medidas relacionadas con solidos
TRANSCRIPT
MEDIDAS RELACIONADAS CON SOLIDOS
Medida de la masa de un cuerpo
Medida del volumen de un cuerpo irregular
Cálculo de la densidad
Actividades
La balanza es un instrumento básico en el laboratorio de Física. Hay muchos tipos de balanzas, la que simularemos en el programa interactivo es una de las más sencillas de manejar.
Para pesar un determinado objeto, se desplazan masas calibradas a lo largo de cuatro rieles y se fijan en posiciones etiquetadas. Las divisiones en los cuatro rieles de las balanzas del laboratorio de Física de la E.U.I.T.I. de Eibar son las siguientes:
de 100 g hasta 200 g de 10 g hasta 100 g de 1 g hasta 10 g de 0.1 g hasta 1 g.
Medida de la masa de un cuerpo
En el programa interactivo la balanza solamente aprecia gramos, el error que se comete en una medida es 1 g. Por ejemplo, si se ha pesado un cuerpo y de la lectura de los indicadores de la balanza se ha obtenido la cifra de 234. La medida del peso de dicho cuerpo se expresa como
234 1 g
Véase las reglas para expresar una medida y su error
Medida del volumen de un cuerpo irregular
Para medir la densidad de un cuerpo es necesario conocer su masa y su volumen.
Si el cuerpo es irregular, no podemos calcular su volumen de forma directa. Pero podemos calcularlo indirectamente aplicando el principio de Arquímedes.
"Todo cuerpo sumergido en un fluido experimenta un empuje igual al peso del
volumen de líquido desalojado"
Sumergiendo completamente el cuerpo en agua, el peso del cuerpo disminuye debido al empuje. Lo que nos marca la balanzaF’ es igual a la diferencia entre el peso P y el empuje E.
F’=P-E.
Si el fluido es agua, cuya densidad es la unidad, el peso en gramos coincide numéricamente con el volumen medido en centímetros cúbicos.
El empuje es igual a la diferencia F-F’ entre lo que marca la balanza antes y después de sumergir el cuerpo en agua e igual numéricamente al volumen del cuerpo en centímetros cúbicos.
V=F-F’
Error en la medida del volumen.
De las fórmulas de los errores en las medidas indirectas se obtiene que el error de una diferencia
Como F=F’=1 , se obtiene que V=1.41 cm3 . Expresando el error con una sola cifra significativa (regla 2), V=1 cm3
Cálculo de la densidad del cuerpo sólido
Se define la densidad como el cociente entre la masa y el volumen de un cuerpo.
De las fórmulas de los errores en las medidas indirectas, se obtiene que el error de un cociente
donde m=V=1.
Una vez obtenidas las medidas de m y de V, se calcula , mediante la fórmula anterior.
Ejemplo:
Se va a medir la densidad del cobre
1. Pulsando el botón titulado Peso, se genera una pieza hecha de cobre de masa y volumen desconocido.
Con la balanza medimos su masa: m=410 1 g.
2. Pulsamos el botón titulado Volumen y el cuerpo se sumerge en agua
Efectuamos una nueva medida con la balanza m’=364 g El volumen es numéricamente igual al empuje, la diferencia entre ambas medidas.V=410-364=46 1 cm3
3. Cálculo de la densidad
4. La densidad se expresa
=8.9 0. 2 g/cm3
Finalmente, comparamos el valor calculado con el proporcionado por el programa interactivo pulsando el botón titulado Respuesta.
Actividades
Para medir el peso de un cuerpo se pulsa sobre el botón titulado Peso. Se desplazan las flechas a lo largo de las guías actuando con el ratón. Se pulsa el botón izquierdo del ratón cuando el puntero está sobre una flecha, se arrastra el ratón, la flecha se desplaza automáticamente a la siguiente posición sobre la guía. Se deja de pulsar el botón izquierdo del ratón, cuando la flecha está situada en la marca deseada.
