3 Trabalho Laboratorial Anlise de um sistema de segunda ordem

Objetivos

O 3 Trabalho teve como principal objetivo o estudo terico de um circuito RLC,

e num sistema de segunda ordem puro observar experimentalmente as suas respostas

no tempo e em frequncia.

Introduo

O circuito RLC utilizado neste trabalho equivalente a um sistema massa mola

amortecedor. No planeamento deste trabalho foi feita a previso do seu

comportamento tendo em conta trs valores de resistncias diferentes

(correspondentes a um sistema subamortecido, criticamente amortecido e

sobreamortecido). Este circuito pode ser dado pelas seguintes equaes:

{

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

Das equaes anteriores podemos retirar:

( )

( )

( ) ( )

Para obter a respetiva funo de transferncia basta aplicar a transformao de

Laplace.

( )

( )

O comportamento dinmico deste sistema descrito essencialmente por dois

parmetros diferentes, o coeficiente de amortecimento () e a frequncia natural no

amortecida (n).

{

A partir as equaes anteriores possvel obter uma expresso que relaciona a

resistncia (R), com o coeficiente de amortecimento () e os valores da bobine (L) e do

condensador (C).

O valor do coeficiente varia entre os seguintes valores,

. Se o sistema for no amortecido, ; caso seja subamortecido,

; tem-se amortecimento critico quando ; e por fim sobreamortecido se .

Figura 1- Circuito RLC

Planeamento

Para os valores fixos de duas bobinas em serie (L=2*100mH) e do condensador

(C=100nF) determinou-se trs valores diferentes de R que correspondem a um sistema

criticamente amortecido, sistema subamortecido e sistema sobreamortecido.

A determinao da funo de transferncia e dos respetivos polos foi efetuada

no Matlab atraves das funes tf e step

A frequncia natural no amortecida ser:

Amortecimento critico

Funo de transferncia e respetivos polos:

Subamortecido

Para R=1500

Funo de transferncia e respetivos polos:

Sobreamortecido

Para R=3500

Funo de transferncia e respetivos polos:

Anlise do sistema no domnio do Tempo:

(Dados igualmente retirados do Matlab a partir da funo em anexo)

Amortecimento critico:

Sistema Subamortecido:

Sistema Sobreamortecido:

A partir da observao dos grficos anteriores podemos concluir que quando mais elevada for a resistncia escolhida, maior ser o coeficiente de amortecimento e

maior ser tambm o tempo de crescimento assim com o tempo estabelecido.

A taxa de crescimento bastante superior no intervalo 0

Anlise do sistema no domnio da frequncia:

(Dados igualmente retirados do Matlab a partir da funo em anexo)

Amortecimento critico

Sistema Subamortecido

Sistema Sobreamortecido

Da observao os grficos podemos retirar que a frequncia de ressonncia no

caso do sistema subamortecido substancialmente inferior aos restantes sistemas,

podemos tambm concluir que tambm para o sistema subamortecido temos uma

maior largura de banda.

Procedimentos

O primeiro passo a efectuar no trabalho foi medir a resistencia interna das

bobinas em serie, uma vez que nao so ideais. Para tal utlizamos o multimetro e o

valor que obtivemos foi de :

Foi montado na breadboard o circuito RLC apresentado anteriormente, e para o

testar recorremos seguinte montagem:

Figura 2- Montagem para teste do circuito RLC

A partir do gerador de sinais comemos por fornecer ao sistema um sinal com

uma onda quadrada com 5 V pp e 200Hz. Isto para observar a resposta do sistema a

uma entrada em degrau dada por ( ), onde H a funo de Heaviside.

Visualizando a entrada no cana A do osciloscpio e a sada no canal B, acertmos

a escala do tempo (no osciloscpio), de forma a ver unicamente um perodo completo,

por fim varimos o valor da resistncia.

Para os trs sistemas estudados, determinmos o valor da resistncia do

potencimetro e calculmos o valor do coeficiente de amortecimento, .

{

Amortecimento critico

Sistema Subamortecido

Sistema Sobreamortecido

Para o sistema subamortecido medimos na resposta observada no osciloscpio

os valores de mximo sobreimpulso Mp e de tempo de pico tp. Com os quais fizemos a

comparao com os valores obtidos a partir das seguintes equaes:

Valores medidos

0.2963

Valores calculados

De seguida, para achar a resposta em frequncia do sistema subamortecido do ponto anterior, alterou se o sinal de entrada no circuito para um sinal sinusoidal, fazendo variar a sua frequncia entre os 20Hz e os 20kHz. Para cada frequnci a de entrada foram registados os valores de amplitude e fase do sinal de sada na folha SSM_Bode.xls. Uma vez que se est a trabalhar com um sistema linear, a determinao experimental do ganho e da desfasagem foi assegurada atravs das curvas de Lissajous

Sinais e Sistemas Mecatrnicos

Turno

Grupo

Sobre= 2

Sub=

0,0117

Mp =

0,2963 tp =

0.00046

n =

7071,1

Resist. das bobinas

72,8

Freq 20 50 100 200 500

1000

2000

5000

10000

20000

2a 4,9 5,1 5,2 5,2 5,1 5 5,2 5,2 5,2 5,2

2b 5,35 5,35 5,35

5,35 6,1 7,4 2 0,26

0,062

0,0145

2c 1,55 0,8

0,62 0,8 2,3 7,3 0,9 0,05

0,006

0,0015

Amp

0,7632

0,4157

0,247

0,247

1,5552

3,4052

-8,299

-26,0

2

-38,47

-51,0

9

Fase

-16,8

4 -8,6

-6,655

-8,6

-22,1

5

-80,5

7

-26,74

-11,0

9

-5,553

-5,93

8 cor

r. -

180 -180 -

180 -180 f

corr

-16,8

4 -8,6

-6,655

-8,6

-22,1

5

-80,5

7

-153

,3

-168,

9

-174

,4

-174,

1

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

10 100 1000 10000 100000

Ganho

-180

-135

-90

-45

0

10 100 1000 10000 100000

Fase

Fa