1. ĮVADAS. PAGRINDINĖS SĄVOKOS. NAGRINĖJIMO OBJEKTAI, HIPOTEZĖS

1.1. Naudojama schematizacija

Disciplina, kurią pradedate studijuoti, mokys jus pačių elementariausių ir svarbiausių šio mokslo tiesų; ši disciplina gali būti vadinama mokslo apie konstrukcijų skaičiavimo metodus abėcėle ir gramatika. Įprasta tradiciškai ją vadinti medžiagų atsparumu, kai kas vadina ją medžiagų mechanika, o, ko gero, labiausiai tinkamas pavadinimas būtų – konstrukcijų elementų mechanika.

Medžiagų atsparumo objektas yra deformuojamas kietas kūnas, tiksliau – konstrukcijos elementas. Teorinės mechanikos disciplina taip pat nagrinėja kietąjį kūną, bet ne deformuojamą, bet absoliučiai standų. Todėl nemažai teorinės mechanikos (ypač statikos) išvadų naudojama ir medžiagų atsparumo kurse, tačiau kai kas iš ten deformuojamam kūnui, deja, nebetinka.

Konstrukcijų elementus nagrinėsime trimis požiūriais, įvertindami tris konstrukcijų savybes: • stiprumą – savybę nesuirti dėl mechaninių veiksnių (apkrovų), • standumą – savybę priešintis deformavimui, t.y. savybę kuo mažiau deformuotis nuo

mechaninių veiksnių (apkrovų), • stabilumą – savybę išlaikyti savo pradinę pusiausvyros formą, o po mechaninių trikdymų

sugrįžti į tą pradinę pusiausvyrą.

1.1 pav.

Nėra absoliučiai stipraus, nėra absoliučiai standaus, nėra absoliučiai stabilaus elemento. Inžinierius, kurdamas ar naudodamas konstrukciją, siekia, kad visa konstrukcija ir atskiri jos elementai būtų pakankamai stiprūs, standūs ir stabilūs, kad jie šias būtinas savybes išlaikytų, veikiami numatytos apkrovos, per visą eksploatavimo laiką. Nors dažniausiai minime konstrukcijų stiprumo mokslą, tačiau suprantame, kad ši sąvoka apima ir standumą bei stabilumą.

Kad geriau įsivaizduotumėme, kas yra stipri, standi ir stabili konstrukcija, įvertinkime visais trimis požiūriais labai paprastą konstrukciją – kopėčias. Jei kopėčios nepakankamai stiprios, tai veikiamos lipančiojo svorio jėgos jos suluš. Jei kopėčios pakankamai stiprios, bet nepakankamai standžios (pvz. Iš plonų metalinių strypų), jos labai deformuosis, išlinks, ir užlipti jomis nepavyks. Pernelyg liaunos vertikalios kopėčios, veikiamos užlipusiojo svorio jėgos, gali prarasti savo pradinės (tiesios) pusiausvyros formos stabilumą, pereiti į kitokią pusiausvyros formą ir suklupti.

Taigi, medžiagų atsparumas yra disciplina, nagrinėjanti pastatų ir mašinų konstrukcijų elementų stiprumo, standumo ir stabilumo skaičiavimo inžinerinius metodus.

Pastarasis požymis (inžineriniai metodai) atskiria medžiagų atsparumą nuo visos grupės mokslų, taip pat priklausančių taikomosios mechanikos sričiai ir analizuojančių įvairius deformuojamus kūnus giliai teoriškai, tiksliai. Tarp šių mokslų – tamprumo, plastiškumo, valkšnumo teorijos, irimo mechanika ir t.t. Šiais, ypač tamprumo teorija, mokslais medžiagų atsparumas remiasi, bet jis padaro nemažai prielaidų, kurių dėka skaičiavimai tampa paprastesni ir patogūs kasdieninei inžinerinei praktikai.

Kad konstrukcijų elementų skaičiavimas nebūtų pernelyg sudėtingas, medžiagų atsparumo metodikoje daug kas supaprastinama, sukuriama konstrukcijos ar elemento skaičiuojamoji schema.

Konstrukcijos skaičiuojamoji schema yra sutartinis supaprastintos realios konstrukcijos bei jos atramų ir apkrovų grafinis atvaizdavimas arba aprašymas.

Schematizuojami trys dalykai: konstrukcijos elemento geometrinė forma, konstrukcinės medžiagos, apkrovos.

1-1

Konstrukcijų geometrinė forma būna labai įvairi, todėl neįmanoma sukurti paprastą skaičiavimo metodiką, tinkančią bet kokios formos elementui. Tad medžiagų atsparume nagrinėjami schematizuoti elementai (1.2 pav.):

elementai, kurių matmenys dviem (skersinėmis) erdvės kryptimis labai maži, palyginus su trečiąja (išilgine) kryptimi (strypai), elementai, kurių matmuo viena (storio) kryptimi labai mažas, palyginus su kitomis dviem

kryptimis – apriboti plokštumomis (plokštelės) arba kreivais paviršiais (kevalai), elementai, kurių matmenys visomis trimis erdvės kryptimis yra tos pačios eilės, maždaug

vienodi (masyvai).

1.2 pav.

Strypai skaičiuojamosiose schemose žymimi tik viena linija – savo geometrine ašimi. Schematizuotoje konstrukcijoje tiesiu strypu tampa ir kolona, ir sija, ir vagono ašis. Kreivas strypas atstoja ir arką, ir krano kablį.

Plokštė ir kevalas skaičiuojamosiose schemose žymimi savo viduriniu paviršiumi, t.y. paviršiumi, einančiu per šių elementų storio vidurį. Plokštės vidurinis paviršius – plokštuma, kevalo – kreivas paviršius. Schematizuotoje konstrukcijoje plokšte tampa pastato perdanga, plokščias valties dugnas. Kevalu schematizuojama skliautinė perdanga, garo katilas ir pan.

Masyvų pavyzdžiai – pamatai po mašinomis, hidroelektrinių užtvankos ir t.t. Konstrukcijos skaičiuojamojoje schemoje naudojamos ir schematizuotos atramos (1.3 pav.) –

standžios arba šarnyrinės, slankios arba neslankios.

1.3 pav.

Konstrukcinės medžiagos yra taip pat įvairios: metalai, mediena, plastikai, betonas, akmuo ir t.t. Kad būtų galima elementams, pagamintiems iš įvairių medžiagų, taikyti tuos pačius ar bent panašius skaičiavimo metodus, daromos kai kurios prielaidos.Svarbiausios prielaidos, galiojančios kone visame medžiagų atsparumo kurse, yra tokios:

medžiagos vientisumas, medžiagos vienalytiškumas (homogeniškumas), medžiagos izotropiškumas.

Nežiūrint to, kad medžiaga sudaryta iš smulkių dalelių, tarp kurių yra mikrotarpai, tariame, kad medžiaga pilna užpildo visą tūrį, t.y., kad medžiaga vientisa. Kai laikomės tokios vientisos medžiagos (kontinuumo) sąvokos, galime iš bet kurios deformuojamo kūno vietos išpjauti nagrinėjimui be galo mažą materialų kūno gabalėlį.

Vienalytės medžiagos savybės visuose kūno taškuose yra vienodos. Skaičiuodami dažniausiai tarsime, kad mūsų nagrinėjami konstrukcijų elementai pagaminti iš vienalytės medžiagos.

Izotropinė medžiaga – ta medžiaga, kurios savybės vienodos visomis kryptimis. Nors idealaus izotropiškumo nebūna, bet daugelis konstrukcijų medžiagų yra beveik izotropinės. Medžiaga, kurios savybės visomis kryptimis yra skirtingos, vadinama anizotropine.

Dažniausiai medžiagų atsparumo kurse kalbama apie idealiai tamprią medžiagą. Bet kokį elementą deformavus ir po to pašalinus deformavimo priežastį, jis nelieka tiek pat deformuotas. Dalis deformacijos visada išnyksta, o kai poveikis nebūna pernelyg stiprus, išnyksta ir visa deformacija, elementas grįžta į pirminį, nedeformuotą būvį. Deformacija, kuri išnyksta pašalinus priežastį, vadinama tampriąja (elastine) arba grįžtamąja. Deformacija, kuri lieka pašalinus priežastį, vadinama plastine arba liekamąja. Nei viena medžiaga nėra idealiai tampri. Tačiau kol poveikiai ne per dideli, tamprumo savybė būdinga daugeliui konstrukcinių medžiagų.

Apkrovos (jėgos) schematizuojamos keliais požiūriais: jos būna statinės arba dinaminės, sutelktosios (koncentruotosios) arba įvairiai išskirstytos.

1-2

Realiai konstrukcijos yra veikiamos gana sudėtingai, tačiau galima išskirti “grynuosius” deformavimo tipus:

tempimas, gniuždymas, kirpimas, sukimas, paprastasis lenkimas.

1.4 pav.

1.2. Išorinės jėgos. Apkrovos

Kiekviena konstrukcija, kiekvienas jos elementas yra veikiamas aplinkos. Aplinka veikia visokeriopai, bet mus domina visų pirma jos mechaniniai poveikiai, t.y. jėgos, nes būtent joms atlaikyti dažniausiai ir yra skirta konstrukcija. Kai kurie veiksniai turi įtakos konstrukcijos stiprumui, standumui (pvz., cheminis agresyvios aplinkos poveikis spartina metalo koroziją; dėl šiluminio ar radioaktyviojo poveikio kinta medžiagos savybės, net ir mechaninės; ir pan.), bet medžiagų atsparumo kursas nagrinėja daugiausiai tik jėgų įtaką konstrukcijai. Jėgų prigimtis pati įvairiausia – gravitacija, vėjas, vandens slėgis, judančių kūnų inercija, netolygūs temperatūrų laukai ir t.t. Kai jau sudaryta konstrukcijos skaičiuojamoji schema, kai nustatyta kiekvienos jėgos veikimo vieta (pridėties taškas), kryptis ir didumas, jėgos prigimtis tampa nesvarbia. Visas šias aplinkos sukeltas jėgas vadiname išorinėmis jėgomis. Išorinės jėgos skirstomos į:

• aktyviąsias jėgas, arba apkrovas, kurioms atlaikyti konstrukcija skirta, • kitų kūnų, į kuriuos konstrukcija atremta, reakcijas.

Apkrovos, kurios veiks konstrukciją, dažniausiai iš anksto yra žinomos. Konstrukcijos atramines reakcijas galima nustatyti teorinės mechanikos (statikos) metodais – pasinaudojant konstrukcijos pusiausvyros sąlygomis. Apkrovos skirstomos į:

♦ tūrines, ♦ paviršines, ♦ linijines, ♦ taškines (sutelktąsias, koncentruotąsias).

Tūrinės apkrovos – tai jėgos, veikiančios kiekvieną konstrukcijos elemento tašką. Tokios yra inercijos jėgos, magnetinės jėgos, bet dažniausia tūrinė apkrova – pačios konstrukcijos svoris. Šių jėgų matavimo vienetas – niutonas į kubinį metrą (N/m3). Kadangi savasis svoris dažnai būna svarbus pravartu žinoti jo skaičiavimo kelią: konstrukcinės medžiagos tankį ρ (kg/m3) padauginę iš gravitacinio pagreičio g (9,81 m/s2), gauname tūrinę svorio apkrovą p (N/m3, nes 1 kg⋅m/s2 = 1 N).

Paviršinės apkrovos – tai jėgos, veikiančios konstrukcijos elemento paviršiaus plotą. Tokios yra vėjo ar vandens slėgio jėgos, dujų slėgis į rezervuaro sieneles ir pan. Dažnai skaičiuojamojoje schemoje ir gana sudėtingos apkrovos rodomos kaip tolygiai išskirstytos paviršinės apkrovos (pvz., pastato perdangos apkrova, kurią sudaro baldai, kitokie daiktai, žmonės, išreiškiama bendru krūviu, tenkančiu perdangos ploto vienetui; kai konstrukcijos elementas didelis ir nestoras, net ir jo paties svoris, t.y. tūrinė apkrova, reiškiamas kaip paviršinė apkrova). Šių jėgų matavimo vienetas – niutonas į kvadratinį metrą (N/m2) arba paskalis (nes 1 N/m2 = 1 Pa).

Linijinės apkrovos – tai jėgos, išdėstytos vienoje linijoje (dažniausiai – tiesėje). Realių tokių jėgų beveik nėra (nebent nagrinėtume peilio ašmenų poveikį), bet jeigu paviršinės ar tūrinės jėgos veikia ilgą ir siaurą elemento ruožą, jų pridėties taškus galima sutraukti į vieną liniją – šio ruožo ašį (1.5 pav). Nuo tokio supaprastinimo konstrukcijos skaičiavimo rezultatai praktiškai nepasikeičia. ). Šių jėgų matavimo vienetas – niutonas (N).

1-3

1.5 pav. Taškinės apkrovos – tai vieną konstrukcijos elemento tašką veikiančios jėgos. Ir tokių realių jėgų

(panašių į adatos smaigalio poveikį) nėra, bet labai mažame plote išskirstytas jėgas galima sutelkti (sukoncentruoti) į vieną tašką, to ploto centrą (1.6 pav). Šių jėgų matavimo vienetas – niutonas (N).

1.6 pav.

Tūrinės, paviršinės ir linijinės apkrovos dažniausiai būna išskirstytos tolygiai po visą elemento paviršių ar tūrį, bet tenka susidurti su netolygiu jų intensyvumu, tokio netolygumo pavyzdys – vandens slėgis į užtvanką (1.7 pav).

1.7 pav.

Išorinės jėgos (apkrovos) gali sukurti jėgų poras, kurių poveikis į konstrukcijos elementą dažniausiai išreiškiamas jėgų momentu M (1.8 pav.; kai norėsime, kad šis simbolis, žymintis būtent išorinių jėgų momentą, skirtųsi nuo kitų momentų simbolių, jį patikslinsime indeksu Mf).

1.8 pav.

Teorinės mechanikos kurse išorinės jėgos veikė absoliučiai standų, nesideformuojantį kūną. Teorinė mechanika leido jėgą jos veikimo linijoje perkelti iš vieno taško į kitą (t.y. jėga buvo susieta tik su veikimo kryptimi ir nesusieta su pridėties tašku), leido jėgų sistemą pakeisti kita (ekvivalentine) sistema ir net viena atstojamąja jėga. Nuo tokių pakeitimų kūno judesys arba jo rimties būsena nepasikeičia. Įsidėmėkite: kai nagrinėjame jėgas, kurios veikia deformuojamą kūną, visi teorinės mechanikos veiksmai yra nebeleistini. Jei jėga pridedama prie kito konstrukcijos taško, ji kitaip deformuoja tą elementą (1.9 pav.).

1.9 pav.

Apkrovas suskirstėme pagal pridėties vietą. Pagal pridėjimo pobūdį jos skirstomos į: statines, dinamines.

Statine vadinama tokia apkrova, kurios didumas, kryptis ir pridėties vieta nekinta arba kinta tiek mažai, kad apskaičiuojant konstrukcijos būvio parametrus galima tarti, kad apkrova nepriklauso nuo laiko ir galima nepaisyti tokios apkrovos sukeliamų pagreičių bei inercijos jėgų. Kai norima pabrėžti, kad apkrova tik artima statinei (nes bent nedidelė inercija lydi beveik visas apkrovas), apkrova vadinama kvazistatine (t.y. “beveik statine”). Beveik visame savo kurse nagrinėsime tik statinių apkrovų veikiamus elementus.

Apkrova, kurios didumas, kryptis arba pridėties vieta greitai kinta, kuri dėl to sukelia konstrukcijos elementų pastebimą pagreitį, vadinama dinamine. Dažniausiai tokios apkrovos veikia elementus, kurie juda su pagreičiu. Ypatinga jų rūšis yra smūginės apkrovos. Pastarosios veikia labai trumpai (t.y. su dideliu pagreičiu). Dinaminis poveikis būna kelis ar net keliasdešimt kartų stipresnis nei statinis, todėl dinaminės apkrovos labai pavojingos konstrukcijai.

1-4

Apie daugumą išorinių jėgų yra iš anksto viskas žinoma: jų kryptis, dydis. Bet būna ir atsitiktinio pobūdžio apkrovų, kurių nei dydis, nei kryptis, nei veikimo trukmė iš anksto nėra žinomi. Tokį apkrovimą galima aprašyti tiktai tikimybių teorijos aparatu.

Išorinio veikimo mastas gali būti išreiškiamas ne tik žinoma jėga, bet ir kurio nors kūno taško ar kūno dalies poslinkiu. Gana dažnai (ypač praktikoje) yra žymiai paprasčiau išmatuoti ne apkrovos didumą, o vieno ar kito konstrukcijos taško poslinkį (t.y. deformavimo metu nueitą kelią). Apkrova (jei rūpi ją sužinoti) po to nustatoma skaičiavimu.

1.3. Vidinės jėgos. Pjūvio metodas. Įrąžos

Kietasis kūnas, taigi ir konstrukcijos elementas, išlaiko savo formą dėl to, kad tarp jo dalelių veikia įvairios jėgos – pradedant nuo branduolinių, atominių, molekulinių ir baigiant dalelių sukibimo, vidaus trinties ir panašiomis. Mus domina tik jėgos (arba tik tas jų prieaugis), kurios atsiranda kūno viduje dėl išorinių jėgų (apkrovų) poveikio. Būtent dėl tokių vidinių jėgų kinta kūno dalelių tarpusavio padėtis, kūnas deformuojasi. Taigi, vidinės jėgos – tai papildoma kūno dalelių sąveika, atsirandanti nuo išorinių jėgų. Nors išorinės jėgos yra vidinių jėgų atsiradimo priežastimi, tačiau jų kryptys ne visada sutampa! Pvz., lenkiant elementą, nors išorinės jėgos veikia skersai, vieni elemento taškai išilgai elemento suartėja, kiti – atitolsta vieni kuo kitų.

Pjūvio metodas naudojamas nustatyti vidinių jėgų didumui ir kryptims. Panagrinėkime populiariausią ir patogiausią šio metodo algoritmą, susidedantį iš trijų etapų:

Pirmasis etapas. Apkrovų veikiamame konstrukcijos elemente (1.10 pav., a) ten, kur norime nustatyti vidines jėgas, darome tariamąjį pjūvį (1.10 pav., b). tokiu būdu elementą padalijame į dvi dalis, pvz., kairiąją K ir dešiniąją D.

⇒

⇒

⇒

Antrasis etapas. Vieną iš elemento dalių atmetame. Kad paliktoji dalis liktų pusiausvyra, prie jos vietoj atmestosios dalies pridedame pastarosios poveikį atstojančias vidines jėgas (1.10 pav., c). Šios jėgos veikia kiekvieną pjūvio tašką.

Trečiasis etapas. Rašome paliktosios nagrinėti elemento dalies pusiausvyros sąlygas (pusiausvyros lygtis), iš kurių apskaičiuojame vidinių jėgų parametrus.

Įprasta pjūvio vidinių jėgų parametrus reikšti, laikantis kurios nors sutartinės koordinačių sistemos.

1.10 pav.

Bet kaip išsidėsčiusių erdvėje jėgų sistemos pusiausvyros lygčių galima parašyti šešias, todėl iš jų galima surasti ne daugiau kaip šešis nežinomus parametrus (žiūr. 1.11 pav.)

1.11 pav.

Koordinačių sistemos būna įvairios. Kurią iš jų pasirinkti, - susitarimo reikalas. Mes dažniausiai

laikysimės sistemos, kurią sudaro du požymiai: sistema – stačiakampė (Dekarto), sistema – dešininė; jei atkištas dešinės rankos nykštys rodo z ašies kryptį, tai kiti sulenkti tos

rankos pirštai rodo teigiamą plokštumos xOy kampų matavimo kryptį, jeigu nagrinėjame elemento skerspjūvį, koordinačių pradžią sutapdiname su skerspjūvio svorio

centru; tokią koordinačių sistemą vadinsime – centrine, jeigu nagrinėjame strypą, jo išilginę ašį sutapdiname su z ašimi, teigiamos ašių kryptys – tokios, kaip 1.12 paveiksle.

1-5

1.12 pav.

Kaip parodyta 1.11 paveikslėliu, skerspjūvio vidines jėgas galima pakeisti šešiais vektoriniais dydžiais, orientuojantis pagal pasirinktos centrinės koordinačių sistemos ašis. Šie dydžiai vadinami įrąžomis.

Įrąža – tai vienas iš šešių vektorinių dydžių, atstojančių konstrukcijos elemento skerspjūvio vidines jėgas.

Kiekviena įrąža turi savo pavadinimą ir rodinį simbolį (1.11 pav.): skerspjūvio normalės (strypo išilginės ašies z) kryptimi veikia ašinė jėga, žymima raide N

(atitinka Foz), skerspjūvio plokštumoje (ašių x ir y kryptimis) veikia dvi skersinės jėgos, žymimos Qx ir Qy

(atitinka Fox ir Foy), skerspjūvio plokštumoje (išilginės ašies z atžvilgiu) veikia vidinių jėgų momentas, vadinamas

sukimo momentu ir žymimas raide T (atitinka Moz), skersinių ašių x ir y atžvilgiu veikia jėgų momentai, vadinami lenkimo momentais ir žymimi

raidėmis Mx ir My (atitinka Mox ir Moy). Priimta laikytis tokių įrąžų ženklų taisyklių (1.13 pav.):

• Ašinės jėgos ženklo taisyklė. Ašinę jėgą laikome teigiama, kai ji nukreipta nuo skerspjūvio (kai tempia).

• Skersinės jėgos ženklo taisyklė. Skersinę jėgą laikome teigiama, kai skerspjūvyje, matomame iš teigiamos z ašies pusės, ji veikia teigiamąja skersinės ašies kryptimi (arba skerspjūvyje, matomame iš neigiamos z ašies pusės, - neigiamąja kryptimi).

• Sukimo momento ženklo taisyklė. Sukimo momentą laikome teigiamu, kai skerspjūvyje, matomame iš atmestosios elemento dalies pusės, jis veikia teigiamąja kryptimi, t.y. prieš laikrodžio rodyklę.

• Lenkimo momento ženklo taisyklė. Lenkimo momentą laikome teigiamu, kai dėl jo elementas išlinksta taip, kad tempiami sluoksniai būna teigiamojoje pusėje (lenkimo momentui Mx - teigiamojoje y ašies pusėje, My - teigiamojoje x ašies pusėje).

Atkreipkite dėmesį į tai, kad dviejuose išpjauto elemento ruožo galuose (1.13 pav.) teigiamų įrąžų kryptys visada priešingos.

1.13 pav.

Įrąžas nustatome pjūvio metodu, pasinaudoję atpjautos elemento dalies pusiausvyros lygtimis. Patogiausia yra rašyti lygtis, susietas su nagrinėjamo skerspjūvio koordinačių ašimis:

∑ = 0xF , , ∑ = 0yF ∑ = 0zF , ( )∑ = 0xfM , ( )∑ = 0

yfM , ( )∑ = 0zfM .

Kiekvienoje iš šių lygčių tėra tik po vieną nežinomą įrąžą (kitų penkių projekcijos arba momentai prilygsta nuliui), todėl iš jų įrąžos lengviausiai apskaičiuojamos.

Įrąžos yra diferencialiniais ryšiais susijusios su apkrova. Ašinę jėgą N su apkrovos, veikiančios išilgai z ašies, intensyvumu g sieja tokia priklausomybė:

dzdNg −= , (1.1)

t.y. išilginės apkrovos intensyvumas yra lygus ašinės jėgos pirmajai išvestinei pagal z ašį. Skersinę jėgą Q (Qx arba Qy) su apkrovos, veikiančios skersai elemento ašies (x arba y kryptimi),

intensyvumu q sieja priklausomybė: 1-6

dzdQq −= , (1.2)

t.y. skersinės apkrovos intensyvumas yra lygus skersinės jėgos pirmajai išvestinei pagal z ašį. Lenkimo momentą su skersine jėga (Mx su Qy arba My su Qx) sieja priklausomybė:

dzdMQ = , (1.3)

t.y. skersinė jėga yra lygi lenkimo momento pirmajai išvestinei pagal z ašį. Iš pastarųjų dviejų priklausomybių galima gauti dar vieną:

2

2

dzMdq −= , (1.4)

t.y. skersinės apkrovos intensyvumas yra lygus lenkimo momento antrajai išvestinei pagal z ašį. Nepamirškite, kad ženklų taisyklės yra susitarimo dalykas ir laikantis kitokių taisyklių šių formulių

ženklai gali būti kitokie (vietoj minuso - pliusas ir atvirkščiai). Parašytų diferencialinių priklausomybių įrodymai pateikti A.Čižo knygoje (18-19 psl.).

Pagal įrąžų didumą sprendžiama, kuris skerspjūvis gali būti pavojingas, t.y. kuriame skerspjūvyje dėl vidinių jėgų gali suirti medžiaga arba atsirasti pernelyg didelės plastinės deformacijos. Nustatyti pavojingojo skerspjūvio vietą yra labai svarbu. Jeigu ją žinotume iš anksto, tai gal kai kada ir įrąžas skaičiuotume tiktai toje vietoje, o kitos vietos, kiti skerspjūviai nerūpėtų. Kai konstrukcija ir jos apkrova nėra pernelyg sudėtinga, patyręs inžinierius pavojingojo skerspjūvio vietą nustato beveik be skaičiavimo. Tačiau ši inžinerinė patirtis sukaupiama per ilgą laiką - nagrinėjant įrąžų pasiskirstymą įvairiai apkrautuose elementuose. Tą pasiskirstymą galima išreikšti analitiškai, rašant įrąžą kaip skerspjūvio koordinatės z funkciją: Qy(z), Mx(z) ir t.t. Tačiau vaizdžiausia yra įrąžos pasiskirstymą pateikti grafiko pavidalu - ties kiekviena skerspjūvio koordinate z atidedant pagal pasirinktą mastelį ordinatę, lygią įrąžos didumui. Tokie grafikai vadinami įrąžų diagramomis.

Studentui tenka nemaža laiko sugaišti, kol įgunda sudarinėti įrąžų diagramas, t.y. kol įgyja tą taip reikalingą inžinerinę patirtį, netgi inžinerinę intuiciją. Ir naudos iš įrąžų diagramų, atrodo, tiek ir tėra - būtent šitoji sukaupta patirtis ir, žinoma, kiekvienu atveju informacija apie ekstremines įrąžų reikšmes, apie pavojaus vietą.

Įrąžų diagramas sudaryti labai padeda diferencialinės įrąžų ir apkrovos priklausomybės (1.1)-(1.4). Užtenka įrąžų reikšmes apskaičiuoti tik tam tikruose, skaičiuojamuosiuose skerspjūviuose, o tarpuose tarp tų skerspjūvių diagrama gali būti išbrėžta remiantis anomis priklausomybėmis (iš priklausomybės nustatome, ar brėžti tiesę, ar parabolę ir t.t.). Įvairių patarimų, skirtų diagramų braižymui, yra literatūroje, čia jų nekartosime, bet su jais susipažinti būtina, kaip būtina ir daug diagramų patiems nubraižyti, nes tik per savo pačių įgūdžius atsiras toji svarbi inžinerinė intuicija.

1.4. Įtempimai. Ryšiai tarp įrąžų ir įtempimų

Vidines jėgas, veikiančias konstrukcijos elemento skerspjūvyje, galime išreikšti šešiomis įrąžomis. Tačiau šios įrąžos atspindi tik bendrą visų skerspjūvio vidinių jėgų poveikį, neduoda pakankamai tikslios informacijos apie vidines jėgas, veikiančias kurioje nors konkrečioje skerspjūvio vietoje, ties kurio nors skerspjūvio tašku, juo labiau apie vidines jėgas, veikiančias ne skerspjūvyje (t.y. ne statmename išilginei ašiai pjūvyje), o bet kuriame kitame, įstrižame ar išilginiame pjūvyje.

Jeigu bet kurio pjūvio bet kurio rūpimo taško k aplinkoje išskiriame labai mažą skerspjūvio ploto elementą AA (1.14 pav.), galime tarti, kad jame visos vidinės jėgos yra beveik vienodos krypties (jeigu taip nėra, dar mažiname ploto elementą - tol, kol mūsų prielaida pasidaro visiškai nebeabejotina).

1.14 pav.

Šių vidinių jėgų atstojamoji ∆F yra tokios pat krypties, kaip ir pačios vidinės jėgos. Atstojamoji gali būti suskaidyta į du komponentus - ∆Fn, veikianti pjūvio normalės kryptimi, ir ∆Ft, veikiantį pačioje pjūvio plokštumoje. Šių jėgų - atstojamosios ir jos komponentų - santykis su tuo plotu ∆A, kuriame veikia jų atstojamos vidinės jėgos (kai tas plotas nykstamai mažas), rodo vidinių jėgų intensyvumą ties tašku k:

1-7

pAFn

A=

∆∆

→∆ 0lim (1.5)

Vidinių jėgų intensyvumo matas yra įtempimas (įtempis). Tai yra vektorius, kurio kryptis tokia pat, kaip ties tuo skerspjūvio tašku veikiančių vidinių jėgų, o didumas prilygsta vidutinei vidinei jėgai, tenkančiai ploto vienetui.

Formule (1.5) išreikštas vidinių jėgų intensyvumas p vadinamas pilnuoju įtempimu. Žinoti vien jo didumą negana, reikia žinoti dar ir jo kryptį. Todėl dažniausiai ir medžiagų atsparumo kurse, ir visuose konstrukcijų skaičiavimuose naudojamasi ne šiuo pilnuoju įtempimu, o jo komponentais:

vidinių jėgų komponentų, veikiančių pjūvio normalės kryptimi, intensyvumu, kuris vadinamas normaliniu įtempimu ir žymimas graikiška raide σ (sigma),

AFn

A ∆∆

=→∆ 0

limσ , (1.6)

vidinių jėgų komponentų, veikiančių pjūvio plokštumoje, intensyvumu, kuris vadinamas tangentiniu įtempimu ir žymimas graikiška raide τ (tau),

AFt

A ∆∆

=→∆ 0

limτ . (1.7)

Tiek pilnasis, tiek ir normalinis ar tangentinis įtempimas matuojamas jėgos vienetais, tenkančiais ploto vienetui, kitaip sakant, slėgio vienetais. Tarptautinėje vienetų sistemoje pagrindinis įtempimų vienetas yra paskalis (vienas paskalis lygus vienam niutonui į vieną kvadratinį metrą). Paskalis žymimas Pa(1 Pa = lN/m2). Kadangi vieno paskalio įtempimas yra labai mažas, konstrukcijų skaičiavime įtempimai dažniausiai matuojami megapaskaliais (1 MPa = 106 Pa).

Tangentinio įtempimo kryptis nėra pilnutinai apibrėžta: žinoma tiktai, kad jis veikia pjūvio plokštumoje. Kai pjūvis orientuotas taip, kad jo normalė lygiagretė kuriai nors koordinačių ašiai, galima ir tangentinį įtempimą išskaidyti kitų dviejų koordinačių ašių kryptimis; tada visų trijų pilnojo įtempimo komponentų kryptys yra jau visiškai aiškiai nusakytos. Visų tokių įtempimų vaizdas (įtempimai šešiuose šonuose elemento, išpjauto trimis poromis plokštumų, lygiagrečių koordinačių sistemos plokštumoms) parodytas 1.15 paveikslėlyje. Šiame brėžinyje visos įtempimų kryptys yra teigiamos, o įtempimų simbolių indeksai susieti su koordinačių ašimis; tangentiniams įtempimams skiriamas dviraidis indeksas - pirmoji indekso raidė rodo ašį, kuriai statmena nagrinėjamoji plokštuma, antroji - ašį, kurios kryptimi veikia įtempimas. Nesunku įžvelgti ryšį tarp pilnojo įtempimo ir jo komponentų - normalinio ir tangentinių įtempimų, pavyzdžiui, plokštumoje, statmenoje z ašiai:

222zyzxzp ττσ ++= . (1.8)

1.15 pav.

Normalinių įtempimų ženklo taisyklė. Normalinį įtempimą laikome teigiamu, kai jis nukreiptas nuo pjūvio (kai tempia). Tangentinių įtempimų ženklo taisyklė. Tangentinį įtempimą laikome teigiamu, kai jis teigiamoje

pusėje esančiame pjūvyje veikia teigiamąja ašies kryptimi (arba neigiamoje pusėje esančiame pjūvyje - neigiamąja kryptimi).

Čia nagrinėjome įtempimus, veikiančius bet kuriame, bet kaip padarytame deformuojamojo kūno pjūvyje. Jeigu vėl grįšime prie strypo skerspjūvio (pjūvio, statmeno išilginei strypo ašiai), galėsime paieškoti ryšių tarp įtempimų ir skerspjūvio įrąžų: tokie ryšiai turi egzistuoti, nes ir įrąžos, ir įtempimai atstovauja tas pačias skerspjūvyje veikiančias vidines jėgas.

Išskiriame skerspjūvio teigiamajame kvadrate (tarp teigiamųjų a; ir y ašių) ploto elementą dA (1.16 pav.). Įtempimai šiame plotelyje yra σ, τx ir τy (kadangi nagrinėjame vienintelę plokštumą, statmeną z ašiai, šios ašies simbolio indeksuose neminėsime). Padauginę įtempimus iš ploto elemento dA, gauname tame

1-8

ploto elemente veikiančių vidinių jėgų atstojamosios komponentus σdA, τxdA, τydA. Analogiški jėgų komponentai veikia visuose ploto elementuose, iš kurių susideda nagrinėjamasis skerspjūvis.

1.16 pav.

Ašinė jėga yra visų vidinių jėgų projekcijų į z ašį suma. Kadangi atstojamosios jėgos komponentai τxdA ir τydA (1.16 pav.) projektuojasi į z ašį tašku (nuliu), tai tą sumą galime gauti, suintegravę skerspjūvio plote A vien tik komponentus σdA:

∫=A

dAN σ . (1.9)

Analogiškai gauname ir integralines skersinių jėgų išraiškas įtempimais:

∫=A

xx dAQ τ , . (1.10) ∫=A

ydAyQ τ

Lenkimo momentas yra suma visų vidinių jėgų momentų skerspjūvio ašies (x ar y) atžvilgiu. Atstojamosios jėgos komponentai τxdA ir τydA (1.16 pav.) nesukuria momento skerspjūvio ašies atžvilgiu, nes arba kerta tą ašį, arba yra lygiagrečiai jai, todėl lenkimo momentą galime išreikšti, suintegravę skerspjūvio plote A vien tik jėgas σdA, padaugintas iš atitinkamo peties (t.y. iš atitinkamos taško koordinatės, kuri gali būti ir teigiama, ir neigiama):

∫=A

x dAyM σ , . (1.11) ∫=A

y dAxM σ

Analogiškai gauname integralinę sukimo momento išraišką įtempimais (jėga σdA yra lygiagretė z ašiai ir todėl momento šios ašies atžvilgiu nesukuria):

(∫ −=A

xy dAyxT ττ ) , (1.12)

arba, jeigu vietoj tangentinio įtempimo komponentų τx ir τy imtume radialinės krypties komponentą τr ir jam statmeną τt (1.17 pav.),

∫=A

tdAT ρτ . (1.12a)

1.17 pav.

Atkreipkite dėmesį į tai, kad nėra nė vienos įrąžos, kuri būtų išreikšta abiem įtempimų tipais: trys įrąžos (N, Mx ir My) išreiškiamos tik normaliniais įtempimais, kitos trys (Qx, Qy ir T) - tik tangentiniais.

Jeigu įtempimai būtų žinomi, tai būtų paprasta formulėmis (1.9)-(1.12) apskaičiuoti įrąžų reikšmes. Tačiau dažniausiai, kai tiriame apkrautą konstrukciją, būna atvirkščiai: įrąžos didumas būna jau nustatytas (pjūvio metodu), o nežinomas, ieškomasis dydis būna įtempimas, kuris yra už integralo ženklo. Turime išsiaiškinti, kaip, kokiu dėsningumu įtempimai pasiskirstę skerspjūvio plote, išspręsti integralą, - tik po to gauname paprastesnes formules įtempimams skaičiuoti.

1-9

1.5. Poslinkiai ir deformacijos

Apkrovų veikiamas, konstrukcijos elementas deformuojasi - keičiasi jo matmenys ir forma. Deformuotąjį elementą galime aprašyti dvejopais parametrais - poslinkiais ir deformacijomis.

Taško linijinis poslinkis yra vektorius, kurio pradžia yra nedeformuoto kūno taške, o galas (viršūnė) - tame pačiame jau deformuoto kūno taške.

Galime panašiai apibrėžti kurio nors konstrukcijos elemento skerspjūvio, atskiros elemento dalies ar net ir viso elemento poslinki (pavyzdžiui, elementas, pats nesideformuodamas, gali erdvėje pasislinkti į naują padėtį dėl to, kad deformuojasi kiti su juo sujungti konstrukcijos elementai).

Linijinis poslinkis yra taško nueitas kelias. Jis matuojamas ilgio vienetais. Linijinis poslinkis gali būti suskaidytas į poslinkio komponentus koordinačių ašių kryptimis. Yra priimta komponentus ašių x, y ir z kryptimis žymėti raidėmis u, v ir w.

Jeigu žinome visų (arba bent svarbiausiųjų) konstrukcijos elemento taškų linijinius poslinkius, žinome ir tų taškų padėti po deformavimo, taigi žinome, kaip atrodo elementas po deformavimo. Išvada - elemento taškų poslinkiais galima aprašyti deformuotąjį konstrukcijos elementą.

Nors pakanka linijinių poslinkių, tačiau kai kada patogiau naudotis kampiniais poslinkiais. Atkarpos kampinis poslinkis yra kampas tarp atkarpos krypties nedeformuotame kūne ir tos pačios

atkarpos krypties jau deformuotame kūne. Kampinis poslinkis matuojamas radianais, miliradianais ar kitokiais kampo vienetais. Jis taip pat gali

būti reiškiamas vektoriumi ir skaidomas į komponentus pagal koordinačių ašis. Jeigu atkarpa ab (1.18 pav.) po kūno deformavimo atsidūrė padėtyje a1b1, tai vektorius aa1 yra taško

a linijinis poslinkis, vektorius bb1 - taško b linijinis poslinkis, o kampas bOb1 (taip pat vektorius) - atkarpos ab kampinis poslinkis.

1.18 pav.

Kitas parametras deformuotajam elementui aprašyti yra deformacija. Šis žodis buitinėje šnekoje vartojamas dažnai ir įgyja įvairią prasmę, kartais net perkeltinę. Mechanikos literatūroje, taigi ir medžiagų atsparumo kurse, šis terminas turi griežtai apibrėžtą ir vienintelę reikšmę.

Deformacija yra kūno dalelių tarpusavio padėties pokyčių intensyvumo matas. Linijinė deformacija ties kūno tašku kuria nors kryptimi yra tos krypties atkarpos ilgio pokyčio

santykis su pradiniu atkarpos ilgiu, kai tas ilgis nykstamai mažas (1.19, a pav.): ( ) ε=

∆→∆ ds

dsA 0lim . (1.13)

Kadangi linijinė deformacija išreiškiama ilgių santykiu, ji yra santykinis, bematis dydis (kartais reiškiama procentais). Linijinė deformacija žymima graikiška raide ε (epsilon). Iš (1.13) formulės matyti, kad teigiama deformacijos reikšmė gaunama tada, kai nagrinėjamoji atkarpa pailgėja, neigiama - kai sutrumpėja. Konstrukcijų elementuose deformacijos paprastai yra labai mažos, mažesnės kaip 0,001 (arba 0,1 %).

Linijinė deformacija nustatoma ties konkrečiu tašku ir konkrečia kryptimi. Kad būtų aišku, apie kurios krypties deformaciją kalbama, vartojami indeksai, pavyzdžiui, nurodantys nagrinėjamosios atkarpos kryptį - εab (pagal 1.19, a pav.) arba koordinačių ašių kryptis εx, εy, εz.

Deformacija gali būti vienoda visame deformuojamojo elemento ruože (ties visais to ruožo taškais), bet gali ji būti skirtinga ir ties gretimais taškais.

Dažnai vietoj (1.13) formulėje įrašytos santykio ribos naudojamasi pačiu santykiu (∆ds/ds)y tas santykis išreiškia vidutinę linijinę deformaciją.

Kampinė deformacija - kampo tarp dviejų statmenų nykstamai trumpų atkarpų pokytis (1.19, b pav.):

( abcbcab

cbaabc ) γ=∠−∠→→ 111

00

lim (1.14)

1-10

1.19, a ir b pav.

Kampinė deformacija yra kampas ir matuojama kampo vienetais (radianais ar pan.). Dažniausiai ji žymima graikiška raide γ (gama) su indeksais. Jeigu nagrinėjama kampinė deformacija plokštumose, lygiagretėse koordinačių sistemos plokštumoms, ji žymima γxy, γyz arba γzx. Iš (1.14) formulės matyti, kad teigiama kampinė deformacija yra tada, kai status kampas tarp atkarpų su smailėja, o neigiama - kai jis pasidaro bukas.

Kadangi, atsiradus kampinių deformacijų, bet koks stačiakampis elementas pašlyja (pasidaro nebe stačiakampis), dažnai kampinė deformacija vadinama šlyties deformacija, o kampas γ - šlyties kampu.

Deformacijų būvis bet kuriame kūno taške yra visiškai apibrėžtas, jeigu žinomos šešios deformacijos, orientuotos pagal koordinačių ašis: trys linijinės - εx, εy, εz, ir trys kampinės - γxy, γyz, γzx. Žinodami deformacijų būvį visuose kūno taškuose, galime nustatyti visų jo taškų poslinkius ir tuo pačiu aprašyti visą deformuotąjį kūną.

Verta dar kartą palyginti poslinkių ir deformacijų sąvokas, kad pajustumėte, kuo jos skiriasi. Vienoje ar kitoje deformuojamojo kūno vietoje gali būti deformacijų, bet nebūti poslinkių, ir atvirkščiai - būti poslinkių, bet nebūti deformacijų. Pavyzdžiui, konstrukcijos ruožas 1-2 (1.20 pav.), apkrovos veikiamas, nesideformuoja, bet visas pasislenka, tuo tarpu ruožas 2-3 įgyja deformacijas (pailgėja dydžiu ∆b), bet jo viršutinis galas neturi jokio poslinkio. Galima kalbėti apie taško, pjūvio, o kai kada net ištiso elemento poslinkį; tuo tarpu deformacija visada yra tiktai kūno (konstrukcijos elemento) - ne taško, ne pjūvio, o tiktai ties tašku, ties pjūviu, tam tikra kryptimi, tam tikroje plokštumoje.

1.20 pav.

1.6. Pagrindinės prielaidos ir hipotezės

Jau 1.1 poskyryje kalbėjome apie kai kuriuos suprastinimus, prielaidas, palengvinančias konstrukcijų parametrų skaičiavimą. Tai buvo konstrukcijų geometrinės formos, apkrovos ir medžiagos schematizacija. Geometrinės formos ir apkrovos schematizacija atsispindi konstrukcijos skaičiuojamojoje schemoje. O medžiagos schematizacija reiškiasi per medžiagos vientisumo, vienalytiškumo ir izotropiškumo prielaidas. Kalbėjome ir apie tai, kad didžiojoje medžiagų atsparumo kurso dalyje nagrinėsime tik idealiai tamprius elementus, nepatiriančius plastinių deformacijų. Dabar sąrašą papildysime prielaidomis, susijusiomis su pačiu deformavimo procesu.

Proporcingumo prielaida (Huko dėsnis). Tariame, kad apkrovimo metu įtempimai lieka proporcingi deformacijoms: normalinis įtempimas - linijinei deformacijai, tangentinis - kampinei:

σ=Eε, (1.15) τ=Gγ, (1.16)

čia proporcingumo koeficientai, priklausantieji nuo medžiagos, yra vadinami tamprumo moduliu (E) ir šlyties moduliu (G). Palyginę dydžių dimensijas, matome, kad šie moduliai matuojami paskaliais, o patogiausia juos reikšti gigapaskaliais (1 GPa=109 Pa); pavyzdžiui, plieno E≈210 GPa, G≈80 GPa, medienos (išilgai sluoksnių) E≈10 GPa, G≈5 GPa. Kiekvienos medžiagos tamprumo bei šlyties moduliai nustatomi eksperimentiniu medžiagos tyrimu. Beje, tamprumo modulis E kartais vadinamas Jungo moduliu.

Poslinkių mažumo prielaida. Tariame, kad visų apkrauto kūno taškų poslinkiai yra tiek maži (palyginus su kūno matmenimis), kad rašydami kūno statinės pusiausvyros sąlygas jų galime nepaisyti, t.y.

1-11

tas sąlygas galime rašyti pagal nedeformuoto kūno geometriją. Ši prielaida tinka daugumai konstrukcijų (plg. 1.21 pav.). Kai šios prielaidos taikyti neįmanoma, statinės pusiausvyros lygtys tampa netiesiškomis.

1.21 pav.

Sen-Venano principas, suformuluotas prancūzų mokslininko (Barre de Saint-Venant, 1797-1886), teigia, kad apkrovos paskirstymo pobūdis deformuojamajam kūnui įtakos turi tik nedidelėje dalyje, arti tos apkrovos pridėties vietos (tiktai čia galime pastebėti netolygų deformavimąsi ir skerspjūvių išsikraipymą), visur kitur kūno deformavimasis beveik nepriklauso nuo apkrovos paskirstymo, priklauso tik nuo apkrovos didumo. Šis principas, nors ir nėra teoriškai įrodytas, yra patvirtintas gausios praktikos. Laikydamiesi šio principo, lengviau atsižvelgiame į realių apkrovų, kartais gana sudėtingai pasiskirsčiusių, įtaką konstrukcijos patikimumui.

Plokščiųjų pjūvių hipotezė, dažnai vadinama suformulavusio ją Šveicarijos mokslininko J. BERNULIO (Jacob Bernoulli, 1654-1705) vardu, teigia: pjūvis, kuris buvo plokščias ir statmenas elemento ašiai prieš deformavimą, lieka plokščias ir statmenas ašiai ir po deformavimo. Ši hipotezė medžiagų atsparumo kurse plačiai naudojama, nes ją patvirtina daugelis eksperimentų. Ši hipotezė nepasitvirtina tik labai nedideliuose deformuojamųjų konstrukcijų elementų ruožuose - labai arti apkrovos pridėties vietų (kur negalioja ir Sen-Venano principas), prie pat tų vietų, kur keičiasi elemento skerspjūvis ir pan. Šiose vietose skerspjūviai po apkrovimo nebelieka plokšti, išsikraipo (pastebima vadinamoji skerspjūvių deplanacija). Visur kitur deplanacija tiek maža, kad galima jos nepaisyti ir tarti, kad skerspjūviai apkrovimo metu tik vienaip ar kitaip pasislenka, pasisuka, pasilikdami plokšti ir (tai irgi svarbu) statmeni besideformuojančiai elemento ašiai. Remdamiesi šia hipoteze, galime gauti gana paprastas formules įvairiems konstrukcijos būvio parametrams - įtempimams, deformacijoms ir kt. - skaičiuoti.

Superpozicijos principas teigia, kad kelių veiksnių (apkrovų, temperatūros pokyčių) bendra pasekmė (įrąža, įtempimas, deformacija, poslinkis ir kt.) yra lygi pasekmių, kurias sukelia kiekvienas paskiras veiksnys, sumai. Naudodamiesi šiuo principu, galime įvairius parametrus nesunkiai apskaičiuoti nuo paskirų nesudėtingų veiksnių, o bendrą rezultatą po to gauti, sumuodami atskirų skaičiavimų rezultatus. Tačiau būtina įsidėmėti, kad šis principas negalioja, kai deformavimas nėra proporcingas, t.y. kai negalioja proporcingumo (Huko) dėsnis, arba kai deformavimo metu labai pakinta skaičiuojamosios schemos geometrija (pavyzdžiui, kai negalioja poslinkių mažumo prielaida).

Kai nagrinėjama tik apkrovų (jėgų) veikimo pasekmė, superpozicijos principas dažnai vadinamas nepriklausomo jėgų veikimo principu.

1-12

2. TEMPIMAS IR GNIUŽDYMAS

2.1. Tempiami ir gniuždomi konstrukcijų elementai

Konstrukcijos elementuose nuo išorinių jėgų ir kitų veiksnių atsiranda vidinės jėgos. Nuo šių jėgų priklauso, kiek elementas deformuojasi ir kiek patikima jo eksploatacija. Iš pradžių nagrinėsime paprasčiausią konstrukcijos elementą - tiesų strypą. Strypo skerspjūvyje (pjūvyje, kuris statmenas strypo išilginei ašiai) veikiančios vidinės jėgos gali būti pakeistos šešiomis įrąžomis (žr. 1.3 posk.). Tačiau iš pradžių verta pažinti, kas darosi su strypu, kurį veikia viena vienintelė įrąža.

Pradedame nuo to atvejo, kai strypo skerspjūviuose nelygi nuliui tėra ašinė jėga. Ši jėga gali būti teigiama (N>0) arba neigiama (N<0). Pirmasis atvejis atitinka tempimą (2.1 pav., a), antrasis - gniuždymą (2.1 pav., b). Abu šie atvejai matematiškai gali būti nagrinėjami vienodai, naudojantis tais pačiais dydžiais, tomis pačiomis formulėmis (žiūrint į gniuždymą kaip į “neigiamą tempimą”). Na, o konstrukciniu požiūriu, ypač vertinant strypo suirimo galimybes, tempimo ir gniuždymo poveikiai labai skiriasi, ir inžinierius turi visada tai atminti.

2.1 pav.

Kad strypo skerspjūviuose neveiktų kitos įrąžos, išorinių jėgų veikimas turi būti ypatingas, šių jėgų atstojamosios kryptis turi sutapti su išilgine strypo ašimi. Toks apkrovimas ir deformavimas vadinamas centriniu tempimu arba gniuždymu. Būtent tik tokį deformavimą šiame skyriuje ir aptariame. Centrinis tempimas (gniuždymas) konstrukcijų elementuose gana dažnas. Tiktai taip (centriniu tempimu) deformuojami visi labai liauni elementai - virvės, vielos, stygos, lynai. Praktiškai tik centriškai tempiami (gniuždomi) visi šarnyrinių strypinių konstrukcijų (santvarų) tiesūs elementai.

Kad tempiamas ar gniuždomas strypas tiktų eksploatacijai, jis turi tenkinti visų pirma stiprumo ir standumo sąlygas (gniuždomam strypui dar labai svarbios ir stabilumo sąlygos, bet jų čia nežiūrime). Stiprumo sąlygos yra nelygybės, kurios pagal vienokią ar kitokią metodiką apriboja įtempimų didumą, o standumo sąlygos analogiškai riboja deformacijas arba poslinkius. Taigi, apie strypo tinkamumą galime spręsti tik tada, kai esame apskaičiavę įtempimus, deformacijas ir poslinkius.

2.2. Įtempimai

Tiesaus strypo ašinė jėga yra lygi strypo skerspjūvyje veikiančių vidinių jėgų projekcijų į strypo išilginę ašį (z ašį) integralinei sumai (2.2, a pav.):

∫=A

dAN σ .

2.2 pav.

Šioje išraiškoje dažniausiai būna žinoma ašinė jėga N (surasta pjūvio metodu). Ieškomasis dydis - normalinis įtempimas σ, - deja, slypi už integralo ženklo; jį surasti galime tik tada, kai žinome, kaip (pagal kokį dėsnį) normaliniai įtempimai yra pasiskirstę skerspjūvio plote. Centrinio tempimo (gniuždymo) atveju normalinis įtempimas dažniausiai yra vienodo didumo visame skerspjūvio plote A (2.2, b pav.), t. y. σ=const. Tokiu atveju pastovus dydis a gali būti iškeltas prieš integralo ženklą, , ir įtempimo

didumą nustatyti paprasta:

∫ ==A

AdAN σσ

AN

=σ . (2.1)

Įrodyti, kad σ=const, galima tik tada, kai tenkinamos šios trys sąlygos (įrodymas pateiktas A.Čižo knygoje, 34psl.):

• strypo ašis deformavimo metu lieka tiesi, neišlinksta; • galioja plokščiųjų pjūvių hipotezė (skerspjūviai lieka plokšti ir statmeni išilginei ašiai); • strypo medžiaga vienalytė, t. y. jos mechaninės savybės vienodos visuose skerspjūvio taškuose.

Centriškai tempiamo strypo skerspjūvyje (pjūvyje, kuris statmenas išilginei ašiai) tangentinių įtempimų nėra. Tačiau įstrižame tempiamo strypo skerspjūvyje m - m, tarp kurio normalės n ir strypo ašies z yra kampas β (2.3 pav., a), veikia ir normaliniai, ir tangentiniai įtempimai:

βσσ 2cos=n , (2.2)

βστ 2sin2

=nm . (2.3)

Įrodymas knygoje 35 psl.

2.3 pav.

Perpjovę strypą taip, kad pjūvio plokštuma būtų statmena nebe n ašiai, bet m ašiai, analogišku keliu gautume to pjūvio įtempimų reikšmes:

βσσ 2sin=m , βστ 2sin2

=mn .

Atkreipkite dėmesį į tai, kad tangentiniai įtempimai abiejuose statmenuose pjūviuose yra vienodi, τnm=τmn (2.4 pav., b); vėliau šį vienodumą įrodysime kaip tangentinių įtempimų dualumo dėsnį.

Iš (2.2) ir (2.3) formulių nesunku rasti ekstremines įtempimų reikšmes: maksimalus σn,max=σ, kai β=0; maksimalus τnm,max=σ/2, kai β=π/4=45° (ši išvada labai reikšminga, įsidėmėkite ją); minimalus σn,min=0, kai β=π/2=90° (taigi, išilginiuose centriškai tempiamo ar gniuždomo strypo pjūviuose nėra normalinių įtempimų, nėra ir tangentinių, nes ir sin2⋅π/2=sin180°=0).

2.3. Stiprumas

Bet koks konstrukcijos elementas ima irti (netenka savo stiprumo, sugebėjimo atlaikyti mechaninius veiksnius) tada, kai jo įtempimai pasidaro pernelyg dideli, kai įtempimas kuriame nors taške viršija tam tikrą reikšmę. Negana užtikrinti, kad įtempimas tos reikšmės neviršytų, reikia dar ir šiokios tokios stiprumo atsargos, rezervo. Konstrukcijų projektavimo taisyklės paprastai reikalauja, kad įtempimas neviršytų tam tikro nustatyto dydžio. Jeigu taisyklės paremtos ribinių būvių metodu, tai šis dydis vadinamas medžiagos projektiniu stipriu ir žymimas raide R (arba, pavyzdžiui, kai kuriose Europos normose, raide f); leistinųjų įtempimų metode tai - leistinasis įtempimas σadm. Taigi paprasčiausia konstrukcijos elemento stiprumo sąlyga gali būti išreikšta tokia nelygybe:

|σ|≤R. Čia kairėje nelygybės pusėje yra absoliutiniu didumu įtempimas, apskaičiuotas pagal nepalankiausią apkrovimą (apėmus net galimą atsitiktinį, iš anksto nenumatytą konstrukcijos perkrovimą), o dešinėje - medžiagos stiprumo rodiklis, kuris nustatytas atsižvelgiant ir į galimą medžiagos nevienodumą, eksploatacijos sąlygas, ir į kitokios atsargos būtinybę. Plačiau apie atsargos priežastis ir konstrukcijų skaičiavimo metodus kalbėsime vėliau.

Kai medžiaga nevienodai priešinasi tempimui ir gniuždymui (pavyzdžiui, betono pasipriešinimas gniuždymui yra keliolika kartų didesnis už pasipriešinimą tempimui), medžiagos stiprumas nusakomas nebe vienu rodikliu: naudojamas Rt - tempiamasis projektinis stipris, ir Rc - gniuždomasis projektinis stipris. Tada stiprumo sąlyga skirtinga tempiamam ir gniuždomam elementui:

σ≤Rt ir |σ|≤Rc. Išreiškus įtempimą (2.1) formule, šios stiprumo sąlygos susieja projektinį stiprį su įrąža N (ašine

jėga) ir geometriniu skerspjūvio rodikliu A (skerspjūvio plotu):

RAN

≤ , (2.4)

arba, modifikavus skirtingo pasipriešinimo medžiagoms:

tRAN

≤ , (2.4a)

cRAN

≤ . (2.4b)

Nėra reikalo tikrinti, ar (2.4) sąlyga tenkinama visuose strypo taškuose, visuose skerspjūviuose. Užtenka garantuoti stiprumą ten, kur įtempimas didžiausias (|σ|max). Jeigu net didžiausias įtempimas neviršija projektinio stiprio R, tai, suprantama, kitose vietose mažesni įtempimai irgi neviršija. Tuos skerspjūvius, kuriuose gali būti didžiausia įtempimų reikšmė, vadiname pavojingaisiais skerspjūviais. Tiesiame tempiamame strype tokių stiprumo požiūriu tikrintinų skerspjūvių dažniausiai yra ne daugiau kaip du: tas, kuriame veikia maksimali ašinė jėga |N|max, ir tas, kurio plotas minimalus, Amin. Jeigu sutampa |N|max ir Amin vieta, tikrintinas pagal stiprumą lieka tas vienas skerspjūvis.

Taigi, norint nustatyti, kurie tempiamo strypo skerspjūviai yra pavojingieji, reikia visų pirma pjūvio metodu apskaičiuoti visuose strypo skerspjūviuose ašines jėgas ir rasti tuos skerspjūvius, kuriuose ašinės jėgos reikšmė didžiausia. Kai apkrovimas nesudėtingas, galima iš karto, be lyginamojo skaičiavimo, pastebėti, kur yra ekstreminė įrąža - didžiausia Nmax, kai ji teigiama, arba mažiausia Nmin, kai ji neigiama (nes, gal būt, |Nmin|=|N|max). Kai medžiaga nevienodai priešinasi tempimui ir gniuždymui, tenka nagrinėti ir tempiamųjų, ir gniuždomųjų ruožų stiprumą, todėl pavojingųjų pjūvių pagausėja. Ekstreminės ašinės jėgos vietą nustatyti kiek kebliau, kai apkrovos jėgos nėra vien koncentruotos, pavyzdžiui, kai būtina į skaičiavimą įtraukti ir strypo savąjį svorį.

Dažniausiai nėra sunku aptikti mažiausio ploto skerspjūvį, reikia tik nepamiršti, kad skaičiavimui imamas materialus pjūvio plotas (plotas neto, atmetus skyles).

Tenka spręsti trejopus stiprumo uždavinius - priklausomai nuo to, kurie dydžiai stiprumo sąlygoje (2.4) žinomi ir kuriuos reikia nustatyti: ašinę jėgą N, skerspjūvio plotą A ar projektinį stiprį R.

Kai konstrukcijos elementas jau padarytas, jau egzistuoja, t. y. kai žinoma, iš kokios medžiagos jis pagamintas (žinomas R) ir kokie jo matmenys (žinomas A), gali būti nustatoma, ką gali toks elementas atlaikyti, kokia didžiausia ašinė jėga N gali jį veikti (taigi ir kokia didžiausia apkrova, sukelianti tą įrąžą, gali būti pridėta). Dažnai šis uždavinys vadinamas leistinosios apkrovos nustatymo uždaviniu.

Kai konstrukcija dar tik projektuojama, paprastai yra žinoma, kam ji skiriama, kokią ašinę jėgą N turės atlaikyti jos tas ar kitas elementas. Konstruktoriui tenka išspręsti projektinį uždavinį - nustatyti, koks tas elementas turi būti. Dažniausiai būna iš anksto nuspręsta, iš kokios medžiagos (kokio plieno, betono, plastiko) elementą daryti (taigi, yra žinomas R), ir iš stiprumo sąlygos (2.4) belieka nustatyti trečiąjį dydį - reikalingąjį strypo skerspjūvio plotą A.

Beje, gali pasitaikyti ir toks projektinis uždavinys: estetiniais ar kitais sumetimais iš anksto numatyta tempiamo ar gniuždomo elemento geometrinė forma (taigi ir skerspjūvio plotas A) ir reikia parinkti tokią konstrukcinę medžiagą, kurios projektinis stipris R būtų pakankamas, o pati medžiaga, žinoma, būtų kuo pigesnė.

Visų šių uždavinių sprendimas remiasi stiprumo sąlyga, kuri yra nelygybė. Sprendimo eigoje nelygybės ženklas neišnyksta, nevirsta lygybės ženklu, taigi ir atsakymą gauname nelygybės pavidalu. Nustatome, kad ašinė jėga negali būti didesnė kaip tam tikras apskaičiuotas dydis arba kad strypo skerspjūvio plotas turi būti ne mažesnis kaip apskaičiuotoji reikšmė. Projektuotojas dažniausiai savo dispozicijoje turi tam tikrą (gal būt, standartinį) rinkinį skerspjūvių arba matmenų ir iš jų pasirenka tą, kuris tenkina stiprumo sąlygą ir yra ekonomiškiausias. Stiprumo sąlyga dažnai yra ne tik inžinerinis, bet ir juridinis reikalavimas (susietas su valstybės įstatymais), ir jo reikia griežtai laikytis, pažeisti nevalia, net ir vardan taupumo.

Inžinieriui tenka savo nuomonę pareikšti ir tokiu atveju, kai žinomi visi parametrai - N, A ir R. Jam belieka pasakyti, ar tokia ir taip apkrauta konstrukcija yra patikima stiprumo požiūriu, ar ne. Tai - tikrinamasis uždavinys. Jeigu išvada teigiama (konstrukcija yra pakankamai stipri), tuo ir pasitenkinama. Na, o jeigu išvada neigiama, tenka ko nors skubiai imtis: arba sumažinti eksploatuojamos konstrukcijos apkrovą (sumažinti N), arba konstrukciją skubiai (kol dar nesuiro) sustiprinti, arba, jeigu ta konstrukcija dar nepastatyta, nepagaminta, perprojektuoti ją (išsprendus jau projektinį uždavinį, pareikalauti kitokio A arba R).

2.4. Deformacijos, strypo matmenų pokytis

Deformacija yra proporcinga įtempimui - tai skelbia Huko dėsnis. Iš (1.15) gauname tokią deformacijos išraišką:

ε=σ/E. (2.5) Kai jau žinomi strypo skerspjūvio normaliniai įtempimai (lygiagrečiai išilginei strypo ašiai), pagal

Huko dėsnį galime nustatyti ir strypo išilginę deformaciją. Pavyzdžiui, jeigu plieno strypo skerspjūvyje σ=160 MPa ir plieno tamprumo modulis E=200 GPa, tai ε=160⋅106/200⋅109=8,0⋅104 (deformacija - bematis dydis).

Galime tempiamo strypo išilginę deformaciją išreikšti ir ašine jėga - pasinaudoję (2.5) ir (2.1) formulėmis:

EAN

=ε . (2.6)

Vardiklyje esanti sandauga E⋅A (medžiagos deformuojamumo rodiklio ir skerspjūvio geometrinio rodiklio sandauga) vadinama strypo skerspjūvio tempiamuoju standžiu (arba standumo moduliu). Kuo didesnis standis, tuo mažiau strypas deformuojasi, tuo standesnis ties tuo skerspjūviu jis yra. Viso strypo standumas priklauso dar ir nuo strypo ilgio: žr. (2.9) formulę.

Kai kinta strypo išilginiai matmenys, kinta ir skersiniai: strypui tįstant, ilgėjant, jo skerspjūvis siaurėja, ir atvirkščiai, gniuždomas strypas ne tik trumpėja, bet ir storėja. Šią priklausomybę ypač ryškiai pastebime, deformuodami strypus, kurių medžiagos tamprumo modulis mažas (pavyzdžiui, gumos juostelę). Yra pastebėta, kad tampriųjų medžiagų skersinę deformacija εq yra proporcinga išilginei deformacijai ε:

εq=-νε. (2.7) Proporcingumo koeficientas v vadinamas skersinės deformacijos koeficientu arba Puasono

koeficientu (pagerbiant prancūzų mokslininką Deni Poisson, 1781-1840). Plieno ir daugelio kitų konstrukcinių medžiagų Puasono koeficientas yra apie 0,25-0,35, kaučiuko - net 0,47 (minkštoms polimerinėms medžiagoms v gali būti gerokai didesnis už 0,5!); jokios vienalytės izotropinės medžiagos Puasono koeficientas neviršija 0,5 (tai įrodysime vėliau). Reikia paminėti, kad yra šiuolaikinių polimerinių medžiagų ir su neigiamu Puasono koeficientu. Įsidėmėkite, kad šis koeficientas išreiškia proporcingumą tik tarp deformacijų (išilginės ir skersinės); tačiau, pasinaudoję Puasono koeficientu, galime rasti ir matmenų pokyčius.

