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INDICE

INTRODUCCION………………………………………………………………………………………………………………………….. 3

RECOMENDACIONES DIDACTICAS……………………………………………………………………………………………. 5

EVALUACION………………………………………………………………………………………………………………………………. 7

ORGANIZACIÓN DE LA MATERIA. …………………………………………………………………………………………….. 9

BLOQUE I

MEDICION Y APROXIMACION…………………………………………………………………………………………………….

10

BLOQUE II

MEDICION DE LONGITUDES Y SUPERFICIES (PERIMETRO Y AREA)……………………………………….

15

BLOQUE III

MEDICION Y CAPACIDAD DEL VOLUMEN………………………………………………………………………………….

19

BLOQUE IV

OTRAS MAGNITUDES………………………………………………………………………………………………………………….

31

MATERIALES DE APOYO

UNIDADES BASICAS DE MEDICION………………………………………………………………………………………….. 35

GEOMETRIA DEL PLANO…………………………………………………………………………………………………………….. 37

LOS POLIGONOS………………………………………………………………………………………………………………………… 52

PERSONALIDAD Y SEGMENTOS Y SEMEJANZA…………………………………………………………………………. 67

EL TEOREMA DE PITAGORAS Y OTRAS RELACIONES EN TRIANGULOS………………………………….. 85

LA CIRCUNFERENCIA…………………………………………………………………………………………………………………. 96

AREAS DE FIGURAS PLANAS…………………………………………………………………………………………………….. 109

RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO…………………………………………………………………………………………… 127

RECTAS Y PLANOS…………………………………………………………………………………………………………………….. 135

FIGURAS DE REVOLUCION………………………………………………………………………………………………………… 151

CONICAS Y CUADRATICAS………………………………………………………………………………………………………… 168

ASPECTOS BASICOS DEL DIBUJO Y TRABAJO GEOMETRICO………………………………………………….. 184

ANGULOS, TRIANGULOS Y BISECTRIZ……………………………………………………………………………………… 186

POLIGONOS……………………………………………………………………………………………………………………………….. 198

DE LOS PATRONES A LA MODELACION……………………………………………………………………………………… 202

AREA DE LOS RECTANGULOS……………………………………………………………………………………………………. 204

AREA DEL ROMBOIDE………………………………………………………………………………………………………………… 205

AREA DEL TRAPESIO………………………………………………………………………………………………………………….. 206

AREA DEL ROMBO………………………………………………………………………………………………………………………. 207

AREA DEL TRIANGULO……………………………………………………………………………………………………………….. 208

AREA DE POLIGONOS REGULARES……………………………………………………………………………………………. 209

AREA DEL CIRCULO……………………………………………………………………………………………………………………. 210

PROPIEDADES DE LOS TRIANGULOS Y PARALELOGRAMOS……………………………………………………. 211

LOS ANGULOS INTERIORES DE UN TRIANGULO SUMAN 180O……………………………………………….. 212

2

EL ANGULO EXTERIOR DE UN TRIANGULO EQUIVALE A LA SUMA DE LOS DOS INTERIORES

NO ADYACENTES A EL………………………………………………………………………………………………………………..

213

LOS LADOS DE UN PARALELOGRAMO SON CONGRUENTES …………………………………………………… 214

LAS DIAGONALES DE UN ROMBO SON PERPENDICULARES……………………………………………………. 215

LAS DIAGONALES DE UN RECTANGULO SON CONGRUENTES………………………………………………… 216

PROPIEDADES DEL CUADRADO…………………………………………………………………………………………………. 217

RELACIONES ENTRE LOS ANGULOS EN EL CIRCULO Y LOS ARCOS QUE SUBTIENDEN………… 218

ANGULO INSCRITO……………………………………………………………………………………………………………………. 219

ANGULO SEMI-INSCRITO………………………………………………………………………………………………………….. 220

ANGULO INFERIOR…………………………………………………………………………………………………………………….. 221

ANGULO EXTERIOR……………………………………………………………………………………………………………………. 222

CONCLUSIONES FINALES…………………………………………………………………………………………………………… 223

MEDICION DE CAPACIDAD Y VOLUMEN……………………………………………………………………………………. 224

3

INTRODUCCIÓN

Esta asignatura corresponde al sexto semestre de la Licenciatura en Educación Secundaria, bajo

la modalidad semiescolarizada, y su estudio contribuye a la formación disciplinaria en el campo

de la geometría vinculada con la aritmética, así como a la formación didáctica, por el tipo de

actividades que los estudiantes resuelven y/o analizan.

El programa se divide en cuatro bloques, de los cuales el primero centra la atención en el

desarrollo histórico de la medición y de las unidades que se han utilizado para expresar

medidas, así como en el tipo de errores que se cometen al medir.

El segundo bloque se refiere al estudio de dos magnitudes muy comunes: la superficie y el

perímetro; se pone énfasis en la construcción de modelos que permiten realizar cálculos, en el

área y el perímetro, de manera eficiente. Cuando se habla de la construcción de la modelación

debe quedar claro el propósito de que los estudiantes intenten deducir fórmulas de otras más

simples, de manera que no haya necesidad de memorizarlas; por otra parte, se pretende que los

alumnos recurran a descomponer figuras en otras más simples para calcular sus áreas. Otro

aspecto importante de este bloque es el análisis de relaciones entre áreas de figuras inscritas o

circunscritas y el área lateral de diversos cuerpos geométricos.

El tercer bloque se refiere al estudio de la relación entre la capacidad y el volumen y a su

medición en cuerpos regulares e irregulares. Se trata de que los estudiantes amplíen sus

recursos para calcular el volumen o la capacidad de una gran variedad de cuerpos u objetos y

por distintos medios. Como en el bloque anterior, la deducción de fórmulas para calcular

volúmenes o capacidades es un aspecto importante a tratar.

El cuarto y último bloque se refiere al estudio de otras magnitudes, tanto fundamentales como

derivadas; algunas de ellas han sido poco estudiadas en los niveles escolares anteriores y por lo

mismo es necesario analizarlas con cuidado. Tal es el caso de la intensidad luminosa, la

intensidad de corriente eléctrica, la cantidad de sustancia, la densidad, entre otras.

Desde el punto de vista didáctico se hace la misma recomendación para todas las magnitudes,

en el sentido de analizar el significado de las unidades de medida, de las relaciones que se

establecen entre ellas y de las fórmulas que se pueden usar para calcular medidas. Todo esto se

hace con la finalidad de evitar el aprendizaje memorístico que, como sabemos, carece de

funcionalidad, además de la desarticulación con el contexto de trabajo.

El estudio de las magnitudes que se derivan de la relación entre magnitudes fundamentales,

como es el caso de la velocidad, representa una dificultad mayor para los estudiantes, por el

cálculo dimensional que es necesario hacer. Un caso simple es el área que resulta del producto

4

de dos longitudes, pero sin duda hay otros casos más complejos, como la aceleración, que

relaciona la velocidad con el tiempo. En todos estos casos es importante que los estudiantes

resuelvan una gran variedad de problemas y analicen diversos procedimientos.

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RECOMENDACIONES DIDÁCTICAS

La idea de problematizar el estudio de la disciplina

Un principio fundamental en el estudio de la matemática es que el salón de clase se transforme

en un medio donde el estudiante tenga oportunidad de reflexionar sobre su aprendizaje de la

disciplina, es decir, que las actividades de estudio se conviertan en un vehículo para que el

estudiante, constantemente, se plantee y discuta preguntas, que cuestione por qué las cosas se

presentan de cierta forma. Esto significa que las actividades deben presentarse en forma de

problemas o preguntas en los que el estudiante tenga la oportunidad de reflexionar, abordar y

resolver una serie de interrogantes relacionadas directamente con el tema de estudio. Con esta

perspectiva, el estudiante tendrá más elementos para investigar y analizar soluciones, resolver

incompatibilidades y rediseñar o formular nuevos problemas.

Una de las tareas fundamentales del maestro consiste en propiciar en el salón de clase un

espacio de diálogo constante donde se problematice el estudio de las matemáticas. En esta

dinámica, la actividad central es la discusión de los procedimientos que puedan ayudar a

resolver los problemas o preguntas que emerjan de la interacción del estudiante con la

situación. Analizar la pertinencia de los procedimientos y evaluar el potencial particular o general

de éstos son actividades que ayudan a construir y mantener una actitud crítica en el salón de

clase. El papel del maestro es seleccionar y presentar las tareas que ayuden a problematizar la

disciplina por parte de los estudiantes. En tal caso, es importante que tenga en consideración los

conocimientos y habilidades con que cuentan los estudiantes.

Aprender a resolver problemas y pensar matemáticamente requiere una reflexión y acción

continua acerca del quehacer o actividad matemática. Algunas preguntas que llegan a ser rutina,

en un curso que valore la resolución de problemas, y que juegan un papel central en el

desarrollo de tal reflexión matemática en los estudiantes son:

a) ¿He usado o identificado la información importante en el problema?

b) ¿Estoy convencido de la forma de solución del problema?

c) ¿Puedo convencer a otros compañeros?

d) ¿He resuelto totalmente el problema?

e) ¿Puedo utilizar otra(s) estrategia(s) de solución?

f) ¿Se puede generalizar este resultado?

Entre otras, éstas son preguntas que los estudiantes pueden contestar al interactuar con los

problemas.

Por otro lado, los estudiantes deben compartir los resultados de sus exploraciones y presentar

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justificaciones y explicaciones de los procedimientos que empleen. En este sentido, aprender

incluye valorar el trabajo de los demás, tomar ventaja de sus ideas y de los resultados de sus

indagaciones; esto requiere que los estudiantes aprendan a escuchar a sus compañeros y

respondan adecuadamente a sus puntos de vista e inquietudes.

La forma de plantear los problemas y de organizar la actividad de los alumnos influye

directamente en las actitudes y creencias que los estudiantes desarrollen hacia las matemáticas

y su aprendizaje. Al problematizar el estudio de las matemáticas, los estudiantes obtienen

oportunidades de reconocer el potencial de su propia práctica y de ver a las matemáticas como

una actividad intelectual en la que pueden participar y avanzar. Existe evidencia de que los

estudiantes que participan en una búsqueda reflexiva desarrollan una disposición consistente

con el quehacer matemático.

Los temas que se proponen tienen la finalidad de servir de ejes en la discusión de las ideas

fundamentales del quehacer matemático. Por esta razón, se recomienda que no se presenten de

manera separada, por el contrario, se debe establecer una conexión entre ellos, de tal forma

que los estudiantes vayan concibiendo la geometría desde el punto de vista de la medición y el

cálculo y, en general, las matemáticas como un todo estructurado en torno a las diferentes

necesidades que surjan de problemas originados en el desarrollo social o dentro de la misma

disciplina.

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EVALUACIÓN

Medición y cálculo geométrico

Al término de las actividades propuestas en cada bloque, se sugiere aplicar el análisis de los

contenidos bajo las técnicas que permite la evaluación de portafolio, agrupados en cuatro

grandes categorías:

a) El desempeño actitudinal del participante para el despliegue de las actividades, en especial

las que tienen que ver con la vinculación entre el trazado, medición y cálculo, así como la

asociación de las diferentes disciplinas por las que ha transitado a los largo de las

asignaturas que le anteceden a la presente

b) El desempeño de las actividades o tareas de aprendizaje

c) El diseño del curso

d) El desempeño del profesor estudiante durante las clases presénciales

En la primera categoría se sugiere rescatar los puntos de vista del profesor estudiante, como: la

disposición hacia la integración como miembro del grupo, la apertura hacia compartir ideas y

juicios; apertura ante las tareas de aprendizaje; tolerancia a las opiniones de los demás; su

participación en actividades de trabajo colaborativo; entre otras.

En el segundo rubro sugerido, se propone evaluar todas las actividades que supone el presente

programa de Medición y Cálculo Geométrico, como; la capacidad de análisis y síntesis, las

habilidades desarrolladas a través de cada una de las actividades, entre otras.

En el tercer apartado que se sugiere para evaluar el proceso, es importante recuperar los puntos

de vista del maestro estudiante en cuanto a la conducción, desempeño y dominio de los temas

no solo del maestro estudiante, sino también de los profesores frente al despliegue de la

disciplina, este apartado, debe considerar algunas subcategorías como: la declaración de

intenciones por parte del facilitador, si este explicita las formas de trabajo en el salón de clases,

si presenta los propósitos generales y particulares del curso, si incorpora aprendizajes de

conocimiento, habilidades y actitudes; si las actividades están directamente relacionadas con los

propósitos implícitos y explícitos; si esas se orientan hacia el trabajo colaborativo en el que

implique al alumno estudiante como un activo promotor de su propio proceso de aprendizaje, y

todos aquellos aspectos que el docente considere necesarios, y sobre todo que ayuden en la

reorientación y planificación de actividades que tengan mayor consistencia.

Finalmente, en el último aspecto sugerido, es conveniente incorporar reflexiones que tiendan a

evaluar la asistencia y participación del profesor estudiante, como: si las tareas solicitadas se

realizan en tiempo y forma; si el profesor estudiante asiste a la clase presencial con los

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materiales analizados previamente; si escucha las presentaciones y opiniones de sus

compañeros; si hace contribuciones en las discusiones que se generen en el grupo, si tiene

dominio sobre la información que discute; si sus aportaciones tienen el carácter de novedosos y

relevantes en las discusiones generadas; si sus argumentos e ideas son presentadas con la

lógica preposicional, etcétera.

Por lo anterior, este proceso de evaluación, debe permitir, tanto al titular de la disciplina como al

profesor estudiante, por un lado la integración en un grupo estructurado y por otro las

reorientaciones pertinentes a la dirección, planeación, desempeño y evaluación del curso.

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ORGANIZACIÓN DE LA MATERIA

Por lo anteriormente expuesto y dada la relevancia de la disciplina, se ha procurado incorporar,

en cada bloque de asignación temática algunas actividades que favorezcan la modelación

matemática y al mismo tiempo la medición y el cálculo geométrico.

La modelación matemática constituye un factor importante, ya que es el método que permite

descubrir patrones recurrentes en el tratamiento y presentación de datos; dichos patrones, que

si bien es cierto, tienen el carácter aritmético, también es cierto que a través de ellos se pueden

generalizar con letras y éstas serán las que den respuesta desde tres líneas importantes: el

cálculo de perímetro, área y volúmenes, vinculadas a los principios algebraicos.

Dichas generalizaciones aplicadas a la geometría, que también recurren a los patrones, tanto en

su composición como en el método de resolución de problemas, las iremos llamando “fórmulas”,

de ahí la necesidad de plantear múltiples actividades que permitan ir descubriendo, como

dijimos en las líneas anteriores, los patrones y a su vez las “fórmulas”.

Sin embargo, no significa que quien despliegue las actividades propuestas en la disciplina pueda

introyectar orto método para que el profesor estudiante llegue a la modelación y con ésta a la

fórmula, por lo que es recomendable seguir la secuencia de las actividades planteadas y que al

mismo tiempo se enriquezcan con las experiencias tanto del titular de la disciplina como de los

profesores estudiantes que participan en este proceso.

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BLOQUE I

MEDICIÓN Y APROXIMACIÓN

PROPÓSITOS

Al término de las actividades del bloque, el profesor estudiante será capaz de:

1. Contar con los elementos históricos de los sistemas de medición.

2. Aplicar las unidades convencionales de los sistemas de medida (decimal e inglés) en la

resolución de problemas.

3. Adquirir los elementos necesarios para realizar el análisis correspondiente en los errores e

incertidumbres en la medición.

TEMAS

1. Antecedentes históricos de la medición.

2. Unidades convencionales de medida. Sistema internacional de medidas; múltiplos y

submúltiplos. Conversiones a unidades de otros sistemas (sistema inglés).

3. Análisis de errores e incertidumbres en la medición.

BIBLIOGRAFÍA BÁSICA

Del Olmo et al. (1993), Superficie y volumen. ¿Algo más que el trabajo con fórmulas?, Madrid,

Síntesis.

SEP (1997), Libro para el maestro. Matemáticas. Educación Secundaria, México.

— (1995), Libro para el maestro. Física. Educación Secundaria, México.

— (2000), Fichero de actividades didácticas. Matemáticas. Educación Secundaria, 2ª ed.,

México.

— (2000), Secuencia y organización de contenidos. Matemáticas. Educación Secundaria, 2ª ed.,

México.

11

ACTIVIDADES QUE SE PROPONEN

1. Comente, reunidos en pequeños grupos de trabajo colaborativo la lectura “Los orígenes de la

geometría” del libro para el maestro, páginas 211 – 222; se sugiere centrar la atención en:

a) cómo se introducen las nociones geométricas,

b) en qué momentos de la vida del hombre empieza la aparición de ésta;

c) en qué momento histórico dio inicio la sistematización de la disciplina;

d) en qué consiste la geometría empírica;

e) cuáles fueron las culturas que dieron lugar a la sistematización de la materia;

f) cómo la utilizaron para realizar las grandes construcciones que hoy en día son

inexplicables para la ciencia;

g) cómo nacieron las “fórmulas”;

h) en qué momento de la historia de la humanidad nació la geometría deductiva y en qué

consiste; quiénes son los precursores;

i) qué son los números figurados;

j) qué relación hay entre los números triangulares, cuadrados, etcétera con el cálculo del

perímetro y superficie de figuras geométricas;

k) en qué consiste el patrón de la geometría axiomática;

l) las razones por las que se le atribuye a Euclides (300 a. C) la geometría axiomática;

m) en qué consiste el patrón de este estilo geométrico y

n) cuáles son los postulados y axiomas de Euclides

2. Los profesores estudiantes podrán formar pequeños grupos de trabajo e indagar en diferentes

fuentes bibliográficas, como: El manantial en Estudio de las geometrías de Howard Eves

(UTHEA, México), el nacimiento del sistema de medición, puede centrar su atención en algunas

culturas como la Babilónica, Egipcia, Romana, Maya, Griega y enriquecerla con las aportaciones

de algunos de los matemáticos de la antigüedad como: Pitágoras. Arquímedes, Ptolomeo,

Anaxágoras, Tales, etcétera.

Es importante recalcar que este proceso de indagación debe quedar centrado en el uso de

unidades de medición y las transformaciones o en su defecto la desaparición de las mismas y las

razones por las que se desvanecieron; por cuáles fueron sustituidas, si presentaron

transformaciones o no progresaron; en cualquiera de los casos, a qué se debió la transformación

o la falta de progreso; de modo que históricamente pueda responder al nacimiento del Sistema

de medición decimal e inglés

3. Calcule, el undécimo primer número en la serie de los números pentagonales, sabiendo que

11, 52, 123, 224, … n11

12

Observe que es una serie numérica que inicia con la unidad y su aumento no es constante, sin

embargo, al registrar el incremento de las cuatro primeras cifras de la serie, es decir, 5, 7, 9, …

lleva un aumento constante de dos en dos.

Este análisis numérico, permite establecer un patrón que tiene que ver con el cálculo de

superficies, de modo que dicho patrón será quien determine el enésimo número de una serie.

4. Resuelva la ficha No. 17 “El perro guardián”, del fichero de actividades didácticas, páginas 42

y 43; comente con su grupo de trabajo colaborativo, los patrones a que se recurre para el logro

del propósito explícito al inicio de la ficha de trabajo.

5. Establezca en tablas de comparación las principales unidades de media que se utilizan en el

cálculo de longitudes, superficies, pesos y volúmenes, para el sistema decimal

Unidades

Convencionales Long. Sup. Peso Vol.

Mú

ltip

los

Elemento

básico

Su

bm

últ

iplo

s

Para el sistema inglés

Unidades

Convencionales Long. Sup. Peso Vol.

Mú

ltip

los

Elemento

básico

Su

bm

últ

iplo

s

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Consulte la tabla de principales unidades de medición que se muestra en la sección del material

de apoyo del presente programa de trabajo.

Otras unidades de medición, son las que se utilizan en el campo de la navegación área y

marítima, por lo que se sugiere que los profesores estudiantes manejen las conversiones de las

unidades de navegación, por ejemplo, nudos a kilómetros. Es importante señalar que el manejo

de las unidades de medición se realice siempre bajo contextos, por ejemplo:

“Una embarcación transportadora de alimentos no perecederos viaja a una velocidad constante

de 2.5 nudos por hora, si la distancia a recorrer es de 2 305 kilómetros, ¿cuánto tiempo tardará

en llegar a su destino?”

6. Ciencias disciplinarias, como la Física, Química, Biología, utilizan otras unidades de medición,

por lo que es necesario que el profesor estudiante realice algunas conversiones, tanto de los

sistemas de medición decimal e inglés como los correspondientes a estas ciencias disciplinarias,

por ejemplo: las micro unidades utilizadas por la química (moles), caídas libres que se calculan

en la física (newtons, atmósferas, etcétera); por su parte, las ciencias de la economía utilizan el

sistema monetario vinculado a los índices y éstos medidos en dos vertientes; el crecimiento o

decremento (pérdidas y ganancias) medidos en unidades y puntos porcentuales, por lo que

resulta conveniente que los profesores estudiantes resuelvan algunos problemas en los tenga

que ver la química, la física, la biología y la economía, aparte de los problemas de carácter

puramente matemático.

7. Realizar algunas conversiones en cada sistema de medida, resulta un buen ejemplo para

establecer comparaciones medicionales, como:

- Encontrar la equivalencia de 2. 4 metros en milímetros

- Encontrar la equivalencia de 789 metros en kilómetros

- Encontrar la equivalencia de 45.6 metros en yardas

- Encontrar la equivalencia de 8.745 TM en kilogramos

- Encontrar la equivalencia de la velocidad en kilómetros de un buque que navega a una velocidad

de 7.85 nudos náuticos.

8. El sistema de medición sexagesimal (3600), es conveniente para establecer la comparación de

diferentes ángulos; agudo, recto, obtuso, grave, entrante, colineal, complementario,

suplementario, interiores, exteriores, inscritos y seminscritos, resultan otro buen ejercicio para

afianzar los diferentes sistemas de medición, y sobre todo para analizar los patrones que dan

lugar a situaciones más avanzadas en el estudio de la geometría. Para estos casos es

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recomendable tener en cuenta los antecedentes geométricos en el trazado del dibujo (analice la

lectura “Aspectos básicos del dibujo y trazo geométrico” del material de apoyo)

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BBLLOOQQUUEE IIII

MEDICIÓN DE LONGITUDES Y SUPERFICIES (PERÍMETRO Y ÁREA).

PROPÓSITOS


1. Identificar los patrones geométricos para el cálculo del perímetro y área de figuras, así

como el volumen de cuerpos geométricos

2. Aplicar dichos patrones en el planteamiento y resolución de problemas que tengan que ver

con el cálculo de perímetros y áreas, tanto de figuras regulares como irregulares, así

mismo

3. Calcular el volumen de los cuerpos regulares e irregulares

TEMAS

1. Justificación de diferentes fórmulas para calcular el perímetro y el área de paralelogramos,

triángulos y polígonos regulares (por ejemplo, calcular el área del triángulo a partir de: su base

y su altura, la medida de sus lados, etcétera).

2. Perímetro y superficie de figuras irregulares y de figuras curvilíneas.

3. Relación entre el área de distintas figuras geométricas. Figuras inscritas o circunscritas (por

ejemplo: investigar la relación entre la superficie de un círculo inscrito en un cuadrado y la

superficie de ese cuadrado).

4. Área lateral y total de prismas y pirámides, superficie cilíndrica, cónica y esférica.

BIBLIOGRAFÍA

García et al. (1998), Geometría y experiencias, Madrid Síntesis

Alvídrez V. Juan Manuel, “De los patrones a la modelación”, Chihuahua 2000




México.

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ACTIVIDADES

1. Discuta con su grupo de trabajo colaborativo el planteamiento de las fichas “figuras básicas y

ángulos y representación gráfica” del Fichero de Actividades didácticas, páginas 18 – 19 y 23 –

23, respectivamente.

2. Discuta con su grupo de trabajo colaborativo el planteamiento de la ficha “Trazos geométricos

y figuras básicas” de las páginas 48 y 49 del fichero de actividades didácticas

3. Discuta con sus compañeros de grupo la forma de resolver el siguiente problema:

“A y B son puntos colineales de un rectángulo inscrito en una circunferencia, ¿cuál es el

perímetro y la mayor área que puede alcanzar”

Aplique otras variables, como, ¿qué pasaría si A y B son vértices opuestos del rectángulo?:

¿Variaría el perímetro y la mayor área que puede alcanzar?

¿Qué pasaría si A es un vértice y B es el punto medio de uno de uno de los lados colineales al

vértice A? ¿Sería el mismo perímetro y la mayor área que puede alcanzar?,

o bien, ¿qué pasaría si A es vértice y B es el punto medio de uno de los lados no colineales al

vértice A del rectángulo?, ¿Sería el mismo perímetro y la mayor área que pueda alcanzar?

17

Esta actividad, permite al profesor estudiante advertir que el patrón que se presenta, da lugar al

modelo matemático para calcular tanto el perímetro como el área de cuadriláteros y a partir de

la modelación, aplicar una fórmula ya conocida por los mismos, de modo que la actividad está

planteada para que el profesor estudiante sea capaz de descubrir el patrón y llegar al modelo

(fórmula), origen de las fórmulas que de manera tradicional se han utilizado, la diferencia es que

el profesor estudiante adquiere una gran riqueza al discutir y poner en práctica algunas

estrategias para llegar al modelo.

4. Cavalieri, dio lugar a la triangulación, entre otras, definida como el área que queda limitada

por tres longitudes, es el resultado del estudio de los cuadriláteros, por lo que, enfatizar el

análisis de los triángulos resulta conveniente para posteriores estudios, como los postulados de

Tales (semejanza) o los principios de Pitágoras que posteriormente se traducen en el análisis de

las funciones trigonométricas (analice “De los patrones a la modelación” del material de apoyo)

5. El análisis de los polígonos (pentágono, hexágono, etcétera, son el resultado de la recurrencia

de los patrones que se utilizan en el estudio tanto de los cuadriláteros como de los triángulos,

por lo que, se recomienda ir más allá de los mismos, como por ejemplo, plantear el cálculo de

las constantes que se establecen en un polígono inscrito en una circunferencia y esta a su vez

inscrita en el polígono, como se muestra en la siguiente figura:

En el cálculo, tanto del perímetro como de las áreas, el radio de la circunferencia inscrita resulta

ser la apotema del polígono inscrito en la circunferencia, además el patrón que se presenta a

partir del análisis de éste y otros problemas similares, permiten al profesor estudiante encontrar

patrones geométricos y establecer el modelo (fórmula) que de respuesta a la solicitud del

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propósito de este bloque de trabajo; por otro lado, el tratamiento que se hace de dichos temas

recurre en forma sistemática al sentido común, experiencia e intuición del futuro Licenciado en

Matemáticas, abordando directamente el problema que se plantea.

La recurrencia consiste en que se justifican de manera elemental y simple las “fórmulas” para el

cálculo del perímetro, el área y el volumen que aprendemos desde la enseñanza elemental.

Dentro de este planteamiento, dichas fórmulas se enriquecen al ampliarse la colección de figuras

a las que se puede aplicar; de modo que en cada uno de los participantes de esta experiencia,

existen una gran variedad de trazos de figuras, que convergen a un patrón geométrico y éste

será quien le de vida a las “fórmulas” que aprendimos de manera memorística en la escuela

elemental.

6. Resuelva los problemas que se plantean en el libro del maestro en las páginas 238 a 240,

mostrando ante sus compañeros las estrategias utilizadas para encontrar las respuestas que se

esperan.

7. Analice el material “de los patrones a la modelación” del material del apoyo para el estudio de

la disciplina “Medición y Cálculo Geométrico”

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BLOQUE III

MEDICIÓN DE CAPACIDAD Y VOLUMEN

PROPÓSITOS


1. Establecer los principios de la modelación matemática para el cálculo del volumen de los

cuerpos geométricos regulares e irregulares

2. Determinar el cálculo del volumen de prismas y pirámides regulares a través de la

modelación matemática, bajo el principio de recursividad

TEMAS

1. Justificación de las fórmulas para calcular el volumen de prismas, pirámides, conos, poliedros

regulares y la esfera.

2. Cálculo del volumen de cuerpos oblicuos (Principio de Cavalieri).

3. Relación entre volumen y capacidad.

4. Relación entre el volumen de distintos cuerpos (por ejemplo: investigar la relación entre el

volumen de la esfera más grande que puede ser contenida en un cubo respecto al volumen de

ese cubo).


Los cuerpos que observas en la naturaleza adoptan formas muy variadas; algunos de ellos se

aproximan bastante a las formas geométricas que observas en el dibujo. Sin embargo, un dado,

un cucurucho, una caja de cerillos, una pelota o una lata de conservas, productos de nuestra

cultura, son modelos bastante aproximados de los cuerpos geométricos.

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LOS POLIEDROS Y LA FÓRMULA DE EULER

Entre los distintos cuerpos geométricos distinguimos a simple vista los que tienen sus caras

limitadas por polígonos, como una caja de cerillos y los que no, como un cucurucho, lo que

permite dar una primera clasificación en poliedros y no poliedros.

Poliedro es todo sólido limitado por caras en forma de polígonos.

Según el número de éstas, los poliedros pueden ser tetraedros,

pentaedros, hexaedros, etc.

En la figura, que representa un hexaedro regular, puedes

observar los elementos básicos que componen todo poliedro:

vértices, aristas, caras, diagonales, planos diagonales, ángulos

diedros y ángulos poliedros.

Es preciso prestar atención al concepto de diagonal del poliedro y no confundirlo con el de

diagonal de una cara del poliedro.

1. Para cada uno de los poliedros que aparecen en la tabla adjunta haz el recuento del

número de vértices, aristas y caras, y anótalo en la columna correspondiente.

Poliedro No de caras

C

No de vértices

V

No de aristas

A

Relación aritmética

C + V = A + 2

Observa que en todos ellos se cumple la relación aritmética C + V – A = 2, o también

C +V = A + 2

21

En general: Todos los poliedros convexos cumplen la relación aritmética:

N° de caras + N° de vértices = N° de aristas + 2

Expresión conocida con el nombre de relación de Euler, matemático suizo del siglo XVIII.

2. Justifica la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones:

1. En todo poliedro, sus caras son todas iguales.

2. El menor número de caras de un poliedro es cuatro.

3. En cada vértice de un poliedro concurren siempre el mismo número de aristas.

4. El cilindro y el cono son poliedros.

5. En los poliedros, el menor número de caras que concurren en un vértice es tres.

6. El número de aristas de un poliedro que concurren en un vértice es, como mínimo, cinco.

7. Un hexaedro con 10 artistas tiene 8 vértices.

Entre los muchos poliedros que nos podemos imaginar, los de mayor interés son los poliedros

regulares.

Al igual que en geometría plana estudiábamos los polígonos regulares, así también en geometría

sólida podemos pensar en cuerpos con análogas características en cuanto a la regularidad.

Se llaman poliedros regulares aquellos cuyas caras son polígonos regulares iguales entre sí y

de modo que en cada vértice concurren el mismo número de caras.

No obstante, veamos una notable diferencia entre la geometría plana y la geometría sólida. Así

como existe una infinidad de polígonos regulares, ¿cuántos poliedros regulares cabe esperar?

Para contestar a ello, analizaremos el cuadro adjunto, teniendo presentes dos consideraciones

importantes:

22

Posibles caras

del poliedro

No de caras

por vértice ≥

Suma de ángulos de

cada vértice < 3600 Poliedro regular

3

Tetraedro

4

Octaedro

5

Icosaedro

6

Imposible

3

Cubo

4

Imposible

3

Dodecaedro

4

Imposible

3

Imposible

1. Todas las caras han de ser iguales, por ser regulares.

2. Los ángulos de las caras que concurren en un vértice suman menos de 360°, propiedad vista en el

tema anterior, pues en caso de sumar 360° exactamente no encerrarían un volumen, sino que

tendríamos una superficie plana.

Como puedes observar, sólo existen cinco poliedros regulares, también llamados sólidos

platónicos:

El tetraedro, limitado por cuatro caras que son triángulos equiláteros.

El cubo o hexaedro, limitado por seis caras que son cuadrados.

El octaedro, limitado por doce caras que son pentágonos regulares.

Y el icosaedro, limitado por veinte caras que son triángulos equiláteros.

23

Algún motivo, como puede comprenderse, ha conducido a que estos cinco cuerpos geométricos

sean llamados sólidos platónicos. Platón, filósofo griego del siglo IV a. J.C., concebía el

mundo como constituido por los cuatro principios básicos: tierra, fuego, aire y agua, Según

Platón, la tierra correspondía al cubo, es decir a la forma “más sólida y menos móvil”, y el fuego

al tetraedro, porque es el sólido que tiene la forma “más aguda y más móvil”, el aire y el agua

correspondían al octaedro y al icosaedro. El quinto y último sólido regular, el dodecaedro, fue

considerado por Platón como símbolo del universo.

Sin duda, nos hallamos entre el misticismo y la ciencia propia de la época.

En cuanto a la figura de Platón, no parece que haya contribuido mucho a las matemáticas por sí

mismo, pero no cabe duda de que su influencia a través de la Academia, institución por él

fundada en Atenas, les dio un gran prestigio. Es célebre la inscripción que figuraba a la entrada

de la Academia “No entre aquí nadie que ignore la geometría”.

Siglos más tarde, los poliedros regulares inspiraron a Johannes Kepler, astrónomo alemán del

siglo XVII, en el estudio del movimiento de los seis planetas conocidos hasta entonces. Kepler

concebía a Saturno, Júpiter, Marte, Venus y Mercurio como moviéndose en unas esferas

separadas la una de la otra por el cubo, por el tetraedro, por el dodecaedro, por el octoedro y

por el icosaedro. Todo había de ser regulado por las leyes matemáticas, porque “no hay

armonía si no hay matemáticas”.

3. Como puedes observar, las siguientes figuras muestran los poliedros regulares y sus

respectivos desarrollos. Utiliza el pantógrafo para reproducir en cartulina y a tamaño ampliado

estos desarrollos; después recorta, dobla y pega convenientemente las pestañas; así obtendrás

tus cinco sólidos platónicos. Si no dispones de pantógrafo, utiliza la construcción de polígonos

vista en geometría plana para reproducir a escala dichos poliedros.

24

a) Contabiliza en dichos poliedros el número de vértices, caras y artistas, y comprueba la

fórmula de Euler.

4. Dibuja los desarrollos del tetraedro regular y del octaedro regular de igual arista. Tras

procurarte cuatro fotocopias del desarrollo del tetraedro, móntalas para obtener las piezas de la

figura adjunta.

Intenta ajustar los tetraedros a las caras del octaedro para conseguir un tetraedro mayor. ¿Qué

relación guardan las aristas del tetraedro así obtenido, con las del octaedro?

25

EJERCICIOS:

b) Averigua las superficies de un octaedro regular de 16 cm de arista y de un cubo de igual

arista. Determina la relación entre las superficies de estos cuerpos. (Conviene recordar

qué área del triángulo equilátero = l 2 3 )

c) ¿Cuál es el área del triángulo que se obtiene al unir los vértices de un cubo que son

extremos de tres aristas concurrentes?

d) Calcula en función de la arista las áreas de los cinco sólidos platónicos, y comprueba si los

resultados obtenidos coinciden con lo que aparecen en la tabla de áreas de la página 154.

Te habrás percatado de que en general los edificios se construyen

verticalmente y con características comunes que sugieren la idea de

prismas. En la figura adjunta se muestra un prisma de base pentagonal.

Los prismas son poliedros cuyas caras básicas, paralelas entre sí, son dos

polígonos iguales, siendo sus caras laterales paralelogramos.

Si las aristas laterales del prisma son perpendiculares a la base, se dice que

el prisma es recto; en caso contrario, el prisma es oblicuo.

Los prismas rectos se llaman regulares si sus bases son polígonos regulares.

Según sean los polígonos de la base, los prismas se llaman: triangulares, cuadrangulares,

pentagonales, hexagonales..., etcétera.

5. Para visualizar prismas, toma una lámina de cartón grueso o de madera y recorta dos

polígonos iguales. Uniendo sus vértices con hilos elásticos y manteniendo las bases paralelas

como muestra la figura tendrás multitud de prismas según la tensión a que sometas el hilo

elástico.

26

El área lateral de un prisma es la suma de la superficie de todas sus caras laterales. El

desarrollo plano de un prisma recto, tal como se muestra en el dibujo, nos permite obtener de

forma sencilla el cálculo de dicha superficie, ya que tal desarrollo no es más que un rectángulo

de base el perímetro de la base del prisma y de altura su arista latera.

De aquí que, AL = P.h donde P es el perímetro de la bese y h la altura del prisma.

Basta añadir al área lateral, la superficie de las dos bases para obtener el área total del

prisma es decir, AT = P.h + 2Ab donde Ab representa el área de la base.

El desarrollo de la superficie lateral de un prisma

Recto es un rectángulo

Es preciso destacar que estas expresiones no son válidas para prismas oblicuos, pues en éstos la

altura no coincide con la arista lateral. En tal caso, se debe estudiar el prisma oblicuo que nos

interese en particular.

6. Averigua las áreas lateral y total del prisma oblicuo de la figura.

27

Unos prismas muy particulares son los paralelepípedos, en los que todas sus caras son

paralelogramos.

Cubo Ortoedro

Algunas propiedades de éstos basadas en las de los paralelogramos, puesto que los planos

diagonales son paralelogramos, son las siguientes:

a) Las diagonales de un paralelepípedo se cortan en su punto medio.

b) En el ortoedro, todas sus diagonales son iguales.

7. Para calcular la diagonal del ortoedro es preciso hacer uso del Teorema de Pitágoras.

28

En el triángulo rectángulo MON, d2 = c2 + m2, pero m es la hipotenusa de un triángulo

rectángulo de catetos a y b, y por tanto m2 = a2 + b2 de donde d2 = a2 + b2 + c2, o también: d

= c b a 222 ++ resultado conocido con el nombre de Teorema de Pitágoras en el espacio.

M

C

O

D

BM

NA

Puesto que el cubo es un ortoedro con sus tres aristas iguales, a = b = c, su diagonal sera: d =

33 2222 aaaaa ==++

8. Esta palabra nos recuerda Egipto y los monumentos que allí sirvieron de tumba a sus

faraones. La más grande de éstas es la de Keops, que data del 2 600 a J. C. aproximadamente

y es de base cuadrada y con unas dimensiones impresionantes: 230 m de arista de la base y

146 m de altura. Está formada por 2,3 millones de bloques de piedra, cada uno de los cuales

pesa aproximadamente 20 toneladas.

Las pirámides de Guiza: Micerino, Quefrén y Quéope

La pirámide es un poliedro limitado por un ángulo poliedro y un plano que corta todas sus

aristas en puntos distintos del vértice.

La altura de la pirámide es la distancia del vértice al plano de la base.

Criterios análogos a los utilizados en prismas permiten también clasificar las pirámides en:

- Pirámides rectas y oblicuas.

- Pirámides regulares e irregulares.

- Pirámides de base triangular, cuadrangular, pentagonal, hexagonal, etcétera.

29

Apotema

Car

a la

tera

l

Altu

ra

Base

Base

Altu

raCa r

a la

tera

l

En una pirámide regular, apotema es la altura de una cualquiera de sus caras laterales. Es de

notar que la apotema de la pirámide forma, junto con la apotema de la base y la altura de la

pirámide, un triángulo rectángulo.

9. Tú mismo puedes construir diferentes pirámides por el método experimental del hilo elástico,

como se muestra en la figura.

En el caso de pirámides rectas y de base regular, sus caras laterales son triángulos isósceles

todos ellos iguales, y puesto que el área del triángulo es A = ))((21 ab , contando el número de

estos es fácil deducir:

Donde P presenta el perímetro de la base, a la apotema de la pirámide y a’ la apotema del

polígono de la base.

30

10. Una figura geométrica derivada de la pirámide es el tronco de pirámide, que resulta ser el

trozo de aquella comprendido entre la base y un plano que la corta.

En lo sucesivo supondremos el plano de corte paralelo a la base de la pirámide.

Para troncos de pirámide rectos y regulares, sus caras son trapecios isósceles, y puesto que el

área del trapecio es A = abb )'(21 + , contando su número es fácil deducir:

3

Donde p y p’ representan los perímetros de las bases, y Ab y Ab’ sus áreas respectivas.

11. Sobre una cartulina reproduce a mayor tamaño los desarrollos planos de la pirámide y del

tronco de pirámide de la página anterior. Recórtalos y ármalos adecuadamente.

a. Calcula sus áreas laterales y totales.

b. ¿Te atreves a calcular sus alturas? Recuerda la eficacia del Teorema de Pitágoras.

31

BLOQUE IV

OTRAS MAGNITUDES

PROPÓSITOS


1. Reconocer las diferentes magnitudes que se utilizan para la medición de la masa, el

tiempo y la temperatura

2. Derivar las magnitudes relacionadas con la velocidad, fuerza, peso, resistencia, densidad,

tasa, porcentaje

TEMAS

1. Magnitudes fundamentales: la masa, el tiempo y la temperatura.

2. Magnitudes derivadas: velocidad, fuerza, peso, resistencia, densidad, tasa, porcentaje,

etcétera.