La balanza está equilibrada cuando el brazo está en posición horizontal y la flecha azul
apunta a la marca roja situada a su derecha. El mismo procedimiento se emplea para medir el volumen.
Se selecciona una sustancia en el control selección titulado Material. Se pulsa el botón titulado Peso. Medir el peso del cuerpo Se pulsa el botón titulado Volumen. Se mide el volumen del cuerpo, hallando
la diferencia de las medidas de los pesos del mismo cuerpo antes y después de sumergirlo en agua.
Se calcula la densidad y el error en la medida de la densidad, expresando correctamente la medida, el error y la unidad de medida.
Densidad = g/cm3
Finalmente, se compara el resultado obtenido con el valor de la densidad del cuerpo pulsando el botón Respuesta.
CIRCULOS Y SEGMENTOS ASOCIADOS
Trozos de círculos
Hay dos tipos de "trozos" de círculo:
Un trozo "de pizza" se llama sector.
Y un trozo marcado por una cuerda se llama segmento.
Sectores comunes
El cuadrante y el semicírculo son dos tipos especiales de sectores:
Un cuarto de círculo se llama cuadrante.
Medio círculo se llama semicírculo.
El área de un sector
Puedes calcular el área de un sector comparando su ángulo con el ángulo de un círculo completo.
Nota: aquí estoy escribiendo los ángulos en radianes.
Este es el razonamiento:
Un círculo tiene ángulo 2π y área πr2
Así que un sector con ángulo θ (en vez de 2π) debe tener área (θ/2π) × πr2
Esto se puede simplificar: (θ/2) × r2
Área del sector = ½ × θ × r2
= ½ × (θ × π/180) × r2 (si θ está en grados)
Longitud de arco de un sector o segmento
Razonando de la misma manera, la longitud de un arco (de un
sector o segmento) es:
Longitud de arco "L" = θ × r
= (θ × π/180) × r (si θ está en grados)
Área de un segmento
El área de un segmento es el área de un sector menos el trozo triangular (en el dibujo está en azul claro).
Calcular la fórmula lleva un rato, pero el resultado es una fórmula parecida a la del sector:
Área del segmento = ½ × (θ - sin θ) × r2
= ½ × ( (θ × π/180) - sin θ) × r2 (si θ está en grados)
TIPOS SOLIDOS PROPIEDADES Y CARACTERISTICAS DE LOS SOLIDOS
Agudo < 90° Recto = 90° Obtuso>90°
Convexo < 180° Llano = 180° Cóncavo > 180°
Nulo = 0º Completo = 360°
Negativo < 0º Mayor de 360°
Tipos de ángulos según su posición
Ángulos consecutivos
Á
n
g
u
l
o
s
c
o
n
s
e
c
u
ti
v
o
s
s
o
n
a
q
u
e
ll
o
s
q
u
e
ti
e
n
e
n
e
l
v
é
rt
ic
e
y
u
n
l
a
d
o
c
o
m
ú
n
.
Ángulos adyacentes
Á
n
g
u
l
o
s
a
d
y
a
c
e
n
t
e
s
s
o
n
a
q
u
e
ll
o
s
q
u
e
ti
e
n
e
n
e
l
v
é
rt
ic
e
y
u
n
l
a
d
o
c
o
m
ú
n
,
y
l
o
s
o
tr
o
s
l
a
d
o
s
si
t
u
a
d
o
s
u
n
o
e
n
p
o
l
o
n
g
a
ci
ó
n
d
e
l
o
tr
o
.
F
o
r
m
a
n
u
n
á
n
g
u
l
o
ll
a
n
o
.
Ángulos opuestos por el vértice
S
o
n
lo
s
q
u
e
t
e
ni
e
n
d
o
el
v
é
rt
ic
e
c
o
m
ú
n,
lo
s
la
d
o
s
d
e
u
n
o
s
o
n
p
r
ol
o
n
g
a
ci
ó
n
d
e
lo
s
la
d
o
s
d
el
o
tr
o.
L
o
s
á
n
g
ul
o
s
1
y
3
s
o
n
ig
u
al
e
s.
L
o
s
á
n
g
ul
o
s
2
y
4
s
o
n
ig
u
al
e
s.
Clases de ángulos según su suma
Ángulos complementarios
D
o
s
á
n
g
u
l
o
s
s
o
n
c
o
m
p
l
e
m
e
n
t
a
ri
o
s
si
s
u
m
a
n
9
0
°.
Ángulos suplementarios
D
o
s
á
n
g
u
l
o
s
s
o
n
s
u
p
l
e
m
e
n
t
a
ri
o
s
si
s
u
m
a
n
1
8
0
°.
Ángulos entre paralelas y una recta transversal
Ángulos correspondientes
L
o
s
á
n
g
ul
o
s
1
y
2
s
o
n
ig
u
al
e
s.
Ángulos alternos internos
L
o
s
á
n
g
ul
o
s
2
y
3
s
o
n
ig
u
al
e
s.
Ángulos alternos externos
L
o
s
á
n
g
ul
o
s
1
y
4
s
o
n
ig
u
al
e
s.
Ángulos en la circunferencia
Ángulo central
E
l án
gul
o
cen
tral
tien
e
su
vér
tice
en
el
cen
tro
de
la
circ
unf
ere
nci
a y
sus
lad
os s
on
do
sra
dio
s.
L
a
me
did
a
de
un
arc
o e
s la
de
su
áng
ulo
cen
tral
corr
esp
ond
ient
e.
Ángulo inscrito
E
l án
gul
o
ins
crit
o ti
ene
su
vér
tice
est
á
en
la
circ
unf
ere
nci
a y
sus
lad
os
son
sec
ant
es
a
ella
.
M
ide
la
mit
ad
del
arc
o q
ue
aba
rca
.
Ángulo semiinscrito
E
l vé
rtic
e d
e á
ngu
lo
se
mii
nsc
rito
est
á
en
la
circ
unf
ere
nci
a,
un
lad
o s
eca
nte
y el
otr
ota
nge
nte
a
ella
.
M
ide
la
mit
ad
del
arc
o
que
aba
rca
.
Ángulo interior
S
u v
érti
ce
es i
nte
rior
a la
circ
unf
ere
nci
a y
sus
lad
os
sec
ant
es
a
ella
.
M
ide
la
mit
ad
de
la
su
ma
de
las
me
did
as
de
los
arc
os
que
aba
rca
n
sus
lad
os
y
las
pro
lon
gac
ion
es
de
sus
lad
os.
Ángulo exterior
Su vértice es un punto exterior a la
circunferencia y los lados de sus ángulos son:
o secantes a ella, o uno tangente y otro secante,
o tangentes a ella:
Mide la mitad de la diferencia entre las medidas
de los arcos que abarcan sus lados sobre la
circunferencia.
Ángulos de un polígono regular
Ángulo central de un polígono regular
Es el formado por dos radios consecutivos.
Si n es el número de lados de un polígono:
Ángulo central = 360° : n
Ángulo central del pentágono regular= 360° : 5 =
72º
Ángulo interior de un polígono regular
Es el formado por dos lados consecutivos.
Ángulo interior =180° − Ángulo central
Ángulo interior del pentágono regular = 180° −
72º = 108º
Ángulo exterior de un polígono regular
Es el formado por un lado y la prolongación de un
lado consecutivo.
Los ángulos exteriores e interiores son
suplementarios, es decir, que suman 180º.
Ángulo exterior = Ángulo central
Ángulo exterior del pentágono regular = 72º
RAZONES TRIGONOMETRICAS EN TRIANGULOS OBTUSANGULOS
Para resolver triángulos oblicuángulos vamos a util izar los teoremas del seno y del coseno .
Dependiendo de los elementos que conozcamos, nos
encontramos con cuatro tipos de resolución de triángulos oblicuángulos:
1 º . C o n o c i e n d o u n l a d o y
d o s á n g u l o s a d y a c e n t e s a é l
De un triángulo sabemos que: a = 6 m, B = 45° y C = 105°. Calcula los restantes elementos.
2 º . C o n o c i e n d o d o s l a d o s y
e l á n g u l o c o m p r e n d i d o
De un triángulo sabemos que: a = 10 m, b = 7 m y C = 30°. Calcula los restantes elementos.
3 º C o n o c i e n d o d o s l a d o s y
u n á n g u l o o p u e s t o
sen B > 1. No hay solución
sen B = 1 Triángulo rectángulo
sen B < 1. Una o dos soluciones
Supongamos que tenemos a, b y A; al aplicar el teorema de los senos puede suceder:
1. sen B > 1. No
hay solución.
Resuelve el triángulo de datos: A = 30°, a = 3 m y b = 8 m.
Como el seno de un ángulo nunca puede ser mayor que 1, el problema no tiene solución. La figura muestra la imposibilidad de que exista el triángulo planteado.
2. sen B = 1.
Solución única:
triángulo rectángulo
Resuelve el triángulo de datos: A = 30°, a = 3 m y b = 6 m.
3. sen B < 1. Una o
dos soluciones
Resuelve el triángulo de datos: A = 60°, a = 8 m y b = 4 m.
Resuelve el triángulo de datos: A = 30°, a = 3 m y b = 4 m.
4 º . C o n o c i e n d o l o s t r e s
l a d o s
Resuelve el triángulo de datos: a = 15 m, b = 22 m y c = 17 m.
TRIANGULO RECTANGULO
En geometría, se llama triángulo rectángulo a todo triángulo que posee un ángulo recto, es
decir, un ángulo de 90-grados.1 Las razones entre las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo es un enfoque de la trigonometría plana. En particular, en un triángulo rectángulo, se
cumple el llamado teorema de Pitágoras ya conocido por los babilonios
Terminología
Un triángulo rectángulo y sus elementos.
Se denomina hipotenusa al lado mayor del triángulo, el lado opuesto
al ángulo recto. Se llaman catetos a los dos lados menores, los que
conforman el ángulo recto. Si la medida de los lados son números enteros,
estos reciben el nombre de terna pitagórica.
Tipos de triángulo rectángulo
Existen dos tipos de triángulo rectángulo:
Triángulo rectángulo isósceles: los dos catetos son de la misma
longitud, los ángulos interiores son de 45-45-90. En este tipo de
triángulo, la hipotenusa mide veces la longitud del cateto.
Triángulo rectángulo escaleno: los tres lados y los tres ángulos tienen
diferente medida. Un caso particular es aquél cuyos ángulos interiores
miden 30-60-90, en este tipo de triángulo, la hipotenusa mide el doble
del cateto menor, y el cateto mayor veces la longitud del cateto
menor.
Triángulo rectángulo isósceles.
Triángulo rectángulo escaleno.
TEOREMAS DE SENOS Y DE CONSENOS
Teorema de los senos
Cada lado de un triángulo es directamente
proporcional al seno del ángulo opuesto.
Teorema del coseno
En un triángulo el cuadrado de cada lado es igual
a la suma de los cuadrados de los otros dos menos el
doble producto del producto de ambos por el coseno
del ángulo que forman .
Teorema de las tangentes
Área de un triángulo
El área de un triángulo es la mitad del producto de una
base por la altura correspondiente.
El área de un triángulo es el semiproducto de dos de
sus lados por el seno del ángulo que forman.
El área de un triángulo es el cociente entre el producto
de sus lados y cuatro veces el radio de su circunferencia
circunscrita.
El área de un triángulo es igual al producto del radio
de la circunferencia inscrita por su semiperímetro.
Fórmula de Herón: