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Mtodo dos Elementos Finitos2014/15
(www2.dec.fct.unl.pt/seccoes/S_Estruturas/Elementos_finitos)
Corneliu Cismaiu
Departamento de Engenharia CivilFaculdade de Cincias e Tecnologia
Universidade Nova de Lisboa
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 1 / 183
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Mtodo dos Elementos Finitos 2014/15
Programa
Apresentao
Introduo: Mecnica computacional; Mtodos dediscretizao; MEF; Problemas fsicos/Modelos Matemticos
Introduo ao MEF: Modelos matemticos discretos;Modelos matemticos contnuos: Formulao diferencial,Formulao em resduos ponderados, Diferenas finitas
Mtodo dos Elementos Finitos: Sistema governativo;Mtodo dos deslocamentos; Tipos de elementos finitos:elemento de barra, elemento plano; Uso de programas deelementos finitos (GiD + Calsef); Erros na anlise;Convergncia da soluo
Aplicaes: Barras, estado plano de tenso, lajes
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Mtodo dos Elementos Finitos 2014/15
Bibliografia
[1] K. J. Bathe. Finite element procedures. Prentice-Hall, 1996.(COTA: TA347.BAT)
[2] O. C. Zienkiewicz and R. L. Taylor and J. Z. Zhu. The finite element method. Volume 1: ItsBasis and Fundamentals. Butterworth-Heinemann, 2005.(COTA: TA640.2.ZIE)
[3] J. N. Reddy. An Introduction to the Finite Element Method. McGraw Hill, 1993.(COTA: TA347.RED)
[4] A. F. M. Azevedo. Mtodo dos elementos finitos. FEUP, 2003.(http://www.alvaroazevedo.com/publications/books/Livro_MEF_AA_1ed)
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Mtodo dos Elementos Finitos 2014/15
Avaliao de Conhecimentos - contnua sem exame ou trabalho final
Havero ao longo do perodo lectivo trabalhos de grupo (2 elementos) aos quais ser atribudaclassificao. Ao fim do semestre, os alunos sero convocados para realizar uma prova oral emque tero de defender estes trabalhos, ao fim de obter a sua classificao final.
ainda exigido que o nmero de faltas no justificadas s aulas no exceda um tero do nmerototal de aulas leccionadas respectiva turma. O no cumprimento desta condio implica areprovao na disciplina.
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Mtodo dos Elementos Finitos 2014/15
Estrutura dos trabalhosDeve seguir a estrutura de uma artigo cientfico: Ttulo; Autor(es); Resumo; Palavras-chave;Contedo (introduo, desenvolvimento e concluso); Referncias bibliogrficas.
Assim NO!
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Mtodo dos Elementos Finitos 2014/15
Programa de clculo automtico
CompassFEM-8.0.2R1
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Introduo reas da Mecnica
Mecnica terica - Estuda as Leis Fundamentais e os Princpios daMecnica
Mecnica aplicada - Transfere o conhecimento terico construo demodelos matemticos de fenmenos fsicos da rea de cinciae da engenharia
Mecnica computacional - Resolve problemas especficos atravs dasimulao utilizando mtodos numricos implementados emcomputadores digitais
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Introduo reas da Mecnica
Mecnica computacional - procura solues a dados problemas
Mecnica aplicada - procura os problemas que admitem dadas solues
Mecnica terica - prova a existncia de problemas e solues
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reas da Mecnica Mecnica computacional
Nano-mecnica e Micro-mecnica - Fenmenos a escala molecular eatmica - concepo de novos materiais e demicro-dispositivos
Mecnica dos meios contnuos - Estudo de corpos a escala macroscpicautilizando modelos contnuos em que a micro-estrutura esthomogeneizada
Mecnica dos slidos e das estruturasMecnica dos fluidosMecnica dos sistemas multi-fsicos
Sistemas funcionais - Estudo de mecanismos estruturais, mecnicos,bio-mecnicos, etc.
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Mecnica computacional Mtodos dediscretizao
Converter um modelo matemtico contnuo num modelo discreto com umnmero limitado de graus de liberdade.
Mtodo dos Elementos Finitos (Finite Element Method)
Mtodo dos Elementos de Fronteira (Boundary Element Method)
Mtodo das Diferenas Finitas (Finite Difference Method)
Mtodo dos Volumes Finitos (Finite Volume Method)
Mtodo Espectral (Spectral Method)
Mtodo sem Malha (Mesh-Free Method)
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Mtodos de discretizao Mtodo dosElementos Finitos
Formulao do MEF
DeslocamentosEsforos
Mista - u e no domnio, ou u na fronteiraHbrida - u ou no domnio, ou u na fronteira
Soluo do MEF
RigidezFlexibilidade
Mista
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Mtodos de discretizao Mtodo dosElementos Finitos
Obter a soluo de um problema de engenharia utilizando o MEF significaessencialmente construir e resolver um sistema governativo de equaesalgbricas.
Desenvolvimento dos computadores digitais
MEF eficiente e confivel
Grande desenvolvimento do MEF para aplicaes prticas de engenharia
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Mtodo dos Elementos Finitos Histria
Origem do MEF - trs grupos de investigao nas reas de:
Matemtica Aplicada - R. Courant (1952, 1953)
Fsica - J. L. Synge (1957)
Engenharia - J. H. Argyris e S. Kelsey (1954, 1955)
Contribuies muito significativas na rea de engenharia - J. H. Argyris, S. Kelsey, M. J. Turner,R. W. Clough, H. C. Martin, L. J. Topp, O. C. Zienkiewicz, Y. K. Cheung.
Clough, R. W. The Finite Element Method in Plane Stress Analysis, Proceedings, Second ASCEConference on Electronic Computation, Pittsburg, PA, pp. 345-378, Sept. 1960.
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Anlise por Elementos Finitos
Interpretaao dos resultadosProblema fsico
Modelo matemticoGovernado por equaes diferenciais
geometriacinemtica
lei do materialcarregamento
condies de fronteiraetc.
Premissas sobre:
Refinamento da malha,parmetros da soluo, etc.
Soluo em Elementos FinitosEscolha:
tipo de elementos finitosdensidade da malha
parmetros da soluo
Representao:carregamento
condies de fronteira
Avaliao da precisaoda soluo em
elementos finitos domodelo matemtico
Aperfeioamento da concepoOptimizao estrutural
Refinamento da anlise
Aperfeioamentodo modelo matemtico
Alterao do problemafsico
Soluo em Elementos Finitos do Modelo Matemtico
A anlise por elementos finitos resolve o modelo matemtico.
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Modelos matemticos
Propriedades do modelo matemtico:
Eficcia - permite a obteno da soluo com a preciso desejada aum custo mnimo
Confiabilidade - produz uma soluo que se sabe ser contida dentro deuma margem de erro escolhida a priori
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Problemas fsicos/Modelos matemticos
Problema fsico
pinos 2 cm
1000 N
10 cm 28 cm
6 cm 2 cm
4 cm
4 cm
8 cm
2 cm
2 cm
E = 2 107 N/cm2 = 0.3 t = 0.4 cm
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Problemas fsicos/Modelos matemticos
Modelo matemtico - Teoria de viga
F
L
h
F = 1000 N
L = 28 cm A =5
6A
h = 6 cm t = 0.4 cm
Mmx = F L = 28000 Ncm
mx =FL3
3EI+
FL
GA 0.053 cm
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Problemas fsicos/Modelos matemticos
Modelo matemtico - Estado plano de tenso
Mmx = 29448 Ncm mx = 0.070 cm
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Problemas fsicos/Modelos matemticos
Mestado plano tenso MvigaMestado plano tenso
100 5%
estado plano tenso vigaestado plano tenso
100 24%
O modelo matemtico viga confivel para uma predio do momento flectormximo com um erro no superior a 5% e do deslocamento mximo comuma preciso de apenas 25% quando comparados com a soluo obtida numaanlise elstica linear em estado plano de tenso. Tambm eficiente, tendoem conta o esforo computacional necessrio.
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Problemas fsicos/Modelos matemticos
Modelo matemtico - Estado plano de tenso
Deformada e o campo das tenses tangencias
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Anlise por Elementos Finitos
- A escolha do modelo matemtico deve ser em concordncia com a soluo queser prevista.
- O modelo matemtico mais eficiente o que fornece uma resposta confivel como mnimo esforo computacional.
- Uma soluo em elementos finitos pode resolver com a preciso desejada apenaso modelo matemtico escolhido, podendo prever apenas os fenmeno contidos nomodelo.
- A confiabilidade do modelo matemtico tem a ver com a avaliao da precisoda soluo quando comparada com a soluo obtida com um modelo matemticomuito mais complexo.
Na prtica refinamento (p ou/e h) e experincia em engenharia
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Desastres de Engenharia provocados por erroscomputacionais
Ateno! Os erros computacionais em situaes da vida real podem sairmuito caro. . .
On February 25, 1991, during the Gulf War, an AmericanPatriot Missile battery in Dharan, Saudi Arabia, failed totrack and intercept an incoming Iraqi Scud missile. The Scudstruck an American Army barracks, killing 28 soldiers andinjuring around 100 other people.The Patriot Missile failure,is ultimately attributable to poor handling of rounding errors.
Excerpted from the report of the General Accounting office GAO/IMTEC-92-26
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Desastres de Engenharia provocados por erroscomputacionais
The explosion of the Ariane 5 rocket just after lift-off on its maiden voyage off French Guiana,on June 4, 1996, was ultimately the consequence of simple overflow.
Excerpted from the report of the Inquiry Board ARIANE 5. Flight 501 Failure
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Desastres de Engenharia provocados por erroscomputacionais
The sinking of the Sleipner A offshore platform in Grandsfjorden near Stavanger, Norway, onAugust 23, 1991, resulted in a loss of about 700 million dollars. The post accident investigationtraced the error to inacurrate finite element approximation using the popular finite elementprogram NASTRAN.
Excerpted from SINTEF, Civil and Environmental Engineering
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Introduo ao MEF
Anlise de um problema de engenharia:
Idealizao do problema
Formulao do modelo matemtico
Modelos discretos com massa concentradaModelos contnuos
Resoluo do modelo matemtico
Interpretao dos resultados
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Introduo ao MEF Modelos matemticosdiscretos
O problema pode ser descrito com a preciso desejada por intermdio de umnmero finito (pequeno) de variveis.
Idealizao do problema
Equilbrio dos elementos
Assemblagem dos elementos
Clculo da resposta
Tipo de problemas: estacionrios, de propagao, valores e vectores prprios.
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Modelos matemticos discretos Problemasestacionrios
Sistema de molas elsticas - solicitao esttica
k1
k4
k5
R2
R3R1
u1 u2 u3
k2
k3
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Modelos matemticos discretos Problemasestacionrios
Equaes de equilbrio dos elementos
u1
k1 F1(1)
k1 0 00 0 00 0 0
u1u2u3
=
F(1)100
u2
F1(2)
F2(2)k2
u1
k2 k2 0k2 k2 00 0 0
u1u2u3
=
F(2)1
F(2)20
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Modelos matemticos discretos Problemasestacionrios
Equaes de equilbrio dos elementos
u2
F1(3)
F2(3)k3
u1
k3 k3 0k3 k3 00 0 0
u1u2u3
=
F(3)1
F(3)20
u3
F1(4)
F3(4)k4
u1
k4 0 k40 0 0
k4 0 k4
u1u2u3
=
F(4)10
F(4)3
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Modelos matemticos discretos Problemasestacionrios
Equaes de equilbrio dos elementos
u3
F2(5)
F(5)k5
u2
3
0 0 00 k5 k50 k5 k5
u1u2u3
=
0
F(5)2
F(5)3
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Modelos matemticos discretos Problemasestacionrios
Assemblagem dos elementos
F(1)1 + F
(2)1 + F
(3)1 + F
(4)1 = R1
F(2)2 + F
(3)2 + F
(5)2 = R2
F(4)3 + F
(5)3 = R3
k1 + k2 + k3 + k4 (k2 + k3) k4(k2 + k4) k2 + k3 + k5 k5
k4 k5 k4 + k5
u1u2u3
=
R1R2R3
K u = R
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Modelos matemticos discretos Problemas depropagao
Sistema de molas elsticas - solicitao dinmica
k1
k4
k5
u1 u2 u3
R (t)2
R (t)3R (t)1
k2
m3m2m1
k3
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Modelos matemticos discretos Problemas depropagao
Assemblagem dos elementos
F(1)1 + F
(2)1 + F
(3)1 + F
(4)1 = R1(t)m1u1
F(2)2 + F
(3)2 + F
(5)2 = R2(t)m2u2
F(4)3 + F
(5)3 = R3(t)m3u3
Mu + K u = R(t) onde M =
m1 0 00 m2 00 0 m3
Condies iniciais:u(t = 0) = u0 u(t = 0) = u0
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Modelos matemticos discretos Problemas devalores e vectores prprios
Sistema de molas elsticas - vibraes livres
k1
k4
k5
u1 u2 u3
k2
m3m2m1
k3
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Modelos matemticos discretos Problemas devalores e vectores prprios
u = sin(t )
M u + K u = 0
2M sin(t ) + K sin(t ) = 0
K = 2M
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Modelos matemticos discretos
Exemplos de anlises utilizando o mtodo dos elementos aplicados (AppliedElement Method)
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Natureza das solues
Sistema discreto e condies de carregamento
r2k = kL
2r1
k = kL2
L L
P
F
2F
m/2m
kbarra rgida barra rgidaA BC
Td
tTd
F = sin
t t
F P
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Natureza das solues
ku 2
mu1kL
2
kL2
kL2
P
F
2u
2F
1u
2
mu2
cos cos 1 sin u1L
sin u2 u1L
Mdt.B = P(u2 u1) + ku2L+mu2
2L FL+ kL2 u2 u1
L= 0
MA = Pu2 + ku22L+mu2
22L F2L 2FL+mu1L+ kL2
u1
L= 0
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Natureza das solues
m 0
0m
2
u1
u2
+
(
5k +2P
L
)
(
2k +P
L
)
(
2k +P
L
) (
2k +2P
L
)
u1
u2
=
2F
F
Mu + Ku = F
Frequncia prprias do sistema
(K 2M)u = 0
1,2 =
k
m
9
2+ 2
P
kL
33
4+ 8
P
kL+ 2
P2
k2L2T1,2 =
2
1,2
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Natureza das solues
Frequncias prprias do sistema
1
(k/m)1/2
2
(k/m)1/2
P/(kL) 0
1
2
3
4
5
6
7
2 0 2 4 6 8 10
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Natureza das solues
Anlise esttica vs. Anlise dinmica
u2, anlise dinmica
u1, anlise dinmica
u1, anlise esttica
u2, anlise esttica
t/Td
m = 1k = 1L = 1P = 1
T = 4 Td 10.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0
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Natureza das solues
Anlise esttica vs. Anlise dinmica
m = 1k = 1L = 1P = 1
u1, anlise esttica
u1, anlise dinmica
u2, anlise esttica
u2, anlise dinmica
T = (T + T )/2d 1 2 t/Td 0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 42 / 183
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Natureza das solues
Anlise esttica vs. Anlise dinmica
m = 1k = 1L = 1P = 1
t/Td
u2, anlise esttica
u1, anlise esttica
u2, anlise dinmicau1, anlise dinmica
T = T /4d 2 0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 43 / 183
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Natureza das solues
Analisando as frequncias prprias do sistema,
1,2 =
k
m
9
2+ 2
P
kL
33
4+ 8
P
kL+ 2
P2
k2L2
observa-se que
1 = 0 Pcr = 2kL o sistema torna-se instvel
importante:
Verificar se o sistema pode tornar-se instvel
Decidir se a anlise dever ser esttica ou dinmica, linear ou no-linear
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Introduo ao MEFModelos matemticos contnuos
O problema pode ser descrito por intermdio de um conjunto de equaesdiferenciais que so vlidas no domnio dos elementos.
Juntam-se as condies de fronteira e as condies iniciais (para anlisedinmica).
Formulao diferencial
Formulao variacional
Formulaes em resduos ponderados
Diferenas finitas
MEF
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Modelos matemticos contnuosFormulao diferencial
Procura-se a soluo analtica de uma equao diferencial de tipo:
A(x , y)2u
x2+ 2B(x , y)
2u
xy+ C(x , y)
2u
y2=
(
x , y , u,u
x,u
y
)
sujeita a determinadas condies de fronteira e condies iniciais.
B2 AC
< 0 . . . eq. diferencial elptica (Eq. Laplace)= 0 . . . eq. diferencial parablica (Eq. do calor)> 0 . . . eq. diferencial hiperblica (Eq. das ondas)
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Modelos matemticos contnuosFormulao diferencial
2 2
22
100 cm 80 cm
y
R = 100 N
A B C
A = 1 cmA = (1+y/40) cm
u, x
d
dx
(
EAdu
dx
)
= 0 u|x=0 = 0 EAdu
dx
x=L
= R
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Modelos matemticos contnuosFormulao diferencial
2 2
22
100 cm 80 cm
y
R = 100 N
A B C
A = 1 cmA = (1+y/40) cm
u, x
Para 0 x 100 :E
d2u
dx2= 0 u(x) = C0 + C1x
E
u(0) =C0
E= 0 C0 = 0
u(x) =C1x
E
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Modelos matemticos contnuosFormulao diferencial
2 2
22
100 cm 80 cm
y
R = 100 N
A B C
A = 1 cmA = (1+y/40) cm
u, x
Para 100 x 180 :
Ed
dx
[(
1+x 100
40
)2du
dx
]
= 0 u(x) = C2E(x 60) +
C3
E
E
(
1+x 100
40
)2du
dx
x=180
=C2
1600= 100 C2 = 160000
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 49 / 183
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Modelos matemticos contnuosFormulao diferencial
2 2
22
100 cm 80 cm
y
R = 100 N
A B C
A = 1 cmA = (1+y/40) cm
u, x
O deslocamento e a extenso devem ser contnuos no x = 100 :
u|x=100 100C1
E= 4000
E+
C3
E
du
dx
x=100
C1E
=100
E
{
C1 = 100C3 = 14000
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Modelos matemticos contnuosFormulao diferencial
u(x) =
100x
E. . . 0 x 100
14000
E 160000
E(x 60) . . . 100 x 180
(x) = Edu
dx=
100 . . . 0 x 100
160000
(x 60)2 . . . 100 x 180
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 51 / 183
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Formulao diferencial
2 2
22
100 cm 80 cm
y
R = 100 N
A B C
A = 1 cmA = (1+y/40) cm
u, x
25 50 75 100 125 150 175
20
40
60
80
100
120
100E
Factor de escala:
u(x)
x
25
E
50 75 100 125 150 175
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
du(x)
dx
x
Factor de escala: 100
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 52 / 183
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Modelos matemticos contnuosFormulao em resduos ponderados
2 2
22
100 cm 80 cm
y
R = 100 N
A B C
A = 1 cmA = (1+y/40) cm
u, x
d
dx
(
EAdu
dx
)
= 0 u|x=0 = 0 EAdu
dx
x=L
= R
u =n
i=1
ai fi
fi - funes de forma linearmente independentes
ai - pesos a ser determinados
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 53 / 183
-
Modelos matemticos contnuosFormulao em resduos ponderadosDefine-se o resduo
=d
dx
[
EAd
dx
(n
i=1
ai fi
)]
Soluo exacta = 0
Resduos ponderados - determinar ai de tal modo que 0Mtodo Galerkin
D
fi dD = 0; i = 1, 2, . . . , n
Mtodo dos mnimos quadrados
ai
D
2 dD = 0; i = 1, 2, . . . , n
Mtodo da colocao
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 54 / 183
-
Modelos matemticos contnuosFormulao em resduos ponderados
Sejau(x) = a1x + a2x
2 f1 = x e f2 = x2
Utilizando o mtodo do Galerkin,
L
0fi
d
dx
(
EAdu
dx
)
dx = 0
Integrando por partes (Teorema da Divergncia),
F (x) = u(x) v(x) dF = (uv + uv )dx b
a(uv + uv )dx = [uv ]ba
b
auv dx =
b
auv dx + [uv ]ba
L
0
(
EAdu
dx
)dfi
dxdx +
[
EAdu
dxfi
]L
0
= 0
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 55 / 183
-
Modelos matemticos contnuosFormulao em resduos ponderados
L
0
(
EAdu
dx
)dfi
dxdx = Rfi |x=L i = 1, 2
100
0(a1+2a2x) dx+
180
100
[
1+x100
40
]2
(a1+2a2x) dx =100 180
E
100
0(a1+2a2x)2x dx+
180
100
[
1+x100
40
]2
(a1+2a2x)2x dx =100 1802
E
1340
3115600
115600102227200
3
{a1a2
}
=
18000
E
3240000
E
a1 =128.596
E
a2 =0.341171
E
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 56 / 183
-
Formulao em resduos ponderados
2 2
22
100 cm 80 cm
y
R = 100 N
A B C
A = 1 cmA = (1+y/40) cm
u, x
25 50 75 100 125 150 175
20
40
60
80
100
120
100E
Factor de escala:
u(x)
x
Galerkin
soluo analtica
25 50 75 100 125 150 175
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2 du(x)
dx
Factor de escala: 100
x
Galerkin
soluo analtica E
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 57 / 183
-
Modelos matemticos contnuosDiferenas finitas
dw
dx
i
wi+1 wi12h
1 1
d2w
dx2
i
wi+1 2wi + wi1h2
1 12
d3w
dx3
i
wi+2 2wi+1 + 2wi1 wi22h3
2 21 1
d4w
dx4
i
wi+2 4wi+1 + 6wi 4wi1 + wi2h4
4 41 16
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 58 / 183
-
Modelos matemticos contnuosDiferenas finitas
Operador de Laplace ou Laplaciano
2w = 2w
x2+
2w
y2
2wi,i
4wi,j + wi+1,j + wi,j+1 + wi1,j + wi,j1h2
41
1
1
1
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 59 / 183
-
Modelos matemticos contnuosDiferenas finitas
Operador biharmnico
4w = 2(2)w = 4w
x4+
4w
y4+ 2
4w
x2y2
4wi,i
[20wi,j 8(wi+1,j + wi1,j + wi,j+1 + wi,j1)
+2(wi+1,j+1 + wi1,j+1 + wi1,j1 + wi+1,j1)
+wi+2,j + wi2,j + wi,j+2 + wi,j2]/h4
208
8
8
8 11
1
1
22
2 2
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 60 / 183
-
Modelos matemticos contnuosDiferenas finitas
2 2
22
100 cm 80 cm
y
R = 100 N
A B C
A = 1 cmA = (1+y/40) cm
h h
n1 n+1
u, x
n0 i1 i i+1
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 61 / 183
-
Modelos matemticos contnuosDiferenas finitas
d
dx
(
EAdu
dx
)
= 0 E(
dA
dx
du
dx+ A
d2u
dx2
)
= 0
u(0) = 0 EAdu
dx
x=L
= R
E
[(Ai+1 Ai1
2h
)(ui+1 ui1
2h
)
+ Aiui+1 2ui + ui1
h2
]
= 0
u0 = 0 EAnun+1 un1
2h= R
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 62 / 183
-
Modelos matemticos contnuosDiferenas finitas
h = 20 cm n = 9 {
A0 . . .A5 = 1
A6 . . .A10 =(
1+ (i5)h40
)2
Para i = 1 . . . 9
(Ai+1 + 4Ai Ai1)ui+1 8Aiui + (Ai+1 + 4Ai + Ai1)ui1 = 0
Condies de fronteira
u0 = 0 u10 u8 =2Rh
EA9
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 63 / 183
-
Modelos matemticos contnuosDiferenas finitas
8 44 8 4
4 8 44 8 4
2.75 8 5.256 18 12
12 32 2020 50 30
72 72
u1u2u3u4u5u6u7u8u9
=
00000000F9
F9 = 56000
3E
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 64 / 183
-
Modelos matemticos contnuosDiferenas finitas
u =
24.747549.494974.242498.9899123.737136.7
143.182147.071149.663
100
E
du
dx=
1.237371.237371.237371.237370.9427610.4861110.2592590.1620370.111111
100
E
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 65 / 183
-
Diferenas finitas
2 2
22
100 cm 80 cm
y
R = 100 N
A B C
A = 1 cmA = (1+y/40) cm
u, x
25 50 75 100 125 150 175
20
40
60
80
100
120
140
100E
Factor de escala:
u(x)
x
soluo analtica
diferenas finitas
25 50 75 100 125 150 175
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2 du(x)
dx
Factor de escala: 100
soluo analtica
diferenas finitas
E
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 66 / 183
-
Modelos matemticos contnuos
Diferenas finitas
/* Exemplo de programao em Maxima (1/3) */
R:100; /* Fora aplicada */
E: 1; /* Mdulo de elasticidade */
h:20; /* Dimenso da malha */
Np:round(180/h); /* Nmero de pontos */
/* Inicializao da rea da seco nos pontos da malha */
for i:0 thru Np+1 step 1 do
if i*h
-
Modelos matemticos contnuos
Diferenas finitas
/* Exemplo de programao em Maxima (2/3) */
/* Inicializao do rhs */
for i:1 thru Np-1 step 1 do rhs[i]:0;
rhs[Np]:-2*R*h/E/a[Np]*(a[Np+1]+4*a[Np]-a[Np-1]);
RHS: makelist(rhs[i],i,1,Np);
/* Soluo em deslocamentos */
load ("lapack"); /* Soluo alternativa sem LAPACK */
U:dgesv(MAT,RHS); /* U:first(linsolve_by_lu(MAT,RHS,floatfield) */
sol[Np+1,1]: 2*100*h/E/a[Np]+U[Np-1][1];
sol[0,1]: 0;
for i:1 thru Np step 1 do sol[i,1] : U[i][1];
/* Soluo em extenso */
for i:1 thru Np step 1 do sol[i,2] : (sol[i+1,1]-sol[i-1,1])/2/h;
/* Soluo em deslocamentos e extenso */
SOL: genmatrix(sol,Np,2);
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 68 / 183
-
Modelos matemticos contnuos
Diferenas finitas
/* Exemplo de programao em Maxima (3/3) */
/* Plotar deslocamentos */
xvals: makelist(i, i, 0, Np);
uvals: makelist(sol[i,1], i, 0, Np);
plot2d([discrete, xvals, uvals], [style, points]);
/* Plotar extenso */
x1vals: makelist(i, i, 1, Np);
duvals: makelist(sol[i,2], i, 1, Np);
plot2d([discrete, x1vals, duvals], [style, points]);
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 69 / 183
-
Mtodo dos elementos finitos
u
f
f buk
uk+1uk+2
F
elemento finito m
ponto nodal j
j
Conhecendo a geometria do corpo, as cargas aplicadas, as condies de apoio e a lei domaterial,
Detemine os deslocamentos e as respectivas extenses e tenses.
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 70 / 183
-
Mtodo dos elementos finitos
MEF formulao em deslocamentos obtida pelo PTV
VT dV =
VuT f b dV +
uT f d +
i
u iTF i
Tenses em equilbrio com as cargas aplicadasDeformaes virtuais correspondentes aos deslocamentos virtuais u
As tenses que equilibram as cargas aplicadas assumam-se conhecidas
As deformaes virtuais so obtidas derivando o vector dos deslocamentos virtuais u
Os deslocamentos virtuais u devem representar um campo continuo, diferencivel.
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 71 / 183
-
Mtodo dos elementos finitos
Quando a equao do PTV est satisfeita para qualquer deslocamento virtual u, com as tenses obtidas a partir de um campo de deslocamentos continuo u que satisfaz as condies de fronteiracinemticas, ficam automaticamente satisfeitas as equaes:
Equilbrio - a equao do PTV uma equao de equilbrio
Compatibilidade - o campo de deslocamentos u continuo e satisfaz as condies de fronteira
Constitutivas - as tenses foram calculadas utilizando as relaes constitutivas a partir dasdeformaes que foram obtidas a partir dos deslocamentos u
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 72 / 183
-
Mtodo dos elementos finitosSistema governativo
u
f
f buk
uk+1uk+2
F
elemento finito m
ponto nodal j
j
Deslocamentos
u(m)(x , y , z) = H(m)(x , y , z)U
UT = {u1 u2 . . . un}
H(m) - matriz de interpolao dosdeslocamentos
Deformaes(m)(x , y , z) = E (m)(x , y , z)U
E (m) - matriz de ligao entre as deformaes e os deslocamentos
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 73 / 183
-
Mtodo dos elementos finitosSistema governativo
E (m) = DH(m)
Para o caso 3D, em coordenadas Cartesianas:
D =
/x 0 00 /y 00 0 /z
/y /x 00 /z /y
/z 0 /x
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 74 / 183
-
Mtodo dos elementos finitosSistema governativo
Tenses
(m)(x , y , z) = k(m) (m)(x , y , z)
k(m) - matriz de elasticidadePara o caso 3D, em coordenadas Cartesianas:
k(m) =E
(1+ )(1 2)
1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 00 0 0 1 2 0 00 0 0 0 1 2 00 0 0 0 0 1 2
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 75 / 183
-
Mtodo dos elementos finitosSistema governativo
VT dV =
VuT f b dV +
uT f d +
i
u iTF i
m
V (m)(m)T
(m)
dV (m) =
m
V (m)u(m)T f b(m) dV (m)+
m
(m)
u(m)T f (m) d(m) +
i
u iTF i
Para eficincia podem ser utilizados sistemas de coordenadas diferentes para cada elemento finito.
Admitindo u(m)(x , y , z) = H(m)(x , y , z) U (m)(x , y , z) = E (m)(x , y , z) U
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 76 / 183
-
Mtodo dos elementos finitosSistema governativo
Resulta
UT
m
V (m)E (m)TkE (m) dV (m)U = U
T
m
V (m)H(m)T f b(m) dV (m)+
UT
m
(m)
H(m)T f (m) d(m) + U
TF
K
m
V (m)E (m)TkE (m) dV (m)
K (m)
- matriz de rigidez global
FB
m
V (m)H(m)T f b(m) dV (m)
F(m)B
- vector das foras de massa
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 77 / 183
-
Mtodo dos elementos finitosSistema governativo
F
m
(m)
H(m)T f (m) d(m)
F(m)
vector das foras distribudas
F - vector das foras concentradas aplicadas nos ns dos elementos
P FB + F + F vector das cargas aplicadas
K U = P equao de equilbrio
O sistema governativo obtm-se juntando equao de equilbrio as condies de fronteira:[K e i
eTi 0
]{U
}
=
{P
u}
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 78 / 183
-
Mtodo dos elementos finitosExemplo - Mtodo dos deslocamentos
u1
u2u3 u4
u5u6 u7
u8u9
P
L L
p
EI, EA2EI, 4EA
1 2
Dados numricos:
EI = 103 kNm2 EA = 0.1EI L = 1 m p = 0.01 kN/m P = 1 kN
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 79 / 183
-
Mtodo dos elementos finitosExemplo - Mtodo dos deslocamentos
u1
u2
u3
u4
u5
u6
Anlise de Estruturas I a matriz de rigidez de uma barra bi-encastrada dada por:
Ke=
EAL
0 0 EAL
0 0
0 12EIL3
6EI
L20 12EI
L36EI
L2
0 6EIL2
4EIL
0 6EIL2
2EIL
EAL
0 0 EAL
0 0
0 12EIL3
6EI
L20 12EI
L3
6EI
L2
0 6EIL2
2EIL
0 6EIL2
4EIL
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 80 / 183
-
Mtodo dos elementos finitosExemplo - Mtodo dos deslocamentos
Elemento 1 u1
u2u3 u4
u5u6
1
K (1) =
EAL
0 0 EAL
0 0 0 0 00 12EI
L36EIL2
0 12EIL3
6EIL2
0 0 00 6EI
L24EIL
0 6EIL2
2EIL
0 0 0EA
L0 0 EA
L0 0 0 0 0
0 12EIL3
6EIL2
0 12EIL3
6EIL2
0 0 00 6EI
L22EIL
0 6EIL2
4EIL
0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 81 / 183
-
Mtodo dos elementos finitosExemplo - Mtodo dos deslocamentos
Elemento 2 u4
u5u6 u7
u8u9
2
K (2) =
0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 4EA
L0 0 4EA
L0 0
0 0 0 0 24EIL3
12EIL2
0 24EIL3
12EIL2
0 0 0 0 12EIL2
8EIL
0 12EIL2
4EIL
0 0 0 4EAL
0 0 4EAL
0 00 0 0 0 24EI
L3 12EI
L20 24EI
L3 12EI
L2
0 0 0 0 12EIL2
4EIL
0 12EIL2
8EIL
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 82 / 183
-
Mtodo dos elementos finitosExemplo - Mtodo dos deslocamentos
A matriz de rigidez global dada por
K =2
i=1
K (i)
K=
EAL
0 0 EAL
0 0 0 0 0
0 12EIL3
6EI
L20 12EI
L36EI
L20 0 0
0 6EIL2
4EIL
0 6EIL2
2EIL
0 0 0
EAL
0 0 5EAL
0 0 4EAL
0 0
0 12EIL3
6EI
L20 36EI
L36EI
L20 24EI
L312EI
L2
0 6EIL2
2EIL
0 6EIL2
12EIL
0 12EIL2
4EIL
0 0 0 4EAL
0 0 4EAL
0 0
0 0 0 0 24EIL3
12EI
L20 24EI
L3
12EI
L2
0 0 0 0 12EIL2
4EIL
0 12EIL2
8EIL
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 83 / 183
-
Mtodo dos elementos finitosExemplo - Mtodo dos deslocamentos
O vector das foras aplicadas
PT ={
0 P 0 0 pL/2 pL2/12 0 pL/2 pL2/12}
u1
u2u3 u4
u5u6
1
P
u4
u5u6 u7
u8u9
2pL /12 pL /122
2
pL/2 pL/2p
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 84 / 183
-
Mtodo dos elementos finitosExemplo - Mtodo dos deslocamentos
As condies de fronteira u (u7 = u8 = u9 = 0) so impostas utilizando amatriz e1
eT1 =
0 0 0 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0 0 0 1
uT =
{
0 0 0}
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 85 / 183
-
Mtodo dos elementos finitosExemplo - Mtodo dos deslocamentos
Sistema governativo
EAL
0 0 -EAL
0 0 0 0 0 0 0 0
0 12EIL3
6EI
L20 - 12EI
L36EI
L20 0 0 0 0 0
0 6EIL2
4EIL
0 - 6EIL2
2EIL
0 0 0 0 0 0
-EAL
0 0 5EAL
0 0 - 4EAL
0 0 0 0 0
0 - 12EIL3
- 6EIL2
0 36EIL3
6EI
L20 - 24EI
L312EI
L20 0 0
0 6EIL2
2EIL
0 6EIL2
12EIL
0 - 12EIL2
4EIL
0 0 0
0 0 0 - 4EAL
0 0 4EAL
0 0 -1 0 0
0 0 0 0 - 24EIL3
- 12EIL2
0 24EIL3
- 12EIL2
0 -1 0
0 0 0 0 12EIL2
4EIL
0 - 12EIL2
8EIL
0 0 -1
0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0
u1u2u2u4u5u6u7u8u9789
=
0-P00
- pL2
- pL2
12
0
- pL2
pL2
12
000
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 86 / 183
-
Mtodo dos elementos finitosExemplo - Mtodo dos deslocamentos
U =
0
7pL4
48EI
3PL3
2EIpL3
12EI+ 5PL
2
4EI0
pL4
16EI
5PL3
12EIpL3
12EI+ 3PL
2
4EI000
U =
0.000000.001500.001250.00000
0.000420.000750.000000.000000.00000
[m]
=
0pL + P
pL2
2 2PL
=
0.0001.010
2.005
[kN][kN][kNm]
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 87 / 183
-
Mtodo dos elementos finitosExemplo - Mtodo dos deslocamentos
1 kN0.01kN/m
1.010 kN
2.005 kNm
1 m 1 m
0.42 mm
1.5 mm0.00075 rad
0.00125 rad
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 88 / 183
-
Mtodo dos elementos finitosTipos de elementos finitos
Barras e vigas
Estado plano de tenso/deformao
Estado axissimtrico
Cascas e lajes
Elementos tri-dimensionais
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 89 / 183
-
Elemento de barra com 2 ns
2 2
22
3
100 cm 80 cm
A B C
A = 1 cmA = (1+y/40) cm
R = 100 N
y
uu1 u2
UT = {u1 u2 u3}
u1 u2
1 cm2
1 cm2
x100
u2
1 cm2
u3
x80
9 cm2
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 90 / 183
-
Mtodo dos elementos finitosElemento de barra com 2 ns
Elemento finito 1
u1 u2
1 cm2
1 cm2
x100
k(1) = E
A(1) = 1 cm2
u(1)(x) = H(1)U u(1)(0) = u1 u(1)(100) = u2
H(1) ={(
1 x100
) x
1000}
E (1) = DH(1) =
{(
1100
)1
1000
}
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 91 / 183
-
Mtodo dos elementos finitosElemento de barra com 2 ns
K (1) =
V (1)E (1)Tk(1)E (1) dV (1)
K (1) = E
100
0
1100
1
100
0
{
1100
1
1000
}
dx
K (1) =E
100
1 1 01 1 00 0 0
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 92 / 183
-
Mtodo dos elementos finitosElemento de barra com 2 ns
Elemento finito 2
u2
1 cm2
u3
x80
9 cm2
k(2) = E
A(2) =(
1+x
40
)2cm2
u(2)(x) = H(2)U
u(2)(0) = u2
u(2)(80) = u3
H(2) ={
0(
1 x80
) x
80
}
E (2) = DH(2) =
{
0
(
180
)1
80
}
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 93 / 183
-
Mtodo dos elementos finitosElemento de barra com 2 ns
K (2) =
V (2)E (2)Tk(2)E (2) dV (2)
K (2) = E
80
0
0
180
1
80
{
0 180
1
80
}(
1+x
40
)2dx
K (2) =13E
240
0 0 00 1 10 1 1
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 94 / 183
-
Mtodo dos elementos finitosElemento de barra com 2 ns
A matriz de rigidez global
K =2
i=1
K (i) =E
240
2.4 2.4 02.4 15.4 130 13 13
O vector das foras aplicadas
P =
00
100
Condies de fronteirau1 = e
T1 U = 0
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 95 / 183
-
Mtodo dos elementos finitosElemento de barra com 2 ns
Sistema governativo[
K e1eT1 0
]{U
}
=
{P
u}
E/100 E/100 0 1E/100 77E/1200 13E/240 0
0 13E/240 13E/240 01 0 0 0
u1u2u3
=
00
1000
Resulta
u1 = 0 u2 =10000
Eu3 =
154000
13E
= 100 . . . a reaco no apoio
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 96 / 183
-
Mtodo dos elementos finitosElemento de barra com 2 ns
(m) = k(m)(m) = k(m)E (m)U
(1) = E
{1/100 1/100 0
}
010000/E
154000/(13E)
= 100
(2) = E
{0 1/80 1/80
}
010000/E
154000/(13E)
= 23.07
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 97 / 183
-
Elemento de barra com 2 ns
2 2
22
100 cm 80 cm
y
R = 100 N
A B C
A = 1 cmA = (1+y/40) cm
u, x
25 50 75 100 125 150 175
20
40
60
80
100
120
100E
Factor de escala:
u(x)
x
soluo analtica
MEF
25 50 75 100 125 150 175
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0du(x)
dx
Factor de escala: 100
soluo analtica
x
MEF
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 98 / 183
-
Mtodo dos elementos finitosElemento plano com 3 ns
u1u2
u3
1
2
3
x
yu4
u6
u5
u =
{
u(x , y)v(x , y)
}
= H U
UT = { u1 u2 u3 u4 u5 u6 }
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 99 / 183
-
Mtodo dos elementos finitosElemento plano com 3 ns
{
u(x , y) = 1 + 2x + 3yv(x , y) = 1 + 2x + 3y
u =
{
u(x , y)v(x , y)
}
=
=
[
1 x y 0 0 00 0 0 1 x y
]
T = { 1 2 3 1 2 3 }
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 100 / 183
-
Mtodo dos elementos finitosElemento plano com 3 ns
Explicitando para todos os pontos nodais,
1 x1 y1 0 0 01 x2 y2 0 0 01 x3 y3 0 0 00 0 0 1 x1 y10 0 0 1 x2 y20 0 0 1 x3 y3
123123
=
u1u2u3u4u5u6
A = U = A1 U
Masu = = A1 U = H U H = A1
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 101 / 183
-
Mtodo dos elementos finitosElemento plano com 3 ns
1
2
3
4
1
2
3
4
5
4 cm
4 cm
P P
t = 0.1 cm
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 102 / 183
-
Mtodo dos elementos finitosElemento plano com 3 ns
Elemento 1
u1
u2
u3
u6
u7
u81 3
1
2
y
x
A(1) =
1 0 0 0 0 01 2 2 0 0 01 0 4 0 0 00 0 0 1 0 00 0 0 1 2 20 0 0 1 0 4
. . . u1
. . . u3
. . . u2
. . . u6
. . . u8
. . . u7
(1) =
[1 x y 0 0 00 0 0 1 x y
]
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 103 / 183
-
Mtodo dos elementos finitosElemento plano com 3 ns
H(1) = (1)[
A(1)]1
H(1) =
4 x y4
x
2
x + y4
0 0 0
0 0 04 x y
4
x
2
x + y4
D =
x0
0
y
y
x
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 104 / 183
-
Mtodo dos elementos finitosElemento plano com 3 ns
E (1) = DH(1) =
1/4 1/2 1/4 0 0 00 0 0 1/4 0 1/4
1/4 0 1/4 1/4 1/2 1/4
K (1) =
A(1)E (1)TkE (1) tdA(1)
Admitindo estado plano de tenso,
k =E
1 2
1 0 1 00 0 (1 )/2
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 105 / 183
-
Mtodo dos elementos finitosElemento plano com 3 ns
K (1) = E (1)TkE (1)t
A(1)dA(1)
Dados os pontos (xi , yi ), i = 0, . . . ,N, com x0 = xN e y0 = yN , a rea do polgono plano definidopor estes pontos pode ser calculada (teorema de Green) pela seguinte frmula:
A =1
2
N1
i=0
(xiyi+1 xi+1yi )
No caso particular de um tringulo de vertices (a, b), (c, d) e (e, f ), a rea dada por:
A =1
2
1 1 1a c eb d f
=1
2[(cf ed) + (eb af ) + (ad cb)]
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 106 / 183
-
Mtodo dos elementos finitosElemento plano com 3 ns
Resultando, para = 0.25,
K (1) = E
11/300 4/75 1/60 1/60 1/50 1/3004/75 8/75 4/75 1/75 0 1/751/60 4/75 11/300 1/300 1/50 1/601/60 1/75 1/300 11/300 1/50 1/601/50 0 1/50 1/50 1/25 1/501/300 1/75 1/60 1/60 1/50 11/300
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 107 / 183
-
Mtodo dos elementos finitosElemento plano com 3 ns
Elemento 2
u3
u7
u8
u2
2
u10u5
3
2 5
x
y
A(2) =
1 0 4 0 0 01 2 2 0 0 01 4 4 0 0 00 0 0 1 0 40 0 0 1 2 20 0 0 1 4 4
. . . u2
. . . u3
. . . u5
. . . u7
. . . u8. . . u10
(2) =
[1 x y 0 0 00 0 0 1 x y
]
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 108 / 183
-
Mtodo dos elementos finitosElemento plano com 3 ns
H(2) = (2)[
A(2)]1
H(2) =
x + y4
4 y2
4+ x + y4
0 0 0
0 0 0x + y
4
4 y2
4+ x + y4
E (2) = DH(2) =
1/4 0 1/4 0 0 00 0 0 1/4 1/2 1/4
1/4 1/2 1/4 1/4 0 1/4
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 109 / 183
-
Mtodo dos elementos finitosElemento plano com 3 ns
K (2) =
A(2)E (2)TkE (2) tdA(2)
K (2) = E
11/300 1/50 1/60 1/60 1/75 1/3001/50 1/25 1/50 1/50 0 1/501/60 1/50 11/300 1/300 1/75 1/601/60 1/50 1/300 11/300 4/75 1/601/75 0 1/75 4/75 8/75 4/751/300 1/50 1/60 1/60 4/75 11/300
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 110 / 183
-
Mtodo dos elementos finitosElemento plano com 3 ns
Elemento 3
u3
u8
u10u5
u9
u4
3
x
y
5
4
3
A(3) =
1 2 2 0 0 01 4 0 0 0 01 4 4 0 0 00 0 0 1 2 20 0 0 1 4 00 0 0 1 4 4
. . . u3
. . . u4
. . . u5
. . . u8
. . . u9. . . u10
(3) =
[1 x y 0 0 00 0 0 1 x y
]
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 111 / 183
-
Mtodo dos elementos finitosElemento plano com 3 ns
H(3) = (3)[
A(3)]1
H(3) =
4 x2
x y4
4+ x + y4
0 0 0
0 0 04 x2
x y4
4+ x + y4
E (3) = DH(3) =
1/2 1/4 1/4 0 0 00 0 0 0 1/4 1/40 1/4 1/4 1/2 1/4 1/4
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 112 / 183
-
Mtodo dos elementos finitosElemento plano com 3 ns
K (3) =
A(3)E (3)TkE (3) tdA(3)
K (3) = E
8/75 4/75 4/75 0 1/75 1/754/75 11/300 1/60 1/50 1/60 1/3004/75 1/60 11/300 1/50 1/300 1/60
0 1/50 1/50 1/25 1/50 1/501/75 1/60 1/300 1/50 11/300 1/601/75 1/300 1/60 1/50 1/60 11/300
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 113 / 183
-
Mtodo dos elementos finitosElemento plano com 3 ns
Elemento 4
u3
u8
u9
u4u1
u6 4
3
4
y
x1
A(4) =
1 0 0 0 0 01 4 0 0 0 01 2 2 0 0 00 0 0 1 0 00 0 0 1 4 00 0 0 1 2 2
. . . u1
. . . u4
. . . u3
. . . u6
. . . u9
. . . u8
(4) =
[1 x y 0 0 00 0 0 1 x y
]
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 114 / 183
-
Mtodo dos elementos finitosElemento plano com 3 ns
H(4) = (4)[
A(4)]1
H(4) =
4 x y4
x y4
y
20 0 0
0 0 04 x y
4
x y4
y
2
E (4) = DH(4) =
1/4 1/4 0 0 0 00 0 0 1/4 1/4 1/2
1/4 1/4 1/2 1/4 1/4 0
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 115 / 183
-
Mtodo dos elementos finitosElemento plano com 3 ns
K (4) =
A(4)E (4)TkE (4) tdA(4)
K (4) = E
11/300 1/60 1/50 1/60 1/300 1/751/60 11/300 1/50 1/300 1/60 1/751/50 1/50 1/25 1/50 1/50 01/60 1/300 1/50 11/300 1/60 4/75
1/300 1/60 1/50 1/60 11/300 4/751/75 1/75 0 4/75 4/75 8/75
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 116 / 183
-
Mtodo dos elementos finitosElemento plano com 3 ns
A matriz de rigidez global
K =4
i=1
K (i) =
E
11150
160
- 11150
- 160
0 130
1300
- 130
- 1300
0160
11150
- 11150
0 - 160
- 1300
- 130
130
0 1300
- 11150
- 11150
2275
- 11150
- 11150
- 130
130
0 130
- 130
- 160
0 - 11150
11150
160
1300
0 130
- 130
- 1300
0 - 160
- 11150
160
11150
0 - 1300
- 130
1300
130
130
- 1300
- 130
1300
0 11150
- 160
- 11150
160
01
300- 130
130
0 - 1300
- 160
11150
- 11150
0 160
- 130
130
0 130
- 130
- 11150
- 11150
2275
- 11150
- 11150
1300
0 130
130
1300
160
0 11150
11150
160
0 1300
130
1300
130
0 160
11150
160
11150
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 117 / 183
-
Mtodo dos elementos finitosElemento plano com 3 ns
O vector das foras aplicadas
PT ={
0 0 0 0 0 0 0 0 0 P}
As condies de fronteira u (u1 = u2 = u6 = u7 = 0) so impostas utilizando a matriz e1
eT1 =
1 0 0 0 0 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 1 0 0 0 00 0 0 0 0 0 1 0 0 0
uT ={
0 0 0 0}
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 118 / 183
-
Mtodo dos elementos finitosElemento plano com 3 ns
O sistema governativo dado por
[K e1
eT1 0
]{U
}
=
{P
u}
resultando
UT ={
0 0 - 75116
- 217251392
261251392
0 0 - 27516
- 499251392
- 675251392
} P
E
T =
{1 1 55
873287
}P
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 119 / 183
-
Mtodo dos elementos finitosElemento plano com 3 ns
P
0.63P
0.37PP
P
48.51P/E
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 120 / 183
-
Mtodo dos elementos finitosElemento plano com 3 ns
O campo das tenses dado por
(m) = k(m)E (m)U
(1)=
- 10P29
- 5P58
- 55P16
(2)=
65P16
- 3505P1392
- 165P58
(3)=
10P29
- 535P174
- 25P16
(4)=
- 65P16
- 895P1392
- 125P58
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 121 / 183
-
Mtodo dos elementos finitosElemento plano com 3 ns
4P 3P 2P 1P 0 1P 2P 3P 4P
xyyx
4.063P
0.345P0.345P
4.063P
2.518P 2.845P
0.643P 2.155P
0.086P 3.075P 1.563P3.438P
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 122 / 183
-
Mtodo dos elementos finitosElemento plano com 4 ns
u1u2
u3
u61
2
4
x
yu5 3
8u
4u u7
u =
{
u(x , y)v(x , y)
}
= H U
UT = { u1 u2 u3 u4 u5 u6 u7 u8 }
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 123 / 183
-
Mtodo dos elementos finitosElemento plano com 4 ns
{
u(x , y) = 1 + 2x + 3y + 4xyv(x , y) = 1 + 2x + 3y + 4xy
u =
{
u(x , y)v(x , y)
}
=
=
[
1 x y xy 0 0 0 00 0 0 0 1 x y xy
]
T = { 1 2 3 4 1 2 3 4 }
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 124 / 183
-
Mtodo dos elementos finitosElemento plano com 4 ns
Explicitando para todos os pontos nodais,
1 x1 y1 x1y1 0 0 0 01 x2 y2 x2y2 0 0 0 01 x3 y3 x3y3 0 0 0 01 x4 y4 x4y4 0 0 0 00 0 0 0 1 x1 y1 x1y10 0 0 0 1 x2 y2 x2y20 0 0 0 1 x3 y3 x3y30 0 0 0 1 x4 y4 x4y4
12341234
=
u1u2u3u4u5u6u7u8
A = U = A1 UMas
u = = A1 U = H U H = A1
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 125 / 183
-
Mtodo dos elementos finitosElemento plano com 4 ns
1
4
2
3
4 cm
4 cm
P P
t = 0.1 cm
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 126 / 183
-
Mtodo dos elementos finitosElemento plano com 4 ns
Elemento 1
u1u2
u4 u3
u5u6
1
u7u8
1 2
34
x
y
A =
1 0 0 0 0 0 0 01 4 0 0 0 0 0 01 4 4 16 0 0 0 01 0 4 0 0 0 0 00 0 0 0 1 0 0 00 0 0 0 1 4 0 00 0 0 0 1 4 4 160 0 0 0 1 0 4 0
. . . u1
. . . u2
. . . u3
. . . u4
. . . u5
. . . u6
. . . u7
. . . u8
=
[1 x y xy 0 0 0 00 0 0 0 1 x y xy
]
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 127 / 183
-
Mtodo dos elementos finitosElemento plano com 4 ns
H = [A]1
H =
[
1- x+y4
+ xy16
x4- xy16
xy16
y4- xy16
0 0 0 0
0 0 0 0 1- x+y4
+ xy16
x4- xy16
xy16
y4- xy16
]
D =
x0
0
y
y
x
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 128 / 183
-
Mtodo dos elementos finitosElemento plano com 4 ns
E = DH =
y416
4y16
y16
y16
0 0 0 00 0 0 0 x4
16 x
16x16
4x16
x416
x16
x16
4x16
y416
4y16
y16
y16
K =
AETkE tdA
Admitindo estado plano de tenso,
k =E
1 2
1 0 1 00 0 (1 )/2
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 129 / 183
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Mtodo dos elementos finitosElemento plano com 4 ns
Admitindo = 0.25, resulta, por exemplo, para o elemento K11 da matriz de rigidez,
K11 =E
10
A
176 24x 64y + 3x2 + 8y21920
dA
Como neste caso particular o domnio do elemento rectangular,
K11 =E
10
4
0
4
0
176 24x 64y + 3x2 + 8y21920
dx dy =11E
225
Nos programas de elementos finitos, a integrao analtica costuma ser substituda por umaintegrao numrica, utilizando o Mtodo de Gauss-Legendre.
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 130 / 183
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Elemento plano com 4 nsMtodo de Gauss-Legendre
Mtodo de Gauss-Legendre para a integrao numrica consiste em aproximar o integral atravsde um somatrio.
Para o caso uni-dimensional, 1
1f (x) dx
n
i=1
wi f (xi )
onde xi so as coordenadas dos pontos de integrao e wi os pesos associados. A regra deintegrao de Gauss de n pontos permite integrar exactamente polinmios de grau inferior ouigual a 2n 1.
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 131 / 183
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Elemento plano com 4 nsMtodo de Gauss-Legendre
Pontos de integrao e pesos no intervalo [1, 1]n xi wi1 0.00000 00000 00000 2.00000 00000 000002 0.57735 02691 89626 1.00000 00000 000003 0.77459 66692 41483 0.55555 55555 55555
0.00000 00000 00000 0.88888 88888 88888
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 132 / 183
-
Elemento plano com 4 nsMtodo de Gauss-Legendre
Para o caso bi-dimensional,
1
1
1
1f (x , y) dx dy
n
i=1
wi
1
1f (xi , y) dy
n
i=1
m
j=1
wiwj f (xi , yj )
x=0.577...
y=0.577...
y=0.577...
x=0.577...
y
x
Integrao no domnio quadrilateral (x , y [1, 1]) com 2 2 pontos, exacta para umpolinmio de grau 3:
1x y
x2 xy y2
x3 x2y xy2 y3
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 133 / 183
-
Elemento plano com 4 nsMapeamento isoparamtrico
Quando o domnio de integrao no definido entre -1 e 1 (ou, para o caso 2D, no rectangular), habitual proceder a um mapeamento isoparamtrico.
1D, x s [1, 1]
f (x) dx =
1
1f [x(s)]J ds
2D, x , y s, t [1, 1]
f (x , y) dx dy =
1
1
1
1f [x(s, t), y(s, t)]J ds dt
onde J (Jacobiano) o determinanto da matriz da transformao (matriz Jacobiano)
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 134 / 183
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Mtodo de Gauss-LegendreMapeamento isoparamtrico
x
y
s
t
2
34
1
3 (1,1)4 (1,1)
2 (1,1)1 (1,1)
Funes de forma:N1 = (1 s)(1 t)/4 N2 = (1+ s)(1 t)/4
N3 = (1+ s)(1+ t)/4 N4 = (1 s)(1+ t)/4
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 135 / 183
-
Mtodo de Gauss-LegendreMapeamento isoparamtrico
As coordenadas x e y podem exprimir-se em funo ao s e t,
x =
4
i=1
Nixi y =
4
i=1
Niyi
A matriz da transformao (matriz Jacobiano) define-se como
J =
x
s
y
s
x
t
y
t
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 136 / 183
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Mapeamento isoparamtricoExemplo 1D
x1 x2
x s
1 1Funes de forma:
N1 = (1 s)/2 N2 = (1+ s)/2
Mapeamento isoparamtrico:
x =2
i=1
Nixi =x1 + x2 + s(x2 x1)
2
Jacobiano
J = det(J) =x
s=
x2 x12
Por exemplo, 7
3x3 dx =
1
1
[3+ 7+ s(7 3)
2
]3 7 32
ds = 580
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 137 / 183
-
Mapeamento isoparamtricoExemplo 2D
1 2
3
4
x
y
s
t
(1,1) (1,1)
(1,1)(1,1)
Coordenadas dos ns:
x1 = 0, y1 = 0 x2 = 1, y2 = 0 x3 = 2, y3 = 2 x4 = 0, y4 = 1
Funes de forma:N1 = (1 s)(1 t)/4 N2 = (1+ s)(1 t)/4
N3 = (1+ s)(1+ t)/4 N4 = (1 s)(1+ t)/4
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 138 / 183
-
Mapeamento isoparamtricoExemplo 2D
Mapeamento isoparamtrico:
x =4
i=1
Nixi = (1+ s)(3+ t)/4 y =4
i=1
Niyi = (3+ s)(1+ t)/4
Matriz Jacobiano:
J = det(J) = det
[(3+ t)/4 (1+ t)/4(1+ s)/4 (3+ s)/4
]
=4+ s + t
8
Por exemplo,
x3 dx dy =
1
1
1
1
[(1+ s)(3+ t)
4
]3 4+ s + t
8ds dt =
23
10
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 139 / 183
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Mtodo dos elementos finitosElemento plano com 4 ns
Regressando,
K11 =E
10
4
0
4
0
176 24x 64y + 3x2 + 8y21920
dx dy
Sendo o as coordenadas do domnio de integrao,
(0, 0) (4, 0) (4, 4) (0, 4)
do mapeamento isoparamtrico resulta:
x =4
i=1
Nixi = 2(1+ s) y =4
i=1
Niyi = 2(1+ t)
J = det
[2 00 2
]
= 4
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 140 / 183
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Mtodo dos elementos finitosElemento plano com 4 ns
Com,f (x , y) = (176 24x 64y + 3x2 + 8y2)/1920 4
0
4
0f (x , y)dx dy =
1
1
1
1g(s, t)ds dt
ondeg(s, t) = f [x(s, t), y(s, t)]J
Utilizando a regra de integrao de Gauss com 2 2 pontos,
I =
1
1
1
1g(s, t)ds dt
2
i=1
2
j=1
wiwjg(si , ti )
coms1,2 = t1,2 = 1/
3 e w1,2 = 1
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 141 / 183
-
Mtodo dos elementos finitosElemento plano com 4 ns
Resulta
I = g
(13,13
)
+ g
(13,
13
)
+ g
(13,13
)
+ g
(13,
13
)
=22
45
E o termo da matriz de rigidez,
K11 =E
10
22
45=
11E
225
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 142 / 183
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Mtodo dos elementos finitosElemento plano com 4 ns
A matriz de rigidez global
K = E
11225
13450
11450
1225
160
1300
160
1300
13450
11225
1225
11450
1300
160
1300
160
11450
1225
11225
13450
160
1300
160
1300
1225
11450
13450
11225
1300
160
1300
160
160
1300
160
1300
11225
1225
11450
13450
1300
160
1300
160
1225
11225
13450
11450
160
1300
160
1300
11450
13450
11225
1225
1300
160
1300
160
13450
11450
1225
11225
O vector das foras aplicadas
PT ={
0 0 0 0 0 0 P 0}
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 143 / 183
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Mtodo dos elementos finitosElemento plano com 4 ns
As condies de fronteira u (u1 = u4 = u5 = u8 = 0) so impostas utilizando a matriz e1
eT1 =
1 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0 0 00 0 0 0 1 0 0 00 0 0 0 0 0 0 1
uT ={
0 0 0 0}
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 144 / 183
-
Mtodo dos elementos finitosElemento plano com 4 ns
O sistema governativo dado por
[K e1
eT1 0
]{U
}
=
{P
u}
resultando
UT ={
0 - 276751474
326251474
0 0 - 28550737
- 38450737
0} P
E
T =
{1 1 45
672267
}P
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 145 / 183
-
Mtodo dos elementos finitosElemento plano com 4 ns
P
P
0.67P
0.33P
P
52.17P/E
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 146 / 183
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Mtodo dos elementos finitosElemento plano com 4 ns
O campo das tenses dado por = kEU
T =
{15(246+11x134y)
73715(123+88x67y)
14745(2284+603x198y)
2948
}
x y xy
0 1 2 3 40
1
2
3
4
0 1 2 3 40
1
2
3
4
0 1 2 3 40
1
2
3
4
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 147 / 183
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Mtodo dos elementos finitosProgramas de elementos finitos
IFER - Internet Finite Element Resources
Domnio pblico
Cdigo includo (Freeware): mais de 70 programas: ADVENTURE(ADVanced ENgineering analysis Tool for Ultra large REalworld), FELT, OpenSees (Open System for EarthquakeEngineering Simulation), . . .
Cdigo no includo (Shareware): mais de 30 programas: CADRE, IMAGINE(Integrated Modelling and Analysis in Geotechnics),PlastFEM, . . .
Programas comerciais : mais de 120 programas: ABAQUS, Adina, Algor, ANSYS, COSMOS,DIANA, PLAXIS, SAP2000, . . .
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 148 / 183
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Mtodo dos elementos finitosGiD + Calsef
GiD - pr/ps-processador grfico, incluindo um gerador de malha, que pode serutilizado em conjunto com uma grande variedade de programas de anlisenumrica.
AnliseComputacional
(CALSEF)
Definio da geometriaDefinio das cargas e das condies de fronteira
Definio dos materiaisGerao da malha
(GiD)
Visualizao dosresultados
(GiD)
Calsef - cdigo (elementos finitos) para a anlise de slidos (2D e 3D), lajes e cascas.
International Center for Numerical Methods in Engineering
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 149 / 183
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GiD + CalsefExemplo de aplicao
4 cm
4 cm
P
t = 0.1 cm
= 0.25
E = 1
P = 1
Definir o tipo do problema: Estado plano
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 150 / 183
-
GiD + CalsefExemplo de aplicaoEscolher um ttulo para o problema, escolher o estado plano de tenso, no considerar o pesoprprio, etc.
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 151 / 183
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GiD + CalsefExemplo de aplicao
Verificar as propriedades dos materiais e as unidades do problema.
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 152 / 183
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GiD + CalsefExemplo de aplicao
A janela das coordenadas facilita a introduo dos ns.
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 153 / 183
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GiD + CalsefExemplo de aplicao
Definir a geometria da estrutura: pontos e linhas.
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 154 / 183
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GiD + CalsefExemplo de aplicao
Definir a geometria da estrutura : superfcies.
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 155 / 183
-
GiD + CalsefExemplo de aplicao
Definir as condies de fronteira: deslocamentos impostos, apoios elsticos e cargas aplicadas.
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 156 / 183
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GiD + CalsefExemplo de aplicao
Definir os deslocamentos impostos.
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 157 / 183
-
GiD + CalsefExemplo de aplicao
Definir as cargas aplicadas.
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 158 / 183
-
GiD + CalsefExemplo de aplicaoDefinir um novo material com as propriedades desejadas.
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 159 / 183
-
GiD + CalsefExemplo de aplicao
Atribuir o material aos elementos geomtricos.
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 160 / 183
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GiD + CalsefExemplo de aplicao
Definir o tipo de elementos finitos a utilizar.
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 161 / 183
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GiD + CalsefExemplo de aplicao
Gerar a malha de elementos finitos.
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 162 / 183
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GiD + CalsefExemplo de aplicaoComear a anlise.
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 163 / 183
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GiD + CalsefExemplo de aplicaoEntrar na fase de ps-processamento.
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 164 / 183
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GiD + CalsefExemplo de aplicao
Campo de deslocamentos
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 165 / 183
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GiD + CalsefExemplo de aplicao
Campo de tensesx y xy
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 166 / 183
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Mtodo dos elementos finitosFontes de erros na anlise
Discretizao - Funes de interpolao da geometria e da soluo
Integrao numrica - Clculo dos elementos das matrizes utilizando mtodos numricosde integrao
Relaes constitutivas - Uso de modelos de material com comportamento no-linear
Soluo das eq. de equilbrio dinmico - Integrao numrica em tempo e/ousobreposio modal
Soluo do sistema governativo por mtodos iterativos - Gauss-Seidel, mtodo dosgradientes conjugados, Newton-Raphson, . . .
Arredondamentos - Preciso da mquina
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 167 / 183
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Fontes de erros na anliseDistoro da malha
a
L L
p
L
a/L [m] 0.00 0.25 0.5 0.75 1.00/0 1.000 0.897 0.749 0.644 0.551
Na prtica, sendo usadas malhas com nmero relativamente reduzido de elementos e sendo poucohabitual fazer estudos extensos sobre a convergncia da soluo, recomenda-se o uso de malhasno-distorcidas e/ou de elementos poucos sensveis a distoro.
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 168 / 183
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Mtodo dos elementos finitosConvergncia da soluo
A convergncia da soluo numrica implica que, com o refinamento da malha, todas as condiescinemticas, estticas e constitutivas contidas no modelo matemtico utilizado ficam satisfeitas.
Quando os elementos finitos so completos (as funes de aproximao dos deslocamentos podemrepresentar deslocamentos de corpo rgido) e tanto os elementos como a malha so compatveis(deslocamentos contnuos) a convergncia fica monotnica.
Quando possvel, recomenda-se o uso da energia de deformao como grandeza para o estudo daconvergncia da soluo.
U = 12
V
T dV = = 1
2UTKU
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 169 / 183
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Mtodo dos elementos finitosConvergncia da soluo
6L
L p
A
Elem.(g.d.l.) 12 (28) 46 (76) 188 (246) 836 (950) 352 (1550)
Av 0.288 0.631 0.874 0.970 1.000
Ax 0.000 1.802 1.366 1.025 1.000
Ay -0.859 0.248 0.657 0.977 1.000
Axy 2.066 1.802 1.366 1.025 1.000
elementos triangulares com 6 ns
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 170 / 183
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Trabalhos prticos
Trabalho No1: Barras
Trabalho No2: Estado plano de tenso
Trabalho No3: Singularidades
Trabalho No4: Lajes
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 171 / 183
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Trabalho No1: Barras
Considere a bara de homognea de seco varivel representada, sujeita s condies de fronteirae ao carregamento indicado. Determine os deslocamentos axiais e o esforo normal ao longo dabarra utilizando uma formulao:
diferencial (soluo analtica);
em resduos ponderados (o mtodo de Galerkin);
diferenas finitas;
elementos finitos (elementos de barra com 2 ns).
Compare e comente as solues obtidas.
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 172 / 183
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Trabalho No1: Barras
22A = (3y/40) cm22A = (1+x/50) cm
R = 100 N
A B C
yx
80 cm100 cm
u
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 173 / 183
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Trabalho No2: Estado plano de tenso
Estime os deslocamentos e o estado de tenso dos pontos A, B, C , D, E e F da consolacurta representada sujeita a uma carga concentrada P na extremidade. Considere uma espessuraconstante t = 0.1 m, um mdulo de elasticidade constante e um coeficiente de Poisson = 0.3.Admite o estado plano de tenso e utilize:
uma malha de elementos finitos triangulares com 3 ns;
uma malha de elementos finitos rectangulares com 4 ns;
Apresente a deformada da estrutura para os dois casos considerados. Compare e comente assolues obtidas.
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 174 / 183
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Trabalho No2: Estado plano de tenso
3 m5 m
A B
F
E
D
C
1 m
3 m
2 m
P
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 175 / 183
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Trabalho No3: Singularidades
Considere as seguintes placas planas homogneas, de espessura e mdulo de elasticidadeconstantes, unitrios e coeficiente de Poisson = 0.1, sujeitas ao carregamento indicado.Admitindo o estado plano de tenso, utilize os programas Gid + Calsef para estudar, em cada umdos casos, a convergncia da soluo. Apresente as malhas de elementos finitos utilizadas. Emseguida, analise cada uma das placas utilizando a melhor malha para deteminar:
o estado de tenso no ponto P;
a distribuio de tenses normais e tangenciais ao longo da fronteira esttica e cinemticada placa;
o campo de deslocamentos.
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 176 / 183
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Trabalho No3: Singularidades
P0.1
0.1
q=1
1
1
1
1
Q=1
1P0.3
1.51.5
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 177 / 183
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Trabalho No4: Lajes
O comportamento estrutural das lajes depende dos seguintes factores:
- tipo de apoios e cargas (condies de fronteira)
- relao entre os vos (condiciona a direco de flexo dominante)
- comportamento mecnico do material
- relao da espessura com o menor dos vos (condiciona o tipo do modelo de anlise)
lajes finas (Kirchhoff) - espessura/vo 1/5 (1/10), deslocamentotransversal mximo/espessura 1/5 (1/10)lajes espessas (Reissner-Mindlin)
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 178 / 183
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Trabalho No4: Lajes
Hipteses simplificativas:
- linearidade fsica - material com comportamento elstico linear
- linearidade geomtrica - pequenos deslocamentos e pequenas deformaes
- homogeneidade e isotropia do material
Admita-se ainda que:
- fibras rectas normais ao plano mdio da laje permanecem rectas aps a deformao
- fibras rectas normais ao plano mdio da laje so inextensveis
- fibras rectas normais ao plano mdio da laje permanecem rectas aps a deformao eperpendiculares ao plano mdio - Kirchhoff
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 179 / 183
-
Trabalho No4: Lajes
Laje de Kirchhoff
4w(x , y) = q(x , y)Df
Df =Eh3
12(1 2)
Df - rigidez flexo do elemento de laje
(x,y)x
(x,y)y
x
y
z
w(x,y)
Campos de deslocamentos
vy
vx
vx
vy
mx
mx
mxy
mxy
mxy
my
mxy
my
x
y
Campos de esforos
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 180 / 183
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Trabalho No4: Lajes
Considere a seguinte laje em beto armado, simplesmente apoiada nos pilares e nas paredesresistentes representadas. Admitindo que o nico carregamento o peso prprio, apresente:
- o campo dos deslocamentos;
- os campos dos esforos (Mx , My , Mxy , Vx , Vy );
- os diagramas de momentos segundo as linhas de corte AA, BB e EE .
Repita a anlise admitindo na anlise que a seco transversal dos pilares e das paredes desprezvel. Compare e comente os resultados obtidos nas duas anlises.
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 181 / 183
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Trabalho No4: Lajes
1.00 6.00 6.00 6.00 1.00
P2(.40 x .40)
P3(.60 x .40)
P5(.60 x .40)
P7(.60 x .40)
P10(.60 x .40)
P9(.40 x .60)
P8(.40 x .60)
P6(.40 x .60)
P4(.40 x .60)
P1(.40 x .40)
.40.40 3.80
2.60
.40
.40
1.00
3.00
6.00
0.60
3.60
.405.
00.2
0
5.00
.20
e=0.22 m
A
B
D E F G
C C
B
A
D E F G
Beto Armado (Unidades: N,m,rad)
Carga = peso especfico = 25000Poisson = 0.2Mdulo de elasticidade = 3.00E10
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 182 / 183
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Anexo: FAQ - Maxima
MEF 2014/15 (DEC/FCT/UNL) 183 / 183