BIBLIOGRAFÍA

Del Olmo et al. (1993), Superficie y volumen. ¿Algo más que el trabajo con fórmulas?, Madrid,

Síntesis.

García et al. (1998), Geometría y experiencias, Madrid,

Addison Wesley Longman. Rivaud (1996), Geometría Intuitiva 2. Áreas, volúmenes y centros de

gravedad, México, Limusa.




México.

— (2000), Secuencia y organización de contenidos. Matemáticas. Educación Secundaria, 2ª Ed.,

México.

32


1. Sujete a discusión con el grupo de trabajo a qué tipo de magnitudes se refiere cuando se

habla de masa, tiempo y temperatura, en particular a las unidades básicas de cada una, es

importante que señalen, como parte de las discusiones lleguen a advertir, a partir de la unidad

básica, los múltiplos y submúltiplos de cada una de ellas.

2. Es importante que cada grupo de trabajo advierta la necesidad de modelar el proceso de

análisis de este tipo de magnitudes para el establecimiento de problemas para dar respuesta a

planteamientos de otras ciencias del conocimiento, como la física, química, biología, etcétera.

3. Busque información acerca de planteamientos de problemas en particular de la física y

química en los que se impliquen las magnitudes que relacionan problemas derivados del cálculo

de masa, tiempo y temperatura.

4. Como derivado de las magnitudes que relacionan la masa, el tiempo y la temperatura, es

importante que recurra a la ciencia de la física para revisar el tipo de problemas que plantea

esta disciplina, en tanto el uso de magnitudes que relaciona la velocidad, fuerza, peso,

resistencia y densidad, es conveniente que también en este apartado de la unidad de trabajo

distinga las formas convencionales de transformación, como la unidad que maneja el sistema de

velocidades como unidad básica, por ejemplo, la transformación de km/hr y su equivalente a m/seg.

5. Discuta con el grupo de estudiantes que cursan esta parte de la especialidad, como el

concepto de tasa y porcentaje ayudan con la interpretación del cálculo de los conceptos que se

vienen discutiendo.

6. Pida a los estudiantes que busquen problemas que relacionen la velocidad, fuerza, peso,

resistencia y densidad, asimismo el cálculo de tasa y porcentaje, como:

33

La cantidad de ácido en x mililitros (ml) de una solución ácida al 10%

SOLUCIÓN

En este problema se supone que sabemos qué es una solución ácida al 10%.

En x mililitros de solución (agua mezclada con ácido), 10% de la mezcla es ácido y 90% es

agua. La relación implicada es la multiplicación:

Cantidad de ácido = 10% (x ml) = 0.10 (x ml)

Es útil ilustrar esta relación con algunos ejemplos.

Una solución ácida contiene ÁCIDO + AGUA

50 ml de una solución ácida al 10% contiene: 10%(50 ml) + 90%(50 ml)

= 0.10(50 ml) + 0.90(50 ml)

= 5 ml + 45 ml

= 50 ml de solución

100 ml de un 10% de solución ácida al 10% contiene: 10%(100 ml) + 90%(100 ml)

= 10 ml + 90 ml


x ml de una solución ácida al 10% contiene: 10%(100 ml) + 90%(100 ml)

= 10 ml + 90 ml


Por lo tanto la cantidad de ácido en x litros de una solución ácida al 10% es igual a 0.10x ml.

34

MMAATTEERRIIAALLEESS

DDEE

AAPPOOYYOO

35

Unidades básicas

MASA Kilogramo kg

El kilogramo

equivale a la masa

del kilogramo patrón

internacional.

LONGITUD Metro m

El metro equivale a

1650763.73 veces la

longitud de onda de

la radiación emitida

por los átomos del

nucleido 86Kr, en la

transición entre el

estado 5d5 y el

estado 2p10,

propagándose en el

vacío.

TIEMPO Segundo s

El segundo equivale

a 9192631770 veces

el período de la

radiación

correspondiente a la

transición entre los

dos niveles de la

estructura hiperfina

del estado

fundamental de los

átomos de nucléido133Cs.

CORRIENTE

ELÉCTRICA Amperio A

El amperio equivale

a la intensidad de

una corriente

eléctrica constante

en el tiempo que, al

circular en el vacío

por dos conductores

paralelos situados a

un metro de

distancia, rectilíneos

e infinitos, de

sección circular y

despreciable, da

lugar a una fuerza

de atracción mutua

entre los

conductores de 2 x

10-7 neutronios por

metro.

INTENSIDAD

LUMINOSA Candela cd

La candela es la

intensidad de luz

que emite 1 ÷ 6 x

10-5 m2 de la

UNIDADES BÁSICAS DE MEDICIÓN

UNIDADES BASICAS DE MEDICION___________________________________

36

superficie de un

cuerpo negro a una

temperatura

correspondiente a la

solidificación del

platino a una

presión de 101325

neutronios por

metro cuadrado, y

perpendicular a su

superficie.

CANTIDAD DE

SUSTANCIA Mol Mol

El mol equivale a la

cantidad de materia

de un sistema

constituido por

tantas partículas

como átomos

contiene 12 ÷ 10-3

kilogramos de

nucleido del carbono12C.

TEMPERATURA

TERMODINÁMICAKelvin K

El kelvin equivale a

la 16273

parte de la

temperatura

termodinámica del

punto triple del agua

(aproximadamente

0.01 ºC)

Kilogramo patrón

UNIDADES BASICAS DE MEDICION___________________________________

37

onceptos básicos de la

geometría1

se cree que el origen de la geometría

está en el antiguo Egipto. así lo

confirma uno de los escritos del

historiador herodoto cuando, hablando

del rey sesostris, dice:

“Este rey dividió la tierra entre todos los

egipcios de tal manera que cada uno

recibiera un cuadrilátero del mismo tamaño y

que él pudiera obtener sus rentas de cada

uno, imponiendo una tasa que debía ser

pagada anualmente. Pero todo aquel de

cuya parte el río hubiera arrastrado algo,

tenía que notificarle lo ocurrido; entonces, él

enviaba supervisores que debían medir en

cuánto había disminuido la tierra para que el

propietario pudiera pagar de acuerdo con lo

que le restaba, en proporción a la tasa total

impuesta. De esta forma me parece que se

originó la geometría, que luego pasó a Helas”

JAMES R. NEWMANN

El mundo de las matemáticas

Ed. Girjalbo

1 García Arenas, Jesús y Beltrán I. Infante, Celsti. Geometría y experiencias, Ed. LONGAM, México 1995, Pp. 10 - 27

De aquí el uso del término Geometría, que en

griego significa medida de tierras.

En Egipto, la Geometría era un conjunto de

reglas y conocimientos empíricos con un

interés eminentemente práctico. Fue

posteriormente en Grecia, entre los siglos VI

y III a J.C., cuando adquirió un aspecto más

teórico, de la mano de los grandes

matemáticos: Tales, Pitágoras, Arquímedes,

Euclides, Apolonio, etcétera.

1.1. Recordando los elementos básicos de

Geometría

Todos los cuerpos que nos rodean ocupan

un lugar en el espacio, Se llama extensión

a la porción del espacio ocupado por un

cuerpo, admitiendo ésta tres direcciones:

la longitud, la anchura y la altura, cada una

de las cuales se llama dimensión.

Hay cuerpos que se reducen a una sola

dimensión, como la línea, y otros a dos

dimensiones, como la superficie. El punto

es la mínima expresión de la extensión y,

por lo tanto, no tiene ni longitud, ni

anchura, ni altura; solamente nos indica

una posición en el espacio.

C

GEOMETRÍA DEL PLANO

GEOMETRIA DEL PLANO___________________________________

38

ACTIVIDAD 1.1

a) Observa la fotografía anterior e indica

elementos que te sugieran la idea de

punto, línea, superficie y cuerpo

volumétrico.

b) Un rayo láser, ¿qué elemento

geométrico te sugiere? ¿Y una hoja de

papel?

c) ¿Es posible dibujar una línea recta en

toda su extensión? ¿y un plano?

1.2 Segmentos rectilíneos

Un segmento rectilíneo AB es la parte de

recta comprendida entre los puntos A y B.

¿Puedes dar ejemplos reales que te

sugieran la idea de segmento rectilíneo?

Observa que sobre una recta, un solo

punto A determina dos semirrectas, a la

izquierda y

a la derecha del mismo.

Para medir un segmento es necesario

adoptar una unidad patrón y compararla

con la longitud del segmento. Así, por

ejemplo, si queremos medir el segmento

AB y la unidad de medida es u.

Podemos comparar ambos segmentos con

la ayuda de un compás. El segmento AB

contiene exactamente 5 veces la unidad u.

En este caso, se dice que el segmento AB

mide 5 unidades de longitud.

ACTIVIDAD 1.2

a. Utilizando una regla sin graduar y un

compás construye un segmento que mida

3 veces la unidad u, u .

b. Tomando como unidad de medida u,

mide el segmento AB.


39

c. Observa que con otra unidad, por

ejemplo u’ = 2u, el segmento AB no

contiene a u’ un número entero de veces.

Esto nos indica que no todas las unidades

son adecuadas para medir un segmento.

De las unidades utilizadas históricamente,

las más convencionales responden a dos

sistemas:

1. Sistema Métrico Decimal (S. M. D.):

Mm. Km, Hm, Dm, m, dm, cm, mm

2. Sistema Anglosajón:

Milla, yarda, pie, pulgada,...

A lo largo del libro se utilizará

perfectamente el S. M. D.; pero recuerda

que la relación entre ambos sistemas es la

siguiente:

1 milla = 1.609,34 m

1 yarda = 0,9144 m

1 pie = 30,48 cm

1 pulgada = 2,45 cm

ACTIVIDAD 1.3

a. Utilizando la regla milimetrada mide

los dos segmentos que aparecen en la

actividad 1.2. Indica expresamente la

unidad de medida empleada. ¿Cuál sería el

resultado obtenido por un alumno del

English College que utiliza su sistema

anglosajón?

b. ¿Cuál es la unidad más idónea para

medir la distancia de Barcelona a Paría? ¿Y

la más idónea para medir las dimensiones

de una mesa de ping-pong?

c. ¿Cuántos kilómetros recorre un coche

que participa en la prueba de 500 millas en

el Circuito de Indianápolis?

Además de la regla y el compás como

instrumentos de medida, existen otros más

adecuados para medir ciertas piezas de

uno frecuente. Dos de los más conocidos

son el pie de rey y el tornillo micrométrico.


40

Cualquier libro de tecnología te orientará

sobre su manejo; con ellos es posible

medir con gran precisión piezas de

reducido tamaño.

ACTIVIDAD 1.4

a. Señala con una “x” los instrumentos

idóneos para medir el diámetro de una

canica.

-la regla - el tornillo micrométrico

-El compás - una cuerda

-el pie de rey

b. ¿Qué instrumento cree más adecuado

para medir las cotas 10.3 mm y 6,5 mm de

la figura?

¿Y para medir laminillas de oro de 0.03

mm de grosor, como las

utilizadas en joyería?

c. Para medir el grosor de un paquete de

1 000 hojas de papel, ¿qué instrumento

utilizarías y cómo deducirías el grosor cada

una de ellas?

Ejercicios:

1. El tamaño de una pantalla de televisor

se expresa mediante pulgadas (“). Así, por

ejemplo, se habla de televisores de 16”,

20”, 22”, etc., aludiendo a la medida de la

diagonal de su pantalla. Infórmate de las

pulgadas de tu televisor y, puesto que 1”

equivale a 2,54 cm, averigua el –tamaño-

de la pantalla de tu televisor en cm.

Verifica el resultado con una cinta métrica.

2. En la etiqueta de un carrete de hilo de

pescar se puede leer que la longitud de hilo

es de 50 yardas, ¿Cuántos metros de hilo

contiene dicho carrete?

3. La balanza también es un buen

instrumento para medir la longitud de un

rollo de alambre. Para ello, basta pesar 1

m de alambre del mismo tipo y a

continuación el rollo completo. Razona el

por qué este método nos permite

determinar la longitud del rollo.


41

4. Hemos estudiado diferentes unidades de

longitud; sin embargo, para distancias

astronómicas se utiliza otra unidad más

idónea, como es el año-luz (distancia que

recorre la luz en un año). Puesto que la

luz viaja a 300.000 km/s, averigua la

distancia en km a la que se encuentra la

estrella más próxima a nosotros (Alfa de

centauro) sabiendo que ésta se halla a 4,3

años/luz de la Tierra.

5. ¿Cuál de los dos segmentos AB y CD es

el más largo? Utiliza una regla graduada

para medir cada uno de ellos y no te fíes

de lo que te dicen tus sentidos. ¡A veces

los sentidos Traicionan!

1.3 ÁNGULOS: MEDIDA Y

CLASIFICACIÓN

Angulo es la parte del plano comprendida

entre dos semirrectas que parten de un

punto común llamado vértice, como se

aprecia en la siguiente figura:

Indicaremos por ∠AOB el ángulo de vértice

O y semirrectas OA y OB. En otras

ocasiones utilizaremos simplemente la

notación ô, aludiendo a su vértice

En realidad, dos semirrectas determinan

dos ángulos, como se observa en la figura,

si bien consideraremos como ángulo ∠AOB

el menor de los dos.

El ángulo formado por dos semirrectas

alineadas se llama ángulo llano. La mitad

del ángulo llano es un ángulo recto.

Experiencia: Construcción de ángulos

plegando papel

Toma una hoja de papel y dóblala una vez

para obtener un pliegue. Observa que

logras un ángulo llano. Si vuelves a doblar

haciendo coincidir el pliegue sobre sí

mismo, observarás que obtienes un ángulo

recto.


42

Con este patrón, ¿cómo harías para

conseguir:

a. ½ recto y ¼ recto?

b. ¾ de recto y 23

de recto?

c. 4 rectos?

Se hace necesario dar unidades patrón

más pequeñas y precisas que las obtenidas

en la experiencia anterior a fin de medir

ángulos. Xagesimal, a cada una de ellas.

Esta es la unidad más usual.

1 recto = 90°

Te sugerimos que midas los ángulos de la

experiencia anterior y que des el resultado

en grados sexagesimales.

El instrumento más utilizado para medir

ángulos es el transportador de ángulos.

Para ángulos menores de 1° se utilizan

unidades más pequeñas como son el

minuto y el segundo sexagesimal.

1° = 60 minutos sexagesimales = 60’

1’ = 60 segundos sexagesimales = 60 “

Esta subdivisión en 60 partes más

pequeñas de cada unidad es la razón por la

que el sistema de medida recibe el nombre

de sistema sexagesimal.

ACTIVIDAD 1.5

a. Utilizando el transportador de

ángulos, mide los ángulos de tu juego de

escuadras.

b. Con la ayuda de la escuadra,

dibuja ángulos de amplitud: 75°, 105°,

150°, 15°, 120°, 210°, 135°, y 225°,

basándote en los esquemas siguientes

según convenga.

La actividad anterior permite visualizar un

método para calcular la suma y la

diferencia de ángulos; sin embargo, un

método algebraico más propio para

ángulos que estén expresados en grados,

minutos y segundos viene reflejado en el

siguiente ejemplo.

Ejemplo:

Averiguar la suma y la diferencia de los

ángulos A = 46° 15’ 42” y B = 22° 41’ 30”.

Procederemos del siguiente modo:


43

Ejercicios:

1. Conociendo los ángulos A = 98° 19’ 13”

y B = 43° 35’ 58”, averigua la amplitud de

los ángulos A + B y A - B.

2. Si hacemos la operación con

calculadora, aparecen en pantalla el

resultado de 32,71° ¿Puedes decir cuántos

grados, minutos y segundos nos quiere

indicar?

1.3.1. CLASIFICACIÓN DE

ÁNGULOS:

egún la mayor o menor abertura

de un ángulo, éste puede ser recto,

agudo u obtuso.

El ángulo agudo es el que mide menos que

un recto, mientras que el ángulo obtuso

mide más que un recto.

Dos ángulos son complementarios si su

suma es 90°, o sea, un recto. Cada uno es

complemento de otro.

Dos ángulos son suplementarios si su suma

vale 180°, o sea, un llano. Cada uno es

suplemento de otro.

ACTIVIDAD 1.6

a. Clasifica los ángulos que observas

en la figura según su abertura, haciendo

uso del transportador de ángulos en caso

necesario.

b. Dibuja dos

ángulos consecutivos de

amplitud 52° y 37°

respectivamente. ¿Son

complementarios? ¿Y

suplementarios? Justifica tu respuesta.

c. El suplementario de un ángulo

obtuso ¿qué tipo de ángulo es? ¿Y el de un

ángulo agudo? ¿Y el de uno recto?

d. ¿Pueden dos ángulos agudos ser

suplementarios? ¿Y complementarios?

Razona tu respuesta.

EJERCICIOS

1. Calcula el complementario y el

suplementario de 30° 28’ 16” de amplitud.

2. ¿Cuántos grados sexagesimales mide un

ángulo de amplitud ¾ de un recto?

¿Cuánto mide su ángulo suplementario?

3. ¿Cuál es el complementario del ángulo

diferencia de los de amplitud A = 70° 27’ y

B = 37° 54’?

S


44

ACTIVIDAD 1.7

a. Completa el cuadro siguiente para

los distintos tipos de ángulos que aparecen al

cortar dos rectas paralelas por una secante.

b. Si 2 = 30°, ¿puedes decir cuánto

miden los otros 7 ángulos sin usar el

transportador?

c. Con los resultados del apartado

anterior, compara las parejas que figuran en

cada recuadro de la tabla que aparece en el

apartado a, y deduce la propiedad que las

caracteriza.

Dos herramientas muy utilizadas en

carpintería son la sierra y la guía que

observas en la fotografía. Dicho montaje es

un caso particular de la actividad anterior.

Experiencia: Descubriendo las propiedades

de un parquet.

El modelo de piezas de parquet diseñado

por la fábrica Serratus, S.A. es el

siguiente:

a. Los segmentos AB ,

IJGHEFCD ,,, , .... son segmentos

paralelos determinados por las rectas-guías

paralelas. Mídelos y comprueba si son

iguales.

En general se cumple que:

Dos paralelas cortadas por otras dos

paralelas, determinan sobre las primeras

segmentos iguales.

b. ¿Cuántas piezas diferentes observas?

c. ¿Utiliza el fabricante los principios

básicos de la actividad anterior? Justifica tu

respuesta.

d. Con las piezas de este fabricante,

diseña un parquet para tu propia

habitación. Dos buenos ejemplos podrían

ser los de la figura.

ALTER

NOS

INTER

NOS

ALTER

NOS

EXTE

RNOS

CORR

ESPO

NDIE

NTES

OPUE

STOS

POR

EL

VÉRTI

CE


45

e. Si las piezas son coloreadas son

iguales, ¿qué puedes decir de los ángulos A,

A’, A”,...? ¿Y de los ángulos B, B’, B”,...?

compara ambos tipos de ángulos, A y B, y

deduce si son suplementarios

En general se cumple:

Si dos ángulos tienen sus lados paralelos y

ambos son agudos u obtusos, entonces son

iguales; pero si uno es agudo y otro obtuso,

entonces son suplementarios.

En términos análogos, se puede enunciar

que:

Si dos ángulos tienen sus lados

respectivamente perpendiculares, y ambos

son agudos u obtusos, entonces son iguales;

pero si uno es agudo y otro obtuso, son

suplementarios.

1.3.2. BISECTRIZ DE UN ÁNGULO:

a recta que divide un ángulo en dos

partes iguales se llama bisectriz.

El trazado de la bisectriz de un ángulo,

mediante regla y compás, se muestra en la

figura adjunta, donde el punto C se obtiene

trazando arcos de igual radio con centros

en A y en B. Al unir O con C obtenemos la

bisectriz de ∠AOB.

Tú mismo puedes comprobar, haciendo uso

del transportador, que la recta OC es la

bisectriz de dicho ángulo.

L


46

1.2. PARALELISMO Y

PERPENDICULARIDAD

eguramente, vistas como las de la

fotografía superior te son

familiares. ¿Te has puesto a pensar

que las vías del tren sugieren la idea de

rectas paralelas? Recuerda que dos rectas

son paralelas cuando, por más que se

prolonguen, nunca se encuentran.

Observa, sin embargo, que las vías del tren

con los travesaños que las fijan al suelo,

ilustran la idea de rectas perpendiculares,

ya que forman ángulo recto.

Asimismo, en la fotografía observamos

cómo una vía cruza las otras dos, lo que

sugiere la idea de rectas oblicuas.

ACTIVIDAD 1.8

a. En el aula, ¿qué elementos te

sugieren rectas paralelas, perpendiculares

y oblicuas?

b. Responde razonadamente y, si lo

crees necesario, dibuja la figura.

- Si una recta es paralela a otra y ésta

lo es a una tercera, ¿cómo son entre sí la

primera y la tercera?

- Si una recta es paralela a otra y ésta

es perpendicular a una tercera, ¿cómo son

la primera y la tercera entre sí?

- Si una recta es perpendicular a otra y

ésta es paralela a una tercera, ¿cómo son

la primera y la tercera?

- Si una recta es perpendicular a otra y

ésta lo es a una tercera, ¿cómo son la

primera y la tercera?

Todas las consideraciones anteriores están

basadas en los axiomas y postulados de la

geometría euclidiana y recogidos en la

obra de Euclides (s. III a. J.C.), los

elementos, donde se halla recopilado, de

un modo sistemático y bien organizado,

todo el saber matemático conocido hasta

su época.

Acerca de Euclides, J. Babini en su libro

Historia su cinta de la matemática, nos

dice:

“Casi nada se sabe de Euclides, fuera de

las noticias que menciona Proclo en su

resumen histórico, según el cual Euclides

S


47

fue un sabio alejandrino que floreció hacia

el 300 a. De C., que publicó numerosas

obras científicas, destacándose entre ellas

los célebres Elementos, cuya importancia

científica y didáctica se pone en evidencia

ante el hecho de que hasta hace pocos

años eran aún utilizados como texto

escolar. Por lo demás, este tratado fue

siempre considerado como sinónimo de

geometría, y su extraordinaria difusión le

permite rivalizar con las obras cumbres de

la literatura universal: la Biblia, la Divina

Comedia, el Quijote....

Los Elementos no contiene toda la

geometría griega, ni es un resumen de

toda ella; sin duda contiene una gran parte

de la matemática que los griegos

anteriores a Euclides y el propio Euclides

elaboraron, pero esa parte no fue tomada

al azar, sino seleccionada de acuerdo con

un criterio prefijado que convierte a ese

conjunto de conocimientos en un sistema.

Esta tendencia al sistema es tan vigorosa

en Euclides, y tan rígido en su resultado,

que no sólo no se conocen elementos

posteriores a los de Euclides, sino que

éstos han servido de modelo a un tipo de

construcción científica, de método

científico, que usado desde entonces en la

matemática, se extendió y se extiende

actualmente a otros sectores científicos.

Por supuesto que los Elementos, ni por

su contenido ni por su orientación, son

fruto exclusivo de Euclides; su contenido

proviene en gran parte de los pitagóricos y

de Eudoxo, y en su orientación han influido

especialmente Platón y Aristóteles. Del

platonismo, del cual era adepto, Euclides

tomó la independencia de la ciencia de

toda finalidad práctica y por lo tanto la

abstracción y la primacía del conocer sobre

el hacer; de Aristóteles tomó el riguroso

método deductivo, la separación entre

principios y teoremas, y la distinción de los

principios en definiciones y axiomas.

El método euclídeo, que actualmente se

prefiere denominar método axiomático,

consiste en denunciar previamente los

supuestos e hipótesis básicos sobre los que

se construirá la ciencia, y edificar luego

ésta en forma rigurosamente deductiva.

Este método es de difícil realización, tanto

por la elección de las hipótesis básicas

como por el desarrollo deductivo, de ahí

que la crítica moderna haya denunciado

que en los Elementos el método

axiomático no aparece revestido de todas

las precauciones necesarias, ni cumple con

todas las exigencias que le impone la

lógica; circunstancias que evidentemente

no disminuyen el mérito de Euclides de

haber aplicado por primera vez, hace 23

siglos, un método fecundo para la ciencia.

Los Elementos comprenden 13 libros,

la mayoría de los cuales se abren con una

serie de definiciones, a las que en el libro 1

se agregan los axiomas, que Euclides,

distribuye en dos grupos: postulados y

nociones comunes.”

J. Babini

Historia sucinta de la Matemática

Ed. Espasa Calpe


48

El más conocido de los postulados es el

llamado quinto postulado de Euclides,

según el cual, por un punto exterior a una

recta se puede trazar una paralela a ella y

solamente una.

El libro de los Elementos, vigente aún en

nuestros días, ha servido como texto único

de matemáticas hasta finales del siglo XIX,

momento en que aparecieron otras nuevas

geometrías de la mano de Gauss,

Lobatchewski, Bolyay y Riemann. Estas

geometrías, llamadas geometrías no

euclidianas, se basan en la negación del

quinto postulado de Euclides, si bien

conservan los restantes.

Es preciso aclarar que las distintas

geometrías no son contradictorias entre sí,

sino complementarias. En nuestro libro

nos limitaremos al estudio de la geometría

euclidiana.

Autorretrato

De M. C. Escher


49

ACTIVIDAD 1.9

El quinto postulado del libro Elementos de

Euclides fue aceptado de forma inmediata

por su evidencia frente a los sentidos; sin

embargo, en ocasiones, nuestros sentidos

nos encubren realidades muy diferentes.

Un buen ejemplo lo puedes observar en las

figuras siguientes:

¿Son rectas las dos líneas verticales de

cada una de las figuras? ; ¿son paralelas?

Sirviéndote de una regla, mide a distintas

alturas y confirma la veracidad o falsedad

de tu respuesta.

Observa hasta qué punto los sentidos

pueden llegar a traicionarnos, detalle que

llevó a los geómetras del siglo XIX a

descubrir las geometrías no euclidianas, al

poner en entredicho el quinto postulado de

Euclides.

De la actividad anterior se puede extraer la

siguiente conclusión:

En geometría, y en matemáticas en

general, la intuición no es válida como

método de demostración.

1.4.1 TRAZADO DE PARALELAS Y

DE PERPENDICULARES

eamos a continuación algunos

métodos de dibujo para el trazado

de paralelas y de perpendiculares

haciendo uso de la regla, el compás y la

escuadra.

a. Paralela a una recta r por un

punto P:

La primera figura muestra la escuadra

deslizándose sobre la regla hasta alcanzar

el punto P.

En la segunda figura, los arcos y sus

centros respectivos están indicados con el

mismo color, siendo iguales los radios de

los arcos con centros en A y A’. La recta

PP’ es la paralela a r por P.

Observa que esta recta paralela a r por el

punto P es única, tal como asegura el

quinto postulado para la geometría

euclidiana.

b. Perpendicular a una recta r por un

punto P:

La primera figura no precisa ningún

comentario. Por lo que respecta a la

V


50

segunda, el punto P’ se obtiene de trazar

arcos de igual radio con centro en A y B.

La recta PP’ es la perpendicular a r por P.

Por último, en la tercera figura, para el

caso de que el punto P se halle sobre la

recta r, trazamos la circunferencia con

centro arbitrario O y radio OP. El diámetro

trazado por A nos da el punto P’, siendo la

recta PP’ la perpendicular deseada.

1.4.2 TRAZADO DE PARALELAS Y

DE PERPENDICULARES

a mediatriz de un segmento es la

recta perpendicular a dicho

segmento por su punto medio.

El trazado de la mediatriz se hace como

muestra la figura. En ella se han trazado

con centro en A y B arcos de igual radio

que determinan los puntos P y Q. La recta

PQ es la mediatriz del segmento AB.

ACTIVIDAD 1.10

a. Dibuja un segmento de unos 8 cm y

determina su mediatriz.

b. Elige un punto arbitrario de la

mediatriz y mide su distancia respectiva a

los extremos del segmento. ¿Qué

observas? Prueba con otros puntos de la

mediatriz. ¿Te atreves a dar un criterio

general para todos los puntos de la

mediatriz?

1.4.3. PROYECCIÓN ORTOGONAL

magina el dardo de la figura

cayendo verticalmente por su

propio peso sobre la recta r. El

punto de impacto P’, de la punta P

del dardo con la recta r, se llama

proyección ortogonal de P sobre r.

Observa que decir ortogonal equivale a

decir perpendicular.

Si lo que pretendemos es proyectar un

segmento PQ sobre la recta r, bastará

proyectar los extremos P y Q del segmento

y unirlos entre sí.

L

I


51

ACTIVIDAD 1.11

a. La línea ABCDE de la figura se llama

línea poligonal. Dibuja su proyección

ortogonal sobre la recta r.

b. Si un segmento mide 3 cm, ¿Cuánto

puede medir su proyección sobre una recta

según las distintas posiciones del

segmento? ¿En qué caso su proyección

sería un punto? ¿En algún caso será de 3

cm?

c. A continuación aparecen distintas

proyecciones de un punto sobre una recta.

¿Cuál de estas proyecciones no es

ortogonal? Justifica tu respuesta.


52

Op Cit, Pp. 28 - 47

1.3. Polígonos

ecuerda del tema anterior lo que

es una línea poligonal. ¿Puedes dar

una definición de ésta?

__________________________________

_________________________________

Las líneas poligonales pueden ser abiertas

o cerradas, tal como lo muestran las

figuras:

Polígono es la superficie plana limitada por

una línea poligonal cerrada.

La palabra polígono proviene del griego y

está compuesta por poli (varios) y gono

(ángulos). Con frecuencia, observarás que

muchos de los términos utilizados en

geometría proceden del griego, este hecho

no nos debe extrañar, ya que fue en la

Antigua Grecia donde la geometría adquirió

un gran relieve.

En la figura adjunta observarás los

elementos básicos de un polígono:

vértices, lados, diagonales, ángulos

interiores y exteriores. Define con tus

propias palabras cada uno de ellos.

1.3.1 CLASIFICACIÓN DE

POLÍGONOS

tro elemento básico de todo

polígono es su perímetro. El

perímetro de un polígono es la

suma de las longitudes de sus lados.

Según el número de lados de los polígonos,

éstos pueden ser: triángulos, cuadriláteros,

pentágonos, hexágonos, heptágonos,

octógonos, eneágonos, decágonos.....

En la tabla adjunta puedes observar los

prefijos griegos de los polígonos que tienen

más de cuatro lados.

5-

penta

8-octo 11-

undeca

---

6-hexa 9-enea 12-

dodeca

20-

icosa

7-

hepta

10-

deca

--- ---

R

O

LOS POLÍGONOS

LOS POLIGONOS_________________________________________________

53

El polígono que tiene todos sus lados y

todos sus ángulos iguales se dice que es un

polígono regular.

En éstos, y sólo en éstos, aparecen dos

nuevos elementos: centro y apotema.

El centro de un polígono regular es el

punto interior que se halla a igual distancia

de sus vértices, y la apotema es el

segmento perpendicular desde el centro a

uno cualquiera de los lados. También

podemos decir que la apotema es el

segmento determinado por el centro y el

punto medio de uno de los lados.

ACTIVIDAD. 2.1.

a. Utilizando la tabla anterior, relaciona el

nombre de los polígonos con su número de

lados.

b. ¿Pueden existir polígonos con menos de

tres lados? Justifica tu respuesta.

c. Ayudándote con la regla y el

transportador descubre qué polígonos son

irregulares, y calcula en cm el perímetro de

cada uno de ellos.

d. ¡Dos hexágonos diferentes! Uno cóncavo

y otro convexo.

Dibuja a mano alzada un pentágono

cóncavo y otro convexo.

1.3.1SUMA DE LOS ÁNGULOS

INTERIORES DE LOS POLÍGONOS

CONVEXOS

a. Con la ayuda del transportado, mide

los ángulos del triángulo de la figura y

comprueba que suman 180°. Puede ocurrir

que por errores de precisión no te salga

180°; en tal caso te recomendamos que

LOS POLIGONOS_________________________________________________

54

recortes las puntas del triángulo y las

adjuntes en posición de suma de ángulos.

Observa así que su suma es 180°

b. Dibuja varios triángulos diferentes y

comprueba que en todos ellos el resultado

es el mismo. Observa que:

En todo triángulo, la suma de los ángulos

interiores es de 180°.

c. Dibuja polígonos convexos de distinto

número de lados. Completa la tabla

calculando el número de triángulos

obtenidos en cada polígono al trazar

diagonales desde un vértice.

Polígono

Número

de

lados

Número

de

triángulos

Suma de

los

ángulos

interiores

Triángulo 3 1 180º

Cuadrado 4 2 180º x

2

Pentágono 5

Heptágono 7

Octágono 8

Polígono

de n lados

n n - 2

Observa que:

Puesto que la suma de los ángulos

interiores de un triángulo es 180°, en un

polígono, la suma de sus ángulos interiores

será 180°(n – 2).

d. Recordando que los polígonos

regulares tienen los ángulos interiores

iguales, averigua cuánto mide cada uno de

ellos en los distintos casos del apartado c y

refleja el resultado de la columna vacía de

la tabla anterior.

Observa que:

En todo polígono regular en n lados, cada

ángulo interior mide:

( )nn 2180 −°

EJERCICIOS:

LOS POLIGONOS_________________________________________________

LOS POLIGONOS__________________________

55

1. ¿Puede ser que algún polígono no tenga

diagonales? Justifica tu respuesta. En caso

afirmativo, indica cuál o cuáles son.

2. ¿Cuánto suman los ángulos exteriores de un

pentágono convexo? ¿Y en un polígono

convexo de n lados?

3. La suma de todos los ángulos interiores de

un polígono convexo es de 1.080°,

¿cuántos vértices tiene? ¿Cuántas

diagonales? En el caso de que fuese

regular, ¿cuánto valdría el ángulo central,

formado al unir dos vértices consecutivos

con el centro?

1.3.3 UN POLÍGONO MUY

PARTICULAR: LA CIRCUNFERENCIA

l número de lados de un polígono

puede ser tan grande como se

quiera; así, por ejemplo, es posible

construir polígonos regulares de 20 lados

(icoságono), de 100 lados, 1.00 lados,

etcétera. Al aumentar el número de lados,

éstos se hacen cada vez más pequeños. Si

pudiésemos construir polígonos regulares

de una infinidad de lados, sucedería que

cada uno de ellos no sería un segmento,

sino un punto, con lo cual habríamos

construido un polígono muy particular, la

circunferencia, caracterizada por el hecho

de que todos sus puntos están a igual

distancia del centro.

Reconocemos en la circunferencia los

mismos elementos que aparecían en los

polígonos regulares, si bien, algunos

reciben nombres diferentes.

El radio de la circunferencia equivale a la

apotema del polígono regular, y la longitud

de la circunferencia al perímetro de éste.

El círculo es la porción de plano interior a

la circunferencia.

Por tanto, no confundas circunferencia

con círculo. La circunferencia es una línea

y el círculo es una superficie.

el añillo sugiere la

idea de

circunferencia y la

moneda de circulo.

TRAZADO DE POLÍGONOS

REGULARES

1.3.4 TRAZADO DE POLÍGONOS

E

LOS POLIGONOS___________________________

56

REGULARES

l trazado de polígonos regulares a

mano alzada es prácticamente

imposible, como tú mismo puedes

comprobar. Por ello se hace necesario

recurrir a métodos de dibujo. A continuación

exponemos dos métodos para construir un

polígono regular.

a. Conocido el lado del polígono: Sea L el

lado. Trazamos dos arcos desde sus

extremos y obtenemos el centro B, y

describimos una circunferencia que nos

contendrá seis veces al lago. El radio de

ésta, AB, lo dividiremos en seis partes

iguales, obteniendo los puntos 1, 2, 3, 4, 5 y

6.

Si hacemos centro en 1 y radio hasta C,

dibujaremos una

circunferencia que

contiene ocho veces

el lado L y así

sucesivamente hasta

llegar a tomar como

centro el punto 6 y radio hasta C, lo que

permite dibujar una circunferencia que

contiene doce veces al lado L.

b. Dada una circunferencia: Uno de los

problemas que con más frecuencia nos

encontraremos será la necesidad de tener

que dividir la circunferencia en un número

determinado de partes iguales. A pesar de

que existen diversos procedimientos,

exponemos aquí el más conocido y que

podemos llamar general porque sirve para

todos los casos que se nos puedan

presentar.

Empezaremos por dibujar la circunferencia

dada. El diámetro AB lo dividiremos en un

número de partes igual al que queremos

dividir la circunferencia, en este caso siete.

Tomando como radio el diámetro de la

circunferencia y centro en los extremos de

éste, A y B, describimos dos arcos que al

cortarse nos darán el punto C.

Se une mediante una recta el punto C con

el 2 y se prolonga, obteniendo el D. El

arco AD es la séptima parte del total de la

circunferencia. En todos los casos se opera

del mismo modo, teniendo siempre

presente que la recta que une el punto

exterior C ha de pasar por el 2 (segunda

división del diámetro.) (Para dividir un

segmento en n de partes iguales ver Pág.

49).

1.3.5 POLÍGONOS REGULARES

TRELLADOS

E

LOS POLIGONOS___________________________

57

na de las figuras más bellas

en geometría y muy

utilizada en el arte de la

lacería árabe la constituyen los

polígonos estrellados, obtenidos al

unir vértices no consecutivos de los

polígonos regulares.

Así por ejemplo, si consideramos

un pentágono regular y unimos

sus vértices saltando de dos en dos,

obtenemos la estrella pentagonal. Esta

estrella sirvió de emblema a la escuela

pitagórica fundada por Pitágoras en

Crotona, en el siglo VI a J.C.

Por otra parte, sin embargo, la estrella de

Israel o hexágono estrellado, obtenido a

partir del hexágono regular mediante

saltos de dos vértices, no puede ser

dibujada de un solo trazo. De todo lo

anterior podemos concluir que existen dos

tipos de polígonos estrellados, según estén

construidos con uno o con varios trazos.

ACTIVIDAD 2.3.

a. Traza una circunferencia y divídela

en ocho partes iguales. Une los puntos

saltando de dos en dos. Utilizando otro

bolígrafo de diferente color, dibuja sobre la

misma circunferencia el polígono estrellado

que se obtiene al unir los ocho puntos

mediante saltos de tres en tres.

b. Repite la experiencia anterior

pero en este caso dividiendo la

circunferencia en 7 partes iguales.

c. De los apartados anteriores,

observa que en los polígonos

estrellados de un solo trazo, el

número de vértices y la amplitud del

salto son números primos entre sí.

Traza todos los polígonos estrellados

posibles de un solo trazo de 15

vértices. ¿Por qué no son de un solo trazo

de saltar de 3 en 3 y de 5 en 5?

1.4.TRIÁNGULOS

Recordemos del apartado anterior que el

triángulo es un polígono de tres lados, y

por tanto el más sencillo de los polígonos

que se pueden construir.

3.1. CLASIFICACIÓN DE

TRIANGULOS

tendiendo a la longitud de sus

lados, los triángulos pueden ser

equiláteros, isósceles o escalenos.

Los triángulos equiláteros tienen sus tres

lados iguales, los isósceles tienen dos lados

iguales y uno desigual, y por último, en los

triángulos escalenos sus tres lados son

desiguales.

Por otra parte, atendiendo a la amplitud de

sus ángulos, los triángulos pueden ser

rectángulos, obtusángulos o acutángulos

según tengan respectivamente un ángulo

U

A

58

recto, un ángulo obtuso o bien los tres

ángulos agudos.

En los triángulos rectángulos los lados que

determinan el ángulo recto se llaman

catetos, y el lado opuesto al ángulo recto,

hipotenusa.

La base de un triángulo puede ser uno

cualquiera de sus lados, y en tal caso, su

altura es la perpendicular bajada a la base, o

a la prolongación de ésta, desde el vértice

opuesto.

ACTIVIDAD 2.4

Recordando que los ángulos interiores de un

triángulo suman 180°, responde justificando

tu respuesta:

a. ¿Puede un triángulo tener más de un

ángulo recto? ¿Y más de un ángulo

obtuso?.

b. ¿Cómo son los ángulos que se oponen a

los lados iguales de un triángulo isósceles?

¿Cómo son los tres ángulos de un triángulo

equilátero y cuánto mide cada uno de

ellos?

c. Completa la tabla siguiente dibujando a

mano alzada todos los posibles tipos de

triángulos.

Equilátero Isósceles Escaleno

Rectángulo

No existe

T1 T2 T3

Obtusángulo

No existe

T4 T5

T6

Acutángulo

T7

T8

T9

T6 es escaleno y obtusángulo y T8 es

isósceles y acutángulo

¿Por qué crees que no es posible dibujar

triángulos de los tipos T1 y T4?

d. En un triángulo rectángulo, ¿cuánto

suman sus ángulos agudos? Si el triángulo

rectángulo fuera isósceles, ¿cuánto mediría

cada ángulo agudo?

e. ¿Qué tipos de triángulos te sugieren

cada una de las escuadras de tu juego?

EXPERIENCIA: MANIPULANDO

TRIÁNGULOS

LOS POLIGONOS_________________________________________________

LOS POLIGONOS__________________________

59

on tiras de papel perforadas en sus

extremos podemos construir un

triángulo uniendo simplemente las

tiras con broches latonados de patitas, como

muestra la figura adjunta.

Construye tus propios triángulos con tiras

de papel perforado de 6, 6 y 9 cm, así

como con tiras de 12, 15 y 21 cm.

¿Es posible construir un triángulo con tiras

de 6, 9 y 18 cm? Ayúdate con la figura

adjunta.

un criterio general para que tres

segmentos formen triángulo es el

siguiente:

Tres segmentos forman un triángulo si la

suma de dos cualesquiera de ellos es

mayor que la del otro.

1.4.2 IGUALDAD DE TRIÁNGULOS

ara construir triángulos es preciso

conocer tres de sus elementos. En

cada caso se procede como vemos

a continuación:

a) Conocidos los tres lados a, b y c:

Sobre uno de ellos, hacemos centro en sus

extremos y con radios iguales a los otros

dos, se trazan arcos hasta que se corten.

b) Con dos lados a y b, y el ángulo

comprendido C: Se dibuja dicho ángulo, y

a partir del vértice, distancias iguales a los

lados dados definen el triángulo.

c) Con un lado a y los dos ángulos

adyacentes B y C: Se dibuja sobre los

extremos del lado dichos ángulos,

obteniéndose así el triángulo.

Criterios de igualdad:

Dos triángulos son iguales si coinciden al

superponerlos. No es preciso comprobar la

igualdad de sus tres lados y de sus tres

ángulos; basta conocer la igualdad de

alguno de estos elementos.

C

P

LOS POLIGONOS__________________________

60

I. Dos triángulos son iguales si

tienen los tres lados iguales uno a uno.

II. Dos triángulos son iguales si

tienen iguales un lado y dos ángulos.

III. Dos triángulos son iguales si

tienen iguales dos lados y el ángulo

comprendido entre ellos.

Observa que la justificación de estos

criterios de igualdad está basada en las

tres construcciones expuestas

anteriormente.

Algunos textos de geometría enuncian el

segundo criterio en los siguientes

términos: -Dos triángulos son iguales si

tienen iguales un lado y sus dos ángulos

adyacentes-. Pero, ¿por qué no es preciso

que los dos ángulos sean los adyacentes al

lado conocido?

1.4.3. PUNTOS NOTABLES DE UN

TRIÁNGULO. RECTA DE EULER

e hace preciso en este momento

tener bien presentes algunos

conceptos básicos expuestos con

anterioridad, tales como mediatriz de un

segmento, bisectriz de un ángulo y

perpendicular a una recta por un punto

exterior a ella, por lo que sería conveniente

que refrescaras previamente estos

conceptos.

ACTIVIDAD 2.5

a. Sobre un triángulo ABC, dibuja con regla

y compás las mediatrices correspondientes

a los tres lados y constata que las tres se

cortan en un punto al que llamaremos

circuncentro.

Observa que con centro en dicho punto

podemos trazar una circunferencia que

pase por los tres vértices, llamada

circunferencia circunscrita al triángulo. A

su vez, el triángulo está inscrito en la

circunferencia.

b. Dibuja las tres alturas del triángulo ABC

y comprueba que se cortan en un punto al

que denominaremos ortocentro.

c. La recta que pasa por un vértice y el

punto medio de lado opuesto se llama

mediana. Dibuja sobre el triángulo ABC las

tres medianas y comprueba que se cortan

S

LOS POLIGONOS____________________________

61

en un punto al que nombraremos

baricentro.

Observa que: la distancia de cada vértice

al baricentro es 3

2 de la distancia del

vértice al punto medio del lado opuesto

(líneas azules, líneas paralelas)

d. En el triángulo ABC, dibuja las

bisectrices de los tres ángulos y comprueba

que se cortan en un punto al que se

designa con el nombre de incentro.

Observa que con centro en dicho punto

podemos trazar una circunferencia

tangente a los tres lados del triángulo,

llamada circunferencia inscrita al triángulo.

Y también, el triángulo está circunscrito a

la circunferencia.

e. Es curioso hacer notar que en cualquier

triángulo, el circuncentro, ortocentro y

baricentro están alineados en una recta

llamada recta de Euler.

Experiencia: visualizando la recta de Euler

Las figuras adjuntas te muestran el

circuncentro, ortocentro y baricentro de un

triángulo ABC y sus respectivas

construcciones. Copia en diferentes hojas

de papel transparente cada una de ellas y

observa que al superponerla, haciendo

LOS POLIGONOS____________________________

62

coincidir los lados del triángulo,

visualizarás a contraluz la recta de Euler

que pasa por los tres puntos mencionados.

Este hecho no es fortuito. Compruébalo

asimismo para los siguientes triángulos.

63

Experiencia: Localizando el punto de

gravedad de un triángulo

En todo triángulo el baricentro resulta ser

su centro de gravedad (punto donde se

concentra su masa) Compruébalo con un

triángulo de cartón, haciendo pasar por el

mismo un hilo anudado en su extremo y

observando que se mantiene en posición

horizontal o de equilibrio.

Repite la experiencia pasando el hilo por

otro punto distinto del baricentro.

EJERCICIOS:

1. De un triángulo isósceles sabemos que

su perímetro es 23 cm y que uno de sus

lados iguales mide 9 cm. ¿Cuánto medirá

el lago desigual?

2. ¿Hay algún caso en que los cuatro

puntos notables de un triángulo incentro,

circuncentro, ortocentro y baricentro,

coincidan? Justifica tu respuesta.

3. El baricentro de un triángulo se

encuentra a 6 cm de uno de sus vértices.

¿Cuál es la longitud de la mediana

correspondiente a dicho vértice?

4. Sobre los lados iguales AB y AC de un

triángulo isósceles se toman dos

segmentos BP y CQ respectivamente

iguales a AC y AB. Demuestra, haciendo

uno de uno de los criterios de igualdad de

triángulos, que BQ = CP.

5. ¿Pueden ser los ángulos de un triángulo

la mitad de los de otro? ¿Y sus lados?

Razona la respuesta.

6. Judith tiene la curiosidad de saber la

altura a que se encuentra la ventana de su

habitación, y para ello, con la ayuda de

una escuadra y un taburete de un metro de

altura, crea la situación descrita en el

dibujo adjunto. ¿A qué altura, sobre el

suelo, se encuentra la ventana de Judith?

(recuerda que los ángulos agudos de la

escuadra miden 45°).

7. El lado mayor de un triángulo es 8/5 de

lado menor y éste es 5/6 del lado mediano.

Sabiendo que el perímetro es 38 dm,

determina la longitud de los tres lados.

LOS POLIGONOS_________________________________________________

64

1.4.CUADRILÁTEROS

ecuerda que el cuadrilátero es un

polígono de cuatro lados. Sin

duda, es uno de los polígonos que

resulta más familiar, basta observar el

plano de un piso para comprobar que está

compuesto en su mayoría por piezas en

forma de cuadriláteros. No obstante, no

todos los cuadriláteros tienen la misma

forma, por lo que vamos a clasificar cada

uno de ellos

1.3.1CLASIFICACIÓN DE

CUADRILATEROS

ACTIVIDAD 2.6.

Paralelogramos

(lados

paralelos dos a

dos)

Cuadrado

Rectángulo

Lados iguales dos a dos

y los cuatro ángulos

rectos

Rombo

Romboide

Trapecios (solo

dos lados

paralelos)

Trapecio

rectángulo

Sección

inferior de

un

triángulo

rectángulo

por una

base

paralela a

la base

Trapecio isósceles

Trapecio escaleno

Trapezoides

(ningún lado

paralelo)

Trapezoide

EXPERIENCIA: LOS

CUADRILÁTEROS Y EL TANGRAM

Conoces algún juego de tangram?

Estos consisten en obtener

diferentes figuras según la

colocación de algunas piezas básicas. A

continuación te proponemos la

construcción de uno de ellos sobre el

anagrama de la Cruz Roja. Este anagrama

está descompuesto en 8 tipos diferentes de

R

¿

LOS POLIGONOS_________________________________________________

LOS POLIGONOS__________________________

65

cuadriláteros. Identifica cada uno de ellos,

pasando después a calcar la figura con el

fin de poder recortar sus piezas básicas.

Una vez recortada, intenta recomponer el

anagrama.

Otra figura posible a partir de este tangram

es la siguiente:

¿Sabrías componerla con las piezas

básicas?

1.5.2. PROPIEDADES DE LAS

DIAGONALES DE UN PARALELOGRAMO

-Cada diagonal divide un

paralelogramo en dos triángulos

iguales: En efecto: ya que Â = Â y

∠B = ∠B por ser alternos internos entre

paralelas, y además la diagonal es lado común

a los dos triángulos, lo que nos sitúa en el

criterio II de igualdad de triángulos.

2. Las diagonales de cualquier paralelogramo

se cortan en su punto medio.

3. En el rombo y en el cuadrado, las diagonales

se cortan perpendicularmente, siendo a la vez

bisectrices de sus ángulos.

4. En el rectángulo y el cuadrado, las

diagonales son iguales.

ACTIVIDAD 2.7

a. Comprueba la propiedad 1 vista

anteriormente, recortando los triángulos de

un paralelogramo y superponiéndolos.

b. Dibujando convenientemente y midiendo

con regla y transportador, comprueba que

las propiedades 2, 3 y 4 son ciertas.

c. ¿Son ciertas las propiedades anteriores

para un cuadrilátero cualquiera? Justifica tu

respuesta ayudándote con los diferentes

cuadriláteros.

Ejercicios:

1. Un agricultor quiere dividir un campo

rectangular de 80 m por 60 m en ocho

parcelas triangulares iguales, pero no sabe

cómo hacerlo. Su nieto, que resulta ser un

muchacho muy inteligente, le dice que una

manera de hacerlo es uniendo los puntos

medios de los lados opuestos y trazando a

continuación las diagonales de los

1

LOS POLIGONOS__________________________

66

rectángulos. Dibuja un rectángulo y

comprueba que es correcto el consejo del

muchacho. Calcula el perímetro de cada

una de las parcelas, sabiendo que el centro

del campo dista 50 m de cada uno de sus

vértices.

2. El perímetro de un rombo es 20 cm y

uno de sus ángulos mide 85°; determina la

longitud de cada uno de sus lados y la

amplitud de sus ángulos.

3. Dibuja un trapecio de bases 5 y 9 cm;

une los puntos medios de los lados no

paralelos y pasa a medir el segmento así

determinado. Compara este resultado con

la suma de las longitudes de las bases.

¿Qué deduces?

4. El siguiente trapecio rectangular está

formado, como muy bien puedes observar,

por la combinación de un cuadrado y la

mitad de otro. ¿Cómo lo puedes dividir en

cuatro trozos exactamente iguales?

5. Un trapecio isósceles tiene la base

mayor triple

que la

menor; cada

uno de los

lados oblicuos mide 10 cm y es 5/4 de la

base menor. Determina el perímetro del

trapecio.

PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS Y SEMEJANZA PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS Y SEMEJANZ

67

Op Cit Pp. 44 – 65

3.1.PROPORCIONALIDAD DE

SEGMENTOS

n un día de sol, los cuerpos

producen sombra. ¿Te has detenido

a pensar la relación que existe

entre la altura de los cuerpos y la longitud

de las sombras que éstos producen?

Ya en el S. VI a J.C., uno de los siete

sabios de Grecia, Tales de Mileto, se

planteaba esta y otras cuestiones

análogas, de las que nos ocuparemos más

adelante.

De la vida de Tales se sabe que era un rico

comerciante de Mileto, que vivió

aproximadamente desde el 640 hasta el

550 a. J.C. Tenía mucho éxito como

hombre de negocios; sus tareas como

mercader los llevaron a muchos países y su

ingenio natural le permitió aprender de las

novedades que veía. Fue conocido por sus

admirados compatriotas de generaciones

posteriores como uno de los Siete Sabios

de Grecia; muchas leyendas y anécdotas

se reúnen en torno a su nombre. Se dice

que una vez Tales estaba encargado de

algunas mulas cargadas con sacos de sal.

Mientras cruzaba un río, uno de los

animales resbaló; al disolverse, en

consecuencia, la sal en el agua, su peso

disminuyó instantáneamente. ¡El astuto

animal, como es natural, se sumergió

deliberadamente en el próximo vado y

continuó este truco hasta que Tales atinó

con la feliz solución de llenar el saco de

esponjas! Este demostró ser un remedio

eficaz. En otra ocasión, Tales, que preveía

una cosecha de olivas extraordinariamente

finas, se apoderó de todas las prensas de

olivas del distinto; una vez obtenido este

monopolio, se convirtió en el jefe del

mercado y pudo dictar sus propias

condiciones. Pero entonces, según un

relato, una vez hubo demostrado lo que se

podía hacer, su propósito y había sido

conseguido; en vez de oprimir a sus

compradores, vendió magnánimamente la

fruta a un precio tan razonable que

horrorizaría a un capitalista de hoy en día.

Tales, como muchos otros comerciantes de

su tiempo, se retiró pronto de los negocios,

pero, diferenciándose de otros muchos,

dedicó su ocio a la filosofía y las

matemáticas. Comprendió lo que había

visto en sus viajes, particularmente en sus

relaciones con los sacerdotes de Egipto; y

fue el primero en poner de relieve algo del

verdadero significado del saber científico

egipcio. Fue un gran matemático y un

gran astrónomo a la vez. En realidad, gran

parte de su fama popular se debió a su

acertada predicción de un eclipse solar en

el año 585 a J.C. No obstante, se dice

que, mientras contemplaba las estrellas

E

68

durante un paseo nocturno, cayó dentro de

una zanja; entonces una anciana que lo

atendió exclamó: ¿cómo podéis saber qué

ocurre en los cielos si no veis lo que se

encuentra a vuestros pies?

Tales nunca olvidó la deuda contraída con

los sacerdotes de Egipto, y cuando ya era

un anciano aconsejó firmemente a su

discípulo Pitágoras que les hiciera una

visita. Pitágoras, actuando de acuerdo con

este consejo, viajó y obtuvo una amplia

experiencia, que le fue de gran utilidad

cuando, a la larga, se estableció y reunió

sus propios discípulos a su alrededor,

llegando a ser aún más famoso que su

maestro.

James r. Newmann


Ed. Grijalbo

Es sabido que el sol incide con igual

inclinación sobre los cuerpos en un

determinado momento y lugar, como

puedes observar en la figura.

Observando el esquema y utilizando la

regla milimetrada, compara las alturas de

la abuela y del bastón, con sus respectivas

sombras. ¿Podemos predecir la sombra

producida por un árbol de 4,5 m de altura

en el mismo momento y lugar?

Te habrás percatado de que las sobras

miden el doble de sus altura, por lo que

'*2 AAOA = y '*2 BBOB =

Y, por tanto:

2''

==BBOB

AAOA

La igualdad '' BB

OBAAOA = es una proporción

de segmentos, y el valor 2 común a ambos

cocientes, la razón de la proporción.

ACTIVIDAD 3.1

a. En la fotografía anterior comprueba,

usando la regla, que la relación de

proporcionalidad entre el tamaño de los

cuerpos y sus sombras respectivas en la

misma para todos ellos.

Este argumento le permitió a Tales, en uno

de sus viajes a Egipto medir la altura de

una pirámide aprovechando el momento en

que su propia sombra medía tanto como su

estatura. ¿Con qué razón de

PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS Y SEMEJANZ

69

proporcionalidad trabajó Tales en esta

experiencia?

b. Calcula la altura de una edificio de tu

ciudad midiendo su sombra y teniendo

presente tu altura y la longitud de tu

sombra

Experiencia: Aproximándonos al Teorema

de Tales

Sobre una hoja de papel, traza un

segmento OD de 20 cm de longitud y

señala los puntos B y A situados a 10 y 5

cm respectivamente del extremo O de

dicho segmento.

En el otro extremo, apila doce monedas

grandes y de igual valor y deja apoyar una

regla tal como se muestra en la figura.

a. ¿Cuántas monedas puedes apilar por

debajo de la regla en B, punto medio del

segmento? ¿Y en el punto A? No dejes de

comprobarlo

b. Observando el esquema adjunto que

corresponde a la situación planteada,

completa la siguiente relación de

proporcionalidad:

ODBB

OAAA == ''

¿Cuál es la razón de proporcionalidad?

¿A qué distancia del punto O cabrá

exactamente una sola moneda? ¿Cuántas

monedas caben en el punto C?

c. La razón entre el número de monedas

de la columna en D y su distancia al origen

es:

53

2012

... ==

origenaldistasnciamonedasNo

¿Cuál es la razón para las otras columnas?

¿Es la misma en todos los casos?

d. Mide las distancias '',',' ODyOCOBOA

y busca la razón entre el número de

monedas de cada columna y estas

distancias, y deduce que apilando monedas

cada 5 cm en la recta horizontal, quedan

determinados en la recta oblicua

segmentos iguales entre sí.

Del apartado d de la experiencia anterior

podemos deducir que:

Si varias paralelas determinan segmentos

iguales sobre cualquier otra recta a la que

corten.

PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS Y SEMEJAN

70

En efecto:

Recordando paralelas acortadas por

secantes, observa que:

a) ''' BAAB = , '''CBBC = ... por ser

segmentos paralelos determinados por

paralelas.

b) ∠B” = ∠C” = ∠D” = ... por

correspondientes

c) ∠A’ = ∠B’ = ∠C’=... por

correspondientes.

El primer caso de igualdad de triángulos

nos asegura que en estas condiciones los

triángulos son iguales, y por tanto:

'´'''' DCCBBA == = ...

3.2. Teorema de Tales

Haciendo uso de la regla milimetrada,

comprueba sobre el dibujo que:

OBOA41= y '

41' OBOA =

O también:

41=

OBOA

Y 41

'' =

OBOA

Los segmentos de las rectas secantes

están en razón igual a 41

y por lo tanto,

OBOA

= ''

OBOA

De forma análoga se puede deducir que

OBAB

= '''

OBBA

Estos resultados se conocen como Teorema

de Tales:

Los segmentos determinados por rectas

paralelas en dos

concurrentes son

proporcionales.

3.2.1. Una consecuencia inmediata del

Teorema de Tales

Si en un triángulo ABC tenemos una

paralela MN al lado BC, por el Teorema de

Tales se cumple.

ACAN

ABAM = (1)

PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS Y SEMEJAN

71

Trazando por N una paralela

a AB, por el mismo teorema

tenemos:

BCMN

BCBP

ACAN ==

(2)

De (1) y (2) se deduce

BCMN

ACBP

ACAM ==

Y como consecuencia tenemos que:

Toda paralela a un lado de un triángulo

determina con los otros dos un nuevo

triángulo cuyos lados son proporcionales a

los del primero.

3.2.2.DIVISIÓN DE UN SEGMENTO

EN PARTES IGUALES

l teorema de tales permite dividir

un segmento cualquiera en partes

iguales. Por ejemplo para dividir el

segmento AB de la figura, de 9 cm de

longitud, en siete partes iguales, trazamos

por A una semirrecta auxiliar y

transportamos sobre ella siete veces una

unidad arbitraria, (por ejemplo, 1 cm)

Con la ayuda de la escuadra y el compás

podemos trazar paralelas a PB como

muestra el dibujo, y así queda resuelto el

problema.

ACTIVIDAD 3.2

a. ¿Por qué los segmentos determinados

sobre AB en la figura anterior son iguales?

b. Puesto que cada una de las partes del

segmento AB ha de medir 7

9 cm =

1.285714 cm, ¿sería viable usar la regla

para dividir el segmento? ¿Qué sucedería si

redondeamos por defecto a 1.2 cm o por

exceso a 1.3 cm?

c. Divide un segmento AB de longitud 7.8

cm en cinco partes iguales.

d. La figura adjunta

encierra un método

práctico para dividir el

segmento AB en cinco

partes iguales

utilizando

exclusivamente la hoja

E

72

de una libreta. ¿En qué teorema se basa

este método? Aplícalo para comprobar el

apartado anterior.

EJERCICIOS:

1. La sombra de un rascacielos en un

determinado momento del día mide 192 m.

Si en el mismo instante y lugar la sombra

de una señal de tráfico de 2,5 m de altura,

mide 1,5 m, ¿cuál es la altura del

rascacielos?

2. A un incendio producido en un hospital

acude la unidad de bomberos con una

escalera de 32 m de longitud, que consta

de 80 peldaños distribuidos

uniformemente. Al apoyar la escalera

sobre la fachada del edificio se observa que

el primer peldaño se encuentra a 30 cm del

suelo.

a. ¿Qué altura del edificio alcanzará la

escalera?

b. Si el fuego se halla en el quinto piso, y

cada piso tiene 4,5 m de altura, podrán ser

rescatados los enfermos que allí se

encuentren?

c. Puesto que las llamas ascienden, ¿es

posible con dicha escalera evacuar los siete

pisos de que consta el hospital?

3. En un triángulo ∆ABC, señalamos un

punto P sobre el lado AB de modo que

determine en él segmentos de 6.4 cm y

8.3 cm. Si trazamos por P una paralela a

BC , el lado AC de 12 cm de longitud

quedará cortado en el punto Q. ¿Cuáles

son las longitudes de los segmentos

determinados en AC por el punto Q?

4. En una excursión, un grupo de alumnos

de bachillerato aprovecharon para medir la

anchura de un lago, según una

determinada perspectiva; así efectuaron

una práctica sobre el Teorema de Tales.

Los datos que tomaron se muestran en el

esquema adjunto. Averigua cuál fue la

anchura del lago x que resultó de su

experiencia.

5. Una torre metálica del tendido eléctrico

tiene la forma de la figura 1. Conocidos los

datos que en ella aparecen, averigua la

altura que alcanza la torre. Resolver el

mismo problema para una torre de

prospección petrolífera con la forma de la

figura 2.

PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS Y SEMEJANZA_____________________

73

3.2.3. LA TERCERA

PROPORCIONAL. SECCIÓN ÁUREA

(CONJETURA DE FIBONACCI)

n segmento x se llama tercera

proporcional de dos segmentos

dados a y b si verifica la

proporción

xb

ba =

El dibujo muestra el modo de obtener

geométricamente la tercera proporcional

de dos segmentos.

Observa que esta

construcción queda

justificada por el Teorema

de Tales.

También sobre un segmento AB es posible

visualizar la tercera proporcional; basta

localizar un punto C del segmento AB de

forma que CB sea tercera proporcional de

AB y AC , es decir,

CBAC

ACAB = o también

xb

bxb =+

La razón de esta proporción, Ф = xb

era conocida por los griegos con el nombre

de La Sección. En el renacimiento, el

monje Luca Pacioli (1509) la designó

Divina Proporción y Leonardo da Vinci la

llamó Sección Áurea, nombre que perdura

hasta nuestros días.

Si en la proporción (1) dividimos el

numerador y denominador del primer

miembro de la igualdad por x, la fracción

no varía, obteniendo:

xb

xb

xb

=+ 1

y por lo tanto Φ=Φ+Φ 1

O lo que es lo mismo:

012 =−Φ−Φ

Al resolver esta ecuación se obtiene como

única solución positiva

Ф = 1,618033989... valor que se conoce

desde el siglo pasado como el número de

oro.

Desde la antigüedad es sabido que las

distintas partes del cuerpo humano

guardan la proporción anteriormente

estudiada. Así, por ejemplo, en el dedo del

cuerpo humano aparece esta relación entre

la primera falange y la segunda, y la

segunda y la tercera.

U


74

Hacia 1850, Zeysing comprobó

estadísticamente que el ombligo divide la

altura del cuerpo humano

de la proporción de la

Sección Áurea.

Arquitectos, escultores y

pintores de todos los

tiempos han utilizado la Sección Áurea

como método de composición de sus obras,

al observar en ella una agradable

impresión de la armonía y la belleza.

Algunos ejemplos los tenemos en el

Partenón de Atenas, Las Hilanderas de

Velásquez, la Sagrada Familia de Miguel

Ángel y, más recientemente, en la obra del

arquitecto francés Le Corbusier.

También aparece la

Sección Áurea allá donde

queramos buscarla

dentro de la naturaleza:

así, por ejemplo, en la

forma y crecimiento de las plantas, en

organismos marinos como la estrella de

mar, etcétera.

Durante el Renacimiento, diferentes

artistas, como Leonardo da Vinci,

estudiaron con profundidad las

proporciones del cuerpo humano.

La sagrada Familia: Miguel Ángel

(diagrama). Cuando el pentágono ABYXZ

se inscribe dentro de un círculo, sus

diagonales componen una estrella

pentagonal, también inscrita. Las

proporciones derivadas de ello son todas

las secciones Áureas:

GHGX

GXAG

AGAX == , etcétera.

Miguel Ángel se sirvió de este sistema de

pentágono inscrito para organizar la

composición de esta pintura circular, aún

en su marco original. El emplazamiento de

las cinco cabezas modeladas indica

claramente la geometría pentagonal de la

construcción.

ACTIVIDAD 3.3

Es conocido que el papel de uso corriente

responde a unos formatos establecidos. En

la tabla adjunta se dan los formatos

normalizados DIN A y sus dimensiones

respectivas desde DIN AO hasta DIN A10,

siendo el mas frecuente el DIN A4 (folio)


75

Formato

DIN 476 – serie A

Medidas en

mm

A0

A1

A2

A3

A4

A5

A6

A7

A8

A9

A10

841 x 1.189

594 x 841

420 x 594

297 x 420

210 x 297

148 x 210

105 x 148

74 x 105

52 x 74

37 x 52

26 x 37

Todos estos formatos de la tabla adjunta

se obtienen partiendo por la mitad el

inmediato superior, como se muestra en la

figura.

a. Haciendo uso de la figura anterior, que

representa un DIN A4, observa que el valor

x que se obtiene como tercera proporcional

de a y b, haciendo

xb

ba =

coinciden con la altura de un DIN A5.

b. Comprueba numéricamente que dos

formatos cualesquiera consecutivos

cumplen igual proporción que en el

apartado a.

c. Toma un pliego de papel y observa que

doblándolo sucesivamente, al igual que en

la figura, todos los formatos obtenidos

guardan la misma estética, es decir, son

iguales en su forma pero reducidos en

tamaño. ¿Crees que si las dimensiones

originales no fueran las del pliego se

conservaría la forma? Compruébalo

partiendo de una hoja de libreta.

2.3.2 OTROS SEGMENTOS

PROPORCIONALES: CUARTA Y

MEDIA PROPORCIONAL

n segmento x se llama cuarta

proporcional de otros tres

segmentos a, b y c, si se cumple

xb

ba =

La construcción geométrica de dicho

segmento cuarta proporcional, está basada

en el Teorema de Tales.

U


76

Observa que la tercera proporcional es un

caso particular de la cuarta proporcional en

el que c = b.

Un segmento x se llama media

proporcional de dos segmentos a y b, si se

cumple.

bx

xa =

La figura muestra el modo de obtener

dicho segmento. En ella los ángulos 1 y 2

son iguales por ser de lados

perpendiculares entre sí. Por ello,

superponiendo los triángulos obtendríamos

el conocido esquema utilizado en el

Teorema de Tales, lo que justifica la

proporción.

bx

xa =

3.3. LA SEMEJANZA

s frecuente que los constructores,

industriales y urbanistas tengan la

precaución de diseñar su obra en

dimensiones reducidas como paso previo a

su construcción. Para ello, estos

profesionales en sus respectivos trabajos

hacen uno de maquetas y planos.

Es conocido también que los laboratorios

fotográficos reproducen los negativos en

tamaño reducido, “por contacto”, pasando

después a ampliar las exposiciones de mayor

interés.

Unos y otros, en sus respectivas obras,

trabajan con formas iguales, pero de distinto

tamaño.

En las fotografías adjuntas se muestra un

claro ejemplo de objetos iguales en forma

pero de distinto tamaño. Decimos que

dichas figuras son semejantes.

Podemos ver que a cada elemento de la

primera foto le corresponde otro en la

segunda; estos elementos que se

corresponden se llaman elementos

homólogos.

E


77

La razón o proporción constante entre cada

dos segmentos homólogos recibe el

nombre de razón de semejanza.

En las fotografías observamos que AB =

2 '' BA , por lo que la razón de semejanza

es 2.

Es fácil comprobar que cualesquiera dos

segmentos homólogos guardan esta misma

proporción.

3.3.1. SEMEJANZA DE

TRIANGULOS

os triángulos que observas en la

figura tienen la misma forma

aunque distinto tamaño; son por

tanto semejantes.

En general, dos triángulos son semejantes

si tienen los ángulos homólogos iguales y

sus lados proporcionales.

En efecto, puedes comprobar, mediante

regla y transportador de ángulos, que

ambos triángulos de la figura cumplen este

criterio, siendo la razón de semejanza 3

1

ya que:

31

''''''===

ACCA

CBBC

BAAB

Teorema fundamental: Si dos lados de un

triángulo se cortan por una paralela al

tercero, se obtiene otro triángulo

semejante al primero.

Observa que:

Â es común.

∠M = ∠B y ∠N = ∠C por ser

correspondientes entre paralelas.

Además, los lados homólogos son

proporcionales por el Teorema de Tales.

L


78

CRITERIOS DE SEMEJANZA

el mismo modo que en la

igualdad de triángulos, para la

semejanza no es preciso

comprobar que éstos tengan los tres

ángulos homólogos iguales y sus tres lados

proporcionales. Es suficiente que cumplan

ciertas condiciones que constituyen los

llamados criterios de semejanza:

I. Dos triángulos son semejantes

si tienen los tres lados proporcionales.

'''''' ACCA

CBBC

BAAB ==

II. Dos triángulos son semejantes

si tienen dos ángulos iguales

∠A = ∠A’ y ∠B = ∠B’

III. Dos triángulos son semejantes

si tienen dos lados proporcionales y el

ángulo comprendido igual

'''' CBBC

BAAB = y ∠B = ∠B’

En los tres casos basta superponer el

triángulo pequeño sobre el grande y hacer

uso de Teorema fundamental que confirma

su semejanza.

ACTIVIDAD 3.4

a1. Haz uso de la siguiente cuadrícula para

construir un triángulo A’B’C semejante al

ABC, de forma que la razón de semejanza

sea 2

3.

a2. Mediante tu juego de escuadras traza

las alturas correspondientes a los

triángulos del apartado anterior. ¿Cuál es

la razón entre ambas alturas? ¿Qué puedes

concluir de este resultado, comparándolo

con la razón de semejanza existente entre

ambos triángulos?

b.1. Sobre el triángulo rectángulo PQR de

la figura adjunta trazamos la altura relativa

a la hipotenusa. Comprueba que los

triángulos PMQ y PQR son semejantes,

indicando cuáles son los lados homólogos

de PQ , QR y PR Del mismo modo

puedes ver que el triángulo QMR es

también semejante al PQR, por lo que los

tres triángulos son semejantes entre sí.

D


79

b.2. Dos triángulos rectángulos son

semejantes si tienen un ángulo agudo

igual. ¿Contradice esto el segundo criterio

de semejanza?

Analiza el apartado b1 haciendo uso de

este criterio.

c. Se atribuye a Tales la forma de calcular

la distancia que separa un barco de la

costa basándose en la semejanza de

triángulos.

Para dibujar el triángulo semejante al de la

realidad, Tales medía la distancia AB y

los ángulos A y B, y representaba el

esquema siguiente:

Si Tales sabía que la distancia real entre A

y B era de 120 metros, ¿a qué distancia de

A y de B respectivamente se hallaría el

barco representado en el papiro?

Indicación: Mide el triángulo del esquema

con tu regla y establece la semejanza con

el triángulo de la realidad.

3.3.2.POLÍGONOS SEMEJANTES

l igual que en los triángulos,

podemos también hablar de

polígonos semejantes, y que éstos

se descomponen en triángulos semejantes

dispuestos correlativamente. Se llama

razón de semejanza de los polígonos

semejantes a la razón entre sus lados

homólogos.

La siguiente figura nos muestra un método

para construir polígonos semejantes.

- Si la razón de semejanza es por

ejemplo ½ , tomamos A’ como el punto

medio de AP , y trazamos lados paralelos

al polígono dado entre las rectas

concurrentes en P, donde P es un punto

arbitrario.

- Para cualquier otra razón k, A” será

el punto que verifique: A”P = k*AP, y

A


80

trazamos lados paralelos al polígono dado

entre las rectas concurrentes en P.

Los polígonos así construidos se llaman

polígonos homotéticos, y el punto P recibe

el nombre de centro de homotecia.

Si el centro de homotecia P se halla dentro

del polígono, los polígonos homotéticos

toman la forma de la figura.

ACTIVIDAD 3.5

a. Comprueba si los siguientes

polígonos son semejantes, indicando su

razón de semejanza K.

b. Halla los perímetros P y P’ de los

polígonos anteriores y calcula la razón 'P

P

Compara este resultado con la razón de

semejanza obtenida en el apartado

anterior. ¿Qué puedes deducir?

La razón de los perímetros de dos

polígonos semejantes es igual a la razón de

semejanza.

Ejercicios:

1. Sabiendo que una circunferencia de

radio 4 cm se ajusta a dos rectas

concurrentes a 15 cm del punto donde

éstas se cortan, ¿a qué distancia del

mismo se ajustará otra circunferencia de 7

cm de radio?

2. Haciendo uso de II criterio de

semejanza de triángulos, constata que en

cada una de las escuadras de tu juego, el

triángulo interior es semejante al exterior.

3. Comprueba, estudiando la proporción

entre sus lados, que los rectángulos

exterior e interior de la figura adjunta no

son semejantes. ¿Cómo han de ser a y b

para que exista semejanza?


81

4. Una técnica utilizada para medir la

anchura de un río sin necesidad de cruzarlo

es el que se muestra en la figura.

a. Demuestra que los triángulos

ABC y A B’C’ son semejantes.

b. Haciendo uso de dicha

semejanza, determina la anchura del río

5. Teniendo presente el resultado del

apartado b.1 de la actividad 3.4, determina

por semejanza la altura relativa a la

hipotenusa y los catetos del triángulo

rectángulo de la figura. ¿Cuál es la razón

de semejanza entre los dos triángulos en

que la altura divide al triángulo total?

6. Dos trapecios rectángulos son

semejantes de razón 5

7. Del trapecio

menor se sabe que las bases miden 5 cm y

8 cm, y la altura 4 cm.

a. Averigua las dimensiones

del trapecio mayor sabiendo que su lado

oblicuo mide 7 cm.

b. Calcula sus perímetros

respectivos y comprueba que mantienen la

razón de semejanza.

3.3. ESCALAS

menudo, para dibujar piezas

demasiado grandes o

excesivamente pequeñas, hemos

de recurrir a reducir o aumentar su

representación gráfica. En tal caso,

diremos que la pieza está dibujada a

escala.

A la relación, entre las dimensiones de la

pieza en el dibujo y sus dimensiones reales

se le llama escala gráfica.

Toda escala viene dada por dos números;

el primero indica el tamaño del dibujo,

mientras que el segundo, el del original.

Así, por ejemplo, el mapa adjunto viene

dado a escala: 1:30.000, lo que indica que

1 cm del dibujo represente 30.000 cm en

la realidad.

Según si el primer número es menor o

mayor que el segundo, la escala reducirá o

ampliará respectivamente el tamaño real

del objeto. Un ejemplo de cada tipo de

escala podría ser: las piezas de un reloj

A


82

dadas a escala 30:1, y los mapas

geográficos dados a escala 1:1.000.000.

Cuando el dibujo y el original son de igual

tamaño hablamos de escala natural, y por

lo tanto, la escala sería E. 1:1.

Plano de Barcelona, España


83

ACTIVIDAD 3.6

a. Al observar el plano de distribución de

un departamento, lo que vemos es la

proyección ortogonal de éste, sobre el

plano horizontal. Dicha proyección recibe

el nombre de planta.

a.1. El plano adjunto representa la planta de un

departamento dada a escala E. 1:100.

Determina las dimensiones reales de las

habitaciones que lo componen.

a.2. Dibuja a escala los elementos propios de

cada pieza (cama matrimonial de 1,35 m x

1,80 m, mesa de comedor redonda de

diámetro = 1,10m sofá de salón de 2 m x

1 m,...)

b. Haciendo uso del plano de Barcelona que

aparece en el apartado 3.4, responde:

b.1 ¿Cuál es la distancia real entre los

puntos A y B que señalan el centro de la

plaza de Cataluña y el Templo de la

Sagrada Familia, obra del genial arquitecto

Antoni Gaudí?

b.2. En el supuesto de que un ataque

nuclear estuviera localizado en el centro de

la plaza de Cataluña y sus efectos

expansivos fueran de 3 km de radio, dibuja

sobre el plano de la ciudad el círculo que

indicaría la zona afectada.

Algunos instrumentos frecuentemente

utilizados en dibujos a escala son: el

compás de reducción y el pantógrafo. El

primero resulta útil para medir, mientras

que el segundo sirve, para reproducir

dibujos a una escala determinada.


84

El pantógrafo consta de cuatro reglas

articuladas con un punto de apoyo A, una

punta metálica B y repasar el original y un

portalápiz C.

Las cuatro reglas forman un paralelogramo

articulado BDEF. Los puntos A, B y C están

alineados de modo que:

ADAE

ABAC =

Es evidente que al pasar la punta metálica

por la figura en B, se reproducirá otra

figura homotética en C, y por consiguiente

una figura semejante, es decir, a escala.

ACTIVIDAD 3.7

a. Construye tu propio pantógrafo

mediante cuatro listones de igual tamaño.

b. Haciendo uso del pantógrafo que

acabas de construir, haz tus propios

carteles ampliando dibujos originales

aparecidos en revistas de caricaturas.


85

Op cit Pp. 66 - 79

a acción de medir, en geometría

viene asociada a la idea de número,

lo que en la antigüedad supuso un

estudio profundo de éstos, así como de sus

propiedades y relaciones. En este sentido,

sobresale la figura de Pitágoras, que junto

con sus discípulos intentó penetrar en la

armonía de los números. Así lo confirma

Aristóteles cuando dice: “Los pitagóricos se

dedicaron primero a las matemáticas,

ciencia que perfeccionaron, y,

compenetrados con ésta, imaginaron que

los principios de las matemáticas eran los

principios de todas las cosas”.

Se supone que Pitágoras era nativo de

Samos y pertenecía, como Tales, a la

colonia jónica de griegos establecida en las

costas e islas occidentales de lo que

actualmente denominamos Asi Menor.

Vivió desde aproximadamente 569 a J:C:

hasta 500 a.J:C: en el año 529 a.J:C: se

instaló en Crotona, una ciudad de la

colonia dórica en el sur de Italia, y allí

comenzó a disertar sobre filosofía y

matemáticas. A su cátedra acudía una

muchedumbre de entusiastas auditores de

todas clases. Muchos de las clases altas le

escuchaban, e incluso las mujeres

infringían una ley que les prohibía asistir a

reuniones públicas y acudían a oirle. Entre

las más atentas se encontraba Theano, la

joven y hermosa hija de su huésped Milo,

con la cual se casó. Theano escribió una

biografía de su marido, pero,

desgraciadamente, se ha perdido.

La influencia de este gran maestro fue tan

notable, que los más interesados de sus

discípulos se constituyeron gradualmente

en una sociedad o hermandad. Se les

conocía como la Orden de Pitágoras, y

pronto ejercieron una gran influencia más

allá del mundo griego. Esta influencia fue

tanto política como religiosa. Los

miembros de la sociedad lo compartían

todo, sostenían las mismas creencias

filosóficas, se dedicaban a las mismas

investigaciones y se comprometían con un

juramento a no revelar los secretos y las

enseñanzas de la escuela. Por ejemplo,

cuando Hippaso pereció en un naufragio,

se pensó que su destino era debido a una

promesa rota: ¡había divulgado el secreto

de la esfera con sus doce pentágonos!

La hermosa estrella pentagonal fue un

símbolo distintivo de la hermandad,

símbolo idóneo de las matemáticas que

descubrió la escuela.

JAMES R. NEWMANN


Ed. Grijalbo.

L

EL TEOREMA DE PITÁGORAS Y OTRAS RELACIONES EN TRIÁNGULOS

EL TEOREMA DE PITAGORAS Y OTRAS RELACIONES EN TRIANGULOS_________

86

Los pitagóricos hicieron grandes progresos

en matemáticas, particularmente en la

teoría de números. Clasificaban éstos en

pares e impares según formas o

estructuras asociadas a ellos. Un número,

producto de dos factores desiguales, se

llamaba oblongo:

(8 = 4 x 2)

Si los dos factores eran iguales, el número

se llamaba cuadrado. El cuadrado n-ésimo

de un número es la suma de los n primeros

números impares:

(1) (4 = 2 x 2 =

1 + 3)

(9 = 3 x 3 = 1

+ 3 + 5)

Los números triángulares eran 1, 3, 6,

10,... El n-ésimo número triangular es la

suma de los n primeros números:

(1) (3 = 1

+ 2)

(6 = 1 +

2 + 3)

(10 = 1 +

2 + 3 + 4)

Dos números triangulares sucesivos

forman juntos un cuadrado:

(3

+ 6 = 9)

Un número de tres factores se llamaba

número sólido.

Si los tres factores eran iguales, se llamaba

cubo:

(12 = 3 x 2 x 2) (27 = 3 x 3 x 3)

Un número piramidal es la suma de una

serie de números cuadrados:

(5 = 1 + 4) (14 = 1 + 4 + 9)

Pitágoras también se interesó por los

objetos naturales más abstractos, y se dice

que descubrió las maravillosas

progresiones armónicas correspondientes a

las notas de la escala musical, al encontrar

la relación entre la longitud de una cuerda

y el tono de la nota que producía al vibrar.

4.1.TEOREMA DE PITÁGORAS

xperiencia: Descubriendo la

relación pitagórica por excelencia.

E


87

La figura muestra un triángulo rectángulo

de catetos 3 y 4 cm. Comprueba que su

hipotenusa mide 5 cm.

De una hoja de papel milimetrado, recorta

cuadrados de lados 3, 4 y 5 cm para

acoplarlos convenientemente sobre los

lados del triángulo tal como observas en el

siguiente esquema.

A modo de tangram, intenta superponer

sobre el cuadrado que está acoplado a la

hipotenusa, los cuadrados

correspondientes a los catetos. Una

solución sería la de la figura. Busca otras

posibles soluciones.

De todas las soluciones imaginables,

puedes deducir geométricamente que el

cuadrado acoplado a la hipotenusa

contiene tantos cuadritos como entre los

dos que están acoplados a los catetos.

A continuación planteamos la experiencia

en términos aritméticos.

a. ¿Cuántos cuadritos componen el

cuadrado grande?

¿Y los otros dos juntos?

b. Constata que en cada caso estos

números son 52 y (32 + 42), por lo que,

según el apartado a, se cumple 52 = 32 +

42.

c. En la siguiente tabla dispones de los

catetos correspondientes a diferentes

triángulos rectángulos. Dibújalos y, tras

medir sus respectivas hipotenusas,

comprueba que verifican análoga relación

aritmética a la del apartado b.

Catetos

b, c

Hipotenusa

a

Relación

aritmética

A2 = b2 + c2

3 y 4 5 52 = 32 + 42

6 y 8

5 y 12

7 y 24

8 y 15

La relación aritmética entre los catetos y la

hipotenusa de cualquier triángulo

rectángulo se conoce con el nombre de

Teorema de Pitágoras:


88

En un triángulo rectángulo, la suma de los

cuadrados de los catetos es igual al

cuadrado de la hipotenusa.

a2 = b2 + c2

Los números que verifican esta relación

reciben el nombre de números pitagóricos,

en alusión al estudio que de ellos

realizaron Pitágoras y sus discípulos.

Los antecedentes históricos de este

teorema datan de las civilizaciones

babilónica y egipcia, dentro del segundo

milenio a. J. C. Existen tablas de números

pitagóricos, y diversos papiros como el del

Rhind y el de Moscú, que así lo confirman.

Los agrimensores egipcios construían

triángulos de catetos 3 y 4, y de

hipotenusa 5, mediante una cuerda de 12

nudos, para parcelar el terreno tras las

inundaciones del Nilo.

La experiencia anterior no es un rigor un

método válido de demostración del

Teorema de Pitágoras. Una demostración

algebraica y rigurosa aparecerá más

adelante en conexión con otras relaciones

métricas de triángulos; no obstante, en la

siguiente actividad se presenta una de las

muchas demostraciones geométricas del

teorema.

ACTIVIDAD 4.1

a. En la figura adjunta se encierra, a

modo de tangram, una demostración

geométrica del Teorema de Pitágoras.

Copia la figura y con la ayuda de unas

tijeras, recórtala por los trazos

discontinuos. Superpón convenientemente

las piezas obtenidas sobre el cuadrado

mayor, de forma análoga a como se hizo

en la experiencia, y obtendrás la

demostración.

b. Con la ayuda de una regla, mide

la hipotenusa y los catetos de la pieza

triangular, y comprueba el Teorema de

Pitágoras, así como el hecho de que las

medidas no tienen por qué ser exactas.


89

c. En un triángulo rectángulo no

siempre conocerás los catetos. ¿Cómo

harías para encontrar uno de los catetos si

te dan el otro y la hipotenusa?

Completa la siguiente tabla

Hipotenusa

a 13 20 2 2

Cateto b 12 9 1 1 1

Cateto c 12 12 3

d. Construye, con la ayuda de la

regla y el compás, un triángulo cuyos lados

midan 5, 7 y 8 cm. ¿Es rectángulo?

¿Verifica el Teorema de Pitágoras? En

consecuencia, ¿crees que este teorema

permite decidir si un triángulo es o no

rectángulo?

Completa la tabla siguiente:

a b c ¿Es rectángulo?

8 6 4

13 5 Si

24 7 No

3 1 2

26 24 10

EXPERIENCIA: PITÁGORAS Y LA

BALANZA

a vimos en el Teorema de Pitágoras

que los cuadrados pequeños se

podían superponer sobre el

cuadrado mayor, por lo que la suma de las

áreas de aquellos es igual al área de éste.

¿Es posible deducir algo semejante para las

piezas volumétricas de la figura siguiente?

Es evidente que una forma de

comprobarlo, al estilo de la Actividad 4.1,

sería construir un tangram tridimensional,

ahora bien, ello supondría un arduo

trabajo. Sin embargo, una forma sencilla

de comprobarlo es la que sigue a

continuación:

Por el Teorema de Pitágoras sabemos que

a2 = b2 + c2, y puesto que el volumen de

estas piezas es el área de la base por su

altura (ver Pág. 136)

Y


90

Va = a2h = (b2 + c2)h = b2h + c2h = Vb +

Vc

QUE ES JUSTAMENTE LO QUE

PRETENDÍAMOS DEMOSTRAR.

on conglomerado o unisel de un

mismo grosor, construye las tres

piezas volumétricas de nuestra

experiencia. Al colocarla en una balanza,

tal como muestra la figura, ¿se equilibrará

la balanza? Compruébalo en el laboratorio.

El resultado de esta experiencia está

justificado por el hecho de que para todos

los cuerpos se cumplen que:

Masa = densidad x volumen

Lo que abreviadamente indicaremos por

M = δ .V

Y puesto que acabamos de ver que

Va = Vb + Vc

También se cumplirá

δ Va = δ (Vb + Vc) = δ Vb + δ Vc

Y por tanto

ma = mb + mc

Resultado que ya era de esperar.

EJERCICIOS:

1. Para fabricarte un papalote

de las dimensiones indicadas

en la figura, ¿qué medidas le

darías al soporte exterior?

¿Tendrás suficiente con un

listón de 2 m para construir

toda la estructura?

1. ¿Qué altura ha de tener un

almacén para poder colocar toneles de vino

tal como se indica en la figura, si el

diámetro de cada tonel es de dos metros?

2. Dos amigos, después de hablar

por teléfono, deciden encontrarse en la

puerta de un cine. ¿Cuál de los dos llegará

primero, si el que vive en A sigue el

C


91

camino APC y el que vive en B lo hace por

el camino BC? Suponemos que ambos

salen al mismo tiempo y que caminan a la

misma velocidad.

3. Dos trenes salen de una misma

estación, uno hacia el sur y el otro hacia el

oeste. ¿Qué distancia, en línea recta, les

separara cuando cada uno lleva recorridos

80 km? ¿A qué distancia se encuentran de

la estación de salida cuando ambos están a

100 km uno del otro y llevan recorrida la

misma distancia?

4. Un muchacho quiere cambiar el

foco de un farol situado en una pared a 5,4

m de altura, con la ayuda de una escalera

de 3,5 m de longitud. Si el muchacho

puede llegar hasta los 2,25 m con el brazo

extendido, ¿a qué distancia máxima de la

pared ha de colocar el pie de la escalera

para conseguir su objetivo?

5. En la figura se muestra el

Teorema de Pitágoras repitiéndose

indefinidamente.

a. Si el lado del

cuadrado mayor es de

1 dm, ¿sabrías calcular

la medida de las cuatro primeras

hipotenusas?

b. A tenor de los resultados anteriores,

¿puedes predecir sin hacer cálculos, la

longitud de la hipotenusa del 7° triángulo

rectángulo?

c) ¿Cuál sería la expresión algebraica para

la hipotenusa de uno cualquiera de los

triángulos rectángulos?

4.2. OTROS TEOREMAS SOBRE

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

n el dibujo se muestra una

situación real en la que se desea

conocer la distancia entre la casa C

y el árbol A, situado a la otra orilla del río,

así como la del pozo P al árbol A, en el

caso muy particular de ser el triángulo PCA

rectángulo en C. Los datos conocidos se

hallan reflejados en el propio dibujo.

Podrás observar que con estos datos no es

posible deducir, haciendo uso exclusivo del

Teorema de Pitágoras, las distancias

deseadas, a lo sumo podríamos averiguar

h, distancia de la casa C al burro B.

h = 22 1220 − = 16 m

Para resolver esta situación se hace preciso

conocer otros teoremas relacionados con

los triángulos rectángulos. Estos son el

E


92

Teorema de la altura y el Teorema del

cateto.

4.2.1. TEOREMA DE LA ALTURA

s preciso recordar que: “En todo

triángulo rectángulo, los triángulos

obtenidos al trazar la altura relativa

a la hipotenusa son semejantes entre sí”,

resultado obtenido en la actividad b.1 de

3.4 del tema anterior.

Teniendo presente esta propiedad, es

posible demostrar el Teorema de la altura:

La altura relativa a la hipotenusa de un

triángulo rectángulo es media proporcional

entre los segmentos en que divide a ésta.

En efecto, por ser los triángulos PBC y CBA

semejantes, se cumplen

BABC

BCPB =

Es decir, mh

hn =

O también h2 = mn

Haciendo uso de este teorema resulta fácil

averiguar, para la situación planteada

inicialmente, la distancia entre el pozo P y

el árbol A, ya que de h2 = n.m, tenemos

que:

162 = 12 m

Y por tanto m = 12162

= 21.3 metros

De donde, la distancia buscada será:

PA = n + m = 12 + 21.3 = 33.3 metros

4.2.2. TEOREMA DEL CATETO

asándonos en la misma propiedad

utilizada para justificar el Teorema

de la altura, podemos demostrar el

Teorema del cateto:

En todo triángulo rectángulo un cateto es

media proporcional entre la hipotenusa y

su proyección sobre

ella.

Por ser los

triángulos ABC y

ACP semejantes,

tenemos:

APAC

ACAB = , es decir,

cp

pm =

Por lo que p2 = mc

Apoyándonos en este resultado, estamos

en condiciones de averiguar la distancia del

árbol a la casa, AC , finalizando así el

problema planteado inicialmente.

EB


93

De p2 = mc, tenemos que p2 =

(21.3)(33.3) = 709.3, de donde p =

3.709 = 26.6 metros

94

4.2.3. DEL TEOREMA DEL CATETO

AL TEOREMA DE PITÁGORAS

eamos ahora una demostración

rigurosa del Teorema de Pitágoras

haciendo uso del teorema del

cateto.

En el triángulo CAB de la figura, se

cumple:

C2 = m.a y análogamente b2 = n.a,

De donde b2 + c2 = n.a + m.a = (n+m).a =

a.a = a2

Lo que demuestra el Teorema de Pitágoras.

ACTIVIDAD 4.2

a. Completa la siguiente tabla

indicando el Teorema utilizado.

Datos Valores

de la

incógnita

Teorema

utilizado

h =

b =

c =

n =

b =

c =

n =

h =

c =

b. En la semicircunferencia de la figura

se han dibujado varios triángulos inscritos.

Comprueba con el transportador de

ángulos que todos ellos son rectángulos y

tienen por hipotenusa el diámetro de la

semicircunferencia.

c. Construcción de segmentos de

longitud una medida irracional: Para

representar un segmento de longitud 3

unidades, bastará tomar un segmento

cualquiera y sobre él trazar una

semicircunferencia cuyo diámetro sea la

longitud de aquél. Dividiendo dicho

segmento en 4 partes iguales y levantando

la perpendicular por la primera división,

V


95

obtenemos el segmento de longitud

deseada, 3

Observa que este resultado es una

aplicación directa del teorema de la altura.

Utiliza este proceso para construir

segmentos de longitudes:

,8,7,6,5,2 etcétera unidades.

4.3. RELACIONES MÉTRICAS DE

TRIÁNGULOS NO RECTÁNGULOS

asta ahora hemos desarrollado el

tema trabajando exclusivamente

con triángulos rectángulos; sin

embargo, las situaciones reales no son

siempre tan particulares. Suele ocurrir que

la casa, el pozo y el árbol del problema

planteado en 4.2, no formen ángulo recto.

Por ello estudiamos a continuación algunas

relaciones métricas en triángulos no

rectángulos, como son:

a) El cuadrado del lado opuesto a un

ángulo agudo en un triángulo cualquiera es

igual a la suma de los cuadrados de los

otros dos lados menos el doble del

producto de uno de ellos por la proyección

del otro sobre él.

En el triángulo ABC designamos por m la

proyección del lago c sobre el b.

El Teorema de Pitágoras en el triángulo

rectángulo CMB asegura que:

a2 = h2 + 2MC

Asimismo, en el triángulo AMB, h2 = c2 –

m2

Además 2MC = (b - m)2 = b2 + m2 – 2bm

Y sumando miembro a miembro estas dos

últimas igualdades, tenemos:

a2 = h2 + 2MC = b2 + c2 – 2bm, lo que

confirma el enunciado propuesto:

a2 = b2 + c2 – 2bm

b) De forma análoga, en un triángulo

cualquiera, el cuadrado del lado opuesto a

un ángulo obtuso tiene por expresión:

a2 = b2 + c2 + 2bm

Justifica tú mismo esta expresión y redacta

su correspondiente enunciado.

H


96

ACTIVIDAD 4.3

De todo lo anterior se puede deducir el

siguiente criterio que decide el tipo de

triángulo correspondiente a unas

dimensiones dadas:

“Un triángulo será acutángulo, rectángulo

u obtusángulo según que el cuadrado de su

lado mayor sea menor, igual o mayor que

la fuma de los cuadrados de los otros dos

lados”. Justifica este criterio y completa la

tabla adjunta.

EJERCICIOS:

1. Los propietarios de un condominio han

observado que uno de los dos cables que

fijan su antena colectiva de TV se ha roto.

Haciendo uso de los puntos de amarre ya

existentes, se les plantea el problema de

averiguar la longitud del cable que se ha

de reponer; conociendo los datos restantes

según aparecen en el esquema adjunto,

¿podrías resolverles su problema?

2. Las proyecciones de los catetos de un

triángulo rectángulo sobre la hipotenusa

miden 3 y 9 cm respectivamente.

Averigua la longitud de los catetos, así

como la de la altura relativa a la

hipotenusa.

3. En un concurso de papalotes, dos niños,

separados por 12 Dm de distancia, tienen

desplegados sus papalotes sobre el plano

vertical mediante 8 y 16 Dm de cordel en

el instante en que éstas colisionan. ¿A qué

altura del suelo colisionan los papalotes? Si

caen verticalmente por su propio peso,

¿qué distancia habrá de caminar cada uno

de ellos para recogerlas?

4. Imagínate situaciones reales que

correspondan a los siguientes esquemas y

resuélvelas.

a b c Tipo de triángulo

12 7 14

4 3 5

6 5 9

11 7 8

9 7 6


97

Op Cit Pp. 80 – 93

4.1 LA CIRCUNFERENCIA Y SUS

ELEMENTOS

na de las figuras más admiradas

de todos los tiempos por su

singular perfección ha sido la

circunferencia. Desde la antigüedad, el sol

con su circularidad fue objeto de adoración

por el hombre al constatar que influía de

forma decisiva sobre la vida humana.

Asimismo, la invención de la rueda en la

Edad de Bronce ha supuesto uno de los

mayores avances técnicos del hombre, lo

que muestra la gran transcendencia que

encierra esta figura.

En la actualidad, la encontramos en todos

los campos de la técnica. Concretamente

en arquitectura, aparece en rosetones,

columnas de sección circular y otros

ornamentos, donde desempeña un papel

importante. Nosotros mismos, en los

temas que anteceden, hemos hecho uso

del compás para el trazado de

circunferencias. Sin embargo no es el

único instrumento utilizado para tal fin,

pues un simple cordel manejado

convenientemente, como muestra la

fotografía, permite su trazado.

La circunferencia es la línea curva y

cerrada formada por los puntos del plano

situados a igual distancia de un punto

interior llamado centro.

Con anterioridad vimos la equivalencia

entre el centro y la apotema de un

polígono regular, y el centro y el radio de

una circunferencia. Sin embargo, éstos no

son los únicos elementos de la

circunferencia. En la figura aparecen los

más notables: centro, radio, cuerda,

diámetro y arco. De la propia figura

puedes deducir tu mismo la definición de

cada uno de ellos.

U

LA CIRCUNFERENCIA

LA CIRCUNFERENCIA______________________________________________

98

Al igual que para polígonos, en la

circunferencia hablamos del perímetro

como la longitud de ésta, la cual, a causa

de su particular interés, estudiamos

detalladamente en el siguiente apartado.

5.2. LONGITUD DE LA

CIRCUNFERENCIA. EL NÚMERO

espués de estudiar los elementos

de una circunferencia se nos

plantea el problema de averiguar

cuál es la longitud de ésta, complicado

problema ya que hay que vérselas ¡nada

más ni nada menos que con el infinito! Sin

embargo, nos atreveremos a ello de la

mano del ingenioso Arquímedes (s.III a. J

C), quien se imaginaba la circunferencia

como la figura obtenida por exhaución de

polígonos regulares inscritos y

circunscritos; es decir, por duplicación del

número de lados de los polígonos como se

muestra en la figura.

La longitud de la circunferencia está

comprendida entre los perímetros de estos

polígonos. La mayor o menor precisión

dependerá del número de lados

considerados. Arquímedes lo hizo para

polígonos de hasta 96 lados, lo que le

permitió conocer con gran aproximación la

longitud de la circunferencia.

Arquímedes es sin duda alguna la máxima

figura de la matemática griega y una de las

mentes más preclaras de todos los

tiempos. Nació en Siracusa en el 287 a J.

C. y murió en el 212 a. J. C. durante el

saqueo de esta ciudad por los romanos con

motivo de la II Guerra Púnica.

La obra de Arquímedes está caracterizada

por una gran originalidad lo que denota su

carácter de investigador en diversas ramas

de la ciencia como geometría, aritmética,

ingeniería e hidrostática. Esta última rama

es la más reconocida de Arquímedes por su

escrito De los cuerpos flotantes, en el que

estudia científicamente el equilibrio de los

cuerpos sumergidos y enuncia el célebre

principio que lleva su nombre: “Todo

D


99

cuerpo sumergido en un fluido experimenta

un empuje hacia arriba igual al peso del

fluido desalojado”.

En geometría y aritmética sus escritos De

la esfera y del cilindro, De los conoides y

de los esferoides, De las espirales, De la

medida del círculo, así como El Arenario,

muestran la gran aportación de

Arquímedes a las matemáticas.

En particular, El Arenario presenta el

interés de crear un sistema de numeración

que supera el de la época, al permitir

manejar números tan grandes como el

número de granos de arena que pueda

llenar todo el universo. Así mismo expone

un ingenioso procedimiento para

determinar el diámetro aparente del sol,

dando un valor bastante aproximado del

mismo, lo que demuestra los

conocimientos que Arquímedes poseía en

astronomía.

Por último, mencionemos uno de los

trabajos más originales e interesantes del

sabio de Siracusa: una larga carta dirigida

a Eratóstenes, hoy conocida con el título

abreviado de Método, en la que

Arquímedes expone un procedimiento,

mezcla de consideraciones geométricas y

mecánicas, mediante el cual llegaba a

descubrir propiedades (áreas, volúmenes,

centros de gravedad) que luego

demostraba rigurosamente con recursos

estrictamente geométricos.

Si volvemos al método de exhuación

utilizado por Arquímedes para obtener la

longitud de la circunferencia, deducimos

simplemente calculando perímetros de

polígonos, la siguiente tabla:

Número

de lados

Perímetro

Polígonos

inscritos

Longitud de la

circunferencia

Perímetro

Polígonos

circunferencia

6 (2)(r)(3) < L < (2)(r)(3.464101)

12 (2)(r)(3.105828) < L < (2)(r)(3.215390)

24 (2)(r)(3.132628) < L < (2)(r)(3.159660)

48 (2)(r)(3.139350) < L < (2)(r)(3.146086)

96 (2)(r)(3.141031) < L < (2)(r)(3.142714)

192 (2)(r)(3.141451) < L < (2)(r)(3.141874)

384 (2)(r)(3.141566) < L < (2)(r)(3.141647)

768 (2)(r)(3.141566) < L < (2)(r)(3.141593)

--- --- --- --- --- ---

--- --- --- --- --- ---

Observando el polígono de 768 lados,

comprobamos que los terceros factores

que aparecen en las columnas de

perímetros son casi iguales.



100

Al final de este proceso tales factores son

iguales, e indicamos dicho valor común con

la letra griega “π”. De ahí que la longitud

de la circunferencia sea:

L = 2πr

O también: L = πD, donde π es la razón de

proporcionalidad entre la longitud y el

diámetro de la circunferencia.

π DL=

En 1596, Ludolf Van Ceulen continuó el

método de Arquímedes y empleó el

polígono de 1 073 741 284 lados, para

obtener el valor de con 35 cifras decimales.

Concretamente obtuvo:

π=3.14159265358979323846264338327950288

...

Semejante laboriosidad de cálculo ha

hecho que el número se le conozca

también como el número de Ludolf.

Posteriormente se han conseguido mayor

número de cifras decimales de “�”

utilizando métodos de cálculo superior y

haciendo uso del ordenador.

Debido al ilimitado proceso utilizado, el

número � tiene una infinidad de cifras

decimales.

Actualmente, el cálculo de unos miles de

cifras de “π” sirve para comprobar nuevos

modelos de ordenadores.

101

π= 3.14159 0.26535 0.89793 0.23846 0.26433 0.83279 0.50288 0.41971 0.69399 0.37510

0.58209 0.74944 0.5923 0.78164 0.06286 0.20899 0.86288 0.34825 0.34214 0.70679

0.82148 0.08651 0.32823 0.06647 0.09384 0.46095 0.50582 0.23172 0.53594 0.08128

0.48111 0.74502 0.84102 0.70193 0.85211 0.05559 0.64464 0.29489 0.54930 0.38196

0.44288 0.10975 0.66593 0.34461 0.28475 0.64823 0.37867 0.83165 0.27120 0.19091

0.45648 0.56692 0.34603 0.48610 0.45432 0.66482 0.13393 0.60726 0.02491 0.41273

0.72458 0.70066 0.06315 0.58817 0.48815 0.20920 0.96288 0.92540 0.91715 0.36436

0.78925 0.90360 0.01133 0.05305 0.4882 0.46852 0.13841 0.46951 0.94151 0.16094

0.33057 0.27036 0.57595 0.91953 0.09218 0.61173 0.81932 0.61179 0.31051 0.18548

0.07446 0.23799 0.62749 0.56735 0.18857 0.52724 0.89122 0.79381 0.83011 0.94912

0.98336 0.73362 0.44065 0.66430 0.86021 0.39494 0.63952 0.24737 0.19070 0.21798

0.60943 0.70227 0.05392 0.17176 0.29317 0.87523 0.84674 0.81846 0.76694 0.05132

0.00056 0.81277 0.45263 0.56082 0.77857 0.71342 0.75778 0.96091 0.73637 0.17872

0.14684 0.40901 0.22495 0.34301 0.46549 0.58537 0.10507 0.92279 0.68925 0.89235

0.42019 0.95611 0.21290 0.21960 0.86403 0.44181 0.59813 0.62977 0.47713 0.09960

0.51870 0.72113 0.49999 0.99837 0.2978 0.49951 0.05973 0.17328 0.16096 0.31859

0.50244 0.59495 0.34690 0.83026 0.42527 0.30825 0.33446 0.85035 0.26193 0.11881

0.71010 0.00313 0.78387 0.52886 0.58753 0.32083 0.81420 0.61617 0.76691 0.47303

0.59825 0.34904 0.28755 0.46873 0.11595 0.62863 0.88235 0.37875 0.93751 0.95778

0.18577 0.80532 0.17122 0.68066 0.13001 0.92787 0.66111 0.95909 0.21642 0.01989

En relación con este número, en el

periódico Le Courrier Picard apareció

publicado el siguiente artículo:

“Un japonés, Hideaki Tomoyori, ha batido

un récord del mundo memorizando 15 151

cifras decimales de “Pi”, que constituye la

razón entre la circunferencia de un círculo

y su diámetro.

Tomoyori ha recitado tales cifras durante

tres horas y diez minutos ante tres

periodistas de la cadena de periódicos

Yomiuri, batiendo así el récord ostentado

desde 1977 por el británico Michael John

Pourtney con 5 050 cifras.

El ha tenido la idea de batir este récord

leyendo una información relativa a que un

estudiante canadiense, Luc Lapointe, de 17

años, había memorizado 8 750 cifras

decimales, hazaña que no había sido aún

homologada oficialmente.

El nuevo recordman, de 46 años, logró

memorizar estas cifras por grupos de 10,

traduciéndolas en palabras fonéticamente

tratables. Así, las cifras “2, 9, 8” pueden

ser pronunciadas en japonés “fu, ku, ya” y

memorizadas “fukuya”, lo que quiere decir

“sastre”

Por otra parte, cada 100 cifras plegaba un

dedo de la mano derecha, y cada 10 cifras

un dedo de la mano izquierda para

acordarse de dónde estaba. Se paraba

cada mil cifras para descansar. Los

periodistas lo constataban utilizando los

cálculos hechos con un ordenador.


102

Tomoyori ha declarado tras su hazaña que

pensaba poder memorizar hasta 100.000

cifras decimales”.

Le Courrier Picard, 15/6/79

Cabe suponer que en todos estos años

transcurridos, Tomoyori haya superado su

proeza.

Experiencia: Buscando el número �

Los dibujos adjuntos sugieren un método

para encontrar el número �. Basta medir

la longitud L del alambre que envuelve al

cilindro y el diámetro D de éste. El

cociente DL

, entre la longitud de la

circunferencia y el diámetro de ésta, es el

número �, ya que DL

= ππ =rr

22

El número � lo puedes encontrar en

cualquier circunferencia, sea del tamaño

que fuera. Compruébalo haciendo esta

experiencia con cuerpos de sección circular

de muy distinto tamaño.

ACTIVIDAD 5.1

a. Puesto que la longitud de la

circunferencia es L = 2�r, y recordando

que una vuelta de circunferencia equivale a

360°, ¿cuál sería la longitud de un arco de

amplitud 1°? Deduce que la expresión de la

longitud de un arco de circunferencia de

amplitud n° es:

)(3602 0

0 nrLnπ=

b. La paradoja de �: Suponte que la

Tierra está ceñida en el ecuador por una

cinta. Cortando y añadiendo a esta cinta

un pequeño trozo de 1 m, al rodear

nuevamente la Tierra produciríamos una

bella aureola. ¿Podría pasar un ratón entre

la cinta y la Tierra? ¿Y si la Tierra se

reemplazara por una bola de billar?

��¿Pasará?

��¿No pasará?

Al poner la cinta aureola a 1 m de distancia

de la Tierra, ¿cuál será el exceso de

longitud de dicha cinta sobre el ecuador?

¿Y en la bola de billar.

EJERCICIOS:

1. Averigua la longitud del radio de

la Tierra, supuesto que el ecuador terrestre

es circular y mide 40 000 km.


103

2. Calcula el radio de una mesa

circular para doce personas, cada una de

las cuales ocupa un arco de 75 cm.

3. ¿Qué distancia recorre un coche

cuyas ruedas miden 68 cm de diámetro y

giran sin patinar 2 500 vueltas?

4. Averigua la longitud de la correa

que une dos poleas de 35 cm. De diámetro

cuyos centros distan 2.35 m.

5. Averigua la longitud de un arco de

32 m de radio y 120° de amplitud

6. Un arco de 108° tiene 15 cm de

longitud. ¿Cuál es su radio?

7. Un arco de 20 cm de longitud

tiene 15 cm de radio. ¿Cuál es su

amplitud?

8. ¿Cuantos grados de amplitud

tiene un arco de la misma longitud que su

radio? Esta amplitud se llama radián. ¿Cuál

es la amplitud de un arco de 3 radianes?

¿Cuántos radianes mide la circunferencia?

5.3 RECTAS Y CIRCUNFERENCIA:

POSICIONES RELATIVAS

a) Una recta respecto de la

circunferencia puede ser:

-Exterior, si no la corta en ningún punto.

-Tangente, si la corta en un solo punto.

-Secante, si la corta en dos puntos.

Observa que:

- Si la distancia del centro a la

recta e mayor que el radio, la recta es

exterior.

- Si dicha distancia es igual al

radio, la recta es tangente.

- Si es menor que el radio, la

recta es secante.

b) Dos circunferencias pueden ser

entre sí: exteriores (A,B), tangentes

exteriores (B,C), secantes (D,E), tangentes

interiores (F,G), inferiores, y concéntricas

(H,I), tal como se muestra en la película

adjunta.

Algunas propiedades de las rectas

tangentes y secantes a una circunferencia

son:

1. El radio perpendicular a una recta

secante divide la cuerda determinada en la

circunferencia en dos partes iguales.


104

Basta considerar que en los triángulos

rectángulos OAC y OBC, OA = OB y que OC

es común a los dos, por lo que, según el

Teorema de Pitágoras, AC = BC.

El caso extremo de esta propiedad se

produce cuando la recta secante se

convierte en tangente. En tal caso se

verifica que.

2. El radio es perpendicular a la

tangente trazada por el punto de contacto

con la circunferencia.

5.4 DETERMINACIÓN DE UNA

CIRCUNFERENCIA

bserva en la figura 1 que por un

punto A pasan una infinidad de

circunferencias con centros

arbitrarios. En la figura 2 observarás,

asimismo, que por dos puntos A y B pasan

también infinitas circunferencias, todas

ellas con centro en la mediatriz del

segmento AB .

Por consiguiente, podemos concluir que

una circunferencia no queda determinada

por 1, ni por 2 puntos, Sin embargo, tres

puntos, A, B y C, no alineados sí

determinan una circunferencia. Basta

simplemente con encontrar el punto 0

donde se cortan las mediatrices de los

segmentos AB y BC . Este punto es el

centro de la circunferencia, siendo el radio

cualquiera de los segmentos AO , OB u

OC .

También es posible determinar una

circunferencia cuando se conocen otros

elementos geométricos. Compruébalo tú

mismo en la siguiente actividad.

O


105

ACTIVIDAD 5.1

HACIENDO USO DE LA REGLA Y EL

COMPÁS:

a. Dibuja la circunferencia

tangente a dos rectas secantes r y s que

pase por un punto dado P de la recta r.

b. Dibuja una circunferencia que

pase por dos puntos A y B teniendo el

centro sobre una recta R.

c. Traza, con la ayuda de la

regla y el compás, una circunferencia que

pase por un punto A y sea tangente a una

recta r.

5.5. ÁNGULOS EN UNA

CIRCUNFERENCIA

5.5.1. CLASIFICACIÓN

egún la posición del vértice de un

ángulo con respecto a una

circunferencia, el ángulo puede

ser: central, interior, inscrito, semiinscrito

o exterior.

ACTIVIDAD 5.2

Completa en la tabla de la página siguiente

las características de cada ángulo,

observando su dibujo correspondiente.

Ángulos Características

El vértice del ángulo central

coincide con el centro de la

circunferencia

El vértice del ángulo interior

es un punto

El vértice del ángulo

inscrito es un punto

.............y los lados son

rectas...................


semiinscrito es un punto

...... y los lados son

rectas......................


exterior es un punto.

.......... y los lados pueden

ser:

rectas..................

....

rectas..................

....

rectas..................

....

.

S


106

5.5.1 MEDIDA DE LOS

ÁNGULOS EN UNA

CIRCUNFERENCIA

na vez clasificados los distintos

ángulos, calculemos su medida.

Para ángulos centrales no existe

ningún problema, ya que el arco

comprendido entre sus lados nos da la

medida del ángulo. En los restantes, sin

embargo, no sucede lo mismo, como

podrás comprobar a continuación.

ACTIVIDAD 5.3

Observa los ángulos inscritos y semi-

inscritos de las figuras adjuntas.

Con la ayuda del transportador de ángulos

mide cuidadosamente sus amplitudes y

anótalas en la tabla.

Ángulos

Inscritos

Figura

1

Figura

2

Figura

3

Ángulos

semiinscritos

Figura

4

Figura

5

Completa asimismo la columna

correspondiente a los ángulos centrales de

arco AB.

Compara ambas amplitudes. Si tus

medidas son correctas, habrás observado

que:

En general se cumple:

Los ángulos inscritos y semi-inscritos

miden la mitad del arco comprendido entre

sus lados.

En efecto:

Para ángulos inscritos,

como muestra la

figura, tenemos:

∠AOB = ∠1 + ∠2 por

ser suplementario con

∠3.

Además, el triángulo OO’B es isósceles, por

lo que ∠1 = ∠2, y por tanto:

U


107

Para ángulos semi-inscritos el

razonamiento es análogo.

ACTIVIDAD 5.4

EL EQUÍVOCO DEL PERIODISTA

DEPORTIVO:

a. A menudo, en retransmisiones

deportivas, oímos expresiones cono “el

jugador tiró a gol sin apenas ángulo de

tiro...”, expresión no demasiado acertada,

como veremos a continuación.

En el esquema adjunto y haciendo uso del

transportador, mide los ángulos bajo los

cuales se ve la portería desde los puntos

P1, P2 y P3. Habrás observado, contra todo

pronóstico que los tres ángulos son

iguales. Mediante regla y compás

trazamos la circunferencia que pasa por A,

B y uno cualquiera de los puntos

anteriores. Justifica el equívoco

apoyándote en la medida de ángulos

inscritos en la circunferencia.

Los puntos del campo bajo los cuales se ve

la portería con el mismo ángulo,

determinan un arco llamado arco capaz del

segmento AB bajo el ángulo.

b. Para jugadores situados en las

posiciones P4 y P5, ¿Cuál en su ángulo de

tiro? Usa el transportador y no te fíes de la

intuición como los comentaristas

deportivos.

Habrás observado que para ángulos

interiores y exteriores a la circunferencia

no rige la misma regla que para ángulos

inscritos y semiinscritos. Comprueba que

para P4, el ángulo es interior y mide:


108

Para P5, sin embargo la transferencia y mide:

EN GENERAL, SE CUMPLE QUE:

os ángulos interiores a una

circunferencia miden la semisuma

de los arcos comprendidos por sus

lados y las prolongaciones de éstos.

Los ángulos exteriores a una circunferencia

miden la semidiferencia de los arcos

comprendidos por sus lados.

Veamos esto último con rigor:

por ser ∠1+2 suplementario de ∠AB’O’ y el

ángulo ∠3 también.

Ejercicios:

1. El triángulo ABC está inscrito en una

circunferencia y se sabe que ∠AB = 80° y

∠BC = 160°. Halla la medida de los tres

ángulos del triángulo.

2. Los puntos A, B, C, D y E son los vértices

de un pentágono inscrito en una

circunferencia, donde ∠AB = 42° 30’, ∠BC

= 42° 30’, ∠CD = 84° 20’ y ∠DE = 120°

40’. Averigua la medida de los ángulos del

pentágono.

3. ¿Bajo qué ángulo se ve el eje terrestre

desde un punto cualquiera de la superficie

de la Tierra, supuesta esférica? ¿Cómo son

los ángulos inscritos en una

semicircunferencia?

4. Demuestra que en todo cuadrilátero

inscrito en una circunferencia los ángulos

opuestos son suplementarios.

5. Dibuja un hexágono regular y traza dos

diagonales que partiendo de un mismo

vértice vayan a vértices consecutivos.

¿Qué ángulo forman?

6. Un ángulo interior a una circunferencia

mide 53° 12’ y el arco abarcado por sus

lados 38° 15’. ¿Qué arco abarcará las

prolongaciones de sus lados?

7. Los arcos que abarcan los lados de un

ángulo exterior a una circunferencia miden

48° y 54° 30’. ¿Cuánto mide el ángulo

exterior?

8. El menor de los arcos interceptados por

dos tangentes a una circunferencia

trazadas desde un punto exterior mide

L


109

70°. ¿Cuál es la medida del ángulo de las

tangentes?

9. Un triángulo ABC está inscrito en una

circunferencia, y ∠A = 50°, ∠B = 70°. Se

trazan tangentes por ∠A, ∠B y ∠C de modo

que formen el triángulo circunscrito A’B’C’.

Averigua los ángulos ∠A’, ∠B’ y ∠C’ de

dicho triángulo.


110

Op Cit Pp. 94 - 112

5.1 MIDIENDO SUPERFICIES

ara medir superficies es necesario

adoptar una unidad patrón y

compararla con la extensión de

dicha superficie.

Recordarás que las unidades patrón de

superficie en el SMD son: Mm2, Km2, Hm2,

Dm2, m2, dm2, cm2 y mm2. Sin embargo,

para medir terrenos, se utilizan con

frecuencia las llamadas unidades agrarias:

Hectárea, área y centiárea. Sus

equivalencias con el SMD son:

Ha = Hm2 = 10 000 m2 a = Dm2 = 100

m2 ca = m2

ACTIVIDAD 6.1

Las figuras adjuntas representan terrenos

factibles de ser destinados a zona verde

por un determinado municipio. Por

condiciones presupuestarias, sólo uno de

ellos será acondicionado para este fin.

Unidad patrón 1 hectárea = 1 Há =1 Hm2

Si la mayoría de los regidores son

ecologistas que abogan por la máxima

superficie de zona verde, ¿cuál crees que

será el terreno elegido? Justifica tu

respuesta después de haberlos medido

tomando la Ha como unidad patrón.

La medida de la extensión de una

superficie se llama AREA de dicha

superficie.

6.2.ÁREAS DE LOS POLÍGONOS

MÁS SENCILLOS

unque en la vida real las

superficies se nos presentan con

distintos contornos, sucede a

menudo que éstos tienen forma poligonal.

A continuación estudiaremos las áreas de

las superficies poligonales más sencillas.

P

A

ÁREAS DE FIGURAS PLANAS

AREAS DE FIGURAS PLANAS________________________________________

111

ACTIVIDAD 6.2

Observa el rectángulo de la figura adjunta

y, tomando como unidad patrón el cm2,

responde:

a. ¿Cuántos cm2 tiene cada fila?

¿Cuántas filas tiene el rectángulo? ¿Cuál es

su área?

b. ¿Sabrías dar una regla aritmética

que nos permita calcular dicha área sin

recurrir al recuento de los cuadrados que lo

componen?

c. ¿Cuál sería el área del rectángulo

en el supuesto de que la base mida 7.2 cm

y la altura 4.5 cm?


112

De la actividad anterior deducimos que:

Área del rectángulo = Base x Altura

El cuadrado es un caso particular de

rectángulo en el que la base y la altura son

iguales. En consecuencia:

Área del cuadrado = Lado x Lado

Experiencia: El área en los productos

notables

Es posible que conozcas de álgebra ciertos

productos notables, como son:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a+b)(a-b) = a2 - b2

Si te resultan difíciles de memorizar, te

sugerimos que los recuerdes

visualizándolos de un modo geométrico:

a. Toma una cartulina en forma de

cuadrado y observa que al cortarla como

se muestra en la figura, el área del

cuadrado se conserva, si bien aparece

como suma de las áreas de los rectángulos

y cuadrados en que ha quedado

descompuesto.


113

b. Por otra parte, toma otra cartulina

con forma cuadrada y recorta un cuadrado

de una de sus esquinas, la figura restante

puedes cortarla en dos trozos por la línea

de puntos y redistribuirla adosando al pie

del rectángulo mayor el trozo punteado.

a2 – b2 = . . . . . . . . . . . . . . . . . = (a +

b)(a - b)

Comparando las áreas, deducirás que:

(a + b)(a - b) = a2 - b2

Observa que las construcciones anteriores

no dependen del tamaño de los cortes que

produzcas. Puedes comprobarlo al

comparar tu experiencia con la de otro

compañero.

ACTIVIDAD 6.3

Pretendemos obtener las áreas de

triángulos y demás cuadriláteros a partir

de la del rectángulo, mediante sencillas

manipulaciones de éste.

a. Corta una hoja de papel y

comprueba que cortándolo por una de sus

diagonales obtienes dos triángulos iguales.

Relaciona el área de uno de ellos con la del

rectángulo.

b. Toma otra hoja de papel y

córtala tal como se muestra en la figura

adjunta.

Se obtiene tres triángulos, el mayor de los

cuales resulta ser T. Este triángulo puede

ser recubierto a modo de tangram por los

dos triángulos sobrantes, lo que nos

permite asegurar que el área del

rectángulo es doble que la del triángulo o

también, que el área del triángulo es mitad

de la del rectángulo. De este apartado y

del anterior podemos deducir:

Área del triángulo = 2

))(( alturaBase

c. Haz un corte en

una hoja de papel, tal

como se indica en la

figura adjunta, y traslada


114

al lado opuesto el triángulo obtenido en

dicho corte, con lo cual obtendrás un

romboide.

El romboide está compuesto de las mismas

piezas que el rectángulo. Deduce a partir

de este hecho que el área del romboide es:

Área del romboide = Base

x Altura

d. Los vértices del rombo dibujado

en la hoja de papel de la figura se

encuentran en los puntos medios de los

lados de ésta. Recorta dicho rombo y

dibuja sus diagonales. Observa que las

diagonales son la base y la altura de la

hoja de papel. Superponiendo a modo de

tangram las cuatro esquinas sobrantes,

sobre el rombo, se puede deducir la

relación existente entre el área del

rectángulo y la del rombo. Comprueba

que:

Área del rombo =

22))(( DdnorDiagonalMeyordiagonalMa =

e. Corta una hoja de papel como

muestra la figura y obtendrás dos trapecios

iguales. Esto permite deducir que el área

del trapecio es la mitad de la del

rectángulo. A partir de este hecho puedes

concluir que:

Área del trapecio =

2)(

2)()( hbBhBaseMenorBaseMayoy +=+

El resultado obtenido para trapecios

rectángulos es generalizable a cualquier

tipo de trapecio. Para ello bastaría cortar

el papel convenientemente, como indica la

figura.

6.3. ÁREA DE POLÍGONOS

CUALESQUIERA

a) En polígonos irregulares, basta

triangulizar el polígono, tal como se

observa en la figura l. El área del polígono

irregular se obtiene sumando las áreas de

los triángulos que lo componen. En otros

casos, sin embargo, puede ser más

conveniente descomponer el polígono en


115

otras figuras elementales, como se puede

ver en las siguientes figuras.

b) En polígonos regulares, puede

utilizarse el método anterior, pero es más

operativo triangularizar desde el centro del

polígono ya que en tal caso todos los

triángulos que resultan son iguales, lo que

permite establecer la expresión del área de

forma sistemática.

Del hexágono de la figura se deduce que

su área es seis veces la del triángulo

básico.

Recuerda que la apotema de un polígono

regular e la distancia del centro del

polígono a cada uno de sus lados y, puesto

que la altura de los triángulos básicos

coincide con la apotema, observa que:

Área del hexágono = 6 x Área del triángulo

= ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

2))((6 apotemalado

=

2))(( apotemaperímetro

Es fácil comprobar que este resultado es

válido no sólo para el hexágono sino

también para todo polígono regular, por lo

que de un modo general:

Área de un polígono regular =

2))(( apotemaperímetro

EJERCICIOS:

1. La figura adjunta muestra el croquis de

una finca con las dimensiones de ésta.

Averigua su área y expresa el resultado en

Hectáreas.

2. De dos terrenos de igual superficie se

sabe que uno es un cuadrado de perímetro

160 metros y el otro un rectángulo de 2,5

Dm de anchura, ¿Cuál es la longitud del

segundo terreno?

3. Los lados desiguales de un romboide

miden 51 cm y 24 cm. La diagonal menor

es perpendicular al lado menor. Calcula:


116

a. La diagonal menor.

b. El área del romboide.

c. La distancia entre sus dos lados

mayores.

d. La diagonal mayor.

4. Las diagonales de un trapecio

rectángulo miden 26 cm y 30 cm

respectivamente, y su altura 24 cm.

Calcula el área.

5. En un trapecio isósceles la diferencia

de las bases es de 10 cm, la altura de 12

cm y el perímetro 72 cm. Determina su

área.

6. Calcula el área de un triángulo

equilátero en función de su lado.

7. Las dimensiones de un rectángulo

ABCD son: AB = 5 cm y AD = 3 cm.

Halla sobre AB un punto P cuya distancia

x = PA sea tal que el área del trapecio

PBCD sea cuádruplo del área del triángulo

APD.

8. Un parque de forma rectangular mide

800 m de longitud y 600 m de anchura; se

halla atravesado por dos paseos de igual

anchura que se cruzan formando ángulo

recto. Averigua la anchura de los paseos

sabiendo que éstos cubren una superficie

de 67.500 m2.

9. Algunas figuras geométricas sirven

para ilustrar de un modo sencillo relaciones

aritméticas muy complejas que exigen ser

demostradas por el método de inducción. A

continuación te presentamos dos de estos

ejemplos; haz jugar la vista contando

cuadrados como convenga a cada

expresión algebraica y justifica que son

ciertas para cualquier valor de n.

1 + 2 + 3 + 4 + ... + n =

2

)1( +nn

Sea n = 6, luego:

21242

2)7(6

2)16(6 ===+

Que por conteo básico = 6

+ 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 21

1 + 3 + 5 + 7 + ... +

(2n – 1) = n2

5.2 UN PROBLEMA CLÁSICO: EL

ÁREA DEL CÍRCULO

Tres problemas muy especiales

contribuyeron en gran medida al desarrollo

de la matemática en el periodo helénico: la

duplicación del cubo, la trisección del

ángulo y la cuadratura del círculo.

- El problema de la duplicación del

cubo o problema de Delos, de origen

griego, consiste en determinar el lado de

un cubo de volumen doble del otro cubo de

lado dado.


117

- El problema de la trisección del

ángulo, es decir, dividir un ángulo

cualquiera en tres partes iguales, llamó

seguramente la atención por la gran

discrepancia entre la sencillez de sus

términos y la imposibilidad de resolverlo

con los medios elementales de la

geometría, regla y compás, imposibilidad

tanto más llamativa cuanto que con esos

medios podía dividirse un ángulo

cualquiera en 2, 4, 8, .... partes iguales, y

también podían trisecarse algunos ángulos

muy particulares como el recto, el llano,

etc.

- En cuanto al problema de la

cuadratura del círculo, nacido seguramente

de la necesidad práctica de calcular el área

de un círculo, consiste geométricamente en

determinar con regla y compás el lado de

un cuadrado equivalente a un círculo de

radio dado.

Una primera característica común de estos

tres problemas es que no encajaban dentro

de la geometría de polígonos y poliedros,

de segmentos, círculos y cuerpos

redondos, y que su solución sólo podía

obtenerse utilizando otras figuras o medios

que iban más allá de las construcciones

fundadas en las intersecciones de rectas y

circunferencias, o como posteriormente se

denominaron, construcciones

exclusivamente con regla y compás. En

segundo lugar, y esto ha de haber llamado

la atención a los geómetras griegos,

algunos de los métodos que resolvían uno

de estos problemas a veces resolvían

también otro de ellos, hecho que revelaba

alguna relación entre dichos problemas,

relación que, sin embargo, permaneció

siempre oculta para ellos.

“De la investigación de estos problemas se

ocuparon numerosos pensadores griegos

del periodo helénico, el más antiguo de los

cuales es el filósofo Anaxágoras (499-428

a.J.C), quien, según Plutarco, se habría

ocupado de la cuadratura del círculo

mientras estaba en Atenas encarcelado

bajo la acusación de impiedad.

Datos más concretos se tienen de

Hipócrates de Quíos, también del siglo V a.

J. C., que puede considerarse como el

primer matemático “profesional”. Se

cuenta que era un comerciante que,

asaltado y saqueado por piratas, vino a

pedir justicia a Atenas, donde frecuentó a

los filósofos y se convirtió en hábil

geómetra. Y en efecto, las contribuciones

geométricas que se la atribuyen son

importantes, destacándose entre ellas las

investigaciones relacionadas con el

problema de la duplicación del cubo, que él

convierte en un problema de geometría

plana, y con el problema de la cuadratura

del círculo, con el cual están vinculadas sus

célebres “lúnulas” cuadrables.

El problema de la cuadratura del círculo,

encarado por HIPÓCRATES DE Quíos a

través de la búsqueda de figuras circulares

cuadrables fue enfocado por algunos

sofistas contemporáneos desde otro punto


118

de vista, que infructuoso entonces, resultó

fértil más adelante. Así se atribuye al

sofista Antifón el raciocinio siguiente: si se

inscribe en un círculo un cuadrado y

después, bisecando los arcos respectivos,

se inscribe un octógono y así

sucesivamente, se llegará a un polígono

cuyos lados serán tan pequeños que el

polígono podrá confundirse con el círculo.

Este raciocinio tiene el mérito de haber

introducido en la consideración del

problema polígonos inscritos que más

tarde, en manos de Arquímedes,

proporcionó uno de los primeros resultados

positivos.

Otro sofista, Brisón, compañero del

anterior, agregó la consideración de los

polígonos circunscritos afirmando, con

razón, que el área del círculo está

comprendida entre los polígonos inscritos y

circunscritos.

Al margen de las construcciones con reglas

y compás, la invención de curvas

especiales para resolver los tres problemas

clásicos, señalan un proceso importante en

la evolución del pensamiento griego.

Abandonando la norma platónica, que sólo

consideraba perfectas la circunferencia y la

esfera, figuras con las que pretendía

explicar el universo, pretensión que

perduró veinte siglos aún a través de

Copérnico hasta la innovación kepleriana,

los nuevos geómetras griegos engendran

curvas con definiciones convencionales, y

hasta utilizan movimientos, dado

ingerencia a la cinemática; doble

imperfección de la geometría que habría

horrorizado a Platón.

Uno de los primeros innovadores fue el

sofista Hipias de Elis, de finales del siglo V

a. J. C., a quien se debe una curva que le

permitió resolver el problema de la

trisección del ángulo y que más tarde se

denominó cuadratriz, pues por obra de un

matemático del siglo siguiente, Dinostrato,

se demostró que con esa curva podía

rectificarse la circunferencia o, lo que es lo

mismo, resolver el problema equivalente

de la cuadratura del círculo.

J. BABINI, J. REY PASTOR

Historia de la Matemática

Ed. Gedisa

A fin de obtener la expresión del área del

círculo, conviene recordar que si un

polígono regular aumenta su número de

lados indefinidamente, su contorno tiende

a confundirse con el de una circunferencia,

razón por la cual podemos imaginar ésta

como un polígono regular con una infinidad

de lados. Como tal “polígono”, el área que

se encierra en su interior será:


119

Area de círculo =

2

2.2

2))(( RRRapotemaperímetro ππ ==

de donde:

Área del círculo = �R2

5.3 Área de otras figuras circulares

ACTIVIDAD 6.4

a. Dibuja una circunferencia de 8 cm

de radio y recórtala. ¿Cuál es el área del

círculo que encierra?. Dibuja sobre el

recorte anterior y con el mismo centro,

otra circunferencia de radio 5 cm.

Recórtala y di cuál es el área de su círculo.

La figura sobrante se llama corona

circular. ¿Sabrías decir cuál es su área a

partir de las áreas de los círculos

anteriores?

Suponiendo R el radio de la circunferencia

mayor y r el de la circunferencia menor,

justifica que:

Área de la corona circular = �(R2)(r2)

b. El parlamento de un determinado

país está compuesto por 360 miembros.

Su distribución por partidos políticos

responde al diagrama circular adjunto

(recuerda que la circunferencia abarca

360°).

Si el radio del diagrama circular es R, ¿cuál

es el área del diagrama que representa la

composición del parlamento?

¿Cuál es el área correspondiente al partido

político por un solo miembro?

¿Cuál es el área correspondiente al partido

político con 65 representantes en el

parlamento?

Para el caso de un partido con n

representantes en el parlamento, justifica

que el área de su sector

circular correspondiente

es:

Área del sector circular =

)(0360

2n

Rπ

c. La parte sombreada de la figura

adjunta representa un segmento circular.

Justifica que su área es la diferencia entre

el sector circular que abarca y el triángulo

formado por los extremos de la cuerda y el

centro de la circunferencia. Utiliza este

hecho para obtener la expresión de su

área. Para ello habrás de utilizar una vez

más el Teorema de Pitágoras al considerar


120

que la altura del triángulo isósceles divide

la base en dos partes iguales.

d. La figura nos muestra un Trapecio

circular. Expresa su área en función del

área de algunas figuras circulares

estudiadas anteriormente.

ACTIVIDAD 6.5

A modo de resumen completa la siguiente tabla de áreas:

Área del triángulo =

Área =

Área del cuadrado =

Área =

Área del rectángulo =

Área =

Área del romboide =

Área =

Área del rombo =

Área =

Área del trapecio =

Área =

Área de un polígono regular =

Área =

Área del círculo =

Área =

Área de la corona =

Área =

Área del sector =

Área =

Área del segmento =

Área =

Área del trapecio circular =

Área =


121

EJERCICIOS

1. Determina el área de la parte

sombreada de las figuras siguientes:

2. Hipócrates de Quíos, contemporáneo de

Pericles, no pudo cuadrar el círculo, pero

llegó a cuadrar cierto tipo de lúnulas como

las de la figura, comparando sus áreas con

las de los triángulos rectángulos.

Justifica que el área de la parte sombreada

es siempre igual a la de las superficies

punteadas, después de probar que el área

del semicírculo sobre la hipotenusa es igual

a la suma de las áreas de los semicírculos

sobre los catetos.

3. Dibuja dos circunferencias tangentes tales

que una de ellas pase por el centro de la

otra, y calcula el área del recinto limitado por

éstas, sabiendo que el área del círculo menor

es 4 cm2.

4. Las diagonales de un rombo miden 5 y 12

cm respectivamente. Calcula el área del

círculo inscrito en el rombo.

5. Dadas tres circunferencias del mismo

radio, R = 3 cm, tangentes entre sí, calcula

el área del triángulo curvilíneo limitado por

las tres circunferencias.

6. En un triángulo equilátero ABC de 6 cm de

lado, se trazan con este radio y desde cada

vértice arcos de circunferencias limitados por

los otros vértices. Calcula el área de la

superficie limitada por dichos arcos.

7. Halla el área de la corona circular

determinada por las circunferencias inscritas

y circunscritas a un triángulo equilátero de

lado 6 cm.

8. En un triángulo rectángulo isósceles ABC

(A = 90°), se traza con centro den C un arco

∩AM que corta a la hipotenusa en M. Con

centro en B y radio BM se traza otro arco

que corta al cateto BA en N. Averigua el área

del triángulo mixtilíneo AMN.

9. Calcula el área de un trapecio circular

cuyas bases abarcan 60° sabiendo que la


122

suma y diferencia de los radios de las

circunferencias miden 18 y 6 m

respectivamente.

10. La amplitud de un trapecio circular es de

30° y las longitudes de los arcos que lo

determinan miden 47.1 y 15.7 cm

respectivamente. Determina el área de

dicho trapecio.

11. Se pide el área de la parte coloreada de

la figura adjunta, sabiendo que el diámetro

mide 20 dm, y que A,B y C son los centros

de los arcos de circunferencia

∩MN, ∩MP y ∩PN,

respectivamente.

12. En ocasiones somos tan incautos que al

decidir la compra de un determinado

producto, presentado al mismo precio por

diferentes fabricantes y en envases de

distintos tamaños, lo hacemos optando por

el mayor de ellos, al ignorar las muchas

posibilidades que ofrece la geometría a las

engañosas intenciones de algunos

fabricantes. El siguiente ejercicio ilustra

muy bien lo que acabamos de comentar.

Un fabricante decide embalar sus

productosx en cajas con forma circular,

pudiendo hacerlo de dos modos diferentes,

como muestran las figuras. ¿Cuál de los

dos modelos presenta más cantidad de

producto? Si el precio de uno y otro

modelo es el mismo, ¿cuál crees que será

el modelo elegido por el fabricante?

6.6. RAZÓN ENTRE LAS ÁREAS DE

DOS FIGURAS SEMEJANTES

n el tema 3, actividad 3.5, vimos que

“la razón de los perímetros de dos

polígonos semejantes es igual a la

razón de semejanza entre ellos”

KPP

DCCD

CBBC

BAAB ====

'...

''''''

¿Cabe esperar el mismo

resultado para la razón

entre las áreas de dos

polígonos semejantes? La

respuesta es inmediata;

basta considerar, por

ejemplo, un cuadrado de

lado / y otro “semejante” a él de lado doble.

Observa que la razón de semejanza entre

sus lados es:

21

21

'1 ==

ll

mientras que para las

áreas:

41

4'==

AA

AA

puesto que, como puede

observarse en el dibujo, el área del cuadrado

E


123

mayor es cuatro veces la del menor; ello

supone que la regla válida para perímetros,

no lo es para áreas.

Pero, si se observa que la razón entre

áreas de figuras semejantes es

precisamente el cuadrado de la razón de

semejanza.

ACTIVIDAD 6.6

a. Sobre un cuadrado de lado / dibuja,

al igual que hemos hecho en el ejemplo

anterior, un cuadrado de lado /’ = 41, y

compara la razón de semejanza entre sus

lados con la razón entre sus áreas. Repite

la experiencia para l’ =5l, l’ = 6l

b. La figura muestra dos triángulos

equiláteros y por tanto semejantes, el

pequeño de lado / y el mayor de lado

/’=31.

Compara, al igual que en el apartado a., la

razón de semejanza entre sus lados con la

razón entre sus áreas.

Observa que los triángulos no tienen por

qué ser equiláteros. Este es el caso de la

siguiente figura, en la que la relación

31

'1 =l

Induce la relación entre áreas:

2

31

9'⎟⎠⎞⎜

⎝⎛==

AA

AA

De un modo general áreas:

De un modo general podemos decir que si

dos triángulos son semejantes y sus lados

están en la proporción kl

1

'

1= entonces sus

áreas se hallarán en la proporción 21

' KAA = ,

lo que también es válido para polígonos

semejantes, ya que éstos siempre se pueden

descomponer en triángulos.

EJERCICIOS:

1. Dos trapecios

rectángulos son

semejantes con razón

de semejanza ¾. Del

trapecio mayor se

sabe que las bases

son 6 y 12 cm, y la altura 8 cm. Averigua la

longitud del lado oblicuo del trapecio mayor

así como el perímetro del menor. ¿Cuál es la

razón entre sus áreas?

2. Los terrenos de una

urbanización tienen

forma de polígonos

semejantes. Dos de

estos terrenos miden

8.025 y 5.136 Dm2. Sabiendo que un lado

del primero mide 35 Dm, averigua el lado

homólogo del segundo terreno.

3. Dos triángulos isósceles semejantes tienen

48 y 108 cm2 del área respectivamente.

Determina: a. La razón de semejanza. B. Los

perímetros de ambos, sabiendo que la base

del primero es 16 cm.


124

4. Dos circunferencias cualesquiera siempre

son semejantes, siendo la razón de

semejanza el cociente de sus radios.

Constata este hecho a partir de la razón de

sus perímetros y comprueba que la razón

entre sus áreas es el cuadrado de la razón

de semejanza.

6.7 LOS MOVIMIENTOS A TRAVÉS

DE MOSAICOS

s posible recubrir las superficies

planas con diferentes formas de

mosaicos; ahora bien, ¿has

pensado lo que sucedería si las

piezas fueran todas ellas de un

solo tipo de polígono regular?

Las baldosas pentagonales no recubren

perfectamente el plano

No todos los polígonos regulares recubren

exactamente el plano. Sólo tres tipos de

mosaicos poligonales tienen esta

particularidad:

Mosaicos hexagonales

Mosaicos cuadrados

Mosaicos triangulares

Ello no supone, como bien sabes, que los

diseñadores industriales de mosaicos no

puedan crear e imaginar una diversidad de

modelos en cada caso. Estudiemos, por

ejemplo, diferentes modelos a partir de

baldosas, todas ellas de forma cuadrada.

Puesto que todas las piezas han de ser

iguales, podemos imaginar que una baldosa

genera otra vecina por diferentes tipos de

movimientos. La siguiente tabla nos muestra

algunos de estos movimientos.

T Traslación

S Simetría:

Girando

como una

hoja

transparente

de un álbum

de fotos,

quedando

tumbada

G

Giro de 1800

de centro el

punto medio

del lado

g90o Giro de 900

respecto de

un vértice

E


AREAS DE FIGURAS PLANAS__________________

125

g180o

Giro de 1800

respecto de

un vértice

En el

caso de

traslación

T

Cada uno de

estos

movimientos

permite

sustituir el

lado rectilíneo

del cuadrado

por otra forma

geométrica de

modo que

cada baldosa

genera una

nueva baldosa

y de tal forma

que ambas

encajen

correctamente.

Así, por

ejemplo:

Para el

caso de

simetría

S

En un

giro G

En el

caso de

un giro

g90o

Y para un

giro g180o

Teniendo en cuenta las características de

estos movimientos podemos, con un poco

de imaginación, encontrar piezas que

encajen unas en las otras formando

curiosos mosaicos. Bastará simplemente

con modificar adecuadamente la forma del

cuadrado, quitando una porción de un

costado para añadírselo en otro,

manteniendo, sin embargo, su superficie

inicial.

Los dibujos anteriores muestran diferentes

mosaicos obtenidos al aplicar en cada caso

sendos movimientos vertical y horizontal a

cada una de las piezas básicas.

Asimismo, es posible lograr mosaicos con un

cierto grado de animación al complementar

el contorno de la pieza básica mediante

breves retoques en su interior. De este

modo, podemos visualizar formas de

animales, plantas, etcétera.

Observa el proceso seguido para diseñar el

siguiente mosaico:

126

Los mosaicos anteriores se han elaborado

tomando como pieza fundamental el

cuadrado. A continuación te mostraremos

otro mosaico, esta vez basado en el

hexágono regular como pieza fundamental,

obra del ingeniero del artista holandés M.C.

Escher.

Conviene precisar que para recubrir el plano

no es necesario que las piezas básicas sean

polígonos regulares. M. C. Escher da

muestra de ello en múltiples de sus obras al

utilizar rombos, trapecios, romboides,

pentágonos y otros muchos polígonos

irregulares, alguno de cuyos ejemplos se

muestran a continuación.


127

Op Cit Pp. 113 – 121


128

7.1 DE LA GEOMETRÍA PLANA A LA

GEOMETRÍA DEL ESPACIO

os temas tratados hasta ahora eran

objeto de la geometría plana, sin

embargo, en la realidad, la figura

plana de dos dimensiones no existe como

tal sino formando parte de un cuerpo del

espacio. Así, cuando manipulamos papel,

cartón, madera, etc., lo hacemos con

figuras tridimensionales, ya que éstas

tienen un cierto grosor; sólo mentalmente

separamos la figura plana de la del

espacio, imaginándola aisladamente como

si no tuviera relación con los cuerpos

sólidos.

En esta segunda parte del libro

estudiaremos las figuras cuyos elementos

básicos están situados en el espacio, lo que

constituye el objetivo de la geometría

sólida o espacial.

No obstante, los

conceptos dados en

geometría plana son

aplicables de cierto

modo a la geometría

espacial. Por ello,

dando por asumidas

las ideas de punto,

recta y plano vistas en la primera parte

analizaremos sus relaciones desde la óptica

espacial, pues si bien en la geometría plana

puntos y rectas se hallan dentro del plano,

en la geometría espacial no sucede así, ya

que en este caso los puntos y las rectas

pueden ser exteriores a él.

7.2 LOS PLANOS EN EL ESPACIO

odemos imaginar una superficie plana

prolongada en todas sus direcciones y

con ello tendremos la imagen del

plano geométrico. La superficie de la mesa,

la tapa de un libro, un folio extendido, etc.

Nos sugieren la idea de plano.

En el espacio, existe una infinidad de planos;

ahora bien, ¿cómo determinar uno de ellos

en concreto?

7.2.1.DETERMINACIÓN DE UN PLANO

on un solo punto del espacio no

queda determinado un plano, pues si

apoyamos, por ejemplo, un trozo de

cartón sobre la punta del dedo, observamos

que el plano toma una infinidad de

posiciones. Lo mismo sucede si lo

intentamos con dos dedos, lo que nos dice

que dos puntos tampoco lo determinan. Sin

embargo, es un hecho comprobable que con

L

P

C

RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO

RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO___________________________________

129

tres dedos como soporte, el cartón queda

estabilizado, lo que nos confirma el

siguiente enunciado: En el espacio, tres

puntos no alineados determinan un plano.

1 punto fijo 2 puntos fijos 3

puntos fijos

Otras formas de determinar un plano en el

espacio y que no son sino consecuencias

del enunciado anterior, son:

1. Mediante una recta y un punto

exterior a ella,

2. Mediante dos rectas que se corten,

3. Mediante dos rectas paralelas,

Por el hecho de que por dos puntos

distintos pasa una sola recta.

7.2.2.POSICIONES RELATIVAS DE

RECTAS Y PLANOS

ACTIVIDAD 7.1

a. En la tabla adjunta aparecen las

diferentes posiciones que pueden darse

entre rectas y planos del espacio.

Obsérvalas atentamente y completa las

características de cada caso.


130

A: entre recta y plano Posición relativa Características

R y � no se

cortan La recta y el plano tienen un punto en común

r y � son

paralelas La recta y el plano tienen un punto en común

r está contenida

en �

La recta y el plano tienen común todos los puntos de

ella

B: entre dos rectas Posición relativa Características

Rectas paralelas Las dos rectas están en un mismo plano y no tienen

ningún punto en común

Rectas que se

cortan Las dos rectas están y tienen un punto en común

Rectas que se

cruzan Las dos rectas

C: entre dos planos Posición relativa Características

Planos que se

cortan Los dos planos tienen una recta en común

Planos paralelos Los dos planos


131

a1. Observando la habitación donde te

encuentras, indica en ella rectas y planos

que sugieran cada una de las distintas

posiciones estudiadas anteriormente.

a2. Toma una caja de cerillos y dos

alfileres. Clava éstos de forma que ilustren

las diferentes posiciones de dos rectas en

el espacio. Mediante la caja y un único

alfiler, visualiza las posiciones de recta y

plano.

a3. Manipulando dos

hojas de papel, visualiza

las diferentes posiciones

entre dos planos.

b. Responde a las

siguientes preguntas,

ayudándote de elementos que sugieran la

idea de rectas y planos, como pueden ser

el lápiz, el bolígrafo, hojas de papel libretas

o la palma de la mano.

o ¿Cuántas rectas pasan por un punto del

espacio?

o Cuántos planos pasan por una recta? ¿Y

por un punto?

o Si tres rectas son concurrentes, ¿cuál es

el menor número de planos que pueden

formar? ¿Y cuál es el mayor número de

ellos?

o Si dos rectas son paralelas a un plano,

¿son necesariamente paralelas entre sí?

¿Estarán siempre en un mismo plano

tres rectas paralelas? ¿Cuál es el

número máximo y mínimo de planos que

pueden determinar?

¿Existe siempre un plano que pase por dos

rectas?

¿Por qué las cámaras fotográficas y de TV

se montan sobre trípodes?

¿Por qué una mesa de cuatro patas es

menos estable que una de tres?

¿Existen rectas que corten a otras dos que

se cruzan?

Una situación particular de posición relativa

entre una recta y un plano la constituye la

perpendicularidad.

Se dice que una recta r es perpendicular a un

plano si lo es a cualquier recta contenida en

dicho plano y que corta a r.

Recta perpendicular al plano

Recta oblicua al plano

Es fácil observar, como se muestra en el

dibujo, que cualquier plano que pasa por la

recta r, perpendicular al plano P, es también

perpendicular al plano.

Una observación

importante que se ha de

tener en cuenta es la


132

siguiente:

Por un punto A del espacio solamente se

puede trazar una recta AA’ perpendicular a

un plano dado; las demás que pasan por A

y cortan a P son oblicuas.

La longitud del segmento 'AA ,

perpendicular al plano, se llama distancia

del punto A al plano P. Observa que si A

pertenece a dicho plano, la distancia es

nula.

El punto A’ recibe el nombre de proyección

ortogonal de A sobre el plano P.

7.3 ÁNGULOS DIEDROS

on anterioridad hemos estudiado la

posición relativa entre dos planos;

pues bien, en el caso de que se

corten, dividirán el espacio en cuatro

regiones, cada una de las cuales se llama

ángulo diedro o simplemente diedro.

Caras del diedro son los se4miplanos que

lo determinan y aristas la recta común a

las dos caras.

Para medir la amplitud del ángulo diedro,

hacemos uso del llamado ángulo rectilíneo

correspondiente al diedro. Este es el ángulo

formado por dos rectas, una en cada cara,

perpendiculares a la arista en un mismo

punto. Dichas rectas perpendiculares

situadas en cada cara son líneas de máxima

pendiente.

Es fácil observar que todos los rectilíneos de

un ángulo diedro son iguales.

De todo lo anterior se entiende que la

medida y clasificación de diedros se remite a

lo visto en geometría plana. Un caso

particular importante que ha de tenerse en

cuenta es el de planos perpendiculares,

cuyos ángulos rectilíneos son de 90° y por

tanto, su ángulo diedro, recto.

CÁngulos rectilíneos

de un diedro


133

7.4 ÁNGULOS POLIEDROS

i fijas tu atención en la habitación

en que te encuentras puedes

observar cómo dos paredes

contiguas, junto con el techo, se

encuentran en un punto. El espacio

alrededor de este punto y comprendido

entre las paredes y el techo recibe el

nombre de triedro.

En términos generales, se llama ángulo

poliedro a la región del espacio limitada

por tres o más planos que se cortan dos a

dos según rectas concurrentes en un

mismo vértice.

Al igual que en diedros, los ángulos

poliedros tienen caras y aristas.

Identifícalas tú mismo en la figura adjunta.

Según el número de diedros, el poliedro se

llamará: triedro, tetraedro, pentaedro,

hexaedro, etc., pudiendo ser cada uno de

ellos de dos tipos, convexos o cóncavos,

según que la sección producida al cortarlos

por un plano sea un polígono convexo o

cóncavo, respectivamente.

EXPERIENCIA: POLIEDROS

POSIBLES E IMPOSIBLES

a. Sobre una hoja de papel o cartulina

y mediante regla y transportador de ángulos,

dibuja semirrectas concurrentes en el punto

A con los ángulos que se indican en la figura.

Recortando por la línea de puntos y doblando

el papel o cartulina por las líneas restantes,

puedes construir un ángulo poliedro

alrededor del vértice A sólo con pegar la

pestaña adecuadamente. ¿Qué tipo de

ángulo poliedro obtiene, atendiendo al

número de diedros que lo componen?

b. Repite la misma operación con los

nuevos datos adjuntos. ¿Qué puedes

observar? ¿Cuál crees que sea la diferencia

sustancial entre este caso y el anterior? En

general, podemos decir que en todo ángulo

poliedro, el ángulo formado por las dos

aristas correspondientes a cualquier cara ha

de ser menor que la suma de los ángulos de

las restantes.

c. ¿Cuál de las dos series de datos:

30°, 45°, 60°, y 30°, 45°, 90°, crees que los

S


134

define un ángulo triedro? Además de

contar con la generalización anterior,

utiliza el método constructivo empleado en

los apartados anteriores.

d. Continuando con el método

experimental, construye ángulos poliedros

en los dos casos siguientes: De esta

experiencia, ¿qué condición crees que es

necesaria para construir un ángulo

poliedro convexo?

e. Construye un ángulo poliedro con

cuatro caras cuyos ángulos planos

formados por las aristas de cada cara

sumen más de 360° (te verás obligado a

utilizar más de una hoja de papel) y

observa que sólo puede ser cóncavo.

LA EXPERIENCIA ANTERIOR SE

RESUME EN DOS PROPIEDADES:

1. En todo ángulo poliedro el ángulo

correspondiente a una cara es menor que

la suma de los ángulos de las restantes.

2. Los ángulos de las caras de un ángulo

poliedro convexo suman menos de 360°.

Esta segunda propiedad será de

trascendental importancia cuando

estudiemos los poliedros regulares.

ACTIVIDAD 7.2

a. Sobre el triedro de la figura 1, y

aplicando el Teorema de Tales a cada una de

las caras, relaciona las aristas VA y 'VA con

AB y '' BA , así como con AC y ''CA .

Concluye que los lados de las secciones S y

S’, producidas por planos paralelos son

proporcionales.

b. Observa la figura del lado izquierdo

y justifica que dichas secciones son

semejantes, aplicando el II criterio de

semejanza de triángulos.

c. Recordando de geometría plana que

la razón entre las áreas de figuras

semejantes es el cuadrado de la razón de sus

lados, concluye que

2

'K

SS =


135

siendo S y S’ las áreas de las secciones y

k la razón de semejanza de sus lados.

d. Trabajando sobre el plano VAH,

puedes asimismo confirmar que también

'''' hh

HAAH

VAVAK ===

por lo que la razón de semejanza entre las

áreas de las secciones paralelas es también

el cuadrado de la razón entre sus

distancias al vértice:

22

''⎟⎠⎞⎜

⎝⎛==

hhK

SS

Hemos presentado la actividad anterior

trabajando sobre un triedro, sin embargo,

de forma general el resultado es el mismo

si lo hacemos con poliedros.

En genera, se cumple:

Ejercicios:

1. En un poliedro las secciones producidas

por dos planos paralelos son hexágonos

regulares de lados 12 cm y 3 cm

respectivamente. Averigua la razón entre

sus áreas.

2. Dos planos paralelos cortan a un triedro

a 6 cm y 9 cm del vértice, Si la mayor de

las secciones mide 34 cm2. Halla el área

de la sección más pequeña.

3. ¿A qué altura es preciso cortar un poliedro

pentagonal para que la sección producida

mida 30 cm2, sabiendo que otra sección

paralela mide 14 cm2 y está a 40 cm del

vértice?

En un poliedro, las secciones producidas por planos

paralelos son semejantes y la razón de sus áreas es

igual al cuadrado de la razón entre sus lados, y

también de sus distancias al vértice.


136

Op Cit Pp. 122 – 139

Los cuerpos que observas en la naturaleza

adoptan formas muy variadas; algunos de

ellos se aproximan bastante a las formas

geométricas que observas en el dibujo.

Sin embargo, un dado, un cucurucho, una

caja de cerillos, una pelota o una lata de

conservas, productos de nuestra cultura,

son modelos bastante aproximados de los

cuerpos geométricos.

7.5 LOS POLIEDROS Y LA

FÓRMULA DE EULER

ntre los distintos cuerpos

geométricos distinguimos a

simple vista los que tienen

sus caras limitadas por polígonos,

como una caja de cerillos y los que

no, como un

cucurucho, lo que permite dar una primera

clasificación en poliedros y no poliedros.

Poliedro es todo sólido limitado por caras en

forma de polígonos. Según el número de

éstas, los poliedros pueden ser tetraedros,

pentaedros, hexaedros, etc.

En la figura, que representa un hexaedro

regular, puedes observar los elementos

básicos que componen todo poliedro:

vértices, aristas, caras, diagonales, planos

diagonales, ángulos diedros y ángulos

poliedros.

Es preciso prestar atención al concepto de

diagonal del poliedro y no confundirlo con el

de diagonal de una cara del poliedro.

ACTIVIDAD 8.1

Para cada uno de los poliedros que aparecen

en la tabla adjunta haz el recuento del

número de vértices, aristas y caras, y

anótalo en la columna correspondiente.

E

RECTAS Y PLANOS

RECTAS Y PLANOS_________________________________________________

137

Poliedro No de caras

C

No de vértices

V

No de aristas

A

Relación aritmética

C + V = A + 2

Observa que en todos ellos se cumple la

relación aritmética C + V – A = 2, o

también

C +V = A + 2

En general: Todos los poliedros convexos

cumplen la relación aritmética:

N° de caras + N° de vértices = N° de

aristas + 2

Expresión conocida con el nombre de

relación de Euler, matemático suizo del

siglo XVIII.

ACTIVIDAD 8.2

Justifica la verdad o falsedad de las

siguientes afirmaciones:

a. En todo poliedro, sus caras son

todas iguales.

b. El menor número de caras de un

poliedro es cuatro.

c. En cada vértice de un poliedro

concurren siempre el mismo número de

aristas.

d. El cilindro y el cono son poliedros.

e. En los poliedros, el menor número

de caras que concurren en un vértice es tres.

f. El número de aristas de un poliedro

que concurren en un vértice es, como

mínimo, cinco.

g. Un hexaedro con 10 artistas tiene 8

vértices.

8.2. POLIEDROS REGULARES

ntre los muchos poliedros que nos

podemos imaginar, los de mayor

interés son los poliedros regulares.

Al igual que en geometría plana

estudiábamos los polígonos regulares, así

E

RECTAS Y PLANOS_________________________________________________

138

también en geometría sólida podemos

pensar en cuerpos con análogas

características en cuanto a la regularidad.

Se llaman poliedros regulares aquellos

cuyas caras son polígonos regulares

iguales entre sí y de modo que en cada

vértice concurren el mismo número de

caras. No obstante, veamos una notable

diferencia entre la geometría plana y la

geometría sólida. Así como existe una

infinidad de polígonos regulares, ¿cuántos

poliedros regulares cabe esperar?. Para

contestar a ello, analizaremos el cuadro

adjunto, teniendo presentes dos

consideraciones importantes:

Posibles caras

del poliedro

No de caras

por vértice ≥

Suma de ángulos de

cada vértice < 3600 Poliedro regular

3

Tetraedro

4

Octaedro

5

Icosaedro

6

Imposible

3

Cubo

4

Imposible

3

Dodecaedro

RECTAS Y PLANOS_________________________________________________

139

4

Imposible

3

Imposible

3. Todas las caras han de ser iguales, por ser

regulares.

4. Los ángulos de las caras que concurren en un

vértice suman menos de 360°, propiedad

vista en el tema anterior, pues en caso de

sumar 360° exactamente no encerrarían

un volumen, sino que tendríamos una

superficie plana.

Como puedes observar, sólo existen cinco

poliedros regulares, también llamados

sólidos platónicos:

El tetraedro, limitado por cuatro caras que

son triángulos equiláteros.

El cubo o hexaedro, limitado por seis caras

que son cuadrados.

El octaedro, limitado por doce caras que

son pentágonos regulares.

Y el icosaedro, limitado por veinte caras

que son triángulos equiláteros.

Algún motivo, como puede comprenderse,

ha conducido a que estos cinco cuerpos

geométricos sean llamados sólidos

platónicos. Platón, filósofo griego del siglo

IV a. J.C., concebía el mundo como

constituido por los cuatro principios

básicos: tierra, fuego, aire y agua, Según

Platón, la tierra correspondía al cubo, es

decir a la forma “más sólida y menos

móvil”, y el fuego al tetraedro, porque es el

sólido que tiene la forma “más aguda y más

móvil”, el aire y el agua correspondían al

octaedro y al icosaedro. El quinto y último

sólido regular, el dodecaedro, fue

considerado por Platón como símbolo del

universo.

SIN DUDA, NOS HALLAMOS ENTRE

EL MISTICISMO Y LA CIENCIA

PROPIA DE LA ÉPOCA.

n cuanto a la figura de Platón, no

parece que haya contribuido mucho a

las matemáticas por sí mismo, pero

no cabe duda de que su influencia a través

de la Academia, institución por él fundada en

Atenas, les dio un gran prestigio. Es célebre

la inscripción que figuraba a la entrada de la

Academia “No entre aquí nadie que ignore la

geometría”.

Siglos más tarde, los poliedros regulares

inspiraron a Johannes Kepler, astrónomo

alemán del siglo XVII, en el

estudio del movimiento de los

seis planetas conocidos hasta

entonces. Kepler concebía a

Saturno, Júpiter, Marte,

Venus y Mercurio como moviéndose en unas

E

RECTAS Y PLANOS_________________________________________________

140

esferas separadas la una de la otra por el

cubo, por el tetraedro, por el dodecaedro,

por el octoedro y por el icosaedro. Todo

había de ser regulado por las leyes

matemáticas, porque “no hay armonía si

no hay matemáticas”.

Los cinco sólidos platónicos. Una

ilustración

de la obra de Kepler

Misterium cosmographicum.

ACTIVIDAD 8.3

a. Como puedes observar, las

siguientes figuras muestran los poliedros

regulares y sus respectivos desarrollos.

Utiliza el pantógrafo para reproducir en

cartulina y a tamaño ampliado estos

desarrollos; después recorta, dobla y pega

convenientemente las pestañas; así

obtendrás tus cinco sólidos platónicos. Si

no dispones de pantógrafo, utiliza la

construcción de polígonos vista en

geometría plana para reproducir a escala

dichos poliedros.

b. Contabiliza en dichos poliedros el

número de vértices, caras y artistas, y

comprueba la fórmula de Euler.

Experiencia: Un rompecabezas con poliedros

Dibuja los desarrollos del tetraedro regular y

del octaedro regular de igual arista. Tras

procurarte cuatro fotocopias del desarrollo

del tetraedro, móntalas para obtener las

piezas de la figura adjunta.

RECTAS Y PLANOS_________________________________________________

141

Intenta ajustar los tetraedros a las caras

del octaedro para conseguir un tetraedro

mayor. ¿Qué relación guardan las aristas

del tetraedro así obtenido, con las del

octaedro?

EJERCICIOS:

1. Averigua las superficies de un octaedro

regular de 16 cm de arista y de un cubo de

igual arista. Determina la relación entre

las superficies de estos cuerpos. (Conviene

recordar qué área del triángulo equilátero

= l 2 3 )

2. ¿Cuál es el área del triángulo que se

obtiene al unir los vértices de un cubo que

son extremos de tres aristas concurrentes?

3. Calcula en función de la arista las

áreas de los cinco sólidos platónicos, y

comprueba si los resultados obtenidos

coinciden con lo que aparecen en la tabla

de áreas de la página 154.

8.3 PRISMAS

e habrás

percatado de

que en general

los edificios se

construyen

verticalmente y con características comunes

que sugieren la idea de prismas. En la figura

adjunta se muestra un prisma de base

pentagonal.

Los prismas son poliedros cuyas caras

básicas, paralelas entre sí, son dos polígonos

iguales, siendo sus caras laterales

paralelogramos.

Si las aristas laterales del prisma son

perpendiculares a la base, se dice que el

prisma es recto; en caso contrario, el prisma

es oblicuo.

Los prismas rectos se llaman regulares si sus

bases son polígonos regulares.

Según sean los polígonos de la base, los

prismas se llaman: triangulares,

cuadrangulares, pentagonales,

hexagonales..., etcétera.

Experiencia: Visualizando prismas

Para visualizar prismas, toma una lámina de

cartón grueso o de madera y recorta dos

polígonos iguales. Uniendo sus vértices con

hilos elásticos y manteniendo las bases

paralelas como muestra la figura tendrás

multitud de prismas según la tensión a que

sometas el hilo elástico.

T

RECTAS Y PLANOS_________________________________________________

142

8.3.1. ÁREAS LATERAL Y TOTAL DE

UN PRISMA.

l área lateral de un prisma es la

suma de la superficie de todas sus

caras laterales. El desarrollo plano

de un prisma recto, tal como se muestra

en el dibujo, nos permite obtener de forma

sencilla el cálculo de dicha superficie, ya

que tal desarrollo no es más que un

rectángulo de base el perímetro de la base

del prisma y de altura su arista latera.

De aquí que, AL = P.h donde P es el

perímetro de la bese y h la altura del

prisma.

Basta añadir al área lateral, la superficie de

las dos bases para obtener el área total del

prisma es decir, AT = P.h + 2Ab donde Ab

representa el área de la base.

El desarrollo de la superficie lateral de un

prisma

Recto es un rectángulo

Es preciso destacar que estas expresiones no

son válidas para prismas oblicuos, pues en

éstos la altura no coincide con la arista

lateral. En tal caso, se debe estudiar el

prisma oblicuo que nos interese en

particular.

EJEMPLO:

Averiguar las áreas lateral y total del prisma

oblicuo de la figura.

E

RECTAS Y PLANOS_________________________________________________

143

8.3.2. PARALELEPÍPEDOS

nos prismas muy particulares son

los paralelepípedos, en los que

todas sus caras son

paralelogramos.

Cubo Ortoedro

Algunas propiedades de éstos basadas en

las de los paralelogramos, puesto que los

planos diagonales son paralelogramos, son

las siguientes:

c) Las diagonales de un paralelepípedo

se cortan en su punto medio.

d) En el ortoedro, todas sus diagonales

son iguales.

Para calcular la diagonal del ortoedro es

preciso hacer uso del Teorema de Pitágoras.

En el triángulo rectángulo MON, d2 = c2 +

m2, pero m es la hipotenusa de un triángulo

rectángulo de catetos a y b, y por tanto m2 =

a2 + b2 de donde d2 = a2 + b2 + c2, o

también: d = c b a 222 ++ resultado

conocido con el nombre de

TEOREMA DE PITÁGORAS EN EL

ESPACIO.

M

C

O

D

BM

NA

uesto que el cubo es un ortoedro con

sus tres aristas iguales, a = b = c, su

diagonal será: d =

33 2222 aaaaa ==++

8.4 PIRÁMIDES

Esta palabra nos recuerda Egipto y los

monumentos que allí sirvieron de tumba a

UP

RECTAS Y PLANOS_________________________________________________

144

sus faraones. La más grande de éstas es

la de Keops, que data del 2 600 a J. C.

aproximadamente y es de base cuadrada y

con unas dimensiones impresionantes: 230

m de arista de la base y 146 m de altura.

Esta formada por 2,3 millones de bloques

de piedra, cada uno de los cuales pesa

aproximadamente 20 toneladas.

Las pirámides de Guiza: Micerino, Quefrén

y Quéope

La pirámide es un poliedro limitado por

un ángulo poliedro y un plano que corta

todas sus aristas en puntos distintos del

vértice.

La altura de la pirámide es la distancia

del vértice al plano de la base.

Criterios análogos a los utilizados en

prismas permiten también clasificar las

pirámides en:

- Pirámides rectas y oblicuas.

- Pirámides regulares e irregulares.

- Pirámides de base triangular,

cuadrangular, pentagonal, hexagonal,

etcétera.

Apotema

Car

a la

tera

lAl

tura

Base

Base

Altu

raCa r

a la

tera

l

En una pirámide regular, apotema es la

altura de una cualquiera de sus caras

laterales. Es de notar que la apotema de la

pirámide forma, junto con la apotema de la

base y la altura de la pirámide, un triángulo

rectángulo.

Tú mismo puedes construir diferentes

pirámides por el método experimental del

hilo elástico, como se muestra en la figura.

8.4.1. ÁREAS LATERAL Y TOTAL DE

LA PIRÁMIDE

abe preguntarse ahora cuáles son el

área lateral y total de la pirámide.

Para ello hacemos uso de su

desarrollo plano.

C

RECTAS Y PLANOS_________________________________________________

145

En el caso de pirámides rectas y de

base regular, sus caras laterales son

triángulos isósceles todos ellos iguales, y

puesto que el área del triángulo es A =

))((21 ab , contando el número de estos es

fácil deducir:

Donde P presenta el perímetro de la base,

a la apotema de la pirámide y a’ la

apotema del polígono de la base.

8.4.2 TRONCO DE PIRÁMIDE:

ÁREAS LATERAL Y TOTAL

na figura geométrica derivada de

la pirámide es el tronco de

pirámide, que resulta ser el trozo

de aquella comprendido entre la base y un

plano que la corta.

En lo sucesivo supondremos el plano de

corte paralelo a la base de la pirámide.

Para troncos de pirámide rectos y

regulares, sus caras son trapecios

isósceles, y puesto que el área del trapecio

es A = abb )'(21 + , contando su número es

fácil deducir:

3

Donde p y p’ representan los perímetros de

las bases, y Ab y Ab’ sus áreas respectivas.

ACTIVIDAD 8.4

c. Sobre una cartulina reproduce a

mayor tamaño los desarrollos planos de la

pirámide y del tronco de pirámide de la

página anterior. Recórtalos y ármalos

adecuadamente.

d. Calcula sus áreas laterales y totales.

e. ¿Te atreves a calcular sus alturas?

Recuerda la eficacia del Teorema de

Pitágoras.

EJERCICIOS:

1. Una caja tiene forma de ortoedro de 8 cm

de longitud, 6 cm de anchura y 5 cm de

altura. Averigua si en dicha caja puede

caber un lápiz de 13 cm de longitud.

2. Un edificio tiene forma de prisma cuya

base es un rombo de diagonales de 32 m y

U

RECTAS Y PLANOS_________________________________________________

146

24 m, y de altura igual al perímetro de la

base.

a. Averigua el área de su planta.

b. ¿Cual es el área de sus cuatro

fachadas?

3. Las bases de un prisma recto son

triángulos rectángulos isósceles de área 8

cm2, y la arista lateral mide 7 cm.

Encontrar el área lateral del prisma.

4. Halla el área lateral y total de una

pirámide cuadrangular regular, sabiendo

que la diagonal de la base mide 2,8 cm y la

arista lateral 5 cm.

5. La base de una pirámide regular es un

hexágono de 6 cm de lado. Calcula la

altura de la pirámide sabiendo que su

superficie lateral es doble que la de la

base.

6. Determina el área de un prisma recto

hexagonal sabiendo que la circunferencia

circunscrita a la base encierra un área de

12,56 cm2 y que la altura es 2/3 del

perímetro base. (considera *=3,14)

7. Con una cuerda se desea atar un

paquete que tiene forma de ortoedro de

dimensiones 40 cm de anchura, 60 cm de

largo y 20 cm de altura.

a. ¿De cuántas maneras diferentes se

puede atar?

b. Si para hacer el nudo se necesita 10 cm,

¿en cuál de ellas se precisa menos cuerda?

¿Cuál es la mínima longitud de cuerda

necesaria para tal fin?

8. Halla las aristas lateral y básica de una

pirámide cuadrangular regular sabiendo

que la suma de todas sus aristas es 68 cm,

y que la altura de la pirámide mide 7 cm.

9. Recuerda que al cortar una pirámide por

dos planos paralelos, las secciones

producidas determinan figuras semejantes.

Dibuja una pirámide cuadrangular regular,

así como la sección obtenida al cortar ésta

con un plano paralelo a la base. Entre dicha

base y la sección, y entre las alturas y aristas

de las dos pirámides, ¿qué relaciones puedes

establecer?

10. En una pirámide hexagonal regular de 3

dm de altura, el perímetro de su base mide

60 cm. Al cortarlo por un plano paralelo a la

base a una distancia de 6 cm del vértice,

¿cuál es el área de la sección obtenida?

11. Halla las áreas lateral y total de un tronco

de pirámide regular cuadrangular sabiendo

que su altura es de 20 cm, la base mayor

está inscrita en una circunferencia de 4 cm

de radio y el área de la base menor es la

mitad del área de la mayor.

12. El área total de un tronco de pirámide

regular de bases cuadradas es 1.666 cm2.

Las áreas de las bases son 144 cm2 y 324

cm2 respectivamente. Halla la apotema del

tronco.

RECTAS Y PLANOS_________________________________________________

147

8.5 VOLUMEN DE POLIEDROS

emos estudiado las áreas laterales

y totales de poliedros; sin

embargo, este aspecto, con ser

importante, resulta insuficiente para

concebir el espacio que los cuerpos

geométricos encierran. Así, por ejemplo,

el espacio encerrado en ocho cubos en el

mismo sea cual fuere el modo de

colocarlos; sin embargo, el área total no es

la misma, como puedes comprobar.

El volumen de un cuerpo expresa la

medida de su extensión en el espacio.

Se utiliza como unidad de volumen el

metro cúbico (m3), que representa el

volumen encerrado por un cubo de un

metro de arista. En ocasiones es más

aconsejable el uso de los múltiplos y

submúltiplos de esta unidad.

8.5.1. VOLUMEN DE LOS

PARALELEPÍPEDOS

omo ya se comentó, uno de los

problemas clásicos que preocupó a

los griegos fue el de la

duplicación del cubo, es decir, encontrar

el lado de un cubo cuyo volumen sea doble

que el volumen de otro cubo dado.

Este fue llamado el problema de Delos. La

historia cuenta que los atenienses apelaron

al oráculo de Delos para saber cómo detener

la peste que asolaba la ciudad en el 430

a.J.C. Se dice que el oráculo respondió que

debían doblar el tamaño del altar de Apolo.

Siendo este altar un cubo, el problema era el

de su duplicación.

También aparece en una carta de

Eratóstenes al rey Ptolomeo, cuando dice:

“Cuéntase que uno de los antiguos poetas

trágicos hacía aparecer en escena a Minos en

el momento en que se construía la tumba de

Glauco, y, al observar que sólo medía cien

pies por cada lado, dijo: “Es un espacio muy

pequeño para sepulcro de un rey; duplicadlo

conservando su forma cúbica, duplicando

cada lado” y sigue Eratóstenes es evidente

que se equivocaba porque duplicando los

lados de una figura plana, se cuadruplica,

mientras que una sólida se octuplica; y

entonces, se propuso a los geómetras la

cuestión de duplicar una figura sólida dada

conservando su forma, y ese problema se

llamó duplicación del cubo.

Argumento de Eratóstenes sobre duplicación

de medidas.

H

C

RECTAS Y PLANOS_________________________________________________

148

Una vez más conviene señalar que éste es

uno de los tres problemas clásicos que no

pueden resolverse mediante regla y

compás, por lo que los matemáticos

griegos tuvieron que investigar otros

métodos de resolución. Hipócrates de

Quios, con el estudio de medias

proporcionales; Arquitas de Tarento

mediante superficies de revolución,

Menecmo, concibiendo el problema a

través de las cónicas y Diocles, mediante

el diseño de una curva, la cisoide,

resuelven el problema a la vez que

permiten dar un gran avance a la

geometría y, en general, a las

matemáticas.

Considerando un ortoedro con aristas de

longitud 6, 4 y 3 cm es fácil observar que

el número de cubos que encierra es: 6.4.3;

por tanto:

V = 6.4.3 = 72 cm3

En general, si las aristas son a, b y c, el

volumen del ortoedro es: V = a.b.c.

O también V = Ab.h, siendo Ab el área de

la base y h la altura.

VOLUMEN DEL CUBO:

uesto que el cubo es un ortoedro

con las tres aristas iguales, /, su

volumen resulta ser:

V = I3

Si el paralelepípedo es oblicuo, el volumen

equivale al del ortoedro con iguales base y

altura. La figura ilustra este hecho.

Para poliedros en general, el cálculo no es

tan sencillo. Sin embargo, gracias a los

estudios efectuados en este terreno por

Cavalieri, discípulo de Galileo y profesor de

matemáticas de la Universidad de Bolonia

durante la primera mitad del siglo XVII, la

cuestión resulta muy simple:

Cavalieri advirtió que tres pilas de igual

número de cartulinas iguales tienen el mismo

volumen.

Las tres pilas contienen el mismo número de

cartulinas iguales, luego

tienen el mismo volumen.

Sien embargo, no es

necesario que las cartulinas tengan la misma

forma, basta con que las secciones tengan

igual área. P

RECTAS Y PLANOS_________________________________________________

149

Las tres pilas contienen el mismo número

de cartulinas de igual área aunque tengan

distinta forma. Luego, las tres tienen el

mismo volumen.

PRINCIPIO DE CAVALIERI

i en dos cuerpos de igual altura las

áreas de las secciones producidas

por planos paralelos a la base son

iguales, los cuerpos tienen el mismo

volumen.

En cierto sentido, las consideraciones

anteriores y otras más del mismo estilo

efectuadas por Cavalieri en su obra

Geometría de los indivisibles, permiten

calificarle como precursor del Cálculo

Infinitesimal que años después Newton

y Leibniz presentarían en profundidad.

8.5.2. VOLUMEN DEL PRISMA

Y DE LA PIRÁMIDE

El principio de Cavalieri simplifica el

cálculo del volumen de un prisma. Basta

comparar éste con el ortoedro de igual

altura y secciones equivalentes; en

particular con bases de igual área.

De aquí que Vprisma = Abh, siendo Ab el área

de la base y “h” la altura

Sobre cada una de las seis caras de un cubo,

podemos construir una pirámide con el

vértice en el centro. Ello supone que el

volumen de la pirámide será: V

= lll 23

61

61 = , y siendo l = 2h, tenemos

que: hAhAV bb 312

61 ==

Lo anterior está referido a una pirámide

cuadrangular; no obstante para pirámides de

cualquier otro tipo la regla sigue siendo

válida al tener presente el Principio de

Cavalieri. Así pues, de un modo general:

hAA bpirámide 31=

ACTIVIDAD 8.5

En una pirámide, la sección producida por un

plano paralelo a la base determina con el

S

RECTAS Y PLANOS_________________________________________________

150

vértice una nueva pirámide semejante a la

anterior. Busca la razón entre sus

volúmenes teniendo presente la razón

entre las áreas de sus bases vista en la

actividad 7.2, así como la razón entre las

alturas; es decir:

''3131

,

,

hA

hA

VV

b

b

pequeñapirámide

grandepirámide = ,

y deduce que:

3

,

, kVV

pequeñapirámide

grandepirámide = , siendo

k la razón entre las alturas de dichas

pirámides

Para hallar el

volumen del tronco

de pirámide basta

considerarlo como

diferencia de dos

pirámides.

Vtronco = Vpirámide grande

– Vpirámide pequeña

EXPERIENCIA: COMPARANDO LOS

VOLÚMENES DEL PRISMA Y LA

PIRÁMIDE

onstruye un prisma y una pirámide

de igual base e igual altura.

Móntalos prescindiendo de la cara

básica y comprueba que el volumen del

prisma es triple que el de la pirámide,

llenando la pirámide de arena tres veces

sucesivas y vertiendo su contenido en el

prisma.

EJERCICIOS:

1. Un prisma tiene una sección recta que

es un triángulo rectángulo isósceles de 20 cm

de hipotenusa. La arista del prisma mide 0,5

m. ¿Cuál es el volumen de este prisma?

¿Cuál es su área total?.

2. Por obstrucción de los desagües de un

edificio en un día de lluvia se acumula el

agua en los sótanos. Sabemos que el edificio

tiene como sección un trapecio rectangular

de bases 40m y 32 m, y de altura 20m.

¿Cuál es el volumen de agua acumulada en

el sótano si su nivel alcanza los 15 cm?

3. ¿Qué volumen tiene un cubo de

superficie total 1 m2?

4. El volumen de una pirámide hexagonal

regular es de 60 3 m3, y la arista base es

de 4 m. Encontrar la altura y el área lateral y

total.

5. El agua de lluvia es recogida en un

pluviómetro que tiene forma de pirámide

cuadrangular regular. El agua recogida en

un día de lluvia alcanzó una altura de 9 cm,

formando una pequeña pirámide de 15 cm

de arista. ¿Cuál es la altura alcanzada por el

agua al verterla en un depósito cúbico de 50

cm de arista?

6. Teniendo presente los datos que

aparecen en la página 130 sobre la pirámide

de Keops, calcula: C

RECTAS Y PLANOS_________________________________________________

151

a. El volumen que encierra.

b. Su peso, así como la densidad de

la piedra empleada en tal construcción.

c. ¿Crees que existe algún edificio

más pesado que la pirámide de Keops?

Puedes consultar la guía Guinnes.

7. A partir de una cartulina rectangular

de 0,4 m. De anchura y 0,6 m de longitud,

queremos construir una caja sin tapa

cortando pequeños cuadrados de igual

superficie en cada una de las esquinas tal

como puedes observar en el dibujo

adjunto. ¿Qué longitud ha de tener el

corte x para que el área total de la caja sea

de 0,2 m2? ¿Cuál es la capacidad de la

caja?

8. La figura muestra el croquis de un

monolito construido en piedra, así como las

dimensiones de éste expresadas en dm.

Averigua:

a. El volumen de piedra que

encierra este monolito;

b. Su peso, sabiendo que la

densidad de la piedra empleada es de 2,7

3dm

kg.

9. Las aristas de las

bases de un tronco de

pirámide hexagonal regular

miden 18 cm y 8 cm, y su

arista lateral es de 26 cm. Calcula su

volumen, así como su área total.

10. Una pirámide cuadrangular regular

tiene de arista básica 8 cm y de arista lateral

9 cm. Se desea calcular el volumen del

tronco producido por un plano paralelo a la

base a 2,1 dm de distancia de ella.

11. En el ángulo C del techo de una

habitación se encuentra una araña y en el

suelo, en el ángulo opuesto K duerme una

mosca. ¿Cuál es el trayecto que debe

recorrer la araña para llegar hasta la mosca

por la distancia más corta?

12.

RECTAS Y PLANOS_________________________________________________

152

Op Cit Pp. 140 – 161

9.1 QUÉ ENTENDEMOS POR FIGURA DE

REVOLUCIÓN

n el tema anterior hemos estudiado

los poliedros, sin embargo, existen

figuras geométricas que no

pertenecen a tal familia. Efectivamente, si

pensamos en un bote, un embudo, una

pelota o un huevo, éstos representan

figuras no poliédricas ya que carecen de

caras poligonales. Tales figuras

pertenecen a una nueva familia: la de los

cuerpos de revolución.

Son figuras de revolución las que se

obtienen al hacer girar una figura plana

alrededor de un eje.

El cilindro como rotación de

un rectángulo alrededor de

un lado.

El cono como rotación de un

triángulo rectángulo alrededor de un cateto.

La esfera como rotación de un semicírculo

alrededor de su diámetro.

Alfarero trabajando al torno una figura de

revolución.

Los segmentos AB que generan las

respectivas superficies del cilindro y el cono

reciben el nombre de generatriz, siendo en

el caso del cilindro, equivalente a su altura.

Las tres figuras anteriores muestran los tres

sólidos de revolución más conocidos, el

cilindro, el cono y la esfera; sin embargo

no son las únicas, pues sabemos cómo los

alfareros utilizan el torno para obtener bellas

piezas que no son otra cosa que figuras de

revolución.

EXPERIENCIA: GENERANDO

FIGURAS DE REVOLUCIÓN

ecorta piezas de cartón con formas

de rectángulo, triángulo isósceles y

círculo, pasando después a

E

R

FIGURAS DE REVOLUCIÓN

FIGURAS DE REVOLUCION___________________________________________

153

perforarlas oportunamente como muestran

las figuras.

Utiliza hilo elástico a fin de crear un eje

de giro en cada una de ellas y observarás

que al tomar los extremos y girar éstos con

gran rapidez, producirás con dichas piezas

el efecto óptico propio de las figuras de

revolución. Identifica cada una de ellas.

ACTIVIDAD 9.1

a. Para las diferentes piezas que

observas a continuación dibuja los cuerpos

de revolución que se obtienen al

someterlas a un giro alrededor del eje

indicado.

b. Dibuja en tu libreta originales

figuras de revolución aplicando la

experiencia anterior a diversas piezas

planas de tu propio diseño. ¡Hay una

infinidad de ellas!

9.2 El cilindro. Obtención de su área

y volumen

n la vida diaria nos son familiares

cuerpos como un vaso, un bote, un

rodillo o una tubería; tales cuerpos

dan la idea de cilindro.

Hemos visto cómo un rectángulo genera el

cilindro de revolución, también llamado

cilindro recto, por tener su generatriz

perpendicular a la base; no obstante, al igual

que en prismas, también existen cilindros

oblicuos como el de la figura. Este se

obtiene al cortar un cilindro de revolución por

dos planos paralelos no perpendiculares s

sus generatrices.

El cilindro, además de ser un cuerpo de

revolución puede considerarse, por

exhaución, como un prisma regular con una

infinidad de caras laterales. Ello nos

permitirá considerar los conceptos de altura,

base, áreas lateral y total, así como el de

volumen, de forma análoga a la que se vio

para prismas.

E


154

Para conocer sus áreas lateral y total basta

concebir el cilindro recto como cortado a lo

largo de la generatriz y desplegado en el

plano. Su desarrollo lo componen un

rectángulo de altura h y base 2�r, y dos

círculos de radio r. Ello nos permite

concluir que las áreas lateral y total del

cilindro son:

Los envases “tetrapack” se construyen a

partir del cilindro, conservando el área

lateral de éste.

Considerando el cilindro como un prisma

muy particular, su volumen, al igual que en

aquellos, será: V = Ab.h, siendo Ab el área

de la base y h su altura.

Por lo tanto, el volumen del cilindro es: V

= �r2.h

EXPERIENCIA: UN PROBLEMA DE

GALILEO EN RELACIÓN CON EL

CILINDRO.

Galileo Galieli (1564-1642) es conocido por

sus estudios sobre la caída de los cuerpos

por la acción de la gravedad, los cuales le

llevaron a asegurar, contra la teoría de

Aristóteles, que todos los cuerpos, tanto si

son ligeros como si son pesados, caen a la

misma velocidad. Asimismo sobresale por

sus descubrimientos en astronomía,

reforzando la teoría heliocéntrica de

Copérnico y que supuso un cambio total en

la concepción del universo.

Un problema atribuido a Galileo habla del

estudio de la capacidad encerrada por una

tela de saco cosida a una base circular de

madera. Por nuestra parte, reproduciremos

el problema haciendo uso del papel.

a. Toma una hoja de papel, colócala de

forma horizontal y enróllala hasta unir los

bordes laterales para obtener un cilindro sin

tapas. Haz lo mismo con otra hoja de papel

dispuesta de forma vertical y observa que


155

ambas tienen la misma área lateral. ¿Se

puede asegurar lo mismo de sus

volúmenes? Compruébalo rellenando

ambos cilindros con granos de arroz u otro

producto análogo.

b. Repite las dos experiencias

anteriores después de cortar la hoja

verticalmente por la mitad y engrapar

longitudinalmente ambas mitades.

Comprueba, al igual que antes, si el

volumen depende o no del área lateral.

EXPERIENCIA: MIDIENDO

VOLÚMENES Y DENSIDADES DE

CUERPOS CON FORMA IRREGULAR

ara medir el volumen de un cuerpo

con forma irregular, se acostumbra

sumergirlo en un depósito cilíndrico

que contenga líquido, y observar cuánto

asciende el nivel del mismo.

Introduce una piedra en un recipiente

cilíndrico que contenga agua y procede como

sigue:

a. Mide la diferencia de nivel que

experimenta el líquido.

b. Teniendo presente el apartado a. Y

el diámetro de tu recipiente cilíndrico,

averigua el volumen de la piedra.

c. Puesto que la densidad de un

cuerpo viene dada por la expresión:

volmenmasa=δ

Pesa la piedra, y determina su densidad.

9.3 EL CONO. OBTENCIÓN DE SU

ÁREA Y VOLUMEN

l comienzo del tema vimos cómo el

triángulo isósceles; en su rotación

alrededor de su altura, genera el

cuerpo geométrico llamado cono recto o de

revolución.

La idea de cono nos viene sugerida por

cuerpos como un embudo o un cucurucho.

Conviene señalar, al igual que hicimos en

prismas, pirámides y cilindros, que también

existen conos oblicuos, los cuales se

obtienen de cortar un cono recto por un lado

no perpendicular a su eje de rotación. P

A


156

Cono recto de

altura h y base

circular de radio r

Cono oblicuo

El cono puede considerarse por exhaución

como una pirámide regular con infinitas

caras laterales, lo que permite concebir los

conceptos de vértice, altura, base, áreas

lateral y total y volumen, de forma análoga

a la que se vio en pirámides.

Haciendo un corte al cono recto a lo largo

de una generatriz y desplegando sobre el

plano, observamos cómo su desarrollo lo

componen un sector circular de radio la

generatriz del cono y longitud de arco igual

a la circunferencia de la base 2�r, junto

con un círculo básico de radio r.

Recordando de pirámides que AL = pa21

donde, p es el perímetro de la base y a la

apotema, y puesto que en el caso límite del

cono resultan ser:

p = 2�r y a = g

podemos concluir que el área lateral y el

área total del cono valen:

grrgAL .221 ππ ==

)(22 rgrrAA LT +=+= ππ

Asimismo, partiendo de la expresión del

volumen de la pirámide regular:

hAV b .31=

Siendo Ab el área de la base y h la altura, y

considerando el cono recto como caso límite

de aquélla, podemos determinar el volumen

del cono:

hrV 2

31 π=

En la industria encontramos con frecuencia

piezas con forma cónica, si bien puede

suceder que éstas no sean un cono

propiamente dicho, sino una parte de él; es

el caso de algún tipo de vaso, tapones de

corcho, etcétera.

Si nos imaginamos un cono cortado por un

determinado plano, obtenemos otra figura

geométrica denominada tronco de cono.


157

Diferentes troncos de cono, el primero de

ellos de bases paralelas

Sólo consideraremos el caso de bases

paralelas. En éste, su área lateral resulta

ser la diferencia entre el área del cono

inicial y el área del cono menor producido

al efectuar el corte. Lo mismo sucede si

hablamos del volumen.

En cuanto al área total, es preciso notar

que el tronco de cono posee dos bases

circulares distintas que han de tenerse en

cuenta.

Piezas del

vehículo Apolo

correspondiente

al Saturno V.

Se pueden

observar

distintas figuras

geométricas de

revolución

ACTIVIDAD 9.2

Te sugerimos el

diseño de un bonito

disfraz para los

próximos

carnavales. Para

ello construirás un

cilindro y un cono

sin bases. Teniendo

presente tus propias

medidas, te habrás

de proveer de la

cartulina

correspondiente a

las áreas laterales

de ambas figuras,


FIGURAS DE REVOLUCION_____________________

158

las cuales

dependerán de tu

propia estatura.

Averigua el volumen

que ocuparán ambas

piezas por separado,

a la hora de guardar

dicho disfraz para

otras ocasiones.

. Dibuja un tronco de cono recto y descubre qué

polígono lo forma al girar alrededor del eje.

Observa el desarrollo del tronco de cono y

advierte que éste resulta por exhaución del

tronco de pirámide regular.

Recordando las expresiones para el tronco

de pirámide de áreas lateral y total, deduce

que para el tronco de cono éstas son:

)( rRgAL += π y

[ ]22)( rRrRgAT +++= π

Asimismo, y por exhaución, deduce que su

volumen es:

)(31 22 rRrRhV +++= π

b.2 A menudo, los datos conocidos en

situaciones concretas no son lo que

aparecen en las expresiones anteriores; sin

embargo, podrás recurrir a ellas al

comprobar que R, r, h y g son

relacionables mediante el Teorema de

Pitágoras. Averigua dicha relación en el caso

que nos ocupa: el tronco de cono.

EJERCICIOS:

1. Un túnel de sección semicircular de 40 m

de diámetro tiene 1,5 km de longitud.

¿Cuántos metros cúbicos de tierra y roca se

han extraído para su construcción?

2. Calcula el volumen engendrado por un

triángulo equilátero de 2 dm de altura al

girar alrededor de ésta.

3. La generatriz de un cilindro de revolución

mide 10 cm. Si su rotación alrededor del eje

determina una base de área 28,26 cm2, ¿cuál

es la superficie lateral de este cilindro? ¿Cuál

es su volumen?

4. Una granja se abastece de forraje

almacenado en un depósito que tiene forma

de cilindro acabado en su parte inferior en un

cono, ambos de 1,5 m de radio, y cuyas

alturas miden 3 m y 1,2 m respectivamente.

a. Calcula la capacidad de dicho

depósito, considerando ��= 3,14.

b. Si la granja consume diariamente

800,7 dm3 de forraje, ¿cuántos días tardará

en vaciarse el depósito?

5. Determina la capacidad de un vaso

cilíndrico de superficie total 251,2 cm2 y de

generatriz igual al diámetro de la base.

6. ¿Qué ángulo tiene el sector circular que

se ha de cortar para construir en cartulina un

FIGURAS DE REVOLUCION__________________

159

cono de 4 cm de radio de la base y 9 cm

de altura?

7. Un depósito cilíndrico tiene 2 m3 de

capacidad y 12,56 m2 de superficie lateral.

Determina el radio de la base y la altura de

dicho depósito.

8. Un cono de revolución tiene 13 cm de

generatriz y 5 cm de radio de la base. Si

lo cortamos con un plano paralelo a la base

que pasa por un punto de la generatriz

distante del vértice 5,2 cm, determina el

volumen del tronco de cono resultante.

Ten presente el resultado de la actividad

8.5, así como que el cono es una pirámide

muy particular.

9. Los radios de las bases de un tronco

de cono de revolución son 80 cm y 40 cm,

y la altura 30 cm. Calcula la generatriz y la

altura del cono del cual procede dicho

tronco, así como su volumen.

10. Un tubo de

cobre tiene una

sección que es

una corona

circular definida

por las

circunferencias

inscritas y

circunscritas a un

triángulo

equilátero de 2 cm de lado. Determina el

peso de 10 m de tubo, sabiendo que la

densidad del cobre es 8,9 3cm

g

11. Calcula el volumen de la figura

engendrada por un cuadrado de lado 2 cm

al girar alrededor de un eje que pasa por uno

de sus vértices y es perpendicular a la

diagonal que parte de dicho vértice.

12. ¿Cuál es el área lateral de la sección

producida en un cono de revolución

equilátero de 5 cm de altura, por un plano

paralelo a la base a 2 cm de ésta?

13. En la pared interior de un vaso cilíndrico

de cristal hay una gota de miel situada a 3

cm del borde superior del recipiente. En la

pared exterior, en el punto diametralmente

opuesto, se ha parado una mosca. Indica

cuál es el camino más corto que puede

seguir la mosca para llegar hasta la gota de

miel. La altura del vaso es de 20 cm y el

diámetro de 10 cm. No pienses que la

mosca va a encontrar ella misma el camino

más corto y facilitar así la solución del

problema; para ello es necesario poseer

ciertos conocimientos de geometría,

demasiado complicados para el cerebro de

una mosca.

160

9.4 LA ESFERA

uerpos como una pelota, una

canica o un globo aerostático nos

recuerdan el cuerpo de revolución

obtenido por rotación de un semicírculo

alrededor del diámetro: la esfera.

Algunos recipientes de uso industrial

también adoptan la forma esférica, tal

como muestra la fotografía.

La propiedad que define la esfera es la de

que todos sus puntos están a igual

distancia de un punto fijo llamado centro;

dicha distancia se llama radio de la esfera.

Se hace conveniente averiguar el volumen

encerrado por un cuerpo esférico, como es

el caso de los depósitos de gas de la

fotografía anterior.

El propio Arquímedes, de forma

experimental, llegó a observar que el

volumen de la esfera equivale a V =

3

4.�.R3, con lo que dio pie a que en su

tumba se grabara la esfera inscrita en un

cilindro con las expresiones de sus

volúmenes.

EXPERIENCIA: MIDIENDO EL

VOLUMEN DE UNA ESFERA

n un recipiente cilíndrico transparente

que contenga agua, coloca un cuerpo

esférico de tamaño proporcionado al

recipiente. Apreciarás una diferencia de nivel

del agua debido al cuerpo introducido; dicha

diferencia de nivel, junto con el radio del

recipiente, permitirá calcular el volumen de

agua desplazada. Comprueba que dicho

volumen obtenido experimentalmente

coincide con el volumen del cuerpo esférico

obtenido al aplicar la expresión V = 3

4.�.R3

que Arquímedes había llegado a observar.

9.4.1 UNA DEMOSTRACIÓN

RIGUROSA DE LA FÓRMULA DEL

VOLUMEN DE LA ESFERA

maginemos una semiesfera de radio R

así como un cilindro de altura y radio de

la base también R, colocados tal como

muestra la figura.

C E

I


161

El volumen de la semiesfera se obtiene

restando al volumen del cilindro el de la

parte sombreada que llamaremos

complemento de la semiesfera en el

cilindro.

V semiesfera = V cilindro – V complemento

Pero aplicado el Principio de Cavalieri, visto

en el tema anterior demostraremos, que el

volumen de este complemento es igual al

del cono de vértice en 0 y base la del

cilindro: es decir:

V complemento = V cono, por lo que: V semiesfera

= V cilindro – V cono

Recordemos el Principio de Cavalieri: “Si

en dos cuerpos de igual altura, las áreas de

las secciones producidas por planos

paralelos a la base son iguales, ambos

tienen el mismo volumen”

En nuestro caso, se reduce a comprobar

que la corona circular del complemento y el

círculo del cono son equivalentes en área a

cualquier altura.

En efecto, si llamamos a a la distancia de 0

a las secciones que vamos a comparar,

tenemos que:

A círculo sección = � EF 2 = �OE 2 = Pa2

Puesto que por proporcionalidad de

segmentos se tiene:

1===RR

HCOH

EFOE

Y por tanto; EFOE =

Por otra parte,

A corona sección = � EM - �2EN =

P(

222222 .)(.) aaRROEON πππ =−−=−

puesto que RON =

Resumiendo, ambas secciones son de igual

área, y por el Principio de Cavalieri:

Por lo que concluimos que:

Y de aquí que el volumen de la esfera sea:

9.4.2. ÁREA DE LA ESFERA

n balón de fútbol ayuda a intuir un

método para calcular la superficie de

la esfera. En el caso del balón,

basta sumar las áreas de las caras con los

polígonos que lo componen para conocer su

superficie; por otra parte, cuando mayor sea

el número de caras del balón, más se

U


162

ajustará su superficie a la superficie de la

esfera.

El icosaedro

truncado,

modelo del

actual balón de

fútbol. Consta

de 12

pentágonos y

20 hexágonos

y ocupa el

87.74 % de la

esfera

El rombicosidodecaedro,

nuevo diseño del balón

que ocupa el 94.32 %

de la esfera. Está

formado por 12

pentágonos, 30

cuadrados y 20

triángulos

No es difícil imaginar la esfera como caso

límite de un balón compuesto por finísimas

pirámides con vértice en el centro de la

esfera, y bases en las caras de la superficie

del balón. El volumen de todas las

pirámides tiende a coincidir con el volumen

de la esfera, y la altura de cada pirámide

con el radio de la esfera, por lo que:

V esfera = Suma de los volúmenes de todas

las pirámides = 1/3 (S.R), donde S es la

superficie total de las bases y también la

de la esfera.

Como el volumen de las pirámides es igual

al volumen de la esfera, tenemos:

31

S.R =34

�R3

Por lo que:

S = 4�R2

Es curioso observar que el área de la esfera

equivale a cuatro veces el área de uno de

sus círculos máximos.

9.4.3. FIGURAS ESFÉRICAS

on numerosos los cuerpos con forma

de esfera; sin embargo, otros resultan ser

solamente una parte de ésta. Por su interés

presentamos algunas de ellas, clasificándolas

en dos tipos según sean parte de la

superficie esférica o bien parte del volumen

esférico.

Partes de una superficie esférica:

Huso

esférico

Casquete

esférico

Zona

esférica

Partes de un volumen esférico:

Cuña

esférica

Segmento

esférico de

una base

Segmento

esférico de

dos bases

S


163

Sector esférico de

una base

Sector esférico de

dos bases

Como puedes observar, hay cierta

correspondencia entre las superficies de

una parte de la esfera y los volúmenes que

éstas encierran. Así, por ejemplo, la

superficie de esfera correspondiente a una

cuña es el huso esférico, y la de un

segmento esférico, el casquete o la zona

esférica, según que el segmento sea de

una o dos bases respectivamente.

Tablas de áreas y volúmenes de cuerpos

geométricos en el espacio

Áreas totales de cuerpos en el espacio

Volúmenes de cuerpos en el espacio

EJERCICIOS:

1. Tres depósitos de agua tienen la forma y

las dimensiones que se indican en las figuras

adjuntas.

a. ¿Cuál es la capacidad de cada

uno de ellos?

b. Determina la superficie de

lámina necesaria para construir estos

depósitos.

2. Averigua el volumen de una esfera que

tiene de superficie 1.256 cm2

3. El dibujo adjunto muestra las conocidas

figuras, cilindro, cono y semiesfera,

correspondientes a unas dimensiones muy

particulares. Calcula en función de R sus

respectivos volúmenes, y después de

anotarlos en la tabla compáralos.


164

Volumen

Cono

Semiesfera

Cilindro

4. Determina la superficie de las esferas

inscrita y circunscrita en un cubo de 1 m

de lado. ¿Cuáles son sus volúmenes?

5. Calcula el peso de una esfera hueca de

acero de 1 cm de grosor y cuya

circunferencia exterior máxima mide 37,68

cm, sabiendo que la densidad del acero es

7,8 g/cm3.

6. Con 20 kg de plomo, ¿cuántas bolas

esféricas macizas de 1 cm de diámetro se

pueden hacer, si la densidad del plomo es

11,3 g/cm3?

7. Calcula el volumen de un casquete

esférico cuya base dista 2 cm de su polo y

4 cm del centro de la esfera.

8. En una sandía con forma esférica se

producen cortes, uno por el ecuador y otro

paralelo a él, de radios 15 cm y 10 cm

respectivamente. Averigua el volumen de

cada una de las tres piezas obtenidas en el

corte.

9. Un huso esférico correspondiente a

una esfera de radio 7,5 dm tiene una

superficie de 1 m2. Determina la amplitud

del mismo, así como el volumen de la cuña

esférica que encierra.

9.5 LA SUPERFICIE TERRESTRE Y

LA ESFERA

De entre los cuerpos con forma esférica cabe

mencionar los nueve planetas, y entre ellos

la Tierra, cuya superficie resulta estar

ligeramente achatada por los polos. Los

geógrafos hablan de husos horarios,

casquetes polares y zonas climáticas,

términos que se corresponden con las figuras

esféricas anteriormente presentadas y

además polos, meridianos, Ecuador y

paralelos específicos de la Geografía.

Los meridianos, los paralelos y el

Ecuador, líneas destinadas a fijar la posición

de los puntos de la superficie terrestre,

forman la llamada res geográfica. Los

meridianos son semicírculos máximos de

extremos los polos; el Ecuador es un círculo

máximo perpendicular al eje de giro de la

Tierra y los paralelos, círculos completos

obtenidos por la intersección del globo

terráqueo con planos paralelos al ecuador.

Dos meridianos limitan un huso esférico,

mientras que dos paralelos determinan una

zona esférica.

Estamos acostumbrados a ver representada

la esfera terrestre mediante mapas de muy

diversos tipos, sin embargo, conviene indicar

que ninguna de tales representaciones es

exacta, puesto que la esfera pertenece a un

grupo de figuras geométricas llamadas no

desarrollables al no poderse desplegar

sobre un plano. Esta es la razón por la que

al calcular su área debimos prescindir del

desarrollo plano, a diferencia de cómo


165

hicimos con el cono y el cilindro, figuras

éstas que sí son desarrollables.

Aunque los antiguos griegos, entre ellos

Pitágoras (540 a.C.) y los seguidores de

Aristóteles (384-322 a.c.) creían que la

tierra era esférica y habían especulado

acerca de su circunferencia, fue

Eratóstenes, bibliotecario de Alejandría,

quien realizó una medida directa de la

misma, basándose en un correcto principio

de astronomía. Observó que en Siena

(Egipto), situada en el Alto Nilo, en las

cercanías del trópico de Cáncer, a 23° 23’

N y en el solsticio de verano (21 de junio),

los rayos de sol a mediodía iluminaban

directamente el fondo de un profundo pozo

vertical. En otras palabras, el sol estaba

entonces en su cenit (la vertical) y sus

rayos eran perpendiculares a la superficie

de la tierra en aquella latitud. Sin

embargo, en Alejandría, en la misma

fecha, los rayos del sol tenían al mediodía

una inclinación de 1/150 de circunferencia,

es decir, 7° 12’ con respecto a la vertical.

Teniendo en cuenta el paralelismo entre los

rayos del sol y las líneas radiales que

parten del centro de la tierra, el arco de la

superficie terrestre entre

Alejandría y Siena es

también igual a 7° 12’ ó

1/150 de la

circunferencia terrestre.

Por tanto, basta con

determinar la distancia entre ambos lugares

y multiplicarla por 50 para conocer la medida

de la circunferencia.

Eratóstenes tomó como distancia entre

Aleandría y Siena 5.000 estadios, pero esta

cifra no fue, probablemente, más que un

cálculo aproximado. Obtuvo así el valor de

250,000 estadios para la circunferencia de la

tierra. Si se hace el estadio equivalente a

1/10 de milla, y puesto que una milla

equivale a 1,609 km, la longitud de la

circunferencia viene a resultar de unos

40,225 km, cantidad que es del mismo orden

general de magnitud que el verdadero valor

de unos 40,000 km.

Coordenadas terrestres. Cada punto de la

tierra queda fijado por sus distancias al

Meridiano de Grenwich y al Ecuador, es decir,

por su longitud y su latitud. Atenas se

encuentrta a 38º de longitud norte y 23º 44’

de latitud este


166

EJERCICIOS:

1. El metro, como unidad de longitud del

S.M.D., fue definido por primera vez en

1791 por la Asamblea Nacional de Francia

como: la diezmillonésima parte del

cuadrante del meridiano terrestre.

a. Averigua la superficie de la

Tierra a partir de esta definición,

suponiéndola perfectamente esférica.

b. ¿Cual es la extensión de las

partes sólida y líquida de la superficie

terrestre sabiendo que están en razón de

5:12?

c. Determina el volumen de la

Tierra.

d. ¿Cuál es la masa de la Tierra si

su densidad media es 5,5 g/cm3?

2. Averigua la superficie del casquete

esférico que divisa un piloto que vuela a

4.000 m de altura. (Observa que el

triángulo ABO es rectángulo en B por ser

ABO semiinscrito en una circunferencia.)

3. Considera la Tierra dividida en 24 husos

esféricos, cada uno de los cuales recibe el

nombre de huso horarios.

a. Justifica que la amplitud de cada

huso horario es de 15°.

b. Calcula la superficie de uno de

ellos.

c. ¿Qué volumen encierra la cuña

esférica correspondiente a un huso horario)

4. Determina el área de la superficie

terrestre comprendida entre el ecuador y el

paralelo de latitud 45° N. (Véase fig. de la

pág. 161)

En el esquema siguiente aparecen las

distintas capas que componen la atmósfera

terrestre.


167

a. Determina el espesor de cada

una de ellas a partir de los datos que en él

figuran.

b. ¿Qué volumen encierra la

troposfera? Recuerda que el radio de la

Tierra es aproximadamente 6,370 km.

9.5.1.LA GEOMETRÍA ESFÉRICA, UN

MODELO DE GEOMETRÍA NO

EUCLÍDEANA

Sobre una esfera, al unir tres puntos de su

superficie mediante círculos máximos,

obtenemos un triángulo de lados no

rectilíneos llamado triángulo esférico.

Aparece así la llamada geometría esférica,

que goza de propiedades muy distintas a las

de la geometría euclidiana. Presentamos

aquí que al hablar de las geometrías no

euclideianas presentamos de un modo

gráfico la esfera de Escher, como una

ilustración de geometría no euclidiana.


168

Algunos elementos de la geometría

esférica son los siguientes;

- Las rectas son los círculos

máximos de la esfera.

- Un punto es un par de puntos

opuestos diametralmente. En

consecuencia:

- No existen paralelas, ya que todos

los círculos máximos se cortan siempre en

un punto.

- La suma de los ángulos de un

triángulo es mayor que dos rectos.

Esta geometría es de suma utilidad en el

estudio de la astronomía, así como de

otras ciencias afines.


169

Op Cit Pp. 162 - 182

10.1 SECCIONES DE UNA

SUPERFICIE CÓNICA

in duda habrás observado que al

cortar un embutido se producen

rebanadas de

una u otra forma, según

sea la inclinación que

demos al cuchillo. Si

éste se coloca

perpendicular a la pieza,

las secciones producidas

son de menor tamaño

que cuando lo colocas de

forma oblicua.

Lo mismo sucede si

inclinamos un vaso que

contiene agua. La superficie del líquido

adopta formas que no son sino secciones

del cilindro, las cuales nos son familiares.

Más extraño resulta pensar en las

secciones planas producidas

en un cono, y sin embargo,

ello también es posible.

Observa cómo las diferentes

posiciones de un reloj de

arena muestran secciones

distintas según sea su inclinación

Recuerda que el cono venía engendrado por

su generatriz al girar ésta alrededor de un

eje. Si consideramos tal generatriz como

una recta ilimitada, la figura resultante del

giro es una superficie cónica, la cual está

compuesta por dos conos ilimitados, unidos

por el vértice.

Al cortar una superficie cónica por diferentes

planos, obtenemos unas curvas llamadas

secciones cónicas o simplemente cónicas.

Según la distinta posición del plano, dichas

secciones pueden ser elipses, hipérbolas o

parábolas.

Elipes: Sección cónica producida por un

plano que corta en todas sus generatrices.

Si el plano es perpendicular al eje de

notación se produce una circunferencia.

S

CÓNICAS Y CUADRÁTICAS

CONICAS Y CUADRATICAS___________________________________________

170

Hipébola: sección cónica-producida por un

plano paralelo al eje de notación.

Párabola: sección cónica producida por un

plano paralelo a una sola generatriz del

cono.

Esquema de las diferentes secciones que

puede producir un plano en una superficie

cónica.

Estudiaremos cada una de ellas, teniendo

presente que a partir de ahora, en las

representaciones que hagamos,

prescindiremos de la superficie cónica,

quedándonos exclusivamente con las curvas

producidas por los planos de corte.

10.2 LA ELIPSE

a elipse es la curva obtenida al cortar

todas las generatrices de una

superficie cónica mediante un plano.

ACTIVIDAD 10.1

n una lámina de “fibracel” fija una

cartulina y clava dos chinches con 12

cm de separación entre ellas. Enlaza

en cada una de ellas los extremos de un

cordón de 20 cm de longitud (principio del

jardinero). Manteniendo el cordón tenso con

la punta de un lápiz, dibuja la curva que éste

te permite trazar.

a. ¿Qué cónica representa el trazo

obtenido?

b. Para un punto cualquiera P, ¿a qué

es igual la suma de las distancias de P a cada

L

E


171

una de las chinches?. Puesto que P es un

punto cualquiera, ¿cuál es la condición

general de los puntos de la cónica?

c. Aproximando las chinches, traza

otras curvas similares.. ¿Qué curva

obtienes cuando las dos chinches coinciden

en el mismo punto?.

d. Alejando las chinches

razonablemente, traza curvas similares.

En el caso límite de separar las chinches 20

cm, ¿qué observas?

e. El borde superior de algunas tazas

de WC nos sugieren la forma de elipse.

Busca otros objetos reales que te sugieran

la misma idea.

De la actividad habrás deducido que en

general, la elipse es una curva cuyos

puntos cumplen que la suma de distancias

a dos puntos fijos llamados focos es

constante. Esta distancia constante se

suele designar por 2ª. Y representar la

longitud de la cuerda empleada en la

actividad anterior. Por tanto, para todo

punto P de una elipse:

aPFPF 2' =+

En la figura se muestran los elementos

notables de la elipse. Los diámetros son

cuerdas que pasan por el centro, teniendo

éstos longitudes variables. El mayor de los

diámetros se denomina eje mayor, y el

menor de ellos, eje menor; ambos son

perpendiculares y resultan ser ejes de

simetría.

La longitud del eje mayor AA’ coincide con la

constante “2ª” que aparece en la definición,

y designaremos por “2b! la longitud del eje

menor BB’.

También a la distancia que separa los focos,

llamada distancia focal, se le designa por

2c, con lo que se puede deducir que a2 = b2

+ c2, basta observar que el triángulo BOF es

rectángulo en 0 y que BF mide a; ¿por

qué?

En la experiencia anterior habrás

comprobado también que las diferentes

elipses muestran un mayor o menor grado

de achatamiento; esta característica se mide

por la excentricidad de la elipse, definida

como

e = a

c

Y oscila entre 0 y 1, ya que c≤0 < a


172

En el caso extremo de excentricidad nula,

la elipse resulta ser una circunferencia

(apartado c de la actividad 10.1)

Ya apuntábamos al hablar del problema

de Delos, sobre la duplicación del cubo,

que Menecmo lo resolvió mediante el uso

de las secciones cónicas. Dos mil años

después, en el siglo XVII, Kepler observó

la gran utilidad de las cónicas en

astronomía al comprobar que las

trayectorias de los planetas son elípticas,

llegando a enunciar sus tres conocidas

leyes sobre el movimiento de los planetas:

1. Los planetas se mueven alrededor del

sol siguiendo órbitas elípticas en uno de

cuyos focos está el sol.

2. El radio vector que va del sol a un

planeta, barre áreas iguales en tiempos

iguales.

3. Los cuadrados de los tiempos

empleados por cada planeta en describir la

órbita completa son

proporcionales a los

cubos de los semiejes

mayores de las órbitas,

lo que significa que la relación ka

T=

3

2 es

idéntica para todos los planetas.

Si S es el Sol, la segunda ley afirma que un

planeta o cometa se traslada de P a P1, de

P2 a P3 y de P4 a P5 en el mismo tiempo, si

las áreas sombreadas son iguales.

Kepler hubo de estudiar el área encerrada

por la elipse para formular sus leyes,

llegando a demostrar que dicha área vale A

= �a.b, para una elipse de semiejes a y b.

La tercera ley de Kepler tiene el mérito de

relacionar los planetas entre sí, llegando a

demostrar que constituyen un solo sistema.

Su gozo al descubrir esta ley fue ilimitado y

se manifiesta en un exultante relato poético.

“Lo que profeticé hace veintidós años,

cuando descubrí los cinco cuerpos

geométricos entre las órbitas celestes, lo que

creí firmemente mucho antes de haber leído

la Harmonica de Ptolomeo, lo que prometí

a mis amigos en el título de este libro, al que

di nombre antes de estar seguro de mi

descubrimiento, lo que apremié durante

dieciséis años para que se buscara, aquello

por lo que me uní a Tycho Brahe, por lo que

me instalé en Praga, por lo que he dedicado

la mayor parte de mi vida a las

observaciones astronómicas, al fin he

logrado aclararlo y reconozco su verdad

entre mis esperanzas más íntimas. Aún no

hace dieciocho meses desde que el primer

rayo de luz, tres meses desde que la aurora,

y pocos días desde que el Sol descubierto, el

más admirable para ser contemplado, me

iluminaron. Nada me detiene; dejaré libre

mi furia sagrada; triunfaré sobre la

humanidad con la honesta confesión de que

he robado las vasijas de oro de los egipcios

para construirle un tabernáculo a mi Dios,

lejos de los confines de Egipto. Si me

perdonan, me alegro; si están enfadados,


173

puedo soportarlo; la suerte está echada;

he escrito mi libro; lo leerán ahora o en la

posteridad, no importa cuándo; bien puede

esperar un siglo un lector, puesto que Dios

ha esperado seis mil años un intérprete de

sus palabras”

Poco después apareció esta gran obra,

Harmonices Mundi; era un compendio de

la teoría copernicana, una exposición clara

y bastante popular que fue colocada en la

lista de los libros prohibidos por la Iglesia,

junto a la obra del propio Copérnico, De

Recolutionibus Orbium Coelestium.

Después de Kepler, han sido numerosos

los estudios realizados sobre las

trayectorias de los planetas. Hoy día

sabemos que todas ellas, a excepción de la

de Plutón, se hallan, con bastante

aproximación, sobre un mismo plano.

Asimismo, se ha constatado que los

cometas se mueven alrededor del Sol

describiendo órbitas de excentricidad muy

grande, mucho mayor que la de cualquier

órbita planetaria, si bien sus órbitas están

en planos inclinados con respecto al de los

planetas.

Diagramas del Sistema Solar (Septiembre

de 1975). En el dibujo grande las órbitas

están dibujadas a escala. En el pequeño

aparece una ampliación de la parte interna.

La escala sólo es válida para las órbita, no

para los planetas, pues al ser el diámetro

medio de la órbita terrestre

aproximadamente 200 veces el diámetro del

Sol, éste sería un punto apenas perceptible.

La órbita de Plutón es anómala por varias

razones: no es una elipse “casi circular” y no

está en el mismo plano que los demás

planetas, razón que ha llevado a algunos a

considerar que no es un planeta, sino un

satélite de Neptuno que ha escapado.

10.2.1. ÁREA ENCERRADA POR LA

ELIPSE

e una forma análoga a como

Kepler concibió el área de la elipse,

la profesora Emma Castellnuovo,

haciendo uso de ciertos materiales, presenta

la demostración en su libro Matemática

nella realtá en los siguientes términos:

D


174

Si sobre una pieza elástica se dibuja un

cuadrado y una circunferencia inscrita en

él, al estirar la pieza observaremos que el

cuadrado se transforma en un rectángulo,

mientras que la circunferencia lo hará en la

elipse inscrita en dicho rectángulo. Ello

permite plantear la siguiente proporción

entre áreas:

y por lo tanto

10.2.2 PROPIEDAD DE LOS FOCOS

DE LA ELIPSE

En la elipse, los focos tienen la propiedad

de que cualquier rayo emergente de uno

de ellos se refleja pasando por el otro. En

esta propiedad se basan las diferentes

aplicaciones de los espejos elípticos, así

como de las bóvedas elípticas.

Basándose en esta propiedad de la elipse,

Miguel de Guzmán, en su libro Cuentos

con cuentas, nos presenta las siguientes

escenas:

EL SECRETO DEL SALÓN OVALADO:

El gran Salón Ovalado estaba lleno hasta

rebosar de espías, contraespías y

contracontraespías. Y, sin embargo, el

Primer Ministro tenía absoluta necesidad de

comunicar inmediatamente a Su Majestad el

gran secreto del que acababa de enterarse.

Como quien no quiere la cosa, al

aproximarse al Rey le dijo con voz bien

perceptible: “Majestad, parece que los focos

de rebeldes reclaman nuestra atención”.

Todos los espías se fueron hacia las paredes

del salón para sacar de los forros de sus

capas allí colgadas las claves de los mensajes

cifrados.

Les siguieron, naturalmente con gran sigilo,

los contraespías, y a éstos, los

contracontraespías. El Rey, con paso

tranquilo, pero decidido, se dirigió hacia un

lado del ovalado salón. El Ministro, por su

parte, se dirigió en dirección contraria al otro

lado del salón ovalado. Los espías los

observaban de reojo mientras consultaban

en sus libretas “parece”, “focos”, “rebeldes” y

“exigen”. Los contraespías estaban atentos a

los espías, y los contracontraespías no

perdían de vista ni un momento a sus

contraespías correspondientes. El Rey se

paró un momento y el Ministro, respetuoso,

se paró también en su camino. Estaban a

más de 20 metros de distancia cuando un


175

espía más astuto observó y apuntó en su

libreta: “Este Ministro, o habla solo o está

rezando”. Pero nadie pudo oír nada. Sólo

el Rey pudo percibir claramente en sus

oídos el mensaje del Ministro: “Majestad,

con todos mis respetos, su bragueta está

completamente abierta”.

El misterio del Salón Ovalado consiste

fundamentalmente en que en una elipse

como ésta

existen dos puntos, los focos F1 y F2, tales

que si las paredes de la elipse fueran de

goma como las de un billar y se lanzase

una bola desde F1 y en cualquier dirección,

al rebotar iría a pasar por F2. Por ello,

hablando muy bajo, muy bajo en F1 puede

llegar la voz a F2 con suficiente intensidad

para que se entienda, pues llega a F2 de

todas las direcciones que salen de F1. En

otro punto cualquiera llega sólo el sonido

hacia él dirigido y no se percibe

suficientemente.

Algunas estaciones de Metro tienen una

sección con el techo aproximadamente

elíptico. Haz este experimento. Coloca a

un amigo en el andén opuesto y busca el

punto en tu andén tal que cuchicheando tú

un mensaje secreto, él te pueda oír. ¡Ah!

Procura no cuchichear mientras está

pasando uno de estos monstruos infernales.

Entonces no suele salir el experimento.

MIGUEL DE GUZMAN

Cuentos con cuentas

Ed. Labor

10.2.3. TRAZADO DE LA ELIPSE POR

PUNTOS

l trazado de la elipse puede hacerse

como sigue:

Trazado de la elipse por puntos

F y F’ se sitúan sobre el eje mayor por la

intersección de un arco descrito desde B con

radio igual a la mitad de AA’. Desde F’ a 0 se

toman unos puntos cualesquiera, 1,2,3,4...

Desde F’ y con radios ,...3',2',1' AAA , se

describen arcos. Con radios A1, A2, A3,... y

desde F, se describen nuevos arcos cuyas

intersecciones con los otros dan puntos de la

elipse.

Conviene precisar que este trazado con regla

y compás no puede ser más que aproximado.

En Geometría analítica, cuyo estudio no es

el objeto de este libro, las cónicas referidas a

E


176

unos ejes de coordenadas adoptan

diferentes expresiones, siendo para la

elipse:

Donde a y b son las longitudes de sus

semiejes.

EJERCICIOS:

1. En el dibujo puedes observar a

“escala” la órbita elíptica de Mercurio

alrededor del Sol. Calcula su

excentricidad, haciendo uso de los datos

que aparecen.

2. El eje mayor de la elipse mide 15 cm y

su eje menor 8 cm. Averigua su distancia

focal, así como la excentricidad de ésta.

3. ¿Cuál es el área encerrada por una

elipse de distancia focal 7 cm y de semieje

mayor 9 cm. ¿Cuál es la expresión analítica

de esta elipse?

4. Es sabido que los planetas tienen

excentricidad pequeña, por lo que sus

órbitas son casi circulares; así, por

ejemplo, para la Tierra es 0,017; para Marte,

0.09 y para Mercurio, 0,25

aproximadamente. No sucede así con los

cometas; así por ejemplo, el cometa Halley

tiene excentricidad 0,967. Haciendo uso de

la tercera Ley de Kepler, determina los

semiejes de la órbita de este cometa,

conociendo que su período (tiempo empleado

en recorrer una órbita completa) es de 76

años, mientras que para la Tierra es de 1

año. Ten presente que el semieje mayor de

la Tierra mide 1 49.108 km.

5. La excentricidad de una elipse es 0,8 y

uno de sus puntos dista de los focos 18 cm y

12 cm respectivamente. Calcula la longitud

de sus ejes.

6. Si los semiejes de una elipse son a y b,

¿cómo es posible probar que πA

, siendo A el

área de la elipse, está comprendido entre a2

y b2? Ayúdate de un dibujo y supón que no

conoces la fórmula del área de la elipse.

10.3 LA PARÁBOLA

a parábola es la curva obtenida al

cortar la superficie cónica por un plano

paralelo a una solo generatriz. Los

puntos de la parábola equidistan de una

recta (directriz y de un punto fijo llamado

foco.

La figura muestra los elementos notables de

una parábola. La distancia de V a F es el

parámetro de la parábola y lo designamos

por p por lo que, DF tiene longitud 2p.

L


177

Para construir una parábola, podemos fijar

un cordón entre el foco de la parábola y el

vértice de una escuadra. El lápiz tensa el

cordón a la vez que desplaza a la escuadra

pegado a la regla guía (directriz).

Es fácil observar que

PBPAPBPF +=+ , y prescindiendo del

término PB , obtenemos que PAPF = ,

condición de los puntos de la parábola, ya

mencionada.

10.3.1 PROPIEDAD DEL FOCO DE LA

PARÁBOLA

n la parábola, el foco es tal que los

rayos que emergen de él “rebotan”

en ella saliendo paralelos al eje. Esta

propiedad permite múltiples aplicaciones, en

hornos parabólicos, antenas parabólicas de

TV, estufas, espejos o faros.

En física es conocida la gran importancia del

estudio de la parábola por cuanto existen

diversos movimientos con forma parabólica.

Fue Galileo quien demostró que la

trayectoria seguida por un proyectil es una

parábola, y calculó una tabla de distancias y

elevaciones en la cual el artillero podía hallar

la altura a que debía elevar la mira de su

E

178

cañón para hacer blanco en un punto

situado a una distancia determinada.

10.3.2. TRAZADO DE LA

PARÁBOLA POR PUNTOS

obre el eje se sitúa el foco F

mediante un arco de radio DV

descrito desde V. Se trazan varia

perpendiculares al eje, 1, 2, 3..., a partir

de V, y en la dirección VF. Con radios

3,2,1 DDD , se describen desde F arcos

cuyas intersecciones en las perpendiculares

son puntos de la parábola.

En Geometría analítica la expresión de la

parábola es del tipo

y2 = 2px.

Donde p es el parámetro de la parábola.

10.4 LA HIPÉRBOLA

a hipérbola es la curva que resulta

al cortar una superficie cónica por

un plano paralelo a dos

generatrices.

De las tres cónicas, elipse, parábola e

hipérbola, es sin duda esta última la que

presenta mayor dificultad en ser visualizada

como tal sección; no obstante, se comprueba

que consta de dos ramas por el hecho de

cortar a los dos conos que componen la

superficie cónica.

El dibujo muestra los elementos notables de

una hipérbola.

El segmento AA’ cuya longitud designamos

por 2a. Recibe el nombre de eje real.

Los puntos de la hipérbola cumplen la

condición de que la diferencia de sus

distancias a los focos F y F’ es el valor

constante 2ª, es decir, 'PFPF − = 2a.

La distancia focal es la distancia entre los

focos, se designa por 2c.

Dibujando sobre OA el triángulo rectángulo

en O de hipotenusa c, se obtiene puntos B y

B’ llamados también vértices, y al segmento

'BB de longitud 2b, eje imaginario, por no

ser sus extremos puntos de la hipérbola.

Del triángulo AOB, se deduce:

S

L


179

a2 = c2 - b2, por el Teorema de

Pitágoras.

Del mismo modo que en la elipse, para

medir la mayor o menor abertura de las

ramas, se utiliza la noción de

excentricidad, e = ac

Esta es siempre

mayor que 1, ya que c mayor a.

En el dibujo observarás dos rectas

asíntotas que pasan por el centro y hacia

las cuales se aproximan indefinidamente

las ramas de la curva, sin llegar nunca a

tocarlas. Estas son precisamente las

diagonales del rectángulo de dimensiones

2a y 2b.

Un caso muy particular de hipérbola es la

hipérbola equilátera, en la que sus ejes

real e imaginario son iguales entre sí, a =

b, por lo que sus asíntotas son

perpendiculares.

10.4.1 TRAZADO DE LA

HIPÉRBOLA POR PUNTOS

asándonos en la propiedad de los

puntos de la hipérbola 'PFPF − =

2a. La construcción de ésta se hace

posible mediante una cuerda al fijar uno de

sus extremos en un foco y el otro en el

extremo de una regla; el lápiz tensando la

cuerda hace girar la regla que tiene el otro

extremo fijo en el segundo foco, logrando así

el trazado de la curva.

Otro modo de trazar la hipérbola lo es por

puntos.

Se elige a voluntad el vértice de una de las

ramas de la hipérbola. Por V se levanta una

perpendicular a 'VV . Con radio R se

describe un arco cuyas intersecciones con el

eje dan los focos. Desde F’ se toma una

serie de puntos cualesquiera. Con

,3,2,1 VVV ..., se describen arcos desde F’.

Con ,3',2',1' VVV ..., se describen arcos

desde F. Las intersecciones de los arcos

descritos son puntos de la hipérbola.

B


180

10.4.2 PROPIEDAD DE LOS

FOCOS DE LA HIPÉRBOLA

n el caso de la hipérbola, un punto

luminoso colocado en uno de los

focos, al emitir rayos sobre ella,

son reflejados de forma divergente como si

procedieran de otro foco. En esta

propiedad se basan los espejos

hiperbólicos usados en superficies amplias

como los estadios de fútbol.

La expresión analítica de la hipérbola es:

Donde a y b son las longitudes de sus

semiejes.

EJERCICIOS:

1. La expresión analítica de una parábola

es y2 = 6x; se pide:

a. ¿Cuál es el valor de su

parámetro p?

b. Cuánto mide OF? ¿Y P’F?

c. Calcula el área del trapecio

PQOF, haciendo uso de los resultados

obtenidos en los apartados anteriores.

2. Una hipérbola tiene de eje real 16 cm y de

eje imaginario 12 cm.

3. Sabiendo que la excentricidad de una

hipérbola vale 2.6 y que el semieje real mide

10 cm, determina:

a. Su distancia focal.

b. El valor del semieje imaginario.

c. La expresión analítica de dicha

hipérbola.

4. Un punto P de la hipérbola dista 8 cm y 4

cm respectivamente de sus focos, y la

distancia focal de dicha hipérbola es 10 cm.

Determina la longitud de sus semiejes.

5. ¿Cuál es la excentricidad de una hipérbola

equilátera? ¿Tienen la misma excentricidad

dos hipérboles equiláteras cualesquiera?

10.5 SUPERFICIES ENGENDRADAS

POR CÓNICAS: LAS CUADRÁTICAS

E


181

n geometría del espacio hemos

estudiado figuras geométricas muy

familiares como el cilindro, el cono

o la esfera; sin embargo, el balón de

rugby, las antenas parabólicas de

telecomunicación o las chimeneas de una

central térmica, no pertenecen a tales

tipos. Se trata de figuras engendradas por

cónicas, ya sea por rotación de éstas

alrededor de uno de sus ejes o bien por

simple traslación o desplazamiento. Todas

ellas constituyen una nueva familia de

figuras, las cuadráticas.

De modo análogo a como procedimos para

obtener la expresión del área de la elipse,

podemos descubrir el volumen encerrado en

E


182

un elipsoide de semiejes a, b y c, partiendo

de la esfera inscrita en un cubo y pasando

a deformarlos convenientemente.

Esta deformación permite plantear la

siguiente proporción entre volúmenes:

cuboV

pedoparalelepiV

esferaV

elipsoideV

=

y por tanto:

2)2(

2.2.2

33

4 R

cba

R

elipsoideV

=

π

de donde:

V elipsoide = abcR

Rπ

π

3

4

38

33

4

=

Es decir:

V elipsoide = abcπ34

EJERCICIOS:

1. En una primera aproximación se

admite que la Tierra tiene la forma de una

esfera de 6.371 km de radio; y en una

segunda aproximación, un elipsoide de

revolución para el que la Asamblea de la

Unión Astronómica Internacional celebrada

en 1967 fijó las siguientes dimensiones:

6.378,160 km para el radio ecuatorial,

mientras que para el radio polar fue

6.356,768 km. A partir de estos datos

determina de volumen de la Tierra bajo su

forma elipsoidal y compara el resultado con

el obtenido en el ejercicio 1 de la página 159.

2. Un balón de rugby mide 32 cm de

longitud y 20 cm de ancho. Averigua el

volumen que encierra suponiéndolo con

forma perfectamente elipsoidal.


183

ACTIVIDAD 10.2

bserva las fotografías de las

páginas siguientes e indica la

cuadrática que te sugiere cada

una de ellas, indicando a su vez la cónica o

cónicas que la generan.

EXPERIENCIA: FABRICANDO UNA

LÁMPARA.

onsigue dos placas redondas de

madera de igual diámetro, y tres

varillas de igual longitud. Tras

perforar las placas con el mismo número

de agujeros, y montar las varillas tal como

muestra el dibujo, haz pasar un cordel

anudado en su extremo a través del

agujero primero de la placa superior y

después el cuarto de la placa inferior,

saltando de uno en uno hasta completar

una vuelta, anudando convenientemente al

finalizar. Repite la operación en sentido

contrario, es decir, haciendo pasar el

cordel por el agujero cuarto d ela placa

superior para unirlo con el primero de la

inferior; de este modo obtendrás una

preciosa pantalla para montar una

lámpara. ¿Qué figura geométrica te

recuerda?

Lograrás otro efecto óptico partiendo de

placas redondas de diferente diámetro.

O

C


184

Central de Trillo (Guadalajara)

Viaducto Martín Gil de la línea férrea Zamora - Orense

Fotografía del radiotelescopio de Parkes,

Australia, de 64 m de diámetro

Sede de las Comunidades Europeas


185

PARALELAS Y PERPENDICULARES

1. Dividir un segmento de recta en siete

partes iguales:

METODOLOGÍA:

a) Sea ab el segmento de recta y con

ayuda de una línea auxiliar cualquiera

trazada sobre el extremo “a” se dividirá el

segmento en seis partes iguales

b) Divida, con ayuda del compás, la

línea auxiliar en seis partes iguales

c) Una el extremo b con el punto seis

de la línea auxiliar

d) Trace paralelas al segmento 6b en

cada división de la línea auxiliar hasta

cortar con el segmento de recta, como se

muestra en la siguiente figura

Trazar una perpendicular en uno de los

extremos del segmento de recta

METODOLOGÍA

a) Sea el segmento de recta ab y sobre

el extremo “a” trazar la perpendicular

b) Señale un punto “p” cualquiera sobre el

segmento de recta ab , como se muestra en

la figura:

c) Trace, con ayuda del compás, una

circunferencia de radio ap y centro en “p”,

como se muestra en la figura:

d) Una con línea auxiliar la intersección de

la circunferencia con el punto “p” hasta

cortar la circunferencia, como se muestra en

la figura

ASPECTOS BÁSICOS DEL DIBUJO Y TRAZO GEOMÉTRICO

ASPECTOS BASICOS DEL DIBUJO Y TRAZO GEOMETRICO___________________

186

e) Una el punto de intersección de la

circunferencia al extremo del segmento de

recta “a” para obtener la perpendicular

deseada, como se muestra en la siguiente

figura

3. Trazar una perpendicular desde un

punto fuera de la línea recta

METODOLOGÍA

a) Trace una línea recta y un punto “p”

cualquiera fuera de la recta

b) Con ayuda del compás trace un arco

con centro en “p” que corte la línea recta

c) Con ayuda del compás y centro en

cada intersección del arco de circunferencia

con la línea recta, trace pequeños arcos de

circunferencia opuestos al punto “p”

d) Una el punto “p” con los pequeños

arcos de circunferencia para obtener la

perpendicular esperada, como se muestra

en la siguiente figura

4. Trazar una perpendicular desde un

punto fuera del segmento de recta

METODOLOGÍA

a) Trace un segmento de recta

ab y un punto “p” cualquiera fuera del

segmento de recta

b) Con ayuda del compás y centro

en el extremo “a”, luego con centro en la

intersección del arco de circunferencia con el

segmento de recta, trace arcos de

circunferencia que se corten entre sí,

opuestos al punto “p”

c) Una la intersección de los arcos

de circunferencia con el punto “p” para trazar

la perpendicular buscada, como se muestra

en la siguiente figura

5.Trace una perpendicular al segmento del recta

que pase por un punto “p” fuera del

segmento de recta y un punto “c” dentro del

segmento de recta, como se muestra en la

siguiente figura:


187

6. Trazar una paralela a un segmento de

recta, desde un punto “p” fuera del


siguiente figura

METODOLOGÍA

a) Con ayuda del compás, trace un arco

de circunferencia que corte al segmento de

recta ab , señalando el punto de

intersección con “o”

b) Con el mismo radio, trace otro arco

de circunferencia que pase por el punto “p”

y se intercepte en el segmento de recta

ab

c) Con ayuda del compás, trace un arco

de circunferencia con centro e “o” y

distancia igual a “o” y la intersección del

arco de circunferencia interceptado en el

punto “p” y el segmento de recta ab

d) Una el punto “p” con la intersección

de los arcos en el punto “o” para obtener la

paralela esperada, como se muestra en la

siguiente figura


188

POR UN PUNTO CUALQUIERA

DADO EN UNA RECTA, CONSTRUIR

UN ÁNGULO CUALQUIERA.

METODOLOGÍA

a) Con centro en p y radio cualquiera,

se traza un arco indefinido, como se

muestra en la siguiente figura:

b) Denote por d el punto de intersección

del arco con el segmento, como se muestra

en la siguiente figura.

C) Con centro en el vértice d del ángulo dado

con el mismo radio, trácese un arco

D)que cortará el arco, denotando la

intersección por c, como se muestra en la

siguiente figura:

c) Una los puntos pc para obtener el

ángulo CPD buscado, como se muestra en la

siguiente figura

ÁNGULOS, TRIÁNGULOS Y BISECTRIZ

ANGULOS TRIANGULOS Y BISECTRIZ_________________________________

189

Desde dos puntos dados fuera de una

recta, trazar otras dos que se

encuentren con la primera formando el

mismo ángulo.

METODOLOGÍA

1. Sean ab el segmento y p y q los

puntos dados fuera de ella.

2. Por el punto p se traza una

perpendicular al segmento que corta en un

punto denotado por c al segmento, como

se muestra en la siguiente figura

3. Con una abertura del compás igual a

la distancia pc y centro en c, se corta la

perpendicular trazada como se muestra en

la siguiente figura:

4. Se unen los puntos pe y dp en un

punto del segmento de recta denotado por e,

obteniendo de esta manera dos ángulos

iguales desde dos puntos cualquiera del

segmento de recta, es decir, ∠pea y ∠peb,

como se muestra en la siguiente figura


190

DIVIDIR UN ÁNGULO DADO EN

DOS PARTES IGUALES

(BISECTRIZ).

METODOLOGÍA

1. Sea bac el ángulo dado con centro en

el vértice y radio cualquiera se traza un

arco que corta a los lados inicial y final del

ángulo en los puntos e y e’, como se


2. Con centro en estos puntos, y el

mismo radio, se trazan arcos que se cortan

entre sí en el punto o.

3. La recta que une este punto con el

vértice del ángulo se llama bisectriz y lo

divide en dos partes iguales. Para dividir

los demás ángulos utilizaremos el mismo

método.

ENCONTRAR LA BISECTRIZ DE UN

ÁNGULO CUYO VÉRTICE NO SE

CONOCE.

1. Sean los segmentos de recta ab y cd

las que forman los lados del ángulo cuyo

vértice no se conoce, como se muestra en la

siguiente figura:

2. Trace una línea que corte a las dos

concurrentes en los puntos m y n con los que

se originan los cuatro ángulos siguientes:

amn; bmn; mnc; mnd,como se muestra en



191

3. A cada uno de estos ángulos se les

traza por separado, su bisectriz, que se

prolongan indefinidamente, como se


4. Estas bisectrices se cortan dos a dos

en los puntos e y f , como se muestra en


5. Una los puntos e y f entre sí forman la

bisectriz solicitada, como se muestra en la

siguiente figura:

6. Una los puntos e y f para trazar la

bisectriz de un ángulo cuyo vértice no se

conoce, como se muestra en la siguiente

figura:


192

CONSTRUIR UN TRIÁNGULO

CONOCIENDO SUS TRES LADOS.

METODOLOGÍA

1. Sean los segmentos de recta dados

ab, bc y ac; quienes determinen el

triángulo solicitado, como se muestra en la

siguiente figura

2. Trace el segmento ac y sobre éste,

con ayuda del compás, traslade los

segmentos de recta ab y bc hasta

intersectarlos, que es el triángulo

esperado, como lo muestra la siguiente

figura:

CONSTRUIR UN TRIÁNGULO

CONOCIENDO UNO DE SUS LADOS

Y LOS DOS ÁNGULOS

ADYACENTES.

METODOLOGÍA:

1. Sea el segmento de recta ab la base

del triángulo y los ángulos A y B

adyacentes al segmento de recta, como se


2. Traslade el ∠A uniendo el vértice del

mismo al extremo a del segmento de recta,

prolongando el lado final del ángulo, como se


EN UN PUNTO P EN UN SEGMENTO

DE RECTA AB, TRAZAR UNA

CIRCUNFERENCIA TANGENTE AL

SEGMENTO DE RECTA Y QUE PASE

POR EL PUNTO P.

METODOLOGÍA:

1. Trace el segmento de recta ab y el

punto p sobre la misma y una perpendicular

en un punto q fuera del segmento, como se



193

2. Trace una perpendicular al punto p

del segmento de recta como se muestra en


3. Una con una línea auxiliar los puntos

qp y trace el punto medio de este


siguiente figura:

4. Trace una perpendicular en el punto

medio del segmento de recta qp hasta

cortar con la perpendicular en el punto p

denotándolo con o, como se muestra en la

siguiente figura:

5. Trace la circunferencia tangente al

segmento de recta con radio op como se

esperaba, como se muestra en la siguiente

figura:


194

TRAZAR UNA CIRCUNFERENCIA

TANGENTE A LOS LADOS DE UN

ÁNGULO

METODOLOGÍA

1. Sea el ángulo ABC y un punto p

cualquiera sobre el lado inicial del ángulo

ABC como se muestra en la siguiente

figura:

2. Trace la bisectriz del ∠ABC y la

perpendicular en el punto p hasta

intersecarse con la bisectriz del ángulo,

como se muestra en la siguiente figura:

3. Trace la perpendicular de la

intersección encontrada con el lado final

del ∠ABC, denotando con o la intersección

y centro de la circunferencia tangente a los

lados del ángulo

4. Con centro en o y radio op, trace la

circunferencia tangente a los lados del

ángulo como se esperaba, como se muestra

en la siguiente figura:


TANGENTE A LOS LADOS DE UN

TRIÁNGULO

METODOLOGÍA

1. Sea el triángulo ABC cualquiera como

se muestra en la siguiente figura:


195

2. Trace las bisectrices de los tres

ángulos interiores como se muestra en la

siguiente figura:

3. Trace la perpendicular en cualquiera

de los lados del triángulo hasta cortar con

el punto de intersección de las bisectrices

denotado por “o”

4. Con la abertura del compás o y la

perpendicular en el lado del triángulo, trace

la circunferencia solicitada, como se



TANGENTE QUE PASE POR UN

PUNTO P DE UNA CIRCUNFERENCIA

DADA.

METODOLOGÍA

1. Sea la circunferencia con radio op

como se muestra en la siguiente figura,

sobre la cual se trazará la circunferencia

tangente al punto p.

2. Trace un punto q fuera de la

circunferencia y una os puntos pq como se



196

3. Trace la perpendicular al segmente

pq hasta cortar con la prolongación del

segmento op, denotando la intersección

con o’, centro de la circunferencia tangente

solicitada, como se muestra en la siguiente

figura:


197

TRAZAR LAS TANGENTES

EXTERIORES A DOS

CIRCUNFERENCIAS DADAS

METODOLOGÍA

1. Sean las circunferencias de radio oa

y ob las circunferencias utilizadas para el

trazo solicitado, como se muestra en la

siguiente figura:

2. Una los centros de ambas

circunferencias , como se muestra en la

siguiente figura:

3. Trace una circunferencia inscrita en

ob de radio oa, como se muestra en la

siguiente figura:

4. Prolongue los radios oa y ob hasta

intersectar con la circunferencia ob, como se


5. Trace líneas paralelas a los radios bs y

bt en la circunferencia de radio oa como se


6. Una los puntos de intersección de las

dos circunferencias para obtener las líneas

tangentes, como se muestra en la siguiente

figura:


198


199

CONSTRUIR UN POLÍGONO

REGULAR DE CINCO LADOS A

PARTIR DE UNO DE LOS LADOS

METODOLOGÍA

1. Sea el segmento AB, uno de los lados

del pentágono regular, como se muestra


2. Prolongue el segmento AB en uno de

los extremos, como se muestra en la

figura:

3. Trace las perpendiculares en el punto

medio del segmento AB y el extremo

prolongado, como se muestra en la

siguiente figura:

4. Trace un arco circunferencia que

corte la perpendicular trazada en el

extremo B, como se muestra en la siguiente

figura:

5. Trace un arco de circunferencia de

radio PC y centro en P hasta interceptar con

la prolongación del segmento de recta AB,


6. Con centro en el extremo A y radio la

distancia, trace un arco de circunferencia que

intercepte la perpendicular en el punto medio

del segmento de recta AB, como se muestra


POLÍGONOS

POLIGONOS_____________________________________________________

200

7. Con centro en el extremo A del

segmento de recta AB y radio la distancia

de AB, trace un arco de circunferencia,

luego con la misma distancia trace otro

arco de circunferencia con centro en E

hasta interceptar el arco de circunferencia

cuyo centro fue el extremo A del segmento

de recta, como se muestra en la siguiente

figura:

8. Una los puntos A, B, G. E y F para

obtener el polígono propuesto, como se


OTRA FORMA DE CONSTRUIR EL

POLÍGONO REGULAR DE CINCO

LADOS ES:

1. Sea el segmento de recta AB y su

prolongación en uno de sus extremos, las

perpendiculares en el extremo y el punto

medio del segmento de recta, como se


POLIGONOS_____________________________________________________

201

2. Trace un arco de circunferencia con

centro en B y radio AB hasta cortar la

prolongación del segmento de recta el

extremo del segmento AB, denotando el

punto de intersección con D, como se


3. Trace el punto medio del segmento

de recta AB y sobre él su perpendicular,

luego trace un arco de circunferencia con

centro en B y radio BD hasta cortar con la

perpendicular en el extremo B del

segmento de recta AB, como se muestra


4. Con centro en los puntos G y C, trace

arcos de circunferencia que se corten entre

sí, denotando la intersección con H, como se


5. Una los puntos B y H, tome como el

siguiente lado el segmento de recta B y la

intersección en el arco de circunferencia CG,


POLIGONOS_____________________________________________________

202

6. con centro en J y radio la distancia

BJ, trace un arco de circunferencia que

corte la perpendicular en el punto medio

del segmento de recta AB, como se


7. Trace un arco de circunferencia con

centro en el punto de intersección de la

perpendicular al punto medio del segmento

AB, y otro en el extremo A del segmento

de recta AB tales que se intercepten entre

sí, como se muestra en la siguiente figura:

"He llegado a una conclusión que me llena

de miedo; soy el elemento decisivo en el

aula, mi enfoque personal es el que crea el

ambiente; mi estado de ánimo es el que

determina la decisión de los demás; como

maestro, poseo el enorme potencial para

convertir la vida de un niño en algo

jubiloso o deprimente; puedo ser un

instrumento de tortura o de inspiración,

puedo humillar o bromear, lastimar o

curar; en todas las situaciones será mi

respuesta la que decida si la crisis se

agravará o solucionará, si el niño será

humanizado o deshumanizado"

Ginot

POLIGONOS_____________________________________________________

203

ara lograr alcanzar los objetivos

relacionados con la geometría, es

necesario que en la interacción de

las experiencias del aprendizaje, tomemos

en cuenta que el pensamiento del alumno

es esencialmente activo. No es suficiente

presentar materiales a los estudiantes, en

los que no estén psicológicamente

preparados para atender, por lo que hace

falta que mediante su participación directa,

activa, reflexiva y responsable, elaboren

sus propios materiales que les permita

fomentar una intuición creadora que les

ayude a adquirir nuevos conceptos.

Es muy importante que en el proceso de

enseñanza-aprendizaje de la Geometría, el

maestro se apoye en una serie organizada

de cuestionamientos que le permitan

orientar (si esto es necesario) a los

alumnos a redescubrir los conocimientos.

Para lograrlo, se recomienda que el

alumno:

a) Construya correctamente su

material.

b) analice las construcciones realizadas

y por consumar.

c) descubra y comprenda sus diferentes

relaciones.

d) Infiera conclusiones.

e) Desarrolle la demostración formal para

completar el proceso (si es lo que se

pretende).

f) Generalice.

g) Aplique lo aprendido en diferentes

situaciones, y

h) Resuelva problemas (que puedan ser

considerados como punto de partida y como

objetivo final.

Es conveniente hacer notar, que el alumno al

presentarse en la escuela secundaria, no

siempre tiene los antecedentes suficientes

para realizar un procedimiento de

abstracción, partiendo de simples

observaciones lógicas.

Por ejemplo, si nuestra pretensión es que el

alumno comprenda el Teorema de Pitágoras

y se presenta a ellos la demostración que

desarrolla Euclides en la proposición 47 de

su libro I de "Los Elementos", como a

continuación se describe:

a) ∆ABG ∆ ≅ BCH por tener congruente

dos lados y el ángulo incluido.

b) El área del rectángulo BHJK equivale al

doble del área del ∆ BCH, por tener la

misma base y la misma altura.

P

DE LOS PATRONES A LA MODELACIÓN

Juan Manuel Alvídrez Villarreal1

DE LOS PATRONES A LA MODELACION_________________________________

204

c) El área del rectángulo BHJK equivale

al doble del área del ∆ABG.

d) El área del cuadrado BCFG equivale

al doble del área del ∆ABG, por tener la

misma base y la misma altura.

e) El área del rectángulo BHJK equivale

al área del cuadrado BCFG.

f) De manera análoga, se demuestra

que el área del rectángulo AIJK equivale al

área del cuadrado ACDE.

La siguiente figura ejemplifica la

demostración anterior:

Sumando las equivalencias de E y F

tenemos que el área del BHJK + área del

AIJK = área del BCFG + área del ABHI;

pero, área del BHJK + área del AIJK = área

del ABHI;

CONCLUSIÓN:

ÁREA DEL CUADRADO BCFG + ÁREA

DEL CUADRADO ACDE = ÁREA DEL

CUADRADO ABHI;

abe señalar que este tipo de

demostraciones, solo conducen a un

estudiante al alejamiento de la

materia de estudio, mientras que el propósito

esencial de las matemáticas es contribuir al

buen gusto por las mismas, desarrollen un

alto porcentaje de habilidades operatorias y

destrezas en el manejo de las herramientas

que nos brinda, etcétera.

De ahí la importancia de mostrar otro tipo de

estrategias, basadas, como lo indicamos al

inicio de este programa, en el análisis, el

sentido común y la intuición, y que a

continuación presentamos:

C

DE LOS PATRONES A LA MODELACION_________________________________

205

e trazan diferentes rectángulos y

los dividimos en cuadrados iguales

de tal forma que los alumnos

puedan determinar su área contando las

unidades cuadradas que los conforman.

Luego se les cuestiona si existe algún

procedimiento más sencillo para determinar

el área de los rectángulos, si es así, que

determinen el área de los siguientes

rectángulos sin necesidad de cuadricularlos.

Que concluyan que: "El área del rectángulo

se determina multiplicando la medida de la

base por la de la altura".

Matematizando el área del rectángulo se

puede concluir que:

A = bh

Donde:

b = base y

h = altura

S

ÁREA DE FIGURAS PLANAS

ÁREA DE RECTÁNGULOS

AREA DE LOS RECTANGULOS_________________________________________

206

razamos un romboide y marcamos

su altura, sombreando el triángulo

que se formó.

Se recorta el triángulo formado y se pega

en el extremo contrario.

La figura que se forma es un rectángulo y

su área se calcula multiplicando la base por

la altura como ya lo vimos en el tema

anterior.

Como el rectángulo y el romboide tienen la

misma base y la misma altura, concluimos

que:

"El área de un romboide se calcula

multiplicando la medida de la base por la de

la altura"

A = bh

T

ÁREA DEL ROMBOIDE

AREA DEL ROMBOIDE__ _________________________________________

207

razamos dos trapecios congruentes

y los recortamos, identificando la

base mayor de uno y la base menor

del otro y en ambos casos su altura, como

se muestra en la siguiente figura.

Con los dos trapecios recortados,

formamos un romboide.

El romboide, tiene como base “B + b” y

como altura h, por lo tanto el área del

romboide equivale a (B + b)h; y, como el

área de cada trapecio equivale a la mitad

del área del romboide, entonces, para

obtener el área del trapecio, se deduce

que:

2)( hbBA +=

T

ÁREA DEL TRAPECIO

AREA DEL TRAPECIO_ _________________________________________

208

razamos un rombo con sus

diagonales y lo recortamos en sus

cuatro triángulos.

Marcando con D la diagonal mayor (línea

vertical del rombo, eje de simetría vertical,

etcétera) y con d la diagonal menor (línea

menor del rombo, eje de simetría

horizontal, etcétera), se forman cuatro

triángulos que

miden de base la mitad de d, y de altura la

mitad D, de y con ellos se forma un

rectángulo.

Nótese que el rectángulo tiene de base d y

de altura 2D

Luego el área del rectángulo es 2

Dd

Y, por lo tanto, el modelo para obtener el

área de un rombo es:

2DdA =

T

ÁREA DEL ROMBO

AREA DEL ROMBO__ _________________________________________

209

e traza un rectángulo y una de sus

diagonales, formándose dos

triángulos. Se recortan

superponiendo uno sobre otro con el

propósito de comprobar que los triángulos

son iguales.

También se puede utilizar un romboide, a

partir de un punto cualquiera del lado

mayor del romboide, se trazan segmentos

a los extremos de la base, formándose un

triángulo en el centro (3) y dos más

pequeños a los lados de este (1 y 2). Se

recortan los triángulos y con ellos (1 y 2)

se forma el triángulo (3), y con ello

comprobamos que el triángulo 3 equivale a

la mitad del área del romboide.

Como el área del rectángulo o del romboide

se calcula con la fórmula A = bh y el área

del triángulo equivale a la mitad

del área mencionada, entonces su área se

obtiene con el modelo:

2bhA =

Compruebe que se pueden utilizar

cuadriláteros irregulares para explicitar el

modelo obtenido para el cálculo del área del

triángulo

S

ÁREA DEL TRIÁNGULO

AREA DEL TRIANGULO__ _________________________________________

210

razamos un polígono y los

segmentos que unen los vértices con su

centro; formándose tantos triángulos como

lados tienen el polígono. En uno de los

triángulos de marca la altura y se identifica

como el "apotema" del polígono.

Marcamos con “l” cada lado del polígono

anterior y también lo dividimos en

triángulos.

Recortamos los dos polígonos; recortamos

los triángulos que se forman en los

polígonos, y con ellos formamos un

romboide.

Como el área del romboide es bh y esta es

igual al pa (p = perímetro y a = apotema);

entonces el área del polígono equivale a la

mitad del área del romboide; por lo tanto, el

modelo para obtener el área de cualquier

polígono es:

2paA =

T

ÁREA DE POLÍGONOS REGULARES

211

razamos una circunferencia y el

diámetro de la misma.

Concluir que el diámetro cabe tres veces y

una fracción en la circunferencia, y que

esta relación se representa con la

constante π cuya lectura es "Pi" y su

equivalencia es 3.1415... como se

muestra en el siguiente esquema:

La medida de la circunferencia se obtiene

multiplicando el valor de la constante

(3.1415...) por la medida del diámetro.

C = πd

El diámetro equivale a dos veces la medida

del radio, por lo tanto:

C = 2π r

El perímetro del círculo equivale a la medida

de la circunferencia.

P = 2π r = C

La circunferencia se identifica como un

polígono de número indefinido de lados; en

este caso, el perímetro es la medida de la

circunferencia, y el apotema la del radio.

2paA = p = 2πr

a = r

Entonces:

Y por lo tanto, el perímetro de la

circunferencia se obtiene con el modelo:

P = 2� r

Y el área del círculo se obtiene con el

modelo:

A = �r2

T

ÁREA DEL CÍRCULO

AREA DEL CIRCULO__ _________________________________________

212

ara que los alumnos comprendan

con claridad las diversas

propiedades de los triángulos y

paralelogramos, antes de efectuar

cualquier demostración, se recomienda

primero comprobarlas por medio de

recorte, doblado y superposición, de

manera que el alumno comprenda de

manera intuitiva cada propiedad y después

pase a la abstracción, es decir, a la

demostración formal.

Es conveniente manejar demostraciones

sencillas y poco rigurosas, de manera que

estén al alcance total de los estudiantes.

En las siguientes páginas mostramos

ejemplos donde solo se presentará el

material lo más objetivo posible para

comprobar intuitivamente las propiedades,

sin olvidar que en el desarrollo con los

alumnos debemos manejar las etapas

objetiva, figurativa y simbólica.

En el primer ejemplo, presentaremos los

tres casos del triángulo a fin de dar una

idea completa sobre este proceso.

P

PROPIEDADES DE LOS TRIÁNGULOS Y PARALELOGRAMOS

PROPIEDADES DE LOS TRIANGULOS Y PARALELOGRAMOS_________________

213

COMPROBACIÓN INTUITIVA

Trazamos el triángulo ABC.

Marcamos los ángulos interiores.

Trazamos la altura CD.

Recortamos el triángulo ABC.

Superponemos el vértice

C sobre el D

Doblamos los ángulos A y

B de forma que sean

adyacentes al ángulo C.

Los ángulos A, B y C forman un ángulo

colineal.

∠A + ∠ B + ∠ C = 1800

EJEMPLOS ILUSTRADOS

stos ejemplos, permiten al alumno

tener una idea clara de los que va a

demostrar formalmente.

COMPROBACIÓN FORMAL

Trazamos el ∆ABC.

Trazamos el segmento CD paralelo al

lado AB del triángulo.

Sean a, b, c, los ángulos interiores del

triángulo.

Marcamos con d y e los ángulos

adyacentes a c.

Analice el siguiente esquema

a) Los ángulos d, c y e forman un

ángulo colineal, por lo que:

∠ d + ∠ c + ∠ e = 1800

b) ∠ a = ∠ d y ∠ b = ∠ e por ser

alternos internos entre paralelas.

c) Como toda cantidad puede ser

sustituida por su igual, tenemos que:

∠ a + ∠ b + ∠ c = 1800 E

LOS ÁNGULOS INTERIORES DE UN TRIÁNGULO SUMAN 180O

LOS ANGULOS INTERIORES DE UN TRIANGULO SUMAN 180O_______________

214

Trazamos el triángulo ABC y

marcamos con a, b, c, los ángulos

interiores.

Trazamos el ángulo exterior

adyacente a c y lo marcamos con d.

Recortamos la figura.

Recortamos los ángulos a y b.

Con los ángulos a y b formamos el

ángulo d.

Analice el siguiente esquema:

Note que al superponer los ángulos A y B

sobre D, equivalen al ángulo “D”, como se


Con esta demostración, queda comprobado

que

"El ángulo exterior de todo triángulo

equivale a

la suma de los dos interiores no

adyacentes a él".

EL ANGULO EXTERIOR DE UN TRIÁNGULO EQUIVALE A LA SUMA DE LOS DOS

INTERIORES NO ADYACENTES A EL.

EL ANGULO EXTERIOR DE UN TRIANGULO EQUIVALE A LA SUMA DE LOS DOS INTERIORES NO ADYACENTES A EL_________________________________

215

Se trazan dos paralelogramos congruentes

y se marcan sus diagonales.

Se recortan los dos paralelogramos.

Uno de ellos se fija a una hoja y el otro se

superpone a él, de tal forma que coincidan

en la intersección de las diagonales.

La intersección de las diagonales se usa

como centro de rotación.

Se efectúa una rotación de 1800.

Con esta rotación, se comprueba que en

todo paralelogramo:

a) Los lados opuestos son

congruentes.

b) Los ángulos opuestos son

congruentes.

c) Las diagonales se bisectan

mutuamente.

Concluimos, que por formar un ángulo

colineal, los ángulos contiguos de un

paralelogramo son suplementarios, como se


LOS LADOS DE UN PARALELOGRAMO SON CONGRUENTES

LOS LADOS DE UN PARALELOGRAMO SON CONGRUENTES________________

216

Trazamos un rombo y marcamos sus

diagonales.

Recortamos el rombo

Sobre las diagonales, mediante dobleces,

formamos cuatro triángulos, de tal forma

que queden superpuestos uno sobre otro.

Observamos que los cuatro triángulos son

congruentes, por lo tanto, las diagonales

se intersectan formando ángulos

congruentes; concluyendo que:

"Las diagonales de de un rombo, son

perpendiculares"

LAS DIAGONALES DE UN ROMBO SON PERPENDICULARES

LAS DIAGONALES DE UN ROMBO SON PERPENDICULARES_________________

217

Trazamos dos rectángulos congruentes

entre sí.

En cada uno de ellos marcamos una

diagonal, de tal forma que tengan la

misma dirección

Recortamos los rectángulos

Superponemos uno sobre otro para

comprobar que las diagonales son

congruentes.

Fijamos uno de los rectángulos.

El otro, lo hacemos girar 1800 en el espacio

y lo superponemos en el primero.

Observamos que:

1. Se marcan las dos diagonales del

rectángulo, y por tanto:

"Las diagonales de un rectángulo son

congruentes"

LAS DIAGONALES DE UN RECTÁNGULO SON CONGRUENTES:

LAS DIAGONALES DE UN RECTANGULO SON CONGRUNTES_________________

218

Se traza un cuadrado, lo recortamos y

mediante dobleces comprobamos que

cumple con todas las propiedades

mencionadas.

PROPIEDADES DEL CUADRADO

PROPIEDADES DEL CUADRADO______________________________________

219

Es conveniente que antes de pasar a

deducir las relaciones entre los ángulos y

los arcos que subtienden, se identifique sin

dificultad los diferentes ángulos en el

círculo.

ANGULO CENTRAL

Para comprobar la relación que existe entre

el ángulo central y el arco que subtiende,

hacemos lo siguiente:

a) Trazamos una circunferencia (figura del

lado derecho)

b) La recortamos.

c) La doblamos en dos partes y observamos

que el diámetro forma un ángulo central,

como se muestra al final de la

demostración

d) El ángulo central es colineal, es decir,

mide 1800; el arco que subtiende es la

mitad de la circunferencia,

por lo también mide 1800,

(ibid)

e) Se dobla en cuatro partes

iguales, el ángulo central

forma un ángulo recto, es decir, de 900, y

el arco que subtiende es la cuarta parte de

la circunferencia.

f) Se realiza la misma actividad, doblando en

ocho partes iguales (ibid)

Se concluye que:

"El ángulo central tiene por medida la

misma del arco que subtienden sus

lados"

RELACIONES ENTRE LOS ÁNGULOS EN EL CÍRCULO Y LOS ARCOS QUE LO

SUBTIENDEN

RELACIONES ENTRE LOS ANGULOS EN EL CIRCULO Y LOS ARCOS QUE LOS SUBTIENDEN____________________________________________________

220

Trazamos una circunferencia y marcamos

el ángulo inscrito ABC, como se muestra en


Trazamos otra circunferencia y calcamos el

ángulo inscrito, marcando el ángulo central

AOC, tal que subtienda el ángulo inscrito,


Recortamos el ángulo central ADC.

Por superposición lo comparamos con el

ángulo inscrito y observamos que no son

congruentes.

El ángulo central lo doblamos en dos

partes iguales y lo superponemos en el

ángulo inscrito.

El ángulo inscrito tiene por medida la mitad

del ángulo central, como se puede advertir

en el siguiente esquema:

Por lo tanto, concluimos:

"El ángulo inscrito tiene por medida la

mitad del ángulo subtendido por sus

lados"

Una vez realizada la comprobación objetiva,

se pasará a la demostración formal; en

ambos casos se recomienda utilizar una serie

de cuestionamientos que orienten a los

alumnos para completar el desarrollo de

ambos procesos.

De la misma manera, se procederá en las

actividades del ángulo semi-inscrito inferior y

exterior.

ANGULO INSCRITO

ANGULO INSCRITO_______________________________________________

221

Se traza el ángulo semi-inscrito y el ángulo

central que subtienden a la misma cuerda.

Se recorta el ángulo central, lo doblamos a

la mitad y lo superponemos sobre el

ángulo semi-inscrito

Se comprueba que el ángulo semi-inscrito

equivale a la mitad del ángulo central.

Conclusión:

"El ángulo semi-inscrito tiene por

medida la mitad del arco subtendido por

su cuerda"

ANGULO SEMI-INSCRITO

ANGULO SEMI-INSCRITO______________________________________

222

Se trazan el ángulo interior y los ángulos

centrales que subtienden los mismos arcos.

Se recortan los ángulos centrales y se

pegan de tal forma que sean adyacentes.

El ángulo formado, representa la suma de

de los ángulos centrales.

Al superponerlo sobre el ángulo interior,

como se muestra en la siguiente figura,

comprobamos que este equivale a la mitad

de la suma de los ángulos centrales.

Conclusión:

"El ángulo interior equivale a la

semisuma de los arcos comprendidos

por sus lados"

ANGULO INTERIOR

ANGULO INFERIOR________________________________________________

223

Se trazan el ángulo exterior y los ángulos

centrales que subtienden los mismos arcos.

Recortamos los ángulos centrales.

Superponemos el menor sobre el mayor,

de tal forma que coincidan en el vértice y

uno de los lados.

La parte del ángulo mayor que no queda

cubierta por el menor equivale a la

diferencia de los ángulos.

Se recorta la diferencia y se dobla a la

mitad; al colocarlo sobre el ángulo exterior,

comprobamos que éste equivale a la

semidiferencia de los ángulos centrales.

Conclusión:

"El ángulo exterior equivale a la

semidiferencia de los arcos subtendidos

por sus lados"

ÁNGULO EXTERIOR

ANGULO EXTERIOR______________________________________

224

1. El principio fundamental de adaptar la

enseñanza y la educación a las capacidades

e intereses de los educandos, se aplica a

todas las edades.

2. El alumno es quien debe buscar y

construir su propio proceso de aprendizaje.

3. Cuando los alumnos se empiezan a

interesar por las interrogantes de cómo y

por qué, es necesario orientarlos para que

ellos mismos busquen sus respuestas.

4. Las actividades propuestas por el

profesor deben provocar y sostener el

interés de los estudiantes, quienes deben

participar en forma directa y activa.

5. El fomento de la intuición, tiene como

fin, el preparar al alumno para el estudio

racional de la Geometría y para fomentar

una mente abierta y perceptiva.

6. El considerar como origen lo concreto,

tiene un carácter descriptivo y

constructivo.

7. El carácter del material es operativo,

debe ejercitar las facultades sintéticas y

analíticas.

8. La enseñanza de la Matemática, además

de servir como herramienta para resolver

problemas de la vida, o como una

información o formación que sirva de

antecedentes para estudios posteriores, tiene

como uno de sus objetivos fundamentales el

"cultivar" la capacidad de pensar en forma

matemática y lógica como elementos

esenciales del desenvolvimiento integral de

los educandos.

9. No olvidar que en la enseñanza básica, no

se están formando matemáticos, sino que se

están formando seres humanos, que

pretendemos sean racionales, honestos,

responsables, respetuosos, críticos,

solidarios, sensibles, felices, etcétera.

10. Lograr cambios positivos en la enseñanza

de la Matemática, significa un gran reto que

debemos afrontar con medidas eficaces,

mediante el diseño del modelos de

enseñanza que permitan aprenderla,

aplicarla y adoptar una actitud segura y

entusiasta al estudiarla.

CONCLUSIONES FINALES

CONCLUSIONES FINALES______________________________________

225

El principio de Cavalieri y sus

aplicaciones2

Principio de Cavalieri3

Si dos cuerpos tienen la misma altura

y al cortarlos por planos paralelos a

sus bases se obtienen figuras con la

misma área, entonces tienen el mismo

volumen.

2 Rivaud Morayata, Juan José. Profesor titular del Departamento de Matemáticas del CIEA del Instituto Politécnico Nacional 3 Bonaventura Cavalieri (1598 - 1647) De la `A Calzón Cuenta de la Historia de Matemática ' (4 edición, 1908) por W. W. Despierte Pelota. Casi contemporáneamente con la publicación en 1637 de Descartes ' la geometría, los principios del cálculo íntegro, hasta ahora cuando ellos se preocupan por suma, estaba funcionándose en Italia. Esto fue efectuado por lo que se llamó el principio de indivisibles, y era la invención de Cavalieri. Fue aplicado por él y sus contemporáneos a numerosos problemas conectados con la cuadratura de curvas y superficies, la determinación en volúmenes, y las posiciones de centros de masa. Sirvió el mismo propósito como el método tedioso de agotamientos usado por los griegos; en principio los métodos están el mismo, pero la anotación de indivisibles es más concisa y conveniente.

MEDICIÓN DE CAPACIDAD Y VOLUMEN

MEDICION DE CAPACIDAD Y VOLUMEN________________________________

226

EL VOLUMEN DE LA PIRÁMIDE4

Consideremos una pirámide como se

muestra en la siguiente figura. Tomemos

como base al triángulo A, B, C y llamemos

h a la altura correspondiente; es decir, a la

distancia del vértice D al plano

determinado por los puntos A, B y C.

Desde la educación primaria aprendemos

que el volumen de la pirámide está dado

por el modelo (fórmula):

pero, ¿estamos convencidos de ello?

O bien este esquema:

4 Rivaud Morayata, Juan José. Geometría Intuitiva 2, áreas, volúmenes y centros de gravedad, Ed. Limusa, México 1996, Pp. 11 – 40

Pensemos en varias pirámides con la misma

base y altura. ¿No crece o decrece el

volumen cuando tomamos pirámides más y

más inclinadas? ¿Todas ellas, efectivamente,

tiene el mismo volumen?

Empecemos por convencernos que si dos

pirámides con base triangular tienen bases y

alturas iguales, entonces su volumen son

igual.

Para ello, primero estudiemos qué pasa

cuando cortamos una pirámide triangular por

medio de un plano paralelo a la base, como



227

Las pirámides de bases ABC y A’B’C’ y

vértice común D son proporcionales pues,

por tener lados paralelos, las siguientes

parejas de triángulos:

∆ABC y ∆A’B’C’ ∆BCD y ∆B’C’D

∆ABD y ∆A’B’D ∆ACD y ∆A’C’D

∆CED y ∆C’E’D

son semejantes y, por lo tanto, tenemos

que:

ACCA

BCCB

ABBA '''''' ==

CDDC

BDDB

BCCB '''' ==

CDDA

BDDB

ABBA '''' ==

CDC

ADDA

ACCA '''' ==

hh

EDDE

CDDC

CEEC ''''' ===

que en resumen nos da:

hh

EDDE

CDDC

BDDB

ADDA

ACCA

BCCB

ABBA ''''''''''' =======

lo que en particular, nos dice que los lados

del triángulo A’B’C’ están relacionados con

los lados del triángulo ABC como sigue:

ABhhBA '' = , BC

hhCB ''' = y

AChhCA ''' =

De esta observación deducimos

inmediatamente que:

“Si dos pirámides triangulares tienen la

misma base y alturas iguales, entonces al

cortarlas por medio de un plano paralelo al

de la base. Los dos triángulos que

obtenemos tienen su lados iguales y por lo

tanto, son iguales” (ver la siguiente figura)


228

Pues aplicando las relaciones anteriores a

ambas pirámides, tenemos:

''''''' BAABhhBA ==

''''''' CBBChhCB ==

''''''' CAAChhCA ==

Convenzámonos ahora de que ambas

pirámides tienen el mismo volumen. Para

ello, pensemos que cada una de ellas está

hecha de laminillas muy delgadas, pero todas

del mismo grueso, como se muestra en la

siguiente figura:

Para cada altura inmediata, por lo que

acabamos de ver, las laminillas


229

correspondientes en una y otra pirámide

son iguales y por lo tanto tienen el mismo

volumen. Como esto sucede para cada una

de las laminillas en una y otra pirámide,

ambas pirámides tienen el mismo volumen.

Más tarde, en la sección 1.7, damos un

argumento mucho más preciso, pero

también más complicado para justificar

esto mismo; pero por el momento, le

pedimos al lector quedarse conforme y

seguir adelante.

Sabiendo que si dos pirámides triangulares

tienen bases y alturas iguales, entonces

tienen el mismo volumen; pasemos a

demostrar que este volumen efectivamente

es:

Dado un triángulo ABC y una altura h

consideremos el prisma recto con dicho

triángulo como base y h como altura como


Sabemos que el volumen del prisma está

dado por

Vol. Prisma = Área ∆ABC x h.

Ahora el prisma en tres pirámides, cada una

de ellas con vértices

ABCF, AFDE Y AFDC

Como se muestra en la siguiente figura:

Estas tres pirámides tienen el mismo

volumen; la primera y la segunda porque si

tomamos como base de cada una de ellas los

triángulos ABC y EFD, y alturas los

segmentos BF y AE, tienen bases y alturas

iguales y por lo tanto, volúmenes iguales. La

segunda y la tercera porque si tomamos

como base los triángulos AED y ACD, éstos

son iguales (cada uno es la mitad del

rectángulo AEDC) y como vértice F es

común, sus alturas también son iguales. Por

lo tanto, el volumen del prisma es igual a


230

tres veces el volumen de la pirámide ABCF,

o sea,

Vol. Pirámide = 31

Vol. Prisma

que sabemos es el mismo para todas las

pirámides triangulares con bases y alturas

iguales.

Para pirámides que tengan como base

otros polígonos, sabemos que la misma

fórmula es válida, pues al partir la base en

triángulos se forman pirámides

triangulares, todas ellas con la misma

altura, para las cuales la fórmula es válida,


Área del polígono = Área T1 + Área T2 +

Área T3

Para conos, ya sean rectos u oblicuos,

también la fórmula anterior nos da el

volumen. La razón para ello nos la

proporciona el recordar que, si inscribimos

polígonos regulares en un círculo de un

número cada vez mayor de lados, las áreas

de éstos cada vez se aproximan más y más

al área del círculo, como se muestra en la

siguiente figura:

y análogamente los volúmenes de las

pirámides correspondientes cada vez se

aproximan más y más al volumen del cono,


En los albores de la Geometría griega,

trescientos años antes de Euclides,


231

Demócrito aportó los razonamientos que

acabamos de exponer.

1.2.EL PRINCIPIO DE CAVALIERI

La idea de las laminillas usadas para

argumentar que dos pirámides con bases

y alturas iguales tienen el mismo volumen

sugiere el principio general que enunció

Bonaventura Cavalieri, a principio del

siglo XVII, y que a continuación se

describe.

Principio de Cavalieri para cuerpos:

Consideremos dos cuerpos con la misma

altura, situados sobre un plano IP. Si para

cada altura intermedia el plano paralelo a

IP correspondiente a dicha altura corta a

uno y otro cuerpo en secciones con la

misma área, entonces los dos cuerpos

tienen el mismo volumen como se muestra


FIGURA 11

(Insistimos en que las áreas de S1 y S2

tienen que ser iguales para todas y cada

una de las alturas intermedias).

Para figuras planas, tenemos también la

versión correspondiente a este principio.

Principio de Cavalierri para figuras planas:

Consideremos dos figuras planas situadas

sobre una recta L. Si para cada altura

intermedia la recta paralela a L

correspondiente a dicha altura corta a una y

otra figura en secciones con la misma

medida, entonces las dos figuras tienen la

misma área, como se muestra en la siguiente

figura.

(fig. 12)

La justificación del Principio de Cavalieri,

tanto para cuerpos como para figuras planas,

es lo mismo como en el caso de las

pirámides. Pensemos que ambos cuerpos (o

figuras), están hechos a base de laminillas

sumamente delgadas todas ellas del mismo

espesor, si en cada altura intermedia, en uno

y otro cuerpo (o figura), tiene la misma

medida, ambas laminillas ocuparán espacios

iguales y por ello ambos cuerpos (o figuras)

también ocuparán el mismo espacio.

El Principio de Cavalieri le da nueva vida a

las fórmulas conocidas. Por ejemplo, la

fórmula para calcular el volumen de un

prisma (Vol. = Área de la base x la altura);

también nos sirve para calcular los

volúmenes de muchos otros cuerpos, todos

los que, al igual que en un prisma, en cada

altura intermedia tienen secciones con la

misma área que la base, como se muestra en



232

Vol. = área de la base x h

Para otras fórmulas de volúmenes o áreas

de figuras planas la situación es la misma

como la ilustran las siguientes figuras:

Esencialmente es siguiendo esta idea como

aplicamos el Principio de Cavalieri. La

dificultad consiste en encontrar figuras

simples con las cuales poder comparar, en

cada altura intermedia, el cuerpo (o la figura

plana) del que deseamos conocer el volumen

(o área). Las siguientes secciones ilustran

este punto.


233

1.3.EL VOLUMEN DE LA ESFERA

Para encontrar el volumen de una esfera

de radio r primero calcularemos el volumen

de media esfera. Para ello, consideremos,

además de la media esfera, un cilindro de

radio r y altura también r, y dentro de

este un cono con la misma base y altura r

Aplicando el Principio de Cavalieri,

demostraremos que el volumen de la

media esfera es igual al volumen

comprendido entre el cilindro y el cono,

luego,

Vol. = 21

Esfera = Vol. Cilindro – Vol.

Cono,

Y ya que sabemos que

Vol. Cilindro = Área base x altura = �r2 x

r = �r3

Y

Vol. Cono =

Tendremos que

Vol. 21

Esfera = �r3 - 31

�r3 = 32

�r3

O sea,

Vol. Esfera = 34

�r3

Obteniendo así la fórmula deseada.

Pasemos, pues, a probar que los dos cuerpos

de la figura anterior (media esfera y cono

inscrito en el cilindro) satisfacen el principio

de Cavalieri. Para ello consideremos un plano

paralelo al de las bases, a una altura h, como


La intersección de la media esfera, con este

plano, nos da un círculo cuyo radio

calculamos usando el teorema de Pitágoras,


De donde:

p2 + h2 = r2

Que implica:

p2 = r2 - h2

O sea:

p = 22 hr −

Por lo tanto, el área de la sección de la

media esfera a la altura h es:


234

Área sección = 21

esfera = �p2 = �(r2 –

H2)

La intersección del segundo cuerpo es una

corono circular, cuyo radio exterior es r y

el interior es precisamente h, como se


Por lo tanto el área de la corona circular es

la diferenta de las áreas de ambos círculos,

o sea:

Área Corona = �r2 – �h2 = �(r2 – h2)

Luego, ambas secciones tienen áreas

iguales, como queríamos probar y por lo

tanto el modelo (fórmula) obtenida para el

volumen de la esfera es correcta.

El trabajo que acabamos de realizar

también nos sirve para calcular el volumen

de la media esfera de radio r a la que le

hemos quitado un casquete, cortándola por

medio de un plano paralelo a su base a una

altura a y al que llamaremos “cuerpo I”,


Por el mismo argumento que dimos para la

esfera y el cilindro al que le quitamos el

cono, sabemos que estos dos cuerpos

también satisfacen el Principio de Cavalieri,

por lo que sus volúmenes son iguales, o sea:

Vol. Cuerpo I = Vol. Cuerpo II

Pero el volumen del Cuerpo II es igual a la

diferencia entre el volumen de un cilindro

cuya base tiene radio r y su altura es a y de

un cono cuya base tiene radio a y cuya altura

es a, luego:

El conocer este modelo (fórmula) nos

permite además calcular el volumen de un

casquete de altura b en una esfera de radio

r, como se muestra en la siguiente figura:

El volumen de dicho casquete será igual al

volumen de media esfera menos el volumen

del Cuerpo I con altura a = (r – b), o sea:


235

Que después de hacer las simplificaciones

algebraicas correspondientes, nos da:

Nosotros hemos reducido el modelo

(fórmula) para b ≥ r, pero también es

válida para toda b ≥ 0 ó = 2r.

EJERCICIO

En un círculo de radio R tomemos un

segmento circular y llamemos r a la mitad

de la longitud de la cuerda que lo

determina, como se observa en el siguiente

esquema:

Al girar el segmento, tomando como eje de

rotación el diámetro del círculo paralelo a

la cuerda, obtenemos un cuerpo parecido a

un brazalete, como se muestra en la

siguiente figura:

Demuestre usted que el volumen de ese

“brazalete” es:

¡Note que no depende del radio R!

Sugerencia: Demuestre que el “brazalete” y

una esfera de radio r satisfacen el Principio

de Cavalieri, como se muestra en la siguiente

figura:


236

1.4.EL VOLUMEN DE LA

INTERSECCIÓN DE DOS

CILINDROS

En esta sección aplicaremos el Principio de

Cavalieri para calcular el volumen de la

intersección o parte común de dos cilindros

rectos de radio r y cuyos ejes son

perpendiculares, como se muestrea en la

siguiente figura:

Para llevar a cavo dicho cálculo,

procederemos en forma similar a como

hicimos en el caso del volumen de la

esfera; pero, primero, haremos dos

observaciones para familiarizarnos un poco

más con el cuerpo en cuestión, al que

denotaremos por A, como se muestra en la

siguiente figura:

1. El plano determinado por los ejes de

ambos cilindros corta el cuerpo A en un

cuadrado cuyo lado es el diámetro de los

cilindros, o sea, 2r, como lo muestra la

primer figura de esta sección.

2. Un plano paralelo al determinado por

los ejes de los cilindros, a una distancia de

éste menor que r, intercepta al cuerpo A en

un cuadrado cuyo lado tiene la misma

longitud que la cuerda que se obtiene al

cortar dicho plano en la base de cualquiera

de los dos cilindros, como lo muestra la

figura anterior.

Procederemos ahora de manera similar que

con la esfera. Consideremos la mitad del

cuerpo A que queda por encima del plano

determinado por los diámetros de los

cilindros y comparémoslo con un prisma

recto de altura r y base un cuadrado de lado

2r y al que le hemos quitado una pirámide de

igual base, como lo muestra la siguiente

figura:


237

Probemos que estos dos cuerpos cumplen

con el Principio de Cavalieri; para ello

consideremos un plano paralelo al de la

base a una altura h como lo muestra la

siguiente figura:

El área del cuadrado es:

4(r2 – h2) = 4r2 – 4h2

Para el segundo cuerpo, el área de la

sección es la diferencia de las áreas de los

cuadrados, es decir:

Se cumple el Principio de Cavalieri, por l

tanto:

21

Vol. A = Vol. Prisma – Vol. Pirámide =

(2�r2) x r - 338

3

34343

*2)2(r

rr

rr=−=

que implica:

Vol. A = 33

16r

Modelo (fórmula) que resuelve nuestro

problema.

EJERCICIO:

Considere EL cuerpo formado por dos

cilindros, ambos de radio r, cuyos ejes se

interceptan perpendicularmente y tales que

las tapas de cada uno de ellos son tangentes

al otro, como se muestra en la siguiente

figura:

Calcule su volumen


238

1.5. EL VOLUMEN DE UNA LLANTA

O “TORO”

Tenemos un círculo C en el mismo plano

que una recta L que no lo corte, como

muestra la siguiente figura:

El cuerpo que describe el círculo al hacer

girar el plano sobre la recta L, recibe el

nombre de “toro” (y en palabras comunes

es algo así como una llanta), como

muestra la siguiente figura:

En esta sección nos proponemos a aplicar

una vez más el Principio de Cavalieri para

calcular el volumen del toro.

Antes que nada denotaremos por r1 al radio

del círculo C y por r2 la distancia del centro

de C a la recta L y a una distancia h del

centro del círculo: la sección que obtenemos

tiene la forma de una corona cuyo radio

exterior es:

r2 + 221 hr −

y el interior es:

r2 - 22

1 hr −

Como lo muestra la siguiente figura:

Y por lo tanto su área es:

�[ r2 + 221 hr − ] – �[r2 -

221 hr − ] =

= �� r22 + 2r2

221 hr − + h2 – r2] - ��

r22 - 2r2

221 hr − + h2 – r2]

= 4�r2 22

1 hr −

Un cuerpo que tiene la misma altura y

secciones con la misma área es un cilindro

como el que se muestra en la siguiente

figura:


239

Claramente, la altura h tiene como sección

un rectángulo con esa misma área: por el

Principio de Cavalieri, los volúmenes de

ambos cuerpos son iguales y ya que el de

cilindro es:

Vol. Cilindro = Área de la base x altura =

�r12 x 2�r2 = 2�r1

2r2’

Hemos obtenido el modelo (fórmula) para

el volumen del toro.

Con un poco de ingenuidad, este modelo

podría parecernos “demasiado natural”,

pues si pensamos que el cilindro es de un

material flexible, tal como un trozo de

manguera, y lo curvamos hasta unir las

dos tapas, nuestra experiencia nos dice

que el volumen no ha cambiado, pues lo

podemos hacer con la manguera llena de

agua y no notamos que se infle o desinfle,


Obteniéndose de esta forma el modelo

(fórmula) de arriba; lo que ocurre es que el

cilindro “flexible” fue estirado en la “mitad”

exterior y comprimido en la interior, y es

interesante el hecho de que el volumen

ganado al estirar la “mitad” exterior sea el

mismo que se pierde al comprimir la “mitad

interior, tal como se muestra en la siguiente

figura:

A continuación calculamos el volumen que

ocupa la “mitad” exterior:

Dicha mitad la podemos conseguir

similarmente a como obtuvimos todo el toro,

pero ahora tenemos que fijarnos únicamente

en la media circunferencia, como se indica en



240

A una altura h, la sección es también una

corona circular cuyo radio exterior es

r2+22

1 hr − y el interior es r2, por lo tanto

el área de la sección a esta altura h es:


medición y cálculo geométrico 15 - ensjmensech.edu.mx/documentos/antologias/par/semestre...

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