Žinodami deformacijas ties įvairiais strypo taškais, ties visais jo skerspjūviais, galime nustatyti, kiek pakinta strypo matmenys. Pavyzdžiui, strypo ilgio pokytis priklauso nuo išilginės deformacijos:

∫∫ ==∆LL

dzEANdzL

00ε . (2.8)

Jeigu per visą strypo ilgį nekinta nei ašinė jėga, nei strypo skerspjūvio plotas, nei jo medžiaga (N=const, A=const, N=const), tai visi šie dydžiai (taigi ir deformacija ε) gali būti iškelti prieš integralo ženklą, ir tada

LEANLL ==∆ ε . (2.9)

Būtent pagal šią formulę galima nusakyti viso strypo standumą parametru EA/L (strypo standžių) arba atvirkštinę savybę - deformatyvumą - parametru L/(EA). Kuo didesnis strypo ilgio ir skerspjūvio standžio santykis, tuo daugiau ištįsta strypas, veikiamas tokios pačios ašinės jėgos.

Dažnai deformacija būna pastovi tik atskiruose strypo ruožuose. Tada pagal (2.9) formulę apskaičiuojame tų atskirų ruožų ilgių pokyčius, o viso strypo ilgio pokytį išreiškiame visų n ruožų pokyčių suma:

∑=

=∆n

jjj LL

1ε . (2.10)

Nepamirškite, kad deformacija ε vienuose ruožuose (kurie gniuždomi, kurių ašinė jėga N<0) gali būti neigiama, kituose - teigiama, taigi ir ilgių pokyčiai bei jų suma gali būti bet kokio ženklo; teigiamas pokytis reiškia strypo pailgėjimą, neigiamas - sutrumpėjimą.

Pagaliau būna strypų, kuriuose ε≠const: arba strypo skerspjūvis kinta strypo ilgyje, arba strypą veikia ne koncentruota, bet pasiskirsčiusi per visą ilgi apkrova (pavyzdžiui, savasis svoris, inercijos jėgos, trinties jėgos). Tada (2.9) ir (2.10) formulės negalioja, reikia naudotis (2.8) formule ir informacija apie deformacijos pasiskirstymo dėsningumus. Tokio skaičiavimo pavyzdį nagrinėsime vėliau.

Strypas kai kada deformuojasi ne tik dėl vidinių jėgų (ašinių jėgų, įtempimų), bet ir dėl temperatūros pokyčių, jeigu jų yra. Todėl, kai viso apkrauto strypo temperatūra pakinta vienodu dydžiu T, deformacija

TEAN αε += , (2.11)

čia a - fizikinis strypo medžiagos rodiklis, jos šiluminio plėtimosi koeficientas. Abu (2.11) formulės dėmenys gali būti skirtingo ženklo (pavyzdžiui, kai neigiama ašinė jėga ir teigiamas strypo temperatūros prieaugis).

Neapsirikite, kai įvertinate temperatūros įtaką skersinei deformacijai. Mat, šiluminis plėtimasis vienalytėje izotropiškoje medžiagoje yra vienodas visomis kryptimis, todėl iš Puasono koeficiento dauginti reikia tik pirmąjį (2.11) formulės narį, ir ženklą pakeičia tik pirmasis narys:

TEAN

q αυε +−= . (2.12)

2.5. Poslinkiai

Visam strypui ar jo atskiriems ruožams deformuojantis, kinta atstumai tarp strypo skerspjūvių, kinta skerspjūvių padėtis erdvėje, bet kurioje atskaitos sistemoje. Kelias, kurį nueina deformavimo metu skerspjūvis, vadinamas skerspjūvio poslinkiu. Paprastai poslinkiai z ašies kryptimi yra žymimi raide w. Jeigu skerspjūvis pasislinko teigiama z ašies kryptimi, jis laikomas teigiamu.

Skerspjūvio poslinkio didumas priklauso nuo to, kiek pakito ilgiai tų strypo ruožų, kurie yra tarp nagrinėjamojo skerspjūvio ir nejudančio, įtvirtinto (atraminio) skerspjūvio. Jeigu nagrinėjamasis skerspjūvis yra į teigiamą (pagal z ašį) pusę nuo atramos, tai dėl ruožo pailgėjimo (dėl ilgio teigiamo pokyčio) atsiranda teigiamas poslinkis ir, atvirkščiai, neigiamoje pusėje esančio skerspjūvio poslinkis būna priešingo ženklo negu ruožo ilgio pokytis. Todėl, pavyzdžiui, parodytųjų 2.4, a paveikslėlyje strypų skerspjūvių poslinkiai skaičiuojami taip:

wa=0, wb=ε1L1, wc=ε1L1+ε2L2, wd=ε1L1+ε2L2+ε3L3, wh=0, wg=-ε3L3, wf=-(ε3L3+ε2L2), we=-(ε3L3+ε2L2+ε1L1).

Čia turima omenyje, kad kiekvieno ruožo deformacijos ε yra vienodos per visą to ruožo ilgį ir apskaičiuojamos arba (2.6), arba (2.11) formule.

Kartais būna pravartu nubraižyti nagrinėjamo strypo skerspjūvių poslinkių diagramą, iš kurios galima lengvai nustatyti bet kurio skerspjūvio poslinkį. Kai deformacija visame strypo ruože yra vienoda, t. y. kai ruožo ilgio pokytis apskaičiuojamas (2.9) formule, pakanka nustatyti strypų ruožų galų poslinkius; tam naudojamės (2.9) formule ir šio poskyrio pradžioje nusakytomis taisyklėmis. Skerspjūvių, esančių bet kurioje ruožo vietoje, poslinkio prieaugis proporcingas atstumui nuo ruožo galo. Todėl diagramoje tarp ordinačių, žyminčių ruožų galų poslinkius, brėžiame tiesę. Tokios poslinkių diagramos sudarymo pavyzdys yra 2.4, b paveikslėlyje. Iš poslinkių w diagramos matyti, kad konstrukcijai besideformuojant visiškai nejuda ne tik atraminis (kairysis) laiptuotojo strypo galas, bet ir dar vienas vidurinio ruožo skerspjūvis (wk=0). Skerspjūviai tarp atramos ir šio nepajudančio skerspjūvio k pasislenka į kairę (neigiami poslinkiai), tuo tarpu visi skerspjūviai, esantys į dešinę nuo pjūvio k, slenka į dešinę (teigiami poslinkiai).

Jeigu bet kuriame strypo ruože deformacija nėra vienoda (jeigu ji nėra pastovus dydis), tai ties tuo ruožu poslinkių diagrama nėra tiesinė. Tokios diagramos kreivei nubrėžti reikia papildomų taškų - reikia apskaičiuoti ne tik to ruožo galų, bet ir dar bent vieno kito skerspjūvio poslinkius.

2.4 pav.

2.6. Standumas

Standumas yra konstrukcijos ar jos elemento savybė per daug nesideformuoti dėl mechaninių veiksnių. Ši savybė kai kurioms konstrukcijoms yra labai svarbi, nes, visų pirma, žymiai pakitusių matmenų, pakitusios formos konstrukcija gali nebetikti eksploatacijai, be to, didelės deformacijos dažnai yra netolimo gresiančio suirimo pranašas. Todėl bet kuri konstrukcija ir jos elementai turi tenkinti vadinamąsias standumo sąlygas. Šios sąlygos yra deformacijų arba poslinkių apribojimai:

ε≤εlim, (2.13) w≤wlim, (2.14)

čia εlim, wlim - normomis nustatyti arba technologinių, estetinių sumetimų padiktuoti dydžiai. Čia parodyti tik teigiamų deformacijų ir poslinkių apribojimai, bet lygiai taip pat gali būti apriboti ir neigiamų (gniuždomųjų) deformacijų ar neigiamos krypties poslinkių absoliutiniai didumai.

Paprasta yra spręsti tikrinamąjį standumo uždavinį: reikia apskaičiuoti atitinkamą konstrukcijos elemento deformaciją ar nurodyto taško poslinkį ir pažiūrėti, ar jų didumas neviršija ribinio (norminio) dydžio.

Dažniausiai tokie standumo uždaviniai ir sprendžiami, nes konstrukcijų elementai projektuojami, remiantis visų pirma stiprumo sąlygomis, o suprojektuota konstrukcija po to pagal standumo sąlygas tik patikrinama. Tačiau jeigu paaiškėja, kad deformacijos ar poslinkiai suprojektuotoje konstrukcijoje per dideli, tenka konstrukciją projektuoti iš naujo, šį kartą remiantis nebe vien stiprumo, bet ir standumo sąlygomis. Taigi, reikia mokėti spręsti ir projektinius standumo uždavinius.

2.7. Deformavimo darbas, potencinė energija

Strypui deformuoti - ištempti ar sutrumpinti - reikia įdėti darbo, reikia energijos. Deformacija atsiranda dėl jėgų, o iš fizikos žinome, kad darbas lygus jėgos ir jos nueito kelio sandaugai. Tačiau šiuo atveju (2.5, a pav.) darbo didumas išreiškiamas puse tokios sandaugos:

W=0,5F∆L. (2.15)

2.5 pav.

Pamėginkime išsiaiškinti ir įrodyti, kodėl taip yra. Tempiančios tamprų tiesų strypą jėgos didumas yra proporcingas strypo ilgio pokyčiui (2.5, b pav.): F=EA∆L/L=tgβ∆L. Proporcingumo koeficientą (tgβ=EA/L) gauname, pasinaudoję (2.9) formule, suprasdami, kad N=F,

tuo tarpu tgβ yra proporcingumą vaizduojančios tiesės krypties koeficientas. Kai jėgos didumas kuriuo nors apkrovimo proceso metu yra F(t), jėga per trumpą laiko tarpą strypui beilgėjant nueina kartu su savo pridėties tašku (strypo laisvuoju galu) mažą atstumą d(∆L). Tuo metu ji atlieka elementarų darbą, išreiškiamą jėgos ir nueito kelio sandauga (šį darbą 2.5, b paveikslėlio diagramoje atitinka užbrūkšniuotasis plotelis):

∆W=F(t)⋅d(∆L)=tgβ∆Ld(∆L). Visą darbą gauname integruodami:

2)(

2)()(

**2*)(

00

** LFLtgLLdtgWWLF ∆

=∆

=∆∆=∆= ∫∫∆

ββ .

Šis dydis atitinka (2.15) formulę, o 2.5, b paveikslėlio diagramoje - trikampio OAB plotą. Išorinių jėgų darbas niekur nedingsta, jis susikaupia pačiame ištemptame strype potencinės

deformavimo energijos pavidalu. Būtent ši potencinė energija sugrąžina deformuotąjį kūną atgal į pirmykštį būvį, kai pašalinama deformavimo priežastis. Prisiminkite, kaip staiga susitraukia gumos juostelė, kai po ištempimo paleidžiate ją iš pirštų. Žmogus seniai įgudo naudotis potencine deformavimo energija: šaunamojo lanko bei arbaleto stygos, įvairios spyruoklės (pastarosiose, beje, daugiau ne tempimo, o kitokio deformavimo energija sukaupiama).

Jeigu deformacija ε vienoda per visą strypo ilgį (t .y. jeigu ašinė jėga nekinta, N=const, medžiaga ir jos tamprumo modulis vienodi, E=const, skerspjūvio plotas irgi nekinta, A=const), potencinė ištempto strypo energija išreiškiama taip:

EALNU

2

2

= . (2.16)

Jeigu konstrukcijoje deformuojamų strypų ne vienas, o n, energija sumuojama:

( )∑=

=n

i i

ii

EALNU

0

2

2. (2.17)

Šitokios energijos išraiškos racionalus naudojimas poslinkiui skaičiuoti demonstruojamas A.Čižo knygoje 2.6 pavyzdžiu (72 p.).

Dažnai naudojama santykinės potencinės energijos sąvoka - tai energija, tenkanti strypo tūrio vienetui:

2222

2

2

2

2

σεσ=====

EEAN

ALEA

LN

VUu . (2.18)

Visos šios išraiškos galioja tik tuo atveju, kai strypas tamprus ir deformuojasi proporcingai, pagal Huko dėsnį. Kai to nėra, pavyzdžiui, kai greta tampriosios deformacijos atsiranda ir plastinė, dalis deformavimo energijos pereina į šilumą, sunaudojama medžiagos struktūrai keisti, ir tik dalis jos susikaupia potencinės energijos pavidalu.

Esame kalbėję apie konstrukcijos elementų stiprumą, buvome įrąžomis bei įtempimais išreiškę stiprumo sąlygas. Ar tikrai deformuojamo kūno (ne medžiagos, o kūno!) stiprumo sąvoka nėra susijusi su energija? Pavyzdžiui, pasakykite, kuris tokios pat virvės gabalas stipresnis - ilgas ar trumpas? Tur būt, kai kas prisiminsite, kad kelių eismo taisyklės reikalauja sugedusį automobilį vilkti ilgu buksyru, ilga virve? Kodėl? Ogi todėl, kad ilgai virvei nutraukti reikia didesnės energijos negu trumpai (nors jėga, dėl kurios abi virvės trūksta, yra tokio pat didumo). Pasižiūrėkite į (2.16) formulę - energija priklauso ne tik nuo jėgos (įrąžos) didumo, bet ir nuo strypo ilgio. Kai kada, ypač dinaminių apkrovų atveju, stiprumą lemia būtent energijos kiekis. Ilgas buksyras “stipresnis”, nes sušvelnina smūginius trūktelėjimus, akumuliuodamas smūgio energiją. Senoviniai ekipažai dėl to būdavo prie važiuoklės prikabinami ilgais diržais, dėl to ir laivų inkarų grandinės daromos kuo ilgesnės. Kai jūs trauksite iš ežero užkibusią stambią žuvį, negriebkite už vidurio valo - žuviai tada pakaks energijos nutraukti valą su visu kabliuku; tempdami žuvį į krantą, pasinaudokite kuo ilgesnio valo ir net paties meškerykočio deformacijos energija.

2.8. Savojo svorio įtaka vertikaliam strypui

Dažniausiai tempiamų ar gniuždomų strypų savasis svoris yra labai mažas, palyginus su kitomis apkrovų jėgomis. Todėl paprastai (daugumoje medžiagų atsparumo uždavinių) savojo svorio nepaisoma. Tačiau yra konstrukcijų, kurių savasis svoris sudaro kaip tik pagrindinę, esminę apkrovos dalį. Čia pažiūrėsime, kaip skaičiuojama ašinė jėga, įtempimai bei deformacijos, atsiradę dėl savojo svorio. O kai drauge su savuoju svoriu veiks ir kitos apkrovos, galutinį rezultatą gausite, pritaikę superpozicijos principą.

Kai vertikalų vienodo skerspjūvio strypą veikia vien savasis svoris, ašinė jėga bet kuriame strypo skerspjūvyje, nutolusiame atstumu z nuo laisvojo galo (2.6 pav.), yra lygi strypo dalies, tariamai atpjautos tuo nagrinėjamuoju skerspjūviu, svoriui. Šitos strypo dalies tūrį Vz=Az reikia padauginti iš strypo medžiagos tūrio svorio γ=ρg (ρ - medžiagos tankis, g - laisvojo kritimo pagreitis):

N(z)=Vzγ=ρgAz. (2.19) Įtempimas bet kuriame to skerspjūvio taške σ(z)=N(z)/A=ρgz, (2.20)

o išilginė deformacija ties tuo skerspjūviu ε(z)=σ(z)/E=ρgz/E. (2.21) Viso strypo ilgio pokytis apskaičiuojamas (2.8) formule:

EgLzdz

EgdzL

LL

2

2

00

ρρε ∫∫ ===∆ . (2.22)

2.6 pav.

Tempiamo strypo savasis svoris ypač reikšmingas, kai strypas labai ilgas. Nors čia gautų formulių taikymas gana paprastas, bet verta pasimokyti jas naudoti uždaviniuose.

Racionalaus stiprumo strypai projektuojami, kai taupomos medžiagos, lėšos (jie pigesni), bet dažnai ir dėl kitų priežasčių (pavyzdžiui, dėl to kad jie lengvesni, kad labiau deformuojasi). Norėdami nustatyti, kaip atrodo racionalaus stiprumo strypas, čia nagrinėjame vertikalų strypą, kurio vienas galas įtvirtintas atramoje, o kitas apkrautas koncentruota jėga, neatmesdami ir paties strypo svorio.

Kiekviename tempiamo (gniuždomo) strypo skerspjūvyje įtempimai turi neviršyti medžiagos projektinio stiprio: σ=N/A≤R. Iš šios sąlygos gauname skerspjūvio ploto apribojimą: A≥N/R, t.y. skerspjūvio plotas turi būti pakankamai didelis. Jis gali būti ir labai didelis, su pertekliumi tenkinantis stiprumo poreikį, tačiau tada jis būtų neracionalus taupumo, ekonomijos požiūriu. Racionaliausias yra toks strypas, kurio kiekvienas skerspjūvis yra lygiai toks, koks būtinas stiprumo požiūriu; taigi, kiekvienas skerspjūvis stiprumo sąlygą nelygybę turėtų tenkinti lygybės pavidalu: A=N/R. Jeigu vertikalų strypą veikia ne tik koncentruota jėga F (2.7, a pav.), bet ir savasis svoris, ašinė jėga didesnė tuose skerspjūviuose, kurie toliau nuo laisvojo galo, taigi tie skerspjūviai turi būti ir didesnio ploto. Skerspjūvio, nutolusio atstumu z nuo laisvojo galo, plotas

A(z)=N(z)/R=(F+Gz)/R, (a) čia Gz - strypo dalies, iki nagrinėjamojo pjūvio svoris. Dar tolesnio skerspjūvio, esančio atstumu z+dz nuo laisvojo galo, plotas dar didesnis:

A(z)+dA=(F+Gz+γA(z)dz)/R, (b) Atėmę iš (b) lygybę (a), gauname: dA=γA(z)dz/R, arba

( ) dzRzA

dA γ=

. (c)

2.7 pav.

Suintegravę lygybę (c), gauname

( ) CzEezA

+=

γ

. Kadangi kai z=0, A(z)=Ao=F/R=ec, tai

( ) zEeAzAγ

0= . (2.23) Taigi, tokio racionalaus (vienodo stiprumo) strypo skerspjūvio plotas kinta pagal eksponentinę

funkciją ir strypo forma būna panaši į parodytąją (2.7, a pav.). Padaryti tokio pavidalo konstrukciją nėra lengva, todėl kartais daromi laiptuoti strypai (2.7, b pav.), tuo būdu bent kiek priartėjant prie racionaliosios formos, parodytos brėžinyje punktyru.

2.9. Tempiamų (gniuždomų) strypų sistemos

Pastatuose, mašinose būna ir paskirų tempiamų ar gniuždomų strypų, bet dažniausiai naudojamos konstrukcijos, sudarytos iš kelių ar daugelio tokių strypų, vadinamosios strypinės sistemos.

Paprasčiausios iš šių sistemų yra tos, kuriose visų strypų išilginės ašys eina viena tiese. Dažnai tokios konstrukcijos net ir vadinamos ne strypinėmis sistemomis, o tiesiog “laiptuotaisiais” ar dar kitokiais strypais. Daugumą tokių konstrukcijų sudaro strypai, išdėstyti nuosekliai vienas po kito (2.8, a pav.); vienas strypas nuo kito atsiskiria tuo, kad jie gali būti skirtingo skerspjūvio, kitokios medžiagos, kad jų sandūroje gali būti pridėtos koncentruotos apkrovos jėgos (ir todėl strypų įrąžos - ašinės jėgos - skiriasi).

Tačiau būna ir strypų, kurių ašys konstrukcijoje visiškai sutampa - koaksialūs, bendraašiai strypai (2.8, b pav.), dažnai su koncentriškais skerspjūviais (su centrine šerdimi ir iš kitos medžiagos pagamintais apvalkalais). Tokia konstrukcija laikytina ir gelžbetoninė kolona (2.8, c pav.) su plieno armatūros virbais betone (šios armatūros viso ploto centras sutampa su kolonos skerspjūvio centru).

2.8 pav.

Jeigu strypų ašys sistemoje eina ne viena tiese, strypai vienas su kitu (o ir su atramomis) turi būti sujungti šarnyrais (lankstomis), o apkrovos jėgos turi būti pridėtos tik prie šitų šarnyrinių sandūrų (mazgų) - tik tokiu atveju strypuose neatsiranda kitų įrąžų (išskyrus ašines jėgas), t.y. tik tuo atveju strypai yra centriškai tempiami ar gniuždomi. Tokios sistemos vadinamos šarnyrinėmis (lankstinėmis) strypinėmis sistemomis. Idealių šarnyrų retai kada būna, bet dar rečiau strypai vienas su kitu sujungiami absoliučiai standžiai (apkrovus konstrukciją, strypų ašys vis dėlto pasisuka viena kitos atžvilgiu). Dažniausiai ir tokių paplitusių konstrukcijų kaip santvaros mazgai, kuriuose strypai jungiami varžtais, kniedėmis (2.9 pav.) ar privirinami, laikomi šarnyriniais, ir santvaros dažniausiai nagrinėjamos kaip šarnyrinės strypinės sistemos.

2.9 pav.

Šarnyrinėse strypinėse sistemose gali būti ir nesideformuojančių, absoliučiai standžių bet kokios formos elementų, prie kurių šarnyrais prijungti deformuojamieji (tempiami ar gniuždomi) strypai. Tokie elementai skaičiuojamosiose schemose dažniausiai užbrūkšniuojami (2.10 pav.), apkrovos jėgos gali būti pridedamos prie bet kurio tokių elementų taško.

2.10 pav

Šarnyrinės strypinės sistemos gali būti plokščiosios (kai visų strypų ašys ir apkrovos jėgos yra vienoje plokštumoje, kaip, pavyzdžiui, 2.11, a paveikslėlio santvaroje) arba erdvinės (kai strypų ašių ir apkrovos jėgų kryptys yra ne vienoje plokštumoje, 2.11 b pav.).

2.11 pav.

Kiekvieno sistemos strypo įrąža (ašinė jėga) gali būti kitokia. Jeigu sistemoje yra n strypų, tai apkrautos sistemos mechaninį būvį galima nusakyti tokiu pat skaičiumi (n) įrąžų (ašinių jėgų Nj). Tiek pat (n) gali būti skirtingų deformacijų (εj). Kiekvienas laisvas (ne atraminis) mazgas, į kurį sueina strypų galai, konstrukcijai besideformuojant, juda erdvėje; mazgo įmanomo judesio laisvumas apibrėžiamas laisvumo laipsniu. Laisvumo laipsnis lygus skaičiui parametrų (koordinačių), reikalingų nustatyti naujai pasislinkusio mazgo padėčiai; pavyzdžiui, plokščiosios sistemos mazgo k (2.11, c pav.) padėčiai k1 nusakyti reikia žinoti du poslinkio sk komponentus - uk ir vk (arba patį poslinkį sk ir jo krypties kampą βk), taigi tokio mazgo laisvumo laipsnis fk=2.

Koaksialios sistemos mazgo laisvumo laipsnis f=1, erdvinės sistemos mazgo f=3 (išimčių gali būti, kai mazgo judesys kaip nors suvaržytas). Kai sistemoje yra absoliučiai standžių, nesi deformuojančių elementų (kaip 2.10 pav.), į šiuos standžiuosius elementus dera žiūrėti kaip į stambius mazgus. Tokių stambiųjų mazgų laisvumo laipsnis plokščiojoje sistemoje būna iki 3, o erdvinėje - iki 6.

Įjungto į šarnyrinę strypinę sistemą nesideformuojančio, absoliučiai standaus elemento (laikomo vienu vientisu stambiu mazgu) laisvumo laipsnis lygus, kaip ir paprasto šarnyrinio mazgo laisvumo laipsnis, skaičiui parametrų, kurių reikia naujai elemento padėčiai nustatyti. Pavyzdžiui, tokio plokščiosios sistemos stambiojo mazgo (2.12, a pav.) naujai padėčiai nustatyti nepakanka žinoti kurio nors taško a poslinkio komponentus (ua, va), reikia dar ir trečio parametro - arba kurio nors kito taško poslinkio bent vieno komponento, arba elemento posūkio kampo (ϕ).

Taigi tokio mazgo laisvumo laipsnis f=3. Kai kada šių mazgų judesys būna suvaržytas: pavyzdžiui, elementas šarnyru pritvirtintas prie atramos (2.12, b pav.) ir gali tik pasisukti apie tą atramą (užtenka žinoti posūkio kampą, f=1). Mazgo laisvumo laipsnis sumažėja ir tuo atveju, kai strypinė sistema (ir apkrova) visiškai simetriška (kaip 2.13, a pav.; čia stambusis mazgas pasislenka iš anksto žinoma kryptimi - simetrijos ašies kryptimi, nė kiek nepasisukdamas, todėl jo naujajai padėčiai nustatyti pakanka žinoti šį vienintelį poslinkio komponentą, f=1) arba kai visi strypai (ir apkrovos jėgos) lygiagrečiai (kaip 2.13, b pav.; čia negali būti horizontalaus poslinkio komponento, todėl naujoji mazgo padėtis nustatoma tik vertikaliuoju kurio nors taško poslinkiu ir viso stambiojo mazgo posūkiu, f=2).

2.12 pav.

2.13 pav.

Visos strypinės sistemos laisvumo laipsnis lygus visų m mazgų laisvumo laipsnių sumai:

∑=

=m

iifp

1.

Deformuotos sistemos geometrinį būvį galima nusakyti jos mazgų poslinkiais, tikriau - šių poslinkių komponentais. Jeigu mazgo laisvumo laipsnis 2, tai naujai mazgo padėčiai (po deformavimo) nusakyti reikia

žinoti du šio mazgo poslinkio komponentus. Jeigu visos sistemos laisvumo laipsnis p, tai šios sistemos geometrinis būvis po deformavimo gali būti aprašytas tokiu pat skaičiumi (p) poslinkių komponentų.

Jeigu kalbame apie šarnyrinę strypinę sistemą, kurios visa apkrova susideda tik iš koncentruotų jėgų, pridėtų prie sistemos mazgų, tai, pakeitus apkrovos jėgas jų atstojamųjų komponentais (pavyzdžiui, projekcijomis į koordinačių ašis), tų komponentų gali būti prie kiekvieno mazgo tiek, koks mazgo laisvumo laipsnis, o iš viso - p.

Statinės pusiausvyros lygtys susieja įrąžas su apkrovos jėgomis. Jos parašomos, pritaikius pjūvio metodą. Įvairiai pjūviais suskaidę sistemą ir pasinaudoję jėgų projekcijomis į įvairias ašis bei jėgų momentais įvairių taškų atžvilgiu, galime parašyti be galo daug neklaidingų pusiausvyros lygčių. Pavyzdžiui, parodytosios (2.14 pav.) sistemos mazgai a ir b gali būti išpjauti atskirai arba drauge, pusiausvyros lygtis galima sudaryti, prilyginus nuliui sumas jėgų projekcijų (∑ = 0xF ) į ašis x1,x2,... ,x9 ir t.t. arba sumas jėgų

momentų ( ) taškų a, b, c, f, e ir t.t. atžvilgiu. Tačiau iš visų šių lygčių tik tam tikras skaičius tėra tiesiškai nepriklausomos (visos kitos pasirodo besančios kelių kitų lygčių deriniai; jeigu ir jas panaudotume uždaviniams spręsti, išvadas iš jų gautume trivialias - kad nulis lygus nuliui). Tiesiškai nepriklausomų pusiausvyros lygčių būna tiek, koks yra sistemos (arba mazgo) laisvumo laipsnis. Taigi nepriklausomų sistemos statinės pusiausvyros lygčių galima parašyti p. Kad netyčia tarp šių lygčių neatsirastų tiesiškai priklausomų, geriau yra pjūvio metodu išpjauti atskirai kiekvieną mazgą ir rašyti atskirai kiekvieno mazgo pusiausvyros lygtis.

∑ = 0kM

2.14 pav.

Konstrukcijoms (ne mechanizmams!) skirtų šarnyrinių strypinių sistemų laisvumo laipsnis p visada yra ne didesnis kaip sistemos strypų skaičius n. Kai šie du dydžiai yra lygūs, t.y. kai

n=p, žinant apkrovos jėgas, vien iš statinės pusiausvyros lygčių (kurių, kaip jau įsitikinome, parašoma p) galima nustatyti visų sistemos strypų įrąžas (nes įražų skaičius yra lygus turimų lygčių skaičiui). Tokios sistemos todėl vadinamos statiškai išsprendžiamomis.

Jeigu sistemos strypų skaičius didesnis, jeigu n>p, visų strypų ašinėms jėgoms rasti statinės pusiausvyros lygčių nepakanka (nes nepriklausomų lygčių skaičius p yra mažesnis kaip nežinomųjų įražų skaičius n). Tokios sistemos vadinamos statiškai neišsprendžiamomis, o skirtumas

n-p=k, (2.24) vadinamas statinio neišsprendžiamumo laipsniu. Yra įprasta sakyti: “vienąkart statiškai neišsprendžiama sistema” (kai k=1), “triskart statiškai neišsprendžiama sistema”, “k kartų statiškai neišsprendžiama sistema”.

Reikia išmokti be klaidų nustatyti sistemos statinio neišsprendžiamumo laipsnį. Kai nepakanka statinės pusiausvyros lygčių įrąžoms nustatyti arba kai norima rasti sistemos

deformacijas bei poslinkius, naudojamasi deformavimo lygtimis - geometrinėmis ir fizikinėmis. Geometrinės lygtys susieja deformacijas ir poslinkius, o fizikinės išreiškia deformacijų priklausomybę nuo jų priežasčių (įrąžų, temperatūros pokyčių).

Geometrinės deformacijų ir poslinkių darnos lygtys gali būti parašomos dvejopai: matematiškai išreiškiant geometrinius (trigonometrinius) ryšius tarp sistemos strypų deformacijų

ir mazgų poslinkių; formaliai pertvarkant matricinę-vektorinę statinės pusiausvyros lygčių išraišką.

Pirmuoju (geometrinio nagrinėjimo) keliu naudotis pravartu ir įmanoma tik nesudėtingoms (kelių strypų) sistemoms aprašyti. Šios lygtys parašomos vienu iš dviejų būdų:

vienoje (toje pačioje) schemoje parodoma sistemos strypų ir mazgų padėtis ir prieš deformavimą, ir po jo, pažymimi strypų ilgių pokyčiai (∆L=εL) ir mazgų poslinkių komponentai; po to belieka nustatyti geometrines (trigonometrines) priklausomybes tarp šių visų dydžių (schemoje pažymėtų atkarpų); pasinaudojama bendra kiekvieno strypo ilgio pokyčio išraiška mazgų poslinkių komponentais

(2.15, a pav.): (vb-va)sinβ+(ub-ua)cosβ=εjLj, (2.25)

čia kampas β atskaitomas nuo x (arba u) teigiamos krypties iki strypo j ašies krypties (nuo galo a link galo b); šios išraiškos dar paprastesnės, kai vienas kuris strypo galas šarnyru prijungtas prie atramos ir todėl jo

poslinkio abu komponentai lygūs nuliui, pavyzdžiui, kai šarnyriškai įtvirtintas strypo galas a (2.15, b pav.), šios lygties pavidalas toks:

vbsinβ+ubcosβ=εjLj.

2.15 pav.

Abu būdai paprastiems deformacijų ir poslinkių santykiams nagrinėti iliustruojami A.Čižo knygoje 2.5 pavyzdžiu (2.10 poskyryje).

Geometrinę lygtį, kuri (2.25) išraiškos pavidalu susieja strypo j deformaciją εj su mazgų a ir b (prie kurių prijungtas strypas j) poslinkių komponentais u ir v, galima parašyti kiekvienam deformuojamam (tempiamam ar gniuždomam) sistemos strypui. Taigi iš viso geometrinės deformacijų ir poslinkių darnos lygčių gali būti tiek, kiek yra strypų - n. Šios lygtys susieja n deformacijų ir p poslinkių komponentų. Kai n>p, iš šių lygčių galima eliminuoti poslinkių komponentus (tam eliminavimui sunaudojus p lygčių); tokiu būdu lieka n-p=k lygčių, kurios sieja tik deformacijas. Tokios lygtys vadinamos geometrinės deformacijų darnos lygtimis. Kai sistemos nesudėtingos, šias lygtis nesunku parašyti tiesiog pagal geometrines deformavimo schemas (visiškai nesinaudojant poslinkių komponentais); verta įgusti tokias paprastas lygtis sudarinėti, nes jų dažnai prireikia.

Paprastas deformacijų darnos lygtis dažnai tenka parašyti sistemai, sudarytai iš strypų, išdėstytų vienoje tiesėje (2.16, a pav.). Akivaizdu, kad tokios sistemos viso ilgio pokytis lygus nuliui, nes abu sistemos galai remiasi į standžias atramas. Todėl deformacijų darnos lygtis tokia:

01

=∑=

n

jjjLε . (2.26)

Jeigu tarp visų sistemos ruožų yra ruožas su dviem koaksialiais strypais (pavyzdžiui, 2.16, b paveikslėlyje toks yra viršutinis ruožas), negalima sumuoti abiejų tokių strypų ilgių pokyčių; šiuo atveju (2.16, b pav.) galima rašyti:

arba ε1a+ε3b+ε4c=0, arba ε2a+ε3b+ε4c=0, arba ε1=ε2.

(pastaroji lygtis išreiškia tą faktą, kad strypai 1 ir 2 deformuojasi drauge ir jų deformacijos lygios). Kadangi sistema dukart statiškai neišsprendžiama (k=2), tai ir nepriklausomų deformacijų darnos lygčių gali būti tik dvi (bet kurios dvi iš parašytų trijų), t.y. iš bet kurių dviejų parašytųjų lygčių galima gauti likusią, trečią.

2.16 pav.

Fizikinės deformavimo lygtys yra ne kas kita kaip strypų deformacijų išraiškos (2.6) formulė, kuri pagrįsta deformacijų ir įtempimų proporcingumo dėsniu (Huko dėsniu):

jj

jj AE

N=ε . (2.27)

Tačiau jeigu deformacijos priežastis yra ne tik vidinės jėgos, bet ir strypų temperatūros pokytis, tai lygtį formuoti reikia pagal (2.11) formulę:

jjjj

jj T

AEN

αε += , (2.28)

čia αj - strypo medžiagos šiluminio plėtimosi koeficientas, T3 - strypo temperatūros pokytis (teigiamas arba neigiamas).

Fizikinių deformavimo lygčių parašoma po vieną kiekvienam strypui, iš viso jų būna n. Taigi bet kuri strypinė tempiama bei gniuždoma sistema aprašoma trimis grupėmis lygčių, kurių

skaičius ir kintamųjų skaičius surašytas lentelėje: Kintamųjų skačius Lygtys Nj εj uj

Lygčių skaičius

Pusiausvyros n - - P Geometrinės - n P n Fizikinės n n - n

Viso 2n+p 2n+p Lentelės matyti, kad visada lygčių skaičius lygus kintamųjų skaičiui. Todėl, pasinaudoję visomis

šiomis lygtimis, galime surasti bet kurios (kiek kartų statiškai neišsprendžiama bebūtų) sistemos įrąžas, deformacijas ir poslinkius.

Beje, kai sistema statiškai neišsprendžiama, jos strypuose įrąžos gali atsirasti ir be apkrovos. Pirmoji tokių įrąžų (ir įtempimų) atsiradimo priežastis yra bent vieno strypo (arba ir visų strypų) temperatūros pokytis (kai strypas konstrukcijoje įkaista arba atvėsta). Tokios įrąžos vadinamos temperatūrinėmis, su jomis susiję įtempimai - temperatūriniais įtempimais. Jas nustatyti nesudėtinga, kai skaičiavimui panaudojama fizikinių deformavimo lygčių (2.28) išraiška.

Jeigu sistema statiškai išsprendžiama (kaip, pavyzdžiui, 2.17, a pav.), pakitus strypų temperatūrai, pakinta ir jų ilgis - jie sutrumpėja ar pailgėja. Strypų deformacijos proporcingos temperatūros pokyčiui, strypų skerspjūvių poslinkiai priklauso nuo šių deformacijų. Pakinta strypų geometrinė forma, bet jokių įrąžų ar įtempimų neatsiranda - tai akivaizdžiai matyti, pritaikius sistemos mazgams pjūvio metodą.

Kitaip yra, kai sistema statiškai neišsprendžiama. Čia strypų ilgių kitimas, temperatūrai veikiant, yra suvaržytas. Pavyzdžiui, jeigu vienąkart statiškai neišsprendžiamoje sistemoje (2.17, b pav.) pakyla bent

vieno strypo temperatūra, strypas, besistengdamas ilgėti, spaudžia savo galais atramą ir kitą strypą, o šie priešinasi tokiam deformavimui, išauga reakcijos jėgos, o drauge ir įrąžos, įtempimai.

2.17 pav.

Antroji priežastis atsirasti įrąžoms (ir įtempimams) dar neapkrautoje sistemoje - tai sistemos montavimo netikslumai. Kai statiškai neišsprendžiamos sistemos bent vienas strypas pagamintas netiksliai (per ilgas, per trumpas) arba kai jis netiksliai sujungiamas su kitais strypais, montavimo metu tenka kai kuriuos strypus patempti į ar įsprausti tarp atramų, tarp mazgų. Dėl tokių poveikių atsiranda į reakcijos, o drauge ir įrąžos, įtempimai strypuose. Tokios įrąžos vadinamos montažinėmis, su jomis susiję įtempimai - montažiniais įtempimais. Į montavimo netikslumus atsižvelgiame, sudarydami geometrines deformavimo lygtis.

Jeigu statiškai išsprendžiamoje sistemoje (pavyzdžiui, kaip 2.17, a pav.) vienas kuris strypas padarytas kiek per trumpas ar per ilgas, jokių keblumų montavimo metu nebūna, o nedidutis strypų geometrijos pokytis akimi net nepastebimas; dėl šio geometrinio netikslumo, aišku, neatsiranda nei įrąžų, nei įtempimų. Tačiau jeigu sistema statiškai neišsprendžiama (kaip, pavyzdžiui, 2.17, b pav.), bent vienas netiksliai pagamintas strypas trukdo normalų sistemos montavimą. Tarkime, kad vienas kuris strypas buvo pagamintas truputėlį (atkarpėle e) per trumpas ir todėl tarp strypų iš pradžių atsirado tarpelis (2.18 pav.). Šis tarpelis gali išnykti trejopai:

a) montavimo metu (strypus patempus ir sujungus); b) pakitus temperatūrai ir dėl to strypams pailgėjus; c) apkrovimo metu (kai dėl pridėtų apkrovos jėgų strypai keičia savo ilgį ir pagaliau galais įsiremia

vienas į kitą). Pastaraisiais dviem atvejais reikia visų pirma įsitikinti, ar tikrai temperatūros bei apkrovos jėgų

poveikis toks, kad tarpelis e išnyksta (t.y. reikia apskaičiuoti pagal 2.18 pav. schemą abiejų strypų laisvųjų galų poslinkius ir pažiūrėti, ar jų atitinkama suma nėra mažesnė už tarpelio plotį). Jeigu sistemos deformavimo metu tarpelis išnykęs, tai visoje skaičiavimo procedūroje pasikeičia tik geometrinės deformavimo lygtys (lyginant su tokios sistemos skaičiavimu, kurioje tarpelio nė nebuvo). Nagrinėjamu atveju geometrinė lygtis yra jau ne (2.26) pavidalo, bet štai tokia:

eLn

jjj =∑

=1ε , (2.29)

t.y. konstatuojama, kad visų strypų ilgių bendras pokytis lygus susidariusio tarpelio pločiui. Parodytai 2.18 paveikslėlyje sistemai ši lygtis tokia:

ε1a+ε2b=e.

2.18 pav.

Jeigu kuris nors strypas būtų buvęs per ilgas ir jį į sistemą tektų sprauste įsprausti, tokioje pat geometrinėje lygtyje ilgio perteklius e būtų įrašomas su minuso ženklu.

Tiek temperatūrinės, tiek montažinės įrąžos yra visai nesusijusios su sistemai skirta apkrova. Jos sudaro papildomą ir dažniausiai nepageidautiną poveikį sistemai. Sistemos kūrėjas, konstruktorius turi to nepamiršti, turi pagalvoti, ar negali pakisti strypų temperatūra (kaip ji gali pakisti būsimos konstrukcijos aplinkoje, paprastai būna žinoma iš anksto), turi atidžiai prižiūrėti konstrukcijos montavimo procesą - kad viskas būtų sujungiama tiksliai. Kai šitokios papildomos įrąžos strypuose atsiranda nelauktai, netikėtai, jos drauge su įražomis nuo apkrovos kai kur gali sukelti tokius įtempimus, kurių konstrukcija nebeatlaiko. Užtat reikia gerai mokėti šis įrąžas ir įtempimus apskaičiuoti.

Jau esame išsiaiškinę, kad ir temperatūrinės, ir montažinės įrąžos atsiranda tiktai statiškai neišsprendžiamose sistemose. Nesunku įsitikinti, kad šiose sistemose įrąžų pasiskirstymą veikia dar viena aplinkybė - atskirų strypų standžių santykiai. Kuo strypas standesnis, t.y. kuo didesnis jo skerspjūvio plotas bei tamprumo modulis ir kuo mažesnis ilgis (kuo didesnis santykis EjAj/Lj), tuo didesnė (absoliutiniu didumu) ašinė jėga jam tenka. Kai kurį nors statiškai neišsprendžiamos sistemos strypą pastoriname, tuo pačiu padidiname jo ašinę jėgą; tačiau įtempimai šio strypo skerspjūviuose nepadidėja, nes σ=N/A, o skerspjūvio ploto prieaugis kompensuoja su kaupu ašinės jėgos prieaugį. Kitaip yra, kai strypo standį padidiname, sutrumpindami jo ilgį arba padidindami tamprumo modulį (paėmę kitos, standesnės medžiagos strypą): šiuo atveju padidėja ne tik ašinė jėga, bet ir įtempimai strypo skerspjūviuose, o padidėjusių įtempimų strypas, ko gero, gali nebeatlaikyti. Būkime atsargūs, taip keisdami statiškai neišsprendžiamos sistemos strypus!

Natūraliai kyla klausimas - kodėlgi praktikoje naudojamos statiškai neišsprendžiamos sistemos, jeigu jas ir apskaičiuoti sunkiau (nepakanka pusiausvyros lygčių), ir jose slypi “neprašytų” įtempimų pavojus? Paminėtas neigiamas ypatybes kompensuoja daug svarbesnės teigiamos statiškai neišsprendžiamų sistemų ypatybės:

statiškai neišsprendžiamos sistemos yra standesnės, mažiau deformuojasi; jos yra patikimesnės (nes, pavyzdžiui, nutrūkus ar kitaip iš rikiuotės išėjus vienam strypui, visa

sistema dažnai dar nepraranda eksploatacinio pajėgumo, lieka laiko remontuoti, pakeisti strypą; tuo tarpu statiškai išsprendžiamos sistemos bent vienam strypui nutrūkus, sistema staiga virsta mechanizmu, nebelaikančiu apkrovos).

2.10. Statiškai išsprendžiamų sistemų skaičiavimas (nereikia!)

Svarbiausias deformuojamų sistemų skaičiavimo tikslas yra - garantuoti patikimą konstrukcijos eksploataciją, t.y. konstrukcijos stiprumą, standumą, stabilumą. Jau buvo kalbėta, kaip užtikrinamas paskiro konstrukcijos elemento, tempiamo (ar gniuždomo) strypo stiprumas. Dabar metas aptarti, kaip tvarkytis su visu tokių strypų kompleksu, su strypine sistema.

Kai inžinierius kuria konstrukciją, skirtą kokioms nors apkrovoms atlaikyti, jis pats nustato, iš kelių elementų ir kaip išdėliotų erdvėje ta konstrukcija susidės. Dažniausiai jis tai sprendžia, remdamasis ilgamete inžinierių patirtimi ir savo paties intuicija. Be abejo, šiuolaikinis matematinis aparatas ir kompiuteriai gali padėti ir optimalią konstrukcijos struktūrą nustatyti (išspręsti vadinamąjį deformuojamos sistemos sintezės uždavinį), bet dažniausiai pakankamai gerą konstrukcijos schemą padiktuoja būtent inžinerinė patirtis, projektavimo tradicijos. Todėl tarsime, kad mūsų skaičiuojamų sistemų strypų ilgius ir padėtį erdvėje visada žinome iš anksto.

Visos sistemos stiprumas ir standumas priklauso visų pirma nuo paskirų strypų stiprumo ir standumo. Nutrūkus bet kuriam vienam strypui, visa sistema arba suyra, arba bent jau pasidaro mažiau patikima. Kai paskiri strypai yra nestandūs, kai jie daug deformuojasi, ir visa sistema, ko gero, per daug pakeičia savo formą, t. y. būna nepakankamai standi. Mes visiškai nekalbėsime apie deformuojamos sistemos stabilumą. Net ir garantavus kiekvieno paskiro strypo stabilumą, dar nėra garantijos, kad eksploatacijos metu strypinė sistema nepraras savo bendrojo stabilumo. Paliksime šias problemas atitinkamiems konstrukcijų mechanikos (statybinės mechanikos) skyriams. Rūpinsimės, kad strypinės sistemos tenkintų tik stiprumo ir standumo sąlygas.Vieni dydžiai stiprumo (ar standumo) sąlygose yra žinomi iš anksto, kiti būtent iš šių sąlygų nustatomi. Priklausomai nuo to, kurie dydžiai žinomi ir kurie nustatomi, strypinių sistemų skaičiavimo uždaviniai būna arba leistinosios apkrovos nustatymo, arba projektiniai. Dažnai sprendžiami ir tikrinamieji uždaviniai: kai visi konstrukcijos ir apkrovos parametrai žinomi, o belieka pasakyti, ar jie tenkina visas sąlygas (tokį uždavinį sprendžiame ir tikrindami išspręsto projektinio uždavinio rezultatus).

Statiškai išsprendžiamų tempiamų bei gniuždomų strypinių sistemų stiprumo skaičiavimo algoritmas yra toks: • Pjūvio metodu (sudarę statinės pusiausvyros lygtis) apskaičiuojame įrąžas - ašines jėgas. Jeigu apkrovos jėgų didumas

nežinomas ir, pavyzdžiui, tik išreikštas kokiu nors vienu parametru, tai pasinaudoję pusiausvyros lygtimis, ašines jėgas išreiškiame taip pat tuo parametru.

• Įrašę kiekvieno strypo ašinės jėgos reikšmę į stiprumo sąlygą (2.4), iš šios nelygybės padarome vieną iš trijų išvadų: 1) leistinosios apkrovos nustatymo uždavinyje, kai žinome strypo skerspjūvio plotą (A) ir medžiagos stiprį (R), - kad

nustatinėjama sis apkrovos parametras turi būti ne didesnis kaip tam tikras iš šios sąlygos išreikštas dydis

(F

*jF

j≤ ); kadangi tokių to paties apkrovos parametro apribojimų gauname tiek, kiek yra strypų, iš visų

parenkame griežčiausią - t.y. tą, kuriame mažiausias;

*jF

*jF

2) projektiniame uždavinyje, kai žinome apkrovą, o kartu ir strypo ašinę jėgą, - kad iš žinomos medžiagos (su žinomu R) pagaminto strypo skerspjūvio plotas turi būti ne mažesnis kaip tam tikras iš šios sąlygos išreikštas dydis Aj

(A≤ ); iš savo resursų (iš pramonės tiekiamų gaminių asortimento arba tik iš to, ką turime savo dispozicijoje,

savo sandėlyje) pasirenkame kiekvieno strypo A

*jA

j - tokį, kad būtų ne mažesnis kaip Aj, bet ir ne per daug didelis (taupome medžiagą, savo išteklius!);

3) tikrinamajame uždavinyje, kai žinome ir apkrovos didumą, ir skerspjūvių plotus, - kad strypo stiprumo sąlyga tenkinama arba netenkinama (pastaruoju atveju strypui, o tuo pačiu ir visai sistemai gresia suirimo pavojus); beje, šiame uždavinyje nedera iš anksto rašyti nelygybės ženklo, visų pirma reikia apskaičiuoti kairiąją stiprumo sąlygos pusę ir nustatyti, ar ji didesnė (>), ar lygi (=), ar mažesnė (<) už žinomą projektini stipri -R; nelygybės ženklas “daugiau arba lygu” (≥) čia kai abi pusės išreikštos vien skaičiais, būtų visiškai nelogiškas.

Standumo klausimus sprendžiame dažniausiai tik po to, kai įsitikinome, kad visi sistemos strypai yra pakankamai stiprūs (arba kai patys juos suprojektavome pakankamai stiprius). Tada jau yra žinoma, kokio didumo yra strypų ašinės jėgos bei įtempimai, galima pagal 2.4 ir 2.5 poskyrius apskaičiuoti strypų deformacijas bei sistemos mazgų poslinkius. Taigi sprendžiame tikrinamąjį standumo uždavinį palyginę gautąsias deformacijų ir poslinkių reikšmes su leistinomis, ribinėmis, remdamiesi (2.13) ar (2.14) standumo sąlygomis, konstatuojame, kad sistema yra pakankamai standi arba, deja, nepakankamai. Kai standumas dar nepakankamas, tenka spręsti sudėtingesni - projektinį standumo uždavinį arba (ypač kai standumo sąlyga pažeista nelabai stipriai) - tiesiog intuityviai vieną kitą strypą pastandinti (pastorinti, paimti Aj didesnį, negu buvo parinktas pagal stiprumo sąlygą) ir vėl atlikti tikrinamąjį standumo skaičiavimą.

Standumo parametrai ypač svarbūs, kai sistemos deformacijos (ir poslinkiai) tiek didelės, jog net ir pusiausvyros lygtyse jų nepaisyti nebegalima (t.y. jokiu būdu nebegalioja deformacijų mažumo prielaida ir pusiausvyros lygtis tenka rašyti pagal deformuotos sistemos schemą, kurioje geometrinės priklausomybės yra netiesiškos.

Šiaip statiškai išsprendžiamų sistemų skaičiavimo algoritmas gana paprastas, bet kadangi tokių uždavinių inžinerinėje praktikoje dažna, svarbu įgyti gerus skaičiavimo įgūdžius, todėl ne tik išnagrinėkite komentuojamus pavyzdžius, bet ir savarankiškai išspręskite uždavinių.

Geometriškai netiesinis (neproporcingas) deformavimas. Kai sistemos strypai labai deformatyvūs (t.y. ilgi, ploni arba padaryti iš medžiagos su labai mažu tamprumo moduliu E), sistemos mazgų poslinkiai būna dideli, ir deformacijų (poslinkių) mažumo prielaida nebegalioja. Deformuotos sistemos schema tokiu atveju pasidaro nebepanaši į nedeformuotos sistemos (pradinę) skaičiuojamąją schemą: labai pasikeičia strypų ašių ir įrąžų kryptys. Pusiausvyros lygtys, parašytos pagal pradinę schemą, nebeatitiktų tikrovės. Tenka pusiausvyros lygčių koeficientus nustatyti pagal deformuotos sistemos schemą, t.y. rašyti priklausomus nuo deformacijų. O kadangi deformacijos savo ruožtu priklauso nuo įrąžų, tai į pusiausvyros sąlygas įrąžos įeina nebe pirmuoju laipsniu, taigi pusiausvyros sąlygos pasidaro nebe tiesinės. Toks deformavimas vadinamas geometriškai netiesiniu, tuo badu jį atskiriant nuo fizikiškai netiesinio (kai netiesinė yra įtempimų ir deformacijų priklausomybė, t.y. kai negalioja proporcingumo, Huko dėsnis; tokio, fizikiškai netiesinio deformavimo pavyzdžiai nagrinėjami A.Čižo vadovėlio 13 skyriuje - kai skaičiuojama pagal plastines medžiagos savybes).

Kai deformavimas netiesinis, jokiu būdu negalima naudotis superpozicijos principu, o atskirais atvejais net reikia žinoti, kuria tvarka, kuria eile pridedamos apkrovos (reikia žinoti apkrovimo priešistorę). Geometrini jautrumas labai priklauso ir nuo pradinės sistemos schemos, nuo strypų ir apkrovų išdėstymo.

Pavyzdžiui, jei ant gana ilgos vielos arba virvės ties viduriu (ties pjūviu k) pakabintume krovinį, kuris, nors ir skersai veikdamas, sukelia ašines jėgas, o šios strypą (mūsų atveju virvę, vielą) tempia, ilgina, dėl to sistemos geometrija pakinta. Strypas yra liaunas, praktiškai nesipriešina lenkimui, todėl galima įsivaizduoti, kad ties tašku k yra šarnyras. Tuo būdu deformuotos sistemos schemą sudaro tarytum du šarnyrais sujungti tiesūs strypai. Dėl simetrijos abiejuose strypuose ašinės jėgos vienodos (jeigu krovinys ant vielos užkabinamas taip, kad gali slinkti, jis visada nuslinks būtent į šią, vidurinę, simetrišką poziciją; jeigu krovinys prie vielos pritvirtinamas nejudamai ir ne ties viduriu, ašinės jėgos abiejuose vielos ruožuose nebėra vienodos).

Taigi, pusiausvyros lygtis, nors ir su vienu nežinomuoju, bet netiesinė ir nelengvai išsprendžiama. Galima būtų išreikšti ir apytikslę priklausomybę tarp jėgos F ir poslinkio s (kol tas poslinkis gana mažas):

33 s

LEAF = .

Verta žinoti, kad kai poslinkis s ir kampas β (kampas tarp horizontalės ir strypo ašies) tampa pakankamai dideli, tarp papildomų jėgos, įrąžos ir poslinkio prieaugių priklausomybės būna beveik tiesinės.

Labai dažnai panašūs tarp dviejų atramų nutiesti liaunieji strypai nagrinėjami, kai juos veikia ne koks nors pakabintas krovinys, bet pačių strypų (pvz. elektros laidų, kabamojo kelio lynų) savasis svoris. Būtent šis savasis svoris (prisidėjus vėjo apkrovai, o žiemos metu dar ir apledėjimui bei laidų traukimuisi dėl temperatūros kritimo) lemia gana didelius įtempimus, dėl kurių laidai net nutrūksta. Todėl pravartu žinoti formules, išreiškiančias tokių liaunųjų strypų būvį. Kai abiejų atramų lygis yra vienodas, o strypo apkrovos intensyvumas c, didžiausias strypo įsviris a, didžiausia ašinė jėga (2.23 pav.)

sqLN8

2

max ≈ . (2.30)

Iš šios formulės akivaizdu, kad tokio strypo neįmanoma ištempti iki visiškai tiesios horizontalios padėties: kai s=0, įrąža N=∞, o tokios (be galo didelės) ašinės jėgos neatlaikytų joks strypas. Jeigu žinomas pradinis strypo ilgis Lo (prieš pakabinimą; aišku, kad Lo didesnis už atstumą L tarp atramų), tai įsvirimą s galima rasti iš kubinės lygties:

( ) 0643

83 4

03 =−−−

EAqLLsLLs . (2.31)

2.23 pav.

2.11. Statiškai neišsprendžiamų sistemų skaičiavimas (nereikia!)

Kai sistema, sudaryta iš tempiamų bei gniuždomų strypų, yra statiškai neišsprendžiama, t.y. kai strypų skaičius n didesnis už sistemos laisvumo laipsnį p, strypų įrąžoms (ašinėms jėgoms) apskaičiuoti nepakanka statinės pusiausvyros lygčių, todėl ir 2.10 poskyryje aprašytojo algoritmo pradžia (pirmoji dalis) turi būti kitokia. Statiškai neišsprendžiamos sistemos strypų įrąžas nustatyti galime keliais būdais:

išsprendę bendrą statinės pusiausvyros lygčių, geometrinių ir fizikinių deformavimo lygčių sistemą; kaip buvo parodyta 2.9 poskyryje, tokių lygčių iš viso parašoma 2n+p, o nežinomųjų būna irgi tiek pat;

kuriuo nors populiariu ir patogiu (skaičiuoti be kompiuterio) statybinės mechanikos metodu - jėgų metodu, poslinkių metodu, mišriuoju metodu (vieno iš jų - jėgų metodo principai - aiškinami A.Čižo knygoje,10 skyriuje);

panaudodami kurį nors ekstreminį energetinį mechanikos principą ir šiuolaikinės matematikos (ekstrėminių uždavinių sprendimo) aparatą drauge su kompiuterine technika; šitokio kelio išsiaiškinti čia nemėginsime, paliksime tai konstrukcijų mechanikos (statybinės mechanikos) kursui.

Minėtųjų 2n+p lygčių sudarymo technologija aprašyta 2.9 poskyryje. O parankiausias lygčių sistemos sprendimo kelias yra toks:

♦ deformacijų εj reikšmes, gautas iš fizikinių deformavimo lygčių, įrašome į geometrines deformavimo lygtis, kurių yra n ir kuriose dabar lieka n+p nežinomųjų (n įrąžų ir p poslinkių komponentų); jeigu naudojame geometrines deformacijų darnos lygtis (be poslinkių), jų yra tik k, o nežinomųjų - tik n (tik įrąžos);

♦ jeigu buvo naudotos geometrinės deformacijų ir poslinkių darnos lygtys, pasinaudoję keliomis (p) jų, iš likusių n-p (=k) geometrinių deformavimo lygčių eliminuojame visus poslinkių komponentus; šiose k lygtyse belieka vienintelė nežinomųjų grupė - įrąžos (ašinės jėgos);

♦ tas pertvarkytąsias k geometrines lygtis (išreikštas įrąžomis) sprendžiame drauge su statinės pusiausvyros lygtimis, kurių yra p; taigi, iš viso turime k+p=n lygčių, o jose nežinomos bėra tiktai ašinės jėgos (jų taip pat yra n).

Iš tarpinių sprendimo veiksmų, kuriais buvo iš lygčių eliminuojamos deformacijos ir poslinkiai, lieka išraiškos, kurios praverčia vėliau, kai, nustatę įrąžas, norime apskaičiuoti ir deformacijas bei poslinkius, t.y. tuos parametrus, nuo kurių priklauso konstrukcijos standumas.

3. MECANINĖS MEDŽIAGŲ SAVYBĖS

3.1. Savybių tyrimas

Konstrukcijos elementų mechaninės savybės, taigi ir jų stiprumas, standumas bei stabilumas priklauso ne tik nuo elementų didumo, geometrinės formos, bet ir nuo medžiagų, iš kurių tie elementai padaryti. Pavyzdžiui, plieno strypas atlaiko nesuirdamas dešimtis kartų didesnes apkrovas negu tokių pat matmenų medinis strypas. Net ir labai didelės jėgos veikiamo betono bandinio deformacija plika akimi nepastebima, tuo tarpu gumos bandinys akivaizdžiai deformuojasi net nuo piršto spustelėjimo. Kiekvienai medžiagai jėgų įtaka būna kitokia. Mechaninės savybės apibrėžia medžiagų reakciją į jėgų veikimą, šios reakcijos intensyvumą. Kai kurios mechaninės medžiagų savybės visiškai atitinka konstrukcijų bei jų elementų savybes (pavyzdžiui, stiprumas, standumas), kitos būdingos tik medžiagoms (pavyzdžiui, trapumas, plastiškumas, valkšnumas), bet nuo jų irgi priklauso konstrukcijos patikimumas.

Norėdamas sukurti patikimą konstrukciją, inžinierius turi gerai pažinti mechanines konstrukcinių medžiagų savybes, mokėti tas savybes išreikšti skaičiais (savybių rodikliais) ir panaudoti tuos skaičius konstrukcijų skaičiavimuose. Jis turi žinoti, kaip mechaninės medžiagų savybės dėl įvairių veiksnių kinta ir kaip dėl to gali pakisti jau eksploatuojamos konstrukcijos patikimumas.

Šią informaciją apie medžiagas gauname, jas įvairiais būdais tirdami, bandydami. Pagrindinis, gana paprastas, bet daugiausia svarbios informacijos teikiantis bandymas yra tempimo bandymas, jį papildo analogiškas gniuždymo bandymas.

Tempimo bei gniuždymo bandymai atskleidžia daugiausia tas medžiagos savybes, kurios susiję su normalinių įtempimų poveikiu, su linijine deformacija. Tuo tarpu šlyties deformacijai ir tangentinių įtempimų poveikiui tirti atliekamas sukimo bandymas (sukamas vamzdinis bandinys).

Beveik visais mechaniniais medžiagų bandymais siekiama išmatuoti deformacijas, atsirandančias dėl vienokių ar kitokių mechaninių poveikių. Išmatavę deformacijas, galime daryti išvadas ir apie įtempimus, jų didumą bei pasiskirstymą.

Paprastai siekiama gauti unifikuotą, standartizuotą informaciją apie medžiagų savybes. Todėl įstatyminiais aktais (standartais, normomis, taisyklėmis) yra reglamentuojama ir bandinių forma, ir jų skaičius, ir bandymų technologija. Šio reglamento būtina griežtai laikytis, kai tenka nustatyti vienos ar kitos konkrečios medžiagos mechanines savybes. Tačiau daugumos dažnai vartojamų konstrukcinių medžiagų mechaninių savybių rodikliai yra seniai nustatyti, surašyti į standartus ir žinynus, ir belieka, pasirinkus medžiagos rūšį, jos markę, žvilgterti į atitinkamą lentelę. O medžiagų gamintojas (metalurgijos gamykla, betono mazgas ar kt. įmonė), žymėdamas tiekiamos medžiagos markę, turi garantuoti, kad šios medžiagos savybių rodikliai būtų tokie kaip nurodytieji standarte (standartas paprastai nurodo ir leistinus savybių rodiklių nukrypimus). Taigi medžiagų vartotojui, konstrukcijos gamintojui atlikti mechaninius medžiagų bandymus tenka tik tada, kai jis nežino vartojamos medžiagos rūšies, markės arba kai nepasitiki medžiagų tiekėjo nurodymais.

3.2. Tempimo bandymas. Tempimo diagrama. Pagrindiniai mechaninių savybių rodikliai

Pagrindinėms mechaninėms medžiagos savybėms nustatyti atliekamas tempimo bandymas. Iš tiriamos medžiagos pagaminamas reikiamas skaičius bandinių - tokių, kad būtų patogu bandinių galus įtvirtinti tempimo mašinos griebtuose (3.1 pav.). Kokie turi būti bandinio matmenys - bandomojo ruožo ilgis L, skerspjūvio forma ir plotas A, - nustatoma bandymo standartu.

3.1 pav.

Konstrukcinės medžiagos, ypač labai stiprios, pavyzdžiui plienas, bandomos pakankamai galingomis hidraulinėmis mašinomis, kurios gali bandini tempti kelių dešimčių, šimtų, o kai kurios net tūkstančių kiloniutonų jėga. Tempiamosios jėgos (bandinio ašinės jėgos) didumą rodo mašinoje įtaisytas manometras. Be to, nuolat per visą bandymą matuojamas atstumas tarp mašinos griebtų: šio atstumo pokytis maždaug proporcingas bandomojo ruožo ilgio pokyčiui ∆L. Paprastai mašinoje yra automatinis savirašis įtaisas, kuris išbrėžia kreivę - grafiką, rodantį, kaip bandymo metu kito tempimo jėga ir bandinio ilgis. Ši tempimo jėgos ir bandinio ilgio pokyčio priklausomybės F(∆L) kreivė dažniausiai vadinama tempimo diagrama. Būtent iš jos galima nustatyti svarbiausius bandomosios medžiagos mechaninių savybių rodiklius.

1

3.2 pav.

Panagrinėsime būdingą anglinio plieno tempimo diagramą (3.2 pav.). Abscisių ašis rodo bandomojo ruožo ilgio pokytį, ordinačių - tempimo jėgos F (bandinio ašinės jėgos N) didumą. Diagramoje yra keletas ypatingų ruožų ir keletas ypatingų taškų. Deformavimo proceso pradžioje jėga ir ilgio pokytis kinta proporcingai, todėl ruožas OA yra tiesė. Po to proporcingumo nebelieka, nors deformacija dar vis tampri; tik vėliau prasideda medžiagos plastinis deformavimasis, iš pradžių nežymus, o ties tašku B - ir labai intensyvus, vadinamasis plieno “tekėjimas”, kai bandinys sparčiai tįsta be jokio jėgos didinimo. Šis beveik horizontalus diagramos ruožas vadinamas takumo aikštele. Už takumo aikštelės eina kylantis medžiagos stiprėjimo ruožas - kol pasiekiamas kulminacinis taškas C. Ligi tol deformacija buvusi beveik vienoda per visą bandomąjį ilgį, dabar ima kauptis vienoje bandinio vietoje, bandinyje ima formuotis kaklelis su ryškiai sumažėjusiu bandinio skerspjūviu, todėl toliau bandiniui deformuoti pakanka mažesnės jėgos, tempimo jėga ir mažėja iki diagramos taško D, ties kuriuo bandinys nutrūksta. Ypatingųjų taškų ordinatės, t.y. ypatingosios tempimo jėgos reikšmės yra žymimos tarptautiniais indeksais - pirmosiomis atitinkamų anglų kalbos žodžių raidėmis: pr - proportion (proporcingumas), y - yield (takumas), u - ultimate (maksimalus), fr - fracture (trūkimas). Ypač svarbios būna reikšmės Fy ir Fu, todėl bandymo metu jos nustatomos itin atidžiai.

Bandomasis ilgis L (3.1 pav.) apima tik dalį cilindrinės ar prizminės bandinio dalies. Mat, siekiama medžiagos savybes tirti ten, kur pagal Sen-Venano principą įtempimai ir deformacijos nepriklauso nuo apkrovos pasiskirstymo, tuo tarpu arti įtvirtinimo (arti kūginės bandinio dalies) apkrova dar gana įtakinga.

Kadangi pagal (2.9) formulę

LL

EANF ∆== ,

o bandinio (strypo) standis EA/L yra šios priklausomybės tiesės krypties koeficientas, tempimo diagramoje (3.2 pav.) parodyto kampo tangentas ir yra bandinio standis (tgβ=EA/L). Kuo didesnis standis, tuo didesnis kampas β, tuo labiau pradinis diagramos ruožas OA prisiglaudžia prie ordinačių ašies.

Kol bandinys deformuojasi proporcingai, jokių plastinių deformacijų jame nėra. Dažnai jų dar nėra ir už taško A (nors diagrama ir nukrypsta nuo tiesės). Jeigu bandymas būtų nutrauktas, nepasiekus tiesės pabaigos taško A arba tik nedaug ji peržengus, ir tempiamoji jėga būtų pašalinta, tai bandinys vėl susitrauktų, sutrumpėtų iki pradinio ilgio, t.y. visa deformacija (tamprioji, grįžtamoji deformacija) išnyktų. Kiek aukščiau taško A pradėjusi kauptis plastinė deformacija ypač sparčiai vystosi takumo aikštelėje. Šioje proceso stadijoje persitvarko polikristalinė plieno struktūra, pašlyja daugelio jo kristalų gardelės. Jeigu bandinio paviršius gerai poliruotas, jėgai pasiekus takumo reikšmes, jis patamsėja, o pro mikroskopą (kartais ir plika akimi) galima įžvelgti paviršiuje atsiradusias įstrižas linijas, kaip tik ir liudijančias kristalinės struktūros pokyčius (vadinamąsias Liuderso linijas). Šių linijų, o tuo pačiu ir kristalinių gardelių persislinkimo kryptys sudaro apie 45° kampą su tempimo kryptimi; prisiminkite, kad būtent tokia kryptimi tempiamame strype veikia didžiausi tangentiniai įtempimai (žr. 2.2 poskyrį). Net ir nutrukusio bandinio kaklelį apžiūrėdami (3.3 pav.), pastebėsite pakraščiais maždaug 45° kampu į tempimo ašį pasvirusią trūkio dalį (susiformavusią dėl tangentinių įtempimų sukeltos plastinės deformacijos), o ties centru - pėdsaką beveik statmeno ašiai plyšio, kurio priežastis yra normaliniai įtempimai bandinio skerspjūvyje.

3.3 pav.

Beje, daugelio medžiagų (ir daugelio konstrukcinių plienu) diagramose nėra aiškios takumo aikštelės, žyminčios intensyvaus plastinio deformavimo stadiją.

Mechaninėms medžiagų savybėms nagrinėti patogesnė yra diagramą, susiejanti ne jėgą su ilgio pokyčiu, bet įtempimą σ su deformacija ε, t.y. atspindinti priklausomybę σ(ε). Tokią diagramą galime gauti iš diagramos F(∆L), atitinkamai pakeitę mastelius ir matavimo vienetus, nes įtempimas yra proporcingas ašinei jėgai (σ=N/A), o išilginė deformacija - ilgio pokyčiui (ε=∆L/L). Tempimo diagrama σ(ε), gautoji iš parodytosios 3.2 paveikslėlyje, vaizduojama 3.4 paveikslėliu. Ypatingieji šios diagramos taškai pažymėti

2

raidėmis a, b, c, d, jų ordinačių (Įtempimų reikšmių simboliai žymimi tokiais pat indeksais, kaip ir anos diagramos ordinačių (jėgų reikšmių) simboliai: σpr, σy, σu ir σfr. Šios įtempimų reikšmės apibūdina tam tikras mechanines medžiagų savybes ir yra šių savybių rodikliai. Kiekviena jų turi savo pavadinimą:

• proporcingumo riba σpr=Fpr/A0 - įtempimas, iki kurio galioja įtempimų ir deformacijų proporcingumo (Huko) dėsnis;

• tamprumo riba σe (angl. elasticity - tamprumas) - didžiausias įtempimas, iki kurio medžiagoje nepastebima jokių plastinių (liekamųjų) deformacijų; dažnai ši įtempimo reikšmė sutampa su proporcingumo riba arba yra šiek tiek didesnė už ją (tai reiškia, kad net ir tapusi neproporcinga įtempimui, deformacija vis dar tebėra grįžtamoji, išnyksta po apkrovos pašalinimo);

• takumo įtempimas σy=Fy/A0 (iš analogijos su kitais panašiais rodikliais dažnai nepagrįstai vadinamas takumo riba) - mažiausias įtempimas, kuriam veikiant plastinė deformacija auga nedidinant apkrovos;

• stiprumo riba σu=Fu/A0 - didžiausios jėgos, kurią atlaiko bandinys, santykis su pradiniu skerspjūvio plotu; didžiausias sąlyginis įtempimas.

Įsidėmėkite, kad visi šie rodikliai yra tam tikros įtempimų reikšmės ir todėl jų matavimo vienetas yra paskalis, o dažniausiai (taip patogiau) - megapaskalis (MPa). Kad orientuotumėtės, kokio didumo šie rodikliai yra, štai minkšto anglinio (statybinio) plieno pagrindiniai rodikliai: proporcingumo riba σpr- apie 210MPa, takumo įtempimas σy - apie 24 MPa, stiprumo riba σu - apie 400MPa. Kitų medžiagų mechaniniai rodikliai - 3.1 lentelėje.

Tarp išvardytųjų rodiklių du yra pagrindiniai medžiagos stiprumo rodikliai: stiprumo riba σu, rodanti, kokius didžiausius sąlyginius įtempimus medžiaga gali atlaikyti nesuirdama, ir takumo įtempimas σy, rodantis, kokius didžiausius įtempimus medžiaga gali atlaikyti nesideformuodama plastiškai. Dažniausiai būtent šių dviejų rodiklių pagrindu nustatomi norminiai medžiagos stiprumo rodikliai (projektinis stipris, leistinasis įtempimas ir pan.).

Tiesaus pradinio diagramos ruožo Oa (3.4 pav.) krypties kampo α tangentas yra lygus medžiagos tamprumo moduliui - tai aiškėja iš Huko dėsnio:

Etg ==εσβ .

Sąlyginio įtempimo reikšmė σfr=Ffr/A0 kartais vadinama trūkimo riba, nors šitoks rodiklis, vartojamas labai retai.

3.4 pav.

Čia vis minimas sąlyginis įtempimas yra sutartinis dydis, kuris , gaunamas jėgos reikšmę padalijus iš pradinio skerspjūvio ploto A0. O iš tikro skerspjūvio plotas bandymo proceso (tempimo) metu nelieka visą laiką toks pat, jis dėl skersinės deformacijos nuolat mažėja. Ypač sparčiai mažėti jis ima ties stiprumo riba, kai bandinyje ima reikštis vietinė deformacija, kai pradeda formuotis kaklelis. Tikrojo įtempimo reikšmė vis yra didesnė už sąlyginio įtempimo, nes ji gaunama, padalijus tą pačią jėgos reikšmę iš tikrojo, sumažėjusio skerspjūvio ploto A*. Kai kada tikrasis įtempimas, norint jį atskirti nuo sąlyginio, žymimas ne raide σ, bet raide s. Tikras trūkimo įtempimas sfr=Ffr/A* yra žymiai didesnis už trūkimo ribą σfr ir net už stiprumo ribą σu (žr. 3.5 pav.); dėl to darosi suprantama, kodėl bandinys nenutrūksta, kai jame veikia didžiausi sąlyginiai įtempimai σu, o nutrūksta šiems įtempimams sumažėjus iki σfr. Tikrieji įtempimai (3.5 pav. vaizduojami punktyru) tempimo bandymo metu didėja net ir tempimo jėgai ėmus mažėti.

3

3.5 pav.

Reikia suprasti, kad ir deformacija, apskaičiuota dalijant bandinio ilgio prieaugį ∆L iš pradinio bandomojo ilgio L0, yra sąlyginė. Tikroji deformacija gaunama, dalijant kiekvienu deformavimo momentu t prieaugį ∆L(t) iš tuo metu jau padidėjusio ilgio ∆L(t). Todėl tikroji deformacija yra mažesnė už sąlyginę. Tarp tikrosios deformacijos ε* ir sąlyginės (įprastosios) deformacijos ε egzistuoja toks ryšys:

ε*=ln(1+ε). Tikrasis deformavimo grafikas 3.5 paveikslėlyje būtų šiek tiek į kairę nuo parodytos punktyrinės

linijos. Minkštojo anglinio plieno tempimo diagrama yra labai iliustratyvi, nes joje akivaizdūs visi

ypatingieji taškai, atspindintys svarbiausias mechanines medžiagos savybės. Tačiau yra daug medžiagų (ir konstrukcinių), kurių tempimo diagramos paprastesnės (3.6 pav.). Yra labai trapių medžiagų (pvz. pilkasis ketus), kurių bandiniai nutrūksta, dar beveik neatsiradus plastinių deformacijų. O daugelio konstrukcinių lydinių plastinis deformavimasis tolydesnis negu minkštojo plieno, todėl jų tempimo diagramose nematyti takumo aikštelės. Kadangi takumo įtempimas, nustatomas būtent pagal takumo aikštelės ordinatę, yra labai svarbus mechaninis rodiklis (nurodantis intensyvaus plastinio deformavimosi pradžią), siekiama jį nustatyti visoms medžiagoms. Tuo tikslu naudojamasi sąlyginio takumo įtempimo rodikliu.

3.6 pav.

Sąlyginis takumo įtempimas yra įtempimas, dėl kurio medžiagoje atsiranda 0,2% didumo liekamoji (plastinė) deformacija. Šis rodiklis paprastai žymimas simboliu σ0,2. Sąlyginis takumo įtempimas nustatomas taip (3.7 pav.): iš abscisių ašies taško ε=0,002 brėžiama tiesė, lygiagretė pradinio diagramos ruožo tiesei, iki susikirtimo su diagramos kreive; šio susikirtimo taško ordinatė ir yra sąlyginio takumo įtempimo reikšmė.

3.7 pav.

Visos nagrinėtosios medžiagų tempimo diagramos yra gautos, medžiagos bandinį ištempus tolydžiai didinama jėga iki pat nutrūkimo. Reikia žinoti, kad diagramos pavidalas ir ypatingųjų taškų koordinatės priklauso ir nuo jėgos didinimo tempo (greitinant apkrovimo procesą, medžiagos deformavimasis atsilieka), ir nuo bandinio temperatūros, kitų sąlygų (apie tai - 3.4 poskyryje). Todėl oficialiems savybių rodikliams nustatyti tempimo bandymą būtina atlikti pagal standartu nurodytus reikalavimus.

Jeigu tempimo bandymas nutraukiamas, dar nenutrūkus bandiniui, ir tempimo jėga sumažinama arba ir visiškai pašalinama, bandinyje išnyksta tamprioji (grįžtamoji) deformacija arba bent jos dalis. Ši deformacija išnyksta ir nutrauktame bandinyje: glaudžiai sudėjus nutrukusio bandinio abi dalis, jo ilgis yra mažesnis negu prieš pat nutrūkimą. Visais atvejais tamprioji deformacija mažėja proporcingai mažėjančiam normaliniam įtempimui (pagal Huko dėsnį), todėl diagramoje šis procesas atspindimas tiese (arba beveik tiesia linija), lygiagrete pradiniam diagramos ruožui, t.y. šios tiesės krypties koeficientas yra tgα=E (3.8 pav.).

4

3.8 pav.

Jeigu toks nukrovimo procesas prasideda, įtempimui dar nepasiekus tamprumo ribos σe, tai diagramoje naujų linijų neatsiranda - grįžtama ta pačia linija į koordinačių pradžią (išnyksta visa deformacija, atsiradusi dėl tų įtempimų, kurie buvo ir išnyko). Visais kitais atvejais išnyksta tik tampriosios deformacijos dalis εe, tuo tarpu liekamoji (plastinė) deformacija yra negrįžtama. Išbrėžus iš bet kurio diagramos taško lygiagretę pradiniam proporcingumo ruožui, galima nustatyti, deformacijos dalis yra tamprioji (εe), kuri plastinė (εp); tai demonstruojame (3.8 pav.) nutrūkusio bandinio deformacijos skaidymo pavyzdžiu.

Gana reikšmingas dar vienas medžiagos rodiklis - santykinė potencinė deformavimo energija, susikaupianti medžiagoje iki plastinio deformavimo pradžios. Šis rodiklis vadinamas rezilianso moduliu. Įrašę į santykinės potencinės energijos išraišką (2.18) vietoj σ medžiagos tamprumo ribą (arba artimą jai proporcingumo ribą) gauname tokias rezilianso modulio reikšmes: minkštojo anglinio plieno (σpr≈200MPa, E≈210GPa) - apie 0,095MN⋅m/m3, kaučiuko (σpr≈20MPa, E≈8MPa) - apie 25MN⋅m/m3 (apie 250 kartų didesnė kaip plieno). Šio rodiklio reikšmė atitinka tempimo diagramos plotą iki proporcingumo ribos. Medžiagos plastiškumą apibūdina ir deformavimo energijos kiekis, tenkantis medžiagos tūrio vienetui, sunaudotas bandiniui suardyti (nutraukti). Rodiklis kai kada yra vadinamas medžiagos tąsumo moduliu. Minkštojo anglinio plieno tąsumo modulis būna apie 70MN⋅m/m3.

Nėra medžiagų, kurios būtų idealiai tamprios (kurios net ir nuo didelių įtempimų neįgytų jokių plastinių deformacijų), nėra ir visiškai plastinių konstrukcinių medžiagų. Tačiau vienos medžiagos suyra (bandinys nutrūksta) tik po to, kai išsivysto didelės plastinės deformacijos - tokios medžiagos vadinamos plastinėmis; kitų gi medžiagų bandiniai nutrūksta, plastinėms deformacijoms vos vos tepasirodžius - tai trapiosios medžiagos. Tik sąlygiškai, susitarimu galima medžiagas skirstyti į trapiąsias ir plastines. Dažniausiai tokio sutartinio skirstymo kriterijumi laikoma nutrukusio bandinio vidutinė liekamoji deformacija εp, arba, kitaip pavadinus, - santykinis liekamasis bandinio ilgio pokytis:

0

0*

LLL −

=δ , (3.1)

čia L* - bandinio bandomojo ruožo ilgis po nutraukimo, L0 - jo pradinis ilgis. Pavyzdžiui, kai kada sutariama, kad trapiomis laikytinos medžiagos, kurių δ<3%, o prie plastinių priskirtinos medžiagos, kurių δ>10% (pavyzdžiui, pilkojo ketaus δ≈0,6%, minkštojo plieno δ≈20%, aliuminio δ≈35%). Be santykinio liekamojo ilgio pokyčio δ, naudojamas dar vienas medžiagos plastiškumo rodiklis - santykinis liekamasis bandinio skerspjūvio ploto pokytis:

0

0*

AAA −

=ψ , (3.2)

čia A0 - pradinis bandinio skerspjūvio plotas, A* - nutraukto bandinio kaklelio skerspjūvio plotas; minkštojo plieno ψ≈60-70%.

3.1 lentelė Kai kurių konstrukcinių medžiagų mechaniniai rodikliai

Medžiaga Takumo Įtempimas σy, Mpa

Stiprumo riba σu, MPa

Santykinis ilgio pokytis δ, %

Tamprumo modulis E, GPa

Anglinis plienas 240 380-470 22 210 Chrominis plienas 650 800 12 210 Diuraliuminis 330 450-500 12 71 Minkštasis žalvaris 150 400 55 110 Pušies mediena (išilgai sluoksnių) - 80 - 10-14

Granitas -

≈

=

200

3

uc

utσ

σ- 5

Betonas - 5-50 - 15

5

Plastinėms medžiagoms mažiau kenkia įtempimų koncentracija, smūginės apkrovos, paviršiaus įbrėžimai, įtrūkimai. Tuo tarpu konstrukcijų elementai iš trapiųjų medžiagų dėl mažyčio paviršiaus defekto gali prarasti reikiamą stiprumą (prisiminkite, kaip rėžiamas stiklas); tokius elementus reikia itin atidžiai projektuoti - žiūrint, kad juose nebūtų įtempimų koncentracijos ir kad kuo mažesni būtų tempiamieji įtempimai.

Įsidėmėkite: nustatyti, ar medžiaga plastiška, galima tik suardžius (nutraukus) jos bandinį arba bent jau nukrovus jį po pakankamo deformavimo. O pats medžiagų skirstymas į trapiąsias ir plastines yra labai sąlygiškas, nes pasikeitus bandymo sąlygoms plastinė medžiaga gali suirti kaip trapioji ir atvirkščiai.

Plastinio deformavimo metu kinta medžiagos struktūra, kinta medžiagos savybės bei tų savybių rodikliai. Todėl taip deformuotas ir po to nukrautas bandinys (ir bet kuris konstrukcijos elementas) jau visiškai kitaip reaguoja į naują, pakartotinį apkrovimą. Darant konstrukciją, svarbu ne tik pažinti jos elementų pirmines mechanines savybes, bet taip pat žinoti, ar tie elementai nebuvo kada anksčiau plastiškai deformuoti.

Beje, dažnai tenka operatyviai nustatyti jau gaminamos konstrukcijos elemento medžiagos savybes, kai tempimo (arba gniuždymo) bandymą atlikti nėra paranku. Pavyzdžiui, gali rūpėti, ar nepakito konstrukcijos detalių medžiagos savybės dėl gamybos sąlygų. Tada naudojami medžiagos kietumo bandymai, kurių rezultatais palyginimo keliu galima įvertinti svarbiausias mechanines medžiagų savybes.

Kietumas yra medžiagos savybė priešintis kitų kūnų mechaniniam įsiskverbimui. Spaudžiant į bandomos medžiagos paviršių smailų deimantą (ROKVELO būdas) arba 10mm skersmens plieno rutuliuką (BRINELIO būdas), medžiagoje atsiranda plastinių deformacijų, o padidėjus apkrovai prasideda vietinis medžiagos irimas. Šio proceso intensyvumas (nustatomas pagal įspaudo matmenis) priklauso nuo medžiagos stiprumo ir plastiškumo rodiklių. Žinant kietumo rodiklius, galima apytiksliai nustatyti ir stiprumo ribą (nesuardant konstrukcijos elemento!).

Jeigu bandinys po stipresnio ar silpnesnio, bet plastinio deformavimo buvo nukrautas (tempimo jėga buvo kiek sumažinta arba ir visiškai pašalinta), o po to vėl apkraunamas, priklausomybės σ(ε) taškas grįžta beveik ta pačia (nukrovimo) tiese į nukrovimo pradžios tašką (3.9 pav.). Taigi pakartotinio apkrovimo pradžioje plastinė deformacija nedidėja. Naujas plastinės deformacijos prieaugis atsiranda tik po to, kai įtempimas medžiagoje pasiekia tą reikšmę, kuri buvo pasiekta prieš tai vykusio plastinio deformavimo metu. Toliau deformavimo procesas vyksta taip, lyg nukrovimo ir nebūtų, buvę - diagrama po nukrovimo yra tarytum sklandi diagramos prieš nukrovimą tąsa.

3.9 pav.

Jeigu bandinys (ar konstrukcijos elementas) buvo visiškai nukrautas ir po kurio laiko naujai apkraunamas (gal net nieko nežinant apie ankstesnį jo deformavimą), naujojoje tempimo diagramoje (3.10 pav.) takumo įtempimas fiksuojamas didesnis. Jis didesnis būtent tuo intervalu ∆σ, kuriuo buvo viršytas takumo įtempimas σ

*yσ

y per pirmąjį deformavimą. Šis reiškinys, šitoks takumo įtempimo reikšmės pasikeitimas yra vadinamas Baušingerio efektu - pagal pavardę vokiečių mokslininko, kuris pirmasis atkreipė dėmesį į tai (Johann Bauschinger, 1833-1893). Šis efektas ypač svarbus mainiosios deformacijos atveju - kai kaitaliojasi tempimas ir gniuždymas, apie tai dar kalbėsime vėliau.

Baušingerio efektas atspindi ne tik mechaninių rodiklių (takumo įtempimo, o drauge ir proporcingumo ribos), bet ir pačių mechaninių medžiagos savybių kitimą: net sumažėja liekamoji trūkusio bandinio deformacija (kai ją nustatome pagal bandinio ilgį prieš paskutinį, pakartotinį deformavimą), taigi medžiaga tampa tarytum trapesnė. Šis medžiagos savybių kitimas vadinamas stiprėjimu arba kietėjimu. Dažniausiai šis savybių kitimas nėra palankus konstrukcijos elementams, ir stengiamasi jo išvengti. Tačiau kartais medžiaga tyčia taip stiprinama (kietinama): pavyzdžiui, kėlimo mašinų grandinės iš anksto stipriai ištempiamos, kad padidėtų jų proporcingumo riba, kad jos darbo metu mažiau deformuotųsi.

6

3.10 pav.

Kadangi deformacijos formavimosi procesas kiek atsilieka nuo apkrovimo (ypač kai apkrovimas vyksta pakankamai sparčiai), tempimo diagramos nukrovimo ir pakartotinio apkrovimo ruožai nebūna visiškai tiesus, kaip 3.9 paveikslėlyje. Čia susidaro diagramos kilpa (3.11 pav.), vadinama tamprumo histerezės kilpa. Tokia kilpa susidaro ne tik po plastinio deformavimo, ji gali būti ir pradiniame, tampriajame apkrovimo ruože. Iš šios kilpos vaizdo ir matyti, kad deformacija atsilieka nuo įtempimo: įtempimui jau mažėjant, tamprioji deformacija dar didėja (tampru apkrovimo poveiksmis), o pradėjus įtempimui vėl didėti, deformacija dar ne tuoj pat ima augti. Šis deformacijos atsilikimas susijęs su medžiagos vidaus trintimi. Histerezės kilpos plotas tempimo diagramoje skaičiumi yra lygus santykinei energijai, kuri tuo metu deformuojamame kūne (jo tūrio vienete) virsta šilumine energija.

3.11 pav.

3.3. Gniuždymo bandymas. Mainioji deformacija

Kai kurios medžiagos (ypač trapiosios) nėra tinkamos tempiamiems elementams, nes jų tempiamoji stiprumo riba nedidelė, tuo tarpu gniuždomos jos atlaiko didelę apkrovą. Tokių medžiagų mechaninėms savybėms tirti labiau tinka ne tempimo, o gniuždymo bandymas. Gniuždymo bandymas taip pat reglamentuojamas standartu - turi būti tam tikri bandinio matmenys (dažniausia jo forma - kubas ar kitokia neaukšta prizmė), tam tikras sugniuždytų bandinių skaičius, tam tikra bandymo technologija.

Pagal gniuždymo bandymo rezultatus automatiškai ar rankiniu būdu nubrėžiama diagrama, vaizduojanti priklausomybę F(∆L), i logiška tempimo diagramai, parodytai 3.2 paveikslėlyje. Iš šios diagramos gaunama priklausomybės σ(ε) diagrama.

Trapiųjų medžiagų gniuždymo diagramos svarbiausias ypatingasis taškas yra bandinio suirimo taškas, nes būtent jo ordinatės absoliutinis didumas yra maksimalus (3.12 pav.) - tos ordinatės reikšmė yra gniuždomoji stiprumo riba σuc, didžiausios gniuždomosios jėgos, kurią atlaiko bandinys, santykis su bandinio skerspjūvio plotu. Visų trapiųjų medžiagų gniuždomoji stiprumo riba σuc yra daug didesnė už tempiamąją stiprumo ribą σut (pavyzdžiui, betono σuc≈20σut, ketaus σuc≈5σut).

3.12 pav.

Kartais gniuždymo bandymu tiriamos ir plastinių medžiagų savybės. Tačiau šiuo atveju nustatyti stiprumo ribos neįmanoma. Mat, plastinės medžiagos gniuždomos nesuyra, o dėl didėjančios skersinės deformacijos labai išsiplečia bandinio skerspjūvis ir tuo pačiu padidėja jo laikomoji galia. Gniuždydami plastinį bandinį, galime didinti jėgą iki begalybės ir suploti prizminį bandinį iki plonutėlio lakšto (kurio plotas taps labai didelis). Žinoma, tokio bandymo metu galime fiksuoti medžiagos gniuždomąjį takumo įtempimą σyc, kuris daugelio medžiagų yra panašaus didumo kaip ir tempiamasis takumo įtempimas σyt. Plastinės medžiagos (minkštojo plieno) gniuždymo diagramos pavyzdys - 3.13 paveikslėlyje. Reikia

7

nepamiršti, kad diagrama rodo sąlyginius normalinius įtempimus, o tikrųjų įtempimų kreivė atitinka mažesnes ordinates.

3.13 pav.

Jeigu bandinys ar konstrukcijos elementas pakaitomis tai tempiamas, tai gniuždomas, deformacijos ženklas kinta - ji būna tai teigiama, tai neigiama. Tokia kintamo ženklo deformacija vadinama mainiąja. Mainioji deformacija, ypač mainioji plastinė deformacija, būna gana pavojinga - ji paspartina medžiagos irimą (apie tai kalbėsime vėliau), be to, ji sąlygoja kai kurių medžiagos savybių kitimą.

Mainiosios deformacijos atveju ypač ryškus Baušingerio efektas, jau aptartas 3.2 poskyryje. Čia jo pasekmės gali būti nelauktos, netikėtos ir grėsmingos. Mat, jeigu tempiamo bandinio nukrovimas prasideda jau plastinio deformavimo metu, viršijus takumo įtempimą (σyt kokiu nors dydžiu ∆σt (3.14 pav.), tai pasikeičia ne tik tempiamasis takumo įtempimas (jis tampa ), bet ir gniuždomasis. Šis medžiagos rodiklis pakinta dydžiu ∆σ

tytyt σσσ ∆+≈*

σc; dažnai ∆σc≈∆σt (toks reiškinys vadinamas idealiuoju Baušingerio

efektu). Kadangi dažniausiai po šio pokyčio gniuždomojo takumo įtempimo absoliutinis didumas yra mažesnis už pradinio σ

*yt

yc, neigiamoji plastinė deformacija ima vystytis anksčiau negu tiesioginio gniuždymo (be plastinio tempimo) atveju. Visiškai analogiškas reiškinys pastebimas ir tada, kai visų pirma bandinys gniuždomas stipriau negu iki takumo įtempimo σyc, o po to tempiamas. Ir visiškai komplikuotas plastinės deformacijos kitimo vaizdas tada, kai plastinio deformavimo kryptis (ženklas) daug kartų kaitaliojasi.

3.14 pav.

3.4. Savybių kitimas dėl įvairių veiksnių

Mechaninės medžiagų savybės laikui bėgant kinta, ypač jeigu medžiagas kaip nors ypatingai veikia aplinka. O dažnai medžiaga net specialiai apdirbama taip, kad pasikeistų jos savybės, kad jos pagerėtų. Inžinieriui dera žinoti ne tik pradinius konstrukcinės medžiagos savybių rodiklius, bet ir tas rodiklių reikšmes, kurias savybės gali įgyti jau konstrukcijos eksploatavimo metu.

Pagrindiniai veiksniai, keičiantieji mechanines medžiagų savybes, yra: temperatūra, radioaktyvusis švitinimas, terminis apdirbimas, cheminis poveikis, apkrovimo ir deformavimo greitis, amžius (senėjimas).

Temperatūros įtaka. Medžiagų savybių rodikliai nustatomi vadinamojoje kambario temperatūroje (20°C). Tačiau daugelis konstrukcijų dirba labai aukštoje arba žemoje temperatūroje. Tai visų pirma tokių konstrukcijų kaip dujų turbinos, garo katilai, reaktyviniai varikliai, kriogeninių ir šaldymo įrenginių elementai, pagaliau net ir statybinės kai kurių pramonės cechų konstrukcijos.

Daugumos konstrukcinių medžiagų stiprumas temperatūrai kylant mažėja (mažėja stiprumo riba σu, takumo įtempimas σy, proporcingumo riba σpr), o temperatūrai krintant didėja. Tuo tarpu medžiagų plastiškumas, atvirkščiai, temperatūrai kylant didėja (didėja santykinis liekamasis ilgio pokytis δ ir skerspjūvio ploto pokytis ψ), o jai krintant mažėja.

Anglinių plienų rodikliai kinta sudėtingiau - kai kurių jų priklausomybės nuo temperatūros ekstremumas yra ties 300°C (3.15 pav.).

8

3.15 pav.

Radioaktyviojo švitinimo įtaka yra maždaug tokia pat kaip žemos temperatūros: dažniausiai didėja stiprumas, mažėja plastiškumas, be to, labai padidėja tamprumo modulis E. Ši įtaka yra reikšminga branduolinių reaktorių konstrukcijoms. Kai kada bandoma specialiu švitinimu pakeisti mechanines medžiagos savybes norima linkme.

Terminio apdirbimo įtaka. Metalų terminio apdirbimo pagrindinis tikslas ir yra - pakeisti mechanines medžiagos savybes. Kaitinimo ir aušinimo procesais pakeičiama metalo struktūra. Apibūdinsime kai kuriuos plieno terminio apdirbimo, procesus. Atkaitinimu (plienas ilgai laikomas įkaitintas iki tam tikros temperatūros, po to lėtai ataušinamas) pašalinami pradiniai įtempimai, atsiradę dėl šaltojo apdirbimo, bet kartu sumažinamas plieno stiprumas. Grūdinimu (įkaitintas plienas staigiai aušinamas) siekiama padidinti plieno kietumą, o tuo pačiu ir stiprumą, bet sumažinamas plastiškumas. Atleidimu (grūdintas plienas tam tikru greičiu įkaitinamas ir laikomas įkaitintas) padidinamas plieno plastiškumas, bet sumažinamas stiprumas.

Cheminio aplinkos poveikio įtaka reiškiasi medžiagos (metalo, betono) korozija, paspartintu irimu. Dėl metalo korozijos sumažėja konstrukcijos elemento skerspjūvio plotas, betonas dėl korozijos darosi poringas, pleišėja, silpnėja. Metalo koroziją ypač spartina įtempimai, viršiję tam tikrą lygį, o juo labiau - kintamas kartotinis apkrovimas ir kartotinis cheminis poveikis.

Apkrovimo greičio įtaka. Kai konstrukcija apkraunama labai greitai (smūgiu) ir labai sparčiai didėja deformacija, plastinės medžiagos dažniausiai įgyja trapumo savybių.

Senėjimas reiškiasi mechaninių savybių kitimu dėl ilgainiui besikaupiančių struktūrinių medžiagos pokyčių. Senėjant plienui, mažėja santykinis liekamasis ilgio pokytis, didėja takumo įtempimas, taigi plienas darosi trapesnis. Senėjimas labai blogina plastikų mechanines savybes. Tuo tarpu betonas senėdamas stiprėja.

Pagaliau net ir nepakitus nei medžiagos struktūrai, nei aplinkai, medžiaga, veikiama pastovios apkrovos, ilgainiui įgyja papildomų deformacijų. Ši medžiagos savybė, t.y. savybė deformuotis laikui bėgant nuo tos pačios pastovios apkrovos (veikiant to paties didumo įtempimui), yra vadinama valkšnumu. Valkšnumas būdingas tokioms medžiagoms kaip betonas, mediena, akmuo, gruntas, net ir metalas (ypač įkaitęs). Jis ima reikštis net ir nedidelių (tik tampriųjų) pradinių deformacijų atveju, o ilgainiui (po stacionaraus lėto vystymosi etapo) labai intensyvėja (3.16, a pav.) ir pagaliau net sąlygoja trapų ar plastišką medžiagos suirimą.

Valkšnumo reiškinys tiek svarbus ir tiek sudėtingas, kad jam nagrinėti susiformavo atskira kietojo deformuojamojo kūno mechanikos šaka - valkšnumo teorija.

Su valkšnumo savybe susijęs ir kitas reiškinys, pastebimas, kai medžiagoje išlaikomi ne pastovūs įtempimai (pastovi apkrova), bet pastovios deformacijos. Tada ilgainiui pradiniai įtempimai sumažėja (3.16, b pav.) - metaluose kai kada net iki nulio. Šis lėtas įtempimų mažėjimas bandinyje su pastovia deformacija vadinamas relaksacija.

3.16 pav.

9

4. ĮTEMPIMŲ IR DEFORMACIJŲ BŪVIS

4.1. Įtempimų būvis. Svarbiausieji įtempimai

Kai konstrukcijos elementas ar koks nors kitas kietas kūnas apkraunamas, jame atsiranda vidinių jėgų, kurių intensyvumą išreiškia įtempimai - normaliniai ir tangentiniai. Šių įtempimų didumas bet kuriame apkrauto elemento taške priklauso nuo to, kaip orientuotas pjūvis, kuriame tie įtempimai nagrinėjami. Tai pastebėjome jau 2.2 poskyryje, nagrinėdami gana paprastai apkrauto (centriškai tempiamo) strypo įtempimus įstrižuose pjūviuose. Kaitaliodami pjūvio kryptį sudėtingai apkrautame elemente, ties vienu tuo pačiu tašku gautume įvairių įvairiausias įtempimų reikšmių kombinacijas. Bet kuriai šių kombinacijų nusakyti pakanka žinoti įtempimus kuriose nors trijose statmenose per tą tašką einančiose plokštumose ir nagrinėjamo pjūvio orientaciją tų plokštumų atžvilgiu (kampus tarp pjūvio ir tų plokštumų).

Įtempimų, veikiančių įvairiose visaip einančiose per apkrauto kūno tašką plokštumose, visuma yra vadinama įtempimų būviu ties tašku.

Ties nagrinėjamuoju apkrauto kūno tašku k išpjauname be galo mažą stačiakampį gretasienį (4.1 pav., a), kurio briaunų ilgis dx, dy, dz; bendruoju atveju visuose šešiuose šio gretasienio šonuose veikia po tris įtempimų komponentus (4.1 pav., b; jų simbolių indeksavimo taisyklės buvo aptartos, prie 1.15 pav.). Kadangi atstumai tarp išpjautojo gretasienio šonų yra nykstamai maži, priešinguose šonuose (4.1 paveikslėlyje nematomuose) veikia tokio pat didumo, tik priešingos krypties įtempimai. Taigi, įtempimų būviui ties bet kuriuo tašku nusakyti reikia žinoti iš viso lyg ir devynias įtempimų reikšmes. Nesunku (rodyti, kad trys poros tangentinių įtempimų reikšmių yra tarpusavyje lygios:

τxy=τyx, τyz=τzy, τzx=τxz. (4.1) Tai - vadinamasis tangentinių įtempimų dualumo dėsnis, žodžiais išreiškiamas taip: Dviejose statmenose plokštumose tangentinių įtempimų komponentai, statmeni tų plokštumų

susikirtimo briaunai, ties nagrinėjamuoju tašku yra vienodo didumo ir nukreipti arba abu į briauną, arba abu nuo briaunos.

Šį dėsnį įrodyti galima rašant jėgų pusiausvyros sąlygą, reiškiančią, kad visų jėgų momentų, užsiduotosios ašies atžvilgiu, suma lygi nuliui.

4.1 pav.

Kai žinome tangentinių įtempimų dualumą (4.1), matome, kad įtempimų būviui ties tašku nusakyti pakanka ne devynių, o tik šešių nepriklausomų įtempimų reikšmių (trijų normalinių ir trijų tangentinių įtempimų). Tačiau ir toks skaičius dar nėra pakankamai patogus - pernelyg daug susidaro įvairių galimų įtempimų komponentų kombinacijų, neįmanoma daryti kokių nors apibendrinimų, padedančių inžineriškai vertinti konstrukcijos elementą. Besukinėdami stačiakampį gretasienį, ties tuo pačiu tašku k galime aptikti tokius jo briaunų krypties kampus αx, αy, αz (4.1 pav., c), orientuoti jį taip, kad visuose jo šonuose išnyktų tangentiniai įtempimai, o liktų tik normaliniai.

1

Pjūvio plokštumos, kuriose ties nagrinėjamuoju tašku nėra tangentinių įtempimų, vadinamos svarbiausiosiomis plokštumomis, o tose plokštumose veikiantieji normaliniai įtempimai - svarbiausiaisiais įtempimais.

Taip orientavus plokštumas, - įtempimų būvis taške nusakomas jau tik trimis svarbiausiųjų įtempimų reikšmėmis. Svarbiausieji įtempimai žymimi σ1, σ2, σ3, laikantis taisyklės, kad

σ1≥σ2≥σ3. (4.2) Pastarojoje taisyklėje įtempimai lyginami ne pagal jų absoliutinį, o pagal algebrinį didumą (atsižvelgiant ir į ženklą).

Dabar, kai liko tik trys parametrai, nusakantys įtempimų būvį, galima klasifikuoti įtempimų būvio tipus. Klasifikacijos kriterijus - nelygių nuliui svarbiausiųjų įtempimų skaičius:

• kai tik vienas iš trijų svarbiausiųjų įtempimų nelygus nuliui, įtempimų būvis vadinamas vienašiu (kartais tiesiniu arba net linijiniu),

• kai du svarbiausieji įtempimai nelygūs nuliui, o vienas lygus nuliui, įtempimų būvis vadinamas dviašiu (kartais plokštuminiu arba plokščiuoju),

• kai visi trys svarbiausieji įtempimai nelygūs nuliui, įtempimų būvis vadinamas triašiu (kartais erdviniu).

Akivaizdu, kad vienašis įtempimų būvis galimas dvejopas: σ1>0, σ2=σ3=0 (vienašis tempimas) ir σ1=σ2=0, σ3<0 (vienasis gniuždymas).

Dviašis įtempimų būvis galimas trejopas: a) σ1≥σ2>0,σ3=0, b) σ1>0, σ2=0,σ3<0, c) σ1=0, σ3≤σ2<0.

Triašis įtempimų būvis gali būti ketveriopas: a) σ1≥σ2≥σ3>0, b) σ1≥σ2>0,σ3<0, c) σ1>0, σ3≤σ2<0, d) σ3≤σ2≤σ1<0.

Tarp šių atmainų yra ypatingų: grynojo tempimo (kai nėra neigiamų svarbiausiųjų įtempimų) ir grynojo gniuždymo (kai nėra teigiamų svarbiausiųjų įtempimų). Kiti variantai yra mišrieji įtempimų būviai. Grynojo tempimo įtempimų būvis, pavyzdžiui, aptinkamas: vienašis - centriškai tempiamo strypo visuose taškuose, dviašis - ties besisukančio skridinio ašimi, triašis - kaitinamo rutulio centre.

Įsidėmėkite: nustatyti, kokio tipo įtempimų būvis yra, galite tiktai po to, kai apskaičiavote visus svarbiausiuosius įtempimus ir pamatėte, kiek jų yra nelygių nuliui. Kol nagrinėjate įtempimus bet kokiose plokštumose (kuriose yra ir tangentinių įtempimų), pavadinti įtempimų būvį vienašiu ar dviašiu nėra pagrindo.

Įtempimai bet kaip orientuotoje pjūvio plokštumoje visada gali būti išreikšti svarbiausiaisiais įtempimais ir tos plokštumos orientacijos parametrais. Jei pažymime kampus tarp nagrinėjamos plokštumos normalės n krypties ir svarbiausiųjų įtempimų σ1, σ2, σ3 krypčių simboliais α1, α2, α3 (4.3 pav.), tai normalinis įtempimas

32

322

212

1 coscoscos ασασασσ ++=n , (4.3) pilnasis įtempimas šioje plokštumoje

322

222

122 coscoscos

321ασασασ ++=np , (4.4)

tangentinis įtempimas ( )3

22

2323

21

2312

21

2213

2232

2221

22 coscoscoscoscoscos82sin2sin2sin21

1αασσαασσαασσασασαστ ++−++=n

(4.5)

Iš formulių (4.3)-(4.5) galime gauti ir formules, skirtas paprastesniam įtempimų būviui, pavyzdžiui, vienašiam. Įrašę į (4.3) išraišką σ2=σ3=0, gauname , o tai atitinka jau (2 skyriuje) nagrinėto tempiamo strypo (būtent - su vienašiu įtempimų būviu) įstrižojo pjūvio įtempimų išraišką (2.2). Tokią pat

operaciją atlikę su (4.4) ir (4.5) išraiškomis, gauname

12

1 cos ασσ =n

1 cos 1ασ=np ir 11 2sin21 αστ =n ; pastaroji išraiška

taip pat atitinka tempiamo strypo įstrižojo pjūvio tangentinių įtempimų reikšmę (2.3). Taip pat galima išreikšti ir dviašio įtempimų būvio parametrų santykius (4.2 poskyris).

2

4.2. Dviašis įtempimų būvis

Bet kaip orientuotos plokštumos įtempimų formulės (4.3)-(4.5) tinka bet kuriam įtempimų būviui, taigi ir dviašiam. Kadangi bet kuris iš trijų svarbiausiųjų įtempimų gali būti lygus nuliui, o mes norime turėti formules, tinkančias visiems atvejams, pažymėsime du nelygius nuliui svarbiausiuosius įtempimus simboliais σu ir σv (tai gali būti arba σ1 ir σ2, arba σ1 ir σ3, arba σ2 ir σ3). Tada, atmetę iš (4.3) ir (4.5) formulių nuliui lygius narius, turime:

vvuun ασασσ 22 coscos += , (4.6)

vuvuvvuun αασσασαστ 222222 coscos82sin2sin21

−+= . (4.7)

Dviašį įtempimų būvį patogu nagrinėti, išpjovus iš deformuojamo kūno stačiąją trikampę prizmę, kurios pagrindas yra lygiagretus svarbiausiajai plokštumai su nuliniu svarbiausiuoju įtempimu, o du šonai lygiagrečiai kitoms dviem svarbiausiosioms plokštumoms. Tokios prizmės plane (4.2 pav.) galime parodyti atstojamąsias įtempimų, veikiančių prizmės šonuose, kurių plotai yra A, Au=Acosαu bei Av=Acosαv. Iš tokio brėžinio akivaizdu, kad kampas αv=π/2+αu, todėl įtempimus σn ir τn galime išreikšti vienu iš tų kampų (pavyzdžiui, kampu αu, kuri sudaro nagrinėjamos plokštumos normalė n su svarbiausiojo įtempimo σu kryptimi). Išreiškiame pagal (4.6) normalinį įtempimą

vvuun ασασσ 22 coscos += , (4.8) nes cosαv=cos(π/2+αu)=-sinαu. Žinodami, kad sin2αv=sin(π+2αu)=-sin2αu, taip pat kad 2cosαucosαv=-2cosαv⋅sinαu=-sin2αu, iš (4.7) gauname tangentinio įtempimo reikšmę:

vuvuvvuun αασσασαστ 222222 coscos82sin2sin21

−+= , (4.9)

arba

uvu

n ασστ 2sin2−

= . (4.10)

4.2 pav.

Kadangi ši tangentinio įtempimo išraiška gauta traukiant kvadratinę šaknį, ji gali būti ir priešingo ženklo, t.y. ji nusako tik įtempimo didumą, bet ne ženklą, ne kryptį.

Išraiškas (4.8) ir (4.9) galime gauti ir iš trikampės prizmės, vaizduojamos 4.2 paveikslėliu, pusiausvyros sąlygų, prilyginę nuliui jėgų projekcijų į n ir t ašis sumas.

Ašis n gali būti lygiagretė kuriai nors koordinačių ašiai, pavyzdžiui, ašiai x arba y. Kampas αu=β, todėl formulėje (4.8) belieka pakeisti indeksą n indeksu x, o vietoj αu įrašyti β:

βσβσσ 22 sincos vux += . (4.10) Analogiškai gauname:

βσβσσ 22 cossin vuy += . (4.11) Tangentinių įtempimų išraiška (4.9) mažai tepasikeičia:

βσστ 2sin2

vuxy

−= . (4.12)

Formulės (4.10) ir (4.11) išreiškia normalinius įtempimus dviejose statmenose plokštumose ties nagrinėjamu tašku. Sudėję panariui šių dviejų formulių abi puses, gauname

σx+σy=σu+σv, (4.13) nes sin2β+cos2β=1. Ši (4.13) lygybė išreiškia normalinių įtempimų sumos invariantiškumo dėsnį:

3

Ties tuo pačiu tašku veikiančių dviejose statmenose plokštumose normalinių įtempimų suma yra invariantiška, nepriklausanti nuo tų plokštumų krypties kampo β.

Jau anksčiau buvome radę, kad besukant plokštumas (keičiant jų krypties kampą) įtempimų reikšmės kinta. Dabar galime pridurti, kad vienoje plokštumoje normaliniam įtempimui padidėjus, kitoje statmenoje plokštumoje normalinis įtempimas tiek pat sumažėja.

Galima įrodyti, kad ekstremines reikšmes įgyja normaliniai įtempimai svarbiausiosiose plokštumose, kitaip sakant, svarbiausieji įtempimai yra ekstremalūs - vieno iš jų reikšmė yra maksimali, kito - minimali:

minmax, σσ =vu .

Būtent ši svarbiausiųjų įtempimų ekstremalumo savybė ir yra taip pagarbaus termino (“svarbiausiasis”) priežastis.

Žinome, kaip randama bet kurios funkcijos ekstremumo vieta: funkcijos pirmoji išvestinė prilyginama nuliui, šios lygties sprendinys ir yra argumento reikšmė, atitinkanti funkcijos ekstremumą. Mūsų nagrinėjama funkcija - normalinis įtempimas, kintantis priklausomai nuo argumento - kampo β - yra išreikštas formule (4.10). Atlikę matematinius veiksmus gauname, kad funkcijos σx ekstremali reikšmė yra toje plokštumoje, kurioje tangentinis įtempimas lygus nuliui (o tokia plokštuma ir yra svarbiausioji). Tuo pačiu nustatome ir kampo β0 reikšmes: arba β0=0 (atitinka svarbiausiojo įtempimo σu kryptį), arba β0=π/2 (atitinka kito svarbiausiojo įtempimo σv kryptį).

Jeigu norime sužinoti, koks ekstremumas (minimumas ar maksimumas) čia yra, turime ieškoti antrosios išvestinės ir pažiūrėti, kokia ji ties ekstremumu yra - teigiama ar neigiama: jeigu ji teigiama, tai čia yra funkcijos minimumas, jeigu neigiama – maksimumas.

Dabar darome prielaidą, kad σu>σv. Jeigu nagrinėjame kryptį β0=0 (t.y. σu kryptį), gauname, kad čia yra funkcijos maksimumas (σu=σmax). Jeigu nagrinėjame kryptį β0=π/ (t.y. σv kryptį), gauname, kad čia yra funkcijos minimumas (σu=σmin). Tuo pačiu pasitvirtina ką tik padarytoji prielaida (nes čia tikrai σu>σv).

Dar gali pasitaikyti atvejis σu=σv. Pakeitę (4.10) ir (4.11) išraiškose vieną svarbiausiąjį įtempimą kitu (jam lygiu), gauname, kad σx=σy, τxy=0.

Kai kada svarbu žinoti ne tik normalinių, bet ir tangentinių įtempimų ekstremines reikšmes. Iš (4.12) išraiškos matyti, kad tangentinio įtempimo didumas, kintant kampui β, priklauso nuo sinuso funkcijos, kuri negali būti didesnė kaip vienetas. Todėl ekstreminė tangentinio įtempimo reikšmė

2maxvu σστ −

= .

Šią reikšmę tangentinis įtempimas pasiekia, kai 2β=π/2 (t.y. kai β=45°). Suprantama, kad pačią didžiausią tangentinio įtempimo reikšmę atitinka ne bet kurių svarbiausiųjų

įtempimų skirtumas σu-σv, o didžiausiojo (σ1) ir mažiausiojo (σ3):

231

maxσστ −

= . (4.16)

Taip yra net ir tuo atveju, kai σ1=0 (σ3≤σ2<0) arba σ3=0 (σ1≥σ2>0). Tokio didumo tangentinis įtempimas visada veikia plokštumoje, dalijančioje pusiau kampą tarp dviejų svarbiausiųjų plokštumų, kuriose veikia σ1 ir σ3.

Išmokome rasti įtempimus bet kaip orientuotoje pjūvio plokštumoje, kai yra žinomos svarbiausiųjų įtempimų reikšmės. Tačiau inžinieriui dažnai svarbesnis būna atvirkštinis uždavinys: žinant įtempimus bet kuriose dviejose statmenose plokštumose (σx, σy, ir σz), rasti svarbiausiuosius įtempimus ir jų kryptį.

Svarbiausiųjų įtempimų nustatymo uždavinio sprendinys yra svarbiausiųjų įtempimų išraiška

( )

+−±+= 22

, 421

xyyxyxvu τσσσσσ (4.17)

ir trigonometrinių funkcijų išraiškos, iš kurių galima nustatyti svarbiausiųjų plokštumų krypties kampą β0:

yx

xytgσσ

τβ

−=

22 0 , (4.18)

xy

yxtgτ

σσβ

−=0 . (4.19)

Pastarosiose dviejose formulėse kampas β0 yra kampas, matuojamas nuo x ašies iki svarbiausiosios ašies. Naudojantis formulėmis (4.19), reikia žinoti (jau būti apskaičiavus) bent svarbiausiojo įtempimo (σu ar σv) reikšmę. Jeigu į formulę įrašyta σu reikšmė, gauname kampo β0 reikšmę, nustatančią svarbiausiojo

4

įtempimo σu kryptį, jeigu σv reikšmė - įtempimo σv kryptį. Formule (4.18) gaunamos iškart dvi kampo reikšmės, besiskiriančios dydžiu π/2; jos ir nustato abiejų svarbiausiųjų įtempimų kryptis.

Apskaičiavę (4.17) formule svarbiausiuosius įtempimus, galime juos indeksuoti nebe raidėmis u ir v, bet taip, kaip buvo sutarta - pagal taisyklę (4.2). Taigi, jeigu gautos iš (4.17) formulės įtempimų reikšmės abi yra teigiamos, jos yra σ1 ir σ2 (tuo atveju σ3=0); jeigu jų ženklai skirtingi, turime σ1>0 ir σ3<0 (šiuo atveju σ2=0); pagaliau jeigu abi reikšmės neigiamos, jos išreiškia σ2 ir σ3 (čia σ1=0).

Konstrukcijų elementuose dažnai sutinkamas vienas ypatingas dviašio įtempimų būvio atvejis,

vadinamas grynosios šlyties įtempimų būviu: dviejose statmenose plokštumose veikia tiktai tangentiniai įtempimai, o normalinių įtempimų nėra (4.3 pav.), čia τyx=0, σx=σy=0. Įrašę tokias įtempimų reikšmes į (4.17) ir (4.19) formules, gauname σu,v=±τ, taigi σ1=τ, σ3=-τ, ir tgβ=±1 tada kampas β0=±π/4=±45°.

4.3 pav.

Įtempimų būvių nagrinėjimo uždaviniai paprastai susiję su paprasčiausiu šio poskyrio formulių taikymu, tačiau pravartu ir tokių paprastų uždavinių sprendimo įgūdžius palavinti.

4.3. Deformacijų būvis. Svarbiausiosios deformacijos

Deformuojamame kūne, taigi ir apkrovų veikiamame konstrukcijos elemente, kinta atstumai tarp taškų, tarp linijų, kinta kampai tarp linijų atkarpų. Tai jau buvo nagrinėta 1.6 poskyryje. Jeigu iš deformuojamo kūno ties nagrinėjamuoju tašku išpjauname trimis poromis plokštumų stačiakampį briaunainį, tai po deformavimo dažniausiai ne tik pakinta jo briaunų ilgiai, bet it kiekvienas jo šonas, buvęs stačiakampiu (4.4 pav.), tampa lygiagretainiu. Šie pokyčiai priklauso nuo briaunainio šono plokštumos orientacijos, t.y. nuo deformacijų krypčių. Kitaip orientuoto briaunainio ir deformacijos kitokios.

4.4 pav.

Deformacijų įvairiomis kryptimis ir įvairiose plokštumose, einančiose per apkrauto kūno tašką, visuma vadinama deformacijų būviu ties tašku.

Deformacijų būviui taške nusakyti pakanka žinoti šešias nepriklausomas deformacijų reikšmes - linijines deformacijas trimis statmenomis kryptimis ir kampines deformacijas trijose statmenose plokštumose, pavyzdžiui, pakanka žinoti linijines deformacijas εx, εy, εz ir kampines γxy, γyz, γzx.

Jeigu išpjautasis briaunainis orientuotas taip, kad jo šonai sutampa su svarbiausiosiomis plokštumomis, tai juose veikia tiktai normaliniai (svarbiausieji) įtempimai, o tangentinių įtempimų nėra. Kadangi kampinę (šlyties) deformaciją sukelia būtent tangentiniai įtempimai, tai taip orientuoto briaunainio šonai nepašlyja, lieka stačiakampiai, pakinta tik jų matmenys (4.5 pav.). Šiuo atveju deformacijų būvį nusako tik trys deformacijų reikšmės - deformacijos trijų svarbiausiųjų įtempimų kryptimis.

5

4.5 pav.

Deformacijos tokiomis trimis statmenomis kryptimis, tarp kurių status kampas deformavimo metu nepakinta, vadinamos svarbiausiosiomis deformacijomis ties tašku.

Tampriame izotropiniame kūne svarbiausiųjų deformacijų ir svarbiausiųjų įtempimų kryptys visada sutampa. Svarbiausiosios deformacijos ypač svarbios tuo, kad jos (kaip ir svarbiausieji įtempimai) yra ekstrėminės (maksimalios arba minimalios).

Svarbiausiąsias deformacijas įprasta žymėti simboliais ε1, ε2, ε3. Tarp deformacijų bet kaip orientuotomis statmenomis x, y, z kryptimis (εx, εy, εz, γxy, γyz, γzx) ir svarbiausiųjų deformacijų egzistuoja priklausomybės, kurias galima nustatyti tų deformacijų geometriniu nagrinėjimu, bet dar paprasčiau yra remtis analogija tarp įtempimų būvio priklausomybių ir deformacijų būvio priklausomybių. Būtent iš 4.2 poskyrio formulių, pakeitę jose atitinkamus įtempimų simbolius deformacijų simboliais, galime gauti deformacijų priklausomybes. Keičiama tokiu būdu:

σx→εx, σy→εy, τxy→γxy/2, σ1→ε1, σ2→ε2, σ3→ε3, σu→εu, σv→εv. Ši analogija nesunkiai įrodoma. Iš analogijos gauname:

βεβεε 22 sincos vux += . (4.20)

βεβεε 22 cossin vuy += . (4.21)

( ) βεεγ 2sinvuxy −= . (4.22) (nepamirškite, kad kampas β matuojamas nuo x ašies), εx+εy=εu+εv, (4.23) γmax=ε1-ε3, (4.24)

( )

+−±+= 22

, 21

xyyxyxvu γεεεεε , (4.25)

yx

xytgεε

γβ

−=

22 0 . (4.26)

Tiriant konstrukcijos elemento būvį paprastai matuojamos linijinės deformacijos; tam naudojami specialūs tenzometriniai davikliai (apie juos kalbėsime vėliau). Net ir įtempimai elemente nustatomi pagal išmatuotų linijinių deformacijų reikšmes. Išmatuoti kampines deformacijas (labai mažą šlyties kampą γ) būtų pernelyg keblu. Tačiau net ir dviašiam deformacijų būviui nustatyti reikia mažų mažiausia trijų parametrų. Eksperimentatorius randa tokią išeitį: ties rūpimu tašku jis matuoja linijines deformacijas trimis kryptimis. Dažniausiai tenzometriniai davikliai klijuojami dviem statmenomis kryptimis ir viena įstriža kryptimi, sudarančia 45° kampą su pirmosiomis dviem. Tokiu būdu trys davikliai sudaro vadinamąją „vištos pėdą" (4.6 pav.) ir parodo linijines deformacijas trimis kryptimis: εx, εy ir εz. Turėdami šių deformacijų reikšmes, galime išreikšti ir šlyties kampą:

( )yxtxy εεεγ −−= 2 , (4.27) o po to formule (4.25), ir svarbiausiąsias deformacijas

( ) ( )22

22

,tytxyx

vu

εεεεεεε

−+−±

+= , (4.28)

bei (4.26) formule tų deformacijų krypties kampą: ( )

yx

yxttgεε

εεεβ

−+−

=2

2 0 . (4.29)

6

4.6 pav.

4.4. Bendrasis Huko dėsnis

Kai 2 skyriuje nagrinėjome tempiamą ar gniuždomą strypą (vienašio įtempimų būvio atvejį), naudojomės paprastu įtempimų ir deformacijų proporcingumo dėsniu - Huko dėsniu: σ=Eε. Kai įtempimų būvis sudėtingesnis - dviašis ar triašis, - toks paprastas dėsnis nebetinka, nes normaliniai įtempimai veikia nebe viena, o dviem ar net trimis kryptimis. Šiuo atveju proporcingumas išlieka ne tarp paskirų įtempimų ir deformacijų, bet tarp įtempimų būvio ir deformacijų būvio (žinoma, jeigu medžiaga tampri ir paklūsta proporcingumo dėsniui). Tokį proporcingumą išreiškia trys priklausomybės, pavadintos bendruoju Huko dėsniu:

( )( )( )(( )( ) ,/

,/

,/

EEE

yxzz

zxyy

zyxx

σσυσε

σσυσε )σσυσε

+−=

+−=

+−=

(4.30)

arba, susiejus šias priklausomybes su svarbiausiaisiais įtempimais ir svarbiausiosiomis deformacijomis, ( )( )( )(( )( ) ./

,/,/

2133

3122

3211

EEE

σσυσεσσυσε )σσυσε

+−=+−=+−=

(4.31)

Šios priklausomybės parašytos triašiam įtempimų būviui, bet lengva jas taikyti ir paprastesniems įtempimų būvio atvejams (tuomet vienas iš σ=0).

Bendrasis Huko dėsnis praverčia sprendžiant daugelį inžinerinių uždavinių. Bendrasis Huko dėsnis įrodomas, nagrinėjant mažą stačiakampį briaunainį, išpjautą iš deformuojamo

kūno ties rūpimu tašku taip, kad jo briaunos yra lygiagretės koordinačių ašims x, y, z.

4.5. Tūrinė deformacija

Kai kinta deformuojamo kūno matmenys, dažniausiai kinta ir jo tūris (išskyrus kūnus, padarytus iš idealios absoliučiai nesuspaudžia-mos medžiagos). Tuo tarpu šlyties deformacija tūriui praktinės (takos neturi.

Tūrine deformacija vadinamas deformuojamo kūno be galo mažo elemento tūrio pokyčio santykis su pradiniu tūriu, tiksliau - šio santykio riba

vdV dVdV ε=

∆→0

lim . (4.32)

Tūrinė deformacija triašio įtempimų būvio atveju gali būti išreikšta linijinėmis deformacijomis: εv=εx+εy+εz, (4.33)

arba normaliniais įtempimais:

( ) ( 3212121 σσσ )υσσσυε ++

−=++

−=

EE zyxv . (4.34)

Ties rūpimu deformuojamo kūno tašku nagrinėsime be galo mažą stačiakampį briaunainį, kurio kraštinės yra lygiagretės koordinačių ašims x, y, z ir kurių ilgiai yra dx, dy, dz. Šio briaunainio pradinis tūris

dV0=dx⋅dy⋅dz. Po deformavimo kraštinių ilgiai pakinta, tampa dx(1+εx), dy(1+εy) ir dz(1+εz). Pakitęs briaunainio

tūris dV1= dx⋅dy⋅dz⋅(1+εx)⋅(1+εy)⋅(1+εz). ∆dV=dV1-dV0. 7

Šias tris išraiškas įstatę į (4.32) ir atlikę matematinius veiksmus gauname (4.33) išraišką. Įrašę į šią išraišką deformacijų reikšmes pagal (4.30) ir sutraukę panašiuosius narius, gauname (4.34) išraišką. Išraiškos tinka ir tam atvejui, kai koordinačių ašys sutampa su svarbiausiųjų įtempimų σ1, σ2, σ3 bei svarbiausiųjų deformacijų εx, εy ir εz kryptimis.

Kai normaliniai įtempimai visomis trimis kryptimis vienodi, t.y. kai σx=σy=σz=σ, ( )συε

Ev213 −

= . (4.35)

Kai į visas puses tempiama, σ>0, tūris negali sumažėti, εv≥0, o kai iš visų pusių gniuždoma, σ<0, tūris negali padidėti, εv≤0. Taigi, kokio ženklo yra σ, tokio turi būti ir εv. Tai įmanoma, kai (4.35) išraiškoje koeficientas prie σ yra neneigiamas,

( ) 0213≥

−E

υ

Kadangi E≥0, tai ir skaitiklis turi būti neneigiamas, 1-2ν≥0; ν≤0,5. Tuo būdu, įrodėme tai, apie ką kalbėjome anksčiau - kad tamprios izotropinės medžiagos Puasono

koeficientas negali būti didesnis kaip 0,5. Pagaliau ir lygus šiai reikšmei jis būtų tik tokioje medžiagoje, kur bet kokio didumo įtempimams σ veikiant tūris nekinta, εv=0 (tai - ideali visiškai nesuspaudžiama medžiaga).

4.6. Priklausomybė tarp tampriosios medžiagos deformatyvumo rodiklių

Nagrinėdami deformuojamo vienalyčio ir izotropinio tampraus kūno įtempimų ir deformacijų būvius, galime nustatyti tokią priklausomybę tarp medžiagos rodiklių - tamprumo modulio E, šlyties modulio G ir skersinės deformacijos koeficiento (Puasono koeficiento) ν:

( )ν+=

12EG (4.36)

Kai žinome kuriuos nors du rodiklius iš trijų, trečiąjį galime nustatyti iš šios priklausomybės. Pavyzdžiui, jeigu E=210 GPa, v=0,30, tai G=210/(2(l-0,30))=81 GPa.

Priklausomybė (4.36) įrodoma nagrinėjant grynosios šlyties būvį, aptartą anksčiau.

4.7. Eksperimentinis įtempimų ir deformacijų tyrimas

Formulės, kuriomis skaičiuojame Įtempimų ar deformacijų reikšmes, yra apytikslės. Jas išvedant daroma kai kurių prielaidų, remiamasi hipotezėmis. Tiriamo ar projektuojamo konstrukcijos elemento tikrasis vaizdas dažnai būna daug sudėtingesnis negu to elemento skaičiuojamoji schema. Mums rūpi kaip nors patikrinti savo naudojamas formules, rūpi įsitikinti jų patikimumu. O kai konstrukcijos forma ir apkrova sudėtinga, tai net ir tinkamų formulių įtempimams ar deformacijoms skaičiuoti neturime.

Visa tai verčia ieškoti būdų nustatyti įtempimams ar deformacijoms ne teoriškai, ne skaičiavimu, bet eksperimentu. Paties įtempimo išmatuoti negalime (galime dinamometru išmatuoti tik jėgą, o kaip ta jėga pasiskirsto viename ar kitame elemento pjūvyje, deja, dažniausiai nežinome - tik spėliojame, daugiau ar mažiau pagrįstas prielaidas darome). Pasitelkę tikslius prietaisus, lengvai galime išmatuoti apkraunamo, deformuojamo elemento taškų poslinkius, įvairių atstumų pokyčius, taigi ir vidutines deformacijas (nes ε=∆a/a). Jeigu žinome, kad tiriamojo elemento įtempimai proporcingi deformacijoms, pasinaudoję Huko dėsniu, galime apskaičiuoti ir juos. Tačiau yra būdų ir pačių įtempimų pasiskirstymo dėsniams nustatyti (pavyzdžiui, optinis poliarizacinis metodas).

Dažniausiai naudojami šie deformacijų ar įtempimų eksperimentinio tyrimo būdai: • tenzometrija (mechaninė arba elektrinė), • optinis poliarizacinis metodas.

Tenzometras - tai prietaisas matuoti mažoms deformacijoms (tiksliau - mažiems atstumų pokyčiams). Ilgą laiką labai populiarūs buvo mechaniniai tenzometrai. Prispaudus tokio tenzometro daviklius prie deformuojamo elemento paviršiaus, galima stebėti net ir labai mažą to paviršiaus atkarpos ilgio pokytį, nes veidrodinis ar kitoks mechanizmas to pokyčio vaizdą padidina šimtus kartų. Tokių tenzometrų aprašymai yra vadovėliuose.

Pastaruoju metu mechaniniai tenzometrai beveik nebenaudojami, juos pakeitė patogesni elektriniai (varžiniai) tenzometrai.

Ant tiriamo elemento paviršiaus rūpimoje vietoje klijuojame varžinį tenzometrinį daviklį. Daviklis yra plona, labai didelės varžos vielelė, sulankstyta keliais vingiais ir įklijuota popieriaus juostelėje (4.7 pav.). Daviklio bazė (ilgis) s būna nuo kelių iki keliasdešimt milimetrų. Daviklį priklijuojame išilgai tos atkarpos,

8

kurios deformaciją norime nustatyti. Kai elementas (ir jo paviršius) deformuojasi, kartu su juo deformuojasi (ilgėja ar trumpėja) ir daviklis, kinta jo vielelės ilgis ir skerspjūvio plotas. Vielelės varža yra proporcinga jos ilgiui ir atvirkščiai proporcinga skerspjūvio plotui. Jeigu daviklis ilgėja, jo varža didėja. Varžą didina ir išilginė vielelės deformacija (ilgėjimas), ir skersinė (plonėjimas). Vielelės varžos pokytis yra proporcingas deformacijai. Tad belieka žinoti šio proporcingumo koeficientą ir tą varžos pokyti išmatuoti jautriu prietaisu.

Paprastai daviklis prie matavimo prietaiso (galvanometro) prijungiamas pagal tiltelio schemą (4.8 pav.). Kad tiltelį būtų galima subalansuoti, panaudojamos dar kelios varžos: R2, kuri atsveria daviklio varžą R1, ir maždaug vienodos reguliuojamos varžos R3 ir R4. Kaitaliodami reostatu varžų R3 ir R4 santykį, tiltelį subalansuojame taip, kad srovė iš šaltinio nebeteka per tiltelį, galvanometras G rodo nulį. Deformavus tiriamą elementą ir drauge su juo daviklio vielelę, varžų santykis pakinta, ir elektros srovė tilteliu ima tekėti. Galvanometro rodomas srovės stiprumas yra proporcingas daviklio varžos pokyčiui, taigi ir tiriamai deformacijai. Kai reikia ištirti sudėtingesnį deformacijų būvį, prie konstrukcijos elemento paviršiaus priklijuojama daugiau daviklių - lygiagrečių vienai ašiai arba ir skirtingų krypčių, pavyzdžiui, kaip 4.6 paveikslėlyje; iš gautų eksperimentinių duomenų galima formulėmis (4.27)-(4.29) apskaičiuoti reikalingus deformacijų būvio parametrus.

Detaliau elektrinio tenzometro naudojimas aprašytas vadovėliuose.

4.7 pav.

4.8 pav.

Optinis poliarizacinis metodas pagrįstas tuo, kad kai kurios skaidrios medžiagos (organinis stiklas, celiulioidas, želatinas ir kt.) deformuojamos keičia savybes, tampa optiškai anizotropinėmis. Poliarizuotos šviesos spinduliai, praėję pro tokią medžiagą, susiskaido į dvi plokštumas, kurios sutampa su svarbiausiųjų įtempimų plokštumomis, ir ekrane sudaro šviesias ir tamsias juostas, iš kurių tankio ir konfigūracijos galima spręsti apie įtempimų pasiskirstymą bei didumą (nors ir apytiksliai).

Suprantama, taikant šį metodą, tenka iš skaidriųjų optiškai aktyvių medžiagų padaryti konstrukcijos elemento modelius ir bandyti juos, o ne patį elementą. Metodas taikomas visų pirma tais atvejais, kai konstrukcijos elemento forma arba apkrova sudėtinga, nes jis labai vaizdžiai atskleidžia visą įtempimų pasiskirstymą, pavojingąsias jų koncentracijos vietas (o po to tas vietas galima tirti jau ir kitaip, pavyzdžiui, elektriniais varžiniais davikliais).

Plačiau metodas aprašytas knygose.

9

5. KONSTRUKCIJŲ ELEMENTŲ SKAIČIAVIMO METODAI

5.1. Bendrieji skaičiavimo principai

Bet kuri konstrukcija, bet kuris jos elementas tinkamas naudoti tik tada, kai yra pakankamai stiprus, pakankamai standus ir pakankamai stabilus. Apie stabilumą kiek plačiau pakalbėsime kitose paskaitose, o stiprumo ir standumo klausimus jau nagrinėjome tempimo ir gniuždymo temoje.

Konstrukcijos elementą, strypą aplinka veikia visokeriopai. Mechaninį aplinkos veikimą išreiškiame jėgomis, apkrova. Būtent dėl šio veikimo (neatlaikęs apkrovos) strypas gali suirti (nutrukti, sulūžti ir pan.) arba per daug deformuotis (ištįsti, sulinkti, susisukti ir pan.). Tačiau strypas, pagamintas iš pakankamai stiprios ir standžios medžiagos, priešinasi mechaniniam aplinkos veikimui. Kad jis nesuirtų, kad per daug nepakeistų formos, aplinkos poveikio funkcija Φ turi neviršyti pasipriešinimo funkcijos f:

Φ<f. Šių dviejų funkcijų analitinė išraiška ir yra bet kurio konstrukcijų skaičiavimo metodo pagrindas. O

išreikšti ir poveikio, ir pasipriešinimo funkciją galima įvairiais dydžiais. Aplinkos poveikio didumą geriausiai nusako tokie dydžiai kaip įtempimai, deformacijos, poslinkiai, taigi

Φ≡Φ(σ, τ, ε, γ, u, v, w…). Pasipriešinimą apibrėžti galime mechaninių medžiagos savybių rodikliais: f≡f(σu, σy, E, G, ν…). Todėl bendra konstrukcijos elemento tinkamumo eksploatuoti sąlygos išraiška yra tokia: Φ≡Φ(σ, τ, ε, γ, u, v, w…)<f≡f(σu, σy, E, G, ν…). (5.1) Konkreti funkcijų Φ ir f išraiška priklauso nuo kriterijų, kuriais remiasi skaičiavimo metodika. Toliau šiame skyriuje nagrinėsime tiktai stiprumo sąlygas. Ir pradėsime nuo paprasčiausio atvejo -

nuo vienašio įtempimų būvio, kai poveikis į konstrukciją gali būti nusakytas vieninteliu parametru - normaliniu įtempimu σ (tiksliau - vienu iš svarbiausiųjų įtempimų, σ1 arba σ3):

Φ(σ, τ, …)=σ, o pasipriešinimas ardymui dažniausiai išreiškiamas dviem mechaniniais medžiagos rodikliais - stiprumo riba σu bei takumo įtempimu

f≡f(σu, σy). Taigi, paprasčiausia stiprumo sąlyga (skirta vienašiam įtempimų būviui) yra tokia: σ≤ f(σu, σy). (5.2) Prisiminkite, kad visų centriškai tempiamų ar gniuždomų strypų įtempimų būvis būtent vienašis. Atsarga būtina, skaičiuojant bet kurią konstrukciją, nes skaičiavimo rezultatas turi būti patikimas.

Koks skaičiavimo metodas bebūtų, jis konstrukcijos stiprumą garantuoja su tam tikra tikimybe. Jokiu stiprumo skaičiavimu negalima gauti absoliučiai tikslių rezultatų, nes:

♦ medžiagos savybių rodikliai būna žinomi tik apytiksliai; realios medžiagos nėra idealiai vienalytės, jose gali būti silpnesnių vietų; naudojamo konkretaus strypo rodikliai gali būti kitokie, negu buvo nustatyti gamykloje visai strypų partijai;

♦ tik apytiksliai žinoma ir apkrova (pagal kurią skaičiuojami įtempimai), nes konstrukciją gaminant ir eksploatuojant apkrova gali kisti kitaip negu buvo numatyta;

♦ naudojamos skaičiavimui formulės yra apytikslės - jos gautos, padarius nemaža prielaidų; ♦ konstrukcijos skaičiuojamoji schema nėra tikslus realios konstrukcijos vaizdas; be to, gaminant

konstrukciją, būna daugiau ar mažiau nukrypstama nuo projekte nurodytų matmenų (nedidelės matmenų nuokrypos - tolerancijos yra visada leidžiamos).

Siekiamas patikimumo (atsargos) laipsnis priklauso ir nuo to, kiek konstrukcija svarbi (vienoks požiūris į malkų pašiūrės konstrukciją, kitoks - į mokyklos, kuriai griūvant žūtų vaikai) ir kiek ilgai numatoma ją eksploatuoti.

Visos šios priežastys skatina stiprumo skaičiavimą grįsti matematinės statistikos bei tikimybių teorijos teiginiais ir, mažų mažiausia, į skaičiavimo metodiką vienaip ar kitaip įvesti patikimumo (arba atsargos) koeficientus. Ilgainiui - tobulėjant konstrukcinių medžiagų gamybai ir konstrukcijų skaičiavimo metodikai - šios priežastys silpnėja ir koeficientai švelninami (siekiant sutaupyti medžiagos ir lėšų), bet išnykti jie niekada neišnyks (atsarga gėdos nedaro!).

Konstrukcijų skaičiavimo metodai vienas nuo kito skiriasi visų pirma dviem dalykais: ♦ apkrovimo stadija, kurią atitinka įtempimai, įrašomi į kairiąją stiprumo sąlygos (5.2) pusę; ♦ stiprumo sąlygos dešiniosios pusės išraiška. Plačiausiai naudojami yra du metodai - leistinųjų įtempimų metodas ir ribinių būvių metodas.

5.2. Leistinųjų įtempimų metodas

Skaičiuojant pagal šį metodą, įtempimai kairiojoje stiprumo sąlygos pusėje nustatomi pagal nominalinę apkrovą, t.y. pagal tą apkrovą, kuriai konstrukcija skirta. Pavyzdžiui, jeigu lynas skirtas kelti liftui su 6 žmonėmis, tai įtempimai jame ir skaičiuojami pagal numatytą lifto svorį ir 6 žmonių svorį, negalvojant apie tai, kad liftas gali būti pagamintas kiek sunkesnis ir kad kai kada į jį gali įsisprausti daugiau žmonių.

Tuo tarpu dešinioji stiprumo sąlygos pusė nustatoma, atsižvelgus į visus galimus netikslumus ir nukrypimus - tiek medžiagos rodiklių, tiek skaičiavimo formulių, tiek ir apkrovos (atsižvelgiama ir į minėtąją galimą lifto lyno perkrovą). Visa tai apimama patikimumo (atsargos) koeficientu n0, iš kurio dalijamas atitinkamas nominalinis medžiagos stiprumo rodiklis σ0 (stiprumo riba σu arba plastinių medžiagų takumo įtempimas σy). Padalijus gautas dydis yra vadinamas leistinuoju įtempimu ir žymimas simboliu σadm (angl. admissible - leistinas), kai kur simboliu σallow (angl. allomable - leistinas) ar ankstesnėje literatūroje simboliu [σ]:

u

u

y

y

n

n

σ

σ

medžiagoms kt.ir strapiosiom

medžiagoms plastinėms. (5.3)

Kadangi σu>σy, tai ir nu>ny. Atsargos koeficientų didumas labai priklauso ir nuo medžiagos vienalytiškumo; pavyzdžiui, betono nu≈3, lauko akmens nu≈10, tuo tarpu plieno ny<1,5.

Taigi paprasčiausias leistinųjų įtempimų metodo stiprumo sąlygos pavidalas yra toks: σ≤σadm=σ0/n0. (5.4) Ir nepamirškite, kad įtempimas σ čia apskaičiuotas pagal nominalines (o ne projektines) apkrovas.

5.3. Ribinių būvių metodas

Skaičiuojant konstrukcijas pagal šį metodą, į stiprumo sąlygą įvedami ne tie įtempimai, kurie atsiranda nuo nominalinių apkrovų, bet vadinamieji projektiniai įtempimai - tie, kurie gali būti konstrukcijoje, pasiekusioje ribinį būvį, t.y. tokį būvį, kai konstrukcijos nebegalima eksploatuoti. Vienas iš ribinių būvių yra konstrukcijos ar jos kurio nors elemento suirimas, bet yra ir kitokių konstrukcijos tinkamumo ribų: per didelės deformacijos ar poslinkiai, atsivėrę plyšiai ir kt. Ribiniai būviai paprastai grupuojami pagal jų pavojingumą, reikšmingumą.

Pavyzdžiui, Europos normos (Eurocode) suskirsto ribinius būvius į kritinius (ultimate limit states) ir eksploatacinius (serviceability l. s.). Kritiniais laikomi tie būviai, kurie susiję su konstrukcijos irimo, griuvimo grėsme bei pavojumi žmogaus gyvybei. Eksploataciniai ribiniai būviai - tokie, kuriuos pasiekusi konstrukcija, nebeatitinka vienokių ar kitokių eksploatavimo kriterijų (per dideli poslinkiai, vibracijos ir pan.); šie ribiniai būviai paprastai nėra labai pavojingi.

Aišku, kad ribiniai būviai konstrukcijai yra neleistini jokiu atveju, t.y. veikiant ne tik nominalinėms, bet ir visoms kitoms įmanomoms (net ir atsitiktinėms) apkrovoms. Todėl įtempimai skaičiuojami pagal projektines įrąžas. Projektinės įrąžos apskaičiuojamos pagal projektines apkrovas. Projektinė apkrovos reikšmė gaunama, padauginus nominalinę apkrovos reikšmę iš apkrovos patikimumo koeficiento. Pavyzdžiui, jeigu lifto svoris gali būti iki 10% didesnis, o įsisprausti į jį gali pusantro karto daugiau žmonių negu skirta, tai lifto svorio apkrovos F1 patikimumo koeficientas būtų n1=1,1, o keliamų žmonių svorio jėgos F2 patikimumo koeficientas n2=1,5. Tuomet projektinė lifto lyno įrąža N=n1F1+n2F2.

Taigi šiuo metodu atsarga dėl galimos perkrovos įskaitoma įtempimų reikšme (ir diferencijuojama pagal apkrovos rūšis). Į daugelį kitų atsargos priežasčių atsižvelgiama kitų veiksnių patikimumo koeficientais. Konstrukcinės medžiagos stiprumo rodiklis nustatomas, kaip ir leistinųjų įtempimų metodu, pagal stiprumo ribą σu arba takumo įtempimą σy, o vadinamas projektiniu stipriu ir žymimas raide R (angl. resistance - pasipriešinimas) arba (kai kuriose Europos normose) raide f. Kadangi į šį rodiklį telpa ne visa atsarga (dalis jos išreikšta apkrovos ir kitais patikimumo koeficientais), projektinis stipris dažniausiai yra didesnis negu tos pačios medžiagos leistinasis įtempimas (R>σadm).

Paprasčiausias ribinių būvių metodo stiprumo sąlygos pavidalas būtų toks: σ≤R. (5.5)

(Nepamirškite, kad čia įtempimas σ apskaičiuotas pagal nepalankiausią apkrovą). O taikant stiprumo sąlygą konkrečioms konstrukcijoms, į ją įtraukiami papildomi patikimumo, darbo sąlygų koeficientai.

Dar kartą išvardysime, kuo ribinių būvių metodas skiriasi nuo leistinųjų įtempimų metodo: ♦ įtempimų reikšmė nustatoma, atsižvelgiant į diferencijuotą apkrovos patikimumą; šie įtempimai

atspindi tą aiškiai suvokiamą konstrukcijos būvį, kurio jokiu būdu negalima leisti;

♦ konstrukcijos medžiagos pasipriešinimas nusakomas projektiniu stipriu, kuris nepriklauso nuo apkrovos patikimumo;

♦ kai konstrukcija yra statiškai neišsprendžiama, o juo labiau kai joje ima reikštis plastinės deformacijos, įtempimų augimas nebėra proporcingas apkrovos didėjimui, todėl ir atsarga ties ribiniu būviu dažniausiai nėra tokia pat, kaip ties nominalinės apkrovos lygiu; ribinių būvių metodo fiksuojama atsarga yra prasmingesnė už leistinųjų įtempimų metodo (aiškiai suformuluotas pavojus - ribinis būvis, kurio siekiama išvengti).

Stiprumo sąlygą galima išreikšti ir kitaip negu (5.5) - pavyzdžiui, lyginti ne įtempimą su medžiagos stipriu, bet projektinę įrąžą su skerspjūvio pasipriešinimo rodikliu (taip daroma ir Europos normose). Kitokios išraiškos dažnai palengvina konkrečių konstrukcijų skaičiavimą, įvairių faktorių patikimumo nustatymą. Tačiau dabar, kol mokomės stiprumo skaičiavimo pagrindų, kol turime įsidėmėti, jog visų pirma įtempimų būvis ties kuriuo nors konstrukcijos tašku lemia suirimo pavojų, naudosimės sąlygomis, išreikštomis įtempimais.

Ribinių būvių metodo stiprumo sąlygas jau naudojome (2 skyriuje) ir naudosime toliau. Šiame paskaitų kurse visais atvejais tariame, kad nagrinėjamos apkrovos yra projektinės - atitinkančios nepalankiausią jų derinį, atitinkančios konstrukcijos ribinį būvį (t.y. įrąžų ar įtempimų nebereikia dauginti iš patikimumo koeficientų). Nesirūpiname ir projektinio stiprio nustatymu: dažnai žinynai ar specifikaciniai dokumentai nurodo būtent šį medžiagos savybių rodiklį, jo nebereikia skaičiuoti pagal kitus medžiagos rodiklius. Beje, reikia įsidėmėti, kad tuo atveju, kai projektinio stiprio simbolis R parašytas be indekso, jis žymi stiprį tempimo atveju (kuris dažnai prilygsta stipriui gniuždymo atveju). O indeksuotieji projektinio stiprio simboliai yra tokie:

tempiamasis - Rt (angl. tension - tempimas), gniuždomasis - Rc (angl. compression - gniuždymas), šlyties, kerpamasis - Rs (angl. shear - šlytis), glemžiamasis - Rp (angl. pressure - slėgimas) arba Rb (angl. bearing - atraminis).

5.4. Irimo ir plastiškumo hipotezės

Stiprumo sąlygos su tam tikra atsarga ir tikimybe užtikrina, kad medžiaga, veikiama apkrovos, nesuirs ir kad joje neatsiras nepageidaujamų didelių plastinių deformacijų. Konstrukciją nuo suirimo saugančioje stiprumo sąlygoje (5.2) naudojame medžiagos stiprumo ribą σu, o plastiškumo išvengiame, panaudoję plastinės medžiagos takumo įtempimą σy. Kai įtempimų būvis vienašis, stiprumo sąlyga paprasta. Tačiau kai įtempimų būvis sudėtingesnis - dviašis ar triašis, - konstrukcijos poveikio funkcija priklauso jau ne nuo vienintelio parametro. Veikia ne tik σ1, bet ir σ2, σ3; trijų svarbiausiųjų įtempimų kombinacijų gali būti labai įvairių, net ir su tobula laboratorine įranga neįmanoma jų visų ištirti. Galime tik su vienokia ar kitokia tikimybe spėti, kas lemia medžiagos suirimą arba plastiškumą, kas yra irimo ar plastiškumo kriterijus. Stiprumo sąlygą formuojame, remdamiesi kokia nors irimo ar plastiškumo hipoteze.

Kai strypo įtempimų būvis vienasis, jį nesunku išbandyti - tempimu ar gniuždymu - ir nustatyti bet kurio parametro bei bet kokios parametrų funkcijos Φ(σ, τ, ε, …) reikšmę Φ0 tuo momentu, kai strypas suyra (Φ0≡Φu) arba kai ima reikštis plastiškumas (Φ0≡Φy). Nustatyti tokią reikšmę sudėtingo (dviašio, triašio) įtempimų būvio atveju (Φ0

*) būtų keblu. Todėl formuluojame tokią bendrą hipotezę: kai medžiaga suyra (ar tampa plastiška), funkcijos - kriterijaus Φ reikšmė tai medžiagai yra visada ta

pati - koks įtempimų būvis bebūtų. Jeigu simbolius, atitinkančius sudėtingą (dviašį, triašį) įtempimų būvį, žymėsime žvaigždute, o

vienašio būvio reikšmes atitinkančius simbolius - be žvaigždutės, tai šią žodinę hipotezės formuluotę galėsime išreikšti ir taip:

Φ0*=Φ0. (5.6)

Iš stiprumo sąlygos sudėtingam (dviašiam, triašiam) būviui: Φ*<Φ0

*, pasinaudoję (5.6) lygybe, galime eliminuoti sunkiai nustatomą dydį Φ0

*, ir stiprumo sąlyga tampa tokia: Φ*<Φ0. (5.7) Joje kairioji pusė nustatoma pagal sudėtingąjį (dviašį, triašį) įtempimų būvį, o dešinioji - pagal

vienašį. Belieka rasti tokią funkciją Φ, kuriai galiotų pateiktoji formuluotė. Universalios, visoms

medžiagoms tinkančios funkcijos nėra. Pasiūlytų kriterijų yra keletas. Juos peržvelgdami, nurodysime ir jų galiojimo ribas.

Maksimalių normalinių įtempimų hipotezė (irimo kriterijus - σmax): Φ=σmax.

Bet kuriuo (sudėtingu) atveju σmax=σ1 (didžiausias iš trijų svarbiausiųjų įtempimų) ir Φ*=σ1. Vienašio įtempimų būvio atveju medžiaga suyra, kai σ1 pasiekia stiprumo ribą σu, taigi Φ0=σu,

todėl stiprumo sąlygą pagal (5.7) formuluojame taip: σ1<σu,

arba, įvedę atsargos koeficientus, pakeitę stiprumo ribą projektiniu stipriu: σ1≤R. (5.8) Maksimalių normalinių įtempimų kriterijus neapima kitų krypčių svarbiausiųjų įtempimų (σ2, σ3),

nors jie turi nemažą įtaką stiprumui, todėl hipotezė gali būti taikoma tik labai trapių (stiklo ir pan.) medžiagų tempimui. Tačiau praktiškai šios hipotezės niekas nebenaudoja, jos reikšmė tik istorinė.

Maksimalių linijinių deformacijų hipotezė (irimo kriterijus - εmax): Φ=εmax.

panaudojus bendrąjį Huko dėsnį, (4.31) išraišką, Φ*=ε1=(σ1-ν(σ2+σ3))/E. Kai tempiamas strypas suyra, būna σ1=σu, σ2=σ3=0, todėl Φ0=σu/E,

ir pagal (5.7) stiprumo sąlygos išraiška tokia: (σ1-ν(σ2+σ3))/E<σu/E,

arba (σ1-ν(σ2+σ3))<σu,

arba σ1-ν(σ2+σ3)≤R. (5.9) Ši hipotezė galioja tik tada, kai kairioji (5.9) nelygybės pusė yra teigiama, ir tik trapių medžiagų

gaminiams (plytai, akmeniui). Maksimalių tangentinių įtempimų hipotezė (plastiškumo kriterijus - τmax): Φ=τmax. Ši reikšmė sudėtingam įtempimų būviui yra nustatyta formule (4.16): Φ*=(σ1-σ3)/2. Kai tempiamame strype ima reikštis plastinės deformacijos, tada σ1=σy, σ3=0, todėl Φ0=σy/2

ir pagal (5.7) stiprumo sąlyga (σ1-σ3)/2<σy/2,

arba σ1-σ3≤R. (5.10) Nors šis kriterijus neapima kartais reikšmingo viduriniojo svarbiausiojo įtempimo σ2, bet gana gerai

tinka plastinėms medžiagoms, kurios vienodai priešinasi ir tempimui, ir gniuždymui. Energetinė hipotezė (plastiškumo kriterijus - ta santykinės potencinės energijos dalis, kuri

susikaupė dėl formos pokyčių, vadinamoji distorsijos energija ud): Φ=ud. Ši energija sudėtingo įtempimų būvio atveju išreiškiama taip:

( ) ( ) (( 213

232

221

*

61 σσσσσσ ) )ν

−+−+−+

==ΦE

ud . (5.11)

Kai vienašio įtempimo būvio atveju prasideda plastinės deformacijos, tada σ1=σy, σ2=σ3=0, todėl

( ) 222* 26

16

1yyy EE

σνσσν⋅

+=+

+=Φ ,

ir pagal (5.7) stiprumo sąlyga ( ) ( ) ( ) 22

132

322

21 2 yσσσσσσσ <−+−+− , arba

( ) ( ) ( ) R≤−+−+− 213

232

2212

1 σσσσσσ . (5.12)

Energetinė hipotezė gerai tinka plastinėms medžiagoms ir yra labai plačiai naudojama. Moro hipotezė taikoma tokioms medžiagoms, kurios nevienodai priešinasi tempimui ir gniuždymui

(Rt≠Rc). Jos pagrindu sudaryta stiprumo sąlyga yra tokia: σ1-kσ3≤Rt, (5.13)

čia k=σyt/σyc plastinėms medžiagoms ir k=σut/σuc trapioms (indeksas t žymi tempimu nustatytus mechaninius medžiagos rodiklius, c - gniuždymu). Akivaizdu, kad jeigu medžiaga vienodai priešinasi tempimui ir gniuždymui (jeigu σyt=σyc, σut=σuc), tai k=1 ir (5.13) sąlyga sutampa su maksimalių tangentinių įtempimų hipotezės sąlyga (5.10).

5.1 pav.

Klasikinių hipotezių palyginimą dviašio įtempimų būvio atveju iliustruoja diagrama (5.1 pav.); šios diagramos koordinatės - santykiniai svarbiausieji įtempimai (svarbiausiųjų įtempimų σ1, σ3 ir medžiagos stiprumo ribos σu santykiai). Iš diagramos matyti, kad pagal įvairias hipotezes nustatomi ribiniai įtempimų būviai (pažymėti skirtingomis linijomis) ypač išsiskiria kvadrantuose su skirtingo ženklo įtempimais. Pažymėtieji įvairių medžiagų irimo ar plastiškumo pradžios taškai (gauti iš atliktų eksperimentų) rodo, kad maksimalių normalinių įtempimų hipotezė tinka tik trapiai medžiagai (ketui), o plastiškoms medžiagoms (plienui, variui, aliuminiui) ypač dera energetinė hipotezė.

Kiek skiriasi rezultatai, kai konstrukcija vertinama pagal įvairias hipotezes, galime pamatyti iš grynosios šlyties pavyzdžio. Grynosios šlyties atveju (4.2 poskyris) σ1=-σ3=τ, σ2=0. Įrašę šias reikšmes į kelių hipotezių pagrindu sukurtas stiprumo sąlygas, gauname skirtingo didumo įtempimų funkcijos reikšmę, lyginamą su tuo pačiu projektiniu stipriu R:

Kriterijus Formulė Funkcijos reikšmė σmax (5.8) τ εmax (5.9) (1+ν)τ τmax (5.10) 2τ ud (5.12) τ3

Čia buvo išdėstytos klasikinės medžiagų irimo ir plastiškumo hipotezės. Antai jų pirmoji, maksimalių normalinių įtempimų hipotezė, dažnai siejama net su GALILĖJAUS (Galileo Galilei, 1564-1642) vardu, nors tiksliau ją suformulavo škotas inžinierius V. RANKINAS (William John Macąuorn Rankine, 1820-1872). Taip pat tiktai trapioms medžiagoms tinkančią maksimalių linijinių deformacijų hipotezę ėmė taikyti prancūzai E. MARIOTAS (Edme Mariotte, 1620-1684) ir B. SEN-VENANAS (Barrė de Saint-Venant, 1797-1886).

Plastiškoms konstrukcinėms medžiagoms tinkančią maksimalių tangentinių įtempimų hipotezę sukūrė 1773 m. prancūzas Š. RULONAS (Charles Augustin Coulomb, 1736-1806); vėliau, 1868 m. šią hipotezę pagrindė H. TREŠKA (Tresca), dažnai ji ir vadinama Treskos plastiškumo sąlyga. Vokiečių mokslininkas O. MORAS šią hipotezę pritaikė medžiagoms, kurios skirtingai priešinasi tempimui ir gniuždymui.

Energetinę hipotezę paskelbė nepriklausomai vienas nuo kito net keli mokslininkai. Visą potencinę energiją taikyti kaip plastiškumo kriterijų pabandė 1885 m. italas E. BELTRAMIS (1835-1900), tačiau eksperimentai šio kriterijaus nepatvirtino. Tada 1904 m. lenkas M. HUBERAS, O nepriklausomai nuo jo 1913 m. ir vokietis R. MlZESAS (Richard von Mises, 1883-1953) iškėlė kaip kriterijų tik distorsijos (formos kitimo) energiją; vėliau R. Mizesas bei H.'HENKIS (Hencky) šią hipotezę teoriškai pagrindė kaip plastiškumo sąlygą; jie visi nežinojo, kad šią idėją dar anksčiau viename savo laiškų (paskelbtų, deja, tik 1937 m.) buvo iškėlęs anglas Dž. MAKSVELAS (James Clerk Maxwell, 1831-1879). Ši hipotezė, kai kada vadinama Hubero-Mizeso-Henkio plastiškumo sąlyga, gana gerai tinka daugeliui konstrukcinių medžiagų ir tapo populiariausia.

Kitos hipotezės, siūlančios tiek medžiagų stiprumo, tiek ir plastiškumo kriterijus, nėra tiek populiarios, kiek anksčiau aptartos. Tačiau konstrukcijoms naudojant naujas medžiagas, ypač įvairius plastikus, tenka ieškoti naujų kriterijų, naujų poveikio funkcijos Φ išraiškų. Stiprumo sąlygoms geriausiai tinka kriterijaus išreiškimas svarbiausiaisiais įtempimais:

Φ≡Φ(σ1, σ2, σ3). Būtent taip ir buvo išreikštos sąlygos pagal nagrinėtąsias hipotezes. Kai naujai medžiagai netinka nė

viena žinomų hipotezių, naujas kriterijus gali būti sukurtas ir eksperimentiniu būdu - parašius hipotetinę

funkcijos išraišką su keliais nežinomais parametrais, kurie po to nustatomi keliais skirtingais tos medžiagos bandymais.

Nauja medžiagos plastiškumo sąlyga gali būti išreikšta, pavyzdžiui, ir taip ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 1321

2321

213

232

221 =++++++−+−+− σσσσσσσσσσσσ cba . (k)

Atlikus tempimo bandymą (iki ribinio būvio - plastinių deformacijų atsiradimo), nustatomas projektinis stipris Rt, be to, fiksuojama, kad sąlyga (k) turi tenkinti reikšmes σ1=Rt, σ2=σ3=0; taigi, įrašius šias reikšmes į (k), gaunama viena lygtis su nežinomaisiais a, b, c. Analogiškai po gniuždymo bandymo, nustačius Rc bei fiksavus σ1=σ2=0, σ1=-Rc, ir po sukimo bandymo, nustačius Rs bei fiksavus σ1=-σ3=Rs, σ2=0, gaunamos dar dvi lygtys. Išsprendus šias tris lygtis, visi trys nežinomieji a, b, c sąlygoje (k) išreiškiami jau žinomais medžiagos rodikliais Rt, RC, Rs.

Apie naujų irimo bei plastiškumo hipotezių kūrimą, apie šių tyrimų tendencijas plačiau galima rasti literatūroje.

Verta dar kartą pabrėžti, kad visos aprašytosios ir visos naujos sąlygos yra pagrįstos hipotezėmis, spėjimais ir drąsiau jas naudoti galima tik sukaupus pakankamai sėkmingos patirties. Nepamirština ir tai, kad kiekvienos medžiagos stiprumui bei plastiškumui nemažą įtaką turi temperatūra, laikas ir kiti veiksniai. Kai medžiaga anizotropiška, labai svarbi net mechaninio veikimo kryptis; pavyzdžiui, sluoksniuota, skali (kaip mediena) medžiaga stipriau pasipriešins jėgoms, parodytoms schema a (5.2 pav.), negu tokio pat intensyvumo veikimui b.

5.2 pav.

Tiek čia aprašytos klasikinės, tiek ir naujai sukurtos hipotezės konstrukcijos ribinį būvį nustato tik apytiksliai. Dažnai to pakanka konstrukcijos stiprumui užtikrinti. Tačiau kai kada prireikia detaliau, kruopščiau išnagrinėti galimą konstrukcinės medžiagos irimo mechanizmą, medžiagos įtrūkimo, plyšio atsiradimo ir jo didėjimo sąlygas. Visa tai tiria speciali kietojo deformuojamojo kūno mechanikos dalis, vadinama irimo mechanika. Su kai kuriais irimo mechanikos principais bei idėjomis pabandysime susipažinti kitų paskaitų metu.

O baigiant šį skyrių, reikia dar kartą akcentuoti, kad visi sudėtingi skaičiavimai, paremti irimo ar plastiškumo hipotezėmis arba irimo mechanikos duomenimis, reikalingi tik tada, kai įtempimų būvis yra sudėtingas (dviašis, triašis). Kai įtempimų būvis vienasis, stiprumo sąlygos paprastos, paremtos ne kokiomis nors hipotezėmis, o tempimo ar gniuždymo bandymų rezultatais.

6. GEOMETRINIAI SKERSPJŪVIŲ RODIKLIAI

6.1. Geometrija ir konstrukcijų skaičiavimas

Nagrinėdami konstrukcijų elementų mechanikos klausimus, nuolat susiduriame ir su geometriniais dydžiais. Antai, apskaičiuodami jėgos momentą, jėgą dauginame iš atstumo (peties), nustatydami įtempimą tempiamo strypo taške, ašinę jėgą dalijame iš skerspjūvio ploto. Visos konstrukcijos ir jos elementų stiprumas bei standumas priklauso nuo elementų ašių geometrijos - nuo to, kaip tie elementai išdėstyti, tiesūs jie ar kreivi. Iš geometrinių santykių nustatomi konstrukcijos statinės pusiausvyros ir geometrinių deformavimo lygčių koeficientai. Jau ne kartą teko minėti skerspjūvio svorio centrą (arba tiesiog centrą) - prie centro yra pridėtos įrąžos, kalbame apie centrinį tempimą; nustatydami sudėtingos skerspjūvio figūros centrą, susiduriame su dar vienu geometriniu plokščiosios figūros (skerspjūvio) rodikliu - statiniu momentu. Lig šiol mums pakako elementarių geometrijos sąvokų, pakako jų ir tempiamo ar gniuždomo strypo stiprumui bei standumui skaičiuoti. Tačiau kai strypas deformuojamas kitaip - kai jis sukamas, lenkiamas, - įtempimams ir deformacijoms išreikšti prireikia naujų geometrinių rodiklių: skerspjūvio inercijos momentų, atsparumo momentų, inercijos spindulių.

Naujas (arba anksčiau retai tevartotas) geometrines sąvokas ir aptarsime šiame skyriuje, kuris konstrukcijų elementų mechanikos kursui yra pagalbinis. Čia kalbėsime tik apie tuos geometrinius skerspjūvių (plokščiųjų figūrų) rodiklius, kurių dažnai prireikia. O vėliau teks naudoti ir daugiau naujų geometrinių sąvokų, kurių kol kas neaptarinėsime, nes jos susijusios tik su atskiromis mechanikos temomis, pavyzdžiui, “šlyties centras”, “liaunis”.

6.2. Ploto statinis momentas. Ploto svorio centras

Geometrinis rodiklis, apibūdinantis plokščiosios figūros (skerspjūvio) ploto padėtį kurios nors ašies atžvilgiu, yra statinis momentas.

Plokščiosios figūros (skerspjūvio) ploto statinis momentas kurios nors ašies atžvilgiu yra šios figūros ploto elementų ir jų koordinačių (teigiamų ar neigiamų atstumų nuo tos ašies) sandaugų suma.

Jeigu figūra nagrinėjama stačiakampėje koordinačių sistemoje xOy (6.1 pav.), tai koordinačių ašių x ir y atžvilgiu statiniai momentai

∫=A

x ydAS , (6.1) ∫=A

y xdAS

(integruojama visame figūros plote A).

6.1 pav.

Akivaizdu, kad statinis momentas matuojamas trečiojo laipsnio (kubiniais) ilgio vienetais — m3, cm3. Jis gali būti tiek teigiamas, tiek ir neigiamas, gali būti ir lygus nuliui. Ašys, kurių atžvilgiu statinis momentas lygus nuliui, eina per vadinamąjį figūros ploto svorio centrą (dažnai vadinamą tiesiog centru) ir vadinamos centrinėmis ašimis.

Stačiakampėje koordinačių sistemoje figūros centro koordinatės randamos taip:

A

xdAx A

c

∫= ,

A

ydAy A

c

∫= . (6.2)

Todėl, sulyginę šias išraiškas su (6.1), matome, kad Sx=ycA, Sy=xcA. (6.3) Jeigu figūra sudėta iš kelių dalių (arba suskaidyta į kelias dalis), plotų statinių momentų (tos pačios

ašies atžvilgiu!) algebrinei sumai (6.2 pav.):

AySSSS c

n

ixnxxx =+++=∑

=121 ... ,

o iš tokių išraiškų randama ir figūros centro koordinatė:

∑

∑

=

=== n

ii

n

iici

xc

A

Ay

ASy

1

1 . (6.4)

Analogiškai nustatome ir kitą centro koordinatę. Įsidėmėtina, kad simetriškos figūros centras yra simetrijos ašyje. Jeigu figūra turi dvi ar daugiau

simetrijos ašių, centras yra šių ašių sankirtos taškas.

6.2 pav.

6.3. Ploto inercijos momentai

Geometriniai rodikliai, apibūdinantieji plokščiosios figūros (skerspjūvio) ploto atokumą nuo kurios nors ašies ar kurio nors taško, yra ploto inercijos momentai.

Plokščiosios figūros (skerspjūvio) ploto ašinis inercijos momentas kurios nors ašies atžvilgiu yra šios figūros ploto elementų ir jų atstumų nuo tos ašies kvadratų sandaugų suma.

Jeigu figūra nagrinėjama stačiakampėje koordinačių sistemoje xOy (6.1 pav.), tai koordinačių ašių x ir y atžvilgiu figūros ploto ašiniai inercijos momentai

∫=A

x dAyI 2 , . (6.5) ∫=A

y dAxI 2

Palyginkite šias abi formules su ploto statinių momentų išraiškomis (6.1) — jos skiriasi tik tuo, kad koordinatės keliamos kvadratu.

Ploto ašiniai inercijos momentai matuojami ketvirtojo laipsnio ilgio vienetais — m4, cm4. Jie visada yra teigiami (nes net ir neigiamų koordinačių z, y kvadratai yra teigiami).

Plokščiosios figūros (skerspjūvio) ploto išcentrinis inercijos momentas kurių nors dviejų statmenų ašių atžvilgiu yra šios figūros ploto elementų ir jų abiejų koordinačių (teigiamų ar neigiamų atstumų nuo tos ašies) sandaugų suma.

Jeigu figūra nagrinėjama stačiakampėje koordinačių sistemoje xOy (6.1 pav.), tai koodinačių ašių x ir y atžvilgiu figūros ploto išcentrinis inercijos momentas (dažniausiai žymimas simboliu Ixy arba Dxy)

∫=A

xy xydAI . (6.6)

Šis inercijos momentas matuojamas taip pat ketvirtojo laipsnio ilgio vienetais — m4, cm4. Jis gali būti tiek teigiamas, tiek ir neigiamas. Dažnai vien tik žvilgterėjus į figūros padėtį koordinačių sistemoje, galima pasakyti, kokio ženklo yra išcentrinis inercijos momentas: mat, pirmajame ir trečiajame kvadrante taškų koordinatės yra vienodo ženklo ir jų sandauga teigiama, tuo tarpu antrojo ir ketvirtojo kvadranto taškų koordinačių sandauga neigiama; todėl kai aiškiai didesnė figūros ploto dalis išsidėsčiusi pirmajame ir trečiajame kvadrante (ir kai tas plotas labiau atitolęs nuo ašių), išcentrinis inercijos momentas yra teigiamas ir atvirkščiai (6.3, a pav.).

Jeigu būna teigiamų ir neigiamų, tai, aišku, gali būti ir nuliui lygių figūros išcentrinių inercijos momentų.

Ašys, kurių atžvilgiu figūros ploto išcentrinis inercijos momentas lygus nuliui, vadinamos figūros svarbiausiosiomis inercijos ašimis.

Dažnai svarbiausiosios ašys žymimos raidėmis u ir v. Taigi, Iuv=0. Bet kuri figūros simetrijos ašis yra svarbiausioji ašis. Bet kuri jai statmena ašis taip pat yra

svarbiausioji. Pirmieji trys 6.3, b paveikslėlio atvejai yra su simetrijos ašimis, todėl juose x ir y ašys yra svarbiausiosios.

6.3 pav.

Ploto ašiniai inercijos momentai svarbiausiųjų ašių atžvilgiu vadinami svarbiausiaisiais ploto inercijos momentais.

Jeigu ašis, kurios atžvilgiu nustatomas inercijos momentas, yra centrinė (eina per figūros ploto svorio centrą), inercijos momentas vadinamas centriniu. Įsidėmėkite: gali būti centrinis (ne svarbiausiasis), svarbiausiasis (ne centrinis) ir centrinis svarbiausiasis inercijos momentas.

Svarbiausieji inercijos momentai ypatingi tuo, kad jų reikšmės yra ekstremalios atžvilgiu visų kitų ašių, einančių per tą pačią koordinačių pradžią, bet kitokia kryptimi. Vieno iš svarbiausiųjų inercijos momentų reikšmė yra maksimali, kito —- minimali.

Dar vienas geometrinis rodiklis nusako figūros ploto atokumą nuo kurio nors taško (vadinamojo poliaus) — tai polinis inercijos momentas.

Plokščiosios figūros (skerspjūvio) ploto polinis inercijos momentas yra šios figūros ploto elementų ir jų atstumų nuo vieno kurio taško (poliaus) kvadratų sandaugų suma.

Formule šis rodiklis išreiškiamas taip (6.4, a pav.; čia O — polius):

∫=A

p dAI 2ρ . (6.7)

Jeigu polius sutampa su stačiakampės koordinačių sistemos pradžia (6.4, b pav.), tai, pagal Pitagoro teoremą, ρ2=y2+x2 ir

∫∫ +=AA

p dAxdAyI 22 ,

arba yxp III += . (6.8)

Pravartu žinoti kai kurių paprastų geometrinių figūrų inercijos momentų išraiškas. Stačiakampio ploto ašinis inercijos momentas centrinės ašies, lygiagretės vienai iš kraštinių (6.4, c

pav.), atžvilgiu:

12

3bhIx = , 12

3hbI y = . (6.9)

Kadangi centrinės x ir y ašys yra simetrijos ašys, šių ašių atžvilgiu išcentrinis inercijos momentas Ixy=0.

Trikampio ploto ašinis inercijos momentas centrinės ašies, lygiagretės pagrindui (6.4, d pav.), atžvilgiu:

36

3bhIx = . (6.10)

6.4 pav.

Dažnai praverčia ir inercijos momentas atžvilgiu ašies x1, kuri eina ne per figūros centrą, bet per pagrindą:

12

3

1bhIx = . (6.11)

Tačiau naudodamiesi šia formule būkite atidūs — nepamirškite, kad x1 nėra centrinė ašis.

Jeigu trikampis nėra simetriškas (lygiašonis), t.y. jeigu a≠0 (6.4, d pav.), tai ir išcentrinis inercijos momentas nėra lygus nuliui:

24

2abhIxy ±= , (6.12)

(kai trikampio viršūnės B abi koordinatės vienodo ženklo, ši reikšmė yra teigiama, o kai jų ženklai skirtingi — neigiama).

Skritulio ploto centrinis ašinis inercijos momentas

64

4dII yxπ

== , (6.13)

polinis inercijos momentas (kai polius - skritulio centras)

32

4dI pπ

= . (6.14)

Bet kuri ašis x, einanti per skritulio centrą, yra šios figūros simetrijos ašis, todėl išcentrinis inercijos momentas Ixy=0.

Čia pateiktos geometrinių rodiklių išraiškos gaunamos integravimo keliu iš (6.5)-(6.7) formulių. Žinodami figūros ploto inercijos momentus vienų ašių atžvilgiu, galime apskaičiuoti juos kitų ašių

atžvilgiu. Jeigu naujosios ašys x1 ir y1 yra lygiagretės pirminėms x ir y ašims (6.5, a pav.), inercijos momentų reikšmės skaičiuojamos pagal formules

Ix1=Ix+a2A+2aSx, Iy1=Iy+b2A+2bSy, (6.15) Ixy=Ixy+abA+aSy+bSx, (6.16)

čia a ir b yra pirminės sistemos koordinačių pradžios O koordinatės naujojoje sistemoje x1O1y1, A — figūros plotas, Sx ir Sy — jos statiniai momentai z ir y ašių atžvilgiu. Kai x ir y ašys yra centrinės (jų atžvilgiu Sx=0 ir Sy= 0), formulės paprastesnės:

Ix1=Ix+a2A, Iy1=Iy+b2A, (6.17) Ixy=Ixy+abA. (6.18) Kai naudojamės (6.15), (6.16) ir (6.18) formulėmis, svarbu, kokie yra koordinačių a, b ženklai, tuo

tarpu (6.17) formulėse koordinates a ir b keliame kvadratu, todėl jų ženklas skaičiavimui įtakos neturi. Jeigu naujosios koordinačių sistemos pradžią sutampa su pirminės koordinačių sistemos pradžia, o

naujosios ašys x1 ir y1 nuo pirminių ašių x ir y yra pasuktos kampu α (6.5, b pav.), tai ašinių ir išcentrinio inercijos momentų reikšmės skaičiuojamos pagal tokias formules:

Ix1=Ixcos2α+Iysin2α-Ixysin2α, Iy1=Ixsin2α+Iycos2α+Ixysin2α, (6.19) Ix1y1=Ixycos2α+0,5(Ix-Iy)sin2α. (6.20)

6.5 pav.

Čia kampas α yra teigiamas, kai tokiu kampu ašis pasukta prieš laikrodžio rodyklę. Šios formulės galioja dešininei stačiakampei koordinačių sistemai (kurioje nuo teigiamos x ašies prie teigiamos y ašies pereinama 90° kampo posūkiu prieš laikrodžio rodyklę).

Sudėję panariui abi (6.19) ašinių inercijos momentų išraiškas, gauname (kadangi cos2α+sin2α=1): Ix1+Iy1=Ix+Iy=const. (6.21) Tai yra vadinamasis ašinių inercijos momentų sumos invariantiškumo dėsnis: ašinių inercijos momentų dviejų statmenų ašių atžvilgiu suma yra invariantiška, nepriklausanti nuo

tų ašių posūkio kampo (nekintanti, kai tuodvi ašys sukamos apie jų sankirtos tašką, koordinačių pradžią). Iš šio dėsnio galime padaryti ir tokią išvadą: jeigu besukant ašis, vienos ašies atžvilgiu momento

reikšmė didėja, tai tuo pačiu metu kitos ašies atžvilgiu inercijos momento reikšmė tiek pat mažėja, ir jeigu vienos ašies atžvilgiu inercijos momentas Įgyja maksimalią reikšmę, tai tuo pačiu metu kitos ašies atžvilgiu inercijos momento reikšmė turi būti minimali. Galima įrodyti, kad šias ekstremalias reikšmes ašiniai inercijos momentai įgyja, kai besukamos ašys sutampa su svarbiausiųjų inercijos ašių kryptimis — tuo paaiškinamas ir toks pagarbus šių ašių pavadinimas. Taigi, vieno iš svarbiausiųjų inercijos momentų (Iu arba Iv) reikšmė yra maksimali, kito — minimali:

=

min

max

I

I

I

Iarbaarba

v

u

.

Figūros svarbiausioji inercijos ašis labai lengvai nustatoma, kai figūra simetriška — būtent ta simetrijos ašis ir yra svarbiausioji ašis. O kai figūra asimetriška, svarbiausiųjų ašių krypties kampą α0 (kampą, matuojamą nuo x ašies iki svarbiausiosios ašies u arba v) galime nustatyti pagal formulę, gaunamą, prilyginus nuliui išcentrinio inercijos momento Ix1y1 išraišką (6.20):

xy

xy

III

tg−

=2

2 0α . (6.22)

Iš šios formulės gauname dvi kampo α0 reikšmes, besiskiriančias viena nuo kitos dydžiu π/2. Viena šių reikšmių rodo svarbiausiosios ašies u kryptį, kita — ašies v. Paprastai sutariama tą ašį, kuri yra arčiau x ašies, žymėti simboliu u, taigi reikšmė |α’0|<π/4 yra u ašies krypties kampas.

Jeigu norime nustatyti, koks ekstremumas (maksimumas ar minimumas) ties ta funkcijos reikšme yra, randame funkcijos antrosios išvestinės reikšmę: jeigu ji neigiama, tai toje vietoje yra maksimumas ir atvirkščiai.

Taigi, ekstremines inercijos momento reikšmes galime gauti, ir nežinodami kampo α0:

( )

+−±+= 22

minmax 4

21

xyyxyx IIIIII . (6.23)

Apskaičiavę šias ekstremines reikšmes, galime naudotis ir kitokiomis negu (6.22) formulėmis kampui α0 apskaičiuoti (patogesnėmis tuo, kad iš jų gauname nebe iš karto dvi kampo reikšmes, o po vieną reikšmę):

x

xy

y

xy

III

III

tg−

=−

=minmax

1α , x

xy

y

xy

III

III

tg−

=−

=maxmin

2α . (6.24)

Kad gautume kampą |α|, mažesnį kaip π/4, turime skaičiuoti α2, jeigu Iy reikšmė yra artimesnė Imax (o Ix reikšmė — artimesnė Imin), ir skaičiuoti α1, jeigu yra atvirkščiai (Iy reikšmė artimesnė Imin).

Pastarosios formulės, pavyzdžiui, praverčia, kai reikia apskaičiuoti standartinio kampuočio skerspjūvio ploto išcentrinį inercijos momentą. Mat, paprastai sortimento lentelėse šio geometrinio rodiklio nebūna, o būna surašyti tik inercijos momentai atžvilgiu x ir y ašių, kurios lygiagretės kampuočio lentynoms, ir ekstreminiai inercijos momentai Imin (kartais Imax), taip pat svarbiausiųjų ašių posūkio kampo tangentas tgα. Turėdami šiuos duomenis, naudojamės viena iš (6.24) išraiškų (dažniausiai kampuočių standarte Iy reikšmė artimesnė minimaliam inercijos momentui).

Konstrukcijoms naudojamų standartinių gaminių skerspjūvių geometriniai rodikliai, tarp jų ir inercijos momentai, nurodomi sortimento lentelėse. Jomis naudodamiesi, turime būti atidūs — visada žiūrėti, kuri skerspjūvio ašis kokiu simboliu pažymėta ir nesupainioti šių simbolių.

Kai tenka skaičiuoti sudėtingos figūros (skerspjūvio) ploto inercijos momentą, veikiame pagal tokį algoritmą:

figūrą skaidome į tokias dalis, kurių plotų inercijos momentai yra lengvai išreiškiami formulėmis — į stačiakampius, trikampius, skritulius ir pan.; apskaičiuojame kiekvienos sudėtinės dalies ploto inercijos momentą kurios nors ašies

(geriausia — tos dalies centrinės ašies) atžvilgiu; visų dalių ašis parenkame lygiagretes viena kitai (o jei tai patogu — tai lygiagretes būtent tai ašiai, kurios atžvilgiu reikia apskaičiuoti visos figūros inercijos momentą); visų sudėtinių dalių inercijos momentus perskaičiuojame kurios nors vienos ašies atžvilgiu –

tam naudojame (6.15) ir (6.16) formules arba – jeigu prieš tai buvome pasirinkę dalių centrines ašis – paprastesnes (6.17) ir (6.18) formules; jeigu ašis, kurios atžvilgiu turime apskaičiuoti figūros ploto inercijos momentą, yra lygiagretė pasirinktosioms sudėtinių dalių ašims, tai būtent jos atžvilgiu visus inercijos momentus ir perskaičiuojame; sudėję visų dalių inercijos momentus, apskaičiuotus tos pačios ašies atžvilgiu, turime jau

visos figūros inercijos momentą tos ašies atžvilgiu; įsidėmėkite: jokiu būdu negalima sumuoti inercijos momentų, kai jie apskaičiuoti ne tos pačios ašies atžvilgiu; jeigu ašis, kurios atžvilgiu apskaičiavome inercijos momentą, nesutampa su užduotyje

nurodyta ašimi, o yra nuo pastarosios pasisukusi kokiu nors kampu, inercijos momentą perskaičiuokite pagal formulę (6.19) ar (6.20).

Pravartu įsidėmėti dar vieną kai kurių plokščiųjų figūrų savybę. Jei figūra turi daugiau kaip dvi simetrijos ašis, tai svarbiausiosiomis ašimis yra ne tik šios simetrijos ašys, bet ir visos kitos ašys, einančios

per simetrijos centrą. Visų tokių ašių atžvilgiu ašiniai inercijos momentai yra vienodi (t.y. inercijos momento reikšmė nekinta sukant ašis). Figūrų su keliomis simetrijos ašimis pasitaiko dažnai – tai skritulys, kvadratas, lygiakraštis trikampis ir t.y. (6.6 pav.).

6.6 pav.

Kai kuriems skaičiavimams pravartu turėti dar vieną skerspjūvio figūros geometrini rodiklį — inercijos spindulį.

Inercijos spinduliu kurios nors ašies atžvilgiu vadinamas dydis, lygus kvadratinei šakniai iš santykio tarp figūros inercijos momento tos ašies atžvilgiu ir figūros ploto:

AIi x

x = , AI

i yy = . (6.25)

Inercijos spindulys matuojamas ilgio vienetais (m, cm) ir išreiškia savotišką vidutinį figūros ploto atstumą (atokumą) nuo ašies. Padauginę figūros plotą iš inercijos spindulio kvadrato, gauname inercijos momentą: Ix=Ai2

x. Inercijos spindulys visada teigiamas dydis. Inercijos spindulys svarbiausiųjų ašių atžvilgiu vadinamas svarbiausiuoju inercijos spinduliu.

6.4. Skerspjūvio atsparumo momentai

Konstrukcijų elementų stiprumo skaičiavimas paprastesnis, kai vartojame dar vieną geometrinį rodiklį — skerspjūvio atsparumo momentą — skerspjūvio inercijos momento ir atokiausio taško koordinatės santykį.

Skerspjūvio ašiniu atsparumo momentu vadinamas skerspjūvio inercijos momento tos ašies atžvilgiu ir skerspjūvio labiausiai nutolusio nuo tos ašies taško koordinatės (didžiausio atstumo) santykis (6.7 pav.):

maxyIW x

x = , max

xIx

y =W . (6.26)

Skerspjūvio poliniu atsparumo momentu vadinamas skerspjūvio polinio inercijos momento ir labiausiai nutolusio taško polinės koordinatės (didžiausio atstumo nuo poliaus) santykis (6.7 pav.):

maxρp

p

IW = . (6.27)

Atsparumo momentai matuojami trečiojo laipsnio (kubiniais) ilgio vienetais (m3, cm3), jie visada teigiami. Ašiniai atsparumo momentai paprastai skaičiuojami centrinių skerspjūvio ašių atžvilgiu.

6.7 pav.

Pravartu įsidėmėti kai kurių paprastų, dažnai pasitaikančių skerspjūvių atsparumo momentų išraiškas:

stačiakampio (6.8, a pav.):6

2bhx =W , (2.28)

skritulio:32

3dx

π=W , (2.29)

skritulio:16

3dp

π=W . (2.30)

Kai skaičiuojame sudėtinės skerspjūvio figūros atsparumo momentą, visų pirma apskaičiuojame jos inercijos momentą ir jį dalijame iš labiausiai nutolusio figūros taško atstumo:

maxy

IW xi

x∑= .

Įsidėmėkite: klaidinga yra (išskyrus retas išimtis) skaičiuoti sudėtinės figūros atsparumo momentą, sudedant (ar atimant) atskirų sudėtinių dalių atsparumo momentus. Įpraskite niekada nesumuoti atsparumo momentų. Sumuokite inercijos momentus.

Kai skerspjūvio centras yra ne per vidurį (kai ašis, kurios atžvilgiu skaičiuojamas atsparumo momentas, nėra figūros simetrijos ašis), gali būti nustatomi du atsparumo momentai — dalijant inercijos momentą iš taškų, labiausiai nutolusių į abi puses nuo ašies, atstumų (6.8, b pav.):

1yIW x

x =′ , 2y

Ixx =′′W .

6.8 pav.

Dažniausiai tokių dvejopų atsparumo momentų prireikia, skaičiuojant lenkiamų elementų stiprumą. Šiuose elementuose vienoje pusėje yra tempiami sluoksniai, kitoje — gniuždomi. Pažymėję labiausiai nutolusio tempiamo sluoksnio atstumą yt, o labiausiai nutolusio gniuždomo — yc, gauname

t

xt y

IW = , c

xc y

I=W .

7. ŠLYTIS. KIRPIMAS.SUKIMAS

7.1. Šlyties deformacija konstrukcijų elementuose

Kas yra šlyties (arba kampinė) deformacija, išsiaiškinome jau anksčiau. Žinome, kad šios deformacijos priežastis yra tangentiniai Įtempimai; kol įtempimai nėra pernelyg dideli, kol jie proporcingi deformacijoms, galioja (1.16) priklausomybė (Huko dėsnis šlyčiai): τ=Gγ. Žinome taip pat, kad nuo tangentinių įtempimų priklauso tik trys įrąžos - dvi skersinės jėgos Qx, Qy ir sukimo momentas T. Taigi, ir šiame skyriuje nagrinėsime strypus, kurių skerspjūviuose veikia skersinės jėgos arba sukimo momentai.

Labai reta tokių konstrukcijų elementų, kurių skerspjūviuose būtų tik skersinės jėgos ar tik sukimo momentai. Dažniausiai greta šių įrąžų veikia lenkimo momentai, o kai kada ir ašinės jėgos. Taigi reta elementų, kurių skerspjūviai būtų be normalinių įtempimų. Tačiau kai tie normaliniai įtempimai nedideli, palyginus su tangentiniais, galime jų nepaisyti. Tada darome kai kurias išvadas apie elementų stiprumą bei standumą, nagrinėdami vien skersines jėgas arba vien sukimo momentus ir vien šių įrąžų sąlygojamas šlyties deformacijas.

Konstrukcijos elemento deformavimas vien skersinėmis jėgomis vadinamas kirpimu, deformavimas vien sukimo momentais - sukimu (tiksliau būtų - grynuoju sukimu).

Nors vienu ir kitu atveju veikia skirtingos įrąžos ir pats deformavimo vaizdas skirtingas, abu deformavimo būdus sieja šlyties deformacija. Ir kerpamo, ir sukamo elemento įtempimų būvis tas pats - grynoji šlytis, aprašytoji 4.2 poskyrio pabaigoje.

Beje, kai siekiama ištirti kurios nors medžiagos priešinimąsi šlyties deformacijai, nustatyti šlyčiai skirtus mechaninius medžiagos rodiklius (pavyzdžiui, projektinį stiprį Rs), atliekamas sukimo bandymas - plonoje sukamo vamzdžio sienelėje šlyties deformacija būna tikrai gryna.

7.2. Kirpimas

Net teoriškai neįmanoma sukurti tokio apkrovimo, kad konstrukcijos elemente arba bent jo ruože veiktų vien skersinės jėgos, nebūtų kitų įrąžų. Kai elementą veikia tiktai dvi ar kelios didelės jėgos, nukreiptos skersai elemento viena priešais kitą ir atstumai tarp tų jėgų labai maži (7.1, a pav., atstumas e), ruoželyje tarp tų jėgų lenkimo momentas yra pernelyg mažas (M≤Fe), galime jo nepaisyti, galime tarti, kad čia deformaciją lemia tik skersinė jėga. Skersinės jėgos veikiamas ruoželis tarp jėgų pašlyja (7.1, b pav.; čia Q=F), o kai skerspjūviuose tangentinių įtempimų ir susijusių su jais plastinių deformacijų reikšmės tampa labai didelės, medžiaga jų nebeatlaiko, suyra, konstrukcijos elementas nukerpamas.

7.1 pav.

Ryšys tarp skersinės jėgos ir įtempimų žinomas iš 1.5 poskyrio:

∫=A

dAQ τ ,

(čia nerašome indeksų, kurie prie Q ir τ būtų vienodi - arba x, arba y). Radę pjūvio metodu įrąžą Q, norime nustatyti kol kas nežinomus dydžius - tangentinius įtempimus. Integralą išspręsti galime tik žinodami, kaip, pagal kokį dėsnį šie įtempimai yra pasiskirstę kerpamojo elemento skerspjūviuose. Deja, šio pasiskirstymo dėsniai nėra paprasti, nėra lengvai apibrėžiami. Tačiau mums dažniausiai rūpi ne bet kokia deformavimo (kirpimo) stadija, o ribinė, galutinė - elemento suirimo (nukirpimo) fazė. Kai medžiaga visame skerspjūvyje nebeatlaiko tangentinių įtempimų, visuose skerspjūvio taškuose jau būna išsivysčiusios plastinės deformacijos, o plastinio deformavimosi metu (ties plastinių medžiagų takumo

aikštele, žr. 3.2 poskyrį) įtempimai suvienodėja, išsilygina. Taigi, jeigu nagrinėjame beyrantį, benukerpamą elementą, galime daryti prielaidą, kad jo skerspjūvyje

Aconst=τ .

Pastovų dydi τ galime iškelti prieš integralo ženklą, ir tada skersinės jėgos ir įtempimo priklausomybė paprasta. Visų dydžių, susijusių su kirpimu, simbolius indeksuojame raide s (angl. shear - kirpimas, šlytis):

s

ss A

Q=τ (7.1)

čia simboliu Qs žymime kirpimo jėgą (dažniausiai ji atitinka skersinę jėgą), o simboliu As - kerpamąjį plotą. Šitaip traktuodami simbolius, galėsime (7.1) formulę naudoti ne tik skersinės jėgos poveikiui, bet ir kitiems kirpimo atvejams nagrinėti (kai kurie konstrukcijų elementai būna kerpami ne skersai, o išilgai ar įstrižai).

Mediena ir kitos sluoksninės medžiagos nevienodai priešinasi kirpimui: jos yra anizotropinės. Skersai sluoksnių tokių medžiagų elementus perkirpti sunku, tuo tarpu išilgai sluoksnių jie lengvai skyla. Būtent toks kirpimas (kirpimas išilgai sluoksnių) dažnai vadinamas skėlimu. Žinoma šį. kerpamąjį skėlimą reikia skirti nuo skėlimo pleištu (pvz. kirviu), kai sluoksnis nuo sluoksnio yra ne nukerpamas, ne nustumiamas, bet atplėšiamas.

7.3. Glemžimas

Kai kirpimo jėgos yra lemiamos, jos yra didelės ir dažniausiai būna pasiskirsčiusios mažame konstrukcijos elemento paviršiaus plote (dviejų detalių sąlyčio plote). Toks intensyvus mažo sąlyčio ploto spaudimas sukelia ypatingą ir nepageidaujamą paviršinių sluoksnių deformavimąsi: medžiaga tarytum ištrykšta iš po slegiančios detalės (7.2, a pav.). Prisiminkite, kaip atrodo drėgnas paupio smėlis po jūsų kulnu ir aplink jūsų pėdos įspaudą. Pasižiūrėkite, kaip atrodo kalto ar kito įrankio daužomoji dalis (7.2, b pav.). Varžtai ar kniedės, stipriai spausdamiesi į sujungtų elementų skylių pakraštį, panašiai deformuoja tų skylių paviršių, apskritos skylės pasidaro ovalinės (7.2, c pav.), ir tokia konstrukcijos jungtis ima klibėti, tampa nebepatikima.

7.2 pav.

Toks sutelktinis mažo sąlyčio ploto gniuždymas vadinamas glemžimu. Glemžimas susijęs ne su tangentiniais, bet su normaliniais (gniuždomaisiais) įtempimais. Ir jokiu

būdu jis nesietinas su šlyties deformacija. Čia, šiame (šlyties) skyriuje glemžimą nagrinėjame tik dėl to, kad jis dažnai lydi kirpimą, tik dėl to, kad dažno kerpamo elemento stiprumą būtina tikrinti ir glemžimo atžvilgiu.

Glemžiamieji įtempimai yra atskiras sąlyčio (kontaktinių) įtempimų atvejis. Pastarieji bus aptariami vėliau. Glemžiamasis įtempimas yra tarsi vidutinis sąlyčio įtempimas. Mat, įtempimai detalių sąlyčio plote pasiskirsto gana sudėtingai (ypač kai sąlyčio paviršius kreivas, 7.2, d pav.). Todėl yra priimta glemžiamuoju įtempimu laikyti glemžimo jėgos Fp santykį su projektiniu glemžiamuoju plotu Ap. Projektinis plotas yra tikrojo sąlyčio ploto projekcija į plokštumą, statmeną glemžimo jėgai (7.3 pav.; čia Ap=td). Glemžiamojo įtempimo simbolis dažniausiai indeksuojamas raide p (angl. pressure - spaudimas) arba raide b (angl. bearing - atraminis, glemžiamasis). Taigi, glemžiamasis įtempimas

p

pp A

F=σ . (7.2)

7.3 pav.

Nors, kaip jau tarėme, (7.2) formule apskaičiuotas dydis tėra vidutinė įtempimų reikšmė, bet jis visiškai tinka konstrukcijų stiprumui skaičiuoti, kadangi konstrukcinių medžiagų projektinis glemžiamasis stipris (ar leistinasis įtempimas) nustatomas taip pat pagal vidurkį.

7.4. Kerpamų ir glemžiamų jungčių skaičiavimas

Stiprumas kirpimo požiūriu turi būti skaičiuojamas konstrukcijų elementų, kurie sujungti varžtais, kaiščiais, kniedėmis, virintinėmis užleistinėmis siūlėmis, klijais, įkirčiais ir pan. Beveik visose tokiose jungtyse (išskyrus virintines siūles bei klijų sluoksnius) kyla ir glemžimo pavojus.

Stiprumo sąlygomis reikalaujama, kad kerpamieji ir glemžiamieji įtempimai, išreikšti (7.1) ir (7.2) formulėmis, neviršytų atitinkamo projektinio stiprio:

kerpamieji: ss

ss R

AQ

≤=τ , (7.3)

glemžiamieji: pp

pp R

AF

≤=σ . (7.4)

Šioms sąlygoms kirpimo ar glemžimo jėga paprastai lengvai randama (pjūvio metodu). Keblumų ir klaidų pasitaiko skaičiuojant kerpamąjį arba glemžiamąjį plotą; todėl ir panagrinėsime, kaip tuos plotus įvairiose sandūrose rasti.

Varžtinės jungtys. Kai varžtais jungiami keli tempiamieji elementai (7.4, a pav.), jų tempimo (ar gniuždymo) jėgos varžtą (ar kelis varžtus) veikia kaip kirpimo, jėgos. Jeigu varžtas šių jėgų neatlaiko, jis suyra, sukarpomas keliais pjūviais į du ar net kelis gabalus (kaip 7.4, b paveikslėlio, šio pavyzdžio kerpamųjų pjūvių skaičius k=4). Kai varžto skersmuo d, vieno varžto kerpamasis plotas As1=kπd2/4, o jeigu kirpimo jėga Qs tenka ne vienam, o keliems (n) varžtams, tai tą jėgą atitinkantis kerpamasis plotas

As=nAs1=nkπd2/4. (7.5) Šią ploto išraišką ir reikia įrašyti į stiprumo sąlygą (7.3), o iš jos jau galima spręsti, kiek varžtų

(arba kokio skersmens varžtų) reikia tai jungčiai.

7.4 pav.

Turi būti garantuotas ir glemžiamasis varžtinės jungties stiprumas. Viena varžto pusė liečiasi su vienais jungiamaisiais elementais, kita - su kitais. Tokiu būdu, egzistuoja du varžto sąlyčio su elementais plotai: A’p ir A”p, (7.5 pav.).

7.5 pav.

Ir vieną, ir kitą sąlyčio plotą veikia vienodos glemžimo jėgos (pagal 7.3, a pav.: plotą A’p glemžia jėga F’p=F/3+F/3+F/3=F, plotą A”p - jėga F”p=F/2+F/2=F). Taigi, kelių (n) varžtų projektinis glemžiamasis plotas, nustatytas pagal 7.3 ir 7.5 paveikslus, yra

( )( )

+=′′

++=′=

.

,

42

531

ttndA

tttndAA

p

pp (7.6)

Kadangi glemžimo jėgos F’p ir F”p vienodos, tai didesni glemžiamieji įtempimai yra tame sąlytyje, kurio plotas mažesnis, todėl į stiprumo sąlygą (7.4) įrašyti reikia Ap,min, t.y. tą iš dviejų (A’p ir A”p), kuris mažesnis.

Varžto ir jungiamų elementų sąlyčio plotą 7.5 paveikslėlyje nubraižėme ant varžto, nors lygiai toks pat plotas (ir lygiai tokių pat glemžiamųjų įtempimų veikiamas) yra ir elementų skylių paviršiuje. Nepamirškime, kad glemžiamasis įtempimas yra sutartinis (vidutinis) poveikio parametras. Varžtinės jungtys suyra arba nukirpus varžtą, arba išplėšus jungiamą elementą. Tas išplėšimo pavojus priklauso nuo jungiamojo elemento skylių padėties (jų atstumo nuo elemento pakraščio) ir nuo glemžiamųjų įtempimų. Pagaliau sandūra tampa nepatikima jau tada, kai skylės (dar neišplėštos) dėl glemžiamųjų įtempimų pasidaro pailgos, ovalinės. Taigi, šių įtempimų didumą reikia apriboti visų pirma jungiamuosiuose elementuose. Todėl ir į stiprumo sąlygos - nelygybės (7.4) - dešiniąją pusę dažniausiai įrašomas ne varžto, bet jungiamojo elemento projektinis glemžiamasis stipris.

Virintinės jungtys. Čia kalbėsime tik apie užleistines virintines jungtis (7.6, a pav.), nes būtent tokių jungčių siūlės suyra dėl kirpimo jėgų. Besipriešinantis apkrovoms siūlės skerspjūvis yra artimas trikampiui (7.6, b pav.), o siauriausias tokios siūlės pjūvis (per kurį siūlė gali būti nukirpta) yra 0,7h pločio (čia h - siūlės statinis). Todėl projektinis kerpamasis kertinės virintines siūlės plotas yra

As=0,7hL, (7.7) čia L - visas siūlės ilgis. Ši ploto išraiška gali būti ir kitokia, ji priklauso nuo virinimo būdo ir kitų faktorių.

Kai virintinė jungtis (7.6, a pav.) suyra, jos vaizdas gali būti maždaug toks, kaip parodyta 7.6, c paveikslėliu.

7.6 pav.

Įkirčiai. Ir kirpimo (skėlimo), ir glemžimo poveikiai labai svarbūs medinių konstrukcijų jungčių stiprumo skaičiavimui. Ypatingas šio skaičiavimo bruožas yra tas, kad mediena - anizotropinė medžiaga (jos savybės vienokios išilgai sluoksnių, kitokios - skersai), todėl reikia atidžiai žiūrėti, kuria kryptimi veikia skėlimo ar glemžimo jėga pagal tai nustatyti projektinį stiprį. Jeigu jungties forma sudėtinga, kerpamajam plotui nustatyti visada praverčia suardytos jungties brėžinys (kaip 7.7 pav.).

7.7 pav.

Klijuotinės jungtys. Čia kalbėsime apie tas jungtis, kuriose jėgos veikia išilgai, o ne skersai klijų sluoksnio, t.y. jos stengiasi du suklijuotus paviršius pastumti (ar pasukti) vieną kitu, o ne atplėšti vieną nuo kito. Tokiu atveju klijų sluoksnio plotas ir yra kerpamasis plotas As, rašytinas į stiprumo sąlygą (7.3), o projektinis stipris Rs nustatomas pagal klijų savybes.

7.5. Sukamas skritulinio skerspjūvio strypas. Įtempimai, deformacijos, poslinkiai

Nagrinėsime grynąjį sukimą - strypo deformavimą vienintele įrąža sukimo momentu. Tik tuo atveju, kai sukamo strypo skerspjūvis skritulinis arba žiedinis, strypo skerspjūviai neišsikraipo, galioja plokščiųjų pjūvių hipotezė ir galima įrodyti, kad visuose strypo taškuose yra grynosios šlyties deformacija, o įtempimai bet kuriame skerspjūvio taške k išreiškiami gana paprasta formule:

kpk I

Tρ

τ = , (7.8)

čia T - skerspjūvyje veikiantis sukimo momentas, Ip - skerspjūvio ploto polinis inercijos momentas, ρk - taško k atstumas nuo skerspjūvio centro. Tangentinio įtempimo kryptis visada statmena spinduliui, kuris jungia skerspjūvio centrą su tašku, kuriame veikia įtempimas. Iš (7.8) formulės matyti, kad tangentiniai įtempimai skerspjūvyje pasiskirsto pagal tiesinę priklausomybę (7.8 pav.) - jie lygūs nuliui skerspjūvio centre ir turi didžiausią reikšmę skerspjūvio periferijoje, pakraštyje. Įrašę vietoj ρk didžiausio spindulio ρmax reikšmę ir žinodami polinio atsparumo momento išraišką Wp=Ip/ρmax, išreiškiame didžiausią tangentinį įtempimą:

pWT

=maxτ . (7.9)

7.8 pav.

Vien sukimo momentų veikiamas strypas lieka tiesus, tik jo skerspjūviai pasisuka apie z ašį vienas kito atžvilgiu. Sukamo strypo deformavimosi ties bet kuriuo jo skerspjūviu intensyvumą apibūdina santykinis sąsūkis

pGIT

=θ , (7.10)

čia T - nagrinėjamajame strypo skerspjūvyje veikiantis sukimo momentas, G - strypo medžiagos šlyties modulis, Ip - skerspjūvio polinis inercijos momentas. Santykinis sąsūkis matuojamas kampo vienetais, tenkančiais strypo ilgio vienetui (pavyzdžiui, radi anais metrui).

Santykinis sąsūkis yra apibendrintoji sukamo strypo deformacija. Palyginkite jo išraišką (7.10) su tempiamo strypo išilginės deformacijos išraiška (2.6): abiejų išraiškų skaitiklyje yra įrąža, o vardiklyje – medžiagos mechaninio rodiklio ir skerspjūvio geometrinio rodiklio sandauga. Pastaroji sandauga (GIp) kai kada vadinama strypo skerspjūvio sukamuoju standumo modulius arba standžiu (kuo didesnė ši sandauga, tuo standesnis strypas, tuo mažiau jis susisuka).

Bet kuris strypo skerspjūvis kito kurio nors skerspjūvio atžvilgiu pasisuka kampu

∫∫ ==L

p

Ldz

GITdz

00θϕ , (7.11)

čia L - atstumas tarp nagrinėjamųjų skerspjūvių. Tik tuo atveju, kai visame tame strypo ruože santykinis sąsūkis yra pastovus dydis (t.y. kai T=const, G=const, Ip=const), galima kampą ϕ išreikšti be integralo:

LGITL

p

==θϕ . (7.12)

Jeigu reikia nustatyti, pavyzdžiui, kokiu kampu ϕ pasisuka vienas strypo galas kito galo atžvilgiu, reikia visą sukamo strypo ilgi suskaidyti į ruožus, kurių kiekvieno santykinis sąsūkis būtų pastovus, apskaičiuoti kiekvieno ruožo susisukimo kampą ϕj, o visas ieškomasis kampas

∑∑∑===

===n

jj

pjj

jn

jjj

n

jj L

IGT

L111

θϕϕ . (7.13)

Kampas ϕ yra analogiškas tempiamo (gniuždomo) strypo ilgio pokyčiui ∆L (žr. 2.4 poskyrį). Juo naudojamės, kai reikia nustatyti kurio nors skerspjūvio kampinį poslinkį. Sukamų strypų kampinių poslinkių skaičiavimo metodika analogiška tempiamų strypų poslinkių skaičiavimui (žr. 2.5 poskyrį).

Lig šiol nesirūpinome, kaip nustatoma ta vienintelė įrąža – sukimo momentas T, pasitikėjome pjūvio metodu bei pusiausvyros lygtimis. Tačiau būna taip įtvirtintų sukamų strypų, kad, deja, šių lygčių nepakanka. Tai – statiškai neišsprendžiamieji sukami strypai. Tokiems strypams tenka rašyti papildomas geometrines deformavimo lygtis, panašias į tempiamų bei gniuždomų strypų deformavimo lygtis, nagrinėtas 2.9 poskyryje. Grynojo sukimo veikiamas statiškai neišsprendžiamas strypas dažniausiai yra abiem galais standžiai įtvirtintas, ir jo geometrinė lygtis yra analogiška (2.28) lygčiai:

011

== ∑∑==

n

jj

n

jjj L ϕθ . (7.14)

Šia lygtimi konstatuojame, kad strypo galai nepasisuka vienas kito atžvilgiu (nes jie abu įtvirtinti, abu nejuda).

Greta pusiausvyros lygčių, geometrinių deformavimo lygčių parašome dar fizikines deformavimo lygtis - jas atstoja išraiškos (7.10) arba (7.12). Spręsdami visas lygtis drauge, randame įrąžas (sukimo momentus), deformacijas (santykinius sąsūkius), o po to, jei reikia, - ir įtempimus.

Strypui susukti reikia energijos. Ta energija idealiai tampriame strype susikaupia potencinės energijos pavidalu. Susukto strypo potencinė deformavimo energija išreiškiama puse įrąžos, deformacijos ir ilgio sandaugos (tai įrodoma analogiškai, kaip ir tempiamo strypo atveju, žr. 2.7 poskyrį): dU=tθ⋅dz/2. Įrašę santykinio sąsūkio reikšmę (7.10) ir integruodami per visą strypo ilgį, gauname

∫=L

p

dzGITU

0

2

2,

o kai visame strype (arba jo ruože) sukimo momentas T=const ir standis GIp=const, susukto strypo potencinė deformavimo energija

pGILTU

2

2

= . (7.15)

7.6. Sukamų skritulinio skerspjūvio strypų stiprumas ir standumas

Sukamo strypo įtempimų būvis yra grynoji šlytis. Įtempimų pasiskirstymą tokio strypo įvairiuose pjūviuose rodo brėžinys (7.9 pav.). Kai medžiaga plastiška, ji suyra dėl tangentinių įtempimų poveikio - paprastai skerspjūvio plokštumoje (7.10 pav., a). Taip nusukamas minkšto plieno strypas; įsivaizduokite, kaip atrodytų Jūsų rankomis nusuktas labai plastiškos medžiagos, pavyzdžiui iš plastilino sukočiotas, strypelis.

7.9 pav.

7.10 pav.

Trapaus strypo (pvz., ketaus, stiklo) suirimą lemia svarbiausieji tempiamieji įtempimai σ1, kurie atplėšia vieną strypo dalį nuo kitos. Kadangi šių įtempimų kryptis su strypo skerspjūviu sudaro 45° kampą, tai ir atplyšta strypo dalys įstrižu pjūviu (7.10 pav., b).

Pagaliau kai sukamas sluoksniuotas strypas (pvz., medinis), lemia tangentiniai įtempimai išilginėse sukamo strypo plokštumose - būtent dėl jų skeliamojo poveikio sluoksniai atsiskiria vienas nuo kito, strypas sueižėja (7.10 pav., c) ir tuo būdu praranda stiprumą.

Visais šiais atvejais stiprumo sąlygomis tenka apriboti tą patį dydį - tangentinį įtempimą τ (nes net ir σ1=τ). Šis įtempimas apskaičiuojamas pagal (7.8) arba (7.9) formulę. Tačiau vertinant sukamo strypo stiprumą, reikia nepamiršti, kad grynoji šlytis yra dviašis (ne vienasis) įtempimų būvis ir todėl greta svarbiausiojo įtempimo σ1 savo įtaką daro ir σ3=-τ; taigi stiprumo sąlygą kai kada tenka formuluoti, pasitelkiant kurią nors irimo ar plastiškumo hipotezę (5.4 poskyris). Detaliau nagrinėti čia sukamo strypo stiprumą neverta, nes konstrukcijų elementuose tokio, grynojo sukimo praktiškai nepasitaiko, o kai greta sukimo momento veikia dar ir kitos įrąžos, įtempimų būvis dar sudėtingesnis; apie tokių strypų stiprumo klausimus kalbėsime sudėtingojo deformavimo skyriuje.

Sukamo strypo standumo sąlygomis būna apribojamas arba santykinis sąsūkis, išreiškiamas (7.10) formule, arba strypo ruožo (pavyzdžiui, viso veleno ilgio) susisukimo kampas ϕ, apskaičiuojamas pagal (7.12) bei (7.13) formules. Standumo sąlygomis gali būti tikrinama, ar strypas ne per daug susisuka; galimas ir projektinis uždavinys, kurį spręsdami iš standumo sąlygos nustatome, koks turi būti strypo skerspjūvis (skersmuo), kad strypas perdaug nesusisuktų.

8. PAPRASTASIS LENKIMAS

8.1. Paprastojo ir grynojo lenkimo sąvokos

Antrajame skyriuje nagrinėtasis tempiamas tiesus strypas pailgėja, bet lieka tiesus, nagrinėtojo sukamo strypo ašis taip pat lieka tiesi. Tarp nagrinėtų lig šiol atvejų nebuvo tokių poveikių, dėl kurių tiesaus strypo ašis taptų kreiva. Strypas išlinksta tik tuo atveju, kai jo skerspjūviuose veikia lenkimo momentai Mx ir My. Lenkimo momentų veikiamas, tiesus strypas gali įslinkti bet kaip, jo ašis gali pasidaryti net gana sudėtinga erdvine kreive. Šiame skyriuje nagrinėsime tik tokius lenkiamus tiesius strypus, kurių skerspjūviai yra simetriški, o visos jėgos (ir apkrova, ir reakcijos) veikia vien šios simetrijos plokštumoje. Tokiu atveju strypas linksta būtent toje jėgų plokštumoje, t.y. strypo ašis linkdama neiškrypsta iš tos plokštumos ir tampa plokščia kreive, ne erdvine.

Tokį deformavimą, dėl kurio strypas tik išlinksta ir išlinksta tik jėgų plokštumoje, vadiname paprastuoju lenkimu (kartais - plokščiuoju lenkimu).

Paprastąjį lenkimą sukelia vienas iš lenkimo momentų (Mx≠0 arba My≠0), dažniausiai lydimas vienos iš skersinių jėgų (Qy šalia Mx arba Qx šalia My - taigi abi įrąžos, lenkimo momentas ir skersinė jėga, veikia toje pačioje plokštumoje, 8.1 pav.).

8.1 pav.

Turėdami omenyje, kad paprastojo lenkimo atveju niekada nebūna dviejų lenkimo momentų bei dviejų skersinių jėgų, šiame skyriuje kai kada net indeksų nežymėsime, rašysime tiesiog M ir Q (žinodami, kad tai yra arba Mx ir Qy, arba My ir Qx).

Kai veikia daugiau įrąžų (pvz. kai dar ir ašinė jėga N≠0 arba kai nelygūs nuliui abu lenkimo momentai), deformavimas nebevadinamas paprastuoju lenkimu - tai jau sudėtingojo deformavimo.

Kai visos jėgos veikia strypo simetrijos plokštumoje (kurioje yra ir išilginė strypo ašis z), skerspjūviuose neatsiranda momentų z ašies atžvilgiu (t.y. sukimo momentų T). O kad skerspjūviuose nebūtų ir ašinių jėgų, visos jėgos (ir apkrovos, ir reakcijos) turi būti statmenos strypo ašiai - tai dar viena būtina paprastojo lenkimo sąlyga. Bendra išvada: paprastąjį lenkimą sukelia strypo ašiai statmenos jėgos, veikiančios vienoje strypo simetrijos plokštumoje. Vėliau pamatysime, kad paprastojo lenkimo atvejų gali būti ir asimetriško skerspjūvio strypuose.

Paprastojo lenkimo veikiamą tiesų strypą įprasta vadinti sija (nors kai kada sija pavadinamas ir sudėtingiau deformuojamas strypas).

Ypatingas paprastojo lenkimo atvejis yra grynasis lenkimas - kai kiekviename skerspjūvyje veikia vienintelė ir vienodo didumo įrąža - lenkimo momentas, o skersinių jėgų iš viso nėra.

Konstrukcijose reta strypų su grynojo lenkimo ruožais (8.2 pav.), t.y. su ruožais, kuriuose skersinė jėga Q=0, o lenkimo momentas nelygus nuliui ir būtinai vienodo didumo, nes tai sąlygoja diferencialinė priklausomybė dM/dz=Q=0 (tik tuo atveju, kai funkcija M=const, šios funkcijos išvestinė prilygsta nuliui).

8.2 pav.

Nors sijos lenkimas ir nėra sudėtingas, vis tiek jos skerspjūviuose veikia dažniausiai po dvi įrąžas - lenkimo momentas ir skersinė jėga (išskyrus retai pasitaikančius grynojo lenkimo ruožus). Taigi ir sijos įtempimų būvis, ir jos stiprumas priklauso nuo šių dviejų irąžų bendro poveikio. Abi įrąžos (ir ypač lenkimo momentas) nėra pastovios, kinta išilgai sijos. Būna svarbu nustatyti, kuriuose skerspjūviuose įrąžų poveikis pavojingiausias, todėl ir įrąžų pasiskirstymo sijoje dėsniai inžinieriui rūpi.

Įrąžos ypatinguose (skaičiuojamuosiuose) pjūviuose randamos pjūvio metodu (1.4 poskyris), o jų pasiskirstymas tarp tų skaičiuojamųjų pjūvių nustatomas pagal diferencialines priklausomybes (1.2)-(1.4):

q=-dQ/dz, Q=dM/dz, q=-d2M/dz2. Remdamiesi šiomis priklausomybėmis, sudarome įrąžų diagramas. Būtent lenkimo atveju šios

diagramos teikia daug vaizdžios informacijos. Dažnai mums rūpi ekstreminės įrąžų reikšmės. Jas galima nustatyti pagal sudarytas įrąžų

diagramas. Kai diagrama sudaryta iš tiesių atkarpų, ekstremumų vieta būna akivaizdi. Kai ekstremumas yra netiesiniame diagramos ruože, jo tiksliai vietai nustatyti naudojamės matematikos taisykle: funkcijos ekstremumas yra ties ta argumento reikšme, su kuria pirmoji funkcijos išvestinė prilygsta nuliui. Taigi, ekstreminė lenkimo momento M(z) reikšmė yra ten, kur dM(z)/dz=0. Kadangi dM/dz=Q, tai ekstreminis lenkimo momentas (Mmax, Mmin) yra visų pirma tuose sijos skerspjūviuose, kuriuose skersinė jėga lygi nuliui (t.y. ties kuriais skersinių jėgų diagrama kerta ašį). Be to, ekstreminių lenkimo momento reikšmių gali būti šalia tų skerspjūvių, prie kurių yra pridėti apkrovos jėgų momentai.

8.2. Normaliniai įtempimai

Skersinė jėga normalinių įtempimų pasiskirstymui įtakos beveik neturi. Todėl nustatysime, kaip normaliniai įtempimai pasiskirsto skerspjūvyje grynojo lenkimo atveju (kai Q=0), o gautąją formulę dažniausiai galėsime naudoti ir kitiems paprastojo lenkimo atvejams.

Norėdami išsiaiškinti, kokie yra geometriniai grynojo lenkimo dėsniai, atliekame tokį eksperimentą. Tiesaus strypo šone įbrėžiame išilgines ir joms statmenas skersines tieses (8.3 pav., a). Strypo galus apkrovę momentais (8.3 pav., b), pastebime, kad išilginės linijos išlinksta, o skersinės lieka tiesios ir statmenos išilginėms. Galima spėti, kad plokštieji skerspjūviai (kurių kontūrą žymi šios skersinės linijos) po deformavimo lieka plokšti ir statmeni įsunkusiai išilginei ašiai, t.y. kad galioja plokščiųjų pjūvių hipotezė.

8.3 pav.

Paveiksle matyti, kad strypui linkstant vienoje strypo pusėje (viršuje) atstumai tarp skersinių linijų didėja (a1>a), kitoje - mažėja (a2<a). Taigi, strypo sluoksniai vienoje pusėje ilgėja, kitoje trumpėja. Be abejo, viduryje turi būti ir toks sluoksnis, kuris nei ilgėja, nei trumpėja (tik išlinksta).

Strypo sluoksnis, kurio .ilgis lenkimo metu nekinta, vadinamas neutraliuoju sluoksniu. Šio sluoksnio sankirtos su skerspjūvio plokštuma linija vadinama skerspjūvio neutraliąja linija. Paprastojo lenkimo atveju neutralusis sluoksnis (NS) yra statmenas jėgų plokštumai, o neutralioji

linija - jėgų linijai (8.4 pav.).

8.4 pav.

Remdamiesi šio poskyrio pradžioje aprašytuoju eksperimentu, galime gauti geometrinę lygtį, kuri sieja išilginę bet kurio sijos sluoksnio deformaciją su to sluoksnio padėtimi (sluoksnio koordinate y):

yy χρ

ε −=−= , (8.1)

čia ρ - išlinkusios išilginės strypo ašies kreivio spindulys, χ - strypo ašies kreivis. Grynojo lenkimo geometrinę lygtį gauname, lygindami be galo trumpo (dz ilgio) sijos ruoželio

vaizdą prieš ir po deformavimo. Darome prielaidą, kad lenkiamos sijos sluoksniai vienas kito nespaudžia, kad tarp jų (skersai

sijos) normaliniai įtempimai neveikia. Ši prielaida visiškai priimtina, kai galioja poslinkių mažumo prielaida, t.y. kai sija išlenkiama labai mažai. Taigi tariame, kad normaliniai įtempimai veikia tik išilgai sluoksnio (ta kryptimi sluoksnį tempia arba gniuždo). Kadangi skersinės jėgos nėra (nagrinėjame juk grynąjį lenkimą), tai nėra ir tangentinių įtempimų, todėl skerspjūvio plokštuma yra svarbiausioji plokštuma, o joje veikiantys normaliniai įtempimai - svarbiausieji įtempimai: σ=σ1, jeigu tempia (tada σ2=σ3=0); σ=σ3, jeigu gniuždo (tada σ1=σ2=0). Iš trijų galimų svarbiausiųjų įtempimų nelygus nuliui tik vienas (išilgai sijos), taigi visų sluoksnių įtempimų būvis grynojo lenkimo atveju yra vienasis, o įtempimus su deformacijomis sieja paprasčiausia Huko dėsnio išraiška σ=Eε. Įrašę į šią išraišką deformacijos reikšmę iš (8.1), gauname:

σ=-Eχy. (8.2) Šitokią įtempimų reikšmę panaudojame integralinėje lenkimo momento išraiškoje (1.11).

Suprasdami, kad sijos medžiaga vienalytė (o vienalytės medžiagos tamprumo modulis E visur vienodas), neutraliojo sluoksnio kreivis χ taip pat nepriklauso nuo skerspjūvio ploto elemento dA padėties, todėl sandauga Eχ=const ir gali būti iškelta prieš integralo ženklą:

xAA

x IEdAyEdAyM χχσ −=−== ∫∫ 2 .

Iš čia galime išreikšti sijos neutraliojo sluoksnio (sijos išilginės ašies) kreivį:

x

x

EIM

−==ρ

χ 1, (8.3)

o įrašę šią reikšmę į (8.2), gauti ir formulę sijos skerspjūvio normaliniams įtempimams skaičiuoti:

yI

M

x

x=σ. (8.4)

Taigi, normaliniai įtempimai bet kuriame lenkiamo strypo skerspjūvio taške yra proporcingi to taško koordinatei, matuojamai nuo neutraliosios linijos (kuri paprastojo lenkimo atveju sutampa su skerspjūvio centrine ašimi x). Proporcingumo koeficientas yra santykis Mx/Ix - lenkimo momento neutraliosios linijos atžvilgiu ir skerspjūvio inercijos momento šios linijos atžvilgiu santykis (įsidėmėkime, kad jeigu jėgų linija sutaptų su x ašimi, t.y. jeigu lenkiama būtų kitoje simetrijos plokštumoje, raidės x ir y formulėje susikeistų vietomis).

Prisiminsime dar kartą, kokiomis sąlygomis remdamiesi gavome (8.4) formulę: galioja plokščiųjų pjūvių hipotezė; poslinkiai maži, todėl sluoksniai vienas kito nespaudžia ir įtempimų būvis vienasis; galioja proporcingumo (Huko) dėsnis; medžiaga vienalytė (E=const).

Jeigu bent viena šių sąlygų netenkinama, (8.4) formulė nebegalioja. Ir dar svarbu nepamiršti, kad ši formulė skirta paprastajam lenkimui, kurio sąvoka apibrėžta 8.1 poskyryje.

Reikia atsiminti, kad paprastasis lenkimas reiškiasi, kai jėgų linija skerspjūvyje sutampa su viena iš skerspjūvio svarbiausiųjų ašių, kai visos apkrovos ir reakcijų jėgos veikia plokštumoje, einančioje per centrines svarbiausiąsias strypo skerspjūvių ašis (tokia plokštuma vadinama svarbiausiąja strypo plokštuma; bet kuri išilginė strypo simetrijos plokštuma yra svarbiausioji).

Maža to - kai skerspjūvis nėra simetriškas jėgų linijos atžvilgiu, lenkiamo elemento skerspjūvyje dėl asimetriško tangentinių įtempimų pasiskirstymo gali atsirasti sukimo momentas. Kad jo nebūtų (kad lenkimas būtų paprastasis), jėgų linija turi sutapti ne su bet kuria svarbiausiąja skerspjūvio ašimi, o su ašimi, einančia per vadinamąjį lenkimo centrą. Asimetriško skerspjūvio lenkimo centras nesutampa su skerspjūvio figūros svorio centru, ir šis nesutapimas ypač reikšmingas, kai lenkiamasis elementas yra plonasienis.

Normalinių įtempimų pasiskirstymas lenkiamo strypo skerspjūvyje vaizduojamas plokštuma, kurios sankirtos su skerspjūviu linija yra neutralioji linija σ=0. Neutralioji linija dalija skerspjūvį (o neutralusis sluoksnis - visą strypą) į teigiamų normalinių įtempimų (tempiamąją) ir neigiamų normalinių

įtempimų (gniuždomąją) zonas (8.5 pav.). Ties neutraliąja linija (ties skerspjūvio svorio centru) normaliniai įtempimai lygūs nuliui, kituose taškuose jų reikšmės proporcingos taško atstumui nuo neutraliosios linijos, o jų didžiausios reikšmės yra skerspjūvio taškuose, kurie labiausiai nutolę nuo neutraliosios linijos (taškuose su koordinatėmis ymax ir ymin). Jeigu lenkimo momentas teigiamas (Mx>0), tai

0maxmax >= yI

M

x

xσ , 0minmin <= yI

M

x

xσ .

8.5 pav.

Jeigu sija pagaminta iš medžiagos, kuri gerai priešinasi gniuždymui ir beveik nelaiko tempimo jėgų (pvz. tokia medžiaga yra betonas), būtina atidžiai žiūrėti, kuri sijos pusė yra tempiama, nes būtent ją reikia sustiprinti armatūra, pajėgia priešintis ir tempimui. Gelžbetonio sijose darbo armatūra dedama visada į tempiamąją zoną, gniuždomojoje zonoje būna dažniau tik pagalbiniai, montažiniai armatūros virbai.

Dažnai sijų skerspjūviai būna simetriški ir neutraliosios linijos atžvilgiu, tada |ymin|=ymax ir |σmin|=σmax. Kadangi santykis Ix/|y|max=Wx (atsparumo momentui), tai tokiu atveju maksimalūs normaliniai įtempimai

x

x

WM

=maxσ . (8.5)

Kai sijos skerspjūvis nėra simetriškas neutraliosios linijos atžvilgiu ir jo centras nėra ties aukščio viduriu (8.6 pav.), gniuždomojoje ir tempiamojoje zonoje ekstreminės įtempimų reikšmės nevienodos: jeigu tempiamos zonos aukštis ht mažesnis už gniuždomos hc, tai |σmin|>σmax. Šiuo atveju tenka skaičiuoti dvejopą atsparumo momentą - vienas jų (Wxt) skirtas tempiamiesiems, maksimaliems įtempimams skaičiuoti, kitas (Wxc) gniuždomiesiems, minimaliems:

Wxt=Ix/ht, Wxc=Ix/hc, o po to

xt

x

WM

=maxσ , xc

x

WM

−=minσ . (8.6)

8.6 pav.

Kai tokia nesimetriško skerspjūvio sija pagaminta iš medžiagos, kuri nevienodai priešinasi tempimo ir gniuždymo poveikiams, taip pat labai svarbu atidžiai nustatyti, kurioje pusėje yra tempiamoji, kurioje gniuždomoji zona. Nuo to priklauso, kurie ekstreminiai įtempimai didesni - gniuždomieji ar tempiamieji, ir kurioje zonoje didesnis irimo pavojus. Pavyzdžiui, betoninių sijų skerspjūviai turi būti taip orientuoti, kad tempiamosios zonos aukštis būtų mažesnis už gniuždomosios (8.7 pav.), t.y. plačioji sijos pusė turi būti tempiama, o ne atvirkščiai.

Formulė (8.4) buvo gauta grynojo lenkimo atvejui (kai nėra skersinės jėgos), tačiau ji priimtina ir daugumai kitų praktinių paprastojo lenkimo atvejų. Nors dėl skersinės jėgos poveikio skerspjūviai kiek išsikraipo, nebegalioja plokščiųjų pjūvių hipotezė, bet normalinių įtempimų reikšmės nuo to paprastai mažai tepakinta. Ši formulė bei iš jos gautos (8.5) ir (8.6) formulės nevartotinos tik tada, kai skersinė jėga yra labai didelė, o lenkimo momentas labai mažas (kai deformavimui lemiamą įtaką turi būtent skersinė

jėga), pavyzdžiui, kai gana trumpą siją veikia labai didelės apkrovos jėgos. Tokį deformavimą tektų nagrinėti sudėtingesniais tamprumo teorijos metodais.

Labai svarbu turėti tvirtus sijos normalinių įtempimų skaičiavimo įgūdžius, gerai mokėti nustatyti ekstremines įtempimų reikšmes.

8.7 pav.

8.3. Tangentiniai įtempimai

Kai lenkiamo strypo (sijos) skerspjūvį veikia ne tik lenkimo momentas, bet ir skersinė jėga (kai lenkimas nėra grynasis), įvairiuose skerspjūvio taškuose veikia ne tik normaliniai, bet ir tangentiniai įtempimai. Dar daugiau - tangentinių įtempimų atsiranda ir išilginiuose sijos pjūviuose (veikia šių įtempimų dualumo dėsnis!).

Jeigu apsiribosime sijomis, kurių skerspjūviai siauri (plotis daug mažesnis už aukštį, b<<h), galėsime padaryti dvi prielaidas:

• tangentiniai įtempimai visame skerspjūvyje yra lygiagrečiai skersinei jėgai, τ||Q; • tangentinių įtempimų reikšmės yra vienodos per visą skerspjūvio plotį, τ=constb (tai

nereiškia, kad šie įtempimai nekinta per skerspjūvio aukštį). Padarę tokias prielaidas, gauname formulę tangentiniam įtempimui bet kuriame sijos skerspjūvio

taške k skaičiuoti (8.8 pav.):

k

kk Ib

SQ=τ . (8.7)

Šioje formulėje du dydžiai nepriklauso nuo taško k padėties - tai skerspjūvyje veikianti skersinė jėga Q (pagal 8.8 pav. - Qy) ir viso skerspjūvio ploto inercijos momentas I neutraliosios linijos atžvilgiu (Ix). Tačiau kiti du dydžiai nuo nagrinėjamo taško padėties priklauso: bk - materialusis skerspjūvio plotis ties tuo tašku (matuojamas kryptimi, statmena jėgų linijai) ir Sk - skerspjūvio dalies, esančios į vieną pusę nuo tiesės, nubrėžtos per tašką k (lygiagrečios neutraliajai linijai), statinis momentas neutraliosios linijos atžvilgiu. Kadangi tangentinio įtempimo ženklas visada sutampa su skersinės jėgos ženklu, tai statinis momentas Sk į formulę įrašomas absoliutiniu didumu.

Kadangi dažnai tenka nagrinėti kirpimo jėgas, veikiančias išilginiuose sluoksniuose, naudinga turėti formule išreikštą šių išilginių kirpimo jėgų intensyvumą (8.8 pav.):

ISQ

bq kkk == τ , (8.8)

čia simbolių prasmė ta pati, kaip ir (8.7) formulėje. Formulę (8.7) pirmasis 1855 m. gavo rusų inžinierius ir mokslininkas D. Žuravskis, todėl ta formulė dažnai vadinama Žuravskio formule, o jo padaryta prielaida apie tangentinių įtempimų vienodumą per visą plotį - Žuravskio hipoteze.

Formulėms (8.7) ir (8.8) gauti nagrinėjome labai trumpą (dz ilgio) sijos elementą, išpjautą iš sijos dviem skerspjūviais ir vienu horizontaliu pjūviu.

8.8 pav.

Tangentiniam įtempimui sijos skerspjūvio taške k skaičiuoti taikytinas toks algoritmas: • per skerspjūvio svorio centrą nubrėžiame neutraliąją liniją, kuri yra statmena jėgų linijai

(skersinės jėgos Q krypčiai); • apskaičiuojame viso skerspjūvio inercijos momentą I neutraliosios linijos atžvilgiu;

• per nagrinėjamąjį tašką k nubrėžiame tiesę, lygiagretę neutraliajai linijai; • nustatome materialųjį skerspjūvio plotį bk ties tašku k (materialųjį nubrėžtos per tą tašką

tiesės ilgį; žr. 8.9 pav.); • apskaičiuojame atkirstos tiese skerspjūvio dalies statinį momentą Sk skerspjūvio neutraliosios

linijos atžvilgiu (pasirenkame tą dalį, kurios Sk lengviau skaičiuoti); • pagal (8.7) formulę apskaičiuojame tangentinio įtempimo τk reikšmę.

8.9 pav.

Kintant taško k vietai sijos skerspjūvyje, tangentinio įtempimo reikšmė kinta priklausomai nuo santykio |Sk|/bk, o šis santykis priklauso nuo taško k koordinatės yk. Maksimali įtempimo reikšmė yra ten, kur šis santykis didžiausias:

max

max

=

k

k

bS

IQτ . (8.9)

Dažniausiai (išskyrus retas skerspjūvių formas, panašias į rombą su įstrižaine, statmena skersinės jėgos krypčiai) tas maksimumas yra ties neutraliąja linija (būtent čia visada yra maksimali |Sk| reikšmė). Pavyzdžiui, stačiakampio skerspjūvio sijoje maksimalus tangentinis įtempimas (ties neutraliąja linija) yra

AQ

23

max =τ , (8.10)

skritulinio skerspjūvio -

AQ

34

max =τ , (8.11)

t.y. maksimalus įtempimas čia yra 1,50 ar 1,33 karto didesnis už vidutinę skerspjūvyje veikiančių tangentinių įtempimų reikšmę. Kitokios formos skerspjūviams tenka apskaičiuoti |Sk|max, kuris visada yra pusės skerspjūvio (t.y. skerspjūvio dalies, esančios į vieną pusę nuo neutraliosios linijos) statinis momentas neutraliosios linijos atžvilgiu. Standartinių profilių lentelėse dažnai yra skiltis su būtent šiomis statinio momento reikšmėmis.

Ir nepamirškime, kad (8.7) ir (8.8) formulės tinka tik siauriems skerspjūviams, kuriems galioja prielaida apie visų tangentinių įtempimų lygiagretumą skersinei jėgai. O ši prielaida, deja, nėra visada patikima.

8.4. Svarbiausieji įtempimai ir įtempimų būvis

Grynojo lenkimo atveju skerspjūviuose nėra tangentinių įtempimų, taigi skerspjūvių plokštumos yra svarbiausiosios plokštumos, o jose veikiantieji normaliniai įtempimai σ=σz - svarbiausieji įtempimai. Kitose (statmenose skerspjūviui, išilginėse) svarbiausiosiose plokštumose nėra jokių įtempimų (σy=σx=0), nes daroma prielaida, kad sluoksniai vienas kito nespaudžia. Išvada - bet kuriame sijos taške iš trijų galimų svarbiausiųjų įtempimų nelygus nuliui tėra vienas (σ1=σz>0 arba σ3=σz<0), įtempimų būvis visur vienašis.

Kitais paprastojo lenkimo atvejais (kai Q≠0) skerspjūviuose veikia ir normaliniai, ir tangentiniai įtempimai. Tačiau išilginėse plokštumose, lygiagrečiose jėgų plokštumai, nėra tangentinių įtempimų, taigi šios plokštumos yra svarbiausiosios. Jeigu jose veiktų normaliniai įtempimai, jie būtų svarbiausieji. Kadangi šios krypties (statmenos jėgų plokštumai) normalinių įtempimų nėra, nelygių nuliui svarbiausiųjų įtempimų begali būti ne daugiau kaip du (plokštumose, statmenose jėgų plokštumai). Taigi įtempimų būvis paprastojo lenkimo atveju gali būti tik vienasis arba dviašis, negali būti triašis.

Ties kraštiniais sijos sluoksniais skerspjūvyje tangentinių įtempimų nėra, veikia tik normaliniai įtempimai: šie sluoksniai tik tempiami arba tik gniuždomi, įtempimų būvis vienašis:

σ1=σmax>0, σ3=σ3=0 (8.10 pav., 1) arba

σ1=σ2=0, σ3=σmin<0 (8.10 pav., 2)

8.10 pav.

Ties neutraliuoju sluoksniu (8.10 pav., 3) normaliniai įtempimai skerspjūvyje lygūs nuliui, o tangentinių įtempimų reikšmė dažnai yra maksimali. Šis grynosios šlyties atvejis (σz=σy=0, τ≠0) yra ypatingas dviašis įtempimų būvis, ir svarbiausieji įtempimai prilygsta čia veikiančių tangentinių įtempimų reikšmei:

σ1=τ, σ3=-τ, σ2=0, o svarbiausiosios plokštumos sudaro 45° kampą su skerspjūvių plokštumomis (žr. 4.2 poskyrį). Kituose sijos skerspjūvių taškuose įtempimų būvis taip pat dviašis, nes juose veikia ir normaliniai, ir tangentiniai įtempimai. Nuo šių įtempimų reikšmių priklauso svarbiausiųjų įtempimų reikšmės ir kryptys. Panaudoję (4.17) formulę, įrašę į ją reikšmes σy=0, σz=σ, τyz=τ, nustatome, kad paprastojo lenkimo atveju svarbiausieji įtempimai

( )223,1 4

21 τσσσ +±= (8.11)

(σ2=0). Svarbiausiųjų įtempimų σ1 ir σ3 kryptys, taigi ir svarbiausiųjų plokštumų padėtis nustatoma formule, gauta iš (4.18) formulės:

στβ 22 =tg . (8.12)

Nuosekliai sujungę gretimų taškų svarbiausiųjų įtempimų kryptis, gautume vadinamąsias svarbiausiųjų įtempimų trajektorijas (8.11 paveikslėlyje ištisinėmis linijomis išbrėžtos maksimalių įtempimų σ1 trajektorijos, brūkšninėmis - minimalių σ3). Šios trajektorijos vaizdžiai rodo ekstremaliųjų įtempimų kryptis ir padeda konstruoti lenkiamąjį elementą. Pavyzdžiui, gelžbetonio sijose dedama alkūninė armatūra dažnai nukreipiama palei σ1 trajektorijas (kad padėtų betonui priešintis didžiausiems tempiamiesiems įtempimams, 8.12 pav.), o aukštų metalinių sijų sieneles reikėtų standinti įstrižomis briaunomis, lygiagretėmis σ3 trajektorijoms (kad dėl gniuždomųjų įtempimų nekluptų; kadangi keblu tokias įstrižas sąstandas padaryti, dažniau jos daromos statmenos sijos ašiai).

8.11 pav.

8.12 pav.

8.5. Sijų stiprumas

Stiprumas turi būti garantuotas kiekviename sijos taške, o stiprumo sąlygos išraiška priklauso nuo įtempimų būvio ties tuo tašku. Nors beveik ties visais sijos taškais įtempimų būvis dviašis, daugeliu praktiškų atvejų lemiamas yra kraštinių sijos sluoksnių stiprumas, o čia įtempimų būvis vienašis ir stiprumo sąlyga reiškia normalinių įtempimų apribojimą medžiagos stiprumo rodikliu - projektiniu stipriu:

σmax≤Rt tempiamojo sluoksnio (8.10 pav., 1) arba

|σmin|≤Rc gniuždomojo sluoksnio (8.10 pav., 2). Įrašę ekstreminių normalinių įtempimų reikšmes iš (8.5) ir (8.6) formulių, gauname plačiausiai naudojamas lenkiamo strypo (sijos) stiprumo sąlygas:

tRWM

≤=maxσ , (8.13)

kai skerspjūvis simetriškas neutraliosios linijos atžvilgiu (W=Wt=Wc; čia paprastai R=Rt, nes dažniausiai Rt≤Rc), ir

tt

RWM

≤=maxσ , (8.14)

bei

cc

RWM

≤=minσ , (8.15)

kai Wt≠Wc. Šiose stiprumo sąlygose yra praleisti lenkimo momentų ir atsparumo momentų simbolių indeksai, nurodantieji skerspjūvio ašį (x, y): suprantama, kad prie abiejų simbolių indeksai turi būti vienodi (jeigu sijoje veikia lenkimo momentai x ašies atžvilgiu, tai ir atsparumo momentas nustatomas x ašies atžvilgiu). Šiose sąlygose praleisti ir papildomi koeficientai, kuriais patikslinami konkrečių konstrukcijų stiprumo reikalavimai (galime tarti, kad čia, šiame vadovėlyje, šie koeficientai laikomi esą lygūs vienetui).

Stiprumo sąlyga (8.13), kaip ir analogiškos (8.14) bei (8.15), susieja tris dydžius. Kai du iš jų žinomi, trečiąjį galima nustatyti. Kai žinome sijos skerspjūvio atsparumo momentą W ir medžiagos stiprį R, galime rasti, kokio didumo lenkimo momentą M tas skerspjūvis gali atlaikyti (t.y. galime išspręsti laikomosios galios nustatymo uždavinį). Svarbiausias yra projektinis stiprumo uždavinys - kai pagal žinomą apkrovą (lenkimo momentą M) ir numatomą medžiagos stiprį R nustatome, kokio skerspjūvio turi būti sija (koks turi būti jo atsparumo momentas W).

Nėra reikalo stiprumo sąlygą (8.13) tikrinti visuose skerspjūviuose, kai jie vienodi (kai visa sija vienodo skerspjūvio), pakanka garantuoti stiprumą toje vietoje, kur lenkimo momentas ekstrėminis. Todėl dažniausiai sijos stiprumo sąlyga reiškiama taip:

RW

M≤max . (8.16)

Kai skerspjūvis nėra per visą sijos ilgį vienodas, taip pat kai jis nėra simetriškas neutraliosios linijos atžvilgiu, o ypač kai medžiaga nevienodai priešinasi tempimui ir gniuždymui (Rt≠Rc), vienos sąlygos nepakanka, tenka nustatyti visus kraštinius pavojinguosius sijos taškus ir visur garantuoti reikiamą stiprumo atsargą.

Nors dažniausiai visos sijos stiprumą lemia kraštinių sluoksnių normaliniai įtempimai, vis dėlto nereikia pamiršti ir tangentinių įtempimų. Reikia tikrinti sijos kerpamąjį stiprumą neutraliajame sluoksnyje arba arti jo, nes būtent čia tangentiniai įtempimai didžiausi. Stiprumo sąlyga apriboja tangentinių įtempimų didumą medžiagos šlyties projektiniu stipriu Rs:

|τ|≤Rs. (8.17) Pačiame sijos skerspjūvyje ši sąlyga vargu ar gali būti pažeista (nes paprastai tangentiniai

įtempimai skerspjūvyje yra daug mažesni už normalinius). Tačiau nepamirština, kad pagal tangentinių įtempimų dualumo dėsnį tokio pat didumo (τ’=τ) įtempimai veikia statmenose plokštumose, t.y. išilginėse sijos plokštumose, tarp sijos sluoksnių (8.13 pav.).

8.13 pav.

Jeigu išilginiai sluoksniai silpniau sukibę ir šlyčiai (kirpimui, skėlimui) mažiau priešinasi, jie gali atplyšti, atskilti vienas nuo kito; būtent ir čia slypi sijos suirimo pavojus. Pavyzdžiui, medinė sija gali

suirti kaip tik dėl to, kad, neatlaikiusi išilginiuose sluoksniuose tangentinių įtempimų, supleišėja, sueižėja (8.14 pav.). Dar svarbiau šių išilginių sluoksnių tangentinių įtempimų poveikį tikrinti, kai sija sudėtinė - sudaryta iš išilginių suklijuotų ar kitaip sujungtų dalių. Tokių sijų stiprumo skaičiavimą nagrinėsime vėlia.

8.14 pav.

Daugumai skerspjūvio taškų (tokių kaip 8.10 pav., 4 ir 5) tenka stiprumo sąlygomis apriboti bendrą abiejų įtempimų - ir normalinių, ir tangentinių - poveikį. Tai daryti įmanoma tik remiantis kuria nors irimo ar plastiškumo hipoteze (žr. 5.4 poskyrį). Kadangi sijos dažniausiai gaminamos iš pakankamai plastiškų (netrapių) medžiagų, paprastai taikomos plastiškumo hipotezės. Pavyzdžiui, pagal didžiausių tangentinių įtempimų hipotezę, pasinaudojus lenkiamo elemento svarbiausiųjų įtempimų σ1 ir σ3 išraiškomis (8.11), sijos stiprumo sąlyga parašoma tokia:

R≤+ 22 4τσ , (8.18) o pagal energetinę plastiškumo hipotezę

R≤+ 22 3τσ . (8.19) Suprantamą, nereikia šitokių stiprumo sąlygų rašyti visiems ar net daugumai sijos taškų, reikia tik

aptikti vieną ar kelis pavojingiausius taškus. Visų pirma reikia nustatyti skerspjūvį, kuriame veikia nemažas lenkimo momentas ir nemaža

skersinė jėga. Mat, skerspjūvyje su ekstremine lenkimo momento reikšme dažniausiai skersinė jėga lygi nuliui, o ten, kur skersinė jėga didžiausia (pavyzdžiui, prie sijos atramų) dažnai lenkimo momentas nulinis. Todėl ir tenka nagrinėti drauge abiejų įrąžų diagramas, ieškant pavojingiausio šių įrąžų derinio (kartais įtartinais gali būti keli skerspjūviai, jų visų stiprumo sąlygos ir rašytinos).

Kai jau pasirinktas skerspjūvis, jame ieškoma pavojingiausio taško, t.y. taško su pavojingiausiu įtempimų σ ir τ deriniu, su didžiausia įtempimų funkcijos reikšme. Normalinių įtempimų ekstreminės reikšmės visada yra kraštiniuose skerspjūvio taškuose, tačiau čia tangentiniai įtempimai lygūs nuliui, o ten, kur didžiausi tangentiniai įtempimai (ties neutraliąja linija), visada σ=0. Tuo tarpu stiprumo sąlygą rašyti reikia tokiam taškui, kuriame nemažos yra ir normalinių, ir tangentinių įtempimų reikšmės. Toks taškas, pavyzdžiui, dvitėjame skerspjūvyje yra sienelės pakraštyje, prie pat lentynos: čia σ reikšmė yra artima ekstreminei reikšmei, o τ taip pat nemažas.

8.6. Racionalios formos sijos

Lenkiamo elemento (sijos) formą apibrėžia jo skerspjūviai - tų skerspjūvių pavidalas ir dėsnis, pagal kurį skerspjūviai kinta (jeigu kinta) išilgai sijos ašies. Kuo sija plonesnė (kuo mažiau medžiagos sunaudojama jai), tuo ji racionalesnė - žinoma, jeigu jos patikimumas yra pakankamas. Čia nagrinėdami sijos racionalumą, kreipsime dėmesį tiktai į stiprumo sąlygą (nepaisysime standumo reikalavimų).

Stiprumo sąlygoje (8.13) nuo sijos skerspjūvio formos priklauso geometrinis rodiklis - atsparumo momentas W. Kuo didesnis šis rodiklis, tuo mažesni ekstreminiai normaliniai įtempimai, tuo didesnė stiprumo atsarga. Taigi, skerspjūvio formos racionalumas yra tiesiog proporcingas atsparumo momento W reikšmei. Kita vertus, kuo didesnis skerspjūvio plotas, tuo daugiau medžiagos reikia sijai padaryti, tuo mažiau sija ekonomiška, tuo mažiau racionali. Taigi, sijos skerspjūvio racionalumas yra atvirkščiai proporcingas ploto A reikšmei. Galutinė išvada:

sijos skerspjūvio formos racionalumas yra proporcingas dviejų skerspjūvio geometrinių rodiklių - atsparumo momento ir ploto - santykiui

AW

=ξ . (8.20)

Šis santykis, skerspjūvio racionalumo koeficientas ξ yra tuo didesnis, kuo skerspjūvio plotas daugiau atitolęs nuo neutraliosios linijos. 8.15 paveikslėlyje įvairios formos skerspjūviai, kurių visų plotai vienodi, išrikiuoti tokia eile, kad iš kairės į dešinę jų atsparumo momentai, o tuo pačiu ir racionalumo koeficientai ξ didėja (jie lyginami su 8.16 pav. kvadratinio skerspjūvio koeficientu ξ=ξ0). Šios eilės pabaigoje nubraižytas idealios formos lenkiamo elemento skerspjūvis jo tempiamoje zonoje, supleišėjus betonui, lieka dirbti tik plieno armatūra, kurios skerspjūvio plotas At, o gniuždomojoje tebelaiko ir betonas (brėžinyje jo darbinis plotas Ac užbrūkšniuotas). Dažniausiai sijos daromos vienodo skerspjūvio per visą ilgį, nors būtent tokio skerspjūvio reikia tik pačioje pavojingiausioje sijos vietoje, kitur

skerspjūvis galėtų būti silpnesnis, mažesnis. Taigi, sija būtų racionalesnė (būtų mažesnio tūrio), jeigu jos skerspjūvis visur būtų tik toks, kokio reikia stiprumui ties ta vieta garantuoti. Jeigu stiprumo sąlyga paprasčiausia, tai reikėtų ją kiekviename skerspjūvyje patenkinti lygybės pavidalu, be jokio pertekliaus:

( )( ) RzWzM

==maxσ ,

arba

( ) ( )R

zMzW = . (8.21)

Tenkinančios šią sąlygą sijos vadinamos vienodo stiprumo sijomis. Matome, kad tokių sijų bet kurio skerspjūvio atsparumo momentas turi būti proporcingas skerspjūvyje veikiančiam lenkimo momentui. Reikia nepamiršti, kad čia racionalumas nustatomas tik pagal sijos tūrį (arba svorį), neatsižvelgiant į išlaidas, susijusias su tokios sudėtingesnės formos sijos gamyba (sutaupyta medžiaga ne visada kompensuoja padidėjusias gamybos išlaidas).

8.15 pav.

8.16 pav.

Stačiakampio skerspjūvio vienodo stiprumo siją nagrinėti lengviausia. Jeigu sijos skerspjūvis stačiakampis, tai jo atsparumo momentas W(z)=b(z)⋅h2(z)/6. Nagrinėsime du šio rodiklio dėsningo kitimo variantus: 1) kai b(z)=const=b ir kinta tik stačiakampio skerspjūvio aukštis; 2) kai h(z)=const=h ir kinta tik stačiakampio skerspjūvio plotis.

Pirmojo dėsningumo atveju iš (8.21) lygybes gauname ( ) ( )

RzMzbh

=6

2

,

arba

( ) ( )bR

zMzh 6= .

Taigi skerspjūvio aukštis tuo didesnis, kuo didesnis ties tuo skerspjūviu, lenkimo momentas (nors ta priklausomybė ir nereiškia tiesioginio proporcingumo). Tokiu būdu racionalizuota dviatramė sija parodyta 8.17 paveikslėlyje. Ties atramomis sijos aukštis h(z) turėtų artėti į nulį, tokie nusmailinti sijos galai suirtų dėl nemažos skersinės jėgos todėl tenka juos pastorinti, remiantis stiprumo sąlygomis (8.17), (8.18) ar (8.19), įskaitančiomis per tangentinius įtempimus ir skersines jėgas. Punktyru brėžinyje parodyta “sutaupytoji” sijos tūrio dalis.

8.17 pav.

Kartais, vengiant sudėtingos kreivinės formos, sijos daromos laiptuotos, iš dalies patenkinus racionalumo reikalavimą ir priartėjus prie idealios vienodo stiprumo sijos formos (kaip, pavyzdžiui, 8.18 pav., a). Tokį laiptuotą skerspjūvių kitimą realizuoti ypač patogu, formuojant iš lakštų metalinę (varžtais ar virintinėmis siūlėmis sujungtą) siją (8.18 pav., b).

8.18 pav.

Antrojo dėsningumo atveju iš tos pačios (8.21) lygybės gauname

( ) ( ) ( )zMazMRh

zb == 2

6.

Čia skerspjūvio plotis yra tiesiog proporcingas lenkimo momento reikšmei (jos absoliutiniam didumui). Tokiu būdu sukurta racionali sija parodyta 8.19 paveikslėlyje, a. Pastorinimo ties sijos galais priežastis ta pati, kaip ir 8.17 paveikslėlio pavyzdyje.

8.19 pav.

Taip sukonstruotą vienodo aukščio siją galėtume suraižyti išilginėmis vienodo pločio juostomis ir tas juostas sudėlioti vieną ant kitos, kaip parodyta 8.19 paveikslėliu, b. Jeigu tos juostos nesuklijuotos, dirba atskirai, tai tokios sluoksninės sijos ir įtempimai, ir deformacijos yra tokie pat, kaip vienodo stiprumo sijos iš 8.19 paveikslėlio, a. Taip pagaminta sija primena lingių konstrukciją (lingės būtent tokios - racionalaus, vienodo stiprumo - daromos ne dėl medžiagos taupymo, o dėl to, kad jų standumas nebūtų per didelis, kad jos kuo daugiau išlinkdamos amortizuotų smūginę apkrovą).

8.7. Sudėtinės sijos

Sijas tenka daryti ir sudėtas iš kelių išilginių dalių, sujungtų klijais, varžtais ir kitais būdais (8.20 pav.). Kai kada tos dalys būna iš skirtingų medžiagų (tai vadinamosios kompozitinės sijos). Panagrinėsime tokių sudėtinių sijų skaičiavimą.

Svarbiausias šių sijų skaičiavimo ypatumas yra tas, kad atsiranda papildoma būtinybė tikrinti tų sudėtinių išilginių dalių jungties stiprumą. Mat, išilginėse plokštumose, lygiagretėse neutraliajam sluoksniui, veikia tangentiniai įtempimai: tai 8.20 pav. nustatėme, remdamiesi tangentinių įtempimų dualumo dėsniu, jau 8.3 poskyryje.

8.20 pav.

Kai išilginės sijos dalys viena su kita suklijuotos ištisai plokštumomis, lygiagretėmis neutraliajam sluoksniui (pavyzdžiui, taip, kaip 8.20 paveikslėlyje parodytoji sija iš lentų), tai tangentiniai Įtempimai būna pasiskirstę tolygiai visame klijų sluoksnio plotyje, todėl gali būti apskaičiuoti pagal (8.7) formulę. Tada klijuotinės jungties stiprumo sąlyga yra analogiška sąlygai (8.17):

sk

kk R

IbQS

≤=τ , (8.22)

tik čia Rs yra ne medienos, ne lentų, bet klijų kerpamasis projektinis stipris. Jeigu bent vienas klijų sluoksnis sutampa su neutraliuoju sluoksniu, tai būtent šio sluoksnio stiprumas ir tikrinamas, nes jame tangentiniai įtempimai yra didžiausi. Jeigu ties neutraliuoju sluoksniu tokios jungties nėra, tikrinamas stiprumas to klijų sluoksnio, kuris yra arčiausiai neutraliojo sluoksnio.

Kai sijos išilginės dalys sujungtos kitaip, ne ištisine plokštuma, stiprumui tikrinti pravartu apskaičiuoti jungties lygyje išilgai sijos veikiančią kirpimo jėgą Qs,k apimančią kurį nors sijos ilgio ruožą. Jeigu tame ruože vienodas skerspjūvis ir vienoda skersinė jėga Q, tokia kirpimo jėga gaunama, padauginus iš ruožo ilgio a kirpimo jėgų intensyvumą qk, nustatytą (8.8) formule:

aISQ

Q kks =, . (8.23)

Ši jėga negali viršyti jungties laikomosios galios. Jeigu, pavyzdžiui, sijos dalys sujungtos d skersmens varžtais, kurių kiekvienas yra kerpamas ne

vienu, bet k pjūvių, varžtų skaičius ruože yra n, varžtų kerpamasis projektinis stipris Rs, tai varžtinės jungties stiprumo sąlyga būtų tokia:

sk knRda

IQS

4

2π≤ . (8.24)

Iš šios sąlygos paprasta nustatyti dydį a/n, kuris rodo, kokiu atstumu turi būti išdėstyti varžtai. Beje, varžtinę jungtį būtina patikrinti ir glemžimo atžvilgiu:

pk tdnRa

IQS

≤ , (8.25,

čia td - projektinis glemžiamasis plotas (t=Σti), Rp - glemžiamasis projektinis stipris. Dera nepamiršti ir to, kad jungiamose varžtais (ar kniedėmis) sijos išilginėse dalyse yra

gręžiamos skylės, tuo susilpninami kai kurie sijos skerspjūviai. Todėl, tikrinant tokios sijos stiprumą sąlyga (8.13), į ją reikia įrašyti susilpninto skerspjūvio geometrinį rodiklį Wnt (neto atsparumo momentą, apskaičiuotą atmetus skylių plotą).

Jeigu sijos išilginės dalys jungiamos kertinėmis, virintinėmis siūlėmis, kurių statinis h, jų metalo kerpamasis projektinis stipris Rs, bendras siūlių ilgis na (n - siūlių skaičius tikrinamame skerspjūvio lygyje; dažniausiai n=2 arba n=1), tada šių siūlių pasipriešinimas kirpimui yra lygus 0,7⋅hnaRs ir stiprumo sąlyga tokia:

sk hnR

IQS

7,0≤ . (8.26)

Šiuo atveju iš stiprumo sąlygos galime nustatyti būtiną siūlės statinį (aukštį). Kai sijos dalys pagamintos iš skirtingų medžiagų, normalinių įtempimų pasiskirstymas sijos

aukštyje nebėra tiesinis. Jeigu skirtingų medžiagų sluoksniai vienas su kitu gerai sukibę ir deformuojasi drauge, tiesinis lieka išilginių deformacijų pasiskirstymo dėsnis, nes tebegalioja plokščiųjų pjūvių hipotezė. Tuo tarpu normaliniai įtempimai, apskaičiuoti pagal Huko dėsnį su skirtingų medžiagų skirtingais tamprumo moduliais, proporcingi toms deformacijoms tiktai tos pačios medžiagos zonoje. Kiek kartų medžiagos tamprumo modulis didesnis, tiek kartų ir įtempimai didesni. Todėl ties skirtingų medžiagų riba normalinių įtempimų diagramoje būna šuolis (8.21 pav.), o jeigu medžiagų išdėstymas nėra simetriškas, tai paprastojo lenkimo atveju neutralioji linija nebeina per skerspjūvio svorio centrą, pasislenka link tos sijos dalies, kurios tamprumo modulis didesnis (žr. 8.22 pav.).

8.21 pav.

8.22 pav.

Savotiška sudėtine sija galėtume laikyti ir siją, pagamintą iš vienos medžiagos, bet tokios, kurios standumas (tamprumo modulis) nevienodas tempimo ir gniuždymo atveju (Et≠Ec). Tokių medžiagų esama: tai kai kurie plastikai, net ir betonai; dažniausiai Et<Ec.

Kadangi lenkimo metu neutralusis sluoksnis atskiria tempiamąją sijos zoną nuo gniuždomosios, tokios sijos standumas abipus neutraliojo sluoksnio skirtingas. Dėl to neutralioji linija neina per skerspjūvio svorio centrą, o yra pasislinkusi link standesnės pusės (jeigu Et<Ec, - link gniuždomųjų

sluoksnių). Nors lieka galioti plokščiųjų pjūvių hipotezė, nors išilginių deformacijų pasiskirstymas tiesinis, normalinių Įtempimų diagrama nebėra tiesinė - ji lūžta ties neutraliąja linija (8.23 pav.).

8.23 pav.

8.8. Plonasienių sijų ypatumai

Plonasienių vadinamas strypas, kurio ilgis yra daug didesnis už skerspjūvio matmenis, o skerspjūvio plotis bei aukštis daug (keliolika) kartų didesni už sienelių storį (8.24 pav.; čia L>>b, L>>h, b>>t, h>>t).

Kai toks strypas naudojamas kaip sija, paprastojo lenkimo atveju normaliniai įtempimai gali būti skaičiuojami taip, kaip aptarta 8.2 poskyryje, nes nuokrypos dėl skerspjūvio konfigūracijos, dėl sienelių plonumo būna labai nedidelės (jas aptikti galima tamprumo teorijos metodais). Tačiau įsidėmėkite: tik paprastojo lenkimo atveju! Jeigu sijoje atsiranda sukimo momentų, skerspjūviai labai išsikreivina, nebegalima taikyti plokščiųjų pjūvių hipotezės, nebegalima remtis 8.2 poskyrio išvadomis. Įtempimai tokiose (sukimą patiriančiose) sijose skaičiuojami pagal specialią plonasienių strypų teoriją.

8.24 pav.

Ypatingas yra tangentinių įtempimų pasiskirstymas plonasienių sijų skerspjūviuose. Mat, 8.3 poskyryje šie įtempimai buvo nagrinėjami, padarius prielaidą, kad skerspjūvis yra siauras (b<<h). Šią prielaidą atitinka tos plonasienės sijos skerspjūvio dalys, kurios yra ištįsusios apkrovos veikimo kryptimi (jeigu apkrova vertikali - ji tinka vertikalioms skerspjūvio dalims, tokioms kaip dvi tėjo ar lovinio profilio sienelė), bet tokia prielaida nedera prie skersų (horizontaliųjų) skerspjūvio dalių (prie lentynų). Šiose horizontaliosiose juostose tangentinių įtempimų kryptys nebėra lygiagretės skersinei jėgai Q. Kai žinome tangentinių įtempimų kryptį bent vienoje skerspjūvio dalyje, galime iškart nurodyti jų kryptį ir kitose dalyse: tangentinių įtempimų kryptys visame plonasienės sijos skerspjūvyje sudaro nuoseklius vientisus srautus (8.25 pav.). Lentynos taške k veikiančius tangentinius įtempimus galime apskaičiuoti pagal tą pačią (8.7) formulę

k

kk Ib

SQ=τ ,

tik šiuo atveju skerspjūvio dalis atkertama linija, kuri eina per tašką k ir yra statmena lentynos ašiai (o ne lygiagretė neutraliajai linijai). Taigi, nustatant Sk ir bk, reikia remtis schema, parodyta 8.26 paveikslėlyje.

8.25 pav.

8.26 pav.

Taip skaičiuodami, gauname lentynos taške veikiančio tangentinio įtempimo komponentą, lygiagretį lentynos ašiai. Yra dar ir statmenos krypties to įtempimo komponentas, tačiau jį sudėtinga

nustatyti (mūsų žinoma formulė netinka dėl didelio lentynos pločio); kadangi šis komponentas nedidelis, mažareikšmis, paprastai jo nepaisoma.

Lentynoje tangentinių įtempimų didumas auga proporcingai nuo lentynos pakraščio link skerspjūvio vidurio (nes bk=const, yc=const, Ak yra proporcingas taško k atstumui nuo lentynos pakraščio). Tangentinių įtempimų pasiskirstymas visame dvitėjiniame skerspjūvyje ir parodytas 8.27 paveikslėlyje.

8.27 pav.

Šitoks ypatingas tangentinių įtempimų pasiskirstymas plonasienės sijos skerspjūvyje sudaro naujų keblumų apibrėžti paprastojo lenkimo sąvokai. Taip atsitinka, kai skerspjūvis nėra simetriškas jėgų veikimo linijos atžvilgiu (pavyzdžiui, lovinis skerspjūvis). Visi tangentiniai įtempimai, apskaičiuotieji pagal (8.7) formulę, yra susiję tiktai su skersine jėga. Šių įtempimų atstojamosios Q*=Q pridėties taškas nėra skerspjūvio svorio centras, nėra net sienelės centras, šis taškas K yra net į kitą pusę nuo sienelės (tai lemia horizontaliuosius įtempimus atstojanti jėgų Fx pora, 8.28 pav.). Jeigu apkrovos jėgų linija eitų per tokio skerspjūvio svorio centrą C (8.29 pav., a), tada, kad nebūtų pažeista pusiausvyros sąlyga (ΣMZ=0), skerspjūvyje būtinai turėtų veikti ne tik skersinė jėga Q (arba su ja susiję mums jau pažįstamu būdu pasiskirstę įtempimai), bet dar ir sukimo momentas T (arba papildomi sudėtingai pasiskirstę tangentiniai įtempimai). Šio sukimo momento didumas būtų toks, kad tenkintų minėtąją pusiausvyros sąlygą:

Q(x0+e)-T=0.

8.28 pav.

8.29 pav.

Tačiau atsiradęs sukimo momentas reikštų, kad sija deformuojama jau nebe paprastuoju lenkimu, o dar ir sukama. O šio poskyrio pradžioje nurodėme, kad dėl tokio poveikio atsiranda skerspjūvių deplanacija, darosi sudėtingas ir normalinių įtempimų nustatymas. Sudėtingai veikiamoje plonasienėje sijoje (nepritaikytoje priešintis sukimui) gali atsirasti labai didelės deformacijos, dideli įtempimai, sija gali net ir nuo nedidelės apkrovos prarasti reikiamą standumą ir. Kad to neatsitiktų, apkrovos jėgos turi būti pridėtos ne ties skerspjūvio centru C, o ties tašku K (8.30 pav., a), būtent tik tuo atveju pusiausvyros

sąlygos tenkinamos be jokio sukimo momento, tokia sija nesusisuka, yra veikiama paprastojo lenkimo. Realizuoti tokį apkrovimą įmanoma (8.30 pav., b).

8.30 pav.

Taškas K, ties kuriuo pridėjus apkrovą nesimetriško skerspjūvio sija patiria tik paprastąjį lenkimą (be sukimo), yra vadinamas šlyties centru (arba kartais lenkimo centru).

Įsidėmėkite - jeigu norime išvengti nepageidaujamo sukamojo deformavimo, asimetriško skerspjūvio siją turime apkrauti taip, kad jėgų linija eitų per šlyties centrą. O labiausiai rekomenduotina, kai galima, iš viso vengti daryti asimetriško skerspjūvio sijas. Net iš lovinių profilių siją galima padaryti simetrišką (8.31 pav.). nors ir ne tokią racionalią kaip dvitėjis.

8.31 pav.

Šlyties centras nesutampa su svorio centru ne tik plonasienių sijų skerspjūviuose, tačiau kituose (masyvesniuose) nesimetriškuose skerspjūviuose šis nukrypimas gana nedidelis ir, svarbiausia, mažiau pavojingas (masyvesnis skerspjūvis geriau priešinasi sukimui). Tačiau verta tai įsidėmėti ir dar kartą, dar tiksliau apibrėžti paprastojo lenkimo sąlygas, jau kartą išvardytas 8.2 poskyryje, atsakant į klausimą, ar gali būti paprastasis lenkimas, kai sijos skerspjūvis asimetriškas.

Šlyties centrą nesunku nustatyti, kai plonasienė sija sudaryta iš dviejų plonų juostų: tada šis centras yra abiejų skerspjūvio dalių ašių sankirtos taškas (8.32 pav.).

8.32 pav.

Baigta 234psl.

9. SIJŲ DEFORMACIJOS IR POSLINKIAI

9.1. Deformacijos. Kreivis

Kadangi sijos (ar kito lenkiamo strypo) skerspjūviuose yra ir normalinių, ir tangentinių įtempimų, tai yra ir juos lydinčių tiek linijinių, tiek ir kampinių (šlyties) deformacijų.

Tempiamo strypo geometrinius pokyčius labai aiškiai nusako viena - linijinė (išilginė) deformacija: kuo daugiau strypas tempiamas, tuo labiau jis ištįsta, tuo didesnė yra jo išilginė deformacija ε. Sukamo strypo deformavimosi intensyvumą panašiai nusako santykinis sąsūkis θ. Pravartu turėti panašų dydį ir sijos (lenkiamo strypo) geometrinių pokyčių intensyvumui apibendrintai įvertinti. Toks dydis galėtų būti laikomas apibendrintąja sijos deformacija. Kuo stipriau sija lenkiama, tuo labiau ji išlinksta, tuo labiau padidėja jos kreivis. Išlinkusio strypo ašies kreivis ir yra apibendrintoji sijos ar kito lenkiamo tiesaus strypo deformacija. Jo išraišką jau žinome, žr. (8.3):

( ) ( )( )

EIzM

zz −==

ρχ

1. (9.1)

Jeigu būtų lenkiamas ne tiesus, bet kreivas strypas, tai šia formule reiškiamas dydis χ atitiktų ne patį strypo ašies kreivį, bet jau esamo (pradinio) kreivio prieaugį. Sandauga EI yra lenkiamasis (sijos) skerspjūvio standis, analogiškas tempiamajam (2.4 posk.) arba sukamajam (7.5 posk.).

Greta šios apibendrintosios deformacijos, greta kreivio dažnai tenka nagrinėti atskirų sijos sluoksnių išilgines deformacijas, kurias su kreiviu sieja geometrinis ryšys, žr. (8.1):

yχε −= . (9.2) Kuo toliau nuo neutraliosios linijos yra nagrinėjamasis sluoksnis (kuo didesnė jo koordinatės y

reikšmė), tuo didesnė išilginė deformacija, t.y. tuo daugiau sluoksnis pailgėja arba (kai ε<0) sutrumpėja. Tiek kreivis, tiek ir išilginė sluoksnių deformacija yra susiję su normaliniais įtempimais.

Tangentiniai įtempimai daugeliu praktiškų paprastojo lenkimo atvejų yra palyginti maži, todėl dažniausiai nereikšminga yra ir dėl jų atsirandanti šlyties deformacija. Šlyties deformacijos įtaka kiek reikšmingesnė, kai sija palyginti trumpa (kai jos ilgis mažiau kaip 10 kartų didesnis už skerspjūvio aukštį.

9.2. Poslinkiai: įlinkiai ir skerspjūvių posūkiai

Sijai linkstant, jos taškai pasislenka. Sijos išilginės ašies taškai pasislenka statmena ašiai kryptimi, o skerspjūviai, pasilikdami (pagal plokščiųjų pjūvių hipotezę) statmeni ašiai, pasisuka (9.1 pav.). Taigi, pastebime dvejopus sijos poslinkius - linijinius ir kampinius.

Linijinis sijos skerspjūvio svorio centro poslinkis kryptimi, statmena sijos išilginei ašiai, vadinamas įlinkiu.

9.1 pav.

Įlinkį, nustatomą skerspjūvio ašies y kryptimi, žymime raide v. Įlinkį laikome teigiamu, kai skerspjūvio centras pasislenka teigiamos skerspjūvio ašies kryptimi (horizontalioje sijoje - žemyn, kaip parodyta 9.1 paveikslėlyje). Deformuotoji sijos ašis dažnai vadinama įlinkių kreive.

Kampinis sijos skerspjūvio poslinkis, šio skerspjūvio pasisukimo apie neutraliąją liniją kampas vadinamas skerspjūvio posūkiu arba deviacija.

Šį kampinį poslinkį žymime raide ϕ. Tokį pat kampą ϕ su pradine išilgine sijos ašimi sudaro ir įlinkių kreivės liestinė ties nagrinėjamuoju skerspjūviu (9.1 pav.).

Įlinkiai ir posūkiai nagrinėjami koordinačių z - v sistemoje. Kadangi ši sistema yra kairinė (nuo teigiamos abscisių z ašies link teigiamos ordinačių v ašies sukamasi ne prieš laikrodžio rodyklę, o atvirkščiai), tai ir kampo ženklo taisyklė yra atvirkščia negu įprastoje dešininėje koordinačių sistemoje: posūkis laikomas teigiamu, kai skerspjūvis pasisuka pagal laikrodžio rodyklę (9.2 pav.).

9.2 pav.

Nagrinėdami dviejų beveik gretimų (nutolusių atstumu dz) skerspjūvių poslinkius (9.3 pav.), labai paprastai gauname diferencialinį ryšį tarp įlinkių ir skerspjūvio posūkių (kai dz labai mažas, galime teigti, kad įlinkių kreivės liestinė sutampa su kreivės lanku):

ϕϕ ≈= tgdzdv

, (9.3)

pastarasis tangento prilyginimas pačiam kampui įmanomas, nes, galiojant poslinkių mažumo prielaidai, nagrinėjamieji kampai yra labai labai maži. Taigi, (9.3) priklausomybė reiškia, kad skerspjūvio posūkis (deviacija) yra lygus įlinkio pirmajai išvestinei pagal išilginę sijos ašį.

9.3 pav.

Kitą diferencialinį ryšį gauname, palyginę turimą kreivio išraišką (9.1) su matematinės analizės teikiama linijos kreivio išraiška:

232

2

2

1

+

=

dzdvdz

vd

χ .

Kadangi įlinkių kreivės atveju dydis dv/dz=ϕ, palyginus su 1, yra labai mažas, jį galime atmesti, tada pastarojo reiškinio vardiklis prilygsta vienetui, ir apytiksliai

2

2

dzvd

=χ , (9.4)

sijos kreivis yra lygus įlinkio antrajai išvestinei pagal išilginę sijos ašį. Priklausomybės (9.3) ir (9.4) papildo rinkinį diferencialinių ryšių tarp lenkiamo strypo parametrų,

pradėtą 1.4 poskyrio formulėmis (1.2)-(1.4). Suderinę priklausomybes (9.3), (9.4) su (9.1), (1.2), (1.3) ir (1.4), gauname ištisą diferencialinių

priklausomybių seką - nuo įlinkio iki apkrovos intensyvumo. Iš pradžių padauginame abi priklausomybės (9.3) puses iš sijos skerspjūvio standžio EIy po to gautąjį reiškinį paeiliui diferencijuojame pagal išilginę sijos ašį z - vieną kartą, antrą kartą, trečią:

.

,

,

,

2

2

3

3

4

4

2

2

3

3

2

2

qdzdQ

dzMd

dzdEI

dzvdEI

Qdz

dMdzdEI

dzvdEI

MdzdEI

dzvdEI

EIdzdvEI

=−=−==

−=−==

−==

=

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

Šios priklausomybės padeda nustatyti atskirų parametrų pasiskirstymo savybes (jų diagramų savybes). Pavyzdžiui, panaudoję tą žinomą sąlygą, kad funkcijos ekstremumo vieta yra ten, kur funkcijos pirmoji išvestinė prilygsta nuliui, galime konstatuoti, kad ekstremalus įlinkis yra ties ta vieta, kur skerspjūvio posūkis ϕ=0, ekstremalus posūkis - kur M=0 ir t.t.

9.3. Įlinkių kreivės lygtis

Sulyginę kreivio išraiškas (9.4) ir (9.1), gauname

EIzM

dzvd )(2

2

−= ,

arba

)(2

2

zMdz

vdEI −= . (9.5)

Šis reiškinys paprastai vadinamas apytiksle diferencialine įlinkių kreivės lygtimi. Reikia nepamiršti, kad funkcija M(z) retai kada yra viena ir ta pati visai sijai, visam lenkiamo strypo ilgiui. Dažniausiai šios funkcijos išraiška tinka tik tam tikram sijos ilgio ruožui; perėjus į kitą ruožą, pakinta funkcijos M(z) analitinė išraiška, taigi pakinta ir įlinkių kreivės lygtis. Todėl vienos sijos įlinkių kreivę dažniausiai tenka aprašyti ne viena, o keliomis diferencialinėmis lygtimis, t.y. atskira lygtimi kiekviename ruože.

Diferencialinė įlinkių kreivės lygtis yra paprasta, lengvai parašoma (šiokių tokių keblumų gali sukelti tiktai lenkimo momento, kaip abscisės z funkcijos, išreiškimas). Tačiau praktiniams skaičiavimams ji nėra paranki, geriau turėti ne diferencialinę lygtį. To norėdami, (9.5) lygtį integruojame ir visų pirma gauname posūkių (deviacijų) lygtį:

∫ +−== CdzzMdzdvEIzEI )()(ϕ . (9.6)

Antrą kartą integravę, gauname jau nediferencialinę įlinkių kreivės lygtį:

∫∫ ++−= DCzdzzMdzzEIv )()( . (9.7)

Šiose lygtyse C ir D yra integravimo konstantos, kurių reikšmes nustatyti galima iš kraštinių sąlygų. Dažniausiai pasitaikančios sijų įlinkių kreivių integravimo kraštinės sąlygos parodytos 9.4 paveikslėlyje. Jos pagrįstos atramų savybėmis (ties standžių įtvirtinimu skerspjūvis nėkiek nepasisuka, (ϕa=0; atramos neleidžia skerspjūviui pasislinkti, va=0, vi=vj=0) ir sijos ašies tolydinumo savybe (abiejų ruožų, L1 ir L2, gretimi skerspjūviai ties ruožų sandūra pasislenka ir pasisuka vienodai, todėl iš skirtingų dviem ruožams skirtų lygčių gautos įlinkių ir posūkių reikšmės ties ta sandūra turi būti lygios).

9.4 pav.

Lygtyje (9.7) yra dvi nežinomos integravimo konstantos. Jeigu sijoje yra n ruožų su skirtingomis M(z) išraiškomis, tai įlinkių kreivės lygčių yra irgi n, o konstantų 2n. Tačiau, kaip matyti iš 9.4 paveikslėlio, kiekvienam ruožui galima parašyti po dvi kraštines sąlygas, iš viso 2n kraštinių sąlygų, t.y. pakankamai sąlygų visoms integravimo konstantų reikšmėms nustatyti.

Įlinkių kreivės diferencialinių lygčių sudarymas ir integravimas atima nemaža laiko, todėl tokias lygtis formuoti racionalu tik tada, kai reikia nagrinėti visą įlinkių kreivę arba kai tenka nustatinėti daugelio sijos taškų įlinkius arba daugelio skerspjūvių posūkius.

9.4. Lenkiamo strypo potencinė energija

Lenkimo metu strype (ar strypinėje sistemoje) susikaupusi potencinė deformavimo energija gali būti išreikšta įrąžomis (lenkimo momentais) arba deformacijomis (kreiviais) bei įlinkiais. Vienodo skerspjūvio sijos ruožui, kuriame lenkimo momentas kinta pagal vieną funkciją, šios išraiškos tokios:

∫= iL

i dzzMEI

U0

2 )(2

1, (9.8)

pakeitus M(z)=-EIχ(z)=-EId2v/dz2,

∫∫

== ii LL

i dzdz

vdEIdzEIU0

2

2

2

0

2

22χ . (9.9)

Kai tokių ruožų sijoje ne vienas (arba kai nagrinėjama sistema, susidedanti iš kelių lenkiamų strypų), viso strypo (visos sistemos) potencinė deformavimo energija gaunama, susumavus visų ruožų energiją:

∑=i

iUU . (9.10)

Nors (9.8) ir (9.9) formulės išreiškia tik grynojo lenkimo potencinę energiją, bet jomis galima naudotis ir kitokio paprastojo lenkimo atvejais, nes skersinės jėgos dalis energijos dydyje dažniausiai yra labai maža, galima jos nepaisyti.

Išskyrę lenkiamo strypo dz ilgio elementą, kurio abu galus veikia praktiškai to paties didumo lenkimo momentai M, galime kampą tarp pasisukusių skerspjūvių išreikšti nepakitusio ašies (neutraliojo sluoksnio) ilgio dz ir kreivio spindulio ρ santykiu. Suintegravę šią energiją visame strypo (sijos) ilgyje Li, ir gauname (9.8) išraišką.

Skersinės jėgos įtakojamą potencinę energiją apskaičiuoti yra sudėtingiau. Tam nagrinėjamas elementas, išpjautas keliomis plokštumomis iš sijos: elemento ilgis dz, storis dy, plotis b(y), jo padėtį nusako atstumas y iki neutraliojo sluoksnio. Šio elemento plokštumose veikia tangentiniai įtempimai τ ir τ’, sudarantys dvi jėgų poras. Šių jėgų didumas yra τb(y)y ir τ'b(y)dz. įtempimai τ atlieka darbą poslinkiu γ1dz, įtempimai τ’ - poslinkiu γ2dy. Toliau apskaičiuojamas visas šį elementą deformuojant tangentinių įtempimų atliktas darbas (ir tuo pačiu - sukaupta potencinė energija). Pasinaudojama Huko dėsniu šlyčiai. O viso lenkiamo strypo potencinė energija, sukaupta dėl tangentinių įtempimų (skersinės jėgos) poveikio, išreiškiama integravimu, pasinaudojant tangentinių įtempimų išraiška:

∫ ∫∫∫∫∫ ====A L

kLAL

dzGAQdA

ybS

GIdzQdA

GdzdUU

2)(22

2

2

2

2

22

µτ, (9.11)

čia koeficientas µ, kuriuo iškaitomas nevienodas tangentinių įtempimų pasiskirstymas skerspjūvyje, priklauso tiktai nuo skerspjūvio formos ir matmenų:

∫= max

min )(

2

2

y

yk dyyb

SIAµ . (9.12)

Stačiakampio skerspjūvio µ=1,2, skritulinio skerspjūvio µ=10/9. Kai kada yra nagrinėjama ir sijos pilnutinė potencinė energija Π, kuri susideda iš potencinės

deformavimo energijos U ir apkrovos jėgų Fi potencinės energijos. Pastaroji energijos dalis yra neigiama, nes, sijai grįžtant į pradinį būvį, apkrovos jėgos irgi grįždamos atlieka neigiamą darbą. Taigi,

∑=

−=Πn

iiivFU

1, (9.13)

da vi - jėgos Fi pridėties taško poslinkis jėgos veikimo kryptimi, o pasinaudodami (9.9) išraiška galime ir energijos dalį U išreikšti poslinkiais.

Mechanikoje yra žinomas potencinės energijos stacionarumo principas, šiuo konkrečiu atveju - sijos pilnutinės potencinės energijos minimumo principas, kuris teigia, kad

jeigu sija yra pusiausvira, tai visos sijos potencinė energija Π yra minimali. Minimumo (stacionarumo) sąlygos gaunamos, prilyginus nuliui energijos Π dalines išvestines

pagal nežinomuosius poslinkius:

. ..., 2, 1, ,0 nivi

==Π

ϑϑ

(9.14)

Šio ekstreminio energetinio principo taikymą parodysime vėliau.

9.5. Sijų poslinkių skaičiavimo būdai

Sijų poslinkius (įlinkius ir skerspjūvių posūkius) apskaičiuoti tenka, kai sprendžiami sijų standumo klausimai - pavyzdžiui, kai norima užtikrinti, kad sija, veikiama apkrovų, įlinks ne per daug. Juos apskaičiuoti galima įvairiais būdais, Kai kuriuos jų čia: Įlinkių kreivės lygties naudojimas. Kai jau turime lygtis, gautas diferencialinių lygčių integravimo

keliu (pagal 9.3 poskyrį), nustatyti bet kurio sijos taško įlinkį ar skerspjūvio posūkį nesunku - reikia tiktai į tą lygtį įrašyti nagrinėjamo skerspjūvio koordinatę z. Jau minėjome,kad šis būdas racionalus tik tais atvejais, kai reikia apskaičiuoti daugelio sijos skerspjūvių poslinkius. Energetiniai poslinkių skaičiavimo būdai. Daug būdų yra pagrįsta energetiniais mechanikos

principais. Jie naudojami sudėtingų sistemų poslinkiams skaičiuoti ir nagrinėjami statybinės mechanikos kurse. Pora paprastesnių būdų, pagrįstų potencinės deformavimo energijos savybe, mūsų aptariami 9.6 poskyryje,

Moro formulės taikymas. Sijos poslinkis gali būti gana paprastai apskaičiuotas, pritaikius vadinamąjį Moro integralą. Grafiniai - analitiniai poslinkių skaičiavimo budai. Grafiniai būdai yra vaizdūs. Jų žinomas ne

vienas, tačiau pastaraisiais dešimtmečiais, įsigalėjus kompiuterinei skaičiavimo praktikai, tapo primiršti. Tipinių formulių taikymas. Daugeliui tipiškų apkrovos atvejų yra išvestos poslinkių skaičiavimo

formulės. Sumuodami pagal superpozicijos principą jų išraiškas, galime nustatyti poslinkius ir sudėtingais apkrovos atvejais.

9.6. Energetiniai metodai

Potencinę deformavimo energiją panaudoti poslinkiams skaičiuoti ypač pravartu, kai pakanka apytikslio sprendinio (o tikslų sprendinį gauti sunku arba išvis neįmanoma). Toks apytikslis energetinis poslinkių skaičiavimo būdas yra Relėjaus-Rico metodas.

Relėjaus-Rico metodo algoritmas, skirtas sijų įlinkiams skaičiuoti, yra toks: • Deformuojamos sijos įlinkių pasiskirstymo funkciją (įlinkių kreivės lygtį) aproksimuojame kokia

nors pasirinkta forma — tokia, kad į funkcija tenkintų Jlinkių kreivės kraštines sąlygas. Patogiausios yra polinominės arba trigonometrinės funkcijos su keliais nežinomais koeficientais. Kuo daugiau funkcijos narių ir koeficientų, tuo tikslesnis sprendinys gaunamas, bet, kai skaičiuojama ne kompiuteriu, imama ne daugiau kaip du — trys nežinomi koeficientai.

• Tinkamai parinkę įlinkių funkciją, suradę jos antrąją išvestinę d2v/dz2, (9.9) ir (9.13) formulėmis išreiškiame potencinę deformavimo energiją U ir sijos pilnutinę potencinę energiją

∑∫ −

=Π ii

LvFdz

dzvdEI i

0

2

2

2

2, (9.15)

čia jėgų pridėties taškų (su žinomomis koordinatėmis zi) įlinkius vi išreiškiame taip pat pagal pasirinktąją funkciją tais pačiais koeficientais ai. • Taikydami potencinės energijos minimumo principą, prilyginame pagal (9.14) nuliui dalines

energijos funkcijos Π išvestines pagal kiekvieną koeficientą ai (nes šie koeficientai yra įlinkių funkcijos parametrai). Iš tokiu būdu gautų n lygčių,randame visų koeficientų ai (i=1, 2, ... , n) reikšmes.

• Įrašę koeficientų ai reikšmes į pasirinktąją įlinkių funkciją, pagal ją galime apskaičiuoti bet kurio taško k (su konkrečia koordinate zk) įlinkį vk.

Relėjaus-Rico metodą galima naudoti ir statiškai neišsprendžiamų sistemų poslinkiams skaičiuoti. Remiantis šio metodo idėjomis, pastaruoju metu (atsiradus kompiuteriams) sukurtas baigtinių elementų metodas, skirtas labai sudėtingoms konstrukcijoms skaičiuoti.

Kitas energetinis būdas poslinkiams skaičiuoti grindžiamas vadinamąja Kastiljano teorema: tampraus kūno taško poslinkis pridėtos prie to taško išorinės jėgos kryptimi yra lygus kūno

potencinės deformavimo energijos dalinei išvestinei pagal tą jėgą:

ii F

vϑϑΠ

= . (9.16)

Kai žinome pilnutinės potencinės energijos minimumo principą, Kastiljano teoremą įrodyti labai paprasta: (9.16) formulė gaunama iš pilnutinės potencinės energijos, išreikštos (9.13) formule, stacionarumo sąlygos (9.14). Norėdami šią teoremą įrodyti nepriklausomai, nagrinėjame bet kaip apkrautą tamprų kūną. Jo deformavimo metu susikaupusi potencinė energija gali būti išreikšta apkrovos jėgomis.

Kastiljano teorema suformuluota (ir įrodyta) bet kokiam deformavimo atvejui, ne tik lenkimui. Reikia tiktai mokėti kiekvienu atveju potencinę deformavimo energiją išreikšti. Į tokius bendresnius šios teoremos taikymo atvejus žvilgtersime vėlia, o šiame skyriuje, kalbame tik apie lenkimo poveikį.

Kai taikome Kastiljano teoremą sijos (ar lenkiamų strypų sistemos) poslinkiams skaičiuoti, turime visų pirma išreikšti sijos (sistemos) deformavimo metu sukauptą potencinę energiją U pagal (9.8) bei (9.10) formules, po to šią energijos išraišką diferencijuoti pagal jėgą, pridėtą ieškomo poslinkio kryptimi. Jeigu sijoje tik vienas apkrovos ruožas, gauname:

∫=L

ii dz

FMzM

EIv

0)(1

ϑϑ

. (9.17)

Jeigu ta kryptimi apkrovos jėgos nėra, tenka pridėti fiktyvią, menamą jėgą, kuri vėliau gautoje poslinkio išraiškoje prilyginama nuliui.

9.7. Moro būdas

Pagal Moro būdą sijos poslinkis nustatomas, apskaičiavus tokį integralą:

∫=L

iki dzMMEI

v0

1, (9.18)

čia Mk≡Mk(z) — įlenkimo momentas, atsirandantis sijos ruože nuo tikrųjų apkrovų, Mi≡Mi(z) — vienetinis lenkimo momentas, atsirandantis sijos ruože nuo vienetui lygios jėgos, pridėtos ieškomo poslinkio teigiama kryptimi. Įsidėmėkite: jėga lygi bemačiam vienetui (o ne vienam niutonui ar pan.).

Ši formulė skirta grynajam lenkimui, bet tinka ir daugeliui kitų paprastojo lenkimo atvejų, nes skersinės jėgos įtaka būna nedidelė.

Kai sijoje yra keletas (n) ruožų su skirtingomis Mk išraiškomis (arba kai nagrinėjama kelių lenkiamų strypų sistema), poslinkis gaunamas, susumavus integralus, parašytus visiems n ruožams:

( ) ∫∑=

= jL

ikj

n

j ji dzMM

EIv

01

1. (9.19)

Moro būdas gali būti pagrįstas ir Kastiljano teorema. Jeigu norime apskaičiuoti skerspjūvio posūkį (deviaciją), reikia panaudoti vienetinį lenkimo

momentą, gautą nuo vienetui lygios jėgų poros, pridėtos prie nagrinėjamojo skerspjūvio (vėl — lygios vienetui, bemačiam vienetui!). Jėgų poros veikimo kryptis turi sutapti teigiamo posūkio kryptimi (o 9.2 poskyryje nustatėme, kad teigia posūkio kampas skaičiuojamas laikrodžio rodyklės sukimosi kryptimi).

Poslinkiai Moro būdu nesunkiai apskaičiuojami, kai apkrovos (taigi ir lenkimo momento Mk išraiškos) nėra sudėtingos. Beje, Moro integralas būna taikomas ne tik lenkimo, bet ir kitiems poveikiams.

9.8. Grafinis-analitinis būdas

Kai apkrova sudėtingesnė, sudėtingesnės ir Moro integralų išraiškos, į jų skaičiavimą lengva įvelti klaidų. Čia praverčia vienoks ar kitoks grafinis-analitinis būdas Moro integralams skaičiuoti. Čia pasinaudosime tuo, kad Moro integralas ruože, kuriame vienetinis lenkimo momentas yra tiesinė funkcija, gali būti išreikštas taip:

ick

L

ik MdzMM ω=∫0, (9.20)

t.y. lygus lenkimo momentų Mk diagramos plotui ωk, padaugintam iš vienetinės diagramos M ordinatės Mic, esančios ties ploto ωk svorio centru. Ši taisyklė kartais vadinama Vereščiagino taisykle.

Čia kalbama apie sijos (ar kito lenkiamo strypo) ruožą, kuriame vienetinis lenkimo momentas MI - yra tiesinė funkcija. Akivaizdu, kad nėra tokių ruožų, kur ši funkcija būtų netiesinė (kur M, diagrama būtų parabolės ar kitos kreivės pavidalo), todėl formulė (9.20) tinka visiems sijos ruožams: reikia tik visą siją tinkamai suskaidyti į ruožus, kad nė viename jų neliktų Mi diagrama išreikšta keliomis tiesėmis (laužte).

Kad būtų lengviau nustatyti diagramos Mk ploto ωk dalių svorio centrus, patartina tą plotą suskaidyti į gerai pažįstamas figūras — trikampius (gal ir stačiakampius) bei parabolių nuopjovas. Visas aprašytojo būdo Moro integralui spręsti algoritmas yra toks: • abi diagramas (Mi ir Mk) suskaidome į tokio ilgio ruožus, kad kiekviename ruože Mi diagrama būtų

tiesinė (ne laužtė!); • kiekviename ruože diagramos Mk plotą ωk suskaidome į trikampius (kurių pagrindai yra šio ruožo

diagramos kraštinės ordinatės Mka ir Mkb (9.5 pav.) ir, jeigu diagrama tame ruože parabolinė, — parabolės nuopjovą;

9.5 pav.

• apskaičiuojame ploto ωk sudėtinių dalių ωkj dydžius; trikampės dalies

2LM ij

kj =ω , (9.21)

(čia Mj — kraštinė ruožo ordinatė, tapusi trikampio pagrindu, pavyzdžiui, 9.5 paveikslėlio diagramos daliai ωk2 tai būtų Mb), parabolinės dalies

12

3qLkj =ω , (9.22)

(čia q — apkrovos tame ruože intensyvumas); jeigu tarp sudėtinių dalių yra stačiakampis, jo ωk2=MjL, tačiau patartina stačiakampiais nesinaudoti, nes dažniausiai dėl to pasidaro sudėtingesnis trikampių ploto skaičiavimas, nebetinka (9.21) formulė;

į formules (9.21) ir (9.22) dydžiai Mj ir q įeina su savo ženklais, todėl ploto dalys ωkj gali būti ir neigiamos; • nustatome kiekvienos ploto dalies ωkj svorio centro Cj padėtį; jeigu buvome plotą suskaidę į

rekomenduotus trikampius ir parabolės nuopjovas, tai jų svorio centrų padėtys labai aiškios: trikampių centrai yra per atstumą L/3 nuo trikampio pagrindo Mj, parabolės nuopjovos — ruožo vidury (žr. 9.5 pav.);

• ties kiekvienos ploto dalies svorio centru Cj apskaičiuojame diagramos Mi ordinatę Micj ties trikampio centru ta ordinatė

32 ibia

icjMMM +

= , (9.23)

(čia Mia — ordinatė ties trikampio pagrindu Ma, Mib — ties trikampio viršūne, pavyzdžiui, 9.5 paveikslėlio diagramos daliai ωk2 ordinatės Mia ir Mib susikeistų vietomis); ties parabolės nuopjovos centru (ruožo viduryje) ordinatė

2ibia

icjMMM +

= , (9.24)

visos šios ordinatės taip pat gali būti ir teigiamos, ir neigiamos; • atitinkamas diagramos plotų ωkj ir ordinačių Micj reikšmes dauginame ir sandaugas sudedame, tuo

būdu gaudami Moro integralo reikšmę, o padalydami šias sandaugas dar iš atitinkamų skerspjūvių standžių (EI), pagal (9.19) formulę gauname ieškomą poslinkio reikšmę:

( )∑=

=n

j j

icjkji EI

Mv

1

ω, (9.25)

jeigu visuose ruožuose skerspjūvių standžiai vienodi (EI=const), šį daliklį galima iškelti prieš sumos ženklą (pirma sudėti, po to dalyti).

Ta pati (9.25) formulė tinka ir skerspjūvio posūkiui skaičiuoti — tiktai vienetinė diagrama turi būti gauta nuo vienetinio apkrovos momento.

Grafinis-analitinis būdas ypač praverčia, kai sijos apkrova (ir tuo pačiu diagrama Mk) sudėtinga arba kai nagrinėjama ne sija, o sudėtingesnė lenkiamų strypų sistema. Pagaliau šis būdas tinka ir kitų Įrąžų (ašinių jėgų, skersinių jėgų, sukimo momentų) veikiamiems strypams bei jų sistemoms nagrinėti, atitinkamiems poslinkiams skaičiuoti (apie tai pakalbėsime vėlia). Tačiau vis dėlto daugiausia jis taikomas būtent lenkiamų sistemų poslinkiams skaičiuoti.

9.9. Tipinės sijų poslinkių formulės

Naudojantis bet kuriuo iš metodų, aprašytų 9.5-9.8 poskyriuose, galima ne tik apskaičiuoti konkrečios sijos bet kurį poslinkį, bet ir gauti formules ypatingiems, tipiniams apkrovos atvejams.

Kai galioja superpozicijos principas, t.y. kai sija tampri ir įtempimai proporcingi deformacijoms, o poslinkiai pakankamai maži, tipines formules galime pritaikyti ir labai sudėtingiems, nebe tipiniams poslinkių skaičiavimo uždaviniams spręsti. Visą sijos apkrovą išskaidome į kelias dalines apkrovas, kurių kiekviena atitinka tipinį apkrovos atvejį. Kurio nors ypatingo sijos skerspjūvio poslinkį (įlinkį ar posūkį) apskaičiuojame iš pradžių nuo kiekvienos dalinės apkrovos (pritaikę tipinę formulę), o po to, sudėję visus rezultatus, gauname poslinkį nuo visos apkrovos.

Ypatingaisiais sijos skerspjūviais (skerspjūviais, kurių poslinkiams skiriamos tipinės formulės) paprastai laikomi:

gembinės sijos laisvasis galas, dviatramės sijos tarpatramio vidurio skerspjūvis (įlinkiui skaičiuoti), dviatramės sijos skerspjūviai ties atramomis (posūkiams skaičiuoti).

Būtent ties šiais skerspjūviais būna didžiausios (arba artimos didžiausioms) poslinkių reikšmės, pagal jas galima spręsti sijos standumo klausimus. Šiems skerspjūviams skirtos ir tipinės formulės, surašytos į 9.1 bei 9.2 lenteles.

9.1 lentelė Gembinių sijų poslinkiai

Sijos apkrovimo schema (EI=const) Laisvo galo įlinkis vk Galinis skerspjūvio posūkis (deviacija ϕk)

EIFL3

3

EI

FL2

2

( )EI

aLFa632 −

EI

Fa2

2

( )EI

aLaM f

22 −

EI

aM f

EIqL8

4

EI

qL6

3

( )EI

aLqa24

43 −

EIqa6

3

( )EI

aLaLq24

43 434 +−

( )EI

aLq6

33 −

9.2 lentelė Dviatraminių sijų poslinkiai

Sijos apkrovimo schema (EI=const) Trapatraminio vidurio įlinkis vk

Atraminių skerspjūvių posūkis (deviacijos)

EI

FL48

3

EI

FLi 2

2

=ϕ , ij ϕϕ −=

( )EI

aLFa48

43 22 −

( )EIL

bLFabi 6

+=ϕ ,

( )EIL

aLFabj 6

+−=ϕ

EIqL

3845 4

EI

qLi 24

3

=ϕ , ij ϕϕ −=

( )EI

aLqa96

23 222 − ( )

EILbLqa

i 24

22 +=ϕ ,

( )EIL

aLqaj 24

2 222 −−=ϕ

EILM f

16

2

EI

LM fi 3

=ϕ , EI

LM fj 6

−=ϕ

( )EI

aLM f

164 22 −

( )

EILLbM f

i 63 22 −

=ϕ , ( )

EILaLM f

j 63 22 −

=ϕ

Taikant tipines formules, svarbu be klaidų atsižvelgti į apkrovos kryptį: jeigu nagrinėjamos sijos apkrova yra priešingos krypties, negu nurodytoji formulių lentelėje, tai formulės teikiamą poslinkio reikšmę reikia imti su priešingu ženklu. Reikia įgusti ir racionaliai skaidyti apkrovą; šitokio poslinkių skaičiavimo pavyzdžių pakankamai yra uždavinyne.

9.10. Sijų standumas

Apie sijų standumą sprendžiame iš jų deformacijų bei poslinkių didumo (kuo sija standesnė, tuo šie parametrai mažesni). Žinome, kad šių parametrų reikšmės priklauso nuo medžiagos mechaninių savybių ir nuo skerspjūvių inercijos momentų (nuo skerspjūvių standžių EI), o taip pat nuo sijos ilgio ir apkrovos išdėstymo.

Sijos standumo sąlygos išreiškiamos nelygybėmis, kurios apriboja deformacijas: uεε ≤max , (9.26)

arba poslinkius, dažniausiai įlinkius: uvv ≤max , (9.27)

čia εu ir vu — ribinės reikšmės, kurios nustatomos norminiais dokumentais priklausomai nuo konstrukcijos paskirties. Vietoj pastarojo apribojimo praktiškai vartojamos nelygybės, apribojančios ypatingųjų sijos taškų (gembinės sijos laisvojo galo, dviatramės sijos vidurio ir pan.) įlinkius v*, nes būtent šie iš anksto žinomų taškų įlinkiai dažnai prilygsta maksimaliai reikšmei vmax arba yra artimi jai. Dydis vu norminiuose dokumentuose dažniausiai išreiškiamas sijos ilgio L (ar jos tarpatramio ilgio) tam tikra dalimi, pavyzdžiui, vu=L/300.

Labai dažnai sprendžiame tikrinamąjį sijos standumo uždavinį: bet kuriuo šiame skyriuje aptartu būdu apskaičiuojame ekstreminį (ar artimą jam) įlinkį arba ekstreminę deformaciją ir pažiūrime, ar gautoji reikšmė tenkina (9.26) ar (9.27) sąlygą. Beje, maksimali linijinė deformacija yra sijos kraštiniame sluoksnyje ties tuo skerspjūviu, kuriame veikia ekstreminis - (maksimalus, minimalus) lenkimo momentas, taigi

t

extr

EWM

E== max

maxσε , (9.28)

čia Wt — to skerspjūvio atsparumo momentas, skirtas kraštiniam tempiamajam sluoksniui, skaičiuojamas (6.31) formule. Kai skerspjūvis nėra simetriškas neutraliosios linijos atžvilgiu, reikia nagrinėti du skerspjūvius — su Mmax ir Mmin.

Sijų ribinį būvį dažniausiai lemia stiprumo sąlygos, t.y. pakankamai stipri sija būna ir pakankamai standi. Tačiau, kai vartojamos labai stiprios konstrukcinės medžiagos, lemiama projektavimo sąlyga gali tapti standumo reikalavimas (juoba, kad plienu ir kitų konstrukcinių medžiagų tamprumo modulis praktiškai nekinta, didinant jų stiprumo rodiklius). Tokiais atvejais tenka spręsti projektinį standumo uždavinį.

Jeigu ribojama linijinė deformacija, tai iš (9.26) ir (9.28) sąlygų suformuojama tokia projektinė standumo sąlyga

u

extrt E

MW

ε≥ . (9.29)

Kai ribojamas poslinkis v*, padauginę abi nelygybės (9.27) puses iš skerspjūvio standžio EI, gauname tokią projektinę standumo sąlygą:

( )uEv

EIvI*

≥ , (9.30)

čia suskliaustas dydis (EIv*) gali būti apskaičiuotas bet kuriuo poslinkių skaičiavimo būdu, dar nežinant skerspjūvio standžio, o tą standį apskaičiuosime po to, kai pagal (9.30) sąlygą nustatysime, koks turi būti sijos skerspjūvio inercijos momentas I.

11. SUDĖTINGASIS DEFORMAVIMAS

11.1. Įtempimai bet kuriame sudėtingai deformuojamo tiesaus strypo taške

Lig šiol nagrinėjome strypus, deformuojamus gana paprastai. Tie strypai apkrovų buvo veikiami taip, kad jų skerspjūviuose būdavo tik kuri nors viena įrąža — ašinė jėga, skersinė jėga ar sukimo momentas. Ir tiktai lenkimo atveju strypo (sijos) skerspjūvį veikė dvi įrąžos — lenkimo momentas ir skersinė jėga (tačiau pastarosios įtaka normalinių įtempimų ir deformacijų reikšmėms dažniausiai nedidelė ir nepaisoma). Bet dauguma strypų konstrukcijose yra deformuojami sudėtingiau, jų skerspjūviuose veikia ne po vieną įrąžą, o po kelias. Pats sudėtingiausias atvejis — kai skerspjūvyje veikia visos šešios įrąžos.

Kai kada ir palyginti paprastai apkrautas strypas deformuojasi sudėtingai. Pavyzdžiui, 11.1 paveikslėlyje parodyti strypai, kurių apkrovos jėgos veikia vienoje plokštumoje, yra statmenos strypo ašiai ir kerta ašį, tačiau netenkinama vienintelė paprastojo lenkimo sąlyga — apkrovos jėgų plokštuma nėra svarbiausioji inercijos plokštuma (vadinamasis įstrižojo lenkimo atvejis). Taip apkrauto strypo belinkdama nepasilieka pradinėje jėgų plokštumoje (kaip paprastojo lenkimo atveju), strypas išlinksta sudėtingiau. Prieš pradeda nagrinėti tokio strypo įtempimus bei deformacijas, reikia apkrovas suskaidyti į komponentus, kurie veikia svarbiausiosiose plokštumose. Kitas paprasto apkrovimo pavyzdys parodytas 11.2 paveikslėlyje: koloną veikia vienintelė apkrovos jėga, lygiagretė išilginei ašiai, tačiau jos veikimo linija nesutampa su šia ašimi (vadinamasis ekscentrinis gniuždymas arba, jeigu jėga būtų priešingos krypties, — ekscentrinis tempimas). Ši vienintelė apkrovos jėga sukelia ne ašinę jėgą, bet ir lenkimo momentus abiejų skersinių ašių atžvilgiu — net tris įrąžas, t.y. kolona ne tik gniuždoma, bet drauge ir sudėtingai lenkiama.

11.1 pav.

11.2 pav.

Skirtingos įrąžos atstoja skirtingus normalinių ir tangentinių įtempimų laukus. Kiekvieną jų apskaičiuoti esame išmokę. Kelių įrąžų derinys atstoja labai sudėtingą įtempimų pasiskirstymą. Jo skaičiavimą galime pagrįsti superpozicijos principu (1.7 poskyris) — žinoma, tik tada, kai apkrovos nėra pernelyg didelės — kai tebegalioja proporcingumo dėsnis ir poslinkių mažumo prielaida. Superpozicijos principu pasirėmę, apskaičiuojame įtempimus atskirai nuo kiekvienos įrąžos ir visas gautąsias vektorines įtempimų reikšmes sudedame.

Jau žinome, kad su normaliniais įtempimais susijusios yra tik trys įrąžos — ašinė jėga N ir lenkimo momentai Mx, My. Šių įrąžų atstojami normaliniai įtempimai yra tos pačios krypties vektoriai (visi jie yra lygiagrečiai išilginei strypo ašiai). Todėl bet kuriame skerspjūvio taške k veikiantį normalinį įtempimą apskaičiuojame, sudedami algebrines įtempimų reikšmes (11.3 pav.), gautas (2.1) ir (8.4) formulėmis (pritaikę pastarąją formulę ir lenkimo momentui My):

ky

yk

x

xk x

IM

yI

MAN

++=σ . (11.1)

11.3 pav.

Visos įrąžos ir abi taško koordinatės (xk, yk) gali būti tiek teigiamos, tiek ir neigiamos. Be to, reikia nepamiršti, kad x ir y ašys turi būti svarbiausiosios centrinės skerspjūvio ašys, nes tik tokių ašių atžvilgiu galioja (8.4) formulė.

Su tangentiniais įtempimais susijusios kitos trys įrąžos — sukimo momentas T ir skersinės jėgos Qx, Qy. Tačiau jų atstojamų tangentinių įtempimų vektoriai nėra vienos krypties (11.4 pav.), todėl vektorinės įtempimų sudėties pakeisti algebrine sudėtimi negalima:

'″+″+′= kkkk ττττ . (11.2) Čia kiekvieno vektorinio komponento kryptis yra žinoma, o reikšmės apskaičiuojamos

atitinkamomis formulėmis — pavyzdžiui, formulėmis (7.8) ir (8.7). Viso tangentinio įtempimo τk reikšmė ir kryptis gali būti nustatyta tiktai pagal vektorinės sudėties taisykles (kaip parodyta 11.4 paveikslėliu). Kai kuriuose skerspjūvio taškuose dviejų komponentų (kuriuos atstoja sukimo momentas ir viena kuri skersinė jėga) kryptys sutampa, tada šių komponentų vektorinė sudėtis pakeičiama algebrine. Dažnai šie taškai būna vieni iš pavojingiausių skerspjūvyje (nes suminės juose veikiančių tangentinių įtempimų reikšmės būna didžiausios).

11.4 pav.

Įtempimų skaičiavimas nėra savitikslis veiksmas. Įtempimai skaičiuojami tam, kad būtų galima spręsti konstrukcijos stiprumo bei standumo klausimus. Kai strypo apkrovimas ir deformavimas sudėtingi, sudėtingas ir šių klausimų sprendimas. Spręskite juos nuosekliai, pavyzdžiui, tokia eile: suskaidykite visą duotąją apkrovą į dvi sudėtines dalis, kurių viena veikia vienoje svarbiausiojoje

inercijos plokštumoje, kita - kitoje; jėgas, kurių veikimo linijos nesutampa nė su viena šių plokštumų, pakeiskite jėgų projekcijomis į tas plokštumas; kiekvienai svarbiausiajai plokštumai sudarykite skersinių jėgų ir lenkimo momentų diagramas,

atskirai sudarykite ašinių jėgų ir sukimo momentų diagramas; visas tas diagramas drauge nagrinėdami, nustatykite pavojinguosius skerspjūvius; kiekvienam pavojingajam skerspjūviui nustatykite normalinių ir tangentinių įtempimų

pasiskirstymą atskirai nuo kiekvienos įrąžos; nagrinėdami drauge visas įtempimų reikšmes, nustatykite pavojinguosius skerspjūvio taškus; nustatykite kiekvieno pavojingojo taško įtempimų būvį ir parašykite stiprumo sąlygą, kuri yra

paprasta vienašiam įtempimų būviui ir sudėtingesnė (pagrįsta irimo ar plastiškumo hipotezėmis) kitais atvejais; jeigu reikia spręsti standumo klausimus, atskirai kiekvienai svarbiausiajai plokštumai

apskaičiuokite poslinkius ir po to juos visus vektoriškai sudėkite.

11.2. Neutraliosios linijos padėtis

Pakeitę (11.1) išraiškoje paskiro taško k koordinates kintamomis koordinatėmis x, y, gauname viso įtempimų pasiskirstymo lygtį:

xI

My

IM

AN

y

y

x

x ++=σ . (11.3)

Tai yra plokštumos lygtis. Taigi, normaliniai įtempimai bet kaip (net ir labai sudėtingai) veikiamo tiesaus strypo skerspjūvyje pasiskirsto pagal tiesinį dėsnį, o jų ak-sonometrinė diagrama vaizduojama plokštuma (11.5 pav.).

11.5 pav.

Normalinių įtempimų diagramos plokštumos ir skerspjūvio plokštumos sankirta yra neutralioji linija. Iš 11.5 paveikslėlio matyti, kad normaliniai įtempimai yra didesni tuose skerspjūvio taškuose, kurie labiau nutolę nuo neutraliosios linijos. Didžiausios normalinių įtempimų reikšmės yra taškuose, labiausiai nutolusiuose nuo šios linijos. Kadangi šie taškai dažnai yra pavojingiausieji taškai, lemiantieji viso strypo stiprumą, mums rūpi juos nustatyti. Kai žinome neutraliosios linijos padėtį, pakanka nubrėžti skerspjūvio kontūro liestines, lygiagretes neutraliajai linijai (11.6 pav.): jų lietimo taškai ir yra ekstreminių normalinių įtempimų taškai. Taigi, visų pirma reikia mokėti nustatyti neutraliosios linijos padėtį.

11.6 pav.

Neutralioji linija — tai ta skerspjūvio linija, kurioje normaliniai įtempimai lygūs nuliui. Todėl, prilyginę nuliui normalinių įtempimų išraišką (11.3), gauname bendrąją neutraliosios linijos lygtį:

0=++ xI

My

IM

AN

y

y

x

x . (11.4)

Ši linija yra tiesė, kuri dalija skerspjūvį į dvi dalis: vienoje iš jų normaliniai įtempimai teigiami (tempiamoji dalis), kitoje — neigiami (gniuždomoji dalis).

Jeigu ašinė jėga N=0 (pavyzdžiui, įstrižojo lenkimo atveju), tiesės lygtyje (11.4) laisvasis narys prilygsta nuliui, o tai reiškia, kad tiesė eina per koordinačių pradžią, t.y. per skerspjūvio svorio centrą. Šiuo atveju neutraliosios linijos lygtį galime išreikšti ir taip:

xIMIM

yyx

xy−= . (11.5)

Abu lenkimo momentai (Mx ir My) gali būti atstojami vieno M, kuris gaunamas vektorine abiejų lenkimo momentų, kurių kiekvienas žymimas vektoriumi, statmenu atitinkamai ašiai, sudėtimi (11.7 pav.). Šio suminio lenkimo momento veikimo plokštuma gali būti pavadinta jėgų plokštuma, o jos sankirta su skerspjūvio plokštuma —jėgų linija. Skirtingai nuo paprastojo lenkimo (žr. 8.2 poskyrį), čia

neutralioji linija dažniausiai nėra statmena jėgų linijai. Ji nukrypsta nuo jėgų linijos statmens ab (11.7 pav.) taip, kad priartėja prie skerspjūvio ašies su

minimaliu inercijos momentu. Neutraliosios linijos lygtyje (11.5) tiesės krypties koeficientas išreiškia tangentą kampo ϕ, kurį ši

tiesė sudaro su x ašimi (11.7 pav.):

ϕtgIMIM

yx

xy =− .

11.7 pav.

Linijos ab, statmenos jėgų linijai, krypties koeficientas

x

y

MM

tg −=α ,

taigi

αϕ tgIItg

y

x= .

Iš šios lygybės, susiejančios neutraliosios linijos krypties kampą ϕ su, linijos statmens krypties kampu α, darome tokias išvadas: kai Ix=Iy, kampai ϕ=α, t,y. neutralioji linija statmena jėgų linijai (taip būna ir paprastojo lenkimo

atveju, kai α=0 arba α=π/2; kai Ix>Iy (Iy=Imin), kampas ϕ>α, o kai Ix<Iy (Ix=Imin), kampas ϕ<α, t.y. abiem šiais atvejais neutralioji

linija pasisuka statmens link ašies su Imin. Kai ašinė jėga N≠0 ir todėl tiesės lygties (11.4) laisvasis narys nelygus nuliui, neutralioji linija

neina per skerspjūvio svorio centrą. Jeigu ašinė jėga teigiama, skerspjūvio svorio centras yra tempiamojoje dalyje, jeigu neigiama — gniuždomojoje.

Tokį deformavimą (kai N≠0, Mx≠0, My≠0) gali sukelti ir viena vienintelė jėga F, lygiagretė strypo išilginei ašiai, bet atitolusi nuo šios ašies (11.8 pav.):

=

==

.

,,

fy

fx

FxM

FyMFN

(11.6)

11.8 pav.

Net ir tada, kai apkrova yra sudėtinga (veikia daug ir įvairiai nukreiptų jėgų), skerspjūvio normaliniams įtempimams išreikšti galime naudotis vienos jėgos įvaizdžiu: žinodami N, Mx, My, iš (11.6) lygybių apskaičiuojame atstojamosios jėgos F didumą F=N ir tariamojo šios jėgos pridėties taško koordinates

NM

x yf = ,

NMy x

f = . (11.7)

Pasinaudoję (11.6) išraiškomis, pertvarkome neutraliosios linijos lygtį (11.4) tokiu būdu:

0=++= yI

Fyx

IFx

AF

x

f

y

fσ .

Iškėlę prieš skliaustus F/A ir panaudoję inercijos spindulio kvadrato išraišką Ix/A=ix2, gauname:

01 22 =

++= y

iy

xix

AF

x

f

y

fσ . (11.8)

Kadangi F/A≠0, tai reiškinys tarp skliaustų lygus nuliui:

01 22 =++ yiy

xix

x

f

y

f . (11.9)

Šią lygybę galime pertvarkyti taip, kad ji įgytų ašinės tiesės lygties pavidalą:

1=+yx a

yax

. (11.10)

Pastarojoje išraiškoje

f

yx x

ia

2

−= , f

xy y

ia2

−= . (11.11)

Kaip matyti iš 11.9 paveikslėlio, ax ir ay yra koordinatės taškų, kuriuose neutralioji linija kerta atitinkamą ašį. Kadangi ix ir i2

y visada teigiami, iš (11.11) galime daryti išvadą, kad ax yra visada priešingo ženklo negu xf, ay — priešingo negu yf. Tai reiškia, kad

neutralioji linija kerta skerspjūvio kvadrantą, esantį kryžmiškai priešingoje pusėje negu jėgos F pridėties taškas.

11.9 pav.

11.3. Skerspjūvio branduolys

Plytų mūras ir kai kurios konstrukcinės medžiagos gana gerai priešinasi gniuždymui ir beveik visiškai nelaiko tempimo jėgų — pleišėja, trūksta. Taigi, inžinierius turi stengtis, kad iš tokios medžiagos padarytos konstrukcijos skerspjūviuose nebūtų tempiamųjų įtempimų, kad visi įtempimai skerspjūvyje būtų vieno (neigiamo) ženklo. Kitaip tariant, neutralioji linija neturėtų kirsti skerspjūvio kontūro, turėtų eiti už skerspjūvio ribų.

Kai neutralioji linija toli nuo skerspjūvio svorio centro (nuo koordinačių pradžios), jos sankirtos su ašimis koordinatės ax, ay yra didelės. O iš (11.11) matyti, kad šios koordinatės yra tuo didesnės, kuo mažesnės yra jėgos pridėties taško koordinatės xf, yf. Taigi, konstruktorius turi siekti, kad jėga F būtų pakankamai arti skerspjūvio svorio centro — tik tada skerspjūvio nekirs neutralioji linija. Vienintelė lygiagretė strypo ašiai apkrovos jėga F (arba strypą veikiančių apkrovos jėgų atstojamoji) turi būti pridėta vadinamajame skerspjūvio branduolyje.

Skerspjūvio branduolys yra ta skerspjūvio sritis apie svorio centrą, kurioje pridėjus ašiai lygiagretę jėgą normaliniai įtempimai visame skerspjūvio plote būna vienodo ženklo.

Skerspjūvio branduolio kontūro taškui rasti naudojame formules, gautas iš (11.11):

x

yf a

ix

2

−= , y

xf a

iy2

−= . (11.12)

Šiose formulėse ax ir ay yra koordinatės tų taškų, kuriuose su ašimis susikerta skerspjūvio branduolio liestinė.

Įsivaizduojame, kad ta skerspjūvio liestinė yra tariamoji neutralioji linija. Jeigu neutraliosios linijos padėtis būtų tokia, tai ji atitiktų skerspjūvio branduolio apibrėžimą ir taškas, apskaičiuotas (11.12) formulėmis ir žymintis tariamosios jėgos pridėties padėtį, būtų branduolio taškas. Jeigu neutralioji linija pasislinktų nors kiek link centro (ir jau ne liestų, bet kirstų skerspjūvio kontūrą), įtempimai skerspjūvyje taptų dvejopo ženklo ir (11.12) formulėmis nustatytas taškas nebeatitiktų branduolio sąvokos, būtų už branduolio ribų. Taigi bet kuri liestinė yra ribinė neutraliosios linijos padėtis, atitinkanti ribinį skerspjūvio branduolio tašką, t.y. jo kontūro tašką.

Apjuosę visą skerspjūvio kontūrą virtine liestinių (jų gali būti kelios ar net labai daug) ir nustatę pagal jas skerspjūvio branduolio kontūro taškus bei nuosekliai sujungę juos linijomis, gauname branduolio figūrą.

Jeigu skerspjūvio kontūras kampuotas, jo bet kurį kampą (viršūnę) liečiančių tiesių yra begalinė daugybė. Visų šių liestinių nagrinėti nėra reikalo, nes galima parodyti, kad liestinei besisukant apie kontūro viršūnę k (11.10 pav.) branduolio kontūro taškas slenka tiese, o šiai tiesei nubrėžti pakanka žinoti tik du taškus. Mat, visos per tašką k einančios liestinės (L1, ..., L3, ...) tenkina tokio pavidalo neutraliosios linijos lygtį:

01 22 =++ kx

fk

y

f yiy

xix

,

laikydami kintamaisiais dydžiais branduolio kontūro taškų (1,..., 3,...) koordinates xf ir yf, matome, kad šiuos taškus sieja taip pat tiesės lygtis:

01 22 =++ fx

kf

y

k yiyx

ix

.

Iš to darome praktišką išvadą: nagrinėtinos yra tik tos kampuoto skerspjūvio kontūro liestinės, kurios kontūrą liečia ne mažiau kaip dviem taškais; kiekviena tokia liestinė atitinka skerspjūvio branduolio kontūro viršūnę, o šie kampiniai taškai sujungiami tiesėmis (11.11 pav.).

11.10 pav.

11.11 pav.

Verta įsidėmėti kai kurių paprastos formos skerspjūvių branduolių pavidalą. Stačiakampio skerspjūvio branduoliui nustatyti naudojame keturias skerspjūvio liestinės, kurios

visos sutampa su stačiakampio kraštinėmis (11.12 pav.). Šių liestinių sankirtos su ašimis x ir y taškų koordinatės:

ax1=h/2, ay1=∞, ax2=∞, ay2=b/2, ax3=-h/2, ay3=∞, ax4=∞, ay4=-b/2. Kadangi

1212/ 23

2 hbh

bhAIi x

x === ir 12

22 by =i ,

tai (11.12) formulėmis apskaičiuotos branduolio viršūnių koordinatės yra tokios:

012/2

1 =∞

−=bx f ,

62/12/2

1h

hhy f −=−= ,

( ) 62/12/2

2b

bbx f =−

−= , 012/2

2 =∞

−=hy f ,

03 =fx , 63hy f = ,

64bx f −= , 04 =fy .

Sujungę šiuos taškus tiesėmis, gauname rombą (11.12 pav.).

11.12 pav.

Skritulinio skerspjūvio branduolys yra taip pat skritulio pavidalo (11.13 pav.). Branduolio spindulys pagal (11.12) apskaičiuojamas taip:

86424

2//

2

4 ddd

dd

AIxf =

⋅⋅⋅⋅

==π

πρ ,

o branduolio skersmuo lygus ketvirtadaliui skerspjūvio skersmens.

11.13 pav.

Įsidėmėkite tokias skerspjūvių branduolių savybes: branduolys visada yra iškila figūra; branduolys gali būti ir tuščioje skerspjūvio vietoje, skylėje, jeigu ta skylė yra ties skerspjūvio centru

(11.14 pav.); kiekvieną tiesią skerspjūvio kraštinę atitinka branduolio viršūnė (kampas) priešingame skerspjūvio

kvadrante, o kiekvieną skerspjūvio išorinio kontūro viršūnę (kampą) — branduolio tiesi kraštinė, kertanti priešingą skerspjūvio kvadrantą.

11.14 pav.

11.4. Tiesaus strypo stiprumas

Bet kurio konstrukcijos elemento stiprumas priklauso nuo įtempimų. Nors tiesus strypas deformuojamas ir sudėtingai, jo visuose ar kai kuriuose taškuose įtempimų būvis gali būti vienašis, o tokiu atveju stiprumo sąlyga būna paprasta. Vienasis įtempimų būvis būna tame skerspjūvio taške, kuriame nėra tangentinių įtempimų arba šie įtempimai labai maži, nepaisytini. Jeigu skerspjūvyje nėra sukimo momento ir skersinių jėgų, nėra ir tangentinių įtempimų. Labai dažnai skersinių jėgų atstovaujami tangentiniai įtempimai yra maži ten, kur normaliniai įtempimai didžiausi (pavojinguosiuose taškuose). To negalima pasakyti apie sukimo momentą — jo atstojamų tangentinių įtempimų didžiausios reikšmės yra pakraštiniuose skerspjūvio taškuose, kuriuose ir normaliniai įtempimai ekstremalūs, taigi čia tangentinių įtempimų nepaisyti nebegalima. Todėl tiesių strypų stiprumo skaičiavimo metodika išskirtina į du atvejus:

• τ=0 arba τ≈0 (o taip būna, kai T=0), t.y. vienašio įtempimų būvio atvejis; • τ≠0 (T≠0), t.y. dviašio įtempimų būvio atvejis. Vienašio įtempimų būvio atveju strypo stiprumą lemia skerspjūvio taškai su ekstremaliomis

normalinių įtempimų reikšmėmis. Taškai su tokiais įtempimais yra labiausiai nutolę nuo neutraliosios linijos (11.15 pav.): vienoje pusėje, taške k, įtempimai σk=σmax, kitoje pusėje, taške j, įtempimai σj=σmin. Šių pavojingųjų taškų padėčiai nustatyti ir praverčia informacija iš 11.2 poskyrio apie neutraliosios linijos padėtį. Pavojinguosiuose taškuose stiprumo sąlygos tokios:

≤++=

≤++=

.

,

cky

yk

x

xj

tky

yk

x

xk

RxI

My

IM

AN

RxI

My

IM

AN

σ

σ

. (11.13)

11.15 pav.

Taigi, vienašio įtempimų būvio atveju daugiausia triūso reikia pavojingųjų taškų (j ir k) koordinatėms nustatyti, o po to stiprumo sąlygų (11.13) taikymas gana paprastas.

Stiprumo skaičiavimas paprastesnis, kai vienašis įtempimų būvis nagrinėjamas stačiakampiame skerspjūvyje arba kitokiame skerspjūvyje su keturiais simetriškai išdėstytais kampais (11.16 pav.). Šiuo atveju aišku, kad pavojingieji taškai yra du iš keturių kampinių taškų. O visų keturių kampinių taškų koordinatės yra ekstremalios ir skiriasi tik ženklais: ±b/2, ±h/2 (xmax, xmin, ymax, ymin). Taigi, visuose keturiuose kampuose įtempimų formulės (11.1) komponentų absoliutinės reikšmės vienodos, skiriasi tik komponentų ženklai (viename kampe +, priešingame -). Žinodami, kad Ix/ymax=Wx, Iy/xmax=Wy, galime stiprumo sąlygas (11.13) šiam atvejui pertvarkyti taip:

≤

+−=

≤++=

.

,

cy

y

x

xj

ty

y

x

xk

RWM

WM

AN

RWM

WM

AN

σ

σ

. (11.14)

Šios formulės tinka tik simetriškiems keturkampiams skerspjūviams. Šios sąlygos atitinka kampinius skerspjūvio taškus su σmax ir σmin, nors tų taškų koordinatės sąlygose ir nėra panaudotos.

11.16 pav.

Jeigu reikia nustatyti, kuris gi kampas yra labiausiai tempiamas, galima pasinaudoti kokybinio įtempimų pasiskirstymo schema. Šioje schemoje nubraižomas skerspjūvis, jo svarbiausiosios centrinės ašys ir kiekviename skerspjūvio kvadrante pažymima, kokio ženklo (+ ar -) įtempimai dėl kiekvienos įrąžos ten veikia. Jeigu N>0, tai visuose kvadrantuose σ>0 (pažymimas +), o jeigu N<0, tai visuose kvadrantuose σ<0 (pažymimas -). Jeigu Mx>0, tai šio lenkimo momento tempiami sluoksniai ir σ>0 (+) yra kvadrantuose šalia teigiamos y ašies, o gniuždomi ir σ<0 (-) — priešingoje pusėje. Analogiškai žymimi ir lenkimo momento My atstojamų įtempimų ženklai. Pavyzdžiui, atvejui, kai N<0, Mx>0, My<0, kokybinio įtempimų pasiskirstymo schema parodyta 11.17 paveikslėlyje. Iš šios schemos matyti, kad σmin vieta yra viršutinis kairysis kampas (visi įtempimų komponentai vienodo ženklo, neigiami), o σmax - kryžmiškai priešingas kampas.

11.17 pav. Pagal (11.14) stiprumo sąlygas nesunkiai sprendžiami tikrinamieji stiprumo uždaviniai. O

sprendžiant projektinius uždavinius dažna kliūtis būna tai, kad stiprumo sąlygoje yra ne vienas, bet du ar net trys nežinomi (ieškomi) skerspjūvio rodikliai — Wx, Wy ir A. Dažnai tenka žinoti (arba spėti) projektuojamo skerspjūvio rodiklių santykius ir išreikšti rodiklius kokiu nors vienu ieškomu parametru. Pavyzdžiui, projektuotojui nurodoma, kad stačiakampio skerspjūvio viena kraštinė turi būti dukart ilgesnė už kitą: a=2b, iš to gaunama Wx=(2b)2b/6=0,667b3, Wy=0,333b3, Wx=2Wy. Kai skerspjūvis pasirenkamas iš standartinių profilių lentelės, galima apskaičiuoti, tarp kokių ribų kinta santykis Wx/Wy toje lentelėje (pavyzdžiui, šis standartinių dvitėjų rodiklių santykis kinta maždaug tarp 5 ir 15), ir iš pradžių spėti tą santykį (pavyzdžiui, Wx/Wy=10), o pasirinkus pagal stiprumo sąlygą konkretų profilį, apskaičiuoti tikrąjį santykį ir priartėjimo keliu koreguoti savo sprendinį.

Dviašio įtempimų būvio atveju, t.y. kai skerspjūvyje yra reikšmingų tangentinių įtempimų, stiprumo klausimus sprendžiame, remdamiesi irimo ar plastiškumo hipotezėmis (žr. 5.4 poskyrį). Jau minėjome, kad pavojingųjų taškų įtempimų būvį lemia sukimo momentas - kai T≠0, tangentinių įtempimų nepaisyti negalima. Toliau ir žiūrime atvejus su sukimo momentu.

Jeigu remsimės energetine hipoteze, stiprumo sąlyga, pritaikyta tiesiam strypui, yra (8.19) pavidalo:

Rd ≤+= 22 3τσσ , (11.15) o maksimalių tangentinių įtempimų hipotezė duoda (8.18) pavidalo sąlygą:

Rd ≤+= 22 4τσσ . (11.16) Tenka pagal N, Mx ir My apskaičiuoti normalinius įtempimus pavojingajame taške ir pagal

T, Qx bei Qy — tangentinius įtempimus tame pačiame taške. Įtempimus surandame (11.1) ir (11.2) formulėmis. Įrašę šias įtempimų reikšmes į (11.15) arba (11.16) sąlygas, sprendžiame tikrinamąjį arba projektinį stiprumo uždavinį. Tikrinamąjį uždavinį išspręsti nesunku, tačiau projektinis uždavinys dažnai būna keblus — mat, iš vienos sąlygos tenka nustatyti du ar net tris geometrinius skerspjūvio rodiklius.

Gana paprasta spręsti stiprumo uždavinius, kai strypo skerspjūvis skritulinis. Šiuo atveju visus geometrinius rodiklius galima išreikšti vienu parametru — skerspjūvio skersmeniu. Ir ypač patogu skaičiuoti, kai nėra ašinės jėgos (N=0). Tada abu lenkimo momentus galima sudėti (geometriškai):

22yx MMM += ,

šio suminio lenkimo momento M plokštumoje (11.18 pav.) yra taškai a ir b su didžiausiomis (teigiama ir neigiama) normalinių įtempimų reikšmėmis. Kadangi sukimo momento atstojamų tangentinių įtempimų didžiausios reikšmės yra taip pat visuose pakraštiniuose skerspjūvio taškuose (11.19 pav.), taškai a ir b yra pavojingiausieji. Kai ašinės jėgos nėra, |σa|=|σb| tada abiejų šių taškų pavojingumas vienodas. Normalinių įtempimų reikšmė bet kuriame iš šių taškų yra

WMM

WM yx

22 +==σ ,

tangentinių

WT

WT

p 2==τ ,

(prisimename, kad Wp=Wx+Wy, o skritulio Wx=Wy=W ir Wp=2W). Surašę šias reikšmes į energetinę stiprumo sąlygą (11.15), gauname:

( )R

WT

WMM yx

d ≤++

= 2

2

2

22

23σ .

Suprastinus gauname (skrituliniam skerspjūviui!)

RW

TMM yx ≤++ 222 75,0

, (11.17)

o surašę į (11.16), t.y. į sąlygą pagal maksimalių tangentinių įtempimų hipotezę, —

RW

TMM yx ≤++ 222

. (11.18)

Šiose formulėse W — skritulio ašinis atsparumo momentas (formules naudoti galima tik skrituliniam arba žiediniam skerspjūviui).

11.18 pav.

11.19 pav.

Pagal stiprumo sąlygas (11.17) ir (11.18) projektuojami velenai — jie yra ir sukami, ir lenkiami.

Kadangi šitokios stiprumo sąlygos labai patogios projektiniam skaičiavimui, jas naudojame net ir tada, kai į skaičiavimą būtina įtraukti kitas įrąžas — N, Qx, Qy. Visų pirma pagal (11.17) ar (11.18) nustatome W, neatsižvelgdami į tas kitas įrąžas, parenkame skritulio skersmenį d, po to jau sprendžiame tikrinamąjį uždavinį — apskaičiuojame pavojingųjų taškų įtempimus σ ir τ, taikome stiprumo sąlygas (11.15) ar (11.16); jeigu stiprumo sąlygos netenkinamos, skersmenį padidiname ir vėl tikriname, tokiu būdu palaipsniui artėdami prie tinkamo, pakankamo skersmens.

Skritulinis (ir žiedinis) skerspjūvis ypatingas tuo, kad jame sutampa taškai, kuriuose būna didžiausia normalinių įtempimų ir didžiausia tangentinių įtempimų reikšmė. Kai skerspjūvio forma kitokia, nėra akivaizdu, kuris skerspjūvio taškas pavojingiausias. Pavyzdžiui, stačiakampiame skerspjūvyje didžiausi normaliniai įtempimai būna viename iš kampų (11.20 pav.: a, b, c arba d), tačiau tangentiniai įtempimai, susiję su sukimo momentu, visuose šiuose taškuose lygūs nuliui (žr. 7.8 poskyrį); tuo tarpu ten, kur šių tangentinių įtempimų reikšmės didžiausios (taškuose e ir f, m ir n), yra daug mažesni normaliniai įtempimai. Kuris iš visų šių įtartinų taškų pats pavojingiausias, dažnai galima nustatyti tik apskaičiavus kiekvieno jų projektinį įtempimą σd pagal pasirinktą hipotezę. Dažniausiai į šio įtempimo išraišką (ir stiprumo sąlygą) greta σmax įrašoma anaiptol ne didžiausia τ reikšmė arba šalia τmax — ne didžiausia σ reikšmė, nes būtina į sąlygą rašyti vieno (to paties) taško įtempimų reikšmes.

11.20 pav.

11.5. Tiesaus strypo poslinkiai ir deformacijos

Kai tiesus strypas veikiamas paprastos apkrovos, dėl kurios skerspjūviuose atsiranda tik po vieną įrąžą, strypo ašis arba lieka tiesi (tempimas ar gniuždymas, sukimas), arba išlinksta vienoje plokštumoje (paprastasis lenkimas). Kai skerspjūviuose įrąžų daugiau, besideformuojančio tiesaus strypo ašis tampa erdvine kreive, kartais gana sudėtinga. Tačiau kol galioja proporcingumo dėsnis ir poslinkių mažumo prielaida, galime naudotis superpozicijos principu ne tik įtempimams, bet ir poslinkiams bei deformacijoms skaičiuoti.

Pagal formules ir nurodymus iš skyrių, kuriuose aptartas atskirų įrąžų poveikis (iš 2.4, 2.5, 7.5 poskyrių, 9 skyriaus), nustatome rūpimo taško vektoriai, kurių kryptys ne visada sutampa, galutinį rezultatą pagal superpozicijos principą gauname vektorine (geometrine) sudėtimi.

Praktinėse situacijose tenka nustatinėti ne visų, bet tam tikrų, ypatingų taškų poslinkius, dažniausiai tų taškų, kurių poslinkiai gali būti didžiausi arba artimi didžiausiems (pavyzdžiui, gembinės sijos laisvojo galo). Ir deformacijos skaičiuojamos tik ties ypatingais taškais, kur gali būti ekstremalios deformacijų reikšmės. Šie taškai dažnai sutampa su ekstremaliųjų įtempimų reikšmėmis, kurias nustatyti jau mokame (11.4 poskyris). Kai įtempimai ties tašku jau nustatyti, deformacijas skaičiuoti galime bendrojo Huko dėsnio formulėmis iš 4.4 poskyrio.

Deformacijos ties kuriuo nors tašku priklauso tiktai nuo tų įtempimų ar įrąžų, kurios toje vietoje veikia, todėl jų skaičiavimas nėra keblus. Tačiau bet kuris poslinkis priklauso nuo įrąžų ar įtempimų, veikiančių tarp nagrinėjamojo taško ir atramų; todėl poslinkių skaičiavimas būna gana sudėtingas, ypač kai konstrukciją sudaro keli strypai. Poslinkių skaičiavimui praverčia energetiniai metodai, kuriuos aiškina konstrukcijų mechanika (statybinė mechanika).

Čia be platesnio teorinio aiškinimo pateikiame formules poslinkiams skaičiuoti Moro bei grafiniu - analitiniu būdais, kai įskaitoma ne vienintelio lenkimo momento įtaka (kaip 9.7 ir 9.8 poskyriuose), bet ir kitų įrąžų: Mx, My, T, N (čia nenagrinėsime skersinių jėgų įtakos, nes ji, palyginus su kitų įrąžų įtaka, dažniausiai yra labai menka). Taigi, Moro būdu skaičiuodami poslinkį, vietoj (9.15) formulės naudosime tokią:

( ) ( ) ( ) ( )∑ ∫∫∫∫=

+++=

n

j

L

ikjj

L

ikjjp

L

iykyjjy

L

ixkxjjx

ijjjj dzNN

EAdzTT

GIdzMM

EIdzMM

EIv

10000

1111.

(11.19) Skaičiuodami poslinkį grafiniu - analitiniu būdu, vietoj (9.21) formulės naudosime tokią:

( ) ( ) ( ) ( )∑=

+++=

n

j j

icjknj

jp

icjktj

jy

ikycjkyj

jx

ikxcjkxji EA

NGI

TEI

MEI

Mv

1

ωωωω, (11.20)

čia ωkxj — lenkimo momentų Mx diagramos plotai, ωkyj — lenkimo momentų My, ωktj — sukimo momentų T, ωknj — ašinių jėgų N diagramos plotai.

Į bet kurio poslinkio ar deformacijos išraišką įeina daug geometrinių strypo rodiklių, todėl spręsti projektinį standumo uždavinį nėra paprasta. Dažniausiai sprendžiamas tikrinamasis uždavinys. Kai šio uždavinio išvada rodo, kad sudėtingai deformuojamas strypas nepakankamai standus, inžinierius nusprendžia, kaip jį pastandinti (kurį matmenį padidinti), ir po to vėl sprendžia tikrinamąjį uždavinį, tokiu keliu artėdamas prie patenkinamo rezultato.

11.6. Kreivieji strypai

Yra nemaža konstrukcijų elementų (arkos, ratlankiai, kabliai ir kt.), kurių geometrinė schema — kreivasis strypas. Kai strypo ašis kreiva jau prieš apkrovimą, jo deformavimas net ir pačia paprasčiausia apkrova yra sudėtingas. Šiame poskyryje nagrinėsime tik plokščius kreivuosius strypus — tuos, kurių ašis ir visa apkrova yra vienoje strypo simetrijos plokštumoje. Ir, žinoma, kalbėsime apie labai kreivus strypus — tokius, kurių skerspjūvių matmenys yra maždaug tos pačios eilės, kaip ir kreivio spinduliai.

Kreivojo strypo deformavimo sudėtingumą atskleidžia du svarbiausi ypatumai: • įrąžų pasiskirstymas kreivojo strypo ašyje nėra tiesinis (įrąžų N, Q, M diagramų visi ruožai

kreiviniai); • išilginių deformacijų ir normalinių įtempimų pasiskirstymas skerspjūvyje nėra tiesinis (net ir

galiojant plokščiųjų pjūvių hipotezei). Kreivojo strypo skerspjūvio padėtį patogiausia nustatyti poline koordinate — kampu ϕ.

Skerspjūvio plokštuma eina per strypo ašies kreivio centrą. Patogu laikytis tokios lenkimo momento ženklo taisyklės: teigiamas yra tas lenkimo momentas, kuris didina pradinį strypo kreivį.

Kreivojo strypo įrąžos bet kuriame skerspjūvyje nustatomos pjūvio metodu. Normaliniai įtempimai, atstojami ašinės jėgos, pasiskirsto tolygiai po visą skerspjūvio plotą —

kaip ir tiesaus strypo skerspjūvyje. Tačiau tie normaliniai įtempimai, kurie atsiranda dėl lenkimo ir yra atstojami lenkimo momento, pasiskirsto nebe taip, kaip tiesiame strype, nebe pagal tiesę, bet pagal hiperbolę. Neutralioji linija (kai nėra ašinės jėgos) eina ne per skerspjūvio svorio centrą, o arčiau strypo

kreivio centro (atstumu e nuo strypo centrinės ašies, žr. 11.21 pav.). Įtempimai dėl lenkimo momento bet kuriame kreivojo strypo skerspjūvio taške skaičiuotini tokia formule:

rrArrM)()(

0

0

−−

=ρ

σ , (11.21)

čia A — skerspjūvio plotas, r — taško atstumas nuo strypo kreivio centro, o neutraliosios linijos atstumas nuo to centro (neutraliojo sluoksnio kreivio spindulys)

( )∫=

ArdA

Ar/0 . (11.22)

Šia formule apskaičiuotos r0 reikšmės kai kurių formų skerspjūviams surašytos 11.22 paveikslėlyje.

11.21 pav.

( )120 /ln rr

hr =

( ) hrrrhr

−=

122

2

0 /ln2

( )22

2

0424 a

ar−−

=ρρ

11.22 pav. Įtempimų formulei (11.21) įrodyti iš kreivojo strypo išpjauname labai trumpą ruoželį ir

nagrinėjamos jame veikiančios jėgos bei susidarančios ruoželio deformacijos.

11.7. Plonasieniai indai

Visuose vadovėlio skyriuose nagrinėjome tiktai strypus, palikdami kitus konstrukcijų elementus (plokštes, kevalus, masyvus) konstrukcijų mechanikos kursui. Tačiau šiame poskyryje žvilgtersime į ypatingą kevalų grupę — į vadinamuosius plonasienius indus, kurių paviršių forma — sukinys. Taip darome todėl, kad šie indai daug kur naudojami, o jų įtempimų ir stiprumo skaičiavimas nėra sudėtingas. Plonasieniu vadiname indą, kurio sienelės storis δ mažas, palyginus su indo skersmeniu d. Tokie sukinio (cilindro, kūgio, paraboloido ir kt.) pavidalo indai — talpyklos, katilai, vamzdžiai — dažniausiai veikiami skysčių ar dujų vidaus slėgio. Čia nagrinėsime tik tuos atvejus, kai apkrova (slėgis) yra pasiskirsčiusi simetriškai indo simetrijos ašies atžvilgiu. Tokiais atvejais, kai indo sienelėje nėra didelių paviršiaus pokyčių (koncentruojančių įtempimus), galime skaičiavimą grįsti bemomente (membranine) kevalų teorija — tarti, kad normaliniai įtempimai plonos sienelės storyje pasiskirstę tolygiai (kai δ=0,1d, didžiausias įtempimas sienelėje viršija įtempimų vidurkį ne daugiau kaip 5%, o kai sienelė plonesnė, — dar mažiau), t.y. kad sienelė nėra lenkiama, kad ji tik tempiama. Tiktai toks įtempimų skaičiavimas yra gana paprastas ir patogus nagrinėti medžiagų atsparumo kurse. Bemomentė kevalų teorija tinka tiktai simetrinės apkrovos atvejams (11.23 pav., a) ir netinka asimetrinei apkrovai (b). Nagrinėjame simetrišką plonasienį indą, kuris yra veikiamas iš vidaus slėgio p (indo savojo svorio nepaisome). Įtempimams indo sienelėje nustatyti išpjauname mažą tos sienelės elementą (11.24 pav.). Jį išpjauname dviem meridianiniais pjūviais (plokštumomis, einančiomis per indo simetrijos ašį z ir sudarančiomis tarp savęs kampą dθ) ir dviem žiediniais pjaviais (kūginiais paviršiais, statmenais indo išorinio paviršiaus meridianui, tarp jų kampas dϕ. Žiedinio pjūvio lanko ab ilgis dst, jo kreivio spindulys ρm, kreivio centras — taške O1.

11.23 pav.

11.24 pav.

Meridianinė plokštuma dalija indą ir apkrovą (vidaus slėgį) į dvi simetriškas dalis, todėl meridianiniuose pjūviuose nėra šlyties jėgų, nėra ir tangentinių įtempimų. Kadangi žiediniai pjūviai yra statmeni meridianiniams, juose tangentinių įtempimų taip pat nėra (tangentinių įtempimų dualumo dėsnis!). Taigi, visuose pjūviuose veikia tik normaliniai (svarbiausieji!) įtempimai: žiedo liestinės kryptimi veikia žiedinis įtempimas σt (statmenas meridianiniam pjūviui) ir meridiano liestinės kryptimi — meridianinis įtempimas σm (statmenas žiediniam pjūviui). Trečiąja, radialine kryptimi veikia radialinis įtempimas σr, kuris lygus — p prie indo sienelės vidinio paviršiaus ir nuliui prie išorinio paviršiaus; šis įtempimas yra palyginti mažas, ir paprastai jo nepaisoma. Išvada: indo sienelės įtempimų būvis yra dviašis.

Išpjautąjį sienelės elementą veikia penkios atstojamosios jėgos — apkrovos jėga, gauta padauginus slėgį iš elemento paviršiaus plotoj (pdsmdst), statmena sienelės paviršiui, ir keturios normalinių įtempimų atstojamosios (po dvi σmδdst ir σtδdsm; šių jėgų, nors ir lygių, į krypties linijos nesutampa, sudaro kampus dϕ ir dθ). Rašome visų šį elementą veikiančių jėgų pusiausvyros lygtį — prilyginame nuliui sumą jėgų projekcijų į ašį, statmeną sienelės paviršiui:

pdsmdst-2σtδdsmsin(dθ/2)- 2σmδdstsin(dϕ/2)=0

Kadangi kampai dθ ir dϕ nykstamai maži,

t

tdsddρ

θθ222

sin =≈ , m

mdsddρ

ϕκ222

sin =≈ .

Įrašę šias reikšmes į pusiausvyros lygtį ir lygtį suprastinę, gauname:

δρσ

ρσ p

m

m

t

t =+ . (11.23)

Šioje pagrindinėje pusiausvyros lygtyje yra du nežinomieji — įtempimai σt ir σm todėl uždaviniui išspręsti reikia dar vienos lygties. Tokią lygtį gauname, parašę žiediniu pjūviu atpjautos indo dalies (11.25 pav.) pusiausvyros sąlygą — susumavę ir prilyginę nuliui tą dalį veikiančių jėgų projekcijas į simetrijos ašį z:

0cos2 =⋅+− αδπσ rP m , čia α — kampas tarp z ir σm krypčių, P — vidaus slėgio (veikiančio atpjautąją dalį) atstojamoji. Iš šios pusiausvyros lygties randamas meridianinis įtempimas:

αδπσ

cos2 rP

m = . (11.24)

11.25 pav.

Kai slėgis p yra tolygiai pasiskirstęs po visą atpjautosios dalies vidinį paviršių (pavyzdžiui, dujų slėgis), slėgio atstojamoji

pSP = , (11.25) čia S — tos dalies vidinio paviršiaus projekcijos į plokštumą, statmeną indo simetrijos ašiai, plotas. Kai slėgį sudaro inde laikomas skystis,

GSpP h += , (11.26) čia ph — skysčio slėgis nagrinėjamame gylyje h (žr. 11.26 pav.), G — skysčio, telpančio į atpjautąją indo dalį, svorio jėga.

11.26 pav.

Jeigu plonasienis indas yra rutulio pavidalo ir indo vidaus slėgis p=const, įtempimams nustatyti pakanka (11.23) lygties, nes ne tiktai ρm=ρt=r, bet ir σm=σr=σ. Įrašę šias reikšmes į (11.23), gauname σ/r+σ/r=p/δ, arba

δσ

2pr

= . (11.27)

Cilindro pavidalo plonasienio indo (pvz., garo katilo) žiedinis kreivis ρt=r, o meridianas tiesus, ρm=∞, todėl iš (11.23) randame tik žiedinį indo sienelių įtempimą

δσ pr

t = . (11.28)

Pagal (11.25) randame ašinę jėgą

δδππσ

22

2 prrrp

AN

m === , (11.29)

tą pačią σm reikšmę gautume iš (11.24), įrašę P=pπr2 ir cosα=1. Matome, kad cilindriniame inde σt=2σm. Plonasienių indų stiprumo sąlygos rašomos, remiantis kuria nors plastiškumo hipoteze, nes jų

sienelių įtempimų būvis yra dviašis (grynojo tempimo). Pavyzdžiui, jeigu pritaikytume energetinę hipotezę ir ją atitinkančią stiprumo sąlygą (5.12) su σ1=σt, σ2=σm, indo sienelių stiprumą užtikrintų sąlyga

Rmtmtd ≤−+= σσσσσ 22 . (11.30) Tačiau projektuotojai, žinodami, kad iš vidaus slegiamo indo sienelėje abu svarbiausieji

įtempimai, σt ir σm, yra teigiami ir todėl σd<σmax, yra linkę indo stiprumą garantuoti griežtesne sąlyga, kuri atitinka maksimalių normalinių įtempimų hipotezę ir paprastai naudojama tik labai trapioms medžiagoms

( ) Rt ≤= σσ max . (11.31) Šio poskyrio formulės tinka skaičiuoti įtempimams tiktai pakankamai toli nuo indo (kevalo)

paviršiaus lūžio arba sienelės skerspjūvio pokyčio vietų (pavyzdžiui, pakankamai toli nuo katilo dugno), nes ties tomis vietomis deformacijų būvis yra sudėtingesnis. Katilo dugnas trukdo kevalui tolygiai deformuotis, kevalas išsikraipo, atsiranda vadinamasis pakraščio efektas, įtempimų reikšmės pasidaro daug kartų didesnės negu apskaičiuotosios pagal šio poskyrio formules. Šis reiškinys ypač pavojingas konstrukcijoms iš trapių medžiagų: gali atsirasti plyšių, ir katilas, vamzdis, talpykla tampa nebesandarūs. Skaičiavimas atsižvelgiant į pakraščio efektus sudėtingesnis, jo metodikos pagrindus galite rasti vadovėliuose.

12. GNIUŽDOMŲJŲ STRYPŲ PUSIAUSVYROS STABILUMAS

12.1. Stabili ir nestabili pusiausvyra

Konstrukcijos ir bet kurio jos elemento pusiausvyra turi būti stabili. Stabilumas — konstrukcijos ar jos elemento savybė išlaikyti pradinę pusiausvyros formą, po bet kokių trikdymų vis grįžti į tą pradinį būvį. Ši savybė yra ne mažiau svarbi, kaip stiprumas ir standumas.

Nesideformuojančio kūno statinės pusiausvyros stabilumą gerai iliustruoja sunkaus rutuliuko padėtis ant įvairių paviršių (12.1 pav.). Įgaubto paviršiaus žemutiniame taške (a) rutuliuko pusiausvyra yra stabili (jeigu rutuliuką stumt eisime į šoną, jis greit grįš vėl į šią pradinę padėtį). Gali pavykti rutuliuką uždėti ir ant iškilo paviršiaus kraigo (b), bet šiuo atveju rutuliukas nuo menkiausio postūmio nuriedės šalin ir į pradinę pusiausvyros padėtį pats nebegrįš; rutuliuko ant iškilo paviršiaus pusiausvyra — nestabili. O kai rutuliukas ant horizontalios plokštumos, jo pusiausvyra neutrali.

12.1 pav.

Nesideformuojančio kūno pusiausvyros formos stabilumas nepriklauso nuo kūną veikiančių jėgų didumo (nagrinėtame pavyzdyje jis nepriklauso nuo rutuliuko svorio). Tačiau mus labiau domina deformuojamų (visų pirma tampriųjų) konstrukcijos elementų stabilumas.

Konstrukcijos pusiausvyros formą nusako jos apkrovos ir poslinkių santykiai. Deformuojamas stabilios pusiausvyros elementas, sutrikdytas kokių nors pašalinių veiksnių, gali įgyti naujų, kitokių poslinkių, bet šie. poslinkiai išnyksta, kai išnyksta juos sukėlusi priežastis (elementas grįžta į pradinę pusiausvyros formą). Tuo tarpu kai pusiausvyros forma nestabili, elementas, ėmęs kitaip deformuotis dėl nedidelių pašalinių veiksnių (kurių niekada netrūksta), nesiliauja taip deformavęsis ir po to, kai tie veiksniai nebetrikdo — net ir jiems išnykus, naujieji poslinkiai nesumažėja, elementas į pradinę pusiausvyros formą nebegrįžta.

Konstrukcijos elemento pusiausvyra būna stabili, kol jo pagrindinė apkrova nedidelė, kol ji mažesnė už tam tikrą (kritinę) reikšmę, o kai apkrova viršija tą reikšmę, pusiausvyra tampa nestabili — tada pašalinė priežastis gali lengvai išvesti elementą iš šios nestabilios pusiausvyros į kitokią (jau stabilią) pusiausvyros formą ir sukelti nepageidaujamą deformavimąsi. Maža tikimybė, kad elementas pradinės pusiausvyros formos nepraras, tėra ir tuo atveju, kai pusiausvyra neutrali, t.y. kai apkrova yra pasiekusi kritinę reikšmę, bet dar neviršijusi jos.

Šiame skyriuje kalbėsime tik apie gniuždomųjų strypų pusiausvyros stabilumą. Panagrinėkime labai ilgą ir ploną tiesų strypą, kuris yra gniuždomas. Kol strypo pusiausvyros pradinė (tiesioji) forma stabili, strypo poslinkiai dėl centriškai pridėtos išilginės gniuždomosios jėgos — tik išilginiai. Dėl kokios nors pašalinės priežasties strypas gali įgyti ir skersinių poslinkių (12.2 pav.); ta pašalinė trikdanti priežastis gali būti įvairi — šoninė apkrova (vėjo dvelktelėjimas), menkutis pagrindinės apkrovos nukrypimas nuo centrinės ašies, netolygus strypo temperatūros pokytis ir kt. Tačiau šie skersiniai poslinkiai išnyksta (strypas vėl išsitiesia), vos tik liaujasi trikdymas. Kuo didesnė yra strypo pagrindinė (gniuždomoji) apkrova, tuo sunkiau išlinkusiam strypui išsitiesti. Kai gniuždomoji jėga yra pasiekusi tam tikrą didumą, strypo pradinė (tiesioji) pusiausvyros forma yra neutrali, o kai ta jėga dar didesnė, pusiausvyros forma tampa nebestabili. Taip apkrautas strypas, ėmęs dėl kokio trikdymo linkti, įgyja vis didesnius ir didesnius skersinius poslinkius ir nebeišsitiesia net ir tada, kai pašalinio trikdymo nebėra, kai išnyksta skersinių poslinkių priežastis. Strypas pereina į kitokią stabilią pusiausvyros formą: jėga, veikusi išilgai strypo ašies, ima strypą ne tik gniuždyti, bet jau ir lenkti.

12.2 pav.

Minėtoji skersinių poslinkių priežastis tėra tik impulsas strypui išeiti iš pradinės pusiausvyros formos. Nuo jos visiškai nepriklauso, ar strypo tiesioji pusiausvyros forma yra stabili ar nestabili. Strypo pusiausvyros stabilumas priklauso tik nuo strypo matmenų, jo medžiagos ir pagrindinės (gniuždomosios) apkrovos didumo.

Apkrovos (jėgos, įtempimo) reikšmė, kurią viršijus konstrukcijos ar jos elemento pusiausvyra tampa nestabilia, vadinama kritine apkrova (jėga, įtempimu).

Bet kurio strypo kritinė jėga priklauso tiktai nuo strypo matmenų ir medžiagos savybių. Centriškai gniuždomo tiesaus strypo pusiausvyros forma yra stabili, kol jėga nepasiekia kritinės jėgos reikšmės Fcr, kol

F<Fcr. (12.1) Toks strypas yra tik gniuždomas. Kai jėga viršija Fcr, tiesioji pusiausvyros forma netenka stabilumo, strypas dėl menkiausios priežasties pereina į kitokią pusiausvyrą (jau ne tik gniuždomas, bet ir lenkiamas). Sakoma, kad jis suklumpa, kad apkrova jį klupdo. Todėl ir pats deformavimas, lydimas suklupimo pavojaus, dažnai nagrinėjamas kaip klupdymas, kalbama apie klupdomų strypų (kolonų) skaičiavimą ir pan.

Nauja pusiausvyros forma, į kurią pereina konstrukcija, dažnai būna susijusi su tokiomis deformacijomis ir įrąžomis, kurioms priešintis konstrukcija nepritaikyta. Todėl konstrukcijos deformacijos ir įtempimai ima sparčiai didėti, konstrukcija greit suyra arba kitaip išeina iš rikiuotės.

12.2. Oilerio formulė kritinei jėgai skaičiuoti

Tampraus tiesaus centriškai gniuždomo strypo kritinės jėgos didumas apskaičiuojamas vadinamąja Oilerio formule:

( )2min

2

LEIFcr µ

π=

, (12.2) čia E — strypo medžiagos tamprumo modulis, Imin — minimalus strypo skerspjūvio inercijos momentas, L — strypo ilgis, µ — strypo galų įtvirtinimo sąlygų koeficientas (žr. 12.3 pav.).

12.3 pav.

Kritinės jėgos reikšmę visų pirma nustatysime gniuždomo tiesaus strypo, kuris abiem galais įtvirtintas šarnyriškai (12.4 pav.).

12.4 pav.

Tarkime, kad apkrova F>Fcr nesukelia plastinių deformacijų, kad išlinkusio strypo ašies nuokrypos nuo tieses nedidelės. Tada galime naudotis jau žinoma įlinkių kreivės lygtimi (9.5):

( )zMdz

vdEI −=2

2

.

Lenkimo plokštuma priklauso ne nuo apkrovos, o nuo strypo skerspjūvio: strypas išlinksta plokštumoje, kuri statmena skerspjūvio ašiai su mažiausiu inercijos momentu. Todėl ir lygtyje dera įrašyti Imin vietoj I. Lenkimo momentas pjūvyje atstumu z nuo atramos M(z) — Fv, todėl

Fvdz

vdEI −=2

2

min , (12.3)

arba

0min

2

2

=+ vEI

Fdz

vd

. Pažymėję

2

min

kEI

F= , (12.4)

gauname tokią diferencialinę lygtį:

022

2

=+ vkdz

vd. (12.5)

Jos sprendinys yra harmoninė funkcija kzBkzAv cossin += . (12.6)

Sprendinio konstantos A ir B priklauso nuo kraštinių sąlygų, kurios šiuo atveju yra tokios: a) v=0, kai z=0, b) v=0, kai z=L1. Iš pirmosios sąlygos gauname B=0, todėl

kzAv sin= , (12.7) (tai reiškia, kad išlinkusio strypo ašis atitinka sinusoidę). Iš antrosios sąlygos gautąją lygybę AsinkL1=0 tenkina arba A=0, arba sinkL1=0. Nuliui lygi konstanta atitinka v=0, t.y. tiesiąją strypo formą. Kreivąją formą (ji mums ir rūpi) atitinka

0sin 1 =kL . Šios lygties šaknų yra be galo daug:

1Lnk π

= , (12.8)

kur n — bet koks sveikasis skaičius. Iš (12.4) lygties, įrašę (12.8) reikšmę, galime gauti jėgos F išraišką:

21

min22

LEInF π

= . (12.9)

Kai stabilioji (tiesioji) pusiausvyros forma tampa neutralia (kai kritinės jėgos reikšmė tik pasiekiama, bet dar neviršijama), strypas dar tebėra tiesus, atstumas tarp atramų dar nesumažėjęs, L1=L (strypo trumpėjimas dėl išilginės deformacijos yra labai mažas, nepaisytinas). Taigi, įrašę į (12.9) vietoj atstumo L1 pradinį strypo ilgį L, gauname kritinės jėgos Fcr reikšmę. Iš visų n (= 1,2...) reikšmių mažiausią (visų pirma pasiekiamą) kritinę jėgą atitinka n=1; tokia kritinė jėga (kartais vadinama Oilerio jėga) ir apskaičiuojama formule

2min

2

LEIFcr

π= . (12.10)

Iš (12.7) ir (12.8) gauname, kad šią jėgą Fcr atitinka klumpančio strypo ašis, išlinkusi tokiu sinusoidės pavidalu:

zL

nAv πsin= . (12.11)

Skaičius n čia rodo, kiek sinusoidės pusbangių yra atstume L (12.5 pav.). Kuo didesnis n, tuo didesnė (n2 kartų) kritinės jėgos reikšme. Praktiškai svarbi yra tik pirmoji reikšmė (su n=1).

12.5 pav.

Nustatėme, kad klumpantis strypas išlinksta sinusoidės pavidalu (12.11), bet konkrečių įlinkio v reikšmių apskaičiuoti negalime, nes nežinome konstantos A. Jeigu būtume pasinaudoję ne apytiksle įlinkių kreivės lygtimi (9.5), bet tiksliąją:

( )( )0

/1

/ 2

32

22

=++

vkdzdv

dzvd, (12.12)

galėtume gauti ir įlinkių reikšmes. Nenagrinėdami gana sudėtingo (12.12) lygties integravimo, parodysime jo rezultatą:

FF

Lv cr−= 122max

π, (12.13)

iš jo matyti, kad, pavyzdžiui, kai jėga F viršija kritinę jėgą Fcr vos vienu procentu (F=1,01Fcr), vmax=0,09L (o tai yra gana daug). Įlinkio vmax kitimą, kai F>Fcr, rodo grafikas (12.6 pav.), iš kurio matyti įlinkio augimo sparta tuoj po stabilumo praradimo.

12.6 pav.

Nagrinėjome, kaip klupdomas strypas, kai jo abu galai įtvirtinti šarnyriškai (tokį uždavinį sprendė ir L.Oileris). Panašiai nagrinėdami kitaip įtvirtintus strypus, turėtume atsižvelgti į kitokias atramines reakcijas, į atraminius momentus (standžiose atramose). Palyginę gautas kritinės jėgos išraiškas, galėtume padaryti bendrą išvadą, jog (12.10) formulė gali būti pritaikyta ir kitiems įtvirtinimo atvejams, pakeitus joje strypo ilgį L vadinamuoju klupdomuoju strypo ilgiu L*, kuris lygus suklupusio strypo ašies sinusoidės pusbangės ilgiui. Pavyzdžiui, 12.7 paveikslėliu rodomas klumpantis strypas, kurio vienas galas įtvirtintas standžiai, kitas šarnyriškai. Sinusoidės pusbangė telpa tarp šarnyrinės atramos ir įlinkių kreivės vingio taško h, šis atstumas lygus 0,7L. Panašiai galime nustatyti ir kitokių strypų klupdomąjį ilgį, t.y. sinusoidės pusbangės ilgį L*=µL (12.3 pav.); įrašę jį į (12.10) išraišką, gauname bendrą kritinės jėgos formulę (12.2) įvairiems įtvirtinimo atvejams.

12.7 pav.

Oilerio formulė galioja tik proporcingo deformavimo atvejams: ji išvesta, remiantis proporcingo (tampraus) deformavimo įlinkių kreivės lygtimi, į ją įeina proporcingumo koeficientas iš Huko dėsnio — tamprumo modulis E. Kol galioja Huko dėsnis, tol galioja ir Oilerio formulė (12.2) kritinei jėgai skaičiuoti. Taigi, Oilerio formulė galioja tol, kol kritinis įtempimas neviršija proporcingumo ribos:

σcr≤σpr. (12.14) Praktiškiau apibrėžti šios formulės galiojimo ribas galėsime tada, kai patogiau išreikšime kritinį įtempimą.

12.3. Kritinis įtempimas

Kritinį įtempimą galime išreikšti strypo kritinės jėgos ir skerspjūvio ploto santykiu. Kai galioja Oilerio formulė, šis įtempimas (panaudojus inercijos momento išraišką inercijos spinduliu Imin=Ai2

min):

( ) ( ) 2

min

2

2

2min

2

2min

2

====

iL

ELA

EAiLA

EIA

Fcrcr

µ

πµ

πµ

πσ .

Įvedame naują strypo geometrinį rodiklį

miniLµλ = , (12.15)

kur µ - strypo įtvirtinimo sąlygų koeficientas, nustatomas iš 12.3 paveikslėlio arba pagal kitus 12.2 poskyrio nurodymus, L – stypo ilgis, imin – minimalus strypo skerspjūvio inercijos spindulys. Tai yra strypo savybės, vadinamos liaunumu, rodiklis: kuo strypas ilgesnis ir plonesnis, tuo jis liaunesnis. Rodiklį λ vadiname liauniu. Panaudojus šį rodiklį, tampraus strypo kritinis įtempimas išreiškiamas taip:

2

2

λπσ E

cr = , (12.16)

matome, kad kritinis įtempimas priklauso tik nuo strypo liaunio ir medžiagos tamprumo modulio. Dabar galime nustatyti, kokių strypų kritinę jėgą leistina skaičiuoti Oilerio formule. Belieka į

(12.14) sąlygą įrašyti (12.16) reikšmę:

prE σ

λπ

≤2

2

.

Iš čia gauname

lim/ λσπλ ≡≥ prE . (12.17)

Tampraus strypo ribinis liaunis λlim priklauso tiktai nuo strypo medžiagos savybių. Kai strypo liaunis pakankamai didelis, ne mažesnis kaip λlim, kritinę jėgą galime skaičiuoti Oilerio formule (12.2). Kai liaunis mažesnis, strypas savo pusiausvyros stabilumą praranda (suklumpa), įtempimams jau viršijus proporcingumo ribą, gal net plastinėms deformacijoms atsiradus; jeigu skaičiuotume kritinę jėgą irgi Oilerio formule, jos reikšmę gautume klaidingą, per didelę (tai ne tik klaidinga, bet ir pavojinga, nes strypą suklupdytų mažesnė apkrova negu mūsų apskaičiuotoji).

Ribinis liaunis, apibrėžiantis Oilerio formulės taikymo galimybę, paprastai yra kelių dešimčių didumo. Pavyzdžiui, plieno strypo ribinis liaunis (kai E=210 GPa, σpr=200 MPa) λlim≈100, aliuminio strypo λlim≈50, medinio strypo λlim≈60.

Teoriškai nustatyti kritinį įtempimą (ar kritinę jėgą), kai strypas deformuojamas už proporcingumo ribos, yra gana sudėtinga. Tokio skaičiavimo metodika, siūlyta F. Engesero, T. Karmano, F. R. Šenlio, aprašyta vadovėliuose.

Dažnai praktiniam skaičiavimui naudojamos empyrinės formulės, paremtos gausiais eksperimentais. Pavyzdžiui, būna naudojama tiesinė kritinio įtempimo išraiška

σcr=a-bλ (12.18) arba parabolinė

σcr=a-bλ+cλ2, (12.19) čia koeficientai a, b ir c priklauso nuo medžiagos savybių. Pavyzdžiui, statybinio plieno kritinio įtempimo tiesinei išraiškai gali būti a=300 MPa, b=1,2 MPa, ketaus kritinio įtempimo parabolinei išraiškai a=780 MPa, b=12 MPa, c=0,53 MPa.

Apskaičiuotąjį kritinį įtempimą padauginę iš strypo skerspjūvio ploto, gauname kritinės jėgos reikšmę.

Formulės (12.18), (12.19) naudojamos vidutinio liaunumo strypų kritiniam įtempimui skaičiuoti (didelio liaunumo strypams tinka Oileno formule). Kai strypo liaunumas mažas, (strypas storas ir trumpas), strypui suklupti pavojaus praktiškai nėra, nes jis stiprumą praranda anksčiau ne stabilumą, jo įtempimus riboja ne kritinio įtempimo reikšmė, bet stiprumo riba arba takumo įtempimas.

Gniuždomo (klupdomo) strypo eksploatavimo ribas vaizdžiai parodo grafikas, nubraižyta koordinačių σ (įtempimo) ir λ (liaunio) sistemoje (12.8 pav.). Grafiką sudaro trys ruožai: mažo liaunumo, apribotas takumo įtempimo (arba stiprumo ribos) lygiu, vidutinio liaunumo, apribotas tiesią (arba paraboline) kritinio įtempimo funkcija, ir didelio liaunumo, apribotas Oilerio hiperboline kritinio įtempimo funkcija (12.16). Suprantama, būtina ir atsarga, būtina atsižvelgti į visų veiksnių bei paties skaičiavimo patikimumą ir negalima leisti, kad apskaičiuotieji įtempimai strype siektų grafike parodytas ribas, jie turi būti mažesni.

12.8 pav.

12.4. Praktinis gniuždomųjų strypų (kolonų) skaičiavimas

Kai nagrinėjome tempiamus strypus, minėjome, kad daugelis formulių, skirtų tempimui, tinka ir gniuždymo atvejui. Tačiau ten mums rūpėjo tik stiprumas ir standumas, stabilumo klausimų nelietėme. O gniuždomasis strypas nuo tempiamojo ypač skiriasi tuo, kad gniuždymas gali tapti klupdymu, kad dažnai gali būti prarastas strypo pusiausvyros stabilumas. Kadangi strypo stabilumą garantuoti taip pat būtina, skirtumas tarp tempiamojo ir gniuždomojo strypo eksploataciniu požiūriu yra nemažas:

• tempiamojo strypo laikomoji galia dažniausiai priklauso nuo stiprumo (rečiau nuo standumo), statinės apkrovos atveju nepriklauso nuo strypo ilgio, gniuždomojo strypo — priklauso dažniausiai nuo pusiausvyros stabilumo ir drauge nuo strypo ilgio (tiksliau — nuo liaunio),

• tempiamojo strypo ribinio būvio (pvz. suirimo) artėjimo požymiai (dideli poslinkiai, plyšiai) dažnai yra iš anksto pastebimi, o gniuždomasis strypas stabilumo netenka, suklumpa staiga, netikėtai.

Pastaroji gniuždomųjų strypų ypatybė, tas suklupimo staigumas ragina konstruktorių būti labai atidų, kai jis projektuoja strypus, kurie montavimo ar eksploatavimo metu gali būti gniuždomi. Technikos istorijoje yra skaudžių avarijų pavyzdžių, kai dėl suklupusių gniuždomųjų strypų griuvo ištisos tiltų ir kitų pastatų konstrukcijos.

Strypo stabilumo sąlyga yra tokia: |σ|≤σcr/nstb, (12.20)

čia nstb — stabilumo skaičiavimo patikimumo (atsargos) koeficientas, kuris labai liauniems plieno strypams būna apie 1,5, ketaus — apie 5, medžio — apie 2,5, o vidutinio liaunumo strypams dar didesnis.

Skaičiuodami strypo stabilumą, visada turime žinoti, ar tinkamą formulę, tinkamą metodą naudojame. Populiariausią Oilerio formulę kritinei jėgai skaičiuoti galime naudoti tik tada, kai tenkinama jos galiojimo sąlyga (12.14) arba (12.17). Kai ši formulė negalioja, tenka ieškoti kitų tinkamų metodų. Kai kada projektavimo taisyklės supaprastina gniuždomųjų strypų skaičiavimą, įvesdamos vadinamuosius klupumo koeficientus ir pateikdamos jų lenteles, sudarytas atsižvelgiant į strypų liaunį ir derinant įvairius kritinio įtempimo skaičiavimo metodus. Strypo stabilumo sąlyga, išreikšta su klupumo koeficientu ϕ, apimanti ir stiprumo sąlygą, yra tokia:

|σ|≤ϕ/Rc. (12.21) Koeficientas ϕ visada mažesnis kaip 1. Sulyginę (12.21) ir (12.20) sąlygas, gauname klupumo

koeficiento išraišką:

2

2 1λ

πσϕstbcstbc

cr

nRE

nR⋅== , (12.22)

čia pirmasis daugiklis priklauso nuo medžiagos, antrasis — nuo strypo geometrijos, eksploatavimo sąlygų ir svarbos. Klupumo koeficientų skaičiavimo formulės ir lentelės paprastai ir sudaromos taip, kad šį koeficientą galime rasti, kai žinome medžiagą ir strypo liaunį λ.

Dar viena stabilumo sąlygos ypatybė yra ta, kad įtempimai, kurie tikrinami šia sąlyga, skaičiuojami, dalijant ašinę jėgą ne iš susilpnintojo skylėmis skerspjūvio ploto (neto ploto, Ant), bet iš viso ploto (bruto ploto, Abt), todėl praktiniam skaičiavimui sąlyga (12.21) pertvarkoma taip:

cbr

RAN

≤ϕ

. (12.23)

Žinoma, jeigu strype yra susilpnintų skerspjūvių, ties jais būtina tikrinti dar ir stiprumą (2.4b) sąlyga: |N|/Ant≤Rc (čia nebėra klupumo koeficiento ϕ, bet užtat imamas Ant).

Tikrinamojo uždavinio sprendimo algoritmas toks:

apskaičiuojamas minimalus strypo skerspjūvio inercijos spindulys imin=(Imin/A)0,5, apskaičiuojamas strypo liaunis λ=µL/imin, lentelėje randamas klupumo koeficientas ϕ, tikrinama, ar tenkinama gniuždomojo strypo stabilumo ir stiprumo sąlyga (12.23).

Projektinio uždavinio sprendimas sudėtingesnis, nes iš pradžių nežinome (12.23) sąlygai reikalingų nei ϕ, nei Abr. Todėl sprendžiame iteraciniu, priartėjimo keliu:

♦ pirmajam žingsniui imame bet kokią reikšmę ϕ1 (geriau artimą vidutinei, pvz. ϕ1=0,5), ♦ naudodamiesi (12.23) sąlyga, nustatome, koks turi būti Abr, ir pasirenkame tinkamą skerspjūvį

iš turimo sortimento, ♦ apskaičiuojame parinktojo skerspjūvio minimalų inercijos spindulį ir strypo liaunį λ1, ♦ lentelėje randame klupumo koeficientą , kuris atitinka apskaičiuotąjį liaunį λ*

1ϕ 1, ♦ lyginame surastąjį su žingsnio pradžioje paimtu ϕ*

1ϕ 1; jeigu skerspjūvis parinktas gerai; jeigu jiedu labai skiriasi, pradedame naują priartėjimo žingsnį, imdami

1*1 ϕϕ ≈

( ) 2/1*12 ϕϕϕ += ir vėl pagal (12.23) sąlygą pasirenkame naują skerspjūvį.

Dažniausiai priartėjama gana greit, paprastai pakanka 3-4 žingsnių.

12.5. Liaunų strypų gniuždymas lenkiant

Jau esame 11 skyriuje nagrinėję strypus, kurių skerspjūviuose veikia ir lenkimo momentas M, ir ašinė jėga N. Tačiau ten gautos sudėtingojo deformavimo formulės ir padarytos išvados galioja tik tuo atveju, kai strypas nėra liaunas. Kai strypas liaunas, kai jo skersiniai poslinkiai (įlinkiai) nemaži, lenkimo momentą sukelia ne tik skersinė apkrova, bet ir gniuždomoji ašinė jėga. Tada visas skerspjūvyje veikiantis lenkimo momentas (12.9 pav.):

M=Mq+Fv. (12.24) čia Mq — lenkimo momentas dėl skersinės apkrovos (dėl Fq).

12.9 pav.

Tačiau taip išreiškiamą lenkimo momentą galime apskaičiuoti tik tada, kai žinome įlinkį v, o pastarąjį — tik tada, kai žinome patį lenkimo momentą M. Tokį uždavinį galime išspręsti, pasinaudoję diferencialine įlinkių kreivės lygtimi. Apytikslį sprendinį gautume tokį:

0/1 FFv

v q

−= , (12.25)

čia vq — strypo įlinkis, apskaičiuotas vien pagal skersinę apkrovą, F — išilginės gniuždomosios apkrovos jėga, Fq — Oilerio jėga, skaičiuojama visada formule (12.2) — net ir tada, kai ši formulė kritinei jėgai skaičiuoti netinka. Formulė (12.25) negalioja, kai jėgos F reikšmė artėja prie reikšmės Fo, bet praktiškai tinka, kai 0<F<0,8F0.

Kai jau turime įlinkį v, galime išreikšti ir lenkimo momentą

0/11

FFFvMM qq −

+= . (12.26)

Didžiausi įtempimai tokio strypo skerspjūviuose

0max /1

1FFW

vFWM

AF qq

−⋅++=σ . (12.27)

Spręsti apie tokio strypo stiprumo atsargą nėra paprasta, nes įtempimų prieaugis nėra proporcingas jėgos F prieaugiui, įtempimai auga daug sparčiau negu jėga (12.10 pav.): σy/σ*>Fy/F*.

Todėl, tikrindami taip deformuojamų strypų stiprumą, turime būti atidūs: verta tikrinti ne tik maksimalaus įtempimo, bet ir jėgos F reikšmes (jų santykį su Fy, kuri atitinka takumo įtempimą, ar su kitokia ribine jėgos reikšme). Pravartu nusibraižyti ir grafiką, panašų į parodytąjį 12.10 paveikslėliu — iš jo vaizdžiau matyti rezultato patikimumas, stiprumo atsarga.

12.10 pav.

Liauno gniuždomo ir tuo pačiu metu lenkiamo strypo įlinkių kreivės lygtis tokia: EId2v/dz2=-(Mq+Fv). Visą įlinkį v galime suskaidyti į du komponentus — dėl skersinės apkrovos vq ir dėl išilginės

apkrovos (dėl klupdymo) vb, (12.11 pav.): v=vq+vb.

12.11 pav.

Įrašę šią įlinkio išraišką į diferencialinę lygtį, turime:

EIFv

EIM

dzvd

dzvd qbq −−=+ 2

2

2

2

. (12.28)

Jeigu nebūtų gniuždomosios apkrovos F, ši lygtis būtų tokia:

EIM

dzvd qq −=2

2

. (12.29)

Atėmę (12.29) iš (12.28), gauname tokią diferencialinę lygtį:

EIFv

dzvd b −=2

2

. (12.30)

Apytikslį šios lygties sprendinį gauname, tarę, kad vb, kinta pagal kokį nors žinomą dėsnį; pavyzdžiui, šarnyriškai įtvirtintam strypui (kaip 12.11 pav.) tinka sinuso funkcija:

LzBvb

πsin= ,

(čia koeficientas B prilygsta strypo vidurio įlinkiui). Tada

bq v

LLzB

Ldzvd

2

2

2

2

2

2

sin πππ−=−= .

Įrašę šią reikšmę į (12.30), turime:

vEIFv

L b =2

2π. (12.31)

Įrašę vb=v-vq, iš (12.31) išreiškiame įlinkį

EIFL

vv q

2

2

1π

−= .

Pastebėję, kad šioje formulėje yra santykis π2EI/L2, tiksliai atitinkantis Oilerio jėgos reikšmę, apskaičiuojamą formule (12.10), įrašome vietoj šio santykio Oilerio jėgos simbolį F0 (nerašome čia Fcr, nes su kritine jėga šis reiškinys neturi nieko bendra). Taip gauname (12.25) išraišką. Čia parodėme, kaip ji pasiekiama šarnyriškai įtvirtinto strypo atveju, tačiau ji tinka ir kitiems strypo galų įtvirtinimo atvejams, kai koeficientas µ≠1, t.y. kai Oilerio jėgos reikšmė skaičiuojama formule (12.2).

Simbolis F0 čia įvestas formaliai, todėl jo galiojimas nėra apribotas, jis Oilerio formule skaičiuojamas net tada, kai ta formulė netinka kritinei jėgai skaičiuoti.

Beje, (12.25)-(12.27) išraiškos yra apytikslės. Tikslioms išraiškoms gauti tenka atlikti gana sudėtingus skaičiavimus, ypač kai skersinė apkrova įvairiuose strypo ruožuose sukelia skirtingai išreiškiamus lenkimo momentus Mq. Toks skaičiavimas aprašytas vadovėliuose.

14. VIETINIAI ĮTEMPTOS MEDŽIAGOS POVEIKIAI

14.1. Įtempimų koncentracija

Kai nagrinėjome konstrukcijų elementus — tempiamus, sukamus, lenkiamus ar sudėtingiau deformuojamus, — tarėme, kad jie yra tobulo taisyklingo (prizmės ar cilindro) pavidalo, idealiai lygaus paviršiaus, be jokių išorinių ar vidinių defektų. Tačiau iš tikrųjų tokių elementų nebūna. Dažno elemento skerspjūviai nėra vienodi per visą ilgį, elementuose tenka pragręžti skylių, padaryti išdrožų. Neįmanoma tobulai nugludinti elemento paviršiaus, o ir gerai poliruotas paviršius eksploatavimo metu gali būti subraižomas. Tiek gaminimo, montavimo, tiek ir naudojimo metu dėl pašalinių veiksnių gali atsirasti įvairių elemento defektų. Dėl visų šių priežasčių konstrukcijų elementuose yra vietų, ties kuriomis įtempimai pasiskirsto ne taip, kaip rodo formulės, skirtos idealaus pavidalo elementui. Kaip tik šios vietos dažnai tampa pavojingais konstrukcinės medžiagos irimo židiniais. Dėl pernelyg didelių įtempimų tokiose vietose medžiaga įtrūksta, o po to mikroplyšeliai greitai ilgėja, plinta, kol suyra (nutrūksta, nulūžta) visas elementas. Prisiminkite, kaip lengvai plyšta popieriaus lapas po to, kai didesnėmis pastangomis šiek tiek įplėšiame jo pakraštį; stiklo lakšto paviršių visų pirma įrėžiame, o po to stiklas ties įrėžta linija lūžta nuo lengvo stuktelėjimo.

Kai skaičiuojame įtempimus tempiamo strypo skerspjūvyje, (2.1) formulė (σ=N/A) tinka tik tuo atveju, kai skerspjūviai per visą strypo ilgi vienodi arba kinta labai pamažu, ne staigiai. Ten, kur skerspjūvis pakinta staigiai — ties skylėmis, įpjovomis, išdrožomis, — įtempimai pasiskirsto nebetolygiai (σ≠const), vienose skerspjūvio vietose jie mažesni, kitose — didesni negu nurodo formulė. Įtempimai tarsi susitelkia, susikoncentruoja į kai kurias vietas; sakoma, kad atsiranda įtempimų koncentracija (14.1 pav.). Šios koncentracijos priežastys (skylės, išdrožos ir pan.) paprastai vadinamos įtempimų koncentratoriais.

14.1 pav.

Įtempimą, apskaičiuotą nepaisant koncentracijos (nors ir pagal susilpninto skerspjūvio plotą Ant), vadiname nominaliniu įtempimu. Pavyzdžiui, tempiamo strypo nominalinis įtempimas σnom=N/Ant.

Įtempimų koncentracijos rodiklis yra koncentracijos koeficientas, lygus didžiausio vietinio įtempimo ir nominalinio įtempimo santykiui:

nomk σ

σα max= . (14.1)

Dažniausiai šie koeficientai nustatomi tamprumo teorijos metodais, tariant, kad medžiaga yra vienalytė, izotropiška ir tampri. Jie vadinami teoriniais įtempimų koncentracijos koeficientais (tuo jie atskiriami nuo vadinamųjų tikrųjų koncentracijos koeficientų, kurie nustatomi eksperimentais, lyginant bandinių su koncentratoriais ir be koncentratorių stiprumą). Žinynuose yra formulių jiems apskaičiuoti arba lentelių bei nomogramų (grafikų) jiems nustatyti.

Koncentracijos- koeficientai priklauso nuo koncentratoriaus geometrijos (jo pavidalo ir didumo). Kad koncentracija būtų mažesnė, koncentratoriai švelninami — perėjimas nuo vieno skerspjūvio prie kito apvalinamas (14.2 pav.; kuo didesnis apvalinimo spindulys r, tuo mažesnė koncentracija). Vienos nomogramos pavyzdį rodome 14.3 paveikslėliu; iš jos matyti, kad gana realiose konstrukcijų detalėse įtempimų koncentracijos koeficientai gali būti didesni kaip 2.

14.2 pav.

14.3 pav.

Įtempimų koncentracija ypač pavojinga trapioms medžiagoms. Kai medžiaga plastinė, prasidėjus jos takumui, įtempimai nebeauga ir todėl jų reikšmės vienodėja (14.4 pav.: iš pradžių, kai nominaliniai įtempimai maži, koncentracijos koeficientas didelis; kai apkrova ir nominaliniai įtempimai didėja, σmax lieka toks pat, lygus takumo įtempimui σy, todėl αk=σmax/σnom mažėja).

14.4 pav.

Parodysime ir vieną iš formulių, skirtų Įtempimams ties koncentratoriais skaičiuoti. Tai formulė, gauta tamprumo teorijos metodais, skirta tempiamai plokštelei su apskrita skyle ties simetrijos ašimi (14.5 pav.; b>>2r). Įtempimas bet kuriame labiausiai susilpninto skerspjūvio taške (kurio koordinatė x)

+

+=

42

322 x

rxr

zσσ , (14.2)

čia σ — skerspjūvio, esančio pakankamai toli nuo koncentratoriaus, vidutinis įtempimas. Didžiausias įtempimas yra taške, kurio x=r, — čia σz=σmax.=3σ. Tolstant nuo skylės, įtempimo σz reikšmė sparčiai mažėja, taškuose, kurių x>4r, jau σz<1,04σ. Kai plotis b, palyginus su skylės skersmeniu, labai didelis (kai r/b→0), σnom→σ ir αk→3.

14.5 pav.

Prie skylės (po ja ir virš jos) atsiranda skersai veikiančių gniuždomųjų įtempimų σX, kurie simetrijos ašyje apskaičiuojami taip

−

−=

24

32 z

rzr

xσσ , (14.3)

kai z=x (prie skylės), σ=-σ, o tolstant nuo skylės šie įtempimai sparčiai mažėja. Panašios formulės ir panašios (kaip 14.3 pav.) nomogramos žinynuose pateikiamos ne tik

įvairiems tempiamų strypų koncentratorių atvejams, bet taip pat ir sukamiems bei lenkiamiems strypams su koncentratoriais. Kokio pobūdžio yra įtempimų koncentracija tokių elementų skerspjūviuose, matyti iš 14.6 paveikslėlio.

14.6 pav.

Ypač įsidėmėtina tai, kad labai stiprus įtempimų koncentratorius yra siauras plyšys. Atvaizdavus plyšį elipse (14.7 pav.), kurios pusašės a ir b, maksimalus įtempimas

+=

ba21max σσ . (14.4)

14.7 pav.

Taigi, ties labai siauro (a>>b) plyšio viršūne įtempimo reikšmė gali būti labai didelė. Dar kruopštesni tyrimai rodo, kad šio įtempimo reikšmė ypač priklauso nuo plyšio viršūnės spindulio r — kuo tas spindulys mažesnis (kuo viršūnė smailesnė), tuo didesnė įtempimų koncentracija. Šios išvados labai svarbios, kai tiriama, kaip plyšiai plinta konstrukcijos medžiagoje ir ją suardo.

14.2. Plyšiai ir medžiagos irimas

Net ir labai plastiška medžiaga, veikiama didelių Įtempimų, suyra, bandinys arba konstrukcijos elementas nutrūksta, suskyla, sueižėja, sutrupa. Plastinėje medžiagoje iki suirimo atsiranda didelių plastinių deformacijų, tuo tarpu trapi medžiaga suyra, beveik jokių plastinių deformacijų neįgijusi.

Bet koks medžiagos irimas prasideda nuo mikroplyšio. Pirmieji plyšeliai atsiranda, be abejo, ten, kur susitelkę didžiausi normaliniai įtempimai, t.y. ties vienokiais ar kitokiais įtempimų koncentratoriais. Dideli įtempimai įveikia vidines medžiagos dalelių sankabos jėgas ir atplėšia daleles vieną nuo kitos. Trapaus irimo plyšys didėja labai sparčiai, o plastinis irimas lėtas. Plyšių realioje (nevienalytėje) medžiagoje gali atsirasti ir tada, kai nominaliniai Įtempimai (apskaičiuojami medžiagų atsparumo formulėmis) dar nėra pernelyg dideli. Šie plyšiai gali būti labai pavojingi, ypač jeigu nuo jų prasideda spartus trapusis irimas. Todėl gana svarbu pažinti plyšių atsiradimo ir plitimo kietuose kūnuose dėsnius; juos tiria irimo mechanika, kietojo deformuojamo kūno mechanikos dalis.

Kuo didesni bandinio (ar konstrukcijos elemento) matmenys, tuo didesnė mikroplyšių (galimų irimo židinių) atsiradimo tikimybė. Jie atsiranda dėl medžiagos kristalinės sandaros ydų, netolygaus medžiagos grūdelių sąlyčio, dėl elemento paviršiaus defektų, korozijos, dėl kintamų įtempimų (dėl medžiagos nuovargio). Plyšelių (mikroplyšių) ir plyšių yra kone visuose apkrautuose konstrukcijų elementuose. Dėl jų elemento stiprumas dar nėra prarastas. Net lėtas šių plyšių plitimas dar nereiškia medžiagos irimo. Trapusis irimas — tai spartus savaiminis (nestabilus) plyšio plitimas, net nedidėjant apkrovai.

Nagrinėjame tempiamą plokštelę (14.8 pav.), kurios plotis ir ilgis neriboti, o storis t. Plokštelėje yra 2L ilgio plyšys, statmenas tempimo krypčiai. Įtempimai σ=const, nekinta. Rūpi nustatyti, koks yra kritinis plyšio ilgis, t.y. kokio mažiausio ilgio plyšys yra jau nestabilus, jau linkęs nepaliaujamai plėstis, ilgėti. Tariame, kad į abi puses nuo plyšio yra elipsės pavidalo sritis B (paveikslėlyje užbrūkšniuota), kurioje nėra įtempimų (jie išnyko būtent dėl atsiradusio plyšio, taigi iš srities B išnyko ir susikaupusi potencinė deformavimo energija).

14.8 pav.

Plyšiui ilgėjant, didėjm jo paviršių plotas; naujam medžiagos paviršiui sudaryti (medžiagos dalelėms vieną nuo kitos atplėšti) reikia tam tikro energijos kiekio (sis kiekis priklauso nuo medžiagos savybių; pažymėsime raide γ energijos kiekį, kurio reikia naujo medžiagos paviršiaus ploto vienetui sudaryti; pavyzdžiui, plieno γ≈1J/m2. Kai apkrovimas ir įtempimai σ nedidinami, vienintelis energijos šaltinis gali būti potencinė energija, susikaupusi aplink plyšį ir atpalaiduojama, beilgėjant plyšiui ir besiplečiant sričiai B. Jeigu sritis B besiplėsdama atiduotų energijos tiek, kiek pakanka naujiems plyšio paviršiams sudaryti, tai šis plyšys ir ilgėtų. Kai medžiaga ideali vienalytė ir tampri, abiejų energijų (atpalaiduojamos ir sunaudojamos) lygybę išreiškia tokia sąlyga:

πγσ /22 EL = . (14.5) Iš šios sąlygos randame kritinį plyšio ilgį

22πσγELcr = . (14.6)

Jeigu įtempimai dideli, Lcr labai mažas (antai, išpūstą guminį balionėlį pakanka įdurti smeigtuku, ir jis sprogte plyšta). Kai plyšio ilgis žinomas, galime nustatyti kritinę įtempimo reikšmę:

LE

cr πγσ 2

= . (14.7)

Kai plyšys dėl kurių nors priežasčių pasiekia kritinį ilgį arba įtempimas — kritinę reikšmę σcr, plyšio ilgis gali tapti nestabilus, gali prasidėti savaiminis plyšio ilgėjimas. Pastarosiose formulėse nėra parametro, žyminčio plyšio viršūnės smailumą. O Grifitso sąlyga, nusakanti kritinį plyšio ilgį, yra tik būtina, bet ne pakankama. Kai plyšio viršūnė nėra labai smaila (kai plyšys nėra labai siauras), įtempimai ties viršūne, kaip rodo (14.4) formulė, dar nėra labai dideli. Tik tada, kai plyšio viršūnė smaila, plyšys ima sparčiai plisti (plitimo greitis pasiekia net pusę garso sklidimo greičio), vyksta trapusis medžiagos irimas.

Sąlygą (14.5) gauname, sulyginę srities B tūrio prieaugio potencinę energiją su energijos kiekiu, reikalingu plyšio paviršių ploto prieaugiui (taigi, tarę, kad kitokių pavidalų energija čia nesireiškia).

Kai irsta ne trapi, o plastinė medžiaga (pavyzdžiui, mažaanglis plienas), ploname sluoksnelyje apie plyšio viršūnę susidaro plastinė deformacija. Tačiau ir tokiam irimui (vadinamam kvazitrapiuoju)

galima pritaikyti Grifitso teoriją — reikia tik parametrą γ papildyti dydžiu γPl (plastinio deformavimo darbu, kurio prireikia naujo paviršiaus ploto vienetui sudaryti):

( )L

Eplcr π

γγσ

+=

2. (14.8)

Trapios medžiagos nenaudojamos tempiamiems konstrukcijų elementams — ne dėlto, kad jų tempiamasis stipris mažas (kad jiems nutraukti reikia mažos jėgos), o dėl to, kad joms suardyti pakanka nedidelės energijos (γ=1J/m2 — gana nedaug; antai, mūrininkas plytą perskelia plaktuko kirčiu). Tuo tarpu plastinės medžiagos sandara kinta daug plačiau apie plyšį, net iki 1cm gylio, ir šiam vyksmui (naujam plyšio paviršiui sudaryti) reikia nuo tūkstančių iki milijonų kartų daugiau energijos, tokia medžiaga atsparesnė plyšimui. Taigi, nors medžiagos stipris beveik toks pat, plastinės medžiagos suardymo energijos kiekis (tas antrasis parametro komponentas γpl nepalyginamai didesnis, pavyzdžiui, net mažaanglio plieno γpl≈103J/m2.

Medžiagų plyšių plitimo teoriją mokslininkai toliau plėtoja, siūlo naujų būdų, kaip sustabdyti medžiagoje atsivėrusių plyšių plitimą. Apie juos galite pasiskaityti vadovėliuose.

14.3. Sąlyčio (kontaktiniai) įtempimai

Įtempimai, kurie atsiranda dviejų elementų (detalių) sąlyčio mažame plote, vadinami sąlyčio arba kontaktiniais įtempimais.

Nors elementai vienas kitą veikia vienos krypties (gniuždomąja) jėga, tačiau šalia to mažo sąlyčio ploto esančios kitos konstrukcijos dalys neleidžia medžiagai po sąlyčio paviršiumi laisvai deformuotis (plėstis į šonus), todėl čia įtempimų būvis būna triašis (14.9 pav.). Tokie įtempimai būna tik prie pat sąlyčio paviršiaus. Bet yra konstrukcijų elementų, kuriems ir šie vietiniai įtempimai yra labai reikšmingi — tai rutuliniai ir ritininiai guoliai, krumpliaračiai, bėgiai ir kt. Jų paviršinės dalies stiprumas priklauso daugiausia nuo sąlyčio įtempimų, o suirus paviršiniam medžiagos sluoksniui, ir visas elementas nebetinka eksploatacijai. Kadangi nagrinėjamieji (pavojingieji) taškai yra prie pat apkrovos pridėties taškų (prie sąlyčio), negalioja Sen-Venano principas ir supaprastintieji inžineriniai įtempimų skaičiavimo metodai.

14.9 pav.

Čia susipažinsime su sąlyčio uždavinių sprendiniais, kurie yra gauti tamprumo teorijos metodais, padarius tokias prielaidas: ties sąlyčiu atsiranda tik tampriosios deformacijos, galioja Huko dėsnis; sąlyčio plotas mažas, palyginus su visu susiliečiančių elementų paviršiumi; jėgos, slegiančios sąlyčio paviršių, yra statmenos šiam paviršiui.

Kai vienas prie kito prispaudžiami du rutuliai, kurių spinduliai r1 ir r2 (14.10 pav.), o jų medžiagos tamprumo moduliai E1 ir E2, jų sąlyčio plotas yra skritulys, kurio spindulys

( )3

21

21

/1/1/1/188,0rrEEFa

++

= . (14.9)

14.10 pav.

Įtempimai sąlyčio plote pasiskirstę netolygiai, didžiausias įtempimas ties skritulio centru

2max3 5,1aFπ

σσ −=−= , (14.10)

kiti du svarbiausieji įtempimai 321 8,0 σσσ ≈= . (14.11)

Kai abiejų rutulių medžiaga vienoda (E1=E2=E),

3

2

21

212max

39,0

+=

rrrrFEσ , (14.12)

Jeigu vieną iš rutulių pakeisime plokštuma (r2=∞)

3 111,1E

Fra = , 32

1

2

max39,0

rFE

=σ . (14.13)

Ritinio (skersmuo d) ir plokštumos sąlyčio plotas stačiakampis, kurio plotis

Eqdb 15,2= , (14.14)

didžiausias įtempimas

dqE59,0

max=σ . (14.15)

(čia q — slėgio jėga, tenkanti ritinio ilgio vienetui). Panašios formulės žinynuose pateikiamos ir kitokiems sąlyčio atvejams. Nors sąlyčio įtempimai dažnai būna gana dideli, dėl jų medžiaga neyra — tai lemia triašis

grynasis gniuždymas (medžiaga iš visų pusių spaudžiama, nėra galimybių plyšiams atsirasti ir plisti). Pavyzdžiui, pasinaudoję energetiniu plastiškumo kriterijumi (5.12) ir įtempimų reikšmėmis (14.10), (14.11), galime nustatyti, kad 0,2|σ3|=σy arba |σ|max=|σ3|=5σy. Todėl sąlyčio įtempimų atžvilgiu plieno projektinis glemžiamasis stipris (arba leistinasis įtempimas) imamas maždaug tris kartus didesnis už takumo įtempimą σy.

15. APKROVOS DINAMIŠKUMO ĮTAKA

15.1. Dinaminių poveikių skaičiavimo ypatumai

Visuose vadovėlio skyriuose buvo nagrinėjami statinės apkrovos poveikiai - apkrovos, kuri visiškai nekinta arba kinta labai lėtai ir nesuteikia konstrukcijai pastebimų pagreičių.

Dinaminė apkrova - tai tokia apkrova, kurios didumas, kryptis arba pridėties taškas sparčiai kinta ir kuri dėl to konstrukcijos elementą veikia dideliu pagreičiu. Kai kada toks poveikis susijęs su paties konstrukcijos elemento judėjimu - kai tas elementas juda netolygiu greičiu (yra greitinamas arba stabdomas) arba kai jis sukasi (atsiranda įcentrinis pagreitis ir išcentrinės jėgos). Dinaminis poveikis būna akivaizdus, kai dėl staigiai pridėtos (smūginės) apkrovos konstrukcija ima dideliu greičiu deformuotis, o jos medžiagos tamprumas sukuria didelį stabdomąjį pagreitį - kol deformavimosi greitis sumažėja iki nulio arba net ima didėti priešinga kryptimi (prasideda konstrukcijos svyravimas, virpėjimas).

Kone visų mašinų (ir laivų, lėktuvų) konstrukcijų pagrindinės apkrovos yra dinaminės, susijusios su mašinų dalių nuolatiniais pagreičiais. Dažnai dinaminės apkrovos veikia ir pastatus, ypač pramoninius; šių apkrovų priežastys - dirbančių staklių, variklių keliami virpesiai, mėtomų (nors ir iš neaukštai) krovinių smūgiai, vėjo gūsiai ir kitos staigios ar greit kintančios apkrovos. Tiltus, estakadas, pokranines sijas, geležinkelio bėgius nuolat veikia judančios transporto priemonės. Ypatinga yra seisminė apkrova, kylanti dėl Žemės drebėjimo.

Dinaminė apkrova yra sudėtingesnė už statinę tuo, kad jai nusakyti reikia žinoti ne tik jėgų didumą, pridėties taškus bei kryptis, bet ir jų kitimo dėsnius. Todėl suprantama, kad ir tokios apkrovos veikiamų konstrukcijų skaičiavimas yra daug sudėtingesnis. Dinaminio skaičiavimo metodais rūpinasi konstrukcijų mechanikos šaka - konstrukcijų dinamika (statybinė dinamika). Tuo tarpu nesudėtinga medžiagų atsparumo metodika gali tikti tik kai kurių tampriųjų elementų dinaminio poveikio parametrams skaičiuoti. Dažnai stengiamasi dinaminio skaičiavimo metodiką supaprastinti taip, kad ji būtų panaši į statinio skaičiavimo metodiką. Pavyzdžiui, dinaminio poveikio parametrai apskaičiuojami, tariamo statinio poveikio parametrus dauginant iš specialiai nustatomo vadinamojo dinamiškumo koeficiento kdyn, kuris rodo, kiek kartų dinaminis poveikis didesnis už statinį:

...===st

dyn

st

dyndynk

εε

σσ

. (15.1)

Šis koeficientas kai kada būna labai didelis - siekia dešimtis ir šimtus. Medžiagų atsparumo naudojama dinaminio skaičiavimo metodika dažnai grindžiama dviem

teigimais: • d'Alambero principu, • mechaninės energijos tvermės dėsniu.

Iš teorinės mechanikos kurso žinomas d'Alambero principas teigia: prie veikiančių judantį kūną jėgų pridėjus inercijos jėgas, gaunama pusiausviroji jėgų sistema. Papildžius konstrukcijos elemento skaičiuojamojoje schemoje jėgų sistemą inercijos jėgomis,

belieka parašyti tokios sistemos pusiausvyros lygtis (o pusiausvyros lygtis sudarinėti mokame jau iš statikos). Inercijos jėga vadinamas vektorinis dydis, kurio skaitinė reikšmė nustatoma kūno masės ir jos pagreičio sandauga, o kryptis yra priešinga pagreičio krypčiai. D'Alambero principas taikomas, kai konstrukcijos elemento judėjimo pagreitis nesunkiai nustatomas (žr. 15.2 ir 15.3 poskyrius).

Tačiau yra dinaminių apkrovų, kurių sukeliamą konstrukcijos pagreitį nustatyti sunku. Akivaizdus tokios apkrovos pavyzdys - smūgis. Žinome konstrukcijos elemento greitį smūgio pabaigoje (jis lygus nuliui), galime nustatyti greitį smūgio pradžioje (jis lygus smogiančio, ant konstrukcijos krintančio daikto greičiui), tačiau pagreičiui apskaičiuoti reikia žinoti dar ir smūgio trukmę, o ją, matuojamą sekundės dalimis, net ir specialioje laboratorijoje nustatyti būna sunku. Tokiais atvejais ir pasitelkiamas mechaninės energijos tvermės dėsnis:

konstrukcijos elemento mechaninė energija, t.y. kinetinės ir potencinės energijų suma, smūgio metu nepakinta.

Taikydami tokį dėsnį, nepaisome to, kad nedidelė mechaninės energijos dalis smūgio metu vis dėlto virsta šilumine ir kitokia nemechanine energija. Be to, darome ir kitokių prielaidų, supaprastinančių inžinerinį konstrukcijos elemento skaičiavimą (15.4 poskyris).

Smūginės apkrovos sukeltas dinaminis poveikis dažnai reiškiasi ilgėliau trunkančiu tamprios konstrukcijos virpėjimu. Todėl to poveikio parametrai (poslinkiai, deformacijos, įtempimai) kinta laikui

bėgant, ir dažnai siekiama apskaičiuoti ne tų parametrų reikšmes kuriuo nors laiko momentu, o tik jų ribas, maksimalias reikšmes. Medžiagų atsparumo kurse galime susipažinti tik su pačių paprasčiausių tampriųjų virpesių nagrinėjimu (15.5 poskyris).

Staigi deformacija smūginės apkrovos metu gali net pakeisti kai kurių medžiagų savybes: medžiagos, kurios statinės apkrovos atveju deformuojasi plastiškai, po smūgio gali lūžti lyg būtų trapios. Todėl kartais medžiagos tiriamos tam tikrais muštuvais - jais nustatoma mechaninė medžiagų savybė smūginis tąsumas (trapumo savybės priešybė), pagal kurį sprendžiama, tinka ar netinka ta medžiaga smūginių apkrovų veikiamoms konstrukcijoms. Dinamiškai veikiamos detalės turi būti gaminamos iš medžiagos, kurios smūginis tąsumas ne mažesnis kaip 8-105J/m2.

15.2. Tiesia trajektorija judantis elementas

Jeigu konstrukcijos elemento judėjimas tiesiaeigis, dinaminis poveikis reiškiasi tik tuo atveju, kai kinta judėjimo greitis, t.y. kai judama su pagreičiu. Labai dažnai dideli pagreičiai pastebimi judėjimo pradžioje ir pabaigoje (ėmus stabdyti).

Nagrinėsime lyną, prie kurio apatinio galo prikabintas keliamas krovinys. Lynas krovinio yra tempiamas, jo skerspjūviuose veikia ašinė jėga. Dinaminį tokio judėjimo su pagreičiu poveikį (15-1) formulės pavyzdžiu nusako dinamiškumo koeficientas

gakdyn += 1 , (15.2)

čia g - laisvojo kritimo pagreitis, σ - krovinio kėlimo pagreitis. Dinamiškumo koeficientas gali būti gana didelis, ypač tokiuose įrenginiuose kaip greitaeigiai liftai.

Stabdant kėlimą arba ėmus krovinį leisti žemyn, pagreičio kryptis priešinga ir a reikšmė į (15.2) formulę įeina su minuso ženklu, dinaminiai įtempimai tampa mažesni už statinius įtempimus. O kai krovinys paleidžiamas laisvai kristi, a=-g, kdyn=0, t.y. lyne nelieka jokios įrąžos, jis būna visiškai neįtemptas, palaidas. Labai staigus sustabdymas yra nagrinėtinas kaip smūgis, kuriam skirtas 15.4 poskyris.

Kai įskaitome ir lyno savąjį svorį q (išreikštą N/m), lyno kiekvieno skerspjūvio ašinė jėga N vis kitokia. Kol krovinys kybo nejudėdamas ir vėliau, kai jis keliamas vienodu greičiu (kai pagreitis lygus nuliui, todėl ir parodytoji 15.1 paveikslėlyje inercijos jėga Ft=0), lyną veikia tik statinė ašinė jėga, lygi keliamo krovinio ir lyno ruožo svorio jėgos sumai: Nst=G+qz. Tačiau kai krovinys pradedamas kelti ir jo greitis didinamas, pagreitis a nebelygus nuliui ir yra nukreiptas į viršų, atsiranda nebelygi nuliui inercijos jėga Ft, nukreipta priešingai - žemyn. Dinaminę ašinę jėgą apskaičiuojame, parašę pagal d'Alambero principą pusiausvyros lygtį:

Ndyn=Nst+Fi. (a)

15.1 pav.

Inercijos jėga lygi krovinio ir lyno dalies (iki tariamojo pjūvio) masei m(z), padaugintai iš pagreičio a. Šios masės didumą nustatome, padaliję visą svorio jėgą iš laisvojo kritimo pagreičio: m(z)=(G+qz)/g=Nst/g. Taigi,

Fi=m(z)a=Nsta/g. Įrašę šią reikšmę į (a) lygtį, gauname tokią dinaminės ašinės jėgos išraišką. Galime paskaičiuoti ir dinaminį įtempimą.

15.3. Besisukantis elementas

Kai konstrukcijos elementas dideliu kampiniu greičiu ω sukasi apie kokią nors ašį, kiekvienos to elemento dalelės normalinis pagreitis (nukreiptas spinduliu į sukimosi ašį)

a=rω2. (r - sukimosi spindulys). Remdamiesi d'Alambero principu, tariame, kad kiekvieną konstrukcijos masės elementą dm veikia inercijos jėga dFi, nukreipta irgi sukimosi spinduliu, bet priešingai (nuo sukimosi ašies), t.y. išcentrinė inercijos jėga:

dVrdmrdmadFi ρωω 22 ==⋅= , (15.3) (ρ - medžiagos tankis, dV - tūrio elementas).

Pažiūrėkime, kaip tokios išcentrinės jėgos veikia konstrukcijos elementą, kuris yra įtvirtintas ašyje, statmenoje pačiam elementui, ir sukasi apie tą ašį (15.2 pav.). Elemento skerspjūvis vienodas per visą ilgį L, jo plotas A. Jeigu, be šių išcentrinių jėgų, jokių kitų apkrovų nėra, tai elemento skerspjūvyje, nutolusiame z atstumu nuo sukimosi ašies, veikia ašinė jėga Ndyn, kuri lygi sumai inercijos jėgų, veikiančių elemento dalį, esančią už nagrinėjamojo pjūvio:

2

2222 zLAzdzAdFN

L

z

L

z idyn−

=== ∫∫ ρωρω . (15.4)

15.2 pav.

Didžiausia ašinė jėga veikia prie sukimosi ašies, ties įtvirtinimu (kur z=0):

2

22

max,LANdyn ρω= . (15.5)

Didžiausi įtempimai

2

22

max,L

dyn ρωσ = . (15.6)

Dabar panagrinėkime konstrukcijos elementą, kuris sukasi apie ašį, lygiagrečią pačiam elementui (15.3 pav.). Šiuo atveju išcentrinę apkrovą, susidedančią iš inercijos jėgų dFi, vienodai veikiančių visas elemento daleles, galime laikyti tolygiai išskirstytu išcentriniu krūviu

Arqi ρω 2= . (15.7)

15.3 pav.

Svarbiausios (pavojingiausios) šio krūvio sukeliamos įrąžos yra lenkimo momentai, kurių diagrama parodyta 15.3 paveikslėlyje. Didžiausias lenkimo momentas - prie įtvirtinimo,

22

22

2

max,LArLqM idyn ρω== .

Lenkimo momentų pasiskirstymas ir jų reikšmės priklauso nuo besisukančio strypo įtvirtinimo (15.4 pav.). Yra daug įvairių mašinų detalių, kurios sukasi dideliu greičiu apie vienokias ar kitokias ašis. Jų dinaminio skaičiavimo uždaviniai yra panašūs į čia išnagrinėtus, tačiau kai kurie gana sudėtingai sprendžiami.

15.4 pav.

15.4. Smūgis

Smūginės apkrovos atveju, kadangi negalime naudotis patogiu d'Alambero principu (žr. 15.1 poskyrį), remiamės mechaninės energijos tvermės dėsniu.

Pirma nustatysime krintančio kūno smūgio dinaminį poveikį. Padarę kai kurias prielaidas, gauname, kad šį poveikį nusako toks dinamiškumo koeficientas, įvestas pagal (15.1) formulę:

stdyn

Hkδ211 ++= , (15.8)

čia H – smogiančio kūno kritimo aukštis, δst – konstrukcijos taško, ant kurio nukrinta kūnas, statinis poslinkis smūgio kryptimi (t.y. poslinkis nuo statiškai pridėtos jėgos, lygios smogusio kūno svorio jėgai). Kai 2H>>δst (o taip būna dažnai), abu vienetukai (15.8) formulėje tampa mažareikšmiai ir galima naudoti supaprastintas formules:

ststdyn

HHkδδ221 ≈+= , (15.8a)

Pradėdami nagrinėti krintančio kūno smūgį, tariame, kad paties kūno deformavimosi energija yra mažareikšmė, jos galima nepaisyti (tarytum krintantis kūnas būtų absoliučiai standus). Absoliučiai standžiomis, nesideformuojančiomis laikome ir konstrukcijos atramas. Nepaisome ir nagrinėjamojo konstrukcijos elemento masės įtakos (tarytum konstrukcija būtų besvorė) bei smūgio vietoje atsirandančių vietinių deformacijų. Tariame, kad jokia energijos dalis neišeikvojama oro pasipriešinimui nugalėti, nė mažiausia jos dalis smūgio metu nevirsta šilumine energija, garso energija ir pan.

Po tokių prielaidų taikydami mechaninės energijos tvermės dėsnį, teigiame, kad visa krintančio (smogiančio) kūno kinetinė energija K prilygsta potencinei deformavimo energijai Udyn, kuri šio smūgio metu susikaupia nagrinėjamame konstrukcijos elemente:

K=Udyn. (15.9) Kinetinė energija yra lygi darbui, kurį atlieka krintančio kūno masės m svorio jėga mg, nueidama

kelią 2H+δst (H – kūno kritimo aukštis, δst – konstrukcijos taško, ant kurio nukrinta kūnas, poslinkis; 15.5, a, b ir c):

K=mg(H+δst). (15.10) Potencinę energiją, susikaupiančią smūgio metu deformuojamame strype, galima išreikšti

dinaminės (smūgio) jėgos Fdyn ir jos pridėties taško dinaminio poslinkio sdyn sandaugos puse: Udyn=Fdynsdyn/2. Panaudoję dinamiškumo koeficientą (dinaminio poveikio ir statinio poveikio parametrų santykį)

mgF

FF

ss

k dyn

st

dyn

st

dyndyn === .

turime Fdyn=kdynmg, sdyn=kdynsst ir

2

2stdyn

dyn

mgskU = . (15.11)

(15.11) išraiškas į (15.9) lygybę, turime

0222 =−−dyn

dyndyn sHkk . (15.12)

Kvadratinės lygties (15.12) sprendinys ir yra dinamiškumo koeficiento išraiška (15.8); antrasis šios lygties sprendinys (su minusu prieš kvadratinę šaknį) yra neigiamas ir neturi realios prasmės.

Dinamiškumo koeficiento formulė (15.8) nėra tiksli, bet kol santykis 2H/sst<100, jos paklaida neviršija 10%; kitais atvejais nedera nepaisyti deformuojamo elemento masės įtakos, ir skaičiavimas darosi sudėtingesnis. Kai naudojamės formule (15.8), ypač svarbu gerai nustatyti statinio poslinkio sst reikšmę. Šis poslinkis priklauso nuo deformavimo tipo (tempimas, gniuždymas, sukimas ar lenkimas), nuo smūgio taško padėties ir dažnai nuo viso elemento deformacijų. Pavyzdžiui, 15.5 paveikslėlyje parodytų konstrukcijų poslinkiai būtų išreiškiami taip:

a) tempimas, sst=mgL/(EA), b) lenkimas (gembinės sijos galo poslinkis pagal 9.1 lentelės formulę), sst=mgL3/(ZEI), c) sukimas (T=mgr, ϕ=TL/GIp), sat=ϕr,

čia visur mg - nukrintančio krovinio svorio jėga, apskaičiuota kaip statinis veiksnys.

15.5 pav.

Verta įsidėmėti, kad kuo didesnis statinis poslinkis sst, tuo mažesnis dinamiškumo koeficientas, taigi tuo mažesnė ir apkrovos dinamiškumo įtaka konstrukcijai. Todėl, norėdami apsaugoti smūgių veikiamą konstrukciją nuo per didelių įtempimų ir galimo suirimo, jos atramas ir kai kuriuos kitus elementus darome kuo mažiau standžius, kad kuo daugiau deformuotųsi - įtaisome spyruokles, linges ir pan. Ir atvirkščiai - kai kurią nors smūgio veikiamos konstrukcijos dalį sustandiname, kitose, nepakeistose konstrukcijos dalyse įtempimai, atsiradę dėl smūgio, būna didesni.

Sudarydami galimybę atsirasti kuo didesnėms deformacijoms, didelę dalį kinetinės smūgio energijos nukreipiame į deformavimo procesą, mažiau jos lieka ardymui. Spyruoklės, lingės yra energijos kaupyklės, iš kurių ji grįžta nebe staigiai, o švelniau, per ilgiau trunkančius virpesius. Šios tamprumo energijos kaupimo galia priklauso ir nuo konstrukcinės medžiagos savybių, nuo vadinamojo reziljanso, minėto 3 skyriuje.

Dinaminis poveikis pasireiškia ir tada, kai koks nors kūnas ne metamas iš kurio nors aukščio H, bet nuleidžiamas iki pat konstrukcijos paviršiaus ir staigiai atleidžiamas (taigi, kritimo aukštis H=0):

kdyn=2. Išvada: toks staigus apkrovos pridėjimas padvigubina apkrovos poveikį į konstrukciją.

Nesunku pereiti nuo krintančio kūno smūgio, kurio dinamiškumas nusakomas (15.8) formule, prie kitokio, apibūdinamo smūgio greičiu. Mat, smūgio pradžioje krintančio kūno greitis v priklauso nuo kritimo aukščio H: v2=2Hg, arba 2H=v2/g. Įrašę šią 2H reikšmę į (15.8) formulę, turime:

. (15.13) Formulėje (15.13) sst prasmė ta pati, kaip (15.8) formulėje - smūgio taško statinis poslinkis

smūgio kryptimi, jeigu prie to taško tąja kryptimi statiškai pridedama jėga, lygi smogiančio kūno svorio jėgai.

15.5. Tamprieji virpesiai

Po smūgio ar kitos panašios dinaminės apkrovos konstrukcijos deformavimasis yra tam tikrą laiką trunkantis procesas: konstrukcijos elementai svyruoja, virpa. įsivaizduokite tamprią gembinę siją, kuri visa yra besvorė ir tiktai prie jos laisvojo galo pritvirtintas krovinys, kurio masė m (15.6 pav.). Jeigu atitempiame tą krovinį žemyn (suteikiame poslinkį s) ir staigiai atleidžiame, sijoje susikaupusi potencinė energija kelia krovinį aukštyn, kelia su nemažu pagreičiu a=d2s/dt2, taigi šis veiksmas yra dinaminis. Remdamiesi d'Alambero principu, galime sakyti, kad krovinį veikia inercijos jėga

, (15.14) (minusas reiškia, kad jėgos kryptis priešinga pagreičio krypčiai). Staigiai veikdama, sijos potencinė energija ne tik sugrąžina krovinį į pirminį (nedeformuotos sijos) būvį, bet iškelia dar aukščiau - dabar jau sija išlinksta atvirkščiai ir joje vėl susikaupia energijos. Kinta pagreičio kryptis, kinta ir inercijos jėgos didumas bei kryptis. Kadangi veikia dar ir įvairios kitos virpėjimą (svyravimą) slopinančios jėgos (oro

pasipriešinimas, sijos vidaus trintis), šitoks virpėjimas apie nedeformuotą būvį, laikui bėgant silpsta, slopsta ir pagaliau nuslopsta.

15.6 pav.

Tokie virpesiai, sąlygojami tampriųjų deformacijų, vadinami laisvaisiais arba savaisiais tampriaisiais virpesiais (svyravimais). Vienokia ar kitokia vienkartinė priežastis (pavyzdžiui, smūgis) suteikia konstrukcijos masei pradinę nuokrypą nuo pusiausvyros būvio (pradinį poslinkį) arba pradinį greitį, o vidinės tamprumo jėgos, besistengdamos atstatyti pusiausvyros būvį, pratęsia virpėjimo procesą, kol jis dėl slopinančiųjų jėgų nuslopsta (sunaudojęs visą iš pradžių suteiktą iš išorės energiją).

Dažnai susiduriame su kartotinėmis virpesių priežastimis, kurios nepaliaujamai vienokiu ar kitokiu dažniu veikia (žadina) konstrukcijos masę (pavyzdžiui, neišbalansuotų mašinų detalių “mušimas“, kalimo ar štampavimo įtaisų smūgiai). Tokie virpesiai, sąlygojami tik išorinių žadinančių jėgų, vadinami priverstiniais virpesiais. Šie virpesiai neslopsta, nes besikartojančios išorinės jėgos virpančiam elementui nuolat teikia papildomos energijos.

Tiek laisvieji (savieji), tiek ir priverstiniai virpesiai gali būti periodiniai, beveik periodiniai arba neperiodiniai. Čia nagrinėsime tik periodinius virpesius. Periodas T - tai laiko t tarpas, per kurį įvyksta visas virpėjimo ciklas. Atvirkštinis dydis l/T vadinamas virpesių dažniu. Technikoje daug dažniau yra naudojamas vadinamasis ciklinis dažnis ω, rodantis, kiek periodų telpa į 2πr sekundžių laikotarpi (t.y. kiek kartų parametro reikšmė pasikartoja per 2πr sekundžių):

Tπω 2

= . (15.15)

Didžiausia virpančios masės nuokrypa (didžiausia poslinkio s reikšmė) kiekviename virpėjimo cikle vadinama virpesių amplitude.

Nagrinėdami konstrukcijos elemento virpesius, aprašome masių judėjimą (nes būtent tik masė drauge su pagreičiu duoda inercijos jėgą). Prie gembinės sijos (15.6 pav.) stebėjome prikabinto krovinio masę ir visiškai nepaisėme pačios sijos masės (tarėme ją esančią besvorę). Šio krovinio masė virpa, judėdama vertikalia kryptimi. Masės (taigi ir visos sijos) padėčiai bet kuriuo laiko momentu nustatyti pakanka žinoti vienintelio parametro reikšmę. Tačiau jeigu prie sijos prijungtos dvi masės - m1 ir m2 (15.7 pav.), sijos būviui nustatyti būtina žinoti jau dviejų parametrų (s1 ir s2) reikšmes. Kai konstrukcija sudėtingesnė, kai masė gali judėti ne tik viena kryptimi (ne tik vertikaliai), konstrukcijos būviui nusakyti reikia dar daugiau parametrų. Pavyzdžiui, gembinio rėmo (15.8 pav.) su prijungta viena mase būvį nusako du parametrai - du masės poslinkio komponentai sh ir sv. Parametrų skaičius, reikalingas virpančios sistemos būviui nustatyti, vadinamas jos laisvumo laipsniu.

15.7 pav.

15.8 pav.

Taigi, 15.6 paveikslėlyje parodytas konstrukcijos elementas yra vieno laisvumo laipsnio, o 15.7 ir 15.9 paveikslėliuose - dviejų laisvumo laipsnių.

Toks konstrukcijos laisvumo laipsnio nustatymas visiškai priimtinas, kai prie jos tikrai yra prijungta kokia nors sutelkta masė (krovinys, staklės ar pan.), šalia kurios yra nereikšminga (pernelyg maža) pačios konstrukcijos masė. Tačiau dažnai taip nėra, o kai kada virpa vien tik pati konstrukcija, be jokios papildomos prijungtos masės. Konstrukcijos masė yra pasiskirsčiusi visame jos tūryje, visame strypo ilgyje. Kiekviena tampraus konstrukcijos elemento dalelė tam tikru laipsniu gali virpėti

geometriškai nepriklausomai nuo kitų dalelių. Net ir paprasčiausios sijos būviui nusakyti reikėtų žinoti begalinį skaičių parametrų, realios konstrukcijos laisvumo laipsnis yra begalinis. Ne tik begalinio, bet ir baigtinio labai didelio laisvumo laipsnio elementų virpesių nagrinėti nepajėgiame - tai pernelyg sudėtinga. Paprastai konstrukcijos pasiskirsčiusioji masė skaičiuojamojoje schemoje pakeičiama viena, dviem ar keliomis sutelktomis masėmis (o visos kitos konstrukcijos dalys laikomos besvorėmis); tokios skaičiuojamosios schemos panašios į nagrinėtąsias (15.6-15.8 pav.).

Toliau kalbėsime tiktai apie vieno laisvumo laipsnio konstrukcijos elemento svyravimus. Laisvųjų slopinamųjų svyravimų atveju dinaminės pusiausvyros diferencialinė lygtis yra tokia:

012

2

=++ ssmdt

dsmdt

sd α, (15.16)

o jos sprendinys - ( ) ( 02/

0 sin ϕωα += − teas mt ) , (15.17) čia α - slopinimo proporcingumo koeficientas, priklausantis ne tik nuo medžiagos savybių, bet ir nuo konstrukcijos masės bei standumo, s - masės poslinkis dėl vienetui lygios jėgos, kuri statiškai pridėta prie konstrukcijos masės judėjimo kryptimi, e - natūrinių logaritmų pagrindas, a0 - pradinė virpesių amplitudė, ϕ0 - jų pradinė fazė, ω - ciklinis dažnis.

Šiuos (15.17) lygtimi aprašomus slopinamuosius (slopstančiuosius) laisvuosius virpesius ir jų parametrus vaizduoja grafikas (15.9 pav.). Virpesių slopinimo (jų slopimo) greitį apibūdina slopimo (slopinimo) koeficientas n=a/(2m) arba logaritminis slopimo (slopinimo) dekrementas, išreiškiantis dviejų gretimų vienaženklių amplitudžių santykio natūrinį logaritmą,

nTmT

aa

n

n ===+ 2

ln1

αλ . (15.18)

15.9 pav.

Virpančiąja masę m bet kuriuo laiko momentu t veikia trys jėgos: inercijos jėga Fi, konstrukcijos tamprumo jėga Ft ir slopinančioji pasipriešinimo jėga Fs. Dinaminės pusiausvyros lygtis išreiškia šių trijų jėgų sumos lygybę nuliui:

Fi+Ft+Fs=0. (15.19) Inercijos jėga yra proporcinga masės judėjimo pagreičiui, ji yra išreikšta (15.14) formule. Tamprumo jėga atsiranda tik tada, kai masė nukrypsta nuo statinės pusiausvyros būvio ir yra

proporcinga šios nuokrypos didumui, t.y. proporcinga poslinkiui s(t); ši jėga stengiasi grąžinti masę atgal, kryptimi, priešinga poslinkiui, todėl Ft=-ξs. Proporcingumo koeficientą ξ, priklausantį nuo konstrukcijos medžiagos tamprumo ir geometrinių rodiklių, galime rasti, panaudoję poslinkį s dėl vienetinės jėgos - tada 1=ξ s ir ξ=1/ s . Taigi,

ss

Ft1α−= . (15.20)

Slopinančiąja jėgą (atsirandančią dėl aplinkos pasipriešinimo, dėl vidaus trinties jėgų) galime tarti esančią proporcingą masės virpėjimo greičiui v=ds/dt. Šios jėgos kryptis taip pat priešinga judėjimo (greičio) krypčiai, todėl

dtdsFs α−= , (15.21)

(čia α - slopinimo proporcingumo koeficientas). Įrašę visų jėgų reikšmes į (15.19) lygtį, ir gauname homogeninę tiesinę diferencialinę antrosios eilės lygtį (15.16). Šios lygties sprendinio (15.17) parametrų reikšmės yra tokios:

2

21

−=

msmαω , (15.22)

(čia pošaknio antrasis narys dažniausiai būna kelis šimtus kartų mažesnis už pirmąjį narį, todėl gali būti ir nepaisomas),

2

00200

2

++=

ω

αm

svsa , (15.23)

0

00 arcsin

as

=ϕ , (15.24)

čia S0=a0sinϕ0 - pradinis poslinkis, v0 - pradinis virpėjimo greitis. Priverstinių virpesių priežastis yra kintama žadinančioji jėga Fk. Dažnai ši jėga gali būti

reiškiama periodine funkcija, pavyzdžiui Fk(t)=F0sinθt, (15.25)

čia F0 - žadinančiosios jėgos amplitudė, θ - jos ciklinis dažnis. Tokią (harmoninę) apkrovą, pavyzdžiui, sudaro besisukančios mašinos dalies neišbalansuota masė.

Kai iškaitome ir žadinančiąja jėgą, diferencialinė dinaminės pusiausvyros lygtis jau nebe (15.16) pavidalo, bet štai tokia (jau nehomogeninė):

tmFs

dtds

mdtsd θωα sin022

2

=++ . (15.26)

Šios diferencialinės lygties sprendinys yra daug sudėtingesnis negu (15.17) ir mes jo detaliau nenagrinėsime. Šio sprendinio viena dalis aprašo konstrukcijos savuosius virpesius, kurie gana greit nuslopsta (todėl ši dalis gali būti nepaisoma), o antroji dalis, priklausanti nuo žadinančiosios jėgos didumo ir dažnio, dažnai išreiškiama su dinamiškumo koeficientu

2

2

2

2

2

1

1

+

−

=

ωαθ

ωθ

m

kdyn , (15.27)

rodančiu, kiek kartų žadinančiosios jėgos dinaminis poveikis (jos sukelti poslinkiai, deformacijos, įtempimai) yra didesnis už tą poveikį, kurį sukeltų statiškai pridėta jėga F0.

Kai α=0, t.y. kai nepaisoma slopinamojo poveikio, (15.27) išraiška paprastesnė:

2

1

1

−

=

ωθ

dynk . (15.28)

Matome, kad kai priverstinių virpesių dažnis θ yra artimas savųjų virpesių dažniui ω, dinamiškumo koeficientas kdyn=±∞. Iš tikro, kadangi realių konstrukcijų α≠0, šio koeficiento absoliutinis didumas iki begalybės neišauga, bet jo reikšmės tampa labai didelės, kai θ artėja prie ω. Virpesių amplitudžių didėjimas dėl žadinančios jėgos ir savųjų virpesių dažnių suartėjimo vadinamas rezonansu.

Rezonanso atveju tarp virpesių ir žadinančiosios jėgos fazių yra π/2 skirtumas - didžiausia svyravimų amplitudė būna tuo momentu, kai žadinančioji jėga lygi nuliui.

Kai θ>ω, dinamiškumo koeficientas, apskaičiuotas (15.28) formule, yra neigiamas. Tai reiškia, kad žadinančiosios jėgos ir masės judesio kryptys priešingos.

Kai jūs einate per lieptą ir jūsų žingsnių ritmas tampa artimas liepto savųjų virpesių dažniui, lieptas ima siūbuoti labai stipriai, gali net sugriūti, jeigu jūs nepakeisite žingsnių ritmo (nesulėtinsite ar nepadažninsite). Lygiai taip pat reikia elgtis su bet kuria konstrukcija, kurią veikia periodinės žadinančios jėgos - reikia vengti rezonanso, kuris veda į avariją. Konstruodami stengiamės pasiekti tokį konstrukcijos elemento savųjų virpesių dažnį ω, nustatomą formule (15.22), kad jis pakankamai daug skirtųsi nuo numatomų priverstinių virpesių dažnio θ, kad nebūtų rezonanso pavojaus. Kartais, ypač kai žadinančios jėgos ima pavojingai veikti jau eksploatuojamą konstrukciją, įrengiami specialūs virpesius slopinantieji įtaisai, vadinamieji slopintuvai (dempferiai), kurie sugeria virpesių energiją ir sumažina amplitudę.

Tampriųjų virpesių veikiamo konstrukcijos elemento patikimumas labiausiai sumažėja dviem atvejais:

kai dėl ilgai trunkančių priverstinių virpesių arba dėl daugkartinių, nors ir greit slopstančių laisvųjų virpesių atsiranda medžiagos nuovargio reiškinys,

kai dėl rezonanso pernelyg išauga įtempimai. Plačiau apie tampriuosius virpesius paskaityti galite vadovėliuose.

16. KINTAMŲJŲ ĮTEMPIMŲ ĮTAKA

16.1. Medžiagos nuovargis

Jau nagrinėdami 15.5 poskyryje tampriuosius virpesius matėme, kad yra nemaža konstrukcijų elementų, kuriuos veikiančių įtempimų didumas ir kryptis nuolat kinta (pakinta tūkstančius ir šimtus tūkstančių kartų). Įtempimai kinta arba dėl to, kad kinta apkrovos jėgos, arba dėl to, kad kinta konstrukcijos elemento padėtis apkrovos atžvilgiu (pavyzdžiui, besisukanti drauge su ratais vagono ašis yra vagono svorio periodiškai lenkiama tai į vieną, tai į kitą pusę; panašiai veikiami variklių alkūniniai velenai, švaistikliai, vožtuvai ir kitos mašinų detalės).

Toks kartotinis kintamas mechaninis poveikis konstrukcinei medžiagai yra daug pavojingesnis negu vienkartinė apkrova. Kai įtempimai kinta, po kurio laiko medžiaga suyra, nors įtempimų reikšmės ir nebuvo pasiekusios tokio didumo, dėl kurio grėstų suirimas vienodos nekintamos apkrovos atveju. Tai ypač aiškiai pastebima metaluose. Net ir plastinės medžiagos dėl kintamų įtempimų suyra taip, lyg būtų trapios, be liekamųjų deformacijų (įtempimams net nepasiekus takumo įtempimo reikšmės).

Medžiagos irimas dėl laipsniško kintamųjų įtempimų poveikio yra vadinamas nuovarginiu irimu, o visas reiškinys - medžiagos nuovargiu. Nuovargiu šis reiškinys buvo pavadintas, ėmus aiškinti, kad dėl kintamo poveikio pakinta medžiagos sandara, medžiaga “nuvargsta”, sumažėja jos stiprumas. Iš tikrųjų kintamieji įtempimai medžiagos struktūrai įtakos beveik nedaro. Medžiaga suyra dėl to, kad kartotinė - kintama apkrova sudaro sąlygas atsirasti ir plisti vadinamajam nuovarginiam plyšiui.

Medžiagos (net ir gana vienalytės, tokios kaip plienas) sandara nėra visiškai vienoda (nors ir taip teigia medžiagų atsparumo prielaida apie vienalytiškumą). Pavyzdžiui, metalo kristalitų stiprumas yra skirtingas įvairiomis kryptimis. Kintant įtempimams, kintant svarbiausiųjų (maksimalių) įtempimų kryptims, kai kuriose kristalitų vietose atsiranda plastinių deformacijų. Daug kartų pasikeitus plastinės deformacijos didumui ir krypčiai (ir ypač pasikeitus jos ženklui) kristalų grūdeliai atitrūksta vienas nuo kito - atsiranda mikroplyšelis, būsimo plyšio užuomazga. Jeigu įtempimai nebekištų, toks plyšelis būtų visiškai nepavojingas. įtempimams toliau kaitaliojantis; tokių mikroplyšelių ilgainiui atsiranda daug, jie ima jungtis vienas su kitu, plėstis, susilieja į ištisinius mikroplyšius. Šių plyšių kraštuose susidaro įtempimų koncentracija, kuri dar labiau stimuliuoja plyšių plitimą. Išplitus plyšiui, sumažėja deformuojamo elemento skerspjūvis ir jo taškams tenka dar didesni įtempimai, kurių atlaikyti susilpnėjęs skerspjūvis nebepajėgia - elementas nulūžta, nutrūksta.

Nuovarginio plyšio susidarymo mechanizmas gana sudėtingas ir lig šiol nėra iki galo ištirtas. Tačiau visiškai aiškūs yra tokie dalykai:

kintamųjų įtempimų sukelti procesai medžiagoje yra vietinio pobūdžio, neapima iš karto visos medžiagos, nuovarginiam plyšiui atsirasti lemiamą įtaką turi ne normaliniai, bet tangentiniai įtempimai, o

plyšio plitimą spartina ir galutinai elementą suardo ir normaliniai įtempimai. Kai mašinos detalė ar kitas konstrukcijos elementas lūžta dėl nuovargio, lūžio struktūra ypatinga

(16.1 pav.): viena lūžio dalis yra gana lygi, kai kada šiek tiek primenanti medienos rieves, o kita - grublėta. Toji lygioji dalis yra nuovarginio plyšio plitimo sritis (ji kai kada apima daugiau kaip pusę skerspjūvio ploto); kintant įtempimams, plyšys tai prasiskečia, tai vėl susiglaudžia ir plyšio paviršiai apspaudžia, aplygina vienas kitą. Šie plyšio plitimo stabtelėjimai ir sudaro lūžio plote medžio rievių vaizdą. Kai skerspjūvis, plyšio sumažintas, tampa pernelyg silpnas, o ties smailia plyšio viršūne susidaro triašis įtempimų būvis, stabdantis plastines deformacijas, pakanka nedidelio staigaus poveikio, kad likusi skerspjūvio dalis staiga suirtų trapiai. Šį trapųjį irimą ir rodo antrosios lūžio dalies grublėtumas.

16.1 pav.

Nuovarginio plyšio židinys dažniausiai būna ties konstrukcijos elemento paviršiumi (taip parodyta ir 16.1 paveikslėlyje). Mat, pakraštiniuose skerspjūvio taškuose dažnai įtempimai būna didžiausi (prisiminkite lenkiamų, sukamų elementų įtempimus), be to, čia dėl įbrėžimų ir kitų paviršiaus defektų

pasireiškia ir įtempimų koncentracija. Tačiau pasitaiko, kad plyšys dėl kokio nors medžiagos struktūros defekto prasideda ir skerspjūvio viduryje.

Mašinų detalių nuovargio reiškinys dažnas ir pavojingas. Apie 90% lūžusių detalių suirimo priežastis yra nuovarginis plyšys. O ypatingą pavojų sudaro nuovarginio suirimo staigumas: besivystantį plyšį laiku pastebėti sunku (tam reikia net specialios aparatūros), o lūžus vienai vagono ašiai, įvyksta viso traukinio katastrofa. Todėl dažnai, siekiant išvengti nuovarginio suirimo, yra nustatoma konstrukcijos ar jos elemento, veikiamo kintamų įtempimų, eksploatacijos trukmė, išreiškiama darbo laiku arba įtempimų ciklų skaičiumi.

Apkrovos ir įtempimai gali kisti labai sudėtingai, kai kada net be jokio dėsningumo (įsivaizduokite vėjo gūsius arba jūros bangų mūšą). Tačiau dažnai (ypač mašinų detalėse) įtempimas kinta periodiškai, jo reikšmės per tam tikrą laiko tarpą (periodą) pasikartoja. Įtempimo reikšmių per jo kitimo periodą visuma vadinama įtempimo ciklu (16.2 pav.).

16.2 pav.

Kintamo įtempimo ciklas gali būti apibūdinamas dviem reikšmėmis - didžiausia įtempimo reikšme σmax ir mažiausia σmin. Dažnai yra patogiau naudoti kitus, išvestinius ciklo rodiklius (čia visus rodiklius reiškiame normaliniais įtempimais σ, bet lygiai taip pat gali būti aprašomas ir tangentinio įtempimo ciklas - naudojant τmax, τmin, τm, τa):

vidutinį ciklo įtempimą σm=(σmax+σmin)/2, (16.1)

įtempimo ciklo amplitudę σa=(σmax-σmin)/2, (16.2)

įtempimo ciklo asimetrijos koeficientą r=σmin/σmax. (16.3)

Šio koeficiento reikšmė gali būti nuo -∞ iki +∞. Ciklai su vienodu asimetrijos koeficientu vadinami panašiaisiais.

Kai kurie ypatingi ciklai turi specialius pavadinimus. Pavyzdžiui, ciklas, kuriame σmax=-σmin, vadinamas simetriniu (16.3 pav., a); šio ciklo rodikliai tokie:

σm=0, σa=σmax, r=-1. Ciklas, kuriame σmin=0 (t.y. įtempimas cikle kinta nuo nulio iki maksimalios reikšmės), vadinamas pulsaciniu (16.3 pav., b); šio ciklo rodikliai tokie:

σm=σa=σmax/2, r=0.

16.3 pav.

Net ir nekintamą įtempimą galime nagrinėti kaip atskirą kintamo įtempimo atveją - kaip ciklą su σmax=σmin=σm, σa=0, r=1.

Kaip yra patirta įvairiais eksperimentais, nuovarginio plyšio vystymosi procesas nepriklauso nuo to, kaip kinta įtempimas tarp σmax ir σmin, priklauso tik nuo šių dviejų reikšmių arba išvestinių rodiklių, išreikštų (16.1)-(16.3) formulėmis.

Nors nuovargio reiškinį sukelia bet koks įtempimų kitimas, bet kuo didesnis σmax, tuo mažiau ciklų trunka iki suirimo. Be to, kai kinta ne tik įtempimo reikšmė, bet ir ženklas (kai r<0), nuovarginis plyšys vystosi sparčiau. Pavojingiausias yra simetrinis įtempimo ciklas (r=-1): toks įtempimų kitimas greičiausiai (per mažiausią skaičių ciklų) suardo detalę.

16.2. Patvarumas

Nuovarginio suirimo pavojus rodo, kad paprastos stiprumo sąlygos (kokias nagrinėjome užsiėmimų metu) anaiptol nėra pakankamos tiems konstrukcijų elementams, kuriuos veikia kintami įtempimai. Konstrukcijų elementų (mašinų detalių) skaičiavimo metodika turi garantuoti, kad elementas atlaikys pakankamai daug kintamųjų įtempimų ciklų. Konstrukcijos elemento, detalės savybė nesuirti dėl kintamųjų įtempimų, nuo kurių atsiranda besiplečiantis nuovarginis plyšys, savybė priešintis vadinamajam nuovargiui yra vadinama patvarumu.

Tarp kelių panašiųjų apkrovimo procesų (procesų su vienodais ciklo asimetrijos koeficientais r) pavojingiausias yra tas, kurio σmax didžiausias - kuo didesnis ciklo σmax, tuo mažiau ciklų trunka iki nuovarginio suirimo. Jeigu maksimalus ciklo įtempimas σmax yra labai mažas, detalė išvis nesuyra, t.y. atlaiko be galo daug kintamųjų įtempimų ciklų.

Didžiausia ciklo maksimalaus įtempimo reikšmė, kuri nesukelia detalės nuovarginio irimo per neribotai didelį skaičių įtempimų ciklų, vadinama patvarumo riba.

Patvarumo riba matuojama paskaliais (nes tai yra tam tikra įtempimo reikšmė) ir žymima simboliu σr (čia r - asimetrijos koeficientas; dažniausiai nustatoma pavojingiausio - simetrinio ciklo patvarumo riba σ-1).

Siekiant nustatyti detalės patvarumo ribą, atliekami specialūs jos nuovargio tyrimo bandymai. Naudojamos vadinamosios varginimo mašinos, kuriomis galima sukurti norimą kintamąjį apkrovimą (bandinį tampyti, sukioti, lankstyti). Dažniausiai šios mašinos dirba maždaug 50 Hz dažniu (3000 ciklų per minutę), taigi per kelias paras atlieka apie 107 ciklų. Bandymų pradžioje nustatomas norimas įtempimų ciklo asimetrijos koeficientas r, kuris nekeičiamas per visą bandymų seriją.

Bandymų serijai parengiama 6-12 visiškai vienodų bandinių partija. Pirmasis bandinys varginamas su dideliu maksimaliu ciklo įtempimu σmax (šiek tiek mažesniu negu takumo įtempimas σy). Suprantama, tokio varginimo bandinys ilgai netveria, suyra dėl nuovargio po gana nedidelio ciklų skaičiaus. Antrajam bandiniui σmax kiek sumažinamas, todėl jis atlaiko daugiau ciklų. Vis mažinant σmax paskutiniams tos partijos bandiniams suardyti prireikia jau milijonų ciklų. Kiekvieno bandymo rezultatai žymimi grafike taškais, kurių ordinatės yra σmax, o abscisės - bandymo trukmė (ciklų skaičius N). Po visos bandymų serijos grafiko taškai jungiami kreive, kuri artėja prie asimptotės, lygiagretės abscisių ašiai (16.4 pav.). Šios asimptotės ordinatė ir yra lygi patvarumo ribai σr - tokiam maksimaliam ciklo įtempimui, kuris niekada nesukelia nuovarginio irimo. Tokia kreivė vadinama nuovargio kreive arba Violerio kreive. Ši kreivė vaizdžiai rodo σmax artėjimą prie σr reikšmės, tačiau paprasčiau patvarumo riba randama, kai grafiko abscisių ašyje atidedamas atvirkštinis dydis 1/N (16.5 pav.). Kreivė, jungianti bandymo metu fiksuotus taškus, pratęsiama iki l/N=0 (t.y. N=∞) - kreivės ordinatė ties šia nuline abscise ir yra lygi patvarumo ribai.

16.4 pav.

16.5 pav.

Dažnai yra iš anksto žinoma, kad konstrukcijos elementas bus naudojamas nelabai ilgai ir per visą eksploatacijos laiką patirs ne daugiau kaip tam tikrą skaičių kintamų įtempimų ciklų. Tada ir patvarumo reikia ne begalinio, o riboto, baigtinio. Šiuo atveju yra nustatoma sąlyginio (baigtinio) patvarumo riba, lygi ciklo maksimalaus įtempimo σmax reikšmei, kurios neviršijus detalė nesuyra per nustatytą skaičių ciklų. Šis nustatytasis ciklų skaičius vadinamas bandymo baze. Tokią sąlyginio patvarumo ribą yra paprasta rasti iš nuovargio kreivės (16.4 pav.). Plieno ar ketaus gaminiams bandymo bazė dažniausiai

imama 10 milijonų (107) ciklų (geležinkelio vagono ašis tiek kartų apsisuka, nuvažiavus maždaug 30000 km), spalvotųjų metalų - 50-100 milijonų.

Yra pastebėta, kad kai kurių medžiagų lygių bandinių patvarumo ribas apytiksliai galima nustatyti pagal medžiagos stiprumo ribą. Pavyzdžiui, plieno bandinių patvarumo riba būna tempimo atveju σ-

1=0,28σu, lenkimo atveju σ-1=0,40σu (didesnė, nes lankstant maksimalieji įtempimai veikia tik kraštiniuose sluoksniuose), sukimo atveju τ-1=0,2σu. Naudotis tokiu būdu apskaičiuotomis patvarumo ribos reikšmėmis reikia labai atsargiai: reikia žinoti, kad šie ribų santykiai nustatyti gana ploniems (7-10 mm skersmens) poliruotiems bandiniams, o bandinio matmenys, forma ir paviršiaus lygumas turi didelę įtaką patvarumui.

Kai įtempimų ciklai asimetriniai (kai r≠-1), patvarumo riba didesnė, o bandymai su asimetriniu ciklu yra sudėtingesni. Būtų patogu žinoti patvarumo ribos priklausomybę nuo ciklo asimetrijos koeficiento r. Tuo tikslu atliekama keletas bandymų ir pagal jų rezultatus nubraižoma ribinių amplitudžių diagrama - diagrama, kurios abscisių ašyje atidedamas vidutinis ciklo įtempimas σm, ordinačių ašyje - ciklo amplitudė σa (16.6 pav.). Diagramos kreivė brėžiama per kelis taškus, atidėtus pagal atliktų bandymų (su skirtingais r) rezultatus, t.y. pagal kiekvienoje bandymų serijoje užfiksuotą ribinį ciklą - ciklą, kuris atitinka patvarumo ribą σr. Apytikslei kreivei išbrėžti pakanka trijų bandymų:

• simetrinio ciklo, r=-1, tada σm=0, σa=σmax=σ-1 (taškas A, 16.6 pav.); • pulsacinio ciklo, r=0, tada σm=σa=σmax/2=σ0/2 (taškas B, 16.6 pav.); • nekintamo statinio apkrovimo, r=1, tada σm=σmax=σu (stiprumo riba), σa=0 (taškas C, 16.6

pav.).

16.6 pav.

Jeigu norime gauti tikslesnę diagramą, turime atlikti dar bent porą bandymų serijų su kitokiais asimetriškais įtempimų ciklais (pavyzdžiui, su r=0,3 ir r=0,6).

Jau minėjome, kad patvarumas ir jo rodiklis patvarumo riba priklauso ne tik nuo konstrukcijos medžiagos, bet ir nuo daugelio kitų parametrų. Susieti patvarumo ribą su medžiagos mechaniniais rodikliais (pavyzdžiui, su stiprumo riba) galima tik gana apytiksliai. Iš tikrųjų patvarumo riba apibūdina ne medžiagos, bet bandinio patvarumą. O bandinys dažnai labai skiriasi nuo konstrukcijos elemento ar mašinos detalės, kurių patvarumas inžinieriui rūpi. Jis skiriasi savo forma, matmenimis, paviršiaus švarumu, aplinka ir kt. Todėl, kai skaičiavimu tikriname konstrukcijos elemento patvarumą, būtina patvarumo ribą, nustatytą bandiniais, pakoreguoti, padauginti iš tam tikrų koeficientų.

Patvarumo (arba ciklinio stiprumo) sąlyga gali būti išreikšta patvarumo atsargos koeficiento apribojimu:

n≥nadm, čia leistinasis atsargos (patikimumo) koeficientas nadm gali būti normuojamas, o tikrasis patvarumo atsargos koeficientas nustatomas, pakoregavus minėtaisiais koeficientais ki (i=1,2, ..., m) lygaus poliruoto standartinio bandinio atsargos koeficientą n0. Pastarąjį lengva nustatyti iš ribinių amplitudžių diagramos. Galima n0 apskaičiuoti (remiantis ta pačia ribinių amplitudžių diagrama) ir analitiškai:

am

nσψσ

σ+

= −10 , (16.4)

kur ψ=2σ-1/σ0-1. Dažniausiai patvarumo atsargos koeficientas n0 koreguojamas priklausomai nuo šių skirtumų tarp

bandinio ir konstrukcijos elemento: • formos skirtumo (ryšium su galima įtempimų koncentracija; koeficientą pažymėsime k1, jis

lygus įtempimų koncentracijos koeficientui αk, nagrinėtam 14.1 poskyryje);

• paviršiaus kokybės skirtumo (koeficientą pažymėsime k2); • didumo (matmenų) skirtumo (koeficientą pažymėsime k3). Galutinė patvarumo (ciklinio stiprumo) sąlygos išraiška yra tokia:

adm

am

n

kkkn ≥

+= −

σψσ

σ

32

1

1 . (16.5)

Reikia tik sugebėti atsižvelgti į visus skirtumus, mokėti nustatyti tuos koeficientus ki. Įtempimų koncentracijos koeficientas k1=αk≥1 priklauso nuo konstrukcijos elemento formos, nuo

išdrožų, įpjovų, skylių ir kitų koncentratorių. Apie tai kalbėta 14.1 poskyryje. Paviršiaus kokybės koeficientas k2=1, kai konstrukcijos elemento (mašinos detalės) paviršius

poliruotas. Kuo šiurkštesnis, nelygesnis paviršius, tuo mažesnis koeficientas k2, nes paviršiaus nelygumas, jo įbrėžimai sudaro palankesnes sąlygas atsirasti nuovarginiams mikroplyšiams. Koeficientas k2 nustatomas kaip dviejų bandinių patvarumo ribų (simetriniam ciklui) santykis: ( - poliruoto bandinio, - bandinio su numatoma detalės paviršiaus kokybe).

01

*12 / −−= σσk 0

1−σ*1−σ

Mastelio koeficientas k3=1, jeigu bandinio matmenys tokie pat, kaip konstrukcijos elemento. Tačiau dažniausiai bandinys būna mažesnis už tikrąjį elementą. Kai matmenys didesni, didesnė tikimybė atsirasti nuovarginiams plyšiams. Matyt, todėl, o gal ir dėl kitų priežasčių, didėjant matmenims, mažėja patvarumo riba. Taigi, mastelio koeficientas k3<1, jis priklauso ne tik nuo detalės matmenų, bet ir nuo medžiagos, kitų veiksnių. Šiam koeficientui nustatyti žinynuose yra nomogramų.

Kai konstrukcijos elemento būvis yra ne vienasis, bet dviašis, visų pirma nustatomi du atsargos (patikimumo) koeficientai - nσ, tariant, kad elemente veikia tik normaliniai įtempimai, ir nτ, tariant, kad ji veikia tik tangentiniai įtempimai. Yra patirta, kad šiuos koeficientus su koeficientu n, skirtu dviašiam įtempimų būviui, sieja priklausomybė

222 /1/1/1 τσ nnn += Iš šios priklausomybės gauname atsargos koeficiento n išraišką:

22τσ

τσ

nnnnn+

= , (16.6)

čia ir nσ, ir nτ apskaičiuojami (16.4) tipo formulėmis. Šiame skyriuje nagrinėjome kintamųjų įtempimų įtaką konstrukcijos elementams, kai šie

įtempimai nesukelia mainiosios plastinės deformacijos (plastinės deformacijos, kurios ženklas nuolat kinta). Besikartojanti priešingų ženklų plastinė deformacija labai paspartina nuovarginį įrimą, konstrukcijų elementai suyra jau ne per milijonus ciklų, o per tūkstančius (dažniausiai N<105). Tai yra vadinamasis mažaciklis nuovargis, kurio mechanizmas sudėtingesnis negu paprastojo nuovargio. Jis plačiau aprašytas vadovėliuose.

Išvengti kintamųjų įtempimų konstrukcijose dažnai neįmanoma, todėl reikia žinoti ir naudoti būdus jų įtakai švelninti, konstrukcijos elementų patvarumui didinti:

• naudoti labiau vienalytes, smulkiagrūdes medžiagas (kuriose nėra vidinių koncentracijos židinių - įtrūkiu, intarpų ir pan.);

• pasirinkti tinkamą elemento formą, vengti staigių formos pokyčių, smailių kampų (stiprių koncentratorių);

• žiūrėti, kad elementas būtų gerai gaminamas, kad jo paviršius būtų gerai apdorotas, be įbrėžimų, iš kurių gali rastis plyšiai;

• imtis specialių patvarumo didinimo būdų - stiprinti paviršių, prie elemento trumpam pridėti padidintą apkrovą (vadinamoji medžiagos treniruotė) ir kt.