Megérthetjük-e a megjósolhatatlant? A káosz matematikája

Krisztin Tibor Szegedi TudományegyetemBolyai IntézetSzeged

Megjósolható-e, jelezhető-e előre a jövő?

Meg tudjuk-e mondani, hogy mi történik a

• a következő másodpercben?• a következő órában?• a következő évben?

Van-e a természetnek egy rejtett rendje?

Első válasz …. IGEN!

Törvényszerűségek, rendezettség, szimmetria fedezhetők fel …

A tudomány a bennünket körülvevő világ rendjét, szerkezetét kutatja.

Hókristályok

Az állatvilág

A bolygók mozgása

Galileo Galilei (1564 — 1642) Pisa

Az elsők között ismerte fel mindezt

„A természet nagy könyve a matematika nyelvén íródott.”

1600

Galilei az inga mozgását figyelve állapította meg az alábbiakat

Az inga lengésideje állandó volt

• függetlenül attól, hogyan lökte meg

• hol lökte meg

• mikor lökte meg

Matematikailag: kis kitérések esetén az inga mozgása közelítőleg egy harmonikus oszcillátor mozgása.

Megjegyzés: Hatvani László [Bolyai Intézet] és Bánhelyi Balázs, Csendes Tibor, Garay Barna bizonyították előszőr az ingamozgás kaotikusságát periodikus külső erő hatására.

Isaac Newton (1643 – 1727)

1686Newton a Principia (A természetfilozófia matematikai alapelvei) című művében megmutatta, hogy az inga mozgása (és a klasszikus mechanika jelenségei) matematikai egyenletekkel, differenciálegyenletekkel írhatók le

0)sin(2

2

g

dt

dk

dt

dl

Az inga egyenlete

Az alapötlet ….

• Írjuk fel az adott fizikai jelenség egyenleteit

• Oldjuk meg az egyenleteket

• A megoldás alapján jósoljuk meg

a fizikai jelenség jövőjét

Működik ez?

Neptunusz: matematikai

eszközökkel fedezték fel

1846-ban

32

2

x

GMx

dt

xd Newton gravitációs törvénye

A tény, hogy egy bolygót pusztán papírral és ceruzával, számítások révén fel lehet fedezni, a newtoni teória (és a matematika) látványos bizonysága volt.

Időjárás előrejelzés

0.,Re

1. 2 uuPuuut

Navier-Stokes egyenletek

Pierre-Simon de Laplace (1749 – 1827)

„Ha ismernénk az univerzum minden atomjának a pontos helyzetét egy adott pillanatban, akkor az univerzum jövőjét előre tudnánk jelezni.”

A véletlennek, a szabad akaratnak nincs szerepe !„Isten nem kockajátékos” (Einstein)

Sok természeti és emberi jelenség véletlenszerűnek, előre jelezhetetlennek tűnik!!

Milyen lesz a felhők alakja egy hét elteltével?

El Nino jelenség

Az óceán hőmérsékletének változása

Year

Klímaváltozás

Tőzsdeindex

A komplex, bonyolult viselkedések oka az, hogy a természet legtöbb jelensége ténylegesen bonyolult és nem megmagyarázható

a bonyolultság természetesen következik Newton törvényeiből ?

vagy …….

Káosz elmélete

Egyszerű szabályok, természeti törvények vezethetnek bonyolult és előre nem jelezhető viselkedéshez

Henri Poincaré (1854 – 1912) : a káosz felfedezője

nx

nx

A város lakóinak száma az n. évben

Van-e kapcsolat az idei lakosságszám

és a következő évi lakosságszám

között? 1nx

Előrejelezhető-e egy város népessége?

Év

Népesség

Thomas Malthus (1766 – 1834)

nn axx 1

• a = 1 … lakók száma állandó marad

• a > 1 … népesség nő

• a < 1 … népesség csökken

Születési/halálozási ráta

)(1 nnn xMaxx

Probléma a>1 esetén: a szükséges források végessége

Módosított modell

Robert May (1938 -)

Maximális népességszám

Mit jelez előre ez az egyenlet?

a = 2, M = 1 egyetlen határérték

)(1 nnn xMaxx

a = 3 két érték között oszcillál

a = 3.55 8 érték között oszcillál

a = 4 káosz

Modell megalkotása: a probléma a matematika nyelvén

lehetséges állapotok halmaza

a jelenség törvényszerűségeit magában foglaló függvény

kezdeti állapot (t=0 időpontban) - adottállapot 1 egységnyi idővel később (t=1-

ben)állapot 2 egységnyi idővel később (t=2-

ben)

állapot a t=k időpontban Jövőbeli állapot előrejelzése: milyen xk nagy k esetén?

Példák:

jelentése: az M=1 maximális népesség x-ed része a lakosság száma

1.

2.

Az f függvény azt mondja meg, hogy egy x időjárási állapotból, hogyan számolhatók ki az időjárást jellemző adatok értékei a következő 1 percre. (Navier-Stokes egyenletek)

elemei lehetnek az időjárást jellemző adatok: hőmérséklet, páratartalom, légnyomás, szél sebessége, szél iránya, stb.

T = [0,1] úgy, hogy a 0 és 1 azonosítva van, azaz

T az 1 kerületű körvonal

Ekkor

Tehát g hatása a bináris alakra:

a vessző utáni első jegyet töröljük, a többi egyet balra lép

3.

g:T―›T definíciója: g(x) = {2x} = 2x (mod 1) ½ 10

x és y távolsága: az őket összekötő körívek közül

a rövidebb

Tx

y

T-beli x bináris (2-es számrendszerbeli) alakja:

Hol fordul elő ilyen leképezés?

Tésztagyúrás. Cél: a benne lévő anyagok minél teljesebb összekeveredése

20 1

Tészta, benne egy szem mazsolával nyújtás kétszeresére

félbe vágjuk

a két felet egymásra helyezzük

nyújtás kétszeresére

félbe vágjuk

a két felet egymásra helyezzük

A fenti lépéseket sokszor ismételjük. Jól elkeverednek-e az összetevők?

Ha , akkor

Tehát x egy n-periodikus pont. Végtelen sok n-periodikus pont van. Bármely y-hoz akármilyen közel van periodikus pont.

A periodikus pontok sűrűn vannak. SZABÁLYOSSÁG!

Egy érdekes tulajdonságú pont:

Van sűrű pálya T-ben.

Ekkor az

sorozat minden T-beli pontot meglátogat (végtelen sokszor).

Érzékeny függés a kezdeti adatoktólHa

akkor

és távolsága nagy (= ½).

Ha x és y egy jelenség 2 közeli kezdeti adata, akkor a 2 közeli adatból bizonyos idő elteltével 2 nagyon eltérő állapotba juthatunk. PILLANGÓ EFFEKTUS!

Nagy n esetén x és y közel vannak, de

Egy f: X―›X leképezés kaotikus, ha 1. a periodikus pontok sűrűn vannak X-ben,2. f érzékenyen függ a kezdeti adatoktól, 3. van egy sűrű pálya.

A g: X―›X leképezés kaotikus.

Ezen alapszik a következő

tétel.

Rend a káoszban

Kapcsolat g(x) = {2x} és f(x) = 4x(1-x) között

Legye

n Ekkor

Azaz Következik, hogy f is kaotikus

Arnold macskája V.I. Arnold (1937-2010)

R. May egy 1976-os problémáját oldottuk meg (Bartha Ferenc és Garab Ábel tanítványimmal – a Radnóti volt diákjai)

Röst Gergely (volt tanítványom, most kollégám) populációdinamikai, járványterjedési témával nyert ERC (European Reseach Coucil) Starting Grant támogatást (az első matematikus nyertes a Közép-Európai régióban)

Megjegyzések: