mutatkozik.

*A kttmasz tartk knyszerer-rendszernek szmtsval kapcsolatban meg kvnjuk jegyezni, hogy a bemutatott mdszerek nem csak egyenes kzpvonal tartk esetn, hanem tetszleges alak, egy csuklval s egy egy szabadsgfokot lekt msik knyszerrel meghatrozott tartkra is igazak. FELADATOK 3.14. Hatrozza meg az brn lthat tart tmaszter-rendszert!

Adatok: F = 20 N; M = 100 Nm; a b= 0,5 m.FbAF.3.14. bra

=

1,5 m;

L4. A tanknyvhz mellkelt lemez negyedik programcsomagja kttmasz egyenes tartk tmaszter-rendszernek szmtshoz is ad gyakorlsi lehetsget szznyolcvan kivlaszthat alak s terhels tartn. A szmadatok minden feladathoz ezer vlasztsi lehetsget adnak.

bl

LS. A tanknyvhz mellkelt lemez tdik programcsomagja, mely a menkivlaszthat, szztven klnbz, trt kzpvonal kttmasz tart ezerfle szmvaricival megadott feladatt tartalmazza. Ez gyakorlsi lehetsget ad a tmaszter-rendszer szmtssal s szerkesztssel trtn megoldshoz is'. A szmtott eredmnyeket, de a terhel errendszer eredjnek szerkesztst s a tmaszter-rendszer szerkesztst is tartalmazza a megoldsi rsz valamennyi feladathoz. L9. A tanknyvhz mellkelt lemez kilencedikprogramcsomagjaa tmaszter-rendszer ktlsokszggel trtn szerkesztshez ad gyakorlsi lehetsget.

3.3. Skbeli

errendszer

egyenslya

125

3.15. Szerkessze meg az F.3.15. brn lthat kttmasz tart knyszerer-rendszert!

Adatok: q = 100 N/m; F = 150 N; a=2 m; b= lm.

l

i""

a

3.16. Hatrozza meg az brn lthaF3.15. bra t tart tmaszterit! Adatok: F =200 N; q= 100 N/m; a= 1,5 m; b= 2m.~y

x

\"'

a

1

l""

a l a i a ! a .. i'"' "'l"' .. i ..F3.17. bra

F3.16. bra

3.17. Hatrozza meg a vzolt trtvonal tart knyszerer-rendszert ktlsokszg-szerkesztssel! Adatok: a= l m; F 1 = l kN; F 2 = 1,2 kN; a= 60.3.3 .2.2. Befogott tart A knyszerer-rendszer szmtsa az elzekben kvetett elvek alapjn lehetsges. Szerkesztssel val megoldsnl a ktlsokszg-szerkeszts mdszert szaktuk alkalmazni. Ilyenkor a terhelssei s a tmasztervel a befogsnl lv nyomatk tart egyenslyt. Ennek megfelelen a tmaszterbl s a terhelsbl ll errendszer eredje egy erpr, azaz a vektorsokszg zrt, a ktlsokszg nyitott kell legyen. Ezen meggondols alapjn vgezhet el a szerkeszts, melyet egy pldn mutatunk be.

3.13. Plda: Hatrozzuk meg a 3.33.a. brn vzolt befogott tart tmaszter-rendszert szmtssal s szerkesztssel! Adatok: F 1 = 150 N; Fz =250 N; a= 60; q= 100 N/m; a= l,4 m; b= 3,8 m; c= 2m. Megolds: Elszr a tartra felraJzoljuk az sszes ert, mely egyenslyi errendszert alkot (3.33.b. bra): Fq = cq =2 100 =200 N, s bejelljk az FA s MA komponenseit. Az A ponton tmen, az errendszer skjra mer leges tengelyre felrt nyomatki egyenlet:

126

3. Merev test statikja

a.

Ermrtk: 1--1

Hosszmrtk:

1--1

3.33. bra

~ M ia = O= M LJEbbl

A

-aFl - 2aF2 sin 60 -(b+ 2

!:_)p .q

a tmasztnyomatk

MA = aF; + 2aF2 sin 60 + (b+ ; )Fq =

= 1,4 150+ 21,4 250 sin60 + (3,8+ 1)200 = 1776 Nm. Az y irny vetletiegyenletbl:

~ Fiy = O = FAy - Fl - F2 sin 60 - Fq , LJ

FAy = Fl + F2 sin60o + Fq = 150+ 250sin60 +200= 566,5 N.

3.3. Skbeli

errendszer

egyenslya

127

Az x irny vetleti egyenletbL

Ezzel a tmaszter-rendszert kiszmtottuk Most szerkesszk 1s meg (3.33.b.c. brk)! A

egyenslyi egyenlet teljesl az ervektorok sszegzsvel (3.33.c. bra), amibl az FA tmaszter kzvetlenl addik. A vektorsokszgbL FA= 580 N; aA = 78. Ezt kzvetlenl visszaraJzolhatjuk a befogshoz. Az ersokszghz a ktlerk is megrajzolhatk A Ko els ktlert clszer adott nagysgra (esetnkben Ko= 500 N) s tetszleges irnyra vlasztani. Az F 1, els er eltti ktloldalt megmt az A ponton vezetjk t. gy a ktlsokszg megrajzolhat. Az utols, K4 ktloldal -a zrt vektorsokszg miatt - prhuzamos lesz az elzveL gy az ered a -Ko s a ~ erpr lesz (lsd 3.1.5. pont). Ezzel kell egyenslyt tartson a tmasztnyomatk a

egyenslyi egyenlet alapjn. A k a hosszlptk alapJn a vashat: k = 3,6 m. gy a tmasztnyomatk

szerkesztsbl

leol-

MA= 3,6500= 1800 Nm,ami j egyezst mutat a szmtott eredmnnyel.

FELADATOKL4. A mellkelt lemez negyedik programcsamagja befogott tartk tmaszter-rendszert is megadja. A feladatot gyakorlskppen szmtssal s szerkesztssel is meg lehet oldam s a kapott eredmnyeket ellenrizni.

128

3. Aiferev test

3.18. befogott trtvonal tartt az F. 3.18. bra szerint hrom er terheli.

'1ia

x

""

b

.. ""'

b

1

HO=!

Adatok: F 1 = 2 kN; F2 = 4 kN; F3 = 2,5 kN; a = 75; a = l m; b= 1,5 m; c= 1,2 m. Hatrozza meg szerkesztssel a tmaszter rendszert!

F.3.18. bra

3.3.2.3. Hromrudas megtmaszts Ez a skbeli errendszerrel terhelt merev test harmadik statikailag hatrozott megtmasztsi mdja (3.29.c. bra). Ilyenkor a terhel errendszert hrom, adott hatsvonal ervel kell kiegyenslyozni. Azaz a tmaszterk irnya ismert, nagysgukat kell meghatrozni. Ez hrom ismeretlent jelent, amit a skbeli errendszerre vonatkoz hrom egymstl fuggetlen egyenslyi egyenletbl meghatrozhatunk Ez ltalnossgban egy hromismeretlenes egyenlethez vezet. Az egyszerbb munka rdekben a szmts s szerkeszts nhny fogsval ismerkednk meg a tovbbiakban pldk keretben. a., Szmtsi mdszerek (Ritter-szmts, ltalnos eset) Mr a korbbiakban olyan ponton tmen tengelyre rtunk fel elsknt nyomatki egyenletet, mely ponton tment kt ismeretlen er vagy erkompo nens hatsvonala. Ez kttmasz tart esetn a csuklpont volt. Most is gy jrunk el. Az ismeretlen tmaszterk hatsvonalm Ismertek. Kett metszspontJn tmen tengelyre felrt nyomatki egyenletbl a harmadik er nagysga s rtelme szmthat. A kt hatsvonal metszspontjt fpontnak nevezzk. A lehetsges hrom fpontra felrt nyomatki egyenletbl a hrom ismeretlen szmthat. (Ritter-mdszer). A hromrudas megtmaszts a tmaszter szempontjbl tulajdonkppen kttmasz tartknt is modellezhet, hiszen kt rd metszspontjt egy fiktv csuklnak tekinthetjk. gy a hromrudas tmaszts tart modellezhet egy fiktv csuklval s egy egyrudas knyszerrel megtmasztott tartknt fordtva IS igaz. Egy kttmasz tart csuklpontjt helyettesteni lehet kt, a csuklponton tmen egyrudas trnasszaL Ez a megllapts a megtmasztsok modellezse szempontjbl lehet fontos. Nhny pldt a 3. 34.

3.3. Skbeli

errendszer

egyenslya

129

bra mutat be. Megjegyezzk, hogy ezt a mdszert akkor clszer alkalmazni, ha a fpontok koordintit egyszeren lehet szmtani. Ha nem, akkor lehet, hogy egy hrom- vagy ktismeretlenes egyenletbl val szmts gyorsabban vezet eredmnyre. Mindkt esetre mutatunk pldt a tovbbiakban.

~:z

~/

,

3.14. Plda: A nyugalomban lv G = 120 N sly lemezt az A s a B pontjaiban a lemez skj3.34. bra ra merleges skok, a D pontjban pedig a lemez skjra merleges sima hengerfelszn tmasztja (3.35.a. bra). Adatok: a 400 mm; b= 250 mm; a= 30. Hatrozzuk meg szmtssal a tmaszterket!

py

B

h,a.

h2

b.3.35. bra

\

Megolds: A sima felleteken trtn feltmaszkods Iniatt az A pontban x, a B pontban y s a D pontban 11 ismert irny tmaszterk keletkeznek (3. 35. b. bra). Az G slyert teht a hrom, ismert hatsvonal FA, FB, Fn erkkel kell kiegyenslyozni. A slyer hatsvonalnak Xs tvolsga az y tengelytL

xs

=__!_(~ +~)2

_!_(bsina+acosa)

2

130

--------------------------------~---------------------

3. Aferev test statikja

Az FD szmtshoz a fpont az FA s FB erk hatsvonalainak cl IDetszspontjban van. Ennek koordintja a !;rt loklis koordinta-rendszerben:~c= h1 cosa =b sina cosa = 250sin30 cos30 = 108,25 mm.

A C1

fponton tmen

tengelyre felrt nyomatki egyenlet:

Ebbl

FD=Xs-h,G= 235,7-125120=455Na -~c 400-108,25 ' A tovbbiakban meg lehetne keresni a fpontot az FD s FA erk hatsvonalainak metszspontjban, s a felrt nyomatki egyenletbl szmtani FB-t, s gy tovbb. Egyszerbb azonban vetleti egyenletekbl szmtani a tovbbi kt ert. F;y = O= FB -G+ FD cos a ,

c2

L

FB =G -FD cosa = 120-45,5cos30 = 80,6 N, I.,Fix =O= FA -FDsma, FA= FD sina= 45,5sin30o = 22,8 N.3.15. Plda: Egy hidraulikus emelszerkezet vzlatt mutatja a 3.36. bra. A 4 jel hidraulika hossznak vltoztatsvallehet a terhet hord 3 jel lemez H magassgt belltani. Hatrozzuk meg a lbak a szghelyzetnek fuggvnyben a lbakban s a hidraulikban keletkez erket! Adottak: G, l, d, d 1, a. Megolds: l. Modellalkots: Ez a feladat mr egy valsgos szerkezet vizsglata. Mgis Itt - a merev test statkjnl - trgyalhat, hiszen egyetlen merev test hromrudas megtmasztsaknt modellezhet. Az l s 2 jel l hosszsg lbakbl darabonknt kett van (b. bra), de mivel a szerkezet s a terhels is sz1mmetrikus, skbeli modellt alkothatunk Ezt a c. bra mutatja.

3.3. Skbeli

errendszer

131erk

egy hromrudas tmaszts tart, ahol az F & FB, Fc meghatrozni. Az erk irnya rdirny.G

nagysgt kell

a.

b. 3.36. bra

c.

2. Geometriai vizsglat: A rudak adott H helyzethez tartoz szgt az x Irnyhoz a szerkezetre jellemz adatokbl hatrozhatjuk meg:

sma=

.

Hla hidraulika h hossza:

Az AOD hromszgre vonatkoz

szinuszttelbl

h= 1sina

sin~

Az a vltoztatsval a szerkezetre jellemz d tvolsg nem vltozik, ez azAODhromszgbL

d =h cos~ +l cos a .Helyettestve a h-ra kapott kifejezst s bevezetve a szerkezetre jellemz /L= d l l viszonyszmot, a j3 szg rtke az a fuggvnyben kifejezhet: ctgf-lR

=

'A-cosa . sma

.

A tngonometrikus fuggvnyek kztti kapcsolat Ismeretben a sges sin/3 s cos/3 rtke is felrhat az a fuggvnyben:

ksbb

szk-

132

R COStJ =

'A -cosa .JI+ /..2 -

.

Slnp =

. R

sina .JI+ /..2 -

.

2/..cosa '

2/..cosa

3. Erk szmtsa: Itt is eljrhatunk az elz pldhoz hasonl mdon s megkereshetjk a fpontokat. Ezek koordintinak meghatrozshoz azonban tovbbi geometriai szmtsok szksgesek. Lehet, hogy most egyszerbb gy eljrni, hogy kzvetlenl felhjuk a hrom egyenslyi egyenletet:

I

Fix = O= - Fs cos a +FA cos~ -Fc cos a ,

FA, FB, Fc-re kapott hromismeretlenes egyenletrendszert megoldva, rszletezs nlkl:

FB_ -

G (A- cosa + ' 2sina A d1G ('A-cosa 2sina A

!!_Jd1

Fc=

a

J

Ezzel a feladatot megoldottuk 4. Eredmnyek elemzse: a kapott sszefggsek lehetsget adnak egyrszt arra, hogy egy konkrt szgrtkhez, vagy H magassghoz s terhelshez meghatrozzuk a tmaszterk szmszer rtkt Ennl azonban sokkal tbbet is mondanak az eredmnyek! => A teher helyzetnek hatsa: A hidraulikban keletkez FA er fggetlen a teher emellapon val elhelyezstl (a-tl). A lbak pedig akkor vannak egyenlen terhelve, ha a= O, azaz a teher szimmetrikus elhelyezse esetn.

3.3. S'kbeli

errendszer

133

=>

lbak s a hidraulika terhelse: A terhet nem lehet sz1mmetrikusan elhelyezm. Ttelezzk fel, hogy a hiba 5 a;d1 O, l, azaz a d 1 tvolsg tizedrsze pontossggal helyezhet el a teher. Egy szoksos konstrukcii vzsgljunk, amikor }c= 1,2. Ezen adatok mellet a tmaszterk s a terhel er nagysgnak a hnyadost (FA/G; f"Bil"G; Fc/G) brzoljuk az a :fuggvnyben (3.37. bra). Ebbl tbb kvetkeztets IS levonhat. Ezek kzl a leglnyegesebbek: Az a ~ 20 rtknl egyezik meg a hidraulikban keletkez er az emelszerkezet terhelsvel (FA~ G). Megtlhet a szimmetrikus terhels hibjnak a hatsa a lbak terhelsnek klnbsgre. A lbak legkisebb terhelse a = 20 ~ 40 14 ...,.-."-----.,--,-~-..----,--.,..--,----, kztti tartomnyban van 1,2 H--i\---t--t--+-+--+--t--+-----1 (pontosan szmthat). 1,0 => A konstrukci: A lbak 08 terhelsnek mmimumt ' 0,6 l 1---1-\:---r---+--+r--+"""""'+--r--ic-----1 vizsglhatjuk a /l, azaz a ~--', konstrukci :fuggvnyben a tmaszterkre kapott 0,2 --i""'---'~'-~-+-+--+----'~-i ssze:fuggsekbl. Ez a i arJ vizsglat meghaladja a o 10 20 30 40 50 60 70 80 90 trgy kereteit. Ezzel a pldval is r szeret3.37. bra nnk mutatni arra, hogy megfelel mdszerek alkalmazsval sokkal tbb eredmnyhez juthatunk, mmt a szmszer rtkek. A mrnknek pedig pp az a feladata, hogy a szmszer rtkeken tl lsson, elemezze az eredmnyeit, kvetkeztetseket vonJon le belle.1-:

b., S'zerkesztsi mdszerek (Culmann-szerkeszts) A szerkesztsi eljrs alkalmazsnl elszr amerev testet terhel errend szer eredjt kell megszerkesztem. Amennyiben az ered egy er am1 a leggyakoribb eset -, akkor egy ert kell hrom ismert hatsvonal ervel kiegyenslyozni. A mdszer bemutatshoz egy vzlatot ksztnk (3.38. bra). Itt az F ert kell az e 1, e 2, e3 egyenesekbe es hatsvonal erkkel kiegyenslyozm. ngy er egyenslyt hrom er egyenslyra vezetjk vissza. Helyettestsk az e 1 s e2 egyenesekbe es F 1 s F 2 ert az F 12 ered jvel. biztosan tmegy az e 1, e 2 egyenesek P metszspontjn. Ekkor mr csak hrom er egyenslyt keressk. Ezek az Ismert F er, az e3 egyenesbe

134

3. lvferev test statikja

es F 3 er s a P ponton tmen F r2 er. Hrom er akkor van egyenslyban, ha hatsvonalaik kzs pontban metszdnek, teht a P ponton tmen F r2 er nek t kell mennie az F s F 3 er ismert C metszspontjn is. Ezzel ismert vlt az F r2 er hatsvonala. Ezt "c" Cuimann egyenesnek nevezzk. A hrom er egyenslynak mr ismert tovbbi felttelei alapjn megrajzolhat a vektorhromszg s 3.38. bra ezzel ismertt vlt az F3 er s az F 12 Culmann-er. Ez utbbit azonban az Fr s F 2 er eredjeknt rtelmeztk, azaz felbonthatjuk az e 1 s e 2 egyenesekbe es sszetevkre. Ezzel mindhrom ert megszerkesztettk. Termszetesen az er, e2 hatsvonalakat tletszeren vlasztottuk ki kt er helyettestsre az eredjveL Ugyangy kezdhetjk az er s e3 vagy az e2 s e3 egyenesbe es erk helyettestsveL Ennek megfelelen hrom Cuimann-egyenest kapunk. Az eredmny azonban termszetesen mindhrom esetben ugyanaz lesz. Az eljrs pontossga attl fgg, milyen a metszd egyenesek egymshoz viszonytott hajlsszge (esetnkben pldul az er, e2 j, az e3, er metszspontjnak felhasznlsa kisebb pontossgat eredmnyez). Ha a merev testre hat errendszer eredje erpr, azaz egy Mo nyomatkvektor, ezt csak egy erprral tudjuk kiegyenslyozni. Teht a hrom tmaszter eredje egy erpr kell legyen, azaz pl. az F 1 s F 2 erk F r2 rszeredje (3.39. bra) az F3 ervel erprt alkot. Az egyensly felttelbl F 3 = F 12 . Azaz a P ponton t az F r2 er az e 3 egyenessel prhuzamos lesz, nagysga pedig

3.39. bra

F 12 =F3 =h0 -

M

3.3. Skbeli errendszer

135

Innen mr az F 12 felbonthat az F 1 s F 2 sszegre.

3.16. Plda: Hatrozzuk meg a 3.15. pldban VIzsglt s a 3.36.c. brn vzolt tart tmaszter-rendszert szerkesztssel! Adatok: G= 3 kN; G a, a= 60; d 1 = 0,2 m; d= 0,6 m; l= 0,5 m; a=20mm. F Megolds: Az FA s Fc ismeretlen erket helyettestsk az FAc ered jkkel. Ekkor a c Cuimann-egyenest az FA s d Fc hatsvonalainak illetve a G teher ~ FB er 3.40. bra hatsvonalainak metszspontja hatrozza meg (3.40. bra). Ezzel a G, FB hatsvonalai s a c Cuimann-egyenes segtsgvel a vektorhromszg megrajzolhat. Az FAC ert ugyanebben a vektorbrban felbonthatjuk az ismert hatsvonal FA s Fc erk sszegre. Figyelem! Az F & FB, Fc, G erk zrd vektorsokszget alkotnak, az FAC s az FA illetve Fc vektorok nylfolyama pedig tkz. A szerkesztsblleolvashatk az erk nagysgai:

FA

1,6 kN; FB = 1,15 kN; Fc

0,8 kN.

A tmaszterk terhelshez viszonytott rtkei pedig:

G

=o' 53'

_L=

F G

o' 38'

G

=0,27.

Ha ezeket a szmeredmnyeket sszehasonltjuk a 3. 3 7. brn kapott diagramok a= 60-hoz tartoz rtkeivel, j egyezs mutatkozik. Megjegyzs: Lthat, hogy a szerkeszts gyorsan J eredmnyt ad, de csak diszkrt esetekre. A szmts sokkal ltalnosabb kvetkeztetseket enged meg. Ezrt a szerkesztsi mdszerek esetenknt ellenrzsre (az ember mindig tvedhet!), vagy annak megtlsre hasznlhatk, hogy rdemes-e a hosszadalmasabb szmtsokat elvgezm.

136

FELADATOKAz F. 3.19. brn vzolt rd az A s C sma felleten tmaszkodik, D pontjban ktlhez kapcsoldik. Hatrozza meg az F er hatsra keletkez tmaszterket szmtssal s szerkesztssel is! Adatok: a= 0,5 m; b l m; F = l k:N; a= 30; j]= 60.y

F

c

A

a

b

aF3.20. bra

x

F.3.19. bra

3.20.: Egy G= l kN sly hasb az F.3.20. brnlthat mdon hrom le mentn tmaszkodik sma falfelletekhez. Hatrozza meg a tmaszterket szmtssal s szerkesztssel! Adatok: a= 0,3 m; b= 2m; c= l m. 3.21. Az F.3.21. brn megadott merev test nyugalmi helyzett az A, B, C pontban hozz kapcsold rudak biztostjk. Hatrozza meg a knyszerer rendszert szmtssal s szerkesztssel! Adatok: a = 2 m; b = 3 m; q = 800 N/m.

b

a

Tl!

AT~a

+Al

cw;;kF3.21. bra

--x

b

3

F3.22. bra

3.4. Trheli

errendszer

137

Hatrozza meg a linerisan megoszl terhelt merev test knyszerer rendszert szmtssal! (F.3.22. bra) Adatok: a = 3 m; b 6 m; q0= 2 kN/m.errendszerrel

3.23. Erprral terhelt merev testet rudak rgztik a krnyezethez. (F.3.23. bra) a Adat: a = 45. Hatrozza meg a tmaszterket!

F.3.23. bra

3.4. Trbeli errendszer eredjeAz ltalnos trbeli errendszer eredjnek meghatrozsa is ugyanazokban a lpsekben lehetsges, mint amit a korbblakban megismertnk: elszr redukljuk az errendszert egy pontba, azutn keressk az eredt. 3.4.1. PRHUZAMOS ERRENDSZERERED JE

x

z3.41. bra

3.4.1.1. Koncentrlt Legyen az ra):erk

erkbl

ll

errendszer

irnya e. Ekkor az A pontba reduklt11

errendszer (3.41.

b-

FA

=e I}~ = eFA ,=!

(3.20)

(3 .21) Knnyen belthat, hogy

138

3. A1erev test statikja

mivel a (3.20)-at s (3.21)-et helyettestve ez egy olyan vegyesszorzat, melynek kt vektora azonos, e irny. Ms szval a prhuzamos errendszer A pontba reduklt vetorkettse merleges egymsra. Ebbl kvetkezerr - a 3 .2.3. pontban, a skbeli errendszernl bizonytottakhoz hasonlan - a prhuzamos trbeli errendszer ered_je vagy egy er, vagy egy erpr, vagy egyenslyi errendszer lehet. Az elzek szerint, az erk sszegzsvel kezdve, ha az zrusra addik, akkor az ered - az MA rtktl fuggen - vagy egyenslyi errendszer, vagy erpr. Ha FA :t:. O, akkor az ered egy er, melynek rK tmadspontjt, az errendszer n. K erkzppontjt kell mg meghatroznunk

annak tmadspon~ja, azaz az errendszer er1,zppon~ja fggetlen az er1' irnytl, csak azok nagysgtl s tmadspon~jtlfgg:(3.22)

!liJ Ttel: Ha a prhuzamos errendszer eredlf.je egy er,

~ Bizonyts: A K pontba reduklt errendszer nyomatkvektora MK = O kell legyen. A reduklst a 3.1. pontban bizonytott, a nyomatld vektortrre vonatkoz ttelfelhasznlsval vgezhetjk el:MK=O=MA-l'KXFA.

Felhasznlva a (3.20) s (3.21)-et:

trendezs utn:

'1ntib1

3.4. Trbeli

errendszer

139

r

K

Q. e. d.

FELADATOK

3.24. Hatrozza meg az F.3.24. brn lthat trbeli prhuzamoserrendszer eredjt!

z

Adatok: F 1z

-2 kN; F2z 4 kN; 1"3z = - 3 kN; F4z = 3 kN; Fsz = - 3,5 kN; a= l m.=

3.25. Hatrozza meg az errend szer eredjt! (F.3.25. bra) Adatok: a= lm; F1z =-200 N; F2z = -500 N; F3z = 400 N; F4z = -500 N; Fsz = 800 N.

F.3.24. bra d

l!

3.26. Hatrozza meg a trbeli keretre hat erk eredjt! (F.3.26. bra) Adatok: F 1y =-400 N; F2y= -200 N; F3y= -100 N; a= 2m; b= lm.

F.3.25. bra

3.27. Az F.3.27. brn bemutatott vzszmtes helyzet krlapot fugg leges erk terhelik. Adatok: F 1 =500 N; 1~=200N; F3=150N; F4 = 226,5 N;

F.3.26. bra

l-IO

F 5 = 325,5eredjt t

F6 = 298

r

= 3 m; a = l m. Hatrozza meg az errendszer

F3.27. bra

3.4.1.2. Trfogaton megoszl prhuzamos

errendszer

megoszl errendszerek vonal, fellet s trfogat menti eloszlsak lehetnek. Ebben a pontban - elssorban az alkalmazsok miatt - a trfogat mentn megoszl errendszerek eredjt vizsgljuk. Az errendszer lehetsges eredjre vonatkozan termszetesen itt is rvnyesek az elz pontban a konY A centrlt prhuzamos erkre elmondottak. Legyen itt is az erk irnya az e vektorral meghatrozott. Egy dV trfogaton megoszl elemi er ekkor (3.42. bra) dF=efdV, ahol j az errendszer intenzitsa. A dF elemi erkbl ll errendszer A pontba reduklt rtke: FA = r x dF

x

z3.42. bra

=J dF =J Jed V =e JJdV,

J

=J r x efd V =(J r j d V) x e .

reduklt vektorkettst a (3.20), (3.21) sszefuggseksszevetve az FA, kel s a koncentrlt errendszer erkzppontjra vonatkoz (3 .22) eredmnnyel, itt IS hasonl eredmnyre jutunk:

3.4 Trbeli

errendszer

141

rK

frJdV = -"-:---

f fdV

(3 .23)

Megllapthat teht, hogy a trfogaton megoszl errendszer erkzp pontja is az er e irnytl fuggetlen. Trfogaton megoszl errendszerek eredjnek meghatrozsra a 3.4.3. pontban, az alkalmazsoknl mutatunk be pldkat.

3. 4. l. 3. Skfellet mentn linerisan megoszl prhuzamos

errendszer

A kvetkezkben tetszleges alak skfelleten, a skra merleges irnyban hat, lineris eloszls megoszl errendszer eredjt keressk (3.43. bra). Az errend szert - mivel lineris eloszls - hrom pontban megadott intenzitsrtkkel hatrozhatjuk meg. A lineris megoszls miatt a skfellet egy egyenese mentn lesz az errend szer intenzitsa zrus. Ezrt a hrom pont kzl kett lehet a zrus intenzits hely kt pontja, ami a nulla intenzits egyenest jelli ki. Jelljk ezt az egyenest u-val s nevezzk semleges tengelynek Az erre merleges skbeli irnyt a v koordinta hatrozza meg. Ekkor egy tetszleges v koordintj helyhez tartoz p intenzitsrtk egy arnyprral felrhat a v 0 koordintj P0 pontban lv p 0 intenzits nagysgnak ismeretben:v p(v)=-po (vo)Vo

Ha ezt vektorosan akarjuk kifejezni, azaz az r helyvektorhoz tartoz intenzitsvektort akarjuk megadni, felrhat:

142

3. lvferev test statikja

p(r)

eu r =leu x ro llPo lX

Itt az eu x r irnya a skra merleges, p irnyt eljelhelyesen adja. Ennek a vektornak a nagysga az r helyvektor v koordintjt, a nevezben lv vektorszorzat nagysga pedig az r 0 helyvektor v 0 koordintjt eredmnyezi. gy a fellet tetszleges pontjhoz tartoz p erintenzits ap=

Aeu X r

(3 .24)

vektorszorzattal megadhat, ahol

a megoszl errendszer intenzitsnak vltozsra jellemz szm. Az errendszer meghatrozsa utn az ered szmtshoz itt is vgrehajtjuk a redukcit (pl. az O pontba). Az errendszer sszege:

F0A d.Afelletelemtl

= JpdA = JAeu X rdA .A

fiiggetlen

tnyezket

kiemelve:(3 .25)

F0

= A-e" x JrdA .A

/Definci: Az s vdarab, az A fellet, a V trfogat illetve az m tmeg O pontra vonatkoztatott elsrend vagy statikai nyomatkvektort azS 0 (s)

=J rds;s

S0 (A)

=J rdA;A

S0 (V)

=J rdV;V

S0 (m)

=J rdmm

(3 .26)

k~f~jezsekkel

hatrozzuk meg. Ezek skalr koordintit, pl.(3.27)AA

3.4 Trbeli

errendszer eredje

143

tengelyre szmtott statikai nyomatkoknak nevezzk.A statikai nyomatkvektor bevezetse utn a (3 .25) gy is rhat:

A skfelleten linerisan megoszl prhuzamos pontra:A

errendszer

nyomatka az O

M 0 = Jr X p dA =J r X (Ae u X r )dA .A d.Afelletelemtl

fuggetlen vltozt kiemelve: (3.28)

/Definci: Az A terlet sikidom O ponthoz s eu irnyhoz hozzrendelt msodrend nyomatkvektort az(3.29)

sszefggssei hatrozzuk meg.Ez a skidomnak egy n. vektor-vektor fuggvnye, ugyanis az O ponthoz hozzrendelt msodrend nyomatkvektor az eu irny fuggvnye. A (3 .29) definilt msodrend nyomatkvektor eu irnyhoz tartoz vektort pontosabban is hatrozzuk meg. Ha az r = ueu + vev , akkor

eu

e

e u xr= lus

o o =ve o vev

ew

w'

eu rx(euxr)= u

ewv

o o

o =ev u

2

-e v uv.

144

3. lvlerev test statikja

Ezt a (3 .29) be helyettestve s rendezve:

ahol az eu egytthatjt az u tengelyre az ev egytthatjt az u s v tengelyprra szmtott msodrend nyomatknak nevezzk. Ezek tulajdonsgaival, adott skidom klnbz pontokra vonatkoz nyomatkvektorm, a klnbz tengelyekre, tengelyprokra vonatkoz nyomatkai kztti kapcsolatokkal rszletesen az 5. fejezetben foglalkozunk, mivel ennek eredmnyeit elssorban a szilrdsgtanban fogJuk felhasznlni. Az elzekbl megllapthatjuk, hogy a skfelleten linerisan megoszl prhuzamos errendszer egy pontba reduklt vektorkettsben a reduklt er a skfellet elsrend (statikai) nyomatkvektortl, a reduklt nyomatk pedig a fellet msodrend nyomatkvektortl fugg. A reduklt errend szerbl az eredt az elzekhez hasonl mdon szmthatjuk. 3.4.2. LTALNOS TRBELI ERRENDSZER EREDJE

Az elzekhez hasonlan itt is el szr az errendszert egy tetszleges A pontba redukljuk Ez a reduklt errendszer legltalnosabb esetben egy er s egy vele valamilyen szget bezr nyomatkvektor (3.44. x bra). Vizsgljuk elszr meg szemlletesen, hogy tallhat-e egy ennl egyszerbb egyenrtk er rendszer! Vegyk fel a koordintarendszert gy, hogy kezdpontJa az 3.44. bra A pont legyen, az x tengely az FA irnyba mutasson, az vektor pedig az xy skba essen (3.44. bra). felbonthat MA= MAx+MAy=MAxi + MAyj sszetevkre. Az MAy merle ges az FA-ra, ezrt a korbbiak szerint -helyettesthet a -FA; FA erprral (szaggatott vonal). Itt az erpr karja termszetesen:

---

3.4. Trbeli

errendszer

145

az MAx; MAy; FA-bl ll errendszer egyenrtk az MAx s P tmadspont vektorkettsseL Az MAx szabad vektor, ezrt P pontba helyezhet. gy a reduklt errendszerrel egyenrtk legegyszerbb errendszer, azaz az ered a P pontban tmad, x irny erbl s nyomatkbl ll vektorketts.

/Definci: Az azonos pontban tmad egy er'bl s ugyanilyen hatsvonal nyomatkbl ll vektorkettst ercsavarnak nevezzk. Hatsvonalnak neve: centrlis egyenes.Az elnevezs magyarzata az lehet, hogy egy ilyen test csavarmozgst vgezne.vektorketts

hatsra egy

/ill Ttel: Egy trbeli erremlszer eredje ltalnos esetben ercsavar,!)pecilis esetekben pedig egy lehet.er,

egy

erpr,

vagy egyenslyi

errendszer

Az elzekben szemlletesen bizonytott ttelt ltalnossgban is igazoljuk.

W" Bizonyts: Legyen a trbeli errendszer nek az xyz koordinta-rendszer kezdpontjba reduklt vektorkettse Me;, F 0 (3.45. bra). Az er hatsvonalt meghatroz eF egysgveJ.."tort a szoksos mdon felrhatjuk(3.33)

Az eredif hatsvonala, azaz a centrlis egyenes M,.=M. irnya eF irny kell legyen az egyenrtk er3.45. bra remlszerek ttele alapjn. Keressk az eretiif Itatsvonalnak egy P pon~jt. Clszersgi okokbl az O ponton tmen, Fo-ra merleges sikkal val metszspontjt (3.45. bra). Itt a reduklt errendszerrel egyenrtk er rendszer er s nyomatkvektora is eF irny lesz:

146

3. Merev test statikja(3.34) (3 .35)

Egyrszt a nyomatkvektor nagysga meg kellegyezzen az M 0 vektor Fo irnyba vetletvel, azaz az ered nyomatkvektora a (3.33) figyelembevtelvel:

es

(3 .36)

msrszt az Mp nyomatkot - az errendszerek egyenrtksge miatt - az O pontban hat M 0 , F 0 vek-torketts P pontba reduklsval szmthatjuk, azaz a nyomatki vektortrre vonatkoz ttel szerint:

ebbl-

nmi trendezs utn - rp, azaz a centrlis egyenes egy pontja meghatrozhat:

(3 .37)

A ktszeres vektorszorzs eredmnyeknt kapott vek-tor a kifejtsi ttel szerint -rp irny, mivel rpmerleges F 0 -ra.

Ezt (3.3 7)-be Jzelyettestve s figyelembe vve, hogy

(3 .38)

A centrlis egyenes (3. 45. bra) egyenlele pedig(3 .39)

3.4. Trbeli edirendszer eredje

147

Teht amennyiben ltezik a nullvektortl klnbz tp veA:tor s Mp *o, ltezik olyan pont, amelybe reduklt errendszer ercsavar, melynek vektorkettst (3.34) s (3.36) adja. Q.e.d.

*Meg kvnjuk jegyezni, hogy az ercsa vart vele egyenrtk n. erkereszttel is szoktk helyettesteni. Az erkeresztet kt egymsra merleges irny, kitr hatsvonal er alkotja. Legyen a vizsglt errendszer O pontba reduklt vektorkettse Fo, M 0 (3.46.a. bra). Bontsuk fl az Fo ervek tort egy M 0 s r merleges kt sszetevre az elzek szerint:

a.

3.46. bra

Helyettestsk most az M 0 vektortegy -F~ , F-; erprral (3.46.b. bra). ekkor as hatsvonal erk egyenslyi errendszert alkotnak, s az erkeresztet alkot kt er az F 11 s az ro helyvektorral meghatrozott s irny l1' /J',:~ i F lo F, (a '2

F~~

!y

I_Lx

c1

F.3.32. bra

F.3.33. bra

F.3.34. bra

v

154

3. Merev test statikja

3.4.3. ALKALMAZSOK: A SL YERRENDSZER EREDJE, A SLYPONTA slyerrendszer trfogaton megoszl errendszer, teht a 3.4.1.2. pontban lertak itt is rvnyesek. A tetszleges test vgtelen sok kicsi d V trfogati rszre bonthat, melynek tmege pdV, ahol a p(x,y,z) srsg a hely fuggvnye lehet. A msodik axima, azaz Newton II. trvnye s az tdik axima, azaz az ltalnos tmegvonzs trvnye rtelmben a test minden kicsiny rszredG=-jpgdVer

(3 .41)

hat. A megoszl errendszer intenzitsnak nagysga: .f = p g. Ez egy trfogaton megoszl prhuzamos errendszer, melynek eredjt, a test slyt keressk. A test teljes slya az elemi erk sszege:G-jgJpdV. vslyer

(3 .42) hatsvonalnak a

Itt is krds a helye.

slyer

vektornak ismeretn kvl a

/ Definci: A test slypontja a trfogatn megoszl eredl(jnek tmadspontja.

slyerrendszer

A 3 .4.1.2. pontban lertak (3 .23) szrint a slypont vagy az elz ek szerint erkzppont r.1. helyvektora, figyelembe vve az errendszer intenzitsnak rtkt:r =JrpgdVs

Jp g dVa slypont helyvektora: (3 .43)

A g gravitcis gyorsulssal

egyszerstve

r=JrpdVs

J pdV

3.4. Trbeli edirendszer eredje

155

Ezzel egy tetszleges test slypontjnak koordinti meghatrozhatk. Az sszefggsbl ltszik, hogy a slypont koordinti csak a test geometrijtl s a tmegeloszlstl, azaz a p(x,y,z) fggvnytl fggnek. A (3.43) kifeJezs szmlljban szerepl

S0

=I r p dV =I rdm

mennyisg a test tmegnek az O pontra vonatkoztatott statikai nyomatkvektora. Amennyiben a koordinta-rendszert a test slypontjban vesszk fel rs =O rtkre addik, azaz a (3 .43) sszefggs szmllja is zrus kell legyen. Ms szval a statikai nyomatk a slyponti tengelyre zrus. A tovbbiakban vizsgljunk meg nhny specilis esetet, hiszen a m szaki gyakorlatban nem teljesen ltalnos testek szerepelnek. a., H omogn test A test minden pontjban azonos tulajdonsgokkal rendelkezik, teht a p s rsgfggvny lland, ekkor a (3.43) sszefggs integrljaibl kiemelhet s ezzel egyszersteni lehet. gy a slypont helyvektora homogn test esetn csak a test geometrijtl fgg:rs

=I rvdV

(3 .44)

Ezt a vektorsszefggst i, j, k vektorokkal vgigszorozva a slypont helyvektornak koordinti:xs

=I xvdV.,

_ IydV.

Ys-

V

'

,:.,

__I zdV s

v

(3.45)

Ha a test rszenknt homognnek tekinthet, a testet felbonthatjuk rszekre s a rszek slypontjt hatrozhatjuk meg elszr. gy a rszek slypontjba helyezett rszeredk koncentrlt erkbl ll prhuzamos errend szert alkotnak. Ezek eredjnek tmadspontja szalgltatja az egsz test slypontjt. Ez a mszaki gyakorlatban szoksos taln legltalnosabb eset.

156

3. jVJerev test statikja

kez

A tovbbi szmtsokhoz nhny jellemz test slypontjt megadjuk a kvettblzatban. Alakzat

Flgmb

Paraboloid

x

3

h

Kp

h

4

Gla

h

4

abh -3-

b., Szimmetrikus test Amennyiben a vizsglt test vagy testrsz sztmmetnaskkal rendelkezik, a slypont a szimmetriaskban helyezkedik el. Magyarzatra visszatrnk a kvetkez pontban. (3.51. bra)

3.4. Trbeli errendszer eredje

157

c., Alland vastagsg homogn test (lemez, h~j) Ha a vizsglt test lland vastagsg s kzpfellete egy sk, akkor ez szimmetriask, azaz biztosan ebben a skban van a slypontja. (Ha lland h vastagsg s trbeli fellettel hatrolt -pl. lemezbl kialaktott trbeli alakzat -, akkor a slypontjnak mindhrom koordintjt keressk). Az elemi trfogat mindkt esetben

dV=hdAformban kifeJezhet. Ezt helyettestve a (3.44) sszefuggsbe s figyelembe vve, hogy a trfogat V =hA , a slypont helyvektora: (3 .46) vagy skalris koordintival:

x =J x dA. y =J y dA. s A , s A ,

vagy xs

=

(3 .47)

Ugy ams Itt Is Igaz az, hogy a felletek esetleg szablyos rszekre bonthatk s kln-kln mindegyik slypontja meghatrozhat. Ezt kveten a prhuzamos, skbeli errendszer eredjnek tmadspontja megadja az egsz test slypontjt l. (3.22)-t. Ilyen feladatokra pldkat a ksbbiekben adunk. Ehhez azonban nhny jellemz szablyos skidom (homogn, lland vastagsg test) slypontjt tblzatosan kzljk (a tloldalon). Az integrlok elvgzsvel az eredmnyek helyessge ellenrizhet. A skidomok esetben is fel kell hvni a figyelmet a szimmetrira. A 3.51. brn lthat skidom szimmetriatengelye az y tengely. Ugyanis e tengely tmegy a slyponton, s az y tengely egyik oldaln lv minden felletelernx nek megtallhat a prja az azonos nagysg x rtknl, a tengely msik oldaln. A felletelemek elsrend vagy statikai nyomatka~ e tengelyre zrust adnak az x s a -x rtkek m1att.

158

3. lvferev test statikja

rdekes lehet mg a 3.52. brn vzolt skidom s az ehhez hasonlk szlmmetnJa.Ys

3

h

. b/2 . ... b/2 "'iY4

l

x

R4R3n:

4R3n:

l Xs , r--1

x

Y

tlxXs

2Rsina 3a

o

y. y-ex2 3 lOb

la

4

Xs

xi

i""

a

.. l

3.4. Trbeli errendszer eredje

159

Ez esetben a skidom az S pontra sz1mmetnkus, gy az x s az y tengelyre az egyes felletelemprok statikai nyomatkai IS nullt adnak. d., Prizmatikus homogn rd A V trfogat ebben az esetben elllt hat az alapterlet s a hossz szorzataknt. Egy l hosszsg rd trfogata: V = lA . Ha a rd keresztirny mrete1 elhanyagolhatk a hosszmret mellett, akkor a slypont helye az x tengelyen mrve:

xs

= I x A dl = I x dl

I A dl I dl

.

(3 .48)3.52. bra

Ha a rd felbonthat olyan rszekre, amelyek slypontjainak a helyt ismerjk, akkor:xs

=

xiAli _A/i -

IxJi _ xJ +xi + ...+x"ln

L( - / +/ +...+/n1

1

2

(3 .49)

2

Ys

o

160

3. Aierev test statikja

tekintve hogy a rd prizmatikus, azaz A lland. Az y s a z koordintk rtelemszeren a fentiek mintjra felrhatk. fenti sszefuggsekben a szmllk ezttal is az egyes vonalrszek elsrend vagy statikai nyomatkainak sszegei. A nevez pedig a rdbosszak sszege. Az elz tblzatban szintn megadjuk a kt leggyakrabban elfordul alakzat slypontjainak rtkeit.

3.32. Plda: Hatrozzuk meg a 3.53. brn rajzolt forgstest slypontjnak koordintit! Megolds: Ez a forgstest gy llt el, hogy az y tengely krl (szimmetriatengely) egy olyan skidomot forgattunk, amelynek hatrol vonala az y = cx 2 grbe.A forgstengelyen helyezkedik el a slypont, gy x,. s zs zrus, teht csak az Ys rtkt z x kell kiszmtani. 3.53. bra Az egyes elemi trfogatok a zx skkal prhuzamosan helyezkednek el, s nagysguk: r2 rc dy . Ezzel a (3 .45) alapjn szmolva:

mivel r 2

=

y Jc .

3.54. bra

3.33. Plda: Szmtsukki a 3.54. brn vzolt flkptrfogat slypontjnak a helyt! Most a szimmetriask az xy sk, ezrt zs zrus. Az brn stttve rajzoltunk meg egy elemi trfogatot Ezeknek a statikai nyomatka az yz skra:

3.4. Trbeli11 "h

errendszer eredje

161

I omertR r=-x.h

x~=I~x 3 dx= 22o 2h

Rz

Rz h"1t -

8

'

A trfogat:

V= I~= I -~xzdx=-n-.o 2 o 2h

h

"

h

R"

Rz h 6

Ezekkel a slypont tvolsga az x tengelyen mrve:R 2 nh2

x =s

R-nh6

~

=!_h.4

Az y s rtkt a zx skra szmtott statikai nyomatkkal kapjuk.

y s-

S

Vzx

zx -

R 6 6 2 nh- R 2 nh - -; R ---6 6k

R 3h

R3h

A statikai nyomatkot a szmtottuk. Ebben a4

skra az Szx

=I Ys dVo

sszefiiggs alapjn

r a flkr fellet slypontjnak kiszmtsra szolgl. 31t

3.34. Plda: Szmtsukki a 3.55. brn vzolt idom slypontjnak koordintit! Megolds: Els lpseknt felosztjuk az adott testet olyan rszidomokra, melyeknek ismerjk a slypontjt. A rszidomokat szmokkal jelltk s kln-kln megrajzoltuk, feltntetve a slypontjaik helyzett

162

A korbban ismertetett sszefggsekbe val helyettestsnl 12 az eljelekre szigorx an gyelni kell. A hinyz rsz negatv y 10 trfogatot jelent, a statikai nyomatkok karjainak eljeit pex x dig a koordintatengelyek irnytottsga Y szerint kell meghatrozm. Msodikknt egy x x alkalmasan vlasztott 4 koordinta-rendszert kell felvenni. Az al3.55. bra kalmassg azt jelenti, arra kell trekedni, hogy minl kevesebb tagot, minl egyszerbb mretmegadssal szerepeltessnk az egyenleteinkben. Pl.: valamelyik rsz slypontjval essen egybe a koordinta-rendszer kezdpontja vagy valamelyik slyvonal legyen azonos az egyik koordintatengellyel. (Pldi